Akademia Górniczo-Hurnicza

im. Stanisława Staszica w Krakowie

Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej

Praca inżynierska

Jacek Mostowicz

kierunek studiów: fizyka techniczna

specjalność: fizyka komputerowa

Zastosowanie metody bezpośredniej diagonalizacji do rozwiązania równania Schrödingera dla cząstki

w pojedynczej, podwójnej i wielokrotnej prostokątnej studni potencjału.

Opiekun: dr hab. Stanisław Bednarek

Ocena: …….…………..…….. Data: ………….……………. Podpis: …………………………..

Kraków, styczeń 2007

2

Oświadczam, świadomy odpowiedzialności karnej za poświadczenie nieprawdy, że niniejszą pracę

dyplomową wykonałem osobiście, samodzielnie i nie korzystałem ze źródeł innych niż wymienione

w pracy.

3

SPIS TREŚCI 1. Wprowadzenie 2. Wstęp teoretyczny 3. Opis numerycznej metody rozwiązywania równania Schrödingera 4. Postawienie i rozwiązanie problemu (a) Postawienie problemu (b) Opis programu (c) Elementy programu 5. Uzyskane wyniki (a) Pojedyncza studnia potencjału (b) Podwójna studnia potencjału (c) Czterokrotna studnia potencjału (d) Pięciokrotna studnia potencjału (e) Wartości własne

(f) Porównanie wyników numerycznych z analitycznymi (nieskończona studnia) 6. Podsumowanie 7. Literatura

4

1. Wprowadzenie

Najbardziej interesujące są stany układu, w których określona jest energia. Stany te są stanami

własnymi operatora energii - hamiltonianu. Równanie własne hamiltonianu nazywamy niezależnym

od czasu równaniem Schrödingera.

2. Wstęp teoretyczny

W najogólniejszej postaci równanie Schrödingera wygląda następująco: 2

2 ( , ) ( , ) ( , ) ( , )2

r t V r t r t i r tm t

∂− ∇ Ψ + Ψ = Ψ

∂

gdzie m to masa cząstki, ( , )r tΨ to funkcja falowa, 2h

π= , a wielkość h jest stałą Plancka. Jest to

równanie różniczkowe cząstkowe rzędu 2. ( , )V r t jest energią potencjalną cząstki w zewnętrznym

polu. Aby uprościć zagadnienie zawęziłem problem do jednowymiarowego równania Schrödingera: 2 2

2 ( , ) ( , ) ( , ) ( , )2

d x t V x t x t i x tm dx t

∂− Ψ + Ψ = Ψ

∂

W szczególnym przypadku udaje się znaleźć jego rozwiązania metodą separacji zmiennych. Postuluję

rozwiązanie w postaci:

( , ) ( ) ( )x t x tψ ϕΨ =

Z powyższego zapisu wynika, że funkcja falowa ( , )x tΨ jest równa iloczynowi części przestrzennej

( )xψ oraz części czasowej ( )tϕ . Rozwiązania w tej postaci istnieją wtedy, kiedy energia potencjalna

V nie zależy od czasu t . Rozumując dalej można zauważyć, że funkcja ( )xψ jest rozwiązaniem

równania: 2 2

2 ( ) ( ) ( ) ( )2

d x V x x E xm dx

ψ ψ ψ− + =

które nazywa się niezależnym od czasu równaniem Schrödingera. Jest to zwyczajne równanie

różniczkowe rzędu 2 (równanie własne operatora energii).

(1)

(2)

(3)

(4)

5

W celu ułatwienia obliczeń przyjąłem układ jednostek atomowych: długość będzie wyrażana

w promieniach Bohra 100,529 10Ba m−= ⋅ , a energia w hartree 27,212HE eV= , aby móc to zrobić

przyjąłem 1m= = . Równanie ma wtedy postać:

[ ]2

2

1 ( ) ( ) ( )2

d x E V x xdx

ψ ψ− = −

Można je rozwiązać numerycznie.

3. Opis numerycznej metody rozwiązywania równania Schrödingera W celu rozwiązania problemu zastosowałem siatkę punktów obliczeniowych. W związku z tym

wprowadziłem dyskretyzację drugiej pochodnej w równaniu (5), zastąpiłem ją ilorazem różnicowym

zgodnie z poniższym przepisem:

( )

21 1

22

( ) 2 ( ) ( )( ) i i ii

x x xd x xdx x

ψ ψ ψψ + −− += ≈

Δ

Wprowadziłem uproszczony zapis: ( )i ixψ ψ= i w rezultacie otrzymałem równanie iteracyjne

o postaci:

( )1 1

2

21 ( )2

i i ii iV x E

xψ ψ ψ ψ ψ+ −− +

− + =Δ

Zakładając zerowanie się funkcji falowych na brzegach siatki tzn.:

0( ) 0( ) 0N

x Lx L

ψ ψψ ψ

= − = =⎧⎨ = = =⎩

można równanie (7) zapisać jako układu równań, a w rezultacie w postaci macierzowej:

1,1 1,2 1 1

1,2 2,2 2,3 2 2

3,2 3,3

2, 1 2 2

1, 2 1, 1 1 1

0 0

0

0N N N N

N N N N N N

h hh h h

h h Eh

h h

ψ ψψ ψ

ψ ψψ ψ

− − − −

− − − − − −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

gdzie:

( ), 21 ( ) 1,..., 1i i i ih V x x L x i Nx

= + = − + Δ = −Δ

( ), 1 1, 2

1 2,..., 22

i i i ih h i Nx

− −

−= = = −

Δ

2LxN

Δ =

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

6

Otrzymana powyżej macierz hamiltonianu jest macierzą trójprzekątniową, symetryczną i rzeczywistą.

Do rozwiązania problemu własnego wykorzystałem algorytmy z Numerical Reciepies (tqli.for oraz

eigsort.for). Pierwsza procedura rozwiązuje układ równań (9), a druga sortuje wektory własne

(funkcje własne) oraz odpowiadające im wartości własne (energie).

4. Postawienie i rozwiązanie problemu

(a) Postawienie problemu Rozwiązuję zagadnienie własne (znalezienie funkcji własnych i wartości własnych) cząstki o masie

m i energii potencjalnej ( )V x . Otrzymane funkcje własne muszą spełniać jednowymiarowe,

niezależne od czasu równanie Schrödingera.

(b) Opis programu Napisany program rozwiązuje powyższy problem korzystając z metody opisanej w punkcie 3. Całość

została napisana w języku programowania Fortran. Kompilacja odbyła się pod systemem Windows

XP Professional przy użyciu kompilatora g77 z pakietu MinGw.

Do sporządzania wykresów użyłem programu gnuplot w wersji 4.0 dla systemu Windows.

(c) Elementy programu

• eiff.f Główny kod programu, zawierający zaimplementowane metody liczące jak i funkcje

potencjału.

• e.dat Plik wyjściowy, w którym znajdują się pierwsze cztery obliczone energie.

• potencjal.dat Plik wyjściowy, w którym znajdują się węzły siatki użytej w obliczeniach wraz

z przypisanymi do nich wartościami energii potencjalnej.

• sprpkt.inf Plik wyjściowy, w którym można znaleźć informację dotyczącą ilości punktów siatki

znajdujących się w odpowiednich studniach potencjału. Ma on charakter czysto kontrolny.

7

• wektory.dat

Plik wyjściowy, w którym zawarte są punkty siatki oraz przypisane do nich wartości

pierwszych czterech funkcji falowych.

5. Uzyskane wyniki Wszystkie poniżej zaprezentowane wielkości fizyczne stanowiące wynik obliczeń są wyrażone

w jednostkach atomowych, odległość w Ba (promień atomu Bohra), energia w HE (hartree).

Obliczenia wykonałem dla czterech różnych przebiegów potencjału: pojedyncza, podwójna,

czterokrotna i pięciokrotna studnia kwantowa.

Rysunek 1 Rysunek 1 przedstawia przebiegi energii potencjalnej, dla których wykonałem wszystkie obliczenia.

Każda ze studni ma szerokość 11,9 Ba oraz głębokość 2 HE . Bariera pomiędzy studniami ma

szerokość 0, 2 Ba .

8

(a) Pojedyncza studnia potencjału Wymiary potencjału: brzeg: 4 Ba , szerokość studni: 11,9 Ba , głębokość: 2 HE ;

stan podstawowy pierwszy stan wzbudzony

drugi stan wzbudzony trzeci stan wzbudzony

Rysunek 2

Na rysunku 2 przedstawiłem funkcje falowe czterech pierwszych stanów energetycznych. Można

zauważyć, że widmo energetyczne jest niezdegenerowane i każdej energii własnej odpowiada

dokładnie jedna funkcja falowa.

Ponadto można zaobserwować, że funkcja falowa ma kształt sinusoidalny oraz jest naprzemiennie

parzysta (n=1,3) i nieparzysta (n=2,4). Posiada także typową ilość węzłów.

n=1 n=2

n=3 n=4

9

Rysunek 3 Rysunek 3 prezentuje jednocześnie funkcje falowe pierwszych czterech stanów energetycznych. głębokość studni: 0,5 HE głębokość studni: 2 HE

głębokość studni: 10 HE głębokość studni: 20 HE

Rysunek 4 Rysunki 4a,b,c,d ilustrują głębokość wnikania funkcji falowej w barierę potencjału stanowiącą brzeg

studni dla różnych głębokości. Efekt ten zmniejsza się w miarę pogłębiania studni kwantowej. Dla

głębokości 20 HE (rysunek 4d) wnikanie jest już bardzo małe. Jak widać, w każdym przypadku

a) b)

c) d)

10

funkcja falowa ma kształt sinusoidalny. Ponadto w najpłytszej studni (rysunek 4a) można zauważyć,

że tylko dwa pierwsze poziomy energetyczne posiadają ujemną energię. Natomiast funkcja falowa dla

stanu podstawowego nie osiąga końca przedziału, czyli nie ‘odczuwa’ nieskończonej ściany

potencjału. Pozostałe funkcje zerują się dopiero na brzegach siatki obliczeniowej.

(b) Podwójna studnia potencjału Wymiary potencjału: brzeg: 4 Ba , szerokość studni: 11,9 Ba , głębokość: 2 HE , szerokość bariery:

0, 2 Ba ;

stan podstawowy pierwszy stan wzbudzony

drugi stan wzbudzony trzeci stan wzbudzony

Rysunek 5

Na rysunku 5 przedstawiono funkcje falowe czterech pierwszych stanów energetycznych dla

podwójnej symetrycznej studni potencjału. Podobnie jak dla pojedynczej studni potencjału możemy

wyróżnić funkcje falowe parzyste (n=1,3) oraz nieparzyste (n=2,4).

Dla funkcji parzystych można zaobserwować wyraźne minimum wewnątrz bariery potencjału, które

nie występowało w przypadku pojedynczej studni kwantowej. Gęstość prawdopodobieństwa

znalezienia cząstki jest wypychana z wnętrza bariery. Dla przypadku n=2,4 funkcja falowa

(nieparzysta) zeruje się w obszarze bariery i nie wpływa ona na kształt funkcji.

n=1 n=2

n=3 n=4

11

Rysunek 6 Rysunek 6 prezentuje jednocześnie funkcje falowe pierwszych czterech stanów energetycznych.

Rysunek 7 Na rysunku 7a przedstawiłem rozkład poziomów energetycznych dla pojedynczej, a na 7b dla

podwójnej studni potencjału. Od razu można spostrzec, że w drugim przypadku następuje grupowanie

się poziomów energetycznych w pary. Efekt ten nie pojawia się dla pojedynczej studni potencjału.

Kolejną ciekawą własnością układu podwójnej studni kwantowej jest zbliżanie się do siebie

a)

b) c)

12

poziomów energetycznych wraz z poszerzaniem bariery. Na rysunku 7b bariera ma szerokość

0, 2 Bd a= z kolei na rysunku 7c 0,8 Bd a= .

W celu uzyskania porównywalnych wyników w powyższych przypadkach obliczenia wykonałem dla

identycznych studni kwantowych o głębokość 2 HE i szerokości 11,9 Ba .

Rysunek 8

Rysunek 8 jest powiększeniem przypadków z rysunku 7b i 7c, aby dokładniej zobrazować efekt

nakładania się poziomów energetycznych wraz ze wzrostem szerokości bariery

a)

b)

13

Rysunek 9

Kolejnym efektem, o którym warto wspomnieć jest zmniejszanie się ilości stanów związanych, czyli

ujemnych poziomów energetycznych, wraz ze zmniejszaniem głębokości studni (rysunek 9). Ten

efekt będzie oczywiście występował także dla wielokrotnych studni potencjału.

14

(c) Czterokrotna studnia potencjału Wymiary potencjału: brzeg: 4 Ba , szerokość studni: 11,9 Ba , głębokość: 2 HE , szerokość bariery:

0, 2 Ba ;

stan podstawowy pierwszy stan wzbudzony drugi stan wzbudzony trzeci stan wzbudzony

Rysunek 10 Analogicznie jak w przypadku podwójnej studni kwantowej można zaobserwować (rysunek 10)

podział funkcji na parzyste (n=1,3) i nieparzyste (n=2,4). Powyższy rysunek pokazuje także, że

największe prawdopodobieństwo znalezienia cząstki dla stanu podstawowego znajduje się

w studniach leżących najbliżej środka rozważanego przedziału. Ponadto dla tego stanu minima

funkcji falowej znajdują się w obszarze barier pomiędzy studniami kwantowymi.

n=1 n=2

n=3 n=4

15

Rysunek 11 Rysunek 11 jest zestawieniem funkcji falowych dla pierwszych czterech stanów energetycznych.

Rysunek 12 Na rysunku 12, podobnie jak dla podwójnej studni kwantowej, można zauważyć grupowanie się

poziomów energetycznych. Grupują się zawsze po cztery poziomy, tworząc w ten sposób zalążki

pasm energetycznych. Podobnie jak to miało miejsce w poprzednim podpunkcie poszerzenie barier

potencjału spowoduje dodatkowe zagęszczenie poziomów energetycznych.

16

(d) Pięciokrotna studnia potencjału Wymiary potencjału: brzeg: 4 Ba , szerokość studni: 11,9 Ba , głębokość: 2 HE , szerokość bariery:

0, 2 Ba ;

stan podstawowy pierwszy stan wzbudzony

drugi stan wzbudzony trzeci stan wzbudzony

Rysunek 13 Na rysunku 13 zaprezentowano funkcje falowe dla pierwszych czterech poziomów energetycznych.

Jak można było się spodziewać funkcje podzieliły się na parzyste (n=1,3) i nieparzyste (n=2,4). Dla

stanu podstawowego największe prawdopodobieństwo znalezienia cząstki jest w centralnej części

przedziału, a minima tej funkcji falowej wypadają w obszarze barier potencjału.

n=1 n=2

n=3 n=4

17

Rysunek 14 Rysunek 14 jest zestawieniem funkcji falowych dla pierwszych czterech stanów energetycznych.

Rysunek 15 Rysunek 15 pokazuje w jaki sposób układają się poziomy energetyczne w pięciokrotnej studni

potencjału. Jak było to do przewidzenia grupują się one po 5 poziomów tworząc w ten sposób zalążki

pasm energetycznych. Analogiczny efekt będzie obserwowany w przypadku zwiększenia ilości studni

potencjału. Poszerzenie barier spowoduje dodatkowe zagęszczenie poziomów.

18

(e) Wartości własne

Rysunek 16

Na rysunku 16 zebrano wartości własne energii (oś pionowa [ ]HE ) dla rozważanych krotności studni

potencjału (oś pozioma). Jak wyraźnie widać tworzą one zalążki pasm energetycznych. Efekt ten już

widać dla podwójnej studni kwantowej. Każdy poziom energetyczny pojedynczej studni rozdziela się

na ‘pasmo’ złożone z tylu poziomów ile jest studni potencjału.

liczba studni 1 2 3 4 5

n=1 -1,97066426 -1,97733784 -1,97947478 -1,98197436 -1,98077619 -1,96842611 -1,97340906 -1,97765875 -1,97805285 -1,96759844 -1,97175765 -1,97426045 -1,96735168 -1,96990621 -1,96705604

n=2 -1,88206673 -1,90420592 -1,91191077 -1,91989923 -1,91709018 -1,87338221 -1,89078617 -1,90419281 -1,90667748 -1,87038648 -1,88488519 -1,89357519 -1,86939597 -1,87875938 -1,86821651

n=3 -1,7353493 -1,77393568 -1,78782475 -1,80140579 -1,79840648 -1,71553838 -1,74823308 -1,77129447 -1,77738333 -1,70855927 -1,73643756 -1,75275767 -1,70635593 -1,72506750 -1,70365906

n=4 -1,53054929 -1,58309519 -1,60238004 -1,62057149 -1,61823916 -1,49515891 -1,54368687 -1,57565320 -1,58587134 -1,48253918 -1,52491176 -1,54915845 -1,47853625 -1,50788093 -1,47369409

Tabela 1

19

W tabeli 1 zestawiono wartości energii [ ]HE stanu podstawowego (n=1) oraz pierwszych trzech

stanów wzbudzonych (odpowiednio n=2,3,4) w zależności od ilości studni potencjału. Dane z tabeli

posłużyły do wykonania rysunku 16.

(f) Porównanie wyników numerycznych z analitycznymi (nieskończona studnia)

Rysunek 17 Rysunek 17 przedstawia funkcje falowe pierwszych czterech stanów energetycznych dla

nieskończenie głębokiej studni potencjału o szerokości 11,9 Bd a= . Dno studni opiera się na

potencjale 0 HE

Dla przypadku nieskończenie głębokiej studni kwantowej istnieją rozwiązania analityczne, które

można porównać z wynikami numerycznymi. W celu uzyskania wyniku analitycznego skorzystałem

ze wzoru: 2 2 2

22nnE

maπ

=

gdzie a jest szerokością studni. Aby uzyskać wynik w jednostkach atomowych przyjąłem 1m= = ,

a wiec wzór na energię wygląda następująco:

[ ]2 2

22n HnE E

aπ

=

(10)

(11)

20

Podstawiając do niego odpowiednie wartości n otrzymałem poniższe wyniki, które wraz

numerycznymi zebrałem w tabeli 2.

wyniki analityczne aE wyniki numeryczne numE a numE E−

0,0348478 0,0345002 0,0003476 0,1393913 0,1381992 0,0011921 0,3136304 0,3109355 0,0026949 0,5575656 0,5525920 0,0049736

Tabela 2

Różnica pomiędzy wynikami analitycznymi i numerycznymi jest niewielka i wynika z błędu

spowodowanego obliczeniami numerycznymi. W celu zminimalizowani tych różnic należałoby

przyjąć gęściejszą siatkę obliczeniową.

6. Podsumowanie Rozwiązanie postawionego problemu własnego pozwoliło zaobserwować kilka interesujących

efektów. Już dla pojedynczej studni potencjału można zauważyć ciekawe zachowanie się funkcji

falowej. Po pierwsze, funkcje mają przebieg sinusoidalny i układają się naprzemiennie (rysunek 2),

dla stanu podstawowego mamy funkcję parzystą, dla pierwszego stanu wzbudzonego funkcję

nieparzystą itd. Ponadto można zauważyć, że wnikanie cząstki w ściankę potencjału zależy od

głębokości studni kwantowej (rysunek 4). Na rysunku 4a widać, że poprawnym rozwiązaniem jest

tylko stan podstawowy ponieważ tylko dla niego funkcja falowa ‘czuje’ granicę studni potencjału.

Funkcje falowe stanów wzbudzonych zerują się dopiero na końcach siatki obliczeniowej, co

dyskwalifikuje te rozwiązania.

W przypadku podwójnej studni potencjału można zaobserwować grupowanie się poziomów

energetycznych w pary (rysunek 7). Poziomy te będą zbliżać się do siebie jeszcze bardziej jeżeli

zwiększy się szerokość bariery potencjału. Na rysunku 9 pokazano, że ilość dozwolonych poziomów

energetycznych jest ograniczona i zależy ściśle od głębokości studni potencjału.

Z kolei jeżeli chodzi o funkcję falową to w dalszym ciągu widzimy podział na funkcję parzystą

(rysunek 5, n=1,3) i nieparzystą (n=2,4). Funkcja falowa dla stanu podstawowego (rysunek 5, n=1)

posiada wyraźne minimum w obszarze bariery potencjału. Funkcje nieparzyste zerują się w obszarze

bariery.

Przypadki czterokrotnej i pięciokrotnej studni kwantowej są bardzo do siebie podobne, dlatego też

opiszę efekty występujące w tym ostatnim. Jak można przewidzieć funkcje falowe dzielą się na

21

parzyste i nieparzyste (rysunek 13). Dla stanu podstawowego widać wyraźne minima w obszarach

barier pomiędzy studniami. Prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w stanie podstawowym jest

największe dla studni znajdujących się w środku przedziału.

Jak można oczekiwać w przypadku pięciokrotnej studni potencjału poziomy energetyczne grupują się

po pięć poziomów tworząc zalążki pasm energetycznych (rysunek 15). Poszerzenie barier pomiędzy

studniami potencjału doprowadzi do dalszego zmniejszenia odległości pomiędzy poziomami.

22

7. Literatura [1] J. Adamowski Metody obliczeniowe fizyki (WFiIS AGH, Kraków, wykład) [2] K. Malarz Komputerowe symulacje numeryczne (WfiIS AGH, Kraków, laboratorium) [3] T. Pang Metody obliczeniowe w fizyce (PWN, Warszawa 2001) [4] R. Resnick, R.Eisberg Fizyka Kwantowa (PWN, Warszawa 1983)