Regla de Simpson 1/3CLASE 13

19-JULIO-2014

Regla de Simpson 1/3

La regla de Simpson 1/3 resulta cuando en la ecuación de la integral

𝑓(x) es reemplazado por un polinomio de Newton-Gregory de segundo orden (parábola). En

este método se tienen tres puntos por cada parábola. Los limites de integración corresponden a

dos de los tres puntos que forman la parábola. El tercer punto es el valor medio de los limites de

integración. La figura 1 muestra la aproximación a la función 𝑓(𝑥) por medio de una parábola.

𝐼 =

𝑎

𝑏

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =

𝑎

𝑏

𝑓2 𝑥 𝑑𝑥 ……………(1)

Regla de Simpson 1/3

𝑓(𝑥0)

𝑓(𝑥1)

𝑓(𝑥2)

𝑥0 𝑥1 𝑥2

𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 1 Representación gráfica

De la regla de Simpson 1/3

Regla de Simpson 1/3

Para obtener la formula de integración, se sustituye el polinomio de

Newton Gregory en diferencias progresivas de segundo orden y se realiza

la integración.

𝑎

𝑏

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =

𝑥1

𝑥2

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =

𝑥1

𝑥2

𝑓(𝑥0) + 𝐾∆𝑓 𝑥0 +𝐾2 − 𝐾

2∆2𝑓(𝑥0) 𝑑𝑥 …… (2)

=

0

2

ℎ 𝑓(𝑥0) + 𝐾∆𝑓 𝑥0 +𝐾2 − 𝐾

2∆2𝑓(𝑥0) 𝑑𝐾……(3)

Regla de Simpson 1/3

= ℎ 𝐾𝑓 𝑥0 +𝐾2

2∆𝑓 𝑥0 +

𝐾3

6−𝐾2

4∆2𝑓 𝑥0

0

2

…… . (4)

= ℎ 2𝑓 𝑥0 + 2∆𝑓 𝑥0 +1

3∆2𝑓 𝑥0 …… . (5)

= ℎ 2𝑓 𝑥0 + 2 𝑓 𝑥1 − 𝑓 𝑥0 +1

3𝑓 𝑥2 − 2𝑓 𝑥1 + 𝑓 𝑥0 …… . (6)

= ℎ6𝑓 𝑥0 + 6𝑓 𝑥1 − 6𝑓 𝑥0 + 𝑓 𝑥2 − 2𝑓 𝑥1 + 𝑓 𝑥0

3…… . (7)

Regla de Simpson 1/3

𝑰 =𝒉

𝟑𝒇 𝒙𝟎 + 𝟒𝒇 𝒙𝟏 + 𝒇 𝒙𝟐 …… . (𝟖)

Regla de Simpson 1/3

Ejemplo 1

Evalué la integral con el uso de la regla de Simpson 1/3 y compare el

resultado con el valor analítico.

0𝜋8 + 5𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = 35.1328

Regla de Simpson 1/3

Solución

La integral analítica es:

0𝜋8 + 5𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = 35.1328

La solución numérica es:

𝐼 = 𝑏 − 𝑎𝑓 𝑥0 +4𝑓 𝑥1 +𝑓 𝑥2

3𝑛

Regla de Simpson 1/3

Solución

Recordemos que 𝑓 𝑥 = 8 + 5𝑠𝑒𝑛 𝑥 , con 𝑛 = 2

𝑓 𝑥0 = 𝑓 0 = 8

𝑓 𝑥1 = 𝑓 𝜋/2 = 8 + 5 1 = 13

𝑓 𝑥2 = 𝑓 𝜋 = 8

Regla de Simpson 1/3

Solución

𝐼 = 𝜋 − 08+4 13 +8

6= 35.6048

𝐸𝑣 =35.1328−35.6048

35.1328100 = 1.3435%