PRZEKSZTACANIE WYKRESW. Pokaemy tu, jak zmiana we wzorze funkcji wpywa na wygld jej wykresu. A. Mamy wykres funkcji f(x). Jak bdzie wyglda wykres ( ) axf + , a staa? ( ) ( ) axfxf + Co dzieje si z funkcj? Ot kada warto funkcji zmieni si o a. Spowoduje to przesunicie wszystkich punktw wykresu wzdu osi wartoci funkcji czyli OY o t sam warto. Wykres przesunie si do gry jeli a byo dodatnie i do dou jeli byo ujemne. Przykad Niech i . ( ) 2xxf = 2=a( ) 22 +=+ xaxf
1 2 3-1-2-3
1
2
3
4
5
6
-1
x
y
f(x) + a
f(x)
Podsumujmy: By z wykresu funkcji ( )xf otrzyma wykres ( ) axf + , przesuwamy wykres ( )xf o a w kierunku osi OY. Do gry gdy
0>a , do dou, gdy 0 0, wykres przesunie si lewo. Jeli a < 0, wykres przesunie si prawo. Dlaczego tak si dzieje? Zamy dla ustalenia uwagi, e a > 0.
1
x + ax
f(x)
f(x+a)
Spjrzmy na rysunek. Funkcja f(x+a) przyporzdkowuje punktowi x warto f(x+a). Inaczej: by otrzyma poprawny wykres, naley narysowa punkt o wsprzdnej x, a jego wsprzdna y-owa to warto funkcji w punkcie x + a, czyli w punkcie o a dalszym. Musimy zatem przenie punkt z pooenia ( )( )axfax ++ , do pooenia , a zatem cofn go, a nie przesun do przodu. Dla ujemnej wartoci a bdzie odwrotnie.
(( axfx +, )) Przykad. Niech i - jak poprzednio. ( ) 2xxf = 2=a( ) ( )22+=+ xaxf
1 2 3-1-2-3
1
2
3
4
5
6
-1
x
y
f(x)
f(x+a)
Podsumujmy: By z wykresu funkcji ( )xf otrzyma wykres ( )axf + , przesuwamy wykres ( )xf o a w kierunku osi OX. W lewo gdy
0>a , w prawo, gdy 0
1 2 3-1-2-3
1
2
3
4
5
6
-1
x
y
f(x)
-f(x)
Podsumujmy: By z wykresu funkcji ( )xf otrzyma wykres ( )xf , odbijamy wykres ( )xf symetrycznie wzgldem osi OX. D. Wykres funkcji . ( )xf ( ) ( )xfxf Argumentowi x przyporzdkowana jest warto jak ma funkcja dla x .
x-x
f(-x)
Zatem punkt wykresu dla argumentu x powstaje w ten sposb, e bierzemy warto funkcji dla x i rysujemy punkt o wsprzdnych . Odpowiada to symetrycznemu odbiciu wzgldem osi OY. ( )( xfx , ) Przykad. Niech ( ) 3xxf =( ) ( )3xxf =
3
f(x)f(-x)
1 2 3 4-1-2-3-4
1
2
3
45
6
7
8
-1
-2-3
-4
-5
-6
-7
-8
x
y
Podsumujmy: By z wykresu funkcji ( )xf otrzyma wykres ( )xf , odbijamy wykres ( )xf symetrycznie wzgldem osi OY. E. Wykres funkcji ( )xf . ( ) ( )xfxf Modu nie zmienia liczby dodatniej lub zera, a liczbie ujemnej zmienia znak. Wobec tego jeli warto funkcji ( ) 0xf to ( ) ( )xfxf = i nic si nie dzieje. Modu nie ma wpywu na wykres funkcji. Inaczej jest gdy . Wtedy ( ) 0
f(x)
1 2 3 4-1-2-3-4
1
2
3
4
5
-1
x
y
| |f(x)
Podsumujmy: By z wykresu funkcji ( )xf otrzyma wykres ( )xf , lec nad osi OX cz wykresu ( )xf pozostawiamy bez zmian, natomiast t, ktra ley pod osi OX odbijamy symetrycznie wzgldem osi OX. F. Wykres funkcji ( )xf . ( ) ( )xfxf Jeli , to 0x ( ) ( )xfxf = . Wykres si nie zmienia. Na prawo od osi OY wykres pozostaje bez zmian. Trudniej jest stwierdzi co dzieje si z lew czci wykresu. Jeli 00
x
2) Rysujemy wykres dla . To jest nieco trudniejsze. Naley widoczn ju cz wykresu odbi po lewej stronie, uprzednio zamazawszy to, co byo wczeniej czyli wykres f(x) dla x < 0. Oto gotowy wykres.
0 0 ( )xaf ( ) ( )xafxf Pomnoenie funkcji przez liczb powoduje, e jej wartoci rosn a razy dla kadego argumentu x. W szczeglnoci miejsca zerowe pozostaj na swoim miejscu, bo pomnoenie zera przez cokolwiek daje zero. Wykres funkcji rozciga si tak, e punkty lece na osi OX pozostaj na miejscu. Przykad. Niech ( ) 2sin == axxf
( ) xxaf sin2=
6
12
-1
-2
x
y
22f(x)
af(x)
Podsumujmy: By z wykresu funkcji ( )xf otrzyma wykres ( )xaf naley kady punkt wykresu f(x) narysowa w odlegoci a razy wikszej ni pierwotny, nie zmieniajc przy tym jego odcitej x. Mamy wic siedem przeksztace wykresw funkcji. S to: 1) ( ) axf +2) ( )axf +3) ( )xf4) ( )xf 5) ( )xf 6) ( )xf 7) ( )xaf Pozwalaj one rysowa wykresy bardziej skomplikowanych funkcji, jeli znamy wykres prostszej. Jak wida przeksztacanie wykresw nie jest bardzo trudne. Problemy zaczynaj si, gdy trzeba wykona wicej przeksztace. S zwaszcza kopoty z ustaleniem kolejnoci przeksztace.
ZADANIE 1
Narysuj wykres funkcji f(x) przeksztacajc wykres funkcji ( )x
xg 1= .
a) ( ) 21
1 += xxf
b) ( ) 312
1 += xxf
c) ( )2
1= xxf
d) ( ) 321
1 += xxf
e) ( )1
1+= xxf
ROZWIZANIE
Uwaga! Due, wytuszczone litery w rozwizaniach oznaczaj odwoanie do odpowiedniego przeksztacenia omwionego w powyszym wstpie.
a) ( ) 21
1 += xxf
7
Zrbmy najpierw plan, jak doj od funkcji x
y 1= do 21
1 += xy . Widzimy, e do argumentu zostao dodane 1, a
do wartoci funkcji 1
1= xy dodane 2. Schemat przeksztace mona wic zapisa tak:
( ) ( ) 2
11
111 +
++xxx
axfaxf .
Znaczy to tyle, e z wyjciowej funkcji robimy 1
1x poddajc j przeksztaceniu polegajcym na dodaniu liczby do
argumentu (B.), a nastpnie t z kolei poddajemy przeksztaceniu polegajcemu na dodaniu liczby do caej funkcji (A.)
i otrzymujemy 21
1 +x . Z tego co wiemy ze wstpu, wyjciowy wykres x1 naley przesun o 1 w prawo i o 2 w
gr. Oczywicie przesuwajc najpierw o 2 w gr a potem o 1 w prawo otrzymamy dokadnie to samo, z czego naley
wnosi, e nastpujcy schemat przeksztace te doprowadziby do sukcesu: ( ) ( ) 21
1211 + + ++
xxxaxfaxf .
Rzeczywicie to samo. Teraz pozostay rysunki. Zrobimy to w jednym ukadzie wsprzdnych. Umwmy si, e wyjciowy wykres zawsze bdzie czarny, a docelowy czerwony. Porednie oznacza bd innymi kolorami i lini przerywan.
b) ( ) 312
1 += xxf Tu sytuacja jest bardziej skomplikowana. Napisz schemat, a potem go omwi.
( ) ( ) ( ) ( ) 312
112
112
12
11 + + + + +++
xxxxxaxfxfaxfaxf
1) Przesuwamy wykres x1 o 2 w lewo (B.).
2) Przesuwamy wykres 2
1+x o 1 do dou (A.).
3) To co jest pod osi OX odbijamy do gry (przypomnijcie sobie jak dziaa modu) (E.). 4) To co wyszo przesuwamy o 3 do dou (A.).
8
To jeszcze nie koniec. To dopiero 1) i 2). Nie chciaem umieszcza wszystkich etapw na jednym rysunku, bo nic nie byoby wida.
Wykres czerwony to ten, ktry mielimy uzyska. Zastanwmy si jeszcze czy mona zmieni kolejno operacji? Wiemy z poprzedniego przykadu, e mona zmieni kolejno przesuni wzdu osi OX i OY. Nie mona zmieni pozycji operacji ( )xf , bo zobaczcie co si dzieje, gdy na przykad wstawimy j jako pierwsz.
( ) ( ) ( ) ( ) 312
112
12
111 + + + +++
xxxxxaxfaxfaxfxf i otrzymujemy co zupenie innego ni
chcielimy.
c) ( )2
1= xxf
Sprbujmy takiej kolejnoci: ( ) ( )2
111
+xxx
axfxf . le! Otrzymalimy co innego ni trzeba. Odwrmy
kolejno.
9
( ) ( )22
+xxx
xfaxf
11
Dobrze. Najpierw przesuwamy (B.), a potem odbijamy praw cz wykresu wzgldem osi OY na lew stron, a po prawej zostawiamy to co byo (F.) Teraz rysunek.
1
A to jest waciwy wykres.
3d) ( ) 21 +=xf1x
Tu jest mnstwo roboty. Najpierw schemat. Zabieramy si do tego od wewntrz. ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) 321
21
21
+ +
xxxaxfxfxf 111
21
11
11
11 ++
xxxxaxfxfaxf
y wynik.
lew stron, a po prawej zostawiamy to co byo (F.).
Sprbujcie zmieni gdzie kolejno. Zobaczcie gdzie nie wpywa to na poprawno, a gdzie dostajemy bdnA oto etapy rysowania wykresu. 1) Przesunicie o 1 w prawo (B.) 2) Odbijamy praw cz wykresu wzgldem osi OY na
10
3) Przesunicie o 2 do dou (A.). 4) To co jest pod osi OX zostaje odbite do gry (E.).
ao przesuwamy o 3 do gry (A.). Kolejne etapy umiecimy na oddzielnych rysunkach. 1)
5) Cay wykres odbijamy wzgldem osi OX (C.) 6) C
2)
3)
11
4)
5)
I wreszcie 6)
12
e) ( )1
1+= xxf
Sprbujmy tak: ( ) ( ) ( )1111+
+xxx
axfxf . Niedobrze. Jeszcze raz.
( ) ( )
11
111
+ + +
xxxxfaxf
1) Przesuwamy wykres x1 w lewo o 1 (B.).
2) Odbijamy wykres symetrycznie wzgldem osi OY (D.)
ZADANIE 2
Narysuj wykres funkcji f(x) przeksztacajc wykres funkcji ( ) xxg = . a) ( ) 3+= xxf b) ( ) 3+= xxf c) ( ) 3+= xxf
ROZWIZANIE a) ( ) 3+= xxf Schemat przeksztacenia: ( ) ( ) 33 + + + xxx xfaxf Po pierwszym zadaniu doszlicie z pewnoci do wprawy wic od razu rysunek.
13
Wykres czarny - xy = Wykres niebieski - 3+= xy Wykres czerwony - 3+= xy b) ( ) 3+= xxf Schemat przeksztacenia: ( ) ( ) 3+ + xxx axfxf Tym razem zrobimy trzy oddzielne rysunki, by sobie nawzajem nie przeszkadzay.
xy =
xy =
3+= xy
I to jest kocowy wykres. c) ( ) 3+= xxf Rnica midzy tym a poprzednim schematem przeksztace polega na zmianie kolejnoci dwu spord operacji prowadzcych do wyniku.
14
Schemat przeksztacenia: ( ) ( ) 33 + + + xxx xfaxf xy =
3+= xy
3+= xy
Jak wida zmiana kolejnoci przeksztace doprowadzia do innego wykresu. Mora z tego taki, e trzeba uwaa na kolejno. Wicej na stronie http://www.traugutt.edu.pl/
15
Zadanie 1RozwizanieRozwizanie