OSCYLATOR HARMONICZNY
description
Transcript of OSCYLATOR HARMONICZNY
OSCYLATOR HARMONICZNY
•Drgania swobodne oscylatora harmonicznego
•Energia potencjalna sprężystości
•Drgania tłumione oscylatora harmonicznego
•Drgania wymuszone oscylatora harmonicznego
•Rezonans amplitudowy
•Rezonans mocy
•Dobroć układu drgającego
DRGANIA SWOBODNE OSCYLATORA HARMONICZNEGO
Prawo Hooke’a kxxF )(
m - masa, k - stała sprężystości sprężyny
Równanie ruchu
m
kx
dt
xd
mkxdt
xdm
kxxFma
0202
2
2
2
,0
:
)(
Rozwiązanie ogólne zależy od dwóch stałych A, B
)sin()(0,
)0(,0)0(Niech
00
0
0
0
0
tv
txBv
A
vvx
Stałe wyznacza się z dwóch warunków początkowych
)sin()cos()(
)cos()sin()(
000
00
tBtAdt
dxtv
tBtAtx
Przykład: wahadło matematyczne
g
lT
T
l
g
dt
d
l
g
dt
d
mllmgdt
dml
lmgdt
dLM
dt
Lddt
dmlmlLlv
vmlplL
lmgMPlM
gmP
P
PP
22
,0
0sin
:sin
sin
sin
,
00
0
0202
2
2
2
0
22
22
22
ENERGIA POTENCJALNA SPRĘŻYSTOŚCI
)cos()(),sin()()0(,0)0(Niech 0000
00 tvtvt
vtxvvx
Energia kinetyczna
Maksymalna wartosć energii kinetycznej odpowiada sytuacji, gdy oscylator
przechodzi przez położenie równowagi x=0. Wówczas energia potencjalna Ep=0.
Gdy wychylenie oscylatora jest maksymalne, x=v0/0, energia kinetyczna Ek=0 (v=0)
i całkowita energia jest zmagazynowana w postaci energii potencjalnej.
tmvmv
tEE kk 022
0
2
cos2
1
2
2
0
020
20max, 2
1
2
1
v
mmvEk
Kwadrat maksymalnego wychylenia(amplitudy drgań)
Stąd energia potencjalna
constmvEEtmvtEE
kxxmtEE
kppp
pp
200
220
2220
2
1sin
2
12
1
2
1
Zauważmy żedx
dEkxF p
DRGANIA TŁUMIONE OSCYLATORA HARMONICZNEGO
Siła tłumiącadt
dxvFt
Równanie ruchu
m
k
mx
dt
dx
dt
xd
mvkxdt
xdm
0202
2
2
2
,2,02
:
Przypadek słabego tłumienia 0 Drgania wokół położenia równowagi o malejącej wykładniczo amplitudzie, z częstoscią mniejszą od częstości drgań własnych 0
Przypadek silnego tłumienia 0 Wykładniczy powrót do położenia równowagi, brak drgań
Tłumienie krytyczne 0 Wolniejszy niż wykładniczy powrót do położenia równowagi, brak drgań.Można pokazać, że rowziązanie ma postać (A, B - stałe wzynaczane z warunków początkowych)
)exp()()( tBtAtx
Przypadek słabego tłumienia
Rozwiązania poszukujemy w postaci (A,φ - stałe zal. od warunków początkowych)
ttAtx rsinexp)(
Wstawiając do równania i grupując wyrazy przy funkcjach sin, cos otrzymujemy
ttAtx
ttA
ttA
r
rrr
rr
220
022
0
20
22
sin)exp()(
,
0cosexp22
sinexp2
obwiednia
drgania tłumione
Przypadek silnego tłumienia
Rozwiązania poszukujemy w postaci tAtx exp)( Wstawiając postulowaną postać rozwiązania do równania, otrzymujemy równanie na
20
22
20
21
20
2
20
2
,
02
exp:0expexp2exp
tAtAtAtA
Rozwiązanie ogólne ma postać kombinacji liniowej rozwiązań z 1, 2
tBtAtx 20
220
2 expexp)(
A, B - stałe wzynaczane z warunków początkowych
tAtxt
1
2112
exp)(
,0
DRGANIA WYMUSZONE OSCYLATORA HARMONICZNEGO
Siła wymuszająca tFtFzewn sin)( 0Równanie ruchu
m
Ff
m
k
mtfx
dt
dx
dt
xd
mtFvkxdt
xdm
0000
202
2
02
2
,,2,sin2
:sin
Stan ustalony oscylatora z wymuszeniem (rozwiązanie dla t )
Rozwiązania poszukujemy w postaci tAtx sin)(Rozwiązanie ma postać drgań o częstości równej częstosci siły wymuszającej,amplitudzie A, przesunietych w fazie o względem siły wymuszającej.
Rozwiązanie nie zawiera zależności od warunków początkowych (w szczególnościA, nie zależą od warunków początkowych, tylko od parametrów oscylatora).Dla małych t w układzie występują drgania nieustalone, których postać zależy odwarunków początkowych. Amplituda drgań nieustalonych maleje wykładniczo z
czasem i przy t pozostają tylko drgania ustalone, niezależne od warunków początkowych.
Wstawiając postulowaną postać rozwiązania do równania, otrzymujemy
tftAtA sincos2sin 022
0 Korzystając ze wzorów na sin(+), cos(+) otrzymujemy
tftAtAf
sincoscos2sinsinsin2cos 0
0
220
220
0
20
222220
0
22220
0
220
2arsin
2)(
2)(
2
cos
sin
ctgtf
tx
fAA
tg
REZONANS AMPLITUDOWY
0
A
Amplituda drgań ustalonych jest maksymalna, gdy
022
0 20
d
dA
Rezonans amplitudowy
Rezonans mocy
REZONANS MOCY
Moc absorbowana (chwilowa) tAtFtvtFP zewn cossin0
Niech <y(t) > oznacza średnią wartość wielkości y w ciągu jednego okresu T=2/siły wymuszającej
sin2
1sinsincossincos
cossin
sinsincoscoscos
0...3sin2sinsin2
1cossincossin
1cossin1cossin
0
2
1
2
02sin2
1
0
0
2222
2222
AFtttAF
ttAFP
ttt
ttt
tttt
tttt
t
22
22220
20
2
22220
220
2
2
2sin
2
Amfm
P
tg
Moc absorbowana jest maksymalna, gdy
0
5.0
5.0
Dla częstości rezonansowej drgania ustalonesą przesunięte w fazie o /2 (czyli o 1/4 okresu)względem siły wymuszającej. Jest to maksymalne możliwe przesuniecie w fazie.
tftx
cos
2)(
0
0
0
00
0
2
0
fAA
d
Pd
rez
W stanie ustalonym (drgania o stałej amplitudzie) moc absorbowana = mocy traconej na pracę przeciw sile tłumiącej
DOBROĆ UKŁADU DRGAJĄCEGO
2220
222222222
220
2220
2220
220
4
14
1cos
2
1cos
2
1
2
14
1sin
2
1sin
2
1
2
1
AmEEE
AmtAmEtAmmvE
AmtAmEtAmxmE
kp
kk
pp
Średnia energia zmagazynowana w układzie
Dobroć układu drgającego: stosunek energii zgromadzonej w układzie do energiitraconej w ciągu jednego okresu na pokonanie siły tłumienia (w stanie ustalonym równej energii dostarczanej przez siłę zewnętrzną) przy częstości pobudzenia równejczęstości rezonansowej.Im więcej energii można zmagazynować w stosunku do mocy strat, tym lepszy układ.
2
20
0
TP
EQ
Przykład: drgania w obwodzie RLC z wymuszeniem
tUtU sin)( 0
L
Uf
LCL
R
tfxdt
dx
dt
xd
tL
Uq
LCdt
dq
L
R
dt
qd
000
0202
2
02
2
,1
,2
,sin2
,sin1
II prawo Kirchhoffa
C
qU
dt
qdL
dt
dILU
dt
dqRRIU
UUUtU
C
L
R
CLR
2
2
0)(
I - natężenie prądu,q - ładunek na kondensatorzeCzęstość drgań własnychobwodu RLC
LC
10
DobroćR
LQ 0