Nośniki swobodne w

półprzewodnikachpółprzewodnikach

Półprzewodniki

0m

*m

Masa elektronuswobodnego

Masa efektywna

Oprócz wkładu swobodnych nośników musimy uwzględnić inne mechanizmy –np. wkład do polaryzacji od elektronów związanych (przejścia pasmowe)zajmiemy się nimi dokładniej później, teraz zaznaczymy tylko ich istnienie…

snrPPEEDrrrrr

++== inne00 εεε

2ENe

snPr

- wkład od swobodnychnośników

Pr - wkład od innych

)( 2*

2

0γωω

εεim

ENeED

opt+

−=

+−=

+−=

γωω

ωε

γωωεεε

iim

Ne p

optoptr 2

2

2

0

*

2

1)(

1

inneP procesów

(zakładamy tu, Ŝe jest on stały w obszarze rozwaŜanych częstości)

*

0

2

m

Ne

opt

pεε

ω =To teraz częstośćplazmowa

2n

opt=ε

współczynnik załamania dla niedomieszkowanegopółprzewodnika –przezroczyste medium

dla podczerwieni (ekstynkcja κκκκ=0)

WaŜna róŜnica w porównaniu z metalem

GaAs

εopt= 10.88

m* = 0.067m0

Aluminium

εopt= 1

m0 – 9.1x10-31 kg

n = 18.1x1022 cm-3

*

0

2

m

Ne

opt

pεε

ω =

Metale i półprzewodniki…

m* = 0.067m0

n = 1018 cm-3

ħωp ≈ 50 meV

n = 18.1x1022 cm-3

ħωp ≈ 15.8 eV

Ultrafiolet! Łatwo sterować częstość plazmową wykorzystując domieszkowanie!

Silnie domieszkowane półprzewodniki

s1310~ −τ

Dla podczerwieni, np. mµλ 10=

sm

smc rad1020

1010

/10328.62 13

6

8

×=×

××==

−λ

πω 1>>ωτ

W półprzewodnikach w temperaturze pokojowej

Zatem moŜemy dokonać przybliŜenia dlaczęści rzeczywistej funkcji dielektrycznej:

Część urojona funkcji dielektrycznej:

pωω >Interesujemy się sytuacją

( ) 2/12/12

2

2

11 )(2

1εεε ++=n

( ) 2/12/12

2

2

11 )(2

1εεεκ ++−=

opt

p

opt ετω

τωεε ≈

+−=

22

22

11

113

2

22

2

2)1(

ετω

ωε

τωω

τωεε <<≈

+= poptpopt

optn ε=

n2

2εκ =

Ośrodeksłabo absorbujący(juŜ było…)

Absorpcja na swobodnych nośnikach

2

0

*

2

2

212

ωτετω

ωεκωα

ncm

Ne

ncc

popt ===

p−∝ ωα

Typowo w półprzewodnikach obserwuje się zaleŜność

gdzie wykładnik p = 2-3

*

2

2m

kE

h=

Erozpraszanie

E

fonon

Zachowanie energii i pęduw procesie absorpcji

FE

*2c

m

ωh

k k

foton

FE

foton

fonon

stany zapełnione

Foton ma bardzo mały pęd, Ŝeby wiec spełniona była zasada zachowania pędu konieczny jest proces rozpraszania elektronu na fononach lub domieszkach!!!

Wyniki doświadczeniaAbsorpcja w podczerwieni

p

pλ

ωα ~

1~

W. G. Spitzer, H.Y. Fan, Phys. Rev. 106, 882 (1957)

pω

Absorpcja na swobodnych nośnikach w SiC

ln(α

)SiCn - typuT = 300K

Absorpcja na swobodnych nośnikach

400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000

ln(

λ(nm)

α∼λ1.5

P. Mroziński (Praca magisterska, ZFCSt UW)

Porównanie widma odbicia dla

metali i półprzewodników

Współczynnik odbicia

−=

2

2

1ω

ωεε p

optr

Zaniedbując tłumienie (γγγγ=0)

pωω ≥

Dla

0≥r

ε0 .2

0 .4

0 .6

0 .8

1 .0

R(ω

) Półprzewodnik

2

1)(

1)()(

+

−=

ωε

ωεω

r

rR

0 .8 1 .0 1 .2 1 .4 1 .6 1 .8 2 .0

0 .0

ω/ωp

0 1 2 30.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

R(ω

/ωp)

ω/ωp

Metal Monotoniczny spadek…

Gdzie lokuje się minimumodbicia (w podczerwieni) dla silnie domieszkowanego półprzewodnika…

0.6

0.8

1.0

R

MoŜemy teŜ przedstawić zaleŜność współczynnik odbicia od długości fali

5 10 15 200.0

0.2

0.4

λ

śeby porównać się z doświadczeniem, trzeba dodać tłumienie –Wtedy krawędź plazmowa się rozmyje….

Silnie domieszkowane w InSbOdbicie światła w podczerwieni

22

222

)1(

)1(

1~1~

κ

κ

++

+−=

+

−=

n

n

n

nR

Wstawiamy odpowiednie funkcje ztłumieniem i porównujemy z doświadczeniem…

InSb

W. G. Spitzer, H.Y. Fan, Phys. Rev. 106, 882 (1957)

Odbicie spada do zera gdy:

22

1p

opt

opt ωε

εω

−=

Metoda wyznaczania masy efektywnej nośników!

doświadczeniem…

*

0

2

m

Ne

opt

pεε

ω =

Oscylator harmoniczny

(oscylujący dipol) (oscylujący dipol)

Klasyczny opis oddziaływania światła z materią

Zakładamy, Ŝe w ośrodku (równieŜ półprzewodniku) zachodzą róŜnego rodzaju

Wzbudzenia, które moŜna opisać przy uŜyciu modelu oscylatora harmonicznego.

Model ten zakłada istnienie momentów dipolowych, bez wchodzenia w ich naturę.

Okazuje się, Ŝe taki opis dobrze działa zarówno dla atomów, domieszek, defektów,

jak teŜ drgań sieci krystalicznej oraz wzbudzeń swobodnych nośników

(co juŜ częściowo pokazaliśmy na poprzednim wykładzie)…

elektronCzęstotliwość

jądro atomu

spręŜyna reprezentująca

siłę zwrotną pojawiającą

się przy wzbudzeniu

Jmm

111

0

+=µ

Częstotliwośćrezonansowa:

µω

K=0

µ- masa zredukowana

mJ - masa jądra

00 mmmJ ≈⇒>> µOdpowiada to ruchowi elektronuwokół spoczywającego jądra…

Rozsunięciu ładunku jądra i elektronu towarzyszy pojawienie się

momentu dipolowego (dodającego się do ew.

)( −+ −= rrqprrr

+rr

−rr

-połoŜenie ładunku

dodatniego

- połoŜenie ładunku

ujemnego

exrrep −=−−= −+

rr

)()( textp −=

)(tx - odchylenie elektronu od „pozycji” równowagowej

eExmdt

dxm

dt

xdm −=++ 2

02

2

ωγ

RozwaŜmy oddziaływanie atomu z monochromatycznym promieniowaniemo częstości ωωωω

)Re()cos()( 00

ϕωϕω −−=+= tieEtEtE

)Re()( 1

0

ϕω −−= tieXtx

(*)

tieEtE

ω−= 0)(

tieXtx

ω−= 0)(

(czynniki fazowe w amplitudach)

eExmdt

dxm

dt

xdm −=++ 2

02

2

ωγ

Pole wymuszające:

Szukamy rozwiązańpostaci:

titititieeEeXmeXimeXm

ωωωω ωγω −−−− −=+− 00

2

000

2eeEeXmeXimeXm ωγω −=+− 00000

γωωω im

eEX

−−

−=

22

0

00

1

Eim

NeteNxtNpP

rezγωωω −−

=−==22

0

2 1)()(

Rezonansowa polaryzacja zmienna w czasie, dla N obiektów w jednostceobjętości:

EDr

rrεε

0=

rezrezinne PEEPPEDrrrrrrr

++=++= χεεε 000

γωωωεχωε

im

Ner

−−++=

22

00

2 11)(

γωωωε im −−00

( ) 2222

0

22

0

0

2

1

)(1)(

γωωω

ωω

εχωε

+−

−++=

m

Ne

( ) 2222

00

2

2

)()(

γωωω

γω

εωε

+−=

m

Ne

Część rzeczywista i urojonafunkcji dielektrycznej

γωωωεχωε

im

Ner

−−++=

22

00

2 11)(

W granicy częstości dąŜących do zera:

2

0

2

st1)0(

ωεχεε

m

Ne

o

r++=≡ Definicja statycznej stałej

dielektrycznej

W granicy bardzo duŜych częstości:W granicy bardzo duŜych częstości:

χεε +=≡∞ ∞ 1)(r

Stąd 2

0

2

stωε

εεm

Ne

o

=− ∞

γωωω

ωεεεωε

ir

−−−+= ∞∞ 22

0

2

st )()(

0

10

20

ε∞

ε 1

ω0

εst

( ) 2222

0

22

0

2

0st1

)(

)()()(

γωωω

ωωωεεεωε

+−

−−+= ∞∞

( ) 2222

0

2

0st2

)()()(

γωωω

γωωεεωε

+−−= ∞

4

6

ω

n

0

0

20

40ω

0−1/2 γ ω

0+1/2 γ

ω0

0 ω0−1/2 γ ω

0+1/2 γ

ω

ε 2

ω0

2

0

2

4

ω0

0ω

κ

ω0

( ) 22

0st1

)(4

2)()(

γω

ωωεεεωε

+∆

∆−−=∆ ∞∞

Blisko rezonansu:

ωωωω ∆≅− 0

22

0 2 0ωωω −=∆gdzie

Lorentzowskikształt linii

( ) 22

0st2

)(4)()(

γω

γωεεωε

+∆−=∆ ∞

kształt linii

ZłoŜenie wielu róŜnych oscylatorów

Eim

NeP

j jj

rez

rr

∑−−

=ωγωω 22

0

2 1

∑−−

+=j jj

rim

Ne

ωγωωεωε

22

00

2 11)(

Wkład do polaryzacji od róŜnych przejść

Funkcja dielektryczna

∑−−

+=j jj

j

ri

f

m

Ne

ωγωωεωε

22

00

2

1)(

jf - siła oscylatora

−−j jj im ωγωωε 00

W praktyce wkład od poszczególnychoscylatorów róŜni się.Wprowadzamy więc „siłę oscylatora” fj dlakaŜdego z nich…

Koncepcję siła oscylatora moŜna wyjaśnić na gruncie mechaniki kwantowej. MoŜna pokazać, Ŝe

1=∑j

jf

Hipotetyczny półprzewodnik…

n

0

1

n=1

brak oscylatorówo wyŜszychczęstościach

0

α

ω

drgania sieci,płytkie domieszki

podczerwień widzialne-ultrafioletprzejścia międzypasmowe

wzbudzenia domieszek,defektów, ekscytonów…

pasmo X…

W następnych wykładachzajmiemy się kolejno róŜnymiobszarami wzbudzeniami…