przeksztalcanie_wykresow

15
  PRZEKSZTA CANIE WYKRESÓW Pokażemy tu, jak zmiana we wzorze funkcji wp ływa na wyglą d jej wykresu. A. Mamy wykres funkcji f(x). Jak bę dzie wyglą dał wykres ( )  a  x  f  + , a – stała? ( ) ( )  a  x  f  x  f  +  Co dzieje się  z funkcją ? Otóż każda wartość funkcji zmieni si ę  o a. Spowoduje to przesuni ę cie wszystkich punktów wykresu wzdłuż osi wartości funkcji czyli OY  o tę  samą  wartość. Wykres przesunie si ę  do góry jeśli a było dodatnie i do dołu jeśli było ujemne.  Przyk ł ad   Niech i . ( ) 2  x  x  f  = 2 = a ( ) 2 2 + = +  x a  x  f  1 2 3 -1 -2 -3 1 2 3 4 5 6 -1 x y  f(x) + a  f(x)  Podsumujmy:  By z wykresu funkcji ( )  x  f  otrzymać wykres ( )  a  x  f  + , przesuwamy wykres ( )  x  f  o a w kierunku osi OY . Do góry gdy 0 > a , do dołu, gdy 0 < a . B. Wykres funkcji . ( ) a  x  f  +  ( ) ( ) a  x  f  x  f  +  Kto nie wie ten (opieraj ą c się  na poprzednim punkcie) powie natychmiast, że wykres przemieści się  wzdłuż osi OX  (i tu  bę dzie miał rację ) w prawo, czyli w kierunku wię kszych x, jeśli a jest wię ksze od zera a w lewo je śli bę dzie mniejsze od zera. Niestety ktoś taki pomyli si ę . Jest dok ładnie odwrotnie. Jeśli a > 0, wykres przesunie się  lewo. Jeśli a < 0, wykres przesunie się  prawo. Dlaczego tak si ę  dzieje? Załóżmy dla ustalenia uwagi, że a > 0. 1

Transcript of przeksztalcanie_wykresow

  • PRZEKSZTACANIE WYKRESW. Pokaemy tu, jak zmiana we wzorze funkcji wpywa na wygld jej wykresu. A. Mamy wykres funkcji f(x). Jak bdzie wyglda wykres ( ) axf + , a staa? ( ) ( ) axfxf + Co dzieje si z funkcj? Ot kada warto funkcji zmieni si o a. Spowoduje to przesunicie wszystkich punktw wykresu wzdu osi wartoci funkcji czyli OY o t sam warto. Wykres przesunie si do gry jeli a byo dodatnie i do dou jeli byo ujemne. Przykad Niech i . ( ) 2xxf = 2=a( ) 22 +=+ xaxf

    1 2 3-1-2-3

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    -1

    x

    y

    f(x) + a

    f(x)

    Podsumujmy: By z wykresu funkcji ( )xf otrzyma wykres ( ) axf + , przesuwamy wykres ( )xf o a w kierunku osi OY. Do gry gdy

    0>a , do dou, gdy 0 0, wykres przesunie si lewo. Jeli a < 0, wykres przesunie si prawo. Dlaczego tak si dzieje? Zamy dla ustalenia uwagi, e a > 0.

    1

  • x + ax

    f(x)

    f(x+a)

    Spjrzmy na rysunek. Funkcja f(x+a) przyporzdkowuje punktowi x warto f(x+a). Inaczej: by otrzyma poprawny wykres, naley narysowa punkt o wsprzdnej x, a jego wsprzdna y-owa to warto funkcji w punkcie x + a, czyli w punkcie o a dalszym. Musimy zatem przenie punkt z pooenia ( )( )axfax ++ , do pooenia , a zatem cofn go, a nie przesun do przodu. Dla ujemnej wartoci a bdzie odwrotnie.

    (( axfx +, )) Przykad. Niech i - jak poprzednio. ( ) 2xxf = 2=a( ) ( )22+=+ xaxf

    1 2 3-1-2-3

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    -1

    x

    y

    f(x)

    f(x+a)

    Podsumujmy: By z wykresu funkcji ( )xf otrzyma wykres ( )axf + , przesuwamy wykres ( )xf o a w kierunku osi OX. W lewo gdy

    0>a , w prawo, gdy 0

  • 1 2 3-1-2-3

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    -1

    x

    y

    f(x)

    -f(x)

    Podsumujmy: By z wykresu funkcji ( )xf otrzyma wykres ( )xf , odbijamy wykres ( )xf symetrycznie wzgldem osi OX. D. Wykres funkcji . ( )xf ( ) ( )xfxf Argumentowi x przyporzdkowana jest warto jak ma funkcja dla x .

    x-x

    f(-x)

    Zatem punkt wykresu dla argumentu x powstaje w ten sposb, e bierzemy warto funkcji dla x i rysujemy punkt o wsprzdnych . Odpowiada to symetrycznemu odbiciu wzgldem osi OY. ( )( xfx , ) Przykad. Niech ( ) 3xxf =( ) ( )3xxf =

    3

  • f(x)f(-x)

    1 2 3 4-1-2-3-4

    1

    2

    3

    45

    6

    7

    8

    -1

    -2-3

    -4

    -5

    -6

    -7

    -8

    x

    y

    Podsumujmy: By z wykresu funkcji ( )xf otrzyma wykres ( )xf , odbijamy wykres ( )xf symetrycznie wzgldem osi OY. E. Wykres funkcji ( )xf . ( ) ( )xfxf Modu nie zmienia liczby dodatniej lub zera, a liczbie ujemnej zmienia znak. Wobec tego jeli warto funkcji ( ) 0xf to ( ) ( )xfxf = i nic si nie dzieje. Modu nie ma wpywu na wykres funkcji. Inaczej jest gdy . Wtedy ( ) 0

    f(x)

  • 1 2 3 4-1-2-3-4

    1

    2

    3

    4

    5

    -1

    x

    y

    | |f(x)

    Podsumujmy: By z wykresu funkcji ( )xf otrzyma wykres ( )xf , lec nad osi OX cz wykresu ( )xf pozostawiamy bez zmian, natomiast t, ktra ley pod osi OX odbijamy symetrycznie wzgldem osi OX. F. Wykres funkcji ( )xf . ( ) ( )xfxf Jeli , to 0x ( ) ( )xfxf = . Wykres si nie zmienia. Na prawo od osi OY wykres pozostaje bez zmian. Trudniej jest stwierdzi co dzieje si z lew czci wykresu. Jeli 00

    x

  • 2) Rysujemy wykres dla . To jest nieco trudniejsze. Naley widoczn ju cz wykresu odbi po lewej stronie, uprzednio zamazawszy to, co byo wczeniej czyli wykres f(x) dla x < 0. Oto gotowy wykres.

    0 0 ( )xaf ( ) ( )xafxf Pomnoenie funkcji przez liczb powoduje, e jej wartoci rosn a razy dla kadego argumentu x. W szczeglnoci miejsca zerowe pozostaj na swoim miejscu, bo pomnoenie zera przez cokolwiek daje zero. Wykres funkcji rozciga si tak, e punkty lece na osi OX pozostaj na miejscu. Przykad. Niech ( ) 2sin == axxf

    ( ) xxaf sin2=

    6

  • 12

    -1

    -2

    x

    y

    22f(x)

    af(x)

    Podsumujmy: By z wykresu funkcji ( )xf otrzyma wykres ( )xaf naley kady punkt wykresu f(x) narysowa w odlegoci a razy wikszej ni pierwotny, nie zmieniajc przy tym jego odcitej x. Mamy wic siedem przeksztace wykresw funkcji. S to: 1) ( ) axf +2) ( )axf +3) ( )xf4) ( )xf 5) ( )xf 6) ( )xf 7) ( )xaf Pozwalaj one rysowa wykresy bardziej skomplikowanych funkcji, jeli znamy wykres prostszej. Jak wida przeksztacanie wykresw nie jest bardzo trudne. Problemy zaczynaj si, gdy trzeba wykona wicej przeksztace. S zwaszcza kopoty z ustaleniem kolejnoci przeksztace.

    ZADANIE 1

    Narysuj wykres funkcji f(x) przeksztacajc wykres funkcji ( )x

    xg 1= .

    a) ( ) 21

    1 += xxf

    b) ( ) 312

    1 += xxf

    c) ( )2

    1= xxf

    d) ( ) 321

    1 += xxf

    e) ( )1

    1+= xxf

    ROZWIZANIE

    Uwaga! Due, wytuszczone litery w rozwizaniach oznaczaj odwoanie do odpowiedniego przeksztacenia omwionego w powyszym wstpie.

    a) ( ) 21

    1 += xxf

    7

  • Zrbmy najpierw plan, jak doj od funkcji x

    y 1= do 21

    1 += xy . Widzimy, e do argumentu zostao dodane 1, a

    do wartoci funkcji 1

    1= xy dodane 2. Schemat przeksztace mona wic zapisa tak:

    ( ) ( ) 2

    11

    111 +

    ++xxx

    axfaxf .

    Znaczy to tyle, e z wyjciowej funkcji robimy 1

    1x poddajc j przeksztaceniu polegajcym na dodaniu liczby do

    argumentu (B.), a nastpnie t z kolei poddajemy przeksztaceniu polegajcemu na dodaniu liczby do caej funkcji (A.)

    i otrzymujemy 21

    1 +x . Z tego co wiemy ze wstpu, wyjciowy wykres x1 naley przesun o 1 w prawo i o 2 w

    gr. Oczywicie przesuwajc najpierw o 2 w gr a potem o 1 w prawo otrzymamy dokadnie to samo, z czego naley

    wnosi, e nastpujcy schemat przeksztace te doprowadziby do sukcesu: ( ) ( ) 21

    1211 + + ++

    xxxaxfaxf .

    Rzeczywicie to samo. Teraz pozostay rysunki. Zrobimy to w jednym ukadzie wsprzdnych. Umwmy si, e wyjciowy wykres zawsze bdzie czarny, a docelowy czerwony. Porednie oznacza bd innymi kolorami i lini przerywan.

    b) ( ) 312

    1 += xxf Tu sytuacja jest bardziej skomplikowana. Napisz schemat, a potem go omwi.

    ( ) ( ) ( ) ( ) 312

    112

    112

    12

    11 + + + + +++

    xxxxxaxfxfaxfaxf

    1) Przesuwamy wykres x1 o 2 w lewo (B.).

    2) Przesuwamy wykres 2

    1+x o 1 do dou (A.).

    3) To co jest pod osi OX odbijamy do gry (przypomnijcie sobie jak dziaa modu) (E.). 4) To co wyszo przesuwamy o 3 do dou (A.).

    8

  • To jeszcze nie koniec. To dopiero 1) i 2). Nie chciaem umieszcza wszystkich etapw na jednym rysunku, bo nic nie byoby wida.

    Wykres czerwony to ten, ktry mielimy uzyska. Zastanwmy si jeszcze czy mona zmieni kolejno operacji? Wiemy z poprzedniego przykadu, e mona zmieni kolejno przesuni wzdu osi OX i OY. Nie mona zmieni pozycji operacji ( )xf , bo zobaczcie co si dzieje, gdy na przykad wstawimy j jako pierwsz.

    ( ) ( ) ( ) ( ) 312

    112

    12

    111 + + + +++

    xxxxxaxfaxfaxfxf i otrzymujemy co zupenie innego ni

    chcielimy.

    c) ( )2

    1= xxf

    Sprbujmy takiej kolejnoci: ( ) ( )2

    111

    +xxx

    axfxf . le! Otrzymalimy co innego ni trzeba. Odwrmy

    kolejno.

    9

  • ( ) ( )22

    +xxx

    xfaxf

    11

    Dobrze. Najpierw przesuwamy (B.), a potem odbijamy praw cz wykresu wzgldem osi OY na lew stron, a po prawej zostawiamy to co byo (F.) Teraz rysunek.

    1

    A to jest waciwy wykres.

    3d) ( ) 21 +=xf1x

    Tu jest mnstwo roboty. Najpierw schemat. Zabieramy si do tego od wewntrz. ( ) ( ) ( )

    ( ) ( ) ( ) 321

    21

    21

    + +

    xxxaxfxfxf 111

    21

    11

    11

    11 ++

    xxxxaxfxfaxf

    y wynik.

    lew stron, a po prawej zostawiamy to co byo (F.).

    Sprbujcie zmieni gdzie kolejno. Zobaczcie gdzie nie wpywa to na poprawno, a gdzie dostajemy bdnA oto etapy rysowania wykresu. 1) Przesunicie o 1 w prawo (B.) 2) Odbijamy praw cz wykresu wzgldem osi OY na

    10

  • 3) Przesunicie o 2 do dou (A.). 4) To co jest pod osi OX zostaje odbite do gry (E.).

    ao przesuwamy o 3 do gry (A.). Kolejne etapy umiecimy na oddzielnych rysunkach. 1)

    5) Cay wykres odbijamy wzgldem osi OX (C.) 6) C

    2)

    3)

    11

  • 4)

    5)

    I wreszcie 6)

    12

  • e) ( )1

    1+= xxf

    Sprbujmy tak: ( ) ( ) ( )1111+

    +xxx

    axfxf . Niedobrze. Jeszcze raz.

    ( ) ( )

    11

    111

    + + +

    xxxxfaxf

    1) Przesuwamy wykres x1 w lewo o 1 (B.).

    2) Odbijamy wykres symetrycznie wzgldem osi OY (D.)

    ZADANIE 2

    Narysuj wykres funkcji f(x) przeksztacajc wykres funkcji ( ) xxg = . a) ( ) 3+= xxf b) ( ) 3+= xxf c) ( ) 3+= xxf

    ROZWIZANIE a) ( ) 3+= xxf Schemat przeksztacenia: ( ) ( ) 33 + + + xxx xfaxf Po pierwszym zadaniu doszlicie z pewnoci do wprawy wic od razu rysunek.

    13

  • Wykres czarny - xy = Wykres niebieski - 3+= xy Wykres czerwony - 3+= xy b) ( ) 3+= xxf Schemat przeksztacenia: ( ) ( ) 3+ + xxx axfxf Tym razem zrobimy trzy oddzielne rysunki, by sobie nawzajem nie przeszkadzay.

    xy =

    xy =

    3+= xy

    I to jest kocowy wykres. c) ( ) 3+= xxf Rnica midzy tym a poprzednim schematem przeksztace polega na zmianie kolejnoci dwu spord operacji prowadzcych do wyniku.

    14

  • Schemat przeksztacenia: ( ) ( ) 33 + + + xxx xfaxf xy =

    3+= xy

    3+= xy

    Jak wida zmiana kolejnoci przeksztace doprowadzia do innego wykresu. Mora z tego taki, e trzeba uwaa na kolejno. Wicej na stronie http://www.traugutt.edu.pl/

    15

    Zadanie 1RozwizanieRozwizanie