PRAWDOPODOBIEŃSTWA - Helion Edukacja · Elementy kombinatoryki W podrozdziale 1.1 obliczaliśmy z...

1.RACHUNEK

PRAWDOPODOBIEŃSTWA

Rozważania matematyczne, z jakimi mieliśmy dotychczas do czynie-

nia, charakteryzują się tym, że w określonych warunkach ze spełnie-

nia zestawu założeń wynikają jednoznacznie określone konsekwencje.

Przykładowo, jeżeli upuścimy z wysokości 30 m kamień, to potrafi my

obliczyć, po ilu sekundach spadnie on na ziemię. Widzimy więc, że

możliwe jest opisanie wielu praw i mechanizmów rządzących świa-

tem, w którym żyjemy.

Ale czy wszystkich? Próba odpowiedzi na pytanie, jaka szóstka liczb

wypadnie w najbliższym losowaniu Dużego Lotka, pokazuje, że ist-

nieją zjawiska, których zajście jest kwestią przypadku. W takich sytu-

acjach nie wiemy, jaki będzie rezultat, ale możemy spróbować ocenić,

jaka jest szansa na jego zaistnienie.

W skutecznym rozwiązaniu tego typu problemów pomocny jest spe-

cjalny dział matematyki zwany rachunkiem prawdopodobień-

stwa.

10 Rozdział 1. Rachunek prawdopodobieństwa

Pewien francuski szlachcic, kawaler de Méré, żyjący w XVII wieku, chcąc

wygrywać w kości, zwrócił się do swojego przyjaciela, wybitnego mate-

matyka Blaise’a Pascala, z prośbą, aby rozważył następujący problem:

W rzucie trzema kostkami sumę oczek równą 11 można uzyskać na

sześć sposobów, wyrzucając na kostkach liczbę oczek równą: 1, 4, 6 lub

1, 5, 5, lub 2, 3, 6, lub 2, 4, 5, lub 3, 4, 4, lub 3, 3, 5. Sumę oczek równą

12 można też uzyskać na sześć sposobów: 1, 5, 6, lub 2, 4, 6, lub 2, 5, 5,

lub 3, 3, 6, lub 3, 4, 5, lub 4, 4, 4. Dlaczego więc częściej wypada suma

równa 11 niż 12?

Pascal bardzo zainteresował się tym zagadnieniem i napisał w tej spra-

wie list do innego sławnego matematyka, Pierre’a de Fermata. List ten

zachęcił Fermata do rozważań, które przyczyniły się do stworzenia teorii

dającej możliwość obliczania prawdopodobieństwa wygrania w grze

w kości.

1.1. Zliczanie obiektów

Przykład 1.Flaga niemiecka składa się z trzech pasów poziomych, usta-

wionych od najniższego do najwyższego w następującej kolej-

ności: pas złoty, pas czerwony, pas czarny. Ustalmy, ile różnych

! ag można otrzymać, przestawiając kolejność tych pasów. Za-

uważmy, że jeżeli do oznaczenia kolorów użyjemy pierwszych

liter słów oznaczających te kolory w języku niemieckim: golden,

rot, schwarz, to wszystkie możliwe ustawienia będą następujące:

g, r, s; g, s, r; s, g, r; s, r, g; r, s, g; r, g, s.

Zatem wszystkich możliwości, jak łatwo policzyć, jest 6.

Gdyby liczba pasów była większa, podana metoda byłaby bardzo żmudna. Ponieważ w na-

szych rozważaniach kolejność kolorów jest istotna, więc ustawienia pasów wygodnie jest

zapisywać jako ciągi. Pytamy się więc, ile można zbudować trzyelementowych ciągów

o różnych wyrazach ze zbioru trzyelementowego. Kolor najniższego pasa możemy wybrać

na trzy sposoby. Gdy kolor pierwszego pasa jest już ustalony, zauważamy, że mamy dwie

możliwości ustalenia koloru drugiego pasa. Po ustaleniu kolorów dwóch dolnych pasów

kolor trzeciego pasa jest wyznaczony jednoznacznie. A więc wszystkich takich ustawień

(ciągów) jest 3 2 1 6.


3 2 1 6

Ćwiczenie 1.

Wypisz wszystkie możliwości i oblicz, ile można uszyć ! ag czterokoloro-

wych, o układzie barw takim jak na rysunku obok, mając do dyspozycji

tkaniny w czterech kolorach.

Zauważmy, że analogiczny schemat rozumowania możemy zastosować

w następującej sytuacji.

Przykład 2.Obliczmy, ile istnieje liczb czterocyfrowych zbudowanych wyłącznie z cyfr 0, 2, 4, 6, 8.

Tak jak w przykładzie 1., liczbę czterocyfrową możemy utożsamić z ciągiem czterowyrazo-

wym, w którym na pierwszym miejscu stoi cyfra tysięcy, na drugim cyfra setek, na trzecim

cyfra dziesiątek, a na ostatnim cyfra jedności. A więc nasz zliczany obiekt możemy utożsa-

mić z ciągiem. Pierwszy wyraz tego ciągu możemy wybrać na cztery sposoby (cyfra 0 nie

może stać na pierwszym miejscu). Na pozostałych miejscach może stać dowolna z 5 cyfr,

czyli wszystkich takich liczb jest 34 5 500n .

Przykład 3.Rzucamy dwa razy symetryczną kostką do gry. Obliczmy, ile jest wszystkich możliwych

wyników takich rzutów, jeżeli uwzględnimy kolejność otrzymanych wyników.

Wypiszmy wszystkie takie wyniki. Możemy je zapisać jako ciągi dwuelementowe. Pierw-

sza cyfra w nawiasie oznacza wynik pierwszego rzutu, a druga drugiego. Odpowiednich

ciągów jest 36:

1,1 , 1, 2 , 1 3,( ), 1, 4 , 1, 5 , 1, 6

2 1,( ), 2, 2 , 2 3,( ) , 2, 4 , 2 5,( ) , 2, 6

3,1 , 3, 2 , 3, 3 , 3, 4 , 3, 5 , 3, 6

4,1 , 4, 2 , 4 3,( ), 4, 4 , 4, 5 , 4, 6

5,1 , 5, 2 , 5, 3 , 5, 4 , 5, 5 , 5, 6

6 1,( ), 6 2,( ) , 6 3,( ) , 6, 4 , 6, 5 , 6 6,( )

To zadanie można rozwiązać, nie wypisując wszystkich możliwych sytuacji.

Wyników pierwszego rzutu jest 6 (może wypaść 1 lub 2, lub 3, lub 4, lub 5, lub 6), drugiego

również 6. Zatem wszystkich wyników jest 6 6 36.

Ćwiczenie 2.

Ile jest wszystkich możliwych wyników przy trzykrotnym rzucie symetryczną kostką do gry?

Ćwiczenie 1.Ćwiczenie 1.Ćwiczenie 1.Ćwiczenie 1.



Przykład 4.

Obliczmy, ile haseł składających się z czterech znaków można ułożyć z liter A, B i cyfr 1, 2,

przy założeniu, że pierwsze dwa znaki to różne litery, a kolejne dwa znaki to różne cyfry.

Dwie litery można ustawić na dwa sposoby: AB, BA; dwie cyfry możemy ustawić także na

dwa sposoby: 12, 21. Zatem wszystkich ustawień jest 2 2 4 , bo każda kon" guracja liter

może być połączona z każdą kon" guracją cyfr.

Reguła mnożenia

Jeżeli wybór polega na podjęciu kolejno n decyzji, przy czym pierwszą z nich

można podjąć na 1k sposobów, drugą na

2k sposobów, …, n-tą na

nk sposobów,

to takiego wyboru można dokonać na 1 2 nk k k sposobów.

Twierdzenie

Rozważmy teraz sytuację, w której zliczany obiekt utożsamiamy ze zbiorem.

Przykład 5.

Obliczmy, na ile sposobów możemy wybrać trzy książki ze zbioru dwu-

dziestu książek.

Zauważmy, że kolejność wybieranych książek jest w tej sytuacji nieistotna.

Nie ma bowiem różnicy, czy np. najpierw wybierzemy książkę X, później

Y, a na końcu Z, czy też najpierw książkę Z, potem X, a na końcu Y. Zbiór

wybranych książek jest ten sam. Rozpatrujemy więc zbiory trzyelemen-

towe, a nie ciągi trzyelementowe. Oczywiście zbiorów trzyelementowych

jest mniej niż ciągów. Ciągi (X, Y, Z), (X, Z, Y), (Y, X, Z), (Y, Z, X), (Z, X, Y),

(Z, Y, X) są utworzone z elementów jednego zbioru X, Y, Z. Ponieważ

trzy elementy pewnego zbioru możemy ustawić w trzyelementowe ciągi

na 6 sposobów, to liczba trzyelementowych zbiorów jest 6 razy mniejsza

niż liczba trzyelementowych ciągów.

Załóżmy wpierw, że kolejność wyboru książek jest istotna. Podobnie jak

w poprzednich przykładach, rozumujemy następująco: pierwszą książkę

możemy wybrać na 20 sposobów, drugą na 19 sposobów, a trzecią na 18

sposobów. Liczba trzyelementowych ciągów jest równa 20 19 18 . A więc

liczba trzyelementowych zbiorów wynosi 20 19 18

11406

.

Ze zbioru 20 książek trzy książki możemy wybrać na 1140 sposobów.

Przykład 6.

Obliczmy, ile różnych odcinków można zbudować, mając do dyspozycji 15 punktów, z któ-

rych żadne 3 punkty nie leżą na jednej prostej.

Każdy odcinek możemy utożsamić ze zbiorem dwuelementowym, składającym się z jego

końców.

Uwaga


Liczymy najpierw, ile ciągów dwuelementowych można utworzyć z punktów zbioru pięt-

nastoelementowego. Korzystając z reguły mnożenia, otrzymujemy 15 14 210n . Ponie-

waż ze zbioru dwuelementowego można utworzyć dwa ciągi, więc liczba odcinków jest

równa : 2 210 : 2 105n .

Rozpatrzmy teraz poniższą sytuację, w której zliczane obiekty są dwóch rodzajów.

Przykład 7.Obliczmy, ile można ułożyć haseł komputerowych składających się z trzech znaków, wiedząc,

że hasło składa się bądź z trzech różnych liter: A, B, C, bądź z trzech różnych cyfr: 1, 2, 3.

Zauważmy, że możliwości ułożenia hasła z trzech liter, podobnie jak z trzech cyfr, jest 6.

Zatem albo mamy hasło trzyliterowe ułożone na 6 sposobów, albo trzycyfrowe ułożone na

6 sposobów. Wszystkich możliwości jest więc 6 6 12.

Reguła dodawania

Jeżeli wybór polega na podjęciu jednej z n wykluczających się wzajemnie moż-

liwości, przy czym pierwszą z nich można podjąć na 1k sposobów, drugą na

2k sposobów, …, n-tą na

nk sposobów, to takiego wyboru można dokonać na

1 2 nk k k sposobów.

Twierdzenie

Ćwiczenie 3.

Na prezent dla koleżanki możemy kupić jedną płytę spośród siedmiu płyt jednego zespołu,

który ona lubi, lub jedną książkę spośród trzech jej ulubionego autora. Na ile sposobów

możemy wybrać prezent?

Przykład 8.Obliczmy, ile jest liczb dwucyfrowych, które są mniejsze od 50 lub parzyste.

W tym przypadku nie możemy stosować

prostej reguły dodawania, ponieważ nie-

które liczby parzyste są mniejsze od 50 i wy-

bór liczb mniejszych od 50 oraz wybór liczb

parzystych nie są wyborami wykluczają-

cymi się wzajemnie. Możemy natomiast po-

liczyć, ile jest liczb dwucyfrowych mniejszych od 50 (jest ich 40), a następnie ile jest liczb

parzystych dwucyfrowych większych od 50 bądź równych 50 (jest ich 25). Te wybory już

się wzajemnie wykluczają. Stosując regułę dodawania, przekonujemy się, że liczb dwucy-

frowych, które są mniejsze od 50 lub parzyste, jest 40 25 65 .

Można też policzyć, ile jest liczb dwucyfrowych mniejszych od 50 (jest ich 40), ile jest liczb

dwucyfrowych parzystych (jest ich 45) oraz ile jest liczb dwucyfrowych parzystych, które

są mniejsze od 50 (jest ich 20), a następnie wykonać działanie: 40 45 20 65+ − = .


11, 13, 15,…,

45, 47, 49

10, 12, 14,

…, 46, 48

50, 52, 54,

…, 98


Zadania

1 Ile jest wszystkich punktów płaszczyzny, których pierwsza współrzędna jest liczbą na-

turalną dodatnią mniejszą od 20, a druga jest liczbą naturalną z przedziału 15, 30 ?

2 Ile jest wszystkich kodów składających się z dwóch liczb, z których pierwsza jest dziel-

nikiem liczby 36, a druga jest dzielnikiem liczby 100?

3 Ile jest wszystkich możliwych kodów składających się z różnych znaków, w których

to kodach na początku występują trzy cyfry ze zbioru 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, a później

dwie litery ze zbioru A, B, C, D, E, F?

4 Ile jest wszystkich możliwych wyników doświadczenia polegającego na czterokrotnym

rzucie monetą?

5 Oblicz:

a) ile istnieje liczb trzycyfrowych składających się z cyfr 0, 1, 2,

b) ile istnieje liczb trzycyfrowych parzystych składających się z cyfr 0, 1, 2.

6 Ile jest wszystkich liczb trzycyfrowych podzielnych przez 3?

7 Uczniowie pierwszej klasy postanowili zakodować swoje sza%i w szatni czterocyfro-

wymi kodami, składającymi się z cyfr 1, 2, 3, 4. Ile jest możliwych kodów, gdy:

a) cyfry nie mogą się powtarzać?

b) cyfry mogą się powtarzać?

8 Stołówka studencka oferuje na obiad dwie zupy: pomidorową i ogórkową, trzy drugie

dania: pierogi, kotlet mielony i rybę, dwa desery: szarlotkę i lody. Student zdecydował się

wybrać obiad składający się tylko z dwóch dań: zupy i drugiego dania lub drugiego dania

i deseru. Na ile sposobów może ułożyć swój zestaw obiadowy.

9 Na ile sposobów można ustawić w kolejce 7 osób?

10 Ile jest liczb czterocyfrowych mniejszych od 3000, składających się z cyfr 1, 2, 3, 4?

11 Z urny zawierającej kule: białą, czarną, żółtą i zieloną, losujemy trzy kule bez zwra-

cania. Na ile sposobów można dokonać takiego losowania, jeżeli kolejność losowania jest

istotna?

15*1.2. Elementy kombinatoryki

12 Podczas egzaminu student losuje 3 pytania spośród 7. Na ile sposobów może to zrobić?

13 Na ile sposobów można wybrać czteroosobową delegację z ośmioosobowej grupy?

14 Osiem osób przywitało się każda z każdą uściskiem dłoni. Ile było powitań?

*1.2. Elementy kombinatoryki

W podrozdziale 1.1 obliczaliśmy z wykorzystaniem elementarnych rozumowań liczbę

obiektów będących ciągami lub zbiorami skończonymi. Odbywało się to metodą łącze-

nia w pary, trójki itd. (uporządkowane lub nieuporządkowane) elementów z ustalonych

zbiorów, tak aby spełnione były wymagane warunki. Dział matematyki zajmujący się tego

typu problemami nazywa się kombinatoryką. Oferuje ona szereg narzędzi, które ułatwiają

(lub w ogóle umożliwiają) rozwiązywanie zadań opisanego rodzaju o różnym stopniu

komplikacji.

Przykład 1.

Obliczmy, ile jest wszystkich liczb czterocyfrowych, w których zapisie występują tylko cy-

fry 3 i 4.

Pierwszy element ciągu (cyfrę tysięcy danej liczby) możemy wybrać na dwa sposoby, na

drugim miejscu (cyfra setek) też możemy umieścić jedną z dwóch cyfr. Tak więc na dwóch

pierwszych miejscach możemy umieścić cyfry na 4 sposoby. Na trzecim (cyfra dziesiątek)

i czwartym (cyfra jedności) miejscu możemy również umieścić cyfry 3 lub 4. A więc liczba

wszystkich możliwości wynosi 42 2 2 2 2 16 .

Tłumacząc to zagadnienie na język matematyki, pytamy, ile ciągów czte-

rowyrazowych możemy zbudować ze zbioru dwuelementowego, jeżeli ele-

menty mogą się powtarzać.

Każdy taki czterowyrazowy ciąg utworzony z cyfr 3 i 4, w którym elementy

mogą się powtarzać, nazywamy czterowyrazową wariacją z powtórzeniami

zbioru dwuelementowego 3,4.

Wariacją k-wyrazową z powtórzeniami zbioru n-elementowego, gdzie ,k n ,

nazywamy każdy k-wyrazowy ciąg utworzony z k niekoniecznie różnych elemen-

tów tego zbioru.

Definicja

Na kolejnych stronach liczbę wszystkich k-wyrazowych wariacji z powtórzeniami zbioru

n-elementowego będziemy oznaczać symbolem k

nW .

Uwaga

k

k .


Jeżeli ze zbioru składającego się z n elementów wybieramy k elementów k n ,

w ten sposób, że:

• istotna jest kolejność wybieranych elementów,

• wybierane elementy mogą się powtarzać,

to w ten sposób budujemy k-wyrazową wariację z powtórzeniami tego zbioru.

Ćwiczenie 1.

Ile jest wszystkich liczb czterocyfrowych, w których zapisie mogą występować tylko cy-

fry 1, 2 i 3?

Przykład 2.Dany jest zbiór Z składający się z liczb 5, 6, 7, 8, 9 , czyli 5, 6, 7, 8,9Z .

Ponieważ możemy utworzyć pięć jednowyrazowych ciągów z elementów zbioru Z, więc

mamy pięć jednowyrazowych wariacji z powtórzeniami. Są nimi jednowyrazowe ciągi 5 ,

6 , 7 , 8 , 9 . Zatem 1

55W .

Dopisując w powyższych wariacjach na drugim miejscu kolejno elementy zbioru Z, otrzy-

mamy dwuwyrazowe wariacje z powtórzeniami zbioru Z:

5, 5 , 5, 6 , 5, 7 , 5 8,( ) , 5, 9 ,

6 5,( ) , 6 6,( ) , 6, 7 , 6 8,( ) , 6, 9 ,

7, 5 , 7, 6 , 7 7,( ), 7, 8 , 7 9,( ),

8, 5 , 8, 6 , 8, 7 , 8, 8 , 8, 9 ,

9, 5 , 9, 6 , 9, 7 , 9, 8 , 9 9,( ) .

Zatem 2 1 2

5 55 5 5 5W W .

Dalej weźmy dwuwyrazowe wariacje z powtórzeniami zaczynające się od liczby 5 i do-

piszmy na trzecim miejscu kolejno elementy zbioru Z, otrzymując trzyelementowe wa-

riacje zbioru Z:

5, 5, 5 , 5, 5, 6 , 5, 5, 7 , 5, 5, 8 , 5, 5, 9 ,

5, 6, 5 , 5, 6, 6 , 5, 6, 7 , 5, 6, 8 , 5, 6, 9 ,

5, 7, 5 , 5, 7, 6 , 5, 7, 7 , 5, 7, 8 , 5, 7, 9 ,

5, 8, 5 , 5, 8, 6 , 5, 8, 7 , 5, 8, 8 , 5, 8, 9 ,

5, 9, 5 , 5, 9, 6 , 5, 9, 7 , 5, 9, 8 , 5, 9, 9 .



( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

Postępując analogicznie z pozostałymi dwuwyrazowymi wariacjami, dochodzimy do wnio-

sku, że 3 2 2 3

5 55 5 5 5W W .

Następnie, biorąc trzywyrazowe wariacje z powtórzeniami i dopisując na czwartym miej-

scu kolejno elementy zbioru Z, otrzymujemy czteroelementowe wariacje z powtórzeniami

zbioru Z.

Rozumując tak jak wyżej, mamy 4 3 3 4

5 55 5 5 5W W .

Liczba wszystkich k-wyrazowych wariacji z powtórzeniami zbioru n elemento-

wego wyraża się wzorem k k

nW n .

Twierdzenie

Wszystkie k-elementowe ciągi opisane w powyższym twierdzeniu możemy

zliczyć, stosując regułę mnożenia. Ponieważ kolejne wyrazy ciągu można wy-

brać na n sposobów, więc ich liczba wyraża się wzorem razy

k k

n

k

W n n n n n .

Przykład 3.Obliczmy, ile jest wszystkich liczb dwucyfrowych, w których zapisie wystę-

pują tylko cyfry 1, 2, 3, 4, 5 i żadna z cyfr się nie powtarza.

Zauważmy, że pierwszą cyfrę możemy wybrać na 5 sposobów, a drugą na

4 sposoby. Zgodnie z regułą mnożenia otrzymujemy 5 4 20. Są to nastę-

pujące liczby:

12, 13, 14, 15, 21, 23, 24, 25, 31, 32, 34, 35, 41, 42, 43, 45, 51, 52, 53, 54.

Stosując język matematyki, pytamy, ile ciągów dwuwyrazowych możemy zbudować, uży-

wając różnych elementów zbioru 1, 2, 3, 4, 5 .

Każdy taki dwuwyrazowy ciąg utworzony z cyfr 1, 2, 3, 4, 5, w którym wyrazy nie powta-

rzają się, nazywamy dwuwyrazową wariacją bez powtórzeń zbioru 1, 2, 3, 4, 5 .

Wariacją k-wyrazową bez powtórzeń zbioru n-elementowego, gdzie ,k n

oraz k n, nazywamy każdy k-wyrazowy ciąg utworzony z k różnych elemen-

tów tego zbioru.

Definicja

Dalej liczbę k-wyrazowych wariacji bez powtórzeń zbioru n-elementowego będziemy

oznaczać symbolem k

nV .

Ćwiczenie 2.

Ile jest wszystkich liczb pięciocyfrowych, w których zapisie mogą występować tylko cyfry

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 i żadna cyfra się nie powtarza?


Uwaga

n

n .


Przykład 4.

Dany jest zbiór Z składający się z liczb 5, 6, 7, 8, 9, czyli 5, 6, 7, 8,9Z .

Mamy pięć jednowyrazowych wariacji bez powtórzeń, są nimi jednowyrazowe ciągi

5 , 6 , 7 , 8 , 9 ,

więc 1

55V .

Dopisując w powyższych wariacjach na drugim miejscu kolejno elementy zbioru Z nie-

występujące w tej wariacji, otrzymamy dwuwyrazowe wariacje bez powtórzeń zbioru Z:

5 6,( ) , 5 7,( ) , 5 8,( ) , 5 9,( ) ,

6, 5 , 6, 7 , 6, 8 , 6 9,( ) ,

7, 5 , 7, 6 , 7 8,( ), 7, 9 ,

8 5,( ) , 8 6,( ) , 8 7,( ), 8 9,( ) ,

9, 5 , 9, 6 , 9, 7 , 9, 8 ,

więc V V5

2

5

14 4 5= ⋅ = ⋅ .

Dalej weźmy dwuwyrazowe wariacje bez powtórzeń i dopiszmy na trzecim miejscu ko-

lejno elementy zbioru Z niewystępujące w tej wariacji. Otrzymamy trzyelementowe wa-

riacje bez powtórzeń zbioru Z.

5, 6, 7 , 5, 6, 8 , 5, 6, 9 ,

5, 7, 6 , 5, 7, 8 , 5, 7, 9 ,

5, 8, 6 , 5, 8, 7 , 5, 8, 9 ,

5, 9, 6 , 5, 9, 7 , 5, 9, 8 .

Postępując analogicznie z pozostałymi dwuwyrazowymi wariacjami, dochodzimy do wnio-

sku, że 3 2

5 53 3 4 5V V .

Następnie do trzywyrazowych wariacji z powtórzeniami dopiszemy na czwartym miejscu

kolejno elementy zbioru Z. Otrzymamy czteroelementowe wariacje bez powtórzeń zbioru Z.

W wyniku otrzymujemy 4 3

5 52 2 3 4 5V V .

Liczba wszystkich k-wyrazowych wariacji bez powtórzeń zbioru n-elementowego,

gdzie ,k n oraz k n, wyraża się wzorem V n n n n kn

k = −( ) −( ) − +( )1 2 1 .Twierdzenie

Twierdzenie można udowodnić za pomocą indukcji matematycznej.


Wzór ten można zapisać w innej postaci. W tym celu wprowadźmy następującą de nicję:

Silnią liczby naturalnej 1n (zapisujemy !n ) nazywamy iloczyn wszystkich liczb

naturalnych dodatnich nie większych od n:

! 1 2 3n n.

Przyjmujemy dodatkowo, że 0! 1 i 1! 1.

Definicja

Stąd wzór wyznaczający liczbę wariacji z powtórzeniami możemy przekształcić na-

stępująco:

V n n n n kn

n kn

k = −( ) −( ) − +( ) =−( )

1 2 1!

!.

Jeżeli ze zbioru zawierającego n elementów wybieramy k elementów k n , w ten

sposób, że:

• istotna jest kolejność wybieranych elementów,

• wybierane elementy nie mogą się powtarzać,

to w ten sposób budujemy k-wyrazową wariację bez powtórzeń tego zbioru.

Permutacją zbioru n-elementowego nazywamy każdy n-wyrazowy ciąg utwo-

rzony ze wszystkich elementów tego zbioru.

Definicja

W dalszej części rozdziału liczbę permutacji zbioru n-elementowego ozna-

czamy symbolem nP .

Przykład 5.

Obliczmy, ile liczb czterocyfrowych, o różnych cyfrach, można utworzyć

z cyfr 1, 2, 3, 4.

Mamy więc 4

4 44 3 2 1 4!V P .

Liczba wszystkich permutacji zbioru n-elementowego jest równa !nP n . Twierdzenie

Uwaga

n

n


Uwaga

Ćwiczenie 3.

Na ile sposobów można poprzestawiać 10 osób stojących w kolejce po bilety?

Przykład 6. W czasie egzaminu student losuje trzy pytania ze zbioru 60 pytań i odpo-

wiada na nie w dowolnej kolejności. Chcemy obliczyć, na ile sposobów

student może wylosować pytania.

Używając terminów matematycznych, pytamy, ile zbiorów trzyelemento-

wych możemy utworzyć ze zbioru 60-elementowego. Zauważmy, że tutaj

kolejność losowania pytań nie odgrywa roli i pytania nie powtarzają się,

więc otrzymujemy trzyelementowe podzbiory zbioru wszystkich pytań.

Kombinacją k-elementową zbioru n-elementowego, gdzie ,k n oraz k n ,

nazywamy każdy k-elementowy podzbiór tego zbioru.

Definicja

W dalszej części książki liczbę k-elementowych kombinacji n-elementowego

zbioru będziemy oznaczać symbolem k

nC .

Jeżeli ze zbioru zawierającego n elementów wybieramy k elementów

k n , w ten sposób, że:

• nieistotna jest kolejność wybieranych elementów,

• wybierane elementy nie mogą się powtarzać,

to w ten sposób budujemy k-wyrazową kombinację tego zbioru.

Do obliczenia liczby k-elementowych kombinacji zbioru n-elementowego wygodnie jest

używać symbolu Newtona.

Niech k i n będą liczbami naturalnymi takimi, że k n. Wówczas n

k

n

k n k

=

−( )!

! !.

Wyrażenie n

k nazywamy symbolem Newtona.

Przykład 7.

7 7! 6 721

2 2! 5! 2

5 5! 11

0 0! 5! 1


Uwaga

1 2,

Uwaga

10

n 1 1n n n kn

kk.


Jeżeli ,k n oraz k n , to liczba wszystkich k-elementowych kombinacji

zbioru n-elementowego jest równa:

k

n

nC

k.

Twierdzenie

Przykład 8.Obliczmy, na ile sposobów możemy wybrać trzy karty z talii liczą-

cej 52 karty. Najpierw zauważamy, że kolejność wyboru kart nie jest

istotna. Do opisu takiej sytuacji nie możemy więc używać ciągów, lecz

zbiorów. Powstaje pytanie, ile istnieje trzyelementowych podzbiorów

zbioru 52-elementowego. Każdy trzyelementowy zbiór jest trzyele-

mentową kombinacją, czyli 3

52

52 52! 50 51 5222100

3 3! 49! 6C .

Przykład 9.Zestaw pytań na egzamin z matematyki zawiera 20 pytań z geometrii, 30 pytań z algebry

i 10 pytań z rachunku prawdopodobieństwa. Obliczmy, na ile sposobów student może wy-

losować trzy pytania tak, by były tam dwa pytania z algebry i jedno z geometrii lub trzy

pytania z algebry.

Trzy pytania z algebry stanowią trzyelementowy podzbiór zbioru 30-elementowego.

Takich wyborów jest 3

30

30 30! 28 29 304060

3 3! 27! 6C . Alternatywnie dwa pytania

z algebry i jedno z geometrii wybieramy na 30 20 30! 20! 29 30

20 87002 1 2! 28! 1! 19! 2

sposobów. Razem szukanych wyborów jest 4060 8700 12760n .

Ćwiczenie 4.

Ile meczów rozegra 12 drużyn, grając jednokrotnie systemem „każdy z każdym” jeden mecz?

Zauważmy, że zagadnienie obliczania liczby kombinacji pokrywa się

z zagadnieniem obliczania liczby k-elementowych podzbiorów zbioru

n-elementowego omówionym w poprzednim rozdziale. Możemy więc

zamiast podanych wzorów stosować metodę tam opisaną.


Uwaga

n

n

k

k


Zadania

1 Ile jest wszystkich liczb trzycyfrowych, w których zapisie nie występują cyfry 7 i 2?

2 Oblicz, ile jest wszystkich:

a) liczb czterocyfrowych,

b) liczb dwucyfrowych o niepowtarzających się cyfrach,

c) liczb trzycyfrowych o niepowtarzających się cyfrach,

d) liczb czterocyfrowych o niepowtarzających się cyfrach.

3 Oblicz, ile jest podzbiorów zbioru n-elementowego.

4 Na szczyt pewnej góry wiedzie pięć szlaków. Na ile sposobów można wejść

i zejść z góry, jeśli:

a) możemy wracać tym samym szlakiem?

b) nie możemy wracać tym samym szlakiem?

5 Na ile sposobów 10 osób może wysiąść z tramwaju, który zatrzymuje się

na 5 przystankach?

6 Na ile sposobów 7 osób może wysiąść z windy, która zatrzymuje się na 20 piętrach?

7 Są dwa rodzaje skrzynek pocztowych: czerwone i niebieskie. Na ile sposo-

bów można wrzucić do nich 10 listów?

8 Na zawodach w gimnastyce artystycznej sędziuje 6 sędziów. Każdy sędzia

wystawia zawodnikowi notę od 0 do 10, z dokładnością do 0,1 punktu. Oblicz,

ile różnych werdyktów (wyników w punktach) może wydać cała sześciooso-

bowa komisja.

9 W turnieju piłkarskim bierze udział 8 drużyn. Turniej odbywa się systemem „każdy

z każdym”. Każda gra może się skończyć dla danej drużyny wygraną, remisem bądź po-

rażką. Ile jest różnych możliwych wyników turnieju, jeśli przyjmiemy, że „wynik turnieju”

to ostateczny zapis w tabeli spotkań?

10 Ile liczb sześciocyfrowych o niepowtarzających się cyfrach można utworzyć z cyfr 0,

1, 2, 3, 4, 5, w których na miejscu jedności jest cyfra 3 lub 4?


11 Ile można utworzyć dziewięciocyfrowych numerów telefonicznych, w których żadna

cyfra się nie powtórzy, przy założeniu, że numer nie może zaczynać się od 0?

12 Rozstrzygnij, przyjmując, że alfabet składa się z 24 liter, czy wśród 600 osób muszą się

znaleźć dwie, które mają takie same dwuliterowe inicjały.

13 Ustaw w kolejności od największej do najmniejszej: 5

3W , 3

5W , 3

5V .

14 Na ile sposobów można ustawić 12 osób w kolejce?

15 Na ile sposobów można ustawić 4 chłopców i 2 dziewczynki w kolejce, tak aby dziew-

czynki nie stały obok siebie?

16 Układając kule z narysowanymi na nich cyframi 3, 4, 5, 6, 7, można utworzyć różne

liczby pięciocyfrowe. Ile jest liczb większych od 70 000?

17 W grupie sześcioosobowej są trzy siostry. Na ile sposobów można ustawić te osoby,

tak aby siostry stały obok siebie?

18 Na ile sposobów można wybrać trzyosobową delegację z 30-osobowej klasy?

19 Grupa studencka liczy 20 osób, w tym 8 kobiet. Na ile sposobów można wybrać czte-

roosobową delegację składającą się z:

a) 2 mężczyzn i 2 kobiet? b) 1 mężczyzny i 3 kobiet?

20 Ile można wyznaczyć odcinków, jeśli każdy odcinek ma końce w wierzchołkach oś-

miokąta wypukłego?

21 Na ile sposobów można wybrać 6 liczb spośród 49?

22 W turnieju szachowym, w którym każdy zawodnik gra z każdym jeden raz,

rozegrano 21 partii. Ilu szachistów brało udział w turnieju?

23 Na ile sposobów można rozmieścić m rozróżnialnych kul w m ponumerowanych ur-

nach, tak aby co najmniej jedna urna była pusta?


1.3. Zdarzenia losowe

Przykład 1. a) W wyniku rzutu monetą może wypaść orzeł (O) lub reszka (R),

ale nie jesteśmy w stanie przewidzieć, który z wyników wypadnie

w konkretnym rzucie.

b) Rzucając kostką do gry, można otrzymać różną liczbę oczek. Tu

także nie wiemy, który z wyników wypadnie w konkretnym rzucie.

Opisane powyżej doświadczenia charakteryzują się tym, że możemy

je wielokrotnie powtarzać, znamy zbiór możliwych wyników tych do-

świadczeń, ale nie możemy przewidzieć konkretnego wyniku. Takie doświadczenia nazy-

wamy doświadczeniami losowymi.

Zbiór wszystkich możliwych wyników danego doświadczenia losowego nazy-

wamy przestrzenią zdarzeń elementarnych i zwyczajowo oznaczamy literą .

Każdy jednoelementowy podzbiór zbioru nazywamy zdarzeniem elemen-

tarnym.

Definicja

W przykładzie 1a przestrzeń zdarzeń elementarnych składa się z dwóch wyników: wy-

padł orzeł, wypadła reszka, co zapisujemy symbolicznie ,O R . W przykładzie 1b

1, 2, 3, 4, 5, 6 .

Przykład 2.

Doświadczenie losowe Zdarzenia elementarne

Rzut monetą O, R

Trzykrotny rzut monetą

Zapis (O, O, R) oznacza wy-

nik doświadczenia, w którym

w dwóch pierwszych rzutach

otrzymaliśmy orła, a w trzecim

rzucie reszkę.

(O, O, O); (O, O, R); (O, R, O); (R, O, O); (R, R, O);

(R, O, R); (O, R, R); (R, R, R)

Dwukrotny rzut kostką

Zapis (2, 3) oznacza wynik do-

świadczenia, w którym w pierw-

szym rzucie otrzymaliśmy dwa

oczka, a w drugim rzucie trzy

oczka.

(1, 1); (1, 2); (1, 3); (1, 4); (1, 5); (1, 6);

(2, 1); (2, 2); (2, 3); (2, 4); (2, 5); (2, 6);

(3, 1); (3, 2); (3, 3); (3, 4); (3, 5); (3, 6);

(4, 1); (4, 2); (4, 3); (4, 4); (4, 5); (4, 6);

(5, 1); (5, 2); (5, 3); (5, 4); (5, 5); (5, 6);

(6, 1); (6, 2); (6, 3); (6, 4); (6, 5); (6, 6).

251.3. Zdarzenia losowe

Ćwiczenie 1.

Wypisz wszystkie zdarzenia elementarne przy jednoczesnym jednokrotnym rzucie mo-

netą i kostką.

Każdy podzbiór skończonego zbioru zdarzeń elementarnych nazywamy zda-

rzeniem.

Jeżeli A jest zdarzeniem i a A , to zdarzenie a nazywamy zdarzeniem

elementarnym sprzyjającym zdarzeniu A.

Definicja

Niech będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych.

Zbiór pusty (zdarzenie, któremu nie sprzyja żadne zdarzenie elementarne) na-

zywamy zdarzeniem niemożliwym.

Zbiór nazywamy zdarzeniem pewnym.

Jeżeli nie istnieje żadne zdarzenie elementarne, które sprzyja jednocześnie zda-

rzeniom A i B (tzn. A B ), to mówimy, że zdarzenia A i B wykluczają się.

Jeżeli każde zdarzenie elementarne sprzyjające zdarzeniu A sprzyja zdarzeniu B

(tzn. A B), to mówimy, że zdarzenie A pociąga za sobą zdarzenie B.

Zdarzenie \A A nazywamy zdarzeniem przeciwnym do zdarzenia A.

Definicja

Przykład 3.Losujemy dwie karty z talii zawierającej 52 karty.

Zdarzenie „wylosowano dwie dwójki kier” jest zdarzeniem nie-

możliwym.

Zdarzenie „jedna z wylosowanych kart jest kierem lub pikiem, lub

tre$ em, lub karem” jest zdarzeniem pewnym.

Zdarzenia „wylosowanie dwójki i trójki” i „wylosowanie dwóch

asów” są zdarzeniami wykluczającymi się.

Zdarzenie „wylosowano króla kier i króla karo” pociąga za sobą

zdarzenie „wylosowano dwa króle”.

Zdarzeniem przeciwnym do zdarzenia „co najmniej jedna z wylo-

sowanych kart jest królem” jest zdarzenie „żadna z wylosowanych

dwóch kart nie jest królem”.


Uwaga


Ćwiczenie 2.

Z urny zawierającej trzy kule oznaczone

numerami 2, 4, 6 losujemy kolejno trzy

kule. Zapisane w kolejności losowania nu-

mery kul tworzą liczbę trzycyfrową. Podaj

przestrzeń zdarzeń elementarnych, jeśli:

a) wylosowanej kuli nie zwracamy do urny;

b) wylosowaną kulę zwracamy do urny.

Zadania

1 Rzucamy dwa razy kostką do gry. Wypisz wyniki sprzyjające poniższym zdarzeniom.

a) Suma oczek jest równa co najmniej 5.

b) Suma oczek jest równa co najwyżej 9.

c) Iloczyn oczek jest liczbą parzystą.

2 Rzucamy jednocześnie monetą i kostką. Wypisz wyniki sprzyjające poniższym zda-

rzeniom.

a) Wypadła liczba parzysta.

b) Wypadł orzeł.

c) Wypadły reszka i parzysta liczba oczek.

3 Spośród liczb 3, 2, 1,1, 2, 3 losujemy ze zwracaniem dwie z nich i otrzymaną parę

wyników traktujemy jako współrzędne punktu w układzie współrzędnych. Wypisz wyniki

sprzyjające zdarzeniu, w którym punkt znajduje się w II ćwiartce układu współrzędnych.

4 Z urny, w której znajduje się sześć kul ponumerowanych od 1 do 6, wylosowano ko-

lejno dwie z nich bez zwracania. Wypisz wyniki sprzyjające poniższym zdarzeniom.

a) Za pierwszym razem wylosowano liczbę parzystą.

b) Iloczyn wylosowanych liczb jest równy 2.

c) Pierwsza wylosowana liczba jest większa od drugiej.

5 Wypisz zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu, w którym przy czterokrotnym

rzucie monetą wyrzucono dokładnie jeden raz orła.

6 Rzucamy jednocześnie trzema monetami o nominałach 1 zł, 2 zł, 5 zł. Wypisz wszyst-

kie możliwe zdarzenia elementarne.

7 Ze zbioru liczb od 1 do 8 losujemy kolejno bez zwracania dwie z nich. Zapisz zbiór

zdarzeń elementarnych polegających na tym, że iloczyn wylosowanych liczb jest parzysty.


Jeżeli zbiór zdarzeń elementarnych

składa się z n elementów, to wszystkich

zdarzeń losowych jest 2n (patrz zada-

nie 3., strona 22).

271.4. Prawdopodobieństwo klasyczne

8 W urnie znajdują się kule: biała, czarna i zielona. Losujemy kolejno bez zwracania

trzy kule. Zapisz zbiór zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu, w którym wylo-

sowano kulę czarną za drugim razem.

9 Rzucono dwukrotnie symetryczną kostką do gry. Wypisz zdarzenia elementarne

sprzyjające zdarzeniu przeciwnemu do zdarzenia, w którym wyrzucono co najmniej raz

nieparzystą liczbę oczek.

10 Do celu oddano cztery strzały, z których co najmniej jeden był celny. Niech Ai ozna-

cza zdarzenie losowe polegające na tra! eniu do celu w i-tym strzale 1, 2, 3, 4i . Zapisz

za pomocą działań na zdarzeniach Ai zdarzenie przeciwne do zdarzenia „tra! ono do celu

za pierwszym bądź drugim razem”.

11 Ze zbioru liczb 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10,11,12 losowo wybrano jedną. Oznaczmy zda-

rzenia: A — wybrano liczbę nieparzystą, B — wybrano liczbę podzielną przez 3, C — wy-

brano liczbę parzystą. Określ, które ze zdarzeń wykluczają się wzajemnie.

12 Z urny, w której znajdują się kule: biała, zielona, czarna, losujemy kolejno trzy kule,

zwracając po każdym losowaniu kulę do urny. Oznaczmy zdarzenia: A — wylosowano co

najmniej raz kulę białą, B — wylosowano dokładnie raz kulę zieloną, C — za każdym ra-

zem wylosowano kulę białą. Określ, które zdarzenia wykluczają się.


Wiemy już, że nie da się przewidzieć jednoznacznie, czy w przeprowadzonym jednokrotnie

doświadczeniu losowym wystąpi dane zdarzenie. Jednak niektóre zdarzenia zachodzą częś-

ciej niż inne. W XVIII wieku francuski fi lozof G.L. Buff on rzucił monetą 4040 razy i stwierdził,

że w 2048 rzutach otrzymał orła. Częstość względna wystąpienia tego zdarzenia wyniosła

. Później inni naukowcy podjęli podobne próby i otrzymali częstości, odpo-

wiednio: 0,5016, 0,5005, 0,5027. Gdy wykonamy długą serię rzutów kostką, to zauważymy,

że częstość zdarzenia A (wypadnięcie nieparzystej liczby oczek) zbliża się do 1

2, natomiast

częstość zdarzenia B (wyrzucenie 6 oczek) zbliża się do 1

6. Stwierdzamy więc, że zdarzenie

A zachodzi częściej niż zdarzenie B. Mówimy wtedy, że zdarzenie A jest bardziej prawdopo-

dobne niż zdarzenie B. Ten sposób oszacowania szansy wystąpienia jakiegoś zdarzenia jest

bardzo żmudny i niedoskonały, stąd wprowadzenie jego modyfi kacji w postaci klasycznej

defi nicji prawdopodobieństwa. Prawdopodobieństwo jest tu teoretycznym odpowiednikiem

częstości względnej.


Jeśli rzucamy symetryczną monetą, to otrzymanie każdego

wyniku jest jednakowo możliwe. Podobna sytuacja jest przy

rzucie symetryczną kostką czy losowaniu karty z talii kart.

W dalszej części rozważań będziemy zawsze zakładali, że prze-

strzeń zdarzeń elementarnych jest zbiorem niepustym i składa

się ze skończonej liczby zdarzeń elementarnych jednakowo

możliwych.

Załóżmy, że jest przestrzenią zdarzeń elementarnych, która składa się ze

skończonej liczby zdarzeń jednakowo możliwych. Niech A będzie wybranym

zdarzeniem tej przestrzeni. Prawdopodobieństwem zdarzenia A nazywamy

liczbę , 0 .A

P A

Definicja

Przykład 1.Obliczmy prawdopodobieństwo otrzymania liczby oczek większej od 2 przy jednokrot-

nym rzucie kostką.

Wypiszmy elementy przestrzeni zdarzeń elementarnych 1, 2, 3, 4, 5, 6 oraz zdarzenia

sprzyjające zdarzeniu A, w którym wypadła liczba oczek większa niż 2, tj. 3, 4, 5, 6A .

Zatem:

4 2

6 3P A .

Ćwiczenie 1.

Własności prawdopodobieństwa

1. 0P i 1P (prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego jest równe 0;

prawdopodobieństwo zdarzenia pewnego jest równe 1).

2. Jeżeli A , to 0 1P A (prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia jest liczbą

nieujemną mniejszą bądź równą 1).

3. Jeżeli A i \A A, to 1P A P A (prawdopodobieństwo zdarzenia

przeciwnego do zdarzenia A jest równe różnicy liczby 1 i prawdopodobieństwa

zdarzenia A).

4. Prawdopodobieństwo sumy dwóch zdarzeń wykluczających się jest równe sumie

prawdopodobieństw tych zdarzeń: P A B P A P B .


Uwaga

A A .


Dowód punktów 1. i 2. wynika wprost z de nicji prawdopodobieństwa i zostawiamy

go Czytelnikowi (zadania 4, 5).

Dowód punktu 3. Niech n , A k , wówczas A n k . Z de nicji prawdopo-

dobieństwa wynika, że 1 1n k k

P A P An n

.

Dowód punktu 4. Niech n , A k , B l . Ponieważ zdarzenia A i B wykluczają

się, więc zbiory A i B są rozłączne, wówczas A B A B k l . Mamy więc

k l k lP A B P A P B

n n n.

Przykład 2.

Obliczmy prawdopodobieństwo zdarzenia A, w którym przy dziesięciokrotnym rzucie

monetą wypadł co najmniej jeden raz orzeł.

Zauważmy, że wszystkich możliwych zdarzeń jest 102 1024. Dość kłopotliwe jest

wyliczenie liczby zdarzeń sprzyjających rozważanemu zdarzeniu i dlatego rozpatrzmy zda-

rzenie przeciwne A (w dziesięciu rzutach monetą ani razu nie wypadł orzeł). Zauważmy,

że ′ = ( ) A R R R R R R R R R R, , , , , , , , , , zatem 1A , a stąd P A′( ) =1

1024. Z własności 3.

wynika więc, że P A P A( ) = − ′( ) = − =1 11

1024

1023

1024.

Zadania

1 Rzucamy jednocześnie dwiema symetrycznymi kostkami do gry. Oblicz prawdopo-

dobieństwa następujących zdarzeń:

a) A — suma wyrzuconych oczek wynosi 1.

b) B — suma oczek na obu kostkach jest mniejsza od 20.

c) C — suma oczek na obu kostkach wynosi co najwyżej 8.

2 Rzucamy czterema monetami o nominałach: 10 gr, 20 gr, 50 gr, 1 zł. Oblicz prawdo-

podobieństwo zdarzeń:

a) A — wypadło tyle samo orłów, co reszek.

b) B — wypadł co najmniej jeden orzeł.

c) C — wypadły same reszki.

3 Z talii 52 kart losujemy jedną kartę. Oblicz prawdopodobieństwa zdarzeń:

a) A — wylosowano damę. b) B — wylosowano kier.

c) C — wylosowano siódemkę pik. d) D — wylosowano króla lub asa.


4 Uzasadnij twierdzenie, że prawdopodobieństwo zdarzenia pewnego wynosi 1, a zda-

rzenia niemożliwego 0.

5 Uzasadnij twierdzenie, że prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia jest liczbą

z przedziału 0,1 .

6 Rzucamy trzykrotnie monetą pięciozłotową. Oblicz prawdopodobieństwo poniż-

szych zdarzeń.

a) A — wypadł co najmniej jeden orzeł.

b) B — wypadła co najwyżej jedna reszka.

c) C — wypadły dokładnie dwa orły.

d) D — wypadły same reszki.

7 Z urny zawierającej 9 kul czarnych i 4 białe losujemy jednocześnie trzy kule. Oblicz

prawdopodobieństwo tego, że wśród wylosowanych kul będą:

a) A — 3 kule czarne.

b) B — dwie kule białe i jedna czarna.

c) C — jedna kula biała i dwie czarne.

8 W trzydziestoosobowej klasie, w której jest 12 dziewcząt, wylosowano 4 osoby, które

otrzymały bilety do teatru. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że wśród wylosowanych

osób połowę stanowią chłopcy.

9 Piotr i Agata postanowili zagrać w grę losową polegającą na tym, że Piotr rzuca dwa

razy monetą. Jeśli choć raz wypadnie orzeł, to wygrywa Agata, a jeśli ani razu, to wygrywa

Piotr. Oblicz prawdopodobieństwo zwycięstwa każdego z nich.

10 Z talii 52 kart wyciągnięto dwie karty. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania

dwóch króli.

11 Test z matematyki składa się z 10 pytań jednokrotnej odpowiedzi a) lub b). Test zali-

czymy, gdy poprawnie odpowiemy na co najmniej 6 pytań. Oblicz prawdopodobieństwo

zaliczenia testu, gdy wszystkie odpowiedzi zaznaczamy systemem chybił tra&ł.

12 Oblicz prawdopodobieństwo wyrzucenia jednakowej liczby oczek przy rzucie trzema

kostkami do gry.

13 Oblicz prawdopodobieństwo wyrzucenia fula przy rzucie pięcioma kostkami do gry

w kości, wiedząc, że fulem nazywamy wyrzucenie na dwóch kostkach a oczek, na każdej

z trzech pozostałych b oczek, przy czym a b.

31*1.5. Własności prawdopodobieństwa

14 Rzucamy 9 razy monetą. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że przynajmniej dwa razy

wyrzucimy reszkę.

15 Ze zbioru czterech cyfr 1, 2, 3, 4 wylosowano bez zwracania trzy cyfry i utworzono

z nich liczbę trzycyfrową, ustawiając je w kolejności losowania. Jakie jest prawdopodobień-

stwo utworzenia liczby większej od 300?

16 Ustawiono w ciąg n kul oznaczonych liczbami 1, 2, …, n. Oblicz prawdopodobień-

stwo zdarzenia, w którym kule 4 i 5 znajdą się obok siebie.

*1.5. Własności prawdopodobieństwa

Niech będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych i A B . Wówczas

P A P B .

Twierdzenie

Jeżeli A B , to A B , czyli A B

, stąd P A P B .

Niech będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych i 1 2, , ,

nA A A . Jeżeli

zdarzenia losowe A A An1 2

, , , wykluczają się parami, to prawdopodobieństwo

sumy tych zdarzeń równe jest sumie ich prawdopodobieństw:

1 2 1 2n nP A A A P A P A P A .

Twierdzenie

Twierdzenie to zostało udowodnione w poprzednim rozdziale dla dwóch zbiorów.

Łatwy dowód tego twierdzenia dla n zbiorów pozostawiamy czytelnikowi do samodziel-

nego rozpatrzenia.

Przykład 1.

W urnie znajduje się 5 kul biało-czerwonych, 2 kule biało-czarne, 4 kule czerwono-czarne

i 3 kule czerwone. Wprowadźmy oznaczenia zdarzeń:

A — wylosowano kulę dwukolorową;

B1 — wylosowano kulę biało-czerwoną;

B2 — wylosowano kulę biało-czarną;

B3 — wylosowano kulę czerwono-czarną;

B4 — wylosowano kulę czerwoną.

Możemy obliczyć prawdopodobieństwo wylosowania kuli dwukolorowej:

1 2 3 1 2 3

5 2 4 11

14 14 14 14P A P B B B P B P B P B .


Niech będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych i ,A B . Wówczas

P A B P A P B P A B .

Prawdopodobieństwo sumy dwóch zdarzeń jest równe sumie prawdopodo-

bieństw tych zdarzeń pomniejszonej o prawdopodobieństwo ich iloczynu.

Twierdzenie

Ponieważ zdarzenia losowe są zbiorami, w dowodzie będziemy stosować pewne prawa

rachunku zbiorów.

Zauważmy, że \A B A B A oraz że zbiory A i B \ A są rozłączne (czyli zdarzenia

A i B \ A wykluczają się).

Także \B A B B A oraz zbiory A B i B \ A są rozłączne (czyli odpowied-

nie zdarzenia wykluczają się).

Z własności prawdopodobieństwa wynika więc, że

(1) \P A B P A P B A oraz \P B P A B P B A ,

czyli

(2) \P B A P B P A B .

Podstawiając (2) do (1), otrzymujemy P A B P A P B P A B .

Przykład 2.

Z talii 52 kart wyciągnięto jedną kartę. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że jest ona kró-

lem lub tre& em.

Oznaczmy zdarzenia: A — wyciągnięta karta jest królem, B — wyciągnięta karta jest tre-

& em. Mamy obliczyć P A B∪( ) .

Przy założeniu, że wyciągnięcie każdej karty jest jednakowo prawdopodobne, mamy

4

52P A ,

13

52P B ,

1

52P A B .

Zatem 4 13 1 4

52 52 52 13P A B P A P B P A B .

Przykład 3.Niech A i B będą takimi zdarzeniami, że

1

3P A ,

5

6P A B , P A B∩( ) =

1

6.

Obliczmy P B i \P A B .

P A B P A P B P A B5 1 1

6 3 6P B

2

3P B

33*1.5. Własności prawdopodobieństwa

Zauważmy, że \A A B A B . Zdarzenia A B i \A B wykluczają się,

więc \P A P A B P A B , czyli 1 1

\3 6

P A B . Stąd 1

\6

P A B .

Przykład 4.

Udowodnijmy, że jeśli ,A B oraz P A P B , to 1

2P A B .

Ponieważ

1 1P A B P A P B P A B P A P B P A B P A B ,

więc:

(1) 1P A B P A B .

Ponieważ A B A B , to .P A B P A B Gdyby P A B∪( ) <1

2,

to 1

2P A B i równość (1) byłaby nieprawdziwa. Wynika stąd, że

1

2P A B .

Przykład 5.

W turnieju piłkarskim uczestniczy 14 drużyn, które rozdziela się losowo na dwie grupy

po 7 drużyn w każdej. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia tego, że drużyna A oraz B

są w różnych grupach.

Aby dwie ustalone drużyny A i B znalazły się w różnych grupach, należy wybrać po 6 dru-

żyn z pozostałych 12 na 12

6 sposobów i dołączyć do nich odpowiednio drużyny A i B.

Ponieważ ważne są tylko składy grup, więc takich podziałów jest 121

262

. Analogicznie

liczymy liczność zbioru zdarzeń elementarnych. Stąd

121 12 11 10 9 8 72 262 12 11 10 9 8 7 71 2 3 4 5 6

14 13 12 11 10 9 814 13 12 11 10 9 8 131

1 2 3 4 5 6 772

P .

Przykład 6.

W urnie znajduje się n kul, w tym n1 kul białych i n

2 kul czarnych

1 2n n n . Losujemy

bez zwracania (np. jednocześnie) k kul. Obliczmy prawdopodobieństwo tego, że wśród

wylosowanych kul jest k1 kul białych i k

2 kul czarnych

1 2k k k .

Zapiszmy rozkład kul w urnach i rozkład losowanych kul w następujący sposób:

1 2

1 2

n n n

k k k

białe czarne

Liczność zbioru jest równa liczbie k-elementowych kombinacji ze zbioru n-elemen-

towego, tj. n

k. Liczność zdarzenia, którego prawdopodobieństwo obliczamy, jest


równa 1 2

1 2

n n

k k, gdyż ze zbioru n

1 kul białych losujemy k

1 kul białych, co można zrobić

na 1

1

n

k sposobów, oraz ze zbioru n

2 kul czarnych losujemy k

2 kul czarnych, co można zro-

bić na 2

2

n

k sposobów. Następnie każdy podzbiór kul białych łączymy z każdym podzbio-

rem kul czarnych. Szukane prawdopodobieństwo wynosi więc

1 2

1 2

n n

k kP

n

k

.

Schemat losowania można uogólnić np. na trzy rodzaje kul: białe, czarne, zielone.

Mamy:

białe czarne zielone

n n n n

k k k k

= + +

= + +

1 2 3

1 2 3

Wówczas:

1 2 3

1 2 3

n n n

k k kP

n

k

Zadania

1 Rzucamy kostką 4 razy. Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia, w którym choć

raz wypadnie jedynka?

2 Z urny zawierającej 2 kule białe i 6 czerwonych losujemy ze zwracaniem 3 kule. Ob-

licz prawdopodobieństwo tego, że przynajmniej jedna z nich będzie biała.

3 Z urny zawierającej dwa razy więcej kul białych niż czarnych losujemy n razy po jed-

nej kuli, zwracając za każdym razem kulę do urny. Dla jakiej wartości n prawdopodobień-

stwo wylosowania co najmniej raz kuli białej jest większe od 0,9?

4 Niech będzie zbiorem wszystkich zdarzeń elementarnych i A , B . Oblicz

P A B , wiedząc, że 5

8P A B , P A( ) =

1

2,

3

4P B .

35*1.6. Prawdopodobieństwo warunkowe

5 A i B są zdarzeniami losowymi. Oblicz P A B∪( ) , wiedząc, że 0,6P A P B

i 0,5P A B .

6 A i B są zdarzeniami losowymi. Oblicz P B , wiedząc, że 0,4P A B , P A( ) = 0 5, ,

0,9P A B .

7 Wyznacz P A , wiedząc, że 0,25P A P A .

8 Niech A będzie zdarzeniem przeciwnym do A. Oblicz prawdopodobieństwo zdarze-

nia A, jeśli 4P A

P A.

9 Zdarzenia losowe A, B są zawarte w oraz P A B∩ ′( ) = 0 1, i P A B′∩( ) = 0 2, . Wy-

każ, że 0,7P A B (A' oznacza zdarzenie przeciwne do zdarzenia A, B' oznacza zda-

rzenie przeciwne do zdarzenia B).

10 Zdarzenia losowe A, B są zawarte w oraz P A B∩ ′( ) = 0 7, .

Wykaż, że 0,3P A B (A' oznacza zdarzenie przeciwne do zdarzenia A, B' oznacza

zdarzenie przeciwne do zdarzenia B).

*1.6. Prawdopodobieństwo warunkowe

Przykład 1.

Spośród 300 uczniów pewnej szkoły 250 lubi przedmioty ścisłe, 100 lubi przedmioty huma-

nistyczne, a 75 lubi przedmioty zarówno ścisłe, jak i humanistyczne. Rozważmy zdarzenia:

A — wybrany losowo uczeń lubi przedmioty ścisłe;

B — wybrany losowo uczeń lubi przedmioty humanistyczne.

Wówczas mamy:

P A( ) = =250

300

5

6, P B( ) = =

100

300

1

3, P A B∩( ) = =

75

300

1

4.

Załóżmy, że wybrany uczeń lubi przedmioty humanistyczne. Jakie jest przy tym założeniu

prawdopodobieństwo tego, że lubi on również przedmioty ścisłe?

Ponieważ spośród 100 uczniów, którzy lubią przedmioty humanistyczne, 75 lubi również

ścisłe, więc mamy P A B( ) = =75

100

3

4, gdzie symbol P A B oznacza prawdopodobieństwo

zdarzenia A, pod warunkiem że wystąpiło zdarzenie B.


W powyższym rozumowaniu utworzyliśmy nową przestrzeń zdarzeń elementarnych 1

B

(zbiór uczniów lubiących przedmioty humanistyczne), w tej przestrzeni policzyliśmy ucz-

niów lubiących także przedmioty ścisłe A B , a następnie skorzystaliśmy z klasycznej

de# nicji prawdopodobieństwa.

Możemy to opisać w sytuacji ogólniejszej. Załóżmy, że ,A B oraz 0P B . Wiemy, że

nastąpiło zdarzenie B, i pytamy, jakie jest wówczas prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia

A. Wykorzystajmy klasyczną de# nicję prawdopodobieństwa. Ponieważ wiemy, że zaszło

zdarzenie B, więc nasze rozważania ograniczymy do zbioru B, tzn. tworzymy nową prze-

strzeń zdarzeń elementarnych 1

B . W tej przestrzeni zdarzeniu A sprzyjają zdarzenia

elementarne ze zbioru A B . Czyli A B

P A BB

.

Liczbę P A B nazywamy prawdopodobieństwem warunkowym zajścia zdarzenia A, pod

warunkiem że zaszło zdarzenie B.

Niech ,A B oraz 0P B . Prawdopodobieństwem zajścia zdarzenia A, pod

warunkiem że zajdzie zdarzenie B, nazywamy liczbę:

P A BP A B

P B.

Definicja

Korzystając z tej de# nicji, prawdopodobieństwo z przykładu 1. można obliczyć w nastę-

pujący sposób:

1

34

1 4

3

P A B .

Ćwiczenie 1.

Rzucamy dwukrotnie symetryczną kostką do gry. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że

suma wyrzuconych oczek jest większa od 7, pod warunkiem że w pierwszym rzucie wy-

padło 4?

Przekształcając wzór na prawdopodobieństwo warunkowe, otrzymujemy bardzo przydatny

wzór na prawdopodobieństwo łącznego wystąpienia dwóch zdarzeń.

Niech ,A B oraz 0P B . Wówczas P A B P B P A B .

Wzór ten uogólnia się na przypadek prawdopodobieństwa iloczynu dowolnej liczby czyn-

ników.

Zauważmy, że:

1 2 1 2 3 1 2

1 2 1

1 1 2 1 2 1

1 2 1 3 1 2 1 2 1.

n

n

n

n n

P A A P A A A P A A AP A A A P A

P A P A A P A A A

P A P A A P A A A P A A A A



Udowodniliśmy następujący ciekawy wzór:

Jeżeli 1 2, , ,

nA A A oraz

10P A , P A A

1 20∩( ) > , …,

1 2 10

nP A A A ,

to

1 2 1 2 1 3 1 2 1 2 1.

n n nP A A A P A P A A P A A A P A A A A

Przykład 2. Zaobserwowano, że sportowiec tra" a w tarczę w 98% strzałów,

wśród których 70% tra" a w dziesiątkę. Obliczmy, jakie jest praw-

dopodobieństwo tra" enia w dziesiątkę przez tego sportowca.

Zdarzenie, w którym strzelec tra" ł w dziesiątkę, oznaczmy literą

A, a zdarzenie, w którym strzelec tra" ł w tarczę, oznaczmy literą B.

Zauważmy, że przekształcając wzór na prawdopodobieństwo wa-

runkowe, otrzymujemy:

0,98 0,7 0,686P A B P B P A B .

Przykład 3.W rozdaniu kart do brydża każdy gracz otrzymuje 13 kart. Obliczmy, jakie jest prawdo-

podobieństwo zdarzenia A, w którym wśród otrzymanych kart pierwszy z brydżystów ma

3 kiery, drugi 6 kierów, trzeci i czwarty mają po dwa kiery.

Oznaczmy zdarzenia:

• A1 — pierwszy gracz otrzyma 3 kiery,

• A2 — drugi gracz otrzyma 6 kierów,

• A3 — trzeci gracz otrzyma 2 kiery,

• A4 — czwarty gracz otrzyma 2 kiery.

Nasze zdarzenie A jest iloczynem opisanych wyżej zdarzeń.

Zatem 1 2 3 4 1 2 1 3 1 2 4 1 2 3

P A A A A P A P A A P A A A P A A A A .

Obliczmy poszczególne prawdopodobieństwa.

Gracz A1 otrzymał 3 kiery i 10 kart innych kolorów:

P A1

13

3

39

10

52

13

( ) =

⋅

.

W talii zostało 39 kart, w tym 10 kierów:

2 1

10 29

6 7

39

13

P A A .


Analogicznie liczymy:

3 1 2

4 22

2 11

26

13

P A A A .

Ostatni zawodnik musi dostać pozostające w talii dwa kiery, czyli 4 1 2 3

1P A A A A .

Zatem szukane prawdopodobieństwo wynosi

13 39 10 29 4 22 13 39 10 29 4 22

3 10 6 7 2 11 3 10 6 7 2 11 1866175741

52 39 26 52 39 26 396

13 13 13 13 13 13

P .88347475

Ćwiczenie 2.

Zaobserwowano, że łucznik tra% a w tarczę w 80% strzałów. Spośród strzałów,

które tra% ają w tarczę, 50% nie tra% a w dziesiątkę. Jakie jest prawdopodobień-

stwo tego, że łucznik tra% w dziesiątkę?

Niezależność zdarzeń

PrzykładPrzy dwukrotnym rzucie monetą wynik pierwszego rzutu nie wpływa na wynik drugiego

rzutu. Zauważmy, że 1

2P A P B oraz

1 1 1

2 2 4P A B .

Zdarzenia A i B należy uznać za niezależne, jeżeli zajście jednego ze zdarzeń nie wpływa

na zajście drugiego zdarzenia, czyli P A B P A i P B A P B . Jeżeli 0P A

i 0P B , to mamy wówczas

P A B P B P A B P B P A i P B A P A P B A P A P B ,

stąd P A B P B A P A P B . Ponadto przyjmujemy, że zdarzenie niemoż-

liwe jest niezależne od dowolnego zdarzenia.

Możemy więc przyjąć następującą de% nicję:

Mówimy, że zdarzenia A i B, zawarte w przestrzeni zdarzeń elementarnych, są

niezależne, jeżeli P A B P A P B .

W przeciwnym razie mówimy, że zdarzenia są zależne.

Definicja



Zadania

1 Rzucamy dwa razy symetryczną kostką do gry. Jakie jest prawdopodo-

bieństwo wyrzucenia sumy oczek równej 7, jeśli w drugim rzucie wypadnie 3?

2 Rzucamy dwiema symetrycznymi kostkami do gry. Jakie jest prawdo-

podobieństwo wyrzucenia na obu kostkach różnych liczb oczek, jeśli wiemy,

że wyrzucono co najmniej jedną dwójkę?

3 Rzucamy dwiema symetrycznymi kostkami do gry. Jakie jest prawdopodobieństwo

wyrzucenia co najmniej jednej dwójki, jeśli wiemy, że na obu kostkach wypadła różna

liczba oczek?

4 Z talii 52 kart losujemy jedną kartę. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania króla,

pod warunkiem że wylosowana karta jest pikiem.

5 Rzucono trzy symetryczne kostki do gry i okazało się, że na każdej z nich wypadła

inna liczba oczek. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że na dokładnie jednej kostce wy-

padła trójka?

6 Na egzaminie z rachunku prawdopodobieństwa należy wylosować 3 pytania spośród

15. Student potra$ odpowiedzieć na 11 pytań. Egzamin uznaje się za zdany, jeśli student

odpowie na co najmniej 2 pytania. Oblicz prawdopodobieństwo zdania egzaminu, jeśli na

pierwsze wylosowane pytanie student nie potra$ odpowiedzieć.

7 Z urny, w której jest 8 kul białych i 12 czarnych, losujemy 3 kule bez zwracania. Ob-

licz prawdopodobieństwo tego, że za trzecim razem wylosujemy:

a) kulę białą, jeśli dwie poprzednie były białe,

b) kulę białą, jeśli dwie poprzednie były różnych kolorów,

c) kulę czarną, jeśli dwie poprzednie były białe,

d) kulę czarną, jeśli dwie poprzednie były różnych kolorów.

8 Rzucamy trzema symetrycznymi kostkami do gry. Oblicz prawdopodobieństwo tego,

że iloczyn wyrzuconych oczek wynosi 12, jeśli na dokładnie jednej z nich wypadła jedynka.

9 Rozpatrzmy rodziny z dwojgiem dzieci. Każda z tych rodzin z jednakowym prawdo-

podobieństwem może mieć dwóch synów, dwie córki, starszego syna i młodszą córkę, star-

szą córkę i młodszego syna. Wiedząc, że w wybranej rodzinie jednym z dzieci jest córka,

oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że drugim dzieckiem jest też córka.


10 A i B są zdarzeniami losowymi i P B( ) > 0. Wykaż, że 1 P A

P A BP B

.

11 Udowodnij, że dla każdego A zachodzi równość P A P A .

*1.7. Prawdopodobieństwo całkowite

Przykład 1.

W urnie znajduje się 8 kul: 6 białych i 2 czarne. Losujemy kolejno bez zwracania dwie

kule. Obliczmy, jakie jest prawdopodobieństwo tego, że w drugim losowaniu wybierzemy

kulę białą.

Zdarzenie elementarne wyznacza uporządkowana para elementów ,a b , gdzie a oznacza

wynik uzyskany w pierwszym losowaniu, b wynik uzyskany w drugim losowaniu.

Oznaczmy zdarzenia:

• A1 — pierwsza z wylosowanych kul jest biała (zdarzenie to składa się z 42 par uporząd-

kowanych),

• A2 — druga z wylosowanych kul jest biała,

• B1 — pierwsza wylosowana kula jest czarna,

• B2 — druga wylosowana kula jest czarna.

Wówczas 2 2 2 1 1 2 1 2 1

A A A A B A A A B .

Ponieważ zdarzenia 2 1

A A i 2 1

A B wykluczają się,

to 2 2 1 2 1

P A P A A P A B .

Korzystając ze wzoru na prawdopodobieństwo łącznego zajścia dwóch zdarzeń, otrzy-

mujemy:

2 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1P A P A A P A B P A P A A P B P A B .

Liczymy kolejno:

1

6 7 3

8 7 4P A (pamiętajmy, że zdarzenie

1A jest zbiorem par uporządkowanych);

2 1

5

7P A A ;

1

2 7 1

8 7 4P B ;

2 1

6

7P A B .

Czyli 2

3 5 1 6 21 3

4 7 4 7 28 4P A .

Postępowanie zastosowane w przedstawionym rozwiązaniu można uogólnić, dowodząc

następujące twierdzenie:

41*1.7. Prawdopodobieństwo całkowite

A A A B

Niech zdarzenia 1 2, , ,

nA A A spełniają warunki:

• każde z nich ma dodatnie prawdopodobieństwo,• zdarzenia te wykluczają się parami,•

1 2 nA A A .

Wtedy dla dowolnego zdarzenia B zachodzi wzór

1 1 2 2| | ... |n n

P B P A P B A P A P B A P A P B A

Twierdzenie

Z założenia wiemy, że 1 2 n

A A A , czyli

1 2 1 2n nB B B A A A B A B A B A .

Zauważmy, że zdarzenia w nawiasach wykluczają się parami. Rzeczywiście, dla k m:

k m k mB A B A B A A B .

Stąd 1 2 n

P B P B A P B A P B A .

Korzystając z de# nicji prawdopodobieństwa warunkowego, otrzymujemy żądany wzór:

1 1 2 2 n nP B P A P B A P A P B A P A P B A .

Ćwiczenie 1.

W pewnej klasie pierwszej jest 11 dziewcząt i 17 chłopców, a w drugiej jest 18 dziewcząt i 12 chłopców. Z obu klas wybrany ma zostać reprezentant do sejmiku dzieci i młodzieży. Uczniowie umówili się, że reprezentant wybrany będzie w następujący sposób: rzucą sy-metryczną kostką do gry i jeśli wypadnie parzysta liczba oczek, to pojedzie osoba z klasy pierwszej, a jeśli nieparzysta, to z klasy drugiej. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że w sej-miku reprezentantem szkoły będzie dziewczynka.

Zadania

1 Żołnierz na strzelnicy ma do wyboru dwa rodzaje broni. Zaobserwowano, że strzelając z pierwszej broni, tra# a do celu w 60%, a strzelając z drugiej, w 80% przypadków. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że żołnierz tra# do celu w pierwszym strzale, przy założeniu, że wybór broni do strzału był jednakowo prawdopodobny.

2 W urnie jest 5 kul białych i 2 kule czarne. Wyciągnięto losowo bez zwracania dwie kule. Oblicz prawdopodobieństwo wyciągnięcia kuli czarnej z pozostałych kul.

3 Spośród 14 garniturów, wśród których było 10 garniturów pierwszego gatunku i 4 gar-nitury drugiego gatunku, sprzedano jeden. Z pozostałych garniturów wybrano losowo trzy przeznaczone do sprzedaży w innym sklepie. Zakładając, że wybór każdego z garniturów jest jednakowo prawdopodobny, oblicz prawdopodobieństwo tego, że do sprzedaży w in-nym sklepie wybrano trzy garnitury pierwszego gatunku.



4 Czterech uczniów: A, B, C, D, przygotowujących się do egzaminu maturalnego z ma-

tematyki, rozdzieliło między sobą rozwiązanie 2000 zadań. Każdy z uczniów przygotował

oddzielny zeszyt z rozwiązaniami zadań. Liczby rozwiązanych zadań w zeszytach uczniów 1,

2, 3, 4 oraz dane dotyczące liczby błędnych rozwiązań ilustrują podane niżej diagramy 1 i 2.

0

200

400

zeszyt 1

600

800

100

300

500

700

900

zeszyt 2

Diagram 1

zeszyt 3

licz

ba

rozw

iąza

nyc

h z

adań

zeszyt 40

40

80

zeszyt 1

160

120

160

20

60

100

140

180

zeszyt 2

70

Diagram 2

zeszyt 3li

czb

a b

łęd

nie

ro

zwią

zan

ych

zad

ańzeszyt 4

3060

Nauczyciel zamierza wylosować jeden zeszyt z rozwiązaniami, a następnie w tym zeszycie

sprawdzić rozwiązanie jednego losowo wybranego zadania. Oblicz prawdopodobieństwo

tego, że w wybranym zadaniu nie będzie błędu.

5 Mamy trzy urny, w każdej z nich są 2 kule białe i 4 czarne, oraz pięć urn, w każdej

jest po 5 kul białych i 9 czarnych. Z losowo wybranej urny wyciągamy jedną kulę. Oblicz

prawdopodobieństwo tego, że losowo wybrana kula jest czarna, zakładając, że urny wy-

bieramy z jednakowym prawdopodobieństwem.

6 Fabryka samochodów kupuje części od dostawców A, B, C. Dostawca A dostarcza 45%

wszystkich potrzebnych części, dostawca B — 30%, a C — 25%. Wady ma 2% dostarczo-

nych części przez dostawcę A, 3% — przez dostawcę B i 1% — przez dostawcę C. Oblicz

prawdopodobieństwo tego, że wybrana losowo część jest wadliwa.

7 Losujemy liczbę n ze zbioru 1, 2, 3, 4, 5, 6 , a następnie rzucamy monetą n razy. Ob-

licz prawdopodobieństwo tego, że wypadną same reszki.

8 Mamy dwie urny: w jednej są 4 kule białe i 5 czarnych, w drugiej 6 białych i 7 czar-

nych. Rzucamy kostką: jeżeli wypadnie mniej niż 5 oczek, to losujemy z urny pierwszej,

a w przeciwnym wypadku z urny drugiej. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że wyloso-

wana kula jest czarna.

9 Wśród dziewięciu czekoladek trzy są bez nadzienia. Tomek i Joanna kolejno zjadają

po jednej czekoladce. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że jeśli Joanna zaczyna, to Tomek

nie tra# przed nią na czekoladkę bez nadzienia.

43*1.8. Zastosowanie „drzew”

*1.8. Zastosowanie „drzew”

W obliczaniu prawdopodobieństwa wykorzystuje się czasami metody gra czne. Do naj-

bardziej znanych należy metoda drzew.

Przykład 1.

W urnie znajdują się dwie kule białe i trzy czerwone. Losujemy dwa razy po jednej kuli i po

każdym losowaniu zatrzymujemy wylosowaną kulę (losowanie bez zwrotu). Obliczmy praw-

dopodobieństwo zdarzenia A, w którym dokładnie jedna z wylosowanych kul będzie biała.

Oznaczmy zdarzenia:

• b — zdarzenie polegające na wylosowaniu kuli białej,

• c — zdarzenie polegające na wylosowaniu kuli czerwonej.

Zdarzenia elementarne tworzą pary uporządkowane, gdzie na pierwszym miejscu jest za-

pisany wynik pierwszego losowania, a na drugim wynik drugiego losowania.

Poniżej przedstawione jest odpowiednie drzewo.

0,4 0,6 pierwszelosowanie

drugielosowanie

b c

0,25 0,75

b c

0,5 0,5

b c

Zbudowane drzewo ma dwa piętra, ponieważ w naszym doświadczeniu losowanie jest dwu-

etapowe. Pierwsze piętro drzewa opisuje wyniki pierwszego losowania. Ponieważ pierwsze

losowanie może zakończyć się jednym z dwóch możliwych wyników, z wierzchołka drzewa

rysujemy dwie krawędzie drzewa. Przy krawędziach wypisujemy prawdopodobieństwa zda-

rzeń „zawieszonych” na tych krawędziach. Drugie piętro opisuje drugie losowanie. Przy

krawędziach tego drzewa opisane są prawdopodobieństwa warunkowe wylosowania kuli

ustalonego koloru, pod warunkiem że w pierwszym losowaniu otrzymaliśmy kulę koloru

określonego w pierwszym losowaniu. Gdy chcemy obliczyć prawdopodobieństwo wylo-

sowania dokładnie jeden raz kuli białej, znajdujemy „drogi” łączące wierzchołek drzewa

z jego podstawą, które realizują omawiane zdarzenie (na rysunku oznaczone są czerwoną

linią). Każda taka „droga” nazywana jest gałęzią drzewa. Prawdopodobieństwo zdarze-

nia A obliczamy, mnożąc prawdopodobieństwa opisane przy zaznaczonych krawędziach

(wzdłuż gałęzi), a następnie dodając otrzymane wyniki.

0,4 0,75 0,6 0,5 0,6P A


Przykład 2.W klubie sportowym działa sekcja pływacka, w której jest

12 chłopców i 10 dziewcząt, i sekcja gimnastyczna licząca

5 chłopców i 15 dziewcząt. Jedna osoba ma reprezento-

wać klub na uroczystościach państwowych. Aby wybrać

tę osobę losowo, zawodnicy postanowili rzucić monetą.

Jeśli wypadnie orzeł, to wylosują przedstawiciela sekcji pływackiej, a jeżeli reszka — sekcji

gimnastycznej. Obliczmy prawdopodobieństwo tego, że na uroczystości pojedzie chłopiec.

Zadanie to można rozwiązać, stosując twier-

dzenie o prawdopodobieństwie całkowitym.

Zdarzenia O (przy rzucie monetą wypadł

orzeł) i R (wypadła reszka) wykluczają

się, a ich suma stanowi zdarzenie pewne.

Oznaczmy zdarzenia: C — wylosowanie

chłopca, D — wylosowanie dziewczynki.

Wówczas

1 6 1 1 35

2 11 2 4 88P C P O P C O P R P C R .

Zadanie to można także zilustrować i rozwiązać za pomocą drzewa. Zauważmy, że powyższe

drzewo jest interpretacją geometryczną twierdzenia o prawdopodobieństwie całkowitym.

Ćwiczenie 1.

Zaobserwowano, że strzelec tra" a do tarczy w 70% oddanych strzałów, przy czym spośród

tra" onych strzałów 40% to dziesiątki. Wykorzystując metodę drzew, oblicz prawdopodo-

bieństwo tra" enia przez strzelca w dziesiątkę.

Przykład 3.Kiedy budujemy drzewo, może się zdarzyć, że liczba wyników doświadczenia jest zbyt duża,

by można je było łatwo narysować. Można wtedy narysować drzewo uproszczone, które bę-

dzie zawierało wyłącznie drogi sprzyjające zajściu rozpatrywanego zdarzenia. Rozpatrzmy

doświadczenie losowe polegające na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do

gry. Obliczmy prawdopodo-

bieństwo zdarzenia A polega-

jącego na tym, że w pierwszym

rzucie otrzymamy nieparzystą

liczbę oczek i suma liczb oczek

w obu rzutach będzie po-

dzielna przez 3. W tym przy-

padku uproszczone drzewo

wygląda następująco:

Ćwiczenie 1. Ćwiczenie 1. Ćwiczenie 1. Ćwiczenie 1.

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 16

6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 36 6P

P(O)= 1/2

P(C|O)= 6/11

P(D|O)= 5/11

P(C|R)= 1/4

P(D|R)= 3/4

P(R)= 1/2

O R

C D C D

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11

1/61/6

1/6

1 3 5

1/6 1/6

2 5

1/6 1/6

3 6

1/6 1/6

1 4

45*1.8. Zastosowanie „drzew”

Przykład 4.

Narysujmy drzewo dla rzutu monetą do momentu, gdy wyrzucimy

kolejno dokładnie dwa razy orła albo dokładnie dwa razy reszkę,

ale nie wykonamy więcej niż cztery rzuty.

Przykład 5.

W urnie są cztery kule białe i trzy czarne. Losujemy bez zwraca-

nia trzy kule. Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia, w którym

przynajmniej dwie z wylosowanych kul są czarne?

Rozwiążemy to zadanie na dwa sposoby.

Sposób pierwszy — bez zastosowania

drzew

Korzystamy tu z klasycznej de# nicji

prawdopodobieństwa.

Wylosowanie przynajmniej dwóch kul

czarnych oznacza wylosowanie dwóch

kul czarnych i jednej białej lub trzech

kul czarnych. Ten schemat losowania

można przedstawić w poniższej postaci:

7 4 3

3 1 2

= +

= +

lub

3 0 3= + .

Wówczas:

P =

⋅

+

⋅

=⋅ +

4

1

3

2

7

3

4

0

3

3

7

3

4 3 11

7 6 5

1 2 3

13

35⋅ ⋅

⋅ ⋅

= .

białe czarne

Ćwiczenie 2.

Wśród n losów sześć wygrywa. Jaka musi być liczba losów, aby prawdopodobieństwo tego,

że zakupione 2 losy będą wygrywające, było większe od 1

3?

Ćwiczenie 3.

W urnie znajdują się 3 kule białe, 6 kul czarnych oraz 9 kul zielonych. Losujemy trzy kule.

Co jest bardziej prawdopodobne: wylosowanie kul różnych kolorów czy wylosowanie kul

tego samego koloru?

1/2 1/2

O R

1/2 1/2

O R

1/2 1/2

O

O R

R

1/2 1/2

1/2 1/2

O R

1/2 1/2

O R

Sposób drugi — z wykorzystaniem drzew

4/7

1/2 1/2 2/3 1/3

3/7

B C

B C B C

4/5 1/5

B C

3/5 2/5

B C

3/5 2/5

B C

2/5 3/5

B C

4 1 2 3 2 2 3 1 4 3 1 1

7 2 5 7 3 5 7 3 5 7 3 5

4 4 4 1 13

35 35 35 35 35

P A




Zadania

1 Narysuj drzewo ilustrujące dwukrotny rzut monetą.

2 Narysuj drzewo ilustrujące czterokrotny rzut monetą i oblicz prawdopodobieństwo

tego, że dokładnie dwa razy z rzędu wypadł orzeł.

3 Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że w serii 6 rzutów monetą dwa sąsiednie wyniki

będą identyczne dokładnie raz?

4 Mamy dwie urny: w jednej są 2 kule białe i 3 czarne, w drugiej 4 białe i 5 czarnych.

Rzucamy kostką: jeżeli wypadnie mniej niż 3 oczka, to losujemy kulę z urny pierwszej,

a w przeciwnym wypadku z urny drugiej. Narysuj drzewo dla tego doświadczenia i oblicz

prawdopodobieństwo tego, że wylosowana kula jest biała.

5 Liczba biletów do cyrku rozlosowywanych w pewnej 30-osobowej klasie, w której jest

16 chłopców, jest równa liczbie sumy oczek otrzymanych w rzucie dwiema kostkami. Na-

rysuj drzewo do tego doświadczenia i oblicz prawdopodobieństwo tego, że do kina pójdą

sami chłopcy.

6 W urnie jest n kul, w tym 5 białych, a pozostałe są czarne. Losujemy kolejno bez zwra-

cania 2 kule. Prawdopodobieństwo tego, że obie kule są tego samego koloru, wynosi 11

21.

Narysuj drzewo dla tego doświadczenia i oblicz, ile jest kul czarnych w urnie.

7 Rzucono trzema kostkami. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że na jednej kostce

wypadnie szóstka, a na dwóch pozostałych wyniki różne między sobą i różne od 6?

*1.9. Spoza podstawy programowej — aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa i schemat Bernoulliego

Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwaKlasyczna de&nicja prawdopodobieństwa ma pewien mankament. Używamy w niej terminu

„zdarzenia jednakowo możliwe”, który nie został wcześniej zde&niowany. Stwierdzenie, czy

zdarzenia są jednakowo możliwe, opieramy zwykle na intuicji lub obserwowanej częstości

względnej danego zdarzenia. W matematyce wyższej używa się de&nicji aksjomatycznej

prawdopodobieństwa. Zauważmy, że w de&nicji klasycznej każdemu zdarzeniu (podzbio-

47*1.9. Spoza podstawy programowej

rowi przestrzeni zdarzeń elementarnych) przypisywaliśmy pewną jednoznacznie wyzna-

czoną liczbę, która opisywała prawdopodobieństwo wystąpienia tego zdarzenia. Możemy

więc przyjąć, że prawdopodobieństwo jest funkcją określoną na zbiorze wszystkich pod-

zbiorów przestrzeni zdarzeń elementarnych. Z klasycznej de& nicji wynika, że wartości tej

funkcji są liczbami rzeczywistymi z przedziału 0,1 . Ponadto, jeżeli zdarzenia A i B wy-

kluczają się, to P A B P A P B . Okazuje się, że te trzy warunki wystarczą, aby

poprawnie zde& niować prawdopodobieństwo i zbudować całą teorię tego działu.

Zakładamy, że zdarzenie elementarne jest pojęciem pierwotnym, a zdarzenie jest dowol-

nym podzbiorem przestrzeni zdarzeń elementarnych.

Prawdopodobieństwem określonym na przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω,

składającej się ze skończonej liczby elementów, nazywamy taką funkcję P, która

każdemu zdarzeniu A przyporządkowuje liczbę rzeczywistą P A w taki

sposób, że

0P A ,

1P .

Jeżeli A B , to P A B P A P B .

Definicja

Powyższa de& nicja ma charakter teoretyczny i nie wynika z niej, w jaki sposób liczymy

prawdopodobieństwo zajścia danego zdarzenia. Umożliwiają to własności prawdopodo-

bieństwa, które są zgodne z własnościami prawdopodobieństwa klasycznego.

Przykład 1.

Rzucano pewną kostką do gry, we wnętrzu której umieszczono ołowianą kulkę przesuwa-

jącą środek ciężkości tej kostki. Okazało się, że jedynka nie wypada nigdy, natomiast po-

zostałe oczka wypadają kolejno z następującymi prawdopodobieństwami:

szóstka — 1

2, dwójka —

1

10, piątka —

1

10, trójka —

1

4 i czwórka —

1

20.

Widzimy, że zdarzenia elementarne nie są jednakowo możliwe.

Jeżeli 1

oznacza zdarzenie polegające na wyrzuceniu jedynki, 2

— wyrzuceniu

dwójki, 3

— wyrzuceniu trójki, 4

— wyrzuceniu czwórki, 5

— wyrzuce-

niu piątki, 6

— wyrzuceniu szóstki, to 1

0P , 2

1

10P ,

3

1

4P ,

4

1

20P ,

5

1

10P ,

6

1

2P . Obliczmy prawdopodobieństwo zdarzenia

A polegającego na wyrzuceniu parzystej liczby oczek. Ponieważ 2 4 6, ,A i odpo-

wiednie zdarzenia wykluczają się parami, to z własności prawdopodobieństwa wynika, że

1 1 1 13

2 10 20 20P A .

Przykład 2.

Trzy ścianki pewnej kostki pomalowano na czerwono, dwie na żółto i jedną na zielono.

Obliczmy prawdopodobieństwo wyrzucenia dokładnie dwa razy koloru żółtego przy dwu-

krotnym rzucie kostką:

P = ⋅ =1

3

1

3

1

9.

Przykład 3.

Prawdopodobieństwo zdarzenia, że kromka chleba posmarowana masłem spadnie posma-

rowaną stroną na podłogę, wynosi 3

4. Obliczmy prawdopodobieństwo tego, że przy trzech

zrzuceniach kromki na podłogę zawsze spadnie ona nieposmarowaną stroną:

3

1 1

4 64P .

Schemat Bernoulliego (czyt. bernuliego)Przypuśćmy, że wykonujemy pewne doświadczenie, które może zakończyć się tylko dwoma

wynikami. Jeden z nich nazywamy sukcesem, a drugi porażką. Jeżeli prawdopodobieństwo

sukcesu oznaczymy przez p, to prawdopodobieństwo porażki wynosi 1q p.

Jeżeli w pewnym doświadczeniu losowym możliwe są tylko dwa wyniki, przy czym praw-

dopodobieństwa obu wyników są dodatnie, to doświadczenie takie nazywamy próbą Ber-

noulliego.

Wykonujemy serię n doświadczeń losowych spełniających następujące warunki:

• doświadczenia są niezależne,

• doświadczenia te są próbami Bernoulliego,

• prawdopodobieństwo sukcesu w każdym doświadczeniu jest takie samo.

Taki ciąg doświadczeń nazywamy schematem Bernoulliego.

Obliczmy prawdopodobieństwo zdarzenia A takiego, że w serii n tego typu doświadczeń

dokładnie k zakończy się sukcesem.

W schemacie n prób Bernoulliego zdarzeniem elementarnym jest n-wyrazowy ciąg, któ-

rego wyrazami są sukcesy (s) lub porażki (p). Zdarzeniem sprzyjającym zajściu opisanego

zdarzenia jest ciąg składający się z k sukcesów i n k porażek. Taki ciąg tworzymy, wska-

zując, na których miejscach wyrazami są sukcesy. Ponieważ musimy wybrać k spośród

n miejsc, to takich ciągów (czyli zdarzeń sprzyjających zajściu zdarzenia A) jest n

k

. Ponie-

waż w schemacie Bernoulliego założyliśmy niezależność wyników poszczególnych doświad-

czeń, więc prawdopodobieństwo zdarzenia sprzyjającego zajściu zdarzenia A wynosi k n kp q .


Uzasadniliśmy więc, iż prawdopodobieństwo tego, że w schemacie n prób Bernoulliego

wystąpi dokładnie k sukcesów, gdzie 0 k n, jest równe k n k

n

nP k p q

k. Symbole p,

q oznaczają prawdopodobieństwa uzyskania odpowiednio sukcesu lub porażki w jednej

próbie. Pamiętajmy, że 1p q .

Przykład 4.

Rzucamy pięciokrotnie symetryczną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo dwukrot-

nego wyrzucenia liczby oczek podzielnej przez 3.

Stosujemy schemat Bernoulliego dla 5, 2n k .

Przy jednokrotnym rzucie kostką są dwie możliwości wyrzucenia liczby oczek podzielnej

przez 3, gwarantują to wyniki 3 lub 6.

Stąd 2 1

6 3p ,

21

3q p .

Mamy więc:

2 35 1 2 80

2 3 3 243P .

Przykład 5.

W meczu piłkarskim prawdopodobieństwo zdobycia przez za-

wodnika bramki z rzutu karnego wynosi 0,8. Zawodnik wykonuje

pięć rzutów karnych. Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia,

że zdobędzie on trzy bramki?

Zgodnie ze schematem Bernoulliego prawdopodobieństwo strze-

lenia trzech bramek w pięciu strzałach wynosi 53P . Mamy:

4

5p ,

1

5q ,

5n , 3k , czyli

3 2

5

5 4 1 1283

3 5 5 625P .

Ćwiczenie 1.

Gra polega na jednoczesnym rzucie monetą i kostką do gry. Wygrana następuje przy wy-

rzuceniu orła i dwóch oczek. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że na cztery gry wygrana

wystąpi co najwyżej raz.


49*1.9. Spoza podstawy programowej


1.10. Z zastosowań matematyki

Temat badawczy nr 1

Uczniowie wykonują serię rzutów monetami, każdy swoją. Po pierwszym rzucie nauczy-

ciel zapisuje na tablicy łączną liczbę wyrzuconych orłów i oblicza jej stosunek do liczby

wszystkich wyników. Po drugim rzucie dodaje do poprzedniej liczby orłów liczbę orłów

wyrzuconych w drugiej kolejce i oblicza iloraz tej sumy i łącznej liczby wyników. Postę-

powanie w analogiczny sposób kontynuowane jest dziesięciokrotnie. Analizujemy ciąg

kolejno obliczonych ilorazów (w tym celu wygodnie jest wyrazić je w postaci przybliżeń

dziesiętnych). Co zauważamy?

Temat badawczy nr 2

Wprowadzenie

Przykład 1.

Obok stacji paliw przejeżdża średnio cztery razy więcej samochodów osobowych niż cię-

żarowych. Badania wykazały, że 5% przejeżdżających samochodów osobowych i 2% cię-

żarowych tankuje paliwo. Do stacji podjechał samochód. Obliczmy prawdopodobieństwo

tego, że jest to samochód ciężarowy.

Oznaczmy zdarzenia:

• O — obok stacji przejeżdża samochód osobowy,

• C — obok stacji przejeżdża samochód ciężarowy,

• St— przejeżdżający samochód tankuje paliwo.

Mamy obliczyć t

P C S .

Wiemy, że P C SP C S

P S

P C P S C

P St

t

t

t

t

( ) =∩( )( )

=( ) ( )

( ).

W rozpatrywanym problemie4 5

( ) , ( | )5 100

tP O P S O

1

5P C ,

2

100t

P S C ;

4 5 1 2 11

5 100 5 100 250t t t

P S P O P S O P C P S C

Stąd

1 1

15 50

11 11

250

tP C S .

Uogólniając powyższe rozumowanie, otrzymujemy tzw. wzór Bayesa (czyt. bajsa), przed-

stawiony niżej.

511.10. Z zastosowań matematyki

( )

Jeżeli zdarzenia 1 2 3, , , ,

nB B B B wykluczają się parami, prawdopodobieństwo każdego

z nich jest dodatnie oraz 1 2 3 n

B B B B , to dla dowolnego zdarzenia A ta-

kiego, że 0P A , oraz wskaźnika 1, 2, ,i n prawdziwy jest wzór:

i i

i

P B P A BP B A

P A lub

1 1 2 2

i i

i

n n

P B P A BP B A

P B P A B P B P A B P B P A B.

Przykład 2.Na obóz Młodych Matematyków przyjechali ucz-

niowie z różnych miast. Skład obozu przedstawia

tabela obok:

Spotkaliśmy uczestniczkę obozu. Obliczmy praw-

dopodobieństwo tego, że jest to mieszkanka Łodzi.

Oznaczmy zdarzenia:

• A — spotkana osoba jest kobietą,

• BG — spotkana osoba pochodzi z Gdańska;

• BK — spotkana osoba pochodzi z Katowic;

• BŁ — spotkana osoba pochodzi z Łodzi;

• BO — spotkana osoba pochodzi z Opola;

• BP — spotkana osoba pochodzi z Poznania.

Mamy obliczyć P ABŁ

. Wiemy, że P AP P A

P A

( ) =( ) ⋅ ( )

( )B

Ł

BŁ

BŁ

.

1

5P B

Ł , 11

20

P A BŁ

;

P A P B P A B P B P A B P P A P B P A BG G K K O O( ) = ( ) ⋅ ( )+ ( ) ⋅ ( )+ ( ) ⋅ ( )+ ( ) ⋅ (( )+ ( ) ⋅ ( ) =

= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =

P B P A BP P

3

10

1

2

1

4

6

25

1

5

11

20

1

5

3

10

1

20

4

5

21

50..

BŁ

BŁ

Stąd

1 11

115 20

21 42

50

P ABŁ

.

Zauważmy, że nie zawsze warto stosować wzór Bayesa.

W rozpatrywanym zadaniu możemy obliczyć szukane prawdopodobieństwo znacznie

prościej, zawężając przestrzeń zdarzeń elementarnych do zbioru 42-elementowego skła-

dającego się z samych dziewczynek.

Miasto Liczba chłopców Liczba dziewcząt

Gdańsk 15 15

Katowice 19 6

Łódź 9 11

Opole 14 6

Poznań 1 4


Przykład 3.W Polsce zabronione jest prowadzenie pojazdów mechanicznych pod wpływem narkoty-

ków. Policja używa testów wykrywających narkotyki. Załóżmy, że przy badaniu osoby bę-

dącej pod wpływem narkotyków test wypada pozytywnie w 99% przypadków, natomiast

przy badaniu osoby niezażywającej narkotyków wypada negatywnie w 99% przypadków.

Policja bada takim testem kierowców, wiedząc, że statystycznie 0,1% z nich jeździ pod

wpływem narkotyków. Obliczmy prawdopodobieństwo tego, że osoba, u której test wy-

padł pozytywnie, rzeczywiście była pod wpływem narkotyków.

Oznaczmy zdarzenia:

• T — dana osoba jest pod wpływem narkotyków,

• N — dana osoba nie jest pod wpływem narkotyków,

• „+” — u danej osoby test dał wynik pozytywny,

• „−” — u danej osoby test dał wynik negatywny.

Zdarzenia „+” i „−” są rozłączne i w sumie dają zdarzenie pewne.

Wiemy, że:

0,001P T , bo 0,1% zatrzymanych kierowców jest pod wpływem narkotyków,

1 0,999P N P T ,

0,99P T , gdyż taką wiarygodność ma test przy badaniu osoby pod wpływem nar-

kotyków,

0,99P N , gdyż taką wiarygodność ma test przy badaniu osoby niebędącej pod wpły-

wem narkotyków.

1 0,01P N P N .

Obliczmy prawdopodobieństwo tego, że kierowca, u którego test wypadł pozytywnie, rze-

czywiście jest pod wpływem narkotyków:

0,001 0,990,09.

0,001 0,99 0,999 0,01

P T P T P T P TP T

P P T P T P N P N

Przy podanej wiarygodności testu prawdopodobieństwo, że badany kierowca, u którego test

dał wynik pozytywny, jest pod wpływem narkotyków, jest równe około 9%, więc jest nawet

bardziej prawdopodobny fakt, że osoba, u której test dał wynik dodatni, nie jest pod wpły-

wem narkotyków. Ponieważ wśród kierowców bardzo mały odsetek jeździ pod wpływem

narkotyków, więc 99% pozytywnych testów wśród osób będących pod wpływem narko-

tyków stanowi mały odsetek 1% liczby osób niebędących pod wpływem narkotyków. Aby

test narkotykowy był wiarygodny, skuteczność testu musi być większa niż stosunek licz-

ności dwóch grup badanych osób. Jeżeli założymy, że wiarygodność testu wynosi 99,95%,

to wynik jest następujący:

0,001 0,99950,67

0,001 0,9995 0,999 0,0005

P T P TP T

P T P T P N P N,

531.11. Prosto do matury

a przy wiarygodności 99,99%:

0,001 0,99990,91

0,001 0,9999 0,999 0,0001

P T P TP T

P T P T P N P N.

Zadanie 1.

Załóżmy, że Polska liczy 38 500 000 mieszkańców (dane z 2011 roku), z których około

400 000 jest chorych na grypę. Gdybyśmy wybrali jedną osobę, to prawdopodobieństwo

tego, że jest ona chora, wynosi 400000

0,0138500000

. W przychodniach zdrowia wykonuje się

u osób podejrzanych o zachorowanie na grypę testy na obecność wirusa tej choroby. Po-

myłka takiego testu następuje raz na 2000 testowanych pacjentów. Oblicz prawdopodo-

bieństwo tego, że osoba, u której test wykrył obecność wirusa, jest w rzeczywistości zdrowa.

Zadanie 2.

W Polsce w roku 2007 zatrzymano około 160 000 pijanych kierowców. Zakładamy, że

w Polsce liczba osób posiadających prawo jazdy wynosi 20 000 000 mieszkańców. Oblicz

prawdopodobieństwo tego, że jeśli u zatrzymanego kierowcy alkomat wykrył obecność al-

koholu w wydychanym powietrzu, to rzeczywiście jest on pod wpływem alkoholu, wiedząc,

że alkomat wskazuje prawidłowy wynik w 999 przypadkach na 1000 przebadanych osób.

Zadanie 3.

W magazynie hipermarketu znajdują się żarówki produkowane przez trzy zakłady pro-

dukcyjne. W magazynie jest 25% żarówek z pierwszego zakładu, 35% z drugiego i 40%

z trzeciego. Liczba wadliwych żarówek z poszczególnych zakładów przedstawia się nastę-

pująco: na sto żarówek z pierwszego zakładu 4 są uszkodzone, z drugiego uszkodzonych

jest 8, z trzeciego — 10. Została wylosowana żarówka, która jest wadliwa. Jakie jest praw-

dopodobieństwo tego, że pochodzi ona z trzeciego zakładu?


ZESTAW I (TESTOWY)

1 Rzucamy dwiema kostkami do gry. Wtedy:

A. wszystkich zdarzeń elementarnych jest 362 .

B. wszystkich zdarzeń elementarnych jest 236 .

C. wszystkich zdarzeń elementarnych jest 36.

D. przestrzenią zdarzeń elementarnych jest zbiór 1, 2, 3, 4, 5, 6 .

2 Wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, które są podzielne przez 6 lub przez 10, jest:

A. 25 B. 24 C. 21 D. 20


3 Liczba wszystkich sposobów, na jakie Ala i Bartek mogą usiąść na dwóch spośród pię-

ciu miejsc w kinie, jest równa:

A. 25 B. 20 C. 15 D. 12

4 Przez sześć punktów płaszczyzny takich, że dowolne trzy nie leżą na jednej prostej,

można przeprowadzić różnych prostych:

A. 15 B. 30 C. 6! D. 6

3

5 Nieprawdą jest, że z cyfr 2, 3, 4 można utworzyć:

A. 81 różnych liczb czterocyfrowych. B. 243 różne liczby pięciocyfrowe.

C. 27 różnych liczb trzycyfrowych. D. 4! różnych liczb dwucyfrowych.

6 Liczba możliwych sposobów ustawienia w kolejce trzech uczniów i trzech uczennic

tak, aby żaden uczeń nie stał obok innego ucznia i żadna uczennica nie stała obok uczen-

nicy, wynosi:

A. 9 3! B. 2 3! 3! C. 3! 3! D. 6!

7 W turnieju szachowym każdy szachista grał z każdym jedną partię. Rozegrano

28 partii. Zatem w tym turnieju uczestniczyło:

A. 6 szachistów. B. 7 szachistów. C. 8 szachistów. D. 9 szachistów.

8 Ze zbioru liczb 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 wybieramy losowo jeden element. Jeżeli p oznacza

prawdopodobieństwo, że wylosowana liczba jest podzielna przez 3, to:

A. p 0 3, B. 0,3p C. 1

3p D.

1

3p

9 Rzucamy dwiema kostkami do gry. Prawdopodobieństwo zdarzenia, w którym:

A. na obu kostkach suma oczek jest równa 6, wynosi 1

9.

B. na obu kostkach wypadła taka sama liczba oczek, jest równe 1

9.

C. na obu kostkach suma oczek jest większa od 10, jest równe 1

12.

D. na obu kostkach wypadły różne liczby oczek, jest równe 35

36.

10 Rzucamy dwukrotnie symetryczną kostką do gry. Prawdopodobieństwo dwukrotnego

wyrzucenia tej samej liczby oczek wynosi:

A. 6 B. 1

6 C.

1

3 D.

2

3


9 3! 2 3! 3! 3! 3! 6!

0 3, 0,3

11 Rzucamy trzykrotnie monetą. Prawdopodobieństwo wyrzucenia dokładnie jednej

reszki wynosi:

A. 3

4 B.

1

3 C.

1

2 D.

3

8

12 Rzucamy trzykrotnie monetą. Prawdopodobieństwo wyrzucenia co najmniej jednej

reszki wynosi:

A. 2

3 B. 1 C.

7

8 D.

1

8

13 Trzech chłopców i dwie dziewczynki ustawiono w szeregu. Jakie jest prawdopodo-

bieństwo tego, że dziewczynki będą stały obok siebie?

A. 1

2 B.

1

5 C.

2

5 D.

3

5

14 Prawdopodobieństwo tego, że przy rzucie dwiema kostkami otrzymamy sumę oczek

co najmniej 10, wynosi:

A. 1

6 B.

4

6 C.

10

36 D.

1

2

15 Prawdopodobieństwo zdarzenia, w którym przypadkowo wzięta liczba naturalna

dwucyfrowa jest podzielna przez 3, jest równe:

A. 1

3 B.

2

3 C. 1 D. Nie da się obliczyć.

16 Z talii 52 kart wylosowano jedną kartę. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że wy-

brana karta jest asem lub pikiem?

A. 1

52 B.

1

13 C.

14

52 D.

4

13

17 Z talii 52 kart wylosowano jedną kartę. Prawdopodobieństwo tego, że wylosowana

karta:

A. jest ósemką, wynosi: 8

52. B. jest & gurą, wynosi:

4

13.

C. jest kartą czerwoną, wynosi 13

52. D. nie jest pikiem, wynosi

13

52.

18 Niech np oznacza prawdopodobieństwo wyrzucenia w rzucie dwiema kostkami w su-

mie n oczek. Wtedy:

A. 2 4p p B.

4 6p p C.

6 8p p D.

8 10p p

19 Na półce stoi sześciotomowy słownik. Prawdopodobieństwo tego, że tomy stoją we

właściwej kolejności, ustawione od lewej do prawej od tomu pierwszego, wynosi:

A. 1

720 B.

5

6 C.

1

6 D.

719

720


20 W urnie znajduje się 5 kul białych, 3 czerwone i 2 czarne. Losujemy kolejno 2 kule bez

zwracania. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kul tego samego koloru?

A. 0,3p B. p 0 3, C. 1

3p D.

1

3p

21 Niech oznacza prawdopodobieństwo uzyskania co najmniej raz orła w sześciu rzu-

tach monetą. Jeżeli oznacza prawdopodobieństwo otrzymania co najwyżej raz jedynki

w dwóch rzutach kostką, to:

A. B. C. D. 2

22 Rzucamy n razy symetryczną monetą. Prawdopodobieństwo zdarzenia, w którym

uzyskano co najmniej jedną reszkę, jest równe:

A. 1 1

2n

n B.

11

n C.

11

2n

D. 1 1

2 2n

23 Rzucamy dziesięć razy monetą. Niech A oznacza zdarzenie, w którym w pierwszym

rzucie wypadnie orzeł, a w pozostałych reszki, a B niech oznacza zdarzenie, w którym

w dokładnie jednym rzucie wypadnie orzeł. Wówczas:

A. P B P A B. 10P B P A C. 10 1P B P A D. 1 10P B P A

24 O zdarzeniach losowych A, B wiadomo, że P A( ) = 0 5, , P B( ) = 0 3, i P A B∪( ) = 0 7, .

Prawdopodobieństwo iloczynu zdarzeń A i B spełnia warunek:

A. 0,2P A B B. 0,3P A B C. 0,2P A B D. 0,3P A B

25 Wśród 100 żarówek jest 80 sprawnych i 20 wadliwych (przepalają się po kilku godzi-

nach użytkowania). Niech B oznacza zdarzenie, w którym druga sprzedana żarówka jest

sprawna, natomiast A1 oznacza zdarzenie, że pierwsza sprzedana żarówka jest wadliwa.

Wynika stąd, że:

A. 1

79

100P B A B.

1

20

99P B A C.

79

100P B D.

4

5P B

ZESTAW II (RACHUNKOWY)

1 Oblicz, ile jest wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych takich, że w ich zapisie

dziesiętnym występuje jedna cyfra nieparzysta i trzy cyfry parzyste.

2 Ile jest liczb naturalnych dwucyfrowych podzielnych przez 15 lub 20?

3 Na jednej prostej zaznaczono 3 punkty, a na innej, równoległej do niej, 4 punkty. Ile

jest wszystkich trójkątów, których wierzchołkami są trzy spośród zaznaczonych punktów?


0,3 0 3,

2

4 Oblicz, ile jest wszystkich liczb siedmiocyfrowych, w których zapisie nie występuje

zero i w których na dokładnie dwóch miejscach stoją cyfry parzyste.

5 Oblicz, ile jest wszystkich liczb stucyfrowych o sumie cyfr równej 5, w których zapi-

sie występują tylko cyfry 0, 1, 3, 5.

6 Rzucamy cztery razy monetą. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że wyrzucimy do-

kładnie jednego orła?

7 Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką

do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że w pierwszym

rzucie otrzymamy parzystą liczbę oczek i iloczyn tych oczek w obu rzutach będzie po-

dzielny przez 12.

8 Z pojemnika, w którym jest pięć losów: dwa wygrywające i trzy puste, losujemy dwa

razy po jednym losie bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że otrzymamy

co najmniej jeden los wygrywający. Wynik przedstaw w postaci ułamka nieskracalnego.

9 Kupując los na loterii, można wygrać nagrodę główną, którą jest zestaw płyt kompak-

towych, lub jedną z 10 nagród książkowych. Przy zakupie jednego losu prawdopodobień-

stwo wygrania nagrody książkowej jest równe 1

7. Oblicz, ile losów jest pustych.

10 Na stole leżało 14 banknotów: 2 banknoty o nominale 100 zł, 2 banknoty o nominale

50 zł i 10 banknotów o nominale 20 zł. Wiatr zdmuchnął na podłogę 5 banknotów. Oblicz

prawdopodobieństwo tego, że na podłodze leży dokładnie 130 zł.

11 W szkolnym magazynie sportowym w jednym z pojemników były piłki do gry w ko-

szykówkę — 6 nowych i 4 używane. Do pierwszej gry wzięto losowo z tego pojemnika

2 piłki i po grze włożono je do niego z powrotem. Do drugiej gry wzięto losowo z tego po-

jemnika 3 piłki. Oblicz, jakie jest prawdopodobieństwo tego, że wszystkie piłki wzięte do

drugiej gry były nowe (wcześniej nieużywane).

12 W loterii jest 100 losów, wśród których 3 są wygrywające. Dwie osoby kolejno kupiły

po jednym losie. Która z tych osób ma większą szansę wygrania?

13 Osiem kul ponumerowanych liczbami od 1 do 8 rozmieszczono w trzech szu* adach.

Zakładając, że wszystkie możliwe rozmieszczenia są jednakowo prawdopodobne, oblicz

prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia, w którym przynajmniej jedna szu* ada bę-

dzie pusta.

14 Sto osób, wśród których jest jedno małżeństwo, ustawiono w szereg w sposób losowy.

Jakie jest prawdopodobieństwo takiego ustawienia, że między małżeństwem będzie do-

kładnie 40 osób?


15 Niech A, B będą zdarzeniami losowymi zawartymi w . Wykaż, że jeżeli P A( ) = 0 7,

i P B( ) = 0 8, , to P A B( ) ≥ 0 625, , gdzie symbol P A B( ) oznacza prawdopodobieństwo wa-

runkowe.

ZESTAW III (ZADANIA RÓŻNE)

1 Drużyna piłkarska składa się z 11 zawodników, wśród których znajduje się jeden ka-

pitan. Do kontroli dopingowej losowanych jest 2 zawodników. Oblicz prawdopodobień-

stwo wylosowania do kontroli kapitana.

2 Kontrola jakości w zakładzie produkującym żarówki przebiega dwuetapowo. Podczas

pierwszej kontroli losowo sprawdza się piątą część wyprodukowanych żarówek. Podczas

drugiej kontroli sprawdza się 40% żarówek spośród tych, które nie podlegały pierwszej

kontroli. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że losowo wybrana żarówka była badana pod

względem jakości.

3 W każdym opakowaniu płatków śniadaniowych znajduje się karta jednego z jedena-

stu reprezentantów Polski w piłce nożnej lub selekcjonera kadry, przy czym liczba uży-

tych przez producenta kart z każdą z osób jest taka sama. Jakie jest prawdopodobieństwo

tego, że w obu zakupionych w pewnym sklepie opakowaniach będą karty z wizerunkiem

selekcjonera kadry?

4 W pewnym badaniu naukowym urządzenie wykonuje pomiar miesięczny ciągły przez

24 godziny na dobę. Jeżeli urządzenie ulegnie awarii, to pomiar należy powtórzyć od po-

czątku. W celu kontroli pomiaru montuje się czujniki wykrywające awarię. Jeden czujnik

wykrywa awarię z prawdopodobieństwem 0,9. Ile czujników pracujących niezależnie od

siebie należy zamontować, aby prawdopodobieństwo wykrycia awarii było większe od 0,99?

5 W latach 1997 – 2001 w Polsce bardzo popularny był teleturniej „Idź

na całość”. Finalista tego teleturnieju mógł wygrać samochód, jeśli wskazał,

za którą z trzech bramek został on ukryty. Według zasad gry po wskazaniu

przez gracza konkretnej bramki prowadzący otwierał jedną z pozostałych

dwóch, za którą nie było samochodu. Wówczas prowadzący pytał, czy gracz

zmienia swój wybór, czy nie. Oblicz prawdopodobieństwo wygrania samo-

chodu w obydwu sytuacjach: gdy gracz pozostał przy pierwotnym wyborze

i gdy zmienił swój wybór. Odpowiedz, w której z wymienionych dwóch sy-

tuacji gracz miał większe szanse wygrania samochodu.

Uwaga

Wskazówka

PRAWDOPODOBIEŃSTWA - Helion Edukacja · Elementy kombinatoryki W podrozdziale 1.1 obliczaliśmy z...

Documents

Transcript of PRAWDOPODOBIEŃSTWA - Helion Edukacja · Elementy kombinatoryki W podrozdziale 1.1 obliczaliśmy z...