PRZEKSZTACANIE WYKRESW. Pokaemy tu, jak zmiana we wzorze funkcji wpywa na wygld jej wykresu. A. Mamy wykres funkcji f(x). Jak bdzie wyglda wykres ( ) axf + , a staa? ( ) ( ) axfxf + Co dzieje si z funkcj? Ot kada warto funkcji zmieni si o a. Spowoduje to przesunicie wszystkich punktw wykresu wzdu osi wartoci funkcji czyli OY o t sam warto. Wykres przesunie si do gry jeli a byo dodatnie i do dou jeli byo ujemne. Przykad Niech i . ( ) 2xxf = 2=a( ) 22 +=+ xaxf

1 2 3-1-2-3

1

2

3

4

5

6

-1

x

y

f(x) + a

f(x)

Podsumujmy: By z wykresu funkcji ( )xf otrzyma wykres ( ) axf + , przesuwamy wykres ( )xf o a w kierunku osi OY. Do gry gdy

0>a , do dou, gdy 0 0, wykres przesunie si lewo. Jeli a < 0, wykres przesunie si prawo. Dlaczego tak si dzieje? Zamy dla ustalenia uwagi, e a > 0.

1

x + ax

f(x)

f(x+a)

Spjrzmy na rysunek. Funkcja f(x+a) przyporzdkowuje punktowi x warto f(x+a). Inaczej: by otrzyma poprawny wykres, naley narysowa punkt o wsprzdnej x, a jego wsprzdna y-owa to warto funkcji w punkcie x + a, czyli w punkcie o a dalszym. Musimy zatem przenie punkt z pooenia ( )( )axfax ++ , do pooenia , a zatem cofn go, a nie przesun do przodu. Dla ujemnej wartoci a bdzie odwrotnie.

(( axfx +, )) Przykad. Niech i - jak poprzednio. ( ) 2xxf = 2=a( ) ( )22+=+ xaxf

1 2 3-1-2-3

1

2

3

4

5

6

-1

x

y

f(x)

f(x+a)

Podsumujmy: By z wykresu funkcji ( )xf otrzyma wykres ( )axf + , przesuwamy wykres ( )xf o a w kierunku osi OX. W lewo gdy

0>a , w prawo, gdy 0

1 2 3-1-2-3

1

2

3

4

5

6

-1

x

y

f(x)

-f(x)

Podsumujmy: By z wykresu funkcji ( )xf otrzyma wykres ( )xf , odbijamy wykres ( )xf symetrycznie wzgldem osi OX. D. Wykres funkcji . ( )xf ( ) ( )xfxf Argumentowi x przyporzdkowana jest warto jak ma funkcja dla x .

x-x

f(-x)

Zatem punkt wykresu dla argumentu x powstaje w ten sposb, e bierzemy warto funkcji dla x i rysujemy punkt o wsprzdnych . Odpowiada to symetrycznemu odbiciu wzgldem osi OY. ( )( xfx , ) Przykad. Niech ( ) 3xxf =( ) ( )3xxf =

3

f(x)f(-x)

1 2 3 4-1-2-3-4

1

2

3

45

6

7

8

-1

-2-3

-4

-5

-6

-7

-8

x

y

Podsumujmy: By z wykresu funkcji ( )xf otrzyma wykres ( )xf , odbijamy wykres ( )xf symetrycznie wzgldem osi OY. E. Wykres funkcji ( )xf . ( ) ( )xfxf Modu nie zmienia liczby dodatniej lub zera, a liczbie ujemnej zmienia znak. Wobec tego jeli warto funkcji ( ) 0xf to ( ) ( )xfxf = i nic si nie dzieje. Modu nie ma wpywu na wykres funkcji. Inaczej jest gdy . Wtedy ( ) 0

f(x)

1 2 3 4-1-2-3-4

1

2

3

4

5

-1

x

y

| |f(x)

Podsumujmy: By z wykresu funkcji ( )xf otrzyma wykres ( )xf , lec nad osi OX cz wykresu ( )xf pozostawiamy bez zmian, natomiast t, ktra ley pod osi OX odbijamy symetrycznie wzgldem osi OX. F. Wykres funkcji ( )xf . ( ) ( )xfxf Jeli , to 0x ( ) ( )xfxf = . Wykres si nie zmienia. Na prawo od osi OY wykres pozostaje bez zmian. Trudniej jest stwierdzi co dzieje si z lew czci wykresu. Jeli 00

x

2) Rysujemy wykres dla . To jest nieco trudniejsze. Naley widoczn ju cz wykresu odbi po lewej stronie, uprzednio zamazawszy to, co byo wczeniej czyli wykres f(x) dla x < 0. Oto gotowy wykres.

0 0 ( )xaf ( ) ( )xafxf Pomnoenie funkcji przez liczb powoduje, e jej wartoci rosn a razy dla kadego argumentu x. W szczeglnoci miejsca zerowe pozostaj na swoim miejscu, bo pomnoenie zera przez cokolwiek daje zero. Wykres funkcji rozciga si tak, e punkty lece na osi OX pozostaj na miejscu. Przykad. Niech ( ) 2sin == axxf

( ) xxaf sin2=

6

12

-1

-2

x

y

22f(x)

af(x)

Podsumujmy: By z wykresu funkcji ( )xf otrzyma wykres ( )xaf naley kady punkt wykresu f(x) narysowa w odlegoci a razy wikszej ni pierwotny, nie zmieniajc przy tym jego odcitej x. Mamy wic siedem przeksztace wykresw funkcji. S to: 1) ( ) axf +2) ( )axf +3) ( )xf4) ( )xf 5) ( )xf 6) ( )xf 7) ( )xaf Pozwalaj one rysowa wykresy bardziej skomplikowanych funkcji, jeli znamy wykres prostszej. Jak wida przeksztacanie wykresw nie jest bardzo trudne. Problemy zaczynaj si, gdy trzeba wykona wicej przeksztace. S zwaszcza kopoty z ustaleniem kolejnoci przeksztace.

ZADANIE 1

Narysuj wykres funkcji f(x) przeksztacajc wykres funkcji ( )x

xg 1= .

a) ( ) 21

1 += xxf

b) ( ) 312

1 += xxf

c) ( )2

1= xxf

d) ( ) 321

1 += xxf

e) ( )1

1+= xxf

ROZWIZANIE

Uwaga! Due, wytuszczone litery w rozwizaniach oznaczaj odwoanie do odpowiedniego przeksztacenia omwionego w powyszym wstpie.

a) ( ) 21

1 += xxf

7

Zrbmy najpierw plan, jak doj od funkcji x

y 1= do 21

1 += xy . Widzimy, e do argumentu zostao dodane 1, a

do wartoci funkcji 1

1= xy dodane 2. Schemat przeksztace mona wic zapisa tak:

( ) ( ) 2

11

111 +

++xxx

axfaxf .

Znaczy to tyle, e z wyjciowej funkcji robimy 1

1x poddajc j przeksztaceniu polegajcym na dodaniu liczby do

argumentu (B.), a nastpnie t z kolei poddajemy przeksztaceniu polegajcemu na dodaniu liczby do caej funkcji (A.)

i otrzymujemy 21

1 +x . Z tego co wiemy ze wstpu, wyjciowy wykres x1 naley przesun o 1 w prawo i o 2 w

gr. Oczywicie przesuwajc najpierw o 2 w gr a potem o 1 w prawo otrzymamy dokadnie to samo, z czego naley

wnosi, e nastpujcy schemat przeksztace te doprowadziby do sukcesu: ( ) ( ) 21

1211 + + ++

xxxaxfaxf .

Rzeczywicie to samo. Teraz pozostay rysunki. Zrobimy to w jednym ukadzie wsprzdnych. Umwmy si, e wyjciowy wykres zawsze bdzie czarny, a docelowy czerwony. Porednie oznacza bd innymi kolorami i lini przerywan.

b) ( ) 312

1 += xxf Tu sytuacja jest bardziej skomplikowana. Napisz schemat, a potem go omwi.

( ) ( ) ( ) ( ) 312

112

112

12

11 + + + + +++

xxxxxaxfxfaxfaxf

1) Przesuwamy wykres x1 o 2 w lewo (B.).

2) Przesuwamy wykres 2

1+x o 1 do dou (A.).

3) To co jest pod osi OX odbijamy do gry (przypomnijcie sobie jak dziaa modu) (E.). 4) To co wyszo przesuwamy o 3 do dou (A.).

8

To jeszcze nie koniec. To dopiero 1) i 2). Nie chciaem umieszcza wszystkich etapw na jednym rysunku, bo nic nie byoby wida.

Wykres czerwony to ten, ktry mielimy uzyska. Zastanwmy si jeszcze czy mona zmieni kolejno operacji? Wiemy z poprzedniego przykadu, e mona zmieni kolejno przesuni wzdu osi OX i OY. Nie mona zmieni pozycji operacji ( )xf , bo zobaczcie co si dzieje, gdy na przykad wstawimy j jako pierwsz.

( ) ( ) ( ) ( ) 312

112

12

111 + + + +++

xxxxxaxfaxfaxfxf i otrzymujemy co zupenie innego ni

chcielimy.

c) ( )2

1= xxf

Sprbujmy takiej kolejnoci: ( ) ( )2

111

+xxx

axfxf . le! Otrzymalimy co innego ni trzeba. Odwrmy

kolejno.

9

( ) ( )22

+xxx

xfaxf

11

Dobrze. Najpierw przesuwamy (B.), a potem odbijamy praw cz wykresu wzgldem osi OY na lew stron, a po prawej zostawiamy to co byo (F.) Teraz rysunek.

1

A to jest waciwy wykres.

3d) ( ) 21 +=xf1x

Tu jest mnstwo roboty. Najpierw schemat. Zabieramy si do tego od wewntrz. ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) 321

21

21

+ +

xxxaxfxfxf 111

21

11

11

11 ++

xxxxaxfxfaxf

y wynik.

lew stron, a po prawej zostawiamy to co byo (F.).

Sprbujcie zmieni gdzie kolejno. Zobaczcie gdzie nie wpywa to na poprawno, a gdzie dostajemy bdnA oto etapy rysowania wykresu. 1) Przesunicie o 1 w prawo (B.) 2) Odbijamy praw cz wykresu wzgldem osi OY na

10

3) Przesunicie o 2 do dou (A.). 4) To co jest pod osi OX zostaje odbite do gry (E.).

ao przesuwamy o 3 do gry (A.). Kolejne etapy umiecimy na oddzielnych rysunkach. 1)

5) Cay wykres odbijamy wzgldem osi OX (C.) 6) C

2)

3)

11

4)

5)

I wreszcie 6)

12

e) ( )1

1+= xxf

Sprbujmy tak: ( ) ( ) ( )1111+

+xxx

axfxf . Niedobrze. Jeszcze raz.

( ) ( )

11

111

+ + +

xxxxfaxf

1) Przesuwamy wykres x1 w lewo o 1 (B.).

2) Odbijamy wykres symetrycznie wzgldem osi OY (D.)

ZADANIE 2

Narysuj wykres funkcji f(x) przeksztacajc wykres funkcji ( ) xxg = . a) ( ) 3+= xxf b) ( ) 3+= xxf c) ( ) 3+= xxf

ROZWIZANIE a) ( ) 3+= xxf Schemat przeksztacenia: ( ) ( ) 33 + + + xxx xfaxf Po pierwszym zadaniu doszlicie z pewnoci do wprawy wic od razu rysunek.

13

Wykres czarny - xy = Wykres niebieski - 3+= xy Wykres czerwony - 3+= xy b) ( ) 3+= xxf Schemat przeksztacenia: ( ) ( ) 3+ + xxx axfxf Tym razem zrobimy trzy oddzielne rysunki, by sobie nawzajem nie przeszkadzay.

xy =

xy =

3+= xy

I to jest kocowy wykres. c) ( ) 3+= xxf Rnica midzy tym a poprzednim schematem przeksztace polega na zmianie kolejnoci dwu spord operacji prowadzcych do wyniku.

14

Schemat przeksztacenia: ( ) ( ) 33 + + + xxx xfaxf xy =

3+= xy

3+= xy

Jak wida zmiana kolejnoci przeksztace doprowadzia do innego wykresu. Mora z tego taki, e trzeba uwaa na kolejno. Wicej na stronie http://www.traugutt.edu.pl/

15

Zadanie 1RozwizanieRozwizanie