1、设康普顿效应中入射 X射线(伦琴射线)的波长λ =0.700 Å，散射的 X射线与入射的 X射

线垂直，求：

(1) 反冲电子的动能 EK

(2) 反冲电子运动的方向与入射的 X射线之间的夹角θ．

(普朗克常量 h =6.63×10-34 J·s，电子静止质量 me=9.11×10-31 kg)

解：令 pv 、ν 和 p′v 、ν ′分别为入射与散射光子的动量和频率， vvm 为反冲电子的动量(如

图)．因散射线与入射线垂直，散射角φ =π / 2，因此可求得散射 X射线的波长

cm

h

e

+=′ λλ = 0.724 Å　

(1) 根据能量守恒定律 22 mchhcme +′=+ νν 且 22 cmmcE eK −= 得 )/()( λλλλνν ′−′=′−= hchhEK = 9.42×10-17 J (2) 根据动量守恒定律 　 vvvv mpp +′= 　

则 2222 )/()/( λλ ′′+=′+= hhppmv

22 )/()/(

/cosλλ

λθ′+

==hh

hmpv 2)/(1

1λλ ′+

=

=′+

= −

2

1

)(1

1cosλλ

θ/

o044.

2、已知粒子处于宽度为 a的一维无限深方势阱中运动的波函数为

a

xnsina

)x(nπ2

=ψ ， n = 1, 2, 3, ⋯

试计算 n = 1时，在 x1 = a/4 → x2 = 3a/4 区间找到粒子的概率． 解：

∫43

411

/a

/a

* xd)x()x( ψψ ∫=43

4

2 π2/a

/a

xdaxsin

a

p ′v

pv

θvvm

π1

211

2π

π1

+=+= )(

8180.=

3、粒子在一维矩形无限深势阱中运动，其波函数为：

)sin(2)( a/xna/xn π=ψ ( 0 <x < a )

若粒子处于 n =1的状态，它在 0－a /4区间内的概率是多少？

解：

xdax

axd π22 sin2

=ψ

粒子位于 0 – a/4内的概率为：

xdax

aP

/a

∫=4

0

2sin2 π )(sin24

0

2

axd

axa

a

/a πππ∫=

4

0

21

]2sin41[2

/a

ax

ax ππ

π−= )]

42(sin

41

4[2 2

1 aa

aa

π−=

ππ

0910.=

4、（1）质量为 m的粒子处在宽度为 L的一维无限深势阱中，它的解为 ( )xψ =L

xnsinA π，

试应用薛定谔方程，求该粒子在这势阱中的能量表达式。

（2）当该粒子在势阱中处在基态时，试求发现粒子处在 x=4L到 x=

2L之间的几率 P。

解：（1）将 ( )xψ =L

xnsinA π 代入 2

22

dd

2 xmΨh

− 得： ΨπΨ2

222

2

22

2dd

2 mLn

xmhh

=−

ΨΨ Exm

=− 2

22

dd

2h

2

22

2

222

82 mLhn

mLnEn ==

πh

（2）L

AxxL

nsinAL 21d2

0

2 =⇒=∫π

基态：n =1， ( )x1ψ =Lxsin

Lπ2

41021

41d2 2

2

4

.xLxsin

L

L

L

≈+=⇒ ∫ ππ

5、当氢原子处于 12 == l,n 的激发态时，则该激发态的电子总能量 E约为多少？电子轨

道角动量的可能取值 L？电子轨道角动量的空间可能取向θ ？电子自旋角动量的可能取值

S？（氢原子基态能量为 eV613.− ）

解： eV)432

61322 (..E −=−=

hh 21 =+= )l(lL

hh ±== ,mL lz 0 θθ cos2cos h== LLz 4

324

πππθ ,,=

hh231 =+= )s(sS

6、设一粒子出现在 ax ≤≤0 区间内的概率密度为常量，而在该区间外的概率密度处处为零，

试求该粒子在此区域内的概率密度。

解：

Cx =)(ρ ax ≤≤0

0)( =xρ ax,x >< 0

由归一化条件得： ∫∫ ===∞

∞−

a

CaCdxdxx0

1)(ρ a

C 1=

在此区域内粒子概率密度： a/1 ，只与区域宽度有关。

7、试用（1）德布罗意波的驻波条件；（2）不确定关系式；（3）定态薛定谔方程等三种方法

中的任意两种方法讨论宽为 a的无限深一维势阱中质量为 m的粒子的最小能量.

解：

（1）德布罗意波的驻波条件： …== ,,,n,an 321 2λ

粒子的动量：a

nhhp2

==λ

2

2222

22 man

mpE πh

== ， 取 1=n ，得： 2

22

2maE πh

=

（2）不确定关系式： hpx ≥∆∆ ， ax =∆

2

222

22)(

2 mah

mp

mpE ≥≥=

∆

8、根据玻尔的轨道角动量量子化假设

（1）计算氢原子中电子在量子数为 n的轨道上作圆周运动的频率；

（2）计算当该电子跃迁到 (n-1) 的轨道上时所发出的光子的频率；

（3）证明当 n很大时，上述（1）和（2）结果近似相等．

解： (1) r

mr

e 2

20

2

4v

=πε

①

π=

2hnrmv ②

rnv

=ω ③

①、②、③联立解出 3320

4 12 nh

men ⋅

π=

εω 以及 332

0

4 142 nhmen

n ⋅=π

=ε

ων

(2) 由①、②得 ⋅−=−= 2220

4

0

22

8π421

nhme

remvE

nnn εε

电子从 n态跃迁到( n-1 )态所发出光子的频率为

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=

−= −

22320

41 1

)1(1

8'

nnhme

hEE nn

εν 2232

0

4

)1(12

8 −−

⋅=nnn

hmeε

(3) 当 n很大时， nnhme νε

ν =⋅= 3320

4 14

'

9、已知一维无限深势阱中粒子的定态波函数为L

xnL

Ψ nπsin2

= ，其中 L为阱宽.

试求： （1）试求粒子处于 2=n 的定态时，粒子出现概率密度最大和最小值的空间位

置坐标；

（2）当粒子处于第二激发态时出现在 0=x 到4Lx = 之间的概率；

（3）设粒子质量为m，求粒子处于 5=n 能态时的能量。 解：

)π2(sin2)( 22 x

LLx =ρ

（1）由此得：密度最大： 1)π2(sin 2 =xL

，即： Lkx4

12 +=

考虑到 x的范围在 [ ]L,0 的区间里，故得：41Lx = 和 Lx

43

2 = .

密度最小： 0)π2(sin 2 =xL

得： Lkx2

= 除了势阱边，只有2Lx = 最小

（2） == ∫ xL

xL

P

L

d)π3(sin2 4

0

2 30.0π6

141

≈+

（3）由 52

22

25

22

2π25

dd

2Ψ

mLxΨ

mhh

=− 得 2

22

5 2π25mL

E h=