Oscylator harmoniczny Oscylatory wielowymiarowe Spektroskopia oscylacyjna Oscylator Morse’a

Wyk lad 4

Uk lady modelowe II - oscylator

Oscylator harmoniczny Oscylatory wielowymiarowe Spektroskopia oscylacyjna Oscylator Morse’a

Model

Prawo Hooke’a

F = md2x

dt2= −kx = −dV

dx

Potencja l

V =1

2kx2

Równanie ruchu

d2x

dt2+

k

mx = 0

Oscylator harmoniczny Oscylatory wielowymiarowe Spektroskopia oscylacyjna Oscylator Morse’a

Obraz klasyczny

Rozwi ↪azania

x = A sin

√k

mt = A sinωt Gdzie szukać oscylatorów w

mikroświecie?

Ruch j ↪ader jest zaskakuj ↪acodobrze opisany modelem kulekpo l ↪aczonych spr ↪eżynkami.

Oscylator harmoniczny Oscylatory wielowymiarowe Spektroskopia oscylacyjna Oscylator Morse’a

Opis kwantowy

Ĥ(x) =p̂x

2

2m+

1

2kx2

Rozwi ↪azywać równanie Schrödingera możemy:

poszukuj ↪ac rozwi ↪azań w postaci szeregu pot ↪egowego

stosuj ↪ac formalizm drugiego kwantowania

Pójdziemy drug ↪a ścieżk ↪a, ale najpierw uproścmy sobie życieprzechodz ↪ac do wspó lrz ↪ednych bezwymiarowych.

Oscylator harmoniczny Oscylatory wielowymiarowe Spektroskopia oscylacyjna Oscylator Morse’a

Wspó lrz ↪edne bezwymiarowe

Wspó lrz ↪edne

Q =

(mk

~2

) 14

x

P = (m~ω)−12 px

Operatory

Q̂ = Q

P̂ = −i ddQ

Hamiltonian we wspo lrz ↪ednych bezwymiarowych

Ĥ =1

2~ω(

P̂2 + Q̂2)

Oscylator harmoniczny Oscylatory wielowymiarowe Spektroskopia oscylacyjna Oscylator Morse’a

Operatory podwyższaj ↪ace i obniżaj ↪ace I

Wprowadźmy dwa nowe operatory

â =1√2

(Q̂ + i P̂

)↠=

1√2

(Q̂ − i P̂

)Operatory â i â†:

nie s ↪a hermitowskie

nie komutuj ↪a:[â, â†

]= 1

Hamiltonian wyrażony w tych operatorach przyjmuje postać:

Ĥ = ~ω(

â†â +1

2

)= ~ω

(â↠− 1

2

)Wniosek

Wektory w lasne hamiltonianu s ↪a jednocześnie wektorami w lasnymioperatorów â†â i ââ†.

Oscylator harmoniczny Oscylatory wielowymiarowe Spektroskopia oscylacyjna Oscylator Morse’a

Operatory podwyższaj ↪ace i obniżaj ↪ace II

Wektor w lasny |ψλ〉operatora â†â do wartości w lasnej λ jestwektorem w lasnym hamiltonianu odpowiadaj ↪acym wartości w lasnej

(energii) ~ω(λ+ 12

)Ĥ |ψλ〉 = ~ω

(λ+

1

2

)|ψλ〉

Twierdzenie

Operatory â i ↠dzialaj ↪a na wektory w lasne hamiltonianuoscylatora nast ↪epuj ↪aco:

â |ψλ〉 =√λ |ψλ−1〉

↠|ψλ〉 =√λ+ 1 |ψλ+1〉

Operator â jest operatorem obniżaj ↪acym zaś operator â†

operatorem podwyższaj ↪acym.

Oscylator harmoniczny Oscylatory wielowymiarowe Spektroskopia oscylacyjna Oscylator Morse’a

Operatory podwyższaj ↪ace i obniżaj ↪ace III

Dowód.

Weźmy unormowany wektor |ψλ〉 : â†â |ψλ〉 = λ |ψλ〉. Iloczynskalarny tego wektora z |ψλ〉 daje〈

ψλ|â†â|ψλ〉

= 〈âψλ|âψλ〉 = λ 〈ψλ|ψλ〉 = λ.

St ↪ad znajdujemy, że norma wektora |âψλ〉 wynosi√λ.

ââ†â |ψλ〉 = λ |âψλ〉ââ†â |ψλ〉 =

(â†â + 1

)|âψλ〉 .

Wobec tegoâ†â |âψλ〉 = (λ− 1) |âψλ〉

Oscylator harmoniczny Oscylatory wielowymiarowe Spektroskopia oscylacyjna Oscylator Morse’a

Widmo wartości w lasnych

wartość w lasna λ jest jednocześniekwadratem normy wektora |âψλ〉λ musi być nieujemne

n-krotnie dzia laj ↪ac operatoremobniżaj ↪acym dojdziemy do λ− ndla n > λ sprzeczności unikniemytylko, jeśli λ jest liczb ↪a naturaln ↪a

sekwencja urywa si ↪e wtedy naλ = 0

â |ψ0〉 = 0

dopuszczalne wartości energii:

E = ~ω(λ+ 12

), λ = 0, 1, . . .

równoodleg lepoziomy

energia drgańzerowych: 12~ω

Oscylator harmoniczny Oscylatory wielowymiarowe Spektroskopia oscylacyjna Oscylator Morse’a

Funkcje w lasne

Zerow ↪a funkcj ↪e w lasn ↪a otrzymamy rozwi ↪azuj ↪ac równanie

â |ψ0〉 = 0

Wstawiaj ↪ac jawn ↪a postać operatora otrzymamy

1√2

(Q +

d

dQ

)ψ0 = 0⇒ ψ0 = Ne−

Q2

2

Normuj ↪ac, ostatecznie:

ψ0 = π− 1

4 e−Q2

2

Wyższe funkcje w lasne wygenerujemy dzia laj ↪ac na funkcj ↪e zerow ↪aodpowiedni ↪a ilość razy operatorem podwyższaj ↪acym. Czynnikiprzedeksponencjalne tworz ↪a szereg tak zwanych wielomianówHermite’a.

Oscylator harmoniczny Oscylatory wielowymiarowe Spektroskopia oscylacyjna Oscylator Morse’a

Symetria rozwi ↪azań

potencja l jest symetryczny wzgl ↪edem zera: V (−Q) = V (Q)kwadrat modu lu funkcji falowej powinien wykazywaćidentyczn ↪a symetri ↪e

przy za lożeniu, że funkcje s ↪a rzeczywiste, możliwe b ↪ed ↪a tylkodwie sytuacje: ψn(−Q) = ψn(Q) lub ψn(−Q) = −ψn(Q)funkcje parzyste dla parzystych n

funkcje nieparzyste dla nieparzystych n

Oscylator harmoniczny Oscylatory wielowymiarowe Spektroskopia oscylacyjna Oscylator Morse’a

Kszta lt rozwi ↪azań

w stanie podstawowym maksimum gestościprawdopodobieństwa wypada dla x = 0

w granicy wysokich energii (duże n) opis kwantowy zgadza si ↪ez opisem klasycznym

Oscylator harmoniczny Oscylatory wielowymiarowe Spektroskopia oscylacyjna Oscylator Morse’a

Niezależne oscylatory 2/3-D

2D: Ĥ(x , y) = p̂x2

2m +p̂y

2

2m +12kxx

2 + 12kyy2

3D: Ĥ(x , y) = p̂x2

2m +p̂y

2

2m +p̂z

2

2m +12kxx

2 + 12kyy2 + 12kzz

2

Hamiltoniany sa separowalne:

funkcje → iloczyny funkcjienergie → sumy energii

Oscylator harmoniczny Oscylatory wielowymiarowe Spektroskopia oscylacyjna Oscylator Morse’a

Kszta lt rozwi ↪azań

Oscylator harmoniczny Oscylatory wielowymiarowe Spektroskopia oscylacyjna Oscylator Morse’a

Drgania normalne

w rzeczywistych uk ladach (np. cz ↪asteczkach chemicznych)oscylacje w rożnych kierunkach s ↪a sprz ↪eżone

tensor sta lych si lowych k jest symetryczny, ale nie diagonalny

można wykonać transformacj ↪e do nowych wspo lrz ↪ednych, wktórych tensor k jest diagonalny

wspo lrz ↪edne diagonalizuj ↪ace k: wspó lrz ↪edne normalne

oscylacje wzd luż wspó lrz ↪ednych normalnych: drgania normalne

Oscylator harmoniczny Oscylatory wielowymiarowe Spektroskopia oscylacyjna Oscylator Morse’a

Aplikacja modelu

cz ↪asteczki dwuatomowe

E = ~ω(

n +1

2

), ω =

√k

µ

cz ↪asteczki wieloatomowe: drgania normalne

Oscylator harmoniczny Oscylatory wielowymiarowe Spektroskopia oscylacyjna Oscylator Morse’a

Typy drgań normalnych

Oscylator harmoniczny Oscylatory wielowymiarowe Spektroskopia oscylacyjna Oscylator Morse’a

Metody doświadczalne

spektroskopia w podczerwieni (IR)

absorpcyjnaregu la wyboru: ∆n = 1intensywność przej́scia zależna od 〈ψ|µ̂i |ψ〉

spektroskopia ramanowska (Raman)

rozproszenie ze zmian ↪a cz ↪estościregu la wyboru: ∆n = ±1intensywności zależne od elementów tensora polaryzowalności

w typowych temperaturach obserowowalne tylko przej́scia zestanu podstawowego

w przypadku cz ↪asteczek ze środkiem symetrii drganie jestaktywne tylko w ”Ramanie” b ↪adź tylko w ”IR”

Oscylator harmoniczny Oscylatory wielowymiarowe Spektroskopia oscylacyjna Oscylator Morse’a

Cz ↪estości grupowe

Oscylator harmoniczny Oscylatory wielowymiarowe Spektroskopia oscylacyjna Oscylator Morse’a

Eksperyment

Oscylator harmoniczny Oscylatory wielowymiarowe Spektroskopia oscylacyjna Oscylator Morse’a

Efekt izotopowy

Jak ma sie cz ↪estość drgań w cz ↪asteczce HD do cz ↪estości drgań wcz ↪asteczce H2?

kHD ≈ kH2

µHD =mHmD

mH + mD

µH2 =mHmH

mH + mH

µHD ≈4

3µH2

ωHD ≈

√3

4ωH2

Oscylator harmoniczny Oscylatory wielowymiarowe Spektroskopia oscylacyjna Oscylator Morse’a

Krzywe dysocjacji

Oscylator harmoniczny Oscylatory wielowymiarowe Spektroskopia oscylacyjna Oscylator Morse’a

Potencja l Morse’a

V (x) = De−αx(e−αx − 2)

Rozwi ↪azania:

En = −D + ~ω(

n +1

2

)− ~ω

(n +

1

2

)2β

~ω = 2α(

D

2µ

) 12

β = α

(1

8µD

) 12

Dla energii wyższych od energii dysocjacji mamy do czynienia zwidmem ci ↪ag lym.

Oscylator harmoniczny Oscylatory wielowymiarowe Spektroskopia oscylacyjna Oscylator Morse’a

Oscylator Morse’a vs oscylator harmoniczny

zag ↪eszczenie poziomów

rozluźnienie regu l wyboru: nadtony

Oscylator harmoniczny Oscylatory wielowymiarowe Spektroskopia oscylacyjna Oscylator Morse’a

Efekt izotopowy, os labienie wi ↪azania

Oscylator harmoniczny Oscylatory wielowymiarowe Spektroskopia oscylacyjna Oscylator Morse’a

In the next episode

Rotator sztywny

Atom wodoru i jony wodoropodobne

Oscylator harmonicznyOscylatory wielowymiaroweSpektroskopia oscylacyjnaOscylator Morse'a