Typy równań róŜniczkowych cząstkowych liniowych

a) równania róŜniczkowe eliptyczne (równanie Laplace’a, równanie Poisson’a)

b) równanie róŜniczkowe paraboliczne (równanie dyfuzji)

c) równanie róŜniczkowe hiperboliczne (równanie falowe)

Warunki brzegowe

Warunek brzegowy Dirichleta

( ) ( ), ,u x y g x y= dla ( ),x y S∈

gdzie: u(x,y) – poszukiwana funkcja w punktach wewnątrz obszaru R, g(x,y) – zadana

funkcja dla punktów (x,y) naleŜących do brzegu S obszaru R.

Warunek brzegowy Neumanna

( , ) ( , )u

x y g x yn

∂=

∂ dla ( ),x y S∈

gdzie: ( , )u

x yn

∂

∂ – pochodna normalna poszukiwanej funkcji w punktach naleŜących do

brzegu S obszaru R, g(x,y) – zadana funkcja dla punktów (x,y) naleŜących do brzegu S

obszaru R.

Równania eliptyczne - Poissona i Laplace’a

2 22

2 2( , ) ( , ) ( , ) ( , )

d u d uu x y x y x y f x y

dx dy∇ = + = dla ( , ) ( , ) ( , )x y R a b c d∈ = ×

z warunkami brzegowymi

),(),( yxgyxu = dla Syx ∈),(

JeŜeli f(x,y)=0 równanie Poissona nazywamy równaniem Laplace’a.

Metoda róŜnic skończonych (MRS)

Dla danych liczb całkowitych m i n, definiujemy kroki h = (b-a)/n oraz k = (c-d)/m.

Dzielimy: przedział [a,b] na n równych części o szerokości h oraz przedział [c,d] na m

równych części o szerokości k.

Tworzymy siatkę na obszarze R poprzez narysowanie pionowych i poziomych linii

przechodzących przez punkty (xi, yj), takich Ŝe:

ihaxi += dla i = 0,1, .. n oraz jkcy j += dla j = 0,1, .. m

Proste x = xi, y = yj linie siatki,

punkty przecięcia (xi,yj) punkty węzłowe siatki.

Metoda róŜnic skończonych opiera się na zastąpieniu pochodnych cząstkowych w punktach

(xi,yj) ich przybliŜeniami numerycznymi . Otrzymujemy:

Dla zmiennej x

),(12

),(),(2),(),(

4

42

2

11

2

2

ji

jijiji

ji yx

uh

h

yxuyxuyxuyx

x

uξ

∂

∂−

+−=

∂

∂ −+, gdzie: ),( 11 +−∈ iii xxξ

Dla zmiennej y

),(12

),(),(2),(),(

4

42

2

11

2

2

ji

jijiji

ji xy

uk

k

yxuyxuyxuyx

y

uη

∂

∂−

+−=

∂

∂ −+, gdzie: ),( 11 +−∈ jjj yyη

Podstawiając do równania Poissona otrzymujemy:

2

11

2

11 ),(),(2),(),(),(2),(

k

yxuyxuyxu

h

yxuyxuyxu jijijijijiji −+−+ +−+

+−

),(12

),(12

),(4

42

4

42

jiji xy

uky

x

uhyxf ηξ

∂

∂+

∂

∂+= (4)

dla i = 1,2 … n-1 oraz j = 1,2, … m-1

natomiast warunki brzegowe mają postać:

),(),( 00 jj yxgyxu = oraz ),(),( jnjn yxgyxu = dla j = 0,1, .. m

),(),( mimi yxgyxu = oraz ),(),( 00 yxgyxu ii = dla i = 1,2, .. n

Pomijając reszty otrzymujemy układ (n-1)×(m-1) równań liniowych z niewiadomymi wij , które są przybliŜeniem u(xi,yj).

),()()(12 2

1,1,

2

,1,1

2

jijijijijiij yxfhwwk

hwww

k

h−=+

−+−

+

−+−+

dla i = 1,2 … n-1 , j = 1,2, … m-1

z warunkami brzegowymi:

),( 00 jj yxgw = oraz ),( jnnj yxgw = dla j = 0,1, .. m

),( 00 yxgw ii = oraz ),( miim yxgw = dla i = 1,2, .. n

Dla h = k układ przyjmuje (prostszą) postać wymiaru (n-1)×(n-1):

),()()(42

1,1,,1,1 jijijijijiij yxfhwwwww −=+−+− −+−+ (10)

dla i = 1,2 … n-1 oraz j = 1,2, … m-1

Układ równań moŜemy rozwiązać metodami bezpośrednimi bądź iteracyjnymi.

Obserwacja: w celu wyznaczenia przybliŜenia rozwiązania w punkcie (xi,yj), potrzebne są

wartości przybliŜenia rozwiązania w czterech sąsiednich punktach:

Przykład

Wyznaczyć rozkład temperatury w stanie ustalonym dla cienkiej kwadratowej metalowej

płytki o wymiarach 0,5 m na 0,5 m. Na brzegu płytki znajdują się źródła ciepła utrzymujące

temperaturę na poziomie 0°C dla boku dolnego i prawego, natomiast temperatura boku

górnego i lewego zmienia się liniowo od 0°C do 100°C Problem rozwiązać układając układ

równań liniowych (postać macierzowa) dla wewnętrznych węzłów siatki 5 x 5 – układ

równań rozwiązać metodą Gaussa -Siedla.

Siatka dyskretyzacyjna 5 x 5

Problem ten opisuje równanie Laplace’a

0),(),(),(2

2

2

22 =+=∇ yx

dy

Tdyx

dx

TdyxT

z warunkami brzegowymi:

1) T(0,y) = 0 [°C ] 2) T(x,0) = 0 [°C ]

3) T(0,5,y) = 200y [°C ] 4) T(x,0,5) = 200x [°C ]

Postać macierzowa układu:

=

−−

−−−

−−

−−−

−−−−

−−−

−−

−−−

−−

25

0

0

50

0

0

100

50

25

410100000

141010000

014001000

100410100

010141010

001014001

000100410

000010141

000001014

3,1

2,1

1,1

3,2

2,2

1,2

3,3

2,3

1,3

T

T

T

T

T

T

T

T

T

Rozwiązanie układu równań metodą Gaussa-Siedla, daje wyniki

75,1850,1225,650,3700,2550,1225,5650,3875,18

3,12,11,13,22,21,23,32,31,3 TTTTTTTTT

Ostatecznie wyniki dla załoŜonej siatki mają postać:

00,000,000,000,000,00

00,2575,1850,1225,600,0125,0

00,5050,3700,2550,1200,025,0

00,7525,5650,3775,1800,0375,0

00,10000,7500,5000,2500,05,0

5,0375,025,0125,00

=

=

=

=

=

=====

y

y

y

y

y

xxxxx

Równania paraboliczne

dla oraz

z warunkami brzegowymi (0, ) ( , ) 0u t u l t= = dla 0t >

i początkowymi dla

(przewodnictwo cieplne w pręcie, 1-wymiarowa dyfuzja, itd.)

Metoda róŜnic skończonych

Dla danego m definiujemy krok h = (b-a)/m. Ustalamy wartość kroku czasowego k.

Stąd węzły siatki (xi , tj ):

dla i = 0,1, .. m oraz dla j = 0,1, ..

(14)

gdzie:

gdzie:

0),(),(2

22 =− tx

dx

udtx

dt

duα lx <<0 0>t

( ,0) ( )u x f x= lx <<0

ihxi = jkt j =

),(12

),(),(2),(),(

4

42

2

11

2

2

ji

jijiji

ji tx

uh

h

txutxutxuyx

x

uξ

∂

∂−

+−=

∂

∂ −+

),( 11 +−∈ iii xxξ

),(2

),(),(),(

2

21

ji

jiji

ji xt

uk

k

txutxutx

t

uµ

∂

∂−

−=

∂

∂ +

),( 1+∈ jjj ttµ

warunek brzegowy : dla i = 1,2 … m-1 oraz j = 1,2, …

Stąd

, 1 , 1, , 1,2

2

20

i j i j i j i j i jw w w w w

k hα+ + −− − +

− = ⇒ ( ) ( ), 1 , 1, 1,1 2i j i j i j i j

w w w wλ λ+ + −= − + +

gdzie

2

kh

αλ

=

, i = 1,2 … m-1 , j = 1,2, …

Schemat jawny

MoŜna wykazać warunek zbieŜności schematu jawnego:

Równania paraboliczne – Schemat niejawny

Inne określenie pochodnej cząstkowej po czasie:

gdzie:

co prowadzi do układu

lub:

0),(),(2),(),(),(

2

1121=

+−−

− −++

h

txutxutxu

k

txutxu jijijijiji α

0),(),0( ==jj

tlutu

2

12

2 ≤h

kα

),(2

),(),(),(

2

21

ji

jiji

ji xt

uk

k

txutxutx

t

uµ

∂

∂−

−=

∂

∂ −

),( 1 jjjtt −∈µ

02

2

,1,,121,,=

+−−

− −+−

h

www

k

ww jijijijiji α

=

+−

−

−

−+

−−

−

−

− 1,1

1,2

1,1

,1

,2

,1

)21(00

0

0

00)21(

jm

j

j

jm

j

j

w

w

w

w

w

w

⋮

⋮

⋮

⋮

λλ

λ

λ

λλ

gdzie:

dla i = 1,2 … m-1 oraz j = 1,2, …

Wyliczanie kolejnej warstwy w zapisie macierzowym

MoŜna pokazać,Ŝe schemat niejawny jest zawsze zbieŜny, niezaleŜnie od wielkości

kroków całkowania.

1,,1,1, )()21( −−+ =+−+jijijiji

wwww λλ2

=

hk

αλ