Cheyenne Wars Atlas - Staff Ride_Charles D. Collins, Jr._usaCSI
Prezentacja programu PowerPoint -...
Transcript of Prezentacja programu PowerPoint -...
METODY OPTYMALIZACJI
Tomasz M. Gwizdałła 2018/19
Metody optymalizacji Tomasz M. Gwizdałła 2018/19
Informacje wstępne
Tomasz Gwizdałła
Katedra Fizyki Ciała Stałego UŁ
Pomorska 149/153, p.524B
tel. 6355709
http://www.wfis.uni.lodz.pl/staff/tgwizdalla
Metody optymalizacji Tomasz M. Gwizdałła 2018/19
Informacje wstępne
Prawdopodobny plan wykładu:
Wstęp.
Optymalizacja deterministyczna:
metody niegradientowe i gradientowe funkcji jednej i wielu
zmiennych
________________________________________________________
Programowanie liniowe
simplex , zagadnienie transportowe , zagadnienie plecakowe
Metody heurystyczne
symulowane wyżarzanie, poszukiwanie tabu, algorytm
ewolucyjny, algorytm mrówkowy
Metody optymalizacji Tomasz M. Gwizdałła 2018/19
Informacje wstępne
Literatura:
dowolna (porządna) książka dotycząca metod numerycznych, np.
J.Stoer, R.Bulirsch Wstęp do analizy numerycznej
A.Bjorck, G.Dahlquist Metody numeryczne
________________________________________________________
M.Sysło, N.Deo, J.Kowalik Algorytmy optymalizacji
dyskretnej
Z.Michalewicz, D.Vogel Jak to rozwiązać czyli nowoczesna
heurystyka
Z.Michalewicz Algorytmy genetyczne + struktury danych =
programy ewolucyjne
Metody optymalizacji Tomasz M. Gwizdałła 2018/19
Podstawy Pojęcie
Co to jest optymalizacja?
Istnieje wiele zagadnień opisywanych terminem optymalizacja:
optymalizacja matematyczna (formuła)
optymalizacja oprogramowania (efektywność kodu)
optymalizacja stron (wyszukiwanie, pozycjonowanie)
optymalizacja systemu (efektywność sprzętu)
optymalizacja wydajności (zarządzanie zasobami)
optymalizacja ekonomiczna (P/E)
programowanie liniowe
Metody optymalizacji Tomasz M. Gwizdałła 2018/19
Podstawy Pojęcie
Co to jest optymalizacja?
Metoda wyznaczania najlepszego rozwiązania z punktu
widzenia określonego kryterium.
1. Najlepsze: szukamy wartości ekstremalnej.
2. Kryterium: musimy dysponować funkcją oceny.
Metody optymalizacji Tomasz M. Gwizdałła 2018/19
Podstawy Sformułowanie
Szukamy takiej wartości ,że𝑥0∈ 𝐴
Dana jest funkcja 𝑓: 𝐴 → ℝ
∀𝑥∈𝐴𝑓 𝑥 < 𝑓 𝑥0 ∨ ∀𝑥∈𝐴𝑓 𝑥 ≤ 𝑓 𝑥0 zagadnienie maksymalizacji
∀𝑥∈𝐴𝑓 𝑥 > 𝑓 𝑥0 ∨ ∀𝑥∈𝐴𝑓 𝑥 ≥ 𝑓 𝑥0 zagadnienie minimalizacji
A - przestrzeń poszukiwań lub przestrzeń konfiguracyjna
zwykle jest to podzbiór przestrzeni Rn
Taki wybór znacznie ogranicza zakres analizowanych przez nas zagadnień,
pomijając np. tzw. zagadnienia multiobjective optimization (optymalizacji
wielokryterialnej), stanowiące bardzo istotną część współczesnych
problemów optymalizacyjnych.
Metody optymalizacji Tomasz M. Gwizdałła 2018/19
Podstawy Sformułowanie
Pierwsze zagadnienie optymalizacyjne
Metody optymalizacji Tomasz M. Gwizdałła 2018/19
Podstawy Sformułowanie
Publius Vergilius Maro Eneida - Zagadnienie Elissy (Dydony) związane
z legendą dotyczącą założenia Kartaginy.
Pierwsze zagadnienie optymalizacyjne
Koloniści osiadłszy na zamieszkanych przez Numidyjczyków
północnych wybrzeżach Afryki mogli zająć tyle miejsca, ile da się
objąć skórą wołu
Forma matematyczna:
Jak zmaksymalizować powierzchnię obszaru ograniczonego
krzywą o długości zależnej od pewnych dodatkowych czynników?
Metody optymalizacji Tomasz M. Gwizdałła 2018/19
Podstawy Sformułowanie
Pierwsze sformułowane formalnie zagadnienie optymalizacyjne
Metody optymalizacji Tomasz M. Gwizdałła 2018/19
Podstawy Sformułowanie
Pierwsze sformułowane formalnie zagadnienie optymalizacyjne
1697 – Johann Bernoulli – zagadnienie brachistochrony
Znaleźć na płaszczyźnie krzywą, łączącą nie leżące w pionie punkty A i B,
wzdłuż której musiałby poruszać się punkt materialny, aby pod działaniem
siły ciężkości przebyć drogę w najkrótszym czasie
𝑡 = 𝑝1
𝑝2𝑑𝑠
𝑣=
𝑣 = 2𝑔𝑦
𝑑𝑠 = 1 + (𝑑𝑥
𝑑𝑦)2
𝑑𝑥
= 𝑝1
𝑝2 1 + 𝑦′2
2𝑔𝑦𝑑𝑥
Metody optymalizacji Tomasz M. Gwizdałła 2018/19
Podstawy Sformułowanie
Pierwsze sformułowane formalnie zagadnienie optymalizacyjne
1697 – Johann Bernoulli – zagadnienie brachistochrony
Znaleźć na płaszczyźnie krzywą, łączącą nie leżące w pionie punkty A i B,
wzdłuż której musiałby poruszać się punkt materialny, aby pod działaniem
siły ciężkości przebyć drogę w najkrótszym czasie
𝑡 = 𝑝1
𝑝2𝑑𝑠
𝑣=
𝑣 = 2𝑔𝑦
𝑑𝑠 = 1 + (𝑑𝑥
𝑑𝑦)2
𝑑𝑥
= 𝑝1
𝑝2 1 + 𝑦′2
2𝑔𝑦𝑑𝑥
Ale, czy zagadnieniem optymalizacyjnym nie jest zasada Fermata (1662)
𝑥 =1
2𝑘2(θ − sinθ)
𝑥 =1
2𝑘2(1 − cosθ)
parametryczne równanie cykloidy
Metody optymalizacji Tomasz M. Gwizdałła 2018/19
Podstawy Elementy definiujące zagadnienie
1. Rozmiar przestrzeni poszukiwań
2. Skomplikowanie modelu
3. Niejednoznaczność funkcji oceny
4. Ograniczenie przestrzeni poszukiwań przez więzy
5. Osoba rozwiązująca problem
6. Niepewność informacji
7. Wielość celów
Trudności napotykane w fazie poszukiwania optimum
Metody optymalizacji Tomasz M. Gwizdałła 2018/19
Podstawy Elementy definiujące zagadnienie
Rozważmy dwuwymiarowy model Isinga na sieci o krawędzi L
(dopuszczalne wartości spinów {-1,1}, ilość spinów N=L2)
Spróbujmy przejrzeć wszystkie możliwe konfiguracje i załóżmy,
że analiza pojedynczej konfiguracji trwa 1ns.
Rozmiar przestrzeni poszukiwań (1)
Metody optymalizacji Tomasz M. Gwizdałła 2018/19
Podstawy Elementy definiujące zagadnienie
Rozważmy dwuwymiarowy model Isinga na sieci o krawędzi L
(dopuszczalne wartości spinów {-1,1}, ilość spinów N=L2)
Spróbujmy przejrzeć wszystkie możliwe konfiguracje i załóżmy,
że analiza pojedynczej konfiguracji trwa 1ns.
Rozmiar przestrzeni poszukiwań (1)
Tu przekroczyliśmy
wiek Wszechświata
(14 mld. lat
~4.4 e17 s)
Metody optymalizacji Tomasz M. Gwizdałła 2018/19
Podstawy Elementy definiujące zagadnienie
Rozważmy teraz graf (dla uproszczenia nieskierowany) obrazujący
połączenia między N miastami i spróbujmy znaleźć w nim najkrótszy cykl
Hamiltona - TSP.
Rozmiar przestrzeni poszukiwań (2)
Metody optymalizacji Tomasz M. Gwizdałła 2018/19
Podstawy Elementy definiujące zagadnienie
Złożoność obliczeniowa dla zachłannego rozwiązania modelu Isinga.
Rozmiar przestrzeni poszukiwań (3)
Metody optymalizacji Tomasz M. Gwizdałła 2018/19
Podstawy Elementy definiujące zagadnienie
Złożoność obliczeniowa dla zachłannego rozwiązania modelu Isinga
i problemu komiwojażera.
Rozmiar przestrzeni poszukiwań (4)
Metody optymalizacji Tomasz M. Gwizdałła 2018/19
Podstawy Elementy definiujące zagadnienie
A może zmienna ciągła, np.
Rozmiar przestrzeni poszukiwań (5)
𝑓(𝑥) = cos(x)cos(50𝑥)
𝑓(𝑥) = 10𝑛 + 𝑖=1
𝑛
(𝑥𝑖2 − 10cos(2π𝑥𝑖))
Metody optymalizacji Tomasz M. Gwizdałła 2018/19
Podstawy Elementy definiujące zagadnienie
Model jest fundamentalnym pojęciem związanym z teorią optymalizacji
ponieważ zawiera matematyczny opis rozwiązywanego problemu.
Model rozwiązania, nie jego reprezentacja.
W sytuacjach, kiedy pełny opis problemu może zawierać elementy trudne
do analizy, np. nieciągłości, zdarza się stosować opis przybliżony.
Rozwiązanie najlepsze vs. rozwiązanie lepsze.
Model
Metody optymalizacji Tomasz M. Gwizdałła 2018/19
Podstawy Elementy definiujące zagadnienie
Funkcja oceny jest związana z modelem, jednak nawet w jego ramach
mogą występować problemy z jej prawidłowym określeniem.
Funkcja oceny może zmieniać się w czasie.
Odzwierciedlenie pełnej, poprawnej i aktualnej wiedzy.
Sprzężenie zwrotne (czyżby cybernetyka).
Problemy z funkcją oceny
Metody optymalizacji Tomasz M. Gwizdałła 2018/19
Podstawy Elementy definiujące zagadnienie
Więzy wprowadzają problemy poprzez wprowadzenie znaczących
ograniczeń na podprzestrzeń dopuszczalnych rozwiązań przestrzeni
poszukiwań.
Jak zapisać więzy matematycznie?
W większości przypadków więzy czynią podprzestrzeń rozwiązań
niewypukłą.
Jak zaimplementować więzy w algorytmie:
- kara
- powrót do obszaru prawidłowego.
Ograniczenia, czyli więzy