POLITECHNIKA WARSZAWSKA

Wydziaª Matematyki i Nauk Informacyjnych

ROZPRAWA DOKTORSKA

Adam Kubica

Modelowe zagadnienia eliptyczne i parabolicznew przestrzeniach wagowych

Promotordr hab. Piotr Rybka

Warszawa, 2008

Streszczenie

W pracy badamy zagadnienia eliptyczne i paraboliczne w przestrzeniach wagowych.Przyjmujemy, i» waga jest pewn¡ pot¦g¡ odlegªo±ci od pocz¡tku ukªadu wspóªrz¦dnych(w przypadku dwuwymiarowym) lub od osi Ox3 (w przypadku trójwymiarowym) i zale»yod rz¦du pochodnych funkcji. W szczególno±ci rozpatrywane tutaj wagi nie s¡ Ap-wagami,co jest przyczyn¡ rozlicznych trudno±ci w analizie badanych zagadnie«. W pracy skoncen-trowano si¦ na zagadnieniu eliptycznym zadanym przez operator −∆ + σr−2 i parabol-icznym ∂t − ∆ + σr−2, gdzie σ ≥ 0. Badano kwesti¦ zachodzenia oszacowa« a priori,istnienia b¡d¹ nieistnienia rozwi¡za« nale»¡cych do odpowiednich przestrzeni wagowych.W dowodach istnienia rozwi¡za« zastosowano klasyczne podej±cie wykorzystuj¡ce, w przy-padku eliptycznym, twierdzenie Laxa-Milgrama, a w przypadku parabolicznym, metod¦Galerkina.

Abstract

In this thesis we examine the elliptic and parabolic problems in the weighted spaces.We assume that the weight is a power of the distance from the origin (in 2D case) orOx3 axis (in 3D case) and it depends on the order of the derivative of the function. Inparticular, the weights are not the Ap weights, what leads to some diculties in ourinvestigations. In the thesis we focus on the problems related by the operators −∆+σr−2

(in elliptic case) and ∂t −∆ + σr−2 (in parabolic case), where we assume that σ ≥ 0. Wehave examined question of the validity of a priori estimates for solutions and the existenceor non existence of solutions in the appropriate weighted spaces. In proving the existenceof solutions we apply classical Lax-Milgram theorem in the elliptic case and Galerkinmethod in the parabolic case.

Podzi¦kowania

W tym miejscu chciaªbym serdecznie podzi¦kowa¢ mojemu promotorowi dr. hab Pio-trowi Rybce za Jego wieloletni¡ opiek¦ nade mn¡, trud wªo»ony w mój rozwój matematy-czny, za to i» umo»liwiª mi rozwijanie zainteresowa« matematycznych, wskazywaª drog¦ iwspieraª na ka»dym jej etapie. Praca pod Jego opiek¡ byªa dla mnie ¹ródªem wielu rado±cii wzbogaciªa mnie nie tylko po wzgl¦dem matematycznym.

Niniejsza rozprawa nie powstaªaby równie» bez zaanga»owania i pomocy ProfesoraWojciecha Zaj¡czkowskiego. Chciaªem tu wyrazi¢ sw¡ wdzi¦czno±¢ za po±wi¦cony mi czas,jak i za wprowadzenie mnie w wiele trudnych problemów matematycznych. Przedstaw-ione tutaj rozwa»ania wywodz¡ si¦ bezpo±rednio z zagadnie« podejmowanych przez PanaProfesora.

Podczas pisania pracy autor otrzymaª wsparcie z grantów MNiSW N N201 268935, 1P03A 021 30.

2

Spis tre±ci

1 Wprowadzenie 5

2 Oznaczenia 10

3 Podstawowe wªasno±ci przestrzeni wagowych 153.1 Uwagi o przestrzeniach wagowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.2 Pomocnicze nierówno±ci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.2.1 Pierwsza nierówno±¢ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.2.2 Druga nierówno±¢ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4 Eliptyczne zagadnienie dwuwymiarowe 254.1 Pewne równanie ró»niczkowe zwyczajne z parametrem . . . . . . . . . . . 254.2 Istnienie rozwi¡za« . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.3 Ró»nice rozwi¡za« . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.4 Zagadnienie w obszarze ograniczonym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.4.1 Oszacowania a priori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.4.2 Istnienie rozwi¡za« . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.4.3 Przypadek µ > 1 +

√σ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.4.4 Przypadek µ < 1−√σ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.4.5 Przypadek µ ∈ Sσ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.4.6 Podsumowanie wyników . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5 Eliptyczne zagadnienie trójwymiarowe 565.1 Oszacowania a priori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

5.1.1 Przypadek µ < 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565.1.2 Przypadek µ ∈ [0, 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615.1.3 Podsumowanie wyników . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.2 Istnienie rozwi¡za« . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665.3 Rozwa»ania pomocnicze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685.4 Wnioski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5.4.1 Podsumowanie wyników . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785.5 Zagadnienie w obszarze ograniczonym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

5.5.1 Oszacowania a priori i istnienie rozwi¡za« . . . . . . . . . . . . . . 815.5.2 Przypadek µ < 1−

√σ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

5.5.3 Zwi¡zki pomi¦dzy j¡drem i koj¡drem . . . . . . . . . . . . . . . . . 845.5.4 Wnioski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 895.5.5 Podsumowanie wyników . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

5.6 Uwagi o stacjonarnym zagadnieniu Stokesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

3

6 Zagadnienie paraboliczne 946.1 Funkcje bazowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 946.2 Metoda Galerkina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 996.3 Relacje mi¦dzy wagowym a sªabym rozwi¡zaniem . . . . . . . . . . . . . . 1046.4 Oszacowania a priori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1086.5 Uwagi o niestacjonarnym zagadnieniu Stokesa . . . . . . . . . . . . . . . . 109

7 Zagadnienie Dirchleta w k¡cie dwu±ciennym 1117.1 Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1117.2 Zagadnienie eliptyczne (E) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

7.2.1 Istnienie rozwi¡za« . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1147.2.2 Oszacowania a priori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1167.2.3 Zwi¡zki pomi¦dzy operatorami Aµ,ϑ i Bµ,ϑ . . . . . . . . . . . . . . 1177.2.4 Wnioski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

7.3 Zagadnienie paraboliczne (P) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

8 Paraboliczny ukªad równa« 1258.1 Sformuªowanie zagadnienia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1258.2 Zagadnienia modelowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

8.2.1 Sªabe rozwi¡zania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1278.2.2 Oszacowanie wyra»e« ni»szego rz¦du . . . . . . . . . . . . . . . . . 1288.2.3 Oszacowania drugich pochodnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

8.3 Zagadnienie w obszarze ograniczonym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1358.3.1 Regularyzator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1368.3.2 Oszacowania regularyzatora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

9 Podsumowanie 144

Bibliograa 145

4

Rozdziaª 1

Wprowadzenie

W niniejszej rozprawie rozwa»amy zagadnienia eliptyczne i paraboliczne w przestrzeni-ach wagowych. Problemy tego typu pojawiaj¡ si¦ w sposób naturalny w sytuacji, gdyzmieniamy ukªad wspóªrz¦dnych, np. wprowadzamy wspóªrz¦dne walcowe. Zdarza si¦, »eotrzymana wtedy posta¢ zagadnienia jest bardziej dogodna w dalszej analizie i pozwalalepiej uchwyci¢ zale»no±ci pomi¦dzy ró»nymi wielko±ciami. Sytuacja ta jest szczególniewidoczna w problemach, w których przyjmujemy dodatkowe zaªo»enia natury geome-trycznej, na przykªad symetri¦ osiow¡ rozwi¡zania.Przedstawione tutaj wyniki s¡ prób¡ systematycznego podej±cia do pewnych zagadnie«w przestrzeniach wagowych. Podkre±lmy od razu, i» wagi pojawiaj¡ce si¦ w naszych za-gadnieniach nie s¡, za wyj¡tkiem rozdziaªu 8, wagami typu Ap. Przypomnijmy ([25]), i»wedle jednej z równowa»nych denicji, ω jest Ap wag¡, gdy operator maksymalny Hardy-Littlewood'a jest ci¡gªy w przestrzeni Lp w wag¡ ω. Zatem wagi typu Ap s¡ w pewnymsensie przyzwoite. Wiele twierdze« mówi¡cych na przykªad o zanurzeniach przestrzeniSobolewa, istnieniu ±ladów na brzegu, ma swoje odpowiedniki w przypadku przestrzeniwagowych z wagami typu Ap (patrz np. [30]). Sytuacja wygl¡da inaczej w przypadkuprzestrzeni wagowych typu Kondrat'eva Hm

µ . Tutaj waga zale»y od rz¦du pochodnej, przyczym dla m ≥ 2 i dla dowolnego µ ∈ R, co najmniej jedna z wag pojawiaj¡ca si¦ przypochodnych nie jest A2 wag¡. Co wi¦cej, przynajmniej jedna z wag lub jej odwrotno±¢nie jest lokalnie caªkowalna. Spodziewamy si¦ zatem, »e przestrzenie funkcyjne typu Kon-drat'eva, wyposa»one w istotnie osobliwe wagi, b¦d¡ wymagaªy specjalnego traktowania,a wi¦kszo±¢ klasycznych technik nie b¦dzie tutaj dost¦pna.

Przestrzenie wagowe typu Hmµ naturalnie pojawiaj¡ si¦ w zagadnieniach, w których

rozwa»any obszar jest niegªadki, na przykªad jego brzeg posiada wierzchoªki b¡d¹ kraw¦dzie.Wiadomo, i» w niegªadkich obszarach rozwi¡zania równa« ró»niczkowych trac¡ regu-larno±¢. Kondrat'ev, w sªynnej ju» pracy [8], pokazaª, jak z tym brakiem regularno±ci,w pewnych przypadkach, mo»na sobie poradzi¢: mianowicie nale»y rozwa»a¢ zagadnieniaw stosownych przestrzeniach wagowych, tj. w przestrzeniach Hm

µ . Idee, przedstawione wpracy [8], byªy w latach pó¹niejszych intensywnie rozwijane przez takich autorów jak:V. Kozlov, A. Kufner, V. Maz'ya, S. Nazarov, B. Plamenevsky, J. Rossmann. Na chwil¦obecn¡, literatura zwi¡zana z zagadnieniami tego typu jest niezwykle obszerna, którejbogaty spis mo»na znale¹¢ np. w monograach [4], [7], [17], [22], [23] czy [26].

Rozwa»ania zwi¡zane np. z zagadnieniem Navier-Stokesa prowadziªy, po odpowied-niej zamianie zmiennych, do problemów, które zawieraªy wyra»enia z wagami typu Kon-drat'eva. Okoliczno±¢ ta sugeruje, i» w tej sytuacji mog¡ mie¢ zastosowanie techniki rozwi-jane przez Kondrat'eva i jego nast¦pców. Podej±cie do zagadnie« Navier-Stokesa wyko-

5

rzystuj¡ce przestrzenie wagowe byªo intensywnie rozwijane w pracach W. Zaj¡czkowskiego[29], [31]-[37]. W pracach tych, Autor traktuje przestrze« R2 (R3) jako k¡t (k¡t dwu±ci-enny, odpow.) o rozwarto±ci 2π, nakªadaj¡c na rozwi¡zanie odpowiednie warunki zgod-no±ci. Takie spojrzenie otwiera drog¦ do zastosowania caªego aparatu przestrzeni wag-owych. Jednak»e, jak si¦ okazuje, brak jest odpowiednich twierdze«, które bezpo±redniodawaªyby si¦ zastosowa¢ w konkretnych problemach. Niniejsza praca zostaªa pomy±lana,jako usystematyzowanie i uporz¡dkowanie faktów zwi¡zanych z przestrzeniami wagowymi,które pojawiaj¡ w kontek±cie zastosowa« podejmowanych np. przez Profesora WojciechaZaj¡czkowskiego. Przedstawione tutaj rozwa»ania s¡ jedynie krokiem wst¦pnym w tymprzedsi¦wzi¦ciu, aczkolwiek istotnym, gdy» obrazuj¡ one zale»no±ci typowe dla przestrzeniwagowych, które wydaj¡ si¦ by¢ niezgodne z intuicjami, które wynosimy z rozwa»a« prob-lemów w przestrzeniach bez wag. Podkre±lmy, i» badanie zagadnie« w przestrzeniach wag-owych ma na celu pó¹niejsze ich wykorzystanie w analizie problemów matematycznych,maj¡cych swe ¹ródªo w naukach przyrodniczych.

W kontek±cie zastosowa«, wyniki przedstawione w tej rozprawie zdaj¡ si¦ by¢ niezad-owalaj¡ce, jednak»e powtórzmy, praca ta zostaªa napisana w celu uporz¡dkowania pod-stawowych wªasno±ci przestrzeni wagowych i wyeliminowania pewnych niejasno±ci, któreswego czasu prowadziªy do kontrowersji w ±rodowisku matematycznym (np. kwestia relacjipomi¦dzy sªabym a wagowym rozwi¡zaniem, czy prze±wiadczenie, i» oszacowania a priorirazem z metod¡ Galerkina daj¡ istnienie rozwi¡za«). Kolejnym etapem w badaniu za-gadnie« w przestrzeniach wagowych winno by¢ zwrócenie szczególnej uwagi na specyk¦problemów, do których chcemy zastosowa¢ teori¦ przestrzeni wagowych. Mamy tu my±litwierdzenia o istnieniu i jednoznaczno±ci rozwi¡za« przy danych nale»¡cych Hm1

µ1∩Hm2

µ2,

Lp(0, T ;Lq,µ(Ω)) lub posiadaj¡cych no±nik w jakim ograniczonym zbiorze. Zauwa»my, i»tego typu specjalne wªasno±ci zagadnie« w przestrzeniach wagowych zostaªy wykorzystanenp. w pracach [20], [27]. Inn¡ intryguj¡c¡ kwesti¡ jest charakteryzacja ró»nicy rozwi¡za«nale»¡cych do ró»nych przestrzeni wagowych, jak i opis przestrzeni danych, dla którychnie ma rozwi¡za« nale»¡cych do H2

µ.Przyjrzyjmy si¦ teraz nieco dokªadniej tre±ci niniejszej rozprawy. Otó» jak dobrze

wiadomo, istotnym krokiem w rozwoju teorii operatorów w przestrzeniach wagowych byªapraca Kondrat'eva [8], w której to autor, mi¦dzy innymi, wykazuje rozwi¡zywalno±¢ wprzestrzeniach wagowych równania Poissona w k¡cie. Nast¦pnie autorzy tacy jak Mazya,Plamenevsky rozwijali techniki, które pozwalaªy bada¢ zagadnienia w k¡cie dwu±cien-nym, jak i w szerszej klasie przestrzeni funkcyjnych (przestrzenie typu Lp czy przestrzeniefunkcji Hölderowsko ci¡gªych). Pierwszym celem, jaki staª przed nami, byªo przeniesienietego typu rezultatów na przypadek równania Poissona w R2 i R3. Oczywi±cie zagadnienie wR2, po dodaniu odpowiednich warunków zgodno±ci, daje si¦ bez trudu rozwi¡za¢ technik¡Kondrat'eva [8]. Natomiast w przypadku zagadnienia w R3 pojawiªy si¦ pewne trudno±ci.Aby je lepiej zrozumie¢, przedstawmy schemat, który pozwala bada¢ rozwi¡zywalno±¢zagadnienia w k¡cie dwu±ciennym. Mianowicie1, zasadniczy wynik, tj. kwestie rozwi¡zy-walno±ci równania Poissona w stosownych przestrzeniach wagowych w k¡cie dwu±ciennymΘϑ, opisuje nast¦puj¡ca równowa»no±¢

Aµ,ϑ jest izomorzmem ⇐⇒ µ ∈ (1− π/ϑ, 1 + π/ϑ), (1.0.1)

gdzie Aµ,ϑ jest operatorem zwi¡zanym z rozpatrywanym zagadnieniem. Równowa»no±¢ t¦mo»emy otrzyma¢ w nast¦puj¡cych krokach:

1Oznaczenia wprowadzono na stronie 14.

6

(a) Aµ,ϑ jest izomorzmem ⇐⇒ Bµ,ϑ jest izomorzmem (tw. 8.2.1. [26]),

(b) Bµ,ϑ jest izomorzmem dla µ ∈ (β1, β2) (tw. 1.3.18. [7]),

(c) Bβ,ϑ nie jest izomorzmem dla β 6∈ (β1, β2) (stw. 8.2.9. [26]).

Tutaj Bµ,ϑ jest operatorem zwi¡zanym z pewnym problemem w k¡cie, czyli dokonujesi¦ tutaj redukcji wyj±ciowego, trójwymiarowego zagadnienia do, nieco bardziej skomp-likowanego, ale dwuwymiarowego zagadnienia.

Otó» w naszym przypadku, tj. dla równania Poissona w R3, nie byli±my w staniepowtórzy¢ kroku (b). Jednak»e udaªo si¦ wyprowadzi¢ oszacowania a priori dla µ < 1,µ 6∈ Z, co czyniªo problem jeszcze bardziej intryguj¡cym. Z jednej strony, jak podpowiadaintuicja uksztaªtowana na problemach w przestrzeniach bez wag, oszacowania a priorirazem ze standartowym argumentem (np. metoda Galerkina), winny prowadzi¢ do ist-nienia jednoznacznych rozwi¡za« dla µ ∈ (−k, 1 − k) przy k ∈ N, a z drugiej strony,schemat (a)-(c) wskazuje, i» istnienie jednoznaczych rozwi¡za« jest mo»liwe co najwy»ejna jednym z przedziaªów postaci (−k, 1− k). W celu rozstrzygni¦cia powy»szych w¡tpli-wo±ci zaproponowali±my nast¦puj¡cy schemat:

(i) oszacowanie a priori (tw. 5.1.1),

(ii) pewne modykacje (a) i (c) (stw. 5.3.3, tw. 5.4.1),

(iii) równo±¢ dimK0µ = dimN 0

µ′ dla µ′ = 2− µ (lem. 5.4.1),

gdzie K0µ, N 0

µ′ oznaczaj¡ j¡dro i koj¡dro operatorów zwi¡zanych z rozpatrywanymi zagad-nieniami. Kroki (i)-(iii) pozwalaj¡ wyliczy¢ wymiar j¡dra i kojadra operatora Laplace'aprzy dowolnym µ ∈ R\Z i tym samym otrzymujemy odpowied¹, dla jakich µ zagadnieniePoissona w R3 jest jednoznacznie rozwi¡zywalne. W pracy pokazujemy równie» (rozd. 7.2),»e procedura ta równie dobrze dziaªa w znanym przypadku, tj. zagadnienia Dirchleta dlarównania Poissona w k¡cie dwu±ciennym Θϑ, przy czym, uzyskujemy tutaj nieco wi¦cejinformacji, np. oszacowania a priori.

W zastosowaniach, zazwyczaj najistotniejsz¡ informacj¡ o badanym zagadnieniu, jestinformacja o istnieniu jednoznacznych rozwi¡za«. Jednak»e uzyskanie tego typu wyniku,przy zastosowaniu schematu (a)-(c) mo»e sie okaza¢ dosy¢ »mudne i uci¡»liwe, a pon-adto wymaga znajomo±ci wielu faktów dotycz¡cych odpowiedniego zagadnienia dwuwymi-arowego. W niniejszej rozprawie proponujemy pewne elementarne podej±cie do zagad-nienia istnienia rozwi¡za«, które daje natychmiast rezultat na maksymalnym przedziale.Argument ten jest oparty na klasycznym twierdzeniu Laxa-Milgrama. W tym miejscuwarto wspomnie¢ prac¦ [16], w której autorzy stosuj¡ podobn¡ argumentacj¦, jednak»e(patrz uwaga 3.5 [16]) otrzymuj¡ jedynie istnienie rozwi¡za« na cz¦±ci maksymalnegoprzedziaªu. Wymie«my równie» prac¦ [28], w której autor tak»e korzysta z twierdzeniaLaxa-Milgrama, czyni to jednak dla ustalonej wagi i zredukowanego problemu do dwuwymi-arowego, by potem korzystaj¡c z asymptotyki rozwi¡za« dwuwymiarowych, otrzyma¢istnienie na wi¦kszym przedziale. W niniejszej pracy pokazujemy, »e zarówno w przy-padku zagadnienia w R3 jak i w Θϑ, ostro»ne oszacowania, wykorzystuj¡ce nierówno±ciz optymalnymi staªymi, prowadz¡ bezpo±rednio do istnienia rozwi¡za« na maksymalnymprzedziale. Gªówn¡ zalet¡ takiego podej±cia jest to, i» caªy ci¦»ar dowodu jest przenie-siony na wykazanie eliptyczno±ci odpowiedniej formy dwuliniowej. Taki stan rzeczy mo»eokaza¢ si¦ korzystny, gdy rozwa»amy bardziej skomplikowane zagadnienia, dla których

7

powtórzenie (a)-(c) mo»e by¢ uci¡»liwe. Co wi¦cej, argument oparty na twierdzeniu Laxa-Milgrama równie dobrze dziaªa w przypadku w zagadnienia w obszarze ograniczonym, wdwu- i trójwymiarowym problemie.

Kolejn¡ korzy±ci¡ uzyskan¡ poprzez wprowadzanie stosownej formy dwuliniowej, jestmo»liwo±¢ rozwa»ania zagadnie« parabolicznych. W rozdziaªach 6 i 7.3 pokazujemy, jakmo»na zaadaptowa¢ metod¦ Galerkina do zagadnie« w przestrzeniach wagowych. Za-uwa»my, »e struktura rozumowania prowadz¡ca do istnienia rozwi¡za« jest identyczna zt¡, realizowan¡ w przypadku problemów bez wag. Jednak»e poszczególne kroki metodyGalerkina wymagaj¡ istotnego uwzgl¦dnienia okoliczno±ci, które pojawiaj¡ si¦ w prze-strzeniach wagowych. Wspomnijmy tutaj chocia»by kwesti¦ okre±lenia funkcji bazowychϕk(x), (które s¡ baz¡ ortonormaln¡ w L2,µ−1(D1), same nale»¡ do L2,µ−2(D1), a sko«czo-

ne sumyN∑n=1

cn(t)ϕk(x) s¡ g¦ste w przestrzeni H2,1µ ), sªabego rozwi¡zania czy przestrzeni,

w której poszukujemy sªabych rozwi¡za«. W tym miejscu wspomnijmy, i» zagadnieniaparaboliczne w przestrzeniach wagowych typu H2,1

µ w obszarach zawieraj¡cych na brzegupunkty sto»kowe, byªy rozwa»ane np. w pracy [9], gdzie autor wnioskuje istnienie rozwi¡za«na podstawie pewnych rozwa»a« dotycz¡cych asymptotyki rozwi¡za«. Przedstawione wniniejszej pracy podej±cie dziaªa, bez istotnych zmian, w przypadku dwu- jak i w trójwymi-arowym przypadku.

Omówmy teraz zawarto±¢ poszczególnych rozdziaªów. Zaczynamy od wprowadzenianotacji (roz. 2), w którym zawarli±my oznaczenia u»ywane w dalszej cz¦±ci pracy. Nast¦p-nie (roz. 3) przedstawiamy podstawowe wªasno±ci przestrzeni wagowych. Rozdziaª 4 jestpo±wi¦cony dwuwymiarowemu zagadnieniu eliptycznemu wyznaczonemu przez operator−∆ + σr−2. Stosujemy tu metod¦ Kondrat'eva [8], wykazuj¡c istnienie rozwi¡za« wprzestrzeniach wagowych typu H2

µ, jak i opisuj¡c ró»nice rozwi¡za« nale»¡cych do ró»nychprzestrzeni wagowych. Nast¦pnie rozwa»amy analogiczne zagadnienie w obszarze ogranic-zonym z jednorodnym warunkiem brzegowym typu Dirchleta. W rozdziale 5 badamytrójwymiarowe zagadnienie eliptyczne zwi¡zane z operatorem −∆+σr−2. Rozpoczynamyod wykazania oszacowa« a priori (podroz. 5.1), które uzyskujemy powtarzaj¡c argumentz pracy [14]. Nast¦pnie stosuj¡c twierdzenie Laxa-Milgrama wykazujemy istnienie jednoz-nacznie okre±lonych rozwi¡za« w przestrzeni H2

µ dla µ nale»¡cego do pewnego przedziaªu(podroz. 5.2), który, jak pokazano w podrozdziaªach 5.3 i 5.4, jest maksymalnym przedzi-aªem istnienia jednoznacznych rozwi¡za« (tutaj korzystamy z technik zaczerpni¦tych z[7],[22],[23], [26]). Z kolei w podrodziale 5.5 rozwa»amy analogiczne zagadnienie eliptycznew obszarze ograniczonym w jednorodnym warunkiem brzegowym typu Dirchleta. Wykazu-jemy tutaj, przy jakich µ i σ rozpatrywane zagadnienie posiada jednoznaczne rozwi¡za-nia. Ponadto znajdujemy warunki konieczne i dostateczne zachodzenia oszacowa« a prioridla rozwi¡za« badanego zagadnienia. Nast¦pny rozdziaª (roz. 6) jest po±wi¦cony zagad-nieniom parabolicznym zwi¡zanym z operatorem ∂t−∆+σr−2. Stosuj¡c metod¦ Galerkina(podroz. 6.2) pokazujemy istnienie w H2,1

µ jednoznacznych rozwi¡za« badanego zagad-nienia. Wynik ten wymaga jednak pewnych rozwa»a« wst¦pnych, które zawarli±my w po-drozdziale 6.1. W kolejnym rozdziale (roz. 7) przedstawiamy nasze zmodykowane podej±-cie (to przedstawione w roz. 5) do znanego problemu: zagadnienia Poissona w k¡cie dwu±ci-ennym. W szczególno±ci, korzystaj¡c z twierdzenia Laxa-Milgrama otrzymujemy istnieniejednoznacznych rozwi¡za« na maksymalnym przedziale, a ponadto znajdujemy warunki,przy których zachodz¡ oszacowania a priori. W podrozdziale 7.3 rozwa»my równanie prze-wodnictwa ciepªa w k¡cie dwu±ciennym, powtarzaj¡c argumenty zawarte w rozdziale 6.

8

Wyniki przedstawione w rozdziale 7 s¡ oparte na pracy [15]. Rozdziaª 8 jest po±wi¦conypewnemu ukªadowi równa« parabolicznych, których rozwi¡zania s¡ sprz¦»one poprzezwarunki brzegowe. Korzystaj¡c z techniki regularyzatora i analizy problemów zlokali-zowanych otrzymujemy istnienie rozwi¡za« rozpatrywanego zagadnienia w przestrzeniachwagowych W 2,1

µ przy µ ∈ (0, 1). Rezultat ten przedstawiony zostaª w pracy [13]. Natomi-ast w rozdziale 9 podsumowujemy otrzymane wyniki i przedstawiamy mo»liwe kierunkidalszego badania zagadnie« w przestrzeniach wagowych.W tym miejscu zilustrujmy gracznie wªasno±ci rozwa»anych problemów w przestrzeniachwagowych.

6

-

µ

σ1

1

µ = 1 +√σ

µ = 1−√σ

dim kerAσµ = 0

dim cokerAσµ = 0

dim kerAσµ > 0

dim cokerAσµ = 0

dim kerAσµ = 0

dim cokerAσµ > 0

Rys. 1. Operator −∆ + σr−2 w•R3.

6

-

µ

ϑ

1

π2

π 3π2

2π

µ = 1 + πϑ

µ = 1− πϑ

dim kerAµ,ϑ = 0

dim cokerAµ,ϑ = 0

dim kerAµ,ϑ > 0

dim cokerAµ,ϑ = 0

dim kerAµ,ϑ = 0

dim cokerAµ,ϑ > 0

Rys. 2. Operator −∆ w k¡cie dwu±ciennym Θϑ.

Otó»2 na rysunku 1 przedstawiono zale»no±¢ j¡dra i koj¡dra operatora zwi¡zanego z zagad-nieniem w zadanym przez operator −∆+σr−2 w

•R3. Natomiast na rysunku 2 przedstaw-

iono analogiczn¡ zale»no±¢ dla równania Poissona rozpatrywanego w k¡cie dwu±ciennymΘϑ, z jednorodnym warunkiem brzegowym typu Dirchleta. Rysunek 1 sugeruje, i» przy-padek σ = 0 b¦dzie cz¦stokro¢ wymagaª osobnego podej±cia. Odnotujmy jeszcze, i» wprzypadku zagadnienia w obszarze ograniczonym, dwu- lub trójwymiarowym, sytuacjawygl¡da podobnie.Wprowadzimy teraz oznaczenia, którymi b¦dziemy si¦ posªugiwa¢ w pracy.

2Na rysunkach pomini¦to krzywe odpowiadaj¡ce osobliwym warto±ciom µ.

9

Rozdziaª 2

Oznaczenia

Je»eli x ∈ RN , to r = r(x) okre±lamy nast¦puj¡co r(x) =√x2

1 + x22. Dla dowolnego

otwartego zbioru U ⊆ RN przyjmujemy, »e•U = U \ x : r = 0,

U = U \ x : r = 0.

Je»eli T > 0, to UT = U × (0, T ),•UT =

•U × [0, T ],

UT =

U × (0, T ). Przez D(

•U)

b¦dziemy oznacza¢ zbiór funkcji gªadkich o no±niku zwartym zawartym w•U . Analogicznie

deniujemy zbióry D(U), D(

•UT ), D(

UT ). Dla ε > 0 przez Bε oznaczamy kul¦ o ±rodku w

pocz¡tku ukªadu wspóªrz¦dnych i promieniu ε.Przestrzenie funkcyjne. Jezeli U jest otwartym podzbiorem RN , to dla p ∈ [1,∞]

symbol Lp(U) oznacza przestrze« Lebesgue'a z norm¡ ‖u‖Lp(U) =( ∫U

|u|p dx)1/p, gdy

p <∞ i ‖u‖Lp(U) = ess supU

|u|, gdy p = ∞. Dlam, k ∈ N okre±lamy przestrzenie SobolewaWmp (U) i W 2m,m

p (UT ) nast¦puj¡co

Wmp (U) = u ∈ Lp(U) : ‖u‖Wm

p (U) ≡( ∑|α|≤m

‖Dαu‖pLp(U)

)1/p<∞,

W 2m,mp (UT ) = u ∈ Lp(U) : ‖u‖W 2m,m

p (UT ) ≡( ∑|α|+2β≤2m

‖DαxD

βt u‖

pLp(UT )

)1/p<∞.

W szczególno±ci, gdy p = 2, to zamiast Wm2 (U) piszemy Hm(U), a zamiast W 2m,m

2 (UT )piszemyH2m,m(UT ). Symbolem V2(U

T ) okre±lamy podprzestrze«W 1,02 (UT ) = u ∈ L2(UT ) :

∇xu ∈ L2(UT ) zªo»on¡ z tych u, dla których ess supt∈[0,T ]

‖u(t, ·)‖L2(U) <∞ i przyjmujemy

‖u‖V2(UT ) = ess supt∈[0,T ]

‖u(t, ·)‖L2(U) + ‖∇xu‖L2(UT ).

Natomiast V 1,02 (UT ) okre±lamy jako podprzestrze« V2(U

T ) skªadaj¡c¡ si¦ z tych u, dlaktórych przyporz¡dkowanie [0, T ] 3 t 7−→ ‖u(t, ·)‖L2(U) jest ci¡gªe. Symbolem H(U) oz-naczyli±my przestrze« b¦d¡c¡ uzupeªnieniem zbioru u ∈ D(U)n : div u = 0 w U wnormie ‖u‖H(U) = ‖∇u‖L2(U) .Przejd¹my teraz do okre±lenia przestrzeni wagowych. Dla µ ∈ R deniujemy przestrzeniefunkcyjne: przestrze« Lp,µ(U) skªada si¦ z funkcji f okre±lonych na

U takich, »e f · rµ ∈

Lp(U), z norm¡ ‖f‖Lp,µ(U) = ‖f · rµ‖Lp(U). Analogicznie okre±lamy Lp,µ(UT ). Dla m ∈ N

10

przestrze« Hmµ (U) (H2,1

µ (UT ) odp.) jest zdeniowana jako uzupeªnienie zbioru D(•U)

(D(•UT )) w normie

‖u‖Hmµ (U) =

∑|α|≤m

‖Dαu‖2L2,µ−m+|α|(U)

12.

‖u‖H2m,mµ (UT ) =

∑|α|+2s≤2m

‖DstD

αxu‖2

L2,µ−2m+|α|+2s(UT )

12.

Symbolem Wmp,µ(U) oznaczamy przestrze« funkcji u ∈ Lp,µ(U) takich, »e Dαu ∈ Lp,µ(U)

dla |α| ≤ m, wyposa»on¡ w norm¦

‖u‖Wmp,µ(U) =

∑|α|≤m

‖Dαu‖pLp,µ(U)

1p.

Przestrze« W 2m,mp,µ (UT ) denujemy analogicznie, przy czym norma w tej przestrzeni jest

okre±lona nast¦puj¡co

‖u‖W 2m,mp,µ (UT ) :=

∑|α|+2s≤2m

‖DstD

αxu‖

pLp,µ(UT )

1p.

Gdy u ∈ W 2m,mp,µ (UT ), to oznaczamy

‖u‖L2mp,µ(UT ) =

∑|α|+2s=2m

‖DstD

αxu‖

pL

p,µ(UT )

1p.

Ponadto przyjmujemy, »e W 1,02,µ(UT ) = u ∈ L2,µ(U

T ) : ∇xu ∈ L2,µ(UT ). Gdy S ⊆ ∂U ,

to symbol W32, 34

2,µ (ST ) (W12, 14

2,µ (ST )) oznacza przestrze« ±ladów na S funkcju u (∂u/∂nodpow.) dla u ∈ W 2,1

2,µ(UT ). Norm¦ w tych przestrzeniach okre±lamy nast¦puj¡co

‖ϕ‖W

32 , 342,µ (ST )

= inf‖u‖W 2,12,µ(UT ) : u ∈ W 2,1

2,µ(UT ), u|S = ϕ

‖ϕ‖W

12 , 142,µ (ST )

= inf‖u‖W 2,12,µ(UT ) : u ∈ W 2,1

2,µ(UT ), ∂u/∂n|S = ϕ

Wprowadzamy przestrze« Emµ (U) jako domkni¦cie zbioru D(

•U) w normie

‖w‖Emµ (U) :=

‖u‖2

Hmµ (U) + ‖u‖2

Wm−1µ (U)

12.

Przestrzenie Hmloc(U) i Hm

Loc(U) okre±lamy nast¦puj¡co: symbolem Hmloc(U) oznaczamy

przestrze« funkcji u takich, »e u ∈ Hm(K) dla dowolnegoK, b¦d¡cego zwartym podzbioremU . Natomiast przestrze« Hm

Loc(U) jest zdeniowana warunkiem

u ∈ HmLoc(U) ⇐⇒ u ∈ Hm(U ∩ x :

1

l< r < l) dla l = 1, 2, ..., . (2.1.1)

Symbolem D(∆, L2(U)) oznaczamy maksymaln¡ dziedzin¦ Laplasjanu, tj.

D(∆, L2(U)) = u ∈ L2(U); ∆u ∈ L2(U). (2.1.2)

11

Gdy V (U) (V (UT ) odp.) jest przestrzeni¡ funkcji okre±lonych na U (UT odp.), toV (U)

(V (UT ) odp.) oznacza podprzestrze« V (U) (V (UT ) odp.) skªadaj¡c¡ si¦ z takich u,»e u|∂U = 0 (u|∂UT = 0 odp.). Podkre±lmy, i» nad symbolem przestrzeni funkcyjnejoznacza jedynie znikanie ±ladu funkcji na brzegu, a nie np. znikanie ±ladu pochodnych.Ponadto, je»eli V jest przestrzeni¡ funkcji okre±lonych na UT , to V

oznacza podprzestrze«

V otrzyman¡ przez domkni¦cie w V zbioru wszystkich funkcji gªadkich nale»acych do Vi znikajacych dla t = 0.Funkcje wycinaj¡ce. Niech ϕ = ϕ(r) b¦dzie funkcj¡ niemalej¡c¡ tak¡, »e suppϕ ⊆(1,∞) i ϕ(r) = 1 przy r ≥

√2. Dla x ∈ RN deniujemy

ηn(x) := ϕ(2−nr)− ϕ(2−n−1r) dla n ∈ Z. (2.1.3)

Rodzina funkcji ηnn∈Z ma nast¦puj¡ce wªasno±ci

0 ≤ ηn(x) ≤ 1 dla x ∈ RN (2.1.4)

η0(2−nx) = ηn(x) (2.1.5)

supp ηn ⊆ Sn :=x ∈ RN ; 2n < r < 2n+ 3

2

, (2.1.6)

ηn(x) = 1 dla 2n+ 12 ≤ r ≤ 2n+1, (2.1.7)

∣∣η(k)n (x)

∣∣ ≤ 2−knc0 dla n ∈ Z i k = 1, 2, ...,m. (2.1.8)

∑n∈Z

ηn(x) ≡ 1 onRN , (2.1.9)

supp ηn ∩ supp ηk = ∅ ⇐⇒ |n− k| > 1, (2.1.10)gdzie m ∈ N i c0 = c0(m). Ponadto przyjmujemy

η∞ :=∞∑n=0

ηn, η∞ := η∞ − η0. (2.1.11)

Wprowadzimy jeszcze jedn¡ rodzin¦ funkcji wycinaj¡cych

χn(x) := ηn−1(x) + ηn(x) + ηn+1(x). (2.1.12)Wtedy funkcje χn speªniaj¡ warunki

χn · ηn = ηn, suppχn ⊆ Sn := x ∈ RN : r ∈ (2n−1, 2n+ 52 ), χ0(2

−nx) = χn(x),(2.1.13)

χn(x) = 1 dla x ∈ Sn, |χ(k)n (x)| ≤ 2−knc0 dla n ∈ Z, k = 1, 2, ...,m (2.1.14)

12

∑n∈Z

χn(x) ≡ 3 dla x ∈RN (2.1.15)

suppχn ∩ suppχk = ∅ ⇐⇒ |n− k| > 2. (2.1.16)W ko«cu deniujemy

χ∞ :=∞∑n=0

χn, χ∞ := χ∞ − χ0. (2.1.17)

Warto±ci wªasne. Dla σ ≥ 0 wprowadzamy nast¦puj¡ce oznaczenia: zbiór Zσ, któregoelementami b¦dziemy indeksowa¢ warto±ci wªasne pewnego zagadnienia, jest zdeniowanyjako zbiór Z gdy σ = 0, natomiast gdy σ > 0, to w zbiorze Z zast¦pujemy liczb¦ 0 dwomaelementami −0 i +0, zachowuj¡c naturalny porz¡dek. Wtedy kªadziemy

λσk = sgn k√σ + k2, λσk = 1− λσk . (2.1.18)

gdzie w przy k = ±0 przyjmujemy, »e sgn k = ±1, k2 = |k| = 0. Z kolei denujemy

Sσ = λσk : k ∈ Zσ, Sσ = 1− Sσ, (2.1.19)

Je»eli k ∈ Zσ, to k + 1 oznacza kolejny element w zbiorze Zσ, czyli gdy na przykªadk = −0, to k + 1 jest równe +0. Powy»sza konwencja dotycz¡ca indeksowania warto±ciwªasnych elementami zbioru Zσ oka»e si¦ u»yteczna i pozwoli nam w dalszej cz¦±ci unikn¡¢rozwa»ania wielu analogicznych przypadków.Zbiory. Dla δ > 0, ϑ ∈ (0, 2π) przyjmujemy nast¦puj¡ce oznaczenia

dδ = x ∈ R2 : r < δ (2.1.20)

Dδ = (x, y, z) ∈ R3 : r < δ, |z| < δ (2.1.21)

θϑ = (x, y) ∈ R2 : ϕ ∈ (0, ϑ), (2.1.22)

θϑ,δ = (x, y) ∈ R2 : r < δ, ϕ ∈ (0, ϑ) (2.1.23)

Θϑ = (x, y, z) ∈ R3 : ϕ ∈ (0, ϑ),Γϑ,k = (x, y, z) ∈ R3 : r > 0, z ∈ R, ϕ = kϑ, k = 0, 1,(2.1.24)

Θϑ,δ = (x, y, z) ∈ R3 : r < δ, ϕ ∈ (0, ϑ) |z| < δ, (2.1.25)

Rh = z ∈ C : Im z = h (2.1.26)gdzie (r, ϕ, z) to wspóªrz¦dne walcowe w R3.Dla ustalonego ν > 0 i przy Q1 := R, Q2 := R2 okre±lamy funkcj¦ s = s(q) zdeniowan¡na zbiorze Q1 lub Q2 w nast¦puj¡cy sposób

s(q) =

νq2 gdy q ∈ Q1

νq21 + iq2 gdy q = (q1, q2) ∈ Q2,

.

13

Operatory. Dla µ ∈ R, δ > 0, σ ≥ 0 i ϑ ∈ (0, 2π) deniujemy nast¦puj¡ce operatoryró»niczkowe

Aσµ, Aσ

µ : H2µ(R3) −→ L2,µ(R3), Aσ

µu = (−∆ + σr−2)u,

Aσµ(Dδ), Aσ

µ(Dδ) :H2µ(Dδ) −→ L2,µ(Dδ), Aσ

µ(Dδ)u = (−∆ + σr−2)u,

Aµ,ϑ, Aµ,ϑ :H2µ(Θϑ) −→ L2,µ(Θϑ), Aµ,ϑu = ∆u,

Bσµ, Bσµ : E2µ(R2) −→ L2,µ(R2), Bσµw = (−∆ + 1 + σr−2)w,

Bµ,ϑ, Bµ,ϑ :E2µ(θϑ) −→ L2,µ(θϑ), Bµ,ϑu = (∆− 1)u.

µ′ := 2− µ, (2.1.27)Dla operatorów Aσ

µ, Aσµ(Dδ), Aµ,ϑ wprowadzamy oznaczenia na j¡dro i koj¡dro, tj.

Kσµ = kerAσ

µ, Kσµ(Dδ) = kerAσ

µ(Dδ) Kµ,ϑ = kerAµ,ϑ, (2.1.28)

N σµ =

f ∈ L2,µ(R3); 〈f,Aσ

µu〉L2,µ(R3) = 0 dla u ∈ H2µ(R3)

, (2.1.29)

N σµ (Dδ) =

f ∈ L2,µ(Dδ); 〈f,Aσ

µ(Dδ)u〉L2,µ(Dδ) = 0 dla u ∈H2µ(Dδ)

, (2.1.30)

Nµ,ϑ =f ∈ L2,µ(Θϑ) : 〈f,Aµ,ϑu〉L2,µ(Θϑ) = 0 dla u ∈

H2µ(Θϑ)

(2.1.31)

gdzie 〈·, ·〉L oznacza iloczyn skalarny w przestrzeni Hilberta L.W ko«cu, o ile nie jest powiedziane inaczej, przyjmujemy, i» równania ró»niczkowe s¡speªnione w sensie dystrybucyjnym.

14

Rozdziaª 3

Podstawowe wªasno±ci przestrzeni

wagowych

W tym rozdziale formuªujemy podstawowe i dobrze znane wªasno±ci przestrzeni wagowych.Zaczynamu od podania równowa»nej denicji przestrzeni Hm

µ (U). Nast¦pnie wyprowadza-my typowe dla przestrzeni wagowych nierówno±ci, które b¦d¡ u»yteczne w pracy.

3.1 Uwagi o przestrzeniach wagowychZacznijmy od przypomnienia sªynnej nierówno±ci 330 z [6], zwanej nierówno±ci¡ Hardy.Sformuªujemy j¡ tutaj w postaci zaczerpni¦tej z [4]: je»eli f jest funkcj¡ absolutnie ci¡gª¡na [0,∞) i p > 1, to mamy nast¦puj¡ce oszacowanie∫ ∞

0

xr−p|f(x)|pdx ≤(

p

|r − p+ 1|

)p ∫ ∞

0

xr|f ′(x)|pdx, (3.1.1)

przy zaªo»eniu, »e f(0) = 0 dla r < p − 1 i limx→∞ f(x) = 0 dla r > p − 1. Zauwa»my,»e nierówno±¢ tej postaci pozostaje prawdziwa dla funkcji f okre±lonych na sko«czonymprzedziale [0, a), o ile f(a) = 0, bo wtedy mo»emy dookre±li¢ funkcj¦ f zerem na przedziale[a,∞).

Równowa»na denicja przestrzeni Hmµ (U). Niech U b¦dzie podzbiorem RN o lip-

szicowskim brzegu1, a φ = φ(x) b¦dzie j¡drem wygªadzaj¡cym, tj. φ ∈ C∞0 (B(0, 1)) i∫RN

φ(x) dx = 1. Dla δ > 0 deniujemy

φδ(x) = δ−Nφ(x

δ).

Niech U b¦dzie otwartym podzbiorem RN . Wtedy dla l = 1, 2, . . . wprowadzamy zbiory

Kl = (x, z) ∈ R2 × RN−2 :1

2l≤ r ≤ 2l, |z| ≤ 2l.

Ul = x ∈ U : dist(x, ∂U) > 1/l ∩Kl.

1W caªej pracy wszystkie przestrzenie funkcyjne b¦d¡ rozpatrywane jedynie na podzbiorach RN o lipszicowskimbrzegu, przeto wszystkie stwierdzenia ogólne dotycz¡ce wªasno±ci przestrzeni funkcji okre±lonych na zbiorze Umilcz¡co zakªadaj¡, »e zbiór U ma przynajmniej tak¡ regularno±¢ brzegu.

15

Niech ψ = ψ(t) b¦dzie wycinaj¡c¡ funkcj¡ gªadk¡ o wªa±ciwo±ciach: 0 ≤ ψ ≤ 1,

ψ(t) = 1 dla t ∈ (1

2, 2), ψ(t) = 0 dla t 6∈ (

1

4, 4),

|ψ(k)(t)| ≤ c1 dla k = 1, 2, ...,m,

gdzie c1 zale»y jedynie od m. Dla l = 1, 2, . . . deniujemy

ψl(r) =

ψ(lr) dla r ∈ [0, 1l)

1 dla r ∈ [1l, l)

ψ(l−1r) dla r ∈ [l,∞).

Oczywi±cie tak zdeniowane funkcje ψl s¡ gªadkie i maj¡ nast¦puj¡ce wªa±ciwo±ci:

ψl(r) = 1 dla r ∈ (1

2l, 2l), ψl(r) = 0 dla r 6∈ (

1

4l, 4l), (3.1.2)

|ψ(k)l (r)| ≤ 4kc1r

−k k = 1, 2, ...,m. (3.1.3)Niech χ = χ(t) b¦dzie wycinaj¡c¡ funkcj¡ gªadk¡ o wªasno±ciach: 0 ≤ χ ≤ 1,

χ(t) = 1 dla |t| ≤ 2, χ(t) = 0 dla |t| > 4, |χ(k)(t)| ≤ c2 dla k = 1, 2, ...,m,

gdzie c2 = c2(m). Dla z ∈ RN−2 i l = 1, 2, . . . deniujemy χl(z) = χ( |z|l). Wtedy

χl(z) = 1 dla |z| < 2l, χl(z) = 0 dla |z| > 4l, (3.1.4)

|Dαχl(z)| ≤ c2l−|α|, |α| ≤ m. (3.1.5)

Dla (x, z) ∈ R2 × RN−2 i l = 1, 2, . . . deniujemy

ζl(x, z) = ψl(r) · χl(z). (3.1.6)

Wtedy funkcje ζl maj¡ nast¦puj¡ce wªasno±ci:

ζl ≡ 1 na Kl, supp ζl ⊆ K2l, (3.1.7)

|DαxD

βz ζl(x, z)| ≤ cl−|β|r−|α|, |α|+ |β| ≤ m, (3.1.8)

gdzie c = c(m).

Uwaga 3.1.1. Oczywi±cie zachodzi inkluzja D(•U) ⊆ Hm

loc(•U). Przestrze« Hm

loc(•U) jest

przestrzeni¡ metryczn¡ zupeªn¡ z metryk¡ %(f, g) =∞∑l=1

2−l‖f−g‖H2(Ul)

1+‖f−g‖H2(Ul). Metryka zadana

na D(•U) przez norm¦ ‖ · ‖Hm

µ (U) jest mocniejsza od metryki %(·, ·) zadanej na Hmloc(

•U).

Zatem przestrze« Hmµ (U), b¦d¡c¡ uzupeªnieniem D(

•U) w normie ‖ · ‖Hm

µ (U), mo»emy trak-

towa¢ jako podprzestrze« Hmloc(

•U).

Stwierdzenie 3.1.1. Zachodzi równo±¢ Hmµ (U) = u ∈ Hm

loc(•U) : ‖u‖Hm

µ (U) <∞.

16

Uwaga 3.1.2. Je»eli u ∈ Hmloc(

•U), to przez ‖u‖Hm

µ (U) rozumiemy liml→∞

‖u‖Hmµ (Ul). W szczegól-

no±ci je»eli liml→∞

‖u‖Hmµ (Ul) = ∞, to ‖u‖Hm

µ (U) = ∞. W dalszej cz¦±ci podobnie b¦dziemy

rozumie¢ wielko±ci ‖u‖Emµ (U) i ‖u‖Wm

µ (U). Ponadto, gdy u ∈ HmLoc(U), to dowodz¡c osza-

cowa« zawieraj¡cych np. wyra»enia ‖u‖Hmµ (U), milcz¡co pomijamy rozwa»anie trywialnych

przypadków, tj. gdy ‖u‖Hmµ (U) = ∞.

Dowód. Dla ustalenia uwagi przyjmujmy, »e U = R3 i m = 2 (dowód w przypadkuogólnym jest analogiczny). Zawieranie ⊆ jest konsekwencj¡ Uwagi 3.1.1. Poka»emy terazinkluzj¦ odwrotn¡, tj. dla ustalonego u ∈ H2

loc(•R3) speªniaj¡cego warunek ‖u‖H2

µ(R3) <∞

znajdziemy ci¡g uN∞N=1 ⊆ D(•R3) taki, »e

‖u− uN‖H2µ(R3) ≤

1

N. (3.1.9)

Niech zatem N ∈ N. Poka»emy wpierw, »e

‖ζlu− u‖H2µ(R3) −→ 0 gdy l→∞. (3.1.10)

W tym celu we¹my dowolne ε > 0. Wtedy istnieje L0 takie, »e dla l ≥ L0 zachodzi

‖u‖2H2

µ(R3\Kl)≤ 2−12c−2ε, (3.1.11)

gdzie c pochodzi z (3.1.8). Dla takich l dostajemy

‖ζlu− u‖2H2

µ(R3) =

∫R3

|(1− ζl)u|2r2µ−4 + |D[(1− ζl)u]|2r2µ−2 + |D2[(1− ζl)u]|2r2µ dx

≤ 3

∫R3\Kl

|u|2r2µ−4 + |Du|2r2µ−2 + |D2u|2r2µ dx

+6

∫K2l\Kl

|Dζl|2|u|2r2µ−2 + |D2ζl|2|u|2r2µ + |Dζl|2|Du|2r2µ dx

≤ 3 · 2−12c−2ε+ 12c2∫

K2l\Kl

[1 +

(rl

)2

+(rl

)4]|u|2r2µ−4 +

[1 +

(rl

)2]|Du|2r2µ−2 dx

≤ 3 · 2−12c−2ε+ 12c2∫

K2l\Kl

[1 + 42 + 44

]|u|2r2µ−4 +

[1 + 42

]|Du|2r2µ−2 dx

≤ 3 · 2−12c−2ε+ 3276c2∫

R3\Kl

|u|2r2µ−4 + |Du|2r2µ−2 dx ≤ ε,

gdzie skorzystali±my z tego, »e rl≤ 4 na zbiorze K2l. W ten sposób uzasadnili±my (3.1.10).

Zatem dla wcze±niej wybranego N znajdziemy l0 takie, »e

‖ζl0u− u‖H2µ(R3) ≤

1

2N. (3.1.12)

17

Zauwa»my, »e dla δ ∈ (0, 12l0

) splot φδ ∗ ζl0u nale»y do D(•R3). Ponadto dla δ ∈ (0, 1

4l0)

mamy

suppφδ ∗ ζl0u ⊆ K4l0 , φδ ∗ ζl0u −→H2(R3)

ζl0u dla δ → 0. (3.1.13)

Poªó»my c = maxk=0,1,2

supK4l0

rµ−k. Wtedy istnieje δ0 ∈ (0, 14l0

) takie, »e ‖φδ0∗ζl0u−ζl0u‖H2(R3) ≤1

2cN. Zatem mamy

‖φδ0 ∗ ζl0u− ζl0u‖H2µ(R3) ≤ c‖φδ0 ∗ ζl0u− ζl0u‖H2(R3) ≤

1

2N. (3.1.14)

Korzystaj¡c z nierówno±ci (3.1.12) i (3.1.14) wnioskujemy, »e funkcja uN := φδ0 ∗ ζl0u ∈D(

•R3) speªnia warunek (3.1.9).

Uwaga 3.1.3. Zaªó»my, »e U ⊆ RN jest ograniczony i µ ≤ 1. Wtedy oczywi±cie D(•U) ⊆

H1(U). Norma ‖ · ‖H2µ(U) zadana na D(

•U) jest mocniejsza ni» norma ‖ · ‖H1(U), bo

‖u‖H1(U) ≤ ‖u‖L2(U) + ‖Du‖L2(U)

≤ supUr2−µ‖u‖L2,µ−2(U) + sup

Ur1−µ‖Du‖L2,µ−1(U) ≤ c(U, µ)‖u‖H2

µ(U).

Zatem przestrze« H2µ(U), b¦d¡c¡ uzupeªnieniem D(

•U) w normie ‖ · ‖H2

µ(U), mo»emy trak-

towa¢ jako podprzestrze« H1(U).

Stwierdzenie 3.1.2. Je»eli zbiór U ⊆ RN jest ograniczony i µ ≤ 1, to H2µ(U) = u ∈

H1(U) : ‖u‖H2µ(U) <∞.

Dowód. Zawieranie ⊆ jest konsekwencj¡ uwagi 3.1.3. Inkluzj¦ odwrotn¡ dowodzimy takjak w stwierdzeniu 3.1.1.

Podobnie uzasadniamy nast¦puj¡ce stwierdzenie.

Stwierdzenie 3.1.3. Je»eli zbiór U ⊆ RN jest ograniczony i µ ≤ 0, to H2µ(U) = u ∈

H2(U) : ‖u‖H2µ(U) <∞.

W dalszej cz¦±ci u»yteczne b¦dzie nast¦puj¡ce proste spostrze»enie.

Stwierdzenie 3.1.4. Je»eli zbiór U ⊆ RN jest ograniczony, µ ∈ (0, 1) i p ∈ (1, 21+µ

), to

dla u ∈ L2,µ(U) zachodzi nierówno±¢ ‖u‖Lp(U) ≤ c(U, p, µ)‖u‖L2,µ(U).

Dowód. Korzystamy z nierówno±ci Höldera z wykªadnikami (2p, 2

2−p) i dostajemy

‖u‖Lp(U) ≤ ‖u‖L2,µ(U) · ‖r−2pµ2−p‖L2(U).

Ostatni czynnik szacuje si¦ przez c(U, p, µ), gdy» z zaªo»enia o p i µ mamy − 2pµ2−p > −2.

18

Uwaga 3.1.4. Je»eli zbiór U ⊆ RN jest ograniczony, µ < 1, to przestrze« H2µ(U) mo»emy

traktowa¢ jako podprzestrze« W 2,p(U) dla pewnego p ∈ (1, 2]. Wystarczy uzasadni¢, »enorma ‖ · ‖H2

µ(U) jest mocniejsza od normy ‖ · ‖W 2,p(U) przy pewnym p ∈ (1, 2]. Istotnie,

gdy µ ≤ 0, to oczywi±cie mamy ‖u‖W 2,2(U) ≤ c(µ, U)‖u‖H2µ(U), natomiast gdy µ ∈ (0, 1),

to korzystamy ze stwierdzenia 3.1.4 i oszacowania z uwagi 3.1.3.

Stwierdzenie 3.1.5. Zaªó»my, »e m,N s¡ liczbami naturalnymi, µ jest liczb¡ rzeczywist¡i niech U b¦dzie podzbiorem RN . Wtedy istnieje staªa c = c(m,N) taka, »e dla u ∈ Hm

Loc(U)zachodz¡ nierówno±ci

c−1 ‖u‖Hmµ (U) ≤

(∞∑

n=−∞

‖ηnu‖2Hm

µ (U)

) 12

≤ c ‖u‖Hmµ (U) . (3.1.15)

W szczególno±ci dla u ∈ HmLoc(U) mamy, u ∈ Hm

µ (U) ⇐⇒∞∑

n=−∞‖ηnu‖2

Hmµ (U) <∞.

Dowód. Pierwsza z tych nierówno±ci jest konsekwencj¡ (2.1.9), (2.1.10) i otrzymujemy j¡nast¦puj¡co

‖u‖2Hm

µ (U) ≤∥∥ ∞∑n=−∞

ηnu∥∥2

Hmµ (U)

≤ 3∞∑

n=−∞

‖ηnu‖2Hm

µ (U) .

Druga z nierówno±ci wynika z (2.1.6), (2.1.8) i b¦dzie wykazana jedynie dla m = 2. Wprzypadku ogólnym post¦pujemy analogicznie. Mianowicie mamy2

‖ηnu‖2H2

µ(U) ≤∫

U∩Sn

|ηnu|2 r2µ−4 dx+ 2

∫U∩Sn

(|Dηn · u|2 + |ηn ·Du|2)r2µ−2 dx

+3

∫U∩Sn

(∣∣D2ηn · u

∣∣2 + |Dηn ·Du|2 +∣∣ηn ·D2u

∣∣2)r2µ dx

≤∫

U∩Sn

|u|2 r2µ−4 dx+ 2

∫U∩Sn

(2−2nc20 |u|2 + |Du|2)r2µ−2 dx

+3

∫U∩Sn

(2−4nc20 |u|2 + 2−2nc20 |Du|

2 +∣∣D2u

∣∣2)r2µ dx.

Na zbiorze Sn mamy 2−2n ≤ 8r−2, zatem dla pewnej staªej c = c(c0) otrzymujemy‖ηnu‖2

H2µ(U) ≤ c ‖u‖2

H2µ(U∩Sn). Po dodaniu tych nierówno±ci stronami dla n ∈ Z i wyko-

rzystaniu (2.1.6) otrzymujemy »¡dane oszacowanie.

Stwierdzenie 3.1.6. Przy zaªo»eniach stwierdzenia 3.1.5 istnieje staªa c = c(m,N) taka,»e dla u ∈ Hm

Loc(U) zachodzi oszacowanie

∞∑n=1

‖ηnu‖2Wm

2,µ(U) ≤ c‖η∞u‖2Wm

2,µ(U). (3.1.16)

2Zbiory Sn okre±lono w (2.1.6).

19

Dowód. Dla uproszczenia poka»emy jedynie przypadek m = 1. Wtedy mamy‖ηnu‖2

W 12,µ(U) ≤ ‖u‖2

L2,µ(U∩Sn) + 2 ‖Dηn · u‖2L2,µ(U∩Sn) + 2 ‖Du‖2

L2,µ(U∩Sn) . Z (2.1.8) dosta-jemy sup

n∈Nsupx|Dηn(x)| ≤ c0, czyli mamy ‖ηnu‖2

W 12,µ(U) ≤ (2c20 + 1) ‖u‖2

W 12,µ(U∩Sn), Zatem

wykorzystuj¡c (2.1.6) dostajemy∞∑n=1

‖ηnu‖2W 1

2,µ(U) ≤ (2c20 + 1)∞∑n=1

‖η∞u‖2W 1

2,µ(U∩Sn) ≤ 2(2c20 + 1) ‖η∞u‖2W 1

2,µ(U) .

Z powy»szych stwierdze« dostajemy nast¦puj¡cy wniosek.Wniosek 3.1.1. Przy zaªo»eniach stwierdzenia 3.1.5 istnieje staªa c = c(m,N) taka, »edla u ∈ Hm

Loc(U) zachodzi nierówno±¢

∞∑n=1

‖ηnu‖2Em

µ (U) ≤ c‖η∞u‖2Em

µ (U). (3.1.17)

Dowód. Korzystamy z oszacowania (3.1.15) ze stwierdzenia 3.1.5 dla funkcji η∞u ∈ HmLoc(U)

i z nierówno±ci (3.1.16) ze stwierdzenia 3.1.6.

Uwaga 3.1.5. Podobnie jak (3.1.17) dowodzimy nast¦puj¡cego oszacowania

∞∑n=1

‖χnu‖2Em

µ (RN ) ≤ c‖χ∞u‖2Em

µ (RN ), (3.1.18)

gdzie c zale»y tylko od m i N , natomiast u ∈ HmLoc(U).

3.2 Pomocnicze nierówno±ciW caªym podrozdziale przyjmujemy, »e µ ∈ R i σ ≥ 0. Przypomnijmy, »e przestrze«HmLoc(U) zostaªa okre±lona warunkiem (2.1.1)

3.2.1 Pierwsza nierówno±¢Dowód poni»szych stwierdze« jest oparty na dowodzie lematu 8.2.4 [26].Stwierdzenie 3.2.1. Istnieje staªa c taka, »e dla u ∈ H2

Loc(R2) zachodzi nast¦puj¡ceoszacowanie

‖η0u‖H2(R2) ≤ c‖η0(∆− 1)u‖L2(R2) + ‖χ0u‖H1(R2)

. (3.2.1)

Dowód. Oczywi±cie η0u nale»y do H2(R2) i speªnia równanie ∆(η0u) = ∆η0 · u + 2∇η0 ·∇u + η0f + η0u ∈ L2(R2), gdzie f := (∆ − 1)u. Zatem istnieje staªa c, niezale»na od u,taka, »e

‖η0u‖H2(R2) ≤ c‖∆η0 · u‖L2(R2) + 2 ‖∇η0 · ∇u‖L2(R2) + ‖η0f‖L2(R2) + ‖η0u‖L2(R2)

.

Zauwa»my, »e ∆η0 ·u = ∆η0 ·χ0u, ∇η0 ·∇u = ∇η0 ·∇(χ0u), η0u = η0 ·χ0u, zatem dowódjest zako«czony, bo funkcja η0 speªnia (2.1.4) i (2.1.8).

20

Stwierdzenie 3.2.2. Istnieje staªa c = c(µ) taka, »e dla u ∈ H2Loc(R2) i n ∈ N zachodzi

oszacowanie

‖ηnu‖2H2

µ(R2) ≤ c‖ηn(∆− 1)u‖2

L2,µ(R2) + ‖χnu‖2H1

µ−1(R2) + ‖ηnu‖2L2,µ(R3)

2

. (3.2.2)

Dowód. Zaªó»my, »e u ∈ H2Loc(R2) i oznaczmy f := (∆ − 1)u, un(x) := u(2nx). Ze

stwierdzenia 3.2.1 dostajemy

‖η0un‖H2(R2) ≤ c‖η0fn‖L2(R2) + ‖χ0un‖H1(R2)

,

gdzie fn := (∆x − 1)un. Podstawiaj¡c y := 2nx, a nast¦pnie mno»¡c strony przez 22n(µ−1)

otrzymujemy

∫R2

|ηn(y)u(y)|2 22n(µ−2) + |Dy (ηn(y)u(y))|2 22n(µ−1) +∣∣D2

y (ηn(y)u(y))∣∣2 22nµ dy ≤

2c2∫R2

∣∣ηn(y) [∆yu(y)− 2−2nu(y)]∣∣2 22nµ dy

+2c2∫R2

|χn(y)u(y)|2 22n(µ−2) + |Dy (χn(y)u(y))|2 22n(µ−1) dy.

≤ 4c2∫R2

|ηn(y) [∆yu(y)− u(y)]|2 22nµ dy + 4c2∫R2

|ηn(y)u(y)|2 22nµ

+2c2∫R2

|χn(y)u(y)|2 22n(µ−2) + |Dy (χn(y)u(y))|2 22n(µ−1) dy, (3.2.3)

gdzie skorzystali±my z tego, »e |1− 2−2n| ≤ 1. Zauwa»my, »e supp ηn ⊆ suppχn i istniejestaªa c1 = c1(µ) taka, »e

c−11 22n(µ−k) ≤ |y|2(µ−k) ≤ c12

2n(µ−k) na suppχn, dla n ∈ Z, k = 0, 1, 2. (3.2.4)

Zatem (3.2.3) razem z (3.2.4) daj¡ oszacowanie (3.2.2).

Stwierdzenie 3.2.3. Istnieje staªa c = c(µ) taka, »e dla u ∈ H2Loc(R2) i n ∈ Z zachodzi

oszacowanie

‖ηnu‖2W 1

2,µ(R2) ≤ c‖ηn(∆− 1)u‖2

L2,µ(R2) + ‖χnu‖2L2,µ−1(R2)

. (3.2.5)

21

Dowód. Okre±lmy f równo±ci¡ f = ∆u−u. Mno»¡c strony przez η2nu, a nast¦pnie caªkuj¡c

po R2 dostajemy∫R2

|ηn∇u|2 + |ηnu|2 dx = −∫R2

∇u · ∇(η2n)u dx−

∫R2

fη2nu dx.

Zatem stosuj¡c dwukrotnie nierówno±¢ Cauchy'ego wnioskujemy, »e∫R2

|∇(ηnu)|2 + |ηnu|2 dx ≤ 10

∫R2

|u|2 |∇ηn|2 dx+ 2

∫R2

|fηn|2 dx.

Pomnó»my strony przez 22nµ i korzystaj¡c z (2.1.6) i (2.1.8) mo»emy napisa¢∫Sn

(|∇(ηnu)|2 + |ηnu|2

)22nµ dx ≤ c20

∫Sn

|u|2 22n(µ−1) dx+ 2

∫Sn

|fηn|2 22nµ dx,

gdzie c0 pochodzi z (2.1.8). Z (2.1.14) mamy χn|Sn ≡ 1, zatem uwzgl¦dniaj¡c (3.2.4)otrzymujemy (3.2.5).

Wniosek 3.2.1. Istnieje staªa c = c(µ, σ) taka, »e dla u ∈ H2Loc(R2) i n ∈ N zachodzi

oszacowanie

‖ηnu‖2E2

µ(R2) ≤ c∥∥ηn(∆− 1− σr−2)u

∥∥2

L2,µ(R2)+ ‖χnu‖2

E1µ−1(R2)

. (3.2.6)

Dowód. Bezpo±rednio ze stwierdze« 3.2.2 i 3.2.3 otrzymujemy powy»sze oszacownie przyσ = 0. Z tego», korzystaj¡c z nierówno±ci trójk¡ta i z nierówno±ci ‖ηnu‖L2,µ−2(R2) ≤‖χnu‖E1

µ−1(R2) dostajemy oszacowanie dla σ > 0.

Z powy»szego otrzymujemy nast¦puj¡cy wniosek.3

Wniosek 3.2.2. Zaªó»my, »e σ ≥ 0, µ < β i v ∈ H2Loc(R2) speªnia równanie (∆ − 1 −

σr−2)v = 0 w•R2. Je»eli χ∞v ∈ E1

µ(R2), to η∞v ∈ E2β(R2).

Dowód. Wystarczy rozwa»a¢ przypadek β = µ+ 1. Korzystaj¡c z (2.1.10), wniosku 3.2.1dla n = 1, 2, ... i w ko«cu z (3.1.18) dostajemy

1

3‖η∞v‖2

E2µ+1(R2) ≤

∞∑n=1

‖ηnv‖2E2

µ+1(R2) ≤ c∞∑n=1

‖χnv‖2E1

µ(R2) ≤ c‖χ∞v‖2E1

µ(R2) <∞.

3Por. ze stwierdzeniem 8.2.6 [26].

22

3.2.2 Druga nierówno±¢W tym podrozdziale uzasadnimy typow¡ dla przestrzeni wagowych nierówno±¢ (3.2.11).Zacznijmy jednak od takiego oto stwierdzenia.

Stwierdzenie 3.2.4. Zaªó»my, »e µ ∈ R, n ∈ Z i niech Sn ⊆ RN b¦dzie zdeniowaneprzez (2.1.6), gdzie N = 2, 3. Wtedy istnieje staªa c = c(µ) taka, »e dla ψ ∈ H2

Loc(RN)takich, »e suppψ ⊆ Sn zachodzi oszacowanie

‖ψ‖H2µ(Sn) ≤ c‖∆ψ‖L2,µ(Sn). (3.2.7)

Dowód. Dla ustalenia uwagi przyjmijmy, »e N = 3 (w przypadku N = 2 post¦pujemyanalogicznie). Niech zatem ψ speªnia zaªo»enia i niech δ = 1 gdy µ = 0 lub µ = 1 i δ = 0w pozostaªych przypadkach. Stosuj¡c dwukrotnie nierówno±¢ Hardy (3.1.1) i wªasno±¢(2.1.6) dostajemy

‖ψ‖L2,µ−2(Sn) ≤ 2−nδ‖ψ‖L2,µ−2+δ(R3) ≤2−nδ

|µ+ δ − 1|‖Drψ‖L2,µ−1+δ(R3)

≤ 2−nδ

|µ+ δ − 1||µ+ δ|‖D2

rψ‖L2,µ+δ(R3) ≤2

32

|µ+ δ − 1||µ+ δ|‖D2ψ‖L2,µ(Sn).

Zatem mamy‖ψ‖L2,µ−2(Sn) ≤ c‖D2ψ‖L2,µ(Sn), (3.2.8)

gdzie c zale»y jedynie od µ. Post¦puj¡c analogicznie otrzymujemy

‖Dψ‖L2,µ−1(Sn) ≤ c‖D2ψ‖L2,µ(Sn). (3.2.9)

Z drugiej strony, dwukrotnie caªkuj¡c przez cz¦±ci dostajemy

‖D2ψ‖L2(Sn) = ‖∆ψ‖L2(Sn)

Zatem korzystaj¡c z tego, »e suppψ ⊆ Sn mo»emy napisa¢

‖D2ψ‖L2,µ(Sn) ≤ supSn

rµ‖D2ψ‖L2(Sn) = supSn

rµ‖∆ψ‖L2(Sn) ≤ supSn

rµ · supSn

r−µ‖∆ψ‖L2,µ(Sn).

Jako »e supSn

rµ · supSn

r−µ ≤ 232|µ|, wi¦c z powy»szego wnioskujemy, »e

‖D2ψ‖L2,µ(Sn) ≤ 232|µ|‖∆ψ‖L2,µ(Sn). (3.2.10)

Zatem nierówno±ci (3.2.8)-(3.2.10) daj¡ tez¦.

Stwierdzenie 3.2.5. Zaªó»my, »e µ ∈ R, σ ≥ 0 i N = 2, 3. Wtedy istnieje staªa c =c(µ, σ) taka, »e dla u ∈ H2

Loc(RN) zachodzi oszacowanie

‖u‖H2µ(RN ) ≤ c‖(∆− σr−2)u‖L2,µ(RN ) + ‖u‖Lµ−2(RN ). (3.2.11)

23

Dowód. Zauwa»my, »e wystarczy uzasadni¢ (3.2.11) dla σ = 0. Mianowicie, niech un oz-nacza ηnu, gdzie ηn jest zdeniowane w (2.1.3). Korzystaj¡c ze stwierdzenia 3.2.4 dosta-jemy

‖un‖H2µ(RN ) ≤ c1‖∆un‖L2,µ(RN ), (3.2.12)

gdzie c1 = c1(µ). Uwzgl¦dniaj¡c (2.1.6), (2.1.8) mamy

‖∆un‖2L2,µ(RN ) ≤ 3‖ηn∆u‖2

L2,µ(Sn) + 6‖∇ηn · ∇u‖2L2,µ(Sn) + 3‖∆ηn · u‖2

L2,µ(Sn) ≤

3‖∆u‖2L2,µ(Sn) + 6c202

−2n‖∇u‖2L2,µ(Sn) + 6c202

−4n‖u‖2L2,µ(Sn) ≤

3‖∆u‖2L2,µ(Sn) + 6c202

−2n · supSn

r2 · ‖∇u‖2L2,µ−1(Sn) + 6c202

−4n · supSn

r4 · ‖u‖2L2,µ−2(Sn) ≤

3‖∆u‖2L2,µ(Sn) + 26c20‖∇u‖2

L2,µ−1(Sn) + 29c20‖u‖2L2,µ−2(Sn).

Zatem wobec (3.2.12) otrzymujemy

‖un‖2H2

µ(RN ) ≤ 29c20c21‖∆u‖2

L2,µ(Sn) + ‖u‖2H1

µ−1(Sn). (3.2.13)

Z drugiej strony caªkuj¡c przez cz¦±ci dostajemy

−∫

RN

∆u · uχ2n dx =

∫RN

|∇u|2χ2n dx+ 2

∫RN

∇u · ∇χn · uχn dx

gdzie χn zostaªo zdeniowane w (2.1.12). Stosuj¡c dwukrotnie nierówno±¢ Cauchy'egodochodzimy do oszacowania

‖χn∇u‖2L2(RN ) ≤ 4‖∇χn · u‖2

L2(RN ) + ‖χnr∆u‖2L2(RN ) + ‖χnr−1u‖2

L2(RN ).

Mno»¡c strony przez 2n(µ−1), po uwzgl¦dnieniu (2.1.13), (2.1.14) wnioskujemy, »e

‖∇u‖2L2,µ−1(Sn) ≤ c‖∆u‖2

L2,µ(Sn)+ ‖u‖2

L2,µ−2(Sn),

gdzie staªa c zale»y jedynie od µ. Zatem korzystaj¡c z tej nierówno±ci w (3.2.13), wobecstwierdzenia 3.1.5 i wªasno±ci (2.1.16) otrzymujemy (3.2.11) dla σ = 0.

24

Rozdziaª 4

Eliptyczne zagadnienie dwuwymiarowe

Tutaj, w zagadnieniu dwuwymiarowym stosujemy technik¦ Kondrat'eva [8], przy czymzbiór

•R2 traktujemy jako k¡t o rozwarto±ci 2π, a na rozwi¡zanie nakªadamy dodatkowe

warunki zgodno±ci. Przeto rozpoczynamy od analizy stosownego równania rózniczkowegozwyczajnego z parametrem, otrzymuj¡c pewne oszacowanie na jego rozwi¡zania. Nast¦p-nie otrzymujemy istnienie rozwi¡za« w przestrzeniach H2

µ(R2). W dalszej cz¦±ci, korzys-taj¡c z postaci rozwi¡za«, opisujemy ró»nice rozwi¡za« nale»¡cych do ró»nych przestrzeniwagowych. Potem, uwzgl¦dniaj¡c asymptotyk¦ rozwi¡za«, badamy rozwi¡zywalno±¢ za-gadnienia w obszarze ograniczonym, przyjmuj¡c jednorodny warunek brzegowy typu Dirch-leta na brzegu obszaru. Warto tutaj podkre±li¢ to, i» dowód istnienia rozwi¡za« w obszarzeograniczonym jest niezale»ny od pozostaªych rozwa»a« i jest oparty jedynie na twierdze-niu Laxa-Milgrama. W przypadku zagadnienia w obszarze ograniczonym, pewn¡ trud-no±¢ sprawia analiza przypadku σ = 0, gdy» wtedy nie dysponujemy rozwi¡zaniami zprzestrzeni wagowych dla »adnego µ.

4.1 Pewne równanie ró»niczkowe zwyczajne z parametremB¦dziemy rozwa»a¢ nast¦puj¡ce równanie ró»niczkowe zwyczajne z warunkiem brzegowym

−vϕϕ + λ2v = g w (0, 2π),

v(0) = v(2π),vϕ(0) = vϕ(2π),

(4.1.1)

gdzie λ = t+ ih dla t, h ∈ R. Nast¦puj¡ce stwierdzenie mówi o rozwi¡zalno±ci powy»szegozagadnienia przy λ ∈ C:

Stwierdzenie 4.1.1.

a) Je»eli λ 6∈ iZ, to dla ka»dego g ∈ L2(0, 2π) istnieje dokªadnie jedno v ∈ H2(0, 2π),b¦d¡ce rozwi¡zaniem (4.1.1). Jest ono dane wzorem

v(ϕ) =1

2λ sinhλπ

2π∫0

g(τ) · coshλ(π − |ϕ− τ |)dτ. (4.1.2)

25

b) Je»eli λ = 0 i g ∈ L2(0, 2π), to zagadnienie (4.1.1) ma rozwi¡zanie wtedy i tylko wtedy,

gdy2π∫0

g(τ)dτ = 0. W tym przypadku rozwi¡zanie jest dane wzorem

v(ϕ) = c+ϕ

2π

2π∫0

t∫0

g(τ)dτ dt−ϕ∫

0

t∫0

g(τ)dτ dt, (4.1.3)

gdzie c ∈ C.

c) Je»eli λ = in dla pewnego n ∈ Z \ 0 i g ∈ L2(0, 2π), to zagadnienie (4.1.1) marozwi¡zanie wtedy i tylko wtedy, gdy

2π∫0

g(τ) sinnτ dτ = 0 =

2π∫0

g(τ) cosnτ dτ.

W tym przypadku rozwi¡zanie dane jest wzorem

v(ϕ) = a1 sinnϕ+ a2 cosnϕ+1

n

ϕ∫0

g(τ) sinn(τ − ϕ)dτ. (4.1.4)

Dowód. Przypadek λ 6∈ iZ. Rozwi¡zania równania jednorodnego (4.1.1)1 s¡ postacic1e

λϕ + c2e−λϕ. Metod¡ uzmienniania staªych wyznaczymy rozwi¡zanie równania niejed-

norodnego. Zatem przypu±¢my, i» rozwi¡zanie (4.1.1)1 jest postaci c1(ϕ)eλϕ + c2(ϕ)e−λϕ.Wtedy funkcje c1(ϕ), c2(ϕ) winny speªnia¢ warunek:[

eλϕ e−λϕ

λeλϕ −λe−λϕ]·[c′1c′2

]=

[0g

].

St¡d mamyc′1(ϕ) =

1

2λg(ϕ)e−λϕ, c′2(ϕ) = − 1

2λg(ϕ)eλϕ,

czyli

c1(ϕ) =1

2λ

ϕ∫0

g(τ)e−λτ dτ, c2(ϕ) = − 1

2λ

ϕ∫0

g(τ)eλτ dτ.

Zatem rozwi¡zania (4.1.1)1 s¡ postaci

v(ϕ) = c1eλϕ + c2e

−λϕ +1

2λ

ϕ∫0

g(τ)e−λτ dτ · eλϕ − 1

2λ

ϕ∫0

g(τ)eλτ dτ · e−λϕ, (4.1.5)

gdzie c1, c2 ∈ C. Staªe c1, c2 wyznaczymy z warunków brzegowych (4.1.1)2,3. Warunek(4.1.1)2 przyjmuje posta¢

c1(e2πλ − 1) + c2(e

−2πλ − 1) = −e2πλ

2λ

2π∫0

g(τ)e−λτ dτ +e−2πλ

2λ

2π∫0

g(τ)eλτ dτ.

26

Z kolei (4.1.1)3 daje równo±¢

c1λ(e2πλ − 1) + c2(−λ)(e−2πλ − 1) = −e2πλ

2

2π∫0

g(τ)e−λτ dτ − e−2πλ

2

2π∫0

g(τ)eλτ dτ.

Wobec tego staªe c1, c2 speªniaj¡ ukªad równa«

[e2πλ − 1 e−2πλ − 1

λ(e2πλ − 1) −λ(e−2πλ − 1)

]·[c1c2

]=

− e2πλ

2λ

2π∫0

g(τ)e−λτ dτ + e−2πλ

2λ

2π∫0

g(τ)eλτ dτ

− e2πλ

2

2π∫0

g(τ)e−λτ dτ − e−2πλ

2

2π∫0

g(τ)eλτ dτ

.Zauwa»my, »e z zaªo»enia o λ wynika, »e ukªad ten ma jednoznaczne rozwi¡zania danerówno±ciami

c1 =1

2λ(e−2πλ − 1)

2π∫0

g(τ)e−λτ dτ, c2 =1

2λ(e2πλ − 1)

2π∫0

g(τ)eλτ dτ.

Podstawiaj¡c w (4.1.5) dostajemy

v(ϕ) =

− 1

2λ

ϕ∫0

g(τ)eλτ dτ +1

2λ(e2πλ − 1)

2π∫0

g(τ)eλτ dτ

e−λϕ

+

1

2λ

ϕ∫0

g(τ)e−λτ dτ − 1

2λ(e−2πλ − 1)

2π∫0

g(τ)e−λτ dτ

eλϕ. (4.1.6)

Po uporz¡dkowaniu wyra»e« otrzymujemy

v(ϕ) =1

2λ sinhλπ

( ϕ∫0

g(τ) · coshλ(ϕ− τ − π)dτ +

2π∫ϕ

g(τ) · coshλ(ϕ− τ + π)dτ).

Zatem dostaniemy (4.1.2), o ile uzasadnimy równo±¢

ϕ∫0

g(τ)·coshλ(ϕ− τ − π)dτ+

2π∫ϕ

g(τ)·coshλ(ϕ− τ + π)dτ =

2π∫0

g(τ)·coshλ(π − |ϕ− τ |)dτ.

(4.1.7)W istocie mamy

ϕ∫0

g(τ) · coshλ(ϕ− τ − π)dτ +

2π∫ϕ

g(τ) · coshλ(ϕ− τ + π)dτ

=

2π∫0

g(τ) ·[χ(0,ϕ)(τ) · coshλ(ϕ− τ − π) + χ(ϕ,2π)(τ) · coshλ(ϕ− τ + π)

]dτ.

27

Korzystaj¡c z to»samo±ci coshλ(ϕ− τ ∓ π) = coshλ(ϕ− τ) · coshλπ ± sinhλ(ϕ− τ) ·sinhλπ otrzymujemy

2π∫0

g(τ) ·[coshλ(ϕ− τ) · coshλπ + (χ(0,ϕ)(τ)− χ(ϕ,2π)(τ)) · sinhλ(ϕ− τ) · sinhλπ

]dτ

=

2π∫0

g(τ) · [coshλ(ϕ− τ) · coshλπ + sgn(ϕ− τ) · sinhλ(ϕ− τ) · sinhλπ] dτ

=

2π∫0

g(τ) · [coshλ|ϕ− τ | · coshλπ + sinhλ|ϕ− τ | · sinhλπ] dτ

=

2π∫0

g(τ) · coshλ(π − |ϕ− τ |)dτ,

co ko«czy dowód w tym przypadku.Przypadek λ = 0. Rozwi¡zania równania jednorodnego (4.1.1)1 s¡ postaci v(ϕ) = c1 +

c2ϕ−ϕ∫0

t∫0

g(τ)dτ dt. Gdy uwzgl¦dnimy warunki brzegowe (4.1.1)2,3, to v jest rozwi¡zaniem

(4.1.1) wtedy i tylko wtedy, gdy2π∫0

g(τ)dτ = 0. Wtedy z warunków brzegowych mamy

c1 ∈ C i c2 = 12π

2π∫0

t∫0

g(τ)dτ dt.

Przypadek λ = in, gdzie n ∈ Z \ 0. Stosuj¡c metod¦ uzmienniania staªej wniosku-jemy, »e (4.1.4) jest ogóln¡ postaci¡ rozwi¡za« równania (4.1.1)1. Z warunków brzegowych

(4.1.1)2,3 mamy: v jest rozwi¡zaniem (4.1.1) wtedy i tylko wtedy, gdy2π∫0

g(τ) sinnτ dτ = 0

i2π∫0

g(τ) cosnτ dτ = 0.

Dla σ ≥ 0 b¦dziemy rozwa»a¢ nast¦puj¡cy problem z parametrem zespolonym ξ:−vϕϕ + (ξ2 + σ)v = g w (0, 2π),

v(0) = v(2π),vϕ(0) = vϕ(2π),

(4.1.8)

Przypomnijmy, »e zbiory Sσ i Rh zostaªy zdeniowane w (2.1.19) i (2.1.26).

Lemat 4.1.1. Zaªó»my, »e σ ≥ 0, h 6∈ Sσ, t ∈ R i ξ = t + ih. Wtedy dla ka»degog ∈ L2(0, 2π) istnieje dokªadnie jedno v ∈ H2(0, 2π) b¦d¡ce rozwi¡zaniem zagadnienia(4.1.8) i v speªnia oszacowanie

‖v‖H2(0,2π) + |ξ|‖v‖H1(0,2π) + |ξ|2‖v‖L2(0,2π) ≤ c‖g‖L2(0,2π), (4.1.9)

28

gdzie staªa c zale»y jedynie od h i σ. Ponadto, rozwi¡zanie to dane jest wzorem

v(ϕ) =1

2√ξ2 + σ sinh π

√ξ2 + σ

2π∫0

g(τ) · cosh√ξ2 + σ(π − |ϕ− τ |)dτ, (4.1.10)

gdzie√ξ2 + σ jest dowolnym pierwiastkiem kwadratowym z liczby ξ2 + σ.

Dowód. Przyjmijmy, »e ‖ · ‖ oznacza norm¦ ‖ · ‖L2(0,2π) i niech ξ ∈ C speªnia warunkilematu. Z zaªo»enia mamy ξ 6∈ iSσ, zatem je»eli poªo»ymy λ =

√ξ2 + σ, to wtedy λ 6∈ iZ.

Korzystaj¡c ze stwierdzenia 4.1.1 przy takim λ wnioskujemy, »e dla ka»dego g ∈ L2(0, 2π)istnieje dokªadnie jedno v ∈ H2(0, 2π) b¦d¡ce rozwi¡zaniem problemu (4.1.8) i v danejest wzorem (4.1.2), gdzie λ =

√ξ2 + σ, czyli mamy ju» (4.1.10). Tym samym pozostaªo

wykaza¢ oszacowanie (4.1.9). Zrobimy to w dwóch krokach. Wpierw zaªo»ymy, »e

|t| > 2|h|. (4.1.11)

Przy tym zaªo»eniu pomno»my strony (4.1.8)1 przez |ξ|2v i scaªkujmy po przedziale (0, 2π).Po scaªkowaniu przez cz¦±ci i porównaniu cz¦±ci rzeczywistych dostajemy

|ξ|2‖vϕ‖2 + (t4 − h4)‖v‖2 + σ|ξ|2‖v‖2 = |ξ|2 Re

2π∫0

gv dτ .

Wobec (4.1.11) mamy 12|ξ|4 ≤ t4 − h4, st¡d wnioskujemy, »e

|ξ|2‖vϕ‖2 + |ξ|4‖v‖2 + σ|ξ|2‖v‖2 ≤ 4‖g‖2. (4.1.12)

Teraz pomnó»my strony (4.1.8)1 przez (1 + ib)v, gdzie b = sgnh sgn t, a nast¦pnie scaªku-jmy po przedziale (0, 2π). Po scaªkowaniu przez cz¦±ci i porównaniu cz¦±ci rzeczywistychotrzymujemy

‖vϕ‖2 + (t2 − h2 + 2|t||h|+ σ)‖v‖2 = Re[(1− ib)

2π∫0

gv dτ ].

Warunek (4.1.11) daje t2 − h2 + 2|t||h| + σ ≥ |h|2 + σ. Oczywi±cie |h|2 + σ > 0, bo gdyσ = 0, to z zaªo»enia h 6= 0. Zatem powy»sza równo±¢ prowadzi do oszacowania

‖vϕ‖2 + ‖v‖2 ≤ c(σ, h)‖g‖2. (4.1.13)

W ko«cu z (4.1.8)1 mamy

‖vϕϕ‖ ≤ ‖g‖+ |ξ|2‖v‖+ σ‖v‖. (4.1.14)

Zatem przy zaªo»eniu (4.1.11) z nierówno±ci (4.1.12)-(4.1.14) dostajemy (4.1.9) z pewn¡staªa c = c(σ, h).

Teraz uzasadnimy (4.1.9) przy zaªo»eniu, »e |t| ≤ 2|h|, czyli t ∈ Ih ≡ [−2|h|, 2|h|]. Oz-naczmy przez Aσ(ξ) operator zadany przez ukªad równa« (4.1.8), tzn. Aσ(ξ) = −∂2

ϕ+(ξ2+

σ)I i Aσ(ξ) jest zdeniowany na przestrzeni H := u ∈ H2((0, 2π) : u speªnia (4.1.8)2,3

29

i przyjmuje warto±ci w L := L2((0, 2π)). Z twierdzenia1 wnioskujemy, »e funkcja ξ 7→Aσ(ξ)−1 jest funkcj¡ mereomorcz¡ o warto±ciach operatorowych. Ponadto z pierwszejcz¦±ci dowodu wynika, »e Aσ(ξ)−1 istnieje dla ξ ∈ C \ iSσ. Zatem funkcja ξ 7→ Aσ(ξ)−1

jest funkcj¡ holomorczn¡ w C\iSσ. Jako »e odcinek Ih+ih jest rozª¡czny ze zbiorem iSσ,to funkcja t 7→ Aσ(t + ih)−1 jest ci¡gªa na Ih, czyli ch := sup

t∈Ih‖Aσ(t+ ih)−1‖L→H < ∞.

Przeto gdy t ∈ Ih i v ∈ H2(0, 2π) jest rozwi¡zaniem (4.1.8) dla ξ = t+ih, to zachodzi osza-cowanie ‖v‖H2((0,2π)) ≤ ch‖g‖L2((0,2π)). Zauwa»my w ko«cu, »e dla t ∈ Ih mamy |ξ|i ≤ 5|h|i,i = 1, 2, st¡d dostajemy nierówno±¢ (4.1.9) dla |t| ≤ 2|h|.

4.2 Istnienie rozwi¡za«Post¦puj¡c podobnie jak w dowodzie twierdzenia 1.1 [8] dostajemy nast¦puj¡ce twierdze-nie o istnieniu rozwi¡za« w przestrzeniach wagowychH2

µ(R2). Przypomnijmy jeszcze, zbiórSσ zostaª zdeniowany w (2.1.19).

Twierdzenie 4.2.1. Zaªó»my, »e σ ≥ 0 i µ ∈ R \ Sσ. Wtedy dla ka»dego f ∈ L2,µ(R2)

istnieje dokªadnie jedno u ∈ H2µ(R2) speªniaj¡ce −∆u + σr−2u = f w

•R2 i zachodzi

oszacowanie‖u‖H2

µ(R2) ≤ c‖f‖L2,µ(R2), (4.2.1)gdzie staªa c zale»y jedynie od µ i σ.

Dowód. Jednoznaczno±¢: Zaªó»my, »e µ i σ speªniaj¡ zaªo»enia i u ∈ H2µ(R2) jest

rozwi¡zaniem równania ∆u− σr−2u = 0 w•R2. Wprowad¹my oznaczenia

h = 1− µ (4.2.2)

w(t, ϕ) = u(e−t cosϕ, e−t sinϕ), (4.2.3)

v(ξ, ϕ) =1√2π

∞∫−∞

w(t, ϕ)e−iξt dt. (4.2.4)

Poka»emy, »e v(ξ, ·) nale»y do H2(0, 2π) dla p.w. ξ ∈ Rh. Otó» mamy∞+ih∫

−∞+ih

‖v(ξ, ·)‖2H2(0,2π) dξ ≤ ‖u‖2

H2µ(R2) <∞,

bo dla j = 0, 1, 2 dostajemy

∞+ih∫−∞+ih

2π∫0

∣∣Djϕv(ξ, ϕ)

∣∣2 dϕ dξ =1

2π

∞+ih∫−∞+ih

2π∫0

∣∣∣∣∣∣∞∫

−∞

Djϕw(t, ϕ)e−iξt dt

∣∣∣∣∣∣2

dϕ dξ

1Twierdzenie 1 [3].

30

=1

2π

2π∫0

∞∫−∞

∣∣∣∣∣∣∞∫

−∞

Djϕw(t, ϕ)e−i(β+ih)t dt

∣∣∣∣∣∣2

dβ dϕ =1

2π

2π∫0

∞∫−∞

∣∣∣∣∣∣∞∫

−∞

Djϕw(t, ϕ)eht · e−iβt dt

∣∣∣∣∣∣2

dβ dϕ

Parseval=

2π∫0

∞∫−∞

∣∣Djϕw(t, ϕ)eht

∣∣2 dtdϕ =

2π∫0

∞∫−∞

∣∣ejtDjϕw(t, ϕ)

∣∣2 e2(1−µ)t · e−2jt dtdϕ

=

2π∫0

∞∫0

∣∣r−jDjϕw(− ln r, ϕ)

∣∣2 · r2(µ−1)t · r2j · r−1 drdϕ

=

∫R2

∣∣r−jDjϕu(x)

∣∣2 r2µ−4+2j dx ≤ ‖u‖2H2

µ(R2)

Z zaªo»enia u speªnia równanie jednorodne i u ∈ H2Loc(R2), zatem u jest gªadkie w

•R2 i

zachodzi ∆u(x)− σr−2u(x) = 0 dla ka»dego x ∈•R2. St¡d wnioskujemy, »e[

D2t +D2

ϕ − σ]w(t, ϕ) = 0 dla (t, ϕ) ∈ (−∞,∞)× (0, 2π),

czyli∞∫

−∞

[D2t +D2

ϕ − σ]w(t, ϕ) · e−iξt dt = 0 dla (ξ, ϕ) ∈ Rh × (0, 2π).

Zatem dostajemy

−(ξ2 + σ)v(ξ, ϕ) +D2ϕv(ξ, ϕ) = 0 dla ϕ ∈ (0, 2π) i p.w. ξ ∈ Rh. (4.2.5)

Ponadto z (4.2.3) mamy w(t, 0) = w(t, 2π), Dϕw(t, 0) = Dϕw(t, 2π) dla t ∈ R, czyli

v(ξ, 0) = v(ξ, 2π) and Dϕv(ξ, 0) = Dϕv(ξ, 2π) dla p.w. ξ ∈ Rh. (4.2.6)Wobec (4.2.5) i (4.2.6) mamy: dla p.w. ξ ∈ Rh funkcja v(ξ, ·) ∈ H2(0, 2π) speªnia jed-norodne zagadnienie (4.1.8). Z okre±lenia h mamy h 6∈ Sσ, zatem z lematu 4.1.1 wniosku-jemy, »e v(ξ, ·) ≡ 0 dla p.w. ξ ∈ Rh, co oznacza, »e w(t, ϕ) = 0 dla p.w. (t, ϕ) ∈R× (0, 2π), czyli u(x) = 0 w

•R2.

Istnienie: Niech µ i σ speªniaj¡ zaªo»enia i we¹my f ∈ D(•R2). Wprowad¹my oznaczenia

f1(t, ϕ) = e−2tf(e−t cosϕ, e−t sinϕ), (4.2.7)

g(ξ, ϕ) =1√2π

∞∫−∞

f1(t, ϕ) · e−iξt dt. (4.2.8)

Dla ξ ∈ Rh mamy g(ξ, ·) ∈ L2(0, 2π), bo∞+ih∫

−∞+ih

‖g(ξ, ·)‖2L2(0,2π) dξ =

1

2π

∞+ih∫−∞+ih

2π∫0

∣∣∣∣∣∣∞∫

−∞

f1(t, ϕ) · e−iξt dt

∣∣∣∣∣∣2

dϕ dξ

31

=1

2π

2π∫0

∞∫−∞

∣∣∣∣∣∣∞∫

−∞

f1(t, ϕ)eth · e−iβt dt

∣∣∣∣∣∣2

dβ dϕParseval

=

2π∫0

∞∫−∞

∣∣f1(t, ϕ) · eth∣∣2 dtdϕ

=

2π∫0

∞∫0

|f(r cosϕ, r sinϕ)|2 r2(µ+1)−1 drdϕ = ‖f‖2L2,µ(R2). (4.2.9)

Z zaªo»enia µ 6∈ Sσ, czyli h 6∈ Sσ. Zatem korzystaj¡c z lematu 4.1.1 dostajemy dlaka»dego ξ ∈ Rh funkcj¦ v(ξ, ·) ∈ H2(0, 2π) b¦d¡c¡ rozwi¡zaniem (4.1.8) z praw¡ stron¡równ¡ g(ξ, ·) ∈ L2(0, 2π). Funkcje v(ξ, ·) speªniaj¡ oszacowanie (4.1.9), zatem caªkuj¡ct¡ nierówno±¢ wzgl¦dem ξ ∈ Rh, wobec wcze±niejszego rachunku, dostajemy

∞+ih∫−∞+ih

‖v‖2H2(0,2π) + |ξ|2‖v‖2

H1(0,2π) + |ξ|4‖v‖2L2(0,2π) dξ ≤ c‖f‖2

L2,µ(R2), (4.2.10)

gdzie c = c(h, σ) i pochodzi z (4.1.9). Poªó»my

w(t, ϕ) =1√2π

∞+ih∫−∞+ih

v(ξ, ϕ) · eiξt dξ, u(e−t cosϕ, e−t sinϕ) = w(t, ϕ).

Uzasadnimy teraz, »e u nale»y do H2µ(R2). Mianowicie

∑k+l≤2

2π∫0

∞∫0

|r−kDkϕD

lru(r cosϕ, r sinϕ)|2r2(µ−2+l+k)+1 drdϕ

=∑k+l≤2

2π∫0

∞∫−∞

|ektDkϕ(e

tDt)lw(t, ϕ)|2e−2(µ−2+l+k)t−t · e−t dtdϕ

=∑k+l≤2

2π∫0

∞∫−∞

|Dkϕ(e

tDt)lw(t, ϕ)|2 ·e2ht ·e−2lt dtdϕ ≤ 3

∑k+l≤2

2π∫0

∞∫−∞

|DkϕD

ltw(t, ϕ)|2 ·e2ht dtdϕ

=3

2π

∑k+l≤2

2π∫0

∞∫−∞

∣∣∣Dlt

∞+ih∫−∞+ih

Dkϕv(ξ, ϕ) · eiξt dξ

∣∣∣2 · e2ht dtdϕ=

3

2π

∑k+l≤2

2π∫0

∞∫−∞

∣∣∣Dlt

∞∫−∞

Dkϕv(β + ih, ϕ) · ei(β+ih)tdβ

∣∣∣2 · e2ht dtdϕ=

3

2π

∑k+l≤2

2π∫0

∞∫−∞

∣∣∣Dlt

∞∫−∞

Dkϕv(β + ih, ϕ) · eiβtdβ

∣∣∣2 dtdϕ

32

= 3∑k+l≤2

2π∫0

∞∫−∞

|(it)lDkϕv(t+ ih, ϕ)|2 dtdϕ = 3

∑k+l≤2

∞+ih∫−∞+ih

|(ξ− ih)|2l‖Dkϕv(ξ, ϕ)‖2

L2(0,2π) dξ

≤ 3223(1 + |h|4)∑k+l≤2

∞+ih∫−∞+ih

|ξ|2l‖Dkϕv(ξ, ϕ)‖2

L2(0,2π) dξ ≤ 3223(1 + |h|4)c‖f‖2L2,µ(R2),

gdzie staªa c pochodzi z (4.2.10). Wobec powy»szego oszacowania i warunku brzegowegonaªo»onego na funkcj¦ v(ξ, ·) wnioskujemy, »e u ∈ H2

µ(R2) i zachodzi oszacowanie

‖u‖H2µ(R2) ≤ c‖f‖L2,µ(R2). (4.2.11)

Oczywi±cie staªa c zale»y jedynie od h i σ. Ponadto z równo±ci −D2ϕv(ξ, ϕ) + (ξ2 +

σ)v(ξ, ϕ) = g(ξ, ϕ) dostajemy∞+ih∫

−∞+ih

[−D2

ϕv(ξ, ϕ) + (ξ2 + σ)v(ξ, ϕ)]· eiξt dξ =

∞+ih∫−∞+ih

g(ξ, ϕ) · eiξt dξ,

st¡d mamy e2t[−D2t −D2

ϕ + σ]w(t, ϕ) = f(e−t cosϕ, e−t sinϕ), czyli −∆u+ σr−2u = f w•R2. W ko«cu z g¦sto±ci D(

•R2) w L2,µ(R2) i oszacowania (4.2.11) wnioskujemy tez¦.

4.3 Ró»nice rozwi¡za«W tym rozdziale opiszemy ró»nice rozwi¡za« nale»¡cych do ró»nych przestrzeni H2

µ.Pod¡»amy tutaj za dowodem twierdzenia 1.2 [8]. Na pocz¡tek wprowad¹my dodatkoweoznaczenia. Dla σ ≥ 0 i k ∈ Zσ denujemy nast¦puj¡ce rodziny funkcji

φσ,1k (x) =

rλ

σk cos kϕ dla λσk 6= 0

ln r dla λσk = 0(4.3.1)

φσ,2k (x) =

rλ

σk sin kϕ dla λσk 6= 0

1 dla λσk = 0, (4.3.2)

gdzie (r, ϕ) s¡ wspóªrz¦dnymi biegunowymi w R2. W celu uproszczenia zapisu okre±lamyliczby aσk :

aσk =

1

2πλσk

gdy σ ≥ 0, |k| > 01

4πλσk

gdy σ > 0, |k| = 012π

gdy σ = 0, k = 0.

(4.3.3)

Wyka»emy nast¦puj¡ce twierdzenie.

Twierdzenie 4.3.1. Zaªó»my, »e σ ≥ 0, k ∈ Zσ i liczby µ1, µ2 ∈ R speªniaj¡ nierówno±ci

λσk+1 < µ1 < λσk < µ2 < λσk−1. (4.3.4)

33

Je»eli f ∈ L2,µ1(R2) ∩ L2,µ2(R2) i funkcje uj ∈ H2µj

(R2) speªniaj¡ równanie −∆uj +

σr−2uj = f w•R2, j = 1, 2, to

u1(x)− u2(x) = aσk

∫R2

fφσ,1−k dy · φσ,1k (x)− aσk

∫R2

fφσ,2−k dy · φσ,2k (x), gdy λσk 6= 0 (4.3.5)

u1(x)− u2(x) = aσk

∫R2

fφσ,1−k dy · φσ,2k (x) + aσk

∫R2

fφσ,2−k dy · φσ,1k (x), gdy λσk = 0. (4.3.6)

Dowód. Poka»emy wpierw równo±ci (4.3.5), (4.3.6) przy zaªo»eniu, »e f ∈ D(•R2). Zatem,

na mocy twierdzenia 4.2.1 istniej¡ funkcje uj ∈ H2µj

(R2) speªniaj¡ce −∆uj + σr−2uj = f

w•R2. Wobec dowodu twierdzenia 4.2.1 wiemy, »e funkcje uj okre±lone s¡ warunkami:

uj(e−t cosϕ, e−t sinϕ) = wj(t, ϕ) dla (t, ϕ) ∈ R× (0, 2π) (4.3.7)

wj(t, ϕ) =1√2π

∞+ilj∫−∞+ilj

v(ξ, ϕ) · eiξt dξ, lj = 1− µj, (4.3.8)

gdzie v(ξ, ·) jest rozwi¡zaniem zagadnienia (4.1.8) z praw¡ stron¡ równ¡

g(ξ, ϕ) =1√2π

∞∫−∞

e−2sf(e−s cosϕ, e−s sinϕ) · e−iξsds. (4.3.9)

Uzasadnimy wpierw, »e odwzorowanie ξ 7→ g(ξ, ·) jest funkcj¡ holomorczn¡ w C o warto±-ciach w L2(0, 2π). Istotnie, wobec zaªo»enia o f , no±nik funkcji podcaªkowej w (4.3.9) (ozn.K) jest zwartym podzbiorem

•R2, zatem po zamianie zmiennych mamy

∥∥∥g(ξ, ·)− g(ξ′, ·)ξ − ξ′

− 1√2π

∞∫−∞

(−is)e−2sf(e−s cosϕ, e−s sinϕ) · e−iξsds∥∥∥2

L2(0,2π)

≤ 1

2π‖rf‖2

L2(K) ·∫K

∣∣∣e−isξ − e−isξ′

(ξ − ξ′)+ ise−isξ

∣∣∣2ds −−−−−→ξ′→ξ

0,

st¡d g(ξ, ·) jest funkcj¡ ro»niczkowaln¡ w C. Niech Aσ(ξ) b¦dzie operatorem zden-iowanym w dowodzie lematu 4.1.1 (str. 29). Jak ju» wiemy, funkcja ξ 7→ Aσ(ξ)−1 jestfunkcj¡ mereomorcz¡ o warto±ciach operatorowych i biegunach w punktach iSσ. Za-tem przyporz¡dkowanie ξ 7→ Aσ(ξ)−1g(ξ, ·) jest funkcj¡ mereomorczn¡ o warto±ciach wL2(0, 2π) i biegunach w punktach iSσ. Ustalmy t ∈ R. Jako »e v(ξ, ·) = Aσ(ξ)−1g(ξ, ·), tofunkcja ξ 7→ v(ξ, ·)eiξt jest funkcj¡ mereomorczn¡ o warto±ciach w przestrzeni L2(0, 2π)

34

i biegunach w punktach iSσ. Zatem korzystaj¡c z twierdzenia Cauchy'ego o residuachdostajemy

M+il1∫−N+il1

v(ξ, ·)eiξt dξ −M+il2∫

−N+il2

v(ξ, ·)eiξt dξ =

−N+il2∫−N+il1

v(ξ, ·)eiξt dξ +

M+il1∫M+il2

v(ξ, ·)eiξt dξ

+2πi resiλσ

k

v(ξ, ·)eiξt, (4.3.10)

gdzie M , N > 0. Poka»emy teraz, »e istniej¡ ci¡gi Mn, Nn ∞, takie, »e caªki zprawej strony równo±ci (4.3.10) zbiegaj¡ do zera w normie L2(0, 2π). Oczywi±cie wystarczyograniczy¢ si¦ do jednej z nich, z drug¡ radzimy sobie analogicznie. We¹my zatem M >2 max|l1|, |l2| i z oszacowania (4.1.12) dostajemy

∥∥∥ M+il2∫M+il1

v(ξ, ·)eiξt dξ∥∥∥2

L2(0,2π)≤ |l1 − l2|

M+il2∫M+il1

‖v(ξ, ·)‖2L2(0,2π) dξ

≤ 4|l1 − l2|M−4

M+il2∫M+il1

‖g(ξ, ·)‖2L2(0,2π) dξ.

Uzasadnimy teraz, »eMn+il2∫Mn+il1

‖g(ξ, ·)‖2L2(0,2π) dξ d¡»y do zera dla pewnego ci¡gu Mn ∞.

Zauwa»my, »e wystarczy pokaza¢, »e∞∫0

M+il2∫M+il1

‖g(ξ, ·)‖2L2(0,2π) dξdM < ∞. To ostatnie

uzyskujemy w taki oto sposób:∞∫

0

M+il2∫M+il1

‖g(ξ, ·)‖2L2(0,2π) dξdM ≤

l1∫l2

∞+ih∫−∞+ih

‖g(ξ, ·)‖2L2(0,2π) dξdh

≤ |l1 − l2| supl2≤h≤l1

∞+ih∫−∞+ih

‖g(ξ, ·)‖2L2(0,2π) dξdh = |l1 − l2| sup

l2≤h≤l1‖f‖2

L2,1−h(R2)

≤ |l1 − l2|(‖f‖2L2,µ1 (R2) + ‖f‖2

L2,µ2 (R2)) <∞,

gdzie powy»sz¡ równo±¢ otrzymali±my tak, jak w (4.2.9). Zatem dla tak okre±lonych ci¡gówMn i Nn przechodzimy w (4.3.10) do granicy i wobec (4.3.8) dostajemy

w1(t, ·)− w2(t, ·) =√

2πi resiλσ

k

v(ξ, ·)eiξt. (4.3.11)

W celu obliczenia tego» residuum musimy si¦ przyjrze¢ (4.1.10), formule deniuj¡cejfunkcj¦ v(ξ, ·). Wprowad¹my oznaczenie

Ξ(ξ, ϕ) =

2π∫0

g(ξ, τ) cosh[√

ξ2 + σ(π − |ϕ− τ |)]dτ. (4.3.12)

35

Poka»emy, »e ξ 7−→ Ξ(ξ, ϕ) jest funkcj¡ analityczn¡ o warto±ciach w L2(0, 2π). Mianowicie,zauwa»my wpierw, »e zachodzi równo±¢

2π∫0

g(ξ, τ) cosh√ξ2 + σ(π − |ϕ− τ |)dτ =

∞∑l=0

1

(2l)!

2π∫0

g(ξ, τ)(ξ2 + σ)l(π − |ϕ− τ |)2l dτ,

przy czym szereg jest zbie»ny w normie L2(0, 2π) niemal jednostajnie wzgl¦dem ξ. Wistocie, korzystaj¡c z równo±ci cosh z =

∞∑l=0

z2l

(2l)!, a nast¦pnie z nierówno±ci Younga dla

splotu, mamy2π∫0

∣∣∣ 2π∫0

g(ξ, τ)

cosh[√

ξ2 + σ(π − |ϕ− τ |)]−

N∑l=0

1

(2l)!(ξ2 + σ)l(π − |ϕ− τ |)2l

dτ∣∣∣2 dϕ

≤ ‖g(ξ, ·)‖2L2(0,2π)‖ cosh

√ξ2 + σ(π − | · |)−

N∑l=0

1

(2l)!(ξ2 + σ)l(π − | · |)2l‖2

L1(0,2π)

natomiast2π∫0

∣∣∣ cosh√ξ2 + σ(π − |ϕ|)−

N∑l=0

1

(2l)!(ξ2 + σ)l(π − |ϕ|)2l

∣∣∣dϕ≤ 2π sup

ϕ∈[0,2π]

∣∣ ∞∑l=N+1

1

(2l)!(ξ2 + σ)l(π − |ϕ|)2l

∣∣ ≤ 2π∞∑

l=N+1

(|ξ|2 + σ)lπ2l

(2l)!−−−−−→N→∞

0.

Funkcje2π∫0

g(ξ, τ)(π− | ·−τ |)2l dτ s¡ analityczne w C o warto±ciach w L2(0, 2π), poniewa»

funkcja g(ξ, ·) jest analityczna. Zatem funkcja (4.3.12) jest granic¡ niemal jednostajniezbie»nego ci¡gu funkcji analitycznych, wi¦c na mocy twierdzenia Weierstrassa jest onaanalityczna. W dalszej cz¦±ci przyjrzymy si¦ odwzorowaniu

ξ 7−→ 1

2√ξ2 + σ sinh π

√ξ2 + σ

(4.3.13)

Przypadek λσk 6= 0. Wpierw poka»emy, »e w otoczeniu punktu iλσk zachodzi równo±¢

1

2√ξ2 + σ sinh π

√ξ2 + σ

=

(−1)kiaσ

k

ξ − iλσk+ Ψ(ξ), (4.3.14)

gdzie Ψ(ξ) jest pewn¡ funkcj¡ holomorczn¡ w otoczeniu punktu iλσk , tzn. funkcja okre±lonaw (4.3.13) ma w punkcie iλσk biegun pierwszego rz¦du. Zacznijmy od spostrze»enia, i» zewzoru sinh z =

∞∑l=0

z2l+1

(2l+1)!dostajemy

2√ξ2 + σ sinh π

√ξ2 + σ =

∞∑l=0

2π2l+1

(2l + 1)!(ξ2 + σ)l+1.

36

Oczywi±cie powy»sza funkcja jest analityczna, znika w iλσk , wi¦c korzystaj¡c z reguªyde l'Hospitala dostajemy

limξ→iλσ

k

ξ − iλσk∞∑l=0

2π2l+1

(2l+1)!(ξ2 + σ)l+1

= limξ→iλσ

k

1∞∑l=0

4π2l+1

(2l+1)!(l + 1)ξ(ξ2 + σ)l

=1

∞∑l=0

4π2l+1

(2l+1)!(l + 1)iλσk [(iλ

σk)

2 + σ]l.

Policzymy teraz t¦ sum¦ z mianownika:∞∑l=0

4π2l+1

(2l + 1)!(l+1)iλσk [(iλ

σk)

2+σ]l = 4iλσk

∞∑l=0

π2l+1

(2l + 1)!(l+1)(ik)2l = 4iπλσk

∞∑l=0

(l + 1)(ikπ)2l

(2l + 1)!

Dla ka»dego z ∈ C zachodzi równo±¢2 2∞∑l=0

(l+1)z2l

(2l+1)!= sinh z

z+ cosh z, wi¦c z powy»szego

dostajemy

2iπλσk

[sinh iπk

iπk+ cosh iπk

]= 2iπλσk

[sin πkπk

+ cosπk]

=(−1)ki

aσk.

Zatem wobec wzoru (4.1.10), analityczno±ci funkcji okre±lonej w (4.3.12) i równo±ci (4.3.14)dostajemy

resiλσ

k

v(ξ, ·)eiξt = (−1)k+1iaσke−λσ

k t

2π∫0

g(iλσk , τ) cos[k(π − | · −τ |)]dτ

Z równo±ci cos k(π − |ϕ− τ |) = (−1)k[cos kτ cos kϕ+ sin kτ sin kϕ] otrzymujemy

resiλσ

k

v(ξ, ϕ)eiξt = −iaσk( 2π∫

0

g(iλσk , τ) cos kτ dτ ·e−λσk t cos kϕ+

2π∫0

g(iλσk , τ) sin kτ dτ ·e−λσk t sin kϕ

)(4.3.15)

Korzystaj¡c z denicji (4.3.9), po zamianie zmiennych dostajemy2π∫0

g(iλσk , τ) cos kτ dτ =1√2π

∫R2

f · φσ,1−k dy,2π∫0

g(iλσk , τ) sin kτ dτ = − 1√2π

∫R2

f · φσ,2−k dy.

Zatem ró»nica (4.3.11) po uwzgl¦dnieniu (4.3.15) i powy»szych równo±ci przyjmuje posta¢

w1(t, ϕ)− w2(t, ϕ) = aσk

∫R2

f · φσ,1−k dy · e−λσ

k t cos kϕ− aσk

∫R2

f · φσ,2−k dy · e−λσ

k t sin kϕ,

zatem po zamianie zmienny dostajemy równo±¢ (4.3.5).2Otrzymujemy j¡ tak: 2

∞∑l=0

(l+1)z2l

(2l+1)!= 1

z

( ∞∑l=0

z2l+2

(2l+2)!

)′= 1

z

(z sinh z

)′= sinh z

z+ cosh z.

37

Przypadek λσk = 0, tzn. σ = 0 i k = 0. Zatem policzymy residuum funkcji v(ξ, ·)eiξtw zerze. Przyjmijmy, »e przez Λ(ξ) b¦dziemy oznacza¢ dowoln¡ funkcj¡ analityczn¡ wotoczeniu zera. W tym przypadku funkcja (4.3.13) przyjmuje posta¢

ξ 7→ 1

2ξ sinh πξ=

12π

ξ2+ Λ(ξ).

Natomiast pozostaªe funkcje przedstawiaj¡ si¦ nast¦puj¡co

g(ξ, τ) =1√2π

∞∫−∞

e−2sf(e−s cos τ, e−s sin τ)ds− i√2π

∞∫−∞

e−2ssf(e−s cos τ, e−s sin τ)ds·ξ+Γ(ξ)ξ2,

cosh ξ(π − |ϕ− τ |) = 1 + Λ(ξ)ξ2, eiξt = 1 + itξ + Λ(ξ)ξ2.

Zatem uwzgl¦dziaj¡c powy»sze równo±ci dostajemy

v(ξ, ϕ) · eiξt =1

(2π)3/2

2π∫0

∞∫−∞

e−2sf(e−s cos τ, e−s sin τ)dsdτ · 1

ξ2

+i

(2π)3/2

2π∫0

∞∫−∞

e−2sf(e−s cos τ, e−s sin τ)[t− s]dsdτ · 1

ξ+ Λ(ξ).

Tym samym otrzymujemy

resξ=0

v(ξ, ·)eiξt =i

(2π)3/2

2π∫0

∞∫−∞

e−2sf(e−s cos τ, e−s sin τ)[t− s]dsdτ

Zauwa»my, »e po zamianie zmiennych dostajemy2π∫0

∞∫−∞

e−2sf(e−s cos τ, e−s sin τ)[t− s]dsdτ =

∫R2

f(y)[t− ln |y|] dy.

Wtedy ró»nica (4.3.11) po uwzglednieniu powy»szych równo±ci przyjmuje posta¢

w1(t, ϕ)− w2(t, ϕ) = − t

2π

∫R2

fφ0,20 dy +

1

2π

∫R2

fφ0,10 dy.

Zatem po zamianie zmiennych otrzymujemy równo±¢ (4.3.6).Pozostaªo nam uzasadnienie równo±ci (4.3.5) i (4.3.6) w przypadku ogólnym, tj. gdy f ∈L2,µ1(R2) ∩ L2,µ2(R2). Niech zatem uj b¦d¡ takie, jak w zaªo»eniach twierdzenia i przezfnn∈N ⊆ D(

•R2) oznaczmy ci¡g taki, »e fn −→ f w normie L2,µ1(R2) ∩ L2,µ2(R2). Na

mocy twierdzenia 4.2.1 istniej¡ funkcje unj ∈ H2µj

(R2) speªniaj¡ce −∆unj + σr−2unj = fn

w R2 i zachodz¡ oszacowania

‖unj − uj‖H2µj

(R2) ≤ cj‖fn − f‖L2,µj(R2) −−−→

n→∞0.

38

Na mocy pierwszej cz¦±ci dowodu wiemy, »e ró»nica funkcji un1 i un2 jest postaci

un1 (x)− un2 (x) = aσk

∫R2

fnφσ,1−k dy · φσ,1k (x)− aσk

∫R2

fnφσ,2−k dy · φσ,2k (x) gdy λσk 6= 0 (4.3.16)

un1 (x)− un2 (x) = aσk

∫R2

fnφσ,1−k dy · φσ,2k (x) + aσk

∫R2

fnφσ,2−k dy · φσ,1k (x) gdy λσk = 0. (4.3.17)

Chcemy w tych równo±ciach przej±¢ do granicy, przy czym musimy wyró»ni¢ dwa przy-padki, poniewa» funkcje un1 i un2 nale»¡ do ró»nych przestrzeni funkcyjnych. Rozpoczni-jmy od rozwa»enia (4.3.16) i (4.3.17) na zbiorze B1 = x ∈ R2 : r < 1. Wtedy‖unj − unj ‖L2,µ2−2(B1) −−−→

n→∞0, gdy» µ1 < µ2. Przyjmuj¡c b = 1 gdy σ = 0, k = 0, m = 2 i

b = 0 w pozostaªych przypadkach, otrzymujemy

‖φσ,mk ‖2L2,µ2−2(B1) ≤ 2π

1∫0

r2λσk+2µ2−3| ln r|b dr <∞,

bo na mocy zaªo»enia (4.3.4) mamy 2λσk +2µ2− 3 > −1. Zauwa»my, »e ‖φσ,m−k ‖L2,−µ1 (B1) <

∞ i ‖φσ,m−k ‖L2,−µ2 (Bc1) <∞, poniewa»

1∫0

r2λσ−k−2µ1+1| ln r|b dr <∞ i

∞∫1

r2λσ−k−2µ2+1| ln r|b dr <

∞. Zatem wielko±¢∣∣∣ ∫

R2

fnφσ,m−k − fφσ,m−k dy∣∣∣ szacujemy przez

‖fn − f‖L2,µ1 (B1) · ‖φσ,m−k ‖L2,−µ1 (B1) + ‖fn − f‖L2,µ2 (Bc1) · ‖φσ,m−k ‖L2,−µ2 (Bc

1) −−−→n→∞

0. (4.3.18)

Przechodz¡c w równo±ciach (4.3.16), (4.3.17) do granicy w przestrzeni L2,µ2−2(B1) dosta-jemy (4.3.5), (4.3.6) na zbiorze B1.W przypadku zbioru Bc

1 = R2 \B1 post¦pujemy analogicznie, zamieniaj¡c rolami un1 i un2 .Mianowicie, korzystamy z (4.3.18) i z nast¦puj¡cych faktów

‖unj − unj ‖L2,µ1−2(Bc1) −−−→

n→∞0, ‖φσ,mk ‖2

L2,µ1−2(Bc1) <∞.

Przechodz¡c w równo±ciach (4.3.16), (4.3.17) do granicy w przestrzeni L2,µ2−2(Bc1) dosta-

jemy (4.3.5), (4.3.6) na zbiorze Bc1.

4.4 Zagadnienie w obszarze ograniczonymW tym podrozdziale b¦dziemy zajmowa¢ si¦ nast¦puj¡cym problemem3

−∆u+ σr−2u = f wd1

u = 0 na ∂d1 \ x : r = 0.(4.4.1)

Znajdziemy tutaj warunki konieczne i dostateczne zachodzenia oszacowa« a priori dlarozwi¡za« zagadnienia (4.4.1) i istnienia jednoznacznych rozwi¡za«. Ponadto opiszemy

3Oznaczenia wprowadzono na str. 10 i w (2.1.20).

39

j¡dro i koj¡dro operatora zwi¡zanego z powy»szym zagadnieniem. Pewnym utrudnieniembedzie tutaj fakt, i» przy σ = 0 nie dysponujemy wagowym rozwi¡zaniem zagadnienia(4.4.1) dla »adnego µ ∈ R. Wpierw otrzymamy oszacowania a priori dla rozwi¡za« (4.4.1),nast¦pnie wyka»emy istnienie rozwi¡za« dla µ ∈ (1 −

√σ, 1 +

√σ). Z kolei b¦dziemy

rozpatrywa¢ przypadki µ > 1 +√σ i µ < 1 −

√σ. Na koniec uzasadnimy, i» dla µ ∈ Sσ

nie zachodz¡ oszacowania a priori.Przypomnijmy, »e zbiór

d1 jest równy x ∈ d1 : r > 0. Przez η = η(r) oznaczymy gªadk¡

funkcj¦ wycinaj¡c¡ speªniaj¡c¡ warunki

η(r) = 1 dla r <1

3, η(r) = 0 dla r >

2

3. (4.4.2)

Przyjmijmy, »e P jest pier±cieniem x ∈ R2 : r ∈ (13, 1). Zacznijmy od wykazania

nast¦puj¡cego, niemal oczywistego stwierdzenia.

Stwierdzenie 4.4.1. Zaªó»my, »e σ ≥ 0 i µ < 1. Wtedy

a) je»eli u ∈H2µ(d1) speªnia równanie ∆u− σr−2u = 0 w

d1, to u ≡ 0.

b) je»eli u = u1 + u2, gdzie u1 ∈H2µ(d1), u2 ∈

H2(d1) i u speªnia równanie ∆u = 0 w

d1,

to u ≡ 0.

Dowód. (a) Funkcja u ∈H2µ(d1) jest dystrybucyjnym rozwi¡zaniem równania ∆u −

σr−2u = 0 wd1, czyli speªnia to»samo±¢∫

d1

u ·∆ϕ− σr−2u · ϕ dx = 0 dla ϕ ∈ D(d1). (4.4.3)

Oczywi±cie ∆u, r−2u nale»¡ do L2,µ(d1), zatem na mocy zaªo»enia o µ, ze stwierdzenia 3.1.4i uwagi 3.1.4 (patrz str. 19) wnioskujemy, »e u ∈ W 2,p(d1), r−2u ∈ Lp(d1) dla pewnegop ∈ (1, 2]. Zatem w powy»szym wzorze mo»emy dwukrotnie scaªkowa¢ przez cz¦±ci idostajemy ∫

d1

(∆u− σr−2u)ϕ dx = 0 dla ϕ ∈ D(d1).

Wiemy ju», »e ∆u−σr−2u ∈ Lp(d1), wi¦c z g¦sto±ci zbioru D(d1) w Lq(d1) otrzymujemy∫

d1

(∆u− σr−2u)ϕ dx = 0 dla ϕ ∈ Lq(d1), (4.4.4)

gdzie 1p+ 1

q= 1. Funkcja u nale»y doW 2,p(d1), zatem z twierdzenia Sobolewa o zanurzeniu

mamy W 2,p(d1) ⊆ C0,α(d1), wi¦c u ∈ Lq(d1), czyli podstawiaj¡c ϕ = u i uwzgl¦dniaj¡cto, i» r−2u nale»y do Lp(d1), dostajemy

−∫d1

∆u · u dx+ σ

∫d1

r−2|u|2 dx = 0.

40

Przypomnijmy, »e u nale»y do W 2,p(d1) ∩H1(d1), wi¦c mo»emy scaªkowa¢ przez cz¦±ci i

otrzymujemy ∫d1

|∇u|2 dx+ σ

∫d1

r−2|u|2 dx = 0,

czyli u ≡ 0.(b) Funkcja u ∈

H2µ(d1) jest dystrybucyjnym rozwi¡zaniem równania ∆u = 0 w

d1, czyli

speªnia to»samo±¢ ∫d1

u ·∆ϕ dx = 0 dla ϕ ∈ D(d1). (4.4.5)

Na mocy uwagi 3.1.4 (patrz str. 19) i zaªo»enia o postaci u mamy u ∈ W 2,p(d1) dlapewnego p ∈ (1, 2]. Zatem w powy»szej równo±ci mo»emy dwukrotnie scaªkowa¢ przezcz¦±ci i dostajemy ∫

d1

∆u · ϕ dx = 0 dla ϕ ∈ D(d1).

Wiemy ju», »e ∆u ∈ Lp(d1), wi¦c z g¦sto±ci zbioru D(d1) w Lq(d1) otrzymujemy∫

d1

∆u · ϕ dx = 0 dla ϕ ∈ Lq(d1), (4.4.6)

gdzie 1p+ 1

q= 1. Funkcja u nale»y doW 2,p(d1), zatem z twierdzenia Sobolewa o zanurzeniu

mamy u ∈ Lq(d1), wi¦c podstawiaj¡c ϕ = u mamy∫d1

∆u · u dx = 0.

Przypomnijmy, »e u nale»y do W 2,p(d1) ∩H1(d1), wi¦c mo»emy scaªkowa¢ przez cz¦±ci i

otrzymujemy ∫d1

|∇u|2 dx = 0,

czyli u ≡ 0.

4.4.1 Oszacowania a prioriWyka»emy teraz oszacowania a priori dla rozwi¡za« zagadnienia (4.4.1).Stwierdzenie 4.4.2. Zaªó»my, »e σ ≥ 0, µ 6∈ Sσ i µ < 1. Wtedy istnieje staªa c taka, »e

je»eli u ∈H2µ(d1) jest rozwi¡zaniem (4.4.1), to u speªnia oszacowanie

‖u‖H2µ(d1) ≤ c‖f‖L2,µ(d1) (4.4.7)

41

Uwaga 4.4.1. Wyst¦puj¡ce w zaªo»eniach ograniczenie µ < 1 wydaje si¦, na pierwszyrzut oka, zb¦dne, gdy» chcieliby±my otrzyma¢ powy»sze oszacowania a priori z oszacowa«w caªym R2 (które zachodz¡ dla ka»dego µ ∈ R \ Sσ) i oszacowa« w H2 z dala od zera.W dalszej cz¦±ci poka»emy, »e dla µ > 1 +

√σ teza powy»szego stwierdzenia nie jest

prawdziwa, a oszacowania dla µ ∈ [1, 1 +√σ) otrzymamy inn¡ metod¡.

Dowód. Zacznijmy od uzasadnienia, i» przy zaªo»eniach stwierdzenia zachodzi nierówno±¢

‖u‖H2µ(d1) ≤ c(σ, µ)‖f‖L2,µ(d1) + ‖u‖H1(P ), (4.4.8)

gdzie P jest pier±cieniem okre±lonym na pocz¡tku rozdziaªu. Mianowicie, dla funkcji ηspeªniaj¡cej (4.4.2) mamy oczywist¡ nierówno±¢ ‖u‖H2

µ(d1) ≤ ‖ηu‖H2µ(d1)+‖(1−η)u‖H2

µ(d1).Jest jasne, »e ηu nale»y do przestrzeni H2

µ(R2), zatem korzystaj¡c z nierówno±ci (4.2.1)dostajemy

‖ηu‖H2µ(d1) ≤ c(σ, µ)‖f‖L2,µ(d1) + ‖u‖H1(P ).

Natomiast drugi skªadnik szacujemy korzystaj¡c z oszacowa« w H2 dla rozwi¡za« równa-nia Poissona i otrzymujemy

‖(1− η)u‖H2µ(d1) ≤ c(µ)‖(1− η)u‖H2(d1)

≤ c(σ, µ)‖(1− η)f‖L2(d1) + ‖u‖H1(P ) ≤ c‖f‖L2,µ(d1) + ‖u‖H1(P ),

gdzie staªa c zale»y jedynie od σ i µ. Tym samym mamy ju» (4.4.8). Nierówno±¢ (4.4.7)wyka»emy nie wprost. Zaªó»my zatem, »e istnieje ci¡g unn∈N ⊆

H2µ(d1) taki, »e

1 = ‖un‖H2µ(d1) > n‖(∆− σr−2)un‖L2,µ(d1). (4.4.9)

Zauwa»my, »e ci¡g unn∈N jest ograniczony wH2µ(d1), a ci¡g un|Pn∈N jest ograniczony

w H2(P ), zatem istniej¡ podci¡g unkk∈N i funkcja u ∈

H2µ(d1) takie, »e

unk u w

H2µ(d1), unk |P −→ u|P w H1(P ). (4.4.10)

Z (4.4.9) i sªabej póªci¡gªo±ci z doªu normy dostajemy ∆u − σr−2u = 0 wd1. Wobec

(4.4.10), z nierówno±ci (4.4.8) wnioskujemy, »e

‖u− unk‖H2

µ(d1) ≤ c(σ, µ)(‖(∆− σr−2)unk

‖L2,µ(d1) + ‖u− unk‖H1(P )

)−−−−−→k→∞

0.

W szczególno±ci dostajemy

‖u‖H2µ(d1) = lim

k→∞‖unk

‖H2µ(d1) = 1. (4.4.11)

Z drugiej strony, mamy u ∈H2µ(d1) speªniaj¡ce równanie ∆u − σr−2u = 0 w

d1, zatem

wobec zaªo»enia o µ i stwierdzenia 4.4.1 mamy u ≡ 0, wbrew (4.4.11).

Wyka»emy teraz nast¦puj¡ce oszacowanie.

42

Stwierdzenie 4.4.3. Zaªó»my, »e µ ∈ R, σ ≥ 0 i u ∈H2Loc(d1) speªnia równanie (∆ −

σr−2)u = f wd1, gdzie f ∈ L2,µ(d1). Wtedy

‖u‖H2µ(d1) ≤ c

(‖f‖L2,µ(d1) + ‖u‖L2,µ−2(d1)

)(4.4.12)

dla pewnej staªej c zale»nej tylko od σ i µ.

Dowód. Oczywi±cie wystarczy wykaza¢ powy»sze oszacowanie dla σ = 0. Wtedy przyjmu-j¡c η i P takie jak w dowodzie stwierdzenia 4.4.2 mo»emy napisa¢ ‖u‖H2

µ(d1) ≤ ‖ηu‖H2µ(d1)+

‖(1− η)u‖H2µ(d1), przy czym mamy

‖(1− η)u‖H2µ(d1) ≤ c(µ)‖(1− η)u‖H2(d1)

≤ c(µ)‖(1− η)f‖L2(d1) + ‖u‖H1(P ) ≤ c‖f‖L2,µ(d1) + ‖u‖L2,µ−2(d1) + ‖∇u‖L2(P ),gdzie staªa c zale»y jedynie od µ. Z drugiej strony funkcja ηu nale»y do H2

Loc(R2), wi¦c zestwierdzenia 3.2.5 wnioskujemy, »e

‖ηu‖H2µ(d1) ≤ c(µ)‖f‖L2,µ(d1) + ‖u‖L2,µ−2(d1) + ‖∇u‖L2(P ).

W ko«cu przyjmijmy, »e χ = χ(r) jest gªadk¡ funkcj¡ wycinaj¡c¡ tak¡, »e χ(r) = 1 dlar > 1

3i χ(r) = 0 dla r < 1

4. Wtedy caªkuj¡c przez cz¦sci otrzymujemy

−∫d1

∆u · u · χ2 dx =

∫d1

|∇u|2χ2 dx+ 2

∫d1

∇u · ∇χ · uχ dx.

Zatem korzystaj¡c z nierówno±ci Cauchy'ego dostajemy

‖∇u‖2L2(P ) ≤

∫d1

|∇u|2χ2 dx ≤ c(µ)‖∆u‖2L2,µ(d1) + ‖u‖2

L2,µ−2(d1),

co po uwzgl¦dnieniu wcze±niejszych nierówno±ci prowadzi do (4.4.12) dla σ = 0.

4.4.2 Istnienie rozwi¡za«Poka»emy teraz twiedzenie o istnieniu rozwi¡za« zagadnienia (4.4.1).

Twierdzenie 4.4.1. Zaªó»my, »e σ > 0 i µ ∈ (1 −√σ, 1 +

√σ). Wtedy dla ka»dego

f ∈ L2,µ(d1) istnieje dokªadnie jedno u ∈H2µ(d1) b¦d¡ce rozwi¡zaniem zagadnienia (4.4.1)

i zachodzi oszacowanie‖u‖H2

µ(d1) ≤ c‖f‖L2,µ(d1), (4.4.13)gdzie staªa c zale»y jedynie od µ i σ.

Dowód. Wprowad¹my oznaczenia H :=H1µ−1(d1), L := L2,µ(d1) i niech B[·, ·] : H×H −→

R b¦dzie zdeniowane nast¦puj¡co

B[u, ϕ] =

∫d1

∇u · ∇ϕ · r2µ−2 dx+ σ

∫d1

uϕr2µ−4 dx+ (2µ− 2)

∫d1

∇u · ∇r · ϕr2µ−3 dx.

43

Oczywi±cieB[·, ·] jest ci¡gª¡ form¡ dwuliniow¡ naH. Ponadto jest ona eliptyczna, poniewa»z nierówno±ci∣∣∣(2µ− 2)

∫d1

∇u · ∇r · ur2µ−3 dx∣∣∣ ≤ |µ− 1|√

σ‖∇u‖2

L2,µ−1(d1) + |µ− 1|√σ‖u‖2

L2,µ−2(d1),

po oznaczeniu γ := 1− |µ−1|√σ> 0, dostajemy

B[u, u] ≥ ‖∇u‖2L2,µ−1(d1)+σ‖u‖2

L2,µ−2(d1)−∣∣∣(2µ−2)

∫d1

∇u·∇r·ur2µ−3 dx∣∣∣ ≥ γmin1, σ‖u‖2

H .

Z drugiej strony je»eli f ∈ L2,µ(d1), to funkcjonaª ϕ 7→∫d1

fϕr2µ−2 dx jest liniowy i ci¡gªy

na H. Stosuj¡c lemat Laxa-Milgrama dostajemy dokªadnie jedno u ∈ H speªniaj¡ceto»samo±¢

B[u, ϕ] =

∫d1

fϕr2µ−2 dx ∀ϕ ∈ H, (4.4.14)

wraz z oszacowaniem‖u‖H ≤ c‖f‖L, (4.4.15)

dla pewnej staªej c, zale»nej jedynie od µ i σ. We¹my dowolne ψ ∈ D(d1) i poªó»my

ϕ = ψr2−2µ. Wtedy mamy ϕ ∈ H i z (4.4.14) dostajemy∫d1

∇u · ∇ψ dx =

∫d1

(f − σr−2u)ψ dx dla ψ ∈ D(d1). (4.4.16)

Funkcja u nale»y doH1Loc(d1) i speªnia (4.4.16), wi¦c u nale»y do

H2Loc(d1) i (−∆ +

σr−2)u = f wd1. Wobec tego z oszacowania (4.4.12) ze stwierdzenia 4.4.3 otrzymujemy

‖u‖H2µ(d1) ≤ c‖f‖L + ‖u‖H,

gdzie c = c(µ, σ). Powy»sze oszacowanie razem z (4.4.15) daj¡ (4.4.13).Pozostaªo nam uzasadnienie jednoznaczo±ci rozwi¡za« (4.4.1) w przestrzeni

H2µ(d1). Otrzy-

mujemy j¡ w nast¦puj¡cy sposób: niech u ∈H2µ(d1) speªnia −∆u+σr−2u = 0 w

d1. Wtedy

mno»ymy strony równo±ci przez r2µ−2ϕ, gdzie ϕ ∈ D(d1) i caªkujemy po d1. Po scaªkowa-

niu przez cz¦±ci dostajemy B[u, ϕ] = 0. Wobec g¦sto±ci D(d1) w H i ci¡gªo±ci B[u, ·]

dostajemy 0 = B[u, u] ≥ γmin1, σ‖u‖2H , czyli u ≡ 0.

4.4.3 Przypadek µ > 1 +√σ

W dalszej cz¦±ci zajmniemy si¦ analiz¡ rozwi¡zywalno±ci zagadnienia (4.4.1), gdy µ 6∈(1 −

√σ, 1 +

√σ). Wprowad¹my wpierw dodatkowe oznaczenia. Dla σ ≥ 0, k ∈ Zσ,

j = 1, 2 kªadziemyµσ± =

1±

√σ

2gdy σ > 0

1± 12

gdy σ = 0.(4.4.17)

44

Funkcje T σ,jk deniujemy jako rozwi¡zanie zagadnienia (4.4.1) z praw¡ stron¡ równ¡4(∆ − σr−2)(ηφσ,jk ), przy czym dla σ > 0 jest to rozwi¡zanie nale»¡ce do przestrzeniH2µσ−(d1), wyznaczone jednoznacznie na mocy twierdzenia 4.4.1, natomiast dla σ = 0 jest to

rozwi¡zanie nale»¡ce doH2(d1). Denicja ta jest poprawna, poniewa» (∆−σr−2)φσ,jk ≡ 0

wd1, zatem (∆ − σr−2)(ηφσ,jk ) jest funkcj¡ gªadk¡ o no±niku zwartym w

d1, wi¦c nale»y

do L2,µ(d1) dla dowolnego µ ∈ R. Ponadto kªadziemy

Sσ,jk = T σ,jk − ηφσ,jk . (4.4.18)

Wtedy oczywi±cie mamy Sσ,jk 6≡ 0 wtedy i tylko wtedy, gdy sgn k ≤ 0∧(|k| = 0 =⇒ j = 1)

i funkcje Sσ,jk speªniaj¡ równanie

(∆− σr−2)Sσ,jk ≡ 0 wd1. (4.4.19)

Wyka»emy teraz nast¦puj¡ce stwierdzenie.

Stwierdzenie 4.4.4. Zaªó»my, »e σ ≥ 0, µ > 1 +√σ, µ 6∈ Sσ i f ∈ L2,µ(d1). Wtedy

istnieje u ∈H2µ(d1) b¦d¡ce rozwi¡zaniem (4.4.1). Ponadto, je»eli w ∈

H2µ(d1) jest innym

rowi¡zaniem (4.4.1) z praw¡ stron¡ równ¡ f , to

w = u+∑

µσ−<λ

σk<µ

c1kSσ,1k + c2kS

σ,2k , (4.4.20)

dla pewnych liczb c1k, c2k.

Oczywi±cie powy»sza suma jest rozumiana jako suma po zbiorze k ∈ Zσ : µσ− < λσk < µ

Dowód. Poka»emy wpierw, »e przy zaªo»eniach stwierdzenia istnieje rozwi¡zanie u ∈H2µ(d1). Przypomnijmy, »e funkcja η zostaªa okre±lona na pocz¡tku tego podrozdziaªu. Wt-

edy mamy ηf ∈ L2,µ(R2), zatem na mocy twierdzenia 4.2.1 istnieje h1 ∈ H2µ(R2), speªnia-

j¡ce równanie (∆−σr−2)h1 = ηf w•R2. Poªó»my f1 = (1−η2)f−2∇η∇h1−∆ηh1. Wtedy

oczywi±cie mamy f1 ∈ L2(d1)∩L2,µσ−(d1). Niech h2 b¦dzie rozwi¡zaniem (∆−σr−2)h2 = f1

wd1 nale»¡cym do

H2µσ−(d1) przy σ > 0 (danym na mocy twierdzenie 4.4.1), natomiast

przy σ = 0 funkcja h2 jest rozwi¡zaniem zH2(d1). Wtedy kªadziemy

u = ηh1 + h2. (4.4.21)

Poka»emy wpierw, »e u ∈H2µ(d1). Otó» mamy ηh1 ∈ H2

µ(d1), bo h1 ∈ H2µ(R2). Natomiast

drugi skªadnik, w przypadku σ > 0, te» nale»y do H2µ(d1), bo µσ− < µ. Przy σ = 0

post¦pujemy tak: na mocy stwierdzenia 4.4.3 funkcja h2 speªnia nierówno±¢

‖h2‖H2µ(d1) ≤ c(‖f1‖L2,µ(d1) + ‖h2‖L2,µ−2(d1)).

4Funkcja η speªnia (4.4.2), natomiast φσ,jk zostaªy okre±lone w (4.3.1), (4.3.2) (str. 33).

45

Oczywi±cie ‖f1‖L2,µ(d1) ≤ ‖f1‖L2(d1) <∞, a poniewa» h2 znika na brzegu d1 i µ > 1, wi¦cmo»emy zastosowa¢ nierówno±¢ Hardy'ego (3.1.1) i dostajemy

‖h2‖L2,µ−2(d1) ≤1

|µ− 1|‖∇h2‖L2,µ−1(d1) ≤

1

|µ− 1|‖h2‖L2(d1) <∞.

Zatem h2 ∈ H2µ(d1), a jako »e h2 znika na brzegu d1, to wnioskujemy, »e u ∈

H2µ(d1).

Natomiast z okre±lenia funkcji h1 i h2 wnioskujemy, »e (∆−σr−2)u = f wd1, czyli u jest

szukanym rozwi¡zaniem. Przejdziemy teraz do uzasadnienia drugiej cz¦±ci stwierdzenia.Mianowicie zaªó»my, »e w ∈

H2µ(d1) speªnia równanie (∆ − σr−2)w = f w

d1 i niech u

b¦dzie wy»ej skonstruowan¡ funkcj¡. Poªó»my f2 = ∆η · (w− u) + 2∇η∇(w− u). Wtedyoczywi±cie mamy f2 ∈ L2,µσ

−(R2), zatem na mocy twierdzenia 4.2.1 istnieje h3 ∈ H2

µσ−(R2)

speªniaj¡ce (∆ − σr−2)h3 = f2 w•R2. Jako, »e η(w − u) ∈ H2

µ(R2), h3 ∈ H2µσ−(R2) i

(∆− σr−2)[η(w− u)] = (∆− σr−2)h3 = f2 wd1, to korzystaj¡c z twierdzenia o ró»nicach

rozwi¡za« (twierdzenie 4.3.1) dostajemy równo±¢

η(w − u)− h3 =∑

µσ−<λ

σk<µ

c1kφσ,1k + c2kφ

σ,2k

dla pewnych liczb c1k, c2k. Jako, »e h3 ∈ H2µσ−(R2), to mamy

v1 := w − u−∑

µσ−<λ

σk<µ

c1kηφσ,1k + c2kηφ

σ,2k ∈

H2µσ−(d1). (4.4.22)

Poªó»myv2 :=

∑µσ−<λ

σk<µ

c1kTσ,1k + c2kT

σ,2k . (4.4.23)

Wtedy na mocy denicji (4.4.18) mamy

v := v1 + v2 = w − u+∑

µσ−<λ

σk<µ

c1kSσ,1k + c2kS

σ,2k . (4.4.24)

Do zako«czenia dowodu wystarczy pokaza¢, »e v ≡ 0. Wpierw odnotujmy, »e z (4.4.19)dostajemy (∆− σr−2)v ≡ 0 w

d1. Je»eli σ > 0, to z okre±lenia funkcji T σ,jk (patrz str. 45)

mamy v2 ∈H2µσ−(d1), czyli v ∈

H2µσ−(d1). Jako »e µσ− < 1, to ze stwierdzenia 4.4.1 (a)

dostajemy v ≡ 0. Natomiast gdy σ = 0, to z okre±lenia funkcji T σ,jk dostajemy v2 ∈H2(d1),

zatem korzystaj¡c ze stwierdzenia 4.4.1 (b) wnioskujemy, »e v ≡ 0.

4.4.4 Przypadek µ < 1−√σ

Teraz b¦dziemy bada¢ przypadek µ < 1 −√σ, przy czym rozgraniczymy podprzypadki:

σ > 0 i σ = 0.

46

Stwierdzenie 4.4.5. Zaªó»my, »e σ > 0, µ < 1 −√σ, µ 6∈ Sσ i f ∈ L2,µ(d1). Wtedy

istnieje dokªadnie jedno w ∈H2µσ

+(d1) b¦d¡ce rozwi¡zaniem (4.4.1). Ponadto,

w −∑

(j,k)∈I

cjkηφσ,jk ∈

H2µ(d1), (4.4.25)

gdzie I = (j, k) : (µ < λσk < µσ+) ∧ (|k| > 0 ∨ j = 1), natomiast liczby cjk dane s¡warunkami

cjk = −aσk∫d1

f · Sσ,j−k dx. (4.4.26)

Przypomnijmy, »e funkcje φσ,jk i liczby aσk zostaªy zdenowane na stronie 33, natomiastfunkcje Sσ,jk okre±lono w (4.4.18). Oczywi±cie dla |k| = 0 mamy φσ,2k = Sσ,2k ≡ 0, st¡d wsumie (4.4.25) pomijamy skªadnik odpowiadaj¡cy |k| = 0 i j = 2.

Dowód. Oczywi±cie, je»eli f ∈ L2,µ(d1), to f ∈ L2,µσ+(d1), zatem na mocy twierdzenia 4.4.1

istnieje dokªadnie jedno w ∈H2µσ

+(d1) speªniaj¡ce (∆ − σr−2)w = f w

d1. Wprowad¹my

oznaczenie f1 = ηf + 2∇η∇w + ∆ηw. Wtedy f1 ∈ L2,µ(R2), zatem z twierdzenia 4.2.1otrzymujemy u ∈ H2

µ(R2) speªniaj¡ce (∆−σr−2)u = f1 w•R2. Jako »e (∆−σr−2)(ηw) = f1

w•R2 i f1 ∈ L2,µ(R2) ∩ L2,µσ

+(R2), to z twierdzenia 4.3.1 otrzymujemy

ηw − u =∑

(j,k)∈I

cjkφσ,jk , (4.4.27)

dla pewnych staªych cjk. W szczególno±ci mamy

w −∑

(j,k)∈I

cjkηφσ,jk ∈

H2µ(d1). (4.4.28)

Zatem dowód b¦dzie zako«czony, je»eli poka»emy, »e liczby cjk speªniaj¡ (4.4.26). W tymcelu zastosujemy wzór Greena na pier±cieniu d1\dδ, gdzie dla δ > 0 przyj¦li±my oznaczeniedδ = x ∈ R2 : r < δ. We¹my zatem j ∈ 1, 2 i k ∈ Zσ takie, »e µ < λσk < µσ+. Napocz¡tek poka»emy, »e

‖T σ,j−k ‖H11−µ(d1) <∞, ‖Sσ,j−k‖H1

1−µ(d1) <∞. (4.4.29)

Istotnie, z denicji T σ,j−k nale»y do H2µσ−(d1), a z nierówno±ci µσ−− 1 ≤ 1−µ mamy inkluzj¦

H2µσ−(d1) ⊆ H1

1−µ(d1), tak wi¦c ‖T σ,j−k ‖H11−µ(d1) < ∞. Natomiast wobec (4.4.18) mamy

‖Sσ,j−k‖H11−µ(d1) ≤ ‖T σ,j−k ‖H1

1−µ(d1) + ‖ηφσ,j−k‖H11−µ(d1). T¡ ostatni¡ wielko±¢ szacujemy tak

‖ηφσ,j−k‖2H1

1−µ(d1) ≤ c

1∫0

r−2λσk−2µ+1 dr <∞,

47

bo nierówno±¢ −2λσk−2µ+1 > −1 wynika z zaªo»enia µ < λσk . W ten sposób uzasadnili±my(4.4.29). Poka»emy teraz, »e dla l takiego, »e λσl < µσ+ i k takiego jak wcze±niej zachodzi

‖φσ,jl ‖H1µσ+−1

(d1) <∞, ‖T σ,j−k ‖H22−µσ

+(d1) <∞. (4.4.30)

Otó», to pierwsze jest sko«czone, bo na mocy zaªo»enia o l mamy1∫0

r2λσl +2µσ

+−3 dr <∞. Z

kolei druga nierówno±¢ jest konsekwencj¡ tego, »e ‖T σ,j−k ‖H2µσ−

(d1) <∞, bo na mocy denicjimamy 2 − µσ+ = µσ−. Przejd¹my teraz do wyliczenia prawej strony (4.4.26). Na pocz¡tekkorzystaj¡c ze wzoru Greena dostajemy∫

d1\dδ

f · Sσ,j−k dx =

∫d1\dδ

(∆− σr−2)w · Sσ,j−k dx

=

∫d1\dδ

w · (∆− σr−2)Sσ,j−k dx+

2π∫0

( ∂∂rSσ,j−k · w − Sσ,j−k ·

∂

∂rw)dϕr∣∣r=δ.

Na mocy (4.4.19) przedostatnia caªka jest równa zero. Zauwa»my, »e wobec (4.4.29) mamy∫d1

|f · Sσ,j−k | dx ≤ ‖f‖L2,µ(d1) · ‖Sσ,j−k‖L2,−µ(d1) <∞,

wi¦c, je»eli poka»emy, »e2π∫0

( ∂∂rSσ,j−k · w − Sσ,j−k ·

∂

∂rw)dϕr∣∣r=δn −→ − c

jk

aσk(4.4.31)

dla pewnego ci¡gu δn 0, to na mocy twierdzenia Lebesgue'a o zmajoryzowanym przej±-ciu do granicy po znakiem caªki otrzymamy (4.4.26). Aby policzy¢ t¡ granic¦ skorzystamyz równo±ci (4.4.27). Wtedy dla r < 1

2dostajemy

2π∫0

( ∂∂rSσ,j−k · w − Sσ,j−k ·

∂

∂rw)dϕr

=

2π∫0

∂

∂rSσ,j−k ·

[u+

∑(m,l)∈I

cml φσ,ml

]dϕr −

2π∫0

Sσ,j−k ·∂

∂r

[u+

∑(m,l)∈I

cml φσ,ml

]dϕr.

Korzystaj¡c z denicji (4.4.18) funkcji Sσ,j−k mamy

2π∫0

∂

∂rSσ,j−k · u− Sσ,j−k ·

∂

∂ru+

∑(m,l)∈I

cml( ∂∂rT σ,j−k · φ

σ,ml − T σ,j−k ·

∂

∂rφσ,ml

)dϕ r

48

+

2π∫0

∑(m,l)∈I

cml( ∂∂rφσ,j−k · φ

σ,ml − φσ,j−k ·

∂

∂rφσ,ml

)dϕ r ≡ Ij,k0 (r) + Ij,k1 (r). (4.4.32)

Policzymy wpierw drugi skªadnik. Otó» bezpo±rednim rachunkiem dostajemy

Ij,k1 (r) = − cjk

aσk. (4.4.33)

Zatem dowód b¦dzie zako«czony, o ile poka»emy, »e

Ij,k0 (r)∣∣r=δn −→ 0 (4.4.34)

dla pewnego ci¡gu δn 0. Zauwa»my, »e w tym celu wystarczy uzasadni¢, »e1∫

0

|Ij,k0 (r)|r−1 dr <∞. (4.4.35)

Korzystaj¡c z nierówno±ci Schwarza dostajemy1∫

0

|Ij,k0 (r)|r−1 dr ≤ ‖ ∂∂rSσ,j−k‖L2,1−µ(d1) · ‖u‖L2,µ−2(d1) + ‖Sσ,j−k‖L2,−µ(d1) · ‖

∂

∂ru‖L2,µ−1(d1)

+∑

(m,l)∈I

|cml |[‖ ∂∂rT σ,j−k ‖L2,1−µσ

+(d1) · ‖φσ,ml ‖L2,µσ

+−2(d1) + ‖T σ,j−k ‖L2,−µσ+

(d1) · ‖∂

∂rφσ,ml ‖L2,µσ

+−1(d1)

].

Jako, »e mamy (4.4.29), (4.4.30) i u ∈ H2µ(d1), to wnioskujemy, i» powy»sze wyra»enie

jest sko«czone, st¡d mamy (4.4.35) i tym samym dowód stwiedzenia jest zako«czony.

Wniosek 4.4.1. Zaªó»my, »e σ > 0, µ < 1−√σ, µ 6∈ Sσ i f ∈ L2,µ(d1). Wtedy: istnieje

w ∈H2µ(d1) speªniaj¡ce (∆− σr−2)w = f w

d1 wtedy i tylko wtedy, gdy

∫d1

f · Sσ,j−k dx = 0

dla (j, k) ∈ I.

Dowód. Zaªó»my wpierw, »e istnieje w ∈H2µ(d1) speªniaj¡ce (∆ − σr−2)w = f w

d1.

Wtedy w ∈H2µσ

+(d1), zatem na mocy (4.4.25) mamy

∑(j,k)∈I

cjkηφσ,jk ∈ H2

µ(d1). Jednak»e dla

(j, k) ∈ I mamy

‖ηφσ,jk ‖2L2,µ−2(d1) ≥ π

1/3∫0

r2λσk+2µ−3 dr = ∞,

bo nierówno±¢ 2λσk + 2µ− 3 < −1 wynika z tego, »e µ < λσk . Przeto cjk = 0 dla (j, k) ∈ I,

a wobec (4.4.26) dostajemy∫d1

f · Sσ,j−k dx = 0 dla (j, k) ∈ I.

49

Zaªó»my teraz, »e∫d1

f · Sσ,j−k dx = 0 dla (j, k) ∈ I. Wtedy ze stwierdzenia 4.4.5 dostajemy

w ∈H2µσ

+(d1) speªniaj¡ce (∆ − σr−2)w = f w

d1. Z kolei z zaªo»enia i (4.4.25), (4.4.26)

wnioskujemy, »e w ∈H2µ(d1).

Uwaga 4.4.2. W dalszej cz¦±ci, przy zaªo»eniu, »e σ = 0, wyka»emy rezultat analog-iczny do tego z wniosku 4.4.1. Formuªujemy go oddzielnie, gdy» przypadek σ = 0 wymaganieco innego podej±cia, bo przy σ = 0 zagadnienie (4.4.1) dla »adnego µ ∈ R nie jestjednoznacznie rozwi¡zywalne w H2

µ(d1) przy danych z L2,µ(d1).

Stwierdzenie 4.4.6. Zaªó»my, »e k ∈ Z, k ≥ 0, µ ∈ (−k, 1− k) i niech f ∈ L2,µ(d1).

Wtedy: istnieje u ∈H2µ(d1) speªniaj¡ce ∆u = f w

d1 wtedy i tylko wtedy, gdy

∫d1

S0,10 f dx =

0,∫d1

S0,j−i f dx = 0 dla j = 1, 2, i = 1, ..., k.

Dowód. Wpierw wyka»emy powy»sze stwierdzenie dla k = 0, a nast¦pnie rozpatrzymyprzypadek k ≥ 1.Przypadek k = 0. Zaªó»my na pocz¡tek, »e

∫d1

S0,10 f dx = 0. Zauwa»my, »e z nierówno±ci

Hardy'ego (3.1.1) i tego, »e µ < 1 otrzymujemy∣∣∣ ∫d1

fϕ dx∣∣∣ ≤ ‖f‖L2,µ(d1) · ‖ϕr−µ‖L2(d1) ≤ c(µ)‖f‖L2,µ(d1) · ‖ϕ‖H1(d1)

dla ϕ ∈ D(d1), zatem f deniuje ci¡gªy funkcjonaª liniowy naH1(d1). Niech zatem u ∈

H1(d1) b¦dzie sªabym rozwi¡zaniem równania ∆u = f w d1. Oczywi±cie f nale»y do Lp(d1)dla pewnego p > 1, zatem u ∈ W 2,p(d1), czyli u jest ci¡gªe w d1 i mo»emy zdeniowa¢funkcj¦ w = u− u(0). Poka»emy, »e

w = u− u(0) ∈ H2µ(d1). (4.4.36)

W tym celu poªó»my f1 = ∆η · w + 2∇η · ∇u + ηf , gdzie η jest funkcj¡ wycinaj¡c¡okre±lon¡ na pocz¡tku tego rozdziaªu (strona 40). Wtedy mamy f1 ∈ L2,µ(R2)∩L2,µ+1(R2).Zauwa»my, »e z nierówno±ci Hardy'ego (3.1.1) dostajemy

‖ηw‖L2,µ−1(R2) ≤ c(µ)‖w‖H1(d1) <∞,

a jako, »e ∆(ηw) ∈ L2,µ+1(R2), to ze stwierdzenia 3.2.5 (str. 23) wnioskujemy, »e ηw ∈H2µ+1(R2). Niech h1 ∈ H2

µ(R2) b¦dzie rozwi¡zaniem równania ∆h1 = f1 w•R2 danym na

mocy twierdzenia 4.2.1. Wtedy, wobec twierdzenia 4.3.1 mówi¡cego o ró»nicach rozwi¡za«,dostajemy

h1 − ηw =1

2π

∫R2

f1 ln |y| dy +1

2π

∫R2

f1 dy · ln r. (4.4.37)

Oczywi±cie funkcja h1 jest ci¡gªa w zerze, nale»y do L2,µ−2(R2) przy µ < 1, st¡d h1(0) =0. Ponadto, wiemy ju», »e w(0) = 0, wi¦c z równo±ci (4.4.37) wnioskujemy wpierw, »e

50

∫R2

f1 dy = 0, a nastepnie∫R2

f1 ln |y| dy = 0. Tym samym dostajemy ηw = h1 ∈ H2µ(R2),

czyli mamy (4.4.36). Zatem dowód implikacji w jedn¡ stron¦ b¦dzie zako«czony, o ileuzasadnimy, »e u(0) = 0. W tym celu odnotujmy wpierw, »e z nierówno±ci Hardy'ego(3.1.1) mamy∫d1

|S0,10 f | dy ≤ ‖f‖L2,µ(d1)·‖S0,1

0 ‖L2,−µ(d1) ≤ ‖f‖L2,µ(d1)·[‖T 0,1

0 ‖L2,−µ(d1)+‖ ln r‖L2,−µ(d1)

]<∞.

Zatem korzystaj¡c z twierdzenia Lebesgue'a o zmajoryzowanym przej±ciu do granicy poznakiem caªki dostajemy

0 =

∫d1

S0,10 f dx = lim

δ→0

∫d1\dδ

S0,10 f dx. (4.4.38)

Odnotujmy, i» S0,10 , u ∈ H2(d1 \ dδ), zatem stosuj¡c wzór Greena przy δ ∈ (0, 1/3)

dostajemy

∫d1\dδ

S0,10 f dx =

∫d1\dδ

S0,10 ∆u dx =

2π∫0

( ∂∂rS0,1

0 · u− S0,10 · ∂

∂ru)dϕ · r∣∣∣r=δ,

gdzie skorzystali±my z harmoniczno±ci funkcji S0,10 w

d1. Uwzgl¦dniaj¡c denicj¦ S0,1

0

((4.4.18) str. 45) dostajemy2π∫0

( ∂∂rT 0,1

0 · u− T 0,10 · ∂

∂ru+ ln r · ∂

∂ru)dϕ · r −

2π∫0

udϕ∣∣∣r=δ ≡ I0(δ)− I1(δ).

Wobec ci¡gªo±ci funkcji u w zerze dostajemy limδ→0

I1(δ) = 2πu(0). Zatem wobec (4.4.38)równo±¢ u(0) = 0 b¦dzie uzasadniona, o ile poka»emy, »e I0(δn) → 0 dla pewnego ci¡guδn zbie»nego do zera. Z kolei to ostatnie wynika z tego, »e

1∫0

|I0(r)|r−1 dr ≤1∫

0

2π∫0

∣∣∣ ∂∂rT 0,1

0 · u∣∣∣+ ∣∣∣ ∂

∂ru · T 0,1

0

∣∣∣+ ∣∣∣ ∂∂ru · ln r

∣∣∣dϕ dr≤ ‖ ∂

∂rT 0,1

0 ‖L2,− 1

2(d1) · ‖u‖L

2,− 12(d1) + ‖ ∂

∂ru‖L2,µ−1(d1) · ‖T 0,1

0 ‖L2,−µ(d1)

+‖ ∂∂ru‖L2,µ−1(d1) · ‖ ln r‖L2,−µ(d1) <∞,

gdy» T 0,10 ∈ H2(d1), u ∈ H1(d1) i w = u − u(0) ∈ H2

µ(d1). Tym samym zako«czyli±mydowód implikacji w jedn¡ stron¦.Zaªó»my teraz, »e u ∈

H2µ(d1) jest rozwi¡zaniem ∆u = f w

d1. Poªó»my f2 = ηf + 2∇η ·

∇u + ∆η · u ∈ L2,µ(R2) ∩ L2,µ+1(R2). Niech h2 ∈ H2µ+1(R2) b¦dzie rozwi¡zaniem równa-

nia ∆h2 = f2 w•R2 danym na mocy twierdzenia 4.2.1. Wtedy, wobec twierdzenia 4.3.1

51

mówi¡cego o ró»nicach rozwi¡za«, dostajemy

ηu− h2 =1

2π

∫R2

f2 ln |y| dy +1

2π

∫R2

f2 dy · ln r. (4.4.39)

Odnotujmy wpierw, »e wobec uwagi 3.1.4 (str. 19) mamy ηu ∈ W 2,p(R2) dla pewnego p ∈(1, 2), mo»emy wi¦c napisa¢

∫R2

f2 dy =∫d1

∆(ηu) dy =∫∂d1

∂∂n

(ηu)dσ = 0, gdy» supp η ⊆ d1.

Z drugiej strony mamy h2 ∈ L2,µ−1(R2), natomiast 1 6∈ L2,µ−1(R2 \ d1), gdy»∞∫1

r2µ−1 dr =

12µr2µ∣∣∣∞1

= ∞, przeto z (4.4.39) otrzymujemy∫R2

f2 ln |y| dy = 0. Tym samym dowód b¦dzie

zako«czony, gdy poka»emy, »e∫d1

∆(ηu) · ln r + ∆u · S0,10 dx = 0. (4.4.40)

W tym celu bierzemy δ ∈ (0, 1/3) i stosuj¡c wzór Greena dostajemy

∫d1\dδ

∆(ηu) · ln r + ∆u · S0,10 dx =

2π∫0

( ∂∂rT 0,1

0 · u− T 0,10 · ∂

∂ru)dϕ · r∣∣r=δ ≡ I(r)∣∣r=δ.

Wtedy mamy1∫

0

|I(r)|r−1 dr ≤1∫

0

2π∫0

∣∣ ∂∂rT 0,1

0

∣∣ · ∣∣u∣∣+ ∣∣T 0,10

∣∣ · ∣∣ ∂∂ru∣∣dϕ dr

≤∥∥ ∂∂rT 0,1

0

∥∥L2,1−µ(d1)

·∥∥u∥∥

L2,µ−2(d1)+∥∥T 0,1

0

∥∥L2,−µ(d1)

·∥∥ ∂∂ru∥∥L2,µ−1(d1)

<∞,

bo u ∈ H2µ(d1) i T 0,1

0 ∈ H2(d1). Zatem istnieje ci¡g δn → 0 taki, »e I(δn) → 0, wi¦ckorzystaj¡c z twierdzenia Lebesgue'a o zmajoryzowanym przej±ciu do granicy po znakiemcaªki dostajemy (4.4.40), czyli

∫d1

f · S0,10 dx = 0.

Przypadek k ≥ 1. Zaªó»my, »e f speªnia warunki∫d1

S0,10 f dx = 0,

∫d1

S0,j−i f dx = 0 dla j =

1, 2, i = 1, ..., k. Jako, »e µ+k ∈ (0, 1) i f ∈ L2,µ+k(d1), wi¦c korzystaj¡c z równowa»no±ciwykazanej dla k = 0 wnioskujemy, »e istnieje u ∈

H2µ+k(d1) speªniaj¡ce ∆u = f w

d1.

Wtedy f1 = ∆(ηu) ∈ L2,µ(R2) ∩ L2,µ+k(R2), wi¦c na mocy twierdzenia 4.2.1 istniejeh1 ∈ H2

µ(R2) takie, »e ∆h1 = f1 w•R2. Korzystaj¡c z twierdzenia 4.3.1 dostajemy

h1 − ηu =k∑i=1

a0i

∫R2

f1φ0,1−i dy · φ

0,1i − a0

i

∫R2

f1φ0,2−i dy · φ

0,2i . (4.4.41)

52

Zauwa»my, »e z powy»szego wynika, »e u ∈ H2µ(d1), o ile

∫R2

f1φ0,j−i dy = 0 dla j = 1, 2,

i = 1, ..., k. Uwzgl¦dniaj¡c zaªo»enia o f , to ostatnie b¦dzie speªnione, je»eli∫d1

fS0,j−i dy +

∫R2

f1φ0,j−i dy = 0 (4.4.42)

dla j = 1, 2, i = 1, ..., k. W celu wykazania (4.4.42) odnotujmy wpierw, »e ‖φ0,j−i‖L2,−µ(d1) =

π1∫0

r−2i−2µ+1 dr <∞, bo z warunków i ≤ k < 1−µ mamy i < 1−µ, czyli −2i−2µ+1 >

−1. Zatem mo»emy napisa¢∫R2

|f1φ0,j−i | dy ≤ ‖f1‖L2,µ(d1) · ‖φ0,j

−i‖L2,−µ(d1) <∞,

∫d1

|fS0,j−i | dy ≤ ‖f‖L2,µ(d1)·‖S0,j

−i ‖L2,−µ(d1) ≤ ‖f‖L2,µ(d1)·[‖T 0,j

−i ‖L2,−µ(d1)+‖φ0,j−i‖L2,−µ(d1)

]<∞,

bo ‖T 0,j−i ‖L2,−µ(d1) ≤ ‖T 0,j

−i ‖H2(d1) < ∞. Zatem wobec twierdzenia Lebesgue'a o zmajory-zowanym przej±ciu do granicy pod znakiem caªki, lewa strona (4.4.42) jest równa granicy,przy δ → 0, wielko±ci (dla δ < 1/3)∫

d1\dδ

fS0,j−i + f1φ

0,j−i dy =

∫d1\dδ

∆u · S0,j−i + ∆(ηu) · φ0,j

−i dy

=

2π∫0

( ∂∂rS0,j−i ·u−S

0,j−i ·

∂

∂ru+

∂

∂rφ0,j−i ·u−φ

0,j−i ·

∂

∂ru)dϕ·r∣∣r=δ =

2π∫0

( ∂∂rT 0,j−i ·u−T

0,j−i ·

∂

∂ru)dϕ·r∣∣r=δ.

Oznaczmy powy»sz¡ wielko±ci przez I(r)∣∣r=δ. Wtedy

1∫0

|I(r)|r−1 dr ≤1∫

0

2π∫0

∣∣ ∂∂rT 0,j−i∣∣ · ∣∣u∣∣+ ∣∣T 0,j

−i∣∣ · ∣∣ ∂

∂ru∣∣dϕ dr

≤∥∥ ∂∂rT 0,j−i∥∥L2,1−µ−k(d1)

·∥∥u∥∥

L2,µ+k−2(d1)+∥∥T 0,j

−i∥∥L2,−µ−k(d1)

·∥∥ ∂∂ru∥∥L2,µ+k−1(d1)

<∞

bo u ∈ H2µ+k(d1), −µ − k > −1 i T 0,j

−i ∈ H2(d1). Zatem I(δn) → 0 dla pewnego ci¡guδn → 0, wi¦c otrzymujemy (4.4.42) i dowód implikacji jest zako«czony.Zaªó»my teraz, »e istnieje u ∈

H2µ(d1) speªniaj¡ce ∆u = f w

d1. Wtedy oczywi±cie mamy

u ∈H2µ+k(d1), wi¦c z pierwszego przypadku wnioskujemy, »e

∫d1

S0,10 f dx = 0. Poªó»my

f2 = ηf + 2∇η · ∇u+ ∆u · η ∈ L2,µ(R2) ∩ L2,µ+k(R2). Na mocy twierdzenia 4.2.1 istniejeh2 ∈ H2

µ+k takie, »e ∆h2 = f2 w•R2. Korzystaj¡c z twierdzenia 4.3.1 dostajemy

ηu− h2 =k∑i=1

a0i

∫R2

f2φ0,1−i dy · φ

0,1i − a0

i

∫R2

f2φ0,2−i dy · φ

0,2i . (4.4.43)

53

Zauwa»my, »e h2 ∈ L2,µ+k−2(R2 \ d1), zatem z powy»szego wynika, »e∫R2

f2φ0,j−i dy · φ

0,ji ∈

L2,µ+k−2(R2 \ d1) dla j = 1, 2, i = 1, ..., k. Dla takich j, i mamy i > 1 − k − µ, wi¦c 2i +

2µ+ 2k − 3 > −1, czyli ‖φ0,ji ‖L2,µ+k−2(R2\d1) = π

∞∫1

r2i+2µ+2k−3 dr = ∞, st¡d otrzymujemy∫R2

f2φ0,j−i dy = 0. W ko«cu równo±¢

∫R2

f2φ0,j−i dy+

∫R2

fS0,j−i dy = 0 otrzymujemy powtarzaj¡c

wcze±niejsze rozumowania i tym samym zako«czyli±my dowód stwierdzenia.

4.4.5 Przypadek µ ∈ Sσ

Na koniec przyjrzymy si¦ sytuacji gdy µ ∈ Sσ.

Stwierdzenie 4.4.7. Zaªó»my, »e µ ∈ Sσ. Wtedy istnieje ci¡g unn∈N ⊆H2µ(d1) taki, »e

(∆− σr−2)un jest ograniczone w L2,µ(d1), natomiast ‖un‖H2µ(d1) −−−→

n→∞∞. Innymi sªowy,

nie zachodz¡ oszacowania a priori dla rozwi¡za« zagadnienia (4.4.1) w przestrzeni H2µ(d1).

Dowód. Z zaªo»enia mamy µ = λσk dla pewnego k ∈ Zσ. Niech funkcja η b¦dzie taka, jakwcze±niej i poªó»my

un = ηr1nφσ,1k = ηr

1n

+λσk cos kϕ.

Wtedy otrzymujemy

(∆− σr−2)un =[ηrr · r

1n

+λσk +( 2

n+ 2λσk + 1

)ηr · r

1n

+λσk−1 +

( 2

nλσk +

1

n2

)η · r

1n

+λσk−2]cos kϕ.

Dla p = 0, 1, 2 mamy ‖r 1n

+λσk−2 cos kϕ‖2

L2,µ(d1) ≤π

1n

+2−p , zatem dostajemy

‖(∆− σr−2)un‖L2,µ(d1) ≤ c(σ, k)

dla wszystkich n ∈ N. Z drugiej strony mamy

‖un‖2L2,µ−2(d1) ≥ π

1/3∫0

r2n

+2λσk+2µ−3 dr =

nπ

23−

2n −−−→

n→∞∞.

Uwaga 4.4.3. Przeprowadzone powy»ej rozumowanie dowodzi równie», »e dla µ ∈ Sσ nie

zachodz¡ w H2µ(R2) oszacowania a priori dla rozwi¡za« równania (∆− σr−2)u = f w

•R2.

4.4.6 Podsumowanie wynikówPodsumowuj¡c, w zwi¡zku z zagadnieniem (4.4.1) rozpatrywanym w przestrzeni H2

µ(d1)wykazali±my w tym rozdziale nast¦puj¡ce stwierdzenia (σ ≥ 0)

a) Zachodz¡ oszacowania a priori dla rozwi¡za« wtedy i tylko wtedy, gdy µ < 1 +√σ i

µ 6∈ Sσ

b) Dla ka»dego f ∈ L2,µ(d1) istnieje dokªadnie jedno u ∈ H2µ(d1) rozwi¡zanie (4.4.1)

wtedy i tylko wtedy, gdy µ ∈ (1−√σ, 1 +

√σ)

54

c) Je»eli µ > 1 +√σ, µ 6∈ Sσ, to rozwi¡zania zagadnienia jednorodnego (4.4.1) tworz¡

nietrywialn¡, sko«czenie wymiarow¡ podprzestrze«H2µ(d1)

d) Je»eli µ < 1 −√σ, µ 6∈ Sσ, to (∆ − σr−2)

H2µ(d1) jest domkni¦t¡ podprzestrzeni¡

L2,µ(d1), sko«czonego, niezerowego kowymiaru.

55

Rozdziaª 5

Eliptyczne zagadnienie trójwymiarowe

W tym rozdziale b¦dziemy zajmowa¢ si¦ rozwi¡zywalno±ci¡ w przestrzeniach wagowychnast¦puj¡cego równania

−∆u+ σr−2u = f w•R3, (5.1.1)

gdzie σ ≥ 0. W dalszej cz¦±ci, tj. w podrozdziale 5.5, b¦dziemy bada¢ analogiczne zagad-nienie w obszarze ograniczonym z jednorodnym warunkiem brzegowym typu Dirchleta.Opiszmy w skrócie zawarto±¢ tego rozdziaªu. Wpierw otrzymujemy oszacowania a priori,nast¦pnie korzystaj¡c z twierdzenia Laxa-Milgrama dowodzimy istnienia rozwi¡za« rów-nania (5.1.1). Rozdziaªy 5.3 i 5.4 s¡ po±wiecone wykazaniu, »e przy dowolnym σ ≥ 0,zaªo»enia o µ, poczynione w twierdzeniu 5.2.1 i we wniosku 5.2.1 nie mog¡ by¢ osªabione.W tej cz¦±ci pracy w du»ej mierze opieramy si¦ na metodach zawartych m.in. w [7] i [26].

5.1 Oszacowania a prioriWyka»emy tutaj oszacowania a priori dla rozwi¡za« równania (5.1.1). Wpierw otrzy-mamy oszacowanie dla rozwi¡za« pewnego pomocniczego zagadnienia eliptycznego w R2 zparametrem. W tym celu musimy oddzielnie rozpatrywa¢ dwa przypadki µ < 0 i µ ∈ [0, 1).Uwaga 5.1.1. W podrozdziaªach 5.1.1 i 5.1.2 wszystkie operatory ró»niczkowe s¡ zwi¡zanejedynie ze zmienn¡ x ∈ R2, a zbiory Qi i funkcja s(q) zostaªy zdeniowane na stronie 14.

5.1.1 Przypadek µ < 0

Pod¡»aj¡c za dowodem lematu 2 [14] wyka»emy nast¦puj¡cy lemat.Lemat 5.1.1. Zaªó»my, »e σ ≥ 0, ν > 0, µ < 0, µ 6∈ Sσ, i = 1, 2. Niech v b¦dzie funkcj¡

gªadk¡ w R2 × Qi, przy czym v(·, q) ∈ D(•R2) dla ka»dego q ∈ Qi. Wtedy istnieje staªa

c = c(µ, ν, σ) taka, »e je»eli

g(x, q) = −ν∆v(x, q) + (s+ νσr−2)v(x, q), (5.1.2)to zachodzi oszacowanie

∑k+l≤2

∫Qi

∫R2

|s|k|D2−k−lv(x, q)|2r2(µ−l) dxdq ≤ c

∫Qi

∫R2

|g(x, q)|2r2µ dxdq. (5.1.3)

56

Dowód. Niech v speªnia zaªo»enia i pomnó»my strony równo±ci (5.1.2) przez ϕ ∈ H1(R2)i scaªkujmy wzgl¦dem x ∈ R2. Po scaªkowaniu przez cz¦±ci dostajemy∫

R2

ν∇v(x, q) · ∇ϕ(x) + sv(x, q)ϕ(x) + νσr−2v(x, q)ϕ(x) dx =

∫R2

g(x, q)ϕ(x) dx. (5.1.4)

Oznaczmy przez b cz¦±¢ urojon¡ s. Wtedy ϕ := (1 + i sgn b)vr2µ nale»y do H1(R2) dlaka»dego q ∈ Qi (w dalszej cz¦±ci b¦dziemy pomija¢ zwrot dla ka»dego q ∈ Qi). Podstaw-iaj¡c ϕ do (5.1.4) dostajemy

(1−i sgn b)

∫R2

ν|∇v|2r2µ+ν∇v ·∇(r2µ)v+(s+νσr−2)|v|2r2µ dx = (1−i sgn b)

∫R2

gvr2µ dx.

(5.1.5)Porównuj¡c cz¦±ci rzeczywiste dostajemy∫

R2

(ν|∇v|2 + |s||v|2

)r2µ dx ≤ 4|µ|ν

∫R2

|∇v||v|r2µ−1 dx+ 2

∫R2

|g||v|r2µ dx.

Mno»¡c strony nierówno±ci przez |s|, a nast¦pnie stosuj¡c dwukrotnie nierówno±¢ Cauchy'egootrzymamy

|s|∫R2

(ν|∇v|2 + |s||v|2

)r2µ dx ≤ 24µ2ν2|s|

∫R2

|v|2r2µ−2 dx+ 4

∫R2

|g|2r2µ dx. (5.1.6)

Wprowad¹my nast¦puj¡ce oznaczenia

A1 :=(x, q) ∈ R2 ×Qi; |s|r2 < a1

,

A2 :=(x, q) ∈ R2 ×Qi; a1 ≤ |s|r2 < a2

,

A3 :=(x, q) ∈ R2 ×Qi; a2 ≤ |s|r2

,

gdzie liczby 0 < a1 < a2 zostan¡ wybrane pó¹niej. Dla q ∈ Qi kªadziemy

d1(q) :=x ∈ R2; |s|r2 < a1

,

d2(q) :=x ∈ R2; a1 ≤ |s|r2 < a2

,

d3(q) :=x ∈ R2; a2 ≤ |s|r2

.

Dla λ > 0 i q ∈ Qi okre±lamy zbiory

Ωλ :=(x, q) ∈ R2 ×Qi; λ|s|r2 < 1

,

ωλ(q) :=x ∈ R2; λ|s|r2 < 1

.

Oczywi±cie zachodzi inkluzja

A2 ⊆ Ωλ dla λ ∈ (0, a−12 ). (5.1.7)

57

Na zbiorze A1 mamy |s| ≤ a1r−2, st¡d∫

A1

|s||v|2r2µ−2 dxdq ≤ a1

∫A1

|v|2r2µ−4 dxdq ≤ a1

∫Qi

‖v(·, q)‖2H2

µ(R2) dq. (5.1.8)

Z zaªo»e« wynika, »e dla ka»dego q ∈ Qi funkcja v(·, q) jest elementem H2µ(R2) i speªnia

równanie−∆v+σr−2v = ν−1(g−sv) w•R2. Oczywi±cie prawa strona tej równo±ci nale»y do

L2,µ(R2) i µ 6∈ Sσ, wi¦c korzystaj¡c z oszacowania (4.2.1) z twierdzenia 4.2.1 otrzymujemy

‖v(·, q)‖2H2

µ(R2) ≤ c0 ‖g(·, q)‖2L2,µ(R2) + c0|s|2 ‖v(·, q)‖2

L2,µ(R2) (5.1.9)

gdzie c0 = c0(µ, ν, σ), q ∈ Qi. Wobec tego nierówno±¢ (5.1.8) prowadzi do∫A1

|s||v|2r2µ−2 dxdq ≤ a1c0

∫Qi

∫R2

|g|2r2µ dxdq + a1c0

∫Qi

|s|2∫R2

|v|2r2µ dxdq. (5.1.10)

Na zbiorze A3 mamy r−2 ≤ a−12 |s|, wi¦c∫

A3

|s||v|2r2µ−2 dxdq ≤ a−12

∫A3

|s|2|v|2r2µ dxdq. (5.1.11)

Na zbiorze A2 zachodzi r−2 ≤ a−11 |s|, czyli r2µ−2 ≤ aµ−1

1 |s|1−µ, st¡d otrzymujemy∫A2

|s||v|2r2µ−2 dxdq ≤ aµ−11

∫A2

|s|2−µ|v|2 dxdq (5.1.12)

Scaªkujmy strony (5.1.6) wzgl¦dem q ∈ Qi. Wtedy korzystaj¡c z (5.1.10)-(5.1.12) otrzy-mujemy∫

Qi

|s|∫R2

(ν|∇v|2 + |s||v|2

)r2µ dxdq ≤ 24µ2ν2(a−1

2 + a1c0)

∫Qi

|s|2∫R2

|v|2r2µ dxdq

+(4 + 24µ2ν2a1c0

) ∫Qi

∫R2

|g|2r2µ dxdq + 24µ2ν2aµ−11

∫A2

|s|2−µ|v|2 dxdq.

Poªó»my a1 := 2−6c−10 |µν|−2, a2 := 26|µν|2 gdy µν ≤ −1 i a1 := 2−6c−1

0 , a2 := 26 gdyµν ∈ (−1, 0). Wtedy dostajemy∫

Qi

|s|∫R2

(ν|∇v|2 + |s||v|2

)r2µ dxdq ≤ 10

∫Qi

∫R2

|g|2r2µ dxdq + c

∫A2

|s|2−µ|v|2 dxdq,

(5.1.13)gdzie staªa c zale»y jedynie od µ, ν i σ.

Niech χ = χ(t) b¦dzie gªadk¡ funkcj¡ wycinaj¡c¡ tak¡, »e χ(t) = 1 dla |t| ≤ 1 iχ(t) = 0 dla |t| ≥ 2, 0 ≤ χ(t) ≤ 1, |χ′(t)| ≤ 4. Wprowad¹my oznaczenie

χλ(x, q) := χ(λ|s|r2.) (5.1.14)

58

Wtedy χλ(x, q) = 1 dla |s|r2 < λ−1 i χλ(x, q) = 0 dla |s|r2 > 2λ−1 i prawdziwe jestoszacowanie

|∇χλ(x, q)| ≤ 8λ|s|r. (5.1.15)Podstawiaj¡c ϕ := (1 + i sgn b)vχ2

λ ∈ H1(R2) w (5.1.4) dostajemy

(1− i sgn b)

∫R2

ν|∇v|2χ2λ+2νvχλ∇v ·∇χλ+(s+νσr−2)|v|2χ2

λ dx = (1− i sgn b)

∫R2

gvχ2λ dx.

(5.1.16)Porównuj¡c cz¦±ci rzeczywiste otrzymujemy∫

R2

(ν|∇v|2 + |s||v|2

)χ2λ dx ≤ 2

√2ν

∫R2

|∇v||∇χλ||v|χλ dx+√

2

∫R2

|g||v|χ2λ dx.

Stosuj¡c nierówno±¢ Cauchy'ego z epsilonem dostajemy∫R2

(ν|∇v|2 + |s||v|2

)χ2λ dx ≤

1

2ν

∫R2

|∇v|2χ2λ dx+ 4ν

∫R2

|∇χλ|2|v|2 dx+

2−1ε|s|1−µ∫R2

|v|2χ2λr−2µ dx+ 2ε−1|s|µ−1

∫R2

|g|2χ2λr

2µ dx. (5.1.17)

Na no±niku χλ mamy |s|−µr−2µ ≤ 2−µλµ, zatem

2−1ε|s|1−µ∫R2

|v|2χ2λr−2µ dx ≤ ε

2

(2

λ

)−µ ∫R2

|s||v|2χ2λ dx.

Kªad¡c ε :=(

2λ

)µ w (5.1.17), dochodzimy do nierówno±ci∫R2

(ν|∇v|2 + |s||v|2

)χ2λ dx ≤ 8ν

∫R2

|∇χλ|2|v|2 dx+ 4

(2

λ

)−µ|s|µ−1

∫R2

|g|2χ2λr

2µ dx.

Mno»¡c strony przez |s|1−µ, a nast¦pnie caªkuj¡c wzgl¦dem q ∈ Qi dostajemy∫Qi

|s|1−µ∫R2

(ν|∇v|2 + |s||v|2

)χ2λ dxdq ≤

8ν

∫Qi

|s|1−µ∫R2

|∇χλ|2|v|2 dxdq + 4

(2

λ

)−µ ∫Qi

∫R2

|g|2χ2λr

2µ dxdq.

Korzystaj¡c z (5.1.15) wnioskujemy, »e |∇χλ|2 ≤ 27λ|s|, st¡d∫Qi

|s|1−µ∫R2

(ν|∇v|2 + |s||v|2

)χ2λ dxdq ≤

59

210λν

∫Qi

|s|2−µ∫

ωλ2 (q)\ωλ(q)

|v|2 dxdq + 4

(2

λ

)−µ ∫Qi

∫R2

|g|2χ2λr

2µ dxdq.

Mno»¡c strony przez(λ2

)−µ dostajemy(λ

2

)−µ ∫Qi

|s|1−µ∫R2

(ν|∇v|2 + |s||v|2

)χ2λ dxdq ≤

210−µλν

(λ/2

2

)−µ ∫Qi

|s|2−µ∫

ωλ2 (q)\ωλ(q)

|v|2 dxdq + 4

∫Qi

∫R2

|g|2χ2λr

2µ dxdq.

Poªó»my λ = 2µ−11 min1, ν−2. Zakªadaj¡c, »e λ < λ wnioskujemy, »e(λ

2

)−µ ∫Qi

|s|2−µ∫

ωλ(q)

|v|2 dxdq ≤ 1

2

(λ/2

2

)−µ ∫Qi

|s|2−µ∫

ωλ2 (q)

|v|2 dxdq +K, (5.1.18)

gdzieK := 4∫Qi

∫R2

|g|2r2µ dxdq. Oznaczmy przez f(λ) lew¡ stron¦ (5.1.18). Wtedy powy»sza

nierówno±¢ przyjmuje posta¢

f(λ) ≤ 1

2f(λ

2

)+K dla λ ∈ (0, λ). (5.1.19)

Iteruj¡c t¡ nierówno±¢ dostajemy

f(λ) ≤ 1

2kf( λ

2k

)+ (2− 21−k)K dla λ ∈ (0, λ), k = 1, 2, ..., . (5.1.20)

Na zbiorze ωλ/2k(q) mamy |s|−µ ≤

(2k

λ

)−µr2µ, zatem

f(λ/2k) ≤∫Qi

|s|2∫R2

|v|2r2µ dxdq (5.1.21)

Ustalmy λ0 ∈ (0, λ). Wtedy λ0 ∈ (0, a−12 ) i korzystaj¡c z (5.1.7) wnosimy, »e A2 ⊆ Ωλ0 . Z

oszacowania (5.1.13) i denicji f(λ0) mamy∫Qi

|s|∫R2

(ν|∇v|2 + |s||v|2

)r2µ dxdq ≤ 3K + c

∫A2

|s|2−µ|v|2 dxdq

≤ 3K + c

∫Ωλ0

|s|2−µ|v|2 dxdq = 3K + c

(2

λ0

)−µf(λ0).

Nast¦pnie korzystaj¡c z (5.1.20), (5.1.21) dla λ = λ0 dostajemy∫Qi

|s|∫R2

(ν|∇v|2 + |s||v|2

)r2µ dxdq ≤ c

[K +

1

2k

∫Qi

|s|2∫R2

|v|2r2µ dxdq],

60

gdzie c = c(c0, λ0, µ, ν, σ). Przechodz¡c z k do niesko«czono±ci otrzymujemy∫Qi

|s|∫R2

(ν|∇v|2 + |s||v|2

)r2µ dxdq ≤ cK. (5.1.22)

Z drugiej strony, stosuj¡c nierówno±¢ Hardy (3.1.1) mamy∫Qi

|s|∫R2

|v(x, q)|2r2µ−2 dxdq ≤ c(µ)

∫Qi

|s|∫R2

|Dv(x, q)|2r2µ dxdq. (5.1.23)

W ko«cu oszacowania (5.1.9), (5.1.22) i (5.1.23) daj¡ (5.1.3).

5.1.2 Przypadek µ ∈ [0, 1)

Na pocz¡tek, pod¡»aj¡c za dowodem lematu 4 [13] wyka»emy nast¦puj¡cy lemat.

Lemat 5.1.2. Zaªó»my, »e σ ≥ 0, ν > 0, µ ∈ [0, 1), i = 1, 2. Zaªó»my, »e h speªniawarunki h ∈ H1(R2), σh ∈ L2,−2(R2) i jest sªabym rozwi¡zaniem równania −ν∆h+ sh+νσr−2h = g w R2, gdzie g ∈ L2,µ(R2), Wtedy istnieje staªa c = c(µ, ν) taka, »e dlaka»dego q ∈ Qi zachodzi oszacowanie

|s|12‖Dh‖L2,µ(R2) + |s|‖h‖L2,µ(R2) ≤ c‖g‖L2,µ(R2). (5.1.24)

Dowód lematu 5.1.2 skªada si¦ z trzech kroków, które wyró»nili±my w stwierdzeniach 5.1.1-5.1.3 i jest on powtórzeniem rozumowania przedstawionego w pracy [29]. Wpierw jednakprzypomnijmy, »e funkcja h jest sªabym rozwi¡zaniem równania −ν∆h+sh+νσr−2h = gw R2, gdy

ν

∫R2

∇h ·∇η dx+s

∫R2

h · η dx+νσ

∫R2

r−2h · η dx =

∫R2

g · η dx dla η ∈ H1(R2). (5.1.25)

W dalszej cz¦±ci b¦dziemy korzysta¢ z nast¦puj¡cej nierówno±ci interpolacyjnej

Stwierdzenie 5.1.1. Zaªó»my, »e η ∈ H1(R2) i µ ∈ [0, 1). Wtedy istnieje staªa c = c(µ)taka, »e dla ε > 0 zachodzi oszacowanie∫

R2

|η|2r−2µ dx ≤ ε2−2µ

∫R2

|∇η|2 dx+ cε−2µ

∫R2

|η|2 dx. (5.1.26)

Dowód. Dla ε > 0 okre±lamy funkcj¦ φε = φε(r) nast¦puj¡co

φε(r) =

1 dla r ∈ [0, ε)−ε−1r + 2 dla r ∈ [ε, 2ε)0 dla r ≥ 2ε

.

61

Wtedy∫R2

|η|2r−2µ dx ≤ 2∫R2

|(1 − φε)η|2r−2µ dx + 2∫R2

|φεη|2r−2µ dx i oczywi±cie mamy∫R2

|(1− φε)η|2r−2µ dx ≤ ε−2µ∫R2

|η|2 dx. Natomiast drugie wyra»enie oszacujemy korzysta-

j¡c z nierówno±ci Hardy'ego (3.1.1) dostajemy∫R2

|φεη|2r−2µ dx ≤ |µ− 1|−2

∫R2

|Dr(φεη)|2r2−2µ dx

≤ 2|µ− 1|−2ε−2

∫B2ε

|η|2r2−2µ dx+ 2|µ− 1|−2

∫B2ε

|Drη|2r2−2µ dx

≤ 23−2µ|µ− 1|−2[ε−2µ

∫R2

|η|2 dx+ ε2−2µ

∫R2

|∇η|2 dx],

a st¡d ju» wynika (5.1.26).

Stwierdzenie 5.1.2. Niech b¦d¡ speªnione zaªo»enia lematu 5.1.2. Wtedy istnieje staªac = c(µ, ν) taka, »e

|s|1−µ∫R2

|∇h|2 + |s||h|2 dx ≤ c‖g‖2L2,µ(R2). (5.1.27)

Dowód. Korzystaj¡c z nierówno±ci Schwarza, a nast¦pnie z nierówno±ci interpolacyjnej(5.1.26) dla ε := |s|− 1

2 dostajemy

|s|1−µ∣∣∣ ∫R2

gη dx∣∣∣ ≤ |s|1−µ‖g‖L2,µ(R2)

(∫R2

|η|2r−2µ dx) 1

2

≤ |s|1−µ‖g‖L2,µ(R2)

(|s|µ−1

∫R2

|∇η|2 dx+ c|s|µ∫R2

|η|2 dx) 1

2

= |s|1−µ

2 ‖g‖L2,µ(R2)

(∫R2

|∇η|2 dx+ c|s|∫R2

|η|2 dx) 1

2, (5.1.28)

gdzie staªa c zale»y jedynie od µ. Niech b oznacza sgn Im s i podstawmy η := h(1 +ib)|s|1−µ ∈ H1(R2) w denicji sªabego rozwi¡zania (5.1.25). Przyrównuj¡c cz¦±ci rzeczy-wiste, a nast¦pnie korzystaj¡c z (5.1.28) otrzymujemy

|s|1−µ∫R2

ν|∇h|2 + |s||h|2 dx ≤√

2|s|1−µ∫R2

|gh| dx

≤√

2cmin1, ν−12 |s|

1−µ2 ‖g‖L2,µ(R2)

∫R2

ν|∇h|2 + |s||h|2 dx 1

2.

St¡d dostajemy (5.1.27) ze staª¡ 2cmin1, ν−2.

62

Tym samym mamy ju» tez¦ lematu 5.1.2 w dla µ = 0.Stwierdzenie 5.1.3. Niech b¦d¡ speªnione zaªo»enia lematu 5.1.2 i niech µ ∈ (0, 1).Wtedy istnieje staªa c = c(µ, ν) taka, »e

|s|∫R2

(|∇h|2 + |s||h|2)r2µ dx ≤ c‖g‖2L2,µ(R2). (5.1.29)

Dowód. Przy ustalonym q ∈ Qi i dla λ > 1 okre±lamy zbiory

d1 := x ∈ R2 : 0 ≤ r < |s|−12

d2 := x ∈ R2 : |s|−12 ≤ r < λ

12µ |s|−

12

d3 := x ∈ R2 : λ12µ |s|−

12 ≤ r.

Niech funkcja Vλ(x) b¦dzie zdeniowana nast¦puj¡co

Vλ(x) :=

|s|1−µ dla x ∈ d1

|s|r2µ dla x ∈ d2

λ|s|1−µ dla x ∈ d3.

Wtedy funkcja Vλ ma wªasno±ci

|∇Vλ|2 =

(2µ)2|s|2r4µ−2 dla x ∈ d2

0 dla x ∈ d1 ∪ d3,(5.1.30)

|∇Vλ|2 · V −1λ =

(2µ)2|s|r2µ−2 dla x ∈ d2

0 dla x ∈ d1 ∪ d3,(5.1.31)

Vλr−2µ ≤ |s| dla x ∈ d2 ∪ d3. (5.1.32)

Niech b oznacza sgn Im s. Wtedy oczywi±cie η := (1+ib)Vλh nale»y doH1(R2). Podstawmytakie η w (5.1.25) i przyrównajmy cz¦±ci rzeczywiste. Stosuj¡c dwukrotnie nierówno±¢Schwarza dostajemy i po opuszczeniu skªadnika zawieraj¡cego σ dostajemy

Jλ :=

∫R2

(ν|∇h|2 + |s||h|2)Vλ dx ≤√

2

∫R2

|g||hVλ| dx+√

2ν

∫R2

|∇h||∇Vλ||h| dx

≤√

2‖g‖L2,µ(R2)

(∫R2

|h|2V 2λ r

−2µ dx) 1

2+√

2ν(∫

R2

|∇h|2Vλ dx) 1

2 ·(∫

R2

|h|2|∇Vλ|2V −1λ dx

) 12.

Korzystaj¡c z denicji Vλ, dj i wªasno±ci (5.1.30)-(5.1.32) mamy

Jλ ≤√

2‖g‖L2,µ(R2)

|s|2−2µ

∫d1

|h|2r−2µ dx+ |s|∫

d2∪d3

|h|2Vλ dx 1

2

+2√

2µν∫

R2

|∇h|2Vλ dx 1

2 ·|s|2−µ

∫R2

|h|2 dx 1

2. (5.1.33)

63

Podstawmy η := h i ε := |s|− 12 w nierówno±ci interpolacyjnej (5.1.26). Wobec stwierdzenia 5.1.2

dostajemy

|s|2−2µ

∫d1

|h|2r−2µ dx ≤ c(µ)|s|1−µ∫R2

(|∇h|2 + |s||h|2) dx ≤ c‖g‖2L2,µ(R2), (5.1.34)

gdzie staªa c zale»y jedynie od µ i ν. Podobnie mamy

|s|2−µ∫R2

|h|2 dx ≤ |s|1−µ∫R2

(|∇h|2 + |s||h|2) dx ≤ c‖g‖2L2,µ(R2), (5.1.35)

gdzie staªa c pochodzi ze stwierdzenia 5.1.2. Zatem nierówno±ci (5.1.33)-(5.1.35) daj¡oszacowanie postaci Jλ ≤ c(µ, ν)‖g‖L2,µ(R2)

(‖g‖2

L2,µ(R2) + Jλ

) 12. St¡d mamy∫

R2

(|∇h|2 + |s||h|2)Vλ dx ≤ c‖g‖2L2,µ(R2), (5.1.36)

dla pewnej staªej c = c(µ, ν). Korzystaj¡c z okre±lenia zbiorów dj i funkcji Vλ, a nast¦pnieze stwierdzenia 5.1.2 i nierówno±ci (5.1.36) otrzymujemy

|s|∫

d1∪d2

(|∇h|2 + |s||h|2)r2µ dx

= |s|∫d1

(|∇h|2 + |s||h|2)r2µ dx+

∫d2

(|∇h|2 + |s||h|2)Vλ dx

≤ |s|1−µ∫d1

|∇h|2 + |s||h|2 dx+

∫d2

(|∇h|2 + |s||h|2)Vλ dx ≤ c‖g‖2L2,µ(R2),

gdzie staªa c zale»y jedynie od µ i ν. Powy»sze oszacowanie zachodzi dla λ > 1, zatemprzechodz¡c z λ do niesko«czono±ci dostajemy (5.1.29).

Tym samym zako«czyli±my dowód lematu 5.1.2.

Lemat 5.1.3. Zaªó»my, »e σ ≥ 0, ν > 0, µ ∈ [0, 1), µ 6∈ Sσ, i = 1, 2. Niech v b¦dzie

funkcj¡ gªadk¡ w R2 × Qi, przy czym v(·, q) ∈ D(•R2) dla ka»dego q ∈ Qi. Wtedy istnieje

staªa c = c(µ, ν, σ) taka, »e je»eli

g(x, q) = −ν∆v(x, q) + (s+ νσr−2)v(x, q), (5.1.37)

to zachodzi oszacowanie

∑k+l≤2

∫Qi

∫R2

|s|k|D2−k−lv(x, q)|2r2(µ−l) dxdq ≤ c

∫Qi

∫R2

|g(x, q)|2r2µ dxdq. (5.1.38)

64

Dowód. Wpierw zauwa»my, »e dla ka»dego q ∈ Qi funkcja v(·, q) speªnia zaªo»enia lematu 5.1.2,st¡d mamy oszacowanie

|s|12‖Dv(·, q)‖L2,µ(R2) + |s|‖v(·, q)‖L2,µ(R2) ≤ c‖g(·, q)‖L2,µ(R2), (5.1.39)

gdzie staªa c zale»y jedynie od µ i ν. Z drugiej strony dla ka»dego q ∈ Qi funkcjav(·, q) nale»y do H2

µ(R2) i speªnia równanie −∆v + σr−2v = ν−1(g − sv) w•R2. Zatem z

twierdzenia 4.2.1 otrzymujemy

‖v(·, q)‖H2µ(R2) ≤ c‖g(·, q)− sv(·, q)‖L2,µ(R2), (5.1.40)

gdzie staªa c zale»y od µ, ν i σ. W ko«cu odnotujmy, »e |s| 12‖v‖L2,µ−1(R2) ≤ |s|‖v‖L2,µ(R2) +‖v‖L2,µ−2(R2). Zatem nierówno±¢ ta razem z (5.1.39) i (5.1.40) daje tez¦ lematu.

5.1.3 Podsumowanie wynikówZacznijmy od takiego oto spostrze»enia.

Wniosek 5.1.1. Zauwa»my, »e tezy lematów 5.1.1 i 5.1.3 pozostaja prawdziwe, gdy zbiórR2 zast¡pimy zbiorem d1, a o funkcji v b¦dziemy zakªada¢, i» v(·, q)|∂d1 = 0 dla q ∈ Q(wtedy caªkowanie przez cz¦±ci w dowodach tych lematów daje analogiczne wyra»enia).Jednak»e zamiast oszacowania (4.2.1) musimy w tym przypadku skorzysta¢ z oszacowania(4.4.7) (str. 41).

Wy»ej wykazane lematy prowadz¡ do nast¦puj¡cego twierdzenia.

Twierdzenie 5.1.1. Zaªó»my, »e σ ≥ 0, µ < 1 i µ 6∈ Sσ. Wtedy istnieje staªa c, zale»najedynie od µ i σ, taka, »e je»eli u ∈ H2

µ(R3) jest rozwi¡zaniem równania (5.1.1), to uspeªnia nierówno±¢

‖u‖H2µ(R3) ≤ c‖f‖L2,µ(R3). (5.1.41)

Dowód. Wobec g¦sto±ci D(•R3) w H2

µ(R3) wystarczy wykaza¢ (5.1.41) dla u ∈ D(•R3). Oz-

naczmy przez v(x, q) cz¦±ciow¡ transformat¦ Fouriera funkcji u(x, z) wzgl¦dem zmiennej z.Korzystaj¡c z lematów 5.1.1 i 5.1.3 przy i = 1, ν = 1 i to»samo±ci Parsevala otrzymujemy(5.1.41).

Uwaga 5.1.2. W tym miejscu czytelnik zaznajomiony z klasycznymi wynikami, przed-stawionymi np. w pracy [1], mo»e wyrazi¢ nast¦puj¡c¡ w¡tpliwo±¢: skoro mamy ju» osza-cowania a priori, to czy standartowe argumenty nie daj¡ automatycznie istnienia rozwi¡za«?Otó» odpowied¹ na to pytanie jest w caªej ogólno±ci negatywna, oszacowania a priori niepoci¡gaj¡ za sob¡ istnienia rozwi¡za«. Uzasadnieniu tego» faktu s¡ po±wi¦cone rozdziaªy 5.3i 5.4, a wyniki tam sformuªowane podsumowano w podrozdziale 5.4.1. Przypomnijmy, i»sytuacja, w której oszacowania nie gwarantuj¡ istnienia rozwi¡za«, nie jest tylko specyk¡zagadnie« w przestrzeniach wagowych. Podajmy tutaj jeden, dobrze znany przykªad: niechΩ b¦dzie niewypukªym wielok¡tem na pªaszczy¹nie. Wtedy zachodz¡ oszacowania a priori1

‖u‖H2(Ω) ≤ c‖∆u‖L2(Ω) dla u ∈ H2(Ω) ∩H1(Ω). (5.1.42)

1Korzystamy np. z twierdzenia 4.3.1.4 [5].

65

Z drugiej strony wiadomo, »e dla kazdego f ∈ L2(Ω) istnieje dokªadnie jednoH1(Ω) b¦d¡ce

sªabym rozwi¡zaniem równania ∆u = f w Ω, które znika na ∂Ω. Wiadomo,2 i» to sªaberozwi¡zanie, przy pewnym f ∈ L2(Ω), nie nale»y do H2(Ω), zatem oszacowania (5.1.42)nie zapewniaj¡ istnienia rozwi¡za« w H2(Ω).Odnie±my si¦ jeszcze do jednej kwestii; w kontekcie powy»szych w¡tpliwo±ci zadawanonast¦puj¡ce pytanie: dlaczego maj¡c oszacowania a priori (5.1.41) nie stosujemy metodyGalerkina w celu otrzymania rozwi¡za« w H2

µ? Na to pytanie odpowiedzmy innym, ªatwiej-szym pytaniem: dlaczego nie stosujemy metody Galerkina do zagadnienia na wielok¡cie Ω,tak by wykorzystuj¡c oszacowania (5.1.42) dosta¢ istnienie w H2?. Odpowied¹ w tym przy-padku jest nast¦puj¡ca: otó» wtedy istnieje niezerowa funkcja harmoniczna fs ∈ L2(Ω),

która jest ortogonalna w L2(Ω) do laplasjanów funkcji z H2(Ω) ∩H1(Ω), zatem je»eli

ϕk jest dowoln¡ baz¡ w H2(Ω) ∩H1(Ω), to laplasjany ϕk nie aproksymuj¡ fs. Z

drugiej strony, je»eli ϕk s¡ baz¡H1(Ω) utworzon¡ z funkcji wªasnych laplasjanu, to

wobec niewypukªo±ci zbioru Ω, nie mamy inkluzji ϕk ⊆ H2(Ω), wi¦c nie mo»emy sko-rzysta¢ z oszacowa« a priori (5.1.42) dla rozwi¡zania przybli»onego.

5.2 Istnienie rozwi¡za«Wyka»emy teraz, »e przy pewnych zaªo»eniach o σ i µ zagadnienie (5.1.1) ma, przy danychz L2,µ(R3), jednoznaczne rozwi¡zania nale»¡ce do H2

µ(R3). Warto podkre±li¢ to, i» przed-stawiony poni»ej dowód istnienia rozwi¡za« jest, z dokªadno±ci¡ do oznacze«, identycznyz dowodem twierdzenia 4.4.1 (str. 43), mówi¡cego o istnieniu rozwi¡za« analogicznegozagadnienia w obszarze dwuwymiarowym i ograniczonym d1.Twierdzenie 5.2.1. Zaªó»my, »e σ > 0 i µ ∈ (1 −

√σ, 1 +

√σ). Wtedy dla ka»dego

f ∈ L2,µ(R3) istnieje dokªadnie jedno u ∈ H2µ(R3) speªniaj¡ce −∆u + σr−2u = f w

•R3 i

zachodzi oszacowanie‖u‖H2

µ(R3) ≤ c‖f‖L2,µ(R3), (5.2.1)gdzie staªa c zale»y jedynie od µ i σ.

Dowód. Wprowad¹my oznaczenia H := H1µ−1(R3), L := L2,µ(R3) i niech B[·, ·] : H ×

H −→ C b¦dzie zdeniowane nast¦puj¡co

B[u, ϕ] =

∫R3

∇u · ∇ϕ · r2µ−2 dx+ σ

∫R3

uϕr2µ−4 dx+ (2µ− 2)

∫R3

∇u · ∇r · ϕr2µ−3 dx.

Oczywi±cieB[·, ·] jest ci¡gª¡ form¡ dwuliniow¡ naH. Ponadto jest ona eliptyczna, poniewa»z nierówno±ci∣∣∣(2µ− 2)

∫R3

∇u · ∇r · ur2µ−3 dx∣∣∣ ≤ |µ− 1|√

σ‖∇u‖2

L2,µ−1(R3) + |µ− 1|√σ‖u‖2

L2,µ−2(R3),

po oznaczeniu γ := 1− |µ−1|√σ> 0, dostajemy

B[u, u] ≥ ‖∇u‖2L2,µ−1(R3)+σ‖u‖2

L2,µ−2(R3)−∣∣∣(2µ−2)

∫R3

∇u·∇r·ur2µ−3 dx∣∣∣ ≥ γmin1, σ‖u‖2

H .

2Twierdzenie 1 [11].

66

Z drugiej strony je»eli f ∈ L2,µ(R3), to funkcjonaª ϕ 7→∫R3

fϕr2µ−2 dx jest liniowy i ci¡gªy

naH. Zatem stosuj¡c lemat Laxa-Milgrama dostajemy dokªadnie jedno u ∈ H speªniaj¡ceto»samo±¢

B[u, ϕ] =

∫R3

fϕr2µ−2 dx ∀ϕ ∈ H, (5.2.2)

i zachodzi oszacowanie‖u‖H ≤ c‖f‖L, (5.2.3)

gdzie c zale»y jedynie od µ i σ. We¹my dowolne ψ ∈ D(•R3) i poªó»my ϕ = ψr2−2µ. Wtedy

ϕ ∈ H i z (5.2.2) dostajemy∫R3

∇u · ∇ψ dx =

∫R3

(f − σr−2u)ψ dx ψ ∈ D(•R3). (5.2.4)

Funkcja u nale»y doH1Loc(R3) i speªnia (5.2.4), st¡d u nale»y doH2

Loc(R3) i (−∆+σr−2)u =

f w•R3. Wobec tego ze stwierdzenia 3.2.5 otrzymujemy

‖u‖H2µ(R3) ≤ c‖f‖L + ‖u‖H,

gdzie c = c(µ, σ). Powy»sze oszacowanie razem z (5.2.3) daj¡ (5.2.1).Pozostaªo nam uzasadnienie jednoznaczo±ci rozwi¡za« w przestrzeni H2

µ(R2). Otrzymu-jemy j¡ w nast¦puj¡cy sposób: niech u ∈ H2

µ(R3) speªnia −∆u+ σr−2u = 0 w•R3. Wtedy

mno»ymy strony przez r2µ−2ϕ, gdzie ϕ ∈ D(•R3) i caªkujemy po R3. Po scaªkowaniu przez

cz¦±ci dostajemy B[u, ϕ] = 0. Wobec g¦sto±ci D(•R3) w H i ci¡gªo±ci B[u, ·] dostajemy

0 = B[u, u] ≥ γmin1, σ‖u‖2H , czyli u ≡ 0.

Z twierdze« 5.1.1 i 5.2.1 mamy nast¦puj¡cy wniosek dotycz¡cy oszacowa« a priori.

Wniosek 5.2.1. Zaªó»my, »e σ ≥ 0, µ < 1+√σ i µ 6∈ Sσ. Wtedy istnieje staªa c = c(µ, σ)

taka, »e je»eli u ∈ H2µ(R3) jest rozwi¡zaniem (5.1.1), to u speªnia nierówno±¢

‖u‖H2µ(R3) ≤ c‖f‖L2,µ(R3). (5.2.5)

Uwaga 5.2.1. W dalszej cz¦±ci poka»emy, »e przy dowolnym σ ≥ 0, zaªo»enia o µpoczynione w twierdzeniu 5.2.1 i wniosku 5.2.1 nie mog¡ by¢ osªabione (patrz wniosek 5.4.3,str. 78 i uwaga 5.5.4, str. 90).

W dalszej cz¦±ci zajmniemy si¦ analiz¡ przypadku µ 6∈ (1−√σ, 1 +

√σ). Rozpoczniemy

od rozwa»a« pomocniczych (rozd. 5.3), a nast¦pnie, w rozdziale 5.4, znajdziemy pewnerelacje pomi¦dzy operatorami Aσ

µ dla ró»nych µ, w szczególno±ci powi¡»emy wymiar j¡draoperatora Aσ

µ z koj¡drem operatora Aσµ′ dla µ′ = 2 − µ, co zbli»a nasze podej±cie do

klasycznego, opartego na alternatywie Fredholma. Przypomnijmy, i» przedstawione w tychrozdziaªach rozumowania, s¡ pewn¡ modykacj¡ dobrze znanych technik (por. [7], [22],[23], [26]), poczynion¡ w celu roztrzygni¦cia przypadku σ = 0.

67

5.3 Rozwa»ania pomocnicze

Zaªó»my, »e x ∈ R2, z ∈ R i niech u = u(x, z) b¦dzie elementem D(•R3). Wtedy oznaczamy

w(η, ξ) := u(|ξ|−1η, ξ) dla η ∈ R2, ξ ∈•R, (5.3.1)

gdzie u(x, ξ) := Fz 7→ξ[u(x, z)](ξ) oznacza cz¦±ciow¡ transformat¦ Fouriera wzgl¦dem zmi-ennej z. Uzasadnimy wpierw nast¦puj¡ce oszacowanie3

Stwierdzenie 5.3.1. Je»eli u ∈ D(•R3) i w jest okre±lone wzorem (5.3.1), to

√2

2‖u‖H2

µ(R3) ≤

∫R

|ξ|2(1−µ) ‖w(·, ξ)‖2E2

µ(R2) dξ

12

≤ ‖u‖H2µ(R3) . (5.3.2)

Dowód. Zauwa»my wpierw, »e je»eli ξ ∈•R, to podstawiaj¡c x := |ξ|−1η otrzymujemy∫

R2

|Dlηw(η, ξ)|2|η|2(µ−k) dη = |ξ|2(µ−k−l+1)

∫R2

|Dlxu(x, ξ)|2|x|2(µ−k) dx.

Korzystaj¡c z to»samo±ci Parsevala mamy∫R

|ξ|2(1−µ)

∫R2

|Dlηw(η, ξ)|2|η|2(µ−k) dη dξ =

∫R

∫R2

|D2−k−lz Dl

xu(x, z)|2|x|2(µ−k) dxdz,

czyli ∫R

|ξ|2(1−µ) ‖w(·, ξ)‖2E2

µ(R2) dξ = ‖u‖2H2

µ(R3) − ‖Dzu‖2L2,µ−1(R3) . (5.3.3)

Zauwa»my, »e z to»samo±ci Parsevala i nierówno±ci Cauchy'ego wynika, »e

‖Dzu‖2L2,µ−1(R3) ≤

1

2

∥∥D2zu∥∥2

L2,µ(R3)+

1

2‖u‖2

L2,µ−2(R3) . (5.3.4)

Wtedy nierówno±ci (5.3.2) wynikaj¡ bezpo±rednio z (5.3.3) i (5.3.4).

Uwaga 5.3.1. Formuªa (5.3.1) okre±la liniowy operator z D(•R3) w L2,1−µ(R;E2

µ(R2)),który jest ci¡gªy w normie H2

µ(R3). Zatem rozszerza si¦ on do operatora okre±lonego naprzestrzeni H2

µ(R3) i wtedy oszacowanie (5.3.2) zachodzi dla u ∈ H2µ(R3).

Przypomnijmy, »e operatory Aσµ i Bσµ zostaªy zdeniowane na stronie 14.

Stwierdzenie 5.3.2. Zaªó»my, »e σ ≥ 0 i istnieje staªa c taka, »e

‖u‖H2µ(R3) ≤ c

∥∥Aσµu∥∥L2,µ(R3)

dla u ∈ H2µ(R3).

Wtedy zachodzi oszacowanie

‖v‖E2µ(R2) ≤ c

∥∥Bσµv∥∥L2,µ(R2)dla v ∈ E2

µ(R2).

3Por. z lematem 8.1.2 [26].

68

Dowód. Niech χ = χ(t) b¦dzie funkcj¡ gªadk¡ o zwartym no±niku tak¡, »e∫R|χ(t)|2dt = 1.

Niech v nale»y do D(•R2) i deniujemy ci¡g4

uN(x, z) := N− 12 exp(iz)χ(zN−1)v(x), N ∈ N.

Oczywi±cie funkcje uN nale»¡ do H2µ(R3). Zauwa»my, »e podstawiaj¡c t := N−1z dosta-

jemy

‖DkzD

lxuN‖2

L2,µ−m(R3) =

∫R

∣∣∣N−kDkz [exp(iNt)χ(t)]

∣∣∣2 dt · ‖Dlxv‖2

L2,µ−m(R2).

Ponadto gdy N →∞, to funkcje∣∣∣N−kDk

z [exp(iNt)χ(t)]∣∣∣ zbiegaj¡ jednostajnie do |χ(t)|,

a no±niki tych funkcji s¡ zawarte w ustalonym zbiorze, wi¦c otrzymujemy

limN→∞

‖DkzD

lxuN‖L2,µ−m(R3) = ‖Dl

xv‖L2,µ−m(R2).

czylilimN→∞

‖uN‖2H2

µ(R3) = ‖v‖2E2

µ(R2) + ‖v‖2L2,µ−1(R2). (5.3.5)

Teraz policzymy norm¦ (∆ − σr−2)uN w L2,µ(R3). Otó» podstawiaj¡c t := N−1z otrzy-mujemy ∥∥(∆− σr−2)uN

∥∥2

L2,µ(R3)

=

∫R

∫R2

∣∣∆xv(x)χ(t) + v(x)[−(1 + σr−2)χ(t) + 2iN−1χ′(t) +N−2χ′′(t)

]∣∣2 |x|2µ dx dt.Gdy N → ∞, to oczywi±cie funkcje podcaªkowe zbiegaj¡ jednostajnie do funkcji|∆xv(x)− (1 + σr−2)v(x)|2 |x|2µ |χ(t)|2, ich no±niki s¡ zawarte w ustalonym zbiorze, zatem∥∥(∆− σr−2)uN

∥∥2

L2,µ(R3)−→

∥∥(∆− 1− σr−2)v∥∥2

L2,µ(R2). (5.3.6)

Na mocy zaªo»enia mamy ‖uN‖H2µ(R3) ≤ c ‖(∆− σr−2)uN‖L2,µ(R3), zatem korzystaj¡c z

(5.3.5) i (5.3.6) otrzymujemy tez¦.

Na mocy wniosku 5.2.1 i stwierdzenia 5.3.2 dostajemy

Wniosek 5.3.1. Zaªo»my, »e σ ≥ 0, µ < 1+√σ i µ 6∈ Sσ. Wtedy istnieje staªa c = c(µ, σ)

taka, »e‖v‖E2

µ(R2) ≤ c∥∥Bσµv∥∥L2,µ(R2)

dla v ∈ E2µ(R2).

Stwierdzenie 5.3.3. Zaªo»my, »e σ ≥ 0, µ < 1 +√σ i µ 6∈ Sσ. Przypu±¢my, »e operator

Aσµ jest na. Wtedy operator Bσµ równie» jest na.

4Korzystamy tutaj z ideii zawartych z dowodzie twierdzenia 8.2.1 [26].

69

Dowód. Niech χ = χ(ξ) b¦dzie gªadk¡ funkcj¡ wycinaj¡c¡ tak¡, »e 0 ≤ χ ≤ 1, χ(ξ) = 1

na (12, 1), suppχ ⊆ (1

4, 2) i ‖χ‖L2(R) = 1. Dla g = g(η) ∈ D(

•R2) deniujemy

fg(x, z) := F−1ξ 7→z

[|ξ|1+µχ(ξ)g(|ξ|x)

](z) x ∈ R2, z ∈ R. (5.3.7)

Funkcja fg jest dobrze okre±lona, bo |ξ|1+µχ(ξ)g(|ξ|x) nale»y do D(•R3). To»samo±¢ Par-

sevala daje równo±¢

‖fg(x, ·)‖2L2(R) = ‖| · |1+µχ(·)g(| · |x)‖2

L2(R) dla x ∈ R2.

Pomnó»my strony przez |x|2µ i scaªkujmy po R2. Podstawiaj¡c η := |ξ|x otrzymujemy

‖fg‖L2,µ(R3) = ‖g‖L2,µ(R2).

Ponadto funkcja fg jest gªadka w R3. Na mocy zaªo»enia i wniosku 5.2.1 istnieje dokªadniejedno u ∈ H2

µ(R3) speªniaj¡ce −∆u + σr−2u = f w•R3. Posªuguj¡c si¦ standartowym

argumentem wnioskujemy, »e u jest gªadka w•R3. Przykªadaj¡c cz¦±ciow¡ transformat¦

Fouriera Fz 7→ξ (oznaczan¡ symbolemˆ) dostajemy

(−∆x + |ξ|2 + σr−2)u(x, ξ) = f(x, ξ) = |ξ|1+µχ(ξ)g(|ξ|x) dla x ∈•R2, ξ ∈ R.

Dla ξ ∈•R podstawiaj¡c η := |ξ|x otrzymujemy

(−∆η + 1 + σ|η|−2)|[ξ|1−µu(|ξ|−1η, ξ)

]= χ(ξ)g(η) dla η ∈

•R2, ξ ∈

•R,

wi¦c w szczególno±ci

(−∆η + 1 + σ|η|−2)[|ξ|1−µu(|ξ|−1η, ξ)

]= g(η) dla η ∈

•R2, ξ ∈

(12, 1). (5.3.8)

Funkcja u jest elementem H2µ(R3), st¡d stwierdzenie 5.3.1 daje oszacowanie∫

R

|ξ|2(1−µ)∥∥u (|ξ|−1·, ξ

)∥∥2

E2µ(R2)

dξ ≤ ‖u‖2H2

µ(R3) <∞.

W szczególno±ci |ξ|1−µ ‖u (|ξ|−1·, ξ)‖E2µ(R2) < ∞ dla p.w. ξ ∈

(12, 1). Wobec (5.3.8) i jed-

noznaczno±ci zapewnionej przez wniosek 5.3.1 dostajemy, »e w(η) = |ξ|1−µu (|ξ|−1η, ξ) dlap.w. ξ ∈

(12, 1), gdzie w ∈ E2

µ(R2).Pokazali±my wi¦c, »e dla danego g ∈ D(

•R2) istnieje w ∈ E2

µ(R2) takie, »e(−∆ + 1 + σ|η|−2)w = g w

•R2. Korzystaj¡c z wniosku 5.3.1 mamy oszacowanie

‖w‖E2µ(R2) ≤ c‖g‖L2,µ(R2). Zatem teza wynika z g¦sto±ci zbioru D(

•R2) w L2,µ(R2).

70

5.4 WnioskiW tym podrozdziale ustalimy pewne relacje pomi¦dzy operatorami Aσ

µ przy ró»nych µ(tw. 5.4.1) i równo±¢ dim kerAσ

µ = dim cokerAσµ′ dla µ′ = 2 − µ (lem. 5.4.1). Wtedy,

uwzgl¦dniaj¡c oszacowania a priori (tw. 5.1.1), dostajemy zasadniczy wynik tego po-drozdziaªu: twierdzenie 5.4.2.Podane poni»ej twierdzenie jest pewn¡ modykacj¡ stwierdzenia 8.2.9 [26], która pozwolinam w dalszej cz¦±ci uzyska¢ pewne dodatkowe5 informacje o rozwi¡zywalno±ci zagad-nienia (5.1.1) w przypadku σ = 0. Przypomnijmy, »e liczby λσk , λσk zostaªy okre±lone nastronie 13.Twierdzenie 5.4.1. Zaªó»my, »e σ ≥ 0, k ∈ Zσ, k > −1 i µ, β ∈ R speªniaj¡ warunki

λσk+1 < µ < λσk < β. (5.4.1)

Je»eli operator Aσµ jest na, to operator Aσ

β nie jest ró»nowarto±ciowy.

Dowód. Przypadek λσk − µ < 2. Dla x ∈•R2 deniujemy ςσk (x) := rλ

σk cos kθ, gdzie (r, θ)

s¡ wspóªrz¦dnymi biegunowymi na R2, a dla k = ±0 wyra»enie cos kθ jest równe 1. Niechη = η(r) b¦dzie gªadk¡ funkcj¡ wycinaj¡c¡ równ¡ 1 na B1 (Br to kula o ±rodku z pocz¡tkuukªadu wspóªrz¦dnych i promieniu równym r) i supp η ⊆ B2. Oczywi±cie mamy

(∆− 1− σr−2)(ηςσk ) = ∆η · ςσk + 2∇η · ∇ςσk + η(∆ςσk − σr−2ςσk )− η · ςσk w•R2. (5.4.2)

Oznaczmy praw¡ stron¦ przez p. Poka»emy, »e p nale»y do L2,µ(R2). Otó» funkcje ∆η · ςσk ,∇η · ∇ςσk s¡ gªadkie i maj¡ no±nik zwarty w

•R2, zatem nale»¡ one do L2,µ(R2). Ponadto

(∆− σr−2)ςσk ≡ 0 w•R2. Pozostaªo uzasadni¢, »e ηςσk jest elementem L2,µ(R2). Zauwa»my,

»e w tym przypadku mamy λσk + µ+ 1 > 0 zatem mo»emy napisa¢

‖ηςσk ‖2L2,µ(R2) ≤

∫B2

r2λσk+2µ cos2 ωσk θ dx ≤ 2π

2∫0

r2λσk+2µ+1 dr =

π22(λσk+µ+1)

λk + µ+ 1,

czyli p ∈ L2,µ(R2). Na mocy zaªo»enia Aσµ jest na, µ < 1 +

√σ i µ 6∈ Sσ, wi¦c ze

stwierdzenia 5.3.3 wnioskujemy, »e Bσµ jest równie» na. Zatem istnieje w ∈ E2µ(R2) takie,

»e (∆− 1− σr−2)w = p w•R2. Poªó»my

v := w − ηςσk . (5.4.3)

Zauwa»my wpierw, »e v 6≡ 0. W istocie, w przeciwnym przypadku mieliby±my ηςσk = w ∈E2µ(R2), wi¦c w szczególno±ci ηςσk ∈ L2,µ−2(R2). To ostatnie nie jest mo»liwe, poniewa» z

nierówno±ci µ < λσk mamy 2λσk + 2µ− 3 < −1, czyli∫R2

|ηςσk |2 r2µ−4 dx ≥

1∫0

r2λσk+2µ−3 dr = ∞.

5Czytelnik zechce zwrócic uwag¦, »e gdyby±my w dowodzie twierdzenia 5.4.2 skorzystali ze stwierdzenia 8.2.9[26] zamiast twierdzenia 5.4.1, to nie uzyskaliby±my »adnych dodatkowych informacji o badanym zagadnieniu wprzypadku σ = 0.

71

Poka»emy teraz, »e v nale»y do E2β(R2). W tym celu zapiszmy v w postaci6

v = (1− η∞)v + η∞v.

Oczywi±cie dla pewnej staªej c zachodzi

‖(1− η∞)v‖E2β(R2) ≤ c

2∑l=0

∥∥Dlv∥∥L2,β−2+l(B23/2 )

.

Z okre±lenia funkcji v mamy∥∥Dlv∥∥L2,β−2+l(B23/2 )

≤∥∥Dlw

∥∥L2,β−2+l(B23/2 )

+∥∥Dl(ηςσk )

∥∥L2,β−2+l(B23/2 )

.

Warunek (5.4.1) daje µ < β, zatem dla l = 0, 1, 2 mamy∥∥Dlw∥∥L2,β−2+l(B23/2 )

≤ 232(β−µ)

∥∥Dlw∥∥L2,µ−2+l(B23/2 )

,

co jest sko«czone poniewa» w ∈ E2µ(R2). Z kolei bezpo±rednim rachunkiem, korzystaj¡c z

nierówno±ci λσk < β, dostajemy∥∥Dl(ηςσk )

∥∥L2,β−2+l(B23/2 )

<∞ , czyli (1 − η∞)v nale»y doE2β(R2).

Z drugiej strony zauwa»my7, »e χ∞v = χ∞w−χ∞ηςσk ∈ E1µ(R2), bo w ∈ E2

µ(R2), natomiastχ∞ης

σk jest gªadka o zwartym no±niku w

•R2. Zatem z wniosku 3.2.2 (patrz str. 22) mamy

η∞v ∈ E2β(R2).

W ten sposób okre±lili±my 0 6≡ v ∈ E2β(R2) speªniaj¡ce

(∆− 1− σr−2)v = 0 w•R2. (5.4.4)

Posªuguj¡c si¦ standartowym argumentem wnioskujemy, »e v jest gªadkie8 w•R2. Poªó»my9

u(x, z) := F−1ξ 7→z[|ξ|

β−1(1 + |ξ|)−1v(|ξ|x)](z) dla x ∈•R2, z ∈ R. (5.4.5)

Wtedy 0 6≡ u ∈ H2β(R3). Mno»¡c strony (5.4.4) przez |ξ|β+1(1 + |ξ|)−1 dostajemy

(|ξ|2∆η − |ξ|2 − σ|ξ|2|η|−2)[|ξ|β−1(1 + |ξ|)−1v(η)

]= 0 dla η ∈

•R2, ξ ∈

•R.

Podstawiaj¡c x := |ξ|−1η mamy

(∆x − |ξ|2 − σ|x|−2)[|ξ|β−1(1 + |ξ|)−1v(|ξ|x)

]= 0 dla x ∈

•R2, ξ ∈

•R,

czyli(∆x − |ξ|2 − σ|x|−2)u(x, ξ) = 0 dla x ∈

•R2, p.w. ξ ∈ R, (5.4.6)

6Funkcja η∞ zostaªa okre±lona w (2.1.11).7Funkcja χ∞ zostaªa okre±lona w (2.1.17).8Na mocy wniosku 3.2.2 mamy ponadto lim

η→∞|η|lDkv(η) = 0 dla k = 0, 1, 2 i l ∈ N.

9Ta formuªa jest dobrze zdeniowana dla v ∈ D(•R2). Post¦puj¡c podobnie jak w dowodzie stwierdzenia 5.3.1

mo»na pokaza¢, »e ‖v‖E2β(R2) ≤ 2‖u‖H2

β(R3) ≤ 2

√2‖v‖E2

β(R2). Zatem formuªa (5.4.5) mo»e zosta¢ rozszerzona na

wszystkie funkcje v ∈ E2β(R2) z zachowaniem tych»e oszacowa«.

72

gdzie u(x, ξ) oznacza cz¦±ciow¡ transformat¦ Fouriera funkcji u(x, z) wzgl¦dem zmiennejz. Funkcja u jest elementem H2

β(R3), zatem ∆u, r−2u ∈ L2,β(R3), wi¦c

‖(∆− σr−2)u‖L2,β(R3) = limε→0+

ε−1∫ε

2π∫0

∞∫−∞

|(∆− σr−2)u(x, z)|2 dz r2β+1 drdϕ

= limε→0+

ε−1∫ε

2π∫0

∞∫−∞

|(∆x − |ξ|2 − σr−2)u(x, ξ)|2dξ r2β+1 drdϕ = 0,

gdzie skorzystali±my z (5.4.6) i to»samo±ci Parsevala. Tym samym (∆−σr−2)u = 0 w•R3,

tzn. kerAσβ 6= 0.

Przypadek λσk−µ ≥ 2. Wtedy mamy σ > 1, k = −0 i µ ∈ (1−√σ, 1+

√σ). Wybierzmy

µ ∈ (1 −√σ, 1 +

√σ) takie, »e λσ0 − µ < 2. Z twierdzenia 5.2.1 wynika, »e Aσ

µ jest na.Zatem z poprzedniego przypadku wnioskujemy, »e kerAσ

β 6= 0.

Sformuªowane powy»ej stwierdzenie jest dobrze znanym klasycznym wynikiem, niemniejjednak warto przypomnie¢ tutaj jego uzasadnienie. W cz¦±ci (a) pod¡»amy za dowodemtwierdzenia 2.5.2.1 [5]. Ponadto przestrze« D(∆, L2(U)) oznacza dziedzin¦ maksymaln¡laplasjanu i zostaªa okre±lona w (2.1.2) (str. 11).

Stwierdzenie 5.4.1. Zaªó»my, »e U ′ ⊂⊂ U ⊆ Rn s¡ ograniczonymi podzbiorami z gªad-kim brzegiem. Wtedy

a) Przyporz¡dkowanie uP7−→ (∆u, u|∂U) jest izomorzmem z D(∆, L2(U)) na L2(U) ×

H− 12 (∂U).

b) Je»eli w ∈ D(∆, L2(U)), to w ∈ H2(U ′).

Dowód. (a). Oczywi±cie (patrz np. komentarz ze str. 54 z [5]) przyporz¡dkowanieD(∆, L2(U)) 3u 7−→ (∆u, u|∂U) ∈ L2(U)×H− 1

2 (∂U) jest ci¡gªe. Nast¦puj¡ce rozumowanie dowodzi, »eP jest ró»nowarto±ciowe i 'na'. Niech T b¦dzie operatorem okre±lonym tak

T : H2(U) −→ L2(U)×H32 (∂U),

vT7−→ (∆v, v|∂U).

Wtedy T jest izomorzmem, zatem operator sprz¦»ony T ∗ jest równie» izomorzmem,T ∗ : L2(U) × H− 3

2 (∂U) −→ (H2(U))∗. We¹my (f, g) ∈ L2(U) × H− 12 (∂U) i znajdziemy

u ∈ D(∆, L2(U)) takie, »e ∆u = f w U i u|∂U = g. W tym celu zdeniujmy na H2(U)funkcjonaª l w nast¦puj¡cy sposób

l(v) =

∫U

fvdx+ 〈g, ∂v∂n∣∣∂U〉,

gdzie n oznacza jednostkowy wektor normalny, zewn¦trzny. Wtedy l ∈ (H2(U))∗, a skoroT ∗ jest izomorzmem, wi¦c istnieje dokªadnie jedno u ∈ L2(U) i dokªadnie jedno φ ∈

73

H− 23 (∂U) takie, »e T ∗(u, φ) = l. Z denicji mamy 〈T ∗(u, φ), v〉 = 〈(u, φ), T v〉 dla v ∈

H2(U), wi¦c dostajemy

l(v) =

∫U

u∆v dx+ 〈φ, v|∂U〉, ∀v ∈ H2(U).

Uwzgl¦dniaj¡c denicj¦ l otrzymujemy∫U

fvdx−∫U

u∆vdx = 〈φ, v|∂U〉 − 〈g,∂v

∂n∣∣∂U〉 ∀v ∈ H2(U). (5.4.7)

W szczególno±ci mamy ∫U

fvdx =

∫U

u∆vdx ∀v ∈ D(U),

co oznacza, »e ∆u = f w U w sensie dystrybucyjnym, wi¦c jako, »e f ∈ L2(U), todostajemy u ∈ D(∆, L2(U)). Zatem dla funkcji u ∈ D(∆, L2(U)) i v ∈ H2(U) mo»emyzastosowa¢ wzór Greena w postaci

∫U

fvdx−∫U

u∆vdx = 〈∂u∂n∣∣∂U , v|∂U〉 − 〈u|∂U , ∂v∂n ∣∣∂U〉, ∀v ∈ H2(U). (5.4.8)

Odejmuj¡c stronami równania (5.4.7) i (5.4.8) otrzymujemy

〈∂u∂n∣∣∂U − φ, v|∂U〉 = 〈u|∂U − g,

∂v

∂n∣∣∂U〉 ∀v ∈ H2(U).

Przyporz¡dkowanie H2(U) 3 v 7−→ (v|∂U ,∂v∂n∣∣∂U) jest na H

32 (∂U) × H

12 (∂U), wi¦c z

powy»szego dostajemy ∂u∂n∣∣∂U = φ, u|∂U = g. Tym samym pokazali±my, »e P jest ró»nowarto±-

ciowe i na, czyli P jest izomorzmem.(b). Zaªó»my, »e w ∈ D(∆, L2(U)) i niech η b¦dzie gªadk¡ funkcj¡ wycinaj¡c¡ tak¡, »eη ≡ 1 na U ′ i supp η ⊆ U . Wtedy g := ∆(ηw) nale»y do H−1(U) = (

H1(U))∗, zatem

istnieje dokªadnie jedno h ∈H1(U) b¦d¡ce sªabym rozwi¡zaniem równania ∆h = g w U .

Wtedy oznaczaj¡c u = ηw−h mamy u ∈ L2(U), ∆u = 0 w U i u|∂U = 0 w sensie H 12 (∂U).

Zatem w szczególno±ci u|∂U = 0 w sensie H− 12 (∂U), wi¦c z cz¦sci (a) wnioskujemy, »e

u ≡ 0, czyli ηw = h ∈ H1(U). Wtedy mamy g ∈ L2(U), a st¡d ηw ∈ H2(U).

Stwierdzenie 5.4.2. Zaªó»my, »e σ ≥ 0, µ ∈ R, w ∈ L2,µ−2(R3) i funkcja w speªnia

równanie −∆w+σr−2w = 0 w•R3. Wtedy w ∈ H2

µ(R3) i ‖w‖H2µ(R3) ≤ c‖w‖L2,µ−2(R3), gdzie

c zale»y jedynie od µ i σ.

Dowód. Wpierw zauwa»my, »e w ∈ D(∆, L2(U)) dla U gªadkich, ograniczonych i takich,»e U ⊆

•R3. Zatem przy pomocy stwierdzenia 5.4.1 (b) wnioskujemy, »e w ∈ H2

Loc(R3). Wko«cu korzystaj¡c ze stwierdzenia 3.2.5 (str. 23) dostajemy tez¦.

Uwaga 5.4.1. W przypadku, gdy σ = 0 powy»sze stwierdzenie mo»na uzasadni¢ korzysta-j¡c z dobrze znanych wªasno±ci funkcji harmonicznych. Poni»ej przedstawiamy t¦ metod¦,podkre±laj¡c i» mo»e by¢ ona zastosowana dla funkcji harmonicznych w obszarach takich,jak k¡ty, k¡ty dwu±cienny, itp.

74

Stwierdzenie 5.4.3. Zaªó»my, »e µ ∈ R i l ∈ N. Wtedy istnieje staªa c = c(µ, l) taka, »e

je»eli u ∈ L2,µ(R3) jest harmoniczne w•R3, to zachodzi oszacowanie∥∥Dlu

∥∥L2,µ+l(R3)

≤ c ‖u‖L2,µ(R3) . (5.4.9)

Dowód. Oczywi±cie wystarczy pokaza¢ (5.4.9) tylko dla l = 1. W tym celu zdeniujemydwa pokrycia

•R3. Poªó»my rn :=

(34

)n, Rn := 14rn dla n ∈ Z i niech Pn,i,k := (rn,

π15i, 1

10krn)

b¦dzie punktem R3 danym we wspóªrz¦dnych cylindrycznych, gdzie n, k ∈ Z, natomiasti ∈ I := 0, 1, ..., 29. Niech B1

n,i,k (B2n,i,k odpow.) oznacza kul¦ o ±rodku w punkcie Pn,i,k

i promieniu Rn (2Rn odpow.). Wtedy rodzinyB1n,i,k

n,k∈Z,i∈I ,

B2n,i,k

n,k∈Z,i∈I maj¡

nast¦puj¡ce wªasno±ci ⋃n,k∈Z

⋃i∈I

B1n,i,k =

⋃n,k∈Z

⋃i∈I

B2n,i,k =

•R3, (5.4.10)

diamB1n,i,k =

2

3dist(B1

n,i,k, ∂•R3), (5.4.11)

rz¡d pokrycia⋃n,k∈Z

⋃i∈I

B2n,i,k =

•R3 jest sko«czony, (5.4.12)

tzn. istnieje staªa N0 taka, »e dowolne przeci¦cie N0+1 elementów rodzinyB2n,i,k

n,k∈Z,i∈I

jest puste. Zaªó»my teraz, »e u ∈ L2,µ(R3) jest harmoniczne w•R3. Wtedy u jest harmon-

iczne na ka»dej kuli B2n,i,k, st¡d speªnia oszacowanie (patrz np. twierdzenie 8.2 [2])

supB1

n,i,k

|Du| ≤ c0R− 5

2n ‖u‖L2(B2

n,i,k) , (5.4.13)

gdzie c0 jest pewn¡ uniwersaln¡ staªa. Wobec powy»szej nierówno±ci dostajemy‖Du‖2

L2,µ+1(B1n,i,k) ≤ |B1

n,i,k| supB1

n,i,k

|Du|2 · supB1

n,i,k

r2µ+2 ≤

c20R−5n |B1

n,i,k| supB1

n,i,k

r2µ+2 · ‖u‖2L2(B2

n,i,k) ≤

4

3πc20R

−2n · sup

B1n,i,k

r2µ+2 · supB2

n,i,k

r−2µ · ‖u‖2L2,µ(B2

n,i,k) .

Bezpo±rednim rachunkiem sprawdzamy, »e dla dowolnych n, i, k mamyR−2n sup

B1n,i,k

r2µ+2 · supB2

n,i,k

r−2µ ≤ c,

gdzie staªa c zale»y jedynie od µ. Zatem dostajemy‖Du‖2

L2,µ+1(B1n,i,k) ≤ c‖u‖2

L2,µ(B2n,i,k),

dla pewnej staªej c zale»nej tylko od µ. Sumuj¡c powy»sze nierówno±ci po n, k ∈ Z, i ∈ I,a nast¦pnie korzystaj¡c z wªasno±ci (5.4.10), (5.4.12) dostajemy

‖Du‖2L2,µ+1(R3) ≤ cN0 ‖u‖2

L2,µ(R3) .

75

Ze stwierdzenia 5.4.2 wynika nast¦puj¡cy wniosek.Wniosek 5.4.1. Dla ka»dego σ ≥ 0 i µ ∈ R mamy Kσ

µ = u ∈ L2,µ−2(R3); (∆−σr−2)u =

0 w•R3, a normy ‖ · ‖H2

µ(R3) i ‖ · ‖L2,µ−2(R3) s¡ równowa»ne na Kσµ. Zatem mo»emy

traktowa¢ Kσµ jako domkni¦t¡ podprzestrze« L2,µ−2(R3) wyposa»on¡ w norm¦ ‖·‖L2,µ−2(R3)

.

Przypomnijmy, »e µ′ = 2− µ. Przy takim oznaczeniu prawdziwy jest nast¦puj¡cu lemat.Lemat 5.4.1. Zaªó»my, »e σ ≥ 0 i µ ∈ R. Wtedy przyporz¡dkowanie w 7→ w · r−2µ′ jestizometrycznym izomorzmem z Kσ

µ na N σµ′. W szczególno±ci dimKσ

µ = dimN σµ′.

Dowód. Zauwa»my wpierw, »e tak zdeniowane przyporz¡dkowanie jest izometri¡ z L2,µ−2(R3)na L2,µ′(R3). W istocie, jako »e µ′ = 2− µ, to mamy

‖w‖L2,µ−2(R3) = ‖w · r−µ′‖L2(R3) = ‖w · r−2µ′‖L2,µ′ (R3).

Zaªó»my, »e w ∈ L2,µ−2(R3) i w′ := w · r−2µ′ . Wtedy korzystaj¡c z wniosku 5.4.1, denicjiw′, g¦sto±ci D(

•R3) w H2

µ′(R3) i w ko«cu z denicji N σµ′ dostajemy

w ∈ Kσµ ⇐⇒

∫R3

w(∆u− σr−2u) dx = 0 ∀u ∈ D(•R3)

⇐⇒∫R3

w′(∆u− σr−2u)r2µ′ dx = 0 ∀u ∈ D(•R3)

⇐⇒∫R3

w′(∆u− σr−2u)r2µ′ dx = 0 ∀u ∈ H2µ′(R3) ⇐⇒ w′ ∈ N σ

µ′ .

Wniosek 5.4.2. Zaªó»my, »e σ ≥ 0, µ > 1 −√σ i µ 6∈ Sσ. Wtedy obraz operatora Aσ

µ

jest g¦sty w L2,µ(R3), tzn. N σµ = 0.

Dowód. Zauwa»my, »e je»eli µ speªnia zaªo»enia, to dla µ′ = 2 − µ mamy µ′ < 1 +√σ

i µ′ 6∈ Sσ. Zatem z wniosku 5.2.1 dostajemy dimKσµ′ = 0. Natomiast z lematu 5.4.1

dostajemy dimN σµ = dimKσ

µ′ = 0.

Dotychczasowe ustalenia prowadz¡ do zasadniczego twierdzenia tej cz¦±ci pracy.Twierdzenie 5.4.2. Zaªó»my, »e σ ≥ 0, µ > 1 +

√σ i µ 6∈ Sσ. Wtedy Kσ

µ 6= 0.

Dowód. Przypu±¢my przeciwnie, tj. zaªó»my, »e Kσµ = 0. Z lematu 5.4.1 wnosimy, »e

N σµ′ = 0, czyli RangAσ

µ′ jest g¦sty w L2,µ′(R3). Zauwa»my, »e µ′ speªnia warunki µ′ <1−√σ i µ′ 6∈ Sσ, wi¦c korzystaj¡c z oszacowa« a priori dla µ′ (wniosek 5.2.1) otrzymujemy,

»e RangAσµ′ jest domkni¦t¡ podprzestrzeni¡ L2,µ′(R3). Zatem RangAσ

µ′ = L2,µ′(R3), czylioperator Aσ

µ′ jest na. Z drugiej strony z warunków µ′ < 1 −√σ, µ′ 6∈ Sσ wynika, »e

λσk+1 < µ′ < λσk dla pewnego k ∈ Zσ takiego, »e k > −1. Zatem speªnione s¡ zaªo»eniatwierdzenia 5.4.1, wobec tego Kσ

µ 6= 0, wbrew wcze±niejszemu zaªo»eniu.

76

Przedstawiony poni»ej argumet jest, jak si¦ wydaje, nieco bardziej naturalny od tegozawartego w uwadze 8.2.2 [26].

Stwierdzenie 5.4.4. Zaªó»my, »e σ ≥ 0, µ ∈ R i Kσµ 6= 0. Wtedy dimKσ

µ = ∞.

Dowód. Przypu±¢my przeciwnie, tj. zaªó»my, »e v1, ..., vn ⊆ H2µ(R3) jest baz¡ ortonor-

maln¡ w Kσµ. Niech R > 0 b¦dzie takie, »e δ ∈ (0, 1], gdzie δ :=

R∫0

∫R2

|v1(x, z)|2r2µ−4 dxdz.

Dla k ∈ Z kªadziemywk(x, z) := v1(x, z − kR).

Wtedy oczywi±cie (∆ − σr−2)wk = 0 w•R3 i ‖wk‖H2

µ(R3) = ‖v1‖H2µ(R3) = 1, wi¦c wk s¡

niezerowymi elementami Kσµ. To oznacza, »e istniej¡ liczby aki takie, »e

wk(x, z) =n∑i=1

aki vi(x, z).

Wtedy mamy 1 = ‖wk‖2H2

µ(R3) = ‖n∑i=1

aki vi‖2H2

µ(R3) =n∑i=1

|aki |2, wi¦c

n∑i=1

|aki |2 ≤ 1 dla k ∈ Z. (5.4.14)

Oznaczmy przez Rk przedziaª (kR, (k + 1)R). Dla ka»dego i ∈ 1, ..., n szereg∞∑

k=−∞‖vi‖2

H2µ(R2×Rk) zbiega, wi¦c istniej¡ liczby K0

i takie, »e dla wszystkich |k| ≥ K0i za-

chodzi nierówno±¢ ‖vi‖H2µ(R2×Rk) ≤

√δ2n. Poªó»my K0 := max

iK0i . Wtedy dla ka»dego

i = 1, ..., n i |k| ≥ K0 mamy‖vi‖2

H2µ(R2×Rk) ≤

δ

2n. (5.4.15)

Zaªó»my teraz, »e |k| ≥ K0. Wtedy dla (x, z) ∈•R2 × R mamy

|v1(x, z)|2 = |wk(x, z + kR)|2 = |n∑i=1

aki vi(x, z + kR)|2 ≤ nn∑i=1

|aki |2|vi(x, z + kR)|2.

Mno»¡c strony przez r2µ−4, caªkuj¡c po R2 × (0, R), a nast¦pnie korzystaj¡c z (5.4.14) i(5.4.15) dostajemy

δ ≤ n

n∑i=1

|aki |2R∫

0

∫R2

|vi(x, z + k)|2r2µ−4 dxdz

= n

n∑i=1

|aki |2∫Rk

∫R2

|vi(x, z)|2r2µ−4 dxdz ≤ n

n∑i=1

|aki |2δ

2n≤ δ

2,

co jest niemo»liwe bo δ > 0.

77

Wniosek 5.4.3. Zaªó»my, »e σ ≥ 0 i µ 6∈ Sσ. Je»eli µ > 1 +√σ, to dimKσ

µ = ∞. Je»eli

µ < 1−√σ, to dimN σ

µ = ∞.

Dowód. Teza wynika bezpo±rednio ze stwierdzenia 5.4.4, lematu 5.4.1 i twierdzenia 5.4.2.

5.4.1 Podsumowanie wynikówPodsumowuj¡c, w zwi¡zku z zagadnieniem (5.1.1) rozpatrywanym w przestrzeni H2

µ(R3)wykazali±my w tym rozdziale nast¦puj¡ce stwierdzenia (σ ≥ 0, µ 6∈ Sσ)

a) Zachodz¡ oszacowania a priori dla rozwi¡za« (5.1.1) wtedy i tylko wtedy, gdy µ <1 +

√σ

b) Dla ka»dego f ∈ L2,µ(R3) istnieje dokªadnie jedno u ∈ H2µ(R3) b¦d¡ce rozwi¡zaniem

(5.1.1) wtedy i tylko wtedy, gdy µ ∈ (1−√σ, 1 +

√σ)

c) Je»eli µ > 1+√σ, to rozwi¡zania zagadnienia jednorodnego (5.1.1) tworz¡ niesko«cze-

nie wymiarow¡ podprzestrze« H2µ(R3)

d) Je»eli µ < 1−√σ, to zbiór (∆−σr−2)H2

µ(R3) jest domkni¦t¡ podprzestrzeni¡ L2,µ(R3),niesko«czonego kowymiaru.

Ponadto, w ±wietle uwagi 5.5.4 (str. 90), w przypadku µ ∈ Sσ nie zachodz¡ oszacowaniaa priori.

5.5 Zagadnienie w obszarze ograniczonymW tym rodziale b¦dziemy zajmowa¢ si¦ nast¦puj¡cym problemem10

−∆u+ σr−2u = f wD1

u = 0 na ∂D1 \ x : r = 0.(5.5.1)

Roztrzygniemy, przy jakich µ i σ zachodz¡ oszacowania a priori dla rozwi¡za« (5.5.1) ib¦dziemy bada¢ kwesti¦ rozwi¡zywalno±ci zagadnienia (5.5.1). Podkre±lmy to, i» podob-nie jak w zagadnieniu w caªym R3, udaªo nam si¦ powi¡za¢ ze sob¡ wymiar j¡dra ikoj¡dra operatorów zwi¡zanych z zagadnieniem (5.5.1). W tym celu pokonujemy tutajszereg trudno±ci powodowanych tym, »e zbiór D1 nie ma gªadkiego brzegu. Korzystamytu z informacji dotycz¡cych zagadnienia Dirchleta w k¡cie dwu±ciennym. Na pocz¡tekwyka»emy takie oto stwierdzenie.

Stwierdzenie 5.5.1. Zaªó»my, »e σ ≥ 0 i µ < 1. Wtedy je»eli u ∈H2µ(D1) speªnia

równanie ∆u− σr−2u = 0 wD1, to u ≡ 0.

Zauwa»my, »e dowód stwierdzenia 4.4.1 (a) dziaªa tutaj tylko dla µ < 23. Przeprowadzimy

zatem nieco inne rozumowanie.10Oznaczenia wprowadzono na str. 10 i w (2.1.20).

78

Dowód. Funkcja u ∈H2µ(D1) jest dystrybucyjnym rozwi¡zaniem równania ∆u−σr−2u =

0 wD1, zatem speªnia to»samo±¢∫

D1

u ·∆ϕ− σr−2u · ϕ dx = 0 dla ϕ ∈ D(D1).

Odnotujmy, »e wobec uwagi 3.1.3 mamy u ∈H1(D1), wi¦c caªkuj¡c przez cz¦±ci, a nast¦p-

nie korzystaj¡c z g¦sto±ci D(D1) wH1(D1) dostajemy∫

D1

∇u · ∇ϕ+ σr−2u · ϕ dx = 0 dla ϕ ∈H1(D1) takich, »e suppϕ ⊆

•D1. (5.5.2)

Oznaczmy przez ηδ = ηδ(r) rodzin¦ gªadkich, wycinaj¡cych funkcji, speªniaj¡c¡ warunki:ηδ(r) = 1 dla r > 2δ, ηδ(r) = 0 dla r < δ, |∇ηδ(r)| ≤ 2/δ dla δ > 0. Zatem mo»emypodstawi¢ ϕ = ηδu w (5.5.2) i dostajemy∫

D1

∇u · ∇(ηδu) + σr−2|u|2ηδ dx = 0 dla δ > 0. (5.5.3)

Oczywi±cie mamy∫D1

r−2|u|2ηδ dx −→∫D1

r−2|u|2 dx, bo ur−1 ∈ L2(D1) i (1−ηδ) → 0 p.w..

Z nierówno±ci trójk¡ta otrzymujemy

‖∇(ηδu)−∇u‖L2(D1) ≤ ‖∇ηδ · u‖L2(D1) + ‖(1− ηδ)∇u‖L2(D1).

Wtedy dostajemy

‖∇ηδ · u‖2L2(D1) ≤

∫D1

|∇ηδ|2r4−2µ · |u|2r2µ−4 dx ≤ supD1

|∇ηδ|2 · supsupp∇ηδ

r4−2µ · ‖u‖2L2,µ−2(D1)

≤ 4

δ2· (2δ)4−2µ‖u‖2

H2µ(D1)

δ→0−−→ 0,

bo µ < 1. Podobnie otrzymujemy

‖(1− ηδ)∇u‖2L2(D1) ≤

∫D1

|1− ηδ|2r2−2µ · |∇u|2r2µ−2 dx ≤ supsupp (1−ηδ)

r2−2µ · ‖∇u‖2L2,µ−1(D1)

≤ (2δ)2−2µ‖u‖2H2

µ(D1)δ→0−−→ 0.

Zatem przechodz¡c w (5.5.3) z δ do granicy w zerze, mamy∫D1

|∇u|2 + σr−2|u|2 dx = 0,

czyli u ≡ 0.

Przeprowadzony powy»ej dowód wskazuje, i» rozwi¡zania z przestrzeni wagowych s¡ sªabymirozwi¡zaniami, przy zaªo»eniu, »e µ < 1. Problem ten swego czasu budziª spore kontrow-ersje, dlatego» formuªujemy go w osobnym wniosku.

79

Wniosek 5.5.1. Zaªó»my, »e µ < 1, u ∈H2µ(D1), f ∈ L2,µ(D1) i u jest dystrubucyjnym

rozwi¡zaniem równania −∆u = f wD1. Wtedy u ∈

H1(D1) i u jest sªabym rozwi¡zaniem

zagadnienia

−∆u = f w D1

u = 0 na ∂D1,, tj. u speªnia to»samo±¢∫

D1

∇u · ∇ψ dx =

∫D1

fψ dx dla ψ ∈H1(D1). (5.5.4)

Dowód. Oczywi±cie, z zaªo»enia o µ i stwierdzenia 3.1.2 (str. 18) wnioskujemy, »e u ∈H1(D1). Pozostaªo zatem wykazanie to»samo±ci (5.5.4). Na mocy zaªo»enia, u speªniato»samo±¢ −

∫D1

u · ∆ϕ dx =∫D1

fϕ dx dla ϕ ∈ D(D1). Jako, »e u ∈ H1(D1), to mo»emy

scaªkowa¢ przez cz¦±ci i otrzymujemy∫D1

∇u · ∇ϕ dx =

∫D1

fϕ dx dla ϕ ∈ D(D1). (5.5.5)

We¹my teraz dowolne ψ ∈ D(D1) i podstawmy ϕ = ηδψ w (5.5.5), gdzie ηδ jest funkcj¡okre±lon¡ w dowodzie stwierdzenia 5.5.1. Wtedy dostajemy∫

D1

∇u · ∇(ηδψ) dx =

∫D1

ηδfψ dx. (5.5.6)

Oczywi±cie mamy∫D1

ηδfψ dx −→∫D1

fψ dx, gdy δ → 0+, bo fψ jest caªkowalne w D1. Z

drugiej strony mamy∣∣∣ ∫D1

∇u · ∇(ηδψ) dx−∫D1

∇u · ∇ψ dx∣∣∣ ≤ ∫

supp(1−ηδ)

|∇u · ∇ψ| dx+

∫supp∇ηδ

|∇u||∇ηδ||ψ| dx.

Pierwsza z caªek d¡»y do zera, bo iloczyn |∇u · ∇ψ| jest caªkowalny, a miara zbiorusupp(1− ηδ) d¡»y do zera. Drug¡ z caªek szacujemy nastepuj¡co∫supp∇ηδ

|∇u||∇ηδ||ψ| dx =

∫supp∇ηδ

|∇u|rµ−1·|∇ηδ|r·|ψ|r−µ dx ≤ 4

∫supp∇ηδ

|∇u|rµ−1·|ψ|r−µ dx

≤ 4‖∇u‖L2,µ−1(supp∇ηδ)‖ψr−µ‖L2(D1) ≤ c(µ)‖∇u‖L2,µ−1(supp∇ηδ)‖ψ‖H1(D1) −→ 0,

gdzie w ostatniej nierówno±ci skorzystali±my z nierówno±ci Hardy'ego (3.1.1) i zaªo»eniao µ. Tym samym mo»emy przej±¢ do granicy w (5.5.6) i otrzymujemy∫

D1

∇u · ∇ψ dx =

∫D1

fψ dx dla ψ ∈ D(D1).

Powy»sze wyra»enia zale»¡ w sposób ci¡gªy od ψ w normie H1(D1), bo∣∣ ∫D1

fψ dx∣∣ ≤

‖f‖L2,µ(D1)‖ψr−µ‖L2(D1) ≤ c(µ)‖f‖L2,µ(D1)‖ψ‖H1(D1). Zatem z g¦sto±ci D(D1) wH1(D1)

otrzymujemy to»samo±¢ (5.5.4).

80

5.5.1 Oszacowania a priori i istnienie rozwi¡za«Wyka»emy teraz oszacowania a priori dla rozwi¡za« zagadnienia (5.5.1).Stwierdzenie 5.5.2. Zaªó»my, »e σ ≥ 0, µ 6∈ Sσ i µ < 1. Wtedy istnieje staªa c taka, »e

je»eli u ∈H2µ(D1) jest rozwi¡zaniem (5.5.1), to u speªnia oszacowanie

‖u‖H2µ(D1) ≤ c‖f‖L2,µ(D1). (5.5.7)

Uwaga 5.5.1. Dowód powy»szego stwierdzenia mo»na otrzyma¢ przerabiaj¡c nieznaczniedowód twierdzenia 5.1.1 (str. 65). Jednak»e, by unikn¡¢ dodatkowego komplikowania no-tacji b¡d¹ ponownego ±ledzenia zawartego tam rozumowania, przedstawiamy tutaj argu-mentacj¦ podobn¡ do tej z dowodu stwierdzenia 4.4.2 (str. 41).

Dowód. Okre±lmy wpierw rodzin¦ funkcji wycinaj¡cych ηδ = ηδ(r) speªniaj¡c¡ nast¦pu-j¡ce warunki: ηδ(r) = 1 dla r < δ, ηδ(r) = 0 dla r > 2δ, |Dkηδ(r)| ≤ 2δ−k dla k = 1, 2.Oznaczmy przez u i f przedªu»enie u i f na zbiór d1 × (−3, 3), otrzymane z u i f przeznieparzyste odbicie wzgl¦dem pªaszczyzn z = ±1. Wtedy otrzymamy (∆ − σr−2)u = f

wd1 × (−3, 3). Niech χ = χ(z) b¦dzie gªadk¡ funkcj¡ wycinaj¡c¡ tak¡, »e χ(z) = 1 dla

|z| < 1, χ(z) = 0 dla |z| > 2 i |Dkχ(z)| ≤ 2 dla k = 1, 2. Wtedy mamy

‖u‖H2µ(D1) ≤ ‖ηδu‖H2

µ(D1) + ‖(1− ηδ)u‖H2µ(D1) ≤ ‖χηδu‖H2

µ(R3) + c(µ, δ)‖(1− ηδ)u‖H2(D1).

(5.5.8)Oznaczmy przez Pδ zbiór x ∈ D1 : δ < r < 2δ. Wtedy korzystaj¡c ze znanychoszacowa« mo»emy napisa¢

‖(1− ηδ)u‖H2(D1) ≤ c‖∆[(1− ηδ)u]‖L2(D1) ≤ c(σ, µ, δ)‖f‖L2,µ(D1) + ‖u‖H1(Pδ). (5.5.9)

Natomiast korzystaj¡c z twierdzenia 5.1.1 (str. 65) dostajemy staª¡ c zale»n¡ jedynie odµ i σ tak¡, »e

‖χηδu‖H2µ(R3) ≤ c‖(∆− σr−2)(χηδu)‖L2,µ(R3) ≤ c‖χηδ(∆− σr−2)u‖L2,µ(R3)

+c‖2χ∇ηδ ·∇u+χ∆ηδ ·u+2∇χ·∇ηδ ·u‖L2,µ(R3)+c‖2∇χ·∇u·ηδ‖L2,µ(R3)+c‖∆χ·ηδu‖L2,µ(R3)

≤ 3c‖f‖L2,µ(D1) + c(µ, σ, δ)‖u‖H1(Pδ) + 8cδ‖∇u‖L2,µ−1(D1) + 16cδ2‖u‖L2,µ−2(D1).

Zatem wybieraj¡c δ = δ0 odpowiednio maªe, z powy»szej nierówno±ci, (5.5.8) i (5.5.9)dostajemy

‖u‖H2µ(D1) ≤ c(σ, µ)‖f‖L2,µ(D1) + ‖u‖H1(Pδ0

), (5.5.10)Tez¦ stwierdzenia (5.5.7) wyka»emy nie wprost. Zaªó»my zatem, »e istnieje ci¡g unn∈N ⊆H2µ(D1) taki, »e

1 = ‖un‖H2µ(D1) > n‖(∆− σr−2)un‖L2,µ(D1). (5.5.11)

Zauwa»my, »e ci¡g unn∈N jest ograniczony wH2µ(D1), a ci¡g un|Pδ0

n∈N jest ograniczonyw H2(Pδ0), zatem istniej¡ podci¡g unk

k∈N i funkcja u ∈H2µ(D1) takie, »e

unk u w

H2µ(D1), unk |Pδ0

−→ u|Pδ0w H1(Pδ0). (5.5.12)

81

Z (5.5.11) i sªabej póªci¡gªo±ci z doªu normy dostajemy ∆u − σr−2u = 0 wD1. Wobec

(5.5.12) z nierówno±ci (5.5.10) wnioskujemy, »e

‖u− unk‖H2

µ(D1) ≤ c(σ, µ)(‖(∆− σr−2)unk

‖L2,µ(D1) + ‖u− unk‖H1(Pδ0

)

)−−−−−→k→∞

0.

W szczególno±ci dostajemy

‖u‖H2µ(D1) = lim

k→∞‖unk

‖H2µ(D1) = 1. (5.5.13)

Tym samym mamy u ∈H2µ(D1) speªniaj¡ce ∆u−σr−2u = 0 w

D1, zatem wobec zaªo»enia

o µ i stwierdzenia 5.5.1 mamy u ≡ 0, wbrew (5.5.13).

Kolejne stwierdzenie dowodzimy analogicznie jak stwierdzenie 4.4.3 (str. 43).

Stwierdzenie 5.5.3. Zaªó»my, »e µ ∈ R, σ ≥ 0 i u ∈H2Loc(D1) speªnia równanie

(∆− σr−2)u = f wD1, gdzie f ∈ L2,µ(D1). Wtedy

‖u‖H2µ(D1) ≤ c

(‖f‖L2,µ(D1) + ‖u‖L2,µ−2(D1)

)(5.5.14)

dla pewnej staªej c zale»nej tylko od σ i µ.

Poni»sze twiedzenie o istnieniu rozwi¡za« zagadnienia (5.5.1) dowodzimy tak, jak twierdze-nie 4.4.1 (str. 43), zast¦puj¡c zbiór d1 zbiorem D1.Twierdzenie 5.5.1. Zaªó»my, »e σ > 0 i µ ∈ (1 −

√σ, 1 +

√σ). Wtedy dla ka»dego

f ∈ L2,µ(D1) istnieje dokªadnie jedno u ∈H2µ(D1) rozwi¡zanie zagadnienia (5.5.1) i

zachodzi oszacowanie‖u‖H2

µ(D1) ≤ c‖f‖L2,µ(D1), (5.5.15)gdzie staªa c zale»y jedynie od µ i σ.

Dalszej cz¦±ci b¦dziemy rozpatrywa¢ przypadek µ 6∈ (1 −√σ, 1 +

√σ). W tym celu dla

δ > 0 wprowadzamy oznaczenie

(Pδ) :

−∆w + σr−2w = g w

Dδ

u = 0 na ∂Dδ \ x : r = 0.

5.5.2 Przypadek µ < 1−√σ

Rozpocznijmy od prostego spostrze»enia.Stwierdzenie 5.5.4. Zaªó»my, »e δ > 0, σ ≥ 0 i µ ∈ R. Wtedy

a) Zachodz¡ wH2µ(D1) oszacowania a priori dla rozwi¡za« zagadnienia (5.5.1) wtedy i

tylko wtedy, gdy zachodz¡ wH2µ(Dδ) oszacowania a priori dla rozwi¡za« zagadnienia

(Pδ) ze staª¡ c. Je»eli jedno z oszacowa« zachodzi ze staª¡ c, to i drugie zachodzi z t¡sam¡ staª¡.

b) Zagadnienie (5.5.1) jest rozwi¡zywalne wH2µ(D1) przy danych z L2,µ(D1) wtedy i tylko

wtedy, gdy zagadnienie (Pδ) jest rozwi¡zywalne wH2µ(Dδ) przy danych z L2,µ(Dδ).

82

Dowód. Je»eli u(x) = w(δx), to ‖u‖H2µ(D1) = δ

1−2µ2 ‖w‖H2

µ(Dδ). Natomiast dla f = (∆ −σr−2)u, g = (∆−σr−2)w mamy ‖f‖L2,µ(D1) = δ

1−2µ2 ‖g‖L2,µ(Dδ), co daje cz¦±¢ (a). Z kolei,

zaªó»my, »e g ∈ L2,µ(Dδ) i zagadnienie (5.5.1) jest rozwi¡zywalne wH2µ(D1) przy danych

z L2,µ(D1). Wtedy we¹my f(x) = g(δx) i niech u ∈H2µ(D1) b¦dzie rozwi¡zaniem (5.5.1).

Wówczas kªad¡c w(x) = δ2u(δ−1x) wnioskujemy, »e w ∈H2µ(Dδ) jest rozwi¡zaniem (Pδ).

Rozumowanie w drug¡ stron¦ jest analogiczne.

Twierdzenie 5.5.2. Zaªó»my, »e σ ≥ 0, µ 6∈ Sσ i µ < 1−√σ. Wtedy istnieje f ∈ L2,µ(D1)

takie, »e zagadnienie (5.5.1) nie ma rozwi¡zania nale»¡cego doH2µ(D1).

Dowód. Zaªó»my przeciwnie. Wtedy, uwzgl¦dniaj¡c stwierdzenie 5.5.2 wnosimy, i» zagad-nienie (5.5.1) jest jednoznacznie rozwi¡zywalne w

H2µ(D1) przy danych z L2,µ(D1). Zatem,

wobec stwierdzenia 5.5.4 wnioskujemy, »e dla δ > 0 zagadnienie (Pδ) jest jednoznacznierozwi¡zywalne w

H2µ(Dδ) przy danych z L2,µ(Dδ). We¹my dowolne g ∈ D(

•R3). Poka»emy,

»e z powy»szego wynika istnienie w ∈ H2µ(R3) speªniaj¡cego (∆ − σr−2)w = g w

•R3,

wi¦c wobec g¦sto±ci D(•R3) w L2,µ(R3) i oszacowa« a priori dostajemy rozwi¡zywalno±¢

zagadnienia (5.1.1) w H2µ(R3) przy danych z L2,µ(R3), co w ±wietle poczynionych zaªo»e«

o µ, jest sprzeczne z tez¡ wniosku 5.4.3 (str. 78). Funkcj¦ w otrzymujemy w taki otosposób: niech r0 b¦dzie takie, »e supp g ⊆ B(0, r0) i kªadziemy δn = r0 + n. Przez wnoznaczymy rozwi¡zanie z

H2µ(Dδn) zagadnienia (Pδn) z praw¡ stron¡ równ¡ g. Wtedy na

mocy stwierdzenia 5.5.4 (a) mamy

‖wn‖H2µ(Dδn ) ≤ c‖g‖L2,µ(R3) (5.5.16)

gdzie staªa c pochodzi ze stwierdzenia 5.5.2 (str. 81). Niech wn ∈ H2µ(R3) b¦dzie rozsz-

erzeniem wn speªniaj¡cym nierówno±¢

‖wn‖H2µ(R3) ≤ c0‖wn‖H2

µ(Dδn ), (5.5.17)

ze staª¡ c0 nie zale»¡c¡ od n (istnienie takiego rozszerzenia funkcji wn wyka»emy wstwierdzeniu 5.5.5). Wtedy wobec (5.5.16) i (5.5.17) wnioskujemy, i» ci¡g wnn∈N jestograniczony w H2

µ(R3), zatem istnieje podci¡g wnkk∈N sªabo zbie»ny do pewnej funkcji

w ∈ H2µ(R3). Pozostaªo zatem uzasadni¢, »e

(∆− σr−2)w = g w•R3. (5.5.18)

W tym celu we¹my dowolne ϕ ∈ D(•R3). Wtedy dla k takich, »e suppϕ ⊆ Dδnk

mamy∫R3

(∆− σr−2)wnk· ϕ · r2µ dx =

∫Dnk

(∆− σr−2)wnk· ϕ · r2µ dx =

∫R3

g · ϕ · r2µ dx.

Ze sªabej zbie»no±ci (∆− σr−2)wnk (∆− σr−2)w w L2,µ(R3) otrzymujemy∫

R3

(∆− σr−2)w · ϕ · r2µ dx =

∫R3

g · ϕ · r2µ dx,

83

co wobec dowolno±ci wyboru ϕ ∈ D(•R3) daje (5.5.18).

Uwaga 5.5.2. W przypadku σ = 0 i µ ∈ (−1, 1) \ 0 powy»sze twierdzenie mo»na uza-sadni¢ w jeszcze inny sposób. Naszkicujmy tutaj idee tego rozumowania: (i) dla dowolnych

f ∈ L2,µ(D1) istnieje dokªadnie jedno u ∈W 2

µ(D1) bed¡ce rozwi¡zaniem równania −∆u =

f w D1 (korzystamy z tego, »e pojawiaj¡ce si¦ tutaj wagi s¡ A2 wagami), (ii)H2µ(D1) jest

domkni¦t¡ i wªa±ciw¡ podprzestrzeni¡W 2

µ(D1) (jest to konsekwecj¡ nierówno±ci Hardy),

(iii) dla f ∈ Fµ(D1) 6= 0 zagadnienie (5.5.1) nie ma rozwi¡za« nale»¡cych doH2µ(D1),

gdzie Fµ(D1) = ∆Gµ(D1), a podprzestrze« Gµ(D1) jest okre±lona równo±ci¡W 2

µ(D1) =

H2µ(D1)⊕Gµ(D1).

Teraz wyka»emy istnienie rozszerzenia, o którym mowa w powy»szym dowodzie.

Stwierdzenie 5.5.5. Zaªó»my, »e µ ∈ R i δ > 0. Wtedy dla ka»dego u ∈H2µ(Dδ) istnieje

rozszerzenie u ∈ H2µ(R3) takie, »e ‖u‖H2

µ(R3) ≤ c‖u‖H2µ(Dδ), gdzie staªa c zale»y jedynie od

µ.

Dowód. Zaªó»my, »e w ∈H2µ(D1). Wpierw okre±lmy funkcj¦ w1:

w1(x, z) =

w(x, z) dla |x| < 1, |z| < 1−w(x, 2− z) dla |x| < 1, 1 < z < 3

2−w(x,−2− z) dla |x| < 1, −3

2< z < −1

, (5.5.19)

czyli w1 jest przedªu»eniem w na zbiór d1 × (−32, 3

2), otrzymanym poprzez nieparzyste

odbicie wzgl¦dem pªaszczyzn z = ±1. Zauwa»my, »e znikanie funkcji w na brzegu dajew1 ∈ H2

µ(d1× (−32, 3

2)) i wtedy mamy ‖w1‖H2

µ(d1×(− 32, 32)) ≤ 3‖w‖H2

µ(D1). W kolejnym krokuprzedªu»amy funkcj¦ w1 poprzez nieparzyste odbicie wzgl¦dem powierzchni danej rów-naniem r = 1 i dostajemy

w2(r cosϕ, r sinϕ, z) =

w1(r cosϕ, r sinϕ, z) dla r < 1, |z| < 3

2−w1((2− r) cosϕ, (2− r) sinϕ, z) dla 1 < r < 3

2, |z| < 3

2

.

(5.5.20)Wtedy ze wzgl¦du na to, i» w1 znika na przy r = 1 mamy w2 ∈ H2

µ(D 32) i ‖w2‖H2

µ(D 32) ≤

c‖w1‖H2µ(d1×(− 3

2, 32)) dla pewnej staªej c zale»nej jedynie od µ. Niech χ b¦dzie gªadk¡ funkcj¡

wycinaj¡c¡ speªniaj¡c¡ warunki χ(x) = 1 dla x ∈ D1 i suppχ ⊆ D 32. Wtedy w = χw2

jest przedªu»eniem w ∈H2µ(D1) speªniaj¡cym nierówno±¢ ‖w‖H2

µ(R3) ≤ c(µ)‖w‖H2µ(D1).

W przypadku ogólnym, gdy δ > 0 i u ∈H2µ(Dδ), to wpierw okre±lamy w(x) = u(δx).

Wtedy w ∈H2µ(D1), wi¦c istnieje rozszerzenie w ∈ H2

µ(R3) speªniaj¡ce wcze±niejszeoszacowanie. W ko«cu okre±lamy u(x) = w(δ−1x), które jest przedªu»eniem u i wobecjednorodno±ci normy H2

µ, mamy ‖u‖H2µ(R3) ≤ c(µ)‖u‖H2

µ(Dδ) z t¡ sam¡ staª¡ co wy»ej.

5.5.3 Zwi¡zki pomi¦dzy j¡drem i koj¡dremWdalszej cz¦±ci b¦dziemy korzystali z jednoznaczno±ci bardzo sªabych rozwi¡za« wD(∆, L2(D1)).Powtórzenie dowodu stwierdzenia 5.4.1(a) jest utrudnione ze wzgl¦du niegªadko±¢ brzegu

84

D1. Znajdziemy zatem nieco inny argument. W zwi¡zku z tym wprowadzimy kolejne oz-naczenie

% jest funkcj¡ odlegªo±ci od kraw¦dzi D1. (5.5.21)

Lemat 5.5.1. a) Zaªó»my, »e u ∈H2(D1). Wtedy u

%2, ∇u

%∈ L2(D1).

b) Zaªó»my, »e w ∈ L2(D1) jest harmoniczne w D1 i w = 0 na ∂D1. Wtedy w ≡ 0.

c) Zachodzi równo±¢D(∆, L2(D1)) =

H2(D1).

Uwaga 5.5.3. W cz¦±ci (b) funkcja w nale»y do D(∆, L2(D1)), zatem ±lad w jest ci¡gªym

funkcjonaªem na H12 (S) dla S ⊆ ∂D1 rozª¡cznych z kraw¦dziami D1. W dowodzie (a)-(c)

istotn¡ rol¦ b¦dzie odgrywaªa wypukªo±¢ zbioru D1, bo wiadomo, i» w obszarach niewy-pukªych wyniki tego rodzaju nie s¡ prawdziwe (np. w dwóch wymiarach patrz tw. 2 [11]).Jak b¦dzie wida¢ z dowodu, wynik tej postaci mo»na otrzyma¢ dla szerszej klasy obszarówz kraw¦dziami, przy czym wystarczy, by byª to obszar wypukªy z gªadkimi kraw¦dziami.

Dowód lematu 5.5.1 a). Dla ustalenia uwagi we¹my punkt (0, 1, 1) nale»¡cy do kraw¦dziD1 i poka»emy tez¦ w pewnym otoczeniu tego» punktu. Jak zobaczymy w dalszej cz¦±cidowodu, analogiczne rozumowanie mo»na powtórzy¢ w otoczeniu ka»dego punktu nale»¡cegodo kraw¦dzi D1, przy czym wielko±¢ tego otoczenia nie zale»y od wyboru punktu, co tymsamym oznacza prawdziwo±¢ tezy lematu. Zatem ograniczaj¡c si¦ do dostatecznie maªegootoczenia punktu (0, 1, 1) funkcja odlegªo±ci od kraw¦dzi % ma posta¢% =

√(1− r)2 + (1− z)2. Oczywi±cie, jak zawsze, (r, ϕ, z) oznaczaj¡ wspóªrz¦dne wal-

cowe w R3. Wtedy dla δ ∈ (0, 1/2) okre±lamy gªadkie funkcje wycinaj¡ce η1,δ = η1,δ(%),η2,δ = η2,δ(ϕ) takie, »e η1,δ(%) = 1 dla % < δ, η1,δ(%) = 0 dla % > 2δ, η2,δ(ϕ) = 1 dlaϕ < δ, η2,δ(ϕ) = 0 dla ϕ > 2δ. Poªó»my ηδ = η1,δ · η2,δ. Wtedy supp ηδ jest zawarty wprostopadªo±cianie [−2δ, 2δ]× [(1−2δ) cos 2δ, 1]× [1−2δ, 1] ≡ Qδ. Wprowadzimy zamian¦zmiennych

x =√

1− x2 − y, y = 1− z, z = x, (5.5.22)czyli prostujemy brzeg walca w otoczeniu punktu (0, 1, 1), rzutuj¡c jego pobocznic¦ napªaszczyzn¦ (pobocznica walca jest przeksztaªcana na podzbiór pªaszczyzny danej rów-naniem x = 0, a górne denko walca na podzbiór pªaszczyzny zadanej przez waruneky = 0). Przy takiej zamianie zmiennych zbiór D1 ∩ Qδ jest przeprowadzany na podzbiórΘπ

2,3δ (zbiór Θπ

2,3δ zostaª okre±lony w (2.1.25)). Na zbiorze Θπ

2,3δ denujemy funkcj¦ w

nast¦puj¡cow(x, y, z) = ηδu(z,

√1− z2 − x, 1− y). (5.5.23)

Wtedy mamy w ∈ H2(Θπ2,3δ) i uwzgl¦dniaj¡c to, i» u znika na brzeguD1 mamy w(0, y, z) =

0 = w(x, 0, z). Zatem wnioskujemy, »e w ∈H2(Θπ

2,3δ), gdy» funkcja ηδ znika w otoczeniu

pozostaªej cz¦sci brzegu Θπ2,3δ. Odnotujmy jeszcze, i» przy zamianie zmiennych (5.5.22)

kraw¦d¹ walca przechodzi na podzbiór prostej (0, 0, z) : z ∈ R. Wprowad¹my oz-naczenia

∆(ηδu) = g ∈ L2(D1), g(x, y, z) = g(z,√

1− z2, 1− y) ∈ L2(Θπ2,3δ).

Wtedy wobec (5.5.23) mamy∆w + x2

1−x2wxx − 2x

(1−x2)12wxz − 1

(1−x2)32wx = g w Θπ

2,3δ

w = 0 na ∂Θπ2,3δ.

(5.5.24)

85

Aby zako«czy¢ dowód cz¦±¢i (a) lematu 5.5.1 skorzystamy z nast¦puj¡cego twierdzeniadotycz¡cego rozwi¡zywalno±ci zagadnienia (5.5.24) w przestrzeniach wagowych.Twierdzenie 5.5.3. Zaªó»my, »e µ ∈ (−1, 3). Wtedy istnieje δ > 0 takie, »e dla ka»degoh ∈ L2,µ(Θπ

2,δ) istnieje dokªadnie jedno p ∈ H2

µ(Θπ2,δ) speªniaj¡ce ukªad równa«

∆p+ x2

1−x2pxx − 2x

(1−x2)12pxz − 1

(1−x2)32px = h w Θπ

2,δ

p = 0 na ∂Θπ2,δ,

(5.5.25)

wraz z oszacowaniem ‖p‖H2µ(Θπ

2 ,δ) ≤ c‖h‖L2,µ(Θπ2 ,δ), gdzie staªa c zale»y jedynie od µ i δ.

Dowód twierdzenia 5.5.3. Skorzystamy z takiego oto faktu: je»eli A, B s¡ ci¡gªymi lin-iowymi operatorami z przestrzeni Banacha H w przestrze« Banacha L, A jest odwracalnyi ‖A − B‖ < ‖A‖, to B jest odwracalny. W naszym przypadku przyjmujemy, »e A jestoperatorem Laplace'a na H =

H2µ(Θπ

2,δ) o warto±ciach w L = L2,µ(Θπ

2,δ), natomiast B

jest operatorem zadanym przez (5.5.25). Jak wynika z twierdzenia 7.1.2 (str. 112),11 oper-ator A jest odwracalny, a jego norma ‖A‖ nie zale»y od δ. Zatem dowód twierdzenia 5.5.3b¦dzie zako«czony, o ile poka»emy, »e norma ‖A− B‖ jest dostatecznie maªa, gdy δ jestmaªe. W tym celu we¹my p ∈ H2

µ(Θπ2,δ) i wtedy dostajemy

‖(A−B)p‖L2,µ(Θπ2 ,δ) ≤

∥∥∥ x2pxx1− x2

∥∥∥L2,µ(Θπ

2 ,δ)+∥∥∥ 2xpxz

(1− x2)12

∥∥∥L2,µ(Θπ

2 ,δ)+∥∥∥ px

(1− x2)32

∥∥∥L2,µ(Θπ

2 ,δ)

≤ δ2

1− δ2‖pxx‖L2,µ(Θπ

2 ,δ) +2δ

(1− δ2)12

‖pxz‖L2,µ(Θπ2 ,δ) + δ‖px‖L2,µ−1(Θπ

2 ,δ) ≤ m(δ)‖p‖H2µ(Θπ

2 ,δ),

gdzie m(δ) → 0, gdy δ → 0. Tym samym wnioskujemy, »e operator B jest odwracalnydla δ takich, »e m(δ) < ‖A‖.

Powró¢my teraz do dowodu lematu 5.5.1(a). Otó» korzystaj¡c z twierdzenia 5.5.3 przyµ = 0, znajdujemy δ > 0 i p ∈

H2

0(Θπ2,3δ) takie, »e p jest rozwi¡zaniem (5.5.24) w Θπ

2,3δ z

praw¡ stron¡ równ¡ g ∈ L2,0(Θπ2,3δ). Jako »e

H2

0(Θπ2,3δ) ⊆

H2(Θπ

2,3δ), to wnioskujemy, »e p

i w s¡ dwoma rozwi¡zaniami (5.5.24) nale»¡cymi doH2(Θπ

2,3δ). Zatem z jednoznaczno±ci

rozwi¡za« (5.5.24) wH2(Θπ

2,3δ) wnioskujemy, »e w = p ∈

H2

0(Θπ2,3δ), czyli w szczególno±ci

mamy wr2, ∇w

r∈ L2(Θπ

2,3δ). Uwzgl¦dniaj¡c (5.5.23) dostajemy ηδu

%2, ∇(ηδu)

%∈ L2(D1), czyli

funkcje u%2, ∇u%s¡ caªkowalne z kwadratem na pewnym otoczeniu punktu (0, 1, 1). Z dowodu

widzimy, »e wielko±¢ tego otoczenia nie zale»y od wyboru punktu, bo w ka»dym punkciemo»emy wprowadzi¢ analogiczn¡ zamian¦ zmiennych, która prowadzi do tego samegoukªadu równa« (5.5.24). Tym samym zako«czyli±my dowód cz¦±ci (a) lematu.

Dowód lematu 5.5.1(b). Przypu±¢my, »e w speªnia zaªo»enia lematu. Poka»emy, »e∫D1

w ·∆u dx = 0 dla u ∈H2(D1). (5.5.26)

11Dowód tego» twierdzenia jest oczywi±cie niezale»ny od rozwa»a« z tego rozdziaªu i mógªby zosta¢ odpowied-nio zmodykowany, by bezpo±rednio prowadzi¢ do tezy twierdzenia 5.5.3. Niemniej jednak zabieg ten wyma-gaªby istotnego skomplikowania notacji, co zaciemniªoby rol¦ optymalnych oszacowa« zawartych w dowodzietwierdzenia 7.2.1.

86

Otó», we¹my u ∈H2(D1) i dla δ > 0 przyjmijmy, »e ηδ = ηδ(%) jest gªadk¡ funkcj¡

wycinaj¡c¡ tak¡, »e ηδ(%) = 1 dla % < δ, ηδ(%) = 0 dla % > 2δ i |%kDkηδ(%)| ≤ 8 przyk = 1, 2. Poªó»my uδ = (1−ηδ)u. Wtedy funkcja uδ nale»y do

H2(D1) i ma no±nik odci¦ty

od kraw¦dzi D1, zatem suppuδ jest zawarty w pewnym gªadkim podzbiorze D1, wi¦cmo»emy zastosowa¢ wzór Green'a, a uwzgl¦dniaj¡c poczynione zaªo»enia o w dostajemy∫

D1

w ·∆uδ dx =

∫D1

∆w · uδ dx+

∫∂D1

(w · ∂uδ

∂n− ∂w

∂n· uδ)dσ = 0.

Zatem (5.5.26) b¦dzie uzasadnione, o ile wyka»emy, »e uδ −→ u w H2(D1) przy δ → 0.W istocie, oznaczmy przez Uδ zbiór supp ηδ ∩D1. Wtedy uwzgl¦dniaj¡c wªasno±ci funkcjiwycinaj¡cej ηδ dostajemy

‖u− uδ‖2H2(D1) ≤ ‖ηδu‖2

L2(Uδ) + ‖Dηδ · u‖2L2(Uδ) + ‖ηδ ·Du‖2

L2(Uδ)

+‖D2ηδ · u‖2L2(Uδ) + ‖Dηδ ·Du‖2

L2(Uδ) + ‖ηδ ·D2u‖2L2(Uδ)

≤ ‖u‖2H2(Uδ) + 210

(∥∥ u%2

∥∥2

L2(Uδ)+∥∥∇u%

∥∥2

L2(Uδ)

) δ→0−−→ 0,

gdy» na mocy cz¦±ci (a) mamy u%2, ∇u

%∈ L2(D1), a miara zbioru Uδ d¡»y do zera. Tym

samym mamy (5.5.26). W ko«cu przypomnijmy twierdzenie 3.2.1.2 [5], mówi¡ce o ist-nieniu regularnych rozwi¡za« równania Poisson'a z jednorodnym warunkiem brzegowymtypu Dirchleta, w obszarach wypukªych, przy danych z L2, które w naszym przypadku im-plikuje, »e L2(D1) = ∆u : u ∈

H2(D1). Równo±¢ ta, razem z (5.5.26) daje w ≡ 0.

Dowód lematu 5.5.1(c). We¹my u ∈D(∆, L2(D1)) i niech v ∈

H2(D1) b¦dzie rozwi¡zaniem

równania ∆v = ∆u w D1 z zerowym warunkiem brzegowym (korzystamy z twierdzenia3.2.1.2 [5]). Wtedy kªad¡c w = u − v, z cz¦±ci (b) wnioskujemy , i» w ≡ 0, czyliu = v ∈

H2(D1).

Stwierdzenie 5.5.6. Zaªó»my, »e µ ∈ R, σ ≥ 0, w ∈ L2,µ−2(D1) speªnia równanie

(∆ − σr−2)w = 0 wD1 i w = 0 na ∂D1 \ x : r = 0. Wtedy w ∈

H2µ(D1) i zachodzi

oszacowanie ‖w‖H2µ(D1) ≤ c‖w‖L2,µ−2(D1) dla pewnej staªej c = c(µ, σ).

Dowód. Zaªó»my, »e w speªnia powy»sze warunki. Zatem wobec stwierdzenia 5.5.3 (str. 82)wystarczy pokaza¢, »e w ∈

H2Loc(D1). W tym celu odnotujmy wpierw, »e ze stwierdze-

nia 5.4.1(b) (str. 73) mamy w ∈ H2(U) dla U ⊂⊂D1. Niech w1 b¦dzie przedªu»eniem w

okre±lonym formuª¡ (5.5.19). Wtedy uwzgl¦dniaj¡c znikanie w na brzegu wnioskujemy, i»w1 speªnia równanie −∆w1 + σr−2w1 = 0 w

d1 × (−3

2, 3

2). Zatem korzystaj¡c ponownie

ze stwierdzenia 5.4.1(b) dostajemy w1 ∈ H2(U1) dla dowolnego U1 ⊂⊂d1× (−3

2, 3

2), czyli

w ∈ H2((d1−ε \ dε) × (−1, 1)) dla dowolnego ε > 0. Zatem musimy jeszcze uzasadni¢, »ew ∈ H2((d1 \ d1−ε)× (−1, 1)). Oznaczmy wi¦c przez η = η(r) gªadk¡ funkcj¦ wycinaj¡c¡tak¡, »e η(r) = 1 dla r > 1 − ε i η(r) = 0 dla r < 1 − 2ε. Wtedy oznaczaj¡c u = ηw,g = 2∇η · ∇w + ∆η · w + σr−2u mamy ∆u = g w D1, gdzie g ∈ L2(D1), czyli u ∈D(∆, L2(D1)) i u = 0 na ∂D1. Na mocy cz¦±ci (c) lematu 5.5.1 mamy u ∈

H2(D1), czyli

w ∈ H2((d1 \ d1−ε)× (−1, 1)), co ju» daje w ∈H2Loc(D1).

87

Przypomnijmy,»e podprzestrzenie Kσµ(D1), N σ

µ (D1) zostaªy zdeniowane w (2.1.28)i (2.1.30) (str. 14).Wniosek 5.5.2. Przy dowolnym σ ≥ 0 i µ ∈ R mamy

Kσµ(D1) = u ∈ L2,µ−2(D1); (∆− σr−2)u = 0 w

D1, w = 0 na ∂D1 \ x : r = 0,

natomiast normy ‖·‖H2µ(D1) i ‖·‖L2,µ−2(D1) s¡ równowa»ne na Kσ

µ(D1). Zatem mo»emy trak-

towa¢ Kσµ(D1) jako domkni¦t¡ podprzestrze« L2,µ−2(D1) wyposa»on¡ w norm¦ ‖·‖L2,µ−2(D1).

Przypomnijmy, »e µ′ = 2− µ. Przy takim mamy nast¦puj¡cy lemat.Lemat 5.5.2. Zaªó»my, »e σ ≥ 0 i µ ∈ R. Wtedy przyporz¡dkowanie w 7→ w · r−2µ′

jest izometrycznym izomorzmem z Kσµ(D1) na N σ

µ′(D1). W szczególno±ci dimKσµ(D1) =

dimN σµ′(D1).

Dowód. Przypomnijmy wpierw, »e Kσµ(D1) jest podprzestrzeni¡ L2,µ−2(D1), aN σ

µ′(D1) jestpodprzestrzeni¡ L2,µ′(D1). Bezpo±rednio sprawdzamy, »e przyporz¡dkowanie w 7→ w·r−2µ′

jest izometrycznym izomorzmem z L2,µ−2(D1) na L2,µ′(D1). Musimy zatem uzasadni¢,»e ten izomorzm przeprowadza Kσ

µ(D1) na N σµ (D1). Istotnie, zaªó»my, »e w ∈ Kσ

µ(D1).We¹my dowolne u ∈

D(

•D1) takie, »e u znika w otoczeniu kraw¦dzi D1. Wtedy wobec

równo±ci (∆− σr−2)w = 0 wD1 i wzoru Green'a otrzymujemy

0 =

∫D1

(∆− σr−2)w · u dx =

∫D1

w · (∆− σr−2)u dx,

gdzie wykorzystali±my znikanie w na brzegu D1. Zauwa»my, »e z lematu 5.5.1(a) (str. 85)wynika, i» zbiór u ∈

D(

•D1) : u znika w otoczeniu kraw¦dzi D1 jest g¦sty w

H2µ′(D1).

Natomiast powy»sza równo±¢ daje 0 =∫D1

w · (∆− σr−2)u dx =∫D1

wr−2µ′ · (∆− σr−2)u ·

r2µ′ dx, gdzie wr−2µ′ , (∆ − σr−2)u ∈ L2,µ′(D1), co mocy wy»ej wspomnianej g¦sto±cioznacza, »e

0 =

∫D1

wr−2µ′ · (∆− σr−2)u · r2µ′ dx dla ka»dego u ∈H2µ′(D1), (5.5.27)

czyli wr−2µ′ ∈ N σµ′(D1). Teraz poka»emy implikacj¦ w drug¡ stron¦. Przyjmijmy, »e

wr−2µ′ ∈ N σµ′(D1), to znaczy zachodzi (5.5.27). Podstawiaj¡c w (5.5.27) funkcje u ∈ D(

D1)

dostajemy (∆ − σr−2)w = 0 wD1. Niech φ b¦dzie dowoln¡ funkcj¡ gªadk¡ okre±lon¡ na

brzegu D1, posiadaj¡c¡ no±nik rozª¡czny z kraw¦dziami walca D1 i osi¡ z = 0. Wtedyistnieje u ∈

H2µ′(D1) takie, »e ∂u

∂n= φ na ∂D1 i u znika w otoczeniu kraw¦dzi D1 i w

otoczeniu osi z = 0. Zatem podstawiaj¡c takie u do (5.5.27), a nast¦pnie korzystaj¡c zewzoru Green'a dostajemy

0 =

∫D1

w · (∆−σr−2)u dx =

∫D1

(∆−σr−2)w ·u dx+

∫∂D1

(w ·φ− ∂w

∂n·u)dσ =

∫∂D1

w ·φ dσ,

88

co wobec dowolno±ci wyboru φ oznacza, »e w = 0 na ∂D1 \ x : r = 0. Tym samym, wmy±l wniosku 5.5.2, mamy w ∈ Kσ

µ(D1).

5.5.4 WnioskiWniosek 5.5.3. Zaªó»my, »e σ ≥ 0, µ 6∈ Sσ i µ > 1 +

√σ. Wtedy istnieje 0 6≡ u ∈

H2µ(D1) takie, »e (∆ − σr−2)u = 0 w

D1, innymi sªowy, jednorodne zagadnienie (5.5.1)

ma nietrywialne rozwi¡zania nale»¡ce do H2µ(D1).

Dowód. Z twierdzenia 5.5.2 (str. 83) i ze stwierdzenia 5.5.2 (str. 81) wnioskujemy, »edimN σ

µ′(D1) > 0, gdzie µ′ = 2−µ. Przeto lemat 5.5.2 daje nam dimKσµ(D1) = dimN σ

µ′(D1) >0.

Twierdzenie 5.5.4. Zaªó»my, »e σ ≥ 0, µ < 1−√σ i µ 6∈ Sσ. Wtedy dimN σ

µ (D1) = ∞.

Dowód. We¹my dowolne K ∈ N i poka»emy, »e dimN σµ (D1) > K. Niech k ∈ Zσ b¦dzie

takie, »e λσk+1 < µ < λσk (oznaczenia wprowadzono na str. 13). Odnotujmy wpierw, »ewtedy sgn k ≥ 0, a st¡d wnioskujemy, »e

λσk − µ < 1. (5.5.28)Nast¦pnie zaªó»my, »e η = η(t) jest gªadk¡ funkcj¡ wycinaj¡c¡ tak¡, »e η(t) = 1 dla|t| < 1

4, η(t) = 0 dla |t| > 1

2. Poªó»my

u = η(z)η(r) · rλσk cos kϕ. (5.5.29)

Na mocy stwierdzenia 5.5.2 (str. 81) wnioskujemy, »e zbiór (∆−σr−2)w : w ∈H2µ(D1)

jest domkni¦t¡ podprzestrzeni¡ L2,µ(D1), zatem przestrze« L2,µ(D1) mo»emy przedstawi¢w postaci sumy prostej N σ

µ (D1)⊕N σµ (D1)

⊥. Okre±lmy K+1 elementowe rodziny funkcji

uk(x, y, z) = u(2Kx, 2Ky, 2Kz − k), fk = (∆− σr−2)uk, k = 0, ..., K. (5.5.30)Wtedy funkcje uk maj¡ rozª¡czne no±niki, z czego skorzystamy w ko«cowej cz¦±ci dowodu.Bezpo±rednim rachunkiem sprawdzamy, »e wobec warunku (5.5.28) dostajemy

uk 6∈ H2µ(D1), fk ∈ L2,µ(D1). (5.5.31)

Na mocy rozkªadu przestrzeni L2,µ(D1) na sum¦ prost¡ obrazu operatora Aσµ(D1) i jego

dopeªnienia ortogonalnego, wnioskujemy, »e

fk = fks + (∆− σr−2)wk, fks ∈ N σµ (D1), wk ∈

H2µ(D1). (5.5.32)

Poka»emy, »e z poczynionych zaªo»e« wynika, »efksKk=0

s¡ liniowo niezale»ne. (5.5.33)

Zatem zaªó»my przeciwnie. WtedyK∑k=0

akfks = 0 dla pewnych liczb ak, gdzie ak0 6= 0.

Uwzgl¦dniaj¡c (5.5.30) i (5.5.32) dostajemy

(∆− σr−2)[ K∑k=0

ak(uk − wk)

]= 0 w

D1. (5.5.34)

89

Teraz rozpatrzymy dwa przypadki: wpierw przyjmijmy, »e σ > 0 lub µ < 0. Wtedybezpo±rednim rachunkiem sprawdzamy, »e uk ∈ H2

µσ−(D1) (def. µσ− w (4.4.17) str. 44), a

jako, »e µ < 1 −√σ < µσ−, to wk te» nale»y do H2

µσ−(D1), k = 0, ..., K. Zatem suma w

nawiasie kwadratowym w (5.5.34) nale»y doH2µσ−(D1), µσ− < 1, wi¦c ze stwiedzenia 5.5.1

(str. 78) wnioskujemy, i» ta suma jest równa zero. W drugim przypadku mamy σ = 0 i

µ ∈ (0, 1). Wtedy uk ∈H2(D1), wi¦c (5.5.34) mo»emy zapisa¢ w postaci ∆[

K∑k=0

akwk] = h

wD1, gdzie h =

K∑k=0

akuk ∈ L2(D1). Jako, »e

K∑k=0

akwk ∈

H2µ(D1), µ < 1, to na mocy

wniosku 5.5.1 (str. 80) mamy ∆[K∑k=0

akwk] = h w D1 w sensie sªabym, czyli ∆[

K∑k=0

ak(wk−

uk)] = 0 w D1 w sensie sªabym. AleK∑k=0

ak(wk − uk) jest elementem

H1(D1), wi¦c suma

ta jest równa zero. Podsumowuj¡c, w ka»dym przypadku z (5.5.34) mamyK∑k=0

ak(uk − wk) = 0,

a st¡d dostajemyuk0 = wk0 −

∑k 6=k0

akak0

(uk − wk).

W szczególno±ci, na zbiorze suppuk0 równo±¢ ta przybiera posta¢

uk0 = wk0 +∑k 6=k0

akak0

wk,

bo no±niki funkcji uk s¡ rozª¡czne. Na mocy (5.5.31) widzimy, »e lewa strona równo±cinie nale»y do H2

µ(D1), natomiast z (5.5.32) mamy, »e prawa strona nale»y do H2µ(D1). Ta

sprzeczno±¢ prowadzi do (5.5.33), które oznacza, i» dimN σµ (D1) > K.

Wniosek 5.5.4. Zaªó»my, »e σ ≥ 0, µ > 1 +√σ i µ 6∈ Sσ. Wtedy dimKσ

µ(D1) = ∞.

Dowód. Wniosek ten wynika natychmiast z twierdzenia 5.5.4 i lematu 5.5.2 (str. 88).

Stwierdzenie 5.5.7. Zaªó»my, »e σ ≥ 0 i µ ∈ Sσ. Wtedy istnieje ci¡g wnn∈N ⊆H2µ(D1)

taki, »e (∆−σr−2)wn jest ograniczone w L2,µ(D1), natomiast ‖wn‖H2µ(D1) −−−→

n→∞∞. Innymi

sªowy, nie zachodz¡ oszacowania a priori dla rozwi¡za« zagadnienia (5.5.1) w przestrzeniH2µ(D1).

Dowód. Funkcje wn okre±lamy jako iloczyn funkcji wycinaj¡cej 0 6≡ χ(z) ∈ D(−1, 1) zfunkcj¡ un okre±lon¡ w dowodzie stwierdzenia 4.4.7 (str. 54). Przeprowadzone w dowodziestwierdzenia 4.4.7 rachunki, bezpo±rednio prowadz¡ do tezy stwierdzenia.

Uwaga 5.5.4. Ci¡g wn okre±lony w stwierdzeniu 5.5.7 ±wiadczy o tym, »e dla µ ∈ Sσ nie

zachodz¡ w H2µ(R3) oszacowania a priori dla rozwi¡za« równania (∆− σr−2)u = f w

•R3.

90

5.5.5 Podsumowanie wynikówPodsumowuj¡c, w zwi¡zku z zagadnieniem (5.5.1) rozpatrywanym w przestrzeni H2

µ(D1)wykazali±my w tym podrozdziale nast¦puj¡ce stwierdzenia (σ ≥ 0)

a) Zachodz¡ oszacowania a priori dla rozwi¡za« (5.5.1) wtedy i tylko wtedy, gdy µ <1 +

√σ i µ 6∈ Sσ

b) Dla ka»dego f ∈ L2,µ(R3) istnieje dokªadnie jedno u ∈ H2µ(R3) b¦d¡ce rozwi¡zaniem

(5.5.1) wtedy i tylko wtedy, gdy µ ∈ (1−√σ, 1 +

√σ)

c) Je»eli µ > 1+√σ, to rozwi¡zania zagadnienia jednorodnego (5.5.1) tworz¡ niesko«cze-

nie wymiarow¡ podprzestrze«H2µ(D1)

d) Je»eli µ < 1−√σ, to zbiór (∆−σr−2)

H2µ(D1) jest domkni¦t¡ podprzestrzeni¡ L2,µ(D1),

niesko«czonego kowymiaru.

5.6 Uwagi o stacjonarnym zagadnieniu StokesaW tym rodziale sformuªujemy kilka spostrze»e« dotycz¡cych stacjonarnego zagadnieniaStokesa −∆u+∇p = f w D1

div u = 0 w D1

u = 0 na ∂D1

, (5.6.1)

gdzie u = (u1, u2, u3). Je»eli f jest ci¡gªym funkcjonaªem naH1(D1)

3, to mówimy,12 »eu ∈ H(D1) jest sªabym rozwi¡zaniem zagadnienia (5.6.1), gdy∫

D1

∇u · ∇ϕ dx =

∫D1

fϕ dx dla ϕ ∈ H(D1). (5.6.2)

Na pocz¡tek wyka»emy takie oto stwierdzenie.Stwierdzenie 5.6.1. Zaªó»my, »e µ < 1, u ∈ H2

µ(D1)3, p ∈ H1

µ(D1), f ∈ L2,µ(D1)3 i

para (u, p) speªnia w sensie dystrybucyjnym równania−∆u+∇p = f w

D1

div u = 0 wD1

u = 0 na ∂D1 \ x : r = 0.(5.6.3)

Wtedy u ∈ H(D1) i u jest sªabym rozwi¡zaniem zagadnienia (5.6.1).

Dowód. Wystarczy wykaza¢ (5.6.2) dla ϕ ∈ D(D1)3 takich, »e divϕ = 0 w D1. W tym

celu we¹my funkcj¦ gª¡dk¡ ηδ = ηδ(r) tak¡, »e ηδ(r) = 0 dla r < δ, ηδ(r) = 1 dla r > 2δ i|η′δ(r)| ≤ 2

δ. Wtedy ηδϕ ∈ D(

D1) zatem z (5.6.3)1 dostajemy

−∫D1

u ·∆(ηδϕ) dx−∫D1

p · div(ηδϕ) dx =

∫D1

ηδfϕ dx.

12Przestrze« funkcji bezdywergentnych H(U) wprowadzono na stronie 10.

91

Wobec uwagi 3.1.2 (str. 18) mamy u ∈H1(D1)

3, zatem caªkuj¡c przez cz¦±ci dostajemy∫D1

∇u · ∇(ηδϕ) dx−∫D1

p · div(ηδϕ) dx =

∫D1

ηδfϕ dx. (5.6.4)

Zauwa»my, »e∣∣∣ ∫D1

∇u · ∇(ηδϕ)−∇u · ∇ϕ dx∣∣∣ ≤ ∫

D1

(1− ηδ)|∇u · ∇ϕ| dx+3∑

i,j=1

∫D1

|ηδxj||uixj

||ϕi| dx.

Zauwa»my, »e pierwsza z tych caªek d¡»y do zera gdy δ → 0+, bo iloczyn |∇u · ∇ϕ| jestcaªkowalny, a miara no±nika (1 − ηδ) d¡»y do zera. Z drug¡ radzimy sobie w taki otosposób∫D1

|ηδxj||uixj

||ϕi| dx =

∫supp∇ηδ

|ηδxj|r · |uixj

|rµ−1 · |ϕi|r−µ dx ≤ 4

∫supp∇ηδ

|uixj|rµ−1 · |ϕi|r−µ dx

≤ 4‖uixj‖L2,µ−1(supp∇ηδ)‖ϕir−µ‖L2(D1) ≤ c(µ)‖uixj

‖L2,µ−1(supp∇ηδ)‖ϕi‖H1(D1) −−−→δ→0+

0,

gdzie skorzystalismy z nierówno±ci Hardy i tego, »e ∇u ∈ L2,µ−1(D1), a miara supp∇ηδd¡»y do zera. Natomiast drugie wyra»enie z (5.6.4) d¡»y do zera, bo

∣∣ ∫D1

p · div(ηδϕ) dx∣∣ =

∣∣ ∫D1

p∇ηδ · ϕ dx∣∣ ≤ ∫

supp∇ηδ

|p|rµ−1 · |∇ηδ|r · |ϕ|r−µ dx

≤ c(µ)‖p‖L2,µ−1(supp∇ηδ)‖ϕ‖H1(D1) −−−→δ→0+

0.

Zatem przechodz¡c w (5.6.4) do granicy δ → 0+, otrzymujemy sªab¡ posta¢ rozwi¡zania(5.6.2). Pozostaªo jedynie uzasadnienie, »e u ∈ H(D1). Istotnie, wiemy ju», »e u nale»ydo

H1(D1)

3, bo u ∈H2µ(D1)

3 i µ < 1. Zatem div u jest elementem L2(D1), który wobec(5.6.3)2 znika na

D1, przeto div u = 0 w D1, co oznacza, »e u ∈ H(D1).

Przyjrzymy si¦ teraz pewnemu szczególnemu rozwi¡zaniu zagadnienia Stokesa. W tymcelu zarezerwujmy symbol η na oznaczenie gªadkiej funkcji wycinaj¡cej η = η(s) takiej,»e η(s) = 1 dla |s| < 1

4i η(s) = 0 dla |s| > 1

2.

Przykªad. Przyjmijmy, »e µ ∈ (−1, 0) i poªó»my v = (v1, v2, v3) gdzie

v1 = yη(z)η(r), v2 = −xη(z)η(r), v3 = 0.

Wtedy v ∈ D(D1)3 i div v = 0 w D1, zatem v ∈ H(D1). Poªó»my p ≡ 0. Wtedy para

(v, p) jest rozwi¡zaniem zagadnienia Stokesa (5.6.1) z praw¡ stron¡ f ∈ D(D1), wi¦c wszczególno±ci f ∈ L2,µ(D1). Przypu±¢my, »e istnieje v′ ∈ H2

µ(D1) i p′ ∈ H1µ(D1) takie,

»e para (v′, p′) jest dystrybucyjnym rozwi¡zaniem wD1 zagadnienia Stokesa, tj. (v′, p′)

speªniaj¡ (5.6.3) z wy»ej okre±lonym f . Wtedy na mocy stwierdzenia 5.6.1 v′ ∈ H(D1) jestsªabym rozwi¡zaniem (5.6.1), zatem z jednoznaczno±ci sªabych rozwi¡za«13 mamy v = v′.

13Np. tw. 1 rozd. 2 [19].

92

To ostatnie nie jest mo»liwe, bo bezpo±rednim rachunkiem sprawdzamy, »e v 6∈ L2,µ−2(D1),a na mocy zaªo»enia mamy v′ ∈ L2,µ−2(D1). Przeto poczynione przypuszczenie o istnieniuv′ ∈ H2

µ(D1), p′ ∈ H1µ(D1) bed¡cych dystrybucyjnym rozwi¡zaniem w

D1 zagadnienia

Stokesa z praw¡ stron¡ równ¡ f jest faªszywe. Ponadto odnotujmy, i» funkcja v znika wpewnym otoczeniu brzegu, zatem mo»e byc wykorzystana w podobnych zagadnieniach zjednorodnym warunkiem brzegowym.

93

Rozdziaª 6

Zagadnienie paraboliczne

W tym rozdziale b¦dziemy zajmowa¢ si¦ nast¦puj¡cym zagadnieniem ut −∆u+ σr−2u = f wDT

1

u = 0 na ∂D1 \ x : r = 0 × (0, T )u|t=0 = 0 na D1.

(6.1.1)

Przypomnijmy, »e przestrzenie wagowe dla zagadnie« parabolicznych zostaªy wprowad-zone na stronie 11. Wyka»emy nast¦puj¡ce twierdzenie.

Twierdzenie 6.1.1. Zaªó»my, »e σ ≥ 0, µ ∈ (1−√σ, 1+

√σ) i T > 0. Wtedy dla ka»dego

f ∈ L2,µ(DT1 ) istnieje dokªadnie jedno u ∈

H2,1µ (DT

1 ) b¦d¡ce rozwi¡zaniem zagadnienia(6.1.1) i speªnia ono oszacowanie

‖u‖H2,1µ (DT

1 ) ≤ c‖f‖L2,µ(DT1 ), (6.1.2)

gdzie staªa c zale»y jedynie od σ i µ.

Dowód tego twierdzenia b¦dzie polegaª na zastosowaniu metody Galerkina w celu otrzy-mania pewnych sªabych wagowych rozwi¡za«, a nast¦pnie wyka»emy ich regularno±¢. Za-sadnicz¡ trudno±ci¡ jest tutaj konstrukcja stosownej bazy, która b¦dzie sªu»yªa do przed-stawienia rozwi¡zania przybli»onego. Temu po±wi¦cony jest podrozdziaª 6.1. Podkre±lmy,i» wybór przestrzeni bazowej winien uwzgl¦dnia¢ posta¢ sªabego wagowego rozwi¡za-nia (def. 6.2.1) i umo»liwia¢ pó¹niejsze podniesienie regularno±ci rozwi¡za«. W dalszejcz¦±ci tego rozdziaªu odniesiemy si¦ do relacji pomi¦dzy wagowym a sªabym rozwi¡zaniemrównania przewodnictwa ciepªa, a nast¦pnie rozwa»ymy kwesti¦ zachodzenia oszacowa«a priori dla rozwi¡za« (6.1.1). Na koniec sformuªujemy pewne uwagi dotycz¡ce nies-tacjonarnego zagadnienia Stokesa.

6.1 Funkcje bazowe

Dla σ ≥ 0 i µ ∈ (1−√σ, 1 +

√σ) okre±lamy Bσ

µ[·, ·], form¦ dwuliniow¡ naH1µ−1(D1):

Bσµ[u, ϕ] =

1

2

(Bσµ[u, ϕ] +Bσ

µ[ϕ, u]), (6.1.3)

94

Bσµ[u, ϕ] =

∫D1

∇u · ∇(ϕr2µ−2) dx+ σ

∫D1

uϕr2µ−4 dx. (6.1.4)

Wiemy ju» (dowód tw. 5.5.1, str. 82), »e Bσµ[·, ·] jest ci¡gªa i eliptyczna na

H1µ−1(D1),

wi¦c Bσµ[·, ·] te» jest ci¡gªa i eliptyczna na

H1µ−1(D1), a ponadto jest symetryczna. Niech

T : L2,µ−1(D1) −→H1µ−1(D1) b¦dzie operatorem okre±lonym warunkiem

Tf = u ⇐⇒ Bσµ[u, ϕ] =

∫D1

fϕr2µ−2 dx dla ϕ ∈H1µ−1(D1). (6.1.5)

Denicja ta jest poprawna, bo je»eli f ∈ L2,µ−1(D1), to przyporz¡dkowanieϕ 7−→

∫D1

fϕr2µ−2 dx jest linowe i ci¡gªe naH1µ−1(D1), wi¦c z twierdzenia Laxa-Milgrama

istnieje dokªadnie jedno u ∈H1µ−1(D1) speªniaj¡ce powy»szy warunek caªkowy. Oczywi±-

cie T jest liniowe i ci¡gªe, gdy»

γ‖u‖2H1

µ−1(D1) ≤ Bσµ[u, u] =

∫D1

fur2µ−2 dx ≤ ‖f‖L2,µ−1(D1) · ‖u‖H1µ−1(D1),

gdzie γ = γ(µ, σ) jest staª¡ z warunku eliptyczno±ci Bσµ[·, ·]. W kolejnym kroku uzasadnimy

zwarto±¢ zanurzeniaH1µ−1(D1) ⊂⊂ L2,µ−1(D1). (6.1.6)

Rzeczywi±cie, niech un b¦dzie ci¡giem ograniczonym w H1µ−1(D1), tj. ‖un‖H1

µ−1(D1) ≤c. Poªó»my wn = un · rµ−1. Wtedy ‖wn‖H1(D1) ≤ c(µ), zatem istnieje w ∈ L2(D1) ipodci¡g wnk zbie»ny do w w L2(D1). Kªad¡c u = w · r1−µ dostajemy u ∈ L2,µ−1(D1) i‖unk − u‖L2,µ−1(D1) = ‖wnk − w‖L2(D1) −→ 0, gdy k →∞, czyli mamy (6.1.6). Zatem

T : L2,µ−1(D1) −→ L2,µ−1(D1) jest zwarty. (6.1.7)

W ko«cu odnotujmy, i » z symetryczno±ci formy Bσµ[·, ·] wynika, »e

T : L2,µ−1(D1) −→ L2,µ−1(D1) jest samosprz¦»ony. (6.1.8)

Tym samym istnieje rodzina ϕk∞k=1 ⊆ L2,µ−1(D1) taka, »e

ϕk∞k=1 jest baz¡ ortonormaln¡ w L2,µ−1(D1), Tϕk = λkϕk, ϕk ∈H1µ−1(D1).

(6.1.9)Przybli»onego rozwi¡zania zagadnienia (6.1.1) bedziemy poszukiwa¢ w postaci sko«czonejkombinacji liniowej funkcji bazowych, dlatego istotne b¦dzie to, i» mamy dodatkow¡ in-formacj¦: ϕk ∈ L2,µ−2(D1).Rozszerzenie T. Odnotujmy wpierw, »e dla f ∈ L2,µ(D1) i u ∈

H1µ−1(D1) zachdzi

równowa»no±¢

−∆u+ σr−2u = (2µ− 2)urr

+1

2(2µ− 2)2 u

r2+ f w

D1

95

⇐⇒ Bσµ[u, ϕ] =

∫D1

fϕr2µ−2 dx dla ϕ ∈H1µ−1(D1). (6.1.10)

Rzeczywi±cie, we¹my dowolne ψ ∈ D(D1) i podstawmy ϕ = ψr2−2µ ∈

H1µ−1(D1) w

powy»szej to»samo±ci caªkowej. Wtedy po scaªowaniu przez cz¦±ci dostajemy∫D1

∇u · ∇ψ + (2− 2µ)urrψ + [σ − 1

2(2µ− 2)2]

u

r2ψ dx =

∫D1

fϕr2µ−2 dx,

czyli u speªnia wD1 powy»sze równanie ró»niczkowe i tym samym wnioskujemy (6.1.10).

Deniujemy operator T : L2,µ(D1) −→H2µ(D1) nast¦puj¡cym warunkiem

Tf = u ⇐⇒ Bσµ[u, ϕ] =

∫D1

fϕr2µ−2 dx dla ϕ ∈H1µ−1(D1). (6.1.11)

Nale»y uzasadni¢, i» denicja ta jest poprawna. W istocie, je»eli f ∈ L2,µ(D1), to przy-porz¡dkowanie ϕ 7−→

∫D1

fϕr2µ−2 dx jest linowe i ci¡gªe naH1µ−1(D1), wi¦c z twierdzenia

Laxa-Milgrama istnieje dokªadnie jedno u ∈H1µ−1(D1) speªniaj¡ce powy»szy warunek

caªkowy i ‖u‖H1µ−1(D1) ≤ c(µ, σ)‖f‖L2,µ(D1). Z kolei wobec (6.1.10) mamy −∆u+σr−2u = g

wD1, gdzie

‖g‖L2,µ(D1) ≤ c(µ)‖u‖H1µ−1(D1) + ‖f‖L2,µ(D1) ≤ c(µ, σ)‖f‖L2,µ(D1) <∞,

wi¦c u ∈H2Loc(D1). Natomiast korzystaj¡c ze stwierdzenia 5.5.3 (str. 82) mamy

‖u‖H2µ(D1) ≤ c‖g‖L2,µ(D1)+‖u‖L2,µ−2(D1), czyli ‖u‖H2

µ(D1) ≤ c(µ, σ)‖f‖L2,µ . Zatem (6.1.11)deniuje ci¡gªy, liniowy operator. Wtedy T jest rozszerzeniem T (bo powy»sze rozu-mowanie dowodzi równie», »e Tf ∈

H2µ(D1) dla f ∈ L2,µ−1(D1)), a wobec (6.1.10) i

eliptyczno±ci formy Bσµ[·, ·] wnioskujemy, »e

T : L2,µ(D1) −→H2µ(D1) jest izomorzmem. (6.1.12)

Przypomnijmy, »e funkcje ϕk∞k=1 to baza ortonormalna w L2,µ−1(D1), a (6.1.12) dowodzi,»e ϕk ∈

H2µ(D1). Potrzebny b¦dzie nam taki oto lemat.

Lemat 6.1.1. Zaªó»my, »e σ ≥ 0 i µ ∈ (1−√σ, 1 +

√σ). Wtedy

a) Dla ka»dego ε > 0 istnieje Nε ∈ N takie, »e

∥∥g − N∑k=1

bkϕk∥∥L2,µ−1(D1)

≤ ε‖g‖H1µ−1(D1) dla g ∈ H1

µ−1(D1), N ≥ Nε, (6.1.13)

gdzie bk =∫D1

gϕkr2µ−2 dx.

96

b) Zbiór N∑k=1

aNk (t)ϕk(x) : aNk ∈ C0([0, T ])∩C1((0, T )), N ∈ Njest g¦sty w

H2,1µ (DT

1 ).

Dowód a) . Zaªó»my przeciwnie, tj. przyjmijmy, »e istnieje ε0 > 0 takie, »e dla ka»dego

n ∈ N istnieje gn ∈ H1µ−1(D1) speªniaj¡ce ‖gn −

Nn∑k=1

bnkϕk‖L2,µ−1(D1) > ε0‖gn‖H1µ−1(D1),

gdzie bnk =∫D1

gnϕkr2µ−2 dx i Nn ≥ n. Wtedy oczywi±cie mamy gn 6≡ 0, wi¦c kªad¡c

gn = gn/‖gn‖L2,µ−1(D1) dostajemy

2 ≥ ‖gn −Nn∑k=1

bnkϕk‖L2,µ−1(D1) > ε0‖gn‖H1µ−1(D1), (6.1.14)

gdzie bnk =∫D1

gnϕkr2µ−2 dx. Zatem ci¡g gn∞k=1 jest ograniczony w

H1µ−1(D1), wi¦c z

(6.1.6) wnioskujemy, »e istnieje g ∈ L2,µ−1(D1) i podci¡g gnlzbie»ny do g w L2,µ−1(D1).

Oznaczamy przez bk liczby∫D1

gϕkr2µ−2 dx. Wtedy korzystaj¡c z (6.1.14) dostajemy

ε0‖gnl‖L2,µ−1(D1) < ‖

∞∑k=Nnl

bnlk ϕk‖L2,µ−1(D1) ≤

[ ∞∑k=Nnl

(bnlk − bk)

2] 1

2 +[ ∞∑k=Nnl

b2k] 1

2 .

Przechodz¡c z l do granicy w niesko«czono±ci dostajemy, z lewej strony ε0, natomiast zprawej 0, co daje sprzeczno±¢.b) We¹my ψ ∈

H2,1µ (DT

1 ) i ε > 0. Wtedy na mocy denicji przestrzeniH2,1µ (DT

1 ) istniejeψ ∈

D(

•DT

1 ) takie, »e‖ψ − ψ‖H2,1

µ (DT1 ) ≤

ε

3. (6.1.15)

Poka»emy, »e istnieje ci¡g funkcji ak(t)Nk=1 ⊆ C0([0, T ]) ∩ C1((0, T )) taki, »e

‖ψ −N∑k=1

ak(t)ϕk(x)‖H2,1µ (DT

1 ) ≤2ε

3, (6.1.16)

co razem z (6.1.15) dowodzi tezy lematu. W tym celu oznaczmy g(t, ·) = T−1ψ(t, ·), gdzieT jest operatorem zdeniowanym w (6.1.11). Z (6.1.10) wnioskujemy, »e g jest jest funkcj¡

gªadk¡ zmienny x, t, a ponadto g(t, ·) ∈ D(•D1). Poªó»my c1 =

( T∫0

‖g(t, ·)‖2H1

µ−1(D1)dt) 1

2 <

∞. Wtedy dla ka»dego t ∈ [0, T ] mamy zbie»no±¢ szeregu

g(t, x) =∞∑k=1

bk(t)ϕk(x), (6.1.17)

w normie L2,µ−1(D1), gdzie bk(t) =∫D1

g(t, x)ϕk(x)r2µ−2 dx. Poªó»my ε1 = ε

3c1

∥∥T∥∥ i zasto-

sujmy cz¦±¢ (a) lematu do funkcji g(t, ·). Wtedy otrzymujemy Nε1 takie, »e

∥∥g(t, ·)− N∑k=1

bk(t)ϕk(·)∥∥L2,µ−1(D1)

≤ ε1‖g(t, ·)‖H1µ−1(D1) dla N ≥ Nε1 ,

97

czyliT∫

0

∥∥g(t, ·)− N∑k=1

bk(t)ϕk(·)∥∥2

L2,µ−1(D1)dt ≤

( ε

3‖T‖

)2

dla N ≥ Nε1 . (6.1.18)

Z drugiej strony, dla dowolnego N mamyT∫

0

∥∥g(t, ·)− N∑k=1

bk(t)ϕk(·)∥∥2

L2,µ−1(D1)dt ≥

T∫0

∥∥g(t, ·)− N∑k=1

bk(t)ϕk(·)∥∥2

L2,µ(D1)dt

=

T∫0

∥∥T−1ψ(t, ·)−N∑k=1

λkbk(t)T−1ϕk(·)∥∥2

L2,µ(D1)dt

≥ ‖T‖−2

T∫0

∥∥ψ(t, ·)−N∑k=1

λkbk(t)ϕk(·)∥∥2

H2µ(D1)

dt.

gdzie skorzystali±my z (6.1.9). Zatem przyjmuj¡c ak(t) = λkbk(t), po uwzgl¦dnieniu (6.1.18)dostajemy

T∫0

∥∥ψ(t, ·)−N∑k=1

ak(t)ϕk(·)∥∥2

H2µ(D1)

dt ≤ (ε/3)2 dla N ≥ Nε1 . (6.1.19)

Oczywi±cie, dla t ∈ [0, T ] mamy ψ(t, x) =∞∑k=1

ak(t)ϕk(x) w sensie zbie»no±ci sumy wL2,µ−1(D1), bo∫

D1

ψ(t, x)ϕk(x)r2µ−2 dx =

∫D1

Tg(t, x)ϕk(x)r2µ−2 dx =

∫D1

Tg(t, x)ϕk(x)r2µ−2 dx

=

∫D1

g(t, x)Tϕk(x)r2µ−2 dx = λk

∫D1

g(t, x)ϕk(x)r2µ−2 dx = λkbk(t) = ak(t),

gdzie skorzystali±my z (6.1.8) i (6.1.9). Wobec gªadko±ci ψ, dla t ∈ (0, T ) mamy ψt(t, x) =∞∑k=1

a′k(t)ϕk(x) w sensie zbie»no±ci sumy w L2,µ−1(D1). Oznaczmy teraz przez c2 wielko±¢( T∫0

‖ψt(t, ·)‖2H1

µ−1(D1)dt) 1

2< ∞ i zastosujmy cz¦±¢ (a) lematu z ε2 = ε

3c2. Wtedy istnieje

Nε2 takie, »e

∥∥ψt(t, ·)− N∑k=1

a′k(t)ϕk(·)∥∥L2,µ−1(D1)

≤ ε2‖ψt(t, ·)‖H1µ−1(D1) dla N ≥ Nε2 ,

98

czyliT∫

0

∥∥ψt(t, ·)− N∑k=1

a′k(t)ϕk(·)∥∥2

L2,µ−1(D1)dt ≤

(ε3

)2

dla N ≥ Nε2 . (6.1.20)

Poªó»my M = maxNε1 , Nε2. Wtedy korzystaj¡c z (6.1.19) i (6.1.20), dla N ≥M dosta-jemy ∥∥ψ(t, ·)−

N∑k=1

akϕk∥∥2

H2,1µ (DT

1 )

=

T∫0

∥∥ψ(t, ·)−N∑k=1

ak(t)ϕk(·)∥∥2

H2µ(D1)

dt+

T∫0

∥∥ψt(t, ·)− N∑k=1

a′k(t)ϕk(·)∥∥2

L2,µ(D1)dt ≤

(2ε

3

)2

,

co dowodzi (6.1.16).

6.2 Metoda GalerkinaWe¹my dowolne T > 0 i wprowad¹my przestrzenie

Pµ(DT1 ) = ψ ∈ L2(0, T ;

H1µ−1(D1)) :

d

dtψ ∈ L2(0, T ;L2,µ(D1)), ψ(T, ·) ≡ 0, (6.2.1)

V2,µ(DT1 ) = u ∈ L2(0, T ;L2,µ−2(D1)) : ‖u‖V2,µ(DT

1 ) <∞, (6.2.2)gdzie

‖u‖V2,µ(DT1 ) ≡ ‖u‖L2(0,T ;H1

µ−1(D1)) + ess supt∈(0,T )

‖u(t, ·)‖L2,µ−1(D1).

Wprowadzmy teraz denicj¦ sªabego, wagowego rozwi¡zania (6.1.1) (Bσµ[·, ·] to forma

dwulinowa wprowadzona w (6.1.4), str. 95)

Denicja 6.2.1. Zaªó»my, »e σ ≥ 0, µ ∈ R, T > 0 i f ∈ L2,µ(DT1 ). Powiemy, »e

u ∈V 2,µ(D

T1 ) jest sªabym rozwi¡zaniem zagadnienia (6.1.1), gdy dla ka»dego ψ ∈ Pµ(DT

1 )zachodzi równo±¢

−T∫

0

∫D1

u(t, x)·ψt(t, x)r2µ−2 dx dt+

T∫0

Bσµ[u(t, ·), ψ(t, ·)] dt =

T∫0

∫D1

f(t, x)ψ(t, x)r2µ−2 dx dt.

(6.2.3)

Odnotujmy wpierw, i» denicja ta jest poprawna. Istotnie, dla u ∈V 2,µ(D

T1 ) i ψ ∈ Pµ(DT

1 )mamy

∣∣∣ T∫0

∫D1

u(t, x) · ψt(t, x)r2µ−2 dx dt∣∣∣ ≤ ‖u‖L2,µ−2(DT

1 ) · ‖ψt‖L2,µ(DT1 ) <∞,

99

∣∣∣ T∫0

Bσµ[u(t, ·), ψ(t, ·)] dt

∣∣∣ ≤ c(µ, σ)

T∫0

‖u(t, ·)‖H1µ−1(D1) · ‖ψ(t, ·)‖H1

µ−1(D1) dt

≤ c(µ, σ)‖u‖L2(0,T ;H1µ−1(D1)) · ‖ψ‖L2(0,T ;H1

µ−1(D1)) <∞,

∣∣∣ T∫0

∫D1

f(t, x)ψ(t, x)r2µ−2 dx dt∣∣∣ ≤ ‖f‖L2,µ(DT

1 ) · ‖ψ‖L2,µ−2(DT1 ) <∞.

Lemat 6.2.1. Zaªó»my, »e T > 0, σ ≥ 0, µ ∈ (1 −√σ, 1 +

√σ) i f ∈ L2,µ(D

T1 ). Wtedy

istnieje u ∈V 2,µ(D

T1 ) b¦d¡ce sªabym rozwi¡zaniem (6.1.1), które speªnia oszacowanie

‖u‖V2,µ(DT1 ) ≤ ‖f‖L2,µ(DT

1 ), (6.2.4)

gdzie c jest staª¡ zale»n¡ jedynie od µ i σ.

Dowód. Dla uproszczenia rozwa»a«, przyjmijmy wpierw, »e f ∈ D(•DT

1 ). Okre±limy roz-wi¡zanie przybli»one wzorem

uN(t, x) =N∑k=1

cNk (t) · ϕk(x), (6.2.5)

gdzie ϕk∞k=1 to baza ortonormalna w L2,µ−1(D1) (zdeniowana w (6.1.9) str. 95), nato-miast funkcje cNk (t)Nk=1 s¡ rozwi¡zaniami nast¦puj¡cego ukªadu równa« ró»niczkowychzwyczajnych d

dtcNk (t) +

N∑n=1

cNn (t) ·Bσµ[ϕn, ϕk] = fk(t) dla k = 1, 2, ..., N,

cNk (0) = 0 dla k = 1, 2, ..., N,(6.2.6)

gdzie fk(t) =∫D1

f(t, x)·ϕk(x)r2µ−2 dx. Oczywi±cie (6.2.6) to liniowy ukªad równa« ró»nicz-

kowych zwyczajnych, o staªych wspóªczynnikach, z gªadkimi danymi, zatem tak okre±lonefunkcje cNk (t)Nk=1 s¡ gªadkie. Znajdziemy teraz oszacowanie dla ci¡gu uNn∈N. W tymcelu pomnó»my k-te równanie (6.2.6) przez cNk i po dodaniu stronami równa« dla k =1, ..., N dostajemy

1

2

d

dt‖uN‖2

L2,µ−1(D1) +Bσµ[uN , uN ] =

N∑k=1

fkcNk .

Korzystaj¡c z eliptyczno±ci Bσµ[·, ·] i ortonormalno±ci funkcji ϕk w L2,µ−1(D1) dostajemy

1

2

d

dt‖uN‖2

L2,µ−1(D1) + γ‖uN‖2H1

µ−1(D1) ≤ ‖f‖L2,µ(D1) · ‖uN‖L2,µ−2(D1),

gdzie γ jest staª¡ z warunku eliptyczno±ci Bσµ[·, ·], czyli dostajemy

d

dt‖uN‖2

L2,µ−1(D1) + γ‖uN‖2H1

µ−1(D1) ≤1

γ‖f‖2

L2,µ(D1).

100

Caªkuj¡c strony po przedziale (0, t) przy t < T mamy

‖uN(t, ·)‖2L2,µ−1(D1) + γ

t∫0

‖uN(σ, ·)‖2H1

µ−1(D1) dσ ≤1

γ

t∫0

‖f(σ, ·)‖2L2,µ(D1) dσ. (6.2.7)

Tym samym otrzymali±my oszacowanie

‖uN‖ V 2,µ(DT

1 )≤ c(γ)‖f‖L2,µ(DT

1 ). (6.2.8)

Przeto istnieje u ∈V 2,µ(D

T1 ) i podci¡g Nl taki, »e

uNl u w L2,µ(D

T1 ), ∇uNl

∇u w L2,µ(DT1 ), (6.2.9)

i zachodzi oszacowanie‖u‖

V 2,µ(DT1 )≤ c(γ)‖f‖L2,µ(DT

1 ). (6.2.10)

Poka»emy teraz, »e u jest sªabym rozwi¡zaniem (6.1.1) w my±l denicji 6.2.1. Otó» niechφM b¦dzie funkcj¡ postaci

φM(t, x) =M∑l=1

dl(t)ϕl(x), (6.2.11)

gdzie dl(t) s¡ funkcjami ci¡gªymi w [0, T ], ró»niczkowalnymi w (0, T ) i dl(T ) = 0. We¹myN ≥ M i pomnó»my k-te równanie (6.2.6) przez dk(t) i zsumujmy te równania dla k =1, ...,M . Wtedy dostajemy∫

D1

uN,t(t, x) · φM(t, x)r2µ−2 dx+Bσµ[uN(t, ·), φM(t, ·)] =

∫D1

f(t, x) · φM(t, x)r2µ−2 dx

dla t ∈ (0, T ). Caªkuj¡c po przedziale (0, T ) otrzymujemy

−T∫

0

∫D1

uN(t, x) · φMt (t, x)r2µ−2 dx dt+

T∫0

Bσµ[uN(t, ·), φM(t, ·)] dt

=

T∫0

∫D1

f(t, x) · φM(t, x)r2µ−2 dx dt. (6.2.12)

Z zaªo»enia mamy φM ∈ H2,1µ (DT

1 ) zatem mo»emy, na odpowiednim podci¡gu, przej±¢ dosªabej granicy w skªadnikach (6.2.12), wi¦c korzystaj¡c z (6.2.9) dostajemy

−T∫

0

∫D1

u(t, x) · φMt (t, x)r2µ−2 dx dt+

T∫0

Bσµ[u(t, ·), φM(t, ·)] dt

=

T∫0

∫D1

f(t, x) · φM(t, x)r2µ−2 dx dt.

101

Jako, »e u ∈ V2,µ(DT1 ), f ∈ L2,µ(D

T1 ), to wszystkie skªadniki w powy»szej to»samo±ci zale»¡

w sposób ci¡gªy od φM w normie H2,1µ (DT

1 ), zatem z g¦sto±ci funkcji postaci (6.2.11) wPµ (lemat 6.1.1(b)) wnioskujemy, »e u ∈

V 2,µ(D

T1 ) jest sªabym rozwi¡zaniem (6.1.1),

przy zaªo»eniu, »e f ∈ D(•DT

1 ). W caªej ogólno±ci, gdy f ∈ L2,µ(DT1 ), to istnieje ci¡g

fn ⊆ D(•DT

1 ) zbie»ny do f w normie L2,µ(DT1 ) i odpowiadaj¡cy mu ci¡g un ⊆

V 2,µ(D

T1 )

sªabych rozwi¡za« speªniaj¡cy oszacowanie ‖un − um‖V2,µ(DT1 ) ≤ c(γ)‖fn − fm‖L2,µ(DT

1 ).Zatem un zbiega do pewnego u w normie V2,µ(D

T1 ), które jest sªabym rozwi¡zaniem (6.1.1)

z praw¡ stron¡ równ¡ f .

Dowód twierdzenia 6.1.1. Niech u ∈V 2,µ(D

T1 ) b¦dzie sªabym rozwi¡zaniem (6.1.1) danym

na mocy lematu 6.2.1. We¹my dowolne φ ∈W 1,1

2 (DT1 ) takie, »e φ(T, ·) ≡ 0 i poªó»my

ψ(t, x) = ηn(x)·φ(t, x)·r2µ−2, gdzie ηn jest funkcja wycinaj¡c¡ okre±lon¡ w (2.1.3) (str. 12).Oznaczmy przez un iloczyn ηnu i wstawmy ψ do to»samo±ci deniuj¡cej sªabe rozwi¡zanie(6.2.3). Wtedy dostajemy

−T∫

0

∫D1

un · φt dx dt+

T∫0

∫D1

∇un · ∇φ dx dt =

T∫0

∫D1

gnφ dx dt, (6.2.13)

gdzie gn = ηnf − 2∇ηn · ∇u−∆ηn · u− σr−2ηnu. Oczywi±cie un ∈V 2(D

T1 ), g ∈ L2(DT

1 ),a to»samo±¢ (6.2.13) oznacza, »e u jest sªabym rozwi¡zaniem (w my±l denicji chap. III,§1 [18]) równania przewodnictwa ciepªa, z praw¡ stron¡ caªkowaln¡ w kwadracie. Zatemun ∈ H2,1(DT

1 ) i ‖un‖H2,1(DT1 ) ≤ c‖gn‖L2(DT

1 ). Nierówno±¢ ta, po uwzgl¦dnieniu wªasno±cifunkcji ηn (patrz str. 12) prowadzi do oszacowania

‖Dtun‖L2,µ(DT1 ) + ‖D2

xun‖L2,µ(DT1 ) ≤ c(σ, µ)‖f‖L2,µ(ST

n ) + ‖u‖L2(0,T ;H1µ−1(Sn)),

gdzie Sn = D1 ∩ Sn. Zatem uwzgl¦dniaj¡c (2.1.10), (str. 12), po z sumowaniu i wykorzys-taniu oszacowa« dla sªabych rozwi¡za« dostajemy(∑

n∈Z

‖un‖2H2,1

µ (DT1 )

)1/2

≤ c(σ, µ)‖f‖L2,µ(DT1 ),

co wobec stwierdzenia 2.1.10 (str. 12) daje oszacowanie (6.1.2), wi¦c w szczególno±ci unale»y do

H2,1µ (DT

1 ). Wtedy bior¡c stosowne ψ w denicji sªabego rozwi¡zania wniosku-jemy, »e u jest rozwi¡zaniem (6.1.1). Zatem pozostaªo jeszcze uzasadnienie jednoznaczno±cirozwi¡za«. W tym celu zaªó»my, »e u ∈

H2,1µ (DT

1 ) jest rozwi¡zaniem (6.1.1) z f ≡ 0. Wt-edy mo»emy pomno»y¢ (6.1.1)1 przez ur2µ−2 i zcaªkowa¢ po D1 × (0, t). Po scaªkowaniuprzez cz¦±ci dostajemy Bσ

µ[u(t, ·), u(t, ·)] ≤ 0 dla p.w. t ∈ (0, T ), zatem z eliptyczno±ciformy Bσ

µ[·, ·] wnioskujemy, »e u ≡ 0.

Z twierdzenia (6.1.1) (str. 94) otrzymujemy nast¦puj¡cy wniosek.

Wniosek 6.2.1. Teza twierdzenia (6.1.1) pozostaje prawdziwa, gdy zbiór DT1 zast¡pimy

zbiorem DTδ lub R3 × (0, T ), gdzie δ > 0 i T ∈ (0,∞].

102

Dowód. Przypadek D∞1 . Tutaj wystarczy zauwa»y¢, i» staªa T nie pojawia si¦ w osza-

cowaniu (6.1.2).Przypadek DT

δ . Je»eli f ∈ L2,µ(DT ′

δ ), to kªadziemy T = δ−2T ′, f(x, t) = δ2f(δx, δ2t)

dla (x, t) ∈ DT1 . Wtedy mamy ‖f‖L2,µ(DT

1 ) = δ−1+2µ

2 ‖f‖L2,µ(DT ′δ ). Niech u ∈ H2,1

µ (DT1 )

b¦dzie rozwi¡zaniem (6.1.1) z praw¡ stron¡ równ¡ f . Wtedy zachodzi oszacowanie‖u‖H2,1

µ (DT1 ) ≤ c(µ, σ)‖f‖L2,µ(DT

1 ). Poªó»my u(x, t) = u(δ−1x, δ−2t) dla (x, t) ∈ DT ′

δ . Wt-

edy mamy u ∈H

2,1µ (DT ′

δ ) i ut − ∆u + σr−2u = f wDT ′

δ . Jako, »e ‖u‖H2,1µ (DT ′

δ ) =

δ1+2µ

2 ‖u‖H2,1µ (DT

1 ), to zachodzi oszacowanie ‖u‖H2,1µ (DT ′

δ ) ≤ c(µ, σ)‖f‖L2,µ(DT ′δ ).

Przypadek D∞δ . Zauwa»my, »e staªa T nie pojawia si¦ w wy»ej otrzymanym oszacowa-

niu.Przypadek R3 × (0, T ). Na pocz¡tek we¹my f ∈ D(

•R3 × (0, T )). Wtedy istnieje δ0

takie, »e supp f ⊆ DTδ0

i poªó»my δn = δ0 + n dla n ∈ N. Niech un ∈H

2,1µ (DT

δn) speª-

nia równanie unt − ∆un + σr−2un = f wDTδn

razem z oszacowaniem ‖un‖H2,1µ (DT

δn) ≤

c(µ, σ)‖f‖L2,µ(R3×(0,T )) (korzystamy z drugiego przypadku). Niech un ∈ H

2,1µ (R3 × (0, T ))

b¦dzie przedªu»eniem u na zbiór R3 × (0, T ), otrzymanym analogicznie jak w dowodziestwierdzenia 5.5.5 (str. 84). Wtedy mamy ‖un‖H2,1

µ (R3×(0,T ))

≤ c(µ)‖un‖H2,1µ (DT

δn) ≤ c(µ, σ)‖f‖L2,µ(R3×(0,T )). Zatem istnieje u ∈

H2,1µ (R3 × (0, T )) i pod-

ci¡g nk taki, »e unk u w H2,1µ (R3× (0, T )) i ‖u‖H2,1

µ (R3×(0,T )) ≤ c(µ, σ)‖f‖L2,µ(R3×(0,T )).

Wystarczy pokaza¢, »e zachodzi równo±¢ ut−∆u = σr−2u = f wR3× (0, T ). W tym celu

we¹my dowolne ϕ ∈ D(•R3 × (0, T )) i niech k b¦dzie takie, »e suppϕ ⊆ DT

δnk. Pomnó»my

równanie na uu przez ϕr2µ i scaªkujmy po DTδnk

. Wtedy mamy∫DT

δnk

unt ϕr2µ −∆unϕr2µ + σunϕr2µ−2 dxdt =

∫DT

δnk

fϕr2µ dxdt.

Korzystaj¡c ze sªabej zbie»no±ci unk dostajemy∫DT

δnk

unkt ϕr

2µ −∆unkϕr2µ + σunkϕr2µ−2 dxdt

=

∫R3×(0,T )

unkt · ϕ · r2µ −∆unk · ϕ · r2µ + σunk · ϕr2 · r2µ−4 dxdt

k→∞−−−→∫

R3×(0,T )

ut · ϕ · r2µ −∆u · ϕ · r2µ + σu · ϕr2 · r2µ−4 dxdt,

co wobec dowolno±ci ϕ ∈ D(•R3 × (0, T )) prowadzi do równo±ci ut − ∆u + σr−2u = f w

•R3 × (0, T ).

103

Przypadek R3×(0,∞). Wystarczy zauwa»y¢, »e oszacowanie z poprzedniego przypadkunie zale»y od T .

Uwaga 6.2.1. Oczywi±cie, wszystkie przestawione powy»ej rezultaty bez istotnych zmianprzenosz¡ si¦ na przypadek dwuwymiarowy i zagadnienia w d1.

6.3 Relacje mi¦dzy wagowym a sªabym rozwi¡zaniemPodobnie jak w przypadku eliptycznym, zastanowimy si¦ jak maj¡ si¦ do siebie rozwi¡za-nia z przestrzeni wagowych i sªabe rozwi¡zania, tzn. odpowiemy, przynajmniej cz¦±ciowo,na pytanie: czy je»eli u ∈

H2,1µ (DT

1 ) speªnia równanie ut − ∆u = f wDT

1 (w sensiedystrybucyjnym), tj.

T∫0

∫D1

u · [ϕt + ∆ϕ] dx dt = −T∫

0

∫D1

fϕ dx dt dla ϕ ∈ D(DT

1 ), (6.3.1)

i u|t=0 = 0, to czy u jest sªabym rozwi¡zaniem równania ut − ∆u = f w DT1 z zerowym

warunkiem pocz¡tkowym, czyli u ∈V 2(D

T1 ) i u speªnia to»samo±¢

T∫0

∫D1

uψt dx dt−T∫

0

∫D1

∇u · ∇ψ dx dt = −∫D1

fψ dx dt (6.3.2)

dla ψ ∈W 1,1

2 (DT1 ) takich, »e ψ(t, ·) ≡ 0. Oczywi±cie, gdy µ > 1, to elementy zH2,1

µ (DT1 ) nie

musz¡ mie¢ sko«czonej wielko±ci ‖∇u‖L2(DT1 ), zatem odpowied¹ jest w ogólno±ci negaty-

wna. Przypadek µ < 1 rozwa»amy w stwierdzeniu 6.3.2. Wpierw jednak usasadnimy pewneoszacowanie.

Stwierdzenie 6.3.1. Zaªó»my, »e µ ∈ R, T > 0 i u ∈H2,1µ (DT

1 ) speªnia warunekpocz¡tkowy u|t=0 = 0. Wtedy przyporz¡dkowanie [0, T ] 3 t 7−→ ‖u(t, ·)‖L2,µ−1(D1) jestci¡gªe i istnieje staªa c = c(µ) taka, »e zachodzi oszacowanie

ess supt∈[0,T ]

‖u(t, ·)‖L2,µ−1(D1) ≤ c‖u‖H2,1µ (DT

1 ). (6.3.3)

Dowód. We¹my σ > 0 takie, »e µ ∈ (1−√σ, 1 +

√σ). Poªó»my

g = ut −∆u+ σr−2u. (6.3.4)

Wtedy dla t1, t2 ∈ [0, T ] mamy ‖g‖L2,µ(D1×(t1,t2)) ≤ c(µ)‖u‖H2,1µ (D1×(t1,t2)). Pomnó»my

strony (6.3.4) przez ur2µ−2 i scaªkujmy po D1. Otrzymamy równo±¢

1

2

d

dt‖u(t, ·)‖2

L2,µ−1(D1) +Bσµ[u(t, ·), u(t, ·)] =

∫D1

g(t, x)u(t, x)r2µ−2 dx,

104

gdzie Bσµ[·, ·] jest form¡ dwuliniow¡ okre±lon¡ w (6.1.4) (str. 95). Oznaczmy przez γ staª¡

z warunku eliptyczno±ci Bσµ. Z powy»szego dostajemy

1

2

d

dt‖u(t, ·)‖2

L2,µ−1(D1) + γ‖u(t, ·)‖2H1

µ−1(D1) ≤1

2γ‖g(t, ·)‖2

L2,µ(D1) +γ

2‖u(t, ·)‖2

L2,µ−2(D1),

czyli po scaªkowaniu po przedziale (t1, t2) mamy

‖u(t2, ·)‖2L2,µ−1(D1) − ‖u(t1, ·)‖2

L2,µ−1(D1) ≤1

γ

t2∫t1

‖g(t, ·)‖2L2,µ(D1) dt ≤

c(µ)

γ‖u‖2

H2,1µ (D1×(t1,t2))

,

co daje tez¦.

Zatem mamy nast¦puj¡cy wniosek.

Wniosek 6.3.1. Je»eli µ < 1 i u ∈H2,1µ (DT

1 ), to u ∈V 1,0

2 (DT1 ).

Dowód. Istotnie, przy zaªo»eniu µ < 1 i ze stwierdzenia 6.3.1 mamy

‖u‖V2(DT1 ) ≤ ess sup

t∈[0,T ]

‖u(t, ·)‖L2,µ−1(D1) + ‖∇u‖L2,µ−1(DT1 ) ≤ c(µ)‖u‖H2,1

µ (DT1 ),

a przyporz¡dkowanie [0, T ] 3 t 7−→ ‖u(t, ·)‖L2(D1) jest ci¡gªe, wi¦c u ∈ V 1,02 (DT

1 ).

Wrócmy teraz do rozwa»ania wy»ej postawionego pytania.

Stwierdzenie 6.3.2. Zaªó»my, »e µ < 1, T > 0, u ∈H2,1µ (DT

1 ), f ∈ L2,µ(DT1 ), u speªnia

warunek pocz¡tkowy u|t=0 = 0 i równanie ut−∆u = f wDT

1 w sensie dystrybucyjnym, tj.

zachodzi (6.3.1). Wtedy u ∈V 1,0

2 (DT1 ) i u speªnia to»samo±¢ (6.3.2), czyli u jest sªabym

rozwi¡zaniem równania ut −∆u = f w DT1 z zerowym warunkiem pocz¡tkowym.

Dowód. Na pocz¡tek zauwa»my, »e z wniosku 6.3.1 mamy u ∈ V 1,02 (DT

1 ), wi¦c pozostaªowykazanie to»samo±ci (6.3.2). Na mocy zaªo»enia mamy to»samo±¢ (6.3.1). Zauwa»my, »eu nale»y do

W 1,0

2 (DT1 ), zatem mo»emy scaªkowa¢ przez cz¦±ci i dostajemy

T∫0

∫D1

uϕt dxdt−T∫

0

∫D1

∇u · ∇ϕdxdt = −T∫

0

∫D1

fϕ dxdt dla ϕ ∈ D(DT

1 ). (6.3.5)

We¹my teraz dowolne ψ ∈ D(DT1 ) i niech ηδ = ηδ(r) b¦dzie gªadk¡ funkcj¡ wycinaj¡c¡

tak¡, »e ηδ(r) = 1 dla r > 2δ, ηδ(r) = 0 dla r < δ, |η′δ(r)| < 2/δ. Poªó»my ϕδ = ηδψ iwstawmy takie ϕδ w (6.3.5). Wtedy mamy

T∫0

∫D1

ηδuψt dxdt−T∫

0

∫D1

∇u · ∇(ηδψ) dxdt = −T∫

0

∫D1

ηδfψ dxdt (6.3.6)

105

Oczywi±cieT∫0

∫D1

ηδfψ dxdtδ→0−−→

T∫0

∫D1

fψ dxdt, bo f jest caªkowalne w DT1 (stw. 3.1.4,

str. 18). Podobnie otrzymujemyT∫0

∫D1

ηδuψt dxdtδ→0−−→

T∫0

∫D1

uψt dxdt. Wyka»emy teraz

zbie»no±¢ ostatniego skªadnika. Wpierw napiszmy

∣∣∣ T∫0

∫D1

∇u · ∇(ηδψ) dxdt−T∫

0

∫D1

∇u · ∇ψ dxdt∣∣∣

≤T∫

0

∫D1

|1− ηδ| · |∇u| · |∇ψ| dxdt+

T∫0

∫D1

|∇u| · |∇ηδ| · |ψ| dxdt,

Pierwsza z caªek na prawej stronie nierówno±ci zbiega do zera, gdy» ∇u jest caªkowalnaw DT

1 , a miara zbioru supp(1− ηδ) d¡»y do zera. Z drug¡ caªk¡ radzimy sobie takT∫

0

∫D1

|∇u| · |∇ηδ| · |ψ| dxdt =

T∫0

∫D1

|∇u|rµ−1 · |∇ηδ|r · |ψ|r−µ dxdt

≤ 4

T∫0

∫supp∇ηδ

|∇u|rµ−1 · |ψ|r−µ dxdt ≤ c(µ)‖∇u‖L2,µ−1(supp∇ηδT ) · ‖ψ‖L2(0,T ;H1(D1))

δ→0−−→ 0,

gdy» ∇u ∈ L2,µ−1(DT1 ), a miara zbioru supp∇ηδ d¡»y do zera. Zatem przechodz¡c w

(6.3.6) do granicy dostajemyT∫

0

∫D1

uψt dxdt−T∫

0

∫D1

∇u · ∇ψ dxdt = −T∫

0

∫D1

fψ dxdt dla ψ ∈ D(DT1 ).

We¹my teraz ψ gªadkie w DT1 takie, »e ψ ∈

W 1,1

2 (DT1 ) i ψ(T, ·) ≡ 0. Dla δ > 0 okre±lmy

funkcje χδ = χδ(t) gªadkie takie, »e χδ(t) = 1 dla t < δ i χδ(t) = 0 dla t > 2δ i poªó»myψδ(t, x) = ψ(t, x) − χδ(t)ψ(0, x). Funkcja ψδ mo»e by¢ przybli»ana elementami z D(DT

1 )w normie W 1,1

2 (DT1 ), zatem powy»sza to»samo±¢ prowadzi do równo±ciT∫

0

∫D1

uψδt dxdt−T∫

0

∫D1

∇u · ∇ψδ dxdt = −T∫

0

∫D1

fψδ dxdt. (6.3.7)

Zauwa»my, »e przej±cie do granicy przy δ −→ 0+ nie jest oczywiste jedynie w pierwszej zcaªek. Napiszmy j¡ wi¦c w postaci

T∫0

∫D1

uψδt dxdt =

T∫0

∫D1

uψt dxdt−T∫

0

∫D1

u(t, x)χ′δ(t)ψ(0, x) dxdt,

106

i chcemy pokaza¢ zbie»no±¢ do zera tej ostatniej z caªek. W tym celu napiszmyT∫

0

∫D1

u(t, x)χ′δ(t)ψ(0, x) dxdt = −T∫

0

∫D1

ut(t, x)χδ(t)ψ(0, x) dxdt+

∫D1

u(t, x)χδ(t)ψ(0, x) dx∣∣∣t=Tt=0

.

Oczywi±cie caªkowanie przez cz¦±ci byªo uprawnione, bo ut ∈ Lp(DT1 ) dla pewnego p > 1

(stwierdzenie 3.1.4, str. 18). Natomiast ostatnie wyra»enie znika, bo χδ(T ) = 0 dla maªych

δ i ‖u(t, ·)‖L2(D1) −→ 0, gdy t → 0. W ko«cu,T∫0

∫D1

ut(t, x)χδ(t)ψ(0, x) dxdt −→ 0, gdy

δ → 0, bo ut jest caªkowalne w DT1 , a χδ d¡»y do zera. Zatem mo»emy z δ przej±¢ w (6.3.7)

do granicy w zerze i otrzymujemyT∫

0

∫D1

uψt dxdt−T∫

0

∫D1

∇u · ∇ψ dxdt = −T∫

0

∫D1

fψ dxdt

dla ψ gªadkich w DT1 takich, »e ψ ∈

W 1,1

2 (DT1 ) i ψ(T, ·) ≡ 0, co wobec zaªo»enia o µ

gwarantuje zachodzenie (6.3.2).

Teraz zbadamy, co dzieje si¦ z rozwi¡zywalno±ci¡ zagadnienia (6.1.1) w przypadku µ <1−

√σ.

Twierdzenie 6.3.1. Zaªózmy, »e σ ≥ 0, µ < 1 −√σ, µ 6∈ Sσ i T > 0. Wtedy istnieje

f ∈ L2,µ(DT1 ) takie, »e zagadnienie (6.1.1) nie ma rozwi¡zania nale»¡cego do H2,1

µ (DT1 ).

Zanim przejdziemy do dowodu winnismy skomentowa¢ powy»sze twierdzenie.

Uwaga 6.3.1. Oczywi±cie, gdy σ = 0, f ∈ L2,µ(DT1 ) i µ < 1, to zagadnienie (6.1.1) ma

dokªadnie jedno sªabe rozwi¡zanie nale»¡ce doV 1,0

2 (DT1 ). Teza tego» twierdzenia mówi,

i» przy pewnym f ∈ L2,µ(DT1 ) (danym w (6.3.9)), to sªabe rozwi¡zanie nie nale»y do

H2,1µ (DT

1 ). Tutaj rodzi si¦ pytanie: czy mo»e wtedy istnieje jakie± inne rozwi¡zanie (6.1.1)

nale»¡ce do H2,1µ (DT

1 ), które speªnia (6.1.1)1 tylko w sensie dystrybucyjnym wD1? Odpowied¹

jest negatywna, bo jak wynika ze stwierdzenia 6.3.2, to rozwi¡zanie byªoby w istocie sªabymrozwiazaniem, zatem z jednoznaczo±ci sªabych rozwiaza«, byªoby równe funkcji w danej w(6.3.9) co, jak pokazujemy w dowodzie twierdzenia 6.3.1, jest niemo»liwe, bo w nie nale»ydo H2,1

µ (DT1 ).

Dowód twierdzenia 6.3.1. Niech k ∈ Zσ b¦dzie takie, »e λσk+1 < µ < λσk (oznaczeniawprowadzono na str. 13). Odnotujmy wpierw, »e wtedy sgn k ≥ 0, a st¡d wnioskujemy,»e

λσk − µ < 1. (6.3.8)Nast¦pnie zaªó»my, »e 0 < δ ≤ T/4 i niech η = η(a) i χ = χ(t) b¦d¡ gªadkimi funkcjamiwycinaj¡cymi takimi, »e η(a) = 1 dla |a| < 1

4, η(a) = 0 dla |a| > 1

2, χ(t) = 1 dla

t ∈ (2δ, 3δ) i χ(t) = 1 dla t 6∈ (δ, 4δ). Poªó»my

v = rλσk cos kϕ, w(x, z, t) = χ(t)η(z)η(r) · v, f = (∂t −∆ + σr−2)w, (6.3.9)

107

gdzie (r, ϕ) to wspóªrz¦dne biegunowe na R2. Poka»emy, »ew 6∈ H2,1

µ (DT1 ), natomiast f ∈ L2,µ(D

T1 ). (6.3.10)

Istotnie w 6∈ H2,1µ (DT

1 ), poniewa»

‖w‖2L2,µ−2(DT

1 ) ≥ δπ

2

1/4∫0

r2λσk+2µ−3 dr = ∞,

bo z warunku µ < λσk mamy 2λσk + 2µ − 3 < −1. Z kolei zauwa»my, »e na zbiorzeDT

1 zachodzi nierówno±¢ |f | ≤ C|v| dla pewnej staªej C, wi¦c f ∈ L2,µ(DT1 ), poniewa»

‖v‖2L2,µ(d1) ≤ 2π

1∫0

r2λσk+2µ−1 dr < ∞, gdzie skorzystali±my z (6.3.8). Tez¦ twierdzenia

wyka»emy nie wprost, mianowicie zaªó»my, »e u ∈ H2,1µ (DT

1 ) jest rozwi¡zaniem (6.1.1) zpraw¡ stron¡ równ¡ f . Musimy rozpatrzy¢ dwa przypadki.Przypadek σ > 0. Wtedy mamy1

w, u ∈ H2,1µσ−(DT

1 ). (6.3.11)

Istotnie, u ∈ H2,1µσ−(DT

1 ), bo µ < µσ−. Natomiast w przypadku funkcji w wystarczy sprawdzi¢,»e w ∈ L2,µσ

−−2(DT1 ), bo wiemy ju», »e f ∈ L2,µ(D

T1 ) ⊆ L2,µσ

−(DT

1 ). Policzmy zatem:

‖w‖2L2,µσ

−−2(DT1 ) ≤ 2π

1∫0

r2λσk+2µσ

−−3 dr <∞,

bo nierówno±¢ 2λσk + 2µσ− − 3 > −1 jest konsekwencj¡ tego, »e λσk < µσ−. Przeto mamy(6.3.11), a jako, »e µσ− ∈ (1 −

√σ, 1 +

√σ) to z jednoznaczno±ci rozwi¡za« zagadnienia

(6.1.1) zagwarantowanej w twierdzeniu 6.1.1 (str. 94) mamy u ≡ w, co jest niemo»liwe bou ∈ H2,1

µ (DT1 ), a w 6∈ H2,1

µ (DT1 ).

Przypadek σ = 0. Wobec wniosku 6.3.1 (str. 105) mamy u ∈ V 1,02 (DT

1 ), natomiastbezpo±rednim rachunkiem sprawdzamy, »e w równie» nale»y do V 1,0

2 (DT1 ). Przedto z jed-

noznaczno±ci rozwi¡za« (6.1.1) w ∈ V 1,02 (DT

1 ), wnioskujemy, »e u ≡ w co, jak ju» wcze±niejzauwa»yli±my, nie jest mo»liwe.

6.4 Oszacowania a prioriW tym rozdziale uzasadnimy pewne oszacowania a priori dla µ 6∈ Sσ i poka»emy, »e dlaµ ∈ Sσ oszacowania a priori nie maj¡ miejsca.Twierdzenie 6.4.1. Zaªó»my, »e σ ≥ 0, µ < 1 +

√σ i µ 6∈ Sσ. Wtedy istnieje staªa

c = c(µ, σ) taka, »e

‖u‖H2,1µ (R3×R+) ≤ c‖ut −∆u+ σr−2u‖L2,µ(R3×R+) dla u ∈ H

2,1µ (R3 × R+), (6.4.1)

‖u‖H2,1µ (D∞

1 ) ≤ c‖ut −∆u+ σr−2u‖L2,µ(D∞1 ) dla u ∈

H

2,1µ (D∞

1 ). (6.4.2)

1Oznaczenia wprowadzono w (4.4.17) str. 44.

108

Dowód. Przypomnijmy, i» w przypadku µ ∈ [1, 1 +√σ) nierówno±ci powy»sze s¡ kon-

sekwencj¡ wniosku 6.2.1 (str. 102). Zatem w dalszej cz¦±ci b¦dziemy rozwa»a¢ jedynieprzypadek µ < 1. Zacznijmy od pierwszej nierówno±ci. Wobec g¦sto±ci zbioru D(

•R3×R+)

w H

2,1µ (R3×R+) wystarczy wykaza¢ (6.4.1) dla u ∈ D(

•R3×R+). W tym celu dookre±lmy

funkcje u zerem poza zbiorem•R3 × R+ i poªó»my

v(x, q1, q2) =1

2π

∞∫−∞

∞∫−∞

u(x, z, t)e−(zq1+tq2)dz dt, x ∈ R2, q1, q2 ∈ R.

Wtedy funkcja v speªnia zaªo»enia lematu 5.1.1, str. 56, gdy µ < 0 i lematu 5.1.3, str. 64,gdy µ ∈ [0, 1), gdzie i = 2, ν = 1. Zatem istnieje staªa c = c(µ, σ) taka, »e

∑k+l≤2

∞∫−∞

∞∫−∞

∫R2

|s|k|D2−k−lv(x, q1, q2)|2r2(µ−l) dxdq1dq2 ≤ c

∞∫−∞

∞∫−∞

∫R2

|g(x, q1, q2)|2r2µ dxdq1dq2,

gdzie g(x, q1, q2) = −∆xv(x, q1, q2)+(s+σr−2)v(x, q1, q2), s(q1, q2) = q21 + iq2. Przykªada-

j¡c odwrotn¡ transformat¦ Fouriera do stron powy»szej nierówno±ci dostajemy (6.4.1). Zkolei nierówno±¢ (6.4.2) otrzymujemy powtarzaj¡c rozumowanie z dowodu stwierdzenia 5.5.2(str. 81), przy czym zamiast twierdzenia 5.1.1 (str. 65) korzystamy z (6.4.1), a zamiaststwierdzenia 5.5.1 (str. 78) korzystamy z wniosku 6.2.1 (str. 102) przy σ > 0, a dlaσ = 0 korzystamy ze stwierdzenia 6.3.2 (str. 105) i jednoznaczo±ci sªabych rozwi¡za« wV 1,0

2 (D∞1 ).

Stwierdzenie 6.4.1. Zaªó»my, »e σ ≥ 0, µ ∈ Sσ i T > 0. Wtedy istnieje ci¡g wnn∈N ⊆H

2,1µ (DT

1 ) taki, »e (∂t−∆+σr−2)wn jest ograniczone w L2,µ(DT1 ), natomiast ‖wn‖H2,1

µ (DT1 ) −−−→n→∞

∞. Innymi sªowy, nie zachodz¡ oszacowania a priori dla rozwi¡za« zagadnienia (6.1.1) w

przestrzeniH

2,1µ (DT

1 ).

Dowód. Funkcje wn okre±lamy jako iloczyn: wn = χ(t)χ(z)un, gdzie 0 6≡ χ(a) ∈ D(0, T ),a un jest funkcj¡ okre±lon¡ w dowodzie stwierdzenia 4.4.7 (str. 54). Przeprowadzone wdowodzie stwierdzenia 4.4.7 rachunki bezpo±rednio prowadz¡ do tezy stwierdzenia.

6.5 Uwagi o niestacjonarnym zagadnieniu StokesaW tym rodziale sformuªujemy kilka spostrze»e« dotycz¡cych niestacjonarnego zagadnieniaStokesa ut −∆u+∇p = f w DT

1

div u = 0 w DT1

u = 0 na ∂DT1

, (6.5.1)

gdzie u = (u1, u2, u3). Zaªó»my, »e f jest takie, »e przyporz¡dkowanie2 ϕ 7−→∫DT

1

fϕ dxdt

jest ci¡gªe naW 1,0

2 (DT1 ). Wtedy mówimy, »e u ∈ V 1,0

2 (DT1 ) ∩ L2(0, T ;H(D1)) jest sªabym

2Oznaczenia przestrzeni funkcyjnych wprowadzono na stronie 10.

109

rozwi¡zaniem zagadnienia (6.5.1), gdy dla ka»dego φ ∈ W 1,12 (DT

1 ) ∩ L2(0, T ;H(D1))takiego, »e φ(·, T ) = 0 speªniona jest to»samo±¢ caªkowa

−T∫

0

∫D1

uφt dxdt+

T∫0

∫D1

∇u · ∇ϕdxdt =

T∫0

∫D1

fϕ dxdt (6.5.2)

Postepuj¡c analogicznie jak w dowodach stwierdze« 5.6.1 (str. 91) i 6.3.2 (str. 105) otrzy-mujemy nast¦puj¡ce stwierdzenie.

Stwierdzenie 6.5.1. Zaªó»my, »e µ < 1, u ∈H

2,1µ (DT

1 )3, p ∈ L2(0, T ;H1µ(D1)) i para

(u, p) speªnia w sensie dystrybucyjnym wD1 równania ut − ∆u + ∇p = f , div u = 0

wD1. Wtedy u ∈ V 1,0

2 (DT1 ) ∩ L2(0, T ;H(D1)) i u jest sªabym rozwi¡zaniem zagadnienia

(6.5.1).

Na koniec przyjrzymy si¦ pewnemu szczególnemu rozwi¡zaniu niestacjonarnego zagad-nienia Stokesa. Tak jak wcze±niej, zarezerwujmy symbol η na oznaczenie gªadkiej funkcjiwycinaj¡cej η = η(s) takiej, »e η(s) = 1 dla |s| < 1

4i η(s) = 0 dla |s| > 1

2. We¹my dowolne

T > 0 i niech χ = χ(t) b¦dzie gªadk¡ funkcj¡ wycinaj¡c¡ tak¡, »e χ(t) = 1 dla t ∈ (T3, 2T

3)

i suppχ ⊆ (0, T ).Przykªad. Zaªó»my, »e µ ∈ (−1, 0) i poªó»my v = (v1, v2, v3) gdzie

v1 = yχ(t)η(z)η(r), v2 = −xχ(t)η(z)η(r), v3 = 0.

Wtedy v ∈ D(DT1 ) i div v = 0 w DT

1 , zatem v ∈ V 1,02 (DT

1 ) ∩ L2(0, T ;H(D1)). Poªó»myp ≡ 0 i f = vt −∆v. Wtedy para (v, p) jest rozwi¡zaniem zagadnienia Stokesa (6.5.1) zpraw¡ stron¡ f , gdzie f ∈ D(DT

1 ), wi¦c w szczególno±ci f ∈ L2,µ(DT1 ). Przypu±¢my, »e

istnieje v′ ∈H

2,1µ (DT

1 ) i p′ ∈ L2(0, T ;H1µ(D1)) takie, »e para (v′, p′) jest dystrybucyjnym

rozwi¡zaniem niestacjonarnego zagadnienia Stokesa wDT

1 , z f takim jak wy»ej. Wtedyna mocy stwierdzenia 6.5.1 v′ ∈ V 1,0

2 (DT1 )∩L2(0, T ;H(D1)) i u jest sªabym rozwi¡zaniem

(6.5.1), zatem z jednoznaczno±ci sªabych rozwi¡za«3 mamy v = v′. To ostatnie nie jestmo»liwe, bo bezpo±rednim rachunkiem sprawdzamy, »e v 6∈ L2,µ−2(D

T1 ), a na mocy zaªo»e-

nia mamy v′ ∈ L2,µ−2(DT1 ). Przeto poczynione przypuszczenie o istnieniu v′ ∈

H

2,1µ (DT

1 )

i p′ ∈ L2(0, T ;H1µ(D1)) bed¡cych dystrybucyjnym rozwi¡zaniem w zagadnienia Stokesa

DT

1 z praw¡ stron¡ równ¡ f jest faªszywe. Ponadto odnotujmy, i» okre±lona wy»ej funkjav znika w pewnym otoczeniu brzegu, przeto mo»e by¢ wykorzystana w podobnych zagad-nieniach z innym jednorodnym warunkiem brzegowym.4

3Np. tw. 3 roz. 4 [19].4Por. tw. 5.3 [33].

110

Rozdziaª 7

Zagadnienie Dirchleta w k¡cie

dwu±ciennym

7.1 WprowadzenieW tym rozdziale zastosujemy przedstawion¡ wcze±niej technik¦ do znanego zagadnienia:równania Poissona w k¡cie dwu±ciennym z warunkiem brzegowym typu Dirchleta. Wynikiprzedstawione tutaj mo»na, za wyj¡tkiem oszacowa« a priori, znale¹¢ w [7] (stw. 11.1.4)lub w [26]. Jednak»e przedstawione tam dowody istnienia rozwi¡za« s¡ dosy¢ skomp-likowane. W naszym przypadku istnienie rozwi¡za« otrzymujemy, podobnie jak wcze±niej,z twierdzenia Laxa-Milgrama, wi¦c jedyna trudno±¢ polega na uzasadnieniu eliptyczno±ciodpowiedniej formy dwuliniowej. Podkre±lmy, i» w tym kierunku byªy ju» wczesniej pod-j¦te pewne badania (np. [17] czy [16], której tytuª brzmi tu znacz¡co), jakkolwiek nieprowadziªy one do istnienia rozwi¡za« na maksymalnym przedziale (por. przykªad 3.4[16]). Prezentowane tutaj podej±cie, tak jak we wcze±niejszych zagadnieniach, daje odrazu istnienie rozwi¡za« na maksymalnym przedziale istnienia, a ponadto dziaªa w przy-padku obszaru ograniczonego jak i nieograniczonego.Na pocz¡tek przypomnijmy argumentacj¦ prowadz¡c¡ do dobrze znanego wyniku1

Aµ,ϑ jest izomorzmem ⇐⇒ µ ∈ (1− π/ϑ, 1 + π/ϑ). (7.1.1)

Otó», zazwyczaj powy»szy rezultat otrzymuje si¦ w nast¦puj¡cych krokach: (i) Aµ,ϑ jestizomorzmem ⇐⇒ Bµ,ϑ jest izomorzmem (tw. 8.2.1. [26]), (ii) Bµ,ϑ jest izomor-zmem dla µ ∈ (β1, β2) (tw. 1.3.18. [7]), (iii) Bβ,ϑ nie jest izomorzmem dla β 6∈ (β1, β2)(stw. 8.2.9. [26]). Natomiast przedstawione tutaj podej±cie rozpoczyna dowód istnieniarozwi¡za« (tw. 7.2.1), czyli od razu mamy implikacj¦ w jedna stron¦ w (7.1.1). Nast¦pnieotrzymujemy oszacowania a priori (tw. 7.2.3). W dalszej cz¦±ci uzyskujemy stwierdzeniapomocnicze, by przy ich pomocy otrzyma¢ odpowiednik kroku (i) (stw. 7.2.6 i 7.2.7) ipewn¡ modykacj¦ kroku (iii) (tw. 7.2.4). W ko«cu wyprowadzamy równo±¢ dimKµ,ϑ =dimNµ′,ϑ, gdzie µ′ = 2 − µ (tw. 7.2.6), co ju» prowadzi do wniosku, »e Kµ,ϑ 6= 0dla µ > 1 + π/ϑ (tw. 7.2.7) i tym samym prowadzi do implikacji w drug¡ stron¦ w(7.1.1). Podkre±lmy jeszcze raz, i» przedstawiona tu metoda dziaªa w przypadku zagad-nienia Dirchleta w k¡cie dwu±ciennym jak i w przypadku zagadnienia z operatorem Aσ

µ

i zostaªa pomy±lana w ten sposób, by roztrzygaªa równie» przypadek σ = 0. Zauwa»my,i» w standartowym podej±ciu (i)-(iii), krok drugi jest niewykonywalny przy σ = 0, wi¦c

1Oznaczenia wprowadzono na stronie 14.

111

dotychczasowe podej±cie nie daje »adnej informacji o tym przypadku. Ponadto, podej±-cie do zagadnienia istnienia korzystaj¡ce z eliptyczno±ci odpowiedniej formy dwuliniowej,daje mo»liwo±¢ rozwa»ania zagadnie« parabolicznych. Przejd¹my teraz do sformuªowanianajistotniejszych twierdze« zawartych w tym rozdziale. B¦dziemy rozwa»a¢ nast¦puj¡cezagadnienia:2 równanie Poissona w k¡cie dwu±ciennym z jednorodnym warunkiem brze-gowym typu Dirchleta

(E)−∆u = f w Θϑ

u = 0 na Γϑ,k, k = 0, 1.,

równanie Poissona w ograniczonym k¡cie dwu±ciennym z jednorodnym warunkiem brze-gowym typu Dirchleta

(Eδ)−∆u = f w Θϑ,δ

u = 0 na ∂Θϑ,δ.,

i równie przewodnictwa ciepªa w ograniczonym k¡cie dwu±cienny z jednorodnymi warunk-ami brzegowymi i pocz¡tkowymi

(P)

ut −∆u = f w ΘTϑ,1

u = 0 na ∂Θϑ,1 × (0, T )u|t=0 = 0 na Θϑ,1

.

Je»eli chodzi o zagadnienie (E), to wyka»emy nast¦puj¡ce twierdzenie.

Twierdzenie 7.1.1. Zaªó»my, »e ϑ ∈ (0, 2π) i µ 6= 1 + π kϑdla k ∈ Z \ 0. Wtedy

∃c > 0 ∀u ∈H2µ(Θϑ) ‖u‖H2

µ(Θϑ) ≤ c‖Aµ,ϑu‖L2,µ(Θϑ) ⇐⇒ µ < 1 +π

ϑ, (7.1.2)

dimKµ,ϑ =

0 dla µ < 1 + π

ϑ∞ dla µ > 1 + π

ϑ

dimNµ,ϑ =

∞ dla µ < 1− π

ϑ0 dla µ > 1− π

ϑ

(7.1.3)

Aµ,ϑ jest izomorzmem ⇐⇒ µ ∈ (1− π

ϑ, 1 +

π

ϑ). (7.1.4)

Cz¦±ci (7.1.3) i (7.1.4) s¡ dobrze znane (patrz np. stw. 11.1.4 i uwaga 11.1.5 [7]). Twierdze-nie to otrzymamy z twiedze« 7.2.1 (str. 114), 7.2.3 (str.116) i wniosku 7.2.3 (str. 123). Wzwi¡zku z zagadnieniem w ograniczonym k¡cie dwu±ciennym (Eδ) wyka»emy twierdzenie.

Twierdzenie 7.1.2. Zaªó»my, »e ϑ ∈ (0, 2π), δ > 0 i µ ∈ (1 − πϑ, 1 + π

ϑ). Wtedy dla

ka»dego f ∈ L2,µ(Θϑ,δ) istnieje dokªadnie jedno u ∈ H2µ(Θϑ,δ) b¦d¡ce rozwi¡zaniem zagad-

nienia (Eδ). Ponadto istnieje staªa c = c(µ, ϑ) taka, »e zachodzi oszacowanie ‖u‖H2µ(Θϑ,δ) ≤

c‖f‖L2,µ(Θϑ,δ).

Twierdzenie to wynika z wniosku 7.2.1 (str. 116). Natomiast je»eli chodzi o zagadnienieparaboliczne (P), to wyka»emy nast¦puj¡ce twierdzenie.

2Oznaczenia wprowadzono na stronie 13.

112

Twierdzenie 7.1.3. Zaªó»my, »e ϑ ∈ (0, 2π), ν > 0 i µ 6= 1 − π kϑdla k = 1, 2, . . . , i

T > 0. Je»eli µ ∈ (1 − πϑ, 1 + π

ϑ), to dla ka»dego f ∈ L2,µ(Θ

Tϑ,1) istnieje dokªadnie jedno

u ∈H

2,1µ (ΘT

ϑ,1), b¦d¡ce rozwi¡zaniem zagadnienia (P), które speªnia oszacowanie

‖u‖H2,1µ (ΘT

ϑ,1) ≤ c‖f‖L2,µ(ΘTϑ,1), (7.1.5)

gdzie staªa c zale»y jedynie od µ i ϑ.Natomiast je»eli µ < 1 + π

ϑ, to zachodzi oszacowanie a priori

‖u‖H2,1µ (Θ∞

ϑ,1) ≤ c‖ut − ν∆u‖L2,µ(Θ∞ϑ,1) dla u ∈

H

2,1µ (Θ∞

ϑ,1), (7.1.6)

gdzie c = c(µ, ν, ϑ).

Oczywi±cie w caªym rozdziale zakªadamy, »e ϑ ∈ (0, 2π).

7.2 Zagadnienie eliptyczne (E)Rozpocznijmy od nast¦puj¡cego stwierdzenia.

Stwierdzenie 7.2.1. Zaªó»my, »e u ∈D(

•Θϑ). Wtedy ‖D2u‖L2(Θϑ) = ‖∆u‖L2(Θϑ).

Dowód. Zaªó»my, »e u ∈D(

•Θϑ). Oczywi±cie wystarczy wykaza¢, »e zachodz¡ równo±ci∫

Θϑ

uxxuyy dxdydz =

∫Θϑ

|uxy|2 dxdydz,∫Θϑ

ussuzz dxdydz =

∫Θϑ

|usz|2 dxdydz, (7.2.1)

gdzie s = x lub s = y. Zacznijmy od wykazania pierwszej z równo±ci (7.2.1). Caªkuj¡cdwukrotnie przez cz¦±ci otrzymujemy∫

Θϑ

uxxuyy dxdydz =

∫Θϑ

|uxy|2 dxdydz −1∑

k=0

∫Γϑ,k

ux∂τ1uy dσ,

gdzie przyjmuj¡c, »e n = (nx, ny, nz) jest wektorem zewn¦trznym normalnym do brzegu,oznaczyli±my przez τ1 wektor styczny równy (−ny, nx, 0), a wyra»enie ∂τ1uy oznaczapochodn¡ uy w kierunku wektora τ1. Funcja u znika na Γϑ,k, a τ1 jest wektorem stycznymdo Γϑ,k, wi¦c ∂τ1u = 0 na Γϑ,k, tzn. −nyux + nxuy = 0 na Γϑ,k. Je»eli nx = 0 na Γϑ,k,to ux = 0 na Γϑ,k i caªka po Γϑ,k znika. Je»eli nx 6= 0 na Γϑ,k, to uy = ny

nxux na Γϑ,k, wi¦c∫

Γϑ,k

ux∂τ1uy dσ = 12

ny

nx

∫Γϑ,k

∂τ1u2x dσ = 0, poniewa» suppu jest zwartym podzbiorem

•Θϑ. Za-

tem dostali±my pierwsz¡ z równo±ci w (7.2.1). By otrzyma¢ drug¡, scaªkujmy dwukrotnieprzez cz¦±ci i dostajemy∫

Θϑ

ussuzz dxdydz =

∫Θϑ

|usz|2 dxdydz −1∑

k=0

∫Γϑ,k

uz · usz · ns − uz · uss · nz dσ.

Funkcja u znika na Γϑ,k i (0, 0, 1) jest wektorem stycznym do Γϑ,k, wi¦c uz = 0 na Γϑ,k.Zatem caªki po Γϑ,k s¡ równe zero i tym samym dowód jest zako«czony.

113

Podobnie otrzymujemy nast¦puj¡ce stwierdzenie.

Stwierdzenie 7.2.2. Zaªó»my, »e u ∈D(

•θϑ). Wtedy ‖D2u‖L2(θϑ) = ‖∆u‖L2(θϑ).

Korzystaj¡c z funkcji wycinaj¡cych i wªasno±ci splotu otrzymujemy stwierdzenie.

Stwierdzenie 7.2.3. Zaªó»my, »e µ ∈ R. Wtedy zbiórD(

•θϑ) jest g¦sty w

H2µ(θϑ) i

E2µ(θϑ),

a zbiórD(

•Θϑ) jest g¦sty w

H2µ(Θϑ).

Lemat 7.2.1. Zaªó»my,»e µ ∈ R i U = θϑ, θϑ,1, Θϑ lub Θϑ,1. Wtedy istnieje staªa c = c(µ)

taka, »e dla u ∈H2loc(

•U) zachodzi oszacowanie

‖u‖H2µ(U) ≤ c‖∆u‖L2,µ(U) + ‖u‖L2,µ−2(U). (7.2.2)

Dowód. Wobec stwierdzenia 7.2.3 wystarczy wykaza¢ tez¦ na podzbiorze g¦stym. Ograniczmysi¦ jedynie do wykazania przypadku U = Θϑ, gdy» w przypadku U = θϑ post¦pujemyanalogicznie, natomiast dla ograniczonych zbiorów θϑ,1 i Θϑ,1 powtarzamy rozumowaniez dowodu stwierdzenia 4.4.3 (str. 43). Zaªó»my zatem, »e u ∈

D(

•Θϑ). Wtedy korzystaj¡c

ze stwierdzenia 7.2.1 i nierówno±ci Hardy'ego (3.1.1)3 otrzymujemy

‖ψ‖H2µ(Sϑ

n) ≤ c‖∆ψ‖L2,µ(Sϑn) dla ψ ∈

D(Sϑn), n ∈ Z, (7.2.3)

gdzie c = c(µ), Sϑn = Θϑ∩Sn, a zbiory Sn zostaªy okre±lone w (2.1.6), (str. 12). Korzystaj¡cz (7.2.3) dla un = ηnu ∈

D(Sϑn) dostajemy ‖un‖2

H2µ(Θϑ) ≤ c‖∆u‖2

L2,µ(Sϑn)

+ ‖u‖2H1

µ−1(Sϑn),

gdzie c = c(µ). Dodaj¡c te nierówno±ci dla n ∈ Z, korzystaj¡c z wªasno±ci (2.1.6) i zestwierdzenia 3.1.5 (str. 19) i otrzymujemy

‖u‖H2µ(Θϑ) ≤ c(µ)‖∆u‖L2,µ(Θϑ) + ‖u‖H1

µ−1(Θϑ). (7.2.4)

Z drugiej strony, caªkowanie przez cz¦±ci daje nam ‖∇u‖2L2,µ−1(Θϑ) ≤ ‖∆u‖2

L2,µ(Θϑ) +(4|µ−

1|2 + 1)‖u‖2L2,µ−2(Θϑ). Zatem z (7.2.4) otrzymujemy (7.2.2) dla u ∈

D(

•Θϑ).

7.2.1 Istnienie rozwi¡za«Teraz korzystaj¡c z twierdzenia Laxa-Milgrama otrzymamy istnienie rozwi¡za« zagad-nienia (E).

Twierdzenie 7.2.1. Zaªó»my, »e µ ∈ (1 − πϑ, 1 + π

ϑ). Wtedy dla ka»dego f ∈ L2,µ(Θϑ)

istnieje dokªadnie jedno u ∈ H2µ(Θϑ) b¦d¡ce rozwi¡zaniem zagadnienia (E) i zachodzi

oszacowanie‖u‖H2

µ(Θϑ) ≤ c‖f‖L2,µ(Θϑ), (7.2.5)gdzie staªa c zale»y jedynie od ϑ i µ.

3W przypadku µ = 0 i µ = 1 nie mo»emy bezpo±rednio zastosowa¢ nierówno±ci Hardy'ego, wi¦c modykujemypot¦g¦, podobnie jak w dowodzie stwierdzenia 3.2.4 (str. 23) i korzystamy z tego, »e suppψ ⊆ Sϑ

n .

114

Dowód. Wprowad¹my oznaczenia H :=H1µ−1(Θϑ), L := L2,µ(Θϑ) i niech B[·, ·] b¦dzie

form¡ dwuliniow¡ okre±lon¡ na H formuª¡

B[u, φ] =

∫Θϑ

∇u · ∇φ · r2µ−2 dx+ (2µ− 2)

∫Θϑ

∇u · ∇r · φr2µ−3 dx.

Wtedy B[·, ·] jest ci¡gªa na H. Poka»emy, »e przy zaªo»eniu |µ − 1| < πϑforma ta jest

eliptyczna na H. Istotnie, zauwa»my wpierw, »e mamy

B[u, u] = ‖∇u‖2L2,µ−1(Θϑ) − 2|µ− 1|2‖u‖2

L2µ−2(Θϑ).

Z nierówno±ci Hardy'ego (3.1.1) dostajemy∥∥∥∂u∂r

∥∥∥2

L2,µ−1(Θϑ)− |µ− 1|2‖u‖2

L2,µ−2(Θϑ) ≥ 0,

wi¦c oznaczaj¡c przez γ wielko±¢ 2( ϑπ

)2|µ−1|2

1+( ϑπ

)2|µ−1|2 mo»emy napisa¢

∥∥∥∂u∂r

∥∥∥2

L2,µ−1(Θϑ)− γ|µ− 1|2‖u‖2

L2,µ−2(Θϑ) ≥ (1− γ)∥∥∥∂u∂r

∥∥∥2

L2,µ−1(Θϑ)(7.2.6)

Z drugiej strony, uwzgl¦dniaj¡c znikanie u na brzegu, wobec nierówno±ci Poincare'godostajemy ‖u‖L2,µ−2(Θϑ) ≤ ϑ

π‖ ∂u∂ϕ‖L2,µ−2(Θϑ), czyli∥∥∥∂u

∂ϕ

∥∥∥2

L2,µ−2(Θϑ)− (2− γ)|µ− 1|2‖u‖2

L2,µ−2(Θϑ) ≥ (1− γ)∥∥∥∂u∂ϕ

∥∥∥2

L2,µ−2(Θϑ). (7.2.7)

Zatem dodaj¡c stronami nierówno±ci (7.2.6) i (7.2.7) dostajemyB[u, u] ≥ (1−γ)‖∇u‖2L2,µ−1(Θϑ),

gdzie na mocy zaªo»enia mamy 1− γ > 0. Korzystaj¡c ponownie z nierówno±ci Poincare inierówno±ci Hardy'ego otrzymujemy B[u, u] ≥ c‖u‖2

H1µ−1(Θϑ)

dla pewnej staªej c = c(ϑ, µ).Zatem B[·, ·] jest ci¡gª¡ i eliptyczn¡ forma dwuliniow¡ na H. Teraz zaªó»my, »e f nale»ydo L2,µ(Θϑ). Wtedy przyporz¡dkowanie

φ 7−→∫Θϑ

fφr2µ−2 dx

jest ci¡gªe naH. Zatem z twierdzenia Laxa-Milgrama otrzymujemy jednoznacznie okre±loneu ∈ H speªniaj¡ce to»samo±¢ caªkow¡

B[u, φ] =

∫Θϑ

fφr2µ−2 dx ∀φ ∈ H, ‖u‖H ≤ c‖f‖L, (7.2.8)

gdzie staªa c zale»y jedynie od ϑ i µ. Podstawiaj¡c stosowne φ w (7.2.8) i korzystaj¡c zregularno±ci sªabych rozwi¡za« równania Poissona wnioskujemy, »e u ∈

H2loc(

•Θϑ) i −∆u =

f w Θϑ. Zatem lemat 7.2.1 i oszacowanie w (7.2.8) daj¡ nierówno±¢ (7.2.5), czyli u ∈H2µ(Θϑ) i u jest rozwi¡zaniem zagadnienia (E).

115

Wniosek 7.2.1. Zauwa»my, i» rozumowanie przedstawione w powy»szym dowodzie przenosisi¦, bez istotnych zmian, na przypadek zagadnienia (E1). Wtedy dostajemy nast¦puj¡cestwierdzenie: je»eli µ ∈ (1− π

ϑ, 1 + π

ϑ), to dla dowolnego f ∈ L2,µ(Θϑ,1) istnieje dokªadnie

jedno u ∈ H2µ(Θϑ,1) b¦d¡ce rozwi¡zaniem zagadnienia (E1) i zachodzi oszacowanie

‖u‖H2µ(Θϑ,1) ≤ c‖f‖L2,µ(Θϑ,1), (7.2.9)

gdzie staªa c zale»y jedynie od ϑ i µ. Natomiast je»eli δ > 0, to poprzez odpowied-nie skalowanie zagadnienia w (E1) (post¦pujemy tak, jak w dowodzie stwierdzenia 5.5.4(str. 83)) dostajemy analogiczny wynik dla zagadnienia (Eδ), czyli mamy tez¦ twierdzenia 7.1.2.

7.2.2 Oszacowania a prioriPrzypomnijmy wpierw dobrze znane twierdzenie dotycz¡ce zagadnienia w k¡cie θϑ (twierdze-nie 1.2.1 [7]).Twierdzenie 7.2.2. Zaªó»my, »e µ 6= 1 + π k

ϑdla k ∈ Z \ 0. Wtedy dla ka»dego f ∈

L2,µ(θϑ) istnieje dokªadnie jedno u ∈H2µ(θϑ) takie, »e −∆u = f w θϑ. Ponadto zachodzi

oszacownie‖u‖H2

µ(θϑ) ≤ c‖f‖L2,µ(θϑ), (7.2.10)gdzie staªa c zalezy jedynie od µ i ϑ.

W tym rozdziale wyka»emy oszacowania a priori dla rozwi¡za« równania Poissona w k¡ciedwu±ciennym Θϑ:Twierdzenie 7.2.3. Zaªó»my, »e µ < 1 + π

ϑi µ 6= 1− π k

ϑdla k = 1, 2, ... . Wtedy istnieje

staªa c = c(µ, ϑ) taka, »e

‖u‖H2µ(Θϑ) ≤ c‖∆u‖L2,µ(Θϑ) dla u ∈

H2µ(Θϑ). (7.2.11)

Zaczniemy od uzasadnienia oszacowania dla rozwi¡za« pewnego problemu z parametremw k¡cie θϑ .Uwaga 7.2.1. W poni»szym lemacie, jak i w jego dowodzie wszystkie operatory rózniczkowesa zwi¡zane jedynie ze zmienn¡ x ∈ R2. Lemat ten pozwoli nam w dalszej cz¦±ci uzyska¢oszacowania dla rozwiaza« równania przewodnictwa ciepªa, natomiast oznaczenia zostaªywprowadzone na stronie 14.

Lemat 7.2.2. Zaªó»my, »e ν > 0, µ < 1 i µ 6= 1 − π kϑdla k = 1, 2, .... Przymijmy, »e

i = 1, 2 i v jest gªadk¡ funkcj¡ okre±lon¡ na θϑ × Qi i v(·, q) ∈D(

•θϑ) dla ka»dego

q ∈ Qi. Wtedy istnieje staªa c = c(µ, ν, ϑ) taka, »e je»eli

g(x, q) = −ν∆v(x, q) + sv(x, q), (7.2.12)

to zachodzi oszacowanie∑k+l≤2

∫Qi

|s|k‖D2−k−lv(·, q)‖2L2,µ−l(θϑ)dq ≤ c

∫Qi

‖g(·, q)‖2L2,µ(θϑ)dq. (7.2.13)

116

Dowód. Tutaj powtarzamy dowód lematu 5.1.1 (str. 56) przy µ < 0 i dowód lematu 5.1.3(str. 64) przy µ ∈ [0, 1), gdzie zagadnienie w R2 zast¦pujemy problemem k¡cie θϑ zjednorodnym warunkiem brzegowym typu Dirchleta, a nierówno±¢ (4.2.1) zast¦pujemynierówno±ci¡ (7.2.10).

Dowód twierdzenia 7.2.3. Wprzypadku µ ≥ 1 nierówno±¢ (7.2.11) wynika z twierdzenia 7.2.1.Zatem winni±my rozwa»a¢ jedynie przypadek µ < 1. Na mocy stwierdzenia 7.2.3 (str. 114)wystarczy wykaza¢ oszacowanie

‖u‖H2µ(Θϑ) ≤ c‖∆u‖L2,µ(Θϑ) for u ∈

D(

•Θϑ) (7.2.14)

dla pewnej staªej c = c(µ, ϑ). Zatem zaªó»my, »e u ∈D(

•Θϑ) i oznaczmy przez v(x, q)

cz¦±ciow¡ transformat¦ Fouriera funkcji u(x, z) wzgl¦dem zmiennej z, tzn. v(x, q) =

1√2π

∞∫−∞

u(x, z)e−izqdz. Poªó»my f = −∆u i g(x, q) = 1√2π

∞∫−∞

f(x, z)e−izqdz.Wtedy funkcje

v i g speªniaj¡ zaªo»enia lematu 7.2.2 dla i = 1. Zatem dostajemy (7.2.13) i korzystaj¡c zto»samo±ci Parsevala otrzymujemy (7.2.14).

7.2.3 Zwi¡zki pomi¦dzy operatorami Aµ,ϑ i Bµ,ϑDowód poni»szego stwierdzenia jest oparty na dowodzie lematu 8.2.4 [26] i jest powtórze-niem rozumowania prowadz¡cego do wniosku 3.2.1 (str. 22). Natomiast funkcje ηn okre±lonow (2.1.3) (str. 12).

Stwierdzenie 7.2.4. Zaªó»my, »e µ jest rzeczywiste. Wtedy istnieje staªa c = c(µ) taka,

»e dla u ∈C∞(

•θϑ) i n ∈ N zachodzi oszacowanie

‖ηnu‖2E2

µ(θϑ) ≤ c‖ηn(∆− 1)u‖2

L2,µ(θϑ) + ‖χnu‖2E1

µ−1(θϑ)

. (7.2.15)

Przypomnijmy, »e funkcje η∞, χ∞ okre±lono w (2.1.11) i (2.1.12) (str. 12). Post¦puj¡canalogicznie jak w dowodzie wniosku 3.2.2 (str. 22), z powy»szego, dostajemy nast¦puj¡cywniosek.4

Wniosek 7.2.2. Zaªó»my, »e µ < β i v ∈C∞(

•θϑ) speªnia równanie (∆− 1)v = 0 w θϑ i

χ∞v ∈ E1µ(θϑ). Wtedy η∞v ∈ E2

β(θϑ).

Zaªó»my, »e x ∈ θϑ, z ∈ R i u = u(x, z) nale»y do D(•Θϑ). Poªó»my

w(η, ξ) := u(η

|ξ|, ξ) η ∈ θϑ, ξ ∈

•R, (7.2.16)

gdzie u(x, ξ) := Fz 7→ξ[u(x, z)](ξ) oznacza cz¦±ciow¡ transformat¦ Fouriera wzgl¦dem zmi-ennej z. Wtedy, rachuj¡c analogicznie jak w dowodzie stwierdzenia 5.3.1, (str. 68), mamy5

4Por. ze stwierdzeniem 8.2.6 [26].5Por. z lematem 8.1.2 [26].

117

Stwierdzenie 7.2.5. Je»eli u ∈ D(•Θϑ) i w jest okre±lone formuª¡ (7.2.16), to

√2

2‖u‖H2

µ(Θϑ) ≤

∫R

|ξ|2(1−µ) ‖w(·, ξ)‖2E2

µ(θϑ) dξ

12

≤ ‖u‖H2µ(Θϑ) . (7.2.17)

Uwaga 7.2.2. Formula (7.2.16) okre±la liniowy operator z D(•Θϑ) w L2,1−µ(

•R;E2

µ(θϑ)),który jest ci¡gªy w normie H2

µ(Θϑ). Zatem mo»e on by¢ rozszerzony na caª¡ przestrze«

H2µ(Θϑ) przy zachowaniu nierówno±ci (7.2.17). Ponadto, je»eli u ∈

H2µ(Θϑ), to w(·, ξ) ∈

E2µ(θϑ) dla p.w. ξ ∈

•R.

Stwierdzenie 7.2.6. Zaªó»my, »e µ < 1+ πϑi µ 6= 1−π k

ϑdla k = 1, 2, . . . . Wtedy istnieje

staªa c = c(µ, ϑ) taka, »e

‖v‖E2µ(θϑ) ≤ c ‖(∆− 1)v‖L2,µ(θϑ) dla v ∈

E2µ(θϑ). (7.2.18)

Dowód. Wobec g¦sto±ciD(

•θϑ) w

E2µ(θϑ) wystarczy pokaza¢ (7.2.18) dla v ∈

D(

•θϑ). Niech

χ = χ(t) 6≡ 0 b¦dzie gªadk¡ funkcj¡ wycinaj¡c¡ o ograniczonym no±niku i tak¡, »e∫R|χ(t)|2dt = 1. Poªó»my6

uN(x, z) := N− 12 exp(iz)χ(zN−1)v(x), N ∈ N.

Jest jasne, »e uN nale»¡ doH2µ(Θϑ), zatem z twierdzenia 7.2.3 otrzymujemy nierówno±¢

‖uN‖H2µ(Θϑ) ≤ c‖∆uN‖L2,µ(Θϑ)

dla pewnej staªej c = c(µ, ϑ). Wtedy przechodz¡c do granicy N →∞ dostajemy (7.2.18)dla v ∈

D(

•θϑ) z t¡ sam¡ staª¡ c.

Powtarzaj¡c rozumowanie z dowodu stwierdzenia 5.3.3 (str. 69) otrzymujemy stwierdze-nie:

Stwierdzenie 7.2.7. Zaªó»my, »e µ < 1+ πϑi µ 6= 1−π k

ϑdla k = 1, 2, . . . . Je»eli operator

Aµ,ϑ jest na, to operator Bµ,ϑ te» jest na.

7.2.4 WnioskiNa pocz¡tek przypomnijmy stwierdzenie 8.2.7 z [26]:

Stwierdzenie 7.2.8. Zaªó»my, »e µ, γ ∈ R i »adna z liczb postaci 1+π kϑdla k ∈ Z \ 0

nie le»y mi¦dzy µ i γ. Wtedy je»eli Aµ,ϑ jest izomormem, to Aγ,ϑ te» jest izomorzmem.

6Korzystamy tutaj z ideii zawartych z dowodzie twierdzenia 8.2.1 [26].

118

Zamiast stwierdzenia 8.2.9 [26] w dalszej cz¦±ci skorzystamy z nast¦puj¡cego twierdzenia.

Twierdzenie 7.2.4. Zaªó»my, »e k ∈ N \ 0 i µ, β speªniaj¡ nierówno±ci

1− πk + 1

ϑ< µ < 1− π

k

ϑ< β. (7.2.19)

Je»eli operator Aµ,ϑ jest na, to operator Aβ,ϑ nie jest ró»nowarto±ciowy.

Dowód. Przypadek 1 + k πϑ

+µ > 0. Dla x ∈•θϑ poªó»my ςk(x) := rπ

kϑ sin π k

ϑϕ, gdzie (r, ϕ)

s¡ wspóªrz¦nymi biegunowymi w R2. Zaªó»my, »e η = η(r) jest gªadk¡ funkcj¡ wycinaj¡c¡,która jest równa 1 na kuli jednostkowej B1 i supp η ⊆ B2. Wtedy (∆ − 1)(ηςk) nale»ydo L2,µ(θϑ), bo 1 + k π

ϑ+ µ > 0. Z zaªo»enia Aµ,ϑ jest na, zatem ze stwierdzenia 7.2.7

wnioskujemy, »e Bµ,ϑ jest równie» na. Zatem istnieje w ∈E2µ(θϑ) takie, »e (∆ − 1)w =

(∆− 1)(ηςk) w θϑ. Poªó»myv := w − ηςk. (7.2.20)

Wpierw odnotujmy, »e v 6≡ 0. Istotnie, w przeciwnym przypadku mieliby±my ηςk = w ∈E2µ(θϑ), a wtedy, w szczególno±ci, ηςk ∈ L2,µ−2(θϑ), co jest niemo»liwe, bo µ < 1 − π k

ϑ.

Teraz uzasadnimy, »e v nale»y doE2β(θϑ). Wpierw napiszmy7 v = (1− η∞)v+ η∞v. Wtedy

dla pewnej staªej c mamy ‖(1− η∞)v‖E2β(θϑ) ≤ c

2∑l=0

∥∥Dlv∥∥L2,β−2+l(θϑ∩B23/2 )

. Z okre±lenia vmamy∥∥Dlv

∥∥L2,β−2+l(θϑ∩B23/2 )

≤∥∥Dlw

∥∥L2,β−2+l(θϑ∩B23/2 )

+∥∥Dl(ηςk)

∥∥L2,β−2+l(θϑ∩B23/2 )

.

Wobec (7.2.19) dostajemy µ < β, zatem dla l = 0, 1, 2 otrzymujemy∥∥Dlw∥∥L2,β−2+l(θϑ∩B23/2 )

≤ 232(β−µ)

∥∥Dlw∥∥L2,µ−2+l(θϑ∩B23/2 )

<∞,

poniewa» w ∈ E2µ(θϑ). Z zaªo»enia 1−π k

ϑ< β, wi¦c bezpo±rednim rachunkiem sprawdzamy,

»e∥∥Dl(ηςk)

∥∥L2,β−2+l(θϑ∩B23/2 )

<∞ . Zatem (1− η∞)v nale»y do E2β(θϑ). Natomiast przy-

nale»no±¢ η∞v do E2β(θϑ) jest konsekwencj¡ wniosku 7.2.2. St¡d mamy v ∈ E2

β(θϑ). Funkcjew i ηςk znikaj¡ na brzegu θϑ, zatem v jest nietrywialnym elementem

E2β(θϑ), który speªnia

równanie(∆− 1)v = 0 w θϑ. (7.2.21)

Odnotujmy, »e v jest funkcj¡ gªadk¡ w•θϑ. Poªó»my8

u(x, z) = F−1ξ 7→z[|ξ|

β−1(1 + |ξ|)−1v(|ξ|x)](z) dla x ∈•θϑ, z ∈ R. (7.2.22)

7Funkcja η∞ zostaªa okre±lona w (2.1.11) str. 12.8Formuªa ta jest dobrze okre±lona dla v ∈

D(

•θϑ) i post¦puj¡c podobnie jak w dowodzie stwierdzenia 7.2.5

uzyskujemy nierówno±ci ‖v‖E2β(θϑ) ≤ 2‖u‖H2

β(Θϑ) ≤ 2

√2‖v‖E2

β(θϑ). Ponadto, u = 0 na Γϑ,k, poniewa» v = 0 na

γk. Zatem formuªa (7.2.22) rozszerza si¦ na wszystkie v ∈E2

β(θϑ) i st¡d funkcja u okre±lona w (7.2.22) nale»y doH2

β(Θϑ).

119

Wtedy 0 6≡ u ∈H2β(Θϑ). Mno»¡c strony (7.2.21) przez |ξ|β+1(1+|ξ|)−1 dostajemy (|ξ|2∆η−

|ξ|2)[|ξ|β−1(1 + |ξ|)−1v(η)

]= 0 dla (η, ξ) ∈ θϑ×R. Podstawiaj¡c x := |ξ|−1η otrzymujemy

(∆x − |ξ|2)[|ξ|β−1(1 + |ξ|)−1v(|ξ|x)

]= 0 dla (x, ξ) ∈ θϑ × R. Wtedy mamy

(∆x − |ξ|2)u(x, ξ) = 0 dla x ∈ θϑ, ξ ∈•R, (7.2.23)

gdzie symbol oznacza cz¦±ciow¡ transformat¦ Fouriera funkcji wzgl¦dem zmiennej z.Wiemy ju», »e u nale»y do

H2β(Θϑ), zatem ∆u ∈ L2,β(Θϑ), wi¦c korzystaj¡c z nierówno±ci

Parsevala i (7.2.23) dostajemy ∆u = 0 w Θϑ, tzn. kerAβ,ϑ 6= 0.Przypadek 1 + k π

ϑ+ µ ≤ 0. Wybierzmy γ takie, »e 0 < 1 + k π

ϑ+ γ < 2. Wtedy z

zaªo»enia o Aµ,ϑ, twierdzenia 7.2.3 i stwierdzenia 7.2.8 wnioskujemy, »e Aγ,ϑ jest na.Zatem z poprzedniego przypadku otrzmujemy kerAβ,ϑ 6= 0.

Twierdzenie 7.2.5. Zaªó»my, »e µ ∈ R i l ∈ N. Wtedy istnieje staªa c = c(µ, l) taka,»e je»eli u ∈ L2,µ(Θϑ) jest harmoniczne w Θϑ i u = 0 na Γϑ,k dla k = 0, 1, to zachodzinierówno±¢ ∥∥Dlu

∥∥L2,µ+l(Θϑ)

≤ c ‖u‖L2,µ(Θϑ) . (7.2.24)

W szczególno±ci, je»eli u ∈ L2,µ−2(Θϑ) jest harmoniczne w Θϑ i u = 0 na Γϑ,k dla k = 0, 1,

to u ∈H2µ(Θϑ).

Przypomnijmy, »e dla ka»dego δ > 0 ±lad u ∈ L2,µ(Θϑ) na Γϑ,k \ x : r > δ jest ci¡gªymfunkcjonaªem na H 1

2 (Γϑ,k \ x : r > δ), tj. przestrzeni skªadaj¡cej si¦ z tych funkcji,które po przedªu»eniu zerem poza zbiór Γϑ,k \ x : r > δ nale»¡ do H 1

2 (R2). Dowódpowy»szego twierdzenia jest oparty na idei pochodz¡cej z dowodu stwierdzenia 1 [12].

Dowód. Wprowad¹my nast¦puj¡ce oznaczenia

δ = minϑ

4,π

2− ϑ

4

, Uϑ = x ∈ R3 : −δ < ϕ < ϑ+ δ, r ∈ (0,∞), z ∈ R, (7.2.25)

U±ϑ = x ∈ R3 :−δ ± δ

2< ϕ < ϑ+

δ ± δ

2, r ∈ (0,∞), z ∈ R,

gdzie (r, ϕ, z) s¡ wspóªrz¦dnymi walcowymi w R3. Niech u b¦dzie rozszerzeniem u okre±lonymw U−ϑ (U+

ϑ odp.) poprzez nieparzyste odbicie u wzgl¦dem Γϑ,0 (Γϑ,1 odp.). Wtedy mamyu∣∣Θϑ

≡ u, ‖u‖L2,µ(Uϑ) ≤ 3‖u‖L2,µ(Θϑ), u jest harmoniczne w Uϑ. (7.2.26)

Zauwa»my, »e wobec (7.2.26) wystarczy pokaza¢, »e dla pewnej staªej c = c(µ, l) zachodzinierówno±¢

‖Dlu‖L2,µ+l(Θϑ) ≤ c‖u‖L2,µ(Uϑ). (7.2.27)W tym celu zdeniujemy stosowne rodziny kul. Dla n ∈ Z kªadziemy rn :=

(38

)n, Rn :=sin δ

2rn. Niech K ∈ N speªnia warunek K ≥ ϑ

arc tg sin δ2

. Dla n, k ∈ Z, i ∈ I := 0, 1, ..., Kokre±lamy, we wspóªrz¦dnych walcowych, punkty Pn,i,k = (rn,

ϑKi, sin δ

2krn). Niech B1

n,i,k

(B2n,i,k odp.) oznaczaj¡ kule o ±rodku w punkcie Pn,i,k i promieniu Rn (2Rn odp.). Wtedy

rodziny kulB1n,i,k

n,k∈Z,i∈I i

B2n,i,k

n,k∈Z,i∈I maj¡ nast¦puj¡ce wªasno±ci

Θϑ ⊆⋃n,k∈Z

⋃i∈I

B1n,i,k ⊆

⋃n,k∈Z

⋃i∈I

B2n,i,k ⊆ Uϑ, (7.2.28)

120

diamB1n,i,k = c(δ) dist(B1

n,i,k, x : r = 0), (7.2.29)

rz¡d pokrycia Θϑ ⊆⋃n,k∈Z

⋃i∈I

B2n,i,k jest sko«czony, (7.2.30)

tzn. istnieje staªa N0 taka, »e dowolne przeci¦cie N0 +1 zbiorów z rodzinyB2n,i,k

n,k∈Z,i∈I

jest puste. Funkcja u jest harmoniczna na ka»dej kuliB2n,i,k, wi¦c korzystaj¡c z twierdzenia 8.2

[2] otrzymujemy uniwersaln¡ staª¡ c0 = c0(l) tak¡, »e

supB1

n,i,k

|Dlu| ≤ c0R−l− 3

2n ‖u‖L2(B2

n,i,k) . (7.2.31)

Zatem korzystaj¡c z nierówno±ci Höldera i nierówno±ci (7.2.31) mamy∥∥Dlu∥∥L2,µ+l(B

1n,i,k)

≤ |B1n,i,k|1/2 · sup

B1n,i,k

rµ+l · supB1

n,i,k

|Dlu|2

≤ (4/3π)1/2c0R−ln · sup

B1n,i,k

rµ+l · ‖u‖L2(B2n,i,k)

≤ (4/3π)1/2c0R−ln · sup

B1n,i,k

rµ+l · supB2

n,i,k

r−µ · ‖u‖L2,µ(B2n,i,k)

Uwzgl¦dniaj¡c (7.2.29), bezpo±rednim rachunkiem sprawdzamy, »e dla dowolnych n, k, izachodzi oszacowanie

R−ln supB1

n,i,k

rµ+l · supB2

n,i,k

r−µ ≤ c,

gdzie staªa c zale»y jedynie od µ i l. Zatem dostajemy∥∥Dlu∥∥L2,µ+l(B

1n,i,k)

≤ c(µ, l)‖u‖L2,µ(B2n,i,k) dla n, k ∈ Z, i ∈ I.

Przeto sumuj¡c powy»sze nierówno±ci po n, k ∈ Z, i ∈ I, po uwzgl¦dnieniu (7.2.28) i(7.2.30) otrzymujemy (7.2.27).

Przypomnijmy, i» µ′ zostaªo okre±lone jako 2− µ. Wtedy prawdziwe jest twierdzenie.Twierdzenie 7.2.6. Zaªó»my, »e µ ∈ R. Wtedy przeksztaªcenie w 7→ w · r−2µ′ jest izom-etrycznym izomorzmem z Kµ,ϑ na Nµ′,ϑ. W szczególno±ci, dimKµ,ϑ = dimNµ′,ϑ.

Dowód. Zauwa»my wpierw, »e tak zdeniowane przyporz¡dkowanie jest izometri¡ z L2,µ−2(Θϑ)na L2,µ′(Θϑ). Istotnie, jako »e µ′ = 2− µ, to mamy

‖w‖L2,µ−2(Θϑ) = ‖w · r−µ′‖L2(Θϑ) = ‖w · r−2µ′‖L2,µ′ (Θϑ).

Teraz zaªó»my, »e w ∈ Kµ,ϑ, czyli w ∈H2µ(Θϑ) i ∆w = 0 w Θϑ. Poka»emy, »e w′ = w ·r−2µ

nale»y do Nµ′,ϑ. Otó», dla dowolnego u ∈D(

•Θϑ) mamy w ∈ H2(suppu), wi¦c korzystaj¡c

ze wzoru Greena dla funkcji u i w dostajemy∫Θϑ

w ·∆u dx−∫Θϑ

∆w · u dx =1∑

k=0

∫Γϑ,k

w∂u

∂ndσ −

∫Γϑ,k

∂w

∂nu dσ.

121

Funkcja w jest harmoniczna w Θϑ, natomiast w i u znikaj¡ na Γϑ,k, st¡d

0 =

∫Θϑ

w ·∆u dx =

∫Θϑ

w′ ·∆u · r2µ′ dx.

Funkcja w′ nale»y do L2,µ′(Θϑ), a zbiórD(

•Θϑ) jest g¦sty w

H2µ′(Θϑ), zatem dostajemy∫

Θϑ

w′ ·∆u · r2µ′ dx = 0 dla u ∈H2µ′(Θϑ), (7.2.32)

co na mocy denicji oznacza, »e w′ ∈ Nµ′,ϑ. Teraz wyka»emy implikacj¦ w drug¡ stron¦.Zaªó»my wi¦c, »e w′ ∈ Nµ′,ϑ, czyli zachodzi (7.2.32). Wtedy w = w′ ·r2µ′ ∈ L2,µ−2(Θϑ) jestharmoniczne w Θϑ, bo D(Θϑ) ⊆

H2µ′(Θϑ). W dalszej cz¦±ci chcemy zastosowa¢ twierdze-

nie 7.2.5, wi¦c musimy pokaza¢, »e w znika na brzegu. W tym celu, dla k = 0, 1 we¹mydowolne funkcje gªadkie ϕk okre±lone na Γϑ,k i takie, »e suppϕk jest zwartym podzbioremΓϑ,k. Z twierdzenia o ±ladzie wnioskujemy, »e istnieje u ∈ H2(Θϑ) takie, »e u|Γϑ,k

= 0,∂u∂n |Γϑ,k

= ϕk, k = 0, 1. Ponadto, mo»emy zaªo»y¢,9 »e suppu ⊆ K ⊆•Θϑ, gdzie K jest

zwartym podzbiorem•Θϑ, ∂K jest gªadki i u = 0 i ∂u

∂n= 0 na ∂K \ (Γϑ,0∪Γϑ,1). Wtedy10

w ∈ D(∆, L2(K)) i u ∈ H2(K), zatem zachodzi wzór Greena ([21])∫K

w ·∆u dx−∫K

∆w · u dx = 〈w, ∂u∂n〉L2(∂K) − 〈

∂w

∂n, u〉L2(∂K). (7.2.33)

Przypomnijmy, i» funkcja w ma dobrze okre±lone ±lady na brzegu w|∂K i ∂w∂n |∂K , które

s¡ ci¡gªymi funkcjonaªami11 na H 12 (∂K) i H 3

2 (∂K). Zauwa»my, »e u ∈H2µ(Θϑ), wi¦c z

(7.2.32) mamy∫K

w ·∆u dx =∫

Θϑ

w ·∆u dx = 0. Zatem (7.2.33) redukuje si¦ do równo±ci

0 =1∑

k=0

〈w,ϕk〉L2(Γϑ,k). Wobec dowolno±ci funkcji ϕk wnioskujemy, »e w|Γϑ,k= 0 dla k =

0, 1, czyli w speªnia zaªo»enia twierdzenia 7.2.5, wi¦c w ∈ H2µ(Θϑ). Uwzgl¦dniaj¡c to, i»

w jest harmoniczne w Θϑ i znika na brzegu, to wnioskujemy, »e w ∈ Kµ,ϑ.

Uwaga 7.2.3. Korzystaj¡c z powy»szego twierdzenia mo»emy poda¢ jeszcze inny dowód

twierdzenia 7.2.1. Mianowicie, zaªó»my wpierw, »e u ∈D(

•Θϑ). Wtedy korzystaj¡c z

nierówno±ci Poincare, po scaªkowaniu przez cz¦±ci mamy

‖u‖2L2,−1(Θϑ) ≤

(ϑ/π

)2‖∇u‖2L2,0(Θϑ) ≤ 1/2

(ϑ/π

)4‖∆u‖2L2,1(Θϑ) + 1/2‖u‖2

L2,−1(Θϑ).

Zatem wobec g¦sto±ciD(

•Θϑ) w

H2

1(Θϑ) i lematu 7.2.1 (str. 114) dostajemy oszacowanie

‖u‖H21 (Θϑ) ≤ c(µ, ϑ)‖∆u‖L2,1(Θϑ) dla u ∈

H2

1(Θϑ),

9Ewentualnie mno»ymy u przez stosown¡ funkcj¦ wycinaj¡c¡.10Oznaczenie to wprowadzono w (2.1.2) (str. 11).11Fakt ten wynika z g¦sto±ci zbioru C∞(K) w D(∆, L2(K)) ([21]) i wzoru Greena dla funkcji z H2.

122

czyli K1,ϑ = 0, a obraz operatora A1,ϑ jest domkni¦t¡ podprzestrzenia L2,1(Θϑ). Z drugiejstrony, korzystaj¡c z twierdzenia 7.2.6 mamy dimN1,ϑ = dimK1,ϑ, wi¦c N1,ϑ = 0.Zatem operator A1,ϑ jest izomorzmem, wi¦c korzystaj¡c ze stwierdzenia 7.2.8 (str. 118)wnioskujemy, i» Aµ,ϑ jest izomorzmem dla µ ∈ (1− π/ϑ, 1 + π/ϑ).

Dotychczasowe rozwa»ania prowadz¡ do nast¦puj¡cego twierdzenia.Twierdzenie 7.2.7. Zaªó»my, »e µ > 1 + π

ϑi µ 6= 1 + π k

ϑdla k = 1, 2, . . . . Wtedy

Kµ,ϑ 6= 0.

Dowód. Zaªó»my przeciwnie, tj. przyjmijmy, »e Kµ,ϑ = 0. Wtedy z twierdzenia 7.2.6(str. 121) dostajemy Nµ′,ϑ = 0, czyli obraz operatora Aµ′,ϑ jest g¦sty w L2,µ′(Θϑ).Zauwa»my, »e µ′ < 1 − π

ϑi µ′ 6= 1 − π k

ϑdla k = 1, 2, . . . . Zatem µ′ speªnia zaªó»enia

twierdzenia 7.2.3 (str. 116), wi¦c wnioskujemy, i» obraz operatora Aµ′,ϑ jest domkni¦t¡podprzestrzeni¡ L2,µ′(Θϑ). Przeto Aµ′,ϑ jest na L2,µ′(Θϑ). Korzystaj¡c z twierdzenia 7.2.4(str. 119) dla µ′ i β = 1 dochodzimy do wniosku, i» A1,ϑ nie jest ró»nowarto±ciowy, co jestsprzeczne z twierdzeniem 7.2.1 (str. 114).

Stwierdzenie 7.2.9. Zaªó»my, »e µ ∈ R i Kµ,ϑ 6= 0. Wtedy dimKµ,ϑ = ∞.

Dowód. Je»eli 0 6≡ v ∈ Kµ,ϑ, to funkcje vk(x, z) = v(x, z−k), k ∈ Z rozpinaj¡ niesko«cze-nie wymiarow¡ podprzestrze« Kµ,ϑ.

Z twierdze« 7.2.3, 7.2.6, 7.2.7 i powy»szego stwierdzenia otrzymujemy nast¦puj¡cy wniosek.Wniosek 7.2.3. Zaªó»my, »e µ 6= 1−π k

ϑdla k ∈ Z\0. Je»eli µ < 1− π

ϑ, to dimKµ,ϑ = 0

i dimNµ,ϑ = ∞. Je»eli µ > 1 + πϑ, to dimKµ,ϑ = ∞ i dimNµ,ϑ = 0.

7.3 Zagadnienie paraboliczne (P)Teraz wyka»emy istnienie rozwi¡za« zagadnienia parabolicznego (P). Wprowad¹my nast¦pu-j¡ce oznaczenia

Bµ,ϑ[u, φ] =

∫Θϑ,1

∇u·∇φ·r2µ−2 dx+(2µ−2)

∫Θϑ,1

∇u·∇r·φr2µ−3 dx, dla u, φ ∈H1µ−1(Θϑ,1),

Vµ = u ∈ L2(0, T :H1µ−1(Θϑ,1)) : ess sup

t∈[0,T ]

‖u‖L2,µ−1(Θϑ,1) <∞,

Pµ = ψ ∈ L2(0, T :H1µ−1(Θϑ,1)) :

d

dtψ ∈ L2(0, T ;L2,µ(Θϑ,1)), ψ(·, T ) = 0.

Z dowodu twierdzenia 7.1.2 wiemy, »e Bµ,ϑ[·, ·] jest ci¡gªa i eliptyczn¡ form¡ dwuliniow¡na

H1µ−1(Θϑ,1), o ile |µ− 1| < π

ϑ.

Denicja 7.3.1. Zaªó»my, »e µ ∈ R, T > 0 i f ∈ L2,µ(ΘTϑ,1). Wtedy powiemy, »e funkcja

u ∈ Vµ(ΘTϑ,1) jest sªabym rozwi¡zaniem zagadnienia (P), je»eli dla ka»dego ψ ∈ Pµ zachodzi

równo±¢

−T∫

0

∫Θϑ,1

uψtr2µ−2 dx dt+

T∫0

Bµ,ϑ[u, ψ] dt =

T∫0

∫Θϑ,1

fψr2µ−2 dx dt. (7.3.1)

123

Dowód twierdzenia 7.1.3. Wpierw uzasadnijmy, »e dla |µ − 1| < πϑ, przy dowolnym f ∈

L2,µ(ΘTϑ,1) istnieje sªabe rozwi¡zanie zagadnienia (P). W tym celu posªu»ymy si¦ metod¡

Galerkina. Stosown¡ baz¦ otrzymamy tak jak rozdziale 6.1 (str. 94), tzn. po zsymetry-zowaniu formy dwuliniowiej Bµ,ϑ[·, ·] dostajemy form¦ eliptyczn¡ Bµ,ϑ[·, ·], która denujezwarty i samosprz¦»ony operator w L2,µ−1(Θϑ,1), którego funkcje wªasne ϕnn∈N tworz¡baz¦ ortonormaln¡ w L2,µ−1(Θϑ,1), a ponadto ϕnn∈N ⊆

H1µ−1(Θϑ,1).

Rozwi¡zania zagadnienia przybli»onego (P) poszukujemy w postaci sko«czonej sumy

uN(x, t) =N∑n=1

cNn (t) · ϕn(x), gdzie cNn (t)Nn=1 jest rozwi¡zaniem odpowiedniego ukªadurówna« ró»niczkowych zwyczajnych. Nast¦pnie otrzymujemy oszacownanie dla ci¡gu roz-wi¡za« ‖uN‖Vµ(ΘT

ϑ,1) ≤ c(µ, ϑ)‖f‖L2,µ(ΘTϑ,1), z czego wnioskujemy, »e istnieje u ∈ Vµ(Θ

Tϑ,1),

b¦d¡ce sªabym rozwi¡zaniem zagadnienia (P), które speªnia oszacowanie

‖u‖Vµ(ΘTϑ,1) ≤ c(µ, ϑ)‖f‖L2,µ(ΘT

ϑ,1). (7.3.2)

Z kolei oznaczaj¡c12 un = ηnu dostajemy oszacowanie

‖Dtun‖L2,µ(ΘT

ϑ,1) + ‖D2xu

u‖L2,µ(ΘTϑ,1) ≤ c(µ, ϑ)‖f‖L2,µ(ST

n,ϑ) + ‖u‖L2(0,T ;H1µ−1(ST

n,ϑ)),

gdzie Sn,ϑ = Θϑ,1 ∩ Sn. Zatem sumuj¡c powy»sze nierówno±ci dla n ∈ Z, po uwzgl¦dnie-niu (7.3.2), dostajemy oszacownanie (7.1.5). W ko«cu nierówno±¢ (7.1.6) otrzymujemy zoszacowania (7.2.13) z lematu 7.2.2, przy i = 2. Tym samym dowód twierdzenia 7.1.3 jestzako«czony.

12Funkcje ηn wprowadzono w (2.1.3) (str. 12).

124

Rozdziaª 8

Paraboliczny ukªad równa«

8.1 Sformuªowanie zagadnieniaW tej cz¦±ci zajmniemy si¦ pewnym ukªadem dwóch równa« przewodnictwa ciepªa, któregorozwi¡zania b¦d¡ sprz¦»one poprzez warunki brzegowe (pod¡»amy tutaj za [13]). Zagad-nienie to b¦dziemy rozpatrywa¢ w innych ni» do tej pory przestrzeniach wagowych, mi-anowicie teraz funkcje, wraz ze wszystkimi pochodnymi b¦d¡ caªkowalne z t¡ sam¡ wag¡rµ, gdzie µ ∈ (0, 1), zatem b¦d¡ to A2 wagi. Zagadnienie to rozpatrujemy w Ω ⊆ R3, przyczym zakªadamy, »e Ω jest osiowo symetrycznym obszarem o gªadkim brzegu. Przyjmi-jmy, »e L = x ∈ R3 : r = 0 jest osi¡ symetrii Ω, ∂Ω ∩ L = p1, p2, natomiast dlapewnej funkcji gªadkiej ψ równanie ψ(r, x3) = 0 opisuje brzeg Ω. Ponadto przyjmujemy,»e istnieje gªadkie pole wektorowe a = (a1, a2), zdeniowane na pewnym otoczeniu ∂Ω

takie, »e a1 = ψr

|∇ψ| , a2 =ψx3

|∇ψ| na ∂Ω i a|∂Ω jest jednostkowym, zewn¦trznym wektoremnormalnym na brzegu ∂Ω, który oznaczymy przez n. Ponadto przyjmijmy, »e S = ∂Ω i¯a = (−a2, a1). Zagadnienie, którym b¦dziemy si¦ zajmowa¢ w tym rozdziale jest postaci

ut − ν∆u = F w ΩT

¯a · u|S = φ1 na ST∂∂n

(a · u)|S = φ2 na ST

u|t=0= u0, na Ω

(8.1.1)

gdzie u = (u1, u2) i F = (F 1, F 2). Przypomnijmy, »e ni»ej wymienione przestrzeniefunkcyjne zostaªy okre±lone na stronie 11. Wyka»emy nast¦puj¡ce twierdzenie.

Twierdzenie 8.1.1. Zaªó»my, »e µ ∈ (0, 1), T > 0, F = (F 1, F 2) ∈ L2,µ(ΩT )2, u0 ∈

W 12,µ(Ω), φ1 ∈ W

32, 34

2,µ (ST ), φ2 ∈ W12, 14

2,µ (ST ) i speªnione s¡ warunki zgodno±ci, tj.

¯a · u0|S = φ1|t=0.

Wtedy istnieje dokladnie jedno u = (u1, u2) ∈ W 2,12,µ(ΩT )2 bed¡ce rozwi¡zaniem zagadnienia

(8.1.1) i dla pewnej staªej c = c(Ω, T, µ, ν) zachodzi oszacowanie

‖u‖W 2,12,µ(ΩT )2 ≤ c

‖F‖L2,µ(ΩT )2 + ‖φ1‖

W32 , 342,µ (ST )

+ ‖φ2‖W

12 , 142,µ (ST )

+ ‖u0‖W 12,µ(Ω)

.

125

Przed przej±ciem do dowodu odnotujmy, i» ukªad (8.1.1) otrzymujemy przykªadaj¡c op-erator rotacji do zagadnienia Stokesa z warunkiem brzegowym typu po±lizgu (por. np.[37])

vt − div T(v, p) = fdiv v = 0v · n|S = 0n · T(v, p) · τi|S = 0, i = 1, 2v|t=0 = v(0)

gdzie T(v, p) = ν(vixj+ vjxi

) − pδi,j3i,j=1, a τi dla i = 1, 2 s¡ wektorami stycznymi do

brzegu.Dowód twierdzenia 8.1.1 b¦dzie si¦ skªadaª z trzech etapów: wpierw lokalizujemy problem,nast¦pnie wykazujemy regularno±¢ rozwi¡za« zagadnienia zlokalizowanego, a na koniec,korzystaj¡c z techniki regularyzatora otrzymujemy rozwi¡zanie, o którym mowa w tezietwierdzenia.

Uwaga 8.1.1. Maj¡c na uwadze zastosowanie techniki regularyzatora, winni±my ujed-norodni¢ warunek pocz¡tkowy. Korzystaj¡c z twierdzenia o ±ladzie (np. lemat 2.11 [10]),

warunków zgodno±ci i równo±ci W12, 14

2,µ (Sτ ) = W

12, 14

2,µ (Sτ ) zauwa»amy, i» w celu otrzymania

twierdzenia 8.1.1 wystarczy wykaza¢, »e istnieje τ > 0 takie, »e zagadnienieut − ν∆u = F w Ωτ

¯a · u|S = φ1 na Sτ∂∂n

(a · u)|S = φ2 na Sτ

u|t=0= 0 na Ω

(8.1.2)

ma jednoznaczne rozwi¡zanie u ∈ W

2,12,µ(Ω

τ )2 przy dowolnych F ∈ L2,µ(Ωτ )2, φ1 ∈ W

32, 34

2,µ (Sτ ),

φ2 ∈ W12, 14

2,µ (Sτ ) i zachodzi oszacowanie

‖u‖W 2,12,µ(Ωτ )2 ≤ c(Ω, µ, ν)

‖F‖L2,µ(Ωτ )2 + ‖φ1‖

W

32 , 342,µ (Sτ )

+ ‖φ2‖W

12 , 142,µ (Sτ )

.

Zatem dalsze rozwa»ania b¦d¡ ograniczone do zagadnienia (8.1.2).

8.2 Zagadnienia modeloweW tym rozdziale b¦dziemy rozwa»a¢ modelowe zagadnienie, otrzymane z ukªadu (8.1.2)poprzez lokalizacj¦, dokªadniej, b¦dziemy rozwa»a¢ równanie przewodnictwa ciepªa w R3

i w póªprzestrzeni R3+, przyjmuj¡c jednorodne warunki brzegowe typu Dirchleta czy Neu-

mana. Rozpocznijmy tak¡ oto uwag¡.

Uwaga 8.2.1. Je»eli µ ∈ [0, 1), U = R3+ lub U = R3 i f ∈ L2,µ(U

T ), to f ∈ W 1,02 (UT )∗,

czyli istnieje staªa c = c(µ) taka, »e dla η ∈ W 1,02 (UT ) zachodzi oszacowanie∣∣∣ ∫

UT

fη dxdt∣∣∣ ≤ c ‖f‖L2,µ(UT ) ‖η‖W 1,0

2 (UT ) . (8.2.1)

126

Istotnie, je»eli χ = χ(r) jest gªadk¡ funkcj¡ wycinajac¡ tak¡, »e

χ(r) = 1 dla r < 1, χ(r) = 0 dla r > 2, |χ′(r)| ≤ 2, (8.2.2)

to z nierówno±ci Schwarza dostajemy∣∣∣ ∫UT

fη dxdt∣∣∣ ≤ ∫

UT

χ|fη| dxdt+

∫UT

(1− χ)|fη| dxdt

≤(∥∥χηr−µ∥∥

L2(UT )+∥∥(1− χ)ηr−µ

∥∥L2(UT )

)‖f‖L2,µ(UT ) .

Oczywi±cie mamy ‖(1− χ)ηr−µ‖L2(UT ) ≤ ‖η‖L2(UT ). Natomiast z nierówno±ci Hardy'ego

(3.1.1) dostajemy ‖χηr−µ‖L2(UT ) ≤ c(µ) ‖η‖W 1,02 (UT ), bo µ < 1.

W nast¦pnym podrozdziale b¦dziemy rozwa»a¢ sªabe rozwi¡zania.

8.2.1 Sªabe rozwi¡zaniaDla U = R3

+ oznaczmy przez B operator ±ladu na brzegu U funkcji lub pochodnej wkierunku normalnym, tj. Bw = w|∂U

lub Bw = ∂w∂x3 |∂U

. Prawdziwe s¡ nast¦puj¡ce lematy.

Lemat 8.2.1. Zaªó»my, »e µ ∈ [0, 1), U := R3+ i T > 0. Wtedy dla ka»dego f ∈ L2,µ(U

T )

istnieje dokªadnie jedno w ∈ V 1,02 (UT ) b¦d¡ce sªabym rozwi¡zaniem zagadnienia wt − ν∆w = f w UT

Bw = 0 na ∂Uw|t=0 = 0 na U

(8.2.3)

Ponadto istnieje staªa c = c(T, µ, ν) taka, »e dla kazdego τ ∈ (0, T ] zachodzi oszacowanie

‖w‖V2(Uτ ) ≤ c ‖f‖L2,µ(Uτ ) . (8.2.4)

Lemat 8.2.2. Zaªó»my, »e µ ∈ [0, 1), U := R3 i T > 0. Wtedy dla ka»dego f ∈ L2,µ(UT )

istnieje dokªadnie jedno w ∈ V 1,02 (UT ) b¦d¡ce sªabym rozwi¡zaniem zagadnieniawt − ν∆w = f w UT

w|t=0 = 0 na U(8.2.5)

Ponadto istnieje staªa c = c(T, µ, ν) taka, »e dla ka»dego τ ∈ (0, T ] zachodzi oszacowanie

‖w‖V2(Uτ ) ≤ c ‖f‖L2,µ(Uτ ) .

Oczywi±cie denicje sªabych rozwi¡za« powy»szych zagadnie« przyjmujemy za klasyczn¡monogra¡ [18] (rozd. III).

127

Dowód. We wszystkich trzech przypadkach post¦pujemy analogicznie, zatem poka»emyjedynie dowód lematu 8.2.1 dla zagadnienia Dirchleta. Zaªó»my zatem, »e f ∈ L2,µ(U

T ),gdzie U = R3

+. Wtedy wobec uwagi 8.2.1 i twierdzenia Riesza o reprezentacji ci¡gªychfunkcjonaªów dostajemy jednoznacznie okre±lone g ∈

W 1,0

2 (UT ) speªniaj¡ce to»samo±¢∫UT

fη dxdt =∫UT

gη dxdt+∫UT

∇g∇η dxdt dla η ∈W 1,0

2 (UT )(8.2.6)

Wprowad¹my oznaczenia g0 := g, gi := ∂g∂xi

, i = 1, 2, 3. Wtedy korzystaj¡c1 z twierdzenia 4.1i lematu 4.1 (rozd. III, [18]) dostajemy w ∈

V 1,0

2 (UT ) b¦d¡ce sªabym rozwi¡zaniem za-gadnienia

wt − ν∆w = g0 −3∑i=1

∂gi∂xi

w UT , w|R2 = 0, w|t=0 = 0,

tzn. dla η ∈W 1,1

2 (UT ) takich, »e η(·, T ) = 0 zachodzi to»samo±¢

−T∫

0

∫U

w · ηt dxdt+ ν

T∫0

∫U

∇w · ∇η dxdt =

T∫0

∫U

g0 · η +3∑i=1

gi · ηxidxdt

i dla τ ∈ (0, T ] mamy nierówo±¢ ‖w‖V2(Uτ ) ≤ c3∑i=0

‖gi‖L2(Uτ ), gdzie c = c(T, ν). Wobecrówno±ci (8.2.6) wnioskujemy, »e w jest sªabym rozwi¡zaniem zagadnienia (8.2.3). Pod-stawmy η = χ(0,τ)g w (8.2.6), gdzie χ(0,τ) = χ(0,τ)(t) jest funkcj¡ charakterystyczn¡ odcinka(0, τ), a nast¦pnie skorzystajmy z (8.2.1). Wtedy otrzymujemy

3∑i=0

‖gi‖2L2(Uτ ) = ‖g‖2

W 1,02 (UT ) =

∫Uτ

fg dxdt ≤ c(µ) ‖f‖L2,µ(Uτ ) ‖g‖W 1,02 (Uτ ) ,

czyli3∑i=0

‖gi‖L2(Uτ ) ≤ 2c(µ) ‖f‖L2,µ(Uτ ). Zatem wykazali±my (8.2.4) i dowód jest zako«c-zony.

W dalszej cz¦±ci poka»emy, »e otrzymane z powy»szych lematów sªabe rozwiazania nale»¡do przestrzeni W 2,1

2,µ . W pierwszym kroku b¦dziemy rozwa»a¢ pochodne ni»szego rz¦du.Jako, »e nasz obszar jest nieograniczony, a µ ∈ (0, 1), to uzasadnienia wymaga odpowied-nio szybki zanik funkcji w niesko«czono±ci.

8.2.2 Oszacowanie wyra»e« ni»szego rz¦duW tym podrozdziale otrzymamy oszacowania w przestrzeniach wagowych dla funkcji ipierwszych pochodnych sªabych rozwi¡za«.

1W przypadku warunku brzegowego typu Neumana korzystamy w tym miejscu z twierdzenia 5.1., a w zagad-nieniu Cauchy'ego z twierdzenia 5.2.

128

Uwaga 8.2.2. Zauwa»my, »e je»eli w jest sªabym rozwi¡zaniem zagadnienia (8.2.3) zwarunkiem brzegowym typu Dirchleta (odpow. Neumana), to przedªu»aj¡c w nieparzy±cie(odpow. parzy±cie) na R3 dostajemy rozwi¡zanie (8.2.5) z praw¡ stron¡ otrzyman¡ poprzeztakie samo przedªu»enie. Zatem w dalszych rozwa»aniach mo»emy si¦ ograniczy¢ jedyniedo wykazania regularno±ci rozwi¡za« zagadnienia (8.2.5).

Wyka»emy nast¦puj¡cy lemat.

Lemat 8.2.3. Zaªó»my, »e µ ∈ [0, 1), U := R3, f ∈ L2,µ(UT ) i w ∈ V 1,0

2 (UT ) jestsªabym rozwi¡zaniem zagadnienia wt − ν∆w = f w UT , w|t=0 = 0. Wtedy istniejestaªa c = c(ν, µ, T ) taka, »e dla τ ∈ (0, T ] zachodzi oszacowanie

‖w‖W 1,02,µ(Uτ ) ≤ c ‖f‖L2,µ(Uτ ) . (8.2.7)

Dowód. Niech f , w i τ speªniaj¡ zaªo»enia. Wtedy z lematu 8.2.2 i nierówno±ci ‖w‖W 1,02 (Uτ ) ≤√

T‖w‖V2(Uτ ) mamy oszacowanie

‖w‖W 1,02 (Uτ ) ≤ c ‖f‖L2,µ(Uτ ) , (8.2.8)

gdzie c = c(ν, µ, T ). Przyjmijmy, »e χ = χ(r) jest gªadk¡ funkcj¡ wycinaj¡c¡ speªniaj¡c¡(8.2.2). Wtedy mamy ‖w‖W 1,0

2,µ(Uτ ) ≤ ‖χw‖W 1,02,µ(Uτ )+‖(1− χ)w‖W 1,0

2,µ(Uτ ) i ‖χw‖W 1,02,µ(Uτ ) ≤

2 ‖w‖W 1,02 (Uτ ), bo µ ∈ [0, 1). Zatem wystarczy oszacowa¢ wielko±¢ ‖(1− χ)w‖W 1,0

2,µ(Uτ ). Wtym celu posªu»ymy si¦ rodzin¡ funkcji wycinaj¡cych ηnn∈N wprowadzon¡ w (2.1.3)(str. 12). Wtedy mamy

∞∑n=−1

ηn ≡ 1 na supp(1−χ), zatem korzystaj¡c z (2.1.10) (str. 12)mo»emy napisa¢

‖(1− χ)w‖2W 1,0

2,µ(Uτ ) ≤ 6∞∑

n=−1

‖ηnw‖2W 1,0

2,µ(Uτ ) + 23+2µ ‖w‖2L2(Uτ ) .

Oczywi±cie funkcje ηnw nale»¡ do V 1,02 (UT ) i s¡ jedynymi rozwi¡zaniami zagadnienia

(ηnw)t − µ∆(ηnw) = g w UT , (ηnw)|t=0 = 0,

gdzie g = ηnf − 2ν∇ηn · ∇w − ν∆ηn · w ∈ L2(UT ). Zatem istnieje staªa c = c(ν, T ) taka,»e

‖ηnw‖W 1,02 (Sτ

n) ≤ c‖f‖L2(Sτ

n) + ‖∇ηn · ∇w‖L2(Sτn) + ‖∆ηn · w‖L2(Sτ

n)

,

gdzie zbiory Sn zostaªy okre±lone w (2.1.6) (str. 12). Wobec (2.1.8) mamy ‖∇ηn · ∇w‖L2(Sτn) ≤

2−nc0 ‖∇w‖L2(Sτn) i ‖∆ηn · w‖L2(Sτ

n) ≤ 2−2nc0 ‖w‖L2(Sτn), zatem mo»emy napisa¢

‖ηnw‖W 1,02,µ(Sτ

n) ≤ 2µn+ 32µ ‖ηnw‖W 1,0

2 (Sτn)

≤ 2µn+ 32µc(ν, T )

‖f‖L2(Sτ

n) + 2−nc0 ‖∇w‖L2(Sτn) + 2−2nc0 ‖w‖L2(Sτ

n)

≤ 2

32µc(ν, T )

‖f‖L2,µ(Sτ

n) + 2n(µ−1)c0 ‖∇w‖L2(Sτn) + 2n(µ−2)c0 ‖w‖L2(Sτ

n)

129

≤ 232µc(ν, T )

‖f‖L2,µ(Sτ

n) + 4c0 ‖w‖W 1,02 (Sτ

n)

,

bo µ < 1 i n = −1, 0, 1, ... . Zatem otrzymujemy staª¡ c = c(ν, µ, T ) tak¡, »e∞∑

n=−1

‖ηnw‖2W 1,0

2,µ(Sτn) ≤ c

∞∑

n=−1

‖f‖2L2,µ(Sτ

n) + ‖w‖2W 1,0

2 (Sτn)

≤ 2c

‖f‖2

L2,µ(Uτ ) + ‖w‖2W 1,0

2 (Uτ )

.

Uwzgl¦dniaj¡c (8.2.8) otrzymujemy tez¦.

8.2.3 Oszacowania drugich pochodnychJak zobaczymy w dalszej cz¦±ci, oszacowania w przestrzeniach wagowych drugich pochod-nych przestrzennych i pochodnej po czasie wyprowadzimy z oszacowa« pewnego prob-lemu dwuwymiarowego z parametrem, który z kolei otrzymamy z naszego wyj±ciowegozagadnienia stosuj¡c cz¦±ciow¡ transformat¦ Fouriera. Oznaczmy przez s = s(q) wielko±¢νq2

1 + iq2, gdzie q = (q1, q2) ∈ R2. Przypomnijmy, i» lemat 5.1.2 (str. 61) daje namnast¦puj¡cy wniosek.Wniosek 8.2.1. Zaªó»my, »e µ ∈ (0, 1) i h ∈ H1(R2) jest sªabym rozwi¡zaniem równania−ν∆h + sh = g w R2, gdzie g ∈ L2,µ(R2). Wtedy istnieje staªa c = c(µ, ν) taka, »e dlaq ∈ R2 zachodzi oszacowanie

|s|12‖Dh‖L2,µ(R2) + |s|‖h‖L2,µ(R2) ≤ c‖g‖L2,µ(R2). (8.2.9)

Potrzebne b¦dzie nam jeszcze oszacowanie drugich pochodnych rozwi¡zania zagadnieniadwuwymiarowego z parametrem.Stwierdzenie 8.2.1. Przy zaªo»eniach wniosku 8.2.1 istnieje staªa c = c(µ, ν) taka, »e

‖D2h‖L2,µ(R2) ≤ c‖g‖L2,µ(R2). (8.2.10)

Dowód. W celu uzyskania oszacowania (8.2.10) pomno»ymy funkcj¦ h przez stosown¡funkcj¦ wycinaj¡c¡, a nast¦pnie przedstawimy ten iloczyn w postaci sumy dwóch skªad-ników (wzór (8.2.16)), które ju» ªatwo potramy oszacowa¢ (nierówno±ci (8.2.17) i (8.2.18)).Na koniec skorzystamy powy»szego wniosku.Zacznijmy wi¦c od zdeniowania funkcji wycinaj¡cych. Niech χ = χ(r) b¦dzie funkcj¡gªadk¡ tak¡, »e 0 ≤ χ ≤ 1, χ(r) = 1 dla r ≤ 1, χ(r) = 0 dla r ≥ 2, |χ(k)(r)| ≤ 2k dlak = 1, 2. Dla ε > 0 kªadziemy χε(r) = χ(ε−1r) i wtedy suppχε ⊆ B2ε, gdzie B2ε jest kul¡o ±rodku w zerze i promieniu 2ε. Ustalmy q ∈ R2 i niech R > 1. Poªó»my

hκ := h · ςκ, gdzie ςκ(x) := χκ (r) , κ := |s|−12R.

Funkcja hκ nale»y do H1(R2) i jest sªabym rozwi¡zaniem równania −ν∆hκ + shκ = G,gdzie

G := g · ςκ − 2ν∇h · ∇ςκ − νh ·∆ςκ.Uwzgl¦dniaj¡c wªasno±ci funkcji ςκ i oszacowanie dla h z wniosku 8.2.1 dostajemy

‖G‖L2,µ(R2) ≤ c‖g‖L2,µ(R2), suppG ⊆ B2κ, (8.2.11)

130

gdzie c = c(µ, ν). Korzystaj¡c ponownie z wniosku 8.2.1, tym razem dla funkcji hκ, otrzy-mujemy

|s|∫R2

(|∇hκ|2 + |s||hκ|2)r2µ dx ≤ c(µ, ν)‖G‖2L2,µ(R2) ≤ c‖g‖2

L2,µ(R2), (8.2.12)

dla pewnego c zale»nego jedynie od µ i ν. W szczególno±ci funkcja hκ jest sªabym rozwi¡zaniemrównania −ν∆hκ = qκ, gdzie qκ := G− shκ, a wobec (8.2.12) mamy

‖qκ‖L2,µ(R2) ≤ c(µ, ν)‖g‖L2,µ(R2). (8.2.13)

Z drugiej strony korzystaj¡c z twierdzenia 4.2.1 (str. 4.2.1) otrzymujemy W ∈ H2µ(R2)

takie, »e−ν∆W = qκ w

•R2, ‖W‖H2

µ(R2) ≤ c(µ, ν)‖qκ‖L2,µ(R2). (8.2.14)Argumentuj¡c podobnie jak w dowodzie wniosku 5.5.1 (str. 80) otrzymujemy, i» −ν∆W =qκ w R2 w sªabym sensie. Poªó»my V := W ·ςκ. Wtedy mamy−ν∆V = qκςκ−2ν∇W ·∇ςκ−νW · ∆ςκ. Oznaczaj¡c U := hκ − V mamy U ∈ H1(R2), bo no±nik V jest ograniczony.Ponadto

−ν∆U = (1− ςκ) qκ + 2ν∇W · ∇ςκ + νW ·∆ςκ =: tκ.

Uwzgl¦dniaj¡c (8.2.11) i wªasno±ci ςκ wnioskujemy, »e no±nik tκ jest ograniczony i rozª¡cznyz pewnym otoczeniem zera, zatem tκ nale»y do L2(R2). St¡d otrzymujemy, »e U ∈ H2(R2)i zachodzi równo±¢

‖D2U‖L2(R2) = ‖tκ‖L2(R2). (8.2.15)Oczywi±cie na mocy denicji mamy

hκ = U + V. (8.2.16)

Oddzielnie oszacujemy ka»dy ze skªadników (8.2.16). Zacznijmy od pierwszego. Jako, »esuppU ⊆ B2κ, to stosuj¡c (8.2.15) dostajemy

‖D2U‖2L2,µ(R2) =

∫B2κ

|D2U |2r2µ dx ≤ (2κ)2µ

∫B2κ

|D2U |2 dx = (2κ)2µ ‖tκ‖2L2(R2).

Zauwa»my, »e funkcja tκ ma no±nik zawarty w zbiorze B2κ \Bκ, zatem mo»emy napisa¢

‖tκ‖2L2(R2) ≤ 12 max1, ν

∫B2κ\Bκ

|qκ|2 + |∇W · ∇ςκ|2 + |W ·∆ςκ|2 dx

≤ 12 max1, νκ−2µ

∫B2κ\Bκ

(|qκ|2 + |∇W · ∇ςκ|2 + |W ·∆ςκ|2

)r2µ dx

≤ 12 max1, νκ−2µ

∫B2κ\Bκ

(|qκ|2 + 4κ−2|∇W |2 + 16κ−4|W |2

)r2µ dx

131

≤ 213 max1, νκ−2µ

∫B2κ\Bκ

(|qκ|2 + r−2|∇W |2 + r−4|W |2

)r2µ dx

≤ 213 max1, νκ−2µ(‖qκ‖2

L2,µ(R2) + ‖W‖2H2

µ(R2)

)Zatem wobec (8.2.13) i (8.2.14) dostajemy

‖D2U‖L2,µ(R2) ≤ c‖g‖L2,µ(R2), (8.2.17)

gdzie c zale»y jedynie od µ i ν. Podobnie oszacujemy norm¦ D2V . Otó» korzystaj¡c zdenicji V wnioskujemy, »e ‖D2V ‖2

L2,µ(R2) szacuje si¦ przez

3

∫R2

(∣∣W ·D2ςκ∣∣2 + 2 |∇W · ∇ςκ|2 +

∣∣D2W · ςκ∣∣2) r2µ dx

≤ 3

∫B2κ\Bκ

(16κ−4|W |2 + 8κ−2|∇W |2

)r2µ dx+

∫B2κ

|D2W |2r2µ dx

≤ 210

∫B2κ\Bκ

(r−4|W |2 + r−2|∇W |2

)r2µ dx+

∫B2κ

|D2W |2r2µ dx ≤ 210‖W‖2H2

µ(R2).

Korzystaj¡c ponownie z (8.2.13) i (8.2.14) mamy

‖D2V ‖L2,µ(R2) ≤ c‖g‖L2,µ(R2), (8.2.18)

gdzie c = c(µ, ν). Zatem wobec (8.2.16), po zastosowaniu (8.2.17) i (8.2.18) dostajemy

‖D2hκ‖L2,µ(R2) ≤ c‖g‖L2,µ(R2), (8.2.19)

dla pewnego c = c(µ, ν). Z okre±lenia hκ mamy

‖ςκ ·D2h‖L2,µ(R2) ≤ ‖D2hκ‖L2,µ(R2) + 2‖|Dh| · |Dςκ|‖L2,µ(R2) + ‖h ·D2ςκ‖L2,µ(R2). (8.2.20)

Uwzgl¦dniaj¡c wªasno±ci funkcji ςκ, zaªo»enieR > 1 i ponownie korzystaj¡c z wniosku 8.2.1dla funkcji h otrzymamy

‖|Dh| · |Dςκ|‖L2,µ(R2) + ‖h ·D2ςκ‖L2,µ(R2) ≤ c‖g‖2L2,µ(R2),

dla pewnej staªej c zale»nej tylko od µ i ν. Zatem powy»sza nierówno±¢ razem z (8.2.19)i (8.2.20) prowadzi do oszacowania

‖ςκ ·D2h‖L2,µ(R2) ≤ c‖g‖L2,µ(R2),

gdzie c = c(µ, ν). W ko«cu przechodz¡c z R do niesko«czono±ci dostajemy (8.2.10).

Z wniosku 8.2.1 i stwiedzenia 8.2.1 otrzymujemy nast¦puj¡cy lemat.

132

Lemat 8.2.4. Zaªó»my, »e µ ∈ (0, 1) i h ∈ H1(R2) jest sªabym rozwi¡zaniem równania−ν∆h + sh = g w R2, gdzie g ∈ L2,µ(R2). Wtedy istnieje staªa c = c(µ, ν) taka, »e dlaq ∈ R2 zachodzi oszacowanie

‖D2h‖L2,µ(R2) + |s|12‖Dh‖L2,µ(R2) + |s|‖h‖L2,µ(R2) ≤ c‖g‖L2,µ(R2). (8.2.21)

Korzystaj¡c z powy»szego lematu otrzymamy oszacowania na drugie pochodne sªabychrozwi¡za« zagadnienia (8.2.5).

Lemat 8.2.5. Zaªó»my, »e µ ∈ [0, 1), U := R3 i T > 0. Wtedy istnieje staªa c = c(µ, ν, T )taka, »e je»eli w ∈ V 1,0

2 (UT ) jest sªabym rozwi¡zaniem zagadnienia (8.2.5) z danymif ∈ L2,µ(U

T ), to dla τ ∈ (0, T ] zachodzi oszacowanie

‖w‖W 2,12,µ(Uτ ) ≤ c ‖f‖L2,µ(Uτ ) . (8.2.22)

Dowód. Przypadek µ = 0 jest oczywisty, zatem w dalszej cz¦±ci ograniczymy si¦ do µ ∈(0, 1). Wobec lematu 8.2.3 (str. 129) wystarczy oszacowa¢ jedynie normy ‖wt‖L2,µ(Uτ )

and ‖D2xw‖L2,µ(Uτ ). W tym celu zastosujemy cz¦±ciow¡ transformat¦ Fouriera wzgl¦dem

zmiennych x3 i t, a nast¦pnie skorzystamy z oszacowania z lematu 8.2.4. Wpierw jednakmusimy przedªu»y¢ nasze rozwi¡zanie dla t ∈ R \ (0, T ) w taki sposób, by daªo si¦ potemodzyska¢ oszacowanie postaci (8.2.22). We¹my zatem τ ∈ (0, T ] i poªó»my f(x, t) = 0 dlaujemnych t. Wtedy okre±lamy f ∗(x, t) = f(x, t) dla t < τ i f ∗(x, t) = f(x, 2τ−t) dla t > τ .Niech ω = ω(t) b¦dzie gªadk¡ funkcj¡ wycinaj¡c¡ tak¡, »e ω(t) = 1 dla t < τ , ω(t) = 0 dlat > τ + 1 =: τ ′ i |ω(k)(t)| ≤ 2k dla k = 0, 1. Oczywi±cie dla funkcji f ∗ mamy oszacowanie‖f ∗‖L2,µ(Uτ ′ ) ≤ 2‖f‖L2,µ(Uτ ), zatem z lematu 8.2.2 otrzymujemy jednoznacznie okre±lonew∗ ∈ V 1,0

2 (U τ ′) b¦d¡ce rozwi¡zaniem zagadnienia w∗t − ν∆w∗ = f ∗ w U τ ′ , w∗|t=0 = 0.Rozszerzamy w∗ na zbiór R3 × (−∞, τ ′) kªad¡c zero dla ujemnych t i poªó»my

v := ωw∗. (8.2.23)

Wtedy v speªnia równanie vt − ν∆v = ωf∗ + ωtw∗ =: g, gdzie oczywi±cie mamy

‖ωf∗‖L2,µ(R3×R) ≤ 2‖f‖L2,µ(Uτ ). Korzystaj¡c z lematu 8.2.3 dostajemy staª¡ c = c(µ, ν, T )tak¡, »e

‖ωtw∗‖L2,µ(R3×R) ≤ 2‖w∗‖L2,µ(Uτ ′ ) ≤ 2c‖f ∗‖L2,µ(Uτ ′ ) ≤ 4c‖f‖L2,µ(Uτ ).

Zatem wnioskujemy, »e dla pewnej staªej c = c(ν, µ, T ) zachodzi oszacowanie

‖g‖L2,µ(R3×R) ≤ c‖f‖L2,µ(Uτ ). (8.2.24)

St¡d funkcja v ∈ V2(R3×R)∩L2(R3×R) speªnia w sªabym sensie równanie vt−ν∆v = gw R3 × R, gdzie g ∈ L2,µ(R3 × R), tzn. dla ka»dego η ∈ W 1,1

2 (R3 × R) speªniona jestnast¦puj¡ca to»samo±¢ caªkowa

−∫

R3×R

v · ηt dxdt+ ν

∫R3×R

∇v · ∇η dxdt =

∫R3×R

g · η dxdt. (8.2.25)

133

Poka»emy, »e istnieje staªa c = c(ν, µ) taka, »e

‖vt‖L2,µ(R3×R) + ‖D2xv‖L2,µ(R3×R) ≤ c‖g‖L2,µ(R3×R). (8.2.26)

W tym celu oznaczmy przez v cz¦±ciow¡ transformat¦ Fouriera v wzgl¦dem zmiennych x3

i t, czyli

v(x′, ξ2, ξ1) :=1

2π

∞∫−∞

∞∫−∞

v(x′, x3, t) · e−i(x3ξ2+tξ1) dx3dt,

gdzie x′ = (x1, x2). To»samo±¢ (8.2.25) prowadzi nas do stwierdzenia: dla p.w. ξ1, ξ2 ∈ Rzachodzi równo±¢

ν

∫R2

∇′v · ∇′η dx′ + s

∫R2

v · η dx′ =∫R2

g · η dx′ dla η ∈ H1(R2),

gdzie g jest cz¦±ciow¡ tranformat¡ Fouriera g, s := νξ22 + iξ1, a operator ∇′ = (∂x1 , ∂x2).

Zatem dla p.w. ξ1, ξ2 ∈ R funkcja v(·, ξ2, ξ1) ∈ H1(R2) jest sªabym rozwi¡zaniem równania−ν∆′v + sv = g w R2, gdzie g(·, ξ2, ξ1) ∈ L2,µ(R2). Korzystaj¡c z lematu 8.2.4 (str. 133)otrzymujemy oszacowanie∫

R2

(|D2

x′ v(x′, ξ2, ξ1)|2 + |ξ2Dx′ v(x

′, ξ2, ξ1)|2 + |ξ22 v(x

′, ξ2, ξ1)|2)|x′|2µ dx′+

∫R2

|ξ1v(x′, ξ2, ξ1)|2|x′|2µ dx′ ≤ c(ν, µ)

∫R2

|g(x′, ξ2, ξ1)|2|x′|2µ dx′ dla p.w. ξ1, ξ2 ∈ R.

Scaªkujmy strony powy»szej nierówno±ci wzgl¦dem ξ1, ξ2 ∈ R. Korzystaj¡c z to»samo±ciParsevala otrzymujemy oszacowanie (8.2.26). Z jednoznaczno±ci rozwi¡za« zagadnienia(8.2.5) w V 1,0

2 (U τ ) i wobec okre±lenia (8.2.23) mamy w = w∗ = v w U τ . Zatem korzystaj¡cz tezy lematu 8.2.3 dla funkcji v ∈ V 1,0

2 (UT ) i nierówno±¢ (8.2.26) dostajemy

‖w‖2W 2,1

2,µ(Uτ ) = ‖v‖2W 1,0

2,µ(Uτ ) + ‖vt‖2L2,µ(Uτ ) + ‖D2

xv‖2L2,µ(Uτ ) ≤ c(µ, ν, T ) ‖g‖2

L2,µ(R3×R) .

Uwzgl¦dniaj¡c (8.2.24) dostajemy tez¦.

W dalszej cz¦±ci zastosujemy regularyzator i w tym celu potrzebujemy nast¦pujacegolematu.

Lemat 8.2.6. Zaªó»my, »e µ ∈ [0, 1), U := R3+, S := ∂U , T > 0 i d1, d2 ∈ R speªniaj¡

równo±¢ d21 +d2

2 = 1. Wtedy dla ka»dego f = (f1, f2) ∈ L2,µ(UT )2, ψ1 ∈ W

32, 34

2,µ (ST ), ψ2 ∈

W

12, 14

2,µ (ST ) istnieje dokªadnie jedno w = (w1, w2) ∈ V 1,02 (UT )2 b¦d¡ce sªabym rozwi¡zaniem

zagadnienia wt − ν∆w = f w UT

¯d ·w = ψ1 na ST∂∂x3

(d ·w) = ψ2 na ST ,

w|t=0 = 0 na U

(8.2.27)

134

gdzie d = (d1, d2),¯d = (−d2, d1). Ponadto istnieje staªa c = c(µ, ν, T ) taka, »e dla

τ ∈ (0, T ] zachodzi oszacowanie

‖w‖W 2,12,µ(Uτ )2 ≤ c

‖f‖L2,µ(Uτ )2 + ‖ψ1‖

W

32 , 342,µ (Sτ )

+ ‖ψ2‖W

12 , 142,µ (Sτ )

. (8.2.28)

Dowód. Wprowad¹my oznaczenie g := (¯d · f ,d · f) i rozwa»my nast¦puj¡ce zagadnienieut − ν∆u = g w UT

u1 = ψ1 na ST∂∂x3u2 = ψ2 na ST ,

u|t=0 = 0 na U

(8.2.29)

gdzie u = (u1, u2). Je»eli ψ1, ψ2 s¡ równe zero, to na mocy lematu 8.2.1 (str. 127) ukªadpowy»szy ma jednoznaczne sªabe rozwi¡zanie u = (u1, u2) ∈ V 1,0

2 (UT )2.Wobec uwagi 8.2.2(str. 129) i lematu 8.2.5 mamy oszacowanie

‖u‖W 2,12,µ(Uτ )2 ≤ c ‖g‖L2,µ(Uτ )2 ,

gdzie c = c(µ, ν, T ). W przypadku ogólnym, gdy warunki brzegowe s¡ niejednorodne, tokorzystaj¡c z twierdzenia o ±ladzie otrzymujemy nast¦puj¡ce oszacowanie na rozwi¡zaniazagadnienia (8.2.29)

‖u‖W 2,12,µ(Uτ )2 ≤ c

‖g‖L2,µ(Uτ )2 + ‖ψ1‖

W

32 , 342,µ (Sτ )

+ ‖ψ2‖W

12 , 142,µ (Sτ )

,

dla pewnej staªej c = c(ν, µ, T ). Poªó»my w1 := ¯d · u, w2 := d · u. Wtedy w = (w1, w2)jest rozwi¡zaniem (8.2.27) i ‖w‖W 2,1

2,µ(Uτ ) = ‖u‖W 2,12,µ(Uτ ). Oczywi±cie mamy ‖g‖L2,µ(Uτ )2 =

‖f‖L2,µ(Uτ )2 , zatem powy»sze oszacowanie daje (8.2.28). Pozostaªo wykazanie jednoznaczno±cirozwi¡za« zagadnienia (8.2.27). Zaªó»my zatem, »ew ∈ V 1,0

2 (UT )2 jest sªabym rozwi¡zaniemzagadnienia jednorodnego. Wtedy u = (¯d ·w,d ·w) jest sªabym rozwi¡zaniem jednorod-nego zagadnienia (8.2.29). Ze wzgl¦du na jednoznaczno±¢ rozwi¡za« tego ostatniego prob-lemu wnioskujemy, »e u ≡ 0, czyli w ≡ 0, bo w = (¯d · u,d · u).

8.3 Zagadnienie w obszarze ograniczonymW tym podrozdziale otrzymamy rozwi¡zania zagadnienia (8.1.2) (str. 126) stosujac tech-nik¦ regularyzatora (§7, roz. IV [18]), czyli poka»emy, »e je»eliA jest operatorem zwi¡zanymz zagadnieniem (8.1.2), to istnieje ci¡gªy i liniowy operator R taki, »e przy τ > 0 dostate-cznie maªym mamy ‖AR−I‖ < 1 i ‖RA−I‖ < 1, gdzie I jest identyczno±ci¡ w odpowied-niej przestrzeni. Wtedy oczywi±cie AR i RA s¡ odwracalne, wi¦c A ma lewostronniei prawostronnie odwrotny, wi¦c A jest odwracalny. To ostatnie oznacza jednoznaczn¡rozwi¡zywalno±¢ zagadnienia (8.1.2).

135

8.3.1 RegularyzatorNa mocy zaªo»enia brzeg Ω jest gªadki. Zatem przy pewnym λ0 ∈ (0, 1), dla ka»degoλ ∈ (0, λ0) istniej¡ rodziny podzbiorów Ω, oznaczane przez

ω(k)

k=1,...,Kλ

iΩ(k)

k=1,...,Kλ

,posiadaj¡ce nast¦puj¡ce wªasno±ci:

(P1) ω(k) ⊆ Ω(k) dla ka»dego k,Kλ⋃k=1

ω(k) =Kλ⋃k=1

Ω(k) = Ω,(P2) istnieje staªa N0 niezale»na od λ taka, »e dowolne przeci¦cie N0+1 zbiorów rodziny

Ω(k)k=1,...,Kλ

jest puste, tj. rz¡d pokrycia Ω ⊆Kλ⋃k=1

Ω(k) jest równy N0 i nie zale»yod λ,

(P3) zbiór indeksów 1, ..., Kλ jest rozª¡czn¡ sum¡ zbiorów Dλ, Oλ, Nλ, Mλ onast¦puj¡cych wªasno±ciach: istnieje β ∈ (1, 3

2), niezale»ne od λ takie, »e je»eli

k ∈ Oλ ∪Mλ, to ω(k) i Ω(k) s¡ kostkami o ±cianach równolegªych do osi, ±rodku wpunkcie q(k) ∈ Ω i kraw¦dziach równych odpowiednio λ i βλ. Gdy k ∈ Nλ ∪ Dλ,to ω(k) = Ω ∩K1 i Ω(k) = Ω ∩K2, gdzie K1 i K2 s¡ kostkami o ±rodku w punkcieq(k) ∈ ∂Ω∩ω(k) i kraw¦dziach o dªugo±ciach odpowiednio λ i βλ. Dla k ∈ Oλ mamyq(k) ∈ L i dist(Ω(k), ∂Ω) ≥ λβ

2. Dla k ∈ Nλ mamy ω(k) ∩ ∂Ω 6= ∅ and Ω(k) ∩ L = ∅.

Dla k ∈ Dλ mamy ω(k) ∩ ∂Ω 6= ∅ i q(k) = p1 lub q(k) = p2, gdzie p1, p2 = ∂Ω∩L,(P4) istnieje γ ∈ (

√3

2, 1) niezale»na od λ taka, »e je»eli d(k) := dist(q(k), L), to

mink∈Mλ∪Nλ

d(k) ≥ γλ.

Uwaga 8.3.1. Okre±lone powy»szej rodziny zbiorówω(k)

k=1,...,Kλ

iΩ(k)

k=1,...,Kλ

s¡

standartowym krokiem w konstrukcji regularyzatora (§4, roz. IV, [18]). W naszym przy-padku musimy jednak zadba¢ o to, by przy λ → 0+, odlegªo±¢ tych podobszarów od osi Lbyªa proporcjonalna do ich ±rednicy, co wyra»one jest w warunkach (P3) i (P4).

W celu skonstruowania regularyzatora b¦dziemy rozwa»a¢ cztery rodzaje zagadnie« zlokali-zowanych: w otoczeniu osi L z dala od brzegu Ω (k ∈ Oλ), w otoczeniu osi L przy brzegu Ω(k ∈ Dλ), poza osi¡ L z dala od brzegu Ω (k ∈Mλ) i poza osi¡ L przy brzegu Ω (k ∈ Nλ).Dwa ostatnie przypadki b¦d¡ rozwa»ane w przestrzeniach bez wag, a odpowiednie osza-cowania w przestrzeniach wagowych b¦d¡ wywnioskowane z warunków P3 i P4.Z zaªo»enia brzeg Ω jest gªadki, zatem jest lokalnie wykresem funkcji gªadkiej. Wprowad¹mylokalny ukªad wspóªrz¦dnych y = (y1, y2, y3) o ±rodku w punkcie q(k) taki, »e je»eli k ∈Dλ∪Nλ, to S(k) := ∂Ω∩Ω(k) jest opisane równaniem y3 = f (k)(y1, y2), gdzie f (k) jest gªadk¡funkcj¡ i max(|y1|, |y2|) < λβ. Wprowad¹my równie» wspóªrz¦dne Zk = (Zk,1, Zk,2, Zk,3),gdzie Zk,i := yi dla i = 1, 2 i Zk,3 := y3 − f (k)(y1, y2). Je»eli k ∈ Oλ ∪ Mλ, to przezZk = (Zk,1, Zk,2, Zk,3) oznaczamy kartezja«ski ukªad wspóªrz¦dnych o ±rodku w q(k).Wobec gªadko±ci brzegu Ω mamy: je»eli

η1(λ) := maxk∈Dλ∪Nλ

supx∈Ω(k)

∣∣∣∣∣3∑

l,m=1

∇Zk,m · ∇Zk,l(x)−∇Zk,m · ∇Zk,l(q(k))

∣∣∣∣∣ ,η2(λ) := max

k∈Dλ∪Nλ

supx∈Ω(k)

∣∣a− a(q(k))∣∣ ,

to zachodz¡ warunkiη1(λ) → 0, η2(λ) → 0, gdy λ→ 0+. (8.3.1)

136

Przez ca oznaczmy norm¦ pola wektorowego a w W 1,∞ i niech cΩoznacza wielko±¢

max‖DlZk‖L∞(Ω(k)), ‖DlZ−1k ‖L∞(Ω(k)); k ∈ Dλ ∪Nλ, l = 1, 2.

Poªó»myΩ(k) := Zk(Ω

(k)), ω(k) := Zk(ω(k)), S(k) := Zk(S

(k)).

Niech ξ(k); k = 1, ..., Kλ b¦dzie rodzin¡ gªadkich funkcji takich, »e 0 ≤ ξ(k)(x) ≤ 1,

ξ(k)(x) = 1 dla x ∈ ω(k), ξ(k)(x) = 0 dla x ∈ Ω \ Ω(k) i ∂ξ(k)

∂n|∂Ω = 0. Wobec warunku

(P3) mamy |Dmx ξ

(k)(x)| ≤ cλ−|m| dla |m| ≤ 2, gdzie c = c(β). Z warunków (P1) i (P2)

wnioskujemy, »e 1 ≤Kλ∑k=1

(ξ(k)(x)

)2 ≤ N0 dla x ∈ Ω. Wprowd¹my oznaczenie

η(k)(x) :=ξ(k)

Kλ∑l=1

[ξ(l)(x)]2

. (8.3.2)

Wtedy mamy η(k)(x) = 0 dla x ∈ Ω \ Ω(k), ∂η(k)

∂n|∂Ω = 0 i

Kλ∑k=1

η(k) · ξ(k) ≡ 1 na Ω, (8.3.3)

|Dmx η

(k)(x)| ≤ cλ−|m| dla |m| ≤ 2, (8.3.4)gdzie c = c(β,N0). Wprowad¹my nast¦puj¡ce oznaczenia

Y τ (Ω(k)) := L2,µ(Ω(k),τ )2 ×W

32, 34

2,µ (S(k),τ )×W

12, 14

2,µ (S(k),τ ),

Xτ (Ω(k)) := W

2,12,µ(Ω

(k),τ )2.

Przestrzenie Y τ (Ω) i Xτ (Ω) okre±lamy analogicznie, pomijaj¡c wska¹nik (k). Oznaczmyprzez A operator zwi¡zany z zagadnieniem (8.1.2), tzn. A : Xτ (Ω) −→ Y τ (Ω) i dlau = (u1, u2) ∈ Xτ (Ω) okre±lamy

Au =

[(∂

∂t− ν∆

)u, ¯a · u|S ,

∂

∂n(a · u)|S

].

Poka»emy, »e dla pewnego τ ∈ (0, 1) operator A jest odwracalny. W tym celu wystarczyzdeniowa¢ liniowy i ci¡gªy operator R : Y τ (Ω) −→ Xτ (Ω) taki, »e

‖AR− Id ‖Y τ (Ω) < 1, ‖RA− Id ‖Xτ (Ω) < 1 (8.3.5)

przy pewnym τ > 0. Jak ju» wspomniano w pocz¡tku tego rozdziaªu, nierówno±ci (8.3.5)zapewniaj¡ istnienieA−1. OperatorR zdeniujemy jako sum¦ skªadników postaci η(k)R(k),gdzie R(k) : Y τ (Ω) −→ Xτ (Ω(k)) b¦dzie liniowym i ci¡gªym operatorem, a dla ka»degok ∈ 1, ..., Kλ i h ∈ Y τ (Ω) speªnione b¦dzie oszacowanie

‖R(k)h‖Xτ (Ω(k)) ≤ c‖h‖Y τ (Ω(k)) (8.3.6)

137

gdzie c = c(cΩ, µ, ν, T ). W dalszych rozwa»aniach b¦dziemy przyjmowa¢, »e liczby λ, τ

speªniaj¡ nast¦puj¡ce warunkiτ

λ2≤ κ, gdzie κ, τ ≤ 1. (8.3.7)

Nierówno±ci (8.3.5) zostan¡ zagwarantowane odpowiednim wyborem parametrów λ i τ , cooczywi±cie wymaga kontroli nad wszystkimi staªymi pojawiaj¡cymi si¦ w oszacowaniachi stanowi zasadnicz¡ trudno±¢ dowodu.Przejd¹my teraz do okre±lenia operatoraR(k). We¹my zatem h = (F 1, F 2, φ1, φ2) ∈ Y τ (Ω).Musimy rozwa»y¢ cztery przypadki, zwiazane z ró»nymi typami podobszarów.Przypadek k ∈ Dλ (otoczenie osi L, przy ∂Ω). Poªó»my

fi(x, t) := ξ(k)F i(Z−1k (x), t), ψi(x, t) := ξ(k)φi(Z

−1k (x), t) dla i = 1, 2. (8.3.8)

Oczywi±cie funkcje fi, ψi speªniaj¡ zaªo»enia lematu 8.2.6, bo otrzymujemy je poprzezgªadk¡ zamian¦ zmiennych i przemno»enie przez funkcj¦ wycinaj¡c¡. Zatem dostajemysªabe rozwi¡zanie w(k) = (w

(k)1 , w

(k)2 ) zagadnienia (8.2.27), gdzie d := a(q(k)). Okre±lmy

R(k) formuª¡R(k)h(x, t) := w(k)(Zk(x), t). (8.3.9)

Zatem korzystaj¡c z oszacowania (8.2.28) mamy‖R(k)h‖Xτ (Ω(k)) ≤ c

Ω‖w(k)‖

W 2,12,µ(Ω(k),τ )2

≤

c

‖f‖

L2,µ(Ω(k),τ )2+ ‖ψ1‖

W

32 , 342,µ (S(k),τ )

+ ‖ψ2‖W

12 , 142,µ (S(k),τ )

, (8.3.10)

gdzie c = c(ν, µ, T, cΩ) i f = (f1, f2). Oczywi±cie mamy ‖fi‖L2,µ(Ω(k),τ )

≤ cΩ‖F i‖L2,µ(Ω(k),τ ).

Zanim oszacujemy pozostaªe wyra»enia w (8.3.10), odnotujmy wpierw nast¦puj¡ce fakty.Uwaga 8.3.2. Istnieje staªa c = c(µ, c

Ω) taka, »e dla ka»dego w ∈ W

2,12,µ(Ω

(k),τ ) i dla |m| ≤

1 speªniona jest nierówno±¢ ‖Dmx w‖L2,µ(Ω(k),τ ) ≤ cτ 1− |m|

2 ‖w‖L22,µ(Ω(k),τ ), (norma L2

2,µ zostaªa

okre±lona na stronie 11). Istotnie, przy |m| = 0 nierówno±¢ t¦ otrzymujemy korzystaj¡cz tego, »e w znika przy t = 0. Natomiast dla |m| = 1 nale»y dodatkowo skorzysta¢ znierówno±ci interpolacyjnej2 z stosownym epsilonem.

Uwaga 8.3.3. Operator ±ladu v 7→ v|S(k) (v 7→ ∂v∂n |S(k) odpow.) jest liniowy i ci¡gªy z

przestrzeniW

2,12,µ(Ω

(k),τ ) na przestrze«W

32, 34

2,µ (S(k),τ ) (W

12, 14

2,µ (S(k),τ ) odpow.), zatem istnieje

operator prawostronnie odwrotny, który te» jest liniowy i ci¡gªy3. Podkre±lmy, i» normaw przestrzeniach ±ladów zostaªa okre±lona w taki sposób, by normy operatora ±ladu i jegoprawostronnie odwrotnego nie zale»aªy od parametrów λ and τ .

Korzystaj¡c z powy»szej uwagi otrzymujemy Φ1 ∈ W

2,12,µ(Ω

(k),τ ) b¦d¡ce przedªu»eniem

φ1 ∈ W32, 34

2,µ (S(k),τ ). Wtedy mamy

‖ψ1‖W

32 , 342,µ (S(k),τ )

≤ ‖ξ(k)Φ1(Z−1k (·))‖

W

2,12,µ(Ω(k),τ )

≤ cΩ‖ξ(k)Φ1‖W

2,12,µ(Ω(k),τ )

2Nierówno±c t¦ mo»emy otrzyma¢ np. z twierdzenia 2.1.14 [30].3Wi¦cej szczegóªów mo»na znale¹¢ w §6 [12].

138

≤ c(cΩ)(1+λ−1+λ−2)‖Φ1‖L2,µ(Ω(k),τ )+c(cΩ

)[(1 + λ−1)‖∇Φ1‖L2,µ(Ω(k),τ ) + ‖Φ1‖L2

2,µ(Ω(k),τ )

]≤

c(cΩ, µ)τ

12 (κ

12 + τ

12 + 1) + κ

12 + κ+ 1

‖Φ1‖L2

2,µ(Ω(k),τ ) ≤ c(cΩ, µ)‖φ1‖

W

32 , 342,µ (S(k),τ )

,

gdzie skorzystali±my z wªasno±ci (P3), warunku (8.3.7) i uwag 40, 41. Podobnie dowodzimyoszacowania

‖ψ2‖W

12 , 142,µ (S(k),τ )

≤ c(cΩ, µ)‖φ2‖

W

12 , 142,µ (S(k),τ )

.

Zatem przy zaªo»eniu (8.3.7), z nierówno±ci (8.3.10) otrzymujemy (8.3.6) dla k ∈ Dλ,gdzie c = c(c

Ω, µ, ν, T ).

Przypadek k ∈ Oλ (otoczenie osi L, z dala od ∂Ω). Poªó»my fi takie jak w (8.3.8). Zlematu 8.2.2 (str. 127) dostajemy w(k) = (w

(k)1 , w

(k)2 ), gdzie w(k)

i jest sªabym rozwi¡zaniemzagadnienia (8.2.5) z praw¡ stron¡ równa fi, i = 1, 2. Okre±lmy R(k)h formuª¡ (8.3.9).Wtedy oszacowanie (8.2.22) z lematu 8.2.5 (str. 133) daje (8.3.6) z staª¡ c = c(µ, ν, T ).

Uwaga 8.3.4. W pozostaªych przypadkach zbiory Ω(k) s¡ rozª¡czne z osi¡ L. Zatemmo»emy rozwa»a¢ rozwi¡zania problemów zlokalizowanych w przestrzeniach bez wag. Jed-nak»e musimy post¦powa¢ na tyle ostro»nie, by z tych oszacowa« daªo si¦ odzyska¢ osza-cowania w przestrzeniach wagowych.

Przypadek k ∈Mλ (poza osi¡ L, z dala od ∂Ω). Poªó»my fi takie jak w (8.3.8). Wtedy

‖fi‖L2(Ω(k),τ )≤ sup

Ω(k)

r−µ · ‖F i‖L2,µ(Ω(k),τ ).

Wobec wªasno±ci (P3), (P4) mamy supΩ(k)

r−µ ≤ λµ(γ − β2)µ < ∞, zatem funkcje fi s¡

caªkowalne z kwadratem. Niech w(k)i b¦dzie sªabym rozwi¡zaniem zagadnienia (8.2.5) z

praw¡ stron¡ równa fi, tj. stosujemy lemat 8.2.2 (str. 127) przy µ = 0. Poªó»my w(k) =

(w(k)1 , w

(k)2 ) i okre±lmy R(k)h formuª¡ (8.3.9). Wtedy otrzymujemy

‖R(k)h‖W 2,12,µ(Ω(k),τ )2 ≤ sup

Ω(k)

rµ · ‖R(k)h‖W 2,12 (Ω(k),τ )2 ≤ c(ν, T ) sup

Ω(k)

rµ · ‖f‖L2(Ω(k),τ )2

≤ c(ν, T ) supΩ(k)

rµ · ‖F‖L2(Ω(k),τ )2 ≤ c(ν, T ) supΩ(k)

rµ · supΩ(k)

r−µ · ‖F‖L2,µ(Ω(k),τ )2 ,

gdzie f = (f1, f2). Jako, »e k ∈Mλ, to z wªasno±ci (P3) i (P4) wynika, i» na zbiorach Ω(k)

mamy nierówno±¢

supΩ(k)

rµ · supΩ(k)

r−µ ≤

(γ + β

2

γ − β2

)µ

czyli wielko±¢ powy»sza jest oszacowana niezale»nie od parametru λ. Zatem otrzymujemy(8.3.6) za staª¡ c = c(µ, ν, T ).Przypadek k ∈ Nλ (poza osi¡ L, przy ∂Ω). Poªó»my fi, ψi takie jak w (8.3.8) i niechw(k) = (w

(k)1 , w

(k)2 ) bedzie sªabym rozwi¡zaniem zagadnienia (8.2.27) dla d = a(q(k)) i

µ = 0. Okre±lamy funkcje R(k)h formuª¡ (8.3.9). Korzystaj¡c z wªasno±ci (P3), (P4) tak,jak w poprzednim przypadku, a nast¦pnie wykonuj¡c oszacowanie analogiczne do tych zpierwszego przypadku, otrzymujemy nierówno±¢ (8.3.6) ze staª¡ c = c(µ, ν, c

Ω, T ).

139

W ten sposób, przy zaªo»eniu (8.3.7), wykazali±my oszacowanie (8.3.6) dla ka»dego k ∈1, ..., Kλ, gdzie staªa c zale»y jedynie od µ, ν, c

Ωi T . Oczywi±cie, gdy h ∈ Y τ (Ω), to

η(k)R(k)h ∈ Xτ (Ω). Okre±lamy operator R : Y τ (Ω) −→ Xτ (Ω) nast¦puj¡co

Rh :=

Kλ∑k=1

η(k)R(k)h dla h ∈ Y τ (Ω). (8.3.11)

Jest jasne, »e R jest liniowe. Przy zaªo»eniu (8.3.7), korzystaj¡c z uwagi 40, denicji(8.3.11) i wªasno±ci (P2), oszacowania (8.3.4) i ponownie uwagi 40, a w ko«cu z oszacowa«(8.3.6), dostajemy

‖Rh‖2Xτ (Ω) ≤ c(µ, c

Ω)‖Rh‖2

L22,µ(Ωτ )2 ≤ c(µ, c

Ω, N0)

Kλ∑k=1

‖η(k)R(k)h‖2L2

2,µ(Ω(k),τ )2

≤ c(µ, cΩ, κ,N0)

Kλ∑k=1

‖R(k)h‖2L2

2,µ(Ω(k),τ )2 ≤ c(µ, ν, κ, cΩ, N0)

Kλ∑k=1

‖h‖2Y τ (Ω(k)).

Zatem R jest ci¡gªe, bo z warunku (P2) mamyKλ∑k=1

‖h‖2Y τ (Ω(k))

≤ N0‖h‖2Y τ (Ω).

8.3.2 Oszacowania regularyzatoraTeraz wyka»emy oszacowania (8.3.5). Zaczijmy od pierwszego z nich. Je»elih = (F 1, F 2, φ1, φ2) ∈ Y τ (Ω), to wobec (8.3.3) mo»emy napisa¢

ARh− h = A

Kλ∑k=1

η(k)R(k)h−Kλ∑k=1

η(k) · ξ(k)h. (8.3.12)

Uwaga 8.3.5. W tym podrozdziale wszystkie staªe b¦d¡ zale»aªy jedynie od µ, ν, cΩ, ca,

N0 i T . Ponadto wszystkie oszacowanie zachodz¡ pod warunkiem (8.3.7).

Dla i = 1, 2 oznaczmy przez R(k),i i-t¡ skªadow¡ R(k). Wtedy dwie pierwsze skªadowe w(8.3.12) s¡ równeKλ∑k=1

η(k)

[(∂

∂t− ν∆

)R(k),ih− ξ(k)F i

]− 2ν

Kλ∑k=1

∇η(k) · ∇R(k),ih− ν

Kλ∑k=1

∆η(k) ·R(k),ih,

(8.3.13)gdzie i = 1, 2. Funkcja R(k),i byªa okre±lona poprzez gªadk¡ zamian¦ zmienny funkcji wi,która z kolei speªniaªa równanie

(∂∂t− ν∆

)wi(x, t) = ξ(k)F i(Z−1

k (x), t). Zatem korzystaj¡cz (8.3.6), po prostych rachunkach, wnioskujemy, »e norma w L2,µ(Ω

(k),τ ) pierwszej z sum w(8.3.13) szacuje si¦ przez c(η1(λ)+τ

12 )‖h‖Y τ (Ω). Korzystaj¡c z (8.3.3) i uwagi 40 szacujemy

norm¦ drugiej sumy w (8.3.13) przez cκ 12 (

Kλ∑k=1

‖R(k),ih‖2L2

2,µ(Ω(k),τ ))

12 . Uwzgl¦dniaj¡c (8.3.6),

ta ostatnia wielko±¢ nie przekracza cκ 12‖h‖Y τ (Ω). Post¦puj¡c podobnie z ostatni¡ sum¡

w (8.3.13), jej norm¦ szacujemy przez cκ‖h‖Y τ (Ω). Podsumowuj¡c, norma w L2,µ(Ωτ )

pierwszych dwóch skªadowych w (8.3.12) jest szacowana przez

c(η1(λ) + τ

12 + κ

12 + κ

)‖h‖Y τ (Ω). (8.3.14)

140

Trzecia skªadowa w (8.3.12) jest równa

(¯a ·Rh)|S−φ1 =∑

k∈Dλ∪Nλ

η(k)[¯a ·R(k)h|S − ξ(k)φ1

]=

∑k∈Dλ∪Nλ

η(k)[(

¯a− ¯a(q(k)))·R(k)h|S

],

gdzie skorzystali±my z warunków brzegowych speªnianych przez funkcje R(k)h. Wtedykorzystaj¡c z (8.3.3), uwagi 40 i (8.3.6) szacujemy norm¦ powy»szej sumy w W

32, 34

2,µ (Sτ )przez

c(η2(λ) + τ12 )‖h‖Y τ (Ω). (8.3.15)

Natomiast ostatnia wspóªrz¦dna w (8.3.12) jest równa[∂

∂n(a ·Rh)

]|S− φ2 =

[∂

∂n

(a ·

Kλ∑k=1

η(k)R(k)h

)]|S

− φ2

=

[∂a

∂n·Kλ∑k=1

η(k)R(k)h

]|S

+

[a ·

Kλ∑k=1

∂η(k)

∂nR(k)h

]|S

+

[Kλ∑k=1

η(k)(a− a(q(k))

)· ∂R

(k)h

∂n

]|S

+

[Kλ∑k=1

η(k)a(q(k)) · ∂R(k)h

∂n

]|S

− φ2.

Oczywi±cie dwa ostatnie wyra»enia si¦ redukuj¡, bo R(k)h speªnia stosowny warunek brze-gowy. Przypomnijmy, »e pochodna η(k) w kierunku normalnym do brzegu znika, wi¦cpowy»sze wyra»enie jest równe

∂

∂n

[Kλ∑k=1

η(k)(a− a(q(k)))R(k)h

]|S

Korzystaj¡c z (8.3.3), uwagi 40 i (8.3.6) szacujemy norm¦ powy»szej sumy w W

12, 14

2,µ (Sτ )przez

c(η2(λ) + τ12 )‖h‖Y τ (Ω). (8.3.16)

Podsumowuj¡c, z (8.3.14)-(8.3.16) dostajemy

‖ARh− h‖Y τ (Ω) ≤ c1(η1(λ) + η2(λ) + τ

12 + κ

12 + κ

)‖h‖Y τ (Ω). (8.3.17)

Teraz zajmniemy si¦ drug¡ z nierówno±ci (8.3.5). Zaªó»my, »e u ∈ Xτ (Ω). Wtedy mamy

‖RAu− u‖2Xτ (Ω) ≤ c

Kλ∑k=1

‖η(k)(R(k)Au− ξ(k)u

)‖2Xτ (Ω(k)) ≤

c

Kλ∑k=1

‖η(k)R(k)(A−A(k))u‖2Xτ (Ω(k)) + c

Kλ∑k=1

‖η(k)(R(k)A(k)u− ξ(k)u

)‖2Xτ (Ω(k)), (8.3.18)

141

gdzie A(k) oznacza operator A z zamro»onymi wspóªczynnikami w punkcie q(k), tzn.

A(k)u :=

[(∂

∂t− ν∆

)u, ¯a(q(k))u|S,

∂

∂n

(a(q(k))u

)|S

].

Na pocz¡tek oszacujmy pierwsza sum¦ w (8.3.18). Wobec uwagi 40 i oszacowania (8.3.6)otrzymujemy

‖η(k)R(k)(A−A(k))u‖Xτ (Ω(k)) ≤ c‖R(k)(A−A(k))u‖Xτ (Ω(k)) ≤

c‖(A−A(k))u‖Y τ (Ω(k)) ≤ c(η2(λ) + τ12 )‖u‖Xτ (Ω(k)). (8.3.19)

Druga suma z (8.3.18) mo»e by¢ oszacowanna w nast¦puj¡cy sposób. Niech y := Zk(x)b¦dzie lokalnym ukªadem wspóªrzednych o ±rodku w q(k). WtedyR(k)A(k)u(x, t) = w(k)(y, t),gdzie w(k) jest rozwi¡zaniem odpowiedniego zagadnienia. Zatem korzystaj¡c z oszacowa«(8.2.22), (8.2.28), dostajemy

‖η(k)(R(k)A(k)u− ξ(k)u

)‖W

2,12,µ(Ω(k),τ )2 ≤ c‖η(k)w(k) − η(k)ξ(k)u‖

W

2,12,µ(Ω(k),τ )2

≤

c

∥∥∥∥( ∂

∂t− ν∆y

)[η(k)w(k) − η(k)ξ(k)u

]∥∥∥∥L2,µ(Ω(k),τ )2

+

δk

∥∥∥∥¯a(q(k))[η(k)w(k) − η(k)ξ(k)u

]|S(k)

∥∥∥∥W

32 , 342,µ (S(k),τ )

+

δk

∥∥∥∥ ∂

∂y3

[a(q(k))

(η(k)w(k) − η(k)ξ(k)u

)]|S(k)

∥∥∥∥W

12 , 142,µ (S(k),τ )

,

gdzie nad symbolem funkcji oznacza t¦ funkcj¦ w ukªadzie wspóªrzednych y, natomiastδk = 0 dla k ∈Mλ∪Oλ i δk = 1 dla k ∈ Dλ∪Nλ. Bezpo±rednim rachunkiem otrzymujemy(

∂

∂t− ν∆y

)[w(k)(y, t)− ξ(k)u(Z−1

k (y), t)]

= ν∆yξ(k) · u(Z−1

k (y), t)+

2ν∇yξ(k) · ∇y

[u(Z−1

k (y), t)]+ νξ(k)

3∑m=1

∂u

∂xm(Z−1

k (y), t) ·∆yZ−1k,m+

νξ(k)

3∑n,m=1

∂2u

∂xn∂xm(Z−1

k (y), t)[∇yZ

−1k,m · ∇yZ

−1k,n(y)−∇yZ

−1k,m · ∇yZ

−1k,n(0)

].

Zatem post¦puj¡c podobnie jak wcze±niej, norm¦ powy»szego wyra»enia w L2,µ(Ω(k),τ )2

szacujemy przezc(κ

12 + κ+ τ

12 + η1(λ)

)‖u‖L2

2,µ(Ω(k),τ )2 .

Je»eli k ∈ Dλ∪Nλ, to zgodnie w warunkami brzegowymi zadanymi dla funkcji w(k) mamy

¯a(q(k))[η(k)w(k) − η(k)ξ(k)u

]|S(k)

= 0,∂

∂y3

[a(q(k))

(η(k)w(k) − η(k)ξ(k)u

)]|S(k)

= 0.

142

Zatem mamy nierówno±¢

‖η(k)(R(k)A(k)u− ξ(k)u

)‖Xτ (Ω(k)) ≤ c

(κ

12 + κ+ τ

12 + η1(λ)

)‖u‖L2

2,µ(Ω(k),τ )2 .

Zatem powy»sza nierówno±¢, (8.3.18) i (8.3.19) daj¡

‖RAu− u‖Xτ (Ω) ≤ c2(κ

12 + κ+ τ

12 + η1(λ) + η2(λ)

)‖u‖Xτ (Ω). (8.3.20)

Teraz ustalmy λ ∈ (0, λ0) i τ ∈ (0, 1) takie, »e

ci

(κ

12 + κ+ τ

12 + η1(λ) + η2(λ)

)< 1 dla i = 1, 2,

gdzie ci, i = 1, 2 sa staªymi pochodz¡cymi z (8.3.17) (8.3.20). Wtedy dla takich λ i τnierówno±ci (8.3.5) s¡ speªnione, wi¦c operator A : Xτ (Ω) −→ Y τ (Ω) jest odwracalny.Zatem, w ±wietle uwagi 8.1.1, dowód twierdzenia 8.1.1 jest zako«czony.

143

Rozdziaª 9

Podsumowanie

W niniejszej pracy rozwa»ano modelowe zagadnienia eliptyczne i paraboliczne w przestrze-niach wagowych, wyznaczone przez operatory −∆ + σr−2 i ∂t −∆ + σr−2, gdzie σ ≥ 0.Przedstawione tutaj wyniki odnosz¡ si¦ przede wszystkim do kwestii rozwi¡zywalno±ci roz-patrywanych zagadnie« przy danych z przestrzeni wagowej typu L2,µ i zachodzenia osza-cowa« a priori. Analiza tego typu problemów mo»e stanowi¢ etap wst¦pny do rozwa»aniabardziej skomplikowanych zagadnie«, a celem niniejszej rozprawy byªo uporz¡dkowanie iusystematyzowanie podstawowych wªasno±ci zagadnie« w przestrzeniach wagowych.Przedstawmy jeden z mo»liwych kierunków dalszych bada«. W tym celu wprowad¹myoznaczenia er = (cosϕ, sinϕ, 0), eϕ = (− sinϕ, cosϕ, 0), ez = (0, 0, 1). Je»eli v jestrozwi¡zaniem ukªadu równa« Navier-Stokesa, to we wspóªrz¦dnych walcowych vr = v · er,vϕ = v · eϕ, vz = v · ez ukªad ten przybiera posta¢

vr,t−ν(vr,rr+

1

rvr,r+

1

r2vr,ϕϕ+vr,zz−

2

r2vϕ,ϕ−

vrr2

)+vrvr,r+

vϕrvr,ϕ+vzvr,z+pr = fr, (9.0.1)

vϕ,t−ν(vϕ,rr +

1

rvϕ,r +

1

r2vϕ,ϕϕ+vϕ,zz +

2

r2vr,ϕ−

vϕr2

)+vrvϕ,r +

vϕrvϕ,ϕ+vzvϕ,z +

1

rpϕ = fϕ,

(9.0.2)

vz,t − ν(vz,rr +

1

rvz,r +

1

r2vz,ϕϕ + vz,zz

)+ vrvz,r +

vϕrvz,ϕ + vzvz,z + pz = fz, (9.0.3)

vr,r +1

rvϕ,ϕ + vz,z +

vrr

= 0, (9.0.4)

gdzie fr = f · er, fϕ = f · eϕ, fz = f · ez. Widzimy zatem, i» pojawiaj¡ce si¦ w równaniachwagi s¡ tego samego typu, co rozwa»ane w pracy, a do cz¦±ci liniowej tych równa« mo»nazastosowa¢ techniki przedstawione w rozprawie (np. w pracach [32]-[37] Autor wykorzys-tuje przestrzenie wagowe do analizy ukªadu (9.0.1)-(9.0.4)). Ponadto, w powy»szych rów-naniach odnajdujemy operator ∂t − ∆ + σr−2 przy σ = 0 i przy σ = 1. W ramachdalszych rozwa»a« na szczególn¡ uwag¡ zasªuguj¡ problemy, w których uwzgl¦dnia si¦specyk¦ problemów prowadz¡cych do zagadnie« w przestrzeniach wagowych. Mamy tumy±li twierdzenia o istnieniu i jednoznaczno±ci rozwi¡za« przy danych nale»¡cych cz¦±ciwspólnej ró»nych przestrzeni wagowych Hm1

µ1∩Hm2

µ2czy Lp(0, T ;Lq,µ(Ω)). Na koniec odno-

tujmy, i» powtarzaj¡c rozumowanie z [24] mo»emy otrzymyma¢ rozwi¡zywalno±¢ zagad-nienia eliptycznego (5.1.1) przy danych z przestrzeni Lp,µ dla p ∈ (1,∞).

144

Bibliograa

[1] S. Agmon, A. Douglis, L. Nirenberg, Estimates near the boundary for solutions ofelliptic partial dierential equations satisfying general boundary conditions. I., Com-mun. Pure Appl. Math. 12, 623-727 (1959).

[2] S. Axler, P. Bourdon, W. Ramey, Harmonic function theory, Springer-Verlag NewYork, 2001.

[3] P.M. Bleher, On operators depending meromorphically on a parameter, Vestn. Mosk.Univ., Ser. I 24, No.5, 30-36 (1969).

[4] M. Borsuk, V. Kondratiev, Elliptic boundary value problems of second order in piece-wise smooth domains, North-Holland Mathematical Library 69. Amsterdam: Elsevier(2006).

[5] P. Grisvard, Elliptic problems in nonsmooth domains, Pitman, London, 1985.

[6] G.H. Hardy, J.E. Littlewood, G. Pólya, Inequalities, Cambridge University Press,1934.

[7] V.A. Kozlov, V. G. Maz'ya, J. Rossmann, Elliptic boundary value problems in do-mains with point singularities, American Mathematical Society, Providence, RI, 1997.

[8] V.A. Kondrat'ev, Boundary value problems for elliptic equations in domains withconical or angular points, Trudy Moskov. Mat. Ob²£. 16 1967.

[9] V.A. Kozlov, Asymptotics as t→ 0 of solutions of the heat equation in a domain witha conical point, Math. USSR, Sb. 64, No.2, 383-395 (1989).

[10] D. Kröner, W.M. Zaj¡czkowski, Free boundary ow with dynamic contact angle fortwodimensional Navier-Stokes system, Military University of Technology, Preprintno 2/2003.

[11] A. Kubica, The regulatity of weak and very weak solutions of the Poisson equation onpolygonal domain with mixed boundary conditions (part I), Appl. Math. (Warsaw) 31(2004), no. 4, 443-456.

[12] A. Kubica, The regulatity of weak and very weak solutions of the Poisson equation onpolygonal domain with mixed boundary conditions (part II), Appl. Math. (Warsaw)32 (2005), no. 1, 17-36.

[13] A. Kubica, W.M. Zaj¡czkowski, Parabolic system in weighted Sobolev space, Appl.Math. 34 (2007), 169-191.

145

[14] A. Kubica, W. Zaj¡czkowski, A priori estimates in weighted space for solutions ofthe Poisson and the heat equations, Appl. Math. (Warsaw) 34 (2007), 431-444.

[15] A. Kubica, Dirchlet problem in the weighted spaces on a dihedral domain, BanachCenter Publications 86 (2008).

[16] A. Kufner, J. Rákosník, Linear elliptic boundary value problems and weighted Sobolevspaces: a modied approach, Math. Slovaca 34, 185-197 (1984).

[17] A. Kufner, A.M. Sändig, Some applications of weighted Sobolev spaces, Teubner-Texte zur Mathematik, Bd. 100. Leipzig: BSB B. G. Teubner Verlagsgesellschaft.

[18] O.A. Ladyzenskaja, V.A. Solonnikov, N.N. Uralceva, Linear and quasilinear equa-tions of parabolic type, auka", Moscow, 1967; English transl., Amer. Math. Soc.,Providence, RI, 1968.

[19] O.A. Ladyzhenskaya, The mathematical theory of viscous incompressible ow, NewYork - London - Paris: Gordon and Breach Science Publishers, XVIII, (1969).

[20] S. Leonardi, J. Málek, J. Ne£as, M. Pokorný, On axially symmetric ows in R3, Z.Anal. Anwendungen 18 (1999), no. 3, 639-649.

[21] Lions, J.L.; Magenes, E. Non-homogeneous boundary value problems and applications.Vol. I, Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag. XVI, (1972).

[22] V. Mazya, S. Nazarov, B. Plamenevskii, Asymptotic theory of elliptic boundary valueproblems in singularly perturbed domains. Vol. I, Operator Theory: Advances andApplications 111. Basel: Birkhäuser. xxiii, (2000).

[23] V. Mazya, S. Nazarov, B. Plamenevskii, Asymptotic theory of elliptic boundary valueproblems in singularly perturbed domains. Vol. II, Operator Theory: Advances andApplications 112. Basel: Birkhäuser. xxiii, (2000).

[24] V. Mazya, B. Plamenevskii, Lp-estimates of solutions of elliptic boundary value prob-lems in domains with ribs, Trudy Moskov. Mat. Obshch. 37 (1978), 4993, 270.

[25] B. Muckenhoupt, Weighted norm inequalities for the Hardy maximal function, Trans.Amer. Math. Soc. 165 (1972), 207-226.

[26] S.A. Nazarov, B.A. Plamenevsky, Elliptic problems in domains with piecewise smoothboundaries, Walter de Gruyter & Co., Berlin, 1994.

[27] J. Neustupa, M. Pokorný, An interior regularity criterion for an axially symmetricsuitable weak solution to the Navier-Stokes equations, J. Math. Fluid Mech. 2 (2000),no. 4, 381-399.

[28] H. Reisman, Second order elliptic boundary value problems in a domain with edges,Commun. Partial Dier. Equations 6, 1023-1042 (1981).

[29] V.A. Solonnikov, W.M. Zaj¡czkowski, On the Neumann problem for elliptic equationsof the second order in domains with edges on the boundary, Zap. Nauchn. Sem. LOMI127, (1983).

146

[30] B.O. Turesson,Nonlinear potential theory and weighted Sobolev spaces, Lecture Notesin Mathematics 1736, Berlin: Springer. xiv.

[31] W. Zaj¡czkowski, On theorem of embedding for weighted Sobolev spaces, Bull. Pol.Acad. Sci., Math. 33, 115-121 (1985).

[32] W. Zaj¡czkowski, Existence and regularity of solutions of some elliptic system indomains with edges, Diss. Math. 274 (1988).

[33] W. Zaj¡czkowski, Existence of solutions vanishing near some axis for the nonstation-ary Stokes system with boundary slip conditions, Diss. Math. 400, (2002).

[34] W. Zaj¡czkowski, Existence of solutions to some elliptic system in Sobolev spaceswith the weight as a power of the distance from some axis, Topol. Methods NonlinearAnal. 19, No.1, 91-108 (2002).

[35] W. Zaj¡czkowski, On imbedding theorems for weighted anisotropic Sobolev spaces,Appl. Math. 29, No.1, 51-63 (2002).

[36] W. Zaj¡czkowski, Global special regular solutions to the Navier-Stokes equations inaxially symmetric domains under boundary slip conditions, Diss. Math. 432, 1-138(2005).

[37] W.M. Zaj¡czkowski, Global special regular solutions to the Navier-Stokes equationsin a cylindrical domain under boundary slip conditions, Gakuto International Series,Mathematical Science and Applications, Volume 21, (2004).

147