Geometria i grafika inżynierska dla zielonych

ODWZOROWANIA MONGE'A

Geometria i grafika inżynierska dla zielonych

Opracowane zostały przez Gasparda Monge’a, francuskiego matematyka, fizyka i chemika, żyjącego na przełomie XVIII i XIX wieku. Jest to jedna z metod odwzorowywania figur geometrycznych na prostopadłe względem siebie płaszczyzny Prosta będąca krawędzią obu rzutni nazywana jest osią rzutów

W zadaniach i przykładach omawianych tutaj, będziemy mieli do czynienia głównie z układem dwóch przecinających się płaszczyzn oznaczanych π 1 i π 2.

W odwzorowywaniach Monge’a metodą śladową, której będziemy używać do rozwiązywania zadań, najważniejsza jest umiejętność właściwego rzutowania punktów, gdyż wszystko na tym się opiera.

Punkt (w naszym przypadku A), rzutujemy na dwie rzutnie prostopadle do nich. Zaznaczamy odpowiednio A’ (rzutnia π 1) i A’’ (rzutnia π 2). Oś przecięcia rzutni rysujemy obok i nanosimy odległości rzutów punktu od osi X.

Geometria i grafika inżynierska dla zielonych

Dla pozostałych ćwiartek rysunki będą podobne:

Jeśli punkt leży na którejś z rzutni mamy do czynienia z położeniami szczególnymi

Aby ułatwić sobie zapamiętanie ułożenia rzutów punktów w poszczególnych ćwiartkach warto zapamiętać prosty wierszyk

„ W pierwszej ćwiartce ’’ dodatni, w drugiej oba na raz, w trzeciej ’ na plus wychodzi, w czwartej dwa minusy masz ”

Geometria i grafika inżynierska dla zielonych

ZAGADNIENIA1. Punkt w ćwiartkach przestrzeni 2. Prosta w ćwiartkach przestrzeni 3. Płaszczyzna równoległość, prostopadłość i wspólna krawędź

PUNKTPunkt w odwzorowaniach Monge’a rzutujemy prostopadle na każdą z rzutni π 1 i π 2 (czasem też π

3).Następnie "obracamy" rzutnię π 1 zgodnie z ruchem wskazówek zegara.

Geometria i grafika inżynierska dla zielonych

PROSTAPrzy rysowaniu rzutów prostej zaczynamy od rzutowania punktów przebicia rzutni prostą.

Następnie łączymy rzuty na π 1 i π 2.

Geometria i grafika inżynierska dla zielonych

PŁASZCZYZNAMając do czynienia z płaszczyzną musimy pamiętać o kilku szczegółach

Płaszczyzna przechodzi przez wszystkie ćwiartki i zapisujemy ją za pomocą śladów

PROSTOPADŁOŚĆ

W zadaniach najczęściej będziemy rysować prostą prostopadłą do płaszczyzny przechodzącą przez dany punkt (tutaj A). Rysujemy linię przechodzącą przez rzut punktu na rzutnię pionową

prostopadłą do pionowego śladu płaszczyzny i analogicznie dla rzutni poziomej.

RÓWNOLEGŁOŚĆ

Aby narysować płaszczyznę równoległą do innej płaszczyzny zawierającą punkt A należy narysować prostą przechodzącą przez rzut punktu na pionową rzutnię i równoległą do osi rzutu, zaś przez rzut punktu na poziomą rzutnię rysujemy prostą równoległą do poziomego śladu płaszczyzny. Punkt przecięcia osi i prostej równoległej do śladu rzutujemy na drugi rzut prostej (równoległy do

osi). Przez powstały punkt rysujemy półprostą równoległą do pionowego śladu płaszczyzny o początku na osi. Z tego początku rysujemy drugą półprostą równoległą tym razem do poziomego

śladu płaszczyzny. Te dwie półproste tworzą ślady poszukiwanej płaszczyzny

Geometria i grafika inżynierska dla zielonych

WSPÓLNA KRAWĘDŹ

Wspólna krawędź jest prostą należącą do obu płaszczyzn. Aby ją otrzymać punkt przecięcia pionowych śladów rzutujemy na oś. Analogicznie robimy dla śladów poziomych. Łączymy

odpowiednie rzuty punkt&#w i otrzymujemy poszukiwaną prostą