Simpleks jest uniwersalną metodą rozwiązywania zadań programowania lini o wego.

Metoda simpleks opracowanie na podstawie „Metody wspomagające podejmowanie decyzji w

zarządzaniu” D. Witkowska, Menadżer Łódź 2000.

Simpleks jest uniwersalną metodą rozwiązywania zadań programowania liniowego.

Jest to metoda iteracyjnego poprawiania wstępnego rozwiązania

Wyznaczenie

startowego rozwiązania

Czy to jest

rozwiązanie Koniec

optymalne

Czy można

wyznaczyć lepsze

rozwiązanie

Wyznaczenie nowego

rozwiązania

Tak

Nie

Tak

Nie

Zmienne swobodne Przekształcamy model tak, aby można było zastosować

algorytm simpleks. Przekształcamy warunki ograniczające w równania dopisując do nich nieujemne zmienne, tzw. zmienne swobodne w następujący sposób:– do każdego warunku postaci “” dodaje się zmienną swobodną

z parametrem równym jeden

– do każdego warunku postaci “” dodaje się zmienną swobodną ze współczynnikiem -1

Zmienne swobodne posiadają interpretację ekonomiczną wynikającą z informacji zawartej w warunkach ograniczających, do których zostały wprowadzone.

Dodane zmienne wchodzą również do nowej funkcji kryterium, gdzie parametry przy zmiennych swobodnych przyjmują wartość zero

Model matematyczny I Zmienne decyzyjne :

x1 - liczba emisji reklamy radiowej; x2 - liczba emisji reklamy telewizyjnej.funkcja celu: f(x)=3x1 + 6x2 min (koszty zleceniodawcy w tys. zł)

warunki ograniczające:2 x1 + x2 6 warunek na koszty ponoszone przez firmę "Press", x1 + x2 2 warunek zleceniodawcy na emisję reklam, x2 1 dolne ograniczenie uwzględniające żądanie zleceniodawcy, x2 4 górne ograniczenie dotyczące warunków nałożonych przez TV,warunki brzegowe: x1 0, x2 0, x1C, x2 C.

Sprowadzamy warunki ograniczające do równości

Zmienne decyzyjne : x1 ;x2 s1,s2,s3,s4 funkcja celu: f(x)=3x1 + 6x2 + 0s1 +0s2 +0s3 +0s4minwarunki ograniczające:2x1 + x2 + s1 = 6

x1 + x2 - s2 = 2x2 - s3 =1x2 + s4 = 4

warunki brzegowe: x10, x20, s10, s20, s30, s40, x1,x2,s1,s2,s3,s4C

.

Tablica simpleksowa

cB B 3 6 0 0 0 0

x1 x2 s1 s2 s3 s4

2 1 1 0 0 01 1 0 -1 0 00 1 0 0 -1 0

0 1 0 0 0 1

Zmienne sztuczne

Jeżeli z macierzy współczynników tak powstałych równań nie da się wyodrębnić macierzy jednostkowej, to do warunków, które od początku były warunkami postaci równania oraz do warunków, które pierwotnie były postaci “” dopisuje się tzw. zmienne sztuczne .

Zmienne sztuczne c.d.

Dodane zmienne wchodzą również do nowej funkcji kryterium, gdzie parametry przy zmiennych swobodnych przyjmują wartość zero, natomiast parametry przy zmiennych sztucznych zależą od optimum funkcji celu: w zadaniach z funkcją celu dążącą do maximum jest to -M, w zadaniach z funkcją celu dążącą do minimum jest to +M,

gdzie M jest dowolnie dużą liczbą rzeczywistą dodatnią (M+).

Tablica simpleksowa

cB B 3 6 0 0 0 0 M M xB x1 x2 s1 s2 s3 s4 t2 t3

0 s1 2 1 1 0 0 0 0 0 6M t2 1 1 0 -1 0 0 1 0 2M t3 0 1 0 0 -1 0 0 1 1

0 s4 0 1 0 0 0 1 0 0 4

Po powyższych przekształceniach otrzymujemy model postaci:

f(x)=3x1 + 6x2 + 0s1 +0s2 +0s3 +0s4 + Mt1 + Mt2 min

2x1 + x2 + s1 = 6

x1 + x2 - s2 + t2= 2

x2 - s3 + t3 =1

x2 + s4 = 4

x1 0, x2 0, s1 0, s2 0, s3 0, s4 0, t2 = 0, t3 = 0.

x1, x2, s1, s2, s3, s4, t2, t3C

Optymalność rozwiązaniaW celu sprawdzenia optymalności otrzymanego

rozwiązania obliczamy współczynniki zj i j wg wzoru:

Wartość współczynnika optymalności j określa jednostkową zmianę wartości funkcji kryterium, jeżeli do bazy wprowadzimy daną zmienną (dla wszystkich zmiennych bazowych j=0).

zj = jBycT j = cj- zj

Jeżeli wartość j jest ujemna, to oznacza, że wprowadzenie danej zmiennej do bazy spowoduje spadek wartości funkcji celu. Zatem wartość funkcji kryterium można uzależnić od jej wartości w poprzedniej iteracji:

Bnj

nn xff xx 1

Rozwiązanie optymalne Rozwiązanie jest optymalne, jeżeli nie

występują zmienne niebazowe, których wprowadzenie do bazy byłoby pożądane:– w zadaniu z funkcją celu dążącą do minimum

takie zmienne, które powodowałyby spadek wartości tej funkcji (j<0),

– a w przypadku zadań, w których funkcja celu dąży do maksimum takie zmienne, które powodowałyby jej wzrost (j>0).

Rozwiązanie optymalne

warunek optymalnościŹródłoj

MIN MAXLiteratura

jj cz 0 jj

0 jj

QSB, WinQSBjj zc 0 j

j0 j

j

Tablica simpleksowa (min)

c B B 3 6 0 0 0 0 M M x B x 1 x 2 s 1 s 2 s 3 s 4 t 2 t 3

0 s 1 2 1 1 0 0 0 0 0 6M t 2 1 1 0 - 1 0 0 1 0 2M t 3 0 1 0 0 - 1 0 0 1 1

0 s 4 0 1 0 0 0 1 0 0 4z j M 2 M 0 - M - M 0 M M 3 M

jjj zc 3 - M 6 - 2 M 0 M M 0 0 0

Rozwiązanie jest nieoptymalne, bo wskaźniki optymalności j<0

Kryterium wejścia do bazy

W następnym kroku algorytmu wprowadzamy do bazy tę zmienną, która spowoduje najbardziej korzystne efekty:– ma największe dodatnie wartości j

w zadaniach na max

– najmniejsze ujemne wartości j w zadaniach z funkcją celu dążącą do minimum.



0 s 1 2 1 1 0 0 0 0 0 6M t 2 1 1 0 - 1 0 0 1 0 2M t 3 0 1 0 0 - 1 0 0 1 1

0 s 4 0 1 0 0 0 1 0 0 4z j M 2 M 0 - M - M 0 M M 3 M

jjj zc 3 - M 6 - 2 M 0 M M 0 0 0

Najmniejsza ujemna

Do bazy wejdzie x2

Kryterium wyjścia z bazy Z uwagi na to, że liczba zmiennych w bazie musi być stała (i

równa liczbie warunków ograniczających), należy wyznaczyć zmienną, która bazę opuści. Obliczamy w tym celu wskaźniki Q , wg wzoru:

Współczynniki wyznacza się wyłącznie dla >0 w celu uzyskania w kolejnej iteracji rozwiązania dopuszczalnego (spełniającego warunki brzegowe).

Zmienną, która opuszcza bazę jest ta, dla której ma najmniejszą wartość.

= Bik

Bi

y

x



0 s 1 2 1 1 0 0 0 0 0 6 6

M t 2 1 1 0 - 1 0 0 1 0 2 2

M t 3 0 1 0 0 - 1 0 0 1 1 1

0 s 4 0 1 0 0 0 1 0 0 4 4z j M 2 M 0 - M - M 0 M M 3 M

jjj zc 3 - M 6 - 2 M 0 M M 0 0 0

Najmniejsza wartość

W kolejnej iteracji zamiast

zmiennej t3 pojawi się x2

Tablica simpleksowa (min)c B B 3 6 0 0 0 0 M M x B

x 1 x 2 s 1 s 2 s 3 s 4 t 2 t 3

0 s 1 2 1 1 0 0 0 0 0 6 6 M t 2 1 1 0 - 1 0 0 1 0 2 2 M t 3 0 1 0 0 - 1 0 0 1 1 1

0 s 4 0 1 0 0 0 1 0 0 4 4 z j M 2 M 0 - M - M 0 M M 3 M

jjj zc 3 - M 6 - 2 M 0 M M 0 0 0

I I i t e r a c j a


0 s 1 0 M t 2 0

6 x 2 1

0 s 4 0 z j

jjj zc


x 1 x 2 s 1 s 2 s 3 s 4 t 2 t 3

0 s 1 2 1 1 0 0 0 0 0 6 6

M t 2 1 1 0 - 1 0 0 1 0 2 2M t 3 0 1 0 0 - 1 0 0 1 1 1

0 s 4 0 1 0 0 0 1 0 0 4 4z j M 2 M 0 - M - M 0 M M 3 M

jjj zc 3 - M 6 - 2 M 0 M M 0 0 0

I I i t e r a c j a


0 s 1 0M t 2 0

6 x 2 0 1 0 0 - 1 0 0 1 1

0 s 4 0 -

z j

jjj zc

Przepisany

z poprzedniej

iteracji


x 1 x 2 s 1 s 2 s 3 s 4 t 2 t 3

0 s 1 2 1 1 0 0 0 0 0 6 6 M t 2 1 1 0 - 1 0 0 1 0 2 2 M t 3 0 1 0 0 - 1 0 0 1 1 1

0 s 4 0 1 0 0 0 1 0 0 4 4 z j M 2 M 0 - M - M 0 M M 3 M

jjj zc 3 - M 6 - 2 M 0 M M 0 0 0

I I i t e r a c j a


0 s 1 2 0 1 0 1 0 0 - 1 5 M t 2 0

6 x 2 0 1 0 0 - 1 0 0 1 1

0 s 4 0 z j

jjj zc

Od elementów wiersza pierwszego odejmujemy elementy

wyróżnionego wiersza trzeciego


x 1 x 2 s 1 s 2 s 3 s 4 t 2 t 3

0 s 1 2 1 1 0 0 0 0 0 6 6 M t 2 1 1 0 - 1 0 0 1 0 2 2 M t 3 0 1 0 0 - 1 0 0 1 1 1

0 s 4 0 1 0 0 0 1 0 0 4 4 z j M 2 M 0 - M - M 0 M M 3 M

jjj zc 3 - M 6 - 2 M 0 M M 0 0 0

I I i t e r a c j a


0 s 1 2 0 1 0 1 0 0 - 1 5 M t 2 1 0 0 - 1 1 0 1 - 1 1

6 x 2 0 1 0 0 - 1 0 0 1 1

0 s 4 0 z j

jjj zc

Od elementów wiersza drugiegoodejmujemy elementy



x 1 x 2 s 1 s 2 s 3 s 4 t 2 t 3

0 s 1 2 1 1 0 0 0 0 0 6 6 M t 2 1 1 0 - 1 0 0 1 0 2 2 M t 3 0 1 0 0 - 1 0 0 1 1 1

0 s 4 0 1 0 0 0 1 0 0 4 4 z j M 2 M 0 - M - M 0 M M 3 M

jjj zc 3 - M 6 - 2 M 0 M M 0 0 0

I I i t e r a c j a


0 s 1 2 0 1 0 1 0 0 - 1 5 M t 2 1 0 0 - 1 1 0 1 - 1 1

6 x 2 0 1 0 0 - 1 0 0 1 1

0 s 4 0 0 0 0 1 1 0 - 1 3 - z j

jjj zc

Od elementów wiersza czwartego odejmujemy elementy


Tablica simpleksowa (min)I I i t e r a c j a


0 s 1 2 0 1 0 1 0 0 - 1 5 M t 2 1 0 0 - 1 1 0 1 - 1 1 6 x 2 0 1 0 0 - 1 0 0 1 1

0 s 4 0 0 0 0 1 1 0 - 1 3 z j M 6 0 - M M - 6 0 M - M + 6 M + 6

jjj zc 3 - M 0 0 M 6 - M 0 0 2 M - 6


Sprawdzamy optymalność

Najmniejsza ujemna wartość

x1 będzie nową zmienną bazową



0 s 1 2 0 1 0 1 0 0 - 1 5 5 / 2 M t 2 1 0 0 - 1 1 0 1 - 1 1 1 6 x 2 0 1 0 0 - 1 0 0 1 1 -

0 s 4 0 0 0 0 1 1 0 - 1 3 - z j M 6 0 - M M - 6 0 M - M + 6 M + 6

jjj zc 3 - M 0 0 M 6 - M 0 0 2 M - 6

Sprawdzamy kryterium wyjścia


Bazę opuści t2



0 s 1 2 0 1 0 1 0 0 - 1 5 5 / 2 M t 2 1 0 0 - 1 1 0 1 - 1 1 1

6 x 2 0 1 0 0 - 1 0 0 1 1 -

0 s 4 0 0 0 0 1 1 0 - 1 3 - z j M 6 0 - M M - 6 0 M - M + 6 M + 6

jjj zc 3 - M 0 0 M 6 - M 0 0 2 M - 6

I I I i t e r a c j a


0 s 1 0 0 1 2 - 1 0 - 2 1 3 M x 1 1 0 0 - 1 1 0 1 - 1 1 1

6 x 2 0 1 0 0 - 1 0 0 1 1 -

0 s 4 0 0 0 0 1 1 0 - 1 3 - z j

jjj zc

Drugi wiersz przepisujemy

Od elementów pierwszego odejmujemy

elementy drugiego pomnożone przez dwa

Trzeci i czwarty wiersz przepisujemy

Tablica simpleksowa III iteracja (min)cB B 3 6 0 0 0 0 M M xB x1 x2 s1 s2 s3 s4 t2 t3

0 s1 0 0 1 2 -1 0 -2 1 3 3 x1 1 0 0 -1 1 0 1 -1 1 6 x2 0 1 0 0 -1 0 0 1 1

0 s4 0 0 0 0 1 1 0 -1 3

zj 3 6 0 -3 -3 0 3 3 9

j 0 0 0 3 3 0 M-3 M-3

Rozwiązanie optymalne, bo wszystkie wartości

współczynników optymalności j są większe lub równe zero

Jeżeli w rozwiązaniu wszystkie wartości j dla zmiennych niebazowych są różne od zera to,

otrzymane rozwiązanie optymalne jest jednoznaczne.

Jeżeli w rozwiązaniu optymalnym pewne wartości j dla zmiennych niebazowych są równe zero

, to otrzymane rozwiązanie optymalne jest niejednoznaczne (istnieje nieskończenie wiele rozwiązań optymalnych,

które są kombinacją liniową rozwiązań bazowych wyznaczonych przez wprowadzanie do bazy tych zmiennych,

dla których j =0).

Model matematyczny II Zmienne decyzyjne :

x1 - ilość wydobywanego węgla w tonach; x2 - ilość wydobywanej ropy w hl.funkcja celu: f(x)=3x1 + 6x2 max(zysk w tys. zł)

warunki ograniczające:2 x1 + x2 8 warunek na czas pracy maszyn w godz.

x1 + x2 10 warunek na liczbę zatrudnianych osób, warunki brzegowe:x1 0, x2 0.


x1;x2; s1; s2; t2,.funkcja celu: f(x)=3x1 + 6x2 +0 s1 +0 s2 -M t2 max(zysk w tys. zł)

warunki ograniczające:2 x1 + x2 +s1= 8

x1 + x2 -s2+t2= 10 warunki brzegowe:x1 0, x2 0, s1 0,s2 0;. t2 =0

Tablica simpleksowa

cB B 3 6 0 0 -M xB x1 x2 s1 s2 t2

0 s1 2 1 1 0 0 8-M t2 1 1 0 -1 1 10

Tablica simpleksowa (max)

c B B 3 6 0 0 - M x B x 1 x 2 s 1 s 2 t 2

0 s 1 2 1 1 0 0 8- M t 2 1 1 0 - 1 1 1 0

z j - M - M 0 M - M - 1 0 M

jjj zc 3 + M 6 + M 0 - M 0

Rozwiązanie jest nieoptymalne, bo wskaźniki optymalności j>0


c B B 3 6 0 0 - M x B x 1 x 2 s 1 s 2 t 2

0 s 1 2 1 1 0 0 8 8- M t 2 1 1 0 - 1 1 1 0 1 0

z j - M - M 0 M - M - 1 0 M

jjj zc 3 + M 6 + M 0 - M 0

W kolejnej iteracji do bazy wejdzie x2 na miejsce s1


c B B 3 6 0 0 - M x B x 1 x 2 s 1 s 2 t 2

0 s 1 2 1 1 0 0 8 8- M t 2 1 1 0 - 1 1 1 0 1 0

z j - M - M 0 M - M - 1 0 M

jjj zc 3 + M 6 + M 0 - M 0

I I i t e r a c j a

c B B 3 6 0 0 - M x B x 1 x 2 s 1 s 2 t 2

0 x 2 2 1 1 0 0 8- M t 2 - 1 0 - 1 - 1 1 2

z j

jjj zc


c B B 3 6 0 0 - M x B x 1 x 2 s 1 s 2 t 2

0 s 1 2 1 1 0 0 8 8- M t 2 1 1 0 - 1 1 1 0 1 0

z j - M - M 0 M - M - 1 0 M

jjj zc 3 + M 6 + M 0 - M 0

I I i t e r a c j a

c B B 3 6 0 0 - M x B x 1 x 2 s 1 s 2 t 2

6 x 2 2 1 1 0 0 8- M t 2 - 1 0 - 1 - 1 1 2

z j M + 1 2 6 M + 6 M - M - 2 M + 4 8

jjj zc - 9 - M 0 - M - 6 - M 0

Optymalne, bo wszystkie wskaźniki

optymalności mniejsze od zera

Jeżeli w rozwiązaniu, które spełnia warunek optymalności

w bazie znajduje się zmienna sztuczna, a jej wartość jest większa od zera

(tzn. wartość funkcji kryterium zależy od M), to zadanie jest sprzeczne.

Model matematyczny III Zmienne decyzyjne :





x1;x2; s1; s2; t1 t2,.funkcja celu: f(x)=3x1 + 6x2 +0 s1 +0 s2 -M t1 -M t2 max(zysk w tys. zł)

warunki ograniczające:2 x1 + x2 +s1+ - t1 = 8

x1 + x2 -s2+t2= 10 warunki brzegowe:x1 0, x2 0, s1 0,s2 0; t1 =0; t2 =0

Tablica simpleksowa

cB B 3 6 0 0 -M -M xB x1 x2 s1 s2 t1 t2

-M t1 2 1 -1 0 1 0 8-M t2 1 1 0 -1 0 1 10


c B B 3 6 0 0 - M - M x B x 1 x 2 s 1 s 2 t 1 t 2

- M t 1 2 1 - 1 0 1 0 8- M t 2 1 1 0 - 1 0 1 1 0

z j - 3 M - 2 M M M - M - M - 1 8 M

jjj zc 3 + 3 M 6 + 2 M - M - M 0 0


c B B 3 6 0 0 - M - M x B x 1 x 2 s 1 s 2 t 1 t 2

- M t 1 2 1 - 1 0 1 0 8 4- M t 2 1 1 0 - 1 0 1 1 0 1 0

z j - 3 M - 2 M M M - M - M - 1 8 M

jjj zc 3 + 3 M 6 + 2 M - M - M 0 0


W kolejnej iteracji do bazy wejdzie x1 na miejsce t1


c B B 3 6 0 0 - M - M x B x 1 x 2 s 1 s 2 t 1 t 2

- M t 1 2 1 - 1 0 1 0 8 4- M t 2 1 1 0 - 1 0 1 1 0 1 0

z j - 3 M - 2 M M M - M - M - 1 8 M

jjj zc 3 + 3 M 6 + 2 M - M - M 0 0

I I i t e r a c j a

c B B 3 6 0 0 - M - M x B x 1 x 2 s 1 s 2 t 1 t 2

3 x 1 1 1 / 2 - 1 / 2 0 1 / 2 0 4- M t 2 0 1 / 2 1 / 2 - 1 - 1 / 2 1 2

z j 3 3 / 2 - 1 / 2 M - 3 / 2 - 1 / 2 M M 3 / 2 + 1 / 2 M - M 1 2 - 2 M

jjj zc 0 9 / 2 + 1 / 2 M 3 / 2 + 1 / 2 M - M - 3 / 2 - 3 / 2 M 0

I I i t e r a c j a

c B B 3 6 0 0 - M - M x B x 1 x 2 s 1 s 2 t 1 t 2

3 x 1 1 1 / 2 - 1 / 2 0 1 / 2 0 4 8- M t 2 0 1 / 2 1 / 2 - 1 - 1 / 2 1 2 4

z j 3 3 / 2 - 1 / 2 M - 3 / 2 - 1 / 2 M M 3 / 2 + 1 / 2 M - M 1 2 - 6 M

jjj zc 0 9 / 2 + 1 / 2 M 3 / 2 + 1 / 2 M - M - 3 / 2 - 3 / 2 M 0


I I i t e r a c j a

c B B 3 6 0 0 - M - M x B x 1 x 2 s 1 s 2 t 1 t 2

3 x 1 1 1 / 2 - 1 / 2 0 1 / 2 0 4- M t 2 0 1 / 2 1 / 2 - 1 - 1 / 2 1 2

z j 3 3 / 2 - 1 / 2 M - 3 / 2 - 1 / 2 M M 3 / 2 + 1 / 2 M - M 1 2 - 2 M

jjj zc 0 9 / 2 + 1 / 2 M 3 / 2 + 1 / 2 M - M - 3 / 2 - 3 / 2 M 0


c B B 3 6 0 0 - M - M x B x 1 x 2 s 1 s 2 t 1 t 2

3 x 1 1 0 - 1 1 1 - 1 26 x 2 0 1 1 - 2 - 1 2 4

z j 3 6 3 - 9 - 3 9 3 0

jjj zc 0 0 - 3 9 - M + 3 - M - 9




c B B 3 6 0 0 - M - M x B x 1 x 2 s 1 s 2 t 1 t 2

3 x 1 1 0 - 1 1 1 - 1 2 26 x 2 0 1 1 - 2 - 1 2 4 -

z j 3 6 3 - 9 - 3 9 3 0

jjj zc 0 0 - 3 9 - M + 3 - M - 9



c B B 3 6 0 0 - M - M x B x 1 x 2 s 1 s 2 t 1 t 2

3 x 1 1 0 - 1 1 1 - 1 2 26 x 2 0 1 1 - 2 - 1 2 4 -

z j 3 6 3 - 9 - 3 9 3 0

jjj zc 0 0 - 3 9 - M + 3 - M - 9

I V i t e r a c j a

c B B 3 6 0 0 - M - M x B x 1 x 2 s 1 s 2 t 1 t 2

0 s 2 1 0 - 1 1 1 - 1 26 x 2 2 1 - 1 0 1 0 8

z j 1 2 6 - 6 0 6 0 4 8

jjj zc - 9 0 6 0 - M - 6 - M


I V i t e r a c j a

c B B 3 6 0 0 - M - M x B x 1 x 2 s 1 s 2 t 1 t 2

0 s 2 1 0 - 1 1 1 - 1 2 -6 x 2 2 1 - 1 0 1 0 8 -

z j 1 2 6 - 6 0 6 0 4 8

jjj zc - 9 0 6 0 - M - 6 - M

Nie da się wyznaczyć zmiennej, która wyjdzie z bazy

Jeżeli w pewnej iteracji nie można wyznaczyć żadnego

ze współczynników Q, ponieważ wszystkie elementy wektora yj

są ujemne bądź równe zero, to rozwiązanie jest nieograniczone.

Sformulowanie zadania

Uzupelnienie o potrzebne zmiennesztuczne i/lub swobodne

Startowerozwiazaniebazowe

Obliczenie

wskaznikow

optymalnosci

Czy wszystkie wskazniki saniemniejsze (niewieksze)

od zera ?

Czy wsrod zmiennychbazowych sa zmiennesztuczne wieksze od

zera ?

k=max| |jj

Czy istniejaskladowe y >0ik

Nie istniejeskonczonerozwiazanieoptymalne

Znajdz wektor wchodzacydo bazy i zastap nim wektor

wychodzacy z bazy

Czy wszystkiewskazniki optymalnosci dla

zmiennych niebazowych sa wieksze(mniejsze) od zera ?

Zadanie

sprzecznejest

Niejednoznacznerozwiazanieoptymalne

Jednoznacznerozwiazanieoptymalne

Tak Nie

TakNie

Nie Tak

Tak

Nie


x1;x2; s1; s2; t2,.funkcja celu: f(x)=3x1 + 6x2 +0 s1 +0 s2 -M t2 max(zysk w tys. zł)

warunki ograniczające:2 x1 + x2 +s1= 8

x1 + x2 -s2+t2= 10 warunki brzegowe:x1 0, x2 0, s1 0,s2 0;. t2 =0

Tablica simpleksowa

cB B 3 6 0 0 -M xB x1 x2 s1 s2 t2

0 s1 2 1 1 0 0 8-M t2 1 1 0 -1 1 10


c B B 3 6 0 0 - M x B x 1 x 2 s 1 s 2 t 2

0 s 1 2 1 1 0 0 8- M t 2 1 1 0 - 1 1 1 0

z j - M - M 0 M - M - 1 0 M

jjj zc 3 + M 6 + M 0 - M 0



c B B 3 6 0 0 - M x B x 1 x 2 s 1 s 2 t 2

0 s 1 2 1 1 0 0 8 8- M t 2 1 1 0 - 1 1 1 0 1 0

z j - M - M 0 M - M - 1 0 M

jjj zc 3 + M 6 + M 0 - M 0

W kolejnej iteracji do bazy wejdzie x2 na miejsce s1


c B B 3 6 0 0 - M x B x 1 x 2 s 1 s 2 t 2

0 s 1 2 1 1 0 0 8 8- M t 2 1 1 0 - 1 1 1 0 1 0

z j - M - M 0 M - M - 1 0 M

jjj zc 3 + M 6 + M 0 - M 0

I I i t e r a c j a

c B B 3 6 0 0 - M x B x 1 x 2 s 1 s 2 t 2

0 x 2 2 1 1 0 0 8- M t 2 - 1 0 - 1 - 1 1 2

z j

jjj zc


c B B 3 6 0 0 - M x B x 1 x 2 s 1 s 2 t 2

0 s 1 2 1 1 0 0 8 8- M t 2 1 1 0 - 1 1 1 0 1 0

z j - M - M 0 M - M - 1 0 M

jjj zc 3 + M 6 + M 0 - M 0

I I i t e r a c j a

c B B 3 6 0 0 - M x B x 1 x 2 s 1 s 2 t 2

6 x 2 2 1 1 0 0 8- M t 2 - 1 0 - 1 - 1 1 2

z j M + 1 2 6 M + 6 M - M - 2 M + 4 8

jjj zc - 9 - M 0 - M - 6 - M 0






Model matematyczny III Zmienne decyzyjne :

x1;x2; s1; s2; t1 t2,.funkcja celu: f(x)=3x1 + 6x2 +0 s1 +0 s2 -M t1 -M t2 max(zysk w tys. zł)

warunki ograniczające:2 x1 + x2 +s1+ - t1 = 8

x1 + x2 -s2+t2= 10 warunki brzegowe:x1 0, x2 0, s1 0,s2 0; t1 =0; t2 =0