Opcje realne — MATERIAŁY Definicja i wycena opcji...

Opcje realne— MATERIAŁYSZKOLENIOWE

6 MATERIAŁYSZKOLENIOWE Definicja i wycena opcji realnych RT3/2004

Marek Capiński

Definicja i wycena opcji realnych

Pomimo wieluprac poświęconychopcjom realnymtrzeba stwierdzić,że problem jest

daleki od rozwiązania. Możnapowiedzieć, że rozwiązaniejest dane ogólną formułąprzytoczoną w tekście,niewątpliwie prawdziwą, lecz bezużyteczną w praktycebez dodatkowych założeń

Ogólna definicja instrumentu pochodnego

Zacznijmy od podania definicji instrumentu pochod-nego w ogólnej postaci, która będzie wygodna do roz-szerzenia pozwalającego zdefiniować opcje realne. De-finicja musi spełnić dwa warunki: musi być precyzyjnaoraz ogólna aby objąć wszystkie możliwe instrumentypochodne.

Finansowy instrument pochodny ma dwa składnikir instrument bazowy,r funkcja wypłaty.

Przez instrument bazowy rozumiemy proces stocha-styczny (szereg czasowy) pewnych obserwowalnychwielkości finansowych wyznaczonych przez rynek (jakna przykład proces cen akcji, wartości indeksu, wyso-kości stóp procentowych). Wprowadzając t jako ozna-czenie czasu (dla prostoty dyskretnego, mierzonegow latach) z umowną chwilą dzisiejszą t=0, oznaczmyprzez Xt (t=0,1,2,...) kolejne wartości instrumentu ba-zowego.

Istota instrumentu pochodnego polega na tym,że generuje on pewne przepływy gotówki zależne odinstrumentu bazowego. Tą zależność można opisaćspecyfikując funkcje, które pokażą jak wypłata związa-na z instrumentem pochodnym zależy od wartości in-

Opcje realne są wszędzie, mają istotny wpływ napodejmowanie decyzji, a jeszcze nie umiemy

ich wyceniać. Tak można podsumować tezy prezen-towanego cyklu artykułów. Fakty te związane sąz jednej strony z tym, że myśląc o przyszłości nie-uchronnie mamy do czynienia ze zmiennymi loso-wymi, czyli wieloma scenariuszami rozwoju bizne-su czy jego otoczenia. Z drugiej strony w zależnościod zrealizowanego scenariusza mamy na ogół ela-styczność w zakresie modyfikacji naszej strategii.Ta elastyczność to właśnie opcja realna. Jej zakresmoże być rozmaity, ma ona wartość, więc pytanieo obliczenie tej wartości jest ważne z punktu widze-nia decyzji biznesowych.

Artykuł wstępny koncentruje się na próbie defi-nicji opcji realnych i stawia problem wyboru meto-dologii ich wyceny. Punktem wyjścia jest definicjaklasycznych instrumentów pochodnych, z jednejstrony uproszczona do niezbędnych elementów,z drugiej na tyle ogólna, że pozwala objąć równieżinstrumenty o dowolnych walorach bazowych(z tym że słowo „walor” nabiera tu szerszego sen-su). Kwestia problemów związanych z wyceną jesttu tylko zasygnalizowana i zostaje rozwinięta w na-stępnym artykule, w którym Wiktor Patena i Alek-sander Urbański przedstawiają przegląd metodwyceny realnych instrumentów pochodnych. Omó-wione są podstawowe podejścia znane z literatury,ale konkluzja jest dobra dla badaczy, a zła dla prak-tyków: w zasadzie problem jest otwarty. BartoszFicak i Jerzy Dzieża koncentrują się na analizieklasycznych przykładów opcji realnych. Znajdzie-my tu ich zastosowania w górnictwie i przemyślefarmaceutycznym. Kolejny artykuł, autorstwa Pio-tra Kobaka i Aleksandra Urbańskiego, pokazujezaskakujące przykłady realnych instrumentów po-chodnych, które trudno dostrzec gołym okiem.Przykłady oparte są na analizie zależności opisa-nych językiem mikroekonomii. t

prof. dr hab. Marek CapińskiKierownik Katedry Finansów

Wyższa Szkoła Biznesu – NLU w Nowym Sączu

strumentu bazowego. Dopuszczamy sytuację, w którejtych wypłat może być wiele (na przykład kontrakt fu-tures), więc siłą rzeczy mamy różne wypłaty w różnychchwilach.

Zakładamy, że mamy dany zestaw funkcji wieluzmiennych ft(x1,...,xt), t=0,1,2,...

DefinicjaInstrument pochodny jest to ciąg zmiennych loso-

wych

ft(X1,...,Xt), t=0,1,2,...

Wypłaty te precyzują przepływy gotówki pomiędzystronami, czyli kwoty jakie posiadacz długiej pozycjiuzyska od zajmującego krótką pozycję. Nie należy my-lić wypłaty z wartością instrumentu w chwili t, któradla modelu rynku zupełnego będzie wartością oczeki-waną wypłaty, obliczoną względem jedynej miary mar-tyngałowej, zdyskontowaną do chwili t.

Na przykład, europejska opcja kupna z cena realiza-cji K i terminem wykonania T jest opisana przez pro-sty zestaw funkcji, gdzie ważna jest tylko jednazmienna

fT(x1,...,xT)=max(0,xT – K)

ft(x1,...,xt)=0, dla t≠ T.

Dla opcji egzotycznych konieczne jest już uwzględ-nienie funkcji wielu zmiennych. Na przykład azjatyc-ka opcja kupna jest opisana w następujący sposób:

ft(x1,...,xt)=0, dla t≠ T.

Dla kontraktu futures, z uwagi na codzienne rozlicza-nie, mamy już wiele funkcji. Przy założeniu, że cenakontraktu futures jest taka sama jak cena kontraktuforward (np. gdy stopa wolna od ryzyka jest nielosowa)dla długiej pozycji w kontrakcie futures z terminem re-alizacji T mamy

ft(x1,...,xt)=xt(1+r)–(T–t)–xt–1(1+r)–(T–(t–1)),

gdzie r jest stopą wolna od ryzyka dla kapitalizacjirocznej (zob. [2], str. 134-138).

Powyższa definicja mówi, że w danej chwili wyko-rzystujemy tylko posiadaną informację (czyli wartościinstrumentu bazowego w przeszłości aż do chwiliobecnej).

Elegancka ogólna definicja „tylko dla matematy-ków” uwzględniająca istotę informacji wygląda tak: in-strument pochodny to dowolny proces stochastycznyadaptowany względem filtracji wyznaczonej przez pro-ces bazowy. Matematycy wiedzą jednak, że takie sfor-mułowanie jest równoważne z powyższą definicją, więcmoglibyśmy o nim zapomnieć.

Niemniej nie jest prosto dopasować powyższą defini-cję do opcji amerykańskiej. Problem polega na tym,

że wypłatę możemy zrealizować w dowolnej, ale tylkojednej chwili. Przy opcji europejskiej mamy równieżsłowo „mogę” (mogę kupić, czy sprzedać), ale po chwi-li refleksji dochodzimy do wniosku, że jest to tylko po-zór. Otóż gdy opcja jest w cenie w chwili realizacji,zakładamy, że zostanie zrealizowana. Dla opcji amery-kańskiej wprowadza się pojęcie optymalnego momen-tu realizacji, ale może być ich wiele, więc nawet jeśliznamy realizację instrumentu bazowego (ex post) wy-bór pozostaje.

W miarę prosto można powyższą definicje zastoso-wać dla opcji amerykańskich w modelu dwumiano-wym. Wtedy możemy zdefiniować wartość opcji ame-rykańskiej w dowolnej chwili czasowej (konieczne jestwykorzystanie tzw. obwiedni Snella, gdzie na każdymkroku porównuje się dwie decyzje: zrealizować lubczekać; zob. [2], str. 184, Definition 8.1). Wypłatęmożemy wówczas realizować przez sprzedaż opcji,lub, zakładając, że na przykład z momentów optymal-nych bierzemy najmniejszy, zdefiniować wypłatę wy-chodząc z obwiedni Snella (tym momentem jest wtedypierwsza chwila w której „zrealizować” jest bardziejwartościowe niż „czekać”). Wtedy otrzymamy dośćskomplikowany układ funkcji o tej własności, że gdywstawimy konkretną realizację instrumentu bazowe-go, dostaniemy tylko jedną wypłatę w pewnej chwili,zależnej od tej realizacji.

Opcje realne – podstawowa idea

Opcje realne (używamy tradycyjnego terminu„opcje” choć właściwszy byłby „realne instrumentypochodne” gdyż nie zawsze mamy do czynienia z funk-cjami wypłaty charakterystycznymi dla opcji) podpa-dają pod powyższy schemat z jednym rozszerzeniem.Mianowicie rezygnujemy z wymagania aby instru-ment bazowy miał charakter finansowy i aby był wy-znaczony bezpośrednio przez rynek, dopuszczając do-wolny szereg czasowy.

Mogą to być na przykład (losowe) przepływy gotów-ki generowane przez pewien projekt inwestycyjny, jakrównież wysokość pokrywy śnieżnej w stacji narciar-skiej, czy wysokość wody na rzece.

Ważny przykład to teoria strukturalna ryzyka kre-dytowego (pochodząca od Mertona), gdzie instrumen-tem bazowym jest nieobserwowalny proces wartościfirmy, a obligacja jest opcją realną.

Bardzo ważną cechą szczególną tego typu walorówjest możliwość braku strony wystawiającej opcję. Opcjerealne po prostu występują w pewnych sytuacjach biz-nesowych. (Można nawet zaryzykować stwierdzenie,że jest to zjawisko powszechne.)

Zaletą powyższej abstrakcyjnej definicji w odniesie-niu do opcji realnych jest jej uniwersalność. W literatu-rze typy opcji realnych są jak gdyby odziedziczonez opcji finansowych. Tych jest duże bogactwo, jednakmożliwość opisu sytuacji nie podpadającej pod znaneopcje finansowe może mieć zastosowanie. A zidentyfi-

7MATERIAŁYSZKOLENIOWEDefinicja i wycena opcji realnychRT 3/2004

kowanie postaci opcji poprzez funkcje wypłaty jest nie-zbędnym pierwszym krokiem do ich wyceny.

PrzykładNajważniejsze przykłady będą związane z działal-

nością biznesową, czyli generowanymi przez niąprzepływami gotówki. Zacznijmy od prostej sytuacji,gdy te przepływy są pewne.

Przypuśćmy, że

X1=10, X2=10, X3=110, ft(x1,...,xt)=xt.

Wartość tego instrumentu pochodnego (jest to oczy-wiście zwykła obligacja kuponowa) to wartość dzisiej-sza wypłat obliczona z użyciem stopy wolnej od ryzy-ka (gdyż przepływy są pewne). Jeśli stopa ta wynosi10% (dla kapitalizacji rocznej) to dostajemy wartość100. Taka powinna być wartość rynkowa tej obligacjiw sytuacji rynku doskonałego, gdyż inna prowa-dziłaby do arbitrażu. Jak dobrze wiadomo, do wyko-rzystania tej ewentualnej okazji do arbitrażu koniecz-ne jest aby instrument bazowy był w obiegurynkowym (w celu replikacji), jak również musi byćmożliwe zajęcie krótkiej pozycji. W przypadku obliga-cji jest to na ogół spełnione.

Ogólniejszy przykład

Załóżmy teraz, że X1, X2, X3 to losowe przepływy go-tówki generowane przez pewien projekt inwestycyjnyoraz niech dla porównania z powyższą obligacją war-tości oczekiwane będą z nią zgodne tj.

E(X1)=10, E(X2)=10, E(X3)=110, ft(x1,...,xt)=xt

(wysoka ostatnia wartość oznacza na przykład uwol-nienie wysokiego kapitału operacyjnego lub sprzedażmaszyn i urządzeń). Wartości oczekiwane zostały ob-liczone według prawdopodobieństw tzw. fizycznych(prawdziwych) zakładając chwilowo, że są one znane(powrócimy do tego poniżej). Oczywiście wartościądzisiejszą tych przepływów nie będzie 100. Podsta-wowy powód tego faktu to ryzyko, które wymagazwiększenia stopy dyskontowej (czyli kosztu kapi-tału – wymaganej stopy zwrotu uwzględniającej ry-zyko). Wyznaczenie tej stopy to bardzo poważny pro-blem, którego nie analizujemy, gdyż nie jest to celemtego ogólnego wstępu. Załóżmy, że mamy tą stopędaną, oszacowaną z wykorzystaniem wiedzy dostar-czonej przez finanse firm. Przypuśćmy, że jest to20%.

Pojawia się pytanie czy wartość dzisiejsza wartościoczekiwanych (czyli ok. 78,94) jest wartością tego pro-jektu? Pytanie jest ważne, gdyż projekt podejmiemy,jeśli początkowe nakłady będą niższe od tej wielkości.Przedyskutujemy to pytanie poniżej.

Przykłady opcji realnych Rozpatrywany dotychczas przykład nie ma charak-

teru opcji więc go zmodyfikujemy. Nazwiemy ten in-strument opcją rozpoczęcia. Inwestor może ale nie mu-si podjąć inwestycję, czyli jest to najczęściej spotykanasytuacja w praktyce. Koszt jej rozpoczęcia (maszynyi urządzenia, czy zakup towaru do hurtowni) jestw praktyce znany i załóżmy, że wynosi 70.

Konstruujemy funkcję wypłaty modelującą dzi-siejszą decyzję (opcja kupna)

f3(x1,x2,x3)=max(0,x1(1+k)2+x2(1+k)+x3–70(1+k)3),

ft(x1,...,xt)=0, dla t≠ 3.

Rozważmy teraz wariant polegający na dodaniuopcji zwiększenia skali projektu. Przypuśćmy,że w chwili 2 możemy kupić dodatkowe aktywa za 50,co pozwoli podwoić wpływy gotówki w roku 3. Możemy,lecz nie musimy, więc dokładamy do wypłaty opcjękupna dla której funkcja wypłaty wygląda następująco:

f3(x1,x2,x3)=max(0,x1(1+k)2+x2(1+k)+x3+max(x3–50(1+k),0)–70(1+k)3)

Gdy natomiast przypuśćmy, że w chwili 2 możemyzakończyć działalność sprzedając aktywa za 40, mode-lowanie takiej opcji porzucenia wymaga innej mody-fikacji, tj.

f3(x1,x2,x3)=max(0,x1(1+k)2+x2(1+k)+x3+max(40(1+k)–x3,0)–70(1+k)3)

Przypuśćmy teraz, że gotówka w chwili 3 jest zain-kasowana w dolarach, a x3 oznacza ich ilość. Zakłada-my, że firma osłoniła swoją pozycję nabywając w chwi-li początkowej za 40 (złotych) opcje sprzedaży 100dolarów, z ceną realizacji 4 PLN/USD. Zakładamy dlaprostoty, że gotówka w chwili 3 nie przekroczy 100 do-larów. Kurs dolara d3 w chwili 3 staje się elementeminstrumentu bazowego i mamy następujący wariantpowyższej wypłaty:

f3(x1,x2,x3,d3)=max(0,x1(1+k)2+x2(1+k)+x3× d3+100× max(4–d3,0)–110(1+k)3)

Zwróćmy uwagę, że takie ogólne przedstawienie po-zwala przyjąć jako instrument bazowy wysokośćsprzedaży, czy też zysk operacyjny i wtedy funkcjaf wylicza przepływy gotówki. Kwestia decyzji co przyj-mujemy jako instrument bazowy jest ściśle związanaz problemem jego modelowania (w literaturze znanejest na przykład podejście, gdzie EBIT jest modelowa-ny jako rozwiązanie pewnego stochastycznego równa-nia różniczkowego, co jest potem podstawą budowymodelu wyceny firmy).

Problem wyceny

Naturalne jest przyjęcie poniższej wielkości jakomożliwej wartości opcji realnej opisanej we wcześniej-szych rozważaniach

8 MATERIAŁYSZKOLENIOWE Definicja i wycena opcji realnych


RT3/2004

.

Wielkość ta jest na przykład zgodna z podstawowąmetodologią wyceny projektów inwestycyjnych jakozdyskontowanej wartości oczekiwanej losowychprzepływów gotówki.

Gdy chcemy odpowiedzieć na pytanie czy jest to do-bra propozycja, nasuwa się szereg pytań i wątpliwości.Najistotniejsze dotyczą sformułowania zasady, którąpowinniśmy przyjąć jako podstawę wyceny. 1.Dla opcji finansowych zasadą tą jest wykluczenie

możliwości arbitrażu. Zasady tej nie możemy jednakodnieść do opcji realnych z kilku powodów:r instrument bazowy na ogół nie znajduje się w ob-

rocie rynkowym,r brak możliwości replikacji, r nie ma możliwości zajęcia krótkiej pozycji.

2.Powyższa wielkość wydaje się być zgodna z zasadąfair play według której wartość oczekiwana wypłatyz gry dla każdego gracza powinna być zero. Proble-mem jest jednak wybór prawdopodobieństw, wedługktórych jest obliczona wartość oczekiwana. Nawetzakładając, że istnieją obiektywne prawdopodo-bieństwa fizyczne, nie mamy w praktyce możliwościich dokładnego oszacowania. Z uwagi na tą trudnośćmożemy przyjąć, że takie prawdopodobieństwa będązależały od indywidualnego punktu widzenia inwe-stora. To samo dotyczy również kosztu kapi-tału (obejmującego ryzyko specyficzne). Dochodzimy więc do wniosku, że powyższy wzór da-

je nie jedną wartość, ale pewien przedział zależnie odsubiektywnego wyboru prawdopodobieństw i stóp dys-kontowych. Jest to zgodne punktem widzenia, że war-tość to pogląd i zależy od indywidualnych preferen-cji.

Przyjmijmy więc następująca ogólną zasadę:

Wartość opcji realnych to jedna z liczb będących war-tością oczekiwaną przyszłych przepływów gotówki zdys-kontowanych kosztem kapitału. Jest to wielkość subiek-tywna i zależy od wyboru kosztu kapitału jako stopydyskontowej, oraz wyboru miary probabilistycznej doobliczenia wartości oczekiwanej.

Wracając do przykładu z punktu o projekcie inwesty-cyjnym, możemy stwierdzić, że nie ma jednej uniwer-salnej wartości, lecz zależy ona od inwestora, coskądinąd jest intuicyjnie oczywiste.

Szczególny przypadek: opcje finansoweW przypadku opcji finansowych sprawa jest prosta

gdyż problem rozstrzyga zasada braku arbitrażu przyzałożeniu zupełności rynku (możliwość replikacji do-wolnych przepływów gotówki przez portfel zbudowanyz waloru bazowego i obligacji. Zakładamy milcząco dla

prostoty, że mamy do czynienia z rynkiem doskonałym– m.in. brak kosztów transakcji, możliwość zajęciakrótkich pozycji, podzielność walorów).

Zasada braku arbitrażu eliminuje niejedno-znaczność zawartą w powyżej sformułowanej ogólnejzasadzie: indywidualne preferencje, przekonaniao przyszłej dynamice walory bazowego stają się nie-istotne. Mamy wtedy stopę wolna od ryzyka jako kosztkapitału oraz miarę neutralną względem ryzyka(miarę martyngałową) do obliczenia wartości oczeki-wanej, która jest wtedy jedyna i możliwa do wyznacze-nia (co rozwiązuje problem wyboru prawdopodo-bieństw dyskutowany powyżej). Jednak już przydopuszczeniu na przykład kosztów transakcji rynekprzestaje być doskonały i nieuchronnie wycena opcji fi-nansowych daje przedział wartości – widełki zamiastjednej liczby.

Powyższy wzór dla europejskiej opcji kupna przyj-muje powszechnie znaną szczególną postać

,

gdzie zwyczajowo gwiazdka oznacza wybór miarymartyngałowej.

Sprawa jest również prosta dla opcji realnych przyzałożeniu, że istnieje walor finansowy idealnie skorelo-wany z walorem bazowym opcji realnej, gdyż wtedymamy do czynienia w istocie z opcją finansową.Założenie to jest często robione ale jest wysoce niere-alistyczne. Jest ono mocniejszą wersją postulatu, że ry-nek jest zupełny (mocniejszą, gdyż obejmuje wszelkielosowe wypłaty). Konsekwencje nawet niewielkiegorozluźnienia tego założenia zostały przedyskutowanew pracy [3], gdzie udowodniono, że w modelu Blacka-Scholesa nie ma żadnego ograniczenia na arbitrażowącenę, jeśli korelacja jest mniejsza od 1 (wersja analo-gicznego twierdzenia dla modelu dwumianowego jestpokazana w [1]).

Konkluzje

Wydaje się jasne z powyższych rozważań, że wycenaopcji realnych wymaga wykorzystania jednego z narzę-dzi rozwiniętych do wyceny instrumentów pochod-nych w rynkach niezupełnych (gdzie jak wiadomo niema jednoznaczności miary martyngałowej).

Założenie zupełności rynku jest szczególnie nieżycio-we gdy mówimy o finansach firm. Wiadomo dobrze,np. zob. [4], że w rynku zupełnym i bez arbi-trażu wszystkie projekty inwestycyjne mają wartośćdzisiejszą netto równą zero (NPV = 0). Ten fakt jestzupełnie niezgodny z teorią i praktyką tej gałęzi finan-sów, do której należą przecież opcje realne.

Myśląc o technikach rozwiniętych dla rynków nie-zupełnych, należy wyróżnić metodę opartą na wyko-rzystaniu funkcji użyteczności (Fritelli i inni) jako ro-kującą największe nadzieje. Inne metody, jak naprzykład minimalizacja ryzyka, zbadana przez

9MATERIAŁYSZKOLENIOWEDefinicja i wycena opcji realnychRT 3/2004

Schweitzera (metoda pozwalająca wybrać jednąz wielu miar martyngałowych), nie są wolne od grze-chu możliwych ujemnych cen instrumentów o dodat-nich wypłatach.

Pomimo wielu prac poświęconych opcjom realnym(przegląd najważniejszych w następnym artykule)trzeba stwierdzić, że problem jest daleki od rozwiąza-nia. Sformułowana powyżej ogólna zasada daje wzórna cenę opcji realnej, niewątpliwie prawdziwy, leczbezużyteczny w praktyce bez dodatkowych ustaleń.Trzeba mianowicie analizować konkretne sytuacje do-bierając za każdym razem: r model procesu stochastycznego wartości instrumen-

tu bazowego, r koszt kapitału,r miarę probabilistyczną.

Przedstawiony powyżej schemat obejmuje w zasa-dzie wszelkie sytuacje spotykane w biznesie, pozwa-la modelować decyzje i dynamiczne modyfikacjedziałalności w oparciu o nadchodzące informacje, po-zwala obliczać wartość tych decyzji. Szczególnymprzypadkiem problemu wycen opcji realnych jestwięc fundamentalny problem wyceny firm jak rów-nież analiza ryzyka kredytowego w podejściu struk-turalnym.

Niedawno wykład w ramach PRMIA o podstawachopcji realnych zakończyłem prowokująco: opcje realne– nie ma takiej rzeczy (mówiąc, że wystarcza NPV dlabardzo dokładnie zbudowanych drzew decyzyjnych).Dziś mówię: opcje realne – nie ma innych rzeczy.W świetle powyższych rozważań widać, że nie masprzeczności i że mówię dokładnie to samo. t

Marek Capiński

Katedra Finansów Wyższa Szkoła Biznesu – NLU

Nowy Sącz

http://kf.wsb-nlu.edu.pl

Literatura

[1] M.Capiński, W.Patena, Real Options – Realistic Valuation, www.ssrn.com[2] M.Capiński, T.Zastawniak, Mathematics for Finance, An Introduction to Finan-

cial Engineering, Springer-Verlag, 3rd corrected printing, London 2004.[3] F.Hubalek, W.Schachermayer, “The Limitations of No-Arbitrage Arguments for

Real Options”, International Journal of Theoretical and Applied Finance, No.4(2) (2001), 361-373.

[4] Joao Amaro de Matos, Theoretical Foundations of Corporate Finance, Prince-ton University Press, Princeton 2001.

10 MATERIAŁYSZKOLENIOWE Wycena opcji realnych – metody, wyzwania


RT3/2004

Wiktor Patena, Aleksander Urbański

Wycena opcji realnych – metody, wyzwania

Przy podejmowaniudecyzji inwestycyjnych niemożna ignorowaćpojawiających sięopcji realnych. Radykalnie zwiększają onemożliwości reagowania firmyna zmieniające sięwarunki rynkowe.Trzeba być jednak

świadomym tego, że wycenaopcji realnych jest jak na raziesprawą subiektywnych wyborówi to w dużo większym stopniu,niż dałoby się to wytłumaczyćtylko innym nastawieniem inwestorów do ryzyka

Wstęp

Pojęcie opcji realnych pojawiło się w literaturze w la-tach 70. [24, s.7] jako odpowiedź na klęskę tradycyj-nych metod budżetowania takich jak Discounted CashFlows (DCF). Powszechnie uznano, że metody opartena DCF nie pozwalają na właściwą wycenę wartościpłynących z aktywnego zarządzania firmą, szczególniew kontekście dostosowywania działań firmy do zmie-niających się warunków rynkowych.

Punktem wyjścia do wyceny opcji realnych były pra-ce Blacka, Scholesa [3] i Mertona [22] dotyczące wyce-

ny opcji finansowych. Następnie, Cox, Ross i Rubinste-in [11] zaprezentowali podejście wyceny opcji opartena drzewach dwumianowych. Od tego czasu obserwu-jemy mnogość literatury na temat wyceny opcji.

W latach 80. opcje realne zaczęły być stosowanew wielu firmach, głównie japońskich. Dzisiaj stają sięstandardowym narzędziem planowania strategicznegow dużych korporacjach na całym świecie1. Równolegledoskonalone są metody numeryczne obliczania war-tości opcji realnych2.

Niniejsza praca poświęcona jest przeglądowi podsta-wowych faktów dotyczących opcji realnych, a w szcze-gólności metod ich wyceny.

Klasyfikacja opcji realnych

Rozważmy inwestora otwierającego kawiarenkę inter-netową. Załóżmy, że wynajmuje on lokal większy niż po-trzebuje w odniesieniu do pierwotnie zakładanej liczbystanowisk. Można ten fakt interpretować następująco:inwestor nabywa pewną opcję realną. Przypomina onawyraźnie, znaną w świecie finansów od lat, opcję call.Jeśli popyt na usługi będzie mały, opcja nie przyda się.Jeśli jednak popyt przekroczy pewien próg, inwestorbędzie mógł zrealizować opcję – łatwo i szybko rozwinąćdziałalność i wypracować dodatkowe zyski. Wypłata z tejopcji dana jest następującym wzorem: max(0, R-K),gdzie K to nakłady poniesione na zakup kolejnych stano-wisk (wartość inwestycji), a R oznacza zyski związanez dodatkowymi stanowiskami komputerowymi. Instru-mentem bazowym jest tu wartość popytu – od niego za-leży wypłata z naszej opcji. Ponieważ jednak popytwprost przekłada się na przepływy pieniężne kawiarni,a zatem również na ich podstawie można wyliczyć wy-płatę opcji, wielu autorów [24, 10] przyjmuje w tego ty-pu sytuacjach właśnie pewne przepływy gotówki związa-ne z projektem jako instrument bazowy opcji realnej.Wykorzystując tę konwencję, jako instrument bazowyrozważanej opcji realnej można by przyjąć zyski R z fun-kcjonowania dodatkowych stanowisk komputerowych,co wydaje się naturalne patrząc na wzór wypłaty opcji.

W wypadku gdy w naszej kawiarni jest też zapleczekuchenne, to możemy mówić o kolejnej opcji. Jeśli bo-wiem popyt na internet będzie mały, inwestor będziemógł zredukować liczbę stanowisk, a zwolnione miej-sce wynająć jako bar. Tym razem opcja przypominaznaną w świecie finansów opcję put, jej wypłata danajest wzorem max(0, K-R), gdzie K to przychód z naj-mu, a R to zyski z dalszego prowadzenia likwidowa-nych stanowisk.

Niezależnie od zaczerpniętej ze świata finansów kla-syfikacji opcji na call i put, w literaturze [10] klasyfi-kuje się opcje realne zależnie od możliwości, jakie ofe-rują. Najbardziej typowe opcje to: opcja odsunięciaprojektu w czasie (deferral option), opcja porzucenia(abandon option), opcja zmniejszenia skali projektu(contract option), opcja rozwoju (growth option).

Typowe projekty są jednakże zbiorem bardzo wieluopcji, z których część jest wzajemnie od siebie zależna.

Stąd kolejna kategoria tzw. opcji złożonych (compoundoptions), a także opcji uzależnionych od kilku źródełryzyka, tzw. opcji tęczowych (rainbow options).

Wymiar mikroekonomiczny

Zakładając kawiarenkę inwestor mógł wybrać różnąwielkość swojej firmy. Każda ma inną krótkookresowąfunkcję średnich kosztów, przez co działa optymalnieprzy innej wielkości popytu. Na rysunku 1. przedsta-wiono funkcje kosztów dla trzech przykładowych wiel-kości firmy X, Y, Z. Załóżmy, że otwarta przez naszegoinwestora kawiarnia internetowa jest wielkości Y.Łatwo zauważyć, że minimalizuje ona koszty (optyma-lizuje zysk) przy popycie około 2,5 jednostki. Przy po-pycie mniejszym lub większym koszty radykalnierosną czyniąc działalność kawiarni nieopłacalną. Ana-lizowane opcje realne umożliwiają jednak inwestorowiprzeskoczenie w krótkim okresie na krzywe X lub Z.Dzięki opcjom realnym to obwiednia na rysunku 1.(podniesiona oczywiście o koszty uzyskania opcji) jestwobec tego rzeczywistą ilustracją krótkookresowejfunkcji kosztów rozważanej kawiarni.

Rysunek 1. Funkcje kosztów dla firm o różnej wielkości

Opcje realne radykalnie zwiększyły więc możliwościreagowania na zmieniające się warunki rynkowe. To,co możliwe jest normalnie tylko w długim okresie cza-su, stało się dla naszego inwestora kwestią krótko-okresowych decyzji. Standardowe metody wyceny pro-jektów nie zauważają często tego typu efektów,wypaczając znacząco wartość inwestycji.

Problemy z wyceną

Mimo narzucającego się wrażenia, że opcje realne sąwłaśnie tym, czego brakowało do precyzyjnej wyceny


11MATERIAŁYSZKOLENIOWEWycena opcji realnych – metody, wyzwaniaRT 3/2004

projektów, ich stosowanie w praktyce biznesowej spo-tyka się z oporem.

Głównym powodem jest brak przekonania me-nadżerów co do poprawności metody. Sugerowaneprzez teoretyków rozwiązania wymagają często za-awansowanego aparatu matematycznego (stochastycz-ne równania różniczkowe), więc cała teoria traktowanajest przez większość menadżerów z nieufnością i poczu-ciem, że metodologia używana do obliczeń jest trudnoweryfikowalna3.

Intuicyjnie przyjmowane przez menadżerów kryte-rium prostoty jako wyznacznika prawdziwości teoriiwydaje się jednak sprawdzać w tym przypadku. Pomi-mo intensywnych badań teoretycznych nie udało siębowiem uzyskać jak dotąd jasnej, spójnej i dającej sięłatwo zastosować w praktyce teorii wyceny opcji real-nych. Głównym problemem pozostaje modelowaniei wycena ryzyka. Źródłami ryzyka pojawiającymi sięw kontekście realnych instrumentów pochodnych sąbowiem najczęściej procesy obserwowane w rzeczywi-stym świecie, jak np. pogoda w regionie czy zaintereso-wanie klientów produktem, przez co znalezienie ichzwiązku z rynkiem finansowym, na którym dokony-wana jest wycena, bywa zadaniem bardzo wyma-gającym.

Drzewa decyzyjne a opcjerealne

Najbliższą intuicji menadżerów metodą wyceny real-nych instrumentów pochodnych jest rozwinięcie meto-dy dyskontowanych przepływów w bardziej rozbudo-wane drzewo decyzyjne. W metodzie tej musimywprost wskazać źródła ryzyka, podając możliwe wyda-rzenia i ich prawdopodobieństwa. Rozważmy ponow-nie przykład kawiarni internetowej, tym razem przyj-mując konkretne założenia budżetowe i ograniczmynasze rozważania do opcji zwiększenia rozmiarudziałalności. Niech oczekiwane przepływy pieniężnedla początkowej liczby stanowisk w 3-letnim okresietrwania projektu wynoszą: -100, 40, 40, 40 w przypad-ku małego popytu, a -100, 50, 50, 50 w przypadkudużego popytu. Niech koszt kapitału wynosi 20%,a szacunkowe prawdopodobieństwo wystąpieniadużego popytu 60%. Bez uwzględnienia opcji realnejNPV projektu wynosi -3,1, co by oznaczało, że projektnie nadaje się do realizacji. Jest to oczywiście błąd, po-nieważ uwzględniliśmy wydatki związane z wynaj-mem dodatkowej powierzchni nie uwzględniając ko-rzyści, jakie może to przynieść.

Jeśli zatem uwzględnimy wypłaty opcji realnej, któ-ra przy dobrej koniunkturze (po dodatkowej inwesty-cji 20) pozwoli zwiększyć przepływy w kolejnych la-tach do 80, to otrzymamy następujące drzewo(rysunek 2.).

Rysunek 2. Drzewo decyzyjne z opcja realną.

Sumując teraz w każdym roku wypłaty z opcji i pro-jektu bazowego otrzymujemy NPV projektu równe9,8. Sama opcja została więc wyceniona metodą drze-wa decyzyjnego na 9,8–(–3,1)=12,9.

Pojawiają się jednak głosy krytyczne wobec tej metody:1. Twierdzi się [24], że po dodaniu kilku kolejnych

opcji drzewo decyzyjne zamienia się w skompliko-wany i nieprzejrzysty „krzak decyzyjny”, co sku-tecznie utrudnia strategiczne planowanie dokony-wane z jego użyciem.

2. Autorzy [10] kwestionują też możliwość wiarygod-nego oszacowania fizycznych prawdopodobieństw,których znajomość jest warunkiem sine qua non tejmetody.

3. Zwraca się też uwagę [10] na fakt, że przy takim za-stosowaniu metody do dyskontowania wszystkichprzepływów użyty został ten sam koszt kapitału,podczas gdy zmienność zwrotów z projektu orazzwrotów samej opcji mogą być różne.

4. Warto tu też podkreślić, iż metoda drzew decyzyj-nych ignoruje zupełnie istnienie rynku, na którymwiele z pojawiających się w projekcie wzorówprzepływów gotówki może mieć już swoje ceny.Wiadomym zaś jest, że ich ponowna wycena wedługprawdopodobieństw fizycznych (jak to ma miejscew metodzie drzew decyzyjnych) jest niepoprawnai z reguły otwiera możliwości arbitrażu.

Metodologia opcji finansowych

Podejmijmy jeszcze jedną próbę obliczenia wartościtej samej opcji, tym razem wykorzystując metodologięzaczerpniętą ze świata opcji finansowych. Ponieważdecyzja rozwinięcia bądź nie działalności kawiarni zo-staje podjęta na początku pierwszego roku, a wszystkiekolejne przepływy są jej skutkiem, możemy uprościćsytuację rozważając zamiast trzech corocznych wypłatopcji ich sumę zdyskontowaną kosztem kapitału napierwszy rok. Przy takiej interpretacji wypłata roz-ważanej opcji to 25,83 gdy popyt będzie duży, a 0w przeciwnym wypadku. Musimy teraz znaleźć walor,który jest obiektem handlu giełdowego i którego war-tość zależy, tak samo jak wypłata rozważanej opcji, odpopytu na usługi rozważanej kawiarni internetowej.Niech przykładowo postulowany walor rynkowy kosz-tuje 5 i wypłaca po roku 6 gdy popyt będzie duży, lub4 gdy popyt będzie mały. Zestawienie wypłat opcji re-alnej oraz waloru rynkowego przedstawia rysunek 3.



RT3/2004

Rysunek 3. Wypłaty opcji realnej oraz waloru rynkowego

Niech dany też będzie instrument wolny od ryzykakosztujący 10 i wypłacający po roku 11. Inwestując te-raz 64,58 w rynkowy walor zależny od popytu orazpożyczając 46,97 po stopie wolnej od ryzyka, otrzyma-my portfel mający takie same wypłaty jak rozważanaopcja realna, czyli replikujący wypłaty tej opcji. Jeślibowiem popyt okaże się duży, to wartość portfelabędzie wynosić

jeśli zaś mały, to wartość będzie wynosić

Posługując się teraz argumentem braku arbi-trażu stwierdzamy, że początkowa wartość opcji topoczątkowa wartość portfela replikującego, czyli64,58 – 46,97=17,61. Nie przypadkiem otrzymany wy-nik jest różny od otrzymanego wcześniej. Użyta tu zo-stała bowiem informacja pochodząca z rynku, a nie (jakw przypadku drzewa decyzyjnego) dokonana przez me-nadżerów subiektywna ocena prawdopodobieństw.

Stosując tę metodę nie modelujemy bezpośrednioźródła ryzyka związanego z rozważaną opcją, ale wska-zujemy inny walor rynkowy, którego wypłaty równieżzależą od tego źródła i wyceniamy opcje względem tegowaloru. Niestety nadal musimy wskazać wszystkie sce-nariusze rozwoju kawiarni i możliwe ceny potrzebnegowaloru, choć już nie ma konieczności szacowania praw-dopodobieństw każdego z rozważanych scenariuszy.

Używając metodologii finansowej autorzy w literatu-rze posługują się częściej modelem Blacka-Scholesa [3].Zakłada on pewną dynamikę zmian cen waloru, przezco zwalnia z konieczności ustalania scenariuszy i wyce-na realnego instrumentu pochodnego sprowadza się doznalezienia kilku podstawowych parametrów: r aktualnej ceny waloru replikującego, r wypłaty opcji realnej zależnie od przyszłej wartości

tego waloru, r zmienności zwrotów waloru oraz r stopy wolnej od ryzyka.

Obliczenie ceny instrumentu pochodnego sprowadzasię wtedy do numerycznego obliczenia pewnej całki,a dla wypłat pewnej postaci, takich jak np. standardo-we opcje call i put, cenę można znaleźć analitycznie.

Dla rozważanej wcześniej kawiarni internetowej takawycena opcji rozszerzenia działalności mogłaby wyglą-dać następująco. Na rynku znajdujemy walor bliźniaczy

idealnie skorelowany ze zdyskontowanymi na pierwszyrok przepływami generowanymi przez dodatkowe sta-nowiska komputerowe R. Po odpowiednim przeskalo-waniu (prace Amrama i Kulatilaki [1]), tak aby walorgenerował przepływy dokładnie równe R, znalezionywalor rynkowy możemy utożsamić z instrumentem ba-zowym opcji realnej. Jak już zostało wcześniej zaznaczo-ne, wypłata z rozważanej opcji to max(0; R – K), gdzieK to koszt rozbudowy działalności (wcześniej założyliś-my, iż wynosi 20). Jest to więc wypłata z opcji call o ce-nie realizacji 20 na znaleziony instrument bazowy.Znając aktualną cenę instrumentu bazowego (30),zmienność zwrotów4 (30%), stopę wolną od ryzyka(10%) i czas realizacji (decyzję o rozszerzeniu podejmie-my za 1 rok5) możemy obliczyć wartość rozważanejopcji realnej rozszerzenia działalności kawiarni wedługwzoru Blacka-Scholesa otrzymując 12,03.

Przedstawiona metoda wyceny opcji realnych (za Bo-risonem [4]) zwana jest metodą klasyczną. Warto tujeszcze raz podkreślić najbardziej charakterystycznącechę takiego podejścia. Konsekwentnie polega ono namocnym i mało realistycznym założeniu, że potrafimyznaleźć na rynku walor, który możemy utożsamić z in-strumentem bazowym opcji oraz skonstruować portfelreplikujący wypłatę z opcji. Z tego powodu metoda tastosowana jest najczęściej w odniesieniu do projektówzwiązanych z przetwarzaniem surowców (commodities),tj. ropy, miedzi, cynku itp, gdzie znalezienie portfelaprzynajmniej prawie dokładnie replikującego wypłatęopcji realnej wydaje się być możliwe, gdyż surowce te sąw obrocie giełdowym.

Wątpliwości co do zasadności takiego zastosowaniametody klasycznej w praktyce dostarcza praca Hubalkai Schachermayera [16]. Główna teza ich pracy brzmi,że (pod pewnymi założeniami) jeśli nie potrafimy zna-leźć portfela umożliwiającego replikację wypłaty opcjirealnej, a tylko portfel umożliwiający replikację z pewnądokładnością, to każda liczba w przedziale (0,∞) może,bez złamania zasady braku arbitrażu, być możliwą cenątej opcji. Autorzy zaznaczają, że przesłaniem ich arty-kułu nie jest twierdzenie, że używanie metodologii Blac-ka-Scholesa do wyceny opcji realnych jest błędne. Kiedyjednak stosujemy tę metodologię do opcji realnych, któ-rych instrument bazowy nie jest walorem znajdującymsię w obrocie, to należy zachować ostrożność i zdawać so-bie sprawę, że dochodzą wtedy do głosu subiektywne wy-bory i prawdopodobieństwa. Na pocieszenie pozostajefakt, że jeśli portfel prawie dokładnie replikuje wypłatęopcji, to po odrzuceniu już kilku procent najmniej praw-dopodobnych przypadków (tzn. cen, które dopuszczająarbitraż tylko z prawdopodobieństwem mniejszym odzadanego) przedział możliwych cen bardzo się kurczy.

Problem portfela replikacyjnego

Metody zapożyczone ze świata finansów bazują namożliwości replikacji. Ich użycie do wyceny opcji real-nych jest więc uzasadnione tylko wtedy, jeśli na rynku


istnieje walor, który mógłby być użyty do replikacjiwypłaty z opcji realnej. W szczególności można postu-lować, jak to zostało przedstawione w poprzednim pa-ragrafie, że na rynku istnieje walor bliźniaczy, którygeneruje przepływy idealnie skorelowane z instrumen-tem bazowym opcji. Nie przypadkiem w poprzednimparagrafie nie zostało jednak wyjaśnione, czym jestznaleziony walor rynkowy użyty do replikacji. Znale-zienie go jest z reguły zadaniem trudnym.

Niektórzy autorzy zdają sobie sprawę, że koncepcjabliźniaczych walorów jest mocna i prawdopodobniemało realistyczna. Szukają więc sposobów innego uza-sadnienia użycia zaczerpniętych z rynków finanso-wych metod wyceny opcji realnych.

Trigeorgis [24] pisze, że istnienie w obrocie na rynkuzupełnym bliźniaczego waloru (albo portfela walorów),który jest idealnie skorelowany z instrumentem bazo-wym opcji realnej jest wystarczającym warunkiem dowyceny opcji realnej (według metodologii opcji finanso-wych - (przypis autora)). Szeroką prezentację takiegopodejścia zawierają prace Howella [15] i Luehrmana[20]. W oparcie o tę metodę opcje realne wycenialim.in. Boer [5] i Kellog [18].

Przy braku wskazania na rynku waloru, któregoużywamy podczas replikacji, pojawia się jednak pro-blem ustalenia niezbędnych do wyceny opcji parame-trów. W praktyce zarówno dzisiejszą wartość instru-mentu bazowego, jak i zmienność zwrotów ustala sięsubiektywnie, analizując przepływy generowane przezprojekt. Nawet jeżeli zgodzimy się więc z głównymzałożeniem, iż istnieje na rynku walor, który mógłbyzostać użyty do budowy portfela replikującego, cousprawiedliwia użycie metod zaczerpniętych ze światafinansów, to otrzymany tą metodą wynik będzie tylkona tyle wiarygodny, na ile dobrze odgadliśmy parame-try tego waloru. Wątpliwości budzi też fakt, że wyceni-liśmy opcję metodą zakładającą możliwość budowyportfela replikującego wypłatę opcji, podczas gdy nieposiadamy wystarczających informacji by to zrobić(tzn. nie potrafimy wskazać odpowiedniego portfela),a ich zdobycie wiązałoby się z dodatkowymi kosztami.

Copeland [10] rozwija tę koncepcję. Zauważa, że sto-sowanie podejścia z użyciem bliźniaczego waloru jestwysoce frustrujące, jako że znalezienie waloru będącegow obrocie giełdowym, a którego przepływy gotówki sąidealnie skorelowane z przepływami generowanymiprzez instrument bazowy opcji realnej przez cały okrestrwania projektu, jest praktycznie niemożliwe. Jakorozwiązanie problemu Copeland wprowadza koncepcjępod nazwą Marketed Asset Disclaimer (MAD), gdzieproponuje założyć, że instrument bazowy opcji realnejjest po prostu walorem finansowym i wycenić opcję re-alną na takim rozszerzonym o nowy instrument ryn-ku. Często, podobnie jak w przypadku rozważanej ka-wiarni internetowej, instrument bazowy opcji można

utożsamić z przepływami generowanymi przez frag-ment rozważanego projektu. Stosowanie koncepcjiMAD w praktyce sprowadza się więc do próby oszaco-wania ceny rynkowej i zmienności zwrotów projektu,tak jakby był on przedmiotem obrotu. Copeland propo-nuje użycie tu bazowej (bez opcji) wartości NPV pro-jektu6. Zakłada bowiem, iż owa wartość NPV jest naj-lepszym nieobciążonym szacunkiem ceny, jaką projektuzyskałby na rynku, gdyby był w obrocie. Zmiennośćzwrotów wyznaczana jest natomiast [10] poprzez iden-tyfikację czynników ryzyka i symulacje Monte Carlo.

Wartość opcji liczona jest więc względem wartościrynkowej bazowego projektu. Kluczowym zagadnie-niem jest zatem poprawne obliczenie tej wartości. Po-nieważ, podobnie jak w przypadku drzew decyzyjnych,takie podejście charakteryzuje brak bezpośredniegozwiązku obliczanej wartości opcji z rynkiem, wynikbędzie poprawny tylko wówczas, jeśli szacując właśniewartość dzisiejszą projektu bazowego uwzględnimywyceny rynkowe. Niestety wymaga to dokładnej anali-zy związku przepływów generowanych przez projektz cenami walorów rynkowych i proste NPV może niebyć tu wystarczającym narzędziem.

W 2001 r. Fernandez [13] zasugerował użycie pod-czas wyceny opcji realnych zmodyfikowanego wzoruBlacka-Scholesa, gdzie poza standardowymi czynnika-mi, wartość opcji zależy także od oczekiwanego zwrotuz instrumentu bazowego opcji i stopy dyskontowejwłaściwej dla danego projektu. Oznacza to jednak rezy-gnację z metodologii replikacji. Ostatecznie liczona jestwartość oczekiwana zdyskontowanych przepływówwedług prawdopodobieństw fizycznych, które oblicza-ne są na podstawie dodatkowych parametrów. Metodata nie jest więc niczym innym jak pewnym uogólnie-niem drzew decyzyjnych, nie rozwiązującym jednakżadnego ze związanych z nimi problemów.

Metody zintegrowane

We wszystkich przedstawionych powyżej metodach(drzewa decyzyjne, metoda klasyczna, subiektywna,metoda MAD) mamy do czynienia z jednym z dwóchproblemów: wyceniamy projekt w oderwaniu od rynku(drzewa decyzyjne), bądź nieco na siłę szukamyzwiązków projektu z rynkiem (metody finansowe).

Jako rozwiązanie tego problemu Smith i McCradle[23] zaproponowali procedurę zintegrowanej wycenyopcji realnych, gdzie używa się metody opcji finanso-wych w odniesieniu do fragmentów projektu, któremożna zreplikować, i metodę drzew decyzyjnych w od-niesieniu do innych kategorii ryzyka. Określają oniobie kategorie ryzyka odpowiednio jako public i priva-te. Metoda polega na budowie drzewa decyzyjnego,identyfikacji źródeł ryzyka i przyporządkowaniu odpo-wiednich metod wyceny (replikacja, prawdopodo-bieństwa rzeczywiste) różnym elementom drzewa. Po-prawność wyceny zależy tu więc od poprawnościpodziału drzewa na odpowiednie części. Poza oczywi-stymi przypadkami, gdy w drzewie pojawiają się np.



RT3/2004

opcje walutowe, nie jest to jednak zadanie proste.Przykładowo, dla rozważanej kawiarni internetowejzapewne część przepływów dałoby się zreplikowaćużywając udziałów w wybranym portalu interneto-wym (większa wartość portalu zapewne wynikaz większego zainteresowania internetem), bądź spółcesprzedającej stałe łącza do internetu (więcej prywat-nych łącz zmniejsza zainteresowanie kawiarniami in-ternetowymi), ale jakiekolwiek precyzyjne oszacowa-nia wydają się być niemożliwe. Metoda teoretyczniepoprawna, w praktyce usuwa więc tylko znaczącesprzeczności między drzewem decyzyjnym a rynkiem,pozostawiając jednakże wiele mniej oczywistych.

Innym podejściem jest tzw. realistyczna wycenaopcji realnych zaproponowana przez Capińskiego i Pa-tenę [7, 8]. Odrzucają oni założenie o idealnej korelacjipomiędzy instrumentem bazowym opcji realnej a wa-lorem finansowym. Szukają natomiast zależności po-między stopniem tej korelacji a ceną opcji realnej. Roz-ważają dwa walory, realny i finansowy,modelując dynamikę wypłat i korelację za pomocądrzewa czteromianowego. Przy założeniu korelacji 1wycena opcji jest łatwa i może być oparta na założeniudotyczącym istnienia portfela replikacyjnego (metodaklasyczna). Przy braku idealnej korelacji, autorzy szu-kają niezbędnej do wyceny ryzyka informacji w do-tychczasowej działalności firmy – podstawą wycenyopcji realnej staje się założenie dotyczące niezmien-ności indeksu Sharpa dla konkretnej firmy. Skutkiemtakiego podejścia jest wyznaczenie przedziału cen dlakonkretnej opcji przy różnych wartościach korelacjipomiędzy walorem realnym i finansowym.

Podsumowanie

Powyższy przegląd prac wskazuje na złożoność pro-blemu wyceny opcji realnych. Nie udało się, jakw przypadku opcji finansowych, ustalić metody dającej– nawet pod pewnymi założeniami – obiektywną cenę.Problemem jest ustalenie prawdopodobieństw fizycz-nych, wskazanie waloru bliźniaczego, odgadnięcie pa-rametrów waloru bliźniaczego bądź też wskazanieczęści projektu dających się zreplikować na rynku.

Użycie drzew decyzyjnych do wyceny opcji realnychnie wydaje się być możliwe poza ramowymi przykłada-mi akademickimi. Subiektywność w ustalaniu prawdo-podobieństw i stopień skomplikowania „decyzyjnychkrzaków” czyni wyceny mało precyzyjnymi.

Metody finansowe bazują zaś na możliwości replika-cji, a zidentyfikowanie fragmentów projektu mającychswoje odpowiedniki na rynku wydaje się być, przy obec-nej złożoności rynków i liczbie dostępnych walorów,nierealne.

Metody zintegrowane są na początkowym etapie ba-dań. Ich użycie w odniesieniu do rzeczywistych inwesty-cji jest zatem bądź niemożliwe, bądź skomplikowane.

Ponieważ opcje realne mają bezpośrednie zastoso-wanie w biznesie to, jak pisze Borison [4], problemunie można rozpatrywać jedynie w kontekście braku

akademickiej precyzji. Konsekwencją są bowiembłędne decyzje inwestycyjne i straty finansowe.

Reasumując, przy podejmowaniu decyzji inwestycyj-nych nie można ignorować pojawiających się opcji real-nych. Radykalnie zwiększają one możliwości reagowa-nia firmy na zmieniające się warunki rynkowe, a zatemewidentnie mają pewną wartość. Trzeba być jednakświadomym, że wycena opcji realnych jest jak na raziesprawą subiektywnych wyborów, i to w dużo większymstopniu, niż dałoby się to wytłumaczyć tylko innym na-stawieniem inwestorów do ryzyka. t

Wiktor Patena Aleksander Urbański


Nowy Sącz


Literatura

[1] Amram M., Kulatilaka N., Real Options: Managing Strategic Investment in anUncertain World, Harvard Business School Press, Boston , 1999

[2] Amram M., Kulatilaka N., „Uncertainty: The New Rules for Strategy”, The Jour-nal of Business Strategy, Vol. 20, Issue 3, May/June 1999

[3] Black F., Scholes M., „The Pricing of Options and Corporate Liabilities”, Jour-nal of Political Economy, Vol.81, pp.637-659, May-June 19732]

[4] Borison A., „Real Options Analysis: Where are the Emperor’s Clothes?”, Wor-king Paper, 2003, http://ardent.mit.edu/real_options/RO_current_lectures/bori-son.pdf [dostęp: 22.06.2004]

[5] Boer F.P., Valuation of Technology Using Real Options, Research TechnologyManagement, July/August 2000

[6] Brealey R., Myers S., Principles of Corporate Finance, 6th Edition, IrwinMsGrow-Hill, Boston, 2000

[7] Capiński M., Patena W., „Real Options – Realistic Valuation”, Working Paper,2003, http://papers.ssrn.com

[8] Capiński M., Patena W., „Model wyceny opcji realnych”, Rynek Terminowy,2003/4, str. 109-112

[9] Constantinides G., „Market Risk Adjustment in Project Valuation”, Journal of Fi-nance, Vo. 33, No. 2, pp. 603-616, 1978

[10] Copeland T., Antikarov V., Real Options. A Practitioner’s Guide, Texere, 2000 [11] Cox J., Ross S., Rubinstein M., „Option Pricing: A Simplified Approach“, Jour-

nal of Financial Economics, vol.7, pp.229-263, 1979[12] Dixit A.K., Pindyck R.S., Investment under Uncertainty, Princeton University

Press, Princeton, NJ, 1994[13] Fernandez P., Valuation methods and Shareholder Value Creation, Academic

Press, San Diego, 2002[14] Herath H.S.B., Park C.S., „Exploiting Uncertainty – Investment Opportunities

as Real Options: A New Way of Thinking in Engineering Economics“, The En-gineering Economist, Vol. 45 , No. 1, pp. 2-36 , 2001

[15] Howell S., Stark A., Newton D., Paxson D., Cavus M., Pereira J., Patel K., Re-al Options: Evaluating Corporate Investment Opportunities in a Dynamic World,Prentice Hall, 2001

[16] Hubalek F., Schachermayer W., „The Limitations of No-Arbitrage Argumentsfor Real Options”, International Journal of Theoretical and Applied Finance, No.4(2), pp. 361-373, 2001

[17] Hull J.C., Options, Futures and Other Derivatives, Prentice Hall, 1989[18] Kellog D., Charnes J.M., „Real Options Valuation for a Biotechnology Compa-

ny”, Financial Analysts Journal, May/ June 2000, pp. 76-84[19] Kemna A., „Case Studies on Real Options”, Financial Management, Autumn 1993[20] Luehrman T., „Investment Opportunities as Real Options: Getting Started on

the Numbers”, Harvard Business Review, July-August 1998, pp. 3-15[21] Luenberger D., Investment Science, Oxford University Press, New York, 1998[22] Merton R.C., „Theory of Rational Option Pricing”, Bell Journal of Economics

and Management Sciences, Vol. 4, No.1, pp. 141-183, 1973[23] Smith J., McCradle K., „Valuing Oil Properties: Integrating Option Pricing and

Decision Analysis Approaches”, Operations Research, Vol. 46, No 2, 1998,pp.198-217

[24] Trigeorgis L., Real Options, 4th Ed. The MIT Press, 1999

1 Sztandarowymi przykładami firm stosujących opcje realne są Airbus i Enron.Upadek tej ostatniej kładzie się jednak cieniem na perspektywach dotyczącychstosowania opcji realnych w biznesie, mimo że, jak powszechnie wiadomo, tonie użycie opcji realnych było przyczyną spektakularnego bankructwa firmy.

2 Do tej pory opatentowano kilka takich metod, m.in.: ROC™ (http://www.onwardinc.com/roc/) i S-ROV™ (http://www.rogroup.com).

3 Por. Real Options and Corporate Practice, „Journal of Applied Corporate Finan-ce”, Vol.15, No 2, Winter 2003, p.8

4 W praktyce posługujemy się tu najczęściej łatwą do znalezienia tzw. wolatyl-nością implikowaną (zakładamy, że w obrocie znajdują się opcje finansowe nawalor bliźniaczy).

5 W praktyce większość opcji realnych to opcje amerykańskie, tzn. dające możli-wość wcześniejszej realizacji. Dla prostoty pokazu dokonujemy jednak obliczeńdla opcji europejskich.

6 Pogląd ten podzielają także Brealey i Myers [6].


Jerzy Dzieża, Bartosz Ficak

Przykłady opcji realnych

Wprowadzenie

Opcje realne na dobre zadomowiły się we współcze-snym świecie finansów. Mamy tutaj na myśli nie tylkosale wykładowe szkół biznesu, gdzie coraz częściejmożemy o nich usłyszeć, ale przede wszystkim firmy,które na co dzień zmagają się z rzeczywistością, w któ-rej rzetelna ocena projektu inwestycyjnego ma kluczo-we znaczenie.

Mimo wielu fundamentalnych problemów, jak np.problem z wyceną i brakiem możliwości replikacji in-strumentu bazowego, opcje realne stają się ważnyminstrumentem, który daje możliwość policzenia war-tości projektu z uwzględnieniem menedżerskich decy-zji podejmowanych w trakcie jego realizacji.

Stosowane do tej pory metody zdyskontowanychprzepływów gotówkowych (discounted cash flow,DCF), de facto pochodne metod wartości zaktualizo-wanej netto (net present value, NPV), są dobrymiprzybliżeniami w procesie oceny projektów inwesty-cyjnych. Metody te jednak prowadzą często dobłędnych wniosków jeśli mamy uwzględnić w wyceniesytuacje, które pojawiają się w działalności firmy, ta-kie jak: możliwość rozszerzenia/zmniejszenia zakresudziałalności, przesunięcia w czasie inwestycji, etc. Sto-sowanie metodologii drzew decyzyjnych (decision tree,DT) do wyceny takich możliwości narzuca przyjęciejako stopy dyskontowej, kosztu pozyskania kapitału.Okazuje się, że w niektórych sytuacjach, szczególniew branży surowców mineralnych, nowych technologii,farmaceutycznej bardziej wiarygodną wycenę uzysku-je się stosując metodologię opcji realnej.

Podstawowe rodzaje opcji realnych to:r Opcja rezygnacji z przedsięwzięcia (option to aban-

don) – amerykańska opcja sprzedaży. Firma ma pra-wo (możliwość) porzucenia przedsięwzięcia jeśliczynniki zewnętrzne (np. ceny) bądź wewnętrzne(kondycja finansowa) są niekorzystne, a firma niechce ponosić kosztów stałych. Porzucając projekt fir-ma realizuje oczekiwaną wartość likwidacyjną (sa-lvage value) A w postaci gotówki pochodzącej zesprzedaży np. maszyn. Instrumentem bazowym jestwartość projektu V a wartość likwidacyjna ceną wy-konania opcji sprzedaży. Wypłata takiej opcji:

max(V,A) = V + max(A-V,0).

r Opcja rozszerzenia skali przedsięwzięcia (option toexpand) – amerykańska opcja kupna. Firma mamożliwość przyspieszenia realizacji projektu lub jegorozbudowy. Jeżeli czynniki zewnętrzne lub we-wnętrzne są sprzyjające to firma może zwiększyć

16 MATERIAŁYSZKOLENIOWE Przykłady opcji realnych


RT3/2004

W artykule zostałyprzedstawione klasyczne

przykłady opcji realnych którepojawiają się w działalnościprzedsiębiorstw z przemysłu

surowców mineralnych oraz farmaceutycznego.

Pokazano również, że stosowanie metody

zdyskontowanych przepływówgotówkowych DCF w wycenienie uwzględnia elastyczności

decyzyjnej zarządzających, co w konsekwencji prowadzi

do zaniżania wartości projektów inwestycyjnych

skalę działalności (np. produkcję) o e procent. Oczy-wiście w związku z tym poniesie dodatkowe kosztyinwestycyjne eI. Zatem wartość firmy to V (gdy nierozszerza działalności) lub V + eV – eI. Wypłata ta-kiej opcji:

max(V, V + eV – eI) = V + max(eV – eI,0).

r Opcja zmniejszenia skali przedsięwzięcia (option tocontract) – amerykańska opcja sprzedaży. Wieleprzedsięwzięć można skonstruować w sposób pozwa-lający na ograniczenie produkcji w przyszłości. Fir-ma ma możliwość zmniejszenia skali działalnościo d procent. Takie działanie pozwala zaoszczędzićdI. Wypłata takiej opcji:

max(V,V – dV+dI) = V + max(dI – dV,0).

r Opcja odłożenia w czasie przedsięwzięcia (option todefer) – amerykańska opcja kupna. W zależności odsytuacji wewnętrznej lub zewnętrznej firmamoże odłożyć podjęcie decyzji o inwestycji bądźwdrożeniu projektu np. za rok. Przykładowo firmazainwestuje aI środków jeśli ceny surowca wzrosnądo określonego poziomu. Wypłata takiej opcji:

max(V – aI, 0).

r Opcja przełączania (option to switch) – portfel opcjizłożony z amerykańskiej opcji kupna i opcji sprze-daży. W zależności od sytuacji przedsiębiorstwomoże mieć prawo do zmiany technologii bądź kom-ponentów w procesie produkcji. Dobrym przykłademtego typu opcji jest elastyczny system produkcji (fle-xible manufacturing system, FMS). Ten podział nie wyczerpuje jednak wszystkich

możliwości. W praktyce mamy do czynienia częstoz sekwencją opcji, które trudno jednoznacznie sklasy-fikować.

Podsumowanie przedstawionegopodziału widzimy na rysunku 1.

Przedstawimy teraz przykładyopcji realnych które pojawiają sięw branży surowców mineralnychoraz w przemyśle farmaceutycz-nym. Do wyceny pojawiających sięopcji zastosujemy w pierwszymprzypadku model dyskretny, na-tomiast w drugim model ciągły.

Przemysł surowców mineralnych

Rozważania nasze rozpocznie-my od prostego przykładu. Po-każemy w jaki sposób można wy-cenić elastyczność pojawiającą sięw działalności górniczej. Roz-ważmy górniczy projekt inwesty-cyjny, który zakłada budowę ko-palni cynku. Złoże może być

eksploatowane (koncesja jest wykupiona) przez 5 lat.W rzeczywistości są to znacznie dłuższe okresy, jednakdla ustalenia uwagi, skupimy się na stosunkowo krót-kim horyzoncie inwestycyjnym. Załóżmy, dla uprosz-czenia, że koszt budowy kopalni wynosi I0=110 mln złi jest ponoszony na początku inwestycji.

Kopalnia może dawać 100 tys. ton rudy cynku rocz-nie. Załóżmy, że w procesie produkcji z 1 tony rudycynku możemy uzyskać dokładnie 1 tonę cynku.Koszt wydobycia i przetworzenia wynosi 1500 zł zatonę. Obecnie cena cynku kształtuje się na poziomie1800 zł za tonę. Załóżmy, że koszt kapitału takiegoprojektu wynosi 20% w skali roku oraz dodatkowo,że powyższe parametry się nie zmienią przez okreseksploatacji złoża, czyli 5 lat. Załóżmy, że wpływy zesprzedaży cynku oraz koszty prowadzenia działal-ności mamy na końcu każdego roku. W ciągu roku je-steśmy zatem w stanie wygenerować cash flow w wy-sokości

0,1 · (1800 – 1500) = 30 mln zł

Jeśli teraz zdyskontujemy kosztem kapitału wszyst-kie przepływy na dzień dzisiejszy to uzyskamy wartośćtego projektu V0

Zakładając że koszt inwestycji I0 = 110 mln zł, toNPV takiego projektu wynosi

NPV = V0 – I0 = 89,72 – 110 = -20,28 mln zł (1)

Z racji ujemnego NPV projekt ten należałoby odrzu-cić. Zobaczmy jednak jak zmieni się wycena projektu,jeśli zarządzający projektem będą mieć dodatkowe

17MATERIAŁYSZKOLENIOWEPrzykłady opcji realnychRT 3/2004

Rysunek 1. Podstawowe rodzaje opcji realnych.

możliwości. Na początek niech to będzie możliwość od-roczenia inwestycji w czasie.

Możliwość odroczenia projektuZałóżmy, że cena cynku może się zmieniać w ciągu

5 lat eksploatowania złoża. W każdym roku cenamoże wzrosnąć o u = 1,2 z prawdopodobieństwemp = 0,5, bądź spaść o d = 0,8 z prawdopodo-bieństwem 1 - p = 0,5. Na początku pierwszego rokucena wynosi (jak poprzednio) 1 800 zł. Załóżmy do-datkowo, że stopa wolna od ryzyka wynosi 8% w ska-li roku.

Zmiany cen cynku na rynku możemy modelowaćdrzewem dwumianowym widocznym na rysunku 2.

Rysunek 2. Zmiany cen cynku na rynku

4478,983732,48

3110,4 2985,982592 2488,32

2160 2073,6 1990,661800 1728 1658,88

1440 1382,4 1327,101152 1105,92

921,6 884,74737,28

589,82

1 2 3 4 5

Wartość możliwości odroczenia rozpoczęcia dzia-łalności możemy obliczyć stosując technikę wycenyopcji kupna w modelu dwumianowym. Musimy wy-cenić długą pozycję w opcji kupna. Zatem musimystworzyć portfel replikujący nasz projekt, czyli musi-my zająć krótką pozycję w „bliźniaczym projekcie”oraz długą w instrumencie wolnym od ryzyka w od-powiednich proporcjach. Taka konstrukcja spowodu-je, że wypłata z naszego projektu jest pozbawiona ry-zyka, co w konsekwencji umożliwi nam dyskonto-wanie przepływów stopą wolną od ryzyka. To kla-syczne rozumowanie można znaleźć w dowolnympodręczniku z podstaw arbitrażowej wyceny instru-mentów pochodnych [3].

Zauważmy, że na koniec 5 roku wartość naszegoprojektu wynosi 0, bez względu na to jaka jest cenacynku. Rok wcześniej, czyli na koniec 4 roku, wartośćnaszego projektu wyniesie tyle, ile wygeneruje nettonasza kopalnia. Przykładowo, jeśli na rynku zostaniezrealizowany najbardziej optymistyczny scenariusz, tocena cynku będzie wynosić 3 732,50 zł. Zatem naszprojekt wygeneruje

0,1·(3732,50–1500) = 223,20 mln zł

Czyli na początku czwartego roku będzie wart223,20/(1+0,08) = 206,70 mln zł.

Dla wcześniejszych wierzchołków drzewa obliczeniabędą się nieznacznie różniły. Otóż, na koniec 3 roku,wartość projektu będzie sumą przepływów netto 3 rokuoraz wartości oczekiwanej przepływów w roku przy-szłym względem miary martyngałowej (prawdopodo-bieństwa neutralizującego ryzyko). W naszym przypad-

ku wartość miary martygałowej .

Jeśli chcemy znać wartość projektu na początku 3 ro-ku to musimy całe to wyrażenie zdyskontować stopąwolną od ryzyka. Oczywiście w wierzchołkach, w któ-rych wartość jest ujemna nie eksploatujemy złoża. Sto-sując rekurencję wsteczną uzyskujemy dzisiejszą war-tość naszego projektu inwestycyjnego, która wynosi240,7 mln zł (rysunek 3.).

Rysunek 3. Drzewo wartości projektu

0206,71

308,51 0333,44 91,51

304,07 116,51 0240,70 96,63 14,71

57,10 0 00 0

0 00

0

1 2 3 4 5

Możliwość odłożenia w czasie rozpoczęcia projektuinwestycyjnego zdecydowanie podnosi jego wartość.

Możliwość zwiększenia skali projektuZałóżmy, teraz że w zależności od cen na rynku cyn-

ku możemy zwiększyć wielkość wydobycia rudy. Niechmożliwość zwiększenia wielkości produkcji wynosi30% do 130 tys. ton rocznie. Jednak rozszerzeniedziałalności wymaga poniesienia jednorazowychnakładów w wysokości 20 mln zł. Również jednostko-we koszty prowadzenia działalności zwię- kszają się do1 700 zł na każdą tonę. Załóżmy również, że po podję-ciu dodatkowej inwestycji na początku danego rokumożemy prowadzić ją do zakończenia koncesji złoża.

Możliwość rozszerzenia skali produkcji policzymypodobną techniką. Otóż liczymy najpierw jaka jestwartość projektu gdy mamy produkcję większą o 30%oraz koszty jednostkowe wynoszące 1 700 zł za tonędokładnie w taki sam sposób jak wcześniej. Obliczeniaprezentuje rysunek 4.



RT3/2004

Rysunek 4. Drzewko wartości projektu rozszerzonego bezkosztów inwestycji

0244,65

354,70 0366,84 94,90

313,25 106,47 0219,40 72,38 0

15,62 0 00 0

0 00

0

1 2 3 4 5

W dniu dzisiejszym wartość naszej koncesji wynosi219,4 mln zł. Jednak drzewko nie uwzględnia kosztówinwestycyjnych w wysokości 20 mln zł co powoduje,że wartość projektu wynosi 199,4 mln zł. Ten wynik jestzdecydowanie gorszy od sytuacji gdy nie rozszerzamydziałalności. Ale zobaczmy co się dzieje dla innychwierzchołków drzewa, gdy zmienia się cena cynku. Otóżporównajmy wartości w wierzchołkach dwóch drzewek: r gdy nie ma możliwości rozszerzenia produkcji, r gdy możemy rozszerzyć produkcję (pomniejszone

o wielkość inwestycji).Nowe drzewo (rysunek 5.) będzie miało w wierz-

chołkach wartość większą z dwóch powyższych przy-padków.

Rysunek 5. Drzewko wartości projektu rozszerzonego

0224,65

334,70 0346,84 91,51

304,07 116,51 0240,71 96,63 14,71

57,07 0 00 0

0 00

0

1 2 3 4 5

Na zielono zazanczone są wierzchołki, w któ-rych warto podjąć dodatkową inwestycjęi zwiększyć produkcję.

Górnicze projekty inwestycyjne

Inwestowanie w projekt górniczy przypo-mina w istocie stosowanie opcji finansowej.Po pierwsze obydwa procesy są przynajmniejpo części nieodwracalne – po zrealizowaniu

(uzyskanie instrumentu bazowego) opcja wygasa.W obu przypadkach poniesione koszty nie mogą byćw żaden sposób zwrócone. Po drugie – szczególne zna-czenie ma tu moment podjęcia decyzji odnośnie wyko-nania (albo nie) opcji. Na przykład, zrealizowanie ame-rykańskiej opcji kupna od razu, jak tylko stanie sięopcją w cenie, nie jest decyzją optymalną, jako że cenymogą wzrosnąć jeszcze bardziej. Rozpoczęcie nieod-wracalnej akcji – wykonania opcji wyczekiwania przedterminem jej wygaśnięcia – oznacza pozbawieniemożliwości uzyskania nowych informacji dotyczącychwarunków na rynku.

Tabela 1. zawiera porównanie opcji finansowej z opcjąrealną dla złóż surowców mineralnych zaproponowaneprzez Paddocka i in. z drobnymi modyfikacjami wpro-wadzonymi przez Moyen i in. (Paddock, Siegel, Smith1988, Moyen, Slade, Uppal 1996).

Tabela wskazuje na podobieństwo języków, używa-nych zarówno w dyskusji dotyczącej opcji finansowychjak i górniczych projektów inwestycyjnych. Np. kosztyjednostki udostępnienia zasobów w górnictwie pełniąrolę ceny wykonania, ponieważ koszty te muszą byćponiesione wstępnie w celu uzyskania instrumentubazowego (złoża udostępnionego), a przepływ zyskównetto spełnia rolę przepływu dywidend.

Pomimo znacznych podobieństw, opcja realna i fi-nansowa różnią się istotnie. W rzeczywistości w przy-padku większości aktywów realnych mamy do czynie-nia z sekwencjami opcji – w przypadku działalnościgórniczej objęcie własności (uzyskanie koncesji) dajewłaścicielowi opcję na poszukiwanie złóż, uzyskanieinformacji z fazy poszukiwań geologicznych daje muopcję na udostępnianie, a udostępnienie daje mu opcjęna wydobycie. Po uzyskaniu przez kopalnię pełnejfunkcjonalności, właściciel zawsze dysponuje opcją naczasowe wstrzymanie produkcji bądź na zlikwidowa-nie kopalni (rysunek 6.).

W przypadku opcji realnych należy rozważyć równieżczas potrzebny na „zbudowanie” instrumentu bazowe-go – czyli okres pomiędzy poniesieniem nakładów inwe-stycyjnych a uruchomieniem produkcji. Przykłademmoże być tutaj opcja na udostępnienie złoża – istnieje tuwyraźne przesunięcie czasowe pomiędzy wykonaniemopcji (poniesieniem nakładów inwestycyjnych na udo-stępnienie) a otrzymaniem instrumentu bazowego, czy-li złoża udostępnionego. Inna istotna różnica dotyczyczasu wygaśnięcia opcji. W przypadku opcji finanso-wych mamy najczęściej do czynienia z kilku miesiącami.


Źródło: Paddock i in., 1988; Moyen i in., 1996

Tabela 1. Porównanie terminologii opcji finansowej i opcji realnejAkcja płacąca dywidendę Złoże nieudostępnione (opcja realna)(opcja finansowa)

cena akcji wartość zaktualizowana złoża udostępnionegocena wykonania koszt udostępnienia złożaczas do wygaśnięcia opcji okres, w którym można dokonać udostępnieniazmienność ceny akcji zmienność wartości udostępnionego złożadywidenda przepływ gotówkowy netto

W przypadku opcji realnych mówi się najczęściej o okre-sach dłuższych niż rok. Dla złóż surowców mineralnychtypowy czas wygaśnięcia opcji na udostępnienie obej-muje okresy 5-10 letnie. Opcje na poszukiwanie i rozpo-znawanie mają oczywiście jeszcze dłuższe okresy wy-gaśnięcia.

Opcje realne w przemyślefarmaceutycznym

Zastosowanie opcji realnych przedstawimy równieżna przykładzie projektu inwestycyjnego koncernufarmaceutycznego GlaxoSmithKlein. Od kilku lat fir-ma ta prowadzi intensywne badania nad nowym pre-paratem, którego zadaniem jest nie dopuścić do uod-parniania się bakterii na działanie antybiotyków.Otóż, zaraz po podaniu antybiotyku, bakterie zwięk-szają prędkość mutacji, wytwarzając przy tym enzy-my, które znacznie obniżają wartość terapeutyczną

leków. Proces ten, zwany β-laktamazą, jest praw-dziwą zmorą pacjentów przechodzących długookreso-we kuracje antybiotykowe. Efektem długoletnich ba-dań nad nim, jest opatentowana w latach dziewięć-dziesiątych, substancja o nazwie Tribactam. W roku2000, firma GlaxoSmithKlein zakończyła z powodze-niem pierwszy etap testów klinicznych nad skutecz-nością tego preparatu1 i weszła w drugą fazę badań.Zanim jednak zostaną wyłożone pieniądze na II etap,menedżerowie muszą ocenić wartość całego projektu.Należy przy tym zaznaczyć, że testy medyczne są bar-dzo kosztowne, a przede wszystkim istnieje technicz-ne ryzyko ich niepowodzenia – może się nagle okazać,że substancja nie jest tak skuteczna jak oczekiwanolub powoduje negatywne efekty uboczne i trzebabędzie zrezygnować z dalszych badań. To by oczy-wiście oznaczało porażkę, zarówno badaczy jak i osóbfinansujących przedsięwzięcie, ponieważ pieniądzewydane na dotychczasowe procedury kliniczne zo-stały zmarnowane. Ten rodzaj ryzyka musi być więcuwzględniony (i wyceniony) przez menedżerówzarządzających projektem, a przede wszystkim przezkapitałodawców.

Zagnieżdżone opcje realne

Na rysunkach 7. oraz 8. przedsta-wiamy plan firmy GlaxoSmithKleindotyczący projektu Tribactam. Lata2003 oraz 2006 są przełomowe dlaprojektu – wówczas menedżerowiemuszą podjąć decyzje dotyczącedalszego rozwoju projektu.

Opcja porzuceniaDecyzja o sfinansowaniu całej inwe-

stycji musi zapaść już przed rozpoczę-ciem drugiego etapu badań (czyliw roku 2000) – na tę chwilę na-leży wycenić cały projekt. Jeżeli przej-dzie on II fazę testów klinicznych, towówczas zespół badawczy wraz z ka-pitałodawcami i menedżerami musipodjąć decyzję dotyczącą realizacjiostatniej czyli trzeciej fazy badań. Nawypadek ich niepowodzenia istniejealternatywa. Otóż pewna firmaz branży biotechnologii jest zaintere-sowana tym preparatem i oferuje 25mln funtów w zamian za prawa doprowadzenia testów na tej substancji.W takim razie, koncern GlaxoSmith-Klein ma dwie możliwości:r kontynuować badania i rozpocząć

produkcję Tribactamu, co wiąże sięnie tylko z ponoszeniem dalszychkosztów K, ale również z osiąga-



RT3/2004

Rysunek 6. Sekwencje opcji realnych w działalności geologiczno-górniczej(Saługa i in. 2002)

niem przychodów związanych z jegosprzedażą R. Jeżeli więc funkcjaft(x) będzie funkcją zysku/stratyz tego projektu w czasie t, a Rwartością dzisiejszą (na chwilę t=3)przychodów związanych z dalsząkontynacją projektu, to przyjmujeona postać:

f3(R) = R – K

ft(R) = 0 0 ≤ t <3

r sprzedać prawa do testów klinicz-nych i otrzymać 25 mln funtów czy-li tzw. wartość likwidacyjną (salva-ge value) S.Oczywiście niezbędnym warunkiem

do kontynuowania są pozytywne wy-niki na drugim etapie badań oraz od-powiedni popyt na ten lek. To jednakdo końca nie wystarcza. Jeżeli firmaprzejdzie do trzeciej fazy testów,będzie chciała zarejestrować nowypreparat i rozpocząć produkcję, to po-niesie koszty K w wysokości 63,1 mlnfuntów. Menedżerowie GlaxoSmith-Klein muszą więc wybrać wartośćwiększą czyli albo S albo f3(R):r f3(R) = R–K > S – firma przechodzi

do kolejnej fazy,r f3(R) = R–K < S – firma sprzedaje

prawa do prowadzenia badań.W takim razie wypłata g z projektu

w trzecim roku można określić jakonastępującą zależność:

g3(R) = max(f3(R); S) = f3(R)+ max(0; S – f3(R))

Wzór wyraźnie pokazuje, że wypła-ta koncernu w czasie t = 3 to:r zysk/strata z realizacji projektu czy-

li f3(R) orazr wypłata opcji porzucenia wynosi

max(0; S – f3(R)).W takim razie prawo do decyzji re-

zygnacji z dalszych badań i produkcji,jest opcją realna porzucenia (option toabandon for salvage value). Instru-mentem bazowym jest w tym przy-padku zysk/strata związana z konty-nuacją badań i sprzedażą preparatuustnego. Cena realizacji to wartośćlikwidacyjna czyli S = 25 mln funtów.Czas trwania to 3 lata. Aby wycenićtaką opcję, zakładaliśmy wcześniejistnienie waloru doskonale skorelo-wanego z instumentem bazowym, a tym samymmożliwość replikacji. Tutaj w celu wyceny wykorzy-stamy model Blacka-Scholesa, jednakże zanim to zro-

bimy, musimy być w pełni świadomi faktu, że replika-cja pozostaje jedynie założeniem (porównaj artykułPateny i Urbańskiego).


Rysunek 7. Plan projektu Tribactam

Rysunek 8. Rozwój projektu Tribactam

Dane potrzebne do wyceny:r czas życia opcji = 3 lata,r cena instrumentu bazowego = 62,7 mln funtów,r cena realizacji = 25 mln funtów,r zmienność (szacowana) = 35%,r stopa wolna od ryzyka = 3%.

Wyznaczamy: d1 = 2,067, d2 = 1,46.Zatem cena opcji put = 0,877 mln funtów.

Opcja rozwojuW przypadku zadowalającej sprzedaży postaci doust-

nej leku oraz widocznego popytu na ten produkt w ro-ku 2006, firma zamierza podbić znaczną część rynkuszpitalnego poprzez wypuszczenie iniektywnej (czylidożylnej) postaci Tribactamu.

Jeżeli więc funkcja f oznacza zyski ze sprzedaży do-ustnej wersji Tribactamu, to jeśli przyjmiemy współ-czynnik ekspansji e (e = 60%), uzyskamy dodatkowyzysk ze sprzedaży na rynku szpitalnym tego leku.

Wtedy wypłata firmy GlaxoSmithKlein wyniesiea) ft(R), gdy nie dokonamy ekspansji,b) ft(R)+eft(R)–Ke, gdy dokonamy ekspansji, a więc

zwiększymy e razy nasz zysk, ale i poniesiemy dodat-kowe koszty.

Zastępując jedną formułą otrzymujemy:

ht(R) = ft(R)+ max(e ft(R) – Ke, 0) t > 3

gdzie Ke to koszty dodatkowej produkcji. Ta za-leżność wyraźnie pokazuje, że wypłata firmy Glaxo-SmithKlein na tym etapie to:

r zysk/strata z produkcji doustnej wersji preparatuczyli ft(R) orazr wypłata opcji (call) rozszerzenia produkcji czyli

max(eft(R)- Ke, 0).Podsumowując, prawo do podjęcia decyzji o rozwoju

nowej linii preparatu jest opcją rozwoju (option toexpand). Instrumentem bazowym jest ponownie wiel-kość osiąganego zysku/straty.

Zakładając możliwość replikacji tego instrumentudokonamy ponownie wyceny tej opcji stosując modelBlacka-Scholesa.

Dane potrzebne do wyceny:r czas życia opcji = 6 lat,r cena instrumentu bazowego = 62,7 mln x 60% =

37,62 mln funtów,r cena realizacji = Ke = 40,25 mln funtów,r zmienność (szacowana) = 35%,r stopa wolna od ryzyka = 3%.

Wyznaczamy: d1 = 0,55, d2 = 0,29.Stąd cena opcji rozszerzenia = 13,99 mln funtów.Należy wyraźnie zaznaczyć, że istnienie tej opcji jest

ściśle uzależnione od wcześniej rozważanej opcji po-rzucenia. Jeżeli w roku 2003 została powzięta decyzjao sprzedaży praw do prowadzenia badań, wówczas taopcja nie istnieje.

Analiza projektu metodą zdyskontowanych przepływów gotówkowych DCFWiemy już ile są warte opcje wbudowane w działal-

ność firmy. Teraz policzymy wartość bieżącą projektuTribactam zakładając, że nie mamy możliwości podej-mowania decyzji. W takim razie zakładamy „statycz-nie”, że zaraz po II etapie badań klinicznych, firma



RT3/2004

Rysunek 9. Wartość projektu wyznaczona metodą NPV

GlaxoSmithKlein podejmie badania fazy III, po czymprzystąpi do produkcji leku – nie ma miejsca na decy-zje, co najwyżej możemy uwzględnić losowość poprzezrozważenie różnych możliwych scenariuszy. W na-szych obliczeniach robimy następujące założenia:r cena P jednostki leku wyniesie (do 2008 r.) 1,90 fun-

ta, a potem 2,00 funty,r projekt zapada w 2010 r.,r podatek wynosi 33% EBITu (czyli zysku operacyjnego),r średni ważony koszt kapitału (WACC) wynosi 12%,r amortyzacja urządzeń jest liniowa i wynosi 1,7 milio-

na funtów/rok,r koszty stanowią 35% przychodu.r stopa wolna od ryzyka r wynosi 3%.

Rysunek 8. przedstawia wartości oczekiwane dla po-szczególnych wartości przychodu, kosztów oraz in-nych strumieni pieniężnych związanych z projektem.W jej górnej części przedstawiamy cash flow, a w dol-nej wydatki. Wartość projektu wyznaczona metodązdyskontowanych przepływów gotówkowych nettoNPV jest ujemna i wynosi -2,82 mln funtów.

Mając powyższe informacje dokonamy elastycznejwyceny projektu Tribactam. Już wiemy, że na pewnowartością tej inwestycji nie będzie NPV = -2.82 mlnfuntów. Gdyby przyjąć taką wartość projektu, to wów-czas oznaczałoby to, że nawet gdyby się nie powiodła IIfaza badań, inwestujemy w projekt.

Tymczasem możemy porzucić to przedsięwzięciei odsprzedać technologię innej firmie, a w przypadkumałego sukcesu rynkowego tego medykamentu wcalenie musimy rozszerzać jego produkcji.

W takim razie wartość tego projektu, to jego NPVz dodatkowymi opcjami, czyli

NPV = – 2,82 + 13,9 + 0,877 = 11,95 mln funtów

Jest to najlepszy przykład inwestycji, która po zasto-sowaniu klasycznych narzędzi oceny projektu zo-stałaby odrzucona. Tymczasem dokonując wyceny de-cyzji zagnieżdżonych w projekcie zyskuje on bardzo nawartości.

W związku z powyższymi analizami GlaxoSmithKle-in planuje rozwinięcie następującej strategii:r 2000 r. – zainwestować w II-gą fazę badań klinicz-

nych nad skutecznością i działaniem Tribactamu,r 2003 r. – opierając się na wynikach etapu II oraz

przewidywaniach odnośnie popytu na ten lek uzu-pełniający terapie antybiotykowe, powziąć decyzjędotyczącą kontynuacji badań w fazie III oraz roz-poczęcia produkcji,r 2006 r. – opierając się na wynikach dotychczasowej

sprzedaży preparatu oraz popycie rynkowym na-leży zdecydować czy rozszerzyć produkcję i zacząćprodukować preparat dożylny, który będzie stosowa-ny w szpitalach.

Podsumowanie

Przedstawiliśmy kilka klasycznych przykładów opcjirealnych które pojawiają się w działalności przedsię-

biorstw z przemysłu surowców mineralnych oraz far-maceutycznego. Stosowanie metody zdyskontowanychprzepływów gotówkowych DCF w wycenie nieuwzględnia elastyczności decyzyjnej zarządzających, cow konsekwencji prowadzi do zaniżania wartości projek-tów inwestycyjnych. Taka sytuacja ma szczególne zna-czenie, gdy mamy do czynienia z projektami nieopłacal-nymi lub znajdującymi się na granicy opłacalności.

Mimo, iż opcje realne dają tyle różnych możliwości,to w świetle dyskusji przedstawionej we wcześniejszychartykułach stają się narzędziem nieco kontrowersyj-nym. Dlatego cały czas należy pamiętać, ze w procesiewyceny z użyciem opcji nieustannie pracują założeniaz zupełnie innego świata – świata opcji finansowych,które nie zawsze pasują do tej teorii. t

Jerzy DzieżaWydział Matematyki Stosowanej

AGH, Kraków

Bartosz FicakKatedra Finansów

Wyższa Szkoła Biznesu – NLUNowy Sącz


Literatura

1. Berger, P. G., Ofek, E., Swary, I.: Investor valuation of the abandonmentoptions, working paper, April 1996, NYU Stern Salomon Center.

2. Brennan, M.J., Schwartz, E.: Evaluating Natural Resource Investements, Jo-urnal of Business, 58, 1985, 135-157.

3. Capiński, M., Zastawniak,T.: Mathematics for Finance, An Introduction to Fi-nancial Engineering, Springer-Verlag, London 2003.

4. Davis, G.A.: Option premiums in mineral asset pricing: Are they important?,Land Economics, vol.72, no. 2, 1996, 135-157.

5. Davis, G.A.: One Project, Two Discount Rates, Mining Engineering, April,1998.

6. Dias, M.A.G.: http://www.puc-rio.br/marco.ind7. Dixit, A.K., Pindyck, R.S.: Investment Under Uncertainty, Princeton University

Press, Princeton, NJ, 1994.8. Gustafsson, J., Gustafsson, T., and Jantunen, P.: A Dynamic Capital Budge-

ting Model of a Portfolio of Risky Multi-stage Projects, Working Paper 2003,Department of Engineering Physics and Mathematics, Helsinki University ofTechnology.

9. Kellogg D. and Charnes J.C.: Using Real-Options Valuation Methods fora Biotechnology Firm, Working Paper 1999, University of Kansas, School ofBusiness.

10. Kulatilaka, N. and Marcus, A.J.: Project valuation under uncertainty: DCF fa-il?, Journal of Applied Corporate Finance, 5, 1992, 92-100.

11. Luehrman, T. A.: What’s it Worth? A General Manager’s Guide to Valuation,Harvard Business Review, May-June, 1997, 132-142.

12. Moyen, N., Slade, M., Uppal, R.: Valuing Risk and Flexibility: A Comparisionof Methods, Resources Policy, Vol. 22, 1996, 63-74.

13. Myers, S.: Determianants of Capital Borrowing, Journal of Financial Econo-mics, 1977.

14. Paddock, J.L., Siegel, D.R., Smith, J.L.: Option Valuation of Claims on RealAssets: the Case of Offshore Petroleum Leases, Quarterly Journal of Econo-mics, 1988, 479-508.

15. Perdue, R. K., McAllister, W. J., King, P. V., Berkey, B. G.: Valuation of R andD Projects Using Options Pricing and Decision Analysis Models, Interfaces,vol. 29, 1999, 57-74.

16. Pindyck, R.S.: The Present Value Model of Rational Commodity Pricing, TheEconomic Journal, 1993, 511-530.

17. Saługa, P., Dzieża, J., Kicki, J.: Opcje realne w ocenie ekonomicznej górni-czych projektów inwestycyjnych, Gospodarka Surowcami Mineralnymi, Wy-dawnictwo IGSMiE PAN, Kraków, 2002, 157-174.

18. Smith L.D.: Discount rates and risk assessment in mineral project evaluations,Transactions Institution of Mining & Metallurgy (Sect. A: Mineral Industry),1994.

19. Wanielista K., Saługa P., Kicki J., Dzieża J., Jarosz J., Miłkowski R., SobczykE.J., Wirth H.: Wycena wartości zasobów złoża. Nowa strategia i metody wy-ceny, Biblioteka Szkoły Eksploatacji Podziemnej, Kraków, 2002.

20. http://www.realoptions.org

1 Zanim nowy lek wejdzie na rynek, musi przejść szereg badań klinicznych:najpierw tzw. testy pre-clinical na zwierzętach, następnie trzy fazy badań kli-nicznych na ochotnikach, potem dopiero można ubiegać się o rejestracjępreparatu (FDA Approval), która jest przepustką do sprzedaży na rynku.


Piotr Kobak, Aleksander Urbański

Opcje realne,otoczenie rynkowei osłona przed ryzykiem

Wstęp

W zarządzaniu finansami przedsiębiorstw istotnąrolę pełnią techniki osłony przed ryzykiem, czy inaczej– hedging. Dzięki instrumentom pochodnym firmamoże zmniejszyć ryzyko (a w konsekwencji niestety –również stopę zwrotu, bo osłona kosztuje). Aby po-prawnie zaprojektować osłonę przed ryzykiem trzebazidentyfikować czynniki ryzyka. Ważne jest teżokreślenie w jaki sposób zysk firmy zależy od tychczynników. Tę zależność można traktować jako realnyinstrument pochodny.

Celem tego artykułu jest pokazanie, że otoczenie ryn-kowe może być dla firmy źródłem pozycji w opcji realnej(czy dokładniej – realnym instrumencie pochodnym),i że taką pozycję należy uwzględnić w konstrukcji stra-tegii zabezpieczającej dochód firmy przed ryzykiem.

Zaczniemy od klasycznego przykładu osłony przedryzykiem (jest on dość typowy i jak się za chwilęokaże nieco naiwny). W następnych częściach arty-kułu przykład ten zostanie zmodyfikowany tak byźródłem pozycji w opcji realnej było otoczenie rynkowefirmy.

Przykład 1. Firma ABC zaciąga kredyt denominowany w dola-

rach USA. Po pewnym czasie menedżer dochodzi downiosku, że ryzyko walutowe jest zbyt wielkie i zabez-piecza się kupując kontrakt terminowy na USD.(Można oczywiście rozważać alternatywne zabezpie-czenia o innych profilach ryzyka, np. zakup opcji call)Jeśli dojdzie do wzrostu kursu dolara, wzrost zobo-wiązań z tytułu kredytu zostanie skompensowanyprzez zyski z długiej pozycji w kontraktcie termino-wym (opcji call).

Tego typu przykłady hedgingu (okraszone danymiliczbowymi) pojawiają się często w publikacjachpoświęconych zarządzaniu ryzykiem. Jest to jednaktylko uproszczony przykład, a sztywne stosowanie siędo niego może prowadzić do groźnych błędóww zarządzaniu ryzykiem i w konsekwencji – strat.Zmodyfikujmy powyższy przykład i rozważmy niecobardziej realistyczny.

24 MATERIAŁYSZKOLENIOWE Opcje realne, otoczenie rynkowe i osłona przed ryzykiem


RT3/2004

Celem tego artykułu jest pokazanie, że otoczenie

rynkowe może być dla firmyźródłem pozycji w opcji realnej albo dokładniej realnym instrumencie

pochodnym. Jak się okażepozycję taką należy

uwzględnić w konstrukcjistrategii zabezpieczającej

dochód firmy przed ryzykiem

Przykład 2. Ta sama firma zawarła w międzyczasie duży kon-

trakt na eksport towarów i uzyska z tego tytułuw przyszłości płatności w dolarach USA. Wzrost kursudolara spowoduje wzrost wartości spływających do fir-my należności, co skompensuje koszt obsługi kredytuwalutowego.

Jeśli te należności przewyższają raty kredytu (zakła-damy tutaj, że terminy spłaty rat i spływu należnościsą zbliżone) to należało zająć krótką pozycję termi-nową – zajęcie pozycji długiej (jak w przykładzie 1.) do-prowadzi do wzrostu ryzyka pogarszając w ten sposóbsytuację.

Powyższe przykłady ilustrują dość oczywistą za-sadę: konstruując osłonę przed ryzykiem na-leży wziąć pod uwagę wszystkie pozycje jakiezajęła firma. Można powiedzieć, że należności w dola-rach USD to rodzaj ,,realnego długiego kontraktu ter-minowego''. Firma w przykładzie 2. miała taki kon-trakt więc niepotrzebnie zawarła długą pozycję narynku terminowym (lub też – zawarła ,,za długą'' po-zycję).

Wspomniana tu zasada jest dość oczywista. Problemw tym że nie wszystkie realne instrumenty pochodnemożna ,,zauważyć gołym okiem".1

Doskonała konkurencja

Rozważmy kolejny przykład z rynku doskonale kon-kurencyjnego.

Przykład 3. Niewielka rodzinna firma XYZ produkuje wędliny.

Jeżeli wzrosną ceny mięsa, to firma będzie ponosićwyższe koszty i spadnie jej zysk. Firma zabezpiecza sięprzed ryzykiem zawierając długi kontrakt terminowyna półtusze wieprzowe.

Znowu jest to uproszczony przykład i dopiero bar-dziej szczegółowa analiza da odpowiedź na pytanie czystrategia firmy XYZ była właściwa. Przypuśćmy naprzykład, że firma działa w konkurencyjnym otocze-niu rynkowym, a jej konkurencja nie stosuje osłonyprzed ryzykiem.

Jeśli ceny surowca wzrosną to firma XYZ (sto-sując hedging) uzyska przewagę konkurencyjną –będzie miała niższe koszty niż jej konkurenci,stąd większy zysk. Być może XYZ przejmie część ryn-ku, gdyż będzie mogła sprzedawać taniej.

Jeśli natomiast ceny surowca spadną to firma i takbędzie musiała kupować po cenie wyznaczonej przezkontrakt terminowy. Konkurencja kupi zaś surowiec

25MATERIAŁYSZKOLENIOWEOpcje realne, otoczenie rynkowe i osłona przed ryzykiemRT 3/2004

po cenie niższej. Jeśli w tej sytuacji konkurenci obniżącenę, to firma XYZ poniesie straty i może nawet wy-paść z rynku. Próba ograniczenia ryzyka (hedgingu)przez zakup kontraktów okazała się tu być (podobniejak w przykładzie 2.) ryzykowną spekulacją! Widaćwięc, że podejmując decyzje o zabespieczaniu się firmapowinna również brać pod uwagę opcje realne genero-wane przez otoczenie rynkowe.

Zauważmy jeszcze, że gdyby konkurenci firmy stoso-wali hedging kupując długie kontrakty terminowe, tonie kupowanie przez XYZ kontraktów jest spekulacją(nastawioną na spadek cen surowca) a kupowanie ich– to hedging.

Odwołując się do przykładów 1. oraz 2. i przedsta-wionej wyżej reguły można powiedzieć, że w przy-kładzie 3. firma nie uwzględniła realnego instrumentupochodnego który daje otoczenie rynkowe. Strukturarynku daje firmie możliwość podniesienia ceny jeśli ce-ny surowca wzrosną, ponieważ to samo zrobią wszyscykonkurenci. Zapewne tę opcję realną jest jeszcze trud-niej zauważyć ,,gołym okiem'' niż ,,realny kontrakt ter-minowy'' o którym była mowa w przykładach 1. i 2.

Duopol – model naśladownictwa cenowego

Jedną z form otoczenia rynkowego jest oligopol. W ta-kim przypadku na rynku jest kilka dużych firm produ-kujących identyczny produkt. Cechą charakterystycznąoligopolu jest to, że z jednej strony firmy mają wpływ nacenę, z drugiej zaś muszą się liczyć z zachowaniami kon-kurencji. Istnieje wiele strategii ,,gry" na takim rynku.

Do analizy strategicznych zachowań firm które kon-kurują w ramach oligopolu można stosować opcje real-ne2. Nie to jest jednak naszym celem. Zajmiemy sięanalizą strategii osłony przed ryzykiem w oligopolu.Dla uproszczenia będziemy rozważać duopol czyli oli-gopol w którym są tylko dwie liczące się firmy.

Rozważymy przy tym jeden z prostszych modeli du-opolu – tzw. model naśladownictwa cenowego. Zakładasię w nim, że jedna z firm jest liderem (L) i ustala cenę ppo której będzie sprzedawać produkt. Druga to tak zwa-ny naśladowca (N), który przyjmuje cenę ustaloną przezlidera L jako daną i stosownie do jej poziomu planuje po-ziom produkcji3. Ważne jest, że lider wie jak zachowujesię naśladowca. W prostej, podręcznikowej4 sytuacjipunkt równowagi (cena i poziom produkcji firm) wyzna-cza się w następujący sposób. Naśladowca rozwiązuje za-gadnienie maksymalizacji zysku gdy cena p wynosi:

MCN(q) = p

gdzie MCN(q) oznacza koszt krańcowy naśladowcy.W wyniku otrzymujemy funkcję reakcji naśladowcy(odczytujemy z niej ile wyprodukuje naśladowca gdycena wynosi p):

q=SN(p)

Lider ustala więc cenę p tak by maksymalizowaćzysk, jednak bierze pod uwagę podaż naśladowcy, czy-li wyznacza

maxp

{p × (q – SN(p)) – TCL(q)} (1)

gdzie:q = D(p) – popyt rynkowy,5

TCL(q) – całkowite koszty produkcji q sztuk przez lidera.Rozszerzmy teraz podręcznikowy standard o dwa

dodatkowe czynniki: kwotowy (na jednostkę produko-wanego dobra) wzrost ceny podstawowego surowca u,który uderza jednakowo w lidera jak i naśladowcę orazpozycję k w kontraktach terminowych na rozważanysurowiec, jaką zajął lider, chcąc osłonić się przed ryzy-kiem zmiany ceny. Zakładamy ponadto, że naśladowcanie stosuje żadnej osłony.

Chcąc zachować potrzebny stopień ogólności, a jed-nocześnie maksymalnie uprościć obliczenia, założymytu pewne proste postaci używanych funkcji. Niechwięc popyt rynkowy na produkowane dobro będzie li-niowy, dany wzorem:

D(p) = b – a × p

gdzie a i b to stałe. Przyjmiemy, że koszt krańcowy mcL lidera będzie

stały względem wielkości produkcji. Poziom ten wynikaz technologii produkcji i opisuje koszt krańcowy przyaktualnej cenie surowców, w sytuacji gdy nie ma wypłatz rynku kontraktów (tzn. firma nie stosuje hedgingu).

Koszt całkowity lidera, uwzględniający możliwezmiany ceny surowca, oraz pozycję w k kontraktachterminowych, wyznaczony jest przez następujący wzór:

TCL(q, u, k ) = (mcL + u )× q – k× u ,

gdzie u oznacza kwotową zmianę ceny podstawowegosurowca, k oznacza liczbę kontraktów terminowych6

kupionych przez lidera, a q, podobnie jak przedtem,jest wielkością produkcji.

Załóżmy też, że koszt krańcowy naśladowcy jest li-niowy względem poziomu produkcji – po uwzględnie-niu możliwej zmiany ceny dany jest wzorem:

MCN (q, u) = q × mcN + u ,

gdzie mcN = const. Daje to, z dokładnością do kosztówstałych7, funkcję kosztów całkowitych naśladowcy posta-ci:

TCN(q, u) = 1—2

q2 × mcN + q × u (2)

W tym przypadku funkcja reakcji naśladowcy danajest wzorem

(3)

Lider, znając zachowanie naśladowcy ustali cenętak, by maksymalizować swój zysk, który można wyra-zić wzorem



RT3/2004

profL = (D(p) – SN(p, u)) × p – TCL(q, u, k)) (4)

Po krótkich obliczeniach można zauważyć, że zysklidera jest wklęsłym wielomianem drugiego stopniawzględem ceny p. Można stąd wyznaczyć optymalnącenę p jako:

(5)

Jest to, dla przyjętych postaci funkcji popytui kosztów, rozwiązanie zagadnienia optymalizacji (1).Możemy teraz obliczyć zysk lidera wstawiając po-wyższą wartość p do wzoru (4), a także zysk naśla-dowcy:

profN = p SN(q) – TCN(q)

gdzie TCN(q) oraz SN(q) są wyliczone ze wzorów (2) i (3).Przeanalizujemy teraz na przykładach liczbowych,

jak zachowując się zyski firm przy zmianie ceny pod-stawowego surowca. Przyjmijmy,że lider kupuje k = s × q0 kontraktówterminowych, gdzie q0 to jego dzisiej-sza produkcja8, zaś s to tzw.współczynnik zabezpieczenia9.

Zauważmy, że wartość q0 możnawyznaczyć rozwiązując zagadnienieoptymalizacji (1). Wystarczy w tymcelu we wzorze (5) przyjąć u = 0 i dlaotrzymanej ceny wyliczyć popyt rezy-dualny (resztową krzywą popytu)D(p) – SN(p,0):

(6)

Przykład 4. Przyjmijmy następujące wartości

stałych:a = 3 b = 600mcL = 25 mcN = 1Rozważymy trzy scenariusze za-

leżne od poziomu współczynnika za-bezpieczenia s.

Scenariusz I: s = 0 (Lider nie sto-suje zabezpieczenia).

Zyski firm zależnie od zmiany cenysurowca przedstawia rysunek 1. Zgod-nie z tym, czego się można było spo-dziewać, zyski obu firm spadają wrazze wzrostem ceny surowca.

Zanim przejdziemy do kolejnegoscenariusza, przypomnijmy, że kosztcałkowity lidera dany jest wzorem:

TCL ( q, u, s ) = ( mcL + u)× q– s × q0 × u .

Jeśli s=1 i produkcja pozostanie nadzisiejszym poziomie (q = q0) to TCLnie zależy od u. Oznacza to, że osłonaprzed ryzykiem wyeliminowaławpływ ceny surowca na koszty lide-ra. Naiwnym podejściem do hedgin-gu byłoby więc zakupienie przez li-dera właśnie q0 kontraktów (tzw.

27MATERIAŁYSZKOLENIOWEOpcje realne, otoczenie rynkowe i osłona przed ryzykiemRT 3/2004

Rysunek 1. Zyski firmy w scenariuszu I

Rysunek 2. Zyski firmy w scenariuszu II

Rysunek 3. Zyski firmy w scenariuszu III

pełne zabezpieczenie: 1 kontrakt na jednostkę su-rowca).

Zmodyfikujmy zatem nasz przykład liczbowy:Scenariusz II: s = 1 (Lider zawiera kontrakty na

całość szacowanego zapotrzebowania na surowiec).Rysunek 2. przedstawia zyski firm zależnie od ceny su-rowca w tym scenariuszu.

Lider nie wyeliminował więc wpływu ceny surowcana zysk. Kupując kontrakty nie uwzględnił realnychinstrumentów pochodnych. Zmieniając cenę wpływaprzecież na to, jak dużą część rynku przejmie naśla-dowca i ile wyniesie popyt.

Patrząc na ten rysunek łatwo zauważyć, że lider po-siada teraz długą pozycję – nabył więc za dużo kon-traktów.

Scenariusz III: optymalny poziom zabezpieczeniaz uwzględnieniem opcji realnej.

Zastanówmy się w jaki sposób lider może wyelimino-wać ryzyko zmiany ceny surowca. Żądanie brakuwpływu ceny surowca na zysk firmy można ująć nastę-pująco:

Rozwiązując powyższe równanie ze względu nak (wartość profL dana jest przez wzór (4)) otrzymuje-my optymalną ilość kontraktów kopt = sopt × q0 jakiepowinien zawrzeć lider. sopt to optymalny współczyn-nik zabezpieczenia który wynosi:

(7)

W ogólności nie daje to oczywiście całkowitego za-bezpieczenia ponieważ przy większych zmianach cenyistotne zaczynają być kolejne pochodne. W roz-ważanym przypadku, gdy funkcje popytu i kosztówkrańcowych są liniowe, zysk lidera zależy kwadrato-wo10 od u. W języku opcji (i parametrów greckichw hedgingu) można powiedzieć, że zysk/strata z ty-tułu zmiany ceny surowca to funkcja wypłaty opcji re-alnej. Producent (lider) wyeliminował deltę tej opcjiale pozostała niezerowa ,,realna" gammę. Oczywiściegammy nie da się wyeliminować za pomocą kontrak-tów terminowych11, można to jednak zrobić zaj-mując pozycję w klasycznych opcjach. Pojawia się tujednak problem: rozważana opcja realna ma niezerowądeltę i stałą gammę. Standardowe opcje call/put mająnatomiast zmienne obydwa te parametry. Oznacza to,że aby całkowicie wyeliminować ryzyko, trzeba stoso-wać hedging dynamiczny.

Wracając do przykładu liczbowego, przyjmując

s = sopt = 0,75

otrzymujemy dane widoczne na rysunku 3.Ryzyko lidera zostało więc wyeliminowane po części

przez zakup kontraktów, a po części zepchnięte na na-bywców12.

Monopol

Rozważamy teraz sytuację gdy na rynku jest tylkojedna firma. Monopol może próbować przerzucić pod-wyżki cen surowca na klienta – jeśli cena pójdziew górę to monopol może po prostu podnieść cenę pro-duktu. Wtedy jednak spadnie wielkość popytu i zyskspadnie (jest tak dlatego, że monopol sprzedaje zawszepo cenie dla której elastyczność popytu jest większa odjeden).

Powyższy wniosek można poprzeć odpowiednimi ob-liczeniami. Dla oszczędności miejsca zastosujemy re-zultaty otrzymane dla rozważanego wcześniej modelunaśladownictwa cenowego w duopolu. W tym celuprzyjmiemy, że mcN dąży do nieskończoności – wtedypodaż naśladowcy spada do zera (zob. wzór (3)). Liderma więc dla siebie cały rynek. Wzór (7) daje wówczassopt = 1. Jeśli więc monopol chce uniknąć wpływu ce-ny surowca na zysk, to powinien stosować pełne zabez-pieczenie.

Paradoksalnie – w przeciwieństwie do doskonałejkonkurencji czy oligopolu z naśladownictwem ceno-wym – monopol nie może przerzucić ryzyka zmiany ce-ny surowca na nabywców. Można to tłumaczyć w tensposób, że skoro monopol już ,,wykorzystuje" nabyw-ców do maksimum, to w razie wzrostu ceny surowcanie może już ich kosztem wygenerować dodatkowegozysku by pokryć straty. t

Piotr Kobak Aleksander Urbański


Nowy Sącz


1 Podobnie jak w artykule Zbigniewa Szczerbetki o trafnym tytule: Instrumentypochodne niewidzialne gołym okiem (Rynek Terminowy 4/2001).

2 L. Trigeorgis, Real Options: Managerial Flexibility and Strategy in Resource Al-location, MIT Press 1996 (rozdział 4, A conceptual Options Framework for Ca-pital Budgeting).

3 Dość dobrym przykładem jest tu rynek producentów benzyny w Polsce.4 Zob. np. H.R. Varian, Mikroekonomia, kurs średni, PWN 2002.5 Zauważmy, że w tym modelu naśladowca zachowuje się jak uczestnik rynku

doskonale konkurencyjnego (zwiększa produkcję dopóki cena nie zrówna sięz kosztem krańcowym) a przywódca - jak monopol stojący wobec krzywej po-pytu D(p) - SN(p) (jest to tzw. resztowa krzywa popytu).

6 Składnik k × u to wypłata z długiej pozycji w k kontraktach jeśli cena wzrośnieo u (dla uproszczenia przyjmujemy tu, że cena forward na surowiec równa jestcenie spot).

7 W zagadnieniu maksymalizacji zysków koszty stałe można oczywiście po-minąć

8 Czyli lider planuje przyszłą produkcję na tym samym poziomie co dzisiejszasprzedaż, gdyż oczekuje, że cena surowca się nie zmieni (co jest zgodnez przyjętym wcześniej założeniem, że cena forward surowca pokrywa sięz ceną spot).

9 To oznacza, że lider kupuje s kontraktów na jednostkę surowca, zob. np. J. C.Hull, Options, Futures and Other Derivative Securities, Prentice Hall Int. Eds. 1998.

10 Można sprawdzić, że profL = u2 sopt / 4 + const , przy założeniu że lider sto-suje hedging ze współczynnikiem sopt jak we wzorze (5).

11 Kontrakt terminowy ma stałą deltę i zerową gammę, więc z jego pomocąmożna wyeliminować tylko ,,realną deltę" (w tym przypadku kupując sopt kon-traktów).

12 Ze wzoru (5) widać, że jeśli cena surowca rośnie (u > 0) to lider podnosicenę produktu.



RT3/2004

Opcje realne — MATERIAŁY Definicja i wycena opcji...

Documents

Transcript of Opcje realne — MATERIAŁY Definicja i wycena opcji...