Najważniejsze twierdzenia i zastosowania w geometrii

13
Najważniejsze twierdzenia i zastosowania w geometrii Geometria - podobnie jak arytmetyka należy do najstarszych nauk. Podobnie jak inne działy matematyki geometria wyewoluowała od badania kształtów znanych z codziennego życia do studiów nad nieskończenie wymiarowymi abstrakcyjnymi przestrzeniami matematycznymi.

description

Najważniejsze twierdzenia i zastosowania w geometrii. - PowerPoint PPT Presentation

Transcript of Najważniejsze twierdzenia i zastosowania w geometrii

Page 1: Najważniejsze twierdzenia i zastosowania w geometrii

Najważniejsze twierdzenia i zastosowania w

geometriiGeometria - podobnie jak arytmetyka należy do najstarszych

nauk. Podobnie jak inne działy matematyki geometria wyewoluowała od badania kształtów znanych z codziennego

życia do studiów nad nieskończenie wymiarowymi abstrakcyjnymi przestrzeniami matematycznymi.

Page 2: Najważniejsze twierdzenia i zastosowania w geometrii

Geometria euklidesowa

Klasyczna odmiana geometrii opisana po raz pierwszy przez Euklidesa w dziele Elementy (z III w. p.n.e.). Zebrał on całą ówczesną wiedzę matematyczną znaną Grekom, dziś jego dzieło przedstawia się jako pierwszą znaną aksjomatyzację w historii matematyki. Pierwotnie uprawiano ją jedynie na płaszczyźnie i w przestrzeni trójwymiarowej wiążąc ją jednocześnie ze światem fizycznym, który miała opisywać, nie dopuszczając tym samym możliwości badania innych odmian geometrii.

Page 3: Najważniejsze twierdzenia i zastosowania w geometrii

Twierdzenie Ponceleta-Steinera

Mówi, że jeśli dana konstrukcja jest wykonalna za pomocą cyrkla i linijki, to jest ona wykonalna za pomocą samej linijki, o ile dany jest na płaszczyźnie pewien okrąg wraz ze środkiem. Jest to najsilniejszy rezultat tego typu, przy pomocy samej linijki nie da się wyciągać pierwiastków kwadratowych.

Page 4: Najważniejsze twierdzenia i zastosowania w geometrii

Twierdzenie Mohra-Mascheroniego

Mówi, że jeżeli dana konstrukcja geometryczna jest wykonalna za pomocą cyrkla i linijki, to jest wykonalna za pomocą samego cyrkla, pod warunkiem, że ograniczymy się do wyznaczania punktów konstrukcji, a pominiemy rysowanie linii. Wynik ten został opublikowany w roku 1672 przez Georga Mohra, był jednak nieznany aż do roku 1928. Niezależnie od Mohra twierdzenie zostało odkryte przez Lorenzo Mascheroniego w roku 1797.

Page 5: Najważniejsze twierdzenia i zastosowania w geometrii

Twierdzenie Talesa

Jeżeli ramiona kąta przecięte są prostymi równoległymi, to odcinki wyznaczone przez te proste na jednym ramieniu kąta, są proporcjonalne do odpowiednich odcinków na drugim ramieniu kąta.

Page 6: Najważniejsze twierdzenia i zastosowania w geometrii

Twierdzenie Pitagorasa

W dowolnym trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej tego trójkąta. Zgodnie z oznaczeniami na rysunku obok zachodzi tożsamość

Page 7: Najważniejsze twierdzenia i zastosowania w geometrii

Twierdzenie Steinera-LehmusaTwierdzenie Lehmusa-Steinera jest twierdzeniem planimetrii sformułowanym przez C. L. Lehmusa i udowodnionym przez Jakoba Steinera.Jeżeli w trójkącie długości dwóch dwusiecznych są równe, to trójkąt jest równoramienny.

Page 8: Najważniejsze twierdzenia i zastosowania w geometrii

Twierdzenie Sin ,Cos ,Tg ,Ctg

Page 9: Najważniejsze twierdzenia i zastosowania w geometrii

Twierdzenie Erdősa

X+Y+Z≥2(a+b+c)Dowód Mordella nie był elementarny - pierwszy elementarny dowód podano dopiero w roku 1956. Od tego czasu pojawiło się kilka elementarnych dowodów, a sama nierówność została uogólniona.

Page 10: Najważniejsze twierdzenia i zastosowania w geometrii

Twierdzenie o dwusiecznej kąta wewnętrznego w trójkącie

Dwusieczna kąta wewnętrznego w trójkącie dzieli przeciwległy bok proporcjonalnie do długości pozostałych boków.|AD| \ |DB| = |AC| \ |BC|

Page 11: Najważniejsze twierdzenia i zastosowania w geometrii

Twierdzenie tangensów

Page 12: Najważniejsze twierdzenia i zastosowania w geometrii

Twierdzenie Stewarta

Page 13: Najważniejsze twierdzenia i zastosowania w geometrii

Dziękuje za uwagę

Piotr Peplau Id