. .

1998

1

n m n O W I K O W A

moskwa

( )osnowy optimizacii

KURS LEKCIJ

. .

,( ) | -

, , -( -, ,

, ), -.

,4-

, , -. ,

, -, , ,. -

nnovik@ccas.ruNo.96-01-00786.

: . . ,. .

c . .

2

oTWETSTWENNYJ REDAKTORAKADEMIK ran p s kRASNO]EKOW

w SVATOJ FORME DAETSQ IZLOVENIE OSNOW TEORII SLOVNOSTILINEJNOGO PROGRAMMIROWANIQ lp S OPISANIEM POLINOMIALXNYH ALGORITMOW CELO^ISLENNOGO lp MATEMATI^ESKOGO PROGRAMMIROWANIQ NEOBHODIMYE USLOWIQ \KSTREMUMA PRI OGRANI^ENIQHNERAWENSTWAH LOKALXNYE METODY BEZUSLOWNOJ OPTIMIZACII METOD[TRAFOW IDEI GLOBALXNOJ OPTIMIZACII SHEM METODOW DINAMI^ESKOGO PROGRAMMIROWANIQ I WETWEJ I GRANIC

rABOTA NAPISANA NA BAZE SEMESTROWOGO KURSA LEKCIJ ^ITAEMOGOAWTOROM STUDENTAM GO KURSA PROGRAMMISTSKOGO POTOKA FAKULXTETAwmIk mgu S U^ETOM DOPOLNENIJ I ZAME^ANIJ UKAZANNYH STUDENTAMI aWTOR BLAGODARIT WSEH STUDENTOW SODEJSTWOWAW[IH IZDANI@\TOGO KURSA I PREDLOVIW[IH ISPRAWLENIQ SPOSOBSTWU@]IE EGO ULU^[ENI@ W TOM ^ISLE lASKAWOGO sERGEQ sANNIKOWA aNDREQ I sWAHINAnIKOLAQ zAME^ENNYE OPE^ATKI I NETO^NOSTI PROSXBA SOOB]ATX AWTORU PO ADRESU

rABOTA ^ASTI^NO PODDERVANA GRANTOM rffi

rECENZENTY s k zAWRIEWa w lOTOW

n m nOWIKOWA

3. . . ..: , 1987, N 10.

. [3] | -, , -

:

+ + ++ + +

+ + +

(1)

. , -.

(1),= + + + -

, (1):

max ; (2)

(2)( )

0

(3)

3

hA^IQN l g sLOVNOSTX ZADA^ LINEJNOGO PROGRAMMIROWANIQm zNANIE

sOGLASNO LINEJNOE PROGRAMMIROWANIE \TO RAZDEL PRIKLADNOJ MATEMATIKI IZU^A@]IJ TEORI@ PRILOVENIQ I METODY RE[ENIQ KONE^NYH SISTEM LINEJNYH NERAWENSTW S KONE^NYM ^ISLOMWE]ESTWENNYH NEIZWESTNYH

ILI W SOKRA]ENNOJ ZAPISI s^ITAEM ^TO MATRICA NE SODERVIT NULEWYH STROK SOSTOIT WNAHOVDENII TAKOGO RE[ENIQ KOTOROE MAKSIMIZIRUET ZADANNU@LINEJNU@ FUNKCI@ WEKTORA NEIZWESTNYH PO WSEM WE]ESTWENNYM UDOWLETWORQ@]IM SISTEME

OZlp S NEIZWESTNYMI I OGRANI^ENIQMI NAZYWAETSQ ZADA^EJRAZMERNOSTI I ZADAETSQ ^ISLOWOJ TABLICEJ

2.

5.( )

1

osnowy linejnogo programmirowaniq

pONQTIE O SLOVNOSTI ZADA^ILINEJNOGO PROGRAMMIROWANIQ lpx

��

�

�

h i

h i

:

( ).- . -

. -, .

..

( )

lITERATURA

oPREDELENIE OSNOWNOJ ZADA^I lp OZlp pRINCIP GRANI^NYH

RE[ENIJ I GEOMETRI^ESKOE OPISANIE SIMPLEKS METODA aLGEBRAI

^ESKAQ I BITOWAQ SLOVNOSTX METODOW lp rEZULXTATY PO SLOV

NOSTI ZADA^ BLIZKIH K lp tEOREMA O GRANICAH RE[ENIJ ZADA^ lp S

CELYMI KO\FFICIENTAMI tEOREMA O MERE NESOWMESTNOSTI SISTEM

LINEJNYH NERAWENSTW S CELYMI KO\FFICIENTAMI

oSNOWNAQ ZADA^A lp OZlp

x ; : : : ; x

a x a x : : : a x ba x a x : : : a x b: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

a x a x : : : a x b

Ax b Aa

c; x:c x c x : : : c x

x x

c; x

n mn;m

a a : : : a ba a : : : a b: : : : : : : : : : : : : : :a a : : : a bc c : : : c

1

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

1 1 2 2

:

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

1 2

n

n n

n n

m m mn n m

i

n n

x Ax b

n

n

m m mn m

n

9>>=>>;

����������

����������

2 �Rn

. = �0 (2) -(1),

( ). 7. , (2) -

,

max

(.)

, -( ),

( (1), ):

(2) ,, = , . .

+ + + = ,(2).

,= , (1),(1). -

, (1) , (2)(1), . . -

(1).

3- ( , max( )[min( )] ). -,

.1820- . . 1947 . . -

(1) | -(2) | .

- (

4

SWOIH KO\FFICIENTOW w ^ASTNOM SLU^AE ZADA^A \KWIWALENTNA TAK ^TO UMENIE RE[ATX OZlp PREDPOLAGAET UMENIE RE[ATXSISTEMY LINEJNYH NERAWENSTW ln w BUDET POKAZANO OBRATNOESWEDENIE wOOB]E GOWORQ W FORME MOVET BYTX PREDSTAWLENA L@BAQ ZADA^A lp S OGRANI^ENIQMI RAWENSTWAMI I NERAWENSTWAMI W TOM^ISLE lp

zDESX I DALEE ^ERTA SWERHU BUDET ISPOLXZOWATXSQ DLQ WYDELENIQWEKTORA W OTLI^IE OT POHOVEGO ^ISLA

nESMOTRQ NA TO ^TO FORMALXNO ZADA^I lp NE QWLQ@TSQ DISKRETNYMI IH RE[ENIE NETRUDNO SWESTI K PEREBORU KONE^NOGO^ISLA UGLOWYH TO^EK WER[IN POLI\DRA ZADA@]EGO OGRANI^ENIQNA OSNOWANII

ESLI ZADA^A IMEET RE[ENIE TO NAJDETSQ TAKAQ PODMATRICAMATRICY ^TO L@BOE RE[ENIE SISTEMY URAWNENIJ T E

REALIZUET MAKSIMUM WoTMETIM ^TO DLQ NEWYROVDENNYH RE[ENIE SOOTWETSTWU@]EJSISTEMY URAWNENIJ UDOWLETWORQ@]EE OGRANI^ENIQMQWLQETSQ UGLOWOJ TO^KOJ iZ PRINCIPA GRANI^NYH RE[ENIJ SLEDUET ^TO ESLI UGLOWAQ TO^KA SU]ESTWUET TO RAZRE[IMAQ ZADA^AIMEET RE[ENIE I W UGLOWOJ TO^KE T E ONA \KWIWALENTNA MAKSIMIZACII NA KONE^NOM MNOVESTWE WER[IN POLI\DRA pROCEDURARE[ENIQ SISTEMY LINEJNYH URAWNENIJ METODOM gAUSSA TREBUET NEBOLEE POLINOMA J STEPENI OT TO^NEEARIFMETI^ESKIH OPERACIJ S \LEMENTAMI I oDNAKO ^ISLO WOZMOVNYH PODMATRIC MATRICY \KSPONENCIALXNO I METOD POLNOGOIH PEREBORA NE \FFEKTIWEN

w H GG v fURXE I ZATEM W G dV dANCIG PREDLOVILI METOD NAPRAWLENNOGO PEREBORA SMEVNYH WER[IN W NAPRAWLENII WOZRASTANIQ CELEWOJ FUNKCII hOTQKAVDYJ [AG SIMPLEKS METODA PREDSTAWLQ@]IJ SOBOJ OPREDELENNU@

5..

R

upravnenie pREDSTAWITX KANONI^ESKU@ ZADA^Ulp W FORME OZlp

x

h i

2

f j 2 g

h i

-

KANONI^ESKAQ ZADA^A

PRINCIPA GRANI^NYH RE[ENIJ

SIMPLEKS METOD

c

c; x :

x

AA A x b

a x a x : : : a x b i I

AA x b

c; x

m; n m; n m; nA b

A

= �0

1 1 2 2

2

Ax b; x

I

I I

i i in n i

I

I I

�

n

- (3)),

- -, ,

2 , -- . ,

- (\ "). -

( ) ( ,(3)), ( ) .

., , -

,(3), -

� .|

,( | )

-, . . ,

- . , -� ( . 1).

,, |

(3) | . ( , , ). -

. . 1978 .,. -

6.

.-

, . . -. -

. ,

5

PROCEDURU PERES^ETA \LEMENTOW SIMPLEKS TABLICY OGRANI^EN POPORQDKU ^ISLOM ARIFMETI^ESKIH OPERACIJ W NASTOQ]EE WREMQDLQ WSEH IZWESTNYH WARIANTOW SIMPLEKS METODA PRIWEDENY PRIMERY \KSPONENCIALXNYE PO ^ISLU ITERACIJ KOGDA PEREBIRAETSQ BOLEE

WER[IN NO DOKAZATELXSTWO NEWOZMOVNOSTI POSTROITX POLINOMIALXNYJ SIMPLEKS METOD TAKVE OTSUTSTWUET pOD^ERKNEM ^TONA PRAKTIKE SIMPLEKS METOD NE POKAZYWAET DANNOJ OCENKI PLOHIEPRIMERY DOWOLXNO REDKI mOVNO POSTROITX ALGORITM RE[ENIQ ZADA^I lp S OCENKOJ ARIFMETI^ESKIH OPERACIJ NAD ^ISLAMIZAPISANNYMI W GDE RASTET BYSTREE \KSPONENTY aLGORITM SPOLINOMIALXNOJ OCENKOJ ODNOWREMENNO PO I NE IZWESTEN I WRQDLI BUDET POSTROEN

tEPERX ZAMETIM ^TO FUNKCIQ OCENIWA@]AQ ^ISLO ARIFMETI^ESKIH OPERACIJ W ZAWISIMOSTI OT I NE U^ITYWAET DLINU KODA\LEMENTOW A TOLXKO IH KOLI^ESTWO I PO\TOMU NE QWLQETSQ WREMENNOJ SLOVNOSTX@ ALGORITMA uKAZANNAQ FUNKCIQ NOSIT NAZWANIE

W OTLI^IE OTFUNKCII OCENIWA@]EJ ^ISLO ARIFMETI^ESKIH OPERACIJ S BITAMIILI S KONE^NYMI PORCIQMI PO RAZMERU MA[INNOGO REGISTRACIFROWOJ ZAPISI PARAMETROW INDIWIDUALXNOJ ZADA^I lp W ZAWISIMOSTI OT DLINY WHODNOGO SLOWA T E OT I DLIN KODOW ^ISELW SIMPLEKS TABLICE o^EWIDNO BITOWAQ SLOVNOSTX ALGORITMA SOOTWETSTWUET EGO WREMENNOJ SLOVNOSTI SM wHODNYE KO\FFICIENTYZADA^I lp OBY^NO RACIONALXNY PO\TOMU DALEE USLOWIMSQ S^ITATXIH CELYMI TOGDA DLINA ZAPISI MAKSIMALXNOGO KO\FFICIENTAW KONE^NA nABOR NAZYWAETSQ BITOWOJ RAZMERNOSTX@ZADA^I lp wOPROS O SU]ESTWOWANII ALGORITMA lp S POLINOMIALXNOJ BITOWOJ SLOVNOSTX@ BYL RE[EN l g hA^IQNOM W G I TEMSAMYM BYLA DOKAZANA POLINOMIALXNOSTX ZADA^ lp oSNOWNYE MOMENTY \TOGO DOKAZATELXSTWA IZLAGA@TSQ W SLEDU@]EM PUNKTE IzDESX VE UKAVEM NA OTLI^IE KLASSOW SLOVNOSTI ZADA^I lp I DRUGIHLINEJNYH ZADA^

mETOD gAUSSA RE[ENIQ SISTEMY LINEJNYH ALGEBRAI^ESKIH URAWNENIJ IMEET POLINOMIALXNU@ ALGEBRAI^ESKU@ SLOVNOSTX T E QWLQETSQ dLQ lp WOPROS O SU]ESTWOWANII SILXNOPOLINOMIALXNOGO ALGORITMA OTKRYT kROME TOGO ZADA^A RE[ENIQ

�

x

x

ALGEBRAI^ESKOJ SLOVNOSTI BITOWOJ SLOVNOSTI

SILXNOPOLINOMIALXNYM

mn

f n mf

n m

n m

n m l

ln m l

min( 2)n;m=

, -= , -

.

( ): . -

- : ( . 2), . ..

|

( )

, ( ) | , -& ( , , ).

, , ,. -

.

-.

�( ) = max det

[ ] , -, . | -

, |.

. (2)( ) ,

�([ ])(2) = -

, �( ).

: = det det �([ ]),

det 1, ,

6

SISTEMY LINEJNYH URAWNENIJ PRINADLEVIT KLASSU A ANALOGI^NYJ REZULXTAT DLQ lp OZNA^AL BY RAWENSTWO OVIDATX KOTOROE NET OSNOWANIJ

iZ POLINOMIALXNOSTI lp WYTEKAET POLINOMIALXNOSTX ZADA^ISU]ESTWUET LI RE[ENIE SISTEMY ln aNALOGI^

NYE ZADA^I S DOPOLNITELXNYM OGRANI^ENIEM CELO^ISLENNOSTI ILIBULEWOSTI RE[ENIQ POLNY SM T EPOLINOMIALXNYE ALGORITMY DLQ NIH WRQD LI BUDUT POSTROENY

sU]ESTWUET NEPOLINOMIALXNOE OBOB]ENIE lp ZADA^A PROWERKIISTINNOSTI WYSKAZYWANIJ WIDA

GDE A PREDLOVENIE SOSTAWLENNOE IZ LINEJNYH NERAWENSTW S POMO]X@ SWQZOK I ILI OTRICANIEdOKAZANO ^TO L@BOJ ALGORITM RE[A@]IJ \TU MASSOWU@ ZADA^UIMEET NE MENEE ^EM \KSPONENCIALXNU@ SLOVNOSTX tOT VE REZULXTAT BUDET I PRI ZAMENE RAWENSTWAMI WSEH NERAWENSTW W POSTANOWKEZADA^I

rASSMOTRIM NEKOTORYE SWOJSTWA ZADA^ lp S CELYMI KO\FFICIENTAMI dLQ L@BOJ CELO^ISLENNOJ MATRICY WWEDEM PARAMETR

bUDEM OBOZNA^ATX ^EREZ MATRICU SOSTAWLENNU@ IZ I WEKTORASTOLBCA DOPISANNOGO SPRAWA zDESX I DALEE MERNOEPROSTRANSTWO CELO^ISLENNYH WEKTOROW EGO NEOTRICATELXNYJORTANT

eSLI OZlp RAZMERNOSTIS CELYMI KO\FFICIENTAMI RAZRE[IMA TO U NEE SU]ESTWUET

RACIONALXNOE RE[ENIE W [ARE I ZNA^ENIEMOZlp QWLQETSQ RACIONALXNOE ^ISLO SO ZNAMENATELEM OGRANI^ENNYM WELI^INOJ

nA OSNOWANII PRINCIPA GRANI^NYH RE[ENIJPO PRAWILU kRAMERA IBO

A OPREDELITELX MATRICY POLU^ENNOJ IZ ZAMENOJ

NCNC P

P

NP NPC

Q Q F

Q F

2.

Z ZZ

ln ln

cln bln

2

2 x

h i � h i �

2 f8 9g � �_ :

j j

j2

k k � jh i

9 � j j j j � j

j j �

( )O GRANICAH RE[ENIJ

;

x : : : x a ; x b ; : : : ; a ; x b ;

; ; : : : ;; ;

D

D:

D :

A b Ab m

n;mx x n A b

d:

c; x t=sA

A A x A = A A b

A A A

1 1 1

+

1 2

KWADRATNAQ PODMATRICA

n m m

D D

=

I jjI I

IjI I

f � g

0

�

� �

�

1 n

i

m m

m

0

1

.

tEOREMA

dOKAZATELXSTWO

- , �([ ]).. -

, 2- -�( ) det .

- -(1),

+ = 1 | - ,, | - ,

+ (1 )

. (1) -- = 1 [( +2)�( )],

, . . ., -

(1 ) ( ):

= min

, , 0.( min( ) = max( ))= (0 0 1) +1 ( ). , 1

,�([ ]) ( + 1)�( ), . . 1 [( + 1)�( )] |

..

- -(2), -

(1) (2) - :+ = 1 .

. (2) -= 1 (2 � ( )),

.. [3, . 21].

7

GO STOLBCA NA NE PREWY[AET PO MODUL@ oTS@DA DLQEWKLIDOWOJ NORMY POLU^AEM TREBUEMU@ OCENKU s U^ETOM CELO^ISLENNOSTI WEKTORA ZNAMENATELX MOVET BYTX WYBRAN RAWNYMZNAMENATEL@ I E UTWERVDENIE TEOREMY SLEDUET IZ OPREDELENIQ

tO^KA NAZYWAETSQ PRIBLIVENNYM RE[ENIEM SISTEMY LINEJNYH NERAWENSTW ESLI

GDE Q STROKA MATRICYILI W MATRI^NOJ ZAPISI OBOZNA^AQ WEKTOR STOLBEC IZ EDINIC

eSLI SISTEMA ln IMEET PRIBLIVENNOE RE[ENIE DLQ TO \TA SISTEMARAZRE[IMA T E IMEET TO^NOE RE[ENIE

oBOZNA^IM ^EREZ MINIMALXNOE PRI KOTOROM SISTEMA IMEET RE[ENIE PO USLOWI@

dOPUSTIM ^TO UTWERVDENIE TEOREMY NE WERNO TOGDA zADA^AOPREDELENIQ QWLQETSQ S U^ETOM RAWENSTWAOZlp S CELEWYM WEKTOROM PEREMENNYMII OGRANI^ENIQMI sLEDOWATELXNO PO TEOREME MOVETBYTX PREDSTAWLENA W WIDE DROBI SO ZNAMENATELEM NE PREWY[A@]IM

T E PRI[LIK PROTIWORE^I@ S OPREDELENIEM

aNALOGI^NOE UTWERVDENIE SPRAWEDLIWO I DLQ OZlptO^KA NAZYWAETSQ PRIBLIVENNYM RE[ENI

EM OZlp ESLI ONA QWLQETSQ PRIBLIVENNYM RE[ENIEM SISTEMYI REALIZUET MAKSIMUM W S TO^NOSTX@

IeSLI OZlp IMEET

PRIBLIVENNOE RE[ENIE DLQ TO \TA ZADA^A IMEETTO^NOE RE[ENIE

SM W S

e

e

e

e

� j

8� j j

h i � 8

�

�

� � ���

� �

j � � �

h i � 8 h i � �

( )

( )

O MERE NESOWMESTNOSTI

O MERE NESOWMESTNOSTI

j b A bxc d

x jA A

x "

a ; x b " i ;m; a i A

Ax b " :

" ":

= n Ax" "

" "

":

":

" >"

c ; : : : ; ; ; n x; "Ax " b "

A n A " = n A > ""

x """

a ; x b " i ;m c; x d ""

":

= n Ax

1 10

1

( ): +

1

2

22 3

I

j

I"

i"

i i

""

"

x;" Ax b "

"

i " i "

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

� � �

�

�

e

1.

2

.

2.

2

oPREDELENIE

tEOREMA

dOKAZATELXSTWO

oPREDELENIE

tEOREMA

dOKAZATELXSTWO

- (1) , ( -2, 5) -

. , -.

- (1). . .

:= (1).= 1

( ) = :( ) = : .

= ( -2). -

(1), . . - -( ). -

= ( )[ ] , -

( - ).

= min = arg min

:= (1 ) + . ( ) ( ) ,( ) -[ ],

, ,. , ( ) ( ), ( ) ,

, . .,max( ) ,

| (1).

.

8

iMEQ PRIBLIVENNOE RE[ENIE S MOVNO NA OSNOWANII TEOREMY BYTX UWERENNYM W SU]ESTWOWANII TO^NOGO RE[ENIQ SISTEMY LINEJNYH NERAWENSTW oKAZYWATSQ PROCEDURA POLU^ENIQ IZ QWLQETSQ POLINOMIALXNOJ sOOTWETSTWU@]IJ

PRIBLIVENNOGO RE[ENIQ SISTEMY DO TO^NOGOBYL UKAZAN l g hA^IQNOM I SOSTOIT W SLEDU@]EM

pRISWOIM I PODSTAWIM W rAZOBXEM MNOVESTWOINDEKSOW NERAWENSTW W SISTEME NA DWA PODMNOVESTWA

nAJDEM RE[ENIE SISTEMY RAWENSTW SU]ESTWUET PO TEOREME pUSTX NE QWLQETSQ TO^NYM RE[ENIEM T E W NE WYPOLNILOSX E NERAWENSTWO DLQ KAKOGO LIBO

tOGDA WWEDEM MNOVESTWO INDEKSOW NEWYPOLNENNYH NERAWENSTW I RASSMOTRIM NA OTREZKE

BLIVAJ[U@ K TO^KU W KOTOROJ E]E WYPOLNENY WSE NERAWENSTWA DLQ W ONI WYPOLNENY S ZAPASOM a IMENNOOPREDELIM

I PRISWOIM iMEEM IBONERAWENSTWA S INDEKSAMI IZ PRIBLIVENNO WYPOLNQLISXKAK RAWENSTWA NA WSEM OTREZKE A NERAWENSTWO S INDEKSOM

NE WYPOLNENNOE W TO^KE WYPOLNQETSQ W KAK RAWENSTWOPO POSTROENI@ tAKIM OBRAZOM NOPO\TOMU POWTORQQ UKAZANNU@ PROCEDURU S ZAMENOJ NA I T DPRIDEM NE BOLEE ^EM ^EREZ [AGOW K TOMU ^TO RE[ENIESOOTWETSTWU@]EJ SISTEMY RAWENSTW OKAVETSQ RE[ENIEM

s U^ETOM POLINOMIALXNOSTI ZADA^I RE[ENIQ SISTEM URAWNENIJPREDLOVENNYJ ALGORITM OKRUGLENIQ POLINOMIALEN

6.

1.

mETOD \LLIPSOIDOWx

�x

f gf jh i � j � g

n f h i � � � g

62f j h i g � n

2

� h i

h i � h i

� h i

h i � h i

� � [ f g

2� j j �

- -. -

. -. .

-

pOLINOMIALXNYJ ALGORITM OKRUGLENIQ PRIBLIVENNOGO RE

[ENIQ SISTEMY LINEJNYH NERAWENSTW mETOD \LLIPSOIDOW

PRIBLIVENNOGO RE[ENIQ OZlp oCENKA SLOVNOSTI METODA \LLIPSO

IDOW pOLINOMIALXNOSTX lp

ALGO

RITM OKRUGLENIQ

""

" " "

x x"

x x xM

:; : : : ;m

M x:

i a ; x b " ;M M x

:i a ; x b "

x A x bx

x ii M x

M:

i a ; x > b M M xx ; x x

i M x "

�: b a ; x

a ; x a ; x; i

: b a ; x

a ; x a ; x

x � x �x M x M x iM x "

x ; xi M x x

M x M x M x mx x

n;m xx

1

2

1

0

1

1 1

1 11

1 11

1( ) ( )

1

1

1

+ 1 1

1 1 1

+ 11

1

1 1 1

1

1 1

2 1 1 2 11

11

1 1

1+ 1 2

2 1

1 2

0

"

"

i i

i i

M x M x

i i

i M

i i

i i i M

i i

i i

0

0

0

0

0 0

2 0 2 0

0

0

0

0

1

1

1 1

+ +

- -( . [3, . 21]). -

--

� ,( 1,2 5). ,

, 1976{77 . . .. . ( ) . . , -

.� = �( ), (3).

| -vol . ( 1)- , -

.( ) ,

, ( ) = 0( ) -, ,

,vol

vol( )

( ) ( ) .|

�0: = : 1 , ( ) = 0 .= (0 0 ),

= ( + + ) + (1

+ 1) 1

= 1 1 ( + 1) = 1 + 1 ( 1),

( ),, . -

, -( ), -

: = = + 1 . = ,| . , -

,

9

aNALOGI^NYJ ALGORITM IMEETSQ I DLQ OKRUGLENIQ PRIBLIVENNOGO RE[ENIQ OZlp DO TO^NOGO SM S pO\TOMU DLQ POSTROENIQ POLINOMIALXNOGO ALGORITMA RE[ENIQ OZlp OSTALOSX UKAZATX POLINOMIALXNYJ ALGORITM POISKA PRIBLIVENNOGO RE[ENIQOZlp W [ARE ILI UDOSTOWERENIQ ^TO TAKOGO RE[ENIQNET PO TEOREMAM IZ tREBUEMYJ ALGORITM OSNOWANNYJ NA

KOTORYJ PREDLOVILI W GG d b `DINI a s nEMIROWSKIJ I NEZAWISIMO n z {OR PRIWODITSQ W SLEDU@]IH PUNKTAH

zDESX I DALEE GDE MATRICA ZADAETSQ TABLICEJ

pUSTX PROIZWOLXNYJ \LLIPSOID W S CENTROM I NENULEWOGO OB_EMA rASSMOTRIM MERNU@ PLOSKOSTX ZADANNU@ WEKTOROM NORMALI I PROHODQ]U@ ^EREZ CENTR \LLIPSOIDAoBOZNA^IM ^EREZ ODIN IZ DWUH POLU\LLIPSOIDOW NA KOTORYERAZBIWAET DANNAQ PLOSKOSTX

pOLU\LLIPSOID \LLIPSOIDA MOVNO CELIKOM ZAKL@^ITX W NOWYJ \LLIPSOID IME@]IJ OB_EM STROGOMENX[IJ

I MOVNO WY^ISLITX PO ZA ARIFMETI^ESKIH OPERACIJpUSTX EDINI^NYJ [AR S CENTROM W TO^KE

A pOMESTIM CENTRW TO^KU TOGDA

GDEoTNO[ENIE OB_EMOW RAWNO PROIZWEDENI@ POLUOSEJOTS@DA POLU^AEM IBO L@BOJ \LLIPSOID MOVNO PREWRATITX W [ARAFINNYM PREOBRAZOWANIEM KOORDINAT SOHRANQ@]IM OB_EM dEJSTWITELXNO BUDEM PREDSTAWLQTX PROIZWOLXNYJ \LLIPSOID S POMO]X@ EGO CENTRA I MATRICY ZADA@]EJ UKAZANNOE PREOBRAZOWANIE oBOZNA^IMGDE WERHNIJ INDEKS ZNAK TRANSPONIROWANIQ tOGDA I PREDSTAWLQ@]IE \LLIPSOID MINIMALXNOGO OB_EMA OPISANNYJ WOKRUG

2. R

R

k k �x

�

\ f j h � i � g

�

f 2 k k � g \f � g

f j � � g

� �

�

�f j k k � g k k

METODE \LLIPSOIDOW

"x x

"x n

:D D

E �E n

g � EE g

E E g E x g; x � :E g EE

EE

E< e ;

E E g O nE

E x x E g E xE � ; : : : ; ;

E x x : : : x =� xn

=� ;

�:

= n < e ; �:

= n < e :�� < e

E� Q n n

E x x � Qy; y �:Q g= Q g� Q

E

2

21 2

1 (2 +2)

2

1+1

21

21

2 2 2

1 ( +1) 2 2 1 ( 1)

1 1 (2 +2)

"

=

= n

n

n

n n

= n = n

n = n

T T

T

� �

�

�

�

�

0

0�

0 �

�

0 0

0�

� �

� �

0 0

0

n

n

1.

.

uTWERVDENIE

dOKAZATELXSTWO

2

2

( ),

=1

+ 1=

( 1)+ (

1

+ 11)

( ) .

.:= = 1 (2 � ). -

= ��0: = + = 1

. ., -

. , , --

, ( )( . .2), .

,1 ) : + , := ,2 ) := .

, . , 1+ , . . 0 =

( ) ; 20 = ( ) .

:= ( ).

. ,2, = ( ) (

). | .=

, . ., - .

, ,( . . , -), 2. -

. , -

10

POLU\LLIPSOIDA PERES^ITYWA@TSQ PO FORMULAM

ZA ARIFMETI^ESKIH OPERACIJ

pOLOVIM wWEDEM MNOVESTWOPRIBLIVENNYH RE[ENIJ OZlp W [ARE RADIUSA S CENTROMWwYBEREM UKAZANNYJ WY[E [AR W KA^ESTWE NA^ALXNOJ ITERACII DLQ\LLIPSOIDA rASSMOTRIM PROIZWOLXNU@ ITERACI@

pROWERQEM QWLQETSQ LI CENTR \LLIPSOIDA PRIBLIVENNYMRE[ENIEM eSLI DA TO ALGORITM ZAKAN^IWAET SWO@ RABOTU W PROTIWNOM SLU^AE STROIM \LLIPSOID DLQ O^EREDNOJ ITERACII KAK MINIMALXNYJ PO OB_EMU \LLIPSOID SODERVA]IJ POLU\LLIPSOIDSM P GDE WEKTOR OPREDELQETSQ SLEDU@]IM OBRAZOM tAK KAK

TO LIBOI TOGDA LIBO

IuBEDIMSQ ^TO PRI \TOM dEJSTWITELXNO DLQ WARIANTA

T EI ANALOGI^NO POLU^IM DLQ WARIANTA

tEPERX S WOZWRA]AEMSQ K NA^ALU ITERACII NA NOWYJ [AG

oCENIM ^ISLO ITERACIJ METODA \LLIPSOIDOW pOKAVEM ^TOSODERVIT [AR RADIUSA GDE

pUSTX TO^NOE RE[ENIE W iZSLEDUETI T E UKAZANNYJ WYBORGARANTIRUET ^TO WSE TAKIE BUDUT PRIBLIVENNYMI RE[ENIQMIpOSKOLXKU TO MNOVESTWO TEH IZ RASSMATRIWAEMYH DLQKOTORYH T E PERESE^ENIE [AROW RADIUSA I WKL@^A@]EE CENTR PERWOGO SODERVIT [AR RADIUSA |TOT [AR I PRINADLEVIT tAKIM OBRAZOM OB_EM BOLX[E OB_EMA MERNOGO

3

��

f�

� g

f j h i � 8 h i � � k k � g

�

629 h ih i � �

�8 2 h i � h i � \ f j h � i � g

�� \ f j h � i � g � �

� j j j jk � k �

jh i � h ij � k k k � k � 8 2jh i � h ij � k k k � k �

k k �k k �

-.mETOD \LLIPSOIDOW POLU^ENIQ PRIBLIVENNOGO RE[ENIQ

OZlp

WYSOTA ZADA^I

E g

� �n

Q�; Qn

nQ

n

nQ��

O n

"" "

:= n "

R:n

X:

x a ; x b " i ;m; c; x d "; x R :

E X� E "

EE g

g� X

i a ; � > b " g ac; � < d " g c

X Ex X a ; x b " < a ; � X E x a ; x �E a E

X E x c; x � E c EE E

Xr= r

:"= hn < R; h a ; c h

x X x x ra ; x a ; x a x x hn r " i M

c; x c; x c x x hn r rx "

x R xx R r R

r=X X n

2

2

22 3

1 2

0

0

0

0

1 2

1 2

1 2

T

=

" i i

"

"

i i i

"

" i i i " i

i

"

"=

ij j

"

i i i=

=

" "

pr

�

0 0

� �

�

0

�

�

�

� 0

� �

� 0

� � 0

0

�

� � �

� �

� �

�

� �

2. , , -, - ,

. 1 -

2

vol

vol

vol

vol

( �)2 ln( ) 2 ln(2 � ) 10 ln( �).

(ln( �))., ( ) ,

( + ) -( ( + ) ) -

, -. -

( .[3, . 21]). ,

-, ( ). ,

( ),(\ ") -

[3, . 24],. �

.

.

, , --

( -),

11

[ARA RADIUSA zNA^IT OB_EM \LLIPSOIDA POSTROENNOGO POSLEDNIM NAPRIMER DLQ J ITERACII NE DOLVEN OKAZATXSQ MENX[EOB_EMA \TOGO [ARA oTS@DA I IZ UTWERVDENIQ POLU^AEM DLQ SOOTNO[ENIE

IZ KOTOROGO PO OPREDELENI@ I NE PREWOSHODIT

sLEDOWATELXNO ^ISLO ITERACIJ METODA \LLIPSOIDOWI S U^ETOM ARIFMETI^ESKIH OPERACIJ DLQ KAVDOJ ITERACII POLU^IM OCENKU DLQ ^ISLA ARIFMETI^ESKIH OPERACIJ DOSTATO^NOGO METODU \LLIPSOIDOW PRI POISKE PRIBLIVENNOGORE[ENIQ OZlp aLGORITM OKRUGLENIQ PRIBLIVENNOGO RE[ENIQ DOTO^NOGO \TOJ OCENKI NE PORTIT SM S mOVNO TAKVE POKAZATX^TO PRI REALIZACII METODA \LLIPSOIDOW I ALGORITMA OKRUGLENIQ WSEARIFMETI^ESKIE OPERACII DOSTATO^NO PROWODITX S ^ISLAMI DWOI^NOJ DLINY OGRANI^ENNOJ pRI \TOM O[IBKI WOZNIKA@]IE ZAS^ET KONE^NOSTI ^ISLA RAZRQDOW O[IBKI OKRUGLENIJ POGLO]A@TSQPUTEM NEKOTOROGO DOPOLNITELXNOGO UWELI^ENIQ RAZDUTIQ OPISANNOGO \LLIPSOIDA NA KAVDOJ ITERACII S ^TO NE WLIQET NAPORQDOK OCENKI DLQ OB]EGO ^ISLA ITERACIJ w REZULXTATE WREMENNAQSLOVNOSTX TAKOJ PROCEDURY RE[ENIQ OZlp OKAZYWAETSQ POLINOMOMOT DLINY WHODA I SPRAWEDLIWA

zADA^A lp S CELYMI KO\FFICIENTAMI RAZRE[IMA ZAPOLINOMIALXNOE OT DLINY WHODA WREMQ

sLEDSTWIEM DANNOJ TEOREMY QWLQETSQ

pOD^ERKNEM ^TO NESMOTRQ NA DOKAZANNU@ POLINOMIALXNOSTX METOD \LLIPSOIDOW NE MOVET KONKURIROWATX S SIMPLEKS METODOM PRIPRAKTI^ESKOM RE[ENII ZADA^ lp REALXNO ON PRIMENQETSQ W WYPUKLOM KWADRATI^NOM PROGRAMMIROWANII POSKOLXKU POLU^ENNAQOCENKA ^ISLA EGO ITERACIJ DOSTIGAETSQ NA L@BYH INDIWIDUALXNYH

6.: ,

P

upravnenie oCENITX PO PORQDKU BITOWU@ DLINUWHODA OZlp DOKAZATX ^TO

ln

� �

2

r=E k

k

r

R

X

E

E

E< e ;

k r;R; "; hn Rnh=" < n n < n n

L L > O nk < O n L

O n nmO n n m L

""

O L

E

1 1(2 +2)

2 2 3 5 5 2

2

2

3

2

2

k

n"

kk= n

:

� � ��

0

3.

2.

tEOREMA

uTWERVDENIE

, -. - \ " ( ) -

( ), , ,,

., -

| | -.

, -, .

. (1) , : ,| . (2) ,

(1) (2) .

(4)

(1),, (1), (4).

- :0 , -

(1) ;

=

(4) (1). ,.

12

ZADA^AH DAVE ESLI W KA^ESTWE NA^ALXNOGO PRIBLIVENIQ WZQTX RE[ENIE tOGDA KAK SIMPLEKS METOD DLQ HORO[IH NEWYROVDENNYH ZADA^ DAET OCENKU NA PORQDOK MENX[U@ ^EM METOD \LLIPSOIDOWI ZA ODNU ITERACI@ MOVET PODTWERDITX ^TO NA^ALXNOE PRIBLIVENIEQWLQETSQ RE[ENIEM tEM NE MENEE SAM FAKT POLINOMIALXNOSTI lpINICIIROWAL POISK NOWYH METODOW lp ^TO PRIWELO K SOZDANI@ CELOGO KLASSA \FFEKTIWNYH METODOW MATEMATI^ESKOGO PROGRAMMIROWANIQ

I POZWOLILO POSTROITX KONKURENTOSPOSOBNYE POLINOMIALXNYE ALGORITMY lp iDEQ IH POSTROENIQBUDET IZLOVENA W SLEDU@]EM PARAGRAFE GDE TAKVE PRIWODQTSQ NEOBHODIMYE SWEDENIQ PO TEORII lp NA^INAQ S ln

sISTEMA ln NAZYWAETSQ ESLI IW PROTIWNOM SLU^AE oZlp RAZRE[IMA KOGDA

RAZRE[IMA SISTEMA I MAKSIMUM W DOSTIGAETSQlINEJNOE NERAWENSTWO

QWLQETSQ RAZRE[IMOJ SISTEMY LINEJNYH NERAWENSTWESLI DLQ L@BOGO UDOWLETWORQ@]EGO WYPOLNENO

sPOSOB POLU^ENIQ NERAWENSTW SLEDSTWIJ DOWOLXNO PROST WYBEREMPROIZWOLXNYE DOMNOVIM NA KAVDOE E NERAWENSTWOSISTEMY I SLOVIM POLU^IM DLQ WEKTORA

I L@BOGO ^ISLA

^TO BUDET SLEDSTWIEM oKAZYWAETSQ DRUGIH SLEDSTWIJ U lnNE BYWAET a IMENNO SPRAWEDLIWA

7. .

1

tEORIQ DWOJSTWENNOSTI lp iDEQ METODA kARMARKARAx

9 �

h i �

� 8 2

�

. � / -/. . -

..

- .

METODY WNUTRENNEJ TO^KI

sLEDSTWIQ SISTEM ln aFINNAQ LEMMA fARKA[A BEZ DOKA

ZATELXSTWA lEMMA fARKA[A O NERAZRE[IMOSTI tEOREMA DWOJ

STWENNOSTI lp sWEDENIE OZlp K ODNORODNOJ SISTEME URAWNENIJ

S OGRANI^ENIEM POLOVITELXNOSTI iDEQ METODA kARMARKARA I EGO

OTLI^IE OT SIMPLEKS METODA

RAZRE[IMOJ

NERAZRE[IMOJ

SLEDSTWIEM

O n

x Ax b

c; x d

x

� i M � i

c � a d � b ;

3

i i

i M

i i

i M

i i

X X2 2

3.oPREDELENIE

. (4)(1)

, :

= 0 (5)

( . [3, . 18].)(1)

(1) �0 1,. (1) -

,

= �0 1 0 (6)

(1) , -+ ,

0, . . -(0 0 1 ) ( ) 1

(6) ( = 1 ). (6) -(1) , �0 1

(1) , -(1), , .

| ,, , -

. ,, .

-(2)

:

min = 0

13

lINEJNOE NERAWENSTWO QWLQETSQSLEDSTWIEM RAZRE[IMOJ W WE]ESTWENNYH PEREMENNYH SISTEMY lnTOGDA I KOGDA SU]ESTWUET WEKTOR

sHEMU DOKAZATELXSTWA SM W SdLQ NERAZRE[IMOJ SISTEMY ln MOVNO FORMALXNO S^ITATX

SLEDSTWIEM ZAWEDOMO NEWERNOE NERAWENSTWO I DALEEPOLXZOWATXSQ AFINNOJ LEMMOJ fARKA[A KAK POKAZYWAET

fARKA[A sISTEMA ln NERAZRE[IMA TOGDA I TOLXKO TOGDA KOGDA RAZRE[IMA SISTEMA

pUSTX NERAZRE[IMA TOGDA IZ RAZRE[IMOSTI SISTEMY DOLVNO SLEDOWATX ^TO

T E SLEDSTWIEM \TOJ SISTEMY QWLQETSQ NERAWENSTWO I IZ AFINNOJ LEMMY fARKA[APOLU^AEM A TAKVE W DOPOLNENIE eSLI VE RAZRE[IMA I RAZRE[IMA TO UKAZANNOE WY[E NERAWENSTWOOKAZYWAETSQ SLEDSTWIEM I DOLVNO WYPOLNQTXSQ DLQ WSEH UDOWLETWORQ@]IH ZNA^IT TAKIH NE SU]ESTWUET

tEPERX MY MOVEM DOKAZATX OSNOWNOJ TEORETI^ESKIJ REZULXTATlp TEOREMU DWOJSTWENNOSTI NA KOTOROJ BAZIRU@TSQ KAK METODYRE[ENIQ ZADA^ lp TAK I SPOSOBY ANALIZA RE[ENIQ I KOTORAQ FAKTI^ESKI DAET NEOBHODIMYE I DOSTATO^NYE USLOWIQ OPTIMALXNOSTI Wlp nALI^IE DWOJSTWENNOSTI OBUSLOWIW HORO[U@ HARAKTERIZACI@ZADA^I PREDOPREDELILO POLINOMIALXNOSTX lp

K ZADA^E lp NA MAKSIMUM S OGRANI^ENIQMI NERAWENSTWAMI W FORME OZlp NAZYWAETSQ SLEDU@]AQZADA^A lp NA MINIMUM S OGRANI^ENIQMI W KANONI^ESKOJ FORME

ILI W KRATKOJ ZAPISI

RTOLXKO TOGDA

ln

2

� � 8 2

h i � �

� � � 8 2

h i � 8 2� �h i � �

h i � �

f j � 8 2 g

� ( )fARKA[A AFINNAQ

O NERAZRE[IMOSTI

dWOJSTWENNOJ

�

c � a ; d � b ; � i M:

; x

� a ; � b ; � i M:

a ; x x b i Mx " <

; : : : ; ; =" ; x; x� ="

; xx

� b � a c; � i M ;

+1

+1

+1

i M

i i

i M

i i i

i M

i i

i M

i i i

i n i

n

n

i

i M

i i

i M

i i i

X X

X X

P

X X

2 2

2 2

2 2

m

.

4.

lEMMA

lEMMA

dOKAZATELXSTWO

oPREDELENIE

min (7)

, ,, (7),

.

:(7) ( 5),

(2).( )., . -

, . . = , | (2), | (7).,

.(2) , (4) (1)

,(5) (5)

, . . = min (5) , (7)., (7) (6),

min (7) ((6) (7)

(7)). -(1) . ,

(7) (5) ,(4) (1) ,

(2), . . (2) .(2) -

= .

4-

., (2) (7)

( ):

= = �0 (8)

14

dLQ TOGO ^TOBY POSTROITX DWOJSTWENNU@ K PROIZWOLXNOJ ZADA^E lpNADO PREDSTAWITX EE W FORME OZlp PRIMENITX FORMULU A ZATEMWERNUTXSQ K OBOZNA^ENIQM ISHODNOJ ZADA^I

PREDSTAWITX W FORME OZlp ANALOGI^NO UPRAVNENI@ WYPISATXDWOJSTWENNU@ K POLU^ENNOJ ZADA^E I SWESTI EE K

zADA^A lp RAZRE[IMA TOGDAI TOLXKO TOGDA KOGDA RAZRE[IMA DWOJSTWENNAQ K NEJ w SLU^AE RAZRE[IMOSTI OPTIMALXNYE ZNA^ENIQ CELEWYH FUNKCIJ W OBEIH ZADA^AHSOWPADA@T T E GDE ZNA^ENIE ZNA^ENIE

PROWEDEM DLQ SLU^AQ OZlp POSKOLXKU L@BAQZADA^A lp ADEKWATNO PREDSTAWLQETSQ W TAKOJ FORME

pUSTX ZADA^A RAZRE[IMA TOGDA QWLQETSQ SLEDSTWIEMI NE QWLQETSQ ^TO PO AFINNOJ LEMME fARKA[A

\KWIWALENTNO RAZRE[IMOSTI PRI I NERAZRE[IMOSTIPRI T E A \TO I ESTX ZNA^ENIE

i NAOBOROT IZ RAZRE[IMOSTI SLEDUET NERAZRE[IMOSTXIBO W PROTIWNOM SLU^AE W OBRA]ALSQ BY W TAK KAKPRIBAWLENIE RE[ENIQ K RE[ENI@ DAET DOPUSTIMU@ TO^KU IUMENX[AET ZNA^ENIE CELEWOJ FUNKCII oTS@DA POLU^AEM RAZRE[IMOSTX PO LEMME fARKA[A O NERAZRE[IMOSTI kROME TOGORAZRE[IMOSTX OZNA^AET RAZRE[IMOSTX DLQ L@BOGOTAK ^TO OKAZYWAETSQ SLEDSTWIEM DLQ I PO\TOMUOGRANI^IWAET SWERHU ZNA^ENIE T E MAKSIMUM W DOSTIGAETSQtAKIM OBRAZOM POLU^ILI RAZRE[IMOSTX ZADA^I I MOVEM WERNUTXSQ K NA^ALU DOKAZATELXSTWA DLQ USTANOWLENIQ RAWENSTWA

iZ TEOREMY NEPOSREDSTWENNO POLU^AEMzADA^A lp OPTIMIZACII \KWIWALENTNA RE[E

NI@ SISTEMY LINEJNYH NERAWENSTWdEJSTWITELXNO OZlp \KWIWALENTNA ZADA^E lp I OBE ONI

\KWIWALENTNY SISTEME ln OTNOSITELXNO NEIZWESTNYH

7. ,upravnenie pOKAZATX ^TO DWOJSTWENNAQ ZADA^AK DWOJSTWENNOJ ZADA^E lp SOWPADAET S PRQMOJ ZADA^EJ lp

h i

8 � 8�

f j g

�1

��

� h i h i �

DWOJSTWENNOSTI lp

�; b :

d d d d

d d d < dd d

d < d d d

d dd d d

d d

x; �

Ax b; c; x b; � ; �A c; � :

= �0�A c; ��

� �� � ��

� �

�

� �

��

�� ��

� ��

4

3.

tEOREMA

dOKAZATELXSTWO

uTWERVDENIE

-.

(8) -5,7.

-.

4( )

:

^ = ^ �0 (9)

^ | ( ( 1)). �, -(9) (

), (9) . (9)= + + �

-: ^ = + + + = �, (9)

[ ^ �0]^ = ^ ^ �0. := ^ �= �[ ^ �0] [^ ^ ]̂.

= �0 = ( ) �0,= , = �0 �0 0

- 0,.

. (N. Karmarkar, 1984 .).5 , -

. ( ) = ( ) + + ( ) , | .( ) = 0 = �0.

( ) =[ ( )]

2 (9), -, ^ �0,

(^) 1 [3(�( ^)) ] [3, . 25{26].^

[3, . 26{28], .

15

zADA^A lp OPTIMIZACII \KWIWALENTNA RE[ENI@ SISTEMY LINEJNYH URAWNENIJ W NEOTRICATELXNYH PEREMENNYH

oT SISTEMY ln PEREHODIM K OGRANI^ENIQM W KANONI^ESKOJ FORME ANALOGI^NO UPRAVNENIQM

zADA^A lp \KWIWALENTNA POISKU NEOTRICATELXNOGO NENULEWOGO RE[ENIQ ODNORODNOJ SISTEMY LINEJNYH URAWNENIJ

nA OSNOWANII UTWERVDENIQ OZlp SWODITSQK NEKOTOROJ SISTEME ln S CELYMI KO\FFICIENTAMI OTNOSITELXNOWEKTORA WE]ESTWENNYH NEIZWESTNYH

PUSTX MATRICA wWEDEM PARAMETR MAVORIRU@]IJ KOORDINATY NEKOTOROGO RE[ENIQ PO TEOREME O GRANICAHRE[ENIJ ESLI SISTEMA RAZRE[IMA dOBAWIM K NERAWENSTWO

KOTOROE PREWRATIM W RAWENSTWO S POMO]X@ DOPOLNITELXNOJ PEREMENNOJ A PEREPI[ETSQ KAK

tEPERX SDELAEM ZAMENU PEREMENNYH IOBOZNA^IM pRIDEM K ODNORODNOJ SISTEME

S DOPOLNITELXNYMI OGRANI^ENIQMI^TO SOOTWETSTWUET SISTEME S

RE[ENIQMI LU^AMI L@BOE IZ KOTORYH PERES^ITYWAETSQW RE[ENIE ISHODNOJ SISTEMY

G wOSPOLXZUEMSQUTWERVDENIEM I OBOZNA^ENIQMI WWEDENNYMI PRI EGO DOKAZATELXSTWE pUSTX GDE STROKItOGDA \KWIWALENTNO wWEDEM

pRIMENQQ TEOREMU I ALGORITM OKRUGLENIQ K ZADA^E MOVNO POKAZATX ^TO DLQ TO^NOGO EE RE[ENIQ DOSTATO^NO NAJTI TAKOJDLQ KOTOROGO S

pOLINOMIALXNYJ ALGORITM POISKA NUVNOGO PRIBLIVENNOGOPRIWODITSQ W S I MY NE BUDEM EGO OPISYWATX oTMETIM

e

e

e e

2

�

� �

h i �

h ij �

j � j j j�

h i � h i8

h i h i

� �

�

mETOD kARMARKARA

FUNKCI@ kARMARKARA

y

Py q; y ;

P K N

y; y : : : y N ;

y y; y : : : y y NP y q; y x y=

P:N P q q : : : q

Px x x ; : : : ; xx; N Px ; x ; x; >

tx t >

p x:

p ; x : : : p ; x p Pp x Px

k x: p x

x x : : : x:

x >k x = P

x

1 1

1 1

1

0

12 2

2

1 2

N

N N N

N

K i

N=

N

N

�

�

4.

.

5.

.

uTWERVDENIE

dOKAZATELXSTWO

uTWERVDENIE

dOKAZATELXSTWO

, -( . .3) -

., -

- , -.: , -

,-

,. , -

. ,

.

.-

, -( , ) -

. --

.-

, ,, , -

,. -

-,

( , , = 0 1).

16

TOLXKO ^TO ANALOGI^NYJ ALGORITM MOVET BYTX POSTROEN NA OSNOWANII PRIMENENIQ METODA nX@TONA SM W RAZD K ZADA^E MINIMIZACII FUNKCII kARMARKARA ILI EJ PODOBNYH w REZULXTATE POLU^AEMCELYJ KLASS POLINOMIALXNYH ALGORITMOW lp KOTORYE NA PRAKTIKE OKAZYWA@TSQ SRAWNIMYMI S SIMPLEKS METODOM NE IMEQ TEORETI^ESKIH NEDOSTATKOW POSLEDNEGO pREDLOVENNYE ALGORITMY STROQTSQNA PRINCIPIALXNO NOWOJ IDEE NE DISKRETNOJ A NEPRERYWNOJ TRAKTOWKI ZADA^I lp KOGDA WMESTO PEREBORA KONE^NOGO ^ISLA UGLOWYHTO^EK OSU]ESTWLQ@T POISK RE[ENIQ W ISHODNOM PROSTRANSTWE WE]ESTWENNYH PEREMENNYH I TRAEKTORII ALGORITMOW NE PROHODQT ^EREZUGLOWYE TO^KI nAPOMNIM ^TO METOD \LLIPSOIDOW TAKVE NE ORIENTIRUETSQ NA UGLOWYE TO^KI MNOGOGRANNIKA OGRANI^ENIJ hARAKTERNO^TO IMENNO TAKOJ UHOD OT DISKRETNOGO PROGRAMMIROWANIQ POZWOLILPOSTROITX POLINOMIALXNYE ALGORITMYlp pO\TOMU DALEE BUDET DANNEKOTORYJ OBZOR OSNOWNYH PODHODOW K RE[ENI@ NEPRERYWNYH ZADA^OPTIMIZACII

eSLI BY RE^X [LA O NEPOSREDSTWENNOM POISKE TO^NOGO RE[ENIQ ZADA^I lp UKAZANNYMI METODAMI TO NELXZQ BYLO BY GARANTIROWATX KONE^NO[AGOWOSTX NE TO ^TO POLINOMIALXNOSTX SOOTWETSTWU@]IH ALGORITMOW dLQ IH PRIMENENIQ SU]ESTWENNOJ QWLQETSQ WOZMOVNOSTX OSTANOWKI W PRIBLIVENNOM RE[ENII BLAGODARQ NALI^I@ POLINOMIALXNOGO ALGORITMA OKRUGLENIQ nO POSKOLXKU DLQ EGORABOTY TREBUETSQ NA^ALXNOE PRIBLIVENIE IZ OPREDELENNOJ OKRESTNOSTI RE[ENIQ ZAWISQ]EJ OT DLINY ILI WYSOTY ILI DLINYWHODA KONKRETNOJ ZADA^I lp TO I ^ISLO ITERACIJ ALGORITMOW BAZIRU@]IHSQ NA RASSMATRIWAEMOM PRINCIPE ZAWISIT OT ^ISLA CIFR WZAPISI \LEMENTOW MATRICY OGRANI^ENIJ tAK ^TO NE UDAETSQ ISPOLXZOWATX DANNU@ IDE@ DLQ POSTROENIQ SILXNOPOLINOMIALXNYH ALGORITMOW lp KROME KAK W ^ASTNYH SLU^AQH OGRANI^ENNOSTI \LEMENTOWMATRICY NAPRIMER W ZADA^AH NA GRAFAH I SETQH GDE �

l hL

a ;ij

.zAME^ANIE

1.1. 32. NP- ( ) 103. . NP-

154.

212.5.

( ) 246. 297. . 333.

8. ( ) 389. 454.10. .

( ) 5111. ( ) 5412. ( ) 58

17

wwedenie w teori` slovnostipONQTIE O SLOVNOSTI RE[ENIQ ZADA^

POLNYE UNIWERSALXNYE ZADA^IkLASSY SLOVNOSTI sILXNAQ POLNOTA

I PSEWDOPOLINOMIALXNOSTXpRIBLIVENNOE RE[ENIE ZADA^ KOMBINATORNOJ

OPTIMIZACIIosnowy linejnogo programmirowaniqpONQTIE O SLOVNOSTI ZADA^I

LINEJNOGO PROGRAMMIROWANIQ lpmETOD \LLIPSOIDOWtEORIQ DWOJSTWENNOSTI lp iDEQ METODA kARMARKARA|lementy matemati~eskogo

programmirowaniqoBZOR IDEJ MATEMATI^ESKOGO PROGRAMMIROWANIQ mpdWOJSTWENNOSTX W mpsposoby re{eniq perebornyh zada~gLOBALXNAQ OPTIMIZACIQ

mETOD WETWEJ I GRANIC mwgcELO^ISLENNOE LINEJNOE PROGRAMMIROWANIE clpmETOD DINAMI^ESKOGO PROGRAMMIROWANIQ dp

sODERVANIE

xxx

x

x

xx

xx

x

xx