175

.100 −κκκ

=

ρρ

= Ap

p (7.41)

Przyjmując parametry krytyczne jako wielkości odniesienia otrzymujemy

a

a

T

T

i

i

p

pA∗ ∗ ∗ ∗

∗

= = = =

+

22

1ρρ

κ (7.42)

oraz

p

pA∗ ∗ −

=

=

+

ρρ κ

κκκ2

1

1. (7.43)

Porównując związki (7.40) ÷ (7.41) ze związkami (7.42) ÷ (7.43) obliczamy

stosunki parametrów krytycznych do parametrów spiętrzenia

,1

2 11

000

−κκ

−κκ

∗

κ

∗∗

+κ=

=

ρρ

=T

T

p

p (7.44)

które odgrywają istotną rolę w zagadnieniach przepływu gazu przez przewody

o zmiennych przekrojach.

7.3. Prostopadła fala uderzeniowa

W naddźwiękowych strumieniach gazu mogą pojawiać się warstwy o grubo-

ściach równych swobodnej drodze cząsteczek, w których zachodzi gwałtowna zmia-

na parametrów gazu. Warstwy te nazywane są f a l a m i u d e r z e n i o w ym i ; nie-

które przykłady ich występowania pokazano na rys. 7.3.

Rys. 7.3

176

Fale uderzeniowe mogą być odsunięte lub dosunięte oraz w zależności od

kształtu: krzywoliniowe, stożkowe, kuliste albo też prostopadłe, jeśli pewna część

fali uderzeniowej jest prostopadła do kierunku przepływu niezakłóconego.

W dalszym ciągu ograniczymy się do omówienia tylko p r o s t o p a d ł e j f a l i

u d e r z e n i o w e j , która może występować także przy przepływach przez dysze,

długie przewody i podczas wybuchów.

Przy założeniu, że gaz jest nielepki i nie przewodzący ciepła, fala uderzeniowa

jest powierzchnią nieciągłości. Ponadto ze względu na pomijalnie małą grubość fali

można przyjąć, że przepływ przez falę jest adiabatyczny.

Rys. 7.4

Rozważmy fragment prostopadłej i nieruchomej fali uderzeniowej, zawierający

się w powierzchni kontrolnej σ (rys. 7.4).Związki między parametrami gazu po obu stronach prostopadłej fali uderzenio-

wej wynikają z:

1) równania ciągłości (3.22)

,)(212211

σ=σρ=ρ VV (7.45)

2) równania pędu

,2

2

221

2

11pVpV +ρ=+ρ (7.46)

uzyskanego z połączenia równania Eulera i równania ciągłości (7.45)

( ) ,02 =+ρ=+

+

ρ+ρ

+ρ

pVxd

d

xd

pd

xd

Vd

xd

dVV

xd

VdV

177

3) równania energii (7.24)

.1212

2

2

2

2

1

1

2

1

ρ−κκ+=

ρ−κκ+

pVpV (7.47)

Rozwiązujemy układ równań (7.45) i (7.46) względem V12 i V2

2 i podstawiamy

do równania energii (7.47). Po uporządkowaniu otrzymujemy ostatecznie wzór,

nazywany w dynamice gazów a d i a b a t ą H u g o n i o t a

( ).

)1()1(

1)1(

1

2

1

2

1

2

ρρ

−κ−+κ

−κ−ρρ

+κ=

p

p (7.48)

Adiabata Hugoniota różni się od znanej z termodynamiki adiabaty Poissona (1.14)

p ρκ = const, wyrażającej warunek stałości entropii gazu; krzywe odpowiadające

tym równaniom wykreślone są na rys.7.5. Wynika stąd wniosek, że entropia gazu

ulega zmianie po przejściu fali uderzeniowej.

Rys. 7.5

Z równania (7.12) otrzymujemy

2

1

1

2

12lnlnρρ

+=− RT

Tcssv

(7.49)

178

i następnie, po wykorzystaniu (7.6) i równania stanu (1.13), jest

.ln2

1

1

2

12

κ

ρρ

=−p

pcssv

(7.50)

Entropia gazu zawartego w obszarze kontrolnym nie może maleć, stąd mamy

.1

2

1

2

κ

ρρ

≥p

p (7.51)

Badając równanie adiabaty Poissona

κ

ρρ

=1

2

1

2

p

p (7.52)

i równanie adiabaty Hugoniota (7.48) (rys. 7.5) stwierdzamy, że:

1) w punkcie (1, 1) obie funkcje oraz ich pierwsze i drugie pochodne mają jedna-

kowe wartości,

2) adiabata Hugoniota ma asymptotę

,1

1

1

2

−κ+κ=

ρρ

3) nierówność (7.51) jest spełniona tylko na części adiabaty Hugoniota, leżącej

na prawo od punktu (1, 1).

Ostatnie stwierdzenie jest równoważne nierównościom

1,11

2

1

2 ≥ρρ

≥p

p, (7.53)

orzekającym, iż warunek określony drugą zasadą termodynamiki spełniają tylko

zgęszczeniowe fale uderzeniowe, w których ciśnienie po stronie tylnej p2 jest więk-

sze od ciśnienia po stronie czołowej p1 .

Wyznaczymy jeszcze zależności między innymi parametrami gazu po przejściu

fali (7.53):

- prędkość przepływu. Z drugiego warunku (7.53) i równania ciągłości (3.22)

wynika nierówność

V

V2

1

1≤ , (7.54)

179

- entalpia gazu. Zgodnie z równaniem (7.28) musi być

i

i2

1

1≥ , (7.55)

jeśli moduł prędkości maleje,

- temperatura gazu. Jest proporcjonalna do entalpii (7.25), zatem również wzrasta

T

T2

1

1≥ . (7.56)

W celu uzyskania ilościowego związku między prędkościami przepływu V1 oraz

2V układ równań (7.45) ÷ (7.46) zapiszemy w postaci

.22

2

211

1

1 V

pV

V

pV

ρ+=

ρ+ (7.57)

Z równania energii (7.47), po przyjęciu stałej Bernoulliego zgodnie z (7.36), mamy

.2

)1()1( 2

2,1

2

2,1

2,1

κ

−κ−+κ=

ρ∗ Vap

Po podstawieniu tych wyrażeń do wzoru (7.57) i pominięciu rozwiązania odpowia-

dającego przepływowi bez fali uderzeniowej ( )V V1 2= otrzymamy z a l e ż n o ś ć

P r a n d t l a

V V a1 22= ∗ . (7.58)

Zestawiając ten wynik ze wzorem (7.54) stwierdzamy, że w prostopadłej fali uderze-

niowej prędkość gazu po stronie czołowej jest zawsze nadkrytyczna, a po stronie

tylnej - zawsze podkrytyczna.

Na koniec udowodnimy, że ciśnienie spiętrzenia maleje po przejściu fali uderze-

niowej, co jest związane ze wzrostem entropii gazu. Związek między ciśnieniami

spiętrzenia wynika ze wzorów (7.31)

02

01

02

01

ρρ

=p

p,

przy założeniu, że ruch gazu przed i za falą uderzeniową jest izentropowy

.,

2

2

02

02

1

1

01

01

κκκκ ρ=

ρρ=

ρ

pppp

180

W wyniku odpowiednich przekształceń z trzech ostatnich zależności wyprowadzamy

związek

;

1

2

1

21

02

01

κ

−κ

ρρ

=

p

p

p

p (7.59)

na mocy (7.51) jest więc

.0201pp ≥

7.4. Przepływ przewodem o zmiennym przekroju

Rozpatrzymy przepływ ustalony przewodem o zmiennym przekroju, bez wymia-

ny masy przez ścianki i bez wymiany ciepła. Ograniczymy się przy tym do przewo-

dów krótkich, dla których może być pominięty wpływ tarcia gazu na zmianę para-

metrów przepływu; przepływ możemy więc traktować jako izentropowy.

Zasadę zachowania masy reprezentuje równanie (3.22), określające wydatek

masowy. Po jego zlogarytmowaniu i zróżniczkowaniu otrzymujemy

.0=+σ

σ+

ρ

ρ

V

Vddd (7.60)

Z równania Eulera (4.3) mamy

02=

ρ+V

pd

V

Vd

i następnie wykorzystujemy zależność (7.18) oraz zależność na liczbę Macha (7.21)

- ostatecznie jest

.012

=ρρ

+d

MV

Vd (7.61)

Po odpowiednim przekształceniu wzorów (7.60) i (7.61) możemy wyznaczyć

związki między przyrostami prędkości przepływu i gęstości gazu, a przyrostem

przekroju przewodu:

,1

12 σ

σ−

=d

MV

Vd (7.62)

181

.12

2

σσ

−−=

ρρ d

M

Md (7.63)

Związki te nazywane są r ó w n a n i a m i H u g o n i o t a .

Dla znanego przyrostu gęstości gazu obliczamy przyrost ciśnienia i przyrost

temperatury z równania izentropy (1.14) i równania stanu (1.13):

,ρ

ρκ=d

p

pd (7.64)

.)1(ρ

ρ−κ=

ρ

ρ−=

dd

p

pd

T

Td (7.65)

Ostatnie cztery równania pozwalają na bezpośrednią ocenę gradientów prędkości

przepływu i parametrów gazu w zależności od gradientu przekroju przewodu; zesta-

wienie uzyskanych rezultatów zostało przedstawione na rys. 7.6.

Rys. 7.6

Z analizy przedstawionych na rys. 7.6 znaków przyrostów wynikają następujące

wnioski:

1) dla stałego znaku σd odpowiadające sobie gradienty parametrów przepływu

pod- i naddźwiękowego są przeciwne,

2) przyspieszenie przepływu następuje dla M <1, gdy 0<σd oraz dla M >1

gdy ;0>σd taki kanał zbieżno-rozbieżny nazywa się d y s z ą ,

3) wyhamowanie przepływu następuje dla M <1, gdy 0>σd oraz dla ,1>M

gdy dσ < 0 taki kanał rozbieżno-zbieżny nazywa się d y f u z o r e m .

182

Analizując dokładniej przepływ w dyszy stwierdzamy, że:

1) jeśli w najwęższym przekroju nie zostanie osiągnięta prędkość dźwięku, to

w części rozszerzającej się prędkości będą maleć (d y s z a V e n t u r i e g o),

2) uzyskanie prędkości naddźwiękowych jest możliwe jedynie w przypadku, gdy

w najwęższym przekroju występują parametry krytyczne (d y s z a d e L a v a l a).

*

Zajmiemy się przepływem przez dyszę de Lavala zakładając, że dysza ta prze-

chodzi bezpośrednio w ściankę zbiornika, w którym znajduje się gaz o znanych

parametrach (rys. 7.7). Końcowy przekrój dyszy σwyl niech będzie tak dobrany, aby

ciśnienie gazu przypływającego przez dyszę pwyl osiągało w tym przekroju zadaną

wartość ciśnienia zewnętrznego pz .

Rys. 7.7

Ze związków (7.44) i (7.20) łatwo wyznaczymy parametry gazu występujące

w gardzieli dyszy. Gęstość w przekroju wylotowym ρwyl jest określona równaniem

izentropy

.wyl

wyl

0

0

κκ ρ=

ρ

pp

Z równania Bernoulliego

wyl

wyl

2

wyl

0

0

121 ρ−κκ+=

ρ−κκ pVp

obliczamy następnie Vwyl (wzór Saint-Venanta i Wantzela)

183

−

ρ−κκ

=−κκ1

0

wyl

0

02

wyl1

1

2

p

ppV . (7.66)

Wielkość przekroju σwyl wynika z równania ciągłości

,wylwylwyl ∗∗∗ σ=σρ apV

dla zadanego przekroju σ∗ .

W celu wyznaczenia związku między liczbą Macha a dowolnym polem przekroju

dyszy logarytmujemy i różniczkujemy wyrażenie (7.21)

,2

1

T

Td

V

Vd

a

ad

V

Vd

M

Md−=−=

które następnie, po wykorzystaniu wzorów (7.62) ÷ (7.65), przekształcamy następu-

jąco

.)1(2

2)1(2

2

σσ

−+−κ

=d

M

M

M

Md (7.67)

Po scałkowaniu i obliczeniu stałej całkowania dla σ σ= ∗ otrzymujemy zależność

σσ κ

κκκ

∗

+−

=+

+−

1 2

11

1

2

2

1

2 1

MM

( )

(7.68)

przedstawioną również na rys. 7.8.

Rys. 7.8

184

Wypływ z dyszy obliczeniowej )(wyl z

pp = ma postać schematycznie przedsta-

wioną na rysunku 7.9a. W zależności od wzajemnej relacji między ciśnieniem ze-

wnętrznym pz , a ciśnieniem obliczeniowym wylp obraz przepływu ulega jednak

znacznym zmianom, gdyż zarówno w dyszy, jak i w strumieniu swobodnym poja-

wiają się różne struktury przepływu:

1) gdy wylpp

z< (rys. 7.9b) gaz na zewnątrz dyszy ulega dodatkowemu rozprę-

żaniu,

2) gdy wylpp

z> następuje sprężanie gazu, które odbywa się poprzez powstające

skośne fale uderzeniowe przy małej różnicy ciśnień (rys. 7.9c), poprzez prostopadłą

falę uderzeniową przy większej różnicy ciśnień (rys. 7.9d, e) lub poprzez występo-

wanie przepływu poddźwiękowego w całej dyszy w przypadku znacznej różnicy

ciśnień (rys. 7.9f ).

Rys. 7.9

7.5. Przepływ izentropowy nieustalony

Zajmiemy się obecnie ogólnym przypadkiem ruchu jednowymiarowego i niesta-

cjonarnego, w którym można pominąć wpływ wymiany ciepła i tarcia gazu.

Układ równań, określający prędkość przepływu ),,( txVV = ciśnienie statyczne

),( txpp = i gęstość ),( txρ=ρ składa się z równania ciągłości (3.16), równania

Eulera (4.1), zapisanego dla kierunku x przy założeniu X = 0, oraz równania izentro-

py (7.41) i jest następujący: