...ka�dy ptak lubi słucha� swojego �piewu...

ROZDZIAŁ VI

ANALIZA MODALNA

1. WST�P 2. PODSTAWY ANALIZY MODALNEJ 3. TEORETYCZNA ANALIZA MODALNA 4. EKSPERYMENTALNA ANALIZA MODALNA 5. EKSPLOATACYJNA ANALIZA MODALNA 6. WYNIKI BADA�

1. WST�P

Istnieje potrzeba doskonalenia charakterystyk dynamicznych konstruowanych maszyn, szczególnie w przypadku maszyn realizuj�cych procesy technologiczne, którym towarzysz� du�e obci��enia dynamiczne. Wprowadzane s� bowiem do budowy maszyn nowe technologie oraz nowe rozwi�zania konstrukcyjne, umo�liwiaj�ce zwi�kszenie wydajno�ci procesów, lecz towarzysz� im cz�sto du�e obci��enia dynamiczne. Czynnikiem determinuj�cym oddziaływania energetyczne s� charakterystyki dynamiczne (zwykle wielorezonansowe) maszyny oraz wektor wymusze�. W przypadku wyst�powania obci��e� dynamicznych przekraczaj�cych dopuszczalne warto�ci istnieje potrzeba budowy modelu systemu mechanicznego, którego analiza pozwala wskaza� trafnie �rodki i sposoby obni�ania nadmiernych obci��e�. Pierwszym krokiem w analizie dynamicznej systemu jest identyfikacja wektora sił wymuszaj�cych, działaj�cych bezpo�rednio na pewne elementy konstrukcji i przenosz�cych si� do innych elementów układu w ten sposób, i� te ostatnie pobudzane s� do drga� w wyniku oddziaływania elementu s�siedniego. Poniewa� to "przenoszenie si�" odbywa si� w sposób selektywny, gdy� elementy konstrukcji maj� własno�ci filtruj�ce, istotn� rzecz� jest poznanie tych własno�ci [67,68,69,71]. Zastosowanie nowych metod badania podatno�ci dynamicznej pozwala rozdzieli� zło�ony układ na prostsze elementy, umo�liwiaj�c przeprowadzenie analizy wpływu zmian podatno�ci poszczególnych elementów na ogóln� charakterystyk� drganiow� układu zło�onego i odpowiedni dobór (elementów) parametrów układu podczas jego kształtowania. Minimalizacja oddziaływa� energetycznych wymaga tworzenia mo�liwie prostych modeli do symulacji obci��e� dynamicznych, umo�liwiaj�cych minimalizacj� obci��e� poprzez zmian� parametrów mechanicznych maszyny lub zmian� parametrów procesu technologicznego. Analiz� własno�ci dynamicznych konstrukcji prowadzi si� poprzez analiz� zachowa� dynamicznych modelu tej konstrukcji. Proces budowy modelu konstrukcji mo�e by� realizowany poprzez analityczny opis wielko�ci charakteryzuj�cych dynamik� układu, albo te� metod� eksperymentu modalnego, prowadzonego na obiekcie rzeczywistym. Czynnikiem determinuj�cym oddziaływania energetyczne i ich efektywno�� w systemie mechanicznym jest charakterystyka drganiowa zło�onego układu mechanicznego, na ogół wielorezonansowego, cz�sto nieliniowego i o zmiennych parametrach w skali czasu �ycia systemu lub czasu własnego procesu technologicznego. Zatem, minimalizacja oddziaływa� energetycznych �ródeł musi prowadzi� przez identyfikacj� charakterystyk dynamicznych i utworzenie dostatecznie dokładnego, ale jednocze�nie mo�liwie prostego, modelu energetycznego do wiarygodnej symulacji i minimalizacji obci��e� dynamicznych poprzez np. zmian� parametrów mechanicznych lub parametrów procesu technologicznego. Głównymi metodami analizy dynamicznej obiektu s� metody analizy modalnej, w tym metoda eksperymentalnej analizy modalnej i metoda eksploatacyjnej analizy modalnej. Opisuj�c ewolucyjny proces zu�ycia oraz uszkodze� elementów obiektu mechanicznego nale�y zbudowa� jego holistyczny model energetyczny, opisuj�cy jego zachowanie w funkcji czasu Θ, b�d�cego czasem ewolucji dynamicznej, tj. w całym cyklu �ycia obiektu. 2. PODSTAWY ANALIZY MODALNEJ

Analiza modalna jest powszechnie stosowan� w praktyce technik� badania własno�ci

dynamicznych obiektów mechanicznych. W wyniku analizy modalnej otrzymuje si� model modalny w postaci zbioru cz�sto�ci własnych, postaci drga� oraz współczynników tłumienia. Znajomo�� tych parametrów umo�liwia przewidywanie zachowania si� obiektu na skutek

dowolnych zaburze� równowagi. Jest ona stosowana dla celów modyfikacji konstrukcji, diagnostyki stanu konstrukcji, dla celów syntezy sterowania w układach aktywnej redukcji drga� oraz dla celów weryfikacji i walidacji modeli numerycznych takich jak modele elementów sko�czonych czy elementów brzegowych [69,71].

Analiza modalna mo�e by� stosowana, je�eli spełnione s� nast�pujace zało�enia [71]: - układ jest liniowy i jego dynamika mo�e by� opisana za pomoc� liniowego układu

równa� ró�niczkowychzwyczajnych lub cz�stkowych; - współczynniki równa� opisuj�cych dynamik� obiektu s� stałe w czasie pomiarów; - układ jest obserwowalny i istnieje mo�liwo�� pomiaru wszystkich charakterystyk,

których znajomo�� jest niezb�dna do identyfikacji modelu; - badany układ spełnia zasad� wzajemno�ci Maxwella; - tłumienie w układzie jest małe lub proporcjonalne.

Wa�nym ograniczeniem stosowania analizy modalnej jest te� zało�enie o ograniczonej liczbie stopni swobody badanego układu, z czym wi��e si� wymiar macierzy mas, sztywno�ci i tłumienia oraz liczba teoretycznych cz�sto�ci własnych i postaci drga�.

Mimo tak silnych zało�e� co do zakresu stosowalno�ci analizy modalnej jest ona u�ywana coraz cz��ciej do rozwi�zywania wielu problemów, a nabywane do�wiadczenia badawcze wskazuj� na nowe mo�liwo�ci jej aplikacji.

W wi�kszo�ci praktycznych zastosowa� analizy modalnej wymagany jest wielokanałowy eksperyment oraz zło�one obliczenia zwi�zane z przetwarzaniem zmierzonych sygnałów oraz estymacj� parametrów modelu. Pomimo tak silnych zało�e� co do stosowalno�ci metody oraz zło�ono�ci wymaganego eksperymentu jest to w chwili obecnej metoda bez której nie powstaje �adna konstrukcja, dla której istotne s� odpowiednio ukształtowane własno�ci dynamiczne. Pierwsze zastosowania metody analizy modalnej udokumentowano ju� z ko�cem lat 40-tych, a gwałtowny ich rozwój nast�pił w latach 80-tych, ze wzgl�du na rozwój technik komputerowych [71].

Coraz cz��ciej metod� t� stosuje si� dla celów diagnostyki maszyn, wykorzystuj�c oparte na modelu podej�cie do diagnozowania obiektów mechanicznych, dla którego charakterystyczne jest �ledzenie zmian parametrów modeli wraz ze zmianami stanu badanego obiektu. Dzi�ki modelowemu podej�ciu do obiektu mechanicznego mo�liwe staje si� przewidywanie rozwijaj�cych si� uszkodze�, a tym samym wcze�niejsze im przeciwdziałanie.

W klasycznym sformułowaniu metoda analizy modalnej wymaga sterowanego eksperymentu w którym wymusza si� ruch obiektu za pomoc� sił (lub kinematycznie) oraz mierzy odpowied� układu w sieci punktów pomiarowych rozło�onych na badanym obiekcie. Na podstawie zmierzonych sygnałów wymuszaj�cych ruch oraz odpowiedzi układu wyznacza si� model funkcjonalny w postaci charakterystyk czasowych lub cz�stotliwo�ciowych i na ich podstawie dokonuje estymacji parametrów modelu modalnego. Jednak, ze wzgl�du na konieczno�� pomiaru wymuszenia, dla celów diagnostycznych metoda analizy modalnej w klasycznym sformułowaniu ma ograniczone zastosowanie.

O wiele bardziej przydatna jest metoda oparta o pomiar tylko odpowiedzi układu na wymuszenia eksploatacyjne, które s� wynikiem oddziaływania maszyny z otoczeniem, uszkodze� maszyny lub te� wynikiem realizowanego procesu technologicznego.

Dla wielu konstrukcji w warunkach eksploatacji działaj� na układ zupełnie inne wymuszenia (co do charakteru przebiegu czasowego, rozkładu przestrzennego i amplitudy) ni� mo�na zrealizowa� w warunkach laboratoryjnych. Podobnie jest dla warunków brzegowych, które w czasie eksperymentu zale�� od mo�liwo�ci zamocowania obiektu na stanowisku badawczym, natomiast ró�ni� si� one znacznie od warunków wyst�puj�cych w czasie eksploatacji. W wielu praktycznych realizacjach bada� modalnych badany obiekt jest zbyt du�y i ma zbyt du�� mas�, aby mo�na było wymusi� odpowiednio du�� amplitud� ruchu w warunkach eksperymentu czynnego, przy ograniczonych jego kosztach, tj. wykorzystuj�c

standardow� aparatur� badawcz� Wymienione wy�e utrudnienia w klasycznej analizie modalnej mog� by� zminimalizowane poprzez zastosowanie analizy modalnej realizowanej na podstawie pomiarów przeprowadzonych w czasie normalnej eksploatacji, czym zajmuje si� eksploatacyjna analiza modalna.

Tak widziane mo�liwo�ci zastosowa� pozwala wyró�ni� nast�puj�ce rodzaje analizy modalnej:

• teoretyczn�, która wymaga rozwi�zania zagadnienia własnego dla przyj�tego modelu strukturalnego badanego obiektu,

• eksperymentaln�, wymagaj�c� sterowanego eksperymentu identyfikacyjnego, podczas którego wymusza si� ruch obiektu (np. drgania) oraz dokonuje pomiaru wymuszenia i pomiaru odpowiedzi w wielu punktach pomiarowych, rozmieszczonych na badanym obiekcie,

• eksploatacyjn�, opieraj�c� si� na eksperymencie eksploatacyjnym, w którym dokonuje si� pomiarów tylko odpowiedzi układu w wielu punktach pomiarowych, podczas gdy ruch obiektu spowodowany jest rzeczywistymi wymuszeniami eksploatacyjnymi. Podstawowy model modalny jest zdefiniowany, jak ju� wspomiano, jako zbiór

cz�sto�ci własnych oraz postaci drga� własnych odpowiadaj�cych poszczególnym cz�sto�ciom własnym. Bardziej zaawansowane metody pozwalaj� na identyfikacje współczynników tłumienia oraz masy i sztywno�ci modalnej.

Wyznaczenie modelu funkcjonalnego polega na okre�leniu charakterystyk czasowych odpowiedzi układu, w przypadku gdy wymuszenie jest impulsowe lub charakterystyk cz�stotliwo�ciowych, gdy wymuszenie ma charakter szerokopasmowy. Znaj�c parametry wymuszenia (w przypadku analizy eksperymentalnej) oraz wybrane charakterystyki, mo�na dokona� estymacji parametrów modelu modalnego. Polega ona na aproksymacji zmierzonych charakterystyk konstrukcji za pomoc� funkcji, dla której zmiennymi s� parametry modelu modalnego. Stosowana coraz cz��ciej analiza modalna pozwala na rozwi�zanie szeregu zagadnie�, m.in.[71]: - analiza modalna jest metod� rozwi�zania zagadnienia własnego dla konstrukcji (nie dla modelu); - analiza modalna jest metod� rozprz�gania układu równa� ruchu opisuj�cych dynamik� modelu, - analiza modalna jest metod� identyfikacji własno�ci dynamicznych obiektu, - analiza modalna jest metoda dyskretyzacji konstrukcji o ci�głym rozkładzie parametrów, - analiza modalna jest metod� redukcji modelu.

Eksperymentalna analiza modalna jest jedn� z najbardziej rozpowszechnionych technik identyfikacji parametrów modalnych konstrukcji mechanicznych. W metodach klasycznych do estymacji parametrów modeli modalnych wykorzystuje si� pomiar wymuszenia i odpowiedzi. Zasadniczy podział tych metod to podział na metody w dziedzinie czasu i cz�stotliwo�ci [68].

W dziedzinie czasu rozró�nia si� metody bezpo�rednie i metody po�rednie. Do metod bezpo�rednich metody oparte o modele regresyjne sygnałów typu ARX, ARMA, ARMAX i metody DSPI. Do metod po�rednich zalicza si� metody CE, LSCE, PRCE, ITD i ERA [68,71].. W dziedzinie cz�stotliwo�ci równie� wyró�nia si� metody po�rednie i bezpo�rednie. Do najbardziej znanych zaliczy� nale�y metody po�rednie dla pojedynczego stopnia swobody (metoda amplitudy rezonansowej, metoda aproksymacji okr�giem, metoda kwadratur, metoda Kennedy-Pancu, metoda odwrotnej macierzy sztywno�ci, metoda Dobsona, metoda CRF) i dla wielu stopni swobody (GSH, FDPM,CEFD,RFP) GRFP,ERA-FD,SFD,ISSPA) [68,71].

Wiele z tych metod ma implementacje w oprogramowaniu do wspomagania eksperymentalnej analizy modalnej, przy czym jest ono bardzo drogie.

W analizie eksploatacyjnej korzysta si� tylko z pomiarów odpowiedzi układu. Znajomo�� charakteru wymuszenia nie jest w tym przypadku istotna. �ródłem wymusze� mo�e by� normalna eksploatacja maszyny, gdzie na badany obiekt działaj� siły zwi�zane z oddziaływaniem z otoczeniem. Metody identyfikacji oparte o pomiary eksploatacyjne mo�na podzieli� na nast�puj�ce grupy [68]: • metody realizowane na bazie korelacji własnej i wzajemnej, • metody realizowane na bazie funkcji autoregresji dla sygnałów odpowiedzi, • metody realizowane w podprzestrzeni stochastycznej, • metody realizowane w dziedzinie cz�stotliwo�ci w oparciu o aproksymacje zmierzonych charakterystyk cz�sto�ciowych za pomoc� modelu modalnego (Peak-Piking), • metoda dekompozycji w dziedzinie cz�stotliwo�ci (FDD).

W praktyce istnieje kilka podstawowych algorytmów jej realizacji, zarówno w dziedzinie czasu, jak i w dziedzinie cz�stotliwo�ci, przy czym zastosowania praktyczne s� jeszcze niewielkie.

Metody oceny uszkodzenia konstrukcji z zastosowaniem analizy modalnej mo�na podzieli� na metody:

• analityczne, • eksperymentalne.

W metodach analitycznych wykorzystuje si� zarówno wyniki symulacji modeli elementów sko�czonych jak równie� wyniki przeprowadzonego testu modalnego. Klasycznym przykładem takiej metody jest metoda polegaj�ca na dostrajaniu modelu elementów sko�czonych badanej konstrukcji na podstawie wyników jej bada� modalnych przeprowadzanych okresowo w czasie eksploatacji obiektu. Zmiany modelu podczas dostrajania s� wska�nikiem zmian zachodz�cych w badanym obiekcie.

Typowo eksperymentaln� metod� jest porównywania cz�sto�ci własnych wyznaczanych w pewnych odst�pach czasu. Zmiany tych cz�sto�ci mog� by� symptomem powstałego w układzie uszkodzenia. Jednak metoda taj jest w wielu praktycznych przypadkach zbyt mało czuła na powstałe uszkodzenia. Bardziej czuła jest zmiana zidentyfikowanych cz�sto�ci układu na bł�dy pomiarowe i zakłócenia ni� na powstaj�ce w konstrukcji uszkodzenie. O wiele bardziej czułe na uszkodzenia konstrukcji s� postacie drga�, które mo�na wykorzysta� do wykrywania uszkodzenie konstrukcji na kilka sposobów [52,53,68,71].

Do podstawowych sposobów oceny stanu konstrukcji nale��: • porównanie współczynników MAC i COMAC dla postaci zmierzonych w pewnych odst�pach czasu w czasie eksploatacji i wykrywanie zmian na skutek zmian stanu obiektu; • wyznaczanie zmian energii odkształcenia na skutek powstaj�cego uszkodzenia na podstawie znajomo�ci postaci drga�.

Druga z wymienionych metod polega na badaniu zmian w przebiegu postaci drga�, a w szczególno�ci drugich pochodnych postaci po współrz�dnych, czyli zmian energii odkształcenia zwi�zanych z dana postaci� i danym uszkodzeniem konstrukcji. Wyró�ni� mo�na tutaj równie� podej�cie czysto eksperymentalne, w którym energi� odkształcenia oblicza si� na podstawie zmierzonych postaci drga� [71] oraz eksperymentalno- analityczne , w którym konieczna jest znajomo�� macierzy sztywno�ci układu [54,71].

Analiza modalna z definicji mo�e by� zastosowana dla układów spełniaj�cych warunki liniowo�ci. W praktyce badania układów mechanicznych, nie wszystkie układy mog� by� traktowane jako liniowe. Do najcz��ciej wyst�puj�cych nale�y zaliczy� nieliniowo�ci geometryczne, wynikaj�ce na przykład ze zmiany rozkładu masy, jak w mechanizmach o wielu zł�czach, jak równie� nieliniowo�ci fizyczne zwi�zane z nieliniowymi

charakterystykami materiałów. W przypadku nieliniowo�ci typu geometrycznego do analizy modalnej mo�na zastosowa� metody oparte o teori� układów liniowych o zmiennych w czasie parametrach. W przypadku nieliniowo�ci fizycznych najcz��ciej stosuje si� podej�cie oparte o tzw. siły resztkowe lub na linearyzacji w otoczeniu punktu pracy.

Sformułowanie analizy modalnej dla układów o zmiennych parametrach jest pewn� modyfikacj� klasycznej analizy modalnej, która z zasady dotyczy układów o stałych współczynnikach. Modyfikacja ta oparta jest na poj�ciu zmiennej w czasie funkcji przej�cia.

Wa�nym sposobem wykorzystania analizy modalnej jest jej zastosowanie do dostrajania modeli elementów sko�czonych. W celu dostrojenia parametrów modelu stosuje si� ró�nego rodzaju metody identyfikacji. Ich wspóln� cech� jest podział na charakterystyczne etapy:

• transformacja układu współrz�dnych modelu numerycznego i eksperymentalnego dla uzyskania zgodno�ci geometrii modelu, • badanie korelacji pomi�dzy wynikami symulacji i eksperymentu, • lokalizacja bł�dów modelu, • wybór metody optymalizacji kryterium jako�ci modelu (metoda realizacji dostrajania).

Zagadnienie to znajduje zastosowanie w doskonaleniu modelu dynamicznego maszyny i zostanie szczegółowo omówione w rozdziale 7. 3. TEORETYCZNA ANALIZA MODALNA

Teoretyczn� analiz� modaln� definiuje si� jako problem własny macierzy zale�ny od

macierzy mas, sztywno�ci i tłumienia. Teoretyczna analiza modalna wymaga rozwi�zania zagadnienia własnego dla przyj�tego modelu strukturalnego badanej konstrukcji. Wyznaczone tu zbiory cz�sto�ci własnych, współczynników tłumienia dla cz�sto�ci własnych oraz postacie drga� własnych pozwalaj� na symulacje zachowania si� konstrukcji przy dowolnych wymuszeniach, doborze sterowa�, modyfikacji konstrukcji i innych. Ma ona zastosowanie w procesie projektowania, gdy nie ma mo�liwo�ci realizacji bada� na obiekcie.

W praktycznym zastosowaniu jak dot�d wykorzystywano analiz� modaln� do diagnozowania konstrukcji kratowych (maszty, anteny, d�wigi), diagnozowania turbozespołu oraz diagnozowania jako�ci konstrukcji mostów. W wi�kszo�ci tych zastosowa� zakłada si�, �e na skutek uszkodzenia zmienia si� lokalnie sztywno�� konstrukcji, co powoduje zmiany parametrów modelu modalnego. Za pomoc� �ledzenia zmian postaci drga� własnych mo�na okre�li� obszar, w którym wyst�puje uszkodzenie [71].

Ocen� wpływu rozwijaj�cego si� uszkodzenia na parametry modelu modalnego mo�na oszacowa� stosuj�c teori� wra�liwo�ci do modelu strukturalnego bez tłumienia w postaci:

0=+••

KxxM (6.1)

gdzie: M,K – macierze mas i sztywno�ci, ••x ,x – wektor przy�piesze� i przemieszcze�.

W celu wyznaczenia parametrów modelu modalnego nale�y rozwi�za� zagadnienie własne w postaci:

}0{}{}{ =ΨΛ−Ψ iii MK (6.2) gdzie: iΛ -warto�ci własne, { iΨ }-wektory własne. Z powy�szego równania wynika, �e zmiana charakterystyk mechanicznych układu poci�ga za sob� zmian� jego charakterystyk własnych.-, co w literaturze znane jest jako zagadnienie wra�liwo�ci [56].

Po serii przekształce� (6.2) uzyskano, dla układu bez tłumienia, w efekcie ko�cowym zale�no��:

iTi

ii

Ti

i

i

pMf

pK

fpf

Ψ∂∂Ψ−Ψ

∂∂Ψ

Π=

∂∂

2}{}{

81

2 (6.3)

gdzie: pierwszy składnik opisuje wpływ zmian sztywno�ci, a drugi efekt zmian masy układu. Okre�lane zmiany cz�sto�ci własnej zale�� wprost proporcjonalnie od wielko�ci zmian

sztywno�ci lub masy, jak te� zale�� od miejsca rozwoju uszkodzenia w konstrukcji. Szczegółowe omówienie podstaw teoretycznej analizy modalnej, znanej jako problem rozwi�zania zagadnienia własnego przedstawiono w rozdziale IV, pkt.5.1.

Eksperyment w identyfikacji układów mechanicznych jest podstawowym �ródłem informacji o obiekcie, na podstawie którego ustala si� struktur� modelu i wyznacza si� warto�ci parametrów (rys.6.1).

OBIEKT BADA� wymuszenie odpowied� transmitancja H(f)

System wst�pnego Przetwornik AC Komputer przetwarzaniaczujniki

Rys.6.1 Typowy zestaw aparatury do realizacji eksperymentu.

Typowy zestaw aparatury do realizacji eksperymentu w analizie modalnej skałada si� z nastepuj�cych elementów:

- układ pomiaru wymuszenia i odpowiedzi; - układ wst�pnego przetwarzania sygnałów; - układ przetwarzania i zbierania synałów; - układ generowania sygnału wymuszaj�cego; - układ wzbudzania drga�.

W badaniach modalnych eksperyment polega na wymuszeniu ruchu układu i pomiarze siły wymuszaj�cej oraz odpowiedzi badanego układu. Wymuszenie ruchu układu realizowane jest za pomoc� wzbudników drga� (wibratorów) lub przy wymuszeniach uderzeniowych za pomoc� specjalnych młotków. W konstrukcji młotka wyst�puj�: czujnik siły umo�liwiaj�cy pomiar siły wymuszaj�cej, dodatkowa masa umieszczona w młotku w celu dostrojenia młotka do wymaganego zakresu cz�sto�ci oraz wymienna ko�cówka o ró�nej sztywno�ci w celu zmiany warunków lokalnych uderzenia. Taka konstrukcja młotka umo�liwia wzbudzanie drga� w układzie o odpowiedniej amplitudzi.

Jako odpowied� układu na zadane wymuszenie mierzy si� najcz��ciej przy�pieszenie drga�, co znajduje uzasadnienie w teorii wibroakustyki maszyn [16,81].

Układy pomiarowe najcz��ciej s� wielokanałowymi, umo�liwiaj�cymi jednocze�nie pomiar wymuszenia i odpowiedzi. Estymacja charakterystyk dynamicznych w analizie modalnej mo�e by� prowadzona dwojako: - za pomoc� metody wymuszenia ruchu układu wieloma wzbudnikami w celu wzbudzenia jednej z postaci drga� własnych; - za pomoc� metody wymuszenia ruchu układu w jednym lub w wielu punktach dla potrzeb pomiaru funkcji przej�cia.

Systemy pomiarowe stosowane w analizie modalnej s� oparte na ró�nym sprz�cie obliczeniowym (specjalizowane analizatory, komputery PC z kart� przetwornika A/C, stacje robocze z interfejsem pomiarowym). 4. EKSPERYMENTALNA ANALIZA MODALNA

Eksperymentalna analiza modalna jest cz�sto stosowan� w praktyce technik� badania własno�ci dynamicznych obiektów mechanicznych, zarówno na etapie konstruowania jak i w eksploatacji maszyn.

Eksperyment identyfikacyjny w eksperymentalnej analizie modalnej (rys.6.2) polega na wymuszeniu drga� obiektu przy jednoczesnym pomiarze siły wymuszaj�cej i odpowiedzi układu, najcz��ciej w postaci widma przyspiesze� drga�.

A nalizator A PB 200

O biektbada�

M łotek PC B

C zujnik IC PT yp

Rys.6.2 Zestaw aparatury u�ytej do bada� w eksperymentalnej analizie modalnej.

Eksperymentalna analiza modalna składa si� zatem z czterech podstawowych etapów:

- modelowanie; - eksperyment; - estymacja parametrów; - weryfikacja modelu.

Pierwszym krokiem w algorytmie post�powania w eksperymentalnej analizy modalnej jest modelowanie [53], polegaj�ce na wskazaniu punktów konstrukcji, których zachowania dynamiczne s� istotne w odwzorowaniu zachowa� całej maszyny. Nast�pnie nale�y wyznaczy� odpowiedzi cz�stotliwo�ciowe maszyny w tych punktach na zadane wymuszenie. Jako wynik uzyskuje si� opis własno�ci dynamicznych maszyny w postaci macierzy transmitancji widmowych Hik (jω) (i, k = 1, 2,...n; i - numer punktu odpowiedzi, k - numer punktu przyło�enia wymuszenia). Istnieje kilka metod wyznaczania cz�stotliwo�ciowej odpowiedzi układów mechanicznych w zale�no�ci od techniki wymuszenia.

Zatem, w klasycznej analizie modalnej, parametry modalne identyfikowanego obiektu s� wyznaczane na podstawie pomiaru charakterystyk cz�stotliwo�ciowych zmierzonych na obiekcie za pomoc� czynnego eksperymentu identyfikacyjnego polegaj�cego na sterowanym wymuszeniu drga� układu i pomiarze odpowiedzi w postaci widma przyspieszenia drga�. Na podstawie znajomo�ci widma odpowiedzi i wymuszenia dokonuje si� identyfikacji przebiegu charakterystyk cz�stotliwo�ciowych obiektu. Post�powanie to jest stosowane w metodach realizowanych w dziedzinie cz�stotliwo�ci [52]. Za pomoc� tych metod mo�na wyznaczy� parametry modelu modalnego w otoczeniu pojedynczej cz�sto�ci własnej (metody SDOF) lub w wybranym pa�mie cz�stotliwo�ci zawieraj�cym wi�cej jak jedn� cz�stotliwo�� własn� (metody MDOF).

W odró�nieniu do tych metod, metody realizowane w dziedzinie czasu wymagaj� wielokanałowego pomiaru przebiegów czasowych odpowiedzi i wymuszenia. W wi�kszo�ci znanych metod pierwszym krokiem procedury identyfikacji jest wyznaczenie odpowiedzi

impulsowej układu, a nast�pnie na podstawie jej znajomo�ci estymuje si� parametry modelu modalnego [52].

Metoda eksperymentalnej analizy modalnej opisuje własno�ci maszyny za pomoc� macierzy charakterystyk dynamicznych. Metoda ta pozwala dokona� rozło�enia zachowania si� układu na zbiór równa� ruchu (wyznaczonych w przestrzeni modalnej) lub zbiór postaci własnych dla poszczególnych cz�stotliwo�ci drga� własnych.

Estymacja parametrów w eksperymentalnej analizie modalnej polega na aproksymacji odpowiedzi cz�stotliwo�ciowej, uzyskanej z pomiarów, przez wyra�enie analityczne. Je�li wyra�enie analityczne jest wynikiem rozwa�a� dotycz�cych odpowiedzi cz�stotliwo�ciowej modelu, wtedy parametry modalne (cz�sto�ci drga� własnych, tłumienie i przemieszczenie modalne) mog� by� estymowane na bazie danych pomiarowych.

Identyfikacja modelu za pomoc� eksperymentalnej analizy modalnej odbywa si� w nast�puj�cej kolejno�ci: - wyznaczenie transmitancji, - dopasowanie krzywych oraz wyznaczenie cz�stotliwo�ci własnych i stopni tłumienia, - wyznaczenie wektorów własnych, - wyznaczenie macierzy bezwładno�ci, tłumienia i sztywno�ci.

Własno�ci dynamiczne maszyny opisuje macierz zawieraj�ca N2 transmitancji. Do opisu dynamicznych zachowa� maszyny wystarczy okre�li� N funkcji przej�cia. Musz� by� jednak spełnione nast�puj�ce wymagania: - konieczny pomiar co najmniej jednej autotransmitancji, - przy wyznaczaniu funkcji transmitancji winny by� uwzgl�dnione wszystkie punkty dyskretyzacji. Mo�e to polega� b�d� na zastosowaniu wymuszenia w danym punkcie, b�d� przez pomiar odpowiedzi w tym punkcie.

Metody zgodno�ci krzywych (dopasowanie krzywych) mo�na podzieli� na:

- metody bazuj�ce na teorii układu o jednym stopniu swobody,

- metody bazuj�ce na teorii układów o wielu stopniach swobody.

Pierwsza grupa metod ma zastosowanie dla układów o odległych cz�stotliwo�ciach własnych i małych sprz��eniach mi�dzy postaciami. Oznacza to przyj�cie zało�enia, �e w okolicy ka�dej cz�stotliwo�ci własnej udział składowej postaci własnej w drganiach jest dominuj�cy. Charakterystyk� dynamiczn� maszyny, w zale�no�ci od cz�stotliwo�ci drga� własnych tłumionych, współczynników tłumienia i przemieszcze� modalnych, opisuje wyra�enie:

(6.4) gdzie: Xi - przemieszczenie w punkcie i, Fk - wymuszenie w punkcie k; r - numer postaci drga�; hr - współczynnik tłumienia postaci drga� o numerze r; ωr - cz�sto�� drga� własnych o postaci r; Uikr + jVikr - zespolone przemieszczenie modalne.

W zagadnieniach rozwi�zywanych za pomoc� eksperymentalnej analizy modalnej charakterystyki dynamiczne wyznaczane s� w ograniczonym pa�mie cz�stotliwo�ci ( fa , fb ). Wtedy uwzgl�dniaj�c wpływ postaci drga� z poza pomiarowego przedziału cz�stotliwo�ci otrzymuje si�:

(6.5)

gdzie: ikm�� - masa efektywna wpływu postaci o cz�sto�ciach ni�szych od dolnego zakresu

pomiarowego, ikS� - sztywno�� efektywna wpływu postaci o cz�stotliwo�ciach wy�szych od górnego zakresu pomiarowego, ra, rb- odpowiednio najni�szy i najwy�szy numer postaci drga� o cz�stotliwo�ci z przedziału (.fa, .fb)

Uwzgl�dnienie postaci drga� o cz�stotliwo�ciach własnych ni�szych od dolnej granicy zakresu pomiarowego fa i wy�szych od górnej granicy zakresu pomiarowego fb polega na przyj�ciu, �e poni�ej i powy�ej zakresu pomiarowego znajduje si� jedynie po jednej postaci własnej [30, 95].

5. EKSPLOATACYJNA ANALIZA MODALNA

Do identyfikacji obiektów mechanicznych o du�ych rozmiarach przestrzennych i du�ych masach stosowana jest metoda eksploatacyjnej analizy modalnej, oparta o pomiar odpowiedzi na wymuszenia eksploatacyjne, b�d�ce wynikiem działania sił procesu technologicznego, b�d� wymusze� kinematycznych oraz procesu destrukcji elementów maszyny [67,71].

Eksploatacyjna analiza modalna:

- umo�liwia analiz� modaln� obiektów o du�ych rozmiarach, dla których testy laboratoryjne byłyby utrudnione,

- modeluje poprawniej obiekty, gdy� wymuszenia odpowiadaj� obci��eniom rzeczywistym ze wzgl�du na ich przebieg czasowy, rozkład przestrzenny oraz amplitudy, a tak�e warunki brzegowe,

- umo�liwia identyfikacj� modeli nieliniowych.

Zalet� metod eksploatacyjnej analizy modalnej w zastosowaniu do identyfikacji charakterystyk dynamicznych obiektów jest zachowanie warunków brzegowych oraz wymusze�, charakterystycznych przy eksploatacji tych obiektów. Istota eksploatacyjnej analizy modalnej została przedstawiona na rys.6.3.

Rys.6.3 Istota eksploatacyjnej analizy modalnej.

Do identyfikacji modeli modalnych w oparciu o pomiary eksploatacyjne stosowane s� metody [53,71]:

- LSCE (Least Squares Complex Exponential), oparta na pomiarach korelacji własnej i korelacji wzajemnej sygnałów odpowiedzi,

- BR (Balanced Realisation), wyznaczane z pomoc� funkcji autoregresji sygnałów odpowiedzi,

- CVA (Canonical Variate Analysis), realizowana w podprzestrzeni stachostycznej.

OBIEKT BADA MODUŁ - diagram stabilizacyjny

(normalne u�ytkowanie) ekspl. analizy PC - cz�sto�ci drga� własnych

modalnej - postacie drga�, tłumienie

Metod� LSCE daje si� oszacowa� cz�stotliwo�ci własne i modalne współczynniki tłumienia. Jest rozszerzeniem metody CE (Complex Exponential) dla przypadku jednego wej�cia i wielu wyj��.

Do identyfikacji modelu modalnego obiektu stosowany jest w warunkach eksploatacji obiektu system przestrzennego rozkładu drga� PCODS (Personal Computer Operation Deflection Shapes). Metoda eksploatacyjnej analizy wyznaczania postaci drga� PCODS oparta jest o wielokanałowy pomiar odpowiedzi w w�złowych punktach obiektu rzeczywistego. System umo�liwia graficzne przedstawienie zachowa� dynamicznych maszyny badanej w warunkach eksploatacyjnych. Danymi wej�ciowymi do systemu s� przebiegi czasowe drga� mechanicznych, wyst�puj�cych w w�złowych punktach maszyny, odniesione do jednego z nich (o najwy�szej amplitudzie). Wyznaczane s� widma mocy własne ( )ω

kk xxG i widma mocy wzajemne odpowiedzi i ( )ωjGki xx , przy czym punkt "k"

obiektu jest punktem odniesienia, a punkty "i" s� w�złowymi punktami obiektu. Podstawowym elementem metody jest identyfikacja macierzy transmitancji widmowych odpowiedzi:

(6.6)

Transmitancja widmowa Tik(jω) zawiera informacje o amplitudach wzgl�dnych i fazach wzgl�dnych (wzgl�dem punktu odniesienia) zachowa� eksploatacyjnych obiektu. System PCODS składa si� z trzech modułów:

1. Moduł modelowania konstrukcji. Umo�liwia on stworzenie modelu geometrycznego konstrukcji poprzez podanie współrz�dnych w�złowych punktów (max 300 punktów pomiarowych) oraz elementów ł�cz�cych te punkty (max 400). Istnieje mo�liwo�� wprowadzenia współrz�dnych lokalnych (sferycznych lub cylindrycznych).

2. Moduł pomiarowy. Umo�liwia wyznaczenie i przesłanie danych (charakterystyki dynamiczne badanej maszyny).

W trakcie przesyłania wyznaczonych estymat mo�na na ekranie mikrokomputera obserwowa� poszczególne charakterystyki dynamiczne (w przypadku analizy dwukanałowej mo�na przegl�da� funkcje transmitancji, koherencji oraz widma mocy lub estymaty amplitudowe i fazy wyznaczanych sygnałów).

3. Moduł graficzny. W module tym nast�puje wizualizacja i animacja zachowa� dynamicznych obiektu dla zadanych cz�stotliwo�ci. Mo�na dla ka�dej cz�stotliwo�ci drga� eksploatacyjnych (ODS) uzyska� wynik w postaci tablicy zawieraj�cej amplitud� i faz� drga� wyst�puj�cych w poszczególnych punktach obiektu.

Do wyznaczenia parametrów modelu modalnego stosuje si� metod� [53] LSCE (ang.

Least Squares Complex Exponential), za pomoc� której aproksymuje si� przebieg funkcji korelacji sum� zanikaj�cych wykładniczo funkcji harmonicznych. Metoda ta stosowana do odpowiedzi impulsowej układu jest dobrze znan� technik� w klasycznej eksperymentalnej analizie modalnej daj�c� estymatory globalne biegunów układu. Mo�na udowodni�, �e funkcja korelacji wzajemnej mo�e by� wykorzystana w identyfikacji parametrów modelu modalnego w sposób identyczny jak odpowied� impulsowa układu. W tym celu rozwa�ono równanie dynamiczne ruchu układu w postaci: M χ�� +C χ� +K χ = f(t) (6.7) gdzie: M,C,K macierze: mas, tłumienia i sztywno�ci, χ�� , χ� , χ - wektory przyspiesze�, pr�dko�ci i przemieszcze�, f(t) wektor sił wymuszaj�cych.

Równanie (6.7) mo�na przekształci� do współrz�dnych głównych, stosuj�c transformacj� dan� wzorem:

x(t) = Ψq(t) = �=

Ψn

rr

1

qr (t) (6.8)

gdzie: Ψ' jest macierz� modaln�, której kolumny s� postaciami drga� własnych odpowiadaj�cych danej cz�sto�ci własnej, qr(t) jest współrz�dna główn� (modaln�).

Przy zało�eniu, �e tłumienie jest małe lub proporcjonalne po podstawieniu zale�no�ci (6.8) do równania (6.7) i pomno�eniu przez ΨT otrzymuje si� rozprz��ony układ równa� w postaci:

rq�� (t)+2ξrωnr rq� (t)+ rnr q2ω (t)= )(1

tfm

Tr

r

Ψ (6.9)

gdzie: ωnr jest r t� cz�sto�ci� drga� własnych, ξr jest modalnym współczynnikiem tłumienia dla r tej postaci drga�, mr jest mas� modaln�.

Rozwi�zanie równania (6.9) przy zało�eniu zerowych warunków pocz�tkowych dla dowolnego wymuszenia, mo�na zapisa� w postaci splotu:

�∞−

−Ψ=t

rTrr dtgftq τττ )()()( (6.10)

Gdzie: gr(t) = 0 dla t < 0; gr (t) = nrnrrrdr

tm

ωωξω

sin)exp(1 − t dla t ≥ 0 , 2/12 )1( rnrrd ξωω −=

jest cz�sto�ci� drga� własnych tłumionych. Wykorzystuj�c rozwi�zanie (6.10) dla współrz�dnych modalnych do wyznaczenia rozwi�zania we współrz�dnych uogólnionych x(t) otrzymano:

x(t) = τττψψ dtgf r

tTr

n

rr )()(

1

−��∞−=

(6.11)

gdzie; n jest liczb� postaci drga� uwzgl�dnianych w rozwi�zaniu. Równanie (6.11) dla pojedynczego wyj�cia i jednego wymuszenia w punkcie k ma posta�:

xik (t) = τττψψ dtgft

rk

n

rkrir )()(

1

−��∞−=

(6.12)

gdzie; Ψir jest i-t� składow� r tej postaci drga�. Odpowied� impulsowa wywołana przyło�eniem impulsu Diraca w punkcie k mierzona jako odpowied� w punkcie i ma posta�:

)sin()exp()(1

tttx rdnrr

n

rmik drr

krir ωωξωψψ −=�

=

(6.13)

Funkcja korelacji wzajemnej wyznaczona dla dwóch sygnałów odpowiedzi w punkcie i i j wywołanych wymuszeniem w postaci białego szumu przyło�onego w punkcie k ma posta�: Rijk (T ) = E[xik (t + T)x jk (t)] (6.14) gdzie; E oznacza operator warto�ci oczekiwanej.

Podstawiaj�c rozwi�zanie w postaci (6.12) do definicji korelacji wzajemnej danej wzorem (6.14) oraz przyjmuj�c zało�enie, �e wymuszenie jest białym szumem dla którego funkcja korelacji jest stał� αk pomno�on� przez delt� Diraca δ(t) , otrzymano:

Rijk(T) = λλλψψψψα dgTg srksjskr

n

r

n

sirk )()(

01 1

+���∞

= = (6.15)

gdzie: λ = t - τ oraz zmieniono granice całkowania ze wzgl�du na posta� funkcji g i przyczynowo�� układu.

Wykorzystuj�c definicj� funkcji g przedstawion� wzorem (6.10) oraz rozró�niaj�c człony zale�ne od T i d otrzymano:

rdr

rdrnrrdrnr

rdr

rdrnrrdrnrr

mTT

mTTTg

ωλωλωξ

ωωξ

ωλωλωξ

ωωξλ

)cos()exp()]sin()[exp(

)sin()exp()]cos()[exp()(

+

=+ (6.16)

podstawiaj�c zale�no�� (6.16) oraz analogiczn� dla gs(λ) do wzoru na funkcje korelacji wzajemnej (6.15) otrzymano:

)sin()exp()cos()(exp[)(1

TTBTTATR rdnrrijkrrdnrr

n

rijkrijk ωωξωωξ −+−=�

=

(6.17)

gdzie: Aijkr, Bijkr s� niezale�ne od T i s� funkcjami parametrów modelu modalnego,

λλωλω

λωλωξωξωω

ψψψψαd

mmB

A

sd

sdsdnssnrr

n

s sdsrdr

ksjskrirk

ijkr

ijkr

���

���

−−=�

��

�

��

��∞

= )cos(

)sin()sin()exp(

01

(6.18)

Równanie (6.17) pokazuje zale�no�� pomi�dzy funkcj� korelacji wzajemnej, która ma posta� sumy wykładniczo zanikaj�cych funkcji harmonicznych, a impulsow� funkcj� przej�cia stosowan� w klasycznej analizie modalnej do identyfikacji parametrów modeli modalnych.

Dla bezpo�redniego wykorzystania tak przedstawionej funkcji korelacji do analizy modalnej mo�na przekształci� zale�no�� (6.17) do postaci:

( ) ( )rrdnrr

n

r rdr

jririj TT

m

GTR ϑωωξ

ωψ

+−=�=

sinexp)(1

(6.19)

gdzie: nowy k�t przesuni�cia fazowego ϑr oraz stała ,Gjr dane s� wzorami: tan(ϑr ) = rsrs JI Irs = 2ωrd (ξrωnr + ξsωns) Jrs ( ) ( )222

nssnrrrdsd ωξωξωω ++−= (6.20)

sksjskrkjkrs mψψψαβ =

( ) 2122

1 1

−

= =

+= �� rsrd

n

s

n

kjkrs

rdr

irjr JI

mG β

ωψ

Metoda LSCE identyfikacji parametrów modelu modalnego jest metod� realizowan� w dziedzinie czasu, daj�c� globalne oszacowanie parametrów modelu w postaci cz�sto�ci własnych i modalnych współczynników tłumienia.

Podstaw� do wyznaczania modeli modalnych w metodzie CE (Complex Exponential) jest zmierzony przebieg impulsowej funkcji przej�cia. Na podstawie pomiaru odpowiedzi układu na nieznane wymuszenie impulsowa funkcja przej�cia jest zast�powana przez funkcj� korelacji wzajemnej. Funkcja korelacji wzajemnej ma posta� sumy zanikaj�cych wykładniczo funkcji harmonicznych postaci (6.19). W celu przedstawienia metody estymacji parametrów funkcje t� zapisano w postaci:

hjk (t) = tsN

rrjk

reA�=

2

1

(6.21)

gdzie: Sr = -ωrnξr +iωrd.

Przebieg funkcji h(t) poprzez próbkowanie ze stałym okresem próbkowania ∆t przekształca si� na ci�g próbek h0, hl , h2 ,......, hL. Warto�� ka�dej próbki mo�na wyrazi� poprzez zale�no�ci:

�

�

�

=

=

=

=

=

=

N

r

LrrL

r

N

rr

N

rr

VAh

VAh

Ah

2

1

2

11

2

10

�

(6.22)

gdzie: Ar,Vr s� szukanymi wielko�ciami, Vr = tsre ∆ . Warto�ci szukanych współczynników mo�na znale�� stosuj�c metod� Prony [6].

Zgodnie z t� metod� zawsze istnieje taki wielomian ze wzgl�du na Vr, z rzeczywistymi współczynnikami β taki, �e spełniona jest zale�no��: 02

210 =++++ LrLrr VVV ββββ � (6.23)

Wyznaczenie współczynników β wymaga rozwi�zania równania postaci:

�

�

−12

1

0

Nh

h

h

�

Nh

h

h

2

2

1

�

�

�

�

�

�

−

−

24

2

12

N

N

N

h

h

h

�

�

�

�

�

�

�

−=

�

�

�

�

�

�

−

+

− 14

12

2

12

1

0

N

N

N

N h

h

h

��

β

ββ

(6.24)

Wyznaczone z równania (6.24) współczynniki umo�liwiaj� znalezienie pierwiastków wielomianu (6.23) Vr. Wykorzystuj�c okre�lenie warto�ci Vr oraz warto�ci sprz��onej do niej wyznacza si� cz�sto�ci drga� własnych i odpowiadaj�ce im współczynniki tłumienia. Znaj�c warto�ci Vr mo�na wyznaczy� współczynniki Ar , a w konsekwencji na podstawie zale�no�ci (6.19) stałe modalne i kat przesuni�cia fazowego. Współczynniki Ar wyznacza si� poprzez rozwi�zanie równania:

�

�

−121

21

1

1

NV

V

V

�

122

22

2

1

−NV

V

V

�

�

�

�

�

�

�

−122

22

2

1

NN

N

N

V

V

V

�

�

�

�

�

�

�

−=

�

�

�

�

�

�

NN h

h

h

h

A

A

A

A

2

2

1

0

2

3

2

1

��

(6.25)

Rozwi�zuj�c równanie (6.25) ze wzgl�du na Ar mo�na wyznaczy� postacie drga� własnych. Jak mo�na zauwa�y� podane zale�no�ci s� wyprowadzone dla. układu typu jedno wej�cie jedno wyj�cie, tzn., �e analizie poddaje si� jeden przebieg impulsowej funkcji przej�cia, a w przypadku metody z pomiarem odpowiedzi jeden przebieg funkcji korelacji wzajemnej.

Metoda LSCE jest rozszerzeniem metody CE dla przypadku jednego wej�cia i wielu wyj��, umo�liwia ona analiz� jednocze�nie wszystkich zmierzonych funkcji korelacji wzajemnej, co pozwala na wyznaczenie estymatorów globalnych parametrów modalnych badanej konstrukcji. Odpowiednie zale�no�ci maj� posta�:

[ ][ ]

[ ]{ }=

�

�

�

�

β

ph

h

h

�

2

1 { }{ }

{ }

�

�

�

�

�

�

ph

h

h

�

2

1

lub [ ]( )NNpx

h

22

{ }( )12Nx

β = { }( )12Npx

hG (6.26)

Rozwi�zanie równania (6.26) ze wzgl�du na β mo�na otrzyma� stosuj�c pseudo - odwrotno��: {β} = ([h]T[h])-1[h]T{hG} (6.27)

Dalsze post�powanie w celu wyznaczenia parametrów modelu modalnego jest identyczne jak w przypadku wcze�niej opisanej metody CE.

Inn� metod� identyfikacji modeli modalnych na podstawie pomiarów w czasie eksploatacji jest metoda BR. Metoda nale�y do grupy metod sformułowanych w podprzestrzeni stochastycznej. W celu wyprowadzenia podstawowych zale�no�ci metody rozwa�ono stochastyczne równanie w przestrzeni stanu sformułowane dla czasu dyskretnego. Równanie to ma posta�: {xk+1} = [A]{xk} + {wk} {yk} = [C]{xk} + {vk} (6.28) gdzie: {xk} jest wektorem stanu lxn oraz {wk} {vk} s� wektory opisuj�ce biały szum o warto�ci �redniej równej zero i reprezentuj�ce szum zakłócaj�cy stan obiektu i wyj�cie. Macierze [A] i [C] s� odpowiednio macierzami stanu i wyj�cia. Dla tak sformułowanego modelu mo�na zdefiniowa� macierze obserwowalno�ci i macierze sterowalno�ci rz�du p w postaci:

[ ]

[ ][ ]

[ ][ ] [ ] [ ] [ ][ ]GAGAGC

AC

AC

C

O pp

p

p1

1

][][

][

][:

[−

−

=

�

�

�

�

= ��

(6.29)

gdzie: [G] = E({xk+1}{yk}T), E[.]oznacza warto�� oczekiwan� Macierze sterowalno�ci i obserwowalno�ci s� z zało�enia rz�du n. Przy takim sformułowaniu problem identyfikacji modelu modalnego w warunkach eksploatacji sprowadza si� do problemu estymacji elementów macierzy [A] i [C] na podstawie pomiaru jedynie wyj�cia {yk}. Na podstawie znajomo�ci macierzy [A] i [C] mo�na wyznaczy� zarówno cz�sto�ci własne jak równie� obserwowalne postacie drga�. Warto�ci własne i wektory własne identyfikowanego układu wyznacza si� rozwi�zuj�c zagadnienie własne dla macierzy [A], znaj�c te wielko�ci mo�na dokona� dekompozycji modalnej macierzy [A]: [A] = [Φ][Λ][Φ]-1 (6.30) Dyskretne cz�sto�ci własne (wyznaczone dla układu zdyskretyzowanego) λ, b�d�ce warto�ciami elementów na przek�tnej macierzy [A] mog� by� przetransformowane do postaci cz�sto�ci własnych dla czasu ci�głego za pomoc� zale�no�ci:

( )rrrrt

r nt

ie r λωσµλ µ 11∆

=+=�= ∆ (6.31)

gdzie: σr współczynnik tłumienia, ωr tłumion� cz�sto�ci� własn� dla r-tej postaci drga�. Tłumienie modalne ξr dla r- tej postaci drga� wyznacza si� zale�no�ci:

22rr

rr

σω

σξ

+

−= (6.32)

Posta� drga� dla r-tej cz�sto�ci własnej {Ψ}r wyznaczona dla punktów w których mocowane s� czujniki jest obserwowaln� cz��ci� wektora własnego {φ}r (kolumna macierzy modalnej [Φ]) i mo�na j� wyznaczy� ze wzoru: {Ψ}r = [C]{φ}r (6.33) Nale�y zaznaczy�, �e tak wyznaczone postacie drga� nie mog� by� znormalizowane wzgl�dem masy, wymaga to pomiaru siły wymuszaj�cej ruch.

Jak mo�na. zauwa�y� z powy�szych rozwa�a� mo�na do estymacji parametrów modelu modalnego konieczna jest znajomo�� elementów macierzy (A] i [C].

Metoda realizowana w podprzestrzeni stochastycznej wymaga, dla wyznaczenia elementów macierzy opisuj�cych dynamik� układu rozkładu na warto�ci osobliwe i wektory osobliwe wa�onej macierzy Hankela, w ogólnym przypadku niekwadratowej [53]:

[W1][Hp,q] =

[ ][ ]

[ ]

�

�

pR

R

R

�

2

1

[ ][ ]

[ ]1

3

2

=pR

R

R

�

�

�

�

[ ][ ]

[ ]

�

�

−+

+

1

1

qp

q

q

R

R

R

�[W2] (6.34)

gdzie: Rk jest macierz� korelacji. Zwi�zki pomi�dzy macierz� Hankela a macierz� sterowalno�ci i obserwowalno�ci

wykorzystuje si� w identyfikacji elementów macierzy opisuj�cych dynamiczne własno�ci badanego obiektu. Macierz sterowalno�ci i obserwowalno�ci zale�y wprost od macierzy stanu A i macierzy wyj�� C. Obie opisywane metody realizowane w podprzestrzeni stochastycznej ró�ni� si� macierzami wag [Wi], i=1,2. W metodzie BR (ang. Balanced Realisation) macierze te s� macierzami jednostkowymi, natomiast w metodzie CVA macierze wag maja posta� macierzy Teoplitza [52,53].

W pierwszym kroku procedury estymacji wyznacza si� macierz korelacji własnej i wzajemnej, przebiegów drga� zmierzonych w punktach pomiarowych oraz w punktach przyj�tych jako referencyjne. Korelacje t� mo�na wyznaczy� ze wzoru:

[Rk] = { }{ }Tt

M

tkt yy

M �=

+0

1 (6.35)

gdzie: M jest liczb� próbek w sygnale. Inn� metod� jest wykorzystanie pomiaru g�sto�ci widmowej mocy wzajemnej i

własnej oraz wyznaczanie funkcji korelacji poprzez odwrotn� transformacje Fouriera. Ze wzgl�du na istnienie szybkich algorytmów realizuj�cych przekształcenie Fouriera metoda ta jest wykorzystywana cz��ciej ni� metoda oparta na bezpo�rednim obliczaniu funkcji korelacji na podstawie przebiegów czasowych. Znaj�c funkcj� korelacji wyznacza si� blokow� macierz Hankela oraz dokonuje jej rozkładu na warto�ci osobliwe (SVD):

[Hp,p] =

[ ][ ]

[ ]

�

�

pR

R

R

�

2

1

[ ][ ]

[ ]1

3

2

+pR

R

R

�

�

�

�

[ ][ ]

[ ]

�

�

−

+

12

1

p

p

p

R

R

R

� = [ ] [ ][ ]

[ ][ ][ ][ ]

�

�

�

� �

��

�T

T

V

V

S

SUU

2

1

2

121 0

0]][[ (6.36)

gdzie:

[S1] = diag(σ1…σn), σ1 ≥ σ2 …σn ≥ 0 (6.37) [S2] = diag(σn+1…σpNresp), σn+1 >> σn

s� warto�ciami osobliwymi , p jest pewn� dowoln� liczb� całkowit� wybran� tak aby p>2Nm, gdzie: Nm jest liczba fizycznych postaci drga� wyst�puj�cych w mierzonym zakresie cz�stotliwo�ci. [S1] i [Ul] zawieraj� n pierwszych warto�ci osobliwych oraz odpowiadaj�ce im wektory osobliwe. Zale�no�� (6.37) umo�liwia wyznaczenie rz�du modelu n poprzez zało�enie pewnej granicznej warto�ci σn , warto�ci osobliwe mniejsze od σn odrzuca si�. W praktyce istnieje zawsze taka warto�� warto�ci osobliwej , dla której kolejne warto�ci s� du�o mniejsze, i je nale�y wyeliminowa� z dalszych rozwa�a�. Z teorii realizacji stochastycznych wiadomo, �e macierz Hankela dan� wzorem (6.36) mo�na przedstawi� w postaci:

[Hp,p] = [ ][ ]pp CO ˆˆ (6.38)

gdzie: estymata macierzy obserwowalno�ci ma posta� [ ] [ ][ ] 2111

ˆ SUO p = Jak mo�na zauwa�y� z powy�szych zale�no�ci wyznaczaj�c macierz korelacji, nast�pnie tworz�c z nich blokow� macierz Hankela mo�na wyestymowa� macierz obserwowalno�ci poprzez rozkład na warto�ci osobliwe. Na podstawie wyznaczonych warto�ci elementów

macierzy obserwowalno�ci mo�na wyznaczy� szukane elementy macierzy stanu [A] oraz macierzy wyj�� [C]. Metoda ta mo�e by� stosowana do estymacji modeli modalnych układów mechanicznych i jak pokazano w pracy [48,53] jest ona odporna na pewne niestacjonarno�ci w mierzonych sygnałach.

Inn� metod�, któr� mo�na zaliczy� do metod realizowanych w podprzestrzeni stochastycznej jest metoda CVA (ang. Canonical Variate Analysis), która ró�ni si� od poprzednio opisanej metody BR tym, �e w celu identyfikacji parametrów macierzy opisuj�cych stan oraz wyj�cie dokonuje si� rozkładu na warto�ci i wektory osobliwe macierz Hankela wa�on� w postaci:

[ ] [ ] [ ][ ] [ ][ ][ ] [ ][ ][ ][ ]

[ ][ ]

�

�

�

�

�

�

�

�=ℜℜ= −−

T

TT

ppppV

V

S

SUUHH

2

1

2

121

2,

21,

0

0 (6.39)

gdzie: macierz wag jest macierz� Toeplitza i ma posta�:

[ℜ] = =

[ ][ ]

[ ]

�

�

−1

1

0

pR

R

R

�

[ ][ ]

[ ]2

0

1

−p

T

R

R

R

�

�

�

�

[ ][ ]

[ ]

�

�

−

−

0

2

1

R

R

RT

p

Tp

�

= [ ] [ ] 221 Tℜℜ (6.40)

W tym przypadku estymator macierzy obserwowalno�ci oblicza si� z zale�no�ci:

[ ] [ ] [ ][ ] 21

1121 SUO p ℜ= (6.41)

Pozostałe kroki algorytmu maj� posta� identyczn� jak w przypadku metody BR. Wyniki uzyskiwane za pomoc� opisanego algorytmu CVA s� odporne na bł�dy numeryczne a procedura jest numerycznie efektywna.

Bardzo cz�sto w praktyce bada� konstrukcji wystarczaj�ce jest zbadanie sposobu dynamicznego odkształcenia konstrukcji na skutek działaj�cych na ni� obci��e� eksploatacyjnych. Metoda ta w odró�nieniu od metody identyfikacji modelu modalnego daje wyniki zale�ne nie tylko od własno�ci obiektu, ale równie� od sposobu obci��enia konstrukcji w czasie pomiaru. Metoda ODS ta jest znana pod angielsk� nazw� Operating Deffection Shape lub Running Mode, a w Polsce przyj�ła si� nazwa eksploatacyjna analiza modalna.

ODS jest definiowane jako odkształcenie konstrukcji dla wybranej cz�stotliwo�ci drga� lub w danej chwili czasowej przy działaniu na badany obiekt zewn�trznego wymuszenia, przy czym analizowany musi by� ruch dwóch lub wi�cej punktów konstrukcji. W ten sposób mo�e by� okre�lone odkształcenie konstrukcji podczas ruchu wymuszonego, rozumiane jako wzgl�dny ruch wybranego punktu odniesiony do pozostałych. Ze wzgl�du na to, �e ruch jest wektorem (wektor przyspiesze�, pr�dko�ci lub przemieszcze�) ma on punkt zaczepienia, kierunek oraz warto��, które okre�iaj� sposób odkształcenia konstrukcji podczas jej ruchu. ODS w dziedzinie czasu mo�e by� wyznaczony na podstawie ró�nego rodzaju odpowiedzi czasowych badanego obiektu na wymuszenie losowe, impulsowe lub harmoniczne. Inne metody stosuje si� przy wyznaczaniu ODS w dziedzinie cz�stotliwo�ci, s� one w wi�kszo�ci oparte o pomiar widma odpowiedzi układu, pomiar g�sto�ci widmowej mocy, charakterystyk cz�stotliwo�ciowych lub te� specjalnie definiowanej dla celów wyznaczania ODS charakterystyki cz�stotliwo�ciowej przej�cia odniesionej do dowolnie przyj�tego punktu referencyjnego [68].

ODS zale�y od wymuszenia i gdy zmieni si� obci��enie konstrukcji zmieni si� ODS, natomiast wektor modalny jest niezale�ny od rodzaju wymuszenia i charakteryzuje własno�ci dynamiczne konstrukcji, a w tym warunki brzegowe, własno�ci geometryczne i materiałowe. Postacie drga� (wektory modalne) s� wielko�ci� bezwymiarow�, natomiast ODS ma wymiar

przemieszczenia, pr�dko�ci lub przyspieszenia zale�nie jakie wielko�ci były przyj�te w czasie realizacji pomiaru.

ODS mo�na wyznacza� w sposób analityczny lub do�wiadczalny. Analityczne wyznaczenie ODS polega na rozwi�zaniu równania (6.7) dla przyj�tego przebiegu czasowego wymuszenia. W wyniku rozwi�zania otrzymuje si� przebieg czasowy odpowiedzi w postaci wektora x(t). Dokonuj�c obliczenia warto�ci x(to) dla dowolnej chwili czasu, dla wszystkich współrz�dnych wektor x otrzymuje si� ODS(t) w dziedzinie czasu. Eksperymentalny sposób wyznaczania ODS polega na jednoczesnym pomiarze parametrów drga� konstrukcji w wielu punktach. Wektor otrzymany przez wybór warto�ci amplitudy przebiegu dla danej chwili czasu jest przebiegiem ODS w dziedzinie czasu. Podobnie post�puje si� przy wyznaczaniu ODS w dziedzinie cz�stotliwo�ci. Dynamik� układu w dziedzinie cz�stotliwo�ci mo�na opisa� za pomoc� równania:

X (jω) = H(jω)F(jω) (6.42) gdzie: X(jω)jest wektorem widm odpowiedzi układu, F(jω)jest wektorem widm sił wymuszaj�cych, H(jω)jest macierz� charakterystyk cz�stotliwo�ciowych.

Równanie (6.42) jest spełnione w przypadku układu liniowego dla wszystkich cz�stotliwo�ci w rozwa�anym zakresie. ODS w dziedzinie cz�stotliwo�ci jest zdefiniowane jako odpowied� układu na wymuszenie F( jω) dla dowolnej cz�stotliwo�ci ω0 :

ODS( jω0) = H(jω0)F(jω0) (6.43) Jak mo�na zauwa�y� z zale�no�ci (6.42) ODS zale�y od charakteru sił wymuszaj�cych. ODS(t) mo�na równie� wyznaczy� dokonuj�c odwrotnej transformacji Fouriera zale�no�ci (6.43):

ODS(t) = FFT-1 {H( jω)F( jω )} (6.44) W ten sposób ODS mo�e by� wyznaczony dla tych chwil czasu, dla których obliczana jest warto�� odwrotnej transformaty Fouriera.

Do�wiadczalne wyznaczenie ODS w dziedzinie cz�stotliwo�ci polega na wielokanałowym pomiarze widma odpowiedzi układu oraz wyznaczeniu widm wzajemnych pomi�dzy punktami pomiarowymi, a punktami odniesienia. Ze wzgl�du na koszty pomiaru liczba kanałów, w których dokonuje si� jednoczesnego pomiaru odpowiedzi jest ograniczona. Z tego wzgl�du na konstrukcji przyjmuje si� punkty odniesienia, których poło�enie nie jest zmieniane w czasie pomiarów, natomiast pozostałe punkty pomiarowe s� zmieniane w czasie realizacji eksperymentu. Takie post�powanie jest konieczne ze wzgl�du na konieczno�� znajomo�ci k�ta przesuni�cia fazowego pomi�dzy odpowiedziami układu w punktach w których wyznaczane jest ODS. Je�li drgania wymuszone układu zdominowane s� przez drgania własne, to w tym przypadku wektor ODS jest podobny do wektora modalnego. Stopie� tego podobie�stwa zale�y od stopnia zdominowania mierzonych odpowiedzi układu przez drgania własne.

Identyfikacja modelu modalnego w eksploatacyjnej analizie modalnej polega na wyznaczeniu: - zbioru cz�sto�ci własnych, - zbioru postaci drga�, - zbioru współczynników tłumienia.

Do bada� eksploatacyjnych wykorzystano [67,68] metod� LSCE, która została zaimplementowana w programie „Vioma” (opracowanym w zespole prof. T. Uhla) słu��cym do przeprowadzenia wst�pnej eksploatacyjnej analizy modalnej. W metodzie tej impulsowa funkcja przej�cia zast�powana jest funkcj� korelacji wzajemnej, której przebieg aproksymowany jest sum� zanikaj�cych wykładniczo funkcji harmonicznych postaci:

tsN

rrjkjk

reAth �=

=2

1

)( , gdzie rdrnr is ωξω +−= (6.45)

Przebieg funkcji h(t) na skutek próbkowania ze stałym okresem t∆ , przekształca si� na ci�g próbek: Lhhh ,,, 10 � . Warto�� n-tego ci�gu wyra�a si� wzorem:

�=

=N

r

nrrn VAh

2

1

, gdzie: rr VA , s� szukanymi wielko�ciami, tsr

reV ∆= (6.46)

Współczynniki Vr wyznacza si� korzystaj�c z zało�enia, �e zawsze istnieje wielomian o rzeczywistych współczynnikach, spełniaj�cy zale�no��: L

rLrr VVV ββββ ++++ �2

210 = 0 (6.47) Znalezienie współczynników β wymaga rozwi�zania równania postaci: [ ]{ } { }hh −=β (6.48) Znajomo�� współczynników β umo�liwia z kolei znalezienie pierwiastków wielomianu. Cz�sto�ci drga� własnych i odpowiadaj�ce im współczynniki tłumienia wyznacza si� na podstawie warto�ci Vr oraz warto�ci sprz��onej do niej. Współczynniki Ar, a w konsekwencji postacie drga� własnych s� wyznaczane przez rozwi�zanie równania: [ ]{ } { }hAV −= (6.49) Program „Vioma” został napisany w �rodowisku MATLAB’a. Implementuje operacyjn� (eksploatacyjn�) oraz klasyczn� (eksperymentaln�) analiz� modaln� konstrukcji mechanicznych. Do pracy wymaga nast�puj�cej konfiguracji sprz�towej:

• komputer klasy PC, z procesorem Celeron 200MHz, • pami�� operacyjna (minimum) 32 MB, • minimum 5 MB wolnej przestrzeni dyskowej, • pakiet SigLab – urz�dzenie pomiarowe wraz z oprogramowaniem. • system operacyjny Windows 95, 98, 2000, NT, • �rodowisko MATLAB w wersji 5.3, • zainstalowany pakiet: Signal Processing Toolbox.

Program składa si� z nast�puj�cych modułów: • moduł „Data” - słu��cy do wczytywania, przegl�dania, zarz�dzania i prostego

przetwarzania danych pomiarowych, • moduł „Geometry” - pozwalaj�cy na budowanie i wizualizacj� geometrii badanego

obiektu, • moduł „Analysis” - implementuj�cy analiz� modaln� m.in. metod� LSCE, • moduł „Visualization” – umo�liwiaj�cy wizualizacj� wyników analiz.

Przykładowy przebieg post�powania w praktycznym wykorzystaniu tego programu przedstawiono w dalszej cz��ci tego rozdziału. Porównanie modalnej analizy eksperymentalnej z eksploatacyjn�

Eksperymentalna analiza modalna wymaga laboratoryjnych warunków do

przeprowadzenia bada�. Model poddawany jest z góry znanym i zało�onym wymuszeniom. Wymuszenia te mog� odbiega� od tych, które działaj� na obiekt w czasie normalnej eksploatacji. Podczas realizacji eksperymentu mo�na napotka� trudno�ci z zachowaniem zgodnych z rzeczywisto�ci� warunków brzegowych jak np. sposób zamocowania badanego obiektu. W przypadku du�ych modeli wykonanie eksperymentu jest bardzo kosztowne, cz�sto niemo�liwe.

Eksploatacyjna analiza modalna, bazuj�ca tylko na pomiarze odpowiedzi układu na wymuszenie eksploatacyjne, pozbawiona jest wad analizy eksperymentalnej. Badania mo�na przeprowadzi� w warunkach normalnej pracy maszyny z zachowaniem charakterystycznego dla eksploatacji rozkładu obci��e�. Redukuj� si� zatem znacznie koszty przeprowadzenia

pomiarów i identyfikacji parametrów modelu. Zidentyfikowany model lepiej symuluje zachowanie si� konstrukcji rzeczywistych oraz pozwala z dobrym przybli�eniem bada� układy nieliniowe. Eksploatacyjna analiza modalna znajduje zastosowanie wsz�dzie tam gdzie nie jest mo�liwe wykonanie testów laboratoryjnych. 6. WYNIKI BADA� 6.1 Zastosowanie analizy modalnej w diagnostyce maszyn

Diagnozowaie stanu maszyn opiera si� na podej�ciu symptomowym lub holistycznym, co szczegółowo omówiono w rozdziale I. Aktualnie trwaj� badania przydatno�ci metod analizy modalnej w odniesieniu do modeli holistycznych oraz w zakresie mo�liwo�ci porównania wyników bada� wibroakustycznych maszyn w uj�ciu symptomowym z modelem modalnym. Wynikaj�ce z takiego podej�cia problemy otwieraj� nowe mo�liwo�ci doskonalenia metod diagnostycznych, szeroko stosowanych w moitorowaniu stanu obiektów.

Analiza modalna w diagnozowania stanu obiektów mechanicznych mo�e zatem znale�� zastosowanie w nast�puj�cych obszarach:

• wyznaczanie wymusze� działaj�cych na układ i ich widm cz�stotliwo�ciowych na podstawie parametrów modelu modalnego i zmierzonej odpowiedzi układu; badanie podobie�stwa charakterystyk cz�stotliwo�ciowych: drganiowych i modalnych;

• wyznaczenie parametrów modelu modalnego eksploatowanego obiektu i �ledzenie ich zmian w czasie eksploatacji;

• dostrojenie, na bazie modelu modalnego, modelu elementów sko�czonych konstrukcji w stanie zdatno�ci oraz �ledzenie zmian tego modelu w czasie eksploatacji; dostrojony model elementów sko�czonych jest podstaw� do modyfikacji konstrukcji. Model modalny otrzymany w wyniku analizy modalnej jest opisany zbiorem cz�sto�ci

własnych, postaci drga� oraz współczynników tłumienia. Odwzorowuje on zatem zmiany stanu dynamicznego reprezentowane przez zmiany masy, sztywno�ci oraz tłumienia wyst�puj�ce w równaniach opisuj�cych funkcjonowanie maszyn. Znajomo�� zachowania si� modelu w okre�lonych sytuacjach pozwala na okre�lenie mo�liwych miejsc uszkodze� oraz przeciwdziałanie im przez wprowadzanie modyfikacji: masy (w jednym lub wszystkich kierunkach drga� układu), tłumienia oraz sztywno�ci (pomi�dzy poszczególnymi punktami modelu lub pomi�dzy punktem a ziemi�). 6.2 Eksperymentalna analiza modalna w badaniu stanu przekładni z�batej

Przeprowadzenie eksperymentalnej analizy modalnej wymaga pomiaru drga� konstrukcji w wielu jej punktach przy wymuszeniu działaj�cym w jednym lub wielu punktach wyznaczonej sieci punktów pomiarowych. Jednocze�nie musi by� mierzony przebieg siły wymuszaj�cej drgania. Estymacja parametrów modelu modalnego polega na aproksymacji zmierzonych charakterystyk konstrukcji za pomoc� funkcji, dla której zmiennymi s� parametry modelu modalnego.

W wi�kszo�ci zastosowa� zakłada si�, �e na skutek uszkodzenia zmienia si� lokalnie sztywno�� konstrukcji, co powoduje zmiany parametrów modelu modalnego. Za pomoc� �ledzenia zmian postaci drga� własnych mo�na okre�li� obszar, w którym wyst�puje uszkodzenie.

Obiektem bada� była przekładnia z�bata DMG-1 o kołach z�batych przesuwnych i z�bach prostych, składaj�ca si� z czterech kół osadzonych na dwóch wałach (rys.5.3). W badaniach rozpoznawczych modelowano zmiany stanu w warunkach eksperymentu czynnego.

Dla badanego modelu przekładni z�batej, skonstruowano wektor cech stanu przekładni z uwzgl�dnieniem wszystkich mo�liwych kombinacji uszkodze�:

stan 1 – brak uszkodze� – przekładnia zdatna ( wszystkie parametry w normie),

stan 2 – uszkodzenie elementu – ( niektóre parametry poza norm�), ... - mo�liwe kombinacje programowanych uszkodze� i rozregulowa�,

stan n – stan rozregulowania ( wszystkie parametry poza norm�). Pozwoliło to na wst�pne wyró�nienie wielu stanów regulowanych, dla których

rejestrowano amplitudy przy�pieszenia drga�. Pomiary i ich przetwarzanie przeprowadzono z zastosowaniem pakietu pomiarowo–przetwarzaj�cego APB–200, wchodz�cego w skład oprogramowania CADA-PC.

Badania modalne wykonano w czasie postoju przekładni. Do bada� zastosowano metod� testu impulsowego, według układu pomiarowego przedstawionego schematycznie na rys.6.2. Miejsce wymuszenia przy pomocy młotka wybrano w punkcie A, natomiast miejsce pomiaru odpowiedzi zrealizowano w punkcie B. Do analizy wybrano stosunkowo prosty model geometryczny odpowiadaj�cy osi wału. Zasymulowano 16 stanów gdzie stan B0 odpowiadał stanowi zdatno�ci przekładni zdatnej, a kolejne stany od B1 do B15 odpowiadały stanom niezdatno�ci (rozregulowaniu i zu�yciu).

Wyniki pomiarów oraz model geometryczny wykorzystano w systemie LMS CADA-PC do estymacji parametrów modelu modalnego. Na kolejnym rys.6.4 przedstawiono diagramy stabilizacyjne przekładni zdatnej oraz z uszkodzeniem. Badanie diagramów jest utrudnione ze wzgl�du na słab� ich powtarzalno��, st�d dalej dokonano ich opisu w kategoriach statystycznych, uwzgl�dniaj�c warto�ci cz�sto�ci własnych, tłumienia oraz zaproponowanej bezwymiarowej miary kumulacyjnej.

a).

b).

Rys.6.4 Przykładowe diagramy stabilizacyjne przekładni zdatnej a). oraz uszkodzonej b).

Nast�pnie dla ka�dego stanu i odpowiadaj�cych mu danych z diagramu

stabilizacyjnego, w punktach stabilizacji wyznaczono bieguny układu (tab.6.1) oraz

odpowiadaj�ce im warto�ci tłumienia (tab.6.2) dla wybranych, przykładowych siedmiu stanów. Tablica 6.1 Warto�ci cz�sto�ci własnych wyró�nionych stanów.

B0 B1 B2 B3 B4xy B4zy B5xy 3,176 3,204 18,789 3,188 18,317 3,196 18,393

18,865 18,778 37,031 18,658 37,786 18,652 36,85739,377 38,733 123,381 36,947 293,054 37,289 42,049127,36 65,882 200,108 63,465 317,163 227,986 50,451

273,184 271,774 373,926 123,85 332,789 291,944 104,462347,901 316,831 412,05 171,823 484,072 519,69 151,497374,797 440,054 427,723 279,329 498,796 662,792 161,876462,482 481,476 477,425 374,254 522,198 697,837 466,498524,462 601,443 666,102 610,964 588,595 759,572 472,721

Wyznaczone bieguny układu tworz� obrazy modalne stanów przekładni z�batej. Mno��c warto�ci cz�sto�ci poszczególnych biegunów przez odpowiadaj�ce im warto�ci tłumienia (po unormowaniu) otrzymano nowa miar� (kumulant� modaln�), bardziej wra�liw� na modelowane zmiany stanu: ξω •= bmK (6.50)

gdzie: Km – bezwymiarowa kumulanta modalna; ωb – cz�sto�� drga� własnych bieguna układu, ξ - współczynnik tłumienia.

Tablica 6.2 Warto�ci tłumienia modalnego.

B0 B1 B2 B3 B4xy B4zy B5xy 28,04 26,64 8,23 25,8 10,3 22,49 10,3210,17 9,76 11,04 10,26 7,57 8,22 11,13

7,7 9,1 5,73 11,5 7,62 7,94 10,684,13 7,78 5,04 5,56 1,25 3,1 1,756,85 6,03 1,03 4,41 6,2 8,24 5,422,86 1,05 1,7 5,15 0,52 2,45 3,351,23 1,33 0,98 10,24 3,3 0,72 4,010,44 1,08 1,69 0,84 1,62 2,43 1,460,69 4,05 0,59 7,24 3,82 2,59 3,14

Obserwacje stanów badanej przekładni z�batej opisanej kumulantami przedstawiono

na rys.6.5. Dla tak przedstawionych danych, dla celów identyfikacji uszkodze�, nale�y sprawdzi�, czy poszczególne obserwacje reprezentuj� rozł�czne klasy. W tym celu wykorzystano metod� klasyfikacji „minimum odległo�ci”.

1 3 5 7 9

11 13

B0

B4zy0

10

20

30

40

50 B0

B1

B2

B3

B4xy

B4zy

B5xy

B5zy

B6xy

Rys.6.5 Obserwacje stanów badanej przekładni z�batej

Podział obserwacji na klasy Sprawdzenia poprawno�ci przypisania obserwacji do poszczególnych klas (rys.6.5)

zbadano wykorzystuj�c znan� zale�no��, �e macierz całkowitej sumy kwadratów odchyle� obserwacji od �rodka ci��ko�ci obserwacji T, jest sum� całkowitej sumy kwadratów W odchyle� od �rednich wewn�trz klasowych i całkowitej sumy kwadratów odchyle� �rednich wewn�trz klasowych od �redniej globalnej B: T = B + W (6.51) Badano szybko�� spadku pewnej funkcji wariancji uogólnionej lub całkowitej, obliczonej na podstawie W. Osi�gni�cie warto�ci minimum dla kryterium globalnego oznacza zako�czenie procesu klasyfikacji, tj. przypisanie poszczególnych obserwacji do przypisanych klas.

Proces diagnozowania przekładni polegaj�cy na przypisaniu nowej obserwacji do istniej�cych klas mo�e by� zrealizowany metod� przypisania nowej obserwacji do klasy, do której ma ona najbli�ej (rys.6.6).

START1. Wczytanie zbioru ucz�cego CU (n x p) obserwacji xi o klasie

Cj gdzie i = 1, 2, ... n, j = 1, 2 ...pgdzie (n x p) wymiar danych ci�gu ucz�cego

2. Wczytanie danych obejmuj�cych przypisanie obserwacjixi ze zbioru ucz�cego do klas Cj(xi) oraz ustalenie liczby

klas q = �=

k

j j

j

n

n

1

3. Obliczenie warto�ci �rednich arytmetycznych dlaposzczególnych obserwacji w klasach

−

jx = �∈ ji Cx

ij

xn1

gdzie nj jest liczb� obserwacji w klasie C j

4. Obliczenie macierzy kowariancji Sj oraz macierzy S-1

odwrotnej do macierzy kowariancji

S-1 = 1−

jS

5. Wczytanie nowej obserwacji x oraz obliczenie kwadratuodległo�ci Euklidesa

2ijd = �

�

���

�−��

�

���

�− −_

1_

ij

T

ij xxSxx

6. Przypisanie nowej obserwacji do klasywg warunku

d(x, C j)= ),(min iCx

xxdji∈

STOP

Rys.6.6 Algorytm klasyfikacji stanów.

Uzyskane wyniki bada� prowadzone dla wszystkich mo�liwych uszkodze�, które były modelowane na stanowisku modelowej przekładni, wst�pnie potwierdzaj� mo�liwo�� wykorzystania eksperymentalnej analizy modalnej w rozró�nianiu stanów.

Diagnozowanie przekładni z�batej przy pomocy eksperymentalnej analizy modalnej, generuje szereg problemów nie do ko�ca rozpoznanych i opracowanych, cz�sto rozproszonych a nawet nie rozpowszechnionych, które wymagaj� pilnego rozwi�zania. Modelowanie zmian stanu obiektów, z uwzgl�dnieniem zmiennego obci��enia oraz indywidualne podej�cie do zmian stanu ka�dego elementu to dopiero pocz�tek w zakresie wykorzystania modeli ewolucyjnych, ocenianych modelami modalnymi w diagnostyce.

Zakres bada� analizy modalnej wnosi oryginalny wkład w udoskonalenie procesu projektowania maszyn poprzez opracowanie szeregu nowych procedur badawczych i wdro�enie nowoczesnych metod analizy modalnej do korygowania modeli analitycznych maszyn, co daje pełny, zamkni�ty cykl modelowania dynamicznego konstrukcji. 6.3 Eksploatacyjna analiza modalna Praktyczny przykład wykorzystania eksploatacyjnej analizy modalnej, nad któr� rozpocz�to wst�pne prace w zespole autora, zaczerpni�to z zakupionego oprogramowania „Vioma” opracowanego w zespole prof. T. Uhla [71]. Program „Vioma” został napisany w �rodowisku MATLAB’a. Implementuje operacyjn� (eksploatacyjn�) oraz klasyczn� (eksperymentaln�) analiz� modaln� konstrukcji mechanicznych. Program składa si� z nast�puj�cych modułów [67,68]: - moduł „Data” - słu��cy do wczytywania, przegl�dania, zarz�dzania i prostego przetwarzania danych pomiarowych, - moduł „Geometry” - pozwalaj�cy na budowanie i wizualizacj� geometrii badanego obiektu, - moduł „Analysis” - implementuj�cy analiz� modaln� m.in. metod� LSCE, - moduł „Visualization” – umo�liwiaj�cy wizualizacj� wyników prowadzonych analiz.

Jako przykładowy obiekt bada� przedstawiono tu stalow� ram�, zamocowan� na sztywno do stalowej podstawy. Stanowisko pomiarowe badanego układu przedstawiono schematycznie na rys.6.7. Ze wzgl�du na fakt, �e rama jest obiektem laboratoryjnym, zastosowane zostało wymuszenie, które nie było rejestrowane w trakcie pomiaru.

Rys.6.7 Schemat stanowiska pomiarowego [67].

Proces realizacji analizy modalnej przeprowadzanej w systemie „Vioma” mo�na podzieli� na kilka etapów.

Analiza wst�pna

Nale�y dokona� najpierw wyboru punktów pomiarowych oraz okre�li� ilo�� i lokalizacj� punktów referencyjnych. W omawianym przykładzie wybór punktów pomiarowych przedstawiono na rys.6.8. Punkty s� od siebie oddalone o 50 mm.

Rys.6.8 Lokalizacja punktów pomiarowych [67]. Jako punkt referencyjny przyj�to punkt 7, w którym zadawane było wymuszenie. We wszystkich punktach pomiar był dokonywany w trzech kierunkach. Okre�lenie geometrycznego modelu badanego obiektu

Model geometryczny badanego obiektu musi by� powi�zany z dokonywanymi pomiarami. Dokładno�� odwzorowania obiektu ma w przypadku analizy modalnej mniejsze znaczenie. Model powinien by� jednak na tyle dokładny aby po wykonaniu analizy mo�liwe było jasne okre�lenie rodzajów drga� wyst�puj�cych w poszczególnych cz��ciach konstrukcji. Model składa si� z punktów poł�czonych liniami. Punkty na modelu geometrycznym wybierane s� zazwyczaj jako miejsca dokonywania pomiarów, linie maj� za zadanie zobrazowa� szkielet badanego obiektu. Procedura tworzenia modelu przebiega nast�puj�co: - wybór globalnego układu współrz�dnych, - podział obiektu na prostsze komponenty składowe, posiadaj�ce własny lokalny układ współrz�dnych – w omawianym przykładzie takimi komponentami b�d� boki ramy (lewy, prawy i górny), - zdefiniowanie punktów (w�złów) w obr�bie komponentu - poło�enie punktów mo�e by� - okre�lone w układzie współrz�dnych: kartezja�skim, cylindrycznym lub sferycznym, - wykonanie koniecznych poł�cze� pomi�dzy punktami w obr�bie komponentu, - wykonanie koniecznych poł�cze� mi�dzy ró�nymi komponentami, - zachowanie utworzonego modelu układu na dysku.

W programie „Vioma” zamodelowany obiekt mo�na zobaczy� w narz�dziu do prezentacji graficznej. Mo�liwa jest zmiana punktu obserwacji, co ma znaczenie w przypadku modeli trójwymiarowych. W omawianym przykładzie model geometryczny ma posta� analogiczn� do schematu lokalizacji punktów pomiarowych na ramie, jak na rys.6.8. Pomiary

W nast�pnym etapie wykonywane s� pomiary odpowiedzi układu w wybranych punktach na wymuszenie eksploatacyjne. Istotne jest okre�lenie sposobu wykonywania

pomiarów w zale�no�ci od analiz jakie maj� zosta� przeprowadzone. Nale�y okre�li� szeroko�� i zakres pasma, w jakim wykonywany b�dzie pomiar oraz ustali� format, w jakim zapami�tane zostan� zmierzone przebiegi. Przygotowanie zmierzonych przebiegów do dokonania analizy

Wyniki pomiarów mog� by� zapami�tane w postaci przebiegów czasowych lecz zajmuj� wówczas du�o miejsca i wymagaj� wi�kszej zło�ono�ci przetwarzania. Zarejestrowane dane mo�na podda� wst�pnej obróbce, co ma na celu przetworzenie ich do postaci akceptowalnej przez moduł dokonuj�cy wła�ciwej analizy modalnej. Mo�liwe jest wykonanie m.in. takich operacji jak resampling, filtracja, wyznaczenie funkcji korelacji, funkcji g�sto�ci widmowej mocy. W omawianym przykładzie wyznaczone zostały funkcje korelacji oraz g�sto�� widmowa mocy. W takich te� postaciach dane zostały zapami�tane na dysku. System „Vioma” umo�liwia wizualizacj� wyznaczonych przebiegów. Na rys.6.9 przedstawiono wykresy przykładowych funkcji g�sto�ci widmowych mocy, w wybranym punkcie pomiarowym, w ka�dym z trzech kierunków pomiarów.

Rys.6.9 Przykładowe funkcje g�sto�ci widmowych mocy. Wła�ciwa analiza modalna

Proces wła�ciwej analizy modalnej rozpoczyna si� od wczytania danych do modułu „Analysis”. Dane powinny by� w postaci funkcji korelacji wzajemnej lub g�sto�ci widmowej mocy. Algorytm LSCE wykorzystywany do przeprowadzenia analizy modalnej składa si� z dwóch kroków: w pierwszym zidentyfikowane zostaj� bieguny układu, w drugim na ich podstawie estymowane s� postacie drga� własnych układu. Pocz�tkowo badany obiekt zostaje zamodelowany wielomianami o okre�lonych rz�dach: minimalnym i maksymalnym oraz okre�lonym krokiem estymacji. Im wi�kszy maksymalny rz�d wielomianu, tym lepiej model b�dzie oddawał rzeczywist� konstrukcj�, ale tak�e znacznie wzro�nie zło�ono�� i czas wykonania oblicze�. Po estymacji uruchamiane jest narz�dzie „Stabilisation Diagram”, wy�wietlaj�ce diagram stabilizacyjny i umo�liwiaj�ce wybór biegunów badanego układu.

Diagram stabilizacyjny dla omawianego przykładu został przedstawiony na rys.6.10 Przyj�to nast�puj�ce warto�ci współczynników: maksymalny rz�d wielomianu: 45, rz�d minimalny: 2, krok estymacji 2.

Rys.6.10 Diagram stabilizacyjny. Oznaczenia:

o-biegun niestabilny f-biegun ma stał� cz�sto�� v-biegun ma stał� cz�sto�� i wektor modalny s-biegun stabilny

Wybiera si� tylko te bieguny, które s� stabilne ze wzgl�du na cz�stotliwo��, współczynnik tłumienia i wektor modalny (zaznaczone na diagramie liter� „s”), wyst�puj�ce przy cz�stotliwo�ci, dla której na charakterystyce cz�stotliwo�ciowej znajduje si� maksimum. Przy wyborze stosuje si� zasad� wyboru biegunów z poziomu, dla którego wyst�puj� wszystkie bieguny spełniaj�ce powy�sze wymagania (biegun stabilny i maksimum). W omawianym przykładzie wybrano bieguny z poziomu 39. Po wybraniu wszystkich biegunów nast�puje estymacja postaci drga�. Wizualizacja wyników

Dane otrzymane w wyniku analiz mo�na przedstawi� graficznie za pomoc� modułu „Visualization” – „Mode Shapes”. Mo�liwa jest obserwacja animowanych drga� modelu dla wybranych cz�sto�ci własnych. Na rys.6.11 przedstawione s� przykładowe postacie drga� dla wybranych cz�sto�ci własnych.

12,47 Hz 80,85 Hz 340,43 Hz Rys.6.11 Przykładowe postacie drga� modelu ramy stalowej.

Operacyjna Analiza Modalna pozwala na znaczne obni�enie kosztów zwi�zanych z modelowaniem konstrukcji mechanicznych, pozwalaj�c w efekcie bardziej efektywnie wykorzystywa� dost�pne �rodki badawcze. Moc obliczeniowa współczesnych komputerów pozwala na estymacj� parametrów z bardzo du�� dokładno�ci�. Podobnie te� nie stanowi problemu przechowywanie du�ej ilo�ci danych pomiarowych. W przypadku analizy eksploatacyjnej model geometryczny nie musi wiernie oddawa� modelowanej konstrukcji. Istotne jest takie jego stworzenie aby mo�liwa była identyfikacja powstaj�cych drga�. Prosty sposób wykonywania pomiarów na pracuj�cej maszynie pozwala na wykonanie wi�kszej ilo�ci ró�nych modeli geometrycznych i szybsz� weryfikacj� ich przydatno�ci. Istotniejszy wydaje si� by� wybór punktów pomiarowych i referencyjnych, tak aby otrzymywane informacje pozwalały na symulacj� zachowania si� modelu jak najbardziej zbli�on� do rzeczywisto�ci.

Nowoczesne oprogramowanie in�ynierskie pozwala w pełni wykorzysta� zalety wykonywania pomiarów w warunkach normalnej eksploatacji maszyn. Program „Vioma” jest narz�dziem przejrzystym w obsłudze, pozwalaj�cym na wykonanie eksperymentalnej i eksploatacyjnej analizy modalnej. Posiada opcje przydatne w procesie przygotowywania i wst�pnej obróbki danych, przez co nie jest konieczne korzystanie z narz�dzi zewn�trznych. rodowisko MATLAB’a gwarantuje wysok� jako�� procedur numerycznych, a co za tym idzie – szybko�� oblicze�.

6.4 Stanowiska do badawcze Z dotychczasowych do�wiadcze� wynika, �e pomy�lne wyniki bada� stanowiskowych, przekładaj�ce si� dalej na mo�liwo�ci weryfikacji eksploatacyjnej, w badaniach diagnostycznych wymagaj� posiadania specjalizowanych stanowisk pomiarowych. Z jednej strony jest to stanowisko do rutynowych bada� drganiowych, tak jak w diagnostyce wibroakustycznej, za� w dalszych badaniach niezb�dne jest stanowisko do bada� modalnych, zarówno w metodzie eksperymentalnej jak i eksploatacyjnej. Poszukiwanie odwzorow� modeli drganiowych z modelami modalnymi, w badaniach stanowiskowych i w badaniach na rzeczywistych obiektach, pozwoli dokona� oceny podobie�stwa modeli, trafno�ci decyzji i skuteczno�ci stosowanych metod. Przy realizacji bada� drganiowych wykorzystuje si� najcz��ciej układ rejestracji pomiaru i analizy dynamicznych wielko�ci mechanicznych (czujniki przyspiesze� drga�, przedwzmacniacze, momentomierz, rejestrator magnetyczny, rejestrator cyfrowy, analizatory, technika wirtualna). Przykładowy schemat takiego systemu zamieszczono na rys.6.12.

Rys.6.12 Systemu do rejestracji i analizy sygnałów drganiowych

Dla potrzeb pomiaru i analizy stanu dynamicznego konstrukcji stanowiska badawcze s� bardziej zło�one, szczególnie w zakresie wyposa�enia programowego. Podstawowe elementy systemu analizy konstrukcji, przedstawione na rys.6.13, zawieraj�:

- elektrodynamiczny układ wzbudzania: 0-10000 Hz, 0-2kN,

- dwukanałowy analizator sygnałów w czasie rzeczywistym (BK-2034), pracuj�cy w oprogramowanym systemie transmisji i retransmisji danych z komputerem,

- programy systemu analizy konstrukcji: system eksperymentalnej analizy modalnej PC-MODAL, system eksploatacyjnego przestrzennego rozkładu drga� PC-ODS, MATLAB z przybornikami;

- pre- i post-procesory bazy danych i grafiki. Pomiary drganiowe i modalne przeprowadza si� najcz��ciej z wykorzystaniem aparatury tak zaprojektowanej, aby mogła ona by� wykorzystywana zarówno na stanowisku pomiarowym, jak i podczas bada� poligonowych.

Rys.6.13 Systemu czynnej analizy dynamicznej maszyny.

Zakres mo�liwo�ci pomiarowych przy takim rozwi�zaniu sprz�towym daje podstawy do planowania eksperymentu czynnego i biernego, a uzyskane wyniki stanowi� podstaw� poprawnego wnioskowania.