Andrzej Leśnicki, p. 638 Konsultacje: OBWODY I SYGNAŁY ... · Osiowski J., Szabatin J.: Podstawy...

Prof. Ewa Hermanowicz, p.642 Gdańsk, dn. 18.02.2013 r. Andrzej Leśnicki, p. 638 Konsultacje: poniedziałki 12-13 czwartki 15-16 [email protected] Dla studentów Materiały pomocnicze

OBWODY I SYGNAŁY, sem. 2

Program wykładów Wprowadzenie Elementy, obwody, systemy Sygnały Obwody liniowe rezystancyjne prądu stałego Metoda wskazów dla obwodów liniowych prądu sinusoidalnego Metoda transformaty Laplace’a Szeregi Fouriera Literatura podstawowa 1. Osiowski J., Szabatin J.: Podstawy teorii obwodów. Tom 1 i 2. Warszawa, WNT 1993 2. Hildebrandt A., Sołtysik H., Zieliński A.:Teoria obwodów w zadaniach. Warszawa, WNT 1977 Zasady zaliczenia przedmiotu: 30% Ćwiczenia + 70% Wykłady = 100% Wymagane min. 51% na ocenę pozytywną Dopuszczalne max. 2 nieobecności na wykładach Kartkówki na wykładach Sprawdziany na ćwiczeniach

Andrzej Leśnicki Wprowadzenie 1/3

WPROWADZENIE Sygnały są nośnikami wiadomości (informacji). Sygnałem nazywamy wielkość fizyczną zmieniającą się w takt treści wiadomości i niosącą energię w postaci przydatnej do przesyłania na odległość, przetwarzania, zapisu.

a) sygnał elektryczny – zmieniające się napięcie lub natężenie prądu elektrycznego; b) sygnał optyczny – zmieniające się natężenie fali optycznej, świetlnej; c) sygnał akustyczny – zmieniające się natężenie fali akustycznej.

0 t

ts

T T T T1t 2t 3t 4t 5t 6t

- sygnał ciągły-analogowy

00

01

10

11

ns - sygnał dyskretny-analogowy

t0 1t 2t 3t 4t 5t 6t

Oś x – dyskretyzacja (próbkowanie), zamiana sygnału ciągłego na dyskretny

Oś y – kwantowanie i kodowanie, zamiana sygnału analogowego na cyfrowy

t0 1t 2t 3t 4t 5t 6t

000 0 0 0 01 1 1 11 1 0

sygnał cyfrowy, PCM

a)

b)

c)

Sygnał: a) analogowy; b) dyskretny; c) cyfrowy Będziemy tutaj zajmowali się wyłącznie sygnałami analogowymi.


0 0

0 0

t

t

t

t

c) d)

a) b) ts ts

ts ts

Przykłady sygnałów: a) skończony, ograniczony; b) nieskończony, ograniczony; c) skończony, nieograniczony; d) nieskończony, nieograniczony Obwód elektryczny = układ elektroniczny (ang. circuit) jest szczególnego rodzaju systemem służącym do wytwarzania, przetwarzania, przesyłania i zapisywania sygnałów elektrycznych. Bez sygnału elektrycznego układ elektroniczny jest obiektem "martwym". Przyrządy (ang. devices), to części składowe rzeczywistego systemu. Elementy (ang. elements), to części składowe modelu systemu.

a)

b)

c)

d)

Zada

nie

anal

izy

Zada

nie

synt

ezy

ti te

L

R

tRidttdiLte

ti

t0

Przyrządy

Elementy

Opornica

D ław ik

Generator

Symulacja układu elektronicznego: a) rzeczywisty układ; b) model układu; c) model matematyczny; d) charakterystyka układu


Proces projektowania układu elektronicznego Programy symulacji komputerowej układów elektronicznych: PSPICE , μCAP , NAP2 , OPTIMA

Nie Tak

STOP

Model matematyczny

układu

Analiza ręczna

Uściślony model matematyczny

układu

Analiza komputerowa

Realizacja układu

i pomiary

Czy układ spełnia wymagania?

Zmiana wartości elementów lub

struktury układu

Andrzej Leśnicki Jednostki miary, oznaczenia i wartości stałych 1/5

Jednostki miary, oznaczenia i wartości stałych

W Polsce od 1966 roku obowiązuje międzynarodowy układ jednostek miar SI. Tabela 1. Podstawowe (poz. 16) i uzupełniające (poz. 7, 8) wielkości i jednostki układu SI

Wielkość Jednostka Lp. Nazwa Oznaczenie Nazwa Oznaczenie 1 2 3 4 5 6

Długość Masa Czas Natężenie prądu elektrycznego, prąd Temperatura termodynamiczna Światłość

l m t I T I

metr kilogram sekunda amper kelwin kandela

m kg s A K cd

7 8

Kąt płaski Kąt bryłowy

(rezerwowe , , ,...)

(rezerwowe )

radian steradian

rad sr

Tabela 2. Wybrane jednostki pochodne układu SI i inne dopuszczone do stosowania

Wielkość Jednostka Lp. Nazwa Oznaczenie Nazwa Oznaczenie

1 Pole powierzchni (powierzchnia) A (lub S ) metr kwadratowy m2 2 Częstotliwość f herc Hz 3 Pulsacja radian na sekundę rad/s 4 Siła F niuton N 5 Praca, energia W dżul J 6 Moc, strumień energii P wat W 7 Ładunek elektryczny Q kulomb C 8

Różnica potencjałów elektrycznych

UV ,

wolt

V

9 Siła elektromotoryczna E wolt V 10 Natężenie pola elektrycznego E wolt na metr V/m 11 Pojemność elektryczna C farad F 12 Rezystancja R om 13 Impedancja Z om 14 Reaktancja X om 15 Konduktancja G simens S 16 Admitancja Y simens S 17 Susceptancja B simens S 18 Strumień magnetyczny weber Wb 19 Indukcja magnetyczna B tesla T 20 Natężenie pola magnetycznego H amper na metr A/m 21 Indukcyjność własna L henr H 22 Indukcyjność wzajemna M henr H


Tabela 3. Przedrostki krotności jednostek miar Przedrostek

Symbol

Wartość

Nazwa liczby

yotta zetta exa peta tera giga mega kilo hekto deka jednostka decy centy mili mikro nano piko femto atto zepto yocto

Y Z E P T G M k h da - d c m n p f a z y

1024 1021 1018 = 1 000 000 000 000 000 000 1015 = 1 000 000 000 000 000 1012 = 1 000 000 000 000 109 = 1 000 000 000 106 = 1 000 000 103 = 1000 102 = 100 101 = 10 100 = 1 10-1 = 0,1 10-2 = 0,01 10-3 = 0,001 10-6 = 0,000 001 10-9 = 0,000 000 001 10-12 = 0,000 000 000 001 10-15 = 0,000 000 000 000 001 10-18 = 0,000 000 000 000 000 001 10-21 10-24

trylion biliard bilion miliard milion tysiąc sto dziesięć jeden dziesiętna setna tysięczna milionowa miliardowa bilionowa biliardowa trylionowa

Przykłady: 500 000 = 5 000 h = 500 k = 0,5 M 1 pF = 10-12 F = 10-3 nF = 103 fF 50 V = 5 daV = 500 dV = 50 000 mV = 0,05 kV Uwaga. Stosuje się też oznaczenie 10-6 = 1 ppm (jest to skrót z ang. part per million). Często w tych jednostkach podaje się stałość częstotliwości drgań generatorów, np.

ppm2000 ff . Tabela 4. Równoważne zestawy jednostek Wielkości Napięcie

V Prąd I Rezys-

tancja R Konduk-tancja G

Induk-cyjność L

Pojem- ność C

Czas t Często-tliwość f

Jednostki SI

Wolt V

Amper A

Om

Simens S

Henr H

Farad F

Sekun-da s

Herc Hz

Zestaw 1 V A S mH mF ms kHz Zestaw 2 V A S H F s MHz Zestaw 3 V A S nH nF ns GHz Zestaw 4 V mA k mS H F ms kHz Zestaw 5 V mA k mS mH nF s MHz Zestaw 6 V mA k mS H pF ns GHz Uwaga. Stosowanie równoważnych zestawów jednostek w przypadku obliczeń komputerowych zmniejsza błędy zaokrągleń, a w przypadku obliczeń ręcznych zmniejsza prawdopodobieństwo pomyłki, gdyż nie trzeba operować kłopotliwymi wykładnikami dziesiętnymi.


Tabela 5. Alfabet grecki A - alfa H - eta - ni - tau - beta - theta - ksi - ypsilon - gamma - jota - omikron - fi - delta - kappa - pi - chi - epsilon - lambda - ro - psi - dzeta - mi - sigma - omega Tabela 6. Oznaczenia matematyczne = równe równoległe xalog logarytm x przy podstawie a równe w przybliżeniu prostopadłe xx elogln logarytm naturalny ( ea ) identyczne kąt xx 10loglg logarytm dziesiętny ( 10a ) ~ podobne(identyczne) większe koniunkcja (i) pokrywające się większe lub równe alternatywa (lub) nierówne znacznie większe zaprzeczenie (negacja) od ... do ... wtedy i tylko wtedy gdy implikacja (jeżeli ... to ...) dąży do suma x mały kwantyfikator (istnieje takie x , że...) należy do iloczyn x duży kwantyfikator (dla każdego x ) Tabela 7. Wybrane stałe matematyczne i fizyczne = 3,141 593 e = 2,718 282 elg = 0,434 294 1 rad = 180/ = 57,296 o

1/ = 0,318 310 e1 = 0,367 879 lg = 0,497 150 1 o = 0,017 453 rad

2 = 9,869 604 2e = 7,389 056 10ln = 2,302 585 = 1,772 454 e = 1,648 721 ln = 1,144 730 Stała Plancka h = 6,6251710-34 Js Stała Boltzmanna k = 1,3804410-23 J/K Ładunek elementarny q = 1,6020610-19 C , 1 eV = 1,6020610-19 J Temperatura bezwzględna 15,273 CK TT , gdzie KT w K , CT w oC Potencjał termiczny (w temperaturze 28,59 oC) mV26 qkTVT Gęstość widmowa mocy szumu termicznego (w temperaturze 16,61oC) HzW104 21kT Przenikalność elektryczna próżni 0 = 8,8541610-12 F/m mF10361 9 Przenikalność magnetyczna próżni 0 = 410-7 H/m = 1,2566410-6 H/m

Opór falowy próżni 00 = 376,73 120

Prędkość światła w próżni 001 c = 299 793 km/s sm103 8


Tabela 8. Jednostki miar logarytmicznych Oznaczenia napięć, prądów i mocy w dwóch miejscach układu elektronicznego (na ogół indeks 1 to wejście, a indeks 2 to wyjście układu elektronicznego), w których ilorazy wielkości fizycznych będą wyrażane w mierze logarytmicznej

1V 2V

1I 2I

02

102

1111

0

RIRVIVP

R

0220

22222

0

RIRVIVP

R

Jednostka miary – jeden neper

1 neper = 1 Np , 1

2

1

2

1

2 lnlnln21Np

II

VV

PPx

Np., jeżeli Np1x , to 3891,722

1

2 eePP x lub 7183,21

1

2 eeVV x

lub 7183,21

2 II

Jednostka miary – jeden bel

1 bel = 1 B , 1

2

1

2

1

2 lg2lg2lgBII

VV

PPx

Np., jeżeli B1x , to 10101

2 x

PP lub 1623,31010 2

1

2 x

VV

lub 1623,31

2 II

Jednostka miary – jeden decybel

1 decybel = 1 dB , 1

2

1

2

1

2 lg20lg20lg10dBII

VV

PPx

Np., jeżeli dB1x , to 2589,11010 1010

1

2 x

PP lub 122,11010 2020

1

2 x

VV

lub 122,11

2 II

Współzależność między jednostkami miar: 1 Np = 0,8686 B, 1 B = 10 dB, 1 Np = 8,686 dB, 1 dB = 0,1151 Np


Tabela 9. Konwencja małych i dużych liter w oznaczeniach sygnałów Przykład oznaczenia prądu rezystora:

tIItiIti rRrRR sin

Amplituda – symbol pisany dużą literą, indeks małą literą

Składowa zmienna – symbol pisany małą literą, indeks małą literą

Wartość stała (średnia) – symbol pisany dużą literą, indeks dużą literą

Wartość chwilowa – symbol pisany małą literą, indeks dużą literą

R

tiR

0 t

tiR

RIrI

Andrzej Leśnicki Rezystancje zastępcze 1/2

LINIOWE UKŁADY REZYSTANCYJNE

Rezystancje zastępcze Szeregowe połączenie rezystorów

AB

AB

GR

1R

2R

1V

2V

I

V

A

B

21 RRRAB

Z prawa Ohma i napięciowego prawa Kirchhoffa wynika, że rezystancja zastępcza szeregowo połączonych rezystorów mierzona na zaciskach AB równa się sumie rezystancji

i

iAB RRRI

IRIRIVV

IVR AB21

2121 Rogólnie,

Ponieważ konduktancja jest odwrotnością rezystancji, to przy szeregowym połączeniu rezystorów odwrotność konduktancji zastępczej równa się sumie odwrotności konduktancji rezystorów

21

111GGGAB

, tj. 21

21

GGGGGAB

, ogólnie i iG

1G

1

AB

Równoległe połączenie rezystorów

1G 2G

VI

AB

AB

RG

1I 2I

21 GGGAB

Z prawa Ohma i prądowego prawa Kirchhoffa wynika, że konduktancja zastępcza równolegle połączonych rezystorów mierzona na zaciskach AB równa się sumie konduktancji

211121 GG

VVGVG

VII

VIGAB

, ogólnie

iiGABG

Ponieważ rezystancja jest odwrotnością konduktancji, to przy równoległym połączeniu rezystorów odwrotność rezystancji zastępczej równa się sumie odwrotności rezystancji rezystorów

21

111RRRAB

, tj. 21

21

RRRRRAB

, ogólnie i iR

1R

1

AB

Andrzej Leśnicki Rezystancje zastępcze 2/2

Przekształcenie gwiazda-trójkąt

1R

2R3R

12R

23R

31R

321

1331

12

312331233

321

3223

31

231223122

321

2112

23

123112311

2

131331

312312

31233

1

323223

312312

23122

3

212112

312312

12311

lub

GGGGGG

GGGGGG

GGGGGG

GGGGGG

GGGGGG

GGGGGG

RRRRRR

RRRRRR

RRRRRR

RRRRRR

RRRRRR

RRRRRR

1 1

23 23

Jeżeli oba układy są równoważne, to rezystancja mierzona omomierzem między dwoma zaciskami (przy trzecim zacisku „wiszącym w powietrzu”), będzie w obu układach jednakowa. Prowadzi to do trzech poniższych równań napisanych kolejno dla rezystancji między zaciskami 2-3, 3-1, 1-2

312312

31231221

312312

23123113

312312

12312332

RRRRRRRR

RRRRRRRR

RRRRRR

RR

312312

312312312312321 RRR

RRRRRRRRR

Teraz wystarczy równania odejmować stronami, aby wyprowadzić trzy wzory przytoczone na pod rezystorami połączonymi w gwiazdę. Zauważamy, że wzory z rezystancjami napisane dla połączenia w gwiazdę są takie same jak wzory z konduktancjami napisane dla połączenia w trójkąt. Parę układów o takiej właściwości nazywamy parą układów dualnych. Przykładem innej pary układów dualnych jest szeregowe i równoległe połączenie rezystorów. Przykład 1 Przykład 2

Andrzej Leśnicki Dzielnik napięciowy i dzielnik prądowy 1/1

Dzielnik napięciowy i dzielnik prądowy Dzielniki napięciowe służą do dzielenia (zmniejszania) napięcia wejściowego.

1R

2R

E1VI

21111 RR

ERIRV

ERR

RV21

11

ER

RV N

ii

kk

1

1R 2R kR NR

kVE

a)

b)

Dzielniki prądowe służą do dzielenia (zmniejszania) prądu wejściowego.

J

V1I

1G2G

1R2R

JGG

GGGJGVGI

21

1

21111

JRR

RI21

21

1G 2G kG NGkI

JJ

G

GI N

ii

kk

1

a)

b)

Dzielnik prądowy tworzy z dzielnikiem napięciowym parę układów dualnych. Przykład 3 Przykład 4

Andrzej Leśnicki Rzeczywiste źródła napięciowe i prądowe 1/1

Rzeczywiste źródło napięciowe W rzeczywistości nie istnieją idealne źródła napięciowe. Rzeczywiste, nieidealne źródło napięciowe oprócz wydajności napięciowej E charakteryzuje się rezystancją wewnętrzną TR (takie źródło nazywa się też źródłem Thévenina).

E

ITR

RV

I

TRE

0 E V

TR1

1

1

IRVE T

Prosta robocza

Obciążenie Rzeczywiste źródło napięciowe (Thévenina)

a) b)

Rzeczywiste źródło napięciowe: a) źródło z obciążeniem; b) prosta robocza źródła Rzeczywiste źródło prądowe Idealne źródło prądowe nie istnieje w rzeczywistości. Rzeczywiste źródło prądowe oprócz wydajności prądowej J charakteryzuje się rezystancją wewnętrzną NR (takie źródło nazywa się też źródłem Nortona).

J

I

NR RV

I

J

0 JRN V

NR1

1

1

VR

IJN

1

Prosta robocza

Rzeczywiste źródło prądowe (Nortona)

Obciążenie

)a )b

Rzeczywiste źródło prądowe: a) źródło z obciążeniem; b) prosta robocza źródła Porównując prostą roboczą źródła napięciowego z prostą roboczą źródła prądowego widzimy, że są one identyczne (równoważne), gdy są spełnione następujące warunki

GNT RRR , GREJ , JRE G

Przy spełnieniu tych warunków zawsze można w miarę potrzeby zamienić rzeczywiste źródło napięciowe (Thévenina) na rzeczywiste źródło prądowe (Nortona) lub odwrotnie. Jest to para układów dualnych. Przykład 5

Andrzej Leśnicki Dopasowanie energetyczne 1/2

Dopasowanie energetyczne

E

GR I

R

1

1

V

Obciążenie Rzeczywiste źródło napięciowe

Dobór optymalnego obciążenia dla rzeczywistego źródła napięciowego

22

22

2

RRRE

RRERRI

RVVIP

GGR

024

24

22

RRRRRRE

RRRRRRRE

RP

G

GG

G

GGR

dG

R PREP

4

2

max , przy Gopt RRR

RREEIPG

E

2

RRR

PP

GE

R

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

RG=5 E*E=5

PE=EI

PR

eta=PR/PE

R Ropt=RG

Pd=E*E/4RG

E*E/R

Zmiany parametrów dopasowania energetycznego w funkcji rezystancji obciążenia

Andrzej Leśnicki Dopasowanie energetyczne 2/2

Dla rzeczywistego źródła prądowego wyniki są podobne (dualne) jak dla źródła napięciowego:

dG

R PGJP

4

2

max , przy Gopt GGG

JG

G RG 1

I

RG 1

1

1

V

Obciążenie Rzeczywiste źródło prądowe

Dobór optymalnego obciążenia dla rzeczywistego źródła prądowego Przykład 7

Andrzej Leśnicki Zasada wzajemności 1/1

Zasada wzajemności Twierdzenie o wzajemności a) Jeżeli układ liniowy jest odwracalny (jest zbudowany z elementów odwracalnych, nie ma źródeł sterowanych, ma symetryczną macierz impedancji obwodowych) i jedynym niezależnym źródłem jest źródło napięciowe E umieszczone w k-tym oczku wywołujące prąd I w l-tym oczku, to źródło E przeniesione do l-tego oczka wywoła taki sam jak poprzednio prąd I w k-tym oczku (rysunek poniżej).

E k l I Ek lI Liniowy układ odwracalny (z wzajemnością)

Liniowy układ odwracalny (z wzajemnością)

Zasada wzajemności w układzie z jednym niezależnym źródłem napięciowym b) Jeżeli układ liniowy jest odwracalny (jest zbudowany z elementów odwracalnych, nie ma źródeł sterowanych, ma symetryczną macierz admitancji węzłowych) i jedynym niezależnym źródłem jest źródło prądowe J umieszczone między węzłami a-b wywołujące napięcie V między węzłami c-d, to źródło J przeniesione między węzły c-d wywoła takie samo jak poprzednio napięcie V między węzłami a-b (rysunek poniżej).

V VJ J

a

b

a

b

c

d

c

d



Zasada wzajemności w układzie z jednym niezależnym źródłem prądowym Przykład 7

Andrzej Leśnicki Zasada kompensacji 1/1

Zasada kompensacji Jeżeli w układzie znajduje się rezystor, dla którego jest znane napięcie V lub prąd I (rys. a), to rezystor ten można zastąpić źródłem napięciowym o wydajności V (rys. b) lub źródłem prądowym o wydajności I (rys. c), a w pozostałej części układu napięcia i prądy nie ulegną zmianie.

Układ V

I

R Układ V

I

Układ V I

a) b) c)

Zasada kompensacji: a) układ pierwotny; b) układ przekształcony z rezystorem zastąpionym źródłem napięciowym; c) układ przekształcony z rezystorem zastąpionym źródłem prądowym Zasada kompensacji obowiązuje także w tym szczególnym przypadku, gdy zmierzone napięcie V lub prąd I są równe zeru. Jeżeli napięcie zmierzone na rezystorze R równa się zeru 0V , to rezystor ten można zewrzeć, a napięcia i prądy w układzie nie ulegną zmianie. Jeżeli prąd zmierzony na rezystorze R równa się zeru 0I , to rezystor ten można rozewrzeć, a napięcia i prądy w układzie nie ulegną zmianie. Przykład 8

Andrzej Leśnicki Metoda superpozycji 1/1

Metoda superpozycji Układy liniowe (systemy liniowe) spełniają zasadę superpozycji.

1x

2x

4x

3x4321 dxcxbxaxy Układ liniowy,

bezźródłowy

Idea metody superpozycji

Obliczenie dowolnego napięcia lub prądu y w układzie sprowadza się do analizy układu tyle razy, ile jest w nim niezależnych źródeł, w celu wyznaczenia wyrazów 1ax , 2bx , 3cx , 4dx . Aby wyznaczyć wyraz 1ax , należy pozostawić w układzie źródło 1x , a pozostałe źródła wyzerować 0432 xxx i obliczyć wartość y. Aby obliczyć wyraz 2bx , należy pozostawić w układzie źródło 2x , a pozostałe źródła wyzerować 0431 xxx i znowu obliczyć wartość y. W ten sposób obliczamy wszystkie wyrazy sumy. Wyzerowanie (wyeliminowanie) niezależnego źródła napięciowego w układzie oznacza jego zwarcie. Wyzerowanie (wyeliminowanie) niezależnego źródła prądowego w układzie oznacza jego rozwarcie. Źródła sterowane pozostają zawsze bez zmian. Przykład 9 Przykład 10

Andrzej Leśnicki Metoda przesuwania źródeł napięciowych 1/1

Metoda przesuwania źródeł napięciowych Dowolne źródło napięciowe (niezależne lub sterowane) można przesunąć do najbliższego węzła i rozszczepić na pozostałe gałęzie węzła, a prądy w całym układzie pozostaną bez zmian.

aI

cI

bI

EcI

aI

bIE

Ea) b)

A A

Uzasadnienie metody przesuwania źródeł napięciowych: a) układ pierwotny; b) układ przekształcony poprzez przesunięcie źródła Przykład 11

Andrzej Leśnicki Metoda przesuwania źródeł prądowych 1/1

Metoda przesuwania źródeł prądowych Wybrane źródło prądowe (niezależne lub sterowane) powielamy szeregowo dowolną ilość razy. Pomiędzy powielonymi źródłami powstają nowe węzły i jest ich tyle, ile razy powielono źródło. Nowe węzły można połączyć z dowolnymi węzłami w układzie, a napięcia w układzie nie ulegną zmianie.

J

J J

J J

a) b) c)

1

3

2 2

1

3

2

1

3

Uzasadnienie metody przesuwania źródeł prądowych: a) układ pierwotny; b) szeregowe powielenie źródła prądowego; c) układ przekształcony Przykład 12

Andrzej Leśnicki Metoda źródeł zastępczych Thevenina i Nortona 1/2

Metoda źródeł zastępczych Thévenina i Nortona

I

V R

I

V0

GR1

TE

NJ

1

1

Układ liniowy z dowolną liczbą źródeł

Prosta robocza

Układ liniowy obciążony rezystorem Twierdzenie (Thévenina). Jeżeli układ z dowolną liczbą i rodzajem źródeł jest liniowy, to można go od strony dowolnej pary zacisków 1-1’ zastąpić równoważnym rzeczywistym źródłem napięciowym (rys. poniżej). Wydajność źródła TE równa się napięciu zmierzonemu na rozwartych zaciskach 1-1’. Rezystancja wewnętrzna źródła (generatora) GR równa się rezystancji zmierzonej na zaciskach 1-1’ przy wyeliminowanych niezależnych źródłach (niezależne źródła napięciowe są zwarte, prądowe są rozwarte, źródła sterowane są pozostawione bez zmian).

R

1

1

GR

TE

Układ

Zastępcze źródło Thévenina Twierdzenie (Nortona). Jeżeli układ z dowolną liczbą i rodzajem źródeł jest liniowy, to można go od strony dowolnej pary zacisków 1-1’ zastąpić równoważnym rzeczywistym źródłem prądowym (rys. poniżej). Wydajność źródła NJ równa się prądowi gałęzi 1-1’ zmierzonemu przy zwartych zaciskach 1-1’. Konduktancja wewnętrzna źródła (generatora)

GG równa się konduktancji zmierzonej na zaciskach 1-1’ przy wyeliminowanych niezależnych źródłach (niezależne źródła napięciowe zwarte, prądowe rozwarte, źródła sterowane pozostawione bez zmian).

R

1

1

GGNJ

Układ

Zastępcze źródło Nortona

Andrzej Leśnicki Metoda źródeł zastępczych Thevenina i Nortona 2/2

Między wielkościami z twierdzenia Thévenina i Nortona zachodzą następujące zależności (wynikające z równoważności rzeczywistych źródeł napięciowego i prądowego)

G

TNNGT

N

T

GG R

EJJREJE

GR ,,1

Z trzech nieznanych wielkości TE , GR , NJ , wystarczy wyznaczyć tylko dwie. Trzecia wielkość zawsze może być wyznaczona z dwóch pozostałych. Przykład 13

Andrzej Leśnicki Metoda prądów oczkowych 1/1

Metoda prądów oczkowych Kolejne kroki postępowania przy analizowaniu układu elektronicznego metodą prądów oczkowych:

a) Sprawdzamy, czy wszystkie gałęzie układu mają opis rezystancyjny. Jeżeli nie, to przekształcamy układ do właściwej postaci (nie zawsze jest to możliwe).

b) Wybieramy 1 wg oczek w układzie. Jeżeli nie ma innych wskazań, to oczka są skierowane zgodnie z ruchem wskazówek zegara.

c) Każdemu oczku przypisujemy prąd oczkowy. d) Jeżeli w układzie występują sterowane źródła napięciowe, to uzależniamy je od

prądów oczkowych. e) Układamy dla każdego oczka równanie z napięciowego prawa Kirchhoffa ( razem

1 wg równań). f) Rozwiązujemy układ 1 wg równań z 1 wg niewiadomymi, którymi są

prądy oczkowe. g) Znając prądy oczkowe obliczamy prądy gałęzi, napięcia gałęzi, moce gałęzi (można

sporządzić bilans mocy). Oznacza to, że dokonaliśmy analizy układu.

Przykład 14 Przykład 15

Andrzej Leśnicki Metoda napięć węzłowych 1/1

Metoda napięć węzłowych Kolejne kroki postępowania przy analizowaniu układu elektronicznego metodą napięć węzłowych:

a) Sprawdzamy, czy wszystkie gałęzie układu mają opis konduktancyjny. Jeżeli nie, to przekształcamy układ do właściwej postaci (nie zawsze jest to możliwe).

b) Wybieramy węzeł odniesienia i nadajemy mu numer 0. Pozostałe węzły numerujemy od 1 do 1w .

c) Każdej parze węzeł – węzeł odniesienia przypisujemy napięcie węzłowe. Napięć węzłowych jest 1w .

d) Jeżeli w układzie występują sterowane źródła prądowe, to uzależniamy je od napięć węzłowych.

e) Układamy dla węzłów (poza węzłem odniesienia) równania z prądowego prawa Kirchhoffa (razem 1w równań).

f) Rozwiązujemy układ 1w równań z 1w niewiadomymi, którymi są napięcia węzłowe.

g) Znając napięcia węzłowe obliczamy napięcia gałęzi, prądy gałęzi, moce gałęzi (można sporządzić bilans mocy). Oznacza to, że dokonaliśmy analizy układu.

Przykład 16 Przykład 17

Andrzej Leśnicki Uogólniona metoda napięć węzłowych 1/2

Uogólniona metoda napięć węzłowych dla układów z idealnymi wzmacniaczami operacyjnymi

Jeżeli układ ze wzmacniaczem operacyjnym nie jest zbyt skomplikowany, składa się z jednego wzmacniacza operacyjnego i niewielu dołączonych do niego innych elementów, to najlepszą metodą analizy jest metoda sztucznego zera, w której wejście wzmacniacza operacyjnego jest modelowane jako nulator. Jeżeli układ jest bardziej skomplikowany, to korzystniejsza będzie systematyczna metoda analizy. Metoda napięć węzłowych nie może być zastosowana bezpośrednio, gdyż idealny wzmacniacz operacyjny jest modelowany jako źródło napięciowe sterowane napięciem o nieskończonym wzmocnieniu, czyli jest elementem, który nie ma opisu konduktancyjnego. Metodę napięć węzłowych należy uogólnić tak, aby pozwalała analizować układy zawierające idealne wzmacniacze operacyjne.

RVA0

0A

0GR

RV1V

2V

3V

Część układu na zewnątrz WO

1

2

3

0

Układ ze wzmacniaczem operacyjnym

Na początku zakładamy, że wzmacniacz operacyjny ma skończone wzmocnienie 0A i źródło sterowane ma różną od zera rezystancję wewnętrzną GR . Dzięki temu szeregowe połączenie źródła napięciowego RVA0 i rezystancji GR można zastąpić równoległym połączeniem źródła

prądowego RG

VRA0 i rezystancji GR . Równania napięć węzłowych napisane dla trzech węzłów

to

3132121110 VGVGVG 3232221210 VGVGVG

333232131210 1 V

RGVGVGVV

RA

GG

gdzie konduktancje ijG są konduktancjami układu z wyjętym wzmacniaczem operacyjnym.

Andrzej Leśnicki Uogólniona metoda napięć węzłowych 2/2

Równanie dla węzła (węzeł, do którego podłączono wyjście WO), po pomnożeniu

dwustronnie przez 0A

RG

30

3330

2320

1310

211 VA

VGARVG

ARVG

ARVV GGG

W granicy przy 0A , 0GR (przechodzimy od nieidealnego do idealnego wzmacniacza operacyjnego), mamy 021 VV , czyli 21 VV . Nie oznacza to, że węzły 1 i 2 można zewrzeć - różnica napięć między nimi równa się zeru, ale też i przepływ prądu jest zerowy. Równość 21 VV zachodząca dla idealnego WO, będzie tym bliższa także dla nieidealnego WO, im większe jest wzmocnienie 0A (w praktyce V/V00000010 A ) i im mniejsza jest rezystancja GR w porównaniu z innymi rezystancjami dołączonymi do WO (w praktyce 50GR ). Równanie napisane dla węzła, do którego podłączono wyjście WO, prowadzi do z góry znanego wyniku, że napięcia na wejściu idealnego wzmacniacza operacyjnego są sobie równe. Modyfikacja metody napięć węzłowych polega na tym, że nie pisze się równań dla węzłów, do których podłączono wyjścia WO i przyjmuje się parami jednakowe napięcia węzłów, do których są podłączone wejścia WO. Algorytm zmodyfikowanej metody napięć węzłowych jest następujący:

a) Usuwamy z układu wzmacniacze operacyjne (WO). b) Parom węzłów, do których były podłączone wejścia WO, przypisujemy takie same

napięcia węzłowe (liczba zmiennych maleje o tyle, ile było WO). c) Nie piszemy równań napięć węzłowych dla węzłów, do których były podłączone

wyjścia WO (liczba równań maleje o tyle, ile było WO). Przykład 18 Przykład 19

Andrzej Leśnicki, p. 638 Konsultacje: OBWODY I SYGNAŁY ... · Osiowski J., Szabatin J.: Podstawy...

Documents

Transcript of Andrzej Leśnicki, p. 638 Konsultacje: OBWODY I SYGNAŁY ... · Osiowski J., Szabatin J.: Podstawy...