Algorytmy ewolucyjne optymalizacji wielokryterialnej sterowane ...

Algorytmy ewolucyjne

optymalizacji

wielokryterialnej sterowane

preferencjami decydenta

listopad 2010

Dr Janusz Miroforidis

MGI Metro Group Information Technology Polska Sp. z o.o.

2

Plan prezentacji

Wprowadzenie

Wielokryterialne Podejmowanie Decyzji

Oszacowania parametryczne

Wyznaczanie wariantów efektywnych

Zmodyfikowane oszacowania parametryczne

Algorytmy ewolucyjne dla wyznaczania oszacowań parametrycznych

Przykłady obliczeń

Zastosowanie metody w WPD

Podsumowanie

3

Problemy decyzyjne

w działalności człowieka

Zarządzanie zasobami leśnymi i wodnymi.

Planowanie zagospodarowania terenów.

Zagadnienia logistyczne i transportowe.

Konstruowanie maszyn i urządzeń.

Planowanie terapii nowotworowej.

Handel i marketing.

Wprowadzenie

4

Wielokryterialne zadanie decyzyjne

0vmax ( ), ,nf x x X R

Przy ustalonym zadaniu optymalizacji

wielokryterialnej:

gdzie vmax jest operatorem wyznaczania zbioru

wariantów efektywnych, decydent ma wskazać

wariant najbardziej preferowany w tym zbiorze.


1 2( ) ( ), ( ), , ( ) ,kf x f x f x f x

5

Metody interaktywne WPD

Istotą tych metod jest interaktywny, sterowany przez

decydenta przegląd zbioru ocen efektywnych.

f2(x)


f(X0)

f(E(X0)) - zbiór

ocen efektywnych

f1(x)

Preferencje określane np.

przez współczynniki

wagowe, punkty

referencyjne.

6

Skalaryzacja zadania optymalizacji

wielokryterialnej

f2(x)

f(X0)

f1(x)

y*

Wyznaczanie ocen (słabo) efektywnych

z wykorzystaniem ważonej metryki Czebyszewa.

0

*( ) arg min max ( ) ,i i ix X i

x y f x

gdzie

1, 0, 1, , .i i i i k

warunki konieczne i dostateczne istnienia ocen (słabo) efektywnych bez dodatkowych założeń o cechach zbioru f(X0) (np. wypukłość);

nie wprowadza dodatkowych nieliniowości do zadania optymalizacji.

Zalety takiej skalaryzacji:

0

*

( )max , 0, 1, , ,i i i i

y f Xy y e e i k

*y y t


7

Określanie preferencji decydenta

za pomocą kierunków ustępstw

f2(x)

f(X0)

f1(x)

y*

τ

Wektor τ określa proporcje ustępstw

przy odejściu od punktu y*.

( ( )) ( )f x f

*y y t


8


współrzędnych ocen

f2(x)

f(τ)

– elementy zbioru f(S); S – szkielet, podzbiór E(X0)

ocena niejawna zadana przez wektor τ U2

L2 L1 U1

półprosta kompromisu zadana przez τ

( , ) ( ) ( , ), 1,..., .i i iL S f U S i k

Koszt wyznaczenia oszacowań

L(τ,S) i U(τ,S) zaniedbywalnie mały

– formuły dane w postaci analitycznej.

Wyznaczenie S wymaga dokładnych

obliczeń optymalizacyjnych.


y*

f1(x)

9

Dynamika oszacowań parametrycznych

– oceny wariantów efektywnych dodanych do szkieletu S

Uzupełnianie szkieletu

o kolejne warianty efektywne

nie pogarsza oszacowań,

może zaś je polepszać.


f2(x)

f(τ)

y*

f1(x)

10

Algorytmy ewolucyjne dla wyznaczania

aproksymacji zbioru wariantów efektywnych

Algorytmy ewolucyjnej optymalizacji wielokryterialnej:

NSGA-II, SPEA-2.

Zastosowanie w metodach

a posteriori WPD.


f2(x)

f1(x)

– iteracja imax - 2 – iteracja imax - 1 – iteracja imax

f(X0)

11

Algorytmy ewolucyjne dla skalarnych

zadań optymalizacji

Algorytmy GENOCOP II i III.

Zastosowanie w metodach

a priori i metodach

interaktywnych WPD.


– iteracja imax

f2(x)

f(X0)

f1(x)

y*

*y y t

12


a algorytmy ewolucyjne

– obrazy elementów szkieletu dolnego SD wyznaczane przez

istniejące algorytmy ewolucyjne (NSGA-II, SPEA-2)

– obrazy elementów szkieletu górnego SG , wymagane dla

poprawności oszacowań od góry

y* f(τ) f2(x)

f1(x)

( , ) ( ) ( , ), 1,..., .i D i i GL S f U S i k

Zmodyfikowane oszacowania

parametryczne:

f(X0)


Formuły Li(τ,SD) i Ui(τ,SG) jak dla

oszacowań ze szkieletem S.

13

Szkielet dolny SD

0 , ,D DS X S

' ' .D Dx S x S x x


14

Szkielet górny SG

0\ , ,n

G GS R X S

( ) min ( ), 1,..., .D

nad

i D x S iy S f x i k

' ',G Gx S x S x x 1.

0' ( ) ' ,Gx S x E X x x 2.

( ) ( ), 1,..., .G

nad

x S i i Df x y S i k 3.


15

Aproksymacja górna AG

( ) min ( ), 1,..., .D

nad

i D x S iy S f x i k

' ',G Gx A x A x x 1.

' ' ,G Dx A x S x x 2.

( ) ( ), 1,..., .G

nad

x A i i Df x y S i k 3.

Nie mamy

zbioru

E(X0) !


0\ , ,n

G GA R X A

AG jest aproksymacją zbioru SG .

16

Wykorzystanie par (SD, AG) do

wyznaczania wartości oszacowań

( , )i GU A

Oszacowania od góry – wykorzystanie aproksymacji górnej

( , ), 1,..., .i GU S i k zamiast

Miary dokładności oszacowań

Bezwzględna dokładność oszacowania oceny f(τ):

1

( , , ) max ( , ) ( , ) .D G i G i Di k

S A U A L S

Względna dokładność oszacowania oceny f(τ):

max min1

( , ) ( , )( , , ) max ,

( ) ( )

i G i DD G

i ki D i D

U A L SS A

f S f S

gdzie max ( ) max ( ),D

i D ix S

f S f x

min ( ) min ( ).

Di D i

x Sf S f x


17

Aproksymacja górna AG

i zjawisko błędnych oszacowań od góry

( ) ( , ), dla pewnego {1,2, , }.i Gf U A i k


y*

f(τ) f2(x)

f1(x)

f(X0)

2 2( ) ( , )Gf U A

Ograniczanie zjawiska przez

wyznaczanie „lepszych” SD

lub stosowanie operacji

filtracji na AG .

18

Przestrzeń decyzyjna dla

algorytmów ewolucyjnych


x2

x1

X0 Funkcje kryterialne fi

określone na zbiorze XDEC .

XDEC

0 DECX X

19

Wyznaczanie par (SD , AG)

– algorytm PDAE

Jednoczesne wyznaczanie par (SD , AG) poprzez eksplorację zbioru dopuszczalnego i jego dopełnienia.

Kryterium zatrzymania określone maksymalną liczbą iteracji.

Eksploracja przestrzeni poszukiwań realizowana operatorem mutacji o zasięgu będącym malejącą funkcją numeru iteracji.

Algorytm PDAE – w każdej iteracji mutacji podlega losowo wybrany element bieżącego szkieletu dolnego SD . Możliwe modyfikacje schematu mutacji.


20

Lokalne poprawianie par (SD , AG)

– algorytm EPO

Próbuje wyznaczyć taką parę (SD , AG), która zapewnia założoną dokładność oszacowania oceny f(τ).

Eksploruje przestrzeń decyzji w otoczeniu (i tylko w otoczeniu) elementów determinujących wartość oszacowania oceny f(τ) odpowiednio od dołu i od góry.

Zasięg mutacji jest zależny od osiągniętej dokładności oszacowania oceny f(τ) na danym etapie obliczeń.


21

Algorytmy PDAE i EPO

Wynik działania algorytmu PDAE,

wyznaczenie wyjściowego szkieletu

dolnego i wyjściowej aproksymacji

górnej.

Wynik działania algorytmu EPO

dla εz=0,01.

Testowe zadanie dwukryterialne (Kita)


22

Algorytm PDAE i jego modyfikacje


w którym mutacji podlega

każdy element szkieletu dolnego.


w którym mutacji podlega

element szkieletu dolnego, najbardziej

odległy od pozostałych.

Ograniczanie losowości w algorytmie PDAE


23

Trudne zadania optymalizacji

wielokryterialnej

Zadanie testowe OKA2 (Okabe)


– PDAE

oceny efektywne

Algorytm NSGA-II

wyznacza rozwiązania

o podobnym

rozkładzie jak

algorytm PDAE !

24

Schemat metody rozwiązania

wielokryterialnego zadania decyzyjnego

Sformułowanie zadania optymalizacji

wielokryterialnej dla zadania decyzyjnego

Repozytorium

par (SD , AG)

START

Faza ujawniania preferencji (τ)

Faza identyfikacji rozwiązania (x(τ))

STOP

Algorytmy PDAE i EPO

Algorytm GENOCOP III

Wybór „najlepszej” pary

Wybór populacji

wyjściowej dla algorytmu

GENOCOP III


25

Model zarządzania sklepem

wielkopowierzchniowym

Decydent

Moduł Wspomagania Decyzyjnego

JD1

SWD1

JD2

SWD2

JD3

SWD3

JDn

SWDn

Zaso

by

Wskaźn

iki

…


26

Model sklepu

wielkopowierzchniowego Model sklepu z trzema jednostkami decyzyjnymi:

Marketing (SWD1)

3

1

120,l

l

x

20, 2,3,lx l

1 27.x

0,35

1 1 1 1( ) 200 ,v q x x

12 2 2 1 /700 2( , ) 0,1e ,vv q x v x

13 3 3 1 /500 3( , ) 0,3e .vv q x v x

Logistyka (SWD2)

Obsługa Nabywcy (SWD3)

Zbiór dopuszczalny:

0X

Odwzorowanie redukujące: 1 1 2 3

1( ) 0,2 ( ),s v v x x x

2 3

2( ) ,s v v v

1

3( ) .s v v

Ocena wariantów decyzyjnych za pomocą funkcji f

0( ) ( ) , .f x s q x x X


(zysk)

(zadowolenie)

(sprzedaż)

27

Rozwiązanie zadania decyzyjnego

Po zakończeniu hipotetycznej fazy ujawniania preferencji preferencje

decydenta najpełniej opisuje wektor (5, 1, 60).

* (67,22, 6,58, 911,07).y Wyznaczono punkt referencyjny

0

1*

1 3min max ( ) , , 1,2,3,i i i i ix X i

y f x i

( , ) (50,33, 3,21, 708,40),e

DL S

( , ) (51,34, 3,30, 713,90),e

GU A

( , , ) 0,02.e e

D GS A

Wektory oszacowań oraz względna dokładność oszacowania oceny f(τ)

W fazie identyfikacji rozwiązania algorytm GENOCOP III rozwiązał

zadanie optymalizacyjne

(37,18, 20,03, 34,22),x wyznaczając wariant decyzyjny

( ) (50,37, 3,21, 709,00).f x


28

Podsumowanie

Metoda rozwiązania zadania decyzyjnego

Wykorzystanie oszacowań ocen efektywnych w procesie decyzyjnym.

Mechanizm kontroli dokładności oszacowań.

Redukcja obliczeń w procesie decyzyjnym.

Połączenie metod analitycznych z metodami heurystycznymi.

Wykorzystanie zbioru niedopuszczalnego zadania optymalizacji wielokryterialnej – nowatorska modyfikacja idei algorytmów ewolucyjnych.

Podsumowanie

29

Podsumowanie

Potencjalne kierunki dalszych badań

Modyfikacja wiodących algorytmów heurystycznych optymalizacji wielokryterialnej dla potrzeb wyznaczania szkieletów dolnych i aproksymacji górnych.

Przyjęcie i zbadanie własności alternatywnych definicji zbiorów aproksymujących zbiór wariantów efektywnych od dołu i od góry.

Zbadanie skłonności decydentów do podejmowania decyzji w oparciu o oszacowania wartości współrzędnych ocen.

Hybrydyzacja ze względu na trudne zadania optymalizacji wielokryterialnej.

Podsumowanie

30

Janusz Miroforidis

[email protected]

DZIĘKUJĘ ZA UWAGĘ

31

Wzory dla oszacowań parametrycznych

),()( SLy ii

})),(1

max(max{max **

)( ijj

j

jiiSfy Lyyy

),()( SUy ii *

( ) ( )min{min {min ( ( ))}, }y f S l I l l iy y U

( )l ygdzie I(τ) to podzbiór I={1,…,k}, I(τ) oraz

trzeba wyznaczyć.

32

0 0( ) ( ) \ : , gdzie ( ) to otoczenie .nx E X N x x X x x N x x

Warunek 1 dla szkieletu górnego SG :

0 0( ) ( ) : .x E X N x x X x x

Warunek 2 dla szkieletu górnego SG :

Warunki osiągnięcia dowolnie bliskich aproksymacji zbioru wariantów

efektywnych.

Algorytmy ewolucyjne optymalizacji wielokryterialnej sterowane ...

Documents

Transcript of Algorytmy ewolucyjne optymalizacji wielokryterialnej sterowane ...