Modelo Markowitxz

8/18/2019 Modelo Markowitxz

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Monografías de Juan Mascareñas sobre Finanzas CorporativasISSN: 1988-1878

06- Gestión de Carteras II: Modelo de Valoración de Activos

Gestión de Carteras II:

Modelo de Valoración de Activos

© Juan MascareñasUniversidad Complutense de Madrid

Versión original: feb-86; Última versión: diciembre 2015

- La cartera de mercado, 1

- La Línea del Mercado de Capitales (CML), 5- La Línea del Mercado de Títulos (SML), 8

- El modelo de mercado: riesgos sistemático y específico, 12

- La estimación de la beta, 15

- Las implicaciones del CAPM, 20

- La polémica sobre la validez del CAPM, 21

- La Teoría de Valoración por Arbitraje (APT), 23

- Índices de performance, 25


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1. LA CARTERA DE MERCADO

En el modelo de selección de carteras de Harry Markowitz1 todos los activos que

integraban las carteras eficientes eran activos con riesgo (acciones, básicamente).Además, si tuviésemos dos inversores A y B cada uno con una cartera eficiente nopodríamos saber quién tiene la mejor cartera, porque ambas son similares (al in-versor A le gustaría la suya y a B le pasaría lo mismo pero, objetivamente, no po-dríamos saber cuál es mejor).

Supongamos ahora, que los inversores pueden colocar su dinero en activos finan-cieros libres de riesgo2 como, por ejemplo, en Bonos del Tesoro. Esto introduceun elemento distorsionante en nuestra teoría, puesto que nuestros inversores A yB podrán destinar parte de su presupuesto a invertirlo en dicho activo sin riesgo,manteniendo el resto en sus carteras óptimas respectivas. De tal manera que elrendimiento esperado (E

P) y el riesgo (!

P) de la nueva cartera del inversor A, será:

Ep = (1-X) Rf + X EA!p = X !A

donde X indica la parte del presupuesto invertida en la cartera A y (1-X) la parteinvertida en títulos sin riesgo (que proporcionan un rendimiento de R f ); EA y !A muestran, respectivamente, el rendimiento y riesgo esperados de la cartera A. En

la figura 1, se muestran las líneas Rf A y Rf B, representativas de las posibles combi-naciones entre las dos carteras óptimas y el activo libre de riesgo.

Fig.1 La introducción del activo sin riesgo (Rf )

1 Véase Mascareñas, Juan (2015): “Gestión de Carteras I: Selección de Carteras”. Monografías de Juan

Mascareñas sobre Finanzas Corporativas nº 5. http://ssrn.com/abstract=2313392 2 Se supone que la deuda pública en los países occidentales carece de riesgo de insolvencia, aunque puedetener riesgo de reinversión. En todo caso, normalmente se supone que dicha deuda carece de riesgo.


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2

El inversor B, que no estaba muy de acuerdo con el riesgo que le proporcionabasu cartera, decide invertir una parte de su presupuesto en bonos del Tesoro y el

resto lo deja en su cartera B. El resultado es la cartera denominada B´ (fig.1). Estacartera tiene el mismo riesgo que la cartera del inversor A pero da un mayor ren-dimiento esperado, como se puede apreciar fácilmente en la figura. Antes de laintroducción del activo sin riesgo A y B eran semejantes, ahora ya no. El inversorA observa como B, corriendo el mismo riesgo que él, consigue un mayor rendi-miento esperado. Así que al introducir la posibilidad de invertir en títulos sin ries-go, desde un punto de vista objetivo, la cartera B, formada por activos con riesgo,es preferible a la cartera A, que también está formada por activos con riesgo.

Ahora bien en la frontera eficiente no sólo están las carteras A y B, sino que hay

muchas más. Todas ellas son semejantes, desde un punto de vista objetivo, si nose introduce la posibilidad de invertir en activos sin riesgo. Pero cuando esto últi-mo ocurre, la historia cambia y unas carteras son mejores que otras al ser combi-nadas con dicho activo. Es fácil ver, en la figura 1, que la combinación R f B estápor encima de la combinación Rf A, lo que hace preferible a la cartera B. Pero haycarteras que al combinarse con Rf son preferibles a B, porque dicha combinaciónestá por encima de Rf B. Y, de hecho, hay una cartera formada por títulos con ries-go que al combinarse con el activo sin riesgo proporciona la mejor combinaciónposible, la Rf M (véase la figura 2), donde M es el punto de tangencia con la fron-

tera eficiente.

Fig.2

Si suponemos que nos encontramos en un mercado eficiente3, todos los inverso-res se darán cuenta inmediatamente de que la mejor cartera de títulos con riesgo

3 Los supuestos básicos para que esto se cumpla son: Los inversores son diversificadores eficientes, el dineropuede invertirse o pedirse prestado al tipo de interés libre de riesgo, los inversores tienen expectativas


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es la M y, lógicamente, todos invertirán parte de su presupuesto en ella y el restoen el activo sin riesgo. Pero ¿qué ocurre con aquéllos inversores que quieran ob-tener un mayor rendimiento del proporcionado por la propia cartera M?, pues que

pedirán prestado dinero al tipo de interés libre de riesgo Rf . Así que, todos los in-versores saben que hay que invertir en la recta Rf MZ y cada uno de ellos elegirásu combinación óptima sobre la misma, tal y como puede verse en la figura 3.

Fig.3

Aquí es donde surge el denominado teorema de la separación enunciado por elpremio Nobel James Tobin4 que dice que el problema de la elección de una car-tera óptima puede descomponerse en dos decisiones separadas e independientesentre sí. Por un lado, la determinación de la mejor cartera formada exclusivamen-te por activos con riesgo (la cartera M) es una cuestión puramente técnica y serála misma para todos los inversores. La segunda decisión implica elegir la combi-nación óptima entre el activo sin riesgo y dicha cartera de mercado y dependeráde la preferencia personal de cada inversor.

Resumiendo, todo inversor, dadas las predicciones sobre los activos con riesgo,dado el tipo de interés sin riesgo y dada la capacidad de préstamo o endeuda-miento sobre dicho tipo de interés, se enfrentará con una situación similar a la re-presentada en la figura 3. Todas las carteras eficientes se sitúan en la línea Rf MZ.La frontera eficiente de Markowitz se ha transformado en una línea recta.

homogéneas, no hay impuestos ni costes de transacción, y el mercado de capitales se encuentra enequilibrio.

4 Tobin, James (1958): “Liquidity Preference as Behaviour Towards Risk”, Review of Economic Studies 25,nº2, Febrero, pp.: 65-86. Tobin estaba interesado en las implicaciones macroeconómicas que podían derivar-se de que los inversores tomaran sus decisiones en el sentido propuesto por Markowitz; para aquél era muy

importante diferenciar entre poseer activos con riesgo o poseer dinero en efectivo, porque si la gente prefiereesto último (“preferencia por la liquidez”) afectará a los tipos de interés, al nivel de actividad económica y aldesempleo (MacKenzie 2006, 51)


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Cada punto de la línea Rf MZ puede obtenerse: 1º) Al endeudarse o al prestar altipo de interés sin riesgo y 2º) Al colocar fondos con riesgo en la cartera M, que se

compone exclusivamente de activos con riesgo. Esta cartera M es la combinaciónóptima de los títulos con riesgo.

Como todos los inversores tienen las mismas predicciones todos se encontraránante el mismo diagrama mostrado en la figura 3. Por lo tanto, todos los inversoresestarán de acuerdo en lo referente a la combinación óptima de los títulos conriesgo. Pero no tendrán porqué elegir la misma cartera, puesto que unos prestarándinero (punto A de la fig.3) y otros lo pedirán prestado (punto B en fig.3), aunquetodos distribuirán el conjunto de sus fondos con riesgo de la misma forma. Lacomposición de M indica la proporción de estos fondos invertida en cada uno de

los títulos con riesgo.

En el equilibrio, la combinación óptima de los títulos con riesgo ha de incluir to-dos los títulos y la proporción de cada uno en dicha combinación será igual a laque representa su valor en el conjunto del mercado. Si M incluyese una cantidadnegativa de algún título, como todos los inversores piensan lo mismo, todos elloshabrían pedido prestado dinero, pero ¿a quién? si nadie está dispuesto a prestarlo.Si un inversor compra un título determinado en mayor proporción que la que ésterepresenta en el conjunto del mercado, como todos los inversores (que son el

conjunto del mercado) opinan lo mismo, le será muy difícil adquirirlo pues losdemás inversores no estarán dispuestos a deshacerse de él. Así que bajo las con-diciones supuestas, la combinación óptima de los títulos con riesgo es la que exis-te en el mercado. La cartera M es, por lo tanto en palabras de Sharpe, la carterade mercado, que podemos definirla como la combinación de todos los títulos conriesgo en la misma proporción que tienen en el mercado de valores. Dicha carte-ra no hace falta calcularla pues cualquier índice bursátil (como el Ibex-35, elStandard & Poor’s 500, o el FT100, por ejemplo) puede actuar como una pseudo-cartera de mercado al tener representados a los valores de mayor peso del merca-

do de valores

Resumiendo, en el equilibrio todos los inversores adquieren la cartera M, que es-tará formada por el conjunto de todos los activos con riesgo del mercado en lamisma proporción que se encuentran en dicho mercado. Si los inversores deseanun mayor rendimiento que el ofrecido por el propio mercado deberán pedir pres-tado para poder desplazarse hacia la derecha de la línea Rf MZ (punto B); si, por elcontrario, desean un menor riesgo deberán prestar con lo que se situarán a la iz-quierda de M (punto A). En todo caso su combinación óptima de cartera de mer-cado y activos sin riesgo vendrá dada por la curva de indiferencia que sea tangen-te a dicha recta.


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2. LA LÍNEA DEL MERCADO DE CAPITALES (CML)En el equilibrio cualquier inversor escogerá un punto situado en la línea R f MZ dela figura 4. Los inversores más conservadores prestarán parte de su dinero colo-cando el resto en la cartera de mercado M. Los más arriesgados pedirán prestadocon objeto de colocar una cantidad mayor que la de sus fondos iniciales en lacartera de mercado. Pero todos ellos se situarán sobre dicha línea a la que sedenomina línea del mercado de capitales (capital market line) o más comúnmenteCML. Sólo las carteras eficientes se situarán en dicha recta, mientras que las res-tantes, o los títulos aisladamente considerados, lo harán por debajo de ella.

2.1 Características de la CML:

1ª.- La ordenada en el origen (Rf ) es el tipo de interés nominal sin riesgo. Esel precio de consumo inmediato o la recompensa por esperar; es decir,por no consumir ahora, sino más tarde, recibiremos un R f % de interés.Se le suele conocer con el nombre de precio del tiempo o, también, eltipo de interés por retrasar el consumo.

2ª.- La pendiente de la CML representa la relación entre la rentabilidad es-perada (Ep) y el riesgo asociado (!p). Se la denomina comúnmente pre-cio del riesgo.

Fig.4 La línea del mercado de capitales (CML)


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2.2 La ecuación de la CMLA partir de la figura 4 podemos escribir la siguiente ecuación de la CML enfunción de la pendiente (r) y de la ordenada en el origen (Rf ):

Ep = Rf + r !p

El rendimiento esperado de la cartera de mercado será según la ecuación de laCML:

EM = Rf + r !M

de donde se deduce el valor de la pendiente r (ver la figura 5):

y sustituyendo el valor de r en la ecuación inicial de la CML obtendremos:

Fig.5 La pendiente de la CML

Otra forma de llegar a la misma ecuación reside en la idea de que los inversorescombinan la cartera de mercado, M, con préstamos o endeudamientos al tipo deinterés libre de riesgo (Rf ). Por tanto, el rendimiento esperado de dicha combina-ción será:

Ep = (1 - X) Rf + X EM = Rf + [EM - Rf ] X


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donde X es la parte del presupuesto total invertida en la cartera de mercado y 1-Xla prestada (si X1) [ver la figura 6].

Fig.6. Carteras eficientes con préstamo y endeudamiento

Por otra parte el riesgo de dicha combinación, medido por la desviación típica,será5:

!p = X !M

si ahora despejamos X y sustituimos su valor en la ecuación anterior obtendremos

la ecuación de la CML:

La teoría del mercado de capitales se refiere a las ideas de la gente sobre las opor-tunidades existentes, por lo tanto, son estimaciones realizadas "a priori"; por dicharazón los resultados reales diferirán de los predichos. La cartera de mercado re-sulta ineficiente en la consideración ex-post , dado que si no fuese así y el futuro

se pudiese predecir con certeza, los inversores no diversificarían y la cartera ópti-ma sería aquella formada por el título de máxima rentabilidad. Es precisamente lafalta de certeza lo que justifica la existencia de la teoría de selección de carteras yde la teoría del mercado de capitales.

5 Si la expresión del rendimiento esperado de la cartera es: Ep = Rf + XEM – XRf = (1-X)Rf + XEM. El primer su-

mando [(1-X)Rf] carece de riesgo luego " p

2 = x

2 "

M

2y al extraer la raíz cuadrada a ambas expresiones ob-

tenemos la expresión del riesgo de la cartera medido por su desviación típica.


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3. LA LÍNEA DEL MERCADO DE TÍTULOS (SML). EL CAPM

Por convenio, el riesgo de una cartera se mide por la desviación típica de su ren-

tabilidad esperada. En el equilibrio se da una relación simple entre la rentabilidadesperada y el riesgo de las carteras eficientes. Pero dicha relación no se cumplecon las carteras ineficientes ni con los títulos aislados. Habrá, pues que encontraralguna otra medida del riesgo.

La figura 7 muestra una situación típica de equilibrio donde el punto Z representaun título aislado, que se sitúa por debajo de la CML al ser la inversión en un acti-vo ineficiente. Supongamos que repartimos nuestra inversión entre la cartera demercado, M, y el título con riesgo Z. El rendimiento esperado y el riesgo de estacombinación serán:

EP = X EZ + (1-X) EM

!2P = X2 !2Z + (1-X)

2 !2M + 2X (1-X) !ZM

Cuanto más próximo esté el valor X a la unidad más cerca nos encontraremos delpunto Z y cuanto más próximo a cero más invertiremos en la cartera de mercado.A continuación vamos a calcular el valor de la pendiente de la curva MZ en elpunto M, puesto que presenta un interés especial. Comenzaremos calculando la

desviación típica de la combinación anterior:

!P = [X2 !2Z + (1-X)

2 !2M + 2X (1-X) !ZM]1/2

derivando ahora parcialmente con respecto a X:

"!P /"X = (1/2) [2X!2Z – 2(1-X)!

2M + 2(1-X)!ZM - 2X!ZM ] [X

2 !2Z + (1-X)2 !2M +

2X (1-X) !ZM]-1/2 =

= (1/2) [2X!2Z – 2(1-X)!2M + 2(1-X)!ZM - 2X!ZM ] / !P

= [X!2Z - (1-X)!

2M + (1-X)!ZM - X!ZM] / !P

= [X!2Z - !2M + X!

2M + !ZM - X!ZM - X!ZM] / !P

"!P /"X = [X (!2Z + !

2M - 2!ZM) + !ZM - !

2M] / !P

derivando el rendimiento de la cartera con respecto a X:

"EP /"X = EZ - EM


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Fig.7

calculando ahora la pendiente:

"E p

"# p

= "E p /"X

"# p /"X =

Ez - E

M[ ] # pX # Z

2 + # M2 - 2# ZM[ ] + # ZM - # M2

En el punto M, ocurre que X = 0 y el riesgo de la cartera P coincide con el de lacartera de mercado (!p = !M) por lo que sustituiremos aquél por éste, con lo que

tendremos:

"E p

"# p

= Ez - EM[ ] # M # ZM - # M

2

la razón de la importancia de dicha pendiente estriba en que en el punto M, lacombinación ZM ha de ser tangente a la CML cuando la situación es de equili-brio, por lo tanto, ambas pendientes serán idénticas:

Ez - EM[ ] " M "

ZM - "

M

2=

EM - Rf

" M

y después de operar obtendremos la ecuación de la línea del mercado de títulos (Securities Market Line - SML), que es la base del modelo de valoración de activosfinancieros (Capital Assets Pricing Model o CAPM) desarrollado por el premio No-bel William Sharpe6 y por John Lintner7:

6 Sharpe, William (1964): “Capital Asset Prices: A Theory of Market Equilibrium under Conditions of Risk”.

Journal of Finance 19, nº 3, septiembre, pp.: 425-4427 Lintner, John (1965): “The Valuation of Risk Assets and the Selection of Risky Investments in StockPortfolios and Capital Budgets”, Review of Economics and Statistics 47, nº1, febrero, pp:13-37.


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Ez - EM = E

M - R

f

" M

2 "

ZM - "

M

2( ) ! Ez = EM + E

M - R

f

" M

2 "

ZM -

EM - R

f

" M

2 "

M

2

Ez = Rf + EM - R

f

" M

2 "

ZM

En el equilibrio todos los títulos y carteras (eficientes o no) se situarán en la SML(fig. 8). Una medida adecuada del riesgo de cada activo es la covarianza de surendimiento con el del mercado, representándose sobre la SML, que relaciona E

i

con !iM

. Así que cuando un inversor considere añadir un nuevo título a su cartera

deberá saber que el único riesgo por el que será premiado será la covarianza delrendimiento del activo con el del mercado y no su riesgo total medido por la va-rianza o desviación típica. Esto se ve más claramente si sustituimos la ecuaciónde la SML vista más arriba por la siguiente en función del coeficiente de volati-lidad ßi:

Ei = Rf + [EM – Rf ] ßi

Fig.8 La línea del mercado de títulos (SML)

Dicho coeficiente ß indica la volatilidad de la rentabilidad del título en relación alas variaciones de la rentabilidad del mercado. Aquellos títulos o carteras con unaß > 1 tendrán un riesgo superior al de la cartera de mercado y se denominan agre-sivos (serán más volátiles -más “nerviosos”- que el mercado reaccionando de for-ma exagerada a los cambios en el rendimiento esperado de éste); mientras que losque tengan la ß < 1 tendrán un riesgo menor que la cartera de mercado y se les

denomina defensivos (las oscilaciones resultantes de su rendimiento serán máspausadas que las del propio mercado). Así que la medida significativa del riesgo


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de un título es su volatilidad, es decir, su riesgo sistemático. Este concepto es sufi-cientemente importante como para dedicarle el siguiente apartado.

La SML también sirve para calcular el rendimiento esperado de las carteras (tantosi son eficientes como si no lo son). Para ello basta con calcular la ßeta de la car-tera a través de la media de las ßetas de cada título, ponderadas por la parte delpresupuesto invertido en las mismas, de esta manera tendríamos que la ßeta de lacartera es igual a:

ßP = X1ß1 + X2ß2 + ... + Xnßn

y, por tanto la ecuación de la SML para cualquier cartera quedará de la siguienteforma:

EP = Rf + [EM - Rf ] ßp

Al disponer de la SML tenemos una herramienta capital que nos permite obtenerel rendimiento esperado de un activo financiero (título individual o cartera de va-lores) en función de su riesgo sistemático.

Así, por ejemplo, si la ßeta de Repsol fuese del 1,16 y la prima de riesgo del mer-cado de valores de Madrid (EM - Rf ) es del 5%, sabemos que si el tipo de interés

sin riesgo es del 2% anual, el rendimiento anual esperado de las acciones de Rep-sol es del: 2% + 5% x 1,16 = 7,8%. Este valor, será el rendimiento anual mínimoexigido por los inversores en acciones de Repsol, es decir, será el coste del capitalpropio (ke) de la empresa petrolera.

3.1 Supuestos básicos del CAPMEl CAPM se basa en una serie de supuestos básicos8, que permiten a losinversores diversificar eficientemente sus carteras sin incurrir en un costeadicional. Dichos supuestos son:

a) No existen costes de transacciónb) Todos los activos pueden ser negociadosc) Cualquier activo es infinitamente divisibled) Todos los inversores tienen acceso a la misma informacióne)

Es imposible encontrar activos infra o sobrevalorados en el mercado

8 Sharpe sabía que estos supuestos eran poco realistas pero abrazó la idea de Milton Friedman de que “el testadecuado de una teoría, no es el realismo de sus supuestos sino la aceptabilidad de sus implicaciones”[Sharpe 1964, 434]. Para ser exactos Friedman no dijo “aceptabilidad” sino “exactitud”, sin embargo, Sharpe

optó por la primera porque le preocupaba el impacto que tendría entre los profesionales y académicos laidea de que, según su modelo, sólo importaba la cartera de mercado.


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4. EL MODELO DE MERCADO. RIESGOS SISTEMÁTICO YESPECÍFICO

Sharpe desarrolló un modelo de regresión lineal denominado modelo de merca-do, a partir del modelo diagonal 9 , que relacionaba el rendimiento del mercado(variable independiente) y el rendimiento del título o cartera (variable dependien-te), dicho modelo es el siguiente:

Ri = #i + ßi x RM + $i

donde Ri y RM son, respectivamente, los rendimientos del título i y del mercado,los cuales son conocidos puesto que se calculan "a posteriori" a través de las ex-presiones:

Ri = [Pit + Dit – Pit-1] / Pit-1 y RM = [It – Iit-1] / Iit-1

donde Pit es el precio en el momento t; Dit son los dividendos y cualquier otroflujo de caja que se reciba durante el período; y P it-1 es el precio en el momentoinmediato anterior, lo mismo ocurre con It que es el valor de un índice bursátil en

el momento t e Iit-1 que es su valor en el momento anterior.

Una vez calculados los rendimientos del título y del mercado tendremos un parde series de valores representativas de cada uno de ellos, a través de las cualescalcularemos una regresión lineal mínimo cuadrática (ver figura 9 y el epígrafe 5).Y de ella extraeremos los valores de alfa y beta. A la recta de regresión se la cono-ce como línea característica del título.

Alfa indica el rendimiento promedio del título cuando el rendimiento del merca-

do es nulo (esto es cuando el mercado no se mueve ni al alza ni a la baja). Mien-tras que ßeta indica la volatilidad del rendimiento del título con respecto a unavariación del rendimiento del mercado, de ahí su nombre de coeficiente de vola-tilidad . Por otra parte, $i es el error que indica la perturbación aleatoria equilibra-dora del modelo estadístico.

9 La diferencia entre ambos radica en que en el modelo diagonal se utiliza como variable exógena o inde-

pendiente el valor de un índice significativo, mientras que en el modelo de mercado éste se sustituye por suvariación relativa, es decir, por su rendimiento. Véase Mascareñas, Juan (2015): “Gestión de Carteras I:Selección de Carteras”. http://ssrn.com/abstract=2313392


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Fig. 9 Línea característica del título o cartera

Una vez que disponemos de los valores de alfa y de beta, podemos calcular elrendimiento esperado de un título para un período de tiempo futuro. Para elloaplicaremos la siguiente expresión10:

Ei = #i + ßi x EM

donde Ei y EM indican el rendimiento esperado, respectivamente, del activo y del

mercado. Observe que en el modelo "ex post" los parámetros alfa y beta eran losvalores a determinar a través de un modelo de regresión lineal. Mientras que en el

modelo "ex ante", ambos parámetros son conocidos al igual que el rendimientoesperado del mercado, mientras que el rendimiento esperado del título es la in-cógnita.

ßeta es posible obtenerlo dividiendo la covarianza entre el rendimiento del tituloy el del mercado (!iM), entre la varianza del rendimiento del mercado (!

2M); y alfa

por diferencia entre la ecuación anterior:

%i = !iM / !2M

#i = Ei - ßi x EM

Como usted bien sabe, cada vez que hablamos de rendimiento esperado debe-mos referirnos al riesgo que lleva implícita dicha esperanza. La expresión del ries-go es la siguiente:

!2i = ß2

i x !2

M + !2$i

10 Téngase en cuenta que E($i) = 0


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esta expresión surge de calcular la varianza del rendimiento esperado de un títuloque es igual a la varianza de una suma de variables, algunas de las cuales sonaleatorias (RM, $i) y otras no (alfa y beta).

Observe la expresión anterior porque es sumamente importante, fíjese que a laderecha del signo "=" hay dos sumandos. Al primero (ß2i x !

2M) se le denomina

riesgo sistemático, porque indica el riesgo del título o de la cartera que dependeúnica y exclusivamente del mercado, es decir, a factores comunes de tipo macro-económico. Tenga en cuenta que la ßeta es diferente para cada activo financieromientras que la varianza del rendimiento del mercado (!2M) es la misma para to-

dos ellos. Así que cuanto más grande sea la ßeta mayor será el riesgo sistemático,es decir, más variará el rendimiento del título cuando varíe el rendimiento del

mercado. De ahí los activos agresivos que tienen una beta mayor que la del mer-cado (como usted recordará el mercado tiene una beta = 1, puesto que él varía alunísono consigo mismo), mientras que los defensivos tienen una beta más peque-ña que la del mercado.

El otro sumando (!2$i) representa el riesgo específico, (también conocido como

idiosincrático) es decir, la parte del riesgo total del título que depende sólo de lapropia empresa y no del mercado. Este riesgo es importante porque tiene la pro-piedad de ser diversificable y, prácticamente, anulable. Esto es, si usted en vez deinvertir en un sólo título lo hace en varios, el riesgo específico de su cartera serácada vez más pequeño. Más aún las carteras eficientes tienen un riesgo específicoigual a cero.

Teniendo en cuenta que el riesgo específico es posible eliminarlo con una buenadiversificación realizada por el inversor, pero no así el sistemático, es importanteque usted entienda que el rendimiento esperado de un título o de una cartera de-pende principalmente del riesgo sistemático. Esto es ¡el mercado sólo paga el riesgo sistemático de su inversión!, por lo tanto si usted no elimina el riesgo especí-fico estará corriendo un riesgo no remunerado, o lo que es lo mismo, totalmente

gratuito. Vuelva a observar la expresión de la SML

Ei = Rf + [EM - Rf ] ßi

y vea como la ßeta es la variable independiente del modelo, todo depende deella, y ella es la base del riesgo sistemático (ß2i x !

2M), puesto que la varianza del

rendimiento del mercado (!2M) es igual para todos los activos que coticen en el

mercado, pero no así la ßeta, como ya hemos comentado.

Todo lo dicho hasta ahora para títulos aislados sirve exactamente para las carterasde valores sin más que sustituir en las ecuaciones de la SML y de la línea caracte-


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rística del título, los parámetros alfa y beta de una acción por los de una cartera.Para ello basta recordar que la beta (alfa) de una cartera es igual a la media pon-derada de las betas (alfas) de los títulos que la componen11.

Así que si tenemos una cartera eficiente estaremos seguros de que no tiene riesgoespecífico sino sólo sistemático. De tal manera que si queremos cubrirnos delriesgo de una cartera eficiente sólo nos concentraremos en cubrir su riesgo siste-mático. Esto podrá hacerse con los instrumentos financieros derivados del tipo delas opciones, futuros, swaps, etc.

5. LA ESTIMACIÓN DE LA BETA

El proceso para obtener la línea característica ex-post se compone de los siguien-tes pasos (véase el ejemplo de la tabla 1):

1º. Se determinan los rendimientos periódicos del activo y del índice. El ren-dimiento se calcula dividiendo el valor del activo, o del índice, entre suvalor la fecha inmediata anterior (el día antes, el mes antes, etcétera) y alresultado se le extrae su logaritmo natural: Ln(Precio t / Preciot-1). Dondepone Preciot se incluye no sólo su valor de mercado sino los dividendos

repartidos en esa fecha. Así, por ejemplo, Ln(19/17) = 0,1112º. Se determina el rendimiento medio del activo (Ep = 0,048) y del índice (EM

= 0,022)3º. Se calcula el valor de la varianza de los rendimientos del activo (!2p) y

del índice (!2M). Así como la covarianza entre ambos. Esta última se ob-tiene para cada período t de la siguiente forma:(Rpt - Ep)( RMt – EM), por ejemplo, (0,111-0,048) (0,123-0,022) = 0,006Y luego se calcula la media aritmética de los productos para obtener !pM= 0,019

4º. El coeficiente beta se obtiene dividiendo la covarianza (!pM) entre la va-rianza del rendimiento del mercado (!2M): ßp = !pM / !2M = 0,019 / 0,012 =

1,537 5º. El coeficiente alfa se obtiene restando del rendimiento medio del activo

(Ep) el producto de multiplicar la beta por el rendimiento medio del mer-cado (EM):#p = Ep - ßp EM = 0,048 – (1,537 x 0,022) = 0,014

11 La beta de la cartera de mercado es igual a la unidad y su alfa es igual a cero.


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Activo Índice Rdto. Activo Rdto. Índice Covarianza17 34519 390 0,111 0,123 0,006

24 416 0,234 0,065 0,00821 379 -0,134 -0,093 0,02115 320 -0,336 -0,169 0,07418 338 0,182 0,055 0,00423 390 0,245 0,143 0,02427 430 0,160 0,098 0,00825 412 -0,077 -0,043 0,008

Rdto. Medio = 0,048 0,022 0,019Varianza (!2M) = 0,012Beta = 1,537Alfa = 0,014

Tabla 1. Cálculo de la línea característica ex-post

Figura 10. Línea característica del activo

En la figura 10 se muestra la gráfica de la recta de regresión lineal resultante delejemplo de la tabla 1, la beta indica la pendiente de dicha recta; ésta última sedefine a través de la siguiente ecuación12:

Ep = 0,014 + 1,537 EM

Ejemplo: A continuación se muestran los datos principales del cálculo de lasecuaciones de las líneas características para Endesa y Gas Natural durante el pe-riodo que la primera estuvo sometida a la OPA lanzada por la gasista (5-sept- 12 Este tipo de cálculo se realiza mediante un software estadístico en el que además de los coeficientes alfa y

beta, se suministran otras variables que son muy útiles. Por ejemplo, el coeficiente de determinación, queindica hasta qué punto la volatilidad de la cartera depende de la volatilidad del mercado; o la propia volati-lidad de la beta, puesto que el valor obtenido para ésta es un valor medio sujeto, por tanto, a una variación.


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2005 hasta 1-feb-2007), y el gráfico de las mismas. Los rendimientos se calcula-ron diariamente.

En el caso de Endesa, obsérvese el bajo valor de alfa, que hace que la línea carac-terística de Endesa pase por el centro del eje de coordenadas. Véase como el ries-go específico es dos veces el sistemático, lo que parece lógico porque el preciode la acción de Endesa se movía conforme se iban sucediendo los rumores y noti-cias acerca de la OPA; algo totalmente independiente del movimiento delIGBM13. Esto también se puede apreciar en el bajo coeficiente de determinación

Los valores del riesgo total (la desviación típica), del riesgo sistemático y del ries-go específico están en términos diarios, para pasarlos a una base anual basta conmultiplicarlos por la raíz cuadrada de 365 (aunque hay quien piensa que esta ci-

fra debería representar a los 270 días hábiles del año, en cuyo caso el riesgo totalanualizado de Endesa sería de un 22,84%).

Endesa

13 Índice General de la Bolsa de Madrid, agrupa a más de 100 títulos que cotizan en el mercado continuo dela Bolsa española y es más representativo que el Ibex-35.


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Por otro lado, en cuanto a Gas Natural, su alfa es aún más pequeña y su beta escasi idéntica a la del mercado. También su riesgo específico es mayor que el sis-

temático (lógico, por otra parte) lo que viene corroborado por su coeficiente dedeterminación, que es pequeño aunque no tanto como el de Endesa.

Gas Natural

Si con estos datos formásemos una cartera, su rendimiento diario esperado y suriesgo asociado serían:

Ep = 0,20% Xend + 0,09% Xgn

!2p = [(0,8461 Xend + 0,994 Xgn)2 x 0,764%2] + [1,231%2 Xend

2 + 1,02%2 Xgn2]

A continuación se muestra el gráfico representativo de las combinaciones posi-bles entre ambas compañías.


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Tabla 2 Betas de las empresas del Ibex-35 a 7-diciembre-2015[Fuente: http://www.infomercados.com/analisis/analisis-riesgo/index.aspx]

5.1 Algunas consideraciones sobre las betas históricas

1. El plazo de estimación: Normalmente se analizan los datos históricos que

van desde los dos últimos años hasta los últimos cinco. Si se utiliza un pe-riodo largo se dispone de más datos, lo que es bueno estadísticamente ha-blando, pero también es posible que la empresa haya variado sus caracte-rísticas de riesgo. Con un período corto ocurre todo lo contrario.

2.

El intervalo de los rendimientos: El intervalo puede ser anual, trimestral,mensual, semanal, etcétera, lo que lleva a resultados distintos entre ellos(por ejemplo, Telefónica tenía una beta calculada cada 20 días de 1,13 yde 1,01 si se calculaba cada 25014). Sin embargo, partiendo de la base deque pretendemos obtener la tasa de descuento ajustada al riesgo del activoen cuestión y que tanto el rendimiento libre de riesgo como la prima deriesgo se expresan en términos anuales, parece lógico que la beta se obten-ga a través de intervalos anuales.

3. El índice de mercado: El índice que va a representar a la cartera de merca-do debería ser el de la Bolsa en la que se negocia el activo a valorar15. Si elactivo fuese una compañía multinacional podría ser útil el utilizar comoíndice uno de tipo internacional (como, por ejemplo, el índice MorganStanley Capital International o MSCI).

4. La beta ajustada: Hay evidencia empírica que apoya la idea de que el va-lor de las betas de los activos tiende a aproximarse hacia la beta del mer-

14 http://www.infomercados.com/analisis/analisis-riesgo/index.aspx (el 7 de diciembre de 2015)15 En cuanto al índice del mercado hay que tener en cuenta que en un gran número de Bolsas de valorespequeñas el índice puede estar dominado por una o dos grandes empresas (por ejemplo, Nokia llegó a

ponderar el 75% del índice HEX de la Bolsa de Helsinki). En este caso la validez del índice está en entredi-cho y podría buscarse otro más internacional (como, por ejemplo, en el caso europeo el Eurostoxx 50 u otrosimilar)


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cado (beta = 1), o hacia la beta media del sector, debido a que se suponeque las empresas buscan diversificar al máximo su gama de productos y suclientela. Cuando se calcula la beta con objeto de obtener la tasa de des-

cuento para descontar flujos de caja que se van a extender a lo largo debastantes años, hay que suponer que su valor va a aproximarse al comen-tado anteriormente por lo que se corrige la beta históricamente calculadamediante una expresión algo arbitraria16:

Beta ajustada = Beta histórica x (2/3) + Beta del sector o mercado x (1/3)

6. LAS IMPLICACIONES DEL CAPM

El CAPM tiene una serie de importantes implicaciones entre las que destacaremoslas siguientes17.

1ª. El rendimiento esperado de un activo no depende de su riesgo total sinoque depende únicamente de la parte del riesgo total que está correlacio-nada con la cartera de mercado18: !i &iM.

2ª. La beta ofrece un método para medir el riesgo de un activo que no puedeser diversificado. El CAPM es un modelo de equilibrio en el que se supo-

ne que las relaciones rendimiento-riesgo sistemático de los activos apare-cen situadas en la SML; de tal manera que si tuviésemos dos activos (títu-los o carteras) cualesquiera -el A y el B- que tienen, respectivamente, unrendimiento medio y , y un riesgo sistemático ßA y ßB, deberían

encontrarse sobre la SML. Sin embargo, como se aprecia en la figura 11,el activo A proporciona un rendimiento superior al que debería haberproporcionado según la ecuación de equilibrio del mercado; por tanto,los inversores se lanzarán a adquirirlo empujando su precio de mercadoal alza lo que, a su vez, provocará una caída de su rendimiento hasta

que éste se sitúe en el punto A’. Por otro lado, los inversores venderán elactivo B que proporciona un rendimiento inferior al que debería según elvalor de su riesgo sistemático. Al vender el activo su precio descenderáimpulsando al alza su rendimiento hasta que se sitúe en B’.

16 Bloomberg utiliza una expresión más sofisticada basada en la confianza estadística de la regresión de labeta.17 PEROLD, André (2004): “The Capital Asset Pricing Model”. Journal of Economic Perspectives, vol 18 nº3,

verano pp.: 3-2418 Riesgo sistemático = %i !M = = !i &iM


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Fig. 11

3ª. En el CAPM el rendimiento esperado de un activo no depende de la tasade crecimiento de sus flujos de caja futuros esperados. Para estimar latasa de rendimiento esperada sobre los fondos propios de una empresano es necesario llevar a cabo un exhaustivo análisis financiero y preversus flujos de caja futuros. Sólo necesitamos estimar la beta de sus accio-nes.

7. LA POLÉMICA SOBRE LA VALIDEZ DEL CAPM

Utilizando las mismas palabras de Fama y French19, la atracción del CAPM es queofrece predicciones poderosas e intuitivamente favorables sobre cómo medir elriesgo y sobre la relación entre éste y el rendimiento esperado. Por desgracia, elhistorial empírico del modelo es pobre, tanto como para poder invalidar bastantesde sus aplicaciones prácticas. Los problemas empíricos del CAPM pueden reflejar

fallos teóricos, resultado de los múltiples supuestos simplificadores, pero tambiénpueden ser debidos a las grandes dificultades en implantar test válidos del propiomodelo. Por ejemplo, el CAPM dice que el riesgo de un activo debería medirsecon relación a una “cartera de mercado” que debe incluir no sólo los activos fi-nancieros negociados sino también los bienes de consumo durables, los bienesraíces y el capital humano. Incluso, si nos limitamos sólo a los activos financieros,¿la cartera de mercado debería incluir sólo las acciones negociadas en una bolsadeterminada? O ¿deberíamos incluir también los bonos u otros activos financieros

19 Fama, Eugene, y French, Kenneth (2004): “The Capital Asset Pricing Model: Theory and Evidence”. Journalof Economic Perspectives, vol 18 nº3, verano pp.: 25-46. Una parte sustancial de este apartado se basa eneste trabajo.


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negociados en el mundo?. En cualquier caso los fallos de las pruebas empíricasdel modelo llevan a señalar que la mayoría de las aplicaciones del modelo no sonválidas.

El CAPM es un triunfo teórico y un desastre empírico. Desde 1980 varios estudioshan demostrado las debilidades de la beta a la hora de predecir el rendimientoesperado de un título o cartera. Así variables como el tamaño de las compañías,la relación entre el precio de mercado y el valor contable, y el momento idóneopara realizar la compra del título explican igual o mejor el rendimiento esperadodel título que el propio CAPM.

Por ejemplo, el estudio llevado a cabo por Eugene Fama y Kenneth French20 de laUniversidad de Chicago en 1992. En su estudio encontraron que los rendimientos

de los títulos se relacionan inversamente con el tamaño de una empresa medidoéste a través de su capitalización bursátil y con el ratio "valor de mercado / valorcontable". Ambas relaciones explican el rendimiento financiero de los títulos me-jor que la propia beta. Es decir, que si disponemos de una tabla donde aparezcael tamaño, la relación valor de mercado - valor contable y las primas de riesgocon respecto a ambos valores, podemos estimar de una forma rápida y más fiableel valor del rendimiento mínimo exigido a las acciones de una empresa.

Todo esto parece indicar que la aplicación práctica del CAPM es bastante inútil.

Por ejemplo, los libros de finanzas suelen recomendar la utilización del CAPMpara estimar la relación rendimiento-riesgo de un título y de ahí establecer el va-lor del coste del capital propio. La típica cartera de mercado en dicho cálculosuele incluir activos nacionales, sin embargo, el trabajo empírico demuestra quela relación entre la beta y el rendimiento medio es más horizontal de lo que pre-dice el CAPM. Así, según éste último, el coste de las acciones de empresas conbetas altas es más alto que el coste histórico, mientras que ocurre exactamente locontrario con las acciones de empresas con betas bajas21.

El CAPM es, sin embargo, un triunfo teórico. Lo continuamos enseñando comouna introducción a la teoría de carteras y a la valoración de activos, y como de-sarrollo de modelos más sofisticados como el ICAPM de Merton. Pero debemosavisar a nuestros alumnos que a pesar de su atractiva simplicidad, sus problemasempíricos22 pueden invalidar sus aplicaciones.

20 Fama, Eugene, y French, Kenneth (1992): "The Cross-Section of Expected Stock Returns". The Journal ofFinance 47, nº2 (junio). Pp.: 427-465.21 Friend y Blume (1970): "Measurement of Portfolio Performance under Uncertainty." American EconomicReview. 60:4, pp. 607-36.

22 Por ejemplo, cuando se estima la prima de riesgo del mercado se obtiene un valor medio, pongamos un5,1% anual, pero esta media lleva incorporada una desviación típica, por ejemplo del 1,6%. Esto significaque el rango de la media +/- dos veces la desviación típica va desde un valor de la prima del 1,9% hasta uno


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Dicho todo lo anterior debemos ser conscientes de una obviedad23: de momento,en el contexto empresarial, no hay una alternativa mejor al CAPM. No importa lo

imprecisas que sean sus estimaciones, al carecer de alternativa, son lo mejor conlo que podemos contar. Digamos que el CAPM proporciona una tasa de rendi-miento esperado razonable pero no exacta. Este modelo tiende a ser mejor a lahora de jerarquizar proyectos de inversión que en proporcionar un valor absolutodel coste del capital (un error en la estimación de la prima de riesgo del mercadopuede sesgar el valor del rendimiento esperado).

En cualquier caso, el CAPM sigue siendo el modelo de valoración más amplia-mente utilizado, tal vez por su gran sencillez y la lógica en la que se basa, quemuestra algo ampliamente conocido, es decir, que la utilidad de un modelo no se

corresponde normalmente con la exactitud de sus predicciones (los más exactossuelen ser muy complicados de desarrollar y la información necesaria para ali-mentarlos muy cara y difícil de conseguir).

8. LA TEORÍA DE VALORACIÓN POR ARBITRAJE (APT)

Al igual que el CAPM, la teoría de valoración por arbitraje (APT o arbitrage pri-

cing model )24 es un modelo de equilibrio acerca de cómo se determinan los pre-cios de los activos financieros. Esta teoría desarrollada originalmente por StephenRoss se basa en la idea de que en un mercado financiero competitivo el arbitra-je25 asegurará que los activos sin riesgo proporcionen el mismo rendimiento espe-rado. El modelo se basa en la idea de que los precios de los activos se ajustanconforme los inversores construyen carteras de valores que persiguen la consecu-ción de beneficios de arbitraje. Cuando ya no existan dichas oportunidades se al-canzará el equilibrio en los precios de los activos financieros.

Según esta teoría la rentabilidad de cada acción depende por un lado de las in-fluencias exógenas de una serie de factores macroeconómicos y, por otro, de unaserie de perturbaciones específicas de cada compañía en particular. Así, para ca-da acción hay dos fuentes de riesgo. La primera es la que proviene de los efectos

del 8,3%. Así que si tenemos un tipo de interés sin riesgo del 4% y una beta igual a la unidad, el rendimientoesperado de ese activo estará comprendido entre el 5,9% y el 12,3%. 23 Ivo Welch (2006): A First Course in Corporate Finance. http://book.ivo-welch.info/ed2/toc.html 24 Ross, Stephen (1976): “The Arbitrage Theory of Capital Asset Pricing” Journal of Economic Theory 13, nº3,diciembre pp: 341-360

25 Recuérdese que arbitraje es la operación consistente en comprar un activo determinado en el mercado enque se encuentre más barato y simultáneamente venderlo en el más caro. Con ello se consigue un beneficiosin riesgo (a esto algunos economistas le llaman free lunch, es decir, “comida gratis”).


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macroeconómicos que no pueden ser eliminados mediante la diversificación. Lasegunda es que el riesgo proviene de posibles sucesos que son específicos de ca-da empresa; éste tipo de riesgo es eliminable a través de la diversificación. De es-

ta manera, la prima por el riesgo esperado de una acción es afectada por el riesgomacreoconómico y no por el riesgo específico.

El modelo no dice cuáles son esos factores macroeconómicos o por qué son eco-nómicamente relevantes sino que sólo señala que hay una relación entre ellos ylos rendimientos de los activos financieros. En todo caso los cinco factores máscomúnmente utilizados son:

a) El nivel de actividad industrialb) La tasa de interés real a corto plazo, medida por la diferencia entre el ren-

dimiento de las Letras del Tesoro y el Índice de Precios al Consumo (IPC).c) La tasa de inflación a corto plazo, medida por las variaciones en el IPCd) La tasa de inflación a largo plazo, medida por la diferencia entre el rendi-

miento hasta el vencimiento entre la Deuda Pública a largo y a corto pla-zo.

e) El riesgo de insolvencia medido por la diferencia entre el rendimiento has-ta el vencimiento de los bonos empresariales a largo plazo calificados co-mo AAA y los BBB.

La APT manifiesta que la prima por el riesgo esperado (ke - Rf ) de una acción de-be depender de la prima por el riesgo asociada con cada factor macroeconómicoen particular y la sensibilidad de la rentabilidad del activo en relación a cada fac-tor (ßi). O expresado de otra manera, el rendimiento esperado de un título cual-quiera (ke) es igual a:

ke = Rf + ß1'1 + ß2'2 +...+ ßn'n

donde Rf es el rendimiento del activo sin riesgo y las 'i muestran las primas de

riesgo asociadas con cada factor en particular ('i = Ei - Rf ). La APT tendrá una uti-lidad para el inversor siempre que éste pueda: a) identificar un número razonablede factores macroeconómicos, b) medir la prima de riesgo esperada en cada fac-tor y c) medir la sensibilidad del rendimiento del activo con relación a cada fac-tor. Una vez definidos los factores pasaríamos a calcular un modelo de regresiónmultivariante a través del que obtendríamos las betas de cada factor. Calculadaséstas podríamos obtener el valor del rendimiento esperado de cada acción, es de-cir, su coste de oportunidad del capital (al que habría que añadirle si fuesen nece-sarios los costes de emisión de dichas acciones).


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Ejemplo: Supongamos que los parámetros del modelo APM para una empresadeterminada son '1= 2,75%; '2= 0,75%; '3= 3,05% y el tipo de interés sin riesgo

es del 3,5%. Las correspondientes betas son, respectivamente, 1,20; 0,9; 1,15.Por tanto, el coste de las acciones ordinarias es igual a:

ke = 3,5% + (1,20 x 2,75%) + (0,9 x 0,75%) + (1,15 x 3,05%) = 10,98%

Los supuestos de este modelo son más generales que los del CAPM (no hay su-puestos sobre las preferencias del inversor y son mínimos los referentes a las dis-tribuciones de probabilidad) y sus conclusiones son menos específicas porquetanto el número de factores como su naturaleza no están especificados (ni siquie-

ra se sabe qué factores serán valorados en el equilibrio). El CAPM puede ser vistocomo un caso particular de la APT; el CAPM dice que uno de los factores es lacartera de mercado y es el único que es valorado. Este es un resultado directo delteorema de la separación: todos los inversores, sin tener en cuenta sus diferencias,dividen su riqueza entre dos tipos de fondos, uno sin riesgo y el otro es la carterade mercado.

Las betas de la APT dependen de las mismas variables que la del CAPM: tipo denegocio y apalancamientos operativo y financiero (incluso, en éste caso, las ex-

presiones de las betas factoriales apalancadas son las mismas que vimos en elapartado anterior).

9. ÍNDICES DE PERFORMANCE

Basándose en los modelos vistos anteriormente, en especial, en el CAPM surgentres índices que miden el comportamiento de las carteras de valores -sus resulta-

dos-, es decir, su performance (que es como se suele denominar habitualmente).Estos índices permiten a los inversores saber qué tan bien han sido gestionadassus carteras de valores.

9.1 El índice de SharpeSharpe utiliza como medida del comportamiento o performance de la cartera elprecio medio de mercado de la unidad de riesgo total (!p), es decir:

Sp =Rp - Rf

"

p


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En el numerador figura la diferencia entre el rendimiento medio de la cartera y elrendimiento del activo sin riesgo, es decir, es el exceso de rendimiento obtenidopor la cartera. Si lo dividimos por su riesgo total obtendremos una medida del ex-

ceso de rendimiento por unidad de riesgo. Sharpe lo llama “premio-variabilidad”y cuanto más alto mejor será le gestión de la cartera.

9.2 El índice de TraynorMuy similar al de Sharpe pero con una importante salvedad y es que en lugar deutilizar como medida del riesgo el riesgo total utiliza el riesgo sistemático a travésdel coeficiente beta.

T p =Rp - Rf

" p

Conocido como “premio-volatilidad” debido a que representa la prima que pagael mercado por cada unidad de volatilidad de la cartera.

9.3 El índice de Jensen Jensen considera que a la hora de medir los resultados se debe incluir sólo el ries-go sistemático, puesto que si se incluye el riesgo total estaremos midiendo la “efi-ciencia” en el sentido de Markowitz. Por ello su índice muestra la diferencia entreel rendimiento medio obtenido por una cartera (Rp) y el que debería haber obteni-

do según su volatilidad (R’p):

Jp = Rp – R’p = Rp – Rf – (RM – Rf ) ßp = (Rp – Rf ) – (RM – Rf ) ßp

Si Jp es positivo se dice que el activo o cartera es “superior”, si es negativo “infe-rior” y si nulo será “neutro”. A este índice se le denomina “rentabilidad diferen-cial”.

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