Nadmiarowo_matematyki

7/31/2019 Nadmiarowo_matematyki

1/9

1

LESZEK M. SOKOOWSKI

NADWYKOWO MATEMATYKI1

1.

Leszek Koakowski wielokrotnie powtarza, e aden z wielkich problemw filozoficznychnie zosta rozstrzygnity w cigu dwudziestu piciu wiekw swego istnienia i nic nie wskazuje nato, by mia by rozstrzygnity w przyszoci. W tym sensie problem "dlaczego przyroda jestmatematyczna?", cho modszy, bo liczy dopiero trzysta lat, jest problemem czysto filozoficznym,nie rokujcym szans na rozwizanie. Z tego te powodu wielu fizykw odwraca si od niego zniechci, widzc w nim tylko metafizyczny pseudoproblem. Z drugiej strony, nierozstrzygalnofundamentalnych kwestii filozoficznych nie oznacza bynajmniej, by byy one bezsensowne (w cowierzyli neopozytywici), a zastanawianie si nad nimi byo strat czasu. Wrcz przeciwnie, s onewanie najciekawsze i pasjonuj wikszo ludzi, ktrych sta na szersz refleksj intelektualn.

"Dociekanie nierozstrzygalnego" byo intelektualnym wyzwaniem, przed ktrym stawaa kadageneracja mylicieli w historii i dzieje tych zmaga stanowi jeden z najwaniejszych skadnikwkultury.

Matematyczno przyrody zdumiewaa fizykw od samego pocztku nowoytnegoprzyrodoznawstwa. Galileusz i Newton, Einstein i Wigner, by wymieni paru spordnajwikszych, byli tym faktem zachwyceni i zadziwieni. Dlaczego bowiem matematyka - wytwrnaszego intelektu - miaaby mwi cokolwiek o przyrodzie wok nas? Znane s szerokowypowiedzi Einsteina i Wignera w tej kwestii, zacytujmy zatem nowsze sformuowanie,

pochodzce od Stevena Weinberga z 1977 r.: "Trudno uwiadomi sobie, e liczby i rwnania,ktrymi bawimy si przy naszych biurkach, maj co wsplnego z rzeczywistym wiatem". W

powcigliwych na pozr sowach wyczuwamy osobiste dowiadczenie twrcy teorii oddziaywaelektrosabych i zadziwienie istnieniem relacji pomidzy dwoma tak odrbnymi wiatami: myli imaterii. Mona chyba powiedzie, e kadego, kogo pocigaj zagadki wiata przyrody, ktochciaby je poznawa i rozwizywa, zadziwia istnienie tej wanie niezwykej, niemal mistycznejrelacji. Zarazem wszyscy wielcy fizycy zgodnie stwierdzali, e zagadki tej nie umiemy rozwiza.Wynika to choby std, e nie wiemy, w jaki sposb przekona si o prawdziwoci ewentualnegorozwizania.

Powiedziaem powyej, e matematyka jest wytworem naszego umysu i std bierze sizdziwienie jej uytecznoci w fizyce. By moe jednak problem jest pozorny i da si atwousun: wielu matematykw sdzi, e matematyka nie jest tworzona czy wymylana, leczodkrywana jako obiektywnie istniejca realno, e twrczo matematyczna nie przypomina

swobodnej kreacji artystycznej, lecz raczej eksploracj nieznanych ldw i mrz przezpodrnikw i eglarzy. Wedug tego pogldu matematyka byaby abstrakcyjn esencj cech irelacji wystpujcych w przyrodzie, a w takim razie zdziwienie matematycznoci przyrody byobyrwnie zasadne jak zdziwienie, e zdjcie rentgenowskie czyjego krgosupa mwi nam co okondycji tego czowieka. Wiele argumentw mona wysun na rzecz tego pogldu, lecz niestetyaden z osobna ani te wszystkie razem nie tworz czego, co w potocznym sensie tego sowanazwalibymy "dowodem" - chyba e jako dowd przyjlibymy wyjciowy fakt, ktry usiujemyzrozumie: e przyroda jest matematyczna. Chcc unikn circulus vitiosus musimy przyzna, e

po prostu przesuwamy cay problem z filozofii fizyki do filozofii matematyki i nic nie wskazuje, byna nowym terenie by on atwiejszy do rozwizania. Jest bowiem faktem empirycznym, e twrczy

1

Artyku ukaza si w ksice Matematyczno przyrody, Sympozjum Orodka Bada Interdyscyplinarnych wPapieskiej Akademii Teologicznej w Krakowie, 12-13 maja 1990, pod red. M. Hellera, J. yciskiego i A. Michalik,Wyd. PAT, Krakw 1990, str. 56-71.


2/9

2

matematyk dokonuje postpu prowadzc twrcze operacje mylowe wycznie z pomoc istniejcejju wiedzy matematycznej, bez odwoywania si do wasnoci obiektw materialnych i w tymsensie nowa matematyka jest tworzona, a nie "wydobywana na jaw". Czy stwierdzenie towyczerpuje spraw, czy te empiria ukazuje nam powierzchowny, zudny stan rzeczy, nie wiemy inie wiemy jak si o tym dowiedzie.

Pytanie "dlaczego przyroda jest matematyczna?" niewtpliwie fascynuje mimo - a moerwnie dlatego - e nie potrafimy na nie przekonywujco odpowiedzie. Wyraa ono zagadk,ktra cho odmienna od zagadek rozwizywanych przez przyrodnikw, nie wydaje si wcale fikcjlub pseudoproblemem, a prby jej rozwizania nie s bynajmniej uganianiem si za majakiem. Nie

jest nawet pewne to, co powiedziaem na pocztku, e mamy tu do czynienia z kwesti czystofilozoficzn. By moe pytanie nie jest dobrze postawione - pamitajmy co mwi matematycy:waciwe sformuowanie problemu stanowi poow jego rozwizania. Chc zatem przedstawi

przede wszystkim fakty, co wiemy o matematycznoci przyrody, unikajc, na ile to moliwe,stawiania niesprawdzalnych hipotez.

2.

Matematyczno przyrody jest zaoeniem wstpnym nowoytnego przyrodoznawstwa icaa nowoczesna nauka potwierdza trafno tego zaoenia. Fizyka, astronomia, chemia, biologiamolekularna, biochemia, biofizyka, biologia teoretyczna swym rozwojem wykazuj, e im bardziejdokadnie i kompletnie chcemy opisywa zarwno fundamentalne, elementarne skadniki materii

jak i ukady bardzo zoone (molekuy organiczne, komrki, cae organizmy ywe, populacjeorganizmw, system nerwowy, pami), tym wicej matematyki do tego potrzebujemy i tymwiksz odgrywa ona rol. Wyboru matematyki jako systemu pojciowego do opisu przyrody ifaktu, e wybr ten jest trafny, nie sposb wrcz przeceni. wiat widziany oczami poety, np.Lukrecjusza czy Blake'a, jest zupenie odmienny. Wprawdzie fizyka wyrosa z myleniafilozoficznego, lecz wprowadzenie matematyki przeobrazio j cakowicie. Zajrzyjmy do FizykiArystotelesa: wbrew potocznym wyobraeniom nie jest ona zbiorem faszywych twierdze, ktredopiero Galileusz i Newton przeksztacili w prawdziwe. Arystoteles nie gosi wcale pogldwsprzecznych ze znan nam fizyk, lecz raczej mwi oglnikowo o wszystkim naraz: o powstawaniui giniciu, o przeciwiestwach, o przyczynie, celowoci i koniecznoci w przyrodzie, onieskoczonoci i prni, o naturze, typach i cigoci ruchu; do sporadycznie wypowiada tezy,ktrym potem zaprzeczono. Fizyka arystotelesowska jest w swej masie nie tyle faszywa, coniekonkretna i niewiele opisujca. Dopiero wprowadzenie matematyki skonkretyzowao isprecyzowao pojcia prawdy i faszu i oddzielio je od oglnikowego gadulstwa.

Co waciwie znaczy, e przyroda jest matematyczna? Mwic krtko: to, e przyroda wcaoci i w kadej swojej czci podlega prawom przyrody, stanowicym struktur matematyczn,

tzn. tworzcym dedukcyjny system twierdze matematycznych. Inaczej: og waciwociobiektw materialnych i caoksztat relacji midzy nimi daje si opisa za pomoc pojmatematycznych ujtych w twierdzenia uporzdkowane w logicznie dedukcyjny system. Przyrodopisujemy za pomoc pewnej liczby teorii fizycznych (ideaem byoby zredukowanie ich do jednejteorii - fundamentalnej), a kada z nich jest zinterpretowanym fizycznie aksjomatycznymdedukcyjnym systemem twierdze matematycznych (zaczerpnitychzwykle z rozmaitych dziaw matematyki).

W ostatnim sformuowaniu zasadnicz rol graj dwie idee: fizykalnej interpretacji pojmatematycznych oraz aksjomatyczno-dedukcyjnego systemu praw fizyki. Musz tu omwimaksymalnie zwile obie idee. Pierwsza z nich stwierdza, e nie istnieje "naturalne"

przyporzdkowanie ogu naszych postrzee zmysowych, czyli zbioru danych empirycznych,

jakiemu zespoowi abstrakcyjnych poj, za pomoc ktrych bdziemy ten zbir, czyli wiat,opisywa. Jakkolwiek naturalne wydaj si nam pojcia znane z fizyki szkolnej: masy siy,


3/9

3

prdkoci, przyspieszenia, energii, adne z nich nie da si indukcyjnie wyprowadzi z czystychobserwacji przyrody. Przeciwnie, kade pojcie uywane do fizykalnego opisu przyrody jestwytworem ludzkiego umysu, nie za "esencjonalnym abstraktem" z danych empirycznych i tylkouyteczno do logicznego porzdkowania tych danych decyduje, czy bdziemy si nim

posugiwa. Pierwszym, ktry zrozumia istot tego procesu, by Einstein i on nada mu nazw

"swobodnej gry poj". Gra ta skada si z dwu etapw: na pierwszym ustalamy(z pomoc intuicji i twrczej inwencji, lecz nie mechanicznej indukcji) pojcia okrelajce cechyobiektw materialnych i zachodzce midzy nimi relacje, np. punkt materialny, brya sztywna,ciecz idealna, masa, adunek elektryczny, temperatura, oddziaywanie, sia, przyspieszenie, energia,krt. Niemal adne z nich nie byo znane Arystotelesowi (ktry mimo to potrafi powiedzie troch

prawdziwych rzeczy o wiecie), s one dzieem wytonej pracy najwybitniejszych fizykwnowoytnych. Np. dopiero w poowie zeszego wieku podano ogln definicj energii, dzikiczemu wprowadzono porzdek w chaosie pozornie odrbnych zjawisk. Na drugim etapie, ktregozwykle nie da si cile oddzieli od pierwszego, abstrakcyjnym pojciom fizyki nadajemy cis

posta matematyczn; zachodzi to z reguy w ramach okrelonej teorii fizycznej i czsto nastpujerwnoczenie z tworzeniem nowej teorii lub istotn rozbudow ju istniejcej. I tak energia jest

funkcj skalarn w mechanice newtonowskiej i termodynamice, jedn skadow wektora lubtensora w fizyce relatywistycznej oraz operatorem hermitowskim w mechanice kwantowej.Zarwno przy tworzeniu poj jak i teorii mamy do czynienia ze swobodn gr - nie ma adnegoalgorytmu (wywodzcego si z jakiej metateorii), ktry od zbioru danych empirycznych widbynas nieomylnie ku prawidowej teorii. Logiczn niezaleno poj od postrzee zmysowychilustrowa Einstein porwnaniem: relacja pierwszych do drugich nie jest relacj rosou dowoowiny, lecz raczej relacj numerka z szatni do paszcza.

Drugim filarem matematycznego charakteru przyrody jest aksjomatyczno-dedukcyjnastruktura teorii fizycznych. Kada teoria jest systemem twierdze matematycznychzinterpretowanych fizycznie, co oznacza, e niektrym z poj nadajemy operacyjny sens fizyczny,czyli przyporzdkowujemy im pewne dane empiryczne. (Nie kade z poj teorii da sizinterpretowa operacyjnie, np. mona zmierzy energi, spin czy moment magnetyczny jdraatomowego, natomiast przestrze Hilberta stanw kwantowych tego jdra jest niemierzalna).Kade twierdzenie matematyczne takiego systemu, fizycznie zinterpretowane, staje si prawemfizyki (aczkolwiek nazwy tej tradycyjnie uywamy tylko w odniesieniu do niektrych, przezhistori wyrnionych twierdze, jak np. prawo Coulomba czy prawa odbicia i zaamania wiata).System ten - i to jest dla nas najwaniejsze - jest logicznym systemem aksjomatycznym, w ktrymz poj pierwotnych i ich wasnoci, zawartych w aksjomatach (czyli fundamentalnych prawachfizyki), wynikaj dedukcyjnie wszystkie pozostae twierdzenia (prawa fizyki). Ta aksjomatyczno-dedukcyjna struktura teorii fizycznej okrela - dodajmy tu od razu - na czym faktycznie polegadeterminizm, czy te kauzalizm w fizyce. Literatura filozoficzna dotyczca determinizmu przeraa

swym ogromem. Nie tracc wiele w sensie poznawczym moemy t gr obej z daleka ipowiedzie zwile: determinizm w fizyce wywodzi si z determinizmu w matematyce ipraktycznie oznacza to samo. Jeeli spenione s przesanki twierdzenia, to zachodzi jego teza;jeeli prawdziwe s aksjomaty systemu, to prawdziwe s wszystkie twierdzenia z nich wywodliwe.Tak wic przyczyn tego, e dwa adunki przycigaj si si Coulomba s aksjomatyelektrodynamiki (a w szczeglnoci rwnania Maxwella), przyczyn radioaktywnego rozpadu jdrauranu s prawa chromodynamiki kwantowej, okrelajce oddziaywania silne w jdrze.Determinizm (kauzalizm) wcale nie musi dotyczy relacji przeszo-przyszo, bowiem czas niegra roli w matematyce jako takiej, np. mamy cisy determinizm w elektrostatyce czytermodynamice, gdzie czas w ogle nie wystpuje. Determinizm - powiedzmy to z naciskiem -dotyczy nie relacji pomidzy zjawiskami jako takimi, ale relacji zaoenia-tezy w obrbie

twierdze oraz relacji pomidzy rnymi twierdzeniami w obrbie okrelonej teorii. Determinizmsam w sobie, poza jak teori fizyczn, traci sens, bowiem stosuje si do w peni hume'owska


4/9

4

krytyka empirycznego zwizku przyczynowego. Determinizm jest wic waciwie inn nazw dlawnioskowania dedukcyjnego, tyle e stosowanego do opisu zjawisk empirycznych. Konkretnycharakter determinizmu zaley od konkretnej teorii fizycznej, tzn. od charakteru jej aparatumatematycznego. W mechanice klasycznej ze stanu obecnego mona przewidzie przysze

pooenia i prdkoci czstki czy bryy sztywnej, mamy wic klasyczny cisy determinizm. W

mechanice kwantowej jednoznacznie przewidujemy stan przyszy, lecz zarwno stan przyszy jak iobecny daj nam tylko probabilistyczn informacj o mierzalnych wielkociach fizycznych:energii, pdzie, spinie itp.; jest to efektem oparcia tej teorii na matematycznym pojciu

prawdopodobiestwa.Powtrzmy: przyroda jest nie tylko logiczna (logiczny jest te system praw jurydycznych,

swobodnie ustanawianych przez ludzi), ale jest te matematyczna - w takim stopniu, w jakimmatematyka wykracza poza logik formaln.

Uywajc jzyka filozofii moemy powiedzie, e matematyczno jest fundamentalnymatrybutem wszelkiej materii (czstki, pola, czas i przestrze). Rozumiemy to nastpujco. Wodrnieniu od praw jurydycznych, ktre s nakazami i zakazami i ktre mona dowolnie ustala,ama i znosi, prawa przyrody nie s wobec niej zewntrzne. Nie istnieje "goy" atom, bdcy

"tylko" czstk materii, ktry dopiero naley "ubra" w prawa fizyki. Pytanie: skd atom (kryszta,gwiazda itp.) "wie", e ma spenia prawa fizyki, jest zupenie le postawione. Atomem jest pewienokrelony obiekt materialny wraz ze wszystkimi prawami fizyki, znanymi i nieznanymi, ktre sido stosuj.

W tym sensie materia nie moe istnie bez praw i prawa te s niezmienne (czas podlegaprawom, a nie prawa - czasowi). Dla fizyka materi jest to, co oddziauje bezporednio lubporednio z otaczajc nas materi, a zatem empirycznie mona wykry tylko takie nowe formymaterii, ktre podlegaj prawom stosujcym si rwnie do znanej ju materii. Aby uniknnieporozumie: fizycy wci odkrywaj nowe czstki elementarne, ktre dla opisu wymagajnowych teorii fizycznych, lecz teorie te stosuj si (niejednokrotnie w sposb do trywialny) doczstek znanych. Co, co nie jest w tym sensie matematyczne, nie jest materi, lecz czymzblionym do treci marze sennych czy halucynacji. Matematyczno materii jest dla fizykazaoeniem wstpnym, aksjomatem, poza ktry cofn si nie potrafi, tote na pytanie "dlaczego

przyroda jest matematyczna?" nie moe on - jako fizyk - udzieli odpowiedzi.

3.

Nierozstrzygalno problemu na gruncie fizyki zmusza nas do przejcia na terenmatematyki, a raczej filozofii matematyki. Im gbiej przygldamy si matematyce, tym wikszezdumienie budzi fakt, e inherentn wasnoci przyrody, jej atrybutem, jest waciwo, ktra ma

swj autonomiczny, pozaempiryczny byt i wasn dynamik rozwoju. Zastanawiajc si przedtrzydziestu laty nad "niepojt efektywnoci matematyki w naukach przyrodniczych", EugeneWigner zwrci uwag na istotn cech matematyki, ktrej uy nastpnie do zdefiniowaniamatematyki jako takiej. Wedug niego matematyka jest umiejtnoci wykonywania pomysowychoperacji na pojciach, umiejtnoci stworzon wanie w celu wykonywania tych operacji wsposb maksymalnie pomysowy. Podobnie jak Einstein w odniesieniu do fizyki, tak Wigner wodniesieniu do matematyki kadzie nacisk na tworzenie nowych poj, ktrymi si operuje.Matematyka szybko wyczerpaaby zasb interesujcych twierdze, gdyby nie wprowadzanonowych poj, ktrych wasnoci wyraaj si w nowych twierdzeniach. Oczywicie cay czasmatematyk jako podstawowym narzdziem posuguje si logik klasyczn. Logika ta jest wsplnwasnoci wszystkich ludzi i wiele wskazuje na to, e logiczne mylenie jest pochodn logicznego

dziaania, ktre odziedziczylimy po zwierzcych przodkach. Ale to daleko nie wyczerpuje sprawy.Matematyka rozwija si dziki wprowadzaniu nowych idei i poj, ktre z reguy nie s logiczn


5/9

5

konsekwencj poj ju istniejcych; czynnik kreatywny, nie zwizany niczym ze wiatemprzyrody, jest tu decydujcy. Z drugiej jednak strony, matematyka wspczesna w niczym nieprzypomina sztuki wspczesnej, w ktrej rozjechany przez ciarwk parasol czy zwyky murekz cegie bywa przedstawiany przez obrotnego artyst jako powane dzieo sztuki; matematykazatem nakada na swobodn twrczo intelektualn nader silne, cho trudne do zidentyfikowania

ograniczenia. Wracamy wic do pocztkowych rozwaa: czy matematyka jest tworzona czyodkrywana? Wigner nie prbuje na to odpowiedzie. Zreszt, czy przyjcie hipotezy, ematematyk odkrywa si (umysem, a nie zmysami) posunie nas znacznie w rozwizywaniu

problemu? Przecie, jeeli nawet matematyka istnieje jako platoski wiat idei czy popperowski"trzeci wiat", to istnieje w zupenie innym sensie ni gwiazdy czy atomy. Dlaczego istniej, kadyna swj sposb, wiat matematyki i wiat przyrody, przy czym ten drugi opiera si na pierwszym?Czy postp osignity przez sformuowanie tego pytania nie jest czysto werbalny? Czy nie udzimysi sdzc, e cokolwiek zrozumielimy?

Oderwijmy si od hipotez i powrmy do faktw. Faktem, ktry zadziwia Wignera,Einsteina, Weinberga i tylu innych jest to, e wszystko, co wiemy w sposb nie budzcywtpliwoci o przedmiocie matematyki i sposobie jej rozwoju, wskazuje, i nie ma adnych

podstaw logicznych by przypuszcza, e matematyka ma cokolwiek wsplnego ze wiatemrzeczywistym. Tymczasem ma i to duo.

Jak duo? Zanim przejdziemy do tej kwestii, zrbmy jeszcze jedn uwag uboczn.Zagadce matematycznoci przyrody nadaje si niejednokrotnie jeszcze inn tre: zdumiewajce icudowne jest nie tylko to, e przyroda jest w ogle matematyczna, ale przede wszystkim to, e

prawa przyrody s na tyle proste, e mog by uchwycone umysem ludzkim. Mogoby bowiemby tak, e prawa fizyki byyby tak skomplikowane matematycznie i zawieray tak zawi trefizyczn, e wykraczayby poza nasze moliwoci intelektualne. Wydaje si, e mamy tu doczynienia z rzeczywistym problemem, niestety niemal wszystkie wypowiedzi w tej kwestii srwnie krtkie jak powysza; brak jest dokadniejszych analiz zawartych tam poj. C bowiemznaczy "prawo fizyki tak zoone, e przekraczajce moliwoci ludzkiego umysu"?Przypomnijmy, e prawo fizyki nie jest zewntrzne w stosunku do materii, ale jest jej skadnikiem,okrela sposb jej zachowania si. Naley zatem odrni "prawo fizyki samo w sobie", czylisposb zachowania si materii (jej ruch i wszelkie oddziaywania) od "prawa fizyki jako opisu",

bdcego tylko naszym sposobem opisu zachowania si materii. Powyszy pogld mgbyoznacza tyle, e "prawo samo w sobie" jest tak konceptualnie trudne, e nie moemy go poj,czyli e waciwoci materii s tak finezyjne, e wymykaj si naszemu rozumowi. Ale "prawofizyki samo w sobie" jest czym w rodzaju kantowskiej "rzeczy samej w sobie" i bezporedniegodostpu do niego nie mamy. Obserwujemy zachowanie si materii i te dane empiryczne

porzdkujemy za pomoc "prawa jako opisu", bdcego produktem finalnym einsteinowskiej"swobodnej gry poj". Powszechnie uwaa si, e odkrywane przez fizykw prawa, w miar jak

zbir obserwacji powiksza si i prawa te opisuj go coraz dokadniej i kompletniej, tworz cigzbieny do tego, co nazwaem "prawem samym w sobie". Nie ma powodw, by wtpi w tenpogld, ale warto pamita, e moliwe jest, e pewne elementy rzeczywistoci umykaj naszymnajbardziej wyrafinowanym eksperymentom, a tym samym nie mog by wczone w prawa fizykirozumiane jako opis. Wyobramy sobie dla przykadu, e energia pewnej czstki punktowej jestfunkcj jej pooenia (wyraonego w jednostkach planckowskich) na prostej: jeeli wsprzdna

jest liczb niewymiern, to energia wynosi 1, jeeli liczb wymiern - to E = 0. Mierzymypooenie tej czstki. Najdokadniejszy nawet pomiar zawiera pewien bd, pomiar mwi namwic, e czstka jest zlokalizowana na malekim odcinku wok pewnego punktu. Pomiar energii

jest zatem redniowaniem energii po tym odcinku; poniewa liczb niewymiernych jest "wicej", aredniowanie jest w sensie caki Lebesgue'a, to otrzymamy E = 1 - dowiadczenie daje, e energia

czstki jest idealnie staa na caej prostej. W tym sensie zachowanie si czstki jest wrzeczywistoci duo bardziej skomplikowane ni to ujawniaj obserwacje, a w konsekwencji - ni


6/9

6

to ujmuje teoria je porzdkujca. Inna sprawa, e tak dziwaczne zachowanie si tej czstki winnomie obserwowalne skutki w innych zjawiskach. Chodzi mi tylko o podanie przykadu, gdy bardzozoone waciwoci materii dadz si przybliy (empirycznie, w powyszym sensie) bardzo

prostym prawem opisowym.Dotykamy tu nader niejasnej kwestii. Czy kade prawo ("samo w sobie") da si

zadowalajco przybliy prawem dostpnym naszemu umysowi? Dla matematyka pytanie "czykad funkcj da si przybliy prost funkcj cig?" jest niejasne, bowiem nie wiadomo o jakprzestrze funkcji tu chodzi i jak rozumiana jest aproksymacja. Dla fizyka kwestia jest jeszczemtniejsza. Jest jednak faktem, e jak dotd w historii fizyki nie natknlimy si na sytuacje, ktreuznalibymy za bariery nie do pokonania (chodzi mi tu oczywicie o bariery konceptualne, a nie otrudnoci rachunkowe - tych mamy bez liku). Czy jest to skutkiem tego, e w rzeczywistoci kadsytuacj zoon da si zadowalajco uj opisem uproszczonym, czy te przeciwnie, nasz wiatzosta tak zaprojektowany, by by dla nas intelligibilny? Nie wiemy.

4.

Matematyka ma t wyszo nad gr w szachy, bdc rwnie pomysowym wytworemumysu ludzkiego, e pasuje do wiata przyrody. Z estetycznego punktu widzenia matematyka

powinna albo w caoci i bez reszty pasowa do wiata, albo nie mie z nim nic wsplnego. Takjednak nie jest i mamy matematyk stosowan oraz matematyk czyst, czyli dziay matematykiinteresujce wycznie samych matematykw. Na pierwszy rzut oka jest to rozrnienie rwnieostre i niepodwaalne co podzielenie wszystkich zwierzt na jadalne i niejadalne. Blisze

przyjrzenie si ujawnia jednak, e z kilku powodw sytuacja jest duo bardziej zoona.Po pierwsze, podzia ten ma charakter historyczny i granica midzy matematyk czyst i

stosowan stale si przesuwa. Dziay matematyki przed kilkudziesiciu laty bez wtpienia czyste,obecnie wkraczaj do fizyki i techniki (np. teoria komputerw); proces ten stale si nasila. Podrugie, nie potrafimy wskaza gbszej rnicy pomidzy matematyk czyst i stosowan -umiejscowienie granicy uwarunkowane jest rozwojem nauki i techniki, a nie wewntrzn strukturmatematyki. Ani matematyk ani fizyk nie jest w stanie wskaza, ktre dziay (pojcia, twierdzenia,teorie) mog mie w przyszoci zastosowanie w przyrodoznawstwie, a ktre nie. W przeszoci

prognozy na ten temat byy z reguy faszywe (jaskrawym przykadem bya opinia Jamesa Jeansa,e teoria grup nigdy nie bdzie uyteczna w fizyce).

Po trzecie, matematyka tworzy system jeszcze bardziej zintegrowany ni wiat istotywych, o ktrego wzajemnych powizaniach i uzalenieniach uczy nas ekologia i biologiamolekularna. Podzia matematyki na poszczeglne gazie jestkoniecznoci praktyczn, lecz nie wynika z samej jej natury. Tutaj nieomal wszystko jest lubmoe by powizane ze wszystkim. Rozmaite dziay matematyki nawzajem si przenikaj i

wzbogacaj: algebra z analiz i topologi, geometria zalgebr, teoria liczb z analiz. Czsto zastosowanie jakiego odlegego dziau matematyki pozwalaosign dany wynik szybko i elegancko, uproci dowd twierdzenia. Wzajemne wizi s taksilne i doniose, i pewien matematyk stwierdzi: nie ma czystej matematyki, kady dziamatematyki ma gbokie zastosowania w jakim innym jej dziale.

Nasuwa si wic przypuszczenie, e "czysta matematyka" nie istnieje rwnie wodniesieniu do nauk przyrodniczych, e podzia ten jest pozorny i tymczasowy. W przyszoci caamatematyka bdzie stosowana w fizyce i technice. Pogld ten,goszony przez niektrych fizykw matematycznych, wydaje mi si rwnie bezpodstawny coodstraszajcy.

To prawda, e granicy rozdzielajcej matematyk czyst od stosowanej nie da si

zdefiniowa oglnie za pomoc poj matematycznych; rwnie w praktyce wskazanie, gdzie onaprzebiega sprawia due kopoty, gdy z reguy jest ona rozmyta (o czym dalej). To prawda, e od


7/9

7

wielu lat jestemy wiadkami spektakularnej inwazji analizy funkcjonalnej, geometriirniczkowej, topologii algebraicznej czy teorii funkcji analitycznych do fizyki, nie mwic ju owkroczeniu nowoczesnej matematyki do biologii i techniki. To prawda, e im dogbniej badamyfundamentaln struktur materii i ycia, tym gbszej matematyki potrzebujemy.

Ale nie powinnimy pomija faktw wskazujcych w inn stron. Matematyka rozwija si

szybciej ni przyswajanie jej wynikw przez nauki przyrodnicze. Proces narastania wiedzymatematycznej jest nieprzerwany lecz cichy, spektakularne zdarzenia zachodz rzadko.Niefachowiec moe nabra pewnego o nim wyobraenia przegldajc seri Lecture Notes inMathematics, wydawan przez firm Springera. Wyszo w niej grubo ponad tysic tomw, co daje

przekrj wspczesnej matematyki. Same tytuy, niewiele mwice laikowi, wiadcz o ogromieaktualnych dokona i liczbie nowych dziaw czy kierunkw w matematyce. Rzuca si w oczysilna algebraizacja matematyki, mocno popierana przez szko bourbakistw. Zdecydowanawikszo tej twrczoci naley bez wtpienia do matematyki czystej, a tym samym matematyka tastanowi nader pokan cz caej matematyki. Powiedzmy wyranie: jakkolwiek trudno jestodrni konceptualnie matematyk czyst od stosowanej, to samo istnienie tej pierwszej jest

bezdyskusyjne. Jeszcze trudniej jest okreli ilociowo stosunek matematyki czystej do caoci (co

tu zlicza - teorie? twierdzenia?). Tym niemniej wydaje si, e intuicja nie zawodzi nas, gdy mwi,e w cigu ostatnich dwustu kilkudziesiciu lat uamek ten stale wzrasta. Co najmniej do poowyzeszego stulecia matematyka bya tak silnie zwizana z fizyk (rwnie personalnie: Newton,Lagrange czy Laplace to fizycy dla fizykw i matematycy dla matematykw), e niemal cao jejwynikw miaa charakter stosowany. Uwiadomienie sobie, e matematyka ma swoje wasne polazainteresowa i autonomiczn dynamik rozwoju, nastpio dopiero przed stu laty. Trend

polegajcy na zwikszaniu udziau wiedzy czystej w caoci wiedzy matematycznej jest wyrany iistnieje od pocztku istnienia nauki nowoytnej. Fakt, e raz po raz dziay czyste znajduj jakiezastosowanie i przekraczaj nieuchwytn dla nas granic, wcale nie przeczy temu trendowi - na ichmiejsce powstaj w jeszcze wikszej iloci nowe gazie matematyki. Wspomniana wyej hipoteza,e w przyszoci wystpi zjawiska przeciwne i cao matematyki zostanie wchonita przez nauki

przyrodnicze i technik, jest - jak dotd - zupenie bezpodstawna. Hipoteza ta jest rwnieodstrczajca, bowiem dla fizyka matematyka jest przede wszystkim narzdziem i broni si on,cakiem naturalnie, przed takim rozrostem i skomplikowaniem swego narzdzia, ktre utrudni musprawne si nim posugiwanie. Myl, e dogbna znajomo wikszej czci istniejcej wiedzymatematycznej miaaby by warunkiem wstpnym zajmowania si fizyk, jest doprawdyniepokojca. Ju obecnie rozlegaj si dobrze umotywowane gosy, e formalizm matematycznyzaczyna dominowa nad treci fizyczn we wspczesnej fizyce teoretycznej, e idea powinnawyprzedza wyrafinowane techniki rachunkowe, a nie by przez nie zastpowana.

Matematyka jest nadwykowa w stosunku do fizyki, w stosunku do caej przyrody.Nadwykowo ta ma szereg rozmaitych, cho cile ze sob powizanych aspektw. Pierwszy z

nich, najbardziej rzucajcy si w oczy, ju przedstawiem: istnienie i rosnc stale (bezwzgldnie iwzgldnie) liczb dziaw matematyki czystej. Poniewa wiedza matematyczna narasta szybciejni jest absorbowana przez przyrodoznawstwo, nie wydaje si, by trend ten, wynikajcy zautonomicznej dynamiki ewolucji matematyki, mg by odwrcony w przyszoci. Naley

przypuszcza, e w mitycznym "punkcie Omega", w ktrym ludzko osignie ostateczne poznanie(?) przyrody, czysta matematyka stanowi bdzie duy uamek caej matematyki. Oznacza to, efundamentalna teoria fizyki, ku ktrej konsekwentnie zmierzaj fizycy, opiera si bdzie jedyniena pewnym, wprawdzie bardzo wanym lecz objtociowo nieznacznym, fragmencie matematyki.

Po drugie, fakt, e jaki dzia matematyki jest stosowany, nie znaczy wcale, by cao lubchocia wikszo nalecych do niego poj i twierdze bya rzeczywicie stosowana.

Nadwykowo matematyki najgbiej przejawia si w tym, e jej twory, ktre znajduj

zastosowanie w przyrodoznawstwie, s do tego celu starannie selekcjonowane. Np. elementytopologii oglnej s konieczne w geometrii rniczkowej i analizie funkcjonalnej, tote topologia


8/9

8

zaczyna by dziaem stosowanym, lecz wtpliwe jest, by wikszo jej wynikw moga znalejakie zastosowanie. Czy najoglniejsze przestrzenie topologiczne, tak ubogie, e nie posiadajcewaciwie adnych interesujcych wasnoci, nadadz si kiedy do opisu czego w przyrodzie?Czy oglna teoria wymiaru okae si kiedy przydatna?

Stawiajc takie pytania trzeba by ostronym, by nie strzeli takiego gupstwa jak niegdy

wspomniany wczeniej Jeans. Rozwijajca si ywo dla potrzeb fizyki teoria fraktali uywa wielukoncepcji topologicznych, ktre jeszcze niedawno uchodziy za ewidentnie niefizyczne.Niezalenie jednak od tego, ile przykadw nieoczekiwanych zastosowa poj matematycznych wfizyce podalibymy, to nie ulega wtpliwoci, e kada dostatecznie bogata ga matematyki jestnadwykowa wzgldem wszelkich jej zastosowa. Kiedy nowa ga matematyki zostaniezaszczepiona do fizyki (np. analiza funkcjonalna, geometria rniczkowa, rne dziay topologiialgebraicznej), jej nadmiarowo jest zrazu niewidoczna, a nawet rozlegaj si gosy, i teraz, nadostatecznie wysokim poziomie, nastpuje pena unifikacja matematyki i fizyki. Bierze si to std,e pocztkowo fizycy si rzeczy zmuszeni s uczy si nowej dla nich matematyki z podrcznikwdla matematykw. Szybko jednak powstaj podrczniki pisane przez fizykw dla fizykw, wktrych cay "zbdny balast" zostaje odrzucony i dany dzia matematyki ulega wypreparowaniu do

postaci narzdzia dla nich wygodnego i zgodnego z ich gustami. Zgadza si to z powszechnobserwacj, e wsppraca matematyka z fizykiem jest trudna. Jak zoliwie powiedzia kiedyEinstein, matematycy wiedz bardzo duo, ale nigdy nie dokadnie to, o co si ich pyta (cytuj z

pamici). Dla matematyka pytania zadawane przez fizykw s albo za oglne (np. pytanie orozwizania jakiego rwnania rniczkowego czstkowego, bez sprecyzowania klasy rozwiza iwarunkw brzegowych, czy te pytanie o topologiczne wasnoci rozmaitociczterowymiarowych), albo za szczegowe (klasyfikacje grup cigych, waciwoci sferysiedmiowymiarowej). Z punktu widzenia matematyki fizycy potrzebuj bardzo specyficznych,"technicznych" twierdze do celw rachunkowych oraz zajmuj si sytuacjami "patologicznymi" -np. przestrzeniami z metryk indefinitn (dopiero ostatnio niektrzy matematycy zaczli zwracauwag na geometri Lorentza). Prawdziwy matematyk nie zna iloczynu wektorowego, gdy nie dasi go zdefiniowa w dowolnej przestrzeni euklidesowej, a tym bardziej w przestrzeni Hilberta; wrezultacie to tak wane w fizyce pojcie jawi mu si tworem przygodnym i kuriozalnym.

Matematyk myli inaczej i czym innym si interesuje ni fizyk, nawet wtedy, gdy badajpodobne struktury. Fizyk interesuje si otaczajcym go wiatem i stara si budowa najprostszemodele rzeczywistoci. W tym celu idealizuje i konstruuje szczeglne przykady. Matematykuwielbia generalizacje, pragnie rozszerzy swe koncepcje na moliwie najoglniejsze sytuacje.Czasem na odwrt: analizuje bardzo specyficzne problemy, ktre wzbudziy jego zainteresowanie.Celem fizyka jest zbudowanie modeli, z ktrych wynikaj trafne przewidywania przyszychzjawisk, celem matematyka jest, jak powiedzia Wigner, formowanie pomysowych poj, dlaktrych zachodz pasjonujce go twierdzenia. Tej rnicy, wynikajcej z samej istoty obu nauk, nie

da si usun. Matematyki nie mona zredukowa do abstrakcyjnej struktury fizyki.Cay wiat przyrody jest realizacj jednej okrelonej struktury matematycznej, ktrej pewnefragmenty ju znamy, a inne czekaj na odkrycie. Matematyka zawiera w sobie i dopuszczaistnienie wielu rozmaitych struktur, ktre, konceptualnie przynajmniej, monaby przyporzdkowarozmaitym wiatom.

Powtrzmy: struktury te nie s rozczne i nie atwo je zidentyfikowa, przenikaj siwzajemnie i czciowo nakadaj, gdy matematyka jest jedna i niepodzielna, a wszelkie podziays tylko praktyczn koniecznoci, nie za

przejawem jej charakteru. Tym niemniej one istniej i matematyka ma duo wicej moliwoci nimoe si zrealizowa w wiecie przyrody, ktry cho bogaty i zadziwiajcy rnorodnocizjawisk, jest w swej istocie tworem jednolitym. Matematyka jest ogromnie nadmiarowa wzgldem

przyrody. Ustalenie stopnia tej nadwykowoci jest trudne nie tylko w sensie absolutnym, leczrwnie historycznym, gdy jak mwilimy, wyznaczenie w jakimkolwiek momencie granicy


9/9

9

rozdzielajcej matematyk czyst od stosowanej napotyka trudnoci. Skd si one bior? Ot niejest cakiem jasne co to znaczy, e dany dzia matematyki ma zastosowania w fizyce. Jak wiadomo,istnieje silna tendencja do algebraizacji caej matematyki. Jedno matematyki skaniamatematykw do uywania wszdzie uniwersalnego jzyka opartego na algebrze; nadaje tomatematyce swoistej elegancji i pozwala znacznie uproci wiele twierdze. W tym sensie algebra

abstrakcyjna oraz teoria kategorii i funktorw maj zastosowania do opisu przyrody. Zarazemjednak nie s do tego opisu konieczne i rezygnacja z nich nie jest przez fizykw odbierana jakostrata, lecz - przeciwnie - usunicie zbdnego balastu. Matematyka stosowana jest narzdziemwypreparowanym dla potrzeb fizyki; w procesie obrabiania znika zazwyczaj elegancja i misternasie powiza pozornie odlegych idei i struktur, czyli duch matematyki. Podrczniki matematyki

pisane dla fizykw zawieraj, zdaniem prawdziwych matematykw, "matematyk dlatroglodytw". Widzimy, e wytyczenie granicy jest w znacznym stopniu kwesti gustu i kulturymatematycznej.

Czy mona ustali (w danej epoce naturalnie), jaka cz matematyki jest naprawdniezbdna, a co jest dodatkiem motywowanym estetyk i wygod? Dyskusja nad matematycznymminimum w fizyce przypomina rozwaania nad minimum socjalnym w

wiecie cywilizowanym: dopki nie okrelimy dokadnie gdzie przebiega granica danej teorii iczego od niej oczekujemy, dopty nie jestemy w stanie wskaza, jaki aparat matematyczny jest jejkonieczny. Ogromna wikszo podrcznikw z mechaniki klasycznej, mechaniki kwantowej,elektrodynamiki Maxwella czy elektrodynamiki kwantowej napisanych jest w sposb standardowy,tzn. zawieraj standardowy materia wyoony za pomoc standardowej matematyki, ktrnazwalibymy niezbdnym minimum matematycznym. Najlepszym tego przykadem jest sawny ido dzi bardzo ceniony wielotomowy kurs fizyki teoretycznej Landaua i Lifszica; w swej warstwiematematycznej dzieo to rzadko i nieznacznie wykracza poza klasyczny rachunek rniczkowy icakowy. Obok nich istniej dziea diametralnie odmienne: Abrahama i Marsdena oraz Arnolda zmechaniki, Thirringa z caej fizyki matematycznej, czy rozmaite ksiki z teorii pola lub teoriikwantw, stosujce bardzo zaawansowany aparat matematyczny. Dzieje si tak z dwu powodw.Wemy dla przykadu mechanik. Po pierwsze, wyraa si j w jzyku teorii wizek wknistych iinnych dziaw matematyki nowoczesnej po to, by upodobni j do teorii bardziej fundamentalnej -kwantowej teorii pola, w ktrej ten aparat jest konieczny i w ktrej odsania gbsze jej struktury.Czy w ten sposb dowiadujemy si czego nowego i gbokiego o mechanice, czy te jest to

jedynie uniformizacja fizyki? Znaczna cz fizykw-teoretykw sdzi, e nabieramy gbszegozrozumienia mechaniki, aczkolwiek rozlegaj si te gosy, e faktycznie jest to czcza formalno.Po drugie, istniej w mechanice zagadnienia takie jak problem trzech cia, teoria zaburze istabilnoci strukturalnej czy hipoteza ergodyczna, ktrych nie da si ruszy bez potnych metodnowoczesnej matematyki. I jest to sytuacja typowa: w kadej teorii fizycznej istnieje do szerokikrg zagadnie standardowych, do ktrych wystarcza wzgldnie prosta matematyka, oraz problemy

specyficzne, wymagajce zaawansowanego aparatu matematycznego. Jeeli zwracamy uwag na tepierwsze, to moemy wskaza matematyczne minimum danej teorii; jeeli natomiast uwaamy, e"ducha" teorii stanowi te drugie, to waciwie jej aparat matematyczny nie ma granic.

* * *Nadwykowo matematyki wobec wiata przyrody jest przejawem jej odrbnoci i

niemonoci zredukowania jej do fizyki. Abstrakcyjne mylenie matematyka i intuicyjnedociekania fizyka prowadz do odmiennych wynikw. Radziecki matematyk J. Manin uwaa, e"byoby cudown rzecz opanowa oba sposoby mylenia tak, jak panujemy nad lew i prawrk". Amerykaski fizyk-teoretyk David J. Gross nie wierzy, by ten podany stan dao siosign. Ale - dodaje - Vive la diffrence!

Nadmiarowo_matematyki

Documents

Transcript of Nadmiarowo_matematyki