POLITECHNIKA CZĘSTOCHOWSKA · W 11 – Przestrzenie homotopijnie równoważne. Przestrzenie...

POLITECHNIKA CZĘSTOCHOWSKAWydział Inżynierii Mechanicznej i InformatykiKierunek:MatematykaSpecjalność:Matematyka finansowa i ubezpieczeniowa

Cykl: 2016/2017ZTyp: StacjonarneRodzaj: II stopniaRok: ISemestr: I

Przygotowano przez:Dr Artur Jakubski

Karta opisu przedmiotu

Wyk

ład

Ćwic

zeni

a

Labo

rato

rium

Proj

ekt

Sem

inar

ium

Egza

min

ECTS

Matematyczne podstawy informatyki30 30 0 0 0 NIE 5

WYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCH KOMPETENCJI

Wiedza z zakresu podstaw matematyki i logiki matematycznej.

Wiedza z zakresu podstaw matematyki dyskretnej.

CEL PRZEDMIOTU

Przypomnienie studentom podstaw teorii grafów, m. in. pojęć spójności, skojarzeń, cykli Hamiltona, dróg Eulera. Zapoznanie z kolorowaniem

wierzchołków i krawędzi grafu, planarności. Omówienie zagadnień ekstremalnych teorii grafów. Twierdzenie Turana i Ramseya.

Przypomnienie studentom podstaw kombinatoryki oraz przedstawienie metod zliczania obiektów kombinatorycznych. Omówienie twierdzenia

Polya. Omówienie ekstremalnej teorii zbiorów, zbiorów częściowo uporządkowanych. Omówienie metody probabilistycznej Erdösa.

Zapoznanie studentów z elementami teorii języków formalnych i automatów oraz teorii obliczeń – funkcji obliczalnych i maszyn Turinga.

Omówienie podstaw teorii złożoności obliczeniowej. Przedstawienie logiki obliczeniowej i algorytmicznej.

Treści programowe - Wykład

Podstawy logiki,pojęcie języka, formuły, reguły dowodzenia, dowód formalny formuły. Postacie normalne formuł logicznych - algorytm.

Problem tautologiczności i spełnialności. Logika obliczeniowa i algorytmiczna.

Zadanie algorytmiczne, problem. Reprezentacja algorytmu. Elementy analizy algorytmów. Złożoność obliczeniowa algorytmów. Problem

poprawności algorytmów. Problem stopu. Efektywność algorytmu – terminologia. Notacje O, Θ, Ω.

Wprowadzenie. Przypomnienie podstawowych pojęć teorii grafów. Grafy skierowane, nieskierowane, z wagami, drzewa, metody reprezentacji

i ich złożoność obliczeniowa. Własności grafów – spójność, skojarzenia, drogi Eulera i cykle Hamiltona, kolorowanie wierzchołków i krawędzi

grafu, planarność. Algorytmy grafowe, ich złożoność i poprawność.

Elementy kombinatoryki – metody przeliczania obiektów kombinatorycznych, twierdzenie Polya.

Elementy arytmetyki modularnej. Liczby pierwsze, pojęcia ciała, ciała skończone. Matematyczne podstawy kryptografii.

Ekstremalna teoria zbiorów, zbiory częściowo uporządkowane i ich własności. Pojęcie rekurencji (rekurencja pośrednia, ogonowa), problem

derekursywacji. Algorytmy sortowania.

2016/2017Z -> S -> II st. -> Matematyka

Data wygenerowania dokumentu: 2017-12-02 strona: 1 z 2

Wstęp do teorii języków formalnych. Znak, alfabet, słowo, operacje na słowach. Języki formalne, działania na językach i ich własności. Języki i

wyrażenia regularne, własności i ich interpretacje. Niedeterministyczne i deterministyczne automaty skończone.

Treści programowe - Ćwiczenia

Podstawy logiki,pojęcie języka, formuły, reguły dowodzenia, dowód formalny formuły. Postacie normalne formuł logicznych - algorytm.

Problem tautologiczności i spełnialności.

Zadanie algorytmiczne, problem. Reprezentacja algorytmu. Elementy analizy algorytmów. Złożoność obliczeniowa algorytmów. Problem

poprawności algorytmów. Problem stopu. Efektywność algorytmu – terminologia. Notacje O, Θ, Ω.

Podstawowe pojęcia teorii grafów. Grafy skierowane, nieskierowane, z wagami, drzewa, metody reprezentacji. Spójność, skojarzenia, drogi

Eulera i cykle Hamiltona w grafach. Dowody odpowiednich twierdzeń. Algorytmy Dijkstry, Prima, Kruskala, i inne grafowe. Ich złożoność i

poprawność.

Zliczanie obiektów kombinatorycznych.

Elementy arytmetyki modularnej. Liczby pierwsze, pojęcia ciała, ciała skończone.

Zbiory częściowo uporządkowane i ich własności. Pojęcie rekurencji, problem derekursywacji. Algorytmy sortowania i ich złożoność.

Znak, alfabet, słowo, operacje na słowach. Języki formalne, działania na językach. Języki i wyrażenia regularne. Niedeterministyczne i

deterministyczne automaty skończone.

LITERATURA PODSTAWOWA I UZUPEŁNIAJĄCA

R.L. Graham, D.E. Knuth, O. Patashnik, Matematyka Konkretna, PWN, Warszawa 1996.

K.A. Ross, Ch.R.B. Wright, Matematyka Dyskretna, PWN, Warszawa 1996.

J. Grygiel, Wprowadzenie do matematyki dyskretnej, AOW EXIT, Warszawa 2008.

W. Lipski, Kombinatoryka dla programistów, WNT, Warszawa 2004.

Z. Palka, A. Ruciński, Wykłady z kombinatoryki, WNT, Warszawa 1998.

M. Foryś, W. Foryś, Teoria automatów i języków formalnych, AOW EXIT, Warszawa 2005.

J.E. Hopcroft, R. Motwani, J.D. Ullman, Wprowadzenie do teorii automatów, języków i obliczeń, PWN, Warszawa 2005.

C.H. Papadimitriou, Złożoność obliczeniowa, WNT, Warszawa 2002.

M. Ben-Ari, Logika matematyczna w informatyce, WNT, Warszawa 2005.

T. H. Cormen, Ch. E. Leiserson, R. L. Rivest, Wprowadzenie do algorytmów, WNT, Warszawa 2005.

N. Koblitz, Wykład z teorii liczb i kryptografii, WNT, Warszawa 2006





Przygotowano przez:Dr Jolanta Borowska


Wyk

ład

Ćwic

zeni

a

Labo

rato

rium

Proj

ekt

Sem

inar

ium

Egza

min

ECTS

Równania różnicowe15 15 0 0 0 NIE 2


1. Wiedza z zakresu analizy matematycznej.

2. Wiedza z zakresu algebry liniowej.

CEL PRZEDMIOTU

1. Zapoznanie studentów z podstawowymi twierdzeniami rachunku różnicowego.

2. Zapoznanie studentów z metodami rozwiązywania równań różnicowych.

3. Zapoznanie studentów z przykładami zastosowań równań różnicowych.


1. Rachunek różnicowy - funkcja dyskretna, operator różnicowania.

2. Operator antyróżnicowy i jego własności.

3. Równania różnicowe - podstawowe twierdzenia. Klasyfikacja równań różnicowych.

4. Równania różnicowe liniowe rzędu pierwszego.

5. Równania różnicowe liniowe jednorodne drugiego rzędu o stałych współczynnikach.

6. Równania różnicowe liniowe niejednorodne drugiego rzędu o stałych współczynnikach – metoda przewidywań.

7. Równania różnicowe liniowe niejednorodne drugiego rzędu o stałych współczynnikach – metoda uzmienniania stałych.

8. Równania różnicowe liniowe rzędu k o stałych współczynnikach.

9. Równania różnicowe nieliniowe sprowadzalne do równań liniowych.

10. Elementy analizy jakościowej równań różnicowych.

11. Wybrane zastosowania równań różnicowych.




1. Działanie operatorem różnicowym i jego własności.

2. Działanie operatorem antyróżnicowym na wybrane funkcje.

3. Równania różnicowe - podstawowe twierdzenia. Klasyfikacja równań różnicowych.

4. Rozwiązywanie równań różnicowych liniowych pierwszego rzędu.

5. Rozwiązywanie równań liniowych jednorodnych drugiego rzędu o stałych współczynnikach.

6. Rozwiązywanie równań liniowych niejednorodnych drugiego rzędu o stałych współczynnikach – metoda przewidywań.

7. Rozwiązywanie równań liniowych niejednorodnych drugiego rzędu o stałych współczynnikach – metoda uzmienniania stałych.

8. Rozwiązywanie równań liniowych rzędu k o stałych współczynnikach.

9. Rozwiązywanie równań różnicowych nieliniowych sprowadzalnych do równań liniowych.

10. Badanie stabilności równań różnicowych liniowych.

11. Przykłady zagadnień prowadzących do równań różnicowych.


1. S. Elaydi, An Introduction to Difference Equations, Springer 2005.

2. S. Kanas, Podstawy ekonomii matematycznej, PWN, Warszawa 2011.

3. I. Koźniewska, Równania rekurencyjne, PWN, Warszawa 1972.

4. H. Levy, F. Lessman, Równania różnicowe skończone, PWN 1966





Przygotowano przez:Dr Grzegorz Biernat


Wyk

ład

Ćwic

zeni

a

Labo

rato

rium

Proj

ekt

Sem

inar

ium

Egza

min

ECTS

Wybrane zagadnienia topologii30 30 0 0 0 NIE 5


1. Wiedza z zakresu podstaw teorii mnogości.

2. Wiedza z zakresu przestrzeni metrycznych (przestrzenie zwarte, przestrzenie spójne, odwzorowania ciągłe i homeomorfizmy między

przestrzeniami metrycznymi).

3. Wiedza z zakresu analizy matematycznej I, II i III.

CEL PRZEDMIOTU

C1. Zapoznanie studentów z pojęciem przestrzeni topologicznej, odwzorowaniami między przestrzeniami topologicznymi i operacjami na

takich przestrzeniach.

C2. Zapoznanie studentów z podstawowymi typami przestrzeni topologicznych (przestrzenie zwarte,

C3. Zapoznanie studentów z pojęciem homotopijnych przestrzeni topologicznych.

C4. Zapoznanie studentów z pojęciem rozmaitości topologicznej oraz z charakteryzacją takich rozmaitości dla wymiaru 1 i 2.


W 1 – Przestrzenie topologiczne. Baza i podbaza. Domknięcie i wnętrze zbioru.

W 2 – Podstawowe rodzaje zbiorów w przestrzeni topologicznej.

W 3 – Odwzorowania ciągłe i homeomorfizmy. Odwzorowania otwarte i domknięte.

W 4 – Aksjomaty oddzielania. Lemat Urysohna i twierdzenie Tietzego (bez dowodu).

W 5 – Podstawowe operacje na przestrzeniach topologicznych.

W 6 – Przestrzenie topologiczne zwarte i lokalnie zwarte.

W 7 – Przestrzenie topologiczne spójne i łukowo spójne.

W 8 – Przestrzenie ilorazowe.

W 9 – Topologie w przestrzeniach odwzorowań.

W 10 – Homotopia odwzorowań. Odwzorowania homotopijne. Własności homotopii.



W 11 – Przestrzenie homotopijnie równoważne. Przestrzenie ściągalne.

W 12 – Grupa podstawowa.

W 13 – Rozmaitości topologiczne. Rozmaitości gładkie.

W 14 – Klasyfikacja topologiczna rozmaitości wymiaru 1 i 2 (bez dowodu).

W 15 – Odwzorowania właściwe. Wielomianowe odwzorowania właściwe.


C 1 – Przykłady przestrzeni topologicznych, zbiory domknięte i otwarte w tych przestrzeniach.

C 2 – Zbiory gęste, brzegowe i nigdziegęste. Przykłady i zadania.

C 3 – Odwzorowania ciągłe i homeomorfizmy. Przykłady i zadania.

C 4 – Przykłady przestrzeni spełniających różne rodzaje aksjomatów oddzielania.

C 5 – Podprzestrzenie topologiczne, suma rozłączna oraz iloczyn kartezjański przestrzeni topologicznych.

C 6 – Kolokwium I.

C 7 – Przykłady przestrzeni topologicznych zwartych, lokalnie zwartych, spójnych i łukowo spójnych.

C 8 – Przestrzenie ilorazowe – ich konstrukcja i przykłady.

C 9 – Topologia zbieżności punktowej, topologia zbieżności jednostajnej. Przykłady.

C 10 – Przykłady odwzorowań homotopijnych.

C 11 – Przykłady przestrzeni homotopijnie równoważnych i przestrzeni ściągalnych.

C 12 – Grupy podstawowe. Przykłady.

C 13 – Rozmaitości topologiczne, rozmaitości gładkie. Przykłady i zadania.

C 14 – Kolokwium II.

C 15 – Zaliczenie ćwiczeń.


1. R. Duda, Wprowadzenie do topologii, cz. I i II, PWN, Warszawa 1986

2. K. Kuratowski, Wstęp do teorii mnogości i topologii, PWN, Warszawa 1977

3. K. Jänich, Topologia, PWN, Warszawa 1991





Przygotowano przez:Dr hab. Nadiya Gubareni


Wyk

ład

Ćwic

zeni

a

Labo

rato

rium

Proj

ekt

Sem

inar

ium

Egza

min

ECTS

Algebra współczesna i jej zastosowania30 45 0 0 0 NIE 8


1. Student zna podstawowa definicje i twierdzenia z zakresu algebry liniowej i algebry abstrakcyjnej.

2. Student posiada umiejętności logicznego myślenia

CEL PRZEDMIOTU

C1. Zapoznanie studentów z wybranymi zagadnieniami algebry współczesnej i jej zastosowaniami; omówienie formalnych i aksjomatycznych

podstaw teorii grup, pierścieni, ciał i algebr skończenie wymiarowych

C2. Zapoznanie studentów z najważniejszych algorytmami i metodami algebraicznymi stosowanymi w informatyce i kryptografii

C3. Zapoznanie studentów z przykładami zastosowań omawianych teorii, algorytmów i metod algebraicznych


Algebry skończenie wymiarowe. Przykłady algebr

Pierścienie z dzieleniem. Algebry z dzieleniem, algebry unormowane, *-algebry

– Algebra kwaternionów. Algebra oktonionów

Liczby hiperzespolone. Konstrukcja Cayley’a- Dicksona algebr z dzieleniem

Twierdzenie Frobeniusa. Twierdzenie Hurwitza. Algebra Grassmana. Algebra Clifforda

Postać trygonometryczna kwaternionu. Zastosowanie kwaternionów w grafice komputerowej

Pierścień całkowity. Ideały pierścieni. Pierścienie ideałów głównych. Ideały pierwsze i ideały maksymalne

Ideały względnie pierwsze. Chińskie twierdzenie o resztach. Algorytm Shamira współdzielenia sekretu

– Suma czterech kwadratów Eulera. Tożsamość 8 kwadratów

– Liczby całkowite Gaussa. Twierdzenie Fermata o dwóch kwadratach

– Kwaterniony Lipszhitza. Kwaterniony Hurwitza. Twierdzenie Lagrange’a o czterech kwadratach

Pierścienie Noetherowskie. Twierdzenie Hilberta o bazie. Wielomiany wielu zmiennych. Bazy Gröbnera.

- S-wielomiany. Algorytm Burberchera. Minimalna baza Gröbnera.



Rozszerzenie ciał, elementy algebraiczne. Ciała skończone. Konstrukcja ciał skończonych.

– Funkcja Eulera. Twierdzenie Eulera. Małe twierdzenie Fermata. Algorytm RSA.


– Algebry skończenie wymiarowe. Przykłady algebr. Algebry łączne

Pierścienie z dzieleniem. Algebry z dzieleniem, algebry unormowane, *-algebry

Algebra kwaternionów. Algebra oktonionów

Liczby hiperpoliczne. Konstrukcja Cayleya-Dicksona algebr z dzieleniem

– Algebra Grassmana. Algebra Clifforda

Norma kwaternionu. Postać trygonometryczna kwaternionu. Obrót wektora wokół osi przy pomocy kwaternionu. Kwaternion obrotu

Pierścień całkowity. Ideały pierścieni. Pierścienie ideałów głównych. Ideały pierwsze i ideały maksymalne

Ideały względnie pierwsze. Chińskie twierdzenie o resztach. Algorytm Shamira współdzielenia sekretu

Pierścienie Noetherowskie. Twierdzenie Hilberta o bazie.

Wielomiany wielu zmiennych. Bazy Gröbnera

– S-wielomiany. Algorytm Burberchera

Rozszerzenie ciał. Ciała skończone. Multiplikatywna grupa ciała skończonego. Konstrukcja ciał skończonych

– Funkcja Eulera. Twierdzenie Eulera. Małe twierdzenie Fermata. Algorytm RSA


1. A. Białyński-Birula, Algebra, PWN, Warszawa, 2009

2. B. Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław, 2002

3. W. J. Gilbert, W. K. Nicholson, Algebra współczesna z zastosowaniami, WNT, Warszawa, 2008

4. A.I. Kostrikin, Wstęp do algebry, t.I, III, PWN , Warszawa 2005

5. C. Bagiński, Wstęp do teorii grup, Warszawa, 2002

6. M.Ch. Klin, R. Poeschel, K. Rosenbaum, Algebra stosowana dla matematyków i informatyków, WNT, Warszawa, 1992

7. I.L. Kantor, A.S. Solodovnikov, Hypercomplex Numbers. An elementary introduction to algebras. Springer-Verlag, 1989

8. J.H. Conway, D.A. Smith, On quaternions and Octanions: Their Geometry, Arithmetic and Symmetry, A K Peters, Ltd. 2003

9. D. Joyner, R. Kreminiski, J. Turisco, Applied abstract algebra, John Hopkins University Press, Baltimore and London, 2004







Wyk

ład

Ćwic

zeni

a

Labo

rato

rium

Proj

ekt

Sem

inar

ium

Egza

min

ECTS

Logika matematyczna30 30 0 0 0 NIE 5


Podstawowa wiedza z zakresu klasycznego rachunku zdań i algebry zbiorów

CEL PRZEDMIOTU

C1. Zapoznanie studentów z syntaktyką i semantyką rachunków logicznych (w tym klasycznego rachunku zdań – KRZ oraz predykatów –

KRK), systemem aksjomatycznym KRZ oraz KRK i ich pełnością oraz elementami teorii dowodu.

C2. Zapoznanie studentów z konstrukcjami teorii formalnych. Własności metalogiczne teorii formalnych – niesprzeczność, informacje o

rozstrzygalności i nierozstrzygalności

C3. Zapoznanie studentów z podstawowymi pojęciami teorii krat i algebr Boole’a.


Wprowadzenie podstawowych pojęć Klasycznego Rachunku Zdań. Zmienne zdaniowe, formuły, wartościowania zmiennych, prawa logiczne.

Tautologie rachunku zdań.

– Definiowalność spójników zdaniowych. Układy pełne. Postaci normalne i ich zastosowanie.

– Algorytmy przekształcenia formuł zdaniowych

– Elementy teorii wnioskowania. Reguły wnioskowania

Wynikanie semantyczne i syntaktyczne. Pojęcie dowodu formalnego. Metody dowodzenia. Podstawowe pojęcia teorii dowodu

– Aksjomatyczne ujęcie Klasycznego Rachunku Zdań. Klasyczne systemy dedukcji naturalnej. Układy pełne i niepełne. Twierdzenie Posta

Twierdzenia o pełności rachunku zdań względem semantyki tradycyjnej. Twierdzenie o rozstrzygalności. Algorytmy rozstrzygania formuł

klasycznego rachunku zdań.

– Język klasycznego rachunku predykatów. Formy zdaniowe i predykaty

Formuły rachunku predykatów. Kwantyfikatory o ograniczonym zakresie. Prawa rachunku kwantyfikatorów

– Dowód formalny wprost rachunku predykatów. Dowód formalny nie wprost rachunku predykatów. Reguły dowodzenia rachunku

kwantyfikatorów



Rachunek kwantyfikatorów w ujecie aksjomatycznym. Problemy rozstrzygalne i nierozstrzygalne.

Twierdzenia Gödla. Twierdzenie Church’a

Podstawy teorii krat, kraty skończone i nieskończone. Kraty zupełne, dystrybutywne, komplementarne

Algebry Boole’a. Ujęcie aksjomatyczne algebr Boole’a

– Logiki nieklasyczne i ich zastosowanie


Dowodzenie tautologiczności formuł KRZ

– Zapis prostych systemów przy pomocy formuł KRZ.

Algorytmy przekształcenia formuł zdaniowych. Przekształcenie formuł do postaci normalnych. Testy Posta układów spójników

Wynikanie semantyczne i syntaktyczne. Dowód formalny. Własności teorii dowodu.

Metody dowodzenia w systemach dedukcji naturalnej.

Dowodzenie twierdzeń klasycznego rachunku zdań w ujęciu aksjomatycznym

– Klasyczny rachunek predykatów. Formy zdaniowe i kwantyfikatory

– Kwantyfikatory o ograniczonym zakresie. Formuły predykatów obliczalne i nieobliczalne

– Zapis prostych systemów przy pomocy formuł. Prawa rachunku kwantyfikatorów

Reguły dowodzenia rachunku kwantyfikatorów. Dowód formalny wprost rachunku predykatów. Dowód formalny nie wprost rachunku

predykatów

Dowodzenie twierdzeń klasycznego rachunku predykatów w ujęciu aksjomatycznym

Kraty, kraty skończone i nieskończone. Kraty zupełne, dystrybutywne, komplementarne. Dowodzenie własności krat

Algebry Boole’a. Dowodzenie własności algebr Boole’a


1. J.Słupecki, K.Hałkowska, K.Piróg-Rzepecka, Logika matematyczna, PWN, Warszawa, 1999

2. H.Rasiowa, Wstęp do matematyki wspólczesnej, WN PWN, Warszawa, 1999

3. J.Wajszczyk, Wstęp do logiki (z ćwiczeniami), Olsztyn, 2001

4. Z.Huzar, Elementy logiki dla informatyków, Wrocław, 2002

5. W.Marek, J.Onyszkiewicz, Elementy logiki i teorii mnogości w zadaniach, PWN, Warszawa, 2001

6. N.Gubareni, Logika dla studentów, Wyd. Politechniki Częstochowskiej, Częstochowa, 2002.





Przygotowano przez:Dr Maria Lupa


Wyk

ład

Ćwic

zeni

a

Labo

rato

rium

Proj

ekt

Sem

inar

ium

Egza

min

ECTS

Analiza zespolona30 30 0 0 0 NIE 6


1. Wiedza z zakresu analizy matematycznej I - ,III

2. Wiedza z zakresu funkcji zespolonych.

CEL PRZEDMIOTU

C1. Zapoznanie studentów z fundamentalnymi pojęciami, zagadnieniami i twierdzeniami (z dowodami) analizy zespolonej dotyczącymi

funkcji holomorficznych i meromorficznych jednej zmiennej zespolonej.

C2. Wypracowanie umiejętności stosowania wiedzy z zakresu analizy zespolonej do rozwiązywania problemów.

C3. Wskazanie licznych, często zaskakujących różnic między funkcjami rzeczywistymi zmiennej rzeczywistej a funkcjami zespolonymi

zmiennej zespolonej.


W 1 Powtórzenie – funkcje holomorficzne, równania Cauchy-Riemanna.

W 2, - Punkty zerowe funkcji holomorficznej, krotność punktu zerowego. Funkcje elementarne j- własności.

W 3 – Szeregi Laurenta, pierścień zbieżności szeregu Laurenta, przykłady . Twierdzenia o rozwijaniu funkcji w szereg Laurenta

W 4 – Punkty osobliwe odosobnione-klasyfikacja. Charakteryzacja punktu pozornie osobliwego, bieguna, istotnie osobliwego

W5 - . Residua funkcji. Twierdzenie całkowe o residuach. Przykłady.

W 6- Zastosowanie residuów do obliczania całek niewłaściwych z funkcji wymiernych. Lemat Jordana

W 7 - Całki z funkcji trygonometrycznych z wykorzystaniem residuów. Całki z funkcji wieloznacznych.

W 8- Przekształcenie Laplace’a, transformata i oryginał. Własności przekształcenia Laplace’a. Różniczkowanie i całkowanie oryginału i

transformaty. Wzór Riemanna-Mellina.

W 9 - Metody wyznaczania oryginałów, przykłady

W10- Zastosowania metody operatorowej do rozwiązywania równań różniczkowych i całkowych

W11 - Zachowanie się funkcji analitycznej w nieskończoności. Pochodna w nieskończoności, residuum w nieskończoności.



W 12,13 - Funkcje meromorficzne - własności. Rozkład funkcji meromorficznej na ułamki proste. Twierdzenia Mittag-Lefflera.

W 14,15 - Iloczyny nieskończone liczbowe. Własności. Iloczyny funkcyjne. Rozkład funkcji całkowitej. Twierdzenie Weierstrassa o rozkładzie,

przykłady


C 1– Funkcje holomorficzne – powtórzenie. Wyznaczanie funkcji holomorficznej, jeśli dana jest jej część rzeczywista lub urojona.

C 2 – Wyznaczanie punktów zerowych funkcji holomorficznej, krotność punktu zerowego, krotność punktów zerowych iloczynu funkcji

holomorficznych

C 3- Rozwijanie funkcji w szereg Laurenta.

C 4-- Klasyfikacja punktów osobliwych odosobnionych. Określanie rodzaju osobliwości

C 5- Obliczanie residuów funkcji w biegunach i punktach istotnie osobliwych

C 6- Twierdzenie całkowe o residuach, zastosowanie do obliczania całek.

C 7- Obliczanie całek niewłaściwych z funkcji rzeczywistych z zastosowaniem residuów

C 8- - Kolokwium

C 9- Obliczanie całek z funkcji trygonometrycznych

C 10,11,12- Wyznaczanie transformat Laplace’a oraz wyznaczanie oryginałów metodą residuów i metodą rozkładu na ułamki proste.

Zastosowanie transformaty Laplace’a do rozwiązywania równań różniczkowych i całkowych

C 13- Przykłady do twierdzenia Mittag-Lefflera

C 14– Kolokwium II.

C 15- Przykłady do twierdzenia Weierstrassa o rozkładzie


1. F. Leja, Funkcje zespolone, PWN Warszawa 197615 h

2. Szabat B.W., Wstęp do analizy zespolonej, PWN, Warszawa 1974,

3. B. Szafnicki, Zadania z funkcji zespolonych, PWN Warszawa 1971.

4. Saks St., Zygmund A., Funkcje analityczne, PWN, Warszawa 1959.

5. J. Długosz, Funkcje zespolone, teoria przykłady zadania, OW GiS Wrocław 2005.

6. Hormander L., Complex analysis in several variables, North-Holland Publishing Company, Amsterdam-London 1973.

7. J. Krzyż, J. Ławrynowicz, Elementy analizy zespolonej, WNT 1981




Cykl: 2016/2017LTyp: StacjonarneRodzaj: II stopniaRok: ISemestr: II

Przygotowano przez:Dr Tomasz Błaszczyk


Wyk

ład

Ćwic

zeni

a

Labo

rato

rium

Proj

ekt

Sem

inar

ium

Egza

min

ECTS

Obliczenia naukowe30 0 45 0 0 NIE 5


Wiedza z zakresu matematyki na poziomie studiów I stopnia.

Umiejętność korzystania z różnych źródeł informacji, w tym z podręczników oraz witryn internetowych instytucji naukowych.

Umiejętności pracy samodzielnej i w grupie

Podstawowa umiejętność obsługi pakietu Maple.

CEL PRZEDMIOTU

Zapoznanie studentów z wykorzystaniem metod numerycznych i programów obliczeniowych do problemów matematyki stosowanej.

Nabycie przez studentów praktycznych umiejętności stosowania metod numerycznych do zagadnień matematycznych w obrębie nauk

ścisłych i technicznych.


Obliczenia numeryczne i symboliczne - wprowadzenie.

Liczby przybliżone.

Wyznaczanie wartości własnych i wektorów własnych macierzy.

Różniczkowanie przybliżone.

Całkowanie przybliżone.

Metody Monte Carlo.

Funkcje specjalne.

Operatory całkowe i różniczkowe niecałkowitego rzędu – definicje, własności.

Równania różniczkowe zawierające operatory niecałkowitego rzędu – rozwiązania dokładne.

Równania różniczkowe zawierające operatory niecałkowitego rzędu – rozwiązania przybliżone.

Podsumowanie, zaliczenie wykładu.

2016/2017L -> S -> II st. -> Matematyka


Treści programowe - Laboratoria

Przypomnienie podstawowych informacji dotyczących obsługi pakietu Maple oraz zasad bezpieczeństwa i higieny pracy w laboratorium

komputerowych.

Liczby przybliżone.

Wyznaczanie wartości własnych i wektorów własnych macierzy.

Różniczkowanie przybliżone.

Całkowanie przybliżone.

Metody Monte Carlo.

Funkcje specjalne w Maple.

Operatory całkowe i różniczkowe niecałkowitego rzędu – implementacja w Maple.

Rozwiązywanie równań różniczkowych zawierające operatory niecałkowitego rzędu.

Numeryczne rozwiązywanie równań różniczkowych zawierające operatory niecałkowitego rzędu – rozwiązania przybliżone.

Zaliczenie ćwiczeń laboratoryjnych.


P. Krzyżanowski, Obliczenia inżynierskie i naukowe. Skuteczne, szybkie i efektowne. Wydawnictwo Naukowe PWN, W-wa 2011.

A.A. Kilbas, H.M. Srivastava and J.J. Trujillo, Theory and Applications of Fractional Differential Equations. Elsevier, Amsterdam 2006.

E. Majchrzak, B. Mochnacki, Metody numeryczne. Podstawy teoretyczne, aspekty praktyczne i algorytmy. Wyd. Pol. Śl. Wydanie IV

rozszerzone, Gliwice 2004.

A. Krowiak, Maple. Podręcznik, Wydaw. Helion, 2012. 4. I. Podlubny, Fractional Differential Equations. Academic Press, San Diego 1999.

B. Gustafsson, Fundamentals of Scientific Computing, Springer, Berlin, Heidelberg 2011.

K. Diethelm, The Analysis of Fractional Differential Equations. An Application-Oriented Exposition Using Differential Operators of Caputo Type.

Springer-Verlag, Heidelber 2010.





Przygotowano przez:Dr Grzegorz Biernat


Wyk

ład

Ćwic

zeni

a

Labo

rato

rium

Proj

ekt

Sem

inar

ium

Egza

min

ECTS

Analiza na rozmaitościach30 30 0 0 0 NIE 5


1. Student osiągnął efekty kształcenia z zakresu analizy matematycznej I, II, III.

2. Student zna podstawy algebry liniowej oraz teorii mnogości i topologii.

CEL PRZEDMIOTU

C1. Zapoznanie studentów z teorią krzywych i powierzchni gładkich w Rn , teorią przestrzeni stycznych oraz form różniczkowych i całek z

form różniczkowych po łańcuchach oraz rozmaitościach.

C2. Przekazanie studentom praktycznych umiejętności obliczania całek krzywoliniowych i powierzchniowych oraz zapoznanie ich z

twierdzeniem Stokesa i jego przypadkami szczególnymi jak: twierdzenie Greena, i twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego oraz

C3. Zapoznanie studentów z przykładami zastosowań całek krzywoliniowych i powierzchniowych w wybranych zagadnieniach fizyki i techniki.


W 1 – Wprowadzenie – odwzorowania z Rn w Rm, odwzorowanie ciągłe, odwzorowanie klasy C1, twierdzenie o lokalnym odwracaniu

odwzorowań różniczkowalnych, homeomorfizm, dyfeomorfizm klasy C1.

W 2 –Zbiory punktów w przestrzeni Rn, krzywe na płaszczyźnie, krzywe i powierzchnie w R3, hiperpłaszczyzna styczna i prosta normalna do

powierzchni.

W 3 – Rozmaitości gładkie k - wymiarowe w przestrzeni Rn, przestrzeń styczna do rozmaitości, pochodna określona na rozmaitościach.

W 4 – k – wymiarowa rozmaitość z brzegiem i przestrzeń do niej styczna, obszar wielokątny.

W 5 – Całka krzywoliniowa (niezorientowana) na płaszczyźnie.

W 6 – Całka krzywoliniowa (niezorientowana) w przestrzeni, twierdzenie o obliczaniu całki krzywoliniowej, zastosowania

W 7 – Całka powierzchniowa (niezorientowana) jej wyznaczanie i zastosowania

W 8 – Elementy teorii pola, definicje: pole wektorowe, gradient, dywergencja, rotacja.

W 9 – Definicja k-tensora, iloczynu tensorowego, definicja k – formy różniczkowej, przestrzeni form, iloczynu zewnętrznego. Operacja

przenoszenia k – formy różniczkowej i różniczka formy.



W 10 – Singularna kostka (n-kostka), całka formy na n- kostce, n -łańcuch , brzeg łańcucha, ścianki łańcucha, własności.

W 11 – Całkowanie form różniczkowych, całka krzywoliniowa i powierzchniowa (zorientowana), całka formy po łańcuchu, twierdzenie Stokesa

dla łańcucha.

W 12 – Pole wektorowe i k - formy na rozmaitościach, operacja przenoszenia k - formy na rozmaitościach, różniczka na rozmaitościach.

W 13 – Rozmaitość zorientowana, rozmaitość z brzegiem, orientacja (indukowana) brzegu.

W 14 – Twierdzenie Stokesa na rozmaitościach.

W 15– Przypadki szczególne twierdzenia Stokesa: twierdzenie Greena, twierdzenie Gaussa - Ostrogradskiego.


C 1 – Odwzorowania z Rn w Rm, odwzorowanie ciągłe, składanie odwzorowań, wyznaczanie obrazów, przeciwobrazów, własności odwzorowań.

C 2 – Równania krzywych na płaszczyźnie, krzywe w R3.

C 3 – Powierzchnie w R3. Hiperpłaszczyzna styczna i prosta normalna do powierzchni .

C 4 – 2-rozmaitości w R3 zadane równaniem F(x1, x2,x3)=0.

C 5 – Rozmaitości zadane równaniami xn=f(x1,…,xn-1) oraz F(x1,…,xn)=0

C 6 – Przestrzeń styczna jako przestrzeń wektorowa. Równania przestrzeni stycznych dla rozmaitości. Odwzorowanie styczne.


C 8 – Elementy teorii pola, definicje: pole wektorowe, gradient, dywergencja, rotacja. Pole potencjalne. Warunek konieczny i wystarczający

potencjalności pola.

C 9 – k- formy różniczkowe, postać kanoniczna. Całkowanie form różniczkowych, całka krzywoliniowa i powierzchniowa.

C 10 – Obliczanie całek krzywoliniowych i powierzchniowych. Twierdzenie Stokesa dla n- łańcucha.

C 11 – k- formy na rozmaitościach. Rozmaitość zorientowana. Rozmaitość z brzegiem.

C 12 – Całka z formy na rozmaitościach. Twierdzenie Stokesa na rozmaitościach.

C 13 – Przypadki szczególne twierdzenia Stokesa: twierdzenie Greena, twierdzenie Gaussa- Ostrogradskiego, twierdzenie o niezależności

całki krzywoliniowej od drogi całkowania.


C 15 - Zaliczenie ćwiczeń .


1. A.Birkholc, Analiza matematyczna, Funkcje wielu zmiennych, PWN, Warszawa ,2002

2. M. Spivak, Analiza na rozmaitościach, PWN, warszawa, 2005

3. W. Rudin, Podstawy analizy matematycznej, PWN, Warszawa, 2002





Przygotowano przez:Dr Piotr Puchała


Wyk

ład

Ćwic

zeni

a

Labo

rato

rium

Proj

ekt

Sem

inar

ium

Egza

min

ECTS

Analiza funkcjonalna II2 3 0 0 0 NIE 5


1. Opanowanie efektów kształcenia wymaganych do złożenia egzaminu z przedmiotów Analiza matematyczna I, Analiza Matematyczna II,

Analiza Matematyczna III, Analiza Funkcjonalna I.

2. Opanowanie efektów kształcenia wymaganych do złożenia egzaminu z przedmiotu Algebra liniowa i geometria analityczna.

3. Opanowanie efektów kształcenia wymaganych do złożenia egzaminu z przedmiotu Topologia.

4. Opanowanie efektów kształcenia wymaganych do złożenia egzaminu z przedmiotu Równania różniczkowe.

CEL PRZEDMIOTU

Zapoznanie studentów z niektórymi klasycznymi twierdzeniami analizy funkcjonalnej.

Zapoznanie studentów z elementami teorii optymalizacji w przestrzeniach pre-Hilberta i przestrzeniach unormowanych.

Zapoznanie studentów z zagadnieniami dotyczącymi słabej zbieżności i słabych topologii w przestrzeniach Banacha .

Zapoznanie studentów z niektórymi zastosowaniami analizy funkcjonalnej.


Wprowadzenie. Wskazanie potrzebnych w dalszym ciągu wiadomości z algebry liniowej i analizy. Przestrzenie unormowane skończenie

wymiarowe: równoważność norm, zbieżność w normie i po współrzędnych, zwartość, lokalna zwartość, uniwersalność przestrzeni R^n.

Przestrzenie Hilberta, bazy ortonormalne w nieskończenie wymiarowych przestrzeniach Hilberta, uniwersalność przestrzeni l^2.

Zagadnienie najlepszej aproksymacji: sformułowanie podstawowych problemów w języku przestrzeni Hilberta. Pojęcie najlepszego

przybliżenia, błędu przybliżenia, zbiór proksymalny, zbiór Czebyszewa. Zbiory wypukłe, w tym stożki, w przestrzeni liniowej.

Twierdzenie o najlepszym przybliżeniu z wypukłego, domkniętego podzbioru przestrzeni Hilberta. Pojęcie ciągu minimalizującego, częściowa

charakterystyka najlepszego przybliżenia.

Rozwiązanie niektórych problemów optymalizacyjnych w przestrzeniach Hilberta. Przestrzenie unormowane ściśle wypukłe. Zagadnienie

najlepszej aproksymacji w przestrzeniach unormowanych.

Baza Schaudera. Funkcjonały liniowe. Przestrzenie sprzężone. Zanurzenie kanoniczne, przestrzenie refleksywne.



Przykłady przestrzeni sprzężonych, twierdzenie Riesza – Frécheta. Ogólny kształt funkcjonału liniowego na klasycznych przestrzeniach.

Przykłady przestrzeni refleksywnych.

Twierdzenie Hahna – Banacha. Twierdzenie o oddzielaniu zbiorów wypukłych. Wnioski z tych twierdzeń.

Słaba i *słaba zbieżność w przestrzeniach unormowanych. Twierdzenie Mazura o silnej zbieżności ciągów kombinacji wypukłych. Słaba

zwartość w przestrzeniach unormowanych. Twierdzenie Banacha- Alaoglu. Twierdzenie Kreina – Milmana.


Różne rodzaje norm. Równoważność norm w przestrzeniach skończenie wymiarowych. Twierdzenie o istnieniu najlepszego przybliżenia w

przestrzeniach skończenie wymiarowych.

Suma Minkowskiego zbiorów w przestrzeni liniowej. Podprzestrzenie przestrzeni unormowanych nieskończenie wymiarowych. Iloczyny

skalarne. Przestrzenie Hilberta. Ortonormalność układu Rademachera przestrzeni L^2.

Wielomiany Legendre’a, Hermite’a i Laguerre’a. Zastosowanie twierdzenia o rzucie prostopadłym. Zbiory wypukłe i ich własności.

Zbiory wypukłe i ich własności. Problem najlepszego przybliżenia w przestrzeni pre-Hilberta. Zbiór proksymalny i jego własności.

Stożki i ich podstawowe własności. Porządek częściowy wyznaczony przez stożek. Twierdzenia o oddzielaniu zbiorów wypukłych w

przestrzeniach skończenie wymiarowych.

Elementy geometrii przestrzeni Banacha. Podstawowe własności przestrzeni unormowanych ściśle wypukłych.

Funkcjonały liniowe ograniczone. Przestrzenie sprzężone do niektórych klasycznych przestrzeni.

Liniowość zanurzenia kanonicznego. Refleksywność przestrzeni unormowanej skończenie wymiarowej. Ogólny kształt funkcjonału liniowego

na niektórych klasycznych przestrzeniach.

Zastosowanie twierdzenia Hahna – Banacha: ogólny kształt funkcjonału liniowego na niektórych klasycznych przestrzeniach c.d.

Zastosowanie twierdzenia o oddzielaniu zbiorów wypukłych.

Charakterystyka słabej i *słabej zbieżności w konkretnych przestrzeniach Banacha. Lemat Riemanna – Lebesgue’a.

Lemat Schura. Zastosowanie słabej i *słabej zbieżności. Refleksywność klasycznych przestrzeni.

Refleksywność klasycznych przestrzeni c.d. Rola refleksywności w teorii optymalizacji. Operatory liniowe w przestrzeniach Banacha:

twierdzenie o odwzorowaniu otwartym.

Operatory liniowe w przestrzeniach Banacha: twierdzenia o o operatorze odwrotnym i wykresie domkniętym.

Twierdzenie Schaudera o punkcie stałym i niektóre jego zastosowania.


J. Musielak, Wstęp do analizy funkcjonalnej. PWN Warszawa 1989

W. Kołodziej, Wybrane rozdziały analizy matematycznej, PWN Warszawa 1970

S. Prus, A. Stachura, Analiza funkcjonalna w zadaniach, PWN, Warszawa 2007

A. Alexiewicz, Analiza funkcjonalna, PWN, Warszawa 1969

A.V. Balakrishnan, Analiza funkcjonalna stosowana, PWN Warszawa 1992

K.Goebel, W.A. Kirk, Zagadnienia metrycznej teorii punktów stałych, Wydawnictwo Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej, Lublin 1999

S.Kurcyusz, Matematyczne podstawy teorii optymalizacji, seria Biblioteka Naukowa Inżyniera, PWN Warszawa 1982

D.G.Luenberger, Teoria optymalizacji, seria Biblioteka Naukowa Inżyniera, PWN Warszawa 1974

S.Rolewicz, Analiza funkcjonalna i teoria sterowania, seria Biblioteka Naukowa Inżyniera, PWN Warszawa 1974





Przygotowano przez:Dr hab. Małgorzata Wróbel


Wyk

ład

Ćwic

zeni

a

Labo

rato

rium

Proj

ekt

Sem

inar

ium

Egza

min

ECTS

Teoria miary i całki45 45 0 0 0 TAK 7


1. Wiedza z zakresu teorii mnogości i topologii.


3. Wiedza z zakresu algebry liniowej.

CEL PRZEDMIOTU

C1. Zapoznanie studentów z podstawami teorii miary i całki, w szczególności z konstrukcją miary i całki Lebesgue’a w n-wymiarowych

przestrzeniach euklidesowych.

C2. Zapoznanie studentów z teorią przestrzeni funkcji całkowalnych z p-tą potęgą.

C3. Nabycie umiejętności badania przestrzeni miarowych, funkcji mierzalnych oraz obliczania całek, w szczególności całek Lebesgue’a funkcji

rzeczywistych w n-wymiarowych przestrzeniach euklidesowych.


W 1 – Ciała, σ-ciała, σ-ciała generowane przez rodzinę zbiorów, zbiory borelowskie, ciała i σ-ciała produktowe.

W 2 – Miary i ich podstawowe własności, miary zupełne, twierdzenie o uzupełnianiu miar.

W 3 – Miary zewnętrzne i twierdzenie Caratheodory’ego.

W 4 – Konstrukcja miary zewnętrznej Lebesgue’a w n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej.

W 5 – Własności miary Lebesgue’a , zbiory niemierzalne.

W 6,7 – Funkcje mierzalne i ich własności, funkcje mierzalne proste.

W 8 – Zbieżność według miary, twierdzenie Riesza.

W 9,10– Ogólna teoria całki. Całkowanie funkcji prostych, nieujemnych funkcji mierzalnych i dowolnych funkcji mierzalnych, twierdzenia o

przejściach granicznych pod znakiem całki.

W 11– Całka Lebesgue’a w ℝn, związek całki Lebesgue’a z sumami Riemanna.

W 12– Miara produktowa, twierdzenie Fubiniego, przykłady zastosowań.



W 13– Związki między różniczkowaniem a całkowaniem - twierdzenie o całkowaniu przez podstawianie, twierdzenie o zmianie zmiennych.

W 14 – Absolutna ciągłośc miar, twierdzenie Radona-Nikodyma.

W 15 – Przestrzenie funkcji całkowalnych z p-tą potęgą.


C 1– Ciała, σ-ciała, σ-ciała generowane przez rodzinę zbiorów, zbiory otwarte domknięte, zbiory borelowskie.

C 2 – Miary i ich podstawowe własności.

C 3 – Miary zewnętrzne i twierdzenie Caratheodory’ego.

C 4 – Miara zewnętrzna i miara wewnętrzna Lebesgue’a w n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej.

C 5 – Miara Lebesgue’a w n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej.

C 6 – Funkcje mierzalne.

C 7 – Zbieżność według miary.


C 9 – Całkowanie funkcji mierzalnych prostych oraz nieujemnych funkcji mierzalnych.

C 10,11 – Całkowanie dowolnych funkcji mierzalnych, twierdzenia o przejściach granicznych pod znakiem całki.

C 12, 13, 14 - Miara produktowa, twierdzenie Fubiniego z zastosowaniami, twierdzenie o całkowaniu przez podstawianie, twierdzenie o

zmianie zmiennych.



1. A. Birkholc, Analiza matematyczna. Funkcje wielu zmiennych, PWN, Warszawa 2002

2. R. Sikorski, Rachunek różniczkowy i całkowy, PWN, Warszawa 1980

3. S. Łojasiewicz, Wstęp do teorii funkcji rzeczywistych, PWN, Warszawa 1973

4. P. R. Halmos, Measure Theory, New York-Heidelberg-Berlin 1974

5. F. M. Filipczak, Teoria miary i całki, Wyd. Uniwersytetu Łódzkiego, Łódź 1997

6. J. Niewiarowski, Zadania z teorii miary, Wyd. Uniwersytetu Łódzkiego, Łódź 1997

7. W.J. Kaczor, M.T. Nowak, Zadania z analizy matematycznej. Część 3 – Całkowanie, PWN, Warszawa 2006





Przygotowano przez:Prof. dr hab. Stanisław Kukla


Wyk

ład

Ćwic

zeni

a

Labo

rato

rium

Proj

ekt

Sem

inar

ium

Egza

min

ECTS

Równania różniczkowe zwyczajne i cząstkowe3 3 0 0 0 TAK 7


Wiedza z zakresu analizy matematycznej I, II

Wiedza z zakresu algebry liniowej i geometrii analitycznej

Wiedza z zakresu równań różniczkowych zwyczajnych

CEL PRZEDMIOTU

Zapoznanie studentów z metodami rozwiązywania równań różniczkowych cząstkowych

Zapoznanie studentów z twierdzeniami o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań równań różniczkowych cząstkowych wraz z dowodami

Zapoznanie studentów z przykładami zastosowań równań różniczkowych cząstkowych


Równania różniczkowe zwyczajne, metody całkowania. Układy równań różniczkowych, stabilność rozwiązań

Twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań równań różniczkowych zwyczajnych. Przykłady zastosowań równań różniczkowych

zwyczajnych

Równania różniczkowe nieliniowe, bifurkacja, chaos

Równania liniowe i quasi – liniowe o pochodnych cząstkowych rzędu pierwszego

Klasyfikacja równań różniczkowych cząstkowych drugiego rzędu, liniowych względem drugich pochodnych

Źródła przyrodnicze równań różniczkowych typu hiperbolicznego. Struna nieograniczona. Zagadnienie Cauchy’ego. Wzór Kirchhoffa i Poissona

Zagadnienie brzegowo –początkowe dla równań hiperbolicznych. Zastosowanie metody Fouriera. Drgania swobodne i wymuszone struny

zamocowanej

Metoda Riemanna. Zastosowanie metody Riemanna do zagadnienia Cauchy`ego dla 3 równania telegrafistów

Przykłady zagadnień prowadzące do równań różniczkowych typu parabolicznego. Zasada maksimum dla równania przewodnictwa cieplnego

Procesy dyfuzji i rozprzestrzeniania ciepła w obszarach ograniczonych i nieograniczonych. Zagadnienia graniczne dla równania

przewodnictwa cieplnego. Metoda Fouriera



Procesy fizyczne prowadzące do równań typu eliptycznego. Sformułowanie zagadnień. Funkcje harmoniczne. Zasada maksimum

Istnienie rozwiązania zagadnienia Dirichleta dla koła. Metoda Fouriera. Inne podstawowe właściwości funkcji harmonicznych

Pojęcie funkcji Greena. Całkowanie zagadnienia Dirichleta dla kuli, wzór Poissona. Rozwiązania zagadnień Neumanna dla kuli

Teoria potencjału. Sprowadzenie zagadnień brzegowych dla równań typu eliptycznego do równań całkowych

Przybliżone metody rozwiązywania zwyczajnych równań różniczkowych cząstkowych


Równania różniczkowe zwyczajne, metody całkowania. Układy równań różniczkowych, stabilność rozwiązań

Równania różniczkowe nieliniowe

Równania różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu. Rozwiązywanie równań liniowych. Równania quasi – liniowe

Klasyfikacja quasi - liniowych równań różniczkowych cząstkowych rzędu drugiego

Wyprowadzenie równań i sformułowanie zagadnień fizyki matematycznej

Metoda d`Alemberta dla równań hiperbolicznych. Zagadnienia dla struny nieograniczonej

Rozwiązywanie zagadnienia Cauchy’ego dla równania falowego w przestrzeni i dla równania drgań membrany

Metoda Fouriera w zagadnieniach brzegowo-początkowych dla równań hiperbolicznych . Zagadnienia dla struny ograniczonej

Zagadnienie Cauchy’ego dla pręta nieograniczonego. Uogólniona metoda Fouriera. Rozwiązanie podstawowe, całka Poissona

Niektóre zagadnienia brzegowe dla równania Laplace`a i równania Poissona

Rozwiązywanie zagadnień brzegowych dla równań różniczkowych typu eliptycznego metodą Fouriera

– Rozwiązywanie zagadnień brzegowych dla równań różniczkowych typu eliptycznego metodą funkcji Greena


A. W. Bicadze, Równania fizyki matematycznej. PWN, Warszawa 1984

A. W. Bicadze, D. F. Kaliniczenko, Zbiór zadań z równań fizyki matematycznej. PWN, Warszawa 1984

L. Ewans, Równania różniczkowe cząstkowe. PWN, Warszawa 2002

J. Ockendon, S. Howison, A. Lacey, A. Movxhan, Applied Partial Differential Equations. Oxford University Press, 2003

P. Strzelecki, Krótkie wprowadzenie do równań różniczkowych cząstkowych. Wydawnictwo Uniwersytetu Warszawskiego, Warszawa 2006

F. Bierski, Równania różniczkowe cząstkowe. Kraków, Wydawnictwa AGH 1985

J. Niedoba, W. Niedoba, Równania różniczkowe zwyczajne i cząstkowe. Kraków, Wydawnictwa AGH 2001



POLITECHNIKA CZĘSTOCHOWSKAWydział Inżynierii Mechanicznej i InformatykiKierunek:MatematykaSpecjalność:Bez specjalności

Cykl: 2016/2017ZTyp: StacjonarneRodzaj: II stopniaRok: IISemestr: III

Przygotowano przez:Dr Katarzyna Szota


Wyk

ład

Ćwic

zeni

a

Labo

rato

rium

Proj

ekt

Sem

inar

ium

Egza

min

ECTS

Historia matematyki15 0 0 0 15 NIE 2


1. Opanowanie efektów kształcenia wymaganych do złożenia egzaminu dojrzałości

CEL PRZEDMIOTU

1. Zapoznanie studentów z dziejami matematyki od czasów prehistorycznych do współczesności oraz z podstawowymi problemami

filozoficznymi tej nauki.

2.Zapoznanie studentów z osiągnięciami matematyków polskich


1.Motywacja – znanych ludzi myśli o matematyce. Nauka: kryteria naukowości wg o.prof.J.M. Bocheńskiego OP i prof. B. Wolniewicza.

Matematyka jako nauka

2.Krótki chronologiczny rozwój matematyki. Matematycy polscy: od Witelona do wybitnych przedstawicieli szkół okresu międzywojennego.

3.Narodziny współczesnej matematyki: starożytna Grecja, Tales z Miletu, Pitagoras, szkoła pitagorejska. Platon i jego Akademia

4.Platonizm – jeden z najważnieszych nurtów filozofii matematyki. Skok do współczesności: formalizm Hilberta, intuicjonizm Brouwera

5.Powrót do starożytności: Eudoksos z Knidos – kontynuator myśli Demokryta, prekursor rachunku różniczkowego i całkowego . Euklides i

jego „Elementy geometrii”. Znaczenie „Elementów” dla rozwoju matematyki. Podsumowanie okresu starożytnego

6.Zarys historii logiki i teorii mnogości

7.Zarys historii algebry

8.Zarys historii rachunku różniczkowego i całkowego funkcji jednej zmiennej

9.Narodziny współczesnej matematyki polskiej: od końca XIX w do wielkich osiągnięć szkół lwowskiej, krakowskiej i warszawskiej.

Kryptoanalitycy poznańscy i złamanie szyfru Enigmy. Skutki II wojny światowej dla matematyki polskiej



Treści programowe - Seminarium

1.Kilka uwag o matematyce prehistorycznej, egipskiej i babilońskiej. Rozwinięcie niektórych punktów chronologii z wykładu

2.Matematycy I Rzeczpospolitej i okresu rozbiorowego- uzupełnienie

3.Nieporozumienia związane z pojęciem nauki, matematyka jako nauka Przenikanie się odrębnych formalnie dziedzin matematyki – jedność

matematyki

4.Rola dowodu w matematyce – starożytni matematycy greccy: pierwsi dziejach rozumiejący istotę dowodu matematycznego

5.Starożytni matematycy greccy - uzupełnienie

6.Platonizm, formalizm, intuicjonizm – rozwinięcie zagadnień przedstawionych na wykładzie

7.Matematyka starożytnej Grecji – istotny element „greckiego filaru” cywilizacji europejskiej

8.Matematyka czysta i stosowana – części rozłączne, części wspólne,

9.Polska międzywojenna: jeden z najsilniejszych ośrodków matematyki światowej


1. L. Gruszecki , „Zarys dziejów matematyki”, Wydawnictwo Katolickiego Uniwersytetu Lubelskiego, Lublin 2009

2. M. Kordos, "Wykłady z historii matematyki", wydanie II, Script, Warszawa 2006

3. R. Duda, "Lwowska szkoła matematyczna", Wydawnictwo Uniwersytetu Wrocławskiego, Wrocław 2007

4. P. J. Davis, R. Hersh, Świat matematyki, PWN, Warszawa1994

5. J.M.Bocheński OP, "Sto zabobonów", Philed, Kraków 1992

6. "Matematyczność przyrody" pod redakcją M. Hellera, J. Życińskiego i Alicji Michalik, Ośrodek Badań Interdyscyplinarnych przy Wydziale

Filozofii Papieskiej Akademii Teologicznej, Kraków 1992





Przygotowano przez:Dr inż. Tomasz Derda


Wyk

ład

Ćwic

zeni

a

Labo

rato

rium

Proj

ekt

Sem

inar

ium

Egza

min

ECTS

Wykład monograficzny I30 0 0 0 0 NIE 1


Znajomość analizy funkcjonalnej i procesów stochastycznych na poziomie studiów pierwszego stopnia oraz podstawowa wiedza z zakresu

teorii grafów.

Znajomość podstaw programowania z wykorzystaniem pakietów programowania symbolicznego, np. Mathematica, Maple.

CEL PRZEDMIOTU

Zapoznanie studentów z systemami złożonymi i podstawami ich modelowania.

Nabycie przez studentów umiejętności doboru narzędzi matematycznych do opisu i analizy układów o dużej złożoności strukturalnej.

Rozwiązania dla kilku przykładowych modeli ewolucji dużych sieci.


W 1 – Dyskretne układy dynamiczne. Stabilność punktów stałych. Odwzorowania zwężające

W 2 – Relacje iteracyjne i automaty komórkowe. Atraktory. Sekwencje bifurkacji.

W 3 – Układy wielokomponentowe – modele sieciowe.

W 4 – Stochastyczne odwzorowania iteracyjne.

W 5 – Błądzenie losowe – własności emergentne.

W 6 – Równania reakcji i dyfuzji: układy aktywator – inhibitor, tworzenie motywów

W 7 – Układy dynamiczne: kontrakcja przestrzeni fazowej. Układy adaptacyjne – model Lorentza.

W 8- Funkcje losowe. Równanie logistyczne z szumem.

W 9 – Samoorganizująca się krytyczność, samo-niezmienniczość i samo-podobieństwo.

W 10- Modele przestrzenne – analiza z wykorzystaniem sieci automatów komórkowych

W 11 – Sieci losowe, samopodobne i hierarchiczne.

W 12 – Powstawanie klastrów, perkolacja.

W 13 - Sieci neuronowe. Model Hopfield’a



W 14 – Statystyczne modelowanie procesów ewolucyjnych.

W 15 – Zjawiska krytyczne na sieciach – podsumowanie. Test zaliczeniowy.


N. Boccara, Modeling Complex Systems. Springer, New York, Dordrecht, Heidelberg 2010.

J.P. Sethna, Entropy, Order parameters, Complexity. Calderon Press, Oxford 2011.

J.D. Murray, Wprowadzenie do biomatematyki, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2006.

Notatki do wykładu przygotowane przez prowadzącego przedmiot.





Przygotowano przez:Dr hab. inż. Andrzej Grzybowski


Wyk

ład

Ćwic

zeni

a

Labo

rato

rium

Proj

ekt

Sem

inar

ium

Egza

min

ECTS

Wybrane zagadnienia statystyki matematycznej2 2 0 0 0 TAK 6


Wiedza z podstaw teorii miary i całki Lebesque'a oraz z rachunku prawdopodobieństwa.

CEL PRZEDMIOTU

C1. Przedstawienie studentom wnioskowania statystycznego jako teorii matematycznej

C2. Wskazanie studentom związku statystyki matematycznej z praktyką podejmowania decyzji w warunkach niepewności

C3. Wskazanie wagi wykorzystywania wiedzy teoretycznej dla właściwej analizy statystycznej danego problemu rzeczywistego.


W 1 – Wektory losowe, ich rozkłady. Twierdzenie Radona-Nikodyma. Gęstości rozkładów. Typy rozkładów.

W 2 – Rozkłady funkcji wektorów losowych.

W 3 – Warunkowe wartości oczekiwane zmiennej losowej (względem zdarzeń, -ciał zdarzeń, względem zmiennych losowych).

W 4 – Rozkłady warunkowe.

W 5 – Twierdzenia graniczne.

W 6 – Wielowymiarowy rozkład normalny - własności, charakteryzacje. Twierdzenie Fishera. Wybrane twierdzenia o rozkładach form

kwadratowych wektora normalnego.

W 7 – Przestrzenie statystyczne, próba i charakterystyki próbkowe. Rozkłady wybranych statystyk.

W 8 – Statystyki dostateczne, kryterium faktoryzacji. Wykładnicze rodziny rozkładów prawdopodobieństwa. Statystyki zupełne.

W 9 – Estymacja nieobciążona z minimalną wariancją. Twierdzenie Blackwella- Rao. twierdzenie Rao-Lehmana-Sheffego.

W 10 – Nierówności typu Cramera-Rao. Twierdzenie Blytha. Efektywność estymatorów.

W 11 – Metody otrzymywania estymatorów.

W 12 – Estymatory wykorzystywane w typowych sytuacjach praktycznych. Miary błędów oszacowań.

W 13 – Podstawowe pojęcia ogólnej teorii testów, testy istotności, podstawowy lemat Neymana-Pearsona, testy jednostajnie najmocniejsze.

W 14 – Parametryczne testy istotności w typowych sytuacjach.



W 15 – Testy zgodności i testy niezależności. Inne problemy nieparametryczne


C 1 – Istota statystyki matematycznej. Rozkłady łączne i brzegowe.

C 2 – Wybrane klasy rozkładów jao modele zjawisk rzeczywistych.

C 3 – Rozkłady funkcji wektorów losowych.

C 4 – Warunkowe wartości oczekiwane i prawdopodobieństwa warunkowe (względem zdarzeń, -ciał zdarzeń, względem zmiennych losowych)

C 5 – Rozkłady warunkowe. Krzywe regresji.

C 6 – Wielowymiarowy rozkład normalny - własności.

C 7 – Kolokwium.

C 8 – Rozkłady statystyk.

C 9 – Kryterium faktoryzacji. Wykładnicze rodziny rozkładów.

C 10 – Estymacja nieobciążona z minimalną wariancją.

C 11 – Badanie efektywności estymatorów.

C 12 – Praktyka estymacji.

C 13 – Elementy ogólnej teorii testów

C 14 – Praktyczne problemy testowania hipotez.

C 15 – Kolokwium


1. Bartoszewicz J., Wykłady ze Statystyki Matematycznej, PWN, Warszawa 1996

2. Rao C.R., Modele liniowe statystyki matematycznej , Warszawa, PWN, 1982

3. Ramachandran, K. M., Tsokos.C.P., Mathematical statistics with applications, Elsevier Academic Press, 2009

4. Shao J. Mathematical Statistics, New York, Springer Science, 2003

5. Shao J. Mathematical Statistics: Exercises and Solutions, New York, Springer Science, 2005

6. Morris H. DeGroot, Optymalne decyzje statystyczne, Warszawa : Państ. Wydaw. Naukowe , 1981

7. Krysicki W, Bartos J, Dyczka W, Królikowska K., Wasilewski M., Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach, cz.

I, PWN, Warszawa, wydanie 1994 lub nowsze

8. Zieliński R., Siedem wykładów wprowadzających do statystyki matematycznej, seria Biblioteka Matematyczna, PWN, Warszawa 1990







Wyk

ład

Ćwic

zeni

a

Labo

rato

rium

Proj

ekt

Sem

inar

ium

Egza

min

ECTS

Wielokryterialna analiza decyzyjna2 0 0 0 0 NIE 1


1. Podstawy programowania liniowego, statystyki matematycznej oraz podstawowa wiedza z zakresu normatywnej teorii decyzji.

CEL PRZEDMIOTU

C1. Zapoznanie studentów z podstawowymi modelami wielokryterialnego podejmowania decyzji.

C2. Nabycie przez studentów umiejętności doboru modeli problemów wielokryterialnych.

C3. Rozwiązania podstawowych typów problemów wielokryterialnych


W 1 – Wstęp do teorii decyzji: teoria normatywna vs. behawioralna. Elementy normatywnej teorii decyzji: problem decyzyjny w sensie teorii,

podział problemów decyzyjnych. Funkcja użyteczności.

W 2 – Optymalizacja wielokryterialna vs. analiza wielokryterialna. Wielokryterialne problemy decyzyjne a teoria gier. Podstawowe koncepcje

rozwiązań problemów wielokryterialnych.

W 3 – Metody programowania liniowego w optymalizacji wielokryterialnej - meta kryteria.

W 4 – Wyznaczanie rozwiązań efektywnych w sensie Pareto - przykłady

W 5 – Programowanie celowe. Przykłady

W 6 – Konstrukcja portfela optymalnego – studium przypadku.

W 7 – Programowanie liniowe w przypadku ograniczeń niepewnych - przykład

W 8- Wielokryterialna analizy decyzyjna w oparciu oceny bezpośrednie (SMART) – podstawowe idee

W 9 – Zastosowanie metod opartych o SMART - studium przypadku

W 10- Wielokryterialna analizy decyzyjna w oparciu o macierze porównań parami. Klasyczna metoda AHP.

W 11 – Alternatywne metody w AHP

W 12 – Przykład AHP - Studium przypadku.

W 13 - Zbiory rozmyte w opisie niepewności.



W 14 – AHP w przypadku rozmytych macierzy porównań parami

W 15 – Kierunki rozwoju wielokryterialnego podejmowania decyzji – podsumowanie. Test zaliczeniowy.


A.Z. Grzybowski, Matematyczne Modele Konfliktu - Wykłady z Teorii Gier I Decyzji, Wydawnictwo Politechniki Częstochowskiej, Częstochowa

2012

F. A. Lootsma, Multi-Criteria Decision Analysis via Ratio and Difference Judgement, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht 1999

M. Ehrgott, Multicriteria Optimization, Springer, Berlin 2005

D.R. Luce, H. Raiffa, Gry i decyzje, PWN, 1964





Przygotowano przez:Dr inż. Anita Ciekot


Wyk

ład

Ćwic

zeni

a

Labo

rato

rium

Proj

ekt

Sem

inar

ium

Egza

min

ECTS

Metody optymalizacji w ekonomii30 15 30 0 0 NIE 4


1. Wiedza z algebry w szczególności rachunku macierzowego.

2. Wiedza z analizy matematycznej w zakresie studiów pierwszego stopnia.

CEL PRZEDMIOTU

C1. Zapoznanie studentów z teoretycznymi podstawami optymalizacji oraz algorytmami obliczeniowymi oraz z aspektami ekonomicznymi

optymalizacji.

C2. Nabycie przez studentów praktycznych umiejętności formułowania, rozwiązywania i interpretacji rozwiązań problemów z dziedziny metod

optymalizacji, w szczególności dotyczących programowania liniowego i nieliniowego, komputerowej realizacji prezentowanych algorytmów

oraz korzystania z dostępnych pakietów optymalizacyjnych.


W 1 – Klasyfikacja problemów optymalizacyjnych. Podstawowe definicje i oznaczenia. Przykłady praktyczne zadań optymalizacyjnych.

Formułowanie zadań optymalizacyjnych.

W 2 – Problemy liniowe. Podstawowe metody rozwiązywania problemów optymalizacji liniowej- metoda Simpleks, problemy pierwotne i

dualne.

W 3 – Problemy nieliniowe. Zbiory wypukłe, funkcje wypukłe i wklęsłe i ich zastosowanie w zadaniach programowania nieliniowego. Postać

ogólna zadania programowania nieliniowego.

W 4 – Postać standardowa i kanoniczna problemów optymalizacji nieliniowej. Warunki konieczne i wystarczające optymalności dla zadań bez

ograniczeń i z ograniczeniami.

W 5,6 – Metody rozwiązywania ZPNL bez ograniczeń i z ograniczeniami. Funkcja Lagrange’a warunki optymalności dla zadań programowania

nieliniowego, twierdzenie Kuhna-Tuckera.

W 7 – Programowanie kwadratowe. Warunki Kuhna-Tuckera dla zadania programowania kwadratowego. Metoda Wolfe’a.

W 8 – Optymalizacja portfela akcji jako przykład zadania programowania kwadratowego, podstawowe definicje, formułowanie i rozwiązanie



zadania.

W 9 – Projektowanie złożonych przedsięwzięć wieloczynnościowych. Wybrane elementy teorii grafów, budowa modelu sieciowego.

W 10,11 – Podstawowe metody w analizie sieciowej: deterministyczna analiza czasowa przedsięwzięcia – metoda CPM, stochastyczna analiza

czasowa przedsięwzięcia – metoda PERT.

W 12 – Harmonogramy czasowo – optymalne. Diagram Gantta.

W 13 – Analiza czasowo-kosztowa oraz analiza zasobowa przedsięwzięcia.

W 14 – Struktura złożonych systemów ekonomicznych – statyczny model Leontiewa.

W 15 – Prognozy wykonane na podstawie modelu Leontiewa, agregacja w modelu Leontiewa, związki modelu Leontiewa z programowaniem

liniowym. Test zaliczeniowy.


C1, C2 – formułowanie modeli matematycznych z zakresu problemów optymalizacji liniowej – planowanie produkcji, optymalna dieta.

C3, C4 – formułowanie problemów dualnych, przejście od zadań pierwotnych do dualnych i na odwrót. Przypadki szczególne.

C5, C6, C7 – formułowanie modeli matematycznych dla zadań optymalizacji nieliniowej przedstawiających problemy ekonomiczne, postać

standardowa i kanoniczna.

C8, C9 – formułowanie warunków koniecznych i wystarczających istnienia rozwiązania optymalnego dla zadań nieliniowych.

C10, C11 – budowanie funkcji Lagrange’a, tworzenie warunków Kuhna-Tuckera, tworzenie zadania zastępczego dla zadania z ograniczeniami.

C12, C13 – konstruowanie sieci czynności dla przedsięwzięcia wieloczynnościowego.

C14, C15 – budowanie statystycznego modelu Leontiewa, interpretacja ekonomiczna uzyskanych wyników.


L 1 – rozwiązywanie zadań optymalizacji liniowej – planowanie produkcji, optymalna dieta, problemy cięcia.

L 2 – rozwiązywanie problemów pierwotnych i dualnych. Przypadki szczególne.

L 3 – rozwiązywanie problemów optymalizacji liniowej za pomocą metody simpleks, zapoznanie się z pakietem „Optimization Package”

programu Maple.

L 4 – rozwiązywanie zadań optymalizacji nieliniowej, postać standardowa i kanoniczna.

L 5 – formułowanie i sprawdzanie warunków koniecznych i wystarczających istnienia rozwiązania optymalnego dla zadań nieliniowych.

L 6 – budowanie funkcji Lagrange’a, tworzenie warunków Kuhna-Tuckera, tworzenie zadania zastępczego dla zadania z ograniczeniami.

L 7 – rozwiązywanie zadań programowania kwadratowego, zastosowanie metody Wolfe’a.

L 8, L 9 – Rozwiązywanie zadań przedstawiających problemy ekonomiczne firmy produkcyjnej: maksymalizacji zysku przy określonych

kosztach produkcji, minimalizacja kosztów wytworzenia danej wielkości produkcji, wyznaczanie granicy opłacalności prowadzenia działalności

produkcyjnej.

L 10 – konstruowanie sieci czynności dla przedsięwzięcia wieloczynnościowego.

L 11 – szukanie i analiza ścieżki krytycznej w metodzie CPM, wykonanie analizy czasowej i kosztowej.

L 12 – szukanie średniego czasu trwania przedsięwzięcia, czasu realizacji projektu z zadanym prawdopodobieństwem oraz

prawdopodobieństwa realizacji projektu w zadanym czasie – metoda PERT.

L 13 – wyznaczanie macierzy Leontiewa i macierzy do niej odwrotnej, budowanie statycznego modelu Leontiewa, formułowanie interpretacji

ekonomicznej uzyskanych macierzy.

L 14 – wyznaczanie wektora produkcji globalnej, wektora produkcji końcowej na podstawie modeli Leontiewa.

L 15 – rozwiązywanie problemów z zakresu prezentowanego na wykładach – sprawdzian przy komputerze.


1. Grabowski W., Programowanie matematyczne, PWE, Warszawa 1980

2. Brdyś M., Ruszczyński A., Metody optymalizacji w zadaniach, WNT, Warszawa 1985

3. Trzaskalik T., Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem, PWE, Warszawa 2008

4. Czerwiński Z., matematyka na usługach ekonomi, PWN, Warszawa 1980



5. Krawczyk S., A Badania operacyjne dla menedżerów, Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej we Wrocławiu, Wrocław 1996

6. Praca zbiorowa pod redakcją E. Majchrzak, Badania operacyjne. Teoria i zastosowania, Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, Gliwice, 2007

7. Jędrzejczyk Z., Kukuła K., Skrzypek J., Walkosz A., Badania operacyjne w przykładach i zadaniach, PWN, Warszawa, 2002

8. Hillier F., S., Lieberman G., J., Introduction to operations research, McGraw-Hill, Inc. 1990





Przygotowano przez:Dr Ewa Ładyga


Wyk

ład

Ćwic

zeni

a

Labo

rato

rium

Proj

ekt

Sem

inar

ium

Egza

min

ECTS

Modele matematyki finansowej30 30 0 0 0 NIE 0


Wiedza z zakresu analizy matematycznej I

CEL PRZEDMIOTU

Przedstawienie studentom podstawowych pojęć, metod i modeli matematyki finansowej.

Przedstawienie studentom podstawowych modeli w zarządzaniu finansami firmy.

. Przedstawienie studentom praktycznych zastosowań przekazanej wiedzy teoretycznej.

Przedstawienie studentom podstawowej wiedzy na temat papierów wartościowych i zapoznanie z działalnością Giełdy Papierów

Wartościowych.


W 1 – Wartość pieniądza w czasie. Stopa procentowa. Rachunek odsetek prostych i składanych. Oprocentowanie składane z góry. Odsetki

naliczane częściej niż raz w roku.

W 2 – Przeciętna stopa procentowa. Średnia ważona stopa procentowa. Strumienie płatności. Dyskonto. Dyskonto proste i składane,

matematyczne i handlowe. Przykłady.Inflacja.

W 3 – Spłata długu, kredyt – wprowadzenie. Zasady ogólne. Spłata długów krótkoterminowych.

W 4 – Spłata długów, Kredyty z dodatkowymi opłatami.

W 5 – Spłata długu przy wysokiej inflacji. Kredyty obrotowe krótkoterminowe. Kredyt: inwestycyjny, akceptacyjny, lombardowy, hipoteczny.

Gwarancje bankowe.

W 6 – System podatkowy. Charakterystyka podatków od osób fizycznych i prawnych. Podatki i opłaty lokalne.

W 7 – Renta kapitałowa. (Renta stała, arytmetyczna i geometryczna.) Wpływ inflacji na rentę kapitałową.

W 8 , 9 – Papiery wartościowe. Weksle. Bony skarbowe. Certyfikaty depozytowe. Obligacje. Akcje. Giełda Papierów Wartościowych.

Rentowność.

W 10 – Leasing. Pojęcie i formy leasingu. Opłaty leasingowe.



W 11 – Koszt kapitału. (Koszt kapitału własnego, koszt kapitału obcego, średnioważony koszt kapitału.)

W 12 – Ocena projektów inwestycyjnych. Metody statyczne. Analiza progu rentowności.

W 13 – Metody dynamiczne oceny projektów inwestycyjnych.

W 14 – Wykorzystanie dźwigni w zarządzaniu przedsiębiorstwem. Dźwignie: operacyjna, finansowa, łączna.

W 15 – Analiza sprawozdań finansowych. Analiza wskaźnikowa.


C1 - Zadania praktyczne dotyczące rachunku odsetek prostych i składanych, strumieni płatności i procesu dyskontowania .

C 2, 3, 4 – Zadania praktyczne dotyczące spłaty długów – różne warianty. Zadania praktyczne dotyczące spłaty kredytów z dodatkowymi

opłatami.

C 5 – Zadania praktyczne dotyczące renty kapitałowej.

C 6 – Zadania praktyczne związane z istnieniem inflacji dotyczące spłaty długu i wpływu inflacji na rentę kapitałową.

C 7 – Kolokwium 1

C 8, 9 – Zadania praktyczne dotyczące wyznaczania wartości aktualnej poszczególnych papierów wartościowych. Wyznaczania rentowności

różnych papierów wartościowych.

C 10 – Zadania praktyczne dotyczące leasingu. Wyznaczanie kosztów kapitałów (własnego, obcego, średnioważonego).

C 11 – Zadania praktyczne dotyczące oceny projektów inwestycyjnych wykorzystującej metody statyczne. Wyznaczanie progów rentowności

w określonych przykładach.

C 12 – Zadania praktyczne dotyczące oceny projektów inwestycyjnych wykorzystującej metody dynamiczne.

C 13 – Zadania praktyczne dotyczące stosowania dźwigni w zarządzaniu przedsiębiorstwem. Wyznaczanie stopni poszczególnych dźwigni.

C 14 – Kolokwium 2

C 15 – Budowa sprawozdań finansowych dla określonej firmy. Ocena działalności firmy oparta na analizie podstawowych wskaźników.


. Dobija M., Smaga E., Podstawy matematyki finansowej i ubezpieczeniowej, PWN, Warszawa

Jajuga K., Jajuga T., Jak inwestować w papiery wartościowe? WN PWN, Warszawa

Kaźmierczak A., Pieniądz i bank w kapitalizmie, WN PWN, Warszawa

Smaga E., Arytmetyka finansowa, PWN, Warszawa-Kraków

Sobczyk M., Matematyka finansowa, Agencja Wydawnicza ,,Placet”, Warszawa

Wieteska St., Kowalewska A., Zbiór zadań z matematyki finansowej, Wyższa Szkoła Finansów, Bankowości i Ubezpieczeń, Łódź







Wyk

ład

Ćwic

zeni

a

Labo

rato

rium

Proj

ekt

Sem

inar

ium

Egza

min

ECTS

Seminarium dyplomowe0 0 0 0 1 NIE 0


1. Student posiada wiedzę i umiejętności określone w wymaganiach dla przedmiotów podstawowych, kierunkowych i specjalistycznych w

zakresie umożliwiającym napisanie pracy dyplomowej.

CEL PRZEDMIOTU

C1. Kształtowanie umiejętności przygotowania i przedstawiania referatów , prezentacji oraz przygotowania pracy dyplomowej zgodnie z

wymogami metodyki i metodologii pracy naukowej.

C2. Nabycie przez studentów umiejętności stawiania pytań i podejmowania dyskusji na temat związany z referatem.

C3. Nabycie umiejętności redagowania pracy dyplomowej.


S1 – Seminarium dyplomowe jako forma dydaktyczna- cele, treści i metoda zajęć. Omówienie zasad BHP.

S1 – Przedstawienie zasad rozwiązywania problemów badawczych

S2 – Zasady opracowania planu pracy dyplomowej

S3 – Metodologia doboru literatury oraz źródeł dla przyjętego tematu

S4 – Zasady doboru metodologii do rozwiązania problemu badawczego

S5 – Dobór technik i narzędzi badawczych

S6 – Metodyka analizowania związków przyczynowo – skutkowych podjętych problemów badawczych

S7 – Praktyczne porady na temat przygotowania redakcyjnego pracy dyplomowej

S8-9 – Omówienie przykładowych prac dyplomowych

S10-11 – Zasady redagowania tekstu- edytorska strona pracy: spis treści, rysunki, tabele, przypisy, załączniki. Kompozycja i narracja.

S12 - Plagiat. Istota samodzielnego oryginalnego wkładu pracy w przygotowanie pracy dyplomowej

S13-14 – Wykorzystanie systemu składu tekstu LaTeX do tworzenia tekstów i prezentacji.



S15 – Omówienie sposobu przygotowania prezentacji multimedialnej


1.W.P.Zaczyński, Poradnik autora prac seminaryjnych, dyplomowych i magisterskich, Wydawnictwo Żak, Warszawa, 1995

2.M. Węglińska, Jak pisać pracę magisterską, Oficyna Wydawnicza Impuls, Kraków 2002

3.R. Zenderowski, Technika pisania prac magisterskich, Warszawa, 2005

4. Hindle „Sztuka prezentacji”, Wydawnictwo Wiedza i Życie, Warszawa , 200

5. T. Negrino, „Power Point, Tworzenie prezentacji” Wydawnictwo Helion, Gliwice 2005





Przygotowano przez:Prof. dr hab. Michał Matałycki


Wyk

ład

Ćwic

zeni

a

Labo

rato

rium

Proj

ekt

Sem

inar

ium

Egza

min

ECTS

Zastosowania analizy stochastycznej w finansach30 30 0 0 0 TAK 6



2. Wiedza z zakresu rachunku prawdopodobieństwa.

3. Wiedza z zakresu równań różniczkowych.

4. Umiejętność rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych i cząstkowych.

CEL PRZEDMIOTU

C1. Zapoznanie studentów z metodami współczesnej matematyki finansowej.

C2. Nabycie przez studentów umiejętności zastosowania równań różniczkowych stochastycznych w matematyce finansowej; badania

procesów stochastycznych, zastosowanych w matematyce finansowej.


W 1 – Podstawowe modele stochastyczne w finansach. Stochastyczny proces Wienera.

W 2 –Właściwości procesu Wienera.

W 3 – Zwyczajny proces Wienera. Stochastyczne równania różniczkowe (SRR), wzór Ito.

W 4 – Procesy stochastyczne, opisywane za pomocą SRR, stochastyczna funkcja wykładnicza. Całkowanie stochastyczne przez części.

W 5 – Ruch Browna arytmetyczny i geometryczny.

W 6 – Proces Ornsteina-Khlenbecka.

W 7 – Modele stochastyczne zmiany ceny akcji.

W 8 –(B, S)-rynek.

W 9, 10 – Pochodne instrumenty finansowe. Model Black –Scholles-Mertona.

W 11 –Procesy dyfuzyjne i ich właściwości.

W 12 – Gęstości prawdopodobieństw stacjonarnych procesów dyfuzyjnych, zastosowanie dla modeli stawek procentowych.

W 13 – Procesy stochastyczne Bessela.



W 14 –Właściwości procesów stochastycznych Coxa-Ingersolla-Rossa.

W 15 – Analiza względna modeli stochastycznych nieliniowych dla stawek procentowych.


C 1,2 – Właściwości procesu Wienera.

C 3,4 – Rozwiązanie równań różniczkowych stochastycznych w analizie finansowej.

C 5,6,7 – Badania modeli stochastycznych dla stawek procentowych.

C 8 – Modelowanie symulacyjne zmiennych losowych typu ciągłego.

C 9 – Modelowanie symulacyjne procesu Wienera.

C 10 – Badania modeli Wasiczeka dynamiki stawki procentowej.

C 11 – Model Blacka-Karasińskiego dynamiki stawki procentowej

C 12– Model Coxa-Ingersolla-Rossa.

C 13 – Model Longstaffa.

C 14 – Model Ana-Gao.

C 15 – Analiza względna modeli stawek procentowych.


M.Matałytski, O. Tikhonenko, Procesy stochastyczne, Akademicka Oficyna Wydawnicza EXIT, Warszawa, 2011.

G. Medvedev. Diffusion models in financial analysis, BSU, Minsk, 2011.

A. Weron, R. Weron, Inżynieria finansowa, Warszawa, 2001

C. Gardiner. Handbook of stochastic methods, Springer-Verlag, Berlin, 1997.

V. Solovjev. Modeli stochastyczne matematyki finansowej, Moskwa, 2001.



POLITECHNIKA CZĘSTOCHOWSKAWydział Inżynierii Mechanicznej i InformatykiKierunek:MatematykaSpecjalność:Matematyka przemysłowa


Przygotowano przez:Prof. dr hab. Bogdan Kopytko


Wyk

ład

Ćwic

zeni

a

Labo

rato

rium

Proj

ekt

Sem

inar

ium

Egza

min

ECTS

Modelowanie stochastyczne30 30 0 0 0 TAK 6



2. Wiedza z zakresu rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej.

CEL PRZEDMIOTU

Zapoznanie studentów z teorią procesów stochastycznych i jej zastosowaniem do analizy systemów o stochastycznym charakterze działania.

Nabycie przez studentów umiejętności stosowania metod probabilistycznych do tworzenia i analizy modeli systemów informacyjnych.


W 1 – Definicja procesu stochastycznego i jego charakterystyki średnie statystyczne.

W 2 – Procesy o przyrostach niezależnych. Procesy Gaussa i Wienera.

W 3,4 – Markowowskie procesy stochastyczne. Łańcuchy Markowa, przykłady. Łańcuchy ergodyczne i stacjonarne.

W 5 – Łańcuchy Markowa z czasem dyskretnym. Okresowość. Podstawowe twierdzenia ergodyczne

W 6,7 – Łańcuchy Markowa z czasem ciągłym. Proste i odwrotne równania Kołmogorowa. Twierdzenia ergodyczne. Przedstawienie łańcucha w

postaci grafu skierowanego. Równania równowagi.

W 8 – Procesy narodzin i śmierci.

W 9 – Pojęcie systemu obsługi. Podstawowe elementy i charakterystyki systemu obsługi.

W 10,11 – Teoria strumienia wejściowego. Strumień rekurencyjny. Strumień najprostszy i jego własności. Strumień stacjonarny bez

następstw. Strumień stacjonarny rekurencyjny. Czas obsługi i jego rozkład.

W 12 – Ogólna analiza systemów obsługi jako modeli systemów informacyjnych. Istnienie trybu stacjonarnego. Wzory Little’a.

W 13 – Ogólny przegląd systemów markowowskich. Wieloliniowy system z ograniczoną kolejką. Przypadki szczególne.

W 14 – Wieloliniowy system obsługi z nieograniczoną kolejką.

W 15 – System obsługi z nieskończoną liczbą serwerów. Metoda faz Erlanga.




C 1,2 – Rozwiązywanie zadań z analizy charakterystyk prostych procesów stochastycznych. Procesy Gaussa i Wienera.

C 3 – Analiza łańcuchów Markowa z czasem dyskretnym.

C 4,5 – Analiza łańcuchów Markowa z czasem ciągłym i systemów informacyjnych opisywanych takimi łańcuchami.

C 6 – Analiza systemów informacyjnych opisywanych procesami narodzin i śmierci.

C 7,8 – Rozwiązywanie zadań z teorii strumieni wejściowych.

C 9,10,11,12,13,14 – Analiza modeli systemów informacyjnych przedstawionych w postaci markowowskich systemów obsługi.

C 15 – Kolokwium zaliczeniowe


0. Tikhonenko O. Modelowanie stochastyczne. Skrypt w wersji elektronicznej

1. Matalytski M., Tikhonenko O. Procesy stochastyczne. Akademicka Oficyna Wydawnicza EXIT, Warszawa 2011

2. Tikhonenko O. Metody probabilistyczne analizy systemów informacyjnych. Akademicka Oficyna Wydawnicza EXIT, Warszawa 2011

3. Tijms H. C. A First Course in Stochastic Models. Wiley, 2003

4. Karlin S., Taylor H. M. A First Course in Stochastic Processes. Academic Press, New York 1975

5. Ross S. M. Introduction to Probability Models. Academic Press, New York 1997

6. Breuer L., Baum D. An Introduction to Queueing Theory. Springer 2005





Przygotowano przez:Dr inż. Tomasz Derda


Wyk

ład

Ćwic

zeni

a

Labo

rato

rium

Proj

ekt

Sem

inar

ium

Egza

min

ECTS

Modelowanie procesów technologicznych30 0 0 0 0 NIE 1


Wiedza z zakresu matematyki, fizyki i informatyki na poziomie studiów I stopnia.

Umiejętność korzystania z różnych źródeł informacji, w tym z podręczników i internetu.

Umiejętności pracy samodzielnej i w grupie.

CEL PRZEDMIOTU

Zapoznanie studentów z podstawami teorii i modelownia procesów technologicznych.

Nabycie przez studentów umiejętności identyfikacji zjawisk fizycznych w poszczególnych procesach technologicznych i powiązanie ich z

adekwatnymi modelami teoretycznymi.

Zapoznanie studentów z pakietami inżynierskimi i programami wspierającymi modelownie procesów technologicznych na etapie

projektowania i wytwarzania.


W 01 – Ogólna charakterystyka procesów technologicznych

W 02 – Wprowadzenie do komputerowych systemów wspomagania projektowania, produkcji, zarządzania i kontroli jakości

W 03 – Podstawy materiałoznawstwa

W 04 – Pola temperatury podczas obróbki cieplnej metali i ich stopów

W 05 – Pola temperatury w procesach technologicznych opartych na działaniu ruchomych źródeł ciepła – obróbka laserowa i spawanie

W 06 – Modelowanie przemian fazowych w stanie stałym

W 07– Stany odkształcenia i naprężenia w procesach technologicznych metali i ich stopów

W 08 – Modelowanie procesu laserowego gięcia

W 09 – Prawa i równania teorii plastycznego płynięcia. Wybrane zagadnienia obróbki plastycznej metali na zimno

W 10 – Obróbki ubytkowe i ich modelowanie

W 11 –Wybrane zagadnienia modelowania obróbki plastycznej na gorąco



W 12 – Komputerowe systemy wspomagania w projektowaniu maszyn (CAD

W 13 – Komputerowe wspomaganie procesów wytwarzania

W 14 – Modelowanie i symulacje w elastycznych systemach produkcyjnych

W 15 – Projektowanie procesów technologicznych z zastosowaniem pakietów inżynierskich. Przykłady


R. Zdanowicz,, Modelowanie i symulacja procesów wytwarzania, Wyd. Politechniki Śląskiej, Gliwice 2007.

W. Zębala, Modelowanie procesu skrawania, Wyd. Politechniki Krakowskiej, Kraków 2011.

Encyklopedia technik wytwarzania stosowanych w przemyśle maszynowym, tom 1, odlewnictwo, obróbka plastyczna, przetwórstwo tworzyw

sztucznych, spawalnictwo, praca zbiorowa pod red. Jerzego Erbla, Oficyna Wydawnicza Polit. Warszawskiej, Warszawa 2001.

L.A. Dobrzański, Podstawy nauki o materiałach i metaloznawstwo, WN-T, , Gliwice-Warszawa 2002.

M.F. Ashby, Dobór materiałów w projektowaniu inżynierskim, WN-T, Warszawa 1998.

P. Płuciennik, Projektowanie elementów maszyn z wykorzystaniem programu Autodesk Inventor, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa

2013.

M. Babiuch, Solid Works 2006 w praktyce, Helion, Gliwice 2007.

Mathematical modelling of weld phenomena, Eds,: H. Cerjak, K. E. Easterling, The Institute of Materials, London 1993.

Notatki do wykładu przygotowane przez prowadzącego przedmiot.

A. Bokota, Modelowanie hartowania stali narzędziowych, Wyd. Politechniki Częstochowskiej, Częstochowa 2012.

J. Winczek, Modelowanie procesu napawania z wykorzystaniem objętościowych źródeł ciepła, Wyd. Politchniki Częstochowskiej, Częstochowa

2013.







Wyk

ład

Ćwic

zeni

a

Labo

rato

rium

Proj

ekt

Sem

inar

ium

Egza

min

ECTS





CEL PRZEDMIOTU

C1. Kształtowanie umiejętności przygotowania i przedstawiania referatów , prezentacji oraz przygotowania pracy dyplomowej zgodnie z

wymogami metodyki i metodologii pracy naukowej.




S1 Seminarium dyplomowe jako forma dydaktyczna- cele, treści i metoda zajęć. Omówienie zasad BHP.

S1 – Przedstawienie zasad rozwiązywania problemów badawczych

S2 – Zasady opracowania planu pracy dyplomowej

S3 – Metodologia doboru literatury oraz źródeł dla przyjętego tematu

S4 – Zasady doboru metodologii do rozwiązania problemu badawczego

S5 – Dobór technik i narzędzi badawczych

S6 – Metodyka analizowania związków przyczynowo – skutkowych podjętych problemów badawczych

S7 – Praktyczne porady na temat przygotowania redakcyjnego pracy dyplomowej

S8-9 – Omówienie przykładowych prac dyplomowych

S10-11 – Zasady redagowania tekstu- edytorska strona pracy: spis treści, rysunki, tabele, przypisy, załączniki. Kompozycja i narracja.

S12 - Plagiat. Istota samodzielnego oryginalnego wkładu pracy w przygotowanie pracy dyplomowej

S13-14 – Wykorzystanie systemu składu tekstu LaTeX do tworzenia tekstów i prezentacji.



S15 – Omówienie sposobu przygotowania prezentacji multimedialnej


1.W.P.Zaczyński, Poradnik autora prac seminaryjnych, dyplomowych i magisterskich, Wydawnictwo Żak, Warszawa, 1995

2.M. Węglińska, Jak pisać pracę magisterską, Oficyna Wydawnicza Impuls, Kraków 2002

3.R. Zenderowski, Technika pisania prac magisterskich, Warszawa, 2005

4. Hindle „Sztuka prezentacji”, Wydawnictwo Wiedza i Życie, Warszawa , 200

5. T. Negrino, „Power Point, Tworzenie prezentacji” Wydawnictwo Helion, Gliwice 2005





Przygotowano przez:Dr Tomasz Błaszczyk


Wyk

ład

Ćwic

zeni

a

Labo

rato

rium

Proj

ekt

Sem

inar

ium

Egza

min

ECTS

Współczesna matematyka przemysłowa30 15 30 0 0 NIE 4


Wiedza z zakresu analizy matematycznej I, II i III.

Wiedza z zakresu rachunku prawdopodobieństwa.

Wiedza z zakresu równań różniczkowych i metod operatorowych.

Umiejętność rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych i cząstkowych.

CEL PRZEDMIOTU

Zapoznanie studentów z metodami współczesnej matematyki przemysłowej.

Nabycie przez studentów umiejętności zastosowania równań różnicowo-różniczkowych i zadań optymalizacji, badania procesów

stochastycznych w matematyce przemysłowej.


Zadania modelowania matematycznego procesów wytwórczości wyrobów i prognozowania dochodów przedsiębiorstw w realizacji produkcji.

Układy równań różnicowo-różniczkowych (RRR) stosowane w modelach stochastycznych.

Rozwiązanie układów RRR za pomocą metody prostej (exponenty macierzowej) i metody przekształceń Laplace’a.

Rozwiązanie układów RRR dla dochodów oczekiwanych za pomocą metody przekształceń wielowymiarowych.

Algorytm znajdowania dochodów oczekiwanych.

Rozwiązanie układów RRR dla dochodów oczekiwanych metodą przybliżeń konsekwentnych łącznej z metodą szeregów. Właściwości

przybliżeń.

Metody rekurencyjne znajdowania charakterystyk średnich modeli sieci stochastycznych.

Analiza i optymalizacja modeli prognozowania dochodów losowych.

Problemy optymalnej kontroli sieci z dochodami.

Rozwiązanie zadania optymalnej kontroli sieci z dochodami metodą kompletnego wyboru strategii kontroli.

Rozwiązanie zadania optymalnej kontroli za pomocą metody programowania dynamicznego.



Rozwiązanie zadania optymalnej kontroli metodą Howarda.

Badania modeli stochastycznych procesów wytwórczości wyrobów.

Optymalizacja modeli stochastycznych procesów wytwórczości wyrobów.


Układy RRR, występujące w modelach stochastycznych.

Rozwiązanie układów RRR metodą prostej.

Rozwiązanie układów RRR metodą przekształcenia Laplace’a.

Rozwiązanie układów RRR metodą z-przekształcenia.

Rozwiązanie układów RRR za pomocą metody przybliżeń konsekwentnych.

Prognozowanie dochodów losowych.

Badania modeli procesów wytwórczości wyrobów.

Optymalizacja modeli procesów wytwórczości wyrobów.

Zaliczenie ćwiczeń.


Rozwiązanie układów RRR, występujących w modelach stochastycznych, za pomocą metody prostej.

Rozwiązanie układów RRR, występujących w modelach stochastycznych, za pomocą metody przekształcenia Laplace’a.

Rozwiązanie układów RRR metodą przybliżeń konsekwentnych.

Ocena i prognozowanie dochodów losowych.

Rozwiązanie zadania optymalnej kontroli sieci z dochodami metodą kompletnego wyboru strategii kontroli.

Rozwiązanie zadania optymalnej kontroli metodą programowania dynamicznego.

Rozwiązanie zadania optymalnej kontroli sieci z dochodami metodą Howarda.

Zaliczenie laboratorium.


E. Koluzaeva, M. Matalytski. Analisys and optimization of stochastic networks. LAP LAMBERT Academic Publishing, Saarbrucken (Germany),

2011.

M.Matałytski, O. Tikhonenko Procesy stochastyczne. Akademicka Oficyna WydawniczaEXIT, Warszawa, 2011.

C. Gardiner. Handbook of stochastic methods. Springer-Verlag, Berlin, 1997.





Przygotowano przez:Prof. dr hab. Stanisław Kukla


Wyk

ład

Ćwic

zeni

a

Labo

rato

rium

Proj

ekt

Sem

inar

ium

Egza

min

ECTS

Zastosowania równań różniczkowych w technice30 0 30 0 0 NIE 6


Wiedza z zakresu analizy matematycznej, równań różniczkowych.

Wiedza z zakresu algebry liniowej i geometrii analitycznej.

CEL PRZEDMIOTU

Zapoznanie studentów z zastosowaniami równań różniczkowych w modelowaniu matematycznym wybranych procesów występujących w

technice.

Zapoznanie studentów z wykorzystaniem obliczeń symbolicznych i numerycznych w badaniu rozwiązań zagadnień modelowania

matematycznego.

Zapoznanie studentów z analizami wyników symulacji komputerowych.


Wprowadzenie. Etapy modelowania, podstawowe definicje.

Metoda bilansu. Bilans masy, bilans energii, bilans sił.

Model matematyczny procesu filtracji wody. Transformacja przez podobieństwo.

Dyfuzja i przepływ ciepła. Analiza wymiarowa. Zagadnienie Stefana.

Modelowanie drgań układów dyskretnych. Zjawisko rezonansu. Tłumienie drgań. Układy równań różniczkowych - modelowanie drgań układów

o wielu stopniach swobody. Drgania wielokondygnacyjnego budynku wywołane trzęsieniem ziemi. Drgania mostu wywołane działaniem

wiatru. Swobodne i wymuszone drgania pojazdu.

Modelowanie drgań układów ciągłych. Metoda rozdzielenia zmiennych. Swobodne i wymuszone drgania belek. Drgania własne membran

prostokątnych i kołowych. Drgania własne płyt.




Przykłady zastosowań równań różniczkowych zwyczajnych.

Metoda bilansu masy i bilansu energii - formułowanie modeli matematycznych procesów fizycznych, rozwiązywanie zagadnień i analiza

rozwiązań.

Rozwiązywanie problemów związanych z procesem filtracji wody.

Analiza wymiarowa - zadania.

Formułowanie zagadnień przewodnictwa ciepła, rozwiązywanie i analiza rozwiązań.

Drgania układów dyskretnych. Równania różniczkowe Ayriego, Hilla i Mathieu.

Zagadnienia drgań prętów i belek z dodatkowymi elementami dyskretnymi.

Rozwiązywanie równania drgań membran w układzie prostokątnym i biegunowym.


A. Palczewski, Równania różniczkowe zwyczajne. WNT, Warszawa 1999.

L. Ewans, Równania różniczkowe cząstkowe. PWN, Warszawa 2002.

M. Gewert, Z. Skoczylas, Równania różniczkowe zwyczajne. Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2006.

D.G. Zill, M.R. Cullen, Differential equations with boundary-value problems. Thomson Brooks/Cole.

D. Basmadjian, The art of modeling in science and engineering. Chapman&Hall/CRC 1999.

G.R.Fulford, P. Broadbridge, Industrial mathematics. Case studies in the diffusion of heat and matter. Cambridge University Press 2002.

J. Caldwell, D.K.S. Ng, Mathematical modeling – case studies and projects. Kluwer Academic Publishers 2004.




Cykl: 2016/2017LTyp: StacjonarneRodzaj: II stopniaRok: IISemestr: IV

Przygotowano przez:Prof. dr hab. Inż. Małgorzata Klimek


Wyk

ład

Ćwic

zeni

a

Labo

rato

rium

Proj

ekt

Sem

inar

ium

Egza

min

ECTS



CEL PRZEDMIOTU








Wyk

ład

Ćwic

zeni

a

Labo

rato

rium

Proj

ekt

Sem

inar

ium

Egza

min

ECTS

Praca dyplomowa magisterska0 0 0 0 0 NIE 0


CEL PRZEDMIOTU






Przygotowano przez:Dr Jolanta Borowska


Wyk

ład

Ćwic

zeni

a

Labo

rato

rium

Proj

ekt

Sem

inar

ium

Egza

min

ECTS

Metody komputerowe statystyki30 0 45 0 0 NIE 4


Wiedza z zakresu rachunku prawdopodobieństwa podstaw statystyki matematycznej, algebry liniowej, podstaw teorii miary.

CEL PRZEDMIOTU

1. Zapoznanie studentów z teorią regresji i teorią szeregów czasowych oraz ich zastosowaniami w opisie problemów ekonomicznych.

2. Wskazanie studentom zasad doboru i analizy modeli regresji. Pokazanie znaczenia tych modeli w procesie analizy danych ekonomicznych.

3. Wskazanie studentom zasad budowania i weryfikowania modeli szeregów czasowych oraz wykazanie ich znaczenia w analizie finansowej.


1. Teoretyczne podstawy analizy regresji.

2. Analiza regresji w modelowaniu zjawisk ekonomicznych.

3. Istotne aspekty obliczeniowe pojawiające się w analizie regresji: obserwacje odstające i ważące, współliniowość zmiennych objaśniających.

4. Struktura danych ekonomicznych a dobór estymatora: estymator MNK, estymator najmniejszej sumy odchyleń absolutnych, estymator

grzbietowy.

5. Wstęp do analizy szeregów czasowych: szereg czasowy i jego składowe, metody wyodrębniania składowych.

6. Metody wygładzania szeregów czasowych.

7. Modele błądzenia losowego.

8. Problem wyodrębniania szumu.

9. Modele autokorelacji i autoregresji.

10. Prognozowanie zjawisk ekonomicznych na podstawie modelu szeregu czasowego. Studium przypadku.


1. Metody obliczeniowe w estymacji parametrów regresji – możliwości współczesnych pakietów statystycznych.



2. Modele kosztów przedsiębiorstwa (modele wielomianowe).

3. Modele produkcji (modele potęgowe).

4. Wyodrębnianie obserwacji odstających i ważących Badanie współliniowości zmiennych objaśniających.

5. Wykorzystanie estymatorów odpornych na obserwacje odstające i ważące.

6. Ilustracja szeregu czasowego i propozycja modelu trendu. Weryfikacja hipotezy o występowaniu trendu liniowego.

7. Zastosowanie średniej ruchomej, wygładzania wykładniczego oraz metody Holta-Wintersa do wyodrębniania trendu i prognozowania na

podstawie szeregu czasowego.

8. Badanie stacjonarności błądzenia losowego.

9. Estymacja parametrów modeli autoregresji oraz ich diagnostyka.

10. Prognozowanie na podstawie modelu szeregu czasowego – porównanie metod.


1. Amir D. Aczel - Statystyka w zarządzaniu, PWN, Warszawa 2011.

2. G. E. Box, G. M. Jenkis, Time series analysis, Prentice Hall Brockwell 1994 Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, Gliwice 2010.

3. M.L.Brenson, D.M.Levine, Basic business statistics, Prentice-Hall 1986.

4. E. W, Frees, Regression modelling with actuarial and financial applications, Cambrige University Press, 2010.

5. G. S. Maddala, Ekonometria, PWN, Warszawa 2006.

6. M. Maliński, Wybrane zagadnienia statystyki matematycznej w Excelu i pakiecie Statistica, Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, Gliwice,

2010.





Przygotowano przez:Dr Edyta Pawlak


Wyk

ład

Ćwic

zeni

a

Labo

rato

rium

Proj

ekt

Sem

inar

ium

Egza

min

ECTS

Matematyka ubezpieczeń na życie30 30 0 0 0 TAK 4


1. Znajomość zagadnień z analizy matematycznej i rachunku prawdopodobieństwa.

2. Znajomość zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa.

3. Znajomość podstaw matematyki finansowej.

CEL PRZEDMIOTU

C1. Zapoznanie studentów z pojęciami i problemami matematyki ubezpieczeń na życie.

C2. Nabycie przez studenta umiejętności sprawnego posługiwania się oznaczeniami aktuarialnymi związanymi z czasem trwania życia,

wartościami aktuarialnymi polis, rent, składkami oraz rezerwami.

C3. Zapoznanie studentów z podstawowymi ubezpieczeniami na życie.

C4. Nabycie przez studenta umiejętności kalkulacji składek netto oraz wyznaczania rezerw w różnych typach ubezpieczeń życiowych.


W 1 – Podstawowe pojęcia występujące problematyce ubezpieczeń życiowych. Klasyfikacja produktów ubezpieczeń na życie. Charakterystyka

ryzyka ubezpieczeniowego w ubezpieczeniach typu life.

W 2,3 – Modele ryzyka ubezpieczeniowego w ubezpieczeniach typu life.

W 4,5 – Metody kalkulacji jednorazowych składek netto w ciągłych ubezpieczeniach na życie.

W 6 – Metody kalkulacji jednorazowych składek netto w dyskretnych ubezpieczeniach na życie.

W 7 – Zależności pomiędzy jednorazowymi składkami netto w ubezpieczeniach typu ciągłego i dyskretnego. Funkcje i wzory komutacyjne.

W 8 – Renty życiowe ciągłe i dyskretne. Zależności między rentami życiowymi a ubezpieczeniami.

W 9 – Metody kalkulacji okresowych składek netto w modelu całkowicie ciągłym.

W 10 – Metody kalkulacji okresowych składek netto w modelu całkowicie dyskretnym i mieszanym.

W 11 – Umowy ze składkami płatnymi na początku każdego podokresu. Zastosowanie funkcji komutacyjnych do wyznaczania okresowych

składek netto.



W 12,13 – Rezerwy składek netto, modele dyskretne, ciągłe i mieszane. Metoda prospektywna i retrospektywna obliczania rezerwy

matematycznej. Twierdzenie Hattendorffa. Równanie Thielego.

W 14 – Model szkodowości wielorakiej.

W 15 – Ubezpieczenia dla wielu osób.


C 1,2 – Obliczanie intensywności umieralności, wyznaczanie parametrów tablic trwania życia, konstrukcje tablic trwania życia.

C 3 – Zastosowanie hipotez rozkładu trwania życia: prawa de Moivre`a, Gompertza, Makehama, Weibulla.

C 4, 5 – Obliczanie jednorazowych składek netto w ciągłych ubezpieczeniach na życie (bezterminowe ubezpieczenie na życie, terminowe

ubezpieczenie na życie, czyste ubezpieczenie na dożycie, ubezpieczenie na życie i dożycie, ubezpieczenia odroczone, ubezpieczenia o

zmieniającej się sumie ubezpieczenia).

C 6, 7 – Obliczanie jednorazowych składek netto w dyskretnych ubezpieczeniach na życie (bezterminowe ubezpieczenie na życie, terminowe

ubezpieczenie na życie, czyste ubezpieczenie na dożycie, ubezpieczenie na życie i dożycie, ubezpieczenia odroczone, ubezpieczenia o

zmieniającej się sumie ubezpieczenia).

C 8 – Obliczanie jednorazowych składek netto w dyskretnych ubezpieczeniach z wypłatą świadczenia na koniec podokresu śmierci. Zależności

pomiędzy jednorazowymi składkami netto w ubezpieczeniach typu ciągłego i dyskretnego. Zastosowanie funkcji komutacyjnych do

wyznaczania jednorazowych składek netto.

C 9 – Obliczanie składek netto dla podstawowych typów ubezpieczeń w modelu całkowicie ciągłym.

C 10 – Obliczanie okresowych składek netto dla podstawowych typów ubezpieczeń w modelu całkowicie dyskretnym.

C 11 – Zastosowanie funkcji komutacyjnych do wyznaczania okresowych składek netto.

C 12 – Obliczanie okresowych składek netto dla podstawowych typów ubezpieczeń w modelu mieszanym.

C 13 – Wyznaczanie rezerw składek netto (umowy całkowicie ciągłe, całkowicie dyskretne i mieszane).

C 14 – Obliczanie składek jednorazowych netto w modelach szkodowości wielorakiej.

C 15 – Kolokwium zaliczeniowe.


1. Balicki A., Analiza przeżycia i tablice wymieralności, Polskie Wydawnictwo Ekonomiczne, Warszawa, 2006

2. Błaszczyszyn B., Rolski T., Podstawy matematyki ubezpieczeń na życie, WNT, Warszawa, 2004

3. Gerber H.U., Life Insurance Mathematics, Springer – Verlang, Berlin, Heidelberg, New York, 1997

4. Kałuszka M., Krzeszowiec M., Okolewski A., Metody matematyki aktuarialnej, Wydawnictwo Politechniki Łódzkiej, Łódź, 2012

5. Kowalczyk P., Poprawska E., Ronka-Chmielowiec W., Metody aktuarialne, PWN, Warszawa 2013

6. Matłoka M., Matematyka w ubezpieczeniach na życie, Wydawnictwo Wyższej Szkoły Bankowej, Poznań, 1997

7. Michalski T., Twardowska K., Tylutki B., Matematyka w ubezpieczeniach, Wydawnictwo Placet, Warszawa, 2005

8. Monkiewicz J. (red.), Podstawy ubezpieczeń, tom I – mechanizmy i funkcje, Wydawnictwo Poltext, Warszawa, 2005

9. Monkiewicz J. (red.), Podstawy ubezpieczeń, tom II – produkty, Wydawnictwo Poltext, Warszawa, 2005

10. Ostasiewicz S., Składki w wybranych typach ubezpieczeń życiowych, Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej im. Oskara Langego we

Wrocławiu, Wrocław, 2003

11. Skałba M., Ubezpieczenia na życie, WNT, Warszawa, 2003

12. Stroiński E., Ubezpieczenia na życie w teorii i praktyce, Wydawnictwo Poltext, Warszawa, 2003





Przygotowano przez:Prof. dr hab. Bogdan Kopytko


Wyk

ład

Ćwic

zeni

a

Labo

rato

rium

Proj

ekt

Sem

inar

ium

Egza

min

ECTS

Wykład monograficzny II30 0 0 0 0 NIE 1


1. Wiedza z zakresu analizy matematycznej, rachunku prawdopodobieństwa i statystyki.

2. Umiejętność korzystania z różnych źródeł informacji, w tym z podręczników oraz witryn internetowych instytucji naukowych.

3. Umiejętności pracy samodzielnej i pracy w grupie.

CEL PRZEDMIOTU

Zapoznanie studentów z wykorzystaniem koncepcji matematycznych odpowiednich do opisu problemów z zakresu teorii ubezpieczenia na

życie i emerytalnych schematów.

Nabycie przez studentów umiejętności stosowania metod wyznaczania charakterystyk trwania życia, rezerwów itd. dla odmiennych rodzajów

ubezpieczenia na życie i emerytalnych schematów.


W 01, 02 – Wprowadzenie. Podstawy matematyki finansowej/ Foundations of financial mathematics

W 03 – Podstawowe charakterystyki trwałości życia/ Basic characteristics of life length

W 04 – Pozostały(Resztowy) czas życia / Remaining life length

W 05 – Zaokrąglony czas życia / Rounded life length

W 06 – Tablice długości trwania życia / Tables of life length

W 07, 08 – Analiza modeli krótkoterminowego ubezpieczenia na życie / Analysis of models of short-term life insurance

W 09, 10 – Analiza modeli długoterminowego ubezpieczenia na życie / Analysis of models of long-term life insurance

W 11 – Renty dożyciowee / Life annuities

W 12 – Składki okresowe / Regular premiums

W 13 – Rozliczenie premii za pomocą tablic elektronowych / Calculation of premiums by spreadsheets

W 14, 15 – Rezerwy / Reserves




1. Skałba M.: Ubezpieczenia na życie, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa 1999. ISBN 83-204-2460-7.

2. W. Ostasiewicz (red.),Modelowanie aktuarialne, Wydawnictwo AE im. Oskara Langego Wrocław 2000

3. R Bowers N.L.J., Gerber H.U., Hickman J.C., Jones D.A., Nesbit C.J.: Actuarial Mathematics. Itasca: The Society of Actuaries, 1986. ISBN 0-

938959-10-7.

4. Notatki do wykładu przygotowane przez prowadzącego przedmiot.





Przygotowano przez:Dr inż. Marek Błasik


Wyk

ład

Ćwic

zeni

a

Labo

rato

rium

Proj

ekt

Sem

inar

ium

Egza

min

ECTS

Metody komputerowe statystytki30 0 45 0 0 NIE 4


Wiedza z zakresu rachunku prawdopodobieństwa podstaw statystyki matematycznej, algebry liniowej, podstaw teorii miary.

CEL PRZEDMIOTU

Zapoznanie studentów z teorią regresji oraz jej zastosowaniami w opisie problemów pojawiających się w zagadnieniach przemysłowych.

Wskazanie studentom zasad doboru i analizy modeli regresji. Pokazanie znaczenia tych modeli w procesie analizy danych pochodzących z

procesów przemysłowych.

Wskazanie studentom zastosowań testów nieparametrycznych w analizie zjawisk zachodzących w przemyśle.


W 1 – Teoretyczne podstawy analizy regresji.

W 2, 3 – Analiza regresji w modelowaniu zagadnień pochodzących z przemysłu.

W 4 – Istotne aspekty obliczeniowe pojawiające się w analizie regresji: obserwacje odstające i ważące, współliniowość zmiennych

W 5, 6 – Struktura danych przemysłowych a dobór estymatora: estymator MNK, estymator najmniejszej sumy odchyleń absolutnych,

estymator grzbietowy.

W 7 – Budowa modelu regresji liniowej na podstawie danych pochodzących z przemysłu.

W 8, 9 – Elementy statystycznej kontroli procesu produkcyjnego: karty kontrolne dla cech ocenianych liczbowo, karty kontrolne dla cech

ocenianych alternatywnie.

W 10 – Wybrane metody nieparametryczne: test rangowanych znaków Wilcoxona

W 11 – Test Kruskala-Wallisa – nieparametryczna alternatywa testu jednorodności wielu średnich.

W 12 – Test zgodności chi-kwadrat.

W 13 – Test niezależności chi-kwadrat - analiza tablic wielodzielczych.

W 14 – Test jednorodności chi-kwadrat.



W 15 – Test zaliczeniowy.


L 1 – Metody obliczeniowe w estymacji parametrów regresji – możliwości współczesnych pakietów statystycznych.

L 2 –Estymacja parametrów regresji – przykłady zastosowań dla danych uzyskanych w procesach przemysłowych.

L 3 – Wyodrębnianie obserwacji odstających i ważących.

L 4, 5 – Dobór estymatorów modelu regresji w zależności od charakterystyk danych przemysłowych.

L 6, 7, 8 – Karty kontrolne, wykresy i analiza.

L 9 – Wybrane metody nieparametryczne: test rangowanych znaków Wilcoxona.

L 10 – Test Kruskala-Wallisa - przykład zastosowania.

L 11 – Praktyczne przykłady zastosowania testu zgodności chi-kwadrat.

L 12 – -Analiza tablic wielodzielczych - test niezależności chi-kwadrat.

L 13 – Test jednorodności chi-kwadrat.

L 14, 15 – Prezentacja prac zaliczeniowych.


1. D. Birkes, Y. Dodge, Alternative methods of regression, Wiley & Sons, New York, 1993.

2. L. Gajek, M. Kałuszka, Wnioskowanie statystyczne : modele i metody, WNT, 1999.

3. W. H. Greene, Econometric Analysis, Prentice Hall, 2002.

4. M. Maliński, Wybrane zagadnienia statystyki matematycznej w Excelu i pakiecie Statistica, Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, Gliwice,

2010.

5. J. O. Rawlings, S. G. Pantula, D. A. Dickey, Applied regression analysis, Springer-Verlag, New York, 2001





Przygotowano przez:Prof. dr hab. Michał Matałycki


Wyk

ład

Ćwic

zeni

a

Labo

rato

rium

Proj

ekt

Sem

inar

ium

Egza

min

ECTS

Wykład monograficzny II30 0 0 0 0 NIE 1


1. Wiedza z zakresu matematyki i informatyki na poziomie studiów I stopnia.

2. Umiejętność korzystania z różnych źródeł informacji, w tym z podręczników oraz witryn internetowych instytucji naukowych.

3. Umiejętności pracy samodzielnej i pracy w grupie.

CEL PRZEDMIOTU

C1. Zapoznanie studentów z elementami teorii kolejek i możliwością ich zastosowań w zagadnieniach praktycznych.

C2. Nabycie przez studentów umiejętności opracowania i zastosowań markowskich modeli kolejkowych do rozwiązywania zagadnień

zarządzania i analizy systemów ekonomicznych.


W 01 – Wprowadzenie – Zagadnienia praktyczne prowadzące do modeli kolejkowych, podstawowe pojęcia teorii kolejek

W 02,03 – Elementy rachunku prawdopodobieństwa, teoria strumieni wejściowych – Własności rozkład wykładniczego, teoria strumienia

najprostszego, czas obsługi

W 04 – Ogólna analiza systemów kolejkowych – Klasyfikacja systemów, istnienie trybu stacjonarnego, wzory Little’a

W 05,06 – Łańcuchy Markowa w ujęciu teorii kolejek – Podstawowe definicje, rodzaje łańcuchów i ich analiza, przykłady zagadnień

praktycznych opisywanych łańcuchami Markowa i ich rozwiązywanie.

W 07– Procesy narodzin i śmierci – Ogólna analiza markowskich systemów kolejkowych

W 08,09 – System M/M/n/m – rozkład liczby zgłoszeń w trybie stacjonarnym, przypadki

W 10,11,12 – System M/M/n/∞ – rozkład liczby zgłoszeń w trybie stacjonarnym, rozkład czasu oczekiwania i czasu pobytu zgłoszenia w

systemie, przypadki szczególne, przykłady zastosowań

W 13 – Sieci kolejkowe Jacksona.

W 14, 15 – Zastosowanie sieci kolejkowych do badania systemów produkcyjnych.




O. Tikhonenko. Metody probabilistyczne analizy systemów informacyjnych. Akademicka Oficyna Wydawnicza EXIT, Warszawa 2006.

O. Tikhonenko, A. Tikhonenko-Kędziak. Metody probabilistyczne w naukach ekonomicznych i zarządzaniu. Oficyna Wydawnicza EU, Warszawa

2013.

H.C. Tijms. A first сourse in stochastic models. Wiley, 2003.

Е.С. Венцель, Л.А. Овчаров. Задачи и упражнения по теории вероятностей. Academia, Москва 2003.

M.Matałycki, O. Tikhonenko; K.Kołusaajewa. Systemy i sieci kolejkowe: analiyza i zastosowania. Grodno, GrUP, 2011.







Wyk

ład

Ćwic

zeni

a

Labo

rato

rium

Proj

ekt

Sem

inar

ium

Egza

min

ECTS





CEL PRZEDMIOTU

C1. Kształtowanie umiejętności przygotowania i przedstawiania referatów oraz przygotowania pracy dyplomowej zgodnie z wymogami

metodyki i metodologii pracy naukowej.




S 1 - Wprowadzenie – omówienie tematyki seminarium, przydział referatów, harmonogram wystąpień studentów, omówienie zasad

przygotowania prezentacji

S 2-5, - – Przedstawienie i omówienie indywidualnych planów pracy i koncepcji związanych z tematem pracy dyplomowej, dyskusja i ocena

przedstawionych planów

S 6-15 – Referowanie przez studentów wybranych tematów z zakresu prac dyplomowych, analiza poprawności prezentowanych zagadnień

pod względem merytorycznym i formalnym, dyskusja i ocena przedstawionego referatu


1. W.P. Zaczyński, Poradnik autora prac seminaryjnych, dyplomowych i magisterskich, Wydawnictwo Żak, Warszawa 1991

2. T. Hindle „Sztuka prezentacji”, Wydawnictwo Wiedza i Życie, Warszawa , 2000

3. R. Zenderowski, Technika pisania prac magisterskich, Warszawa, 2005



4. .M. Węglińska, Jak pisać pracę magisterską, Oficyna Wydawnicza Impuls, Kraków 2002







Wyk

ład

Ćwic

zeni

a

Labo

rato

rium

Proj

ekt

Sem

inar

ium

Egza

min

ECTS

Elementy teorii liczb i kryptografii30 30 0 0 0 TAK 6


1. Student zna podstawowe definicji i twierdzenia z zakresu algebry liniowej i geometrii oraz algebry

2. Student zna podstawowe definicji i twierdzenia z zakresu analizy matematycznej.

CEL PRZEDMIOTU

Przedstawienie studentom najważniejszych pojęć i metod teorii liczb, przedstawienie związanych z nimi twierdzeń wraz z ich dowodami

Zapoznanie studentów z wybranymi klasycznymi problemami teorii liczb

Zapoznanie studentów z najważniejszymi pojęciami i metodami kryptograficznymi oraz przykładami zastosowań algebry i teorii liczb w

kryptografii

Zapoznanie studentów z wybranymi algorytmami teorii liczb i kryptografii


Wstęp do teorii liczb. Algorytm Euklidesa. Ułamki łańcuchowe. Liniowe równania diofantyczne. Równanie Pella

Funkcje multiplikatywne. Funkcja Möbiusa. Funkcja Eulera. Funkcja liczby dzielników. Twierdzenie Eulera. Małe twierdzenie Fermata

– Kongruencje kwadratowe i wyższych stopni.. Równania diofantyczne. Chińskie twierdzenie o resztach. Zastosowanie chińskiego twierdzenia

o resztach do rozwiązywania układu kongruencji liniowych

Reszty kwadratowe. Symbol Legenre’a. Symbol Jakobiego.

Konstrukcja ciała skończonego. Multiplikatywna grupa ciała skończonego

Pierwiastki pierwotne i indeksy. Indeksy i reszty k-go stopnia. Problem logarytmu dyskretnego.

Zastosowanie teorii liczb w kryptografii. Symetryczne i asymetryczne systemy kryptograficzne. Algorytm Diffiego-Hellmanna. Szyfr ElGamala

– Algorytm RSA z kluczem publicznym. Podpisy cyfrowe. Szyfr Rabina. Algorytm Bluma-Goldwassera

– Liczby pierwsze Mercenna’a i liczby Fermata. Test Lucasa – Lehmera. Test pierwszości Fermata. Test pierwszości Lukasa

Liczby pseudopierwsze. Test pierwszości Solovaya – Strassena. Test pierwszości Millera-Rabina. Test pierwszości AKS

Algorytmy faktoryzacji liczb całkowitych. Metoda faktoryzacji Fermata. Algorytm Dixona. Metoda sita kwadratowego. Metoda -Pollarda.



Metoda (p-1)-Pollarda

Klasyczny problem rozmieszczenie liczb pierwszych. Funkcja Li(x).

Funkcja dzeta Riemanna. Hipoteza Riemanna

Krzywe eliptyczne nad dowolnymi ciałami. Działania na punktach krzywych eliptycznych. Liczba punktów wymiernych na krzywych

eliptycznych. Hipoteza Taniyamy i Wielkie Twierdzenie Fermata. Trójki pitagorejski.

Krzywe eliptyczne nad ciałami skończonymi. Rozkład na czynniki za pomocą krzywych eliptycznych. Kryptosystemy używające krzywych

eliptycznych


Wstęp do teorii liczb. Algorytm Euklidesa. Ułamki łańcuchowe. Liniowe równania diofantyczne. Równanie Pella

Funkcje multiplikatywne. Funkcja Möbiusa. Funkcja Eulera. Funkcja liczby dzielników. Twierdzenie Eulera. Małe twierdzenie Fermata.

Rozwiązanie kongruencje liniowych i równań diofantycznych. Zastosowanie chińskiego twierdzenia o resztach do rozwiązywania układu

kongruencji liniowych

- Reszty kwadratowe. Symbol Legenre’a. Symbol Jakobiego

Pierwiastki pierwotne i indeksy. Indeksy i reszty k-go stopnia. Problem logarytmu dyskretnego. Rozwiązywanie kongruencje kwadratowych i

wyższych stopni

– Algorytm RSA z kluczem publicznym. Podpisy cyfrowe. Szyfr Rabina. Algorytm Bluma-Goldwassera

Problem logarytmu dyskretnego i jego obliczanie. Algorytm Diffiego-Hellmanna. Szyfr ElGamala

Liczby pierwsze Mercenna’a i liczby Fermata. Test Lucasa – Lehmera. Test pierwszości Fermata. Test pierwszości Lukasa

Liczby pseudopierwsze. Test pierwszości Solovaya – Strassena. Test pierwszości Millera-Rabina. Test pierwszości AKS

– Algorytmy faktoryzacji liczb całkowitych. Metoda faktoryzacji Fermata. Algorytm Dixona

Metoda sita kwadratowego. Metoda -Pollarda. Metoda (p-1)-Pollarda

- Krzywe eliptyczne nad dowolnymi ciałami. Działania na punktach krzywych eliptycznych. Liczba punktów wymiernych na krzywych

eliptycznych. Trójki pitagorejski


W. Narkiewicz, Teoria liczb, WN PWN, Warszawa, 2003

Neal Koblitz, Wykłady z teorii liczb i kryptografii, WNT, Warszawa, 2006.

Neal Koblitz, Algebraiczne aspekty kryptografii, WNT, Warszawa, 2002.

W. J. Gilbert, W. K. Nicholson, Algebra współczesna z zastosowaniami, WNT, Warszawa, 2008

A.I. Kostrikin, Wstęp do algebry, t.I, III, PWN , Warszawa 2005

Song Y. Yan, Teoria liczb w informatyce, WN PWN, Warszawa, 2006.

Ian Blake, Gadiel Seroussi, Nigel Smart, Krzywe eliptyczne w kryptografii, WNT, Warszawa, 2004

W. Marzantowicz, P. Zarzycki, Elementarna teoria liczb, WN PWN, Warszawa, 2006

W. Sierpiński, Teoria liczb, cz.I, Monografie Matematyczne, t.19, Warszawa-Wrocław, 1950

W. Sierpiński, Teoria liczb, cz.II, Monografie Matematyczne, t.38, Warszawa, 1959



POLITECHNIKA CZĘSTOCHOWSKA · W 11 – Przestrzenie homotopijnie równoważne. Przestrzenie...

Documents

Transcript of POLITECHNIKA CZĘSTOCHOWSKA · W 11 – Przestrzenie homotopijnie równoważne. Przestrzenie...