Prognozowanie (finanse 2011)

dr Grzegorz Szafrańskipokój B106

Termin konsultacjipiątki:

parzysty 8.10-9.40, nieparzysty 13.15-14.45

Prognozowanie strukturalne

Wykorzystanie faktu korelacji zmiennych:• przyczynowejprzyczynowej (związek przyczynowo-skutkowy a jego

stabilność),

• symptomatycznejsymptomatycznej (ukryty mechanizm, wspólne przyczyny różnych zjawisk i przybliżenie ich działania przez związaną z nimi zmienną tzw. aproksymantę jak np. przyczyny jednokierunkowo oddziałujące na zmienną w czasie – trend, wykazujące dostosowania do poziomu równowagi – modele AR, cykle – analiza spektralna),

• przypadkowejprzypadkowej – bezzasadne.

Budowa modelu

• Sformułuj problem ekonomiczny

• Zilustruj go danymi empirycznymi

• Podaj jego teoretyczne rozwiązanie (hipotezy, model ekonomiczny)

• Dobierz zmienne objaśniające

• Sprawdź teorię za pomocą modelu ekonometrycznego

Dwie typowe sytuacjeDobrze określona w literaturze

teoria ekonomiczna i model

Liczne badania potwierdzają teorię

Problemy doboru zmiennych, wykorzystania dostępnych danych i krytycznego spojrzenia na wyniki

Problem słabo rozpoznany na gruncie teoretycznym

Brak potwierdzenia teorii lub nieliczne badania

Problemy poprawnego opisu mechanizmu za pomocą podstawowych praw ekonomii

Weryfikacja modelu

• Budowa postaci modelu (liniowy, potęgowy, inny nieliniowy?)

• Estymacja modelu (wybór metody, MNK, MNW czy inna?)

• Weryfikacja ekonomiczna (czy zgodny z teorią?)

• Weryfikacja statystyczna (na ile zgodny z teorią?)

• Propozycje poprawy i wykorzystania modelu

Problem ekonomiczny

Krótki opis problemu: Im większa produkcja tym wyższe koszty, ale rosną one coraz wolniej.

Dlaczego?

Odpowiedzi szukamy w teorii ekonomicznej:W produkcji występują koszty stałe (nie zależą od wielkości produkcji) i zmienne (zależne).

• Jak je wydzielić, gdy mamy dane:Y – koszt całkowity, w mln złX – ilość produktów, w tys. szt.

Model ekonomiczny

• Formułujemy hipotezę ekonomiczną w postaci „Y zależy od X”:

Y = f(X) • Zależność ta może mieć postać liniową

Y= 0 1X i 0101 to parametry modelu

– Czy istnieje empiryczna zależność między X a Y?– Czy jest ona zgodna z hipotezą (np. czy 1)?

Model ekonometryczny

• Przedstawiamy teorię ekonomiczną z dokładnością do zmiennej losowej t i badamy, czy zachodziła w pewnym okresie czasu: t = 1,...,T

• Sprawdzamy zależność stochastyczną:yt= 0 1xtt

E(t) = 0, xt nielosowe, stąd E(yt) =

01xt

D2(t) = E(t2)= E(tt-

i) = 0

Zwykle przyjmuje się również postać rozkładu zmiennej t ~ N(0, 2)

Metoda najmniejszych kwadratów• Estymacja – szacowanie nieznanych parametrów modelu

na podstawie próby wg określonego kryterium

• Funkcja regresji II rodzaju – wartość teoretyczna:• pt = b0b1xt

• To co zostaje to reszta: et = yt – (b0b1xt

• Kryterium MNK: minimalizacja sumy kwadratów reszt SSQ dla różnych wartości ocen parametrów a0, a1

• SSQ(b0, b1) = t et2 minimalizuj

Metoda regresji

• Próbujemy poznać nieznane parametry modeluyt= 0 1xtt

• Poprzez estymacjęestymację:

yt = b0b1xt et

• EstymatorEstymator to przepis na b0i b1 np. dla MNK taki:

• b1t [(xt xśrednie) (yt yśrednie)]/t (xt xśrednie)2

• b0 yśrednie b1 xśrednie

Zadanie

• Dokonaj estymacji modelu:

• Problemy dostępności danych

• Dane w pliku jedna_zmienna.xls

y – koszty w mln złotych,x – ilość w tys. sztuk

ttt εxββy 10

Konwencja

• Model zwykle zapisujemy:

)23.5()56.2(

08.087.83ˆ

statt

xy tt

próba: 2001.001 – 2002.008

Model popytu (liniowy)

• Popyt na bilety do kina (Przykład 1

• Funkcja popytu – paliwa (przykład 3 Maddala r. 4)

Wydatki Cena biletu

Liczba wizyt

Okres QP P Q = QP/P

StyczeńLuty

150 PLN152 PLN

30 PLN38 PLN

54

),,,( ,, tpt

b

t

ttb q

pp

py

fq

MNK wiele zmiennych• Model dla wielu zmiennych:

• Zapis macierzowy (przykład – macierze):tktkttt xxxy ...22110

,

TkT

k

k

k

TTT x

x

x

x

x

x

x

x

x

y

y

y

.

.

.

....

.

.

.

.

1

.

.

1

1

.

.

.2

1

2

1

2

22

21

2

1

12

11

10

2

1

εXβy

kTTT

k

k

xxx

xxx

xxx

21

22212

12111

1

::::

...1

...1

X

MNK wiele zmiennych cd

• Po estymacji otrzymujemy:

• estymator wektora :

Uzyskujemy go przez minimalizację wyrażenia:

eβXy ˆ

ktkttt xxxy ˆ...ˆˆˆˆ 22110

βXy ˆˆ

yXXXβ TT 1ˆ

Te

e

e

.

:2

1

e

XβyXβyee TT Q

022/ XβXyXβ TTddQ

Warunki stosowalności

• Równanie liniowe względem parametrów i zakłóceń np.:

• T > K (na ogół dużo większe)

• Kolumny X liniowo niezależne (wtedy XTX jest macierzą nieosobliwą)

tttt xxy 212110

Założenia estymatora KMNK

1. E(t) =02. macierz wariancji-kowariancji D2(t)= 2I

3. Zmienne X są nielosowe (w powtarzanych próbach przyjmują ustalone wartości)

Zwykle przyjmuje się również postać rozkładu zmiennej t ~ N(0, 2I)

2

2

2

2

.....000

.....

0....00

0....00

IεεTE

Własności estymatora KMNK

Estymator KMNK jest zmienną losową, zmienną losową, gdyż jest funkcją zmiennych losowych

Jeżeli spełnione są założeniań klasycznej MNK to:et = 0 i prognozy są nieobciążone

E(bi) = βi i estymator jest nieobciążonynieobciążony

Wariancja estymatora D2(bijest najmniejsza (z liniowych estymatorów), metoda MNK jest efektywnaefektywna

Ponadto estymator jest zgodnyzgodny, (potocznie) im dłuższa próba tym trafniejsza ocena estymatora.

MNK – prognozaPrognozę wyznaczamy na podstawie:

Czyli oprócz K=k+1 ocen parametrów potrzebujemy K prognoz zmiennych objaśniających.

Mówimy, że prognozy strukturalne są warunkowe ze względu na zmienne objaśniające

Składnik resztowy przyjmujemy zgodnie z zasadą prognozy nieobiążonej jako równy 0, bo: E(t)=0

Zapis macierzowy:

ktkttt xxxy ˆˆ...ˆˆˆˆˆˆ 22110

βXy ˆˆˆ