1

Grafika komputerowa: własności obrazu rastrowego

Rastrowa reprezentacja obrazu 2D

Radosław Mantiuk

Wydział Informatyki Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie

Grafika komputerowa: własności obrazu rastrowego

Próbkowanie (ang. sampling) - kwantyzacja

§  Próbkowanie - proces zamiany ciągłego sygnału f(x) na skończoną liczbę wartości opisujących ten sygnał.

§ Kwantyzacja - proces zamiany ciągłej wartości na wartość dyskretną. § Rekonstrukcja - zamiana dyskretnych próbek na ciągłą funkcję f(x).

próbkowanie

kwan

tyza

cja

Courtesy of MIT (Lecture Notes 6.837)

Grafika komputerowa: własności obrazu rastrowego

Generowanie obrazu rastrowego 2D

W ujęciu analitycznym obraz 2D to ciągła funkcja: kolor_piksela = F(x,y)

Obraz rastrowy jest dyskretną macierzą wartości koloru. Uzyskujemy ją poprzez spróbkowanie ciągłej funkcji F(x,y). •  Próbkowanie ciągłej funkcji obrazu: grafika komputerowa oblicza próbki (piksele) obrazu. •  Cyfrowy aparat fotograficzny całkuje (integruje) obszar obrazu odpowiadający punktowi sensora.

Funkcja ciągła F(x,y) Funkcja próbkująca Obraz rastrowy

Courtesy of MIT (Lecture Notes 6.837)

Grafika komputerowa: własności obrazu rastrowego

Próbkowanie i integracja

x

f(x) integracja wartość piksela to średnia wartość funkcji dla danego przedziału x

x

f(x) próbkowanie wartość piksela to jedna wartość funkcji z danego przedziału x

Grafika komputerowa: własności obrazu rastrowego

Rekonstrukcja obrazu

Piksel ma nieskończenie małe rozmiary, dlatego trzeba go "rozmyć", aby stał się widoczny. Rekonstrukcja obrazu – proces zamiany dyskretnego obrazu rastrowego na funkcję ciągłą.

Grafika komputerowa: własności obrazu rastrowego

Rekonstrukcja obrazu: monitor komputerowy

Monitor wyświetla piksel w postaci punktu o malejącej intensywności. Spadek intesywności odpowiada funkcji Gaussa.

Filtr dolnoprzepustowy wbudowany w wyświetlacze, rozmywający piksele:

2

Grafika komputerowa: własności obrazu rastrowego

Aliasing (ang. spatial aliasing) (1)

© Don Mitchel

Efekt powstająca na skutek braku możliwości zarejestrowania i/lub wyświetlenia sygnału z odpowiednią częstotliwością: •  pliki graficzne nie mogą być zbyt duże, •  monitor ma ograniczoną rozdzielczość.

Zmniejszenie rozdzielczości kątowej. Za mało próbek na dany kąt.

Grafika komputerowa: własności obrazu rastrowego

Czętotliwość próbkowania

Images from ACM SIGGRAPH education materials.

Z jaką częstotliwością trzeba próbkować F(x,y), aby móc później odtworzyć oryginalny przebieg funkcji?

Grafika komputerowa: własności obrazu rastrowego

Częstotliwość próbkowania

From Robert L. Cook, "Stochastic Sampling and Distributed Ray Tracing", An Introduction to Ray Tracing, Andrew Glassner, ed., Academic Press Limited, 1989

Częstotliwość próbkowania musi być dwa razy większa od częstotliwości sygnału, aby była możliwość rekonstrukcji oryginalnego sygnału (prawo Nyguista).

zbyt mała częstotliwość próbkowania

Grafika komputerowa: własności obrazu rastrowego

Obraz 2D a grafika komputerowa

W grafice komputerowej generuje się spróbkowaną postać obrazu. Liczba próbek musi być taka, aby możliwa była rekonstrukcja sygnału obrazu. Większa liczba próbek oznacza więcej obliczeń. •  Idealna częstotliwość odpowiada podwójnej częstotliwości widzialnej fali elektromagnetycznej.

•  Graniczną maksymalną częstotliwością może być rozdzielczość ludzkiego oka. Człowiek widzi określoną liczbę cykli na stopień kątowy (percepcja).

•  W praktyce wartością graniczną są możliwości monitorów rastrowych.

Grafika komputerowa: własności obrazu rastrowego

Reprezentacja obrazu w dziedzinie częstotliwości

Obraz jest złożeniem sygnałów okresowych (sinusoidalnych) o określonych częstotliwościach i amplitudach.

Courtesy of George Wolberg, Columbia University

Okresowość sygnału symulowana jest poprzez powielenie obrazów do nieskończoności.

...

...

...

...

Grafika komputerowa: własności obrazu rastrowego

Dziedzina częstotliwości: Transformata Fourier'a Każdy obraz ma swoją reprezentację w dziedzinie częstotliwości. Transformata Fourier’a - konwersja pomiędzy dziedziną koloru a dziedziną częstotliwości. Każdy sygnał okresowy można wyrazić jako sumę sygnałów sinusoidalnych. Obraz jest dwuwymiarowym sygnałem okresowym.

3

Grafika komputerowa: własności obrazu rastrowego

Reprezentacja częstotliwościowa

amplituda faza

Grafika komputerowa: własności obrazu rastrowego

Dziedzina częstotliwości (1) Obraz w przestrzeni częstotliwości składa się z częsci fazowej i amplitudowej (wartość piksela zamieniana jest na liczbę zespoloną).

Cześć amplitudowa pokazuje jakie częstotliwości występują w obrazie.

Grafika komputerowa: własności obrazu rastrowego

Dziedzina częstotliwości (2) Część amplitudowa mówi o tym jakie częstotliwości występują w obrazie, część fazowa gdzie są one położone.

Brak zmiany wykresu amplitudowego pomimo zmiany fazy.

Grafika komputerowa: własności obrazu rastrowego

Dziedzina częstotliwości (3)

Efekt brzegowy

Grafika komputerowa: własności obrazu rastrowego

Dziedzina częstotliwości (4)

Niskie częstotliwości na środku obrazu. Prawy obraz rozmyty horyzontalnie - wykres amplitud sygnału częstotliwościowego wskazuje na zmniejszenie występowania wysokich częstotliwości w kierunku horyzontalnym.

Położenie krawędzi decyduje o kierunku pasm na wykresie aplitudy.

Grafika komputerowa: własności obrazu rastrowego

Dziedzina częstotliwości (5)

Wiele elementów o jednakowych rozmiarach

Kierunek pasm na wykresie aplitudy.

4

Grafika komputerowa: własności obrazu rastrowego

Dziedzina częstotliwości (6)

Pasmo od kapelusza

Lena

Grafika komputerowa: własności obrazu rastrowego

Dziedzina częstotliwości (7)

Filtr dolnoprzepustowy Filtr górnoprzepustowy

Grafika komputerowa: własności obrazu rastrowego

Dziedzina częstotliwości (8)

Filtr wyostrzający

Grafika komputerowa: własności obrazu rastrowego

Aliasing (2) Artefakty wywołana zbyt małą częstotliwością próbkowania.

Images from ACM SIGGRAPH education materials.

Poszarpane brzegi (ang. jaggies)

Znikanie szczegółów

Błędy teksturowania

Antyaliasing - ograniczanie efektu aliasingu

Grafika komputerowa: własności obrazu rastrowego

Rekonstrukcja obrazu – filtr prostokątny metoda najbliższego sąsiada (ang. nearest neighbour) Filtr prostokątny (ang. box filter) aproksymuje wyświetlane wartości na podstawie wartości danego piksela.

Taki filtr powoduje aliasing.

Dziedzina obrazu.

Grafika komputerowa: własności obrazu rastrowego

Rekonstrukcja obrazu - Filtr sinc Idealny filtr dolnoprzepustowy.

•  Rozciąga się do nieskończoności (zakłada powtarzalność obrazów) - ograniczenie prowadzi do powstania efektu Gibbs’a (ringing artifacts). •  Nawet ograniczony do jednego obrazu wymaga zsumowania wszystkich pikseli obrazu w celu obliczenia wartości danego punktu (akumulacja).

5

Grafika komputerowa: własności obrazu rastrowego

Rekonstrukcja obrazu - Filtr trójkątny Interpolacja dwuliniowa (ang. bilinear interpolation)

O wartości punktu decydują piksele z najbliższego otoczenia danego piksela.

Kompromis pomiędzy dokładnością i liczbą obliczeń.

Filtr trójkątny (ang. triangle filter lub tent filter).

Grafika komputerowa: własności obrazu rastrowego

Literatura •  Andrew S. Glassner, "Principles of Digital Image Synthesis", The Morgan Kaufmann

Series in Computer Graphics, 2 Volume Set, ISBN-10: 1558602763, 1st edition 1995 •  Materiały edukacyjne organizacji ACM SIGGRAPH

http://www.siggraph.org/education/materials/HyperGraph •  Ryszard Radeusiewicz, Przemysław Korohoda, “Komputerowa analiza i

przetwarzanie obrazów”, Wydawnictwo Fundacji Postępu Telekomunikacji, Kraków 1997

•  J.D. Foley, A. van Dam, S.K. Feiner, J.F. Hughes, R.L. Phillips, “Wprowadzenie do grafiki komputerowej”, WNT, Warszawa 1995, ISBN 83-204-1840-213.