Podstawy Teorii Obwodów

PPOM

2013

Model obwodowy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2Klasyfikacja obwodów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3Założenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4Opis obwodów. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5Topologia obwodu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6Rodzaje elementów obwodów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7Konwencje oznaczeń elementów obwodów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8Liniowość . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Elementy bierne 10Opór . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Pojemność . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12Indukcyjność . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Elementy czynne 16Idealne źródła niezależne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Podstawowe prawa obwodowe 18Prawa Kirchhoffa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19Równoważność źródeł rzeczywistych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20Zasada superpozycji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21Twierdzenie o źródle zastępczym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22Przykład 4.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23Przykład 4.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1

Obwody elektryczne jako modele przyrządów i struktur fizycznych

podzespoły,

przyrządy,

zjawiska

elektrody-

namika,

fizyka ciała

stałego

równania

Maxwella,

równania

transportu

nośników

charakte-

rystyki

elementów

modele

elementów:

RLC,

aktywnych

modele:

liniowy,

o stałych

skupionych

PPOM W2/3–2

Klasyfikacja obwodów

Obwody elektryczne

O stałych skupionych(S)

O stałych rozłożonych(R)

Liniowe(L)

Nieliniowe(N)

Stacjonarne(S)

Niestacjonarne(N)

PPOM W2/3–3

Założenia

Podstawowe założenia analizy obwodów:

jednoczesność oddziaływań i skutków we wszystkich punktach układu⇒ struktury o stałychskupionych (S),

idealność (zerowy opór) doprowadzeń elementów.

PPOM W2/3–4

Opis obwodów

Składniki informacji o właściwosciach obwodu:

struktura połączeń (topologia obwodu),

charakterystyki (równania) elementów obwodu

PPOM W2/3–5

Topologia obwodu

węzeł miejsce połączenia trzech lub więcej wyprowadzeń różnych elementów,

gałąź połączenie między dwoma sąsiednimi węzłami złożone z jednego lub więcej elementów,

obwód zamknięty droga zamknięta złożona z gałęzi (usunięcie dowolnej gałęzi powodujeotwarcie obwodu).

R1i1

u1

A

Ci3

u3

B

R2i2

u2

L uLe ba

c

PPOM W2/3–6

Rodzaje elementów obwodów

bierne rozpraszające energię lub zdolne do magazynowania energii dostarczonej z zewnątrz(reprezentowane przez R, L, C, M itp.)

stratne (dyssypatywne),

bezstratne (reaktancyjne);

aktywne zdolne do dostarczania energii (reprezentowane przez źródła niezależne, źródłasterowane itp.).

PPOM W2/3–7

Konwencje oznaczeń elementów obwodów

pobudzeniewymuszenie

R

i

u E

I i

e

e

i1

1

2

3

4

u34

odpowiedź

PPOM W2/3–8

Liniowość

Jeśli odpowiedzią na wymuszenie x1 jest y1, a odpowiedzią na wymuszenie x2 jest y2, to:

1. odpowiedzią na wymuszenie x1 + x2 będzie y1 + y2 (addytywność),

2. odpowiedzią na wymuszenie ax1 będzie ay1 (jednorodność) dla dowolnej liczbyrzeczywistej a.

F(ax1 + bx2) = aF(x1) + bF(x2)

PPOM W2/3–9

Elementy bierne W2/3–10

Opór

Opór (rezystancja): R

Przewodność (konduktancja): G = R−1

Wymiar: dim(R) = L2MT−3I−2

Jednostki: om, simens

1Ω =1V

1A=kgm2

A2 s31S =

1A

1V= 1Ω−1

„Jeden om (Ω) stanowi rezystancjęmiędzy dwoma punktami przewodnika, przez który płynieprąd o natężeniu 1 ampera (A), gdy różnica potencjałów między tymi punktami wynosi1 wolt (V).”

u = Ri i =Gu

PPOM W2/3–11

Pojemność

Symbol: C

Wymiar: dim(C) = L−2M−1T4I2

Jednostka: farad

1F =1C

1V=

A2 s4

kgm2

„Jeden farad (F) stanowi pojemność kondensatora, w którym miedzy okładkami występujenapięcie 1 wolta (V), gdy znajdują się na nich różnoimienne ładunki elektryczne o wartości1 kulomba (C) każdy.”

q = Cu

PPOM W2/3–12

Pojemność

i(t) =dq(t)

dt=d

dt[Cu(t)] = C

du(t)

dt

u(t) =1

C

t∫

−∞

i(τ)dτ =U0 +1

C

t∫

0

i(τ)dτ

PPOM W2/3–13

Indukcyjność

Symbol: L

Wymiar: dim(L) = L2MT−2I−2

Jednostka: henr

1H =1Vs

1A=1Wb

1A=kgm2

A2 s2

„Jeden henr (H) stanowi indukcyjność obwodu, w którym indukuje się siła elektromotoryczna1 wolta (V), gdy prąd przepływający przez ten obwód zmienia się jednostajnie o 1 amper (A)w czasie 1 sekundy (s).”

ψ = Li

PPOM W2/3–14

Indukcyjność

u(t) =dψ(t)

dt=d

dt[Li(t)] = L

di(t)

dt

i(t) =1

L

t∫

−∞

u(τ)dτ = I0 +1

L

t∫

0

u(τ)dτ

PPOM W2/3–15

Elementy czynne W2/3–16

Idealne źródła niezależne

Źródło napięciowe Źródło prądowe

E

I

e

i

I

U

E

J U j u

I

U

J

PPOM W2/3–17

Podstawowe prawa obwodowe W2/3–18

Prawa Kirchhoffa

Prądowe prawo Kirchhoffa

n∑k=1

Ik = 0 I1

I2 I3

Ik

In

Napięciowe prawo Kirchhoffa

n∑k=1

Uk = 0U2

E3

Un

U1

PPOM W2/3–19

Równoważność źródeł rzeczywistych

Dwa żródła są równoważne, jeżeli wytwarzają identyczny prąd w obwodzie obciążenia przydowolnej wartości oporu R.

E

Rw I

RU J

I

UGw R

=⇒ J =E

RwGw =

1

Rw

E =J

GwRw =

1

Gw⇐=

PPOM W2/3–20

Zasada superpozycji

Prąd (napięcie) w wyróżnionej gałęzi układu liniowego, w którym występuje kilka źródełniezależnych, może być obliczony jako suma prądów (napięć) wywołanych w tej gałęzi przezkażde z tych źródeł działających osobno, tzn. po zastąpieniu wszystkich pozostałychniezależnych źródeł napięciowych zwarciami i niezależnych źródeł prądowych rozwarciami.

PPOM W2/3–21

Twierdzenie o źródle zastępczym

Twierdzenie Thevénina – Nortona

Obwódliniowy

1

2

≡ ET

RT 1

2

≡ JN

1

2

GN

PPOM W2/3–22

Przykład 4.2

E1 R1

G2

J2

Źródło napięciowe o sile elektromotorycznej E1 = 10V i oporze wewnętrznym R1 = 1Ωpołączono szeregowo ze źródłem prądowym o wydajności J2 = 5A i przewodności wewnętrznejG2 = 0,5S.Obliczyć parametry zastępczego źródła napięciowego.

PPOM W2/3–23

Przykład 4.3

Stosując zasadę superpozycji, obliczyć spadek napięcia na oporze R.Przyjąć: E = 20V, J = 5mA, R1 = 1kΩ, R2 = 2kΩ, R = 1kΩ.

E

R1

R U R2 J

PPOM W2/3–24