Michał Marzantowicz Wojciech Wroacutebel

Podstawy fizyki

Warszawa 2010

Politechnika Warszawska Wydział Samochodoacutew i Maszyn Roboczych Kierunek Edukacja techniczno informatyczna 02-524 Warszawa ul Narbutta 84 tel 22 849 43 07 22 234 83 48 ipbmvrsimrpweduplspin e-mail stosimrpwedupl Opiniodawca prof dr hab Władysław Bogusz Projekt okładki Norbert SKUMIAŁ Stefan TOMASZEK Projekt układu graficznego tekstu Grzegorz LINKIEWICZ Skład tekstu Janusz BONAROWSKI Michał MARZANTOWICZ

Wojciech WROacuteBEL Publikacja bezpłatna przeznaczona jest dla studentoacutew kierunku Edukacja techniczno informatyczna Copyright copy 2010 Politechnika Warszawska Utwoacuter w całości ani we fragmentach nie może być powielany ani rozpowszechniany za pomocą urządzeń elektronicznych mechanicznych kopiujących nagrywających i innych bez pisemnej zgody posiadacza praw autorskich ISBN 83-89703-56-4 Druk i oprawa Drukarnia Expol P Rybiński J Dąbek Spoacutełka Jawna 87-800 Włocławek ul Brzeska 4

Spis treści

Wstęp 7

1 Czym jest fizyka Wielkości fizyczne jednostki i wzorce 9

11 Czym jest fizyka 10 12 Jednostki podstawowe 12 13 Miano jednostek wielkości pochodnych 14 14 Rachunek mian operacje na jednostkach wielkości fizycznych 15

2 Opis ruchu 21

21 Układ odniesienia i układ wspoacutełrzędnych 22 22 Przemieszczenie i droga 23 23 Prędkość 24 24 Przyspieszenie 26

3 Dynamika 31

31 Zasady dynamiki Newtona 32 32 Zasada zachowania pędu 35

4 Praca i energia 41

41 Praca 42 42 Pole sił zachowawczych i niezachowawczych 48 43 Pole sił grawitacyjnych 49 44 Ruch po okręgu 53 45 Energia potencjalna sił sprężystości 59 46 Energia kinetyczna 60 47 Zasada zachowania energii mechanicznej 62 48 Zderzenia 64

5 Dynamika bryły sztywnej 67

51 Bryła sztywna 68

Strona 4444

52 Roacutewnanie ruchu bryły sztywnej 72 53 Zasada zachowania momentu pędu 74 54 Energia ruchu obrotowego 75

6 Ruch drgający 79

61 Drgania harmoniczne 80 62 Drgania tłumione 86 63 Drgania wymuszone z tłumieniem 90

7 Stany skupienia materii 93

71 Ciało stałe 94 72 Płyny 95 73 Inne stany materii 95 74 Przejścia między stanami ndash przemiany fazowe 97

8 Hydrostatyka i hydrodynamika 101

81 Hydrostatyka 102 82 Hydrodynamika 108

9 Termodynamika 117

91 Temperatura zerowa zasada termodynamiki 118 92 Roacutewnanie stanu gazu doskonałego 120 93 Ciepło i praca termodynamiczna 121 94 Przemiany termodynamiczne 127 95 Teoria kinetyczno-molekularna gazoacutew 134 96 Roacutewnanie stanu gazu rzeczywistego 138 97 Cykle gazowe 139 98 Entropia 146 99 Właściwości termiczne materii 149

10 Elektrostatyka 157

101 Ładunek elektryczny 158 102 Prawo Coulomba 159 103 Natężenie pola elektrycznego 161 104 Energia i potencjał w polu elektrycznym 166 105 Prawo Gaussa 168

Strona 5555

106 Pojemność elektryczna przewodnika 174 107 Dielektryki 179

11 Prąd elektryczny 187

111 Natężenie prądu elektrycznego 188 112 Prawo Ohma 189 113 Praca i moc prądu elektrycznego 195 114 Obwody elektryczne 196

Strona 6666

Wstęp Niniejsze materiały zostały opracowane w ramach realizacji Programu Rozwojowego Politechniki Warszawskiej wspoacutełfinansowanego ze środ-koacutew PROGRAMU OPERACYJNEGO KAPITAŁ LUDZKI Przezna-czone są dla studentoacutew pierwszego roku studioacutew inżynierskich kierunku nauczania bdquoEdukacja techniczno-informatycznardquo prowadzonych na Wy-dziale Samochodoacutew i Maszyn Roboczych Politechniki Warszawskiej

Niniejsze opracowanie przygotowano dla przedmiotu pt bdquoPodstawy fizykirdquo Jego zawartość merytoryczna w pełni odpowiada zakresowi opi-sanemu w sylabusie opracowanym dla tego przedmiotu

Skrypt stanowi pierwszą część opracowanych materiałoacutew dydaktycz-nych i dotyczy zagadnień omawianych podczas pierwszego semestru wykładoacutew z ww przedmiotu Opracowane zagadnienia podzielone zo-stały na 11 rozdziałoacutew

Rozdział 1 wprowadza pojęcie wielkości fizycznych ich jednostek oraz operacji na tych jednostkach

Rozdział 2 został poświęcony opisowi ruchu ciał w roacuteżnych układach wspoacutełrzędnych za pomocą takich wielkości fizycznych jak przemiesz-czenie prędkość czy przyspieszenie

W rozdziale 3 omoacutewione zostały zasady dynamiki Newtona oraz zasada zachowania pędu

W rozdziale 4 wprowadzone są pojęcia pracy oraz energii Rozważane są roacuteżne formy energii (energia potencjalna i kinetyczna) oraz zasada za-chowania energii

Rozdział 5 dotyczy zagadnień z zakresu dynamiki bryły sztywnej takich jak roacutewnanie ruchu bryły sztywnej zasada zachowania momentu pędu czy energia ruchu obrotowego

Rozdział 6 został poświęcony zagadnieniom drgań w szczegoacutelności drgań harmonicznych z uwzględnieniem wpływu tłumienia oraz wymuszenia

W rozdziale 7 omoacutewione zostały roacuteżne stany skupienia materii ndash ciała stałe płyny oraz inne stany materii

Strona 8888

W rozdziale 8 przedstawione zostały podstawowe zagadnienia hydrosta-tyki i hydrodynamiki w tym prawo Pascala Arhimedesa oraz roacutewnanie Bernouliego

Rozdział 9 poświęcony jest termodynamice Omoacutewiony został gaz do-skonały jego roacutewnanie stanu oraz roacuteżne przemiany jakim może podle-gać Przedstawiono definicję ciepła oraz pracy termodynamicznej a także opis cykli i silnikoacutew termodynamicznych Omoacutewiono roacutewnież podstawowe właściwości termiczne materii

W rozdziale 10 omoacutewione zostały takie zagadnienia elektrostatyki jak Coulombowska siła oddziaływania elektrostatycznego natężenie poten-cjał oraz energia pola elektrycznego czy pojemność elektryczna prze-wodnika Przedstawione zostało prawo Gaussa wraz z przykładami stosowania go do wyznaczania natężenia pola elektrycznego Rozdział opisuje także właściwości elektryczne dielektrykoacutew

Rozdział 11 dotyczy zagadnień z zakresu przepływu prądu elektryczne-go Podane zostało prawo Ohma wyznaczona praca i moc prądu elek-trycznego a także omoacutewione podstawowe właściwości obwodoacutew elek-trycznych w tym prawa Kirchhoffa

1 Czym jest fizyka Wielkości fizyczne jednostki i wzorce

W tym rozdziale

o Czym jest fizyka o Jednostki podstawowe o Miano jednostek wielkości podstawowych o Rachunek mian operacje na jednostkach wielkości

fizycznych o Działania na wektorach

ROZDZIAŁ 1

Strona 10101010

11 Czym jest fizyka

Fizyka jest podstawową nauką ścisłą wywodzącą się z filozofii Ślad tego faktu że fizyka była działem filozofii ndash filozofią przyrody ndash znajdujemy w tytule słynnego dzieła Izaaka Newtona stanowiącego fundament nowożytnej fizyki rdquoPrincipia mathematica philosophiae naturalisrdquo (1686 r) co może być przetłumaczone jako bdquoZasady matematyczne filozofii przyrodyrdquo

Fizyka jest nauką ścisła i empiryczną czyli opartą na doświadczeniu ponieważ

bull Używa wielkości fizycznych dokładnie zdefiniowanych W definicji wielkości fizycznej zawarte są informacje doty-czące jej pomiaru Wielkością fizyczną jest każda wielkość ktoacutera daje się mierzyć czyli poroacutewnywać ze wzorcem jed-nostki tej wielkości

bull Stosuje opis matematyczny zjawisk (bdquomatematyka jest języ-kiem fizykirdquo)

bull Prawa fizyczne formułuje na podstawie doświadczeń

Przez doświadczenie (eksperyment) fizyczny rozumiemy zjawisko prze-prowadzone w możliwie uproszczonych i nadających się do analizy warunkach laboratoryjnych z eliminacją zjawisk ubocznych zakłoacutecają-cych zjawisko badane Podstawowym działaniem w doświadczeniach są właśnie pomiary wielkości fizycznych

Fizyka opiera się na pewnej minimalnej liczbie praw podstawowych o charakterze pewnikoacutew aksjomatoacutew ktoacutere w fizyce nazywamy zasada-mi Czasami moacutewi się o nich ze są to bdquoprawa pierwszerdquo Oznacza to że nie odkryto praw bardziej podstawowych ktoacutere umożliwiłyby wyprowa-dzenie tych zasad Słuszność zasad wynika tylko z doświadczeń i jest uogoacutelnieniem dużej liczby eksperymentoacutew Klasycznymi przykładami zasad są zasady dynamiki Newtona Natomiast inne szczegoacutełowe prawa fizyczne (np prawo Ohma lub prawo indukcji elektromagnetycznej Faradaya) wyprowadzamy z zasad fizyki za pomocą modeli fizycznych opisywanych zjawisk

CZYM JEST FIZYKA WIELKOŚCI FIZYCZNE JEDNOSTKI I WZORCE

Strona 11111111

Istnienie zasad i praw szczegoacutełowych powoduje wzajemne powiązanie wielkości fizycznych Stąd z kolei wynika że jest w fizyce pewna liczba podstawowych wielkości fizycznych a pozostałe wielkości są wielkoś-ciami zależnymi pochodnymi W tej sytuacji wystarczy iż wzorce jed-nostek fizycznych stworzymy tylko dla wielkości podstawowych

Ustalono że są cztery podstawowe wielkości fizyczne długość masa czas i natężenie prądu Stworzono zatem wzorce metra kilograma se-kundy i ampera Taki układ jednostek nazwano pierwotnie układem MKSA od początkowych liter nazw wzorcoacutew Z powodu tradycji i dla wygody dodano jednak następnie przejściowo do układu jeszcze cztery wielkości fizyczne mimo iż można by je określić przez te pierwsze cztery wielkości podstawowe Są to temperatura (w kelwinach) licz-ność materii (w molach) jasność źroacutedeł promieniowania (w kandelach) i kąt płaski (w radianach) W ten sposoacuteb powstał układ jednostek złożony z ośmiu wzorcoacutew jednostek wielkości fizycznych wymienio-nych wyżej nazywany układem SI (od fr Systeme International) Wy-magania postawione wzorcom jednostek dotyczą maksymalnej dokład-ności i powszechności uniwersalności Ta druga własność ma polegać na tym by wzorzec moacutegł być z roacutewną dokładnością odtwarzalny we wszystkich laboratoriach na świecie Ma to zapewnić możliwość poroacutewnywania wynikoacutew doświadczeń roacuteżnych laboratorioacutew a przez to możliwość sprawdzania powtarzalności pomiaroacutew co ma decydujące znaczenie przy tworzeniu praw fizycznych

Jednostki pochodnych wielkości fizycznych są tworzone w oparciu o de-finicje tych wielkości i istniejące związki tych wielkości z wielkościami podstawowymi ustalone prawami fizyki Jako przykład ustalmy jednost-kę i sposoacuteb pomiaru prędkości chwilowej Powołamy się tu na definicję prędkości chwilowej ktoacutera będzie uzasadniona w dalszej części skryptu

∆t

∆x

0∆t rarr= limv

(11)

Ta matematyczna definicja wskazuje że aby wyznaczyć prędkość chwi-lową obiektu trzeba mierzyć odcinki przesunięcia ∆x tego obiektu odpowiadające jak najkroacutetszym odcinkom czasu ∆t (dążącym do zera) i dzielić je przez siebie Jest więc w definicji wskazoacutewka pomiarowa i wiemy już że jednostką prędkości będzie ms

ROZDZIAŁ 1

Strona 12121212

12 Jednostki podstawowe

Jednostką długości jest metr [m] Metr jest to odległość jaką pokonuje światło w proacuteżni w czasie 1299 792 458 s

Jednostką czasu jest sekunda [s] Sekunda jest definiowana za pomocą tzw zegara atomowego jako 9 192 631 770 okresoacutew drgań określonego promieniowania atomu cezu 133Cs w temperaturze 0 K

Jednostką masy jest kilogram [kg] Wzorzec kilograma wykonany ze stopu platynowo-irydowego znajduje się w Sevres pod Paryżem Kopie tego wzorca zostały rozesłane do instytutoacutew miar i wag poszczegoacutelnych państw Obecnie dąży się do opracowania lepszej definicji opartej na masie atomowej

Jednostką temperatury jest Kelwin [K] Jeden kelwin odpowiada 1 27316 temperatury termodynamicznej punktu potroacutejnego wody ndash punktu w ktoacuterym wspoacutełistnieją fazy ciekła (woda) stała (loacuted) i gazowa (para wodna) Temperatura termodynamiczna jest zdefiniowana w odnie-sieniu do tzw zera absolutnego 0 K ktoacutera oznacza najniższą temperaturę do jakiej możemy się dowolnie zbliżyć ale jest nieosiągalna Na po-wszechnie stosowanej skali Celsjusza temperaturze punktu potroacutejnego wody (27316 K) odpowiada 001ordmC

W niniejszym skrypcie jako separator dziesiętny stosować będziemy znak kropki a nie przecinka

Jednostką liczności materii jest jeden mol [mol] Jest to liczność materii układu zawierającego liczbę cząsteczek roacutewną liczbie atomoacutew w masie 12 gramoacutew izotopu węgla 12C W jednym molu znajduje się ok 60221415(10)middot1023 cząsteczek Liczba ta jest nazywana stałą Avogadra (liczbą Avogadra) Ponieważ roacuteżne cząsteczki mają roacuteżną masę roacutewnocześnie z licznością należy podać rodzaj cząsteczek (cząsteczki atomy jony itp) lub też zdefiniować masę molową jako masę jednego mola danej substancji W opisie materii używa się roacutewnież masy atomowej ktoacutera określa ile razy masa jednego atomu danego pierwiastka chemicznego jest większa od jednostki zdefiniowanej jako 1 12 masy izotopu węgla 12C

Jednostką światłości jest kandela [cd] i definiuje się ja jako strumień energii (1 683 Wsr) wysyłany na sekundę w jednostkowy kąt prze-strzenny ndash steradian W definicji kandeli wykorzystuje się zielone świa-

CZYM JEST FIZYKA WIELKOŚCI FIZYCZNE JEDNOSTKI I WZORCE

Strona 13131313

tło monochromatyczne o długości 540 nm dla ktoacuterej to długości ludzkie oko charakteryzuje się największą czułością

Jednostką natężenia prądu elektrycznego jest amper [A] Prąd elektryczny jest uporządkowanym ruchem nośnikoacutew ładunku elektrycz-nego Natężenie prądu definiujemy jako stosunek wartości ładunku elek-trycznego ktoacutery przepływa przez przewodnik w jednostce czasu Z defi-nicji tej wynika jednostka natężenia prądu ndash amper ndash 1A=1Cs (ku-lombsekunda) Wzorzec pomiarowy jednego ampera definiujemy w na-stępujący sposoacuteb Jeżeli w dwoacutech roacutewnoległych prostoliniowych nieskończenie długich przewodach umieszczonych w proacuteżni w odleg-łości 1 m od siebie będzie płynął stały prąd o natężeniu jednego ampera (1A) to spowoduje on wzajemne oddziaływanie przewodoacutew z siłą roacutewną 2middot10-7N na każdy metr długości przewodu

Jako jednostek uzupełniających w układach opisywanych wspoacutełrzęd-nymi kątowymi używa się

bull radiana na oznaczenie kąta płaskiego [rad] Kąt pełny wy-nosi 2π radianoacutew Wartość kąta może być roacutewnież określana w stopniach ale w dalszej części tego skryptu jako miarę kąta przyjmować będziemy radiany

bull steradiana na oznaczenie kąta bryłowego [sr] Kąt pełny wynosi 4π sr

ROZDZIAŁ 1

Strona 14141414

13 Miano jednostek wielkości pochodnych

Tabela 11 Jednostki wielkości pochodnych układu SI Według rozporządzenia Rady Ministroacutew z dnia 30 listopada 2006r w sprawie legalnych jednostek miar

Wszystkie wielkości fizyczne mogą być opisane za pomocą jednostek wielkości podstawowych Dla wygody i prostoty zapisu wprowadzone zostały jednak jednostki wielkości pochodnych Przykładowo opisując siły działające w wybranym układzie moglibyśmy za każdym razem podawać jednostkę siły jako kg ms2 ale prościej i wygodniej jest ozna-czyć tę jednostkę symbolem N (1 Newton) W Tabeli 1 przedstawione są definicje przykładowych jednostek wielkości pochodnych tzw mian wielkości pochodnych

CZYM JEST FIZYKA WIELKOŚCI FIZYCZNE JEDNOSTKI I WZORCE

Strona 15151515

14 Rachunek mian operacje na jednostkach wielkości fizycznych

Wielkości skalarne i wektorowe

Wielkości fizyczne dzielimy na skalary i wektory Wielkości skalarne mają jedynie wartość Przykładem takich wielkości są energia masa czas czy ładunek elektryczny Wielkości wektorowe oproacutecz wartości (modułu) posiadają roacutewnież kierunek i zwrot Przykładem mogą być tutaj siła prędkość czy pęd W układzie wspoacutełrzędnych wektor opisuje-my podając jego składowe czyli rzuty tego wektora na osie układu

wspoacutełrzędnych Przykładowo ( ) k4j2i3324rrrr

++==v oznacza wek-

tor prędkości o składowych 3x =v ndash w kierunku x czyli wzdłuż werso-

ra ir

(wektora jednostkowego) 2v y = ndash w kierunku y wzdłuż wersora

jr

4z =v w kierunku z wzdłuż wersora kr

Działania na wektorach

Podstawowe działania na wektorach jakie będziemy wykorzystywać to dodawanie odejmowanie i mnożenie

Mnożenie

W wyniku mnożenia wektora br

przez skalar bcarr

= otrzymujemy

wektor ar

ktoacuterego kierunek jest zgodny z kierunkiem wektora br

zaś jego długość jest iloczynem długości wektora b oraz wielkości skalarnej

c bca = W przypadku gdy c lt 0 to zwrot wektora ar

jest przeciwny

niż br

To samo działanie możemy wykonać na składowych wektora

Przykładowo jeśli wektor ( )135b =r

wymnożymy skalarnie przez 3 otrzymujemy

( )391553k33j13ib3a =sdot+sdot+sdot==rrrrr

ROZDZIAŁ 1

Strona 16161616

Rysunek 11 Dodawanie wektoroacutew na płaszczyźnie a) i mnożenie wektorowe wektoroacutew b)

Dodawanie i odejmowanie wektoroacutew

Dodawanie wektoroacutew można przeprowadzić graficznie (rysunek 11) lub przez dodanie składowych określających wektory w wybranym układzie wspoacutełrzędnych Suma dwoacutech wektoroacutew jest roacutewnież wektorem Podob-nie jak poprzednio działanie dodawania można wykonać roacutewnież na składowych wektoroacutew Przykładowo dodając do siebie wektory

( )102a minus=r

( )135b =r

i ( )230c minus=r

otrzymujemy wektor

[ ] [ ] [ ] ( )184051k332j210id minus=++minus++++minus+=rrrr

Odejmowanie wektoroacutew przeprowadzamy podobnie ndash jeśli wykonujemy

operację barr

minus to do wektora ar

dodajemy wektor br

minus czyli wektor

o identycznej długości i kierunku co br

ale o przeciwnym zwrocie

Odejmowanie nie jest przemienne tzn działanie abrr

minus daje wektor

o przeciwnym zwrocie niż działanie barr

minus Przykładowo odejmując od

wektora ( )102a minus=r

wektor ( )135b =r

otrzymujemy wektor

( )611c minusminusminus=r

a wykonując działanie abrr

minus otrzymujemy wektor

( )116c =r

Iloczyn skalarny wektoroacutew

Iloczyn skalarny bacrr

sdot= jest iloczynem długości wektora ar

oraz rzutu

wektora br

na wektor ar

Iloczyn skalarny możemy zapisać inaczej jako

CZYM JEST FIZYKA WIELKOŚCI FIZYCZNE JEDNOSTKI I WZORCE

Strona 17171717

αcosbabac =sdot=rr

(12)

gdzie α jest kątem między wektorami ar

i br

Przykładem mnożenia skalarnego jest praca będąca iloczynem przesunięcia oraz rzutu siły wywołującej przesunięcie na kierunek tego przesunięcia Iloczyn skalar-ny uzyskuje maksymalną wartość gdy wektory są do siebie roacutewnoległe natomiast dla wektoroacutew prostopadłych wartość iloczynu skalarnego roacutewna jest zeru

Iloczyn wektorowy wektoroacutew

Wynikiem iloczynu wektorowego dwoacutech wektoroacutew ( bacrrr

times= ) jest wektor Długość tego wektora możemy obliczyć ze wzoru

αsinabc = (13)

gdzie α jest kątem między wektorami ar

i br

Kierunek tego wektora jest

prostopadły do płaszczyzny w ktoacuterej leżą wektory ar

oraz br

Zwrot

wektora cr

określa reguła śruby prawoskrętnej ndash jeśli będziemy kręcić

śrubą od wektora ar

do wektora br

po najmniejszym kącie to kierunek ruchu postępowego śruby wyznacza zwrot wektora będącego iloczynem

wektorowym bacrrr

times= Przykładem iloczynu wektorowego jest moment

siły FrMrrr

times= ndash mnożąc wektorowo wektor rr

określający położenie

punktu zaczepienia siły względem osi obrotu oraz wektor siły Fr

otrzy-

mujemy wektor momentu siły Mr

prostopadły do płaszczyzny w ktoacuterej oba wektory się znajdują

Iloczyn wektorowy uzyskuje wartość maksymalną gdy wektory ar

i br

są do siebie prostopadłe (α = π2) Gdy wektory są roacutewnoległe (α = 0) ich iloczyn wektorowy jest roacutewny zeru

Mnożenie wektorowe nie jest przemienne ndash w wyniku mnożenia wekto-

rowego abrr

times dostaniemy wektor o identycznej wartości i kierunku co

barr

times ale o przeciwnym zwrocie

Algebraicznie iloczyn dwoacutech wektoroacutew możemy przedstawić w postaci macierzy

ROZDZIAŁ 1

Strona 18181818

zyx

zyx

bbb

aaa

kji

ba

rrr

rr=times (14)

Po przekształceniach otrzymujemy

[ ]xyyxxzzxyzzy bababababababa minus+minusminus=timesrr

(15)

Rzuty wektoroacutew

Rozkładanie wektoroacutew na składowe czyli rzutowanie wektora na wybra-ne osie jest procedurą odwrotną do dodawania wektoroacutew pozwalającą wyznaczyć składowe wektora w wybranych kierunkach

Jeżeli rozpatrzymy wektor ar

na płaszczyźnie dwuwymiarowej tworzący kąt α z wyroacuteżnioną prostą składowa roacutewnoległa do tej prostej wynosi αcosaa =II (dla α = 0 wartość tej składowej wynosi aa =II

a dla α = π2 wynosi 0a =II ) zaś składowa prostopadła αsinaa =perp

Przykład

Rozłoacuteż siłę grawitacji działającą na ciało znajdujące się na powierzchni roacutewni o kącie nachylenia α na składową prostopadłą i roacutewnoległą do powierzchni roacutewni

Siła ciężkości ( mgFc = ) skierowana pionowo w doacuteł może być składo-

wą roacutewnoległą i prostopadłą do roacutewni (Rysunek 12) Ze względu na podobieństwo troacutejkątoacutew kąt α tworzący roacutewnię będzie roacutewnież występo-wał między siłą ciężkości i jej składowymi Składowa siły ciężkości roacutewnoległa do powierzchni roacutewni (siła ściągająca ciało) wynosi więc

αsinmgFII = a składowa prostopadła będąca siłą nacisku ciała na

roacutewnię αcosmgF =perp

CZYM JEST FIZYKA WIELKOŚCI FIZYCZNE JEDNOSTKI I WZORCE

Strona 19191919

Rysunek 12 Rozłożenie siły ciężkości działającej na ciało

na powierzchni roacutewni na składowe

ROZDZIAŁ 1

Strona 20202020

2 Opis ruchu

W tym rozdziale

o Układ odniesienia i układ wspoacutełrzędnych o Przemieszczenie i droga o Prędkość o Przyspieszenie

ROZDZIAŁ 2

Strona 22222222

21 Układ odniesienia i układ wspoacutełrzędnych

Opisując położenie obiektu musimy określić układ odniesienia czyli po-wiedzieć względem jakiego punktu będziemy opisywać położenie tego obiektu Na przykład opisując położenie samochodu zaparkowanego na ulicy między dwoma skrzyżowaniami przyjmujemy środek jednego ze skrzyżowań jako układ odniesienia Poza precyzyjnym określeniem względem jakiego punktu będziemy opisywać położenie samochodu istotne jest roacutewnież zdefiniowanie układu wspoacutełrzędnych W zależności od tego w ktoacuterą stronę będziemy zwroacuteceni stojąc na skrzyżowaniu nasz samochoacuted może być przed lub za nami z prawej lub lewej strony Po zdefiniowaniu okładu odniesienia oraz układu wspoacutełrzędnych położenie obiektu określamy podając jego odległość od osi układu wspoacutełrzędnych Rozpatrzmy samochoacuted zaparkowany na ulicy stojący w odległości 20m od skrzyżowania Samochoacuted jest obiektem przestrzennym ale w przy-padku gdy nie interesuje nas jak jest on zaparkowany (roacutewnolegle czy prostopadle) możemy zastąpić go punktem materialnym znajdującym się w środku samochodu o masie roacutewnej masie całego samochodu Jeśli interesuje nas jedynie odległość miejsca zaparkowania od skrzyżowania mierzona wzdłuż ulicy (rysunek 21 a) wybrany układ odniesienia ma tylko jeden wymiar ( x ) Jeżeli za początek układu przyjmiemy środek skrzyżowania woacutewczas położenie samochodu można opisać r = 20

Załoacuteżmy teraz że chcemy dokładniej opisać położenie samochodu (środ-ka masy samochodu) ndash będzie nas interesować nie tylko odległość mie-rzona wzdłuż ulicy ale roacutewnież położenie względem środka ulicy (czy samochoacuted zaparkowany jest tuż przy krawężniku czy na środku jezdni) W takim przypadku wprowadzimy dwuwymiarowy układ wspoacutełrzęd-nych Jeżeli przyjmiemy szerokość jezdni roacutewną 4m oraz ponownie za początek układu wspoacutełrzędnych przyjmiemy środek skrzyżowania to środek samochodu zaparkowanego przy chodniku będzie się znajdował w odległości 3m od osi jezdni (rysunek 21a) Wspoacutełrzędne zaparkowa-nego samochodu wynoszą więc x = 20 i y = minus3 a jego położenie możemy

opisać wektorem 3)(20minus=rr

Gdybyśmy natomiast chcieli opisać położenie środka masy samochodu z uwzględnieniem wysokości względem drogi potrzebna będzie trzecia wspoacutełrzędna z i troacutejwymiarowy układ wspoacutełrzędnych Przyjmując po-

OPIS RUCHU

Strona 23232323

nownie za początek układu wspoacutełrzędnych środek skrzyżowania zakła-dając że ulica jest pozioma oraz że środek masy samochodu znajduje się poacuteł metra nawierzchnią ulicy otrzymujemy wektor położenia środka ma-sy samochodu 305)(20r minus=

r

Rysunek 21 Opis położenia samochodu

a) z lewej ndash w układzie kartezjańskim dwuwymiarowym b) z prawej ndash w układzie biegunowym dwuwymiarowym

Warto zauważyć że zdefiniowany w powyższym przykładzie układ wspoacutełrzędnych jest układem prostokątnym (osie są wzajemnie prostopa-dłe) Taki układ nazywany jest roacutewnież układem kartezjańskim W pew-nych przypadkach znacznie wygodniejszy niż układ kartezjański jest tzw układ biegunowy W układzie tym położenie obiektu wyznacza wspoacutełrzędna radialna r oraz kąt α pod jakim widać obiekt względem wyroacuteżnionego kierunku Gdyby samochoacuted został zaparkowany w dziel-nicy o gwiaździstym układzie ulic (w Warszawie przykładem takiej za-budowy są Stary Żoliborz czy okolice gmachu głoacutewnego Politechniki Warszawskiej) jego położenie można by określić podając odległość od środka ronda oraz kąt (rysunek 21 b)

22 Przemieszczenie i droga

Przemieszczenie obiektu r∆r

definiujemy jako zmianę jego położenia czyli roacuteżnicę wektora opisującego położenie końcowe kr

r oraz początko-

we prr

obiektu

pk rrr∆rrr

minus= (21)

ROZDZIAŁ 2

Strona 24242424

Widzimy że tak zdefiniowany wektor zależy jedynie od początkowego i końcowego położenia ciała a nie od toru wzdłuż ktoacuterego ciało się poru-sza Wektor przemieszczenia nie określa toru po jakim ciało się prze-mieszcza z położenia początkowego do końcowego Dlatego w opisie ruchu ciała często wyznaczamy drogę przebytą przez ciało oznaczaną symbolem s ktoacutera jest roacutewna długości toru po ktoacuterym ciało się porusza W odroacuteżnieniu od wektora przemieszczenia droga jest wielkością skalarną

23 Prędkość

Kolejnym parametrem określającym stan ruchu ciała jest jego pręd-

kość vr

Prędkość średnią obiektu można zdefiniować na dwa sposoby

Prędkość średnią definiujemy jako przemieszczenie obiektu ktoacutere nastąpiło na jednostkę czasu

∆t

r∆r

r=v (22)

Tak wyrażona wielkość jest wektorem i zawiera informację o kierunku ruchu obiektu Warto jednak zauważyć że jeśli ruch nie odbywa się wzdłuż prostej wartość wektora średniej prędkości będzie znacznie od-biegać od rzeczywistej prędkości obiektu

Prędkość średnią można roacutewnież definiować za pomocą drogi pokonanej przez ciało w określonym czasie

∆t

∆s=v (23)

Wyliczona w ten sposoacuteb średnia prędkość obiektu jest skalarem i dobrze oddaje wartość średniej prędkości obiektu zaroacutewno w przypadku ruchu prostoliniowego jak i krzywoliniowego Nie zawiera jednak informacji o kierunku ruchu

Dobrym przykładem pozwalającym zrozumieć definicję prędkości jest ruch windy w pionowym szybie Załoacuteżmy że winda potrzebowała n sekund żeby przemieścić się z parteru na wysokość x [m] Dla wygody początek układu wspoacutełrzędnych umieścimy na wysokości roacutewnej

OPIS RUCHU

Strona 25252525

wysokości środka masy windy a zwrot osi ndash oznaczonej jako x minus skierujemy do goacutery W takim przypadku długość wektora przemieszcze-nia jest roacutewna przebytej przez ciało drodze i niezależnie od wyboru jednej z dwu powyższych definicji otrzymamy identyczną wartość prędkości

t

xv

∆

∆= (24)

Rysunek 22 Wyznaczanie średniej prędkości ciała

Na rysunku 22 przedstawiony został wykres położenia ciała w funkcji czasu Wyznaczając średnią prędkość ruchu tego ciała rysujemy cięciwę łączącą punkt początkowy oraz końcowy na tym wykresie a następnie wyznaczamy kąt nachylenia tej cięciwy Tangens tego kąta nachylenia roacutewny będzie co do wartości stosunkowi długości odcinkoacutew ∆x oraz ∆t i definiuje średnią prędkość ciała

Tak uzyskana wartość prędkości średniej nie zawiera jednak pełnej in-formacji o prędkości windy ndash początkowo winda znajduje się w spo-czynku następnie jej prędkość się zwiększa na odcinku między piętrami pozostaje stała a na najwyższym piętrze prędkość zmniejsza się aż do zatrzymania windy Pełniejsze dane dotyczące prędkości w poszcze-goacutelnych stadiach ruchu możemy otrzymać dzieląc wykres na mniejsze odcinki W ten sposoacuteb wyliczamy średnią prędkość windy w czasie ru-szania z miejsca średnią prędkość windy pomiędzy piętrami i średnią prędkość w trakcie hamowania Podobnie jak poprzednio wartość śred-niej prędkości wyliczonej dla danego odcinka jest roacutewna tangensowi kąta nachylenia krzywej wyliczonemu dla danego odcinka Warto zwroacute-

ROZDZIAŁ 2

Strona 26262626

cić uwagę że dla odcinka między piętrami gdzie prędkość jest stała ob-liczona średnia prędkość jest roacutewna rzeczywistej prędkości windy

Zgodnie z roacutewnaniem 23 wyznaczając prędkość średnią ciała rozpatru-jemy drogę ∆s jaką ciało to pokona w czasie ∆t Jeżeli rozpatrywane odstępy czasowe będą nieskończenie kroacutetkie czyli ∆trarr0 co oznaczamy symbolem dt woacutewczas wyznaczona w ten sposoacuteb prędkość będzie prędkością chwilową ciała Dla takich infinitezymalnych przedziałoacutew czasowych wartość przemieszczenia ciała oraz droga przebyta przez to ciało są sobie roacutewne a prędkość chwilową możemy zdefiniować

d

dlim

0 t

r

t

rv

t

rrr

=∆

∆=

rarr∆ (25)

Ze wzoru 25 wynika że prędkość chwilowa jest roacutewna pochodnej wek-tora położenia po czasie liczonej dla danej chwili Geometryczna inter-pretacja pochodnej to tangens kąta nachylenia stycznej do wykresu w danym punkcie Tak więc żeby wyznaczyć prędkość chwilową należy na wykresie drogi przebytej w funkcji czasu narysować styczną do tej krzywej w interesującym nas punkcie Im szybciej będzie się zmieniało położenie ciała tym bardziej stromy będzie wykres położenia w funkcji czasu i w efekcie większa wartość prędkości chwilowej

24 Przyspieszenie

Przyspieszenie chwilowe ciała definiujemy jako pochodną prędkości po czasie Przyspieszenie opisuje więc tempo zmian prędkości w danej chwili ruchu i wyraża się w ms2

2

2

d

d

d

) ddd(

d

)(d

t

s

t

ts

t

tva === (26)

Podobnie jak w przypadku prędkości chwilowej przyspieszenie chwilo-we jest roacutewne tangensowi kąta nachylenia krzywej określającej zależ-ność prędkości od czasu obliczonemu dla danej chwili ruchu Przeanali-zujmy jeszcze raz omawiany wcześniej ruch windy wykreślając zależ-ność prędkości windy od czasu Kiedy winda rusza z miejsca i jej prędkość jednostajnie narasta to styczna do tej krzywej będzie taka sama w każdym punkcie a więc otrzymujemy stałą dodatnią wartość przy-spieszenia Na odcinku pomiędzy piętrami wartość prędkości windy nie

OPIS RUCHU

Strona 27272727

zmienia się a więc kąt nachylenia krzywej prędkości względem osi czasu wynosi zero ndash wartość przyspieszenia jest roacutewnież zerowa Kiedy winda hamuje wykres prędkości od czasu jest liniowy a jego nachylenie przyjmuje wartość ujemną ndash zatem i przyspieszenie jest ujemne (opoacuteźnienie)

Wykresy przyśpieszenia prędkości oraz położenia od czasu dla oma-wianej windy przedstawione są na rysunku 23 Droga przebyta przez windę w początkowym etapie ruchu jest proporcjonalna do kwadratu czasu i może być wyrażona zależnością typu s = kt

2 gdzie k wyraża pewien stały wspoacutełczynnik Pochodna takiej funkcji jest funkcją liniową co oznacza że prędkość windy rośnie liniowo w funkcji czasu Podczas jednostajnego hamowania droga pokonywana przez windę roacutewnież będzie opisana funkcją kwadratową jednak w tym przypadku długość odcinkoacutew pokonywanych przez nią w jednostce czasu będzie malała z kwadratem czasu W tym etapie ruchu prędkość roacutewnież będzie się zmieniała liniowo ale tym razem prędkość będzie malała jednostajnie w czasie Pomiędzy piętrami nachylenie krzywej zależności drogi od czasu jest wielkością stałą w każdej chwili czasu ndash zatem roacutewnież prędkość jest stała

ROZDZIAŁ 2

Strona 28282828

Rysunek 23 Wykres zależności czasowej położenia prędkości

i przyśpieszenia poruszającej się w goacuterę windy

Warto poroacutewnać otrzymane zależności ze znanymi wzorami opisującymi ruch jednostajny i jednostajnie przyspieszony W ruchu prostoliniowym jednostajnie przyspieszonym przyspieszenie a ma wartość stałą ndash prędkość wyraża się wzorem

atvv += 0 (27)

gdzie 0v ndash prędkość początkowa obiektu

Pokonana przez ciało droga s wyraża się natomiast wzorem

2

2

00

attvss ++= (28)

OPIS RUCHU

Strona 29292929

gdzie s0 oznacza drogę początkową Jak łatwo zauważyć wielkości te są ze sobą powiązane zależnościami roacuteżniczkowymi ndash obliczając pochodną drogi po czasie otrzymujemy prędkość a obliczając z kolei pochodną prędkości otrzymujemy przyspieszenie ktoacutere jest stałe

ROZDZIAŁ 2

Strona 30303030

3 Dynamika

W tym rozdziale

o Zasady dynamiki Newtona o Zasada superpozycji o Zasada zachowania pędu

ROZDZIAŁ 3

Strona 32323232

31 Zasady dynamiki Newtona

Dynamika zajmuje się przyczynami zmian ruchu Ilość tego ruchu lub też stan ruchu danego ciała opisuje pęd Pęd ciała jest proporcjonalny zaroacutewno do prędkości poruszającego się ciała jak i jego masy ndash im szybciej ciało się porusza oraz im większą ma masę tym większa ilość ruchu związana jest z tym ciałem czyli tym większy jest jego pęd Jednostką pędu jest kg ms Pęd jest wektorem skierowanym zgodnie z kierunkiem prędkości ciała

vrr

mp = (31)

Dynamikę ruchu ciała czyli przyczyny zmian pędu ciała wyjaśniają zasady dynamiki Newtona Zasady dynamiki Newtona są prawami pierwszymi ktoacuterych nie można wyprowadzić ani udowodnić za pomocą innych praw Zasady dynamiki Newtona są ścisłym matematycznym ujęciem powszechnych obserwacji dotyczących poruszających się obiektoacutew

Druga zasada dynamiki Newtona

Nasze rozważania rozpoczniemy od II zasady dynamiki Newtona

Wyobraźmy sobie że chcemy rozpędzić ciężki woacutezek Z codziennych doświadczeń wynika że taki sam efekt możemy osiągnąć w wyniku kroacutetkotrwałego ale bardzo mocnego pchnięcia jak i długotrwałego popy-chania woacutezka z niewielką siłą Można roacutewnież powiedzieć że im więk-sza jest wartość siły działającej na ciało oraz im dłużej ona działa czyli im większy jest popęd tej siły tym większą zmianę pędu ona wywoła Zależność tę możemy zapisać w postaci

tF dpdvr

= (32)

Powyższy wzoacuter można przekształcić i zapisać w postaci roacuteżniczkowej (dla infinitezymalnie kroacutetkiego przedziału czasowego dt )

t

pF

d

dr

r= (33)

DYNAMIKA

Strona 33333333

Miarą siły działającej na ciało jest pochodna jego pędu po czasie

Powyższe sformułowanie oraz roacutewnanie 33 jest wspoacutełczesnym zapisem II zasady dynamiki Newtona

Definicja siły za pomocą pochodnej pędu ciała po czasie oznacza że jeżeli wykreślimy zależność pędu ciała od czasu to nachylenie stycznej do krzywej obrazującej zmiany wartości pędu od czasu będzie propor-cjonalne do wartości siły działającej na ciało

Żeby dokładniej zrozumieć znaczenie II zasady dynamiki Newtona wy-liczmy teraz wartość pochodnej pędu po czasie pamiętając że pęd jest wielkością złożoną tzn zależy zaroacutewno od masy jak i prędkości ciała

( )

vt

mm

t

v

t

mvF

d

d

d

d

d

d+== (34)

Powyższe roacutewnanie jest tzw roacuteżniczkowym roacutewnaniem ruchu ciała Pierwszy człon tego roacutewnania jest roacutewny iloczynowi masy i przyśpiesze-nia (pochodna prędkości po czasie) Widzimy zatem że im większa jest masa ciała tym trudniej jest mu nadać przyśpieszenie ndash masa jest miarą bezwładności ciała Drugi człon roacutewnania opisuje przypadki kiedy zmiana pędu następuje w wyniku zmiany masy ciała Przykładem takiego układu w ktoacuterym zmienia się masa może być rakieta Podczas startu z dysz rakiety wyrzucany jest strumień spalin ktoacutery wywołuje jej ruch ale roacutewnież zmniejsza masę całego obiektu Dla układoacutew ktoacuterych masa nie zmienia się drugi człon roacutewnania 34 wynosi zero i roacuteżniczko-we roacutewnanie ruchu można zapisać w postaci uproszczonej ndash siła F działająca na ciało o masie m nadaje mu przyspieszenie a o kierunku i zwrocie takim samym jak działająca siła

amFrr

= (35)

Pierwsza zasada dynamiki Newtona

Rozpatrzmy teraz przypadek kiedy pęd ciała jest stały czyli jego pręd-kość nie zmienia się w czasie Woacutewczas wykres zależności pędu od czasu jest linią poziomą czyli kąt nachylenia tej krzywej i zarazem tangens kąta stycznej do tej krzywej jest w każdym punkcie taki sam i wynosi zero Oznacza to że pochodna pędu po czasie w każdej chwili ruchu roacutewnież wynosi zero Zgodnie z II zasadą dynamiki Newtona

ROZDZIAŁ 3

Strona 34343434

jeżeli pochodna pędu po czasie wynosi zero to wypadkowa siła działająca na ciało roacutewnież musi wynosić zero Ten przypadek zachowa-nia się ciała pod wpływem zerowej wypadkowej siły opisuje I zasada

dynamiki Newtona

Jeżeli na ciało nie działa żadna siła albo siły działające roacutewno-ważą się to stan ruchu ciała nie ulega zmianie jeśli poruszało się prostoliniowo jednostajnie to będzie nadal trwało w tym ru-chu a jeśli było w spoczynku to nadal pozostaje w spoczynku

Zasada ta nazywana jest roacutewnież zasadą bezwładności ndash ciało nie jest władne zmienić stanu swego ruchu jeżeli nie działa na nie siła

Trzecia zasada dynamiki Newtona

Względem każdego działania (akcji) istnieje roacutewne mu przeciw-działanie (reakcja) skierowane przeciwnie tj wzajemne od-działywania dwoacutech ciał są zawsze roacutewne sobie i skierowane przeciwnie

Zgodnie z III zasadą dynamiki Newtona jeżeli jakieś ciało A działa na ciało B pewną siłą to roacutewnież ciało B działa na ciało A siłą roacutewną co do wartości ale o przeciwnym zwrocie co zapisujemy

A na BB naA FFrr

minus= (36)

Rozpatrzmy uderzenie ręką piłki siatkowej W momencie uderzenia działamy na piłkę siłą ktoacutera wywołuje jej ruch ale zgodnie z III zasadą dynamiki Newtona roacutewnież piłka działa na naszą dłoń z tą samą siłą lecz o przeciwnym zwrocie Gdy odbijamy piłkę lekko czyli działamy na nią niewielką siłą roacutewnież siła reakcji ma niewielką wartość ale przy moc-nym uderzeniu czyli gdy działamy na piłkę z dużą siłą występuje roacutewnie duża siła reakcji ktoacuterą odczuwamy jako ucisk czy nawet boacutel dłoni

Zasada superpozycji

Opisując ruch ciał pod wpływem działających na nie sił należy pamiętać że zaroacutewno siła jak i pęd są wektorami Szukając więc siły wypadkowej z kilku sił składowych działających na ciało należy dodać wektorowo wszystkie siły składowe Zmiana pędu będzie następowała w tym samym kierunku co ta wypadkowa siła W przypadku gdy roacuteżniczkowe

DYNAMIKA

Strona 35353535

roacutewnania ruchu dla każdego z kierunkoacutew w ktoacuterych działają siły składowe są liniowe możemy skorzystać z zasady superpozycji Zgod-nie z zasadą superpozycji wypadkowe zachowanie ciała pod wpływem kilku składowych sił może być opisane jako złożenie ruchoacutew wywoła-nych każdą z sił z osobna

Zasadę superpozycji wykorzystamy do opisu ruchu ciała rzuconego z prędkością początkową v0 pod pewnym kątem α względem powierz-chni Ziemi (rzut ukośny) Jeżeli chwilowo zaniedbamy opory powietrza to na takie ciało będzie działała tylko siła grawitacji skierowana wzdłuż osi pionowej ( y ) A więc tylko w kierunku pionowym będziemy obser-wowali zmianę ruchu (zmianę pędu) ciała W kierunku poziomym x natomiast na ciało nie działa żadna siła a więc pęd się nie zmienia i ruch jest jednostajny Wypadkowy ruch ciała rzuconego ukośnie jest więc złożeniem ruchu jednostajnie przyspieszonego w kierunku pionowym (pod wpływem przyspieszenia g) oraz jednostajnego w kierunku pozio-mym i może być opisany krzywą paraboliczną

32 Zasada zachowania pędu

Rozpatrzmy układ odosobniony w ktoacuterym na ciała nie oddziałują żadne siły zewnętrzne a jedynie siły wzajemnych oddziaływań Zgodnie z III zasadą dynamiki Newtona takie siły wzajemnych oddziaływań między każdymi dwoma ciałami układu są identyczne co do wartości lecz mają przeciwne zwroty Wypadkowa siła działająca na cały układ jest woacutewczas zerowa a więc zgodnie z I zasadą dynamiki Newtona całkowity pęd układu nie zmienia się w czasie Oznacza to że jeżeli w takim układzie odosobnionym nastąpi zmiana pędu jednego ciała o ∆p to pęd drugiego ciała (lub pozostałych ciał) musi roacutewnież ulec zmianie o taką samą wartość lecz o przeciwnym zwrocie (-∆p) W ten sposoacuteb dochodzimy do zasady zachowania pędu ktoacutera może być zapisana w następujący sposoacuteb

W układzie odosobnionym całkowity pęd układu (suma pędoacutew wszystkich ciał) jest wielkością stałą

0p∆

constppi

i

=

==sumr

rr

(37)

ROZDZIAŁ 3

Strona 36363636

Ponieważ pęd jest wielkością wektorową w przypadku zdarzeń opisywa-nych w więcej niż jednym wymiarze zasada zachowania pędu jest speł-niona niezależnie dla każdego z kierunkoacutew W troacutejwymiarowym ukła-dzie kartezjańskim zasadę zachowania pędu można więc zapisać

0p∆

0p∆

0p∆

z

y

x

=

=

=

(38)

Przykład 1

Zastosujmy najpierw zasadę zachowania pędu dla przykładu jednowy-miarowego Rozpatrzmy nieruchomy pocisk o masie m ktoacutery w wyniku wybuchu ulega rozerwaniu na dwie części o masach 13m oraz 23m Większa część porusza się w prawo z prędkością 0v Z jaką prędkością

i w ktoacuterą stronę poruszać się będzie mniejsza część pocisku

Ponieważ układ jest odosobniony to zgodnie z zasadą zachowania pędu całkowity pęd układu nie ulega zmianie Czyli jeżeli pęd układu przed wystrzałem wynosił zero (pocisk był nieruchomy) to roacutewnież pęd koń-cowy będący sumą pędoacutew obu części pocisku będzie roacutewny zeru Zasadę zachowania pędu w tym przypadku możemy zapisać

vmvm 31

0320 += (39)

02vv minus= (310)

Znak minus w powyższym wyniku oznacza że wektor prędkości mniej-szej części pocisku ma zwrot przeciwny do wektora prędkości większej części pocisku

DYNAMIKA

Strona 37373737

Rysunek 31 Zderzenie dwoacutech kul

Przykład 2

Zastosujmy teraz zasadę zachowania pędu dla układu dwuwymiarowego Rozważmy zderzenie dwoacutech identycznych kul bilardowych o masie m każda W chwili początkowej kula B jest nieruchoma i uderza w nią kula

A poruszająca się wzdłuż osi x z prędkością 0v W jakim kierunku i z jaką prędkością będzie się poruszała po zderzeniu kula B jeżeli po zderzeniu kula A porusza się z prędkością 0 05 v wzdłuż osi y jak na

rysunku 31

Podobnie jak w poprzednim przykładzie zakładamy że rozważany układ jest układem odosobnionym a więc całkowity pęd układu dwoacutech kul przed i po zderzeniu jest taki sam W szczegoacutelności składowe pędu całkowitego układu w kierunku każdej z osi układu odniesienia roacutewnież nie zmieniają się Przed zderzeniem w kierunku osi x całkowity pęd układu był roacutewny pędowi kuli A (tylko kula A porusza się w kierunku x a kula B jest nieruchoma) natomiast po zderzeniu tylko prędkość kuli B ma pewną składową wzdłuż osi x a więc po zderzeniu pęd całkowity układu w kierunku osi x jest roacutewny składowej pędu kuli B Zasadę zachowania pędu dla kierunku x możemy zatem zapisać

BXB0A

xkoncowy x poczatkowy

mm

pp

vv =

= (311)

ROZDZIAŁ 3

Strona 38383838

W kierunku osi y pęd początkowy układu wynosi zero (żadna z kul nie porusza się wzdłuż osi y) zaś pęd końcowy związany jest z kulą A poruszającą się w goacuterę w kierunku osi y oraz kulą B ktoacuterej prędkość ma składową o zwrocie przeciwnym niż oś y (składowa w doacuteł) Zasadę zachowania pędu dla kierunku y możemy więc zapisać

ByBAyA

ykoncowy y poczatkowy

mm0

pp

vv minus=

= (312)

Uwzględniając αcosBBx vv = αsinBBy vv = 0Ay 05 vv = oraz

przyjmując mmm BA == układ roacutewnań 311 oraz 312 możemy przekształcić do postaci

=sdot

sdot=

α

α

sinm05m

cosmm

B0

B0

vv

vv (313)

a następnie wyznaczyć prędkość kuli B oraz kąt pod jakim poruszać się będzie kula B

==

=

4tg

22

21

0B

παα

vv (314)

Kula B poruszać się więc będzie z prędkością 22

0B vv = w prawo

i w doacuteł pod kątem π4 względem osi x

Zasada zachowania pędu jest wykorzystywana i pozwala wyjaśnić dzia-łanie między innymi silnikoacutew odrzutowych samolotoacutew czy strumienio-wych łodzi W silniku odrzutowym powietrze jest najpierw zasysane do komory silnika w ktoacuterej ulega kompresji W skompresowanym powie-trzu następuje spalanie benzyny a gorące spaliny opuszczają dyszę silni-ka z dużą prędkością Pęd wyrzucanych spalin wywołuje w tym przypad-ku zmianę pędu silnika a przez to całego samolotu Konstrukcje innego typu wykorzystujące strumień rozpędzonych jonoacutew (naładowanych czą-stek) używane są do pozycjonowania satelitoacutew i sond kosmicznych Silniki oparte na zasadzie odrzutu wykorzystywane są roacutewnież w napę-dzie skuteroacutew wodnych i nowoczesnych łodzi podwodnych W tym drugim przypadku hałas wytwarzany przez układ napędowy jest niższy niż w tradycyjnym rozwiązaniu ze śrubą napędową Należy pamiętać że

DYNAMIKA

Strona 39393939

roacutewnież w przypadku śrub śmigieł i wirnikoacutew napędowych wykorzystu-jemy w mniejszym lub większym stopniu zjawisko odrzutu

ROZDZIAŁ 3

Strona 40404040

4 Praca i energia

W tym rozdziale

o Praca o Pole sił zachowawczych i niezachowawczych o Pole sił grawitacyjnych praca i energia w polu sił

grawitacyjnych o Ruch po okręgu ruch planet wokoacuteł Słońca prawa

Keplera o Energia potencjalna sprężystości o Energia kinetyczna o Zasada zachowania energii mechanicznej o Zderzenia

ROZDZIAŁ 4

Strona 42424242

41 Praca

W języku potocznym pojęcie pracy ma wiele znaczeń Moacutewimy o pracy umysłowej (na przykład uczenie się do egzaminoacutew) ale najczęściej z po-jęciem pracy wiąże się przemieszczaniem ciała Jeżeli na przykład prze-suwamy meble w pokoju to tym bardziej się zmęczymy im dalej przesu-niemy dany mebel Wiemy roacutewnież że bardziej męczące jest przesuwa-nie ciężkiej kanapy niż lekkiego krzesła oraz że dużo łatwiej jest przesu-wać meble po gładkiej podłodze niż po dywanie Tak więc moglibyśmy powiedzieć że tym bardziej się zmęczymy (wykonamy większą pracę) im trudniej jest nam przesuwać ciało (pokonać większą siłę) oraz im dalej to ciało przesuniemy (większe przemieszczenie) W ten sposoacuteb dochodzimy do fizycznej definicji pracy

Praca jest roacutewna iloczynowi przemieszczenia oraz siły ktoacutera te przemieszczenie wywołuje Praca jest wielkością skalarną wyra-żaną w dżulach (ang Joul) [J] i w ogoacutelności może być zdefinio-wana jako iloczyn skalarny siły i przesunięcia

αcos sFsFW =sdot=rr

(41)

gdzie α oznacza kąt między wektorem siły i przesunięcia

Rysunek 41 Praca jako iloczyn skalarny siły i przesunięcia

Taka definicja pracy uwzględnia fakt że pracę wykonuje tyko składowa siły roacutewnoległa do wektora przesunięcia Na przykład jeśli przesuwamy skrzynię po podłodze na odległość D = 3m ciągnąc ją za uchwyt siłą F = 20N skierowaną pod kątem α = 45ordm do poziomu to zgodnie z po-wyższym wzorem wykonamy pracę W = 423J Zależnie od wartości sił tarcia wykonana praca może być w całości zużyta na pokonanie sił tar-cia na tej drodze bądź (jeśli podłoga jest śliska) na nadanie dodatkowo skrzyni przyspieszenia

PRACA I ENERGIA

Strona 43434343

Definicja pracy przedstawiona w roacutewnaniu (41) słuszna jest jeśli za-roacutewno siła działająca na ciało jak i kąt między tą siłą a przesunięciem mają stałą wartość Jeśli natomiast wartość siły lub kąta pomiędzy kie-runkiem siły a wektorem przemieszczenia zmienia się podczas ruchu musimy zastosować inną procedurę obliczania pracy całkowitej Ponie-waż praca jest wielkością addytywną czyli całkowita praca wykonana na określonej drodze jest roacutewna sumie prac wykonanych na poszczegoacutelnych jej odcinkach to możemy całą drogę podzielić na takie odcinki dla ktoacuterych wartość siły i kąta między siłą a przemieszczeniem są stałe

nnn222111 coscoscos ααα xFxFxFW +++= (42)

Przykładowo praca wykonana przy przesuwaniu kanapy w pokoju mogłaby zostać podzielona na dwie składowe ndash przesunięcia po dywanie oraz po parkiecie

Opisaną procedurę obliczania pracy całkowitej można roacutewnież przedsta-wić w formie graficznej jako procedurę wyznaczania pola pod wykresem

zależności siły od przesunięcia Jeżeli na pewnym odcinku drogi nx siła

ma stałą wartość nF to pole pod takim odcinkiem wykresu wynosi

nn xF i jest roacutewnoznaczne wykonanej pracy

Jeżeli siła zmienia swoją wartość lub zwrot w każdej chwili czasu nie-zbędne jest podzielenie drogi na nieskończenie wiele bardzo małych kawałeczkoacutew (infinitezymalnie małych) dla ktoacuterych można przyjąć stałą wartość działającej siły Praca całkowita będzie sumą składowych prac wyznaczonych dla każdego z takich infinitezymalnych odcinkoacutew Proce-dura taka odpowiada matematycznej operacji całkowania i możemy ją zapisać w postaci

( ) ( )int=

=

=b

a

)( dcos x

x

xxxFW α (43)

lub w zapisie wektorowym

( )int=

=

sdot=b

a

dx

x

xxFWrr

(44)

W powyższym zapisie wprowadziliśmy znak całki oznaczonej ktoacutery oz-nacza że sumowanie składowych wartości pracy przeprowadzane jest od punktu x = a do x = b

ROZDZIAŁ 4

Strona 44444444

Aby wyjaśnić sposoacuteb obliczania całki oznaczonej rozpatrzmy najpierw całkę nieoznaczoną

( ) ( )int= xxfxg d (45)

gdzie int jest symbolem całkowania (jest to stylizowana litera s i odpo-

wiada sumowaniu) dx ndash zmienną całkowania f(x) ndash funkcją podcałkową zaś g(x) jest funkcją pierwotną Operacja całkowania jest operacją odwrotną do roacuteżniczkowania i oznacza że szukamy takiej funkcji g(x) ktoacuterej pochodna po zmiennej x będzie roacutewna funkcji podcałkowej f(x)

)(d

)(dxf

x

xg= (46)

Należy podkreślić że funkcję g(x) będącą wynikiem całkowania znamy z dokładnością do stałej ndash dodanie do funkcji g(x) dowolnej stałej C nie zmienia jej pochodnej f(x) Zatem wzoacuter 45 należy przepisać w postaci

( ) ( )int=+ xxfxg dC (47)

Rozpatrzmy teraz całkę oznaczoną

a)(b)()d(Zb

a

=minus=== int=

=

xgxgxxf

x

x

(48)

gdzie x = a jest dolną granicą całkowania zaś x = b jest goacuterną granicą całkowania

W wyniku obliczania całki oznaczonej w przeciwieństwie do całki nie-oznaczonej otrzymujemy liczbę (Z) a nie funkcję (g(x)) W praktyce w celu wyznaczenia wartości Z takiej całki oznaczonej najpierw znajdu-jemy funkcję g(x) będącą rozwiązaniem całki nieoznaczonej z funkcji f(x) a następnie od wartości tej funkcji w goacuternej granicy całkowania (g(x=b)) odejmujemy wartość otrzymaną w dolnej granicy całkowania (g(x=a))

Przykłady

Przykład 1 Jaką pracę należy wykonać by wciągnąć ciało o masie m po gładkiej roacutewni pochyłej o kącie nachylenia α na wysokość H Opory ruchu zaniedbujemy

PRACA I ENERGIA

Strona 45454545

Rysunek 42 Ruch ciała po roacutewni pochyłej

Załoacuteżmy że działamy na ciało siłą F skierowaną wzdłuż powierzchni roacutewni Ciężar ciała (mg) skierowany pionowo w doacuteł rozkładamy na dwie dwie składowe roacutewnoległą do roacutewni siłę ściągającą ciało w stronę podstawy roacutewni Fs oraz prostopadłą do roacutewni siłę nacisku FN Aby wciągać ciało siła F musi roacutewnoważyć siłę zsuwającą Fs

αsinmgF S = (49)

Droga na ktoacuterej wykonujemy pracę jest roacutewna

αsinHS = (410)

Zatem całkowita praca wynosi

mgHSFW S == (411)

Wynik ten jest identyczny jaki uzyskamy gdybyśmy podnosili ciało pionowo w goacuterę Tak więc jeżeli zaniedbamy opory ruchu praca (w polu grawitacyjnym) nie zależy od drogi po ktoacuterej przesuwamy ciało a jedy-nie od położenia punktu początkowego i końcowego

Przykład 2 Jaką pracę należy wykonać by wciągnąć ciało o masie m po roacutewni pochyłej o kącie nachylenia α na wysokość H jeśli wspoacutełczynnik tarcia kinetycznego o powierzchnię roacutewni wynosi micro

W tym przypadku wciągając przedmiot po roacutewni podobnie jak w po-przednim zadaniu roacutewnież musimy pokonywać siłę ściągającą ciało ku podstawie roacutewni Fs wykonując pracę roacutewną W1 = mgH Ponieważ na roacutewni występuje dodatkowo siła tarcia T do wciągnięcia ciała niezbędna będzie roacutewnież dodatkowa praca Siła tarcia jest proporcjonalna do siły

ROZDZIAŁ 4

Strona 46464646

nacisku ciała na powierzchnię FN (wypadkowa wszystkich sił działają-cych w kierunku prostopadłym do powierzchni) a jej kierunek i zwrot są zawsze przeciwne wektorowi przemieszczenia ndash tarcie przeciwdziała ruchowi ciała

SFT N= (412)

Tak więc praca związana z pokonaniem siły tarcia wynosi

SFSTW N2 micro== (413)

gdzie

αcosmgFN = (414)

Zatem całkowita praca wciągnięcia ciała po roacutewni pochyłej o kącie nachylenia α na wysokość H jest roacutewna

( )α

HαmicroαmgWWW

sincossin21 +=+= (415)

Przykład 3 Jaką pracę należy wykonać by oproacuteżnić przydomowy kolek-tor ściekowy o głębokości D = 2m i objętości V = 6m3 do cysterny Za-roacutewno zbiornik kolektora jak i zbiornik cysterny mają identyczne wy-miary Przyjmij że dno zbiornika cysterny znajduje się na identycznej wysokości jak goacuterna powierzchnia zbiornika kolektora

Rysunek 43 Przepompowywanie wody z kolektora ściekowego

do cysterny

Problem z pozoru wydaje się prosty ndash należy unieść pewną ilość wody na określoną wysokość Zauważamy że praca do wpompowania pierw-

PRACA I ENERGIA

Strona 47474747

szej porcji wody z powierzchni kolektora jest niewielka ndash dno cysterny znajduje się na identycznej wysokości co powierzchnia zbiornika Jed-nak po wpompowaniu do cysterny pierwszej porcji wody wytworzy ona warstwę o wysokości dh zaś poziom płynu w zbiorniku obniży się o dh i następna porcja musi być uniesiona na wysokość odpowiednio większą

Podzielmy rozwiązanie tego zagadnienia na dwa etapy ndash wypompowanie wody ze zbiornika na poziom ziemi (praca W1) oraz wpompowanie wody z poziomu ziemi do cysterny (W2) Będziemy rozpatrywać jednakowe małe porcje wody ndash warstwy o wysokości dh Masę takiej warstwy możemy wyrazić jako dm = Sρdh gdzie ρ jest gęstością wody a S polem przekroju zbiornika (roacutewnież cysterny) a siła użyta do podniesienia każdej takiej porcji wody ma tę samą stałą wartość Praca wykonana na podniesienie tej warstwy na wysokość h wynosi dW = Sρhdh Przy oproacuteżnianiu zbiornika porcję wody początkowo będziemy podnosić na wysokość 0 a na końcu na wysokość D ndash wielkości te będą granicami całkowania przy wyliczaniu pracy W1

2

DMg

2

DSρρhhgρSW

2D

0

1 === int d (416)

gdzie przez M możemy oznaczyć całkowitą masę wody roacutewną M = Vρ Pracę W2 niezbędną do napełnienia cysterny liczymy w identyczny sposoacuteb i otrzymamy tę samą wartość co w przypadku oproacuteżniania zbior-nika (W2 = W1) Całkowita praca wykonana przy przepompowaniu wody ze zbiornika do cysterny wynosi zatem

MgDWWW 1 =+= 2 (417)

Warto zwroacutecić uwagę że identyczny wynik uzyskalibyśmy traktując wodę jako bryłę sztywną o środku masy położonym w połowie wysokoś-ci zbiornika (w praktyce można to osiągnąć np żelując lub zamrażając wodę) ktoacuterą podnosimy na wysokość D Woacutewczas praca wykonana w obu przypadkach ndash czy mamy do czynienia z cieczą czy z bryłą lodu musi być taka sama Z przykładu tego wynika praktyczna wskazoacutewka że zamiast rozpatrywać obiekty rozciągłe przestrzennie możemy zastępo-wać je masą punktową czyli przyjąć że cała masa zgromadzona jest w jednym punkcie znajdującym się w środku ciężkości obiektu

ROZDZIAŁ 4

Strona 48484848

42 Pole sił zachowawczych i niezachowawczych

Jeśli siły są zachowawcze to praca wykonana podczas prze-mieszczenia obiektu nie zależy od drogi po jakiej przesuwamy ciało a jedynie od położenia punktu początkowego oraz końcowego

Rysunek 44 Praca przemieszczenia ciała w polu sił zachowawczych

Rozważmy dwie drogi między punktami A oraz B ndash A1B oraz A2B ndash przedstawione na rysunku 44 Jeżeli praca przemieszczenia ciała z pun-ktu A do punktu B po drodze A1B oraz A2B ma taką samą wartość to punkty A i B znajdują się w polu sił zachowawczych Praca przemiesz-czenia ciała w polu sił zachowawczych zależy tylko od położenia punktu początkowego i końcowego Zatem w przedstawionym przypadku praca wykonana po drodze zamkniętej wynosi zero gdyż położenie końcowe jest tożsame z początkowym Przykładem pola sił zachowawczych jest pole grawitacyjne Jeżeli pewien przedmiot przesuniemy na wierzchołek idealnie gładkiej roacutewni pochyłej wykonamy pewną pracę przeciwsta-wiając się sile grawitacji Przesunięcie tego przedmiotu z powrotem do położenia początkowego u podnoacuteża roacutewni odbywa się pod wpływem siły grawitacji Wykonuje ona nad przedmiotem pracę roacutewną co do wartości pracy wykonanej przez nas Ponieważ w tym przypadku zwrot siły jest przeciwny roacutewnież praca ma przeciwny znak W efekcie całkowita praca na takiej drodze zamkniętej (wsunięcie i zsunięcie po roacutewni pochyłej) jest roacutewna zeru Podobnie zerową całkowitą pracę otrzymamy na przykład dla ruchu wahadła zegara jeżeli zaniedbamy opory powietrza oraz opory mechanizmu Wahadło podnosząc się wykonuje

PRACA I ENERGIA

Strona 49494949

pracę przeciw siłom grawitacji ale podczas obniżania to siły grawitacji wykonują identyczną pracę nad wahadłem

Jeśli ciało znajduje się w polu sił niezachowawczych to praca wykona-na na drodze zamkniętej jest roacuteżna od zera Wszystkie układy w ktoacuterych mamy do czynienia z siłami oporu np siłami tarcia tworzą pole sił niezachowawczych W polu sił niezachowawczych część pracy zazwy-czaj rozpraszana jest w postaci ciepła i niemożliwe jest całkowite jej odzyskanie w postaci pracy mechanicznej

43 Pole sił grawitacyjnych

Siła grawitacji jest siłą przyciągającą działającą między wszystkimi ciałami obdarzonymi masą Wartość siły przyciągania grawitacyjnego zależy od masy oddziałujących ciał m1 i m2 oraz odległości r między nimi

221

r

mmGF = (418)

gdzie r ndash odległość pomiędzy masami G = 66742middot10-11 Nm2kg-2 ndash stała grawitacji

Podkreślając powszechność siły przyciągania grawitacyjnego należy za-znaczyć roacutewnież że wpływ oddziaływań grawitacyjnych pochodzących od niektoacuterych obiektoacutew często może być pominięty Na przykład na jabłko wiszące na drzewie działa nie tylko siła grawitacji pochodząca od Ziemi ale także od drzewa obserwatora stojącego pod drzewem czy in-nych jabłek wiszących powyżej naszego jabłka Ponieważ masa wszyst-kich wymienionych obiektoacutew jest wielokrotnie mniejsza niż masa Ziemi ich wpływ na wartość i zwrot wypadkowej siły grawitacji jest znikomo mały dlatego z bardzo dobrym przybliżeniem możemy zaniedbać te czynniki i rozważać wyłącznie wpływ oddziaływania grawitacyjnego Ziemi Dowodem tego że na obiekty znajdujące się na Ziemi działają roacutewnież siły przyciągania grawitacyjnego Słońca i Księżyca są min pływy morskie

Wroacutećmy do przykładu pola sił grawitacyjnych wytworzonych przez Ziemię Wartość siły grawitacji w takim polu sił jest proporcjonalna do masy ciała znajdującego się w tym polu Aby scharakteryzować pole sił

ROZDZIAŁ 4

Strona 50505050

grawitacyjnych niezależnie od masy ciała znajdującego się w tym polu definiujemy natężenie pola czyli stosunek siły działającej na niewielką masę m (nie zaburzającą pola pochodzącego od dużej masy M) do wartości tej masy m

gr

GM

mr

GMm

m

FE

22==== (419)

Zauważmy że wartość natężenia pola grawitacyjnego pochodzącego od Ziemi wyznaczona na jej powierzchni (w odległości RZ od środka Ziemi) jest roacutewna przyspieszeniu ziemskiemu g czyli wartości przyspieszenia z jakim poruszać się będzie ciało znajdujące się na powierzchni Ziemi podczas swobodnego spadku

2

Z

Z

R

GMg = (420)

Woacutewczas siłę oddziaływania grawitacyjnego Ziemi (siłę ciężkości Fc) na ciało o masie m znajdującej się na powierzchni Ziemi możemy zapisać roacutewnież w postaci

mgF =c (421)

Praca w polu sił grawitacyjnych

W poprzednim rozdziale przekonaliśmy się że podniesienie ciała na wy-sokość h wymaga wykonania nad ciałem pracy związanej z pokonywa-niem siły grawitacji (Fc = mg) i wynosi Wh = Fch = mgh Wiemy roacutew-nież że ciężarek ten upuszczony z tej samej wysokość h może wykonać pracę WC ktoacuterej wartość w układzie zachowawczym (nie istnieją siły oporu) jest identyczna z pracą wydatkowaną na jego podniesienie Wh = mgh Ciężarek znajdując się na wysokości h posiada zdolność wykonania pracy o wartości Wh = mgh Taka zdolność do wykonania pracy w fizyce nazywana jest energią

Praca i energia są ze sobą ściśle powiązane ndash wykonana praca jest magazynowana w postaci energii

Energia potencjalna sił grawitacyjnych

Energię można nazwać energią potencjalną jeśli zależy w jaw-ny sposoacuteb od położenia w polu sił

PRACA I ENERGIA

Strona 51515151

Energia ciężarka z poprzedniego przykładu znajdującego się na pewnej wysokości nad Ziemią spełnia tę definicję W pobliżu powierzchni Zie-mi dla niedużych zmian wysokości na ciało działa siła przyciągania o wartości mg Jeżeli opisując takie ciało wprowadzimy poziom odnie-sienia względem ktoacuterego liczymy wysokość (np powierzchnię Ziemi) to dowolnemu ciału znajdującemu się na wysokości h powyżej tego poziomu możemy przypisać konkretną wartość energii potencjalnej

mghE = (422)

Mapa geograficzna z naniesionymi poziomicami wyrażającymi wyso-kość punktoacutew względem poziomu morza (punkt odniesienia) może zo-stać zatem odczytana roacutewnież jako zapis energii potencjalnej ciała znaj-dującego się na powierzchni ziemi

Czy praca wykonana przeciwko siłom tarcia roacutewnież powoduje wzrost energii potencjalnej W tym przypadku praca nie jest magazynowana w postaci energii mechanicznej ale tracona (rozpraszana) w postaci cie-pła Możemy woacutewczas moacutewić jedynie o wzroście energii wewnętrznej ciała ndash problem ten omoacutewimy dokładniej w rozdziale poświęconym termodynamice

Podobnie jak w przypadku siły oddziaływania grawitacyjnego wzoacuter 421 jest prawdziwy jedynie dla obiektoacutew znajdujących się w pobliżu po-wierzchni Ziemi tak samo zależność 422 opisująca energię potencjalną pola sił grawitacyjnych jest prawdziwa jedynie dla niewielkich w poroacutew-naniu z promieniem Ziemi odległości od powierzchni Ziemi

W ogoacutelności energię potencjalną ciała możemy zdefiniować jako pracę jaką należy wykonać by umieścić ciało w danym punkcie Załoacuteżmy że przemieszczenie ciała o masie m odbywa się z punktu odległego o r1 od środka ciała o masie M do punktu odległego o r2 gdzie r2 lt r1 Obliczając pracę przesunięcia tego ciała z punktu r1 do r2 korzystamy ze wzoru 418 oraz 43 w ktoacuterym za wartość cosinusa przyjmujemy 1 gdyż w rozwa-żanym przypadku wektor przemieszczenia z punktu r1 do r2 oraz siła grawitacji mają ten sam kierunek i zwrot

int=2

1

r

r

2r

r

GMmW d (423)

Skorzystaliśmy w tym przypadku z całkowej postaci wzoru na pracę ponieważ siła działająca na ciało ma zmienną wartość ndash zależy od odległości od środka ciała o masie M Funkcją pierwotną dla funkcji 1r2

ROZDZIAŁ 4

Strona 52525252

jest funkcja 1r Aby obliczyć wartość powyższej całki od wartości funkcji pierwotnej wyznaczonej w goacuternej granicy odejmujemy wartość w dolnej granicy całkowania Otrzymujemy wzoacuter końcowy na pracę przesunięcia ciała o masie m w polu grawitacyjnym ciała o masie M z punktu odległego od środka ciała M o r1 do punktu odległego o r2

minus=

21 r

1

r

1GMmW (424)

Powyższy wzoacuter na pracę zależy od dwoacutech zmiennych ndash punktu odniesię-nia (r1) oraz punktu w ktoacuterym znajduje się ciało (r2) Żeby uniknąć pro-blemu definiowania za każdym razem punktu odniesienia we wszystkich zagadnieniach związanych z polem sił grawitacyjnych umieszczamy punkt odniesienia w nieskończoności Woacutewczas pierwszy wyraz we wzorze 424 zeruje się (jedność podzielona przez nieskończo-ność wynosi zero) i wartość wykonanej pracy zależy wyłącznie od koń-cowego położenia ciała w polu grawitacyjnym Oznacza to że energia potencjalna grawitacji ciała o masie m znajdującego się w odległości r od masy M będącej źroacutedłem pola grawitacyjnego wynosi więc

r

GMmWE P

minus== (425)

Jak pokazaliśmy powyżej ujemny znak energii potencjalnej jest konsek-wencją wyboru punktu odniesienia

Gdyby energia potencjalna nie była zdefiniowana ze znakiem minus energia potencjalna ciała znajdującego się w większej odległości od ma-sy M byłaby mniejsza Ponieważ wszystkie układy dążą do osiągnięcia minimum energii wszystkie ciała oderwałyby się od powierzchni Ziemi Obecność znaku minus powoduje że ciało by obniżyć swoją energię po-tencjalną porusza się w kierunku środka Ziemi Woacutewczas gdy odległość r od środka Ziemi maleje energia potencjalna staje się coraz bardziej ujemna czyli coraz mniejsza

Dla obiektoacutew znajdujących się w polu grawitacyjnym definiuje się czę-sto jeszcze jedną wielkość fizyczną ndash potencjał grawitacyjny Potencjał grawitacyjny jest roacutewny energii ciała podzielonej przez jego masę m (traktujemy masę m jako na tyle małą że nie zakłoacuteca ona pola) Potencjał jest zatem związany wyłącznie z masą M będącą źroacutedłem pola grawitacyjnego

PRACA I ENERGIA

Strona 53535353

r

GMV g

minus= (426)

Druga prędkość kosmiczna

Druga prędkość kosmiczna jest to minimalna prędkość jaką powinno mieć ciało żeby mogło opuścić pole grawitacyjne Ziemi W sposoacuteb ścisły warunek ten spełniony będzie tylko w nieskończoności ale w prak-tyce chodzi nam o odległość na tyle dużą aby energia potencjalna ciała (wzoacuter 425) była bliska zeru

Załoacuteżmy że rakieta o masie m zostaje wystrzelona z powierzchni Ziemi pionowo do goacutery z prędkością v Na powierzchni Ziemi rakieta ta będzie miała więc zaroacutewno energię potencjalną (wzoacuter 425) jak i energię kine-tyczną roacutewną Ek = frac12middotmmiddotv

2 Całkowita energia rakiety na powierzchni Ziemi wynosi zatem

2

m

r

GMmE

2

c

v+

minus= (427)

Żeby rakieta mogła dolecieć do nieskończoności jej całkowita energia na powierzchni Ziemi musi być przynajmniej roacutewna zero (Ec ge 0) Stąd otrzymujemy wzoacuter na II prędkość kosmiczną

Z

Z

ZII gR

R

GM22==v (428)

gdzie RZ jest promieniem zaś MZ jest masą Ziemi z ktoacuterej startuje rakieta Dla Ziemi wartość II prędkości kosmicznej wynosi 112 kms Drugą prędkość kosmiczną można wyznaczyć dla roacuteżnych ciał niebies-kich i np dla Księżyca wynosi ona 24 kms zaś dla Jowisza 595 kms

44 Ruch po okręgu

Szczegoacutelnym przypadkiem ruchu krzywoliniowego jest ruch jednostajny po okręgu czyli ruch jaki wykonuje ciało poruszające się w jednej płaszczyźnie ze stałą prędkością będące jednocześnie w stałej odległości od wybranego punktu odniesienia Tor ruchu takiego ciała jest okręgiem Opisując ruch po okręgu korzystnie jest zastosować biegunowy układ

ROZDZIAŁ 4

Strona 54545454

wspoacutełrzędnych Przypomnijmy że w układzie biegunowym położenie ciała jest opisywane przez jego odległość od początku układu wspoacutełrzęd-nych (wspoacutełrzędna radialna r) oraz przez położenie kątowe względem wybranej osi odniesienia (wspoacutełrzędna kątowa α) Jeżeli w opisie ruchu po okręgu początek biegunowego układu wspoacutełrzędnych umieścimy w środku okręgu to wspoacutełrzędna radialna będzie stała a zmieniać się bę-dzie jedynie położenie kątowe ciała Podobnie jak w przypadku ruchu prostoliniowego w ruchu po okręgu prędkość jest pochodną drogi kątowej po czasie i nazywana jest prędkością kątową ω

td

dαω = (430)

Prędkość kątowa mierzona w radianach na sekundę jest wektorem ktoacuterego kierunek zgodny jest z osią wokoacuteł ktoacuterej następuje obroacutet a zwrot wyznacza reguła śruby prawoskrętnej lub reguła prawej dłoni (jeżeli palce otwartej dłoni pokazują zwrot wektora prędkości liniowej czyli kierunek obrotu to kciuk wyznacza kierunek i zwrot wektora prędkości kątowej)

Pochodna prędkości kątowej po czasie definiuje przyspieszenie kątowe ε

2

2

d

d

d

d

tt

αω==ε (431)

Przedstawione powyżej definicje przyspieszenia i prędkości kątowych są analogiczne do odpowiednich wielkości w ruchu prostoliniowym Poszu-kując relacji pomiędzy wielkościami opisującymi ruch obrotowy oraz ruch liniowy zaczniemy od wyznaczenia drogi czyli długości łuku prze-bytej przez ciało poruszające się po okręgu Wielkość ta będzie zależała zaroacutewno od zmiany położenia kątowego jak i od położenia radialnego

czyli odległości od osi obrotu rαl = Jeżeli zroacuteżniczkujemy tę zależ-ność po czasie otrzymamy relacje między prędkością liniową i kątową a po ponownym zroacuteżniczkowaniu relację między przyspieszeniem linio-wym i kątowym Otrzymamy w ten sposoacuteb zestaw zależności

=

=

=

ra

r

r

ε

ω

αl

v (432)

PRACA I ENERGIA

Strona 55555555

Ponieważ poruszające się po okręgu ciało wraca cyklicznie do miejsca startu prędkość kątową można powiązać z częstotliwością

Tr

f1

22===

ππ

ω v (433)

Jednostką częstotliwości jest 1Hz (Hertz) = 1sndash1 co oznacza że przy czę-stotliwości 1Hz ciało wykonuje jeden obroacutet na sekundę Odwrotnością częstotliwości jest okres obrotu T czyli czas jednego pełnego obrotu wyrażony w sekundach

Przyspieszenie w ruchu po okręgu

W rozdziale 24 wprowadziliśmy składową styczną oraz normalną przy-spieszenia dla ruchu krzywoliniowego W przypadku jednostajnego ru-chu po okręgu wartość prędkości mierzona wzdłuż okręgu jest stała a więc składowa styczna przyspieszenia jest zerowa Przyśpieszenie cał-kowite w ruchu po okręgu jest więc roacutewne składowej normalnej

r

aa n

2v

== (434)

Składowa normalna przyspieszenia skierowana jest do środka krzywizny toru wzdłuż promienia okręgu i dlatego często nazywana jest składową radialną Ponieważ przyspieszenie normalne skierowane jest do środka okręgu nazywa się je roacutewnież przyspieszeniem dośrodkowym Odpowia-dająca mu siła oddziaływania ktoacutera wywołuje ruch ciała o masie m po okręgu o promieniu r jest nazywana siłą dośrodkową

r

mF

2v

= (435)

W przypadku obracającej się karuzeli metalowy pręt mocujący krzesełko działa na krzesełko karuzeli siłą skierowaną do środka roacutewną co do war-tości zdefiniowanej powyżej sile dośrodkowej Osoba siedząca na krzesełku karuzeli odczuwać będzie istnienie siły skierowanej wzdłuż promienia na zewnątrz Siłę taką występującą w układzie związanym z ciałem poruszającym się po okręgu nazywać będziemy siłą odśrodko-

wą Siła ta jest roacutewna co do wartości sile dośrodkowej ale ma przeciwny zwrot Warto podkreślić że siła odśrodkowa jest siłą pozorną i w mo-mencie przerwania pręta mocującego krzesełko karuzeli krzesełko to nie będzie poruszało się ruchem przyspieszonym wzdłuż promienia tylko ruchem jednostajnym prostoliniowym w kierunku wyznaczonym przez

ROZDZIAŁ 4

Strona 56565656

wektor prędkości w momencie zerwania pręta Układ odniesienia zwią-zany z takim poruszającym się po okręgu punktem jest tzw układem nieinercjalnym w ktoacuterym występują siły bezwładności działające na ciało W hamującym samochodzie przedmiot znajdujący się na poacutełce doznaje przyspieszenia względem samochodu ndash przedmiot zachowuje się bezwładnie czyli zachowuje stan ruchu przed hamowaniem i porusza się w kierunku przodu samochodu Jeśli ten sam samochoacuted porusza się po okręgu (wykonuje gwałtowny zakręt) przedmiot roacutewnież doznaje przy-spieszenia względem samochodu Przedmiot roacutewnież tutaj zachowuje się bezwładnie ndash porusza się po linii prostej (względem układu spoczynko-wego) i w konsekwencji zmienia położenie względem samochodu ndash przesuwa się w kierunku boku samochodu Siedząc w samochodzie od-czuwamy siłę wypychającą ciało na zewnątrz okręgu po ktoacuterym porusza się pojazd W obu przypadkach zaroacutewno hamowania jak i ruchu po okręgu siły bezwładności jakim ulega przedmiot są konsekwencją przy-spieszenia całego pojazdu

W przypadku pralek i suszarek bębnowych siła odśrodkowa wykorzysty-wana jest do usuwania wody z tkanin W urządzeniach takich jak wiroacutew-ki wykorzystuje się dodatkowo fakt że siła odśrodkowa zależy nie tylko od prędkości z jaką kręcą się obiekty we wnętrzu bębna wiroacutewki ale roacutewnież od masy tych obiektoacutew co umożliwia oddzielenie cięższych frakcji od lżejszych

Ruch planet wokoacuteł Słońca

Pierwsza prędkość kosmiczna

Przed odkryciem Kopernika w opisie ruchu planet i gwiazd korzystano z tzw geocentrycznego modelu świata w ktoacuterym Ziemia znajdowała się w centrum wszechświata a wszystkie ciała niebieskie krążyły wokoacuteł niej W dziele bdquoO obrotach ciał niebieskichrdquo Kopernik zaproponował model w ktoacuterym planety krążą wokoacuteł Słońca po orbitach kołowych (mo-del heliocentryczny) co pozwoliło stworzyć spoacutejny opis wielu zjawisk astronomicznych Jak już wiemy z poprzednich rozdziałoacutew aby planeta lub inne ciało niebieskie poruszało się po okręgu musi na nie działać siła dośrodkowa Newton jako pierwszy stwierdził że siłą dośrodkową jest siła grawitacji

r

m

r

GMm2

2

v= (436)

PRACA I ENERGIA

Strona 57575757

Gdyby nie istniała siła grawitacji ciało nie doznałoby przyspieszenia do-środkowego nie nastąpiłoby zakrzywienie toru i odleciało by w prze-strzeń Gdyby z kolei ciało nie miało prędkości stycznej na orbicie spadłoby na ciało centralne

Na podstawie zależności 436 możemy policzyć prędkość jaką musi mieć ciało o masie m aby poruszać się po orbicie Ziemi o promieniu roacutewnym promieniowi Ziemi RZ

Z

Z

ZI gR

R

GM==v (437)

Tak zdefiniowana prędkość nazywana jest pierwszą prędkością kosmicz-ną Dla Ziemi pierwsza prędkość kosmiczna przyjmuje wartość roacutewną około 791 kms Podobnie jak w przypadku drugiej prędkości kosmicz-nej roacutewnież pierwszą prędkość kosmiczną można wyznaczyć dla innych ciał niebieskich

W przeciwieństwie do drugiej prędkości kosmicznej w przypadku ktoacuterej rozważaliśmy prędkość skierowaną prostopadle w stosunku do powierz-chni ciała niebieskiego pierwsza prędkość odnosi się do wartości pręd-kości skierowanej roacutewnolegle do powierzchni ciała niebieskiego Jeśli satelita będzie miał mniejszą prędkość spadnie na powierzchnię ciała niebieskiego jeśli większą ndash siła grawitacji nie będzie wystarczająca do nadania satelicie odpowiedniego przyspieszenia dośrodkowego i ciało bądź znajdzie się na orbicie o większym promieniu bądź opuści pole grawitacyjne

Prawa Keplera

W heliocentrycznym modelu Kopernika planety krążą po kołowych orbi-tach Poacuteźniejsze dokładniejsze analizy ruchu planet wykonane min przez Tychona de Brahe i Johannesa Keplera wykazały że orbity te są w ogoacutelności krzywymi eliptycznymi Szczegoacutełowy opis ruchu planet za-wiera model Keplera opierający się na trzech prawach

1 Planety krążą dookoła Słońca po orbitach eliptycznych Słońce znajduje się w jednym z ognisk elipsy

Układ planeta-Słońce z dobrym przybliżeniem można potraktować jako układ odosobniony tzn uwzględniamy jedynie siły wzajemnego oddzia-ływania zaniedbując oddziaływania zewnętrzne W takim odosobnionym

ROZDZIAŁ 4

Strona 58585858

układzie planeta i Słońce poruszać się będą względem środka masy ukła-du po orbitach eliptycznych W układzie Ziemia-Słońce gdzie masa Zie-mi jest ponad 3 tysiące razy mniejsza niż Słońca z dobrym przybliże-niem można przyjąć że środek masy takiego układu pokrywa się z geo-metrycznym środkiem Słońca a w konsekwencji że Słońce jest nieru-chome a Ziemia porusza się po orbicie kołowej

2 Prędkość polowa planety jest jednakowa ndash wektor łączący Słońce i planetę zakreśla jednakowe pola w jednakowych odstępach czasu

Drugie prawo Keplera wynika bezpośrednio z zasady zachowania mo-mentu pędu ktoacutera zostanie omoacutewiona w jednym z kolejnych rozdziałoacutew

3 Kwadrat czasu obiegu planety dookoła słońca jest propor-cjonalny do sześcianu długiej osi elipsy po ktoacuterej porusza się planeta

Trzecie prawo Keplera wynika bezpośrednio z faktu że siłą dośrodkową działającej na planetę jest siła grawitacji Dla uproszczenia obliczeń załoacuteżmy na razie że planeta porusza się po orbicie kołowej Woacutewczas przyroacutewnując obie siły otrzymujemy zależność

o

2

2g Fr

m

r

MmF ===

vG (438)

Ponieważ prędkość planety wiąże czas pełnego obrotu (okres T) z dłu-gością orbity ( Trπ2=v ) roacutewność 438 można zapisać w postaci

( )2

2

T

r

r

M π2G=

(439)

a po przekształceniach

M

rT

322

G

4π= (440)

PRACA I ENERGIA

Strona 59595959

45 Energia potencjalna sił sprężystości

W urządzeniach mechanicznych ktoacutere wykonują pracę np obroacutet wska-zoacutewek zegara w starych zegarach szafkowych praca ta wykonywana jest kosztem energii dostarczonej z zewnątrz We wspoacutełczesnych urządze-niach w tym także w zegarach jako źroacutedło energii najczęściej stosuje się baterie elektryczne ale kiedyś powszechnie stosowano mechanizmy wykorzystujące energię potencjalną podciągniętych ciężarkoacutew lub w przenośnych zegarkach mechanizm magazynowania energii opierał się na bdquonakręcaniurdquo sprężyny Jest to przykład pokazujący że energia me-chaniczna może zostać roacutewnież zmagazynowana w postaci odkształcenia materiału ndash taki rodzaj energii potencjalnej będziemy nazywać energią potencjalną sił sprężystości wynikających z oddziaływań między czą-steczkami materiału

Rozpatrzmy sprężynę ktoacuterą rozciągniemy (lub ściśniemy) o długość x Siła jaką musimy rozciągać tę sprężynę roacutewnoważy siłę sprężystości sprężyny ktoacutera zgodnie z III zasadą dynamiki Newtona ma zwrot prze-ciwny do zwrotu siły rozciągającej Jej wartość zależy od długości roz-ciągnięcia x co opisuje prawo Hookersquoa

xkFrr

minus= (441)

gdzie k jest wspoacutełczynnikiem sprężystości Znak minus w powyższym wzorze oznacza że siła z jaką działa sprężyna ma przeciwny zwrot do wektora x czyli siła sprężystości przeciwstawia się wydłużaniu (lub ścis-kaniu) i wskazuje zawsze na położenie roacutewnowagowe

Siła jaką musimy działać żeby rozciągnąć sprężynę ma przeciwny zwrot

niż siła sprężystości ( xkFrr

= ) Ponieważ wartość tej siły zmienia się wraz z wartością wychylenia z położenia roacutewnowagi to pracę wykonaną przy rozciąganiu sprężyny o długość X obliczamy ze wzoru całkowego

( )S

2

X

0

X

0

EkX2

1xkxxxFW ==== intint dd (441)

Rozciągnięta sprężyna wracając do położenia roacutewnowagowego wykona taką samą pracę jaką wykonaliśmy podczas jej rozciągania Możemy

ROZDZIAŁ 4

Strona 60606060

roacutewnież powiedzieć że rozciągnięta sprężyna posiada zdolność do wyko-nania pracy Ponieważ wielkość tej pracy zależy jawnie od wartości od-kształcenia sprężyny to spełnia ona definicję energii potencjalnej i nazy-wana jest energią potencjalną sprężystości ES

Energię potencjalną sił sprężystości można policzyć roacutewnież dla ciał sta-łych poddanych rozciąganiu lub ściskaniu W tym przypadku rolę wspoacutełczynnika sprężystości opisującego własność materiału pełni moduł Younga E Poszukując związku między modułem Younga a stałą sprężystości możemy potraktować badany materiał jakby był zbudowa-ny z punktoacutew (atomoacutew) połączonych małymi sprężynkami Sprężynki te obrazują oddziaływania międzyatomowe a ich stała sprężystości zależy od struktury materiału Im większy będzie przekroacutej elementu wykonane-go z danego materiału czyli im więcej takich sprężynek opisuje badany element tym większy będzie wspoacutełczynnik sprężystości dla całego materiału ndash moduł Younga E

kxLL

EAF minus=minus= ∆

0

0 (442)

gdzie E jest modułem Younga A0 ndash przekrojem poprzecznym proacutebki L0 ndash długością początkową (roacutewnowagową) zaś ∆L jest zmianą długości proacutebki

46 Energia kinetyczna

Energia kinetyczna jest związana ze stanem ruchu ciała Ciało posiada energię kinetyczną jeśli znajduje się w ruchu w danym układzie odnie-sięnia Energię kinetyczną można roacutewnież zdefiniować jako ilość pracy jaką należy wykonać żeby wprawić ciało w ruch

Jeżeli więc siła F przeprowadzi ciało ze stanu bezruchu (stan bdquoArdquo) do prędkości v (stan bdquoBrdquo) to wykonana praca wyniesie

intint int ===B

A

B

A

B

A

st

mst

psFW d

d

dd

d

dd

v (443)

PRACA I ENERGIA

Strona 61616161

W powyższych przekształceniach siłę F zastąpiliśmy pochodną pędu po czasie Zależność tą można dalej przekształcić otrzymując zależność wykonanej pracy od prędkości v jaką osiągnie ciało

k

2

0

B

A

E2

mm

t

smW ==== intint

vvvv

v

ddd

d (444)

Tak wyznaczona praca wykonana by nadać ciału o masie m prędkość v definiuje energię kinetyczną ciała Energia ta jest wprost proporcjonalna do jego masy m i do kwadratu prędkości v2 Zależność energii kinetycz-nej od kwadratu prędkości jest jedną z głoacutewnych przyczyn (poza siłami oporu) dla ktoacuterych tzw dynamika samochodoacutew (sportowych i nie tylko) jest znacznie lepsza w zakresie niskich prędkości niż prędkości wyso-kich Aby to wyjaśnić obliczmy najpierw pracę jaką należy wykonać żeby rozpędzić samochoacuted o masie m = 1000kg od prędkości v1 = 0 ms do v2 = 10 ms = 36 kmh oraz od v2 = 10 ms do v3 = 20 ms=72 kmh Praca ta roacutewna jest roacuteżnicy energii kinetycznej końcowej oraz początkowej i w pierwszym przypadku wynosi W1 = Ek(v2) ndash Ek(v1) = 50000J zaś w drugim jest trzykrotnie większa i wynosi W2 = Ek(v3) ndash Ek(v2) = 150000J Tak więc utrzymanie podobnego przy-spieszenia w obu zakresach prędkości wymagałoby ciągłego wzrostu mocy co w praktyce jest trudne do osiągnięcia

Podczas przyspieszania to silnik pojazdu wykonuje pracę roacutewną energii kinetycznej tego pojazdu Natomiast gdy pojazd hamuje pracę musi wy-konać układ hamulcowy pojazdu Ponieważ przy dwukrotnie większej prędkości energia kinetyczna jest czterokrotnie większa to roacutewnież pra-ca wyhamowania jest czterokrotnie większa Praca ta w większości za-mieniana jest w energię cieplną i dlatego elementy układu hamulcowego w szczegoacutelności samochodoacutew sportowych powinny być odporne na wy-sokie temperatury oraz tak zaprojektowane aby jak najwydajniej odda-wały ciepło do otoczenia

Warto roacutewnież zwroacutecić uwagę że furgonetka o masie 2 ton i prędkości 15 ms ktoacutera ma identyczny pęd jak samochoacuted osobowy o masie 1 tony i prędkości 30 ms ma dwukrotnie mniejszą energię kinetyczną czyli zatrzymanie jej wymaga mniejszej pracy jest bdquołatwiejszerdquo

Pojęcie energii kinetycznej możemy odnosić roacutewnież do mikroskopowe-go opisu właściwości ciał Nawet jeśli pojazd znajduje się w spoczynku cząsteczki składające się na niego mają pewną energię kinetyczną ndash czą-steczki gazu znajdującego się w oponach znajdują się w ciągłym ruchu

ROZDZIAŁ 4

Strona 62626262

atomy metalu w karoserii wykonują drgania wokoacuteł położeń roacutewnowago-wych Energia kinetyczna jest w takim mikroskopowym ujęciu związana z temperaturą ciała a dokładniej ndash temperatura jest funkcją średniej energii kinetycznej o czym będzie jeszcze mowa w części poświęconej termodynamice

47 Zasada zachowania energii mechanicznej

Podsumowując rozważania dotyczące energii wprowadzimy zasadę za-chowania energii mechanicznej

W układzie zachowawczym odosobnionym całkowita energia mechaniczna czyli suma energii potencjalnej Ep zaroacutewno grawitacyjnej jak i sprężystości oraz energii kinetycznej Ek ciała jest wielkością stałą

const=+ pk EE (445)

Oznacza to że jeżeli zaniedbamy straty energii (pracy wykonanej na rzecz sił tarcia itp) roacuteżne formy energii jaką posiada ciało mogą się zmieniać ale ich suma pozostaje stała Dobrym przykładem do omoacutewie-nia zasady zachowania energii jest skok na linie bungee Stojąc na moście na wysokości h nad rzeką (na rysunku 44 h = h1 + h2) skoczek posiada energię potencjalną względem poziomu odniesienia znajdujące-go się na poziomie rzeki Pierwsza faza skoku jest spadkiem swobod-nym w ktoacuterym skoczek traci energię potencjalną ale nabiera prędkości czyli zyskuje energię kinetyczną

2

mmgh

2v

= (446)

Kiedy lina rozwinie się w pełni osiąga tzw długość swobodną ndash na ry-sunku 44 oznaczoną jako h1 Od tego momentu lina zaczyna działać jak rozciągana sprężyna W tej fazie skoku energia potencjalna nadal się zmniejsza kosztem wzrostu zaroacutewno energii kinetycznej jak i energii potencjalnej sił sprężystości

PRACA I ENERGIA

Strona 63636363

Rysunek 44 Energia skoczka bungee w roacuteżnych fazach skoku

W pewnym momencie ruchu gdy siła napięcia liny zroacutewnoważy siłę grawitacji prędkość ciała zacznie się zmniejszać a więc spada roacutewnież jego energia kinetyczna W najniższym położeniu skoczka jego prędkość wynosi zero ndash nie posiada on zatem energii kinetycznej Jego energia potencjalna grawitacji roacutewnież wynosi zero (skoczek znajduje się w punkcie odniesienia) i cała energia zmagazynowana jest w postaci energii potencjalnej sprężystości Tak więc początkowa energia poten-cjalna grawitacji zostaje w całości zmagazynowana w energii sprężystości rozciągniętej liny Energia ta może następnie wykonać pra-cę podniesienia skoczka na wysokość mostu a więc zgodnie z zasadą zachowania energii skoczek może wroacutecić do swojego położenia począt-kowego na moście W rzeczywistości mamy jednak do czynienia ze stra-tami energii związanymi zaroacutewno z oporami powietrza jak i wydziele-niem się ciepła w rozciągającej się linie (nie jest to idealna sprężyna) i w efekcie skoczek nie powroacuteci do poziomu mostu

Uogoacutelnieniem zasady zachowania energii mechanicznej jest ogoacutelna zasa-da zachowania energii ktoacutera moacutewi że w układzie zachowawczym odo-sobnionym zmiana całkowitej energii ciała (suma zmian wszystkich rodzajoacutew energii) wynosi zero

Jeżeli na przykład rozpędzony samochoacuted uderzy w przeszkodę to gwał-townie wytraci swoją energię kinetyczną ktoacutera zamieni się na pracę związaną z odkształceniem karoserii oraz na wydzielone ciepło

Zgodnie z zasadą zachowania energii w samochodach elektrycznych energia potencjalna ładunku elektrycznego zgromadzona w naładowa-

ROZDZIAŁ 4

Strona 64646464

nym akumulatorze zamieniana jest w energię kinetyczną pojazdu Jeśli taki samochoacuted jest wyposażony w hamulce elektromagnetyczne w trak-cie hamowania może odzyskać znaczną część energii kinetycznej i zgro-madzić ją w postaci energii potencjalnej ładunku elektrycznego

48 Zderzenia

Opis zderzeń ciał stanowi ważny element dynamiki ciał stałych ale po-nieważ podczas zderzenia dochodzi do przekazywania zaroacutewno pędu jak i energii zderzenia odgrywają roacutewnież dużą rolę w procesach trans-portu na przykład ciepła lub ładunku elektrycznego

Podczas zderzenia obowiązuje zasada zachowania pędu czyli pęd środka masy układu przed zderzeniem jest identyczny jak po zderzeniu Jak już omawialiśmy wcześniej zasada zachowania pędu w układzie dwu- lub troacutejwymiarowym obowiązuje dla każdego z wyroacuteżnionych kierunkoacutew Przykład zastosowania zasady zachowania pędu dla dwuwymiarowego zderzenia dwoacutech kul bilardowych omoacutewiliśmy w rozdziale 32

Zasada zachowania energii jako jedna z podstawowych zasad fizyki obo-wiązuje zawsze roacutewnież podczas zderzeń Jednakże w praktyce wykorzystujemy ją wyłącznie w przypadku zderzeń idealnie sprężys-

tych w ktoacuterych nie występują straty energii Zderzeniem bliskim do idealnie sprężystego jest uderzenie piłki rakietą tenisową ndash w czasie zderzenia oba ciała odkształcają się sprężyście zaroacutewno piłka jak i linka naciągu rakiety Pojęcie zderzenia sprężystego można rozszerzyć roacutew-nież na przypadki w ktoacuterych ciała nie stykają się ze sobą w sposoacuteb widoczny dla obserwatora Gdyby omawiane wcześniej kule bilardowe zostały naładowane elektrycznie lub namagnesowane w odpowiedni sposoacuteb mogłoby dojść do przekazania pędu i energii bez zetknięcia się krawędzi krążkoacutew O charakterze zderzenia (czy jest sprężyste czy niesprężyste) decyduje charakter sił wzajemnego oddziaływania ciał

Zderzenie sprężyste jest opisane następującymi roacutewnaniami

2K21K12P21P1 vvvv mmmm +=+ (447)

ndash roacutewnanie wyrażające zasadę zachowania pędu oraz

PRACA I ENERGIA

Strona 65656565

2222

22K2

21K1

22P2

21P1 vvvv mmmm

+=+ (448)

ndash roacutewnanie wyrażające zasadę zachowania energii kinetycznej

W przypadku zderzenia idealnie niesprężystego dochodzi do odkształce-nia plastycznego jednego lub obu ciał Odkształcenie to wiąże się z roz-praszaniem energii w postaci ciepła W wyniku niesprężystego zderzenia połączone ciała poruszają się w jednym kierunku Roacutewnania opisujące zderzenie niesprężyste mają więc postać

( ) K212P21P1 vvv mmmm +=+ (449)

( )

Emmmm

∆222

2K21

22P2

21P1 +

+=+

vvv (450)

gdzie ∆E oznacza straty energii w postaci ciepła Zderzenie niesprężyste wykorzystywane jest do wyznaczania prędkości pociskoacutew za pomocą tzw wahadła balistycznego Urządzenie to składa się z masywnego bloku w ktoacutery wbija się pocisk Znając masę pocisku i masę bloku oraz prędkość bloku z pociskiem po trafieniu można wyliczyć prędkość pocisku przed uderzeniem w blok Pomiar stosunkowo niewielkiej pręd-kości bloku jest znacznie łatwiejszy niż bezpośredni pomiar prędkości rozpędzonego pocisku W szczegoacutelności jeśli blok zawiesimy na dwoacutech niciach (rysunek 45) możemy oszacować prędkość na podstawie wyso-kości na ktoacuterą uniesie się blok Obecnie można wykonać taki pomiar technikami fotograficznymi lub za pomocą czujnikoacutew optycznych jed-nak w XIX wieku wahadło balistyczne było jednym z podstawowych przyrządoacutew do pomiaru prędkości pocisku

Rysunek 45 Zasada działania wahadła balistycznego

Do odkształceń plastycznych dochodzi roacutewnież podczas zderzenia dwoacutech samochodoacutew a więc zderzenia takie są niesprężyste We wspoacuteł-czesnych samochodach tzw strefy zgniotu są odpowiedzialne za rozpra-szanie energii uwolnionej podczas zderzenia Analizując roacutewnania opisujące zderzenie niesprężyste można ponadto zauważyć że jeśli zde-rzeniu ulega lekki samochoacuted osobowy to straty energii są tym większe

ROZDZIAŁ 4

Strona 66666666

im cięższy jest pojazd z ktoacuterym się zderza ndash zatem skutki zderzenia z sa-mochodem ciężarowym są znacznie poważniejsze niż skutki kolizji z sa-mochodem osobowym o podobnej masie

5 Dynamika bryły sztywnej

W tym rozdziale

o Bryła sztywna moment bezwładności środek masy o Roacutewnanie ruchu bryły sztywnej o Zasada zachowania momentu pędu o Energia ruchu obrotowego

ROZDZIAŁ 5

Strona 68686868

51 Bryła sztywna

Bryłą sztywną będziemy nazywać ciało w ktoacuterym odległości między po-szczegoacutelnymi punktami ciała są stałe Siły działające na bryłę sztywną nie wywołują więc ani deformacji plastycznych ani odkształceń sprężys-tych a jedynie ruch postępowy lub obrotowy Wszystkie ciała w ktoacute-rych odległość między dwoma punktami nie zmienia się w czasie lub odkształcenia pod wpływem działających sił są niewielkie można trak-tować jako bryłę sztywną Na przykład huśtawka wykonana z cienkiego pręta może ulegać deformacji wpływając tym samym na zachowanie całego układu ale jeżeli wykonamy ją np z szyny kolejowej jej defor-macja będzie zaniedbywalnie mała i może być woacutewczas potraktowana jako bryła sztywna

Moment bezwładności bryły sztywnej

W większości dotąd rozważanych przykładoacutew siła działająca na ciało przyłożona była do środka masy ciała i wywoływała ruch postępowy W ruchu prostoliniowym miarą bezwładności ciała jest jego masa tzn tym trudniej jest zmienić ilość ruchu ciała (pęd) im większa jest jego masa W przypadku ruchu obrotowego istotna jest nie tylko masa ale roacutewnież jej odległość od osi obrotu Miarą bezwładności w ruchu obrotowym jest moment bezwładności

Moment bezwładności masy punktowej m poruszającej się po okręgu o promieniu r zależy od tej masy oraz kwadratu odległości od osi obrotu

2mrI = (51)

Moment bezwładności podobnie jak masa jest wielkością addytywną tzn moment bezwładności bryły sztywnej jest roacutewny sumie momentoacutew bezwładności mas punktowych składających się na tę bryłę

sum=i

ii rmI 2

(52)

gdzie ri jest odległością od osi obrotu i-tego elementu o masie mi

DYNAMIKA BRYŁY SZTYWNEJ

Strona 69696969

Rozpatrzmy dwie ołowiane kulki o masach m1 oraz m2 (potraktujemy je jako masy punktowe) połączone cienkim nieważkim prętem o długości r ktoacuterego masa oraz moment bezwładności są pomijalnie małe w poroacutew-naniu z masą i momentem bezwładności kul Moment bezwładności takiej bryły sztywnej względem osi obrotu położonej w środku pręta mo-żemy policzyć jako sumę momentoacutew bezwładności obu kul Otrzyma-

my ( ) ( ) ( )221

22

21 2)(22 rmmrmrmI +=+=

W przypadku bryły o złożonym kształcie i rozkładzie masy procedura wyznaczania momentu bezwładności wymaga podzielenia bryły na jak najmniejsze elementy i zsumowania momentoacutew bezwładności pochodzą-cych od tych elementoacutew W granicznym przypadku działanie sumowania możemy zastąpić całkowaniem

int=M

mrI0

2 d (53)

Jako przykład obliczania momentu bezwładności wyznaczymy moment bezwładności pręta o masie M oraz długości b względem osi przecho-dzącej prostopadle przez koniec pręta Poszukując momentu bezwład-ności tej bryły musimy wykonywać całkowanie po całej masie pręta W praktyce znacznie łatwiej jest przeprowadzać całkowanie we wspoacutełrzęd-nych przestrzennych dlatego postaramy się powiązać masę z długością pręta W tym celu wprowadzamy gęstość liniową λ definiującą masę

przypadającą na jednostkę długości l

λd

dm= Woacutewczas element masy

pręta dm może być wyrażony lλdd =m gdzie gęstość liniowa dla

pręta z zadania wynosi b

M=λ Po zamianie zmiennej całkowania oraz

granic całkowania moment bezwładności pręta wynosi

333

2232 dd

bMbbbmrI

b

0

M

0

2 ===== intintλλ

lλl

(54)

W podobny sposoacuteb posługując się gęstością powierzchniową lub obję-tościową możemy obliczyć momenty bezwładności dla dowolnych brył W tabeli 51 przedstawione zostały momenty bezwładności wybranych brył sztywnych względem osi obrotu przechodzących przez środek ma-sy bryły

ROZDZIAŁ 5

Strona 70707070

Tabela 51 Momenty bezwładności wybranych brył względem środka masy

Pręt

12

mrI

2

z =

Walec i walec

wydrążony

( )2

2

2

1Z rr2

mI +=

( )[ 2

2

2

1x hrr312

mI ++=

Pierścień 2mrI =

Stożek

10

mr3I

2

z =

+= 2

2

x h4

r

5

m3I

Dysk

2

mrI

2

z =

4

mrI

2

x =

Sfera3

mr2I

2

=

Kula 5

mr2I

2

=

Twierdzenie Steinera

Załoacuteżmy że znana jest masa bryły oraz moment bezwładności I0 wzglę-dem osi przechodzącej przez środek jej masy Wtedy zgodnie z twier-dzeniem Steinera moment bezwładności I tej bryły względem osi obrotu roacutewnoległej do osi przechodzącej przez środek masy i przesuniętej o d roacutewny jest

2

mdII 0 += (55)

Twierdzenie Steinera zastosujemy do obliczenia momentu bezwładności dysku o promieniu r i masie m względem osi przechodzącej przez jego krawędź a prostopadłej do płaszczyzny dysku Moment bezwładności dysku względem osi prostopadłej przechodzącej przez jego środek znaj-dziemy w tabeli 51

DYNAMIKA BRYŁY SZTYWNEJ

Strona 71717171

2

mrI

2

0 = (56)

W naszym przypadku oś przesunięta jest roacutewnolegle o długość promie-nia dysku a więc stosując twierdzenie Steinera otrzymujemy

222

2

0 mrmr2

mrmrII

2

3=+=+=

(57)

Środek masy bryły sztywnej

Gdybyśmy chcieli układ ciał lub bryłę sztywną zastąpić masą punkto-wą czyli zgromadzić całkowitą masę układu w jednym punkcie geome-trycznym to punkt ten powinien się znajdować w środku masy Swobod-na oś obrotu bryły sztywnej lub układu ciał przechodzi przez ich środek masy

W układzie mas punktowych środek masy można obliczyć ze wzoru

sum

sum=

i

i

i

ii

SMm

rm

r

r

r (58)

gdzie mi ndash masy punktowe zaś irr

ndash położenia tych mas względem wybranego punktu odniesienia Wspoacutełrzędna x środka masy wynosić

więc będzie sum

sum=

i

i

i

ii

SMm

xm

x W przypadku gdy rozkład masy nie jest

dyskretny podobnie jak przy obliczaniu momentu bezwładności sumo-wanie musimy zastąpić całkowaniem Sposoacuteb wyznaczenia środka masy dla jednorodnego pręta z poprzedniego zadania przedstawiono poniżej

L

2

1

M

LL

M

L

MM

mr

x2

L

0

M

0SM =====

intint λλlλl

21

21

dd (59)

Całkowanie przeprowadzono względem jednego z końcoacutew pręta a więc wynik L2 oznacza że środek masy znajduje się w połowie długości pręta

ROZDZIAŁ 5

Strona 72727272

52 Roacutewnanie ruchu bryły sztywnej

Moment siły

W dotychczasowych rozważaniach rozpatrywaliśmy jedynie obiekty punktowe lub też bryłę sztywną zastępowaliśmy masą punktową znajdu-jącą się się w środku masy tej bryły Woacutewczas rozważaliśmy jedynie ruch postępowy takich obiektoacutew W dalszej części tego rozdziału opisze-my ruch obrotowy bryły sztywnej na ktoacuterą działa siła przyłożona w punkcie innym niż środek masy

Rozważmy najpierw siłę przyłożoną w dowolnym punkcie bryły sztywnej ale skierowaną wzdłuż prostej przechodzącej przez punkt wyznaczający środek masy tego ciała Woacutewczas siła ta wywoływać będzie ruch postępowy Jeżeli jednak kierunek działania tej siły nie będzie wskazywał środka masy ciała to na ciało działać będzie moment

siły ktoacutery wywołuje ruch obrotowy Moment siły Mr

zależy od

wartości siły działającej na bryłę sztywną Fr

odległości punktu zacze-pienia tej siły od osi obrotu r

r oraz kąta między tymi wektorami

Moment siły Mr

definiujemy jako iloczyn wektorowy wektoroacutew rr

oraz Fr

perp==

times=

rFαFrM

FrM

sin

rrr

(510)

Wielkość αrr sin=perp nazywana jest ramieniem siły Moment siły

uzyskuje maksymalną wartość gdy kąt α między rr

oraz Fr

jest kątem prostym Siła działająca wzdłuż ramienia nie wywołuje obrotu a jedynie ruch postępowy

Jeśli oś obrotu nie jest wymuszona (obroacutet jest obrotem swobodnym) następuje on zawsze wokoacuteł osi o największym momencie bezwładności przechodzącej przez środek masy ciała Podobnie jak w przypadku ruchu postępowego definiowaliśmy siłę poprzez pochodną pędu ciała po cza-sie tak w przypadku ruchu obrotowego bryły sztywnej możemy zdefi-niować moment siły jako pochodną momentu pędu po czasie

DYNAMIKA BRYŁY SZTYWNEJ

Strona 73737373

t

LM

d

dr

r= (511)

Moment pędu Lr

masy punktowej m poruszającej się po okręgu o pro-mieniu r jest iloczynem wektorowym wektora wodzącego r

r i pędu ciała pr

(rysunek 51) Kierunek wektora momentu pędu jest zgodny z osią

obrotu a zwrot określamy zgodnie z regułą śruby prawoskrętnej Zwrot ten jest identyczny ze zwrotem wektora prędkości kątowej ω

r

prLrrr

times= (512)

ωIωmrrωmrmrprL 2 ===== v (513)

W ostatnim przekształceniu iloczyn mr2 został zastąpiony momentem

bezwładności I Pęd ciała w ruchu prostoliniowym jest proporcjonalny do jego masy i prędkości (roacutewnanie 31) W ruchu po okręgu miarą ilości ruchu jest moment pędu L

r We wzorze 513 wykazaliśmy że ta ilość

ruchu jest proporcjonalna do prędkości kątowej a wspoacutełczynnikiem proporcjonalności jest moment bezwładności I

Rysunek 51 Moment pędu masy punktowej poruszającej się po okręgu

Zgodnie z roacutewnaniem 511 moment siły działający na bryłę sztywną wywołuje zmianę momentu pędu tej bryły Zmiana momentu pędu może być związana ze zmianą prędkości kątowej bryły ktoacuterej moment bezwładności się nie zmienia ale może roacutewnież wynikać ze zmiany samego momentu bezwładności bryły sztywnej Uwzględniając oba te człony możemy zapisać roacuteżniczkowe roacutewnanie ruchu obrotowego bryły sztywnej ktoacutere jest II zasadą dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego

t

I

tI

t

LM

d

d

d

d

d

dω

ω+== (514)

ROZDZIAŁ 5

Strona 74747474

53 Zasada zachowania momentu pędu

Rozważmy teraz ruch obrotowy bryły sztywnej na ktoacuterą działa wypad-kowy moment siły M roacutewny zero Woacutewczas zgodnie z roacutewnaniem 511 pochodna momentu pędu po czasie wynosi zero a więc wartość całkowi-tego momentu pędu musi być stała co zapisujemy jako zasadę zacho-wania momentu pędu

sum ==i

iLL constrr

c (515)

Jeżeli na układ ciał nie działają momenty sił zewnętrznych (układ jest odosobniony) to moment pędu tego układu jest stały

W przypadku gdy moment bezwładności układu nie zmienia się w cza-sie zasadę zachowania momentu pędu można zapisać

ωIL const== (516)

Zasada zachowania momentu pędu pozwala wyjaśnić tzw efekt żyrosko-powy stabilizujący np poruszający się rower czy motocykl Z obracają-cymi się kołami związany jest moment pędu skierowany poziomo zgodnie z osią obrotu (kierunek i zwrot wektora wyznacza reguła prawej dłoni) Jeżeli roacutewnowaga roweru ulegnie zachwianiu i rower przechyli się zmieni się kierunek wektora momentu pędu oproacutecz składowej po-ziomej będzie miał roacutewnież składową pionową Rower ktoacutery przechyli się zaczyna poruszać się po łuku Woacutewczas pojawia się dodatkowy mo-ment pędu skierowany pionowo do goacutery ktoacutery jest w stanie skompenso-wać zmianę momentu pędu wynikającą z przechyłu roweru Im większe wychylenie z położenia roacutewnowagi tym większą zmianę momentu pędu potrzeba skompensować i tym mniejszy musi być promień okręgu po ktoacuterym poruszać się będzie rower Z kolei im szybciej poruszać się bę-dzie rower tym większy jest moment pędu związany z obracającym się kołem ale roacutewnież większy jest moment pędu z całym rowerem porusza-jącym się po okręgu tak że nawet duże przechylenie roweru będzie kompensowane przez jego ruch po okręgu o dużym promieniu W kon-sekwencji moment pędu koła stabilizuje zachowanie całego obiektu w ktoacuterym zamocowane jest to koło Efekt żyroskopowy wykorzystywa-ny jest roacutewnież np na pokładach łodzi czy samolotoacutew gdzie montowane

DYNAMIKA BRYŁY SZTYWNEJ

Strona 75757575

są specjalne wirujące dyski (żyroskopy) mające na celu zwiększenie stabilności tych pojazdoacutew i zmniejszenie ich przechyłoacutew

Zasada zachowania momentu pędu musi być roacutewnież uwzględniona w konstrukcji śmigłowca Obracanie wirnika wymaga działania na niego pewnym momentem siły Identyczny moment siły ale o przeciwnym zwrocie działa na kadłub śmigłowca W efekcie kadłub zaczyna się obra-cać w stronę przeciwną do kierunku obrotu wirnika Zasada zachowania

momentu pędu dla takiego układu można zapisać kkss ωIωI = gdzie indeksy s i k oznaczają odpowiednio śmigło i kadłub Najpopularniej-szym rozwiązaniem tego problemu w konstrukcji helikoptera jest umieszczenie dodatkowego wirnika na ogonie Siła ciągu tego wirnika wytwarza moment sił działający na kadłub i przeciwdziałający obrotowi Ponadto regulując siłę ciągu wirnika ogonowego śmigłowiec może wykonać obroacutet w prawo lub w lewo Zamiast jednego wirnika można roacutewnież zastosować dwa śmigła obracające się w przeciwnych kierun-kach ktoacuterych moment pędu roacutewnoważy się

Efekty działania zasady zachowania momentu pędu są roacutewnież obserwo-wane w przypadkach kiedy zmieni się moment bezwładności obracają-cego się obiektu Łyżwiarze przygotowując się do skoku z obrotem szeroko rozstawiają ręce żeby uzyskać jak największy moment bezwład-ności wprawiają ciało w ruch obrotowy i odbijają się W powietrzu ścią-gają ręce do siebie zmniejszając tym samym moment bezwładności co zgodnie z zasadą zachowania momentu pędu wpływa na wzrost prędkoś-ci obrotowej i daje możliwości wykonania kilku obrotoacutew w powietrzu

Podobne zjawisko obserwujemy dla chmury gazoacutew wirującej wokoacuteł cia-ła niebieskiego (np gwiazdy) Jeżeli chmura ta ulegnie zapadnięciu pod wpływem sił grawitacji gwałtownie maleje jej moment bezwładności (proporcjonalny do kwadratu promienia) a wzrasta prędkość obrotowa tych gazoacutew Z tego względu gwiazdy uformowane z materii pozostałej po wybuchu supernowych mają z reguły bardzo duże prędkości obrotu względem własnej osi

54 Energia ruchu obrotowego

Zgodnie z II zasadą dynamiki ruchu obrotowego moment siły działający na ciało może wywołać jego ruch obrotowy Aby wyznaczyć energię jaką posiada ciało wykonujące ruch obrotowy wyznaczymy pracę jaką

ROZDZIAŁ 5

Strona 76767676

należy wykonać aby wywołać ruch obrotowy bryły sztywnej Rozpa-trzmy moment siły M ktoacutery wywołuje ruch obrotowy bryły sztywnej taki że siła F jest prostopadła do ramienia r na jakim działa W przypad-ku ruchu postępowego pracę dW liczyliśmy jako iloczyn siły F oraz przesunięcia dx jakie ta siła wywołuje ( xFW dd = ) W przypadku ruchu obrotowego moment siły M działając na bryłę sztywną powoduje przemieszczenie kątowe dα a więc pracę dW w ruchu obrotowym możemy zapisać jako

αdd MW = (517)

Pracę całkowitą jaką wykona moment siły M obracając bryłę sztywną od położenia początkowego (kątowego) αp do położenia końcowego αk wyznaczamy z zależności całkowej

int=k

p

MW

α

α

αd (518)

Podstawiając roacutewnanie 514 do 517 przy założeniu I =const otrzymujemy

ωωωα

αω

α ddd

dd

d

ddd I

tI

tIMW ==== (519)

Stąd wyznaczamy pracę jaką należy wykonać aby bryle o momencie bezwładności I nadać prędkość kątową ω Praca ta jest roacutewnoważna energii ruchu obrotowego tej bryły

2

d2

IωωωIWE

ω

0

=== into (520)

Powyższy wzoacuter ma postać podobną do wzoru na energię kinetyczną ruchu postępowego ale zamiast masy mamy moment bezwładności oraz prędkość kątową zamiast postępowej W ogoacutelności poruszająca się bryła sztywna może posiadać zaroacutewno energię kinetyczną ruchu postępowego ktoacutera jest związana z ruchem postępowym środka masy ciała oraz ener-gię ruchu obrotowego związaną z obrotem ciała wokoacuteł osi obrotu Dlate-go ten sam obiekt staczający się z poślizgiem (bez obracania) oraz bez poślizgu (staczając się) będzie miał na dole roacutewni inną prędkość postę-pową środka masy W pierwszym przypadku bowiem zgodnie z zasadą zachowania energii cała energia potencjalna zamieni się w energię kine-tyczną ruchu postępowego W drugim przypadku ta sama początkowa

DYNAMIKA BRYŁY SZTYWNEJ

Strona 77777777

energia potencjalna ulega zamianie zaroacutewno na energię kinetyczną ruchu postępowego jak i obrotowego decydując o mniejszej prędkości ruchu postępowego Podobnie prędkość postępowa pocisku wystrzelonego z broni palnej o gwintowanej lufie jest mniejsza niż w przypadku gładkiej lufy gdyż część energii jest zgromadzona w ruchu obrotowym pocisku Jednakże ruch wirowy i zasada zachowania momentu pędu chroni pocisk przed koziołkowaniem wpływając na większą celność strzałoacutew oraz efektywnie większy zasięg strzału

W niektoacuterych autobusach czy bolidach F1 stosuje się tzw koła zamacho-we do magazynowania energii w postaci energii ruchu obrotowego Pod-czas hamownia energia kinetyczną pojazdu nie jest bdquotrwonionardquo w posta-ci ciepła wydzielanego na tarczach hamulcowych a wykonuje pracę wprawienia tarcz o dużym momencie bezwładności w ruch obrotowy Tak zgromadzona energia ruchu obrotowego koła zamachowego może być odzyskana i może wykonać pracę rozpędzania pojazdu

ROZDZIAŁ 5

Strona 78787878

6 Ruch drgający

W tym rozdziale

o Drgania harmoniczne o Wahadło sprężynowe wahadło matematyczne

fizyczne i torsyjne o Drgania tłumione o Drgania wymuszone z tłumieniem

ROZDZIAŁ 6

Strona 80808080

61 Drgania harmoniczne

Rozpatrzmy ciało poruszające się po okręgu o promieniu R tak jak opi-sywaliśmy to w rozdziale 51 Tym razem jednak będziemy obserwować ruch rzutu punktu na nieruchomy ekran (np na ścianę) prostopadły do płaszczyzny ruchu po okręgu Woacutewczas ciało przesuwać się będzie w jednym wymiarze w powtarzalny sposoacuteb z jednego do drugiego krań-ca odcinka o długości 2R Ruch w ktoacuterym ciało powtarza te same poło-żenia nazywamy ruchem drgającym lub oscylującym Jeżeli drgania te występują w stałych odstępach czasu to mamy do czynienia z ruchem drgającym okresowym Gdybyśmy narysowali wykres położenia tego ciała w funkcji czasu otrzymalibyśmy krzywą sinusoidalną jak na rysun-ku 61 Rzut ruchu po okręgu jest więc ruchem drgającym okresowym opisanym funkcją typu sinus

Ruch okresowy drgający w ktoacuterym położenie ciała możemy opisać zależnością sinusoidalną nazywany jest ruchem harmonicznym

αRx sin= (61)

gdzie R jest promieniem okręgu po jakim porusza się obiekt a α oznacza fazę ruchu drgającego i dla rozpatrywanego przykładu jest powiązana z położeniem kątowym ciała na okręgu

Ponieważ położenie kątowe ciała na okręgu zależy od jego prędkości kątowej ω wiec roacutewnież faza w ruchu drgającym zmienia się w czasie proporcjonalnie do tej prędkości kątowej W zagadnieniach ruchu drga-jącego wielkość ω nazywa się częstotliwością kołową w odroacuteżnieniu od częstotliwości f Należy jednak pamiętać że obie te wielkości są ze sobą powiązane zależnością 54 (ω = 2πf )

RUCH DRGAJĄCY

Strona 81818181

Rysunek 61 Rzut położenia ciała poruszającego się po okręgu na oś w układzie liniowym

W ogoacutelności położenie ciała poruszającego się ruchem harmonicznym prostym można zapisać w postaci

( ) ( )ϕ+= ωtAsintx (62)

gdzie A jest amplitudą drgania argument funkcji sinus będziemy nazy-wać fazą ruchu φ jest fazą początkową a ω częstotliwością kołową

Prędkość ciała w ruchu harmonicznym wyznaczymy obliczając pochod-ną jego położenia po czasie

( ) ( ) ( )φωtωt

txt +== cosA

d

dv (63)

Poroacutewnując zależności 62 oraz 63 widzimy że prędkości i wychylenie z położenia roacutewnowagi nie są zgodne w fazie (opisane funkcjami sinus i cosinus) Oznacza to że prędkość w ruchu drgającym jest największa w momencie kiedy wychylenie jest roacutewne zeru (w momencie prze-chodzenia przez położenie roacutewnowagi) i jest zerowa dla maksymalnego wychylenia

Obliczając pochodną prędkości po czasie otrzymamy przyspieszenie ciała poruszającego się ruchem harmonicznym

( ) ( ) ( ) ( )txωφωtωt

tta

22 minus=+minus== sinAd

dv (64)

Otrzymaliśmy zależność w ktoacuterej występuje taka sama funkcja sinus jak dla wychylenia Znak minus oznacza że ciało wychylone z położenia

ROZDZIAŁ 6

Strona 82828282

roacutewnowagi będzie doznawało przyspieszenia w kierunku przeciwnym do jego wychylenia z położenia roacutewnowagi Przyspieszenie to jest wyni-kiem występowania siły ktoacutera tak jak przyspieszenie skierowana jest przeciwnie do wychylenia i ktoacutera zawsze skierowana jest do położenia roacutewnowagi Wartość tej siły jest proporcjonalna do wychylenia a więc im dalej od położenia roacutewnowagowego znajduje się ciało tym większa siła na nie działa Istnienie siły skierowanej do położenia roacutewnowagi o wartości proporcjonalnej do wartości wychylenia z położenia roacutewno-wagi jest roacutewnież cechą charakterystyczną ruchu harmonicznego

Przekształcenie wzoru 64 na przyśpieszenie ciała w ruchu harmonicz-nym pozwala nam zapisać roacuteżniczkowe roacutewnanie ruchu drgań harmonicznych

( ) ( ) 0

d

d=+ txω

t

tx 2

02

2

(65)

Jest to wzoacuter ogoacutelny opisujący drgania harmoniczne w ktoacuterym zamiast wychylenia x możemy wstawić roacutewnież inne wielkości fizyczne jak

ładunek elektryczny czy natężenie pola elektrycznego Wielkość 0ω oznacza częstotliwość kołową drgań własnych obiektu czyli częstotli-wość kołową z jaką wykonuje on drgania swobodne związane jedynie z siłami występującymi wewnątrz układu

Wahadło sprężynowe

Prostym przykładem ruchu drgającego harmonicznego są oscylacje

ciężarka zaczepionego do sprężyny o długości swobodnej 0x Dla uproszczenia przyjmijmy że na ciężarek nie działa siła grawitacji oraz że masa sprężyny jest niewielka w stosunku do masy ciężarka a opory ruchu można zaniedbać Jeśli sprężynę rozciągniemy o długość x (spo-wodujemy wychylenie z położenia roacutewnowagi o odległość x) sprężyna będzie działać na ciężarek siłą o wartości proporcjonalnej do wychylenia (zgodnie z prawem Hookersquoa ndash roacutewnanie 436) xkF minus= Gdy puścimy ciężarek będzie się on poruszał się w kierunku położenia roacutewnowagi Ciężarek minie położenie i będzie miał woacutewczas maksymalną prędkość oraz energię kinetyczną Energia kinetyczna ciała wykona pracę ściskania sprężyny i zostanie zamieniona na energię sił sprężystości (roacutewnanie 437) Gdyby w układzie nie było oporoacutew tarcia ani strat energii podczas ściskania sprężyny ciężarek wychyliłby się na taką sa-mą odległość względem położenia roacutewnowagi na jaką została ona po-przednio rozciągnięta Zatem amplituda drgań byłaby więc stała

RUCH DRGAJĄCY

Strona 83838383

Siła sprężystości działającą na ciało o masie m znajdujące się na końcu rozciągniętej sprężyny nadaje temu ciału przyspieszenie Roacutewnanie ru-chu w takim przypadku można więc zapisać w postaci

0d

d=+ xk

t

xm

2

2

(66)

Jeżeli podzielimy obie strony powyższego roacutewnania przez masę m otrzy-mamy roacutewnanie w postaci analogicznej do roacutewnania 65 nazywane roacutew-naniem wahadła sprężystego Częstość drgań własnych oraz okres drgań takiego wahadła zależy od masy zaczepionej do sprężyny oraz wspoacuteł-czynnika k sprężystości sprężyny

k

mT

m

kω0 π2 == (67)

W przypadku rzeczywistej sprężyny możemy uzyskać drgania harmo-niczne jeżeli wyeliminujemy opory ruchu oraz gdy rozpatrywać będzie-my wyłącznie niewielkie wychylenia z położenia roacutewnowagi Przy zbyt dużych wychyleniach mogą nastąpić odkształcenia plastyczne materiału z ktoacuterego sprężyna jest zrobiona powodując zmianę długości swobodnej sprężyny Podobnie przy zbyt mocnym ściskaniu sprężyny zwoje spręży-ny mogą stykać się uniemożliwiając dalsze odkształcanie

Wahadło matematyczne

Nie tylko siła sprężystości sprężyny powodować drgania harmoniczne W przypadku wahadła matematycznego to siła grawitacji wywołuje drgania harmoniczne Wahadło matematyczne to idealny układ składają-cy się z masy punktowej m zaczepionej do nieważkiej i nierozciągliwej nici o długości l znajdujący się w polu grawitacyjnym W stanie roacutewno-wagi masa punktowa zwisa pionowo na nici zgodnie z kierunkiem linii pola grawitacyjnego Rozpatrzmy teraz niewielkie wychylenie kątowe α z tego położenia roacutewnowagi (rysunek 62) Woacutewczas siłę grawitacji (Fc = mg skierowaną pionowo w doacuteł) możemy rozłożyć na dwie składowe ndash radialną (wzdłuż promienia zaznaczona na niebiesko na rysunku 62) i styczną (prostopadłą do promienia zaznaczoną na czer-wono na rysunku 62) Składowa radialna jest roacutewnoważona przez na-ciąg nici i nie wpływa na ruch wahadła Zatem siłą powodującą powroacutet ciężarka do położenia roacutewnowagi będzie składowa styczna siły ciężkości

αsinmgF s minus= (68)

ROZDZIAŁ 6

Strona 84848484

Przy niewielkich wychyleniach z położenia roacutewnowagi czyli dla małych kątoacutew α wartość funkcji sinus może być dobrze przybliżona argumentem tej funkcji Dla małych kątoacutew α składowa styczna siły ciężkości działają-cej na wychylone wahadło matematyczne jest skierowana do położenia roacutewnowagowego a jej wartość jest proporcjonalna do wartości tego wy-chylenia Uwzględniając powyższe założenia możemy przekształcić roacutewnanie 68 i otrzymujemy roacutewnanie drgań harmonicznych dla wahadła matematycznego

0d

d=+ α

l

α g

t2

2

(69)

Podobnie jak to zrobiliśmy dla wahadła sprężystego poroacutewnujemy roacutewnanie 69 z 65 i wyznaczamy częstości drgań własnych oraz okres drgań wahadła matematycznego o długości l

g

2Tg

ω0

l

lπ== (610)

Warto zauważyć że okres T drgań wahadła matematycznego zależy od długości nici l oraz przyspieszenia ziemskiego g i nie zależy od masy m zaczepionej na końcu nici (izochronizm)

Rysunek 62 Wahadło matematyczne (z lewej) i fizyczne (z prawej)

RUCH DRGAJĄCY

Strona 85858585

Wahadło fizyczne

W rzeczywistości nie jesteśmy w stanie skonstruować idealnego wahadła matematycznego ale z codziennych obserwacji wiemy że rzeczywiste fizyczne obiekty jak np lampa zamocowana na linie mogą wykonywać drgania harmoniczne w polu grawitacyjnym Taki rzeczywisty układ drgający pod wpływem sił grawitacyjnych nazywamy wahadłem fizycz-nym Rozpatrzmy bryłę sztywną o masie m ktoacutera może się obracać względem osi nie pokrywającej się z osią swobodną (środkiem masy ciała) odległej o d od środka masy bryły i ktoacutera zostaje wychylona z położenia roacutewnowagi o niewielki kąt α (rysunek 62) W opisie ruchu tego ciała skorzystamy z drugiej zasady dynamiki dla bryły sztywnej

2

2

ttM

d

d

d

d αωII == (611)

gdzie M oznacza moment siły działającej na bryłę a I jest momentem bezwładności bryły względem osi obrotu Rozważając siły i momenty sił działające na taką bryłę sztywną podobnie jak w poprzednim przypadku wahadła matematycznego rozkładamy siłę ciężkości bryły ktoacutera jest zaczepiona do środka jej masy na składową radialną i styczną Ruch obrotowy bryły sztywnej będzie wywołany przez moment siły Mt zwią-zany ze składową styczną siły ciężkości (wyliczoną w identyczny sposoacuteb jak w przypadku wahadła matematycznego) działającą na ramieniu d i wyniesie

dmgM t αsinminus= (612)

Roacutewnież w tym przypadku wartość funkcji sinus przybliżamy jej argu-mentem i otrzymujemy roacutewnanie ruchu harmonicznego

0d

d=+ α

α

I

mgd

t2

2

(613)

W tym przypadku częstość drgań i okres obiegu wynoszą

mgd

IT

I

mgdω0 π2 == (614)

Jeżeli podstawimy mdI0 =l powyższe zależności będą miały iden-

tyczną postać jaką otrzymaliśmy dla wahadła matematycznego (wzo-

ry 610) Długość 0l dla ktoacuterej okres wahadła matematycznego jest taki

ROZDZIAŁ 6

Strona 86868686

sam jak dla wahadła fizycznego nazywana jest długością zredukowaną wahadła fizycznego

Wahadło torsyjne

Innym typem wahadła w ktoacuterym siłą sprawczą drgań jest siła sprężys-tości jest wahadło torsyjne Zwykle jest to układ o momencie bezwład-ności I składający się z jednego lub kilku ciężarkoacutew zawieszonych na cienkim pręcie lub drucie Oś obrotu pokrywa się z osią pręta a moment sił działających na ciężarek wynika z sił sprężystości powstających przy skręceniu pręta (inaczej układ ten jest nazywany wahadłem skrętnym) Ten moment sił skręcających jest proporcjonalny do wychylenia kątowego z położenia roacutewnowagi α oraz tzw momentu kierującego D będącego cechą materiału pręta

αDM t minus= (615)

Dla wahadła torsyjnego druga zasada dynamiki przyjmuje postać

0d

d=+ α

I

D

t

α2

2

(616)

a częstość drgań i okres obiegu w tym przypadku wynoszą

D

IT

I

Dω0 π2 == (617)

62 Drgania tłumione

W rzeczywistych układach drgających amplituda drgań będzie stopnio-wo malała i po pewnym czasie drgania ustaną Związane jest to z wystę-powaniem strat energii wynikających między innymi z lepkości ośrod-ka w ktoacuterym poruszają się ciała sił tarcia występujących na połącze-niach mechanicznych itp Opis ruchu z uwzględnieniem tłumienia wy-maga określenia ktoacutery z czynnikoacutew tłumienia jest dominujący a następ-nie zapisania wpływu tego czynnika w roacutewnaniu ruchu Najczęściej tłu-mienie jest proporcjonalne do prędkości ciała Modelem takiego układu może być ciężarek umocowany do sprężyny i zanurzony w lepkiej cie-czy Jak pokażemy w rozdziale poświęconym hydrodynamice jeśli prze-pływ cieczy ma charakter laminarny siły oporu są wprost proporcjonalne

RUCH DRGAJĄCY

Strona 87878787

do prędkości ciała Roacutewnanie ruchu ciężarka w takim układzie możemy zapisać w postaci

vbkxma minusminus= (618)

gdzie wspoacutełczynnik b jest stałą proporcjonalności między siłą oporu a prędkością Zastępując prędkość pierwszą a przyspieszenie drugą po-chodną położenia po czasie powyższy wzoacuter możemy zapisać w postaci roacuteżniczkowej

0d

d

d

d=++ kx

t

xb

t

xm

2

2

(619)

Rozwiązanie roacutewnania ruchu drgań harmonicznych miało postać funkcji sinusoidalnej Rozwiązanie roacutewnania drgań tłumionych jest złożeniem dwoacutech funkcji ndash funkcji okresowej sinusoidalnej oraz funkcji opisującej wykładnicze malenie amplitudy wychylenia

( ) ( )φtωcosetx t +prime= minusγA (620)

Wykładnicze malenie amplitudy drgań zależy zaroacutewno od lepkości ośrodka jak i masy ciężarka zamocowanego do sprężyny i opisane jest za pomocą wspoacutełczynnik tłumienia γ=b2m Istnienie tłumienia w ukła-dzie wpływa roacutewnież na zmniejszenie częstości kołowej drgań tłumio-nych ωrsquo

222 γωγ minus=minus=minus=primem

k

m4

b

m

kω

2

2

(621)

Jeśli wspoacutełczynnik tłumienia jest niewielki to częstotliwość kołowa drgań tłumionych ulega tylko nieznacznej zmianie a amplituda stopnio-wo zmniejsza się w kolejnych okresach drgań ndash funkcja wykładnicza stanowi obwiednię obserwowanego przebiegu (rysunek 63)

Jeśli będziemy zwiększać wartość wspoacutełczynnika tłumienia poprzez zmianę lepkości ośrodka lub zmianę masy drgającej zanik amplitudy drgań będzie coraz szybszy a częstotliwość tych drgań coraz mniejsza aż w końcu osiągniemy wartość krytyczną dla ktoacuterej częstość kołowa drgań tłumionych będzie wynosiła zero

22

ω=kγ (622)

ROZDZIAŁ 6

Strona 88888888

Dla takiej wartości wspoacutełczynnika tłumienia obserwujemy najszybsze z możliwych wygaśnięcie drgań i dojście układu do stanu roacutewnowagi Zależność wychylenia od czasu nie ma woacutewczas postaci funkcji okreso-wej a jedynie aperiodycznego wykładniczego spadku (rysunek 63)

Jeśli wspoacutełczynnik tłumienia będzie jeszcze większy układ będzie prze-tłumiony Podobnie jak w przypadku tłumienia krytycznego nie obser-wujemy woacutewczas drgań okresowych a jedynie wykładnicze zmniejsza-nie się wychylenia Jednak w tym przypadku siły oporu są na tyle duże że powroacutet do położenia roacutewnowagi trwa wielokrotnie dłużej niż w przy-padku tłumienia krytycznego (rysunek 63)

Rysunek 63 Zależność wychylenia ciała dla oscylatora tłumionego w funkcji czasu Roacuteżne kolory krzywej obrazują

zachowanie oscylatora dla roacuteżnych wartości wspoacutełczynnika tłumienia

Urządzenia tłumiące drgania amortyzatory

Doboacuter odpowiedniego wspoacutełczynnika tłumienia jest ważnym zagadnie-niem inżynierskim przy projektowaniu urządzeń mechanicznych Sto-sunkowo prostym przykładem może być tutaj zamykacz do drzwi ktoacutery ma zapewnić jak najszybsze zamknięcie drzwi tak aby zminimalizować straty ciepła z wewnątrz budynku Znając masę drzwi na etapie projek-towania możemy tak dobrać olej o odpowiedniej lepkości oraz sprężynę o odpowiednim wspoacutełczynniku sprężystości aby wspoacutełczynnik tłumienia

RUCH DRGAJĄCY

Strona 89898989

był roacutewny wartości krytycznego wspoacutełczynnika tłumienia Jeśli dobie-rzemy za mały wspoacutełczynnik tłumienia drzwi przed zamknięciem wyko-nają kilka oscylacji wokoacuteł położenia roacutewnowagi (jeśli mają taką możli-wość) lub uderzą we framugę Jeśli wspoacutełczynnik tłumienia będzie zbyt duży drzwi będą zamykały się powoli a może nawet mogą w ogoacutele się nie zamknąć Jeśli natomiast tak dobierzemy parametry że otrzymamy wartość krytyczną wspoacutełczynnika tłumienia drzwi zamkną się szybko nie powodując uderzenia we framugę Warto zwroacutecić uwagę na fakt że zimą gdy pod wpływem spadku temperatury lepkość oleju w zamykaczu rośnie nadmiernie wspoacutełczynnik tłumienia wzrasta spowalniając tempo zamykania drzwi Wymiana oleju w zamykaczu byłaby w takim przy-padku mało praktycznym rozwiązaniem ale podobny efekt można roacutew-nież osiągnąć poprzez regulację długości sprężyny

Innym ważnym przykładem tłumionego oscylatora harmonicznego jest amortyzator samochodowy Typowy amortyzator składa się z cylindra oraz tłoka na długim trzpieniu wokoacuteł ktoacuterego owinięta jest sprężyna Tłok dzieli cylinder na dwie części między ktoacuterymi może odbywać się przepływ oleju przez otwory w tłoku Wielkość otworoacutew oraz lepkość użytego płynu determinuje wspoacutełczynnik tłumienia ndash im mniejsza ich średnica i im większy wspoacutełczynnik lepkości płynu tym większy wspoacutełczynnik tłumienia uzyskujemy W typowych amortyzatorach war-tość wspoacutełczynnika tłumienia jest ustalona istnieją jednak rozwiązania pozwalające ją regulować Jednym z nich jest zastosowanie cieczy ktoacute-rych lepkość zwiększa się pod wpływem pola magnetycznego (magneto-reologiczne) lub elektrycznego (elektro-reologiczne) Układy elektro-niczne poprzez wytwarzanie odpowiedniego pola magnetycznego lub elektrycznego mogą płynnie zmieniać wspoacutełczynnik tłumienia amortyza-tora i w ten sposoacuteb wpływać na charakterystykę układu zawieszenia

Amortyzatory lotnicze muszą wytłumić zaroacutewno oscylacje o dużej am-plitudzie powstające podczas lądowania przy zetknięciu z Ziemią jak i mniejsze drgania powstające podczas szybkiej jazdy po płycie lotniska W tym celu stosuje się amortyzatory powietrzno-olejowe z dodatkową poduszka gazową tłumiącą drgania o dużej amplitudzie

ROZDZIAŁ 6

Strona 90909090

63 Drgania wymuszone z tłumieniem

Wiemy już że każdy układ charakteryzuje częstość kołowa drgań włas-nych ω0 oraz że tłumienie zmienia częstość drgań układu Na układ mogą jednak działać roacutewnież zewnętrzne siły wymuszające o charakte-rze okresowym Rozpatrzmy oscylator harmoniczny tłumiony ktoacutery bę-dzie pobudzany zewnętrzną siłą okresową z częstością kłową ω Woacutew-czas roacutewnanie ruchu oscylatora w postaci roacuteżniczkowej będzie miało postać

ωtxωt

x

m

b

t

x02

2

cos Ad

d

d

d=++ (623)

gdzie A oznacza amplitudę wymuszenia

Rozwiązania tego roacutewnania mają dość skomplikowaną postać i nie bę-dziemy ich wyprowadzać Przeanalizujemy tylko zależność amplitudy drgań od częstości wymuszenia i wspoacutełczynnika tłumienia

( ) 22220

22

1

ωωωm

~X MAX

γ+minus (624)

Jeśli częstotliwość kołowa wymuszenia ω zbliża się do częstotliwości kołowej drgań własnych oscylatora ω0 to amplituda drgań rośnie Gdy częstotliwość drgań wymuszających jest zgodna z częstotliwością drgań własnych amplituda drgań osiąga maksymalną wartość a w przypadku gdy nie ma tłumienia dąży do nieskończoności a zjawisko to nazywa się rezonansem

Zjawisko rezonansu mechanicznego może więc doprowadzić do uszko-dzenia budynkoacutew lub pojazdoacutew Jako przykład niszczącej siły rezonansu podawane jest zazwyczaj zawalenie się mostu w Angers w 1850 roku pod wpływem drgań wywołanych przemarszem wojska Rytm kroku żołnierzy zgadzał się z częstością własną konstrukcji mostu wiszącego co doprowadziło do zniszczenia podtrzymujących go wież We wspoacuteł-czesnych pojazdach na przykład zjawiska rezonansu mogą prowadzić do powstawania znacznych naprężeń mechanicznych na elementach kon-strukcyjnych i luzowania połączeń skrętnych Siłą wymuszającą drgania

RUCH DRGAJĄCY

Strona 91919191

mogą być roacutewnież fale sejsmiczne wywołane trzęsieniami ziemi i dlate-go w regionach aktywnych sejsmicznie w konstrukcji wysokich budyn-koacutew stosuje się roacuteżnego rodzaju amortyzatory oraz tzw TMD ndash tuned mass damper czyli dodatkowy oscylator o innej częstotliwości własnej ktoacutery przejmuje i rozprasza część energii drgań

ROZDZIAŁ 6

Strona 92929292

7 Stany skupienia materii

W tym rozdziale

o Ciało stałe o Płyny o Inne stany materii szkło tworzywa sztuczne

plazma o Przemiany fazowe

ROZDZIAŁ 7

Strona 94949494

Stany skupienia materii

Dotychczas opisywaliśmy ciała stałe ktoacutere charakteryzowały się ustalo-nym kształtem ktoacutere pod wpływem działającej na nie siły poruszały się (bryła sztywna) lub też nieznacznie sprężyście się odkształcały (sprę-żyna) W tym rozdziale omoacutewimy także inne cechy charakterystyczne ciał stałych oraz przedstawimy wybrane właściwości innych stanoacutew skupienia materii ndash cieczy i gazoacutew o ktoacuterych więcej moacutewić będziemy w dalszych rozdziałach

71 Ciało stałe

Cechami charakterystycznymi ciała stałego są

bull ustalony kształt i objętość

bull występowanie oddziaływań harmonicznych pomiędzy ato-mami i cząsteczkami W pewnym zakresie naprężeń ciało stałe zachowuje się jak sprężyna ndash ściśnięte wraca do pier-wotnego kształtu a odkształcenie sprężyste jest proporcjo-nalne do wartości przyłożonej siły Atomy ciała stałego wykonują drgania wokoacuteł położenia roacutewnowagi a amplituda tych drgań jest tym wyższa im wyższa jest temperatura

bull uporządkowanie dalekiego zasięgu Krystaliczne ciało stałe otrzymujemy powielając niewielki podstawowy jego frag-ment (tak zwaną komoacuterkę elementarną) w każdym z kierun-koacutew Taka powtarzalność układoacutew atomowych tzw perio-dyczność pozwala nam zatem na podstawie znajomości układu atomoacutew w danym miejscu określić dokładnie jakie jest położenie atomoacutew w dowolnym innym miejscu

STANY SKUPIENIA MATERII

Strona 95959595

72 Płyny

Płyny do ktoacuterych zaliczamy ciecze i gazy roacuteżnią się od ciał stałych reakcją na naprężenie ścinające Ciała stałe w reakcji na takie naprężenie (w pewnym zakresie wartości) odkształcają się sprężyście a po zwolnie-niu siły powracają do pierwotnego kształtu Płyny natomiast ulegają odkształceniu plastycznemu czyli obserwujemy płynięcie ciała i zmianę jego kształtu

Ciecze

Ciecze w odroacuteżnieniu od ciała stałego nie posiadają ustalonego kształtu choć są podobnie jak ciała stałe słabo ściśliwe Ciecze tworzą powierz-chnię swobodną oraz charakteryzują się uporządkowaniem bliskiego za-sięgu Oznacza to że najbliższe otoczenie atomoacutew jest takie samo Cie-cze tworzą cząsteczki o ustalonej strukturze Jednakże względne ułoże-nie cząsteczek względem siebie jest przypadkowe i dlatego możemy przewidzieć położenie sąsiedniego atomu ale nie jesteśmy w stanie obli-czyć dokładnie struktury w dalszym miejscu Ruch obrotowy i ruch po-stępowy cząsteczek cieczy jest znacznie ograniczony

Gazy

Gaz wypełnia całą dostępną objętość naczynia w ktoacuterym się znajduje Jest ściśliwy a odległości wzajemne między cząsteczkami są duże Cząsteczki gazu znajdują się w ciągłym ruchu chaotycznym (ruchy Browna) Istnieją także silne ruchy obrotowe i ruchy drgające wewnątrz cząsteczek Dominującą formą oddziaływań są zderzenia Prędkość cząsteczek jest większa niż w przypadku cieczy

73 Inne stany materii

Powyższe kryteria podziału stanoacutew skupienia odnoszą się do właściwoś-ci idealnych ciał stałych gazoacutew i cieczy W rzeczywistości obserwowa-ne są pewne odstępstwa od zaprezentowanych cech Istnieją roacutewnież ciała ktoacutere trudno jest jednoznacznie przyporządkować do określonej kategorii

ROZDZIAŁ 7

Strona 96969696

Szkło

Szkło jest materiałem w ktoacuterym podobnie jak w cieczy występuje jedy-nie uporządkowanie bliskiego zasięgu W warunkach w ktoacuterych je ob-serwujemy zachowuje ono jednak nie tylko objętość ale i kształt co jest cechą charakterystyczną ciał stałych

Szkło jest w istocie stanem metastabilnym tzw przechłodzoną cieczą ndash czyli cieczą ktoacuterej ruchy uległy zamrożeniu bez przejścia w stan stały (krystalizacji) Czas potrzebny na reorganizację ustawienia cząsteczek (tak zwany czas relaksacji) jest na tyle długi że obserwator nie zauważy efektu płynięcia pod wpływem działania sił ścinających Umowną granicą jest w tym przypadku czas relaksacji roacutewny 100 sekund ndash jeśli jest on kroacutetszy możemy nazywać dane ciało cieczą Zamrażanie ruchoacutew cząsteczek cieczy nazywane jest roacutewnież przejściem szklistym a jego temperatura oznaczana jako Tg ndash temperaturą przejścia szklistego

Istnieje przeświadczenie że efekty płynięcia szkła są widoczne przy odpowiednio długiej obserwacji czyli w wystarczająco bdquostarychrdquo obiek-tach Dokładne badania szkła wytworzonego w starożytnym Egipcie oraz szkła użytego w witrażach średniowiecznych katedr wykazało jednak że czas potrzebny na obserwację efektu płynięcia dla tych szkieł w tempe-raturze pokojowej jest poroacutewnywalny z wiekiem wszechświata a więc trudny do zaobserwowania w normalnych warunkach Atomy szkła za-czynają się szybciej ruszać czyli szkło zaczyna płynąć dopiero po podgrzaniu powyżej temperatury przejścia szklistego co wykorzystywa-ne jest w hutach szkła do nadawania mu oczekiwanych kształtoacutew

Tworzywa sztuczne

Z tworzyw sztucznych zbudowane są takie przedmioty codziennego użytku jak opona gumowa piłka lub zderzak większości nowoczesnych samochodoacutew Wydaje się że zaroacutewno przedmioty te jak i materiał z ktoacuterych są zbudowane spełniają kryteria stawiane ciału stałemu Okazuje się jednak że roacutewnież w tych materiałach nie istnieje uporząd-kowanie dalekiego zasięgu a charakter oddziaływań między cząsteczka-mi jest harmoniczny jedynie w wąskim zakresie przyłożonych naprężeń

Tworzywa sztuczne są zbudowane z łańcuchoacutew polimerowych gdzie identyczne cząsteczki połączone są w długie łańcuchy Oddziaływania między łańcuchami mają złożony charakter i zależą od struktury łańcucha Prostym modelem tworzywa sztucznego może być miska pełna spaghetti Pojedyncze nitki makaronu oddziałują ze sobą nie tylko poprzez tarcie ale dodatkowo występują roacuteżnorakie zapętlenia i zawęźle-

STANY SKUPIENIA MATERII

Strona 97979797

nia w efekcie czego makaron nie rozpływa się W tworzywach sztucz-nych poprzez tzw sieciowanie można dodatkowo zwiększyć oddziały-wania między łańcuchami zwiększając ich wytrzymałość W tworzy-wach sztucznych często nawet nieznaczne modyfikacje materiału wyj-ściowego zmieniają zachowanie tworzywa z typowego dla cieczy na typowe dla ciała stałego

Rozciągnięcie lub ściśnięcie opony widziane w ujęciu mikroskopowym jest związane przede wszystkim z rekonfiguracją wzajemnego położenia łańcuchoacutew Gdybyśmy umieścili wewnątrz opony miernik temperatury okazałoby się że na skutek rozciągania i ściskania zmienia się lokalnie jej temperatura ndash zachodzi przemiana termodynamiczna

Plazma

Obok ciał stałych cieczy i gazoacutew wymienia się zazwyczaj roacutewnież czwarty stan skupienia materii ndash stan plazmy Jest to stan o najwyższej energii w ktoacuterym materia jest zjonizowana i składa się z naładowanych cząstek o przeciwnych znakach ładunku elektrycznego W odroacuteżnieniu od innych stanoacutew skupienia w stanie plazmy oddziaływanie pomiędzy cząsteczkami ma charakter dalekozasięgowy czyli nie ogranicza się do najbliższych sąsiadoacutew ale każda z naładowanych cząstek oddziałuje z wieloma innymi dalszymi cząstkami Plazma jest bardzo dobrym prze-wodnikiem elektrycznym

Materię w tym stanie możemy obserwować min w płomieniu i łuku elektrycznym jak roacutewnież w wyładowaniu następującym w lampach jarzeniowych i w wyładowaniach atmosferycznych

74 Przejścia między stanami ndash przemiany fazowe

Stan skupienia danego ciała zależy od takich wielkości makroskopowych jak objętość temperatura czy ciśnienie Analizując stany w jakich wy-stępuje dane ciało przy określonych wielkościach makroskopowych mo-żemy przygotować tak zwany diagram fazowy ktoacutery zwyczajowo przedstawia się na wykresie ciśnienia od temperatury Linie stanowiące granicę występowania danej fazy związane są ze zmianą stanu skupienia Ponieważ stany skupienia roacuteżnią się między sobą zaroacutewno energią jak i charakterem oddziaływań zmiana stanu skupienia wymaga dostarcze-

ROZDZIAŁ 7

Strona 98989898

nia lub odebrania tej energii Dokładniejszą dyskusję przemian fazowych przeprowadzimy w rozdziale poświęconym termodynamice Teraz jedynie wymienimy przemiany fazowe

Przejście pomiędzy ciałem stałym a cieczą nazywamy topnieniem Przy-kładem jest topnienie lodu lub proces przetapiania złomu w hucie W procesie topnienia energia cząsteczek zwiększa się i następuje zerwa-nie wiązań W pewnych warunkach ciało stałe może roacutewnież przejść bezpośrednio w stan gazowy ndash proces taki nazywamy sublimacją Sublimację obserwujemy w mroźne zimy ndash obecny na obiektach szron i loacuted stopniowo znika bez udziału pośredniego procesu topnienia

Ciecz przechodząc w stan stały ulega krystalizacji Podczas obniżania temperatury cieczy maleje energia kinetyczna cząsteczek cieczy i domi-nować zaczynają procesy porządkowania atomoacutew w charakterystyczną dla danego związku periodyczną strukturę krystaliczną Cząsteczki tracą możliwość przemieszczania się ruchem postępowym - w ciele stałym dominują ruchy drgające polegające na niewielkich oscylacjach wokoacuteł położenia roacutewnowagi Podczas ogrzewania cieczy natomiast wzrasta energia kinetyczna cząsteczek Gdy ta energia jest odpowiednio duża i cząsteczka cieczy jest w stanie pokonać siły oddziaływania międzyczą-steczkowego fazy ciekłej odrywa się do cieczy co nazywamy parowaniem Warto zwroacutecić uwagę na to że parowanie nie następuje tylko w temperaturze wrzenia cieczy

Rysunek 71 Schematyczny diagram fazowy Zaznaczono kierunki zachodzących przemian fazowych

STANY SKUPIENIA MATERII

Strona 99999999

Cząsteczki znajdujące się na powierzchni cieczy mają szansę uwolnić się do fazy gazowej w całym zakresie temperatur w ktoacuterych ciecz istnieje jednak intensywność tego procesu jest roacuteżna w roacuteżnych warunkach Podczas wrzenia natomiast zmiana stanu skupienia następuje w całej objętości cieczy

Procesem odwrotnym do parowania jest skraplanie Proces ten obser-wujemy na przykład w postaci rosy w chłodne poranki a warunki makroskopowe (temperatura i ciśnienie) niezbędne do jego zajścia nazy-wamy punktem rosy Gaz może roacutewnież przejść do fazy stałej bezpo-średnio w wyniku resublimacji Przykładem resublimacji jest osadzanie się szronu na chłodnych powierzchniach Zjawisko resublimacji wyko-rzystywane jest w procesie technologicznym wytwarzania cienkich warstw na potrzeby elektroniki

W przypadku typowego zachowania materii możemy tak dobrać ciśnie-nie objętość i temperaturę ciała aby otrzymać stan w ktoacuterym wspoacutełist-nieć mogą trzy fazy gazowy ciekły i ciało stałe Taki punkt na diagra-mie fazowym nazywamy punktem potroacutejnym

ROZDZIAŁ 7

Strona 100100100100

8 Hydrostatyka i hydrodynamika

W tym rozdziale

o Ciśnienie o Prawo Pascala o Siła wyporu ndash prawo Archimedesa o Roacutewnanie Bernoulliego dysza skrzydło samolotowe o Płyny rzeczywiste wiry i turbulencje o Opoacuter dynamiczny

ROZDZIAŁ 8

Strona 102102102102

81 Hydrostatyka

Hydrostatyka i hydrodynamika opisują własności i zachowanie płynoacutew czyli cieczy oraz gazoacutew

Ciśnienie

Jedną z kluczowych wielkości charakteryzujących płyny jest ciśnienie

Ciśnienie definiujemy jako stosunek siły wywieranej na daną powierzchnię do wielkości tej powierzchni A

A

Fp = (81)

Jednostką ciśnienia jest paskal (1Pa=1Nm2) ktoacutery odpowiada sile 1 N działającej na powierzchnię 1 metra kwadratowego

Ponieważ ciśnienia spotykane w opisie zjawisk przyrodniczych są wielo-krotnie większe np ciśnienie wywierane przez atmosferę jest roacutewne około 105 Pa powstały jednostki takie jak atmosfera fizyczna atmosfera techniczna oraz bar W motoryzacji natomiast często używa się jednostki angielskiej ndash psi czyli funt na cal kwadratowy Podczas gdy w technice proacuteżniowej z kolei często stosowaną jednostką jest tor

Tabela 81 Wybrane jednostki ciśnienia

Dla nieściśliwego płynu ciśnienie hydrostatyczne na pewnej głębokości h pod powierzchnią cieczy zależy wyłącznie od tej głębokości

ghpp 0 ρ+= (82)

gdzie po jest ciśnieniem wywieranym przez atmosferę na powierzchnię cieczy a ρ ndash gęstością płynu W celu przeprowadzenia dowodu tego twierdzenia wyodrębnijmy bdquowycinekrdquo cieczy o płaskich podstawach (np walec) Jeśli w cieczy nie ma ruchoacutew konwekcyjnych wycinek ten nie

mm Hg Tr At Atm bar Psi 1333 9807sdot10

4 1013sdot10

5 10sdot10

5 6893sdot10

3

HYDROSTATYKA I HYDRODYNAMIKA

Strona 103103103103

unosi się ani nie opada a zatem siły działające na obie postawy (goacuterną i dolną) muszą się roacutewnoważyć Siłę działającą na goacuterną podstawę

możemy wyrazić poprzez ciśnienie przy goacuternej krawędzi Gp oraz pole powierzchni tego walca A

ApF GG = (83)

Podobnie możemy wyznaczyć siłę działającą na dolną podstawę

ApF DD = (84)

Siłę działającą na dolną podstawę można roacutewnież wyznaczyć sumując siłę działającą na goacuterną podstawę oraz siłę ciężkości rozważanego bdquowycinkardquo

ghAApmgApF DDD ρ+=+= (85)

Jeżeli poroacutewnamy zależności 84 i 85 to po podzieleniu obu stron przez powierzchnię A otrzymujemy roacutewnanie 82 Wzrost ciśnienia wywołany głębokością pod powierzchnią płynu jest związany z ciężarem tego pły-nu W przypadku ogoacutelnym rozważany bdquowycinekrdquo cieczy może obejmo-wać cały słup cieczy począwszy od jej powierzchni na ktoacuterej panuje ciśnienie p0

Barometr cieczowy

Barometr cieczowy jest prostym urządzeniem do pomiaru ciśnienia at-mosferycznego za pomocą ciśnienia hydrostatycznego Barometr cieczo-wy składa się z płaskiej zlewki i długiej rury zamkniętej na jednym końcu Zaroacutewno zlewkę jak i rurę napełniamy cieczą a następnie rurę odwracamy tak by jej otwarty koniec znalazł się pod powierzchnią płynu w zlewce (rysunek 81) Wydawać by się mogło że skoro powierzchnia cieczy w rurce znajduje się wyżej od powierzchni płynu w zlewce czyli ma wyższą energię potencjalną ciecz znajdująca się w rurze powinna w całości wypłynąć do zlewki Tymczasem obserwuje-my jedynie obniżenie się wysokości słupa cieczy do pewnej wysokości Toricelli stwierdził że w rurce ustala się taki poziom płynu ktoacutery roacutewnoważy zewnętrzne ciśnienie atmosferyczne działające na otwartą zlewkę

ghp ρ=0 (86)

ROZDZIAŁ 8

Strona 104104104104

Rysunek 81 Barometr cieczowy

Przy zmieniającym się ciśnieniu atmosferycznym zmieniać się będzie roacutewnież wysokość słupa płynu a więc układ taki może być stosowany jako barometr do pomiaru ciśnienia atmosferycznego W praktyce najczęściej stosuje się barometry rtęciowe gdyż ze względu na wysoką gęstość rtęci barometr taki nie musi być bardzo wysoki ndash ciśnienie słupa rtęci o wysokości około 760mm jest poroacutewnywalne z ciśnieniem atmosferycznym

Wpływ ciśnienia słupa płynu należy uwzględniać np przy projektowaniu sieci wodociągowej i ujęć wody Jeśli roacuteżnica wysokości między ujęciem wody a punktem odbioru jest znaczna (źroacutedło znajduje się na przykład na zboczu goacutery) stosuje się reduktory ciśnienia tak aby rury doprowadzające wodę nie zostały rozsadzone Z odwrotnym problemem spotykamy się dostarczając wodę do wysokich budynkoacutew ndash przy zasilaniu bezpośrednio z sieci wodociągowej woda ma właściwe ciśnienie jedynie na najniższych piętrach Z tego względu w niektoacuterych przypadkach wodę pompuje się najpierw na najwyższe piętra by następnie przez odpowiednią redukcję ciśnienia uzyskać pożądaną wartość na poszczegoacutelnych kondygnacjach Regulacji ciśnienia w sieci wodociągowej mogą służyć roacutewnież tzw wieże ciśnień ndash wysokość słupa wody zgromadzonego w wieży określa ciśnienie w połączonej z nią sieci wodociągowej Przykładem naturalnej bdquowieży ciśnieńrdquo są tzw studnie artezyjskie Jeśli teren jest zagłębiony ndash tworzy tzw nieckę artezyjską a warstwa wodonośna jest uwięziona pomiędzy słabo przepuszczalnymi skałami ciśnienie wywierane przez wodę z warstwy na uniesionych brzegach niecki powoduje samorzutne wypływanie wody w zagłębionej części niecki

HYDROSTATYKA I HYDRODYNAMIKA

Strona 105105105105

Prawo Pascala

Ciśnienie w cieczy rozchodzi się we wszystkich kierunkach jednakowo

Powyższe prawo Pascala jest podstawą działania systemoacutew hydraulicz-nych Wzrost ciśnienia w jednym punkcie zamkniętego układu powoduje identyczny i natychmiastowy wzrost ciśnienia we wszystkich innych punktach Prostym przykładem wykorzystania tego prawa jest bębnowy hamulec hydrauliczny Naciskając pedał hamulca wciskamy (za pośred-nictwem dźwigni) tłok w niewielkim cylindrze wypełnionym cieczą Ponieważ średnica tłoka jest niewielka to siła ktoacuterą naciskamy pedał powoduje znaczny wzrost ciśnienia cieczy w układzie hamulcowym (ciś-nienie jest odwrotnie proporcjonalne do powierzchni na ktoacuterą działa siła zgodnie z roacutewnaniem 81) Poprzez przewoacuted hamulcowy ciśnienie to jest przekazywane do cylindra z dwoma tłokami znajdującego się wewnątrz mechanizmu hamulca W tej części układu powierzchnia tłokoacutew jest znacznie większa a więc siła z jaką tłoki dociskają okładki hamulcowe do wewnętrznej części bębna jest wielokrotnie większa niż siła nacisku na pedały wytwarzając w ten sposoacuteb duży moment hamujący

Zasada działania podnośnika hydraulicznego (prasy hydraulicznej) roacutew-nież może być wyjaśniona w oparciu o prawo Pascala Prasa hydraulicz-na składa się z połączonych ze sobą dwoacutech cylindroacutew o roacuteżnych średni-cach (rysunek 82) Naciskając jeden z nich o powierzchni S1 siłą F1 wytwarzamy ciśnienie

1

1

S

Fp = (87)

W układzie zamkniętym prasy dokładnie takie samo ciśnienie będzie działało na drugi tłok jeśli tylko znajduje się on na identycznej wysokości (jeśli wysokości byłyby roacuteżne należałoby uwzględnić dodat-kowe ciśnienie słupa cieczy) Możemy zatem obliczyć siłę F2 działającą na drugi tłok o powierzchni S2

2

1

1

2 SS

FF = (88)

Siła F2 zależy zatem od stosunku powierzchni tłokoacutew Jeśli średnica mniejszego tłoka wynosi 1cm a średnica większego 10cm (czyli po-wierzchnia tłoka jest 100 razy większa) to naciskając na mniejszy tłok

ROZDZIAŁ 8

Strona 106106106106

siłą 100N (około 10kg) wytwarzamy na większym tłoku siłę stokrotnie większą zdolną podnieść masę jednej tony Za pomocą przenośnego podnośnika hydraulicznego możemy zatem łatwo unieść samochoacuted w celu dokonania napraw W dużych prasach siła ta może osiągać kilka-set ton co jest wystarczające np do formowania blach karoserii samochodowych

Rysunek 82 Schemat budowy podnośnika hydraulicznego

Warto zwroacutecić uwagę że przemieszczenie dużego tłoka w powyższej prasie hydraulicznej jest odpowiednio mniejsze Aby uzyskać przemiesz-czenie dużego tłoka o 1cm przy danych identycznych jak w powyższym przykładzie mniejszy tłok należałoby przesunąć o 1 metr Ponieważ w praktyce może być to trudne do zrealizowania w systemach siłowni-koacutew hydraulicznych stosuje się system zaworoacutew zwrotnych ndash pozwalają-cych na przepływ płynu tylko w jedną stronę W podnośniku ręcznym zawoacuter zwrotny pozwala na wielokrotny ruch mniejszego tłoka w celu uzyskania odpowiedniego przesunięcia dużego tłoka W obu przypad-kach wykonana praca jest jednak identyczna Przyjmując oznaczenie przemieszczenia tłoka jako x otrzymujemy

222

2

2

1

1

2

2

1

1111 WxFS

VF

S

VS

S

F

S

VFxFW ====== (89)

Siła wyporu ndash prawo Archimedesa

Zgodnie z prawem Archimedesa

Na ciało zanurzone w płynie działa siła wyporu skierowana pionowo do goacutery roacutewna ciężarowi wypartego płynu

HYDROSTATYKA I HYDRODYNAMIKA

Strona 107107107107

gVF cW ρ= (810)

Wzoacuter na wartość siły wyporu można wyprowadzić w sposoacuteb analogicz-ny do zastosowanego przy wyznaczaniu ciśnienia wywieranego przez słup cieczy Wyodrębnijmy z cieczy o gęstości ρ fragment o objętości V polu przekroju S oraz wysokości h ktoacutery ani nie tonie ani nie unosi się Oznacza to że ciężar tego fragmentu musi być zroacutewnoważony przez siłę wyporu skierowaną w goacuterę Rozważania te nie zmienią się jeżeli na miejsce wyodrębnionego fragmentu wstawimy badane ciało w szczegoacutel-ności nie zmieni się wartość siły wyporu ndash wartość siły wyporu zależy od objętości zanurzonego ciała oraz gęstości cieczy w ktoacuterej te ciało jest zanurzone W przypadku ciał pływających na powierzchni wody prawo Archimedesa możemy sformułować w następujący sposoacuteb

Ciało pływające na powierzchni wody wypiera ilość wody ważącą tyle ile samo waży

Ciało pływające na powierzchni wypiera jedynie tyle wody ile wynosi objętość jego zanurzonej części Siła wyporu związana jest z objętością wypartej cieczy o gęstości ρc czyli tylko z częścią zanurzoną ciała Vz ale siła ta roacutewnoważy ciężar całego ciała (mg) co zapisujemy

gVmg cz ρ= (811)

Działania siły wyporu możemy doświadczyć pływając w wodzie Biorąc pod uwagę powietrze zgromadzone w płucach ciało ludzkie ma średnią gęstość mniejszą od wody co pozwala mu unosić się na powierzchni Pojazdy i konstrukcje pływające mają roacutewnież średnią gęstość mniejszą od wody ndash choć kadłub statku jest wykonany ze stali o znacznie większej gęstości od wody ale średnia gęstość liczona dla całej bryły okrętu jest mniejsza od gęstości wody Siła wyporu unosi roacutewnież balony zaroacutewno wypełnione gazami lżejszymi od powietrza (hel wodoacuter) jak i napełnione ogrzanym powietrzem W obu przypadkach balon unosi się ponieważ średnia gęstość liczona dla całej bryły balonu jest mniejsza niż gęstość otaczającego powietrza

Jak wynika z prawa Archimedesa i jak widać w przytoczonych przykładach siła wyporu zależy od gęstości płynu w ktoacuterym ciało jest zanurzone Oznacza to roacutewnież że mierząc siłę wyporu możemy mierzyć gęstości cieczy Urządzenia wykorzystujące ten efekt nazywa się areometrami i stosowane są zaroacutewno w przemyśle winiarskim (do wyznaczania zawartości alkoholu) jak i paliwowym Areometr ma zwykle kształt długiej rurki obciążonej na jednym końcu Po umieszcze-niu w cieczy przyjmuje pozycję pionową Głębokość zanurzenia pływa-

ROZDZIAŁ 8

Strona 108108108108

ka zależy od gęstości cieczy ndash jeśli gęstość jest mniejsza (np więcej alkoholu w stosunku do wody) zmniejsza się siła wyporu i pływak zanurza się głębiej Jeśli gęstość jest większa zanurzenie zmniejsza się Podobnie dzieje się z naszym ciałem ndash w gęstszej wodzie słonej siła wyporu jest większa i łatwiej jest unosić się na powierzchni Z tego samego powodu trudno jest utonąć w tzw grząskich piaskach ndash ich gęstość jest znacznie większa niż gęstość ludzkiego ciała

Prawo Archimedesa w praktyce wykorzystywane jest w roacuteżnych urzą-dzeniach hydrologicznych Na przykład w niektoacuterych krajach odcinki kanałoacutew żeglugowych poprowadzone są na wiaduktach Kiedy barka wpływa na taki wiadukt obciążenie konstrukcji nie zmienia się jednak ponieważ barka pływając na powierzchni wody wypiera z kanału do-kładnie tyle wody ile sama waży

82 Hydrodynamika

Hydrodynamika opisuje zjawiska związane z przepływem płynoacutew W pierwszym przybliżeniu badany ośrodek możemy zastąpić płynem idealnym ktoacutery wyroacuteżnia się następującymi cechami

bull Przepływ laminarny ndash prędkość poruszającego się płynu w każdym wybranym punkcie nie zmienia się z upływem czasu

bull Przepływ nieściśliwy ndash gęstość płynu jest stała

bull Przepływ nielepki ndash brak strat związanych z oporem wewnętrznym

bull Przepływ bezwirowy ndash zawieszona w płynie cząstka nie obraca się względem środka masy

Roacutewnanie ciągłości

W celu zobrazowania przepływu płynu idealnego wygodnie jest wpro-wadzić linie prądu Są to linie w każdym punkcie styczne do toru oraz prędkości cząstki zawieszonej w płynie Rozpatrzmy strugę nieściśliwe-go płynu definiowaną jako zespoacuteł linii prądu wypełniających poprzeczny

HYDROSTATYKA I HYDRODYNAMIKA

Strona 109109109109

do linii prądu mały kontur zamknięty (rurkę prądu) Jeżeli płyn jest nieściśliwy oraz w rurce prądu nie ma żadnych źroacutedeł ani wypływoacutew woacutewczas masa płynu przepływająca w jednostce czasu przez dowolny przekroacutej poprzeczny tej strugi musi być taka sama Zasadę zachowania masy dla takiej strugi płynu można więc zapisać

22 mtSρtSρm 111 dddd 2 === vv (812)

gdzie dm1 oraz dm2 oznaczają masę strugi płynu ktoacutera w czasie dt prze-pływa z prędkością v1 oraz v2 przez przekroacutej strugi o powierzchni odpo-wiednio S1 oraz S2 Po przekształceniach otrzymujemy roacutewność

21 vv 21 SS = (813)

co zapisujemy jako tzw roacutewnanie ciągłości

const=vS (814)

gdzie S jest polem przekroju poprzecznego zaś v prędkością przepływu płynu przez ten przekroacutej Z roacutewnania tego wynika że im węższy jest przekroacutej tym większa prędkość przepływu cieczy Efekt taki możemy zaobserwować na przykład dla wody w koryta rzecznego Jeśli koryto jest szerokie rzeka płynie powoli natomiast jeśli koryto jest wąskie ndash np w miejscu przełomu przez warstwy skał ndash prędkość nurtu zwiększa się

Roacutewnanie Bernoulliego

Roacutewnanie Bernoulliego określa związek między ciśnieniem cieczy prędkością jej przepływu oraz wysokością na ktoacuterej znajduje się ta ciecz

Rozpatrzmy rurę o zmiennym przekroju ktoacuterej dwa końce znajdują sie na roacuteżnych wysokościach jak na rysunku 83 Przepływ płynu z dolnej części (indeksy 1) do goacuternej części (indeksy 2) odbywa się pod wpły-wem siły parcia F1 zdefiniowanej przez ciśnienie p1

ROZDZIAŁ 8

Strona 110110110110

Rysunek 83 Ilustracja roacutewnania Bernoulliego

Siła ta przesuwając płyn o pewną odległość l1 wykonuje pracę

11111111 VpSpFW === ll (815)

Przesunięciu temu przeciwdziałać będzie siła parcia F2 związana z ciśnieniem p2 ktoacutera wykona pracę

22222222 VpSpFW minus=minus=minus= ll (816)

Ponieważ zgodnie z roacutewnaniem ciągłości taka sama objętość płynu przesunie się w dolnej i goacuternej części rury więc wypadkowa praca wykonana przez siły parcia wynosi

V)p(pVpVpW 2111 minus=minus=∆ 22 (817)

Praca sił parcia wpływać będzie na zmianę energii kinetycznej i poten-cjalna tej porcji płynu o objętości V Płyn ten przepływając z prędkością v1 przez rurę znajdującą się na wysokości y1 będzie miał energię

11 mgymE += 212

1v (818)

gdzie m oznacza masę porcji płynu o objętości V oraz gęstości ρ Zmiana energii płynu przepływającego przez rozważaną rurę wynosić więc będzie

221 mgymmgymE minusminus+=∆ 221 2

1

2

1vv (819)

Jeśli przyroacutewnamy zmianę energii płynu oraz wypadkową pracę sił parcia po podzieleniu roacutewnania przez objętość otrzymamy

HYDROSTATYKA I HYDRODYNAMIKA

Strona 111111111111

2

2

221

2

11 gy2

1pgy

2

1p ρρρρ ++=++ vv (820)

Powyższe wyprowadzenie można uogoacutelnić w postaci tzw roacutewnania Bernoulliego ktoacutere moacutewi że dla dowolnych dwoacutech przekroi rurki cieczy idealnej suma trzech ciśnień ndash statycznego hydrostatycznego oraz spiętrzania ndash jest stała

const=++ hg2

1p

2 ρρv (821)

Z roacutewnania Bernoulliego wynika na przykład że jeżeli będziemy rozpatrywać przepływ płynu na stałej wysokości (ciśnienie hydrostatyczne jest stałe) woacutewczas im większa jest prędkość przepływu cieczy (ciśnienie spiętrzania) tym mniejsze jest ciśnienie statyczne wytwarzane przez tę ciecz Efekt ten wykorzystujemy w szeregu urządzeń

Dysza

W pistolecie natryskowym wykorzystuje się strumień gazu poruszający się z dużą prędkością W miejscu podłączenia zbiornika z farbą znajduje się przewężenie o przekroju znacznie mniejszym niż przekroacutej wlotu dyszy Z roacutewnania ciągłości wiemy że w takim przewężeniu gaz ma znacznie większą prędkość niż przy wlocie i wylocie dyszy Z roacutewnania Bernoulliego zaś wynika że w takim punkcie gdzie prędkość przepływu płynu jest wysoka ciśnienie jest niskie Przy odpowiednio wąskim przewężeniu uzyskamy na tyle niskie ciśnienie (proacuteżnię) że farba jest zasysana do wnętrza dyszy gdzie jej kropelki są rozpylane w strumieniu przepływającego powietrza i mogą być wykorzystane do roacutewnomiernego rozprowadzenia farby Wykorzystując podobną konstrukcję można roacutewnież budować miniaturowe pompy proacuteżniowe a także przyrządy do pomiaru prędkości gazu

Skrzydło samolotu

Roacutewnanie Bernoulliego pozwala roacutewnież wyjaśnić zasadę wytwarzania siły nośnej przez skrzydło samolotu Niesymetryczny kształt przekroju płata skrzydła powoduje powstawanie roacuteżnicy prędkości strumienia powietrza powyżej i poniżej płata Roacuteżnica ta zależy od tzw kąta natarcia ndash określonego umownie pomiędzy cięciwą skrzydła a kierun-kiem strugi powietrza Przy pewnym kącie natarcia prędkości powietrza owiewającego płat są sobie roacutewne ciśnienie po obu stronach płata jest zatem roacutewnież identyczne Płat nie wytwarza wtedy siły nośnej Jeśli

ROZDZIAŁ 8

Strona 112112112112

zwiększymy kąt natarcia masy powietrza opływające skrzydło od goacutery muszą pokonać dłuższą drogę a więc prędkość powietrza na goacuternej powierzchni płata jest większa niż na dolnej Zatem zgodnie z roacutewna-niem Bernoulliego ciśnienie na goacuternej powierzchni jest niższe Roacuteżnica ciśnień po obu stronach płata powoduje powstanie siły nośnej unoszącej samolot Im większy kąt natarcia tym większa siła nośna ndash należy jednak pamiętać że przy zbyt dużym kącie natarcia wzrastają roacutewnież siły hamujące działające na układ Dochodzi wtedy do tzw przeciągnię-cia ndash zbyt duży kąt natarcia powoduje utratę prędkości i w konsekwencji spadek siły nośnej

Rysunek 84 Linie prądu powietrza opływającego skrzydło samolotu

Płyny rzeczywiste

Opis zachowania płynoacutew rzeczywistych jest znacznie bardziej złożony niż idealnych Płyny rzeczywiste roacuteżnią się od idealnych przede wszystkim niezerową lepkością oraz ściśliwością

Ściśliwość opisuje zmianę objętości obiektu pod wpływem ciśnienia zewnętrznego Gazy charakteryzują się znacznie większą ściśliwością niż ciecze jednak w pewnym zagadnieniach można ją roacutewnież zanied-bać Kryterium jest tzw liczba Macha ktoacutera wyraża się stosunkiem prędkości przepływu gazu do prędkości dźwięku w tym gazie Jeśli prędkość przepływu jest znacznie mniejsza od prędkości dźwięku ściśliwość gazu można zaniedbać

Lepkość płynu jest związana z tarciem wewnętrznym występującym w płynie Jeśli podzielimy płyn na cienkie warstwy ułożone roacutewnolegle do linii prądu to tarcie wewnętrzne określa wielkość sił oporu występu-jących pomiędzy poszczegoacutelnymi warstwami Jeśli lepkość jest niewiel-ka czyli wpływ sił lepkości na ruch płynu jest niewielki to przepływają-cy płyn nie napotyka na przeszkody i poszczegoacutelne warstwy płynu poru-

HYDROSTATYKA I HYDRODYNAMIKA

Strona 113113113113

szają się ze zbliżoną prędkością Jeśli w strumieniu cieczy znajduje się nieruchomy obiekt na skutek oddziaływania sił lepkości warstwa płynu najbliższa jego powierzchni będzie poruszała się z niewielką prędkością ndash w przybliżeniu można przyjąć że warstwa ta znajduje się w spo-czynku Kolejne warstwy coraz bardziej odległe od przeszkody będą poruszały się z coraz większą prędkością Stosunek sił tarcia wewnę-trznego do powierzchni warstwy możemy wyrazić jako tzw naprężenie styczne τ

y

ηA

Tτ x

part

part==

v (822)

Naprężenie styczne jest wprost proporcjonalne do gradientu prędkości występującego pomiędzy kolejnymi warstwami płynu Wspoacutełczynnik proporcjonalności nazywamy dynamicznym wspoacutełczynnikiem lepkości η a jego jednostką jest paskal sekunda [Pas]

Wiry i turbulencje

Cechą charakterystyczną płynoacutew rzeczywistych jest możliwość występo-wania w nich turbulencji i wiroacutew Przepływ wirowy występuje wtedy kiedy wydzielony przez obserwatora element płynu ulega obrotowi Oproacutecz obrotu wokoacuteł punktu wyznaczającego środek wiru obroacutet może następować także (w sposoacuteb jednoczesny) wokoacuteł osi własnej elementu Można to poroacutewnać do karuzeli w wesołym miasteczku na ktoacuterej fotele obracają się nie tylko wokoacuteł osi karuzeli ale roacutewnież własnej osi Powstawanie wiroacutew można obserwować min za przeszkodami w nurcie rzeki czy też za skrzydłem samolotu Podczas pokazoacutew lotniczych często prezentowane są bdquoskrzydła aniołardquo ktoacutere powstają w wyniku rozpylenia przez lecący samolot barwnika w powietrzu Drobiny barwnika zostają zassane przez wir powstający za skrzydłami a następnie opadają Przepływ wirowy powstaje roacutewnież za lotkami skrzydeł ptakoacutew Grupowanie się ptakoacutew w klucz podczas migracji jest metodą redukcji oporu związanego z powstawaniem wiroacutew Warto zwroacutecić uwagę że przyczyną powstawania roacuteżnego rodzaju wiroacutew może być roacutewnież np siła Coriolisa związana z ruchem obrotowym Ziemi Kierunek obrotu wiru nad otworem odpływowym zbiornika jest na poacutełkuli poacutełnocnej Ziemi zawsze identyczny i proacuteby bdquoodwroacuteceniardquo go nie powiodą się

Z turbulencjami mamy do czynienia wtedy kiedy przepływ nie jest stacjonarny ndash kierunek i wartość prędkości w danym punkcie ulegają zmianom w czasie Prostym przykładem turbulencji są bystrza rzeki i wodospady - widzimy że choć średni kierunek przepływu jest iden-

ROZDZIAŁ 8

Strona 114114114114

tyczny układ rozbryzgoacutew wody w poszczegoacutelnych punktach zmienia się w czasie Turbulencje powstają roacutewnież w strumieniach mas powietrza Szczegoacutelnie narażone na to zjawisko są zawietrzne stoki goacuter ale turbu-lencje mogą pojawiać się roacutewnież na granicy mas powietrza o roacuteżnych temperaturach wilgotności itp

Opoacuter dynamiczny

Płyn opływający ciało napotyka na opoacuter dynamiczny na ktoacutery składają się dwa czynniki ndash siły tarcia wewnętrznego T i tzw opoacuter ciśnieniowy R

Siły tarcia wewnętrznego związane są z lepkością opływającego płynu i zależą liniowo od prędkości v obiektu względem strumienia płynu

vLBηT = (823)

gdzie B jest wspoacutełczynnikiem proporcjonalności η oznacza wspoacutełczyn-nik lepkości a L określa tzw rozmiar ciała Dla kuli umownie przyjmuje się wielkość L roacutewną jej promieniowi

Opoacuter ciśnieniowy jest związany z naciskiem strumienia płynu na powierzchnię czołową przeszkody oraz koniecznością bdquorozepchnięciardquo przez przeszkodę warstw płynu ktoacutery go opływa Wartość oporu ciśnieniowego R jest proporcjonalna do kwadratu prędkości

222 vv LCρACρR == (824)

gdzie ρ oznacza gęstość cieczy a A powierzchnię ndash ktoacutera zależy od wymiaru ciała L w kwadracie Wspoacutełczynnik C jest stałą proporcjonal-ności ktoacutera zależy od kształtu ciała i dla kuli przykładowo wspoacutełczynnik ten wynosi około 015

Liczba Reynoldsa Re jest definiowana poprzez stosunek oporu ciśnie-niowego do tarcia wewnętrznego

ReB

C

η

ρL

B

C

LBη

LCρ

T

R===

v

v

v22

(825)

Liczba Reynoldsa charakteryzuje tzw podobieństwo hydrodynamiczne ndash jeśli warunki przepływu dwoacutech płynoacutew są określone identycznymi licz-bami Reynoldsa ich przepływ będzie miał podobny charakter Jeśli licz-ba Reynoldsa jest znacznie mniejsza od jedności przepływ ma charakter warstwowy a dominującą rolę mają siły lepkości Jeśli liczba Reynoldsa

HYDROSTATYKA I HYDRODYNAMIKA

Strona 115115115115

jest znacznie większa od jedności przepływ ma charakter burzliwy a na opoacuter decydujący wpływ ma opoacuter ciśnieniowy i powstające za obiektem turbulencje

W przypadku nadwozia samochodowego decydujące znaczenie ma opoacuter ciśnieniowy i dlatego siły oporu aerodynamicznego rosną z kwadratem prędkości Niski wspoacutełczynnik oporu ciśnieniowego jest korzystny ze względu na zużycie paliwa i uzyskiwaną prędkość maksymalną ale może pogarszać kontakt pojazdu z nawierzchnią Z tego względu stosuje się tzw spoilery ktoacutere działając podobnie jak skrzydło samolotu wytwa-rzają siłę dociskającą pojazd do drogi W przypadku bolidoacutew Formuły1 opływowe kształty ma kadłub natomiast zaroacutewno z przodu jak i z tyłu samochodu zamontowane są płaty zapewniające odpowiedni docisk i sterowność bolidu Z tego względu wspoacutełczynnik oporu aerodynamicz-nego bolidoacutew F1 jest stosunkowo wysoki ndash co roacutewnoważone jest jednak przez dużą moc silnika

Z oporem aero- i hydro-dynamicznym jest związane roacutewnież pojęcie tzw prędkości granicznej ośrodka Podczas spadku swobodnego w po-wietrzu prędkość ciała początkowo rośnie ponieważ na ciało działa siła przyciągania ziemskiego Wartość tej siły należy zmniejszyć o wartość siły wyporu ośrodka Wraz ze wzrostem prędkości ciała wzrastają jednak roacutewnież siły oporu ndash zależnie od rodzaju ośrodka i charakteru przepływu są one proporcjonalne do wartości prędkości lub do jej kwadratu W pewnym momencie przy pewnej prędkości nazywanej prędkością graniczną dochodzi do zroacutewnoważenia się siły grawitacji i sumy sił wyporu oraz oporu ośrodka Prędkość graniczna jest maksymalną pręd-kością osiąganą przez ciało w danym ośrodku i np dla skoczkoacutew spado-chronowych przed otwarciem spadochronu wynosi ona od ok 195 do ok 320 kmh w zależności od pozycji w jakiej spadają Osiągnięcie większej prędkości wymaga wykonania skoku na dużej wysokości gdzie atmosfera jest rozrzedzona i siły oporu są mniejsze

ROZDZIAŁ 8

Strona 116116116116

9 Termodynamika

W tym rozdziale

o Temperatura skale temperatur o Roacutewnanie stanu gazu doskonałego o Ciepło i praca termodynamiczna o Pierwsza zasada termodynamiki o Przemiany termodynamiczne o Cykle gazowe druga zasada termodynamiki o Entropia o Mechanizmy przekazywania ciepła rozszerzalność

cieplna ciał stałych

ROZDZIAŁ 9

Strona 118118118118

Termodynamika

Termodynamika jest nauką zajmującą się badaniem zjawisk przemiany energii (w szczegoacutelności zamiany ciepła na pracę mechaniczną) zachodzących w układach makroskopowych Szybki rozwoacutej termodyna-miki nastąpił w XIX wieku co jest związane z rozwojem technologii budowy silnikoacutew parowych i spalinowych Opisując stan układu termo-dynamika posługuje się wielkościami makroskopowymi Rozważając roacuteżne stany skupienia materii oraz występujące między nimi przejścia fazowe posłużyliśmy się już takimi parametrami inaczej nazywanymi parametrami stanu układu ndash ciśnieniem objętością i temperaturą Objętość jest rozmiarem przestrzeni zajmowanej przez dane ciało a definicję ciśnienia poznaliśmy już przy okazji omawiania zagadnień związanych z mechaniką płynoacutew ndash wartość ciśnienia otrzymujemy dzie-ląc siłę przez powierzchnię na ktoacuterą działa ta siła O temperaturze wspo-minaliśmy już wprowadzając pojęcie energii kinetycznej Wykazaliśmy woacutewczas że im szybciej poruszają się cząsteczki tym większą mają energię i tym wyższa jest temperatura układu Do tego mikroskopowego opisu jeszcze wroacutecimy postaramy się jednak najpierw opisać temperatu-rę w ujęciu makroskopowym Opisu takiego dostarcza tzw zerowa zasa-da termodynamiki

91 Temperatura zerowa zasada termodynamiki

Istnieje wielkość skalarna zwana temperaturą ktoacutera jest właściwością wszystkich ciał izolowanego układu termodyna-micznego pozostających w roacutewnowadze wzajemnej Roacutewnowaga polega na tym że każde z ciał tyle samo energii emituje (wysyła) co pochłania Temperatura każdego ciała układu pozostaje taka sama

Zerowa zasada termodynamiki może być roacutewnież sformułowana następująco

Jeśli ciało A jest w roacutewnowadze termicznej z ciałem B i z ciałem C to ciało B jest w roacutewnowadze z ciałem C

TERMODYNAMIKA

Strona 119119119119

Ciała znajdują się w stanie roacutewnowagi termicznej jeśli zachodzi między nimi wymiana ciepła Jeśli postawimy szklankę z gorącą wodą na ka-miennym zimnym blacie szklanka będzie stawać się coraz chłodniejsza a blat coraz cieplejszy ndash temperatura szklanki będzie malała a tempera-tura blatu rosła Kiedy temperatura szklanki zroacutewna się z temperaturą blatu znajdą się w stanie roacutewnowagi termicznej ndash ich temperatura będzie taka sama

Żeby sprawdzić czy ciała są w stanie roacutewnowagi termicznej nie muszą być one w bezpośrednim kontakcie Wystarczy znać temperaturę obu ciał Jeśli stwierdzimy że dowolne ciała A i B są w stanie roacutewnowagi termicznej z trzecim ciałem T to są także w stanie roacutewnowagi ze sobą nawzajem Ciało T pełni rolę termometru

Termometr

Temperaturę możemy mierzyć roacuteżnymi metodami W popularnych ter-mometrach rtęciowych lub spirytusowych wykorzystywana jest liniowa rozszerzalność cieplna tych cieczy a wartość temperatury pokazuje wy-sokość słupka cieczy Rozszerzalność temperaturową metali wykorzys-tuje się roacutewnież we wskaźnikach na desce rozdzielczej starszych samochodoacutew czy na drzwiczkach starych modeli piekarnikoacutew ndash spirala z metalu rozszerzając się pod wpływem ciepła obraca wskazoacutewkę Cie-kawy rodzaj termometru możemy zbudować wykorzystując siłę wyporu ndash jeśli umieścimy w kolumnie z cieczą odważniki o innym wspoacutełczynni-ku rozszerzalności cieplnej niż otaczająca ciecz w zależności od tempe-ratury poszczegoacutelne odważniki będą się wynurzać lub opadać w miarę jak będzie zmieniać się gęstość otaczającej cieczy Obecnie często stosu-je się termometry elektroniczne w ktoacuterych wykorzystujemy bądź zależ-ność temperaturową oporu elektrycznego (np samochodowe czujniki typu Pt-100 i Pt-1000) bądź zjawisko Seebecka powstania roacuteżnicy po-tencjałoacutew kontaktowych na połączeniu dwoacutech roacuteżnych metali ndash miernik taki nazywamy termoparą

Skale temperatur

Jednostką temperatury w układzie jednostek SI jest kelwin Często używa się jednak innych skali jak skala Celsjusza lub Fahrenheita Aby zdefiniować skalę temperatury są potrzebne dwa charakterystyczne punkty możliwie łatwe do odtworzenia w warunkach eksperymental-nych Zero absolutne - 0K - oznacza najniższą temperaturę do jakiej mo-żemy się zbliżyć dowolnie blisko ktoacutera jednak pozostaje nieosiągalna Drugi charakterystyczny punkt skali to tzw punkt potroacutejny wody ndash stan w ktoacuterym wspoacutełistnieją ze sobą faza gazowa (para wodna) woda

ROZDZIAŁ 9

Strona 120120120120

w stanie ciekłym i stanie stałym (loacuted) Pomiędzy tymi dwoma punktami skalę temperatur podzielono na 27316 roacutewnych części ndash każda z nich to jeden kelwin Zatem temperatura punktu potroacutejnego wody wynosi 27316 K (kelwinoacutew)

W często stosowanej skali Celsjusza jednostką temperatury jest stopień Celsjusza ordmC Jednym z charakterystycznych punktoacutew tej skali jest punkt potroacutejny wody Temperatura tego punktu w skali Celsjusza wynosi 0ordmC Drugim punktem jest punkt wrzenia wody czyli przejście z fazy ciekłej do gazowej Temperatura tego punktu w skali Celsjusza wynosi 100ordmC Warto zauważyć że 1ordmC na skali temperatur ma identyczną rozpiętość jak 1K ndash zatem zmiana temperatury o 50ordmC oznacza zmianę o 50K

Do zdefiniowania skali Fahrenheita użyto roztworu o znanym stężeniu soli chlorku amonu w wodzie Punkt potroacutejny takiego roztworu użyty do wyznaczenia bdquozerardquo skali występuje w niższej temperaturze niż dla czystej wody Temperaturze 100ordmC odpowiada 212ordmF a temperaturze 0ordmC odpowiada 32ordmF Przybliżony wzoacuter do przeliczania obu skal ma postać

( )329

5minus= FC TT (91)

gdzie TC i TF oznaczają temperatury odpowiednio w skali Fahrenheita i Celsjusza

92 Roacutewnanie stanu gazu doskonałego

Gaz doskonały

Wiele właściwości fizycznych gazu daje się wyjaśnić przez zastosowanie prostego modelu gazu doskonałego Model ten opiera się na kilku założeniach

bull gaz składa się z cząsteczek o rozmiarach dużo mniejszych niż średnia objętość przypadająca na cząsteczkę

TERMODYNAMIKA

Strona 121121121121

bull cząsteczki są w ciągłym chaotycznym ruchu cieplnym (ruchy Browna)

bull jedyną formą oddziaływań między cząsteczkami są wzajem-ne zderzenia ktoacutere mają charakter zderzeń sprężystych Po-za zderzeniami cząsteczki nie oddziałują wzajemnie i dlate-go energia układu cząsteczek nie zależy od objętości tego układu (tzn także od średniej odległości między cząsteczkami)

bull liczba cząsteczek w jednostce objętości jest bardzo duża (n gt 1023 m-3) co umożliwia stosowanie do opisu parame-troacutew ich ruchu metod statystycznych

Roacutewnanie stanu gazu doskonałego nazywane roacutewnież roacutewnaniem Cla-peyrona określa stan gazu doskonałego czyli podaje zależności między ciśnieniem p objętością V i temperaturą T Roacutewnanie to jest spełnione dla dowolnego stanu czyli zestawu wartości parametroacutew pV i T niezależnie od tego w jaki sposoacuteb nastąpiło przejście z jednego stanu do drugiego Roacutewnanie stanu gazu doskonałego ma postać

TnpV R= (92)

gdzie R oznacza stałą gazową roacutewną R=831 Jmol-1K-1 a n liczbę moli gazu Roacutewnanie to możemy wyrazić roacutewnież przez całkowitą liczbę cząsteczek gazu N

TNpV Bk= (93)

gdzie kB jest stałą Boltzmanna (kB=1380middot10-23 JK-1) Stałą Boltzmana otrzymujemy dzieląc stałą gazową przez liczbę Avogadra (NA=602214179middot1023mol-1)

93 Ciepło i praca termodynamiczna

Definiując temperaturę moacutewiliśmy że temperatura dwoacutech ciał uzyskuje identyczną wartość w stanie roacutewnowagi termicznej Aby ciała nie będące początkowo w stanie roacutewnowagi termicznej mogły osiągnąć taki stan muszą wymieniać między sobą energię Możliwe są dwa sposoby

ROZDZIAŁ 9

Strona 122122122122

przekazywania energii na sposoacuteb pracy (np poprzez ruch tłoka) oraz na sposoacuteb cieplny ndash przez chaotyczne ruchy cząsteczkowe Energię przeka-zywaną na drugi sposoacuteb będziemy nazywali ciepłem i oznaczali jako Q Należy tu zaznaczyć że nazwa ta wywodzi się z błędnej teorii bdquocieplikardquo i będziemy jej używać głoacutewnie ze względoacutew językowo-historycznych

Energia ktoacutera jest przekazywana między ciałami na skutek istniejącej między nimi roacuteżnicy temperatur wpływa na zmianę energii wewnętrznej ciała Energia wewnętrzna U jest miarą średniej energii kinetycznej cząstek materii zgromadzonej min w ruchu postępowym cząsteczek gazu czy w postaci drgań cząsteczek i atomoacutew w ciałach stałych

Ilość przekazywanej energii wyrażamy w dżulach [J] ale często stosuje się roacutewnież pozaukładową jednostkę ndash kalorię Jedna kaloria (1cal) jest roacutewna 41860 J a podstawą definicji tej jednostki jest ciepło potrzebne do podniesienia temperatury jednego grama wody z 145degC do 155 degC

W termodynamice istotną kwestią jest poprawne zdefiniowanie znaku ciepła Jeśli ciepło przepływa z danego ciała (układu) do otoczenia czyli gdy dochodzi do obniżenia jego energii wewnętrznej to ciepło zapisuje-my ze znakiem bdquo-rdquo Jeśli zaś ciepło przepływa z otoczenia do układu zwiększając energię wewnętrzną ciała jego znak określamy jako bdquo+rdquo

Pojemność cieplna

Żeby ogrzać ciało czyli żeby zwiększyć jego energię wewnętrzną musi-my dostarczyć ciepła (doprowadzić energię na sposoacuteb cieplny) Łatwo zauważyć jednak że niektoacutere ciała jest łatwiej ogrzać niż inne Jeśli na przykład na dwoacutech płytach grzejnych kuchenki o identycznej mocy umieścimy pojemnik z wodą o masie 1kg i blok stalowy o masie 1kg okaże się że temperatura bloku stalowego będzie wzrastała znacznie szybciej niż wody Zatem ilość przepływającej energii (przekazywane ciepło) niezbędna do podniesienia temperatury danej masy o jednostkę temperatury jest w przypadku wody znacznie większa niż dla stali Taką cechę danego materiału nazywamy jego pojemnością cieplną

Pojemność cieplna C danego ciała jest ilością energii potrzebną do podniesienia jego temperatury o 1K Jednostką jest JmiddotK-1

∆TCQ = (94)

TERMODYNAMIKA

Strona 123123123123

Ciepło właściwe i ciepło molowe

Ciepło właściwe cw danego materiału jest ilością energii potrzebną do podniesienia temperatury 1kg tego materiału o 1K Jednostką jest J kg 1middotK-1

∆TmcQ W= (95)

Ciepło właściwe można wyrazić roacutewnież w przeliczeniu na 1mol substancji ndash takie ciepło właściwe nazywamy ciepłem molowym Cmol

∆TnCQ mol= (96)

Przykładowe wartości ciepła właściwego roacuteżnych cieczy i ciał stałych znajdują się w tabeli 91

Przyczynę dla ktoacuterej roacuteżne substancje wykazują roacuteżne ciepło właściwe omoacutewimy dokładniej w kolejnych rozdziałach Warto zauważyć że w ogoacutelności ciepła właściwe mogą zależeć od temperatury i dlatego na ogoacuteł obok wartości podajemy temperaturę dla ktoacuterej została ono wyznaczone

Tabela 91 Wartości ciepła właściwego Cp roacuteżnych substancji ndash pomiar przy 25

oC

substancja C [J kg-1K-1] substancja C [J kg-1K-1] woda 4181 ołoacutew 128

gliceryna 2386 srebro 236 polietylen 2930 żelazo 450

miedź 386 aluminium 897

Duże ciepło właściwe wody ma ogromne znaczenie dla klimatu i środo-wiska biologicznego Woda ogrzewa się powoli ale roacutewnież powoli i długo oddaje ciepło do otoczenia i dlatego na obszarach pustynnych na ktoacuterych nie ma zbiornikoacutew wodnych wahania temperatury między nocą a dniem są bardzo duże ndash ziemia bardzo łatwo się nagrzewa i łatwo stygnie Jeziora rzeki i morza łagodzą wahania temperatury zaroacutewno w skali doby jak i w skali roku Klimat na wybrzeżu jest znacznie łagodniejszy niż w głębi lądu Na obszarach kontynentalnych częściej obserwuje się surowe zimy i gorące lata

Duże ciepło właściwe wody jest wykorzystywane w układach chłodzenia oraz ogrzewania Obieg wody chłodzącej stosowany jest np w silnikach samochodowych a w instalacjach centralnego ogrzewania woda jest

ROZDZIAŁ 9

Strona 124124124124

wykorzystywana do ogrzewania budynku ndash nawet jeśli w danej chwili piec nie podgrzewa wody kaloryfery długo pozostają ciepłe

Przykład

Jeśli do izolowanego zbiornika wlejemy 1 litr wody o temperaturze 10degC i 1 litr wody o temperaturze 50degC to w wyniku dochodzenia do roacutewno-wagi termicznej temperatura osiągnie wartość 30degC Łatwo zauważyć że jest to wartość średnia temperatur obu porcji wody Dzieje się tak dlate-go że ilość energii potrzebna do podniesienia temperatury chłodniejszej masy wody jest roacutewna ilości energii oddanej przez wodę cieplejszą Jeżeli układ zbiornika z wodą jest izolowany to zmiana energii całkowi-tej musi wynosić zero co możemy zapisać w postaci

( ) ( ) 0=minus+minus 2KW21KW1 TTcmTTcm (97)

Stąd możemy obliczyć temperaturę końcową TK (masę wyznaczamy jako iloczyn objętości i gęstość wody)

Jeśli do zbiornika zawierającego 1 litr wody czyli o masie mW=1kg o temperaturze TW=10degC wrzucimy żelazny blok o masie mFE=1kg i temperaturze TFE=50degC roacutewnież dojdzie do wyroacutewnania temperatur obu ciał Roacutewnież w tym przypadku ciepło oddane przez żelazo jest takie samo jak ciepło pobrane przez wodę a bilans cieplny możemy zapisać w następujący sposoacuteb

( ) ( ) 0=minussdotsdot+minussdotsdot FeKFeFeWKWW TTcmTTcm (98)

gdzie cW oraz cFE oznaczają ciepło właściwe wody oraz żelaza zaś TK temperaturę końcową układu Ponieważ ciepło właściwe wody jest znacznie większe niż żelaza temperatura wody podniesie się tylko nie-znacznie i końcowa temperatura układu wyniesie około 14degC

Praca termodynamiczna

Zgodnie z przedstawioną wcześniej definicją ciepło pobrane przez ciało wywołuje wzrost energii wewnętrznej tego ciała Energia ta może być roacutewnież zamieniona na pracę Aby wyznaczyć pracę jaka może być wykonana kosztem ciepła rozpatrzmy izolowany termicznie (brak wy-miany ciepła z otoczeniem) cylinder z gazem zamknięty od goacutery szczel-nie dopasowanym tłokiem o powierzchni S Jeśli działając pewną stałą

TERMODYNAMIKA

Strona 125125125125

siłą F przesuniemy tłok o odcinek dl to wykonamy nad gazem zawartym wewnątrz cylindra pracę dW

( ) ( ) VpSppSFW ddddd ==== lllrr

(99)

Praca całkowita jaką wykonamy nad gazem sprężając go od objętości początkowej Vp do końcowej Vk wynosi

int int==k

p

V

VVpWW dd (910)

Jeżeli ciśnienie p wywierane przez siłę F na powierzchnię S tłoka nie zmienia się w wyniku przesunięcia tłoka to podczas zmiany objętości gazu o ∆V wykonana zostanie praca ∆VpW =

Jeśli wykonamy wykres zmian objętości i ciśnienia w trakcie ściskania gazu zawartego w cylindrze wykonana praca (wzoacuter 910) będzie roacutewna polu znajdującemu się pod tym wykresem (rysunek 91)

Rysunek 91 Praca w przemianie termodynamicznej jako pole pod wykresem ciśnienia od objętości

Warto zwroacutecić uwagę na znak pracy obliczonej według powyższego wzoru Jeśli objętość końcowa jest większa niż początkowa całka będzie miała wartość dodatnią Odpowiada to sytuacji w ktoacuterej to nie my wykonujemy pracę nad gazem zawartym w cylindrze ale to gaz rozprę-żając się wypycha tłok i wykonuje pracę Jeśli natomiast przesuwając tłok będziemy sprężać gaz to my wykonamy pracę dodatnią ale obli-czona całka będzie miała znak ujemny gdyż praca wykonana przez gaz będzie w tym przypadku miała znak ujemny Istotne jest więc precyzyjne określanie czy wyznaczana praca jest pracą wykonaną przez gaz czy nad

ROZDZIAŁ 9

Strona 126126126126

gazem W dalszej części tego rozdziału przez pracę będziemy rozumieli pracę wykonaną przez gaz

Pierwsza zasada termodynamiki

Podczas podgrzewania układu przekazujemy do niego ciepło zwiększając w ten sposoacuteb jego energię wewnętrzną i temperaturę Energia wewnętrzna ciała może zmieniać się roacutewnież za sprawą pracy wykonanej nad tym ciałem Można roacutewnież powiedzieć że praca ktoacuterą wykonuje układ może się odbywać kosztem dostarczonego do układu ciepła lub też kosztem energii wewnętrznej układu Zależności te mogą być zapisane w zwięzły sposoacuteb w postaci I zasady termodynamiki

Energia wewnętrzna układu U wzrasta jeśli układ pobiera energię w postaci ciepła Q i maleje kiedy układ wykonuje pracę W

WQEE∆U WPWK minus=minus= (911)

Zapis roacuteżniczkowy powyższego prawa ma postać

WUQ δδ += d (912)

Zastosowany w powyższym zapisie symbol dU oznacza roacuteżniczkę energii wewnętrznej U ktoacutera jest funkcją stanu Ciepło Q oraz praca W nie są funkcjami stanu i w ich przypadku nie możemy moacutewić o roacuteż-niczce a jedynie o małej zmianie δ Zatem I zasadę termodynamiki możemy roacutewnież wyrazić w następujący sposoacuteb

Dostarczone do układu ciepło δQ powoduje zwiększenie energii wewnętrznej układu o dU i wykonanie przez układ pracy δW przeciwko siłom zewnętrznym

Należy zwroacutecić uwagę że ciepło dostarczone do układu zapisujemy ze znakiem bdquo+rdquo a ciepło oddane przez układ ze znakiem bdquo-rdquo natomiast praca W (lub dW) oznacza pracę wykonaną przez układ

TERMODYNAMIKA

Strona 127127127127

94 Przemiany termodynamiczne

Przemianą nazywamy przejście danej substancji z jednego stanu roacutewnowagi termodynamicznej do drugiego pod wpływem czynnika zewnętrznego Typowymi przemianami są ogrzewanie czy chłodzenie ciała a szczegoacutelnym typem są przemiany fazowe polegające na zmianie stanu skupienia ciała Niektoacutere przemiany fazowe wymagają dos-tarczenia ciepła do układu a podczas innych ciepło jest wydzielane przez układ Jest to konsekwencją budowy mikroskopowej ciał oraz energii oddziaływań międzycząsteczkowych w roacuteżnych stanach skupienia

Jako przykład omoacutewimy przemiany występujące podczas ogrzewania lodu Początkowo poniżej 0degC ciepło jakie dostarczamy do lodu jest zużywane na wzrost jego temperatury co w skali mikroskopowej oznacza wzrost amplitudy drgań cząsteczek wody tworzących loacuted Kiedy temperatura osiągnie 0degC rozpoczyna się proces topnienia czyli zmiany fazy ze stałej na ciekłą Dostarczane dalej ciepło (energia) służy zerwaniu wiązań pomiędzy cząsteczkami wody w krystalicznej struktu-rze lodu Cząsteczki wody w fazie ciekłej poruszają się szybciej niż cząsteczki tworzące loacuted a oddziaływania między nimi są słabsze Aż do całkowitego stopienia temperatura mieszaniny woda-loacuted nie będzie wzrastać ponieważ całe dostarczane ciepło jest zużywane w procesie przemiany fazowej

Dalsze dostarczane ciepła do wody w stanie ciekłym służy podniesieniu jej temperatury ndash aż do osiągnięcia temperatury wrzenia W tej tempera-turze następuje przemiana fazowa ze stanu ciekłego do gazowego Podobnie jak w przemianie ze stanu stałego do ciekłego wiąże się ona z zerwaniem oddziaływań międzycząsteczkowych i proces ten wymaga dostarczenia energii Tak więc aż do momentu całkowitego odparowania wody jej temperatura pozostaje stała mimo dostarczania ciepła W rze-czywistości parowanie zachodzi z powierzchni swobodnej cieczy nawet poniżej temperatury wrzenia Na powierzchni cieczy zawsze znajdują się cząsteczki ktoacutere na skutek oddziaływań ze strony swoich bdquosąsiadoacutewrdquo mają wyższe energie niż te znajdujące się w objętości cieczy i ktoacutere dzięki temu mogą się bdquouwolnićrdquo do stanu gazowego

Do zajścia odwrotnych przemian fazowych ndash skraplania i krystalizacji wymagany jest odwrotny kierunek przepływu ciepła Aby cząsteczki

ROZDZIAŁ 9

Strona 128128128128

pary wodnej skropliły się musimy odebrać nadmiar energii kinetycznej z gazu Podobnie podczas krystalizacji należy zmniejszyć energię cząsteczek cieczy zmniejszyć ich ruchliwość na tyle by umożliwić wytworzenie się pomiędzy nimi wiązań W przypadku obu tych prze-mian fazowych musimy odbierać energię z układu

Przemiany fazowe

Przemiana fazowa zachodzi w stałej temperaturze a ciepło pobrane przez materiał jest proporcjonalne do masy materiału oraz ciepła właściwego przemiany

mCQ PRZEMPRZEM = (913)

Warto zwroacutecić uwagę że tak zdefiniowane ciepła topnienia i parowania osiągają znaczne wartości w stosunku do ciepła właściwego W efekcie znacznie łatwiej jest ogrzać 1kg wody lub lodu o 1 kelwin niż doprowa-dzić do stopienia 1kg lodu Jeszcze wyższa jest wartość ciepła parowania

Duża wartość ciepła przemiany może być wykorzystywany do termore-gulacji przez organizmy żywe Nawet niewielka ilość wody wydzielana przez gruczoły potowe odparowując z powierzchni skoacutery odbiera dużo ciepła tym samym chroniąc organizm przed przegrzaniem Podobnie wysokie ciepło parowania wykorzystuje się np w nowoczesnych radia-torach do chłodzenia procesoroacutew komputerowych Pomiędzy żeberkami radiatora zamontowana jest zamknięta rurka tworząca tzw kanał cieplny (ang heat pipe) wypełniona niewielką ilością alkoholu i jego oparami (rysunek 92) W pobliżu procesora temperatura jest na tyle wysoka że alkohol intensywnie paruje pobierając jednocześnie dużo ciepła od procesora Opary alkoholu pod wpływem ruchoacutew konwekcyjnych docierają do radiatora na końcu rurki Ponieważ temperatura koło radiatora jest niższa alkohol ulega skropleniu (oddaje ciepło) a następnie spływa po ściankach w stronę procesora i cały proces może ulec powtoacuterzeniu Taki kanał cieplny niezwykle efektywnie wspomaga transport ciepła w kierunku od procesora na zewnątrz radiatora

TERMODYNAMIKA

Strona 129129129129

Rysunek 92 Schemat działania radiatora z kanałem cieplnym

Kalorymetr

Kalorymetr jest urządzeniem służącym do pomiaru ciepła wydzielanego lub pobieranego podczas procesoacutew chemicznych i fizycznych W naj-prostszej wersji kalorymetr jest po prostu zbiornikiem izolowanym termicznie od otoczenia wyposażonym w termometr Aby wskazania termometru były dokładne musi on pozostawać w kontakcie cieplnym z badanym układem Warunek ten jest osiągany zazwyczaj przez wypeł-nienie kalorymetru cieczą o znanym cieple właściwym Jeśli podczas badanego procesu chemicznego temperatura kalorymetru się zmieni to ilość ciepła jaka przepłynęła z badanego układu do kalorymetru lub w przeciwną stronę możemy obliczyć znając pojemność cieplną kalory-metru (cieczy oraz zbiornika) Aby pomiar był prawidłowy czyli aby wymiana ciepła między badanym układem a kalorymetrem była efek-tywna ciecz wypełniającą kalorymetr miesza się za pomocą mieszadła w ten sposoacuteb wyroacutewnując temperaturę w roacuteżnych częściach naczynia

Znacznie bardziej zaawansowanymi urządzeniami do badania właści-wości termicznych materii są kalorymetry roacuteżnicowe W urządzeniach tego typu przeprowadza się precyzyjny pomiar temperatury badanej proacutebki oraz proacutebki referencyjnej podczas jednostajnego grzania całej ko-mory badawczej Podczas przemian fazowych w badanym materiale wydzielane lub pochłaniane będzie ciepło i zarejestrowana woacutewczas zos-tanie roacuteżnica temperatur proacutebki badanej oraz referencyjnej Urządzenia tego typu pozwalają nie tylko precyzyjnie wyznaczyć temperatury prze-

ROZDZIAŁ 9

Strona 130130130130

mian fazowych takich jak topnienie krystalizacja parowanie czy też przejścia szkliste ale roacutewnież wartość ciepła tych przemian

Przemiany termodynamiczne

W termodynamice szczegoacutelny nacisk kładzie się na opis przemian termodynamicznych zachodzących w gazach Jest to zagadnienie istotne ze względu na zastosowanie praktyczne ndash większość silnikoacutew spalino-wych wykorzystuje w swoim cyklu pracy przemiany gazowe

W tym rozdziale omoacutewimy cechy charakterystyczne czterech podstawo-wych gazowych przemian termodynamicznych izochorycznej izoba-rycznej izotermicznej oraz adiabatycznej

Przemiana izochoryczna

Podczas przemiany izochorycznej objętość gazu jest stała Zgodnie ze wzorem 96 ciepło dostarczone do n moli gazu jest proporcjonalne do roacuteżnicy temperatur i zależy od ciepła molowego przy stałej objętości CV charakterystycznego dla tej przemiany

∆TCnQ V= (914)

Ponieważ objętość w przemianie izochorycznej się nie zmienia więc praca termodynamiczna wykonana przez gaz wynosi zero (roacutewnanie 910) a więc zgodnie z I zasadą termodynamiki całe ciepło Q ktoacutere dostarczymy do układu jest roacutewne przyrostowi energii wewnętrznej układu

∆UQ = (915)

Poroacutewnując roacutewnania 914 oraz 915 otrzymujemy że przyrost energii wewnętrznej zależy tylko od przyrostu temperatury

∆TCn∆U V= (916)

Warto podkreślić że powyższa zależność jest prawdziwa dla każdej przemiany a nie tylko dla przemiany izochorycznej dla ktoacuterej ją wyprowadziliśmy

Zapiszmy roacutewnanie stanu gazu dla dwoacutech stanoacutew podczas przemiany izochorycznej

TERMODYNAMIKA

Strona 131131131131

=

=

22

11

TnVp

TnVp

R

R (917)

Z powyższego układu roacutewnań wynika że w przemianie izochorycznej stosunek ciśnienia do temperatury jest wielkością stałą

const===T

p

T

p

T

p

2

2

1

1

(918)

Na wykresie p(V) ciśnienia od objętości przedstawionym na rysunku 93 przemiana izochoryczna jest odcinkiem pionowym

Przemiana izobaryczna

Dla przemiany izobarycznej charakteryzującej się stałością ciśnienia ciepło Q dostarczone do układu jest proporcjonalne roacuteżnicy temperatur i zależy od wartości ciepła molowego przy stałym ciśnieniu Cp

∆TCnQ p= (919)

Zgodnie z roacutewnaniem 916 zmianę energii wewnętrznej dla dowolnej

przemiany termodynamicznej możemy zapisać jako ∆TCn∆U V= zaś praca wykonana przez układ podczas przemiany izobarycznej roacutewna się iloczynowi ciśnienia i zmiany objętości (roacutewnanie 910)

∆VpW = (920)

Zapisując roacutewnanie stanu gazu dla tej przemiany otrzymamy stałość stosunku objętości do temperatury

const===T

V

T

V

T

V

2

2

1

1

(921)

Na wykresie p(V) ciśnienia od objętości przemiana izobaryczna jest odcinkiem poziomym (rysunek 93)

Jeśli przemianę przeprowadzimy przy stałym ciśnieniu to ciepło dostarczone do układu Q zamieniane jest zaroacutewno na przyrost energii wewnętrznej ∆U jak i na pracę W wykonaną przez gaz co zgodnie z I zasadą termodynamiki możemy zapisać

W∆UQ += (922)

ROZDZIAŁ 9

Strona 132132132132

Korzystając z roacutewnania stanu gazu (roacutewnanie 92) możemy wyrazić zmianę objętości ∆V poprzez zmianę temperatury ∆T

∆TnR∆VpW == Woacutewczas roacutewnanie 922 można zapisać w postaci

∆Tn∆TCn∆TCn Vp R+= (923)

skąd otrzymujemy że molowe ciepło właściwe gazu przy stałym ciśnie-niu Cp jest większe od molowego ciepła właściwego przy stałej objętości CV o wielkość stałej gazowej R

R+= Vp CC (924)

Przemiana izotermiczna

W przemianie izotermicznej temperatura gazu nie zmienia się Zgodnie z roacutewnaniem stanu gazu stały woacutewczas jest iloczyn objętości i ciśnienia

const=== pVVpVp 2211 (925)

Wykres takiej przemiany na wykresie p(V) jest hiperbolą (rysunek 93) Ponieważ temperatura jest stała stała jest roacutewnież energia wewnętrzna gazu czyli zmiana energii wewnętrznej wynosi zero ∆U = 0

Zgodnie z I zasadą termodynamiki oznacza to że całe dostarczane do gazu ciepło Q jest zużywane na pracę gazu W (Q = W)

Pracę wykonaną przez gaz obliczamy ze wzoru 910 int=K

P

V

V

VpW d

Zależność ciśnienia od objętości wyznaczamy z roacutewnania stanu gazu i otrzymujemy wzoacuter całkowy

intint ==K

P

K

P

V

V

V

VV

VTnV

V

TnW

dRd

R (926)

Rozwiązaniem takiej całki jest funkcja logarytmiczna (ln) i po podstawieniu granic całkowania otrzymujemy pracę W wykonaną przez gaz przy izotermicznym (w temperaturze T) rozprężaniu n moli gazu z objętości początkowej VP do końcowej VK

P

K

V

VTnW lnR= (927)

TERMODYNAMIKA

Strona 133133133133

Jeśli gaz rozpręża się to 1gtP

K

V

V 0ln gt

P

K

V

V i praca wykonywana

przez gaz jest dodatnia W przeciwnym przypadku kiedy VP gtVK praca jest ujemna

Przemiana adiabatyczna

Przemiana adiabatyczna charakteryzuje się brakiem wymiany ciepła z otoczeniem Roacutewnanie tej przemiany ma postać

const==κ

22

κ11 VpVp (928)

gdzie wspoacutełczynnik κ nazywany wykładnikiem adiabaty oznacza stosu-nek molowego ciepła właściwego przy stałym ciśnieniu do molowego

ciepła właściwego przy stałej objętości Cp do Cv (V

p

C

C=κ ) Roacutewna-

nie 928 można roacutewnież zapisać

const==1κ-

22

1κ-11 VT VT (929)

Wykres adiabaty w zmiennych p(V) jest bardziej stromy niż izotermy (rysunek 93)

Rysunek 93 Schematyczny wykres przebiegu przemian gazowych

Pracę wykonaną w przemianie można obliczyć podobnie jak to zrobiliśmy dla przemiany izotermicznej ze wzoru 910 wprowadzając pod całkę zależność ciśnienia od objętości zgodnie ze wzorem 928 Otrzymujemy

ROZDZIAŁ 9

Strona 134134134134

minus

minus=

minus1

2

111

V

V1

1

VPW

κ

κ (930)

95 Teoria kinetyczno - molekularna gazoacutew

W dotychczasowym opisie właściwości termodynamicznych ciał posłu-giwaliśmy się głoacutewnie wielkościami makroskopowymi Obecnie szerzej zajmiemy się właściwościami ciał w ujęciu mikroskopowym

Ciśnienie gazu

Zastanoacutewmy się w jaki sposoacuteb cząsteczki gazu wywierają ciśnienie na ścianki naczynia w ktoacuterym się znajdują

Każda z cząsteczek gazu przy prostopadłym odbiciu od ścianki zmienia

swoacutej pęd o vvv m)m(m∆p 2=minusminus= Jeśli wektor pędu cząsteczki

tworzy ze ścianką kąt α zmiana pędu wynosi αsin2 vm∆p = Siła jaką wywiera cząsteczka na ściankę sześciennego naczynia zależy od zmiany wartości składowej pędu prostopadłej do ściany i może być zapisana

∆t

∆pF x= (931)

Czas ∆t pomiędzy dwoma kolejnymi zderzeniami cząsteczki ze ścianka-mi zależy od jej prędkość oraz rozmiaru l naczynia ndash pomiędzy zderze-niami przebywa ona drogę 2l

x

∆tv

l2= (932)

Zatem siła wywierana przez cząsteczkę na ściankę wynosi

TERMODYNAMIKA

Strona 135135135135

l2

2 2

xmF

v= (933)

Całkowita siła wywierana na ściankę przez wszystkie N cząsteczki gazu znajdujące się w naczyniu wynosi

[ ]2

xN

2

2x

2

1xc m

F vvv +++=l

(934)

Ponieważ założyliśmy że liczba cząsteczek w naczyniu jest bardzo duża interesuje nas zależność ciśnienia od średniej prędkości (a ściślej ndash od średniej kwadratu prędkości) obliczonej dla wszystkich cząsteczek Średnią kwadratu prędkości w kierunku x dla N cząsteczek wyrażamy jako

N

N

1i

2

xi

x

sum==

v

v (935)

Cząsteczka gazu może posiadać roacutewnież składowe prędkości w kierun-kach y i z Kwadrat jej prędkości zapisujemy jako

2

z

2

y

2

x

2vvvv ++= (936)

Średnią kwadratu prędkości możemy wyrazić jako sumę średnich kwad-ratoacutew składowych prędkości w poszczegoacutelnych kierunkach Ponieważ ruch cząsteczek jest przypadkowy średnie prędkości dla kierunkoacutew x y i z są jednakowe

22222xzyx vvvvv 3=++= (937)

Stąd siłę wywieraną na ściankę naczynia możemy zapisać jako

l3

2vNm

F = (938)

Ponieważ ciśnienie definiuje się jako stosunek siły do powierzchni ścian-ki otrzymujemy

3

2

ll 32

vNmFp == (939)

ROZDZIAŁ 9

Strona 136136136136

Zastępując l3 objętością naczynia V otrzymujemy

22

vv

nmm

V

Np

3

1

23

2== (940)

gdzie NV=n oznacza koncentrację cząsteczek gazu Poroacutewnując otrzymaną postać roacutewnania z roacutewnaniem stanu gazu (93) możemy wyrazić temperaturę jako funkcję średniego kwadratu prędkości cząsteczek

k

2

E3

2N

2

m

3

2NTNpV =

==

vBk (941)

W powyższym wzorze kE oznacza średnią energię kinetyczną cząsteczek gazu

Zasada ekwipartycji energii

Przekształcając roacutewnanie 941 otrzymujemy związek pomiędzy średnią energią kinetyczną a temperaturą

T2

3E k Bk= (942)

Udowodniliśmy że temperatura jest wskaźnikiem wartości średniej ener-gii kinetycznej cząsteczek gazu

Z podstaw mechaniki wiemy jednak że ciało może posiadać energię kinetyczną nie tylko w postaci ruchu postępowego ale roacutewnież ruchu obrotowego lub drgającego Jeżeli każdy z rodzajoacutew ruchoacutew oraz każdy z kierunkoacutew w ktoacuterych cząsteczka gazu może się poruszać nazwiemy stopniem swobody f to można wykazać że średnia energia kinetyczna przypadająca na jeden stopień swobody jest taka sama dla wszystkich cząsteczek i wynosi

TE Bk2

1= (943)

Powyższą zasadę nazywamy zasadą ekwipartycji energii

TERMODYNAMIKA

Strona 137137137137

Cząsteczki jednoatomowe mogą poruszać się jedynie ruchem postępo-wym w trzech kierunkach wiec charakteryzować się będą trzema f = 3 stopniami swobody a średnia energia kinetyczna cząsteczek takiego gazu

będzie wynosiła TE Bk23=

Przykładem gazu jednoatomowego jest hel He

Energia związana z ruchem obrotowym nabiera znaczenia w przypadku gazoacutew dwuatomowych Prostym modelem cząsteczki takiego gazu mogą być hantle składające się z dwoacutech kul Hantle te mogą wirować w dwoacutech prostopadłych kierunkach wokoacuteł osi przechodzącej przez środek odcinka łączącego kule (w przypadku atomoacutew o roacuteżnych masach przechodzącej przez środek masy) Energia związana z takim obrotem może być prze-kazywana w wyniku zderzeń Nie ma natomiast możliwości przekazywa-nia energii związanej z obrotem hantli wokoacuteł osi roacutewnoległej do odcinka łączącego kule W efekcie dla gazoacutew dwuatomowych oproacutecz trzech stopni swobody związanych z ruchem postępowym mamy roacutewnież dwa dodatkowe stopnie swobody związane z ruchem obrotowym ndash f = 5 ndash a średnia energia kinetyczna cząsteczek takiego gazu będzie wynosiła

TE Bk25= Gazami dwuatomowymi są np tlen O2 czy azot N2

Gazy wieloatomowe tworzą większe cząsteczki ktoacutere oproacutecz ruchu postępowego mogą wykonywać ruch obrotowy względem trzech osi a więc ich całkowita liczba stopni swobody wynosi f = 6 Przykładem gazu wieloatomowego jest metan CH4

Ciepło molowe gazoacutew

Zdefiniowaliśmy wcześniej ciepło molowe jako wielkość charakteryzu-jącą substancję i określającą ilość ciepła jaką potrzeba dostarczyć żeby podnieść temperaturę jednego mola danej substancji o jeden stopień Po-kazaliśmy roacutewnież że średnia energia kinetyczna cząsteczek gazu zależy od ilości stopni swobody Wynika z tego że roacutewnież ciepło właściwe gazoacutew musi być zależne od liczby stopni swobody gdyż wraz ze wzros-tem tej liczby ta sama ilość energii dostarczana do gazu będzie się roz-kładać na większą ilość rodzajoacutew ruchu a więc wzrost temperatury jednego mola gazu będzie mniejszy Zatem najmniejsze ciepło właściwe mają gazy jednoatomowe a największe ndash wieloatomowe

ROZDZIAŁ 9

Strona 138138138138

Ciepło molowe przy stałej objętości

Jak wykazaliśmy w rozdziale 94 dla przemiany izochorycznej zmiana energii wewnętrznej roacutewna jest ciepłu dostarczonemu do układu

∆U∆TCnQ V == (944)

Przekształcając powyższą zależność i korzystając z zasady ekwipartycji energii ciepło właściwe przy stałej objętości CV możemy zapisać

Rf

∆Tn

∆UCV 2

== (945)

Dla gazu jednoatomowego ciepło właściwe przy stałej objętości wynosi CV = 32R dla gazu dwuatomowego CV = 52R a gazu wieloatomowego CV = 3R Należy jednak zauważyć że wartość ta może zależeć od tempe-ratury Pewne rodzaje ruchu wymagają dostatecznie wysokiej temperatu-ry żeby zostać bdquowzbudzonerdquo Z tego względu ciepło molowe gazoacutew dwuatomowych w temperaturze bliskiej temperatury skraplania może wynosić nie 52R a 32R

Ciepło molowe przy stałym ciśnieniu

Jeśli przemianę przeprowadzimy przy stałym ciśnieniu (przemiana izo-baryczna) to ciepło dostarczone do układu Q zamieniane jest zaroacutewno na przyrost energii wewnętrznej ∆U jak i na pracę W wykonaną przez gaz Molowe ciepło właściwe gazu przy stałym ciśnieniu Cp jest większe od molowego ciepła właściwego przy stałej objętości CV o wielkość stałej gazowej R

R+= Vp CC (946)

96 Roacutewnanie stanu gazu rzeczywistego

Właściwości gazoacutew rzeczywistych roacuteżnią się od właściwości gazu ideal-nego Rozpatrzmy prosty model mechaniczny składający się z cylindra z tłokiem wypełnionego gumowymi piłeczkami ktoacutery to model pozwoli nam lepiej zrozumieć roacuteżnice miedzy gazem doskonałym i rzeczywistym

TERMODYNAMIKA

Strona 139139139139

oraz zachowanie gazu rzeczywistego Jeśli piłeczek jest niewiele odle-głości między piłeczkami są duże i poruszają się one szybko możemy zastosować opis identyczny jak w przypadku gazu doskonałego Oddzia-ływania piłeczek możemy woacutewczas opisać z bardzo dobrym przybliżeniem jako zderzenia sprężyste W roacutewnaniach opisujących te zderzenia interesować nas będzie zachowanie środka masy piłeczek a ich rozmiar będzie miał drugorzędne znaczenie Jeśli odległości między piłeczkami są małe objętości piłeczek oraz ich deformacje zaczynają istotnie wpływać na zachowanie całego układu

Roacutewnaniem pozwalającym w przybliżony sposoacuteb modelować zachowa-nie gazoacutew rzeczywistych jest model van der Waalsa Roacutewnanie stanu gazu w tym modelu ma postać

( ) TnbVV

ap

2R=minus

+ (947)

W poroacutewnaniu z roacutewnaniem stanu gazu doskonałego w roacutewnaniu gazu rzeczywistego ciśnienie p powiększone jest o człon odwrotnie proporcjo-nalny do kwadratu objętości zajętej przez gaz Człon ten uwzględnia siły przyciągania między molekułami i określany jest jako tzw ciśnienie wewnętrzne gazu Objętość V zbiornika w ktoacuterym zajmuje gaz rzeczy-wisty została natomiast pomniejszona o tzw objętość wewnętrzną ktoacutera jest proporcjonalna do objętości cząsteczek gazu Wielkości a i b z roacutewnania van der Waalsa przyjmują roacuteżne wartości dla roacuteżnych gazoacutew i wpływają na kształt izoterm p(V) W wysokich temperaturach gdy prędkości cząsteczek gazu są znaczne kształt tych izoterm oraz właści-wości gazu rzeczywistego są zbliżone do gazu doskonałego

97 Cykle gazowe

Cyklem będziemy nazywać proces lub szereg procesoacutew ktoacutere doprowa-dzają układ termodynamiczny z powrotem do warunkoacutew początkowych Z cyklami gazowymi mamy do czynienia min w silnikach spalinowych

ROZDZIAŁ 9

Strona 140140140140

Cykl Carnota

Pierwszym cyklem jaki omoacutewimy będzie cykl Carnota Wyobraźmy sobie cylinder z gazem doskonałym ktoacuterego ścianki stanowią idealną izolację termiczną Pierwszym etapem cyklu (rysunek 94 a) będzie rozprężanie izotermiczne ndash do układu dostarczane jest ciepło ktoacutere w całości zamieniane jest na pracę rozprężenia gazu i podniesienia tłoka Zgodnie z roacutewnaniem stanu gazu doskonałego dla przemiany izotermicz-nej (roacutewnanie 928) skoro objętość gazu wzrasta to ciśnienie proporcjo-nalnie maleje Drugi etap cyklu Carnota to rozprężanie adiabatyczne Do układu nie jest już dostarczane ciepło i zakładamy że dno cylindra staje się roacutewnież idealnie izolujące (może się to odbywać za pomocą specjal-nej ruchomej przegrody) tak że cały układ jest całkowicie izolowany od otoczenia Podczas przemiany adiabatycznej zgodnie z roacutewnaniem adia-baty (roacutewnanie 931) ciśnienie gazu nadal spada a objętość rośnie Wy-konywana jest woacutewczas praca mechaniczna kosztem energii wewnę-trznej gazu i w efekcie temperatura gazu obniża się do T2 W tej części cyklu gaz roacutewnież wykonuje pracę rozprężając się i przesuwając tłok W trzecim etapie cyklu ponownie mamy do czynienia z przemianą izo-termiczną Otwieramy przegrodę cieplną umożliwiając odpływ ciepła do chłodnicy ale ponieważ roacutewnocześnie wykonujemy nad gazem pracę sprężania gazu energia wewnętrzna gazu nie zmienia się i jego tempera-tura jest stała W czwartym etapie ponownie zamykamy przegrodę ter-miczną (układ jest izolowany od otoczenia) wciąż wykonując pracę sprężania gazu Przy braku wymiany ciepła z otoczeniem zgodnie z roacutewnaniem adiabaty sprężaniu towarzyszyć będzie wzrost ciśnienia gazu i temperatury do T1 W ten sposoacuteb wracamy do punktu początkowego

Sprawność silnika termodynamicznego

Cykl Carnota pełni w termodynamice szczegoacutelnie ważną rolę gdyż dla tego cyklu otrzymujemy maksymalną możliwą sprawność zamiany cie-pła na pracę

Sprawność cyklu η definiujemy jako stosunek pracy użytecznej W wykonanej przez gaz do ciepła QG dostarczonego do gazu w danym cyklu

G

ZG

G Q

QQ

Q

W minus==η (948)

TERMODYNAMIKA

Strona 141141141141

W trakcie cyklu gaz pobiera ciepło QG ze zbiornika gorącego część tego ciepła zużywając na wykonanie pracy W a resztę oddając do chłodnicy (QZ) Zatem praca jaką wykonuje gaz jest roacutewna roacuteżnicy ciepła dostar-czonego ze zbiornika gorącego i oddanego do chłodnicy

ZG QQW minus= (949)

Tak zdefiniowana sprawność jest zawsze mniejsza od jedności gdyż układ nie może wykonać pracy roacutewnej lub większej niż ilość ciepła pobrana ze źroacutedła o temperaturze wyższej Część ciepła jest zawsze od-dawana do chłodnicy i nie jest możliwa całkowita zamiana ciepła na pracę

W przypadku cyklu Carnota ciepło jest dostarczane i oddawane z układu jedynie podczas izotermicznego sprężania i rozprężania odpowiednio Ciepło dostarczone możemy więc zastąpić ciepłem pobranym ze zbiorni-ka gorącego QG zaś ciepło oddane ciepłem oddanym zimnemu zbiorni-kowi QZ Można wykazać że dla cyklu Carnota prawdziwa jest relacja

Z

Z

G

G

T

Q

T

Q= (950)

gdzie TG i TZ są temperaturami gorącego i zimnego zbiornika odpowied-nio Woacutewczas sprawność cyklu Carnota można zapisać

G

ZG

T

TT minus=η (951)

Z powyższego wzoru na sprawność cyklu Carnota maksymalną możliwą do osiągnięcia sprawność wynika że im większa jest roacuteżnica temperatur tym wyższa jest sprawność całego cyklu Widzimy roacutewnież że do uzyskania wysokiej sprawności potrzebne jest źroacutedło ciepła ale roacutewnież odpowiednio efektywny system chłodzenia

Sprawność maszyny chłodniczej

Wyobraźmy sobie że przeprowadzimy cykl Carnota w odwrotnym kierunku tzn będziemy wykonywali pracę nad układem tak żeby układ pobierał ciepło ze zbiornika chłodniejszego i oddawał je do zbiornika cieplejszego W takim przypadku interesuje nas sprawność chłodnicza czyli stosunek ciepła odebranego ze zbiornika zimnego QZ do wykonanej pracy W

ROZDZIAŁ 9

Strona 142142142142

ZG

Z

ZG

Z

TT

T

QQ

Q

minus=

minus=η (952)

Praca W roacutewna jest roacuteżnicy ciepła QG oddanego do gorącego zbiornika i ciepła QZ pobranego z zimnego zbiornika a oba te ciepła podobnie jak w cyklu Carnota można powiązać z temperaturami zbiornika zimnego TZ i gorącego TG Sprawność chłodnicza jest zawsze większa od jedności i jest tym większa im mniejsza jest roacuteżnica temperatur między zbiornika-mi gorącym i zimnym

Przykładem zastosowania odwroacuteconego cyklu termodynamicznego może być klimatyzacja z tzw pompą ciepła Klimatyzacja taka może działać w obie strony ndash latem pobiera ciepło z wewnątrz budynku i oddaje je na zewnątrz a zimą pobiera ciepło z zewnątrz i oddaje je do wnętrza Aby klimatyzacja działała niezbędne jest wykonanie pracy Warto zauważyć że w poroacutewnaniu z tradycyjnymi metodami ogrzewania budynku układ z pompą ciepła jest wydajniejszy ndash jeśli zużyjemy tę samą ilość prądu na zasilanie grzejnika elektrycznego i zasilanie pompy ciepła ciepło dostar-czone do budynku będzie zawsze większe w przypadku pompy ciepła Wadami pomp ciepła są skomplikowana konstrukcja wpływająca na zwiększoną awaryjność oraz duży koszt całego układu Pompy ciepła wymagają ponadto z reguły dużego wymiennika ciepła

Chłodziarki i zamrażarki roacutewnież odbierają ciepło z komory chłodniczej W tym przypadku obok cyklu gazowego wykorzystujemy roacutewnież cie-pło przemian fazowych Sprężony przez kompresor gaz ulega skropleniu w systemie rurek wymiennika ciepła (znajdującego się z reguły w tylnej części chłodziarki) W obiegu wewnątrz komory chłodziarki ciśnienie spada i ciecz ulega przemianie w gaz pobierając przy tym ciepło z ko-mory Następnie gaz jest sprężany przez kompresor i cykl przemian może ulec powtoacuterzeniu

Cykl Otta

Cykl Otta stanowi dobre przybliżenie cyklu realizowanego w typowym silniku benzynowym W częściej spotykanym silniku czterosuwowym cykl pracy silnika zaczyna się od zassania do wnętrza cylindra mieszanki paliwowej ndash tłok cofa się przy otwartym zaworze (przy stałym ciśnieniu zwiększa się objętość gazu) Następnie zawoacuter zamyka się a tłok spręża mieszankę Sprężanie odbywa się na tyle szybko że może być uznane za proces adiabatyczny ndash nie ma wymiany ciepła z blokiem silnika Sprężo-na mieszanka ulega następnie zapłonowi co jest tak szybkim procesem

TERMODYNAMIKA

Strona 143143143143

że z powodzeniem można przyjąć że jest to przemiana izochoryczna ndash tłok nie zdążył się jeszcze ruszyć a jedynie wzrosło ciśnienie i tempera-tura gazu W kolejnej fazie cyklu gorący gaz rozpręża się adiabatycznie wypychając tłok a więc wykonując pracę nad tłokiem Po jego zakoń-czeniu kiedy tłok osiągnie maksymalne wychylenie otwiera się zawoacuter wydechu Powoduje to spadek ciśnienia gazu przy stałej jego objętości W kolejnym etapie cyklu zawoacuter wydechu jest wciąż otwarty a tłok wy-pycha spaliny z cylindra przy stałym ciśnieniu wracając do położenia początkowego Zależność ciśnienia od objętości dla cyklu Otta pokazana jest na rysunku 94 b)

Sprawność cyklu Otta wynosi

VC

R

2

1

V

V1η

minus= (953)

gdzie V1 i V2 oznaczają odpowiednio minimalną i maksymalną objętość cylindra

Cykl Diesla

Cykl Diesla zaczyna się podobnie jak cykl Otta ndash tłok cofa się zasysając powietrze do wnętrza cylindra Następnie zachodzi adiabatyczne spręża-nie powietrza zawartego w cylindrze W silniku Diesla proces spalania paliwa ma inny charakter niż w cyklu Otta ndash zamiast iskry wywołującej zapłon stosujemy w nim świecę żarową ktoacuterej głoacutewnym zadaniem jest wspomaganie rozruchu silnika Pary oleju sprężone do odpowiedniego ciśnienia ulegają bowiem samozapłonowi Etap spalania paliwa dostarczający ciepło niezbędne do działania silnika nie jest modelowany przez przemianę izochoryczną ale przez proces izobaryczny (rysu-nek 94 c) Następnie podobnie jak w cyklu Otta następuje rozprężanie adiabatyczne w trakcie ktoacuterego silnik wykonuje pracę Kiedy tłok znajdzie się w najdalszym położeniu (objętość gazu jest największa) otwiera się zawoacuter wydechu i ciśnienie gazu spada Podobnie jak w przy-padku silnika benzynowego cykl kończy wypchnięcie spalin z wnętrza cylindra poprzez ruch tłoka

Sprawność silnika Diesla można wyrazić wzorem

ROZDZIAŁ 9

Strona 144144144144

( )

21

κ21

κ

3

2

VV1

VV1

V

V

κ

11η

minus

minus

minus= (954)

Silniki Diesla ze względu na wyższy stopień sprężania są postrzegane jako oszczędniejsze mimo że wyliczona z powyższego wzoru sprawność silnika Diesla w poroacutewnaniu z cyklem Otta jest nieco mniejsza Silniki Diesla dobrze pracują przy niskich obrotach wytwarzając duży moment obrotowy i są mało wrażliwe na uszkodzenia instalacji elektrycznej ktoacutera jest potrzebna jedynie do rozruchu silnika Ich wadą jest trudny rozruch zimnego silnika

Cykl Stirlinga

W przeciwieństwie do poprzednio omawianych silnikoacutew w silniku Stirlinga gaz znajdujący się w cylindrze nie ulega wymianie w trakcie cyklu Silnik tego typu wymaga do działania jedynie źroacutedła ciepła oraz odpowiednio wydajnego chłodzenia Ciepło jest dostarczane i odbierane w sposoacuteb ciągły Cykl Stirlinga składa się z dwoacutech przemian izotermicz-nych na przemian z przemianami izochorycznymi (rysunek 94d) Istnie-je kilka rozwiązań samego silnika realizującego taki cykl W jednym z nich silnik składa się z dwoacutech cylindroacutew jednego połączonego ze źroacutedłem ciepła a drugiego z chłodnicą Cylindry te są połączone ze sobą kanałem umożliwiającym przepływ gazu Początkowo cały gaz znajduje się w cylindrze gorącym ndash w cylindrze chłodzonym tłok znajduje się w położeniu odpowiadającym minimum objętości W wyni-ku podgrzewania następuje rozprężanie (izotermiczne) gazu w cylindrze gorącym i silnik wykonuje pracę Po osiągnięciu pełnego wychylenia przez tłok w cylindrze gorącym zaczyna on opadać wypychając gaz do cylindra chłodnego w ktoacuterym tłok unosi się zasysając gaz W ten sposoacuteb dochodzi do wymiany gazu między cylindrami Po przepompo-waniu do cylindra chłodnego ciśnienie gazu spada W cylindrze chłodzo-nym gaz jest poddawany izotermicznemu sprężaniu a następnie jest wypychany do cylindra gorącego Tam jego ciśnienie wzrasta i cykl do-chodzi do warunkoacutew początkowych

Cykl Stirlinga charakteryzuje wysoka sprawność ktoacutera może osiągać wartości zbliżone do sprawności silnika Carnota

TERMODYNAMIKA

Strona 145145145145

( ) C12

V

C

ηVVn

c1

ηη

ln R+

= (955)

gdzie ηC oznacza sprawność silnika Carnota Silnik Stirlinga działa na-wet przy niewielkiej roacuteżnicy temperatur i dlatego stosowany jest do przetwarzania energii cieplnej uzyskanej ze źroacutedeł geotermalnych lub z procesoacutew fermentacji Jego wadą są stosunkowo duże rozmiary i kosz-ty wykonania urządzeń tego typu Silniki tego typu są mało awaryjne i z tego względu istnieją plany stosowania ich np w sondach kosmicz-nych wyposażonych w promieniotwoacutercze źroacutedło ciepła Są roacutewnież ci-che co czyni je przydatnymi do stosowania w łodziach podwodnych z napędem jądrowym W tym przypadku wydajne chłodzenie silnika zapewnia woda morska

Rysunek 94 Wybrane cykle termodynamiczne a) Carnota b) Otta

c) Diesla d) Stirlinga

Druga zasada termodynamiki

Wspominaliśmy już że w cyklu silnika jedynie część energii pobieranej ze źroacutedła gorącego jest zamieniana na pracę a część jest oddawana do chłodnicy Na przykładzie cyklu chłodniczego przekonaliśmy się że aby

ROZDZIAŁ 9

Strona 146146146146

przekazać ciepło z ciała zimnego do ciała gorącego niezbędne jest wyko-nanie pracy Oba te spostrzeżenia mogą być podstawą do sformułowa-nia drugiej zasady termodynamiki

Niemożliwe jest przekazywanie ciepła przez ciało o niższej temperaturze ciału o wyższej temperaturze bez wprowadzenia innych zmian w obu ciałach i ich otoczeniu

lub w innym sformułowaniu

Niemożliwe jest pobieranie ciepła z jednego źroacutedła i zamiana go na pracę bez wprowadzenia innych zmian w układzie i jego otoczeniu

Druga zasada termodynamiki zaprzecza istnieniu tzw perpetuum mobile drugiego rodzaju czyli całkowitej zamiany ciepła w pracę Druga zasada termodynamiki nakłada ograniczenia na wartość sprawności silnika ndash nie jest możliwe zbudowanie silnika o sprawności większej niż sprawność silnika Carnota

98 Entropia

Swobodny przepływ ciepła następuje tylko w kierunku od ciała gorącego do ciała zimnego Zgodnie z drugą zasadą termodynamiki przepływ w odwrotną stronę nie może odbywać się samoistnie i wymaga wykona-nia pracy nad układem Szczegoacutełowa analiza tego problemu pokazuje że kierunek zachodzenia procesoacutew fizycznych w przyrodzie jest wyznaczo-ny przez zmiany wartości pewnej funkcji stanu układu zwanej entropią

Entropia jest funkcją stanu a więc jej zmiana zależy jedynie od począt-kowego i końcowego stanu układu a nie zależy od sposobu przejścia między tymi stanami Dla przemiany izotermicznej zmianę entropii mo-żemy zdefiniować jako stosunek ilości ciepła ∆Q otrzymanego przez układ do temperatury w ktoacuterej układ otrzymał to ciepło Jest to tzw cie-pło zredukowane

T

∆Q∆S = (956)

W ogoacutelnym przypadku należy zastosować definicję roacuteżniczkową zmiany entropii

TERMODYNAMIKA

Strona 147147147147

T

QS

dd = (957)

Jeżeli szukamy zmiany entropii ∆S podczas jakiegoś procesu termodyna-micznego musimy dodać (scałkować) wszystkie składowe infinitezymal-ne zmiany entropii dS

Korzystając z pierwszej zasady termodynamiki oraz ciepło δQ można wyrazić za pomocą pracy δW oraz zmiany energii wewnętrznej dU a w konsekwencji za pomocą zmiany objętości dV oraz zmiany tempera-tury dT W efekcie po scałkowaniu otrzymujemy wzoacuter na zmianę entropii dla dowolnej przemiany gazowej gazu doskonałego

P

K

V

P

K

T

TCn

V

Vn∆S ln ln R += (958)

Entropię można roacutewnież definiować jako miarę tej części energii wew-nętrznej układu ktoacutera nie może być użyta do wykonania pracy mecha-nicznej co możemy zapisać w następujący sposoacuteb

VpSTU ddd minus= (959)

Entropia pokazuje w ktoacuterym kierunku procesy fizyczne mogą biec sa-morzutnie Jeżeli zmiana entropii układu w pewnym procesie wynosi zero to proces taki jest odwracalny czyli może zachodzić w obu kierun-kach Zmiana entropii dla cyklu Carnota podobnie jak dla każdego procesu cyklicznego roacutewnież wynosi zero gdy jest on odwracalny

Przemiany nieodwracalne przebiegają samorzutnie tylko w określonym

kierunku W przypadku tych przemian entropia wzrasta 0gt∆S Przy-kładem może być połączenie dwoacutech zbiornikoacutew zawierających odpo-wiednio gorący i zimny gaz Po usunięciu przegrody dzielącej zbiorniki dojdzie do wymiany energii kinetycznej pomiędzy cząsteczkami gazu a więc w konsekwencji do samorzutnego wyroacutewnania temperatur obu porcji gazu W przyrodzie proces ten nie zachodzi w odwrotnym kierun-ku ndash nie obserwujemy spontanicznego samorzutnego podgrzewania jednej porcji a oziębiania drugiej porcji gazu Możemy jednak osiągnąć taki efekt dostarczając do układu ciepło lub wykonując nad nim pracę Wtedy układ ten nie będzie jednak układem zamkniętym

ROZDZIAŁ 9

Strona 148148148148

Definicja statystyczna entropii

Entropia ma roacutewnież swoją definicję statystyczną Rozpatrzmy najpierw przykład nieodwracalnej przemiany rozprężania gazu do zbiornika z proacuteżnią W przyrodzie nie obserwujemy zachodzenia tego procesu w odwrotnym kierunku tzn nie jest możliwe aby wszystkie cząsteczki gazu z jednego zbiornika same spontanicznie go opuściły wytwarzając tam proacuteżnię Aby osiągnąć taki stan czyli aby wypompować gaz z jed-nego zbiornika i uzyskać proacuteżnię musimy użyć odpowiedniej pompy a więc wykonać pracę Możemy powiedzieć że najbardziej prawdopo-dobna będzie konfiguracja gdzie w obu zbiornikach będziemy mieli tyle samo cząsteczek Dla uproszczenia rozpatrzmy układ dwoacutech zbiornikoacutew w ktoacuterych znajdują się ponumerowane cztery cząsteczki Najbardziej prawdopodobny będzie taki stan (nazywany makrostanem) w ktoacuterym w obu zbiornikach będą dwie cząsteczki Ale taki makrostan może być zrealizowany na wiele sposoboacutew (poprzez wiele mikrostanoacutew) tzn w zbiorniku mogą być następujące konfiguracje cząsteczek (12) (13) (14) (23) (24) (34) Makrostan z jedną cząsteczką w prawym zbiorniku może być zrealizowany przez 4 mikrostany tzn w zbiorniku tym mogą być cząsteczki (1) lub (2) lub (3) lub (4) Liczba mikrostanoacutew realizujących dany mikrostan oznaczana jest symbolem w i definiuje entropię układu (wzoacuter Boltzmanna-Plancka)

( )wS ln k B= (960)

W celu wyznaczenia zmiany entropii układu należy obliczyć roacuteżnicę entropii końcowej i początkowej

P

K

BPKw

wkSS∆S ln=minus= (961)

Wyznaczmy teraz prawdopodobieństwa roacuteżnych konfiguracji dla wyniku rzutu dwiema kostkami do gry Wyniki bdquo2rdquo oraz bdquo12rdquo można uzyskać tylko w jeden sposoacuteb ndash rzucając dwie bdquojedynkirdquo lub dwie bdquoszoacutestkirdquo Prawdopodobieństwo uzyskania takiego wyniku jest zatem dość niskie ndash wynosi 1616=0028 Wynik bdquo3rdquo można uzyskać na dwa sposoby ndash wyrzucając bdquo1rdquo i bdquo2rdquo lub bdquo2rdquo i bdquo1rdquo Wynik ten ma zatem wyższą wielokrotność konfiguracji Prawdopodobieństwo uzyskania takiego wyniku jest roacutewnież dwa razy wyższe ndash wynosi 0056 W rzucie dwiema kostkami najbardziej prawdopodobny jest wynik bdquo7rdquo ndash można go uzys-kać na 6 sposoboacutew Wynik ten reprezentuje zatem roacutewnież największą entropię

TERMODYNAMIKA

Strona 149149149149

Zwiększanie się entropii w wyniku przemian termodynamicznych ozna-cza dążenie do stanoacutew najbardziej prawdopodobnych czyli do stanoacutew roacutewnowagowych Łatwo zauważyć że układy te reprezentują roacutewnież największy nieporządek Wroacutećmy do przykładu z rozprężeniem gazu do proacuteżnego zbiornika ndash stan w ktoacuterym jeden zbiornik jest proacuteżny a sąsied-ni zbiornik jest wypełniony gazem reprezentuje bardzo niską entropię Wyroacutewnanie się ciśnień w obu zbiornikach powoduje przejście do stanu o najwyższej entropii Widzimy zatem że w układzie zamkniętym bę-dzie pojawiał się nieporządek

Jeśli zbudujemy wieżę z kamieni wykonujemy pracę by wytworzyć stan o wysokim porządku ndash zatem o niskiej entropii W przypadku wieży stanem o najwyższej entropii jest losowe rozrzucenie kamieni Jeśli nie będziemy wykonywać nad tym układem żadnej pracy pod wpływem czynnikoacutew zewnętrznych stopniowo będzie dążył do stanu o wyższej entropii ndash wieża będzie się rozpadać aż do zamiany w stertę rozrzuco-nych kamieni W przyrodzie struktury uporządkowane takie jak żywe organizmy istnieją dzięki źroacutedłu energii jakim jest Słońce Energia czer-pana ze Słońca (w przypadku niektoacuterych bakterii energia może być po-zyskiwana z innych źroacutedeł) jest wykorzystywana na wykonywanie pracy i budowę struktur o wysokim uporządkowaniu Bez źroacutedła energii orga-niżmy żywe umierają ndash przechodzą w stan o wyższej entropii Warto zwroacutecić uwagę że procesy śmierci i rozkładu można interpretować w ra-mach przemian termodynamicznych Ciepło wytwarzane w procesie fer-mentacji szczątkoacutew organicznych może być odzyskiwane i wykorzysty-wane jako alternatywne źroacutedło energii

99 Właściwości termiczne materii

Mechanizmy przekazywania ciepła

Procesy transportu energii zmierzają do wyroacutewnywania energii w całym układzie prowadząc układ do stanu roacutewnowagi W przyrodzie istnieją trzy podstawowe mechanizmy przekazywania ciepła

bull przewodnictwo cieplne

bull konwekcja (unoszenie)

ROZDZIAŁ 9

Strona 150150150150

bull promieniowanie

Przewodnictwo cieplne

Przewodnictwo cieplne jest związane z przekazywaniem energii przez cząstki o wyższej energii cząstkom o niższej energii Jeśli w jednym miejscu ciała dostarczane jest ciepło cząstki z ktoacuterych zbudowane jest ciało uzyskują wyższą energię W przypadku gazu będzie to większa energia kinetyczna cząsteczek gazu w przypadku ciała stałego będziemy mieli do czynienia z większą energią drgań atomoacutew wokoacuteł ich położeń roacutewnowagi Energia ta jest przekazywana sąsiednim atomom tak żeby minimalizować roacuteżnicę temperatur pomiędzy ciepłym a chłodnym koń-cem W przypadku gazu przekazywanie energii kinetycznej odbywa się poprzez zderzenia zaś w ciele stałym w wyniku oddziaływań między atomami

Z codziennego doświadczenia wiemy że roacuteżne materiały mają roacuteżną przewodność cieplną Wysoką przewodność cieplną mają na przykład metale Związane jest to z przewodzeniem ciepła nie tylko na skutek drgań jąder atomowych ale roacutewnież zderzeń swobodnych elektronoacutew obecnych w metalach Tworzywa sztuczne takie jak guma czy polietylen są z reguły izolatorami elektrycznymi i wykazują roacutewnież niewielką przewodność cieplną

Strumień ciepła JQ czyli ciepło dQ przepływające w czasie dt przez po-wierzchnię dS jest proporcjonalny do gradientu temperatury wywołują-cego przepływ ciepła Wspoacutełczynnik proporcjonalności λ nazywa się wspoacutełczynnikiem przewodności cieplnej jest cechą charakterystyczną danego materiału i wyraża się w Wm

-1K

-1

W jednowymiarowym przypadku gradient temperatury jest roacutewny po-chodnej temperatury po wspoacutełrzędnej x i woacutewczas przepływ ciepła może być opisany następującą zależnością (prawo Fouriera przewodnictwa cieplnego)

x

T

St

QJ Q d

d

d d

dλminus== (962)

Dla cienkich warstw przybliżeniem gradientu temperatury jest iloraz roacuteżnicy temperatur przez grubość przegrody Rozpatrzmy cienką prze-grodę o grubości L i powierzchni S wykonaną z materiału o wspoacutełczyn-niku przewodności cieplnej λ ktoacutera oddziela zbiornik gorący o tempera-turze TG od zimnego o temperaturze TZ W takim przypadku ilość ciepła

TERMODYNAMIKA

Strona 151151151151

Q przepływająca przez przegrodę w czasie t (moc P) wyraża się wzorem (za bdquoPodstawy Fizykirdquo Halliday Resnick Walker PWN 2003)

L

TTSk

t

QP ZG minus

== (963)

Dla takiej przegrody można roacutewnież wyznaczyć wartość oporu cieplnego R będącego wspoacutełczynnikiem proporcjonalności między mocą przepły-wającego ciepła a roacuteżnicą temperatur

Sk

LR = (964)

Należy pamiętać że tak zdefiniowana wielkość charakteryzuje dane cia-ło a nie materiał z ktoacuterego jest wykonane

W układzie składającym się z wielu warstw przy stacjonarnym przepły-wie ciepła (temperatury i wartość strumienia ciepła nie zmieniają się w czasie) ciepło przepływające przez każdą z warstw jest jednostce czasu jest taki samo Rozpatrując przykład dwoacutech warstw wykonanych z roacuteżnych materiałoacutew roacutewnania Fouriera możemy zapisać w postaci

( ) ( )

2

Z122

1

12G1

L

TTSk

L

TTSkP

minus=

minus= (965)

gdzie T12 oznacza temperaturę na granicy dwoacutech warstw Wyznaczając z powyższego roacutewnania temperaturę T12 możemy wyznaczyć całkowitą moc traconą przez taką podwoacutejną przegrodę

( )

2

2

1

1

ZG

k

L

k

L

TTSP

+

minus=

(966)

W ogoacutelnym przypadku moc ciepła przepływającego przez przegrodę składającą się z kilku warstw o roacuteżnych grubościach Li oraz wspoacutełczyn-nikach przewodności cieplnej ki możemy zapisać

( )

sum

minus=

i i

i

ZG

k

L

TTSP

(967)

ROZDZIAŁ 9

Strona 152152152152

Konwekcja

Konwekcja jest mechanizmem przekazywania ciepła charakterystycz-nym dla płynoacutew (gazoacutew i cieczy) i nazywana bywa roacutewnież przepływem masowym Zwiększenie temperatury płynoacutew powoduje zmniejszenie ich gęstości a w konsekwencji pojawienie się siły wyporu skierowanej pionowo do goacutery Charakterystyczne przy tym jest że ruch taki może dotyczyć nie tylko pojedynczych cząsteczek ale roacutewnież znacznych objętości płynu

Prostym przykładem konwekcji jest ruch wody podgrzewanej w garnku Woda ogrzana przy dnie za sprawą siły wyporu unosi się ku powierz-chni gdzie ulega wychłodzeniu i opada ponownie na dno gdzie ponow-nie się ogrzewa wywołując cyrkulację w całym naczyniu Podobne zja-wisko w znacznie większej skali obserwujemy w roztopionych skałach pod powierzchnią Ziemi - gdzie gorąca magma wypływa ku powierz-chni gdzie stygnie i opada Ruchy konwekcyjne roztopionych skał kształtują powierzchnię Ziemi i mają decydujący wpływ na dryf płyt kontynentalnych unoszących się na powierzchni magmy Opis ruchoacutew konwekcyjnych mas powietrza jest jednym z podstawowych zagadnień meteorologii Ruchy te powodują powstawanie wiatroacutew i chmur a także powstawanie i przemieszczanie się frontoacutew atmosferycznych

Przepływ konwekcyjny jest podstawą działania instalacji centralnego ogrzewania Ciepła woda ogrzana w piecu lub kotle unosi się do goacutery wymuszając jednocześnie napływ zimniejszej wody do wymiennika cie-pła W grzejnikach woda (napływająca goacuternym wlotem) ochładza się i opada w kierunku pieca W samych grzejnikach powietrze jest zasysane znad podłogi ogrzewa się pomiędzy żebrami i unosi do goacutery Na podob-nej zasadzie działa wentylacja grawitacyjna W przypadku kiedy proces wymiany ciepła w urządzeniu jest w danym zastosowaniu zbyt powolny można wymusić konwekcję Prostym przykładem wymuszonej konwek-cji jest chłodnica samochodowa Wiatrak chłodnicy wymusza przepływ powietrza między żebrami wymiennika ciepła Identyczną funkcję pełni wiatrak na radiatorze procesora komputerowego W przypadku cieczy chłodzących o znacznej gęstości przepływ może być wymuszany za pomocą pomp Pompy wspomagające obieg wody i powietrza w piecu mogą być stosowane w domowych instalacjach grzewczych

Promieniowanie cieplne

Kolejnym mechanizmem wymiany ciepła jest promieniowanie cieplne Podstawy fizyczne tego zjawiska omoacutewimy w dalszej części wykładu

TERMODYNAMIKA

Strona 153153153153

Teraz podamy jedynie wzoacuter określający ilość energii wypromieniowa-nej lub pochłoniętej przez ciało przez jednostkę powierzchni

4TσE = (968)

Jest to tzw wzoacuter Stefana-Boltzmanna opisujący całkowitą (integralną) zdolność emisyjną ciała czyli energię wypromieniowaną w całym widmie częstotliwości Promieniowanie cieplne zależy od temperatury w potędze czwartej ale roacutewnież od rodzaju powierzchni ciała Powierz-chnie ciemne dobrze pochłaniają ale i dobrze wypromieniowują ciepło Pomalowany czarnym lakierem pojazd szybko nagrzewa się ale roacutewnie szybko stygnie Samochoacuted z jasnym nadwoziem pochłania niewiele cie-pła ale i niewiele oddaje Odbijanie ciepła jest podstawą działania tzw folii ratunkowej znajdującej się w apteczce samochodowej Ułożona srebrną stroną do ciała folia zabezpiecza przed wychłodzeniem odbijając promieniowanie cieplne do środka Ułożenie stroną złotą do ciała i srebrną na zewnątrz zmniejsza promieniowanie zewnętrzne i chro-ni przed przegrzaniem

Izolacja termiczna

Policzmy moc jaka jest tracona przez okno o powierzchni S=1m2 wykonane z pojedynczej szyby o grubości d=4mm i wspoacutełczynniku przewodności cieplnej k=1 zakładając temperaturę na zewnątrz TZ = -20oC=253K oraz wewnątrz pomieszczenia TW=20oC=293K

Zaniedbamy efekty związane z promieniowaniem cieplnym i konwekcją analizując jedynie przewodnictwo cieplne Korzystając ze wzoru 914 otrzymujemy znaczną stratę ciepła o mocy 10kW

( 100000040

25329311 =

minussdot=

P )

Rozważmy teraz drugi przypadek w ktoacuterym zastosowano podwoacutejną szybę Przy czym odległość między szybami wynosi z=1cm a przestrzeń jest wypełniona powietrzem o wspoacutełczynniku przewodności k=0025 Założymy że w tej warstwie powietrza konwekcja nie występuje Po podstawieniu do wzoru 918 opisującego wielowarstwową przegrodę otrzymujemy P=98W Widzimy że w przypadku zastosowania dwoacutech szyb przedzielonych warstwą powietrza strumień ciepła przepływający przez okno jest ponad 1000 razy mniejszy W krajach skandynawskich stosuje się nierzadko okna z trzema szybami ktoacutere gwarantują jeszcze niższe straty ciepła Podobny efekt wykorzystujemy w przypadku cegieł ceramicznych z kanałami powietrznymi czy popularnych wykończeń ścian typu bdquosidingrdquo W przypadku takich przegroacuted powietrznych najważ-

ROZDZIAŁ 9

Strona 154154154154

niejszym zagadnieniem jest uniknięcie lub zminimalizowanie konwek-cyjnego transportu ciepła Można to osiągnąć zamykając powietrze wew-nątrz małych poroacutew materiału Efekt taki jest wykorzystywany min w płytach styropianowych i piankach poliuretanowych Materiały te są bardzo lekkie ponieważ puste przestrzenie pomiędzy bdquowięźbąrdquo polime-rową wypełnia powietrze Materiałem o najlepszych własnościach izolacyjnych jest aerożel oparty na spienionych związkach krzemu

Konwekcja i przewodzenie cieplne nie występują roacutewnież w proacuteżni po-nieważ nie ma tam cząsteczek gazu ktoacutere mogłyby uczestniczyć w trans-porcie ciepła Na tym efekcie opiera się działanie tzw naczynia Dewara Spomiędzy podwoacutejnych ścianek tego naczynia wypompowuje się powie-trze Kontakt termiczny pomiędzy wewnętrznymi a zewnętrznymi ścian-kami istnieje jedynie przy wlocie naczynia ktoacutery ma jednak niewielki przekroacutej poprzeczny i powierzchnię Prostym przykładem naczynia Dewara jest termos Termosy szklane długo zachowują proacuteżnię są nato-miast podatne na uszkodzenia mechaniczne Termosy metalowe są wy-trzymałe mechanicznie ale ciśnienie wewnątrz stopniowo wzrasta i po pewnym czasie tracą one właściwości izolujące

Ciepło właściwe ciał stałych

Pojemność cieplną ciał stałych opisuje tzw model Debyersquoa Zakłada on że transport ciepła w ciałach stałych zachodzi w postaci rozchodzenia się drgań Im wyższa temperatura tym liczba wzbudzanych rodzajoacutew drgań rośnie ndash wzrasta roacutewnież ciepło właściwe W zakresie temperatur poniżej tzw temperatury Debyersquoa θ wzrost ten odbywa się proporcjonalnie do trzeciej potęgi temperatury Powyżej temperatury Debyersquoa wzrost war-tości ciepła właściwego jest znacznie mniej dynamiczny Wartością gra-niczną dla tzw ciał prostych ndash np kryształoacutew zbudowanych z jednego pierwiastka ndash jest wartość trzykrotnej stałej gazowej 3R Zależność tą określa się prawem Dulonga-Petita

Ciepło właściwe materii związane jest roacutewnież z ruchem elektronoacutew Elektronowe ciepło właściwe jest wprost proporcjonalne do temperatury W bardzo niskich temperaturach czynnik ten ma decydujący wpływ na całkowitą wartość ciepła właściwego

Pełna postać wzoru na ciepło właściwe ciał stałych przyjmuje zatem postać

TbaT += 3vc (969)

TERMODYNAMIKA

Strona 155155155155

Rozszerzalność cieplna ciał stałych

Drgania termiczne atomoacutew w ciałach stałych wpływają na zwiększenie średniej odległości międzyatomowej i zarazem zwiększają makroskopo-wą objętość kryształoacutew Efekt ten jest związany z kształtem potencjału oddziaływania międzyatomowego Rozszerzalność temperaturową ciał stałych możemy przybliżyć funkcją liniową wprowadzając wspoacutełczyn-nik rozszerzalności cieplnej i w przypadku jednowymiarowym np dłu-gości cienkiego pręta zapisujemy

∆TαL

∆LL

0

= (970)

gdzie αL jest wspoacutełczynnikiem rozszerzalności liniowej o wymiarze K-1 Zakładając jednakowe rozszerzanie się materiału w każdym kierunku (izotropia) wspoacutełczynnik rozszerzalności objętościowej αV jest roacutewny trzykrotnej wartości wspoacutełczynnika rozszerzalności liniowej αL a zależ-ność zmian objętości od temperatury zapisujemy

∆TαV

∆VV

0

= (971)

Rozszerzalność cieplna ciał stałych musi być uwzględniana przy projek-towaniu konstrukcji i połączeń konstrukcyjnych Materiały z ktoacuterych wykonane są obiekty takie jak mosty i wiadukty drogowe (stal i beton) mają z reguły inną rozszerzalność cieplną niż skała lub grunt na ktoacuterym są oparte Aby uniknąć nadmiernych naprężeń mechanicznych związa-nych z termicznym odkształcaniem się materiałoacutew na styku roacuteżnych ele-mentoacutew konstrukcyjnych stosuje się tzw szczeliny dylatacyjne Rolę takich szczelin dylatacyjnych spełnia roacutewnież fuga między płytkami ce-ramicznymi ale niezbędne jest roacutewnież zastosowanie odpowiednio elas-tycznej zaprawy klejącej tak aby nie doszło do zerwania kontaktu płytki z podłożem lub pęknięcia płytki W przyrodzie naprężenia powstające w skałach ogrzewanych przez słońce lub ochładzanych przez wiatr są jednym z głoacutewnych czynnikoacutew erozji

Zjawisko rozszerzalności cieplnej ciał można wykorzystać podczas nito-wania Wciskając nit w otwoacuter w rozgrzanym materiale zyskujemy ciasne połączenie po ostygnięciu Podobny efekt możemy otrzymać łącząc ma-teriały o roacuteżnym wspoacutełczynniku rozszerzalności cieplnej Często stoso-wanym czujnikiem temperatury opartym na zjawisku rozszerzalności cieplnej jest tzw bimetal Jest to pasek zbudowany z połączonych ze

ROZDZIAŁ 9

Strona 156156156156

sobą dwoacutech warstw metali o roacuteżnym wspoacutełczynniku rozszerzalności cieplnej Jeśli długość jednej z warstw paska wzrośnie pod wpływem temperatury bardziej niż drugiego cały pasek ulegnie wygięciu Bimetal możemy wykorzystywać np jako wyłącznik zwierający w instalacji przeciwpożarowej bądź wyłącznik rozwierający w instalacji zapobiega-jącej przegrzaniu się urządzenia

10 Elektrostatyka

W tym rozdziale

o Ładunek elektryczny oddziaływanie ładunkoacutew prawo Coulomba

o Natężenie pola elektrycznego ładunkoacutew dyskretnych oraz ciągłych rozkładoacutew ładunkoacutew

o Energia i potencjał w polu elektrycznym o Prawo Gaussa przykłady zastosowania prawa

Gaussa o Pojemność elektryczna kondensatory o Dielektryki

ROZDZIAŁ 10

Strona 158158158158

101 Ładunek elektryczny

Zjawisko elektryzowania ciał jest znane od czasoacutew starożytności Jeśli potrzemy kawałkiem jedwabiu o szkło zauważymy że kawałek szkła nabierze ciekawych właściwości ndash będzie przyciągał drobinki kurzu lub drobne skrawki papieru oraz jedwab ktoacuterym go pocieraliśmy Podobny efekt zaobserwujemy w przypadku kawałka bursztynu potartego o futro Jeśli zbliżymy do siebie szkło i bursztyn zauważymy ponadto że przy-ciągają się nawzajem Natomiast dwa takie kawałki szkła czy dwa ka-wałki bursztynu będą się nawzajem odpychać Ponadto bursztyn będzie odpychał kawałek jedwabiu ktoacuterym naelektryzowano szkło a szkło bę-dzie odpychać futro ktoacuterym naelektryzowano bursztyn

Aby usystematyzować powyższy opis założymy że podczas pocierania umieszczamy na ciele ładunek elektryczny elektryzując go w ten sposoacuteb Znak ładunku może być dodatni lub ujemny Ustalmy że w przypadku elektryzowania bursztynu ładunek znajdujący się na powierzchni bur-sztynu ma znak ujemny a na powierzchni futra użytego do elektryzowa-nia pozostaje identyczna porcja ładunku dodatniego Znak ładunku poja-wiającego się na powierzchni elektryzowanego szkła jest natomiast dodatni Opisane wyżej obserwacje wskazują że ładunki o identycznym znaku ndash jednoimienne ndash odpychają się a ładunki o roacuteżnych znakach ndash roacuteżnoimienne ndash przyciągają się Efekt odpychania się jednoimiennych ładunkoacutew można czasem zauważyć w burzowy dzień lub stojąc pod linią elektryczną wysokiego napięcia w postaci włosoacutew bdquostających dębardquo Ładunki zgromadzone na naszym ciele i ubraniach są przyciągane przez chmurę burzową czy linię energetyczną gromadzą się na włosach ale jednocześnie jako ładunki o tym samym znaku chcą być jak najdalej od siebie powodując że włosy bdquostają dębardquo

Ładunek elektryczny wymieniany jest w porcjach Najmniejszą niepo-dzielną porcję ładunku nazywamy ładunkiem elementarnym e i jest on roacutewny ładunkowi elektronu Wartość ładunku elementarnego wynosi e=160210ndash19C gdzie C jest jednostką ładunku elektrycznego ndash kulom-bem Ponieważ elektron ma ładunek ujemny więc zjawisko elektryzowa-nia ciał polega na wytworzeniu na nich nadmiaru elektronoacutew ndash wtedy ła-dunek ciała jest ujemny lub niedoboru elektronoacutew ndash w takim przypadku ładunek ciała jest dodatni

ELEKTROSTATYKA

Strona 159159159159

Ciała mogą mieć roacuteżne właściwości elektryczne Ciała w ktoacuterych ładu-nek może swobodnie się przemieszczać nazywamy przewodnikami (np metale) zaś ciała w ktoacuterych ruch ładunku jest niemożliwy nazywamy izolatorami (większość materiałoacutew organicznych i tworzyw sztucznych)

Oproacutecz omoacutewionego wcześniej elektryzowania przez pocieranie ciała można elektryzować roacutewnież przez indukcję Załoacuteżmy że naładowany ładunkiem ujemnym kawałek szkła zbliżymy do fragmentu przewodnika (metalu) Ładunek w metalu może się swobodnie przemieszczać Ponie-waż jak już zauważyliśmy ładunki tego samego znaku odpychają się z fragmentu przewodnika w pobliżu naładowanego ujemnie izolatora od-płynie ładunek ujemny Ten fragment metalu będzie zatem naładowany ładunkiem dodatnim Nie jest to jednak stan trwały i gdy następnie oddalimy naładowany fragment izolatora sytuacja wroacuteci do stanu po-czątkowego Jeśli jednak koniec metalu naładowany ujemnie podłączy-my na chwilę do tzw uziemienia ładunek ten spłynie do Ziemi Jak przekonamy się poacuteźniej zjawisko to jest wynikiem wyroacutewnania poten-cjałoacutew pomiędzy naładowanym obiektem i Ziemią ktoacutera ma bardzo dużą pojemność ndash może przyjąć bardzo dużo ładunku Jeśli teraz usunie-my połączenie pomiędzy metalem a ziemią a następnie usuniemy nała-dowany ujemnie izolator na metalu pozostanie ładunek dodatni Metal został naładowany przez indukcję

102 Prawo Coulomba

Określimy teraz ilościowo siły wzajemnego oddziaływania pomiędzy ładunkami

Siła oddziaływania pomiędzy dwoma ładunkami punktowymi Q1 oraz Q2 umieszczonymi w proacuteżni w odległości r od siebie zgodnie z prawem Coulomba jest proporcjonalna do wartości tych ładunkoacutew oraz odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości między nimi

204 r

QQF 21

πε= (101)

ROZDZIAŁ 10

Strona 160160160160

gdzie ε0 jest stałą przenikalności dielektrycznej proacuteżni i jest roacutewna

( )2212 NmC 108854 minussdot=0ε

(w przybliżeniu 2

29

Nm

C 10 minussdot=

π36

10ε )

Ponieważ siła oddziaływania elektrostatycznego jest wektorem więc jeśli obliczamy siły działające w układzie kilku ładunkoacutew musimy zastosować dodawanie wektorowe Jako przykład policzymy siłę oddziaływania na jeden z ładunkoacutew w układzie czterech ładunkoacutew dodatnich Q znajdujących się w wierzchołkach kwadratu o boku a (rysu-nek 101) Ponieważ ładunki są jednoimienne to wybrany ładunek odpychany jest przez jego trzech bdquosąsiadoacutewrdquo siłami F1 F2 i F3 oznaczonymi na rysunku 101 Siły F1 i F3 są roacutewne co do wartości (identyczne ładunki znajdują się w tej samej odległości)

204 a

QQFF 31

πε== (102)

Siły te są do siebie prostopadłe a więc dodając je wektorowo otrzymuje-my siłę wypadkową skierowaną wzdłuż przekątnej kwadratu

20

2

4

2

a

QF13

πε= (103)

Siła F2 pochodząca od ładunku znajdującego się po przekątnej kwadratu ma kierunek i zwrot identyczny jak siła F13 i wartość roacutewną

( )2

0

2

24 a

QF 2

πε= (104)

Wartość siły wypadkowej FW działająca na jeden z ładunkoacutew jest więc sumą F2 oraz F13

( )

20

2

πε8

122

a

QFW

+= (105)

ELEKTROSTATYKA

Strona 161161161161

Rysunek 101 Siły działające w układzie jednakowych ładunkoacutew Q

rozmieszczonych w wierzchołkach kwadratu o boku a

103 Natężenie pola elektrycznego

Ładunki elektryczne są źroacutedłem pola elektrycznego podobnie jak masa jest źroacutedłem pola grawitacyjnego Właściwości pola elektrycznego można badać umieszczając w nim ładunek Jeśli jednak ładunek ten będzie miał znaczną wartość w stosunku do ładunku badanego zakłoacuteci to pole elektryczne Z tego względu posłużymy się ładunkiem proacutebnym dodatnim q0 ndash o wartości na tyle małej że nie wprowadza dużych zakłoacuteceń badanego pola Tor ruchu takiego proacutebnego ładunku umiesz-czonego w obszarze pola elektrycznego wyznacza linie pola elektryczne-go Wektor siły działającej na proacutebny ładunek jest zawsze styczny do linii pola Dla ładunku punktowego linie sił pola rozchodzą się promie-niście w przestrzeni

Z obserwacji wynika że siła F działająca na ładunek umieszczony w po-lu elektrycznym jest proporcjonalna do wartości tego ładunku q Wynika z tego że stosunek siły działającej na ładunek proacutebny do wartości tego ładunku ma stałą wartość charakteryzującą pole elektryczne w tym punkcie i nazywany jest natężeniem pola elektrycznego E

ROZDZIAŁ 10

Strona 162162162162

204 r

Q

q

FE

Eq

F

πε==

==r

r

const

(106)

Natężenie pola elektrycznego jest miarą siły działającej na jednostkowy proacutebny ładunek elektryczny

Tak zdefiniowana wielkość jest niezależna od wielkości ładunku proacuteb-nego jest zatem wyłącznie właściwością badanego pola Natężenie pola elektrycznego jest wektorem ktoacuterego kierunek i zwrot jest identyczny jak zwrot siły działającej na dodatni ładunek umieszczony w badanym polu

Rozważmy układ dwoacutech ładunkoacutew punktowych o identycznym co do wartości ładunku Q znajdujących się w pewnej odległości D od siebie Obliczmy natężenie w roacuteżnych punktach położonych na prostej przecho-dzącej przez oba ładunki w przypadku kiedy ładunki są jednoimienne Woacutewczas zewnątrz układu oba wektory natężenia są skierowane w tym samym kierunku i sumują się Dla dużych odległości r od ładunkoacutew (rgtgtD) natężenie pola elektrycznego jest w przybliżeniu roacutewne natężeniu pochodzącemu od ładunku o wartości 2Q

Na odcinku łączącym oba ładunki wektory natężenia są skierowane prze-ciwnie Wartość wektora wypadkowego jest więc roacuteżnicą wartości wektoroacutew składowych i wynosi

( )20

20 πε4πε4 rD

Q

r

QE

minusminus= (107)

gdzie r oznacza odległość od jednego z ładunkoacutew W przypadku kiedy znajdziemy się w połowie odległości między ładunkami (r = D2) wartość natężenia pola elektrycznego wynosi zero E = 0 ponieważ wektory składowe znoszą się

Dipol elektryczny

Jeśli ładunki Q w powyższym przykładzie są roacuteżnoimienne to taki układ nazywa się dipolem elektrycznym Wartość wektora natężenia pola elek-trycznego na osi ale na zewnątrz dipola jest roacuteżnicą wartości wektoroacutew składowych ndash wektory mają przeciwne zwroty Natomiast na odcinku

ELEKTROSTATYKA

Strona 163163163163

łączącym ładunki wektory natężenia dodają się ndash wartość wektora wy-padkowego jest sumą wartości wektoroacutew składowych W połowie odleg-łości między ładunkami natężenie pola elektrycznego układu wynosi

( ) ( ) 20

20

20

πε4

8

2πε42πε4 D

Q

D

Q

D

QE =+= (108)

Rysunek 102 Natężenie pola elektrycznego pochodzącego od dipola elektrycznego na symetralnej osi dipola

W przypadku dipola elektrycznego istotne jest roacutewnież znalezienie natę-żenia pola elektrycznego na symetralnej osi dipola (rysunek 102) Jeśli narysujemy wektory natężenia pola elektrycznego pochodzące od każde-go z ładunkoacutew w danym punkcie odległym o z od osi dipola okaże się że ich składowe prostopadłe do odcinka łączącego ładunki znoszą się a prostopadłe ndash dodają Wypadkowe natężenie pola elektrycznego wyno-si woacutewczas

( )424πε4

222

220 Dz

D

Dz

QE W

++=

(109)

Dla dużych odległości z od osi dipola natężenie na symetralnej osi dipola maleje z sześcianem odległości z zgodnie ze wzorem

30

30 πε4πε4 z

p

z

QDE W == (1010)

ROZDZIAŁ 10

Strona 164164164164

Wektor Dqprr

= jest dipolowym momentem elektrycznym dipolu Natężenie pola elektrycznego na osi dipola jest dwukrotnie większe i wynosi

30πε2 z

pE

OŚ= (1011)

Natężenie pola elektrycznego dla dipola elektrycznego ma więc silnie kierunkowy charakter ndash wynosi zero na osi dipola dla dużych odległości oraz maleje z sześcianem odległości w kierunku prostopadłym do na osi dipola

Natężenie pola elektrycznego ciągłych rozkładoacutew ładunkoacutew elektrycznych

W poprzednim przykładzie pokazaliśmy jak policzyć natężenie pola elektrycznego pochodzącego od układu dwoacutech dyskretnych ładunkoacutew W przypadku naładowanych obiektoacutew np naładowanych prętoacutew pier-ścieni czy płyt mamy do czynienia z ciągłym rozkładem ładunku Obiekt taki traktujemy woacutewczas tak jakby składał się z wielu małych ładunkoacutew punktowych dq ktoacutere są źroacutedłem pola elektrycznego Natęże-nie wypadkowe możemy wyrazić przez sumę natężeń pochodzących od każdego z małych ładunkoacutew przy czym sumowanie zastępujemy całkowaniem

int=2

0πε4 r

qE

d (1012)

Przykład

Jako przykład obliczmy natężenie pola elektrycznego w środku poacutełokrę-gu o promieniu R zbudowanego z jednorodnie naładowanego ładunkiem Q pręta Rozpatrzmy mały odcinek tego poacutełokręgu ktoacuterego położenie może być określone za pomocą kąta α względem osi symetrii poacutełokręgu (rysunek 103) na ktoacuterym zgromadzony jest ładunek dq Taka mała porcja ładunku dq wytwarza w środku okręgu natężenie pola elektrycz-nego dE ktoacutere jest składową całkowitego natężenia pochodzącego od naładowanego poacutełokręgu Porcja ładunku dq znajdująca się na drugiej połoacutewce poacutełokręgu położona symetrycznie do pierwszej wytwarza natę-żenie pola elektrycznego dE o takiej samej wartości i zwrocie symetrycz-nym względem osi poacutełokręgu Wypadkowe natężenie pola elektrycznego

ELEKTROSTATYKA

Strona 165165165165

dEp jest skierowane roacutewnolegle do osi poacutełokręgu Podobny zwrot wy-padkowego wektora natężenia otrzymamy dla każdej pary ładunkoacutew dq położonych symetrycznie względem osi okręgu z ktoacuterego wycięto poacuteło-krąg Wartość składowej prostopadłej dEp możemy wyrazić za pomocą funkcji kąta α

204

22R

qEE p

πε

αα

cosdcosdd == (1013)

Całkowite natężenie pochodzące od rozpatrywanego poacutełokręgu będzie wyrażone za pomocą całki

int=2Q

pR

qE

02

0πε4

α2

cosd (1014)

Jako goacuterną granice całkowania przyjęliśmy tylko połowę całkowitego ładunku Q ponieważ przy wyliczeniu natężenia dEp wzięliśmy już pod uwagę wkład pochodzący od dwoacutech połoacutewek łuku Żeby obliczyć powyższą całkę musimy znaleźć relację między kątem α a ładunkiem dq i dokonać zamiany zmiennych W tym celu wprowadzimy gęstość liniową ładunku (podobnie liczyliśmy już moment bezwładności pręta) Ponieważ ładunek Q zgromadzony jest na poacutełokręgu więc gęstość

liniowa ładunku wynosiR

Q

πλ = a ładunek dq zgromadzony na odcin-

ku dl wynosi ldd λ=q Dodatkowo po zamianie zmiennych liniowych

na kątowe Rαdd =l otrzymujemy

Rq αλ dd = (1015)

Przy zamianie zmiennej całkowania z dq na dα granice całkowania wynoszą 0 oraz π2 Po wyciągnięciu stałych przed znak całki otrzymujemy

20

20

2

00

22

2

R

Q

RE

RE

p

p

εππε

λ

ααπε

λπ

==

= int dcos

(1016)

ROZDZIAŁ 10

Strona 166166166166

Rysunek 103 Wyznaczanie natężenia pola elektrycznego pochodzące

od naładowanego pręta wygiętego w poacutełokrąg

104 Energia i potencjał w polu elektrycznym

Energia jaką posiada ładunek w polu elektrycznym jest roacutewna pracy jaką należało wykonać aby umieścić go w danym miejscu tego pola

Jest to definicja identyczna jak ta wprowadzona już dla pola grawitacyj-nego Skorzystaliśmy woacutewczas ze wzoru całkowego na pracę

int= xF(x)W d

Obliczamy pracę przeniesienia ładunku Q2 z nieskończoności do punktu odległego o R od ładunku Q1 będącego źroacutedłem pola elektrycznego

intinfin

=R

21 rr

QQW d

204πε

(1017)

R

QQWE 21

pot

04πε== (1018)

ELEKTROSTATYKA

Strona 167167167167

Warto zauważyć że postać energii potencjalnej pola elektrycznego jest podobna do wyrażenia jakie otrzymaliśmy dla pola grawitacyjnego

Jeżeli w polu elektrycznym przesuwamy między dwoma punktami ładu-nek q to praca jaką wykonujemy jest proporcjonalna do wartości tego ładunku Stosunek tej pracy przesunięcia dW ładunku do wartości ładun-ku q jest dla danych dwoacutech punktoacutew stały i nie zależy od wartości ładun-ku Stosunek ten definiuje roacuteżnicę potencjałoacutew dV między tymi dwoma punktami pola czyli napięcie elektryczne U

q

E

q

WVU

potddd === (1019)

Jednostką napięcia (potencjału) jest 1 wolt 1V=1J1C czyli jest to napięcie między takimi punktami między ktoacuterymi przesunięcie ładunku 1C wymaga pracy 1J Potencjał pola elektrycznego jest związany z natężeniem pola elektrycznego zależnością

( )z

Vk

y

Vj

x

VizyxVE

d

d

d

d

d

dgrad

rrrr++=minus= (1020)

Roacuteżnicę potencjałoacutew Uab między punktami a i b możemy więc zapisać

int==b

a

ab xE(x)∆VU d (1021)

Dla pola elektrycznego wytworzonego przez punktowy ładunek Q poten-cjał pola w odległości r od tego ładunku wynosi

r

QV

04πε= (1022)

Warto podkreślić że potencjał pola elektrycznego jest wielkością skalarną i addytywną czyli potencjał wytwarzany przez układ ładunkoacutew jest sumą potencjałoacutew wytwarzanych przez każdy z ładunkoacutew w danym punkcie Powierzchnie stałego potencjału (powierzchnie ekwipotencjal-ne) są prostopadłe do linii sił pola

Wroacutećmy do przykładu dwoacutech ładunkoacutew o identycznej wartości znajdu-jących się w odległości D od siebie Pokazaliśmy już że jeśli ładunki są jednoimienne natężenie pola w połowie odległości między nimi jest

ROZDZIAŁ 10

Strona 168168168168

roacutewne zeru Jeśli jednak obliczymy potencjał w tym punkcie otrzymamy

2πε42πε4 00 D

Q

D

QV += (1023)

W przypadku dwoacutech ładunkoacutew roacuteżnoimiennych natężenie obliczone w połowie odległości między nimi wynosi dwukrotną wartość natężenia pochodzącego od pojedynczego ładunku Potencjał obliczony w tym samym punkcie jest roacutewny zeru

0=minus=2πε42πε4 00 D

Q

D

QV (1024)

W elektrostatyce często będziemy posługiwać się pojęciem roacuteżnicy potencjałoacutew pomiędzy dwoma punktami ndash roacuteżnica ta jest miarą pracy jaką należy wykonać przemieszczając ładunek między tymi punktami

105 Prawo Gaussa

Pokazaliśmy już że natężenie pola elektrycznego pochodzącego od wielu ładunkoacutew punktowych jest sumą wektorową natężeń pochodzą-cych od każdego z ładunkoacutew a w przypadku obiektoacutew naładowanych ciągłym rozkładem ładunku sumowanie zastępujemy całkowaniem Obliczenia takie bywają jednak często bardzo żmudne i wymagają dobrej znajomości zależności geometrycznych występujących w bada-nym układzie W wielu przypadkach znacznie prostszą metodą okazuje się skorzystanie z prawa Gaussa

Aby zapisać prawo Gaussa wprowadzimy najpierw wielkość zwaną stru-mieniem natężenia pola elektrycznego

Jeśli linie sił pola elektrycznego przecinają daną powierzchnię to strumień wektora natężenia pola elektrycznego jest zdefiniowany jako iloczyn skalarny wektora natężenia pola elektrycznego i wektora normalnego zewnętrznego do danej powierzchni o wartości roacutewnej polu tej powierzchni

αSESEΦ E cos=sdot=rr

(1025)

ELEKTROSTATYKA

Strona 169169169169

gdzie α oznacza kąt między wektorem normalnym do powierzchni a wektorem natężenia pola elektrycznego Widzimy że im większy kąt α tym mniejsza wartość strumienia Jeśli wektor natężenia jest skierowa-ny roacutewnolegle do powierzchni to strumień jest roacutewny zeru Jeżeli war-tość wektora natężenia przecinającego powierzchnię jest roacuteżna w roacuteż-nych jej punktach bądź roacuteżny jest kąt pomiędzy tym wektorem a powierzchnią w obliczaniu strumienia korzystamy z zależności całkowej

int sdot= SEΦ E

rrd (1026)

Na przykładzie ładunku punktowego zauważyliśmy że linie sił są rozmieszczone gęściej w pobliżu ładunku a rzadziej kiedy badamy pole w większej odległości od niego Gęstość rozmieszczenia linii odpowia-dająca wartości wektora natężenia zmienia się zatem z odległością Jednak całkowita liczba linii sił pola nie zmienia się chyba że w prze-strzeni umieścimy kolejny ładunek ktoacutery stałby się źroacutedłem pola Zatem całkowity strumień natężenia wytwarzany przez ładunek przechodzący przez powierzchnię zamkniętą wewnątrz ktoacuterej on się znajduje pozostaje stały Strumień nie zależy roacutewnież od kształtu przyjętej powierzchni Mierząc zależność pomiędzy strumieniem a wartością ładunku można sformułować prawo Gaussa

Strumień całkowity wektora natężenia pola przechodzący przez

dowolną powierzchnię zamkniętą pomnożony przez stałą 0ε jest

roacutewny sumie ładunkoacutew elektrycznych obejmowanych przez tę powierzchnię

0ε

QSE =sdotintrr

d (1027)

Prawo Gaussa choć jest wyrażone wzorem całkowym w wielu przypad-kach pozwala na szybkie obliczanie natężenia bez konieczności stosowa-nia rachunku całkowego Należy dobrać zamkniętą powierzchnię całko-wania w taki sposoacuteb aby wektor natężenia był stały w każdym jej punkcie i przecinał tę powierzchnię pod stałym kątem

Ładunek punktowy

Zastosujemy prawo Gaussa do wyznaczenia natężenia pola elektryczne-go wytwarzanego przez ładunek punktowy i poroacutewnamy z prawem Coulomba W przypadku ładunku punktowego jako powierzchnię zam-kniętą dla ktoacuterej będziemy liczyli strumień natężenia pola elektryczne-

ROZDZIAŁ 10

Strona 170170170170

go warto wybrać sferę z ładunkiem punktowym w środku (rysu-nek 105) Woacutewczas wartość natężenia pola elektrycznego w każdym jej punkcie będzie taka sama (rozkład linii pola elektrycznego wytworzo-nego przez ładunek punktowy jest symetryczny) oraz w każdym punkcie wektor natężenia pola elektrycznego będzie roacutewnoległy do wektora normalnego do powierzchni Woacutewczas iloczyn skalarny może być zastą-piony iloczynem obu wielkości a całka ze strumienia wektora natężenia pola elektrycznego będzie roacutewna iloczynowi wartości natężenia pola elektrycznego oraz powierzchni sfery

0

24ε

πQ

rE = (1028)

a po przekształceniach otrzymujemy wynik zgodny z prawem Coulomba

204 r

QE

πε= (1029)

W kolejnych przykładach zastosujemy prawo Gaussa do wyznaczenia natężenia pola elektrycznego wytworzonego przez kulę o promieniu R naładowaną ładunkiem Q wykonaną w pierwszym przypadku z prze-wodnika (metalu) natomiast w drugim z izolatora (dielektryka)

Rysunek 105 Powierzchnie zamknięte używane przy obliczaniu

natężenia pola elektrycznego z prawa Gaussa

Naładowana kula metalowa

Ładunki w metalu mogą się swobodnie przemieszczać W sytuacji więc gdy metalową kulę naładujemy jednoimiennym ładunkiem ładunki będą się odpychały i tak się rozmieszczą na powierzchni ciała żeby być jak najdalej od siebie W efekcie cały ładunek Q rozłoży się roacutewnomiernie

ELEKTROSTATYKA

Strona 171171171171

na powierzchni takiej kuli W tym przypadku roacutewnież warto wybrać powierzchnię Gaussa jako sferę wspoacutełśrodkową z naładowaną kulą (rysunek 105)

Jeśli promień takiej sfery Gaussa jest mniejszy od promienia kuli nasza sfera nie obejmie żadnego ładunku (cały ładunek jest na powierzchni) i woacutewczas zgodnie z prawem Gaussa natężenie pola elektrycznego będzie zerowe

RrSE lt=sdotint dla 0drr

(1030)

Wewnątrz każdej metalowej powierzchni zamkniętej niezależnie od zgromadzonego czy wyindukowanego na niej ładunku natężenie pola elektrycznego będzie zerowe Taka zamknięta powierzchnia nazywana jest puszką Faradayrsquoa Przykładami puszki Faradayrsquoa jest karoseria samochodu czy kadłub samolotu W obu przypadkach chronią one znajdujące się wewnątrz osoby przed skutkami wyładowań atmosferycz-nych ndash w przypadku trafienia przez piorun cały ładunek spływa po powierzchni Podobną funkcję pełnią metalizowane powłoki torebek antystatycznych do przechowywania elementoacutew elektronicznych

Rysunek 104 Wykres natężenia pola elektrycznego pochodzącego

od naładowanej kuli metalowej i kuli z dielektryka w funkcji odległości od środka kuli

Jeśli promień sfery Gaussa r jest większy lub roacutewny promieniowi R kuli (r ge R) woacutewczas obejmuje ona cały ładunek Q ktoacuterym naładowana jest kula Wektor natężenia pola elektrycznego jest w każdym punkcie takiej sfery stały i prostopadły do powierzchni zatem (podobnie jak dla ładunku punktowego) prawo Gaussa przyjmie postać

ROZDZIAŁ 10

Strona 172172172172

RrQ

rE ge= dla 0

2

επ4 (1031)

Obliczone w ten sposoacuteb natężenie pola elektrycznego daje wynik iden-tyczny jak w przypadku ładunku punktowego znajdującego się w środku kuli Oznacza to że na zewnątrz naładowanej kuli można ją traktować jako ładunek punktowy znajdujący się w środku tej kuli (rysunek 104)

Naładowana kula dielektryczna

W dielektrykach ładunek nie może się swobodnie przemieszczać i zakła-damy że jest rozłożony jednorodnie w całej objętości kuli z gęstością objętościową ρ Wybierzmy teraz sferę Gaussa wewnątrz kuli Ładunek obejmowany przez sferę jest proporcjonalny do jej objętości Natężenie pola elektrycznego obliczone z prawa Gaussa wyniesie

Rr

rE

r

rElt

=

= dla

0

0

3

2

3

3

4

4

ε

ρ

ε

ρππ

(1032)

Natężenie pola elektrycznego jest więc proporcjonalne do promienia sfery Gaussa (rysunek 104) Kiedy promień sfery Gaussa zroacutewna się z promieniem kuli obejmie ona całkowity ładunek na niej zgromadzony Przy dalszym zwiększaniu promienia sfery Gaussa będzie wzrastać jej powierzchnia ale nie ładunek ndash zatem natężenie na zewnątrz kuli będzie zmniejszać się w funkcji odległości Podobnie jak w przypadku kuli metalowej natężenie jest odwrotnie proporcjonalne do kwadratu odleg-łości a postać wzoru jest identyczna jak w przypadku kiedy całkowity ładunek znajdowałby się w samym środku kuli

Naładowany pręt

Stosując prawo Gaussa w łatwy sposoacuteb możemy obliczyć roacutewnież natę-żenie pola pochodzące od długiego naładowanego pręta Zakładając że pręt ten jest nieskończenie długi (zaniedbujemy efekty występujące na jego końcach) jako powierzchnię Gaussa możemy zastosować cylinder wspoacutełśrodkowy z prętem (rysunek 105) Na powierzchni bocznej cylin-dra natężenie ma w każdym punkcie identyczną wartość i jest do niej prostopadłe Wektor natężenia pochodzący od pręta nie posiada skła-dowej roacutewnoległej do pręta ponieważ dla każdego wybranego punktu

ELEKTROSTATYKA

Strona 173173173173

wpływ ładunkoacutew znajdujących się na przeciwległych wobec wybranego punktu fragmentach pręta znosi się Strumień wektora natężenia pola elektrycznego wynosi zero dla podstaw takiego walca gdyż wektor natężenia jest roacutewnoległy do powierzchni podstaw Przyjmując gęstość liniową ładunku na pręcie (ładunek przypadający na jednostkę długości pręta) jako λ otrzymujemy

0

0

επ2

λ

ε

λπ2

rE

LrLE

=

=

(1033)

Naładowana płaszczyzna

Dla płaszczyzny powierzchnią Gaussa może być dowolny prostopadło-ścian lub walec przecinający ją prostopadle (rysunek 105) Na ścian-kach bocznych strumień natężenia jest roacutewny zeru (wektor natężenia jest do nich roacutewnoległy) przy obliczaniu strumienia wektora natężenia pola elektrycznego bierzemy zatem pod uwagę jedynie powierzchnie pod-staw Przyjmując gęstość powierzchniową σ ładunku zgromadzonego na naładowanej płycie otrzymujemy

0ε

σ2

SSE = (1034)

Po obliczeniu natężenia pola elektrycznego pochodzącego od nieskoń-czenie dużej płyty okazuje się że jest ono niezależne od odległości od płyty

02ε

σ=E (1035)

Obliczenia te są słuszne dla płyty nieskończenie dużej ale prawdziwe bę-dą roacutewnież z dobrym przybliżeniem dla wyznaczania natężenia pola elektrycznego roacutewnież w niewielkiej odległości od płyty skończonej (dla odległości znacznie mniejszej od rozmiaru płyty)

ROZDZIAŁ 10

Strona 174174174174

106 Pojemność elektryczna przewodnika

Wyobraźmy sobie układ złożony z dwoacutech ciał Z jednego z nich pobiera-my małą porcję ładunku i przenosimy na drugie ciało W ten sposoacuteb na-ładowaliśmy oba ciała ładunkiem o identycznej wartości ale przeciw-nym znaku Między takimi ciałami powstaje woacutewczas roacuteżnica potencja-łoacutew (napięcie) Dalsze ładowanie takiego układu czyli dalsze przemiesz-czanie ładunkoacutew między ciałami wymagać będzie wykonania pracy na pokonanie roacuteżnicy potencjałoacutew

Roacuteżnica potencjałoacutew powstała między naładowanymi ciałami jest pro-

porcjonalna do wartości ładunku Q∆V prop Dla roacuteżnych układoacutew wytworzenie identycznej roacuteżnicy potencjałoacutew wymaga jednak przenie-sienia roacuteżnej ilości ładunku elektrycznego

Stosunek ładunku Q do roacuteżnicy potencjałoacutew ∆V (napięcia U) ktoacuterą wytwarza ten ładunek będziemy nazywali pojemnością C układu a sam układ kondensatorem

U

Q

∆V

QC == (1036)

Jednostką pojemności jest jeden Farad 1F=1CV W praktyce rzadko spotyka się kondensatory o tak dużej pojemności Warto zauważyć że właściwie każdy obiekt posiada jakąś wartość pojemności Prostym przykładem może być kondensator składający się z naładowanej kuli i Ziemi Wykazaliśmy już że natężenie oraz potencjał pola elektryczne-go na powierzchni kuli o promieniu R naładowanej ładunkiem Q wynoszą

R

QV

R

QE

0

20

4

4

πε

πε

=

=

(1037)

Ponieważ przyjmuje się że potencjał Ziemi wynosi 0 więc w wyniku naładowania kuli między nią a ziemią powstaje roacuteżnica potencjału V

ELEKTROSTATYKA

Strona 175175175175

Dzieląc ładunek Q zgromadzony na kuli przez roacuteżnicę potencjału V otrzymujemy pojemność kuli o promieniu R

RQ

RQC 0

0 44

πεπε

== (1038)

Podstawiając jako R promień Ziemi RZ otrzymamy pojemność elektrycz-ną Ziemi - C asymp 710 microF Żeby wyznaczyć rzeczywistą pojemność elek-tryczną Ziemi należy rozważyć układ Ziemia- jonosfera Pojemność elektryczna takiego układu jest znacznie większa niż wynika z powyż-szego uproszczonego modelu i szacuje się że jest rzędu pojedynczych Faradoacutew

Kondensatory

Pracę wykonaną na rozdzielenie ładunkoacutew elektrycznych na okładkach kondensatora możemy wykorzystać w procesie rozładowania kondensa-tora ndash urządzenie takie możemy zatem wykorzystać do gromadzenia energii w postaci ładunku elektrycznego Rozroacuteżniamy wiele typoacutew kondensatoroacutew Pierwotnie popularnym rozwiązaniem gromadzenia ła-dunku były tzw butelki lejdejskie ndash szklane cylindryczne pojemniki w ktoacuterych okładkami były warstwy folii metalowej znajdujące się wew-nątrz i na zewnątrz cylindra Obecnie często spotyka się kondensatory elektrolityczne w ktoacuterych jedną z okładek stanowi elektrolit przewodzą-cy ładunek w postaci jonoacutew Kondensatory tego typu pozwalają na uzys-kiwanie wysokich pojemności elektrycznych W urządzeniach elektro-nicznych spotykamy roacutewnież kondensatory nastawne zbudowane z dwoacutech układoacutew metalowych blaszek rozdzielonych szczeliną powietrz-ną Układy te mogą się przesuwać względem siebie Wsuwając jedne blaszki między drugie zmieniamy efektywną powierzchnię oraz odleg-łość między elektrodami a i w efekcie możemy płynnie regulować po-jemność takiego kondensatora

Kondensator płaski

Idealny kondensator płaski składa się z dwoacutech nieskończenie dużych płyt (tzw okładek) o powierzchni S ustawionych roacutewnolegle do siebie w odległości d ktoacutere ładujemy ładunkiem Q tzn na jednej z płyt gromadzimy ładunek bdquo+Qrdquo a na drugiej bdquo-Qrdquo Natężenie pola elektrycz-nego wytworzonego przez taki płaski kondensator możemy obliczyć korzystając z prawa Gaussa Jeśli obejmiemy obie okładki kondensatora zamkniętą walcową powierzchnią Gaussa (podobnie jak w przykładzie

ROZDZIAŁ 10

Strona 176176176176

z naładowaną płaszczyzną rysunek 105) zauważamy że całkowity ła-dunek objęty przez tę powierzchnię Gaussa wynosi zero a więc na zew-nątrz kondensatora natężenie pola elektrycznego roacutewnież wynosi zero W rzeczywistości kondensator płaski nie jest nieskończenie wielki i dlatego roacutewnież na zewnątrz kondensatora przy obrzeżach okładek ist-nieje pewne małe pole elektryczne ale jego wartość jest wielokrotnie mniejsza od natężenia wewnątrz i w obliczeniach możemy je zaniedbać W praktyce jeżeli odległość d między okładkami jest znacznie mniejsza od rozmiaroacutew liniowych okładek (dltlta dltltb S=ab) to z dobrym przybliżeniem taki kondensator można traktować jako nieskończony

Natężenie pola elektrycznego między okładkami będzie sumą natężeń pochodzących od każdej z nieskończenie wielkich okładek naładowa-nych ładunkiem Q Korzystając z wyznaczonej zależności 1031 oraz uwzględniając gęstość powierzchniową ładunku σ = QS otrzymujemy natężenie pola elektrycznego między okładkami kondensatora

S

QE

0000 εε

σ

ε2

σ

ε2

σ==+= (1039)

Następnie wstawiając powyższe natężenie pola elektrycznego do zależ-ności 1020 obliczymy roacuteżnicę potencjałoacutew między okładkami

S

dQx

S

QxE∆V

d

0

d

0 00 εε=== intint dd (1040)

Pojemność C kondensatora płaskiego o powierzchni okładek S oraz od-ległości między okładkami d wynosić więc będzie

d

SC 0ε= (1041)

Pojemność kondensatora płaskiego jest tym większa im większa jest jego powierzchnia okładek S oraz im mniejsza jest odległość d między nimi

W tak zwanych super-kondensatorach wykorzystywanych w napędzie pojazdoacutew hybrydowych i elektrycznych odległość pomiędzy obszarami naładowanymi ładunkiem dodatnim i ujemnym jest bardzo mała ndash rzędu promienia jonoacutew ktoacutere są nośnikami ładunku Pozwala to na uzyskiwa-nie bardzo wysokich wartości pojemności elektrycznej co jest niezbędne do zmagazynowania energii odzyskiwanej w trakcie hamowania pojazdu

ELEKTROSTATYKA

Strona 177177177177

Łączenie kondensatoroacutew

Kondensator możemy naładować jedynie do określonego napięcia pomiędzy okładkami nazywanego napięciem przebicia Dla wyższych wartości napięcia następuje lawinowy przepływ ładunku pomiędzy okładkami ktoacutery może prowadzić do uszkodzenia kondensatora Zwięk-szenie napięcia przebicia możemy uzyskać łącząc kondensatory szere-gowo ndash układ taki nazywamy roacutewnież dzielnikiem napięcia

Chcąc zwiększyć pojemność układu kondensatory łączymy roacutewnolegle ndash przy identycznej wartości napięcia możemy zgromadzić w takim układzie większy ładunek niż na pojedynczym kondensatorze

Połączenie szeregowe

Jeżeli połączymy dwa kondensatory szeregowo to na okładkach obu kondensatoroacutew zgromadzony będzie ten sam ładunek Q przy czym okładka naładowana znakiem bdquo+rdquo jednego kondensatora jest połączona z okładką naładowaną znakiem bdquo-rdquo drugiego z nich Całkowita roacuteżnica potencjałoacutew występująca pomiędzy zaciskami układu jest sumą napięć na obu kondensatorach Pojemność kondensatora zastępczego (konden-satora dla ktoacuterego przy danym ładunku na zaciskach wytworzyłaby się identyczna roacuteżnica potencjałoacutew jak na zaciskach całego układu) dla szeregowego połączenia kondensatoroacutew wyraża się wzorem

sum=i iZ CC

11 (1042)

Jeśli połączymy ze sobą szeregowo dwa kondensatory o pojemności C=2mF każdy to pojemność zastępcza układu obliczona ze wzoru 1038 wyniesie CZ=1mF ndash jest zatem mniejsza niż pojemność każdego z kondensatoroacutew

Połączenie roacutewnoległe

Łącząc kondensatory roacutewnolegle ustalamy identyczną wartość roacuteżnicy potencjałoacutew między okładkami Ponieważ na każdym z kondensatoroacutew możemy przy danym napięciu zgromadzić inny ładunek całkowity ładunek zgromadzony w takim połączeniu będzie sumą ładunkoacutew na okładkach każdego z kondensatoroacutew Pojemność zastępcza układu roacutewnolegle połączonych kondensatoroacutew jest sumą pojemności tych kondensatoroacutew

ROZDZIAŁ 10

Strona 178178178178

sum=i

iZ CC (1043)

Roacutewnoległe połączenie kondensatoroacutew można wyobrazić sobie roacutewnież jako zwiększenie powierzchni okładek pojedynczego kondensatora ndash zatem przy identycznym napięciu można na nim zgromadzić więcej ładunku

Energia naładowanego kondensatora

Definiując roacuteżnicę potencjałoacutew (napięcie) we wcześniejszej części tego rozdziału powiedzieliśmy że roacuteżnica potencjałoacutew ∆V wyraża pracę W jaką należy wykonać żeby przemieścić ładunek Q w polu elektrycznym

U∆VQ

W== (1044)

W procesie ładowania kondensatora roacuteżnica potencjałoacutew między okład-kami zmienia wraz z wartością zgromadzonego ładunku Dlatego obli-czając całkowitą pracę naładowania kondensatora WC o pojemności C ładunkiem Q musimy zastosować procedurę całkowania

2

QU

2

CU

C2

QE

C2

Qqq

C

1q

C

qqUW

22

C

2Q

0

Q

0

Q

0

===

==== intintint dddC

(1045)

Energia takiego naładowanego kondensatora EC czyli energia zgroma-dzona w postaci pola elektrycznego wytworzonego między okładkami tego kondensatora jest roacutewna pracy WC naładowania tego kondensatora Możemy roacutewnież obliczyć gęstość energii na jednostkę objętości

2

ε

2

ε

200

2

2

222

el E

Sd

dES

Sd

1CU

V

Wρ ==== (1046)

Gęstość energii pola elektrycznego dla kondensatora płaskiego zależy od kwadratu natężenia pola elektrycznego wytworzonego między jego okładkami Można wykazać że taką samą zależność gęstości energii od kwadratu natężenia pola elektrycznego otrzymamy nie tylko dla konden-

ELEKTROSTATYKA

Strona 179179179179

satora płaskiego i że jest to zależność prawdziwa dla dowolnego rozkła-du pola elektrycznego

107 Dielektryki

Jeśli okładki kondensatora płaskiego naładujemy ładunkiem Q ustali się

między nimi roacuteżnica potencjałoacutew CQU∆V =equiv Jeśli pomiędzy okładki wsuniemy płaską ściśle przylegającą do nich płytkę z nieprze-wodzącego materiału (dielektryka) zauważymy że roacuteżnica potencjałoacutew zmniejszy się mimo że ładunek pozostał identyczny a więc po włożeniu płytki pojemność kondensatora wzrosła

Polaryzacja dielektryczna

Wyjaśnienie obserwowanego efektu wiąże się z właściwościami elek-trycznymi materiału jaki umieszczamy między okładkami Dielektryki są materiałami nieprzewodzącymi czyli w przeciwieństwie do metali ładunek nie może się swobodnie przemieszczać w całej objętości Może natomiast dochodzić do zjawisk polaryzacji ndash rozsunięcia się ładunkoacutew dodatnich i ujemnych i wytworzenia dipoli elektrycznych gdyż na ła-dunki dodatnie działa siła zgodna a na ujemne przeciwnie skierowana niż pole elektryczne W efekcie dipole takie ułożone są zgodnie z kie-runkiem pola elektrycznego w ktoacuterym się znajdują i wytwarzają własne pole elektryczne ndash jego kierunek jest przeciwny do kierunku zewnętrzne-go pola elektrycznego Wypadkowe natężenie pola elektrycznego mię-dzy okładkami kondensatora po włożeniu dielektryka będzie więc mniej-sze niż dla kondensatora proacuteżniowego Ponieważ roacuteżnica potencjałoacutew czyli napięcie między okładkami kondensatora jest proporcjonalna do natężenia pola wewnątrz kondensatora w takim przypadku otrzymujemy mniejsze napięcie na kondensatorze i w efekcie większą pojemność przy ładowaniu kondensatora tym samym ładunkiem

Efekty polaryzacyjne opisane powyżej jakim podlegają ładunki w die-lektryku są jego charakterystyczną cechą materiałową Względna przeni-kalność elektryczna ε określa ile razy w poroacutewnaniu z proacuteżnią zmniej-szy się natężenie pola elektrycznego w dielektryku Dla proacuteżni wartość względnej przenikalności dielektrycznej roacutewna jest jedności ε=1 Jeśli

ROZDZIAŁ 10

Strona 180180180180

między okładkami kondensatora umieścimy płytkę z dielektryka o względnej przenikalności roacutewnej ε to jego pojemność wzrośnie ε razy

Efektywną wartość pola elektrycznego w dielektryku opisuje wektor

indukcji pola elektrycznego EεDrr

0ε= Efekty polaryzacyjne zacho-

dzącego w dielektryku na skutek zewnętrznego pola elektrycznego Er

opisuje wektor polaryzacji Pr

Indukcja pola elektrycznego Dr

czyli wypadkowe pole elektryczne jest złożeniem wpływu pola zewnętrznego

Er

oraz polaryzacji Pr

co zapisujemy

PEEεDrrrr

+== 00 εε (1047)

Z powyższej zależności wynika że polaryzacja P jest zależna od zew-nętrznego pola elektrycznego E a wspoacutełczynnik proporcjonalności nazywamy podatnością elektryczną χ

EχE1)(εE)ε(Prrrr

0000 εεεε =minus=minus= (1048)

Uwzględniając właściwości dielektryczne materii prawo Gaussa w uogoacutelnionej postaci dla dielektrykoacutew możemy przedstawić w postaci

qSdD =sdotintrr

(1049)

Możemy w tym miejscu wprowadzić rozroacuteżnienie pomiędzy ładunkiem swobodnym q (ładunkiem ktoacutery może swobodnie się przemieszczać) a ładunkiem związanym qpol ndash powstającym w wyniku polaryzacji na powierzchni dielektryka Dzieląc obie strony roacutewnania 1045 przez powierzchnię możemy powiązać wektor indukcji D z powierzchniową gęstością ładunku swobodnego q zgromadzonego na okładkach konden-

satora wypełnionego dielektrykiem σD = Analogicznie wartość wektora polaryzacji P jest miarą gęstości ładunku związanego

polσP =

Dipol elektryczny charakteryzuje elektryczny moment dipolowy p Jest to wielkość wektorowa wyrażona przez iloczyn ładunku dipola q

i wektora odległości lr

od ładunku ujemnego do dodatniego

lrr

qp = (1050)

Na dipol znajdujący się w jednorodnym polu elektrycznym o natężeniu E działać będzie moment sił obracający dipol tak aby ustawił się zgodnie

ELEKTROSTATYKA

Strona 181181181181

z kierunkiem zewnętrznego pola elektrycznego Moment ten wyrażamy przez iloczyn wektorowy momentu dipolowego i wektora natężenia pola elektrycznego

EpMrrr

times= (1051)

Rysunek 106 Moment sił działających na dipol w zewnętrznym polu

elektrycznym

Podobnie jak wartość wektora polaryzacji P zależy od natężenia pola elektrycznego E w ktoacuterym znajduje się dielektryk roacutewnież elektryczny moment dipolowy charakteryzujący pojedynczy dipol jest wprost pro-porcjonalny do natężenia pola elektrycznego E

Eprr

α= (1052)

Wspoacutełczynnik α w powyższym wzorze jest nazywany polaryzowalnością dipola Dipol elektryczny roacutewnież jest źroacutedłem pola elektrycznego W materiałach dielektrycznych takie pole pochodzące od sąsiadujących dipoli tzw pole lokalne jest silniejsze niż pole zewnętrzne Całkowite lokalne natężenie pola jakiemu podlegać będzie dielektryk uwzględniać więc musi zaroacutewno zewnętrzne pole E jak i pole pochodzące od otocze-nia danego atomu

03ε

PEE L

rrr

+= (1053)

ROZDZIAŁ 10

Strona 182182182182

Ponieważ wektor polaryzacji jest sumą momentoacutew dipolowych pocho-dzących od wszystkich N dipoli znajdujących się w jednostce objętości materiału polaryzację całkowitą możemy zapisać

LENpNPrrr

α== (1054)

Przekształcając powyższą zależność otrzymujemy prawo Clausiusa ndash Mosottiego ktoacutere określa związek między polaryzowalnością α a względną przenikalnością elektryczną ośrodka ε

03ε2ε

1ε αN=

+

minus (1055)

Wymnażając obie strony przez objętość molową dielektryka Vm oraz

uwzględniając ρmicro=mV otrzymujemy zależność polaryzowalnością α (wielkością mikroskopową) a parametrami mierzalnymi makroskopowy-mi takimi jak gęstość materiału ρ czy masa molowa micro

micro0

A

3ε

N

2ε

1ε α=

+

minus

ρ

1 (1056)

gdzie NA oznacza stałą Avogadra

Rodzaje dielektrykoacutew

Dielektryki możemy podzielić na dwie zasadnicze grupy

1 dielektryki polarne w ktoacuterych istnieją stałe dipole elektryczne

2 dielektryki niepolarne (indukowane) w ktoacuterych dipole powstają jedynie przy włączonym zewnętrznym polu elektrycznym

Przykładem dielektryka polarnego jest woda Cząsteczki wody zbudo-wane są tak że na atomach wodoru występuje niedoboacuter elektronoacutew a na atomach tlenu nadmiar elektronoacutew Ponieważ oba atomy wodoru geome-trycznie znajdują się po tej samej stronie atomu tlenu ładunek dodatni związany z atomami wodoru nie pokrywa się z ładunkiem ujemnym związanym z atomami tlenu tworząc trwały dipol elektryczny

W dielektrykach niepolarnych polaryzacja zachodzi pod wpływem zew-nętrznego pola elektrycznego Powoduje ono przemieszczenie się ładun-koacutew roacuteżnoimiennych względem siebie pod wpływem zewnętrznego pola

ELEKTROSTATYKA

Strona 183183183183

elektrycznego na skutek czego indukują się dipole elektryczne Można wyroacuteżnić trzy typy takiej polaryzacji

bull polaryzacja elektronowa dipol elektryczny powstaje w wy-niku zniekształcenia chmury elektronowej wokoacuteł jądra ndash na elektrony znajdujące się na orbicie wokoacuteł jądra oddziałuje zewnętrzne pole siłą o przeciwnym zwrocie niż na dodatnie jądro atomowe

bull polaryzacja jonowa występuje w substancjach o wiązaniu jonowym (np NaCl) ktoacutere zbudowane są z dwu rodzajoacutew jonoacutew Dochodzi do wzajemnego przesunięcia podsieci kationowej (Na+) i anionowej (Cl )

bull polaryzacja ładunkiem przestrzennym nośniki ładunku ndashna-ładowane elektrycznie atomy (jony) gromadzą się na niejed-norodnościach ośrodka np na granicach obszaroacutew o roacuteżnej wartości przenikalności dielektrycznej

Ferroelektryki

Ferroelektryki są ciekawą grupą materiałoacutew w ktoacuterych lokalne oddziały-wania między dipolami są na tyle silne że tworzą uporządkowane struk-tury Oddziaływania sąsiadoacutew danego dipola ustawiają dipol zgodnie z tymi sąsiadami Ustawienie przeciwne jest niekorzystne energetycznie Dochodzi w efekcie do powstanie dużych obszaroacutew w ktoacuterych wszyst-kie dipole są ustawione w jednakowym kierunku zwanych domenami Dipole znajdujące się wewnątrz domen osiągają minimum energii Przykładem ferroelektryka jest tytanian baru BaTiO3

Można by sądzić że najkorzystniejszym ustawieniem dipoli będzie wo-bec tego jedna wielka domena obejmująca całą objętość ferroelektryka Taka domena wytwarzałaby jednak silne pole elektryczne na zewnątrz materiału co roacutewnież byłoby niekorzystne energetycznie W praktyce dochodzi do podziału materiału na wiele domen o roacuteżnych kierunkach zorientowania dipoli W strefie dzielącej domeny zwrot dipoli ulega stopniowej zmianie od jednej orientacji do drugiej ndash obszar taki nazywa-my ścianką domenową

Załoacuteżmy że ferroelektryk znajduje się w stanie w ktoacuterym elektryczne momenty dipolowe domen ułożone są w przypadkowy sposoacuteb Jeśli taki fragment ferroelektryka umieścimy w zewnętrznym polu elektrycznym pole to będzie oddziaływało na dipole powodując ich obracanie Prowa-dzi to do uporządkowania struktury domenowej Porządkowanie domen powoduje szybki wzrost wartości polaryzacji elektrycznej P w funkcji

ROZDZIAŁ 10

Strona 184184184184

natężenia pola zewnętrznego E Dla ferroelektrykoacutew względna przeni-kalność dielektryczna osiąga wartości rzędu tysięcy Wykres polaryzacji elektrycznej w funkcji natężenia pola elektrycznego (rysunek 106) nazywany roacutewnież pierwotną krzywą polaryzacji nie jest jednak liniowy ndash jeśli wszystkie dipole ustawią się zgodnie z liniami sił pola dalszy wzrost wartości natężenia pola zewnętrznego nie zmieni już ich uporząd-kowania Dalszy wzrost natężenia prowadzi jedynie do wzrostu wartości wektora indukcji a wektor polaryzacji pozostaje już stały Stan w ktoacuterym wszystkie dipole są ustawione roacutewnolegle do linii pola zew-nętrznego nazywamy stanem nasycenia

Rysunek 107 Wykres zależności polaryzacji od natężenia

zewnętrznego pola dla ferroelektryka

Przy zmniejszaniu natężenia wykres polaryzacji nie przebiega wzdłuż krzywej polaryzacji pierwotnej Uprzednio spolaryzowany ferroelektryk zachowuje częściowo polaryzację nawet po wyłączeniu pola zewnętrzne-go co określamy jako remanencję (jest to punkt przecięcia krzywej z osią pionową) Aby zmniejszyć polaryzację materiału do zera należy przyłożyć pole zewnętrzne skierowane przeciwnie do pola ktoacuterym spo-laryzowano ferroelektryk Wartość natężenia pola niezbędną do depola-ryzacji materiału nazywamy polem koercji Na wykresie polaryzacji wartość ta odpowiada przecięciu z osią poziomą Jeśli wartość natężenie pola elektrycznego będzie większa niż wartość pola koercji materiał spolaryzuje się w przeciwnym kierunku Nastąpi ponowne utworzenie struktury domenowej z dipolami o przeciwnym zwrocie

ELEKTROSTATYKA

Strona 185185185185

W wyniku cyklicznych zmian kierunku pola zewnętrznego otrzymujemy wykres pewnej krzywej zamkniętej zwanej pętlą histerezy Pole takiej pętli histerezy odpowiada energii ktoacuterą należy zużyć na spolaryzowanie ferroelektryka w jednym cyklu W zależności od właściwości ferroelek-tryka i maksymalnych wartości przyłożonego pola zewnętrznego pętla histerezy może przybierać roacuteżny kształt Materiały o wąskiej pętli histe-rezy łatwo jest spolaryzować Materiały takie mogą być stosowane w pa-mięciach ferroelektrycznych (FRAM) Pamięci tego typu są znacząco szybsze niż ich odpowiedniki typu EEPROM zużywają roacutewnież znaczą-co mniej energii elektrycznej Pamięci tego typu są stosowane min w konsolach do gier Polaryzacja materiałoacutew o szerokiej pętli histerezy wymaga dużych wartości natężenia pola Zapisanie informacji wymaga dłuższego czasu i zużycia większej ilości energii Informacja jest jednak zapisana w bardziej trwały sposoacuteb Pamięci tego typu są stosowane np w technice wojskowej a często roacutewnież motoryzacyjnej

Właściwości ferroelektryczne zależą w znaczący sposoacuteb od temperatury w ktoacuterej znajduje się materiał Rozszerzanie się ciał powoduje że odleg-łości między dipolami zwiększają się Ponieważ pole elektryczne wytwarzane przez dipol zależy od odległości w potędze 3 nawet nie-wielka jej zmiana ma duży wpływ na siły wzajemnego oddziaływania di-poli Drgania termiczne prowadzą roacutewnież do zmiany ustawienia po-szczegoacutelnych dipoli zmniejszając zatem uporządkowanie wewnątrz do-meny Z tego względu powyżej pewnej temperatury zwanej temperaturą Curie Tc następuje stopniowy zanik uporządkowania a materiał z ferro-elektryka przechodzi w paraelektryk Powyżej temperatury Curie zależ-ność temperaturowa podatności elektrycznej χ ferroelektrykoacutew wyrażona jest przez prawo Curie ndash Weissa

C

C

T

C

minus=

Tχ (1057)

W prawie Curie-Weissa stała Curie CC jest charakterystyczną cechą danego ferroelektryka

Piezoelektryki

W pewnej grupie materiałoacutew określanych jako piezoelektryki obserwu-je się zjawisko powstawania ładunku elektrycznego na ich powierzchni pod wpływem siły przyłożonej wzdłuż określonego kierunku krystalo-graficznego Oproacutecz takiego tzw efektu piezoelektrycznego prostego obserwuje się roacutewnież zjawisko odwrotne w ktoacuterym pod wpływem przyłożonego napięcia kryształ zmienia swoje wymiary

ROZDZIAŁ 10

Strona 186186186186

Wszystkie ferroelektryki są roacutewnież piezoelektrykami- ale nie wszystkie piezoelektryki są ferroelektrykami Zjawisko piezoelektryczne może roacutewnież występować w materiałach w ktoacuterych strukturze krystalicznej występują naprzemiennie atomy obdarzone ładunkiem dodatnim (katio-ny) i ujemnym (aniony) Taki kryształ nie poddany działaniu ciśnienia jest obojętny elektrycznie zaroacutewno w skali makroskopowej jak i lokalnie a jony znajdują się w położeniach roacutewnowagi określonych przez kształt pola sił ich wzajemnych oddziaływań Kiedy do powierzchni kryształu przyłożymy ciśnienie wzajemne położenie ładunkoacutew zmienia się pow-stają dipole elektryczne ktoacutere wytwarzają pole elektryczne tak że na przeciwległych powierzchniach kryształu wyznaczonych przez kierunek ściskania indukują się ładunki Ładunek ten jest wprost proporcjonalny do wytworzonego ciśnienia

W zjawisku piezoelektrycznym odwrotnym przyłożone napięcie wytwa-rza pole elektryczne ktoacutere wywołuje rozsunięcie ładunkoacutew dodatnich i ujemnych a więc kationoacutew i anionoacutew w strukturze tego kryształu po-wodując zmianę długości tego materiału w tym kierunku

Typowym piezoelektrykiem jest kwarc czyli tlenek krzemu tytanian ołowiu wspomniany już przy okazji ferroelektryczności tytanian baru czy niektoacutere tworzywa sztuczne (polimery) Piezoelektryki są stosowane wszędzie tam gdzie zachodzi potrzeba przetworzenia sygnału elektrycz-nego na mechaniczny Zakres wydłużenia piezoelektryka jest niewielki ale można nim bardzo precyzyjnie sterować Piezoelektryki można za-tem wykorzystywać w układach dokładnego pozycjonowania lub prze-twornikach drgań Czujniki piezoelektryczne można stosować w pomia-rach dynamicznych naprężeń i odkształceń Zaletą piezoelektrykoacutew jest duża szybkość reakcji piezoelektryka na sygnał elektryczny Elementy piezoelektryczne wykorzystywane są w głowicach ultradźwiękowych i defektoskopach echosondach oraz aparatach USG W motoryzacji zawory piezoelektryczne stosuje się w układach wtrysku paliwa

11 Prąd elektryczny

W tym rozdziale

o Natężenie prądu elektrycznego o Prawo Ohma mikroskopowe prawo Ohma o Oporniki łączenie opornikoacutew o Praca i moc prądu elektrycznego o Obwody elektryczne prawa Kirchhoffa

ROZDZIAŁ 11

Strona 188188188188

111 Natężenie prądu elektrycznego

Prąd elektryczny jest uporządkowanym ruchem ładunkoacutew elektrycznych Może być wywołany i obserwowany w tych materiałach w ktoacuterych istnieją swobodne cząstki obdarzone ładunkiem elektrycznym tzw nośniki ładunku W metalach nośnikami są swobodne elektrony walen-cyjne tworzące tzw gaz elektronoacutew swobodnych W poacutełprzewodnikach takimi nośnikami ładunku są zaroacutewno elektrony jak i dziury (posiadające ładunek dodatni) W materiałach ciekłych roztworach kwasoacutew zasad lub soli nazywanych elektrolitami a także niektoacuterych materiałach sta-łych (bdquoprzewodniki superjonowerdquo) ruchliwymi nośnikami ładunku są jo-ny zaroacutewno dodatnie jak i ujemne

Przyłożenie do takiego przewodnika napięcia (roacuteżnicy potencjałoacutew) po-woduje powstanie pola elektrycznego ktoacutere będzie oddziaływać na nośniki ładunku wywołując ich uporządkowany ruch nazywamy prądem elektrycznym Należy zaznaczyć że w przypadku elektronoacutew ten upo-rządkowany ruch jest nałożony na o wiele szybszy chaotyczny ruch cieplny nośnikoacutew Prędkość termiczna elektronoacutew pomiędzy zderzenia-mi jest bardzo duża rzędu 106ms Przemieszczenie elektronoacutew pod wpływem przyłożonego pola czyli tak zwana prędkość dryfu jest nato-miast niewielka i wynosi około vd~10-4ms

Ilościowo prąd charakteryzujemy za pomocą natężenia prądu

Natężenie prądu I jest to ilość ładunku Q przepływającego przez dowolny przekroacutej przewodnika w ciągu jednostki czasu t Dla prądu stałego natężenie prądu I jest wyrażone stosunkiem ładunku ktoacutery przepłynął do czasu przepływu

t

QI = (111)

Jednostką natężenia prądu jest jeden amper 1A=1Cs Dla prądu zmien-nego chwilowa wartość natężenia prądu definiowana jest jako pochodna ładunku po czasie

PRĄD ELEKTRYCZNY

Strona 189189189189

( ) ( )t

tQtI

d

d= (112)

Kierunek przepływu prądu jest zgodny z kierunkiem ruchu ładunku do-datniego Zatem w przypadku przepływu elektronoacutew i jonoacutew ujemnych umowny kierunek prądu jest odwrotny niż kierunek poruszania się tych nośnikoacutew ładunku

Istnieją przypadki gdy prąd nie jest roacutewnomiernie rozłożony na przekro-ju przewodnika Wtedy możemy wprowadzić wektor gęstości prądu

jr

taki że

)dcos(ddd SjSjSjIrrrr

=sdot= (113)

Wektor gęstości prądu jr

jest w tym przypadku funkcją wspoacutełrzędnych a dS jest elementem powierzchni przekroju przewodnika W szczegoacutel-nym przypadku roacutewnomiernego rozkładu gęstości prądu

perp

==S

I

αS

Ij

cos

r

(114)

gdzie α oznacza kąt pomiędzy kierunkiem przepływu prądu a wybraną

płaszczyzną zaś perpS - polem powierzchni prostopadłej do kierunku przepływu prądu

112 Prawo Ohma

Stwierdziliśmy że przyczyną powstania prądu w przewodniku jest przy-łożenie napięcia do końcoacutew przewodnika Jak pokazują doświadczenia dla dużej grupy przewodnikoacutew (metale stopy metali związki intermeta-liczne jednorodne poacutełprzewodniki) natężenie prądu jest wprost propor-cjonalne do napięcia co określamy jako prawo Ohma

Stosunek napięcia na końcach przewodnika do natężenia prądu wywołanego tym napięciem jest wielkością stałą i charakte-rystyczną dla danego przewodnika Wielkość ta zależy zaroacutewno od kształtu przewodnika jak i materiału z ktoacuterego jest wyko-nany i nazywana jest oporem elektrycznym lub rezystancją

ROZDZIAŁ 11

Strona 190190190190

const== RI

U (115)

Jednostką oporu elektrycznego jest om (Ohm) 1Ω=1VA i jest rezystan-cją takiego przewodnika dla ktoacuterego napięcie 1V przyłożone do jego końcoacutew wywołuje powstanie prądu o natężeniu 1A Rezystancja R zale-ży od kształtu przewodnika jest wprost proporcjonalna do jego długości l i odwrotnie proporcjonalne do pola przekroju S

S

ρRl

= (116)

Wspoacutełczynnik proporcjonalności zapisany grecką literą ρ (bdquorordquo) oznacza oporność właściwą ktoacutera jest cechą charakterystyczną materiału z ktoacutere-go zbudowany jest przewodnik Odwrotność rezystancji nazywamy prze-

wodnością elektryczną i oznaczamy symbolem σ (bdquosigmardquo) ρ

σ1

=

Wartości oporności właściwej dla metali sięga od 10-5 do 10-7Ωm oraz powyżej 1015Ωm dla izolatoroacutew Poacutełprzewodniki charakteryzują się pośrednimi wartościami oporności właściwej

Opoacuter elektryczny i oporność właściwa metali w dość szerokim zakresie temperatur wzrasta liniowo z temperaturą

)(1 tαRR 0 += (117)

gdzie α jest temperaturowym wspoacutełczynnikiem oporu zaś t jest tempera-turą wyrażoną w skali Celsjusza Powyższa zależność opisuje własność metali na tyle precyzyjnie że stała się ona podstawą budowy czujnikoacutew termometrycznych Przykładem są platynowe czujniki temperatury typu Pt100 i Pt1000 stosowane roacutewnież w motoryzacji Mierząc prąd płynący przez czujnik jesteśmy w stanie z dużą dokładnością określić jego temperaturę

Mikroskopowe prawo Ohma

Jak dotąd sformułowaliśmy prawo Ohma dotyczące makroskopowego przewodnika w ktoacuterym płynie prąd Połączmy prawo Ohma (roacutewna-nie 115) z zależnością oporu elektrycznego od kształtu przewodnika (roacutewnanie 116) i przekształćmy odpowiednio

PRĄD ELEKTRYCZNY

Strona 191191191191

l

σU

S

I= (118)

co następnie możemy zapisać wektorowo jako tzw mikroskopowe pra-wo Ohma ktoacutere jest roacutewnaniem dotyczącym dowolnie wybranego punk-tu ośrodka przewodzącego

Ejrr

σ= (119)

Jeśli w wybranym punkcie ośrodka przewodzącego natężenie pola elektrycznego ma wartość E to w otoczeniu tego punktu wektor gęstości prądu ma wartość wprost proporcjonalną do wektora natężenia pola ze wspoacutełczynnikiem proporcjonalności roacutewnym przewodności elektrycznej materiału

Rozważmy teraz mikroskopowy sens wektora gęstości prądu wynikający z uproszczonej definicji tego pojęcia (podobnie definiuje się w fizyce strumień ciepła czy masy)

∆S∆t

∆Q

∆S

∆Ij == (1110)

Wektor gęstości prądu oznacza strumień ładunku elektrycznego tzn ilość ładunku ∆Q ktoacutera przechodzi przez jednostkę powierzchni prostopadłej ∆S na jednostkę czasu ∆t Jeżeli w jednostce objętości materiału przewodnika metalicznego znajduje się n swobodnych elektro-noacutew to koncentracja elektronoacutew (ogoacutelnie nośnikoacutew ładunku) wynosi n Jeśli wszystkie nośniki poruszają się ruchem uporządkowanym z pręd-kością unoszenia (prędkością dryfu) vd wzdłuż kierunku wyznaczonego przez pole elektryczne to strumień nośnikoacutew ładunku jest roacutewny nvd a odpowiadający mu strumień ładunku elektrycznego przenoszonego przez elektrony (-e) wynosi

dnej vminus= (1111)

W ogoacutelnym przypadku nośnikoacutew o ładunku q strumień ładunku elek-trycznego i gęstość prądu wynosi

dnqj v= (1112)

Jeżeli poroacutewnamy powyższy wzoacuter 1112 z mikroskopowym prawem

Ohma ( Eσj = ) okazuje się że ktoacuteraś z wielkości n q lub vd musi być proporcjonalna do natężenia pola elektrycznego E Ponieważ ani

ROZDZIAŁ 11

Strona 192192192192

koncentracja nośnikoacutew n ani ładunek nośnika q nie jest proporcjonalna do natężenia pola elektrycznego E więc to prędkość vd unoszenia (dryfu) wywoływana przez pole elektryczne jest proporcjonalna do natężenia pola elektrycznego E

Ed micro=v (1113)

gdzie wspoacutełczynnik proporcjonalności micro nazywany jest ruchliwością nośnikoacutew ktoacutera jest cechą charakterystyczną materiału przewodnika Wstawiając roacutewnanie 1113 do 1112 otrzymujemy

Enqj micro= (1114)

a poroacutewnując powyższą zależność z mikroskopowym prawem Ohma (wzoacuter 119) otrzymujemy że przewodność materiału σ zależy od kon-centracji nośnikoacutew n ich ładunku q oraz ruchliwości micro

micronqσ = (1115)

Model klasyczny Drudego-Lorentza przewodnictwa elektrycznego metali

Podstawowym modelem przewodnictwa elektrycznego w metalach jest tzw model klasyczny Drudego-Lorentza Model ten traktuje elektrony jako cząsteczki gazu idealnego Ruch elektronoacutew może być zobrazowa-ny mechanicznym modelem kulki staczającej się po pochylonej tablicy z roacutewnomiernie przymocowanymi kołkami Kulka staczając się po roacutewni zderza się z kołkami i przy każdym takim zderzeniu zmienia się zaroacutewno kierunek jak i wartości jej pędu Jeśli policzylibyśmy średnią prędkość tej kulki wzdłuż krawędzi tablicy to okazałoby się że jest ona stała (zderzenia kompensują stałą siłę grawitacji) i wielokrotnie niższa niż prędkości jakie posiada kulka pomiędzy zderzeniami Podobnie elektro-ny swobodne w metalu tworzące tzw gaz elektronowy zderzają się z do-datnimi rdzeniami atomowymi tracąc część energii jaką otrzymały w po-lu elektrycznym zmieniając za każdym razem zaroacutewno wartość jak i kierunek pędu W efekcie prędkość dryfu jest stała i wielokrotnie mniejsza niż chwilowe prędkości między zderzeniami Średnia wartość tej prędkości może być wyznaczona jako frac12 prędkości uzyskanej w wy-niku przyspieszania elektronoacutew przez zewnętrzne pole elektryczne

( meEmFa == ) w czasie τ

PRĄD ELEKTRYCZNY

Strona 193193193193

mEead 22 τ== τv (1116)

gdzie τ jest średnim czasem między zderzeniami i zależy od średniej

drogi swobodnej λ oraz średniej prędkości termicznej Tv elektronoacutew (

T vλτ = ) Ruchliwość elektronoacutew roacutewna stosunkowi prędkości dry-

fu do natężenia pola elektrycznego wywołującego unoszenie w modelu Drudego-Lorentza można więc zapisać

T

d

m

e

E v

v

2

λmicro == (1117)

Ponieważ prędkość termiczna elektronoacutew jest proporcjonalna do pier-wiastka z temperatury więc przewodność (zależność 1115) w modelu Drudego-Lorentza jest odwrotnie proporcjonalna do pierwiastka

z temperatury T1propσ podczas gdy z wynikoacutew eksperymentoacutew

wynika T1propσ Model zjawiska oporu elektrycznego odtwarzający prawidłowo zależność temperaturową przewodności udało się stworzyć dopiero posługując się regułami mechaniki kwantowej W kwantowym modelu Blocha rozważa się rozpraszanie elektronoacutew na niedoskonałoś-ciach sieci krystalicznej np na atomach domieszki lub defektach struk-tury Drugim ważnym czynnikiem wpływającym na ruch elektronoacutew są drgania termiczne sieci krystalicznej Rozpraszanie elektronoacutew na drga-niach sieci zależy od temperatury ndash im wyższa jest temperatura tym większa jest amplituda drgań atomoacutew i tym większy opoacuter elektryczny

Oporniki Łączenie oporoacutew

Elementy oporowe (oporniki) o znanej wartości oporu elektrycznego w obwodach elektrycznych oznaczamy za pomocą dwoacutech rodzajoacutew sym-boli ndash linią łamaną (standard amerykański) lub prostokątem (standard europejski)

Łącząc oporniki szeregowo zwiększamy całkowity opoacuter gałęzi obwodu Jest to zrozumiałe biorąc pod uwagę że połączenie takie odpowiada zwiększeniu całkowitej długości przewodnika przez ktoacutery przepływają ładunki elektryczne W przypadku szeregowego połączenia opornikoacutew opoacuter całkowity gałęzi jest sumą wartości oporoacutew

sum=i

iC RR (1118)

ROZDZIAŁ 11

Strona 194194194194

Powyższa zależność wynika z faktu że całkowity spadek napięcia (roacuteżnica potencjałoacutew) jest sumą spadkoacutew napięć na poszczegoacutelnych opornikach Ponieważ przez każdy z szeregowo połączonych opornikoacutew płynie ten sam prąd wiec zgodnie z prawem Ohma w efekcie całkowity opoacuter jest sumą oporoacutew poszczegoacutelnych opornikoacutew

Przy roacutewnoległym połączeniu opornikoacutew całkowity opoacuter obwodu male-je ndash odpowiada to zwiększeniu przekroju przez ktoacutery mogą przepływać nośniki ładunku Jeśli dwa oporniki o identycznym oporze połączymy roacutewnolegle całkowity opoacuter gałęzi wyniesie frac12 oporu pojedynczego opor-nika W ogoacutelnym przypadku opoacuter całkowity RC układu roacutewnoległych opornikoacutew wyznaczamy z zależności

sum=i iC RR

11 (1119)

Wyprowadzając tę zależność roacutewnież zauważyć że spadek napięcia na każdym z roacutewnolegle połączonych opornikoacutew jest taki sam (łączą pun-kty o określonej roacuteżnicy potencjałoacutew) Roacuteżny jest natomiast prąd płyną-cy przez każdy z opornikoacutew ale suma tych prądoacutew musi być roacutewna całkowitemu prądowi dopływającemu do układu Ponownie po zastoso-waniu prawa Ohma otrzymujemy opoacuter zastępczy taki jak we wzo-rze 1119 Przy obliczaniu oporu bardziej złożonych obwodoacutew pomocne jest odpowiednie grupowanie elementoacutew tak by można było skorzystać z powyższych wzoroacutew dla roacutewnoległego i szeregowego połączenia opornikoacutew

Rysunek 111 Układy opornikoacutew o topologii bdquotroacutejkątardquo i bdquogwiazdy

Nieco bardziej złożonym zagadnieniem jest obliczanie oporu obwodoacutew o topologii bdquotroacutejkątardquo Istnieją jednak wzory pozwalające na przedsta-wienie ich w postaci układu o topologii gwiazdy ndash o kształcie litery bdquoYrdquo (Rysunek 111)

PRĄD ELEKTRYCZNY

Strona 195195195195

Aby obwody w przedstawionych powyżej topologiach miały identyczne właściwości elektryczne przy danej roacuteżnicy potencjałoacutew natężenie prą-doacutew przepływających pomiędzy węzłami 1 2 i 3 musi być takie samo Dla węzłoacutew 1 i 2 w topologii bdquotroacutejkątardquo prąd płynie przez opornik RA połączony roacutewnolegle z oporem (RC+RB) Dla topologii gwiazdy prąd płynie przez oporniki R1 i R2 połączone szeregowo Zapisując układ roacutewnań dla każdej pary węzłoacutew otrzymujemy trzy roacutewnania poz-walające otrzymać zależności pomiędzy wartościami oporoacutew w dwoacutech topologiach

C

RB

RA

R

CR

BR

3R

CR

BR

AR

CR

AR

2R

CR

BR

AR

BR

AR

1R++

=++

=++

= (1120)

3R2R

1R

3R2R

CR3R1R

2R

1R3R

BR1R2R

3R

2R1R

AR ++=++=++= (1121)

113 Praca i moc prądu elektrycznego

Na skutek przepływu prądu elektrycznego w elementach oporowych wy-dziela się ciepło ktoacutere jest wynikiem rozpraszania części energii elektro-noacutew na sieci krystalicznej metalu Efekt ten stanowi podstawę działania żaroacutewek i elektrycznych elementoacutew grzejnych

Zgodnie z definicją wprowadzoną w elektrostatyce wiemy że praca przeniesienia ładunku q przy roacuteżnicy potencjałoacutew U jest roacutewna

UItUqW el == (1122)

Ponieważ natężenie prądu elektrycznego jest wyrażone stosunkiem ła-dunku ktoacutery przepłynął do czasu przepływu możemy wyrazić ładunek q poprzez iloczyn natężenia prądu I i czasu jego przepływu t zaś napięcie U zgodnie z prawem Ohma powiązać z wartością płynącego prądu przez element o oporze R W efekcie otrzymujemy że praca prądu jest roacutewna energii ER jaka wydziela się na oporniku o oporze R przez ktoacutery płynie prąd elektryczny o natężeniu I Korzystając z prawa Ohma otrzymujemy prawo nazywane jest prawem Joulersquoa

tRIW2

el = (1123)

ROZDZIAŁ 11

Strona 196196196196

Energia jaka wydziela się na oporniku nazywana ciepłem Joulersquoa jest proporcjonalna do wartości oporu R oraz kwadratu natężenia prądu elektrycznego I płynącego przez ten opornik

Ponieważ moc jest stosunkiem wykonanej pracy do czasu w jakim ta praca została wykonana w przypadku mocy wydzielanej na elemencie obwodu elektrycznego otrzymujemy

R

URIIUP

22 === (1124)

gdzie U oznacza napięcie na zaciskach danego elementu (odbiornika) a I ndash natężenie prądu przepływającego przez element o oporze R

W przypadku przesyłania energii elektrycznej wytworzonej w elektrow-ni staramy się zminimalizować straty na liniach przesyłowych Iloczyn napięcia i natężenia przesyłanego prądu jest w tym przypadku wartością stałą (odpowiada on mocy elektrowni) Sposobem na redukcję mocy traconej na liniach jest zmniejszenie natężenia prądu a proporcjonalne zwiększenie napięcia Z tego względu buduje się tzw przesyłowe linie wysokiego napięcia a zwiększenie wartości napięcia i jego ponowna re-dukcja przed odbiornikiem realizowane są za pomocą transformatoroacutew Ograniczeniem wartości użytego napięcia jest jonizacja powietrza ndash przy zbyt wysokim napięciu wokoacuteł przewodoacutew natężenie pola jest dostatecz-nie wysokie by oderwać elektrony z cząsteczek gazu i wytworzyć noś-niki ładunku co prowadzi do bdquoucieczkirdquo energii elektrycznej

114 Obwody elektryczne

Źroacutedła napięcia

W dotychczasowych rozważaniach przedstawiliśmy zjawisko przepływu ładunku w przewodniku Aby wymusić przepływ ładunku niezbędne jest przyłożenie do końcoacutew przewodnika napięcia czyli roacuteżnicy potencja-łoacutew Takim źroacutedłem napięcia może być naładowany kondensator jednak napięcie to nie będzie stałe Przepływ prądu przez przewodnik oznaczać będzie rozładowywanie kondensatora a ponieważ roacuteżnica potencjałoacutew między okładkami kondensatora jest proporcjonalna do ładunku zgroma-dzonego na okładkach wartość napięcia będzie maleć

PRĄD ELEKTRYCZNY

Strona 197197197197

Ogniwa

Stałe napięcie na zaciskach elementu oporowego możemy uzyskać włą-czając do obwodu stałe źroacutedło energii ndash ogniwo Parametrami opisują-cymi ogniwo są siła elektromotoryczna ε i opoacuter wewnętrzny Rw Miarą siły elektromotorycznej ε jest stosunek pracy wykonanej na przeniesienie ładunku w obwodzie zamkniętym do wartości tego ładunku

q

Wε = (1125)

W przypadku rzeczywistych ogniw część energii jest rozpraszana na oporze wewnętrznym źroacutedła ktoacutery jest połączony szeregowo z siłą elektromotoryczną Napięcie na zaciskach takiego źroacutedła zależy od war-tości oporu zewnętrznego podłączonego do źroacutedła czyli tzw obciążenia (rysunek 112) Jeśli opoacuter obciążenia jest mały wartość natężenia prądu płynącego przez obwoacuted jest duża to straty energii na oporze wew-nętrznym są znaczne Napięcie na zaciskach ogniwa jest niższe niż siła elektromotoryczna źroacutedła o spadek napięcia na obwodzie wewnętrznym Jeśli opoacuter obciążenia jest duży straty energii na oporze wewnętrznym są niewielkie a napięcie na zaciskach ogniwa osiąga wartość zbliżoną do jego siły elektromotorycznej Można zatem stwierdzić że w granicy

infinrarrZEWNR siła elektromotoryczna jest roacutewna napięciu na zaciskach ogniwa otwartego

Energię elektryczną możemy uzyskiwać korzystając z pracy mechanicz-nej ktoacutera zamieniamy na energię elektryczną za pomocą prądnic czy alternatoroacutew Większość z tych urządzeń wytwarza zmienną siłę elektro-motoryczną a uzyskanie stałej wartości wymaga dodatkowych urządzeń przetwarzających napięcie zmienne na stałe w czasie Energię elektrycz-ną możemy czerpać roacutewnież ze źroacutedeł chemicznych ndash baterii akumula-toroacutew i stosowanych coraz częściej ogniw paliwowych Źroacutedłami energii elektrycznej mogą być roacutewnież termoogniwa (wykorzystujące roacuteżnicę temperatur) oraz fotoogniwa (korzystające z energii promieniowania słonecznego) Jak stąd wynika źroacutedłami prądu stałego są urządzenia przetwarzające energię innego rodzaju na energię elektryczną

ROZDZIAŁ 11

Strona 198198198198

Rysunek 112 Obwoacuted złożony ze źroacutedła rzeczywistego i obciążenia

oporowego Spadki napięć na opornikach skierowane są przeciwnie niż SEM ogniwa

Prawa Kirchhoffa

Rozpatrzmy obwoacuted składający się z pojedynczego opornika R i źroacutedła o sile elektromotorycznej ε i oporze wewnętrznym Rw (rysunek 112) Za-piszmy zasadę zachowania energii dla takiego obwodu elektrycznego Praca wykonana przez ogniwo nad ładunkiem w obwodzie zamkniętym jest roacutewna energii rozpraszanej na elementach oporowych

RtItRItIε 2

w

2 += (1124)

Dzieląc obie strony roacutewnania 1122 przez czas i natężenie prądu otrzy-mujemy roacutewnanie

RIRI += wε (1125)

Zgodnie z uprzednio wprowadzoną definicją siła elektromotoryczna jest pracą wykonaną na przepływ jednostkowego ładunku w obwodzie zamkniętym

Napięcia na poszczegoacutelnych elementach obwodu i natężenia prądu prze-pływającego przez poszczegoacutelne jego gałęzie możemy obliczyć stosując prawa Kirchhoffa

PRĄD ELEKTRYCZNY

Strona 199199199199

I Prawo Kirchhoffa

Suma natężeń prądoacutew dopływających do węzła jest roacutewna sumie natężeń prądoacutew wypływających z tego węzła

W obwodzie zachowuje się roacutewnież ładunek elektryczny ndash jeśli w obwo-dzie znajduje się rozgałęzienie (węzeł) to ładunek ktoacutery dopłynie do wę-zła musi być roacutewny temu ktoacutery z węzła wypłynął

II Prawo Kirchhoffa

W dowolnym obwodzie zamkniętym sieci elektrycznej (oczku sieci) suma wartości sił elektromotorycznych roacutewna jest sumie wartości spadkoacutew napięcia na elementach tego obwodu

Drugie prawo Kirchhoffa odpowiada roacutewnaniu 1125

Obwoacuted RC

Jeśli naładowany do napięcia U kondensator o pojemności C zewrzemy opornikiem R to dla takiego obwodu II prawo Kirchhoffa możemy zapisać w postaci

0=+

=+

C

qRI

0UU CR

(1126)

Ponieważ natężenie prądu możemy wyrazić jako pochodną przepływającego ładunku po czasie roacutewnanie przyjmie postać

0d

d=+

C

qR

t

q (1127)

Rozwiązanie tego roacutewnania roacuteżniczkowego opisujące ładunek na kondensatorze ma postać malejącą wykładniczo

( ) RCt

0 eqtqminus

= (1128)

Skoro ładunek będzie się zmieniał wykładniczo to roacutewnież natężenie prądu w obwodzie będzie wykładniczo malało w czasie

ROZDZIAŁ 11

Strona 200200200200

Pomiar natężenia i napięcia

Wartości napięcia pomiędzy zaciskami elementu i natężenia prądu przepływającego przez element możemy wyznaczyć posługując się tym samym urządzeniem nazywanym galwanometrem Wychylenie wska-zoacutewki galwanometru jest wprost proporcjonalne do przepływającego przez urządzenie prądu

Rysunek 113 Podłączenie miernika do obwodu

a) pomiar natężenia prądu b) pomiar napięcia

Przy pomiarze natężenia prądu miernik włączamy w obwoacuted szeregowo (rysunek 113) W ten sposoacuteb mierzymy całkowity prąd płynący przez gałąź Opoacuter własny amperomierza powinien być jednak jak najmniejszy znacznie mniejszy niż wartości oporoacutew znajdujących się na mierzonej gałęzi ndash inaczej pomiar zakłoacuteci wartość mierzoną Aby spełnić ten waru-nek do zaciskoacutew galwanometru dołączamy roacutewnolegle bocznik o ma-łym oporze Większość natężenia prądu jest przepuszczana przez bocz-nik a tylko niewielka część przepływa przez galwanometr Zmieniając wartość oporu bocznika pomiędzy zaciskami miernika możemy zmieniać zakres pomiaru prądu układem galwanometr-bocznik

Przy pomiarze napięcia miernik ndash pełniący funkcję woltomierza ndash jest podłączony roacutewnolegle do badanego elementu (rysunek 113) W tym przypadku opoacuter własny woltomierza powinien być jak największy by nie odbierał on prądu z elementu Z tego względu pomiędzy zaciskami miernika a galwanometrem podłączony jest szeregowo opornik o dużej wartości Opornik ten zmniejsza natężenie prądu przepływającego przez galwanometr Zmieniając wartość użytego opornika można zmieniać za-kres pomiaru napięcia

Często stosowanym przyrządem jest proacutebnik (wskaźnik) napięcia Wy-korzystuje on pojemność elektryczną ludzkiego ciała Proacutebnika możemy używać przykładając palec do metalowego zakończenia rękojeści a ostrze do badanego elementu obwodu Natężenie prądu przepływają-

PRĄD ELEKTRYCZNY

Strona 201201201201

cego przez dłoń jest w tym przypadku niewielkie i nie zagraża bezpie-czeństwu osoby dokonującej pomiaru

ROZDZIAŁ 11

Strona 202202202202

Politechnika Warszawska Wydział Samochodoacutew i Maszyn Roboczych Kierunek Edukacja techniczno informatyczna 02-524 Warszawa ul Narbutta 84 tel 22 849 43 07 22 234 83 48 ipbmvrsimrpweduplspin e-mail stosimrpwedupl Opiniodawca prof dr hab Władysław Bogusz Projekt okładki Norbert SKUMIAŁ Stefan TOMASZEK Projekt układu graficznego tekstu Grzegorz LINKIEWICZ Skład tekstu Janusz BONAROWSKI Michał MARZANTOWICZ

Wojciech WROacuteBEL Publikacja bezpłatna przeznaczona jest dla studentoacutew kierunku Edukacja techniczno informatyczna Copyright copy 2010 Politechnika Warszawska Utwoacuter w całości ani we fragmentach nie może być powielany ani rozpowszechniany za pomocą urządzeń elektronicznych mechanicznych kopiujących nagrywających i innych bez pisemnej zgody posiadacza praw autorskich ISBN 83-89703-56-4 Druk i oprawa Drukarnia Expol P Rybiński J Dąbek Spoacutełka Jawna 87-800 Włocławek ul Brzeska 4

Spis treści

Wstęp 7

1 Czym jest fizyka Wielkości fizyczne jednostki i wzorce 9

11 Czym jest fizyka 10 12 Jednostki podstawowe 12 13 Miano jednostek wielkości pochodnych 14 14 Rachunek mian operacje na jednostkach wielkości fizycznych 15

2 Opis ruchu 21

21 Układ odniesienia i układ wspoacutełrzędnych 22 22 Przemieszczenie i droga 23 23 Prędkość 24 24 Przyspieszenie 26

3 Dynamika 31

31 Zasady dynamiki Newtona 32 32 Zasada zachowania pędu 35

4 Praca i energia 41

41 Praca 42 42 Pole sił zachowawczych i niezachowawczych 48 43 Pole sił grawitacyjnych 49 44 Ruch po okręgu 53 45 Energia potencjalna sił sprężystości 59 46 Energia kinetyczna 60 47 Zasada zachowania energii mechanicznej 62 48 Zderzenia 64

5 Dynamika bryły sztywnej 67

51 Bryła sztywna 68

Strona 4444

52 Roacutewnanie ruchu bryły sztywnej 72 53 Zasada zachowania momentu pędu 74 54 Energia ruchu obrotowego 75

6 Ruch drgający 79

61 Drgania harmoniczne 80 62 Drgania tłumione 86 63 Drgania wymuszone z tłumieniem 90

7 Stany skupienia materii 93

71 Ciało stałe 94 72 Płyny 95 73 Inne stany materii 95 74 Przejścia między stanami ndash przemiany fazowe 97

8 Hydrostatyka i hydrodynamika 101

81 Hydrostatyka 102 82 Hydrodynamika 108

9 Termodynamika 117

91 Temperatura zerowa zasada termodynamiki 118 92 Roacutewnanie stanu gazu doskonałego 120 93 Ciepło i praca termodynamiczna 121 94 Przemiany termodynamiczne 127 95 Teoria kinetyczno-molekularna gazoacutew 134 96 Roacutewnanie stanu gazu rzeczywistego 138 97 Cykle gazowe 139 98 Entropia 146 99 Właściwości termiczne materii 149

10 Elektrostatyka 157

101 Ładunek elektryczny 158 102 Prawo Coulomba 159 103 Natężenie pola elektrycznego 161 104 Energia i potencjał w polu elektrycznym 166 105 Prawo Gaussa 168

Strona 5555

106 Pojemność elektryczna przewodnika 174 107 Dielektryki 179

11 Prąd elektryczny 187

111 Natężenie prądu elektrycznego 188 112 Prawo Ohma 189 113 Praca i moc prądu elektrycznego 195 114 Obwody elektryczne 196

Strona 6666

Wstęp Niniejsze materiały zostały opracowane w ramach realizacji Programu Rozwojowego Politechniki Warszawskiej wspoacutełfinansowanego ze środ-koacutew PROGRAMU OPERACYJNEGO KAPITAŁ LUDZKI Przezna-czone są dla studentoacutew pierwszego roku studioacutew inżynierskich kierunku nauczania bdquoEdukacja techniczno-informatycznardquo prowadzonych na Wy-dziale Samochodoacutew i Maszyn Roboczych Politechniki Warszawskiej

Niniejsze opracowanie przygotowano dla przedmiotu pt bdquoPodstawy fizykirdquo Jego zawartość merytoryczna w pełni odpowiada zakresowi opi-sanemu w sylabusie opracowanym dla tego przedmiotu

Skrypt stanowi pierwszą część opracowanych materiałoacutew dydaktycz-nych i dotyczy zagadnień omawianych podczas pierwszego semestru wykładoacutew z ww przedmiotu Opracowane zagadnienia podzielone zo-stały na 11 rozdziałoacutew

Rozdział 1 wprowadza pojęcie wielkości fizycznych ich jednostek oraz operacji na tych jednostkach

Rozdział 2 został poświęcony opisowi ruchu ciał w roacuteżnych układach wspoacutełrzędnych za pomocą takich wielkości fizycznych jak przemiesz-czenie prędkość czy przyspieszenie

W rozdziale 3 omoacutewione zostały zasady dynamiki Newtona oraz zasada zachowania pędu

W rozdziale 4 wprowadzone są pojęcia pracy oraz energii Rozważane są roacuteżne formy energii (energia potencjalna i kinetyczna) oraz zasada za-chowania energii

Rozdział 5 dotyczy zagadnień z zakresu dynamiki bryły sztywnej takich jak roacutewnanie ruchu bryły sztywnej zasada zachowania momentu pędu czy energia ruchu obrotowego

Rozdział 6 został poświęcony zagadnieniom drgań w szczegoacutelności drgań harmonicznych z uwzględnieniem wpływu tłumienia oraz wymuszenia

W rozdziale 7 omoacutewione zostały roacuteżne stany skupienia materii ndash ciała stałe płyny oraz inne stany materii

Strona 8888

W rozdziale 8 przedstawione zostały podstawowe zagadnienia hydrosta-tyki i hydrodynamiki w tym prawo Pascala Arhimedesa oraz roacutewnanie Bernouliego

Rozdział 9 poświęcony jest termodynamice Omoacutewiony został gaz do-skonały jego roacutewnanie stanu oraz roacuteżne przemiany jakim może podle-gać Przedstawiono definicję ciepła oraz pracy termodynamicznej a także opis cykli i silnikoacutew termodynamicznych Omoacutewiono roacutewnież podstawowe właściwości termiczne materii

W rozdziale 10 omoacutewione zostały takie zagadnienia elektrostatyki jak Coulombowska siła oddziaływania elektrostatycznego natężenie poten-cjał oraz energia pola elektrycznego czy pojemność elektryczna prze-wodnika Przedstawione zostało prawo Gaussa wraz z przykładami stosowania go do wyznaczania natężenia pola elektrycznego Rozdział opisuje także właściwości elektryczne dielektrykoacutew

Rozdział 11 dotyczy zagadnień z zakresu przepływu prądu elektryczne-go Podane zostało prawo Ohma wyznaczona praca i moc prądu elek-trycznego a także omoacutewione podstawowe właściwości obwodoacutew elek-trycznych w tym prawa Kirchhoffa

1 Czym jest fizyka Wielkości fizyczne jednostki i wzorce

W tym rozdziale

o Czym jest fizyka o Jednostki podstawowe o Miano jednostek wielkości podstawowych o Rachunek mian operacje na jednostkach wielkości

fizycznych o Działania na wektorach

ROZDZIAŁ 1

Strona 10101010

11 Czym jest fizyka

Fizyka jest podstawową nauką ścisłą wywodzącą się z filozofii Ślad tego faktu że fizyka była działem filozofii ndash filozofią przyrody ndash znajdujemy w tytule słynnego dzieła Izaaka Newtona stanowiącego fundament nowożytnej fizyki rdquoPrincipia mathematica philosophiae naturalisrdquo (1686 r) co może być przetłumaczone jako bdquoZasady matematyczne filozofii przyrodyrdquo

Fizyka jest nauką ścisła i empiryczną czyli opartą na doświadczeniu ponieważ

bull Używa wielkości fizycznych dokładnie zdefiniowanych W definicji wielkości fizycznej zawarte są informacje doty-czące jej pomiaru Wielkością fizyczną jest każda wielkość ktoacutera daje się mierzyć czyli poroacutewnywać ze wzorcem jed-nostki tej wielkości

bull Stosuje opis matematyczny zjawisk (bdquomatematyka jest języ-kiem fizykirdquo)

bull Prawa fizyczne formułuje na podstawie doświadczeń

Przez doświadczenie (eksperyment) fizyczny rozumiemy zjawisko prze-prowadzone w możliwie uproszczonych i nadających się do analizy warunkach laboratoryjnych z eliminacją zjawisk ubocznych zakłoacutecają-cych zjawisko badane Podstawowym działaniem w doświadczeniach są właśnie pomiary wielkości fizycznych

Fizyka opiera się na pewnej minimalnej liczbie praw podstawowych o charakterze pewnikoacutew aksjomatoacutew ktoacutere w fizyce nazywamy zasada-mi Czasami moacutewi się o nich ze są to bdquoprawa pierwszerdquo Oznacza to że nie odkryto praw bardziej podstawowych ktoacutere umożliwiłyby wyprowa-dzenie tych zasad Słuszność zasad wynika tylko z doświadczeń i jest uogoacutelnieniem dużej liczby eksperymentoacutew Klasycznymi przykładami zasad są zasady dynamiki Newtona Natomiast inne szczegoacutełowe prawa fizyczne (np prawo Ohma lub prawo indukcji elektromagnetycznej Faradaya) wyprowadzamy z zasad fizyki za pomocą modeli fizycznych opisywanych zjawisk

CZYM JEST FIZYKA WIELKOŚCI FIZYCZNE JEDNOSTKI I WZORCE

Strona 11111111

Istnienie zasad i praw szczegoacutełowych powoduje wzajemne powiązanie wielkości fizycznych Stąd z kolei wynika że jest w fizyce pewna liczba podstawowych wielkości fizycznych a pozostałe wielkości są wielkoś-ciami zależnymi pochodnymi W tej sytuacji wystarczy iż wzorce jed-nostek fizycznych stworzymy tylko dla wielkości podstawowych

Ustalono że są cztery podstawowe wielkości fizyczne długość masa czas i natężenie prądu Stworzono zatem wzorce metra kilograma se-kundy i ampera Taki układ jednostek nazwano pierwotnie układem MKSA od początkowych liter nazw wzorcoacutew Z powodu tradycji i dla wygody dodano jednak następnie przejściowo do układu jeszcze cztery wielkości fizyczne mimo iż można by je określić przez te pierwsze cztery wielkości podstawowe Są to temperatura (w kelwinach) licz-ność materii (w molach) jasność źroacutedeł promieniowania (w kandelach) i kąt płaski (w radianach) W ten sposoacuteb powstał układ jednostek złożony z ośmiu wzorcoacutew jednostek wielkości fizycznych wymienio-nych wyżej nazywany układem SI (od fr Systeme International) Wy-magania postawione wzorcom jednostek dotyczą maksymalnej dokład-ności i powszechności uniwersalności Ta druga własność ma polegać na tym by wzorzec moacutegł być z roacutewną dokładnością odtwarzalny we wszystkich laboratoriach na świecie Ma to zapewnić możliwość poroacutewnywania wynikoacutew doświadczeń roacuteżnych laboratorioacutew a przez to możliwość sprawdzania powtarzalności pomiaroacutew co ma decydujące znaczenie przy tworzeniu praw fizycznych

Jednostki pochodnych wielkości fizycznych są tworzone w oparciu o de-finicje tych wielkości i istniejące związki tych wielkości z wielkościami podstawowymi ustalone prawami fizyki Jako przykład ustalmy jednost-kę i sposoacuteb pomiaru prędkości chwilowej Powołamy się tu na definicję prędkości chwilowej ktoacutera będzie uzasadniona w dalszej części skryptu

∆t

∆x

0∆t rarr= limv

(11)

Ta matematyczna definicja wskazuje że aby wyznaczyć prędkość chwi-lową obiektu trzeba mierzyć odcinki przesunięcia ∆x tego obiektu odpowiadające jak najkroacutetszym odcinkom czasu ∆t (dążącym do zera) i dzielić je przez siebie Jest więc w definicji wskazoacutewka pomiarowa i wiemy już że jednostką prędkości będzie ms

ROZDZIAŁ 1

Strona 12121212

12 Jednostki podstawowe

Jednostką długości jest metr [m] Metr jest to odległość jaką pokonuje światło w proacuteżni w czasie 1299 792 458 s

Jednostką czasu jest sekunda [s] Sekunda jest definiowana za pomocą tzw zegara atomowego jako 9 192 631 770 okresoacutew drgań określonego promieniowania atomu cezu 133Cs w temperaturze 0 K

Jednostką masy jest kilogram [kg] Wzorzec kilograma wykonany ze stopu platynowo-irydowego znajduje się w Sevres pod Paryżem Kopie tego wzorca zostały rozesłane do instytutoacutew miar i wag poszczegoacutelnych państw Obecnie dąży się do opracowania lepszej definicji opartej na masie atomowej

Jednostką temperatury jest Kelwin [K] Jeden kelwin odpowiada 1 27316 temperatury termodynamicznej punktu potroacutejnego wody ndash punktu w ktoacuterym wspoacutełistnieją fazy ciekła (woda) stała (loacuted) i gazowa (para wodna) Temperatura termodynamiczna jest zdefiniowana w odnie-sieniu do tzw zera absolutnego 0 K ktoacutera oznacza najniższą temperaturę do jakiej możemy się dowolnie zbliżyć ale jest nieosiągalna Na po-wszechnie stosowanej skali Celsjusza temperaturze punktu potroacutejnego wody (27316 K) odpowiada 001ordmC

W niniejszym skrypcie jako separator dziesiętny stosować będziemy znak kropki a nie przecinka

Jednostką liczności materii jest jeden mol [mol] Jest to liczność materii układu zawierającego liczbę cząsteczek roacutewną liczbie atomoacutew w masie 12 gramoacutew izotopu węgla 12C W jednym molu znajduje się ok 60221415(10)middot1023 cząsteczek Liczba ta jest nazywana stałą Avogadra (liczbą Avogadra) Ponieważ roacuteżne cząsteczki mają roacuteżną masę roacutewnocześnie z licznością należy podać rodzaj cząsteczek (cząsteczki atomy jony itp) lub też zdefiniować masę molową jako masę jednego mola danej substancji W opisie materii używa się roacutewnież masy atomowej ktoacutera określa ile razy masa jednego atomu danego pierwiastka chemicznego jest większa od jednostki zdefiniowanej jako 1 12 masy izotopu węgla 12C

Jednostką światłości jest kandela [cd] i definiuje się ja jako strumień energii (1 683 Wsr) wysyłany na sekundę w jednostkowy kąt prze-strzenny ndash steradian W definicji kandeli wykorzystuje się zielone świa-

CZYM JEST FIZYKA WIELKOŚCI FIZYCZNE JEDNOSTKI I WZORCE

Strona 13131313

tło monochromatyczne o długości 540 nm dla ktoacuterej to długości ludzkie oko charakteryzuje się największą czułością

Jednostką natężenia prądu elektrycznego jest amper [A] Prąd elektryczny jest uporządkowanym ruchem nośnikoacutew ładunku elektrycz-nego Natężenie prądu definiujemy jako stosunek wartości ładunku elek-trycznego ktoacutery przepływa przez przewodnik w jednostce czasu Z defi-nicji tej wynika jednostka natężenia prądu ndash amper ndash 1A=1Cs (ku-lombsekunda) Wzorzec pomiarowy jednego ampera definiujemy w na-stępujący sposoacuteb Jeżeli w dwoacutech roacutewnoległych prostoliniowych nieskończenie długich przewodach umieszczonych w proacuteżni w odleg-łości 1 m od siebie będzie płynął stały prąd o natężeniu jednego ampera (1A) to spowoduje on wzajemne oddziaływanie przewodoacutew z siłą roacutewną 2middot10-7N na każdy metr długości przewodu

Jako jednostek uzupełniających w układach opisywanych wspoacutełrzęd-nymi kątowymi używa się

bull radiana na oznaczenie kąta płaskiego [rad] Kąt pełny wy-nosi 2π radianoacutew Wartość kąta może być roacutewnież określana w stopniach ale w dalszej części tego skryptu jako miarę kąta przyjmować będziemy radiany

bull steradiana na oznaczenie kąta bryłowego [sr] Kąt pełny wynosi 4π sr

ROZDZIAŁ 1

Strona 14141414

13 Miano jednostek wielkości pochodnych

Tabela 11 Jednostki wielkości pochodnych układu SI Według rozporządzenia Rady Ministroacutew z dnia 30 listopada 2006r w sprawie legalnych jednostek miar

Wszystkie wielkości fizyczne mogą być opisane za pomocą jednostek wielkości podstawowych Dla wygody i prostoty zapisu wprowadzone zostały jednak jednostki wielkości pochodnych Przykładowo opisując siły działające w wybranym układzie moglibyśmy za każdym razem podawać jednostkę siły jako kg ms2 ale prościej i wygodniej jest ozna-czyć tę jednostkę symbolem N (1 Newton) W Tabeli 1 przedstawione są definicje przykładowych jednostek wielkości pochodnych tzw mian wielkości pochodnych

CZYM JEST FIZYKA WIELKOŚCI FIZYCZNE JEDNOSTKI I WZORCE

Strona 15151515

14 Rachunek mian operacje na jednostkach wielkości fizycznych

Wielkości skalarne i wektorowe

Wielkości fizyczne dzielimy na skalary i wektory Wielkości skalarne mają jedynie wartość Przykładem takich wielkości są energia masa czas czy ładunek elektryczny Wielkości wektorowe oproacutecz wartości (modułu) posiadają roacutewnież kierunek i zwrot Przykładem mogą być tutaj siła prędkość czy pęd W układzie wspoacutełrzędnych wektor opisuje-my podając jego składowe czyli rzuty tego wektora na osie układu

wspoacutełrzędnych Przykładowo ( ) k4j2i3324rrrr

++==v oznacza wek-

tor prędkości o składowych 3x =v ndash w kierunku x czyli wzdłuż werso-

ra ir

(wektora jednostkowego) 2v y = ndash w kierunku y wzdłuż wersora

jr

4z =v w kierunku z wzdłuż wersora kr

Działania na wektorach

Podstawowe działania na wektorach jakie będziemy wykorzystywać to dodawanie odejmowanie i mnożenie

Mnożenie

W wyniku mnożenia wektora br

przez skalar bcarr

= otrzymujemy

wektor ar

ktoacuterego kierunek jest zgodny z kierunkiem wektora br

zaś jego długość jest iloczynem długości wektora b oraz wielkości skalarnej

c bca = W przypadku gdy c lt 0 to zwrot wektora ar

jest przeciwny

niż br

To samo działanie możemy wykonać na składowych wektora

Przykładowo jeśli wektor ( )135b =r

wymnożymy skalarnie przez 3 otrzymujemy

( )391553k33j13ib3a =sdot+sdot+sdot==rrrrr

ROZDZIAŁ 1

Strona 16161616

Rysunek 11 Dodawanie wektoroacutew na płaszczyźnie a) i mnożenie wektorowe wektoroacutew b)

Dodawanie i odejmowanie wektoroacutew

Dodawanie wektoroacutew można przeprowadzić graficznie (rysunek 11) lub przez dodanie składowych określających wektory w wybranym układzie wspoacutełrzędnych Suma dwoacutech wektoroacutew jest roacutewnież wektorem Podob-nie jak poprzednio działanie dodawania można wykonać roacutewnież na składowych wektoroacutew Przykładowo dodając do siebie wektory

( )102a minus=r

( )135b =r

i ( )230c minus=r

otrzymujemy wektor

[ ] [ ] [ ] ( )184051k332j210id minus=++minus++++minus+=rrrr

Odejmowanie wektoroacutew przeprowadzamy podobnie ndash jeśli wykonujemy

operację barr

minus to do wektora ar

dodajemy wektor br

minus czyli wektor

o identycznej długości i kierunku co br

ale o przeciwnym zwrocie

Odejmowanie nie jest przemienne tzn działanie abrr

minus daje wektor

o przeciwnym zwrocie niż działanie barr

minus Przykładowo odejmując od

wektora ( )102a minus=r

wektor ( )135b =r

otrzymujemy wektor

( )611c minusminusminus=r

a wykonując działanie abrr

minus otrzymujemy wektor

( )116c =r

Iloczyn skalarny wektoroacutew

Iloczyn skalarny bacrr

sdot= jest iloczynem długości wektora ar

oraz rzutu

wektora br

na wektor ar

Iloczyn skalarny możemy zapisać inaczej jako

CZYM JEST FIZYKA WIELKOŚCI FIZYCZNE JEDNOSTKI I WZORCE

Strona 17171717

αcosbabac =sdot=rr

(12)

gdzie α jest kątem między wektorami ar

i br

Przykładem mnożenia skalarnego jest praca będąca iloczynem przesunięcia oraz rzutu siły wywołującej przesunięcie na kierunek tego przesunięcia Iloczyn skalar-ny uzyskuje maksymalną wartość gdy wektory są do siebie roacutewnoległe natomiast dla wektoroacutew prostopadłych wartość iloczynu skalarnego roacutewna jest zeru

Iloczyn wektorowy wektoroacutew

Wynikiem iloczynu wektorowego dwoacutech wektoroacutew ( bacrrr

times= ) jest wektor Długość tego wektora możemy obliczyć ze wzoru

αsinabc = (13)

gdzie α jest kątem między wektorami ar

i br

Kierunek tego wektora jest

prostopadły do płaszczyzny w ktoacuterej leżą wektory ar

oraz br

Zwrot

wektora cr

określa reguła śruby prawoskrętnej ndash jeśli będziemy kręcić

śrubą od wektora ar

do wektora br

po najmniejszym kącie to kierunek ruchu postępowego śruby wyznacza zwrot wektora będącego iloczynem

wektorowym bacrrr

times= Przykładem iloczynu wektorowego jest moment

siły FrMrrr

times= ndash mnożąc wektorowo wektor rr

określający położenie

punktu zaczepienia siły względem osi obrotu oraz wektor siły Fr

otrzy-

mujemy wektor momentu siły Mr

prostopadły do płaszczyzny w ktoacuterej oba wektory się znajdują

Iloczyn wektorowy uzyskuje wartość maksymalną gdy wektory ar

i br

są do siebie prostopadłe (α = π2) Gdy wektory są roacutewnoległe (α = 0) ich iloczyn wektorowy jest roacutewny zeru

Mnożenie wektorowe nie jest przemienne ndash w wyniku mnożenia wekto-

rowego abrr

times dostaniemy wektor o identycznej wartości i kierunku co

barr

times ale o przeciwnym zwrocie

Algebraicznie iloczyn dwoacutech wektoroacutew możemy przedstawić w postaci macierzy

ROZDZIAŁ 1

Strona 18181818

zyx

zyx

bbb

aaa

kji

ba

rrr

rr=times (14)

Po przekształceniach otrzymujemy

[ ]xyyxxzzxyzzy bababababababa minus+minusminus=timesrr

(15)

Rzuty wektoroacutew

Rozkładanie wektoroacutew na składowe czyli rzutowanie wektora na wybra-ne osie jest procedurą odwrotną do dodawania wektoroacutew pozwalającą wyznaczyć składowe wektora w wybranych kierunkach

Jeżeli rozpatrzymy wektor ar

na płaszczyźnie dwuwymiarowej tworzący kąt α z wyroacuteżnioną prostą składowa roacutewnoległa do tej prostej wynosi αcosaa =II (dla α = 0 wartość tej składowej wynosi aa =II

a dla α = π2 wynosi 0a =II ) zaś składowa prostopadła αsinaa =perp

Przykład

Rozłoacuteż siłę grawitacji działającą na ciało znajdujące się na powierzchni roacutewni o kącie nachylenia α na składową prostopadłą i roacutewnoległą do powierzchni roacutewni

Siła ciężkości ( mgFc = ) skierowana pionowo w doacuteł może być składo-

wą roacutewnoległą i prostopadłą do roacutewni (Rysunek 12) Ze względu na podobieństwo troacutejkątoacutew kąt α tworzący roacutewnię będzie roacutewnież występo-wał między siłą ciężkości i jej składowymi Składowa siły ciężkości roacutewnoległa do powierzchni roacutewni (siła ściągająca ciało) wynosi więc

αsinmgFII = a składowa prostopadła będąca siłą nacisku ciała na

roacutewnię αcosmgF =perp

CZYM JEST FIZYKA WIELKOŚCI FIZYCZNE JEDNOSTKI I WZORCE

Strona 19191919

Rysunek 12 Rozłożenie siły ciężkości działającej na ciało

na powierzchni roacutewni na składowe

ROZDZIAŁ 1

Strona 20202020

2 Opis ruchu

W tym rozdziale

o Układ odniesienia i układ wspoacutełrzędnych o Przemieszczenie i droga o Prędkość o Przyspieszenie

ROZDZIAŁ 2

Strona 22222222

21 Układ odniesienia i układ wspoacutełrzędnych

Opisując położenie obiektu musimy określić układ odniesienia czyli po-wiedzieć względem jakiego punktu będziemy opisywać położenie tego obiektu Na przykład opisując położenie samochodu zaparkowanego na ulicy między dwoma skrzyżowaniami przyjmujemy środek jednego ze skrzyżowań jako układ odniesienia Poza precyzyjnym określeniem względem jakiego punktu będziemy opisywać położenie samochodu istotne jest roacutewnież zdefiniowanie układu wspoacutełrzędnych W zależności od tego w ktoacuterą stronę będziemy zwroacuteceni stojąc na skrzyżowaniu nasz samochoacuted może być przed lub za nami z prawej lub lewej strony Po zdefiniowaniu okładu odniesienia oraz układu wspoacutełrzędnych położenie obiektu określamy podając jego odległość od osi układu wspoacutełrzędnych Rozpatrzmy samochoacuted zaparkowany na ulicy stojący w odległości 20m od skrzyżowania Samochoacuted jest obiektem przestrzennym ale w przy-padku gdy nie interesuje nas jak jest on zaparkowany (roacutewnolegle czy prostopadle) możemy zastąpić go punktem materialnym znajdującym się w środku samochodu o masie roacutewnej masie całego samochodu Jeśli interesuje nas jedynie odległość miejsca zaparkowania od skrzyżowania mierzona wzdłuż ulicy (rysunek 21 a) wybrany układ odniesienia ma tylko jeden wymiar ( x ) Jeżeli za początek układu przyjmiemy środek skrzyżowania woacutewczas położenie samochodu można opisać r = 20

Załoacuteżmy teraz że chcemy dokładniej opisać położenie samochodu (środ-ka masy samochodu) ndash będzie nas interesować nie tylko odległość mie-rzona wzdłuż ulicy ale roacutewnież położenie względem środka ulicy (czy samochoacuted zaparkowany jest tuż przy krawężniku czy na środku jezdni) W takim przypadku wprowadzimy dwuwymiarowy układ wspoacutełrzęd-nych Jeżeli przyjmiemy szerokość jezdni roacutewną 4m oraz ponownie za początek układu wspoacutełrzędnych przyjmiemy środek skrzyżowania to środek samochodu zaparkowanego przy chodniku będzie się znajdował w odległości 3m od osi jezdni (rysunek 21a) Wspoacutełrzędne zaparkowa-nego samochodu wynoszą więc x = 20 i y = minus3 a jego położenie możemy

opisać wektorem 3)(20minus=rr

Gdybyśmy natomiast chcieli opisać położenie środka masy samochodu z uwzględnieniem wysokości względem drogi potrzebna będzie trzecia wspoacutełrzędna z i troacutejwymiarowy układ wspoacutełrzędnych Przyjmując po-

OPIS RUCHU

Strona 23232323

nownie za początek układu wspoacutełrzędnych środek skrzyżowania zakła-dając że ulica jest pozioma oraz że środek masy samochodu znajduje się poacuteł metra nawierzchnią ulicy otrzymujemy wektor położenia środka ma-sy samochodu 305)(20r minus=

r

Rysunek 21 Opis położenia samochodu

a) z lewej ndash w układzie kartezjańskim dwuwymiarowym b) z prawej ndash w układzie biegunowym dwuwymiarowym

Warto zauważyć że zdefiniowany w powyższym przykładzie układ wspoacutełrzędnych jest układem prostokątnym (osie są wzajemnie prostopa-dłe) Taki układ nazywany jest roacutewnież układem kartezjańskim W pew-nych przypadkach znacznie wygodniejszy niż układ kartezjański jest tzw układ biegunowy W układzie tym położenie obiektu wyznacza wspoacutełrzędna radialna r oraz kąt α pod jakim widać obiekt względem wyroacuteżnionego kierunku Gdyby samochoacuted został zaparkowany w dziel-nicy o gwiaździstym układzie ulic (w Warszawie przykładem takiej za-budowy są Stary Żoliborz czy okolice gmachu głoacutewnego Politechniki Warszawskiej) jego położenie można by określić podając odległość od środka ronda oraz kąt (rysunek 21 b)

22 Przemieszczenie i droga

Przemieszczenie obiektu r∆r

definiujemy jako zmianę jego położenia czyli roacuteżnicę wektora opisującego położenie końcowe kr

r oraz początko-

we prr

obiektu

pk rrr∆rrr

minus= (21)

ROZDZIAŁ 2

Strona 24242424

Widzimy że tak zdefiniowany wektor zależy jedynie od początkowego i końcowego położenia ciała a nie od toru wzdłuż ktoacuterego ciało się poru-sza Wektor przemieszczenia nie określa toru po jakim ciało się prze-mieszcza z położenia początkowego do końcowego Dlatego w opisie ruchu ciała często wyznaczamy drogę przebytą przez ciało oznaczaną symbolem s ktoacutera jest roacutewna długości toru po ktoacuterym ciało się porusza W odroacuteżnieniu od wektora przemieszczenia droga jest wielkością skalarną

23 Prędkość

Kolejnym parametrem określającym stan ruchu ciała jest jego pręd-

kość vr

Prędkość średnią obiektu można zdefiniować na dwa sposoby

Prędkość średnią definiujemy jako przemieszczenie obiektu ktoacutere nastąpiło na jednostkę czasu

∆t

r∆r

r=v (22)

Tak wyrażona wielkość jest wektorem i zawiera informację o kierunku ruchu obiektu Warto jednak zauważyć że jeśli ruch nie odbywa się wzdłuż prostej wartość wektora średniej prędkości będzie znacznie od-biegać od rzeczywistej prędkości obiektu

Prędkość średnią można roacutewnież definiować za pomocą drogi pokonanej przez ciało w określonym czasie

∆t

∆s=v (23)

Wyliczona w ten sposoacuteb średnia prędkość obiektu jest skalarem i dobrze oddaje wartość średniej prędkości obiektu zaroacutewno w przypadku ruchu prostoliniowego jak i krzywoliniowego Nie zawiera jednak informacji o kierunku ruchu

Dobrym przykładem pozwalającym zrozumieć definicję prędkości jest ruch windy w pionowym szybie Załoacuteżmy że winda potrzebowała n sekund żeby przemieścić się z parteru na wysokość x [m] Dla wygody początek układu wspoacutełrzędnych umieścimy na wysokości roacutewnej

OPIS RUCHU

Strona 25252525

wysokości środka masy windy a zwrot osi ndash oznaczonej jako x minus skierujemy do goacutery W takim przypadku długość wektora przemieszcze-nia jest roacutewna przebytej przez ciało drodze i niezależnie od wyboru jednej z dwu powyższych definicji otrzymamy identyczną wartość prędkości

t

xv

∆

∆= (24)

Rysunek 22 Wyznaczanie średniej prędkości ciała

Na rysunku 22 przedstawiony został wykres położenia ciała w funkcji czasu Wyznaczając średnią prędkość ruchu tego ciała rysujemy cięciwę łączącą punkt początkowy oraz końcowy na tym wykresie a następnie wyznaczamy kąt nachylenia tej cięciwy Tangens tego kąta nachylenia roacutewny będzie co do wartości stosunkowi długości odcinkoacutew ∆x oraz ∆t i definiuje średnią prędkość ciała

Tak uzyskana wartość prędkości średniej nie zawiera jednak pełnej in-formacji o prędkości windy ndash początkowo winda znajduje się w spo-czynku następnie jej prędkość się zwiększa na odcinku między piętrami pozostaje stała a na najwyższym piętrze prędkość zmniejsza się aż do zatrzymania windy Pełniejsze dane dotyczące prędkości w poszcze-goacutelnych stadiach ruchu możemy otrzymać dzieląc wykres na mniejsze odcinki W ten sposoacuteb wyliczamy średnią prędkość windy w czasie ru-szania z miejsca średnią prędkość windy pomiędzy piętrami i średnią prędkość w trakcie hamowania Podobnie jak poprzednio wartość śred-niej prędkości wyliczonej dla danego odcinka jest roacutewna tangensowi kąta nachylenia krzywej wyliczonemu dla danego odcinka Warto zwroacute-

ROZDZIAŁ 2

Strona 26262626

cić uwagę że dla odcinka między piętrami gdzie prędkość jest stała ob-liczona średnia prędkość jest roacutewna rzeczywistej prędkości windy

Zgodnie z roacutewnaniem 23 wyznaczając prędkość średnią ciała rozpatru-jemy drogę ∆s jaką ciało to pokona w czasie ∆t Jeżeli rozpatrywane odstępy czasowe będą nieskończenie kroacutetkie czyli ∆trarr0 co oznaczamy symbolem dt woacutewczas wyznaczona w ten sposoacuteb prędkość będzie prędkością chwilową ciała Dla takich infinitezymalnych przedziałoacutew czasowych wartość przemieszczenia ciała oraz droga przebyta przez to ciało są sobie roacutewne a prędkość chwilową możemy zdefiniować

d

dlim

0 t

r

t

rv

t

rrr

=∆

∆=

rarr∆ (25)

Ze wzoru 25 wynika że prędkość chwilowa jest roacutewna pochodnej wek-tora położenia po czasie liczonej dla danej chwili Geometryczna inter-pretacja pochodnej to tangens kąta nachylenia stycznej do wykresu w danym punkcie Tak więc żeby wyznaczyć prędkość chwilową należy na wykresie drogi przebytej w funkcji czasu narysować styczną do tej krzywej w interesującym nas punkcie Im szybciej będzie się zmieniało położenie ciała tym bardziej stromy będzie wykres położenia w funkcji czasu i w efekcie większa wartość prędkości chwilowej

24 Przyspieszenie

Przyspieszenie chwilowe ciała definiujemy jako pochodną prędkości po czasie Przyspieszenie opisuje więc tempo zmian prędkości w danej chwili ruchu i wyraża się w ms2

2

2

d

d

d

) ddd(

d

)(d

t

s

t

ts

t

tva === (26)

Podobnie jak w przypadku prędkości chwilowej przyspieszenie chwilo-we jest roacutewne tangensowi kąta nachylenia krzywej określającej zależ-ność prędkości od czasu obliczonemu dla danej chwili ruchu Przeanali-zujmy jeszcze raz omawiany wcześniej ruch windy wykreślając zależ-ność prędkości windy od czasu Kiedy winda rusza z miejsca i jej prędkość jednostajnie narasta to styczna do tej krzywej będzie taka sama w każdym punkcie a więc otrzymujemy stałą dodatnią wartość przy-spieszenia Na odcinku pomiędzy piętrami wartość prędkości windy nie

OPIS RUCHU

Strona 27272727

zmienia się a więc kąt nachylenia krzywej prędkości względem osi czasu wynosi zero ndash wartość przyspieszenia jest roacutewnież zerowa Kiedy winda hamuje wykres prędkości od czasu jest liniowy a jego nachylenie przyjmuje wartość ujemną ndash zatem i przyspieszenie jest ujemne (opoacuteźnienie)

Wykresy przyśpieszenia prędkości oraz położenia od czasu dla oma-wianej windy przedstawione są na rysunku 23 Droga przebyta przez windę w początkowym etapie ruchu jest proporcjonalna do kwadratu czasu i może być wyrażona zależnością typu s = kt

2 gdzie k wyraża pewien stały wspoacutełczynnik Pochodna takiej funkcji jest funkcją liniową co oznacza że prędkość windy rośnie liniowo w funkcji czasu Podczas jednostajnego hamowania droga pokonywana przez windę roacutewnież będzie opisana funkcją kwadratową jednak w tym przypadku długość odcinkoacutew pokonywanych przez nią w jednostce czasu będzie malała z kwadratem czasu W tym etapie ruchu prędkość roacutewnież będzie się zmieniała liniowo ale tym razem prędkość będzie malała jednostajnie w czasie Pomiędzy piętrami nachylenie krzywej zależności drogi od czasu jest wielkością stałą w każdej chwili czasu ndash zatem roacutewnież prędkość jest stała

ROZDZIAŁ 2

Strona 28282828

Rysunek 23 Wykres zależności czasowej położenia prędkości

i przyśpieszenia poruszającej się w goacuterę windy

Warto poroacutewnać otrzymane zależności ze znanymi wzorami opisującymi ruch jednostajny i jednostajnie przyspieszony W ruchu prostoliniowym jednostajnie przyspieszonym przyspieszenie a ma wartość stałą ndash prędkość wyraża się wzorem

atvv += 0 (27)

gdzie 0v ndash prędkość początkowa obiektu

Pokonana przez ciało droga s wyraża się natomiast wzorem

2

2

00

attvss ++= (28)

OPIS RUCHU

Strona 29292929

gdzie s0 oznacza drogę początkową Jak łatwo zauważyć wielkości te są ze sobą powiązane zależnościami roacuteżniczkowymi ndash obliczając pochodną drogi po czasie otrzymujemy prędkość a obliczając z kolei pochodną prędkości otrzymujemy przyspieszenie ktoacutere jest stałe

ROZDZIAŁ 2

Strona 30303030

3 Dynamika

W tym rozdziale

o Zasady dynamiki Newtona o Zasada superpozycji o Zasada zachowania pędu

ROZDZIAŁ 3

Strona 32323232

31 Zasady dynamiki Newtona

Dynamika zajmuje się przyczynami zmian ruchu Ilość tego ruchu lub też stan ruchu danego ciała opisuje pęd Pęd ciała jest proporcjonalny zaroacutewno do prędkości poruszającego się ciała jak i jego masy ndash im szybciej ciało się porusza oraz im większą ma masę tym większa ilość ruchu związana jest z tym ciałem czyli tym większy jest jego pęd Jednostką pędu jest kg ms Pęd jest wektorem skierowanym zgodnie z kierunkiem prędkości ciała

vrr

mp = (31)

Dynamikę ruchu ciała czyli przyczyny zmian pędu ciała wyjaśniają zasady dynamiki Newtona Zasady dynamiki Newtona są prawami pierwszymi ktoacuterych nie można wyprowadzić ani udowodnić za pomocą innych praw Zasady dynamiki Newtona są ścisłym matematycznym ujęciem powszechnych obserwacji dotyczących poruszających się obiektoacutew

Druga zasada dynamiki Newtona

Nasze rozważania rozpoczniemy od II zasady dynamiki Newtona

Wyobraźmy sobie że chcemy rozpędzić ciężki woacutezek Z codziennych doświadczeń wynika że taki sam efekt możemy osiągnąć w wyniku kroacutetkotrwałego ale bardzo mocnego pchnięcia jak i długotrwałego popy-chania woacutezka z niewielką siłą Można roacutewnież powiedzieć że im więk-sza jest wartość siły działającej na ciało oraz im dłużej ona działa czyli im większy jest popęd tej siły tym większą zmianę pędu ona wywoła Zależność tę możemy zapisać w postaci

tF dpdvr

= (32)

Powyższy wzoacuter można przekształcić i zapisać w postaci roacuteżniczkowej (dla infinitezymalnie kroacutetkiego przedziału czasowego dt )

t

pF

d

dr

r= (33)

DYNAMIKA

Strona 33333333

Miarą siły działającej na ciało jest pochodna jego pędu po czasie

Powyższe sformułowanie oraz roacutewnanie 33 jest wspoacutełczesnym zapisem II zasady dynamiki Newtona

Definicja siły za pomocą pochodnej pędu ciała po czasie oznacza że jeżeli wykreślimy zależność pędu ciała od czasu to nachylenie stycznej do krzywej obrazującej zmiany wartości pędu od czasu będzie propor-cjonalne do wartości siły działającej na ciało

Żeby dokładniej zrozumieć znaczenie II zasady dynamiki Newtona wy-liczmy teraz wartość pochodnej pędu po czasie pamiętając że pęd jest wielkością złożoną tzn zależy zaroacutewno od masy jak i prędkości ciała

( )

vt

mm

t

v

t

mvF

d

d

d

d

d

d+== (34)

Powyższe roacutewnanie jest tzw roacuteżniczkowym roacutewnaniem ruchu ciała Pierwszy człon tego roacutewnania jest roacutewny iloczynowi masy i przyśpiesze-nia (pochodna prędkości po czasie) Widzimy zatem że im większa jest masa ciała tym trudniej jest mu nadać przyśpieszenie ndash masa jest miarą bezwładności ciała Drugi człon roacutewnania opisuje przypadki kiedy zmiana pędu następuje w wyniku zmiany masy ciała Przykładem takiego układu w ktoacuterym zmienia się masa może być rakieta Podczas startu z dysz rakiety wyrzucany jest strumień spalin ktoacutery wywołuje jej ruch ale roacutewnież zmniejsza masę całego obiektu Dla układoacutew ktoacuterych masa nie zmienia się drugi człon roacutewnania 34 wynosi zero i roacuteżniczko-we roacutewnanie ruchu można zapisać w postaci uproszczonej ndash siła F działająca na ciało o masie m nadaje mu przyspieszenie a o kierunku i zwrocie takim samym jak działająca siła

amFrr

= (35)

Pierwsza zasada dynamiki Newtona

Rozpatrzmy teraz przypadek kiedy pęd ciała jest stały czyli jego pręd-kość nie zmienia się w czasie Woacutewczas wykres zależności pędu od czasu jest linią poziomą czyli kąt nachylenia tej krzywej i zarazem tangens kąta stycznej do tej krzywej jest w każdym punkcie taki sam i wynosi zero Oznacza to że pochodna pędu po czasie w każdej chwili ruchu roacutewnież wynosi zero Zgodnie z II zasadą dynamiki Newtona

ROZDZIAŁ 3

Strona 34343434

jeżeli pochodna pędu po czasie wynosi zero to wypadkowa siła działająca na ciało roacutewnież musi wynosić zero Ten przypadek zachowa-nia się ciała pod wpływem zerowej wypadkowej siły opisuje I zasada

dynamiki Newtona

Jeżeli na ciało nie działa żadna siła albo siły działające roacutewno-ważą się to stan ruchu ciała nie ulega zmianie jeśli poruszało się prostoliniowo jednostajnie to będzie nadal trwało w tym ru-chu a jeśli było w spoczynku to nadal pozostaje w spoczynku

Zasada ta nazywana jest roacutewnież zasadą bezwładności ndash ciało nie jest władne zmienić stanu swego ruchu jeżeli nie działa na nie siła

Trzecia zasada dynamiki Newtona

Względem każdego działania (akcji) istnieje roacutewne mu przeciw-działanie (reakcja) skierowane przeciwnie tj wzajemne od-działywania dwoacutech ciał są zawsze roacutewne sobie i skierowane przeciwnie

Zgodnie z III zasadą dynamiki Newtona jeżeli jakieś ciało A działa na ciało B pewną siłą to roacutewnież ciało B działa na ciało A siłą roacutewną co do wartości ale o przeciwnym zwrocie co zapisujemy

A na BB naA FFrr

minus= (36)

Rozpatrzmy uderzenie ręką piłki siatkowej W momencie uderzenia działamy na piłkę siłą ktoacutera wywołuje jej ruch ale zgodnie z III zasadą dynamiki Newtona roacutewnież piłka działa na naszą dłoń z tą samą siłą lecz o przeciwnym zwrocie Gdy odbijamy piłkę lekko czyli działamy na nią niewielką siłą roacutewnież siła reakcji ma niewielką wartość ale przy moc-nym uderzeniu czyli gdy działamy na piłkę z dużą siłą występuje roacutewnie duża siła reakcji ktoacuterą odczuwamy jako ucisk czy nawet boacutel dłoni

Zasada superpozycji

Opisując ruch ciał pod wpływem działających na nie sił należy pamiętać że zaroacutewno siła jak i pęd są wektorami Szukając więc siły wypadkowej z kilku sił składowych działających na ciało należy dodać wektorowo wszystkie siły składowe Zmiana pędu będzie następowała w tym samym kierunku co ta wypadkowa siła W przypadku gdy roacuteżniczkowe

DYNAMIKA

Strona 35353535

roacutewnania ruchu dla każdego z kierunkoacutew w ktoacuterych działają siły składowe są liniowe możemy skorzystać z zasady superpozycji Zgod-nie z zasadą superpozycji wypadkowe zachowanie ciała pod wpływem kilku składowych sił może być opisane jako złożenie ruchoacutew wywoła-nych każdą z sił z osobna

Zasadę superpozycji wykorzystamy do opisu ruchu ciała rzuconego z prędkością początkową v0 pod pewnym kątem α względem powierz-chni Ziemi (rzut ukośny) Jeżeli chwilowo zaniedbamy opory powietrza to na takie ciało będzie działała tylko siła grawitacji skierowana wzdłuż osi pionowej ( y ) A więc tylko w kierunku pionowym będziemy obser-wowali zmianę ruchu (zmianę pędu) ciała W kierunku poziomym x natomiast na ciało nie działa żadna siła a więc pęd się nie zmienia i ruch jest jednostajny Wypadkowy ruch ciała rzuconego ukośnie jest więc złożeniem ruchu jednostajnie przyspieszonego w kierunku pionowym (pod wpływem przyspieszenia g) oraz jednostajnego w kierunku pozio-mym i może być opisany krzywą paraboliczną

32 Zasada zachowania pędu

Rozpatrzmy układ odosobniony w ktoacuterym na ciała nie oddziałują żadne siły zewnętrzne a jedynie siły wzajemnych oddziaływań Zgodnie z III zasadą dynamiki Newtona takie siły wzajemnych oddziaływań między każdymi dwoma ciałami układu są identyczne co do wartości lecz mają przeciwne zwroty Wypadkowa siła działająca na cały układ jest woacutewczas zerowa a więc zgodnie z I zasadą dynamiki Newtona całkowity pęd układu nie zmienia się w czasie Oznacza to że jeżeli w takim układzie odosobnionym nastąpi zmiana pędu jednego ciała o ∆p to pęd drugiego ciała (lub pozostałych ciał) musi roacutewnież ulec zmianie o taką samą wartość lecz o przeciwnym zwrocie (-∆p) W ten sposoacuteb dochodzimy do zasady zachowania pędu ktoacutera może być zapisana w następujący sposoacuteb

W układzie odosobnionym całkowity pęd układu (suma pędoacutew wszystkich ciał) jest wielkością stałą

0p∆

constppi

i

=

==sumr

rr

(37)

ROZDZIAŁ 3

Strona 36363636

Ponieważ pęd jest wielkością wektorową w przypadku zdarzeń opisywa-nych w więcej niż jednym wymiarze zasada zachowania pędu jest speł-niona niezależnie dla każdego z kierunkoacutew W troacutejwymiarowym ukła-dzie kartezjańskim zasadę zachowania pędu można więc zapisać

0p∆

0p∆

0p∆

z

y

x

=

=

=

(38)

Przykład 1

Zastosujmy najpierw zasadę zachowania pędu dla przykładu jednowy-miarowego Rozpatrzmy nieruchomy pocisk o masie m ktoacutery w wyniku wybuchu ulega rozerwaniu na dwie części o masach 13m oraz 23m Większa część porusza się w prawo z prędkością 0v Z jaką prędkością

i w ktoacuterą stronę poruszać się będzie mniejsza część pocisku

Ponieważ układ jest odosobniony to zgodnie z zasadą zachowania pędu całkowity pęd układu nie ulega zmianie Czyli jeżeli pęd układu przed wystrzałem wynosił zero (pocisk był nieruchomy) to roacutewnież pęd koń-cowy będący sumą pędoacutew obu części pocisku będzie roacutewny zeru Zasadę zachowania pędu w tym przypadku możemy zapisać

vmvm 31

0320 += (39)

02vv minus= (310)

Znak minus w powyższym wyniku oznacza że wektor prędkości mniej-szej części pocisku ma zwrot przeciwny do wektora prędkości większej części pocisku

DYNAMIKA

Strona 37373737

Rysunek 31 Zderzenie dwoacutech kul

Przykład 2

Zastosujmy teraz zasadę zachowania pędu dla układu dwuwymiarowego Rozważmy zderzenie dwoacutech identycznych kul bilardowych o masie m każda W chwili początkowej kula B jest nieruchoma i uderza w nią kula

A poruszająca się wzdłuż osi x z prędkością 0v W jakim kierunku i z jaką prędkością będzie się poruszała po zderzeniu kula B jeżeli po zderzeniu kula A porusza się z prędkością 0 05 v wzdłuż osi y jak na

rysunku 31

Podobnie jak w poprzednim przykładzie zakładamy że rozważany układ jest układem odosobnionym a więc całkowity pęd układu dwoacutech kul przed i po zderzeniu jest taki sam W szczegoacutelności składowe pędu całkowitego układu w kierunku każdej z osi układu odniesienia roacutewnież nie zmieniają się Przed zderzeniem w kierunku osi x całkowity pęd układu był roacutewny pędowi kuli A (tylko kula A porusza się w kierunku x a kula B jest nieruchoma) natomiast po zderzeniu tylko prędkość kuli B ma pewną składową wzdłuż osi x a więc po zderzeniu pęd całkowity układu w kierunku osi x jest roacutewny składowej pędu kuli B Zasadę zachowania pędu dla kierunku x możemy zatem zapisać

BXB0A

xkoncowy x poczatkowy

mm

pp

vv =

= (311)

ROZDZIAŁ 3

Strona 38383838

W kierunku osi y pęd początkowy układu wynosi zero (żadna z kul nie porusza się wzdłuż osi y) zaś pęd końcowy związany jest z kulą A poruszającą się w goacuterę w kierunku osi y oraz kulą B ktoacuterej prędkość ma składową o zwrocie przeciwnym niż oś y (składowa w doacuteł) Zasadę zachowania pędu dla kierunku y możemy więc zapisać

ByBAyA

ykoncowy y poczatkowy

mm0

pp

vv minus=

= (312)

Uwzględniając αcosBBx vv = αsinBBy vv = 0Ay 05 vv = oraz

przyjmując mmm BA == układ roacutewnań 311 oraz 312 możemy przekształcić do postaci

=sdot

sdot=

α

α

sinm05m

cosmm

B0

B0

vv

vv (313)

a następnie wyznaczyć prędkość kuli B oraz kąt pod jakim poruszać się będzie kula B

==

=

4tg

22

21

0B

παα

vv (314)

Kula B poruszać się więc będzie z prędkością 22

0B vv = w prawo

i w doacuteł pod kątem π4 względem osi x

Zasada zachowania pędu jest wykorzystywana i pozwala wyjaśnić dzia-łanie między innymi silnikoacutew odrzutowych samolotoacutew czy strumienio-wych łodzi W silniku odrzutowym powietrze jest najpierw zasysane do komory silnika w ktoacuterej ulega kompresji W skompresowanym powie-trzu następuje spalanie benzyny a gorące spaliny opuszczają dyszę silni-ka z dużą prędkością Pęd wyrzucanych spalin wywołuje w tym przypad-ku zmianę pędu silnika a przez to całego samolotu Konstrukcje innego typu wykorzystujące strumień rozpędzonych jonoacutew (naładowanych czą-stek) używane są do pozycjonowania satelitoacutew i sond kosmicznych Silniki oparte na zasadzie odrzutu wykorzystywane są roacutewnież w napę-dzie skuteroacutew wodnych i nowoczesnych łodzi podwodnych W tym drugim przypadku hałas wytwarzany przez układ napędowy jest niższy niż w tradycyjnym rozwiązaniu ze śrubą napędową Należy pamiętać że

DYNAMIKA

Strona 39393939

roacutewnież w przypadku śrub śmigieł i wirnikoacutew napędowych wykorzystu-jemy w mniejszym lub większym stopniu zjawisko odrzutu

ROZDZIAŁ 3

Strona 40404040

4 Praca i energia

W tym rozdziale

o Praca o Pole sił zachowawczych i niezachowawczych o Pole sił grawitacyjnych praca i energia w polu sił

grawitacyjnych o Ruch po okręgu ruch planet wokoacuteł Słońca prawa

Keplera o Energia potencjalna sprężystości o Energia kinetyczna o Zasada zachowania energii mechanicznej o Zderzenia

ROZDZIAŁ 4

Strona 42424242

41 Praca

W języku potocznym pojęcie pracy ma wiele znaczeń Moacutewimy o pracy umysłowej (na przykład uczenie się do egzaminoacutew) ale najczęściej z po-jęciem pracy wiąże się przemieszczaniem ciała Jeżeli na przykład prze-suwamy meble w pokoju to tym bardziej się zmęczymy im dalej przesu-niemy dany mebel Wiemy roacutewnież że bardziej męczące jest przesuwa-nie ciężkiej kanapy niż lekkiego krzesła oraz że dużo łatwiej jest przesu-wać meble po gładkiej podłodze niż po dywanie Tak więc moglibyśmy powiedzieć że tym bardziej się zmęczymy (wykonamy większą pracę) im trudniej jest nam przesuwać ciało (pokonać większą siłę) oraz im dalej to ciało przesuniemy (większe przemieszczenie) W ten sposoacuteb dochodzimy do fizycznej definicji pracy

Praca jest roacutewna iloczynowi przemieszczenia oraz siły ktoacutera te przemieszczenie wywołuje Praca jest wielkością skalarną wyra-żaną w dżulach (ang Joul) [J] i w ogoacutelności może być zdefinio-wana jako iloczyn skalarny siły i przesunięcia

αcos sFsFW =sdot=rr

(41)

gdzie α oznacza kąt między wektorem siły i przesunięcia

Rysunek 41 Praca jako iloczyn skalarny siły i przesunięcia

Taka definicja pracy uwzględnia fakt że pracę wykonuje tyko składowa siły roacutewnoległa do wektora przesunięcia Na przykład jeśli przesuwamy skrzynię po podłodze na odległość D = 3m ciągnąc ją za uchwyt siłą F = 20N skierowaną pod kątem α = 45ordm do poziomu to zgodnie z po-wyższym wzorem wykonamy pracę W = 423J Zależnie od wartości sił tarcia wykonana praca może być w całości zużyta na pokonanie sił tar-cia na tej drodze bądź (jeśli podłoga jest śliska) na nadanie dodatkowo skrzyni przyspieszenia

PRACA I ENERGIA

Strona 43434343

Definicja pracy przedstawiona w roacutewnaniu (41) słuszna jest jeśli za-roacutewno siła działająca na ciało jak i kąt między tą siłą a przesunięciem mają stałą wartość Jeśli natomiast wartość siły lub kąta pomiędzy kie-runkiem siły a wektorem przemieszczenia zmienia się podczas ruchu musimy zastosować inną procedurę obliczania pracy całkowitej Ponie-waż praca jest wielkością addytywną czyli całkowita praca wykonana na określonej drodze jest roacutewna sumie prac wykonanych na poszczegoacutelnych jej odcinkach to możemy całą drogę podzielić na takie odcinki dla ktoacuterych wartość siły i kąta między siłą a przemieszczeniem są stałe

nnn222111 coscoscos ααα xFxFxFW +++= (42)

Przykładowo praca wykonana przy przesuwaniu kanapy w pokoju mogłaby zostać podzielona na dwie składowe ndash przesunięcia po dywanie oraz po parkiecie

Opisaną procedurę obliczania pracy całkowitej można roacutewnież przedsta-wić w formie graficznej jako procedurę wyznaczania pola pod wykresem

zależności siły od przesunięcia Jeżeli na pewnym odcinku drogi nx siła

ma stałą wartość nF to pole pod takim odcinkiem wykresu wynosi

nn xF i jest roacutewnoznaczne wykonanej pracy

Jeżeli siła zmienia swoją wartość lub zwrot w każdej chwili czasu nie-zbędne jest podzielenie drogi na nieskończenie wiele bardzo małych kawałeczkoacutew (infinitezymalnie małych) dla ktoacuterych można przyjąć stałą wartość działającej siły Praca całkowita będzie sumą składowych prac wyznaczonych dla każdego z takich infinitezymalnych odcinkoacutew Proce-dura taka odpowiada matematycznej operacji całkowania i możemy ją zapisać w postaci

( ) ( )int=

=

=b

a

)( dcos x

x

xxxFW α (43)

lub w zapisie wektorowym

( )int=

=

sdot=b

a

dx

x

xxFWrr

(44)

W powyższym zapisie wprowadziliśmy znak całki oznaczonej ktoacutery oz-nacza że sumowanie składowych wartości pracy przeprowadzane jest od punktu x = a do x = b

ROZDZIAŁ 4

Strona 44444444

Aby wyjaśnić sposoacuteb obliczania całki oznaczonej rozpatrzmy najpierw całkę nieoznaczoną

( ) ( )int= xxfxg d (45)

gdzie int jest symbolem całkowania (jest to stylizowana litera s i odpo-

wiada sumowaniu) dx ndash zmienną całkowania f(x) ndash funkcją podcałkową zaś g(x) jest funkcją pierwotną Operacja całkowania jest operacją odwrotną do roacuteżniczkowania i oznacza że szukamy takiej funkcji g(x) ktoacuterej pochodna po zmiennej x będzie roacutewna funkcji podcałkowej f(x)

)(d

)(dxf

x

xg= (46)

Należy podkreślić że funkcję g(x) będącą wynikiem całkowania znamy z dokładnością do stałej ndash dodanie do funkcji g(x) dowolnej stałej C nie zmienia jej pochodnej f(x) Zatem wzoacuter 45 należy przepisać w postaci

( ) ( )int=+ xxfxg dC (47)

Rozpatrzmy teraz całkę oznaczoną

a)(b)()d(Zb

a

=minus=== int=

=

xgxgxxf

x

x

(48)

gdzie x = a jest dolną granicą całkowania zaś x = b jest goacuterną granicą całkowania

W wyniku obliczania całki oznaczonej w przeciwieństwie do całki nie-oznaczonej otrzymujemy liczbę (Z) a nie funkcję (g(x)) W praktyce w celu wyznaczenia wartości Z takiej całki oznaczonej najpierw znajdu-jemy funkcję g(x) będącą rozwiązaniem całki nieoznaczonej z funkcji f(x) a następnie od wartości tej funkcji w goacuternej granicy całkowania (g(x=b)) odejmujemy wartość otrzymaną w dolnej granicy całkowania (g(x=a))

Przykłady

Przykład 1 Jaką pracę należy wykonać by wciągnąć ciało o masie m po gładkiej roacutewni pochyłej o kącie nachylenia α na wysokość H Opory ruchu zaniedbujemy

PRACA I ENERGIA

Strona 45454545

Rysunek 42 Ruch ciała po roacutewni pochyłej

Załoacuteżmy że działamy na ciało siłą F skierowaną wzdłuż powierzchni roacutewni Ciężar ciała (mg) skierowany pionowo w doacuteł rozkładamy na dwie dwie składowe roacutewnoległą do roacutewni siłę ściągającą ciało w stronę podstawy roacutewni Fs oraz prostopadłą do roacutewni siłę nacisku FN Aby wciągać ciało siła F musi roacutewnoważyć siłę zsuwającą Fs

αsinmgF S = (49)

Droga na ktoacuterej wykonujemy pracę jest roacutewna

αsinHS = (410)

Zatem całkowita praca wynosi

mgHSFW S == (411)

Wynik ten jest identyczny jaki uzyskamy gdybyśmy podnosili ciało pionowo w goacuterę Tak więc jeżeli zaniedbamy opory ruchu praca (w polu grawitacyjnym) nie zależy od drogi po ktoacuterej przesuwamy ciało a jedy-nie od położenia punktu początkowego i końcowego

Przykład 2 Jaką pracę należy wykonać by wciągnąć ciało o masie m po roacutewni pochyłej o kącie nachylenia α na wysokość H jeśli wspoacutełczynnik tarcia kinetycznego o powierzchnię roacutewni wynosi micro

W tym przypadku wciągając przedmiot po roacutewni podobnie jak w po-przednim zadaniu roacutewnież musimy pokonywać siłę ściągającą ciało ku podstawie roacutewni Fs wykonując pracę roacutewną W1 = mgH Ponieważ na roacutewni występuje dodatkowo siła tarcia T do wciągnięcia ciała niezbędna będzie roacutewnież dodatkowa praca Siła tarcia jest proporcjonalna do siły

ROZDZIAŁ 4

Strona 46464646

nacisku ciała na powierzchnię FN (wypadkowa wszystkich sił działają-cych w kierunku prostopadłym do powierzchni) a jej kierunek i zwrot są zawsze przeciwne wektorowi przemieszczenia ndash tarcie przeciwdziała ruchowi ciała

SFT N= (412)

Tak więc praca związana z pokonaniem siły tarcia wynosi

SFSTW N2 micro== (413)

gdzie

αcosmgFN = (414)

Zatem całkowita praca wciągnięcia ciała po roacutewni pochyłej o kącie nachylenia α na wysokość H jest roacutewna

( )α

HαmicroαmgWWW

sincossin21 +=+= (415)

Przykład 3 Jaką pracę należy wykonać by oproacuteżnić przydomowy kolek-tor ściekowy o głębokości D = 2m i objętości V = 6m3 do cysterny Za-roacutewno zbiornik kolektora jak i zbiornik cysterny mają identyczne wy-miary Przyjmij że dno zbiornika cysterny znajduje się na identycznej wysokości jak goacuterna powierzchnia zbiornika kolektora

Rysunek 43 Przepompowywanie wody z kolektora ściekowego

do cysterny

Problem z pozoru wydaje się prosty ndash należy unieść pewną ilość wody na określoną wysokość Zauważamy że praca do wpompowania pierw-

PRACA I ENERGIA

Strona 47474747

szej porcji wody z powierzchni kolektora jest niewielka ndash dno cysterny znajduje się na identycznej wysokości co powierzchnia zbiornika Jed-nak po wpompowaniu do cysterny pierwszej porcji wody wytworzy ona warstwę o wysokości dh zaś poziom płynu w zbiorniku obniży się o dh i następna porcja musi być uniesiona na wysokość odpowiednio większą

Podzielmy rozwiązanie tego zagadnienia na dwa etapy ndash wypompowanie wody ze zbiornika na poziom ziemi (praca W1) oraz wpompowanie wody z poziomu ziemi do cysterny (W2) Będziemy rozpatrywać jednakowe małe porcje wody ndash warstwy o wysokości dh Masę takiej warstwy możemy wyrazić jako dm = Sρdh gdzie ρ jest gęstością wody a S polem przekroju zbiornika (roacutewnież cysterny) a siła użyta do podniesienia każdej takiej porcji wody ma tę samą stałą wartość Praca wykonana na podniesienie tej warstwy na wysokość h wynosi dW = Sρhdh Przy oproacuteżnianiu zbiornika porcję wody początkowo będziemy podnosić na wysokość 0 a na końcu na wysokość D ndash wielkości te będą granicami całkowania przy wyliczaniu pracy W1

2

DMg

2

DSρρhhgρSW

2D

0

1 === int d (416)

gdzie przez M możemy oznaczyć całkowitą masę wody roacutewną M = Vρ Pracę W2 niezbędną do napełnienia cysterny liczymy w identyczny sposoacuteb i otrzymamy tę samą wartość co w przypadku oproacuteżniania zbior-nika (W2 = W1) Całkowita praca wykonana przy przepompowaniu wody ze zbiornika do cysterny wynosi zatem

MgDWWW 1 =+= 2 (417)

Warto zwroacutecić uwagę że identyczny wynik uzyskalibyśmy traktując wodę jako bryłę sztywną o środku masy położonym w połowie wysokoś-ci zbiornika (w praktyce można to osiągnąć np żelując lub zamrażając wodę) ktoacuterą podnosimy na wysokość D Woacutewczas praca wykonana w obu przypadkach ndash czy mamy do czynienia z cieczą czy z bryłą lodu musi być taka sama Z przykładu tego wynika praktyczna wskazoacutewka że zamiast rozpatrywać obiekty rozciągłe przestrzennie możemy zastępo-wać je masą punktową czyli przyjąć że cała masa zgromadzona jest w jednym punkcie znajdującym się w środku ciężkości obiektu

ROZDZIAŁ 4

Strona 48484848

42 Pole sił zachowawczych i niezachowawczych

Jeśli siły są zachowawcze to praca wykonana podczas prze-mieszczenia obiektu nie zależy od drogi po jakiej przesuwamy ciało a jedynie od położenia punktu początkowego oraz końcowego

Rysunek 44 Praca przemieszczenia ciała w polu sił zachowawczych

Rozważmy dwie drogi między punktami A oraz B ndash A1B oraz A2B ndash przedstawione na rysunku 44 Jeżeli praca przemieszczenia ciała z pun-ktu A do punktu B po drodze A1B oraz A2B ma taką samą wartość to punkty A i B znajdują się w polu sił zachowawczych Praca przemiesz-czenia ciała w polu sił zachowawczych zależy tylko od położenia punktu początkowego i końcowego Zatem w przedstawionym przypadku praca wykonana po drodze zamkniętej wynosi zero gdyż położenie końcowe jest tożsame z początkowym Przykładem pola sił zachowawczych jest pole grawitacyjne Jeżeli pewien przedmiot przesuniemy na wierzchołek idealnie gładkiej roacutewni pochyłej wykonamy pewną pracę przeciwsta-wiając się sile grawitacji Przesunięcie tego przedmiotu z powrotem do położenia początkowego u podnoacuteża roacutewni odbywa się pod wpływem siły grawitacji Wykonuje ona nad przedmiotem pracę roacutewną co do wartości pracy wykonanej przez nas Ponieważ w tym przypadku zwrot siły jest przeciwny roacutewnież praca ma przeciwny znak W efekcie całkowita praca na takiej drodze zamkniętej (wsunięcie i zsunięcie po roacutewni pochyłej) jest roacutewna zeru Podobnie zerową całkowitą pracę otrzymamy na przykład dla ruchu wahadła zegara jeżeli zaniedbamy opory powietrza oraz opory mechanizmu Wahadło podnosząc się wykonuje

PRACA I ENERGIA

Strona 49494949

pracę przeciw siłom grawitacji ale podczas obniżania to siły grawitacji wykonują identyczną pracę nad wahadłem

Jeśli ciało znajduje się w polu sił niezachowawczych to praca wykona-na na drodze zamkniętej jest roacuteżna od zera Wszystkie układy w ktoacuterych mamy do czynienia z siłami oporu np siłami tarcia tworzą pole sił niezachowawczych W polu sił niezachowawczych część pracy zazwy-czaj rozpraszana jest w postaci ciepła i niemożliwe jest całkowite jej odzyskanie w postaci pracy mechanicznej

43 Pole sił grawitacyjnych

Siła grawitacji jest siłą przyciągającą działającą między wszystkimi ciałami obdarzonymi masą Wartość siły przyciągania grawitacyjnego zależy od masy oddziałujących ciał m1 i m2 oraz odległości r między nimi

221

r

mmGF = (418)

gdzie r ndash odległość pomiędzy masami G = 66742middot10-11 Nm2kg-2 ndash stała grawitacji

Podkreślając powszechność siły przyciągania grawitacyjnego należy za-znaczyć roacutewnież że wpływ oddziaływań grawitacyjnych pochodzących od niektoacuterych obiektoacutew często może być pominięty Na przykład na jabłko wiszące na drzewie działa nie tylko siła grawitacji pochodząca od Ziemi ale także od drzewa obserwatora stojącego pod drzewem czy in-nych jabłek wiszących powyżej naszego jabłka Ponieważ masa wszyst-kich wymienionych obiektoacutew jest wielokrotnie mniejsza niż masa Ziemi ich wpływ na wartość i zwrot wypadkowej siły grawitacji jest znikomo mały dlatego z bardzo dobrym przybliżeniem możemy zaniedbać te czynniki i rozważać wyłącznie wpływ oddziaływania grawitacyjnego Ziemi Dowodem tego że na obiekty znajdujące się na Ziemi działają roacutewnież siły przyciągania grawitacyjnego Słońca i Księżyca są min pływy morskie

Wroacutećmy do przykładu pola sił grawitacyjnych wytworzonych przez Ziemię Wartość siły grawitacji w takim polu sił jest proporcjonalna do masy ciała znajdującego się w tym polu Aby scharakteryzować pole sił

ROZDZIAŁ 4

Strona 50505050

grawitacyjnych niezależnie od masy ciała znajdującego się w tym polu definiujemy natężenie pola czyli stosunek siły działającej na niewielką masę m (nie zaburzającą pola pochodzącego od dużej masy M) do wartości tej masy m

gr

GM

mr

GMm

m

FE

22==== (419)

Zauważmy że wartość natężenia pola grawitacyjnego pochodzącego od Ziemi wyznaczona na jej powierzchni (w odległości RZ od środka Ziemi) jest roacutewna przyspieszeniu ziemskiemu g czyli wartości przyspieszenia z jakim poruszać się będzie ciało znajdujące się na powierzchni Ziemi podczas swobodnego spadku

2

Z

Z

R

GMg = (420)

Woacutewczas siłę oddziaływania grawitacyjnego Ziemi (siłę ciężkości Fc) na ciało o masie m znajdującej się na powierzchni Ziemi możemy zapisać roacutewnież w postaci

mgF =c (421)

Praca w polu sił grawitacyjnych

W poprzednim rozdziale przekonaliśmy się że podniesienie ciała na wy-sokość h wymaga wykonania nad ciałem pracy związanej z pokonywa-niem siły grawitacji (Fc = mg) i wynosi Wh = Fch = mgh Wiemy roacutew-nież że ciężarek ten upuszczony z tej samej wysokość h może wykonać pracę WC ktoacuterej wartość w układzie zachowawczym (nie istnieją siły oporu) jest identyczna z pracą wydatkowaną na jego podniesienie Wh = mgh Ciężarek znajdując się na wysokości h posiada zdolność wykonania pracy o wartości Wh = mgh Taka zdolność do wykonania pracy w fizyce nazywana jest energią

Praca i energia są ze sobą ściśle powiązane ndash wykonana praca jest magazynowana w postaci energii

Energia potencjalna sił grawitacyjnych

Energię można nazwać energią potencjalną jeśli zależy w jaw-ny sposoacuteb od położenia w polu sił

PRACA I ENERGIA

Strona 51515151

Energia ciężarka z poprzedniego przykładu znajdującego się na pewnej wysokości nad Ziemią spełnia tę definicję W pobliżu powierzchni Zie-mi dla niedużych zmian wysokości na ciało działa siła przyciągania o wartości mg Jeżeli opisując takie ciało wprowadzimy poziom odnie-sienia względem ktoacuterego liczymy wysokość (np powierzchnię Ziemi) to dowolnemu ciału znajdującemu się na wysokości h powyżej tego poziomu możemy przypisać konkretną wartość energii potencjalnej

mghE = (422)

Mapa geograficzna z naniesionymi poziomicami wyrażającymi wyso-kość punktoacutew względem poziomu morza (punkt odniesienia) może zo-stać zatem odczytana roacutewnież jako zapis energii potencjalnej ciała znaj-dującego się na powierzchni ziemi

Czy praca wykonana przeciwko siłom tarcia roacutewnież powoduje wzrost energii potencjalnej W tym przypadku praca nie jest magazynowana w postaci energii mechanicznej ale tracona (rozpraszana) w postaci cie-pła Możemy woacutewczas moacutewić jedynie o wzroście energii wewnętrznej ciała ndash problem ten omoacutewimy dokładniej w rozdziale poświęconym termodynamice

Podobnie jak w przypadku siły oddziaływania grawitacyjnego wzoacuter 421 jest prawdziwy jedynie dla obiektoacutew znajdujących się w pobliżu po-wierzchni Ziemi tak samo zależność 422 opisująca energię potencjalną pola sił grawitacyjnych jest prawdziwa jedynie dla niewielkich w poroacutew-naniu z promieniem Ziemi odległości od powierzchni Ziemi

W ogoacutelności energię potencjalną ciała możemy zdefiniować jako pracę jaką należy wykonać by umieścić ciało w danym punkcie Załoacuteżmy że przemieszczenie ciała o masie m odbywa się z punktu odległego o r1 od środka ciała o masie M do punktu odległego o r2 gdzie r2 lt r1 Obliczając pracę przesunięcia tego ciała z punktu r1 do r2 korzystamy ze wzoru 418 oraz 43 w ktoacuterym za wartość cosinusa przyjmujemy 1 gdyż w rozwa-żanym przypadku wektor przemieszczenia z punktu r1 do r2 oraz siła grawitacji mają ten sam kierunek i zwrot

int=2

1

r

r

2r

r

GMmW d (423)

Skorzystaliśmy w tym przypadku z całkowej postaci wzoru na pracę ponieważ siła działająca na ciało ma zmienną wartość ndash zależy od odległości od środka ciała o masie M Funkcją pierwotną dla funkcji 1r2

ROZDZIAŁ 4

Strona 52525252

jest funkcja 1r Aby obliczyć wartość powyższej całki od wartości funkcji pierwotnej wyznaczonej w goacuternej granicy odejmujemy wartość w dolnej granicy całkowania Otrzymujemy wzoacuter końcowy na pracę przesunięcia ciała o masie m w polu grawitacyjnym ciała o masie M z punktu odległego od środka ciała M o r1 do punktu odległego o r2

minus=

21 r

1

r

1GMmW (424)

Powyższy wzoacuter na pracę zależy od dwoacutech zmiennych ndash punktu odniesię-nia (r1) oraz punktu w ktoacuterym znajduje się ciało (r2) Żeby uniknąć pro-blemu definiowania za każdym razem punktu odniesienia we wszystkich zagadnieniach związanych z polem sił grawitacyjnych umieszczamy punkt odniesienia w nieskończoności Woacutewczas pierwszy wyraz we wzorze 424 zeruje się (jedność podzielona przez nieskończo-ność wynosi zero) i wartość wykonanej pracy zależy wyłącznie od koń-cowego położenia ciała w polu grawitacyjnym Oznacza to że energia potencjalna grawitacji ciała o masie m znajdującego się w odległości r od masy M będącej źroacutedłem pola grawitacyjnego wynosi więc

r

GMmWE P

minus== (425)

Jak pokazaliśmy powyżej ujemny znak energii potencjalnej jest konsek-wencją wyboru punktu odniesienia

Gdyby energia potencjalna nie była zdefiniowana ze znakiem minus energia potencjalna ciała znajdującego się w większej odległości od ma-sy M byłaby mniejsza Ponieważ wszystkie układy dążą do osiągnięcia minimum energii wszystkie ciała oderwałyby się od powierzchni Ziemi Obecność znaku minus powoduje że ciało by obniżyć swoją energię po-tencjalną porusza się w kierunku środka Ziemi Woacutewczas gdy odległość r od środka Ziemi maleje energia potencjalna staje się coraz bardziej ujemna czyli coraz mniejsza

Dla obiektoacutew znajdujących się w polu grawitacyjnym definiuje się czę-sto jeszcze jedną wielkość fizyczną ndash potencjał grawitacyjny Potencjał grawitacyjny jest roacutewny energii ciała podzielonej przez jego masę m (traktujemy masę m jako na tyle małą że nie zakłoacuteca ona pola) Potencjał jest zatem związany wyłącznie z masą M będącą źroacutedłem pola grawitacyjnego

PRACA I ENERGIA

Strona 53535353

r

GMV g

minus= (426)

Druga prędkość kosmiczna

Druga prędkość kosmiczna jest to minimalna prędkość jaką powinno mieć ciało żeby mogło opuścić pole grawitacyjne Ziemi W sposoacuteb ścisły warunek ten spełniony będzie tylko w nieskończoności ale w prak-tyce chodzi nam o odległość na tyle dużą aby energia potencjalna ciała (wzoacuter 425) była bliska zeru

Załoacuteżmy że rakieta o masie m zostaje wystrzelona z powierzchni Ziemi pionowo do goacutery z prędkością v Na powierzchni Ziemi rakieta ta będzie miała więc zaroacutewno energię potencjalną (wzoacuter 425) jak i energię kine-tyczną roacutewną Ek = frac12middotmmiddotv

2 Całkowita energia rakiety na powierzchni Ziemi wynosi zatem

2

m

r

GMmE

2

c

v+

minus= (427)

Żeby rakieta mogła dolecieć do nieskończoności jej całkowita energia na powierzchni Ziemi musi być przynajmniej roacutewna zero (Ec ge 0) Stąd otrzymujemy wzoacuter na II prędkość kosmiczną

Z

Z

ZII gR

R

GM22==v (428)

gdzie RZ jest promieniem zaś MZ jest masą Ziemi z ktoacuterej startuje rakieta Dla Ziemi wartość II prędkości kosmicznej wynosi 112 kms Drugą prędkość kosmiczną można wyznaczyć dla roacuteżnych ciał niebies-kich i np dla Księżyca wynosi ona 24 kms zaś dla Jowisza 595 kms

44 Ruch po okręgu

Szczegoacutelnym przypadkiem ruchu krzywoliniowego jest ruch jednostajny po okręgu czyli ruch jaki wykonuje ciało poruszające się w jednej płaszczyźnie ze stałą prędkością będące jednocześnie w stałej odległości od wybranego punktu odniesienia Tor ruchu takiego ciała jest okręgiem Opisując ruch po okręgu korzystnie jest zastosować biegunowy układ

ROZDZIAŁ 4

Strona 54545454

wspoacutełrzędnych Przypomnijmy że w układzie biegunowym położenie ciała jest opisywane przez jego odległość od początku układu wspoacutełrzęd-nych (wspoacutełrzędna radialna r) oraz przez położenie kątowe względem wybranej osi odniesienia (wspoacutełrzędna kątowa α) Jeżeli w opisie ruchu po okręgu początek biegunowego układu wspoacutełrzędnych umieścimy w środku okręgu to wspoacutełrzędna radialna będzie stała a zmieniać się bę-dzie jedynie położenie kątowe ciała Podobnie jak w przypadku ruchu prostoliniowego w ruchu po okręgu prędkość jest pochodną drogi kątowej po czasie i nazywana jest prędkością kątową ω

td

dαω = (430)

Prędkość kątowa mierzona w radianach na sekundę jest wektorem ktoacuterego kierunek zgodny jest z osią wokoacuteł ktoacuterej następuje obroacutet a zwrot wyznacza reguła śruby prawoskrętnej lub reguła prawej dłoni (jeżeli palce otwartej dłoni pokazują zwrot wektora prędkości liniowej czyli kierunek obrotu to kciuk wyznacza kierunek i zwrot wektora prędkości kątowej)

Pochodna prędkości kątowej po czasie definiuje przyspieszenie kątowe ε

2

2

d

d

d

d

tt

αω==ε (431)

Przedstawione powyżej definicje przyspieszenia i prędkości kątowych są analogiczne do odpowiednich wielkości w ruchu prostoliniowym Poszu-kując relacji pomiędzy wielkościami opisującymi ruch obrotowy oraz ruch liniowy zaczniemy od wyznaczenia drogi czyli długości łuku prze-bytej przez ciało poruszające się po okręgu Wielkość ta będzie zależała zaroacutewno od zmiany położenia kątowego jak i od położenia radialnego

czyli odległości od osi obrotu rαl = Jeżeli zroacuteżniczkujemy tę zależ-ność po czasie otrzymamy relacje między prędkością liniową i kątową a po ponownym zroacuteżniczkowaniu relację między przyspieszeniem linio-wym i kątowym Otrzymamy w ten sposoacuteb zestaw zależności

=

=

=

ra

r

r

ε

ω

αl

v (432)

PRACA I ENERGIA

Strona 55555555

Ponieważ poruszające się po okręgu ciało wraca cyklicznie do miejsca startu prędkość kątową można powiązać z częstotliwością

Tr

f1

22===

ππ

ω v (433)

Jednostką częstotliwości jest 1Hz (Hertz) = 1sndash1 co oznacza że przy czę-stotliwości 1Hz ciało wykonuje jeden obroacutet na sekundę Odwrotnością częstotliwości jest okres obrotu T czyli czas jednego pełnego obrotu wyrażony w sekundach

Przyspieszenie w ruchu po okręgu

W rozdziale 24 wprowadziliśmy składową styczną oraz normalną przy-spieszenia dla ruchu krzywoliniowego W przypadku jednostajnego ru-chu po okręgu wartość prędkości mierzona wzdłuż okręgu jest stała a więc składowa styczna przyspieszenia jest zerowa Przyśpieszenie cał-kowite w ruchu po okręgu jest więc roacutewne składowej normalnej

r

aa n

2v

== (434)

Składowa normalna przyspieszenia skierowana jest do środka krzywizny toru wzdłuż promienia okręgu i dlatego często nazywana jest składową radialną Ponieważ przyspieszenie normalne skierowane jest do środka okręgu nazywa się je roacutewnież przyspieszeniem dośrodkowym Odpowia-dająca mu siła oddziaływania ktoacutera wywołuje ruch ciała o masie m po okręgu o promieniu r jest nazywana siłą dośrodkową

r

mF

2v

= (435)

W przypadku obracającej się karuzeli metalowy pręt mocujący krzesełko działa na krzesełko karuzeli siłą skierowaną do środka roacutewną co do war-tości zdefiniowanej powyżej sile dośrodkowej Osoba siedząca na krzesełku karuzeli odczuwać będzie istnienie siły skierowanej wzdłuż promienia na zewnątrz Siłę taką występującą w układzie związanym z ciałem poruszającym się po okręgu nazywać będziemy siłą odśrodko-

wą Siła ta jest roacutewna co do wartości sile dośrodkowej ale ma przeciwny zwrot Warto podkreślić że siła odśrodkowa jest siłą pozorną i w mo-mencie przerwania pręta mocującego krzesełko karuzeli krzesełko to nie będzie poruszało się ruchem przyspieszonym wzdłuż promienia tylko ruchem jednostajnym prostoliniowym w kierunku wyznaczonym przez

ROZDZIAŁ 4

Strona 56565656

wektor prędkości w momencie zerwania pręta Układ odniesienia zwią-zany z takim poruszającym się po okręgu punktem jest tzw układem nieinercjalnym w ktoacuterym występują siły bezwładności działające na ciało W hamującym samochodzie przedmiot znajdujący się na poacutełce doznaje przyspieszenia względem samochodu ndash przedmiot zachowuje się bezwładnie czyli zachowuje stan ruchu przed hamowaniem i porusza się w kierunku przodu samochodu Jeśli ten sam samochoacuted porusza się po okręgu (wykonuje gwałtowny zakręt) przedmiot roacutewnież doznaje przy-spieszenia względem samochodu Przedmiot roacutewnież tutaj zachowuje się bezwładnie ndash porusza się po linii prostej (względem układu spoczynko-wego) i w konsekwencji zmienia położenie względem samochodu ndash przesuwa się w kierunku boku samochodu Siedząc w samochodzie od-czuwamy siłę wypychającą ciało na zewnątrz okręgu po ktoacuterym porusza się pojazd W obu przypadkach zaroacutewno hamowania jak i ruchu po okręgu siły bezwładności jakim ulega przedmiot są konsekwencją przy-spieszenia całego pojazdu

W przypadku pralek i suszarek bębnowych siła odśrodkowa wykorzysty-wana jest do usuwania wody z tkanin W urządzeniach takich jak wiroacutew-ki wykorzystuje się dodatkowo fakt że siła odśrodkowa zależy nie tylko od prędkości z jaką kręcą się obiekty we wnętrzu bębna wiroacutewki ale roacutewnież od masy tych obiektoacutew co umożliwia oddzielenie cięższych frakcji od lżejszych

Ruch planet wokoacuteł Słońca

Pierwsza prędkość kosmiczna

Przed odkryciem Kopernika w opisie ruchu planet i gwiazd korzystano z tzw geocentrycznego modelu świata w ktoacuterym Ziemia znajdowała się w centrum wszechświata a wszystkie ciała niebieskie krążyły wokoacuteł niej W dziele bdquoO obrotach ciał niebieskichrdquo Kopernik zaproponował model w ktoacuterym planety krążą wokoacuteł Słońca po orbitach kołowych (mo-del heliocentryczny) co pozwoliło stworzyć spoacutejny opis wielu zjawisk astronomicznych Jak już wiemy z poprzednich rozdziałoacutew aby planeta lub inne ciało niebieskie poruszało się po okręgu musi na nie działać siła dośrodkowa Newton jako pierwszy stwierdził że siłą dośrodkową jest siła grawitacji

r

m

r

GMm2

2

v= (436)

PRACA I ENERGIA

Strona 57575757

Gdyby nie istniała siła grawitacji ciało nie doznałoby przyspieszenia do-środkowego nie nastąpiłoby zakrzywienie toru i odleciało by w prze-strzeń Gdyby z kolei ciało nie miało prędkości stycznej na orbicie spadłoby na ciało centralne

Na podstawie zależności 436 możemy policzyć prędkość jaką musi mieć ciało o masie m aby poruszać się po orbicie Ziemi o promieniu roacutewnym promieniowi Ziemi RZ

Z

Z

ZI gR

R

GM==v (437)

Tak zdefiniowana prędkość nazywana jest pierwszą prędkością kosmicz-ną Dla Ziemi pierwsza prędkość kosmiczna przyjmuje wartość roacutewną około 791 kms Podobnie jak w przypadku drugiej prędkości kosmicz-nej roacutewnież pierwszą prędkość kosmiczną można wyznaczyć dla innych ciał niebieskich

W przeciwieństwie do drugiej prędkości kosmicznej w przypadku ktoacuterej rozważaliśmy prędkość skierowaną prostopadle w stosunku do powierz-chni ciała niebieskiego pierwsza prędkość odnosi się do wartości pręd-kości skierowanej roacutewnolegle do powierzchni ciała niebieskiego Jeśli satelita będzie miał mniejszą prędkość spadnie na powierzchnię ciała niebieskiego jeśli większą ndash siła grawitacji nie będzie wystarczająca do nadania satelicie odpowiedniego przyspieszenia dośrodkowego i ciało bądź znajdzie się na orbicie o większym promieniu bądź opuści pole grawitacyjne

Prawa Keplera

W heliocentrycznym modelu Kopernika planety krążą po kołowych orbi-tach Poacuteźniejsze dokładniejsze analizy ruchu planet wykonane min przez Tychona de Brahe i Johannesa Keplera wykazały że orbity te są w ogoacutelności krzywymi eliptycznymi Szczegoacutełowy opis ruchu planet za-wiera model Keplera opierający się na trzech prawach

1 Planety krążą dookoła Słońca po orbitach eliptycznych Słońce znajduje się w jednym z ognisk elipsy

Układ planeta-Słońce z dobrym przybliżeniem można potraktować jako układ odosobniony tzn uwzględniamy jedynie siły wzajemnego oddzia-ływania zaniedbując oddziaływania zewnętrzne W takim odosobnionym

ROZDZIAŁ 4

Strona 58585858

układzie planeta i Słońce poruszać się będą względem środka masy ukła-du po orbitach eliptycznych W układzie Ziemia-Słońce gdzie masa Zie-mi jest ponad 3 tysiące razy mniejsza niż Słońca z dobrym przybliże-niem można przyjąć że środek masy takiego układu pokrywa się z geo-metrycznym środkiem Słońca a w konsekwencji że Słońce jest nieru-chome a Ziemia porusza się po orbicie kołowej

2 Prędkość polowa planety jest jednakowa ndash wektor łączący Słońce i planetę zakreśla jednakowe pola w jednakowych odstępach czasu

Drugie prawo Keplera wynika bezpośrednio z zasady zachowania mo-mentu pędu ktoacutera zostanie omoacutewiona w jednym z kolejnych rozdziałoacutew

3 Kwadrat czasu obiegu planety dookoła słońca jest propor-cjonalny do sześcianu długiej osi elipsy po ktoacuterej porusza się planeta

Trzecie prawo Keplera wynika bezpośrednio z faktu że siłą dośrodkową działającej na planetę jest siła grawitacji Dla uproszczenia obliczeń załoacuteżmy na razie że planeta porusza się po orbicie kołowej Woacutewczas przyroacutewnując obie siły otrzymujemy zależność

o

2

2g Fr

m

r

MmF ===

vG (438)

Ponieważ prędkość planety wiąże czas pełnego obrotu (okres T) z dłu-gością orbity ( Trπ2=v ) roacutewność 438 można zapisać w postaci

( )2

2

T

r

r

M π2G=

(439)

a po przekształceniach

M

rT

322

G

4π= (440)

PRACA I ENERGIA

Strona 59595959

45 Energia potencjalna sił sprężystości

W urządzeniach mechanicznych ktoacutere wykonują pracę np obroacutet wska-zoacutewek zegara w starych zegarach szafkowych praca ta wykonywana jest kosztem energii dostarczonej z zewnątrz We wspoacutełczesnych urządze-niach w tym także w zegarach jako źroacutedło energii najczęściej stosuje się baterie elektryczne ale kiedyś powszechnie stosowano mechanizmy wykorzystujące energię potencjalną podciągniętych ciężarkoacutew lub w przenośnych zegarkach mechanizm magazynowania energii opierał się na bdquonakręcaniurdquo sprężyny Jest to przykład pokazujący że energia me-chaniczna może zostać roacutewnież zmagazynowana w postaci odkształcenia materiału ndash taki rodzaj energii potencjalnej będziemy nazywać energią potencjalną sił sprężystości wynikających z oddziaływań między czą-steczkami materiału

Rozpatrzmy sprężynę ktoacuterą rozciągniemy (lub ściśniemy) o długość x Siła jaką musimy rozciągać tę sprężynę roacutewnoważy siłę sprężystości sprężyny ktoacutera zgodnie z III zasadą dynamiki Newtona ma zwrot prze-ciwny do zwrotu siły rozciągającej Jej wartość zależy od długości roz-ciągnięcia x co opisuje prawo Hookersquoa

xkFrr

minus= (441)

gdzie k jest wspoacutełczynnikiem sprężystości Znak minus w powyższym wzorze oznacza że siła z jaką działa sprężyna ma przeciwny zwrot do wektora x czyli siła sprężystości przeciwstawia się wydłużaniu (lub ścis-kaniu) i wskazuje zawsze na położenie roacutewnowagowe

Siła jaką musimy działać żeby rozciągnąć sprężynę ma przeciwny zwrot

niż siła sprężystości ( xkFrr

= ) Ponieważ wartość tej siły zmienia się wraz z wartością wychylenia z położenia roacutewnowagi to pracę wykonaną przy rozciąganiu sprężyny o długość X obliczamy ze wzoru całkowego

( )S

2

X

0

X

0

EkX2

1xkxxxFW ==== intint dd (441)

Rozciągnięta sprężyna wracając do położenia roacutewnowagowego wykona taką samą pracę jaką wykonaliśmy podczas jej rozciągania Możemy

ROZDZIAŁ 4

Strona 60606060

roacutewnież powiedzieć że rozciągnięta sprężyna posiada zdolność do wyko-nania pracy Ponieważ wielkość tej pracy zależy jawnie od wartości od-kształcenia sprężyny to spełnia ona definicję energii potencjalnej i nazy-wana jest energią potencjalną sprężystości ES

Energię potencjalną sił sprężystości można policzyć roacutewnież dla ciał sta-łych poddanych rozciąganiu lub ściskaniu W tym przypadku rolę wspoacutełczynnika sprężystości opisującego własność materiału pełni moduł Younga E Poszukując związku między modułem Younga a stałą sprężystości możemy potraktować badany materiał jakby był zbudowa-ny z punktoacutew (atomoacutew) połączonych małymi sprężynkami Sprężynki te obrazują oddziaływania międzyatomowe a ich stała sprężystości zależy od struktury materiału Im większy będzie przekroacutej elementu wykonane-go z danego materiału czyli im więcej takich sprężynek opisuje badany element tym większy będzie wspoacutełczynnik sprężystości dla całego materiału ndash moduł Younga E

kxLL

EAF minus=minus= ∆

0

0 (442)

gdzie E jest modułem Younga A0 ndash przekrojem poprzecznym proacutebki L0 ndash długością początkową (roacutewnowagową) zaś ∆L jest zmianą długości proacutebki

46 Energia kinetyczna

Energia kinetyczna jest związana ze stanem ruchu ciała Ciało posiada energię kinetyczną jeśli znajduje się w ruchu w danym układzie odnie-sięnia Energię kinetyczną można roacutewnież zdefiniować jako ilość pracy jaką należy wykonać żeby wprawić ciało w ruch

Jeżeli więc siła F przeprowadzi ciało ze stanu bezruchu (stan bdquoArdquo) do prędkości v (stan bdquoBrdquo) to wykonana praca wyniesie

intint int ===B

A

B

A

B

A

st

mst

psFW d

d

dd

d

dd

v (443)

PRACA I ENERGIA

Strona 61616161

W powyższych przekształceniach siłę F zastąpiliśmy pochodną pędu po czasie Zależność tą można dalej przekształcić otrzymując zależność wykonanej pracy od prędkości v jaką osiągnie ciało

k

2

0

B

A

E2

mm

t

smW ==== intint

vvvv

v

ddd

d (444)

Tak wyznaczona praca wykonana by nadać ciału o masie m prędkość v definiuje energię kinetyczną ciała Energia ta jest wprost proporcjonalna do jego masy m i do kwadratu prędkości v2 Zależność energii kinetycz-nej od kwadratu prędkości jest jedną z głoacutewnych przyczyn (poza siłami oporu) dla ktoacuterych tzw dynamika samochodoacutew (sportowych i nie tylko) jest znacznie lepsza w zakresie niskich prędkości niż prędkości wyso-kich Aby to wyjaśnić obliczmy najpierw pracę jaką należy wykonać żeby rozpędzić samochoacuted o masie m = 1000kg od prędkości v1 = 0 ms do v2 = 10 ms = 36 kmh oraz od v2 = 10 ms do v3 = 20 ms=72 kmh Praca ta roacutewna jest roacuteżnicy energii kinetycznej końcowej oraz początkowej i w pierwszym przypadku wynosi W1 = Ek(v2) ndash Ek(v1) = 50000J zaś w drugim jest trzykrotnie większa i wynosi W2 = Ek(v3) ndash Ek(v2) = 150000J Tak więc utrzymanie podobnego przy-spieszenia w obu zakresach prędkości wymagałoby ciągłego wzrostu mocy co w praktyce jest trudne do osiągnięcia

Podczas przyspieszania to silnik pojazdu wykonuje pracę roacutewną energii kinetycznej tego pojazdu Natomiast gdy pojazd hamuje pracę musi wy-konać układ hamulcowy pojazdu Ponieważ przy dwukrotnie większej prędkości energia kinetyczna jest czterokrotnie większa to roacutewnież pra-ca wyhamowania jest czterokrotnie większa Praca ta w większości za-mieniana jest w energię cieplną i dlatego elementy układu hamulcowego w szczegoacutelności samochodoacutew sportowych powinny być odporne na wy-sokie temperatury oraz tak zaprojektowane aby jak najwydajniej odda-wały ciepło do otoczenia

Warto roacutewnież zwroacutecić uwagę że furgonetka o masie 2 ton i prędkości 15 ms ktoacutera ma identyczny pęd jak samochoacuted osobowy o masie 1 tony i prędkości 30 ms ma dwukrotnie mniejszą energię kinetyczną czyli zatrzymanie jej wymaga mniejszej pracy jest bdquołatwiejszerdquo

Pojęcie energii kinetycznej możemy odnosić roacutewnież do mikroskopowe-go opisu właściwości ciał Nawet jeśli pojazd znajduje się w spoczynku cząsteczki składające się na niego mają pewną energię kinetyczną ndash czą-steczki gazu znajdującego się w oponach znajdują się w ciągłym ruchu

ROZDZIAŁ 4

Strona 62626262

atomy metalu w karoserii wykonują drgania wokoacuteł położeń roacutewnowago-wych Energia kinetyczna jest w takim mikroskopowym ujęciu związana z temperaturą ciała a dokładniej ndash temperatura jest funkcją średniej energii kinetycznej o czym będzie jeszcze mowa w części poświęconej termodynamice

47 Zasada zachowania energii mechanicznej

Podsumowując rozważania dotyczące energii wprowadzimy zasadę za-chowania energii mechanicznej

W układzie zachowawczym odosobnionym całkowita energia mechaniczna czyli suma energii potencjalnej Ep zaroacutewno grawitacyjnej jak i sprężystości oraz energii kinetycznej Ek ciała jest wielkością stałą

const=+ pk EE (445)

Oznacza to że jeżeli zaniedbamy straty energii (pracy wykonanej na rzecz sił tarcia itp) roacuteżne formy energii jaką posiada ciało mogą się zmieniać ale ich suma pozostaje stała Dobrym przykładem do omoacutewie-nia zasady zachowania energii jest skok na linie bungee Stojąc na moście na wysokości h nad rzeką (na rysunku 44 h = h1 + h2) skoczek posiada energię potencjalną względem poziomu odniesienia znajdujące-go się na poziomie rzeki Pierwsza faza skoku jest spadkiem swobod-nym w ktoacuterym skoczek traci energię potencjalną ale nabiera prędkości czyli zyskuje energię kinetyczną

2

mmgh

2v

= (446)

Kiedy lina rozwinie się w pełni osiąga tzw długość swobodną ndash na ry-sunku 44 oznaczoną jako h1 Od tego momentu lina zaczyna działać jak rozciągana sprężyna W tej fazie skoku energia potencjalna nadal się zmniejsza kosztem wzrostu zaroacutewno energii kinetycznej jak i energii potencjalnej sił sprężystości

PRACA I ENERGIA

Strona 63636363

Rysunek 44 Energia skoczka bungee w roacuteżnych fazach skoku

W pewnym momencie ruchu gdy siła napięcia liny zroacutewnoważy siłę grawitacji prędkość ciała zacznie się zmniejszać a więc spada roacutewnież jego energia kinetyczna W najniższym położeniu skoczka jego prędkość wynosi zero ndash nie posiada on zatem energii kinetycznej Jego energia potencjalna grawitacji roacutewnież wynosi zero (skoczek znajduje się w punkcie odniesienia) i cała energia zmagazynowana jest w postaci energii potencjalnej sprężystości Tak więc początkowa energia poten-cjalna grawitacji zostaje w całości zmagazynowana w energii sprężystości rozciągniętej liny Energia ta może następnie wykonać pra-cę podniesienia skoczka na wysokość mostu a więc zgodnie z zasadą zachowania energii skoczek może wroacutecić do swojego położenia począt-kowego na moście W rzeczywistości mamy jednak do czynienia ze stra-tami energii związanymi zaroacutewno z oporami powietrza jak i wydziele-niem się ciepła w rozciągającej się linie (nie jest to idealna sprężyna) i w efekcie skoczek nie powroacuteci do poziomu mostu

Uogoacutelnieniem zasady zachowania energii mechanicznej jest ogoacutelna zasa-da zachowania energii ktoacutera moacutewi że w układzie zachowawczym odo-sobnionym zmiana całkowitej energii ciała (suma zmian wszystkich rodzajoacutew energii) wynosi zero

Jeżeli na przykład rozpędzony samochoacuted uderzy w przeszkodę to gwał-townie wytraci swoją energię kinetyczną ktoacutera zamieni się na pracę związaną z odkształceniem karoserii oraz na wydzielone ciepło

Zgodnie z zasadą zachowania energii w samochodach elektrycznych energia potencjalna ładunku elektrycznego zgromadzona w naładowa-

ROZDZIAŁ 4

Strona 64646464

nym akumulatorze zamieniana jest w energię kinetyczną pojazdu Jeśli taki samochoacuted jest wyposażony w hamulce elektromagnetyczne w trak-cie hamowania może odzyskać znaczną część energii kinetycznej i zgro-madzić ją w postaci energii potencjalnej ładunku elektrycznego

48 Zderzenia

Opis zderzeń ciał stanowi ważny element dynamiki ciał stałych ale po-nieważ podczas zderzenia dochodzi do przekazywania zaroacutewno pędu jak i energii zderzenia odgrywają roacutewnież dużą rolę w procesach trans-portu na przykład ciepła lub ładunku elektrycznego

Podczas zderzenia obowiązuje zasada zachowania pędu czyli pęd środka masy układu przed zderzeniem jest identyczny jak po zderzeniu Jak już omawialiśmy wcześniej zasada zachowania pędu w układzie dwu- lub troacutejwymiarowym obowiązuje dla każdego z wyroacuteżnionych kierunkoacutew Przykład zastosowania zasady zachowania pędu dla dwuwymiarowego zderzenia dwoacutech kul bilardowych omoacutewiliśmy w rozdziale 32

Zasada zachowania energii jako jedna z podstawowych zasad fizyki obo-wiązuje zawsze roacutewnież podczas zderzeń Jednakże w praktyce wykorzystujemy ją wyłącznie w przypadku zderzeń idealnie sprężys-

tych w ktoacuterych nie występują straty energii Zderzeniem bliskim do idealnie sprężystego jest uderzenie piłki rakietą tenisową ndash w czasie zderzenia oba ciała odkształcają się sprężyście zaroacutewno piłka jak i linka naciągu rakiety Pojęcie zderzenia sprężystego można rozszerzyć roacutew-nież na przypadki w ktoacuterych ciała nie stykają się ze sobą w sposoacuteb widoczny dla obserwatora Gdyby omawiane wcześniej kule bilardowe zostały naładowane elektrycznie lub namagnesowane w odpowiedni sposoacuteb mogłoby dojść do przekazania pędu i energii bez zetknięcia się krawędzi krążkoacutew O charakterze zderzenia (czy jest sprężyste czy niesprężyste) decyduje charakter sił wzajemnego oddziaływania ciał

Zderzenie sprężyste jest opisane następującymi roacutewnaniami

2K21K12P21P1 vvvv mmmm +=+ (447)

ndash roacutewnanie wyrażające zasadę zachowania pędu oraz

PRACA I ENERGIA

Strona 65656565

2222

22K2

21K1

22P2

21P1 vvvv mmmm

+=+ (448)

ndash roacutewnanie wyrażające zasadę zachowania energii kinetycznej

W przypadku zderzenia idealnie niesprężystego dochodzi do odkształce-nia plastycznego jednego lub obu ciał Odkształcenie to wiąże się z roz-praszaniem energii w postaci ciepła W wyniku niesprężystego zderzenia połączone ciała poruszają się w jednym kierunku Roacutewnania opisujące zderzenie niesprężyste mają więc postać

( ) K212P21P1 vvv mmmm +=+ (449)

( )

Emmmm

∆222

2K21

22P2

21P1 +

+=+

vvv (450)

gdzie ∆E oznacza straty energii w postaci ciepła Zderzenie niesprężyste wykorzystywane jest do wyznaczania prędkości pociskoacutew za pomocą tzw wahadła balistycznego Urządzenie to składa się z masywnego bloku w ktoacutery wbija się pocisk Znając masę pocisku i masę bloku oraz prędkość bloku z pociskiem po trafieniu można wyliczyć prędkość pocisku przed uderzeniem w blok Pomiar stosunkowo niewielkiej pręd-kości bloku jest znacznie łatwiejszy niż bezpośredni pomiar prędkości rozpędzonego pocisku W szczegoacutelności jeśli blok zawiesimy na dwoacutech niciach (rysunek 45) możemy oszacować prędkość na podstawie wyso-kości na ktoacuterą uniesie się blok Obecnie można wykonać taki pomiar technikami fotograficznymi lub za pomocą czujnikoacutew optycznych jed-nak w XIX wieku wahadło balistyczne było jednym z podstawowych przyrządoacutew do pomiaru prędkości pocisku

Rysunek 45 Zasada działania wahadła balistycznego

Do odkształceń plastycznych dochodzi roacutewnież podczas zderzenia dwoacutech samochodoacutew a więc zderzenia takie są niesprężyste We wspoacuteł-czesnych samochodach tzw strefy zgniotu są odpowiedzialne za rozpra-szanie energii uwolnionej podczas zderzenia Analizując roacutewnania opisujące zderzenie niesprężyste można ponadto zauważyć że jeśli zde-rzeniu ulega lekki samochoacuted osobowy to straty energii są tym większe

ROZDZIAŁ 4

Strona 66666666

im cięższy jest pojazd z ktoacuterym się zderza ndash zatem skutki zderzenia z sa-mochodem ciężarowym są znacznie poważniejsze niż skutki kolizji z sa-mochodem osobowym o podobnej masie

5 Dynamika bryły sztywnej

W tym rozdziale

o Bryła sztywna moment bezwładności środek masy o Roacutewnanie ruchu bryły sztywnej o Zasada zachowania momentu pędu o Energia ruchu obrotowego

ROZDZIAŁ 5

Strona 68686868

51 Bryła sztywna

Bryłą sztywną będziemy nazywać ciało w ktoacuterym odległości między po-szczegoacutelnymi punktami ciała są stałe Siły działające na bryłę sztywną nie wywołują więc ani deformacji plastycznych ani odkształceń sprężys-tych a jedynie ruch postępowy lub obrotowy Wszystkie ciała w ktoacute-rych odległość między dwoma punktami nie zmienia się w czasie lub odkształcenia pod wpływem działających sił są niewielkie można trak-tować jako bryłę sztywną Na przykład huśtawka wykonana z cienkiego pręta może ulegać deformacji wpływając tym samym na zachowanie całego układu ale jeżeli wykonamy ją np z szyny kolejowej jej defor-macja będzie zaniedbywalnie mała i może być woacutewczas potraktowana jako bryła sztywna

Moment bezwładności bryły sztywnej

W większości dotąd rozważanych przykładoacutew siła działająca na ciało przyłożona była do środka masy ciała i wywoływała ruch postępowy W ruchu prostoliniowym miarą bezwładności ciała jest jego masa tzn tym trudniej jest zmienić ilość ruchu ciała (pęd) im większa jest jego masa W przypadku ruchu obrotowego istotna jest nie tylko masa ale roacutewnież jej odległość od osi obrotu Miarą bezwładności w ruchu obrotowym jest moment bezwładności

Moment bezwładności masy punktowej m poruszającej się po okręgu o promieniu r zależy od tej masy oraz kwadratu odległości od osi obrotu

2mrI = (51)

Moment bezwładności podobnie jak masa jest wielkością addytywną tzn moment bezwładności bryły sztywnej jest roacutewny sumie momentoacutew bezwładności mas punktowych składających się na tę bryłę

sum=i

ii rmI 2

(52)

gdzie ri jest odległością od osi obrotu i-tego elementu o masie mi

DYNAMIKA BRYŁY SZTYWNEJ

Strona 69696969

Rozpatrzmy dwie ołowiane kulki o masach m1 oraz m2 (potraktujemy je jako masy punktowe) połączone cienkim nieważkim prętem o długości r ktoacuterego masa oraz moment bezwładności są pomijalnie małe w poroacutew-naniu z masą i momentem bezwładności kul Moment bezwładności takiej bryły sztywnej względem osi obrotu położonej w środku pręta mo-żemy policzyć jako sumę momentoacutew bezwładności obu kul Otrzyma-

my ( ) ( ) ( )221

22

21 2)(22 rmmrmrmI +=+=

W przypadku bryły o złożonym kształcie i rozkładzie masy procedura wyznaczania momentu bezwładności wymaga podzielenia bryły na jak najmniejsze elementy i zsumowania momentoacutew bezwładności pochodzą-cych od tych elementoacutew W granicznym przypadku działanie sumowania możemy zastąpić całkowaniem

int=M

mrI0

2 d (53)

Jako przykład obliczania momentu bezwładności wyznaczymy moment bezwładności pręta o masie M oraz długości b względem osi przecho-dzącej prostopadle przez koniec pręta Poszukując momentu bezwład-ności tej bryły musimy wykonywać całkowanie po całej masie pręta W praktyce znacznie łatwiej jest przeprowadzać całkowanie we wspoacutełrzęd-nych przestrzennych dlatego postaramy się powiązać masę z długością pręta W tym celu wprowadzamy gęstość liniową λ definiującą masę

przypadającą na jednostkę długości l

λd

dm= Woacutewczas element masy

pręta dm może być wyrażony lλdd =m gdzie gęstość liniowa dla

pręta z zadania wynosi b

M=λ Po zamianie zmiennej całkowania oraz

granic całkowania moment bezwładności pręta wynosi

333

2232 dd

bMbbbmrI

b

0

M

0

2 ===== intintλλ

lλl

(54)

W podobny sposoacuteb posługując się gęstością powierzchniową lub obję-tościową możemy obliczyć momenty bezwładności dla dowolnych brył W tabeli 51 przedstawione zostały momenty bezwładności wybranych brył sztywnych względem osi obrotu przechodzących przez środek ma-sy bryły

ROZDZIAŁ 5

Strona 70707070

Tabela 51 Momenty bezwładności wybranych brył względem środka masy

Pręt

12

mrI

2

z =

Walec i walec

wydrążony

( )2

2

2

1Z rr2

mI +=

( )[ 2

2

2

1x hrr312

mI ++=

Pierścień 2mrI =

Stożek

10

mr3I

2

z =

+= 2

2

x h4

r

5

m3I

Dysk

2

mrI

2

z =

4

mrI

2

x =

Sfera3

mr2I

2

=

Kula 5

mr2I

2

=

Twierdzenie Steinera

Załoacuteżmy że znana jest masa bryły oraz moment bezwładności I0 wzglę-dem osi przechodzącej przez środek jej masy Wtedy zgodnie z twier-dzeniem Steinera moment bezwładności I tej bryły względem osi obrotu roacutewnoległej do osi przechodzącej przez środek masy i przesuniętej o d roacutewny jest

2

mdII 0 += (55)

Twierdzenie Steinera zastosujemy do obliczenia momentu bezwładności dysku o promieniu r i masie m względem osi przechodzącej przez jego krawędź a prostopadłej do płaszczyzny dysku Moment bezwładności dysku względem osi prostopadłej przechodzącej przez jego środek znaj-dziemy w tabeli 51

DYNAMIKA BRYŁY SZTYWNEJ

Strona 71717171

2

mrI

2

0 = (56)

W naszym przypadku oś przesunięta jest roacutewnolegle o długość promie-nia dysku a więc stosując twierdzenie Steinera otrzymujemy

222

2

0 mrmr2

mrmrII

2

3=+=+=

(57)

Środek masy bryły sztywnej

Gdybyśmy chcieli układ ciał lub bryłę sztywną zastąpić masą punkto-wą czyli zgromadzić całkowitą masę układu w jednym punkcie geome-trycznym to punkt ten powinien się znajdować w środku masy Swobod-na oś obrotu bryły sztywnej lub układu ciał przechodzi przez ich środek masy

W układzie mas punktowych środek masy można obliczyć ze wzoru

sum

sum=

i

i

i

ii

SMm

rm

r

r

r (58)

gdzie mi ndash masy punktowe zaś irr

ndash położenia tych mas względem wybranego punktu odniesienia Wspoacutełrzędna x środka masy wynosić

więc będzie sum

sum=

i

i

i

ii

SMm

xm

x W przypadku gdy rozkład masy nie jest

dyskretny podobnie jak przy obliczaniu momentu bezwładności sumo-wanie musimy zastąpić całkowaniem Sposoacuteb wyznaczenia środka masy dla jednorodnego pręta z poprzedniego zadania przedstawiono poniżej

L

2

1

M

LL

M

L

MM

mr

x2

L

0

M

0SM =====

intint λλlλl

21

21

dd (59)

Całkowanie przeprowadzono względem jednego z końcoacutew pręta a więc wynik L2 oznacza że środek masy znajduje się w połowie długości pręta

ROZDZIAŁ 5

Strona 72727272

52 Roacutewnanie ruchu bryły sztywnej

Moment siły

W dotychczasowych rozważaniach rozpatrywaliśmy jedynie obiekty punktowe lub też bryłę sztywną zastępowaliśmy masą punktową znajdu-jącą się się w środku masy tej bryły Woacutewczas rozważaliśmy jedynie ruch postępowy takich obiektoacutew W dalszej części tego rozdziału opisze-my ruch obrotowy bryły sztywnej na ktoacuterą działa siła przyłożona w punkcie innym niż środek masy

Rozważmy najpierw siłę przyłożoną w dowolnym punkcie bryły sztywnej ale skierowaną wzdłuż prostej przechodzącej przez punkt wyznaczający środek masy tego ciała Woacutewczas siła ta wywoływać będzie ruch postępowy Jeżeli jednak kierunek działania tej siły nie będzie wskazywał środka masy ciała to na ciało działać będzie moment

siły ktoacutery wywołuje ruch obrotowy Moment siły Mr

zależy od

wartości siły działającej na bryłę sztywną Fr

odległości punktu zacze-pienia tej siły od osi obrotu r

r oraz kąta między tymi wektorami

Moment siły Mr

definiujemy jako iloczyn wektorowy wektoroacutew rr

oraz Fr

perp==

times=

rFαFrM

FrM

sin

rrr

(510)

Wielkość αrr sin=perp nazywana jest ramieniem siły Moment siły

uzyskuje maksymalną wartość gdy kąt α między rr

oraz Fr

jest kątem prostym Siła działająca wzdłuż ramienia nie wywołuje obrotu a jedynie ruch postępowy

Jeśli oś obrotu nie jest wymuszona (obroacutet jest obrotem swobodnym) następuje on zawsze wokoacuteł osi o największym momencie bezwładności przechodzącej przez środek masy ciała Podobnie jak w przypadku ruchu postępowego definiowaliśmy siłę poprzez pochodną pędu ciała po cza-sie tak w przypadku ruchu obrotowego bryły sztywnej możemy zdefi-niować moment siły jako pochodną momentu pędu po czasie

DYNAMIKA BRYŁY SZTYWNEJ

Strona 73737373

t

LM

d

dr

r= (511)

Moment pędu Lr

masy punktowej m poruszającej się po okręgu o pro-mieniu r jest iloczynem wektorowym wektora wodzącego r

r i pędu ciała pr

(rysunek 51) Kierunek wektora momentu pędu jest zgodny z osią

obrotu a zwrot określamy zgodnie z regułą śruby prawoskrętnej Zwrot ten jest identyczny ze zwrotem wektora prędkości kątowej ω

r

prLrrr

times= (512)

ωIωmrrωmrmrprL 2 ===== v (513)

W ostatnim przekształceniu iloczyn mr2 został zastąpiony momentem

bezwładności I Pęd ciała w ruchu prostoliniowym jest proporcjonalny do jego masy i prędkości (roacutewnanie 31) W ruchu po okręgu miarą ilości ruchu jest moment pędu L

r We wzorze 513 wykazaliśmy że ta ilość

ruchu jest proporcjonalna do prędkości kątowej a wspoacutełczynnikiem proporcjonalności jest moment bezwładności I

Rysunek 51 Moment pędu masy punktowej poruszającej się po okręgu

Zgodnie z roacutewnaniem 511 moment siły działający na bryłę sztywną wywołuje zmianę momentu pędu tej bryły Zmiana momentu pędu może być związana ze zmianą prędkości kątowej bryły ktoacuterej moment bezwładności się nie zmienia ale może roacutewnież wynikać ze zmiany samego momentu bezwładności bryły sztywnej Uwzględniając oba te człony możemy zapisać roacuteżniczkowe roacutewnanie ruchu obrotowego bryły sztywnej ktoacutere jest II zasadą dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego

t

I

tI

t

LM

d

d

d

d

d

dω

ω+== (514)

ROZDZIAŁ 5

Strona 74747474

53 Zasada zachowania momentu pędu

Rozważmy teraz ruch obrotowy bryły sztywnej na ktoacuterą działa wypad-kowy moment siły M roacutewny zero Woacutewczas zgodnie z roacutewnaniem 511 pochodna momentu pędu po czasie wynosi zero a więc wartość całkowi-tego momentu pędu musi być stała co zapisujemy jako zasadę zacho-wania momentu pędu

sum ==i

iLL constrr

c (515)

Jeżeli na układ ciał nie działają momenty sił zewnętrznych (układ jest odosobniony) to moment pędu tego układu jest stały

W przypadku gdy moment bezwładności układu nie zmienia się w cza-sie zasadę zachowania momentu pędu można zapisać

ωIL const== (516)

Zasada zachowania momentu pędu pozwala wyjaśnić tzw efekt żyrosko-powy stabilizujący np poruszający się rower czy motocykl Z obracają-cymi się kołami związany jest moment pędu skierowany poziomo zgodnie z osią obrotu (kierunek i zwrot wektora wyznacza reguła prawej dłoni) Jeżeli roacutewnowaga roweru ulegnie zachwianiu i rower przechyli się zmieni się kierunek wektora momentu pędu oproacutecz składowej po-ziomej będzie miał roacutewnież składową pionową Rower ktoacutery przechyli się zaczyna poruszać się po łuku Woacutewczas pojawia się dodatkowy mo-ment pędu skierowany pionowo do goacutery ktoacutery jest w stanie skompenso-wać zmianę momentu pędu wynikającą z przechyłu roweru Im większe wychylenie z położenia roacutewnowagi tym większą zmianę momentu pędu potrzeba skompensować i tym mniejszy musi być promień okręgu po ktoacuterym poruszać się będzie rower Z kolei im szybciej poruszać się bę-dzie rower tym większy jest moment pędu związany z obracającym się kołem ale roacutewnież większy jest moment pędu z całym rowerem porusza-jącym się po okręgu tak że nawet duże przechylenie roweru będzie kompensowane przez jego ruch po okręgu o dużym promieniu W kon-sekwencji moment pędu koła stabilizuje zachowanie całego obiektu w ktoacuterym zamocowane jest to koło Efekt żyroskopowy wykorzystywa-ny jest roacutewnież np na pokładach łodzi czy samolotoacutew gdzie montowane

DYNAMIKA BRYŁY SZTYWNEJ

Strona 75757575

są specjalne wirujące dyski (żyroskopy) mające na celu zwiększenie stabilności tych pojazdoacutew i zmniejszenie ich przechyłoacutew

Zasada zachowania momentu pędu musi być roacutewnież uwzględniona w konstrukcji śmigłowca Obracanie wirnika wymaga działania na niego pewnym momentem siły Identyczny moment siły ale o przeciwnym zwrocie działa na kadłub śmigłowca W efekcie kadłub zaczyna się obra-cać w stronę przeciwną do kierunku obrotu wirnika Zasada zachowania

momentu pędu dla takiego układu można zapisać kkss ωIωI = gdzie indeksy s i k oznaczają odpowiednio śmigło i kadłub Najpopularniej-szym rozwiązaniem tego problemu w konstrukcji helikoptera jest umieszczenie dodatkowego wirnika na ogonie Siła ciągu tego wirnika wytwarza moment sił działający na kadłub i przeciwdziałający obrotowi Ponadto regulując siłę ciągu wirnika ogonowego śmigłowiec może wykonać obroacutet w prawo lub w lewo Zamiast jednego wirnika można roacutewnież zastosować dwa śmigła obracające się w przeciwnych kierun-kach ktoacuterych moment pędu roacutewnoważy się

Efekty działania zasady zachowania momentu pędu są roacutewnież obserwo-wane w przypadkach kiedy zmieni się moment bezwładności obracają-cego się obiektu Łyżwiarze przygotowując się do skoku z obrotem szeroko rozstawiają ręce żeby uzyskać jak największy moment bezwład-ności wprawiają ciało w ruch obrotowy i odbijają się W powietrzu ścią-gają ręce do siebie zmniejszając tym samym moment bezwładności co zgodnie z zasadą zachowania momentu pędu wpływa na wzrost prędkoś-ci obrotowej i daje możliwości wykonania kilku obrotoacutew w powietrzu

Podobne zjawisko obserwujemy dla chmury gazoacutew wirującej wokoacuteł cia-ła niebieskiego (np gwiazdy) Jeżeli chmura ta ulegnie zapadnięciu pod wpływem sił grawitacji gwałtownie maleje jej moment bezwładności (proporcjonalny do kwadratu promienia) a wzrasta prędkość obrotowa tych gazoacutew Z tego względu gwiazdy uformowane z materii pozostałej po wybuchu supernowych mają z reguły bardzo duże prędkości obrotu względem własnej osi

54 Energia ruchu obrotowego

Zgodnie z II zasadą dynamiki ruchu obrotowego moment siły działający na ciało może wywołać jego ruch obrotowy Aby wyznaczyć energię jaką posiada ciało wykonujące ruch obrotowy wyznaczymy pracę jaką

ROZDZIAŁ 5

Strona 76767676

należy wykonać aby wywołać ruch obrotowy bryły sztywnej Rozpa-trzmy moment siły M ktoacutery wywołuje ruch obrotowy bryły sztywnej taki że siła F jest prostopadła do ramienia r na jakim działa W przypad-ku ruchu postępowego pracę dW liczyliśmy jako iloczyn siły F oraz przesunięcia dx jakie ta siła wywołuje ( xFW dd = ) W przypadku ruchu obrotowego moment siły M działając na bryłę sztywną powoduje przemieszczenie kątowe dα a więc pracę dW w ruchu obrotowym możemy zapisać jako

αdd MW = (517)

Pracę całkowitą jaką wykona moment siły M obracając bryłę sztywną od położenia początkowego (kątowego) αp do położenia końcowego αk wyznaczamy z zależności całkowej

int=k

p

MW

α

α

αd (518)

Podstawiając roacutewnanie 514 do 517 przy założeniu I =const otrzymujemy

ωωωα

αω

α ddd

dd

d

ddd I

tI

tIMW ==== (519)

Stąd wyznaczamy pracę jaką należy wykonać aby bryle o momencie bezwładności I nadać prędkość kątową ω Praca ta jest roacutewnoważna energii ruchu obrotowego tej bryły

2

d2

IωωωIWE

ω

0

=== into (520)

Powyższy wzoacuter ma postać podobną do wzoru na energię kinetyczną ruchu postępowego ale zamiast masy mamy moment bezwładności oraz prędkość kątową zamiast postępowej W ogoacutelności poruszająca się bryła sztywna może posiadać zaroacutewno energię kinetyczną ruchu postępowego ktoacutera jest związana z ruchem postępowym środka masy ciała oraz ener-gię ruchu obrotowego związaną z obrotem ciała wokoacuteł osi obrotu Dlate-go ten sam obiekt staczający się z poślizgiem (bez obracania) oraz bez poślizgu (staczając się) będzie miał na dole roacutewni inną prędkość postę-pową środka masy W pierwszym przypadku bowiem zgodnie z zasadą zachowania energii cała energia potencjalna zamieni się w energię kine-tyczną ruchu postępowego W drugim przypadku ta sama początkowa

DYNAMIKA BRYŁY SZTYWNEJ

Strona 77777777

energia potencjalna ulega zamianie zaroacutewno na energię kinetyczną ruchu postępowego jak i obrotowego decydując o mniejszej prędkości ruchu postępowego Podobnie prędkość postępowa pocisku wystrzelonego z broni palnej o gwintowanej lufie jest mniejsza niż w przypadku gładkiej lufy gdyż część energii jest zgromadzona w ruchu obrotowym pocisku Jednakże ruch wirowy i zasada zachowania momentu pędu chroni pocisk przed koziołkowaniem wpływając na większą celność strzałoacutew oraz efektywnie większy zasięg strzału

W niektoacuterych autobusach czy bolidach F1 stosuje się tzw koła zamacho-we do magazynowania energii w postaci energii ruchu obrotowego Pod-czas hamownia energia kinetyczną pojazdu nie jest bdquotrwonionardquo w posta-ci ciepła wydzielanego na tarczach hamulcowych a wykonuje pracę wprawienia tarcz o dużym momencie bezwładności w ruch obrotowy Tak zgromadzona energia ruchu obrotowego koła zamachowego może być odzyskana i może wykonać pracę rozpędzania pojazdu

ROZDZIAŁ 5

Strona 78787878

6 Ruch drgający

W tym rozdziale

o Drgania harmoniczne o Wahadło sprężynowe wahadło matematyczne

fizyczne i torsyjne o Drgania tłumione o Drgania wymuszone z tłumieniem

ROZDZIAŁ 6

Strona 80808080

61 Drgania harmoniczne

Rozpatrzmy ciało poruszające się po okręgu o promieniu R tak jak opi-sywaliśmy to w rozdziale 51 Tym razem jednak będziemy obserwować ruch rzutu punktu na nieruchomy ekran (np na ścianę) prostopadły do płaszczyzny ruchu po okręgu Woacutewczas ciało przesuwać się będzie w jednym wymiarze w powtarzalny sposoacuteb z jednego do drugiego krań-ca odcinka o długości 2R Ruch w ktoacuterym ciało powtarza te same poło-żenia nazywamy ruchem drgającym lub oscylującym Jeżeli drgania te występują w stałych odstępach czasu to mamy do czynienia z ruchem drgającym okresowym Gdybyśmy narysowali wykres położenia tego ciała w funkcji czasu otrzymalibyśmy krzywą sinusoidalną jak na rysun-ku 61 Rzut ruchu po okręgu jest więc ruchem drgającym okresowym opisanym funkcją typu sinus

Ruch okresowy drgający w ktoacuterym położenie ciała możemy opisać zależnością sinusoidalną nazywany jest ruchem harmonicznym

αRx sin= (61)

gdzie R jest promieniem okręgu po jakim porusza się obiekt a α oznacza fazę ruchu drgającego i dla rozpatrywanego przykładu jest powiązana z położeniem kątowym ciała na okręgu

Ponieważ położenie kątowe ciała na okręgu zależy od jego prędkości kątowej ω wiec roacutewnież faza w ruchu drgającym zmienia się w czasie proporcjonalnie do tej prędkości kątowej W zagadnieniach ruchu drga-jącego wielkość ω nazywa się częstotliwością kołową w odroacuteżnieniu od częstotliwości f Należy jednak pamiętać że obie te wielkości są ze sobą powiązane zależnością 54 (ω = 2πf )

RUCH DRGAJĄCY

Strona 81818181

Rysunek 61 Rzut położenia ciała poruszającego się po okręgu na oś w układzie liniowym

W ogoacutelności położenie ciała poruszającego się ruchem harmonicznym prostym można zapisać w postaci

( ) ( )ϕ+= ωtAsintx (62)

gdzie A jest amplitudą drgania argument funkcji sinus będziemy nazy-wać fazą ruchu φ jest fazą początkową a ω częstotliwością kołową

Prędkość ciała w ruchu harmonicznym wyznaczymy obliczając pochod-ną jego położenia po czasie

( ) ( ) ( )φωtωt

txt +== cosA

d

dv (63)

Poroacutewnując zależności 62 oraz 63 widzimy że prędkości i wychylenie z położenia roacutewnowagi nie są zgodne w fazie (opisane funkcjami sinus i cosinus) Oznacza to że prędkość w ruchu drgającym jest największa w momencie kiedy wychylenie jest roacutewne zeru (w momencie prze-chodzenia przez położenie roacutewnowagi) i jest zerowa dla maksymalnego wychylenia

Obliczając pochodną prędkości po czasie otrzymamy przyspieszenie ciała poruszającego się ruchem harmonicznym

( ) ( ) ( ) ( )txωφωtωt

tta

22 minus=+minus== sinAd

dv (64)

Otrzymaliśmy zależność w ktoacuterej występuje taka sama funkcja sinus jak dla wychylenia Znak minus oznacza że ciało wychylone z położenia

ROZDZIAŁ 6

Strona 82828282

roacutewnowagi będzie doznawało przyspieszenia w kierunku przeciwnym do jego wychylenia z położenia roacutewnowagi Przyspieszenie to jest wyni-kiem występowania siły ktoacutera tak jak przyspieszenie skierowana jest przeciwnie do wychylenia i ktoacutera zawsze skierowana jest do położenia roacutewnowagi Wartość tej siły jest proporcjonalna do wychylenia a więc im dalej od położenia roacutewnowagowego znajduje się ciało tym większa siła na nie działa Istnienie siły skierowanej do położenia roacutewnowagi o wartości proporcjonalnej do wartości wychylenia z położenia roacutewno-wagi jest roacutewnież cechą charakterystyczną ruchu harmonicznego

Przekształcenie wzoru 64 na przyśpieszenie ciała w ruchu harmonicz-nym pozwala nam zapisać roacuteżniczkowe roacutewnanie ruchu drgań harmonicznych

( ) ( ) 0

d

d=+ txω

t

tx 2

02

2

(65)

Jest to wzoacuter ogoacutelny opisujący drgania harmoniczne w ktoacuterym zamiast wychylenia x możemy wstawić roacutewnież inne wielkości fizyczne jak

ładunek elektryczny czy natężenie pola elektrycznego Wielkość 0ω oznacza częstotliwość kołową drgań własnych obiektu czyli częstotli-wość kołową z jaką wykonuje on drgania swobodne związane jedynie z siłami występującymi wewnątrz układu

Wahadło sprężynowe

Prostym przykładem ruchu drgającego harmonicznego są oscylacje

ciężarka zaczepionego do sprężyny o długości swobodnej 0x Dla uproszczenia przyjmijmy że na ciężarek nie działa siła grawitacji oraz że masa sprężyny jest niewielka w stosunku do masy ciężarka a opory ruchu można zaniedbać Jeśli sprężynę rozciągniemy o długość x (spo-wodujemy wychylenie z położenia roacutewnowagi o odległość x) sprężyna będzie działać na ciężarek siłą o wartości proporcjonalnej do wychylenia (zgodnie z prawem Hookersquoa ndash roacutewnanie 436) xkF minus= Gdy puścimy ciężarek będzie się on poruszał się w kierunku położenia roacutewnowagi Ciężarek minie położenie i będzie miał woacutewczas maksymalną prędkość oraz energię kinetyczną Energia kinetyczna ciała wykona pracę ściskania sprężyny i zostanie zamieniona na energię sił sprężystości (roacutewnanie 437) Gdyby w układzie nie było oporoacutew tarcia ani strat energii podczas ściskania sprężyny ciężarek wychyliłby się na taką sa-mą odległość względem położenia roacutewnowagi na jaką została ona po-przednio rozciągnięta Zatem amplituda drgań byłaby więc stała

RUCH DRGAJĄCY

Strona 83838383

Siła sprężystości działającą na ciało o masie m znajdujące się na końcu rozciągniętej sprężyny nadaje temu ciału przyspieszenie Roacutewnanie ru-chu w takim przypadku można więc zapisać w postaci

0d

d=+ xk

t

xm

2

2

(66)

Jeżeli podzielimy obie strony powyższego roacutewnania przez masę m otrzy-mamy roacutewnanie w postaci analogicznej do roacutewnania 65 nazywane roacutew-naniem wahadła sprężystego Częstość drgań własnych oraz okres drgań takiego wahadła zależy od masy zaczepionej do sprężyny oraz wspoacuteł-czynnika k sprężystości sprężyny

k

mT

m

kω0 π2 == (67)

W przypadku rzeczywistej sprężyny możemy uzyskać drgania harmo-niczne jeżeli wyeliminujemy opory ruchu oraz gdy rozpatrywać będzie-my wyłącznie niewielkie wychylenia z położenia roacutewnowagi Przy zbyt dużych wychyleniach mogą nastąpić odkształcenia plastyczne materiału z ktoacuterego sprężyna jest zrobiona powodując zmianę długości swobodnej sprężyny Podobnie przy zbyt mocnym ściskaniu sprężyny zwoje spręży-ny mogą stykać się uniemożliwiając dalsze odkształcanie

Wahadło matematyczne

Nie tylko siła sprężystości sprężyny powodować drgania harmoniczne W przypadku wahadła matematycznego to siła grawitacji wywołuje drgania harmoniczne Wahadło matematyczne to idealny układ składają-cy się z masy punktowej m zaczepionej do nieważkiej i nierozciągliwej nici o długości l znajdujący się w polu grawitacyjnym W stanie roacutewno-wagi masa punktowa zwisa pionowo na nici zgodnie z kierunkiem linii pola grawitacyjnego Rozpatrzmy teraz niewielkie wychylenie kątowe α z tego położenia roacutewnowagi (rysunek 62) Woacutewczas siłę grawitacji (Fc = mg skierowaną pionowo w doacuteł) możemy rozłożyć na dwie składowe ndash radialną (wzdłuż promienia zaznaczona na niebiesko na rysunku 62) i styczną (prostopadłą do promienia zaznaczoną na czer-wono na rysunku 62) Składowa radialna jest roacutewnoważona przez na-ciąg nici i nie wpływa na ruch wahadła Zatem siłą powodującą powroacutet ciężarka do położenia roacutewnowagi będzie składowa styczna siły ciężkości

αsinmgF s minus= (68)

ROZDZIAŁ 6

Strona 84848484

Przy niewielkich wychyleniach z położenia roacutewnowagi czyli dla małych kątoacutew α wartość funkcji sinus może być dobrze przybliżona argumentem tej funkcji Dla małych kątoacutew α składowa styczna siły ciężkości działają-cej na wychylone wahadło matematyczne jest skierowana do położenia roacutewnowagowego a jej wartość jest proporcjonalna do wartości tego wy-chylenia Uwzględniając powyższe założenia możemy przekształcić roacutewnanie 68 i otrzymujemy roacutewnanie drgań harmonicznych dla wahadła matematycznego

0d

d=+ α

l

α g

t2

2

(69)

Podobnie jak to zrobiliśmy dla wahadła sprężystego poroacutewnujemy roacutewnanie 69 z 65 i wyznaczamy częstości drgań własnych oraz okres drgań wahadła matematycznego o długości l

g

2Tg

ω0

l

lπ== (610)

Warto zauważyć że okres T drgań wahadła matematycznego zależy od długości nici l oraz przyspieszenia ziemskiego g i nie zależy od masy m zaczepionej na końcu nici (izochronizm)

Rysunek 62 Wahadło matematyczne (z lewej) i fizyczne (z prawej)

RUCH DRGAJĄCY

Strona 85858585

Wahadło fizyczne

W rzeczywistości nie jesteśmy w stanie skonstruować idealnego wahadła matematycznego ale z codziennych obserwacji wiemy że rzeczywiste fizyczne obiekty jak np lampa zamocowana na linie mogą wykonywać drgania harmoniczne w polu grawitacyjnym Taki rzeczywisty układ drgający pod wpływem sił grawitacyjnych nazywamy wahadłem fizycz-nym Rozpatrzmy bryłę sztywną o masie m ktoacutera może się obracać względem osi nie pokrywającej się z osią swobodną (środkiem masy ciała) odległej o d od środka masy bryły i ktoacutera zostaje wychylona z położenia roacutewnowagi o niewielki kąt α (rysunek 62) W opisie ruchu tego ciała skorzystamy z drugiej zasady dynamiki dla bryły sztywnej

2

2

ttM

d

d

d

d αωII == (611)

gdzie M oznacza moment siły działającej na bryłę a I jest momentem bezwładności bryły względem osi obrotu Rozważając siły i momenty sił działające na taką bryłę sztywną podobnie jak w poprzednim przypadku wahadła matematycznego rozkładamy siłę ciężkości bryły ktoacutera jest zaczepiona do środka jej masy na składową radialną i styczną Ruch obrotowy bryły sztywnej będzie wywołany przez moment siły Mt zwią-zany ze składową styczną siły ciężkości (wyliczoną w identyczny sposoacuteb jak w przypadku wahadła matematycznego) działającą na ramieniu d i wyniesie

dmgM t αsinminus= (612)

Roacutewnież w tym przypadku wartość funkcji sinus przybliżamy jej argu-mentem i otrzymujemy roacutewnanie ruchu harmonicznego

0d

d=+ α

α

I

mgd

t2

2

(613)

W tym przypadku częstość drgań i okres obiegu wynoszą

mgd

IT

I

mgdω0 π2 == (614)

Jeżeli podstawimy mdI0 =l powyższe zależności będą miały iden-

tyczną postać jaką otrzymaliśmy dla wahadła matematycznego (wzo-

ry 610) Długość 0l dla ktoacuterej okres wahadła matematycznego jest taki

ROZDZIAŁ 6

Strona 86868686

sam jak dla wahadła fizycznego nazywana jest długością zredukowaną wahadła fizycznego

Wahadło torsyjne

Innym typem wahadła w ktoacuterym siłą sprawczą drgań jest siła sprężys-tości jest wahadło torsyjne Zwykle jest to układ o momencie bezwład-ności I składający się z jednego lub kilku ciężarkoacutew zawieszonych na cienkim pręcie lub drucie Oś obrotu pokrywa się z osią pręta a moment sił działających na ciężarek wynika z sił sprężystości powstających przy skręceniu pręta (inaczej układ ten jest nazywany wahadłem skrętnym) Ten moment sił skręcających jest proporcjonalny do wychylenia kątowego z położenia roacutewnowagi α oraz tzw momentu kierującego D będącego cechą materiału pręta

αDM t minus= (615)

Dla wahadła torsyjnego druga zasada dynamiki przyjmuje postać

0d

d=+ α

I

D

t

α2

2

(616)

a częstość drgań i okres obiegu w tym przypadku wynoszą

D

IT

I

Dω0 π2 == (617)

62 Drgania tłumione

W rzeczywistych układach drgających amplituda drgań będzie stopnio-wo malała i po pewnym czasie drgania ustaną Związane jest to z wystę-powaniem strat energii wynikających między innymi z lepkości ośrod-ka w ktoacuterym poruszają się ciała sił tarcia występujących na połącze-niach mechanicznych itp Opis ruchu z uwzględnieniem tłumienia wy-maga określenia ktoacutery z czynnikoacutew tłumienia jest dominujący a następ-nie zapisania wpływu tego czynnika w roacutewnaniu ruchu Najczęściej tłu-mienie jest proporcjonalne do prędkości ciała Modelem takiego układu może być ciężarek umocowany do sprężyny i zanurzony w lepkiej cie-czy Jak pokażemy w rozdziale poświęconym hydrodynamice jeśli prze-pływ cieczy ma charakter laminarny siły oporu są wprost proporcjonalne

RUCH DRGAJĄCY

Strona 87878787

do prędkości ciała Roacutewnanie ruchu ciężarka w takim układzie możemy zapisać w postaci

vbkxma minusminus= (618)

gdzie wspoacutełczynnik b jest stałą proporcjonalności między siłą oporu a prędkością Zastępując prędkość pierwszą a przyspieszenie drugą po-chodną położenia po czasie powyższy wzoacuter możemy zapisać w postaci roacuteżniczkowej

0d

d

d

d=++ kx

t

xb

t

xm

2

2

(619)

Rozwiązanie roacutewnania ruchu drgań harmonicznych miało postać funkcji sinusoidalnej Rozwiązanie roacutewnania drgań tłumionych jest złożeniem dwoacutech funkcji ndash funkcji okresowej sinusoidalnej oraz funkcji opisującej wykładnicze malenie amplitudy wychylenia

( ) ( )φtωcosetx t +prime= minusγA (620)

Wykładnicze malenie amplitudy drgań zależy zaroacutewno od lepkości ośrodka jak i masy ciężarka zamocowanego do sprężyny i opisane jest za pomocą wspoacutełczynnik tłumienia γ=b2m Istnienie tłumienia w ukła-dzie wpływa roacutewnież na zmniejszenie częstości kołowej drgań tłumio-nych ωrsquo

222 γωγ minus=minus=minus=primem

k

m4

b

m

kω

2

2

(621)

Jeśli wspoacutełczynnik tłumienia jest niewielki to częstotliwość kołowa drgań tłumionych ulega tylko nieznacznej zmianie a amplituda stopnio-wo zmniejsza się w kolejnych okresach drgań ndash funkcja wykładnicza stanowi obwiednię obserwowanego przebiegu (rysunek 63)

Jeśli będziemy zwiększać wartość wspoacutełczynnika tłumienia poprzez zmianę lepkości ośrodka lub zmianę masy drgającej zanik amplitudy drgań będzie coraz szybszy a częstotliwość tych drgań coraz mniejsza aż w końcu osiągniemy wartość krytyczną dla ktoacuterej częstość kołowa drgań tłumionych będzie wynosiła zero

22

ω=kγ (622)

ROZDZIAŁ 6

Strona 88888888

Dla takiej wartości wspoacutełczynnika tłumienia obserwujemy najszybsze z możliwych wygaśnięcie drgań i dojście układu do stanu roacutewnowagi Zależność wychylenia od czasu nie ma woacutewczas postaci funkcji okreso-wej a jedynie aperiodycznego wykładniczego spadku (rysunek 63)

Jeśli wspoacutełczynnik tłumienia będzie jeszcze większy układ będzie prze-tłumiony Podobnie jak w przypadku tłumienia krytycznego nie obser-wujemy woacutewczas drgań okresowych a jedynie wykładnicze zmniejsza-nie się wychylenia Jednak w tym przypadku siły oporu są na tyle duże że powroacutet do położenia roacutewnowagi trwa wielokrotnie dłużej niż w przy-padku tłumienia krytycznego (rysunek 63)

Rysunek 63 Zależność wychylenia ciała dla oscylatora tłumionego w funkcji czasu Roacuteżne kolory krzywej obrazują

zachowanie oscylatora dla roacuteżnych wartości wspoacutełczynnika tłumienia

Urządzenia tłumiące drgania amortyzatory

Doboacuter odpowiedniego wspoacutełczynnika tłumienia jest ważnym zagadnie-niem inżynierskim przy projektowaniu urządzeń mechanicznych Sto-sunkowo prostym przykładem może być tutaj zamykacz do drzwi ktoacutery ma zapewnić jak najszybsze zamknięcie drzwi tak aby zminimalizować straty ciepła z wewnątrz budynku Znając masę drzwi na etapie projek-towania możemy tak dobrać olej o odpowiedniej lepkości oraz sprężynę o odpowiednim wspoacutełczynniku sprężystości aby wspoacutełczynnik tłumienia

RUCH DRGAJĄCY

Strona 89898989

był roacutewny wartości krytycznego wspoacutełczynnika tłumienia Jeśli dobie-rzemy za mały wspoacutełczynnik tłumienia drzwi przed zamknięciem wyko-nają kilka oscylacji wokoacuteł położenia roacutewnowagi (jeśli mają taką możli-wość) lub uderzą we framugę Jeśli wspoacutełczynnik tłumienia będzie zbyt duży drzwi będą zamykały się powoli a może nawet mogą w ogoacutele się nie zamknąć Jeśli natomiast tak dobierzemy parametry że otrzymamy wartość krytyczną wspoacutełczynnika tłumienia drzwi zamkną się szybko nie powodując uderzenia we framugę Warto zwroacutecić uwagę na fakt że zimą gdy pod wpływem spadku temperatury lepkość oleju w zamykaczu rośnie nadmiernie wspoacutełczynnik tłumienia wzrasta spowalniając tempo zamykania drzwi Wymiana oleju w zamykaczu byłaby w takim przy-padku mało praktycznym rozwiązaniem ale podobny efekt można roacutew-nież osiągnąć poprzez regulację długości sprężyny

Innym ważnym przykładem tłumionego oscylatora harmonicznego jest amortyzator samochodowy Typowy amortyzator składa się z cylindra oraz tłoka na długim trzpieniu wokoacuteł ktoacuterego owinięta jest sprężyna Tłok dzieli cylinder na dwie części między ktoacuterymi może odbywać się przepływ oleju przez otwory w tłoku Wielkość otworoacutew oraz lepkość użytego płynu determinuje wspoacutełczynnik tłumienia ndash im mniejsza ich średnica i im większy wspoacutełczynnik lepkości płynu tym większy wspoacutełczynnik tłumienia uzyskujemy W typowych amortyzatorach war-tość wspoacutełczynnika tłumienia jest ustalona istnieją jednak rozwiązania pozwalające ją regulować Jednym z nich jest zastosowanie cieczy ktoacute-rych lepkość zwiększa się pod wpływem pola magnetycznego (magneto-reologiczne) lub elektrycznego (elektro-reologiczne) Układy elektro-niczne poprzez wytwarzanie odpowiedniego pola magnetycznego lub elektrycznego mogą płynnie zmieniać wspoacutełczynnik tłumienia amortyza-tora i w ten sposoacuteb wpływać na charakterystykę układu zawieszenia

Amortyzatory lotnicze muszą wytłumić zaroacutewno oscylacje o dużej am-plitudzie powstające podczas lądowania przy zetknięciu z Ziemią jak i mniejsze drgania powstające podczas szybkiej jazdy po płycie lotniska W tym celu stosuje się amortyzatory powietrzno-olejowe z dodatkową poduszka gazową tłumiącą drgania o dużej amplitudzie

ROZDZIAŁ 6

Strona 90909090

63 Drgania wymuszone z tłumieniem

Wiemy już że każdy układ charakteryzuje częstość kołowa drgań włas-nych ω0 oraz że tłumienie zmienia częstość drgań układu Na układ mogą jednak działać roacutewnież zewnętrzne siły wymuszające o charakte-rze okresowym Rozpatrzmy oscylator harmoniczny tłumiony ktoacutery bę-dzie pobudzany zewnętrzną siłą okresową z częstością kłową ω Woacutew-czas roacutewnanie ruchu oscylatora w postaci roacuteżniczkowej będzie miało postać

ωtxωt

x

m

b

t

x02

2

cos Ad

d

d

d=++ (623)

gdzie A oznacza amplitudę wymuszenia

Rozwiązania tego roacutewnania mają dość skomplikowaną postać i nie bę-dziemy ich wyprowadzać Przeanalizujemy tylko zależność amplitudy drgań od częstości wymuszenia i wspoacutełczynnika tłumienia

( ) 22220

22

1

ωωωm

~X MAX

γ+minus (624)

Jeśli częstotliwość kołowa wymuszenia ω zbliża się do częstotliwości kołowej drgań własnych oscylatora ω0 to amplituda drgań rośnie Gdy częstotliwość drgań wymuszających jest zgodna z częstotliwością drgań własnych amplituda drgań osiąga maksymalną wartość a w przypadku gdy nie ma tłumienia dąży do nieskończoności a zjawisko to nazywa się rezonansem

Zjawisko rezonansu mechanicznego może więc doprowadzić do uszko-dzenia budynkoacutew lub pojazdoacutew Jako przykład niszczącej siły rezonansu podawane jest zazwyczaj zawalenie się mostu w Angers w 1850 roku pod wpływem drgań wywołanych przemarszem wojska Rytm kroku żołnierzy zgadzał się z częstością własną konstrukcji mostu wiszącego co doprowadziło do zniszczenia podtrzymujących go wież We wspoacuteł-czesnych pojazdach na przykład zjawiska rezonansu mogą prowadzić do powstawania znacznych naprężeń mechanicznych na elementach kon-strukcyjnych i luzowania połączeń skrętnych Siłą wymuszającą drgania

RUCH DRGAJĄCY

Strona 91919191

mogą być roacutewnież fale sejsmiczne wywołane trzęsieniami ziemi i dlate-go w regionach aktywnych sejsmicznie w konstrukcji wysokich budyn-koacutew stosuje się roacuteżnego rodzaju amortyzatory oraz tzw TMD ndash tuned mass damper czyli dodatkowy oscylator o innej częstotliwości własnej ktoacutery przejmuje i rozprasza część energii drgań

ROZDZIAŁ 6

Strona 92929292

7 Stany skupienia materii

W tym rozdziale

o Ciało stałe o Płyny o Inne stany materii szkło tworzywa sztuczne

plazma o Przemiany fazowe

ROZDZIAŁ 7

Strona 94949494

Stany skupienia materii

Dotychczas opisywaliśmy ciała stałe ktoacutere charakteryzowały się ustalo-nym kształtem ktoacutere pod wpływem działającej na nie siły poruszały się (bryła sztywna) lub też nieznacznie sprężyście się odkształcały (sprę-żyna) W tym rozdziale omoacutewimy także inne cechy charakterystyczne ciał stałych oraz przedstawimy wybrane właściwości innych stanoacutew skupienia materii ndash cieczy i gazoacutew o ktoacuterych więcej moacutewić będziemy w dalszych rozdziałach

71 Ciało stałe

Cechami charakterystycznymi ciała stałego są

bull ustalony kształt i objętość

bull występowanie oddziaływań harmonicznych pomiędzy ato-mami i cząsteczkami W pewnym zakresie naprężeń ciało stałe zachowuje się jak sprężyna ndash ściśnięte wraca do pier-wotnego kształtu a odkształcenie sprężyste jest proporcjo-nalne do wartości przyłożonej siły Atomy ciała stałego wykonują drgania wokoacuteł położenia roacutewnowagi a amplituda tych drgań jest tym wyższa im wyższa jest temperatura

bull uporządkowanie dalekiego zasięgu Krystaliczne ciało stałe otrzymujemy powielając niewielki podstawowy jego frag-ment (tak zwaną komoacuterkę elementarną) w każdym z kierun-koacutew Taka powtarzalność układoacutew atomowych tzw perio-dyczność pozwala nam zatem na podstawie znajomości układu atomoacutew w danym miejscu określić dokładnie jakie jest położenie atomoacutew w dowolnym innym miejscu

STANY SKUPIENIA MATERII

Strona 95959595

72 Płyny

Płyny do ktoacuterych zaliczamy ciecze i gazy roacuteżnią się od ciał stałych reakcją na naprężenie ścinające Ciała stałe w reakcji na takie naprężenie (w pewnym zakresie wartości) odkształcają się sprężyście a po zwolnie-niu siły powracają do pierwotnego kształtu Płyny natomiast ulegają odkształceniu plastycznemu czyli obserwujemy płynięcie ciała i zmianę jego kształtu

Ciecze

Ciecze w odroacuteżnieniu od ciała stałego nie posiadają ustalonego kształtu choć są podobnie jak ciała stałe słabo ściśliwe Ciecze tworzą powierz-chnię swobodną oraz charakteryzują się uporządkowaniem bliskiego za-sięgu Oznacza to że najbliższe otoczenie atomoacutew jest takie samo Cie-cze tworzą cząsteczki o ustalonej strukturze Jednakże względne ułoże-nie cząsteczek względem siebie jest przypadkowe i dlatego możemy przewidzieć położenie sąsiedniego atomu ale nie jesteśmy w stanie obli-czyć dokładnie struktury w dalszym miejscu Ruch obrotowy i ruch po-stępowy cząsteczek cieczy jest znacznie ograniczony

Gazy

Gaz wypełnia całą dostępną objętość naczynia w ktoacuterym się znajduje Jest ściśliwy a odległości wzajemne między cząsteczkami są duże Cząsteczki gazu znajdują się w ciągłym ruchu chaotycznym (ruchy Browna) Istnieją także silne ruchy obrotowe i ruchy drgające wewnątrz cząsteczek Dominującą formą oddziaływań są zderzenia Prędkość cząsteczek jest większa niż w przypadku cieczy

73 Inne stany materii

Powyższe kryteria podziału stanoacutew skupienia odnoszą się do właściwoś-ci idealnych ciał stałych gazoacutew i cieczy W rzeczywistości obserwowa-ne są pewne odstępstwa od zaprezentowanych cech Istnieją roacutewnież ciała ktoacutere trudno jest jednoznacznie przyporządkować do określonej kategorii

ROZDZIAŁ 7

Strona 96969696

Szkło

Szkło jest materiałem w ktoacuterym podobnie jak w cieczy występuje jedy-nie uporządkowanie bliskiego zasięgu W warunkach w ktoacuterych je ob-serwujemy zachowuje ono jednak nie tylko objętość ale i kształt co jest cechą charakterystyczną ciał stałych

Szkło jest w istocie stanem metastabilnym tzw przechłodzoną cieczą ndash czyli cieczą ktoacuterej ruchy uległy zamrożeniu bez przejścia w stan stały (krystalizacji) Czas potrzebny na reorganizację ustawienia cząsteczek (tak zwany czas relaksacji) jest na tyle długi że obserwator nie zauważy efektu płynięcia pod wpływem działania sił ścinających Umowną granicą jest w tym przypadku czas relaksacji roacutewny 100 sekund ndash jeśli jest on kroacutetszy możemy nazywać dane ciało cieczą Zamrażanie ruchoacutew cząsteczek cieczy nazywane jest roacutewnież przejściem szklistym a jego temperatura oznaczana jako Tg ndash temperaturą przejścia szklistego

Istnieje przeświadczenie że efekty płynięcia szkła są widoczne przy odpowiednio długiej obserwacji czyli w wystarczająco bdquostarychrdquo obiek-tach Dokładne badania szkła wytworzonego w starożytnym Egipcie oraz szkła użytego w witrażach średniowiecznych katedr wykazało jednak że czas potrzebny na obserwację efektu płynięcia dla tych szkieł w tempe-raturze pokojowej jest poroacutewnywalny z wiekiem wszechświata a więc trudny do zaobserwowania w normalnych warunkach Atomy szkła za-czynają się szybciej ruszać czyli szkło zaczyna płynąć dopiero po podgrzaniu powyżej temperatury przejścia szklistego co wykorzystywa-ne jest w hutach szkła do nadawania mu oczekiwanych kształtoacutew

Tworzywa sztuczne

Z tworzyw sztucznych zbudowane są takie przedmioty codziennego użytku jak opona gumowa piłka lub zderzak większości nowoczesnych samochodoacutew Wydaje się że zaroacutewno przedmioty te jak i materiał z ktoacuterych są zbudowane spełniają kryteria stawiane ciału stałemu Okazuje się jednak że roacutewnież w tych materiałach nie istnieje uporząd-kowanie dalekiego zasięgu a charakter oddziaływań między cząsteczka-mi jest harmoniczny jedynie w wąskim zakresie przyłożonych naprężeń

Tworzywa sztuczne są zbudowane z łańcuchoacutew polimerowych gdzie identyczne cząsteczki połączone są w długie łańcuchy Oddziaływania między łańcuchami mają złożony charakter i zależą od struktury łańcucha Prostym modelem tworzywa sztucznego może być miska pełna spaghetti Pojedyncze nitki makaronu oddziałują ze sobą nie tylko poprzez tarcie ale dodatkowo występują roacuteżnorakie zapętlenia i zawęźle-

STANY SKUPIENIA MATERII

Strona 97979797

nia w efekcie czego makaron nie rozpływa się W tworzywach sztucz-nych poprzez tzw sieciowanie można dodatkowo zwiększyć oddziały-wania między łańcuchami zwiększając ich wytrzymałość W tworzy-wach sztucznych często nawet nieznaczne modyfikacje materiału wyj-ściowego zmieniają zachowanie tworzywa z typowego dla cieczy na typowe dla ciała stałego

Rozciągnięcie lub ściśnięcie opony widziane w ujęciu mikroskopowym jest związane przede wszystkim z rekonfiguracją wzajemnego położenia łańcuchoacutew Gdybyśmy umieścili wewnątrz opony miernik temperatury okazałoby się że na skutek rozciągania i ściskania zmienia się lokalnie jej temperatura ndash zachodzi przemiana termodynamiczna

Plazma

Obok ciał stałych cieczy i gazoacutew wymienia się zazwyczaj roacutewnież czwarty stan skupienia materii ndash stan plazmy Jest to stan o najwyższej energii w ktoacuterym materia jest zjonizowana i składa się z naładowanych cząstek o przeciwnych znakach ładunku elektrycznego W odroacuteżnieniu od innych stanoacutew skupienia w stanie plazmy oddziaływanie pomiędzy cząsteczkami ma charakter dalekozasięgowy czyli nie ogranicza się do najbliższych sąsiadoacutew ale każda z naładowanych cząstek oddziałuje z wieloma innymi dalszymi cząstkami Plazma jest bardzo dobrym prze-wodnikiem elektrycznym

Materię w tym stanie możemy obserwować min w płomieniu i łuku elektrycznym jak roacutewnież w wyładowaniu następującym w lampach jarzeniowych i w wyładowaniach atmosferycznych

74 Przejścia między stanami ndash przemiany fazowe

Stan skupienia danego ciała zależy od takich wielkości makroskopowych jak objętość temperatura czy ciśnienie Analizując stany w jakich wy-stępuje dane ciało przy określonych wielkościach makroskopowych mo-żemy przygotować tak zwany diagram fazowy ktoacutery zwyczajowo przedstawia się na wykresie ciśnienia od temperatury Linie stanowiące granicę występowania danej fazy związane są ze zmianą stanu skupienia Ponieważ stany skupienia roacuteżnią się między sobą zaroacutewno energią jak i charakterem oddziaływań zmiana stanu skupienia wymaga dostarcze-

ROZDZIAŁ 7

Strona 98989898

nia lub odebrania tej energii Dokładniejszą dyskusję przemian fazowych przeprowadzimy w rozdziale poświęconym termodynamice Teraz jedynie wymienimy przemiany fazowe

Przejście pomiędzy ciałem stałym a cieczą nazywamy topnieniem Przy-kładem jest topnienie lodu lub proces przetapiania złomu w hucie W procesie topnienia energia cząsteczek zwiększa się i następuje zerwa-nie wiązań W pewnych warunkach ciało stałe może roacutewnież przejść bezpośrednio w stan gazowy ndash proces taki nazywamy sublimacją Sublimację obserwujemy w mroźne zimy ndash obecny na obiektach szron i loacuted stopniowo znika bez udziału pośredniego procesu topnienia

Ciecz przechodząc w stan stały ulega krystalizacji Podczas obniżania temperatury cieczy maleje energia kinetyczna cząsteczek cieczy i domi-nować zaczynają procesy porządkowania atomoacutew w charakterystyczną dla danego związku periodyczną strukturę krystaliczną Cząsteczki tracą możliwość przemieszczania się ruchem postępowym - w ciele stałym dominują ruchy drgające polegające na niewielkich oscylacjach wokoacuteł położenia roacutewnowagi Podczas ogrzewania cieczy natomiast wzrasta energia kinetyczna cząsteczek Gdy ta energia jest odpowiednio duża i cząsteczka cieczy jest w stanie pokonać siły oddziaływania międzyczą-steczkowego fazy ciekłej odrywa się do cieczy co nazywamy parowaniem Warto zwroacutecić uwagę na to że parowanie nie następuje tylko w temperaturze wrzenia cieczy

Rysunek 71 Schematyczny diagram fazowy Zaznaczono kierunki zachodzących przemian fazowych

STANY SKUPIENIA MATERII

Strona 99999999

Cząsteczki znajdujące się na powierzchni cieczy mają szansę uwolnić się do fazy gazowej w całym zakresie temperatur w ktoacuterych ciecz istnieje jednak intensywność tego procesu jest roacuteżna w roacuteżnych warunkach Podczas wrzenia natomiast zmiana stanu skupienia następuje w całej objętości cieczy

Procesem odwrotnym do parowania jest skraplanie Proces ten obser-wujemy na przykład w postaci rosy w chłodne poranki a warunki makroskopowe (temperatura i ciśnienie) niezbędne do jego zajścia nazy-wamy punktem rosy Gaz może roacutewnież przejść do fazy stałej bezpo-średnio w wyniku resublimacji Przykładem resublimacji jest osadzanie się szronu na chłodnych powierzchniach Zjawisko resublimacji wyko-rzystywane jest w procesie technologicznym wytwarzania cienkich warstw na potrzeby elektroniki

W przypadku typowego zachowania materii możemy tak dobrać ciśnie-nie objętość i temperaturę ciała aby otrzymać stan w ktoacuterym wspoacutełist-nieć mogą trzy fazy gazowy ciekły i ciało stałe Taki punkt na diagra-mie fazowym nazywamy punktem potroacutejnym

ROZDZIAŁ 7

Strona 100100100100

8 Hydrostatyka i hydrodynamika

W tym rozdziale

o Ciśnienie o Prawo Pascala o Siła wyporu ndash prawo Archimedesa o Roacutewnanie Bernoulliego dysza skrzydło samolotowe o Płyny rzeczywiste wiry i turbulencje o Opoacuter dynamiczny

ROZDZIAŁ 8

Strona 102102102102

81 Hydrostatyka

Hydrostatyka i hydrodynamika opisują własności i zachowanie płynoacutew czyli cieczy oraz gazoacutew

Ciśnienie

Jedną z kluczowych wielkości charakteryzujących płyny jest ciśnienie

Ciśnienie definiujemy jako stosunek siły wywieranej na daną powierzchnię do wielkości tej powierzchni A

A

Fp = (81)

Jednostką ciśnienia jest paskal (1Pa=1Nm2) ktoacutery odpowiada sile 1 N działającej na powierzchnię 1 metra kwadratowego

Ponieważ ciśnienia spotykane w opisie zjawisk przyrodniczych są wielo-krotnie większe np ciśnienie wywierane przez atmosferę jest roacutewne około 105 Pa powstały jednostki takie jak atmosfera fizyczna atmosfera techniczna oraz bar W motoryzacji natomiast często używa się jednostki angielskiej ndash psi czyli funt na cal kwadratowy Podczas gdy w technice proacuteżniowej z kolei często stosowaną jednostką jest tor

Tabela 81 Wybrane jednostki ciśnienia

Dla nieściśliwego płynu ciśnienie hydrostatyczne na pewnej głębokości h pod powierzchnią cieczy zależy wyłącznie od tej głębokości

ghpp 0 ρ+= (82)

gdzie po jest ciśnieniem wywieranym przez atmosferę na powierzchnię cieczy a ρ ndash gęstością płynu W celu przeprowadzenia dowodu tego twierdzenia wyodrębnijmy bdquowycinekrdquo cieczy o płaskich podstawach (np walec) Jeśli w cieczy nie ma ruchoacutew konwekcyjnych wycinek ten nie

mm Hg Tr At Atm bar Psi 1333 9807sdot10

4 1013sdot10

5 10sdot10

5 6893sdot10

3

HYDROSTATYKA I HYDRODYNAMIKA

Strona 103103103103

unosi się ani nie opada a zatem siły działające na obie postawy (goacuterną i dolną) muszą się roacutewnoważyć Siłę działającą na goacuterną podstawę

możemy wyrazić poprzez ciśnienie przy goacuternej krawędzi Gp oraz pole powierzchni tego walca A

ApF GG = (83)

Podobnie możemy wyznaczyć siłę działającą na dolną podstawę

ApF DD = (84)

Siłę działającą na dolną podstawę można roacutewnież wyznaczyć sumując siłę działającą na goacuterną podstawę oraz siłę ciężkości rozważanego bdquowycinkardquo

ghAApmgApF DDD ρ+=+= (85)

Jeżeli poroacutewnamy zależności 84 i 85 to po podzieleniu obu stron przez powierzchnię A otrzymujemy roacutewnanie 82 Wzrost ciśnienia wywołany głębokością pod powierzchnią płynu jest związany z ciężarem tego pły-nu W przypadku ogoacutelnym rozważany bdquowycinekrdquo cieczy może obejmo-wać cały słup cieczy począwszy od jej powierzchni na ktoacuterej panuje ciśnienie p0

Barometr cieczowy

Barometr cieczowy jest prostym urządzeniem do pomiaru ciśnienia at-mosferycznego za pomocą ciśnienia hydrostatycznego Barometr cieczo-wy składa się z płaskiej zlewki i długiej rury zamkniętej na jednym końcu Zaroacutewno zlewkę jak i rurę napełniamy cieczą a następnie rurę odwracamy tak by jej otwarty koniec znalazł się pod powierzchnią płynu w zlewce (rysunek 81) Wydawać by się mogło że skoro powierzchnia cieczy w rurce znajduje się wyżej od powierzchni płynu w zlewce czyli ma wyższą energię potencjalną ciecz znajdująca się w rurze powinna w całości wypłynąć do zlewki Tymczasem obserwuje-my jedynie obniżenie się wysokości słupa cieczy do pewnej wysokości Toricelli stwierdził że w rurce ustala się taki poziom płynu ktoacutery roacutewnoważy zewnętrzne ciśnienie atmosferyczne działające na otwartą zlewkę

ghp ρ=0 (86)

ROZDZIAŁ 8

Strona 104104104104

Rysunek 81 Barometr cieczowy

Przy zmieniającym się ciśnieniu atmosferycznym zmieniać się będzie roacutewnież wysokość słupa płynu a więc układ taki może być stosowany jako barometr do pomiaru ciśnienia atmosferycznego W praktyce najczęściej stosuje się barometry rtęciowe gdyż ze względu na wysoką gęstość rtęci barometr taki nie musi być bardzo wysoki ndash ciśnienie słupa rtęci o wysokości około 760mm jest poroacutewnywalne z ciśnieniem atmosferycznym

Wpływ ciśnienia słupa płynu należy uwzględniać np przy projektowaniu sieci wodociągowej i ujęć wody Jeśli roacuteżnica wysokości między ujęciem wody a punktem odbioru jest znaczna (źroacutedło znajduje się na przykład na zboczu goacutery) stosuje się reduktory ciśnienia tak aby rury doprowadzające wodę nie zostały rozsadzone Z odwrotnym problemem spotykamy się dostarczając wodę do wysokich budynkoacutew ndash przy zasilaniu bezpośrednio z sieci wodociągowej woda ma właściwe ciśnienie jedynie na najniższych piętrach Z tego względu w niektoacuterych przypadkach wodę pompuje się najpierw na najwyższe piętra by następnie przez odpowiednią redukcję ciśnienia uzyskać pożądaną wartość na poszczegoacutelnych kondygnacjach Regulacji ciśnienia w sieci wodociągowej mogą służyć roacutewnież tzw wieże ciśnień ndash wysokość słupa wody zgromadzonego w wieży określa ciśnienie w połączonej z nią sieci wodociągowej Przykładem naturalnej bdquowieży ciśnieńrdquo są tzw studnie artezyjskie Jeśli teren jest zagłębiony ndash tworzy tzw nieckę artezyjską a warstwa wodonośna jest uwięziona pomiędzy słabo przepuszczalnymi skałami ciśnienie wywierane przez wodę z warstwy na uniesionych brzegach niecki powoduje samorzutne wypływanie wody w zagłębionej części niecki

HYDROSTATYKA I HYDRODYNAMIKA

Strona 105105105105

Prawo Pascala

Ciśnienie w cieczy rozchodzi się we wszystkich kierunkach jednakowo

Powyższe prawo Pascala jest podstawą działania systemoacutew hydraulicz-nych Wzrost ciśnienia w jednym punkcie zamkniętego układu powoduje identyczny i natychmiastowy wzrost ciśnienia we wszystkich innych punktach Prostym przykładem wykorzystania tego prawa jest bębnowy hamulec hydrauliczny Naciskając pedał hamulca wciskamy (za pośred-nictwem dźwigni) tłok w niewielkim cylindrze wypełnionym cieczą Ponieważ średnica tłoka jest niewielka to siła ktoacuterą naciskamy pedał powoduje znaczny wzrost ciśnienia cieczy w układzie hamulcowym (ciś-nienie jest odwrotnie proporcjonalne do powierzchni na ktoacuterą działa siła zgodnie z roacutewnaniem 81) Poprzez przewoacuted hamulcowy ciśnienie to jest przekazywane do cylindra z dwoma tłokami znajdującego się wewnątrz mechanizmu hamulca W tej części układu powierzchnia tłokoacutew jest znacznie większa a więc siła z jaką tłoki dociskają okładki hamulcowe do wewnętrznej części bębna jest wielokrotnie większa niż siła nacisku na pedały wytwarzając w ten sposoacuteb duży moment hamujący

Zasada działania podnośnika hydraulicznego (prasy hydraulicznej) roacutew-nież może być wyjaśniona w oparciu o prawo Pascala Prasa hydraulicz-na składa się z połączonych ze sobą dwoacutech cylindroacutew o roacuteżnych średni-cach (rysunek 82) Naciskając jeden z nich o powierzchni S1 siłą F1 wytwarzamy ciśnienie

1

1

S

Fp = (87)

W układzie zamkniętym prasy dokładnie takie samo ciśnienie będzie działało na drugi tłok jeśli tylko znajduje się on na identycznej wysokości (jeśli wysokości byłyby roacuteżne należałoby uwzględnić dodat-kowe ciśnienie słupa cieczy) Możemy zatem obliczyć siłę F2 działającą na drugi tłok o powierzchni S2

2

1

1

2 SS

FF = (88)

Siła F2 zależy zatem od stosunku powierzchni tłokoacutew Jeśli średnica mniejszego tłoka wynosi 1cm a średnica większego 10cm (czyli po-wierzchnia tłoka jest 100 razy większa) to naciskając na mniejszy tłok

ROZDZIAŁ 8

Strona 106106106106

siłą 100N (około 10kg) wytwarzamy na większym tłoku siłę stokrotnie większą zdolną podnieść masę jednej tony Za pomocą przenośnego podnośnika hydraulicznego możemy zatem łatwo unieść samochoacuted w celu dokonania napraw W dużych prasach siła ta może osiągać kilka-set ton co jest wystarczające np do formowania blach karoserii samochodowych

Rysunek 82 Schemat budowy podnośnika hydraulicznego

Warto zwroacutecić uwagę że przemieszczenie dużego tłoka w powyższej prasie hydraulicznej jest odpowiednio mniejsze Aby uzyskać przemiesz-czenie dużego tłoka o 1cm przy danych identycznych jak w powyższym przykładzie mniejszy tłok należałoby przesunąć o 1 metr Ponieważ w praktyce może być to trudne do zrealizowania w systemach siłowni-koacutew hydraulicznych stosuje się system zaworoacutew zwrotnych ndash pozwalają-cych na przepływ płynu tylko w jedną stronę W podnośniku ręcznym zawoacuter zwrotny pozwala na wielokrotny ruch mniejszego tłoka w celu uzyskania odpowiedniego przesunięcia dużego tłoka W obu przypad-kach wykonana praca jest jednak identyczna Przyjmując oznaczenie przemieszczenia tłoka jako x otrzymujemy

222

2

2

1

1

2

2

1

1111 WxFS

VF

S

VS

S

F

S

VFxFW ====== (89)

Siła wyporu ndash prawo Archimedesa

Zgodnie z prawem Archimedesa

Na ciało zanurzone w płynie działa siła wyporu skierowana pionowo do goacutery roacutewna ciężarowi wypartego płynu

HYDROSTATYKA I HYDRODYNAMIKA

Strona 107107107107

gVF cW ρ= (810)

Wzoacuter na wartość siły wyporu można wyprowadzić w sposoacuteb analogicz-ny do zastosowanego przy wyznaczaniu ciśnienia wywieranego przez słup cieczy Wyodrębnijmy z cieczy o gęstości ρ fragment o objętości V polu przekroju S oraz wysokości h ktoacutery ani nie tonie ani nie unosi się Oznacza to że ciężar tego fragmentu musi być zroacutewnoważony przez siłę wyporu skierowaną w goacuterę Rozważania te nie zmienią się jeżeli na miejsce wyodrębnionego fragmentu wstawimy badane ciało w szczegoacutel-ności nie zmieni się wartość siły wyporu ndash wartość siły wyporu zależy od objętości zanurzonego ciała oraz gęstości cieczy w ktoacuterej te ciało jest zanurzone W przypadku ciał pływających na powierzchni wody prawo Archimedesa możemy sformułować w następujący sposoacuteb

Ciało pływające na powierzchni wody wypiera ilość wody ważącą tyle ile samo waży

Ciało pływające na powierzchni wypiera jedynie tyle wody ile wynosi objętość jego zanurzonej części Siła wyporu związana jest z objętością wypartej cieczy o gęstości ρc czyli tylko z częścią zanurzoną ciała Vz ale siła ta roacutewnoważy ciężar całego ciała (mg) co zapisujemy

gVmg cz ρ= (811)

Działania siły wyporu możemy doświadczyć pływając w wodzie Biorąc pod uwagę powietrze zgromadzone w płucach ciało ludzkie ma średnią gęstość mniejszą od wody co pozwala mu unosić się na powierzchni Pojazdy i konstrukcje pływające mają roacutewnież średnią gęstość mniejszą od wody ndash choć kadłub statku jest wykonany ze stali o znacznie większej gęstości od wody ale średnia gęstość liczona dla całej bryły okrętu jest mniejsza od gęstości wody Siła wyporu unosi roacutewnież balony zaroacutewno wypełnione gazami lżejszymi od powietrza (hel wodoacuter) jak i napełnione ogrzanym powietrzem W obu przypadkach balon unosi się ponieważ średnia gęstość liczona dla całej bryły balonu jest mniejsza niż gęstość otaczającego powietrza

Jak wynika z prawa Archimedesa i jak widać w przytoczonych przykładach siła wyporu zależy od gęstości płynu w ktoacuterym ciało jest zanurzone Oznacza to roacutewnież że mierząc siłę wyporu możemy mierzyć gęstości cieczy Urządzenia wykorzystujące ten efekt nazywa się areometrami i stosowane są zaroacutewno w przemyśle winiarskim (do wyznaczania zawartości alkoholu) jak i paliwowym Areometr ma zwykle kształt długiej rurki obciążonej na jednym końcu Po umieszcze-niu w cieczy przyjmuje pozycję pionową Głębokość zanurzenia pływa-

ROZDZIAŁ 8

Strona 108108108108

ka zależy od gęstości cieczy ndash jeśli gęstość jest mniejsza (np więcej alkoholu w stosunku do wody) zmniejsza się siła wyporu i pływak zanurza się głębiej Jeśli gęstość jest większa zanurzenie zmniejsza się Podobnie dzieje się z naszym ciałem ndash w gęstszej wodzie słonej siła wyporu jest większa i łatwiej jest unosić się na powierzchni Z tego samego powodu trudno jest utonąć w tzw grząskich piaskach ndash ich gęstość jest znacznie większa niż gęstość ludzkiego ciała

Prawo Archimedesa w praktyce wykorzystywane jest w roacuteżnych urzą-dzeniach hydrologicznych Na przykład w niektoacuterych krajach odcinki kanałoacutew żeglugowych poprowadzone są na wiaduktach Kiedy barka wpływa na taki wiadukt obciążenie konstrukcji nie zmienia się jednak ponieważ barka pływając na powierzchni wody wypiera z kanału do-kładnie tyle wody ile sama waży

82 Hydrodynamika

Hydrodynamika opisuje zjawiska związane z przepływem płynoacutew W pierwszym przybliżeniu badany ośrodek możemy zastąpić płynem idealnym ktoacutery wyroacuteżnia się następującymi cechami

bull Przepływ laminarny ndash prędkość poruszającego się płynu w każdym wybranym punkcie nie zmienia się z upływem czasu

bull Przepływ nieściśliwy ndash gęstość płynu jest stała

bull Przepływ nielepki ndash brak strat związanych z oporem wewnętrznym

bull Przepływ bezwirowy ndash zawieszona w płynie cząstka nie obraca się względem środka masy

Roacutewnanie ciągłości

W celu zobrazowania przepływu płynu idealnego wygodnie jest wpro-wadzić linie prądu Są to linie w każdym punkcie styczne do toru oraz prędkości cząstki zawieszonej w płynie Rozpatrzmy strugę nieściśliwe-go płynu definiowaną jako zespoacuteł linii prądu wypełniających poprzeczny

HYDROSTATYKA I HYDRODYNAMIKA

Strona 109109109109

do linii prądu mały kontur zamknięty (rurkę prądu) Jeżeli płyn jest nieściśliwy oraz w rurce prądu nie ma żadnych źroacutedeł ani wypływoacutew woacutewczas masa płynu przepływająca w jednostce czasu przez dowolny przekroacutej poprzeczny tej strugi musi być taka sama Zasadę zachowania masy dla takiej strugi płynu można więc zapisać

22 mtSρtSρm 111 dddd 2 === vv (812)

gdzie dm1 oraz dm2 oznaczają masę strugi płynu ktoacutera w czasie dt prze-pływa z prędkością v1 oraz v2 przez przekroacutej strugi o powierzchni odpo-wiednio S1 oraz S2 Po przekształceniach otrzymujemy roacutewność

21 vv 21 SS = (813)

co zapisujemy jako tzw roacutewnanie ciągłości

const=vS (814)

gdzie S jest polem przekroju poprzecznego zaś v prędkością przepływu płynu przez ten przekroacutej Z roacutewnania tego wynika że im węższy jest przekroacutej tym większa prędkość przepływu cieczy Efekt taki możemy zaobserwować na przykład dla wody w koryta rzecznego Jeśli koryto jest szerokie rzeka płynie powoli natomiast jeśli koryto jest wąskie ndash np w miejscu przełomu przez warstwy skał ndash prędkość nurtu zwiększa się

Roacutewnanie Bernoulliego

Roacutewnanie Bernoulliego określa związek między ciśnieniem cieczy prędkością jej przepływu oraz wysokością na ktoacuterej znajduje się ta ciecz

Rozpatrzmy rurę o zmiennym przekroju ktoacuterej dwa końce znajdują sie na roacuteżnych wysokościach jak na rysunku 83 Przepływ płynu z dolnej części (indeksy 1) do goacuternej części (indeksy 2) odbywa się pod wpły-wem siły parcia F1 zdefiniowanej przez ciśnienie p1

ROZDZIAŁ 8

Strona 110110110110

Rysunek 83 Ilustracja roacutewnania Bernoulliego

Siła ta przesuwając płyn o pewną odległość l1 wykonuje pracę

11111111 VpSpFW === ll (815)

Przesunięciu temu przeciwdziałać będzie siła parcia F2 związana z ciśnieniem p2 ktoacutera wykona pracę

22222222 VpSpFW minus=minus=minus= ll (816)

Ponieważ zgodnie z roacutewnaniem ciągłości taka sama objętość płynu przesunie się w dolnej i goacuternej części rury więc wypadkowa praca wykonana przez siły parcia wynosi

V)p(pVpVpW 2111 minus=minus=∆ 22 (817)

Praca sił parcia wpływać będzie na zmianę energii kinetycznej i poten-cjalna tej porcji płynu o objętości V Płyn ten przepływając z prędkością v1 przez rurę znajdującą się na wysokości y1 będzie miał energię

11 mgymE += 212

1v (818)

gdzie m oznacza masę porcji płynu o objętości V oraz gęstości ρ Zmiana energii płynu przepływającego przez rozważaną rurę wynosić więc będzie

221 mgymmgymE minusminus+=∆ 221 2

1

2

1vv (819)

Jeśli przyroacutewnamy zmianę energii płynu oraz wypadkową pracę sił parcia po podzieleniu roacutewnania przez objętość otrzymamy

HYDROSTATYKA I HYDRODYNAMIKA

Strona 111111111111

2

2

221

2

11 gy2

1pgy

2

1p ρρρρ ++=++ vv (820)

Powyższe wyprowadzenie można uogoacutelnić w postaci tzw roacutewnania Bernoulliego ktoacutere moacutewi że dla dowolnych dwoacutech przekroi rurki cieczy idealnej suma trzech ciśnień ndash statycznego hydrostatycznego oraz spiętrzania ndash jest stała

const=++ hg2

1p

2 ρρv (821)

Z roacutewnania Bernoulliego wynika na przykład że jeżeli będziemy rozpatrywać przepływ płynu na stałej wysokości (ciśnienie hydrostatyczne jest stałe) woacutewczas im większa jest prędkość przepływu cieczy (ciśnienie spiętrzania) tym mniejsze jest ciśnienie statyczne wytwarzane przez tę ciecz Efekt ten wykorzystujemy w szeregu urządzeń

Dysza

W pistolecie natryskowym wykorzystuje się strumień gazu poruszający się z dużą prędkością W miejscu podłączenia zbiornika z farbą znajduje się przewężenie o przekroju znacznie mniejszym niż przekroacutej wlotu dyszy Z roacutewnania ciągłości wiemy że w takim przewężeniu gaz ma znacznie większą prędkość niż przy wlocie i wylocie dyszy Z roacutewnania Bernoulliego zaś wynika że w takim punkcie gdzie prędkość przepływu płynu jest wysoka ciśnienie jest niskie Przy odpowiednio wąskim przewężeniu uzyskamy na tyle niskie ciśnienie (proacuteżnię) że farba jest zasysana do wnętrza dyszy gdzie jej kropelki są rozpylane w strumieniu przepływającego powietrza i mogą być wykorzystane do roacutewnomiernego rozprowadzenia farby Wykorzystując podobną konstrukcję można roacutewnież budować miniaturowe pompy proacuteżniowe a także przyrządy do pomiaru prędkości gazu

Skrzydło samolotu

Roacutewnanie Bernoulliego pozwala roacutewnież wyjaśnić zasadę wytwarzania siły nośnej przez skrzydło samolotu Niesymetryczny kształt przekroju płata skrzydła powoduje powstawanie roacuteżnicy prędkości strumienia powietrza powyżej i poniżej płata Roacuteżnica ta zależy od tzw kąta natarcia ndash określonego umownie pomiędzy cięciwą skrzydła a kierun-kiem strugi powietrza Przy pewnym kącie natarcia prędkości powietrza owiewającego płat są sobie roacutewne ciśnienie po obu stronach płata jest zatem roacutewnież identyczne Płat nie wytwarza wtedy siły nośnej Jeśli

ROZDZIAŁ 8

Strona 112112112112

zwiększymy kąt natarcia masy powietrza opływające skrzydło od goacutery muszą pokonać dłuższą drogę a więc prędkość powietrza na goacuternej powierzchni płata jest większa niż na dolnej Zatem zgodnie z roacutewna-niem Bernoulliego ciśnienie na goacuternej powierzchni jest niższe Roacuteżnica ciśnień po obu stronach płata powoduje powstanie siły nośnej unoszącej samolot Im większy kąt natarcia tym większa siła nośna ndash należy jednak pamiętać że przy zbyt dużym kącie natarcia wzrastają roacutewnież siły hamujące działające na układ Dochodzi wtedy do tzw przeciągnię-cia ndash zbyt duży kąt natarcia powoduje utratę prędkości i w konsekwencji spadek siły nośnej

Rysunek 84 Linie prądu powietrza opływającego skrzydło samolotu

Płyny rzeczywiste

Opis zachowania płynoacutew rzeczywistych jest znacznie bardziej złożony niż idealnych Płyny rzeczywiste roacuteżnią się od idealnych przede wszystkim niezerową lepkością oraz ściśliwością

Ściśliwość opisuje zmianę objętości obiektu pod wpływem ciśnienia zewnętrznego Gazy charakteryzują się znacznie większą ściśliwością niż ciecze jednak w pewnym zagadnieniach można ją roacutewnież zanied-bać Kryterium jest tzw liczba Macha ktoacutera wyraża się stosunkiem prędkości przepływu gazu do prędkości dźwięku w tym gazie Jeśli prędkość przepływu jest znacznie mniejsza od prędkości dźwięku ściśliwość gazu można zaniedbać

Lepkość płynu jest związana z tarciem wewnętrznym występującym w płynie Jeśli podzielimy płyn na cienkie warstwy ułożone roacutewnolegle do linii prądu to tarcie wewnętrzne określa wielkość sił oporu występu-jących pomiędzy poszczegoacutelnymi warstwami Jeśli lepkość jest niewiel-ka czyli wpływ sił lepkości na ruch płynu jest niewielki to przepływają-cy płyn nie napotyka na przeszkody i poszczegoacutelne warstwy płynu poru-

HYDROSTATYKA I HYDRODYNAMIKA

Strona 113113113113

szają się ze zbliżoną prędkością Jeśli w strumieniu cieczy znajduje się nieruchomy obiekt na skutek oddziaływania sił lepkości warstwa płynu najbliższa jego powierzchni będzie poruszała się z niewielką prędkością ndash w przybliżeniu można przyjąć że warstwa ta znajduje się w spo-czynku Kolejne warstwy coraz bardziej odległe od przeszkody będą poruszały się z coraz większą prędkością Stosunek sił tarcia wewnę-trznego do powierzchni warstwy możemy wyrazić jako tzw naprężenie styczne τ

y

ηA

Tτ x

part

part==

v (822)

Naprężenie styczne jest wprost proporcjonalne do gradientu prędkości występującego pomiędzy kolejnymi warstwami płynu Wspoacutełczynnik proporcjonalności nazywamy dynamicznym wspoacutełczynnikiem lepkości η a jego jednostką jest paskal sekunda [Pas]

Wiry i turbulencje

Cechą charakterystyczną płynoacutew rzeczywistych jest możliwość występo-wania w nich turbulencji i wiroacutew Przepływ wirowy występuje wtedy kiedy wydzielony przez obserwatora element płynu ulega obrotowi Oproacutecz obrotu wokoacuteł punktu wyznaczającego środek wiru obroacutet może następować także (w sposoacuteb jednoczesny) wokoacuteł osi własnej elementu Można to poroacutewnać do karuzeli w wesołym miasteczku na ktoacuterej fotele obracają się nie tylko wokoacuteł osi karuzeli ale roacutewnież własnej osi Powstawanie wiroacutew można obserwować min za przeszkodami w nurcie rzeki czy też za skrzydłem samolotu Podczas pokazoacutew lotniczych często prezentowane są bdquoskrzydła aniołardquo ktoacutere powstają w wyniku rozpylenia przez lecący samolot barwnika w powietrzu Drobiny barwnika zostają zassane przez wir powstający za skrzydłami a następnie opadają Przepływ wirowy powstaje roacutewnież za lotkami skrzydeł ptakoacutew Grupowanie się ptakoacutew w klucz podczas migracji jest metodą redukcji oporu związanego z powstawaniem wiroacutew Warto zwroacutecić uwagę że przyczyną powstawania roacuteżnego rodzaju wiroacutew może być roacutewnież np siła Coriolisa związana z ruchem obrotowym Ziemi Kierunek obrotu wiru nad otworem odpływowym zbiornika jest na poacutełkuli poacutełnocnej Ziemi zawsze identyczny i proacuteby bdquoodwroacuteceniardquo go nie powiodą się

Z turbulencjami mamy do czynienia wtedy kiedy przepływ nie jest stacjonarny ndash kierunek i wartość prędkości w danym punkcie ulegają zmianom w czasie Prostym przykładem turbulencji są bystrza rzeki i wodospady - widzimy że choć średni kierunek przepływu jest iden-

ROZDZIAŁ 8

Strona 114114114114

tyczny układ rozbryzgoacutew wody w poszczegoacutelnych punktach zmienia się w czasie Turbulencje powstają roacutewnież w strumieniach mas powietrza Szczegoacutelnie narażone na to zjawisko są zawietrzne stoki goacuter ale turbu-lencje mogą pojawiać się roacutewnież na granicy mas powietrza o roacuteżnych temperaturach wilgotności itp

Opoacuter dynamiczny

Płyn opływający ciało napotyka na opoacuter dynamiczny na ktoacutery składają się dwa czynniki ndash siły tarcia wewnętrznego T i tzw opoacuter ciśnieniowy R

Siły tarcia wewnętrznego związane są z lepkością opływającego płynu i zależą liniowo od prędkości v obiektu względem strumienia płynu

vLBηT = (823)

gdzie B jest wspoacutełczynnikiem proporcjonalności η oznacza wspoacutełczyn-nik lepkości a L określa tzw rozmiar ciała Dla kuli umownie przyjmuje się wielkość L roacutewną jej promieniowi

Opoacuter ciśnieniowy jest związany z naciskiem strumienia płynu na powierzchnię czołową przeszkody oraz koniecznością bdquorozepchnięciardquo przez przeszkodę warstw płynu ktoacutery go opływa Wartość oporu ciśnieniowego R jest proporcjonalna do kwadratu prędkości

222 vv LCρACρR == (824)

gdzie ρ oznacza gęstość cieczy a A powierzchnię ndash ktoacutera zależy od wymiaru ciała L w kwadracie Wspoacutełczynnik C jest stałą proporcjonal-ności ktoacutera zależy od kształtu ciała i dla kuli przykładowo wspoacutełczynnik ten wynosi około 015

Liczba Reynoldsa Re jest definiowana poprzez stosunek oporu ciśnie-niowego do tarcia wewnętrznego

ReB

C

η

ρL

B

C

LBη

LCρ

T

R===

v

v

v22

(825)

Liczba Reynoldsa charakteryzuje tzw podobieństwo hydrodynamiczne ndash jeśli warunki przepływu dwoacutech płynoacutew są określone identycznymi licz-bami Reynoldsa ich przepływ będzie miał podobny charakter Jeśli licz-ba Reynoldsa jest znacznie mniejsza od jedności przepływ ma charakter warstwowy a dominującą rolę mają siły lepkości Jeśli liczba Reynoldsa

HYDROSTATYKA I HYDRODYNAMIKA

Strona 115115115115

jest znacznie większa od jedności przepływ ma charakter burzliwy a na opoacuter decydujący wpływ ma opoacuter ciśnieniowy i powstające za obiektem turbulencje

W przypadku nadwozia samochodowego decydujące znaczenie ma opoacuter ciśnieniowy i dlatego siły oporu aerodynamicznego rosną z kwadratem prędkości Niski wspoacutełczynnik oporu ciśnieniowego jest korzystny ze względu na zużycie paliwa i uzyskiwaną prędkość maksymalną ale może pogarszać kontakt pojazdu z nawierzchnią Z tego względu stosuje się tzw spoilery ktoacutere działając podobnie jak skrzydło samolotu wytwa-rzają siłę dociskającą pojazd do drogi W przypadku bolidoacutew Formuły1 opływowe kształty ma kadłub natomiast zaroacutewno z przodu jak i z tyłu samochodu zamontowane są płaty zapewniające odpowiedni docisk i sterowność bolidu Z tego względu wspoacutełczynnik oporu aerodynamicz-nego bolidoacutew F1 jest stosunkowo wysoki ndash co roacutewnoważone jest jednak przez dużą moc silnika

Z oporem aero- i hydro-dynamicznym jest związane roacutewnież pojęcie tzw prędkości granicznej ośrodka Podczas spadku swobodnego w po-wietrzu prędkość ciała początkowo rośnie ponieważ na ciało działa siła przyciągania ziemskiego Wartość tej siły należy zmniejszyć o wartość siły wyporu ośrodka Wraz ze wzrostem prędkości ciała wzrastają jednak roacutewnież siły oporu ndash zależnie od rodzaju ośrodka i charakteru przepływu są one proporcjonalne do wartości prędkości lub do jej kwadratu W pewnym momencie przy pewnej prędkości nazywanej prędkością graniczną dochodzi do zroacutewnoważenia się siły grawitacji i sumy sił wyporu oraz oporu ośrodka Prędkość graniczna jest maksymalną pręd-kością osiąganą przez ciało w danym ośrodku i np dla skoczkoacutew spado-chronowych przed otwarciem spadochronu wynosi ona od ok 195 do ok 320 kmh w zależności od pozycji w jakiej spadają Osiągnięcie większej prędkości wymaga wykonania skoku na dużej wysokości gdzie atmosfera jest rozrzedzona i siły oporu są mniejsze

ROZDZIAŁ 8

Strona 116116116116

9 Termodynamika

W tym rozdziale

o Temperatura skale temperatur o Roacutewnanie stanu gazu doskonałego o Ciepło i praca termodynamiczna o Pierwsza zasada termodynamiki o Przemiany termodynamiczne o Cykle gazowe druga zasada termodynamiki o Entropia o Mechanizmy przekazywania ciepła rozszerzalność

cieplna ciał stałych

ROZDZIAŁ 9

Strona 118118118118

Termodynamika

Termodynamika jest nauką zajmującą się badaniem zjawisk przemiany energii (w szczegoacutelności zamiany ciepła na pracę mechaniczną) zachodzących w układach makroskopowych Szybki rozwoacutej termodyna-miki nastąpił w XIX wieku co jest związane z rozwojem technologii budowy silnikoacutew parowych i spalinowych Opisując stan układu termo-dynamika posługuje się wielkościami makroskopowymi Rozważając roacuteżne stany skupienia materii oraz występujące między nimi przejścia fazowe posłużyliśmy się już takimi parametrami inaczej nazywanymi parametrami stanu układu ndash ciśnieniem objętością i temperaturą Objętość jest rozmiarem przestrzeni zajmowanej przez dane ciało a definicję ciśnienia poznaliśmy już przy okazji omawiania zagadnień związanych z mechaniką płynoacutew ndash wartość ciśnienia otrzymujemy dzie-ląc siłę przez powierzchnię na ktoacuterą działa ta siła O temperaturze wspo-minaliśmy już wprowadzając pojęcie energii kinetycznej Wykazaliśmy woacutewczas że im szybciej poruszają się cząsteczki tym większą mają energię i tym wyższa jest temperatura układu Do tego mikroskopowego opisu jeszcze wroacutecimy postaramy się jednak najpierw opisać temperatu-rę w ujęciu makroskopowym Opisu takiego dostarcza tzw zerowa zasa-da termodynamiki

91 Temperatura zerowa zasada termodynamiki

Istnieje wielkość skalarna zwana temperaturą ktoacutera jest właściwością wszystkich ciał izolowanego układu termodyna-micznego pozostających w roacutewnowadze wzajemnej Roacutewnowaga polega na tym że każde z ciał tyle samo energii emituje (wysyła) co pochłania Temperatura każdego ciała układu pozostaje taka sama

Zerowa zasada termodynamiki może być roacutewnież sformułowana następująco

Jeśli ciało A jest w roacutewnowadze termicznej z ciałem B i z ciałem C to ciało B jest w roacutewnowadze z ciałem C

TERMODYNAMIKA

Strona 119119119119

Ciała znajdują się w stanie roacutewnowagi termicznej jeśli zachodzi między nimi wymiana ciepła Jeśli postawimy szklankę z gorącą wodą na ka-miennym zimnym blacie szklanka będzie stawać się coraz chłodniejsza a blat coraz cieplejszy ndash temperatura szklanki będzie malała a tempera-tura blatu rosła Kiedy temperatura szklanki zroacutewna się z temperaturą blatu znajdą się w stanie roacutewnowagi termicznej ndash ich temperatura będzie taka sama

Żeby sprawdzić czy ciała są w stanie roacutewnowagi termicznej nie muszą być one w bezpośrednim kontakcie Wystarczy znać temperaturę obu ciał Jeśli stwierdzimy że dowolne ciała A i B są w stanie roacutewnowagi termicznej z trzecim ciałem T to są także w stanie roacutewnowagi ze sobą nawzajem Ciało T pełni rolę termometru

Termometr

Temperaturę możemy mierzyć roacuteżnymi metodami W popularnych ter-mometrach rtęciowych lub spirytusowych wykorzystywana jest liniowa rozszerzalność cieplna tych cieczy a wartość temperatury pokazuje wy-sokość słupka cieczy Rozszerzalność temperaturową metali wykorzys-tuje się roacutewnież we wskaźnikach na desce rozdzielczej starszych samochodoacutew czy na drzwiczkach starych modeli piekarnikoacutew ndash spirala z metalu rozszerzając się pod wpływem ciepła obraca wskazoacutewkę Cie-kawy rodzaj termometru możemy zbudować wykorzystując siłę wyporu ndash jeśli umieścimy w kolumnie z cieczą odważniki o innym wspoacutełczynni-ku rozszerzalności cieplnej niż otaczająca ciecz w zależności od tempe-ratury poszczegoacutelne odważniki będą się wynurzać lub opadać w miarę jak będzie zmieniać się gęstość otaczającej cieczy Obecnie często stosu-je się termometry elektroniczne w ktoacuterych wykorzystujemy bądź zależ-ność temperaturową oporu elektrycznego (np samochodowe czujniki typu Pt-100 i Pt-1000) bądź zjawisko Seebecka powstania roacuteżnicy po-tencjałoacutew kontaktowych na połączeniu dwoacutech roacuteżnych metali ndash miernik taki nazywamy termoparą

Skale temperatur

Jednostką temperatury w układzie jednostek SI jest kelwin Często używa się jednak innych skali jak skala Celsjusza lub Fahrenheita Aby zdefiniować skalę temperatury są potrzebne dwa charakterystyczne punkty możliwie łatwe do odtworzenia w warunkach eksperymental-nych Zero absolutne - 0K - oznacza najniższą temperaturę do jakiej mo-żemy się zbliżyć dowolnie blisko ktoacutera jednak pozostaje nieosiągalna Drugi charakterystyczny punkt skali to tzw punkt potroacutejny wody ndash stan w ktoacuterym wspoacutełistnieją ze sobą faza gazowa (para wodna) woda

ROZDZIAŁ 9

Strona 120120120120

w stanie ciekłym i stanie stałym (loacuted) Pomiędzy tymi dwoma punktami skalę temperatur podzielono na 27316 roacutewnych części ndash każda z nich to jeden kelwin Zatem temperatura punktu potroacutejnego wody wynosi 27316 K (kelwinoacutew)

W często stosowanej skali Celsjusza jednostką temperatury jest stopień Celsjusza ordmC Jednym z charakterystycznych punktoacutew tej skali jest punkt potroacutejny wody Temperatura tego punktu w skali Celsjusza wynosi 0ordmC Drugim punktem jest punkt wrzenia wody czyli przejście z fazy ciekłej do gazowej Temperatura tego punktu w skali Celsjusza wynosi 100ordmC Warto zauważyć że 1ordmC na skali temperatur ma identyczną rozpiętość jak 1K ndash zatem zmiana temperatury o 50ordmC oznacza zmianę o 50K

Do zdefiniowania skali Fahrenheita użyto roztworu o znanym stężeniu soli chlorku amonu w wodzie Punkt potroacutejny takiego roztworu użyty do wyznaczenia bdquozerardquo skali występuje w niższej temperaturze niż dla czystej wody Temperaturze 100ordmC odpowiada 212ordmF a temperaturze 0ordmC odpowiada 32ordmF Przybliżony wzoacuter do przeliczania obu skal ma postać

( )329

5minus= FC TT (91)

gdzie TC i TF oznaczają temperatury odpowiednio w skali Fahrenheita i Celsjusza

92 Roacutewnanie stanu gazu doskonałego

Gaz doskonały

Wiele właściwości fizycznych gazu daje się wyjaśnić przez zastosowanie prostego modelu gazu doskonałego Model ten opiera się na kilku założeniach

bull gaz składa się z cząsteczek o rozmiarach dużo mniejszych niż średnia objętość przypadająca na cząsteczkę

TERMODYNAMIKA

Strona 121121121121

bull cząsteczki są w ciągłym chaotycznym ruchu cieplnym (ruchy Browna)

bull jedyną formą oddziaływań między cząsteczkami są wzajem-ne zderzenia ktoacutere mają charakter zderzeń sprężystych Po-za zderzeniami cząsteczki nie oddziałują wzajemnie i dlate-go energia układu cząsteczek nie zależy od objętości tego układu (tzn także od średniej odległości między cząsteczkami)

bull liczba cząsteczek w jednostce objętości jest bardzo duża (n gt 1023 m-3) co umożliwia stosowanie do opisu parame-troacutew ich ruchu metod statystycznych

Roacutewnanie stanu gazu doskonałego nazywane roacutewnież roacutewnaniem Cla-peyrona określa stan gazu doskonałego czyli podaje zależności między ciśnieniem p objętością V i temperaturą T Roacutewnanie to jest spełnione dla dowolnego stanu czyli zestawu wartości parametroacutew pV i T niezależnie od tego w jaki sposoacuteb nastąpiło przejście z jednego stanu do drugiego Roacutewnanie stanu gazu doskonałego ma postać

TnpV R= (92)

gdzie R oznacza stałą gazową roacutewną R=831 Jmol-1K-1 a n liczbę moli gazu Roacutewnanie to możemy wyrazić roacutewnież przez całkowitą liczbę cząsteczek gazu N

TNpV Bk= (93)

gdzie kB jest stałą Boltzmanna (kB=1380middot10-23 JK-1) Stałą Boltzmana otrzymujemy dzieląc stałą gazową przez liczbę Avogadra (NA=602214179middot1023mol-1)

93 Ciepło i praca termodynamiczna

Definiując temperaturę moacutewiliśmy że temperatura dwoacutech ciał uzyskuje identyczną wartość w stanie roacutewnowagi termicznej Aby ciała nie będące początkowo w stanie roacutewnowagi termicznej mogły osiągnąć taki stan muszą wymieniać między sobą energię Możliwe są dwa sposoby

ROZDZIAŁ 9

Strona 122122122122

przekazywania energii na sposoacuteb pracy (np poprzez ruch tłoka) oraz na sposoacuteb cieplny ndash przez chaotyczne ruchy cząsteczkowe Energię przeka-zywaną na drugi sposoacuteb będziemy nazywali ciepłem i oznaczali jako Q Należy tu zaznaczyć że nazwa ta wywodzi się z błędnej teorii bdquocieplikardquo i będziemy jej używać głoacutewnie ze względoacutew językowo-historycznych

Energia ktoacutera jest przekazywana między ciałami na skutek istniejącej między nimi roacuteżnicy temperatur wpływa na zmianę energii wewnętrznej ciała Energia wewnętrzna U jest miarą średniej energii kinetycznej cząstek materii zgromadzonej min w ruchu postępowym cząsteczek gazu czy w postaci drgań cząsteczek i atomoacutew w ciałach stałych

Ilość przekazywanej energii wyrażamy w dżulach [J] ale często stosuje się roacutewnież pozaukładową jednostkę ndash kalorię Jedna kaloria (1cal) jest roacutewna 41860 J a podstawą definicji tej jednostki jest ciepło potrzebne do podniesienia temperatury jednego grama wody z 145degC do 155 degC

W termodynamice istotną kwestią jest poprawne zdefiniowanie znaku ciepła Jeśli ciepło przepływa z danego ciała (układu) do otoczenia czyli gdy dochodzi do obniżenia jego energii wewnętrznej to ciepło zapisuje-my ze znakiem bdquo-rdquo Jeśli zaś ciepło przepływa z otoczenia do układu zwiększając energię wewnętrzną ciała jego znak określamy jako bdquo+rdquo

Pojemność cieplna

Żeby ogrzać ciało czyli żeby zwiększyć jego energię wewnętrzną musi-my dostarczyć ciepła (doprowadzić energię na sposoacuteb cieplny) Łatwo zauważyć jednak że niektoacutere ciała jest łatwiej ogrzać niż inne Jeśli na przykład na dwoacutech płytach grzejnych kuchenki o identycznej mocy umieścimy pojemnik z wodą o masie 1kg i blok stalowy o masie 1kg okaże się że temperatura bloku stalowego będzie wzrastała znacznie szybciej niż wody Zatem ilość przepływającej energii (przekazywane ciepło) niezbędna do podniesienia temperatury danej masy o jednostkę temperatury jest w przypadku wody znacznie większa niż dla stali Taką cechę danego materiału nazywamy jego pojemnością cieplną

Pojemność cieplna C danego ciała jest ilością energii potrzebną do podniesienia jego temperatury o 1K Jednostką jest JmiddotK-1

∆TCQ = (94)

TERMODYNAMIKA

Strona 123123123123

Ciepło właściwe i ciepło molowe

Ciepło właściwe cw danego materiału jest ilością energii potrzebną do podniesienia temperatury 1kg tego materiału o 1K Jednostką jest J kg 1middotK-1

∆TmcQ W= (95)

Ciepło właściwe można wyrazić roacutewnież w przeliczeniu na 1mol substancji ndash takie ciepło właściwe nazywamy ciepłem molowym Cmol

∆TnCQ mol= (96)

Przykładowe wartości ciepła właściwego roacuteżnych cieczy i ciał stałych znajdują się w tabeli 91

Przyczynę dla ktoacuterej roacuteżne substancje wykazują roacuteżne ciepło właściwe omoacutewimy dokładniej w kolejnych rozdziałach Warto zauważyć że w ogoacutelności ciepła właściwe mogą zależeć od temperatury i dlatego na ogoacuteł obok wartości podajemy temperaturę dla ktoacuterej została ono wyznaczone

Tabela 91 Wartości ciepła właściwego Cp roacuteżnych substancji ndash pomiar przy 25

oC

substancja C [J kg-1K-1] substancja C [J kg-1K-1] woda 4181 ołoacutew 128

gliceryna 2386 srebro 236 polietylen 2930 żelazo 450

miedź 386 aluminium 897

Duże ciepło właściwe wody ma ogromne znaczenie dla klimatu i środo-wiska biologicznego Woda ogrzewa się powoli ale roacutewnież powoli i długo oddaje ciepło do otoczenia i dlatego na obszarach pustynnych na ktoacuterych nie ma zbiornikoacutew wodnych wahania temperatury między nocą a dniem są bardzo duże ndash ziemia bardzo łatwo się nagrzewa i łatwo stygnie Jeziora rzeki i morza łagodzą wahania temperatury zaroacutewno w skali doby jak i w skali roku Klimat na wybrzeżu jest znacznie łagodniejszy niż w głębi lądu Na obszarach kontynentalnych częściej obserwuje się surowe zimy i gorące lata

Duże ciepło właściwe wody jest wykorzystywane w układach chłodzenia oraz ogrzewania Obieg wody chłodzącej stosowany jest np w silnikach samochodowych a w instalacjach centralnego ogrzewania woda jest

ROZDZIAŁ 9

Strona 124124124124

wykorzystywana do ogrzewania budynku ndash nawet jeśli w danej chwili piec nie podgrzewa wody kaloryfery długo pozostają ciepłe

Przykład

Jeśli do izolowanego zbiornika wlejemy 1 litr wody o temperaturze 10degC i 1 litr wody o temperaturze 50degC to w wyniku dochodzenia do roacutewno-wagi termicznej temperatura osiągnie wartość 30degC Łatwo zauważyć że jest to wartość średnia temperatur obu porcji wody Dzieje się tak dlate-go że ilość energii potrzebna do podniesienia temperatury chłodniejszej masy wody jest roacutewna ilości energii oddanej przez wodę cieplejszą Jeżeli układ zbiornika z wodą jest izolowany to zmiana energii całkowi-tej musi wynosić zero co możemy zapisać w postaci

( ) ( ) 0=minus+minus 2KW21KW1 TTcmTTcm (97)

Stąd możemy obliczyć temperaturę końcową TK (masę wyznaczamy jako iloczyn objętości i gęstość wody)

Jeśli do zbiornika zawierającego 1 litr wody czyli o masie mW=1kg o temperaturze TW=10degC wrzucimy żelazny blok o masie mFE=1kg i temperaturze TFE=50degC roacutewnież dojdzie do wyroacutewnania temperatur obu ciał Roacutewnież w tym przypadku ciepło oddane przez żelazo jest takie samo jak ciepło pobrane przez wodę a bilans cieplny możemy zapisać w następujący sposoacuteb

( ) ( ) 0=minussdotsdot+minussdotsdot FeKFeFeWKWW TTcmTTcm (98)

gdzie cW oraz cFE oznaczają ciepło właściwe wody oraz żelaza zaś TK temperaturę końcową układu Ponieważ ciepło właściwe wody jest znacznie większe niż żelaza temperatura wody podniesie się tylko nie-znacznie i końcowa temperatura układu wyniesie około 14degC

Praca termodynamiczna

Zgodnie z przedstawioną wcześniej definicją ciepło pobrane przez ciało wywołuje wzrost energii wewnętrznej tego ciała Energia ta może być roacutewnież zamieniona na pracę Aby wyznaczyć pracę jaka może być wykonana kosztem ciepła rozpatrzmy izolowany termicznie (brak wy-miany ciepła z otoczeniem) cylinder z gazem zamknięty od goacutery szczel-nie dopasowanym tłokiem o powierzchni S Jeśli działając pewną stałą

TERMODYNAMIKA

Strona 125125125125

siłą F przesuniemy tłok o odcinek dl to wykonamy nad gazem zawartym wewnątrz cylindra pracę dW

( ) ( ) VpSppSFW ddddd ==== lllrr

(99)

Praca całkowita jaką wykonamy nad gazem sprężając go od objętości początkowej Vp do końcowej Vk wynosi

int int==k

p

V

VVpWW dd (910)

Jeżeli ciśnienie p wywierane przez siłę F na powierzchnię S tłoka nie zmienia się w wyniku przesunięcia tłoka to podczas zmiany objętości gazu o ∆V wykonana zostanie praca ∆VpW =

Jeśli wykonamy wykres zmian objętości i ciśnienia w trakcie ściskania gazu zawartego w cylindrze wykonana praca (wzoacuter 910) będzie roacutewna polu znajdującemu się pod tym wykresem (rysunek 91)

Rysunek 91 Praca w przemianie termodynamicznej jako pole pod wykresem ciśnienia od objętości

Warto zwroacutecić uwagę na znak pracy obliczonej według powyższego wzoru Jeśli objętość końcowa jest większa niż początkowa całka będzie miała wartość dodatnią Odpowiada to sytuacji w ktoacuterej to nie my wykonujemy pracę nad gazem zawartym w cylindrze ale to gaz rozprę-żając się wypycha tłok i wykonuje pracę Jeśli natomiast przesuwając tłok będziemy sprężać gaz to my wykonamy pracę dodatnią ale obli-czona całka będzie miała znak ujemny gdyż praca wykonana przez gaz będzie w tym przypadku miała znak ujemny Istotne jest więc precyzyjne określanie czy wyznaczana praca jest pracą wykonaną przez gaz czy nad

ROZDZIAŁ 9

Strona 126126126126

gazem W dalszej części tego rozdziału przez pracę będziemy rozumieli pracę wykonaną przez gaz

Pierwsza zasada termodynamiki

Podczas podgrzewania układu przekazujemy do niego ciepło zwiększając w ten sposoacuteb jego energię wewnętrzną i temperaturę Energia wewnętrzna ciała może zmieniać się roacutewnież za sprawą pracy wykonanej nad tym ciałem Można roacutewnież powiedzieć że praca ktoacuterą wykonuje układ może się odbywać kosztem dostarczonego do układu ciepła lub też kosztem energii wewnętrznej układu Zależności te mogą być zapisane w zwięzły sposoacuteb w postaci I zasady termodynamiki

Energia wewnętrzna układu U wzrasta jeśli układ pobiera energię w postaci ciepła Q i maleje kiedy układ wykonuje pracę W

WQEE∆U WPWK minus=minus= (911)

Zapis roacuteżniczkowy powyższego prawa ma postać

WUQ δδ += d (912)

Zastosowany w powyższym zapisie symbol dU oznacza roacuteżniczkę energii wewnętrznej U ktoacutera jest funkcją stanu Ciepło Q oraz praca W nie są funkcjami stanu i w ich przypadku nie możemy moacutewić o roacuteż-niczce a jedynie o małej zmianie δ Zatem I zasadę termodynamiki możemy roacutewnież wyrazić w następujący sposoacuteb

Dostarczone do układu ciepło δQ powoduje zwiększenie energii wewnętrznej układu o dU i wykonanie przez układ pracy δW przeciwko siłom zewnętrznym

Należy zwroacutecić uwagę że ciepło dostarczone do układu zapisujemy ze znakiem bdquo+rdquo a ciepło oddane przez układ ze znakiem bdquo-rdquo natomiast praca W (lub dW) oznacza pracę wykonaną przez układ

TERMODYNAMIKA

Strona 127127127127

94 Przemiany termodynamiczne

Przemianą nazywamy przejście danej substancji z jednego stanu roacutewnowagi termodynamicznej do drugiego pod wpływem czynnika zewnętrznego Typowymi przemianami są ogrzewanie czy chłodzenie ciała a szczegoacutelnym typem są przemiany fazowe polegające na zmianie stanu skupienia ciała Niektoacutere przemiany fazowe wymagają dos-tarczenia ciepła do układu a podczas innych ciepło jest wydzielane przez układ Jest to konsekwencją budowy mikroskopowej ciał oraz energii oddziaływań międzycząsteczkowych w roacuteżnych stanach skupienia

Jako przykład omoacutewimy przemiany występujące podczas ogrzewania lodu Początkowo poniżej 0degC ciepło jakie dostarczamy do lodu jest zużywane na wzrost jego temperatury co w skali mikroskopowej oznacza wzrost amplitudy drgań cząsteczek wody tworzących loacuted Kiedy temperatura osiągnie 0degC rozpoczyna się proces topnienia czyli zmiany fazy ze stałej na ciekłą Dostarczane dalej ciepło (energia) służy zerwaniu wiązań pomiędzy cząsteczkami wody w krystalicznej struktu-rze lodu Cząsteczki wody w fazie ciekłej poruszają się szybciej niż cząsteczki tworzące loacuted a oddziaływania między nimi są słabsze Aż do całkowitego stopienia temperatura mieszaniny woda-loacuted nie będzie wzrastać ponieważ całe dostarczane ciepło jest zużywane w procesie przemiany fazowej

Dalsze dostarczane ciepła do wody w stanie ciekłym służy podniesieniu jej temperatury ndash aż do osiągnięcia temperatury wrzenia W tej tempera-turze następuje przemiana fazowa ze stanu ciekłego do gazowego Podobnie jak w przemianie ze stanu stałego do ciekłego wiąże się ona z zerwaniem oddziaływań międzycząsteczkowych i proces ten wymaga dostarczenia energii Tak więc aż do momentu całkowitego odparowania wody jej temperatura pozostaje stała mimo dostarczania ciepła W rze-czywistości parowanie zachodzi z powierzchni swobodnej cieczy nawet poniżej temperatury wrzenia Na powierzchni cieczy zawsze znajdują się cząsteczki ktoacutere na skutek oddziaływań ze strony swoich bdquosąsiadoacutewrdquo mają wyższe energie niż te znajdujące się w objętości cieczy i ktoacutere dzięki temu mogą się bdquouwolnićrdquo do stanu gazowego

Do zajścia odwrotnych przemian fazowych ndash skraplania i krystalizacji wymagany jest odwrotny kierunek przepływu ciepła Aby cząsteczki

ROZDZIAŁ 9

Strona 128128128128

pary wodnej skropliły się musimy odebrać nadmiar energii kinetycznej z gazu Podobnie podczas krystalizacji należy zmniejszyć energię cząsteczek cieczy zmniejszyć ich ruchliwość na tyle by umożliwić wytworzenie się pomiędzy nimi wiązań W przypadku obu tych prze-mian fazowych musimy odbierać energię z układu

Przemiany fazowe

Przemiana fazowa zachodzi w stałej temperaturze a ciepło pobrane przez materiał jest proporcjonalne do masy materiału oraz ciepła właściwego przemiany

mCQ PRZEMPRZEM = (913)

Warto zwroacutecić uwagę że tak zdefiniowane ciepła topnienia i parowania osiągają znaczne wartości w stosunku do ciepła właściwego W efekcie znacznie łatwiej jest ogrzać 1kg wody lub lodu o 1 kelwin niż doprowa-dzić do stopienia 1kg lodu Jeszcze wyższa jest wartość ciepła parowania

Duża wartość ciepła przemiany może być wykorzystywany do termore-gulacji przez organizmy żywe Nawet niewielka ilość wody wydzielana przez gruczoły potowe odparowując z powierzchni skoacutery odbiera dużo ciepła tym samym chroniąc organizm przed przegrzaniem Podobnie wysokie ciepło parowania wykorzystuje się np w nowoczesnych radia-torach do chłodzenia procesoroacutew komputerowych Pomiędzy żeberkami radiatora zamontowana jest zamknięta rurka tworząca tzw kanał cieplny (ang heat pipe) wypełniona niewielką ilością alkoholu i jego oparami (rysunek 92) W pobliżu procesora temperatura jest na tyle wysoka że alkohol intensywnie paruje pobierając jednocześnie dużo ciepła od procesora Opary alkoholu pod wpływem ruchoacutew konwekcyjnych docierają do radiatora na końcu rurki Ponieważ temperatura koło radiatora jest niższa alkohol ulega skropleniu (oddaje ciepło) a następnie spływa po ściankach w stronę procesora i cały proces może ulec powtoacuterzeniu Taki kanał cieplny niezwykle efektywnie wspomaga transport ciepła w kierunku od procesora na zewnątrz radiatora

TERMODYNAMIKA

Strona 129129129129

Rysunek 92 Schemat działania radiatora z kanałem cieplnym

Kalorymetr

Kalorymetr jest urządzeniem służącym do pomiaru ciepła wydzielanego lub pobieranego podczas procesoacutew chemicznych i fizycznych W naj-prostszej wersji kalorymetr jest po prostu zbiornikiem izolowanym termicznie od otoczenia wyposażonym w termometr Aby wskazania termometru były dokładne musi on pozostawać w kontakcie cieplnym z badanym układem Warunek ten jest osiągany zazwyczaj przez wypeł-nienie kalorymetru cieczą o znanym cieple właściwym Jeśli podczas badanego procesu chemicznego temperatura kalorymetru się zmieni to ilość ciepła jaka przepłynęła z badanego układu do kalorymetru lub w przeciwną stronę możemy obliczyć znając pojemność cieplną kalory-metru (cieczy oraz zbiornika) Aby pomiar był prawidłowy czyli aby wymiana ciepła między badanym układem a kalorymetrem była efek-tywna ciecz wypełniającą kalorymetr miesza się za pomocą mieszadła w ten sposoacuteb wyroacutewnując temperaturę w roacuteżnych częściach naczynia

Znacznie bardziej zaawansowanymi urządzeniami do badania właści-wości termicznych materii są kalorymetry roacuteżnicowe W urządzeniach tego typu przeprowadza się precyzyjny pomiar temperatury badanej proacutebki oraz proacutebki referencyjnej podczas jednostajnego grzania całej ko-mory badawczej Podczas przemian fazowych w badanym materiale wydzielane lub pochłaniane będzie ciepło i zarejestrowana woacutewczas zos-tanie roacuteżnica temperatur proacutebki badanej oraz referencyjnej Urządzenia tego typu pozwalają nie tylko precyzyjnie wyznaczyć temperatury prze-

ROZDZIAŁ 9

Strona 130130130130

mian fazowych takich jak topnienie krystalizacja parowanie czy też przejścia szkliste ale roacutewnież wartość ciepła tych przemian

Przemiany termodynamiczne

W termodynamice szczegoacutelny nacisk kładzie się na opis przemian termodynamicznych zachodzących w gazach Jest to zagadnienie istotne ze względu na zastosowanie praktyczne ndash większość silnikoacutew spalino-wych wykorzystuje w swoim cyklu pracy przemiany gazowe

W tym rozdziale omoacutewimy cechy charakterystyczne czterech podstawo-wych gazowych przemian termodynamicznych izochorycznej izoba-rycznej izotermicznej oraz adiabatycznej

Przemiana izochoryczna

Podczas przemiany izochorycznej objętość gazu jest stała Zgodnie ze wzorem 96 ciepło dostarczone do n moli gazu jest proporcjonalne do roacuteżnicy temperatur i zależy od ciepła molowego przy stałej objętości CV charakterystycznego dla tej przemiany

∆TCnQ V= (914)

Ponieważ objętość w przemianie izochorycznej się nie zmienia więc praca termodynamiczna wykonana przez gaz wynosi zero (roacutewnanie 910) a więc zgodnie z I zasadą termodynamiki całe ciepło Q ktoacutere dostarczymy do układu jest roacutewne przyrostowi energii wewnętrznej układu

∆UQ = (915)

Poroacutewnując roacutewnania 914 oraz 915 otrzymujemy że przyrost energii wewnętrznej zależy tylko od przyrostu temperatury

∆TCn∆U V= (916)

Warto podkreślić że powyższa zależność jest prawdziwa dla każdej przemiany a nie tylko dla przemiany izochorycznej dla ktoacuterej ją wyprowadziliśmy

Zapiszmy roacutewnanie stanu gazu dla dwoacutech stanoacutew podczas przemiany izochorycznej

TERMODYNAMIKA

Strona 131131131131

=

=

22

11

TnVp

TnVp

R

R (917)

Z powyższego układu roacutewnań wynika że w przemianie izochorycznej stosunek ciśnienia do temperatury jest wielkością stałą

const===T

p

T

p

T

p

2

2

1

1

(918)

Na wykresie p(V) ciśnienia od objętości przedstawionym na rysunku 93 przemiana izochoryczna jest odcinkiem pionowym

Przemiana izobaryczna

Dla przemiany izobarycznej charakteryzującej się stałością ciśnienia ciepło Q dostarczone do układu jest proporcjonalne roacuteżnicy temperatur i zależy od wartości ciepła molowego przy stałym ciśnieniu Cp

∆TCnQ p= (919)

Zgodnie z roacutewnaniem 916 zmianę energii wewnętrznej dla dowolnej

przemiany termodynamicznej możemy zapisać jako ∆TCn∆U V= zaś praca wykonana przez układ podczas przemiany izobarycznej roacutewna się iloczynowi ciśnienia i zmiany objętości (roacutewnanie 910)

∆VpW = (920)

Zapisując roacutewnanie stanu gazu dla tej przemiany otrzymamy stałość stosunku objętości do temperatury

const===T

V

T

V

T

V

2

2

1

1

(921)

Na wykresie p(V) ciśnienia od objętości przemiana izobaryczna jest odcinkiem poziomym (rysunek 93)

Jeśli przemianę przeprowadzimy przy stałym ciśnieniu to ciepło dostarczone do układu Q zamieniane jest zaroacutewno na przyrost energii wewnętrznej ∆U jak i na pracę W wykonaną przez gaz co zgodnie z I zasadą termodynamiki możemy zapisać

W∆UQ += (922)

ROZDZIAŁ 9

Strona 132132132132

Korzystając z roacutewnania stanu gazu (roacutewnanie 92) możemy wyrazić zmianę objętości ∆V poprzez zmianę temperatury ∆T

∆TnR∆VpW == Woacutewczas roacutewnanie 922 można zapisać w postaci

∆Tn∆TCn∆TCn Vp R+= (923)

skąd otrzymujemy że molowe ciepło właściwe gazu przy stałym ciśnie-niu Cp jest większe od molowego ciepła właściwego przy stałej objętości CV o wielkość stałej gazowej R

R+= Vp CC (924)

Przemiana izotermiczna

W przemianie izotermicznej temperatura gazu nie zmienia się Zgodnie z roacutewnaniem stanu gazu stały woacutewczas jest iloczyn objętości i ciśnienia

const=== pVVpVp 2211 (925)

Wykres takiej przemiany na wykresie p(V) jest hiperbolą (rysunek 93) Ponieważ temperatura jest stała stała jest roacutewnież energia wewnętrzna gazu czyli zmiana energii wewnętrznej wynosi zero ∆U = 0

Zgodnie z I zasadą termodynamiki oznacza to że całe dostarczane do gazu ciepło Q jest zużywane na pracę gazu W (Q = W)

Pracę wykonaną przez gaz obliczamy ze wzoru 910 int=K

P

V

V

VpW d

Zależność ciśnienia od objętości wyznaczamy z roacutewnania stanu gazu i otrzymujemy wzoacuter całkowy

intint ==K

P

K

P

V

V

V

VV

VTnV

V

TnW

dRd

R (926)

Rozwiązaniem takiej całki jest funkcja logarytmiczna (ln) i po podstawieniu granic całkowania otrzymujemy pracę W wykonaną przez gaz przy izotermicznym (w temperaturze T) rozprężaniu n moli gazu z objętości początkowej VP do końcowej VK

P

K

V

VTnW lnR= (927)

TERMODYNAMIKA

Strona 133133133133

Jeśli gaz rozpręża się to 1gtP

K

V

V 0ln gt

P

K

V

V i praca wykonywana

przez gaz jest dodatnia W przeciwnym przypadku kiedy VP gtVK praca jest ujemna

Przemiana adiabatyczna

Przemiana adiabatyczna charakteryzuje się brakiem wymiany ciepła z otoczeniem Roacutewnanie tej przemiany ma postać

const==κ

22

κ11 VpVp (928)

gdzie wspoacutełczynnik κ nazywany wykładnikiem adiabaty oznacza stosu-nek molowego ciepła właściwego przy stałym ciśnieniu do molowego

ciepła właściwego przy stałej objętości Cp do Cv (V

p

C

C=κ ) Roacutewna-

nie 928 można roacutewnież zapisać

const==1κ-

22

1κ-11 VT VT (929)

Wykres adiabaty w zmiennych p(V) jest bardziej stromy niż izotermy (rysunek 93)

Rysunek 93 Schematyczny wykres przebiegu przemian gazowych

Pracę wykonaną w przemianie można obliczyć podobnie jak to zrobiliśmy dla przemiany izotermicznej ze wzoru 910 wprowadzając pod całkę zależność ciśnienia od objętości zgodnie ze wzorem 928 Otrzymujemy

ROZDZIAŁ 9

Strona 134134134134

minus

minus=

minus1

2

111

V

V1

1

VPW

κ

κ (930)

95 Teoria kinetyczno - molekularna gazoacutew

W dotychczasowym opisie właściwości termodynamicznych ciał posłu-giwaliśmy się głoacutewnie wielkościami makroskopowymi Obecnie szerzej zajmiemy się właściwościami ciał w ujęciu mikroskopowym

Ciśnienie gazu

Zastanoacutewmy się w jaki sposoacuteb cząsteczki gazu wywierają ciśnienie na ścianki naczynia w ktoacuterym się znajdują

Każda z cząsteczek gazu przy prostopadłym odbiciu od ścianki zmienia

swoacutej pęd o vvv m)m(m∆p 2=minusminus= Jeśli wektor pędu cząsteczki

tworzy ze ścianką kąt α zmiana pędu wynosi αsin2 vm∆p = Siła jaką wywiera cząsteczka na ściankę sześciennego naczynia zależy od zmiany wartości składowej pędu prostopadłej do ściany i może być zapisana

∆t

∆pF x= (931)

Czas ∆t pomiędzy dwoma kolejnymi zderzeniami cząsteczki ze ścianka-mi zależy od jej prędkość oraz rozmiaru l naczynia ndash pomiędzy zderze-niami przebywa ona drogę 2l

x

∆tv

l2= (932)

Zatem siła wywierana przez cząsteczkę na ściankę wynosi

TERMODYNAMIKA

Strona 135135135135

l2

2 2

xmF

v= (933)

Całkowita siła wywierana na ściankę przez wszystkie N cząsteczki gazu znajdujące się w naczyniu wynosi

[ ]2

xN

2

2x

2

1xc m

F vvv +++=l

(934)

Ponieważ założyliśmy że liczba cząsteczek w naczyniu jest bardzo duża interesuje nas zależność ciśnienia od średniej prędkości (a ściślej ndash od średniej kwadratu prędkości) obliczonej dla wszystkich cząsteczek Średnią kwadratu prędkości w kierunku x dla N cząsteczek wyrażamy jako

N

N

1i

2

xi

x

sum==

v

v (935)

Cząsteczka gazu może posiadać roacutewnież składowe prędkości w kierun-kach y i z Kwadrat jej prędkości zapisujemy jako

2

z

2

y

2

x

2vvvv ++= (936)

Średnią kwadratu prędkości możemy wyrazić jako sumę średnich kwad-ratoacutew składowych prędkości w poszczegoacutelnych kierunkach Ponieważ ruch cząsteczek jest przypadkowy średnie prędkości dla kierunkoacutew x y i z są jednakowe

22222xzyx vvvvv 3=++= (937)

Stąd siłę wywieraną na ściankę naczynia możemy zapisać jako

l3

2vNm

F = (938)

Ponieważ ciśnienie definiuje się jako stosunek siły do powierzchni ścian-ki otrzymujemy

3

2

ll 32

vNmFp == (939)

ROZDZIAŁ 9

Strona 136136136136

Zastępując l3 objętością naczynia V otrzymujemy

22

vv

nmm

V

Np

3

1

23

2== (940)

gdzie NV=n oznacza koncentrację cząsteczek gazu Poroacutewnując otrzymaną postać roacutewnania z roacutewnaniem stanu gazu (93) możemy wyrazić temperaturę jako funkcję średniego kwadratu prędkości cząsteczek

k

2

E3

2N

2

m

3

2NTNpV =

==

vBk (941)

W powyższym wzorze kE oznacza średnią energię kinetyczną cząsteczek gazu

Zasada ekwipartycji energii

Przekształcając roacutewnanie 941 otrzymujemy związek pomiędzy średnią energią kinetyczną a temperaturą

T2

3E k Bk= (942)

Udowodniliśmy że temperatura jest wskaźnikiem wartości średniej ener-gii kinetycznej cząsteczek gazu

Z podstaw mechaniki wiemy jednak że ciało może posiadać energię kinetyczną nie tylko w postaci ruchu postępowego ale roacutewnież ruchu obrotowego lub drgającego Jeżeli każdy z rodzajoacutew ruchoacutew oraz każdy z kierunkoacutew w ktoacuterych cząsteczka gazu może się poruszać nazwiemy stopniem swobody f to można wykazać że średnia energia kinetyczna przypadająca na jeden stopień swobody jest taka sama dla wszystkich cząsteczek i wynosi

TE Bk2

1= (943)

Powyższą zasadę nazywamy zasadą ekwipartycji energii

TERMODYNAMIKA

Strona 137137137137

Cząsteczki jednoatomowe mogą poruszać się jedynie ruchem postępo-wym w trzech kierunkach wiec charakteryzować się będą trzema f = 3 stopniami swobody a średnia energia kinetyczna cząsteczek takiego gazu

będzie wynosiła TE Bk23=

Przykładem gazu jednoatomowego jest hel He

Energia związana z ruchem obrotowym nabiera znaczenia w przypadku gazoacutew dwuatomowych Prostym modelem cząsteczki takiego gazu mogą być hantle składające się z dwoacutech kul Hantle te mogą wirować w dwoacutech prostopadłych kierunkach wokoacuteł osi przechodzącej przez środek odcinka łączącego kule (w przypadku atomoacutew o roacuteżnych masach przechodzącej przez środek masy) Energia związana z takim obrotem może być prze-kazywana w wyniku zderzeń Nie ma natomiast możliwości przekazywa-nia energii związanej z obrotem hantli wokoacuteł osi roacutewnoległej do odcinka łączącego kule W efekcie dla gazoacutew dwuatomowych oproacutecz trzech stopni swobody związanych z ruchem postępowym mamy roacutewnież dwa dodatkowe stopnie swobody związane z ruchem obrotowym ndash f = 5 ndash a średnia energia kinetyczna cząsteczek takiego gazu będzie wynosiła

TE Bk25= Gazami dwuatomowymi są np tlen O2 czy azot N2

Gazy wieloatomowe tworzą większe cząsteczki ktoacutere oproacutecz ruchu postępowego mogą wykonywać ruch obrotowy względem trzech osi a więc ich całkowita liczba stopni swobody wynosi f = 6 Przykładem gazu wieloatomowego jest metan CH4

Ciepło molowe gazoacutew

Zdefiniowaliśmy wcześniej ciepło molowe jako wielkość charakteryzu-jącą substancję i określającą ilość ciepła jaką potrzeba dostarczyć żeby podnieść temperaturę jednego mola danej substancji o jeden stopień Po-kazaliśmy roacutewnież że średnia energia kinetyczna cząsteczek gazu zależy od ilości stopni swobody Wynika z tego że roacutewnież ciepło właściwe gazoacutew musi być zależne od liczby stopni swobody gdyż wraz ze wzros-tem tej liczby ta sama ilość energii dostarczana do gazu będzie się roz-kładać na większą ilość rodzajoacutew ruchu a więc wzrost temperatury jednego mola gazu będzie mniejszy Zatem najmniejsze ciepło właściwe mają gazy jednoatomowe a największe ndash wieloatomowe

ROZDZIAŁ 9

Strona 138138138138

Ciepło molowe przy stałej objętości

Jak wykazaliśmy w rozdziale 94 dla przemiany izochorycznej zmiana energii wewnętrznej roacutewna jest ciepłu dostarczonemu do układu

∆U∆TCnQ V == (944)

Przekształcając powyższą zależność i korzystając z zasady ekwipartycji energii ciepło właściwe przy stałej objętości CV możemy zapisać

Rf

∆Tn

∆UCV 2

== (945)

Dla gazu jednoatomowego ciepło właściwe przy stałej objętości wynosi CV = 32R dla gazu dwuatomowego CV = 52R a gazu wieloatomowego CV = 3R Należy jednak zauważyć że wartość ta może zależeć od tempe-ratury Pewne rodzaje ruchu wymagają dostatecznie wysokiej temperatu-ry żeby zostać bdquowzbudzonerdquo Z tego względu ciepło molowe gazoacutew dwuatomowych w temperaturze bliskiej temperatury skraplania może wynosić nie 52R a 32R

Ciepło molowe przy stałym ciśnieniu

Jeśli przemianę przeprowadzimy przy stałym ciśnieniu (przemiana izo-baryczna) to ciepło dostarczone do układu Q zamieniane jest zaroacutewno na przyrost energii wewnętrznej ∆U jak i na pracę W wykonaną przez gaz Molowe ciepło właściwe gazu przy stałym ciśnieniu Cp jest większe od molowego ciepła właściwego przy stałej objętości CV o wielkość stałej gazowej R

R+= Vp CC (946)

96 Roacutewnanie stanu gazu rzeczywistego

Właściwości gazoacutew rzeczywistych roacuteżnią się od właściwości gazu ideal-nego Rozpatrzmy prosty model mechaniczny składający się z cylindra z tłokiem wypełnionego gumowymi piłeczkami ktoacutery to model pozwoli nam lepiej zrozumieć roacuteżnice miedzy gazem doskonałym i rzeczywistym

TERMODYNAMIKA

Strona 139139139139

oraz zachowanie gazu rzeczywistego Jeśli piłeczek jest niewiele odle-głości między piłeczkami są duże i poruszają się one szybko możemy zastosować opis identyczny jak w przypadku gazu doskonałego Oddzia-ływania piłeczek możemy woacutewczas opisać z bardzo dobrym przybliżeniem jako zderzenia sprężyste W roacutewnaniach opisujących te zderzenia interesować nas będzie zachowanie środka masy piłeczek a ich rozmiar będzie miał drugorzędne znaczenie Jeśli odległości między piłeczkami są małe objętości piłeczek oraz ich deformacje zaczynają istotnie wpływać na zachowanie całego układu

Roacutewnaniem pozwalającym w przybliżony sposoacuteb modelować zachowa-nie gazoacutew rzeczywistych jest model van der Waalsa Roacutewnanie stanu gazu w tym modelu ma postać

( ) TnbVV

ap

2R=minus

+ (947)

W poroacutewnaniu z roacutewnaniem stanu gazu doskonałego w roacutewnaniu gazu rzeczywistego ciśnienie p powiększone jest o człon odwrotnie proporcjo-nalny do kwadratu objętości zajętej przez gaz Człon ten uwzględnia siły przyciągania między molekułami i określany jest jako tzw ciśnienie wewnętrzne gazu Objętość V zbiornika w ktoacuterym zajmuje gaz rzeczy-wisty została natomiast pomniejszona o tzw objętość wewnętrzną ktoacutera jest proporcjonalna do objętości cząsteczek gazu Wielkości a i b z roacutewnania van der Waalsa przyjmują roacuteżne wartości dla roacuteżnych gazoacutew i wpływają na kształt izoterm p(V) W wysokich temperaturach gdy prędkości cząsteczek gazu są znaczne kształt tych izoterm oraz właści-wości gazu rzeczywistego są zbliżone do gazu doskonałego

97 Cykle gazowe

Cyklem będziemy nazywać proces lub szereg procesoacutew ktoacutere doprowa-dzają układ termodynamiczny z powrotem do warunkoacutew początkowych Z cyklami gazowymi mamy do czynienia min w silnikach spalinowych

ROZDZIAŁ 9

Strona 140140140140

Cykl Carnota

Pierwszym cyklem jaki omoacutewimy będzie cykl Carnota Wyobraźmy sobie cylinder z gazem doskonałym ktoacuterego ścianki stanowią idealną izolację termiczną Pierwszym etapem cyklu (rysunek 94 a) będzie rozprężanie izotermiczne ndash do układu dostarczane jest ciepło ktoacutere w całości zamieniane jest na pracę rozprężenia gazu i podniesienia tłoka Zgodnie z roacutewnaniem stanu gazu doskonałego dla przemiany izotermicz-nej (roacutewnanie 928) skoro objętość gazu wzrasta to ciśnienie proporcjo-nalnie maleje Drugi etap cyklu Carnota to rozprężanie adiabatyczne Do układu nie jest już dostarczane ciepło i zakładamy że dno cylindra staje się roacutewnież idealnie izolujące (może się to odbywać za pomocą specjal-nej ruchomej przegrody) tak że cały układ jest całkowicie izolowany od otoczenia Podczas przemiany adiabatycznej zgodnie z roacutewnaniem adia-baty (roacutewnanie 931) ciśnienie gazu nadal spada a objętość rośnie Wy-konywana jest woacutewczas praca mechaniczna kosztem energii wewnę-trznej gazu i w efekcie temperatura gazu obniża się do T2 W tej części cyklu gaz roacutewnież wykonuje pracę rozprężając się i przesuwając tłok W trzecim etapie cyklu ponownie mamy do czynienia z przemianą izo-termiczną Otwieramy przegrodę cieplną umożliwiając odpływ ciepła do chłodnicy ale ponieważ roacutewnocześnie wykonujemy nad gazem pracę sprężania gazu energia wewnętrzna gazu nie zmienia się i jego tempera-tura jest stała W czwartym etapie ponownie zamykamy przegrodę ter-miczną (układ jest izolowany od otoczenia) wciąż wykonując pracę sprężania gazu Przy braku wymiany ciepła z otoczeniem zgodnie z roacutewnaniem adiabaty sprężaniu towarzyszyć będzie wzrost ciśnienia gazu i temperatury do T1 W ten sposoacuteb wracamy do punktu początkowego

Sprawność silnika termodynamicznego

Cykl Carnota pełni w termodynamice szczegoacutelnie ważną rolę gdyż dla tego cyklu otrzymujemy maksymalną możliwą sprawność zamiany cie-pła na pracę

Sprawność cyklu η definiujemy jako stosunek pracy użytecznej W wykonanej przez gaz do ciepła QG dostarczonego do gazu w danym cyklu

G

ZG

G Q

QQ

Q

W minus==η (948)

TERMODYNAMIKA

Strona 141141141141

W trakcie cyklu gaz pobiera ciepło QG ze zbiornika gorącego część tego ciepła zużywając na wykonanie pracy W a resztę oddając do chłodnicy (QZ) Zatem praca jaką wykonuje gaz jest roacutewna roacuteżnicy ciepła dostar-czonego ze zbiornika gorącego i oddanego do chłodnicy

ZG QQW minus= (949)

Tak zdefiniowana sprawność jest zawsze mniejsza od jedności gdyż układ nie może wykonać pracy roacutewnej lub większej niż ilość ciepła pobrana ze źroacutedła o temperaturze wyższej Część ciepła jest zawsze od-dawana do chłodnicy i nie jest możliwa całkowita zamiana ciepła na pracę

W przypadku cyklu Carnota ciepło jest dostarczane i oddawane z układu jedynie podczas izotermicznego sprężania i rozprężania odpowiednio Ciepło dostarczone możemy więc zastąpić ciepłem pobranym ze zbiorni-ka gorącego QG zaś ciepło oddane ciepłem oddanym zimnemu zbiorni-kowi QZ Można wykazać że dla cyklu Carnota prawdziwa jest relacja

Z

Z

G

G

T

Q

T

Q= (950)

gdzie TG i TZ są temperaturami gorącego i zimnego zbiornika odpowied-nio Woacutewczas sprawność cyklu Carnota można zapisać

G

ZG

T

TT minus=η (951)

Z powyższego wzoru na sprawność cyklu Carnota maksymalną możliwą do osiągnięcia sprawność wynika że im większa jest roacuteżnica temperatur tym wyższa jest sprawność całego cyklu Widzimy roacutewnież że do uzyskania wysokiej sprawności potrzebne jest źroacutedło ciepła ale roacutewnież odpowiednio efektywny system chłodzenia

Sprawność maszyny chłodniczej

Wyobraźmy sobie że przeprowadzimy cykl Carnota w odwrotnym kierunku tzn będziemy wykonywali pracę nad układem tak żeby układ pobierał ciepło ze zbiornika chłodniejszego i oddawał je do zbiornika cieplejszego W takim przypadku interesuje nas sprawność chłodnicza czyli stosunek ciepła odebranego ze zbiornika zimnego QZ do wykonanej pracy W

ROZDZIAŁ 9

Strona 142142142142

ZG

Z

ZG

Z

TT

T

QQ

Q

minus=

minus=η (952)

Praca W roacutewna jest roacuteżnicy ciepła QG oddanego do gorącego zbiornika i ciepła QZ pobranego z zimnego zbiornika a oba te ciepła podobnie jak w cyklu Carnota można powiązać z temperaturami zbiornika zimnego TZ i gorącego TG Sprawność chłodnicza jest zawsze większa od jedności i jest tym większa im mniejsza jest roacuteżnica temperatur między zbiornika-mi gorącym i zimnym

Przykładem zastosowania odwroacuteconego cyklu termodynamicznego może być klimatyzacja z tzw pompą ciepła Klimatyzacja taka może działać w obie strony ndash latem pobiera ciepło z wewnątrz budynku i oddaje je na zewnątrz a zimą pobiera ciepło z zewnątrz i oddaje je do wnętrza Aby klimatyzacja działała niezbędne jest wykonanie pracy Warto zauważyć że w poroacutewnaniu z tradycyjnymi metodami ogrzewania budynku układ z pompą ciepła jest wydajniejszy ndash jeśli zużyjemy tę samą ilość prądu na zasilanie grzejnika elektrycznego i zasilanie pompy ciepła ciepło dostar-czone do budynku będzie zawsze większe w przypadku pompy ciepła Wadami pomp ciepła są skomplikowana konstrukcja wpływająca na zwiększoną awaryjność oraz duży koszt całego układu Pompy ciepła wymagają ponadto z reguły dużego wymiennika ciepła

Chłodziarki i zamrażarki roacutewnież odbierają ciepło z komory chłodniczej W tym przypadku obok cyklu gazowego wykorzystujemy roacutewnież cie-pło przemian fazowych Sprężony przez kompresor gaz ulega skropleniu w systemie rurek wymiennika ciepła (znajdującego się z reguły w tylnej części chłodziarki) W obiegu wewnątrz komory chłodziarki ciśnienie spada i ciecz ulega przemianie w gaz pobierając przy tym ciepło z ko-mory Następnie gaz jest sprężany przez kompresor i cykl przemian może ulec powtoacuterzeniu

Cykl Otta

Cykl Otta stanowi dobre przybliżenie cyklu realizowanego w typowym silniku benzynowym W częściej spotykanym silniku czterosuwowym cykl pracy silnika zaczyna się od zassania do wnętrza cylindra mieszanki paliwowej ndash tłok cofa się przy otwartym zaworze (przy stałym ciśnieniu zwiększa się objętość gazu) Następnie zawoacuter zamyka się a tłok spręża mieszankę Sprężanie odbywa się na tyle szybko że może być uznane za proces adiabatyczny ndash nie ma wymiany ciepła z blokiem silnika Sprężo-na mieszanka ulega następnie zapłonowi co jest tak szybkim procesem

TERMODYNAMIKA

Strona 143143143143

że z powodzeniem można przyjąć że jest to przemiana izochoryczna ndash tłok nie zdążył się jeszcze ruszyć a jedynie wzrosło ciśnienie i tempera-tura gazu W kolejnej fazie cyklu gorący gaz rozpręża się adiabatycznie wypychając tłok a więc wykonując pracę nad tłokiem Po jego zakoń-czeniu kiedy tłok osiągnie maksymalne wychylenie otwiera się zawoacuter wydechu Powoduje to spadek ciśnienia gazu przy stałej jego objętości W kolejnym etapie cyklu zawoacuter wydechu jest wciąż otwarty a tłok wy-pycha spaliny z cylindra przy stałym ciśnieniu wracając do położenia początkowego Zależność ciśnienia od objętości dla cyklu Otta pokazana jest na rysunku 94 b)

Sprawność cyklu Otta wynosi

VC

R

2

1

V

V1η

minus= (953)

gdzie V1 i V2 oznaczają odpowiednio minimalną i maksymalną objętość cylindra

Cykl Diesla

Cykl Diesla zaczyna się podobnie jak cykl Otta ndash tłok cofa się zasysając powietrze do wnętrza cylindra Następnie zachodzi adiabatyczne spręża-nie powietrza zawartego w cylindrze W silniku Diesla proces spalania paliwa ma inny charakter niż w cyklu Otta ndash zamiast iskry wywołującej zapłon stosujemy w nim świecę żarową ktoacuterej głoacutewnym zadaniem jest wspomaganie rozruchu silnika Pary oleju sprężone do odpowiedniego ciśnienia ulegają bowiem samozapłonowi Etap spalania paliwa dostarczający ciepło niezbędne do działania silnika nie jest modelowany przez przemianę izochoryczną ale przez proces izobaryczny (rysu-nek 94 c) Następnie podobnie jak w cyklu Otta następuje rozprężanie adiabatyczne w trakcie ktoacuterego silnik wykonuje pracę Kiedy tłok znajdzie się w najdalszym położeniu (objętość gazu jest największa) otwiera się zawoacuter wydechu i ciśnienie gazu spada Podobnie jak w przy-padku silnika benzynowego cykl kończy wypchnięcie spalin z wnętrza cylindra poprzez ruch tłoka

Sprawność silnika Diesla można wyrazić wzorem

ROZDZIAŁ 9

Strona 144144144144

( )

21

κ21

κ

3

2

VV1

VV1

V

V

κ

11η

minus

minus

minus= (954)

Silniki Diesla ze względu na wyższy stopień sprężania są postrzegane jako oszczędniejsze mimo że wyliczona z powyższego wzoru sprawność silnika Diesla w poroacutewnaniu z cyklem Otta jest nieco mniejsza Silniki Diesla dobrze pracują przy niskich obrotach wytwarzając duży moment obrotowy i są mało wrażliwe na uszkodzenia instalacji elektrycznej ktoacutera jest potrzebna jedynie do rozruchu silnika Ich wadą jest trudny rozruch zimnego silnika

Cykl Stirlinga

W przeciwieństwie do poprzednio omawianych silnikoacutew w silniku Stirlinga gaz znajdujący się w cylindrze nie ulega wymianie w trakcie cyklu Silnik tego typu wymaga do działania jedynie źroacutedła ciepła oraz odpowiednio wydajnego chłodzenia Ciepło jest dostarczane i odbierane w sposoacuteb ciągły Cykl Stirlinga składa się z dwoacutech przemian izotermicz-nych na przemian z przemianami izochorycznymi (rysunek 94d) Istnie-je kilka rozwiązań samego silnika realizującego taki cykl W jednym z nich silnik składa się z dwoacutech cylindroacutew jednego połączonego ze źroacutedłem ciepła a drugiego z chłodnicą Cylindry te są połączone ze sobą kanałem umożliwiającym przepływ gazu Początkowo cały gaz znajduje się w cylindrze gorącym ndash w cylindrze chłodzonym tłok znajduje się w położeniu odpowiadającym minimum objętości W wyni-ku podgrzewania następuje rozprężanie (izotermiczne) gazu w cylindrze gorącym i silnik wykonuje pracę Po osiągnięciu pełnego wychylenia przez tłok w cylindrze gorącym zaczyna on opadać wypychając gaz do cylindra chłodnego w ktoacuterym tłok unosi się zasysając gaz W ten sposoacuteb dochodzi do wymiany gazu między cylindrami Po przepompo-waniu do cylindra chłodnego ciśnienie gazu spada W cylindrze chłodzo-nym gaz jest poddawany izotermicznemu sprężaniu a następnie jest wypychany do cylindra gorącego Tam jego ciśnienie wzrasta i cykl do-chodzi do warunkoacutew początkowych

Cykl Stirlinga charakteryzuje wysoka sprawność ktoacutera może osiągać wartości zbliżone do sprawności silnika Carnota

TERMODYNAMIKA

Strona 145145145145

( ) C12

V

C

ηVVn

c1

ηη

ln R+

= (955)

gdzie ηC oznacza sprawność silnika Carnota Silnik Stirlinga działa na-wet przy niewielkiej roacuteżnicy temperatur i dlatego stosowany jest do przetwarzania energii cieplnej uzyskanej ze źroacutedeł geotermalnych lub z procesoacutew fermentacji Jego wadą są stosunkowo duże rozmiary i kosz-ty wykonania urządzeń tego typu Silniki tego typu są mało awaryjne i z tego względu istnieją plany stosowania ich np w sondach kosmicz-nych wyposażonych w promieniotwoacutercze źroacutedło ciepła Są roacutewnież ci-che co czyni je przydatnymi do stosowania w łodziach podwodnych z napędem jądrowym W tym przypadku wydajne chłodzenie silnika zapewnia woda morska

Rysunek 94 Wybrane cykle termodynamiczne a) Carnota b) Otta

c) Diesla d) Stirlinga

Druga zasada termodynamiki

Wspominaliśmy już że w cyklu silnika jedynie część energii pobieranej ze źroacutedła gorącego jest zamieniana na pracę a część jest oddawana do chłodnicy Na przykładzie cyklu chłodniczego przekonaliśmy się że aby

ROZDZIAŁ 9

Strona 146146146146

przekazać ciepło z ciała zimnego do ciała gorącego niezbędne jest wyko-nanie pracy Oba te spostrzeżenia mogą być podstawą do sformułowa-nia drugiej zasady termodynamiki

Niemożliwe jest przekazywanie ciepła przez ciało o niższej temperaturze ciału o wyższej temperaturze bez wprowadzenia innych zmian w obu ciałach i ich otoczeniu

lub w innym sformułowaniu

Niemożliwe jest pobieranie ciepła z jednego źroacutedła i zamiana go na pracę bez wprowadzenia innych zmian w układzie i jego otoczeniu

Druga zasada termodynamiki zaprzecza istnieniu tzw perpetuum mobile drugiego rodzaju czyli całkowitej zamiany ciepła w pracę Druga zasada termodynamiki nakłada ograniczenia na wartość sprawności silnika ndash nie jest możliwe zbudowanie silnika o sprawności większej niż sprawność silnika Carnota

98 Entropia

Swobodny przepływ ciepła następuje tylko w kierunku od ciała gorącego do ciała zimnego Zgodnie z drugą zasadą termodynamiki przepływ w odwrotną stronę nie może odbywać się samoistnie i wymaga wykona-nia pracy nad układem Szczegoacutełowa analiza tego problemu pokazuje że kierunek zachodzenia procesoacutew fizycznych w przyrodzie jest wyznaczo-ny przez zmiany wartości pewnej funkcji stanu układu zwanej entropią

Entropia jest funkcją stanu a więc jej zmiana zależy jedynie od począt-kowego i końcowego stanu układu a nie zależy od sposobu przejścia między tymi stanami Dla przemiany izotermicznej zmianę entropii mo-żemy zdefiniować jako stosunek ilości ciepła ∆Q otrzymanego przez układ do temperatury w ktoacuterej układ otrzymał to ciepło Jest to tzw cie-pło zredukowane

T

∆Q∆S = (956)

W ogoacutelnym przypadku należy zastosować definicję roacuteżniczkową zmiany entropii

TERMODYNAMIKA

Strona 147147147147

T

QS

dd = (957)

Jeżeli szukamy zmiany entropii ∆S podczas jakiegoś procesu termodyna-micznego musimy dodać (scałkować) wszystkie składowe infinitezymal-ne zmiany entropii dS

Korzystając z pierwszej zasady termodynamiki oraz ciepło δQ można wyrazić za pomocą pracy δW oraz zmiany energii wewnętrznej dU a w konsekwencji za pomocą zmiany objętości dV oraz zmiany tempera-tury dT W efekcie po scałkowaniu otrzymujemy wzoacuter na zmianę entropii dla dowolnej przemiany gazowej gazu doskonałego

P

K

V

P

K

T

TCn

V

Vn∆S ln ln R += (958)

Entropię można roacutewnież definiować jako miarę tej części energii wew-nętrznej układu ktoacutera nie może być użyta do wykonania pracy mecha-nicznej co możemy zapisać w następujący sposoacuteb

VpSTU ddd minus= (959)

Entropia pokazuje w ktoacuterym kierunku procesy fizyczne mogą biec sa-morzutnie Jeżeli zmiana entropii układu w pewnym procesie wynosi zero to proces taki jest odwracalny czyli może zachodzić w obu kierun-kach Zmiana entropii dla cyklu Carnota podobnie jak dla każdego procesu cyklicznego roacutewnież wynosi zero gdy jest on odwracalny

Przemiany nieodwracalne przebiegają samorzutnie tylko w określonym

kierunku W przypadku tych przemian entropia wzrasta 0gt∆S Przy-kładem może być połączenie dwoacutech zbiornikoacutew zawierających odpo-wiednio gorący i zimny gaz Po usunięciu przegrody dzielącej zbiorniki dojdzie do wymiany energii kinetycznej pomiędzy cząsteczkami gazu a więc w konsekwencji do samorzutnego wyroacutewnania temperatur obu porcji gazu W przyrodzie proces ten nie zachodzi w odwrotnym kierun-ku ndash nie obserwujemy spontanicznego samorzutnego podgrzewania jednej porcji a oziębiania drugiej porcji gazu Możemy jednak osiągnąć taki efekt dostarczając do układu ciepło lub wykonując nad nim pracę Wtedy układ ten nie będzie jednak układem zamkniętym

ROZDZIAŁ 9

Strona 148148148148

Definicja statystyczna entropii

Entropia ma roacutewnież swoją definicję statystyczną Rozpatrzmy najpierw przykład nieodwracalnej przemiany rozprężania gazu do zbiornika z proacuteżnią W przyrodzie nie obserwujemy zachodzenia tego procesu w odwrotnym kierunku tzn nie jest możliwe aby wszystkie cząsteczki gazu z jednego zbiornika same spontanicznie go opuściły wytwarzając tam proacuteżnię Aby osiągnąć taki stan czyli aby wypompować gaz z jed-nego zbiornika i uzyskać proacuteżnię musimy użyć odpowiedniej pompy a więc wykonać pracę Możemy powiedzieć że najbardziej prawdopo-dobna będzie konfiguracja gdzie w obu zbiornikach będziemy mieli tyle samo cząsteczek Dla uproszczenia rozpatrzmy układ dwoacutech zbiornikoacutew w ktoacuterych znajdują się ponumerowane cztery cząsteczki Najbardziej prawdopodobny będzie taki stan (nazywany makrostanem) w ktoacuterym w obu zbiornikach będą dwie cząsteczki Ale taki makrostan może być zrealizowany na wiele sposoboacutew (poprzez wiele mikrostanoacutew) tzn w zbiorniku mogą być następujące konfiguracje cząsteczek (12) (13) (14) (23) (24) (34) Makrostan z jedną cząsteczką w prawym zbiorniku może być zrealizowany przez 4 mikrostany tzn w zbiorniku tym mogą być cząsteczki (1) lub (2) lub (3) lub (4) Liczba mikrostanoacutew realizujących dany mikrostan oznaczana jest symbolem w i definiuje entropię układu (wzoacuter Boltzmanna-Plancka)

( )wS ln k B= (960)

W celu wyznaczenia zmiany entropii układu należy obliczyć roacuteżnicę entropii końcowej i początkowej

P

K

BPKw

wkSS∆S ln=minus= (961)

Wyznaczmy teraz prawdopodobieństwa roacuteżnych konfiguracji dla wyniku rzutu dwiema kostkami do gry Wyniki bdquo2rdquo oraz bdquo12rdquo można uzyskać tylko w jeden sposoacuteb ndash rzucając dwie bdquojedynkirdquo lub dwie bdquoszoacutestkirdquo Prawdopodobieństwo uzyskania takiego wyniku jest zatem dość niskie ndash wynosi 1616=0028 Wynik bdquo3rdquo można uzyskać na dwa sposoby ndash wyrzucając bdquo1rdquo i bdquo2rdquo lub bdquo2rdquo i bdquo1rdquo Wynik ten ma zatem wyższą wielokrotność konfiguracji Prawdopodobieństwo uzyskania takiego wyniku jest roacutewnież dwa razy wyższe ndash wynosi 0056 W rzucie dwiema kostkami najbardziej prawdopodobny jest wynik bdquo7rdquo ndash można go uzys-kać na 6 sposoboacutew Wynik ten reprezentuje zatem roacutewnież największą entropię

TERMODYNAMIKA

Strona 149149149149

Zwiększanie się entropii w wyniku przemian termodynamicznych ozna-cza dążenie do stanoacutew najbardziej prawdopodobnych czyli do stanoacutew roacutewnowagowych Łatwo zauważyć że układy te reprezentują roacutewnież największy nieporządek Wroacutećmy do przykładu z rozprężeniem gazu do proacuteżnego zbiornika ndash stan w ktoacuterym jeden zbiornik jest proacuteżny a sąsied-ni zbiornik jest wypełniony gazem reprezentuje bardzo niską entropię Wyroacutewnanie się ciśnień w obu zbiornikach powoduje przejście do stanu o najwyższej entropii Widzimy zatem że w układzie zamkniętym bę-dzie pojawiał się nieporządek

Jeśli zbudujemy wieżę z kamieni wykonujemy pracę by wytworzyć stan o wysokim porządku ndash zatem o niskiej entropii W przypadku wieży stanem o najwyższej entropii jest losowe rozrzucenie kamieni Jeśli nie będziemy wykonywać nad tym układem żadnej pracy pod wpływem czynnikoacutew zewnętrznych stopniowo będzie dążył do stanu o wyższej entropii ndash wieża będzie się rozpadać aż do zamiany w stertę rozrzuco-nych kamieni W przyrodzie struktury uporządkowane takie jak żywe organizmy istnieją dzięki źroacutedłu energii jakim jest Słońce Energia czer-pana ze Słońca (w przypadku niektoacuterych bakterii energia może być po-zyskiwana z innych źroacutedeł) jest wykorzystywana na wykonywanie pracy i budowę struktur o wysokim uporządkowaniu Bez źroacutedła energii orga-niżmy żywe umierają ndash przechodzą w stan o wyższej entropii Warto zwroacutecić uwagę że procesy śmierci i rozkładu można interpretować w ra-mach przemian termodynamicznych Ciepło wytwarzane w procesie fer-mentacji szczątkoacutew organicznych może być odzyskiwane i wykorzysty-wane jako alternatywne źroacutedło energii

99 Właściwości termiczne materii

Mechanizmy przekazywania ciepła

Procesy transportu energii zmierzają do wyroacutewnywania energii w całym układzie prowadząc układ do stanu roacutewnowagi W przyrodzie istnieją trzy podstawowe mechanizmy przekazywania ciepła

bull przewodnictwo cieplne

bull konwekcja (unoszenie)

ROZDZIAŁ 9

Strona 150150150150

bull promieniowanie

Przewodnictwo cieplne

Przewodnictwo cieplne jest związane z przekazywaniem energii przez cząstki o wyższej energii cząstkom o niższej energii Jeśli w jednym miejscu ciała dostarczane jest ciepło cząstki z ktoacuterych zbudowane jest ciało uzyskują wyższą energię W przypadku gazu będzie to większa energia kinetyczna cząsteczek gazu w przypadku ciała stałego będziemy mieli do czynienia z większą energią drgań atomoacutew wokoacuteł ich położeń roacutewnowagi Energia ta jest przekazywana sąsiednim atomom tak żeby minimalizować roacuteżnicę temperatur pomiędzy ciepłym a chłodnym koń-cem W przypadku gazu przekazywanie energii kinetycznej odbywa się poprzez zderzenia zaś w ciele stałym w wyniku oddziaływań między atomami

Z codziennego doświadczenia wiemy że roacuteżne materiały mają roacuteżną przewodność cieplną Wysoką przewodność cieplną mają na przykład metale Związane jest to z przewodzeniem ciepła nie tylko na skutek drgań jąder atomowych ale roacutewnież zderzeń swobodnych elektronoacutew obecnych w metalach Tworzywa sztuczne takie jak guma czy polietylen są z reguły izolatorami elektrycznymi i wykazują roacutewnież niewielką przewodność cieplną

Strumień ciepła JQ czyli ciepło dQ przepływające w czasie dt przez po-wierzchnię dS jest proporcjonalny do gradientu temperatury wywołują-cego przepływ ciepła Wspoacutełczynnik proporcjonalności λ nazywa się wspoacutełczynnikiem przewodności cieplnej jest cechą charakterystyczną danego materiału i wyraża się w Wm

-1K

-1

W jednowymiarowym przypadku gradient temperatury jest roacutewny po-chodnej temperatury po wspoacutełrzędnej x i woacutewczas przepływ ciepła może być opisany następującą zależnością (prawo Fouriera przewodnictwa cieplnego)

x

T

St

QJ Q d

d

d d

dλminus== (962)

Dla cienkich warstw przybliżeniem gradientu temperatury jest iloraz roacuteżnicy temperatur przez grubość przegrody Rozpatrzmy cienką prze-grodę o grubości L i powierzchni S wykonaną z materiału o wspoacutełczyn-niku przewodności cieplnej λ ktoacutera oddziela zbiornik gorący o tempera-turze TG od zimnego o temperaturze TZ W takim przypadku ilość ciepła

TERMODYNAMIKA

Strona 151151151151

Q przepływająca przez przegrodę w czasie t (moc P) wyraża się wzorem (za bdquoPodstawy Fizykirdquo Halliday Resnick Walker PWN 2003)

L

TTSk

t

QP ZG minus

== (963)

Dla takiej przegrody można roacutewnież wyznaczyć wartość oporu cieplnego R będącego wspoacutełczynnikiem proporcjonalności między mocą przepły-wającego ciepła a roacuteżnicą temperatur

Sk

LR = (964)

Należy pamiętać że tak zdefiniowana wielkość charakteryzuje dane cia-ło a nie materiał z ktoacuterego jest wykonane

W układzie składającym się z wielu warstw przy stacjonarnym przepły-wie ciepła (temperatury i wartość strumienia ciepła nie zmieniają się w czasie) ciepło przepływające przez każdą z warstw jest jednostce czasu jest taki samo Rozpatrując przykład dwoacutech warstw wykonanych z roacuteżnych materiałoacutew roacutewnania Fouriera możemy zapisać w postaci

( ) ( )

2

Z122

1

12G1

L

TTSk

L

TTSkP

minus=

minus= (965)

gdzie T12 oznacza temperaturę na granicy dwoacutech warstw Wyznaczając z powyższego roacutewnania temperaturę T12 możemy wyznaczyć całkowitą moc traconą przez taką podwoacutejną przegrodę

( )

2

2

1

1

ZG

k

L

k

L

TTSP

+

minus=

(966)

W ogoacutelnym przypadku moc ciepła przepływającego przez przegrodę składającą się z kilku warstw o roacuteżnych grubościach Li oraz wspoacutełczyn-nikach przewodności cieplnej ki możemy zapisać

( )

sum

minus=

i i

i

ZG

k

L

TTSP

(967)

ROZDZIAŁ 9

Strona 152152152152

Konwekcja

Konwekcja jest mechanizmem przekazywania ciepła charakterystycz-nym dla płynoacutew (gazoacutew i cieczy) i nazywana bywa roacutewnież przepływem masowym Zwiększenie temperatury płynoacutew powoduje zmniejszenie ich gęstości a w konsekwencji pojawienie się siły wyporu skierowanej pionowo do goacutery Charakterystyczne przy tym jest że ruch taki może dotyczyć nie tylko pojedynczych cząsteczek ale roacutewnież znacznych objętości płynu

Prostym przykładem konwekcji jest ruch wody podgrzewanej w garnku Woda ogrzana przy dnie za sprawą siły wyporu unosi się ku powierz-chni gdzie ulega wychłodzeniu i opada ponownie na dno gdzie ponow-nie się ogrzewa wywołując cyrkulację w całym naczyniu Podobne zja-wisko w znacznie większej skali obserwujemy w roztopionych skałach pod powierzchnią Ziemi - gdzie gorąca magma wypływa ku powierz-chni gdzie stygnie i opada Ruchy konwekcyjne roztopionych skał kształtują powierzchnię Ziemi i mają decydujący wpływ na dryf płyt kontynentalnych unoszących się na powierzchni magmy Opis ruchoacutew konwekcyjnych mas powietrza jest jednym z podstawowych zagadnień meteorologii Ruchy te powodują powstawanie wiatroacutew i chmur a także powstawanie i przemieszczanie się frontoacutew atmosferycznych

Przepływ konwekcyjny jest podstawą działania instalacji centralnego ogrzewania Ciepła woda ogrzana w piecu lub kotle unosi się do goacutery wymuszając jednocześnie napływ zimniejszej wody do wymiennika cie-pła W grzejnikach woda (napływająca goacuternym wlotem) ochładza się i opada w kierunku pieca W samych grzejnikach powietrze jest zasysane znad podłogi ogrzewa się pomiędzy żebrami i unosi do goacutery Na podob-nej zasadzie działa wentylacja grawitacyjna W przypadku kiedy proces wymiany ciepła w urządzeniu jest w danym zastosowaniu zbyt powolny można wymusić konwekcję Prostym przykładem wymuszonej konwek-cji jest chłodnica samochodowa Wiatrak chłodnicy wymusza przepływ powietrza między żebrami wymiennika ciepła Identyczną funkcję pełni wiatrak na radiatorze procesora komputerowego W przypadku cieczy chłodzących o znacznej gęstości przepływ może być wymuszany za pomocą pomp Pompy wspomagające obieg wody i powietrza w piecu mogą być stosowane w domowych instalacjach grzewczych

Promieniowanie cieplne

Kolejnym mechanizmem wymiany ciepła jest promieniowanie cieplne Podstawy fizyczne tego zjawiska omoacutewimy w dalszej części wykładu

TERMODYNAMIKA

Strona 153153153153

Teraz podamy jedynie wzoacuter określający ilość energii wypromieniowa-nej lub pochłoniętej przez ciało przez jednostkę powierzchni

4TσE = (968)

Jest to tzw wzoacuter Stefana-Boltzmanna opisujący całkowitą (integralną) zdolność emisyjną ciała czyli energię wypromieniowaną w całym widmie częstotliwości Promieniowanie cieplne zależy od temperatury w potędze czwartej ale roacutewnież od rodzaju powierzchni ciała Powierz-chnie ciemne dobrze pochłaniają ale i dobrze wypromieniowują ciepło Pomalowany czarnym lakierem pojazd szybko nagrzewa się ale roacutewnie szybko stygnie Samochoacuted z jasnym nadwoziem pochłania niewiele cie-pła ale i niewiele oddaje Odbijanie ciepła jest podstawą działania tzw folii ratunkowej znajdującej się w apteczce samochodowej Ułożona srebrną stroną do ciała folia zabezpiecza przed wychłodzeniem odbijając promieniowanie cieplne do środka Ułożenie stroną złotą do ciała i srebrną na zewnątrz zmniejsza promieniowanie zewnętrzne i chro-ni przed przegrzaniem

Izolacja termiczna

Policzmy moc jaka jest tracona przez okno o powierzchni S=1m2 wykonane z pojedynczej szyby o grubości d=4mm i wspoacutełczynniku przewodności cieplnej k=1 zakładając temperaturę na zewnątrz TZ = -20oC=253K oraz wewnątrz pomieszczenia TW=20oC=293K

Zaniedbamy efekty związane z promieniowaniem cieplnym i konwekcją analizując jedynie przewodnictwo cieplne Korzystając ze wzoru 914 otrzymujemy znaczną stratę ciepła o mocy 10kW

( 100000040

25329311 =

minussdot=

P )

Rozważmy teraz drugi przypadek w ktoacuterym zastosowano podwoacutejną szybę Przy czym odległość między szybami wynosi z=1cm a przestrzeń jest wypełniona powietrzem o wspoacutełczynniku przewodności k=0025 Założymy że w tej warstwie powietrza konwekcja nie występuje Po podstawieniu do wzoru 918 opisującego wielowarstwową przegrodę otrzymujemy P=98W Widzimy że w przypadku zastosowania dwoacutech szyb przedzielonych warstwą powietrza strumień ciepła przepływający przez okno jest ponad 1000 razy mniejszy W krajach skandynawskich stosuje się nierzadko okna z trzema szybami ktoacutere gwarantują jeszcze niższe straty ciepła Podobny efekt wykorzystujemy w przypadku cegieł ceramicznych z kanałami powietrznymi czy popularnych wykończeń ścian typu bdquosidingrdquo W przypadku takich przegroacuted powietrznych najważ-

ROZDZIAŁ 9

Strona 154154154154

niejszym zagadnieniem jest uniknięcie lub zminimalizowanie konwek-cyjnego transportu ciepła Można to osiągnąć zamykając powietrze wew-nątrz małych poroacutew materiału Efekt taki jest wykorzystywany min w płytach styropianowych i piankach poliuretanowych Materiały te są bardzo lekkie ponieważ puste przestrzenie pomiędzy bdquowięźbąrdquo polime-rową wypełnia powietrze Materiałem o najlepszych własnościach izolacyjnych jest aerożel oparty na spienionych związkach krzemu

Konwekcja i przewodzenie cieplne nie występują roacutewnież w proacuteżni po-nieważ nie ma tam cząsteczek gazu ktoacutere mogłyby uczestniczyć w trans-porcie ciepła Na tym efekcie opiera się działanie tzw naczynia Dewara Spomiędzy podwoacutejnych ścianek tego naczynia wypompowuje się powie-trze Kontakt termiczny pomiędzy wewnętrznymi a zewnętrznymi ścian-kami istnieje jedynie przy wlocie naczynia ktoacutery ma jednak niewielki przekroacutej poprzeczny i powierzchnię Prostym przykładem naczynia Dewara jest termos Termosy szklane długo zachowują proacuteżnię są nato-miast podatne na uszkodzenia mechaniczne Termosy metalowe są wy-trzymałe mechanicznie ale ciśnienie wewnątrz stopniowo wzrasta i po pewnym czasie tracą one właściwości izolujące

Ciepło właściwe ciał stałych

Pojemność cieplną ciał stałych opisuje tzw model Debyersquoa Zakłada on że transport ciepła w ciałach stałych zachodzi w postaci rozchodzenia się drgań Im wyższa temperatura tym liczba wzbudzanych rodzajoacutew drgań rośnie ndash wzrasta roacutewnież ciepło właściwe W zakresie temperatur poniżej tzw temperatury Debyersquoa θ wzrost ten odbywa się proporcjonalnie do trzeciej potęgi temperatury Powyżej temperatury Debyersquoa wzrost war-tości ciepła właściwego jest znacznie mniej dynamiczny Wartością gra-niczną dla tzw ciał prostych ndash np kryształoacutew zbudowanych z jednego pierwiastka ndash jest wartość trzykrotnej stałej gazowej 3R Zależność tą określa się prawem Dulonga-Petita

Ciepło właściwe materii związane jest roacutewnież z ruchem elektronoacutew Elektronowe ciepło właściwe jest wprost proporcjonalne do temperatury W bardzo niskich temperaturach czynnik ten ma decydujący wpływ na całkowitą wartość ciepła właściwego

Pełna postać wzoru na ciepło właściwe ciał stałych przyjmuje zatem postać

TbaT += 3vc (969)

TERMODYNAMIKA

Strona 155155155155

Rozszerzalność cieplna ciał stałych

Drgania termiczne atomoacutew w ciałach stałych wpływają na zwiększenie średniej odległości międzyatomowej i zarazem zwiększają makroskopo-wą objętość kryształoacutew Efekt ten jest związany z kształtem potencjału oddziaływania międzyatomowego Rozszerzalność temperaturową ciał stałych możemy przybliżyć funkcją liniową wprowadzając wspoacutełczyn-nik rozszerzalności cieplnej i w przypadku jednowymiarowym np dłu-gości cienkiego pręta zapisujemy

∆TαL

∆LL

0

= (970)

gdzie αL jest wspoacutełczynnikiem rozszerzalności liniowej o wymiarze K-1 Zakładając jednakowe rozszerzanie się materiału w każdym kierunku (izotropia) wspoacutełczynnik rozszerzalności objętościowej αV jest roacutewny trzykrotnej wartości wspoacutełczynnika rozszerzalności liniowej αL a zależ-ność zmian objętości od temperatury zapisujemy

∆TαV

∆VV

0

= (971)

Rozszerzalność cieplna ciał stałych musi być uwzględniana przy projek-towaniu konstrukcji i połączeń konstrukcyjnych Materiały z ktoacuterych wykonane są obiekty takie jak mosty i wiadukty drogowe (stal i beton) mają z reguły inną rozszerzalność cieplną niż skała lub grunt na ktoacuterym są oparte Aby uniknąć nadmiernych naprężeń mechanicznych związa-nych z termicznym odkształcaniem się materiałoacutew na styku roacuteżnych ele-mentoacutew konstrukcyjnych stosuje się tzw szczeliny dylatacyjne Rolę takich szczelin dylatacyjnych spełnia roacutewnież fuga między płytkami ce-ramicznymi ale niezbędne jest roacutewnież zastosowanie odpowiednio elas-tycznej zaprawy klejącej tak aby nie doszło do zerwania kontaktu płytki z podłożem lub pęknięcia płytki W przyrodzie naprężenia powstające w skałach ogrzewanych przez słońce lub ochładzanych przez wiatr są jednym z głoacutewnych czynnikoacutew erozji

Zjawisko rozszerzalności cieplnej ciał można wykorzystać podczas nito-wania Wciskając nit w otwoacuter w rozgrzanym materiale zyskujemy ciasne połączenie po ostygnięciu Podobny efekt możemy otrzymać łącząc ma-teriały o roacuteżnym wspoacutełczynniku rozszerzalności cieplnej Często stoso-wanym czujnikiem temperatury opartym na zjawisku rozszerzalności cieplnej jest tzw bimetal Jest to pasek zbudowany z połączonych ze

ROZDZIAŁ 9

Strona 156156156156

sobą dwoacutech warstw metali o roacuteżnym wspoacutełczynniku rozszerzalności cieplnej Jeśli długość jednej z warstw paska wzrośnie pod wpływem temperatury bardziej niż drugiego cały pasek ulegnie wygięciu Bimetal możemy wykorzystywać np jako wyłącznik zwierający w instalacji przeciwpożarowej bądź wyłącznik rozwierający w instalacji zapobiega-jącej przegrzaniu się urządzenia

10 Elektrostatyka

W tym rozdziale

o Ładunek elektryczny oddziaływanie ładunkoacutew prawo Coulomba

o Natężenie pola elektrycznego ładunkoacutew dyskretnych oraz ciągłych rozkładoacutew ładunkoacutew

o Energia i potencjał w polu elektrycznym o Prawo Gaussa przykłady zastosowania prawa

Gaussa o Pojemność elektryczna kondensatory o Dielektryki

ROZDZIAŁ 10

Strona 158158158158

101 Ładunek elektryczny

Zjawisko elektryzowania ciał jest znane od czasoacutew starożytności Jeśli potrzemy kawałkiem jedwabiu o szkło zauważymy że kawałek szkła nabierze ciekawych właściwości ndash będzie przyciągał drobinki kurzu lub drobne skrawki papieru oraz jedwab ktoacuterym go pocieraliśmy Podobny efekt zaobserwujemy w przypadku kawałka bursztynu potartego o futro Jeśli zbliżymy do siebie szkło i bursztyn zauważymy ponadto że przy-ciągają się nawzajem Natomiast dwa takie kawałki szkła czy dwa ka-wałki bursztynu będą się nawzajem odpychać Ponadto bursztyn będzie odpychał kawałek jedwabiu ktoacuterym naelektryzowano szkło a szkło bę-dzie odpychać futro ktoacuterym naelektryzowano bursztyn

Aby usystematyzować powyższy opis założymy że podczas pocierania umieszczamy na ciele ładunek elektryczny elektryzując go w ten sposoacuteb Znak ładunku może być dodatni lub ujemny Ustalmy że w przypadku elektryzowania bursztynu ładunek znajdujący się na powierzchni bur-sztynu ma znak ujemny a na powierzchni futra użytego do elektryzowa-nia pozostaje identyczna porcja ładunku dodatniego Znak ładunku poja-wiającego się na powierzchni elektryzowanego szkła jest natomiast dodatni Opisane wyżej obserwacje wskazują że ładunki o identycznym znaku ndash jednoimienne ndash odpychają się a ładunki o roacuteżnych znakach ndash roacuteżnoimienne ndash przyciągają się Efekt odpychania się jednoimiennych ładunkoacutew można czasem zauważyć w burzowy dzień lub stojąc pod linią elektryczną wysokiego napięcia w postaci włosoacutew bdquostających dębardquo Ładunki zgromadzone na naszym ciele i ubraniach są przyciągane przez chmurę burzową czy linię energetyczną gromadzą się na włosach ale jednocześnie jako ładunki o tym samym znaku chcą być jak najdalej od siebie powodując że włosy bdquostają dębardquo

Ładunek elektryczny wymieniany jest w porcjach Najmniejszą niepo-dzielną porcję ładunku nazywamy ładunkiem elementarnym e i jest on roacutewny ładunkowi elektronu Wartość ładunku elementarnego wynosi e=160210ndash19C gdzie C jest jednostką ładunku elektrycznego ndash kulom-bem Ponieważ elektron ma ładunek ujemny więc zjawisko elektryzowa-nia ciał polega na wytworzeniu na nich nadmiaru elektronoacutew ndash wtedy ła-dunek ciała jest ujemny lub niedoboru elektronoacutew ndash w takim przypadku ładunek ciała jest dodatni

ELEKTROSTATYKA

Strona 159159159159

Ciała mogą mieć roacuteżne właściwości elektryczne Ciała w ktoacuterych ładu-nek może swobodnie się przemieszczać nazywamy przewodnikami (np metale) zaś ciała w ktoacuterych ruch ładunku jest niemożliwy nazywamy izolatorami (większość materiałoacutew organicznych i tworzyw sztucznych)

Oproacutecz omoacutewionego wcześniej elektryzowania przez pocieranie ciała można elektryzować roacutewnież przez indukcję Załoacuteżmy że naładowany ładunkiem ujemnym kawałek szkła zbliżymy do fragmentu przewodnika (metalu) Ładunek w metalu może się swobodnie przemieszczać Ponie-waż jak już zauważyliśmy ładunki tego samego znaku odpychają się z fragmentu przewodnika w pobliżu naładowanego ujemnie izolatora od-płynie ładunek ujemny Ten fragment metalu będzie zatem naładowany ładunkiem dodatnim Nie jest to jednak stan trwały i gdy następnie oddalimy naładowany fragment izolatora sytuacja wroacuteci do stanu po-czątkowego Jeśli jednak koniec metalu naładowany ujemnie podłączy-my na chwilę do tzw uziemienia ładunek ten spłynie do Ziemi Jak przekonamy się poacuteźniej zjawisko to jest wynikiem wyroacutewnania poten-cjałoacutew pomiędzy naładowanym obiektem i Ziemią ktoacutera ma bardzo dużą pojemność ndash może przyjąć bardzo dużo ładunku Jeśli teraz usunie-my połączenie pomiędzy metalem a ziemią a następnie usuniemy nała-dowany ujemnie izolator na metalu pozostanie ładunek dodatni Metal został naładowany przez indukcję

102 Prawo Coulomba

Określimy teraz ilościowo siły wzajemnego oddziaływania pomiędzy ładunkami

Siła oddziaływania pomiędzy dwoma ładunkami punktowymi Q1 oraz Q2 umieszczonymi w proacuteżni w odległości r od siebie zgodnie z prawem Coulomba jest proporcjonalna do wartości tych ładunkoacutew oraz odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości między nimi

204 r

QQF 21

πε= (101)

ROZDZIAŁ 10

Strona 160160160160

gdzie ε0 jest stałą przenikalności dielektrycznej proacuteżni i jest roacutewna

( )2212 NmC 108854 minussdot=0ε

(w przybliżeniu 2

29

Nm

C 10 minussdot=

π36

10ε )

Ponieważ siła oddziaływania elektrostatycznego jest wektorem więc jeśli obliczamy siły działające w układzie kilku ładunkoacutew musimy zastosować dodawanie wektorowe Jako przykład policzymy siłę oddziaływania na jeden z ładunkoacutew w układzie czterech ładunkoacutew dodatnich Q znajdujących się w wierzchołkach kwadratu o boku a (rysu-nek 101) Ponieważ ładunki są jednoimienne to wybrany ładunek odpychany jest przez jego trzech bdquosąsiadoacutewrdquo siłami F1 F2 i F3 oznaczonymi na rysunku 101 Siły F1 i F3 są roacutewne co do wartości (identyczne ładunki znajdują się w tej samej odległości)

204 a

QQFF 31

πε== (102)

Siły te są do siebie prostopadłe a więc dodając je wektorowo otrzymuje-my siłę wypadkową skierowaną wzdłuż przekątnej kwadratu

20

2

4

2

a

QF13

πε= (103)

Siła F2 pochodząca od ładunku znajdującego się po przekątnej kwadratu ma kierunek i zwrot identyczny jak siła F13 i wartość roacutewną

( )2

0

2

24 a

QF 2

πε= (104)

Wartość siły wypadkowej FW działająca na jeden z ładunkoacutew jest więc sumą F2 oraz F13

( )

20

2

πε8

122

a

QFW

+= (105)

ELEKTROSTATYKA

Strona 161161161161

Rysunek 101 Siły działające w układzie jednakowych ładunkoacutew Q

rozmieszczonych w wierzchołkach kwadratu o boku a

103 Natężenie pola elektrycznego

Ładunki elektryczne są źroacutedłem pola elektrycznego podobnie jak masa jest źroacutedłem pola grawitacyjnego Właściwości pola elektrycznego można badać umieszczając w nim ładunek Jeśli jednak ładunek ten będzie miał znaczną wartość w stosunku do ładunku badanego zakłoacuteci to pole elektryczne Z tego względu posłużymy się ładunkiem proacutebnym dodatnim q0 ndash o wartości na tyle małej że nie wprowadza dużych zakłoacuteceń badanego pola Tor ruchu takiego proacutebnego ładunku umiesz-czonego w obszarze pola elektrycznego wyznacza linie pola elektryczne-go Wektor siły działającej na proacutebny ładunek jest zawsze styczny do linii pola Dla ładunku punktowego linie sił pola rozchodzą się promie-niście w przestrzeni

Z obserwacji wynika że siła F działająca na ładunek umieszczony w po-lu elektrycznym jest proporcjonalna do wartości tego ładunku q Wynika z tego że stosunek siły działającej na ładunek proacutebny do wartości tego ładunku ma stałą wartość charakteryzującą pole elektryczne w tym punkcie i nazywany jest natężeniem pola elektrycznego E

ROZDZIAŁ 10

Strona 162162162162

204 r

Q

q

FE

Eq

F

πε==

==r

r

const

(106)

Natężenie pola elektrycznego jest miarą siły działającej na jednostkowy proacutebny ładunek elektryczny

Tak zdefiniowana wielkość jest niezależna od wielkości ładunku proacuteb-nego jest zatem wyłącznie właściwością badanego pola Natężenie pola elektrycznego jest wektorem ktoacuterego kierunek i zwrot jest identyczny jak zwrot siły działającej na dodatni ładunek umieszczony w badanym polu

Rozważmy układ dwoacutech ładunkoacutew punktowych o identycznym co do wartości ładunku Q znajdujących się w pewnej odległości D od siebie Obliczmy natężenie w roacuteżnych punktach położonych na prostej przecho-dzącej przez oba ładunki w przypadku kiedy ładunki są jednoimienne Woacutewczas zewnątrz układu oba wektory natężenia są skierowane w tym samym kierunku i sumują się Dla dużych odległości r od ładunkoacutew (rgtgtD) natężenie pola elektrycznego jest w przybliżeniu roacutewne natężeniu pochodzącemu od ładunku o wartości 2Q

Na odcinku łączącym oba ładunki wektory natężenia są skierowane prze-ciwnie Wartość wektora wypadkowego jest więc roacuteżnicą wartości wektoroacutew składowych i wynosi

( )20

20 πε4πε4 rD

Q

r

QE

minusminus= (107)

gdzie r oznacza odległość od jednego z ładunkoacutew W przypadku kiedy znajdziemy się w połowie odległości między ładunkami (r = D2) wartość natężenia pola elektrycznego wynosi zero E = 0 ponieważ wektory składowe znoszą się

Dipol elektryczny

Jeśli ładunki Q w powyższym przykładzie są roacuteżnoimienne to taki układ nazywa się dipolem elektrycznym Wartość wektora natężenia pola elek-trycznego na osi ale na zewnątrz dipola jest roacuteżnicą wartości wektoroacutew składowych ndash wektory mają przeciwne zwroty Natomiast na odcinku

ELEKTROSTATYKA

Strona 163163163163

łączącym ładunki wektory natężenia dodają się ndash wartość wektora wy-padkowego jest sumą wartości wektoroacutew składowych W połowie odleg-łości między ładunkami natężenie pola elektrycznego układu wynosi

( ) ( ) 20

20

20

πε4

8

2πε42πε4 D

Q

D

Q

D

QE =+= (108)

Rysunek 102 Natężenie pola elektrycznego pochodzącego od dipola elektrycznego na symetralnej osi dipola

W przypadku dipola elektrycznego istotne jest roacutewnież znalezienie natę-żenia pola elektrycznego na symetralnej osi dipola (rysunek 102) Jeśli narysujemy wektory natężenia pola elektrycznego pochodzące od każde-go z ładunkoacutew w danym punkcie odległym o z od osi dipola okaże się że ich składowe prostopadłe do odcinka łączącego ładunki znoszą się a prostopadłe ndash dodają Wypadkowe natężenie pola elektrycznego wyno-si woacutewczas

( )424πε4

222

220 Dz

D

Dz

QE W

++=

(109)

Dla dużych odległości z od osi dipola natężenie na symetralnej osi dipola maleje z sześcianem odległości z zgodnie ze wzorem

30

30 πε4πε4 z

p

z

QDE W == (1010)

ROZDZIAŁ 10

Strona 164164164164

Wektor Dqprr

= jest dipolowym momentem elektrycznym dipolu Natężenie pola elektrycznego na osi dipola jest dwukrotnie większe i wynosi

30πε2 z

pE

OŚ= (1011)

Natężenie pola elektrycznego dla dipola elektrycznego ma więc silnie kierunkowy charakter ndash wynosi zero na osi dipola dla dużych odległości oraz maleje z sześcianem odległości w kierunku prostopadłym do na osi dipola

Natężenie pola elektrycznego ciągłych rozkładoacutew ładunkoacutew elektrycznych

W poprzednim przykładzie pokazaliśmy jak policzyć natężenie pola elektrycznego pochodzącego od układu dwoacutech dyskretnych ładunkoacutew W przypadku naładowanych obiektoacutew np naładowanych prętoacutew pier-ścieni czy płyt mamy do czynienia z ciągłym rozkładem ładunku Obiekt taki traktujemy woacutewczas tak jakby składał się z wielu małych ładunkoacutew punktowych dq ktoacutere są źroacutedłem pola elektrycznego Natęże-nie wypadkowe możemy wyrazić przez sumę natężeń pochodzących od każdego z małych ładunkoacutew przy czym sumowanie zastępujemy całkowaniem

int=2

0πε4 r

qE

d (1012)

Przykład

Jako przykład obliczmy natężenie pola elektrycznego w środku poacutełokrę-gu o promieniu R zbudowanego z jednorodnie naładowanego ładunkiem Q pręta Rozpatrzmy mały odcinek tego poacutełokręgu ktoacuterego położenie może być określone za pomocą kąta α względem osi symetrii poacutełokręgu (rysunek 103) na ktoacuterym zgromadzony jest ładunek dq Taka mała porcja ładunku dq wytwarza w środku okręgu natężenie pola elektrycz-nego dE ktoacutere jest składową całkowitego natężenia pochodzącego od naładowanego poacutełokręgu Porcja ładunku dq znajdująca się na drugiej połoacutewce poacutełokręgu położona symetrycznie do pierwszej wytwarza natę-żenie pola elektrycznego dE o takiej samej wartości i zwrocie symetrycz-nym względem osi poacutełokręgu Wypadkowe natężenie pola elektrycznego

ELEKTROSTATYKA

Strona 165165165165

dEp jest skierowane roacutewnolegle do osi poacutełokręgu Podobny zwrot wy-padkowego wektora natężenia otrzymamy dla każdej pary ładunkoacutew dq położonych symetrycznie względem osi okręgu z ktoacuterego wycięto poacuteło-krąg Wartość składowej prostopadłej dEp możemy wyrazić za pomocą funkcji kąta α

204

22R

qEE p

πε

αα

cosdcosdd == (1013)

Całkowite natężenie pochodzące od rozpatrywanego poacutełokręgu będzie wyrażone za pomocą całki

int=2Q

pR

qE

02

0πε4

α2

cosd (1014)

Jako goacuterną granice całkowania przyjęliśmy tylko połowę całkowitego ładunku Q ponieważ przy wyliczeniu natężenia dEp wzięliśmy już pod uwagę wkład pochodzący od dwoacutech połoacutewek łuku Żeby obliczyć powyższą całkę musimy znaleźć relację między kątem α a ładunkiem dq i dokonać zamiany zmiennych W tym celu wprowadzimy gęstość liniową ładunku (podobnie liczyliśmy już moment bezwładności pręta) Ponieważ ładunek Q zgromadzony jest na poacutełokręgu więc gęstość

liniowa ładunku wynosiR

Q

πλ = a ładunek dq zgromadzony na odcin-

ku dl wynosi ldd λ=q Dodatkowo po zamianie zmiennych liniowych

na kątowe Rαdd =l otrzymujemy

Rq αλ dd = (1015)

Przy zamianie zmiennej całkowania z dq na dα granice całkowania wynoszą 0 oraz π2 Po wyciągnięciu stałych przed znak całki otrzymujemy

20

20

2

00

22

2

R

Q

RE

RE

p

p

εππε

λ

ααπε

λπ

==

= int dcos

(1016)

ROZDZIAŁ 10

Strona 166166166166

Rysunek 103 Wyznaczanie natężenia pola elektrycznego pochodzące

od naładowanego pręta wygiętego w poacutełokrąg

104 Energia i potencjał w polu elektrycznym

Energia jaką posiada ładunek w polu elektrycznym jest roacutewna pracy jaką należało wykonać aby umieścić go w danym miejscu tego pola

Jest to definicja identyczna jak ta wprowadzona już dla pola grawitacyj-nego Skorzystaliśmy woacutewczas ze wzoru całkowego na pracę

int= xF(x)W d

Obliczamy pracę przeniesienia ładunku Q2 z nieskończoności do punktu odległego o R od ładunku Q1 będącego źroacutedłem pola elektrycznego

intinfin

=R

21 rr

QQW d

204πε

(1017)

R

QQWE 21

pot

04πε== (1018)

ELEKTROSTATYKA

Strona 167167167167

Warto zauważyć że postać energii potencjalnej pola elektrycznego jest podobna do wyrażenia jakie otrzymaliśmy dla pola grawitacyjnego

Jeżeli w polu elektrycznym przesuwamy między dwoma punktami ładu-nek q to praca jaką wykonujemy jest proporcjonalna do wartości tego ładunku Stosunek tej pracy przesunięcia dW ładunku do wartości ładun-ku q jest dla danych dwoacutech punktoacutew stały i nie zależy od wartości ładun-ku Stosunek ten definiuje roacuteżnicę potencjałoacutew dV między tymi dwoma punktami pola czyli napięcie elektryczne U

q

E

q

WVU

potddd === (1019)

Jednostką napięcia (potencjału) jest 1 wolt 1V=1J1C czyli jest to napięcie między takimi punktami między ktoacuterymi przesunięcie ładunku 1C wymaga pracy 1J Potencjał pola elektrycznego jest związany z natężeniem pola elektrycznego zależnością

( )z

Vk

y

Vj

x

VizyxVE

d

d

d

d

d

dgrad

rrrr++=minus= (1020)

Roacuteżnicę potencjałoacutew Uab między punktami a i b możemy więc zapisać

int==b

a

ab xE(x)∆VU d (1021)

Dla pola elektrycznego wytworzonego przez punktowy ładunek Q poten-cjał pola w odległości r od tego ładunku wynosi

r

QV

04πε= (1022)

Warto podkreślić że potencjał pola elektrycznego jest wielkością skalarną i addytywną czyli potencjał wytwarzany przez układ ładunkoacutew jest sumą potencjałoacutew wytwarzanych przez każdy z ładunkoacutew w danym punkcie Powierzchnie stałego potencjału (powierzchnie ekwipotencjal-ne) są prostopadłe do linii sił pola

Wroacutećmy do przykładu dwoacutech ładunkoacutew o identycznej wartości znajdu-jących się w odległości D od siebie Pokazaliśmy już że jeśli ładunki są jednoimienne natężenie pola w połowie odległości między nimi jest

ROZDZIAŁ 10

Strona 168168168168

roacutewne zeru Jeśli jednak obliczymy potencjał w tym punkcie otrzymamy

2πε42πε4 00 D

Q

D

QV += (1023)

W przypadku dwoacutech ładunkoacutew roacuteżnoimiennych natężenie obliczone w połowie odległości między nimi wynosi dwukrotną wartość natężenia pochodzącego od pojedynczego ładunku Potencjał obliczony w tym samym punkcie jest roacutewny zeru

0=minus=2πε42πε4 00 D

Q

D

QV (1024)

W elektrostatyce często będziemy posługiwać się pojęciem roacuteżnicy potencjałoacutew pomiędzy dwoma punktami ndash roacuteżnica ta jest miarą pracy jaką należy wykonać przemieszczając ładunek między tymi punktami

105 Prawo Gaussa

Pokazaliśmy już że natężenie pola elektrycznego pochodzącego od wielu ładunkoacutew punktowych jest sumą wektorową natężeń pochodzą-cych od każdego z ładunkoacutew a w przypadku obiektoacutew naładowanych ciągłym rozkładem ładunku sumowanie zastępujemy całkowaniem Obliczenia takie bywają jednak często bardzo żmudne i wymagają dobrej znajomości zależności geometrycznych występujących w bada-nym układzie W wielu przypadkach znacznie prostszą metodą okazuje się skorzystanie z prawa Gaussa

Aby zapisać prawo Gaussa wprowadzimy najpierw wielkość zwaną stru-mieniem natężenia pola elektrycznego

Jeśli linie sił pola elektrycznego przecinają daną powierzchnię to strumień wektora natężenia pola elektrycznego jest zdefiniowany jako iloczyn skalarny wektora natężenia pola elektrycznego i wektora normalnego zewnętrznego do danej powierzchni o wartości roacutewnej polu tej powierzchni

αSESEΦ E cos=sdot=rr

(1025)

ELEKTROSTATYKA

Strona 169169169169

gdzie α oznacza kąt między wektorem normalnym do powierzchni a wektorem natężenia pola elektrycznego Widzimy że im większy kąt α tym mniejsza wartość strumienia Jeśli wektor natężenia jest skierowa-ny roacutewnolegle do powierzchni to strumień jest roacutewny zeru Jeżeli war-tość wektora natężenia przecinającego powierzchnię jest roacuteżna w roacuteż-nych jej punktach bądź roacuteżny jest kąt pomiędzy tym wektorem a powierzchnią w obliczaniu strumienia korzystamy z zależności całkowej

int sdot= SEΦ E

rrd (1026)

Na przykładzie ładunku punktowego zauważyliśmy że linie sił są rozmieszczone gęściej w pobliżu ładunku a rzadziej kiedy badamy pole w większej odległości od niego Gęstość rozmieszczenia linii odpowia-dająca wartości wektora natężenia zmienia się zatem z odległością Jednak całkowita liczba linii sił pola nie zmienia się chyba że w prze-strzeni umieścimy kolejny ładunek ktoacutery stałby się źroacutedłem pola Zatem całkowity strumień natężenia wytwarzany przez ładunek przechodzący przez powierzchnię zamkniętą wewnątrz ktoacuterej on się znajduje pozostaje stały Strumień nie zależy roacutewnież od kształtu przyjętej powierzchni Mierząc zależność pomiędzy strumieniem a wartością ładunku można sformułować prawo Gaussa

Strumień całkowity wektora natężenia pola przechodzący przez

dowolną powierzchnię zamkniętą pomnożony przez stałą 0ε jest

roacutewny sumie ładunkoacutew elektrycznych obejmowanych przez tę powierzchnię

0ε

QSE =sdotintrr

d (1027)

Prawo Gaussa choć jest wyrażone wzorem całkowym w wielu przypad-kach pozwala na szybkie obliczanie natężenia bez konieczności stosowa-nia rachunku całkowego Należy dobrać zamkniętą powierzchnię całko-wania w taki sposoacuteb aby wektor natężenia był stały w każdym jej punkcie i przecinał tę powierzchnię pod stałym kątem

Ładunek punktowy

Zastosujemy prawo Gaussa do wyznaczenia natężenia pola elektryczne-go wytwarzanego przez ładunek punktowy i poroacutewnamy z prawem Coulomba W przypadku ładunku punktowego jako powierzchnię zam-kniętą dla ktoacuterej będziemy liczyli strumień natężenia pola elektryczne-

ROZDZIAŁ 10

Strona 170170170170

go warto wybrać sferę z ładunkiem punktowym w środku (rysu-nek 105) Woacutewczas wartość natężenia pola elektrycznego w każdym jej punkcie będzie taka sama (rozkład linii pola elektrycznego wytworzo-nego przez ładunek punktowy jest symetryczny) oraz w każdym punkcie wektor natężenia pola elektrycznego będzie roacutewnoległy do wektora normalnego do powierzchni Woacutewczas iloczyn skalarny może być zastą-piony iloczynem obu wielkości a całka ze strumienia wektora natężenia pola elektrycznego będzie roacutewna iloczynowi wartości natężenia pola elektrycznego oraz powierzchni sfery

0

24ε

πQ

rE = (1028)

a po przekształceniach otrzymujemy wynik zgodny z prawem Coulomba

204 r

QE

πε= (1029)

W kolejnych przykładach zastosujemy prawo Gaussa do wyznaczenia natężenia pola elektrycznego wytworzonego przez kulę o promieniu R naładowaną ładunkiem Q wykonaną w pierwszym przypadku z prze-wodnika (metalu) natomiast w drugim z izolatora (dielektryka)

Rysunek 105 Powierzchnie zamknięte używane przy obliczaniu

natężenia pola elektrycznego z prawa Gaussa

Naładowana kula metalowa

Ładunki w metalu mogą się swobodnie przemieszczać W sytuacji więc gdy metalową kulę naładujemy jednoimiennym ładunkiem ładunki będą się odpychały i tak się rozmieszczą na powierzchni ciała żeby być jak najdalej od siebie W efekcie cały ładunek Q rozłoży się roacutewnomiernie

ELEKTROSTATYKA

Strona 171171171171

na powierzchni takiej kuli W tym przypadku roacutewnież warto wybrać powierzchnię Gaussa jako sferę wspoacutełśrodkową z naładowaną kulą (rysunek 105)

Jeśli promień takiej sfery Gaussa jest mniejszy od promienia kuli nasza sfera nie obejmie żadnego ładunku (cały ładunek jest na powierzchni) i woacutewczas zgodnie z prawem Gaussa natężenie pola elektrycznego będzie zerowe

RrSE lt=sdotint dla 0drr

(1030)

Wewnątrz każdej metalowej powierzchni zamkniętej niezależnie od zgromadzonego czy wyindukowanego na niej ładunku natężenie pola elektrycznego będzie zerowe Taka zamknięta powierzchnia nazywana jest puszką Faradayrsquoa Przykładami puszki Faradayrsquoa jest karoseria samochodu czy kadłub samolotu W obu przypadkach chronią one znajdujące się wewnątrz osoby przed skutkami wyładowań atmosferycz-nych ndash w przypadku trafienia przez piorun cały ładunek spływa po powierzchni Podobną funkcję pełnią metalizowane powłoki torebek antystatycznych do przechowywania elementoacutew elektronicznych

Rysunek 104 Wykres natężenia pola elektrycznego pochodzącego

od naładowanej kuli metalowej i kuli z dielektryka w funkcji odległości od środka kuli

Jeśli promień sfery Gaussa r jest większy lub roacutewny promieniowi R kuli (r ge R) woacutewczas obejmuje ona cały ładunek Q ktoacuterym naładowana jest kula Wektor natężenia pola elektrycznego jest w każdym punkcie takiej sfery stały i prostopadły do powierzchni zatem (podobnie jak dla ładunku punktowego) prawo Gaussa przyjmie postać

ROZDZIAŁ 10

Strona 172172172172

RrQ

rE ge= dla 0

2

επ4 (1031)

Obliczone w ten sposoacuteb natężenie pola elektrycznego daje wynik iden-tyczny jak w przypadku ładunku punktowego znajdującego się w środku kuli Oznacza to że na zewnątrz naładowanej kuli można ją traktować jako ładunek punktowy znajdujący się w środku tej kuli (rysunek 104)

Naładowana kula dielektryczna

W dielektrykach ładunek nie może się swobodnie przemieszczać i zakła-damy że jest rozłożony jednorodnie w całej objętości kuli z gęstością objętościową ρ Wybierzmy teraz sferę Gaussa wewnątrz kuli Ładunek obejmowany przez sferę jest proporcjonalny do jej objętości Natężenie pola elektrycznego obliczone z prawa Gaussa wyniesie

Rr

rE

r

rElt

=

= dla

0

0

3

2

3

3

4

4

ε

ρ

ε

ρππ

(1032)

Natężenie pola elektrycznego jest więc proporcjonalne do promienia sfery Gaussa (rysunek 104) Kiedy promień sfery Gaussa zroacutewna się z promieniem kuli obejmie ona całkowity ładunek na niej zgromadzony Przy dalszym zwiększaniu promienia sfery Gaussa będzie wzrastać jej powierzchnia ale nie ładunek ndash zatem natężenie na zewnątrz kuli będzie zmniejszać się w funkcji odległości Podobnie jak w przypadku kuli metalowej natężenie jest odwrotnie proporcjonalne do kwadratu odleg-łości a postać wzoru jest identyczna jak w przypadku kiedy całkowity ładunek znajdowałby się w samym środku kuli

Naładowany pręt

Stosując prawo Gaussa w łatwy sposoacuteb możemy obliczyć roacutewnież natę-żenie pola pochodzące od długiego naładowanego pręta Zakładając że pręt ten jest nieskończenie długi (zaniedbujemy efekty występujące na jego końcach) jako powierzchnię Gaussa możemy zastosować cylinder wspoacutełśrodkowy z prętem (rysunek 105) Na powierzchni bocznej cylin-dra natężenie ma w każdym punkcie identyczną wartość i jest do niej prostopadłe Wektor natężenia pochodzący od pręta nie posiada skła-dowej roacutewnoległej do pręta ponieważ dla każdego wybranego punktu

ELEKTROSTATYKA

Strona 173173173173

wpływ ładunkoacutew znajdujących się na przeciwległych wobec wybranego punktu fragmentach pręta znosi się Strumień wektora natężenia pola elektrycznego wynosi zero dla podstaw takiego walca gdyż wektor natężenia jest roacutewnoległy do powierzchni podstaw Przyjmując gęstość liniową ładunku na pręcie (ładunek przypadający na jednostkę długości pręta) jako λ otrzymujemy

0

0

επ2

λ

ε

λπ2

rE

LrLE

=

=

(1033)

Naładowana płaszczyzna

Dla płaszczyzny powierzchnią Gaussa może być dowolny prostopadło-ścian lub walec przecinający ją prostopadle (rysunek 105) Na ścian-kach bocznych strumień natężenia jest roacutewny zeru (wektor natężenia jest do nich roacutewnoległy) przy obliczaniu strumienia wektora natężenia pola elektrycznego bierzemy zatem pod uwagę jedynie powierzchnie pod-staw Przyjmując gęstość powierzchniową σ ładunku zgromadzonego na naładowanej płycie otrzymujemy

0ε

σ2

SSE = (1034)

Po obliczeniu natężenia pola elektrycznego pochodzącego od nieskoń-czenie dużej płyty okazuje się że jest ono niezależne od odległości od płyty

02ε

σ=E (1035)

Obliczenia te są słuszne dla płyty nieskończenie dużej ale prawdziwe bę-dą roacutewnież z dobrym przybliżeniem dla wyznaczania natężenia pola elektrycznego roacutewnież w niewielkiej odległości od płyty skończonej (dla odległości znacznie mniejszej od rozmiaru płyty)

ROZDZIAŁ 10

Strona 174174174174

106 Pojemność elektryczna przewodnika

Wyobraźmy sobie układ złożony z dwoacutech ciał Z jednego z nich pobiera-my małą porcję ładunku i przenosimy na drugie ciało W ten sposoacuteb na-ładowaliśmy oba ciała ładunkiem o identycznej wartości ale przeciw-nym znaku Między takimi ciałami powstaje woacutewczas roacuteżnica potencja-łoacutew (napięcie) Dalsze ładowanie takiego układu czyli dalsze przemiesz-czanie ładunkoacutew między ciałami wymagać będzie wykonania pracy na pokonanie roacuteżnicy potencjałoacutew

Roacuteżnica potencjałoacutew powstała między naładowanymi ciałami jest pro-

porcjonalna do wartości ładunku Q∆V prop Dla roacuteżnych układoacutew wytworzenie identycznej roacuteżnicy potencjałoacutew wymaga jednak przenie-sienia roacuteżnej ilości ładunku elektrycznego

Stosunek ładunku Q do roacuteżnicy potencjałoacutew ∆V (napięcia U) ktoacuterą wytwarza ten ładunek będziemy nazywali pojemnością C układu a sam układ kondensatorem

U

Q

∆V

QC == (1036)

Jednostką pojemności jest jeden Farad 1F=1CV W praktyce rzadko spotyka się kondensatory o tak dużej pojemności Warto zauważyć że właściwie każdy obiekt posiada jakąś wartość pojemności Prostym przykładem może być kondensator składający się z naładowanej kuli i Ziemi Wykazaliśmy już że natężenie oraz potencjał pola elektryczne-go na powierzchni kuli o promieniu R naładowanej ładunkiem Q wynoszą

R

QV

R

QE

0

20

4

4

πε

πε

=

=

(1037)

Ponieważ przyjmuje się że potencjał Ziemi wynosi 0 więc w wyniku naładowania kuli między nią a ziemią powstaje roacuteżnica potencjału V

ELEKTROSTATYKA

Strona 175175175175

Dzieląc ładunek Q zgromadzony na kuli przez roacuteżnicę potencjału V otrzymujemy pojemność kuli o promieniu R

RQ

RQC 0

0 44

πεπε

== (1038)

Podstawiając jako R promień Ziemi RZ otrzymamy pojemność elektrycz-ną Ziemi - C asymp 710 microF Żeby wyznaczyć rzeczywistą pojemność elek-tryczną Ziemi należy rozważyć układ Ziemia- jonosfera Pojemność elektryczna takiego układu jest znacznie większa niż wynika z powyż-szego uproszczonego modelu i szacuje się że jest rzędu pojedynczych Faradoacutew

Kondensatory

Pracę wykonaną na rozdzielenie ładunkoacutew elektrycznych na okładkach kondensatora możemy wykorzystać w procesie rozładowania kondensa-tora ndash urządzenie takie możemy zatem wykorzystać do gromadzenia energii w postaci ładunku elektrycznego Rozroacuteżniamy wiele typoacutew kondensatoroacutew Pierwotnie popularnym rozwiązaniem gromadzenia ła-dunku były tzw butelki lejdejskie ndash szklane cylindryczne pojemniki w ktoacuterych okładkami były warstwy folii metalowej znajdujące się wew-nątrz i na zewnątrz cylindra Obecnie często spotyka się kondensatory elektrolityczne w ktoacuterych jedną z okładek stanowi elektrolit przewodzą-cy ładunek w postaci jonoacutew Kondensatory tego typu pozwalają na uzys-kiwanie wysokich pojemności elektrycznych W urządzeniach elektro-nicznych spotykamy roacutewnież kondensatory nastawne zbudowane z dwoacutech układoacutew metalowych blaszek rozdzielonych szczeliną powietrz-ną Układy te mogą się przesuwać względem siebie Wsuwając jedne blaszki między drugie zmieniamy efektywną powierzchnię oraz odleg-łość między elektrodami a i w efekcie możemy płynnie regulować po-jemność takiego kondensatora

Kondensator płaski

Idealny kondensator płaski składa się z dwoacutech nieskończenie dużych płyt (tzw okładek) o powierzchni S ustawionych roacutewnolegle do siebie w odległości d ktoacutere ładujemy ładunkiem Q tzn na jednej z płyt gromadzimy ładunek bdquo+Qrdquo a na drugiej bdquo-Qrdquo Natężenie pola elektrycz-nego wytworzonego przez taki płaski kondensator możemy obliczyć korzystając z prawa Gaussa Jeśli obejmiemy obie okładki kondensatora zamkniętą walcową powierzchnią Gaussa (podobnie jak w przykładzie

ROZDZIAŁ 10

Strona 176176176176

z naładowaną płaszczyzną rysunek 105) zauważamy że całkowity ła-dunek objęty przez tę powierzchnię Gaussa wynosi zero a więc na zew-nątrz kondensatora natężenie pola elektrycznego roacutewnież wynosi zero W rzeczywistości kondensator płaski nie jest nieskończenie wielki i dlatego roacutewnież na zewnątrz kondensatora przy obrzeżach okładek ist-nieje pewne małe pole elektryczne ale jego wartość jest wielokrotnie mniejsza od natężenia wewnątrz i w obliczeniach możemy je zaniedbać W praktyce jeżeli odległość d między okładkami jest znacznie mniejsza od rozmiaroacutew liniowych okładek (dltlta dltltb S=ab) to z dobrym przybliżeniem taki kondensator można traktować jako nieskończony

Natężenie pola elektrycznego między okładkami będzie sumą natężeń pochodzących od każdej z nieskończenie wielkich okładek naładowa-nych ładunkiem Q Korzystając z wyznaczonej zależności 1031 oraz uwzględniając gęstość powierzchniową ładunku σ = QS otrzymujemy natężenie pola elektrycznego między okładkami kondensatora

S

QE

0000 εε

σ

ε2

σ

ε2

σ==+= (1039)

Następnie wstawiając powyższe natężenie pola elektrycznego do zależ-ności 1020 obliczymy roacuteżnicę potencjałoacutew między okładkami

S

dQx

S

QxE∆V

d

0

d

0 00 εε=== intint dd (1040)

Pojemność C kondensatora płaskiego o powierzchni okładek S oraz od-ległości między okładkami d wynosić więc będzie

d

SC 0ε= (1041)

Pojemność kondensatora płaskiego jest tym większa im większa jest jego powierzchnia okładek S oraz im mniejsza jest odległość d między nimi

W tak zwanych super-kondensatorach wykorzystywanych w napędzie pojazdoacutew hybrydowych i elektrycznych odległość pomiędzy obszarami naładowanymi ładunkiem dodatnim i ujemnym jest bardzo mała ndash rzędu promienia jonoacutew ktoacutere są nośnikami ładunku Pozwala to na uzyskiwa-nie bardzo wysokich wartości pojemności elektrycznej co jest niezbędne do zmagazynowania energii odzyskiwanej w trakcie hamowania pojazdu

ELEKTROSTATYKA

Strona 177177177177

Łączenie kondensatoroacutew

Kondensator możemy naładować jedynie do określonego napięcia pomiędzy okładkami nazywanego napięciem przebicia Dla wyższych wartości napięcia następuje lawinowy przepływ ładunku pomiędzy okładkami ktoacutery może prowadzić do uszkodzenia kondensatora Zwięk-szenie napięcia przebicia możemy uzyskać łącząc kondensatory szere-gowo ndash układ taki nazywamy roacutewnież dzielnikiem napięcia

Chcąc zwiększyć pojemność układu kondensatory łączymy roacutewnolegle ndash przy identycznej wartości napięcia możemy zgromadzić w takim układzie większy ładunek niż na pojedynczym kondensatorze

Połączenie szeregowe

Jeżeli połączymy dwa kondensatory szeregowo to na okładkach obu kondensatoroacutew zgromadzony będzie ten sam ładunek Q przy czym okładka naładowana znakiem bdquo+rdquo jednego kondensatora jest połączona z okładką naładowaną znakiem bdquo-rdquo drugiego z nich Całkowita roacuteżnica potencjałoacutew występująca pomiędzy zaciskami układu jest sumą napięć na obu kondensatorach Pojemność kondensatora zastępczego (konden-satora dla ktoacuterego przy danym ładunku na zaciskach wytworzyłaby się identyczna roacuteżnica potencjałoacutew jak na zaciskach całego układu) dla szeregowego połączenia kondensatoroacutew wyraża się wzorem

sum=i iZ CC

11 (1042)

Jeśli połączymy ze sobą szeregowo dwa kondensatory o pojemności C=2mF każdy to pojemność zastępcza układu obliczona ze wzoru 1038 wyniesie CZ=1mF ndash jest zatem mniejsza niż pojemność każdego z kondensatoroacutew

Połączenie roacutewnoległe

Łącząc kondensatory roacutewnolegle ustalamy identyczną wartość roacuteżnicy potencjałoacutew między okładkami Ponieważ na każdym z kondensatoroacutew możemy przy danym napięciu zgromadzić inny ładunek całkowity ładunek zgromadzony w takim połączeniu będzie sumą ładunkoacutew na okładkach każdego z kondensatoroacutew Pojemność zastępcza układu roacutewnolegle połączonych kondensatoroacutew jest sumą pojemności tych kondensatoroacutew

ROZDZIAŁ 10

Strona 178178178178

sum=i

iZ CC (1043)

Roacutewnoległe połączenie kondensatoroacutew można wyobrazić sobie roacutewnież jako zwiększenie powierzchni okładek pojedynczego kondensatora ndash zatem przy identycznym napięciu można na nim zgromadzić więcej ładunku

Energia naładowanego kondensatora

Definiując roacuteżnicę potencjałoacutew (napięcie) we wcześniejszej części tego rozdziału powiedzieliśmy że roacuteżnica potencjałoacutew ∆V wyraża pracę W jaką należy wykonać żeby przemieścić ładunek Q w polu elektrycznym

U∆VQ

W== (1044)

W procesie ładowania kondensatora roacuteżnica potencjałoacutew między okład-kami zmienia wraz z wartością zgromadzonego ładunku Dlatego obli-czając całkowitą pracę naładowania kondensatora WC o pojemności C ładunkiem Q musimy zastosować procedurę całkowania

2

QU

2

CU

C2

QE

C2

Qqq

C

1q

C

qqUW

22

C

2Q

0

Q

0

Q

0

===

==== intintint dddC

(1045)

Energia takiego naładowanego kondensatora EC czyli energia zgroma-dzona w postaci pola elektrycznego wytworzonego między okładkami tego kondensatora jest roacutewna pracy WC naładowania tego kondensatora Możemy roacutewnież obliczyć gęstość energii na jednostkę objętości

2

ε

2

ε

200

2

2

222

el E

Sd

dES

Sd

1CU

V

Wρ ==== (1046)

Gęstość energii pola elektrycznego dla kondensatora płaskiego zależy od kwadratu natężenia pola elektrycznego wytworzonego między jego okładkami Można wykazać że taką samą zależność gęstości energii od kwadratu natężenia pola elektrycznego otrzymamy nie tylko dla konden-

ELEKTROSTATYKA

Strona 179179179179

satora płaskiego i że jest to zależność prawdziwa dla dowolnego rozkła-du pola elektrycznego

107 Dielektryki

Jeśli okładki kondensatora płaskiego naładujemy ładunkiem Q ustali się

między nimi roacuteżnica potencjałoacutew CQU∆V =equiv Jeśli pomiędzy okładki wsuniemy płaską ściśle przylegającą do nich płytkę z nieprze-wodzącego materiału (dielektryka) zauważymy że roacuteżnica potencjałoacutew zmniejszy się mimo że ładunek pozostał identyczny a więc po włożeniu płytki pojemność kondensatora wzrosła

Polaryzacja dielektryczna

Wyjaśnienie obserwowanego efektu wiąże się z właściwościami elek-trycznymi materiału jaki umieszczamy między okładkami Dielektryki są materiałami nieprzewodzącymi czyli w przeciwieństwie do metali ładunek nie może się swobodnie przemieszczać w całej objętości Może natomiast dochodzić do zjawisk polaryzacji ndash rozsunięcia się ładunkoacutew dodatnich i ujemnych i wytworzenia dipoli elektrycznych gdyż na ła-dunki dodatnie działa siła zgodna a na ujemne przeciwnie skierowana niż pole elektryczne W efekcie dipole takie ułożone są zgodnie z kie-runkiem pola elektrycznego w ktoacuterym się znajdują i wytwarzają własne pole elektryczne ndash jego kierunek jest przeciwny do kierunku zewnętrzne-go pola elektrycznego Wypadkowe natężenie pola elektrycznego mię-dzy okładkami kondensatora po włożeniu dielektryka będzie więc mniej-sze niż dla kondensatora proacuteżniowego Ponieważ roacuteżnica potencjałoacutew czyli napięcie między okładkami kondensatora jest proporcjonalna do natężenia pola wewnątrz kondensatora w takim przypadku otrzymujemy mniejsze napięcie na kondensatorze i w efekcie większą pojemność przy ładowaniu kondensatora tym samym ładunkiem

Efekty polaryzacyjne opisane powyżej jakim podlegają ładunki w die-lektryku są jego charakterystyczną cechą materiałową Względna przeni-kalność elektryczna ε określa ile razy w poroacutewnaniu z proacuteżnią zmniej-szy się natężenie pola elektrycznego w dielektryku Dla proacuteżni wartość względnej przenikalności dielektrycznej roacutewna jest jedności ε=1 Jeśli

ROZDZIAŁ 10

Strona 180180180180

między okładkami kondensatora umieścimy płytkę z dielektryka o względnej przenikalności roacutewnej ε to jego pojemność wzrośnie ε razy

Efektywną wartość pola elektrycznego w dielektryku opisuje wektor

indukcji pola elektrycznego EεDrr

0ε= Efekty polaryzacyjne zacho-

dzącego w dielektryku na skutek zewnętrznego pola elektrycznego Er

opisuje wektor polaryzacji Pr

Indukcja pola elektrycznego Dr

czyli wypadkowe pole elektryczne jest złożeniem wpływu pola zewnętrznego

Er

oraz polaryzacji Pr

co zapisujemy

PEEεDrrrr

+== 00 εε (1047)

Z powyższej zależności wynika że polaryzacja P jest zależna od zew-nętrznego pola elektrycznego E a wspoacutełczynnik proporcjonalności nazywamy podatnością elektryczną χ

EχE1)(εE)ε(Prrrr

0000 εεεε =minus=minus= (1048)

Uwzględniając właściwości dielektryczne materii prawo Gaussa w uogoacutelnionej postaci dla dielektrykoacutew możemy przedstawić w postaci

qSdD =sdotintrr

(1049)

Możemy w tym miejscu wprowadzić rozroacuteżnienie pomiędzy ładunkiem swobodnym q (ładunkiem ktoacutery może swobodnie się przemieszczać) a ładunkiem związanym qpol ndash powstającym w wyniku polaryzacji na powierzchni dielektryka Dzieląc obie strony roacutewnania 1045 przez powierzchnię możemy powiązać wektor indukcji D z powierzchniową gęstością ładunku swobodnego q zgromadzonego na okładkach konden-

satora wypełnionego dielektrykiem σD = Analogicznie wartość wektora polaryzacji P jest miarą gęstości ładunku związanego

polσP =

Dipol elektryczny charakteryzuje elektryczny moment dipolowy p Jest to wielkość wektorowa wyrażona przez iloczyn ładunku dipola q

i wektora odległości lr

od ładunku ujemnego do dodatniego

lrr

qp = (1050)

Na dipol znajdujący się w jednorodnym polu elektrycznym o natężeniu E działać będzie moment sił obracający dipol tak aby ustawił się zgodnie

ELEKTROSTATYKA

Strona 181181181181

z kierunkiem zewnętrznego pola elektrycznego Moment ten wyrażamy przez iloczyn wektorowy momentu dipolowego i wektora natężenia pola elektrycznego

EpMrrr

times= (1051)

Rysunek 106 Moment sił działających na dipol w zewnętrznym polu

elektrycznym

Podobnie jak wartość wektora polaryzacji P zależy od natężenia pola elektrycznego E w ktoacuterym znajduje się dielektryk roacutewnież elektryczny moment dipolowy charakteryzujący pojedynczy dipol jest wprost pro-porcjonalny do natężenia pola elektrycznego E

Eprr

α= (1052)

Wspoacutełczynnik α w powyższym wzorze jest nazywany polaryzowalnością dipola Dipol elektryczny roacutewnież jest źroacutedłem pola elektrycznego W materiałach dielektrycznych takie pole pochodzące od sąsiadujących dipoli tzw pole lokalne jest silniejsze niż pole zewnętrzne Całkowite lokalne natężenie pola jakiemu podlegać będzie dielektryk uwzględniać więc musi zaroacutewno zewnętrzne pole E jak i pole pochodzące od otocze-nia danego atomu

03ε

PEE L

rrr

+= (1053)

ROZDZIAŁ 10

Strona 182182182182

Ponieważ wektor polaryzacji jest sumą momentoacutew dipolowych pocho-dzących od wszystkich N dipoli znajdujących się w jednostce objętości materiału polaryzację całkowitą możemy zapisać

LENpNPrrr

α== (1054)

Przekształcając powyższą zależność otrzymujemy prawo Clausiusa ndash Mosottiego ktoacutere określa związek między polaryzowalnością α a względną przenikalnością elektryczną ośrodka ε

03ε2ε

1ε αN=

+

minus (1055)

Wymnażając obie strony przez objętość molową dielektryka Vm oraz

uwzględniając ρmicro=mV otrzymujemy zależność polaryzowalnością α (wielkością mikroskopową) a parametrami mierzalnymi makroskopowy-mi takimi jak gęstość materiału ρ czy masa molowa micro

micro0

A

3ε

N

2ε

1ε α=

+

minus

ρ

1 (1056)

gdzie NA oznacza stałą Avogadra

Rodzaje dielektrykoacutew

Dielektryki możemy podzielić na dwie zasadnicze grupy

1 dielektryki polarne w ktoacuterych istnieją stałe dipole elektryczne

2 dielektryki niepolarne (indukowane) w ktoacuterych dipole powstają jedynie przy włączonym zewnętrznym polu elektrycznym

Przykładem dielektryka polarnego jest woda Cząsteczki wody zbudo-wane są tak że na atomach wodoru występuje niedoboacuter elektronoacutew a na atomach tlenu nadmiar elektronoacutew Ponieważ oba atomy wodoru geome-trycznie znajdują się po tej samej stronie atomu tlenu ładunek dodatni związany z atomami wodoru nie pokrywa się z ładunkiem ujemnym związanym z atomami tlenu tworząc trwały dipol elektryczny

W dielektrykach niepolarnych polaryzacja zachodzi pod wpływem zew-nętrznego pola elektrycznego Powoduje ono przemieszczenie się ładun-koacutew roacuteżnoimiennych względem siebie pod wpływem zewnętrznego pola

ELEKTROSTATYKA

Strona 183183183183

elektrycznego na skutek czego indukują się dipole elektryczne Można wyroacuteżnić trzy typy takiej polaryzacji

bull polaryzacja elektronowa dipol elektryczny powstaje w wy-niku zniekształcenia chmury elektronowej wokoacuteł jądra ndash na elektrony znajdujące się na orbicie wokoacuteł jądra oddziałuje zewnętrzne pole siłą o przeciwnym zwrocie niż na dodatnie jądro atomowe

bull polaryzacja jonowa występuje w substancjach o wiązaniu jonowym (np NaCl) ktoacutere zbudowane są z dwu rodzajoacutew jonoacutew Dochodzi do wzajemnego przesunięcia podsieci kationowej (Na+) i anionowej (Cl )

bull polaryzacja ładunkiem przestrzennym nośniki ładunku ndashna-ładowane elektrycznie atomy (jony) gromadzą się na niejed-norodnościach ośrodka np na granicach obszaroacutew o roacuteżnej wartości przenikalności dielektrycznej

Ferroelektryki

Ferroelektryki są ciekawą grupą materiałoacutew w ktoacuterych lokalne oddziały-wania między dipolami są na tyle silne że tworzą uporządkowane struk-tury Oddziaływania sąsiadoacutew danego dipola ustawiają dipol zgodnie z tymi sąsiadami Ustawienie przeciwne jest niekorzystne energetycznie Dochodzi w efekcie do powstanie dużych obszaroacutew w ktoacuterych wszyst-kie dipole są ustawione w jednakowym kierunku zwanych domenami Dipole znajdujące się wewnątrz domen osiągają minimum energii Przykładem ferroelektryka jest tytanian baru BaTiO3

Można by sądzić że najkorzystniejszym ustawieniem dipoli będzie wo-bec tego jedna wielka domena obejmująca całą objętość ferroelektryka Taka domena wytwarzałaby jednak silne pole elektryczne na zewnątrz materiału co roacutewnież byłoby niekorzystne energetycznie W praktyce dochodzi do podziału materiału na wiele domen o roacuteżnych kierunkach zorientowania dipoli W strefie dzielącej domeny zwrot dipoli ulega stopniowej zmianie od jednej orientacji do drugiej ndash obszar taki nazywa-my ścianką domenową

Załoacuteżmy że ferroelektryk znajduje się w stanie w ktoacuterym elektryczne momenty dipolowe domen ułożone są w przypadkowy sposoacuteb Jeśli taki fragment ferroelektryka umieścimy w zewnętrznym polu elektrycznym pole to będzie oddziaływało na dipole powodując ich obracanie Prowa-dzi to do uporządkowania struktury domenowej Porządkowanie domen powoduje szybki wzrost wartości polaryzacji elektrycznej P w funkcji

ROZDZIAŁ 10

Strona 184184184184

natężenia pola zewnętrznego E Dla ferroelektrykoacutew względna przeni-kalność dielektryczna osiąga wartości rzędu tysięcy Wykres polaryzacji elektrycznej w funkcji natężenia pola elektrycznego (rysunek 106) nazywany roacutewnież pierwotną krzywą polaryzacji nie jest jednak liniowy ndash jeśli wszystkie dipole ustawią się zgodnie z liniami sił pola dalszy wzrost wartości natężenia pola zewnętrznego nie zmieni już ich uporząd-kowania Dalszy wzrost natężenia prowadzi jedynie do wzrostu wartości wektora indukcji a wektor polaryzacji pozostaje już stały Stan w ktoacuterym wszystkie dipole są ustawione roacutewnolegle do linii pola zew-nętrznego nazywamy stanem nasycenia

Rysunek 107 Wykres zależności polaryzacji od natężenia

zewnętrznego pola dla ferroelektryka

Przy zmniejszaniu natężenia wykres polaryzacji nie przebiega wzdłuż krzywej polaryzacji pierwotnej Uprzednio spolaryzowany ferroelektryk zachowuje częściowo polaryzację nawet po wyłączeniu pola zewnętrzne-go co określamy jako remanencję (jest to punkt przecięcia krzywej z osią pionową) Aby zmniejszyć polaryzację materiału do zera należy przyłożyć pole zewnętrzne skierowane przeciwnie do pola ktoacuterym spo-laryzowano ferroelektryk Wartość natężenia pola niezbędną do depola-ryzacji materiału nazywamy polem koercji Na wykresie polaryzacji wartość ta odpowiada przecięciu z osią poziomą Jeśli wartość natężenie pola elektrycznego będzie większa niż wartość pola koercji materiał spolaryzuje się w przeciwnym kierunku Nastąpi ponowne utworzenie struktury domenowej z dipolami o przeciwnym zwrocie

ELEKTROSTATYKA

Strona 185185185185

W wyniku cyklicznych zmian kierunku pola zewnętrznego otrzymujemy wykres pewnej krzywej zamkniętej zwanej pętlą histerezy Pole takiej pętli histerezy odpowiada energii ktoacuterą należy zużyć na spolaryzowanie ferroelektryka w jednym cyklu W zależności od właściwości ferroelek-tryka i maksymalnych wartości przyłożonego pola zewnętrznego pętla histerezy może przybierać roacuteżny kształt Materiały o wąskiej pętli histe-rezy łatwo jest spolaryzować Materiały takie mogą być stosowane w pa-mięciach ferroelektrycznych (FRAM) Pamięci tego typu są znacząco szybsze niż ich odpowiedniki typu EEPROM zużywają roacutewnież znaczą-co mniej energii elektrycznej Pamięci tego typu są stosowane min w konsolach do gier Polaryzacja materiałoacutew o szerokiej pętli histerezy wymaga dużych wartości natężenia pola Zapisanie informacji wymaga dłuższego czasu i zużycia większej ilości energii Informacja jest jednak zapisana w bardziej trwały sposoacuteb Pamięci tego typu są stosowane np w technice wojskowej a często roacutewnież motoryzacyjnej

Właściwości ferroelektryczne zależą w znaczący sposoacuteb od temperatury w ktoacuterej znajduje się materiał Rozszerzanie się ciał powoduje że odleg-łości między dipolami zwiększają się Ponieważ pole elektryczne wytwarzane przez dipol zależy od odległości w potędze 3 nawet nie-wielka jej zmiana ma duży wpływ na siły wzajemnego oddziaływania di-poli Drgania termiczne prowadzą roacutewnież do zmiany ustawienia po-szczegoacutelnych dipoli zmniejszając zatem uporządkowanie wewnątrz do-meny Z tego względu powyżej pewnej temperatury zwanej temperaturą Curie Tc następuje stopniowy zanik uporządkowania a materiał z ferro-elektryka przechodzi w paraelektryk Powyżej temperatury Curie zależ-ność temperaturowa podatności elektrycznej χ ferroelektrykoacutew wyrażona jest przez prawo Curie ndash Weissa

C

C

T

C

minus=

Tχ (1057)

W prawie Curie-Weissa stała Curie CC jest charakterystyczną cechą danego ferroelektryka

Piezoelektryki

W pewnej grupie materiałoacutew określanych jako piezoelektryki obserwu-je się zjawisko powstawania ładunku elektrycznego na ich powierzchni pod wpływem siły przyłożonej wzdłuż określonego kierunku krystalo-graficznego Oproacutecz takiego tzw efektu piezoelektrycznego prostego obserwuje się roacutewnież zjawisko odwrotne w ktoacuterym pod wpływem przyłożonego napięcia kryształ zmienia swoje wymiary

ROZDZIAŁ 10

Strona 186186186186

Wszystkie ferroelektryki są roacutewnież piezoelektrykami- ale nie wszystkie piezoelektryki są ferroelektrykami Zjawisko piezoelektryczne może roacutewnież występować w materiałach w ktoacuterych strukturze krystalicznej występują naprzemiennie atomy obdarzone ładunkiem dodatnim (katio-ny) i ujemnym (aniony) Taki kryształ nie poddany działaniu ciśnienia jest obojętny elektrycznie zaroacutewno w skali makroskopowej jak i lokalnie a jony znajdują się w położeniach roacutewnowagi określonych przez kształt pola sił ich wzajemnych oddziaływań Kiedy do powierzchni kryształu przyłożymy ciśnienie wzajemne położenie ładunkoacutew zmienia się pow-stają dipole elektryczne ktoacutere wytwarzają pole elektryczne tak że na przeciwległych powierzchniach kryształu wyznaczonych przez kierunek ściskania indukują się ładunki Ładunek ten jest wprost proporcjonalny do wytworzonego ciśnienia

W zjawisku piezoelektrycznym odwrotnym przyłożone napięcie wytwa-rza pole elektryczne ktoacutere wywołuje rozsunięcie ładunkoacutew dodatnich i ujemnych a więc kationoacutew i anionoacutew w strukturze tego kryształu po-wodując zmianę długości tego materiału w tym kierunku

Typowym piezoelektrykiem jest kwarc czyli tlenek krzemu tytanian ołowiu wspomniany już przy okazji ferroelektryczności tytanian baru czy niektoacutere tworzywa sztuczne (polimery) Piezoelektryki są stosowane wszędzie tam gdzie zachodzi potrzeba przetworzenia sygnału elektrycz-nego na mechaniczny Zakres wydłużenia piezoelektryka jest niewielki ale można nim bardzo precyzyjnie sterować Piezoelektryki można za-tem wykorzystywać w układach dokładnego pozycjonowania lub prze-twornikach drgań Czujniki piezoelektryczne można stosować w pomia-rach dynamicznych naprężeń i odkształceń Zaletą piezoelektrykoacutew jest duża szybkość reakcji piezoelektryka na sygnał elektryczny Elementy piezoelektryczne wykorzystywane są w głowicach ultradźwiękowych i defektoskopach echosondach oraz aparatach USG W motoryzacji zawory piezoelektryczne stosuje się w układach wtrysku paliwa

11 Prąd elektryczny

W tym rozdziale

o Natężenie prądu elektrycznego o Prawo Ohma mikroskopowe prawo Ohma o Oporniki łączenie opornikoacutew o Praca i moc prądu elektrycznego o Obwody elektryczne prawa Kirchhoffa

ROZDZIAŁ 11

Strona 188188188188

111 Natężenie prądu elektrycznego

Prąd elektryczny jest uporządkowanym ruchem ładunkoacutew elektrycznych Może być wywołany i obserwowany w tych materiałach w ktoacuterych istnieją swobodne cząstki obdarzone ładunkiem elektrycznym tzw nośniki ładunku W metalach nośnikami są swobodne elektrony walen-cyjne tworzące tzw gaz elektronoacutew swobodnych W poacutełprzewodnikach takimi nośnikami ładunku są zaroacutewno elektrony jak i dziury (posiadające ładunek dodatni) W materiałach ciekłych roztworach kwasoacutew zasad lub soli nazywanych elektrolitami a także niektoacuterych materiałach sta-łych (bdquoprzewodniki superjonowerdquo) ruchliwymi nośnikami ładunku są jo-ny zaroacutewno dodatnie jak i ujemne

Przyłożenie do takiego przewodnika napięcia (roacuteżnicy potencjałoacutew) po-woduje powstanie pola elektrycznego ktoacutere będzie oddziaływać na nośniki ładunku wywołując ich uporządkowany ruch nazywamy prądem elektrycznym Należy zaznaczyć że w przypadku elektronoacutew ten upo-rządkowany ruch jest nałożony na o wiele szybszy chaotyczny ruch cieplny nośnikoacutew Prędkość termiczna elektronoacutew pomiędzy zderzenia-mi jest bardzo duża rzędu 106ms Przemieszczenie elektronoacutew pod wpływem przyłożonego pola czyli tak zwana prędkość dryfu jest nato-miast niewielka i wynosi około vd~10-4ms

Ilościowo prąd charakteryzujemy za pomocą natężenia prądu

Natężenie prądu I jest to ilość ładunku Q przepływającego przez dowolny przekroacutej przewodnika w ciągu jednostki czasu t Dla prądu stałego natężenie prądu I jest wyrażone stosunkiem ładunku ktoacutery przepłynął do czasu przepływu

t

QI = (111)

Jednostką natężenia prądu jest jeden amper 1A=1Cs Dla prądu zmien-nego chwilowa wartość natężenia prądu definiowana jest jako pochodna ładunku po czasie

PRĄD ELEKTRYCZNY

Strona 189189189189

( ) ( )t

tQtI

d

d= (112)

Kierunek przepływu prądu jest zgodny z kierunkiem ruchu ładunku do-datniego Zatem w przypadku przepływu elektronoacutew i jonoacutew ujemnych umowny kierunek prądu jest odwrotny niż kierunek poruszania się tych nośnikoacutew ładunku

Istnieją przypadki gdy prąd nie jest roacutewnomiernie rozłożony na przekro-ju przewodnika Wtedy możemy wprowadzić wektor gęstości prądu

jr

taki że

)dcos(ddd SjSjSjIrrrr

=sdot= (113)

Wektor gęstości prądu jr

jest w tym przypadku funkcją wspoacutełrzędnych a dS jest elementem powierzchni przekroju przewodnika W szczegoacutel-nym przypadku roacutewnomiernego rozkładu gęstości prądu

perp

==S

I

αS

Ij

cos

r

(114)

gdzie α oznacza kąt pomiędzy kierunkiem przepływu prądu a wybraną

płaszczyzną zaś perpS - polem powierzchni prostopadłej do kierunku przepływu prądu

112 Prawo Ohma

Stwierdziliśmy że przyczyną powstania prądu w przewodniku jest przy-łożenie napięcia do końcoacutew przewodnika Jak pokazują doświadczenia dla dużej grupy przewodnikoacutew (metale stopy metali związki intermeta-liczne jednorodne poacutełprzewodniki) natężenie prądu jest wprost propor-cjonalne do napięcia co określamy jako prawo Ohma

Stosunek napięcia na końcach przewodnika do natężenia prądu wywołanego tym napięciem jest wielkością stałą i charakte-rystyczną dla danego przewodnika Wielkość ta zależy zaroacutewno od kształtu przewodnika jak i materiału z ktoacuterego jest wyko-nany i nazywana jest oporem elektrycznym lub rezystancją

ROZDZIAŁ 11

Strona 190190190190

const== RI

U (115)

Jednostką oporu elektrycznego jest om (Ohm) 1Ω=1VA i jest rezystan-cją takiego przewodnika dla ktoacuterego napięcie 1V przyłożone do jego końcoacutew wywołuje powstanie prądu o natężeniu 1A Rezystancja R zale-ży od kształtu przewodnika jest wprost proporcjonalna do jego długości l i odwrotnie proporcjonalne do pola przekroju S

S

ρRl

= (116)

Wspoacutełczynnik proporcjonalności zapisany grecką literą ρ (bdquorordquo) oznacza oporność właściwą ktoacutera jest cechą charakterystyczną materiału z ktoacutere-go zbudowany jest przewodnik Odwrotność rezystancji nazywamy prze-

wodnością elektryczną i oznaczamy symbolem σ (bdquosigmardquo) ρ

σ1

=

Wartości oporności właściwej dla metali sięga od 10-5 do 10-7Ωm oraz powyżej 1015Ωm dla izolatoroacutew Poacutełprzewodniki charakteryzują się pośrednimi wartościami oporności właściwej

Opoacuter elektryczny i oporność właściwa metali w dość szerokim zakresie temperatur wzrasta liniowo z temperaturą

)(1 tαRR 0 += (117)

gdzie α jest temperaturowym wspoacutełczynnikiem oporu zaś t jest tempera-turą wyrażoną w skali Celsjusza Powyższa zależność opisuje własność metali na tyle precyzyjnie że stała się ona podstawą budowy czujnikoacutew termometrycznych Przykładem są platynowe czujniki temperatury typu Pt100 i Pt1000 stosowane roacutewnież w motoryzacji Mierząc prąd płynący przez czujnik jesteśmy w stanie z dużą dokładnością określić jego temperaturę

Mikroskopowe prawo Ohma

Jak dotąd sformułowaliśmy prawo Ohma dotyczące makroskopowego przewodnika w ktoacuterym płynie prąd Połączmy prawo Ohma (roacutewna-nie 115) z zależnością oporu elektrycznego od kształtu przewodnika (roacutewnanie 116) i przekształćmy odpowiednio

PRĄD ELEKTRYCZNY

Strona 191191191191

l

σU

S

I= (118)

co następnie możemy zapisać wektorowo jako tzw mikroskopowe pra-wo Ohma ktoacutere jest roacutewnaniem dotyczącym dowolnie wybranego punk-tu ośrodka przewodzącego

Ejrr

σ= (119)

Jeśli w wybranym punkcie ośrodka przewodzącego natężenie pola elektrycznego ma wartość E to w otoczeniu tego punktu wektor gęstości prądu ma wartość wprost proporcjonalną do wektora natężenia pola ze wspoacutełczynnikiem proporcjonalności roacutewnym przewodności elektrycznej materiału

Rozważmy teraz mikroskopowy sens wektora gęstości prądu wynikający z uproszczonej definicji tego pojęcia (podobnie definiuje się w fizyce strumień ciepła czy masy)

∆S∆t

∆Q

∆S

∆Ij == (1110)

Wektor gęstości prądu oznacza strumień ładunku elektrycznego tzn ilość ładunku ∆Q ktoacutera przechodzi przez jednostkę powierzchni prostopadłej ∆S na jednostkę czasu ∆t Jeżeli w jednostce objętości materiału przewodnika metalicznego znajduje się n swobodnych elektro-noacutew to koncentracja elektronoacutew (ogoacutelnie nośnikoacutew ładunku) wynosi n Jeśli wszystkie nośniki poruszają się ruchem uporządkowanym z pręd-kością unoszenia (prędkością dryfu) vd wzdłuż kierunku wyznaczonego przez pole elektryczne to strumień nośnikoacutew ładunku jest roacutewny nvd a odpowiadający mu strumień ładunku elektrycznego przenoszonego przez elektrony (-e) wynosi

dnej vminus= (1111)

W ogoacutelnym przypadku nośnikoacutew o ładunku q strumień ładunku elek-trycznego i gęstość prądu wynosi

dnqj v= (1112)

Jeżeli poroacutewnamy powyższy wzoacuter 1112 z mikroskopowym prawem

Ohma ( Eσj = ) okazuje się że ktoacuteraś z wielkości n q lub vd musi być proporcjonalna do natężenia pola elektrycznego E Ponieważ ani

ROZDZIAŁ 11

Strona 192192192192

koncentracja nośnikoacutew n ani ładunek nośnika q nie jest proporcjonalna do natężenia pola elektrycznego E więc to prędkość vd unoszenia (dryfu) wywoływana przez pole elektryczne jest proporcjonalna do natężenia pola elektrycznego E

Ed micro=v (1113)

gdzie wspoacutełczynnik proporcjonalności micro nazywany jest ruchliwością nośnikoacutew ktoacutera jest cechą charakterystyczną materiału przewodnika Wstawiając roacutewnanie 1113 do 1112 otrzymujemy

Enqj micro= (1114)

a poroacutewnując powyższą zależność z mikroskopowym prawem Ohma (wzoacuter 119) otrzymujemy że przewodność materiału σ zależy od kon-centracji nośnikoacutew n ich ładunku q oraz ruchliwości micro

micronqσ = (1115)

Model klasyczny Drudego-Lorentza przewodnictwa elektrycznego metali

Podstawowym modelem przewodnictwa elektrycznego w metalach jest tzw model klasyczny Drudego-Lorentza Model ten traktuje elektrony jako cząsteczki gazu idealnego Ruch elektronoacutew może być zobrazowa-ny mechanicznym modelem kulki staczającej się po pochylonej tablicy z roacutewnomiernie przymocowanymi kołkami Kulka staczając się po roacutewni zderza się z kołkami i przy każdym takim zderzeniu zmienia się zaroacutewno kierunek jak i wartości jej pędu Jeśli policzylibyśmy średnią prędkość tej kulki wzdłuż krawędzi tablicy to okazałoby się że jest ona stała (zderzenia kompensują stałą siłę grawitacji) i wielokrotnie niższa niż prędkości jakie posiada kulka pomiędzy zderzeniami Podobnie elektro-ny swobodne w metalu tworzące tzw gaz elektronowy zderzają się z do-datnimi rdzeniami atomowymi tracąc część energii jaką otrzymały w po-lu elektrycznym zmieniając za każdym razem zaroacutewno wartość jak i kierunek pędu W efekcie prędkość dryfu jest stała i wielokrotnie mniejsza niż chwilowe prędkości między zderzeniami Średnia wartość tej prędkości może być wyznaczona jako frac12 prędkości uzyskanej w wy-niku przyspieszania elektronoacutew przez zewnętrzne pole elektryczne

( meEmFa == ) w czasie τ

PRĄD ELEKTRYCZNY

Strona 193193193193

mEead 22 τ== τv (1116)

gdzie τ jest średnim czasem między zderzeniami i zależy od średniej

drogi swobodnej λ oraz średniej prędkości termicznej Tv elektronoacutew (

T vλτ = ) Ruchliwość elektronoacutew roacutewna stosunkowi prędkości dry-

fu do natężenia pola elektrycznego wywołującego unoszenie w modelu Drudego-Lorentza można więc zapisać

T

d

m

e

E v

v

2

λmicro == (1117)

Ponieważ prędkość termiczna elektronoacutew jest proporcjonalna do pier-wiastka z temperatury więc przewodność (zależność 1115) w modelu Drudego-Lorentza jest odwrotnie proporcjonalna do pierwiastka

z temperatury T1propσ podczas gdy z wynikoacutew eksperymentoacutew

wynika T1propσ Model zjawiska oporu elektrycznego odtwarzający prawidłowo zależność temperaturową przewodności udało się stworzyć dopiero posługując się regułami mechaniki kwantowej W kwantowym modelu Blocha rozważa się rozpraszanie elektronoacutew na niedoskonałoś-ciach sieci krystalicznej np na atomach domieszki lub defektach struk-tury Drugim ważnym czynnikiem wpływającym na ruch elektronoacutew są drgania termiczne sieci krystalicznej Rozpraszanie elektronoacutew na drga-niach sieci zależy od temperatury ndash im wyższa jest temperatura tym większa jest amplituda drgań atomoacutew i tym większy opoacuter elektryczny

Oporniki Łączenie oporoacutew

Elementy oporowe (oporniki) o znanej wartości oporu elektrycznego w obwodach elektrycznych oznaczamy za pomocą dwoacutech rodzajoacutew sym-boli ndash linią łamaną (standard amerykański) lub prostokątem (standard europejski)

Łącząc oporniki szeregowo zwiększamy całkowity opoacuter gałęzi obwodu Jest to zrozumiałe biorąc pod uwagę że połączenie takie odpowiada zwiększeniu całkowitej długości przewodnika przez ktoacutery przepływają ładunki elektryczne W przypadku szeregowego połączenia opornikoacutew opoacuter całkowity gałęzi jest sumą wartości oporoacutew

sum=i

iC RR (1118)

ROZDZIAŁ 11

Strona 194194194194

Powyższa zależność wynika z faktu że całkowity spadek napięcia (roacuteżnica potencjałoacutew) jest sumą spadkoacutew napięć na poszczegoacutelnych opornikach Ponieważ przez każdy z szeregowo połączonych opornikoacutew płynie ten sam prąd wiec zgodnie z prawem Ohma w efekcie całkowity opoacuter jest sumą oporoacutew poszczegoacutelnych opornikoacutew

Przy roacutewnoległym połączeniu opornikoacutew całkowity opoacuter obwodu male-je ndash odpowiada to zwiększeniu przekroju przez ktoacutery mogą przepływać nośniki ładunku Jeśli dwa oporniki o identycznym oporze połączymy roacutewnolegle całkowity opoacuter gałęzi wyniesie frac12 oporu pojedynczego opor-nika W ogoacutelnym przypadku opoacuter całkowity RC układu roacutewnoległych opornikoacutew wyznaczamy z zależności

sum=i iC RR

11 (1119)

Wyprowadzając tę zależność roacutewnież zauważyć że spadek napięcia na każdym z roacutewnolegle połączonych opornikoacutew jest taki sam (łączą pun-kty o określonej roacuteżnicy potencjałoacutew) Roacuteżny jest natomiast prąd płyną-cy przez każdy z opornikoacutew ale suma tych prądoacutew musi być roacutewna całkowitemu prądowi dopływającemu do układu Ponownie po zastoso-waniu prawa Ohma otrzymujemy opoacuter zastępczy taki jak we wzo-rze 1119 Przy obliczaniu oporu bardziej złożonych obwodoacutew pomocne jest odpowiednie grupowanie elementoacutew tak by można było skorzystać z powyższych wzoroacutew dla roacutewnoległego i szeregowego połączenia opornikoacutew

Rysunek 111 Układy opornikoacutew o topologii bdquotroacutejkątardquo i bdquogwiazdy

Nieco bardziej złożonym zagadnieniem jest obliczanie oporu obwodoacutew o topologii bdquotroacutejkątardquo Istnieją jednak wzory pozwalające na przedsta-wienie ich w postaci układu o topologii gwiazdy ndash o kształcie litery bdquoYrdquo (Rysunek 111)

PRĄD ELEKTRYCZNY

Strona 195195195195

Aby obwody w przedstawionych powyżej topologiach miały identyczne właściwości elektryczne przy danej roacuteżnicy potencjałoacutew natężenie prą-doacutew przepływających pomiędzy węzłami 1 2 i 3 musi być takie samo Dla węzłoacutew 1 i 2 w topologii bdquotroacutejkątardquo prąd płynie przez opornik RA połączony roacutewnolegle z oporem (RC+RB) Dla topologii gwiazdy prąd płynie przez oporniki R1 i R2 połączone szeregowo Zapisując układ roacutewnań dla każdej pary węzłoacutew otrzymujemy trzy roacutewnania poz-walające otrzymać zależności pomiędzy wartościami oporoacutew w dwoacutech topologiach

C

RB

RA

R

CR

BR

3R

CR

BR

AR

CR

AR

2R

CR

BR

AR

BR

AR

1R++

=++

=++

= (1120)

3R2R

1R

3R2R

CR3R1R

2R

1R3R

BR1R2R

3R

2R1R

AR ++=++=++= (1121)

113 Praca i moc prądu elektrycznego

Na skutek przepływu prądu elektrycznego w elementach oporowych wy-dziela się ciepło ktoacutere jest wynikiem rozpraszania części energii elektro-noacutew na sieci krystalicznej metalu Efekt ten stanowi podstawę działania żaroacutewek i elektrycznych elementoacutew grzejnych

Zgodnie z definicją wprowadzoną w elektrostatyce wiemy że praca przeniesienia ładunku q przy roacuteżnicy potencjałoacutew U jest roacutewna

UItUqW el == (1122)

Ponieważ natężenie prądu elektrycznego jest wyrażone stosunkiem ła-dunku ktoacutery przepłynął do czasu przepływu możemy wyrazić ładunek q poprzez iloczyn natężenia prądu I i czasu jego przepływu t zaś napięcie U zgodnie z prawem Ohma powiązać z wartością płynącego prądu przez element o oporze R W efekcie otrzymujemy że praca prądu jest roacutewna energii ER jaka wydziela się na oporniku o oporze R przez ktoacutery płynie prąd elektryczny o natężeniu I Korzystając z prawa Ohma otrzymujemy prawo nazywane jest prawem Joulersquoa

tRIW2

el = (1123)

ROZDZIAŁ 11

Strona 196196196196

Energia jaka wydziela się na oporniku nazywana ciepłem Joulersquoa jest proporcjonalna do wartości oporu R oraz kwadratu natężenia prądu elektrycznego I płynącego przez ten opornik

Ponieważ moc jest stosunkiem wykonanej pracy do czasu w jakim ta praca została wykonana w przypadku mocy wydzielanej na elemencie obwodu elektrycznego otrzymujemy

R

URIIUP

22 === (1124)

gdzie U oznacza napięcie na zaciskach danego elementu (odbiornika) a I ndash natężenie prądu przepływającego przez element o oporze R

W przypadku przesyłania energii elektrycznej wytworzonej w elektrow-ni staramy się zminimalizować straty na liniach przesyłowych Iloczyn napięcia i natężenia przesyłanego prądu jest w tym przypadku wartością stałą (odpowiada on mocy elektrowni) Sposobem na redukcję mocy traconej na liniach jest zmniejszenie natężenia prądu a proporcjonalne zwiększenie napięcia Z tego względu buduje się tzw przesyłowe linie wysokiego napięcia a zwiększenie wartości napięcia i jego ponowna re-dukcja przed odbiornikiem realizowane są za pomocą transformatoroacutew Ograniczeniem wartości użytego napięcia jest jonizacja powietrza ndash przy zbyt wysokim napięciu wokoacuteł przewodoacutew natężenie pola jest dostatecz-nie wysokie by oderwać elektrony z cząsteczek gazu i wytworzyć noś-niki ładunku co prowadzi do bdquoucieczkirdquo energii elektrycznej

114 Obwody elektryczne

Źroacutedła napięcia

W dotychczasowych rozważaniach przedstawiliśmy zjawisko przepływu ładunku w przewodniku Aby wymusić przepływ ładunku niezbędne jest przyłożenie do końcoacutew przewodnika napięcia czyli roacuteżnicy potencja-łoacutew Takim źroacutedłem napięcia może być naładowany kondensator jednak napięcie to nie będzie stałe Przepływ prądu przez przewodnik oznaczać będzie rozładowywanie kondensatora a ponieważ roacuteżnica potencjałoacutew między okładkami kondensatora jest proporcjonalna do ładunku zgroma-dzonego na okładkach wartość napięcia będzie maleć

PRĄD ELEKTRYCZNY

Strona 197197197197

Ogniwa

Stałe napięcie na zaciskach elementu oporowego możemy uzyskać włą-czając do obwodu stałe źroacutedło energii ndash ogniwo Parametrami opisują-cymi ogniwo są siła elektromotoryczna ε i opoacuter wewnętrzny Rw Miarą siły elektromotorycznej ε jest stosunek pracy wykonanej na przeniesienie ładunku w obwodzie zamkniętym do wartości tego ładunku

q

Wε = (1125)

W przypadku rzeczywistych ogniw część energii jest rozpraszana na oporze wewnętrznym źroacutedła ktoacutery jest połączony szeregowo z siłą elektromotoryczną Napięcie na zaciskach takiego źroacutedła zależy od war-tości oporu zewnętrznego podłączonego do źroacutedła czyli tzw obciążenia (rysunek 112) Jeśli opoacuter obciążenia jest mały wartość natężenia prądu płynącego przez obwoacuted jest duża to straty energii na oporze wew-nętrznym są znaczne Napięcie na zaciskach ogniwa jest niższe niż siła elektromotoryczna źroacutedła o spadek napięcia na obwodzie wewnętrznym Jeśli opoacuter obciążenia jest duży straty energii na oporze wewnętrznym są niewielkie a napięcie na zaciskach ogniwa osiąga wartość zbliżoną do jego siły elektromotorycznej Można zatem stwierdzić że w granicy

infinrarrZEWNR siła elektromotoryczna jest roacutewna napięciu na zaciskach ogniwa otwartego

Energię elektryczną możemy uzyskiwać korzystając z pracy mechanicz-nej ktoacutera zamieniamy na energię elektryczną za pomocą prądnic czy alternatoroacutew Większość z tych urządzeń wytwarza zmienną siłę elektro-motoryczną a uzyskanie stałej wartości wymaga dodatkowych urządzeń przetwarzających napięcie zmienne na stałe w czasie Energię elektrycz-ną możemy czerpać roacutewnież ze źroacutedeł chemicznych ndash baterii akumula-toroacutew i stosowanych coraz częściej ogniw paliwowych Źroacutedłami energii elektrycznej mogą być roacutewnież termoogniwa (wykorzystujące roacuteżnicę temperatur) oraz fotoogniwa (korzystające z energii promieniowania słonecznego) Jak stąd wynika źroacutedłami prądu stałego są urządzenia przetwarzające energię innego rodzaju na energię elektryczną

ROZDZIAŁ 11

Strona 198198198198

Rysunek 112 Obwoacuted złożony ze źroacutedła rzeczywistego i obciążenia

oporowego Spadki napięć na opornikach skierowane są przeciwnie niż SEM ogniwa

Prawa Kirchhoffa

Rozpatrzmy obwoacuted składający się z pojedynczego opornika R i źroacutedła o sile elektromotorycznej ε i oporze wewnętrznym Rw (rysunek 112) Za-piszmy zasadę zachowania energii dla takiego obwodu elektrycznego Praca wykonana przez ogniwo nad ładunkiem w obwodzie zamkniętym jest roacutewna energii rozpraszanej na elementach oporowych

RtItRItIε 2

w

2 += (1124)

Dzieląc obie strony roacutewnania 1122 przez czas i natężenie prądu otrzy-mujemy roacutewnanie

RIRI += wε (1125)

Zgodnie z uprzednio wprowadzoną definicją siła elektromotoryczna jest pracą wykonaną na przepływ jednostkowego ładunku w obwodzie zamkniętym

Napięcia na poszczegoacutelnych elementach obwodu i natężenia prądu prze-pływającego przez poszczegoacutelne jego gałęzie możemy obliczyć stosując prawa Kirchhoffa

PRĄD ELEKTRYCZNY

Strona 199199199199

I Prawo Kirchhoffa

Suma natężeń prądoacutew dopływających do węzła jest roacutewna sumie natężeń prądoacutew wypływających z tego węzła

W obwodzie zachowuje się roacutewnież ładunek elektryczny ndash jeśli w obwo-dzie znajduje się rozgałęzienie (węzeł) to ładunek ktoacutery dopłynie do wę-zła musi być roacutewny temu ktoacutery z węzła wypłynął

II Prawo Kirchhoffa

W dowolnym obwodzie zamkniętym sieci elektrycznej (oczku sieci) suma wartości sił elektromotorycznych roacutewna jest sumie wartości spadkoacutew napięcia na elementach tego obwodu

Drugie prawo Kirchhoffa odpowiada roacutewnaniu 1125

Obwoacuted RC

Jeśli naładowany do napięcia U kondensator o pojemności C zewrzemy opornikiem R to dla takiego obwodu II prawo Kirchhoffa możemy zapisać w postaci

0=+

=+

C

qRI

0UU CR

(1126)

Ponieważ natężenie prądu możemy wyrazić jako pochodną przepływającego ładunku po czasie roacutewnanie przyjmie postać

0d

d=+

C

qR

t

q (1127)

Rozwiązanie tego roacutewnania roacuteżniczkowego opisujące ładunek na kondensatorze ma postać malejącą wykładniczo

( ) RCt

0 eqtqminus

= (1128)

Skoro ładunek będzie się zmieniał wykładniczo to roacutewnież natężenie prądu w obwodzie będzie wykładniczo malało w czasie

ROZDZIAŁ 11

Strona 200200200200

Pomiar natężenia i napięcia

Wartości napięcia pomiędzy zaciskami elementu i natężenia prądu przepływającego przez element możemy wyznaczyć posługując się tym samym urządzeniem nazywanym galwanometrem Wychylenie wska-zoacutewki galwanometru jest wprost proporcjonalne do przepływającego przez urządzenie prądu

Rysunek 113 Podłączenie miernika do obwodu

a) pomiar natężenia prądu b) pomiar napięcia

Przy pomiarze natężenia prądu miernik włączamy w obwoacuted szeregowo (rysunek 113) W ten sposoacuteb mierzymy całkowity prąd płynący przez gałąź Opoacuter własny amperomierza powinien być jednak jak najmniejszy znacznie mniejszy niż wartości oporoacutew znajdujących się na mierzonej gałęzi ndash inaczej pomiar zakłoacuteci wartość mierzoną Aby spełnić ten waru-nek do zaciskoacutew galwanometru dołączamy roacutewnolegle bocznik o ma-łym oporze Większość natężenia prądu jest przepuszczana przez bocz-nik a tylko niewielka część przepływa przez galwanometr Zmieniając wartość oporu bocznika pomiędzy zaciskami miernika możemy zmieniać zakres pomiaru prądu układem galwanometr-bocznik

Przy pomiarze napięcia miernik ndash pełniący funkcję woltomierza ndash jest podłączony roacutewnolegle do badanego elementu (rysunek 113) W tym przypadku opoacuter własny woltomierza powinien być jak największy by nie odbierał on prądu z elementu Z tego względu pomiędzy zaciskami miernika a galwanometrem podłączony jest szeregowo opornik o dużej wartości Opornik ten zmniejsza natężenie prądu przepływającego przez galwanometr Zmieniając wartość użytego opornika można zmieniać za-kres pomiaru napięcia

Często stosowanym przyrządem jest proacutebnik (wskaźnik) napięcia Wy-korzystuje on pojemność elektryczną ludzkiego ciała Proacutebnika możemy używać przykładając palec do metalowego zakończenia rękojeści a ostrze do badanego elementu obwodu Natężenie prądu przepływają-

PRĄD ELEKTRYCZNY

Strona 201201201201

cego przez dłoń jest w tym przypadku niewielkie i nie zagraża bezpie-czeństwu osoby dokonującej pomiaru

ROZDZIAŁ 11

Strona 202202202202

Spis treści

Wstęp 7

1 Czym jest fizyka Wielkości fizyczne jednostki i wzorce 9

11 Czym jest fizyka 10 12 Jednostki podstawowe 12 13 Miano jednostek wielkości pochodnych 14 14 Rachunek mian operacje na jednostkach wielkości fizycznych 15

2 Opis ruchu 21

21 Układ odniesienia i układ wspoacutełrzędnych 22 22 Przemieszczenie i droga 23 23 Prędkość 24 24 Przyspieszenie 26

3 Dynamika 31

31 Zasady dynamiki Newtona 32 32 Zasada zachowania pędu 35

4 Praca i energia 41

41 Praca 42 42 Pole sił zachowawczych i niezachowawczych 48 43 Pole sił grawitacyjnych 49 44 Ruch po okręgu 53 45 Energia potencjalna sił sprężystości 59 46 Energia kinetyczna 60 47 Zasada zachowania energii mechanicznej 62 48 Zderzenia 64

5 Dynamika bryły sztywnej 67

51 Bryła sztywna 68

Strona 4444

52 Roacutewnanie ruchu bryły sztywnej 72 53 Zasada zachowania momentu pędu 74 54 Energia ruchu obrotowego 75

6 Ruch drgający 79

61 Drgania harmoniczne 80 62 Drgania tłumione 86 63 Drgania wymuszone z tłumieniem 90

7 Stany skupienia materii 93

71 Ciało stałe 94 72 Płyny 95 73 Inne stany materii 95 74 Przejścia między stanami ndash przemiany fazowe 97

8 Hydrostatyka i hydrodynamika 101

81 Hydrostatyka 102 82 Hydrodynamika 108

9 Termodynamika 117

91 Temperatura zerowa zasada termodynamiki 118 92 Roacutewnanie stanu gazu doskonałego 120 93 Ciepło i praca termodynamiczna 121 94 Przemiany termodynamiczne 127 95 Teoria kinetyczno-molekularna gazoacutew 134 96 Roacutewnanie stanu gazu rzeczywistego 138 97 Cykle gazowe 139 98 Entropia 146 99 Właściwości termiczne materii 149

10 Elektrostatyka 157

101 Ładunek elektryczny 158 102 Prawo Coulomba 159 103 Natężenie pola elektrycznego 161 104 Energia i potencjał w polu elektrycznym 166 105 Prawo Gaussa 168

Strona 5555

106 Pojemność elektryczna przewodnika 174 107 Dielektryki 179

11 Prąd elektryczny 187

111 Natężenie prądu elektrycznego 188 112 Prawo Ohma 189 113 Praca i moc prądu elektrycznego 195 114 Obwody elektryczne 196

Strona 6666

Wstęp Niniejsze materiały zostały opracowane w ramach realizacji Programu Rozwojowego Politechniki Warszawskiej wspoacutełfinansowanego ze środ-koacutew PROGRAMU OPERACYJNEGO KAPITAŁ LUDZKI Przezna-czone są dla studentoacutew pierwszego roku studioacutew inżynierskich kierunku nauczania bdquoEdukacja techniczno-informatycznardquo prowadzonych na Wy-dziale Samochodoacutew i Maszyn Roboczych Politechniki Warszawskiej

Niniejsze opracowanie przygotowano dla przedmiotu pt bdquoPodstawy fizykirdquo Jego zawartość merytoryczna w pełni odpowiada zakresowi opi-sanemu w sylabusie opracowanym dla tego przedmiotu

Skrypt stanowi pierwszą część opracowanych materiałoacutew dydaktycz-nych i dotyczy zagadnień omawianych podczas pierwszego semestru wykładoacutew z ww przedmiotu Opracowane zagadnienia podzielone zo-stały na 11 rozdziałoacutew

Rozdział 1 wprowadza pojęcie wielkości fizycznych ich jednostek oraz operacji na tych jednostkach

Rozdział 2 został poświęcony opisowi ruchu ciał w roacuteżnych układach wspoacutełrzędnych za pomocą takich wielkości fizycznych jak przemiesz-czenie prędkość czy przyspieszenie

W rozdziale 3 omoacutewione zostały zasady dynamiki Newtona oraz zasada zachowania pędu

W rozdziale 4 wprowadzone są pojęcia pracy oraz energii Rozważane są roacuteżne formy energii (energia potencjalna i kinetyczna) oraz zasada za-chowania energii

Rozdział 5 dotyczy zagadnień z zakresu dynamiki bryły sztywnej takich jak roacutewnanie ruchu bryły sztywnej zasada zachowania momentu pędu czy energia ruchu obrotowego

Rozdział 6 został poświęcony zagadnieniom drgań w szczegoacutelności drgań harmonicznych z uwzględnieniem wpływu tłumienia oraz wymuszenia

W rozdziale 7 omoacutewione zostały roacuteżne stany skupienia materii ndash ciała stałe płyny oraz inne stany materii

Strona 8888

W rozdziale 8 przedstawione zostały podstawowe zagadnienia hydrosta-tyki i hydrodynamiki w tym prawo Pascala Arhimedesa oraz roacutewnanie Bernouliego

Rozdział 9 poświęcony jest termodynamice Omoacutewiony został gaz do-skonały jego roacutewnanie stanu oraz roacuteżne przemiany jakim może podle-gać Przedstawiono definicję ciepła oraz pracy termodynamicznej a także opis cykli i silnikoacutew termodynamicznych Omoacutewiono roacutewnież podstawowe właściwości termiczne materii

W rozdziale 10 omoacutewione zostały takie zagadnienia elektrostatyki jak Coulombowska siła oddziaływania elektrostatycznego natężenie poten-cjał oraz energia pola elektrycznego czy pojemność elektryczna prze-wodnika Przedstawione zostało prawo Gaussa wraz z przykładami stosowania go do wyznaczania natężenia pola elektrycznego Rozdział opisuje także właściwości elektryczne dielektrykoacutew

Rozdział 11 dotyczy zagadnień z zakresu przepływu prądu elektryczne-go Podane zostało prawo Ohma wyznaczona praca i moc prądu elek-trycznego a także omoacutewione podstawowe właściwości obwodoacutew elek-trycznych w tym prawa Kirchhoffa

1 Czym jest fizyka Wielkości fizyczne jednostki i wzorce

W tym rozdziale

o Czym jest fizyka o Jednostki podstawowe o Miano jednostek wielkości podstawowych o Rachunek mian operacje na jednostkach wielkości

fizycznych o Działania na wektorach

ROZDZIAŁ 1

Strona 10101010

11 Czym jest fizyka

Fizyka jest podstawową nauką ścisłą wywodzącą się z filozofii Ślad tego faktu że fizyka była działem filozofii ndash filozofią przyrody ndash znajdujemy w tytule słynnego dzieła Izaaka Newtona stanowiącego fundament nowożytnej fizyki rdquoPrincipia mathematica philosophiae naturalisrdquo (1686 r) co może być przetłumaczone jako bdquoZasady matematyczne filozofii przyrodyrdquo

Fizyka jest nauką ścisła i empiryczną czyli opartą na doświadczeniu ponieważ

bull Używa wielkości fizycznych dokładnie zdefiniowanych W definicji wielkości fizycznej zawarte są informacje doty-czące jej pomiaru Wielkością fizyczną jest każda wielkość ktoacutera daje się mierzyć czyli poroacutewnywać ze wzorcem jed-nostki tej wielkości

bull Stosuje opis matematyczny zjawisk (bdquomatematyka jest języ-kiem fizykirdquo)

bull Prawa fizyczne formułuje na podstawie doświadczeń

Przez doświadczenie (eksperyment) fizyczny rozumiemy zjawisko prze-prowadzone w możliwie uproszczonych i nadających się do analizy warunkach laboratoryjnych z eliminacją zjawisk ubocznych zakłoacutecają-cych zjawisko badane Podstawowym działaniem w doświadczeniach są właśnie pomiary wielkości fizycznych

Fizyka opiera się na pewnej minimalnej liczbie praw podstawowych o charakterze pewnikoacutew aksjomatoacutew ktoacutere w fizyce nazywamy zasada-mi Czasami moacutewi się o nich ze są to bdquoprawa pierwszerdquo Oznacza to że nie odkryto praw bardziej podstawowych ktoacutere umożliwiłyby wyprowa-dzenie tych zasad Słuszność zasad wynika tylko z doświadczeń i jest uogoacutelnieniem dużej liczby eksperymentoacutew Klasycznymi przykładami zasad są zasady dynamiki Newtona Natomiast inne szczegoacutełowe prawa fizyczne (np prawo Ohma lub prawo indukcji elektromagnetycznej Faradaya) wyprowadzamy z zasad fizyki za pomocą modeli fizycznych opisywanych zjawisk

CZYM JEST FIZYKA WIELKOŚCI FIZYCZNE JEDNOSTKI I WZORCE

Strona 11111111

Istnienie zasad i praw szczegoacutełowych powoduje wzajemne powiązanie wielkości fizycznych Stąd z kolei wynika że jest w fizyce pewna liczba podstawowych wielkości fizycznych a pozostałe wielkości są wielkoś-ciami zależnymi pochodnymi W tej sytuacji wystarczy iż wzorce jed-nostek fizycznych stworzymy tylko dla wielkości podstawowych

Ustalono że są cztery podstawowe wielkości fizyczne długość masa czas i natężenie prądu Stworzono zatem wzorce metra kilograma se-kundy i ampera Taki układ jednostek nazwano pierwotnie układem MKSA od początkowych liter nazw wzorcoacutew Z powodu tradycji i dla wygody dodano jednak następnie przejściowo do układu jeszcze cztery wielkości fizyczne mimo iż można by je określić przez te pierwsze cztery wielkości podstawowe Są to temperatura (w kelwinach) licz-ność materii (w molach) jasność źroacutedeł promieniowania (w kandelach) i kąt płaski (w radianach) W ten sposoacuteb powstał układ jednostek złożony z ośmiu wzorcoacutew jednostek wielkości fizycznych wymienio-nych wyżej nazywany układem SI (od fr Systeme International) Wy-magania postawione wzorcom jednostek dotyczą maksymalnej dokład-ności i powszechności uniwersalności Ta druga własność ma polegać na tym by wzorzec moacutegł być z roacutewną dokładnością odtwarzalny we wszystkich laboratoriach na świecie Ma to zapewnić możliwość poroacutewnywania wynikoacutew doświadczeń roacuteżnych laboratorioacutew a przez to możliwość sprawdzania powtarzalności pomiaroacutew co ma decydujące znaczenie przy tworzeniu praw fizycznych

Jednostki pochodnych wielkości fizycznych są tworzone w oparciu o de-finicje tych wielkości i istniejące związki tych wielkości z wielkościami podstawowymi ustalone prawami fizyki Jako przykład ustalmy jednost-kę i sposoacuteb pomiaru prędkości chwilowej Powołamy się tu na definicję prędkości chwilowej ktoacutera będzie uzasadniona w dalszej części skryptu

∆t

∆x

0∆t rarr= limv

(11)

Ta matematyczna definicja wskazuje że aby wyznaczyć prędkość chwi-lową obiektu trzeba mierzyć odcinki przesunięcia ∆x tego obiektu odpowiadające jak najkroacutetszym odcinkom czasu ∆t (dążącym do zera) i dzielić je przez siebie Jest więc w definicji wskazoacutewka pomiarowa i wiemy już że jednostką prędkości będzie ms

ROZDZIAŁ 1

Strona 12121212

12 Jednostki podstawowe

Jednostką długości jest metr [m] Metr jest to odległość jaką pokonuje światło w proacuteżni w czasie 1299 792 458 s

Jednostką czasu jest sekunda [s] Sekunda jest definiowana za pomocą tzw zegara atomowego jako 9 192 631 770 okresoacutew drgań określonego promieniowania atomu cezu 133Cs w temperaturze 0 K

Jednostką masy jest kilogram [kg] Wzorzec kilograma wykonany ze stopu platynowo-irydowego znajduje się w Sevres pod Paryżem Kopie tego wzorca zostały rozesłane do instytutoacutew miar i wag poszczegoacutelnych państw Obecnie dąży się do opracowania lepszej definicji opartej na masie atomowej

Jednostką temperatury jest Kelwin [K] Jeden kelwin odpowiada 1 27316 temperatury termodynamicznej punktu potroacutejnego wody ndash punktu w ktoacuterym wspoacutełistnieją fazy ciekła (woda) stała (loacuted) i gazowa (para wodna) Temperatura termodynamiczna jest zdefiniowana w odnie-sieniu do tzw zera absolutnego 0 K ktoacutera oznacza najniższą temperaturę do jakiej możemy się dowolnie zbliżyć ale jest nieosiągalna Na po-wszechnie stosowanej skali Celsjusza temperaturze punktu potroacutejnego wody (27316 K) odpowiada 001ordmC

W niniejszym skrypcie jako separator dziesiętny stosować będziemy znak kropki a nie przecinka

Jednostką liczności materii jest jeden mol [mol] Jest to liczność materii układu zawierającego liczbę cząsteczek roacutewną liczbie atomoacutew w masie 12 gramoacutew izotopu węgla 12C W jednym molu znajduje się ok 60221415(10)middot1023 cząsteczek Liczba ta jest nazywana stałą Avogadra (liczbą Avogadra) Ponieważ roacuteżne cząsteczki mają roacuteżną masę roacutewnocześnie z licznością należy podać rodzaj cząsteczek (cząsteczki atomy jony itp) lub też zdefiniować masę molową jako masę jednego mola danej substancji W opisie materii używa się roacutewnież masy atomowej ktoacutera określa ile razy masa jednego atomu danego pierwiastka chemicznego jest większa od jednostki zdefiniowanej jako 1 12 masy izotopu węgla 12C

Jednostką światłości jest kandela [cd] i definiuje się ja jako strumień energii (1 683 Wsr) wysyłany na sekundę w jednostkowy kąt prze-strzenny ndash steradian W definicji kandeli wykorzystuje się zielone świa-

CZYM JEST FIZYKA WIELKOŚCI FIZYCZNE JEDNOSTKI I WZORCE

Strona 13131313

tło monochromatyczne o długości 540 nm dla ktoacuterej to długości ludzkie oko charakteryzuje się największą czułością

Jednostką natężenia prądu elektrycznego jest amper [A] Prąd elektryczny jest uporządkowanym ruchem nośnikoacutew ładunku elektrycz-nego Natężenie prądu definiujemy jako stosunek wartości ładunku elek-trycznego ktoacutery przepływa przez przewodnik w jednostce czasu Z defi-nicji tej wynika jednostka natężenia prądu ndash amper ndash 1A=1Cs (ku-lombsekunda) Wzorzec pomiarowy jednego ampera definiujemy w na-stępujący sposoacuteb Jeżeli w dwoacutech roacutewnoległych prostoliniowych nieskończenie długich przewodach umieszczonych w proacuteżni w odleg-łości 1 m od siebie będzie płynął stały prąd o natężeniu jednego ampera (1A) to spowoduje on wzajemne oddziaływanie przewodoacutew z siłą roacutewną 2middot10-7N na każdy metr długości przewodu

Jako jednostek uzupełniających w układach opisywanych wspoacutełrzęd-nymi kątowymi używa się

bull radiana na oznaczenie kąta płaskiego [rad] Kąt pełny wy-nosi 2π radianoacutew Wartość kąta może być roacutewnież określana w stopniach ale w dalszej części tego skryptu jako miarę kąta przyjmować będziemy radiany

bull steradiana na oznaczenie kąta bryłowego [sr] Kąt pełny wynosi 4π sr

ROZDZIAŁ 1

Strona 14141414

13 Miano jednostek wielkości pochodnych

Tabela 11 Jednostki wielkości pochodnych układu SI Według rozporządzenia Rady Ministroacutew z dnia 30 listopada 2006r w sprawie legalnych jednostek miar

Wszystkie wielkości fizyczne mogą być opisane za pomocą jednostek wielkości podstawowych Dla wygody i prostoty zapisu wprowadzone zostały jednak jednostki wielkości pochodnych Przykładowo opisując siły działające w wybranym układzie moglibyśmy za każdym razem podawać jednostkę siły jako kg ms2 ale prościej i wygodniej jest ozna-czyć tę jednostkę symbolem N (1 Newton) W Tabeli 1 przedstawione są definicje przykładowych jednostek wielkości pochodnych tzw mian wielkości pochodnych

CZYM JEST FIZYKA WIELKOŚCI FIZYCZNE JEDNOSTKI I WZORCE

Strona 15151515

14 Rachunek mian operacje na jednostkach wielkości fizycznych

Wielkości skalarne i wektorowe

Wielkości fizyczne dzielimy na skalary i wektory Wielkości skalarne mają jedynie wartość Przykładem takich wielkości są energia masa czas czy ładunek elektryczny Wielkości wektorowe oproacutecz wartości (modułu) posiadają roacutewnież kierunek i zwrot Przykładem mogą być tutaj siła prędkość czy pęd W układzie wspoacutełrzędnych wektor opisuje-my podając jego składowe czyli rzuty tego wektora na osie układu

wspoacutełrzędnych Przykładowo ( ) k4j2i3324rrrr

++==v oznacza wek-

tor prędkości o składowych 3x =v ndash w kierunku x czyli wzdłuż werso-

ra ir

(wektora jednostkowego) 2v y = ndash w kierunku y wzdłuż wersora

jr

4z =v w kierunku z wzdłuż wersora kr

Działania na wektorach

Podstawowe działania na wektorach jakie będziemy wykorzystywać to dodawanie odejmowanie i mnożenie

Mnożenie

W wyniku mnożenia wektora br

przez skalar bcarr

= otrzymujemy

wektor ar

ktoacuterego kierunek jest zgodny z kierunkiem wektora br

zaś jego długość jest iloczynem długości wektora b oraz wielkości skalarnej

c bca = W przypadku gdy c lt 0 to zwrot wektora ar

jest przeciwny

niż br

To samo działanie możemy wykonać na składowych wektora

Przykładowo jeśli wektor ( )135b =r

wymnożymy skalarnie przez 3 otrzymujemy

( )391553k33j13ib3a =sdot+sdot+sdot==rrrrr

ROZDZIAŁ 1

Strona 16161616

Rysunek 11 Dodawanie wektoroacutew na płaszczyźnie a) i mnożenie wektorowe wektoroacutew b)

Dodawanie i odejmowanie wektoroacutew

Dodawanie wektoroacutew można przeprowadzić graficznie (rysunek 11) lub przez dodanie składowych określających wektory w wybranym układzie wspoacutełrzędnych Suma dwoacutech wektoroacutew jest roacutewnież wektorem Podob-nie jak poprzednio działanie dodawania można wykonać roacutewnież na składowych wektoroacutew Przykładowo dodając do siebie wektory

( )102a minus=r

( )135b =r

i ( )230c minus=r

otrzymujemy wektor

[ ] [ ] [ ] ( )184051k332j210id minus=++minus++++minus+=rrrr

Odejmowanie wektoroacutew przeprowadzamy podobnie ndash jeśli wykonujemy

operację barr

minus to do wektora ar

dodajemy wektor br

minus czyli wektor

o identycznej długości i kierunku co br

ale o przeciwnym zwrocie

Odejmowanie nie jest przemienne tzn działanie abrr

minus daje wektor

o przeciwnym zwrocie niż działanie barr

minus Przykładowo odejmując od

wektora ( )102a minus=r

wektor ( )135b =r

otrzymujemy wektor

( )611c minusminusminus=r

a wykonując działanie abrr

minus otrzymujemy wektor

( )116c =r

Iloczyn skalarny wektoroacutew

Iloczyn skalarny bacrr

sdot= jest iloczynem długości wektora ar

oraz rzutu

wektora br

na wektor ar

Iloczyn skalarny możemy zapisać inaczej jako

CZYM JEST FIZYKA WIELKOŚCI FIZYCZNE JEDNOSTKI I WZORCE

Strona 17171717

αcosbabac =sdot=rr

(12)

gdzie α jest kątem między wektorami ar

i br

Przykładem mnożenia skalarnego jest praca będąca iloczynem przesunięcia oraz rzutu siły wywołującej przesunięcie na kierunek tego przesunięcia Iloczyn skalar-ny uzyskuje maksymalną wartość gdy wektory są do siebie roacutewnoległe natomiast dla wektoroacutew prostopadłych wartość iloczynu skalarnego roacutewna jest zeru

Iloczyn wektorowy wektoroacutew

Wynikiem iloczynu wektorowego dwoacutech wektoroacutew ( bacrrr

times= ) jest wektor Długość tego wektora możemy obliczyć ze wzoru

αsinabc = (13)

gdzie α jest kątem między wektorami ar

i br

Kierunek tego wektora jest

prostopadły do płaszczyzny w ktoacuterej leżą wektory ar

oraz br

Zwrot

wektora cr

określa reguła śruby prawoskrętnej ndash jeśli będziemy kręcić

śrubą od wektora ar

do wektora br

po najmniejszym kącie to kierunek ruchu postępowego śruby wyznacza zwrot wektora będącego iloczynem

wektorowym bacrrr

times= Przykładem iloczynu wektorowego jest moment

siły FrMrrr

times= ndash mnożąc wektorowo wektor rr

określający położenie

punktu zaczepienia siły względem osi obrotu oraz wektor siły Fr

otrzy-

mujemy wektor momentu siły Mr

prostopadły do płaszczyzny w ktoacuterej oba wektory się znajdują

Iloczyn wektorowy uzyskuje wartość maksymalną gdy wektory ar

i br

są do siebie prostopadłe (α = π2) Gdy wektory są roacutewnoległe (α = 0) ich iloczyn wektorowy jest roacutewny zeru

Mnożenie wektorowe nie jest przemienne ndash w wyniku mnożenia wekto-

rowego abrr

times dostaniemy wektor o identycznej wartości i kierunku co

barr

times ale o przeciwnym zwrocie

Algebraicznie iloczyn dwoacutech wektoroacutew możemy przedstawić w postaci macierzy

ROZDZIAŁ 1

Strona 18181818

zyx

zyx

bbb

aaa

kji

ba

rrr

rr=times (14)

Po przekształceniach otrzymujemy

[ ]xyyxxzzxyzzy bababababababa minus+minusminus=timesrr

(15)

Rzuty wektoroacutew

Rozkładanie wektoroacutew na składowe czyli rzutowanie wektora na wybra-ne osie jest procedurą odwrotną do dodawania wektoroacutew pozwalającą wyznaczyć składowe wektora w wybranych kierunkach

Jeżeli rozpatrzymy wektor ar

na płaszczyźnie dwuwymiarowej tworzący kąt α z wyroacuteżnioną prostą składowa roacutewnoległa do tej prostej wynosi αcosaa =II (dla α = 0 wartość tej składowej wynosi aa =II

a dla α = π2 wynosi 0a =II ) zaś składowa prostopadła αsinaa =perp

Przykład

Rozłoacuteż siłę grawitacji działającą na ciało znajdujące się na powierzchni roacutewni o kącie nachylenia α na składową prostopadłą i roacutewnoległą do powierzchni roacutewni

Siła ciężkości ( mgFc = ) skierowana pionowo w doacuteł może być składo-

wą roacutewnoległą i prostopadłą do roacutewni (Rysunek 12) Ze względu na podobieństwo troacutejkątoacutew kąt α tworzący roacutewnię będzie roacutewnież występo-wał między siłą ciężkości i jej składowymi Składowa siły ciężkości roacutewnoległa do powierzchni roacutewni (siła ściągająca ciało) wynosi więc

αsinmgFII = a składowa prostopadła będąca siłą nacisku ciała na

roacutewnię αcosmgF =perp

CZYM JEST FIZYKA WIELKOŚCI FIZYCZNE JEDNOSTKI I WZORCE

Strona 19191919

Rysunek 12 Rozłożenie siły ciężkości działającej na ciało

na powierzchni roacutewni na składowe

ROZDZIAŁ 1

Strona 20202020

2 Opis ruchu

W tym rozdziale

o Układ odniesienia i układ wspoacutełrzędnych o Przemieszczenie i droga o Prędkość o Przyspieszenie

ROZDZIAŁ 2

Strona 22222222

21 Układ odniesienia i układ wspoacutełrzędnych

Opisując położenie obiektu musimy określić układ odniesienia czyli po-wiedzieć względem jakiego punktu będziemy opisywać położenie tego obiektu Na przykład opisując położenie samochodu zaparkowanego na ulicy między dwoma skrzyżowaniami przyjmujemy środek jednego ze skrzyżowań jako układ odniesienia Poza precyzyjnym określeniem względem jakiego punktu będziemy opisywać położenie samochodu istotne jest roacutewnież zdefiniowanie układu wspoacutełrzędnych W zależności od tego w ktoacuterą stronę będziemy zwroacuteceni stojąc na skrzyżowaniu nasz samochoacuted może być przed lub za nami z prawej lub lewej strony Po zdefiniowaniu okładu odniesienia oraz układu wspoacutełrzędnych położenie obiektu określamy podając jego odległość od osi układu wspoacutełrzędnych Rozpatrzmy samochoacuted zaparkowany na ulicy stojący w odległości 20m od skrzyżowania Samochoacuted jest obiektem przestrzennym ale w przy-padku gdy nie interesuje nas jak jest on zaparkowany (roacutewnolegle czy prostopadle) możemy zastąpić go punktem materialnym znajdującym się w środku samochodu o masie roacutewnej masie całego samochodu Jeśli interesuje nas jedynie odległość miejsca zaparkowania od skrzyżowania mierzona wzdłuż ulicy (rysunek 21 a) wybrany układ odniesienia ma tylko jeden wymiar ( x ) Jeżeli za początek układu przyjmiemy środek skrzyżowania woacutewczas położenie samochodu można opisać r = 20

Załoacuteżmy teraz że chcemy dokładniej opisać położenie samochodu (środ-ka masy samochodu) ndash będzie nas interesować nie tylko odległość mie-rzona wzdłuż ulicy ale roacutewnież położenie względem środka ulicy (czy samochoacuted zaparkowany jest tuż przy krawężniku czy na środku jezdni) W takim przypadku wprowadzimy dwuwymiarowy układ wspoacutełrzęd-nych Jeżeli przyjmiemy szerokość jezdni roacutewną 4m oraz ponownie za początek układu wspoacutełrzędnych przyjmiemy środek skrzyżowania to środek samochodu zaparkowanego przy chodniku będzie się znajdował w odległości 3m od osi jezdni (rysunek 21a) Wspoacutełrzędne zaparkowa-nego samochodu wynoszą więc x = 20 i y = minus3 a jego położenie możemy

opisać wektorem 3)(20minus=rr

Gdybyśmy natomiast chcieli opisać położenie środka masy samochodu z uwzględnieniem wysokości względem drogi potrzebna będzie trzecia wspoacutełrzędna z i troacutejwymiarowy układ wspoacutełrzędnych Przyjmując po-

OPIS RUCHU

Strona 23232323

nownie za początek układu wspoacutełrzędnych środek skrzyżowania zakła-dając że ulica jest pozioma oraz że środek masy samochodu znajduje się poacuteł metra nawierzchnią ulicy otrzymujemy wektor położenia środka ma-sy samochodu 305)(20r minus=

r

Rysunek 21 Opis położenia samochodu

a) z lewej ndash w układzie kartezjańskim dwuwymiarowym b) z prawej ndash w układzie biegunowym dwuwymiarowym

Warto zauważyć że zdefiniowany w powyższym przykładzie układ wspoacutełrzędnych jest układem prostokątnym (osie są wzajemnie prostopa-dłe) Taki układ nazywany jest roacutewnież układem kartezjańskim W pew-nych przypadkach znacznie wygodniejszy niż układ kartezjański jest tzw układ biegunowy W układzie tym położenie obiektu wyznacza wspoacutełrzędna radialna r oraz kąt α pod jakim widać obiekt względem wyroacuteżnionego kierunku Gdyby samochoacuted został zaparkowany w dziel-nicy o gwiaździstym układzie ulic (w Warszawie przykładem takiej za-budowy są Stary Żoliborz czy okolice gmachu głoacutewnego Politechniki Warszawskiej) jego położenie można by określić podając odległość od środka ronda oraz kąt (rysunek 21 b)

22 Przemieszczenie i droga

Przemieszczenie obiektu r∆r

definiujemy jako zmianę jego położenia czyli roacuteżnicę wektora opisującego położenie końcowe kr

r oraz początko-

we prr

obiektu

pk rrr∆rrr

minus= (21)

ROZDZIAŁ 2

Strona 24242424

Widzimy że tak zdefiniowany wektor zależy jedynie od początkowego i końcowego położenia ciała a nie od toru wzdłuż ktoacuterego ciało się poru-sza Wektor przemieszczenia nie określa toru po jakim ciało się prze-mieszcza z położenia początkowego do końcowego Dlatego w opisie ruchu ciała często wyznaczamy drogę przebytą przez ciało oznaczaną symbolem s ktoacutera jest roacutewna długości toru po ktoacuterym ciało się porusza W odroacuteżnieniu od wektora przemieszczenia droga jest wielkością skalarną

23 Prędkość

Kolejnym parametrem określającym stan ruchu ciała jest jego pręd-

kość vr

Prędkość średnią obiektu można zdefiniować na dwa sposoby

Prędkość średnią definiujemy jako przemieszczenie obiektu ktoacutere nastąpiło na jednostkę czasu

∆t

r∆r

r=v (22)

Tak wyrażona wielkość jest wektorem i zawiera informację o kierunku ruchu obiektu Warto jednak zauważyć że jeśli ruch nie odbywa się wzdłuż prostej wartość wektora średniej prędkości będzie znacznie od-biegać od rzeczywistej prędkości obiektu

Prędkość średnią można roacutewnież definiować za pomocą drogi pokonanej przez ciało w określonym czasie

∆t

∆s=v (23)

Wyliczona w ten sposoacuteb średnia prędkość obiektu jest skalarem i dobrze oddaje wartość średniej prędkości obiektu zaroacutewno w przypadku ruchu prostoliniowego jak i krzywoliniowego Nie zawiera jednak informacji o kierunku ruchu

Dobrym przykładem pozwalającym zrozumieć definicję prędkości jest ruch windy w pionowym szybie Załoacuteżmy że winda potrzebowała n sekund żeby przemieścić się z parteru na wysokość x [m] Dla wygody początek układu wspoacutełrzędnych umieścimy na wysokości roacutewnej

OPIS RUCHU

Strona 25252525

wysokości środka masy windy a zwrot osi ndash oznaczonej jako x minus skierujemy do goacutery W takim przypadku długość wektora przemieszcze-nia jest roacutewna przebytej przez ciało drodze i niezależnie od wyboru jednej z dwu powyższych definicji otrzymamy identyczną wartość prędkości

t

xv

∆

∆= (24)

Rysunek 22 Wyznaczanie średniej prędkości ciała

Na rysunku 22 przedstawiony został wykres położenia ciała w funkcji czasu Wyznaczając średnią prędkość ruchu tego ciała rysujemy cięciwę łączącą punkt początkowy oraz końcowy na tym wykresie a następnie wyznaczamy kąt nachylenia tej cięciwy Tangens tego kąta nachylenia roacutewny będzie co do wartości stosunkowi długości odcinkoacutew ∆x oraz ∆t i definiuje średnią prędkość ciała

Tak uzyskana wartość prędkości średniej nie zawiera jednak pełnej in-formacji o prędkości windy ndash początkowo winda znajduje się w spo-czynku następnie jej prędkość się zwiększa na odcinku między piętrami pozostaje stała a na najwyższym piętrze prędkość zmniejsza się aż do zatrzymania windy Pełniejsze dane dotyczące prędkości w poszcze-goacutelnych stadiach ruchu możemy otrzymać dzieląc wykres na mniejsze odcinki W ten sposoacuteb wyliczamy średnią prędkość windy w czasie ru-szania z miejsca średnią prędkość windy pomiędzy piętrami i średnią prędkość w trakcie hamowania Podobnie jak poprzednio wartość śred-niej prędkości wyliczonej dla danego odcinka jest roacutewna tangensowi kąta nachylenia krzywej wyliczonemu dla danego odcinka Warto zwroacute-

ROZDZIAŁ 2

Strona 26262626

cić uwagę że dla odcinka między piętrami gdzie prędkość jest stała ob-liczona średnia prędkość jest roacutewna rzeczywistej prędkości windy

Zgodnie z roacutewnaniem 23 wyznaczając prędkość średnią ciała rozpatru-jemy drogę ∆s jaką ciało to pokona w czasie ∆t Jeżeli rozpatrywane odstępy czasowe będą nieskończenie kroacutetkie czyli ∆trarr0 co oznaczamy symbolem dt woacutewczas wyznaczona w ten sposoacuteb prędkość będzie prędkością chwilową ciała Dla takich infinitezymalnych przedziałoacutew czasowych wartość przemieszczenia ciała oraz droga przebyta przez to ciało są sobie roacutewne a prędkość chwilową możemy zdefiniować

d

dlim

0 t

r

t

rv

t

rrr

=∆

∆=

rarr∆ (25)

Ze wzoru 25 wynika że prędkość chwilowa jest roacutewna pochodnej wek-tora położenia po czasie liczonej dla danej chwili Geometryczna inter-pretacja pochodnej to tangens kąta nachylenia stycznej do wykresu w danym punkcie Tak więc żeby wyznaczyć prędkość chwilową należy na wykresie drogi przebytej w funkcji czasu narysować styczną do tej krzywej w interesującym nas punkcie Im szybciej będzie się zmieniało położenie ciała tym bardziej stromy będzie wykres położenia w funkcji czasu i w efekcie większa wartość prędkości chwilowej

24 Przyspieszenie

Przyspieszenie chwilowe ciała definiujemy jako pochodną prędkości po czasie Przyspieszenie opisuje więc tempo zmian prędkości w danej chwili ruchu i wyraża się w ms2

2

2

d

d

d

) ddd(

d

)(d

t

s

t

ts

t

tva === (26)

Podobnie jak w przypadku prędkości chwilowej przyspieszenie chwilo-we jest roacutewne tangensowi kąta nachylenia krzywej określającej zależ-ność prędkości od czasu obliczonemu dla danej chwili ruchu Przeanali-zujmy jeszcze raz omawiany wcześniej ruch windy wykreślając zależ-ność prędkości windy od czasu Kiedy winda rusza z miejsca i jej prędkość jednostajnie narasta to styczna do tej krzywej będzie taka sama w każdym punkcie a więc otrzymujemy stałą dodatnią wartość przy-spieszenia Na odcinku pomiędzy piętrami wartość prędkości windy nie

OPIS RUCHU

Strona 27272727

zmienia się a więc kąt nachylenia krzywej prędkości względem osi czasu wynosi zero ndash wartość przyspieszenia jest roacutewnież zerowa Kiedy winda hamuje wykres prędkości od czasu jest liniowy a jego nachylenie przyjmuje wartość ujemną ndash zatem i przyspieszenie jest ujemne (opoacuteźnienie)

Wykresy przyśpieszenia prędkości oraz położenia od czasu dla oma-wianej windy przedstawione są na rysunku 23 Droga przebyta przez windę w początkowym etapie ruchu jest proporcjonalna do kwadratu czasu i może być wyrażona zależnością typu s = kt

2 gdzie k wyraża pewien stały wspoacutełczynnik Pochodna takiej funkcji jest funkcją liniową co oznacza że prędkość windy rośnie liniowo w funkcji czasu Podczas jednostajnego hamowania droga pokonywana przez windę roacutewnież będzie opisana funkcją kwadratową jednak w tym przypadku długość odcinkoacutew pokonywanych przez nią w jednostce czasu będzie malała z kwadratem czasu W tym etapie ruchu prędkość roacutewnież będzie się zmieniała liniowo ale tym razem prędkość będzie malała jednostajnie w czasie Pomiędzy piętrami nachylenie krzywej zależności drogi od czasu jest wielkością stałą w każdej chwili czasu ndash zatem roacutewnież prędkość jest stała

ROZDZIAŁ 2

Strona 28282828

Rysunek 23 Wykres zależności czasowej położenia prędkości

i przyśpieszenia poruszającej się w goacuterę windy

Warto poroacutewnać otrzymane zależności ze znanymi wzorami opisującymi ruch jednostajny i jednostajnie przyspieszony W ruchu prostoliniowym jednostajnie przyspieszonym przyspieszenie a ma wartość stałą ndash prędkość wyraża się wzorem

atvv += 0 (27)

gdzie 0v ndash prędkość początkowa obiektu

Pokonana przez ciało droga s wyraża się natomiast wzorem

2

2

00

attvss ++= (28)

OPIS RUCHU

Strona 29292929

gdzie s0 oznacza drogę początkową Jak łatwo zauważyć wielkości te są ze sobą powiązane zależnościami roacuteżniczkowymi ndash obliczając pochodną drogi po czasie otrzymujemy prędkość a obliczając z kolei pochodną prędkości otrzymujemy przyspieszenie ktoacutere jest stałe

ROZDZIAŁ 2

Strona 30303030

3 Dynamika

W tym rozdziale

o Zasady dynamiki Newtona o Zasada superpozycji o Zasada zachowania pędu

ROZDZIAŁ 3

Strona 32323232

31 Zasady dynamiki Newtona

Dynamika zajmuje się przyczynami zmian ruchu Ilość tego ruchu lub też stan ruchu danego ciała opisuje pęd Pęd ciała jest proporcjonalny zaroacutewno do prędkości poruszającego się ciała jak i jego masy ndash im szybciej ciało się porusza oraz im większą ma masę tym większa ilość ruchu związana jest z tym ciałem czyli tym większy jest jego pęd Jednostką pędu jest kg ms Pęd jest wektorem skierowanym zgodnie z kierunkiem prędkości ciała

vrr

mp = (31)

Dynamikę ruchu ciała czyli przyczyny zmian pędu ciała wyjaśniają zasady dynamiki Newtona Zasady dynamiki Newtona są prawami pierwszymi ktoacuterych nie można wyprowadzić ani udowodnić za pomocą innych praw Zasady dynamiki Newtona są ścisłym matematycznym ujęciem powszechnych obserwacji dotyczących poruszających się obiektoacutew

Druga zasada dynamiki Newtona

Nasze rozważania rozpoczniemy od II zasady dynamiki Newtona

Wyobraźmy sobie że chcemy rozpędzić ciężki woacutezek Z codziennych doświadczeń wynika że taki sam efekt możemy osiągnąć w wyniku kroacutetkotrwałego ale bardzo mocnego pchnięcia jak i długotrwałego popy-chania woacutezka z niewielką siłą Można roacutewnież powiedzieć że im więk-sza jest wartość siły działającej na ciało oraz im dłużej ona działa czyli im większy jest popęd tej siły tym większą zmianę pędu ona wywoła Zależność tę możemy zapisać w postaci

tF dpdvr

= (32)

Powyższy wzoacuter można przekształcić i zapisać w postaci roacuteżniczkowej (dla infinitezymalnie kroacutetkiego przedziału czasowego dt )

t

pF

d

dr

r= (33)

DYNAMIKA

Strona 33333333

Miarą siły działającej na ciało jest pochodna jego pędu po czasie

Powyższe sformułowanie oraz roacutewnanie 33 jest wspoacutełczesnym zapisem II zasady dynamiki Newtona

Definicja siły za pomocą pochodnej pędu ciała po czasie oznacza że jeżeli wykreślimy zależność pędu ciała od czasu to nachylenie stycznej do krzywej obrazującej zmiany wartości pędu od czasu będzie propor-cjonalne do wartości siły działającej na ciało

Żeby dokładniej zrozumieć znaczenie II zasady dynamiki Newtona wy-liczmy teraz wartość pochodnej pędu po czasie pamiętając że pęd jest wielkością złożoną tzn zależy zaroacutewno od masy jak i prędkości ciała

( )

vt

mm

t

v

t

mvF

d

d

d

d

d

d+== (34)

Powyższe roacutewnanie jest tzw roacuteżniczkowym roacutewnaniem ruchu ciała Pierwszy człon tego roacutewnania jest roacutewny iloczynowi masy i przyśpiesze-nia (pochodna prędkości po czasie) Widzimy zatem że im większa jest masa ciała tym trudniej jest mu nadać przyśpieszenie ndash masa jest miarą bezwładności ciała Drugi człon roacutewnania opisuje przypadki kiedy zmiana pędu następuje w wyniku zmiany masy ciała Przykładem takiego układu w ktoacuterym zmienia się masa może być rakieta Podczas startu z dysz rakiety wyrzucany jest strumień spalin ktoacutery wywołuje jej ruch ale roacutewnież zmniejsza masę całego obiektu Dla układoacutew ktoacuterych masa nie zmienia się drugi człon roacutewnania 34 wynosi zero i roacuteżniczko-we roacutewnanie ruchu można zapisać w postaci uproszczonej ndash siła F działająca na ciało o masie m nadaje mu przyspieszenie a o kierunku i zwrocie takim samym jak działająca siła

amFrr

= (35)

Pierwsza zasada dynamiki Newtona

Rozpatrzmy teraz przypadek kiedy pęd ciała jest stały czyli jego pręd-kość nie zmienia się w czasie Woacutewczas wykres zależności pędu od czasu jest linią poziomą czyli kąt nachylenia tej krzywej i zarazem tangens kąta stycznej do tej krzywej jest w każdym punkcie taki sam i wynosi zero Oznacza to że pochodna pędu po czasie w każdej chwili ruchu roacutewnież wynosi zero Zgodnie z II zasadą dynamiki Newtona

ROZDZIAŁ 3

Strona 34343434

jeżeli pochodna pędu po czasie wynosi zero to wypadkowa siła działająca na ciało roacutewnież musi wynosić zero Ten przypadek zachowa-nia się ciała pod wpływem zerowej wypadkowej siły opisuje I zasada

dynamiki Newtona

Jeżeli na ciało nie działa żadna siła albo siły działające roacutewno-ważą się to stan ruchu ciała nie ulega zmianie jeśli poruszało się prostoliniowo jednostajnie to będzie nadal trwało w tym ru-chu a jeśli było w spoczynku to nadal pozostaje w spoczynku

Zasada ta nazywana jest roacutewnież zasadą bezwładności ndash ciało nie jest władne zmienić stanu swego ruchu jeżeli nie działa na nie siła

Trzecia zasada dynamiki Newtona

Względem każdego działania (akcji) istnieje roacutewne mu przeciw-działanie (reakcja) skierowane przeciwnie tj wzajemne od-działywania dwoacutech ciał są zawsze roacutewne sobie i skierowane przeciwnie

Zgodnie z III zasadą dynamiki Newtona jeżeli jakieś ciało A działa na ciało B pewną siłą to roacutewnież ciało B działa na ciało A siłą roacutewną co do wartości ale o przeciwnym zwrocie co zapisujemy

A na BB naA FFrr

minus= (36)

Rozpatrzmy uderzenie ręką piłki siatkowej W momencie uderzenia działamy na piłkę siłą ktoacutera wywołuje jej ruch ale zgodnie z III zasadą dynamiki Newtona roacutewnież piłka działa na naszą dłoń z tą samą siłą lecz o przeciwnym zwrocie Gdy odbijamy piłkę lekko czyli działamy na nią niewielką siłą roacutewnież siła reakcji ma niewielką wartość ale przy moc-nym uderzeniu czyli gdy działamy na piłkę z dużą siłą występuje roacutewnie duża siła reakcji ktoacuterą odczuwamy jako ucisk czy nawet boacutel dłoni

Zasada superpozycji

Opisując ruch ciał pod wpływem działających na nie sił należy pamiętać że zaroacutewno siła jak i pęd są wektorami Szukając więc siły wypadkowej z kilku sił składowych działających na ciało należy dodać wektorowo wszystkie siły składowe Zmiana pędu będzie następowała w tym samym kierunku co ta wypadkowa siła W przypadku gdy roacuteżniczkowe

DYNAMIKA

Strona 35353535

roacutewnania ruchu dla każdego z kierunkoacutew w ktoacuterych działają siły składowe są liniowe możemy skorzystać z zasady superpozycji Zgod-nie z zasadą superpozycji wypadkowe zachowanie ciała pod wpływem kilku składowych sił może być opisane jako złożenie ruchoacutew wywoła-nych każdą z sił z osobna

Zasadę superpozycji wykorzystamy do opisu ruchu ciała rzuconego z prędkością początkową v0 pod pewnym kątem α względem powierz-chni Ziemi (rzut ukośny) Jeżeli chwilowo zaniedbamy opory powietrza to na takie ciało będzie działała tylko siła grawitacji skierowana wzdłuż osi pionowej ( y ) A więc tylko w kierunku pionowym będziemy obser-wowali zmianę ruchu (zmianę pędu) ciała W kierunku poziomym x natomiast na ciało nie działa żadna siła a więc pęd się nie zmienia i ruch jest jednostajny Wypadkowy ruch ciała rzuconego ukośnie jest więc złożeniem ruchu jednostajnie przyspieszonego w kierunku pionowym (pod wpływem przyspieszenia g) oraz jednostajnego w kierunku pozio-mym i może być opisany krzywą paraboliczną

32 Zasada zachowania pędu

Rozpatrzmy układ odosobniony w ktoacuterym na ciała nie oddziałują żadne siły zewnętrzne a jedynie siły wzajemnych oddziaływań Zgodnie z III zasadą dynamiki Newtona takie siły wzajemnych oddziaływań między każdymi dwoma ciałami układu są identyczne co do wartości lecz mają przeciwne zwroty Wypadkowa siła działająca na cały układ jest woacutewczas zerowa a więc zgodnie z I zasadą dynamiki Newtona całkowity pęd układu nie zmienia się w czasie Oznacza to że jeżeli w takim układzie odosobnionym nastąpi zmiana pędu jednego ciała o ∆p to pęd drugiego ciała (lub pozostałych ciał) musi roacutewnież ulec zmianie o taką samą wartość lecz o przeciwnym zwrocie (-∆p) W ten sposoacuteb dochodzimy do zasady zachowania pędu ktoacutera może być zapisana w następujący sposoacuteb

W układzie odosobnionym całkowity pęd układu (suma pędoacutew wszystkich ciał) jest wielkością stałą

0p∆

constppi

i

=

==sumr

rr

(37)

ROZDZIAŁ 3

Strona 36363636

Ponieważ pęd jest wielkością wektorową w przypadku zdarzeń opisywa-nych w więcej niż jednym wymiarze zasada zachowania pędu jest speł-niona niezależnie dla każdego z kierunkoacutew W troacutejwymiarowym ukła-dzie kartezjańskim zasadę zachowania pędu można więc zapisać

0p∆

0p∆

0p∆

z

y

x

=

=

=

(38)

Przykład 1

Zastosujmy najpierw zasadę zachowania pędu dla przykładu jednowy-miarowego Rozpatrzmy nieruchomy pocisk o masie m ktoacutery w wyniku wybuchu ulega rozerwaniu na dwie części o masach 13m oraz 23m Większa część porusza się w prawo z prędkością 0v Z jaką prędkością

i w ktoacuterą stronę poruszać się będzie mniejsza część pocisku

Ponieważ układ jest odosobniony to zgodnie z zasadą zachowania pędu całkowity pęd układu nie ulega zmianie Czyli jeżeli pęd układu przed wystrzałem wynosił zero (pocisk był nieruchomy) to roacutewnież pęd koń-cowy będący sumą pędoacutew obu części pocisku będzie roacutewny zeru Zasadę zachowania pędu w tym przypadku możemy zapisać

vmvm 31

0320 += (39)

02vv minus= (310)

Znak minus w powyższym wyniku oznacza że wektor prędkości mniej-szej części pocisku ma zwrot przeciwny do wektora prędkości większej części pocisku

DYNAMIKA

Strona 37373737

Rysunek 31 Zderzenie dwoacutech kul

Przykład 2

Zastosujmy teraz zasadę zachowania pędu dla układu dwuwymiarowego Rozważmy zderzenie dwoacutech identycznych kul bilardowych o masie m każda W chwili początkowej kula B jest nieruchoma i uderza w nią kula

A poruszająca się wzdłuż osi x z prędkością 0v W jakim kierunku i z jaką prędkością będzie się poruszała po zderzeniu kula B jeżeli po zderzeniu kula A porusza się z prędkością 0 05 v wzdłuż osi y jak na

rysunku 31

Podobnie jak w poprzednim przykładzie zakładamy że rozważany układ jest układem odosobnionym a więc całkowity pęd układu dwoacutech kul przed i po zderzeniu jest taki sam W szczegoacutelności składowe pędu całkowitego układu w kierunku każdej z osi układu odniesienia roacutewnież nie zmieniają się Przed zderzeniem w kierunku osi x całkowity pęd układu był roacutewny pędowi kuli A (tylko kula A porusza się w kierunku x a kula B jest nieruchoma) natomiast po zderzeniu tylko prędkość kuli B ma pewną składową wzdłuż osi x a więc po zderzeniu pęd całkowity układu w kierunku osi x jest roacutewny składowej pędu kuli B Zasadę zachowania pędu dla kierunku x możemy zatem zapisać

BXB0A

xkoncowy x poczatkowy

mm

pp

vv =

= (311)

ROZDZIAŁ 3

Strona 38383838

W kierunku osi y pęd początkowy układu wynosi zero (żadna z kul nie porusza się wzdłuż osi y) zaś pęd końcowy związany jest z kulą A poruszającą się w goacuterę w kierunku osi y oraz kulą B ktoacuterej prędkość ma składową o zwrocie przeciwnym niż oś y (składowa w doacuteł) Zasadę zachowania pędu dla kierunku y możemy więc zapisać

ByBAyA

ykoncowy y poczatkowy

mm0

pp

vv minus=

= (312)

Uwzględniając αcosBBx vv = αsinBBy vv = 0Ay 05 vv = oraz

przyjmując mmm BA == układ roacutewnań 311 oraz 312 możemy przekształcić do postaci

=sdot

sdot=

α

α

sinm05m

cosmm

B0

B0

vv

vv (313)

a następnie wyznaczyć prędkość kuli B oraz kąt pod jakim poruszać się będzie kula B

==

=

4tg

22

21

0B

παα

vv (314)

Kula B poruszać się więc będzie z prędkością 22

0B vv = w prawo

i w doacuteł pod kątem π4 względem osi x

Zasada zachowania pędu jest wykorzystywana i pozwala wyjaśnić dzia-łanie między innymi silnikoacutew odrzutowych samolotoacutew czy strumienio-wych łodzi W silniku odrzutowym powietrze jest najpierw zasysane do komory silnika w ktoacuterej ulega kompresji W skompresowanym powie-trzu następuje spalanie benzyny a gorące spaliny opuszczają dyszę silni-ka z dużą prędkością Pęd wyrzucanych spalin wywołuje w tym przypad-ku zmianę pędu silnika a przez to całego samolotu Konstrukcje innego typu wykorzystujące strumień rozpędzonych jonoacutew (naładowanych czą-stek) używane są do pozycjonowania satelitoacutew i sond kosmicznych Silniki oparte na zasadzie odrzutu wykorzystywane są roacutewnież w napę-dzie skuteroacutew wodnych i nowoczesnych łodzi podwodnych W tym drugim przypadku hałas wytwarzany przez układ napędowy jest niższy niż w tradycyjnym rozwiązaniu ze śrubą napędową Należy pamiętać że

DYNAMIKA

Strona 39393939

roacutewnież w przypadku śrub śmigieł i wirnikoacutew napędowych wykorzystu-jemy w mniejszym lub większym stopniu zjawisko odrzutu

ROZDZIAŁ 3

Strona 40404040

4 Praca i energia

W tym rozdziale

o Praca o Pole sił zachowawczych i niezachowawczych o Pole sił grawitacyjnych praca i energia w polu sił

grawitacyjnych o Ruch po okręgu ruch planet wokoacuteł Słońca prawa

Keplera o Energia potencjalna sprężystości o Energia kinetyczna o Zasada zachowania energii mechanicznej o Zderzenia

ROZDZIAŁ 4

Strona 42424242

41 Praca

W języku potocznym pojęcie pracy ma wiele znaczeń Moacutewimy o pracy umysłowej (na przykład uczenie się do egzaminoacutew) ale najczęściej z po-jęciem pracy wiąże się przemieszczaniem ciała Jeżeli na przykład prze-suwamy meble w pokoju to tym bardziej się zmęczymy im dalej przesu-niemy dany mebel Wiemy roacutewnież że bardziej męczące jest przesuwa-nie ciężkiej kanapy niż lekkiego krzesła oraz że dużo łatwiej jest przesu-wać meble po gładkiej podłodze niż po dywanie Tak więc moglibyśmy powiedzieć że tym bardziej się zmęczymy (wykonamy większą pracę) im trudniej jest nam przesuwać ciało (pokonać większą siłę) oraz im dalej to ciało przesuniemy (większe przemieszczenie) W ten sposoacuteb dochodzimy do fizycznej definicji pracy

Praca jest roacutewna iloczynowi przemieszczenia oraz siły ktoacutera te przemieszczenie wywołuje Praca jest wielkością skalarną wyra-żaną w dżulach (ang Joul) [J] i w ogoacutelności może być zdefinio-wana jako iloczyn skalarny siły i przesunięcia

αcos sFsFW =sdot=rr

(41)

gdzie α oznacza kąt między wektorem siły i przesunięcia

Rysunek 41 Praca jako iloczyn skalarny siły i przesunięcia

Taka definicja pracy uwzględnia fakt że pracę wykonuje tyko składowa siły roacutewnoległa do wektora przesunięcia Na przykład jeśli przesuwamy skrzynię po podłodze na odległość D = 3m ciągnąc ją za uchwyt siłą F = 20N skierowaną pod kątem α = 45ordm do poziomu to zgodnie z po-wyższym wzorem wykonamy pracę W = 423J Zależnie od wartości sił tarcia wykonana praca może być w całości zużyta na pokonanie sił tar-cia na tej drodze bądź (jeśli podłoga jest śliska) na nadanie dodatkowo skrzyni przyspieszenia

PRACA I ENERGIA

Strona 43434343

Definicja pracy przedstawiona w roacutewnaniu (41) słuszna jest jeśli za-roacutewno siła działająca na ciało jak i kąt między tą siłą a przesunięciem mają stałą wartość Jeśli natomiast wartość siły lub kąta pomiędzy kie-runkiem siły a wektorem przemieszczenia zmienia się podczas ruchu musimy zastosować inną procedurę obliczania pracy całkowitej Ponie-waż praca jest wielkością addytywną czyli całkowita praca wykonana na określonej drodze jest roacutewna sumie prac wykonanych na poszczegoacutelnych jej odcinkach to możemy całą drogę podzielić na takie odcinki dla ktoacuterych wartość siły i kąta między siłą a przemieszczeniem są stałe

nnn222111 coscoscos ααα xFxFxFW +++= (42)

Przykładowo praca wykonana przy przesuwaniu kanapy w pokoju mogłaby zostać podzielona na dwie składowe ndash przesunięcia po dywanie oraz po parkiecie

Opisaną procedurę obliczania pracy całkowitej można roacutewnież przedsta-wić w formie graficznej jako procedurę wyznaczania pola pod wykresem

zależności siły od przesunięcia Jeżeli na pewnym odcinku drogi nx siła

ma stałą wartość nF to pole pod takim odcinkiem wykresu wynosi

nn xF i jest roacutewnoznaczne wykonanej pracy

Jeżeli siła zmienia swoją wartość lub zwrot w każdej chwili czasu nie-zbędne jest podzielenie drogi na nieskończenie wiele bardzo małych kawałeczkoacutew (infinitezymalnie małych) dla ktoacuterych można przyjąć stałą wartość działającej siły Praca całkowita będzie sumą składowych prac wyznaczonych dla każdego z takich infinitezymalnych odcinkoacutew Proce-dura taka odpowiada matematycznej operacji całkowania i możemy ją zapisać w postaci

( ) ( )int=

=

=b

a

)( dcos x

x

xxxFW α (43)

lub w zapisie wektorowym

( )int=

=

sdot=b

a

dx

x

xxFWrr

(44)

W powyższym zapisie wprowadziliśmy znak całki oznaczonej ktoacutery oz-nacza że sumowanie składowych wartości pracy przeprowadzane jest od punktu x = a do x = b

ROZDZIAŁ 4

Strona 44444444

Aby wyjaśnić sposoacuteb obliczania całki oznaczonej rozpatrzmy najpierw całkę nieoznaczoną

( ) ( )int= xxfxg d (45)

gdzie int jest symbolem całkowania (jest to stylizowana litera s i odpo-

wiada sumowaniu) dx ndash zmienną całkowania f(x) ndash funkcją podcałkową zaś g(x) jest funkcją pierwotną Operacja całkowania jest operacją odwrotną do roacuteżniczkowania i oznacza że szukamy takiej funkcji g(x) ktoacuterej pochodna po zmiennej x będzie roacutewna funkcji podcałkowej f(x)

)(d

)(dxf

x

xg= (46)

Należy podkreślić że funkcję g(x) będącą wynikiem całkowania znamy z dokładnością do stałej ndash dodanie do funkcji g(x) dowolnej stałej C nie zmienia jej pochodnej f(x) Zatem wzoacuter 45 należy przepisać w postaci

( ) ( )int=+ xxfxg dC (47)

Rozpatrzmy teraz całkę oznaczoną

a)(b)()d(Zb

a

=minus=== int=

=

xgxgxxf

x

x

(48)

gdzie x = a jest dolną granicą całkowania zaś x = b jest goacuterną granicą całkowania

W wyniku obliczania całki oznaczonej w przeciwieństwie do całki nie-oznaczonej otrzymujemy liczbę (Z) a nie funkcję (g(x)) W praktyce w celu wyznaczenia wartości Z takiej całki oznaczonej najpierw znajdu-jemy funkcję g(x) będącą rozwiązaniem całki nieoznaczonej z funkcji f(x) a następnie od wartości tej funkcji w goacuternej granicy całkowania (g(x=b)) odejmujemy wartość otrzymaną w dolnej granicy całkowania (g(x=a))

Przykłady

Przykład 1 Jaką pracę należy wykonać by wciągnąć ciało o masie m po gładkiej roacutewni pochyłej o kącie nachylenia α na wysokość H Opory ruchu zaniedbujemy

PRACA I ENERGIA

Strona 45454545

Rysunek 42 Ruch ciała po roacutewni pochyłej

Załoacuteżmy że działamy na ciało siłą F skierowaną wzdłuż powierzchni roacutewni Ciężar ciała (mg) skierowany pionowo w doacuteł rozkładamy na dwie dwie składowe roacutewnoległą do roacutewni siłę ściągającą ciało w stronę podstawy roacutewni Fs oraz prostopadłą do roacutewni siłę nacisku FN Aby wciągać ciało siła F musi roacutewnoważyć siłę zsuwającą Fs

αsinmgF S = (49)

Droga na ktoacuterej wykonujemy pracę jest roacutewna

αsinHS = (410)

Zatem całkowita praca wynosi

mgHSFW S == (411)

Wynik ten jest identyczny jaki uzyskamy gdybyśmy podnosili ciało pionowo w goacuterę Tak więc jeżeli zaniedbamy opory ruchu praca (w polu grawitacyjnym) nie zależy od drogi po ktoacuterej przesuwamy ciało a jedy-nie od położenia punktu początkowego i końcowego

Przykład 2 Jaką pracę należy wykonać by wciągnąć ciało o masie m po roacutewni pochyłej o kącie nachylenia α na wysokość H jeśli wspoacutełczynnik tarcia kinetycznego o powierzchnię roacutewni wynosi micro

W tym przypadku wciągając przedmiot po roacutewni podobnie jak w po-przednim zadaniu roacutewnież musimy pokonywać siłę ściągającą ciało ku podstawie roacutewni Fs wykonując pracę roacutewną W1 = mgH Ponieważ na roacutewni występuje dodatkowo siła tarcia T do wciągnięcia ciała niezbędna będzie roacutewnież dodatkowa praca Siła tarcia jest proporcjonalna do siły

ROZDZIAŁ 4

Strona 46464646

nacisku ciała na powierzchnię FN (wypadkowa wszystkich sił działają-cych w kierunku prostopadłym do powierzchni) a jej kierunek i zwrot są zawsze przeciwne wektorowi przemieszczenia ndash tarcie przeciwdziała ruchowi ciała

SFT N= (412)

Tak więc praca związana z pokonaniem siły tarcia wynosi

SFSTW N2 micro== (413)

gdzie

αcosmgFN = (414)

Zatem całkowita praca wciągnięcia ciała po roacutewni pochyłej o kącie nachylenia α na wysokość H jest roacutewna

( )α

HαmicroαmgWWW

sincossin21 +=+= (415)

Przykład 3 Jaką pracę należy wykonać by oproacuteżnić przydomowy kolek-tor ściekowy o głębokości D = 2m i objętości V = 6m3 do cysterny Za-roacutewno zbiornik kolektora jak i zbiornik cysterny mają identyczne wy-miary Przyjmij że dno zbiornika cysterny znajduje się na identycznej wysokości jak goacuterna powierzchnia zbiornika kolektora

Rysunek 43 Przepompowywanie wody z kolektora ściekowego

do cysterny

Problem z pozoru wydaje się prosty ndash należy unieść pewną ilość wody na określoną wysokość Zauważamy że praca do wpompowania pierw-

PRACA I ENERGIA

Strona 47474747

szej porcji wody z powierzchni kolektora jest niewielka ndash dno cysterny znajduje się na identycznej wysokości co powierzchnia zbiornika Jed-nak po wpompowaniu do cysterny pierwszej porcji wody wytworzy ona warstwę o wysokości dh zaś poziom płynu w zbiorniku obniży się o dh i następna porcja musi być uniesiona na wysokość odpowiednio większą

Podzielmy rozwiązanie tego zagadnienia na dwa etapy ndash wypompowanie wody ze zbiornika na poziom ziemi (praca W1) oraz wpompowanie wody z poziomu ziemi do cysterny (W2) Będziemy rozpatrywać jednakowe małe porcje wody ndash warstwy o wysokości dh Masę takiej warstwy możemy wyrazić jako dm = Sρdh gdzie ρ jest gęstością wody a S polem przekroju zbiornika (roacutewnież cysterny) a siła użyta do podniesienia każdej takiej porcji wody ma tę samą stałą wartość Praca wykonana na podniesienie tej warstwy na wysokość h wynosi dW = Sρhdh Przy oproacuteżnianiu zbiornika porcję wody początkowo będziemy podnosić na wysokość 0 a na końcu na wysokość D ndash wielkości te będą granicami całkowania przy wyliczaniu pracy W1

2

DMg

2

DSρρhhgρSW

2D

0

1 === int d (416)

gdzie przez M możemy oznaczyć całkowitą masę wody roacutewną M = Vρ Pracę W2 niezbędną do napełnienia cysterny liczymy w identyczny sposoacuteb i otrzymamy tę samą wartość co w przypadku oproacuteżniania zbior-nika (W2 = W1) Całkowita praca wykonana przy przepompowaniu wody ze zbiornika do cysterny wynosi zatem

MgDWWW 1 =+= 2 (417)

Warto zwroacutecić uwagę że identyczny wynik uzyskalibyśmy traktując wodę jako bryłę sztywną o środku masy położonym w połowie wysokoś-ci zbiornika (w praktyce można to osiągnąć np żelując lub zamrażając wodę) ktoacuterą podnosimy na wysokość D Woacutewczas praca wykonana w obu przypadkach ndash czy mamy do czynienia z cieczą czy z bryłą lodu musi być taka sama Z przykładu tego wynika praktyczna wskazoacutewka że zamiast rozpatrywać obiekty rozciągłe przestrzennie możemy zastępo-wać je masą punktową czyli przyjąć że cała masa zgromadzona jest w jednym punkcie znajdującym się w środku ciężkości obiektu

ROZDZIAŁ 4

Strona 48484848

42 Pole sił zachowawczych i niezachowawczych

Jeśli siły są zachowawcze to praca wykonana podczas prze-mieszczenia obiektu nie zależy od drogi po jakiej przesuwamy ciało a jedynie od położenia punktu początkowego oraz końcowego

Rysunek 44 Praca przemieszczenia ciała w polu sił zachowawczych

Rozważmy dwie drogi między punktami A oraz B ndash A1B oraz A2B ndash przedstawione na rysunku 44 Jeżeli praca przemieszczenia ciała z pun-ktu A do punktu B po drodze A1B oraz A2B ma taką samą wartość to punkty A i B znajdują się w polu sił zachowawczych Praca przemiesz-czenia ciała w polu sił zachowawczych zależy tylko od położenia punktu początkowego i końcowego Zatem w przedstawionym przypadku praca wykonana po drodze zamkniętej wynosi zero gdyż położenie końcowe jest tożsame z początkowym Przykładem pola sił zachowawczych jest pole grawitacyjne Jeżeli pewien przedmiot przesuniemy na wierzchołek idealnie gładkiej roacutewni pochyłej wykonamy pewną pracę przeciwsta-wiając się sile grawitacji Przesunięcie tego przedmiotu z powrotem do położenia początkowego u podnoacuteża roacutewni odbywa się pod wpływem siły grawitacji Wykonuje ona nad przedmiotem pracę roacutewną co do wartości pracy wykonanej przez nas Ponieważ w tym przypadku zwrot siły jest przeciwny roacutewnież praca ma przeciwny znak W efekcie całkowita praca na takiej drodze zamkniętej (wsunięcie i zsunięcie po roacutewni pochyłej) jest roacutewna zeru Podobnie zerową całkowitą pracę otrzymamy na przykład dla ruchu wahadła zegara jeżeli zaniedbamy opory powietrza oraz opory mechanizmu Wahadło podnosząc się wykonuje

PRACA I ENERGIA

Strona 49494949

pracę przeciw siłom grawitacji ale podczas obniżania to siły grawitacji wykonują identyczną pracę nad wahadłem

Jeśli ciało znajduje się w polu sił niezachowawczych to praca wykona-na na drodze zamkniętej jest roacuteżna od zera Wszystkie układy w ktoacuterych mamy do czynienia z siłami oporu np siłami tarcia tworzą pole sił niezachowawczych W polu sił niezachowawczych część pracy zazwy-czaj rozpraszana jest w postaci ciepła i niemożliwe jest całkowite jej odzyskanie w postaci pracy mechanicznej

43 Pole sił grawitacyjnych

Siła grawitacji jest siłą przyciągającą działającą między wszystkimi ciałami obdarzonymi masą Wartość siły przyciągania grawitacyjnego zależy od masy oddziałujących ciał m1 i m2 oraz odległości r między nimi

221

r

mmGF = (418)

gdzie r ndash odległość pomiędzy masami G = 66742middot10-11 Nm2kg-2 ndash stała grawitacji

Podkreślając powszechność siły przyciągania grawitacyjnego należy za-znaczyć roacutewnież że wpływ oddziaływań grawitacyjnych pochodzących od niektoacuterych obiektoacutew często może być pominięty Na przykład na jabłko wiszące na drzewie działa nie tylko siła grawitacji pochodząca od Ziemi ale także od drzewa obserwatora stojącego pod drzewem czy in-nych jabłek wiszących powyżej naszego jabłka Ponieważ masa wszyst-kich wymienionych obiektoacutew jest wielokrotnie mniejsza niż masa Ziemi ich wpływ na wartość i zwrot wypadkowej siły grawitacji jest znikomo mały dlatego z bardzo dobrym przybliżeniem możemy zaniedbać te czynniki i rozważać wyłącznie wpływ oddziaływania grawitacyjnego Ziemi Dowodem tego że na obiekty znajdujące się na Ziemi działają roacutewnież siły przyciągania grawitacyjnego Słońca i Księżyca są min pływy morskie

Wroacutećmy do przykładu pola sił grawitacyjnych wytworzonych przez Ziemię Wartość siły grawitacji w takim polu sił jest proporcjonalna do masy ciała znajdującego się w tym polu Aby scharakteryzować pole sił

ROZDZIAŁ 4

Strona 50505050

grawitacyjnych niezależnie od masy ciała znajdującego się w tym polu definiujemy natężenie pola czyli stosunek siły działającej na niewielką masę m (nie zaburzającą pola pochodzącego od dużej masy M) do wartości tej masy m

gr

GM

mr

GMm

m

FE

22==== (419)

Zauważmy że wartość natężenia pola grawitacyjnego pochodzącego od Ziemi wyznaczona na jej powierzchni (w odległości RZ od środka Ziemi) jest roacutewna przyspieszeniu ziemskiemu g czyli wartości przyspieszenia z jakim poruszać się będzie ciało znajdujące się na powierzchni Ziemi podczas swobodnego spadku

2

Z

Z

R

GMg = (420)

Woacutewczas siłę oddziaływania grawitacyjnego Ziemi (siłę ciężkości Fc) na ciało o masie m znajdującej się na powierzchni Ziemi możemy zapisać roacutewnież w postaci

mgF =c (421)

Praca w polu sił grawitacyjnych

W poprzednim rozdziale przekonaliśmy się że podniesienie ciała na wy-sokość h wymaga wykonania nad ciałem pracy związanej z pokonywa-niem siły grawitacji (Fc = mg) i wynosi Wh = Fch = mgh Wiemy roacutew-nież że ciężarek ten upuszczony z tej samej wysokość h może wykonać pracę WC ktoacuterej wartość w układzie zachowawczym (nie istnieją siły oporu) jest identyczna z pracą wydatkowaną na jego podniesienie Wh = mgh Ciężarek znajdując się na wysokości h posiada zdolność wykonania pracy o wartości Wh = mgh Taka zdolność do wykonania pracy w fizyce nazywana jest energią

Praca i energia są ze sobą ściśle powiązane ndash wykonana praca jest magazynowana w postaci energii

Energia potencjalna sił grawitacyjnych

Energię można nazwać energią potencjalną jeśli zależy w jaw-ny sposoacuteb od położenia w polu sił

PRACA I ENERGIA

Strona 51515151

Energia ciężarka z poprzedniego przykładu znajdującego się na pewnej wysokości nad Ziemią spełnia tę definicję W pobliżu powierzchni Zie-mi dla niedużych zmian wysokości na ciało działa siła przyciągania o wartości mg Jeżeli opisując takie ciało wprowadzimy poziom odnie-sienia względem ktoacuterego liczymy wysokość (np powierzchnię Ziemi) to dowolnemu ciału znajdującemu się na wysokości h powyżej tego poziomu możemy przypisać konkretną wartość energii potencjalnej

mghE = (422)

Mapa geograficzna z naniesionymi poziomicami wyrażającymi wyso-kość punktoacutew względem poziomu morza (punkt odniesienia) może zo-stać zatem odczytana roacutewnież jako zapis energii potencjalnej ciała znaj-dującego się na powierzchni ziemi

Czy praca wykonana przeciwko siłom tarcia roacutewnież powoduje wzrost energii potencjalnej W tym przypadku praca nie jest magazynowana w postaci energii mechanicznej ale tracona (rozpraszana) w postaci cie-pła Możemy woacutewczas moacutewić jedynie o wzroście energii wewnętrznej ciała ndash problem ten omoacutewimy dokładniej w rozdziale poświęconym termodynamice

Podobnie jak w przypadku siły oddziaływania grawitacyjnego wzoacuter 421 jest prawdziwy jedynie dla obiektoacutew znajdujących się w pobliżu po-wierzchni Ziemi tak samo zależność 422 opisująca energię potencjalną pola sił grawitacyjnych jest prawdziwa jedynie dla niewielkich w poroacutew-naniu z promieniem Ziemi odległości od powierzchni Ziemi

W ogoacutelności energię potencjalną ciała możemy zdefiniować jako pracę jaką należy wykonać by umieścić ciało w danym punkcie Załoacuteżmy że przemieszczenie ciała o masie m odbywa się z punktu odległego o r1 od środka ciała o masie M do punktu odległego o r2 gdzie r2 lt r1 Obliczając pracę przesunięcia tego ciała z punktu r1 do r2 korzystamy ze wzoru 418 oraz 43 w ktoacuterym za wartość cosinusa przyjmujemy 1 gdyż w rozwa-żanym przypadku wektor przemieszczenia z punktu r1 do r2 oraz siła grawitacji mają ten sam kierunek i zwrot

int=2

1

r

r

2r

r

GMmW d (423)

Skorzystaliśmy w tym przypadku z całkowej postaci wzoru na pracę ponieważ siła działająca na ciało ma zmienną wartość ndash zależy od odległości od środka ciała o masie M Funkcją pierwotną dla funkcji 1r2

ROZDZIAŁ 4

Strona 52525252

jest funkcja 1r Aby obliczyć wartość powyższej całki od wartości funkcji pierwotnej wyznaczonej w goacuternej granicy odejmujemy wartość w dolnej granicy całkowania Otrzymujemy wzoacuter końcowy na pracę przesunięcia ciała o masie m w polu grawitacyjnym ciała o masie M z punktu odległego od środka ciała M o r1 do punktu odległego o r2

minus=

21 r

1

r

1GMmW (424)

Powyższy wzoacuter na pracę zależy od dwoacutech zmiennych ndash punktu odniesię-nia (r1) oraz punktu w ktoacuterym znajduje się ciało (r2) Żeby uniknąć pro-blemu definiowania za każdym razem punktu odniesienia we wszystkich zagadnieniach związanych z polem sił grawitacyjnych umieszczamy punkt odniesienia w nieskończoności Woacutewczas pierwszy wyraz we wzorze 424 zeruje się (jedność podzielona przez nieskończo-ność wynosi zero) i wartość wykonanej pracy zależy wyłącznie od koń-cowego położenia ciała w polu grawitacyjnym Oznacza to że energia potencjalna grawitacji ciała o masie m znajdującego się w odległości r od masy M będącej źroacutedłem pola grawitacyjnego wynosi więc

r

GMmWE P

minus== (425)

Jak pokazaliśmy powyżej ujemny znak energii potencjalnej jest konsek-wencją wyboru punktu odniesienia

Gdyby energia potencjalna nie była zdefiniowana ze znakiem minus energia potencjalna ciała znajdującego się w większej odległości od ma-sy M byłaby mniejsza Ponieważ wszystkie układy dążą do osiągnięcia minimum energii wszystkie ciała oderwałyby się od powierzchni Ziemi Obecność znaku minus powoduje że ciało by obniżyć swoją energię po-tencjalną porusza się w kierunku środka Ziemi Woacutewczas gdy odległość r od środka Ziemi maleje energia potencjalna staje się coraz bardziej ujemna czyli coraz mniejsza

Dla obiektoacutew znajdujących się w polu grawitacyjnym definiuje się czę-sto jeszcze jedną wielkość fizyczną ndash potencjał grawitacyjny Potencjał grawitacyjny jest roacutewny energii ciała podzielonej przez jego masę m (traktujemy masę m jako na tyle małą że nie zakłoacuteca ona pola) Potencjał jest zatem związany wyłącznie z masą M będącą źroacutedłem pola grawitacyjnego

PRACA I ENERGIA

Strona 53535353

r

GMV g

minus= (426)

Druga prędkość kosmiczna

Druga prędkość kosmiczna jest to minimalna prędkość jaką powinno mieć ciało żeby mogło opuścić pole grawitacyjne Ziemi W sposoacuteb ścisły warunek ten spełniony będzie tylko w nieskończoności ale w prak-tyce chodzi nam o odległość na tyle dużą aby energia potencjalna ciała (wzoacuter 425) była bliska zeru

Załoacuteżmy że rakieta o masie m zostaje wystrzelona z powierzchni Ziemi pionowo do goacutery z prędkością v Na powierzchni Ziemi rakieta ta będzie miała więc zaroacutewno energię potencjalną (wzoacuter 425) jak i energię kine-tyczną roacutewną Ek = frac12middotmmiddotv

2 Całkowita energia rakiety na powierzchni Ziemi wynosi zatem

2

m

r

GMmE

2

c

v+

minus= (427)

Żeby rakieta mogła dolecieć do nieskończoności jej całkowita energia na powierzchni Ziemi musi być przynajmniej roacutewna zero (Ec ge 0) Stąd otrzymujemy wzoacuter na II prędkość kosmiczną

Z

Z

ZII gR

R

GM22==v (428)

gdzie RZ jest promieniem zaś MZ jest masą Ziemi z ktoacuterej startuje rakieta Dla Ziemi wartość II prędkości kosmicznej wynosi 112 kms Drugą prędkość kosmiczną można wyznaczyć dla roacuteżnych ciał niebies-kich i np dla Księżyca wynosi ona 24 kms zaś dla Jowisza 595 kms

44 Ruch po okręgu

Szczegoacutelnym przypadkiem ruchu krzywoliniowego jest ruch jednostajny po okręgu czyli ruch jaki wykonuje ciało poruszające się w jednej płaszczyźnie ze stałą prędkością będące jednocześnie w stałej odległości od wybranego punktu odniesienia Tor ruchu takiego ciała jest okręgiem Opisując ruch po okręgu korzystnie jest zastosować biegunowy układ

ROZDZIAŁ 4

Strona 54545454

wspoacutełrzędnych Przypomnijmy że w układzie biegunowym położenie ciała jest opisywane przez jego odległość od początku układu wspoacutełrzęd-nych (wspoacutełrzędna radialna r) oraz przez położenie kątowe względem wybranej osi odniesienia (wspoacutełrzędna kątowa α) Jeżeli w opisie ruchu po okręgu początek biegunowego układu wspoacutełrzędnych umieścimy w środku okręgu to wspoacutełrzędna radialna będzie stała a zmieniać się bę-dzie jedynie położenie kątowe ciała Podobnie jak w przypadku ruchu prostoliniowego w ruchu po okręgu prędkość jest pochodną drogi kątowej po czasie i nazywana jest prędkością kątową ω

td

dαω = (430)

Prędkość kątowa mierzona w radianach na sekundę jest wektorem ktoacuterego kierunek zgodny jest z osią wokoacuteł ktoacuterej następuje obroacutet a zwrot wyznacza reguła śruby prawoskrętnej lub reguła prawej dłoni (jeżeli palce otwartej dłoni pokazują zwrot wektora prędkości liniowej czyli kierunek obrotu to kciuk wyznacza kierunek i zwrot wektora prędkości kątowej)

Pochodna prędkości kątowej po czasie definiuje przyspieszenie kątowe ε

2

2

d

d

d

d

tt

αω==ε (431)

Przedstawione powyżej definicje przyspieszenia i prędkości kątowych są analogiczne do odpowiednich wielkości w ruchu prostoliniowym Poszu-kując relacji pomiędzy wielkościami opisującymi ruch obrotowy oraz ruch liniowy zaczniemy od wyznaczenia drogi czyli długości łuku prze-bytej przez ciało poruszające się po okręgu Wielkość ta będzie zależała zaroacutewno od zmiany położenia kątowego jak i od położenia radialnego

czyli odległości od osi obrotu rαl = Jeżeli zroacuteżniczkujemy tę zależ-ność po czasie otrzymamy relacje między prędkością liniową i kątową a po ponownym zroacuteżniczkowaniu relację między przyspieszeniem linio-wym i kątowym Otrzymamy w ten sposoacuteb zestaw zależności

=

=

=

ra

r

r

ε

ω

αl

v (432)

PRACA I ENERGIA

Strona 55555555

Ponieważ poruszające się po okręgu ciało wraca cyklicznie do miejsca startu prędkość kątową można powiązać z częstotliwością

Tr

f1

22===

ππ

ω v (433)

Jednostką częstotliwości jest 1Hz (Hertz) = 1sndash1 co oznacza że przy czę-stotliwości 1Hz ciało wykonuje jeden obroacutet na sekundę Odwrotnością częstotliwości jest okres obrotu T czyli czas jednego pełnego obrotu wyrażony w sekundach

Przyspieszenie w ruchu po okręgu

W rozdziale 24 wprowadziliśmy składową styczną oraz normalną przy-spieszenia dla ruchu krzywoliniowego W przypadku jednostajnego ru-chu po okręgu wartość prędkości mierzona wzdłuż okręgu jest stała a więc składowa styczna przyspieszenia jest zerowa Przyśpieszenie cał-kowite w ruchu po okręgu jest więc roacutewne składowej normalnej

r

aa n

2v

== (434)

Składowa normalna przyspieszenia skierowana jest do środka krzywizny toru wzdłuż promienia okręgu i dlatego często nazywana jest składową radialną Ponieważ przyspieszenie normalne skierowane jest do środka okręgu nazywa się je roacutewnież przyspieszeniem dośrodkowym Odpowia-dająca mu siła oddziaływania ktoacutera wywołuje ruch ciała o masie m po okręgu o promieniu r jest nazywana siłą dośrodkową

r

mF

2v

= (435)

W przypadku obracającej się karuzeli metalowy pręt mocujący krzesełko działa na krzesełko karuzeli siłą skierowaną do środka roacutewną co do war-tości zdefiniowanej powyżej sile dośrodkowej Osoba siedząca na krzesełku karuzeli odczuwać będzie istnienie siły skierowanej wzdłuż promienia na zewnątrz Siłę taką występującą w układzie związanym z ciałem poruszającym się po okręgu nazywać będziemy siłą odśrodko-

wą Siła ta jest roacutewna co do wartości sile dośrodkowej ale ma przeciwny zwrot Warto podkreślić że siła odśrodkowa jest siłą pozorną i w mo-mencie przerwania pręta mocującego krzesełko karuzeli krzesełko to nie będzie poruszało się ruchem przyspieszonym wzdłuż promienia tylko ruchem jednostajnym prostoliniowym w kierunku wyznaczonym przez

ROZDZIAŁ 4

Strona 56565656

wektor prędkości w momencie zerwania pręta Układ odniesienia zwią-zany z takim poruszającym się po okręgu punktem jest tzw układem nieinercjalnym w ktoacuterym występują siły bezwładności działające na ciało W hamującym samochodzie przedmiot znajdujący się na poacutełce doznaje przyspieszenia względem samochodu ndash przedmiot zachowuje się bezwładnie czyli zachowuje stan ruchu przed hamowaniem i porusza się w kierunku przodu samochodu Jeśli ten sam samochoacuted porusza się po okręgu (wykonuje gwałtowny zakręt) przedmiot roacutewnież doznaje przy-spieszenia względem samochodu Przedmiot roacutewnież tutaj zachowuje się bezwładnie ndash porusza się po linii prostej (względem układu spoczynko-wego) i w konsekwencji zmienia położenie względem samochodu ndash przesuwa się w kierunku boku samochodu Siedząc w samochodzie od-czuwamy siłę wypychającą ciało na zewnątrz okręgu po ktoacuterym porusza się pojazd W obu przypadkach zaroacutewno hamowania jak i ruchu po okręgu siły bezwładności jakim ulega przedmiot są konsekwencją przy-spieszenia całego pojazdu

W przypadku pralek i suszarek bębnowych siła odśrodkowa wykorzysty-wana jest do usuwania wody z tkanin W urządzeniach takich jak wiroacutew-ki wykorzystuje się dodatkowo fakt że siła odśrodkowa zależy nie tylko od prędkości z jaką kręcą się obiekty we wnętrzu bębna wiroacutewki ale roacutewnież od masy tych obiektoacutew co umożliwia oddzielenie cięższych frakcji od lżejszych

Ruch planet wokoacuteł Słońca

Pierwsza prędkość kosmiczna

Przed odkryciem Kopernika w opisie ruchu planet i gwiazd korzystano z tzw geocentrycznego modelu świata w ktoacuterym Ziemia znajdowała się w centrum wszechświata a wszystkie ciała niebieskie krążyły wokoacuteł niej W dziele bdquoO obrotach ciał niebieskichrdquo Kopernik zaproponował model w ktoacuterym planety krążą wokoacuteł Słońca po orbitach kołowych (mo-del heliocentryczny) co pozwoliło stworzyć spoacutejny opis wielu zjawisk astronomicznych Jak już wiemy z poprzednich rozdziałoacutew aby planeta lub inne ciało niebieskie poruszało się po okręgu musi na nie działać siła dośrodkowa Newton jako pierwszy stwierdził że siłą dośrodkową jest siła grawitacji

r

m

r

GMm2

2

v= (436)

PRACA I ENERGIA

Strona 57575757

Gdyby nie istniała siła grawitacji ciało nie doznałoby przyspieszenia do-środkowego nie nastąpiłoby zakrzywienie toru i odleciało by w prze-strzeń Gdyby z kolei ciało nie miało prędkości stycznej na orbicie spadłoby na ciało centralne

Na podstawie zależności 436 możemy policzyć prędkość jaką musi mieć ciało o masie m aby poruszać się po orbicie Ziemi o promieniu roacutewnym promieniowi Ziemi RZ

Z

Z

ZI gR

R

GM==v (437)

Tak zdefiniowana prędkość nazywana jest pierwszą prędkością kosmicz-ną Dla Ziemi pierwsza prędkość kosmiczna przyjmuje wartość roacutewną około 791 kms Podobnie jak w przypadku drugiej prędkości kosmicz-nej roacutewnież pierwszą prędkość kosmiczną można wyznaczyć dla innych ciał niebieskich

W przeciwieństwie do drugiej prędkości kosmicznej w przypadku ktoacuterej rozważaliśmy prędkość skierowaną prostopadle w stosunku do powierz-chni ciała niebieskiego pierwsza prędkość odnosi się do wartości pręd-kości skierowanej roacutewnolegle do powierzchni ciała niebieskiego Jeśli satelita będzie miał mniejszą prędkość spadnie na powierzchnię ciała niebieskiego jeśli większą ndash siła grawitacji nie będzie wystarczająca do nadania satelicie odpowiedniego przyspieszenia dośrodkowego i ciało bądź znajdzie się na orbicie o większym promieniu bądź opuści pole grawitacyjne

Prawa Keplera

W heliocentrycznym modelu Kopernika planety krążą po kołowych orbi-tach Poacuteźniejsze dokładniejsze analizy ruchu planet wykonane min przez Tychona de Brahe i Johannesa Keplera wykazały że orbity te są w ogoacutelności krzywymi eliptycznymi Szczegoacutełowy opis ruchu planet za-wiera model Keplera opierający się na trzech prawach

1 Planety krążą dookoła Słońca po orbitach eliptycznych Słońce znajduje się w jednym z ognisk elipsy

Układ planeta-Słońce z dobrym przybliżeniem można potraktować jako układ odosobniony tzn uwzględniamy jedynie siły wzajemnego oddzia-ływania zaniedbując oddziaływania zewnętrzne W takim odosobnionym

ROZDZIAŁ 4

Strona 58585858

układzie planeta i Słońce poruszać się będą względem środka masy ukła-du po orbitach eliptycznych W układzie Ziemia-Słońce gdzie masa Zie-mi jest ponad 3 tysiące razy mniejsza niż Słońca z dobrym przybliże-niem można przyjąć że środek masy takiego układu pokrywa się z geo-metrycznym środkiem Słońca a w konsekwencji że Słońce jest nieru-chome a Ziemia porusza się po orbicie kołowej

2 Prędkość polowa planety jest jednakowa ndash wektor łączący Słońce i planetę zakreśla jednakowe pola w jednakowych odstępach czasu

Drugie prawo Keplera wynika bezpośrednio z zasady zachowania mo-mentu pędu ktoacutera zostanie omoacutewiona w jednym z kolejnych rozdziałoacutew

3 Kwadrat czasu obiegu planety dookoła słońca jest propor-cjonalny do sześcianu długiej osi elipsy po ktoacuterej porusza się planeta

Trzecie prawo Keplera wynika bezpośrednio z faktu że siłą dośrodkową działającej na planetę jest siła grawitacji Dla uproszczenia obliczeń załoacuteżmy na razie że planeta porusza się po orbicie kołowej Woacutewczas przyroacutewnując obie siły otrzymujemy zależność

o

2

2g Fr

m

r

MmF ===

vG (438)

Ponieważ prędkość planety wiąże czas pełnego obrotu (okres T) z dłu-gością orbity ( Trπ2=v ) roacutewność 438 można zapisać w postaci

( )2

2

T

r

r

M π2G=

(439)

a po przekształceniach

M

rT

322

G

4π= (440)

PRACA I ENERGIA

Strona 59595959

45 Energia potencjalna sił sprężystości

W urządzeniach mechanicznych ktoacutere wykonują pracę np obroacutet wska-zoacutewek zegara w starych zegarach szafkowych praca ta wykonywana jest kosztem energii dostarczonej z zewnątrz We wspoacutełczesnych urządze-niach w tym także w zegarach jako źroacutedło energii najczęściej stosuje się baterie elektryczne ale kiedyś powszechnie stosowano mechanizmy wykorzystujące energię potencjalną podciągniętych ciężarkoacutew lub w przenośnych zegarkach mechanizm magazynowania energii opierał się na bdquonakręcaniurdquo sprężyny Jest to przykład pokazujący że energia me-chaniczna może zostać roacutewnież zmagazynowana w postaci odkształcenia materiału ndash taki rodzaj energii potencjalnej będziemy nazywać energią potencjalną sił sprężystości wynikających z oddziaływań między czą-steczkami materiału

Rozpatrzmy sprężynę ktoacuterą rozciągniemy (lub ściśniemy) o długość x Siła jaką musimy rozciągać tę sprężynę roacutewnoważy siłę sprężystości sprężyny ktoacutera zgodnie z III zasadą dynamiki Newtona ma zwrot prze-ciwny do zwrotu siły rozciągającej Jej wartość zależy od długości roz-ciągnięcia x co opisuje prawo Hookersquoa

xkFrr

minus= (441)

gdzie k jest wspoacutełczynnikiem sprężystości Znak minus w powyższym wzorze oznacza że siła z jaką działa sprężyna ma przeciwny zwrot do wektora x czyli siła sprężystości przeciwstawia się wydłużaniu (lub ścis-kaniu) i wskazuje zawsze na położenie roacutewnowagowe

Siła jaką musimy działać żeby rozciągnąć sprężynę ma przeciwny zwrot

niż siła sprężystości ( xkFrr

= ) Ponieważ wartość tej siły zmienia się wraz z wartością wychylenia z położenia roacutewnowagi to pracę wykonaną przy rozciąganiu sprężyny o długość X obliczamy ze wzoru całkowego

( )S

2

X

0

X

0

EkX2

1xkxxxFW ==== intint dd (441)

Rozciągnięta sprężyna wracając do położenia roacutewnowagowego wykona taką samą pracę jaką wykonaliśmy podczas jej rozciągania Możemy

ROZDZIAŁ 4

Strona 60606060

roacutewnież powiedzieć że rozciągnięta sprężyna posiada zdolność do wyko-nania pracy Ponieważ wielkość tej pracy zależy jawnie od wartości od-kształcenia sprężyny to spełnia ona definicję energii potencjalnej i nazy-wana jest energią potencjalną sprężystości ES

Energię potencjalną sił sprężystości można policzyć roacutewnież dla ciał sta-łych poddanych rozciąganiu lub ściskaniu W tym przypadku rolę wspoacutełczynnika sprężystości opisującego własność materiału pełni moduł Younga E Poszukując związku między modułem Younga a stałą sprężystości możemy potraktować badany materiał jakby był zbudowa-ny z punktoacutew (atomoacutew) połączonych małymi sprężynkami Sprężynki te obrazują oddziaływania międzyatomowe a ich stała sprężystości zależy od struktury materiału Im większy będzie przekroacutej elementu wykonane-go z danego materiału czyli im więcej takich sprężynek opisuje badany element tym większy będzie wspoacutełczynnik sprężystości dla całego materiału ndash moduł Younga E

kxLL

EAF minus=minus= ∆

0

0 (442)

gdzie E jest modułem Younga A0 ndash przekrojem poprzecznym proacutebki L0 ndash długością początkową (roacutewnowagową) zaś ∆L jest zmianą długości proacutebki

46 Energia kinetyczna

Energia kinetyczna jest związana ze stanem ruchu ciała Ciało posiada energię kinetyczną jeśli znajduje się w ruchu w danym układzie odnie-sięnia Energię kinetyczną można roacutewnież zdefiniować jako ilość pracy jaką należy wykonać żeby wprawić ciało w ruch

Jeżeli więc siła F przeprowadzi ciało ze stanu bezruchu (stan bdquoArdquo) do prędkości v (stan bdquoBrdquo) to wykonana praca wyniesie

intint int ===B

A

B

A

B

A

st

mst

psFW d

d

dd

d

dd

v (443)

PRACA I ENERGIA

Strona 61616161

W powyższych przekształceniach siłę F zastąpiliśmy pochodną pędu po czasie Zależność tą można dalej przekształcić otrzymując zależność wykonanej pracy od prędkości v jaką osiągnie ciało

k

2

0

B

A

E2

mm

t

smW ==== intint

vvvv

v

ddd

d (444)

Tak wyznaczona praca wykonana by nadać ciału o masie m prędkość v definiuje energię kinetyczną ciała Energia ta jest wprost proporcjonalna do jego masy m i do kwadratu prędkości v2 Zależność energii kinetycz-nej od kwadratu prędkości jest jedną z głoacutewnych przyczyn (poza siłami oporu) dla ktoacuterych tzw dynamika samochodoacutew (sportowych i nie tylko) jest znacznie lepsza w zakresie niskich prędkości niż prędkości wyso-kich Aby to wyjaśnić obliczmy najpierw pracę jaką należy wykonać żeby rozpędzić samochoacuted o masie m = 1000kg od prędkości v1 = 0 ms do v2 = 10 ms = 36 kmh oraz od v2 = 10 ms do v3 = 20 ms=72 kmh Praca ta roacutewna jest roacuteżnicy energii kinetycznej końcowej oraz początkowej i w pierwszym przypadku wynosi W1 = Ek(v2) ndash Ek(v1) = 50000J zaś w drugim jest trzykrotnie większa i wynosi W2 = Ek(v3) ndash Ek(v2) = 150000J Tak więc utrzymanie podobnego przy-spieszenia w obu zakresach prędkości wymagałoby ciągłego wzrostu mocy co w praktyce jest trudne do osiągnięcia

Podczas przyspieszania to silnik pojazdu wykonuje pracę roacutewną energii kinetycznej tego pojazdu Natomiast gdy pojazd hamuje pracę musi wy-konać układ hamulcowy pojazdu Ponieważ przy dwukrotnie większej prędkości energia kinetyczna jest czterokrotnie większa to roacutewnież pra-ca wyhamowania jest czterokrotnie większa Praca ta w większości za-mieniana jest w energię cieplną i dlatego elementy układu hamulcowego w szczegoacutelności samochodoacutew sportowych powinny być odporne na wy-sokie temperatury oraz tak zaprojektowane aby jak najwydajniej odda-wały ciepło do otoczenia

Warto roacutewnież zwroacutecić uwagę że furgonetka o masie 2 ton i prędkości 15 ms ktoacutera ma identyczny pęd jak samochoacuted osobowy o masie 1 tony i prędkości 30 ms ma dwukrotnie mniejszą energię kinetyczną czyli zatrzymanie jej wymaga mniejszej pracy jest bdquołatwiejszerdquo

Pojęcie energii kinetycznej możemy odnosić roacutewnież do mikroskopowe-go opisu właściwości ciał Nawet jeśli pojazd znajduje się w spoczynku cząsteczki składające się na niego mają pewną energię kinetyczną ndash czą-steczki gazu znajdującego się w oponach znajdują się w ciągłym ruchu

ROZDZIAŁ 4

Strona 62626262

atomy metalu w karoserii wykonują drgania wokoacuteł położeń roacutewnowago-wych Energia kinetyczna jest w takim mikroskopowym ujęciu związana z temperaturą ciała a dokładniej ndash temperatura jest funkcją średniej energii kinetycznej o czym będzie jeszcze mowa w części poświęconej termodynamice

47 Zasada zachowania energii mechanicznej

Podsumowując rozważania dotyczące energii wprowadzimy zasadę za-chowania energii mechanicznej

W układzie zachowawczym odosobnionym całkowita energia mechaniczna czyli suma energii potencjalnej Ep zaroacutewno grawitacyjnej jak i sprężystości oraz energii kinetycznej Ek ciała jest wielkością stałą

const=+ pk EE (445)

Oznacza to że jeżeli zaniedbamy straty energii (pracy wykonanej na rzecz sił tarcia itp) roacuteżne formy energii jaką posiada ciało mogą się zmieniać ale ich suma pozostaje stała Dobrym przykładem do omoacutewie-nia zasady zachowania energii jest skok na linie bungee Stojąc na moście na wysokości h nad rzeką (na rysunku 44 h = h1 + h2) skoczek posiada energię potencjalną względem poziomu odniesienia znajdujące-go się na poziomie rzeki Pierwsza faza skoku jest spadkiem swobod-nym w ktoacuterym skoczek traci energię potencjalną ale nabiera prędkości czyli zyskuje energię kinetyczną

2

mmgh

2v

= (446)

Kiedy lina rozwinie się w pełni osiąga tzw długość swobodną ndash na ry-sunku 44 oznaczoną jako h1 Od tego momentu lina zaczyna działać jak rozciągana sprężyna W tej fazie skoku energia potencjalna nadal się zmniejsza kosztem wzrostu zaroacutewno energii kinetycznej jak i energii potencjalnej sił sprężystości

PRACA I ENERGIA

Strona 63636363

Rysunek 44 Energia skoczka bungee w roacuteżnych fazach skoku

W pewnym momencie ruchu gdy siła napięcia liny zroacutewnoważy siłę grawitacji prędkość ciała zacznie się zmniejszać a więc spada roacutewnież jego energia kinetyczna W najniższym położeniu skoczka jego prędkość wynosi zero ndash nie posiada on zatem energii kinetycznej Jego energia potencjalna grawitacji roacutewnież wynosi zero (skoczek znajduje się w punkcie odniesienia) i cała energia zmagazynowana jest w postaci energii potencjalnej sprężystości Tak więc początkowa energia poten-cjalna grawitacji zostaje w całości zmagazynowana w energii sprężystości rozciągniętej liny Energia ta może następnie wykonać pra-cę podniesienia skoczka na wysokość mostu a więc zgodnie z zasadą zachowania energii skoczek może wroacutecić do swojego położenia począt-kowego na moście W rzeczywistości mamy jednak do czynienia ze stra-tami energii związanymi zaroacutewno z oporami powietrza jak i wydziele-niem się ciepła w rozciągającej się linie (nie jest to idealna sprężyna) i w efekcie skoczek nie powroacuteci do poziomu mostu

Uogoacutelnieniem zasady zachowania energii mechanicznej jest ogoacutelna zasa-da zachowania energii ktoacutera moacutewi że w układzie zachowawczym odo-sobnionym zmiana całkowitej energii ciała (suma zmian wszystkich rodzajoacutew energii) wynosi zero

Jeżeli na przykład rozpędzony samochoacuted uderzy w przeszkodę to gwał-townie wytraci swoją energię kinetyczną ktoacutera zamieni się na pracę związaną z odkształceniem karoserii oraz na wydzielone ciepło

Zgodnie z zasadą zachowania energii w samochodach elektrycznych energia potencjalna ładunku elektrycznego zgromadzona w naładowa-

ROZDZIAŁ 4

Strona 64646464

nym akumulatorze zamieniana jest w energię kinetyczną pojazdu Jeśli taki samochoacuted jest wyposażony w hamulce elektromagnetyczne w trak-cie hamowania może odzyskać znaczną część energii kinetycznej i zgro-madzić ją w postaci energii potencjalnej ładunku elektrycznego

48 Zderzenia

Opis zderzeń ciał stanowi ważny element dynamiki ciał stałych ale po-nieważ podczas zderzenia dochodzi do przekazywania zaroacutewno pędu jak i energii zderzenia odgrywają roacutewnież dużą rolę w procesach trans-portu na przykład ciepła lub ładunku elektrycznego

Podczas zderzenia obowiązuje zasada zachowania pędu czyli pęd środka masy układu przed zderzeniem jest identyczny jak po zderzeniu Jak już omawialiśmy wcześniej zasada zachowania pędu w układzie dwu- lub troacutejwymiarowym obowiązuje dla każdego z wyroacuteżnionych kierunkoacutew Przykład zastosowania zasady zachowania pędu dla dwuwymiarowego zderzenia dwoacutech kul bilardowych omoacutewiliśmy w rozdziale 32

Zasada zachowania energii jako jedna z podstawowych zasad fizyki obo-wiązuje zawsze roacutewnież podczas zderzeń Jednakże w praktyce wykorzystujemy ją wyłącznie w przypadku zderzeń idealnie sprężys-

tych w ktoacuterych nie występują straty energii Zderzeniem bliskim do idealnie sprężystego jest uderzenie piłki rakietą tenisową ndash w czasie zderzenia oba ciała odkształcają się sprężyście zaroacutewno piłka jak i linka naciągu rakiety Pojęcie zderzenia sprężystego można rozszerzyć roacutew-nież na przypadki w ktoacuterych ciała nie stykają się ze sobą w sposoacuteb widoczny dla obserwatora Gdyby omawiane wcześniej kule bilardowe zostały naładowane elektrycznie lub namagnesowane w odpowiedni sposoacuteb mogłoby dojść do przekazania pędu i energii bez zetknięcia się krawędzi krążkoacutew O charakterze zderzenia (czy jest sprężyste czy niesprężyste) decyduje charakter sił wzajemnego oddziaływania ciał

Zderzenie sprężyste jest opisane następującymi roacutewnaniami

2K21K12P21P1 vvvv mmmm +=+ (447)

ndash roacutewnanie wyrażające zasadę zachowania pędu oraz

PRACA I ENERGIA

Strona 65656565

2222

22K2

21K1

22P2

21P1 vvvv mmmm

+=+ (448)

ndash roacutewnanie wyrażające zasadę zachowania energii kinetycznej

W przypadku zderzenia idealnie niesprężystego dochodzi do odkształce-nia plastycznego jednego lub obu ciał Odkształcenie to wiąże się z roz-praszaniem energii w postaci ciepła W wyniku niesprężystego zderzenia połączone ciała poruszają się w jednym kierunku Roacutewnania opisujące zderzenie niesprężyste mają więc postać

( ) K212P21P1 vvv mmmm +=+ (449)

( )

Emmmm

∆222

2K21

22P2

21P1 +

+=+

vvv (450)

gdzie ∆E oznacza straty energii w postaci ciepła Zderzenie niesprężyste wykorzystywane jest do wyznaczania prędkości pociskoacutew za pomocą tzw wahadła balistycznego Urządzenie to składa się z masywnego bloku w ktoacutery wbija się pocisk Znając masę pocisku i masę bloku oraz prędkość bloku z pociskiem po trafieniu można wyliczyć prędkość pocisku przed uderzeniem w blok Pomiar stosunkowo niewielkiej pręd-kości bloku jest znacznie łatwiejszy niż bezpośredni pomiar prędkości rozpędzonego pocisku W szczegoacutelności jeśli blok zawiesimy na dwoacutech niciach (rysunek 45) możemy oszacować prędkość na podstawie wyso-kości na ktoacuterą uniesie się blok Obecnie można wykonać taki pomiar technikami fotograficznymi lub za pomocą czujnikoacutew optycznych jed-nak w XIX wieku wahadło balistyczne było jednym z podstawowych przyrządoacutew do pomiaru prędkości pocisku

Rysunek 45 Zasada działania wahadła balistycznego

Do odkształceń plastycznych dochodzi roacutewnież podczas zderzenia dwoacutech samochodoacutew a więc zderzenia takie są niesprężyste We wspoacuteł-czesnych samochodach tzw strefy zgniotu są odpowiedzialne za rozpra-szanie energii uwolnionej podczas zderzenia Analizując roacutewnania opisujące zderzenie niesprężyste można ponadto zauważyć że jeśli zde-rzeniu ulega lekki samochoacuted osobowy to straty energii są tym większe

ROZDZIAŁ 4

Strona 66666666

im cięższy jest pojazd z ktoacuterym się zderza ndash zatem skutki zderzenia z sa-mochodem ciężarowym są znacznie poważniejsze niż skutki kolizji z sa-mochodem osobowym o podobnej masie

5 Dynamika bryły sztywnej

W tym rozdziale

o Bryła sztywna moment bezwładności środek masy o Roacutewnanie ruchu bryły sztywnej o Zasada zachowania momentu pędu o Energia ruchu obrotowego

ROZDZIAŁ 5

Strona 68686868

51 Bryła sztywna

Bryłą sztywną będziemy nazywać ciało w ktoacuterym odległości między po-szczegoacutelnymi punktami ciała są stałe Siły działające na bryłę sztywną nie wywołują więc ani deformacji plastycznych ani odkształceń sprężys-tych a jedynie ruch postępowy lub obrotowy Wszystkie ciała w ktoacute-rych odległość między dwoma punktami nie zmienia się w czasie lub odkształcenia pod wpływem działających sił są niewielkie można trak-tować jako bryłę sztywną Na przykład huśtawka wykonana z cienkiego pręta może ulegać deformacji wpływając tym samym na zachowanie całego układu ale jeżeli wykonamy ją np z szyny kolejowej jej defor-macja będzie zaniedbywalnie mała i może być woacutewczas potraktowana jako bryła sztywna

Moment bezwładności bryły sztywnej

W większości dotąd rozważanych przykładoacutew siła działająca na ciało przyłożona była do środka masy ciała i wywoływała ruch postępowy W ruchu prostoliniowym miarą bezwładności ciała jest jego masa tzn tym trudniej jest zmienić ilość ruchu ciała (pęd) im większa jest jego masa W przypadku ruchu obrotowego istotna jest nie tylko masa ale roacutewnież jej odległość od osi obrotu Miarą bezwładności w ruchu obrotowym jest moment bezwładności

Moment bezwładności masy punktowej m poruszającej się po okręgu o promieniu r zależy od tej masy oraz kwadratu odległości od osi obrotu

2mrI = (51)

Moment bezwładności podobnie jak masa jest wielkością addytywną tzn moment bezwładności bryły sztywnej jest roacutewny sumie momentoacutew bezwładności mas punktowych składających się na tę bryłę

sum=i

ii rmI 2

(52)

gdzie ri jest odległością od osi obrotu i-tego elementu o masie mi

DYNAMIKA BRYŁY SZTYWNEJ

Strona 69696969

Rozpatrzmy dwie ołowiane kulki o masach m1 oraz m2 (potraktujemy je jako masy punktowe) połączone cienkim nieważkim prętem o długości r ktoacuterego masa oraz moment bezwładności są pomijalnie małe w poroacutew-naniu z masą i momentem bezwładności kul Moment bezwładności takiej bryły sztywnej względem osi obrotu położonej w środku pręta mo-żemy policzyć jako sumę momentoacutew bezwładności obu kul Otrzyma-

my ( ) ( ) ( )221

22

21 2)(22 rmmrmrmI +=+=

W przypadku bryły o złożonym kształcie i rozkładzie masy procedura wyznaczania momentu bezwładności wymaga podzielenia bryły na jak najmniejsze elementy i zsumowania momentoacutew bezwładności pochodzą-cych od tych elementoacutew W granicznym przypadku działanie sumowania możemy zastąpić całkowaniem

int=M

mrI0

2 d (53)

Jako przykład obliczania momentu bezwładności wyznaczymy moment bezwładności pręta o masie M oraz długości b względem osi przecho-dzącej prostopadle przez koniec pręta Poszukując momentu bezwład-ności tej bryły musimy wykonywać całkowanie po całej masie pręta W praktyce znacznie łatwiej jest przeprowadzać całkowanie we wspoacutełrzęd-nych przestrzennych dlatego postaramy się powiązać masę z długością pręta W tym celu wprowadzamy gęstość liniową λ definiującą masę

przypadającą na jednostkę długości l

λd

dm= Woacutewczas element masy

pręta dm może być wyrażony lλdd =m gdzie gęstość liniowa dla

pręta z zadania wynosi b

M=λ Po zamianie zmiennej całkowania oraz

granic całkowania moment bezwładności pręta wynosi

333

2232 dd

bMbbbmrI

b

0

M

0

2 ===== intintλλ

lλl

(54)

W podobny sposoacuteb posługując się gęstością powierzchniową lub obję-tościową możemy obliczyć momenty bezwładności dla dowolnych brył W tabeli 51 przedstawione zostały momenty bezwładności wybranych brył sztywnych względem osi obrotu przechodzących przez środek ma-sy bryły

ROZDZIAŁ 5

Strona 70707070

Tabela 51 Momenty bezwładności wybranych brył względem środka masy

Pręt

12

mrI

2

z =

Walec i walec

wydrążony

( )2

2

2

1Z rr2

mI +=

( )[ 2

2

2

1x hrr312

mI ++=

Pierścień 2mrI =

Stożek

10

mr3I

2

z =

+= 2

2

x h4

r

5

m3I

Dysk

2

mrI

2

z =

4

mrI

2

x =

Sfera3

mr2I

2

=

Kula 5

mr2I

2

=

Twierdzenie Steinera

Załoacuteżmy że znana jest masa bryły oraz moment bezwładności I0 wzglę-dem osi przechodzącej przez środek jej masy Wtedy zgodnie z twier-dzeniem Steinera moment bezwładności I tej bryły względem osi obrotu roacutewnoległej do osi przechodzącej przez środek masy i przesuniętej o d roacutewny jest

2

mdII 0 += (55)

Twierdzenie Steinera zastosujemy do obliczenia momentu bezwładności dysku o promieniu r i masie m względem osi przechodzącej przez jego krawędź a prostopadłej do płaszczyzny dysku Moment bezwładności dysku względem osi prostopadłej przechodzącej przez jego środek znaj-dziemy w tabeli 51

DYNAMIKA BRYŁY SZTYWNEJ

Strona 71717171

2

mrI

2

0 = (56)

W naszym przypadku oś przesunięta jest roacutewnolegle o długość promie-nia dysku a więc stosując twierdzenie Steinera otrzymujemy

222

2

0 mrmr2

mrmrII

2

3=+=+=

(57)

Środek masy bryły sztywnej

Gdybyśmy chcieli układ ciał lub bryłę sztywną zastąpić masą punkto-wą czyli zgromadzić całkowitą masę układu w jednym punkcie geome-trycznym to punkt ten powinien się znajdować w środku masy Swobod-na oś obrotu bryły sztywnej lub układu ciał przechodzi przez ich środek masy

W układzie mas punktowych środek masy można obliczyć ze wzoru

sum

sum=

i

i

i

ii

SMm

rm

r

r

r (58)

gdzie mi ndash masy punktowe zaś irr

ndash położenia tych mas względem wybranego punktu odniesienia Wspoacutełrzędna x środka masy wynosić

więc będzie sum

sum=

i

i

i

ii

SMm

xm

x W przypadku gdy rozkład masy nie jest

dyskretny podobnie jak przy obliczaniu momentu bezwładności sumo-wanie musimy zastąpić całkowaniem Sposoacuteb wyznaczenia środka masy dla jednorodnego pręta z poprzedniego zadania przedstawiono poniżej

L

2

1

M

LL

M

L

MM

mr

x2

L

0

M

0SM =====

intint λλlλl

21

21

dd (59)

Całkowanie przeprowadzono względem jednego z końcoacutew pręta a więc wynik L2 oznacza że środek masy znajduje się w połowie długości pręta

ROZDZIAŁ 5

Strona 72727272

52 Roacutewnanie ruchu bryły sztywnej

Moment siły

W dotychczasowych rozważaniach rozpatrywaliśmy jedynie obiekty punktowe lub też bryłę sztywną zastępowaliśmy masą punktową znajdu-jącą się się w środku masy tej bryły Woacutewczas rozważaliśmy jedynie ruch postępowy takich obiektoacutew W dalszej części tego rozdziału opisze-my ruch obrotowy bryły sztywnej na ktoacuterą działa siła przyłożona w punkcie innym niż środek masy

Rozważmy najpierw siłę przyłożoną w dowolnym punkcie bryły sztywnej ale skierowaną wzdłuż prostej przechodzącej przez punkt wyznaczający środek masy tego ciała Woacutewczas siła ta wywoływać będzie ruch postępowy Jeżeli jednak kierunek działania tej siły nie będzie wskazywał środka masy ciała to na ciało działać będzie moment

siły ktoacutery wywołuje ruch obrotowy Moment siły Mr

zależy od

wartości siły działającej na bryłę sztywną Fr

odległości punktu zacze-pienia tej siły od osi obrotu r

r oraz kąta między tymi wektorami

Moment siły Mr

definiujemy jako iloczyn wektorowy wektoroacutew rr

oraz Fr

perp==

times=

rFαFrM

FrM

sin

rrr

(510)

Wielkość αrr sin=perp nazywana jest ramieniem siły Moment siły

uzyskuje maksymalną wartość gdy kąt α między rr

oraz Fr

jest kątem prostym Siła działająca wzdłuż ramienia nie wywołuje obrotu a jedynie ruch postępowy

Jeśli oś obrotu nie jest wymuszona (obroacutet jest obrotem swobodnym) następuje on zawsze wokoacuteł osi o największym momencie bezwładności przechodzącej przez środek masy ciała Podobnie jak w przypadku ruchu postępowego definiowaliśmy siłę poprzez pochodną pędu ciała po cza-sie tak w przypadku ruchu obrotowego bryły sztywnej możemy zdefi-niować moment siły jako pochodną momentu pędu po czasie

DYNAMIKA BRYŁY SZTYWNEJ

Strona 73737373

t

LM

d

dr

r= (511)

Moment pędu Lr

masy punktowej m poruszającej się po okręgu o pro-mieniu r jest iloczynem wektorowym wektora wodzącego r

r i pędu ciała pr

(rysunek 51) Kierunek wektora momentu pędu jest zgodny z osią

obrotu a zwrot określamy zgodnie z regułą śruby prawoskrętnej Zwrot ten jest identyczny ze zwrotem wektora prędkości kątowej ω

r

prLrrr

times= (512)

ωIωmrrωmrmrprL 2 ===== v (513)

W ostatnim przekształceniu iloczyn mr2 został zastąpiony momentem

bezwładności I Pęd ciała w ruchu prostoliniowym jest proporcjonalny do jego masy i prędkości (roacutewnanie 31) W ruchu po okręgu miarą ilości ruchu jest moment pędu L

r We wzorze 513 wykazaliśmy że ta ilość

ruchu jest proporcjonalna do prędkości kątowej a wspoacutełczynnikiem proporcjonalności jest moment bezwładności I

Rysunek 51 Moment pędu masy punktowej poruszającej się po okręgu

Zgodnie z roacutewnaniem 511 moment siły działający na bryłę sztywną wywołuje zmianę momentu pędu tej bryły Zmiana momentu pędu może być związana ze zmianą prędkości kątowej bryły ktoacuterej moment bezwładności się nie zmienia ale może roacutewnież wynikać ze zmiany samego momentu bezwładności bryły sztywnej Uwzględniając oba te człony możemy zapisać roacuteżniczkowe roacutewnanie ruchu obrotowego bryły sztywnej ktoacutere jest II zasadą dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego

t

I

tI

t

LM

d

d

d

d

d

dω

ω+== (514)

ROZDZIAŁ 5

Strona 74747474

53 Zasada zachowania momentu pędu

Rozważmy teraz ruch obrotowy bryły sztywnej na ktoacuterą działa wypad-kowy moment siły M roacutewny zero Woacutewczas zgodnie z roacutewnaniem 511 pochodna momentu pędu po czasie wynosi zero a więc wartość całkowi-tego momentu pędu musi być stała co zapisujemy jako zasadę zacho-wania momentu pędu

sum ==i

iLL constrr

c (515)

Jeżeli na układ ciał nie działają momenty sił zewnętrznych (układ jest odosobniony) to moment pędu tego układu jest stały

W przypadku gdy moment bezwładności układu nie zmienia się w cza-sie zasadę zachowania momentu pędu można zapisać

ωIL const== (516)

Zasada zachowania momentu pędu pozwala wyjaśnić tzw efekt żyrosko-powy stabilizujący np poruszający się rower czy motocykl Z obracają-cymi się kołami związany jest moment pędu skierowany poziomo zgodnie z osią obrotu (kierunek i zwrot wektora wyznacza reguła prawej dłoni) Jeżeli roacutewnowaga roweru ulegnie zachwianiu i rower przechyli się zmieni się kierunek wektora momentu pędu oproacutecz składowej po-ziomej będzie miał roacutewnież składową pionową Rower ktoacutery przechyli się zaczyna poruszać się po łuku Woacutewczas pojawia się dodatkowy mo-ment pędu skierowany pionowo do goacutery ktoacutery jest w stanie skompenso-wać zmianę momentu pędu wynikającą z przechyłu roweru Im większe wychylenie z położenia roacutewnowagi tym większą zmianę momentu pędu potrzeba skompensować i tym mniejszy musi być promień okręgu po ktoacuterym poruszać się będzie rower Z kolei im szybciej poruszać się bę-dzie rower tym większy jest moment pędu związany z obracającym się kołem ale roacutewnież większy jest moment pędu z całym rowerem porusza-jącym się po okręgu tak że nawet duże przechylenie roweru będzie kompensowane przez jego ruch po okręgu o dużym promieniu W kon-sekwencji moment pędu koła stabilizuje zachowanie całego obiektu w ktoacuterym zamocowane jest to koło Efekt żyroskopowy wykorzystywa-ny jest roacutewnież np na pokładach łodzi czy samolotoacutew gdzie montowane

DYNAMIKA BRYŁY SZTYWNEJ

Strona 75757575

są specjalne wirujące dyski (żyroskopy) mające na celu zwiększenie stabilności tych pojazdoacutew i zmniejszenie ich przechyłoacutew

Zasada zachowania momentu pędu musi być roacutewnież uwzględniona w konstrukcji śmigłowca Obracanie wirnika wymaga działania na niego pewnym momentem siły Identyczny moment siły ale o przeciwnym zwrocie działa na kadłub śmigłowca W efekcie kadłub zaczyna się obra-cać w stronę przeciwną do kierunku obrotu wirnika Zasada zachowania

momentu pędu dla takiego układu można zapisać kkss ωIωI = gdzie indeksy s i k oznaczają odpowiednio śmigło i kadłub Najpopularniej-szym rozwiązaniem tego problemu w konstrukcji helikoptera jest umieszczenie dodatkowego wirnika na ogonie Siła ciągu tego wirnika wytwarza moment sił działający na kadłub i przeciwdziałający obrotowi Ponadto regulując siłę ciągu wirnika ogonowego śmigłowiec może wykonać obroacutet w prawo lub w lewo Zamiast jednego wirnika można roacutewnież zastosować dwa śmigła obracające się w przeciwnych kierun-kach ktoacuterych moment pędu roacutewnoważy się

Efekty działania zasady zachowania momentu pędu są roacutewnież obserwo-wane w przypadkach kiedy zmieni się moment bezwładności obracają-cego się obiektu Łyżwiarze przygotowując się do skoku z obrotem szeroko rozstawiają ręce żeby uzyskać jak największy moment bezwład-ności wprawiają ciało w ruch obrotowy i odbijają się W powietrzu ścią-gają ręce do siebie zmniejszając tym samym moment bezwładności co zgodnie z zasadą zachowania momentu pędu wpływa na wzrost prędkoś-ci obrotowej i daje możliwości wykonania kilku obrotoacutew w powietrzu

Podobne zjawisko obserwujemy dla chmury gazoacutew wirującej wokoacuteł cia-ła niebieskiego (np gwiazdy) Jeżeli chmura ta ulegnie zapadnięciu pod wpływem sił grawitacji gwałtownie maleje jej moment bezwładności (proporcjonalny do kwadratu promienia) a wzrasta prędkość obrotowa tych gazoacutew Z tego względu gwiazdy uformowane z materii pozostałej po wybuchu supernowych mają z reguły bardzo duże prędkości obrotu względem własnej osi

54 Energia ruchu obrotowego

Zgodnie z II zasadą dynamiki ruchu obrotowego moment siły działający na ciało może wywołać jego ruch obrotowy Aby wyznaczyć energię jaką posiada ciało wykonujące ruch obrotowy wyznaczymy pracę jaką

ROZDZIAŁ 5

Strona 76767676

należy wykonać aby wywołać ruch obrotowy bryły sztywnej Rozpa-trzmy moment siły M ktoacutery wywołuje ruch obrotowy bryły sztywnej taki że siła F jest prostopadła do ramienia r na jakim działa W przypad-ku ruchu postępowego pracę dW liczyliśmy jako iloczyn siły F oraz przesunięcia dx jakie ta siła wywołuje ( xFW dd = ) W przypadku ruchu obrotowego moment siły M działając na bryłę sztywną powoduje przemieszczenie kątowe dα a więc pracę dW w ruchu obrotowym możemy zapisać jako

αdd MW = (517)

Pracę całkowitą jaką wykona moment siły M obracając bryłę sztywną od położenia początkowego (kątowego) αp do położenia końcowego αk wyznaczamy z zależności całkowej

int=k

p

MW

α

α

αd (518)

Podstawiając roacutewnanie 514 do 517 przy założeniu I =const otrzymujemy

ωωωα

αω

α ddd

dd

d

ddd I

tI

tIMW ==== (519)

Stąd wyznaczamy pracę jaką należy wykonać aby bryle o momencie bezwładności I nadać prędkość kątową ω Praca ta jest roacutewnoważna energii ruchu obrotowego tej bryły

2

d2

IωωωIWE

ω

0

=== into (520)

Powyższy wzoacuter ma postać podobną do wzoru na energię kinetyczną ruchu postępowego ale zamiast masy mamy moment bezwładności oraz prędkość kątową zamiast postępowej W ogoacutelności poruszająca się bryła sztywna może posiadać zaroacutewno energię kinetyczną ruchu postępowego ktoacutera jest związana z ruchem postępowym środka masy ciała oraz ener-gię ruchu obrotowego związaną z obrotem ciała wokoacuteł osi obrotu Dlate-go ten sam obiekt staczający się z poślizgiem (bez obracania) oraz bez poślizgu (staczając się) będzie miał na dole roacutewni inną prędkość postę-pową środka masy W pierwszym przypadku bowiem zgodnie z zasadą zachowania energii cała energia potencjalna zamieni się w energię kine-tyczną ruchu postępowego W drugim przypadku ta sama początkowa

DYNAMIKA BRYŁY SZTYWNEJ

Strona 77777777

energia potencjalna ulega zamianie zaroacutewno na energię kinetyczną ruchu postępowego jak i obrotowego decydując o mniejszej prędkości ruchu postępowego Podobnie prędkość postępowa pocisku wystrzelonego z broni palnej o gwintowanej lufie jest mniejsza niż w przypadku gładkiej lufy gdyż część energii jest zgromadzona w ruchu obrotowym pocisku Jednakże ruch wirowy i zasada zachowania momentu pędu chroni pocisk przed koziołkowaniem wpływając na większą celność strzałoacutew oraz efektywnie większy zasięg strzału

W niektoacuterych autobusach czy bolidach F1 stosuje się tzw koła zamacho-we do magazynowania energii w postaci energii ruchu obrotowego Pod-czas hamownia energia kinetyczną pojazdu nie jest bdquotrwonionardquo w posta-ci ciepła wydzielanego na tarczach hamulcowych a wykonuje pracę wprawienia tarcz o dużym momencie bezwładności w ruch obrotowy Tak zgromadzona energia ruchu obrotowego koła zamachowego może być odzyskana i może wykonać pracę rozpędzania pojazdu

ROZDZIAŁ 5

Strona 78787878

6 Ruch drgający

W tym rozdziale

o Drgania harmoniczne o Wahadło sprężynowe wahadło matematyczne

fizyczne i torsyjne o Drgania tłumione o Drgania wymuszone z tłumieniem

ROZDZIAŁ 6

Strona 80808080

61 Drgania harmoniczne

Rozpatrzmy ciało poruszające się po okręgu o promieniu R tak jak opi-sywaliśmy to w rozdziale 51 Tym razem jednak będziemy obserwować ruch rzutu punktu na nieruchomy ekran (np na ścianę) prostopadły do płaszczyzny ruchu po okręgu Woacutewczas ciało przesuwać się będzie w jednym wymiarze w powtarzalny sposoacuteb z jednego do drugiego krań-ca odcinka o długości 2R Ruch w ktoacuterym ciało powtarza te same poło-żenia nazywamy ruchem drgającym lub oscylującym Jeżeli drgania te występują w stałych odstępach czasu to mamy do czynienia z ruchem drgającym okresowym Gdybyśmy narysowali wykres położenia tego ciała w funkcji czasu otrzymalibyśmy krzywą sinusoidalną jak na rysun-ku 61 Rzut ruchu po okręgu jest więc ruchem drgającym okresowym opisanym funkcją typu sinus

Ruch okresowy drgający w ktoacuterym położenie ciała możemy opisać zależnością sinusoidalną nazywany jest ruchem harmonicznym

αRx sin= (61)

gdzie R jest promieniem okręgu po jakim porusza się obiekt a α oznacza fazę ruchu drgającego i dla rozpatrywanego przykładu jest powiązana z położeniem kątowym ciała na okręgu

Ponieważ położenie kątowe ciała na okręgu zależy od jego prędkości kątowej ω wiec roacutewnież faza w ruchu drgającym zmienia się w czasie proporcjonalnie do tej prędkości kątowej W zagadnieniach ruchu drga-jącego wielkość ω nazywa się częstotliwością kołową w odroacuteżnieniu od częstotliwości f Należy jednak pamiętać że obie te wielkości są ze sobą powiązane zależnością 54 (ω = 2πf )

RUCH DRGAJĄCY

Strona 81818181

Rysunek 61 Rzut położenia ciała poruszającego się po okręgu na oś w układzie liniowym

W ogoacutelności położenie ciała poruszającego się ruchem harmonicznym prostym można zapisać w postaci

( ) ( )ϕ+= ωtAsintx (62)

gdzie A jest amplitudą drgania argument funkcji sinus będziemy nazy-wać fazą ruchu φ jest fazą początkową a ω częstotliwością kołową

Prędkość ciała w ruchu harmonicznym wyznaczymy obliczając pochod-ną jego położenia po czasie

( ) ( ) ( )φωtωt

txt +== cosA

d

dv (63)

Poroacutewnując zależności 62 oraz 63 widzimy że prędkości i wychylenie z położenia roacutewnowagi nie są zgodne w fazie (opisane funkcjami sinus i cosinus) Oznacza to że prędkość w ruchu drgającym jest największa w momencie kiedy wychylenie jest roacutewne zeru (w momencie prze-chodzenia przez położenie roacutewnowagi) i jest zerowa dla maksymalnego wychylenia

Obliczając pochodną prędkości po czasie otrzymamy przyspieszenie ciała poruszającego się ruchem harmonicznym

( ) ( ) ( ) ( )txωφωtωt

tta

22 minus=+minus== sinAd

dv (64)

Otrzymaliśmy zależność w ktoacuterej występuje taka sama funkcja sinus jak dla wychylenia Znak minus oznacza że ciało wychylone z położenia

ROZDZIAŁ 6

Strona 82828282

roacutewnowagi będzie doznawało przyspieszenia w kierunku przeciwnym do jego wychylenia z położenia roacutewnowagi Przyspieszenie to jest wyni-kiem występowania siły ktoacutera tak jak przyspieszenie skierowana jest przeciwnie do wychylenia i ktoacutera zawsze skierowana jest do położenia roacutewnowagi Wartość tej siły jest proporcjonalna do wychylenia a więc im dalej od położenia roacutewnowagowego znajduje się ciało tym większa siła na nie działa Istnienie siły skierowanej do położenia roacutewnowagi o wartości proporcjonalnej do wartości wychylenia z położenia roacutewno-wagi jest roacutewnież cechą charakterystyczną ruchu harmonicznego

Przekształcenie wzoru 64 na przyśpieszenie ciała w ruchu harmonicz-nym pozwala nam zapisać roacuteżniczkowe roacutewnanie ruchu drgań harmonicznych

( ) ( ) 0

d

d=+ txω

t

tx 2

02

2

(65)

Jest to wzoacuter ogoacutelny opisujący drgania harmoniczne w ktoacuterym zamiast wychylenia x możemy wstawić roacutewnież inne wielkości fizyczne jak

ładunek elektryczny czy natężenie pola elektrycznego Wielkość 0ω oznacza częstotliwość kołową drgań własnych obiektu czyli częstotli-wość kołową z jaką wykonuje on drgania swobodne związane jedynie z siłami występującymi wewnątrz układu

Wahadło sprężynowe

Prostym przykładem ruchu drgającego harmonicznego są oscylacje

ciężarka zaczepionego do sprężyny o długości swobodnej 0x Dla uproszczenia przyjmijmy że na ciężarek nie działa siła grawitacji oraz że masa sprężyny jest niewielka w stosunku do masy ciężarka a opory ruchu można zaniedbać Jeśli sprężynę rozciągniemy o długość x (spo-wodujemy wychylenie z położenia roacutewnowagi o odległość x) sprężyna będzie działać na ciężarek siłą o wartości proporcjonalnej do wychylenia (zgodnie z prawem Hookersquoa ndash roacutewnanie 436) xkF minus= Gdy puścimy ciężarek będzie się on poruszał się w kierunku położenia roacutewnowagi Ciężarek minie położenie i będzie miał woacutewczas maksymalną prędkość oraz energię kinetyczną Energia kinetyczna ciała wykona pracę ściskania sprężyny i zostanie zamieniona na energię sił sprężystości (roacutewnanie 437) Gdyby w układzie nie było oporoacutew tarcia ani strat energii podczas ściskania sprężyny ciężarek wychyliłby się na taką sa-mą odległość względem położenia roacutewnowagi na jaką została ona po-przednio rozciągnięta Zatem amplituda drgań byłaby więc stała

RUCH DRGAJĄCY

Strona 83838383

Siła sprężystości działającą na ciało o masie m znajdujące się na końcu rozciągniętej sprężyny nadaje temu ciału przyspieszenie Roacutewnanie ru-chu w takim przypadku można więc zapisać w postaci

0d

d=+ xk

t

xm

2

2

(66)

Jeżeli podzielimy obie strony powyższego roacutewnania przez masę m otrzy-mamy roacutewnanie w postaci analogicznej do roacutewnania 65 nazywane roacutew-naniem wahadła sprężystego Częstość drgań własnych oraz okres drgań takiego wahadła zależy od masy zaczepionej do sprężyny oraz wspoacuteł-czynnika k sprężystości sprężyny

k

mT

m

kω0 π2 == (67)

W przypadku rzeczywistej sprężyny możemy uzyskać drgania harmo-niczne jeżeli wyeliminujemy opory ruchu oraz gdy rozpatrywać będzie-my wyłącznie niewielkie wychylenia z położenia roacutewnowagi Przy zbyt dużych wychyleniach mogą nastąpić odkształcenia plastyczne materiału z ktoacuterego sprężyna jest zrobiona powodując zmianę długości swobodnej sprężyny Podobnie przy zbyt mocnym ściskaniu sprężyny zwoje spręży-ny mogą stykać się uniemożliwiając dalsze odkształcanie

Wahadło matematyczne

Nie tylko siła sprężystości sprężyny powodować drgania harmoniczne W przypadku wahadła matematycznego to siła grawitacji wywołuje drgania harmoniczne Wahadło matematyczne to idealny układ składają-cy się z masy punktowej m zaczepionej do nieważkiej i nierozciągliwej nici o długości l znajdujący się w polu grawitacyjnym W stanie roacutewno-wagi masa punktowa zwisa pionowo na nici zgodnie z kierunkiem linii pola grawitacyjnego Rozpatrzmy teraz niewielkie wychylenie kątowe α z tego położenia roacutewnowagi (rysunek 62) Woacutewczas siłę grawitacji (Fc = mg skierowaną pionowo w doacuteł) możemy rozłożyć na dwie składowe ndash radialną (wzdłuż promienia zaznaczona na niebiesko na rysunku 62) i styczną (prostopadłą do promienia zaznaczoną na czer-wono na rysunku 62) Składowa radialna jest roacutewnoważona przez na-ciąg nici i nie wpływa na ruch wahadła Zatem siłą powodującą powroacutet ciężarka do położenia roacutewnowagi będzie składowa styczna siły ciężkości

αsinmgF s minus= (68)

ROZDZIAŁ 6

Strona 84848484

Przy niewielkich wychyleniach z położenia roacutewnowagi czyli dla małych kątoacutew α wartość funkcji sinus może być dobrze przybliżona argumentem tej funkcji Dla małych kątoacutew α składowa styczna siły ciężkości działają-cej na wychylone wahadło matematyczne jest skierowana do położenia roacutewnowagowego a jej wartość jest proporcjonalna do wartości tego wy-chylenia Uwzględniając powyższe założenia możemy przekształcić roacutewnanie 68 i otrzymujemy roacutewnanie drgań harmonicznych dla wahadła matematycznego

0d

d=+ α

l

α g

t2

2

(69)

Podobnie jak to zrobiliśmy dla wahadła sprężystego poroacutewnujemy roacutewnanie 69 z 65 i wyznaczamy częstości drgań własnych oraz okres drgań wahadła matematycznego o długości l

g

2Tg

ω0

l

lπ== (610)

Warto zauważyć że okres T drgań wahadła matematycznego zależy od długości nici l oraz przyspieszenia ziemskiego g i nie zależy od masy m zaczepionej na końcu nici (izochronizm)

Rysunek 62 Wahadło matematyczne (z lewej) i fizyczne (z prawej)

RUCH DRGAJĄCY

Strona 85858585

Wahadło fizyczne

W rzeczywistości nie jesteśmy w stanie skonstruować idealnego wahadła matematycznego ale z codziennych obserwacji wiemy że rzeczywiste fizyczne obiekty jak np lampa zamocowana na linie mogą wykonywać drgania harmoniczne w polu grawitacyjnym Taki rzeczywisty układ drgający pod wpływem sił grawitacyjnych nazywamy wahadłem fizycz-nym Rozpatrzmy bryłę sztywną o masie m ktoacutera może się obracać względem osi nie pokrywającej się z osią swobodną (środkiem masy ciała) odległej o d od środka masy bryły i ktoacutera zostaje wychylona z położenia roacutewnowagi o niewielki kąt α (rysunek 62) W opisie ruchu tego ciała skorzystamy z drugiej zasady dynamiki dla bryły sztywnej

2

2

ttM

d

d

d

d αωII == (611)

gdzie M oznacza moment siły działającej na bryłę a I jest momentem bezwładności bryły względem osi obrotu Rozważając siły i momenty sił działające na taką bryłę sztywną podobnie jak w poprzednim przypadku wahadła matematycznego rozkładamy siłę ciężkości bryły ktoacutera jest zaczepiona do środka jej masy na składową radialną i styczną Ruch obrotowy bryły sztywnej będzie wywołany przez moment siły Mt zwią-zany ze składową styczną siły ciężkości (wyliczoną w identyczny sposoacuteb jak w przypadku wahadła matematycznego) działającą na ramieniu d i wyniesie

dmgM t αsinminus= (612)

Roacutewnież w tym przypadku wartość funkcji sinus przybliżamy jej argu-mentem i otrzymujemy roacutewnanie ruchu harmonicznego

0d

d=+ α

α

I

mgd

t2

2

(613)

W tym przypadku częstość drgań i okres obiegu wynoszą

mgd

IT

I

mgdω0 π2 == (614)

Jeżeli podstawimy mdI0 =l powyższe zależności będą miały iden-

tyczną postać jaką otrzymaliśmy dla wahadła matematycznego (wzo-

ry 610) Długość 0l dla ktoacuterej okres wahadła matematycznego jest taki

ROZDZIAŁ 6

Strona 86868686

sam jak dla wahadła fizycznego nazywana jest długością zredukowaną wahadła fizycznego

Wahadło torsyjne

Innym typem wahadła w ktoacuterym siłą sprawczą drgań jest siła sprężys-tości jest wahadło torsyjne Zwykle jest to układ o momencie bezwład-ności I składający się z jednego lub kilku ciężarkoacutew zawieszonych na cienkim pręcie lub drucie Oś obrotu pokrywa się z osią pręta a moment sił działających na ciężarek wynika z sił sprężystości powstających przy skręceniu pręta (inaczej układ ten jest nazywany wahadłem skrętnym) Ten moment sił skręcających jest proporcjonalny do wychylenia kątowego z położenia roacutewnowagi α oraz tzw momentu kierującego D będącego cechą materiału pręta

αDM t minus= (615)

Dla wahadła torsyjnego druga zasada dynamiki przyjmuje postać

0d

d=+ α

I

D

t

α2

2

(616)

a częstość drgań i okres obiegu w tym przypadku wynoszą

D

IT

I

Dω0 π2 == (617)

62 Drgania tłumione

W rzeczywistych układach drgających amplituda drgań będzie stopnio-wo malała i po pewnym czasie drgania ustaną Związane jest to z wystę-powaniem strat energii wynikających między innymi z lepkości ośrod-ka w ktoacuterym poruszają się ciała sił tarcia występujących na połącze-niach mechanicznych itp Opis ruchu z uwzględnieniem tłumienia wy-maga określenia ktoacutery z czynnikoacutew tłumienia jest dominujący a następ-nie zapisania wpływu tego czynnika w roacutewnaniu ruchu Najczęściej tłu-mienie jest proporcjonalne do prędkości ciała Modelem takiego układu może być ciężarek umocowany do sprężyny i zanurzony w lepkiej cie-czy Jak pokażemy w rozdziale poświęconym hydrodynamice jeśli prze-pływ cieczy ma charakter laminarny siły oporu są wprost proporcjonalne

RUCH DRGAJĄCY

Strona 87878787

do prędkości ciała Roacutewnanie ruchu ciężarka w takim układzie możemy zapisać w postaci

vbkxma minusminus= (618)

gdzie wspoacutełczynnik b jest stałą proporcjonalności między siłą oporu a prędkością Zastępując prędkość pierwszą a przyspieszenie drugą po-chodną położenia po czasie powyższy wzoacuter możemy zapisać w postaci roacuteżniczkowej

0d

d

d

d=++ kx

t

xb

t

xm

2

2

(619)

Rozwiązanie roacutewnania ruchu drgań harmonicznych miało postać funkcji sinusoidalnej Rozwiązanie roacutewnania drgań tłumionych jest złożeniem dwoacutech funkcji ndash funkcji okresowej sinusoidalnej oraz funkcji opisującej wykładnicze malenie amplitudy wychylenia

( ) ( )φtωcosetx t +prime= minusγA (620)

Wykładnicze malenie amplitudy drgań zależy zaroacutewno od lepkości ośrodka jak i masy ciężarka zamocowanego do sprężyny i opisane jest za pomocą wspoacutełczynnik tłumienia γ=b2m Istnienie tłumienia w ukła-dzie wpływa roacutewnież na zmniejszenie częstości kołowej drgań tłumio-nych ωrsquo

222 γωγ minus=minus=minus=primem

k

m4

b

m

kω

2

2

(621)

Jeśli wspoacutełczynnik tłumienia jest niewielki to częstotliwość kołowa drgań tłumionych ulega tylko nieznacznej zmianie a amplituda stopnio-wo zmniejsza się w kolejnych okresach drgań ndash funkcja wykładnicza stanowi obwiednię obserwowanego przebiegu (rysunek 63)

Jeśli będziemy zwiększać wartość wspoacutełczynnika tłumienia poprzez zmianę lepkości ośrodka lub zmianę masy drgającej zanik amplitudy drgań będzie coraz szybszy a częstotliwość tych drgań coraz mniejsza aż w końcu osiągniemy wartość krytyczną dla ktoacuterej częstość kołowa drgań tłumionych będzie wynosiła zero

22

ω=kγ (622)

ROZDZIAŁ 6

Strona 88888888

Dla takiej wartości wspoacutełczynnika tłumienia obserwujemy najszybsze z możliwych wygaśnięcie drgań i dojście układu do stanu roacutewnowagi Zależność wychylenia od czasu nie ma woacutewczas postaci funkcji okreso-wej a jedynie aperiodycznego wykładniczego spadku (rysunek 63)

Jeśli wspoacutełczynnik tłumienia będzie jeszcze większy układ będzie prze-tłumiony Podobnie jak w przypadku tłumienia krytycznego nie obser-wujemy woacutewczas drgań okresowych a jedynie wykładnicze zmniejsza-nie się wychylenia Jednak w tym przypadku siły oporu są na tyle duże że powroacutet do położenia roacutewnowagi trwa wielokrotnie dłużej niż w przy-padku tłumienia krytycznego (rysunek 63)

Rysunek 63 Zależność wychylenia ciała dla oscylatora tłumionego w funkcji czasu Roacuteżne kolory krzywej obrazują

zachowanie oscylatora dla roacuteżnych wartości wspoacutełczynnika tłumienia

Urządzenia tłumiące drgania amortyzatory

Doboacuter odpowiedniego wspoacutełczynnika tłumienia jest ważnym zagadnie-niem inżynierskim przy projektowaniu urządzeń mechanicznych Sto-sunkowo prostym przykładem może być tutaj zamykacz do drzwi ktoacutery ma zapewnić jak najszybsze zamknięcie drzwi tak aby zminimalizować straty ciepła z wewnątrz budynku Znając masę drzwi na etapie projek-towania możemy tak dobrać olej o odpowiedniej lepkości oraz sprężynę o odpowiednim wspoacutełczynniku sprężystości aby wspoacutełczynnik tłumienia

RUCH DRGAJĄCY

Strona 89898989

był roacutewny wartości krytycznego wspoacutełczynnika tłumienia Jeśli dobie-rzemy za mały wspoacutełczynnik tłumienia drzwi przed zamknięciem wyko-nają kilka oscylacji wokoacuteł położenia roacutewnowagi (jeśli mają taką możli-wość) lub uderzą we framugę Jeśli wspoacutełczynnik tłumienia będzie zbyt duży drzwi będą zamykały się powoli a może nawet mogą w ogoacutele się nie zamknąć Jeśli natomiast tak dobierzemy parametry że otrzymamy wartość krytyczną wspoacutełczynnika tłumienia drzwi zamkną się szybko nie powodując uderzenia we framugę Warto zwroacutecić uwagę na fakt że zimą gdy pod wpływem spadku temperatury lepkość oleju w zamykaczu rośnie nadmiernie wspoacutełczynnik tłumienia wzrasta spowalniając tempo zamykania drzwi Wymiana oleju w zamykaczu byłaby w takim przy-padku mało praktycznym rozwiązaniem ale podobny efekt można roacutew-nież osiągnąć poprzez regulację długości sprężyny

Innym ważnym przykładem tłumionego oscylatora harmonicznego jest amortyzator samochodowy Typowy amortyzator składa się z cylindra oraz tłoka na długim trzpieniu wokoacuteł ktoacuterego owinięta jest sprężyna Tłok dzieli cylinder na dwie części między ktoacuterymi może odbywać się przepływ oleju przez otwory w tłoku Wielkość otworoacutew oraz lepkość użytego płynu determinuje wspoacutełczynnik tłumienia ndash im mniejsza ich średnica i im większy wspoacutełczynnik lepkości płynu tym większy wspoacutełczynnik tłumienia uzyskujemy W typowych amortyzatorach war-tość wspoacutełczynnika tłumienia jest ustalona istnieją jednak rozwiązania pozwalające ją regulować Jednym z nich jest zastosowanie cieczy ktoacute-rych lepkość zwiększa się pod wpływem pola magnetycznego (magneto-reologiczne) lub elektrycznego (elektro-reologiczne) Układy elektro-niczne poprzez wytwarzanie odpowiedniego pola magnetycznego lub elektrycznego mogą płynnie zmieniać wspoacutełczynnik tłumienia amortyza-tora i w ten sposoacuteb wpływać na charakterystykę układu zawieszenia

Amortyzatory lotnicze muszą wytłumić zaroacutewno oscylacje o dużej am-plitudzie powstające podczas lądowania przy zetknięciu z Ziemią jak i mniejsze drgania powstające podczas szybkiej jazdy po płycie lotniska W tym celu stosuje się amortyzatory powietrzno-olejowe z dodatkową poduszka gazową tłumiącą drgania o dużej amplitudzie

ROZDZIAŁ 6

Strona 90909090

63 Drgania wymuszone z tłumieniem

Wiemy już że każdy układ charakteryzuje częstość kołowa drgań włas-nych ω0 oraz że tłumienie zmienia częstość drgań układu Na układ mogą jednak działać roacutewnież zewnętrzne siły wymuszające o charakte-rze okresowym Rozpatrzmy oscylator harmoniczny tłumiony ktoacutery bę-dzie pobudzany zewnętrzną siłą okresową z częstością kłową ω Woacutew-czas roacutewnanie ruchu oscylatora w postaci roacuteżniczkowej będzie miało postać

ωtxωt

x

m

b

t

x02

2

cos Ad

d

d

d=++ (623)

gdzie A oznacza amplitudę wymuszenia

Rozwiązania tego roacutewnania mają dość skomplikowaną postać i nie bę-dziemy ich wyprowadzać Przeanalizujemy tylko zależność amplitudy drgań od częstości wymuszenia i wspoacutełczynnika tłumienia

( ) 22220

22

1

ωωωm

~X MAX

γ+minus (624)

Jeśli częstotliwość kołowa wymuszenia ω zbliża się do częstotliwości kołowej drgań własnych oscylatora ω0 to amplituda drgań rośnie Gdy częstotliwość drgań wymuszających jest zgodna z częstotliwością drgań własnych amplituda drgań osiąga maksymalną wartość a w przypadku gdy nie ma tłumienia dąży do nieskończoności a zjawisko to nazywa się rezonansem

Zjawisko rezonansu mechanicznego może więc doprowadzić do uszko-dzenia budynkoacutew lub pojazdoacutew Jako przykład niszczącej siły rezonansu podawane jest zazwyczaj zawalenie się mostu w Angers w 1850 roku pod wpływem drgań wywołanych przemarszem wojska Rytm kroku żołnierzy zgadzał się z częstością własną konstrukcji mostu wiszącego co doprowadziło do zniszczenia podtrzymujących go wież We wspoacuteł-czesnych pojazdach na przykład zjawiska rezonansu mogą prowadzić do powstawania znacznych naprężeń mechanicznych na elementach kon-strukcyjnych i luzowania połączeń skrętnych Siłą wymuszającą drgania

RUCH DRGAJĄCY

Strona 91919191

mogą być roacutewnież fale sejsmiczne wywołane trzęsieniami ziemi i dlate-go w regionach aktywnych sejsmicznie w konstrukcji wysokich budyn-koacutew stosuje się roacuteżnego rodzaju amortyzatory oraz tzw TMD ndash tuned mass damper czyli dodatkowy oscylator o innej częstotliwości własnej ktoacutery przejmuje i rozprasza część energii drgań

ROZDZIAŁ 6

Strona 92929292

7 Stany skupienia materii

W tym rozdziale

o Ciało stałe o Płyny o Inne stany materii szkło tworzywa sztuczne

plazma o Przemiany fazowe

ROZDZIAŁ 7

Strona 94949494

Stany skupienia materii

Dotychczas opisywaliśmy ciała stałe ktoacutere charakteryzowały się ustalo-nym kształtem ktoacutere pod wpływem działającej na nie siły poruszały się (bryła sztywna) lub też nieznacznie sprężyście się odkształcały (sprę-żyna) W tym rozdziale omoacutewimy także inne cechy charakterystyczne ciał stałych oraz przedstawimy wybrane właściwości innych stanoacutew skupienia materii ndash cieczy i gazoacutew o ktoacuterych więcej moacutewić będziemy w dalszych rozdziałach

71 Ciało stałe

Cechami charakterystycznymi ciała stałego są

bull ustalony kształt i objętość

bull występowanie oddziaływań harmonicznych pomiędzy ato-mami i cząsteczkami W pewnym zakresie naprężeń ciało stałe zachowuje się jak sprężyna ndash ściśnięte wraca do pier-wotnego kształtu a odkształcenie sprężyste jest proporcjo-nalne do wartości przyłożonej siły Atomy ciała stałego wykonują drgania wokoacuteł położenia roacutewnowagi a amplituda tych drgań jest tym wyższa im wyższa jest temperatura

bull uporządkowanie dalekiego zasięgu Krystaliczne ciało stałe otrzymujemy powielając niewielki podstawowy jego frag-ment (tak zwaną komoacuterkę elementarną) w każdym z kierun-koacutew Taka powtarzalność układoacutew atomowych tzw perio-dyczność pozwala nam zatem na podstawie znajomości układu atomoacutew w danym miejscu określić dokładnie jakie jest położenie atomoacutew w dowolnym innym miejscu

STANY SKUPIENIA MATERII

Strona 95959595

72 Płyny

Płyny do ktoacuterych zaliczamy ciecze i gazy roacuteżnią się od ciał stałych reakcją na naprężenie ścinające Ciała stałe w reakcji na takie naprężenie (w pewnym zakresie wartości) odkształcają się sprężyście a po zwolnie-niu siły powracają do pierwotnego kształtu Płyny natomiast ulegają odkształceniu plastycznemu czyli obserwujemy płynięcie ciała i zmianę jego kształtu

Ciecze

Ciecze w odroacuteżnieniu od ciała stałego nie posiadają ustalonego kształtu choć są podobnie jak ciała stałe słabo ściśliwe Ciecze tworzą powierz-chnię swobodną oraz charakteryzują się uporządkowaniem bliskiego za-sięgu Oznacza to że najbliższe otoczenie atomoacutew jest takie samo Cie-cze tworzą cząsteczki o ustalonej strukturze Jednakże względne ułoże-nie cząsteczek względem siebie jest przypadkowe i dlatego możemy przewidzieć położenie sąsiedniego atomu ale nie jesteśmy w stanie obli-czyć dokładnie struktury w dalszym miejscu Ruch obrotowy i ruch po-stępowy cząsteczek cieczy jest znacznie ograniczony

Gazy

Gaz wypełnia całą dostępną objętość naczynia w ktoacuterym się znajduje Jest ściśliwy a odległości wzajemne między cząsteczkami są duże Cząsteczki gazu znajdują się w ciągłym ruchu chaotycznym (ruchy Browna) Istnieją także silne ruchy obrotowe i ruchy drgające wewnątrz cząsteczek Dominującą formą oddziaływań są zderzenia Prędkość cząsteczek jest większa niż w przypadku cieczy

73 Inne stany materii

Powyższe kryteria podziału stanoacutew skupienia odnoszą się do właściwoś-ci idealnych ciał stałych gazoacutew i cieczy W rzeczywistości obserwowa-ne są pewne odstępstwa od zaprezentowanych cech Istnieją roacutewnież ciała ktoacutere trudno jest jednoznacznie przyporządkować do określonej kategorii

ROZDZIAŁ 7

Strona 96969696

Szkło

Szkło jest materiałem w ktoacuterym podobnie jak w cieczy występuje jedy-nie uporządkowanie bliskiego zasięgu W warunkach w ktoacuterych je ob-serwujemy zachowuje ono jednak nie tylko objętość ale i kształt co jest cechą charakterystyczną ciał stałych

Szkło jest w istocie stanem metastabilnym tzw przechłodzoną cieczą ndash czyli cieczą ktoacuterej ruchy uległy zamrożeniu bez przejścia w stan stały (krystalizacji) Czas potrzebny na reorganizację ustawienia cząsteczek (tak zwany czas relaksacji) jest na tyle długi że obserwator nie zauważy efektu płynięcia pod wpływem działania sił ścinających Umowną granicą jest w tym przypadku czas relaksacji roacutewny 100 sekund ndash jeśli jest on kroacutetszy możemy nazywać dane ciało cieczą Zamrażanie ruchoacutew cząsteczek cieczy nazywane jest roacutewnież przejściem szklistym a jego temperatura oznaczana jako Tg ndash temperaturą przejścia szklistego

Istnieje przeświadczenie że efekty płynięcia szkła są widoczne przy odpowiednio długiej obserwacji czyli w wystarczająco bdquostarychrdquo obiek-tach Dokładne badania szkła wytworzonego w starożytnym Egipcie oraz szkła użytego w witrażach średniowiecznych katedr wykazało jednak że czas potrzebny na obserwację efektu płynięcia dla tych szkieł w tempe-raturze pokojowej jest poroacutewnywalny z wiekiem wszechświata a więc trudny do zaobserwowania w normalnych warunkach Atomy szkła za-czynają się szybciej ruszać czyli szkło zaczyna płynąć dopiero po podgrzaniu powyżej temperatury przejścia szklistego co wykorzystywa-ne jest w hutach szkła do nadawania mu oczekiwanych kształtoacutew

Tworzywa sztuczne

Z tworzyw sztucznych zbudowane są takie przedmioty codziennego użytku jak opona gumowa piłka lub zderzak większości nowoczesnych samochodoacutew Wydaje się że zaroacutewno przedmioty te jak i materiał z ktoacuterych są zbudowane spełniają kryteria stawiane ciału stałemu Okazuje się jednak że roacutewnież w tych materiałach nie istnieje uporząd-kowanie dalekiego zasięgu a charakter oddziaływań między cząsteczka-mi jest harmoniczny jedynie w wąskim zakresie przyłożonych naprężeń

Tworzywa sztuczne są zbudowane z łańcuchoacutew polimerowych gdzie identyczne cząsteczki połączone są w długie łańcuchy Oddziaływania między łańcuchami mają złożony charakter i zależą od struktury łańcucha Prostym modelem tworzywa sztucznego może być miska pełna spaghetti Pojedyncze nitki makaronu oddziałują ze sobą nie tylko poprzez tarcie ale dodatkowo występują roacuteżnorakie zapętlenia i zawęźle-

STANY SKUPIENIA MATERII

Strona 97979797

nia w efekcie czego makaron nie rozpływa się W tworzywach sztucz-nych poprzez tzw sieciowanie można dodatkowo zwiększyć oddziały-wania między łańcuchami zwiększając ich wytrzymałość W tworzy-wach sztucznych często nawet nieznaczne modyfikacje materiału wyj-ściowego zmieniają zachowanie tworzywa z typowego dla cieczy na typowe dla ciała stałego

Rozciągnięcie lub ściśnięcie opony widziane w ujęciu mikroskopowym jest związane przede wszystkim z rekonfiguracją wzajemnego położenia łańcuchoacutew Gdybyśmy umieścili wewnątrz opony miernik temperatury okazałoby się że na skutek rozciągania i ściskania zmienia się lokalnie jej temperatura ndash zachodzi przemiana termodynamiczna

Plazma

Obok ciał stałych cieczy i gazoacutew wymienia się zazwyczaj roacutewnież czwarty stan skupienia materii ndash stan plazmy Jest to stan o najwyższej energii w ktoacuterym materia jest zjonizowana i składa się z naładowanych cząstek o przeciwnych znakach ładunku elektrycznego W odroacuteżnieniu od innych stanoacutew skupienia w stanie plazmy oddziaływanie pomiędzy cząsteczkami ma charakter dalekozasięgowy czyli nie ogranicza się do najbliższych sąsiadoacutew ale każda z naładowanych cząstek oddziałuje z wieloma innymi dalszymi cząstkami Plazma jest bardzo dobrym prze-wodnikiem elektrycznym

Materię w tym stanie możemy obserwować min w płomieniu i łuku elektrycznym jak roacutewnież w wyładowaniu następującym w lampach jarzeniowych i w wyładowaniach atmosferycznych

74 Przejścia między stanami ndash przemiany fazowe

Stan skupienia danego ciała zależy od takich wielkości makroskopowych jak objętość temperatura czy ciśnienie Analizując stany w jakich wy-stępuje dane ciało przy określonych wielkościach makroskopowych mo-żemy przygotować tak zwany diagram fazowy ktoacutery zwyczajowo przedstawia się na wykresie ciśnienia od temperatury Linie stanowiące granicę występowania danej fazy związane są ze zmianą stanu skupienia Ponieważ stany skupienia roacuteżnią się między sobą zaroacutewno energią jak i charakterem oddziaływań zmiana stanu skupienia wymaga dostarcze-

ROZDZIAŁ 7

Strona 98989898

nia lub odebrania tej energii Dokładniejszą dyskusję przemian fazowych przeprowadzimy w rozdziale poświęconym termodynamice Teraz jedynie wymienimy przemiany fazowe

Przejście pomiędzy ciałem stałym a cieczą nazywamy topnieniem Przy-kładem jest topnienie lodu lub proces przetapiania złomu w hucie W procesie topnienia energia cząsteczek zwiększa się i następuje zerwa-nie wiązań W pewnych warunkach ciało stałe może roacutewnież przejść bezpośrednio w stan gazowy ndash proces taki nazywamy sublimacją Sublimację obserwujemy w mroźne zimy ndash obecny na obiektach szron i loacuted stopniowo znika bez udziału pośredniego procesu topnienia

Ciecz przechodząc w stan stały ulega krystalizacji Podczas obniżania temperatury cieczy maleje energia kinetyczna cząsteczek cieczy i domi-nować zaczynają procesy porządkowania atomoacutew w charakterystyczną dla danego związku periodyczną strukturę krystaliczną Cząsteczki tracą możliwość przemieszczania się ruchem postępowym - w ciele stałym dominują ruchy drgające polegające na niewielkich oscylacjach wokoacuteł położenia roacutewnowagi Podczas ogrzewania cieczy natomiast wzrasta energia kinetyczna cząsteczek Gdy ta energia jest odpowiednio duża i cząsteczka cieczy jest w stanie pokonać siły oddziaływania międzyczą-steczkowego fazy ciekłej odrywa się do cieczy co nazywamy parowaniem Warto zwroacutecić uwagę na to że parowanie nie następuje tylko w temperaturze wrzenia cieczy

Rysunek 71 Schematyczny diagram fazowy Zaznaczono kierunki zachodzących przemian fazowych

STANY SKUPIENIA MATERII

Strona 99999999

Cząsteczki znajdujące się na powierzchni cieczy mają szansę uwolnić się do fazy gazowej w całym zakresie temperatur w ktoacuterych ciecz istnieje jednak intensywność tego procesu jest roacuteżna w roacuteżnych warunkach Podczas wrzenia natomiast zmiana stanu skupienia następuje w całej objętości cieczy

Procesem odwrotnym do parowania jest skraplanie Proces ten obser-wujemy na przykład w postaci rosy w chłodne poranki a warunki makroskopowe (temperatura i ciśnienie) niezbędne do jego zajścia nazy-wamy punktem rosy Gaz może roacutewnież przejść do fazy stałej bezpo-średnio w wyniku resublimacji Przykładem resublimacji jest osadzanie się szronu na chłodnych powierzchniach Zjawisko resublimacji wyko-rzystywane jest w procesie technologicznym wytwarzania cienkich warstw na potrzeby elektroniki

W przypadku typowego zachowania materii możemy tak dobrać ciśnie-nie objętość i temperaturę ciała aby otrzymać stan w ktoacuterym wspoacutełist-nieć mogą trzy fazy gazowy ciekły i ciało stałe Taki punkt na diagra-mie fazowym nazywamy punktem potroacutejnym

ROZDZIAŁ 7

Strona 100100100100

8 Hydrostatyka i hydrodynamika

W tym rozdziale

o Ciśnienie o Prawo Pascala o Siła wyporu ndash prawo Archimedesa o Roacutewnanie Bernoulliego dysza skrzydło samolotowe o Płyny rzeczywiste wiry i turbulencje o Opoacuter dynamiczny

ROZDZIAŁ 8

Strona 102102102102

81 Hydrostatyka

Hydrostatyka i hydrodynamika opisują własności i zachowanie płynoacutew czyli cieczy oraz gazoacutew

Ciśnienie

Jedną z kluczowych wielkości charakteryzujących płyny jest ciśnienie

Ciśnienie definiujemy jako stosunek siły wywieranej na daną powierzchnię do wielkości tej powierzchni A

A

Fp = (81)

Jednostką ciśnienia jest paskal (1Pa=1Nm2) ktoacutery odpowiada sile 1 N działającej na powierzchnię 1 metra kwadratowego

Ponieważ ciśnienia spotykane w opisie zjawisk przyrodniczych są wielo-krotnie większe np ciśnienie wywierane przez atmosferę jest roacutewne około 105 Pa powstały jednostki takie jak atmosfera fizyczna atmosfera techniczna oraz bar W motoryzacji natomiast często używa się jednostki angielskiej ndash psi czyli funt na cal kwadratowy Podczas gdy w technice proacuteżniowej z kolei często stosowaną jednostką jest tor

Tabela 81 Wybrane jednostki ciśnienia

Dla nieściśliwego płynu ciśnienie hydrostatyczne na pewnej głębokości h pod powierzchnią cieczy zależy wyłącznie od tej głębokości

ghpp 0 ρ+= (82)

gdzie po jest ciśnieniem wywieranym przez atmosferę na powierzchnię cieczy a ρ ndash gęstością płynu W celu przeprowadzenia dowodu tego twierdzenia wyodrębnijmy bdquowycinekrdquo cieczy o płaskich podstawach (np walec) Jeśli w cieczy nie ma ruchoacutew konwekcyjnych wycinek ten nie

mm Hg Tr At Atm bar Psi 1333 9807sdot10

4 1013sdot10

5 10sdot10

5 6893sdot10

3

HYDROSTATYKA I HYDRODYNAMIKA

Strona 103103103103

unosi się ani nie opada a zatem siły działające na obie postawy (goacuterną i dolną) muszą się roacutewnoważyć Siłę działającą na goacuterną podstawę

możemy wyrazić poprzez ciśnienie przy goacuternej krawędzi Gp oraz pole powierzchni tego walca A

ApF GG = (83)

Podobnie możemy wyznaczyć siłę działającą na dolną podstawę

ApF DD = (84)

Siłę działającą na dolną podstawę można roacutewnież wyznaczyć sumując siłę działającą na goacuterną podstawę oraz siłę ciężkości rozważanego bdquowycinkardquo

ghAApmgApF DDD ρ+=+= (85)

Jeżeli poroacutewnamy zależności 84 i 85 to po podzieleniu obu stron przez powierzchnię A otrzymujemy roacutewnanie 82 Wzrost ciśnienia wywołany głębokością pod powierzchnią płynu jest związany z ciężarem tego pły-nu W przypadku ogoacutelnym rozważany bdquowycinekrdquo cieczy może obejmo-wać cały słup cieczy począwszy od jej powierzchni na ktoacuterej panuje ciśnienie p0

Barometr cieczowy

Barometr cieczowy jest prostym urządzeniem do pomiaru ciśnienia at-mosferycznego za pomocą ciśnienia hydrostatycznego Barometr cieczo-wy składa się z płaskiej zlewki i długiej rury zamkniętej na jednym końcu Zaroacutewno zlewkę jak i rurę napełniamy cieczą a następnie rurę odwracamy tak by jej otwarty koniec znalazł się pod powierzchnią płynu w zlewce (rysunek 81) Wydawać by się mogło że skoro powierzchnia cieczy w rurce znajduje się wyżej od powierzchni płynu w zlewce czyli ma wyższą energię potencjalną ciecz znajdująca się w rurze powinna w całości wypłynąć do zlewki Tymczasem obserwuje-my jedynie obniżenie się wysokości słupa cieczy do pewnej wysokości Toricelli stwierdził że w rurce ustala się taki poziom płynu ktoacutery roacutewnoważy zewnętrzne ciśnienie atmosferyczne działające na otwartą zlewkę

ghp ρ=0 (86)

ROZDZIAŁ 8

Strona 104104104104

Rysunek 81 Barometr cieczowy

Przy zmieniającym się ciśnieniu atmosferycznym zmieniać się będzie roacutewnież wysokość słupa płynu a więc układ taki może być stosowany jako barometr do pomiaru ciśnienia atmosferycznego W praktyce najczęściej stosuje się barometry rtęciowe gdyż ze względu na wysoką gęstość rtęci barometr taki nie musi być bardzo wysoki ndash ciśnienie słupa rtęci o wysokości około 760mm jest poroacutewnywalne z ciśnieniem atmosferycznym

Wpływ ciśnienia słupa płynu należy uwzględniać np przy projektowaniu sieci wodociągowej i ujęć wody Jeśli roacuteżnica wysokości między ujęciem wody a punktem odbioru jest znaczna (źroacutedło znajduje się na przykład na zboczu goacutery) stosuje się reduktory ciśnienia tak aby rury doprowadzające wodę nie zostały rozsadzone Z odwrotnym problemem spotykamy się dostarczając wodę do wysokich budynkoacutew ndash przy zasilaniu bezpośrednio z sieci wodociągowej woda ma właściwe ciśnienie jedynie na najniższych piętrach Z tego względu w niektoacuterych przypadkach wodę pompuje się najpierw na najwyższe piętra by następnie przez odpowiednią redukcję ciśnienia uzyskać pożądaną wartość na poszczegoacutelnych kondygnacjach Regulacji ciśnienia w sieci wodociągowej mogą służyć roacutewnież tzw wieże ciśnień ndash wysokość słupa wody zgromadzonego w wieży określa ciśnienie w połączonej z nią sieci wodociągowej Przykładem naturalnej bdquowieży ciśnieńrdquo są tzw studnie artezyjskie Jeśli teren jest zagłębiony ndash tworzy tzw nieckę artezyjską a warstwa wodonośna jest uwięziona pomiędzy słabo przepuszczalnymi skałami ciśnienie wywierane przez wodę z warstwy na uniesionych brzegach niecki powoduje samorzutne wypływanie wody w zagłębionej części niecki

HYDROSTATYKA I HYDRODYNAMIKA

Strona 105105105105

Prawo Pascala

Ciśnienie w cieczy rozchodzi się we wszystkich kierunkach jednakowo

Powyższe prawo Pascala jest podstawą działania systemoacutew hydraulicz-nych Wzrost ciśnienia w jednym punkcie zamkniętego układu powoduje identyczny i natychmiastowy wzrost ciśnienia we wszystkich innych punktach Prostym przykładem wykorzystania tego prawa jest bębnowy hamulec hydrauliczny Naciskając pedał hamulca wciskamy (za pośred-nictwem dźwigni) tłok w niewielkim cylindrze wypełnionym cieczą Ponieważ średnica tłoka jest niewielka to siła ktoacuterą naciskamy pedał powoduje znaczny wzrost ciśnienia cieczy w układzie hamulcowym (ciś-nienie jest odwrotnie proporcjonalne do powierzchni na ktoacuterą działa siła zgodnie z roacutewnaniem 81) Poprzez przewoacuted hamulcowy ciśnienie to jest przekazywane do cylindra z dwoma tłokami znajdującego się wewnątrz mechanizmu hamulca W tej części układu powierzchnia tłokoacutew jest znacznie większa a więc siła z jaką tłoki dociskają okładki hamulcowe do wewnętrznej części bębna jest wielokrotnie większa niż siła nacisku na pedały wytwarzając w ten sposoacuteb duży moment hamujący

Zasada działania podnośnika hydraulicznego (prasy hydraulicznej) roacutew-nież może być wyjaśniona w oparciu o prawo Pascala Prasa hydraulicz-na składa się z połączonych ze sobą dwoacutech cylindroacutew o roacuteżnych średni-cach (rysunek 82) Naciskając jeden z nich o powierzchni S1 siłą F1 wytwarzamy ciśnienie

1

1

S

Fp = (87)

W układzie zamkniętym prasy dokładnie takie samo ciśnienie będzie działało na drugi tłok jeśli tylko znajduje się on na identycznej wysokości (jeśli wysokości byłyby roacuteżne należałoby uwzględnić dodat-kowe ciśnienie słupa cieczy) Możemy zatem obliczyć siłę F2 działającą na drugi tłok o powierzchni S2

2

1

1

2 SS

FF = (88)

Siła F2 zależy zatem od stosunku powierzchni tłokoacutew Jeśli średnica mniejszego tłoka wynosi 1cm a średnica większego 10cm (czyli po-wierzchnia tłoka jest 100 razy większa) to naciskając na mniejszy tłok

ROZDZIAŁ 8

Strona 106106106106

siłą 100N (około 10kg) wytwarzamy na większym tłoku siłę stokrotnie większą zdolną podnieść masę jednej tony Za pomocą przenośnego podnośnika hydraulicznego możemy zatem łatwo unieść samochoacuted w celu dokonania napraw W dużych prasach siła ta może osiągać kilka-set ton co jest wystarczające np do formowania blach karoserii samochodowych

Rysunek 82 Schemat budowy podnośnika hydraulicznego

Warto zwroacutecić uwagę że przemieszczenie dużego tłoka w powyższej prasie hydraulicznej jest odpowiednio mniejsze Aby uzyskać przemiesz-czenie dużego tłoka o 1cm przy danych identycznych jak w powyższym przykładzie mniejszy tłok należałoby przesunąć o 1 metr Ponieważ w praktyce może być to trudne do zrealizowania w systemach siłowni-koacutew hydraulicznych stosuje się system zaworoacutew zwrotnych ndash pozwalają-cych na przepływ płynu tylko w jedną stronę W podnośniku ręcznym zawoacuter zwrotny pozwala na wielokrotny ruch mniejszego tłoka w celu uzyskania odpowiedniego przesunięcia dużego tłoka W obu przypad-kach wykonana praca jest jednak identyczna Przyjmując oznaczenie przemieszczenia tłoka jako x otrzymujemy

222

2

2

1

1

2

2

1

1111 WxFS

VF

S

VS

S

F

S

VFxFW ====== (89)

Siła wyporu ndash prawo Archimedesa

Zgodnie z prawem Archimedesa

Na ciało zanurzone w płynie działa siła wyporu skierowana pionowo do goacutery roacutewna ciężarowi wypartego płynu

HYDROSTATYKA I HYDRODYNAMIKA

Strona 107107107107

gVF cW ρ= (810)

Wzoacuter na wartość siły wyporu można wyprowadzić w sposoacuteb analogicz-ny do zastosowanego przy wyznaczaniu ciśnienia wywieranego przez słup cieczy Wyodrębnijmy z cieczy o gęstości ρ fragment o objętości V polu przekroju S oraz wysokości h ktoacutery ani nie tonie ani nie unosi się Oznacza to że ciężar tego fragmentu musi być zroacutewnoważony przez siłę wyporu skierowaną w goacuterę Rozważania te nie zmienią się jeżeli na miejsce wyodrębnionego fragmentu wstawimy badane ciało w szczegoacutel-ności nie zmieni się wartość siły wyporu ndash wartość siły wyporu zależy od objętości zanurzonego ciała oraz gęstości cieczy w ktoacuterej te ciało jest zanurzone W przypadku ciał pływających na powierzchni wody prawo Archimedesa możemy sformułować w następujący sposoacuteb

Ciało pływające na powierzchni wody wypiera ilość wody ważącą tyle ile samo waży

Ciało pływające na powierzchni wypiera jedynie tyle wody ile wynosi objętość jego zanurzonej części Siła wyporu związana jest z objętością wypartej cieczy o gęstości ρc czyli tylko z częścią zanurzoną ciała Vz ale siła ta roacutewnoważy ciężar całego ciała (mg) co zapisujemy

gVmg cz ρ= (811)

Działania siły wyporu możemy doświadczyć pływając w wodzie Biorąc pod uwagę powietrze zgromadzone w płucach ciało ludzkie ma średnią gęstość mniejszą od wody co pozwala mu unosić się na powierzchni Pojazdy i konstrukcje pływające mają roacutewnież średnią gęstość mniejszą od wody ndash choć kadłub statku jest wykonany ze stali o znacznie większej gęstości od wody ale średnia gęstość liczona dla całej bryły okrętu jest mniejsza od gęstości wody Siła wyporu unosi roacutewnież balony zaroacutewno wypełnione gazami lżejszymi od powietrza (hel wodoacuter) jak i napełnione ogrzanym powietrzem W obu przypadkach balon unosi się ponieważ średnia gęstość liczona dla całej bryły balonu jest mniejsza niż gęstość otaczającego powietrza

Jak wynika z prawa Archimedesa i jak widać w przytoczonych przykładach siła wyporu zależy od gęstości płynu w ktoacuterym ciało jest zanurzone Oznacza to roacutewnież że mierząc siłę wyporu możemy mierzyć gęstości cieczy Urządzenia wykorzystujące ten efekt nazywa się areometrami i stosowane są zaroacutewno w przemyśle winiarskim (do wyznaczania zawartości alkoholu) jak i paliwowym Areometr ma zwykle kształt długiej rurki obciążonej na jednym końcu Po umieszcze-niu w cieczy przyjmuje pozycję pionową Głębokość zanurzenia pływa-

ROZDZIAŁ 8

Strona 108108108108

ka zależy od gęstości cieczy ndash jeśli gęstość jest mniejsza (np więcej alkoholu w stosunku do wody) zmniejsza się siła wyporu i pływak zanurza się głębiej Jeśli gęstość jest większa zanurzenie zmniejsza się Podobnie dzieje się z naszym ciałem ndash w gęstszej wodzie słonej siła wyporu jest większa i łatwiej jest unosić się na powierzchni Z tego samego powodu trudno jest utonąć w tzw grząskich piaskach ndash ich gęstość jest znacznie większa niż gęstość ludzkiego ciała

Prawo Archimedesa w praktyce wykorzystywane jest w roacuteżnych urzą-dzeniach hydrologicznych Na przykład w niektoacuterych krajach odcinki kanałoacutew żeglugowych poprowadzone są na wiaduktach Kiedy barka wpływa na taki wiadukt obciążenie konstrukcji nie zmienia się jednak ponieważ barka pływając na powierzchni wody wypiera z kanału do-kładnie tyle wody ile sama waży

82 Hydrodynamika

Hydrodynamika opisuje zjawiska związane z przepływem płynoacutew W pierwszym przybliżeniu badany ośrodek możemy zastąpić płynem idealnym ktoacutery wyroacuteżnia się następującymi cechami

bull Przepływ laminarny ndash prędkość poruszającego się płynu w każdym wybranym punkcie nie zmienia się z upływem czasu

bull Przepływ nieściśliwy ndash gęstość płynu jest stała

bull Przepływ nielepki ndash brak strat związanych z oporem wewnętrznym

bull Przepływ bezwirowy ndash zawieszona w płynie cząstka nie obraca się względem środka masy

Roacutewnanie ciągłości

W celu zobrazowania przepływu płynu idealnego wygodnie jest wpro-wadzić linie prądu Są to linie w każdym punkcie styczne do toru oraz prędkości cząstki zawieszonej w płynie Rozpatrzmy strugę nieściśliwe-go płynu definiowaną jako zespoacuteł linii prądu wypełniających poprzeczny

HYDROSTATYKA I HYDRODYNAMIKA

Strona 109109109109

do linii prądu mały kontur zamknięty (rurkę prądu) Jeżeli płyn jest nieściśliwy oraz w rurce prądu nie ma żadnych źroacutedeł ani wypływoacutew woacutewczas masa płynu przepływająca w jednostce czasu przez dowolny przekroacutej poprzeczny tej strugi musi być taka sama Zasadę zachowania masy dla takiej strugi płynu można więc zapisać

22 mtSρtSρm 111 dddd 2 === vv (812)

gdzie dm1 oraz dm2 oznaczają masę strugi płynu ktoacutera w czasie dt prze-pływa z prędkością v1 oraz v2 przez przekroacutej strugi o powierzchni odpo-wiednio S1 oraz S2 Po przekształceniach otrzymujemy roacutewność

21 vv 21 SS = (813)

co zapisujemy jako tzw roacutewnanie ciągłości

const=vS (814)

gdzie S jest polem przekroju poprzecznego zaś v prędkością przepływu płynu przez ten przekroacutej Z roacutewnania tego wynika że im węższy jest przekroacutej tym większa prędkość przepływu cieczy Efekt taki możemy zaobserwować na przykład dla wody w koryta rzecznego Jeśli koryto jest szerokie rzeka płynie powoli natomiast jeśli koryto jest wąskie ndash np w miejscu przełomu przez warstwy skał ndash prędkość nurtu zwiększa się

Roacutewnanie Bernoulliego

Roacutewnanie Bernoulliego określa związek między ciśnieniem cieczy prędkością jej przepływu oraz wysokością na ktoacuterej znajduje się ta ciecz

Rozpatrzmy rurę o zmiennym przekroju ktoacuterej dwa końce znajdują sie na roacuteżnych wysokościach jak na rysunku 83 Przepływ płynu z dolnej części (indeksy 1) do goacuternej części (indeksy 2) odbywa się pod wpły-wem siły parcia F1 zdefiniowanej przez ciśnienie p1

ROZDZIAŁ 8

Strona 110110110110

Rysunek 83 Ilustracja roacutewnania Bernoulliego

Siła ta przesuwając płyn o pewną odległość l1 wykonuje pracę

11111111 VpSpFW === ll (815)

Przesunięciu temu przeciwdziałać będzie siła parcia F2 związana z ciśnieniem p2 ktoacutera wykona pracę

22222222 VpSpFW minus=minus=minus= ll (816)

Ponieważ zgodnie z roacutewnaniem ciągłości taka sama objętość płynu przesunie się w dolnej i goacuternej części rury więc wypadkowa praca wykonana przez siły parcia wynosi

V)p(pVpVpW 2111 minus=minus=∆ 22 (817)

Praca sił parcia wpływać będzie na zmianę energii kinetycznej i poten-cjalna tej porcji płynu o objętości V Płyn ten przepływając z prędkością v1 przez rurę znajdującą się na wysokości y1 będzie miał energię

11 mgymE += 212

1v (818)

gdzie m oznacza masę porcji płynu o objętości V oraz gęstości ρ Zmiana energii płynu przepływającego przez rozważaną rurę wynosić więc będzie

221 mgymmgymE minusminus+=∆ 221 2

1

2

1vv (819)

Jeśli przyroacutewnamy zmianę energii płynu oraz wypadkową pracę sił parcia po podzieleniu roacutewnania przez objętość otrzymamy

HYDROSTATYKA I HYDRODYNAMIKA

Strona 111111111111

2

2

221

2

11 gy2

1pgy

2

1p ρρρρ ++=++ vv (820)

Powyższe wyprowadzenie można uogoacutelnić w postaci tzw roacutewnania Bernoulliego ktoacutere moacutewi że dla dowolnych dwoacutech przekroi rurki cieczy idealnej suma trzech ciśnień ndash statycznego hydrostatycznego oraz spiętrzania ndash jest stała

const=++ hg2

1p

2 ρρv (821)

Z roacutewnania Bernoulliego wynika na przykład że jeżeli będziemy rozpatrywać przepływ płynu na stałej wysokości (ciśnienie hydrostatyczne jest stałe) woacutewczas im większa jest prędkość przepływu cieczy (ciśnienie spiętrzania) tym mniejsze jest ciśnienie statyczne wytwarzane przez tę ciecz Efekt ten wykorzystujemy w szeregu urządzeń

Dysza

W pistolecie natryskowym wykorzystuje się strumień gazu poruszający się z dużą prędkością W miejscu podłączenia zbiornika z farbą znajduje się przewężenie o przekroju znacznie mniejszym niż przekroacutej wlotu dyszy Z roacutewnania ciągłości wiemy że w takim przewężeniu gaz ma znacznie większą prędkość niż przy wlocie i wylocie dyszy Z roacutewnania Bernoulliego zaś wynika że w takim punkcie gdzie prędkość przepływu płynu jest wysoka ciśnienie jest niskie Przy odpowiednio wąskim przewężeniu uzyskamy na tyle niskie ciśnienie (proacuteżnię) że farba jest zasysana do wnętrza dyszy gdzie jej kropelki są rozpylane w strumieniu przepływającego powietrza i mogą być wykorzystane do roacutewnomiernego rozprowadzenia farby Wykorzystując podobną konstrukcję można roacutewnież budować miniaturowe pompy proacuteżniowe a także przyrządy do pomiaru prędkości gazu

Skrzydło samolotu

Roacutewnanie Bernoulliego pozwala roacutewnież wyjaśnić zasadę wytwarzania siły nośnej przez skrzydło samolotu Niesymetryczny kształt przekroju płata skrzydła powoduje powstawanie roacuteżnicy prędkości strumienia powietrza powyżej i poniżej płata Roacuteżnica ta zależy od tzw kąta natarcia ndash określonego umownie pomiędzy cięciwą skrzydła a kierun-kiem strugi powietrza Przy pewnym kącie natarcia prędkości powietrza owiewającego płat są sobie roacutewne ciśnienie po obu stronach płata jest zatem roacutewnież identyczne Płat nie wytwarza wtedy siły nośnej Jeśli

ROZDZIAŁ 8

Strona 112112112112

zwiększymy kąt natarcia masy powietrza opływające skrzydło od goacutery muszą pokonać dłuższą drogę a więc prędkość powietrza na goacuternej powierzchni płata jest większa niż na dolnej Zatem zgodnie z roacutewna-niem Bernoulliego ciśnienie na goacuternej powierzchni jest niższe Roacuteżnica ciśnień po obu stronach płata powoduje powstanie siły nośnej unoszącej samolot Im większy kąt natarcia tym większa siła nośna ndash należy jednak pamiętać że przy zbyt dużym kącie natarcia wzrastają roacutewnież siły hamujące działające na układ Dochodzi wtedy do tzw przeciągnię-cia ndash zbyt duży kąt natarcia powoduje utratę prędkości i w konsekwencji spadek siły nośnej

Rysunek 84 Linie prądu powietrza opływającego skrzydło samolotu

Płyny rzeczywiste

Opis zachowania płynoacutew rzeczywistych jest znacznie bardziej złożony niż idealnych Płyny rzeczywiste roacuteżnią się od idealnych przede wszystkim niezerową lepkością oraz ściśliwością

Ściśliwość opisuje zmianę objętości obiektu pod wpływem ciśnienia zewnętrznego Gazy charakteryzują się znacznie większą ściśliwością niż ciecze jednak w pewnym zagadnieniach można ją roacutewnież zanied-bać Kryterium jest tzw liczba Macha ktoacutera wyraża się stosunkiem prędkości przepływu gazu do prędkości dźwięku w tym gazie Jeśli prędkość przepływu jest znacznie mniejsza od prędkości dźwięku ściśliwość gazu można zaniedbać

Lepkość płynu jest związana z tarciem wewnętrznym występującym w płynie Jeśli podzielimy płyn na cienkie warstwy ułożone roacutewnolegle do linii prądu to tarcie wewnętrzne określa wielkość sił oporu występu-jących pomiędzy poszczegoacutelnymi warstwami Jeśli lepkość jest niewiel-ka czyli wpływ sił lepkości na ruch płynu jest niewielki to przepływają-cy płyn nie napotyka na przeszkody i poszczegoacutelne warstwy płynu poru-

HYDROSTATYKA I HYDRODYNAMIKA

Strona 113113113113

szają się ze zbliżoną prędkością Jeśli w strumieniu cieczy znajduje się nieruchomy obiekt na skutek oddziaływania sił lepkości warstwa płynu najbliższa jego powierzchni będzie poruszała się z niewielką prędkością ndash w przybliżeniu można przyjąć że warstwa ta znajduje się w spo-czynku Kolejne warstwy coraz bardziej odległe od przeszkody będą poruszały się z coraz większą prędkością Stosunek sił tarcia wewnę-trznego do powierzchni warstwy możemy wyrazić jako tzw naprężenie styczne τ

y

ηA

Tτ x

part

part==

v (822)

Naprężenie styczne jest wprost proporcjonalne do gradientu prędkości występującego pomiędzy kolejnymi warstwami płynu Wspoacutełczynnik proporcjonalności nazywamy dynamicznym wspoacutełczynnikiem lepkości η a jego jednostką jest paskal sekunda [Pas]

Wiry i turbulencje

Cechą charakterystyczną płynoacutew rzeczywistych jest możliwość występo-wania w nich turbulencji i wiroacutew Przepływ wirowy występuje wtedy kiedy wydzielony przez obserwatora element płynu ulega obrotowi Oproacutecz obrotu wokoacuteł punktu wyznaczającego środek wiru obroacutet może następować także (w sposoacuteb jednoczesny) wokoacuteł osi własnej elementu Można to poroacutewnać do karuzeli w wesołym miasteczku na ktoacuterej fotele obracają się nie tylko wokoacuteł osi karuzeli ale roacutewnież własnej osi Powstawanie wiroacutew można obserwować min za przeszkodami w nurcie rzeki czy też za skrzydłem samolotu Podczas pokazoacutew lotniczych często prezentowane są bdquoskrzydła aniołardquo ktoacutere powstają w wyniku rozpylenia przez lecący samolot barwnika w powietrzu Drobiny barwnika zostają zassane przez wir powstający za skrzydłami a następnie opadają Przepływ wirowy powstaje roacutewnież za lotkami skrzydeł ptakoacutew Grupowanie się ptakoacutew w klucz podczas migracji jest metodą redukcji oporu związanego z powstawaniem wiroacutew Warto zwroacutecić uwagę że przyczyną powstawania roacuteżnego rodzaju wiroacutew może być roacutewnież np siła Coriolisa związana z ruchem obrotowym Ziemi Kierunek obrotu wiru nad otworem odpływowym zbiornika jest na poacutełkuli poacutełnocnej Ziemi zawsze identyczny i proacuteby bdquoodwroacuteceniardquo go nie powiodą się

Z turbulencjami mamy do czynienia wtedy kiedy przepływ nie jest stacjonarny ndash kierunek i wartość prędkości w danym punkcie ulegają zmianom w czasie Prostym przykładem turbulencji są bystrza rzeki i wodospady - widzimy że choć średni kierunek przepływu jest iden-

ROZDZIAŁ 8

Strona 114114114114

tyczny układ rozbryzgoacutew wody w poszczegoacutelnych punktach zmienia się w czasie Turbulencje powstają roacutewnież w strumieniach mas powietrza Szczegoacutelnie narażone na to zjawisko są zawietrzne stoki goacuter ale turbu-lencje mogą pojawiać się roacutewnież na granicy mas powietrza o roacuteżnych temperaturach wilgotności itp

Opoacuter dynamiczny

Płyn opływający ciało napotyka na opoacuter dynamiczny na ktoacutery składają się dwa czynniki ndash siły tarcia wewnętrznego T i tzw opoacuter ciśnieniowy R

Siły tarcia wewnętrznego związane są z lepkością opływającego płynu i zależą liniowo od prędkości v obiektu względem strumienia płynu

vLBηT = (823)

gdzie B jest wspoacutełczynnikiem proporcjonalności η oznacza wspoacutełczyn-nik lepkości a L określa tzw rozmiar ciała Dla kuli umownie przyjmuje się wielkość L roacutewną jej promieniowi

Opoacuter ciśnieniowy jest związany z naciskiem strumienia płynu na powierzchnię czołową przeszkody oraz koniecznością bdquorozepchnięciardquo przez przeszkodę warstw płynu ktoacutery go opływa Wartość oporu ciśnieniowego R jest proporcjonalna do kwadratu prędkości

222 vv LCρACρR == (824)

gdzie ρ oznacza gęstość cieczy a A powierzchnię ndash ktoacutera zależy od wymiaru ciała L w kwadracie Wspoacutełczynnik C jest stałą proporcjonal-ności ktoacutera zależy od kształtu ciała i dla kuli przykładowo wspoacutełczynnik ten wynosi około 015

Liczba Reynoldsa Re jest definiowana poprzez stosunek oporu ciśnie-niowego do tarcia wewnętrznego

ReB

C

η

ρL

B

C

LBη

LCρ

T

R===

v

v

v22

(825)

Liczba Reynoldsa charakteryzuje tzw podobieństwo hydrodynamiczne ndash jeśli warunki przepływu dwoacutech płynoacutew są określone identycznymi licz-bami Reynoldsa ich przepływ będzie miał podobny charakter Jeśli licz-ba Reynoldsa jest znacznie mniejsza od jedności przepływ ma charakter warstwowy a dominującą rolę mają siły lepkości Jeśli liczba Reynoldsa

HYDROSTATYKA I HYDRODYNAMIKA

Strona 115115115115

jest znacznie większa od jedności przepływ ma charakter burzliwy a na opoacuter decydujący wpływ ma opoacuter ciśnieniowy i powstające za obiektem turbulencje

W przypadku nadwozia samochodowego decydujące znaczenie ma opoacuter ciśnieniowy i dlatego siły oporu aerodynamicznego rosną z kwadratem prędkości Niski wspoacutełczynnik oporu ciśnieniowego jest korzystny ze względu na zużycie paliwa i uzyskiwaną prędkość maksymalną ale może pogarszać kontakt pojazdu z nawierzchnią Z tego względu stosuje się tzw spoilery ktoacutere działając podobnie jak skrzydło samolotu wytwa-rzają siłę dociskającą pojazd do drogi W przypadku bolidoacutew Formuły1 opływowe kształty ma kadłub natomiast zaroacutewno z przodu jak i z tyłu samochodu zamontowane są płaty zapewniające odpowiedni docisk i sterowność bolidu Z tego względu wspoacutełczynnik oporu aerodynamicz-nego bolidoacutew F1 jest stosunkowo wysoki ndash co roacutewnoważone jest jednak przez dużą moc silnika

Z oporem aero- i hydro-dynamicznym jest związane roacutewnież pojęcie tzw prędkości granicznej ośrodka Podczas spadku swobodnego w po-wietrzu prędkość ciała początkowo rośnie ponieważ na ciało działa siła przyciągania ziemskiego Wartość tej siły należy zmniejszyć o wartość siły wyporu ośrodka Wraz ze wzrostem prędkości ciała wzrastają jednak roacutewnież siły oporu ndash zależnie od rodzaju ośrodka i charakteru przepływu są one proporcjonalne do wartości prędkości lub do jej kwadratu W pewnym momencie przy pewnej prędkości nazywanej prędkością graniczną dochodzi do zroacutewnoważenia się siły grawitacji i sumy sił wyporu oraz oporu ośrodka Prędkość graniczna jest maksymalną pręd-kością osiąganą przez ciało w danym ośrodku i np dla skoczkoacutew spado-chronowych przed otwarciem spadochronu wynosi ona od ok 195 do ok 320 kmh w zależności od pozycji w jakiej spadają Osiągnięcie większej prędkości wymaga wykonania skoku na dużej wysokości gdzie atmosfera jest rozrzedzona i siły oporu są mniejsze

ROZDZIAŁ 8

Strona 116116116116

9 Termodynamika

W tym rozdziale

o Temperatura skale temperatur o Roacutewnanie stanu gazu doskonałego o Ciepło i praca termodynamiczna o Pierwsza zasada termodynamiki o Przemiany termodynamiczne o Cykle gazowe druga zasada termodynamiki o Entropia o Mechanizmy przekazywania ciepła rozszerzalność

cieplna ciał stałych

ROZDZIAŁ 9

Strona 118118118118

Termodynamika

Termodynamika jest nauką zajmującą się badaniem zjawisk przemiany energii (w szczegoacutelności zamiany ciepła na pracę mechaniczną) zachodzących w układach makroskopowych Szybki rozwoacutej termodyna-miki nastąpił w XIX wieku co jest związane z rozwojem technologii budowy silnikoacutew parowych i spalinowych Opisując stan układu termo-dynamika posługuje się wielkościami makroskopowymi Rozważając roacuteżne stany skupienia materii oraz występujące między nimi przejścia fazowe posłużyliśmy się już takimi parametrami inaczej nazywanymi parametrami stanu układu ndash ciśnieniem objętością i temperaturą Objętość jest rozmiarem przestrzeni zajmowanej przez dane ciało a definicję ciśnienia poznaliśmy już przy okazji omawiania zagadnień związanych z mechaniką płynoacutew ndash wartość ciśnienia otrzymujemy dzie-ląc siłę przez powierzchnię na ktoacuterą działa ta siła O temperaturze wspo-minaliśmy już wprowadzając pojęcie energii kinetycznej Wykazaliśmy woacutewczas że im szybciej poruszają się cząsteczki tym większą mają energię i tym wyższa jest temperatura układu Do tego mikroskopowego opisu jeszcze wroacutecimy postaramy się jednak najpierw opisać temperatu-rę w ujęciu makroskopowym Opisu takiego dostarcza tzw zerowa zasa-da termodynamiki

91 Temperatura zerowa zasada termodynamiki

Istnieje wielkość skalarna zwana temperaturą ktoacutera jest właściwością wszystkich ciał izolowanego układu termodyna-micznego pozostających w roacutewnowadze wzajemnej Roacutewnowaga polega na tym że każde z ciał tyle samo energii emituje (wysyła) co pochłania Temperatura każdego ciała układu pozostaje taka sama

Zerowa zasada termodynamiki może być roacutewnież sformułowana następująco

Jeśli ciało A jest w roacutewnowadze termicznej z ciałem B i z ciałem C to ciało B jest w roacutewnowadze z ciałem C

TERMODYNAMIKA

Strona 119119119119

Ciała znajdują się w stanie roacutewnowagi termicznej jeśli zachodzi między nimi wymiana ciepła Jeśli postawimy szklankę z gorącą wodą na ka-miennym zimnym blacie szklanka będzie stawać się coraz chłodniejsza a blat coraz cieplejszy ndash temperatura szklanki będzie malała a tempera-tura blatu rosła Kiedy temperatura szklanki zroacutewna się z temperaturą blatu znajdą się w stanie roacutewnowagi termicznej ndash ich temperatura będzie taka sama

Żeby sprawdzić czy ciała są w stanie roacutewnowagi termicznej nie muszą być one w bezpośrednim kontakcie Wystarczy znać temperaturę obu ciał Jeśli stwierdzimy że dowolne ciała A i B są w stanie roacutewnowagi termicznej z trzecim ciałem T to są także w stanie roacutewnowagi ze sobą nawzajem Ciało T pełni rolę termometru

Termometr

Temperaturę możemy mierzyć roacuteżnymi metodami W popularnych ter-mometrach rtęciowych lub spirytusowych wykorzystywana jest liniowa rozszerzalność cieplna tych cieczy a wartość temperatury pokazuje wy-sokość słupka cieczy Rozszerzalność temperaturową metali wykorzys-tuje się roacutewnież we wskaźnikach na desce rozdzielczej starszych samochodoacutew czy na drzwiczkach starych modeli piekarnikoacutew ndash spirala z metalu rozszerzając się pod wpływem ciepła obraca wskazoacutewkę Cie-kawy rodzaj termometru możemy zbudować wykorzystując siłę wyporu ndash jeśli umieścimy w kolumnie z cieczą odważniki o innym wspoacutełczynni-ku rozszerzalności cieplnej niż otaczająca ciecz w zależności od tempe-ratury poszczegoacutelne odważniki będą się wynurzać lub opadać w miarę jak będzie zmieniać się gęstość otaczającej cieczy Obecnie często stosu-je się termometry elektroniczne w ktoacuterych wykorzystujemy bądź zależ-ność temperaturową oporu elektrycznego (np samochodowe czujniki typu Pt-100 i Pt-1000) bądź zjawisko Seebecka powstania roacuteżnicy po-tencjałoacutew kontaktowych na połączeniu dwoacutech roacuteżnych metali ndash miernik taki nazywamy termoparą

Skale temperatur

Jednostką temperatury w układzie jednostek SI jest kelwin Często używa się jednak innych skali jak skala Celsjusza lub Fahrenheita Aby zdefiniować skalę temperatury są potrzebne dwa charakterystyczne punkty możliwie łatwe do odtworzenia w warunkach eksperymental-nych Zero absolutne - 0K - oznacza najniższą temperaturę do jakiej mo-żemy się zbliżyć dowolnie blisko ktoacutera jednak pozostaje nieosiągalna Drugi charakterystyczny punkt skali to tzw punkt potroacutejny wody ndash stan w ktoacuterym wspoacutełistnieją ze sobą faza gazowa (para wodna) woda

ROZDZIAŁ 9

Strona 120120120120

w stanie ciekłym i stanie stałym (loacuted) Pomiędzy tymi dwoma punktami skalę temperatur podzielono na 27316 roacutewnych części ndash każda z nich to jeden kelwin Zatem temperatura punktu potroacutejnego wody wynosi 27316 K (kelwinoacutew)

W często stosowanej skali Celsjusza jednostką temperatury jest stopień Celsjusza ordmC Jednym z charakterystycznych punktoacutew tej skali jest punkt potroacutejny wody Temperatura tego punktu w skali Celsjusza wynosi 0ordmC Drugim punktem jest punkt wrzenia wody czyli przejście z fazy ciekłej do gazowej Temperatura tego punktu w skali Celsjusza wynosi 100ordmC Warto zauważyć że 1ordmC na skali temperatur ma identyczną rozpiętość jak 1K ndash zatem zmiana temperatury o 50ordmC oznacza zmianę o 50K

Do zdefiniowania skali Fahrenheita użyto roztworu o znanym stężeniu soli chlorku amonu w wodzie Punkt potroacutejny takiego roztworu użyty do wyznaczenia bdquozerardquo skali występuje w niższej temperaturze niż dla czystej wody Temperaturze 100ordmC odpowiada 212ordmF a temperaturze 0ordmC odpowiada 32ordmF Przybliżony wzoacuter do przeliczania obu skal ma postać

( )329

5minus= FC TT (91)

gdzie TC i TF oznaczają temperatury odpowiednio w skali Fahrenheita i Celsjusza

92 Roacutewnanie stanu gazu doskonałego

Gaz doskonały

Wiele właściwości fizycznych gazu daje się wyjaśnić przez zastosowanie prostego modelu gazu doskonałego Model ten opiera się na kilku założeniach

bull gaz składa się z cząsteczek o rozmiarach dużo mniejszych niż średnia objętość przypadająca na cząsteczkę

TERMODYNAMIKA

Strona 121121121121

bull cząsteczki są w ciągłym chaotycznym ruchu cieplnym (ruchy Browna)

bull jedyną formą oddziaływań między cząsteczkami są wzajem-ne zderzenia ktoacutere mają charakter zderzeń sprężystych Po-za zderzeniami cząsteczki nie oddziałują wzajemnie i dlate-go energia układu cząsteczek nie zależy od objętości tego układu (tzn także od średniej odległości między cząsteczkami)

bull liczba cząsteczek w jednostce objętości jest bardzo duża (n gt 1023 m-3) co umożliwia stosowanie do opisu parame-troacutew ich ruchu metod statystycznych

Roacutewnanie stanu gazu doskonałego nazywane roacutewnież roacutewnaniem Cla-peyrona określa stan gazu doskonałego czyli podaje zależności między ciśnieniem p objętością V i temperaturą T Roacutewnanie to jest spełnione dla dowolnego stanu czyli zestawu wartości parametroacutew pV i T niezależnie od tego w jaki sposoacuteb nastąpiło przejście z jednego stanu do drugiego Roacutewnanie stanu gazu doskonałego ma postać

TnpV R= (92)

gdzie R oznacza stałą gazową roacutewną R=831 Jmol-1K-1 a n liczbę moli gazu Roacutewnanie to możemy wyrazić roacutewnież przez całkowitą liczbę cząsteczek gazu N

TNpV Bk= (93)

gdzie kB jest stałą Boltzmanna (kB=1380middot10-23 JK-1) Stałą Boltzmana otrzymujemy dzieląc stałą gazową przez liczbę Avogadra (NA=602214179middot1023mol-1)

93 Ciepło i praca termodynamiczna

Definiując temperaturę moacutewiliśmy że temperatura dwoacutech ciał uzyskuje identyczną wartość w stanie roacutewnowagi termicznej Aby ciała nie będące początkowo w stanie roacutewnowagi termicznej mogły osiągnąć taki stan muszą wymieniać między sobą energię Możliwe są dwa sposoby

ROZDZIAŁ 9

Strona 122122122122

przekazywania energii na sposoacuteb pracy (np poprzez ruch tłoka) oraz na sposoacuteb cieplny ndash przez chaotyczne ruchy cząsteczkowe Energię przeka-zywaną na drugi sposoacuteb będziemy nazywali ciepłem i oznaczali jako Q Należy tu zaznaczyć że nazwa ta wywodzi się z błędnej teorii bdquocieplikardquo i będziemy jej używać głoacutewnie ze względoacutew językowo-historycznych

Energia ktoacutera jest przekazywana między ciałami na skutek istniejącej między nimi roacuteżnicy temperatur wpływa na zmianę energii wewnętrznej ciała Energia wewnętrzna U jest miarą średniej energii kinetycznej cząstek materii zgromadzonej min w ruchu postępowym cząsteczek gazu czy w postaci drgań cząsteczek i atomoacutew w ciałach stałych

Ilość przekazywanej energii wyrażamy w dżulach [J] ale często stosuje się roacutewnież pozaukładową jednostkę ndash kalorię Jedna kaloria (1cal) jest roacutewna 41860 J a podstawą definicji tej jednostki jest ciepło potrzebne do podniesienia temperatury jednego grama wody z 145degC do 155 degC

W termodynamice istotną kwestią jest poprawne zdefiniowanie znaku ciepła Jeśli ciepło przepływa z danego ciała (układu) do otoczenia czyli gdy dochodzi do obniżenia jego energii wewnętrznej to ciepło zapisuje-my ze znakiem bdquo-rdquo Jeśli zaś ciepło przepływa z otoczenia do układu zwiększając energię wewnętrzną ciała jego znak określamy jako bdquo+rdquo

Pojemność cieplna

Żeby ogrzać ciało czyli żeby zwiększyć jego energię wewnętrzną musi-my dostarczyć ciepła (doprowadzić energię na sposoacuteb cieplny) Łatwo zauważyć jednak że niektoacutere ciała jest łatwiej ogrzać niż inne Jeśli na przykład na dwoacutech płytach grzejnych kuchenki o identycznej mocy umieścimy pojemnik z wodą o masie 1kg i blok stalowy o masie 1kg okaże się że temperatura bloku stalowego będzie wzrastała znacznie szybciej niż wody Zatem ilość przepływającej energii (przekazywane ciepło) niezbędna do podniesienia temperatury danej masy o jednostkę temperatury jest w przypadku wody znacznie większa niż dla stali Taką cechę danego materiału nazywamy jego pojemnością cieplną

Pojemność cieplna C danego ciała jest ilością energii potrzebną do podniesienia jego temperatury o 1K Jednostką jest JmiddotK-1

∆TCQ = (94)

TERMODYNAMIKA

Strona 123123123123

Ciepło właściwe i ciepło molowe

Ciepło właściwe cw danego materiału jest ilością energii potrzebną do podniesienia temperatury 1kg tego materiału o 1K Jednostką jest J kg 1middotK-1

∆TmcQ W= (95)

Ciepło właściwe można wyrazić roacutewnież w przeliczeniu na 1mol substancji ndash takie ciepło właściwe nazywamy ciepłem molowym Cmol

∆TnCQ mol= (96)

Przykładowe wartości ciepła właściwego roacuteżnych cieczy i ciał stałych znajdują się w tabeli 91

Przyczynę dla ktoacuterej roacuteżne substancje wykazują roacuteżne ciepło właściwe omoacutewimy dokładniej w kolejnych rozdziałach Warto zauważyć że w ogoacutelności ciepła właściwe mogą zależeć od temperatury i dlatego na ogoacuteł obok wartości podajemy temperaturę dla ktoacuterej została ono wyznaczone

Tabela 91 Wartości ciepła właściwego Cp roacuteżnych substancji ndash pomiar przy 25

oC

substancja C [J kg-1K-1] substancja C [J kg-1K-1] woda 4181 ołoacutew 128

gliceryna 2386 srebro 236 polietylen 2930 żelazo 450

miedź 386 aluminium 897

Duże ciepło właściwe wody ma ogromne znaczenie dla klimatu i środo-wiska biologicznego Woda ogrzewa się powoli ale roacutewnież powoli i długo oddaje ciepło do otoczenia i dlatego na obszarach pustynnych na ktoacuterych nie ma zbiornikoacutew wodnych wahania temperatury między nocą a dniem są bardzo duże ndash ziemia bardzo łatwo się nagrzewa i łatwo stygnie Jeziora rzeki i morza łagodzą wahania temperatury zaroacutewno w skali doby jak i w skali roku Klimat na wybrzeżu jest znacznie łagodniejszy niż w głębi lądu Na obszarach kontynentalnych częściej obserwuje się surowe zimy i gorące lata

Duże ciepło właściwe wody jest wykorzystywane w układach chłodzenia oraz ogrzewania Obieg wody chłodzącej stosowany jest np w silnikach samochodowych a w instalacjach centralnego ogrzewania woda jest

ROZDZIAŁ 9

Strona 124124124124

wykorzystywana do ogrzewania budynku ndash nawet jeśli w danej chwili piec nie podgrzewa wody kaloryfery długo pozostają ciepłe

Przykład

Jeśli do izolowanego zbiornika wlejemy 1 litr wody o temperaturze 10degC i 1 litr wody o temperaturze 50degC to w wyniku dochodzenia do roacutewno-wagi termicznej temperatura osiągnie wartość 30degC Łatwo zauważyć że jest to wartość średnia temperatur obu porcji wody Dzieje się tak dlate-go że ilość energii potrzebna do podniesienia temperatury chłodniejszej masy wody jest roacutewna ilości energii oddanej przez wodę cieplejszą Jeżeli układ zbiornika z wodą jest izolowany to zmiana energii całkowi-tej musi wynosić zero co możemy zapisać w postaci

( ) ( ) 0=minus+minus 2KW21KW1 TTcmTTcm (97)

Stąd możemy obliczyć temperaturę końcową TK (masę wyznaczamy jako iloczyn objętości i gęstość wody)

Jeśli do zbiornika zawierającego 1 litr wody czyli o masie mW=1kg o temperaturze TW=10degC wrzucimy żelazny blok o masie mFE=1kg i temperaturze TFE=50degC roacutewnież dojdzie do wyroacutewnania temperatur obu ciał Roacutewnież w tym przypadku ciepło oddane przez żelazo jest takie samo jak ciepło pobrane przez wodę a bilans cieplny możemy zapisać w następujący sposoacuteb

( ) ( ) 0=minussdotsdot+minussdotsdot FeKFeFeWKWW TTcmTTcm (98)

gdzie cW oraz cFE oznaczają ciepło właściwe wody oraz żelaza zaś TK temperaturę końcową układu Ponieważ ciepło właściwe wody jest znacznie większe niż żelaza temperatura wody podniesie się tylko nie-znacznie i końcowa temperatura układu wyniesie około 14degC

Praca termodynamiczna

Zgodnie z przedstawioną wcześniej definicją ciepło pobrane przez ciało wywołuje wzrost energii wewnętrznej tego ciała Energia ta może być roacutewnież zamieniona na pracę Aby wyznaczyć pracę jaka może być wykonana kosztem ciepła rozpatrzmy izolowany termicznie (brak wy-miany ciepła z otoczeniem) cylinder z gazem zamknięty od goacutery szczel-nie dopasowanym tłokiem o powierzchni S Jeśli działając pewną stałą

TERMODYNAMIKA

Strona 125125125125

siłą F przesuniemy tłok o odcinek dl to wykonamy nad gazem zawartym wewnątrz cylindra pracę dW

( ) ( ) VpSppSFW ddddd ==== lllrr

(99)

Praca całkowita jaką wykonamy nad gazem sprężając go od objętości początkowej Vp do końcowej Vk wynosi

int int==k

p

V

VVpWW dd (910)

Jeżeli ciśnienie p wywierane przez siłę F na powierzchnię S tłoka nie zmienia się w wyniku przesunięcia tłoka to podczas zmiany objętości gazu o ∆V wykonana zostanie praca ∆VpW =

Jeśli wykonamy wykres zmian objętości i ciśnienia w trakcie ściskania gazu zawartego w cylindrze wykonana praca (wzoacuter 910) będzie roacutewna polu znajdującemu się pod tym wykresem (rysunek 91)

Rysunek 91 Praca w przemianie termodynamicznej jako pole pod wykresem ciśnienia od objętości

Warto zwroacutecić uwagę na znak pracy obliczonej według powyższego wzoru Jeśli objętość końcowa jest większa niż początkowa całka będzie miała wartość dodatnią Odpowiada to sytuacji w ktoacuterej to nie my wykonujemy pracę nad gazem zawartym w cylindrze ale to gaz rozprę-żając się wypycha tłok i wykonuje pracę Jeśli natomiast przesuwając tłok będziemy sprężać gaz to my wykonamy pracę dodatnią ale obli-czona całka będzie miała znak ujemny gdyż praca wykonana przez gaz będzie w tym przypadku miała znak ujemny Istotne jest więc precyzyjne określanie czy wyznaczana praca jest pracą wykonaną przez gaz czy nad

ROZDZIAŁ 9

Strona 126126126126

gazem W dalszej części tego rozdziału przez pracę będziemy rozumieli pracę wykonaną przez gaz

Pierwsza zasada termodynamiki

Podczas podgrzewania układu przekazujemy do niego ciepło zwiększając w ten sposoacuteb jego energię wewnętrzną i temperaturę Energia wewnętrzna ciała może zmieniać się roacutewnież za sprawą pracy wykonanej nad tym ciałem Można roacutewnież powiedzieć że praca ktoacuterą wykonuje układ może się odbywać kosztem dostarczonego do układu ciepła lub też kosztem energii wewnętrznej układu Zależności te mogą być zapisane w zwięzły sposoacuteb w postaci I zasady termodynamiki

Energia wewnętrzna układu U wzrasta jeśli układ pobiera energię w postaci ciepła Q i maleje kiedy układ wykonuje pracę W

WQEE∆U WPWK minus=minus= (911)

Zapis roacuteżniczkowy powyższego prawa ma postać

WUQ δδ += d (912)

Zastosowany w powyższym zapisie symbol dU oznacza roacuteżniczkę energii wewnętrznej U ktoacutera jest funkcją stanu Ciepło Q oraz praca W nie są funkcjami stanu i w ich przypadku nie możemy moacutewić o roacuteż-niczce a jedynie o małej zmianie δ Zatem I zasadę termodynamiki możemy roacutewnież wyrazić w następujący sposoacuteb

Dostarczone do układu ciepło δQ powoduje zwiększenie energii wewnętrznej układu o dU i wykonanie przez układ pracy δW przeciwko siłom zewnętrznym

Należy zwroacutecić uwagę że ciepło dostarczone do układu zapisujemy ze znakiem bdquo+rdquo a ciepło oddane przez układ ze znakiem bdquo-rdquo natomiast praca W (lub dW) oznacza pracę wykonaną przez układ

TERMODYNAMIKA

Strona 127127127127

94 Przemiany termodynamiczne

Przemianą nazywamy przejście danej substancji z jednego stanu roacutewnowagi termodynamicznej do drugiego pod wpływem czynnika zewnętrznego Typowymi przemianami są ogrzewanie czy chłodzenie ciała a szczegoacutelnym typem są przemiany fazowe polegające na zmianie stanu skupienia ciała Niektoacutere przemiany fazowe wymagają dos-tarczenia ciepła do układu a podczas innych ciepło jest wydzielane przez układ Jest to konsekwencją budowy mikroskopowej ciał oraz energii oddziaływań międzycząsteczkowych w roacuteżnych stanach skupienia

Jako przykład omoacutewimy przemiany występujące podczas ogrzewania lodu Początkowo poniżej 0degC ciepło jakie dostarczamy do lodu jest zużywane na wzrost jego temperatury co w skali mikroskopowej oznacza wzrost amplitudy drgań cząsteczek wody tworzących loacuted Kiedy temperatura osiągnie 0degC rozpoczyna się proces topnienia czyli zmiany fazy ze stałej na ciekłą Dostarczane dalej ciepło (energia) służy zerwaniu wiązań pomiędzy cząsteczkami wody w krystalicznej struktu-rze lodu Cząsteczki wody w fazie ciekłej poruszają się szybciej niż cząsteczki tworzące loacuted a oddziaływania między nimi są słabsze Aż do całkowitego stopienia temperatura mieszaniny woda-loacuted nie będzie wzrastać ponieważ całe dostarczane ciepło jest zużywane w procesie przemiany fazowej

Dalsze dostarczane ciepła do wody w stanie ciekłym służy podniesieniu jej temperatury ndash aż do osiągnięcia temperatury wrzenia W tej tempera-turze następuje przemiana fazowa ze stanu ciekłego do gazowego Podobnie jak w przemianie ze stanu stałego do ciekłego wiąże się ona z zerwaniem oddziaływań międzycząsteczkowych i proces ten wymaga dostarczenia energii Tak więc aż do momentu całkowitego odparowania wody jej temperatura pozostaje stała mimo dostarczania ciepła W rze-czywistości parowanie zachodzi z powierzchni swobodnej cieczy nawet poniżej temperatury wrzenia Na powierzchni cieczy zawsze znajdują się cząsteczki ktoacutere na skutek oddziaływań ze strony swoich bdquosąsiadoacutewrdquo mają wyższe energie niż te znajdujące się w objętości cieczy i ktoacutere dzięki temu mogą się bdquouwolnićrdquo do stanu gazowego

Do zajścia odwrotnych przemian fazowych ndash skraplania i krystalizacji wymagany jest odwrotny kierunek przepływu ciepła Aby cząsteczki

ROZDZIAŁ 9

Strona 128128128128

pary wodnej skropliły się musimy odebrać nadmiar energii kinetycznej z gazu Podobnie podczas krystalizacji należy zmniejszyć energię cząsteczek cieczy zmniejszyć ich ruchliwość na tyle by umożliwić wytworzenie się pomiędzy nimi wiązań W przypadku obu tych prze-mian fazowych musimy odbierać energię z układu

Przemiany fazowe

Przemiana fazowa zachodzi w stałej temperaturze a ciepło pobrane przez materiał jest proporcjonalne do masy materiału oraz ciepła właściwego przemiany

mCQ PRZEMPRZEM = (913)

Warto zwroacutecić uwagę że tak zdefiniowane ciepła topnienia i parowania osiągają znaczne wartości w stosunku do ciepła właściwego W efekcie znacznie łatwiej jest ogrzać 1kg wody lub lodu o 1 kelwin niż doprowa-dzić do stopienia 1kg lodu Jeszcze wyższa jest wartość ciepła parowania

Duża wartość ciepła przemiany może być wykorzystywany do termore-gulacji przez organizmy żywe Nawet niewielka ilość wody wydzielana przez gruczoły potowe odparowując z powierzchni skoacutery odbiera dużo ciepła tym samym chroniąc organizm przed przegrzaniem Podobnie wysokie ciepło parowania wykorzystuje się np w nowoczesnych radia-torach do chłodzenia procesoroacutew komputerowych Pomiędzy żeberkami radiatora zamontowana jest zamknięta rurka tworząca tzw kanał cieplny (ang heat pipe) wypełniona niewielką ilością alkoholu i jego oparami (rysunek 92) W pobliżu procesora temperatura jest na tyle wysoka że alkohol intensywnie paruje pobierając jednocześnie dużo ciepła od procesora Opary alkoholu pod wpływem ruchoacutew konwekcyjnych docierają do radiatora na końcu rurki Ponieważ temperatura koło radiatora jest niższa alkohol ulega skropleniu (oddaje ciepło) a następnie spływa po ściankach w stronę procesora i cały proces może ulec powtoacuterzeniu Taki kanał cieplny niezwykle efektywnie wspomaga transport ciepła w kierunku od procesora na zewnątrz radiatora

TERMODYNAMIKA

Strona 129129129129

Rysunek 92 Schemat działania radiatora z kanałem cieplnym

Kalorymetr

Kalorymetr jest urządzeniem służącym do pomiaru ciepła wydzielanego lub pobieranego podczas procesoacutew chemicznych i fizycznych W naj-prostszej wersji kalorymetr jest po prostu zbiornikiem izolowanym termicznie od otoczenia wyposażonym w termometr Aby wskazania termometru były dokładne musi on pozostawać w kontakcie cieplnym z badanym układem Warunek ten jest osiągany zazwyczaj przez wypeł-nienie kalorymetru cieczą o znanym cieple właściwym Jeśli podczas badanego procesu chemicznego temperatura kalorymetru się zmieni to ilość ciepła jaka przepłynęła z badanego układu do kalorymetru lub w przeciwną stronę możemy obliczyć znając pojemność cieplną kalory-metru (cieczy oraz zbiornika) Aby pomiar był prawidłowy czyli aby wymiana ciepła między badanym układem a kalorymetrem była efek-tywna ciecz wypełniającą kalorymetr miesza się za pomocą mieszadła w ten sposoacuteb wyroacutewnując temperaturę w roacuteżnych częściach naczynia

Znacznie bardziej zaawansowanymi urządzeniami do badania właści-wości termicznych materii są kalorymetry roacuteżnicowe W urządzeniach tego typu przeprowadza się precyzyjny pomiar temperatury badanej proacutebki oraz proacutebki referencyjnej podczas jednostajnego grzania całej ko-mory badawczej Podczas przemian fazowych w badanym materiale wydzielane lub pochłaniane będzie ciepło i zarejestrowana woacutewczas zos-tanie roacuteżnica temperatur proacutebki badanej oraz referencyjnej Urządzenia tego typu pozwalają nie tylko precyzyjnie wyznaczyć temperatury prze-

ROZDZIAŁ 9

Strona 130130130130

mian fazowych takich jak topnienie krystalizacja parowanie czy też przejścia szkliste ale roacutewnież wartość ciepła tych przemian

Przemiany termodynamiczne

W termodynamice szczegoacutelny nacisk kładzie się na opis przemian termodynamicznych zachodzących w gazach Jest to zagadnienie istotne ze względu na zastosowanie praktyczne ndash większość silnikoacutew spalino-wych wykorzystuje w swoim cyklu pracy przemiany gazowe

W tym rozdziale omoacutewimy cechy charakterystyczne czterech podstawo-wych gazowych przemian termodynamicznych izochorycznej izoba-rycznej izotermicznej oraz adiabatycznej

Przemiana izochoryczna

Podczas przemiany izochorycznej objętość gazu jest stała Zgodnie ze wzorem 96 ciepło dostarczone do n moli gazu jest proporcjonalne do roacuteżnicy temperatur i zależy od ciepła molowego przy stałej objętości CV charakterystycznego dla tej przemiany

∆TCnQ V= (914)

Ponieważ objętość w przemianie izochorycznej się nie zmienia więc praca termodynamiczna wykonana przez gaz wynosi zero (roacutewnanie 910) a więc zgodnie z I zasadą termodynamiki całe ciepło Q ktoacutere dostarczymy do układu jest roacutewne przyrostowi energii wewnętrznej układu

∆UQ = (915)

Poroacutewnując roacutewnania 914 oraz 915 otrzymujemy że przyrost energii wewnętrznej zależy tylko od przyrostu temperatury

∆TCn∆U V= (916)

Warto podkreślić że powyższa zależność jest prawdziwa dla każdej przemiany a nie tylko dla przemiany izochorycznej dla ktoacuterej ją wyprowadziliśmy

Zapiszmy roacutewnanie stanu gazu dla dwoacutech stanoacutew podczas przemiany izochorycznej

TERMODYNAMIKA

Strona 131131131131

=

=

22

11

TnVp

TnVp

R

R (917)

Z powyższego układu roacutewnań wynika że w przemianie izochorycznej stosunek ciśnienia do temperatury jest wielkością stałą

const===T

p

T

p

T

p

2

2

1

1

(918)

Na wykresie p(V) ciśnienia od objętości przedstawionym na rysunku 93 przemiana izochoryczna jest odcinkiem pionowym

Przemiana izobaryczna

Dla przemiany izobarycznej charakteryzującej się stałością ciśnienia ciepło Q dostarczone do układu jest proporcjonalne roacuteżnicy temperatur i zależy od wartości ciepła molowego przy stałym ciśnieniu Cp

∆TCnQ p= (919)

Zgodnie z roacutewnaniem 916 zmianę energii wewnętrznej dla dowolnej

przemiany termodynamicznej możemy zapisać jako ∆TCn∆U V= zaś praca wykonana przez układ podczas przemiany izobarycznej roacutewna się iloczynowi ciśnienia i zmiany objętości (roacutewnanie 910)

∆VpW = (920)

Zapisując roacutewnanie stanu gazu dla tej przemiany otrzymamy stałość stosunku objętości do temperatury

const===T

V

T

V

T

V

2

2

1

1

(921)

Na wykresie p(V) ciśnienia od objętości przemiana izobaryczna jest odcinkiem poziomym (rysunek 93)

Jeśli przemianę przeprowadzimy przy stałym ciśnieniu to ciepło dostarczone do układu Q zamieniane jest zaroacutewno na przyrost energii wewnętrznej ∆U jak i na pracę W wykonaną przez gaz co zgodnie z I zasadą termodynamiki możemy zapisać

W∆UQ += (922)

ROZDZIAŁ 9

Strona 132132132132

Korzystając z roacutewnania stanu gazu (roacutewnanie 92) możemy wyrazić zmianę objętości ∆V poprzez zmianę temperatury ∆T

∆TnR∆VpW == Woacutewczas roacutewnanie 922 można zapisać w postaci

∆Tn∆TCn∆TCn Vp R+= (923)

skąd otrzymujemy że molowe ciepło właściwe gazu przy stałym ciśnie-niu Cp jest większe od molowego ciepła właściwego przy stałej objętości CV o wielkość stałej gazowej R

R+= Vp CC (924)

Przemiana izotermiczna

W przemianie izotermicznej temperatura gazu nie zmienia się Zgodnie z roacutewnaniem stanu gazu stały woacutewczas jest iloczyn objętości i ciśnienia

const=== pVVpVp 2211 (925)

Wykres takiej przemiany na wykresie p(V) jest hiperbolą (rysunek 93) Ponieważ temperatura jest stała stała jest roacutewnież energia wewnętrzna gazu czyli zmiana energii wewnętrznej wynosi zero ∆U = 0

Zgodnie z I zasadą termodynamiki oznacza to że całe dostarczane do gazu ciepło Q jest zużywane na pracę gazu W (Q = W)

Pracę wykonaną przez gaz obliczamy ze wzoru 910 int=K

P

V

V

VpW d

Zależność ciśnienia od objętości wyznaczamy z roacutewnania stanu gazu i otrzymujemy wzoacuter całkowy

intint ==K

P

K

P

V

V

V

VV

VTnV

V

TnW

dRd

R (926)

Rozwiązaniem takiej całki jest funkcja logarytmiczna (ln) i po podstawieniu granic całkowania otrzymujemy pracę W wykonaną przez gaz przy izotermicznym (w temperaturze T) rozprężaniu n moli gazu z objętości początkowej VP do końcowej VK

P

K

V

VTnW lnR= (927)

TERMODYNAMIKA

Strona 133133133133

Jeśli gaz rozpręża się to 1gtP

K

V

V 0ln gt

P

K

V

V i praca wykonywana

przez gaz jest dodatnia W przeciwnym przypadku kiedy VP gtVK praca jest ujemna

Przemiana adiabatyczna

Przemiana adiabatyczna charakteryzuje się brakiem wymiany ciepła z otoczeniem Roacutewnanie tej przemiany ma postać

const==κ

22

κ11 VpVp (928)

gdzie wspoacutełczynnik κ nazywany wykładnikiem adiabaty oznacza stosu-nek molowego ciepła właściwego przy stałym ciśnieniu do molowego

ciepła właściwego przy stałej objętości Cp do Cv (V

p

C

C=κ ) Roacutewna-

nie 928 można roacutewnież zapisać

const==1κ-

22

1κ-11 VT VT (929)

Wykres adiabaty w zmiennych p(V) jest bardziej stromy niż izotermy (rysunek 93)

Rysunek 93 Schematyczny wykres przebiegu przemian gazowych

Pracę wykonaną w przemianie można obliczyć podobnie jak to zrobiliśmy dla przemiany izotermicznej ze wzoru 910 wprowadzając pod całkę zależność ciśnienia od objętości zgodnie ze wzorem 928 Otrzymujemy

ROZDZIAŁ 9

Strona 134134134134

minus

minus=

minus1

2

111

V

V1

1

VPW

κ

κ (930)

95 Teoria kinetyczno - molekularna gazoacutew

W dotychczasowym opisie właściwości termodynamicznych ciał posłu-giwaliśmy się głoacutewnie wielkościami makroskopowymi Obecnie szerzej zajmiemy się właściwościami ciał w ujęciu mikroskopowym

Ciśnienie gazu

Zastanoacutewmy się w jaki sposoacuteb cząsteczki gazu wywierają ciśnienie na ścianki naczynia w ktoacuterym się znajdują

Każda z cząsteczek gazu przy prostopadłym odbiciu od ścianki zmienia

swoacutej pęd o vvv m)m(m∆p 2=minusminus= Jeśli wektor pędu cząsteczki

tworzy ze ścianką kąt α zmiana pędu wynosi αsin2 vm∆p = Siła jaką wywiera cząsteczka na ściankę sześciennego naczynia zależy od zmiany wartości składowej pędu prostopadłej do ściany i może być zapisana

∆t

∆pF x= (931)

Czas ∆t pomiędzy dwoma kolejnymi zderzeniami cząsteczki ze ścianka-mi zależy od jej prędkość oraz rozmiaru l naczynia ndash pomiędzy zderze-niami przebywa ona drogę 2l

x

∆tv

l2= (932)

Zatem siła wywierana przez cząsteczkę na ściankę wynosi

TERMODYNAMIKA

Strona 135135135135

l2

2 2

xmF

v= (933)

Całkowita siła wywierana na ściankę przez wszystkie N cząsteczki gazu znajdujące się w naczyniu wynosi

[ ]2

xN

2

2x

2

1xc m

F vvv +++=l

(934)

Ponieważ założyliśmy że liczba cząsteczek w naczyniu jest bardzo duża interesuje nas zależność ciśnienia od średniej prędkości (a ściślej ndash od średniej kwadratu prędkości) obliczonej dla wszystkich cząsteczek Średnią kwadratu prędkości w kierunku x dla N cząsteczek wyrażamy jako

N

N

1i

2

xi

x

sum==

v

v (935)

Cząsteczka gazu może posiadać roacutewnież składowe prędkości w kierun-kach y i z Kwadrat jej prędkości zapisujemy jako

2

z

2

y

2

x

2vvvv ++= (936)

Średnią kwadratu prędkości możemy wyrazić jako sumę średnich kwad-ratoacutew składowych prędkości w poszczegoacutelnych kierunkach Ponieważ ruch cząsteczek jest przypadkowy średnie prędkości dla kierunkoacutew x y i z są jednakowe

22222xzyx vvvvv 3=++= (937)

Stąd siłę wywieraną na ściankę naczynia możemy zapisać jako

l3

2vNm

F = (938)

Ponieważ ciśnienie definiuje się jako stosunek siły do powierzchni ścian-ki otrzymujemy

3

2

ll 32

vNmFp == (939)

ROZDZIAŁ 9

Strona 136136136136

Zastępując l3 objętością naczynia V otrzymujemy

22

vv

nmm

V

Np

3

1

23

2== (940)

gdzie NV=n oznacza koncentrację cząsteczek gazu Poroacutewnując otrzymaną postać roacutewnania z roacutewnaniem stanu gazu (93) możemy wyrazić temperaturę jako funkcję średniego kwadratu prędkości cząsteczek

k

2

E3

2N

2

m

3

2NTNpV =

==

vBk (941)

W powyższym wzorze kE oznacza średnią energię kinetyczną cząsteczek gazu

Zasada ekwipartycji energii

Przekształcając roacutewnanie 941 otrzymujemy związek pomiędzy średnią energią kinetyczną a temperaturą

T2

3E k Bk= (942)

Udowodniliśmy że temperatura jest wskaźnikiem wartości średniej ener-gii kinetycznej cząsteczek gazu

Z podstaw mechaniki wiemy jednak że ciało może posiadać energię kinetyczną nie tylko w postaci ruchu postępowego ale roacutewnież ruchu obrotowego lub drgającego Jeżeli każdy z rodzajoacutew ruchoacutew oraz każdy z kierunkoacutew w ktoacuterych cząsteczka gazu może się poruszać nazwiemy stopniem swobody f to można wykazać że średnia energia kinetyczna przypadająca na jeden stopień swobody jest taka sama dla wszystkich cząsteczek i wynosi

TE Bk2

1= (943)

Powyższą zasadę nazywamy zasadą ekwipartycji energii

TERMODYNAMIKA

Strona 137137137137

Cząsteczki jednoatomowe mogą poruszać się jedynie ruchem postępo-wym w trzech kierunkach wiec charakteryzować się będą trzema f = 3 stopniami swobody a średnia energia kinetyczna cząsteczek takiego gazu

będzie wynosiła TE Bk23=

Przykładem gazu jednoatomowego jest hel He

Energia związana z ruchem obrotowym nabiera znaczenia w przypadku gazoacutew dwuatomowych Prostym modelem cząsteczki takiego gazu mogą być hantle składające się z dwoacutech kul Hantle te mogą wirować w dwoacutech prostopadłych kierunkach wokoacuteł osi przechodzącej przez środek odcinka łączącego kule (w przypadku atomoacutew o roacuteżnych masach przechodzącej przez środek masy) Energia związana z takim obrotem może być prze-kazywana w wyniku zderzeń Nie ma natomiast możliwości przekazywa-nia energii związanej z obrotem hantli wokoacuteł osi roacutewnoległej do odcinka łączącego kule W efekcie dla gazoacutew dwuatomowych oproacutecz trzech stopni swobody związanych z ruchem postępowym mamy roacutewnież dwa dodatkowe stopnie swobody związane z ruchem obrotowym ndash f = 5 ndash a średnia energia kinetyczna cząsteczek takiego gazu będzie wynosiła

TE Bk25= Gazami dwuatomowymi są np tlen O2 czy azot N2

Gazy wieloatomowe tworzą większe cząsteczki ktoacutere oproacutecz ruchu postępowego mogą wykonywać ruch obrotowy względem trzech osi a więc ich całkowita liczba stopni swobody wynosi f = 6 Przykładem gazu wieloatomowego jest metan CH4

Ciepło molowe gazoacutew

Zdefiniowaliśmy wcześniej ciepło molowe jako wielkość charakteryzu-jącą substancję i określającą ilość ciepła jaką potrzeba dostarczyć żeby podnieść temperaturę jednego mola danej substancji o jeden stopień Po-kazaliśmy roacutewnież że średnia energia kinetyczna cząsteczek gazu zależy od ilości stopni swobody Wynika z tego że roacutewnież ciepło właściwe gazoacutew musi być zależne od liczby stopni swobody gdyż wraz ze wzros-tem tej liczby ta sama ilość energii dostarczana do gazu będzie się roz-kładać na większą ilość rodzajoacutew ruchu a więc wzrost temperatury jednego mola gazu będzie mniejszy Zatem najmniejsze ciepło właściwe mają gazy jednoatomowe a największe ndash wieloatomowe

ROZDZIAŁ 9

Strona 138138138138

Ciepło molowe przy stałej objętości

Jak wykazaliśmy w rozdziale 94 dla przemiany izochorycznej zmiana energii wewnętrznej roacutewna jest ciepłu dostarczonemu do układu

∆U∆TCnQ V == (944)

Przekształcając powyższą zależność i korzystając z zasady ekwipartycji energii ciepło właściwe przy stałej objętości CV możemy zapisać

Rf

∆Tn

∆UCV 2

== (945)

Dla gazu jednoatomowego ciepło właściwe przy stałej objętości wynosi CV = 32R dla gazu dwuatomowego CV = 52R a gazu wieloatomowego CV = 3R Należy jednak zauważyć że wartość ta może zależeć od tempe-ratury Pewne rodzaje ruchu wymagają dostatecznie wysokiej temperatu-ry żeby zostać bdquowzbudzonerdquo Z tego względu ciepło molowe gazoacutew dwuatomowych w temperaturze bliskiej temperatury skraplania może wynosić nie 52R a 32R

Ciepło molowe przy stałym ciśnieniu

Jeśli przemianę przeprowadzimy przy stałym ciśnieniu (przemiana izo-baryczna) to ciepło dostarczone do układu Q zamieniane jest zaroacutewno na przyrost energii wewnętrznej ∆U jak i na pracę W wykonaną przez gaz Molowe ciepło właściwe gazu przy stałym ciśnieniu Cp jest większe od molowego ciepła właściwego przy stałej objętości CV o wielkość stałej gazowej R

R+= Vp CC (946)

96 Roacutewnanie stanu gazu rzeczywistego

Właściwości gazoacutew rzeczywistych roacuteżnią się od właściwości gazu ideal-nego Rozpatrzmy prosty model mechaniczny składający się z cylindra z tłokiem wypełnionego gumowymi piłeczkami ktoacutery to model pozwoli nam lepiej zrozumieć roacuteżnice miedzy gazem doskonałym i rzeczywistym

TERMODYNAMIKA

Strona 139139139139

oraz zachowanie gazu rzeczywistego Jeśli piłeczek jest niewiele odle-głości między piłeczkami są duże i poruszają się one szybko możemy zastosować opis identyczny jak w przypadku gazu doskonałego Oddzia-ływania piłeczek możemy woacutewczas opisać z bardzo dobrym przybliżeniem jako zderzenia sprężyste W roacutewnaniach opisujących te zderzenia interesować nas będzie zachowanie środka masy piłeczek a ich rozmiar będzie miał drugorzędne znaczenie Jeśli odległości między piłeczkami są małe objętości piłeczek oraz ich deformacje zaczynają istotnie wpływać na zachowanie całego układu

Roacutewnaniem pozwalającym w przybliżony sposoacuteb modelować zachowa-nie gazoacutew rzeczywistych jest model van der Waalsa Roacutewnanie stanu gazu w tym modelu ma postać

( ) TnbVV

ap

2R=minus

+ (947)

W poroacutewnaniu z roacutewnaniem stanu gazu doskonałego w roacutewnaniu gazu rzeczywistego ciśnienie p powiększone jest o człon odwrotnie proporcjo-nalny do kwadratu objętości zajętej przez gaz Człon ten uwzględnia siły przyciągania między molekułami i określany jest jako tzw ciśnienie wewnętrzne gazu Objętość V zbiornika w ktoacuterym zajmuje gaz rzeczy-wisty została natomiast pomniejszona o tzw objętość wewnętrzną ktoacutera jest proporcjonalna do objętości cząsteczek gazu Wielkości a i b z roacutewnania van der Waalsa przyjmują roacuteżne wartości dla roacuteżnych gazoacutew i wpływają na kształt izoterm p(V) W wysokich temperaturach gdy prędkości cząsteczek gazu są znaczne kształt tych izoterm oraz właści-wości gazu rzeczywistego są zbliżone do gazu doskonałego

97 Cykle gazowe

Cyklem będziemy nazywać proces lub szereg procesoacutew ktoacutere doprowa-dzają układ termodynamiczny z powrotem do warunkoacutew początkowych Z cyklami gazowymi mamy do czynienia min w silnikach spalinowych

ROZDZIAŁ 9

Strona 140140140140

Cykl Carnota

Pierwszym cyklem jaki omoacutewimy będzie cykl Carnota Wyobraźmy sobie cylinder z gazem doskonałym ktoacuterego ścianki stanowią idealną izolację termiczną Pierwszym etapem cyklu (rysunek 94 a) będzie rozprężanie izotermiczne ndash do układu dostarczane jest ciepło ktoacutere w całości zamieniane jest na pracę rozprężenia gazu i podniesienia tłoka Zgodnie z roacutewnaniem stanu gazu doskonałego dla przemiany izotermicz-nej (roacutewnanie 928) skoro objętość gazu wzrasta to ciśnienie proporcjo-nalnie maleje Drugi etap cyklu Carnota to rozprężanie adiabatyczne Do układu nie jest już dostarczane ciepło i zakładamy że dno cylindra staje się roacutewnież idealnie izolujące (może się to odbywać za pomocą specjal-nej ruchomej przegrody) tak że cały układ jest całkowicie izolowany od otoczenia Podczas przemiany adiabatycznej zgodnie z roacutewnaniem adia-baty (roacutewnanie 931) ciśnienie gazu nadal spada a objętość rośnie Wy-konywana jest woacutewczas praca mechaniczna kosztem energii wewnę-trznej gazu i w efekcie temperatura gazu obniża się do T2 W tej części cyklu gaz roacutewnież wykonuje pracę rozprężając się i przesuwając tłok W trzecim etapie cyklu ponownie mamy do czynienia z przemianą izo-termiczną Otwieramy przegrodę cieplną umożliwiając odpływ ciepła do chłodnicy ale ponieważ roacutewnocześnie wykonujemy nad gazem pracę sprężania gazu energia wewnętrzna gazu nie zmienia się i jego tempera-tura jest stała W czwartym etapie ponownie zamykamy przegrodę ter-miczną (układ jest izolowany od otoczenia) wciąż wykonując pracę sprężania gazu Przy braku wymiany ciepła z otoczeniem zgodnie z roacutewnaniem adiabaty sprężaniu towarzyszyć będzie wzrost ciśnienia gazu i temperatury do T1 W ten sposoacuteb wracamy do punktu początkowego

Sprawność silnika termodynamicznego

Cykl Carnota pełni w termodynamice szczegoacutelnie ważną rolę gdyż dla tego cyklu otrzymujemy maksymalną możliwą sprawność zamiany cie-pła na pracę

Sprawność cyklu η definiujemy jako stosunek pracy użytecznej W wykonanej przez gaz do ciepła QG dostarczonego do gazu w danym cyklu

G

ZG

G Q

QQ

Q

W minus==η (948)

TERMODYNAMIKA

Strona 141141141141

W trakcie cyklu gaz pobiera ciepło QG ze zbiornika gorącego część tego ciepła zużywając na wykonanie pracy W a resztę oddając do chłodnicy (QZ) Zatem praca jaką wykonuje gaz jest roacutewna roacuteżnicy ciepła dostar-czonego ze zbiornika gorącego i oddanego do chłodnicy

ZG QQW minus= (949)

Tak zdefiniowana sprawność jest zawsze mniejsza od jedności gdyż układ nie może wykonać pracy roacutewnej lub większej niż ilość ciepła pobrana ze źroacutedła o temperaturze wyższej Część ciepła jest zawsze od-dawana do chłodnicy i nie jest możliwa całkowita zamiana ciepła na pracę

W przypadku cyklu Carnota ciepło jest dostarczane i oddawane z układu jedynie podczas izotermicznego sprężania i rozprężania odpowiednio Ciepło dostarczone możemy więc zastąpić ciepłem pobranym ze zbiorni-ka gorącego QG zaś ciepło oddane ciepłem oddanym zimnemu zbiorni-kowi QZ Można wykazać że dla cyklu Carnota prawdziwa jest relacja

Z

Z

G

G

T

Q

T

Q= (950)

gdzie TG i TZ są temperaturami gorącego i zimnego zbiornika odpowied-nio Woacutewczas sprawność cyklu Carnota można zapisać

G

ZG

T

TT minus=η (951)

Z powyższego wzoru na sprawność cyklu Carnota maksymalną możliwą do osiągnięcia sprawność wynika że im większa jest roacuteżnica temperatur tym wyższa jest sprawność całego cyklu Widzimy roacutewnież że do uzyskania wysokiej sprawności potrzebne jest źroacutedło ciepła ale roacutewnież odpowiednio efektywny system chłodzenia

Sprawność maszyny chłodniczej

Wyobraźmy sobie że przeprowadzimy cykl Carnota w odwrotnym kierunku tzn będziemy wykonywali pracę nad układem tak żeby układ pobierał ciepło ze zbiornika chłodniejszego i oddawał je do zbiornika cieplejszego W takim przypadku interesuje nas sprawność chłodnicza czyli stosunek ciepła odebranego ze zbiornika zimnego QZ do wykonanej pracy W

ROZDZIAŁ 9

Strona 142142142142

ZG

Z

ZG

Z

TT

T

QQ

Q

minus=

minus=η (952)

Praca W roacutewna jest roacuteżnicy ciepła QG oddanego do gorącego zbiornika i ciepła QZ pobranego z zimnego zbiornika a oba te ciepła podobnie jak w cyklu Carnota można powiązać z temperaturami zbiornika zimnego TZ i gorącego TG Sprawność chłodnicza jest zawsze większa od jedności i jest tym większa im mniejsza jest roacuteżnica temperatur między zbiornika-mi gorącym i zimnym

Przykładem zastosowania odwroacuteconego cyklu termodynamicznego może być klimatyzacja z tzw pompą ciepła Klimatyzacja taka może działać w obie strony ndash latem pobiera ciepło z wewnątrz budynku i oddaje je na zewnątrz a zimą pobiera ciepło z zewnątrz i oddaje je do wnętrza Aby klimatyzacja działała niezbędne jest wykonanie pracy Warto zauważyć że w poroacutewnaniu z tradycyjnymi metodami ogrzewania budynku układ z pompą ciepła jest wydajniejszy ndash jeśli zużyjemy tę samą ilość prądu na zasilanie grzejnika elektrycznego i zasilanie pompy ciepła ciepło dostar-czone do budynku będzie zawsze większe w przypadku pompy ciepła Wadami pomp ciepła są skomplikowana konstrukcja wpływająca na zwiększoną awaryjność oraz duży koszt całego układu Pompy ciepła wymagają ponadto z reguły dużego wymiennika ciepła

Chłodziarki i zamrażarki roacutewnież odbierają ciepło z komory chłodniczej W tym przypadku obok cyklu gazowego wykorzystujemy roacutewnież cie-pło przemian fazowych Sprężony przez kompresor gaz ulega skropleniu w systemie rurek wymiennika ciepła (znajdującego się z reguły w tylnej części chłodziarki) W obiegu wewnątrz komory chłodziarki ciśnienie spada i ciecz ulega przemianie w gaz pobierając przy tym ciepło z ko-mory Następnie gaz jest sprężany przez kompresor i cykl przemian może ulec powtoacuterzeniu

Cykl Otta

Cykl Otta stanowi dobre przybliżenie cyklu realizowanego w typowym silniku benzynowym W częściej spotykanym silniku czterosuwowym cykl pracy silnika zaczyna się od zassania do wnętrza cylindra mieszanki paliwowej ndash tłok cofa się przy otwartym zaworze (przy stałym ciśnieniu zwiększa się objętość gazu) Następnie zawoacuter zamyka się a tłok spręża mieszankę Sprężanie odbywa się na tyle szybko że może być uznane za proces adiabatyczny ndash nie ma wymiany ciepła z blokiem silnika Sprężo-na mieszanka ulega następnie zapłonowi co jest tak szybkim procesem

TERMODYNAMIKA

Strona 143143143143

że z powodzeniem można przyjąć że jest to przemiana izochoryczna ndash tłok nie zdążył się jeszcze ruszyć a jedynie wzrosło ciśnienie i tempera-tura gazu W kolejnej fazie cyklu gorący gaz rozpręża się adiabatycznie wypychając tłok a więc wykonując pracę nad tłokiem Po jego zakoń-czeniu kiedy tłok osiągnie maksymalne wychylenie otwiera się zawoacuter wydechu Powoduje to spadek ciśnienia gazu przy stałej jego objętości W kolejnym etapie cyklu zawoacuter wydechu jest wciąż otwarty a tłok wy-pycha spaliny z cylindra przy stałym ciśnieniu wracając do położenia początkowego Zależność ciśnienia od objętości dla cyklu Otta pokazana jest na rysunku 94 b)

Sprawność cyklu Otta wynosi

VC

R

2

1

V

V1η

minus= (953)

gdzie V1 i V2 oznaczają odpowiednio minimalną i maksymalną objętość cylindra

Cykl Diesla

Cykl Diesla zaczyna się podobnie jak cykl Otta ndash tłok cofa się zasysając powietrze do wnętrza cylindra Następnie zachodzi adiabatyczne spręża-nie powietrza zawartego w cylindrze W silniku Diesla proces spalania paliwa ma inny charakter niż w cyklu Otta ndash zamiast iskry wywołującej zapłon stosujemy w nim świecę żarową ktoacuterej głoacutewnym zadaniem jest wspomaganie rozruchu silnika Pary oleju sprężone do odpowiedniego ciśnienia ulegają bowiem samozapłonowi Etap spalania paliwa dostarczający ciepło niezbędne do działania silnika nie jest modelowany przez przemianę izochoryczną ale przez proces izobaryczny (rysu-nek 94 c) Następnie podobnie jak w cyklu Otta następuje rozprężanie adiabatyczne w trakcie ktoacuterego silnik wykonuje pracę Kiedy tłok znajdzie się w najdalszym położeniu (objętość gazu jest największa) otwiera się zawoacuter wydechu i ciśnienie gazu spada Podobnie jak w przy-padku silnika benzynowego cykl kończy wypchnięcie spalin z wnętrza cylindra poprzez ruch tłoka

Sprawność silnika Diesla można wyrazić wzorem

ROZDZIAŁ 9

Strona 144144144144

( )

21

κ21

κ

3

2

VV1

VV1

V

V

κ

11η

minus

minus

minus= (954)

Silniki Diesla ze względu na wyższy stopień sprężania są postrzegane jako oszczędniejsze mimo że wyliczona z powyższego wzoru sprawność silnika Diesla w poroacutewnaniu z cyklem Otta jest nieco mniejsza Silniki Diesla dobrze pracują przy niskich obrotach wytwarzając duży moment obrotowy i są mało wrażliwe na uszkodzenia instalacji elektrycznej ktoacutera jest potrzebna jedynie do rozruchu silnika Ich wadą jest trudny rozruch zimnego silnika

Cykl Stirlinga

W przeciwieństwie do poprzednio omawianych silnikoacutew w silniku Stirlinga gaz znajdujący się w cylindrze nie ulega wymianie w trakcie cyklu Silnik tego typu wymaga do działania jedynie źroacutedła ciepła oraz odpowiednio wydajnego chłodzenia Ciepło jest dostarczane i odbierane w sposoacuteb ciągły Cykl Stirlinga składa się z dwoacutech przemian izotermicz-nych na przemian z przemianami izochorycznymi (rysunek 94d) Istnie-je kilka rozwiązań samego silnika realizującego taki cykl W jednym z nich silnik składa się z dwoacutech cylindroacutew jednego połączonego ze źroacutedłem ciepła a drugiego z chłodnicą Cylindry te są połączone ze sobą kanałem umożliwiającym przepływ gazu Początkowo cały gaz znajduje się w cylindrze gorącym ndash w cylindrze chłodzonym tłok znajduje się w położeniu odpowiadającym minimum objętości W wyni-ku podgrzewania następuje rozprężanie (izotermiczne) gazu w cylindrze gorącym i silnik wykonuje pracę Po osiągnięciu pełnego wychylenia przez tłok w cylindrze gorącym zaczyna on opadać wypychając gaz do cylindra chłodnego w ktoacuterym tłok unosi się zasysając gaz W ten sposoacuteb dochodzi do wymiany gazu między cylindrami Po przepompo-waniu do cylindra chłodnego ciśnienie gazu spada W cylindrze chłodzo-nym gaz jest poddawany izotermicznemu sprężaniu a następnie jest wypychany do cylindra gorącego Tam jego ciśnienie wzrasta i cykl do-chodzi do warunkoacutew początkowych

Cykl Stirlinga charakteryzuje wysoka sprawność ktoacutera może osiągać wartości zbliżone do sprawności silnika Carnota

TERMODYNAMIKA

Strona 145145145145

( ) C12

V

C

ηVVn

c1

ηη

ln R+

= (955)

gdzie ηC oznacza sprawność silnika Carnota Silnik Stirlinga działa na-wet przy niewielkiej roacuteżnicy temperatur i dlatego stosowany jest do przetwarzania energii cieplnej uzyskanej ze źroacutedeł geotermalnych lub z procesoacutew fermentacji Jego wadą są stosunkowo duże rozmiary i kosz-ty wykonania urządzeń tego typu Silniki tego typu są mało awaryjne i z tego względu istnieją plany stosowania ich np w sondach kosmicz-nych wyposażonych w promieniotwoacutercze źroacutedło ciepła Są roacutewnież ci-che co czyni je przydatnymi do stosowania w łodziach podwodnych z napędem jądrowym W tym przypadku wydajne chłodzenie silnika zapewnia woda morska

Rysunek 94 Wybrane cykle termodynamiczne a) Carnota b) Otta

c) Diesla d) Stirlinga

Druga zasada termodynamiki

Wspominaliśmy już że w cyklu silnika jedynie część energii pobieranej ze źroacutedła gorącego jest zamieniana na pracę a część jest oddawana do chłodnicy Na przykładzie cyklu chłodniczego przekonaliśmy się że aby

ROZDZIAŁ 9

Strona 146146146146

przekazać ciepło z ciała zimnego do ciała gorącego niezbędne jest wyko-nanie pracy Oba te spostrzeżenia mogą być podstawą do sformułowa-nia drugiej zasady termodynamiki

Niemożliwe jest przekazywanie ciepła przez ciało o niższej temperaturze ciału o wyższej temperaturze bez wprowadzenia innych zmian w obu ciałach i ich otoczeniu

lub w innym sformułowaniu

Niemożliwe jest pobieranie ciepła z jednego źroacutedła i zamiana go na pracę bez wprowadzenia innych zmian w układzie i jego otoczeniu

Druga zasada termodynamiki zaprzecza istnieniu tzw perpetuum mobile drugiego rodzaju czyli całkowitej zamiany ciepła w pracę Druga zasada termodynamiki nakłada ograniczenia na wartość sprawności silnika ndash nie jest możliwe zbudowanie silnika o sprawności większej niż sprawność silnika Carnota

98 Entropia

Swobodny przepływ ciepła następuje tylko w kierunku od ciała gorącego do ciała zimnego Zgodnie z drugą zasadą termodynamiki przepływ w odwrotną stronę nie może odbywać się samoistnie i wymaga wykona-nia pracy nad układem Szczegoacutełowa analiza tego problemu pokazuje że kierunek zachodzenia procesoacutew fizycznych w przyrodzie jest wyznaczo-ny przez zmiany wartości pewnej funkcji stanu układu zwanej entropią

Entropia jest funkcją stanu a więc jej zmiana zależy jedynie od począt-kowego i końcowego stanu układu a nie zależy od sposobu przejścia między tymi stanami Dla przemiany izotermicznej zmianę entropii mo-żemy zdefiniować jako stosunek ilości ciepła ∆Q otrzymanego przez układ do temperatury w ktoacuterej układ otrzymał to ciepło Jest to tzw cie-pło zredukowane

T

∆Q∆S = (956)

W ogoacutelnym przypadku należy zastosować definicję roacuteżniczkową zmiany entropii

TERMODYNAMIKA

Strona 147147147147

T

QS

dd = (957)

Jeżeli szukamy zmiany entropii ∆S podczas jakiegoś procesu termodyna-micznego musimy dodać (scałkować) wszystkie składowe infinitezymal-ne zmiany entropii dS

Korzystając z pierwszej zasady termodynamiki oraz ciepło δQ można wyrazić za pomocą pracy δW oraz zmiany energii wewnętrznej dU a w konsekwencji za pomocą zmiany objętości dV oraz zmiany tempera-tury dT W efekcie po scałkowaniu otrzymujemy wzoacuter na zmianę entropii dla dowolnej przemiany gazowej gazu doskonałego

P

K

V

P

K

T

TCn

V

Vn∆S ln ln R += (958)

Entropię można roacutewnież definiować jako miarę tej części energii wew-nętrznej układu ktoacutera nie może być użyta do wykonania pracy mecha-nicznej co możemy zapisać w następujący sposoacuteb

VpSTU ddd minus= (959)

Entropia pokazuje w ktoacuterym kierunku procesy fizyczne mogą biec sa-morzutnie Jeżeli zmiana entropii układu w pewnym procesie wynosi zero to proces taki jest odwracalny czyli może zachodzić w obu kierun-kach Zmiana entropii dla cyklu Carnota podobnie jak dla każdego procesu cyklicznego roacutewnież wynosi zero gdy jest on odwracalny

Przemiany nieodwracalne przebiegają samorzutnie tylko w określonym

kierunku W przypadku tych przemian entropia wzrasta 0gt∆S Przy-kładem może być połączenie dwoacutech zbiornikoacutew zawierających odpo-wiednio gorący i zimny gaz Po usunięciu przegrody dzielącej zbiorniki dojdzie do wymiany energii kinetycznej pomiędzy cząsteczkami gazu a więc w konsekwencji do samorzutnego wyroacutewnania temperatur obu porcji gazu W przyrodzie proces ten nie zachodzi w odwrotnym kierun-ku ndash nie obserwujemy spontanicznego samorzutnego podgrzewania jednej porcji a oziębiania drugiej porcji gazu Możemy jednak osiągnąć taki efekt dostarczając do układu ciepło lub wykonując nad nim pracę Wtedy układ ten nie będzie jednak układem zamkniętym

ROZDZIAŁ 9

Strona 148148148148

Definicja statystyczna entropii

Entropia ma roacutewnież swoją definicję statystyczną Rozpatrzmy najpierw przykład nieodwracalnej przemiany rozprężania gazu do zbiornika z proacuteżnią W przyrodzie nie obserwujemy zachodzenia tego procesu w odwrotnym kierunku tzn nie jest możliwe aby wszystkie cząsteczki gazu z jednego zbiornika same spontanicznie go opuściły wytwarzając tam proacuteżnię Aby osiągnąć taki stan czyli aby wypompować gaz z jed-nego zbiornika i uzyskać proacuteżnię musimy użyć odpowiedniej pompy a więc wykonać pracę Możemy powiedzieć że najbardziej prawdopo-dobna będzie konfiguracja gdzie w obu zbiornikach będziemy mieli tyle samo cząsteczek Dla uproszczenia rozpatrzmy układ dwoacutech zbiornikoacutew w ktoacuterych znajdują się ponumerowane cztery cząsteczki Najbardziej prawdopodobny będzie taki stan (nazywany makrostanem) w ktoacuterym w obu zbiornikach będą dwie cząsteczki Ale taki makrostan może być zrealizowany na wiele sposoboacutew (poprzez wiele mikrostanoacutew) tzn w zbiorniku mogą być następujące konfiguracje cząsteczek (12) (13) (14) (23) (24) (34) Makrostan z jedną cząsteczką w prawym zbiorniku może być zrealizowany przez 4 mikrostany tzn w zbiorniku tym mogą być cząsteczki (1) lub (2) lub (3) lub (4) Liczba mikrostanoacutew realizujących dany mikrostan oznaczana jest symbolem w i definiuje entropię układu (wzoacuter Boltzmanna-Plancka)

( )wS ln k B= (960)

W celu wyznaczenia zmiany entropii układu należy obliczyć roacuteżnicę entropii końcowej i początkowej

P

K

BPKw

wkSS∆S ln=minus= (961)

Wyznaczmy teraz prawdopodobieństwa roacuteżnych konfiguracji dla wyniku rzutu dwiema kostkami do gry Wyniki bdquo2rdquo oraz bdquo12rdquo można uzyskać tylko w jeden sposoacuteb ndash rzucając dwie bdquojedynkirdquo lub dwie bdquoszoacutestkirdquo Prawdopodobieństwo uzyskania takiego wyniku jest zatem dość niskie ndash wynosi 1616=0028 Wynik bdquo3rdquo można uzyskać na dwa sposoby ndash wyrzucając bdquo1rdquo i bdquo2rdquo lub bdquo2rdquo i bdquo1rdquo Wynik ten ma zatem wyższą wielokrotność konfiguracji Prawdopodobieństwo uzyskania takiego wyniku jest roacutewnież dwa razy wyższe ndash wynosi 0056 W rzucie dwiema kostkami najbardziej prawdopodobny jest wynik bdquo7rdquo ndash można go uzys-kać na 6 sposoboacutew Wynik ten reprezentuje zatem roacutewnież największą entropię

TERMODYNAMIKA

Strona 149149149149

Zwiększanie się entropii w wyniku przemian termodynamicznych ozna-cza dążenie do stanoacutew najbardziej prawdopodobnych czyli do stanoacutew roacutewnowagowych Łatwo zauważyć że układy te reprezentują roacutewnież największy nieporządek Wroacutećmy do przykładu z rozprężeniem gazu do proacuteżnego zbiornika ndash stan w ktoacuterym jeden zbiornik jest proacuteżny a sąsied-ni zbiornik jest wypełniony gazem reprezentuje bardzo niską entropię Wyroacutewnanie się ciśnień w obu zbiornikach powoduje przejście do stanu o najwyższej entropii Widzimy zatem że w układzie zamkniętym bę-dzie pojawiał się nieporządek

Jeśli zbudujemy wieżę z kamieni wykonujemy pracę by wytworzyć stan o wysokim porządku ndash zatem o niskiej entropii W przypadku wieży stanem o najwyższej entropii jest losowe rozrzucenie kamieni Jeśli nie będziemy wykonywać nad tym układem żadnej pracy pod wpływem czynnikoacutew zewnętrznych stopniowo będzie dążył do stanu o wyższej entropii ndash wieża będzie się rozpadać aż do zamiany w stertę rozrzuco-nych kamieni W przyrodzie struktury uporządkowane takie jak żywe organizmy istnieją dzięki źroacutedłu energii jakim jest Słońce Energia czer-pana ze Słońca (w przypadku niektoacuterych bakterii energia może być po-zyskiwana z innych źroacutedeł) jest wykorzystywana na wykonywanie pracy i budowę struktur o wysokim uporządkowaniu Bez źroacutedła energii orga-niżmy żywe umierają ndash przechodzą w stan o wyższej entropii Warto zwroacutecić uwagę że procesy śmierci i rozkładu można interpretować w ra-mach przemian termodynamicznych Ciepło wytwarzane w procesie fer-mentacji szczątkoacutew organicznych może być odzyskiwane i wykorzysty-wane jako alternatywne źroacutedło energii

99 Właściwości termiczne materii

Mechanizmy przekazywania ciepła

Procesy transportu energii zmierzają do wyroacutewnywania energii w całym układzie prowadząc układ do stanu roacutewnowagi W przyrodzie istnieją trzy podstawowe mechanizmy przekazywania ciepła

bull przewodnictwo cieplne

bull konwekcja (unoszenie)

ROZDZIAŁ 9

Strona 150150150150

bull promieniowanie

Przewodnictwo cieplne

Przewodnictwo cieplne jest związane z przekazywaniem energii przez cząstki o wyższej energii cząstkom o niższej energii Jeśli w jednym miejscu ciała dostarczane jest ciepło cząstki z ktoacuterych zbudowane jest ciało uzyskują wyższą energię W przypadku gazu będzie to większa energia kinetyczna cząsteczek gazu w przypadku ciała stałego będziemy mieli do czynienia z większą energią drgań atomoacutew wokoacuteł ich położeń roacutewnowagi Energia ta jest przekazywana sąsiednim atomom tak żeby minimalizować roacuteżnicę temperatur pomiędzy ciepłym a chłodnym koń-cem W przypadku gazu przekazywanie energii kinetycznej odbywa się poprzez zderzenia zaś w ciele stałym w wyniku oddziaływań między atomami

Z codziennego doświadczenia wiemy że roacuteżne materiały mają roacuteżną przewodność cieplną Wysoką przewodność cieplną mają na przykład metale Związane jest to z przewodzeniem ciepła nie tylko na skutek drgań jąder atomowych ale roacutewnież zderzeń swobodnych elektronoacutew obecnych w metalach Tworzywa sztuczne takie jak guma czy polietylen są z reguły izolatorami elektrycznymi i wykazują roacutewnież niewielką przewodność cieplną

Strumień ciepła JQ czyli ciepło dQ przepływające w czasie dt przez po-wierzchnię dS jest proporcjonalny do gradientu temperatury wywołują-cego przepływ ciepła Wspoacutełczynnik proporcjonalności λ nazywa się wspoacutełczynnikiem przewodności cieplnej jest cechą charakterystyczną danego materiału i wyraża się w Wm

-1K

-1

W jednowymiarowym przypadku gradient temperatury jest roacutewny po-chodnej temperatury po wspoacutełrzędnej x i woacutewczas przepływ ciepła może być opisany następującą zależnością (prawo Fouriera przewodnictwa cieplnego)

x

T

St

QJ Q d

d

d d

dλminus== (962)

Dla cienkich warstw przybliżeniem gradientu temperatury jest iloraz roacuteżnicy temperatur przez grubość przegrody Rozpatrzmy cienką prze-grodę o grubości L i powierzchni S wykonaną z materiału o wspoacutełczyn-niku przewodności cieplnej λ ktoacutera oddziela zbiornik gorący o tempera-turze TG od zimnego o temperaturze TZ W takim przypadku ilość ciepła

TERMODYNAMIKA

Strona 151151151151

Q przepływająca przez przegrodę w czasie t (moc P) wyraża się wzorem (za bdquoPodstawy Fizykirdquo Halliday Resnick Walker PWN 2003)

L

TTSk

t

QP ZG minus

== (963)

Dla takiej przegrody można roacutewnież wyznaczyć wartość oporu cieplnego R będącego wspoacutełczynnikiem proporcjonalności między mocą przepły-wającego ciepła a roacuteżnicą temperatur

Sk

LR = (964)

Należy pamiętać że tak zdefiniowana wielkość charakteryzuje dane cia-ło a nie materiał z ktoacuterego jest wykonane

W układzie składającym się z wielu warstw przy stacjonarnym przepły-wie ciepła (temperatury i wartość strumienia ciepła nie zmieniają się w czasie) ciepło przepływające przez każdą z warstw jest jednostce czasu jest taki samo Rozpatrując przykład dwoacutech warstw wykonanych z roacuteżnych materiałoacutew roacutewnania Fouriera możemy zapisać w postaci

( ) ( )

2

Z122

1

12G1

L

TTSk

L

TTSkP

minus=

minus= (965)

gdzie T12 oznacza temperaturę na granicy dwoacutech warstw Wyznaczając z powyższego roacutewnania temperaturę T12 możemy wyznaczyć całkowitą moc traconą przez taką podwoacutejną przegrodę

( )

2

2

1

1

ZG

k

L

k

L

TTSP

+

minus=

(966)

W ogoacutelnym przypadku moc ciepła przepływającego przez przegrodę składającą się z kilku warstw o roacuteżnych grubościach Li oraz wspoacutełczyn-nikach przewodności cieplnej ki możemy zapisać

( )

sum

minus=

i i

i

ZG

k

L

TTSP

(967)

ROZDZIAŁ 9

Strona 152152152152

Konwekcja

Konwekcja jest mechanizmem przekazywania ciepła charakterystycz-nym dla płynoacutew (gazoacutew i cieczy) i nazywana bywa roacutewnież przepływem masowym Zwiększenie temperatury płynoacutew powoduje zmniejszenie ich gęstości a w konsekwencji pojawienie się siły wyporu skierowanej pionowo do goacutery Charakterystyczne przy tym jest że ruch taki może dotyczyć nie tylko pojedynczych cząsteczek ale roacutewnież znacznych objętości płynu

Prostym przykładem konwekcji jest ruch wody podgrzewanej w garnku Woda ogrzana przy dnie za sprawą siły wyporu unosi się ku powierz-chni gdzie ulega wychłodzeniu i opada ponownie na dno gdzie ponow-nie się ogrzewa wywołując cyrkulację w całym naczyniu Podobne zja-wisko w znacznie większej skali obserwujemy w roztopionych skałach pod powierzchnią Ziemi - gdzie gorąca magma wypływa ku powierz-chni gdzie stygnie i opada Ruchy konwekcyjne roztopionych skał kształtują powierzchnię Ziemi i mają decydujący wpływ na dryf płyt kontynentalnych unoszących się na powierzchni magmy Opis ruchoacutew konwekcyjnych mas powietrza jest jednym z podstawowych zagadnień meteorologii Ruchy te powodują powstawanie wiatroacutew i chmur a także powstawanie i przemieszczanie się frontoacutew atmosferycznych

Przepływ konwekcyjny jest podstawą działania instalacji centralnego ogrzewania Ciepła woda ogrzana w piecu lub kotle unosi się do goacutery wymuszając jednocześnie napływ zimniejszej wody do wymiennika cie-pła W grzejnikach woda (napływająca goacuternym wlotem) ochładza się i opada w kierunku pieca W samych grzejnikach powietrze jest zasysane znad podłogi ogrzewa się pomiędzy żebrami i unosi do goacutery Na podob-nej zasadzie działa wentylacja grawitacyjna W przypadku kiedy proces wymiany ciepła w urządzeniu jest w danym zastosowaniu zbyt powolny można wymusić konwekcję Prostym przykładem wymuszonej konwek-cji jest chłodnica samochodowa Wiatrak chłodnicy wymusza przepływ powietrza między żebrami wymiennika ciepła Identyczną funkcję pełni wiatrak na radiatorze procesora komputerowego W przypadku cieczy chłodzących o znacznej gęstości przepływ może być wymuszany za pomocą pomp Pompy wspomagające obieg wody i powietrza w piecu mogą być stosowane w domowych instalacjach grzewczych

Promieniowanie cieplne

Kolejnym mechanizmem wymiany ciepła jest promieniowanie cieplne Podstawy fizyczne tego zjawiska omoacutewimy w dalszej części wykładu

TERMODYNAMIKA

Strona 153153153153

Teraz podamy jedynie wzoacuter określający ilość energii wypromieniowa-nej lub pochłoniętej przez ciało przez jednostkę powierzchni

4TσE = (968)

Jest to tzw wzoacuter Stefana-Boltzmanna opisujący całkowitą (integralną) zdolność emisyjną ciała czyli energię wypromieniowaną w całym widmie częstotliwości Promieniowanie cieplne zależy od temperatury w potędze czwartej ale roacutewnież od rodzaju powierzchni ciała Powierz-chnie ciemne dobrze pochłaniają ale i dobrze wypromieniowują ciepło Pomalowany czarnym lakierem pojazd szybko nagrzewa się ale roacutewnie szybko stygnie Samochoacuted z jasnym nadwoziem pochłania niewiele cie-pła ale i niewiele oddaje Odbijanie ciepła jest podstawą działania tzw folii ratunkowej znajdującej się w apteczce samochodowej Ułożona srebrną stroną do ciała folia zabezpiecza przed wychłodzeniem odbijając promieniowanie cieplne do środka Ułożenie stroną złotą do ciała i srebrną na zewnątrz zmniejsza promieniowanie zewnętrzne i chro-ni przed przegrzaniem

Izolacja termiczna

Policzmy moc jaka jest tracona przez okno o powierzchni S=1m2 wykonane z pojedynczej szyby o grubości d=4mm i wspoacutełczynniku przewodności cieplnej k=1 zakładając temperaturę na zewnątrz TZ = -20oC=253K oraz wewnątrz pomieszczenia TW=20oC=293K

Zaniedbamy efekty związane z promieniowaniem cieplnym i konwekcją analizując jedynie przewodnictwo cieplne Korzystając ze wzoru 914 otrzymujemy znaczną stratę ciepła o mocy 10kW

( 100000040

25329311 =

minussdot=

P )

Rozważmy teraz drugi przypadek w ktoacuterym zastosowano podwoacutejną szybę Przy czym odległość między szybami wynosi z=1cm a przestrzeń jest wypełniona powietrzem o wspoacutełczynniku przewodności k=0025 Założymy że w tej warstwie powietrza konwekcja nie występuje Po podstawieniu do wzoru 918 opisującego wielowarstwową przegrodę otrzymujemy P=98W Widzimy że w przypadku zastosowania dwoacutech szyb przedzielonych warstwą powietrza strumień ciepła przepływający przez okno jest ponad 1000 razy mniejszy W krajach skandynawskich stosuje się nierzadko okna z trzema szybami ktoacutere gwarantują jeszcze niższe straty ciepła Podobny efekt wykorzystujemy w przypadku cegieł ceramicznych z kanałami powietrznymi czy popularnych wykończeń ścian typu bdquosidingrdquo W przypadku takich przegroacuted powietrznych najważ-

ROZDZIAŁ 9

Strona 154154154154

niejszym zagadnieniem jest uniknięcie lub zminimalizowanie konwek-cyjnego transportu ciepła Można to osiągnąć zamykając powietrze wew-nątrz małych poroacutew materiału Efekt taki jest wykorzystywany min w płytach styropianowych i piankach poliuretanowych Materiały te są bardzo lekkie ponieważ puste przestrzenie pomiędzy bdquowięźbąrdquo polime-rową wypełnia powietrze Materiałem o najlepszych własnościach izolacyjnych jest aerożel oparty na spienionych związkach krzemu

Konwekcja i przewodzenie cieplne nie występują roacutewnież w proacuteżni po-nieważ nie ma tam cząsteczek gazu ktoacutere mogłyby uczestniczyć w trans-porcie ciepła Na tym efekcie opiera się działanie tzw naczynia Dewara Spomiędzy podwoacutejnych ścianek tego naczynia wypompowuje się powie-trze Kontakt termiczny pomiędzy wewnętrznymi a zewnętrznymi ścian-kami istnieje jedynie przy wlocie naczynia ktoacutery ma jednak niewielki przekroacutej poprzeczny i powierzchnię Prostym przykładem naczynia Dewara jest termos Termosy szklane długo zachowują proacuteżnię są nato-miast podatne na uszkodzenia mechaniczne Termosy metalowe są wy-trzymałe mechanicznie ale ciśnienie wewnątrz stopniowo wzrasta i po pewnym czasie tracą one właściwości izolujące

Ciepło właściwe ciał stałych

Pojemność cieplną ciał stałych opisuje tzw model Debyersquoa Zakłada on że transport ciepła w ciałach stałych zachodzi w postaci rozchodzenia się drgań Im wyższa temperatura tym liczba wzbudzanych rodzajoacutew drgań rośnie ndash wzrasta roacutewnież ciepło właściwe W zakresie temperatur poniżej tzw temperatury Debyersquoa θ wzrost ten odbywa się proporcjonalnie do trzeciej potęgi temperatury Powyżej temperatury Debyersquoa wzrost war-tości ciepła właściwego jest znacznie mniej dynamiczny Wartością gra-niczną dla tzw ciał prostych ndash np kryształoacutew zbudowanych z jednego pierwiastka ndash jest wartość trzykrotnej stałej gazowej 3R Zależność tą określa się prawem Dulonga-Petita

Ciepło właściwe materii związane jest roacutewnież z ruchem elektronoacutew Elektronowe ciepło właściwe jest wprost proporcjonalne do temperatury W bardzo niskich temperaturach czynnik ten ma decydujący wpływ na całkowitą wartość ciepła właściwego

Pełna postać wzoru na ciepło właściwe ciał stałych przyjmuje zatem postać

TbaT += 3vc (969)

TERMODYNAMIKA

Strona 155155155155

Rozszerzalność cieplna ciał stałych

Drgania termiczne atomoacutew w ciałach stałych wpływają na zwiększenie średniej odległości międzyatomowej i zarazem zwiększają makroskopo-wą objętość kryształoacutew Efekt ten jest związany z kształtem potencjału oddziaływania międzyatomowego Rozszerzalność temperaturową ciał stałych możemy przybliżyć funkcją liniową wprowadzając wspoacutełczyn-nik rozszerzalności cieplnej i w przypadku jednowymiarowym np dłu-gości cienkiego pręta zapisujemy

∆TαL

∆LL

0

= (970)

gdzie αL jest wspoacutełczynnikiem rozszerzalności liniowej o wymiarze K-1 Zakładając jednakowe rozszerzanie się materiału w każdym kierunku (izotropia) wspoacutełczynnik rozszerzalności objętościowej αV jest roacutewny trzykrotnej wartości wspoacutełczynnika rozszerzalności liniowej αL a zależ-ność zmian objętości od temperatury zapisujemy

∆TαV

∆VV

0

= (971)

Rozszerzalność cieplna ciał stałych musi być uwzględniana przy projek-towaniu konstrukcji i połączeń konstrukcyjnych Materiały z ktoacuterych wykonane są obiekty takie jak mosty i wiadukty drogowe (stal i beton) mają z reguły inną rozszerzalność cieplną niż skała lub grunt na ktoacuterym są oparte Aby uniknąć nadmiernych naprężeń mechanicznych związa-nych z termicznym odkształcaniem się materiałoacutew na styku roacuteżnych ele-mentoacutew konstrukcyjnych stosuje się tzw szczeliny dylatacyjne Rolę takich szczelin dylatacyjnych spełnia roacutewnież fuga między płytkami ce-ramicznymi ale niezbędne jest roacutewnież zastosowanie odpowiednio elas-tycznej zaprawy klejącej tak aby nie doszło do zerwania kontaktu płytki z podłożem lub pęknięcia płytki W przyrodzie naprężenia powstające w skałach ogrzewanych przez słońce lub ochładzanych przez wiatr są jednym z głoacutewnych czynnikoacutew erozji

Zjawisko rozszerzalności cieplnej ciał można wykorzystać podczas nito-wania Wciskając nit w otwoacuter w rozgrzanym materiale zyskujemy ciasne połączenie po ostygnięciu Podobny efekt możemy otrzymać łącząc ma-teriały o roacuteżnym wspoacutełczynniku rozszerzalności cieplnej Często stoso-wanym czujnikiem temperatury opartym na zjawisku rozszerzalności cieplnej jest tzw bimetal Jest to pasek zbudowany z połączonych ze

ROZDZIAŁ 9

Strona 156156156156

sobą dwoacutech warstw metali o roacuteżnym wspoacutełczynniku rozszerzalności cieplnej Jeśli długość jednej z warstw paska wzrośnie pod wpływem temperatury bardziej niż drugiego cały pasek ulegnie wygięciu Bimetal możemy wykorzystywać np jako wyłącznik zwierający w instalacji przeciwpożarowej bądź wyłącznik rozwierający w instalacji zapobiega-jącej przegrzaniu się urządzenia

10 Elektrostatyka

W tym rozdziale

o Ładunek elektryczny oddziaływanie ładunkoacutew prawo Coulomba

o Natężenie pola elektrycznego ładunkoacutew dyskretnych oraz ciągłych rozkładoacutew ładunkoacutew

o Energia i potencjał w polu elektrycznym o Prawo Gaussa przykłady zastosowania prawa

Gaussa o Pojemność elektryczna kondensatory o Dielektryki

ROZDZIAŁ 10

Strona 158158158158

101 Ładunek elektryczny

Zjawisko elektryzowania ciał jest znane od czasoacutew starożytności Jeśli potrzemy kawałkiem jedwabiu o szkło zauważymy że kawałek szkła nabierze ciekawych właściwości ndash będzie przyciągał drobinki kurzu lub drobne skrawki papieru oraz jedwab ktoacuterym go pocieraliśmy Podobny efekt zaobserwujemy w przypadku kawałka bursztynu potartego o futro Jeśli zbliżymy do siebie szkło i bursztyn zauważymy ponadto że przy-ciągają się nawzajem Natomiast dwa takie kawałki szkła czy dwa ka-wałki bursztynu będą się nawzajem odpychać Ponadto bursztyn będzie odpychał kawałek jedwabiu ktoacuterym naelektryzowano szkło a szkło bę-dzie odpychać futro ktoacuterym naelektryzowano bursztyn

Aby usystematyzować powyższy opis założymy że podczas pocierania umieszczamy na ciele ładunek elektryczny elektryzując go w ten sposoacuteb Znak ładunku może być dodatni lub ujemny Ustalmy że w przypadku elektryzowania bursztynu ładunek znajdujący się na powierzchni bur-sztynu ma znak ujemny a na powierzchni futra użytego do elektryzowa-nia pozostaje identyczna porcja ładunku dodatniego Znak ładunku poja-wiającego się na powierzchni elektryzowanego szkła jest natomiast dodatni Opisane wyżej obserwacje wskazują że ładunki o identycznym znaku ndash jednoimienne ndash odpychają się a ładunki o roacuteżnych znakach ndash roacuteżnoimienne ndash przyciągają się Efekt odpychania się jednoimiennych ładunkoacutew można czasem zauważyć w burzowy dzień lub stojąc pod linią elektryczną wysokiego napięcia w postaci włosoacutew bdquostających dębardquo Ładunki zgromadzone na naszym ciele i ubraniach są przyciągane przez chmurę burzową czy linię energetyczną gromadzą się na włosach ale jednocześnie jako ładunki o tym samym znaku chcą być jak najdalej od siebie powodując że włosy bdquostają dębardquo

Ładunek elektryczny wymieniany jest w porcjach Najmniejszą niepo-dzielną porcję ładunku nazywamy ładunkiem elementarnym e i jest on roacutewny ładunkowi elektronu Wartość ładunku elementarnego wynosi e=160210ndash19C gdzie C jest jednostką ładunku elektrycznego ndash kulom-bem Ponieważ elektron ma ładunek ujemny więc zjawisko elektryzowa-nia ciał polega na wytworzeniu na nich nadmiaru elektronoacutew ndash wtedy ła-dunek ciała jest ujemny lub niedoboru elektronoacutew ndash w takim przypadku ładunek ciała jest dodatni

ELEKTROSTATYKA

Strona 159159159159

Ciała mogą mieć roacuteżne właściwości elektryczne Ciała w ktoacuterych ładu-nek może swobodnie się przemieszczać nazywamy przewodnikami (np metale) zaś ciała w ktoacuterych ruch ładunku jest niemożliwy nazywamy izolatorami (większość materiałoacutew organicznych i tworzyw sztucznych)

Oproacutecz omoacutewionego wcześniej elektryzowania przez pocieranie ciała można elektryzować roacutewnież przez indukcję Załoacuteżmy że naładowany ładunkiem ujemnym kawałek szkła zbliżymy do fragmentu przewodnika (metalu) Ładunek w metalu może się swobodnie przemieszczać Ponie-waż jak już zauważyliśmy ładunki tego samego znaku odpychają się z fragmentu przewodnika w pobliżu naładowanego ujemnie izolatora od-płynie ładunek ujemny Ten fragment metalu będzie zatem naładowany ładunkiem dodatnim Nie jest to jednak stan trwały i gdy następnie oddalimy naładowany fragment izolatora sytuacja wroacuteci do stanu po-czątkowego Jeśli jednak koniec metalu naładowany ujemnie podłączy-my na chwilę do tzw uziemienia ładunek ten spłynie do Ziemi Jak przekonamy się poacuteźniej zjawisko to jest wynikiem wyroacutewnania poten-cjałoacutew pomiędzy naładowanym obiektem i Ziemią ktoacutera ma bardzo dużą pojemność ndash może przyjąć bardzo dużo ładunku Jeśli teraz usunie-my połączenie pomiędzy metalem a ziemią a następnie usuniemy nała-dowany ujemnie izolator na metalu pozostanie ładunek dodatni Metal został naładowany przez indukcję

102 Prawo Coulomba

Określimy teraz ilościowo siły wzajemnego oddziaływania pomiędzy ładunkami

Siła oddziaływania pomiędzy dwoma ładunkami punktowymi Q1 oraz Q2 umieszczonymi w proacuteżni w odległości r od siebie zgodnie z prawem Coulomba jest proporcjonalna do wartości tych ładunkoacutew oraz odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości między nimi

204 r

QQF 21

πε= (101)

ROZDZIAŁ 10

Strona 160160160160

gdzie ε0 jest stałą przenikalności dielektrycznej proacuteżni i jest roacutewna

( )2212 NmC 108854 minussdot=0ε

(w przybliżeniu 2

29

Nm

C 10 minussdot=

π36

10ε )

Ponieważ siła oddziaływania elektrostatycznego jest wektorem więc jeśli obliczamy siły działające w układzie kilku ładunkoacutew musimy zastosować dodawanie wektorowe Jako przykład policzymy siłę oddziaływania na jeden z ładunkoacutew w układzie czterech ładunkoacutew dodatnich Q znajdujących się w wierzchołkach kwadratu o boku a (rysu-nek 101) Ponieważ ładunki są jednoimienne to wybrany ładunek odpychany jest przez jego trzech bdquosąsiadoacutewrdquo siłami F1 F2 i F3 oznaczonymi na rysunku 101 Siły F1 i F3 są roacutewne co do wartości (identyczne ładunki znajdują się w tej samej odległości)

204 a

QQFF 31

πε== (102)

Siły te są do siebie prostopadłe a więc dodając je wektorowo otrzymuje-my siłę wypadkową skierowaną wzdłuż przekątnej kwadratu

20

2

4

2

a

QF13

πε= (103)

Siła F2 pochodząca od ładunku znajdującego się po przekątnej kwadratu ma kierunek i zwrot identyczny jak siła F13 i wartość roacutewną

( )2

0

2

24 a

QF 2

πε= (104)

Wartość siły wypadkowej FW działająca na jeden z ładunkoacutew jest więc sumą F2 oraz F13

( )

20

2

πε8

122

a

QFW

+= (105)

ELEKTROSTATYKA

Strona 161161161161

Rysunek 101 Siły działające w układzie jednakowych ładunkoacutew Q

rozmieszczonych w wierzchołkach kwadratu o boku a

103 Natężenie pola elektrycznego

Ładunki elektryczne są źroacutedłem pola elektrycznego podobnie jak masa jest źroacutedłem pola grawitacyjnego Właściwości pola elektrycznego można badać umieszczając w nim ładunek Jeśli jednak ładunek ten będzie miał znaczną wartość w stosunku do ładunku badanego zakłoacuteci to pole elektryczne Z tego względu posłużymy się ładunkiem proacutebnym dodatnim q0 ndash o wartości na tyle małej że nie wprowadza dużych zakłoacuteceń badanego pola Tor ruchu takiego proacutebnego ładunku umiesz-czonego w obszarze pola elektrycznego wyznacza linie pola elektryczne-go Wektor siły działającej na proacutebny ładunek jest zawsze styczny do linii pola Dla ładunku punktowego linie sił pola rozchodzą się promie-niście w przestrzeni

Z obserwacji wynika że siła F działająca na ładunek umieszczony w po-lu elektrycznym jest proporcjonalna do wartości tego ładunku q Wynika z tego że stosunek siły działającej na ładunek proacutebny do wartości tego ładunku ma stałą wartość charakteryzującą pole elektryczne w tym punkcie i nazywany jest natężeniem pola elektrycznego E

ROZDZIAŁ 10

Strona 162162162162

204 r

Q

q

FE

Eq

F

πε==

==r

r

const

(106)

Natężenie pola elektrycznego jest miarą siły działającej na jednostkowy proacutebny ładunek elektryczny

Tak zdefiniowana wielkość jest niezależna od wielkości ładunku proacuteb-nego jest zatem wyłącznie właściwością badanego pola Natężenie pola elektrycznego jest wektorem ktoacuterego kierunek i zwrot jest identyczny jak zwrot siły działającej na dodatni ładunek umieszczony w badanym polu

Rozważmy układ dwoacutech ładunkoacutew punktowych o identycznym co do wartości ładunku Q znajdujących się w pewnej odległości D od siebie Obliczmy natężenie w roacuteżnych punktach położonych na prostej przecho-dzącej przez oba ładunki w przypadku kiedy ładunki są jednoimienne Woacutewczas zewnątrz układu oba wektory natężenia są skierowane w tym samym kierunku i sumują się Dla dużych odległości r od ładunkoacutew (rgtgtD) natężenie pola elektrycznego jest w przybliżeniu roacutewne natężeniu pochodzącemu od ładunku o wartości 2Q

Na odcinku łączącym oba ładunki wektory natężenia są skierowane prze-ciwnie Wartość wektora wypadkowego jest więc roacuteżnicą wartości wektoroacutew składowych i wynosi

( )20

20 πε4πε4 rD

Q

r

QE

minusminus= (107)

gdzie r oznacza odległość od jednego z ładunkoacutew W przypadku kiedy znajdziemy się w połowie odległości między ładunkami (r = D2) wartość natężenia pola elektrycznego wynosi zero E = 0 ponieważ wektory składowe znoszą się

Dipol elektryczny

Jeśli ładunki Q w powyższym przykładzie są roacuteżnoimienne to taki układ nazywa się dipolem elektrycznym Wartość wektora natężenia pola elek-trycznego na osi ale na zewnątrz dipola jest roacuteżnicą wartości wektoroacutew składowych ndash wektory mają przeciwne zwroty Natomiast na odcinku

ELEKTROSTATYKA

Strona 163163163163

łączącym ładunki wektory natężenia dodają się ndash wartość wektora wy-padkowego jest sumą wartości wektoroacutew składowych W połowie odleg-łości między ładunkami natężenie pola elektrycznego układu wynosi

( ) ( ) 20

20

20

πε4

8

2πε42πε4 D

Q

D

Q

D

QE =+= (108)

Rysunek 102 Natężenie pola elektrycznego pochodzącego od dipola elektrycznego na symetralnej osi dipola

W przypadku dipola elektrycznego istotne jest roacutewnież znalezienie natę-żenia pola elektrycznego na symetralnej osi dipola (rysunek 102) Jeśli narysujemy wektory natężenia pola elektrycznego pochodzące od każde-go z ładunkoacutew w danym punkcie odległym o z od osi dipola okaże się że ich składowe prostopadłe do odcinka łączącego ładunki znoszą się a prostopadłe ndash dodają Wypadkowe natężenie pola elektrycznego wyno-si woacutewczas

( )424πε4

222

220 Dz

D

Dz

QE W

++=

(109)

Dla dużych odległości z od osi dipola natężenie na symetralnej osi dipola maleje z sześcianem odległości z zgodnie ze wzorem

30

30 πε4πε4 z

p

z

QDE W == (1010)

ROZDZIAŁ 10

Strona 164164164164

Wektor Dqprr

= jest dipolowym momentem elektrycznym dipolu Natężenie pola elektrycznego na osi dipola jest dwukrotnie większe i wynosi

30πε2 z

pE

OŚ= (1011)

Natężenie pola elektrycznego dla dipola elektrycznego ma więc silnie kierunkowy charakter ndash wynosi zero na osi dipola dla dużych odległości oraz maleje z sześcianem odległości w kierunku prostopadłym do na osi dipola

Natężenie pola elektrycznego ciągłych rozkładoacutew ładunkoacutew elektrycznych

W poprzednim przykładzie pokazaliśmy jak policzyć natężenie pola elektrycznego pochodzącego od układu dwoacutech dyskretnych ładunkoacutew W przypadku naładowanych obiektoacutew np naładowanych prętoacutew pier-ścieni czy płyt mamy do czynienia z ciągłym rozkładem ładunku Obiekt taki traktujemy woacutewczas tak jakby składał się z wielu małych ładunkoacutew punktowych dq ktoacutere są źroacutedłem pola elektrycznego Natęże-nie wypadkowe możemy wyrazić przez sumę natężeń pochodzących od każdego z małych ładunkoacutew przy czym sumowanie zastępujemy całkowaniem

int=2

0πε4 r

qE

d (1012)

Przykład

Jako przykład obliczmy natężenie pola elektrycznego w środku poacutełokrę-gu o promieniu R zbudowanego z jednorodnie naładowanego ładunkiem Q pręta Rozpatrzmy mały odcinek tego poacutełokręgu ktoacuterego położenie może być określone za pomocą kąta α względem osi symetrii poacutełokręgu (rysunek 103) na ktoacuterym zgromadzony jest ładunek dq Taka mała porcja ładunku dq wytwarza w środku okręgu natężenie pola elektrycz-nego dE ktoacutere jest składową całkowitego natężenia pochodzącego od naładowanego poacutełokręgu Porcja ładunku dq znajdująca się na drugiej połoacutewce poacutełokręgu położona symetrycznie do pierwszej wytwarza natę-żenie pola elektrycznego dE o takiej samej wartości i zwrocie symetrycz-nym względem osi poacutełokręgu Wypadkowe natężenie pola elektrycznego

ELEKTROSTATYKA

Strona 165165165165

dEp jest skierowane roacutewnolegle do osi poacutełokręgu Podobny zwrot wy-padkowego wektora natężenia otrzymamy dla każdej pary ładunkoacutew dq położonych symetrycznie względem osi okręgu z ktoacuterego wycięto poacuteło-krąg Wartość składowej prostopadłej dEp możemy wyrazić za pomocą funkcji kąta α

204

22R

qEE p

πε

αα

cosdcosdd == (1013)

Całkowite natężenie pochodzące od rozpatrywanego poacutełokręgu będzie wyrażone za pomocą całki

int=2Q

pR

qE

02

0πε4

α2

cosd (1014)

Jako goacuterną granice całkowania przyjęliśmy tylko połowę całkowitego ładunku Q ponieważ przy wyliczeniu natężenia dEp wzięliśmy już pod uwagę wkład pochodzący od dwoacutech połoacutewek łuku Żeby obliczyć powyższą całkę musimy znaleźć relację między kątem α a ładunkiem dq i dokonać zamiany zmiennych W tym celu wprowadzimy gęstość liniową ładunku (podobnie liczyliśmy już moment bezwładności pręta) Ponieważ ładunek Q zgromadzony jest na poacutełokręgu więc gęstość

liniowa ładunku wynosiR

Q

πλ = a ładunek dq zgromadzony na odcin-

ku dl wynosi ldd λ=q Dodatkowo po zamianie zmiennych liniowych

na kątowe Rαdd =l otrzymujemy

Rq αλ dd = (1015)

Przy zamianie zmiennej całkowania z dq na dα granice całkowania wynoszą 0 oraz π2 Po wyciągnięciu stałych przed znak całki otrzymujemy

20

20

2

00

22

2

R

Q

RE

RE

p

p

εππε

λ

ααπε

λπ

==

= int dcos

(1016)

ROZDZIAŁ 10

Strona 166166166166

Rysunek 103 Wyznaczanie natężenia pola elektrycznego pochodzące

od naładowanego pręta wygiętego w poacutełokrąg

104 Energia i potencjał w polu elektrycznym

Energia jaką posiada ładunek w polu elektrycznym jest roacutewna pracy jaką należało wykonać aby umieścić go w danym miejscu tego pola

Jest to definicja identyczna jak ta wprowadzona już dla pola grawitacyj-nego Skorzystaliśmy woacutewczas ze wzoru całkowego na pracę

int= xF(x)W d

Obliczamy pracę przeniesienia ładunku Q2 z nieskończoności do punktu odległego o R od ładunku Q1 będącego źroacutedłem pola elektrycznego

intinfin

=R

21 rr

QQW d

204πε

(1017)

R

QQWE 21

pot

04πε== (1018)

ELEKTROSTATYKA

Strona 167167167167

Warto zauważyć że postać energii potencjalnej pola elektrycznego jest podobna do wyrażenia jakie otrzymaliśmy dla pola grawitacyjnego

Jeżeli w polu elektrycznym przesuwamy między dwoma punktami ładu-nek q to praca jaką wykonujemy jest proporcjonalna do wartości tego ładunku Stosunek tej pracy przesunięcia dW ładunku do wartości ładun-ku q jest dla danych dwoacutech punktoacutew stały i nie zależy od wartości ładun-ku Stosunek ten definiuje roacuteżnicę potencjałoacutew dV między tymi dwoma punktami pola czyli napięcie elektryczne U

q

E

q

WVU

potddd === (1019)

Jednostką napięcia (potencjału) jest 1 wolt 1V=1J1C czyli jest to napięcie między takimi punktami między ktoacuterymi przesunięcie ładunku 1C wymaga pracy 1J Potencjał pola elektrycznego jest związany z natężeniem pola elektrycznego zależnością

( )z

Vk

y

Vj

x

VizyxVE

d

d

d

d

d

dgrad

rrrr++=minus= (1020)

Roacuteżnicę potencjałoacutew Uab między punktami a i b możemy więc zapisać

int==b

a

ab xE(x)∆VU d (1021)

Dla pola elektrycznego wytworzonego przez punktowy ładunek Q poten-cjał pola w odległości r od tego ładunku wynosi

r

QV

04πε= (1022)

Warto podkreślić że potencjał pola elektrycznego jest wielkością skalarną i addytywną czyli potencjał wytwarzany przez układ ładunkoacutew jest sumą potencjałoacutew wytwarzanych przez każdy z ładunkoacutew w danym punkcie Powierzchnie stałego potencjału (powierzchnie ekwipotencjal-ne) są prostopadłe do linii sił pola

Wroacutećmy do przykładu dwoacutech ładunkoacutew o identycznej wartości znajdu-jących się w odległości D od siebie Pokazaliśmy już że jeśli ładunki są jednoimienne natężenie pola w połowie odległości między nimi jest

ROZDZIAŁ 10

Strona 168168168168

roacutewne zeru Jeśli jednak obliczymy potencjał w tym punkcie otrzymamy

2πε42πε4 00 D

Q

D

QV += (1023)

W przypadku dwoacutech ładunkoacutew roacuteżnoimiennych natężenie obliczone w połowie odległości między nimi wynosi dwukrotną wartość natężenia pochodzącego od pojedynczego ładunku Potencjał obliczony w tym samym punkcie jest roacutewny zeru

0=minus=2πε42πε4 00 D

Q

D

QV (1024)

W elektrostatyce często będziemy posługiwać się pojęciem roacuteżnicy potencjałoacutew pomiędzy dwoma punktami ndash roacuteżnica ta jest miarą pracy jaką należy wykonać przemieszczając ładunek między tymi punktami

105 Prawo Gaussa

Pokazaliśmy już że natężenie pola elektrycznego pochodzącego od wielu ładunkoacutew punktowych jest sumą wektorową natężeń pochodzą-cych od każdego z ładunkoacutew a w przypadku obiektoacutew naładowanych ciągłym rozkładem ładunku sumowanie zastępujemy całkowaniem Obliczenia takie bywają jednak często bardzo żmudne i wymagają dobrej znajomości zależności geometrycznych występujących w bada-nym układzie W wielu przypadkach znacznie prostszą metodą okazuje się skorzystanie z prawa Gaussa

Aby zapisać prawo Gaussa wprowadzimy najpierw wielkość zwaną stru-mieniem natężenia pola elektrycznego

Jeśli linie sił pola elektrycznego przecinają daną powierzchnię to strumień wektora natężenia pola elektrycznego jest zdefiniowany jako iloczyn skalarny wektora natężenia pola elektrycznego i wektora normalnego zewnętrznego do danej powierzchni o wartości roacutewnej polu tej powierzchni

αSESEΦ E cos=sdot=rr

(1025)

ELEKTROSTATYKA

Strona 169169169169

gdzie α oznacza kąt między wektorem normalnym do powierzchni a wektorem natężenia pola elektrycznego Widzimy że im większy kąt α tym mniejsza wartość strumienia Jeśli wektor natężenia jest skierowa-ny roacutewnolegle do powierzchni to strumień jest roacutewny zeru Jeżeli war-tość wektora natężenia przecinającego powierzchnię jest roacuteżna w roacuteż-nych jej punktach bądź roacuteżny jest kąt pomiędzy tym wektorem a powierzchnią w obliczaniu strumienia korzystamy z zależności całkowej

int sdot= SEΦ E

rrd (1026)

Na przykładzie ładunku punktowego zauważyliśmy że linie sił są rozmieszczone gęściej w pobliżu ładunku a rzadziej kiedy badamy pole w większej odległości od niego Gęstość rozmieszczenia linii odpowia-dająca wartości wektora natężenia zmienia się zatem z odległością Jednak całkowita liczba linii sił pola nie zmienia się chyba że w prze-strzeni umieścimy kolejny ładunek ktoacutery stałby się źroacutedłem pola Zatem całkowity strumień natężenia wytwarzany przez ładunek przechodzący przez powierzchnię zamkniętą wewnątrz ktoacuterej on się znajduje pozostaje stały Strumień nie zależy roacutewnież od kształtu przyjętej powierzchni Mierząc zależność pomiędzy strumieniem a wartością ładunku można sformułować prawo Gaussa

Strumień całkowity wektora natężenia pola przechodzący przez

dowolną powierzchnię zamkniętą pomnożony przez stałą 0ε jest

roacutewny sumie ładunkoacutew elektrycznych obejmowanych przez tę powierzchnię

0ε

QSE =sdotintrr

d (1027)

Prawo Gaussa choć jest wyrażone wzorem całkowym w wielu przypad-kach pozwala na szybkie obliczanie natężenia bez konieczności stosowa-nia rachunku całkowego Należy dobrać zamkniętą powierzchnię całko-wania w taki sposoacuteb aby wektor natężenia był stały w każdym jej punkcie i przecinał tę powierzchnię pod stałym kątem

Ładunek punktowy

Zastosujemy prawo Gaussa do wyznaczenia natężenia pola elektryczne-go wytwarzanego przez ładunek punktowy i poroacutewnamy z prawem Coulomba W przypadku ładunku punktowego jako powierzchnię zam-kniętą dla ktoacuterej będziemy liczyli strumień natężenia pola elektryczne-

ROZDZIAŁ 10

Strona 170170170170

go warto wybrać sferę z ładunkiem punktowym w środku (rysu-nek 105) Woacutewczas wartość natężenia pola elektrycznego w każdym jej punkcie będzie taka sama (rozkład linii pola elektrycznego wytworzo-nego przez ładunek punktowy jest symetryczny) oraz w każdym punkcie wektor natężenia pola elektrycznego będzie roacutewnoległy do wektora normalnego do powierzchni Woacutewczas iloczyn skalarny może być zastą-piony iloczynem obu wielkości a całka ze strumienia wektora natężenia pola elektrycznego będzie roacutewna iloczynowi wartości natężenia pola elektrycznego oraz powierzchni sfery

0

24ε

πQ

rE = (1028)

a po przekształceniach otrzymujemy wynik zgodny z prawem Coulomba

204 r

QE

πε= (1029)

W kolejnych przykładach zastosujemy prawo Gaussa do wyznaczenia natężenia pola elektrycznego wytworzonego przez kulę o promieniu R naładowaną ładunkiem Q wykonaną w pierwszym przypadku z prze-wodnika (metalu) natomiast w drugim z izolatora (dielektryka)

Rysunek 105 Powierzchnie zamknięte używane przy obliczaniu

natężenia pola elektrycznego z prawa Gaussa

Naładowana kula metalowa

Ładunki w metalu mogą się swobodnie przemieszczać W sytuacji więc gdy metalową kulę naładujemy jednoimiennym ładunkiem ładunki będą się odpychały i tak się rozmieszczą na powierzchni ciała żeby być jak najdalej od siebie W efekcie cały ładunek Q rozłoży się roacutewnomiernie

ELEKTROSTATYKA

Strona 171171171171

na powierzchni takiej kuli W tym przypadku roacutewnież warto wybrać powierzchnię Gaussa jako sferę wspoacutełśrodkową z naładowaną kulą (rysunek 105)

Jeśli promień takiej sfery Gaussa jest mniejszy od promienia kuli nasza sfera nie obejmie żadnego ładunku (cały ładunek jest na powierzchni) i woacutewczas zgodnie z prawem Gaussa natężenie pola elektrycznego będzie zerowe

RrSE lt=sdotint dla 0drr

(1030)

Wewnątrz każdej metalowej powierzchni zamkniętej niezależnie od zgromadzonego czy wyindukowanego na niej ładunku natężenie pola elektrycznego będzie zerowe Taka zamknięta powierzchnia nazywana jest puszką Faradayrsquoa Przykładami puszki Faradayrsquoa jest karoseria samochodu czy kadłub samolotu W obu przypadkach chronią one znajdujące się wewnątrz osoby przed skutkami wyładowań atmosferycz-nych ndash w przypadku trafienia przez piorun cały ładunek spływa po powierzchni Podobną funkcję pełnią metalizowane powłoki torebek antystatycznych do przechowywania elementoacutew elektronicznych

Rysunek 104 Wykres natężenia pola elektrycznego pochodzącego

od naładowanej kuli metalowej i kuli z dielektryka w funkcji odległości od środka kuli

Jeśli promień sfery Gaussa r jest większy lub roacutewny promieniowi R kuli (r ge R) woacutewczas obejmuje ona cały ładunek Q ktoacuterym naładowana jest kula Wektor natężenia pola elektrycznego jest w każdym punkcie takiej sfery stały i prostopadły do powierzchni zatem (podobnie jak dla ładunku punktowego) prawo Gaussa przyjmie postać

ROZDZIAŁ 10

Strona 172172172172

RrQ

rE ge= dla 0

2

επ4 (1031)

Obliczone w ten sposoacuteb natężenie pola elektrycznego daje wynik iden-tyczny jak w przypadku ładunku punktowego znajdującego się w środku kuli Oznacza to że na zewnątrz naładowanej kuli można ją traktować jako ładunek punktowy znajdujący się w środku tej kuli (rysunek 104)

Naładowana kula dielektryczna

W dielektrykach ładunek nie może się swobodnie przemieszczać i zakła-damy że jest rozłożony jednorodnie w całej objętości kuli z gęstością objętościową ρ Wybierzmy teraz sferę Gaussa wewnątrz kuli Ładunek obejmowany przez sferę jest proporcjonalny do jej objętości Natężenie pola elektrycznego obliczone z prawa Gaussa wyniesie

Rr

rE

r

rElt

=

= dla

0

0

3

2

3

3

4

4

ε

ρ

ε

ρππ

(1032)

Natężenie pola elektrycznego jest więc proporcjonalne do promienia sfery Gaussa (rysunek 104) Kiedy promień sfery Gaussa zroacutewna się z promieniem kuli obejmie ona całkowity ładunek na niej zgromadzony Przy dalszym zwiększaniu promienia sfery Gaussa będzie wzrastać jej powierzchnia ale nie ładunek ndash zatem natężenie na zewnątrz kuli będzie zmniejszać się w funkcji odległości Podobnie jak w przypadku kuli metalowej natężenie jest odwrotnie proporcjonalne do kwadratu odleg-łości a postać wzoru jest identyczna jak w przypadku kiedy całkowity ładunek znajdowałby się w samym środku kuli

Naładowany pręt

Stosując prawo Gaussa w łatwy sposoacuteb możemy obliczyć roacutewnież natę-żenie pola pochodzące od długiego naładowanego pręta Zakładając że pręt ten jest nieskończenie długi (zaniedbujemy efekty występujące na jego końcach) jako powierzchnię Gaussa możemy zastosować cylinder wspoacutełśrodkowy z prętem (rysunek 105) Na powierzchni bocznej cylin-dra natężenie ma w każdym punkcie identyczną wartość i jest do niej prostopadłe Wektor natężenia pochodzący od pręta nie posiada skła-dowej roacutewnoległej do pręta ponieważ dla każdego wybranego punktu

ELEKTROSTATYKA

Strona 173173173173

wpływ ładunkoacutew znajdujących się na przeciwległych wobec wybranego punktu fragmentach pręta znosi się Strumień wektora natężenia pola elektrycznego wynosi zero dla podstaw takiego walca gdyż wektor natężenia jest roacutewnoległy do powierzchni podstaw Przyjmując gęstość liniową ładunku na pręcie (ładunek przypadający na jednostkę długości pręta) jako λ otrzymujemy

0

0

επ2

λ

ε

λπ2

rE

LrLE

=

=

(1033)

Naładowana płaszczyzna

Dla płaszczyzny powierzchnią Gaussa może być dowolny prostopadło-ścian lub walec przecinający ją prostopadle (rysunek 105) Na ścian-kach bocznych strumień natężenia jest roacutewny zeru (wektor natężenia jest do nich roacutewnoległy) przy obliczaniu strumienia wektora natężenia pola elektrycznego bierzemy zatem pod uwagę jedynie powierzchnie pod-staw Przyjmując gęstość powierzchniową σ ładunku zgromadzonego na naładowanej płycie otrzymujemy

0ε

σ2

SSE = (1034)

Po obliczeniu natężenia pola elektrycznego pochodzącego od nieskoń-czenie dużej płyty okazuje się że jest ono niezależne od odległości od płyty

02ε

σ=E (1035)

Obliczenia te są słuszne dla płyty nieskończenie dużej ale prawdziwe bę-dą roacutewnież z dobrym przybliżeniem dla wyznaczania natężenia pola elektrycznego roacutewnież w niewielkiej odległości od płyty skończonej (dla odległości znacznie mniejszej od rozmiaru płyty)

ROZDZIAŁ 10

Strona 174174174174

106 Pojemność elektryczna przewodnika

Wyobraźmy sobie układ złożony z dwoacutech ciał Z jednego z nich pobiera-my małą porcję ładunku i przenosimy na drugie ciało W ten sposoacuteb na-ładowaliśmy oba ciała ładunkiem o identycznej wartości ale przeciw-nym znaku Między takimi ciałami powstaje woacutewczas roacuteżnica potencja-łoacutew (napięcie) Dalsze ładowanie takiego układu czyli dalsze przemiesz-czanie ładunkoacutew między ciałami wymagać będzie wykonania pracy na pokonanie roacuteżnicy potencjałoacutew

Roacuteżnica potencjałoacutew powstała między naładowanymi ciałami jest pro-

porcjonalna do wartości ładunku Q∆V prop Dla roacuteżnych układoacutew wytworzenie identycznej roacuteżnicy potencjałoacutew wymaga jednak przenie-sienia roacuteżnej ilości ładunku elektrycznego

Stosunek ładunku Q do roacuteżnicy potencjałoacutew ∆V (napięcia U) ktoacuterą wytwarza ten ładunek będziemy nazywali pojemnością C układu a sam układ kondensatorem

U

Q

∆V

QC == (1036)

Jednostką pojemności jest jeden Farad 1F=1CV W praktyce rzadko spotyka się kondensatory o tak dużej pojemności Warto zauważyć że właściwie każdy obiekt posiada jakąś wartość pojemności Prostym przykładem może być kondensator składający się z naładowanej kuli i Ziemi Wykazaliśmy już że natężenie oraz potencjał pola elektryczne-go na powierzchni kuli o promieniu R naładowanej ładunkiem Q wynoszą

R

QV

R

QE

0

20

4

4

πε

πε

=

=

(1037)

Ponieważ przyjmuje się że potencjał Ziemi wynosi 0 więc w wyniku naładowania kuli między nią a ziemią powstaje roacuteżnica potencjału V

ELEKTROSTATYKA

Strona 175175175175

Dzieląc ładunek Q zgromadzony na kuli przez roacuteżnicę potencjału V otrzymujemy pojemność kuli o promieniu R

RQ

RQC 0

0 44

πεπε

== (1038)

Podstawiając jako R promień Ziemi RZ otrzymamy pojemność elektrycz-ną Ziemi - C asymp 710 microF Żeby wyznaczyć rzeczywistą pojemność elek-tryczną Ziemi należy rozważyć układ Ziemia- jonosfera Pojemność elektryczna takiego układu jest znacznie większa niż wynika z powyż-szego uproszczonego modelu i szacuje się że jest rzędu pojedynczych Faradoacutew

Kondensatory

Pracę wykonaną na rozdzielenie ładunkoacutew elektrycznych na okładkach kondensatora możemy wykorzystać w procesie rozładowania kondensa-tora ndash urządzenie takie możemy zatem wykorzystać do gromadzenia energii w postaci ładunku elektrycznego Rozroacuteżniamy wiele typoacutew kondensatoroacutew Pierwotnie popularnym rozwiązaniem gromadzenia ła-dunku były tzw butelki lejdejskie ndash szklane cylindryczne pojemniki w ktoacuterych okładkami były warstwy folii metalowej znajdujące się wew-nątrz i na zewnątrz cylindra Obecnie często spotyka się kondensatory elektrolityczne w ktoacuterych jedną z okładek stanowi elektrolit przewodzą-cy ładunek w postaci jonoacutew Kondensatory tego typu pozwalają na uzys-kiwanie wysokich pojemności elektrycznych W urządzeniach elektro-nicznych spotykamy roacutewnież kondensatory nastawne zbudowane z dwoacutech układoacutew metalowych blaszek rozdzielonych szczeliną powietrz-ną Układy te mogą się przesuwać względem siebie Wsuwając jedne blaszki między drugie zmieniamy efektywną powierzchnię oraz odleg-łość między elektrodami a i w efekcie możemy płynnie regulować po-jemność takiego kondensatora

Kondensator płaski

Idealny kondensator płaski składa się z dwoacutech nieskończenie dużych płyt (tzw okładek) o powierzchni S ustawionych roacutewnolegle do siebie w odległości d ktoacutere ładujemy ładunkiem Q tzn na jednej z płyt gromadzimy ładunek bdquo+Qrdquo a na drugiej bdquo-Qrdquo Natężenie pola elektrycz-nego wytworzonego przez taki płaski kondensator możemy obliczyć korzystając z prawa Gaussa Jeśli obejmiemy obie okładki kondensatora zamkniętą walcową powierzchnią Gaussa (podobnie jak w przykładzie

ROZDZIAŁ 10

Strona 176176176176

z naładowaną płaszczyzną rysunek 105) zauważamy że całkowity ła-dunek objęty przez tę powierzchnię Gaussa wynosi zero a więc na zew-nątrz kondensatora natężenie pola elektrycznego roacutewnież wynosi zero W rzeczywistości kondensator płaski nie jest nieskończenie wielki i dlatego roacutewnież na zewnątrz kondensatora przy obrzeżach okładek ist-nieje pewne małe pole elektryczne ale jego wartość jest wielokrotnie mniejsza od natężenia wewnątrz i w obliczeniach możemy je zaniedbać W praktyce jeżeli odległość d między okładkami jest znacznie mniejsza od rozmiaroacutew liniowych okładek (dltlta dltltb S=ab) to z dobrym przybliżeniem taki kondensator można traktować jako nieskończony

Natężenie pola elektrycznego między okładkami będzie sumą natężeń pochodzących od każdej z nieskończenie wielkich okładek naładowa-nych ładunkiem Q Korzystając z wyznaczonej zależności 1031 oraz uwzględniając gęstość powierzchniową ładunku σ = QS otrzymujemy natężenie pola elektrycznego między okładkami kondensatora

S

QE

0000 εε

σ

ε2

σ

ε2

σ==+= (1039)

Następnie wstawiając powyższe natężenie pola elektrycznego do zależ-ności 1020 obliczymy roacuteżnicę potencjałoacutew między okładkami

S

dQx

S

QxE∆V

d

0

d

0 00 εε=== intint dd (1040)

Pojemność C kondensatora płaskiego o powierzchni okładek S oraz od-ległości między okładkami d wynosić więc będzie

d

SC 0ε= (1041)

Pojemność kondensatora płaskiego jest tym większa im większa jest jego powierzchnia okładek S oraz im mniejsza jest odległość d między nimi

W tak zwanych super-kondensatorach wykorzystywanych w napędzie pojazdoacutew hybrydowych i elektrycznych odległość pomiędzy obszarami naładowanymi ładunkiem dodatnim i ujemnym jest bardzo mała ndash rzędu promienia jonoacutew ktoacutere są nośnikami ładunku Pozwala to na uzyskiwa-nie bardzo wysokich wartości pojemności elektrycznej co jest niezbędne do zmagazynowania energii odzyskiwanej w trakcie hamowania pojazdu

ELEKTROSTATYKA

Strona 177177177177

Łączenie kondensatoroacutew

Kondensator możemy naładować jedynie do określonego napięcia pomiędzy okładkami nazywanego napięciem przebicia Dla wyższych wartości napięcia następuje lawinowy przepływ ładunku pomiędzy okładkami ktoacutery może prowadzić do uszkodzenia kondensatora Zwięk-szenie napięcia przebicia możemy uzyskać łącząc kondensatory szere-gowo ndash układ taki nazywamy roacutewnież dzielnikiem napięcia

Chcąc zwiększyć pojemność układu kondensatory łączymy roacutewnolegle ndash przy identycznej wartości napięcia możemy zgromadzić w takim układzie większy ładunek niż na pojedynczym kondensatorze

Połączenie szeregowe

Jeżeli połączymy dwa kondensatory szeregowo to na okładkach obu kondensatoroacutew zgromadzony będzie ten sam ładunek Q przy czym okładka naładowana znakiem bdquo+rdquo jednego kondensatora jest połączona z okładką naładowaną znakiem bdquo-rdquo drugiego z nich Całkowita roacuteżnica potencjałoacutew występująca pomiędzy zaciskami układu jest sumą napięć na obu kondensatorach Pojemność kondensatora zastępczego (konden-satora dla ktoacuterego przy danym ładunku na zaciskach wytworzyłaby się identyczna roacuteżnica potencjałoacutew jak na zaciskach całego układu) dla szeregowego połączenia kondensatoroacutew wyraża się wzorem

sum=i iZ CC

11 (1042)

Jeśli połączymy ze sobą szeregowo dwa kondensatory o pojemności C=2mF każdy to pojemność zastępcza układu obliczona ze wzoru 1038 wyniesie CZ=1mF ndash jest zatem mniejsza niż pojemność każdego z kondensatoroacutew

Połączenie roacutewnoległe

Łącząc kondensatory roacutewnolegle ustalamy identyczną wartość roacuteżnicy potencjałoacutew między okładkami Ponieważ na każdym z kondensatoroacutew możemy przy danym napięciu zgromadzić inny ładunek całkowity ładunek zgromadzony w takim połączeniu będzie sumą ładunkoacutew na okładkach każdego z kondensatoroacutew Pojemność zastępcza układu roacutewnolegle połączonych kondensatoroacutew jest sumą pojemności tych kondensatoroacutew

ROZDZIAŁ 10

Strona 178178178178

sum=i

iZ CC (1043)

Roacutewnoległe połączenie kondensatoroacutew można wyobrazić sobie roacutewnież jako zwiększenie powierzchni okładek pojedynczego kondensatora ndash zatem przy identycznym napięciu można na nim zgromadzić więcej ładunku

Energia naładowanego kondensatora

Definiując roacuteżnicę potencjałoacutew (napięcie) we wcześniejszej części tego rozdziału powiedzieliśmy że roacuteżnica potencjałoacutew ∆V wyraża pracę W jaką należy wykonać żeby przemieścić ładunek Q w polu elektrycznym

U∆VQ

W== (1044)

W procesie ładowania kondensatora roacuteżnica potencjałoacutew między okład-kami zmienia wraz z wartością zgromadzonego ładunku Dlatego obli-czając całkowitą pracę naładowania kondensatora WC o pojemności C ładunkiem Q musimy zastosować procedurę całkowania

2

QU

2

CU

C2

QE

C2

Qqq

C

1q

C

qqUW

22

C

2Q

0

Q

0

Q

0

===

==== intintint dddC

(1045)

Energia takiego naładowanego kondensatora EC czyli energia zgroma-dzona w postaci pola elektrycznego wytworzonego między okładkami tego kondensatora jest roacutewna pracy WC naładowania tego kondensatora Możemy roacutewnież obliczyć gęstość energii na jednostkę objętości

2

ε

2

ε

200

2

2

222

el E

Sd

dES

Sd

1CU

V

Wρ ==== (1046)

Gęstość energii pola elektrycznego dla kondensatora płaskiego zależy od kwadratu natężenia pola elektrycznego wytworzonego między jego okładkami Można wykazać że taką samą zależność gęstości energii od kwadratu natężenia pola elektrycznego otrzymamy nie tylko dla konden-

ELEKTROSTATYKA

Strona 179179179179

satora płaskiego i że jest to zależność prawdziwa dla dowolnego rozkła-du pola elektrycznego

107 Dielektryki

Jeśli okładki kondensatora płaskiego naładujemy ładunkiem Q ustali się

między nimi roacuteżnica potencjałoacutew CQU∆V =equiv Jeśli pomiędzy okładki wsuniemy płaską ściśle przylegającą do nich płytkę z nieprze-wodzącego materiału (dielektryka) zauważymy że roacuteżnica potencjałoacutew zmniejszy się mimo że ładunek pozostał identyczny a więc po włożeniu płytki pojemność kondensatora wzrosła

Polaryzacja dielektryczna

Wyjaśnienie obserwowanego efektu wiąże się z właściwościami elek-trycznymi materiału jaki umieszczamy między okładkami Dielektryki są materiałami nieprzewodzącymi czyli w przeciwieństwie do metali ładunek nie może się swobodnie przemieszczać w całej objętości Może natomiast dochodzić do zjawisk polaryzacji ndash rozsunięcia się ładunkoacutew dodatnich i ujemnych i wytworzenia dipoli elektrycznych gdyż na ła-dunki dodatnie działa siła zgodna a na ujemne przeciwnie skierowana niż pole elektryczne W efekcie dipole takie ułożone są zgodnie z kie-runkiem pola elektrycznego w ktoacuterym się znajdują i wytwarzają własne pole elektryczne ndash jego kierunek jest przeciwny do kierunku zewnętrzne-go pola elektrycznego Wypadkowe natężenie pola elektrycznego mię-dzy okładkami kondensatora po włożeniu dielektryka będzie więc mniej-sze niż dla kondensatora proacuteżniowego Ponieważ roacuteżnica potencjałoacutew czyli napięcie między okładkami kondensatora jest proporcjonalna do natężenia pola wewnątrz kondensatora w takim przypadku otrzymujemy mniejsze napięcie na kondensatorze i w efekcie większą pojemność przy ładowaniu kondensatora tym samym ładunkiem

Efekty polaryzacyjne opisane powyżej jakim podlegają ładunki w die-lektryku są jego charakterystyczną cechą materiałową Względna przeni-kalność elektryczna ε określa ile razy w poroacutewnaniu z proacuteżnią zmniej-szy się natężenie pola elektrycznego w dielektryku Dla proacuteżni wartość względnej przenikalności dielektrycznej roacutewna jest jedności ε=1 Jeśli

ROZDZIAŁ 10

Strona 180180180180

między okładkami kondensatora umieścimy płytkę z dielektryka o względnej przenikalności roacutewnej ε to jego pojemność wzrośnie ε razy

Efektywną wartość pola elektrycznego w dielektryku opisuje wektor

indukcji pola elektrycznego EεDrr

0ε= Efekty polaryzacyjne zacho-

dzącego w dielektryku na skutek zewnętrznego pola elektrycznego Er

opisuje wektor polaryzacji Pr

Indukcja pola elektrycznego Dr

czyli wypadkowe pole elektryczne jest złożeniem wpływu pola zewnętrznego

Er

oraz polaryzacji Pr

co zapisujemy

PEEεDrrrr

+== 00 εε (1047)

Z powyższej zależności wynika że polaryzacja P jest zależna od zew-nętrznego pola elektrycznego E a wspoacutełczynnik proporcjonalności nazywamy podatnością elektryczną χ

EχE1)(εE)ε(Prrrr

0000 εεεε =minus=minus= (1048)

Uwzględniając właściwości dielektryczne materii prawo Gaussa w uogoacutelnionej postaci dla dielektrykoacutew możemy przedstawić w postaci

qSdD =sdotintrr

(1049)

Możemy w tym miejscu wprowadzić rozroacuteżnienie pomiędzy ładunkiem swobodnym q (ładunkiem ktoacutery może swobodnie się przemieszczać) a ładunkiem związanym qpol ndash powstającym w wyniku polaryzacji na powierzchni dielektryka Dzieląc obie strony roacutewnania 1045 przez powierzchnię możemy powiązać wektor indukcji D z powierzchniową gęstością ładunku swobodnego q zgromadzonego na okładkach konden-

satora wypełnionego dielektrykiem σD = Analogicznie wartość wektora polaryzacji P jest miarą gęstości ładunku związanego

polσP =

Dipol elektryczny charakteryzuje elektryczny moment dipolowy p Jest to wielkość wektorowa wyrażona przez iloczyn ładunku dipola q

i wektora odległości lr

od ładunku ujemnego do dodatniego

lrr

qp = (1050)

Na dipol znajdujący się w jednorodnym polu elektrycznym o natężeniu E działać będzie moment sił obracający dipol tak aby ustawił się zgodnie

ELEKTROSTATYKA

Strona 181181181181

z kierunkiem zewnętrznego pola elektrycznego Moment ten wyrażamy przez iloczyn wektorowy momentu dipolowego i wektora natężenia pola elektrycznego

EpMrrr

times= (1051)

Rysunek 106 Moment sił działających na dipol w zewnętrznym polu

elektrycznym

Podobnie jak wartość wektora polaryzacji P zależy od natężenia pola elektrycznego E w ktoacuterym znajduje się dielektryk roacutewnież elektryczny moment dipolowy charakteryzujący pojedynczy dipol jest wprost pro-porcjonalny do natężenia pola elektrycznego E

Eprr

α= (1052)

Wspoacutełczynnik α w powyższym wzorze jest nazywany polaryzowalnością dipola Dipol elektryczny roacutewnież jest źroacutedłem pola elektrycznego W materiałach dielektrycznych takie pole pochodzące od sąsiadujących dipoli tzw pole lokalne jest silniejsze niż pole zewnętrzne Całkowite lokalne natężenie pola jakiemu podlegać będzie dielektryk uwzględniać więc musi zaroacutewno zewnętrzne pole E jak i pole pochodzące od otocze-nia danego atomu

03ε

PEE L

rrr

+= (1053)

ROZDZIAŁ 10

Strona 182182182182

Ponieważ wektor polaryzacji jest sumą momentoacutew dipolowych pocho-dzących od wszystkich N dipoli znajdujących się w jednostce objętości materiału polaryzację całkowitą możemy zapisać

LENpNPrrr

α== (1054)

Przekształcając powyższą zależność otrzymujemy prawo Clausiusa ndash Mosottiego ktoacutere określa związek między polaryzowalnością α a względną przenikalnością elektryczną ośrodka ε

03ε2ε

1ε αN=

+

minus (1055)

Wymnażając obie strony przez objętość molową dielektryka Vm oraz

uwzględniając ρmicro=mV otrzymujemy zależność polaryzowalnością α (wielkością mikroskopową) a parametrami mierzalnymi makroskopowy-mi takimi jak gęstość materiału ρ czy masa molowa micro

micro0

A

3ε

N

2ε

1ε α=

+

minus

ρ

1 (1056)

gdzie NA oznacza stałą Avogadra

Rodzaje dielektrykoacutew

Dielektryki możemy podzielić na dwie zasadnicze grupy

1 dielektryki polarne w ktoacuterych istnieją stałe dipole elektryczne

2 dielektryki niepolarne (indukowane) w ktoacuterych dipole powstają jedynie przy włączonym zewnętrznym polu elektrycznym

Przykładem dielektryka polarnego jest woda Cząsteczki wody zbudo-wane są tak że na atomach wodoru występuje niedoboacuter elektronoacutew a na atomach tlenu nadmiar elektronoacutew Ponieważ oba atomy wodoru geome-trycznie znajdują się po tej samej stronie atomu tlenu ładunek dodatni związany z atomami wodoru nie pokrywa się z ładunkiem ujemnym związanym z atomami tlenu tworząc trwały dipol elektryczny

W dielektrykach niepolarnych polaryzacja zachodzi pod wpływem zew-nętrznego pola elektrycznego Powoduje ono przemieszczenie się ładun-koacutew roacuteżnoimiennych względem siebie pod wpływem zewnętrznego pola

ELEKTROSTATYKA

Strona 183183183183

elektrycznego na skutek czego indukują się dipole elektryczne Można wyroacuteżnić trzy typy takiej polaryzacji

bull polaryzacja elektronowa dipol elektryczny powstaje w wy-niku zniekształcenia chmury elektronowej wokoacuteł jądra ndash na elektrony znajdujące się na orbicie wokoacuteł jądra oddziałuje zewnętrzne pole siłą o przeciwnym zwrocie niż na dodatnie jądro atomowe

bull polaryzacja jonowa występuje w substancjach o wiązaniu jonowym (np NaCl) ktoacutere zbudowane są z dwu rodzajoacutew jonoacutew Dochodzi do wzajemnego przesunięcia podsieci kationowej (Na+) i anionowej (Cl )

bull polaryzacja ładunkiem przestrzennym nośniki ładunku ndashna-ładowane elektrycznie atomy (jony) gromadzą się na niejed-norodnościach ośrodka np na granicach obszaroacutew o roacuteżnej wartości przenikalności dielektrycznej

Ferroelektryki

Ferroelektryki są ciekawą grupą materiałoacutew w ktoacuterych lokalne oddziały-wania między dipolami są na tyle silne że tworzą uporządkowane struk-tury Oddziaływania sąsiadoacutew danego dipola ustawiają dipol zgodnie z tymi sąsiadami Ustawienie przeciwne jest niekorzystne energetycznie Dochodzi w efekcie do powstanie dużych obszaroacutew w ktoacuterych wszyst-kie dipole są ustawione w jednakowym kierunku zwanych domenami Dipole znajdujące się wewnątrz domen osiągają minimum energii Przykładem ferroelektryka jest tytanian baru BaTiO3

Można by sądzić że najkorzystniejszym ustawieniem dipoli będzie wo-bec tego jedna wielka domena obejmująca całą objętość ferroelektryka Taka domena wytwarzałaby jednak silne pole elektryczne na zewnątrz materiału co roacutewnież byłoby niekorzystne energetycznie W praktyce dochodzi do podziału materiału na wiele domen o roacuteżnych kierunkach zorientowania dipoli W strefie dzielącej domeny zwrot dipoli ulega stopniowej zmianie od jednej orientacji do drugiej ndash obszar taki nazywa-my ścianką domenową

Załoacuteżmy że ferroelektryk znajduje się w stanie w ktoacuterym elektryczne momenty dipolowe domen ułożone są w przypadkowy sposoacuteb Jeśli taki fragment ferroelektryka umieścimy w zewnętrznym polu elektrycznym pole to będzie oddziaływało na dipole powodując ich obracanie Prowa-dzi to do uporządkowania struktury domenowej Porządkowanie domen powoduje szybki wzrost wartości polaryzacji elektrycznej P w funkcji

ROZDZIAŁ 10

Strona 184184184184

natężenia pola zewnętrznego E Dla ferroelektrykoacutew względna przeni-kalność dielektryczna osiąga wartości rzędu tysięcy Wykres polaryzacji elektrycznej w funkcji natężenia pola elektrycznego (rysunek 106) nazywany roacutewnież pierwotną krzywą polaryzacji nie jest jednak liniowy ndash jeśli wszystkie dipole ustawią się zgodnie z liniami sił pola dalszy wzrost wartości natężenia pola zewnętrznego nie zmieni już ich uporząd-kowania Dalszy wzrost natężenia prowadzi jedynie do wzrostu wartości wektora indukcji a wektor polaryzacji pozostaje już stały Stan w ktoacuterym wszystkie dipole są ustawione roacutewnolegle do linii pola zew-nętrznego nazywamy stanem nasycenia

Rysunek 107 Wykres zależności polaryzacji od natężenia

zewnętrznego pola dla ferroelektryka

Przy zmniejszaniu natężenia wykres polaryzacji nie przebiega wzdłuż krzywej polaryzacji pierwotnej Uprzednio spolaryzowany ferroelektryk zachowuje częściowo polaryzację nawet po wyłączeniu pola zewnętrzne-go co określamy jako remanencję (jest to punkt przecięcia krzywej z osią pionową) Aby zmniejszyć polaryzację materiału do zera należy przyłożyć pole zewnętrzne skierowane przeciwnie do pola ktoacuterym spo-laryzowano ferroelektryk Wartość natężenia pola niezbędną do depola-ryzacji materiału nazywamy polem koercji Na wykresie polaryzacji wartość ta odpowiada przecięciu z osią poziomą Jeśli wartość natężenie pola elektrycznego będzie większa niż wartość pola koercji materiał spolaryzuje się w przeciwnym kierunku Nastąpi ponowne utworzenie struktury domenowej z dipolami o przeciwnym zwrocie

ELEKTROSTATYKA

Strona 185185185185

W wyniku cyklicznych zmian kierunku pola zewnętrznego otrzymujemy wykres pewnej krzywej zamkniętej zwanej pętlą histerezy Pole takiej pętli histerezy odpowiada energii ktoacuterą należy zużyć na spolaryzowanie ferroelektryka w jednym cyklu W zależności od właściwości ferroelek-tryka i maksymalnych wartości przyłożonego pola zewnętrznego pętla histerezy może przybierać roacuteżny kształt Materiały o wąskiej pętli histe-rezy łatwo jest spolaryzować Materiały takie mogą być stosowane w pa-mięciach ferroelektrycznych (FRAM) Pamięci tego typu są znacząco szybsze niż ich odpowiedniki typu EEPROM zużywają roacutewnież znaczą-co mniej energii elektrycznej Pamięci tego typu są stosowane min w konsolach do gier Polaryzacja materiałoacutew o szerokiej pętli histerezy wymaga dużych wartości natężenia pola Zapisanie informacji wymaga dłuższego czasu i zużycia większej ilości energii Informacja jest jednak zapisana w bardziej trwały sposoacuteb Pamięci tego typu są stosowane np w technice wojskowej a często roacutewnież motoryzacyjnej

Właściwości ferroelektryczne zależą w znaczący sposoacuteb od temperatury w ktoacuterej znajduje się materiał Rozszerzanie się ciał powoduje że odleg-łości między dipolami zwiększają się Ponieważ pole elektryczne wytwarzane przez dipol zależy od odległości w potędze 3 nawet nie-wielka jej zmiana ma duży wpływ na siły wzajemnego oddziaływania di-poli Drgania termiczne prowadzą roacutewnież do zmiany ustawienia po-szczegoacutelnych dipoli zmniejszając zatem uporządkowanie wewnątrz do-meny Z tego względu powyżej pewnej temperatury zwanej temperaturą Curie Tc następuje stopniowy zanik uporządkowania a materiał z ferro-elektryka przechodzi w paraelektryk Powyżej temperatury Curie zależ-ność temperaturowa podatności elektrycznej χ ferroelektrykoacutew wyrażona jest przez prawo Curie ndash Weissa

C

C

T

C

minus=

Tχ (1057)

W prawie Curie-Weissa stała Curie CC jest charakterystyczną cechą danego ferroelektryka

Piezoelektryki

W pewnej grupie materiałoacutew określanych jako piezoelektryki obserwu-je się zjawisko powstawania ładunku elektrycznego na ich powierzchni pod wpływem siły przyłożonej wzdłuż określonego kierunku krystalo-graficznego Oproacutecz takiego tzw efektu piezoelektrycznego prostego obserwuje się roacutewnież zjawisko odwrotne w ktoacuterym pod wpływem przyłożonego napięcia kryształ zmienia swoje wymiary

ROZDZIAŁ 10

Strona 186186186186

Wszystkie ferroelektryki są roacutewnież piezoelektrykami- ale nie wszystkie piezoelektryki są ferroelektrykami Zjawisko piezoelektryczne może roacutewnież występować w materiałach w ktoacuterych strukturze krystalicznej występują naprzemiennie atomy obdarzone ładunkiem dodatnim (katio-ny) i ujemnym (aniony) Taki kryształ nie poddany działaniu ciśnienia jest obojętny elektrycznie zaroacutewno w skali makroskopowej jak i lokalnie a jony znajdują się w położeniach roacutewnowagi określonych przez kształt pola sił ich wzajemnych oddziaływań Kiedy do powierzchni kryształu przyłożymy ciśnienie wzajemne położenie ładunkoacutew zmienia się pow-stają dipole elektryczne ktoacutere wytwarzają pole elektryczne tak że na przeciwległych powierzchniach kryształu wyznaczonych przez kierunek ściskania indukują się ładunki Ładunek ten jest wprost proporcjonalny do wytworzonego ciśnienia

W zjawisku piezoelektrycznym odwrotnym przyłożone napięcie wytwa-rza pole elektryczne ktoacutere wywołuje rozsunięcie ładunkoacutew dodatnich i ujemnych a więc kationoacutew i anionoacutew w strukturze tego kryształu po-wodując zmianę długości tego materiału w tym kierunku

Typowym piezoelektrykiem jest kwarc czyli tlenek krzemu tytanian ołowiu wspomniany już przy okazji ferroelektryczności tytanian baru czy niektoacutere tworzywa sztuczne (polimery) Piezoelektryki są stosowane wszędzie tam gdzie zachodzi potrzeba przetworzenia sygnału elektrycz-nego na mechaniczny Zakres wydłużenia piezoelektryka jest niewielki ale można nim bardzo precyzyjnie sterować Piezoelektryki można za-tem wykorzystywać w układach dokładnego pozycjonowania lub prze-twornikach drgań Czujniki piezoelektryczne można stosować w pomia-rach dynamicznych naprężeń i odkształceń Zaletą piezoelektrykoacutew jest duża szybkość reakcji piezoelektryka na sygnał elektryczny Elementy piezoelektryczne wykorzystywane są w głowicach ultradźwiękowych i defektoskopach echosondach oraz aparatach USG W motoryzacji zawory piezoelektryczne stosuje się w układach wtrysku paliwa

11 Prąd elektryczny

W tym rozdziale

o Natężenie prądu elektrycznego o Prawo Ohma mikroskopowe prawo Ohma o Oporniki łączenie opornikoacutew o Praca i moc prądu elektrycznego o Obwody elektryczne prawa Kirchhoffa

ROZDZIAŁ 11

Strona 188188188188

111 Natężenie prądu elektrycznego

Prąd elektryczny jest uporządkowanym ruchem ładunkoacutew elektrycznych Może być wywołany i obserwowany w tych materiałach w ktoacuterych istnieją swobodne cząstki obdarzone ładunkiem elektrycznym tzw nośniki ładunku W metalach nośnikami są swobodne elektrony walen-cyjne tworzące tzw gaz elektronoacutew swobodnych W poacutełprzewodnikach takimi nośnikami ładunku są zaroacutewno elektrony jak i dziury (posiadające ładunek dodatni) W materiałach ciekłych roztworach kwasoacutew zasad lub soli nazywanych elektrolitami a także niektoacuterych materiałach sta-łych (bdquoprzewodniki superjonowerdquo) ruchliwymi nośnikami ładunku są jo-ny zaroacutewno dodatnie jak i ujemne

Przyłożenie do takiego przewodnika napięcia (roacuteżnicy potencjałoacutew) po-woduje powstanie pola elektrycznego ktoacutere będzie oddziaływać na nośniki ładunku wywołując ich uporządkowany ruch nazywamy prądem elektrycznym Należy zaznaczyć że w przypadku elektronoacutew ten upo-rządkowany ruch jest nałożony na o wiele szybszy chaotyczny ruch cieplny nośnikoacutew Prędkość termiczna elektronoacutew pomiędzy zderzenia-mi jest bardzo duża rzędu 106ms Przemieszczenie elektronoacutew pod wpływem przyłożonego pola czyli tak zwana prędkość dryfu jest nato-miast niewielka i wynosi około vd~10-4ms

Ilościowo prąd charakteryzujemy za pomocą natężenia prądu

Natężenie prądu I jest to ilość ładunku Q przepływającego przez dowolny przekroacutej przewodnika w ciągu jednostki czasu t Dla prądu stałego natężenie prądu I jest wyrażone stosunkiem ładunku ktoacutery przepłynął do czasu przepływu

t

QI = (111)

Jednostką natężenia prądu jest jeden amper 1A=1Cs Dla prądu zmien-nego chwilowa wartość natężenia prądu definiowana jest jako pochodna ładunku po czasie

PRĄD ELEKTRYCZNY

Strona 189189189189

( ) ( )t

tQtI

d

d= (112)

Kierunek przepływu prądu jest zgodny z kierunkiem ruchu ładunku do-datniego Zatem w przypadku przepływu elektronoacutew i jonoacutew ujemnych umowny kierunek prądu jest odwrotny niż kierunek poruszania się tych nośnikoacutew ładunku

Istnieją przypadki gdy prąd nie jest roacutewnomiernie rozłożony na przekro-ju przewodnika Wtedy możemy wprowadzić wektor gęstości prądu

jr

taki że

)dcos(ddd SjSjSjIrrrr

=sdot= (113)

Wektor gęstości prądu jr

jest w tym przypadku funkcją wspoacutełrzędnych a dS jest elementem powierzchni przekroju przewodnika W szczegoacutel-nym przypadku roacutewnomiernego rozkładu gęstości prądu

perp

==S

I

αS

Ij

cos

r

(114)

gdzie α oznacza kąt pomiędzy kierunkiem przepływu prądu a wybraną

płaszczyzną zaś perpS - polem powierzchni prostopadłej do kierunku przepływu prądu

112 Prawo Ohma

Stwierdziliśmy że przyczyną powstania prądu w przewodniku jest przy-łożenie napięcia do końcoacutew przewodnika Jak pokazują doświadczenia dla dużej grupy przewodnikoacutew (metale stopy metali związki intermeta-liczne jednorodne poacutełprzewodniki) natężenie prądu jest wprost propor-cjonalne do napięcia co określamy jako prawo Ohma

Stosunek napięcia na końcach przewodnika do natężenia prądu wywołanego tym napięciem jest wielkością stałą i charakte-rystyczną dla danego przewodnika Wielkość ta zależy zaroacutewno od kształtu przewodnika jak i materiału z ktoacuterego jest wyko-nany i nazywana jest oporem elektrycznym lub rezystancją

ROZDZIAŁ 11

Strona 190190190190

const== RI

U (115)

Jednostką oporu elektrycznego jest om (Ohm) 1Ω=1VA i jest rezystan-cją takiego przewodnika dla ktoacuterego napięcie 1V przyłożone do jego końcoacutew wywołuje powstanie prądu o natężeniu 1A Rezystancja R zale-ży od kształtu przewodnika jest wprost proporcjonalna do jego długości l i odwrotnie proporcjonalne do pola przekroju S

S

ρRl

= (116)

Wspoacutełczynnik proporcjonalności zapisany grecką literą ρ (bdquorordquo) oznacza oporność właściwą ktoacutera jest cechą charakterystyczną materiału z ktoacutere-go zbudowany jest przewodnik Odwrotność rezystancji nazywamy prze-

wodnością elektryczną i oznaczamy symbolem σ (bdquosigmardquo) ρ

σ1

=

Wartości oporności właściwej dla metali sięga od 10-5 do 10-7Ωm oraz powyżej 1015Ωm dla izolatoroacutew Poacutełprzewodniki charakteryzują się pośrednimi wartościami oporności właściwej

Opoacuter elektryczny i oporność właściwa metali w dość szerokim zakresie temperatur wzrasta liniowo z temperaturą

)(1 tαRR 0 += (117)

gdzie α jest temperaturowym wspoacutełczynnikiem oporu zaś t jest tempera-turą wyrażoną w skali Celsjusza Powyższa zależność opisuje własność metali na tyle precyzyjnie że stała się ona podstawą budowy czujnikoacutew termometrycznych Przykładem są platynowe czujniki temperatury typu Pt100 i Pt1000 stosowane roacutewnież w motoryzacji Mierząc prąd płynący przez czujnik jesteśmy w stanie z dużą dokładnością określić jego temperaturę

Mikroskopowe prawo Ohma

Jak dotąd sformułowaliśmy prawo Ohma dotyczące makroskopowego przewodnika w ktoacuterym płynie prąd Połączmy prawo Ohma (roacutewna-nie 115) z zależnością oporu elektrycznego od kształtu przewodnika (roacutewnanie 116) i przekształćmy odpowiednio

PRĄD ELEKTRYCZNY

Strona 191191191191

l

σU

S

I= (118)

co następnie możemy zapisać wektorowo jako tzw mikroskopowe pra-wo Ohma ktoacutere jest roacutewnaniem dotyczącym dowolnie wybranego punk-tu ośrodka przewodzącego

Ejrr

σ= (119)

Jeśli w wybranym punkcie ośrodka przewodzącego natężenie pola elektrycznego ma wartość E to w otoczeniu tego punktu wektor gęstości prądu ma wartość wprost proporcjonalną do wektora natężenia pola ze wspoacutełczynnikiem proporcjonalności roacutewnym przewodności elektrycznej materiału

Rozważmy teraz mikroskopowy sens wektora gęstości prądu wynikający z uproszczonej definicji tego pojęcia (podobnie definiuje się w fizyce strumień ciepła czy masy)

∆S∆t

∆Q

∆S

∆Ij == (1110)

Wektor gęstości prądu oznacza strumień ładunku elektrycznego tzn ilość ładunku ∆Q ktoacutera przechodzi przez jednostkę powierzchni prostopadłej ∆S na jednostkę czasu ∆t Jeżeli w jednostce objętości materiału przewodnika metalicznego znajduje się n swobodnych elektro-noacutew to koncentracja elektronoacutew (ogoacutelnie nośnikoacutew ładunku) wynosi n Jeśli wszystkie nośniki poruszają się ruchem uporządkowanym z pręd-kością unoszenia (prędkością dryfu) vd wzdłuż kierunku wyznaczonego przez pole elektryczne to strumień nośnikoacutew ładunku jest roacutewny nvd a odpowiadający mu strumień ładunku elektrycznego przenoszonego przez elektrony (-e) wynosi

dnej vminus= (1111)

W ogoacutelnym przypadku nośnikoacutew o ładunku q strumień ładunku elek-trycznego i gęstość prądu wynosi

dnqj v= (1112)

Jeżeli poroacutewnamy powyższy wzoacuter 1112 z mikroskopowym prawem

Ohma ( Eσj = ) okazuje się że ktoacuteraś z wielkości n q lub vd musi być proporcjonalna do natężenia pola elektrycznego E Ponieważ ani

ROZDZIAŁ 11

Strona 192192192192

koncentracja nośnikoacutew n ani ładunek nośnika q nie jest proporcjonalna do natężenia pola elektrycznego E więc to prędkość vd unoszenia (dryfu) wywoływana przez pole elektryczne jest proporcjonalna do natężenia pola elektrycznego E

Ed micro=v (1113)

gdzie wspoacutełczynnik proporcjonalności micro nazywany jest ruchliwością nośnikoacutew ktoacutera jest cechą charakterystyczną materiału przewodnika Wstawiając roacutewnanie 1113 do 1112 otrzymujemy

Enqj micro= (1114)

a poroacutewnując powyższą zależność z mikroskopowym prawem Ohma (wzoacuter 119) otrzymujemy że przewodność materiału σ zależy od kon-centracji nośnikoacutew n ich ładunku q oraz ruchliwości micro

micronqσ = (1115)

Model klasyczny Drudego-Lorentza przewodnictwa elektrycznego metali

Podstawowym modelem przewodnictwa elektrycznego w metalach jest tzw model klasyczny Drudego-Lorentza Model ten traktuje elektrony jako cząsteczki gazu idealnego Ruch elektronoacutew może być zobrazowa-ny mechanicznym modelem kulki staczającej się po pochylonej tablicy z roacutewnomiernie przymocowanymi kołkami Kulka staczając się po roacutewni zderza się z kołkami i przy każdym takim zderzeniu zmienia się zaroacutewno kierunek jak i wartości jej pędu Jeśli policzylibyśmy średnią prędkość tej kulki wzdłuż krawędzi tablicy to okazałoby się że jest ona stała (zderzenia kompensują stałą siłę grawitacji) i wielokrotnie niższa niż prędkości jakie posiada kulka pomiędzy zderzeniami Podobnie elektro-ny swobodne w metalu tworzące tzw gaz elektronowy zderzają się z do-datnimi rdzeniami atomowymi tracąc część energii jaką otrzymały w po-lu elektrycznym zmieniając za każdym razem zaroacutewno wartość jak i kierunek pędu W efekcie prędkość dryfu jest stała i wielokrotnie mniejsza niż chwilowe prędkości między zderzeniami Średnia wartość tej prędkości może być wyznaczona jako frac12 prędkości uzyskanej w wy-niku przyspieszania elektronoacutew przez zewnętrzne pole elektryczne

( meEmFa == ) w czasie τ

PRĄD ELEKTRYCZNY

Strona 193193193193

mEead 22 τ== τv (1116)

gdzie τ jest średnim czasem między zderzeniami i zależy od średniej

drogi swobodnej λ oraz średniej prędkości termicznej Tv elektronoacutew (

T vλτ = ) Ruchliwość elektronoacutew roacutewna stosunkowi prędkości dry-

fu do natężenia pola elektrycznego wywołującego unoszenie w modelu Drudego-Lorentza można więc zapisać

T

d

m

e

E v

v

2

λmicro == (1117)

Ponieważ prędkość termiczna elektronoacutew jest proporcjonalna do pier-wiastka z temperatury więc przewodność (zależność 1115) w modelu Drudego-Lorentza jest odwrotnie proporcjonalna do pierwiastka

z temperatury T1propσ podczas gdy z wynikoacutew eksperymentoacutew

wynika T1propσ Model zjawiska oporu elektrycznego odtwarzający prawidłowo zależność temperaturową przewodności udało się stworzyć dopiero posługując się regułami mechaniki kwantowej W kwantowym modelu Blocha rozważa się rozpraszanie elektronoacutew na niedoskonałoś-ciach sieci krystalicznej np na atomach domieszki lub defektach struk-tury Drugim ważnym czynnikiem wpływającym na ruch elektronoacutew są drgania termiczne sieci krystalicznej Rozpraszanie elektronoacutew na drga-niach sieci zależy od temperatury ndash im wyższa jest temperatura tym większa jest amplituda drgań atomoacutew i tym większy opoacuter elektryczny

Oporniki Łączenie oporoacutew

Elementy oporowe (oporniki) o znanej wartości oporu elektrycznego w obwodach elektrycznych oznaczamy za pomocą dwoacutech rodzajoacutew sym-boli ndash linią łamaną (standard amerykański) lub prostokątem (standard europejski)

Łącząc oporniki szeregowo zwiększamy całkowity opoacuter gałęzi obwodu Jest to zrozumiałe biorąc pod uwagę że połączenie takie odpowiada zwiększeniu całkowitej długości przewodnika przez ktoacutery przepływają ładunki elektryczne W przypadku szeregowego połączenia opornikoacutew opoacuter całkowity gałęzi jest sumą wartości oporoacutew

sum=i

iC RR (1118)

ROZDZIAŁ 11

Strona 194194194194

Powyższa zależność wynika z faktu że całkowity spadek napięcia (roacuteżnica potencjałoacutew) jest sumą spadkoacutew napięć na poszczegoacutelnych opornikach Ponieważ przez każdy z szeregowo połączonych opornikoacutew płynie ten sam prąd wiec zgodnie z prawem Ohma w efekcie całkowity opoacuter jest sumą oporoacutew poszczegoacutelnych opornikoacutew

Przy roacutewnoległym połączeniu opornikoacutew całkowity opoacuter obwodu male-je ndash odpowiada to zwiększeniu przekroju przez ktoacutery mogą przepływać nośniki ładunku Jeśli dwa oporniki o identycznym oporze połączymy roacutewnolegle całkowity opoacuter gałęzi wyniesie frac12 oporu pojedynczego opor-nika W ogoacutelnym przypadku opoacuter całkowity RC układu roacutewnoległych opornikoacutew wyznaczamy z zależności

sum=i iC RR

11 (1119)

Wyprowadzając tę zależność roacutewnież zauważyć że spadek napięcia na każdym z roacutewnolegle połączonych opornikoacutew jest taki sam (łączą pun-kty o określonej roacuteżnicy potencjałoacutew) Roacuteżny jest natomiast prąd płyną-cy przez każdy z opornikoacutew ale suma tych prądoacutew musi być roacutewna całkowitemu prądowi dopływającemu do układu Ponownie po zastoso-waniu prawa Ohma otrzymujemy opoacuter zastępczy taki jak we wzo-rze 1119 Przy obliczaniu oporu bardziej złożonych obwodoacutew pomocne jest odpowiednie grupowanie elementoacutew tak by można było skorzystać z powyższych wzoroacutew dla roacutewnoległego i szeregowego połączenia opornikoacutew

Rysunek 111 Układy opornikoacutew o topologii bdquotroacutejkątardquo i bdquogwiazdy

Nieco bardziej złożonym zagadnieniem jest obliczanie oporu obwodoacutew o topologii bdquotroacutejkątardquo Istnieją jednak wzory pozwalające na przedsta-wienie ich w postaci układu o topologii gwiazdy ndash o kształcie litery bdquoYrdquo (Rysunek 111)

PRĄD ELEKTRYCZNY

Strona 195195195195

Aby obwody w przedstawionych powyżej topologiach miały identyczne właściwości elektryczne przy danej roacuteżnicy potencjałoacutew natężenie prą-doacutew przepływających pomiędzy węzłami 1 2 i 3 musi być takie samo Dla węzłoacutew 1 i 2 w topologii bdquotroacutejkątardquo prąd płynie przez opornik RA połączony roacutewnolegle z oporem (RC+RB) Dla topologii gwiazdy prąd płynie przez oporniki R1 i R2 połączone szeregowo Zapisując układ roacutewnań dla każdej pary węzłoacutew otrzymujemy trzy roacutewnania poz-walające otrzymać zależności pomiędzy wartościami oporoacutew w dwoacutech topologiach

C

RB

RA

R

CR

BR

3R

CR

BR

AR

CR

AR

2R

CR

BR

AR

BR

AR

1R++

=++

=++

= (1120)

3R2R

1R

3R2R

CR3R1R

2R

1R3R

BR1R2R

3R

2R1R

AR ++=++=++= (1121)

113 Praca i moc prądu elektrycznego

Na skutek przepływu prądu elektrycznego w elementach oporowych wy-dziela się ciepło ktoacutere jest wynikiem rozpraszania części energii elektro-noacutew na sieci krystalicznej metalu Efekt ten stanowi podstawę działania żaroacutewek i elektrycznych elementoacutew grzejnych

Zgodnie z definicją wprowadzoną w elektrostatyce wiemy że praca przeniesienia ładunku q przy roacuteżnicy potencjałoacutew U jest roacutewna

UItUqW el == (1122)

Ponieważ natężenie prądu elektrycznego jest wyrażone stosunkiem ła-dunku ktoacutery przepłynął do czasu przepływu możemy wyrazić ładunek q poprzez iloczyn natężenia prądu I i czasu jego przepływu t zaś napięcie U zgodnie z prawem Ohma powiązać z wartością płynącego prądu przez element o oporze R W efekcie otrzymujemy że praca prądu jest roacutewna energii ER jaka wydziela się na oporniku o oporze R przez ktoacutery płynie prąd elektryczny o natężeniu I Korzystając z prawa Ohma otrzymujemy prawo nazywane jest prawem Joulersquoa

tRIW2

el = (1123)

ROZDZIAŁ 11

Strona 196196196196

Energia jaka wydziela się na oporniku nazywana ciepłem Joulersquoa jest proporcjonalna do wartości oporu R oraz kwadratu natężenia prądu elektrycznego I płynącego przez ten opornik

Ponieważ moc jest stosunkiem wykonanej pracy do czasu w jakim ta praca została wykonana w przypadku mocy wydzielanej na elemencie obwodu elektrycznego otrzymujemy

R

URIIUP

22 === (1124)

gdzie U oznacza napięcie na zaciskach danego elementu (odbiornika) a I ndash natężenie prądu przepływającego przez element o oporze R

W przypadku przesyłania energii elektrycznej wytworzonej w elektrow-ni staramy się zminimalizować straty na liniach przesyłowych Iloczyn napięcia i natężenia przesyłanego prądu jest w tym przypadku wartością stałą (odpowiada on mocy elektrowni) Sposobem na redukcję mocy traconej na liniach jest zmniejszenie natężenia prądu a proporcjonalne zwiększenie napięcia Z tego względu buduje się tzw przesyłowe linie wysokiego napięcia a zwiększenie wartości napięcia i jego ponowna re-dukcja przed odbiornikiem realizowane są za pomocą transformatoroacutew Ograniczeniem wartości użytego napięcia jest jonizacja powietrza ndash przy zbyt wysokim napięciu wokoacuteł przewodoacutew natężenie pola jest dostatecz-nie wysokie by oderwać elektrony z cząsteczek gazu i wytworzyć noś-niki ładunku co prowadzi do bdquoucieczkirdquo energii elektrycznej

114 Obwody elektryczne

Źroacutedła napięcia

W dotychczasowych rozważaniach przedstawiliśmy zjawisko przepływu ładunku w przewodniku Aby wymusić przepływ ładunku niezbędne jest przyłożenie do końcoacutew przewodnika napięcia czyli roacuteżnicy potencja-łoacutew Takim źroacutedłem napięcia może być naładowany kondensator jednak napięcie to nie będzie stałe Przepływ prądu przez przewodnik oznaczać będzie rozładowywanie kondensatora a ponieważ roacuteżnica potencjałoacutew między okładkami kondensatora jest proporcjonalna do ładunku zgroma-dzonego na okładkach wartość napięcia będzie maleć

PRĄD ELEKTRYCZNY

Strona 197197197197

Ogniwa

Stałe napięcie na zaciskach elementu oporowego możemy uzyskać włą-czając do obwodu stałe źroacutedło energii ndash ogniwo Parametrami opisują-cymi ogniwo są siła elektromotoryczna ε i opoacuter wewnętrzny Rw Miarą siły elektromotorycznej ε jest stosunek pracy wykonanej na przeniesienie ładunku w obwodzie zamkniętym do wartości tego ładunku

q

Wε = (1125)

W przypadku rzeczywistych ogniw część energii jest rozpraszana na oporze wewnętrznym źroacutedła ktoacutery jest połączony szeregowo z siłą elektromotoryczną Napięcie na zaciskach takiego źroacutedła zależy od war-tości oporu zewnętrznego podłączonego do źroacutedła czyli tzw obciążenia (rysunek 112) Jeśli opoacuter obciążenia jest mały wartość natężenia prądu płynącego przez obwoacuted jest duża to straty energii na oporze wew-nętrznym są znaczne Napięcie na zaciskach ogniwa jest niższe niż siła elektromotoryczna źroacutedła o spadek napięcia na obwodzie wewnętrznym Jeśli opoacuter obciążenia jest duży straty energii na oporze wewnętrznym są niewielkie a napięcie na zaciskach ogniwa osiąga wartość zbliżoną do jego siły elektromotorycznej Można zatem stwierdzić że w granicy

infinrarrZEWNR siła elektromotoryczna jest roacutewna napięciu na zaciskach ogniwa otwartego

Energię elektryczną możemy uzyskiwać korzystając z pracy mechanicz-nej ktoacutera zamieniamy na energię elektryczną za pomocą prądnic czy alternatoroacutew Większość z tych urządzeń wytwarza zmienną siłę elektro-motoryczną a uzyskanie stałej wartości wymaga dodatkowych urządzeń przetwarzających napięcie zmienne na stałe w czasie Energię elektrycz-ną możemy czerpać roacutewnież ze źroacutedeł chemicznych ndash baterii akumula-toroacutew i stosowanych coraz częściej ogniw paliwowych Źroacutedłami energii elektrycznej mogą być roacutewnież termoogniwa (wykorzystujące roacuteżnicę temperatur) oraz fotoogniwa (korzystające z energii promieniowania słonecznego) Jak stąd wynika źroacutedłami prądu stałego są urządzenia przetwarzające energię innego rodzaju na energię elektryczną

ROZDZIAŁ 11

Strona 198198198198

Rysunek 112 Obwoacuted złożony ze źroacutedła rzeczywistego i obciążenia

oporowego Spadki napięć na opornikach skierowane są przeciwnie niż SEM ogniwa

Prawa Kirchhoffa

Rozpatrzmy obwoacuted składający się z pojedynczego opornika R i źroacutedła o sile elektromotorycznej ε i oporze wewnętrznym Rw (rysunek 112) Za-piszmy zasadę zachowania energii dla takiego obwodu elektrycznego Praca wykonana przez ogniwo nad ładunkiem w obwodzie zamkniętym jest roacutewna energii rozpraszanej na elementach oporowych

RtItRItIε 2

w

2 += (1124)

Dzieląc obie strony roacutewnania 1122 przez czas i natężenie prądu otrzy-mujemy roacutewnanie

RIRI += wε (1125)

Zgodnie z uprzednio wprowadzoną definicją siła elektromotoryczna jest pracą wykonaną na przepływ jednostkowego ładunku w obwodzie zamkniętym

Napięcia na poszczegoacutelnych elementach obwodu i natężenia prądu prze-pływającego przez poszczegoacutelne jego gałęzie możemy obliczyć stosując prawa Kirchhoffa

PRĄD ELEKTRYCZNY

Strona 199199199199

I Prawo Kirchhoffa

Suma natężeń prądoacutew dopływających do węzła jest roacutewna sumie natężeń prądoacutew wypływających z tego węzła

W obwodzie zachowuje się roacutewnież ładunek elektryczny ndash jeśli w obwo-dzie znajduje się rozgałęzienie (węzeł) to ładunek ktoacutery dopłynie do wę-zła musi być roacutewny temu ktoacutery z węzła wypłynął

II Prawo Kirchhoffa

W dowolnym obwodzie zamkniętym sieci elektrycznej (oczku sieci) suma wartości sił elektromotorycznych roacutewna jest sumie wartości spadkoacutew napięcia na elementach tego obwodu

Drugie prawo Kirchhoffa odpowiada roacutewnaniu 1125

Obwoacuted RC

Jeśli naładowany do napięcia U kondensator o pojemności C zewrzemy opornikiem R to dla takiego obwodu II prawo Kirchhoffa możemy zapisać w postaci

0=+

=+

C

qRI

0UU CR

(1126)

Ponieważ natężenie prądu możemy wyrazić jako pochodną przepływającego ładunku po czasie roacutewnanie przyjmie postać

0d

d=+

C

qR

t

q (1127)

Rozwiązanie tego roacutewnania roacuteżniczkowego opisujące ładunek na kondensatorze ma postać malejącą wykładniczo

( ) RCt

0 eqtqminus

= (1128)

Skoro ładunek będzie się zmieniał wykładniczo to roacutewnież natężenie prądu w obwodzie będzie wykładniczo malało w czasie

ROZDZIAŁ 11

Strona 200200200200

Pomiar natężenia i napięcia

Wartości napięcia pomiędzy zaciskami elementu i natężenia prądu przepływającego przez element możemy wyznaczyć posługując się tym samym urządzeniem nazywanym galwanometrem Wychylenie wska-zoacutewki galwanometru jest wprost proporcjonalne do przepływającego przez urządzenie prądu

Rysunek 113 Podłączenie miernika do obwodu

a) pomiar natężenia prądu b) pomiar napięcia

Przy pomiarze natężenia prądu miernik włączamy w obwoacuted szeregowo (rysunek 113) W ten sposoacuteb mierzymy całkowity prąd płynący przez gałąź Opoacuter własny amperomierza powinien być jednak jak najmniejszy znacznie mniejszy niż wartości oporoacutew znajdujących się na mierzonej gałęzi ndash inaczej pomiar zakłoacuteci wartość mierzoną Aby spełnić ten waru-nek do zaciskoacutew galwanometru dołączamy roacutewnolegle bocznik o ma-łym oporze Większość natężenia prądu jest przepuszczana przez bocz-nik a tylko niewielka część przepływa przez galwanometr Zmieniając wartość oporu bocznika pomiędzy zaciskami miernika możemy zmieniać zakres pomiaru prądu układem galwanometr-bocznik

Przy pomiarze napięcia miernik ndash pełniący funkcję woltomierza ndash jest podłączony roacutewnolegle do badanego elementu (rysunek 113) W tym przypadku opoacuter własny woltomierza powinien być jak największy by nie odbierał on prądu z elementu Z tego względu pomiędzy zaciskami miernika a galwanometrem podłączony jest szeregowo opornik o dużej wartości Opornik ten zmniejsza natężenie prądu przepływającego przez galwanometr Zmieniając wartość użytego opornika można zmieniać za-kres pomiaru napięcia

Często stosowanym przyrządem jest proacutebnik (wskaźnik) napięcia Wy-korzystuje on pojemność elektryczną ludzkiego ciała Proacutebnika możemy używać przykładając palec do metalowego zakończenia rękojeści a ostrze do badanego elementu obwodu Natężenie prądu przepływają-

PRĄD ELEKTRYCZNY

Strona 201201201201

cego przez dłoń jest w tym przypadku niewielkie i nie zagraża bezpie-czeństwu osoby dokonującej pomiaru

ROZDZIAŁ 11

Strona 202202202202

Strona 4444

52 Roacutewnanie ruchu bryły sztywnej 72 53 Zasada zachowania momentu pędu 74 54 Energia ruchu obrotowego 75

6 Ruch drgający 79

61 Drgania harmoniczne 80 62 Drgania tłumione 86 63 Drgania wymuszone z tłumieniem 90

7 Stany skupienia materii 93

71 Ciało stałe 94 72 Płyny 95 73 Inne stany materii 95 74 Przejścia między stanami ndash przemiany fazowe 97

8 Hydrostatyka i hydrodynamika 101

81 Hydrostatyka 102 82 Hydrodynamika 108

9 Termodynamika 117

91 Temperatura zerowa zasada termodynamiki 118 92 Roacutewnanie stanu gazu doskonałego 120 93 Ciepło i praca termodynamiczna 121 94 Przemiany termodynamiczne 127 95 Teoria kinetyczno-molekularna gazoacutew 134 96 Roacutewnanie stanu gazu rzeczywistego 138 97 Cykle gazowe 139 98 Entropia 146 99 Właściwości termiczne materii 149

10 Elektrostatyka 157

101 Ładunek elektryczny 158 102 Prawo Coulomba 159 103 Natężenie pola elektrycznego 161 104 Energia i potencjał w polu elektrycznym 166 105 Prawo Gaussa 168

Strona 5555

106 Pojemność elektryczna przewodnika 174 107 Dielektryki 179

11 Prąd elektryczny 187

111 Natężenie prądu elektrycznego 188 112 Prawo Ohma 189 113 Praca i moc prądu elektrycznego 195 114 Obwody elektryczne 196

Strona 6666

Wstęp Niniejsze materiały zostały opracowane w ramach realizacji Programu Rozwojowego Politechniki Warszawskiej wspoacutełfinansowanego ze środ-koacutew PROGRAMU OPERACYJNEGO KAPITAŁ LUDZKI Przezna-czone są dla studentoacutew pierwszego roku studioacutew inżynierskich kierunku nauczania bdquoEdukacja techniczno-informatycznardquo prowadzonych na Wy-dziale Samochodoacutew i Maszyn Roboczych Politechniki Warszawskiej

Niniejsze opracowanie przygotowano dla przedmiotu pt bdquoPodstawy fizykirdquo Jego zawartość merytoryczna w pełni odpowiada zakresowi opi-sanemu w sylabusie opracowanym dla tego przedmiotu

Skrypt stanowi pierwszą część opracowanych materiałoacutew dydaktycz-nych i dotyczy zagadnień omawianych podczas pierwszego semestru wykładoacutew z ww przedmiotu Opracowane zagadnienia podzielone zo-stały na 11 rozdziałoacutew

Rozdział 1 wprowadza pojęcie wielkości fizycznych ich jednostek oraz operacji na tych jednostkach

Rozdział 2 został poświęcony opisowi ruchu ciał w roacuteżnych układach wspoacutełrzędnych za pomocą takich wielkości fizycznych jak przemiesz-czenie prędkość czy przyspieszenie

W rozdziale 3 omoacutewione zostały zasady dynamiki Newtona oraz zasada zachowania pędu

W rozdziale 4 wprowadzone są pojęcia pracy oraz energii Rozważane są roacuteżne formy energii (energia potencjalna i kinetyczna) oraz zasada za-chowania energii

Rozdział 5 dotyczy zagadnień z zakresu dynamiki bryły sztywnej takich jak roacutewnanie ruchu bryły sztywnej zasada zachowania momentu pędu czy energia ruchu obrotowego

Rozdział 6 został poświęcony zagadnieniom drgań w szczegoacutelności drgań harmonicznych z uwzględnieniem wpływu tłumienia oraz wymuszenia

W rozdziale 7 omoacutewione zostały roacuteżne stany skupienia materii ndash ciała stałe płyny oraz inne stany materii

Strona 8888

W rozdziale 8 przedstawione zostały podstawowe zagadnienia hydrosta-tyki i hydrodynamiki w tym prawo Pascala Arhimedesa oraz roacutewnanie Bernouliego

Rozdział 9 poświęcony jest termodynamice Omoacutewiony został gaz do-skonały jego roacutewnanie stanu oraz roacuteżne przemiany jakim może podle-gać Przedstawiono definicję ciepła oraz pracy termodynamicznej a także opis cykli i silnikoacutew termodynamicznych Omoacutewiono roacutewnież podstawowe właściwości termiczne materii

W rozdziale 10 omoacutewione zostały takie zagadnienia elektrostatyki jak Coulombowska siła oddziaływania elektrostatycznego natężenie poten-cjał oraz energia pola elektrycznego czy pojemność elektryczna prze-wodnika Przedstawione zostało prawo Gaussa wraz z przykładami stosowania go do wyznaczania natężenia pola elektrycznego Rozdział opisuje także właściwości elektryczne dielektrykoacutew

Rozdział 11 dotyczy zagadnień z zakresu przepływu prądu elektryczne-go Podane zostało prawo Ohma wyznaczona praca i moc prądu elek-trycznego a także omoacutewione podstawowe właściwości obwodoacutew elek-trycznych w tym prawa Kirchhoffa

1 Czym jest fizyka Wielkości fizyczne jednostki i wzorce

W tym rozdziale

o Czym jest fizyka o Jednostki podstawowe o Miano jednostek wielkości podstawowych o Rachunek mian operacje na jednostkach wielkości

fizycznych o Działania na wektorach

ROZDZIAŁ 1

Strona 10101010

11 Czym jest fizyka

Fizyka jest podstawową nauką ścisłą wywodzącą się z filozofii Ślad tego faktu że fizyka była działem filozofii ndash filozofią przyrody ndash znajdujemy w tytule słynnego dzieła Izaaka Newtona stanowiącego fundament nowożytnej fizyki rdquoPrincipia mathematica philosophiae naturalisrdquo (1686 r) co może być przetłumaczone jako bdquoZasady matematyczne filozofii przyrodyrdquo

Fizyka jest nauką ścisła i empiryczną czyli opartą na doświadczeniu ponieważ

bull Używa wielkości fizycznych dokładnie zdefiniowanych W definicji wielkości fizycznej zawarte są informacje doty-czące jej pomiaru Wielkością fizyczną jest każda wielkość ktoacutera daje się mierzyć czyli poroacutewnywać ze wzorcem jed-nostki tej wielkości

bull Stosuje opis matematyczny zjawisk (bdquomatematyka jest języ-kiem fizykirdquo)

bull Prawa fizyczne formułuje na podstawie doświadczeń

Przez doświadczenie (eksperyment) fizyczny rozumiemy zjawisko prze-prowadzone w możliwie uproszczonych i nadających się do analizy warunkach laboratoryjnych z eliminacją zjawisk ubocznych zakłoacutecają-cych zjawisko badane Podstawowym działaniem w doświadczeniach są właśnie pomiary wielkości fizycznych

Fizyka opiera się na pewnej minimalnej liczbie praw podstawowych o charakterze pewnikoacutew aksjomatoacutew ktoacutere w fizyce nazywamy zasada-mi Czasami moacutewi się o nich ze są to bdquoprawa pierwszerdquo Oznacza to że nie odkryto praw bardziej podstawowych ktoacutere umożliwiłyby wyprowa-dzenie tych zasad Słuszność zasad wynika tylko z doświadczeń i jest uogoacutelnieniem dużej liczby eksperymentoacutew Klasycznymi przykładami zasad są zasady dynamiki Newtona Natomiast inne szczegoacutełowe prawa fizyczne (np prawo Ohma lub prawo indukcji elektromagnetycznej Faradaya) wyprowadzamy z zasad fizyki za pomocą modeli fizycznych opisywanych zjawisk

CZYM JEST FIZYKA WIELKOŚCI FIZYCZNE JEDNOSTKI I WZORCE

Strona 11111111

Istnienie zasad i praw szczegoacutełowych powoduje wzajemne powiązanie wielkości fizycznych Stąd z kolei wynika że jest w fizyce pewna liczba podstawowych wielkości fizycznych a pozostałe wielkości są wielkoś-ciami zależnymi pochodnymi W tej sytuacji wystarczy iż wzorce jed-nostek fizycznych stworzymy tylko dla wielkości podstawowych

Ustalono że są cztery podstawowe wielkości fizyczne długość masa czas i natężenie prądu Stworzono zatem wzorce metra kilograma se-kundy i ampera Taki układ jednostek nazwano pierwotnie układem MKSA od początkowych liter nazw wzorcoacutew Z powodu tradycji i dla wygody dodano jednak następnie przejściowo do układu jeszcze cztery wielkości fizyczne mimo iż można by je określić przez te pierwsze cztery wielkości podstawowe Są to temperatura (w kelwinach) licz-ność materii (w molach) jasność źroacutedeł promieniowania (w kandelach) i kąt płaski (w radianach) W ten sposoacuteb powstał układ jednostek złożony z ośmiu wzorcoacutew jednostek wielkości fizycznych wymienio-nych wyżej nazywany układem SI (od fr Systeme International) Wy-magania postawione wzorcom jednostek dotyczą maksymalnej dokład-ności i powszechności uniwersalności Ta druga własność ma polegać na tym by wzorzec moacutegł być z roacutewną dokładnością odtwarzalny we wszystkich laboratoriach na świecie Ma to zapewnić możliwość poroacutewnywania wynikoacutew doświadczeń roacuteżnych laboratorioacutew a przez to możliwość sprawdzania powtarzalności pomiaroacutew co ma decydujące znaczenie przy tworzeniu praw fizycznych

Jednostki pochodnych wielkości fizycznych są tworzone w oparciu o de-finicje tych wielkości i istniejące związki tych wielkości z wielkościami podstawowymi ustalone prawami fizyki Jako przykład ustalmy jednost-kę i sposoacuteb pomiaru prędkości chwilowej Powołamy się tu na definicję prędkości chwilowej ktoacutera będzie uzasadniona w dalszej części skryptu

∆t

∆x

0∆t rarr= limv

(11)

Ta matematyczna definicja wskazuje że aby wyznaczyć prędkość chwi-lową obiektu trzeba mierzyć odcinki przesunięcia ∆x tego obiektu odpowiadające jak najkroacutetszym odcinkom czasu ∆t (dążącym do zera) i dzielić je przez siebie Jest więc w definicji wskazoacutewka pomiarowa i wiemy już że jednostką prędkości będzie ms

ROZDZIAŁ 1

Strona 12121212

12 Jednostki podstawowe

Jednostką długości jest metr [m] Metr jest to odległość jaką pokonuje światło w proacuteżni w czasie 1299 792 458 s

Jednostką czasu jest sekunda [s] Sekunda jest definiowana za pomocą tzw zegara atomowego jako 9 192 631 770 okresoacutew drgań określonego promieniowania atomu cezu 133Cs w temperaturze 0 K

Jednostką masy jest kilogram [kg] Wzorzec kilograma wykonany ze stopu platynowo-irydowego znajduje się w Sevres pod Paryżem Kopie tego wzorca zostały rozesłane do instytutoacutew miar i wag poszczegoacutelnych państw Obecnie dąży się do opracowania lepszej definicji opartej na masie atomowej

Jednostką temperatury jest Kelwin [K] Jeden kelwin odpowiada 1 27316 temperatury termodynamicznej punktu potroacutejnego wody ndash punktu w ktoacuterym wspoacutełistnieją fazy ciekła (woda) stała (loacuted) i gazowa (para wodna) Temperatura termodynamiczna jest zdefiniowana w odnie-sieniu do tzw zera absolutnego 0 K ktoacutera oznacza najniższą temperaturę do jakiej możemy się dowolnie zbliżyć ale jest nieosiągalna Na po-wszechnie stosowanej skali Celsjusza temperaturze punktu potroacutejnego wody (27316 K) odpowiada 001ordmC

W niniejszym skrypcie jako separator dziesiętny stosować będziemy znak kropki a nie przecinka

Jednostką liczności materii jest jeden mol [mol] Jest to liczność materii układu zawierającego liczbę cząsteczek roacutewną liczbie atomoacutew w masie 12 gramoacutew izotopu węgla 12C W jednym molu znajduje się ok 60221415(10)middot1023 cząsteczek Liczba ta jest nazywana stałą Avogadra (liczbą Avogadra) Ponieważ roacuteżne cząsteczki mają roacuteżną masę roacutewnocześnie z licznością należy podać rodzaj cząsteczek (cząsteczki atomy jony itp) lub też zdefiniować masę molową jako masę jednego mola danej substancji W opisie materii używa się roacutewnież masy atomowej ktoacutera określa ile razy masa jednego atomu danego pierwiastka chemicznego jest większa od jednostki zdefiniowanej jako 1 12 masy izotopu węgla 12C

Jednostką światłości jest kandela [cd] i definiuje się ja jako strumień energii (1 683 Wsr) wysyłany na sekundę w jednostkowy kąt prze-strzenny ndash steradian W definicji kandeli wykorzystuje się zielone świa-

CZYM JEST FIZYKA WIELKOŚCI FIZYCZNE JEDNOSTKI I WZORCE

Strona 13131313

tło monochromatyczne o długości 540 nm dla ktoacuterej to długości ludzkie oko charakteryzuje się największą czułością

Jednostką natężenia prądu elektrycznego jest amper [A] Prąd elektryczny jest uporządkowanym ruchem nośnikoacutew ładunku elektrycz-nego Natężenie prądu definiujemy jako stosunek wartości ładunku elek-trycznego ktoacutery przepływa przez przewodnik w jednostce czasu Z defi-nicji tej wynika jednostka natężenia prądu ndash amper ndash 1A=1Cs (ku-lombsekunda) Wzorzec pomiarowy jednego ampera definiujemy w na-stępujący sposoacuteb Jeżeli w dwoacutech roacutewnoległych prostoliniowych nieskończenie długich przewodach umieszczonych w proacuteżni w odleg-łości 1 m od siebie będzie płynął stały prąd o natężeniu jednego ampera (1A) to spowoduje on wzajemne oddziaływanie przewodoacutew z siłą roacutewną 2middot10-7N na każdy metr długości przewodu

Jako jednostek uzupełniających w układach opisywanych wspoacutełrzęd-nymi kątowymi używa się

bull radiana na oznaczenie kąta płaskiego [rad] Kąt pełny wy-nosi 2π radianoacutew Wartość kąta może być roacutewnież określana w stopniach ale w dalszej części tego skryptu jako miarę kąta przyjmować będziemy radiany

bull steradiana na oznaczenie kąta bryłowego [sr] Kąt pełny wynosi 4π sr

ROZDZIAŁ 1

Strona 14141414

13 Miano jednostek wielkości pochodnych

Tabela 11 Jednostki wielkości pochodnych układu SI Według rozporządzenia Rady Ministroacutew z dnia 30 listopada 2006r w sprawie legalnych jednostek miar

Wszystkie wielkości fizyczne mogą być opisane za pomocą jednostek wielkości podstawowych Dla wygody i prostoty zapisu wprowadzone zostały jednak jednostki wielkości pochodnych Przykładowo opisując siły działające w wybranym układzie moglibyśmy za każdym razem podawać jednostkę siły jako kg ms2 ale prościej i wygodniej jest ozna-czyć tę jednostkę symbolem N (1 Newton) W Tabeli 1 przedstawione są definicje przykładowych jednostek wielkości pochodnych tzw mian wielkości pochodnych

CZYM JEST FIZYKA WIELKOŚCI FIZYCZNE JEDNOSTKI I WZORCE

Strona 15151515

14 Rachunek mian operacje na jednostkach wielkości fizycznych

Wielkości skalarne i wektorowe

Wielkości fizyczne dzielimy na skalary i wektory Wielkości skalarne mają jedynie wartość Przykładem takich wielkości są energia masa czas czy ładunek elektryczny Wielkości wektorowe oproacutecz wartości (modułu) posiadają roacutewnież kierunek i zwrot Przykładem mogą być tutaj siła prędkość czy pęd W układzie wspoacutełrzędnych wektor opisuje-my podając jego składowe czyli rzuty tego wektora na osie układu

wspoacutełrzędnych Przykładowo ( ) k4j2i3324rrrr

++==v oznacza wek-

tor prędkości o składowych 3x =v ndash w kierunku x czyli wzdłuż werso-

ra ir

(wektora jednostkowego) 2v y = ndash w kierunku y wzdłuż wersora

jr

4z =v w kierunku z wzdłuż wersora kr

Działania na wektorach

Podstawowe działania na wektorach jakie będziemy wykorzystywać to dodawanie odejmowanie i mnożenie

Mnożenie

W wyniku mnożenia wektora br

przez skalar bcarr

= otrzymujemy

wektor ar

ktoacuterego kierunek jest zgodny z kierunkiem wektora br

zaś jego długość jest iloczynem długości wektora b oraz wielkości skalarnej

c bca = W przypadku gdy c lt 0 to zwrot wektora ar

jest przeciwny

niż br

To samo działanie możemy wykonać na składowych wektora

Przykładowo jeśli wektor ( )135b =r

wymnożymy skalarnie przez 3 otrzymujemy

( )391553k33j13ib3a =sdot+sdot+sdot==rrrrr

ROZDZIAŁ 1

Strona 16161616

Rysunek 11 Dodawanie wektoroacutew na płaszczyźnie a) i mnożenie wektorowe wektoroacutew b)

Dodawanie i odejmowanie wektoroacutew

Dodawanie wektoroacutew można przeprowadzić graficznie (rysunek 11) lub przez dodanie składowych określających wektory w wybranym układzie wspoacutełrzędnych Suma dwoacutech wektoroacutew jest roacutewnież wektorem Podob-nie jak poprzednio działanie dodawania można wykonać roacutewnież na składowych wektoroacutew Przykładowo dodając do siebie wektory

( )102a minus=r

( )135b =r

i ( )230c minus=r

otrzymujemy wektor

[ ] [ ] [ ] ( )184051k332j210id minus=++minus++++minus+=rrrr

Odejmowanie wektoroacutew przeprowadzamy podobnie ndash jeśli wykonujemy

operację barr

minus to do wektora ar

dodajemy wektor br

minus czyli wektor

o identycznej długości i kierunku co br

ale o przeciwnym zwrocie

Odejmowanie nie jest przemienne tzn działanie abrr

minus daje wektor

o przeciwnym zwrocie niż działanie barr

minus Przykładowo odejmując od

wektora ( )102a minus=r

wektor ( )135b =r

otrzymujemy wektor

( )611c minusminusminus=r

a wykonując działanie abrr

minus otrzymujemy wektor

( )116c =r

Iloczyn skalarny wektoroacutew

Iloczyn skalarny bacrr

sdot= jest iloczynem długości wektora ar

oraz rzutu

wektora br

na wektor ar

Iloczyn skalarny możemy zapisać inaczej jako

CZYM JEST FIZYKA WIELKOŚCI FIZYCZNE JEDNOSTKI I WZORCE

Strona 17171717

αcosbabac =sdot=rr

(12)

gdzie α jest kątem między wektorami ar

i br

Przykładem mnożenia skalarnego jest praca będąca iloczynem przesunięcia oraz rzutu siły wywołującej przesunięcie na kierunek tego przesunięcia Iloczyn skalar-ny uzyskuje maksymalną wartość gdy wektory są do siebie roacutewnoległe natomiast dla wektoroacutew prostopadłych wartość iloczynu skalarnego roacutewna jest zeru

Iloczyn wektorowy wektoroacutew

Wynikiem iloczynu wektorowego dwoacutech wektoroacutew ( bacrrr

times= ) jest wektor Długość tego wektora możemy obliczyć ze wzoru

αsinabc = (13)

gdzie α jest kątem między wektorami ar

i br

Kierunek tego wektora jest

prostopadły do płaszczyzny w ktoacuterej leżą wektory ar

oraz br

Zwrot

wektora cr

określa reguła śruby prawoskrętnej ndash jeśli będziemy kręcić

śrubą od wektora ar

do wektora br

po najmniejszym kącie to kierunek ruchu postępowego śruby wyznacza zwrot wektora będącego iloczynem

wektorowym bacrrr

times= Przykładem iloczynu wektorowego jest moment

siły FrMrrr

times= ndash mnożąc wektorowo wektor rr

określający położenie

punktu zaczepienia siły względem osi obrotu oraz wektor siły Fr

otrzy-

mujemy wektor momentu siły Mr

prostopadły do płaszczyzny w ktoacuterej oba wektory się znajdują

Iloczyn wektorowy uzyskuje wartość maksymalną gdy wektory ar

i br

są do siebie prostopadłe (α = π2) Gdy wektory są roacutewnoległe (α = 0) ich iloczyn wektorowy jest roacutewny zeru

Mnożenie wektorowe nie jest przemienne ndash w wyniku mnożenia wekto-

rowego abrr

times dostaniemy wektor o identycznej wartości i kierunku co

barr

times ale o przeciwnym zwrocie

Algebraicznie iloczyn dwoacutech wektoroacutew możemy przedstawić w postaci macierzy

ROZDZIAŁ 1

Strona 18181818

zyx

zyx

bbb

aaa

kji

ba

rrr

rr=times (14)

Po przekształceniach otrzymujemy

[ ]xyyxxzzxyzzy bababababababa minus+minusminus=timesrr

(15)

Rzuty wektoroacutew

Rozkładanie wektoroacutew na składowe czyli rzutowanie wektora na wybra-ne osie jest procedurą odwrotną do dodawania wektoroacutew pozwalającą wyznaczyć składowe wektora w wybranych kierunkach

Jeżeli rozpatrzymy wektor ar

na płaszczyźnie dwuwymiarowej tworzący kąt α z wyroacuteżnioną prostą składowa roacutewnoległa do tej prostej wynosi αcosaa =II (dla α = 0 wartość tej składowej wynosi aa =II

a dla α = π2 wynosi 0a =II ) zaś składowa prostopadła αsinaa =perp

Przykład

Rozłoacuteż siłę grawitacji działającą na ciało znajdujące się na powierzchni roacutewni o kącie nachylenia α na składową prostopadłą i roacutewnoległą do powierzchni roacutewni

Siła ciężkości ( mgFc = ) skierowana pionowo w doacuteł może być składo-

wą roacutewnoległą i prostopadłą do roacutewni (Rysunek 12) Ze względu na podobieństwo troacutejkątoacutew kąt α tworzący roacutewnię będzie roacutewnież występo-wał między siłą ciężkości i jej składowymi Składowa siły ciężkości roacutewnoległa do powierzchni roacutewni (siła ściągająca ciało) wynosi więc

αsinmgFII = a składowa prostopadła będąca siłą nacisku ciała na

roacutewnię αcosmgF =perp

CZYM JEST FIZYKA WIELKOŚCI FIZYCZNE JEDNOSTKI I WZORCE

Strona 19191919

Rysunek 12 Rozłożenie siły ciężkości działającej na ciało

na powierzchni roacutewni na składowe

ROZDZIAŁ 1

Strona 20202020

2 Opis ruchu

W tym rozdziale

o Układ odniesienia i układ wspoacutełrzędnych o Przemieszczenie i droga o Prędkość o Przyspieszenie

ROZDZIAŁ 2

Strona 22222222

21 Układ odniesienia i układ wspoacutełrzędnych

Opisując położenie obiektu musimy określić układ odniesienia czyli po-wiedzieć względem jakiego punktu będziemy opisywać położenie tego obiektu Na przykład opisując położenie samochodu zaparkowanego na ulicy między dwoma skrzyżowaniami przyjmujemy środek jednego ze skrzyżowań jako układ odniesienia Poza precyzyjnym określeniem względem jakiego punktu będziemy opisywać położenie samochodu istotne jest roacutewnież zdefiniowanie układu wspoacutełrzędnych W zależności od tego w ktoacuterą stronę będziemy zwroacuteceni stojąc na skrzyżowaniu nasz samochoacuted może być przed lub za nami z prawej lub lewej strony Po zdefiniowaniu okładu odniesienia oraz układu wspoacutełrzędnych położenie obiektu określamy podając jego odległość od osi układu wspoacutełrzędnych Rozpatrzmy samochoacuted zaparkowany na ulicy stojący w odległości 20m od skrzyżowania Samochoacuted jest obiektem przestrzennym ale w przy-padku gdy nie interesuje nas jak jest on zaparkowany (roacutewnolegle czy prostopadle) możemy zastąpić go punktem materialnym znajdującym się w środku samochodu o masie roacutewnej masie całego samochodu Jeśli interesuje nas jedynie odległość miejsca zaparkowania od skrzyżowania mierzona wzdłuż ulicy (rysunek 21 a) wybrany układ odniesienia ma tylko jeden wymiar ( x ) Jeżeli za początek układu przyjmiemy środek skrzyżowania woacutewczas położenie samochodu można opisać r = 20

Załoacuteżmy teraz że chcemy dokładniej opisać położenie samochodu (środ-ka masy samochodu) ndash będzie nas interesować nie tylko odległość mie-rzona wzdłuż ulicy ale roacutewnież położenie względem środka ulicy (czy samochoacuted zaparkowany jest tuż przy krawężniku czy na środku jezdni) W takim przypadku wprowadzimy dwuwymiarowy układ wspoacutełrzęd-nych Jeżeli przyjmiemy szerokość jezdni roacutewną 4m oraz ponownie za początek układu wspoacutełrzędnych przyjmiemy środek skrzyżowania to środek samochodu zaparkowanego przy chodniku będzie się znajdował w odległości 3m od osi jezdni (rysunek 21a) Wspoacutełrzędne zaparkowa-nego samochodu wynoszą więc x = 20 i y = minus3 a jego położenie możemy

opisać wektorem 3)(20minus=rr

Gdybyśmy natomiast chcieli opisać położenie środka masy samochodu z uwzględnieniem wysokości względem drogi potrzebna będzie trzecia wspoacutełrzędna z i troacutejwymiarowy układ wspoacutełrzędnych Przyjmując po-

OPIS RUCHU

Strona 23232323

nownie za początek układu wspoacutełrzędnych środek skrzyżowania zakła-dając że ulica jest pozioma oraz że środek masy samochodu znajduje się poacuteł metra nawierzchnią ulicy otrzymujemy wektor położenia środka ma-sy samochodu 305)(20r minus=

r

Rysunek 21 Opis położenia samochodu

a) z lewej ndash w układzie kartezjańskim dwuwymiarowym b) z prawej ndash w układzie biegunowym dwuwymiarowym

Warto zauważyć że zdefiniowany w powyższym przykładzie układ wspoacutełrzędnych jest układem prostokątnym (osie są wzajemnie prostopa-dłe) Taki układ nazywany jest roacutewnież układem kartezjańskim W pew-nych przypadkach znacznie wygodniejszy niż układ kartezjański jest tzw układ biegunowy W układzie tym położenie obiektu wyznacza wspoacutełrzędna radialna r oraz kąt α pod jakim widać obiekt względem wyroacuteżnionego kierunku Gdyby samochoacuted został zaparkowany w dziel-nicy o gwiaździstym układzie ulic (w Warszawie przykładem takiej za-budowy są Stary Żoliborz czy okolice gmachu głoacutewnego Politechniki Warszawskiej) jego położenie można by określić podając odległość od środka ronda oraz kąt (rysunek 21 b)

22 Przemieszczenie i droga

Przemieszczenie obiektu r∆r

definiujemy jako zmianę jego położenia czyli roacuteżnicę wektora opisującego położenie końcowe kr

r oraz początko-

we prr

obiektu

pk rrr∆rrr

minus= (21)

ROZDZIAŁ 2

Strona 24242424

Widzimy że tak zdefiniowany wektor zależy jedynie od początkowego i końcowego położenia ciała a nie od toru wzdłuż ktoacuterego ciało się poru-sza Wektor przemieszczenia nie określa toru po jakim ciało się prze-mieszcza z położenia początkowego do końcowego Dlatego w opisie ruchu ciała często wyznaczamy drogę przebytą przez ciało oznaczaną symbolem s ktoacutera jest roacutewna długości toru po ktoacuterym ciało się porusza W odroacuteżnieniu od wektora przemieszczenia droga jest wielkością skalarną

23 Prędkość

Kolejnym parametrem określającym stan ruchu ciała jest jego pręd-

kość vr

Prędkość średnią obiektu można zdefiniować na dwa sposoby

Prędkość średnią definiujemy jako przemieszczenie obiektu ktoacutere nastąpiło na jednostkę czasu

∆t

r∆r

r=v (22)

Tak wyrażona wielkość jest wektorem i zawiera informację o kierunku ruchu obiektu Warto jednak zauważyć że jeśli ruch nie odbywa się wzdłuż prostej wartość wektora średniej prędkości będzie znacznie od-biegać od rzeczywistej prędkości obiektu

Prędkość średnią można roacutewnież definiować za pomocą drogi pokonanej przez ciało w określonym czasie

∆t

∆s=v (23)

Wyliczona w ten sposoacuteb średnia prędkość obiektu jest skalarem i dobrze oddaje wartość średniej prędkości obiektu zaroacutewno w przypadku ruchu prostoliniowego jak i krzywoliniowego Nie zawiera jednak informacji o kierunku ruchu

Dobrym przykładem pozwalającym zrozumieć definicję prędkości jest ruch windy w pionowym szybie Załoacuteżmy że winda potrzebowała n sekund żeby przemieścić się z parteru na wysokość x [m] Dla wygody początek układu wspoacutełrzędnych umieścimy na wysokości roacutewnej

OPIS RUCHU

Strona 25252525

wysokości środka masy windy a zwrot osi ndash oznaczonej jako x minus skierujemy do goacutery W takim przypadku długość wektora przemieszcze-nia jest roacutewna przebytej przez ciało drodze i niezależnie od wyboru jednej z dwu powyższych definicji otrzymamy identyczną wartość prędkości

t

xv

∆

∆= (24)

Rysunek 22 Wyznaczanie średniej prędkości ciała

Na rysunku 22 przedstawiony został wykres położenia ciała w funkcji czasu Wyznaczając średnią prędkość ruchu tego ciała rysujemy cięciwę łączącą punkt początkowy oraz końcowy na tym wykresie a następnie wyznaczamy kąt nachylenia tej cięciwy Tangens tego kąta nachylenia roacutewny będzie co do wartości stosunkowi długości odcinkoacutew ∆x oraz ∆t i definiuje średnią prędkość ciała

Tak uzyskana wartość prędkości średniej nie zawiera jednak pełnej in-formacji o prędkości windy ndash początkowo winda znajduje się w spo-czynku następnie jej prędkość się zwiększa na odcinku między piętrami pozostaje stała a na najwyższym piętrze prędkość zmniejsza się aż do zatrzymania windy Pełniejsze dane dotyczące prędkości w poszcze-goacutelnych stadiach ruchu możemy otrzymać dzieląc wykres na mniejsze odcinki W ten sposoacuteb wyliczamy średnią prędkość windy w czasie ru-szania z miejsca średnią prędkość windy pomiędzy piętrami i średnią prędkość w trakcie hamowania Podobnie jak poprzednio wartość śred-niej prędkości wyliczonej dla danego odcinka jest roacutewna tangensowi kąta nachylenia krzywej wyliczonemu dla danego odcinka Warto zwroacute-

ROZDZIAŁ 2

Strona 26262626

cić uwagę że dla odcinka między piętrami gdzie prędkość jest stała ob-liczona średnia prędkość jest roacutewna rzeczywistej prędkości windy

Zgodnie z roacutewnaniem 23 wyznaczając prędkość średnią ciała rozpatru-jemy drogę ∆s jaką ciało to pokona w czasie ∆t Jeżeli rozpatrywane odstępy czasowe będą nieskończenie kroacutetkie czyli ∆trarr0 co oznaczamy symbolem dt woacutewczas wyznaczona w ten sposoacuteb prędkość będzie prędkością chwilową ciała Dla takich infinitezymalnych przedziałoacutew czasowych wartość przemieszczenia ciała oraz droga przebyta przez to ciało są sobie roacutewne a prędkość chwilową możemy zdefiniować

d

dlim

0 t

r

t

rv

t

rrr

=∆

∆=

rarr∆ (25)

Ze wzoru 25 wynika że prędkość chwilowa jest roacutewna pochodnej wek-tora położenia po czasie liczonej dla danej chwili Geometryczna inter-pretacja pochodnej to tangens kąta nachylenia stycznej do wykresu w danym punkcie Tak więc żeby wyznaczyć prędkość chwilową należy na wykresie drogi przebytej w funkcji czasu narysować styczną do tej krzywej w interesującym nas punkcie Im szybciej będzie się zmieniało położenie ciała tym bardziej stromy będzie wykres położenia w funkcji czasu i w efekcie większa wartość prędkości chwilowej

24 Przyspieszenie

Przyspieszenie chwilowe ciała definiujemy jako pochodną prędkości po czasie Przyspieszenie opisuje więc tempo zmian prędkości w danej chwili ruchu i wyraża się w ms2

2

2

d

d

d

) ddd(

d

)(d

t

s

t

ts

t

tva === (26)

Podobnie jak w przypadku prędkości chwilowej przyspieszenie chwilo-we jest roacutewne tangensowi kąta nachylenia krzywej określającej zależ-ność prędkości od czasu obliczonemu dla danej chwili ruchu Przeanali-zujmy jeszcze raz omawiany wcześniej ruch windy wykreślając zależ-ność prędkości windy od czasu Kiedy winda rusza z miejsca i jej prędkość jednostajnie narasta to styczna do tej krzywej będzie taka sama w każdym punkcie a więc otrzymujemy stałą dodatnią wartość przy-spieszenia Na odcinku pomiędzy piętrami wartość prędkości windy nie

OPIS RUCHU

Strona 27272727

zmienia się a więc kąt nachylenia krzywej prędkości względem osi czasu wynosi zero ndash wartość przyspieszenia jest roacutewnież zerowa Kiedy winda hamuje wykres prędkości od czasu jest liniowy a jego nachylenie przyjmuje wartość ujemną ndash zatem i przyspieszenie jest ujemne (opoacuteźnienie)

Wykresy przyśpieszenia prędkości oraz położenia od czasu dla oma-wianej windy przedstawione są na rysunku 23 Droga przebyta przez windę w początkowym etapie ruchu jest proporcjonalna do kwadratu czasu i może być wyrażona zależnością typu s = kt

2 gdzie k wyraża pewien stały wspoacutełczynnik Pochodna takiej funkcji jest funkcją liniową co oznacza że prędkość windy rośnie liniowo w funkcji czasu Podczas jednostajnego hamowania droga pokonywana przez windę roacutewnież będzie opisana funkcją kwadratową jednak w tym przypadku długość odcinkoacutew pokonywanych przez nią w jednostce czasu będzie malała z kwadratem czasu W tym etapie ruchu prędkość roacutewnież będzie się zmieniała liniowo ale tym razem prędkość będzie malała jednostajnie w czasie Pomiędzy piętrami nachylenie krzywej zależności drogi od czasu jest wielkością stałą w każdej chwili czasu ndash zatem roacutewnież prędkość jest stała

ROZDZIAŁ 2

Strona 28282828

Rysunek 23 Wykres zależności czasowej położenia prędkości

i przyśpieszenia poruszającej się w goacuterę windy

Warto poroacutewnać otrzymane zależności ze znanymi wzorami opisującymi ruch jednostajny i jednostajnie przyspieszony W ruchu prostoliniowym jednostajnie przyspieszonym przyspieszenie a ma wartość stałą ndash prędkość wyraża się wzorem

atvv += 0 (27)

gdzie 0v ndash prędkość początkowa obiektu

Pokonana przez ciało droga s wyraża się natomiast wzorem

2

2

00

attvss ++= (28)

OPIS RUCHU

Strona 29292929

gdzie s0 oznacza drogę początkową Jak łatwo zauważyć wielkości te są ze sobą powiązane zależnościami roacuteżniczkowymi ndash obliczając pochodną drogi po czasie otrzymujemy prędkość a obliczając z kolei pochodną prędkości otrzymujemy przyspieszenie ktoacutere jest stałe

ROZDZIAŁ 2

Strona 30303030

3 Dynamika

W tym rozdziale

o Zasady dynamiki Newtona o Zasada superpozycji o Zasada zachowania pędu

ROZDZIAŁ 3

Strona 32323232

31 Zasady dynamiki Newtona

Dynamika zajmuje się przyczynami zmian ruchu Ilość tego ruchu lub też stan ruchu danego ciała opisuje pęd Pęd ciała jest proporcjonalny zaroacutewno do prędkości poruszającego się ciała jak i jego masy ndash im szybciej ciało się porusza oraz im większą ma masę tym większa ilość ruchu związana jest z tym ciałem czyli tym większy jest jego pęd Jednostką pędu jest kg ms Pęd jest wektorem skierowanym zgodnie z kierunkiem prędkości ciała

vrr

mp = (31)

Dynamikę ruchu ciała czyli przyczyny zmian pędu ciała wyjaśniają zasady dynamiki Newtona Zasady dynamiki Newtona są prawami pierwszymi ktoacuterych nie można wyprowadzić ani udowodnić za pomocą innych praw Zasady dynamiki Newtona są ścisłym matematycznym ujęciem powszechnych obserwacji dotyczących poruszających się obiektoacutew

Druga zasada dynamiki Newtona

Nasze rozważania rozpoczniemy od II zasady dynamiki Newtona

Wyobraźmy sobie że chcemy rozpędzić ciężki woacutezek Z codziennych doświadczeń wynika że taki sam efekt możemy osiągnąć w wyniku kroacutetkotrwałego ale bardzo mocnego pchnięcia jak i długotrwałego popy-chania woacutezka z niewielką siłą Można roacutewnież powiedzieć że im więk-sza jest wartość siły działającej na ciało oraz im dłużej ona działa czyli im większy jest popęd tej siły tym większą zmianę pędu ona wywoła Zależność tę możemy zapisać w postaci

tF dpdvr

= (32)

Powyższy wzoacuter można przekształcić i zapisać w postaci roacuteżniczkowej (dla infinitezymalnie kroacutetkiego przedziału czasowego dt )

t

pF

d

dr

r= (33)

DYNAMIKA

Strona 33333333

Miarą siły działającej na ciało jest pochodna jego pędu po czasie

Powyższe sformułowanie oraz roacutewnanie 33 jest wspoacutełczesnym zapisem II zasady dynamiki Newtona

Definicja siły za pomocą pochodnej pędu ciała po czasie oznacza że jeżeli wykreślimy zależność pędu ciała od czasu to nachylenie stycznej do krzywej obrazującej zmiany wartości pędu od czasu będzie propor-cjonalne do wartości siły działającej na ciało

Żeby dokładniej zrozumieć znaczenie II zasady dynamiki Newtona wy-liczmy teraz wartość pochodnej pędu po czasie pamiętając że pęd jest wielkością złożoną tzn zależy zaroacutewno od masy jak i prędkości ciała

( )

vt

mm

t

v

t

mvF

d

d

d

d

d

d+== (34)

Powyższe roacutewnanie jest tzw roacuteżniczkowym roacutewnaniem ruchu ciała Pierwszy człon tego roacutewnania jest roacutewny iloczynowi masy i przyśpiesze-nia (pochodna prędkości po czasie) Widzimy zatem że im większa jest masa ciała tym trudniej jest mu nadać przyśpieszenie ndash masa jest miarą bezwładności ciała Drugi człon roacutewnania opisuje przypadki kiedy zmiana pędu następuje w wyniku zmiany masy ciała Przykładem takiego układu w ktoacuterym zmienia się masa może być rakieta Podczas startu z dysz rakiety wyrzucany jest strumień spalin ktoacutery wywołuje jej ruch ale roacutewnież zmniejsza masę całego obiektu Dla układoacutew ktoacuterych masa nie zmienia się drugi człon roacutewnania 34 wynosi zero i roacuteżniczko-we roacutewnanie ruchu można zapisać w postaci uproszczonej ndash siła F działająca na ciało o masie m nadaje mu przyspieszenie a o kierunku i zwrocie takim samym jak działająca siła

amFrr

= (35)

Pierwsza zasada dynamiki Newtona

Rozpatrzmy teraz przypadek kiedy pęd ciała jest stały czyli jego pręd-kość nie zmienia się w czasie Woacutewczas wykres zależności pędu od czasu jest linią poziomą czyli kąt nachylenia tej krzywej i zarazem tangens kąta stycznej do tej krzywej jest w każdym punkcie taki sam i wynosi zero Oznacza to że pochodna pędu po czasie w każdej chwili ruchu roacutewnież wynosi zero Zgodnie z II zasadą dynamiki Newtona

ROZDZIAŁ 3

Strona 34343434

jeżeli pochodna pędu po czasie wynosi zero to wypadkowa siła działająca na ciało roacutewnież musi wynosić zero Ten przypadek zachowa-nia się ciała pod wpływem zerowej wypadkowej siły opisuje I zasada

dynamiki Newtona

Jeżeli na ciało nie działa żadna siła albo siły działające roacutewno-ważą się to stan ruchu ciała nie ulega zmianie jeśli poruszało się prostoliniowo jednostajnie to będzie nadal trwało w tym ru-chu a jeśli było w spoczynku to nadal pozostaje w spoczynku

Zasada ta nazywana jest roacutewnież zasadą bezwładności ndash ciało nie jest władne zmienić stanu swego ruchu jeżeli nie działa na nie siła

Trzecia zasada dynamiki Newtona

Względem każdego działania (akcji) istnieje roacutewne mu przeciw-działanie (reakcja) skierowane przeciwnie tj wzajemne od-działywania dwoacutech ciał są zawsze roacutewne sobie i skierowane przeciwnie

Zgodnie z III zasadą dynamiki Newtona jeżeli jakieś ciało A działa na ciało B pewną siłą to roacutewnież ciało B działa na ciało A siłą roacutewną co do wartości ale o przeciwnym zwrocie co zapisujemy

A na BB naA FFrr

minus= (36)

Rozpatrzmy uderzenie ręką piłki siatkowej W momencie uderzenia działamy na piłkę siłą ktoacutera wywołuje jej ruch ale zgodnie z III zasadą dynamiki Newtona roacutewnież piłka działa na naszą dłoń z tą samą siłą lecz o przeciwnym zwrocie Gdy odbijamy piłkę lekko czyli działamy na nią niewielką siłą roacutewnież siła reakcji ma niewielką wartość ale przy moc-nym uderzeniu czyli gdy działamy na piłkę z dużą siłą występuje roacutewnie duża siła reakcji ktoacuterą odczuwamy jako ucisk czy nawet boacutel dłoni

Zasada superpozycji

Opisując ruch ciał pod wpływem działających na nie sił należy pamiętać że zaroacutewno siła jak i pęd są wektorami Szukając więc siły wypadkowej z kilku sił składowych działających na ciało należy dodać wektorowo wszystkie siły składowe Zmiana pędu będzie następowała w tym samym kierunku co ta wypadkowa siła W przypadku gdy roacuteżniczkowe

DYNAMIKA

Strona 35353535

roacutewnania ruchu dla każdego z kierunkoacutew w ktoacuterych działają siły składowe są liniowe możemy skorzystać z zasady superpozycji Zgod-nie z zasadą superpozycji wypadkowe zachowanie ciała pod wpływem kilku składowych sił może być opisane jako złożenie ruchoacutew wywoła-nych każdą z sił z osobna

Zasadę superpozycji wykorzystamy do opisu ruchu ciała rzuconego z prędkością początkową v0 pod pewnym kątem α względem powierz-chni Ziemi (rzut ukośny) Jeżeli chwilowo zaniedbamy opory powietrza to na takie ciało będzie działała tylko siła grawitacji skierowana wzdłuż osi pionowej ( y ) A więc tylko w kierunku pionowym będziemy obser-wowali zmianę ruchu (zmianę pędu) ciała W kierunku poziomym x natomiast na ciało nie działa żadna siła a więc pęd się nie zmienia i ruch jest jednostajny Wypadkowy ruch ciała rzuconego ukośnie jest więc złożeniem ruchu jednostajnie przyspieszonego w kierunku pionowym (pod wpływem przyspieszenia g) oraz jednostajnego w kierunku pozio-mym i może być opisany krzywą paraboliczną

32 Zasada zachowania pędu

Rozpatrzmy układ odosobniony w ktoacuterym na ciała nie oddziałują żadne siły zewnętrzne a jedynie siły wzajemnych oddziaływań Zgodnie z III zasadą dynamiki Newtona takie siły wzajemnych oddziaływań między każdymi dwoma ciałami układu są identyczne co do wartości lecz mają przeciwne zwroty Wypadkowa siła działająca na cały układ jest woacutewczas zerowa a więc zgodnie z I zasadą dynamiki Newtona całkowity pęd układu nie zmienia się w czasie Oznacza to że jeżeli w takim układzie odosobnionym nastąpi zmiana pędu jednego ciała o ∆p to pęd drugiego ciała (lub pozostałych ciał) musi roacutewnież ulec zmianie o taką samą wartość lecz o przeciwnym zwrocie (-∆p) W ten sposoacuteb dochodzimy do zasady zachowania pędu ktoacutera może być zapisana w następujący sposoacuteb

W układzie odosobnionym całkowity pęd układu (suma pędoacutew wszystkich ciał) jest wielkością stałą

0p∆

constppi

i

=

==sumr

rr

(37)

ROZDZIAŁ 3

Strona 36363636

Ponieważ pęd jest wielkością wektorową w przypadku zdarzeń opisywa-nych w więcej niż jednym wymiarze zasada zachowania pędu jest speł-niona niezależnie dla każdego z kierunkoacutew W troacutejwymiarowym ukła-dzie kartezjańskim zasadę zachowania pędu można więc zapisać

0p∆

0p∆

0p∆

z

y

x

=

=

=

(38)

Przykład 1

Zastosujmy najpierw zasadę zachowania pędu dla przykładu jednowy-miarowego Rozpatrzmy nieruchomy pocisk o masie m ktoacutery w wyniku wybuchu ulega rozerwaniu na dwie części o masach 13m oraz 23m Większa część porusza się w prawo z prędkością 0v Z jaką prędkością

i w ktoacuterą stronę poruszać się będzie mniejsza część pocisku

Ponieważ układ jest odosobniony to zgodnie z zasadą zachowania pędu całkowity pęd układu nie ulega zmianie Czyli jeżeli pęd układu przed wystrzałem wynosił zero (pocisk był nieruchomy) to roacutewnież pęd koń-cowy będący sumą pędoacutew obu części pocisku będzie roacutewny zeru Zasadę zachowania pędu w tym przypadku możemy zapisać

vmvm 31

0320 += (39)

02vv minus= (310)

Znak minus w powyższym wyniku oznacza że wektor prędkości mniej-szej części pocisku ma zwrot przeciwny do wektora prędkości większej części pocisku

DYNAMIKA

Strona 37373737

Rysunek 31 Zderzenie dwoacutech kul

Przykład 2

Zastosujmy teraz zasadę zachowania pędu dla układu dwuwymiarowego Rozważmy zderzenie dwoacutech identycznych kul bilardowych o masie m każda W chwili początkowej kula B jest nieruchoma i uderza w nią kula

A poruszająca się wzdłuż osi x z prędkością 0v W jakim kierunku i z jaką prędkością będzie się poruszała po zderzeniu kula B jeżeli po zderzeniu kula A porusza się z prędkością 0 05 v wzdłuż osi y jak na

rysunku 31

Podobnie jak w poprzednim przykładzie zakładamy że rozważany układ jest układem odosobnionym a więc całkowity pęd układu dwoacutech kul przed i po zderzeniu jest taki sam W szczegoacutelności składowe pędu całkowitego układu w kierunku każdej z osi układu odniesienia roacutewnież nie zmieniają się Przed zderzeniem w kierunku osi x całkowity pęd układu był roacutewny pędowi kuli A (tylko kula A porusza się w kierunku x a kula B jest nieruchoma) natomiast po zderzeniu tylko prędkość kuli B ma pewną składową wzdłuż osi x a więc po zderzeniu pęd całkowity układu w kierunku osi x jest roacutewny składowej pędu kuli B Zasadę zachowania pędu dla kierunku x możemy zatem zapisać

BXB0A

xkoncowy x poczatkowy

mm

pp

vv =

= (311)

ROZDZIAŁ 3

Strona 38383838

W kierunku osi y pęd początkowy układu wynosi zero (żadna z kul nie porusza się wzdłuż osi y) zaś pęd końcowy związany jest z kulą A poruszającą się w goacuterę w kierunku osi y oraz kulą B ktoacuterej prędkość ma składową o zwrocie przeciwnym niż oś y (składowa w doacuteł) Zasadę zachowania pędu dla kierunku y możemy więc zapisać

ByBAyA

ykoncowy y poczatkowy

mm0

pp

vv minus=

= (312)

Uwzględniając αcosBBx vv = αsinBBy vv = 0Ay 05 vv = oraz

przyjmując mmm BA == układ roacutewnań 311 oraz 312 możemy przekształcić do postaci

=sdot

sdot=

α

α

sinm05m

cosmm

B0

B0

vv

vv (313)

a następnie wyznaczyć prędkość kuli B oraz kąt pod jakim poruszać się będzie kula B

==

=

4tg

22

21

0B

παα

vv (314)

Kula B poruszać się więc będzie z prędkością 22

0B vv = w prawo

i w doacuteł pod kątem π4 względem osi x

Zasada zachowania pędu jest wykorzystywana i pozwala wyjaśnić dzia-łanie między innymi silnikoacutew odrzutowych samolotoacutew czy strumienio-wych łodzi W silniku odrzutowym powietrze jest najpierw zasysane do komory silnika w ktoacuterej ulega kompresji W skompresowanym powie-trzu następuje spalanie benzyny a gorące spaliny opuszczają dyszę silni-ka z dużą prędkością Pęd wyrzucanych spalin wywołuje w tym przypad-ku zmianę pędu silnika a przez to całego samolotu Konstrukcje innego typu wykorzystujące strumień rozpędzonych jonoacutew (naładowanych czą-stek) używane są do pozycjonowania satelitoacutew i sond kosmicznych Silniki oparte na zasadzie odrzutu wykorzystywane są roacutewnież w napę-dzie skuteroacutew wodnych i nowoczesnych łodzi podwodnych W tym drugim przypadku hałas wytwarzany przez układ napędowy jest niższy niż w tradycyjnym rozwiązaniu ze śrubą napędową Należy pamiętać że

DYNAMIKA

Strona 39393939

roacutewnież w przypadku śrub śmigieł i wirnikoacutew napędowych wykorzystu-jemy w mniejszym lub większym stopniu zjawisko odrzutu

ROZDZIAŁ 3

Strona 40404040

4 Praca i energia

W tym rozdziale

o Praca o Pole sił zachowawczych i niezachowawczych o Pole sił grawitacyjnych praca i energia w polu sił

grawitacyjnych o Ruch po okręgu ruch planet wokoacuteł Słońca prawa

Keplera o Energia potencjalna sprężystości o Energia kinetyczna o Zasada zachowania energii mechanicznej o Zderzenia

ROZDZIAŁ 4

Strona 42424242

41 Praca

W języku potocznym pojęcie pracy ma wiele znaczeń Moacutewimy o pracy umysłowej (na przykład uczenie się do egzaminoacutew) ale najczęściej z po-jęciem pracy wiąże się przemieszczaniem ciała Jeżeli na przykład prze-suwamy meble w pokoju to tym bardziej się zmęczymy im dalej przesu-niemy dany mebel Wiemy roacutewnież że bardziej męczące jest przesuwa-nie ciężkiej kanapy niż lekkiego krzesła oraz że dużo łatwiej jest przesu-wać meble po gładkiej podłodze niż po dywanie Tak więc moglibyśmy powiedzieć że tym bardziej się zmęczymy (wykonamy większą pracę) im trudniej jest nam przesuwać ciało (pokonać większą siłę) oraz im dalej to ciało przesuniemy (większe przemieszczenie) W ten sposoacuteb dochodzimy do fizycznej definicji pracy

Praca jest roacutewna iloczynowi przemieszczenia oraz siły ktoacutera te przemieszczenie wywołuje Praca jest wielkością skalarną wyra-żaną w dżulach (ang Joul) [J] i w ogoacutelności może być zdefinio-wana jako iloczyn skalarny siły i przesunięcia

αcos sFsFW =sdot=rr

(41)

gdzie α oznacza kąt między wektorem siły i przesunięcia

Rysunek 41 Praca jako iloczyn skalarny siły i przesunięcia

Taka definicja pracy uwzględnia fakt że pracę wykonuje tyko składowa siły roacutewnoległa do wektora przesunięcia Na przykład jeśli przesuwamy skrzynię po podłodze na odległość D = 3m ciągnąc ją za uchwyt siłą F = 20N skierowaną pod kątem α = 45ordm do poziomu to zgodnie z po-wyższym wzorem wykonamy pracę W = 423J Zależnie od wartości sił tarcia wykonana praca może być w całości zużyta na pokonanie sił tar-cia na tej drodze bądź (jeśli podłoga jest śliska) na nadanie dodatkowo skrzyni przyspieszenia

PRACA I ENERGIA

Strona 43434343

Definicja pracy przedstawiona w roacutewnaniu (41) słuszna jest jeśli za-roacutewno siła działająca na ciało jak i kąt między tą siłą a przesunięciem mają stałą wartość Jeśli natomiast wartość siły lub kąta pomiędzy kie-runkiem siły a wektorem przemieszczenia zmienia się podczas ruchu musimy zastosować inną procedurę obliczania pracy całkowitej Ponie-waż praca jest wielkością addytywną czyli całkowita praca wykonana na określonej drodze jest roacutewna sumie prac wykonanych na poszczegoacutelnych jej odcinkach to możemy całą drogę podzielić na takie odcinki dla ktoacuterych wartość siły i kąta między siłą a przemieszczeniem są stałe

nnn222111 coscoscos ααα xFxFxFW +++= (42)

Przykładowo praca wykonana przy przesuwaniu kanapy w pokoju mogłaby zostać podzielona na dwie składowe ndash przesunięcia po dywanie oraz po parkiecie

Opisaną procedurę obliczania pracy całkowitej można roacutewnież przedsta-wić w formie graficznej jako procedurę wyznaczania pola pod wykresem

zależności siły od przesunięcia Jeżeli na pewnym odcinku drogi nx siła

ma stałą wartość nF to pole pod takim odcinkiem wykresu wynosi

nn xF i jest roacutewnoznaczne wykonanej pracy

Jeżeli siła zmienia swoją wartość lub zwrot w każdej chwili czasu nie-zbędne jest podzielenie drogi na nieskończenie wiele bardzo małych kawałeczkoacutew (infinitezymalnie małych) dla ktoacuterych można przyjąć stałą wartość działającej siły Praca całkowita będzie sumą składowych prac wyznaczonych dla każdego z takich infinitezymalnych odcinkoacutew Proce-dura taka odpowiada matematycznej operacji całkowania i możemy ją zapisać w postaci

( ) ( )int=

=

=b

a

)( dcos x

x

xxxFW α (43)

lub w zapisie wektorowym

( )int=

=

sdot=b

a

dx

x

xxFWrr

(44)

W powyższym zapisie wprowadziliśmy znak całki oznaczonej ktoacutery oz-nacza że sumowanie składowych wartości pracy przeprowadzane jest od punktu x = a do x = b

ROZDZIAŁ 4

Strona 44444444

Aby wyjaśnić sposoacuteb obliczania całki oznaczonej rozpatrzmy najpierw całkę nieoznaczoną

( ) ( )int= xxfxg d (45)

gdzie int jest symbolem całkowania (jest to stylizowana litera s i odpo-

wiada sumowaniu) dx ndash zmienną całkowania f(x) ndash funkcją podcałkową zaś g(x) jest funkcją pierwotną Operacja całkowania jest operacją odwrotną do roacuteżniczkowania i oznacza że szukamy takiej funkcji g(x) ktoacuterej pochodna po zmiennej x będzie roacutewna funkcji podcałkowej f(x)

)(d

)(dxf

x

xg= (46)

Należy podkreślić że funkcję g(x) będącą wynikiem całkowania znamy z dokładnością do stałej ndash dodanie do funkcji g(x) dowolnej stałej C nie zmienia jej pochodnej f(x) Zatem wzoacuter 45 należy przepisać w postaci

( ) ( )int=+ xxfxg dC (47)

Rozpatrzmy teraz całkę oznaczoną

a)(b)()d(Zb

a

=minus=== int=

=

xgxgxxf

x

x

(48)

gdzie x = a jest dolną granicą całkowania zaś x = b jest goacuterną granicą całkowania

W wyniku obliczania całki oznaczonej w przeciwieństwie do całki nie-oznaczonej otrzymujemy liczbę (Z) a nie funkcję (g(x)) W praktyce w celu wyznaczenia wartości Z takiej całki oznaczonej najpierw znajdu-jemy funkcję g(x) będącą rozwiązaniem całki nieoznaczonej z funkcji f(x) a następnie od wartości tej funkcji w goacuternej granicy całkowania (g(x=b)) odejmujemy wartość otrzymaną w dolnej granicy całkowania (g(x=a))

Przykłady

Przykład 1 Jaką pracę należy wykonać by wciągnąć ciało o masie m po gładkiej roacutewni pochyłej o kącie nachylenia α na wysokość H Opory ruchu zaniedbujemy

PRACA I ENERGIA

Strona 45454545

Rysunek 42 Ruch ciała po roacutewni pochyłej

Załoacuteżmy że działamy na ciało siłą F skierowaną wzdłuż powierzchni roacutewni Ciężar ciała (mg) skierowany pionowo w doacuteł rozkładamy na dwie dwie składowe roacutewnoległą do roacutewni siłę ściągającą ciało w stronę podstawy roacutewni Fs oraz prostopadłą do roacutewni siłę nacisku FN Aby wciągać ciało siła F musi roacutewnoważyć siłę zsuwającą Fs

αsinmgF S = (49)

Droga na ktoacuterej wykonujemy pracę jest roacutewna

αsinHS = (410)

Zatem całkowita praca wynosi

mgHSFW S == (411)

Wynik ten jest identyczny jaki uzyskamy gdybyśmy podnosili ciało pionowo w goacuterę Tak więc jeżeli zaniedbamy opory ruchu praca (w polu grawitacyjnym) nie zależy od drogi po ktoacuterej przesuwamy ciało a jedy-nie od położenia punktu początkowego i końcowego

Przykład 2 Jaką pracę należy wykonać by wciągnąć ciało o masie m po roacutewni pochyłej o kącie nachylenia α na wysokość H jeśli wspoacutełczynnik tarcia kinetycznego o powierzchnię roacutewni wynosi micro

W tym przypadku wciągając przedmiot po roacutewni podobnie jak w po-przednim zadaniu roacutewnież musimy pokonywać siłę ściągającą ciało ku podstawie roacutewni Fs wykonując pracę roacutewną W1 = mgH Ponieważ na roacutewni występuje dodatkowo siła tarcia T do wciągnięcia ciała niezbędna będzie roacutewnież dodatkowa praca Siła tarcia jest proporcjonalna do siły

ROZDZIAŁ 4

Strona 46464646

nacisku ciała na powierzchnię FN (wypadkowa wszystkich sił działają-cych w kierunku prostopadłym do powierzchni) a jej kierunek i zwrot są zawsze przeciwne wektorowi przemieszczenia ndash tarcie przeciwdziała ruchowi ciała

SFT N= (412)

Tak więc praca związana z pokonaniem siły tarcia wynosi

SFSTW N2 micro== (413)

gdzie

αcosmgFN = (414)

Zatem całkowita praca wciągnięcia ciała po roacutewni pochyłej o kącie nachylenia α na wysokość H jest roacutewna

( )α

HαmicroαmgWWW

sincossin21 +=+= (415)

Przykład 3 Jaką pracę należy wykonać by oproacuteżnić przydomowy kolek-tor ściekowy o głębokości D = 2m i objętości V = 6m3 do cysterny Za-roacutewno zbiornik kolektora jak i zbiornik cysterny mają identyczne wy-miary Przyjmij że dno zbiornika cysterny znajduje się na identycznej wysokości jak goacuterna powierzchnia zbiornika kolektora

Rysunek 43 Przepompowywanie wody z kolektora ściekowego

do cysterny

Problem z pozoru wydaje się prosty ndash należy unieść pewną ilość wody na określoną wysokość Zauważamy że praca do wpompowania pierw-

PRACA I ENERGIA

Strona 47474747

szej porcji wody z powierzchni kolektora jest niewielka ndash dno cysterny znajduje się na identycznej wysokości co powierzchnia zbiornika Jed-nak po wpompowaniu do cysterny pierwszej porcji wody wytworzy ona warstwę o wysokości dh zaś poziom płynu w zbiorniku obniży się o dh i następna porcja musi być uniesiona na wysokość odpowiednio większą

Podzielmy rozwiązanie tego zagadnienia na dwa etapy ndash wypompowanie wody ze zbiornika na poziom ziemi (praca W1) oraz wpompowanie wody z poziomu ziemi do cysterny (W2) Będziemy rozpatrywać jednakowe małe porcje wody ndash warstwy o wysokości dh Masę takiej warstwy możemy wyrazić jako dm = Sρdh gdzie ρ jest gęstością wody a S polem przekroju zbiornika (roacutewnież cysterny) a siła użyta do podniesienia każdej takiej porcji wody ma tę samą stałą wartość Praca wykonana na podniesienie tej warstwy na wysokość h wynosi dW = Sρhdh Przy oproacuteżnianiu zbiornika porcję wody początkowo będziemy podnosić na wysokość 0 a na końcu na wysokość D ndash wielkości te będą granicami całkowania przy wyliczaniu pracy W1

2

DMg

2

DSρρhhgρSW

2D

0

1 === int d (416)

gdzie przez M możemy oznaczyć całkowitą masę wody roacutewną M = Vρ Pracę W2 niezbędną do napełnienia cysterny liczymy w identyczny sposoacuteb i otrzymamy tę samą wartość co w przypadku oproacuteżniania zbior-nika (W2 = W1) Całkowita praca wykonana przy przepompowaniu wody ze zbiornika do cysterny wynosi zatem

MgDWWW 1 =+= 2 (417)

Warto zwroacutecić uwagę że identyczny wynik uzyskalibyśmy traktując wodę jako bryłę sztywną o środku masy położonym w połowie wysokoś-ci zbiornika (w praktyce można to osiągnąć np żelując lub zamrażając wodę) ktoacuterą podnosimy na wysokość D Woacutewczas praca wykonana w obu przypadkach ndash czy mamy do czynienia z cieczą czy z bryłą lodu musi być taka sama Z przykładu tego wynika praktyczna wskazoacutewka że zamiast rozpatrywać obiekty rozciągłe przestrzennie możemy zastępo-wać je masą punktową czyli przyjąć że cała masa zgromadzona jest w jednym punkcie znajdującym się w środku ciężkości obiektu

ROZDZIAŁ 4

Strona 48484848

42 Pole sił zachowawczych i niezachowawczych

Jeśli siły są zachowawcze to praca wykonana podczas prze-mieszczenia obiektu nie zależy od drogi po jakiej przesuwamy ciało a jedynie od położenia punktu początkowego oraz końcowego

Rysunek 44 Praca przemieszczenia ciała w polu sił zachowawczych

Rozważmy dwie drogi między punktami A oraz B ndash A1B oraz A2B ndash przedstawione na rysunku 44 Jeżeli praca przemieszczenia ciała z pun-ktu A do punktu B po drodze A1B oraz A2B ma taką samą wartość to punkty A i B znajdują się w polu sił zachowawczych Praca przemiesz-czenia ciała w polu sił zachowawczych zależy tylko od położenia punktu początkowego i końcowego Zatem w przedstawionym przypadku praca wykonana po drodze zamkniętej wynosi zero gdyż położenie końcowe jest tożsame z początkowym Przykładem pola sił zachowawczych jest pole grawitacyjne Jeżeli pewien przedmiot przesuniemy na wierzchołek idealnie gładkiej roacutewni pochyłej wykonamy pewną pracę przeciwsta-wiając się sile grawitacji Przesunięcie tego przedmiotu z powrotem do położenia początkowego u podnoacuteża roacutewni odbywa się pod wpływem siły grawitacji Wykonuje ona nad przedmiotem pracę roacutewną co do wartości pracy wykonanej przez nas Ponieważ w tym przypadku zwrot siły jest przeciwny roacutewnież praca ma przeciwny znak W efekcie całkowita praca na takiej drodze zamkniętej (wsunięcie i zsunięcie po roacutewni pochyłej) jest roacutewna zeru Podobnie zerową całkowitą pracę otrzymamy na przykład dla ruchu wahadła zegara jeżeli zaniedbamy opory powietrza oraz opory mechanizmu Wahadło podnosząc się wykonuje

PRACA I ENERGIA

Strona 49494949

pracę przeciw siłom grawitacji ale podczas obniżania to siły grawitacji wykonują identyczną pracę nad wahadłem

Jeśli ciało znajduje się w polu sił niezachowawczych to praca wykona-na na drodze zamkniętej jest roacuteżna od zera Wszystkie układy w ktoacuterych mamy do czynienia z siłami oporu np siłami tarcia tworzą pole sił niezachowawczych W polu sił niezachowawczych część pracy zazwy-czaj rozpraszana jest w postaci ciepła i niemożliwe jest całkowite jej odzyskanie w postaci pracy mechanicznej

43 Pole sił grawitacyjnych

Siła grawitacji jest siłą przyciągającą działającą między wszystkimi ciałami obdarzonymi masą Wartość siły przyciągania grawitacyjnego zależy od masy oddziałujących ciał m1 i m2 oraz odległości r między nimi

221

r

mmGF = (418)

gdzie r ndash odległość pomiędzy masami G = 66742middot10-11 Nm2kg-2 ndash stała grawitacji

Podkreślając powszechność siły przyciągania grawitacyjnego należy za-znaczyć roacutewnież że wpływ oddziaływań grawitacyjnych pochodzących od niektoacuterych obiektoacutew często może być pominięty Na przykład na jabłko wiszące na drzewie działa nie tylko siła grawitacji pochodząca od Ziemi ale także od drzewa obserwatora stojącego pod drzewem czy in-nych jabłek wiszących powyżej naszego jabłka Ponieważ masa wszyst-kich wymienionych obiektoacutew jest wielokrotnie mniejsza niż masa Ziemi ich wpływ na wartość i zwrot wypadkowej siły grawitacji jest znikomo mały dlatego z bardzo dobrym przybliżeniem możemy zaniedbać te czynniki i rozważać wyłącznie wpływ oddziaływania grawitacyjnego Ziemi Dowodem tego że na obiekty znajdujące się na Ziemi działają roacutewnież siły przyciągania grawitacyjnego Słońca i Księżyca są min pływy morskie

Wroacutećmy do przykładu pola sił grawitacyjnych wytworzonych przez Ziemię Wartość siły grawitacji w takim polu sił jest proporcjonalna do masy ciała znajdującego się w tym polu Aby scharakteryzować pole sił

ROZDZIAŁ 4

Strona 50505050

grawitacyjnych niezależnie od masy ciała znajdującego się w tym polu definiujemy natężenie pola czyli stosunek siły działającej na niewielką masę m (nie zaburzającą pola pochodzącego od dużej masy M) do wartości tej masy m

gr

GM

mr

GMm

m

FE

22==== (419)

Zauważmy że wartość natężenia pola grawitacyjnego pochodzącego od Ziemi wyznaczona na jej powierzchni (w odległości RZ od środka Ziemi) jest roacutewna przyspieszeniu ziemskiemu g czyli wartości przyspieszenia z jakim poruszać się będzie ciało znajdujące się na powierzchni Ziemi podczas swobodnego spadku

2

Z

Z

R

GMg = (420)

Woacutewczas siłę oddziaływania grawitacyjnego Ziemi (siłę ciężkości Fc) na ciało o masie m znajdującej się na powierzchni Ziemi możemy zapisać roacutewnież w postaci

mgF =c (421)

Praca w polu sił grawitacyjnych

W poprzednim rozdziale przekonaliśmy się że podniesienie ciała na wy-sokość h wymaga wykonania nad ciałem pracy związanej z pokonywa-niem siły grawitacji (Fc = mg) i wynosi Wh = Fch = mgh Wiemy roacutew-nież że ciężarek ten upuszczony z tej samej wysokość h może wykonać pracę WC ktoacuterej wartość w układzie zachowawczym (nie istnieją siły oporu) jest identyczna z pracą wydatkowaną na jego podniesienie Wh = mgh Ciężarek znajdując się na wysokości h posiada zdolność wykonania pracy o wartości Wh = mgh Taka zdolność do wykonania pracy w fizyce nazywana jest energią

Praca i energia są ze sobą ściśle powiązane ndash wykonana praca jest magazynowana w postaci energii

Energia potencjalna sił grawitacyjnych

Energię można nazwać energią potencjalną jeśli zależy w jaw-ny sposoacuteb od położenia w polu sił

PRACA I ENERGIA

Strona 51515151

Energia ciężarka z poprzedniego przykładu znajdującego się na pewnej wysokości nad Ziemią spełnia tę definicję W pobliżu powierzchni Zie-mi dla niedużych zmian wysokości na ciało działa siła przyciągania o wartości mg Jeżeli opisując takie ciało wprowadzimy poziom odnie-sienia względem ktoacuterego liczymy wysokość (np powierzchnię Ziemi) to dowolnemu ciału znajdującemu się na wysokości h powyżej tego poziomu możemy przypisać konkretną wartość energii potencjalnej

mghE = (422)

Mapa geograficzna z naniesionymi poziomicami wyrażającymi wyso-kość punktoacutew względem poziomu morza (punkt odniesienia) może zo-stać zatem odczytana roacutewnież jako zapis energii potencjalnej ciała znaj-dującego się na powierzchni ziemi

Czy praca wykonana przeciwko siłom tarcia roacutewnież powoduje wzrost energii potencjalnej W tym przypadku praca nie jest magazynowana w postaci energii mechanicznej ale tracona (rozpraszana) w postaci cie-pła Możemy woacutewczas moacutewić jedynie o wzroście energii wewnętrznej ciała ndash problem ten omoacutewimy dokładniej w rozdziale poświęconym termodynamice

Podobnie jak w przypadku siły oddziaływania grawitacyjnego wzoacuter 421 jest prawdziwy jedynie dla obiektoacutew znajdujących się w pobliżu po-wierzchni Ziemi tak samo zależność 422 opisująca energię potencjalną pola sił grawitacyjnych jest prawdziwa jedynie dla niewielkich w poroacutew-naniu z promieniem Ziemi odległości od powierzchni Ziemi

W ogoacutelności energię potencjalną ciała możemy zdefiniować jako pracę jaką należy wykonać by umieścić ciało w danym punkcie Załoacuteżmy że przemieszczenie ciała o masie m odbywa się z punktu odległego o r1 od środka ciała o masie M do punktu odległego o r2 gdzie r2 lt r1 Obliczając pracę przesunięcia tego ciała z punktu r1 do r2 korzystamy ze wzoru 418 oraz 43 w ktoacuterym za wartość cosinusa przyjmujemy 1 gdyż w rozwa-żanym przypadku wektor przemieszczenia z punktu r1 do r2 oraz siła grawitacji mają ten sam kierunek i zwrot

int=2

1

r

r

2r

r

GMmW d (423)

Skorzystaliśmy w tym przypadku z całkowej postaci wzoru na pracę ponieważ siła działająca na ciało ma zmienną wartość ndash zależy od odległości od środka ciała o masie M Funkcją pierwotną dla funkcji 1r2

ROZDZIAŁ 4

Strona 52525252

jest funkcja 1r Aby obliczyć wartość powyższej całki od wartości funkcji pierwotnej wyznaczonej w goacuternej granicy odejmujemy wartość w dolnej granicy całkowania Otrzymujemy wzoacuter końcowy na pracę przesunięcia ciała o masie m w polu grawitacyjnym ciała o masie M z punktu odległego od środka ciała M o r1 do punktu odległego o r2

minus=

21 r

1

r

1GMmW (424)

Powyższy wzoacuter na pracę zależy od dwoacutech zmiennych ndash punktu odniesię-nia (r1) oraz punktu w ktoacuterym znajduje się ciało (r2) Żeby uniknąć pro-blemu definiowania za każdym razem punktu odniesienia we wszystkich zagadnieniach związanych z polem sił grawitacyjnych umieszczamy punkt odniesienia w nieskończoności Woacutewczas pierwszy wyraz we wzorze 424 zeruje się (jedność podzielona przez nieskończo-ność wynosi zero) i wartość wykonanej pracy zależy wyłącznie od koń-cowego położenia ciała w polu grawitacyjnym Oznacza to że energia potencjalna grawitacji ciała o masie m znajdującego się w odległości r od masy M będącej źroacutedłem pola grawitacyjnego wynosi więc

r

GMmWE P

minus== (425)

Jak pokazaliśmy powyżej ujemny znak energii potencjalnej jest konsek-wencją wyboru punktu odniesienia

Gdyby energia potencjalna nie była zdefiniowana ze znakiem minus energia potencjalna ciała znajdującego się w większej odległości od ma-sy M byłaby mniejsza Ponieważ wszystkie układy dążą do osiągnięcia minimum energii wszystkie ciała oderwałyby się od powierzchni Ziemi Obecność znaku minus powoduje że ciało by obniżyć swoją energię po-tencjalną porusza się w kierunku środka Ziemi Woacutewczas gdy odległość r od środka Ziemi maleje energia potencjalna staje się coraz bardziej ujemna czyli coraz mniejsza

Dla obiektoacutew znajdujących się w polu grawitacyjnym definiuje się czę-sto jeszcze jedną wielkość fizyczną ndash potencjał grawitacyjny Potencjał grawitacyjny jest roacutewny energii ciała podzielonej przez jego masę m (traktujemy masę m jako na tyle małą że nie zakłoacuteca ona pola) Potencjał jest zatem związany wyłącznie z masą M będącą źroacutedłem pola grawitacyjnego

PRACA I ENERGIA

Strona 53535353

r

GMV g

minus= (426)

Druga prędkość kosmiczna

Druga prędkość kosmiczna jest to minimalna prędkość jaką powinno mieć ciało żeby mogło opuścić pole grawitacyjne Ziemi W sposoacuteb ścisły warunek ten spełniony będzie tylko w nieskończoności ale w prak-tyce chodzi nam o odległość na tyle dużą aby energia potencjalna ciała (wzoacuter 425) była bliska zeru

Załoacuteżmy że rakieta o masie m zostaje wystrzelona z powierzchni Ziemi pionowo do goacutery z prędkością v Na powierzchni Ziemi rakieta ta będzie miała więc zaroacutewno energię potencjalną (wzoacuter 425) jak i energię kine-tyczną roacutewną Ek = frac12middotmmiddotv

2 Całkowita energia rakiety na powierzchni Ziemi wynosi zatem

2

m

r

GMmE

2

c

v+

minus= (427)

Żeby rakieta mogła dolecieć do nieskończoności jej całkowita energia na powierzchni Ziemi musi być przynajmniej roacutewna zero (Ec ge 0) Stąd otrzymujemy wzoacuter na II prędkość kosmiczną

Z

Z

ZII gR

R

GM22==v (428)

gdzie RZ jest promieniem zaś MZ jest masą Ziemi z ktoacuterej startuje rakieta Dla Ziemi wartość II prędkości kosmicznej wynosi 112 kms Drugą prędkość kosmiczną można wyznaczyć dla roacuteżnych ciał niebies-kich i np dla Księżyca wynosi ona 24 kms zaś dla Jowisza 595 kms

44 Ruch po okręgu

Szczegoacutelnym przypadkiem ruchu krzywoliniowego jest ruch jednostajny po okręgu czyli ruch jaki wykonuje ciało poruszające się w jednej płaszczyźnie ze stałą prędkością będące jednocześnie w stałej odległości od wybranego punktu odniesienia Tor ruchu takiego ciała jest okręgiem Opisując ruch po okręgu korzystnie jest zastosować biegunowy układ

ROZDZIAŁ 4

Strona 54545454

wspoacutełrzędnych Przypomnijmy że w układzie biegunowym położenie ciała jest opisywane przez jego odległość od początku układu wspoacutełrzęd-nych (wspoacutełrzędna radialna r) oraz przez położenie kątowe względem wybranej osi odniesienia (wspoacutełrzędna kątowa α) Jeżeli w opisie ruchu po okręgu początek biegunowego układu wspoacutełrzędnych umieścimy w środku okręgu to wspoacutełrzędna radialna będzie stała a zmieniać się bę-dzie jedynie położenie kątowe ciała Podobnie jak w przypadku ruchu prostoliniowego w ruchu po okręgu prędkość jest pochodną drogi kątowej po czasie i nazywana jest prędkością kątową ω

td

dαω = (430)

Prędkość kątowa mierzona w radianach na sekundę jest wektorem ktoacuterego kierunek zgodny jest z osią wokoacuteł ktoacuterej następuje obroacutet a zwrot wyznacza reguła śruby prawoskrętnej lub reguła prawej dłoni (jeżeli palce otwartej dłoni pokazują zwrot wektora prędkości liniowej czyli kierunek obrotu to kciuk wyznacza kierunek i zwrot wektora prędkości kątowej)

Pochodna prędkości kątowej po czasie definiuje przyspieszenie kątowe ε

2

2

d

d

d

d

tt

αω==ε (431)

Przedstawione powyżej definicje przyspieszenia i prędkości kątowych są analogiczne do odpowiednich wielkości w ruchu prostoliniowym Poszu-kując relacji pomiędzy wielkościami opisującymi ruch obrotowy oraz ruch liniowy zaczniemy od wyznaczenia drogi czyli długości łuku prze-bytej przez ciało poruszające się po okręgu Wielkość ta będzie zależała zaroacutewno od zmiany położenia kątowego jak i od położenia radialnego

czyli odległości od osi obrotu rαl = Jeżeli zroacuteżniczkujemy tę zależ-ność po czasie otrzymamy relacje między prędkością liniową i kątową a po ponownym zroacuteżniczkowaniu relację między przyspieszeniem linio-wym i kątowym Otrzymamy w ten sposoacuteb zestaw zależności

=

=

=

ra

r

r

ε

ω

αl

v (432)

PRACA I ENERGIA

Strona 55555555

Ponieważ poruszające się po okręgu ciało wraca cyklicznie do miejsca startu prędkość kątową można powiązać z częstotliwością

Tr

f1

22===

ππ

ω v (433)

Jednostką częstotliwości jest 1Hz (Hertz) = 1sndash1 co oznacza że przy czę-stotliwości 1Hz ciało wykonuje jeden obroacutet na sekundę Odwrotnością częstotliwości jest okres obrotu T czyli czas jednego pełnego obrotu wyrażony w sekundach

Przyspieszenie w ruchu po okręgu

W rozdziale 24 wprowadziliśmy składową styczną oraz normalną przy-spieszenia dla ruchu krzywoliniowego W przypadku jednostajnego ru-chu po okręgu wartość prędkości mierzona wzdłuż okręgu jest stała a więc składowa styczna przyspieszenia jest zerowa Przyśpieszenie cał-kowite w ruchu po okręgu jest więc roacutewne składowej normalnej

r

aa n

2v

== (434)

Składowa normalna przyspieszenia skierowana jest do środka krzywizny toru wzdłuż promienia okręgu i dlatego często nazywana jest składową radialną Ponieważ przyspieszenie normalne skierowane jest do środka okręgu nazywa się je roacutewnież przyspieszeniem dośrodkowym Odpowia-dająca mu siła oddziaływania ktoacutera wywołuje ruch ciała o masie m po okręgu o promieniu r jest nazywana siłą dośrodkową

r

mF

2v

= (435)

W przypadku obracającej się karuzeli metalowy pręt mocujący krzesełko działa na krzesełko karuzeli siłą skierowaną do środka roacutewną co do war-tości zdefiniowanej powyżej sile dośrodkowej Osoba siedząca na krzesełku karuzeli odczuwać będzie istnienie siły skierowanej wzdłuż promienia na zewnątrz Siłę taką występującą w układzie związanym z ciałem poruszającym się po okręgu nazywać będziemy siłą odśrodko-

wą Siła ta jest roacutewna co do wartości sile dośrodkowej ale ma przeciwny zwrot Warto podkreślić że siła odśrodkowa jest siłą pozorną i w mo-mencie przerwania pręta mocującego krzesełko karuzeli krzesełko to nie będzie poruszało się ruchem przyspieszonym wzdłuż promienia tylko ruchem jednostajnym prostoliniowym w kierunku wyznaczonym przez

ROZDZIAŁ 4

Strona 56565656

wektor prędkości w momencie zerwania pręta Układ odniesienia zwią-zany z takim poruszającym się po okręgu punktem jest tzw układem nieinercjalnym w ktoacuterym występują siły bezwładności działające na ciało W hamującym samochodzie przedmiot znajdujący się na poacutełce doznaje przyspieszenia względem samochodu ndash przedmiot zachowuje się bezwładnie czyli zachowuje stan ruchu przed hamowaniem i porusza się w kierunku przodu samochodu Jeśli ten sam samochoacuted porusza się po okręgu (wykonuje gwałtowny zakręt) przedmiot roacutewnież doznaje przy-spieszenia względem samochodu Przedmiot roacutewnież tutaj zachowuje się bezwładnie ndash porusza się po linii prostej (względem układu spoczynko-wego) i w konsekwencji zmienia położenie względem samochodu ndash przesuwa się w kierunku boku samochodu Siedząc w samochodzie od-czuwamy siłę wypychającą ciało na zewnątrz okręgu po ktoacuterym porusza się pojazd W obu przypadkach zaroacutewno hamowania jak i ruchu po okręgu siły bezwładności jakim ulega przedmiot są konsekwencją przy-spieszenia całego pojazdu

W przypadku pralek i suszarek bębnowych siła odśrodkowa wykorzysty-wana jest do usuwania wody z tkanin W urządzeniach takich jak wiroacutew-ki wykorzystuje się dodatkowo fakt że siła odśrodkowa zależy nie tylko od prędkości z jaką kręcą się obiekty we wnętrzu bębna wiroacutewki ale roacutewnież od masy tych obiektoacutew co umożliwia oddzielenie cięższych frakcji od lżejszych

Ruch planet wokoacuteł Słońca

Pierwsza prędkość kosmiczna

Przed odkryciem Kopernika w opisie ruchu planet i gwiazd korzystano z tzw geocentrycznego modelu świata w ktoacuterym Ziemia znajdowała się w centrum wszechświata a wszystkie ciała niebieskie krążyły wokoacuteł niej W dziele bdquoO obrotach ciał niebieskichrdquo Kopernik zaproponował model w ktoacuterym planety krążą wokoacuteł Słońca po orbitach kołowych (mo-del heliocentryczny) co pozwoliło stworzyć spoacutejny opis wielu zjawisk astronomicznych Jak już wiemy z poprzednich rozdziałoacutew aby planeta lub inne ciało niebieskie poruszało się po okręgu musi na nie działać siła dośrodkowa Newton jako pierwszy stwierdził że siłą dośrodkową jest siła grawitacji

r

m

r

GMm2

2

v= (436)

PRACA I ENERGIA

Strona 57575757

Gdyby nie istniała siła grawitacji ciało nie doznałoby przyspieszenia do-środkowego nie nastąpiłoby zakrzywienie toru i odleciało by w prze-strzeń Gdyby z kolei ciało nie miało prędkości stycznej na orbicie spadłoby na ciało centralne

Na podstawie zależności 436 możemy policzyć prędkość jaką musi mieć ciało o masie m aby poruszać się po orbicie Ziemi o promieniu roacutewnym promieniowi Ziemi RZ

Z

Z

ZI gR

R

GM==v (437)

Tak zdefiniowana prędkość nazywana jest pierwszą prędkością kosmicz-ną Dla Ziemi pierwsza prędkość kosmiczna przyjmuje wartość roacutewną około 791 kms Podobnie jak w przypadku drugiej prędkości kosmicz-nej roacutewnież pierwszą prędkość kosmiczną można wyznaczyć dla innych ciał niebieskich

W przeciwieństwie do drugiej prędkości kosmicznej w przypadku ktoacuterej rozważaliśmy prędkość skierowaną prostopadle w stosunku do powierz-chni ciała niebieskiego pierwsza prędkość odnosi się do wartości pręd-kości skierowanej roacutewnolegle do powierzchni ciała niebieskiego Jeśli satelita będzie miał mniejszą prędkość spadnie na powierzchnię ciała niebieskiego jeśli większą ndash siła grawitacji nie będzie wystarczająca do nadania satelicie odpowiedniego przyspieszenia dośrodkowego i ciało bądź znajdzie się na orbicie o większym promieniu bądź opuści pole grawitacyjne

Prawa Keplera

W heliocentrycznym modelu Kopernika planety krążą po kołowych orbi-tach Poacuteźniejsze dokładniejsze analizy ruchu planet wykonane min przez Tychona de Brahe i Johannesa Keplera wykazały że orbity te są w ogoacutelności krzywymi eliptycznymi Szczegoacutełowy opis ruchu planet za-wiera model Keplera opierający się na trzech prawach

1 Planety krążą dookoła Słońca po orbitach eliptycznych Słońce znajduje się w jednym z ognisk elipsy

Układ planeta-Słońce z dobrym przybliżeniem można potraktować jako układ odosobniony tzn uwzględniamy jedynie siły wzajemnego oddzia-ływania zaniedbując oddziaływania zewnętrzne W takim odosobnionym

ROZDZIAŁ 4

Strona 58585858

układzie planeta i Słońce poruszać się będą względem środka masy ukła-du po orbitach eliptycznych W układzie Ziemia-Słońce gdzie masa Zie-mi jest ponad 3 tysiące razy mniejsza niż Słońca z dobrym przybliże-niem można przyjąć że środek masy takiego układu pokrywa się z geo-metrycznym środkiem Słońca a w konsekwencji że Słońce jest nieru-chome a Ziemia porusza się po orbicie kołowej

2 Prędkość polowa planety jest jednakowa ndash wektor łączący Słońce i planetę zakreśla jednakowe pola w jednakowych odstępach czasu

Drugie prawo Keplera wynika bezpośrednio z zasady zachowania mo-mentu pędu ktoacutera zostanie omoacutewiona w jednym z kolejnych rozdziałoacutew

3 Kwadrat czasu obiegu planety dookoła słońca jest propor-cjonalny do sześcianu długiej osi elipsy po ktoacuterej porusza się planeta

Trzecie prawo Keplera wynika bezpośrednio z faktu że siłą dośrodkową działającej na planetę jest siła grawitacji Dla uproszczenia obliczeń załoacuteżmy na razie że planeta porusza się po orbicie kołowej Woacutewczas przyroacutewnując obie siły otrzymujemy zależność

o

2

2g Fr

m

r

MmF ===

vG (438)

Ponieważ prędkość planety wiąże czas pełnego obrotu (okres T) z dłu-gością orbity ( Trπ2=v ) roacutewność 438 można zapisać w postaci

( )2

2

T

r

r

M π2G=

(439)

a po przekształceniach

M

rT

322

G

4π= (440)

PRACA I ENERGIA

Strona 59595959

45 Energia potencjalna sił sprężystości

W urządzeniach mechanicznych ktoacutere wykonują pracę np obroacutet wska-zoacutewek zegara w starych zegarach szafkowych praca ta wykonywana jest kosztem energii dostarczonej z zewnątrz We wspoacutełczesnych urządze-niach w tym także w zegarach jako źroacutedło energii najczęściej stosuje się baterie elektryczne ale kiedyś powszechnie stosowano mechanizmy wykorzystujące energię potencjalną podciągniętych ciężarkoacutew lub w przenośnych zegarkach mechanizm magazynowania energii opierał się na bdquonakręcaniurdquo sprężyny Jest to przykład pokazujący że energia me-chaniczna może zostać roacutewnież zmagazynowana w postaci odkształcenia materiału ndash taki rodzaj energii potencjalnej będziemy nazywać energią potencjalną sił sprężystości wynikających z oddziaływań między czą-steczkami materiału

Rozpatrzmy sprężynę ktoacuterą rozciągniemy (lub ściśniemy) o długość x Siła jaką musimy rozciągać tę sprężynę roacutewnoważy siłę sprężystości sprężyny ktoacutera zgodnie z III zasadą dynamiki Newtona ma zwrot prze-ciwny do zwrotu siły rozciągającej Jej wartość zależy od długości roz-ciągnięcia x co opisuje prawo Hookersquoa

xkFrr

minus= (441)

gdzie k jest wspoacutełczynnikiem sprężystości Znak minus w powyższym wzorze oznacza że siła z jaką działa sprężyna ma przeciwny zwrot do wektora x czyli siła sprężystości przeciwstawia się wydłużaniu (lub ścis-kaniu) i wskazuje zawsze na położenie roacutewnowagowe

Siła jaką musimy działać żeby rozciągnąć sprężynę ma przeciwny zwrot

niż siła sprężystości ( xkFrr

= ) Ponieważ wartość tej siły zmienia się wraz z wartością wychylenia z położenia roacutewnowagi to pracę wykonaną przy rozciąganiu sprężyny o długość X obliczamy ze wzoru całkowego

( )S

2

X

0

X

0

EkX2

1xkxxxFW ==== intint dd (441)

Rozciągnięta sprężyna wracając do położenia roacutewnowagowego wykona taką samą pracę jaką wykonaliśmy podczas jej rozciągania Możemy

ROZDZIAŁ 4

Strona 60606060

roacutewnież powiedzieć że rozciągnięta sprężyna posiada zdolność do wyko-nania pracy Ponieważ wielkość tej pracy zależy jawnie od wartości od-kształcenia sprężyny to spełnia ona definicję energii potencjalnej i nazy-wana jest energią potencjalną sprężystości ES

Energię potencjalną sił sprężystości można policzyć roacutewnież dla ciał sta-łych poddanych rozciąganiu lub ściskaniu W tym przypadku rolę wspoacutełczynnika sprężystości opisującego własność materiału pełni moduł Younga E Poszukując związku między modułem Younga a stałą sprężystości możemy potraktować badany materiał jakby był zbudowa-ny z punktoacutew (atomoacutew) połączonych małymi sprężynkami Sprężynki te obrazują oddziaływania międzyatomowe a ich stała sprężystości zależy od struktury materiału Im większy będzie przekroacutej elementu wykonane-go z danego materiału czyli im więcej takich sprężynek opisuje badany element tym większy będzie wspoacutełczynnik sprężystości dla całego materiału ndash moduł Younga E

kxLL

EAF minus=minus= ∆

0

0 (442)

gdzie E jest modułem Younga A0 ndash przekrojem poprzecznym proacutebki L0 ndash długością początkową (roacutewnowagową) zaś ∆L jest zmianą długości proacutebki

46 Energia kinetyczna

Energia kinetyczna jest związana ze stanem ruchu ciała Ciało posiada energię kinetyczną jeśli znajduje się w ruchu w danym układzie odnie-sięnia Energię kinetyczną można roacutewnież zdefiniować jako ilość pracy jaką należy wykonać żeby wprawić ciało w ruch

Jeżeli więc siła F przeprowadzi ciało ze stanu bezruchu (stan bdquoArdquo) do prędkości v (stan bdquoBrdquo) to wykonana praca wyniesie

intint int ===B

A

B

A

B

A

st

mst

psFW d

d

dd

d

dd

v (443)

PRACA I ENERGIA

Strona 61616161

W powyższych przekształceniach siłę F zastąpiliśmy pochodną pędu po czasie Zależność tą można dalej przekształcić otrzymując zależność wykonanej pracy od prędkości v jaką osiągnie ciało

k

2

0

B

A

E2

mm

t

smW ==== intint

vvvv

v

ddd

d (444)

Tak wyznaczona praca wykonana by nadać ciału o masie m prędkość v definiuje energię kinetyczną ciała Energia ta jest wprost proporcjonalna do jego masy m i do kwadratu prędkości v2 Zależność energii kinetycz-nej od kwadratu prędkości jest jedną z głoacutewnych przyczyn (poza siłami oporu) dla ktoacuterych tzw dynamika samochodoacutew (sportowych i nie tylko) jest znacznie lepsza w zakresie niskich prędkości niż prędkości wyso-kich Aby to wyjaśnić obliczmy najpierw pracę jaką należy wykonać żeby rozpędzić samochoacuted o masie m = 1000kg od prędkości v1 = 0 ms do v2 = 10 ms = 36 kmh oraz od v2 = 10 ms do v3 = 20 ms=72 kmh Praca ta roacutewna jest roacuteżnicy energii kinetycznej końcowej oraz początkowej i w pierwszym przypadku wynosi W1 = Ek(v2) ndash Ek(v1) = 50000J zaś w drugim jest trzykrotnie większa i wynosi W2 = Ek(v3) ndash Ek(v2) = 150000J Tak więc utrzymanie podobnego przy-spieszenia w obu zakresach prędkości wymagałoby ciągłego wzrostu mocy co w praktyce jest trudne do osiągnięcia

Podczas przyspieszania to silnik pojazdu wykonuje pracę roacutewną energii kinetycznej tego pojazdu Natomiast gdy pojazd hamuje pracę musi wy-konać układ hamulcowy pojazdu Ponieważ przy dwukrotnie większej prędkości energia kinetyczna jest czterokrotnie większa to roacutewnież pra-ca wyhamowania jest czterokrotnie większa Praca ta w większości za-mieniana jest w energię cieplną i dlatego elementy układu hamulcowego w szczegoacutelności samochodoacutew sportowych powinny być odporne na wy-sokie temperatury oraz tak zaprojektowane aby jak najwydajniej odda-wały ciepło do otoczenia

Warto roacutewnież zwroacutecić uwagę że furgonetka o masie 2 ton i prędkości 15 ms ktoacutera ma identyczny pęd jak samochoacuted osobowy o masie 1 tony i prędkości 30 ms ma dwukrotnie mniejszą energię kinetyczną czyli zatrzymanie jej wymaga mniejszej pracy jest bdquołatwiejszerdquo

Pojęcie energii kinetycznej możemy odnosić roacutewnież do mikroskopowe-go opisu właściwości ciał Nawet jeśli pojazd znajduje się w spoczynku cząsteczki składające się na niego mają pewną energię kinetyczną ndash czą-steczki gazu znajdującego się w oponach znajdują się w ciągłym ruchu

ROZDZIAŁ 4

Strona 62626262

atomy metalu w karoserii wykonują drgania wokoacuteł położeń roacutewnowago-wych Energia kinetyczna jest w takim mikroskopowym ujęciu związana z temperaturą ciała a dokładniej ndash temperatura jest funkcją średniej energii kinetycznej o czym będzie jeszcze mowa w części poświęconej termodynamice

47 Zasada zachowania energii mechanicznej

Podsumowując rozważania dotyczące energii wprowadzimy zasadę za-chowania energii mechanicznej

W układzie zachowawczym odosobnionym całkowita energia mechaniczna czyli suma energii potencjalnej Ep zaroacutewno grawitacyjnej jak i sprężystości oraz energii kinetycznej Ek ciała jest wielkością stałą

const=+ pk EE (445)

Oznacza to że jeżeli zaniedbamy straty energii (pracy wykonanej na rzecz sił tarcia itp) roacuteżne formy energii jaką posiada ciało mogą się zmieniać ale ich suma pozostaje stała Dobrym przykładem do omoacutewie-nia zasady zachowania energii jest skok na linie bungee Stojąc na moście na wysokości h nad rzeką (na rysunku 44 h = h1 + h2) skoczek posiada energię potencjalną względem poziomu odniesienia znajdujące-go się na poziomie rzeki Pierwsza faza skoku jest spadkiem swobod-nym w ktoacuterym skoczek traci energię potencjalną ale nabiera prędkości czyli zyskuje energię kinetyczną

2

mmgh

2v

= (446)

Kiedy lina rozwinie się w pełni osiąga tzw długość swobodną ndash na ry-sunku 44 oznaczoną jako h1 Od tego momentu lina zaczyna działać jak rozciągana sprężyna W tej fazie skoku energia potencjalna nadal się zmniejsza kosztem wzrostu zaroacutewno energii kinetycznej jak i energii potencjalnej sił sprężystości

PRACA I ENERGIA

Strona 63636363

Rysunek 44 Energia skoczka bungee w roacuteżnych fazach skoku

W pewnym momencie ruchu gdy siła napięcia liny zroacutewnoważy siłę grawitacji prędkość ciała zacznie się zmniejszać a więc spada roacutewnież jego energia kinetyczna W najniższym położeniu skoczka jego prędkość wynosi zero ndash nie posiada on zatem energii kinetycznej Jego energia potencjalna grawitacji roacutewnież wynosi zero (skoczek znajduje się w punkcie odniesienia) i cała energia zmagazynowana jest w postaci energii potencjalnej sprężystości Tak więc początkowa energia poten-cjalna grawitacji zostaje w całości zmagazynowana w energii sprężystości rozciągniętej liny Energia ta może następnie wykonać pra-cę podniesienia skoczka na wysokość mostu a więc zgodnie z zasadą zachowania energii skoczek może wroacutecić do swojego położenia począt-kowego na moście W rzeczywistości mamy jednak do czynienia ze stra-tami energii związanymi zaroacutewno z oporami powietrza jak i wydziele-niem się ciepła w rozciągającej się linie (nie jest to idealna sprężyna) i w efekcie skoczek nie powroacuteci do poziomu mostu

Uogoacutelnieniem zasady zachowania energii mechanicznej jest ogoacutelna zasa-da zachowania energii ktoacutera moacutewi że w układzie zachowawczym odo-sobnionym zmiana całkowitej energii ciała (suma zmian wszystkich rodzajoacutew energii) wynosi zero

Jeżeli na przykład rozpędzony samochoacuted uderzy w przeszkodę to gwał-townie wytraci swoją energię kinetyczną ktoacutera zamieni się na pracę związaną z odkształceniem karoserii oraz na wydzielone ciepło

Zgodnie z zasadą zachowania energii w samochodach elektrycznych energia potencjalna ładunku elektrycznego zgromadzona w naładowa-

ROZDZIAŁ 4

Strona 64646464

nym akumulatorze zamieniana jest w energię kinetyczną pojazdu Jeśli taki samochoacuted jest wyposażony w hamulce elektromagnetyczne w trak-cie hamowania może odzyskać znaczną część energii kinetycznej i zgro-madzić ją w postaci energii potencjalnej ładunku elektrycznego

48 Zderzenia

Opis zderzeń ciał stanowi ważny element dynamiki ciał stałych ale po-nieważ podczas zderzenia dochodzi do przekazywania zaroacutewno pędu jak i energii zderzenia odgrywają roacutewnież dużą rolę w procesach trans-portu na przykład ciepła lub ładunku elektrycznego

Podczas zderzenia obowiązuje zasada zachowania pędu czyli pęd środka masy układu przed zderzeniem jest identyczny jak po zderzeniu Jak już omawialiśmy wcześniej zasada zachowania pędu w układzie dwu- lub troacutejwymiarowym obowiązuje dla każdego z wyroacuteżnionych kierunkoacutew Przykład zastosowania zasady zachowania pędu dla dwuwymiarowego zderzenia dwoacutech kul bilardowych omoacutewiliśmy w rozdziale 32

Zasada zachowania energii jako jedna z podstawowych zasad fizyki obo-wiązuje zawsze roacutewnież podczas zderzeń Jednakże w praktyce wykorzystujemy ją wyłącznie w przypadku zderzeń idealnie sprężys-

tych w ktoacuterych nie występują straty energii Zderzeniem bliskim do idealnie sprężystego jest uderzenie piłki rakietą tenisową ndash w czasie zderzenia oba ciała odkształcają się sprężyście zaroacutewno piłka jak i linka naciągu rakiety Pojęcie zderzenia sprężystego można rozszerzyć roacutew-nież na przypadki w ktoacuterych ciała nie stykają się ze sobą w sposoacuteb widoczny dla obserwatora Gdyby omawiane wcześniej kule bilardowe zostały naładowane elektrycznie lub namagnesowane w odpowiedni sposoacuteb mogłoby dojść do przekazania pędu i energii bez zetknięcia się krawędzi krążkoacutew O charakterze zderzenia (czy jest sprężyste czy niesprężyste) decyduje charakter sił wzajemnego oddziaływania ciał

Zderzenie sprężyste jest opisane następującymi roacutewnaniami

2K21K12P21P1 vvvv mmmm +=+ (447)

ndash roacutewnanie wyrażające zasadę zachowania pędu oraz

PRACA I ENERGIA

Strona 65656565

2222

22K2

21K1

22P2

21P1 vvvv mmmm

+=+ (448)

ndash roacutewnanie wyrażające zasadę zachowania energii kinetycznej

W przypadku zderzenia idealnie niesprężystego dochodzi do odkształce-nia plastycznego jednego lub obu ciał Odkształcenie to wiąże się z roz-praszaniem energii w postaci ciepła W wyniku niesprężystego zderzenia połączone ciała poruszają się w jednym kierunku Roacutewnania opisujące zderzenie niesprężyste mają więc postać

( ) K212P21P1 vvv mmmm +=+ (449)

( )

Emmmm

∆222

2K21

22P2

21P1 +

+=+

vvv (450)

gdzie ∆E oznacza straty energii w postaci ciepła Zderzenie niesprężyste wykorzystywane jest do wyznaczania prędkości pociskoacutew za pomocą tzw wahadła balistycznego Urządzenie to składa się z masywnego bloku w ktoacutery wbija się pocisk Znając masę pocisku i masę bloku oraz prędkość bloku z pociskiem po trafieniu można wyliczyć prędkość pocisku przed uderzeniem w blok Pomiar stosunkowo niewielkiej pręd-kości bloku jest znacznie łatwiejszy niż bezpośredni pomiar prędkości rozpędzonego pocisku W szczegoacutelności jeśli blok zawiesimy na dwoacutech niciach (rysunek 45) możemy oszacować prędkość na podstawie wyso-kości na ktoacuterą uniesie się blok Obecnie można wykonać taki pomiar technikami fotograficznymi lub za pomocą czujnikoacutew optycznych jed-nak w XIX wieku wahadło balistyczne było jednym z podstawowych przyrządoacutew do pomiaru prędkości pocisku

Rysunek 45 Zasada działania wahadła balistycznego

Do odkształceń plastycznych dochodzi roacutewnież podczas zderzenia dwoacutech samochodoacutew a więc zderzenia takie są niesprężyste We wspoacuteł-czesnych samochodach tzw strefy zgniotu są odpowiedzialne za rozpra-szanie energii uwolnionej podczas zderzenia Analizując roacutewnania opisujące zderzenie niesprężyste można ponadto zauważyć że jeśli zde-rzeniu ulega lekki samochoacuted osobowy to straty energii są tym większe

ROZDZIAŁ 4

Strona 66666666

im cięższy jest pojazd z ktoacuterym się zderza ndash zatem skutki zderzenia z sa-mochodem ciężarowym są znacznie poważniejsze niż skutki kolizji z sa-mochodem osobowym o podobnej masie

5 Dynamika bryły sztywnej

W tym rozdziale

o Bryła sztywna moment bezwładności środek masy o Roacutewnanie ruchu bryły sztywnej o Zasada zachowania momentu pędu o Energia ruchu obrotowego

ROZDZIAŁ 5

Strona 68686868

51 Bryła sztywna

Bryłą sztywną będziemy nazywać ciało w ktoacuterym odległości między po-szczegoacutelnymi punktami ciała są stałe Siły działające na bryłę sztywną nie wywołują więc ani deformacji plastycznych ani odkształceń sprężys-tych a jedynie ruch postępowy lub obrotowy Wszystkie ciała w ktoacute-rych odległość między dwoma punktami nie zmienia się w czasie lub odkształcenia pod wpływem działających sił są niewielkie można trak-tować jako bryłę sztywną Na przykład huśtawka wykonana z cienkiego pręta może ulegać deformacji wpływając tym samym na zachowanie całego układu ale jeżeli wykonamy ją np z szyny kolejowej jej defor-macja będzie zaniedbywalnie mała i może być woacutewczas potraktowana jako bryła sztywna

Moment bezwładności bryły sztywnej

W większości dotąd rozważanych przykładoacutew siła działająca na ciało przyłożona była do środka masy ciała i wywoływała ruch postępowy W ruchu prostoliniowym miarą bezwładności ciała jest jego masa tzn tym trudniej jest zmienić ilość ruchu ciała (pęd) im większa jest jego masa W przypadku ruchu obrotowego istotna jest nie tylko masa ale roacutewnież jej odległość od osi obrotu Miarą bezwładności w ruchu obrotowym jest moment bezwładności

Moment bezwładności masy punktowej m poruszającej się po okręgu o promieniu r zależy od tej masy oraz kwadratu odległości od osi obrotu

2mrI = (51)

Moment bezwładności podobnie jak masa jest wielkością addytywną tzn moment bezwładności bryły sztywnej jest roacutewny sumie momentoacutew bezwładności mas punktowych składających się na tę bryłę

sum=i

ii rmI 2

(52)

gdzie ri jest odległością od osi obrotu i-tego elementu o masie mi

DYNAMIKA BRYŁY SZTYWNEJ

Strona 69696969

Rozpatrzmy dwie ołowiane kulki o masach m1 oraz m2 (potraktujemy je jako masy punktowe) połączone cienkim nieważkim prętem o długości r ktoacuterego masa oraz moment bezwładności są pomijalnie małe w poroacutew-naniu z masą i momentem bezwładności kul Moment bezwładności takiej bryły sztywnej względem osi obrotu położonej w środku pręta mo-żemy policzyć jako sumę momentoacutew bezwładności obu kul Otrzyma-

my ( ) ( ) ( )221

22

21 2)(22 rmmrmrmI +=+=

W przypadku bryły o złożonym kształcie i rozkładzie masy procedura wyznaczania momentu bezwładności wymaga podzielenia bryły na jak najmniejsze elementy i zsumowania momentoacutew bezwładności pochodzą-cych od tych elementoacutew W granicznym przypadku działanie sumowania możemy zastąpić całkowaniem

int=M

mrI0

2 d (53)

Jako przykład obliczania momentu bezwładności wyznaczymy moment bezwładności pręta o masie M oraz długości b względem osi przecho-dzącej prostopadle przez koniec pręta Poszukując momentu bezwład-ności tej bryły musimy wykonywać całkowanie po całej masie pręta W praktyce znacznie łatwiej jest przeprowadzać całkowanie we wspoacutełrzęd-nych przestrzennych dlatego postaramy się powiązać masę z długością pręta W tym celu wprowadzamy gęstość liniową λ definiującą masę

przypadającą na jednostkę długości l

λd

dm= Woacutewczas element masy

pręta dm może być wyrażony lλdd =m gdzie gęstość liniowa dla

pręta z zadania wynosi b

M=λ Po zamianie zmiennej całkowania oraz

granic całkowania moment bezwładności pręta wynosi

333

2232 dd

bMbbbmrI

b

0

M

0

2 ===== intintλλ

lλl

(54)

W podobny sposoacuteb posługując się gęstością powierzchniową lub obję-tościową możemy obliczyć momenty bezwładności dla dowolnych brył W tabeli 51 przedstawione zostały momenty bezwładności wybranych brył sztywnych względem osi obrotu przechodzących przez środek ma-sy bryły

ROZDZIAŁ 5

Strona 70707070

Tabela 51 Momenty bezwładności wybranych brył względem środka masy

Pręt

12

mrI

2

z =

Walec i walec

wydrążony

( )2

2

2

1Z rr2

mI +=

( )[ 2

2

2

1x hrr312

mI ++=

Pierścień 2mrI =

Stożek

10

mr3I

2

z =

+= 2

2

x h4

r

5

m3I

Dysk

2

mrI

2

z =

4

mrI

2

x =

Sfera3

mr2I

2

=

Kula 5

mr2I

2

=

Twierdzenie Steinera

Załoacuteżmy że znana jest masa bryły oraz moment bezwładności I0 wzglę-dem osi przechodzącej przez środek jej masy Wtedy zgodnie z twier-dzeniem Steinera moment bezwładności I tej bryły względem osi obrotu roacutewnoległej do osi przechodzącej przez środek masy i przesuniętej o d roacutewny jest

2

mdII 0 += (55)

Twierdzenie Steinera zastosujemy do obliczenia momentu bezwładności dysku o promieniu r i masie m względem osi przechodzącej przez jego krawędź a prostopadłej do płaszczyzny dysku Moment bezwładności dysku względem osi prostopadłej przechodzącej przez jego środek znaj-dziemy w tabeli 51

DYNAMIKA BRYŁY SZTYWNEJ

Strona 71717171

2

mrI

2

0 = (56)

W naszym przypadku oś przesunięta jest roacutewnolegle o długość promie-nia dysku a więc stosując twierdzenie Steinera otrzymujemy

222

2

0 mrmr2

mrmrII

2

3=+=+=

(57)

Środek masy bryły sztywnej

Gdybyśmy chcieli układ ciał lub bryłę sztywną zastąpić masą punkto-wą czyli zgromadzić całkowitą masę układu w jednym punkcie geome-trycznym to punkt ten powinien się znajdować w środku masy Swobod-na oś obrotu bryły sztywnej lub układu ciał przechodzi przez ich środek masy

W układzie mas punktowych środek masy można obliczyć ze wzoru

sum

sum=

i

i

i

ii

SMm

rm

r

r

r (58)

gdzie mi ndash masy punktowe zaś irr

ndash położenia tych mas względem wybranego punktu odniesienia Wspoacutełrzędna x środka masy wynosić

więc będzie sum

sum=

i

i

i

ii

SMm

xm

x W przypadku gdy rozkład masy nie jest

dyskretny podobnie jak przy obliczaniu momentu bezwładności sumo-wanie musimy zastąpić całkowaniem Sposoacuteb wyznaczenia środka masy dla jednorodnego pręta z poprzedniego zadania przedstawiono poniżej

L

2

1

M

LL

M

L

MM

mr

x2

L

0

M

0SM =====

intint λλlλl

21

21

dd (59)

Całkowanie przeprowadzono względem jednego z końcoacutew pręta a więc wynik L2 oznacza że środek masy znajduje się w połowie długości pręta

ROZDZIAŁ 5

Strona 72727272

52 Roacutewnanie ruchu bryły sztywnej

Moment siły

W dotychczasowych rozważaniach rozpatrywaliśmy jedynie obiekty punktowe lub też bryłę sztywną zastępowaliśmy masą punktową znajdu-jącą się się w środku masy tej bryły Woacutewczas rozważaliśmy jedynie ruch postępowy takich obiektoacutew W dalszej części tego rozdziału opisze-my ruch obrotowy bryły sztywnej na ktoacuterą działa siła przyłożona w punkcie innym niż środek masy

Rozważmy najpierw siłę przyłożoną w dowolnym punkcie bryły sztywnej ale skierowaną wzdłuż prostej przechodzącej przez punkt wyznaczający środek masy tego ciała Woacutewczas siła ta wywoływać będzie ruch postępowy Jeżeli jednak kierunek działania tej siły nie będzie wskazywał środka masy ciała to na ciało działać będzie moment

siły ktoacutery wywołuje ruch obrotowy Moment siły Mr

zależy od

wartości siły działającej na bryłę sztywną Fr

odległości punktu zacze-pienia tej siły od osi obrotu r

r oraz kąta między tymi wektorami

Moment siły Mr

definiujemy jako iloczyn wektorowy wektoroacutew rr

oraz Fr

perp==

times=

rFαFrM

FrM

sin

rrr

(510)

Wielkość αrr sin=perp nazywana jest ramieniem siły Moment siły

uzyskuje maksymalną wartość gdy kąt α między rr

oraz Fr

jest kątem prostym Siła działająca wzdłuż ramienia nie wywołuje obrotu a jedynie ruch postępowy

Jeśli oś obrotu nie jest wymuszona (obroacutet jest obrotem swobodnym) następuje on zawsze wokoacuteł osi o największym momencie bezwładności przechodzącej przez środek masy ciała Podobnie jak w przypadku ruchu postępowego definiowaliśmy siłę poprzez pochodną pędu ciała po cza-sie tak w przypadku ruchu obrotowego bryły sztywnej możemy zdefi-niować moment siły jako pochodną momentu pędu po czasie

DYNAMIKA BRYŁY SZTYWNEJ

Strona 73737373

t

LM

d

dr

r= (511)

Moment pędu Lr

masy punktowej m poruszającej się po okręgu o pro-mieniu r jest iloczynem wektorowym wektora wodzącego r

r i pędu ciała pr

(rysunek 51) Kierunek wektora momentu pędu jest zgodny z osią

obrotu a zwrot określamy zgodnie z regułą śruby prawoskrętnej Zwrot ten jest identyczny ze zwrotem wektora prędkości kątowej ω

r

prLrrr

times= (512)

ωIωmrrωmrmrprL 2 ===== v (513)

W ostatnim przekształceniu iloczyn mr2 został zastąpiony momentem

bezwładności I Pęd ciała w ruchu prostoliniowym jest proporcjonalny do jego masy i prędkości (roacutewnanie 31) W ruchu po okręgu miarą ilości ruchu jest moment pędu L

r We wzorze 513 wykazaliśmy że ta ilość

ruchu jest proporcjonalna do prędkości kątowej a wspoacutełczynnikiem proporcjonalności jest moment bezwładności I

Rysunek 51 Moment pędu masy punktowej poruszającej się po okręgu

Zgodnie z roacutewnaniem 511 moment siły działający na bryłę sztywną wywołuje zmianę momentu pędu tej bryły Zmiana momentu pędu może być związana ze zmianą prędkości kątowej bryły ktoacuterej moment bezwładności się nie zmienia ale może roacutewnież wynikać ze zmiany samego momentu bezwładności bryły sztywnej Uwzględniając oba te człony możemy zapisać roacuteżniczkowe roacutewnanie ruchu obrotowego bryły sztywnej ktoacutere jest II zasadą dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego

t

I

tI

t

LM

d

d

d

d

d

dω

ω+== (514)

ROZDZIAŁ 5

Strona 74747474

53 Zasada zachowania momentu pędu

Rozważmy teraz ruch obrotowy bryły sztywnej na ktoacuterą działa wypad-kowy moment siły M roacutewny zero Woacutewczas zgodnie z roacutewnaniem 511 pochodna momentu pędu po czasie wynosi zero a więc wartość całkowi-tego momentu pędu musi być stała co zapisujemy jako zasadę zacho-wania momentu pędu

sum ==i

iLL constrr

c (515)

Jeżeli na układ ciał nie działają momenty sił zewnętrznych (układ jest odosobniony) to moment pędu tego układu jest stały

W przypadku gdy moment bezwładności układu nie zmienia się w cza-sie zasadę zachowania momentu pędu można zapisać

ωIL const== (516)

Zasada zachowania momentu pędu pozwala wyjaśnić tzw efekt żyrosko-powy stabilizujący np poruszający się rower czy motocykl Z obracają-cymi się kołami związany jest moment pędu skierowany poziomo zgodnie z osią obrotu (kierunek i zwrot wektora wyznacza reguła prawej dłoni) Jeżeli roacutewnowaga roweru ulegnie zachwianiu i rower przechyli się zmieni się kierunek wektora momentu pędu oproacutecz składowej po-ziomej będzie miał roacutewnież składową pionową Rower ktoacutery przechyli się zaczyna poruszać się po łuku Woacutewczas pojawia się dodatkowy mo-ment pędu skierowany pionowo do goacutery ktoacutery jest w stanie skompenso-wać zmianę momentu pędu wynikającą z przechyłu roweru Im większe wychylenie z położenia roacutewnowagi tym większą zmianę momentu pędu potrzeba skompensować i tym mniejszy musi być promień okręgu po ktoacuterym poruszać się będzie rower Z kolei im szybciej poruszać się bę-dzie rower tym większy jest moment pędu związany z obracającym się kołem ale roacutewnież większy jest moment pędu z całym rowerem porusza-jącym się po okręgu tak że nawet duże przechylenie roweru będzie kompensowane przez jego ruch po okręgu o dużym promieniu W kon-sekwencji moment pędu koła stabilizuje zachowanie całego obiektu w ktoacuterym zamocowane jest to koło Efekt żyroskopowy wykorzystywa-ny jest roacutewnież np na pokładach łodzi czy samolotoacutew gdzie montowane

DYNAMIKA BRYŁY SZTYWNEJ

Strona 75757575

są specjalne wirujące dyski (żyroskopy) mające na celu zwiększenie stabilności tych pojazdoacutew i zmniejszenie ich przechyłoacutew

Zasada zachowania momentu pędu musi być roacutewnież uwzględniona w konstrukcji śmigłowca Obracanie wirnika wymaga działania na niego pewnym momentem siły Identyczny moment siły ale o przeciwnym zwrocie działa na kadłub śmigłowca W efekcie kadłub zaczyna się obra-cać w stronę przeciwną do kierunku obrotu wirnika Zasada zachowania

momentu pędu dla takiego układu można zapisać kkss ωIωI = gdzie indeksy s i k oznaczają odpowiednio śmigło i kadłub Najpopularniej-szym rozwiązaniem tego problemu w konstrukcji helikoptera jest umieszczenie dodatkowego wirnika na ogonie Siła ciągu tego wirnika wytwarza moment sił działający na kadłub i przeciwdziałający obrotowi Ponadto regulując siłę ciągu wirnika ogonowego śmigłowiec może wykonać obroacutet w prawo lub w lewo Zamiast jednego wirnika można roacutewnież zastosować dwa śmigła obracające się w przeciwnych kierun-kach ktoacuterych moment pędu roacutewnoważy się

Efekty działania zasady zachowania momentu pędu są roacutewnież obserwo-wane w przypadkach kiedy zmieni się moment bezwładności obracają-cego się obiektu Łyżwiarze przygotowując się do skoku z obrotem szeroko rozstawiają ręce żeby uzyskać jak największy moment bezwład-ności wprawiają ciało w ruch obrotowy i odbijają się W powietrzu ścią-gają ręce do siebie zmniejszając tym samym moment bezwładności co zgodnie z zasadą zachowania momentu pędu wpływa na wzrost prędkoś-ci obrotowej i daje możliwości wykonania kilku obrotoacutew w powietrzu

Podobne zjawisko obserwujemy dla chmury gazoacutew wirującej wokoacuteł cia-ła niebieskiego (np gwiazdy) Jeżeli chmura ta ulegnie zapadnięciu pod wpływem sił grawitacji gwałtownie maleje jej moment bezwładności (proporcjonalny do kwadratu promienia) a wzrasta prędkość obrotowa tych gazoacutew Z tego względu gwiazdy uformowane z materii pozostałej po wybuchu supernowych mają z reguły bardzo duże prędkości obrotu względem własnej osi

54 Energia ruchu obrotowego

Zgodnie z II zasadą dynamiki ruchu obrotowego moment siły działający na ciało może wywołać jego ruch obrotowy Aby wyznaczyć energię jaką posiada ciało wykonujące ruch obrotowy wyznaczymy pracę jaką

ROZDZIAŁ 5

Strona 76767676

należy wykonać aby wywołać ruch obrotowy bryły sztywnej Rozpa-trzmy moment siły M ktoacutery wywołuje ruch obrotowy bryły sztywnej taki że siła F jest prostopadła do ramienia r na jakim działa W przypad-ku ruchu postępowego pracę dW liczyliśmy jako iloczyn siły F oraz przesunięcia dx jakie ta siła wywołuje ( xFW dd = ) W przypadku ruchu obrotowego moment siły M działając na bryłę sztywną powoduje przemieszczenie kątowe dα a więc pracę dW w ruchu obrotowym możemy zapisać jako

αdd MW = (517)

Pracę całkowitą jaką wykona moment siły M obracając bryłę sztywną od położenia początkowego (kątowego) αp do położenia końcowego αk wyznaczamy z zależności całkowej

int=k

p

MW

α

α

αd (518)

Podstawiając roacutewnanie 514 do 517 przy założeniu I =const otrzymujemy

ωωωα

αω

α ddd

dd

d

ddd I

tI

tIMW ==== (519)

Stąd wyznaczamy pracę jaką należy wykonać aby bryle o momencie bezwładności I nadać prędkość kątową ω Praca ta jest roacutewnoważna energii ruchu obrotowego tej bryły

2

d2

IωωωIWE

ω

0

=== into (520)

Powyższy wzoacuter ma postać podobną do wzoru na energię kinetyczną ruchu postępowego ale zamiast masy mamy moment bezwładności oraz prędkość kątową zamiast postępowej W ogoacutelności poruszająca się bryła sztywna może posiadać zaroacutewno energię kinetyczną ruchu postępowego ktoacutera jest związana z ruchem postępowym środka masy ciała oraz ener-gię ruchu obrotowego związaną z obrotem ciała wokoacuteł osi obrotu Dlate-go ten sam obiekt staczający się z poślizgiem (bez obracania) oraz bez poślizgu (staczając się) będzie miał na dole roacutewni inną prędkość postę-pową środka masy W pierwszym przypadku bowiem zgodnie z zasadą zachowania energii cała energia potencjalna zamieni się w energię kine-tyczną ruchu postępowego W drugim przypadku ta sama początkowa

DYNAMIKA BRYŁY SZTYWNEJ

Strona 77777777

energia potencjalna ulega zamianie zaroacutewno na energię kinetyczną ruchu postępowego jak i obrotowego decydując o mniejszej prędkości ruchu postępowego Podobnie prędkość postępowa pocisku wystrzelonego z broni palnej o gwintowanej lufie jest mniejsza niż w przypadku gładkiej lufy gdyż część energii jest zgromadzona w ruchu obrotowym pocisku Jednakże ruch wirowy i zasada zachowania momentu pędu chroni pocisk przed koziołkowaniem wpływając na większą celność strzałoacutew oraz efektywnie większy zasięg strzału

W niektoacuterych autobusach czy bolidach F1 stosuje się tzw koła zamacho-we do magazynowania energii w postaci energii ruchu obrotowego Pod-czas hamownia energia kinetyczną pojazdu nie jest bdquotrwonionardquo w posta-ci ciepła wydzielanego na tarczach hamulcowych a wykonuje pracę wprawienia tarcz o dużym momencie bezwładności w ruch obrotowy Tak zgromadzona energia ruchu obrotowego koła zamachowego może być odzyskana i może wykonać pracę rozpędzania pojazdu

ROZDZIAŁ 5

Strona 78787878

6 Ruch drgający

W tym rozdziale

o Drgania harmoniczne o Wahadło sprężynowe wahadło matematyczne

fizyczne i torsyjne o Drgania tłumione o Drgania wymuszone z tłumieniem

ROZDZIAŁ 6

Strona 80808080

61 Drgania harmoniczne

Rozpatrzmy ciało poruszające się po okręgu o promieniu R tak jak opi-sywaliśmy to w rozdziale 51 Tym razem jednak będziemy obserwować ruch rzutu punktu na nieruchomy ekran (np na ścianę) prostopadły do płaszczyzny ruchu po okręgu Woacutewczas ciało przesuwać się będzie w jednym wymiarze w powtarzalny sposoacuteb z jednego do drugiego krań-ca odcinka o długości 2R Ruch w ktoacuterym ciało powtarza te same poło-żenia nazywamy ruchem drgającym lub oscylującym Jeżeli drgania te występują w stałych odstępach czasu to mamy do czynienia z ruchem drgającym okresowym Gdybyśmy narysowali wykres położenia tego ciała w funkcji czasu otrzymalibyśmy krzywą sinusoidalną jak na rysun-ku 61 Rzut ruchu po okręgu jest więc ruchem drgającym okresowym opisanym funkcją typu sinus

Ruch okresowy drgający w ktoacuterym położenie ciała możemy opisać zależnością sinusoidalną nazywany jest ruchem harmonicznym

αRx sin= (61)

gdzie R jest promieniem okręgu po jakim porusza się obiekt a α oznacza fazę ruchu drgającego i dla rozpatrywanego przykładu jest powiązana z położeniem kątowym ciała na okręgu

Ponieważ położenie kątowe ciała na okręgu zależy od jego prędkości kątowej ω wiec roacutewnież faza w ruchu drgającym zmienia się w czasie proporcjonalnie do tej prędkości kątowej W zagadnieniach ruchu drga-jącego wielkość ω nazywa się częstotliwością kołową w odroacuteżnieniu od częstotliwości f Należy jednak pamiętać że obie te wielkości są ze sobą powiązane zależnością 54 (ω = 2πf )

RUCH DRGAJĄCY

Strona 81818181

Rysunek 61 Rzut położenia ciała poruszającego się po okręgu na oś w układzie liniowym

W ogoacutelności położenie ciała poruszającego się ruchem harmonicznym prostym można zapisać w postaci

( ) ( )ϕ+= ωtAsintx (62)

gdzie A jest amplitudą drgania argument funkcji sinus będziemy nazy-wać fazą ruchu φ jest fazą początkową a ω częstotliwością kołową

Prędkość ciała w ruchu harmonicznym wyznaczymy obliczając pochod-ną jego położenia po czasie

( ) ( ) ( )φωtωt

txt +== cosA

d

dv (63)

Poroacutewnując zależności 62 oraz 63 widzimy że prędkości i wychylenie z położenia roacutewnowagi nie są zgodne w fazie (opisane funkcjami sinus i cosinus) Oznacza to że prędkość w ruchu drgającym jest największa w momencie kiedy wychylenie jest roacutewne zeru (w momencie prze-chodzenia przez położenie roacutewnowagi) i jest zerowa dla maksymalnego wychylenia

Obliczając pochodną prędkości po czasie otrzymamy przyspieszenie ciała poruszającego się ruchem harmonicznym

( ) ( ) ( ) ( )txωφωtωt

tta

22 minus=+minus== sinAd

dv (64)

Otrzymaliśmy zależność w ktoacuterej występuje taka sama funkcja sinus jak dla wychylenia Znak minus oznacza że ciało wychylone z położenia

ROZDZIAŁ 6

Strona 82828282

roacutewnowagi będzie doznawało przyspieszenia w kierunku przeciwnym do jego wychylenia z położenia roacutewnowagi Przyspieszenie to jest wyni-kiem występowania siły ktoacutera tak jak przyspieszenie skierowana jest przeciwnie do wychylenia i ktoacutera zawsze skierowana jest do położenia roacutewnowagi Wartość tej siły jest proporcjonalna do wychylenia a więc im dalej od położenia roacutewnowagowego znajduje się ciało tym większa siła na nie działa Istnienie siły skierowanej do położenia roacutewnowagi o wartości proporcjonalnej do wartości wychylenia z położenia roacutewno-wagi jest roacutewnież cechą charakterystyczną ruchu harmonicznego

Przekształcenie wzoru 64 na przyśpieszenie ciała w ruchu harmonicz-nym pozwala nam zapisać roacuteżniczkowe roacutewnanie ruchu drgań harmonicznych

( ) ( ) 0

d

d=+ txω

t

tx 2

02

2

(65)

Jest to wzoacuter ogoacutelny opisujący drgania harmoniczne w ktoacuterym zamiast wychylenia x możemy wstawić roacutewnież inne wielkości fizyczne jak

ładunek elektryczny czy natężenie pola elektrycznego Wielkość 0ω oznacza częstotliwość kołową drgań własnych obiektu czyli częstotli-wość kołową z jaką wykonuje on drgania swobodne związane jedynie z siłami występującymi wewnątrz układu

Wahadło sprężynowe

Prostym przykładem ruchu drgającego harmonicznego są oscylacje

ciężarka zaczepionego do sprężyny o długości swobodnej 0x Dla uproszczenia przyjmijmy że na ciężarek nie działa siła grawitacji oraz że masa sprężyny jest niewielka w stosunku do masy ciężarka a opory ruchu można zaniedbać Jeśli sprężynę rozciągniemy o długość x (spo-wodujemy wychylenie z położenia roacutewnowagi o odległość x) sprężyna będzie działać na ciężarek siłą o wartości proporcjonalnej do wychylenia (zgodnie z prawem Hookersquoa ndash roacutewnanie 436) xkF minus= Gdy puścimy ciężarek będzie się on poruszał się w kierunku położenia roacutewnowagi Ciężarek minie położenie i będzie miał woacutewczas maksymalną prędkość oraz energię kinetyczną Energia kinetyczna ciała wykona pracę ściskania sprężyny i zostanie zamieniona na energię sił sprężystości (roacutewnanie 437) Gdyby w układzie nie było oporoacutew tarcia ani strat energii podczas ściskania sprężyny ciężarek wychyliłby się na taką sa-mą odległość względem położenia roacutewnowagi na jaką została ona po-przednio rozciągnięta Zatem amplituda drgań byłaby więc stała

RUCH DRGAJĄCY

Strona 83838383

Siła sprężystości działającą na ciało o masie m znajdujące się na końcu rozciągniętej sprężyny nadaje temu ciału przyspieszenie Roacutewnanie ru-chu w takim przypadku można więc zapisać w postaci

0d

d=+ xk

t

xm

2

2

(66)

Jeżeli podzielimy obie strony powyższego roacutewnania przez masę m otrzy-mamy roacutewnanie w postaci analogicznej do roacutewnania 65 nazywane roacutew-naniem wahadła sprężystego Częstość drgań własnych oraz okres drgań takiego wahadła zależy od masy zaczepionej do sprężyny oraz wspoacuteł-czynnika k sprężystości sprężyny

k

mT

m

kω0 π2 == (67)

W przypadku rzeczywistej sprężyny możemy uzyskać drgania harmo-niczne jeżeli wyeliminujemy opory ruchu oraz gdy rozpatrywać będzie-my wyłącznie niewielkie wychylenia z położenia roacutewnowagi Przy zbyt dużych wychyleniach mogą nastąpić odkształcenia plastyczne materiału z ktoacuterego sprężyna jest zrobiona powodując zmianę długości swobodnej sprężyny Podobnie przy zbyt mocnym ściskaniu sprężyny zwoje spręży-ny mogą stykać się uniemożliwiając dalsze odkształcanie

Wahadło matematyczne

Nie tylko siła sprężystości sprężyny powodować drgania harmoniczne W przypadku wahadła matematycznego to siła grawitacji wywołuje drgania harmoniczne Wahadło matematyczne to idealny układ składają-cy się z masy punktowej m zaczepionej do nieważkiej i nierozciągliwej nici o długości l znajdujący się w polu grawitacyjnym W stanie roacutewno-wagi masa punktowa zwisa pionowo na nici zgodnie z kierunkiem linii pola grawitacyjnego Rozpatrzmy teraz niewielkie wychylenie kątowe α z tego położenia roacutewnowagi (rysunek 62) Woacutewczas siłę grawitacji (Fc = mg skierowaną pionowo w doacuteł) możemy rozłożyć na dwie składowe ndash radialną (wzdłuż promienia zaznaczona na niebiesko na rysunku 62) i styczną (prostopadłą do promienia zaznaczoną na czer-wono na rysunku 62) Składowa radialna jest roacutewnoważona przez na-ciąg nici i nie wpływa na ruch wahadła Zatem siłą powodującą powroacutet ciężarka do położenia roacutewnowagi będzie składowa styczna siły ciężkości

αsinmgF s minus= (68)

ROZDZIAŁ 6

Strona 84848484

Przy niewielkich wychyleniach z położenia roacutewnowagi czyli dla małych kątoacutew α wartość funkcji sinus może być dobrze przybliżona argumentem tej funkcji Dla małych kątoacutew α składowa styczna siły ciężkości działają-cej na wychylone wahadło matematyczne jest skierowana do położenia roacutewnowagowego a jej wartość jest proporcjonalna do wartości tego wy-chylenia Uwzględniając powyższe założenia możemy przekształcić roacutewnanie 68 i otrzymujemy roacutewnanie drgań harmonicznych dla wahadła matematycznego

0d

d=+ α

l

α g

t2

2

(69)

Podobnie jak to zrobiliśmy dla wahadła sprężystego poroacutewnujemy roacutewnanie 69 z 65 i wyznaczamy częstości drgań własnych oraz okres drgań wahadła matematycznego o długości l

g

2Tg

ω0

l

lπ== (610)

Warto zauważyć że okres T drgań wahadła matematycznego zależy od długości nici l oraz przyspieszenia ziemskiego g i nie zależy od masy m zaczepionej na końcu nici (izochronizm)

Rysunek 62 Wahadło matematyczne (z lewej) i fizyczne (z prawej)

RUCH DRGAJĄCY

Strona 85858585

Wahadło fizyczne

W rzeczywistości nie jesteśmy w stanie skonstruować idealnego wahadła matematycznego ale z codziennych obserwacji wiemy że rzeczywiste fizyczne obiekty jak np lampa zamocowana na linie mogą wykonywać drgania harmoniczne w polu grawitacyjnym Taki rzeczywisty układ drgający pod wpływem sił grawitacyjnych nazywamy wahadłem fizycz-nym Rozpatrzmy bryłę sztywną o masie m ktoacutera może się obracać względem osi nie pokrywającej się z osią swobodną (środkiem masy ciała) odległej o d od środka masy bryły i ktoacutera zostaje wychylona z położenia roacutewnowagi o niewielki kąt α (rysunek 62) W opisie ruchu tego ciała skorzystamy z drugiej zasady dynamiki dla bryły sztywnej

2

2

ttM

d

d

d

d αωII == (611)

gdzie M oznacza moment siły działającej na bryłę a I jest momentem bezwładności bryły względem osi obrotu Rozważając siły i momenty sił działające na taką bryłę sztywną podobnie jak w poprzednim przypadku wahadła matematycznego rozkładamy siłę ciężkości bryły ktoacutera jest zaczepiona do środka jej masy na składową radialną i styczną Ruch obrotowy bryły sztywnej będzie wywołany przez moment siły Mt zwią-zany ze składową styczną siły ciężkości (wyliczoną w identyczny sposoacuteb jak w przypadku wahadła matematycznego) działającą na ramieniu d i wyniesie

dmgM t αsinminus= (612)

Roacutewnież w tym przypadku wartość funkcji sinus przybliżamy jej argu-mentem i otrzymujemy roacutewnanie ruchu harmonicznego

0d

d=+ α

α

I

mgd

t2

2

(613)

W tym przypadku częstość drgań i okres obiegu wynoszą

mgd

IT

I

mgdω0 π2 == (614)

Jeżeli podstawimy mdI0 =l powyższe zależności będą miały iden-

tyczną postać jaką otrzymaliśmy dla wahadła matematycznego (wzo-

ry 610) Długość 0l dla ktoacuterej okres wahadła matematycznego jest taki

ROZDZIAŁ 6

Strona 86868686

sam jak dla wahadła fizycznego nazywana jest długością zredukowaną wahadła fizycznego

Wahadło torsyjne

Innym typem wahadła w ktoacuterym siłą sprawczą drgań jest siła sprężys-tości jest wahadło torsyjne Zwykle jest to układ o momencie bezwład-ności I składający się z jednego lub kilku ciężarkoacutew zawieszonych na cienkim pręcie lub drucie Oś obrotu pokrywa się z osią pręta a moment sił działających na ciężarek wynika z sił sprężystości powstających przy skręceniu pręta (inaczej układ ten jest nazywany wahadłem skrętnym) Ten moment sił skręcających jest proporcjonalny do wychylenia kątowego z położenia roacutewnowagi α oraz tzw momentu kierującego D będącego cechą materiału pręta

αDM t minus= (615)

Dla wahadła torsyjnego druga zasada dynamiki przyjmuje postać

0d

d=+ α

I

D

t

α2

2

(616)

a częstość drgań i okres obiegu w tym przypadku wynoszą

D

IT

I

Dω0 π2 == (617)

62 Drgania tłumione

W rzeczywistych układach drgających amplituda drgań będzie stopnio-wo malała i po pewnym czasie drgania ustaną Związane jest to z wystę-powaniem strat energii wynikających między innymi z lepkości ośrod-ka w ktoacuterym poruszają się ciała sił tarcia występujących na połącze-niach mechanicznych itp Opis ruchu z uwzględnieniem tłumienia wy-maga określenia ktoacutery z czynnikoacutew tłumienia jest dominujący a następ-nie zapisania wpływu tego czynnika w roacutewnaniu ruchu Najczęściej tłu-mienie jest proporcjonalne do prędkości ciała Modelem takiego układu może być ciężarek umocowany do sprężyny i zanurzony w lepkiej cie-czy Jak pokażemy w rozdziale poświęconym hydrodynamice jeśli prze-pływ cieczy ma charakter laminarny siły oporu są wprost proporcjonalne

RUCH DRGAJĄCY

Strona 87878787

do prędkości ciała Roacutewnanie ruchu ciężarka w takim układzie możemy zapisać w postaci

vbkxma minusminus= (618)

gdzie wspoacutełczynnik b jest stałą proporcjonalności między siłą oporu a prędkością Zastępując prędkość pierwszą a przyspieszenie drugą po-chodną położenia po czasie powyższy wzoacuter możemy zapisać w postaci roacuteżniczkowej

0d

d

d

d=++ kx

t

xb

t

xm

2

2

(619)

Rozwiązanie roacutewnania ruchu drgań harmonicznych miało postać funkcji sinusoidalnej Rozwiązanie roacutewnania drgań tłumionych jest złożeniem dwoacutech funkcji ndash funkcji okresowej sinusoidalnej oraz funkcji opisującej wykładnicze malenie amplitudy wychylenia

( ) ( )φtωcosetx t +prime= minusγA (620)

Wykładnicze malenie amplitudy drgań zależy zaroacutewno od lepkości ośrodka jak i masy ciężarka zamocowanego do sprężyny i opisane jest za pomocą wspoacutełczynnik tłumienia γ=b2m Istnienie tłumienia w ukła-dzie wpływa roacutewnież na zmniejszenie częstości kołowej drgań tłumio-nych ωrsquo

222 γωγ minus=minus=minus=primem

k

m4

b

m

kω

2

2

(621)

Jeśli wspoacutełczynnik tłumienia jest niewielki to częstotliwość kołowa drgań tłumionych ulega tylko nieznacznej zmianie a amplituda stopnio-wo zmniejsza się w kolejnych okresach drgań ndash funkcja wykładnicza stanowi obwiednię obserwowanego przebiegu (rysunek 63)

Jeśli będziemy zwiększać wartość wspoacutełczynnika tłumienia poprzez zmianę lepkości ośrodka lub zmianę masy drgającej zanik amplitudy drgań będzie coraz szybszy a częstotliwość tych drgań coraz mniejsza aż w końcu osiągniemy wartość krytyczną dla ktoacuterej częstość kołowa drgań tłumionych będzie wynosiła zero

22

ω=kγ (622)

ROZDZIAŁ 6

Strona 88888888

Dla takiej wartości wspoacutełczynnika tłumienia obserwujemy najszybsze z możliwych wygaśnięcie drgań i dojście układu do stanu roacutewnowagi Zależność wychylenia od czasu nie ma woacutewczas postaci funkcji okreso-wej a jedynie aperiodycznego wykładniczego spadku (rysunek 63)

Jeśli wspoacutełczynnik tłumienia będzie jeszcze większy układ będzie prze-tłumiony Podobnie jak w przypadku tłumienia krytycznego nie obser-wujemy woacutewczas drgań okresowych a jedynie wykładnicze zmniejsza-nie się wychylenia Jednak w tym przypadku siły oporu są na tyle duże że powroacutet do położenia roacutewnowagi trwa wielokrotnie dłużej niż w przy-padku tłumienia krytycznego (rysunek 63)

Rysunek 63 Zależność wychylenia ciała dla oscylatora tłumionego w funkcji czasu Roacuteżne kolory krzywej obrazują

zachowanie oscylatora dla roacuteżnych wartości wspoacutełczynnika tłumienia

Urządzenia tłumiące drgania amortyzatory

Doboacuter odpowiedniego wspoacutełczynnika tłumienia jest ważnym zagadnie-niem inżynierskim przy projektowaniu urządzeń mechanicznych Sto-sunkowo prostym przykładem może być tutaj zamykacz do drzwi ktoacutery ma zapewnić jak najszybsze zamknięcie drzwi tak aby zminimalizować straty ciepła z wewnątrz budynku Znając masę drzwi na etapie projek-towania możemy tak dobrać olej o odpowiedniej lepkości oraz sprężynę o odpowiednim wspoacutełczynniku sprężystości aby wspoacutełczynnik tłumienia

RUCH DRGAJĄCY

Strona 89898989

był roacutewny wartości krytycznego wspoacutełczynnika tłumienia Jeśli dobie-rzemy za mały wspoacutełczynnik tłumienia drzwi przed zamknięciem wyko-nają kilka oscylacji wokoacuteł położenia roacutewnowagi (jeśli mają taką możli-wość) lub uderzą we framugę Jeśli wspoacutełczynnik tłumienia będzie zbyt duży drzwi będą zamykały się powoli a może nawet mogą w ogoacutele się nie zamknąć Jeśli natomiast tak dobierzemy parametry że otrzymamy wartość krytyczną wspoacutełczynnika tłumienia drzwi zamkną się szybko nie powodując uderzenia we framugę Warto zwroacutecić uwagę na fakt że zimą gdy pod wpływem spadku temperatury lepkość oleju w zamykaczu rośnie nadmiernie wspoacutełczynnik tłumienia wzrasta spowalniając tempo zamykania drzwi Wymiana oleju w zamykaczu byłaby w takim przy-padku mało praktycznym rozwiązaniem ale podobny efekt można roacutew-nież osiągnąć poprzez regulację długości sprężyny

Innym ważnym przykładem tłumionego oscylatora harmonicznego jest amortyzator samochodowy Typowy amortyzator składa się z cylindra oraz tłoka na długim trzpieniu wokoacuteł ktoacuterego owinięta jest sprężyna Tłok dzieli cylinder na dwie części między ktoacuterymi może odbywać się przepływ oleju przez otwory w tłoku Wielkość otworoacutew oraz lepkość użytego płynu determinuje wspoacutełczynnik tłumienia ndash im mniejsza ich średnica i im większy wspoacutełczynnik lepkości płynu tym większy wspoacutełczynnik tłumienia uzyskujemy W typowych amortyzatorach war-tość wspoacutełczynnika tłumienia jest ustalona istnieją jednak rozwiązania pozwalające ją regulować Jednym z nich jest zastosowanie cieczy ktoacute-rych lepkość zwiększa się pod wpływem pola magnetycznego (magneto-reologiczne) lub elektrycznego (elektro-reologiczne) Układy elektro-niczne poprzez wytwarzanie odpowiedniego pola magnetycznego lub elektrycznego mogą płynnie zmieniać wspoacutełczynnik tłumienia amortyza-tora i w ten sposoacuteb wpływać na charakterystykę układu zawieszenia

Amortyzatory lotnicze muszą wytłumić zaroacutewno oscylacje o dużej am-plitudzie powstające podczas lądowania przy zetknięciu z Ziemią jak i mniejsze drgania powstające podczas szybkiej jazdy po płycie lotniska W tym celu stosuje się amortyzatory powietrzno-olejowe z dodatkową poduszka gazową tłumiącą drgania o dużej amplitudzie

ROZDZIAŁ 6

Strona 90909090

63 Drgania wymuszone z tłumieniem

Wiemy już że każdy układ charakteryzuje częstość kołowa drgań włas-nych ω0 oraz że tłumienie zmienia częstość drgań układu Na układ mogą jednak działać roacutewnież zewnętrzne siły wymuszające o charakte-rze okresowym Rozpatrzmy oscylator harmoniczny tłumiony ktoacutery bę-dzie pobudzany zewnętrzną siłą okresową z częstością kłową ω Woacutew-czas roacutewnanie ruchu oscylatora w postaci roacuteżniczkowej będzie miało postać

ωtxωt

x

m

b

t

x02

2

cos Ad

d

d

d=++ (623)

gdzie A oznacza amplitudę wymuszenia

Rozwiązania tego roacutewnania mają dość skomplikowaną postać i nie bę-dziemy ich wyprowadzać Przeanalizujemy tylko zależność amplitudy drgań od częstości wymuszenia i wspoacutełczynnika tłumienia

( ) 22220

22

1

ωωωm

~X MAX

γ+minus (624)

Jeśli częstotliwość kołowa wymuszenia ω zbliża się do częstotliwości kołowej drgań własnych oscylatora ω0 to amplituda drgań rośnie Gdy częstotliwość drgań wymuszających jest zgodna z częstotliwością drgań własnych amplituda drgań osiąga maksymalną wartość a w przypadku gdy nie ma tłumienia dąży do nieskończoności a zjawisko to nazywa się rezonansem

Zjawisko rezonansu mechanicznego może więc doprowadzić do uszko-dzenia budynkoacutew lub pojazdoacutew Jako przykład niszczącej siły rezonansu podawane jest zazwyczaj zawalenie się mostu w Angers w 1850 roku pod wpływem drgań wywołanych przemarszem wojska Rytm kroku żołnierzy zgadzał się z częstością własną konstrukcji mostu wiszącego co doprowadziło do zniszczenia podtrzymujących go wież We wspoacuteł-czesnych pojazdach na przykład zjawiska rezonansu mogą prowadzić do powstawania znacznych naprężeń mechanicznych na elementach kon-strukcyjnych i luzowania połączeń skrętnych Siłą wymuszającą drgania

RUCH DRGAJĄCY

Strona 91919191

mogą być roacutewnież fale sejsmiczne wywołane trzęsieniami ziemi i dlate-go w regionach aktywnych sejsmicznie w konstrukcji wysokich budyn-koacutew stosuje się roacuteżnego rodzaju amortyzatory oraz tzw TMD ndash tuned mass damper czyli dodatkowy oscylator o innej częstotliwości własnej ktoacutery przejmuje i rozprasza część energii drgań

ROZDZIAŁ 6

Strona 92929292

7 Stany skupienia materii

W tym rozdziale

o Ciało stałe o Płyny o Inne stany materii szkło tworzywa sztuczne

plazma o Przemiany fazowe

ROZDZIAŁ 7

Strona 94949494

Stany skupienia materii

Dotychczas opisywaliśmy ciała stałe ktoacutere charakteryzowały się ustalo-nym kształtem ktoacutere pod wpływem działającej na nie siły poruszały się (bryła sztywna) lub też nieznacznie sprężyście się odkształcały (sprę-żyna) W tym rozdziale omoacutewimy także inne cechy charakterystyczne ciał stałych oraz przedstawimy wybrane właściwości innych stanoacutew skupienia materii ndash cieczy i gazoacutew o ktoacuterych więcej moacutewić będziemy w dalszych rozdziałach

71 Ciało stałe

Cechami charakterystycznymi ciała stałego są

bull ustalony kształt i objętość

bull występowanie oddziaływań harmonicznych pomiędzy ato-mami i cząsteczkami W pewnym zakresie naprężeń ciało stałe zachowuje się jak sprężyna ndash ściśnięte wraca do pier-wotnego kształtu a odkształcenie sprężyste jest proporcjo-nalne do wartości przyłożonej siły Atomy ciała stałego wykonują drgania wokoacuteł położenia roacutewnowagi a amplituda tych drgań jest tym wyższa im wyższa jest temperatura

bull uporządkowanie dalekiego zasięgu Krystaliczne ciało stałe otrzymujemy powielając niewielki podstawowy jego frag-ment (tak zwaną komoacuterkę elementarną) w każdym z kierun-koacutew Taka powtarzalność układoacutew atomowych tzw perio-dyczność pozwala nam zatem na podstawie znajomości układu atomoacutew w danym miejscu określić dokładnie jakie jest położenie atomoacutew w dowolnym innym miejscu

STANY SKUPIENIA MATERII

Strona 95959595

72 Płyny

Płyny do ktoacuterych zaliczamy ciecze i gazy roacuteżnią się od ciał stałych reakcją na naprężenie ścinające Ciała stałe w reakcji na takie naprężenie (w pewnym zakresie wartości) odkształcają się sprężyście a po zwolnie-niu siły powracają do pierwotnego kształtu Płyny natomiast ulegają odkształceniu plastycznemu czyli obserwujemy płynięcie ciała i zmianę jego kształtu

Ciecze

Ciecze w odroacuteżnieniu od ciała stałego nie posiadają ustalonego kształtu choć są podobnie jak ciała stałe słabo ściśliwe Ciecze tworzą powierz-chnię swobodną oraz charakteryzują się uporządkowaniem bliskiego za-sięgu Oznacza to że najbliższe otoczenie atomoacutew jest takie samo Cie-cze tworzą cząsteczki o ustalonej strukturze Jednakże względne ułoże-nie cząsteczek względem siebie jest przypadkowe i dlatego możemy przewidzieć położenie sąsiedniego atomu ale nie jesteśmy w stanie obli-czyć dokładnie struktury w dalszym miejscu Ruch obrotowy i ruch po-stępowy cząsteczek cieczy jest znacznie ograniczony

Gazy

Gaz wypełnia całą dostępną objętość naczynia w ktoacuterym się znajduje Jest ściśliwy a odległości wzajemne między cząsteczkami są duże Cząsteczki gazu znajdują się w ciągłym ruchu chaotycznym (ruchy Browna) Istnieją także silne ruchy obrotowe i ruchy drgające wewnątrz cząsteczek Dominującą formą oddziaływań są zderzenia Prędkość cząsteczek jest większa niż w przypadku cieczy

73 Inne stany materii

Powyższe kryteria podziału stanoacutew skupienia odnoszą się do właściwoś-ci idealnych ciał stałych gazoacutew i cieczy W rzeczywistości obserwowa-ne są pewne odstępstwa od zaprezentowanych cech Istnieją roacutewnież ciała ktoacutere trudno jest jednoznacznie przyporządkować do określonej kategorii

ROZDZIAŁ 7

Strona 96969696

Szkło

Szkło jest materiałem w ktoacuterym podobnie jak w cieczy występuje jedy-nie uporządkowanie bliskiego zasięgu W warunkach w ktoacuterych je ob-serwujemy zachowuje ono jednak nie tylko objętość ale i kształt co jest cechą charakterystyczną ciał stałych

Szkło jest w istocie stanem metastabilnym tzw przechłodzoną cieczą ndash czyli cieczą ktoacuterej ruchy uległy zamrożeniu bez przejścia w stan stały (krystalizacji) Czas potrzebny na reorganizację ustawienia cząsteczek (tak zwany czas relaksacji) jest na tyle długi że obserwator nie zauważy efektu płynięcia pod wpływem działania sił ścinających Umowną granicą jest w tym przypadku czas relaksacji roacutewny 100 sekund ndash jeśli jest on kroacutetszy możemy nazywać dane ciało cieczą Zamrażanie ruchoacutew cząsteczek cieczy nazywane jest roacutewnież przejściem szklistym a jego temperatura oznaczana jako Tg ndash temperaturą przejścia szklistego

Istnieje przeświadczenie że efekty płynięcia szkła są widoczne przy odpowiednio długiej obserwacji czyli w wystarczająco bdquostarychrdquo obiek-tach Dokładne badania szkła wytworzonego w starożytnym Egipcie oraz szkła użytego w witrażach średniowiecznych katedr wykazało jednak że czas potrzebny na obserwację efektu płynięcia dla tych szkieł w tempe-raturze pokojowej jest poroacutewnywalny z wiekiem wszechświata a więc trudny do zaobserwowania w normalnych warunkach Atomy szkła za-czynają się szybciej ruszać czyli szkło zaczyna płynąć dopiero po podgrzaniu powyżej temperatury przejścia szklistego co wykorzystywa-ne jest w hutach szkła do nadawania mu oczekiwanych kształtoacutew

Tworzywa sztuczne

Z tworzyw sztucznych zbudowane są takie przedmioty codziennego użytku jak opona gumowa piłka lub zderzak większości nowoczesnych samochodoacutew Wydaje się że zaroacutewno przedmioty te jak i materiał z ktoacuterych są zbudowane spełniają kryteria stawiane ciału stałemu Okazuje się jednak że roacutewnież w tych materiałach nie istnieje uporząd-kowanie dalekiego zasięgu a charakter oddziaływań między cząsteczka-mi jest harmoniczny jedynie w wąskim zakresie przyłożonych naprężeń

Tworzywa sztuczne są zbudowane z łańcuchoacutew polimerowych gdzie identyczne cząsteczki połączone są w długie łańcuchy Oddziaływania między łańcuchami mają złożony charakter i zależą od struktury łańcucha Prostym modelem tworzywa sztucznego może być miska pełna spaghetti Pojedyncze nitki makaronu oddziałują ze sobą nie tylko poprzez tarcie ale dodatkowo występują roacuteżnorakie zapętlenia i zawęźle-

STANY SKUPIENIA MATERII

Strona 97979797

nia w efekcie czego makaron nie rozpływa się W tworzywach sztucz-nych poprzez tzw sieciowanie można dodatkowo zwiększyć oddziały-wania między łańcuchami zwiększając ich wytrzymałość W tworzy-wach sztucznych często nawet nieznaczne modyfikacje materiału wyj-ściowego zmieniają zachowanie tworzywa z typowego dla cieczy na typowe dla ciała stałego

Rozciągnięcie lub ściśnięcie opony widziane w ujęciu mikroskopowym jest związane przede wszystkim z rekonfiguracją wzajemnego położenia łańcuchoacutew Gdybyśmy umieścili wewnątrz opony miernik temperatury okazałoby się że na skutek rozciągania i ściskania zmienia się lokalnie jej temperatura ndash zachodzi przemiana termodynamiczna

Plazma

Obok ciał stałych cieczy i gazoacutew wymienia się zazwyczaj roacutewnież czwarty stan skupienia materii ndash stan plazmy Jest to stan o najwyższej energii w ktoacuterym materia jest zjonizowana i składa się z naładowanych cząstek o przeciwnych znakach ładunku elektrycznego W odroacuteżnieniu od innych stanoacutew skupienia w stanie plazmy oddziaływanie pomiędzy cząsteczkami ma charakter dalekozasięgowy czyli nie ogranicza się do najbliższych sąsiadoacutew ale każda z naładowanych cząstek oddziałuje z wieloma innymi dalszymi cząstkami Plazma jest bardzo dobrym prze-wodnikiem elektrycznym

Materię w tym stanie możemy obserwować min w płomieniu i łuku elektrycznym jak roacutewnież w wyładowaniu następującym w lampach jarzeniowych i w wyładowaniach atmosferycznych

74 Przejścia między stanami ndash przemiany fazowe

Stan skupienia danego ciała zależy od takich wielkości makroskopowych jak objętość temperatura czy ciśnienie Analizując stany w jakich wy-stępuje dane ciało przy określonych wielkościach makroskopowych mo-żemy przygotować tak zwany diagram fazowy ktoacutery zwyczajowo przedstawia się na wykresie ciśnienia od temperatury Linie stanowiące granicę występowania danej fazy związane są ze zmianą stanu skupienia Ponieważ stany skupienia roacuteżnią się między sobą zaroacutewno energią jak i charakterem oddziaływań zmiana stanu skupienia wymaga dostarcze-

ROZDZIAŁ 7

Strona 98989898

nia lub odebrania tej energii Dokładniejszą dyskusję przemian fazowych przeprowadzimy w rozdziale poświęconym termodynamice Teraz jedynie wymienimy przemiany fazowe

Przejście pomiędzy ciałem stałym a cieczą nazywamy topnieniem Przy-kładem jest topnienie lodu lub proces przetapiania złomu w hucie W procesie topnienia energia cząsteczek zwiększa się i następuje zerwa-nie wiązań W pewnych warunkach ciało stałe może roacutewnież przejść bezpośrednio w stan gazowy ndash proces taki nazywamy sublimacją Sublimację obserwujemy w mroźne zimy ndash obecny na obiektach szron i loacuted stopniowo znika bez udziału pośredniego procesu topnienia

Ciecz przechodząc w stan stały ulega krystalizacji Podczas obniżania temperatury cieczy maleje energia kinetyczna cząsteczek cieczy i domi-nować zaczynają procesy porządkowania atomoacutew w charakterystyczną dla danego związku periodyczną strukturę krystaliczną Cząsteczki tracą możliwość przemieszczania się ruchem postępowym - w ciele stałym dominują ruchy drgające polegające na niewielkich oscylacjach wokoacuteł położenia roacutewnowagi Podczas ogrzewania cieczy natomiast wzrasta energia kinetyczna cząsteczek Gdy ta energia jest odpowiednio duża i cząsteczka cieczy jest w stanie pokonać siły oddziaływania międzyczą-steczkowego fazy ciekłej odrywa się do cieczy co nazywamy parowaniem Warto zwroacutecić uwagę na to że parowanie nie następuje tylko w temperaturze wrzenia cieczy

Rysunek 71 Schematyczny diagram fazowy Zaznaczono kierunki zachodzących przemian fazowych

STANY SKUPIENIA MATERII

Strona 99999999

Cząsteczki znajdujące się na powierzchni cieczy mają szansę uwolnić się do fazy gazowej w całym zakresie temperatur w ktoacuterych ciecz istnieje jednak intensywność tego procesu jest roacuteżna w roacuteżnych warunkach Podczas wrzenia natomiast zmiana stanu skupienia następuje w całej objętości cieczy

Procesem odwrotnym do parowania jest skraplanie Proces ten obser-wujemy na przykład w postaci rosy w chłodne poranki a warunki makroskopowe (temperatura i ciśnienie) niezbędne do jego zajścia nazy-wamy punktem rosy Gaz może roacutewnież przejść do fazy stałej bezpo-średnio w wyniku resublimacji Przykładem resublimacji jest osadzanie się szronu na chłodnych powierzchniach Zjawisko resublimacji wyko-rzystywane jest w procesie technologicznym wytwarzania cienkich warstw na potrzeby elektroniki

W przypadku typowego zachowania materii możemy tak dobrać ciśnie-nie objętość i temperaturę ciała aby otrzymać stan w ktoacuterym wspoacutełist-nieć mogą trzy fazy gazowy ciekły i ciało stałe Taki punkt na diagra-mie fazowym nazywamy punktem potroacutejnym

ROZDZIAŁ 7

Strona 100100100100

8 Hydrostatyka i hydrodynamika

W tym rozdziale

o Ciśnienie o Prawo Pascala o Siła wyporu ndash prawo Archimedesa o Roacutewnanie Bernoulliego dysza skrzydło samolotowe o Płyny rzeczywiste wiry i turbulencje o Opoacuter dynamiczny

ROZDZIAŁ 8

Strona 102102102102

81 Hydrostatyka

Hydrostatyka i hydrodynamika opisują własności i zachowanie płynoacutew czyli cieczy oraz gazoacutew

Ciśnienie

Jedną z kluczowych wielkości charakteryzujących płyny jest ciśnienie

Ciśnienie definiujemy jako stosunek siły wywieranej na daną powierzchnię do wielkości tej powierzchni A

A

Fp = (81)

Jednostką ciśnienia jest paskal (1Pa=1Nm2) ktoacutery odpowiada sile 1 N działającej na powierzchnię 1 metra kwadratowego

Ponieważ ciśnienia spotykane w opisie zjawisk przyrodniczych są wielo-krotnie większe np ciśnienie wywierane przez atmosferę jest roacutewne około 105 Pa powstały jednostki takie jak atmosfera fizyczna atmosfera techniczna oraz bar W motoryzacji natomiast często używa się jednostki angielskiej ndash psi czyli funt na cal kwadratowy Podczas gdy w technice proacuteżniowej z kolei często stosowaną jednostką jest tor

Tabela 81 Wybrane jednostki ciśnienia

Dla nieściśliwego płynu ciśnienie hydrostatyczne na pewnej głębokości h pod powierzchnią cieczy zależy wyłącznie od tej głębokości

ghpp 0 ρ+= (82)

gdzie po jest ciśnieniem wywieranym przez atmosferę na powierzchnię cieczy a ρ ndash gęstością płynu W celu przeprowadzenia dowodu tego twierdzenia wyodrębnijmy bdquowycinekrdquo cieczy o płaskich podstawach (np walec) Jeśli w cieczy nie ma ruchoacutew konwekcyjnych wycinek ten nie

mm Hg Tr At Atm bar Psi 1333 9807sdot10

4 1013sdot10

5 10sdot10

5 6893sdot10

3

HYDROSTATYKA I HYDRODYNAMIKA

Strona 103103103103

unosi się ani nie opada a zatem siły działające na obie postawy (goacuterną i dolną) muszą się roacutewnoważyć Siłę działającą na goacuterną podstawę

możemy wyrazić poprzez ciśnienie przy goacuternej krawędzi Gp oraz pole powierzchni tego walca A

ApF GG = (83)

Podobnie możemy wyznaczyć siłę działającą na dolną podstawę

ApF DD = (84)

Siłę działającą na dolną podstawę można roacutewnież wyznaczyć sumując siłę działającą na goacuterną podstawę oraz siłę ciężkości rozważanego bdquowycinkardquo

ghAApmgApF DDD ρ+=+= (85)

Jeżeli poroacutewnamy zależności 84 i 85 to po podzieleniu obu stron przez powierzchnię A otrzymujemy roacutewnanie 82 Wzrost ciśnienia wywołany głębokością pod powierzchnią płynu jest związany z ciężarem tego pły-nu W przypadku ogoacutelnym rozważany bdquowycinekrdquo cieczy może obejmo-wać cały słup cieczy począwszy od jej powierzchni na ktoacuterej panuje ciśnienie p0

Barometr cieczowy

Barometr cieczowy jest prostym urządzeniem do pomiaru ciśnienia at-mosferycznego za pomocą ciśnienia hydrostatycznego Barometr cieczo-wy składa się z płaskiej zlewki i długiej rury zamkniętej na jednym końcu Zaroacutewno zlewkę jak i rurę napełniamy cieczą a następnie rurę odwracamy tak by jej otwarty koniec znalazł się pod powierzchnią płynu w zlewce (rysunek 81) Wydawać by się mogło że skoro powierzchnia cieczy w rurce znajduje się wyżej od powierzchni płynu w zlewce czyli ma wyższą energię potencjalną ciecz znajdująca się w rurze powinna w całości wypłynąć do zlewki Tymczasem obserwuje-my jedynie obniżenie się wysokości słupa cieczy do pewnej wysokości Toricelli stwierdził że w rurce ustala się taki poziom płynu ktoacutery roacutewnoważy zewnętrzne ciśnienie atmosferyczne działające na otwartą zlewkę

ghp ρ=0 (86)

ROZDZIAŁ 8

Strona 104104104104

Rysunek 81 Barometr cieczowy

Przy zmieniającym się ciśnieniu atmosferycznym zmieniać się będzie roacutewnież wysokość słupa płynu a więc układ taki może być stosowany jako barometr do pomiaru ciśnienia atmosferycznego W praktyce najczęściej stosuje się barometry rtęciowe gdyż ze względu na wysoką gęstość rtęci barometr taki nie musi być bardzo wysoki ndash ciśnienie słupa rtęci o wysokości około 760mm jest poroacutewnywalne z ciśnieniem atmosferycznym

Wpływ ciśnienia słupa płynu należy uwzględniać np przy projektowaniu sieci wodociągowej i ujęć wody Jeśli roacuteżnica wysokości między ujęciem wody a punktem odbioru jest znaczna (źroacutedło znajduje się na przykład na zboczu goacutery) stosuje się reduktory ciśnienia tak aby rury doprowadzające wodę nie zostały rozsadzone Z odwrotnym problemem spotykamy się dostarczając wodę do wysokich budynkoacutew ndash przy zasilaniu bezpośrednio z sieci wodociągowej woda ma właściwe ciśnienie jedynie na najniższych piętrach Z tego względu w niektoacuterych przypadkach wodę pompuje się najpierw na najwyższe piętra by następnie przez odpowiednią redukcję ciśnienia uzyskać pożądaną wartość na poszczegoacutelnych kondygnacjach Regulacji ciśnienia w sieci wodociągowej mogą służyć roacutewnież tzw wieże ciśnień ndash wysokość słupa wody zgromadzonego w wieży określa ciśnienie w połączonej z nią sieci wodociągowej Przykładem naturalnej bdquowieży ciśnieńrdquo są tzw studnie artezyjskie Jeśli teren jest zagłębiony ndash tworzy tzw nieckę artezyjską a warstwa wodonośna jest uwięziona pomiędzy słabo przepuszczalnymi skałami ciśnienie wywierane przez wodę z warstwy na uniesionych brzegach niecki powoduje samorzutne wypływanie wody w zagłębionej części niecki

HYDROSTATYKA I HYDRODYNAMIKA

Strona 105105105105

Prawo Pascala

Ciśnienie w cieczy rozchodzi się we wszystkich kierunkach jednakowo

Powyższe prawo Pascala jest podstawą działania systemoacutew hydraulicz-nych Wzrost ciśnienia w jednym punkcie zamkniętego układu powoduje identyczny i natychmiastowy wzrost ciśnienia we wszystkich innych punktach Prostym przykładem wykorzystania tego prawa jest bębnowy hamulec hydrauliczny Naciskając pedał hamulca wciskamy (za pośred-nictwem dźwigni) tłok w niewielkim cylindrze wypełnionym cieczą Ponieważ średnica tłoka jest niewielka to siła ktoacuterą naciskamy pedał powoduje znaczny wzrost ciśnienia cieczy w układzie hamulcowym (ciś-nienie jest odwrotnie proporcjonalne do powierzchni na ktoacuterą działa siła zgodnie z roacutewnaniem 81) Poprzez przewoacuted hamulcowy ciśnienie to jest przekazywane do cylindra z dwoma tłokami znajdującego się wewnątrz mechanizmu hamulca W tej części układu powierzchnia tłokoacutew jest znacznie większa a więc siła z jaką tłoki dociskają okładki hamulcowe do wewnętrznej części bębna jest wielokrotnie większa niż siła nacisku na pedały wytwarzając w ten sposoacuteb duży moment hamujący

Zasada działania podnośnika hydraulicznego (prasy hydraulicznej) roacutew-nież może być wyjaśniona w oparciu o prawo Pascala Prasa hydraulicz-na składa się z połączonych ze sobą dwoacutech cylindroacutew o roacuteżnych średni-cach (rysunek 82) Naciskając jeden z nich o powierzchni S1 siłą F1 wytwarzamy ciśnienie

1

1

S

Fp = (87)

W układzie zamkniętym prasy dokładnie takie samo ciśnienie będzie działało na drugi tłok jeśli tylko znajduje się on na identycznej wysokości (jeśli wysokości byłyby roacuteżne należałoby uwzględnić dodat-kowe ciśnienie słupa cieczy) Możemy zatem obliczyć siłę F2 działającą na drugi tłok o powierzchni S2

2

1

1

2 SS

FF = (88)

Siła F2 zależy zatem od stosunku powierzchni tłokoacutew Jeśli średnica mniejszego tłoka wynosi 1cm a średnica większego 10cm (czyli po-wierzchnia tłoka jest 100 razy większa) to naciskając na mniejszy tłok

ROZDZIAŁ 8

Strona 106106106106

siłą 100N (około 10kg) wytwarzamy na większym tłoku siłę stokrotnie większą zdolną podnieść masę jednej tony Za pomocą przenośnego podnośnika hydraulicznego możemy zatem łatwo unieść samochoacuted w celu dokonania napraw W dużych prasach siła ta może osiągać kilka-set ton co jest wystarczające np do formowania blach karoserii samochodowych

Rysunek 82 Schemat budowy podnośnika hydraulicznego

Warto zwroacutecić uwagę że przemieszczenie dużego tłoka w powyższej prasie hydraulicznej jest odpowiednio mniejsze Aby uzyskać przemiesz-czenie dużego tłoka o 1cm przy danych identycznych jak w powyższym przykładzie mniejszy tłok należałoby przesunąć o 1 metr Ponieważ w praktyce może być to trudne do zrealizowania w systemach siłowni-koacutew hydraulicznych stosuje się system zaworoacutew zwrotnych ndash pozwalają-cych na przepływ płynu tylko w jedną stronę W podnośniku ręcznym zawoacuter zwrotny pozwala na wielokrotny ruch mniejszego tłoka w celu uzyskania odpowiedniego przesunięcia dużego tłoka W obu przypad-kach wykonana praca jest jednak identyczna Przyjmując oznaczenie przemieszczenia tłoka jako x otrzymujemy

222

2

2

1

1

2

2

1

1111 WxFS

VF

S

VS

S

F

S

VFxFW ====== (89)

Siła wyporu ndash prawo Archimedesa

Zgodnie z prawem Archimedesa

Na ciało zanurzone w płynie działa siła wyporu skierowana pionowo do goacutery roacutewna ciężarowi wypartego płynu

HYDROSTATYKA I HYDRODYNAMIKA

Strona 107107107107

gVF cW ρ= (810)

Wzoacuter na wartość siły wyporu można wyprowadzić w sposoacuteb analogicz-ny do zastosowanego przy wyznaczaniu ciśnienia wywieranego przez słup cieczy Wyodrębnijmy z cieczy o gęstości ρ fragment o objętości V polu przekroju S oraz wysokości h ktoacutery ani nie tonie ani nie unosi się Oznacza to że ciężar tego fragmentu musi być zroacutewnoważony przez siłę wyporu skierowaną w goacuterę Rozważania te nie zmienią się jeżeli na miejsce wyodrębnionego fragmentu wstawimy badane ciało w szczegoacutel-ności nie zmieni się wartość siły wyporu ndash wartość siły wyporu zależy od objętości zanurzonego ciała oraz gęstości cieczy w ktoacuterej te ciało jest zanurzone W przypadku ciał pływających na powierzchni wody prawo Archimedesa możemy sformułować w następujący sposoacuteb

Ciało pływające na powierzchni wody wypiera ilość wody ważącą tyle ile samo waży

Ciało pływające na powierzchni wypiera jedynie tyle wody ile wynosi objętość jego zanurzonej części Siła wyporu związana jest z objętością wypartej cieczy o gęstości ρc czyli tylko z częścią zanurzoną ciała Vz ale siła ta roacutewnoważy ciężar całego ciała (mg) co zapisujemy

gVmg cz ρ= (811)

Działania siły wyporu możemy doświadczyć pływając w wodzie Biorąc pod uwagę powietrze zgromadzone w płucach ciało ludzkie ma średnią gęstość mniejszą od wody co pozwala mu unosić się na powierzchni Pojazdy i konstrukcje pływające mają roacutewnież średnią gęstość mniejszą od wody ndash choć kadłub statku jest wykonany ze stali o znacznie większej gęstości od wody ale średnia gęstość liczona dla całej bryły okrętu jest mniejsza od gęstości wody Siła wyporu unosi roacutewnież balony zaroacutewno wypełnione gazami lżejszymi od powietrza (hel wodoacuter) jak i napełnione ogrzanym powietrzem W obu przypadkach balon unosi się ponieważ średnia gęstość liczona dla całej bryły balonu jest mniejsza niż gęstość otaczającego powietrza

Jak wynika z prawa Archimedesa i jak widać w przytoczonych przykładach siła wyporu zależy od gęstości płynu w ktoacuterym ciało jest zanurzone Oznacza to roacutewnież że mierząc siłę wyporu możemy mierzyć gęstości cieczy Urządzenia wykorzystujące ten efekt nazywa się areometrami i stosowane są zaroacutewno w przemyśle winiarskim (do wyznaczania zawartości alkoholu) jak i paliwowym Areometr ma zwykle kształt długiej rurki obciążonej na jednym końcu Po umieszcze-niu w cieczy przyjmuje pozycję pionową Głębokość zanurzenia pływa-

ROZDZIAŁ 8

Strona 108108108108

ka zależy od gęstości cieczy ndash jeśli gęstość jest mniejsza (np więcej alkoholu w stosunku do wody) zmniejsza się siła wyporu i pływak zanurza się głębiej Jeśli gęstość jest większa zanurzenie zmniejsza się Podobnie dzieje się z naszym ciałem ndash w gęstszej wodzie słonej siła wyporu jest większa i łatwiej jest unosić się na powierzchni Z tego samego powodu trudno jest utonąć w tzw grząskich piaskach ndash ich gęstość jest znacznie większa niż gęstość ludzkiego ciała

Prawo Archimedesa w praktyce wykorzystywane jest w roacuteżnych urzą-dzeniach hydrologicznych Na przykład w niektoacuterych krajach odcinki kanałoacutew żeglugowych poprowadzone są na wiaduktach Kiedy barka wpływa na taki wiadukt obciążenie konstrukcji nie zmienia się jednak ponieważ barka pływając na powierzchni wody wypiera z kanału do-kładnie tyle wody ile sama waży

82 Hydrodynamika

Hydrodynamika opisuje zjawiska związane z przepływem płynoacutew W pierwszym przybliżeniu badany ośrodek możemy zastąpić płynem idealnym ktoacutery wyroacuteżnia się następującymi cechami

bull Przepływ laminarny ndash prędkość poruszającego się płynu w każdym wybranym punkcie nie zmienia się z upływem czasu

bull Przepływ nieściśliwy ndash gęstość płynu jest stała

bull Przepływ nielepki ndash brak strat związanych z oporem wewnętrznym

bull Przepływ bezwirowy ndash zawieszona w płynie cząstka nie obraca się względem środka masy

Roacutewnanie ciągłości

W celu zobrazowania przepływu płynu idealnego wygodnie jest wpro-wadzić linie prądu Są to linie w każdym punkcie styczne do toru oraz prędkości cząstki zawieszonej w płynie Rozpatrzmy strugę nieściśliwe-go płynu definiowaną jako zespoacuteł linii prądu wypełniających poprzeczny

HYDROSTATYKA I HYDRODYNAMIKA

Strona 109109109109

do linii prądu mały kontur zamknięty (rurkę prądu) Jeżeli płyn jest nieściśliwy oraz w rurce prądu nie ma żadnych źroacutedeł ani wypływoacutew woacutewczas masa płynu przepływająca w jednostce czasu przez dowolny przekroacutej poprzeczny tej strugi musi być taka sama Zasadę zachowania masy dla takiej strugi płynu można więc zapisać

22 mtSρtSρm 111 dddd 2 === vv (812)

gdzie dm1 oraz dm2 oznaczają masę strugi płynu ktoacutera w czasie dt prze-pływa z prędkością v1 oraz v2 przez przekroacutej strugi o powierzchni odpo-wiednio S1 oraz S2 Po przekształceniach otrzymujemy roacutewność

21 vv 21 SS = (813)

co zapisujemy jako tzw roacutewnanie ciągłości

const=vS (814)

gdzie S jest polem przekroju poprzecznego zaś v prędkością przepływu płynu przez ten przekroacutej Z roacutewnania tego wynika że im węższy jest przekroacutej tym większa prędkość przepływu cieczy Efekt taki możemy zaobserwować na przykład dla wody w koryta rzecznego Jeśli koryto jest szerokie rzeka płynie powoli natomiast jeśli koryto jest wąskie ndash np w miejscu przełomu przez warstwy skał ndash prędkość nurtu zwiększa się

Roacutewnanie Bernoulliego

Roacutewnanie Bernoulliego określa związek między ciśnieniem cieczy prędkością jej przepływu oraz wysokością na ktoacuterej znajduje się ta ciecz

Rozpatrzmy rurę o zmiennym przekroju ktoacuterej dwa końce znajdują sie na roacuteżnych wysokościach jak na rysunku 83 Przepływ płynu z dolnej części (indeksy 1) do goacuternej części (indeksy 2) odbywa się pod wpły-wem siły parcia F1 zdefiniowanej przez ciśnienie p1

ROZDZIAŁ 8

Strona 110110110110

Rysunek 83 Ilustracja roacutewnania Bernoulliego

Siła ta przesuwając płyn o pewną odległość l1 wykonuje pracę

11111111 VpSpFW === ll (815)

Przesunięciu temu przeciwdziałać będzie siła parcia F2 związana z ciśnieniem p2 ktoacutera wykona pracę

22222222 VpSpFW minus=minus=minus= ll (816)

Ponieważ zgodnie z roacutewnaniem ciągłości taka sama objętość płynu przesunie się w dolnej i goacuternej części rury więc wypadkowa praca wykonana przez siły parcia wynosi

V)p(pVpVpW 2111 minus=minus=∆ 22 (817)

Praca sił parcia wpływać będzie na zmianę energii kinetycznej i poten-cjalna tej porcji płynu o objętości V Płyn ten przepływając z prędkością v1 przez rurę znajdującą się na wysokości y1 będzie miał energię

11 mgymE += 212

1v (818)

gdzie m oznacza masę porcji płynu o objętości V oraz gęstości ρ Zmiana energii płynu przepływającego przez rozważaną rurę wynosić więc będzie

221 mgymmgymE minusminus+=∆ 221 2

1

2

1vv (819)

Jeśli przyroacutewnamy zmianę energii płynu oraz wypadkową pracę sił parcia po podzieleniu roacutewnania przez objętość otrzymamy

HYDROSTATYKA I HYDRODYNAMIKA

Strona 111111111111

2

2

221

2

11 gy2

1pgy

2

1p ρρρρ ++=++ vv (820)

Powyższe wyprowadzenie można uogoacutelnić w postaci tzw roacutewnania Bernoulliego ktoacutere moacutewi że dla dowolnych dwoacutech przekroi rurki cieczy idealnej suma trzech ciśnień ndash statycznego hydrostatycznego oraz spiętrzania ndash jest stała

const=++ hg2

1p

2 ρρv (821)

Z roacutewnania Bernoulliego wynika na przykład że jeżeli będziemy rozpatrywać przepływ płynu na stałej wysokości (ciśnienie hydrostatyczne jest stałe) woacutewczas im większa jest prędkość przepływu cieczy (ciśnienie spiętrzania) tym mniejsze jest ciśnienie statyczne wytwarzane przez tę ciecz Efekt ten wykorzystujemy w szeregu urządzeń

Dysza

W pistolecie natryskowym wykorzystuje się strumień gazu poruszający się z dużą prędkością W miejscu podłączenia zbiornika z farbą znajduje się przewężenie o przekroju znacznie mniejszym niż przekroacutej wlotu dyszy Z roacutewnania ciągłości wiemy że w takim przewężeniu gaz ma znacznie większą prędkość niż przy wlocie i wylocie dyszy Z roacutewnania Bernoulliego zaś wynika że w takim punkcie gdzie prędkość przepływu płynu jest wysoka ciśnienie jest niskie Przy odpowiednio wąskim przewężeniu uzyskamy na tyle niskie ciśnienie (proacuteżnię) że farba jest zasysana do wnętrza dyszy gdzie jej kropelki są rozpylane w strumieniu przepływającego powietrza i mogą być wykorzystane do roacutewnomiernego rozprowadzenia farby Wykorzystując podobną konstrukcję można roacutewnież budować miniaturowe pompy proacuteżniowe a także przyrządy do pomiaru prędkości gazu

Skrzydło samolotu

Roacutewnanie Bernoulliego pozwala roacutewnież wyjaśnić zasadę wytwarzania siły nośnej przez skrzydło samolotu Niesymetryczny kształt przekroju płata skrzydła powoduje powstawanie roacuteżnicy prędkości strumienia powietrza powyżej i poniżej płata Roacuteżnica ta zależy od tzw kąta natarcia ndash określonego umownie pomiędzy cięciwą skrzydła a kierun-kiem strugi powietrza Przy pewnym kącie natarcia prędkości powietrza owiewającego płat są sobie roacutewne ciśnienie po obu stronach płata jest zatem roacutewnież identyczne Płat nie wytwarza wtedy siły nośnej Jeśli

ROZDZIAŁ 8

Strona 112112112112

zwiększymy kąt natarcia masy powietrza opływające skrzydło od goacutery muszą pokonać dłuższą drogę a więc prędkość powietrza na goacuternej powierzchni płata jest większa niż na dolnej Zatem zgodnie z roacutewna-niem Bernoulliego ciśnienie na goacuternej powierzchni jest niższe Roacuteżnica ciśnień po obu stronach płata powoduje powstanie siły nośnej unoszącej samolot Im większy kąt natarcia tym większa siła nośna ndash należy jednak pamiętać że przy zbyt dużym kącie natarcia wzrastają roacutewnież siły hamujące działające na układ Dochodzi wtedy do tzw przeciągnię-cia ndash zbyt duży kąt natarcia powoduje utratę prędkości i w konsekwencji spadek siły nośnej

Rysunek 84 Linie prądu powietrza opływającego skrzydło samolotu

Płyny rzeczywiste

Opis zachowania płynoacutew rzeczywistych jest znacznie bardziej złożony niż idealnych Płyny rzeczywiste roacuteżnią się od idealnych przede wszystkim niezerową lepkością oraz ściśliwością

Ściśliwość opisuje zmianę objętości obiektu pod wpływem ciśnienia zewnętrznego Gazy charakteryzują się znacznie większą ściśliwością niż ciecze jednak w pewnym zagadnieniach można ją roacutewnież zanied-bać Kryterium jest tzw liczba Macha ktoacutera wyraża się stosunkiem prędkości przepływu gazu do prędkości dźwięku w tym gazie Jeśli prędkość przepływu jest znacznie mniejsza od prędkości dźwięku ściśliwość gazu można zaniedbać

Lepkość płynu jest związana z tarciem wewnętrznym występującym w płynie Jeśli podzielimy płyn na cienkie warstwy ułożone roacutewnolegle do linii prądu to tarcie wewnętrzne określa wielkość sił oporu występu-jących pomiędzy poszczegoacutelnymi warstwami Jeśli lepkość jest niewiel-ka czyli wpływ sił lepkości na ruch płynu jest niewielki to przepływają-cy płyn nie napotyka na przeszkody i poszczegoacutelne warstwy płynu poru-

HYDROSTATYKA I HYDRODYNAMIKA

Strona 113113113113

szają się ze zbliżoną prędkością Jeśli w strumieniu cieczy znajduje się nieruchomy obiekt na skutek oddziaływania sił lepkości warstwa płynu najbliższa jego powierzchni będzie poruszała się z niewielką prędkością ndash w przybliżeniu można przyjąć że warstwa ta znajduje się w spo-czynku Kolejne warstwy coraz bardziej odległe od przeszkody będą poruszały się z coraz większą prędkością Stosunek sił tarcia wewnę-trznego do powierzchni warstwy możemy wyrazić jako tzw naprężenie styczne τ

y

ηA

Tτ x

part

part==

v (822)

Naprężenie styczne jest wprost proporcjonalne do gradientu prędkości występującego pomiędzy kolejnymi warstwami płynu Wspoacutełczynnik proporcjonalności nazywamy dynamicznym wspoacutełczynnikiem lepkości η a jego jednostką jest paskal sekunda [Pas]

Wiry i turbulencje

Cechą charakterystyczną płynoacutew rzeczywistych jest możliwość występo-wania w nich turbulencji i wiroacutew Przepływ wirowy występuje wtedy kiedy wydzielony przez obserwatora element płynu ulega obrotowi Oproacutecz obrotu wokoacuteł punktu wyznaczającego środek wiru obroacutet może następować także (w sposoacuteb jednoczesny) wokoacuteł osi własnej elementu Można to poroacutewnać do karuzeli w wesołym miasteczku na ktoacuterej fotele obracają się nie tylko wokoacuteł osi karuzeli ale roacutewnież własnej osi Powstawanie wiroacutew można obserwować min za przeszkodami w nurcie rzeki czy też za skrzydłem samolotu Podczas pokazoacutew lotniczych często prezentowane są bdquoskrzydła aniołardquo ktoacutere powstają w wyniku rozpylenia przez lecący samolot barwnika w powietrzu Drobiny barwnika zostają zassane przez wir powstający za skrzydłami a następnie opadają Przepływ wirowy powstaje roacutewnież za lotkami skrzydeł ptakoacutew Grupowanie się ptakoacutew w klucz podczas migracji jest metodą redukcji oporu związanego z powstawaniem wiroacutew Warto zwroacutecić uwagę że przyczyną powstawania roacuteżnego rodzaju wiroacutew może być roacutewnież np siła Coriolisa związana z ruchem obrotowym Ziemi Kierunek obrotu wiru nad otworem odpływowym zbiornika jest na poacutełkuli poacutełnocnej Ziemi zawsze identyczny i proacuteby bdquoodwroacuteceniardquo go nie powiodą się

Z turbulencjami mamy do czynienia wtedy kiedy przepływ nie jest stacjonarny ndash kierunek i wartość prędkości w danym punkcie ulegają zmianom w czasie Prostym przykładem turbulencji są bystrza rzeki i wodospady - widzimy że choć średni kierunek przepływu jest iden-

ROZDZIAŁ 8

Strona 114114114114

tyczny układ rozbryzgoacutew wody w poszczegoacutelnych punktach zmienia się w czasie Turbulencje powstają roacutewnież w strumieniach mas powietrza Szczegoacutelnie narażone na to zjawisko są zawietrzne stoki goacuter ale turbu-lencje mogą pojawiać się roacutewnież na granicy mas powietrza o roacuteżnych temperaturach wilgotności itp

Opoacuter dynamiczny

Płyn opływający ciało napotyka na opoacuter dynamiczny na ktoacutery składają się dwa czynniki ndash siły tarcia wewnętrznego T i tzw opoacuter ciśnieniowy R

Siły tarcia wewnętrznego związane są z lepkością opływającego płynu i zależą liniowo od prędkości v obiektu względem strumienia płynu

vLBηT = (823)

gdzie B jest wspoacutełczynnikiem proporcjonalności η oznacza wspoacutełczyn-nik lepkości a L określa tzw rozmiar ciała Dla kuli umownie przyjmuje się wielkość L roacutewną jej promieniowi

Opoacuter ciśnieniowy jest związany z naciskiem strumienia płynu na powierzchnię czołową przeszkody oraz koniecznością bdquorozepchnięciardquo przez przeszkodę warstw płynu ktoacutery go opływa Wartość oporu ciśnieniowego R jest proporcjonalna do kwadratu prędkości

222 vv LCρACρR == (824)

gdzie ρ oznacza gęstość cieczy a A powierzchnię ndash ktoacutera zależy od wymiaru ciała L w kwadracie Wspoacutełczynnik C jest stałą proporcjonal-ności ktoacutera zależy od kształtu ciała i dla kuli przykładowo wspoacutełczynnik ten wynosi około 015

Liczba Reynoldsa Re jest definiowana poprzez stosunek oporu ciśnie-niowego do tarcia wewnętrznego

ReB

C

η

ρL

B

C

LBη

LCρ

T

R===

v

v

v22

(825)

Liczba Reynoldsa charakteryzuje tzw podobieństwo hydrodynamiczne ndash jeśli warunki przepływu dwoacutech płynoacutew są określone identycznymi licz-bami Reynoldsa ich przepływ będzie miał podobny charakter Jeśli licz-ba Reynoldsa jest znacznie mniejsza od jedności przepływ ma charakter warstwowy a dominującą rolę mają siły lepkości Jeśli liczba Reynoldsa

HYDROSTATYKA I HYDRODYNAMIKA

Strona 115115115115

jest znacznie większa od jedności przepływ ma charakter burzliwy a na opoacuter decydujący wpływ ma opoacuter ciśnieniowy i powstające za obiektem turbulencje

W przypadku nadwozia samochodowego decydujące znaczenie ma opoacuter ciśnieniowy i dlatego siły oporu aerodynamicznego rosną z kwadratem prędkości Niski wspoacutełczynnik oporu ciśnieniowego jest korzystny ze względu na zużycie paliwa i uzyskiwaną prędkość maksymalną ale może pogarszać kontakt pojazdu z nawierzchnią Z tego względu stosuje się tzw spoilery ktoacutere działając podobnie jak skrzydło samolotu wytwa-rzają siłę dociskającą pojazd do drogi W przypadku bolidoacutew Formuły1 opływowe kształty ma kadłub natomiast zaroacutewno z przodu jak i z tyłu samochodu zamontowane są płaty zapewniające odpowiedni docisk i sterowność bolidu Z tego względu wspoacutełczynnik oporu aerodynamicz-nego bolidoacutew F1 jest stosunkowo wysoki ndash co roacutewnoważone jest jednak przez dużą moc silnika

Z oporem aero- i hydro-dynamicznym jest związane roacutewnież pojęcie tzw prędkości granicznej ośrodka Podczas spadku swobodnego w po-wietrzu prędkość ciała początkowo rośnie ponieważ na ciało działa siła przyciągania ziemskiego Wartość tej siły należy zmniejszyć o wartość siły wyporu ośrodka Wraz ze wzrostem prędkości ciała wzrastają jednak roacutewnież siły oporu ndash zależnie od rodzaju ośrodka i charakteru przepływu są one proporcjonalne do wartości prędkości lub do jej kwadratu W pewnym momencie przy pewnej prędkości nazywanej prędkością graniczną dochodzi do zroacutewnoważenia się siły grawitacji i sumy sił wyporu oraz oporu ośrodka Prędkość graniczna jest maksymalną pręd-kością osiąganą przez ciało w danym ośrodku i np dla skoczkoacutew spado-chronowych przed otwarciem spadochronu wynosi ona od ok 195 do ok 320 kmh w zależności od pozycji w jakiej spadają Osiągnięcie większej prędkości wymaga wykonania skoku na dużej wysokości gdzie atmosfera jest rozrzedzona i siły oporu są mniejsze

ROZDZIAŁ 8

Strona 116116116116

9 Termodynamika

W tym rozdziale

o Temperatura skale temperatur o Roacutewnanie stanu gazu doskonałego o Ciepło i praca termodynamiczna o Pierwsza zasada termodynamiki o Przemiany termodynamiczne o Cykle gazowe druga zasada termodynamiki o Entropia o Mechanizmy przekazywania ciepła rozszerzalność

cieplna ciał stałych

ROZDZIAŁ 9

Strona 118118118118

Termodynamika

Termodynamika jest nauką zajmującą się badaniem zjawisk przemiany energii (w szczegoacutelności zamiany ciepła na pracę mechaniczną) zachodzących w układach makroskopowych Szybki rozwoacutej termodyna-miki nastąpił w XIX wieku co jest związane z rozwojem technologii budowy silnikoacutew parowych i spalinowych Opisując stan układu termo-dynamika posługuje się wielkościami makroskopowymi Rozważając roacuteżne stany skupienia materii oraz występujące między nimi przejścia fazowe posłużyliśmy się już takimi parametrami inaczej nazywanymi parametrami stanu układu ndash ciśnieniem objętością i temperaturą Objętość jest rozmiarem przestrzeni zajmowanej przez dane ciało a definicję ciśnienia poznaliśmy już przy okazji omawiania zagadnień związanych z mechaniką płynoacutew ndash wartość ciśnienia otrzymujemy dzie-ląc siłę przez powierzchnię na ktoacuterą działa ta siła O temperaturze wspo-minaliśmy już wprowadzając pojęcie energii kinetycznej Wykazaliśmy woacutewczas że im szybciej poruszają się cząsteczki tym większą mają energię i tym wyższa jest temperatura układu Do tego mikroskopowego opisu jeszcze wroacutecimy postaramy się jednak najpierw opisać temperatu-rę w ujęciu makroskopowym Opisu takiego dostarcza tzw zerowa zasa-da termodynamiki

91 Temperatura zerowa zasada termodynamiki

Istnieje wielkość skalarna zwana temperaturą ktoacutera jest właściwością wszystkich ciał izolowanego układu termodyna-micznego pozostających w roacutewnowadze wzajemnej Roacutewnowaga polega na tym że każde z ciał tyle samo energii emituje (wysyła) co pochłania Temperatura każdego ciała układu pozostaje taka sama

Zerowa zasada termodynamiki może być roacutewnież sformułowana następująco

Jeśli ciało A jest w roacutewnowadze termicznej z ciałem B i z ciałem C to ciało B jest w roacutewnowadze z ciałem C

TERMODYNAMIKA

Strona 119119119119

Ciała znajdują się w stanie roacutewnowagi termicznej jeśli zachodzi między nimi wymiana ciepła Jeśli postawimy szklankę z gorącą wodą na ka-miennym zimnym blacie szklanka będzie stawać się coraz chłodniejsza a blat coraz cieplejszy ndash temperatura szklanki będzie malała a tempera-tura blatu rosła Kiedy temperatura szklanki zroacutewna się z temperaturą blatu znajdą się w stanie roacutewnowagi termicznej ndash ich temperatura będzie taka sama

Żeby sprawdzić czy ciała są w stanie roacutewnowagi termicznej nie muszą być one w bezpośrednim kontakcie Wystarczy znać temperaturę obu ciał Jeśli stwierdzimy że dowolne ciała A i B są w stanie roacutewnowagi termicznej z trzecim ciałem T to są także w stanie roacutewnowagi ze sobą nawzajem Ciało T pełni rolę termometru

Termometr

Temperaturę możemy mierzyć roacuteżnymi metodami W popularnych ter-mometrach rtęciowych lub spirytusowych wykorzystywana jest liniowa rozszerzalność cieplna tych cieczy a wartość temperatury pokazuje wy-sokość słupka cieczy Rozszerzalność temperaturową metali wykorzys-tuje się roacutewnież we wskaźnikach na desce rozdzielczej starszych samochodoacutew czy na drzwiczkach starych modeli piekarnikoacutew ndash spirala z metalu rozszerzając się pod wpływem ciepła obraca wskazoacutewkę Cie-kawy rodzaj termometru możemy zbudować wykorzystując siłę wyporu ndash jeśli umieścimy w kolumnie z cieczą odważniki o innym wspoacutełczynni-ku rozszerzalności cieplnej niż otaczająca ciecz w zależności od tempe-ratury poszczegoacutelne odważniki będą się wynurzać lub opadać w miarę jak będzie zmieniać się gęstość otaczającej cieczy Obecnie często stosu-je się termometry elektroniczne w ktoacuterych wykorzystujemy bądź zależ-ność temperaturową oporu elektrycznego (np samochodowe czujniki typu Pt-100 i Pt-1000) bądź zjawisko Seebecka powstania roacuteżnicy po-tencjałoacutew kontaktowych na połączeniu dwoacutech roacuteżnych metali ndash miernik taki nazywamy termoparą

Skale temperatur

Jednostką temperatury w układzie jednostek SI jest kelwin Często używa się jednak innych skali jak skala Celsjusza lub Fahrenheita Aby zdefiniować skalę temperatury są potrzebne dwa charakterystyczne punkty możliwie łatwe do odtworzenia w warunkach eksperymental-nych Zero absolutne - 0K - oznacza najniższą temperaturę do jakiej mo-żemy się zbliżyć dowolnie blisko ktoacutera jednak pozostaje nieosiągalna Drugi charakterystyczny punkt skali to tzw punkt potroacutejny wody ndash stan w ktoacuterym wspoacutełistnieją ze sobą faza gazowa (para wodna) woda

ROZDZIAŁ 9

Strona 120120120120

w stanie ciekłym i stanie stałym (loacuted) Pomiędzy tymi dwoma punktami skalę temperatur podzielono na 27316 roacutewnych części ndash każda z nich to jeden kelwin Zatem temperatura punktu potroacutejnego wody wynosi 27316 K (kelwinoacutew)

W często stosowanej skali Celsjusza jednostką temperatury jest stopień Celsjusza ordmC Jednym z charakterystycznych punktoacutew tej skali jest punkt potroacutejny wody Temperatura tego punktu w skali Celsjusza wynosi 0ordmC Drugim punktem jest punkt wrzenia wody czyli przejście z fazy ciekłej do gazowej Temperatura tego punktu w skali Celsjusza wynosi 100ordmC Warto zauważyć że 1ordmC na skali temperatur ma identyczną rozpiętość jak 1K ndash zatem zmiana temperatury o 50ordmC oznacza zmianę o 50K

Do zdefiniowania skali Fahrenheita użyto roztworu o znanym stężeniu soli chlorku amonu w wodzie Punkt potroacutejny takiego roztworu użyty do wyznaczenia bdquozerardquo skali występuje w niższej temperaturze niż dla czystej wody Temperaturze 100ordmC odpowiada 212ordmF a temperaturze 0ordmC odpowiada 32ordmF Przybliżony wzoacuter do przeliczania obu skal ma postać

( )329

5minus= FC TT (91)

gdzie TC i TF oznaczają temperatury odpowiednio w skali Fahrenheita i Celsjusza

92 Roacutewnanie stanu gazu doskonałego

Gaz doskonały

Wiele właściwości fizycznych gazu daje się wyjaśnić przez zastosowanie prostego modelu gazu doskonałego Model ten opiera się na kilku założeniach

bull gaz składa się z cząsteczek o rozmiarach dużo mniejszych niż średnia objętość przypadająca na cząsteczkę

TERMODYNAMIKA

Strona 121121121121

bull cząsteczki są w ciągłym chaotycznym ruchu cieplnym (ruchy Browna)

bull jedyną formą oddziaływań między cząsteczkami są wzajem-ne zderzenia ktoacutere mają charakter zderzeń sprężystych Po-za zderzeniami cząsteczki nie oddziałują wzajemnie i dlate-go energia układu cząsteczek nie zależy od objętości tego układu (tzn także od średniej odległości między cząsteczkami)

bull liczba cząsteczek w jednostce objętości jest bardzo duża (n gt 1023 m-3) co umożliwia stosowanie do opisu parame-troacutew ich ruchu metod statystycznych

Roacutewnanie stanu gazu doskonałego nazywane roacutewnież roacutewnaniem Cla-peyrona określa stan gazu doskonałego czyli podaje zależności między ciśnieniem p objętością V i temperaturą T Roacutewnanie to jest spełnione dla dowolnego stanu czyli zestawu wartości parametroacutew pV i T niezależnie od tego w jaki sposoacuteb nastąpiło przejście z jednego stanu do drugiego Roacutewnanie stanu gazu doskonałego ma postać

TnpV R= (92)

gdzie R oznacza stałą gazową roacutewną R=831 Jmol-1K-1 a n liczbę moli gazu Roacutewnanie to możemy wyrazić roacutewnież przez całkowitą liczbę cząsteczek gazu N

TNpV Bk= (93)

gdzie kB jest stałą Boltzmanna (kB=1380middot10-23 JK-1) Stałą Boltzmana otrzymujemy dzieląc stałą gazową przez liczbę Avogadra (NA=602214179middot1023mol-1)

93 Ciepło i praca termodynamiczna

Definiując temperaturę moacutewiliśmy że temperatura dwoacutech ciał uzyskuje identyczną wartość w stanie roacutewnowagi termicznej Aby ciała nie będące początkowo w stanie roacutewnowagi termicznej mogły osiągnąć taki stan muszą wymieniać między sobą energię Możliwe są dwa sposoby

ROZDZIAŁ 9

Strona 122122122122

przekazywania energii na sposoacuteb pracy (np poprzez ruch tłoka) oraz na sposoacuteb cieplny ndash przez chaotyczne ruchy cząsteczkowe Energię przeka-zywaną na drugi sposoacuteb będziemy nazywali ciepłem i oznaczali jako Q Należy tu zaznaczyć że nazwa ta wywodzi się z błędnej teorii bdquocieplikardquo i będziemy jej używać głoacutewnie ze względoacutew językowo-historycznych

Energia ktoacutera jest przekazywana między ciałami na skutek istniejącej między nimi roacuteżnicy temperatur wpływa na zmianę energii wewnętrznej ciała Energia wewnętrzna U jest miarą średniej energii kinetycznej cząstek materii zgromadzonej min w ruchu postępowym cząsteczek gazu czy w postaci drgań cząsteczek i atomoacutew w ciałach stałych

Ilość przekazywanej energii wyrażamy w dżulach [J] ale często stosuje się roacutewnież pozaukładową jednostkę ndash kalorię Jedna kaloria (1cal) jest roacutewna 41860 J a podstawą definicji tej jednostki jest ciepło potrzebne do podniesienia temperatury jednego grama wody z 145degC do 155 degC

W termodynamice istotną kwestią jest poprawne zdefiniowanie znaku ciepła Jeśli ciepło przepływa z danego ciała (układu) do otoczenia czyli gdy dochodzi do obniżenia jego energii wewnętrznej to ciepło zapisuje-my ze znakiem bdquo-rdquo Jeśli zaś ciepło przepływa z otoczenia do układu zwiększając energię wewnętrzną ciała jego znak określamy jako bdquo+rdquo

Pojemność cieplna

Żeby ogrzać ciało czyli żeby zwiększyć jego energię wewnętrzną musi-my dostarczyć ciepła (doprowadzić energię na sposoacuteb cieplny) Łatwo zauważyć jednak że niektoacutere ciała jest łatwiej ogrzać niż inne Jeśli na przykład na dwoacutech płytach grzejnych kuchenki o identycznej mocy umieścimy pojemnik z wodą o masie 1kg i blok stalowy o masie 1kg okaże się że temperatura bloku stalowego będzie wzrastała znacznie szybciej niż wody Zatem ilość przepływającej energii (przekazywane ciepło) niezbędna do podniesienia temperatury danej masy o jednostkę temperatury jest w przypadku wody znacznie większa niż dla stali Taką cechę danego materiału nazywamy jego pojemnością cieplną

Pojemność cieplna C danego ciała jest ilością energii potrzebną do podniesienia jego temperatury o 1K Jednostką jest JmiddotK-1

∆TCQ = (94)

TERMODYNAMIKA

Strona 123123123123

Ciepło właściwe i ciepło molowe

Ciepło właściwe cw danego materiału jest ilością energii potrzebną do podniesienia temperatury 1kg tego materiału o 1K Jednostką jest J kg 1middotK-1

∆TmcQ W= (95)

Ciepło właściwe można wyrazić roacutewnież w przeliczeniu na 1mol substancji ndash takie ciepło właściwe nazywamy ciepłem molowym Cmol

∆TnCQ mol= (96)

Przykładowe wartości ciepła właściwego roacuteżnych cieczy i ciał stałych znajdują się w tabeli 91

Przyczynę dla ktoacuterej roacuteżne substancje wykazują roacuteżne ciepło właściwe omoacutewimy dokładniej w kolejnych rozdziałach Warto zauważyć że w ogoacutelności ciepła właściwe mogą zależeć od temperatury i dlatego na ogoacuteł obok wartości podajemy temperaturę dla ktoacuterej została ono wyznaczone

Tabela 91 Wartości ciepła właściwego Cp roacuteżnych substancji ndash pomiar przy 25

oC

substancja C [J kg-1K-1] substancja C [J kg-1K-1] woda 4181 ołoacutew 128

gliceryna 2386 srebro 236 polietylen 2930 żelazo 450

miedź 386 aluminium 897

Duże ciepło właściwe wody ma ogromne znaczenie dla klimatu i środo-wiska biologicznego Woda ogrzewa się powoli ale roacutewnież powoli i długo oddaje ciepło do otoczenia i dlatego na obszarach pustynnych na ktoacuterych nie ma zbiornikoacutew wodnych wahania temperatury między nocą a dniem są bardzo duże ndash ziemia bardzo łatwo się nagrzewa i łatwo stygnie Jeziora rzeki i morza łagodzą wahania temperatury zaroacutewno w skali doby jak i w skali roku Klimat na wybrzeżu jest znacznie łagodniejszy niż w głębi lądu Na obszarach kontynentalnych częściej obserwuje się surowe zimy i gorące lata

Duże ciepło właściwe wody jest wykorzystywane w układach chłodzenia oraz ogrzewania Obieg wody chłodzącej stosowany jest np w silnikach samochodowych a w instalacjach centralnego ogrzewania woda jest

ROZDZIAŁ 9

Strona 124124124124

wykorzystywana do ogrzewania budynku ndash nawet jeśli w danej chwili piec nie podgrzewa wody kaloryfery długo pozostają ciepłe

Przykład

Jeśli do izolowanego zbiornika wlejemy 1 litr wody o temperaturze 10degC i 1 litr wody o temperaturze 50degC to w wyniku dochodzenia do roacutewno-wagi termicznej temperatura osiągnie wartość 30degC Łatwo zauważyć że jest to wartość średnia temperatur obu porcji wody Dzieje się tak dlate-go że ilość energii potrzebna do podniesienia temperatury chłodniejszej masy wody jest roacutewna ilości energii oddanej przez wodę cieplejszą Jeżeli układ zbiornika z wodą jest izolowany to zmiana energii całkowi-tej musi wynosić zero co możemy zapisać w postaci

( ) ( ) 0=minus+minus 2KW21KW1 TTcmTTcm (97)

Stąd możemy obliczyć temperaturę końcową TK (masę wyznaczamy jako iloczyn objętości i gęstość wody)

Jeśli do zbiornika zawierającego 1 litr wody czyli o masie mW=1kg o temperaturze TW=10degC wrzucimy żelazny blok o masie mFE=1kg i temperaturze TFE=50degC roacutewnież dojdzie do wyroacutewnania temperatur obu ciał Roacutewnież w tym przypadku ciepło oddane przez żelazo jest takie samo jak ciepło pobrane przez wodę a bilans cieplny możemy zapisać w następujący sposoacuteb

( ) ( ) 0=minussdotsdot+minussdotsdot FeKFeFeWKWW TTcmTTcm (98)

gdzie cW oraz cFE oznaczają ciepło właściwe wody oraz żelaza zaś TK temperaturę końcową układu Ponieważ ciepło właściwe wody jest znacznie większe niż żelaza temperatura wody podniesie się tylko nie-znacznie i końcowa temperatura układu wyniesie około 14degC

Praca termodynamiczna

Zgodnie z przedstawioną wcześniej definicją ciepło pobrane przez ciało wywołuje wzrost energii wewnętrznej tego ciała Energia ta może być roacutewnież zamieniona na pracę Aby wyznaczyć pracę jaka może być wykonana kosztem ciepła rozpatrzmy izolowany termicznie (brak wy-miany ciepła z otoczeniem) cylinder z gazem zamknięty od goacutery szczel-nie dopasowanym tłokiem o powierzchni S Jeśli działając pewną stałą

TERMODYNAMIKA

Strona 125125125125

siłą F przesuniemy tłok o odcinek dl to wykonamy nad gazem zawartym wewnątrz cylindra pracę dW

( ) ( ) VpSppSFW ddddd ==== lllrr

(99)

Praca całkowita jaką wykonamy nad gazem sprężając go od objętości początkowej Vp do końcowej Vk wynosi

int int==k

p

V

VVpWW dd (910)

Jeżeli ciśnienie p wywierane przez siłę F na powierzchnię S tłoka nie zmienia się w wyniku przesunięcia tłoka to podczas zmiany objętości gazu o ∆V wykonana zostanie praca ∆VpW =

Jeśli wykonamy wykres zmian objętości i ciśnienia w trakcie ściskania gazu zawartego w cylindrze wykonana praca (wzoacuter 910) będzie roacutewna polu znajdującemu się pod tym wykresem (rysunek 91)

Rysunek 91 Praca w przemianie termodynamicznej jako pole pod wykresem ciśnienia od objętości

Warto zwroacutecić uwagę na znak pracy obliczonej według powyższego wzoru Jeśli objętość końcowa jest większa niż początkowa całka będzie miała wartość dodatnią Odpowiada to sytuacji w ktoacuterej to nie my wykonujemy pracę nad gazem zawartym w cylindrze ale to gaz rozprę-żając się wypycha tłok i wykonuje pracę Jeśli natomiast przesuwając tłok będziemy sprężać gaz to my wykonamy pracę dodatnią ale obli-czona całka będzie miała znak ujemny gdyż praca wykonana przez gaz będzie w tym przypadku miała znak ujemny Istotne jest więc precyzyjne określanie czy wyznaczana praca jest pracą wykonaną przez gaz czy nad

ROZDZIAŁ 9

Strona 126126126126

gazem W dalszej części tego rozdziału przez pracę będziemy rozumieli pracę wykonaną przez gaz

Pierwsza zasada termodynamiki

Podczas podgrzewania układu przekazujemy do niego ciepło zwiększając w ten sposoacuteb jego energię wewnętrzną i temperaturę Energia wewnętrzna ciała może zmieniać się roacutewnież za sprawą pracy wykonanej nad tym ciałem Można roacutewnież powiedzieć że praca ktoacuterą wykonuje układ może się odbywać kosztem dostarczonego do układu ciepła lub też kosztem energii wewnętrznej układu Zależności te mogą być zapisane w zwięzły sposoacuteb w postaci I zasady termodynamiki

Energia wewnętrzna układu U wzrasta jeśli układ pobiera energię w postaci ciepła Q i maleje kiedy układ wykonuje pracę W

WQEE∆U WPWK minus=minus= (911)

Zapis roacuteżniczkowy powyższego prawa ma postać

WUQ δδ += d (912)

Zastosowany w powyższym zapisie symbol dU oznacza roacuteżniczkę energii wewnętrznej U ktoacutera jest funkcją stanu Ciepło Q oraz praca W nie są funkcjami stanu i w ich przypadku nie możemy moacutewić o roacuteż-niczce a jedynie o małej zmianie δ Zatem I zasadę termodynamiki możemy roacutewnież wyrazić w następujący sposoacuteb

Dostarczone do układu ciepło δQ powoduje zwiększenie energii wewnętrznej układu o dU i wykonanie przez układ pracy δW przeciwko siłom zewnętrznym

Należy zwroacutecić uwagę że ciepło dostarczone do układu zapisujemy ze znakiem bdquo+rdquo a ciepło oddane przez układ ze znakiem bdquo-rdquo natomiast praca W (lub dW) oznacza pracę wykonaną przez układ

TERMODYNAMIKA

Strona 127127127127

94 Przemiany termodynamiczne

Przemianą nazywamy przejście danej substancji z jednego stanu roacutewnowagi termodynamicznej do drugiego pod wpływem czynnika zewnętrznego Typowymi przemianami są ogrzewanie czy chłodzenie ciała a szczegoacutelnym typem są przemiany fazowe polegające na zmianie stanu skupienia ciała Niektoacutere przemiany fazowe wymagają dos-tarczenia ciepła do układu a podczas innych ciepło jest wydzielane przez układ Jest to konsekwencją budowy mikroskopowej ciał oraz energii oddziaływań międzycząsteczkowych w roacuteżnych stanach skupienia

Jako przykład omoacutewimy przemiany występujące podczas ogrzewania lodu Początkowo poniżej 0degC ciepło jakie dostarczamy do lodu jest zużywane na wzrost jego temperatury co w skali mikroskopowej oznacza wzrost amplitudy drgań cząsteczek wody tworzących loacuted Kiedy temperatura osiągnie 0degC rozpoczyna się proces topnienia czyli zmiany fazy ze stałej na ciekłą Dostarczane dalej ciepło (energia) służy zerwaniu wiązań pomiędzy cząsteczkami wody w krystalicznej struktu-rze lodu Cząsteczki wody w fazie ciekłej poruszają się szybciej niż cząsteczki tworzące loacuted a oddziaływania między nimi są słabsze Aż do całkowitego stopienia temperatura mieszaniny woda-loacuted nie będzie wzrastać ponieważ całe dostarczane ciepło jest zużywane w procesie przemiany fazowej

Dalsze dostarczane ciepła do wody w stanie ciekłym służy podniesieniu jej temperatury ndash aż do osiągnięcia temperatury wrzenia W tej tempera-turze następuje przemiana fazowa ze stanu ciekłego do gazowego Podobnie jak w przemianie ze stanu stałego do ciekłego wiąże się ona z zerwaniem oddziaływań międzycząsteczkowych i proces ten wymaga dostarczenia energii Tak więc aż do momentu całkowitego odparowania wody jej temperatura pozostaje stała mimo dostarczania ciepła W rze-czywistości parowanie zachodzi z powierzchni swobodnej cieczy nawet poniżej temperatury wrzenia Na powierzchni cieczy zawsze znajdują się cząsteczki ktoacutere na skutek oddziaływań ze strony swoich bdquosąsiadoacutewrdquo mają wyższe energie niż te znajdujące się w objętości cieczy i ktoacutere dzięki temu mogą się bdquouwolnićrdquo do stanu gazowego

Do zajścia odwrotnych przemian fazowych ndash skraplania i krystalizacji wymagany jest odwrotny kierunek przepływu ciepła Aby cząsteczki

ROZDZIAŁ 9

Strona 128128128128

pary wodnej skropliły się musimy odebrać nadmiar energii kinetycznej z gazu Podobnie podczas krystalizacji należy zmniejszyć energię cząsteczek cieczy zmniejszyć ich ruchliwość na tyle by umożliwić wytworzenie się pomiędzy nimi wiązań W przypadku obu tych prze-mian fazowych musimy odbierać energię z układu

Przemiany fazowe

Przemiana fazowa zachodzi w stałej temperaturze a ciepło pobrane przez materiał jest proporcjonalne do masy materiału oraz ciepła właściwego przemiany

mCQ PRZEMPRZEM = (913)

Warto zwroacutecić uwagę że tak zdefiniowane ciepła topnienia i parowania osiągają znaczne wartości w stosunku do ciepła właściwego W efekcie znacznie łatwiej jest ogrzać 1kg wody lub lodu o 1 kelwin niż doprowa-dzić do stopienia 1kg lodu Jeszcze wyższa jest wartość ciepła parowania

Duża wartość ciepła przemiany może być wykorzystywany do termore-gulacji przez organizmy żywe Nawet niewielka ilość wody wydzielana przez gruczoły potowe odparowując z powierzchni skoacutery odbiera dużo ciepła tym samym chroniąc organizm przed przegrzaniem Podobnie wysokie ciepło parowania wykorzystuje się np w nowoczesnych radia-torach do chłodzenia procesoroacutew komputerowych Pomiędzy żeberkami radiatora zamontowana jest zamknięta rurka tworząca tzw kanał cieplny (ang heat pipe) wypełniona niewielką ilością alkoholu i jego oparami (rysunek 92) W pobliżu procesora temperatura jest na tyle wysoka że alkohol intensywnie paruje pobierając jednocześnie dużo ciepła od procesora Opary alkoholu pod wpływem ruchoacutew konwekcyjnych docierają do radiatora na końcu rurki Ponieważ temperatura koło radiatora jest niższa alkohol ulega skropleniu (oddaje ciepło) a następnie spływa po ściankach w stronę procesora i cały proces może ulec powtoacuterzeniu Taki kanał cieplny niezwykle efektywnie wspomaga transport ciepła w kierunku od procesora na zewnątrz radiatora

TERMODYNAMIKA

Strona 129129129129

Rysunek 92 Schemat działania radiatora z kanałem cieplnym

Kalorymetr

Kalorymetr jest urządzeniem służącym do pomiaru ciepła wydzielanego lub pobieranego podczas procesoacutew chemicznych i fizycznych W naj-prostszej wersji kalorymetr jest po prostu zbiornikiem izolowanym termicznie od otoczenia wyposażonym w termometr Aby wskazania termometru były dokładne musi on pozostawać w kontakcie cieplnym z badanym układem Warunek ten jest osiągany zazwyczaj przez wypeł-nienie kalorymetru cieczą o znanym cieple właściwym Jeśli podczas badanego procesu chemicznego temperatura kalorymetru się zmieni to ilość ciepła jaka przepłynęła z badanego układu do kalorymetru lub w przeciwną stronę możemy obliczyć znając pojemność cieplną kalory-metru (cieczy oraz zbiornika) Aby pomiar był prawidłowy czyli aby wymiana ciepła między badanym układem a kalorymetrem była efek-tywna ciecz wypełniającą kalorymetr miesza się za pomocą mieszadła w ten sposoacuteb wyroacutewnując temperaturę w roacuteżnych częściach naczynia

Znacznie bardziej zaawansowanymi urządzeniami do badania właści-wości termicznych materii są kalorymetry roacuteżnicowe W urządzeniach tego typu przeprowadza się precyzyjny pomiar temperatury badanej proacutebki oraz proacutebki referencyjnej podczas jednostajnego grzania całej ko-mory badawczej Podczas przemian fazowych w badanym materiale wydzielane lub pochłaniane będzie ciepło i zarejestrowana woacutewczas zos-tanie roacuteżnica temperatur proacutebki badanej oraz referencyjnej Urządzenia tego typu pozwalają nie tylko precyzyjnie wyznaczyć temperatury prze-

ROZDZIAŁ 9

Strona 130130130130

mian fazowych takich jak topnienie krystalizacja parowanie czy też przejścia szkliste ale roacutewnież wartość ciepła tych przemian

Przemiany termodynamiczne

W termodynamice szczegoacutelny nacisk kładzie się na opis przemian termodynamicznych zachodzących w gazach Jest to zagadnienie istotne ze względu na zastosowanie praktyczne ndash większość silnikoacutew spalino-wych wykorzystuje w swoim cyklu pracy przemiany gazowe

W tym rozdziale omoacutewimy cechy charakterystyczne czterech podstawo-wych gazowych przemian termodynamicznych izochorycznej izoba-rycznej izotermicznej oraz adiabatycznej

Przemiana izochoryczna

Podczas przemiany izochorycznej objętość gazu jest stała Zgodnie ze wzorem 96 ciepło dostarczone do n moli gazu jest proporcjonalne do roacuteżnicy temperatur i zależy od ciepła molowego przy stałej objętości CV charakterystycznego dla tej przemiany

∆TCnQ V= (914)

Ponieważ objętość w przemianie izochorycznej się nie zmienia więc praca termodynamiczna wykonana przez gaz wynosi zero (roacutewnanie 910) a więc zgodnie z I zasadą termodynamiki całe ciepło Q ktoacutere dostarczymy do układu jest roacutewne przyrostowi energii wewnętrznej układu

∆UQ = (915)

Poroacutewnując roacutewnania 914 oraz 915 otrzymujemy że przyrost energii wewnętrznej zależy tylko od przyrostu temperatury

∆TCn∆U V= (916)

Warto podkreślić że powyższa zależność jest prawdziwa dla każdej przemiany a nie tylko dla przemiany izochorycznej dla ktoacuterej ją wyprowadziliśmy

Zapiszmy roacutewnanie stanu gazu dla dwoacutech stanoacutew podczas przemiany izochorycznej

TERMODYNAMIKA

Strona 131131131131

=

=

22

11

TnVp

TnVp

R

R (917)

Z powyższego układu roacutewnań wynika że w przemianie izochorycznej stosunek ciśnienia do temperatury jest wielkością stałą

const===T

p

T

p

T

p

2

2

1

1

(918)

Na wykresie p(V) ciśnienia od objętości przedstawionym na rysunku 93 przemiana izochoryczna jest odcinkiem pionowym

Przemiana izobaryczna

Dla przemiany izobarycznej charakteryzującej się stałością ciśnienia ciepło Q dostarczone do układu jest proporcjonalne roacuteżnicy temperatur i zależy od wartości ciepła molowego przy stałym ciśnieniu Cp

∆TCnQ p= (919)

Zgodnie z roacutewnaniem 916 zmianę energii wewnętrznej dla dowolnej

przemiany termodynamicznej możemy zapisać jako ∆TCn∆U V= zaś praca wykonana przez układ podczas przemiany izobarycznej roacutewna się iloczynowi ciśnienia i zmiany objętości (roacutewnanie 910)

∆VpW = (920)

Zapisując roacutewnanie stanu gazu dla tej przemiany otrzymamy stałość stosunku objętości do temperatury

const===T

V

T

V

T

V

2

2

1

1

(921)

Na wykresie p(V) ciśnienia od objętości przemiana izobaryczna jest odcinkiem poziomym (rysunek 93)

Jeśli przemianę przeprowadzimy przy stałym ciśnieniu to ciepło dostarczone do układu Q zamieniane jest zaroacutewno na przyrost energii wewnętrznej ∆U jak i na pracę W wykonaną przez gaz co zgodnie z I zasadą termodynamiki możemy zapisać

W∆UQ += (922)

ROZDZIAŁ 9

Strona 132132132132

Korzystając z roacutewnania stanu gazu (roacutewnanie 92) możemy wyrazić zmianę objętości ∆V poprzez zmianę temperatury ∆T

∆TnR∆VpW == Woacutewczas roacutewnanie 922 można zapisać w postaci

∆Tn∆TCn∆TCn Vp R+= (923)

skąd otrzymujemy że molowe ciepło właściwe gazu przy stałym ciśnie-niu Cp jest większe od molowego ciepła właściwego przy stałej objętości CV o wielkość stałej gazowej R

R+= Vp CC (924)

Przemiana izotermiczna

W przemianie izotermicznej temperatura gazu nie zmienia się Zgodnie z roacutewnaniem stanu gazu stały woacutewczas jest iloczyn objętości i ciśnienia

const=== pVVpVp 2211 (925)

Wykres takiej przemiany na wykresie p(V) jest hiperbolą (rysunek 93) Ponieważ temperatura jest stała stała jest roacutewnież energia wewnętrzna gazu czyli zmiana energii wewnętrznej wynosi zero ∆U = 0

Zgodnie z I zasadą termodynamiki oznacza to że całe dostarczane do gazu ciepło Q jest zużywane na pracę gazu W (Q = W)

Pracę wykonaną przez gaz obliczamy ze wzoru 910 int=K

P

V

V

VpW d

Zależność ciśnienia od objętości wyznaczamy z roacutewnania stanu gazu i otrzymujemy wzoacuter całkowy

intint ==K

P

K

P

V

V

V

VV

VTnV

V

TnW

dRd

R (926)

Rozwiązaniem takiej całki jest funkcja logarytmiczna (ln) i po podstawieniu granic całkowania otrzymujemy pracę W wykonaną przez gaz przy izotermicznym (w temperaturze T) rozprężaniu n moli gazu z objętości początkowej VP do końcowej VK

P

K

V

VTnW lnR= (927)

TERMODYNAMIKA

Strona 133133133133

Jeśli gaz rozpręża się to 1gtP

K

V

V 0ln gt

P

K

V

V i praca wykonywana

przez gaz jest dodatnia W przeciwnym przypadku kiedy VP gtVK praca jest ujemna

Przemiana adiabatyczna

Przemiana adiabatyczna charakteryzuje się brakiem wymiany ciepła z otoczeniem Roacutewnanie tej przemiany ma postać

const==κ

22

κ11 VpVp (928)

gdzie wspoacutełczynnik κ nazywany wykładnikiem adiabaty oznacza stosu-nek molowego ciepła właściwego przy stałym ciśnieniu do molowego

ciepła właściwego przy stałej objętości Cp do Cv (V

p

C

C=κ ) Roacutewna-

nie 928 można roacutewnież zapisać

const==1κ-

22

1κ-11 VT VT (929)

Wykres adiabaty w zmiennych p(V) jest bardziej stromy niż izotermy (rysunek 93)

Rysunek 93 Schematyczny wykres przebiegu przemian gazowych

Pracę wykonaną w przemianie można obliczyć podobnie jak to zrobiliśmy dla przemiany izotermicznej ze wzoru 910 wprowadzając pod całkę zależność ciśnienia od objętości zgodnie ze wzorem 928 Otrzymujemy

ROZDZIAŁ 9

Strona 134134134134

minus

minus=

minus1

2

111

V

V1

1

VPW

κ

κ (930)

95 Teoria kinetyczno - molekularna gazoacutew

W dotychczasowym opisie właściwości termodynamicznych ciał posłu-giwaliśmy się głoacutewnie wielkościami makroskopowymi Obecnie szerzej zajmiemy się właściwościami ciał w ujęciu mikroskopowym

Ciśnienie gazu

Zastanoacutewmy się w jaki sposoacuteb cząsteczki gazu wywierają ciśnienie na ścianki naczynia w ktoacuterym się znajdują

Każda z cząsteczek gazu przy prostopadłym odbiciu od ścianki zmienia

swoacutej pęd o vvv m)m(m∆p 2=minusminus= Jeśli wektor pędu cząsteczki

tworzy ze ścianką kąt α zmiana pędu wynosi αsin2 vm∆p = Siła jaką wywiera cząsteczka na ściankę sześciennego naczynia zależy od zmiany wartości składowej pędu prostopadłej do ściany i może być zapisana

∆t

∆pF x= (931)

Czas ∆t pomiędzy dwoma kolejnymi zderzeniami cząsteczki ze ścianka-mi zależy od jej prędkość oraz rozmiaru l naczynia ndash pomiędzy zderze-niami przebywa ona drogę 2l

x

∆tv

l2= (932)

Zatem siła wywierana przez cząsteczkę na ściankę wynosi

TERMODYNAMIKA

Strona 135135135135

l2

2 2

xmF

v= (933)

Całkowita siła wywierana na ściankę przez wszystkie N cząsteczki gazu znajdujące się w naczyniu wynosi

[ ]2

xN

2

2x

2

1xc m

F vvv +++=l

(934)

Ponieważ założyliśmy że liczba cząsteczek w naczyniu jest bardzo duża interesuje nas zależność ciśnienia od średniej prędkości (a ściślej ndash od średniej kwadratu prędkości) obliczonej dla wszystkich cząsteczek Średnią kwadratu prędkości w kierunku x dla N cząsteczek wyrażamy jako

N

N

1i

2

xi

x

sum==

v

v (935)

Cząsteczka gazu może posiadać roacutewnież składowe prędkości w kierun-kach y i z Kwadrat jej prędkości zapisujemy jako

2

z

2

y

2

x

2vvvv ++= (936)

Średnią kwadratu prędkości możemy wyrazić jako sumę średnich kwad-ratoacutew składowych prędkości w poszczegoacutelnych kierunkach Ponieważ ruch cząsteczek jest przypadkowy średnie prędkości dla kierunkoacutew x y i z są jednakowe

22222xzyx vvvvv 3=++= (937)

Stąd siłę wywieraną na ściankę naczynia możemy zapisać jako

l3

2vNm

F = (938)

Ponieważ ciśnienie definiuje się jako stosunek siły do powierzchni ścian-ki otrzymujemy

3

2

ll 32

vNmFp == (939)

ROZDZIAŁ 9

Strona 136136136136

Zastępując l3 objętością naczynia V otrzymujemy

22

vv

nmm

V

Np

3

1

23

2== (940)

gdzie NV=n oznacza koncentrację cząsteczek gazu Poroacutewnując otrzymaną postać roacutewnania z roacutewnaniem stanu gazu (93) możemy wyrazić temperaturę jako funkcję średniego kwadratu prędkości cząsteczek

k

2

E3

2N

2

m

3

2NTNpV =

==

vBk (941)

W powyższym wzorze kE oznacza średnią energię kinetyczną cząsteczek gazu

Zasada ekwipartycji energii

Przekształcając roacutewnanie 941 otrzymujemy związek pomiędzy średnią energią kinetyczną a temperaturą

T2

3E k Bk= (942)

Udowodniliśmy że temperatura jest wskaźnikiem wartości średniej ener-gii kinetycznej cząsteczek gazu

Z podstaw mechaniki wiemy jednak że ciało może posiadać energię kinetyczną nie tylko w postaci ruchu postępowego ale roacutewnież ruchu obrotowego lub drgającego Jeżeli każdy z rodzajoacutew ruchoacutew oraz każdy z kierunkoacutew w ktoacuterych cząsteczka gazu może się poruszać nazwiemy stopniem swobody f to można wykazać że średnia energia kinetyczna przypadająca na jeden stopień swobody jest taka sama dla wszystkich cząsteczek i wynosi

TE Bk2

1= (943)

Powyższą zasadę nazywamy zasadą ekwipartycji energii

TERMODYNAMIKA

Strona 137137137137

Cząsteczki jednoatomowe mogą poruszać się jedynie ruchem postępo-wym w trzech kierunkach wiec charakteryzować się będą trzema f = 3 stopniami swobody a średnia energia kinetyczna cząsteczek takiego gazu

będzie wynosiła TE Bk23=

Przykładem gazu jednoatomowego jest hel He

Energia związana z ruchem obrotowym nabiera znaczenia w przypadku gazoacutew dwuatomowych Prostym modelem cząsteczki takiego gazu mogą być hantle składające się z dwoacutech kul Hantle te mogą wirować w dwoacutech prostopadłych kierunkach wokoacuteł osi przechodzącej przez środek odcinka łączącego kule (w przypadku atomoacutew o roacuteżnych masach przechodzącej przez środek masy) Energia związana z takim obrotem może być prze-kazywana w wyniku zderzeń Nie ma natomiast możliwości przekazywa-nia energii związanej z obrotem hantli wokoacuteł osi roacutewnoległej do odcinka łączącego kule W efekcie dla gazoacutew dwuatomowych oproacutecz trzech stopni swobody związanych z ruchem postępowym mamy roacutewnież dwa dodatkowe stopnie swobody związane z ruchem obrotowym ndash f = 5 ndash a średnia energia kinetyczna cząsteczek takiego gazu będzie wynosiła

TE Bk25= Gazami dwuatomowymi są np tlen O2 czy azot N2

Gazy wieloatomowe tworzą większe cząsteczki ktoacutere oproacutecz ruchu postępowego mogą wykonywać ruch obrotowy względem trzech osi a więc ich całkowita liczba stopni swobody wynosi f = 6 Przykładem gazu wieloatomowego jest metan CH4

Ciepło molowe gazoacutew

Zdefiniowaliśmy wcześniej ciepło molowe jako wielkość charakteryzu-jącą substancję i określającą ilość ciepła jaką potrzeba dostarczyć żeby podnieść temperaturę jednego mola danej substancji o jeden stopień Po-kazaliśmy roacutewnież że średnia energia kinetyczna cząsteczek gazu zależy od ilości stopni swobody Wynika z tego że roacutewnież ciepło właściwe gazoacutew musi być zależne od liczby stopni swobody gdyż wraz ze wzros-tem tej liczby ta sama ilość energii dostarczana do gazu będzie się roz-kładać na większą ilość rodzajoacutew ruchu a więc wzrost temperatury jednego mola gazu będzie mniejszy Zatem najmniejsze ciepło właściwe mają gazy jednoatomowe a największe ndash wieloatomowe

ROZDZIAŁ 9

Strona 138138138138

Ciepło molowe przy stałej objętości

Jak wykazaliśmy w rozdziale 94 dla przemiany izochorycznej zmiana energii wewnętrznej roacutewna jest ciepłu dostarczonemu do układu

∆U∆TCnQ V == (944)

Przekształcając powyższą zależność i korzystając z zasady ekwipartycji energii ciepło właściwe przy stałej objętości CV możemy zapisać

Rf

∆Tn

∆UCV 2

== (945)

Dla gazu jednoatomowego ciepło właściwe przy stałej objętości wynosi CV = 32R dla gazu dwuatomowego CV = 52R a gazu wieloatomowego CV = 3R Należy jednak zauważyć że wartość ta może zależeć od tempe-ratury Pewne rodzaje ruchu wymagają dostatecznie wysokiej temperatu-ry żeby zostać bdquowzbudzonerdquo Z tego względu ciepło molowe gazoacutew dwuatomowych w temperaturze bliskiej temperatury skraplania może wynosić nie 52R a 32R

Ciepło molowe przy stałym ciśnieniu

Jeśli przemianę przeprowadzimy przy stałym ciśnieniu (przemiana izo-baryczna) to ciepło dostarczone do układu Q zamieniane jest zaroacutewno na przyrost energii wewnętrznej ∆U jak i na pracę W wykonaną przez gaz Molowe ciepło właściwe gazu przy stałym ciśnieniu Cp jest większe od molowego ciepła właściwego przy stałej objętości CV o wielkość stałej gazowej R

R+= Vp CC (946)

96 Roacutewnanie stanu gazu rzeczywistego

Właściwości gazoacutew rzeczywistych roacuteżnią się od właściwości gazu ideal-nego Rozpatrzmy prosty model mechaniczny składający się z cylindra z tłokiem wypełnionego gumowymi piłeczkami ktoacutery to model pozwoli nam lepiej zrozumieć roacuteżnice miedzy gazem doskonałym i rzeczywistym

TERMODYNAMIKA

Strona 139139139139

oraz zachowanie gazu rzeczywistego Jeśli piłeczek jest niewiele odle-głości między piłeczkami są duże i poruszają się one szybko możemy zastosować opis identyczny jak w przypadku gazu doskonałego Oddzia-ływania piłeczek możemy woacutewczas opisać z bardzo dobrym przybliżeniem jako zderzenia sprężyste W roacutewnaniach opisujących te zderzenia interesować nas będzie zachowanie środka masy piłeczek a ich rozmiar będzie miał drugorzędne znaczenie Jeśli odległości między piłeczkami są małe objętości piłeczek oraz ich deformacje zaczynają istotnie wpływać na zachowanie całego układu

Roacutewnaniem pozwalającym w przybliżony sposoacuteb modelować zachowa-nie gazoacutew rzeczywistych jest model van der Waalsa Roacutewnanie stanu gazu w tym modelu ma postać

( ) TnbVV

ap

2R=minus

+ (947)

W poroacutewnaniu z roacutewnaniem stanu gazu doskonałego w roacutewnaniu gazu rzeczywistego ciśnienie p powiększone jest o człon odwrotnie proporcjo-nalny do kwadratu objętości zajętej przez gaz Człon ten uwzględnia siły przyciągania między molekułami i określany jest jako tzw ciśnienie wewnętrzne gazu Objętość V zbiornika w ktoacuterym zajmuje gaz rzeczy-wisty została natomiast pomniejszona o tzw objętość wewnętrzną ktoacutera jest proporcjonalna do objętości cząsteczek gazu Wielkości a i b z roacutewnania van der Waalsa przyjmują roacuteżne wartości dla roacuteżnych gazoacutew i wpływają na kształt izoterm p(V) W wysokich temperaturach gdy prędkości cząsteczek gazu są znaczne kształt tych izoterm oraz właści-wości gazu rzeczywistego są zbliżone do gazu doskonałego

97 Cykle gazowe

Cyklem będziemy nazywać proces lub szereg procesoacutew ktoacutere doprowa-dzają układ termodynamiczny z powrotem do warunkoacutew początkowych Z cyklami gazowymi mamy do czynienia min w silnikach spalinowych

ROZDZIAŁ 9

Strona 140140140140

Cykl Carnota

Pierwszym cyklem jaki omoacutewimy będzie cykl Carnota Wyobraźmy sobie cylinder z gazem doskonałym ktoacuterego ścianki stanowią idealną izolację termiczną Pierwszym etapem cyklu (rysunek 94 a) będzie rozprężanie izotermiczne ndash do układu dostarczane jest ciepło ktoacutere w całości zamieniane jest na pracę rozprężenia gazu i podniesienia tłoka Zgodnie z roacutewnaniem stanu gazu doskonałego dla przemiany izotermicz-nej (roacutewnanie 928) skoro objętość gazu wzrasta to ciśnienie proporcjo-nalnie maleje Drugi etap cyklu Carnota to rozprężanie adiabatyczne Do układu nie jest już dostarczane ciepło i zakładamy że dno cylindra staje się roacutewnież idealnie izolujące (może się to odbywać za pomocą specjal-nej ruchomej przegrody) tak że cały układ jest całkowicie izolowany od otoczenia Podczas przemiany adiabatycznej zgodnie z roacutewnaniem adia-baty (roacutewnanie 931) ciśnienie gazu nadal spada a objętość rośnie Wy-konywana jest woacutewczas praca mechaniczna kosztem energii wewnę-trznej gazu i w efekcie temperatura gazu obniża się do T2 W tej części cyklu gaz roacutewnież wykonuje pracę rozprężając się i przesuwając tłok W trzecim etapie cyklu ponownie mamy do czynienia z przemianą izo-termiczną Otwieramy przegrodę cieplną umożliwiając odpływ ciepła do chłodnicy ale ponieważ roacutewnocześnie wykonujemy nad gazem pracę sprężania gazu energia wewnętrzna gazu nie zmienia się i jego tempera-tura jest stała W czwartym etapie ponownie zamykamy przegrodę ter-miczną (układ jest izolowany od otoczenia) wciąż wykonując pracę sprężania gazu Przy braku wymiany ciepła z otoczeniem zgodnie z roacutewnaniem adiabaty sprężaniu towarzyszyć będzie wzrost ciśnienia gazu i temperatury do T1 W ten sposoacuteb wracamy do punktu początkowego

Sprawność silnika termodynamicznego

Cykl Carnota pełni w termodynamice szczegoacutelnie ważną rolę gdyż dla tego cyklu otrzymujemy maksymalną możliwą sprawność zamiany cie-pła na pracę

Sprawność cyklu η definiujemy jako stosunek pracy użytecznej W wykonanej przez gaz do ciepła QG dostarczonego do gazu w danym cyklu

G

ZG

G Q

QQ

Q

W minus==η (948)

TERMODYNAMIKA

Strona 141141141141

W trakcie cyklu gaz pobiera ciepło QG ze zbiornika gorącego część tego ciepła zużywając na wykonanie pracy W a resztę oddając do chłodnicy (QZ) Zatem praca jaką wykonuje gaz jest roacutewna roacuteżnicy ciepła dostar-czonego ze zbiornika gorącego i oddanego do chłodnicy

ZG QQW minus= (949)

Tak zdefiniowana sprawność jest zawsze mniejsza od jedności gdyż układ nie może wykonać pracy roacutewnej lub większej niż ilość ciepła pobrana ze źroacutedła o temperaturze wyższej Część ciepła jest zawsze od-dawana do chłodnicy i nie jest możliwa całkowita zamiana ciepła na pracę

W przypadku cyklu Carnota ciepło jest dostarczane i oddawane z układu jedynie podczas izotermicznego sprężania i rozprężania odpowiednio Ciepło dostarczone możemy więc zastąpić ciepłem pobranym ze zbiorni-ka gorącego QG zaś ciepło oddane ciepłem oddanym zimnemu zbiorni-kowi QZ Można wykazać że dla cyklu Carnota prawdziwa jest relacja

Z

Z

G

G

T

Q

T

Q= (950)

gdzie TG i TZ są temperaturami gorącego i zimnego zbiornika odpowied-nio Woacutewczas sprawność cyklu Carnota można zapisać

G

ZG

T

TT minus=η (951)

Z powyższego wzoru na sprawność cyklu Carnota maksymalną możliwą do osiągnięcia sprawność wynika że im większa jest roacuteżnica temperatur tym wyższa jest sprawność całego cyklu Widzimy roacutewnież że do uzyskania wysokiej sprawności potrzebne jest źroacutedło ciepła ale roacutewnież odpowiednio efektywny system chłodzenia

Sprawność maszyny chłodniczej

Wyobraźmy sobie że przeprowadzimy cykl Carnota w odwrotnym kierunku tzn będziemy wykonywali pracę nad układem tak żeby układ pobierał ciepło ze zbiornika chłodniejszego i oddawał je do zbiornika cieplejszego W takim przypadku interesuje nas sprawność chłodnicza czyli stosunek ciepła odebranego ze zbiornika zimnego QZ do wykonanej pracy W

ROZDZIAŁ 9

Strona 142142142142

ZG

Z

ZG

Z

TT

T

QQ

Q

minus=

minus=η (952)

Praca W roacutewna jest roacuteżnicy ciepła QG oddanego do gorącego zbiornika i ciepła QZ pobranego z zimnego zbiornika a oba te ciepła podobnie jak w cyklu Carnota można powiązać z temperaturami zbiornika zimnego TZ i gorącego TG Sprawność chłodnicza jest zawsze większa od jedności i jest tym większa im mniejsza jest roacuteżnica temperatur między zbiornika-mi gorącym i zimnym

Przykładem zastosowania odwroacuteconego cyklu termodynamicznego może być klimatyzacja z tzw pompą ciepła Klimatyzacja taka może działać w obie strony ndash latem pobiera ciepło z wewnątrz budynku i oddaje je na zewnątrz a zimą pobiera ciepło z zewnątrz i oddaje je do wnętrza Aby klimatyzacja działała niezbędne jest wykonanie pracy Warto zauważyć że w poroacutewnaniu z tradycyjnymi metodami ogrzewania budynku układ z pompą ciepła jest wydajniejszy ndash jeśli zużyjemy tę samą ilość prądu na zasilanie grzejnika elektrycznego i zasilanie pompy ciepła ciepło dostar-czone do budynku będzie zawsze większe w przypadku pompy ciepła Wadami pomp ciepła są skomplikowana konstrukcja wpływająca na zwiększoną awaryjność oraz duży koszt całego układu Pompy ciepła wymagają ponadto z reguły dużego wymiennika ciepła

Chłodziarki i zamrażarki roacutewnież odbierają ciepło z komory chłodniczej W tym przypadku obok cyklu gazowego wykorzystujemy roacutewnież cie-pło przemian fazowych Sprężony przez kompresor gaz ulega skropleniu w systemie rurek wymiennika ciepła (znajdującego się z reguły w tylnej części chłodziarki) W obiegu wewnątrz komory chłodziarki ciśnienie spada i ciecz ulega przemianie w gaz pobierając przy tym ciepło z ko-mory Następnie gaz jest sprężany przez kompresor i cykl przemian może ulec powtoacuterzeniu

Cykl Otta

Cykl Otta stanowi dobre przybliżenie cyklu realizowanego w typowym silniku benzynowym W częściej spotykanym silniku czterosuwowym cykl pracy silnika zaczyna się od zassania do wnętrza cylindra mieszanki paliwowej ndash tłok cofa się przy otwartym zaworze (przy stałym ciśnieniu zwiększa się objętość gazu) Następnie zawoacuter zamyka się a tłok spręża mieszankę Sprężanie odbywa się na tyle szybko że może być uznane za proces adiabatyczny ndash nie ma wymiany ciepła z blokiem silnika Sprężo-na mieszanka ulega następnie zapłonowi co jest tak szybkim procesem

TERMODYNAMIKA

Strona 143143143143

że z powodzeniem można przyjąć że jest to przemiana izochoryczna ndash tłok nie zdążył się jeszcze ruszyć a jedynie wzrosło ciśnienie i tempera-tura gazu W kolejnej fazie cyklu gorący gaz rozpręża się adiabatycznie wypychając tłok a więc wykonując pracę nad tłokiem Po jego zakoń-czeniu kiedy tłok osiągnie maksymalne wychylenie otwiera się zawoacuter wydechu Powoduje to spadek ciśnienia gazu przy stałej jego objętości W kolejnym etapie cyklu zawoacuter wydechu jest wciąż otwarty a tłok wy-pycha spaliny z cylindra przy stałym ciśnieniu wracając do położenia początkowego Zależność ciśnienia od objętości dla cyklu Otta pokazana jest na rysunku 94 b)

Sprawność cyklu Otta wynosi

VC

R

2

1

V

V1η

minus= (953)

gdzie V1 i V2 oznaczają odpowiednio minimalną i maksymalną objętość cylindra

Cykl Diesla

Cykl Diesla zaczyna się podobnie jak cykl Otta ndash tłok cofa się zasysając powietrze do wnętrza cylindra Następnie zachodzi adiabatyczne spręża-nie powietrza zawartego w cylindrze W silniku Diesla proces spalania paliwa ma inny charakter niż w cyklu Otta ndash zamiast iskry wywołującej zapłon stosujemy w nim świecę żarową ktoacuterej głoacutewnym zadaniem jest wspomaganie rozruchu silnika Pary oleju sprężone do odpowiedniego ciśnienia ulegają bowiem samozapłonowi Etap spalania paliwa dostarczający ciepło niezbędne do działania silnika nie jest modelowany przez przemianę izochoryczną ale przez proces izobaryczny (rysu-nek 94 c) Następnie podobnie jak w cyklu Otta następuje rozprężanie adiabatyczne w trakcie ktoacuterego silnik wykonuje pracę Kiedy tłok znajdzie się w najdalszym położeniu (objętość gazu jest największa) otwiera się zawoacuter wydechu i ciśnienie gazu spada Podobnie jak w przy-padku silnika benzynowego cykl kończy wypchnięcie spalin z wnętrza cylindra poprzez ruch tłoka

Sprawność silnika Diesla można wyrazić wzorem

ROZDZIAŁ 9

Strona 144144144144

( )

21

κ21

κ

3

2

VV1

VV1

V

V

κ

11η

minus

minus

minus= (954)

Silniki Diesla ze względu na wyższy stopień sprężania są postrzegane jako oszczędniejsze mimo że wyliczona z powyższego wzoru sprawność silnika Diesla w poroacutewnaniu z cyklem Otta jest nieco mniejsza Silniki Diesla dobrze pracują przy niskich obrotach wytwarzając duży moment obrotowy i są mało wrażliwe na uszkodzenia instalacji elektrycznej ktoacutera jest potrzebna jedynie do rozruchu silnika Ich wadą jest trudny rozruch zimnego silnika

Cykl Stirlinga

W przeciwieństwie do poprzednio omawianych silnikoacutew w silniku Stirlinga gaz znajdujący się w cylindrze nie ulega wymianie w trakcie cyklu Silnik tego typu wymaga do działania jedynie źroacutedła ciepła oraz odpowiednio wydajnego chłodzenia Ciepło jest dostarczane i odbierane w sposoacuteb ciągły Cykl Stirlinga składa się z dwoacutech przemian izotermicz-nych na przemian z przemianami izochorycznymi (rysunek 94d) Istnie-je kilka rozwiązań samego silnika realizującego taki cykl W jednym z nich silnik składa się z dwoacutech cylindroacutew jednego połączonego ze źroacutedłem ciepła a drugiego z chłodnicą Cylindry te są połączone ze sobą kanałem umożliwiającym przepływ gazu Początkowo cały gaz znajduje się w cylindrze gorącym ndash w cylindrze chłodzonym tłok znajduje się w położeniu odpowiadającym minimum objętości W wyni-ku podgrzewania następuje rozprężanie (izotermiczne) gazu w cylindrze gorącym i silnik wykonuje pracę Po osiągnięciu pełnego wychylenia przez tłok w cylindrze gorącym zaczyna on opadać wypychając gaz do cylindra chłodnego w ktoacuterym tłok unosi się zasysając gaz W ten sposoacuteb dochodzi do wymiany gazu między cylindrami Po przepompo-waniu do cylindra chłodnego ciśnienie gazu spada W cylindrze chłodzo-nym gaz jest poddawany izotermicznemu sprężaniu a następnie jest wypychany do cylindra gorącego Tam jego ciśnienie wzrasta i cykl do-chodzi do warunkoacutew początkowych

Cykl Stirlinga charakteryzuje wysoka sprawność ktoacutera może osiągać wartości zbliżone do sprawności silnika Carnota

TERMODYNAMIKA

Strona 145145145145

( ) C12

V

C

ηVVn

c1

ηη

ln R+

= (955)

gdzie ηC oznacza sprawność silnika Carnota Silnik Stirlinga działa na-wet przy niewielkiej roacuteżnicy temperatur i dlatego stosowany jest do przetwarzania energii cieplnej uzyskanej ze źroacutedeł geotermalnych lub z procesoacutew fermentacji Jego wadą są stosunkowo duże rozmiary i kosz-ty wykonania urządzeń tego typu Silniki tego typu są mało awaryjne i z tego względu istnieją plany stosowania ich np w sondach kosmicz-nych wyposażonych w promieniotwoacutercze źroacutedło ciepła Są roacutewnież ci-che co czyni je przydatnymi do stosowania w łodziach podwodnych z napędem jądrowym W tym przypadku wydajne chłodzenie silnika zapewnia woda morska

Rysunek 94 Wybrane cykle termodynamiczne a) Carnota b) Otta

c) Diesla d) Stirlinga

Druga zasada termodynamiki

Wspominaliśmy już że w cyklu silnika jedynie część energii pobieranej ze źroacutedła gorącego jest zamieniana na pracę a część jest oddawana do chłodnicy Na przykładzie cyklu chłodniczego przekonaliśmy się że aby

ROZDZIAŁ 9

Strona 146146146146

przekazać ciepło z ciała zimnego do ciała gorącego niezbędne jest wyko-nanie pracy Oba te spostrzeżenia mogą być podstawą do sformułowa-nia drugiej zasady termodynamiki

Niemożliwe jest przekazywanie ciepła przez ciało o niższej temperaturze ciału o wyższej temperaturze bez wprowadzenia innych zmian w obu ciałach i ich otoczeniu

lub w innym sformułowaniu

Niemożliwe jest pobieranie ciepła z jednego źroacutedła i zamiana go na pracę bez wprowadzenia innych zmian w układzie i jego otoczeniu

Druga zasada termodynamiki zaprzecza istnieniu tzw perpetuum mobile drugiego rodzaju czyli całkowitej zamiany ciepła w pracę Druga zasada termodynamiki nakłada ograniczenia na wartość sprawności silnika ndash nie jest możliwe zbudowanie silnika o sprawności większej niż sprawność silnika Carnota

98 Entropia

Swobodny przepływ ciepła następuje tylko w kierunku od ciała gorącego do ciała zimnego Zgodnie z drugą zasadą termodynamiki przepływ w odwrotną stronę nie może odbywać się samoistnie i wymaga wykona-nia pracy nad układem Szczegoacutełowa analiza tego problemu pokazuje że kierunek zachodzenia procesoacutew fizycznych w przyrodzie jest wyznaczo-ny przez zmiany wartości pewnej funkcji stanu układu zwanej entropią

Entropia jest funkcją stanu a więc jej zmiana zależy jedynie od począt-kowego i końcowego stanu układu a nie zależy od sposobu przejścia między tymi stanami Dla przemiany izotermicznej zmianę entropii mo-żemy zdefiniować jako stosunek ilości ciepła ∆Q otrzymanego przez układ do temperatury w ktoacuterej układ otrzymał to ciepło Jest to tzw cie-pło zredukowane

T

∆Q∆S = (956)

W ogoacutelnym przypadku należy zastosować definicję roacuteżniczkową zmiany entropii

TERMODYNAMIKA

Strona 147147147147

T

QS

dd = (957)

Jeżeli szukamy zmiany entropii ∆S podczas jakiegoś procesu termodyna-micznego musimy dodać (scałkować) wszystkie składowe infinitezymal-ne zmiany entropii dS

Korzystając z pierwszej zasady termodynamiki oraz ciepło δQ można wyrazić za pomocą pracy δW oraz zmiany energii wewnętrznej dU a w konsekwencji za pomocą zmiany objętości dV oraz zmiany tempera-tury dT W efekcie po scałkowaniu otrzymujemy wzoacuter na zmianę entropii dla dowolnej przemiany gazowej gazu doskonałego

P

K

V

P

K

T

TCn

V

Vn∆S ln ln R += (958)

Entropię można roacutewnież definiować jako miarę tej części energii wew-nętrznej układu ktoacutera nie może być użyta do wykonania pracy mecha-nicznej co możemy zapisać w następujący sposoacuteb

VpSTU ddd minus= (959)

Entropia pokazuje w ktoacuterym kierunku procesy fizyczne mogą biec sa-morzutnie Jeżeli zmiana entropii układu w pewnym procesie wynosi zero to proces taki jest odwracalny czyli może zachodzić w obu kierun-kach Zmiana entropii dla cyklu Carnota podobnie jak dla każdego procesu cyklicznego roacutewnież wynosi zero gdy jest on odwracalny

Przemiany nieodwracalne przebiegają samorzutnie tylko w określonym

kierunku W przypadku tych przemian entropia wzrasta 0gt∆S Przy-kładem może być połączenie dwoacutech zbiornikoacutew zawierających odpo-wiednio gorący i zimny gaz Po usunięciu przegrody dzielącej zbiorniki dojdzie do wymiany energii kinetycznej pomiędzy cząsteczkami gazu a więc w konsekwencji do samorzutnego wyroacutewnania temperatur obu porcji gazu W przyrodzie proces ten nie zachodzi w odwrotnym kierun-ku ndash nie obserwujemy spontanicznego samorzutnego podgrzewania jednej porcji a oziębiania drugiej porcji gazu Możemy jednak osiągnąć taki efekt dostarczając do układu ciepło lub wykonując nad nim pracę Wtedy układ ten nie będzie jednak układem zamkniętym

ROZDZIAŁ 9

Strona 148148148148

Definicja statystyczna entropii

Entropia ma roacutewnież swoją definicję statystyczną Rozpatrzmy najpierw przykład nieodwracalnej przemiany rozprężania gazu do zbiornika z proacuteżnią W przyrodzie nie obserwujemy zachodzenia tego procesu w odwrotnym kierunku tzn nie jest możliwe aby wszystkie cząsteczki gazu z jednego zbiornika same spontanicznie go opuściły wytwarzając tam proacuteżnię Aby osiągnąć taki stan czyli aby wypompować gaz z jed-nego zbiornika i uzyskać proacuteżnię musimy użyć odpowiedniej pompy a więc wykonać pracę Możemy powiedzieć że najbardziej prawdopo-dobna będzie konfiguracja gdzie w obu zbiornikach będziemy mieli tyle samo cząsteczek Dla uproszczenia rozpatrzmy układ dwoacutech zbiornikoacutew w ktoacuterych znajdują się ponumerowane cztery cząsteczki Najbardziej prawdopodobny będzie taki stan (nazywany makrostanem) w ktoacuterym w obu zbiornikach będą dwie cząsteczki Ale taki makrostan może być zrealizowany na wiele sposoboacutew (poprzez wiele mikrostanoacutew) tzn w zbiorniku mogą być następujące konfiguracje cząsteczek (12) (13) (14) (23) (24) (34) Makrostan z jedną cząsteczką w prawym zbiorniku może być zrealizowany przez 4 mikrostany tzn w zbiorniku tym mogą być cząsteczki (1) lub (2) lub (3) lub (4) Liczba mikrostanoacutew realizujących dany mikrostan oznaczana jest symbolem w i definiuje entropię układu (wzoacuter Boltzmanna-Plancka)

( )wS ln k B= (960)

W celu wyznaczenia zmiany entropii układu należy obliczyć roacuteżnicę entropii końcowej i początkowej

P

K

BPKw

wkSS∆S ln=minus= (961)

Wyznaczmy teraz prawdopodobieństwa roacuteżnych konfiguracji dla wyniku rzutu dwiema kostkami do gry Wyniki bdquo2rdquo oraz bdquo12rdquo można uzyskać tylko w jeden sposoacuteb ndash rzucając dwie bdquojedynkirdquo lub dwie bdquoszoacutestkirdquo Prawdopodobieństwo uzyskania takiego wyniku jest zatem dość niskie ndash wynosi 1616=0028 Wynik bdquo3rdquo można uzyskać na dwa sposoby ndash wyrzucając bdquo1rdquo i bdquo2rdquo lub bdquo2rdquo i bdquo1rdquo Wynik ten ma zatem wyższą wielokrotność konfiguracji Prawdopodobieństwo uzyskania takiego wyniku jest roacutewnież dwa razy wyższe ndash wynosi 0056 W rzucie dwiema kostkami najbardziej prawdopodobny jest wynik bdquo7rdquo ndash można go uzys-kać na 6 sposoboacutew Wynik ten reprezentuje zatem roacutewnież największą entropię

TERMODYNAMIKA

Strona 149149149149

Zwiększanie się entropii w wyniku przemian termodynamicznych ozna-cza dążenie do stanoacutew najbardziej prawdopodobnych czyli do stanoacutew roacutewnowagowych Łatwo zauważyć że układy te reprezentują roacutewnież największy nieporządek Wroacutećmy do przykładu z rozprężeniem gazu do proacuteżnego zbiornika ndash stan w ktoacuterym jeden zbiornik jest proacuteżny a sąsied-ni zbiornik jest wypełniony gazem reprezentuje bardzo niską entropię Wyroacutewnanie się ciśnień w obu zbiornikach powoduje przejście do stanu o najwyższej entropii Widzimy zatem że w układzie zamkniętym bę-dzie pojawiał się nieporządek

Jeśli zbudujemy wieżę z kamieni wykonujemy pracę by wytworzyć stan o wysokim porządku ndash zatem o niskiej entropii W przypadku wieży stanem o najwyższej entropii jest losowe rozrzucenie kamieni Jeśli nie będziemy wykonywać nad tym układem żadnej pracy pod wpływem czynnikoacutew zewnętrznych stopniowo będzie dążył do stanu o wyższej entropii ndash wieża będzie się rozpadać aż do zamiany w stertę rozrzuco-nych kamieni W przyrodzie struktury uporządkowane takie jak żywe organizmy istnieją dzięki źroacutedłu energii jakim jest Słońce Energia czer-pana ze Słońca (w przypadku niektoacuterych bakterii energia może być po-zyskiwana z innych źroacutedeł) jest wykorzystywana na wykonywanie pracy i budowę struktur o wysokim uporządkowaniu Bez źroacutedła energii orga-niżmy żywe umierają ndash przechodzą w stan o wyższej entropii Warto zwroacutecić uwagę że procesy śmierci i rozkładu można interpretować w ra-mach przemian termodynamicznych Ciepło wytwarzane w procesie fer-mentacji szczątkoacutew organicznych może być odzyskiwane i wykorzysty-wane jako alternatywne źroacutedło energii

99 Właściwości termiczne materii

Mechanizmy przekazywania ciepła

Procesy transportu energii zmierzają do wyroacutewnywania energii w całym układzie prowadząc układ do stanu roacutewnowagi W przyrodzie istnieją trzy podstawowe mechanizmy przekazywania ciepła

bull przewodnictwo cieplne

bull konwekcja (unoszenie)

ROZDZIAŁ 9

Strona 150150150150

bull promieniowanie

Przewodnictwo cieplne

Przewodnictwo cieplne jest związane z przekazywaniem energii przez cząstki o wyższej energii cząstkom o niższej energii Jeśli w jednym miejscu ciała dostarczane jest ciepło cząstki z ktoacuterych zbudowane jest ciało uzyskują wyższą energię W przypadku gazu będzie to większa energia kinetyczna cząsteczek gazu w przypadku ciała stałego będziemy mieli do czynienia z większą energią drgań atomoacutew wokoacuteł ich położeń roacutewnowagi Energia ta jest przekazywana sąsiednim atomom tak żeby minimalizować roacuteżnicę temperatur pomiędzy ciepłym a chłodnym koń-cem W przypadku gazu przekazywanie energii kinetycznej odbywa się poprzez zderzenia zaś w ciele stałym w wyniku oddziaływań między atomami

Z codziennego doświadczenia wiemy że roacuteżne materiały mają roacuteżną przewodność cieplną Wysoką przewodność cieplną mają na przykład metale Związane jest to z przewodzeniem ciepła nie tylko na skutek drgań jąder atomowych ale roacutewnież zderzeń swobodnych elektronoacutew obecnych w metalach Tworzywa sztuczne takie jak guma czy polietylen są z reguły izolatorami elektrycznymi i wykazują roacutewnież niewielką przewodność cieplną

Strumień ciepła JQ czyli ciepło dQ przepływające w czasie dt przez po-wierzchnię dS jest proporcjonalny do gradientu temperatury wywołują-cego przepływ ciepła Wspoacutełczynnik proporcjonalności λ nazywa się wspoacutełczynnikiem przewodności cieplnej jest cechą charakterystyczną danego materiału i wyraża się w Wm

-1K

-1

W jednowymiarowym przypadku gradient temperatury jest roacutewny po-chodnej temperatury po wspoacutełrzędnej x i woacutewczas przepływ ciepła może być opisany następującą zależnością (prawo Fouriera przewodnictwa cieplnego)

x

T

St

QJ Q d

d

d d

dλminus== (962)

Dla cienkich warstw przybliżeniem gradientu temperatury jest iloraz roacuteżnicy temperatur przez grubość przegrody Rozpatrzmy cienką prze-grodę o grubości L i powierzchni S wykonaną z materiału o wspoacutełczyn-niku przewodności cieplnej λ ktoacutera oddziela zbiornik gorący o tempera-turze TG od zimnego o temperaturze TZ W takim przypadku ilość ciepła

TERMODYNAMIKA

Strona 151151151151

Q przepływająca przez przegrodę w czasie t (moc P) wyraża się wzorem (za bdquoPodstawy Fizykirdquo Halliday Resnick Walker PWN 2003)

L

TTSk

t

QP ZG minus

== (963)

Dla takiej przegrody można roacutewnież wyznaczyć wartość oporu cieplnego R będącego wspoacutełczynnikiem proporcjonalności między mocą przepły-wającego ciepła a roacuteżnicą temperatur

Sk

LR = (964)

Należy pamiętać że tak zdefiniowana wielkość charakteryzuje dane cia-ło a nie materiał z ktoacuterego jest wykonane

W układzie składającym się z wielu warstw przy stacjonarnym przepły-wie ciepła (temperatury i wartość strumienia ciepła nie zmieniają się w czasie) ciepło przepływające przez każdą z warstw jest jednostce czasu jest taki samo Rozpatrując przykład dwoacutech warstw wykonanych z roacuteżnych materiałoacutew roacutewnania Fouriera możemy zapisać w postaci

( ) ( )

2

Z122

1

12G1

L

TTSk

L

TTSkP

minus=

minus= (965)

gdzie T12 oznacza temperaturę na granicy dwoacutech warstw Wyznaczając z powyższego roacutewnania temperaturę T12 możemy wyznaczyć całkowitą moc traconą przez taką podwoacutejną przegrodę

( )

2

2

1

1

ZG

k

L

k

L

TTSP

+

minus=

(966)

W ogoacutelnym przypadku moc ciepła przepływającego przez przegrodę składającą się z kilku warstw o roacuteżnych grubościach Li oraz wspoacutełczyn-nikach przewodności cieplnej ki możemy zapisać

( )

sum

minus=

i i

i

ZG

k

L

TTSP

(967)

ROZDZIAŁ 9

Strona 152152152152

Konwekcja

Konwekcja jest mechanizmem przekazywania ciepła charakterystycz-nym dla płynoacutew (gazoacutew i cieczy) i nazywana bywa roacutewnież przepływem masowym Zwiększenie temperatury płynoacutew powoduje zmniejszenie ich gęstości a w konsekwencji pojawienie się siły wyporu skierowanej pionowo do goacutery Charakterystyczne przy tym jest że ruch taki może dotyczyć nie tylko pojedynczych cząsteczek ale roacutewnież znacznych objętości płynu

Prostym przykładem konwekcji jest ruch wody podgrzewanej w garnku Woda ogrzana przy dnie za sprawą siły wyporu unosi się ku powierz-chni gdzie ulega wychłodzeniu i opada ponownie na dno gdzie ponow-nie się ogrzewa wywołując cyrkulację w całym naczyniu Podobne zja-wisko w znacznie większej skali obserwujemy w roztopionych skałach pod powierzchnią Ziemi - gdzie gorąca magma wypływa ku powierz-chni gdzie stygnie i opada Ruchy konwekcyjne roztopionych skał kształtują powierzchnię Ziemi i mają decydujący wpływ na dryf płyt kontynentalnych unoszących się na powierzchni magmy Opis ruchoacutew konwekcyjnych mas powietrza jest jednym z podstawowych zagadnień meteorologii Ruchy te powodują powstawanie wiatroacutew i chmur a także powstawanie i przemieszczanie się frontoacutew atmosferycznych

Przepływ konwekcyjny jest podstawą działania instalacji centralnego ogrzewania Ciepła woda ogrzana w piecu lub kotle unosi się do goacutery wymuszając jednocześnie napływ zimniejszej wody do wymiennika cie-pła W grzejnikach woda (napływająca goacuternym wlotem) ochładza się i opada w kierunku pieca W samych grzejnikach powietrze jest zasysane znad podłogi ogrzewa się pomiędzy żebrami i unosi do goacutery Na podob-nej zasadzie działa wentylacja grawitacyjna W przypadku kiedy proces wymiany ciepła w urządzeniu jest w danym zastosowaniu zbyt powolny można wymusić konwekcję Prostym przykładem wymuszonej konwek-cji jest chłodnica samochodowa Wiatrak chłodnicy wymusza przepływ powietrza między żebrami wymiennika ciepła Identyczną funkcję pełni wiatrak na radiatorze procesora komputerowego W przypadku cieczy chłodzących o znacznej gęstości przepływ może być wymuszany za pomocą pomp Pompy wspomagające obieg wody i powietrza w piecu mogą być stosowane w domowych instalacjach grzewczych

Promieniowanie cieplne

Kolejnym mechanizmem wymiany ciepła jest promieniowanie cieplne Podstawy fizyczne tego zjawiska omoacutewimy w dalszej części wykładu

TERMODYNAMIKA

Strona 153153153153

Teraz podamy jedynie wzoacuter określający ilość energii wypromieniowa-nej lub pochłoniętej przez ciało przez jednostkę powierzchni

4TσE = (968)

Jest to tzw wzoacuter Stefana-Boltzmanna opisujący całkowitą (integralną) zdolność emisyjną ciała czyli energię wypromieniowaną w całym widmie częstotliwości Promieniowanie cieplne zależy od temperatury w potędze czwartej ale roacutewnież od rodzaju powierzchni ciała Powierz-chnie ciemne dobrze pochłaniają ale i dobrze wypromieniowują ciepło Pomalowany czarnym lakierem pojazd szybko nagrzewa się ale roacutewnie szybko stygnie Samochoacuted z jasnym nadwoziem pochłania niewiele cie-pła ale i niewiele oddaje Odbijanie ciepła jest podstawą działania tzw folii ratunkowej znajdującej się w apteczce samochodowej Ułożona srebrną stroną do ciała folia zabezpiecza przed wychłodzeniem odbijając promieniowanie cieplne do środka Ułożenie stroną złotą do ciała i srebrną na zewnątrz zmniejsza promieniowanie zewnętrzne i chro-ni przed przegrzaniem

Izolacja termiczna

Policzmy moc jaka jest tracona przez okno o powierzchni S=1m2 wykonane z pojedynczej szyby o grubości d=4mm i wspoacutełczynniku przewodności cieplnej k=1 zakładając temperaturę na zewnątrz TZ = -20oC=253K oraz wewnątrz pomieszczenia TW=20oC=293K

Zaniedbamy efekty związane z promieniowaniem cieplnym i konwekcją analizując jedynie przewodnictwo cieplne Korzystając ze wzoru 914 otrzymujemy znaczną stratę ciepła o mocy 10kW

( 100000040

25329311 =

minussdot=

P )

Rozważmy teraz drugi przypadek w ktoacuterym zastosowano podwoacutejną szybę Przy czym odległość między szybami wynosi z=1cm a przestrzeń jest wypełniona powietrzem o wspoacutełczynniku przewodności k=0025 Założymy że w tej warstwie powietrza konwekcja nie występuje Po podstawieniu do wzoru 918 opisującego wielowarstwową przegrodę otrzymujemy P=98W Widzimy że w przypadku zastosowania dwoacutech szyb przedzielonych warstwą powietrza strumień ciepła przepływający przez okno jest ponad 1000 razy mniejszy W krajach skandynawskich stosuje się nierzadko okna z trzema szybami ktoacutere gwarantują jeszcze niższe straty ciepła Podobny efekt wykorzystujemy w przypadku cegieł ceramicznych z kanałami powietrznymi czy popularnych wykończeń ścian typu bdquosidingrdquo W przypadku takich przegroacuted powietrznych najważ-

ROZDZIAŁ 9

Strona 154154154154

niejszym zagadnieniem jest uniknięcie lub zminimalizowanie konwek-cyjnego transportu ciepła Można to osiągnąć zamykając powietrze wew-nątrz małych poroacutew materiału Efekt taki jest wykorzystywany min w płytach styropianowych i piankach poliuretanowych Materiały te są bardzo lekkie ponieważ puste przestrzenie pomiędzy bdquowięźbąrdquo polime-rową wypełnia powietrze Materiałem o najlepszych własnościach izolacyjnych jest aerożel oparty na spienionych związkach krzemu

Konwekcja i przewodzenie cieplne nie występują roacutewnież w proacuteżni po-nieważ nie ma tam cząsteczek gazu ktoacutere mogłyby uczestniczyć w trans-porcie ciepła Na tym efekcie opiera się działanie tzw naczynia Dewara Spomiędzy podwoacutejnych ścianek tego naczynia wypompowuje się powie-trze Kontakt termiczny pomiędzy wewnętrznymi a zewnętrznymi ścian-kami istnieje jedynie przy wlocie naczynia ktoacutery ma jednak niewielki przekroacutej poprzeczny i powierzchnię Prostym przykładem naczynia Dewara jest termos Termosy szklane długo zachowują proacuteżnię są nato-miast podatne na uszkodzenia mechaniczne Termosy metalowe są wy-trzymałe mechanicznie ale ciśnienie wewnątrz stopniowo wzrasta i po pewnym czasie tracą one właściwości izolujące

Ciepło właściwe ciał stałych

Pojemność cieplną ciał stałych opisuje tzw model Debyersquoa Zakłada on że transport ciepła w ciałach stałych zachodzi w postaci rozchodzenia się drgań Im wyższa temperatura tym liczba wzbudzanych rodzajoacutew drgań rośnie ndash wzrasta roacutewnież ciepło właściwe W zakresie temperatur poniżej tzw temperatury Debyersquoa θ wzrost ten odbywa się proporcjonalnie do trzeciej potęgi temperatury Powyżej temperatury Debyersquoa wzrost war-tości ciepła właściwego jest znacznie mniej dynamiczny Wartością gra-niczną dla tzw ciał prostych ndash np kryształoacutew zbudowanych z jednego pierwiastka ndash jest wartość trzykrotnej stałej gazowej 3R Zależność tą określa się prawem Dulonga-Petita

Ciepło właściwe materii związane jest roacutewnież z ruchem elektronoacutew Elektronowe ciepło właściwe jest wprost proporcjonalne do temperatury W bardzo niskich temperaturach czynnik ten ma decydujący wpływ na całkowitą wartość ciepła właściwego

Pełna postać wzoru na ciepło właściwe ciał stałych przyjmuje zatem postać

TbaT += 3vc (969)

TERMODYNAMIKA

Strona 155155155155

Rozszerzalność cieplna ciał stałych

Drgania termiczne atomoacutew w ciałach stałych wpływają na zwiększenie średniej odległości międzyatomowej i zarazem zwiększają makroskopo-wą objętość kryształoacutew Efekt ten jest związany z kształtem potencjału oddziaływania międzyatomowego Rozszerzalność temperaturową ciał stałych możemy przybliżyć funkcją liniową wprowadzając wspoacutełczyn-nik rozszerzalności cieplnej i w przypadku jednowymiarowym np dłu-gości cienkiego pręta zapisujemy

∆TαL

∆LL

0

= (970)

gdzie αL jest wspoacutełczynnikiem rozszerzalności liniowej o wymiarze K-1 Zakładając jednakowe rozszerzanie się materiału w każdym kierunku (izotropia) wspoacutełczynnik rozszerzalności objętościowej αV jest roacutewny trzykrotnej wartości wspoacutełczynnika rozszerzalności liniowej αL a zależ-ność zmian objętości od temperatury zapisujemy

∆TαV

∆VV

0

= (971)

Rozszerzalność cieplna ciał stałych musi być uwzględniana przy projek-towaniu konstrukcji i połączeń konstrukcyjnych Materiały z ktoacuterych wykonane są obiekty takie jak mosty i wiadukty drogowe (stal i beton) mają z reguły inną rozszerzalność cieplną niż skała lub grunt na ktoacuterym są oparte Aby uniknąć nadmiernych naprężeń mechanicznych związa-nych z termicznym odkształcaniem się materiałoacutew na styku roacuteżnych ele-mentoacutew konstrukcyjnych stosuje się tzw szczeliny dylatacyjne Rolę takich szczelin dylatacyjnych spełnia roacutewnież fuga między płytkami ce-ramicznymi ale niezbędne jest roacutewnież zastosowanie odpowiednio elas-tycznej zaprawy klejącej tak aby nie doszło do zerwania kontaktu płytki z podłożem lub pęknięcia płytki W przyrodzie naprężenia powstające w skałach ogrzewanych przez słońce lub ochładzanych przez wiatr są jednym z głoacutewnych czynnikoacutew erozji

Zjawisko rozszerzalności cieplnej ciał można wykorzystać podczas nito-wania Wciskając nit w otwoacuter w rozgrzanym materiale zyskujemy ciasne połączenie po ostygnięciu Podobny efekt możemy otrzymać łącząc ma-teriały o roacuteżnym wspoacutełczynniku rozszerzalności cieplnej Często stoso-wanym czujnikiem temperatury opartym na zjawisku rozszerzalności cieplnej jest tzw bimetal Jest to pasek zbudowany z połączonych ze

ROZDZIAŁ 9

Strona 156156156156

sobą dwoacutech warstw metali o roacuteżnym wspoacutełczynniku rozszerzalności cieplnej Jeśli długość jednej z warstw paska wzrośnie pod wpływem temperatury bardziej niż drugiego cały pasek ulegnie wygięciu Bimetal możemy wykorzystywać np jako wyłącznik zwierający w instalacji przeciwpożarowej bądź wyłącznik rozwierający w instalacji zapobiega-jącej przegrzaniu się urządzenia

10 Elektrostatyka

W tym rozdziale

o Ładunek elektryczny oddziaływanie ładunkoacutew prawo Coulomba

o Natężenie pola elektrycznego ładunkoacutew dyskretnych oraz ciągłych rozkładoacutew ładunkoacutew

o Energia i potencjał w polu elektrycznym o Prawo Gaussa przykłady zastosowania prawa

Gaussa o Pojemność elektryczna kondensatory o Dielektryki

ROZDZIAŁ 10

Strona 158158158158

101 Ładunek elektryczny

Zjawisko elektryzowania ciał jest znane od czasoacutew starożytności Jeśli potrzemy kawałkiem jedwabiu o szkło zauważymy że kawałek szkła nabierze ciekawych właściwości ndash będzie przyciągał drobinki kurzu lub drobne skrawki papieru oraz jedwab ktoacuterym go pocieraliśmy Podobny efekt zaobserwujemy w przypadku kawałka bursztynu potartego o futro Jeśli zbliżymy do siebie szkło i bursztyn zauważymy ponadto że przy-ciągają się nawzajem Natomiast dwa takie kawałki szkła czy dwa ka-wałki bursztynu będą się nawzajem odpychać Ponadto bursztyn będzie odpychał kawałek jedwabiu ktoacuterym naelektryzowano szkło a szkło bę-dzie odpychać futro ktoacuterym naelektryzowano bursztyn

Aby usystematyzować powyższy opis założymy że podczas pocierania umieszczamy na ciele ładunek elektryczny elektryzując go w ten sposoacuteb Znak ładunku może być dodatni lub ujemny Ustalmy że w przypadku elektryzowania bursztynu ładunek znajdujący się na powierzchni bur-sztynu ma znak ujemny a na powierzchni futra użytego do elektryzowa-nia pozostaje identyczna porcja ładunku dodatniego Znak ładunku poja-wiającego się na powierzchni elektryzowanego szkła jest natomiast dodatni Opisane wyżej obserwacje wskazują że ładunki o identycznym znaku ndash jednoimienne ndash odpychają się a ładunki o roacuteżnych znakach ndash roacuteżnoimienne ndash przyciągają się Efekt odpychania się jednoimiennych ładunkoacutew można czasem zauważyć w burzowy dzień lub stojąc pod linią elektryczną wysokiego napięcia w postaci włosoacutew bdquostających dębardquo Ładunki zgromadzone na naszym ciele i ubraniach są przyciągane przez chmurę burzową czy linię energetyczną gromadzą się na włosach ale jednocześnie jako ładunki o tym samym znaku chcą być jak najdalej od siebie powodując że włosy bdquostają dębardquo

Ładunek elektryczny wymieniany jest w porcjach Najmniejszą niepo-dzielną porcję ładunku nazywamy ładunkiem elementarnym e i jest on roacutewny ładunkowi elektronu Wartość ładunku elementarnego wynosi e=160210ndash19C gdzie C jest jednostką ładunku elektrycznego ndash kulom-bem Ponieważ elektron ma ładunek ujemny więc zjawisko elektryzowa-nia ciał polega na wytworzeniu na nich nadmiaru elektronoacutew ndash wtedy ła-dunek ciała jest ujemny lub niedoboru elektronoacutew ndash w takim przypadku ładunek ciała jest dodatni

ELEKTROSTATYKA

Strona 159159159159

Ciała mogą mieć roacuteżne właściwości elektryczne Ciała w ktoacuterych ładu-nek może swobodnie się przemieszczać nazywamy przewodnikami (np metale) zaś ciała w ktoacuterych ruch ładunku jest niemożliwy nazywamy izolatorami (większość materiałoacutew organicznych i tworzyw sztucznych)

Oproacutecz omoacutewionego wcześniej elektryzowania przez pocieranie ciała można elektryzować roacutewnież przez indukcję Załoacuteżmy że naładowany ładunkiem ujemnym kawałek szkła zbliżymy do fragmentu przewodnika (metalu) Ładunek w metalu może się swobodnie przemieszczać Ponie-waż jak już zauważyliśmy ładunki tego samego znaku odpychają się z fragmentu przewodnika w pobliżu naładowanego ujemnie izolatora od-płynie ładunek ujemny Ten fragment metalu będzie zatem naładowany ładunkiem dodatnim Nie jest to jednak stan trwały i gdy następnie oddalimy naładowany fragment izolatora sytuacja wroacuteci do stanu po-czątkowego Jeśli jednak koniec metalu naładowany ujemnie podłączy-my na chwilę do tzw uziemienia ładunek ten spłynie do Ziemi Jak przekonamy się poacuteźniej zjawisko to jest wynikiem wyroacutewnania poten-cjałoacutew pomiędzy naładowanym obiektem i Ziemią ktoacutera ma bardzo dużą pojemność ndash może przyjąć bardzo dużo ładunku Jeśli teraz usunie-my połączenie pomiędzy metalem a ziemią a następnie usuniemy nała-dowany ujemnie izolator na metalu pozostanie ładunek dodatni Metal został naładowany przez indukcję

102 Prawo Coulomba

Określimy teraz ilościowo siły wzajemnego oddziaływania pomiędzy ładunkami

Siła oddziaływania pomiędzy dwoma ładunkami punktowymi Q1 oraz Q2 umieszczonymi w proacuteżni w odległości r od siebie zgodnie z prawem Coulomba jest proporcjonalna do wartości tych ładunkoacutew oraz odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości między nimi

204 r

QQF 21

πε= (101)

ROZDZIAŁ 10

Strona 160160160160

gdzie ε0 jest stałą przenikalności dielektrycznej proacuteżni i jest roacutewna

( )2212 NmC 108854 minussdot=0ε

(w przybliżeniu 2

29

Nm

C 10 minussdot=

π36

10ε )

Ponieważ siła oddziaływania elektrostatycznego jest wektorem więc jeśli obliczamy siły działające w układzie kilku ładunkoacutew musimy zastosować dodawanie wektorowe Jako przykład policzymy siłę oddziaływania na jeden z ładunkoacutew w układzie czterech ładunkoacutew dodatnich Q znajdujących się w wierzchołkach kwadratu o boku a (rysu-nek 101) Ponieważ ładunki są jednoimienne to wybrany ładunek odpychany jest przez jego trzech bdquosąsiadoacutewrdquo siłami F1 F2 i F3 oznaczonymi na rysunku 101 Siły F1 i F3 są roacutewne co do wartości (identyczne ładunki znajdują się w tej samej odległości)

204 a

QQFF 31

πε== (102)

Siły te są do siebie prostopadłe a więc dodając je wektorowo otrzymuje-my siłę wypadkową skierowaną wzdłuż przekątnej kwadratu

20

2

4

2

a

QF13

πε= (103)

Siła F2 pochodząca od ładunku znajdującego się po przekątnej kwadratu ma kierunek i zwrot identyczny jak siła F13 i wartość roacutewną

( )2

0

2

24 a

QF 2

πε= (104)

Wartość siły wypadkowej FW działająca na jeden z ładunkoacutew jest więc sumą F2 oraz F13

( )

20

2

πε8

122

a

QFW

+= (105)

ELEKTROSTATYKA

Strona 161161161161

Rysunek 101 Siły działające w układzie jednakowych ładunkoacutew Q

rozmieszczonych w wierzchołkach kwadratu o boku a

103 Natężenie pola elektrycznego

Ładunki elektryczne są źroacutedłem pola elektrycznego podobnie jak masa jest źroacutedłem pola grawitacyjnego Właściwości pola elektrycznego można badać umieszczając w nim ładunek Jeśli jednak ładunek ten będzie miał znaczną wartość w stosunku do ładunku badanego zakłoacuteci to pole elektryczne Z tego względu posłużymy się ładunkiem proacutebnym dodatnim q0 ndash o wartości na tyle małej że nie wprowadza dużych zakłoacuteceń badanego pola Tor ruchu takiego proacutebnego ładunku umiesz-czonego w obszarze pola elektrycznego wyznacza linie pola elektryczne-go Wektor siły działającej na proacutebny ładunek jest zawsze styczny do linii pola Dla ładunku punktowego linie sił pola rozchodzą się promie-niście w przestrzeni

Z obserwacji wynika że siła F działająca na ładunek umieszczony w po-lu elektrycznym jest proporcjonalna do wartości tego ładunku q Wynika z tego że stosunek siły działającej na ładunek proacutebny do wartości tego ładunku ma stałą wartość charakteryzującą pole elektryczne w tym punkcie i nazywany jest natężeniem pola elektrycznego E

ROZDZIAŁ 10

Strona 162162162162

204 r

Q

q

FE

Eq

F

πε==

==r

r

const

(106)

Natężenie pola elektrycznego jest miarą siły działającej na jednostkowy proacutebny ładunek elektryczny

Tak zdefiniowana wielkość jest niezależna od wielkości ładunku proacuteb-nego jest zatem wyłącznie właściwością badanego pola Natężenie pola elektrycznego jest wektorem ktoacuterego kierunek i zwrot jest identyczny jak zwrot siły działającej na dodatni ładunek umieszczony w badanym polu

Rozważmy układ dwoacutech ładunkoacutew punktowych o identycznym co do wartości ładunku Q znajdujących się w pewnej odległości D od siebie Obliczmy natężenie w roacuteżnych punktach położonych na prostej przecho-dzącej przez oba ładunki w przypadku kiedy ładunki są jednoimienne Woacutewczas zewnątrz układu oba wektory natężenia są skierowane w tym samym kierunku i sumują się Dla dużych odległości r od ładunkoacutew (rgtgtD) natężenie pola elektrycznego jest w przybliżeniu roacutewne natężeniu pochodzącemu od ładunku o wartości 2Q

Na odcinku łączącym oba ładunki wektory natężenia są skierowane prze-ciwnie Wartość wektora wypadkowego jest więc roacuteżnicą wartości wektoroacutew składowych i wynosi

( )20

20 πε4πε4 rD

Q

r

QE

minusminus= (107)

gdzie r oznacza odległość od jednego z ładunkoacutew W przypadku kiedy znajdziemy się w połowie odległości między ładunkami (r = D2) wartość natężenia pola elektrycznego wynosi zero E = 0 ponieważ wektory składowe znoszą się

Dipol elektryczny

Jeśli ładunki Q w powyższym przykładzie są roacuteżnoimienne to taki układ nazywa się dipolem elektrycznym Wartość wektora natężenia pola elek-trycznego na osi ale na zewnątrz dipola jest roacuteżnicą wartości wektoroacutew składowych ndash wektory mają przeciwne zwroty Natomiast na odcinku

ELEKTROSTATYKA

Strona 163163163163

łączącym ładunki wektory natężenia dodają się ndash wartość wektora wy-padkowego jest sumą wartości wektoroacutew składowych W połowie odleg-łości między ładunkami natężenie pola elektrycznego układu wynosi

( ) ( ) 20

20

20

πε4

8

2πε42πε4 D

Q

D

Q

D

QE =+= (108)

Rysunek 102 Natężenie pola elektrycznego pochodzącego od dipola elektrycznego na symetralnej osi dipola

W przypadku dipola elektrycznego istotne jest roacutewnież znalezienie natę-żenia pola elektrycznego na symetralnej osi dipola (rysunek 102) Jeśli narysujemy wektory natężenia pola elektrycznego pochodzące od każde-go z ładunkoacutew w danym punkcie odległym o z od osi dipola okaże się że ich składowe prostopadłe do odcinka łączącego ładunki znoszą się a prostopadłe ndash dodają Wypadkowe natężenie pola elektrycznego wyno-si woacutewczas

( )424πε4

222

220 Dz

D

Dz

QE W

++=

(109)

Dla dużych odległości z od osi dipola natężenie na symetralnej osi dipola maleje z sześcianem odległości z zgodnie ze wzorem

30

30 πε4πε4 z

p

z

QDE W == (1010)

ROZDZIAŁ 10

Strona 164164164164

Wektor Dqprr

= jest dipolowym momentem elektrycznym dipolu Natężenie pola elektrycznego na osi dipola jest dwukrotnie większe i wynosi

30πε2 z

pE

OŚ= (1011)

Natężenie pola elektrycznego dla dipola elektrycznego ma więc silnie kierunkowy charakter ndash wynosi zero na osi dipola dla dużych odległości oraz maleje z sześcianem odległości w kierunku prostopadłym do na osi dipola

Natężenie pola elektrycznego ciągłych rozkładoacutew ładunkoacutew elektrycznych

W poprzednim przykładzie pokazaliśmy jak policzyć natężenie pola elektrycznego pochodzącego od układu dwoacutech dyskretnych ładunkoacutew W przypadku naładowanych obiektoacutew np naładowanych prętoacutew pier-ścieni czy płyt mamy do czynienia z ciągłym rozkładem ładunku Obiekt taki traktujemy woacutewczas tak jakby składał się z wielu małych ładunkoacutew punktowych dq ktoacutere są źroacutedłem pola elektrycznego Natęże-nie wypadkowe możemy wyrazić przez sumę natężeń pochodzących od każdego z małych ładunkoacutew przy czym sumowanie zastępujemy całkowaniem

int=2

0πε4 r

qE

d (1012)

Przykład

Jako przykład obliczmy natężenie pola elektrycznego w środku poacutełokrę-gu o promieniu R zbudowanego z jednorodnie naładowanego ładunkiem Q pręta Rozpatrzmy mały odcinek tego poacutełokręgu ktoacuterego położenie może być określone za pomocą kąta α względem osi symetrii poacutełokręgu (rysunek 103) na ktoacuterym zgromadzony jest ładunek dq Taka mała porcja ładunku dq wytwarza w środku okręgu natężenie pola elektrycz-nego dE ktoacutere jest składową całkowitego natężenia pochodzącego od naładowanego poacutełokręgu Porcja ładunku dq znajdująca się na drugiej połoacutewce poacutełokręgu położona symetrycznie do pierwszej wytwarza natę-żenie pola elektrycznego dE o takiej samej wartości i zwrocie symetrycz-nym względem osi poacutełokręgu Wypadkowe natężenie pola elektrycznego

ELEKTROSTATYKA

Strona 165165165165

dEp jest skierowane roacutewnolegle do osi poacutełokręgu Podobny zwrot wy-padkowego wektora natężenia otrzymamy dla każdej pary ładunkoacutew dq położonych symetrycznie względem osi okręgu z ktoacuterego wycięto poacuteło-krąg Wartość składowej prostopadłej dEp możemy wyrazić za pomocą funkcji kąta α

204

22R

qEE p

πε

αα

cosdcosdd == (1013)

Całkowite natężenie pochodzące od rozpatrywanego poacutełokręgu będzie wyrażone za pomocą całki

int=2Q

pR

qE

02

0πε4

α2

cosd (1014)

Jako goacuterną granice całkowania przyjęliśmy tylko połowę całkowitego ładunku Q ponieważ przy wyliczeniu natężenia dEp wzięliśmy już pod uwagę wkład pochodzący od dwoacutech połoacutewek łuku Żeby obliczyć powyższą całkę musimy znaleźć relację między kątem α a ładunkiem dq i dokonać zamiany zmiennych W tym celu wprowadzimy gęstość liniową ładunku (podobnie liczyliśmy już moment bezwładności pręta) Ponieważ ładunek Q zgromadzony jest na poacutełokręgu więc gęstość

liniowa ładunku wynosiR

Q

πλ = a ładunek dq zgromadzony na odcin-

ku dl wynosi ldd λ=q Dodatkowo po zamianie zmiennych liniowych

na kątowe Rαdd =l otrzymujemy

Rq αλ dd = (1015)

Przy zamianie zmiennej całkowania z dq na dα granice całkowania wynoszą 0 oraz π2 Po wyciągnięciu stałych przed znak całki otrzymujemy

20

20

2

00

22

2

R

Q

RE

RE

p

p

εππε

λ

ααπε

λπ

==

= int dcos

(1016)

ROZDZIAŁ 10

Strona 166166166166

Rysunek 103 Wyznaczanie natężenia pola elektrycznego pochodzące

od naładowanego pręta wygiętego w poacutełokrąg

104 Energia i potencjał w polu elektrycznym

Energia jaką posiada ładunek w polu elektrycznym jest roacutewna pracy jaką należało wykonać aby umieścić go w danym miejscu tego pola

Jest to definicja identyczna jak ta wprowadzona już dla pola grawitacyj-nego Skorzystaliśmy woacutewczas ze wzoru całkowego na pracę

int= xF(x)W d

Obliczamy pracę przeniesienia ładunku Q2 z nieskończoności do punktu odległego o R od ładunku Q1 będącego źroacutedłem pola elektrycznego

intinfin

=R

21 rr

QQW d

204πε

(1017)

R

QQWE 21

pot

04πε== (1018)

ELEKTROSTATYKA

Strona 167167167167

Warto zauważyć że postać energii potencjalnej pola elektrycznego jest podobna do wyrażenia jakie otrzymaliśmy dla pola grawitacyjnego

Jeżeli w polu elektrycznym przesuwamy między dwoma punktami ładu-nek q to praca jaką wykonujemy jest proporcjonalna do wartości tego ładunku Stosunek tej pracy przesunięcia dW ładunku do wartości ładun-ku q jest dla danych dwoacutech punktoacutew stały i nie zależy od wartości ładun-ku Stosunek ten definiuje roacuteżnicę potencjałoacutew dV między tymi dwoma punktami pola czyli napięcie elektryczne U

q

E

q

WVU

potddd === (1019)

Jednostką napięcia (potencjału) jest 1 wolt 1V=1J1C czyli jest to napięcie między takimi punktami między ktoacuterymi przesunięcie ładunku 1C wymaga pracy 1J Potencjał pola elektrycznego jest związany z natężeniem pola elektrycznego zależnością

( )z

Vk

y

Vj

x

VizyxVE

d

d

d

d

d

dgrad

rrrr++=minus= (1020)

Roacuteżnicę potencjałoacutew Uab między punktami a i b możemy więc zapisać

int==b

a

ab xE(x)∆VU d (1021)

Dla pola elektrycznego wytworzonego przez punktowy ładunek Q poten-cjał pola w odległości r od tego ładunku wynosi

r

QV

04πε= (1022)

Warto podkreślić że potencjał pola elektrycznego jest wielkością skalarną i addytywną czyli potencjał wytwarzany przez układ ładunkoacutew jest sumą potencjałoacutew wytwarzanych przez każdy z ładunkoacutew w danym punkcie Powierzchnie stałego potencjału (powierzchnie ekwipotencjal-ne) są prostopadłe do linii sił pola

Wroacutećmy do przykładu dwoacutech ładunkoacutew o identycznej wartości znajdu-jących się w odległości D od siebie Pokazaliśmy już że jeśli ładunki są jednoimienne natężenie pola w połowie odległości między nimi jest

ROZDZIAŁ 10

Strona 168168168168

roacutewne zeru Jeśli jednak obliczymy potencjał w tym punkcie otrzymamy

2πε42πε4 00 D

Q

D

QV += (1023)

W przypadku dwoacutech ładunkoacutew roacuteżnoimiennych natężenie obliczone w połowie odległości między nimi wynosi dwukrotną wartość natężenia pochodzącego od pojedynczego ładunku Potencjał obliczony w tym samym punkcie jest roacutewny zeru

0=minus=2πε42πε4 00 D

Q

D

QV (1024)

W elektrostatyce często będziemy posługiwać się pojęciem roacuteżnicy potencjałoacutew pomiędzy dwoma punktami ndash roacuteżnica ta jest miarą pracy jaką należy wykonać przemieszczając ładunek między tymi punktami

105 Prawo Gaussa

Pokazaliśmy już że natężenie pola elektrycznego pochodzącego od wielu ładunkoacutew punktowych jest sumą wektorową natężeń pochodzą-cych od każdego z ładunkoacutew a w przypadku obiektoacutew naładowanych ciągłym rozkładem ładunku sumowanie zastępujemy całkowaniem Obliczenia takie bywają jednak często bardzo żmudne i wymagają dobrej znajomości zależności geometrycznych występujących w bada-nym układzie W wielu przypadkach znacznie prostszą metodą okazuje się skorzystanie z prawa Gaussa

Aby zapisać prawo Gaussa wprowadzimy najpierw wielkość zwaną stru-mieniem natężenia pola elektrycznego

Jeśli linie sił pola elektrycznego przecinają daną powierzchnię to strumień wektora natężenia pola elektrycznego jest zdefiniowany jako iloczyn skalarny wektora natężenia pola elektrycznego i wektora normalnego zewnętrznego do danej powierzchni o wartości roacutewnej polu tej powierzchni

αSESEΦ E cos=sdot=rr

(1025)

ELEKTROSTATYKA

Strona 169169169169

gdzie α oznacza kąt między wektorem normalnym do powierzchni a wektorem natężenia pola elektrycznego Widzimy że im większy kąt α tym mniejsza wartość strumienia Jeśli wektor natężenia jest skierowa-ny roacutewnolegle do powierzchni to strumień jest roacutewny zeru Jeżeli war-tość wektora natężenia przecinającego powierzchnię jest roacuteżna w roacuteż-nych jej punktach bądź roacuteżny jest kąt pomiędzy tym wektorem a powierzchnią w obliczaniu strumienia korzystamy z zależności całkowej

int sdot= SEΦ E

rrd (1026)

Na przykładzie ładunku punktowego zauważyliśmy że linie sił są rozmieszczone gęściej w pobliżu ładunku a rzadziej kiedy badamy pole w większej odległości od niego Gęstość rozmieszczenia linii odpowia-dająca wartości wektora natężenia zmienia się zatem z odległością Jednak całkowita liczba linii sił pola nie zmienia się chyba że w prze-strzeni umieścimy kolejny ładunek ktoacutery stałby się źroacutedłem pola Zatem całkowity strumień natężenia wytwarzany przez ładunek przechodzący przez powierzchnię zamkniętą wewnątrz ktoacuterej on się znajduje pozostaje stały Strumień nie zależy roacutewnież od kształtu przyjętej powierzchni Mierząc zależność pomiędzy strumieniem a wartością ładunku można sformułować prawo Gaussa

Strumień całkowity wektora natężenia pola przechodzący przez

dowolną powierzchnię zamkniętą pomnożony przez stałą 0ε jest

roacutewny sumie ładunkoacutew elektrycznych obejmowanych przez tę powierzchnię

0ε

QSE =sdotintrr

d (1027)

Prawo Gaussa choć jest wyrażone wzorem całkowym w wielu przypad-kach pozwala na szybkie obliczanie natężenia bez konieczności stosowa-nia rachunku całkowego Należy dobrać zamkniętą powierzchnię całko-wania w taki sposoacuteb aby wektor natężenia był stały w każdym jej punkcie i przecinał tę powierzchnię pod stałym kątem

Ładunek punktowy

Zastosujemy prawo Gaussa do wyznaczenia natężenia pola elektryczne-go wytwarzanego przez ładunek punktowy i poroacutewnamy z prawem Coulomba W przypadku ładunku punktowego jako powierzchnię zam-kniętą dla ktoacuterej będziemy liczyli strumień natężenia pola elektryczne-

ROZDZIAŁ 10

Strona 170170170170

go warto wybrać sferę z ładunkiem punktowym w środku (rysu-nek 105) Woacutewczas wartość natężenia pola elektrycznego w każdym jej punkcie będzie taka sama (rozkład linii pola elektrycznego wytworzo-nego przez ładunek punktowy jest symetryczny) oraz w każdym punkcie wektor natężenia pola elektrycznego będzie roacutewnoległy do wektora normalnego do powierzchni Woacutewczas iloczyn skalarny może być zastą-piony iloczynem obu wielkości a całka ze strumienia wektora natężenia pola elektrycznego będzie roacutewna iloczynowi wartości natężenia pola elektrycznego oraz powierzchni sfery

0

24ε

πQ

rE = (1028)

a po przekształceniach otrzymujemy wynik zgodny z prawem Coulomba

204 r

QE

πε= (1029)

W kolejnych przykładach zastosujemy prawo Gaussa do wyznaczenia natężenia pola elektrycznego wytworzonego przez kulę o promieniu R naładowaną ładunkiem Q wykonaną w pierwszym przypadku z prze-wodnika (metalu) natomiast w drugim z izolatora (dielektryka)

Rysunek 105 Powierzchnie zamknięte używane przy obliczaniu

natężenia pola elektrycznego z prawa Gaussa

Naładowana kula metalowa

Ładunki w metalu mogą się swobodnie przemieszczać W sytuacji więc gdy metalową kulę naładujemy jednoimiennym ładunkiem ładunki będą się odpychały i tak się rozmieszczą na powierzchni ciała żeby być jak najdalej od siebie W efekcie cały ładunek Q rozłoży się roacutewnomiernie

ELEKTROSTATYKA

Strona 171171171171

na powierzchni takiej kuli W tym przypadku roacutewnież warto wybrać powierzchnię Gaussa jako sferę wspoacutełśrodkową z naładowaną kulą (rysunek 105)

Jeśli promień takiej sfery Gaussa jest mniejszy od promienia kuli nasza sfera nie obejmie żadnego ładunku (cały ładunek jest na powierzchni) i woacutewczas zgodnie z prawem Gaussa natężenie pola elektrycznego będzie zerowe

RrSE lt=sdotint dla 0drr

(1030)

Wewnątrz każdej metalowej powierzchni zamkniętej niezależnie od zgromadzonego czy wyindukowanego na niej ładunku natężenie pola elektrycznego będzie zerowe Taka zamknięta powierzchnia nazywana jest puszką Faradayrsquoa Przykładami puszki Faradayrsquoa jest karoseria samochodu czy kadłub samolotu W obu przypadkach chronią one znajdujące się wewnątrz osoby przed skutkami wyładowań atmosferycz-nych ndash w przypadku trafienia przez piorun cały ładunek spływa po powierzchni Podobną funkcję pełnią metalizowane powłoki torebek antystatycznych do przechowywania elementoacutew elektronicznych

Rysunek 104 Wykres natężenia pola elektrycznego pochodzącego

od naładowanej kuli metalowej i kuli z dielektryka w funkcji odległości od środka kuli

Jeśli promień sfery Gaussa r jest większy lub roacutewny promieniowi R kuli (r ge R) woacutewczas obejmuje ona cały ładunek Q ktoacuterym naładowana jest kula Wektor natężenia pola elektrycznego jest w każdym punkcie takiej sfery stały i prostopadły do powierzchni zatem (podobnie jak dla ładunku punktowego) prawo Gaussa przyjmie postać

ROZDZIAŁ 10

Strona 172172172172

RrQ

rE ge= dla 0

2

επ4 (1031)

Obliczone w ten sposoacuteb natężenie pola elektrycznego daje wynik iden-tyczny jak w przypadku ładunku punktowego znajdującego się w środku kuli Oznacza to że na zewnątrz naładowanej kuli można ją traktować jako ładunek punktowy znajdujący się w środku tej kuli (rysunek 104)

Naładowana kula dielektryczna

W dielektrykach ładunek nie może się swobodnie przemieszczać i zakła-damy że jest rozłożony jednorodnie w całej objętości kuli z gęstością objętościową ρ Wybierzmy teraz sferę Gaussa wewnątrz kuli Ładunek obejmowany przez sferę jest proporcjonalny do jej objętości Natężenie pola elektrycznego obliczone z prawa Gaussa wyniesie

Rr

rE

r

rElt

=

= dla

0

0

3

2

3

3

4

4

ε

ρ

ε

ρππ

(1032)

Natężenie pola elektrycznego jest więc proporcjonalne do promienia sfery Gaussa (rysunek 104) Kiedy promień sfery Gaussa zroacutewna się z promieniem kuli obejmie ona całkowity ładunek na niej zgromadzony Przy dalszym zwiększaniu promienia sfery Gaussa będzie wzrastać jej powierzchnia ale nie ładunek ndash zatem natężenie na zewnątrz kuli będzie zmniejszać się w funkcji odległości Podobnie jak w przypadku kuli metalowej natężenie jest odwrotnie proporcjonalne do kwadratu odleg-łości a postać wzoru jest identyczna jak w przypadku kiedy całkowity ładunek znajdowałby się w samym środku kuli

Naładowany pręt

Stosując prawo Gaussa w łatwy sposoacuteb możemy obliczyć roacutewnież natę-żenie pola pochodzące od długiego naładowanego pręta Zakładając że pręt ten jest nieskończenie długi (zaniedbujemy efekty występujące na jego końcach) jako powierzchnię Gaussa możemy zastosować cylinder wspoacutełśrodkowy z prętem (rysunek 105) Na powierzchni bocznej cylin-dra natężenie ma w każdym punkcie identyczną wartość i jest do niej prostopadłe Wektor natężenia pochodzący od pręta nie posiada skła-dowej roacutewnoległej do pręta ponieważ dla każdego wybranego punktu

ELEKTROSTATYKA

Strona 173173173173

wpływ ładunkoacutew znajdujących się na przeciwległych wobec wybranego punktu fragmentach pręta znosi się Strumień wektora natężenia pola elektrycznego wynosi zero dla podstaw takiego walca gdyż wektor natężenia jest roacutewnoległy do powierzchni podstaw Przyjmując gęstość liniową ładunku na pręcie (ładunek przypadający na jednostkę długości pręta) jako λ otrzymujemy

0

0

επ2

λ

ε

λπ2

rE

LrLE

=

=

(1033)

Naładowana płaszczyzna

Dla płaszczyzny powierzchnią Gaussa może być dowolny prostopadło-ścian lub walec przecinający ją prostopadle (rysunek 105) Na ścian-kach bocznych strumień natężenia jest roacutewny zeru (wektor natężenia jest do nich roacutewnoległy) przy obliczaniu strumienia wektora natężenia pola elektrycznego bierzemy zatem pod uwagę jedynie powierzchnie pod-staw Przyjmując gęstość powierzchniową σ ładunku zgromadzonego na naładowanej płycie otrzymujemy

0ε

σ2

SSE = (1034)

Po obliczeniu natężenia pola elektrycznego pochodzącego od nieskoń-czenie dużej płyty okazuje się że jest ono niezależne od odległości od płyty

02ε

σ=E (1035)

Obliczenia te są słuszne dla płyty nieskończenie dużej ale prawdziwe bę-dą roacutewnież z dobrym przybliżeniem dla wyznaczania natężenia pola elektrycznego roacutewnież w niewielkiej odległości od płyty skończonej (dla odległości znacznie mniejszej od rozmiaru płyty)

ROZDZIAŁ 10

Strona 174174174174

106 Pojemność elektryczna przewodnika

Wyobraźmy sobie układ złożony z dwoacutech ciał Z jednego z nich pobiera-my małą porcję ładunku i przenosimy na drugie ciało W ten sposoacuteb na-ładowaliśmy oba ciała ładunkiem o identycznej wartości ale przeciw-nym znaku Między takimi ciałami powstaje woacutewczas roacuteżnica potencja-łoacutew (napięcie) Dalsze ładowanie takiego układu czyli dalsze przemiesz-czanie ładunkoacutew między ciałami wymagać będzie wykonania pracy na pokonanie roacuteżnicy potencjałoacutew

Roacuteżnica potencjałoacutew powstała między naładowanymi ciałami jest pro-

porcjonalna do wartości ładunku Q∆V prop Dla roacuteżnych układoacutew wytworzenie identycznej roacuteżnicy potencjałoacutew wymaga jednak przenie-sienia roacuteżnej ilości ładunku elektrycznego

Stosunek ładunku Q do roacuteżnicy potencjałoacutew ∆V (napięcia U) ktoacuterą wytwarza ten ładunek będziemy nazywali pojemnością C układu a sam układ kondensatorem

U

Q

∆V

QC == (1036)

Jednostką pojemności jest jeden Farad 1F=1CV W praktyce rzadko spotyka się kondensatory o tak dużej pojemności Warto zauważyć że właściwie każdy obiekt posiada jakąś wartość pojemności Prostym przykładem może być kondensator składający się z naładowanej kuli i Ziemi Wykazaliśmy już że natężenie oraz potencjał pola elektryczne-go na powierzchni kuli o promieniu R naładowanej ładunkiem Q wynoszą

R

QV

R

QE

0

20

4

4

πε

πε

=

=

(1037)

Ponieważ przyjmuje się że potencjał Ziemi wynosi 0 więc w wyniku naładowania kuli między nią a ziemią powstaje roacuteżnica potencjału V

ELEKTROSTATYKA

Strona 175175175175

Dzieląc ładunek Q zgromadzony na kuli przez roacuteżnicę potencjału V otrzymujemy pojemność kuli o promieniu R

RQ

RQC 0

0 44

πεπε

== (1038)

Podstawiając jako R promień Ziemi RZ otrzymamy pojemność elektrycz-ną Ziemi - C asymp 710 microF Żeby wyznaczyć rzeczywistą pojemność elek-tryczną Ziemi należy rozważyć układ Ziemia- jonosfera Pojemność elektryczna takiego układu jest znacznie większa niż wynika z powyż-szego uproszczonego modelu i szacuje się że jest rzędu pojedynczych Faradoacutew

Kondensatory

Pracę wykonaną na rozdzielenie ładunkoacutew elektrycznych na okładkach kondensatora możemy wykorzystać w procesie rozładowania kondensa-tora ndash urządzenie takie możemy zatem wykorzystać do gromadzenia energii w postaci ładunku elektrycznego Rozroacuteżniamy wiele typoacutew kondensatoroacutew Pierwotnie popularnym rozwiązaniem gromadzenia ła-dunku były tzw butelki lejdejskie ndash szklane cylindryczne pojemniki w ktoacuterych okładkami były warstwy folii metalowej znajdujące się wew-nątrz i na zewnątrz cylindra Obecnie często spotyka się kondensatory elektrolityczne w ktoacuterych jedną z okładek stanowi elektrolit przewodzą-cy ładunek w postaci jonoacutew Kondensatory tego typu pozwalają na uzys-kiwanie wysokich pojemności elektrycznych W urządzeniach elektro-nicznych spotykamy roacutewnież kondensatory nastawne zbudowane z dwoacutech układoacutew metalowych blaszek rozdzielonych szczeliną powietrz-ną Układy te mogą się przesuwać względem siebie Wsuwając jedne blaszki między drugie zmieniamy efektywną powierzchnię oraz odleg-łość między elektrodami a i w efekcie możemy płynnie regulować po-jemność takiego kondensatora

Kondensator płaski

Idealny kondensator płaski składa się z dwoacutech nieskończenie dużych płyt (tzw okładek) o powierzchni S ustawionych roacutewnolegle do siebie w odległości d ktoacutere ładujemy ładunkiem Q tzn na jednej z płyt gromadzimy ładunek bdquo+Qrdquo a na drugiej bdquo-Qrdquo Natężenie pola elektrycz-nego wytworzonego przez taki płaski kondensator możemy obliczyć korzystając z prawa Gaussa Jeśli obejmiemy obie okładki kondensatora zamkniętą walcową powierzchnią Gaussa (podobnie jak w przykładzie

ROZDZIAŁ 10

Strona 176176176176

z naładowaną płaszczyzną rysunek 105) zauważamy że całkowity ła-dunek objęty przez tę powierzchnię Gaussa wynosi zero a więc na zew-nątrz kondensatora natężenie pola elektrycznego roacutewnież wynosi zero W rzeczywistości kondensator płaski nie jest nieskończenie wielki i dlatego roacutewnież na zewnątrz kondensatora przy obrzeżach okładek ist-nieje pewne małe pole elektryczne ale jego wartość jest wielokrotnie mniejsza od natężenia wewnątrz i w obliczeniach możemy je zaniedbać W praktyce jeżeli odległość d między okładkami jest znacznie mniejsza od rozmiaroacutew liniowych okładek (dltlta dltltb S=ab) to z dobrym przybliżeniem taki kondensator można traktować jako nieskończony

Natężenie pola elektrycznego między okładkami będzie sumą natężeń pochodzących od każdej z nieskończenie wielkich okładek naładowa-nych ładunkiem Q Korzystając z wyznaczonej zależności 1031 oraz uwzględniając gęstość powierzchniową ładunku σ = QS otrzymujemy natężenie pola elektrycznego między okładkami kondensatora

S

QE

0000 εε

σ

ε2

σ

ε2

σ==+= (1039)

Następnie wstawiając powyższe natężenie pola elektrycznego do zależ-ności 1020 obliczymy roacuteżnicę potencjałoacutew między okładkami

S

dQx

S

QxE∆V

d

0

d

0 00 εε=== intint dd (1040)

Pojemność C kondensatora płaskiego o powierzchni okładek S oraz od-ległości między okładkami d wynosić więc będzie

d

SC 0ε= (1041)

Pojemność kondensatora płaskiego jest tym większa im większa jest jego powierzchnia okładek S oraz im mniejsza jest odległość d między nimi

W tak zwanych super-kondensatorach wykorzystywanych w napędzie pojazdoacutew hybrydowych i elektrycznych odległość pomiędzy obszarami naładowanymi ładunkiem dodatnim i ujemnym jest bardzo mała ndash rzędu promienia jonoacutew ktoacutere są nośnikami ładunku Pozwala to na uzyskiwa-nie bardzo wysokich wartości pojemności elektrycznej co jest niezbędne do zmagazynowania energii odzyskiwanej w trakcie hamowania pojazdu

ELEKTROSTATYKA

Strona 177177177177

Łączenie kondensatoroacutew

Kondensator możemy naładować jedynie do określonego napięcia pomiędzy okładkami nazywanego napięciem przebicia Dla wyższych wartości napięcia następuje lawinowy przepływ ładunku pomiędzy okładkami ktoacutery może prowadzić do uszkodzenia kondensatora Zwięk-szenie napięcia przebicia możemy uzyskać łącząc kondensatory szere-gowo ndash układ taki nazywamy roacutewnież dzielnikiem napięcia

Chcąc zwiększyć pojemność układu kondensatory łączymy roacutewnolegle ndash przy identycznej wartości napięcia możemy zgromadzić w takim układzie większy ładunek niż na pojedynczym kondensatorze

Połączenie szeregowe

Jeżeli połączymy dwa kondensatory szeregowo to na okładkach obu kondensatoroacutew zgromadzony będzie ten sam ładunek Q przy czym okładka naładowana znakiem bdquo+rdquo jednego kondensatora jest połączona z okładką naładowaną znakiem bdquo-rdquo drugiego z nich Całkowita roacuteżnica potencjałoacutew występująca pomiędzy zaciskami układu jest sumą napięć na obu kondensatorach Pojemność kondensatora zastępczego (konden-satora dla ktoacuterego przy danym ładunku na zaciskach wytworzyłaby się identyczna roacuteżnica potencjałoacutew jak na zaciskach całego układu) dla szeregowego połączenia kondensatoroacutew wyraża się wzorem

sum=i iZ CC

11 (1042)

Jeśli połączymy ze sobą szeregowo dwa kondensatory o pojemności C=2mF każdy to pojemność zastępcza układu obliczona ze wzoru 1038 wyniesie CZ=1mF ndash jest zatem mniejsza niż pojemność każdego z kondensatoroacutew

Połączenie roacutewnoległe

Łącząc kondensatory roacutewnolegle ustalamy identyczną wartość roacuteżnicy potencjałoacutew między okładkami Ponieważ na każdym z kondensatoroacutew możemy przy danym napięciu zgromadzić inny ładunek całkowity ładunek zgromadzony w takim połączeniu będzie sumą ładunkoacutew na okładkach każdego z kondensatoroacutew Pojemność zastępcza układu roacutewnolegle połączonych kondensatoroacutew jest sumą pojemności tych kondensatoroacutew

ROZDZIAŁ 10

Strona 178178178178

sum=i

iZ CC (1043)

Roacutewnoległe połączenie kondensatoroacutew można wyobrazić sobie roacutewnież jako zwiększenie powierzchni okładek pojedynczego kondensatora ndash zatem przy identycznym napięciu można na nim zgromadzić więcej ładunku

Energia naładowanego kondensatora

Definiując roacuteżnicę potencjałoacutew (napięcie) we wcześniejszej części tego rozdziału powiedzieliśmy że roacuteżnica potencjałoacutew ∆V wyraża pracę W jaką należy wykonać żeby przemieścić ładunek Q w polu elektrycznym

U∆VQ

W== (1044)

W procesie ładowania kondensatora roacuteżnica potencjałoacutew między okład-kami zmienia wraz z wartością zgromadzonego ładunku Dlatego obli-czając całkowitą pracę naładowania kondensatora WC o pojemności C ładunkiem Q musimy zastosować procedurę całkowania

2

QU

2

CU

C2

QE

C2

Qqq

C

1q

C

qqUW

22

C

2Q

0

Q

0

Q

0

===

==== intintint dddC

(1045)

Energia takiego naładowanego kondensatora EC czyli energia zgroma-dzona w postaci pola elektrycznego wytworzonego między okładkami tego kondensatora jest roacutewna pracy WC naładowania tego kondensatora Możemy roacutewnież obliczyć gęstość energii na jednostkę objętości

2

ε

2

ε

200

2

2

222

el E

Sd

dES

Sd

1CU

V

Wρ ==== (1046)

Gęstość energii pola elektrycznego dla kondensatora płaskiego zależy od kwadratu natężenia pola elektrycznego wytworzonego między jego okładkami Można wykazać że taką samą zależność gęstości energii od kwadratu natężenia pola elektrycznego otrzymamy nie tylko dla konden-

ELEKTROSTATYKA

Strona 179179179179

satora płaskiego i że jest to zależność prawdziwa dla dowolnego rozkła-du pola elektrycznego

107 Dielektryki

Jeśli okładki kondensatora płaskiego naładujemy ładunkiem Q ustali się

między nimi roacuteżnica potencjałoacutew CQU∆V =equiv Jeśli pomiędzy okładki wsuniemy płaską ściśle przylegającą do nich płytkę z nieprze-wodzącego materiału (dielektryka) zauważymy że roacuteżnica potencjałoacutew zmniejszy się mimo że ładunek pozostał identyczny a więc po włożeniu płytki pojemność kondensatora wzrosła

Polaryzacja dielektryczna

Wyjaśnienie obserwowanego efektu wiąże się z właściwościami elek-trycznymi materiału jaki umieszczamy między okładkami Dielektryki są materiałami nieprzewodzącymi czyli w przeciwieństwie do metali ładunek nie może się swobodnie przemieszczać w całej objętości Może natomiast dochodzić do zjawisk polaryzacji ndash rozsunięcia się ładunkoacutew dodatnich i ujemnych i wytworzenia dipoli elektrycznych gdyż na ła-dunki dodatnie działa siła zgodna a na ujemne przeciwnie skierowana niż pole elektryczne W efekcie dipole takie ułożone są zgodnie z kie-runkiem pola elektrycznego w ktoacuterym się znajdują i wytwarzają własne pole elektryczne ndash jego kierunek jest przeciwny do kierunku zewnętrzne-go pola elektrycznego Wypadkowe natężenie pola elektrycznego mię-dzy okładkami kondensatora po włożeniu dielektryka będzie więc mniej-sze niż dla kondensatora proacuteżniowego Ponieważ roacuteżnica potencjałoacutew czyli napięcie między okładkami kondensatora jest proporcjonalna do natężenia pola wewnątrz kondensatora w takim przypadku otrzymujemy mniejsze napięcie na kondensatorze i w efekcie większą pojemność przy ładowaniu kondensatora tym samym ładunkiem

Efekty polaryzacyjne opisane powyżej jakim podlegają ładunki w die-lektryku są jego charakterystyczną cechą materiałową Względna przeni-kalność elektryczna ε określa ile razy w poroacutewnaniu z proacuteżnią zmniej-szy się natężenie pola elektrycznego w dielektryku Dla proacuteżni wartość względnej przenikalności dielektrycznej roacutewna jest jedności ε=1 Jeśli

ROZDZIAŁ 10

Strona 180180180180

między okładkami kondensatora umieścimy płytkę z dielektryka o względnej przenikalności roacutewnej ε to jego pojemność wzrośnie ε razy

Efektywną wartość pola elektrycznego w dielektryku opisuje wektor

indukcji pola elektrycznego EεDrr

0ε= Efekty polaryzacyjne zacho-

dzącego w dielektryku na skutek zewnętrznego pola elektrycznego Er

opisuje wektor polaryzacji Pr

Indukcja pola elektrycznego Dr

czyli wypadkowe pole elektryczne jest złożeniem wpływu pola zewnętrznego

Er

oraz polaryzacji Pr

co zapisujemy

PEEεDrrrr

+== 00 εε (1047)

Z powyższej zależności wynika że polaryzacja P jest zależna od zew-nętrznego pola elektrycznego E a wspoacutełczynnik proporcjonalności nazywamy podatnością elektryczną χ

EχE1)(εE)ε(Prrrr

0000 εεεε =minus=minus= (1048)

Uwzględniając właściwości dielektryczne materii prawo Gaussa w uogoacutelnionej postaci dla dielektrykoacutew możemy przedstawić w postaci

qSdD =sdotintrr

(1049)

Możemy w tym miejscu wprowadzić rozroacuteżnienie pomiędzy ładunkiem swobodnym q (ładunkiem ktoacutery może swobodnie się przemieszczać) a ładunkiem związanym qpol ndash powstającym w wyniku polaryzacji na powierzchni dielektryka Dzieląc obie strony roacutewnania 1045 przez powierzchnię możemy powiązać wektor indukcji D z powierzchniową gęstością ładunku swobodnego q zgromadzonego na okładkach konden-

satora wypełnionego dielektrykiem σD = Analogicznie wartość wektora polaryzacji P jest miarą gęstości ładunku związanego

polσP =

Dipol elektryczny charakteryzuje elektryczny moment dipolowy p Jest to wielkość wektorowa wyrażona przez iloczyn ładunku dipola q

i wektora odległości lr

od ładunku ujemnego do dodatniego

lrr

qp = (1050)

Na dipol znajdujący się w jednorodnym polu elektrycznym o natężeniu E działać będzie moment sił obracający dipol tak aby ustawił się zgodnie

ELEKTROSTATYKA

Strona 181181181181

z kierunkiem zewnętrznego pola elektrycznego Moment ten wyrażamy przez iloczyn wektorowy momentu dipolowego i wektora natężenia pola elektrycznego

EpMrrr

times= (1051)

Rysunek 106 Moment sił działających na dipol w zewnętrznym polu

elektrycznym

Podobnie jak wartość wektora polaryzacji P zależy od natężenia pola elektrycznego E w ktoacuterym znajduje się dielektryk roacutewnież elektryczny moment dipolowy charakteryzujący pojedynczy dipol jest wprost pro-porcjonalny do natężenia pola elektrycznego E

Eprr

α= (1052)

Wspoacutełczynnik α w powyższym wzorze jest nazywany polaryzowalnością dipola Dipol elektryczny roacutewnież jest źroacutedłem pola elektrycznego W materiałach dielektrycznych takie pole pochodzące od sąsiadujących dipoli tzw pole lokalne jest silniejsze niż pole zewnętrzne Całkowite lokalne natężenie pola jakiemu podlegać będzie dielektryk uwzględniać więc musi zaroacutewno zewnętrzne pole E jak i pole pochodzące od otocze-nia danego atomu

03ε

PEE L

rrr

+= (1053)

ROZDZIAŁ 10

Strona 182182182182

Ponieważ wektor polaryzacji jest sumą momentoacutew dipolowych pocho-dzących od wszystkich N dipoli znajdujących się w jednostce objętości materiału polaryzację całkowitą możemy zapisać

LENpNPrrr

α== (1054)

Przekształcając powyższą zależność otrzymujemy prawo Clausiusa ndash Mosottiego ktoacutere określa związek między polaryzowalnością α a względną przenikalnością elektryczną ośrodka ε

03ε2ε

1ε αN=

+

minus (1055)

Wymnażając obie strony przez objętość molową dielektryka Vm oraz

uwzględniając ρmicro=mV otrzymujemy zależność polaryzowalnością α (wielkością mikroskopową) a parametrami mierzalnymi makroskopowy-mi takimi jak gęstość materiału ρ czy masa molowa micro

micro0

A

3ε

N

2ε

1ε α=

+

minus

ρ

1 (1056)

gdzie NA oznacza stałą Avogadra

Rodzaje dielektrykoacutew

Dielektryki możemy podzielić na dwie zasadnicze grupy

1 dielektryki polarne w ktoacuterych istnieją stałe dipole elektryczne

2 dielektryki niepolarne (indukowane) w ktoacuterych dipole powstają jedynie przy włączonym zewnętrznym polu elektrycznym

Przykładem dielektryka polarnego jest woda Cząsteczki wody zbudo-wane są tak że na atomach wodoru występuje niedoboacuter elektronoacutew a na atomach tlenu nadmiar elektronoacutew Ponieważ oba atomy wodoru geome-trycznie znajdują się po tej samej stronie atomu tlenu ładunek dodatni związany z atomami wodoru nie pokrywa się z ładunkiem ujemnym związanym z atomami tlenu tworząc trwały dipol elektryczny

W dielektrykach niepolarnych polaryzacja zachodzi pod wpływem zew-nętrznego pola elektrycznego Powoduje ono przemieszczenie się ładun-koacutew roacuteżnoimiennych względem siebie pod wpływem zewnętrznego pola

ELEKTROSTATYKA

Strona 183183183183

elektrycznego na skutek czego indukują się dipole elektryczne Można wyroacuteżnić trzy typy takiej polaryzacji

bull polaryzacja elektronowa dipol elektryczny powstaje w wy-niku zniekształcenia chmury elektronowej wokoacuteł jądra ndash na elektrony znajdujące się na orbicie wokoacuteł jądra oddziałuje zewnętrzne pole siłą o przeciwnym zwrocie niż na dodatnie jądro atomowe

bull polaryzacja jonowa występuje w substancjach o wiązaniu jonowym (np NaCl) ktoacutere zbudowane są z dwu rodzajoacutew jonoacutew Dochodzi do wzajemnego przesunięcia podsieci kationowej (Na+) i anionowej (Cl )

bull polaryzacja ładunkiem przestrzennym nośniki ładunku ndashna-ładowane elektrycznie atomy (jony) gromadzą się na niejed-norodnościach ośrodka np na granicach obszaroacutew o roacuteżnej wartości przenikalności dielektrycznej

Ferroelektryki

Ferroelektryki są ciekawą grupą materiałoacutew w ktoacuterych lokalne oddziały-wania między dipolami są na tyle silne że tworzą uporządkowane struk-tury Oddziaływania sąsiadoacutew danego dipola ustawiają dipol zgodnie z tymi sąsiadami Ustawienie przeciwne jest niekorzystne energetycznie Dochodzi w efekcie do powstanie dużych obszaroacutew w ktoacuterych wszyst-kie dipole są ustawione w jednakowym kierunku zwanych domenami Dipole znajdujące się wewnątrz domen osiągają minimum energii Przykładem ferroelektryka jest tytanian baru BaTiO3

Można by sądzić że najkorzystniejszym ustawieniem dipoli będzie wo-bec tego jedna wielka domena obejmująca całą objętość ferroelektryka Taka domena wytwarzałaby jednak silne pole elektryczne na zewnątrz materiału co roacutewnież byłoby niekorzystne energetycznie W praktyce dochodzi do podziału materiału na wiele domen o roacuteżnych kierunkach zorientowania dipoli W strefie dzielącej domeny zwrot dipoli ulega stopniowej zmianie od jednej orientacji do drugiej ndash obszar taki nazywa-my ścianką domenową

Załoacuteżmy że ferroelektryk znajduje się w stanie w ktoacuterym elektryczne momenty dipolowe domen ułożone są w przypadkowy sposoacuteb Jeśli taki fragment ferroelektryka umieścimy w zewnętrznym polu elektrycznym pole to będzie oddziaływało na dipole powodując ich obracanie Prowa-dzi to do uporządkowania struktury domenowej Porządkowanie domen powoduje szybki wzrost wartości polaryzacji elektrycznej P w funkcji

ROZDZIAŁ 10

Strona 184184184184

natężenia pola zewnętrznego E Dla ferroelektrykoacutew względna przeni-kalność dielektryczna osiąga wartości rzędu tysięcy Wykres polaryzacji elektrycznej w funkcji natężenia pola elektrycznego (rysunek 106) nazywany roacutewnież pierwotną krzywą polaryzacji nie jest jednak liniowy ndash jeśli wszystkie dipole ustawią się zgodnie z liniami sił pola dalszy wzrost wartości natężenia pola zewnętrznego nie zmieni już ich uporząd-kowania Dalszy wzrost natężenia prowadzi jedynie do wzrostu wartości wektora indukcji a wektor polaryzacji pozostaje już stały Stan w ktoacuterym wszystkie dipole są ustawione roacutewnolegle do linii pola zew-nętrznego nazywamy stanem nasycenia

Rysunek 107 Wykres zależności polaryzacji od natężenia

zewnętrznego pola dla ferroelektryka

Przy zmniejszaniu natężenia wykres polaryzacji nie przebiega wzdłuż krzywej polaryzacji pierwotnej Uprzednio spolaryzowany ferroelektryk zachowuje częściowo polaryzację nawet po wyłączeniu pola zewnętrzne-go co określamy jako remanencję (jest to punkt przecięcia krzywej z osią pionową) Aby zmniejszyć polaryzację materiału do zera należy przyłożyć pole zewnętrzne skierowane przeciwnie do pola ktoacuterym spo-laryzowano ferroelektryk Wartość natężenia pola niezbędną do depola-ryzacji materiału nazywamy polem koercji Na wykresie polaryzacji wartość ta odpowiada przecięciu z osią poziomą Jeśli wartość natężenie pola elektrycznego będzie większa niż wartość pola koercji materiał spolaryzuje się w przeciwnym kierunku Nastąpi ponowne utworzenie struktury domenowej z dipolami o przeciwnym zwrocie

ELEKTROSTATYKA

Strona 185185185185

W wyniku cyklicznych zmian kierunku pola zewnętrznego otrzymujemy wykres pewnej krzywej zamkniętej zwanej pętlą histerezy Pole takiej pętli histerezy odpowiada energii ktoacuterą należy zużyć na spolaryzowanie ferroelektryka w jednym cyklu W zależności od właściwości ferroelek-tryka i maksymalnych wartości przyłożonego pola zewnętrznego pętla histerezy może przybierać roacuteżny kształt Materiały o wąskiej pętli histe-rezy łatwo jest spolaryzować Materiały takie mogą być stosowane w pa-mięciach ferroelektrycznych (FRAM) Pamięci tego typu są znacząco szybsze niż ich odpowiedniki typu EEPROM zużywają roacutewnież znaczą-co mniej energii elektrycznej Pamięci tego typu są stosowane min w konsolach do gier Polaryzacja materiałoacutew o szerokiej pętli histerezy wymaga dużych wartości natężenia pola Zapisanie informacji wymaga dłuższego czasu i zużycia większej ilości energii Informacja jest jednak zapisana w bardziej trwały sposoacuteb Pamięci tego typu są stosowane np w technice wojskowej a często roacutewnież motoryzacyjnej

Właściwości ferroelektryczne zależą w znaczący sposoacuteb od temperatury w ktoacuterej znajduje się materiał Rozszerzanie się ciał powoduje że odleg-łości między dipolami zwiększają się Ponieważ pole elektryczne wytwarzane przez dipol zależy od odległości w potędze 3 nawet nie-wielka jej zmiana ma duży wpływ na siły wzajemnego oddziaływania di-poli Drgania termiczne prowadzą roacutewnież do zmiany ustawienia po-szczegoacutelnych dipoli zmniejszając zatem uporządkowanie wewnątrz do-meny Z tego względu powyżej pewnej temperatury zwanej temperaturą Curie Tc następuje stopniowy zanik uporządkowania a materiał z ferro-elektryka przechodzi w paraelektryk Powyżej temperatury Curie zależ-ność temperaturowa podatności elektrycznej χ ferroelektrykoacutew wyrażona jest przez prawo Curie ndash Weissa

C

C

T

C

minus=

Tχ (1057)

W prawie Curie-Weissa stała Curie CC jest charakterystyczną cechą danego ferroelektryka

Piezoelektryki

W pewnej grupie materiałoacutew określanych jako piezoelektryki obserwu-je się zjawisko powstawania ładunku elektrycznego na ich powierzchni pod wpływem siły przyłożonej wzdłuż określonego kierunku krystalo-graficznego Oproacutecz takiego tzw efektu piezoelektrycznego prostego obserwuje się roacutewnież zjawisko odwrotne w ktoacuterym pod wpływem przyłożonego napięcia kryształ zmienia swoje wymiary

ROZDZIAŁ 10

Strona 186186186186

Wszystkie ferroelektryki są roacutewnież piezoelektrykami- ale nie wszystkie piezoelektryki są ferroelektrykami Zjawisko piezoelektryczne może roacutewnież występować w materiałach w ktoacuterych strukturze krystalicznej występują naprzemiennie atomy obdarzone ładunkiem dodatnim (katio-ny) i ujemnym (aniony) Taki kryształ nie poddany działaniu ciśnienia jest obojętny elektrycznie zaroacutewno w skali makroskopowej jak i lokalnie a jony znajdują się w położeniach roacutewnowagi określonych przez kształt pola sił ich wzajemnych oddziaływań Kiedy do powierzchni kryształu przyłożymy ciśnienie wzajemne położenie ładunkoacutew zmienia się pow-stają dipole elektryczne ktoacutere wytwarzają pole elektryczne tak że na przeciwległych powierzchniach kryształu wyznaczonych przez kierunek ściskania indukują się ładunki Ładunek ten jest wprost proporcjonalny do wytworzonego ciśnienia

W zjawisku piezoelektrycznym odwrotnym przyłożone napięcie wytwa-rza pole elektryczne ktoacutere wywołuje rozsunięcie ładunkoacutew dodatnich i ujemnych a więc kationoacutew i anionoacutew w strukturze tego kryształu po-wodując zmianę długości tego materiału w tym kierunku

Typowym piezoelektrykiem jest kwarc czyli tlenek krzemu tytanian ołowiu wspomniany już przy okazji ferroelektryczności tytanian baru czy niektoacutere tworzywa sztuczne (polimery) Piezoelektryki są stosowane wszędzie tam gdzie zachodzi potrzeba przetworzenia sygnału elektrycz-nego na mechaniczny Zakres wydłużenia piezoelektryka jest niewielki ale można nim bardzo precyzyjnie sterować Piezoelektryki można za-tem wykorzystywać w układach dokładnego pozycjonowania lub prze-twornikach drgań Czujniki piezoelektryczne można stosować w pomia-rach dynamicznych naprężeń i odkształceń Zaletą piezoelektrykoacutew jest duża szybkość reakcji piezoelektryka na sygnał elektryczny Elementy piezoelektryczne wykorzystywane są w głowicach ultradźwiękowych i defektoskopach echosondach oraz aparatach USG W motoryzacji zawory piezoelektryczne stosuje się w układach wtrysku paliwa

11 Prąd elektryczny

W tym rozdziale

o Natężenie prądu elektrycznego o Prawo Ohma mikroskopowe prawo Ohma o Oporniki łączenie opornikoacutew o Praca i moc prądu elektrycznego o Obwody elektryczne prawa Kirchhoffa

ROZDZIAŁ 11

Strona 188188188188

111 Natężenie prądu elektrycznego

Prąd elektryczny jest uporządkowanym ruchem ładunkoacutew elektrycznych Może być wywołany i obserwowany w tych materiałach w ktoacuterych istnieją swobodne cząstki obdarzone ładunkiem elektrycznym tzw nośniki ładunku W metalach nośnikami są swobodne elektrony walen-cyjne tworzące tzw gaz elektronoacutew swobodnych W poacutełprzewodnikach takimi nośnikami ładunku są zaroacutewno elektrony jak i dziury (posiadające ładunek dodatni) W materiałach ciekłych roztworach kwasoacutew zasad lub soli nazywanych elektrolitami a także niektoacuterych materiałach sta-łych (bdquoprzewodniki superjonowerdquo) ruchliwymi nośnikami ładunku są jo-ny zaroacutewno dodatnie jak i ujemne

Przyłożenie do takiego przewodnika napięcia (roacuteżnicy potencjałoacutew) po-woduje powstanie pola elektrycznego ktoacutere będzie oddziaływać na nośniki ładunku wywołując ich uporządkowany ruch nazywamy prądem elektrycznym Należy zaznaczyć że w przypadku elektronoacutew ten upo-rządkowany ruch jest nałożony na o wiele szybszy chaotyczny ruch cieplny nośnikoacutew Prędkość termiczna elektronoacutew pomiędzy zderzenia-mi jest bardzo duża rzędu 106ms Przemieszczenie elektronoacutew pod wpływem przyłożonego pola czyli tak zwana prędkość dryfu jest nato-miast niewielka i wynosi około vd~10-4ms

Ilościowo prąd charakteryzujemy za pomocą natężenia prądu

Natężenie prądu I jest to ilość ładunku Q przepływającego przez dowolny przekroacutej przewodnika w ciągu jednostki czasu t Dla prądu stałego natężenie prądu I jest wyrażone stosunkiem ładunku ktoacutery przepłynął do czasu przepływu

t

QI = (111)

Jednostką natężenia prądu jest jeden amper 1A=1Cs Dla prądu zmien-nego chwilowa wartość natężenia prądu definiowana jest jako pochodna ładunku po czasie

PRĄD ELEKTRYCZNY

Strona 189189189189

( ) ( )t

tQtI

d

d= (112)

Kierunek przepływu prądu jest zgodny z kierunkiem ruchu ładunku do-datniego Zatem w przypadku przepływu elektronoacutew i jonoacutew ujemnych umowny kierunek prądu jest odwrotny niż kierunek poruszania się tych nośnikoacutew ładunku

Istnieją przypadki gdy prąd nie jest roacutewnomiernie rozłożony na przekro-ju przewodnika Wtedy możemy wprowadzić wektor gęstości prądu

jr

taki że

)dcos(ddd SjSjSjIrrrr

=sdot= (113)

Wektor gęstości prądu jr

jest w tym przypadku funkcją wspoacutełrzędnych a dS jest elementem powierzchni przekroju przewodnika W szczegoacutel-nym przypadku roacutewnomiernego rozkładu gęstości prądu

perp

==S

I

αS

Ij

cos

r

(114)

gdzie α oznacza kąt pomiędzy kierunkiem przepływu prądu a wybraną

płaszczyzną zaś perpS - polem powierzchni prostopadłej do kierunku przepływu prądu

112 Prawo Ohma

Stwierdziliśmy że przyczyną powstania prądu w przewodniku jest przy-łożenie napięcia do końcoacutew przewodnika Jak pokazują doświadczenia dla dużej grupy przewodnikoacutew (metale stopy metali związki intermeta-liczne jednorodne poacutełprzewodniki) natężenie prądu jest wprost propor-cjonalne do napięcia co określamy jako prawo Ohma

Stosunek napięcia na końcach przewodnika do natężenia prądu wywołanego tym napięciem jest wielkością stałą i charakte-rystyczną dla danego przewodnika Wielkość ta zależy zaroacutewno od kształtu przewodnika jak i materiału z ktoacuterego jest wyko-nany i nazywana jest oporem elektrycznym lub rezystancją

ROZDZIAŁ 11

Strona 190190190190

const== RI

U (115)

Jednostką oporu elektrycznego jest om (Ohm) 1Ω=1VA i jest rezystan-cją takiego przewodnika dla ktoacuterego napięcie 1V przyłożone do jego końcoacutew wywołuje powstanie prądu o natężeniu 1A Rezystancja R zale-ży od kształtu przewodnika jest wprost proporcjonalna do jego długości l i odwrotnie proporcjonalne do pola przekroju S

S

ρRl

= (116)

Wspoacutełczynnik proporcjonalności zapisany grecką literą ρ (bdquorordquo) oznacza oporność właściwą ktoacutera jest cechą charakterystyczną materiału z ktoacutere-go zbudowany jest przewodnik Odwrotność rezystancji nazywamy prze-

wodnością elektryczną i oznaczamy symbolem σ (bdquosigmardquo) ρ

σ1

=

Wartości oporności właściwej dla metali sięga od 10-5 do 10-7Ωm oraz powyżej 1015Ωm dla izolatoroacutew Poacutełprzewodniki charakteryzują się pośrednimi wartościami oporności właściwej

Opoacuter elektryczny i oporność właściwa metali w dość szerokim zakresie temperatur wzrasta liniowo z temperaturą

)(1 tαRR 0 += (117)

gdzie α jest temperaturowym wspoacutełczynnikiem oporu zaś t jest tempera-turą wyrażoną w skali Celsjusza Powyższa zależność opisuje własność metali na tyle precyzyjnie że stała się ona podstawą budowy czujnikoacutew termometrycznych Przykładem są platynowe czujniki temperatury typu Pt100 i Pt1000 stosowane roacutewnież w motoryzacji Mierząc prąd płynący przez czujnik jesteśmy w stanie z dużą dokładnością określić jego temperaturę

Mikroskopowe prawo Ohma

Jak dotąd sformułowaliśmy prawo Ohma dotyczące makroskopowego przewodnika w ktoacuterym płynie prąd Połączmy prawo Ohma (roacutewna-nie 115) z zależnością oporu elektrycznego od kształtu przewodnika (roacutewnanie 116) i przekształćmy odpowiednio

PRĄD ELEKTRYCZNY

Strona 191191191191

l

σU

S

I= (118)

co następnie możemy zapisać wektorowo jako tzw mikroskopowe pra-wo Ohma ktoacutere jest roacutewnaniem dotyczącym dowolnie wybranego punk-tu ośrodka przewodzącego

Ejrr

σ= (119)

Jeśli w wybranym punkcie ośrodka przewodzącego natężenie pola elektrycznego ma wartość E to w otoczeniu tego punktu wektor gęstości prądu ma wartość wprost proporcjonalną do wektora natężenia pola ze wspoacutełczynnikiem proporcjonalności roacutewnym przewodności elektrycznej materiału

Rozważmy teraz mikroskopowy sens wektora gęstości prądu wynikający z uproszczonej definicji tego pojęcia (podobnie definiuje się w fizyce strumień ciepła czy masy)

∆S∆t

∆Q

∆S

∆Ij == (1110)

Wektor gęstości prądu oznacza strumień ładunku elektrycznego tzn ilość ładunku ∆Q ktoacutera przechodzi przez jednostkę powierzchni prostopadłej ∆S na jednostkę czasu ∆t Jeżeli w jednostce objętości materiału przewodnika metalicznego znajduje się n swobodnych elektro-noacutew to koncentracja elektronoacutew (ogoacutelnie nośnikoacutew ładunku) wynosi n Jeśli wszystkie nośniki poruszają się ruchem uporządkowanym z pręd-kością unoszenia (prędkością dryfu) vd wzdłuż kierunku wyznaczonego przez pole elektryczne to strumień nośnikoacutew ładunku jest roacutewny nvd a odpowiadający mu strumień ładunku elektrycznego przenoszonego przez elektrony (-e) wynosi

dnej vminus= (1111)

W ogoacutelnym przypadku nośnikoacutew o ładunku q strumień ładunku elek-trycznego i gęstość prądu wynosi

dnqj v= (1112)

Jeżeli poroacutewnamy powyższy wzoacuter 1112 z mikroskopowym prawem

Ohma ( Eσj = ) okazuje się że ktoacuteraś z wielkości n q lub vd musi być proporcjonalna do natężenia pola elektrycznego E Ponieważ ani

ROZDZIAŁ 11

Strona 192192192192

koncentracja nośnikoacutew n ani ładunek nośnika q nie jest proporcjonalna do natężenia pola elektrycznego E więc to prędkość vd unoszenia (dryfu) wywoływana przez pole elektryczne jest proporcjonalna do natężenia pola elektrycznego E

Ed micro=v (1113)

gdzie wspoacutełczynnik proporcjonalności micro nazywany jest ruchliwością nośnikoacutew ktoacutera jest cechą charakterystyczną materiału przewodnika Wstawiając roacutewnanie 1113 do 1112 otrzymujemy

Enqj micro= (1114)

a poroacutewnując powyższą zależność z mikroskopowym prawem Ohma (wzoacuter 119) otrzymujemy że przewodność materiału σ zależy od kon-centracji nośnikoacutew n ich ładunku q oraz ruchliwości micro

micronqσ = (1115)

Model klasyczny Drudego-Lorentza przewodnictwa elektrycznego metali

Podstawowym modelem przewodnictwa elektrycznego w metalach jest tzw model klasyczny Drudego-Lorentza Model ten traktuje elektrony jako cząsteczki gazu idealnego Ruch elektronoacutew może być zobrazowa-ny mechanicznym modelem kulki staczającej się po pochylonej tablicy z roacutewnomiernie przymocowanymi kołkami Kulka staczając się po roacutewni zderza się z kołkami i przy każdym takim zderzeniu zmienia się zaroacutewno kierunek jak i wartości jej pędu Jeśli policzylibyśmy średnią prędkość tej kulki wzdłuż krawędzi tablicy to okazałoby się że jest ona stała (zderzenia kompensują stałą siłę grawitacji) i wielokrotnie niższa niż prędkości jakie posiada kulka pomiędzy zderzeniami Podobnie elektro-ny swobodne w metalu tworzące tzw gaz elektronowy zderzają się z do-datnimi rdzeniami atomowymi tracąc część energii jaką otrzymały w po-lu elektrycznym zmieniając za każdym razem zaroacutewno wartość jak i kierunek pędu W efekcie prędkość dryfu jest stała i wielokrotnie mniejsza niż chwilowe prędkości między zderzeniami Średnia wartość tej prędkości może być wyznaczona jako frac12 prędkości uzyskanej w wy-niku przyspieszania elektronoacutew przez zewnętrzne pole elektryczne

( meEmFa == ) w czasie τ

PRĄD ELEKTRYCZNY

Strona 193193193193

mEead 22 τ== τv (1116)

gdzie τ jest średnim czasem między zderzeniami i zależy od średniej

drogi swobodnej λ oraz średniej prędkości termicznej Tv elektronoacutew (

T vλτ = ) Ruchliwość elektronoacutew roacutewna stosunkowi prędkości dry-

fu do natężenia pola elektrycznego wywołującego unoszenie w modelu Drudego-Lorentza można więc zapisać

T

d

m

e

E v

v

2

λmicro == (1117)

Ponieważ prędkość termiczna elektronoacutew jest proporcjonalna do pier-wiastka z temperatury więc przewodność (zależność 1115) w modelu Drudego-Lorentza jest odwrotnie proporcjonalna do pierwiastka

z temperatury T1propσ podczas gdy z wynikoacutew eksperymentoacutew

wynika T1propσ Model zjawiska oporu elektrycznego odtwarzający prawidłowo zależność temperaturową przewodności udało się stworzyć dopiero posługując się regułami mechaniki kwantowej W kwantowym modelu Blocha rozważa się rozpraszanie elektronoacutew na niedoskonałoś-ciach sieci krystalicznej np na atomach domieszki lub defektach struk-tury Drugim ważnym czynnikiem wpływającym na ruch elektronoacutew są drgania termiczne sieci krystalicznej Rozpraszanie elektronoacutew na drga-niach sieci zależy od temperatury ndash im wyższa jest temperatura tym większa jest amplituda drgań atomoacutew i tym większy opoacuter elektryczny

Oporniki Łączenie oporoacutew

Elementy oporowe (oporniki) o znanej wartości oporu elektrycznego w obwodach elektrycznych oznaczamy za pomocą dwoacutech rodzajoacutew sym-boli ndash linią łamaną (standard amerykański) lub prostokątem (standard europejski)

Łącząc oporniki szeregowo zwiększamy całkowity opoacuter gałęzi obwodu Jest to zrozumiałe biorąc pod uwagę że połączenie takie odpowiada zwiększeniu całkowitej długości przewodnika przez ktoacutery przepływają ładunki elektryczne W przypadku szeregowego połączenia opornikoacutew opoacuter całkowity gałęzi jest sumą wartości oporoacutew

sum=i

iC RR (1118)

ROZDZIAŁ 11

Strona 194194194194

Powyższa zależność wynika z faktu że całkowity spadek napięcia (roacuteżnica potencjałoacutew) jest sumą spadkoacutew napięć na poszczegoacutelnych opornikach Ponieważ przez każdy z szeregowo połączonych opornikoacutew płynie ten sam prąd wiec zgodnie z prawem Ohma w efekcie całkowity opoacuter jest sumą oporoacutew poszczegoacutelnych opornikoacutew

Przy roacutewnoległym połączeniu opornikoacutew całkowity opoacuter obwodu male-je ndash odpowiada to zwiększeniu przekroju przez ktoacutery mogą przepływać nośniki ładunku Jeśli dwa oporniki o identycznym oporze połączymy roacutewnolegle całkowity opoacuter gałęzi wyniesie frac12 oporu pojedynczego opor-nika W ogoacutelnym przypadku opoacuter całkowity RC układu roacutewnoległych opornikoacutew wyznaczamy z zależności

sum=i iC RR

11 (1119)

Wyprowadzając tę zależność roacutewnież zauważyć że spadek napięcia na każdym z roacutewnolegle połączonych opornikoacutew jest taki sam (łączą pun-kty o określonej roacuteżnicy potencjałoacutew) Roacuteżny jest natomiast prąd płyną-cy przez każdy z opornikoacutew ale suma tych prądoacutew musi być roacutewna całkowitemu prądowi dopływającemu do układu Ponownie po zastoso-waniu prawa Ohma otrzymujemy opoacuter zastępczy taki jak we wzo-rze 1119 Przy obliczaniu oporu bardziej złożonych obwodoacutew pomocne jest odpowiednie grupowanie elementoacutew tak by można było skorzystać z powyższych wzoroacutew dla roacutewnoległego i szeregowego połączenia opornikoacutew

Rysunek 111 Układy opornikoacutew o topologii bdquotroacutejkątardquo i bdquogwiazdy

Nieco bardziej złożonym zagadnieniem jest obliczanie oporu obwodoacutew o topologii bdquotroacutejkątardquo Istnieją jednak wzory pozwalające na przedsta-wienie ich w postaci układu o topologii gwiazdy ndash o kształcie litery bdquoYrdquo (Rysunek 111)

PRĄD ELEKTRYCZNY

Strona 195195195195

Aby obwody w przedstawionych powyżej topologiach miały identyczne właściwości elektryczne przy danej roacuteżnicy potencjałoacutew natężenie prą-doacutew przepływających pomiędzy węzłami 1 2 i 3 musi być takie samo Dla węzłoacutew 1 i 2 w topologii bdquotroacutejkątardquo prąd płynie przez opornik RA połączony roacutewnolegle z oporem (RC+RB) Dla topologii gwiazdy prąd płynie przez oporniki R1 i R2 połączone szeregowo Zapisując układ roacutewnań dla każdej pary węzłoacutew otrzymujemy trzy roacutewnania poz-walające otrzymać zależności pomiędzy wartościami oporoacutew w dwoacutech topologiach

C

RB

RA

R

CR

BR

3R

CR

BR

AR

CR

AR

2R

CR

BR

AR

BR

AR

1R++

=++

=++

= (1120)

3R2R

1R

3R2R

CR3R1R

2R

1R3R

BR1R2R

3R

2R1R

AR ++=++=++= (1121)

113 Praca i moc prądu elektrycznego

Na skutek przepływu prądu elektrycznego w elementach oporowych wy-dziela się ciepło ktoacutere jest wynikiem rozpraszania części energii elektro-noacutew na sieci krystalicznej metalu Efekt ten stanowi podstawę działania żaroacutewek i elektrycznych elementoacutew grzejnych

Zgodnie z definicją wprowadzoną w elektrostatyce wiemy że praca przeniesienia ładunku q przy roacuteżnicy potencjałoacutew U jest roacutewna

UItUqW el == (1122)

Ponieważ natężenie prądu elektrycznego jest wyrażone stosunkiem ła-dunku ktoacutery przepłynął do czasu przepływu możemy wyrazić ładunek q poprzez iloczyn natężenia prądu I i czasu jego przepływu t zaś napięcie U zgodnie z prawem Ohma powiązać z wartością płynącego prądu przez element o oporze R W efekcie otrzymujemy że praca prądu jest roacutewna energii ER jaka wydziela się na oporniku o oporze R przez ktoacutery płynie prąd elektryczny o natężeniu I Korzystając z prawa Ohma otrzymujemy prawo nazywane jest prawem Joulersquoa

tRIW2

el = (1123)

ROZDZIAŁ 11

Strona 196196196196

Energia jaka wydziela się na oporniku nazywana ciepłem Joulersquoa jest proporcjonalna do wartości oporu R oraz kwadratu natężenia prądu elektrycznego I płynącego przez ten opornik

Ponieważ moc jest stosunkiem wykonanej pracy do czasu w jakim ta praca została wykonana w przypadku mocy wydzielanej na elemencie obwodu elektrycznego otrzymujemy

R

URIIUP

22 === (1124)

gdzie U oznacza napięcie na zaciskach danego elementu (odbiornika) a I ndash natężenie prądu przepływającego przez element o oporze R

W przypadku przesyłania energii elektrycznej wytworzonej w elektrow-ni staramy się zminimalizować straty na liniach przesyłowych Iloczyn napięcia i natężenia przesyłanego prądu jest w tym przypadku wartością stałą (odpowiada on mocy elektrowni) Sposobem na redukcję mocy traconej na liniach jest zmniejszenie natężenia prądu a proporcjonalne zwiększenie napięcia Z tego względu buduje się tzw przesyłowe linie wysokiego napięcia a zwiększenie wartości napięcia i jego ponowna re-dukcja przed odbiornikiem realizowane są za pomocą transformatoroacutew Ograniczeniem wartości użytego napięcia jest jonizacja powietrza ndash przy zbyt wysokim napięciu wokoacuteł przewodoacutew natężenie pola jest dostatecz-nie wysokie by oderwać elektrony z cząsteczek gazu i wytworzyć noś-niki ładunku co prowadzi do bdquoucieczkirdquo energii elektrycznej

114 Obwody elektryczne

Źroacutedła napięcia

W dotychczasowych rozważaniach przedstawiliśmy zjawisko przepływu ładunku w przewodniku Aby wymusić przepływ ładunku niezbędne jest przyłożenie do końcoacutew przewodnika napięcia czyli roacuteżnicy potencja-łoacutew Takim źroacutedłem napięcia może być naładowany kondensator jednak napięcie to nie będzie stałe Przepływ prądu przez przewodnik oznaczać będzie rozładowywanie kondensatora a ponieważ roacuteżnica potencjałoacutew między okładkami kondensatora jest proporcjonalna do ładunku zgroma-dzonego na okładkach wartość napięcia będzie maleć

PRĄD ELEKTRYCZNY

Strona 197197197197

Ogniwa

Stałe napięcie na zaciskach elementu oporowego możemy uzyskać włą-czając do obwodu stałe źroacutedło energii ndash ogniwo Parametrami opisują-cymi ogniwo są siła elektromotoryczna ε i opoacuter wewnętrzny Rw Miarą siły elektromotorycznej ε jest stosunek pracy wykonanej na przeniesienie ładunku w obwodzie zamkniętym do wartości tego ładunku

q

Wε = (1125)

W przypadku rzeczywistych ogniw część energii jest rozpraszana na oporze wewnętrznym źroacutedła ktoacutery jest połączony szeregowo z siłą elektromotoryczną Napięcie na zaciskach takiego źroacutedła zależy od war-tości oporu zewnętrznego podłączonego do źroacutedła czyli tzw obciążenia (rysunek 112) Jeśli opoacuter obciążenia jest mały wartość natężenia prądu płynącego przez obwoacuted jest duża to straty energii na oporze wew-nętrznym są znaczne Napięcie na zaciskach ogniwa jest niższe niż siła elektromotoryczna źroacutedła o spadek napięcia na obwodzie wewnętrznym Jeśli opoacuter obciążenia jest duży straty energii na oporze wewnętrznym są niewielkie a napięcie na zaciskach ogniwa osiąga wartość zbliżoną do jego siły elektromotorycznej Można zatem stwierdzić że w granicy

infinrarrZEWNR siła elektromotoryczna jest roacutewna napięciu na zaciskach ogniwa otwartego

Energię elektryczną możemy uzyskiwać korzystając z pracy mechanicz-nej ktoacutera zamieniamy na energię elektryczną za pomocą prądnic czy alternatoroacutew Większość z tych urządzeń wytwarza zmienną siłę elektro-motoryczną a uzyskanie stałej wartości wymaga dodatkowych urządzeń przetwarzających napięcie zmienne na stałe w czasie Energię elektrycz-ną możemy czerpać roacutewnież ze źroacutedeł chemicznych ndash baterii akumula-toroacutew i stosowanych coraz częściej ogniw paliwowych Źroacutedłami energii elektrycznej mogą być roacutewnież termoogniwa (wykorzystujące roacuteżnicę temperatur) oraz fotoogniwa (korzystające z energii promieniowania słonecznego) Jak stąd wynika źroacutedłami prądu stałego są urządzenia przetwarzające energię innego rodzaju na energię elektryczną

ROZDZIAŁ 11

Strona 198198198198

Rysunek 112 Obwoacuted złożony ze źroacutedła rzeczywistego i obciążenia

oporowego Spadki napięć na opornikach skierowane są przeciwnie niż SEM ogniwa

Prawa Kirchhoffa

Rozpatrzmy obwoacuted składający się z pojedynczego opornika R i źroacutedła o sile elektromotorycznej ε i oporze wewnętrznym Rw (rysunek 112) Za-piszmy zasadę zachowania energii dla takiego obwodu elektrycznego Praca wykonana przez ogniwo nad ładunkiem w obwodzie zamkniętym jest roacutewna energii rozpraszanej na elementach oporowych

RtItRItIε 2

w

2 += (1124)

Dzieląc obie strony roacutewnania 1122 przez czas i natężenie prądu otrzy-mujemy roacutewnanie

RIRI += wε (1125)

Zgodnie z uprzednio wprowadzoną definicją siła elektromotoryczna jest pracą wykonaną na przepływ jednostkowego ładunku w obwodzie zamkniętym

Napięcia na poszczegoacutelnych elementach obwodu i natężenia prądu prze-pływającego przez poszczegoacutelne jego gałęzie możemy obliczyć stosując prawa Kirchhoffa

PRĄD ELEKTRYCZNY

Strona 199199199199

I Prawo Kirchhoffa

Suma natężeń prądoacutew dopływających do węzła jest roacutewna sumie natężeń prądoacutew wypływających z tego węzła

W obwodzie zachowuje się roacutewnież ładunek elektryczny ndash jeśli w obwo-dzie znajduje się rozgałęzienie (węzeł) to ładunek ktoacutery dopłynie do wę-zła musi być roacutewny temu ktoacutery z węzła wypłynął

II Prawo Kirchhoffa

W dowolnym obwodzie zamkniętym sieci elektrycznej (oczku sieci) suma wartości sił elektromotorycznych roacutewna jest sumie wartości spadkoacutew napięcia na elementach tego obwodu

Drugie prawo Kirchhoffa odpowiada roacutewnaniu 1125

Obwoacuted RC

Jeśli naładowany do napięcia U kondensator o pojemności C zewrzemy opornikiem R to dla takiego obwodu II prawo Kirchhoffa możemy zapisać w postaci

0=+

=+

C

qRI

0UU CR

(1126)

Ponieważ natężenie prądu możemy wyrazić jako pochodną przepływającego ładunku po czasie roacutewnanie przyjmie postać

0d

d=+

C

qR

t

q (1127)

Rozwiązanie tego roacutewnania roacuteżniczkowego opisujące ładunek na kondensatorze ma postać malejącą wykładniczo

( ) RCt

0 eqtqminus

= (1128)

Skoro ładunek będzie się zmieniał wykładniczo to roacutewnież natężenie prądu w obwodzie będzie wykładniczo malało w czasie

ROZDZIAŁ 11

Strona 200200200200

Pomiar natężenia i napięcia

Wartości napięcia pomiędzy zaciskami elementu i natężenia prądu przepływającego przez element możemy wyznaczyć posługując się tym samym urządzeniem nazywanym galwanometrem Wychylenie wska-zoacutewki galwanometru jest wprost proporcjonalne do przepływającego przez urządzenie prądu

Rysunek 113 Podłączenie miernika do obwodu

a) pomiar natężenia prądu b) pomiar napięcia

Przy pomiarze natężenia prądu miernik włączamy w obwoacuted szeregowo (rysunek 113) W ten sposoacuteb mierzymy całkowity prąd płynący przez gałąź Opoacuter własny amperomierza powinien być jednak jak najmniejszy znacznie mniejszy niż wartości oporoacutew znajdujących się na mierzonej gałęzi ndash inaczej pomiar zakłoacuteci wartość mierzoną Aby spełnić ten waru-nek do zaciskoacutew galwanometru dołączamy roacutewnolegle bocznik o ma-łym oporze Większość natężenia prądu jest przepuszczana przez bocz-nik a tylko niewielka część przepływa przez galwanometr Zmieniając wartość oporu bocznika pomiędzy zaciskami miernika możemy zmieniać zakres pomiaru prądu układem galwanometr-bocznik

Przy pomiarze napięcia miernik ndash pełniący funkcję woltomierza ndash jest podłączony roacutewnolegle do badanego elementu (rysunek 113) W tym przypadku opoacuter własny woltomierza powinien być jak największy by nie odbierał on prądu z elementu Z tego względu pomiędzy zaciskami miernika a galwanometrem podłączony jest szeregowo opornik o dużej wartości Opornik ten zmniejsza natężenie prądu przepływającego przez galwanometr Zmieniając wartość użytego opornika można zmieniać za-kres pomiaru napięcia

Często stosowanym przyrządem jest proacutebnik (wskaźnik) napięcia Wy-korzystuje on pojemność elektryczną ludzkiego ciała Proacutebnika możemy używać przykładając palec do metalowego zakończenia rękojeści a ostrze do badanego elementu obwodu Natężenie prądu przepływają-

PRĄD ELEKTRYCZNY

Strona 201201201201

cego przez dłoń jest w tym przypadku niewielkie i nie zagraża bezpie-czeństwu osoby dokonującej pomiaru

ROZDZIAŁ 11

Strona 202202202202

Strona 5555

106 Pojemność elektryczna przewodnika 174 107 Dielektryki 179

11 Prąd elektryczny 187

111 Natężenie prądu elektrycznego 188 112 Prawo Ohma 189 113 Praca i moc prądu elektrycznego 195 114 Obwody elektryczne 196

Strona 6666

Wstęp Niniejsze materiały zostały opracowane w ramach realizacji Programu Rozwojowego Politechniki Warszawskiej wspoacutełfinansowanego ze środ-koacutew PROGRAMU OPERACYJNEGO KAPITAŁ LUDZKI Przezna-czone są dla studentoacutew pierwszego roku studioacutew inżynierskich kierunku nauczania bdquoEdukacja techniczno-informatycznardquo prowadzonych na Wy-dziale Samochodoacutew i Maszyn Roboczych Politechniki Warszawskiej

Niniejsze opracowanie przygotowano dla przedmiotu pt bdquoPodstawy fizykirdquo Jego zawartość merytoryczna w pełni odpowiada zakresowi opi-sanemu w sylabusie opracowanym dla tego przedmiotu

Skrypt stanowi pierwszą część opracowanych materiałoacutew dydaktycz-nych i dotyczy zagadnień omawianych podczas pierwszego semestru wykładoacutew z ww przedmiotu Opracowane zagadnienia podzielone zo-stały na 11 rozdziałoacutew

Rozdział 1 wprowadza pojęcie wielkości fizycznych ich jednostek oraz operacji na tych jednostkach

Rozdział 2 został poświęcony opisowi ruchu ciał w roacuteżnych układach wspoacutełrzędnych za pomocą takich wielkości fizycznych jak przemiesz-czenie prędkość czy przyspieszenie

W rozdziale 3 omoacutewione zostały zasady dynamiki Newtona oraz zasada zachowania pędu

W rozdziale 4 wprowadzone są pojęcia pracy oraz energii Rozważane są roacuteżne formy energii (energia potencjalna i kinetyczna) oraz zasada za-chowania energii

Rozdział 5 dotyczy zagadnień z zakresu dynamiki bryły sztywnej takich jak roacutewnanie ruchu bryły sztywnej zasada zachowania momentu pędu czy energia ruchu obrotowego

Rozdział 6 został poświęcony zagadnieniom drgań w szczegoacutelności drgań harmonicznych z uwzględnieniem wpływu tłumienia oraz wymuszenia

W rozdziale 7 omoacutewione zostały roacuteżne stany skupienia materii ndash ciała stałe płyny oraz inne stany materii

Strona 8888

W rozdziale 8 przedstawione zostały podstawowe zagadnienia hydrosta-tyki i hydrodynamiki w tym prawo Pascala Arhimedesa oraz roacutewnanie Bernouliego

Rozdział 9 poświęcony jest termodynamice Omoacutewiony został gaz do-skonały jego roacutewnanie stanu oraz roacuteżne przemiany jakim może podle-gać Przedstawiono definicję ciepła oraz pracy termodynamicznej a także opis cykli i silnikoacutew termodynamicznych Omoacutewiono roacutewnież podstawowe właściwości termiczne materii

W rozdziale 10 omoacutewione zostały takie zagadnienia elektrostatyki jak Coulombowska siła oddziaływania elektrostatycznego natężenie poten-cjał oraz energia pola elektrycznego czy pojemność elektryczna prze-wodnika Przedstawione zostało prawo Gaussa wraz z przykładami stosowania go do wyznaczania natężenia pola elektrycznego Rozdział opisuje także właściwości elektryczne dielektrykoacutew

Rozdział 11 dotyczy zagadnień z zakresu przepływu prądu elektryczne-go Podane zostało prawo Ohma wyznaczona praca i moc prądu elek-trycznego a także omoacutewione podstawowe właściwości obwodoacutew elek-trycznych w tym prawa Kirchhoffa

1 Czym jest fizyka Wielkości fizyczne jednostki i wzorce

W tym rozdziale

o Czym jest fizyka o Jednostki podstawowe o Miano jednostek wielkości podstawowych o Rachunek mian operacje na jednostkach wielkości

fizycznych o Działania na wektorach

ROZDZIAŁ 1

Strona 10101010

11 Czym jest fizyka

Fizyka jest podstawową nauką ścisłą wywodzącą się z filozofii Ślad tego faktu że fizyka była działem filozofii ndash filozofią przyrody ndash znajdujemy w tytule słynnego dzieła Izaaka Newtona stanowiącego fundament nowożytnej fizyki rdquoPrincipia mathematica philosophiae naturalisrdquo (1686 r) co może być przetłumaczone jako bdquoZasady matematyczne filozofii przyrodyrdquo

Fizyka jest nauką ścisła i empiryczną czyli opartą na doświadczeniu ponieważ

bull Używa wielkości fizycznych dokładnie zdefiniowanych W definicji wielkości fizycznej zawarte są informacje doty-czące jej pomiaru Wielkością fizyczną jest każda wielkość ktoacutera daje się mierzyć czyli poroacutewnywać ze wzorcem jed-nostki tej wielkości

bull Stosuje opis matematyczny zjawisk (bdquomatematyka jest języ-kiem fizykirdquo)

bull Prawa fizyczne formułuje na podstawie doświadczeń

Przez doświadczenie (eksperyment) fizyczny rozumiemy zjawisko prze-prowadzone w możliwie uproszczonych i nadających się do analizy warunkach laboratoryjnych z eliminacją zjawisk ubocznych zakłoacutecają-cych zjawisko badane Podstawowym działaniem w doświadczeniach są właśnie pomiary wielkości fizycznych

Fizyka opiera się na pewnej minimalnej liczbie praw podstawowych o charakterze pewnikoacutew aksjomatoacutew ktoacutere w fizyce nazywamy zasada-mi Czasami moacutewi się o nich ze są to bdquoprawa pierwszerdquo Oznacza to że nie odkryto praw bardziej podstawowych ktoacutere umożliwiłyby wyprowa-dzenie tych zasad Słuszność zasad wynika tylko z doświadczeń i jest uogoacutelnieniem dużej liczby eksperymentoacutew Klasycznymi przykładami zasad są zasady dynamiki Newtona Natomiast inne szczegoacutełowe prawa fizyczne (np prawo Ohma lub prawo indukcji elektromagnetycznej Faradaya) wyprowadzamy z zasad fizyki za pomocą modeli fizycznych opisywanych zjawisk

CZYM JEST FIZYKA WIELKOŚCI FIZYCZNE JEDNOSTKI I WZORCE

Strona 11111111

Istnienie zasad i praw szczegoacutełowych powoduje wzajemne powiązanie wielkości fizycznych Stąd z kolei wynika że jest w fizyce pewna liczba podstawowych wielkości fizycznych a pozostałe wielkości są wielkoś-ciami zależnymi pochodnymi W tej sytuacji wystarczy iż wzorce jed-nostek fizycznych stworzymy tylko dla wielkości podstawowych

Ustalono że są cztery podstawowe wielkości fizyczne długość masa czas i natężenie prądu Stworzono zatem wzorce metra kilograma se-kundy i ampera Taki układ jednostek nazwano pierwotnie układem MKSA od początkowych liter nazw wzorcoacutew Z powodu tradycji i dla wygody dodano jednak następnie przejściowo do układu jeszcze cztery wielkości fizyczne mimo iż można by je określić przez te pierwsze cztery wielkości podstawowe Są to temperatura (w kelwinach) licz-ność materii (w molach) jasność źroacutedeł promieniowania (w kandelach) i kąt płaski (w radianach) W ten sposoacuteb powstał układ jednostek złożony z ośmiu wzorcoacutew jednostek wielkości fizycznych wymienio-nych wyżej nazywany układem SI (od fr Systeme International) Wy-magania postawione wzorcom jednostek dotyczą maksymalnej dokład-ności i powszechności uniwersalności Ta druga własność ma polegać na tym by wzorzec moacutegł być z roacutewną dokładnością odtwarzalny we wszystkich laboratoriach na świecie Ma to zapewnić możliwość poroacutewnywania wynikoacutew doświadczeń roacuteżnych laboratorioacutew a przez to możliwość sprawdzania powtarzalności pomiaroacutew co ma decydujące znaczenie przy tworzeniu praw fizycznych

Jednostki pochodnych wielkości fizycznych są tworzone w oparciu o de-finicje tych wielkości i istniejące związki tych wielkości z wielkościami podstawowymi ustalone prawami fizyki Jako przykład ustalmy jednost-kę i sposoacuteb pomiaru prędkości chwilowej Powołamy się tu na definicję prędkości chwilowej ktoacutera będzie uzasadniona w dalszej części skryptu

∆t

∆x

0∆t rarr= limv

(11)

Ta matematyczna definicja wskazuje że aby wyznaczyć prędkość chwi-lową obiektu trzeba mierzyć odcinki przesunięcia ∆x tego obiektu odpowiadające jak najkroacutetszym odcinkom czasu ∆t (dążącym do zera) i dzielić je przez siebie Jest więc w definicji wskazoacutewka pomiarowa i wiemy już że jednostką prędkości będzie ms

ROZDZIAŁ 1

Strona 12121212

12 Jednostki podstawowe

Jednostką długości jest metr [m] Metr jest to odległość jaką pokonuje światło w proacuteżni w czasie 1299 792 458 s

Jednostką czasu jest sekunda [s] Sekunda jest definiowana za pomocą tzw zegara atomowego jako 9 192 631 770 okresoacutew drgań określonego promieniowania atomu cezu 133Cs w temperaturze 0 K

Jednostką masy jest kilogram [kg] Wzorzec kilograma wykonany ze stopu platynowo-irydowego znajduje się w Sevres pod Paryżem Kopie tego wzorca zostały rozesłane do instytutoacutew miar i wag poszczegoacutelnych państw Obecnie dąży się do opracowania lepszej definicji opartej na masie atomowej

Jednostką temperatury jest Kelwin [K] Jeden kelwin odpowiada 1 27316 temperatury termodynamicznej punktu potroacutejnego wody ndash punktu w ktoacuterym wspoacutełistnieją fazy ciekła (woda) stała (loacuted) i gazowa (para wodna) Temperatura termodynamiczna jest zdefiniowana w odnie-sieniu do tzw zera absolutnego 0 K ktoacutera oznacza najniższą temperaturę do jakiej możemy się dowolnie zbliżyć ale jest nieosiągalna Na po-wszechnie stosowanej skali Celsjusza temperaturze punktu potroacutejnego wody (27316 K) odpowiada 001ordmC

W niniejszym skrypcie jako separator dziesiętny stosować będziemy znak kropki a nie przecinka

Jednostką liczności materii jest jeden mol [mol] Jest to liczność materii układu zawierającego liczbę cząsteczek roacutewną liczbie atomoacutew w masie 12 gramoacutew izotopu węgla 12C W jednym molu znajduje się ok 60221415(10)middot1023 cząsteczek Liczba ta jest nazywana stałą Avogadra (liczbą Avogadra) Ponieważ roacuteżne cząsteczki mają roacuteżną masę roacutewnocześnie z licznością należy podać rodzaj cząsteczek (cząsteczki atomy jony itp) lub też zdefiniować masę molową jako masę jednego mola danej substancji W opisie materii używa się roacutewnież masy atomowej ktoacutera określa ile razy masa jednego atomu danego pierwiastka chemicznego jest większa od jednostki zdefiniowanej jako 1 12 masy izotopu węgla 12C

Jednostką światłości jest kandela [cd] i definiuje się ja jako strumień energii (1 683 Wsr) wysyłany na sekundę w jednostkowy kąt prze-strzenny ndash steradian W definicji kandeli wykorzystuje się zielone świa-

CZYM JEST FIZYKA WIELKOŚCI FIZYCZNE JEDNOSTKI I WZORCE

Strona 13131313

tło monochromatyczne o długości 540 nm dla ktoacuterej to długości ludzkie oko charakteryzuje się największą czułością

Jednostką natężenia prądu elektrycznego jest amper [A] Prąd elektryczny jest uporządkowanym ruchem nośnikoacutew ładunku elektrycz-nego Natężenie prądu definiujemy jako stosunek wartości ładunku elek-trycznego ktoacutery przepływa przez przewodnik w jednostce czasu Z defi-nicji tej wynika jednostka natężenia prądu ndash amper ndash 1A=1Cs (ku-lombsekunda) Wzorzec pomiarowy jednego ampera definiujemy w na-stępujący sposoacuteb Jeżeli w dwoacutech roacutewnoległych prostoliniowych nieskończenie długich przewodach umieszczonych w proacuteżni w odleg-łości 1 m od siebie będzie płynął stały prąd o natężeniu jednego ampera (1A) to spowoduje on wzajemne oddziaływanie przewodoacutew z siłą roacutewną 2middot10-7N na każdy metr długości przewodu

Jako jednostek uzupełniających w układach opisywanych wspoacutełrzęd-nymi kątowymi używa się

bull radiana na oznaczenie kąta płaskiego [rad] Kąt pełny wy-nosi 2π radianoacutew Wartość kąta może być roacutewnież określana w stopniach ale w dalszej części tego skryptu jako miarę kąta przyjmować będziemy radiany

bull steradiana na oznaczenie kąta bryłowego [sr] Kąt pełny wynosi 4π sr

ROZDZIAŁ 1

Strona 14141414

13 Miano jednostek wielkości pochodnych

Tabela 11 Jednostki wielkości pochodnych układu SI Według rozporządzenia Rady Ministroacutew z dnia 30 listopada 2006r w sprawie legalnych jednostek miar

Wszystkie wielkości fizyczne mogą być opisane za pomocą jednostek wielkości podstawowych Dla wygody i prostoty zapisu wprowadzone zostały jednak jednostki wielkości pochodnych Przykładowo opisując siły działające w wybranym układzie moglibyśmy za każdym razem podawać jednostkę siły jako kg ms2 ale prościej i wygodniej jest ozna-czyć tę jednostkę symbolem N (1 Newton) W Tabeli 1 przedstawione są definicje przykładowych jednostek wielkości pochodnych tzw mian wielkości pochodnych

CZYM JEST FIZYKA WIELKOŚCI FIZYCZNE JEDNOSTKI I WZORCE

Strona 15151515

14 Rachunek mian operacje na jednostkach wielkości fizycznych

Wielkości skalarne i wektorowe

Wielkości fizyczne dzielimy na skalary i wektory Wielkości skalarne mają jedynie wartość Przykładem takich wielkości są energia masa czas czy ładunek elektryczny Wielkości wektorowe oproacutecz wartości (modułu) posiadają roacutewnież kierunek i zwrot Przykładem mogą być tutaj siła prędkość czy pęd W układzie wspoacutełrzędnych wektor opisuje-my podając jego składowe czyli rzuty tego wektora na osie układu

wspoacutełrzędnych Przykładowo ( ) k4j2i3324rrrr

++==v oznacza wek-

tor prędkości o składowych 3x =v ndash w kierunku x czyli wzdłuż werso-

ra ir

(wektora jednostkowego) 2v y = ndash w kierunku y wzdłuż wersora

jr

4z =v w kierunku z wzdłuż wersora kr

Działania na wektorach

Podstawowe działania na wektorach jakie będziemy wykorzystywać to dodawanie odejmowanie i mnożenie

Mnożenie

W wyniku mnożenia wektora br

przez skalar bcarr

= otrzymujemy

wektor ar

ktoacuterego kierunek jest zgodny z kierunkiem wektora br

zaś jego długość jest iloczynem długości wektora b oraz wielkości skalarnej

c bca = W przypadku gdy c lt 0 to zwrot wektora ar

jest przeciwny

niż br

To samo działanie możemy wykonać na składowych wektora

Przykładowo jeśli wektor ( )135b =r

wymnożymy skalarnie przez 3 otrzymujemy

( )391553k33j13ib3a =sdot+sdot+sdot==rrrrr

ROZDZIAŁ 1

Strona 16161616

Rysunek 11 Dodawanie wektoroacutew na płaszczyźnie a) i mnożenie wektorowe wektoroacutew b)

Dodawanie i odejmowanie wektoroacutew

Dodawanie wektoroacutew można przeprowadzić graficznie (rysunek 11) lub przez dodanie składowych określających wektory w wybranym układzie wspoacutełrzędnych Suma dwoacutech wektoroacutew jest roacutewnież wektorem Podob-nie jak poprzednio działanie dodawania można wykonać roacutewnież na składowych wektoroacutew Przykładowo dodając do siebie wektory

( )102a minus=r

( )135b =r

i ( )230c minus=r

otrzymujemy wektor

[ ] [ ] [ ] ( )184051k332j210id minus=++minus++++minus+=rrrr

Odejmowanie wektoroacutew przeprowadzamy podobnie ndash jeśli wykonujemy

operację barr

minus to do wektora ar

dodajemy wektor br

minus czyli wektor

o identycznej długości i kierunku co br

ale o przeciwnym zwrocie

Odejmowanie nie jest przemienne tzn działanie abrr

minus daje wektor

o przeciwnym zwrocie niż działanie barr

minus Przykładowo odejmując od

wektora ( )102a minus=r

wektor ( )135b =r

otrzymujemy wektor

( )611c minusminusminus=r

a wykonując działanie abrr

minus otrzymujemy wektor

( )116c =r

Iloczyn skalarny wektoroacutew

Iloczyn skalarny bacrr

sdot= jest iloczynem długości wektora ar

oraz rzutu

wektora br

na wektor ar

Iloczyn skalarny możemy zapisać inaczej jako

CZYM JEST FIZYKA WIELKOŚCI FIZYCZNE JEDNOSTKI I WZORCE

Strona 17171717

αcosbabac =sdot=rr

(12)

gdzie α jest kątem między wektorami ar

i br

Przykładem mnożenia skalarnego jest praca będąca iloczynem przesunięcia oraz rzutu siły wywołującej przesunięcie na kierunek tego przesunięcia Iloczyn skalar-ny uzyskuje maksymalną wartość gdy wektory są do siebie roacutewnoległe natomiast dla wektoroacutew prostopadłych wartość iloczynu skalarnego roacutewna jest zeru

Iloczyn wektorowy wektoroacutew

Wynikiem iloczynu wektorowego dwoacutech wektoroacutew ( bacrrr

times= ) jest wektor Długość tego wektora możemy obliczyć ze wzoru

αsinabc = (13)

gdzie α jest kątem między wektorami ar

i br

Kierunek tego wektora jest

prostopadły do płaszczyzny w ktoacuterej leżą wektory ar

oraz br

Zwrot

wektora cr

określa reguła śruby prawoskrętnej ndash jeśli będziemy kręcić

śrubą od wektora ar

do wektora br

po najmniejszym kącie to kierunek ruchu postępowego śruby wyznacza zwrot wektora będącego iloczynem

wektorowym bacrrr

times= Przykładem iloczynu wektorowego jest moment

siły FrMrrr

times= ndash mnożąc wektorowo wektor rr

określający położenie

punktu zaczepienia siły względem osi obrotu oraz wektor siły Fr

otrzy-

mujemy wektor momentu siły Mr

prostopadły do płaszczyzny w ktoacuterej oba wektory się znajdują

Iloczyn wektorowy uzyskuje wartość maksymalną gdy wektory ar

i br

są do siebie prostopadłe (α = π2) Gdy wektory są roacutewnoległe (α = 0) ich iloczyn wektorowy jest roacutewny zeru

Mnożenie wektorowe nie jest przemienne ndash w wyniku mnożenia wekto-

rowego abrr

times dostaniemy wektor o identycznej wartości i kierunku co

barr

times ale o przeciwnym zwrocie

Algebraicznie iloczyn dwoacutech wektoroacutew możemy przedstawić w postaci macierzy

ROZDZIAŁ 1

Strona 18181818

zyx

zyx

bbb

aaa

kji

ba

rrr

rr=times (14)

Po przekształceniach otrzymujemy

[ ]xyyxxzzxyzzy bababababababa minus+minusminus=timesrr

(15)

Rzuty wektoroacutew

Rozkładanie wektoroacutew na składowe czyli rzutowanie wektora na wybra-ne osie jest procedurą odwrotną do dodawania wektoroacutew pozwalającą wyznaczyć składowe wektora w wybranych kierunkach

Jeżeli rozpatrzymy wektor ar

na płaszczyźnie dwuwymiarowej tworzący kąt α z wyroacuteżnioną prostą składowa roacutewnoległa do tej prostej wynosi αcosaa =II (dla α = 0 wartość tej składowej wynosi aa =II

a dla α = π2 wynosi 0a =II ) zaś składowa prostopadła αsinaa =perp

Przykład

Rozłoacuteż siłę grawitacji działającą na ciało znajdujące się na powierzchni roacutewni o kącie nachylenia α na składową prostopadłą i roacutewnoległą do powierzchni roacutewni

Siła ciężkości ( mgFc = ) skierowana pionowo w doacuteł może być składo-

wą roacutewnoległą i prostopadłą do roacutewni (Rysunek 12) Ze względu na podobieństwo troacutejkątoacutew kąt α tworzący roacutewnię będzie roacutewnież występo-wał między siłą ciężkości i jej składowymi Składowa siły ciężkości roacutewnoległa do powierzchni roacutewni (siła ściągająca ciało) wynosi więc

αsinmgFII = a składowa prostopadła będąca siłą nacisku ciała na

roacutewnię αcosmgF =perp

CZYM JEST FIZYKA WIELKOŚCI FIZYCZNE JEDNOSTKI I WZORCE

Strona 19191919

Rysunek 12 Rozłożenie siły ciężkości działającej na ciało

na powierzchni roacutewni na składowe

ROZDZIAŁ 1

Strona 20202020

2 Opis ruchu

W tym rozdziale

o Układ odniesienia i układ wspoacutełrzędnych o Przemieszczenie i droga o Prędkość o Przyspieszenie

ROZDZIAŁ 2

Strona 22222222

21 Układ odniesienia i układ wspoacutełrzędnych

Opisując położenie obiektu musimy określić układ odniesienia czyli po-wiedzieć względem jakiego punktu będziemy opisywać położenie tego obiektu Na przykład opisując położenie samochodu zaparkowanego na ulicy między dwoma skrzyżowaniami przyjmujemy środek jednego ze skrzyżowań jako układ odniesienia Poza precyzyjnym określeniem względem jakiego punktu będziemy opisywać położenie samochodu istotne jest roacutewnież zdefiniowanie układu wspoacutełrzędnych W zależności od tego w ktoacuterą stronę będziemy zwroacuteceni stojąc na skrzyżowaniu nasz samochoacuted może być przed lub za nami z prawej lub lewej strony Po zdefiniowaniu okładu odniesienia oraz układu wspoacutełrzędnych położenie obiektu określamy podając jego odległość od osi układu wspoacutełrzędnych Rozpatrzmy samochoacuted zaparkowany na ulicy stojący w odległości 20m od skrzyżowania Samochoacuted jest obiektem przestrzennym ale w przy-padku gdy nie interesuje nas jak jest on zaparkowany (roacutewnolegle czy prostopadle) możemy zastąpić go punktem materialnym znajdującym się w środku samochodu o masie roacutewnej masie całego samochodu Jeśli interesuje nas jedynie odległość miejsca zaparkowania od skrzyżowania mierzona wzdłuż ulicy (rysunek 21 a) wybrany układ odniesienia ma tylko jeden wymiar ( x ) Jeżeli za początek układu przyjmiemy środek skrzyżowania woacutewczas położenie samochodu można opisać r = 20

Załoacuteżmy teraz że chcemy dokładniej opisać położenie samochodu (środ-ka masy samochodu) ndash będzie nas interesować nie tylko odległość mie-rzona wzdłuż ulicy ale roacutewnież położenie względem środka ulicy (czy samochoacuted zaparkowany jest tuż przy krawężniku czy na środku jezdni) W takim przypadku wprowadzimy dwuwymiarowy układ wspoacutełrzęd-nych Jeżeli przyjmiemy szerokość jezdni roacutewną 4m oraz ponownie za początek układu wspoacutełrzędnych przyjmiemy środek skrzyżowania to środek samochodu zaparkowanego przy chodniku będzie się znajdował w odległości 3m od osi jezdni (rysunek 21a) Wspoacutełrzędne zaparkowa-nego samochodu wynoszą więc x = 20 i y = minus3 a jego położenie możemy

opisać wektorem 3)(20minus=rr

Gdybyśmy natomiast chcieli opisać położenie środka masy samochodu z uwzględnieniem wysokości względem drogi potrzebna będzie trzecia wspoacutełrzędna z i troacutejwymiarowy układ wspoacutełrzędnych Przyjmując po-

OPIS RUCHU

Strona 23232323

nownie za początek układu wspoacutełrzędnych środek skrzyżowania zakła-dając że ulica jest pozioma oraz że środek masy samochodu znajduje się poacuteł metra nawierzchnią ulicy otrzymujemy wektor położenia środka ma-sy samochodu 305)(20r minus=

r

Rysunek 21 Opis położenia samochodu

a) z lewej ndash w układzie kartezjańskim dwuwymiarowym b) z prawej ndash w układzie biegunowym dwuwymiarowym

Warto zauważyć że zdefiniowany w powyższym przykładzie układ wspoacutełrzędnych jest układem prostokątnym (osie są wzajemnie prostopa-dłe) Taki układ nazywany jest roacutewnież układem kartezjańskim W pew-nych przypadkach znacznie wygodniejszy niż układ kartezjański jest tzw układ biegunowy W układzie tym położenie obiektu wyznacza wspoacutełrzędna radialna r oraz kąt α pod jakim widać obiekt względem wyroacuteżnionego kierunku Gdyby samochoacuted został zaparkowany w dziel-nicy o gwiaździstym układzie ulic (w Warszawie przykładem takiej za-budowy są Stary Żoliborz czy okolice gmachu głoacutewnego Politechniki Warszawskiej) jego położenie można by określić podając odległość od środka ronda oraz kąt (rysunek 21 b)

22 Przemieszczenie i droga

Przemieszczenie obiektu r∆r

definiujemy jako zmianę jego położenia czyli roacuteżnicę wektora opisującego położenie końcowe kr

r oraz początko-

we prr

obiektu

pk rrr∆rrr

minus= (21)

ROZDZIAŁ 2

Strona 24242424

Widzimy że tak zdefiniowany wektor zależy jedynie od początkowego i końcowego położenia ciała a nie od toru wzdłuż ktoacuterego ciało się poru-sza Wektor przemieszczenia nie określa toru po jakim ciało się prze-mieszcza z położenia początkowego do końcowego Dlatego w opisie ruchu ciała często wyznaczamy drogę przebytą przez ciało oznaczaną symbolem s ktoacutera jest roacutewna długości toru po ktoacuterym ciało się porusza W odroacuteżnieniu od wektora przemieszczenia droga jest wielkością skalarną

23 Prędkość

Kolejnym parametrem określającym stan ruchu ciała jest jego pręd-

kość vr

Prędkość średnią obiektu można zdefiniować na dwa sposoby

Prędkość średnią definiujemy jako przemieszczenie obiektu ktoacutere nastąpiło na jednostkę czasu

∆t

r∆r

r=v (22)

Tak wyrażona wielkość jest wektorem i zawiera informację o kierunku ruchu obiektu Warto jednak zauważyć że jeśli ruch nie odbywa się wzdłuż prostej wartość wektora średniej prędkości będzie znacznie od-biegać od rzeczywistej prędkości obiektu

Prędkość średnią można roacutewnież definiować za pomocą drogi pokonanej przez ciało w określonym czasie

∆t

∆s=v (23)

Wyliczona w ten sposoacuteb średnia prędkość obiektu jest skalarem i dobrze oddaje wartość średniej prędkości obiektu zaroacutewno w przypadku ruchu prostoliniowego jak i krzywoliniowego Nie zawiera jednak informacji o kierunku ruchu

Dobrym przykładem pozwalającym zrozumieć definicję prędkości jest ruch windy w pionowym szybie Załoacuteżmy że winda potrzebowała n sekund żeby przemieścić się z parteru na wysokość x [m] Dla wygody początek układu wspoacutełrzędnych umieścimy na wysokości roacutewnej

OPIS RUCHU

Strona 25252525

wysokości środka masy windy a zwrot osi ndash oznaczonej jako x minus skierujemy do goacutery W takim przypadku długość wektora przemieszcze-nia jest roacutewna przebytej przez ciało drodze i niezależnie od wyboru jednej z dwu powyższych definicji otrzymamy identyczną wartość prędkości

t

xv

∆

∆= (24)

Rysunek 22 Wyznaczanie średniej prędkości ciała

Na rysunku 22 przedstawiony został wykres położenia ciała w funkcji czasu Wyznaczając średnią prędkość ruchu tego ciała rysujemy cięciwę łączącą punkt początkowy oraz końcowy na tym wykresie a następnie wyznaczamy kąt nachylenia tej cięciwy Tangens tego kąta nachylenia roacutewny będzie co do wartości stosunkowi długości odcinkoacutew ∆x oraz ∆t i definiuje średnią prędkość ciała

Tak uzyskana wartość prędkości średniej nie zawiera jednak pełnej in-formacji o prędkości windy ndash początkowo winda znajduje się w spo-czynku następnie jej prędkość się zwiększa na odcinku między piętrami pozostaje stała a na najwyższym piętrze prędkość zmniejsza się aż do zatrzymania windy Pełniejsze dane dotyczące prędkości w poszcze-goacutelnych stadiach ruchu możemy otrzymać dzieląc wykres na mniejsze odcinki W ten sposoacuteb wyliczamy średnią prędkość windy w czasie ru-szania z miejsca średnią prędkość windy pomiędzy piętrami i średnią prędkość w trakcie hamowania Podobnie jak poprzednio wartość śred-niej prędkości wyliczonej dla danego odcinka jest roacutewna tangensowi kąta nachylenia krzywej wyliczonemu dla danego odcinka Warto zwroacute-

ROZDZIAŁ 2

Strona 26262626

cić uwagę że dla odcinka między piętrami gdzie prędkość jest stała ob-liczona średnia prędkość jest roacutewna rzeczywistej prędkości windy

Zgodnie z roacutewnaniem 23 wyznaczając prędkość średnią ciała rozpatru-jemy drogę ∆s jaką ciało to pokona w czasie ∆t Jeżeli rozpatrywane odstępy czasowe będą nieskończenie kroacutetkie czyli ∆trarr0 co oznaczamy symbolem dt woacutewczas wyznaczona w ten sposoacuteb prędkość będzie prędkością chwilową ciała Dla takich infinitezymalnych przedziałoacutew czasowych wartość przemieszczenia ciała oraz droga przebyta przez to ciało są sobie roacutewne a prędkość chwilową możemy zdefiniować

d

dlim

0 t

r

t

rv

t

rrr

=∆

∆=

rarr∆ (25)

Ze wzoru 25 wynika że prędkość chwilowa jest roacutewna pochodnej wek-tora położenia po czasie liczonej dla danej chwili Geometryczna inter-pretacja pochodnej to tangens kąta nachylenia stycznej do wykresu w danym punkcie Tak więc żeby wyznaczyć prędkość chwilową należy na wykresie drogi przebytej w funkcji czasu narysować styczną do tej krzywej w interesującym nas punkcie Im szybciej będzie się zmieniało położenie ciała tym bardziej stromy będzie wykres położenia w funkcji czasu i w efekcie większa wartość prędkości chwilowej

24 Przyspieszenie

Przyspieszenie chwilowe ciała definiujemy jako pochodną prędkości po czasie Przyspieszenie opisuje więc tempo zmian prędkości w danej chwili ruchu i wyraża się w ms2

2

2

d

d

d

) ddd(

d

)(d

t

s

t

ts

t

tva === (26)

Podobnie jak w przypadku prędkości chwilowej przyspieszenie chwilo-we jest roacutewne tangensowi kąta nachylenia krzywej określającej zależ-ność prędkości od czasu obliczonemu dla danej chwili ruchu Przeanali-zujmy jeszcze raz omawiany wcześniej ruch windy wykreślając zależ-ność prędkości windy od czasu Kiedy winda rusza z miejsca i jej prędkość jednostajnie narasta to styczna do tej krzywej będzie taka sama w każdym punkcie a więc otrzymujemy stałą dodatnią wartość przy-spieszenia Na odcinku pomiędzy piętrami wartość prędkości windy nie

OPIS RUCHU

Strona 27272727

zmienia się a więc kąt nachylenia krzywej prędkości względem osi czasu wynosi zero ndash wartość przyspieszenia jest roacutewnież zerowa Kiedy winda hamuje wykres prędkości od czasu jest liniowy a jego nachylenie przyjmuje wartość ujemną ndash zatem i przyspieszenie jest ujemne (opoacuteźnienie)

Wykresy przyśpieszenia prędkości oraz położenia od czasu dla oma-wianej windy przedstawione są na rysunku 23 Droga przebyta przez windę w początkowym etapie ruchu jest proporcjonalna do kwadratu czasu i może być wyrażona zależnością typu s = kt

2 gdzie k wyraża pewien stały wspoacutełczynnik Pochodna takiej funkcji jest funkcją liniową co oznacza że prędkość windy rośnie liniowo w funkcji czasu Podczas jednostajnego hamowania droga pokonywana przez windę roacutewnież będzie opisana funkcją kwadratową jednak w tym przypadku długość odcinkoacutew pokonywanych przez nią w jednostce czasu będzie malała z kwadratem czasu W tym etapie ruchu prędkość roacutewnież będzie się zmieniała liniowo ale tym razem prędkość będzie malała jednostajnie w czasie Pomiędzy piętrami nachylenie krzywej zależności drogi od czasu jest wielkością stałą w każdej chwili czasu ndash zatem roacutewnież prędkość jest stała

ROZDZIAŁ 2

Strona 28282828

Rysunek 23 Wykres zależności czasowej położenia prędkości

i przyśpieszenia poruszającej się w goacuterę windy

Warto poroacutewnać otrzymane zależności ze znanymi wzorami opisującymi ruch jednostajny i jednostajnie przyspieszony W ruchu prostoliniowym jednostajnie przyspieszonym przyspieszenie a ma wartość stałą ndash prędkość wyraża się wzorem

atvv += 0 (27)

gdzie 0v ndash prędkość początkowa obiektu

Pokonana przez ciało droga s wyraża się natomiast wzorem

2

2

00

attvss ++= (28)

OPIS RUCHU

Strona 29292929

gdzie s0 oznacza drogę początkową Jak łatwo zauważyć wielkości te są ze sobą powiązane zależnościami roacuteżniczkowymi ndash obliczając pochodną drogi po czasie otrzymujemy prędkość a obliczając z kolei pochodną prędkości otrzymujemy przyspieszenie ktoacutere jest stałe

ROZDZIAŁ 2

Strona 30303030

3 Dynamika

W tym rozdziale

o Zasady dynamiki Newtona o Zasada superpozycji o Zasada zachowania pędu

ROZDZIAŁ 3

Strona 32323232

31 Zasady dynamiki Newtona

Dynamika zajmuje się przyczynami zmian ruchu Ilość tego ruchu lub też stan ruchu danego ciała opisuje pęd Pęd ciała jest proporcjonalny zaroacutewno do prędkości poruszającego się ciała jak i jego masy ndash im szybciej ciało się porusza oraz im większą ma masę tym większa ilość ruchu związana jest z tym ciałem czyli tym większy jest jego pęd Jednostką pędu jest kg ms Pęd jest wektorem skierowanym zgodnie z kierunkiem prędkości ciała

vrr

mp = (31)

Dynamikę ruchu ciała czyli przyczyny zmian pędu ciała wyjaśniają zasady dynamiki Newtona Zasady dynamiki Newtona są prawami pierwszymi ktoacuterych nie można wyprowadzić ani udowodnić za pomocą innych praw Zasady dynamiki Newtona są ścisłym matematycznym ujęciem powszechnych obserwacji dotyczących poruszających się obiektoacutew

Druga zasada dynamiki Newtona

Nasze rozważania rozpoczniemy od II zasady dynamiki Newtona

Wyobraźmy sobie że chcemy rozpędzić ciężki woacutezek Z codziennych doświadczeń wynika że taki sam efekt możemy osiągnąć w wyniku kroacutetkotrwałego ale bardzo mocnego pchnięcia jak i długotrwałego popy-chania woacutezka z niewielką siłą Można roacutewnież powiedzieć że im więk-sza jest wartość siły działającej na ciało oraz im dłużej ona działa czyli im większy jest popęd tej siły tym większą zmianę pędu ona wywoła Zależność tę możemy zapisać w postaci

tF dpdvr

= (32)

Powyższy wzoacuter można przekształcić i zapisać w postaci roacuteżniczkowej (dla infinitezymalnie kroacutetkiego przedziału czasowego dt )

t

pF

d

dr

r= (33)

DYNAMIKA

Strona 33333333

Miarą siły działającej na ciało jest pochodna jego pędu po czasie

Powyższe sformułowanie oraz roacutewnanie 33 jest wspoacutełczesnym zapisem II zasady dynamiki Newtona

Definicja siły za pomocą pochodnej pędu ciała po czasie oznacza że jeżeli wykreślimy zależność pędu ciała od czasu to nachylenie stycznej do krzywej obrazującej zmiany wartości pędu od czasu będzie propor-cjonalne do wartości siły działającej na ciało

Żeby dokładniej zrozumieć znaczenie II zasady dynamiki Newtona wy-liczmy teraz wartość pochodnej pędu po czasie pamiętając że pęd jest wielkością złożoną tzn zależy zaroacutewno od masy jak i prędkości ciała

( )

vt

mm

t

v

t

mvF

d

d

d

d

d

d+== (34)

Powyższe roacutewnanie jest tzw roacuteżniczkowym roacutewnaniem ruchu ciała Pierwszy człon tego roacutewnania jest roacutewny iloczynowi masy i przyśpiesze-nia (pochodna prędkości po czasie) Widzimy zatem że im większa jest masa ciała tym trudniej jest mu nadać przyśpieszenie ndash masa jest miarą bezwładności ciała Drugi człon roacutewnania opisuje przypadki kiedy zmiana pędu następuje w wyniku zmiany masy ciała Przykładem takiego układu w ktoacuterym zmienia się masa może być rakieta Podczas startu z dysz rakiety wyrzucany jest strumień spalin ktoacutery wywołuje jej ruch ale roacutewnież zmniejsza masę całego obiektu Dla układoacutew ktoacuterych masa nie zmienia się drugi człon roacutewnania 34 wynosi zero i roacuteżniczko-we roacutewnanie ruchu można zapisać w postaci uproszczonej ndash siła F działająca na ciało o masie m nadaje mu przyspieszenie a o kierunku i zwrocie takim samym jak działająca siła

amFrr

= (35)

Pierwsza zasada dynamiki Newtona

Rozpatrzmy teraz przypadek kiedy pęd ciała jest stały czyli jego pręd-kość nie zmienia się w czasie Woacutewczas wykres zależności pędu od czasu jest linią poziomą czyli kąt nachylenia tej krzywej i zarazem tangens kąta stycznej do tej krzywej jest w każdym punkcie taki sam i wynosi zero Oznacza to że pochodna pędu po czasie w każdej chwili ruchu roacutewnież wynosi zero Zgodnie z II zasadą dynamiki Newtona

ROZDZIAŁ 3

Strona 34343434

jeżeli pochodna pędu po czasie wynosi zero to wypadkowa siła działająca na ciało roacutewnież musi wynosić zero Ten przypadek zachowa-nia się ciała pod wpływem zerowej wypadkowej siły opisuje I zasada

dynamiki Newtona

Jeżeli na ciało nie działa żadna siła albo siły działające roacutewno-ważą się to stan ruchu ciała nie ulega zmianie jeśli poruszało się prostoliniowo jednostajnie to będzie nadal trwało w tym ru-chu a jeśli było w spoczynku to nadal pozostaje w spoczynku

Zasada ta nazywana jest roacutewnież zasadą bezwładności ndash ciało nie jest władne zmienić stanu swego ruchu jeżeli nie działa na nie siła

Trzecia zasada dynamiki Newtona

Względem każdego działania (akcji) istnieje roacutewne mu przeciw-działanie (reakcja) skierowane przeciwnie tj wzajemne od-działywania dwoacutech ciał są zawsze roacutewne sobie i skierowane przeciwnie

Zgodnie z III zasadą dynamiki Newtona jeżeli jakieś ciało A działa na ciało B pewną siłą to roacutewnież ciało B działa na ciało A siłą roacutewną co do wartości ale o przeciwnym zwrocie co zapisujemy

A na BB naA FFrr

minus= (36)

Rozpatrzmy uderzenie ręką piłki siatkowej W momencie uderzenia działamy na piłkę siłą ktoacutera wywołuje jej ruch ale zgodnie z III zasadą dynamiki Newtona roacutewnież piłka działa na naszą dłoń z tą samą siłą lecz o przeciwnym zwrocie Gdy odbijamy piłkę lekko czyli działamy na nią niewielką siłą roacutewnież siła reakcji ma niewielką wartość ale przy moc-nym uderzeniu czyli gdy działamy na piłkę z dużą siłą występuje roacutewnie duża siła reakcji ktoacuterą odczuwamy jako ucisk czy nawet boacutel dłoni

Zasada superpozycji

Opisując ruch ciał pod wpływem działających na nie sił należy pamiętać że zaroacutewno siła jak i pęd są wektorami Szukając więc siły wypadkowej z kilku sił składowych działających na ciało należy dodać wektorowo wszystkie siły składowe Zmiana pędu będzie następowała w tym samym kierunku co ta wypadkowa siła W przypadku gdy roacuteżniczkowe

DYNAMIKA

Strona 35353535

roacutewnania ruchu dla każdego z kierunkoacutew w ktoacuterych działają siły składowe są liniowe możemy skorzystać z zasady superpozycji Zgod-nie z zasadą superpozycji wypadkowe zachowanie ciała pod wpływem kilku składowych sił może być opisane jako złożenie ruchoacutew wywoła-nych każdą z sił z osobna

Zasadę superpozycji wykorzystamy do opisu ruchu ciała rzuconego z prędkością początkową v0 pod pewnym kątem α względem powierz-chni Ziemi (rzut ukośny) Jeżeli chwilowo zaniedbamy opory powietrza to na takie ciało będzie działała tylko siła grawitacji skierowana wzdłuż osi pionowej ( y ) A więc tylko w kierunku pionowym będziemy obser-wowali zmianę ruchu (zmianę pędu) ciała W kierunku poziomym x natomiast na ciało nie działa żadna siła a więc pęd się nie zmienia i ruch jest jednostajny Wypadkowy ruch ciała rzuconego ukośnie jest więc złożeniem ruchu jednostajnie przyspieszonego w kierunku pionowym (pod wpływem przyspieszenia g) oraz jednostajnego w kierunku pozio-mym i może być opisany krzywą paraboliczną

32 Zasada zachowania pędu

Rozpatrzmy układ odosobniony w ktoacuterym na ciała nie oddziałują żadne siły zewnętrzne a jedynie siły wzajemnych oddziaływań Zgodnie z III zasadą dynamiki Newtona takie siły wzajemnych oddziaływań między każdymi dwoma ciałami układu są identyczne co do wartości lecz mają przeciwne zwroty Wypadkowa siła działająca na cały układ jest woacutewczas zerowa a więc zgodnie z I zasadą dynamiki Newtona całkowity pęd układu nie zmienia się w czasie Oznacza to że jeżeli w takim układzie odosobnionym nastąpi zmiana pędu jednego ciała o ∆p to pęd drugiego ciała (lub pozostałych ciał) musi roacutewnież ulec zmianie o taką samą wartość lecz o przeciwnym zwrocie (-∆p) W ten sposoacuteb dochodzimy do zasady zachowania pędu ktoacutera może być zapisana w następujący sposoacuteb

W układzie odosobnionym całkowity pęd układu (suma pędoacutew wszystkich ciał) jest wielkością stałą

0p∆

constppi

i

=

==sumr

rr

(37)

ROZDZIAŁ 3

Strona 36363636

Ponieważ pęd jest wielkością wektorową w przypadku zdarzeń opisywa-nych w więcej niż jednym wymiarze zasada zachowania pędu jest speł-niona niezależnie dla każdego z kierunkoacutew W troacutejwymiarowym ukła-dzie kartezjańskim zasadę zachowania pędu można więc zapisać

0p∆

0p∆

0p∆

z

y

x

=

=

=

(38)

Przykład 1

Zastosujmy najpierw zasadę zachowania pędu dla przykładu jednowy-miarowego Rozpatrzmy nieruchomy pocisk o masie m ktoacutery w wyniku wybuchu ulega rozerwaniu na dwie części o masach 13m oraz 23m Większa część porusza się w prawo z prędkością 0v Z jaką prędkością

i w ktoacuterą stronę poruszać się będzie mniejsza część pocisku

Ponieważ układ jest odosobniony to zgodnie z zasadą zachowania pędu całkowity pęd układu nie ulega zmianie Czyli jeżeli pęd układu przed wystrzałem wynosił zero (pocisk był nieruchomy) to roacutewnież pęd koń-cowy będący sumą pędoacutew obu części pocisku będzie roacutewny zeru Zasadę zachowania pędu w tym przypadku możemy zapisać

vmvm 31

0320 += (39)

02vv minus= (310)

Znak minus w powyższym wyniku oznacza że wektor prędkości mniej-szej części pocisku ma zwrot przeciwny do wektora prędkości większej części pocisku

DYNAMIKA

Strona 37373737

Rysunek 31 Zderzenie dwoacutech kul

Przykład 2

Zastosujmy teraz zasadę zachowania pędu dla układu dwuwymiarowego Rozważmy zderzenie dwoacutech identycznych kul bilardowych o masie m każda W chwili początkowej kula B jest nieruchoma i uderza w nią kula

A poruszająca się wzdłuż osi x z prędkością 0v W jakim kierunku i z jaką prędkością będzie się poruszała po zderzeniu kula B jeżeli po zderzeniu kula A porusza się z prędkością 0 05 v wzdłuż osi y jak na

rysunku 31

Podobnie jak w poprzednim przykładzie zakładamy że rozważany układ jest układem odosobnionym a więc całkowity pęd układu dwoacutech kul przed i po zderzeniu jest taki sam W szczegoacutelności składowe pędu całkowitego układu w kierunku każdej z osi układu odniesienia roacutewnież nie zmieniają się Przed zderzeniem w kierunku osi x całkowity pęd układu był roacutewny pędowi kuli A (tylko kula A porusza się w kierunku x a kula B jest nieruchoma) natomiast po zderzeniu tylko prędkość kuli B ma pewną składową wzdłuż osi x a więc po zderzeniu pęd całkowity układu w kierunku osi x jest roacutewny składowej pędu kuli B Zasadę zachowania pędu dla kierunku x możemy zatem zapisać

BXB0A

xkoncowy x poczatkowy

mm

pp

vv =

= (311)

ROZDZIAŁ 3

Strona 38383838

W kierunku osi y pęd początkowy układu wynosi zero (żadna z kul nie porusza się wzdłuż osi y) zaś pęd końcowy związany jest z kulą A poruszającą się w goacuterę w kierunku osi y oraz kulą B ktoacuterej prędkość ma składową o zwrocie przeciwnym niż oś y (składowa w doacuteł) Zasadę zachowania pędu dla kierunku y możemy więc zapisać

ByBAyA

ykoncowy y poczatkowy

mm0

pp

vv minus=

= (312)

Uwzględniając αcosBBx vv = αsinBBy vv = 0Ay 05 vv = oraz

przyjmując mmm BA == układ roacutewnań 311 oraz 312 możemy przekształcić do postaci

=sdot

sdot=

α

α

sinm05m

cosmm

B0

B0

vv

vv (313)

a następnie wyznaczyć prędkość kuli B oraz kąt pod jakim poruszać się będzie kula B

==

=

4tg

22

21

0B

παα

vv (314)

Kula B poruszać się więc będzie z prędkością 22

0B vv = w prawo

i w doacuteł pod kątem π4 względem osi x

Zasada zachowania pędu jest wykorzystywana i pozwala wyjaśnić dzia-łanie między innymi silnikoacutew odrzutowych samolotoacutew czy strumienio-wych łodzi W silniku odrzutowym powietrze jest najpierw zasysane do komory silnika w ktoacuterej ulega kompresji W skompresowanym powie-trzu następuje spalanie benzyny a gorące spaliny opuszczają dyszę silni-ka z dużą prędkością Pęd wyrzucanych spalin wywołuje w tym przypad-ku zmianę pędu silnika a przez to całego samolotu Konstrukcje innego typu wykorzystujące strumień rozpędzonych jonoacutew (naładowanych czą-stek) używane są do pozycjonowania satelitoacutew i sond kosmicznych Silniki oparte na zasadzie odrzutu wykorzystywane są roacutewnież w napę-dzie skuteroacutew wodnych i nowoczesnych łodzi podwodnych W tym drugim przypadku hałas wytwarzany przez układ napędowy jest niższy niż w tradycyjnym rozwiązaniu ze śrubą napędową Należy pamiętać że

DYNAMIKA

Strona 39393939

roacutewnież w przypadku śrub śmigieł i wirnikoacutew napędowych wykorzystu-jemy w mniejszym lub większym stopniu zjawisko odrzutu

ROZDZIAŁ 3

Strona 40404040

4 Praca i energia

W tym rozdziale

o Praca o Pole sił zachowawczych i niezachowawczych o Pole sił grawitacyjnych praca i energia w polu sił

grawitacyjnych o Ruch po okręgu ruch planet wokoacuteł Słońca prawa

Keplera o Energia potencjalna sprężystości o Energia kinetyczna o Zasada zachowania energii mechanicznej o Zderzenia

ROZDZIAŁ 4

Strona 42424242

41 Praca

W języku potocznym pojęcie pracy ma wiele znaczeń Moacutewimy o pracy umysłowej (na przykład uczenie się do egzaminoacutew) ale najczęściej z po-jęciem pracy wiąże się przemieszczaniem ciała Jeżeli na przykład prze-suwamy meble w pokoju to tym bardziej się zmęczymy im dalej przesu-niemy dany mebel Wiemy roacutewnież że bardziej męczące jest przesuwa-nie ciężkiej kanapy niż lekkiego krzesła oraz że dużo łatwiej jest przesu-wać meble po gładkiej podłodze niż po dywanie Tak więc moglibyśmy powiedzieć że tym bardziej się zmęczymy (wykonamy większą pracę) im trudniej jest nam przesuwać ciało (pokonać większą siłę) oraz im dalej to ciało przesuniemy (większe przemieszczenie) W ten sposoacuteb dochodzimy do fizycznej definicji pracy

Praca jest roacutewna iloczynowi przemieszczenia oraz siły ktoacutera te przemieszczenie wywołuje Praca jest wielkością skalarną wyra-żaną w dżulach (ang Joul) [J] i w ogoacutelności może być zdefinio-wana jako iloczyn skalarny siły i przesunięcia

αcos sFsFW =sdot=rr

(41)

gdzie α oznacza kąt między wektorem siły i przesunięcia

Rysunek 41 Praca jako iloczyn skalarny siły i przesunięcia

Taka definicja pracy uwzględnia fakt że pracę wykonuje tyko składowa siły roacutewnoległa do wektora przesunięcia Na przykład jeśli przesuwamy skrzynię po podłodze na odległość D = 3m ciągnąc ją za uchwyt siłą F = 20N skierowaną pod kątem α = 45ordm do poziomu to zgodnie z po-wyższym wzorem wykonamy pracę W = 423J Zależnie od wartości sił tarcia wykonana praca może być w całości zużyta na pokonanie sił tar-cia na tej drodze bądź (jeśli podłoga jest śliska) na nadanie dodatkowo skrzyni przyspieszenia

PRACA I ENERGIA

Strona 43434343

Definicja pracy przedstawiona w roacutewnaniu (41) słuszna jest jeśli za-roacutewno siła działająca na ciało jak i kąt między tą siłą a przesunięciem mają stałą wartość Jeśli natomiast wartość siły lub kąta pomiędzy kie-runkiem siły a wektorem przemieszczenia zmienia się podczas ruchu musimy zastosować inną procedurę obliczania pracy całkowitej Ponie-waż praca jest wielkością addytywną czyli całkowita praca wykonana na określonej drodze jest roacutewna sumie prac wykonanych na poszczegoacutelnych jej odcinkach to możemy całą drogę podzielić na takie odcinki dla ktoacuterych wartość siły i kąta między siłą a przemieszczeniem są stałe

nnn222111 coscoscos ααα xFxFxFW +++= (42)

Przykładowo praca wykonana przy przesuwaniu kanapy w pokoju mogłaby zostać podzielona na dwie składowe ndash przesunięcia po dywanie oraz po parkiecie

Opisaną procedurę obliczania pracy całkowitej można roacutewnież przedsta-wić w formie graficznej jako procedurę wyznaczania pola pod wykresem

zależności siły od przesunięcia Jeżeli na pewnym odcinku drogi nx siła

ma stałą wartość nF to pole pod takim odcinkiem wykresu wynosi

nn xF i jest roacutewnoznaczne wykonanej pracy

Jeżeli siła zmienia swoją wartość lub zwrot w każdej chwili czasu nie-zbędne jest podzielenie drogi na nieskończenie wiele bardzo małych kawałeczkoacutew (infinitezymalnie małych) dla ktoacuterych można przyjąć stałą wartość działającej siły Praca całkowita będzie sumą składowych prac wyznaczonych dla każdego z takich infinitezymalnych odcinkoacutew Proce-dura taka odpowiada matematycznej operacji całkowania i możemy ją zapisać w postaci

( ) ( )int=

=

=b

a

)( dcos x

x

xxxFW α (43)

lub w zapisie wektorowym

( )int=

=

sdot=b

a

dx

x

xxFWrr

(44)

W powyższym zapisie wprowadziliśmy znak całki oznaczonej ktoacutery oz-nacza że sumowanie składowych wartości pracy przeprowadzane jest od punktu x = a do x = b

ROZDZIAŁ 4

Strona 44444444

Aby wyjaśnić sposoacuteb obliczania całki oznaczonej rozpatrzmy najpierw całkę nieoznaczoną

( ) ( )int= xxfxg d (45)

gdzie int jest symbolem całkowania (jest to stylizowana litera s i odpo-

wiada sumowaniu) dx ndash zmienną całkowania f(x) ndash funkcją podcałkową zaś g(x) jest funkcją pierwotną Operacja całkowania jest operacją odwrotną do roacuteżniczkowania i oznacza że szukamy takiej funkcji g(x) ktoacuterej pochodna po zmiennej x będzie roacutewna funkcji podcałkowej f(x)

)(d

)(dxf

x

xg= (46)

Należy podkreślić że funkcję g(x) będącą wynikiem całkowania znamy z dokładnością do stałej ndash dodanie do funkcji g(x) dowolnej stałej C nie zmienia jej pochodnej f(x) Zatem wzoacuter 45 należy przepisać w postaci

( ) ( )int=+ xxfxg dC (47)

Rozpatrzmy teraz całkę oznaczoną

a)(b)()d(Zb

a

=minus=== int=

=

xgxgxxf

x

x

(48)

gdzie x = a jest dolną granicą całkowania zaś x = b jest goacuterną granicą całkowania

W wyniku obliczania całki oznaczonej w przeciwieństwie do całki nie-oznaczonej otrzymujemy liczbę (Z) a nie funkcję (g(x)) W praktyce w celu wyznaczenia wartości Z takiej całki oznaczonej najpierw znajdu-jemy funkcję g(x) będącą rozwiązaniem całki nieoznaczonej z funkcji f(x) a następnie od wartości tej funkcji w goacuternej granicy całkowania (g(x=b)) odejmujemy wartość otrzymaną w dolnej granicy całkowania (g(x=a))

Przykłady

Przykład 1 Jaką pracę należy wykonać by wciągnąć ciało o masie m po gładkiej roacutewni pochyłej o kącie nachylenia α na wysokość H Opory ruchu zaniedbujemy

PRACA I ENERGIA

Strona 45454545

Rysunek 42 Ruch ciała po roacutewni pochyłej

Załoacuteżmy że działamy na ciało siłą F skierowaną wzdłuż powierzchni roacutewni Ciężar ciała (mg) skierowany pionowo w doacuteł rozkładamy na dwie dwie składowe roacutewnoległą do roacutewni siłę ściągającą ciało w stronę podstawy roacutewni Fs oraz prostopadłą do roacutewni siłę nacisku FN Aby wciągać ciało siła F musi roacutewnoważyć siłę zsuwającą Fs

αsinmgF S = (49)

Droga na ktoacuterej wykonujemy pracę jest roacutewna

αsinHS = (410)

Zatem całkowita praca wynosi

mgHSFW S == (411)

Wynik ten jest identyczny jaki uzyskamy gdybyśmy podnosili ciało pionowo w goacuterę Tak więc jeżeli zaniedbamy opory ruchu praca (w polu grawitacyjnym) nie zależy od drogi po ktoacuterej przesuwamy ciało a jedy-nie od położenia punktu początkowego i końcowego

Przykład 2 Jaką pracę należy wykonać by wciągnąć ciało o masie m po roacutewni pochyłej o kącie nachylenia α na wysokość H jeśli wspoacutełczynnik tarcia kinetycznego o powierzchnię roacutewni wynosi micro

W tym przypadku wciągając przedmiot po roacutewni podobnie jak w po-przednim zadaniu roacutewnież musimy pokonywać siłę ściągającą ciało ku podstawie roacutewni Fs wykonując pracę roacutewną W1 = mgH Ponieważ na roacutewni występuje dodatkowo siła tarcia T do wciągnięcia ciała niezbędna będzie roacutewnież dodatkowa praca Siła tarcia jest proporcjonalna do siły

ROZDZIAŁ 4

Strona 46464646

nacisku ciała na powierzchnię FN (wypadkowa wszystkich sił działają-cych w kierunku prostopadłym do powierzchni) a jej kierunek i zwrot są zawsze przeciwne wektorowi przemieszczenia ndash tarcie przeciwdziała ruchowi ciała

SFT N= (412)

Tak więc praca związana z pokonaniem siły tarcia wynosi

SFSTW N2 micro== (413)

gdzie

αcosmgFN = (414)

Zatem całkowita praca wciągnięcia ciała po roacutewni pochyłej o kącie nachylenia α na wysokość H jest roacutewna

( )α

HαmicroαmgWWW

sincossin21 +=+= (415)

Przykład 3 Jaką pracę należy wykonać by oproacuteżnić przydomowy kolek-tor ściekowy o głębokości D = 2m i objętości V = 6m3 do cysterny Za-roacutewno zbiornik kolektora jak i zbiornik cysterny mają identyczne wy-miary Przyjmij że dno zbiornika cysterny znajduje się na identycznej wysokości jak goacuterna powierzchnia zbiornika kolektora

Rysunek 43 Przepompowywanie wody z kolektora ściekowego

do cysterny

Problem z pozoru wydaje się prosty ndash należy unieść pewną ilość wody na określoną wysokość Zauważamy że praca do wpompowania pierw-

PRACA I ENERGIA

Strona 47474747

szej porcji wody z powierzchni kolektora jest niewielka ndash dno cysterny znajduje się na identycznej wysokości co powierzchnia zbiornika Jed-nak po wpompowaniu do cysterny pierwszej porcji wody wytworzy ona warstwę o wysokości dh zaś poziom płynu w zbiorniku obniży się o dh i następna porcja musi być uniesiona na wysokość odpowiednio większą

Podzielmy rozwiązanie tego zagadnienia na dwa etapy ndash wypompowanie wody ze zbiornika na poziom ziemi (praca W1) oraz wpompowanie wody z poziomu ziemi do cysterny (W2) Będziemy rozpatrywać jednakowe małe porcje wody ndash warstwy o wysokości dh Masę takiej warstwy możemy wyrazić jako dm = Sρdh gdzie ρ jest gęstością wody a S polem przekroju zbiornika (roacutewnież cysterny) a siła użyta do podniesienia każdej takiej porcji wody ma tę samą stałą wartość Praca wykonana na podniesienie tej warstwy na wysokość h wynosi dW = Sρhdh Przy oproacuteżnianiu zbiornika porcję wody początkowo będziemy podnosić na wysokość 0 a na końcu na wysokość D ndash wielkości te będą granicami całkowania przy wyliczaniu pracy W1

2

DMg

2

DSρρhhgρSW

2D

0

1 === int d (416)

gdzie przez M możemy oznaczyć całkowitą masę wody roacutewną M = Vρ Pracę W2 niezbędną do napełnienia cysterny liczymy w identyczny sposoacuteb i otrzymamy tę samą wartość co w przypadku oproacuteżniania zbior-nika (W2 = W1) Całkowita praca wykonana przy przepompowaniu wody ze zbiornika do cysterny wynosi zatem

MgDWWW 1 =+= 2 (417)

Warto zwroacutecić uwagę że identyczny wynik uzyskalibyśmy traktując wodę jako bryłę sztywną o środku masy położonym w połowie wysokoś-ci zbiornika (w praktyce można to osiągnąć np żelując lub zamrażając wodę) ktoacuterą podnosimy na wysokość D Woacutewczas praca wykonana w obu przypadkach ndash czy mamy do czynienia z cieczą czy z bryłą lodu musi być taka sama Z przykładu tego wynika praktyczna wskazoacutewka że zamiast rozpatrywać obiekty rozciągłe przestrzennie możemy zastępo-wać je masą punktową czyli przyjąć że cała masa zgromadzona jest w jednym punkcie znajdującym się w środku ciężkości obiektu

ROZDZIAŁ 4

Strona 48484848

42 Pole sił zachowawczych i niezachowawczych

Jeśli siły są zachowawcze to praca wykonana podczas prze-mieszczenia obiektu nie zależy od drogi po jakiej przesuwamy ciało a jedynie od położenia punktu początkowego oraz końcowego

Rysunek 44 Praca przemieszczenia ciała w polu sił zachowawczych

Rozważmy dwie drogi między punktami A oraz B ndash A1B oraz A2B ndash przedstawione na rysunku 44 Jeżeli praca przemieszczenia ciała z pun-ktu A do punktu B po drodze A1B oraz A2B ma taką samą wartość to punkty A i B znajdują się w polu sił zachowawczych Praca przemiesz-czenia ciała w polu sił zachowawczych zależy tylko od położenia punktu początkowego i końcowego Zatem w przedstawionym przypadku praca wykonana po drodze zamkniętej wynosi zero gdyż położenie końcowe jest tożsame z początkowym Przykładem pola sił zachowawczych jest pole grawitacyjne Jeżeli pewien przedmiot przesuniemy na wierzchołek idealnie gładkiej roacutewni pochyłej wykonamy pewną pracę przeciwsta-wiając się sile grawitacji Przesunięcie tego przedmiotu z powrotem do położenia początkowego u podnoacuteża roacutewni odbywa się pod wpływem siły grawitacji Wykonuje ona nad przedmiotem pracę roacutewną co do wartości pracy wykonanej przez nas Ponieważ w tym przypadku zwrot siły jest przeciwny roacutewnież praca ma przeciwny znak W efekcie całkowita praca na takiej drodze zamkniętej (wsunięcie i zsunięcie po roacutewni pochyłej) jest roacutewna zeru Podobnie zerową całkowitą pracę otrzymamy na przykład dla ruchu wahadła zegara jeżeli zaniedbamy opory powietrza oraz opory mechanizmu Wahadło podnosząc się wykonuje

PRACA I ENERGIA

Strona 49494949

pracę przeciw siłom grawitacji ale podczas obniżania to siły grawitacji wykonują identyczną pracę nad wahadłem

Jeśli ciało znajduje się w polu sił niezachowawczych to praca wykona-na na drodze zamkniętej jest roacuteżna od zera Wszystkie układy w ktoacuterych mamy do czynienia z siłami oporu np siłami tarcia tworzą pole sił niezachowawczych W polu sił niezachowawczych część pracy zazwy-czaj rozpraszana jest w postaci ciepła i niemożliwe jest całkowite jej odzyskanie w postaci pracy mechanicznej

43 Pole sił grawitacyjnych

Siła grawitacji jest siłą przyciągającą działającą między wszystkimi ciałami obdarzonymi masą Wartość siły przyciągania grawitacyjnego zależy od masy oddziałujących ciał m1 i m2 oraz odległości r między nimi

221

r

mmGF = (418)

gdzie r ndash odległość pomiędzy masami G = 66742middot10-11 Nm2kg-2 ndash stała grawitacji

Podkreślając powszechność siły przyciągania grawitacyjnego należy za-znaczyć roacutewnież że wpływ oddziaływań grawitacyjnych pochodzących od niektoacuterych obiektoacutew często może być pominięty Na przykład na jabłko wiszące na drzewie działa nie tylko siła grawitacji pochodząca od Ziemi ale także od drzewa obserwatora stojącego pod drzewem czy in-nych jabłek wiszących powyżej naszego jabłka Ponieważ masa wszyst-kich wymienionych obiektoacutew jest wielokrotnie mniejsza niż masa Ziemi ich wpływ na wartość i zwrot wypadkowej siły grawitacji jest znikomo mały dlatego z bardzo dobrym przybliżeniem możemy zaniedbać te czynniki i rozważać wyłącznie wpływ oddziaływania grawitacyjnego Ziemi Dowodem tego że na obiekty znajdujące się na Ziemi działają roacutewnież siły przyciągania grawitacyjnego Słońca i Księżyca są min pływy morskie

Wroacutećmy do przykładu pola sił grawitacyjnych wytworzonych przez Ziemię Wartość siły grawitacji w takim polu sił jest proporcjonalna do masy ciała znajdującego się w tym polu Aby scharakteryzować pole sił

ROZDZIAŁ 4

Strona 50505050

grawitacyjnych niezależnie od masy ciała znajdującego się w tym polu definiujemy natężenie pola czyli stosunek siły działającej na niewielką masę m (nie zaburzającą pola pochodzącego od dużej masy M) do wartości tej masy m

gr

GM

mr

GMm

m

FE

22==== (419)

Zauważmy że wartość natężenia pola grawitacyjnego pochodzącego od Ziemi wyznaczona na jej powierzchni (w odległości RZ od środka Ziemi) jest roacutewna przyspieszeniu ziemskiemu g czyli wartości przyspieszenia z jakim poruszać się będzie ciało znajdujące się na powierzchni Ziemi podczas swobodnego spadku

2

Z

Z

R

GMg = (420)

Woacutewczas siłę oddziaływania grawitacyjnego Ziemi (siłę ciężkości Fc) na ciało o masie m znajdującej się na powierzchni Ziemi możemy zapisać roacutewnież w postaci

mgF =c (421)

Praca w polu sił grawitacyjnych

W poprzednim rozdziale przekonaliśmy się że podniesienie ciała na wy-sokość h wymaga wykonania nad ciałem pracy związanej z pokonywa-niem siły grawitacji (Fc = mg) i wynosi Wh = Fch = mgh Wiemy roacutew-nież że ciężarek ten upuszczony z tej samej wysokość h może wykonać pracę WC ktoacuterej wartość w układzie zachowawczym (nie istnieją siły oporu) jest identyczna z pracą wydatkowaną na jego podniesienie Wh = mgh Ciężarek znajdując się na wysokości h posiada zdolność wykonania pracy o wartości Wh = mgh Taka zdolność do wykonania pracy w fizyce nazywana jest energią

Praca i energia są ze sobą ściśle powiązane ndash wykonana praca jest magazynowana w postaci energii

Energia potencjalna sił grawitacyjnych

Energię można nazwać energią potencjalną jeśli zależy w jaw-ny sposoacuteb od położenia w polu sił

PRACA I ENERGIA

Strona 51515151

Energia ciężarka z poprzedniego przykładu znajdującego się na pewnej wysokości nad Ziemią spełnia tę definicję W pobliżu powierzchni Zie-mi dla niedużych zmian wysokości na ciało działa siła przyciągania o wartości mg Jeżeli opisując takie ciało wprowadzimy poziom odnie-sienia względem ktoacuterego liczymy wysokość (np powierzchnię Ziemi) to dowolnemu ciału znajdującemu się na wysokości h powyżej tego poziomu możemy przypisać konkretną wartość energii potencjalnej

mghE = (422)

Mapa geograficzna z naniesionymi poziomicami wyrażającymi wyso-kość punktoacutew względem poziomu morza (punkt odniesienia) może zo-stać zatem odczytana roacutewnież jako zapis energii potencjalnej ciała znaj-dującego się na powierzchni ziemi

Czy praca wykonana przeciwko siłom tarcia roacutewnież powoduje wzrost energii potencjalnej W tym przypadku praca nie jest magazynowana w postaci energii mechanicznej ale tracona (rozpraszana) w postaci cie-pła Możemy woacutewczas moacutewić jedynie o wzroście energii wewnętrznej ciała ndash problem ten omoacutewimy dokładniej w rozdziale poświęconym termodynamice

Podobnie jak w przypadku siły oddziaływania grawitacyjnego wzoacuter 421 jest prawdziwy jedynie dla obiektoacutew znajdujących się w pobliżu po-wierzchni Ziemi tak samo zależność 422 opisująca energię potencjalną pola sił grawitacyjnych jest prawdziwa jedynie dla niewielkich w poroacutew-naniu z promieniem Ziemi odległości od powierzchni Ziemi

W ogoacutelności energię potencjalną ciała możemy zdefiniować jako pracę jaką należy wykonać by umieścić ciało w danym punkcie Załoacuteżmy że przemieszczenie ciała o masie m odbywa się z punktu odległego o r1 od środka ciała o masie M do punktu odległego o r2 gdzie r2 lt r1 Obliczając pracę przesunięcia tego ciała z punktu r1 do r2 korzystamy ze wzoru 418 oraz 43 w ktoacuterym za wartość cosinusa przyjmujemy 1 gdyż w rozwa-żanym przypadku wektor przemieszczenia z punktu r1 do r2 oraz siła grawitacji mają ten sam kierunek i zwrot

int=2

1

r

r

2r

r

GMmW d (423)

Skorzystaliśmy w tym przypadku z całkowej postaci wzoru na pracę ponieważ siła działająca na ciało ma zmienną wartość ndash zależy od odległości od środka ciała o masie M Funkcją pierwotną dla funkcji 1r2

ROZDZIAŁ 4

Strona 52525252

jest funkcja 1r Aby obliczyć wartość powyższej całki od wartości funkcji pierwotnej wyznaczonej w goacuternej granicy odejmujemy wartość w dolnej granicy całkowania Otrzymujemy wzoacuter końcowy na pracę przesunięcia ciała o masie m w polu grawitacyjnym ciała o masie M z punktu odległego od środka ciała M o r1 do punktu odległego o r2

minus=

21 r

1

r

1GMmW (424)

Powyższy wzoacuter na pracę zależy od dwoacutech zmiennych ndash punktu odniesię-nia (r1) oraz punktu w ktoacuterym znajduje się ciało (r2) Żeby uniknąć pro-blemu definiowania za każdym razem punktu odniesienia we wszystkich zagadnieniach związanych z polem sił grawitacyjnych umieszczamy punkt odniesienia w nieskończoności Woacutewczas pierwszy wyraz we wzorze 424 zeruje się (jedność podzielona przez nieskończo-ność wynosi zero) i wartość wykonanej pracy zależy wyłącznie od koń-cowego położenia ciała w polu grawitacyjnym Oznacza to że energia potencjalna grawitacji ciała o masie m znajdującego się w odległości r od masy M będącej źroacutedłem pola grawitacyjnego wynosi więc

r

GMmWE P

minus== (425)

Jak pokazaliśmy powyżej ujemny znak energii potencjalnej jest konsek-wencją wyboru punktu odniesienia

Gdyby energia potencjalna nie była zdefiniowana ze znakiem minus energia potencjalna ciała znajdującego się w większej odległości od ma-sy M byłaby mniejsza Ponieważ wszystkie układy dążą do osiągnięcia minimum energii wszystkie ciała oderwałyby się od powierzchni Ziemi Obecność znaku minus powoduje że ciało by obniżyć swoją energię po-tencjalną porusza się w kierunku środka Ziemi Woacutewczas gdy odległość r od środka Ziemi maleje energia potencjalna staje się coraz bardziej ujemna czyli coraz mniejsza

Dla obiektoacutew znajdujących się w polu grawitacyjnym definiuje się czę-sto jeszcze jedną wielkość fizyczną ndash potencjał grawitacyjny Potencjał grawitacyjny jest roacutewny energii ciała podzielonej przez jego masę m (traktujemy masę m jako na tyle małą że nie zakłoacuteca ona pola) Potencjał jest zatem związany wyłącznie z masą M będącą źroacutedłem pola grawitacyjnego

PRACA I ENERGIA

Strona 53535353

r

GMV g

minus= (426)

Druga prędkość kosmiczna

Druga prędkość kosmiczna jest to minimalna prędkość jaką powinno mieć ciało żeby mogło opuścić pole grawitacyjne Ziemi W sposoacuteb ścisły warunek ten spełniony będzie tylko w nieskończoności ale w prak-tyce chodzi nam o odległość na tyle dużą aby energia potencjalna ciała (wzoacuter 425) była bliska zeru

Załoacuteżmy że rakieta o masie m zostaje wystrzelona z powierzchni Ziemi pionowo do goacutery z prędkością v Na powierzchni Ziemi rakieta ta będzie miała więc zaroacutewno energię potencjalną (wzoacuter 425) jak i energię kine-tyczną roacutewną Ek = frac12middotmmiddotv

2 Całkowita energia rakiety na powierzchni Ziemi wynosi zatem

2

m

r

GMmE

2

c

v+

minus= (427)

Żeby rakieta mogła dolecieć do nieskończoności jej całkowita energia na powierzchni Ziemi musi być przynajmniej roacutewna zero (Ec ge 0) Stąd otrzymujemy wzoacuter na II prędkość kosmiczną

Z

Z

ZII gR

R

GM22==v (428)

gdzie RZ jest promieniem zaś MZ jest masą Ziemi z ktoacuterej startuje rakieta Dla Ziemi wartość II prędkości kosmicznej wynosi 112 kms Drugą prędkość kosmiczną można wyznaczyć dla roacuteżnych ciał niebies-kich i np dla Księżyca wynosi ona 24 kms zaś dla Jowisza 595 kms

44 Ruch po okręgu

Szczegoacutelnym przypadkiem ruchu krzywoliniowego jest ruch jednostajny po okręgu czyli ruch jaki wykonuje ciało poruszające się w jednej płaszczyźnie ze stałą prędkością będące jednocześnie w stałej odległości od wybranego punktu odniesienia Tor ruchu takiego ciała jest okręgiem Opisując ruch po okręgu korzystnie jest zastosować biegunowy układ

ROZDZIAŁ 4

Strona 54545454

wspoacutełrzędnych Przypomnijmy że w układzie biegunowym położenie ciała jest opisywane przez jego odległość od początku układu wspoacutełrzęd-nych (wspoacutełrzędna radialna r) oraz przez położenie kątowe względem wybranej osi odniesienia (wspoacutełrzędna kątowa α) Jeżeli w opisie ruchu po okręgu początek biegunowego układu wspoacutełrzędnych umieścimy w środku okręgu to wspoacutełrzędna radialna będzie stała a zmieniać się bę-dzie jedynie położenie kątowe ciała Podobnie jak w przypadku ruchu prostoliniowego w ruchu po okręgu prędkość jest pochodną drogi kątowej po czasie i nazywana jest prędkością kątową ω

td

dαω = (430)

Prędkość kątowa mierzona w radianach na sekundę jest wektorem ktoacuterego kierunek zgodny jest z osią wokoacuteł ktoacuterej następuje obroacutet a zwrot wyznacza reguła śruby prawoskrętnej lub reguła prawej dłoni (jeżeli palce otwartej dłoni pokazują zwrot wektora prędkości liniowej czyli kierunek obrotu to kciuk wyznacza kierunek i zwrot wektora prędkości kątowej)

Pochodna prędkości kątowej po czasie definiuje przyspieszenie kątowe ε

2

2

d

d

d

d

tt

αω==ε (431)

Przedstawione powyżej definicje przyspieszenia i prędkości kątowych są analogiczne do odpowiednich wielkości w ruchu prostoliniowym Poszu-kując relacji pomiędzy wielkościami opisującymi ruch obrotowy oraz ruch liniowy zaczniemy od wyznaczenia drogi czyli długości łuku prze-bytej przez ciało poruszające się po okręgu Wielkość ta będzie zależała zaroacutewno od zmiany położenia kątowego jak i od położenia radialnego

czyli odległości od osi obrotu rαl = Jeżeli zroacuteżniczkujemy tę zależ-ność po czasie otrzymamy relacje między prędkością liniową i kątową a po ponownym zroacuteżniczkowaniu relację między przyspieszeniem linio-wym i kątowym Otrzymamy w ten sposoacuteb zestaw zależności

=

=

=

ra

r

r

ε

ω

αl

v (432)

PRACA I ENERGIA

Strona 55555555

Ponieważ poruszające się po okręgu ciało wraca cyklicznie do miejsca startu prędkość kątową można powiązać z częstotliwością

Tr

f1

22===

ππ

ω v (433)

Jednostką częstotliwości jest 1Hz (Hertz) = 1sndash1 co oznacza że przy czę-stotliwości 1Hz ciało wykonuje jeden obroacutet na sekundę Odwrotnością częstotliwości jest okres obrotu T czyli czas jednego pełnego obrotu wyrażony w sekundach

Przyspieszenie w ruchu po okręgu

W rozdziale 24 wprowadziliśmy składową styczną oraz normalną przy-spieszenia dla ruchu krzywoliniowego W przypadku jednostajnego ru-chu po okręgu wartość prędkości mierzona wzdłuż okręgu jest stała a więc składowa styczna przyspieszenia jest zerowa Przyśpieszenie cał-kowite w ruchu po okręgu jest więc roacutewne składowej normalnej

r

aa n

2v

== (434)

Składowa normalna przyspieszenia skierowana jest do środka krzywizny toru wzdłuż promienia okręgu i dlatego często nazywana jest składową radialną Ponieważ przyspieszenie normalne skierowane jest do środka okręgu nazywa się je roacutewnież przyspieszeniem dośrodkowym Odpowia-dająca mu siła oddziaływania ktoacutera wywołuje ruch ciała o masie m po okręgu o promieniu r jest nazywana siłą dośrodkową

r

mF

2v

= (435)

W przypadku obracającej się karuzeli metalowy pręt mocujący krzesełko działa na krzesełko karuzeli siłą skierowaną do środka roacutewną co do war-tości zdefiniowanej powyżej sile dośrodkowej Osoba siedząca na krzesełku karuzeli odczuwać będzie istnienie siły skierowanej wzdłuż promienia na zewnątrz Siłę taką występującą w układzie związanym z ciałem poruszającym się po okręgu nazywać będziemy siłą odśrodko-

wą Siła ta jest roacutewna co do wartości sile dośrodkowej ale ma przeciwny zwrot Warto podkreślić że siła odśrodkowa jest siłą pozorną i w mo-mencie przerwania pręta mocującego krzesełko karuzeli krzesełko to nie będzie poruszało się ruchem przyspieszonym wzdłuż promienia tylko ruchem jednostajnym prostoliniowym w kierunku wyznaczonym przez

ROZDZIAŁ 4

Strona 56565656

wektor prędkości w momencie zerwania pręta Układ odniesienia zwią-zany z takim poruszającym się po okręgu punktem jest tzw układem nieinercjalnym w ktoacuterym występują siły bezwładności działające na ciało W hamującym samochodzie przedmiot znajdujący się na poacutełce doznaje przyspieszenia względem samochodu ndash przedmiot zachowuje się bezwładnie czyli zachowuje stan ruchu przed hamowaniem i porusza się w kierunku przodu samochodu Jeśli ten sam samochoacuted porusza się po okręgu (wykonuje gwałtowny zakręt) przedmiot roacutewnież doznaje przy-spieszenia względem samochodu Przedmiot roacutewnież tutaj zachowuje się bezwładnie ndash porusza się po linii prostej (względem układu spoczynko-wego) i w konsekwencji zmienia położenie względem samochodu ndash przesuwa się w kierunku boku samochodu Siedząc w samochodzie od-czuwamy siłę wypychającą ciało na zewnątrz okręgu po ktoacuterym porusza się pojazd W obu przypadkach zaroacutewno hamowania jak i ruchu po okręgu siły bezwładności jakim ulega przedmiot są konsekwencją przy-spieszenia całego pojazdu

W przypadku pralek i suszarek bębnowych siła odśrodkowa wykorzysty-wana jest do usuwania wody z tkanin W urządzeniach takich jak wiroacutew-ki wykorzystuje się dodatkowo fakt że siła odśrodkowa zależy nie tylko od prędkości z jaką kręcą się obiekty we wnętrzu bębna wiroacutewki ale roacutewnież od masy tych obiektoacutew co umożliwia oddzielenie cięższych frakcji od lżejszych

Ruch planet wokoacuteł Słońca

Pierwsza prędkość kosmiczna

Przed odkryciem Kopernika w opisie ruchu planet i gwiazd korzystano z tzw geocentrycznego modelu świata w ktoacuterym Ziemia znajdowała się w centrum wszechświata a wszystkie ciała niebieskie krążyły wokoacuteł niej W dziele bdquoO obrotach ciał niebieskichrdquo Kopernik zaproponował model w ktoacuterym planety krążą wokoacuteł Słońca po orbitach kołowych (mo-del heliocentryczny) co pozwoliło stworzyć spoacutejny opis wielu zjawisk astronomicznych Jak już wiemy z poprzednich rozdziałoacutew aby planeta lub inne ciało niebieskie poruszało się po okręgu musi na nie działać siła dośrodkowa Newton jako pierwszy stwierdził że siłą dośrodkową jest siła grawitacji

r

m

r

GMm2

2

v= (436)

PRACA I ENERGIA

Strona 57575757

Gdyby nie istniała siła grawitacji ciało nie doznałoby przyspieszenia do-środkowego nie nastąpiłoby zakrzywienie toru i odleciało by w prze-strzeń Gdyby z kolei ciało nie miało prędkości stycznej na orbicie spadłoby na ciało centralne

Na podstawie zależności 436 możemy policzyć prędkość jaką musi mieć ciało o masie m aby poruszać się po orbicie Ziemi o promieniu roacutewnym promieniowi Ziemi RZ

Z

Z

ZI gR

R

GM==v (437)

Tak zdefiniowana prędkość nazywana jest pierwszą prędkością kosmicz-ną Dla Ziemi pierwsza prędkość kosmiczna przyjmuje wartość roacutewną około 791 kms Podobnie jak w przypadku drugiej prędkości kosmicz-nej roacutewnież pierwszą prędkość kosmiczną można wyznaczyć dla innych ciał niebieskich

W przeciwieństwie do drugiej prędkości kosmicznej w przypadku ktoacuterej rozważaliśmy prędkość skierowaną prostopadle w stosunku do powierz-chni ciała niebieskiego pierwsza prędkość odnosi się do wartości pręd-kości skierowanej roacutewnolegle do powierzchni ciała niebieskiego Jeśli satelita będzie miał mniejszą prędkość spadnie na powierzchnię ciała niebieskiego jeśli większą ndash siła grawitacji nie będzie wystarczająca do nadania satelicie odpowiedniego przyspieszenia dośrodkowego i ciało bądź znajdzie się na orbicie o większym promieniu bądź opuści pole grawitacyjne

Prawa Keplera

W heliocentrycznym modelu Kopernika planety krążą po kołowych orbi-tach Poacuteźniejsze dokładniejsze analizy ruchu planet wykonane min przez Tychona de Brahe i Johannesa Keplera wykazały że orbity te są w ogoacutelności krzywymi eliptycznymi Szczegoacutełowy opis ruchu planet za-wiera model Keplera opierający się na trzech prawach

1 Planety krążą dookoła Słońca po orbitach eliptycznych Słońce znajduje się w jednym z ognisk elipsy

Układ planeta-Słońce z dobrym przybliżeniem można potraktować jako układ odosobniony tzn uwzględniamy jedynie siły wzajemnego oddzia-ływania zaniedbując oddziaływania zewnętrzne W takim odosobnionym

ROZDZIAŁ 4

Strona 58585858

układzie planeta i Słońce poruszać się będą względem środka masy ukła-du po orbitach eliptycznych W układzie Ziemia-Słońce gdzie masa Zie-mi jest ponad 3 tysiące razy mniejsza niż Słońca z dobrym przybliże-niem można przyjąć że środek masy takiego układu pokrywa się z geo-metrycznym środkiem Słońca a w konsekwencji że Słońce jest nieru-chome a Ziemia porusza się po orbicie kołowej

2 Prędkość polowa planety jest jednakowa ndash wektor łączący Słońce i planetę zakreśla jednakowe pola w jednakowych odstępach czasu

Drugie prawo Keplera wynika bezpośrednio z zasady zachowania mo-mentu pędu ktoacutera zostanie omoacutewiona w jednym z kolejnych rozdziałoacutew

3 Kwadrat czasu obiegu planety dookoła słońca jest propor-cjonalny do sześcianu długiej osi elipsy po ktoacuterej porusza się planeta

Trzecie prawo Keplera wynika bezpośrednio z faktu że siłą dośrodkową działającej na planetę jest siła grawitacji Dla uproszczenia obliczeń załoacuteżmy na razie że planeta porusza się po orbicie kołowej Woacutewczas przyroacutewnując obie siły otrzymujemy zależność

o

2

2g Fr

m

r

MmF ===

vG (438)

Ponieważ prędkość planety wiąże czas pełnego obrotu (okres T) z dłu-gością orbity ( Trπ2=v ) roacutewność 438 można zapisać w postaci

( )2

2

T

r

r

M π2G=

(439)

a po przekształceniach

M

rT

322

G

4π= (440)

PRACA I ENERGIA

Strona 59595959

45 Energia potencjalna sił sprężystości

W urządzeniach mechanicznych ktoacutere wykonują pracę np obroacutet wska-zoacutewek zegara w starych zegarach szafkowych praca ta wykonywana jest kosztem energii dostarczonej z zewnątrz We wspoacutełczesnych urządze-niach w tym także w zegarach jako źroacutedło energii najczęściej stosuje się baterie elektryczne ale kiedyś powszechnie stosowano mechanizmy wykorzystujące energię potencjalną podciągniętych ciężarkoacutew lub w przenośnych zegarkach mechanizm magazynowania energii opierał się na bdquonakręcaniurdquo sprężyny Jest to przykład pokazujący że energia me-chaniczna może zostać roacutewnież zmagazynowana w postaci odkształcenia materiału ndash taki rodzaj energii potencjalnej będziemy nazywać energią potencjalną sił sprężystości wynikających z oddziaływań między czą-steczkami materiału

Rozpatrzmy sprężynę ktoacuterą rozciągniemy (lub ściśniemy) o długość x Siła jaką musimy rozciągać tę sprężynę roacutewnoważy siłę sprężystości sprężyny ktoacutera zgodnie z III zasadą dynamiki Newtona ma zwrot prze-ciwny do zwrotu siły rozciągającej Jej wartość zależy od długości roz-ciągnięcia x co opisuje prawo Hookersquoa

xkFrr

minus= (441)

gdzie k jest wspoacutełczynnikiem sprężystości Znak minus w powyższym wzorze oznacza że siła z jaką działa sprężyna ma przeciwny zwrot do wektora x czyli siła sprężystości przeciwstawia się wydłużaniu (lub ścis-kaniu) i wskazuje zawsze na położenie roacutewnowagowe

Siła jaką musimy działać żeby rozciągnąć sprężynę ma przeciwny zwrot

niż siła sprężystości ( xkFrr

= ) Ponieważ wartość tej siły zmienia się wraz z wartością wychylenia z położenia roacutewnowagi to pracę wykonaną przy rozciąganiu sprężyny o długość X obliczamy ze wzoru całkowego

( )S

2

X

0

X

0

EkX2

1xkxxxFW ==== intint dd (441)

Rozciągnięta sprężyna wracając do położenia roacutewnowagowego wykona taką samą pracę jaką wykonaliśmy podczas jej rozciągania Możemy

ROZDZIAŁ 4

Strona 60606060

roacutewnież powiedzieć że rozciągnięta sprężyna posiada zdolność do wyko-nania pracy Ponieważ wielkość tej pracy zależy jawnie od wartości od-kształcenia sprężyny to spełnia ona definicję energii potencjalnej i nazy-wana jest energią potencjalną sprężystości ES

Energię potencjalną sił sprężystości można policzyć roacutewnież dla ciał sta-łych poddanych rozciąganiu lub ściskaniu W tym przypadku rolę wspoacutełczynnika sprężystości opisującego własność materiału pełni moduł Younga E Poszukując związku między modułem Younga a stałą sprężystości możemy potraktować badany materiał jakby był zbudowa-ny z punktoacutew (atomoacutew) połączonych małymi sprężynkami Sprężynki te obrazują oddziaływania międzyatomowe a ich stała sprężystości zależy od struktury materiału Im większy będzie przekroacutej elementu wykonane-go z danego materiału czyli im więcej takich sprężynek opisuje badany element tym większy będzie wspoacutełczynnik sprężystości dla całego materiału ndash moduł Younga E

kxLL

EAF minus=minus= ∆

0

0 (442)

gdzie E jest modułem Younga A0 ndash przekrojem poprzecznym proacutebki L0 ndash długością początkową (roacutewnowagową) zaś ∆L jest zmianą długości proacutebki

46 Energia kinetyczna

Energia kinetyczna jest związana ze stanem ruchu ciała Ciało posiada energię kinetyczną jeśli znajduje się w ruchu w danym układzie odnie-sięnia Energię kinetyczną można roacutewnież zdefiniować jako ilość pracy jaką należy wykonać żeby wprawić ciało w ruch

Jeżeli więc siła F przeprowadzi ciało ze stanu bezruchu (stan bdquoArdquo) do prędkości v (stan bdquoBrdquo) to wykonana praca wyniesie

intint int ===B

A

B

A

B

A

st

mst

psFW d

d

dd

d

dd

v (443)

PRACA I ENERGIA

Strona 61616161

W powyższych przekształceniach siłę F zastąpiliśmy pochodną pędu po czasie Zależność tą można dalej przekształcić otrzymując zależność wykonanej pracy od prędkości v jaką osiągnie ciało

k

2

0

B

A

E2

mm

t

smW ==== intint

vvvv

v

ddd

d (444)

Tak wyznaczona praca wykonana by nadać ciału o masie m prędkość v definiuje energię kinetyczną ciała Energia ta jest wprost proporcjonalna do jego masy m i do kwadratu prędkości v2 Zależność energii kinetycz-nej od kwadratu prędkości jest jedną z głoacutewnych przyczyn (poza siłami oporu) dla ktoacuterych tzw dynamika samochodoacutew (sportowych i nie tylko) jest znacznie lepsza w zakresie niskich prędkości niż prędkości wyso-kich Aby to wyjaśnić obliczmy najpierw pracę jaką należy wykonać żeby rozpędzić samochoacuted o masie m = 1000kg od prędkości v1 = 0 ms do v2 = 10 ms = 36 kmh oraz od v2 = 10 ms do v3 = 20 ms=72 kmh Praca ta roacutewna jest roacuteżnicy energii kinetycznej końcowej oraz początkowej i w pierwszym przypadku wynosi W1 = Ek(v2) ndash Ek(v1) = 50000J zaś w drugim jest trzykrotnie większa i wynosi W2 = Ek(v3) ndash Ek(v2) = 150000J Tak więc utrzymanie podobnego przy-spieszenia w obu zakresach prędkości wymagałoby ciągłego wzrostu mocy co w praktyce jest trudne do osiągnięcia

Podczas przyspieszania to silnik pojazdu wykonuje pracę roacutewną energii kinetycznej tego pojazdu Natomiast gdy pojazd hamuje pracę musi wy-konać układ hamulcowy pojazdu Ponieważ przy dwukrotnie większej prędkości energia kinetyczna jest czterokrotnie większa to roacutewnież pra-ca wyhamowania jest czterokrotnie większa Praca ta w większości za-mieniana jest w energię cieplną i dlatego elementy układu hamulcowego w szczegoacutelności samochodoacutew sportowych powinny być odporne na wy-sokie temperatury oraz tak zaprojektowane aby jak najwydajniej odda-wały ciepło do otoczenia

Warto roacutewnież zwroacutecić uwagę że furgonetka o masie 2 ton i prędkości 15 ms ktoacutera ma identyczny pęd jak samochoacuted osobowy o masie 1 tony i prędkości 30 ms ma dwukrotnie mniejszą energię kinetyczną czyli zatrzymanie jej wymaga mniejszej pracy jest bdquołatwiejszerdquo

Pojęcie energii kinetycznej możemy odnosić roacutewnież do mikroskopowe-go opisu właściwości ciał Nawet jeśli pojazd znajduje się w spoczynku cząsteczki składające się na niego mają pewną energię kinetyczną ndash czą-steczki gazu znajdującego się w oponach znajdują się w ciągłym ruchu

ROZDZIAŁ 4

Strona 62626262

atomy metalu w karoserii wykonują drgania wokoacuteł położeń roacutewnowago-wych Energia kinetyczna jest w takim mikroskopowym ujęciu związana z temperaturą ciała a dokładniej ndash temperatura jest funkcją średniej energii kinetycznej o czym będzie jeszcze mowa w części poświęconej termodynamice

47 Zasada zachowania energii mechanicznej

Podsumowując rozważania dotyczące energii wprowadzimy zasadę za-chowania energii mechanicznej

W układzie zachowawczym odosobnionym całkowita energia mechaniczna czyli suma energii potencjalnej Ep zaroacutewno grawitacyjnej jak i sprężystości oraz energii kinetycznej Ek ciała jest wielkością stałą

const=+ pk EE (445)

Oznacza to że jeżeli zaniedbamy straty energii (pracy wykonanej na rzecz sił tarcia itp) roacuteżne formy energii jaką posiada ciało mogą się zmieniać ale ich suma pozostaje stała Dobrym przykładem do omoacutewie-nia zasady zachowania energii jest skok na linie bungee Stojąc na moście na wysokości h nad rzeką (na rysunku 44 h = h1 + h2) skoczek posiada energię potencjalną względem poziomu odniesienia znajdujące-go się na poziomie rzeki Pierwsza faza skoku jest spadkiem swobod-nym w ktoacuterym skoczek traci energię potencjalną ale nabiera prędkości czyli zyskuje energię kinetyczną

2

mmgh

2v

= (446)

Kiedy lina rozwinie się w pełni osiąga tzw długość swobodną ndash na ry-sunku 44 oznaczoną jako h1 Od tego momentu lina zaczyna działać jak rozciągana sprężyna W tej fazie skoku energia potencjalna nadal się zmniejsza kosztem wzrostu zaroacutewno energii kinetycznej jak i energii potencjalnej sił sprężystości

PRACA I ENERGIA

Strona 63636363

Rysunek 44 Energia skoczka bungee w roacuteżnych fazach skoku

W pewnym momencie ruchu gdy siła napięcia liny zroacutewnoważy siłę grawitacji prędkość ciała zacznie się zmniejszać a więc spada roacutewnież jego energia kinetyczna W najniższym położeniu skoczka jego prędkość wynosi zero ndash nie posiada on zatem energii kinetycznej Jego energia potencjalna grawitacji roacutewnież wynosi zero (skoczek znajduje się w punkcie odniesienia) i cała energia zmagazynowana jest w postaci energii potencjalnej sprężystości Tak więc początkowa energia poten-cjalna grawitacji zostaje w całości zmagazynowana w energii sprężystości rozciągniętej liny Energia ta może następnie wykonać pra-cę podniesienia skoczka na wysokość mostu a więc zgodnie z zasadą zachowania energii skoczek może wroacutecić do swojego położenia począt-kowego na moście W rzeczywistości mamy jednak do czynienia ze stra-tami energii związanymi zaroacutewno z oporami powietrza jak i wydziele-niem się ciepła w rozciągającej się linie (nie jest to idealna sprężyna) i w efekcie skoczek nie powroacuteci do poziomu mostu

Uogoacutelnieniem zasady zachowania energii mechanicznej jest ogoacutelna zasa-da zachowania energii ktoacutera moacutewi że w układzie zachowawczym odo-sobnionym zmiana całkowitej energii ciała (suma zmian wszystkich rodzajoacutew energii) wynosi zero

Jeżeli na przykład rozpędzony samochoacuted uderzy w przeszkodę to gwał-townie wytraci swoją energię kinetyczną ktoacutera zamieni się na pracę związaną z odkształceniem karoserii oraz na wydzielone ciepło

Zgodnie z zasadą zachowania energii w samochodach elektrycznych energia potencjalna ładunku elektrycznego zgromadzona w naładowa-

ROZDZIAŁ 4

Strona 64646464

nym akumulatorze zamieniana jest w energię kinetyczną pojazdu Jeśli taki samochoacuted jest wyposażony w hamulce elektromagnetyczne w trak-cie hamowania może odzyskać znaczną część energii kinetycznej i zgro-madzić ją w postaci energii potencjalnej ładunku elektrycznego

48 Zderzenia

Opis zderzeń ciał stanowi ważny element dynamiki ciał stałych ale po-nieważ podczas zderzenia dochodzi do przekazywania zaroacutewno pędu jak i energii zderzenia odgrywają roacutewnież dużą rolę w procesach trans-portu na przykład ciepła lub ładunku elektrycznego

Podczas zderzenia obowiązuje zasada zachowania pędu czyli pęd środka masy układu przed zderzeniem jest identyczny jak po zderzeniu Jak już omawialiśmy wcześniej zasada zachowania pędu w układzie dwu- lub troacutejwymiarowym obowiązuje dla każdego z wyroacuteżnionych kierunkoacutew Przykład zastosowania zasady zachowania pędu dla dwuwymiarowego zderzenia dwoacutech kul bilardowych omoacutewiliśmy w rozdziale 32

Zasada zachowania energii jako jedna z podstawowych zasad fizyki obo-wiązuje zawsze roacutewnież podczas zderzeń Jednakże w praktyce wykorzystujemy ją wyłącznie w przypadku zderzeń idealnie sprężys-

tych w ktoacuterych nie występują straty energii Zderzeniem bliskim do idealnie sprężystego jest uderzenie piłki rakietą tenisową ndash w czasie zderzenia oba ciała odkształcają się sprężyście zaroacutewno piłka jak i linka naciągu rakiety Pojęcie zderzenia sprężystego można rozszerzyć roacutew-nież na przypadki w ktoacuterych ciała nie stykają się ze sobą w sposoacuteb widoczny dla obserwatora Gdyby omawiane wcześniej kule bilardowe zostały naładowane elektrycznie lub namagnesowane w odpowiedni sposoacuteb mogłoby dojść do przekazania pędu i energii bez zetknięcia się krawędzi krążkoacutew O charakterze zderzenia (czy jest sprężyste czy niesprężyste) decyduje charakter sił wzajemnego oddziaływania ciał

Zderzenie sprężyste jest opisane następującymi roacutewnaniami

2K21K12P21P1 vvvv mmmm +=+ (447)

ndash roacutewnanie wyrażające zasadę zachowania pędu oraz

PRACA I ENERGIA

Strona 65656565

2222

22K2

21K1

22P2

21P1 vvvv mmmm

+=+ (448)

ndash roacutewnanie wyrażające zasadę zachowania energii kinetycznej

W przypadku zderzenia idealnie niesprężystego dochodzi do odkształce-nia plastycznego jednego lub obu ciał Odkształcenie to wiąże się z roz-praszaniem energii w postaci ciepła W wyniku niesprężystego zderzenia połączone ciała poruszają się w jednym kierunku Roacutewnania opisujące zderzenie niesprężyste mają więc postać

( ) K212P21P1 vvv mmmm +=+ (449)

( )

Emmmm

∆222

2K21

22P2

21P1 +

+=+

vvv (450)

gdzie ∆E oznacza straty energii w postaci ciepła Zderzenie niesprężyste wykorzystywane jest do wyznaczania prędkości pociskoacutew za pomocą tzw wahadła balistycznego Urządzenie to składa się z masywnego bloku w ktoacutery wbija się pocisk Znając masę pocisku i masę bloku oraz prędkość bloku z pociskiem po trafieniu można wyliczyć prędkość pocisku przed uderzeniem w blok Pomiar stosunkowo niewielkiej pręd-kości bloku jest znacznie łatwiejszy niż bezpośredni pomiar prędkości rozpędzonego pocisku W szczegoacutelności jeśli blok zawiesimy na dwoacutech niciach (rysunek 45) możemy oszacować prędkość na podstawie wyso-kości na ktoacuterą uniesie się blok Obecnie można wykonać taki pomiar technikami fotograficznymi lub za pomocą czujnikoacutew optycznych jed-nak w XIX wieku wahadło balistyczne było jednym z podstawowych przyrządoacutew do pomiaru prędkości pocisku

Rysunek 45 Zasada działania wahadła balistycznego

Do odkształceń plastycznych dochodzi roacutewnież podczas zderzenia dwoacutech samochodoacutew a więc zderzenia takie są niesprężyste We wspoacuteł-czesnych samochodach tzw strefy zgniotu są odpowiedzialne za rozpra-szanie energii uwolnionej podczas zderzenia Analizując roacutewnania opisujące zderzenie niesprężyste można ponadto zauważyć że jeśli zde-rzeniu ulega lekki samochoacuted osobowy to straty energii są tym większe

ROZDZIAŁ 4

Strona 66666666

im cięższy jest pojazd z ktoacuterym się zderza ndash zatem skutki zderzenia z sa-mochodem ciężarowym są znacznie poważniejsze niż skutki kolizji z sa-mochodem osobowym o podobnej masie

5 Dynamika bryły sztywnej

W tym rozdziale

o Bryła sztywna moment bezwładności środek masy o Roacutewnanie ruchu bryły sztywnej o Zasada zachowania momentu pędu o Energia ruchu obrotowego

ROZDZIAŁ 5

Strona 68686868

51 Bryła sztywna

Bryłą sztywną będziemy nazywać ciało w ktoacuterym odległości między po-szczegoacutelnymi punktami ciała są stałe Siły działające na bryłę sztywną nie wywołują więc ani deformacji plastycznych ani odkształceń sprężys-tych a jedynie ruch postępowy lub obrotowy Wszystkie ciała w ktoacute-rych odległość między dwoma punktami nie zmienia się w czasie lub odkształcenia pod wpływem działających sił są niewielkie można trak-tować jako bryłę sztywną Na przykład huśtawka wykonana z cienkiego pręta może ulegać deformacji wpływając tym samym na zachowanie całego układu ale jeżeli wykonamy ją np z szyny kolejowej jej defor-macja będzie zaniedbywalnie mała i może być woacutewczas potraktowana jako bryła sztywna

Moment bezwładności bryły sztywnej

W większości dotąd rozważanych przykładoacutew siła działająca na ciało przyłożona była do środka masy ciała i wywoływała ruch postępowy W ruchu prostoliniowym miarą bezwładności ciała jest jego masa tzn tym trudniej jest zmienić ilość ruchu ciała (pęd) im większa jest jego masa W przypadku ruchu obrotowego istotna jest nie tylko masa ale roacutewnież jej odległość od osi obrotu Miarą bezwładności w ruchu obrotowym jest moment bezwładności

Moment bezwładności masy punktowej m poruszającej się po okręgu o promieniu r zależy od tej masy oraz kwadratu odległości od osi obrotu

2mrI = (51)

Moment bezwładności podobnie jak masa jest wielkością addytywną tzn moment bezwładności bryły sztywnej jest roacutewny sumie momentoacutew bezwładności mas punktowych składających się na tę bryłę

sum=i

ii rmI 2

(52)

gdzie ri jest odległością od osi obrotu i-tego elementu o masie mi

DYNAMIKA BRYŁY SZTYWNEJ

Strona 69696969

Rozpatrzmy dwie ołowiane kulki o masach m1 oraz m2 (potraktujemy je jako masy punktowe) połączone cienkim nieważkim prętem o długości r ktoacuterego masa oraz moment bezwładności są pomijalnie małe w poroacutew-naniu z masą i momentem bezwładności kul Moment bezwładności takiej bryły sztywnej względem osi obrotu położonej w środku pręta mo-żemy policzyć jako sumę momentoacutew bezwładności obu kul Otrzyma-

my ( ) ( ) ( )221

22

21 2)(22 rmmrmrmI +=+=

W przypadku bryły o złożonym kształcie i rozkładzie masy procedura wyznaczania momentu bezwładności wymaga podzielenia bryły na jak najmniejsze elementy i zsumowania momentoacutew bezwładności pochodzą-cych od tych elementoacutew W granicznym przypadku działanie sumowania możemy zastąpić całkowaniem

int=M

mrI0

2 d (53)

Jako przykład obliczania momentu bezwładności wyznaczymy moment bezwładności pręta o masie M oraz długości b względem osi przecho-dzącej prostopadle przez koniec pręta Poszukując momentu bezwład-ności tej bryły musimy wykonywać całkowanie po całej masie pręta W praktyce znacznie łatwiej jest przeprowadzać całkowanie we wspoacutełrzęd-nych przestrzennych dlatego postaramy się powiązać masę z długością pręta W tym celu wprowadzamy gęstość liniową λ definiującą masę

przypadającą na jednostkę długości l

λd

dm= Woacutewczas element masy

pręta dm może być wyrażony lλdd =m gdzie gęstość liniowa dla

pręta z zadania wynosi b

M=λ Po zamianie zmiennej całkowania oraz

granic całkowania moment bezwładności pręta wynosi

333

2232 dd

bMbbbmrI

b

0

M

0

2 ===== intintλλ

lλl

(54)

W podobny sposoacuteb posługując się gęstością powierzchniową lub obję-tościową możemy obliczyć momenty bezwładności dla dowolnych brył W tabeli 51 przedstawione zostały momenty bezwładności wybranych brył sztywnych względem osi obrotu przechodzących przez środek ma-sy bryły

ROZDZIAŁ 5

Strona 70707070

Tabela 51 Momenty bezwładności wybranych brył względem środka masy

Pręt

12

mrI

2

z =

Walec i walec

wydrążony

( )2

2

2

1Z rr2

mI +=

( )[ 2

2

2

1x hrr312

mI ++=

Pierścień 2mrI =

Stożek

10

mr3I

2

z =

+= 2

2

x h4

r

5

m3I

Dysk

2

mrI

2

z =

4

mrI

2

x =

Sfera3

mr2I

2

=

Kula 5

mr2I

2

=

Twierdzenie Steinera

Załoacuteżmy że znana jest masa bryły oraz moment bezwładności I0 wzglę-dem osi przechodzącej przez środek jej masy Wtedy zgodnie z twier-dzeniem Steinera moment bezwładności I tej bryły względem osi obrotu roacutewnoległej do osi przechodzącej przez środek masy i przesuniętej o d roacutewny jest

2

mdII 0 += (55)

Twierdzenie Steinera zastosujemy do obliczenia momentu bezwładności dysku o promieniu r i masie m względem osi przechodzącej przez jego krawędź a prostopadłej do płaszczyzny dysku Moment bezwładności dysku względem osi prostopadłej przechodzącej przez jego środek znaj-dziemy w tabeli 51

DYNAMIKA BRYŁY SZTYWNEJ

Strona 71717171

2

mrI

2

0 = (56)

W naszym przypadku oś przesunięta jest roacutewnolegle o długość promie-nia dysku a więc stosując twierdzenie Steinera otrzymujemy

222

2

0 mrmr2

mrmrII

2

3=+=+=

(57)

Środek masy bryły sztywnej

Gdybyśmy chcieli układ ciał lub bryłę sztywną zastąpić masą punkto-wą czyli zgromadzić całkowitą masę układu w jednym punkcie geome-trycznym to punkt ten powinien się znajdować w środku masy Swobod-na oś obrotu bryły sztywnej lub układu ciał przechodzi przez ich środek masy

W układzie mas punktowych środek masy można obliczyć ze wzoru

sum

sum=

i

i

i

ii

SMm

rm

r

r

r (58)

gdzie mi ndash masy punktowe zaś irr

ndash położenia tych mas względem wybranego punktu odniesienia Wspoacutełrzędna x środka masy wynosić

więc będzie sum

sum=

i

i

i

ii

SMm

xm

x W przypadku gdy rozkład masy nie jest

dyskretny podobnie jak przy obliczaniu momentu bezwładności sumo-wanie musimy zastąpić całkowaniem Sposoacuteb wyznaczenia środka masy dla jednorodnego pręta z poprzedniego zadania przedstawiono poniżej

L

2

1

M

LL

M

L

MM

mr

x2

L

0

M

0SM =====

intint λλlλl

21

21

dd (59)

Całkowanie przeprowadzono względem jednego z końcoacutew pręta a więc wynik L2 oznacza że środek masy znajduje się w połowie długości pręta

ROZDZIAŁ 5

Strona 72727272

52 Roacutewnanie ruchu bryły sztywnej

Moment siły

W dotychczasowych rozważaniach rozpatrywaliśmy jedynie obiekty punktowe lub też bryłę sztywną zastępowaliśmy masą punktową znajdu-jącą się się w środku masy tej bryły Woacutewczas rozważaliśmy jedynie ruch postępowy takich obiektoacutew W dalszej części tego rozdziału opisze-my ruch obrotowy bryły sztywnej na ktoacuterą działa siła przyłożona w punkcie innym niż środek masy

Rozważmy najpierw siłę przyłożoną w dowolnym punkcie bryły sztywnej ale skierowaną wzdłuż prostej przechodzącej przez punkt wyznaczający środek masy tego ciała Woacutewczas siła ta wywoływać będzie ruch postępowy Jeżeli jednak kierunek działania tej siły nie będzie wskazywał środka masy ciała to na ciało działać będzie moment

siły ktoacutery wywołuje ruch obrotowy Moment siły Mr

zależy od

wartości siły działającej na bryłę sztywną Fr

odległości punktu zacze-pienia tej siły od osi obrotu r

r oraz kąta między tymi wektorami

Moment siły Mr

definiujemy jako iloczyn wektorowy wektoroacutew rr

oraz Fr

perp==

times=

rFαFrM

FrM

sin

rrr

(510)

Wielkość αrr sin=perp nazywana jest ramieniem siły Moment siły

uzyskuje maksymalną wartość gdy kąt α między rr

oraz Fr

jest kątem prostym Siła działająca wzdłuż ramienia nie wywołuje obrotu a jedynie ruch postępowy

Jeśli oś obrotu nie jest wymuszona (obroacutet jest obrotem swobodnym) następuje on zawsze wokoacuteł osi o największym momencie bezwładności przechodzącej przez środek masy ciała Podobnie jak w przypadku ruchu postępowego definiowaliśmy siłę poprzez pochodną pędu ciała po cza-sie tak w przypadku ruchu obrotowego bryły sztywnej możemy zdefi-niować moment siły jako pochodną momentu pędu po czasie

DYNAMIKA BRYŁY SZTYWNEJ

Strona 73737373

t

LM

d

dr

r= (511)

Moment pędu Lr

masy punktowej m poruszającej się po okręgu o pro-mieniu r jest iloczynem wektorowym wektora wodzącego r

r i pędu ciała pr

(rysunek 51) Kierunek wektora momentu pędu jest zgodny z osią

obrotu a zwrot określamy zgodnie z regułą śruby prawoskrętnej Zwrot ten jest identyczny ze zwrotem wektora prędkości kątowej ω

r

prLrrr

times= (512)

ωIωmrrωmrmrprL 2 ===== v (513)

W ostatnim przekształceniu iloczyn mr2 został zastąpiony momentem

bezwładności I Pęd ciała w ruchu prostoliniowym jest proporcjonalny do jego masy i prędkości (roacutewnanie 31) W ruchu po okręgu miarą ilości ruchu jest moment pędu L

r We wzorze 513 wykazaliśmy że ta ilość

ruchu jest proporcjonalna do prędkości kątowej a wspoacutełczynnikiem proporcjonalności jest moment bezwładności I

Rysunek 51 Moment pędu masy punktowej poruszającej się po okręgu

Zgodnie z roacutewnaniem 511 moment siły działający na bryłę sztywną wywołuje zmianę momentu pędu tej bryły Zmiana momentu pędu może być związana ze zmianą prędkości kątowej bryły ktoacuterej moment bezwładności się nie zmienia ale może roacutewnież wynikać ze zmiany samego momentu bezwładności bryły sztywnej Uwzględniając oba te człony możemy zapisać roacuteżniczkowe roacutewnanie ruchu obrotowego bryły sztywnej ktoacutere jest II zasadą dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego

t

I

tI

t

LM

d

d

d

d

d

dω

ω+== (514)

ROZDZIAŁ 5

Strona 74747474

53 Zasada zachowania momentu pędu

Rozważmy teraz ruch obrotowy bryły sztywnej na ktoacuterą działa wypad-kowy moment siły M roacutewny zero Woacutewczas zgodnie z roacutewnaniem 511 pochodna momentu pędu po czasie wynosi zero a więc wartość całkowi-tego momentu pędu musi być stała co zapisujemy jako zasadę zacho-wania momentu pędu

sum ==i

iLL constrr

c (515)

Jeżeli na układ ciał nie działają momenty sił zewnętrznych (układ jest odosobniony) to moment pędu tego układu jest stały

W przypadku gdy moment bezwładności układu nie zmienia się w cza-sie zasadę zachowania momentu pędu można zapisać

ωIL const== (516)

Zasada zachowania momentu pędu pozwala wyjaśnić tzw efekt żyrosko-powy stabilizujący np poruszający się rower czy motocykl Z obracają-cymi się kołami związany jest moment pędu skierowany poziomo zgodnie z osią obrotu (kierunek i zwrot wektora wyznacza reguła prawej dłoni) Jeżeli roacutewnowaga roweru ulegnie zachwianiu i rower przechyli się zmieni się kierunek wektora momentu pędu oproacutecz składowej po-ziomej będzie miał roacutewnież składową pionową Rower ktoacutery przechyli się zaczyna poruszać się po łuku Woacutewczas pojawia się dodatkowy mo-ment pędu skierowany pionowo do goacutery ktoacutery jest w stanie skompenso-wać zmianę momentu pędu wynikającą z przechyłu roweru Im większe wychylenie z położenia roacutewnowagi tym większą zmianę momentu pędu potrzeba skompensować i tym mniejszy musi być promień okręgu po ktoacuterym poruszać się będzie rower Z kolei im szybciej poruszać się bę-dzie rower tym większy jest moment pędu związany z obracającym się kołem ale roacutewnież większy jest moment pędu z całym rowerem porusza-jącym się po okręgu tak że nawet duże przechylenie roweru będzie kompensowane przez jego ruch po okręgu o dużym promieniu W kon-sekwencji moment pędu koła stabilizuje zachowanie całego obiektu w ktoacuterym zamocowane jest to koło Efekt żyroskopowy wykorzystywa-ny jest roacutewnież np na pokładach łodzi czy samolotoacutew gdzie montowane

DYNAMIKA BRYŁY SZTYWNEJ

Strona 75757575

są specjalne wirujące dyski (żyroskopy) mające na celu zwiększenie stabilności tych pojazdoacutew i zmniejszenie ich przechyłoacutew

Zasada zachowania momentu pędu musi być roacutewnież uwzględniona w konstrukcji śmigłowca Obracanie wirnika wymaga działania na niego pewnym momentem siły Identyczny moment siły ale o przeciwnym zwrocie działa na kadłub śmigłowca W efekcie kadłub zaczyna się obra-cać w stronę przeciwną do kierunku obrotu wirnika Zasada zachowania

momentu pędu dla takiego układu można zapisać kkss ωIωI = gdzie indeksy s i k oznaczają odpowiednio śmigło i kadłub Najpopularniej-szym rozwiązaniem tego problemu w konstrukcji helikoptera jest umieszczenie dodatkowego wirnika na ogonie Siła ciągu tego wirnika wytwarza moment sił działający na kadłub i przeciwdziałający obrotowi Ponadto regulując siłę ciągu wirnika ogonowego śmigłowiec może wykonać obroacutet w prawo lub w lewo Zamiast jednego wirnika można roacutewnież zastosować dwa śmigła obracające się w przeciwnych kierun-kach ktoacuterych moment pędu roacutewnoważy się

Efekty działania zasady zachowania momentu pędu są roacutewnież obserwo-wane w przypadkach kiedy zmieni się moment bezwładności obracają-cego się obiektu Łyżwiarze przygotowując się do skoku z obrotem szeroko rozstawiają ręce żeby uzyskać jak największy moment bezwład-ności wprawiają ciało w ruch obrotowy i odbijają się W powietrzu ścią-gają ręce do siebie zmniejszając tym samym moment bezwładności co zgodnie z zasadą zachowania momentu pędu wpływa na wzrost prędkoś-ci obrotowej i daje możliwości wykonania kilku obrotoacutew w powietrzu

Podobne zjawisko obserwujemy dla chmury gazoacutew wirującej wokoacuteł cia-ła niebieskiego (np gwiazdy) Jeżeli chmura ta ulegnie zapadnięciu pod wpływem sił grawitacji gwałtownie maleje jej moment bezwładności (proporcjonalny do kwadratu promienia) a wzrasta prędkość obrotowa tych gazoacutew Z tego względu gwiazdy uformowane z materii pozostałej po wybuchu supernowych mają z reguły bardzo duże prędkości obrotu względem własnej osi

54 Energia ruchu obrotowego

Zgodnie z II zasadą dynamiki ruchu obrotowego moment siły działający na ciało może wywołać jego ruch obrotowy Aby wyznaczyć energię jaką posiada ciało wykonujące ruch obrotowy wyznaczymy pracę jaką

ROZDZIAŁ 5

Strona 76767676

należy wykonać aby wywołać ruch obrotowy bryły sztywnej Rozpa-trzmy moment siły M ktoacutery wywołuje ruch obrotowy bryły sztywnej taki że siła F jest prostopadła do ramienia r na jakim działa W przypad-ku ruchu postępowego pracę dW liczyliśmy jako iloczyn siły F oraz przesunięcia dx jakie ta siła wywołuje ( xFW dd = ) W przypadku ruchu obrotowego moment siły M działając na bryłę sztywną powoduje przemieszczenie kątowe dα a więc pracę dW w ruchu obrotowym możemy zapisać jako

αdd MW = (517)

Pracę całkowitą jaką wykona moment siły M obracając bryłę sztywną od położenia początkowego (kątowego) αp do położenia końcowego αk wyznaczamy z zależności całkowej

int=k

p

MW

α

α

αd (518)

Podstawiając roacutewnanie 514 do 517 przy założeniu I =const otrzymujemy

ωωωα

αω

α ddd

dd

d

ddd I

tI

tIMW ==== (519)

Stąd wyznaczamy pracę jaką należy wykonać aby bryle o momencie bezwładności I nadać prędkość kątową ω Praca ta jest roacutewnoważna energii ruchu obrotowego tej bryły

2

d2

IωωωIWE

ω

0

=== into (520)

Powyższy wzoacuter ma postać podobną do wzoru na energię kinetyczną ruchu postępowego ale zamiast masy mamy moment bezwładności oraz prędkość kątową zamiast postępowej W ogoacutelności poruszająca się bryła sztywna może posiadać zaroacutewno energię kinetyczną ruchu postępowego ktoacutera jest związana z ruchem postępowym środka masy ciała oraz ener-gię ruchu obrotowego związaną z obrotem ciała wokoacuteł osi obrotu Dlate-go ten sam obiekt staczający się z poślizgiem (bez obracania) oraz bez poślizgu (staczając się) będzie miał na dole roacutewni inną prędkość postę-pową środka masy W pierwszym przypadku bowiem zgodnie z zasadą zachowania energii cała energia potencjalna zamieni się w energię kine-tyczną ruchu postępowego W drugim przypadku ta sama początkowa

DYNAMIKA BRYŁY SZTYWNEJ

Strona 77777777

energia potencjalna ulega zamianie zaroacutewno na energię kinetyczną ruchu postępowego jak i obrotowego decydując o mniejszej prędkości ruchu postępowego Podobnie prędkość postępowa pocisku wystrzelonego z broni palnej o gwintowanej lufie jest mniejsza niż w przypadku gładkiej lufy gdyż część energii jest zgromadzona w ruchu obrotowym pocisku Jednakże ruch wirowy i zasada zachowania momentu pędu chroni pocisk przed koziołkowaniem wpływając na większą celność strzałoacutew oraz efektywnie większy zasięg strzału

W niektoacuterych autobusach czy bolidach F1 stosuje się tzw koła zamacho-we do magazynowania energii w postaci energii ruchu obrotowego Pod-czas hamownia energia kinetyczną pojazdu nie jest bdquotrwonionardquo w posta-ci ciepła wydzielanego na tarczach hamulcowych a wykonuje pracę wprawienia tarcz o dużym momencie bezwładności w ruch obrotowy Tak zgromadzona energia ruchu obrotowego koła zamachowego może być odzyskana i może wykonać pracę rozpędzania pojazdu

ROZDZIAŁ 5

Strona 78787878

6 Ruch drgający

W tym rozdziale

o Drgania harmoniczne o Wahadło sprężynowe wahadło matematyczne

fizyczne i torsyjne o Drgania tłumione o Drgania wymuszone z tłumieniem

ROZDZIAŁ 6

Strona 80808080

61 Drgania harmoniczne

Rozpatrzmy ciało poruszające się po okręgu o promieniu R tak jak opi-sywaliśmy to w rozdziale 51 Tym razem jednak będziemy obserwować ruch rzutu punktu na nieruchomy ekran (np na ścianę) prostopadły do płaszczyzny ruchu po okręgu Woacutewczas ciało przesuwać się będzie w jednym wymiarze w powtarzalny sposoacuteb z jednego do drugiego krań-ca odcinka o długości 2R Ruch w ktoacuterym ciało powtarza te same poło-żenia nazywamy ruchem drgającym lub oscylującym Jeżeli drgania te występują w stałych odstępach czasu to mamy do czynienia z ruchem drgającym okresowym Gdybyśmy narysowali wykres położenia tego ciała w funkcji czasu otrzymalibyśmy krzywą sinusoidalną jak na rysun-ku 61 Rzut ruchu po okręgu jest więc ruchem drgającym okresowym opisanym funkcją typu sinus

Ruch okresowy drgający w ktoacuterym położenie ciała możemy opisać zależnością sinusoidalną nazywany jest ruchem harmonicznym

αRx sin= (61)

gdzie R jest promieniem okręgu po jakim porusza się obiekt a α oznacza fazę ruchu drgającego i dla rozpatrywanego przykładu jest powiązana z położeniem kątowym ciała na okręgu

Ponieważ położenie kątowe ciała na okręgu zależy od jego prędkości kątowej ω wiec roacutewnież faza w ruchu drgającym zmienia się w czasie proporcjonalnie do tej prędkości kątowej W zagadnieniach ruchu drga-jącego wielkość ω nazywa się częstotliwością kołową w odroacuteżnieniu od częstotliwości f Należy jednak pamiętać że obie te wielkości są ze sobą powiązane zależnością 54 (ω = 2πf )

RUCH DRGAJĄCY

Strona 81818181

Rysunek 61 Rzut położenia ciała poruszającego się po okręgu na oś w układzie liniowym

W ogoacutelności położenie ciała poruszającego się ruchem harmonicznym prostym można zapisać w postaci

( ) ( )ϕ+= ωtAsintx (62)

gdzie A jest amplitudą drgania argument funkcji sinus będziemy nazy-wać fazą ruchu φ jest fazą początkową a ω częstotliwością kołową

Prędkość ciała w ruchu harmonicznym wyznaczymy obliczając pochod-ną jego położenia po czasie

( ) ( ) ( )φωtωt

txt +== cosA

d

dv (63)

Poroacutewnując zależności 62 oraz 63 widzimy że prędkości i wychylenie z położenia roacutewnowagi nie są zgodne w fazie (opisane funkcjami sinus i cosinus) Oznacza to że prędkość w ruchu drgającym jest największa w momencie kiedy wychylenie jest roacutewne zeru (w momencie prze-chodzenia przez położenie roacutewnowagi) i jest zerowa dla maksymalnego wychylenia

Obliczając pochodną prędkości po czasie otrzymamy przyspieszenie ciała poruszającego się ruchem harmonicznym

( ) ( ) ( ) ( )txωφωtωt

tta

22 minus=+minus== sinAd

dv (64)

Otrzymaliśmy zależność w ktoacuterej występuje taka sama funkcja sinus jak dla wychylenia Znak minus oznacza że ciało wychylone z położenia

ROZDZIAŁ 6

Strona 82828282

roacutewnowagi będzie doznawało przyspieszenia w kierunku przeciwnym do jego wychylenia z położenia roacutewnowagi Przyspieszenie to jest wyni-kiem występowania siły ktoacutera tak jak przyspieszenie skierowana jest przeciwnie do wychylenia i ktoacutera zawsze skierowana jest do położenia roacutewnowagi Wartość tej siły jest proporcjonalna do wychylenia a więc im dalej od położenia roacutewnowagowego znajduje się ciało tym większa siła na nie działa Istnienie siły skierowanej do położenia roacutewnowagi o wartości proporcjonalnej do wartości wychylenia z położenia roacutewno-wagi jest roacutewnież cechą charakterystyczną ruchu harmonicznego

Przekształcenie wzoru 64 na przyśpieszenie ciała w ruchu harmonicz-nym pozwala nam zapisać roacuteżniczkowe roacutewnanie ruchu drgań harmonicznych

( ) ( ) 0

d

d=+ txω

t

tx 2

02

2

(65)

Jest to wzoacuter ogoacutelny opisujący drgania harmoniczne w ktoacuterym zamiast wychylenia x możemy wstawić roacutewnież inne wielkości fizyczne jak

ładunek elektryczny czy natężenie pola elektrycznego Wielkość 0ω oznacza częstotliwość kołową drgań własnych obiektu czyli częstotli-wość kołową z jaką wykonuje on drgania swobodne związane jedynie z siłami występującymi wewnątrz układu

Wahadło sprężynowe

Prostym przykładem ruchu drgającego harmonicznego są oscylacje

ciężarka zaczepionego do sprężyny o długości swobodnej 0x Dla uproszczenia przyjmijmy że na ciężarek nie działa siła grawitacji oraz że masa sprężyny jest niewielka w stosunku do masy ciężarka a opory ruchu można zaniedbać Jeśli sprężynę rozciągniemy o długość x (spo-wodujemy wychylenie z położenia roacutewnowagi o odległość x) sprężyna będzie działać na ciężarek siłą o wartości proporcjonalnej do wychylenia (zgodnie z prawem Hookersquoa ndash roacutewnanie 436) xkF minus= Gdy puścimy ciężarek będzie się on poruszał się w kierunku położenia roacutewnowagi Ciężarek minie położenie i będzie miał woacutewczas maksymalną prędkość oraz energię kinetyczną Energia kinetyczna ciała wykona pracę ściskania sprężyny i zostanie zamieniona na energię sił sprężystości (roacutewnanie 437) Gdyby w układzie nie było oporoacutew tarcia ani strat energii podczas ściskania sprężyny ciężarek wychyliłby się na taką sa-mą odległość względem położenia roacutewnowagi na jaką została ona po-przednio rozciągnięta Zatem amplituda drgań byłaby więc stała

RUCH DRGAJĄCY

Strona 83838383

Siła sprężystości działającą na ciało o masie m znajdujące się na końcu rozciągniętej sprężyny nadaje temu ciału przyspieszenie Roacutewnanie ru-chu w takim przypadku można więc zapisać w postaci

0d

d=+ xk

t

xm

2

2

(66)

Jeżeli podzielimy obie strony powyższego roacutewnania przez masę m otrzy-mamy roacutewnanie w postaci analogicznej do roacutewnania 65 nazywane roacutew-naniem wahadła sprężystego Częstość drgań własnych oraz okres drgań takiego wahadła zależy od masy zaczepionej do sprężyny oraz wspoacuteł-czynnika k sprężystości sprężyny

k

mT

m

kω0 π2 == (67)

W przypadku rzeczywistej sprężyny możemy uzyskać drgania harmo-niczne jeżeli wyeliminujemy opory ruchu oraz gdy rozpatrywać będzie-my wyłącznie niewielkie wychylenia z położenia roacutewnowagi Przy zbyt dużych wychyleniach mogą nastąpić odkształcenia plastyczne materiału z ktoacuterego sprężyna jest zrobiona powodując zmianę długości swobodnej sprężyny Podobnie przy zbyt mocnym ściskaniu sprężyny zwoje spręży-ny mogą stykać się uniemożliwiając dalsze odkształcanie

Wahadło matematyczne

Nie tylko siła sprężystości sprężyny powodować drgania harmoniczne W przypadku wahadła matematycznego to siła grawitacji wywołuje drgania harmoniczne Wahadło matematyczne to idealny układ składają-cy się z masy punktowej m zaczepionej do nieważkiej i nierozciągliwej nici o długości l znajdujący się w polu grawitacyjnym W stanie roacutewno-wagi masa punktowa zwisa pionowo na nici zgodnie z kierunkiem linii pola grawitacyjnego Rozpatrzmy teraz niewielkie wychylenie kątowe α z tego położenia roacutewnowagi (rysunek 62) Woacutewczas siłę grawitacji (Fc = mg skierowaną pionowo w doacuteł) możemy rozłożyć na dwie składowe ndash radialną (wzdłuż promienia zaznaczona na niebiesko na rysunku 62) i styczną (prostopadłą do promienia zaznaczoną na czer-wono na rysunku 62) Składowa radialna jest roacutewnoważona przez na-ciąg nici i nie wpływa na ruch wahadła Zatem siłą powodującą powroacutet ciężarka do położenia roacutewnowagi będzie składowa styczna siły ciężkości

αsinmgF s minus= (68)

ROZDZIAŁ 6

Strona 84848484

Przy niewielkich wychyleniach z położenia roacutewnowagi czyli dla małych kątoacutew α wartość funkcji sinus może być dobrze przybliżona argumentem tej funkcji Dla małych kątoacutew α składowa styczna siły ciężkości działają-cej na wychylone wahadło matematyczne jest skierowana do położenia roacutewnowagowego a jej wartość jest proporcjonalna do wartości tego wy-chylenia Uwzględniając powyższe założenia możemy przekształcić roacutewnanie 68 i otrzymujemy roacutewnanie drgań harmonicznych dla wahadła matematycznego

0d

d=+ α

l

α g

t2

2

(69)

Podobnie jak to zrobiliśmy dla wahadła sprężystego poroacutewnujemy roacutewnanie 69 z 65 i wyznaczamy częstości drgań własnych oraz okres drgań wahadła matematycznego o długości l

g

2Tg

ω0

l

lπ== (610)

Warto zauważyć że okres T drgań wahadła matematycznego zależy od długości nici l oraz przyspieszenia ziemskiego g i nie zależy od masy m zaczepionej na końcu nici (izochronizm)

Rysunek 62 Wahadło matematyczne (z lewej) i fizyczne (z prawej)

RUCH DRGAJĄCY

Strona 85858585

Wahadło fizyczne

W rzeczywistości nie jesteśmy w stanie skonstruować idealnego wahadła matematycznego ale z codziennych obserwacji wiemy że rzeczywiste fizyczne obiekty jak np lampa zamocowana na linie mogą wykonywać drgania harmoniczne w polu grawitacyjnym Taki rzeczywisty układ drgający pod wpływem sił grawitacyjnych nazywamy wahadłem fizycz-nym Rozpatrzmy bryłę sztywną o masie m ktoacutera może się obracać względem osi nie pokrywającej się z osią swobodną (środkiem masy ciała) odległej o d od środka masy bryły i ktoacutera zostaje wychylona z położenia roacutewnowagi o niewielki kąt α (rysunek 62) W opisie ruchu tego ciała skorzystamy z drugiej zasady dynamiki dla bryły sztywnej

2

2

ttM

d

d

d

d αωII == (611)

gdzie M oznacza moment siły działającej na bryłę a I jest momentem bezwładności bryły względem osi obrotu Rozważając siły i momenty sił działające na taką bryłę sztywną podobnie jak w poprzednim przypadku wahadła matematycznego rozkładamy siłę ciężkości bryły ktoacutera jest zaczepiona do środka jej masy na składową radialną i styczną Ruch obrotowy bryły sztywnej będzie wywołany przez moment siły Mt zwią-zany ze składową styczną siły ciężkości (wyliczoną w identyczny sposoacuteb jak w przypadku wahadła matematycznego) działającą na ramieniu d i wyniesie

dmgM t αsinminus= (612)

Roacutewnież w tym przypadku wartość funkcji sinus przybliżamy jej argu-mentem i otrzymujemy roacutewnanie ruchu harmonicznego

0d

d=+ α

α

I

mgd

t2

2

(613)

W tym przypadku częstość drgań i okres obiegu wynoszą

mgd

IT

I

mgdω0 π2 == (614)

Jeżeli podstawimy mdI0 =l powyższe zależności będą miały iden-

tyczną postać jaką otrzymaliśmy dla wahadła matematycznego (wzo-

ry 610) Długość 0l dla ktoacuterej okres wahadła matematycznego jest taki

ROZDZIAŁ 6

Strona 86868686

sam jak dla wahadła fizycznego nazywana jest długością zredukowaną wahadła fizycznego

Wahadło torsyjne

Innym typem wahadła w ktoacuterym siłą sprawczą drgań jest siła sprężys-tości jest wahadło torsyjne Zwykle jest to układ o momencie bezwład-ności I składający się z jednego lub kilku ciężarkoacutew zawieszonych na cienkim pręcie lub drucie Oś obrotu pokrywa się z osią pręta a moment sił działających na ciężarek wynika z sił sprężystości powstających przy skręceniu pręta (inaczej układ ten jest nazywany wahadłem skrętnym) Ten moment sił skręcających jest proporcjonalny do wychylenia kątowego z położenia roacutewnowagi α oraz tzw momentu kierującego D będącego cechą materiału pręta

αDM t minus= (615)

Dla wahadła torsyjnego druga zasada dynamiki przyjmuje postać

0d

d=+ α

I

D

t

α2

2

(616)

a częstość drgań i okres obiegu w tym przypadku wynoszą

D

IT

I

Dω0 π2 == (617)

62 Drgania tłumione

W rzeczywistych układach drgających amplituda drgań będzie stopnio-wo malała i po pewnym czasie drgania ustaną Związane jest to z wystę-powaniem strat energii wynikających między innymi z lepkości ośrod-ka w ktoacuterym poruszają się ciała sił tarcia występujących na połącze-niach mechanicznych itp Opis ruchu z uwzględnieniem tłumienia wy-maga określenia ktoacutery z czynnikoacutew tłumienia jest dominujący a następ-nie zapisania wpływu tego czynnika w roacutewnaniu ruchu Najczęściej tłu-mienie jest proporcjonalne do prędkości ciała Modelem takiego układu może być ciężarek umocowany do sprężyny i zanurzony w lepkiej cie-czy Jak pokażemy w rozdziale poświęconym hydrodynamice jeśli prze-pływ cieczy ma charakter laminarny siły oporu są wprost proporcjonalne

RUCH DRGAJĄCY

Strona 87878787

do prędkości ciała Roacutewnanie ruchu ciężarka w takim układzie możemy zapisać w postaci

vbkxma minusminus= (618)

gdzie wspoacutełczynnik b jest stałą proporcjonalności między siłą oporu a prędkością Zastępując prędkość pierwszą a przyspieszenie drugą po-chodną położenia po czasie powyższy wzoacuter możemy zapisać w postaci roacuteżniczkowej

0d

d

d

d=++ kx

t

xb

t

xm

2

2

(619)

Rozwiązanie roacutewnania ruchu drgań harmonicznych miało postać funkcji sinusoidalnej Rozwiązanie roacutewnania drgań tłumionych jest złożeniem dwoacutech funkcji ndash funkcji okresowej sinusoidalnej oraz funkcji opisującej wykładnicze malenie amplitudy wychylenia

( ) ( )φtωcosetx t +prime= minusγA (620)

Wykładnicze malenie amplitudy drgań zależy zaroacutewno od lepkości ośrodka jak i masy ciężarka zamocowanego do sprężyny i opisane jest za pomocą wspoacutełczynnik tłumienia γ=b2m Istnienie tłumienia w ukła-dzie wpływa roacutewnież na zmniejszenie częstości kołowej drgań tłumio-nych ωrsquo

222 γωγ minus=minus=minus=primem

k

m4

b

m

kω

2

2

(621)

Jeśli wspoacutełczynnik tłumienia jest niewielki to częstotliwość kołowa drgań tłumionych ulega tylko nieznacznej zmianie a amplituda stopnio-wo zmniejsza się w kolejnych okresach drgań ndash funkcja wykładnicza stanowi obwiednię obserwowanego przebiegu (rysunek 63)

Jeśli będziemy zwiększać wartość wspoacutełczynnika tłumienia poprzez zmianę lepkości ośrodka lub zmianę masy drgającej zanik amplitudy drgań będzie coraz szybszy a częstotliwość tych drgań coraz mniejsza aż w końcu osiągniemy wartość krytyczną dla ktoacuterej częstość kołowa drgań tłumionych będzie wynosiła zero

22

ω=kγ (622)

ROZDZIAŁ 6

Strona 88888888

Dla takiej wartości wspoacutełczynnika tłumienia obserwujemy najszybsze z możliwych wygaśnięcie drgań i dojście układu do stanu roacutewnowagi Zależność wychylenia od czasu nie ma woacutewczas postaci funkcji okreso-wej a jedynie aperiodycznego wykładniczego spadku (rysunek 63)

Jeśli wspoacutełczynnik tłumienia będzie jeszcze większy układ będzie prze-tłumiony Podobnie jak w przypadku tłumienia krytycznego nie obser-wujemy woacutewczas drgań okresowych a jedynie wykładnicze zmniejsza-nie się wychylenia Jednak w tym przypadku siły oporu są na tyle duże że powroacutet do położenia roacutewnowagi trwa wielokrotnie dłużej niż w przy-padku tłumienia krytycznego (rysunek 63)

Rysunek 63 Zależność wychylenia ciała dla oscylatora tłumionego w funkcji czasu Roacuteżne kolory krzywej obrazują

zachowanie oscylatora dla roacuteżnych wartości wspoacutełczynnika tłumienia

Urządzenia tłumiące drgania amortyzatory

Doboacuter odpowiedniego wspoacutełczynnika tłumienia jest ważnym zagadnie-niem inżynierskim przy projektowaniu urządzeń mechanicznych Sto-sunkowo prostym przykładem może być tutaj zamykacz do drzwi ktoacutery ma zapewnić jak najszybsze zamknięcie drzwi tak aby zminimalizować straty ciepła z wewnątrz budynku Znając masę drzwi na etapie projek-towania możemy tak dobrać olej o odpowiedniej lepkości oraz sprężynę o odpowiednim wspoacutełczynniku sprężystości aby wspoacutełczynnik tłumienia

RUCH DRGAJĄCY

Strona 89898989

był roacutewny wartości krytycznego wspoacutełczynnika tłumienia Jeśli dobie-rzemy za mały wspoacutełczynnik tłumienia drzwi przed zamknięciem wyko-nają kilka oscylacji wokoacuteł położenia roacutewnowagi (jeśli mają taką możli-wość) lub uderzą we framugę Jeśli wspoacutełczynnik tłumienia będzie zbyt duży drzwi będą zamykały się powoli a może nawet mogą w ogoacutele się nie zamknąć Jeśli natomiast tak dobierzemy parametry że otrzymamy wartość krytyczną wspoacutełczynnika tłumienia drzwi zamkną się szybko nie powodując uderzenia we framugę Warto zwroacutecić uwagę na fakt że zimą gdy pod wpływem spadku temperatury lepkość oleju w zamykaczu rośnie nadmiernie wspoacutełczynnik tłumienia wzrasta spowalniając tempo zamykania drzwi Wymiana oleju w zamykaczu byłaby w takim przy-padku mało praktycznym rozwiązaniem ale podobny efekt można roacutew-nież osiągnąć poprzez regulację długości sprężyny

Innym ważnym przykładem tłumionego oscylatora harmonicznego jest amortyzator samochodowy Typowy amortyzator składa się z cylindra oraz tłoka na długim trzpieniu wokoacuteł ktoacuterego owinięta jest sprężyna Tłok dzieli cylinder na dwie części między ktoacuterymi może odbywać się przepływ oleju przez otwory w tłoku Wielkość otworoacutew oraz lepkość użytego płynu determinuje wspoacutełczynnik tłumienia ndash im mniejsza ich średnica i im większy wspoacutełczynnik lepkości płynu tym większy wspoacutełczynnik tłumienia uzyskujemy W typowych amortyzatorach war-tość wspoacutełczynnika tłumienia jest ustalona istnieją jednak rozwiązania pozwalające ją regulować Jednym z nich jest zastosowanie cieczy ktoacute-rych lepkość zwiększa się pod wpływem pola magnetycznego (magneto-reologiczne) lub elektrycznego (elektro-reologiczne) Układy elektro-niczne poprzez wytwarzanie odpowiedniego pola magnetycznego lub elektrycznego mogą płynnie zmieniać wspoacutełczynnik tłumienia amortyza-tora i w ten sposoacuteb wpływać na charakterystykę układu zawieszenia

Amortyzatory lotnicze muszą wytłumić zaroacutewno oscylacje o dużej am-plitudzie powstające podczas lądowania przy zetknięciu z Ziemią jak i mniejsze drgania powstające podczas szybkiej jazdy po płycie lotniska W tym celu stosuje się amortyzatory powietrzno-olejowe z dodatkową poduszka gazową tłumiącą drgania o dużej amplitudzie

ROZDZIAŁ 6

Strona 90909090

63 Drgania wymuszone z tłumieniem

Wiemy już że każdy układ charakteryzuje częstość kołowa drgań włas-nych ω0 oraz że tłumienie zmienia częstość drgań układu Na układ mogą jednak działać roacutewnież zewnętrzne siły wymuszające o charakte-rze okresowym Rozpatrzmy oscylator harmoniczny tłumiony ktoacutery bę-dzie pobudzany zewnętrzną siłą okresową z częstością kłową ω Woacutew-czas roacutewnanie ruchu oscylatora w postaci roacuteżniczkowej będzie miało postać

ωtxωt

x

m

b

t

x02

2

cos Ad

d

d

d=++ (623)

gdzie A oznacza amplitudę wymuszenia

Rozwiązania tego roacutewnania mają dość skomplikowaną postać i nie bę-dziemy ich wyprowadzać Przeanalizujemy tylko zależność amplitudy drgań od częstości wymuszenia i wspoacutełczynnika tłumienia

( ) 22220

22

1

ωωωm

~X MAX

γ+minus (624)

Jeśli częstotliwość kołowa wymuszenia ω zbliża się do częstotliwości kołowej drgań własnych oscylatora ω0 to amplituda drgań rośnie Gdy częstotliwość drgań wymuszających jest zgodna z częstotliwością drgań własnych amplituda drgań osiąga maksymalną wartość a w przypadku gdy nie ma tłumienia dąży do nieskończoności a zjawisko to nazywa się rezonansem

Zjawisko rezonansu mechanicznego może więc doprowadzić do uszko-dzenia budynkoacutew lub pojazdoacutew Jako przykład niszczącej siły rezonansu podawane jest zazwyczaj zawalenie się mostu w Angers w 1850 roku pod wpływem drgań wywołanych przemarszem wojska Rytm kroku żołnierzy zgadzał się z częstością własną konstrukcji mostu wiszącego co doprowadziło do zniszczenia podtrzymujących go wież We wspoacuteł-czesnych pojazdach na przykład zjawiska rezonansu mogą prowadzić do powstawania znacznych naprężeń mechanicznych na elementach kon-strukcyjnych i luzowania połączeń skrętnych Siłą wymuszającą drgania

RUCH DRGAJĄCY

Strona 91919191

mogą być roacutewnież fale sejsmiczne wywołane trzęsieniami ziemi i dlate-go w regionach aktywnych sejsmicznie w konstrukcji wysokich budyn-koacutew stosuje się roacuteżnego rodzaju amortyzatory oraz tzw TMD ndash tuned mass damper czyli dodatkowy oscylator o innej częstotliwości własnej ktoacutery przejmuje i rozprasza część energii drgań

ROZDZIAŁ 6

Strona 92929292

7 Stany skupienia materii

W tym rozdziale

o Ciało stałe o Płyny o Inne stany materii szkło tworzywa sztuczne

plazma o Przemiany fazowe

ROZDZIAŁ 7

Strona 94949494

Stany skupienia materii

Dotychczas opisywaliśmy ciała stałe ktoacutere charakteryzowały się ustalo-nym kształtem ktoacutere pod wpływem działającej na nie siły poruszały się (bryła sztywna) lub też nieznacznie sprężyście się odkształcały (sprę-żyna) W tym rozdziale omoacutewimy także inne cechy charakterystyczne ciał stałych oraz przedstawimy wybrane właściwości innych stanoacutew skupienia materii ndash cieczy i gazoacutew o ktoacuterych więcej moacutewić będziemy w dalszych rozdziałach

71 Ciało stałe

Cechami charakterystycznymi ciała stałego są

bull ustalony kształt i objętość

bull występowanie oddziaływań harmonicznych pomiędzy ato-mami i cząsteczkami W pewnym zakresie naprężeń ciało stałe zachowuje się jak sprężyna ndash ściśnięte wraca do pier-wotnego kształtu a odkształcenie sprężyste jest proporcjo-nalne do wartości przyłożonej siły Atomy ciała stałego wykonują drgania wokoacuteł położenia roacutewnowagi a amplituda tych drgań jest tym wyższa im wyższa jest temperatura

bull uporządkowanie dalekiego zasięgu Krystaliczne ciało stałe otrzymujemy powielając niewielki podstawowy jego frag-ment (tak zwaną komoacuterkę elementarną) w każdym z kierun-koacutew Taka powtarzalność układoacutew atomowych tzw perio-dyczność pozwala nam zatem na podstawie znajomości układu atomoacutew w danym miejscu określić dokładnie jakie jest położenie atomoacutew w dowolnym innym miejscu

STANY SKUPIENIA MATERII

Strona 95959595

72 Płyny

Płyny do ktoacuterych zaliczamy ciecze i gazy roacuteżnią się od ciał stałych reakcją na naprężenie ścinające Ciała stałe w reakcji na takie naprężenie (w pewnym zakresie wartości) odkształcają się sprężyście a po zwolnie-niu siły powracają do pierwotnego kształtu Płyny natomiast ulegają odkształceniu plastycznemu czyli obserwujemy płynięcie ciała i zmianę jego kształtu

Ciecze

Ciecze w odroacuteżnieniu od ciała stałego nie posiadają ustalonego kształtu choć są podobnie jak ciała stałe słabo ściśliwe Ciecze tworzą powierz-chnię swobodną oraz charakteryzują się uporządkowaniem bliskiego za-sięgu Oznacza to że najbliższe otoczenie atomoacutew jest takie samo Cie-cze tworzą cząsteczki o ustalonej strukturze Jednakże względne ułoże-nie cząsteczek względem siebie jest przypadkowe i dlatego możemy przewidzieć położenie sąsiedniego atomu ale nie jesteśmy w stanie obli-czyć dokładnie struktury w dalszym miejscu Ruch obrotowy i ruch po-stępowy cząsteczek cieczy jest znacznie ograniczony

Gazy

Gaz wypełnia całą dostępną objętość naczynia w ktoacuterym się znajduje Jest ściśliwy a odległości wzajemne między cząsteczkami są duże Cząsteczki gazu znajdują się w ciągłym ruchu chaotycznym (ruchy Browna) Istnieją także silne ruchy obrotowe i ruchy drgające wewnątrz cząsteczek Dominującą formą oddziaływań są zderzenia Prędkość cząsteczek jest większa niż w przypadku cieczy

73 Inne stany materii

Powyższe kryteria podziału stanoacutew skupienia odnoszą się do właściwoś-ci idealnych ciał stałych gazoacutew i cieczy W rzeczywistości obserwowa-ne są pewne odstępstwa od zaprezentowanych cech Istnieją roacutewnież ciała ktoacutere trudno jest jednoznacznie przyporządkować do określonej kategorii

ROZDZIAŁ 7

Strona 96969696

Szkło

Szkło jest materiałem w ktoacuterym podobnie jak w cieczy występuje jedy-nie uporządkowanie bliskiego zasięgu W warunkach w ktoacuterych je ob-serwujemy zachowuje ono jednak nie tylko objętość ale i kształt co jest cechą charakterystyczną ciał stałych

Szkło jest w istocie stanem metastabilnym tzw przechłodzoną cieczą ndash czyli cieczą ktoacuterej ruchy uległy zamrożeniu bez przejścia w stan stały (krystalizacji) Czas potrzebny na reorganizację ustawienia cząsteczek (tak zwany czas relaksacji) jest na tyle długi że obserwator nie zauważy efektu płynięcia pod wpływem działania sił ścinających Umowną granicą jest w tym przypadku czas relaksacji roacutewny 100 sekund ndash jeśli jest on kroacutetszy możemy nazywać dane ciało cieczą Zamrażanie ruchoacutew cząsteczek cieczy nazywane jest roacutewnież przejściem szklistym a jego temperatura oznaczana jako Tg ndash temperaturą przejścia szklistego

Istnieje przeświadczenie że efekty płynięcia szkła są widoczne przy odpowiednio długiej obserwacji czyli w wystarczająco bdquostarychrdquo obiek-tach Dokładne badania szkła wytworzonego w starożytnym Egipcie oraz szkła użytego w witrażach średniowiecznych katedr wykazało jednak że czas potrzebny na obserwację efektu płynięcia dla tych szkieł w tempe-raturze pokojowej jest poroacutewnywalny z wiekiem wszechświata a więc trudny do zaobserwowania w normalnych warunkach Atomy szkła za-czynają się szybciej ruszać czyli szkło zaczyna płynąć dopiero po podgrzaniu powyżej temperatury przejścia szklistego co wykorzystywa-ne jest w hutach szkła do nadawania mu oczekiwanych kształtoacutew

Tworzywa sztuczne

Z tworzyw sztucznych zbudowane są takie przedmioty codziennego użytku jak opona gumowa piłka lub zderzak większości nowoczesnych samochodoacutew Wydaje się że zaroacutewno przedmioty te jak i materiał z ktoacuterych są zbudowane spełniają kryteria stawiane ciału stałemu Okazuje się jednak że roacutewnież w tych materiałach nie istnieje uporząd-kowanie dalekiego zasięgu a charakter oddziaływań między cząsteczka-mi jest harmoniczny jedynie w wąskim zakresie przyłożonych naprężeń

Tworzywa sztuczne są zbudowane z łańcuchoacutew polimerowych gdzie identyczne cząsteczki połączone są w długie łańcuchy Oddziaływania między łańcuchami mają złożony charakter i zależą od struktury łańcucha Prostym modelem tworzywa sztucznego może być miska pełna spaghetti Pojedyncze nitki makaronu oddziałują ze sobą nie tylko poprzez tarcie ale dodatkowo występują roacuteżnorakie zapętlenia i zawęźle-

STANY SKUPIENIA MATERII

Strona 97979797

nia w efekcie czego makaron nie rozpływa się W tworzywach sztucz-nych poprzez tzw sieciowanie można dodatkowo zwiększyć oddziały-wania między łańcuchami zwiększając ich wytrzymałość W tworzy-wach sztucznych często nawet nieznaczne modyfikacje materiału wyj-ściowego zmieniają zachowanie tworzywa z typowego dla cieczy na typowe dla ciała stałego

Rozciągnięcie lub ściśnięcie opony widziane w ujęciu mikroskopowym jest związane przede wszystkim z rekonfiguracją wzajemnego położenia łańcuchoacutew Gdybyśmy umieścili wewnątrz opony miernik temperatury okazałoby się że na skutek rozciągania i ściskania zmienia się lokalnie jej temperatura ndash zachodzi przemiana termodynamiczna

Plazma

Obok ciał stałych cieczy i gazoacutew wymienia się zazwyczaj roacutewnież czwarty stan skupienia materii ndash stan plazmy Jest to stan o najwyższej energii w ktoacuterym materia jest zjonizowana i składa się z naładowanych cząstek o przeciwnych znakach ładunku elektrycznego W odroacuteżnieniu od innych stanoacutew skupienia w stanie plazmy oddziaływanie pomiędzy cząsteczkami ma charakter dalekozasięgowy czyli nie ogranicza się do najbliższych sąsiadoacutew ale każda z naładowanych cząstek oddziałuje z wieloma innymi dalszymi cząstkami Plazma jest bardzo dobrym prze-wodnikiem elektrycznym

Materię w tym stanie możemy obserwować min w płomieniu i łuku elektrycznym jak roacutewnież w wyładowaniu następującym w lampach jarzeniowych i w wyładowaniach atmosferycznych

74 Przejścia między stanami ndash przemiany fazowe

Stan skupienia danego ciała zależy od takich wielkości makroskopowych jak objętość temperatura czy ciśnienie Analizując stany w jakich wy-stępuje dane ciało przy określonych wielkościach makroskopowych mo-żemy przygotować tak zwany diagram fazowy ktoacutery zwyczajowo przedstawia się na wykresie ciśnienia od temperatury Linie stanowiące granicę występowania danej fazy związane są ze zmianą stanu skupienia Ponieważ stany skupienia roacuteżnią się między sobą zaroacutewno energią jak i charakterem oddziaływań zmiana stanu skupienia wymaga dostarcze-

ROZDZIAŁ 7

Strona 98989898

nia lub odebrania tej energii Dokładniejszą dyskusję przemian fazowych przeprowadzimy w rozdziale poświęconym termodynamice Teraz jedynie wymienimy przemiany fazowe

Przejście pomiędzy ciałem stałym a cieczą nazywamy topnieniem Przy-kładem jest topnienie lodu lub proces przetapiania złomu w hucie W procesie topnienia energia cząsteczek zwiększa się i następuje zerwa-nie wiązań W pewnych warunkach ciało stałe może roacutewnież przejść bezpośrednio w stan gazowy ndash proces taki nazywamy sublimacją Sublimację obserwujemy w mroźne zimy ndash obecny na obiektach szron i loacuted stopniowo znika bez udziału pośredniego procesu topnienia

Ciecz przechodząc w stan stały ulega krystalizacji Podczas obniżania temperatury cieczy maleje energia kinetyczna cząsteczek cieczy i domi-nować zaczynają procesy porządkowania atomoacutew w charakterystyczną dla danego związku periodyczną strukturę krystaliczną Cząsteczki tracą możliwość przemieszczania się ruchem postępowym - w ciele stałym dominują ruchy drgające polegające na niewielkich oscylacjach wokoacuteł położenia roacutewnowagi Podczas ogrzewania cieczy natomiast wzrasta energia kinetyczna cząsteczek Gdy ta energia jest odpowiednio duża i cząsteczka cieczy jest w stanie pokonać siły oddziaływania międzyczą-steczkowego fazy ciekłej odrywa się do cieczy co nazywamy parowaniem Warto zwroacutecić uwagę na to że parowanie nie następuje tylko w temperaturze wrzenia cieczy

Rysunek 71 Schematyczny diagram fazowy Zaznaczono kierunki zachodzących przemian fazowych

STANY SKUPIENIA MATERII

Strona 99999999

Cząsteczki znajdujące się na powierzchni cieczy mają szansę uwolnić się do fazy gazowej w całym zakresie temperatur w ktoacuterych ciecz istnieje jednak intensywność tego procesu jest roacuteżna w roacuteżnych warunkach Podczas wrzenia natomiast zmiana stanu skupienia następuje w całej objętości cieczy

Procesem odwrotnym do parowania jest skraplanie Proces ten obser-wujemy na przykład w postaci rosy w chłodne poranki a warunki makroskopowe (temperatura i ciśnienie) niezbędne do jego zajścia nazy-wamy punktem rosy Gaz może roacutewnież przejść do fazy stałej bezpo-średnio w wyniku resublimacji Przykładem resublimacji jest osadzanie się szronu na chłodnych powierzchniach Zjawisko resublimacji wyko-rzystywane jest w procesie technologicznym wytwarzania cienkich warstw na potrzeby elektroniki

W przypadku typowego zachowania materii możemy tak dobrać ciśnie-nie objętość i temperaturę ciała aby otrzymać stan w ktoacuterym wspoacutełist-nieć mogą trzy fazy gazowy ciekły i ciało stałe Taki punkt na diagra-mie fazowym nazywamy punktem potroacutejnym

ROZDZIAŁ 7

Strona 100100100100

8 Hydrostatyka i hydrodynamika

W tym rozdziale

o Ciśnienie o Prawo Pascala o Siła wyporu ndash prawo Archimedesa o Roacutewnanie Bernoulliego dysza skrzydło samolotowe o Płyny rzeczywiste wiry i turbulencje o Opoacuter dynamiczny

ROZDZIAŁ 8

Strona 102102102102

81 Hydrostatyka

Hydrostatyka i hydrodynamika opisują własności i zachowanie płynoacutew czyli cieczy oraz gazoacutew

Ciśnienie

Jedną z kluczowych wielkości charakteryzujących płyny jest ciśnienie

Ciśnienie definiujemy jako stosunek siły wywieranej na daną powierzchnię do wielkości tej powierzchni A

A

Fp = (81)

Jednostką ciśnienia jest paskal (1Pa=1Nm2) ktoacutery odpowiada sile 1 N działającej na powierzchnię 1 metra kwadratowego

Ponieważ ciśnienia spotykane w opisie zjawisk przyrodniczych są wielo-krotnie większe np ciśnienie wywierane przez atmosferę jest roacutewne około 105 Pa powstały jednostki takie jak atmosfera fizyczna atmosfera techniczna oraz bar W motoryzacji natomiast często używa się jednostki angielskiej ndash psi czyli funt na cal kwadratowy Podczas gdy w technice proacuteżniowej z kolei często stosowaną jednostką jest tor

Tabela 81 Wybrane jednostki ciśnienia

Dla nieściśliwego płynu ciśnienie hydrostatyczne na pewnej głębokości h pod powierzchnią cieczy zależy wyłącznie od tej głębokości

ghpp 0 ρ+= (82)

gdzie po jest ciśnieniem wywieranym przez atmosferę na powierzchnię cieczy a ρ ndash gęstością płynu W celu przeprowadzenia dowodu tego twierdzenia wyodrębnijmy bdquowycinekrdquo cieczy o płaskich podstawach (np walec) Jeśli w cieczy nie ma ruchoacutew konwekcyjnych wycinek ten nie

mm Hg Tr At Atm bar Psi 1333 9807sdot10

4 1013sdot10

5 10sdot10

5 6893sdot10

3

HYDROSTATYKA I HYDRODYNAMIKA

Strona 103103103103

unosi się ani nie opada a zatem siły działające na obie postawy (goacuterną i dolną) muszą się roacutewnoważyć Siłę działającą na goacuterną podstawę

możemy wyrazić poprzez ciśnienie przy goacuternej krawędzi Gp oraz pole powierzchni tego walca A

ApF GG = (83)

Podobnie możemy wyznaczyć siłę działającą na dolną podstawę

ApF DD = (84)

Siłę działającą na dolną podstawę można roacutewnież wyznaczyć sumując siłę działającą na goacuterną podstawę oraz siłę ciężkości rozważanego bdquowycinkardquo

ghAApmgApF DDD ρ+=+= (85)

Jeżeli poroacutewnamy zależności 84 i 85 to po podzieleniu obu stron przez powierzchnię A otrzymujemy roacutewnanie 82 Wzrost ciśnienia wywołany głębokością pod powierzchnią płynu jest związany z ciężarem tego pły-nu W przypadku ogoacutelnym rozważany bdquowycinekrdquo cieczy może obejmo-wać cały słup cieczy począwszy od jej powierzchni na ktoacuterej panuje ciśnienie p0

Barometr cieczowy

Barometr cieczowy jest prostym urządzeniem do pomiaru ciśnienia at-mosferycznego za pomocą ciśnienia hydrostatycznego Barometr cieczo-wy składa się z płaskiej zlewki i długiej rury zamkniętej na jednym końcu Zaroacutewno zlewkę jak i rurę napełniamy cieczą a następnie rurę odwracamy tak by jej otwarty koniec znalazł się pod powierzchnią płynu w zlewce (rysunek 81) Wydawać by się mogło że skoro powierzchnia cieczy w rurce znajduje się wyżej od powierzchni płynu w zlewce czyli ma wyższą energię potencjalną ciecz znajdująca się w rurze powinna w całości wypłynąć do zlewki Tymczasem obserwuje-my jedynie obniżenie się wysokości słupa cieczy do pewnej wysokości Toricelli stwierdził że w rurce ustala się taki poziom płynu ktoacutery roacutewnoważy zewnętrzne ciśnienie atmosferyczne działające na otwartą zlewkę

ghp ρ=0 (86)

ROZDZIAŁ 8

Strona 104104104104

Rysunek 81 Barometr cieczowy

Przy zmieniającym się ciśnieniu atmosferycznym zmieniać się będzie roacutewnież wysokość słupa płynu a więc układ taki może być stosowany jako barometr do pomiaru ciśnienia atmosferycznego W praktyce najczęściej stosuje się barometry rtęciowe gdyż ze względu na wysoką gęstość rtęci barometr taki nie musi być bardzo wysoki ndash ciśnienie słupa rtęci o wysokości około 760mm jest poroacutewnywalne z ciśnieniem atmosferycznym

Wpływ ciśnienia słupa płynu należy uwzględniać np przy projektowaniu sieci wodociągowej i ujęć wody Jeśli roacuteżnica wysokości między ujęciem wody a punktem odbioru jest znaczna (źroacutedło znajduje się na przykład na zboczu goacutery) stosuje się reduktory ciśnienia tak aby rury doprowadzające wodę nie zostały rozsadzone Z odwrotnym problemem spotykamy się dostarczając wodę do wysokich budynkoacutew ndash przy zasilaniu bezpośrednio z sieci wodociągowej woda ma właściwe ciśnienie jedynie na najniższych piętrach Z tego względu w niektoacuterych przypadkach wodę pompuje się najpierw na najwyższe piętra by następnie przez odpowiednią redukcję ciśnienia uzyskać pożądaną wartość na poszczegoacutelnych kondygnacjach Regulacji ciśnienia w sieci wodociągowej mogą służyć roacutewnież tzw wieże ciśnień ndash wysokość słupa wody zgromadzonego w wieży określa ciśnienie w połączonej z nią sieci wodociągowej Przykładem naturalnej bdquowieży ciśnieńrdquo są tzw studnie artezyjskie Jeśli teren jest zagłębiony ndash tworzy tzw nieckę artezyjską a warstwa wodonośna jest uwięziona pomiędzy słabo przepuszczalnymi skałami ciśnienie wywierane przez wodę z warstwy na uniesionych brzegach niecki powoduje samorzutne wypływanie wody w zagłębionej części niecki

HYDROSTATYKA I HYDRODYNAMIKA

Strona 105105105105

Prawo Pascala

Ciśnienie w cieczy rozchodzi się we wszystkich kierunkach jednakowo

Powyższe prawo Pascala jest podstawą działania systemoacutew hydraulicz-nych Wzrost ciśnienia w jednym punkcie zamkniętego układu powoduje identyczny i natychmiastowy wzrost ciśnienia we wszystkich innych punktach Prostym przykładem wykorzystania tego prawa jest bębnowy hamulec hydrauliczny Naciskając pedał hamulca wciskamy (za pośred-nictwem dźwigni) tłok w niewielkim cylindrze wypełnionym cieczą Ponieważ średnica tłoka jest niewielka to siła ktoacuterą naciskamy pedał powoduje znaczny wzrost ciśnienia cieczy w układzie hamulcowym (ciś-nienie jest odwrotnie proporcjonalne do powierzchni na ktoacuterą działa siła zgodnie z roacutewnaniem 81) Poprzez przewoacuted hamulcowy ciśnienie to jest przekazywane do cylindra z dwoma tłokami znajdującego się wewnątrz mechanizmu hamulca W tej części układu powierzchnia tłokoacutew jest znacznie większa a więc siła z jaką tłoki dociskają okładki hamulcowe do wewnętrznej części bębna jest wielokrotnie większa niż siła nacisku na pedały wytwarzając w ten sposoacuteb duży moment hamujący

Zasada działania podnośnika hydraulicznego (prasy hydraulicznej) roacutew-nież może być wyjaśniona w oparciu o prawo Pascala Prasa hydraulicz-na składa się z połączonych ze sobą dwoacutech cylindroacutew o roacuteżnych średni-cach (rysunek 82) Naciskając jeden z nich o powierzchni S1 siłą F1 wytwarzamy ciśnienie

1

1

S

Fp = (87)

W układzie zamkniętym prasy dokładnie takie samo ciśnienie będzie działało na drugi tłok jeśli tylko znajduje się on na identycznej wysokości (jeśli wysokości byłyby roacuteżne należałoby uwzględnić dodat-kowe ciśnienie słupa cieczy) Możemy zatem obliczyć siłę F2 działającą na drugi tłok o powierzchni S2

2

1

1

2 SS

FF = (88)

Siła F2 zależy zatem od stosunku powierzchni tłokoacutew Jeśli średnica mniejszego tłoka wynosi 1cm a średnica większego 10cm (czyli po-wierzchnia tłoka jest 100 razy większa) to naciskając na mniejszy tłok

ROZDZIAŁ 8

Strona 106106106106

siłą 100N (około 10kg) wytwarzamy na większym tłoku siłę stokrotnie większą zdolną podnieść masę jednej tony Za pomocą przenośnego podnośnika hydraulicznego możemy zatem łatwo unieść samochoacuted w celu dokonania napraw W dużych prasach siła ta może osiągać kilka-set ton co jest wystarczające np do formowania blach karoserii samochodowych

Rysunek 82 Schemat budowy podnośnika hydraulicznego

Warto zwroacutecić uwagę że przemieszczenie dużego tłoka w powyższej prasie hydraulicznej jest odpowiednio mniejsze Aby uzyskać przemiesz-czenie dużego tłoka o 1cm przy danych identycznych jak w powyższym przykładzie mniejszy tłok należałoby przesunąć o 1 metr Ponieważ w praktyce może być to trudne do zrealizowania w systemach siłowni-koacutew hydraulicznych stosuje się system zaworoacutew zwrotnych ndash pozwalają-cych na przepływ płynu tylko w jedną stronę W podnośniku ręcznym zawoacuter zwrotny pozwala na wielokrotny ruch mniejszego tłoka w celu uzyskania odpowiedniego przesunięcia dużego tłoka W obu przypad-kach wykonana praca jest jednak identyczna Przyjmując oznaczenie przemieszczenia tłoka jako x otrzymujemy

222

2

2

1

1

2

2

1

1111 WxFS

VF

S

VS

S

F

S

VFxFW ====== (89)

Siła wyporu ndash prawo Archimedesa

Zgodnie z prawem Archimedesa

Na ciało zanurzone w płynie działa siła wyporu skierowana pionowo do goacutery roacutewna ciężarowi wypartego płynu

HYDROSTATYKA I HYDRODYNAMIKA

Strona 107107107107

gVF cW ρ= (810)

Wzoacuter na wartość siły wyporu można wyprowadzić w sposoacuteb analogicz-ny do zastosowanego przy wyznaczaniu ciśnienia wywieranego przez słup cieczy Wyodrębnijmy z cieczy o gęstości ρ fragment o objętości V polu przekroju S oraz wysokości h ktoacutery ani nie tonie ani nie unosi się Oznacza to że ciężar tego fragmentu musi być zroacutewnoważony przez siłę wyporu skierowaną w goacuterę Rozważania te nie zmienią się jeżeli na miejsce wyodrębnionego fragmentu wstawimy badane ciało w szczegoacutel-ności nie zmieni się wartość siły wyporu ndash wartość siły wyporu zależy od objętości zanurzonego ciała oraz gęstości cieczy w ktoacuterej te ciało jest zanurzone W przypadku ciał pływających na powierzchni wody prawo Archimedesa możemy sformułować w następujący sposoacuteb

Ciało pływające na powierzchni wody wypiera ilość wody ważącą tyle ile samo waży

Ciało pływające na powierzchni wypiera jedynie tyle wody ile wynosi objętość jego zanurzonej części Siła wyporu związana jest z objętością wypartej cieczy o gęstości ρc czyli tylko z częścią zanurzoną ciała Vz ale siła ta roacutewnoważy ciężar całego ciała (mg) co zapisujemy

gVmg cz ρ= (811)

Działania siły wyporu możemy doświadczyć pływając w wodzie Biorąc pod uwagę powietrze zgromadzone w płucach ciało ludzkie ma średnią gęstość mniejszą od wody co pozwala mu unosić się na powierzchni Pojazdy i konstrukcje pływające mają roacutewnież średnią gęstość mniejszą od wody ndash choć kadłub statku jest wykonany ze stali o znacznie większej gęstości od wody ale średnia gęstość liczona dla całej bryły okrętu jest mniejsza od gęstości wody Siła wyporu unosi roacutewnież balony zaroacutewno wypełnione gazami lżejszymi od powietrza (hel wodoacuter) jak i napełnione ogrzanym powietrzem W obu przypadkach balon unosi się ponieważ średnia gęstość liczona dla całej bryły balonu jest mniejsza niż gęstość otaczającego powietrza

Jak wynika z prawa Archimedesa i jak widać w przytoczonych przykładach siła wyporu zależy od gęstości płynu w ktoacuterym ciało jest zanurzone Oznacza to roacutewnież że mierząc siłę wyporu możemy mierzyć gęstości cieczy Urządzenia wykorzystujące ten efekt nazywa się areometrami i stosowane są zaroacutewno w przemyśle winiarskim (do wyznaczania zawartości alkoholu) jak i paliwowym Areometr ma zwykle kształt długiej rurki obciążonej na jednym końcu Po umieszcze-niu w cieczy przyjmuje pozycję pionową Głębokość zanurzenia pływa-

ROZDZIAŁ 8

Strona 108108108108

ka zależy od gęstości cieczy ndash jeśli gęstość jest mniejsza (np więcej alkoholu w stosunku do wody) zmniejsza się siła wyporu i pływak zanurza się głębiej Jeśli gęstość jest większa zanurzenie zmniejsza się Podobnie dzieje się z naszym ciałem ndash w gęstszej wodzie słonej siła wyporu jest większa i łatwiej jest unosić się na powierzchni Z tego samego powodu trudno jest utonąć w tzw grząskich piaskach ndash ich gęstość jest znacznie większa niż gęstość ludzkiego ciała

Prawo Archimedesa w praktyce wykorzystywane jest w roacuteżnych urzą-dzeniach hydrologicznych Na przykład w niektoacuterych krajach odcinki kanałoacutew żeglugowych poprowadzone są na wiaduktach Kiedy barka wpływa na taki wiadukt obciążenie konstrukcji nie zmienia się jednak ponieważ barka pływając na powierzchni wody wypiera z kanału do-kładnie tyle wody ile sama waży

82 Hydrodynamika

Hydrodynamika opisuje zjawiska związane z przepływem płynoacutew W pierwszym przybliżeniu badany ośrodek możemy zastąpić płynem idealnym ktoacutery wyroacuteżnia się następującymi cechami

bull Przepływ laminarny ndash prędkość poruszającego się płynu w każdym wybranym punkcie nie zmienia się z upływem czasu

bull Przepływ nieściśliwy ndash gęstość płynu jest stała

bull Przepływ nielepki ndash brak strat związanych z oporem wewnętrznym

bull Przepływ bezwirowy ndash zawieszona w płynie cząstka nie obraca się względem środka masy

Roacutewnanie ciągłości

W celu zobrazowania przepływu płynu idealnego wygodnie jest wpro-wadzić linie prądu Są to linie w każdym punkcie styczne do toru oraz prędkości cząstki zawieszonej w płynie Rozpatrzmy strugę nieściśliwe-go płynu definiowaną jako zespoacuteł linii prądu wypełniających poprzeczny

HYDROSTATYKA I HYDRODYNAMIKA

Strona 109109109109

do linii prądu mały kontur zamknięty (rurkę prądu) Jeżeli płyn jest nieściśliwy oraz w rurce prądu nie ma żadnych źroacutedeł ani wypływoacutew woacutewczas masa płynu przepływająca w jednostce czasu przez dowolny przekroacutej poprzeczny tej strugi musi być taka sama Zasadę zachowania masy dla takiej strugi płynu można więc zapisać

22 mtSρtSρm 111 dddd 2 === vv (812)

gdzie dm1 oraz dm2 oznaczają masę strugi płynu ktoacutera w czasie dt prze-pływa z prędkością v1 oraz v2 przez przekroacutej strugi o powierzchni odpo-wiednio S1 oraz S2 Po przekształceniach otrzymujemy roacutewność

21 vv 21 SS = (813)

co zapisujemy jako tzw roacutewnanie ciągłości

const=vS (814)

gdzie S jest polem przekroju poprzecznego zaś v prędkością przepływu płynu przez ten przekroacutej Z roacutewnania tego wynika że im węższy jest przekroacutej tym większa prędkość przepływu cieczy Efekt taki możemy zaobserwować na przykład dla wody w koryta rzecznego Jeśli koryto jest szerokie rzeka płynie powoli natomiast jeśli koryto jest wąskie ndash np w miejscu przełomu przez warstwy skał ndash prędkość nurtu zwiększa się

Roacutewnanie Bernoulliego

Roacutewnanie Bernoulliego określa związek między ciśnieniem cieczy prędkością jej przepływu oraz wysokością na ktoacuterej znajduje się ta ciecz

Rozpatrzmy rurę o zmiennym przekroju ktoacuterej dwa końce znajdują sie na roacuteżnych wysokościach jak na rysunku 83 Przepływ płynu z dolnej części (indeksy 1) do goacuternej części (indeksy 2) odbywa się pod wpły-wem siły parcia F1 zdefiniowanej przez ciśnienie p1

ROZDZIAŁ 8

Strona 110110110110

Rysunek 83 Ilustracja roacutewnania Bernoulliego

Siła ta przesuwając płyn o pewną odległość l1 wykonuje pracę

11111111 VpSpFW === ll (815)

Przesunięciu temu przeciwdziałać będzie siła parcia F2 związana z ciśnieniem p2 ktoacutera wykona pracę

22222222 VpSpFW minus=minus=minus= ll (816)

Ponieważ zgodnie z roacutewnaniem ciągłości taka sama objętość płynu przesunie się w dolnej i goacuternej części rury więc wypadkowa praca wykonana przez siły parcia wynosi

V)p(pVpVpW 2111 minus=minus=∆ 22 (817)

Praca sił parcia wpływać będzie na zmianę energii kinetycznej i poten-cjalna tej porcji płynu o objętości V Płyn ten przepływając z prędkością v1 przez rurę znajdującą się na wysokości y1 będzie miał energię

11 mgymE += 212

1v (818)

gdzie m oznacza masę porcji płynu o objętości V oraz gęstości ρ Zmiana energii płynu przepływającego przez rozważaną rurę wynosić więc będzie

221 mgymmgymE minusminus+=∆ 221 2

1

2

1vv (819)

Jeśli przyroacutewnamy zmianę energii płynu oraz wypadkową pracę sił parcia po podzieleniu roacutewnania przez objętość otrzymamy

HYDROSTATYKA I HYDRODYNAMIKA

Strona 111111111111

2

2

221

2

11 gy2

1pgy

2

1p ρρρρ ++=++ vv (820)

Powyższe wyprowadzenie można uogoacutelnić w postaci tzw roacutewnania Bernoulliego ktoacutere moacutewi że dla dowolnych dwoacutech przekroi rurki cieczy idealnej suma trzech ciśnień ndash statycznego hydrostatycznego oraz spiętrzania ndash jest stała

const=++ hg2

1p

2 ρρv (821)

Z roacutewnania Bernoulliego wynika na przykład że jeżeli będziemy rozpatrywać przepływ płynu na stałej wysokości (ciśnienie hydrostatyczne jest stałe) woacutewczas im większa jest prędkość przepływu cieczy (ciśnienie spiętrzania) tym mniejsze jest ciśnienie statyczne wytwarzane przez tę ciecz Efekt ten wykorzystujemy w szeregu urządzeń

Dysza

W pistolecie natryskowym wykorzystuje się strumień gazu poruszający się z dużą prędkością W miejscu podłączenia zbiornika z farbą znajduje się przewężenie o przekroju znacznie mniejszym niż przekroacutej wlotu dyszy Z roacutewnania ciągłości wiemy że w takim przewężeniu gaz ma znacznie większą prędkość niż przy wlocie i wylocie dyszy Z roacutewnania Bernoulliego zaś wynika że w takim punkcie gdzie prędkość przepływu płynu jest wysoka ciśnienie jest niskie Przy odpowiednio wąskim przewężeniu uzyskamy na tyle niskie ciśnienie (proacuteżnię) że farba jest zasysana do wnętrza dyszy gdzie jej kropelki są rozpylane w strumieniu przepływającego powietrza i mogą być wykorzystane do roacutewnomiernego rozprowadzenia farby Wykorzystując podobną konstrukcję można roacutewnież budować miniaturowe pompy proacuteżniowe a także przyrządy do pomiaru prędkości gazu

Skrzydło samolotu

Roacutewnanie Bernoulliego pozwala roacutewnież wyjaśnić zasadę wytwarzania siły nośnej przez skrzydło samolotu Niesymetryczny kształt przekroju płata skrzydła powoduje powstawanie roacuteżnicy prędkości strumienia powietrza powyżej i poniżej płata Roacuteżnica ta zależy od tzw kąta natarcia ndash określonego umownie pomiędzy cięciwą skrzydła a kierun-kiem strugi powietrza Przy pewnym kącie natarcia prędkości powietrza owiewającego płat są sobie roacutewne ciśnienie po obu stronach płata jest zatem roacutewnież identyczne Płat nie wytwarza wtedy siły nośnej Jeśli

ROZDZIAŁ 8

Strona 112112112112

zwiększymy kąt natarcia masy powietrza opływające skrzydło od goacutery muszą pokonać dłuższą drogę a więc prędkość powietrza na goacuternej powierzchni płata jest większa niż na dolnej Zatem zgodnie z roacutewna-niem Bernoulliego ciśnienie na goacuternej powierzchni jest niższe Roacuteżnica ciśnień po obu stronach płata powoduje powstanie siły nośnej unoszącej samolot Im większy kąt natarcia tym większa siła nośna ndash należy jednak pamiętać że przy zbyt dużym kącie natarcia wzrastają roacutewnież siły hamujące działające na układ Dochodzi wtedy do tzw przeciągnię-cia ndash zbyt duży kąt natarcia powoduje utratę prędkości i w konsekwencji spadek siły nośnej

Rysunek 84 Linie prądu powietrza opływającego skrzydło samolotu

Płyny rzeczywiste

Opis zachowania płynoacutew rzeczywistych jest znacznie bardziej złożony niż idealnych Płyny rzeczywiste roacuteżnią się od idealnych przede wszystkim niezerową lepkością oraz ściśliwością

Ściśliwość opisuje zmianę objętości obiektu pod wpływem ciśnienia zewnętrznego Gazy charakteryzują się znacznie większą ściśliwością niż ciecze jednak w pewnym zagadnieniach można ją roacutewnież zanied-bać Kryterium jest tzw liczba Macha ktoacutera wyraża się stosunkiem prędkości przepływu gazu do prędkości dźwięku w tym gazie Jeśli prędkość przepływu jest znacznie mniejsza od prędkości dźwięku ściśliwość gazu można zaniedbać

Lepkość płynu jest związana z tarciem wewnętrznym występującym w płynie Jeśli podzielimy płyn na cienkie warstwy ułożone roacutewnolegle do linii prądu to tarcie wewnętrzne określa wielkość sił oporu występu-jących pomiędzy poszczegoacutelnymi warstwami Jeśli lepkość jest niewiel-ka czyli wpływ sił lepkości na ruch płynu jest niewielki to przepływają-cy płyn nie napotyka na przeszkody i poszczegoacutelne warstwy płynu poru-

HYDROSTATYKA I HYDRODYNAMIKA

Strona 113113113113

szają się ze zbliżoną prędkością Jeśli w strumieniu cieczy znajduje się nieruchomy obiekt na skutek oddziaływania sił lepkości warstwa płynu najbliższa jego powierzchni będzie poruszała się z niewielką prędkością ndash w przybliżeniu można przyjąć że warstwa ta znajduje się w spo-czynku Kolejne warstwy coraz bardziej odległe od przeszkody będą poruszały się z coraz większą prędkością Stosunek sił tarcia wewnę-trznego do powierzchni warstwy możemy wyrazić jako tzw naprężenie styczne τ

y

ηA

Tτ x

part

part==

v (822)

Naprężenie styczne jest wprost proporcjonalne do gradientu prędkości występującego pomiędzy kolejnymi warstwami płynu Wspoacutełczynnik proporcjonalności nazywamy dynamicznym wspoacutełczynnikiem lepkości η a jego jednostką jest paskal sekunda [Pas]

Wiry i turbulencje

Cechą charakterystyczną płynoacutew rzeczywistych jest możliwość występo-wania w nich turbulencji i wiroacutew Przepływ wirowy występuje wtedy kiedy wydzielony przez obserwatora element płynu ulega obrotowi Oproacutecz obrotu wokoacuteł punktu wyznaczającego środek wiru obroacutet może następować także (w sposoacuteb jednoczesny) wokoacuteł osi własnej elementu Można to poroacutewnać do karuzeli w wesołym miasteczku na ktoacuterej fotele obracają się nie tylko wokoacuteł osi karuzeli ale roacutewnież własnej osi Powstawanie wiroacutew można obserwować min za przeszkodami w nurcie rzeki czy też za skrzydłem samolotu Podczas pokazoacutew lotniczych często prezentowane są bdquoskrzydła aniołardquo ktoacutere powstają w wyniku rozpylenia przez lecący samolot barwnika w powietrzu Drobiny barwnika zostają zassane przez wir powstający za skrzydłami a następnie opadają Przepływ wirowy powstaje roacutewnież za lotkami skrzydeł ptakoacutew Grupowanie się ptakoacutew w klucz podczas migracji jest metodą redukcji oporu związanego z powstawaniem wiroacutew Warto zwroacutecić uwagę że przyczyną powstawania roacuteżnego rodzaju wiroacutew może być roacutewnież np siła Coriolisa związana z ruchem obrotowym Ziemi Kierunek obrotu wiru nad otworem odpływowym zbiornika jest na poacutełkuli poacutełnocnej Ziemi zawsze identyczny i proacuteby bdquoodwroacuteceniardquo go nie powiodą się

Z turbulencjami mamy do czynienia wtedy kiedy przepływ nie jest stacjonarny ndash kierunek i wartość prędkości w danym punkcie ulegają zmianom w czasie Prostym przykładem turbulencji są bystrza rzeki i wodospady - widzimy że choć średni kierunek przepływu jest iden-

ROZDZIAŁ 8

Strona 114114114114

tyczny układ rozbryzgoacutew wody w poszczegoacutelnych punktach zmienia się w czasie Turbulencje powstają roacutewnież w strumieniach mas powietrza Szczegoacutelnie narażone na to zjawisko są zawietrzne stoki goacuter ale turbu-lencje mogą pojawiać się roacutewnież na granicy mas powietrza o roacuteżnych temperaturach wilgotności itp

Opoacuter dynamiczny

Płyn opływający ciało napotyka na opoacuter dynamiczny na ktoacutery składają się dwa czynniki ndash siły tarcia wewnętrznego T i tzw opoacuter ciśnieniowy R

Siły tarcia wewnętrznego związane są z lepkością opływającego płynu i zależą liniowo od prędkości v obiektu względem strumienia płynu

vLBηT = (823)

gdzie B jest wspoacutełczynnikiem proporcjonalności η oznacza wspoacutełczyn-nik lepkości a L określa tzw rozmiar ciała Dla kuli umownie przyjmuje się wielkość L roacutewną jej promieniowi

Opoacuter ciśnieniowy jest związany z naciskiem strumienia płynu na powierzchnię czołową przeszkody oraz koniecznością bdquorozepchnięciardquo przez przeszkodę warstw płynu ktoacutery go opływa Wartość oporu ciśnieniowego R jest proporcjonalna do kwadratu prędkości

222 vv LCρACρR == (824)

gdzie ρ oznacza gęstość cieczy a A powierzchnię ndash ktoacutera zależy od wymiaru ciała L w kwadracie Wspoacutełczynnik C jest stałą proporcjonal-ności ktoacutera zależy od kształtu ciała i dla kuli przykładowo wspoacutełczynnik ten wynosi około 015

Liczba Reynoldsa Re jest definiowana poprzez stosunek oporu ciśnie-niowego do tarcia wewnętrznego

ReB

C

η

ρL

B

C

LBη

LCρ

T

R===

v

v

v22

(825)

Liczba Reynoldsa charakteryzuje tzw podobieństwo hydrodynamiczne ndash jeśli warunki przepływu dwoacutech płynoacutew są określone identycznymi licz-bami Reynoldsa ich przepływ będzie miał podobny charakter Jeśli licz-ba Reynoldsa jest znacznie mniejsza od jedności przepływ ma charakter warstwowy a dominującą rolę mają siły lepkości Jeśli liczba Reynoldsa

HYDROSTATYKA I HYDRODYNAMIKA

Strona 115115115115

jest znacznie większa od jedności przepływ ma charakter burzliwy a na opoacuter decydujący wpływ ma opoacuter ciśnieniowy i powstające za obiektem turbulencje

W przypadku nadwozia samochodowego decydujące znaczenie ma opoacuter ciśnieniowy i dlatego siły oporu aerodynamicznego rosną z kwadratem prędkości Niski wspoacutełczynnik oporu ciśnieniowego jest korzystny ze względu na zużycie paliwa i uzyskiwaną prędkość maksymalną ale może pogarszać kontakt pojazdu z nawierzchnią Z tego względu stosuje się tzw spoilery ktoacutere działając podobnie jak skrzydło samolotu wytwa-rzają siłę dociskającą pojazd do drogi W przypadku bolidoacutew Formuły1 opływowe kształty ma kadłub natomiast zaroacutewno z przodu jak i z tyłu samochodu zamontowane są płaty zapewniające odpowiedni docisk i sterowność bolidu Z tego względu wspoacutełczynnik oporu aerodynamicz-nego bolidoacutew F1 jest stosunkowo wysoki ndash co roacutewnoważone jest jednak przez dużą moc silnika

Z oporem aero- i hydro-dynamicznym jest związane roacutewnież pojęcie tzw prędkości granicznej ośrodka Podczas spadku swobodnego w po-wietrzu prędkość ciała początkowo rośnie ponieważ na ciało działa siła przyciągania ziemskiego Wartość tej siły należy zmniejszyć o wartość siły wyporu ośrodka Wraz ze wzrostem prędkości ciała wzrastają jednak roacutewnież siły oporu ndash zależnie od rodzaju ośrodka i charakteru przepływu są one proporcjonalne do wartości prędkości lub do jej kwadratu W pewnym momencie przy pewnej prędkości nazywanej prędkością graniczną dochodzi do zroacutewnoważenia się siły grawitacji i sumy sił wyporu oraz oporu ośrodka Prędkość graniczna jest maksymalną pręd-kością osiąganą przez ciało w danym ośrodku i np dla skoczkoacutew spado-chronowych przed otwarciem spadochronu wynosi ona od ok 195 do ok 320 kmh w zależności od pozycji w jakiej spadają Osiągnięcie większej prędkości wymaga wykonania skoku na dużej wysokości gdzie atmosfera jest rozrzedzona i siły oporu są mniejsze

ROZDZIAŁ 8

Strona 116116116116

9 Termodynamika

W tym rozdziale

o Temperatura skale temperatur o Roacutewnanie stanu gazu doskonałego o Ciepło i praca termodynamiczna o Pierwsza zasada termodynamiki o Przemiany termodynamiczne o Cykle gazowe druga zasada termodynamiki o Entropia o Mechanizmy przekazywania ciepła rozszerzalność

cieplna ciał stałych

ROZDZIAŁ 9

Strona 118118118118

Termodynamika

Termodynamika jest nauką zajmującą się badaniem zjawisk przemiany energii (w szczegoacutelności zamiany ciepła na pracę mechaniczną) zachodzących w układach makroskopowych Szybki rozwoacutej termodyna-miki nastąpił w XIX wieku co jest związane z rozwojem technologii budowy silnikoacutew parowych i spalinowych Opisując stan układu termo-dynamika posługuje się wielkościami makroskopowymi Rozważając roacuteżne stany skupienia materii oraz występujące między nimi przejścia fazowe posłużyliśmy się już takimi parametrami inaczej nazywanymi parametrami stanu układu ndash ciśnieniem objętością i temperaturą Objętość jest rozmiarem przestrzeni zajmowanej przez dane ciało a definicję ciśnienia poznaliśmy już przy okazji omawiania zagadnień związanych z mechaniką płynoacutew ndash wartość ciśnienia otrzymujemy dzie-ląc siłę przez powierzchnię na ktoacuterą działa ta siła O temperaturze wspo-minaliśmy już wprowadzając pojęcie energii kinetycznej Wykazaliśmy woacutewczas że im szybciej poruszają się cząsteczki tym większą mają energię i tym wyższa jest temperatura układu Do tego mikroskopowego opisu jeszcze wroacutecimy postaramy się jednak najpierw opisać temperatu-rę w ujęciu makroskopowym Opisu takiego dostarcza tzw zerowa zasa-da termodynamiki

91 Temperatura zerowa zasada termodynamiki

Istnieje wielkość skalarna zwana temperaturą ktoacutera jest właściwością wszystkich ciał izolowanego układu termodyna-micznego pozostających w roacutewnowadze wzajemnej Roacutewnowaga polega na tym że każde z ciał tyle samo energii emituje (wysyła) co pochłania Temperatura każdego ciała układu pozostaje taka sama

Zerowa zasada termodynamiki może być roacutewnież sformułowana następująco

Jeśli ciało A jest w roacutewnowadze termicznej z ciałem B i z ciałem C to ciało B jest w roacutewnowadze z ciałem C

TERMODYNAMIKA

Strona 119119119119

Ciała znajdują się w stanie roacutewnowagi termicznej jeśli zachodzi między nimi wymiana ciepła Jeśli postawimy szklankę z gorącą wodą na ka-miennym zimnym blacie szklanka będzie stawać się coraz chłodniejsza a blat coraz cieplejszy ndash temperatura szklanki będzie malała a tempera-tura blatu rosła Kiedy temperatura szklanki zroacutewna się z temperaturą blatu znajdą się w stanie roacutewnowagi termicznej ndash ich temperatura będzie taka sama

Żeby sprawdzić czy ciała są w stanie roacutewnowagi termicznej nie muszą być one w bezpośrednim kontakcie Wystarczy znać temperaturę obu ciał Jeśli stwierdzimy że dowolne ciała A i B są w stanie roacutewnowagi termicznej z trzecim ciałem T to są także w stanie roacutewnowagi ze sobą nawzajem Ciało T pełni rolę termometru

Termometr

Temperaturę możemy mierzyć roacuteżnymi metodami W popularnych ter-mometrach rtęciowych lub spirytusowych wykorzystywana jest liniowa rozszerzalność cieplna tych cieczy a wartość temperatury pokazuje wy-sokość słupka cieczy Rozszerzalność temperaturową metali wykorzys-tuje się roacutewnież we wskaźnikach na desce rozdzielczej starszych samochodoacutew czy na drzwiczkach starych modeli piekarnikoacutew ndash spirala z metalu rozszerzając się pod wpływem ciepła obraca wskazoacutewkę Cie-kawy rodzaj termometru możemy zbudować wykorzystując siłę wyporu ndash jeśli umieścimy w kolumnie z cieczą odważniki o innym wspoacutełczynni-ku rozszerzalności cieplnej niż otaczająca ciecz w zależności od tempe-ratury poszczegoacutelne odważniki będą się wynurzać lub opadać w miarę jak będzie zmieniać się gęstość otaczającej cieczy Obecnie często stosu-je się termometry elektroniczne w ktoacuterych wykorzystujemy bądź zależ-ność temperaturową oporu elektrycznego (np samochodowe czujniki typu Pt-100 i Pt-1000) bądź zjawisko Seebecka powstania roacuteżnicy po-tencjałoacutew kontaktowych na połączeniu dwoacutech roacuteżnych metali ndash miernik taki nazywamy termoparą

Skale temperatur

Jednostką temperatury w układzie jednostek SI jest kelwin Często używa się jednak innych skali jak skala Celsjusza lub Fahrenheita Aby zdefiniować skalę temperatury są potrzebne dwa charakterystyczne punkty możliwie łatwe do odtworzenia w warunkach eksperymental-nych Zero absolutne - 0K - oznacza najniższą temperaturę do jakiej mo-żemy się zbliżyć dowolnie blisko ktoacutera jednak pozostaje nieosiągalna Drugi charakterystyczny punkt skali to tzw punkt potroacutejny wody ndash stan w ktoacuterym wspoacutełistnieją ze sobą faza gazowa (para wodna) woda

ROZDZIAŁ 9

Strona 120120120120

w stanie ciekłym i stanie stałym (loacuted) Pomiędzy tymi dwoma punktami skalę temperatur podzielono na 27316 roacutewnych części ndash każda z nich to jeden kelwin Zatem temperatura punktu potroacutejnego wody wynosi 27316 K (kelwinoacutew)

W często stosowanej skali Celsjusza jednostką temperatury jest stopień Celsjusza ordmC Jednym z charakterystycznych punktoacutew tej skali jest punkt potroacutejny wody Temperatura tego punktu w skali Celsjusza wynosi 0ordmC Drugim punktem jest punkt wrzenia wody czyli przejście z fazy ciekłej do gazowej Temperatura tego punktu w skali Celsjusza wynosi 100ordmC Warto zauważyć że 1ordmC na skali temperatur ma identyczną rozpiętość jak 1K ndash zatem zmiana temperatury o 50ordmC oznacza zmianę o 50K

Do zdefiniowania skali Fahrenheita użyto roztworu o znanym stężeniu soli chlorku amonu w wodzie Punkt potroacutejny takiego roztworu użyty do wyznaczenia bdquozerardquo skali występuje w niższej temperaturze niż dla czystej wody Temperaturze 100ordmC odpowiada 212ordmF a temperaturze 0ordmC odpowiada 32ordmF Przybliżony wzoacuter do przeliczania obu skal ma postać

( )329

5minus= FC TT (91)

gdzie TC i TF oznaczają temperatury odpowiednio w skali Fahrenheita i Celsjusza

92 Roacutewnanie stanu gazu doskonałego

Gaz doskonały

Wiele właściwości fizycznych gazu daje się wyjaśnić przez zastosowanie prostego modelu gazu doskonałego Model ten opiera się na kilku założeniach

bull gaz składa się z cząsteczek o rozmiarach dużo mniejszych niż średnia objętość przypadająca na cząsteczkę

TERMODYNAMIKA

Strona 121121121121

bull cząsteczki są w ciągłym chaotycznym ruchu cieplnym (ruchy Browna)

bull jedyną formą oddziaływań między cząsteczkami są wzajem-ne zderzenia ktoacutere mają charakter zderzeń sprężystych Po-za zderzeniami cząsteczki nie oddziałują wzajemnie i dlate-go energia układu cząsteczek nie zależy od objętości tego układu (tzn także od średniej odległości między cząsteczkami)

bull liczba cząsteczek w jednostce objętości jest bardzo duża (n gt 1023 m-3) co umożliwia stosowanie do opisu parame-troacutew ich ruchu metod statystycznych

Roacutewnanie stanu gazu doskonałego nazywane roacutewnież roacutewnaniem Cla-peyrona określa stan gazu doskonałego czyli podaje zależności między ciśnieniem p objętością V i temperaturą T Roacutewnanie to jest spełnione dla dowolnego stanu czyli zestawu wartości parametroacutew pV i T niezależnie od tego w jaki sposoacuteb nastąpiło przejście z jednego stanu do drugiego Roacutewnanie stanu gazu doskonałego ma postać

TnpV R= (92)

gdzie R oznacza stałą gazową roacutewną R=831 Jmol-1K-1 a n liczbę moli gazu Roacutewnanie to możemy wyrazić roacutewnież przez całkowitą liczbę cząsteczek gazu N

TNpV Bk= (93)

gdzie kB jest stałą Boltzmanna (kB=1380middot10-23 JK-1) Stałą Boltzmana otrzymujemy dzieląc stałą gazową przez liczbę Avogadra (NA=602214179middot1023mol-1)

93 Ciepło i praca termodynamiczna

Definiując temperaturę moacutewiliśmy że temperatura dwoacutech ciał uzyskuje identyczną wartość w stanie roacutewnowagi termicznej Aby ciała nie będące początkowo w stanie roacutewnowagi termicznej mogły osiągnąć taki stan muszą wymieniać między sobą energię Możliwe są dwa sposoby

ROZDZIAŁ 9

Strona 122122122122

przekazywania energii na sposoacuteb pracy (np poprzez ruch tłoka) oraz na sposoacuteb cieplny ndash przez chaotyczne ruchy cząsteczkowe Energię przeka-zywaną na drugi sposoacuteb będziemy nazywali ciepłem i oznaczali jako Q Należy tu zaznaczyć że nazwa ta wywodzi się z błędnej teorii bdquocieplikardquo i będziemy jej używać głoacutewnie ze względoacutew językowo-historycznych

Energia ktoacutera jest przekazywana między ciałami na skutek istniejącej między nimi roacuteżnicy temperatur wpływa na zmianę energii wewnętrznej ciała Energia wewnętrzna U jest miarą średniej energii kinetycznej cząstek materii zgromadzonej min w ruchu postępowym cząsteczek gazu czy w postaci drgań cząsteczek i atomoacutew w ciałach stałych

Ilość przekazywanej energii wyrażamy w dżulach [J] ale często stosuje się roacutewnież pozaukładową jednostkę ndash kalorię Jedna kaloria (1cal) jest roacutewna 41860 J a podstawą definicji tej jednostki jest ciepło potrzebne do podniesienia temperatury jednego grama wody z 145degC do 155 degC

W termodynamice istotną kwestią jest poprawne zdefiniowanie znaku ciepła Jeśli ciepło przepływa z danego ciała (układu) do otoczenia czyli gdy dochodzi do obniżenia jego energii wewnętrznej to ciepło zapisuje-my ze znakiem bdquo-rdquo Jeśli zaś ciepło przepływa z otoczenia do układu zwiększając energię wewnętrzną ciała jego znak określamy jako bdquo+rdquo

Pojemność cieplna

Żeby ogrzać ciało czyli żeby zwiększyć jego energię wewnętrzną musi-my dostarczyć ciepła (doprowadzić energię na sposoacuteb cieplny) Łatwo zauważyć jednak że niektoacutere ciała jest łatwiej ogrzać niż inne Jeśli na przykład na dwoacutech płytach grzejnych kuchenki o identycznej mocy umieścimy pojemnik z wodą o masie 1kg i blok stalowy o masie 1kg okaże się że temperatura bloku stalowego będzie wzrastała znacznie szybciej niż wody Zatem ilość przepływającej energii (przekazywane ciepło) niezbędna do podniesienia temperatury danej masy o jednostkę temperatury jest w przypadku wody znacznie większa niż dla stali Taką cechę danego materiału nazywamy jego pojemnością cieplną

Pojemność cieplna C danego ciała jest ilością energii potrzebną do podniesienia jego temperatury o 1K Jednostką jest JmiddotK-1

∆TCQ = (94)

TERMODYNAMIKA

Strona 123123123123

Ciepło właściwe i ciepło molowe

Ciepło właściwe cw danego materiału jest ilością energii potrzebną do podniesienia temperatury 1kg tego materiału o 1K Jednostką jest J kg 1middotK-1

∆TmcQ W= (95)

Ciepło właściwe można wyrazić roacutewnież w przeliczeniu na 1mol substancji ndash takie ciepło właściwe nazywamy ciepłem molowym Cmol

∆TnCQ mol= (96)

Przykładowe wartości ciepła właściwego roacuteżnych cieczy i ciał stałych znajdują się w tabeli 91

Przyczynę dla ktoacuterej roacuteżne substancje wykazują roacuteżne ciepło właściwe omoacutewimy dokładniej w kolejnych rozdziałach Warto zauważyć że w ogoacutelności ciepła właściwe mogą zależeć od temperatury i dlatego na ogoacuteł obok wartości podajemy temperaturę dla ktoacuterej została ono wyznaczone

Tabela 91 Wartości ciepła właściwego Cp roacuteżnych substancji ndash pomiar przy 25

oC

substancja C [J kg-1K-1] substancja C [J kg-1K-1] woda 4181 ołoacutew 128

gliceryna 2386 srebro 236 polietylen 2930 żelazo 450

miedź 386 aluminium 897

Duże ciepło właściwe wody ma ogromne znaczenie dla klimatu i środo-wiska biologicznego Woda ogrzewa się powoli ale roacutewnież powoli i długo oddaje ciepło do otoczenia i dlatego na obszarach pustynnych na ktoacuterych nie ma zbiornikoacutew wodnych wahania temperatury między nocą a dniem są bardzo duże ndash ziemia bardzo łatwo się nagrzewa i łatwo stygnie Jeziora rzeki i morza łagodzą wahania temperatury zaroacutewno w skali doby jak i w skali roku Klimat na wybrzeżu jest znacznie łagodniejszy niż w głębi lądu Na obszarach kontynentalnych częściej obserwuje się surowe zimy i gorące lata

Duże ciepło właściwe wody jest wykorzystywane w układach chłodzenia oraz ogrzewania Obieg wody chłodzącej stosowany jest np w silnikach samochodowych a w instalacjach centralnego ogrzewania woda jest

ROZDZIAŁ 9

Strona 124124124124

wykorzystywana do ogrzewania budynku ndash nawet jeśli w danej chwili piec nie podgrzewa wody kaloryfery długo pozostają ciepłe

Przykład

Jeśli do izolowanego zbiornika wlejemy 1 litr wody o temperaturze 10degC i 1 litr wody o temperaturze 50degC to w wyniku dochodzenia do roacutewno-wagi termicznej temperatura osiągnie wartość 30degC Łatwo zauważyć że jest to wartość średnia temperatur obu porcji wody Dzieje się tak dlate-go że ilość energii potrzebna do podniesienia temperatury chłodniejszej masy wody jest roacutewna ilości energii oddanej przez wodę cieplejszą Jeżeli układ zbiornika z wodą jest izolowany to zmiana energii całkowi-tej musi wynosić zero co możemy zapisać w postaci

( ) ( ) 0=minus+minus 2KW21KW1 TTcmTTcm (97)

Stąd możemy obliczyć temperaturę końcową TK (masę wyznaczamy jako iloczyn objętości i gęstość wody)

Jeśli do zbiornika zawierającego 1 litr wody czyli o masie mW=1kg o temperaturze TW=10degC wrzucimy żelazny blok o masie mFE=1kg i temperaturze TFE=50degC roacutewnież dojdzie do wyroacutewnania temperatur obu ciał Roacutewnież w tym przypadku ciepło oddane przez żelazo jest takie samo jak ciepło pobrane przez wodę a bilans cieplny możemy zapisać w następujący sposoacuteb

( ) ( ) 0=minussdotsdot+minussdotsdot FeKFeFeWKWW TTcmTTcm (98)

gdzie cW oraz cFE oznaczają ciepło właściwe wody oraz żelaza zaś TK temperaturę końcową układu Ponieważ ciepło właściwe wody jest znacznie większe niż żelaza temperatura wody podniesie się tylko nie-znacznie i końcowa temperatura układu wyniesie około 14degC

Praca termodynamiczna

Zgodnie z przedstawioną wcześniej definicją ciepło pobrane przez ciało wywołuje wzrost energii wewnętrznej tego ciała Energia ta może być roacutewnież zamieniona na pracę Aby wyznaczyć pracę jaka może być wykonana kosztem ciepła rozpatrzmy izolowany termicznie (brak wy-miany ciepła z otoczeniem) cylinder z gazem zamknięty od goacutery szczel-nie dopasowanym tłokiem o powierzchni S Jeśli działając pewną stałą

TERMODYNAMIKA

Strona 125125125125

siłą F przesuniemy tłok o odcinek dl to wykonamy nad gazem zawartym wewnątrz cylindra pracę dW

( ) ( ) VpSppSFW ddddd ==== lllrr

(99)

Praca całkowita jaką wykonamy nad gazem sprężając go od objętości początkowej Vp do końcowej Vk wynosi

int int==k

p

V

VVpWW dd (910)

Jeżeli ciśnienie p wywierane przez siłę F na powierzchnię S tłoka nie zmienia się w wyniku przesunięcia tłoka to podczas zmiany objętości gazu o ∆V wykonana zostanie praca ∆VpW =

Jeśli wykonamy wykres zmian objętości i ciśnienia w trakcie ściskania gazu zawartego w cylindrze wykonana praca (wzoacuter 910) będzie roacutewna polu znajdującemu się pod tym wykresem (rysunek 91)

Rysunek 91 Praca w przemianie termodynamicznej jako pole pod wykresem ciśnienia od objętości

Warto zwroacutecić uwagę na znak pracy obliczonej według powyższego wzoru Jeśli objętość końcowa jest większa niż początkowa całka będzie miała wartość dodatnią Odpowiada to sytuacji w ktoacuterej to nie my wykonujemy pracę nad gazem zawartym w cylindrze ale to gaz rozprę-żając się wypycha tłok i wykonuje pracę Jeśli natomiast przesuwając tłok będziemy sprężać gaz to my wykonamy pracę dodatnią ale obli-czona całka będzie miała znak ujemny gdyż praca wykonana przez gaz będzie w tym przypadku miała znak ujemny Istotne jest więc precyzyjne określanie czy wyznaczana praca jest pracą wykonaną przez gaz czy nad

ROZDZIAŁ 9

Strona 126126126126

gazem W dalszej części tego rozdziału przez pracę będziemy rozumieli pracę wykonaną przez gaz

Pierwsza zasada termodynamiki

Podczas podgrzewania układu przekazujemy do niego ciepło zwiększając w ten sposoacuteb jego energię wewnętrzną i temperaturę Energia wewnętrzna ciała może zmieniać się roacutewnież za sprawą pracy wykonanej nad tym ciałem Można roacutewnież powiedzieć że praca ktoacuterą wykonuje układ może się odbywać kosztem dostarczonego do układu ciepła lub też kosztem energii wewnętrznej układu Zależności te mogą być zapisane w zwięzły sposoacuteb w postaci I zasady termodynamiki

Energia wewnętrzna układu U wzrasta jeśli układ pobiera energię w postaci ciepła Q i maleje kiedy układ wykonuje pracę W

WQEE∆U WPWK minus=minus= (911)

Zapis roacuteżniczkowy powyższego prawa ma postać

WUQ δδ += d (912)

Zastosowany w powyższym zapisie symbol dU oznacza roacuteżniczkę energii wewnętrznej U ktoacutera jest funkcją stanu Ciepło Q oraz praca W nie są funkcjami stanu i w ich przypadku nie możemy moacutewić o roacuteż-niczce a jedynie o małej zmianie δ Zatem I zasadę termodynamiki możemy roacutewnież wyrazić w następujący sposoacuteb

Dostarczone do układu ciepło δQ powoduje zwiększenie energii wewnętrznej układu o dU i wykonanie przez układ pracy δW przeciwko siłom zewnętrznym

Należy zwroacutecić uwagę że ciepło dostarczone do układu zapisujemy ze znakiem bdquo+rdquo a ciepło oddane przez układ ze znakiem bdquo-rdquo natomiast praca W (lub dW) oznacza pracę wykonaną przez układ

TERMODYNAMIKA

Strona 127127127127

94 Przemiany termodynamiczne

Przemianą nazywamy przejście danej substancji z jednego stanu roacutewnowagi termodynamicznej do drugiego pod wpływem czynnika zewnętrznego Typowymi przemianami są ogrzewanie czy chłodzenie ciała a szczegoacutelnym typem są przemiany fazowe polegające na zmianie stanu skupienia ciała Niektoacutere przemiany fazowe wymagają dos-tarczenia ciepła do układu a podczas innych ciepło jest wydzielane przez układ Jest to konsekwencją budowy mikroskopowej ciał oraz energii oddziaływań międzycząsteczkowych w roacuteżnych stanach skupienia

Jako przykład omoacutewimy przemiany występujące podczas ogrzewania lodu Początkowo poniżej 0degC ciepło jakie dostarczamy do lodu jest zużywane na wzrost jego temperatury co w skali mikroskopowej oznacza wzrost amplitudy drgań cząsteczek wody tworzących loacuted Kiedy temperatura osiągnie 0degC rozpoczyna się proces topnienia czyli zmiany fazy ze stałej na ciekłą Dostarczane dalej ciepło (energia) służy zerwaniu wiązań pomiędzy cząsteczkami wody w krystalicznej struktu-rze lodu Cząsteczki wody w fazie ciekłej poruszają się szybciej niż cząsteczki tworzące loacuted a oddziaływania między nimi są słabsze Aż do całkowitego stopienia temperatura mieszaniny woda-loacuted nie będzie wzrastać ponieważ całe dostarczane ciepło jest zużywane w procesie przemiany fazowej

Dalsze dostarczane ciepła do wody w stanie ciekłym służy podniesieniu jej temperatury ndash aż do osiągnięcia temperatury wrzenia W tej tempera-turze następuje przemiana fazowa ze stanu ciekłego do gazowego Podobnie jak w przemianie ze stanu stałego do ciekłego wiąże się ona z zerwaniem oddziaływań międzycząsteczkowych i proces ten wymaga dostarczenia energii Tak więc aż do momentu całkowitego odparowania wody jej temperatura pozostaje stała mimo dostarczania ciepła W rze-czywistości parowanie zachodzi z powierzchni swobodnej cieczy nawet poniżej temperatury wrzenia Na powierzchni cieczy zawsze znajdują się cząsteczki ktoacutere na skutek oddziaływań ze strony swoich bdquosąsiadoacutewrdquo mają wyższe energie niż te znajdujące się w objętości cieczy i ktoacutere dzięki temu mogą się bdquouwolnićrdquo do stanu gazowego

Do zajścia odwrotnych przemian fazowych ndash skraplania i krystalizacji wymagany jest odwrotny kierunek przepływu ciepła Aby cząsteczki

ROZDZIAŁ 9

Strona 128128128128

pary wodnej skropliły się musimy odebrać nadmiar energii kinetycznej z gazu Podobnie podczas krystalizacji należy zmniejszyć energię cząsteczek cieczy zmniejszyć ich ruchliwość na tyle by umożliwić wytworzenie się pomiędzy nimi wiązań W przypadku obu tych prze-mian fazowych musimy odbierać energię z układu

Przemiany fazowe

Przemiana fazowa zachodzi w stałej temperaturze a ciepło pobrane przez materiał jest proporcjonalne do masy materiału oraz ciepła właściwego przemiany

mCQ PRZEMPRZEM = (913)

Warto zwroacutecić uwagę że tak zdefiniowane ciepła topnienia i parowania osiągają znaczne wartości w stosunku do ciepła właściwego W efekcie znacznie łatwiej jest ogrzać 1kg wody lub lodu o 1 kelwin niż doprowa-dzić do stopienia 1kg lodu Jeszcze wyższa jest wartość ciepła parowania

Duża wartość ciepła przemiany może być wykorzystywany do termore-gulacji przez organizmy żywe Nawet niewielka ilość wody wydzielana przez gruczoły potowe odparowując z powierzchni skoacutery odbiera dużo ciepła tym samym chroniąc organizm przed przegrzaniem Podobnie wysokie ciepło parowania wykorzystuje się np w nowoczesnych radia-torach do chłodzenia procesoroacutew komputerowych Pomiędzy żeberkami radiatora zamontowana jest zamknięta rurka tworząca tzw kanał cieplny (ang heat pipe) wypełniona niewielką ilością alkoholu i jego oparami (rysunek 92) W pobliżu procesora temperatura jest na tyle wysoka że alkohol intensywnie paruje pobierając jednocześnie dużo ciepła od procesora Opary alkoholu pod wpływem ruchoacutew konwekcyjnych docierają do radiatora na końcu rurki Ponieważ temperatura koło radiatora jest niższa alkohol ulega skropleniu (oddaje ciepło) a następnie spływa po ściankach w stronę procesora i cały proces może ulec powtoacuterzeniu Taki kanał cieplny niezwykle efektywnie wspomaga transport ciepła w kierunku od procesora na zewnątrz radiatora

TERMODYNAMIKA

Strona 129129129129

Rysunek 92 Schemat działania radiatora z kanałem cieplnym

Kalorymetr

Kalorymetr jest urządzeniem służącym do pomiaru ciepła wydzielanego lub pobieranego podczas procesoacutew chemicznych i fizycznych W naj-prostszej wersji kalorymetr jest po prostu zbiornikiem izolowanym termicznie od otoczenia wyposażonym w termometr Aby wskazania termometru były dokładne musi on pozostawać w kontakcie cieplnym z badanym układem Warunek ten jest osiągany zazwyczaj przez wypeł-nienie kalorymetru cieczą o znanym cieple właściwym Jeśli podczas badanego procesu chemicznego temperatura kalorymetru się zmieni to ilość ciepła jaka przepłynęła z badanego układu do kalorymetru lub w przeciwną stronę możemy obliczyć znając pojemność cieplną kalory-metru (cieczy oraz zbiornika) Aby pomiar był prawidłowy czyli aby wymiana ciepła między badanym układem a kalorymetrem była efek-tywna ciecz wypełniającą kalorymetr miesza się za pomocą mieszadła w ten sposoacuteb wyroacutewnując temperaturę w roacuteżnych częściach naczynia

Znacznie bardziej zaawansowanymi urządzeniami do badania właści-wości termicznych materii są kalorymetry roacuteżnicowe W urządzeniach tego typu przeprowadza się precyzyjny pomiar temperatury badanej proacutebki oraz proacutebki referencyjnej podczas jednostajnego grzania całej ko-mory badawczej Podczas przemian fazowych w badanym materiale wydzielane lub pochłaniane będzie ciepło i zarejestrowana woacutewczas zos-tanie roacuteżnica temperatur proacutebki badanej oraz referencyjnej Urządzenia tego typu pozwalają nie tylko precyzyjnie wyznaczyć temperatury prze-

ROZDZIAŁ 9

Strona 130130130130

mian fazowych takich jak topnienie krystalizacja parowanie czy też przejścia szkliste ale roacutewnież wartość ciepła tych przemian

Przemiany termodynamiczne

W termodynamice szczegoacutelny nacisk kładzie się na opis przemian termodynamicznych zachodzących w gazach Jest to zagadnienie istotne ze względu na zastosowanie praktyczne ndash większość silnikoacutew spalino-wych wykorzystuje w swoim cyklu pracy przemiany gazowe

W tym rozdziale omoacutewimy cechy charakterystyczne czterech podstawo-wych gazowych przemian termodynamicznych izochorycznej izoba-rycznej izotermicznej oraz adiabatycznej

Przemiana izochoryczna

Podczas przemiany izochorycznej objętość gazu jest stała Zgodnie ze wzorem 96 ciepło dostarczone do n moli gazu jest proporcjonalne do roacuteżnicy temperatur i zależy od ciepła molowego przy stałej objętości CV charakterystycznego dla tej przemiany

∆TCnQ V= (914)

Ponieważ objętość w przemianie izochorycznej się nie zmienia więc praca termodynamiczna wykonana przez gaz wynosi zero (roacutewnanie 910) a więc zgodnie z I zasadą termodynamiki całe ciepło Q ktoacutere dostarczymy do układu jest roacutewne przyrostowi energii wewnętrznej układu

∆UQ = (915)

Poroacutewnując roacutewnania 914 oraz 915 otrzymujemy że przyrost energii wewnętrznej zależy tylko od przyrostu temperatury

∆TCn∆U V= (916)

Warto podkreślić że powyższa zależność jest prawdziwa dla każdej przemiany a nie tylko dla przemiany izochorycznej dla ktoacuterej ją wyprowadziliśmy

Zapiszmy roacutewnanie stanu gazu dla dwoacutech stanoacutew podczas przemiany izochorycznej

TERMODYNAMIKA

Strona 131131131131

=

=

22

11

TnVp

TnVp

R

R (917)

Z powyższego układu roacutewnań wynika że w przemianie izochorycznej stosunek ciśnienia do temperatury jest wielkością stałą

const===T

p

T

p

T

p

2

2

1

1

(918)

Na wykresie p(V) ciśnienia od objętości przedstawionym na rysunku 93 przemiana izochoryczna jest odcinkiem pionowym

Przemiana izobaryczna

Dla przemiany izobarycznej charakteryzującej się stałością ciśnienia ciepło Q dostarczone do układu jest proporcjonalne roacuteżnicy temperatur i zależy od wartości ciepła molowego przy stałym ciśnieniu Cp

∆TCnQ p= (919)

Zgodnie z roacutewnaniem 916 zmianę energii wewnętrznej dla dowolnej

przemiany termodynamicznej możemy zapisać jako ∆TCn∆U V= zaś praca wykonana przez układ podczas przemiany izobarycznej roacutewna się iloczynowi ciśnienia i zmiany objętości (roacutewnanie 910)

∆VpW = (920)

Zapisując roacutewnanie stanu gazu dla tej przemiany otrzymamy stałość stosunku objętości do temperatury

const===T

V

T

V

T

V

2

2

1

1

(921)

Na wykresie p(V) ciśnienia od objętości przemiana izobaryczna jest odcinkiem poziomym (rysunek 93)

Jeśli przemianę przeprowadzimy przy stałym ciśnieniu to ciepło dostarczone do układu Q zamieniane jest zaroacutewno na przyrost energii wewnętrznej ∆U jak i na pracę W wykonaną przez gaz co zgodnie z I zasadą termodynamiki możemy zapisać

W∆UQ += (922)

ROZDZIAŁ 9

Strona 132132132132

Korzystając z roacutewnania stanu gazu (roacutewnanie 92) możemy wyrazić zmianę objętości ∆V poprzez zmianę temperatury ∆T

∆TnR∆VpW == Woacutewczas roacutewnanie 922 można zapisać w postaci

∆Tn∆TCn∆TCn Vp R+= (923)

skąd otrzymujemy że molowe ciepło właściwe gazu przy stałym ciśnie-niu Cp jest większe od molowego ciepła właściwego przy stałej objętości CV o wielkość stałej gazowej R

R+= Vp CC (924)

Przemiana izotermiczna

W przemianie izotermicznej temperatura gazu nie zmienia się Zgodnie z roacutewnaniem stanu gazu stały woacutewczas jest iloczyn objętości i ciśnienia

const=== pVVpVp 2211 (925)

Wykres takiej przemiany na wykresie p(V) jest hiperbolą (rysunek 93) Ponieważ temperatura jest stała stała jest roacutewnież energia wewnętrzna gazu czyli zmiana energii wewnętrznej wynosi zero ∆U = 0

Zgodnie z I zasadą termodynamiki oznacza to że całe dostarczane do gazu ciepło Q jest zużywane na pracę gazu W (Q = W)

Pracę wykonaną przez gaz obliczamy ze wzoru 910 int=K

P

V

V

VpW d

Zależność ciśnienia od objętości wyznaczamy z roacutewnania stanu gazu i otrzymujemy wzoacuter całkowy

intint ==K

P

K

P

V

V

V

VV

VTnV

V

TnW

dRd

R (926)

Rozwiązaniem takiej całki jest funkcja logarytmiczna (ln) i po podstawieniu granic całkowania otrzymujemy pracę W wykonaną przez gaz przy izotermicznym (w temperaturze T) rozprężaniu n moli gazu z objętości początkowej VP do końcowej VK

P

K

V

VTnW lnR= (927)

TERMODYNAMIKA

Strona 133133133133

Jeśli gaz rozpręża się to 1gtP

K

V

V 0ln gt

P

K

V

V i praca wykonywana

przez gaz jest dodatnia W przeciwnym przypadku kiedy VP gtVK praca jest ujemna

Przemiana adiabatyczna

Przemiana adiabatyczna charakteryzuje się brakiem wymiany ciepła z otoczeniem Roacutewnanie tej przemiany ma postać

const==κ

22

κ11 VpVp (928)

gdzie wspoacutełczynnik κ nazywany wykładnikiem adiabaty oznacza stosu-nek molowego ciepła właściwego przy stałym ciśnieniu do molowego

ciepła właściwego przy stałej objętości Cp do Cv (V

p

C

C=κ ) Roacutewna-

nie 928 można roacutewnież zapisać

const==1κ-

22

1κ-11 VT VT (929)

Wykres adiabaty w zmiennych p(V) jest bardziej stromy niż izotermy (rysunek 93)

Rysunek 93 Schematyczny wykres przebiegu przemian gazowych

Pracę wykonaną w przemianie można obliczyć podobnie jak to zrobiliśmy dla przemiany izotermicznej ze wzoru 910 wprowadzając pod całkę zależność ciśnienia od objętości zgodnie ze wzorem 928 Otrzymujemy

ROZDZIAŁ 9

Strona 134134134134

minus

minus=

minus1

2

111

V

V1

1

VPW

κ

κ (930)

95 Teoria kinetyczno - molekularna gazoacutew

W dotychczasowym opisie właściwości termodynamicznych ciał posłu-giwaliśmy się głoacutewnie wielkościami makroskopowymi Obecnie szerzej zajmiemy się właściwościami ciał w ujęciu mikroskopowym

Ciśnienie gazu

Zastanoacutewmy się w jaki sposoacuteb cząsteczki gazu wywierają ciśnienie na ścianki naczynia w ktoacuterym się znajdują

Każda z cząsteczek gazu przy prostopadłym odbiciu od ścianki zmienia

swoacutej pęd o vvv m)m(m∆p 2=minusminus= Jeśli wektor pędu cząsteczki

tworzy ze ścianką kąt α zmiana pędu wynosi αsin2 vm∆p = Siła jaką wywiera cząsteczka na ściankę sześciennego naczynia zależy od zmiany wartości składowej pędu prostopadłej do ściany i może być zapisana

∆t

∆pF x= (931)

Czas ∆t pomiędzy dwoma kolejnymi zderzeniami cząsteczki ze ścianka-mi zależy od jej prędkość oraz rozmiaru l naczynia ndash pomiędzy zderze-niami przebywa ona drogę 2l

x

∆tv

l2= (932)

Zatem siła wywierana przez cząsteczkę na ściankę wynosi

TERMODYNAMIKA

Strona 135135135135

l2

2 2

xmF

v= (933)

Całkowita siła wywierana na ściankę przez wszystkie N cząsteczki gazu znajdujące się w naczyniu wynosi

[ ]2

xN

2

2x

2

1xc m

F vvv +++=l

(934)

Ponieważ założyliśmy że liczba cząsteczek w naczyniu jest bardzo duża interesuje nas zależność ciśnienia od średniej prędkości (a ściślej ndash od średniej kwadratu prędkości) obliczonej dla wszystkich cząsteczek Średnią kwadratu prędkości w kierunku x dla N cząsteczek wyrażamy jako

N

N

1i

2

xi

x

sum==

v

v (935)

Cząsteczka gazu może posiadać roacutewnież składowe prędkości w kierun-kach y i z Kwadrat jej prędkości zapisujemy jako

2

z

2

y

2

x

2vvvv ++= (936)

Średnią kwadratu prędkości możemy wyrazić jako sumę średnich kwad-ratoacutew składowych prędkości w poszczegoacutelnych kierunkach Ponieważ ruch cząsteczek jest przypadkowy średnie prędkości dla kierunkoacutew x y i z są jednakowe

22222xzyx vvvvv 3=++= (937)

Stąd siłę wywieraną na ściankę naczynia możemy zapisać jako

l3

2vNm

F = (938)

Ponieważ ciśnienie definiuje się jako stosunek siły do powierzchni ścian-ki otrzymujemy

3

2

ll 32

vNmFp == (939)

ROZDZIAŁ 9

Strona 136136136136

Zastępując l3 objętością naczynia V otrzymujemy

22

vv

nmm

V

Np

3

1

23

2== (940)

gdzie NV=n oznacza koncentrację cząsteczek gazu Poroacutewnując otrzymaną postać roacutewnania z roacutewnaniem stanu gazu (93) możemy wyrazić temperaturę jako funkcję średniego kwadratu prędkości cząsteczek

k

2

E3

2N

2

m

3

2NTNpV =

==

vBk (941)

W powyższym wzorze kE oznacza średnią energię kinetyczną cząsteczek gazu

Zasada ekwipartycji energii

Przekształcając roacutewnanie 941 otrzymujemy związek pomiędzy średnią energią kinetyczną a temperaturą

T2

3E k Bk= (942)

Udowodniliśmy że temperatura jest wskaźnikiem wartości średniej ener-gii kinetycznej cząsteczek gazu

Z podstaw mechaniki wiemy jednak że ciało może posiadać energię kinetyczną nie tylko w postaci ruchu postępowego ale roacutewnież ruchu obrotowego lub drgającego Jeżeli każdy z rodzajoacutew ruchoacutew oraz każdy z kierunkoacutew w ktoacuterych cząsteczka gazu może się poruszać nazwiemy stopniem swobody f to można wykazać że średnia energia kinetyczna przypadająca na jeden stopień swobody jest taka sama dla wszystkich cząsteczek i wynosi

TE Bk2

1= (943)

Powyższą zasadę nazywamy zasadą ekwipartycji energii

TERMODYNAMIKA

Strona 137137137137

Cząsteczki jednoatomowe mogą poruszać się jedynie ruchem postępo-wym w trzech kierunkach wiec charakteryzować się będą trzema f = 3 stopniami swobody a średnia energia kinetyczna cząsteczek takiego gazu

będzie wynosiła TE Bk23=

Przykładem gazu jednoatomowego jest hel He

Energia związana z ruchem obrotowym nabiera znaczenia w przypadku gazoacutew dwuatomowych Prostym modelem cząsteczki takiego gazu mogą być hantle składające się z dwoacutech kul Hantle te mogą wirować w dwoacutech prostopadłych kierunkach wokoacuteł osi przechodzącej przez środek odcinka łączącego kule (w przypadku atomoacutew o roacuteżnych masach przechodzącej przez środek masy) Energia związana z takim obrotem może być prze-kazywana w wyniku zderzeń Nie ma natomiast możliwości przekazywa-nia energii związanej z obrotem hantli wokoacuteł osi roacutewnoległej do odcinka łączącego kule W efekcie dla gazoacutew dwuatomowych oproacutecz trzech stopni swobody związanych z ruchem postępowym mamy roacutewnież dwa dodatkowe stopnie swobody związane z ruchem obrotowym ndash f = 5 ndash a średnia energia kinetyczna cząsteczek takiego gazu będzie wynosiła

TE Bk25= Gazami dwuatomowymi są np tlen O2 czy azot N2

Gazy wieloatomowe tworzą większe cząsteczki ktoacutere oproacutecz ruchu postępowego mogą wykonywać ruch obrotowy względem trzech osi a więc ich całkowita liczba stopni swobody wynosi f = 6 Przykładem gazu wieloatomowego jest metan CH4

Ciepło molowe gazoacutew

Zdefiniowaliśmy wcześniej ciepło molowe jako wielkość charakteryzu-jącą substancję i określającą ilość ciepła jaką potrzeba dostarczyć żeby podnieść temperaturę jednego mola danej substancji o jeden stopień Po-kazaliśmy roacutewnież że średnia energia kinetyczna cząsteczek gazu zależy od ilości stopni swobody Wynika z tego że roacutewnież ciepło właściwe gazoacutew musi być zależne od liczby stopni swobody gdyż wraz ze wzros-tem tej liczby ta sama ilość energii dostarczana do gazu będzie się roz-kładać na większą ilość rodzajoacutew ruchu a więc wzrost temperatury jednego mola gazu będzie mniejszy Zatem najmniejsze ciepło właściwe mają gazy jednoatomowe a największe ndash wieloatomowe

ROZDZIAŁ 9

Strona 138138138138

Ciepło molowe przy stałej objętości

Jak wykazaliśmy w rozdziale 94 dla przemiany izochorycznej zmiana energii wewnętrznej roacutewna jest ciepłu dostarczonemu do układu

∆U∆TCnQ V == (944)

Przekształcając powyższą zależność i korzystając z zasady ekwipartycji energii ciepło właściwe przy stałej objętości CV możemy zapisać

Rf

∆Tn

∆UCV 2

== (945)

Dla gazu jednoatomowego ciepło właściwe przy stałej objętości wynosi CV = 32R dla gazu dwuatomowego CV = 52R a gazu wieloatomowego CV = 3R Należy jednak zauważyć że wartość ta może zależeć od tempe-ratury Pewne rodzaje ruchu wymagają dostatecznie wysokiej temperatu-ry żeby zostać bdquowzbudzonerdquo Z tego względu ciepło molowe gazoacutew dwuatomowych w temperaturze bliskiej temperatury skraplania może wynosić nie 52R a 32R

Ciepło molowe przy stałym ciśnieniu

Jeśli przemianę przeprowadzimy przy stałym ciśnieniu (przemiana izo-baryczna) to ciepło dostarczone do układu Q zamieniane jest zaroacutewno na przyrost energii wewnętrznej ∆U jak i na pracę W wykonaną przez gaz Molowe ciepło właściwe gazu przy stałym ciśnieniu Cp jest większe od molowego ciepła właściwego przy stałej objętości CV o wielkość stałej gazowej R

R+= Vp CC (946)

96 Roacutewnanie stanu gazu rzeczywistego

Właściwości gazoacutew rzeczywistych roacuteżnią się od właściwości gazu ideal-nego Rozpatrzmy prosty model mechaniczny składający się z cylindra z tłokiem wypełnionego gumowymi piłeczkami ktoacutery to model pozwoli nam lepiej zrozumieć roacuteżnice miedzy gazem doskonałym i rzeczywistym

TERMODYNAMIKA

Strona 139139139139

oraz zachowanie gazu rzeczywistego Jeśli piłeczek jest niewiele odle-głości między piłeczkami są duże i poruszają się one szybko możemy zastosować opis identyczny jak w przypadku gazu doskonałego Oddzia-ływania piłeczek możemy woacutewczas opisać z bardzo dobrym przybliżeniem jako zderzenia sprężyste W roacutewnaniach opisujących te zderzenia interesować nas będzie zachowanie środka masy piłeczek a ich rozmiar będzie miał drugorzędne znaczenie Jeśli odległości między piłeczkami są małe objętości piłeczek oraz ich deformacje zaczynają istotnie wpływać na zachowanie całego układu

Roacutewnaniem pozwalającym w przybliżony sposoacuteb modelować zachowa-nie gazoacutew rzeczywistych jest model van der Waalsa Roacutewnanie stanu gazu w tym modelu ma postać

( ) TnbVV

ap

2R=minus

+ (947)

W poroacutewnaniu z roacutewnaniem stanu gazu doskonałego w roacutewnaniu gazu rzeczywistego ciśnienie p powiększone jest o człon odwrotnie proporcjo-nalny do kwadratu objętości zajętej przez gaz Człon ten uwzględnia siły przyciągania między molekułami i określany jest jako tzw ciśnienie wewnętrzne gazu Objętość V zbiornika w ktoacuterym zajmuje gaz rzeczy-wisty została natomiast pomniejszona o tzw objętość wewnętrzną ktoacutera jest proporcjonalna do objętości cząsteczek gazu Wielkości a i b z roacutewnania van der Waalsa przyjmują roacuteżne wartości dla roacuteżnych gazoacutew i wpływają na kształt izoterm p(V) W wysokich temperaturach gdy prędkości cząsteczek gazu są znaczne kształt tych izoterm oraz właści-wości gazu rzeczywistego są zbliżone do gazu doskonałego

97 Cykle gazowe

Cyklem będziemy nazywać proces lub szereg procesoacutew ktoacutere doprowa-dzają układ termodynamiczny z powrotem do warunkoacutew początkowych Z cyklami gazowymi mamy do czynienia min w silnikach spalinowych

ROZDZIAŁ 9

Strona 140140140140

Cykl Carnota

Pierwszym cyklem jaki omoacutewimy będzie cykl Carnota Wyobraźmy sobie cylinder z gazem doskonałym ktoacuterego ścianki stanowią idealną izolację termiczną Pierwszym etapem cyklu (rysunek 94 a) będzie rozprężanie izotermiczne ndash do układu dostarczane jest ciepło ktoacutere w całości zamieniane jest na pracę rozprężenia gazu i podniesienia tłoka Zgodnie z roacutewnaniem stanu gazu doskonałego dla przemiany izotermicz-nej (roacutewnanie 928) skoro objętość gazu wzrasta to ciśnienie proporcjo-nalnie maleje Drugi etap cyklu Carnota to rozprężanie adiabatyczne Do układu nie jest już dostarczane ciepło i zakładamy że dno cylindra staje się roacutewnież idealnie izolujące (może się to odbywać za pomocą specjal-nej ruchomej przegrody) tak że cały układ jest całkowicie izolowany od otoczenia Podczas przemiany adiabatycznej zgodnie z roacutewnaniem adia-baty (roacutewnanie 931) ciśnienie gazu nadal spada a objętość rośnie Wy-konywana jest woacutewczas praca mechaniczna kosztem energii wewnę-trznej gazu i w efekcie temperatura gazu obniża się do T2 W tej części cyklu gaz roacutewnież wykonuje pracę rozprężając się i przesuwając tłok W trzecim etapie cyklu ponownie mamy do czynienia z przemianą izo-termiczną Otwieramy przegrodę cieplną umożliwiając odpływ ciepła do chłodnicy ale ponieważ roacutewnocześnie wykonujemy nad gazem pracę sprężania gazu energia wewnętrzna gazu nie zmienia się i jego tempera-tura jest stała W czwartym etapie ponownie zamykamy przegrodę ter-miczną (układ jest izolowany od otoczenia) wciąż wykonując pracę sprężania gazu Przy braku wymiany ciepła z otoczeniem zgodnie z roacutewnaniem adiabaty sprężaniu towarzyszyć będzie wzrost ciśnienia gazu i temperatury do T1 W ten sposoacuteb wracamy do punktu początkowego

Sprawność silnika termodynamicznego

Cykl Carnota pełni w termodynamice szczegoacutelnie ważną rolę gdyż dla tego cyklu otrzymujemy maksymalną możliwą sprawność zamiany cie-pła na pracę

Sprawność cyklu η definiujemy jako stosunek pracy użytecznej W wykonanej przez gaz do ciepła QG dostarczonego do gazu w danym cyklu

G

ZG

G Q

QQ

Q

W minus==η (948)

TERMODYNAMIKA

Strona 141141141141

W trakcie cyklu gaz pobiera ciepło QG ze zbiornika gorącego część tego ciepła zużywając na wykonanie pracy W a resztę oddając do chłodnicy (QZ) Zatem praca jaką wykonuje gaz jest roacutewna roacuteżnicy ciepła dostar-czonego ze zbiornika gorącego i oddanego do chłodnicy

ZG QQW minus= (949)

Tak zdefiniowana sprawność jest zawsze mniejsza od jedności gdyż układ nie może wykonać pracy roacutewnej lub większej niż ilość ciepła pobrana ze źroacutedła o temperaturze wyższej Część ciepła jest zawsze od-dawana do chłodnicy i nie jest możliwa całkowita zamiana ciepła na pracę

W przypadku cyklu Carnota ciepło jest dostarczane i oddawane z układu jedynie podczas izotermicznego sprężania i rozprężania odpowiednio Ciepło dostarczone możemy więc zastąpić ciepłem pobranym ze zbiorni-ka gorącego QG zaś ciepło oddane ciepłem oddanym zimnemu zbiorni-kowi QZ Można wykazać że dla cyklu Carnota prawdziwa jest relacja

Z

Z

G

G

T

Q

T

Q= (950)

gdzie TG i TZ są temperaturami gorącego i zimnego zbiornika odpowied-nio Woacutewczas sprawność cyklu Carnota można zapisać

G

ZG

T

TT minus=η (951)

Z powyższego wzoru na sprawność cyklu Carnota maksymalną możliwą do osiągnięcia sprawność wynika że im większa jest roacuteżnica temperatur tym wyższa jest sprawność całego cyklu Widzimy roacutewnież że do uzyskania wysokiej sprawności potrzebne jest źroacutedło ciepła ale roacutewnież odpowiednio efektywny system chłodzenia

Sprawność maszyny chłodniczej

Wyobraźmy sobie że przeprowadzimy cykl Carnota w odwrotnym kierunku tzn będziemy wykonywali pracę nad układem tak żeby układ pobierał ciepło ze zbiornika chłodniejszego i oddawał je do zbiornika cieplejszego W takim przypadku interesuje nas sprawność chłodnicza czyli stosunek ciepła odebranego ze zbiornika zimnego QZ do wykonanej pracy W

ROZDZIAŁ 9

Strona 142142142142

ZG

Z

ZG

Z

TT

T

QQ

Q

minus=

minus=η (952)

Praca W roacutewna jest roacuteżnicy ciepła QG oddanego do gorącego zbiornika i ciepła QZ pobranego z zimnego zbiornika a oba te ciepła podobnie jak w cyklu Carnota można powiązać z temperaturami zbiornika zimnego TZ i gorącego TG Sprawność chłodnicza jest zawsze większa od jedności i jest tym większa im mniejsza jest roacuteżnica temperatur między zbiornika-mi gorącym i zimnym

Przykładem zastosowania odwroacuteconego cyklu termodynamicznego może być klimatyzacja z tzw pompą ciepła Klimatyzacja taka może działać w obie strony ndash latem pobiera ciepło z wewnątrz budynku i oddaje je na zewnątrz a zimą pobiera ciepło z zewnątrz i oddaje je do wnętrza Aby klimatyzacja działała niezbędne jest wykonanie pracy Warto zauważyć że w poroacutewnaniu z tradycyjnymi metodami ogrzewania budynku układ z pompą ciepła jest wydajniejszy ndash jeśli zużyjemy tę samą ilość prądu na zasilanie grzejnika elektrycznego i zasilanie pompy ciepła ciepło dostar-czone do budynku będzie zawsze większe w przypadku pompy ciepła Wadami pomp ciepła są skomplikowana konstrukcja wpływająca na zwiększoną awaryjność oraz duży koszt całego układu Pompy ciepła wymagają ponadto z reguły dużego wymiennika ciepła

Chłodziarki i zamrażarki roacutewnież odbierają ciepło z komory chłodniczej W tym przypadku obok cyklu gazowego wykorzystujemy roacutewnież cie-pło przemian fazowych Sprężony przez kompresor gaz ulega skropleniu w systemie rurek wymiennika ciepła (znajdującego się z reguły w tylnej części chłodziarki) W obiegu wewnątrz komory chłodziarki ciśnienie spada i ciecz ulega przemianie w gaz pobierając przy tym ciepło z ko-mory Następnie gaz jest sprężany przez kompresor i cykl przemian może ulec powtoacuterzeniu

Cykl Otta

Cykl Otta stanowi dobre przybliżenie cyklu realizowanego w typowym silniku benzynowym W częściej spotykanym silniku czterosuwowym cykl pracy silnika zaczyna się od zassania do wnętrza cylindra mieszanki paliwowej ndash tłok cofa się przy otwartym zaworze (przy stałym ciśnieniu zwiększa się objętość gazu) Następnie zawoacuter zamyka się a tłok spręża mieszankę Sprężanie odbywa się na tyle szybko że może być uznane za proces adiabatyczny ndash nie ma wymiany ciepła z blokiem silnika Sprężo-na mieszanka ulega następnie zapłonowi co jest tak szybkim procesem

TERMODYNAMIKA

Strona 143143143143

że z powodzeniem można przyjąć że jest to przemiana izochoryczna ndash tłok nie zdążył się jeszcze ruszyć a jedynie wzrosło ciśnienie i tempera-tura gazu W kolejnej fazie cyklu gorący gaz rozpręża się adiabatycznie wypychając tłok a więc wykonując pracę nad tłokiem Po jego zakoń-czeniu kiedy tłok osiągnie maksymalne wychylenie otwiera się zawoacuter wydechu Powoduje to spadek ciśnienia gazu przy stałej jego objętości W kolejnym etapie cyklu zawoacuter wydechu jest wciąż otwarty a tłok wy-pycha spaliny z cylindra przy stałym ciśnieniu wracając do położenia początkowego Zależność ciśnienia od objętości dla cyklu Otta pokazana jest na rysunku 94 b)

Sprawność cyklu Otta wynosi

VC

R

2

1

V

V1η

minus= (953)

gdzie V1 i V2 oznaczają odpowiednio minimalną i maksymalną objętość cylindra

Cykl Diesla

Cykl Diesla zaczyna się podobnie jak cykl Otta ndash tłok cofa się zasysając powietrze do wnętrza cylindra Następnie zachodzi adiabatyczne spręża-nie powietrza zawartego w cylindrze W silniku Diesla proces spalania paliwa ma inny charakter niż w cyklu Otta ndash zamiast iskry wywołującej zapłon stosujemy w nim świecę żarową ktoacuterej głoacutewnym zadaniem jest wspomaganie rozruchu silnika Pary oleju sprężone do odpowiedniego ciśnienia ulegają bowiem samozapłonowi Etap spalania paliwa dostarczający ciepło niezbędne do działania silnika nie jest modelowany przez przemianę izochoryczną ale przez proces izobaryczny (rysu-nek 94 c) Następnie podobnie jak w cyklu Otta następuje rozprężanie adiabatyczne w trakcie ktoacuterego silnik wykonuje pracę Kiedy tłok znajdzie się w najdalszym położeniu (objętość gazu jest największa) otwiera się zawoacuter wydechu i ciśnienie gazu spada Podobnie jak w przy-padku silnika benzynowego cykl kończy wypchnięcie spalin z wnętrza cylindra poprzez ruch tłoka

Sprawność silnika Diesla można wyrazić wzorem

ROZDZIAŁ 9

Strona 144144144144

( )

21

κ21

κ

3

2

VV1

VV1

V

V

κ

11η

minus

minus

minus= (954)

Silniki Diesla ze względu na wyższy stopień sprężania są postrzegane jako oszczędniejsze mimo że wyliczona z powyższego wzoru sprawność silnika Diesla w poroacutewnaniu z cyklem Otta jest nieco mniejsza Silniki Diesla dobrze pracują przy niskich obrotach wytwarzając duży moment obrotowy i są mało wrażliwe na uszkodzenia instalacji elektrycznej ktoacutera jest potrzebna jedynie do rozruchu silnika Ich wadą jest trudny rozruch zimnego silnika

Cykl Stirlinga

W przeciwieństwie do poprzednio omawianych silnikoacutew w silniku Stirlinga gaz znajdujący się w cylindrze nie ulega wymianie w trakcie cyklu Silnik tego typu wymaga do działania jedynie źroacutedła ciepła oraz odpowiednio wydajnego chłodzenia Ciepło jest dostarczane i odbierane w sposoacuteb ciągły Cykl Stirlinga składa się z dwoacutech przemian izotermicz-nych na przemian z przemianami izochorycznymi (rysunek 94d) Istnie-je kilka rozwiązań samego silnika realizującego taki cykl W jednym z nich silnik składa się z dwoacutech cylindroacutew jednego połączonego ze źroacutedłem ciepła a drugiego z chłodnicą Cylindry te są połączone ze sobą kanałem umożliwiającym przepływ gazu Początkowo cały gaz znajduje się w cylindrze gorącym ndash w cylindrze chłodzonym tłok znajduje się w położeniu odpowiadającym minimum objętości W wyni-ku podgrzewania następuje rozprężanie (izotermiczne) gazu w cylindrze gorącym i silnik wykonuje pracę Po osiągnięciu pełnego wychylenia przez tłok w cylindrze gorącym zaczyna on opadać wypychając gaz do cylindra chłodnego w ktoacuterym tłok unosi się zasysając gaz W ten sposoacuteb dochodzi do wymiany gazu między cylindrami Po przepompo-waniu do cylindra chłodnego ciśnienie gazu spada W cylindrze chłodzo-nym gaz jest poddawany izotermicznemu sprężaniu a następnie jest wypychany do cylindra gorącego Tam jego ciśnienie wzrasta i cykl do-chodzi do warunkoacutew początkowych

Cykl Stirlinga charakteryzuje wysoka sprawność ktoacutera może osiągać wartości zbliżone do sprawności silnika Carnota

TERMODYNAMIKA

Strona 145145145145

( ) C12

V

C

ηVVn

c1

ηη

ln R+

= (955)

gdzie ηC oznacza sprawność silnika Carnota Silnik Stirlinga działa na-wet przy niewielkiej roacuteżnicy temperatur i dlatego stosowany jest do przetwarzania energii cieplnej uzyskanej ze źroacutedeł geotermalnych lub z procesoacutew fermentacji Jego wadą są stosunkowo duże rozmiary i kosz-ty wykonania urządzeń tego typu Silniki tego typu są mało awaryjne i z tego względu istnieją plany stosowania ich np w sondach kosmicz-nych wyposażonych w promieniotwoacutercze źroacutedło ciepła Są roacutewnież ci-che co czyni je przydatnymi do stosowania w łodziach podwodnych z napędem jądrowym W tym przypadku wydajne chłodzenie silnika zapewnia woda morska

Rysunek 94 Wybrane cykle termodynamiczne a) Carnota b) Otta

c) Diesla d) Stirlinga

Druga zasada termodynamiki

Wspominaliśmy już że w cyklu silnika jedynie część energii pobieranej ze źroacutedła gorącego jest zamieniana na pracę a część jest oddawana do chłodnicy Na przykładzie cyklu chłodniczego przekonaliśmy się że aby

ROZDZIAŁ 9

Strona 146146146146

przekazać ciepło z ciała zimnego do ciała gorącego niezbędne jest wyko-nanie pracy Oba te spostrzeżenia mogą być podstawą do sformułowa-nia drugiej zasady termodynamiki

Niemożliwe jest przekazywanie ciepła przez ciało o niższej temperaturze ciału o wyższej temperaturze bez wprowadzenia innych zmian w obu ciałach i ich otoczeniu

lub w innym sformułowaniu

Niemożliwe jest pobieranie ciepła z jednego źroacutedła i zamiana go na pracę bez wprowadzenia innych zmian w układzie i jego otoczeniu

Druga zasada termodynamiki zaprzecza istnieniu tzw perpetuum mobile drugiego rodzaju czyli całkowitej zamiany ciepła w pracę Druga zasada termodynamiki nakłada ograniczenia na wartość sprawności silnika ndash nie jest możliwe zbudowanie silnika o sprawności większej niż sprawność silnika Carnota

98 Entropia

Swobodny przepływ ciepła następuje tylko w kierunku od ciała gorącego do ciała zimnego Zgodnie z drugą zasadą termodynamiki przepływ w odwrotną stronę nie może odbywać się samoistnie i wymaga wykona-nia pracy nad układem Szczegoacutełowa analiza tego problemu pokazuje że kierunek zachodzenia procesoacutew fizycznych w przyrodzie jest wyznaczo-ny przez zmiany wartości pewnej funkcji stanu układu zwanej entropią

Entropia jest funkcją stanu a więc jej zmiana zależy jedynie od począt-kowego i końcowego stanu układu a nie zależy od sposobu przejścia między tymi stanami Dla przemiany izotermicznej zmianę entropii mo-żemy zdefiniować jako stosunek ilości ciepła ∆Q otrzymanego przez układ do temperatury w ktoacuterej układ otrzymał to ciepło Jest to tzw cie-pło zredukowane

T

∆Q∆S = (956)

W ogoacutelnym przypadku należy zastosować definicję roacuteżniczkową zmiany entropii

TERMODYNAMIKA

Strona 147147147147

T

QS

dd = (957)

Jeżeli szukamy zmiany entropii ∆S podczas jakiegoś procesu termodyna-micznego musimy dodać (scałkować) wszystkie składowe infinitezymal-ne zmiany entropii dS

Korzystając z pierwszej zasady termodynamiki oraz ciepło δQ można wyrazić za pomocą pracy δW oraz zmiany energii wewnętrznej dU a w konsekwencji za pomocą zmiany objętości dV oraz zmiany tempera-tury dT W efekcie po scałkowaniu otrzymujemy wzoacuter na zmianę entropii dla dowolnej przemiany gazowej gazu doskonałego

P

K

V

P

K

T

TCn

V

Vn∆S ln ln R += (958)

Entropię można roacutewnież definiować jako miarę tej części energii wew-nętrznej układu ktoacutera nie może być użyta do wykonania pracy mecha-nicznej co możemy zapisać w następujący sposoacuteb

VpSTU ddd minus= (959)

Entropia pokazuje w ktoacuterym kierunku procesy fizyczne mogą biec sa-morzutnie Jeżeli zmiana entropii układu w pewnym procesie wynosi zero to proces taki jest odwracalny czyli może zachodzić w obu kierun-kach Zmiana entropii dla cyklu Carnota podobnie jak dla każdego procesu cyklicznego roacutewnież wynosi zero gdy jest on odwracalny

Przemiany nieodwracalne przebiegają samorzutnie tylko w określonym

kierunku W przypadku tych przemian entropia wzrasta 0gt∆S Przy-kładem może być połączenie dwoacutech zbiornikoacutew zawierających odpo-wiednio gorący i zimny gaz Po usunięciu przegrody dzielącej zbiorniki dojdzie do wymiany energii kinetycznej pomiędzy cząsteczkami gazu a więc w konsekwencji do samorzutnego wyroacutewnania temperatur obu porcji gazu W przyrodzie proces ten nie zachodzi w odwrotnym kierun-ku ndash nie obserwujemy spontanicznego samorzutnego podgrzewania jednej porcji a oziębiania drugiej porcji gazu Możemy jednak osiągnąć taki efekt dostarczając do układu ciepło lub wykonując nad nim pracę Wtedy układ ten nie będzie jednak układem zamkniętym

ROZDZIAŁ 9

Strona 148148148148

Definicja statystyczna entropii

Entropia ma roacutewnież swoją definicję statystyczną Rozpatrzmy najpierw przykład nieodwracalnej przemiany rozprężania gazu do zbiornika z proacuteżnią W przyrodzie nie obserwujemy zachodzenia tego procesu w odwrotnym kierunku tzn nie jest możliwe aby wszystkie cząsteczki gazu z jednego zbiornika same spontanicznie go opuściły wytwarzając tam proacuteżnię Aby osiągnąć taki stan czyli aby wypompować gaz z jed-nego zbiornika i uzyskać proacuteżnię musimy użyć odpowiedniej pompy a więc wykonać pracę Możemy powiedzieć że najbardziej prawdopo-dobna będzie konfiguracja gdzie w obu zbiornikach będziemy mieli tyle samo cząsteczek Dla uproszczenia rozpatrzmy układ dwoacutech zbiornikoacutew w ktoacuterych znajdują się ponumerowane cztery cząsteczki Najbardziej prawdopodobny będzie taki stan (nazywany makrostanem) w ktoacuterym w obu zbiornikach będą dwie cząsteczki Ale taki makrostan może być zrealizowany na wiele sposoboacutew (poprzez wiele mikrostanoacutew) tzn w zbiorniku mogą być następujące konfiguracje cząsteczek (12) (13) (14) (23) (24) (34) Makrostan z jedną cząsteczką w prawym zbiorniku może być zrealizowany przez 4 mikrostany tzn w zbiorniku tym mogą być cząsteczki (1) lub (2) lub (3) lub (4) Liczba mikrostanoacutew realizujących dany mikrostan oznaczana jest symbolem w i definiuje entropię układu (wzoacuter Boltzmanna-Plancka)

( )wS ln k B= (960)

W celu wyznaczenia zmiany entropii układu należy obliczyć roacuteżnicę entropii końcowej i początkowej

P

K

BPKw

wkSS∆S ln=minus= (961)

Wyznaczmy teraz prawdopodobieństwa roacuteżnych konfiguracji dla wyniku rzutu dwiema kostkami do gry Wyniki bdquo2rdquo oraz bdquo12rdquo można uzyskać tylko w jeden sposoacuteb ndash rzucając dwie bdquojedynkirdquo lub dwie bdquoszoacutestkirdquo Prawdopodobieństwo uzyskania takiego wyniku jest zatem dość niskie ndash wynosi 1616=0028 Wynik bdquo3rdquo można uzyskać na dwa sposoby ndash wyrzucając bdquo1rdquo i bdquo2rdquo lub bdquo2rdquo i bdquo1rdquo Wynik ten ma zatem wyższą wielokrotność konfiguracji Prawdopodobieństwo uzyskania takiego wyniku jest roacutewnież dwa razy wyższe ndash wynosi 0056 W rzucie dwiema kostkami najbardziej prawdopodobny jest wynik bdquo7rdquo ndash można go uzys-kać na 6 sposoboacutew Wynik ten reprezentuje zatem roacutewnież największą entropię

TERMODYNAMIKA

Strona 149149149149

Zwiększanie się entropii w wyniku przemian termodynamicznych ozna-cza dążenie do stanoacutew najbardziej prawdopodobnych czyli do stanoacutew roacutewnowagowych Łatwo zauważyć że układy te reprezentują roacutewnież największy nieporządek Wroacutećmy do przykładu z rozprężeniem gazu do proacuteżnego zbiornika ndash stan w ktoacuterym jeden zbiornik jest proacuteżny a sąsied-ni zbiornik jest wypełniony gazem reprezentuje bardzo niską entropię Wyroacutewnanie się ciśnień w obu zbiornikach powoduje przejście do stanu o najwyższej entropii Widzimy zatem że w układzie zamkniętym bę-dzie pojawiał się nieporządek

Jeśli zbudujemy wieżę z kamieni wykonujemy pracę by wytworzyć stan o wysokim porządku ndash zatem o niskiej entropii W przypadku wieży stanem o najwyższej entropii jest losowe rozrzucenie kamieni Jeśli nie będziemy wykonywać nad tym układem żadnej pracy pod wpływem czynnikoacutew zewnętrznych stopniowo będzie dążył do stanu o wyższej entropii ndash wieża będzie się rozpadać aż do zamiany w stertę rozrzuco-nych kamieni W przyrodzie struktury uporządkowane takie jak żywe organizmy istnieją dzięki źroacutedłu energii jakim jest Słońce Energia czer-pana ze Słońca (w przypadku niektoacuterych bakterii energia może być po-zyskiwana z innych źroacutedeł) jest wykorzystywana na wykonywanie pracy i budowę struktur o wysokim uporządkowaniu Bez źroacutedła energii orga-niżmy żywe umierają ndash przechodzą w stan o wyższej entropii Warto zwroacutecić uwagę że procesy śmierci i rozkładu można interpretować w ra-mach przemian termodynamicznych Ciepło wytwarzane w procesie fer-mentacji szczątkoacutew organicznych może być odzyskiwane i wykorzysty-wane jako alternatywne źroacutedło energii

99 Właściwości termiczne materii

Mechanizmy przekazywania ciepła

Procesy transportu energii zmierzają do wyroacutewnywania energii w całym układzie prowadząc układ do stanu roacutewnowagi W przyrodzie istnieją trzy podstawowe mechanizmy przekazywania ciepła

bull przewodnictwo cieplne

bull konwekcja (unoszenie)

ROZDZIAŁ 9

Strona 150150150150

bull promieniowanie

Przewodnictwo cieplne

Przewodnictwo cieplne jest związane z przekazywaniem energii przez cząstki o wyższej energii cząstkom o niższej energii Jeśli w jednym miejscu ciała dostarczane jest ciepło cząstki z ktoacuterych zbudowane jest ciało uzyskują wyższą energię W przypadku gazu będzie to większa energia kinetyczna cząsteczek gazu w przypadku ciała stałego będziemy mieli do czynienia z większą energią drgań atomoacutew wokoacuteł ich położeń roacutewnowagi Energia ta jest przekazywana sąsiednim atomom tak żeby minimalizować roacuteżnicę temperatur pomiędzy ciepłym a chłodnym koń-cem W przypadku gazu przekazywanie energii kinetycznej odbywa się poprzez zderzenia zaś w ciele stałym w wyniku oddziaływań między atomami

Z codziennego doświadczenia wiemy że roacuteżne materiały mają roacuteżną przewodność cieplną Wysoką przewodność cieplną mają na przykład metale Związane jest to z przewodzeniem ciepła nie tylko na skutek drgań jąder atomowych ale roacutewnież zderzeń swobodnych elektronoacutew obecnych w metalach Tworzywa sztuczne takie jak guma czy polietylen są z reguły izolatorami elektrycznymi i wykazują roacutewnież niewielką przewodność cieplną

Strumień ciepła JQ czyli ciepło dQ przepływające w czasie dt przez po-wierzchnię dS jest proporcjonalny do gradientu temperatury wywołują-cego przepływ ciepła Wspoacutełczynnik proporcjonalności λ nazywa się wspoacutełczynnikiem przewodności cieplnej jest cechą charakterystyczną danego materiału i wyraża się w Wm

-1K

-1

W jednowymiarowym przypadku gradient temperatury jest roacutewny po-chodnej temperatury po wspoacutełrzędnej x i woacutewczas przepływ ciepła może być opisany następującą zależnością (prawo Fouriera przewodnictwa cieplnego)

x

T

St

QJ Q d

d

d d

dλminus== (962)

Dla cienkich warstw przybliżeniem gradientu temperatury jest iloraz roacuteżnicy temperatur przez grubość przegrody Rozpatrzmy cienką prze-grodę o grubości L i powierzchni S wykonaną z materiału o wspoacutełczyn-niku przewodności cieplnej λ ktoacutera oddziela zbiornik gorący o tempera-turze TG od zimnego o temperaturze TZ W takim przypadku ilość ciepła

TERMODYNAMIKA

Strona 151151151151

Q przepływająca przez przegrodę w czasie t (moc P) wyraża się wzorem (za bdquoPodstawy Fizykirdquo Halliday Resnick Walker PWN 2003)

L

TTSk

t

QP ZG minus

== (963)

Dla takiej przegrody można roacutewnież wyznaczyć wartość oporu cieplnego R będącego wspoacutełczynnikiem proporcjonalności między mocą przepły-wającego ciepła a roacuteżnicą temperatur

Sk

LR = (964)

Należy pamiętać że tak zdefiniowana wielkość charakteryzuje dane cia-ło a nie materiał z ktoacuterego jest wykonane

W układzie składającym się z wielu warstw przy stacjonarnym przepły-wie ciepła (temperatury i wartość strumienia ciepła nie zmieniają się w czasie) ciepło przepływające przez każdą z warstw jest jednostce czasu jest taki samo Rozpatrując przykład dwoacutech warstw wykonanych z roacuteżnych materiałoacutew roacutewnania Fouriera możemy zapisać w postaci

( ) ( )

2

Z122

1

12G1

L

TTSk

L

TTSkP

minus=

minus= (965)

gdzie T12 oznacza temperaturę na granicy dwoacutech warstw Wyznaczając z powyższego roacutewnania temperaturę T12 możemy wyznaczyć całkowitą moc traconą przez taką podwoacutejną przegrodę

( )

2

2

1

1

ZG

k

L

k

L

TTSP

+

minus=

(966)

W ogoacutelnym przypadku moc ciepła przepływającego przez przegrodę składającą się z kilku warstw o roacuteżnych grubościach Li oraz wspoacutełczyn-nikach przewodności cieplnej ki możemy zapisać

( )

sum

minus=

i i

i

ZG

k

L

TTSP

(967)

ROZDZIAŁ 9

Strona 152152152152

Konwekcja

Konwekcja jest mechanizmem przekazywania ciepła charakterystycz-nym dla płynoacutew (gazoacutew i cieczy) i nazywana bywa roacutewnież przepływem masowym Zwiększenie temperatury płynoacutew powoduje zmniejszenie ich gęstości a w konsekwencji pojawienie się siły wyporu skierowanej pionowo do goacutery Charakterystyczne przy tym jest że ruch taki może dotyczyć nie tylko pojedynczych cząsteczek ale roacutewnież znacznych objętości płynu

Prostym przykładem konwekcji jest ruch wody podgrzewanej w garnku Woda ogrzana przy dnie za sprawą siły wyporu unosi się ku powierz-chni gdzie ulega wychłodzeniu i opada ponownie na dno gdzie ponow-nie się ogrzewa wywołując cyrkulację w całym naczyniu Podobne zja-wisko w znacznie większej skali obserwujemy w roztopionych skałach pod powierzchnią Ziemi - gdzie gorąca magma wypływa ku powierz-chni gdzie stygnie i opada Ruchy konwekcyjne roztopionych skał kształtują powierzchnię Ziemi i mają decydujący wpływ na dryf płyt kontynentalnych unoszących się na powierzchni magmy Opis ruchoacutew konwekcyjnych mas powietrza jest jednym z podstawowych zagadnień meteorologii Ruchy te powodują powstawanie wiatroacutew i chmur a także powstawanie i przemieszczanie się frontoacutew atmosferycznych

Przepływ konwekcyjny jest podstawą działania instalacji centralnego ogrzewania Ciepła woda ogrzana w piecu lub kotle unosi się do goacutery wymuszając jednocześnie napływ zimniejszej wody do wymiennika cie-pła W grzejnikach woda (napływająca goacuternym wlotem) ochładza się i opada w kierunku pieca W samych grzejnikach powietrze jest zasysane znad podłogi ogrzewa się pomiędzy żebrami i unosi do goacutery Na podob-nej zasadzie działa wentylacja grawitacyjna W przypadku kiedy proces wymiany ciepła w urządzeniu jest w danym zastosowaniu zbyt powolny można wymusić konwekcję Prostym przykładem wymuszonej konwek-cji jest chłodnica samochodowa Wiatrak chłodnicy wymusza przepływ powietrza między żebrami wymiennika ciepła Identyczną funkcję pełni wiatrak na radiatorze procesora komputerowego W przypadku cieczy chłodzących o znacznej gęstości przepływ może być wymuszany za pomocą pomp Pompy wspomagające obieg wody i powietrza w piecu mogą być stosowane w domowych instalacjach grzewczych

Promieniowanie cieplne

Kolejnym mechanizmem wymiany ciepła jest promieniowanie cieplne Podstawy fizyczne tego zjawiska omoacutewimy w dalszej części wykładu

TERMODYNAMIKA

Strona 153153153153

Teraz podamy jedynie wzoacuter określający ilość energii wypromieniowa-nej lub pochłoniętej przez ciało przez jednostkę powierzchni

4TσE = (968)

Jest to tzw wzoacuter Stefana-Boltzmanna opisujący całkowitą (integralną) zdolność emisyjną ciała czyli energię wypromieniowaną w całym widmie częstotliwości Promieniowanie cieplne zależy od temperatury w potędze czwartej ale roacutewnież od rodzaju powierzchni ciała Powierz-chnie ciemne dobrze pochłaniają ale i dobrze wypromieniowują ciepło Pomalowany czarnym lakierem pojazd szybko nagrzewa się ale roacutewnie szybko stygnie Samochoacuted z jasnym nadwoziem pochłania niewiele cie-pła ale i niewiele oddaje Odbijanie ciepła jest podstawą działania tzw folii ratunkowej znajdującej się w apteczce samochodowej Ułożona srebrną stroną do ciała folia zabezpiecza przed wychłodzeniem odbijając promieniowanie cieplne do środka Ułożenie stroną złotą do ciała i srebrną na zewnątrz zmniejsza promieniowanie zewnętrzne i chro-ni przed przegrzaniem

Izolacja termiczna

Policzmy moc jaka jest tracona przez okno o powierzchni S=1m2 wykonane z pojedynczej szyby o grubości d=4mm i wspoacutełczynniku przewodności cieplnej k=1 zakładając temperaturę na zewnątrz TZ = -20oC=253K oraz wewnątrz pomieszczenia TW=20oC=293K

Zaniedbamy efekty związane z promieniowaniem cieplnym i konwekcją analizując jedynie przewodnictwo cieplne Korzystając ze wzoru 914 otrzymujemy znaczną stratę ciepła o mocy 10kW

( 100000040

25329311 =

minussdot=

P )

Rozważmy teraz drugi przypadek w ktoacuterym zastosowano podwoacutejną szybę Przy czym odległość między szybami wynosi z=1cm a przestrzeń jest wypełniona powietrzem o wspoacutełczynniku przewodności k=0025 Założymy że w tej warstwie powietrza konwekcja nie występuje Po podstawieniu do wzoru 918 opisującego wielowarstwową przegrodę otrzymujemy P=98W Widzimy że w przypadku zastosowania dwoacutech szyb przedzielonych warstwą powietrza strumień ciepła przepływający przez okno jest ponad 1000 razy mniejszy W krajach skandynawskich stosuje się nierzadko okna z trzema szybami ktoacutere gwarantują jeszcze niższe straty ciepła Podobny efekt wykorzystujemy w przypadku cegieł ceramicznych z kanałami powietrznymi czy popularnych wykończeń ścian typu bdquosidingrdquo W przypadku takich przegroacuted powietrznych najważ-

ROZDZIAŁ 9

Strona 154154154154

niejszym zagadnieniem jest uniknięcie lub zminimalizowanie konwek-cyjnego transportu ciepła Można to osiągnąć zamykając powietrze wew-nątrz małych poroacutew materiału Efekt taki jest wykorzystywany min w płytach styropianowych i piankach poliuretanowych Materiały te są bardzo lekkie ponieważ puste przestrzenie pomiędzy bdquowięźbąrdquo polime-rową wypełnia powietrze Materiałem o najlepszych własnościach izolacyjnych jest aerożel oparty na spienionych związkach krzemu

Konwekcja i przewodzenie cieplne nie występują roacutewnież w proacuteżni po-nieważ nie ma tam cząsteczek gazu ktoacutere mogłyby uczestniczyć w trans-porcie ciepła Na tym efekcie opiera się działanie tzw naczynia Dewara Spomiędzy podwoacutejnych ścianek tego naczynia wypompowuje się powie-trze Kontakt termiczny pomiędzy wewnętrznymi a zewnętrznymi ścian-kami istnieje jedynie przy wlocie naczynia ktoacutery ma jednak niewielki przekroacutej poprzeczny i powierzchnię Prostym przykładem naczynia Dewara jest termos Termosy szklane długo zachowują proacuteżnię są nato-miast podatne na uszkodzenia mechaniczne Termosy metalowe są wy-trzymałe mechanicznie ale ciśnienie wewnątrz stopniowo wzrasta i po pewnym czasie tracą one właściwości izolujące

Ciepło właściwe ciał stałych

Pojemność cieplną ciał stałych opisuje tzw model Debyersquoa Zakłada on że transport ciepła w ciałach stałych zachodzi w postaci rozchodzenia się drgań Im wyższa temperatura tym liczba wzbudzanych rodzajoacutew drgań rośnie ndash wzrasta roacutewnież ciepło właściwe W zakresie temperatur poniżej tzw temperatury Debyersquoa θ wzrost ten odbywa się proporcjonalnie do trzeciej potęgi temperatury Powyżej temperatury Debyersquoa wzrost war-tości ciepła właściwego jest znacznie mniej dynamiczny Wartością gra-niczną dla tzw ciał prostych ndash np kryształoacutew zbudowanych z jednego pierwiastka ndash jest wartość trzykrotnej stałej gazowej 3R Zależność tą określa się prawem Dulonga-Petita

Ciepło właściwe materii związane jest roacutewnież z ruchem elektronoacutew Elektronowe ciepło właściwe jest wprost proporcjonalne do temperatury W bardzo niskich temperaturach czynnik ten ma decydujący wpływ na całkowitą wartość ciepła właściwego

Pełna postać wzoru na ciepło właściwe ciał stałych przyjmuje zatem postać

TbaT += 3vc (969)

TERMODYNAMIKA

Strona 155155155155

Rozszerzalność cieplna ciał stałych

Drgania termiczne atomoacutew w ciałach stałych wpływają na zwiększenie średniej odległości międzyatomowej i zarazem zwiększają makroskopo-wą objętość kryształoacutew Efekt ten jest związany z kształtem potencjału oddziaływania międzyatomowego Rozszerzalność temperaturową ciał stałych możemy przybliżyć funkcją liniową wprowadzając wspoacutełczyn-nik rozszerzalności cieplnej i w przypadku jednowymiarowym np dłu-gości cienkiego pręta zapisujemy

∆TαL

∆LL

0

= (970)

gdzie αL jest wspoacutełczynnikiem rozszerzalności liniowej o wymiarze K-1 Zakładając jednakowe rozszerzanie się materiału w każdym kierunku (izotropia) wspoacutełczynnik rozszerzalności objętościowej αV jest roacutewny trzykrotnej wartości wspoacutełczynnika rozszerzalności liniowej αL a zależ-ność zmian objętości od temperatury zapisujemy

∆TαV

∆VV

0

= (971)

Rozszerzalność cieplna ciał stałych musi być uwzględniana przy projek-towaniu konstrukcji i połączeń konstrukcyjnych Materiały z ktoacuterych wykonane są obiekty takie jak mosty i wiadukty drogowe (stal i beton) mają z reguły inną rozszerzalność cieplną niż skała lub grunt na ktoacuterym są oparte Aby uniknąć nadmiernych naprężeń mechanicznych związa-nych z termicznym odkształcaniem się materiałoacutew na styku roacuteżnych ele-mentoacutew konstrukcyjnych stosuje się tzw szczeliny dylatacyjne Rolę takich szczelin dylatacyjnych spełnia roacutewnież fuga między płytkami ce-ramicznymi ale niezbędne jest roacutewnież zastosowanie odpowiednio elas-tycznej zaprawy klejącej tak aby nie doszło do zerwania kontaktu płytki z podłożem lub pęknięcia płytki W przyrodzie naprężenia powstające w skałach ogrzewanych przez słońce lub ochładzanych przez wiatr są jednym z głoacutewnych czynnikoacutew erozji

Zjawisko rozszerzalności cieplnej ciał można wykorzystać podczas nito-wania Wciskając nit w otwoacuter w rozgrzanym materiale zyskujemy ciasne połączenie po ostygnięciu Podobny efekt możemy otrzymać łącząc ma-teriały o roacuteżnym wspoacutełczynniku rozszerzalności cieplnej Często stoso-wanym czujnikiem temperatury opartym na zjawisku rozszerzalności cieplnej jest tzw bimetal Jest to pasek zbudowany z połączonych ze

ROZDZIAŁ 9

Strona 156156156156

sobą dwoacutech warstw metali o roacuteżnym wspoacutełczynniku rozszerzalności cieplnej Jeśli długość jednej z warstw paska wzrośnie pod wpływem temperatury bardziej niż drugiego cały pasek ulegnie wygięciu Bimetal możemy wykorzystywać np jako wyłącznik zwierający w instalacji przeciwpożarowej bądź wyłącznik rozwierający w instalacji zapobiega-jącej przegrzaniu się urządzenia

10 Elektrostatyka

W tym rozdziale

o Ładunek elektryczny oddziaływanie ładunkoacutew prawo Coulomba

o Natężenie pola elektrycznego ładunkoacutew dyskretnych oraz ciągłych rozkładoacutew ładunkoacutew

o Energia i potencjał w polu elektrycznym o Prawo Gaussa przykłady zastosowania prawa

Gaussa o Pojemność elektryczna kondensatory o Dielektryki

ROZDZIAŁ 10

Strona 158158158158

101 Ładunek elektryczny

Zjawisko elektryzowania ciał jest znane od czasoacutew starożytności Jeśli potrzemy kawałkiem jedwabiu o szkło zauważymy że kawałek szkła nabierze ciekawych właściwości ndash będzie przyciągał drobinki kurzu lub drobne skrawki papieru oraz jedwab ktoacuterym go pocieraliśmy Podobny efekt zaobserwujemy w przypadku kawałka bursztynu potartego o futro Jeśli zbliżymy do siebie szkło i bursztyn zauważymy ponadto że przy-ciągają się nawzajem Natomiast dwa takie kawałki szkła czy dwa ka-wałki bursztynu będą się nawzajem odpychać Ponadto bursztyn będzie odpychał kawałek jedwabiu ktoacuterym naelektryzowano szkło a szkło bę-dzie odpychać futro ktoacuterym naelektryzowano bursztyn

Aby usystematyzować powyższy opis założymy że podczas pocierania umieszczamy na ciele ładunek elektryczny elektryzując go w ten sposoacuteb Znak ładunku może być dodatni lub ujemny Ustalmy że w przypadku elektryzowania bursztynu ładunek znajdujący się na powierzchni bur-sztynu ma znak ujemny a na powierzchni futra użytego do elektryzowa-nia pozostaje identyczna porcja ładunku dodatniego Znak ładunku poja-wiającego się na powierzchni elektryzowanego szkła jest natomiast dodatni Opisane wyżej obserwacje wskazują że ładunki o identycznym znaku ndash jednoimienne ndash odpychają się a ładunki o roacuteżnych znakach ndash roacuteżnoimienne ndash przyciągają się Efekt odpychania się jednoimiennych ładunkoacutew można czasem zauważyć w burzowy dzień lub stojąc pod linią elektryczną wysokiego napięcia w postaci włosoacutew bdquostających dębardquo Ładunki zgromadzone na naszym ciele i ubraniach są przyciągane przez chmurę burzową czy linię energetyczną gromadzą się na włosach ale jednocześnie jako ładunki o tym samym znaku chcą być jak najdalej od siebie powodując że włosy bdquostają dębardquo

Ładunek elektryczny wymieniany jest w porcjach Najmniejszą niepo-dzielną porcję ładunku nazywamy ładunkiem elementarnym e i jest on roacutewny ładunkowi elektronu Wartość ładunku elementarnego wynosi e=160210ndash19C gdzie C jest jednostką ładunku elektrycznego ndash kulom-bem Ponieważ elektron ma ładunek ujemny więc zjawisko elektryzowa-nia ciał polega na wytworzeniu na nich nadmiaru elektronoacutew ndash wtedy ła-dunek ciała jest ujemny lub niedoboru elektronoacutew ndash w takim przypadku ładunek ciała jest dodatni

ELEKTROSTATYKA

Strona 159159159159

Ciała mogą mieć roacuteżne właściwości elektryczne Ciała w ktoacuterych ładu-nek może swobodnie się przemieszczać nazywamy przewodnikami (np metale) zaś ciała w ktoacuterych ruch ładunku jest niemożliwy nazywamy izolatorami (większość materiałoacutew organicznych i tworzyw sztucznych)

Oproacutecz omoacutewionego wcześniej elektryzowania przez pocieranie ciała można elektryzować roacutewnież przez indukcję Załoacuteżmy że naładowany ładunkiem ujemnym kawałek szkła zbliżymy do fragmentu przewodnika (metalu) Ładunek w metalu może się swobodnie przemieszczać Ponie-waż jak już zauważyliśmy ładunki tego samego znaku odpychają się z fragmentu przewodnika w pobliżu naładowanego ujemnie izolatora od-płynie ładunek ujemny Ten fragment metalu będzie zatem naładowany ładunkiem dodatnim Nie jest to jednak stan trwały i gdy następnie oddalimy naładowany fragment izolatora sytuacja wroacuteci do stanu po-czątkowego Jeśli jednak koniec metalu naładowany ujemnie podłączy-my na chwilę do tzw uziemienia ładunek ten spłynie do Ziemi Jak przekonamy się poacuteźniej zjawisko to jest wynikiem wyroacutewnania poten-cjałoacutew pomiędzy naładowanym obiektem i Ziemią ktoacutera ma bardzo dużą pojemność ndash może przyjąć bardzo dużo ładunku Jeśli teraz usunie-my połączenie pomiędzy metalem a ziemią a następnie usuniemy nała-dowany ujemnie izolator na metalu pozostanie ładunek dodatni Metal został naładowany przez indukcję

102 Prawo Coulomba

Określimy teraz ilościowo siły wzajemnego oddziaływania pomiędzy ładunkami

Siła oddziaływania pomiędzy dwoma ładunkami punktowymi Q1 oraz Q2 umieszczonymi w proacuteżni w odległości r od siebie zgodnie z prawem Coulomba jest proporcjonalna do wartości tych ładunkoacutew oraz odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości między nimi

204 r

QQF 21

πε= (101)

ROZDZIAŁ 10

Strona 160160160160

gdzie ε0 jest stałą przenikalności dielektrycznej proacuteżni i jest roacutewna

( )2212 NmC 108854 minussdot=0ε

(w przybliżeniu 2

29

Nm

C 10 minussdot=

π36

10ε )

Ponieważ siła oddziaływania elektrostatycznego jest wektorem więc jeśli obliczamy siły działające w układzie kilku ładunkoacutew musimy zastosować dodawanie wektorowe Jako przykład policzymy siłę oddziaływania na jeden z ładunkoacutew w układzie czterech ładunkoacutew dodatnich Q znajdujących się w wierzchołkach kwadratu o boku a (rysu-nek 101) Ponieważ ładunki są jednoimienne to wybrany ładunek odpychany jest przez jego trzech bdquosąsiadoacutewrdquo siłami F1 F2 i F3 oznaczonymi na rysunku 101 Siły F1 i F3 są roacutewne co do wartości (identyczne ładunki znajdują się w tej samej odległości)

204 a

QQFF 31

πε== (102)

Siły te są do siebie prostopadłe a więc dodając je wektorowo otrzymuje-my siłę wypadkową skierowaną wzdłuż przekątnej kwadratu

20

2

4

2

a

QF13

πε= (103)

Siła F2 pochodząca od ładunku znajdującego się po przekątnej kwadratu ma kierunek i zwrot identyczny jak siła F13 i wartość roacutewną

( )2

0

2

24 a

QF 2

πε= (104)

Wartość siły wypadkowej FW działająca na jeden z ładunkoacutew jest więc sumą F2 oraz F13

( )

20

2

πε8

122

a

QFW

+= (105)

ELEKTROSTATYKA

Strona 161161161161

Rysunek 101 Siły działające w układzie jednakowych ładunkoacutew Q

rozmieszczonych w wierzchołkach kwadratu o boku a

103 Natężenie pola elektrycznego

Ładunki elektryczne są źroacutedłem pola elektrycznego podobnie jak masa jest źroacutedłem pola grawitacyjnego Właściwości pola elektrycznego można badać umieszczając w nim ładunek Jeśli jednak ładunek ten będzie miał znaczną wartość w stosunku do ładunku badanego zakłoacuteci to pole elektryczne Z tego względu posłużymy się ładunkiem proacutebnym dodatnim q0 ndash o wartości na tyle małej że nie wprowadza dużych zakłoacuteceń badanego pola Tor ruchu takiego proacutebnego ładunku umiesz-czonego w obszarze pola elektrycznego wyznacza linie pola elektryczne-go Wektor siły działającej na proacutebny ładunek jest zawsze styczny do linii pola Dla ładunku punktowego linie sił pola rozchodzą się promie-niście w przestrzeni

Z obserwacji wynika że siła F działająca na ładunek umieszczony w po-lu elektrycznym jest proporcjonalna do wartości tego ładunku q Wynika z tego że stosunek siły działającej na ładunek proacutebny do wartości tego ładunku ma stałą wartość charakteryzującą pole elektryczne w tym punkcie i nazywany jest natężeniem pola elektrycznego E

ROZDZIAŁ 10

Strona 162162162162

204 r

Q

q

FE

Eq

F

πε==

==r

r

const

(106)

Natężenie pola elektrycznego jest miarą siły działającej na jednostkowy proacutebny ładunek elektryczny

Tak zdefiniowana wielkość jest niezależna od wielkości ładunku proacuteb-nego jest zatem wyłącznie właściwością badanego pola Natężenie pola elektrycznego jest wektorem ktoacuterego kierunek i zwrot jest identyczny jak zwrot siły działającej na dodatni ładunek umieszczony w badanym polu

Rozważmy układ dwoacutech ładunkoacutew punktowych o identycznym co do wartości ładunku Q znajdujących się w pewnej odległości D od siebie Obliczmy natężenie w roacuteżnych punktach położonych na prostej przecho-dzącej przez oba ładunki w przypadku kiedy ładunki są jednoimienne Woacutewczas zewnątrz układu oba wektory natężenia są skierowane w tym samym kierunku i sumują się Dla dużych odległości r od ładunkoacutew (rgtgtD) natężenie pola elektrycznego jest w przybliżeniu roacutewne natężeniu pochodzącemu od ładunku o wartości 2Q

Na odcinku łączącym oba ładunki wektory natężenia są skierowane prze-ciwnie Wartość wektora wypadkowego jest więc roacuteżnicą wartości wektoroacutew składowych i wynosi

( )20

20 πε4πε4 rD

Q

r

QE

minusminus= (107)

gdzie r oznacza odległość od jednego z ładunkoacutew W przypadku kiedy znajdziemy się w połowie odległości między ładunkami (r = D2) wartość natężenia pola elektrycznego wynosi zero E = 0 ponieważ wektory składowe znoszą się

Dipol elektryczny

Jeśli ładunki Q w powyższym przykładzie są roacuteżnoimienne to taki układ nazywa się dipolem elektrycznym Wartość wektora natężenia pola elek-trycznego na osi ale na zewnątrz dipola jest roacuteżnicą wartości wektoroacutew składowych ndash wektory mają przeciwne zwroty Natomiast na odcinku

ELEKTROSTATYKA

Strona 163163163163

łączącym ładunki wektory natężenia dodają się ndash wartość wektora wy-padkowego jest sumą wartości wektoroacutew składowych W połowie odleg-łości między ładunkami natężenie pola elektrycznego układu wynosi

( ) ( ) 20

20

20

πε4

8

2πε42πε4 D

Q

D

Q

D

QE =+= (108)

Rysunek 102 Natężenie pola elektrycznego pochodzącego od dipola elektrycznego na symetralnej osi dipola

W przypadku dipola elektrycznego istotne jest roacutewnież znalezienie natę-żenia pola elektrycznego na symetralnej osi dipola (rysunek 102) Jeśli narysujemy wektory natężenia pola elektrycznego pochodzące od każde-go z ładunkoacutew w danym punkcie odległym o z od osi dipola okaże się że ich składowe prostopadłe do odcinka łączącego ładunki znoszą się a prostopadłe ndash dodają Wypadkowe natężenie pola elektrycznego wyno-si woacutewczas

( )424πε4

222

220 Dz

D

Dz

QE W

++=

(109)

Dla dużych odległości z od osi dipola natężenie na symetralnej osi dipola maleje z sześcianem odległości z zgodnie ze wzorem

30

30 πε4πε4 z

p

z

QDE W == (1010)

ROZDZIAŁ 10

Strona 164164164164

Wektor Dqprr

= jest dipolowym momentem elektrycznym dipolu Natężenie pola elektrycznego na osi dipola jest dwukrotnie większe i wynosi

30πε2 z

pE

OŚ= (1011)

Natężenie pola elektrycznego dla dipola elektrycznego ma więc silnie kierunkowy charakter ndash wynosi zero na osi dipola dla dużych odległości oraz maleje z sześcianem odległości w kierunku prostopadłym do na osi dipola

Natężenie pola elektrycznego ciągłych rozkładoacutew ładunkoacutew elektrycznych

W poprzednim przykładzie pokazaliśmy jak policzyć natężenie pola elektrycznego pochodzącego od układu dwoacutech dyskretnych ładunkoacutew W przypadku naładowanych obiektoacutew np naładowanych prętoacutew pier-ścieni czy płyt mamy do czynienia z ciągłym rozkładem ładunku Obiekt taki traktujemy woacutewczas tak jakby składał się z wielu małych ładunkoacutew punktowych dq ktoacutere są źroacutedłem pola elektrycznego Natęże-nie wypadkowe możemy wyrazić przez sumę natężeń pochodzących od każdego z małych ładunkoacutew przy czym sumowanie zastępujemy całkowaniem

int=2

0πε4 r

qE

d (1012)

Przykład

Jako przykład obliczmy natężenie pola elektrycznego w środku poacutełokrę-gu o promieniu R zbudowanego z jednorodnie naładowanego ładunkiem Q pręta Rozpatrzmy mały odcinek tego poacutełokręgu ktoacuterego położenie może być określone za pomocą kąta α względem osi symetrii poacutełokręgu (rysunek 103) na ktoacuterym zgromadzony jest ładunek dq Taka mała porcja ładunku dq wytwarza w środku okręgu natężenie pola elektrycz-nego dE ktoacutere jest składową całkowitego natężenia pochodzącego od naładowanego poacutełokręgu Porcja ładunku dq znajdująca się na drugiej połoacutewce poacutełokręgu położona symetrycznie do pierwszej wytwarza natę-żenie pola elektrycznego dE o takiej samej wartości i zwrocie symetrycz-nym względem osi poacutełokręgu Wypadkowe natężenie pola elektrycznego

ELEKTROSTATYKA

Strona 165165165165

dEp jest skierowane roacutewnolegle do osi poacutełokręgu Podobny zwrot wy-padkowego wektora natężenia otrzymamy dla każdej pary ładunkoacutew dq położonych symetrycznie względem osi okręgu z ktoacuterego wycięto poacuteło-krąg Wartość składowej prostopadłej dEp możemy wyrazić za pomocą funkcji kąta α

204

22R

qEE p

πε

αα

cosdcosdd == (1013)

Całkowite natężenie pochodzące od rozpatrywanego poacutełokręgu będzie wyrażone za pomocą całki

int=2Q

pR

qE

02

0πε4

α2

cosd (1014)

Jako goacuterną granice całkowania przyjęliśmy tylko połowę całkowitego ładunku Q ponieważ przy wyliczeniu natężenia dEp wzięliśmy już pod uwagę wkład pochodzący od dwoacutech połoacutewek łuku Żeby obliczyć powyższą całkę musimy znaleźć relację między kątem α a ładunkiem dq i dokonać zamiany zmiennych W tym celu wprowadzimy gęstość liniową ładunku (podobnie liczyliśmy już moment bezwładności pręta) Ponieważ ładunek Q zgromadzony jest na poacutełokręgu więc gęstość

liniowa ładunku wynosiR

Q

πλ = a ładunek dq zgromadzony na odcin-

ku dl wynosi ldd λ=q Dodatkowo po zamianie zmiennych liniowych

na kątowe Rαdd =l otrzymujemy

Rq αλ dd = (1015)

Przy zamianie zmiennej całkowania z dq na dα granice całkowania wynoszą 0 oraz π2 Po wyciągnięciu stałych przed znak całki otrzymujemy

20

20

2

00

22

2

R

Q

RE

RE

p

p

εππε

λ

ααπε

λπ

==

= int dcos

(1016)

ROZDZIAŁ 10

Strona 166166166166

Rysunek 103 Wyznaczanie natężenia pola elektrycznego pochodzące

od naładowanego pręta wygiętego w poacutełokrąg

104 Energia i potencjał w polu elektrycznym

Energia jaką posiada ładunek w polu elektrycznym jest roacutewna pracy jaką należało wykonać aby umieścić go w danym miejscu tego pola

Jest to definicja identyczna jak ta wprowadzona już dla pola grawitacyj-nego Skorzystaliśmy woacutewczas ze wzoru całkowego na pracę

int= xF(x)W d

Obliczamy pracę przeniesienia ładunku Q2 z nieskończoności do punktu odległego o R od ładunku Q1 będącego źroacutedłem pola elektrycznego

intinfin

=R

21 rr

QQW d

204πε

(1017)

R

QQWE 21

pot

04πε== (1018)

ELEKTROSTATYKA

Strona 167167167167

Warto zauważyć że postać energii potencjalnej pola elektrycznego jest podobna do wyrażenia jakie otrzymaliśmy dla pola grawitacyjnego

Jeżeli w polu elektrycznym przesuwamy między dwoma punktami ładu-nek q to praca jaką wykonujemy jest proporcjonalna do wartości tego ładunku Stosunek tej pracy przesunięcia dW ładunku do wartości ładun-ku q jest dla danych dwoacutech punktoacutew stały i nie zależy od wartości ładun-ku Stosunek ten definiuje roacuteżnicę potencjałoacutew dV między tymi dwoma punktami pola czyli napięcie elektryczne U

q

E

q

WVU

potddd === (1019)

Jednostką napięcia (potencjału) jest 1 wolt 1V=1J1C czyli jest to napięcie między takimi punktami między ktoacuterymi przesunięcie ładunku 1C wymaga pracy 1J Potencjał pola elektrycznego jest związany z natężeniem pola elektrycznego zależnością

( )z

Vk

y

Vj

x

VizyxVE

d

d

d

d

d

dgrad

rrrr++=minus= (1020)

Roacuteżnicę potencjałoacutew Uab między punktami a i b możemy więc zapisać

int==b

a

ab xE(x)∆VU d (1021)

Dla pola elektrycznego wytworzonego przez punktowy ładunek Q poten-cjał pola w odległości r od tego ładunku wynosi

r

QV

04πε= (1022)

Warto podkreślić że potencjał pola elektrycznego jest wielkością skalarną i addytywną czyli potencjał wytwarzany przez układ ładunkoacutew jest sumą potencjałoacutew wytwarzanych przez każdy z ładunkoacutew w danym punkcie Powierzchnie stałego potencjału (powierzchnie ekwipotencjal-ne) są prostopadłe do linii sił pola

Wroacutećmy do przykładu dwoacutech ładunkoacutew o identycznej wartości znajdu-jących się w odległości D od siebie Pokazaliśmy już że jeśli ładunki są jednoimienne natężenie pola w połowie odległości między nimi jest

ROZDZIAŁ 10

Strona 168168168168

roacutewne zeru Jeśli jednak obliczymy potencjał w tym punkcie otrzymamy

2πε42πε4 00 D

Q

D

QV += (1023)

W przypadku dwoacutech ładunkoacutew roacuteżnoimiennych natężenie obliczone w połowie odległości między nimi wynosi dwukrotną wartość natężenia pochodzącego od pojedynczego ładunku Potencjał obliczony w tym samym punkcie jest roacutewny zeru

0=minus=2πε42πε4 00 D

Q

D

QV (1024)

W elektrostatyce często będziemy posługiwać się pojęciem roacuteżnicy potencjałoacutew pomiędzy dwoma punktami ndash roacuteżnica ta jest miarą pracy jaką należy wykonać przemieszczając ładunek między tymi punktami

105 Prawo Gaussa

Pokazaliśmy już że natężenie pola elektrycznego pochodzącego od wielu ładunkoacutew punktowych jest sumą wektorową natężeń pochodzą-cych od każdego z ładunkoacutew a w przypadku obiektoacutew naładowanych ciągłym rozkładem ładunku sumowanie zastępujemy całkowaniem Obliczenia takie bywają jednak często bardzo żmudne i wymagają dobrej znajomości zależności geometrycznych występujących w bada-nym układzie W wielu przypadkach znacznie prostszą metodą okazuje się skorzystanie z prawa Gaussa

Aby zapisać prawo Gaussa wprowadzimy najpierw wielkość zwaną stru-mieniem natężenia pola elektrycznego

Jeśli linie sił pola elektrycznego przecinają daną powierzchnię to strumień wektora natężenia pola elektrycznego jest zdefiniowany jako iloczyn skalarny wektora natężenia pola elektrycznego i wektora normalnego zewnętrznego do danej powierzchni o wartości roacutewnej polu tej powierzchni

αSESEΦ E cos=sdot=rr

(1025)

ELEKTROSTATYKA

Strona 169169169169

gdzie α oznacza kąt między wektorem normalnym do powierzchni a wektorem natężenia pola elektrycznego Widzimy że im większy kąt α tym mniejsza wartość strumienia Jeśli wektor natężenia jest skierowa-ny roacutewnolegle do powierzchni to strumień jest roacutewny zeru Jeżeli war-tość wektora natężenia przecinającego powierzchnię jest roacuteżna w roacuteż-nych jej punktach bądź roacuteżny jest kąt pomiędzy tym wektorem a powierzchnią w obliczaniu strumienia korzystamy z zależności całkowej

int sdot= SEΦ E

rrd (1026)

Na przykładzie ładunku punktowego zauważyliśmy że linie sił są rozmieszczone gęściej w pobliżu ładunku a rzadziej kiedy badamy pole w większej odległości od niego Gęstość rozmieszczenia linii odpowia-dająca wartości wektora natężenia zmienia się zatem z odległością Jednak całkowita liczba linii sił pola nie zmienia się chyba że w prze-strzeni umieścimy kolejny ładunek ktoacutery stałby się źroacutedłem pola Zatem całkowity strumień natężenia wytwarzany przez ładunek przechodzący przez powierzchnię zamkniętą wewnątrz ktoacuterej on się znajduje pozostaje stały Strumień nie zależy roacutewnież od kształtu przyjętej powierzchni Mierząc zależność pomiędzy strumieniem a wartością ładunku można sformułować prawo Gaussa

Strumień całkowity wektora natężenia pola przechodzący przez

dowolną powierzchnię zamkniętą pomnożony przez stałą 0ε jest

roacutewny sumie ładunkoacutew elektrycznych obejmowanych przez tę powierzchnię

0ε

QSE =sdotintrr

d (1027)

Prawo Gaussa choć jest wyrażone wzorem całkowym w wielu przypad-kach pozwala na szybkie obliczanie natężenia bez konieczności stosowa-nia rachunku całkowego Należy dobrać zamkniętą powierzchnię całko-wania w taki sposoacuteb aby wektor natężenia był stały w każdym jej punkcie i przecinał tę powierzchnię pod stałym kątem

Ładunek punktowy

Zastosujemy prawo Gaussa do wyznaczenia natężenia pola elektryczne-go wytwarzanego przez ładunek punktowy i poroacutewnamy z prawem Coulomba W przypadku ładunku punktowego jako powierzchnię zam-kniętą dla ktoacuterej będziemy liczyli strumień natężenia pola elektryczne-

ROZDZIAŁ 10

Strona 170170170170

go warto wybrać sferę z ładunkiem punktowym w środku (rysu-nek 105) Woacutewczas wartość natężenia pola elektrycznego w każdym jej punkcie będzie taka sama (rozkład linii pola elektrycznego wytworzo-nego przez ładunek punktowy jest symetryczny) oraz w każdym punkcie wektor natężenia pola elektrycznego będzie roacutewnoległy do wektora normalnego do powierzchni Woacutewczas iloczyn skalarny może być zastą-piony iloczynem obu wielkości a całka ze strumienia wektora natężenia pola elektrycznego będzie roacutewna iloczynowi wartości natężenia pola elektrycznego oraz powierzchni sfery

0

24ε

πQ

rE = (1028)

a po przekształceniach otrzymujemy wynik zgodny z prawem Coulomba

204 r

QE

πε= (1029)

W kolejnych przykładach zastosujemy prawo Gaussa do wyznaczenia natężenia pola elektrycznego wytworzonego przez kulę o promieniu R naładowaną ładunkiem Q wykonaną w pierwszym przypadku z prze-wodnika (metalu) natomiast w drugim z izolatora (dielektryka)

Rysunek 105 Powierzchnie zamknięte używane przy obliczaniu

natężenia pola elektrycznego z prawa Gaussa

Naładowana kula metalowa

Ładunki w metalu mogą się swobodnie przemieszczać W sytuacji więc gdy metalową kulę naładujemy jednoimiennym ładunkiem ładunki będą się odpychały i tak się rozmieszczą na powierzchni ciała żeby być jak najdalej od siebie W efekcie cały ładunek Q rozłoży się roacutewnomiernie

ELEKTROSTATYKA

Strona 171171171171

na powierzchni takiej kuli W tym przypadku roacutewnież warto wybrać powierzchnię Gaussa jako sferę wspoacutełśrodkową z naładowaną kulą (rysunek 105)

Jeśli promień takiej sfery Gaussa jest mniejszy od promienia kuli nasza sfera nie obejmie żadnego ładunku (cały ładunek jest na powierzchni) i woacutewczas zgodnie z prawem Gaussa natężenie pola elektrycznego będzie zerowe

RrSE lt=sdotint dla 0drr

(1030)

Wewnątrz każdej metalowej powierzchni zamkniętej niezależnie od zgromadzonego czy wyindukowanego na niej ładunku natężenie pola elektrycznego będzie zerowe Taka zamknięta powierzchnia nazywana jest puszką Faradayrsquoa Przykładami puszki Faradayrsquoa jest karoseria samochodu czy kadłub samolotu W obu przypadkach chronią one znajdujące się wewnątrz osoby przed skutkami wyładowań atmosferycz-nych ndash w przypadku trafienia przez piorun cały ładunek spływa po powierzchni Podobną funkcję pełnią metalizowane powłoki torebek antystatycznych do przechowywania elementoacutew elektronicznych

Rysunek 104 Wykres natężenia pola elektrycznego pochodzącego

od naładowanej kuli metalowej i kuli z dielektryka w funkcji odległości od środka kuli

Jeśli promień sfery Gaussa r jest większy lub roacutewny promieniowi R kuli (r ge R) woacutewczas obejmuje ona cały ładunek Q ktoacuterym naładowana jest kula Wektor natężenia pola elektrycznego jest w każdym punkcie takiej sfery stały i prostopadły do powierzchni zatem (podobnie jak dla ładunku punktowego) prawo Gaussa przyjmie postać

ROZDZIAŁ 10

Strona 172172172172

RrQ

rE ge= dla 0

2

επ4 (1031)

Obliczone w ten sposoacuteb natężenie pola elektrycznego daje wynik iden-tyczny jak w przypadku ładunku punktowego znajdującego się w środku kuli Oznacza to że na zewnątrz naładowanej kuli można ją traktować jako ładunek punktowy znajdujący się w środku tej kuli (rysunek 104)

Naładowana kula dielektryczna

W dielektrykach ładunek nie może się swobodnie przemieszczać i zakła-damy że jest rozłożony jednorodnie w całej objętości kuli z gęstością objętościową ρ Wybierzmy teraz sferę Gaussa wewnątrz kuli Ładunek obejmowany przez sferę jest proporcjonalny do jej objętości Natężenie pola elektrycznego obliczone z prawa Gaussa wyniesie

Rr

rE

r

rElt

=

= dla

0

0

3

2

3

3

4

4

ε

ρ

ε

ρππ

(1032)

Natężenie pola elektrycznego jest więc proporcjonalne do promienia sfery Gaussa (rysunek 104) Kiedy promień sfery Gaussa zroacutewna się z promieniem kuli obejmie ona całkowity ładunek na niej zgromadzony Przy dalszym zwiększaniu promienia sfery Gaussa będzie wzrastać jej powierzchnia ale nie ładunek ndash zatem natężenie na zewnątrz kuli będzie zmniejszać się w funkcji odległości Podobnie jak w przypadku kuli metalowej natężenie jest odwrotnie proporcjonalne do kwadratu odleg-łości a postać wzoru jest identyczna jak w przypadku kiedy całkowity ładunek znajdowałby się w samym środku kuli

Naładowany pręt

Stosując prawo Gaussa w łatwy sposoacuteb możemy obliczyć roacutewnież natę-żenie pola pochodzące od długiego naładowanego pręta Zakładając że pręt ten jest nieskończenie długi (zaniedbujemy efekty występujące na jego końcach) jako powierzchnię Gaussa możemy zastosować cylinder wspoacutełśrodkowy z prętem (rysunek 105) Na powierzchni bocznej cylin-dra natężenie ma w każdym punkcie identyczną wartość i jest do niej prostopadłe Wektor natężenia pochodzący od pręta nie posiada skła-dowej roacutewnoległej do pręta ponieważ dla każdego wybranego punktu

ELEKTROSTATYKA

Strona 173173173173

wpływ ładunkoacutew znajdujących się na przeciwległych wobec wybranego punktu fragmentach pręta znosi się Strumień wektora natężenia pola elektrycznego wynosi zero dla podstaw takiego walca gdyż wektor natężenia jest roacutewnoległy do powierzchni podstaw Przyjmując gęstość liniową ładunku na pręcie (ładunek przypadający na jednostkę długości pręta) jako λ otrzymujemy

0

0

επ2

λ

ε

λπ2

rE

LrLE

=

=

(1033)

Naładowana płaszczyzna

Dla płaszczyzny powierzchnią Gaussa może być dowolny prostopadło-ścian lub walec przecinający ją prostopadle (rysunek 105) Na ścian-kach bocznych strumień natężenia jest roacutewny zeru (wektor natężenia jest do nich roacutewnoległy) przy obliczaniu strumienia wektora natężenia pola elektrycznego bierzemy zatem pod uwagę jedynie powierzchnie pod-staw Przyjmując gęstość powierzchniową σ ładunku zgromadzonego na naładowanej płycie otrzymujemy

0ε

σ2

SSE = (1034)

Po obliczeniu natężenia pola elektrycznego pochodzącego od nieskoń-czenie dużej płyty okazuje się że jest ono niezależne od odległości od płyty

02ε

σ=E (1035)

Obliczenia te są słuszne dla płyty nieskończenie dużej ale prawdziwe bę-dą roacutewnież z dobrym przybliżeniem dla wyznaczania natężenia pola elektrycznego roacutewnież w niewielkiej odległości od płyty skończonej (dla odległości znacznie mniejszej od rozmiaru płyty)

ROZDZIAŁ 10

Strona 174174174174

106 Pojemność elektryczna przewodnika

Wyobraźmy sobie układ złożony z dwoacutech ciał Z jednego z nich pobiera-my małą porcję ładunku i przenosimy na drugie ciało W ten sposoacuteb na-ładowaliśmy oba ciała ładunkiem o identycznej wartości ale przeciw-nym znaku Między takimi ciałami powstaje woacutewczas roacuteżnica potencja-łoacutew (napięcie) Dalsze ładowanie takiego układu czyli dalsze przemiesz-czanie ładunkoacutew między ciałami wymagać będzie wykonania pracy na pokonanie roacuteżnicy potencjałoacutew

Roacuteżnica potencjałoacutew powstała między naładowanymi ciałami jest pro-

porcjonalna do wartości ładunku Q∆V prop Dla roacuteżnych układoacutew wytworzenie identycznej roacuteżnicy potencjałoacutew wymaga jednak przenie-sienia roacuteżnej ilości ładunku elektrycznego

Stosunek ładunku Q do roacuteżnicy potencjałoacutew ∆V (napięcia U) ktoacuterą wytwarza ten ładunek będziemy nazywali pojemnością C układu a sam układ kondensatorem

U

Q

∆V

QC == (1036)

Jednostką pojemności jest jeden Farad 1F=1CV W praktyce rzadko spotyka się kondensatory o tak dużej pojemności Warto zauważyć że właściwie każdy obiekt posiada jakąś wartość pojemności Prostym przykładem może być kondensator składający się z naładowanej kuli i Ziemi Wykazaliśmy już że natężenie oraz potencjał pola elektryczne-go na powierzchni kuli o promieniu R naładowanej ładunkiem Q wynoszą

R

QV

R

QE

0

20

4

4

πε

πε

=

=

(1037)

Ponieważ przyjmuje się że potencjał Ziemi wynosi 0 więc w wyniku naładowania kuli między nią a ziemią powstaje roacuteżnica potencjału V

ELEKTROSTATYKA

Strona 175175175175

Dzieląc ładunek Q zgromadzony na kuli przez roacuteżnicę potencjału V otrzymujemy pojemność kuli o promieniu R

RQ

RQC 0

0 44

πεπε

== (1038)

Podstawiając jako R promień Ziemi RZ otrzymamy pojemność elektrycz-ną Ziemi - C asymp 710 microF Żeby wyznaczyć rzeczywistą pojemność elek-tryczną Ziemi należy rozważyć układ Ziemia- jonosfera Pojemność elektryczna takiego układu jest znacznie większa niż wynika z powyż-szego uproszczonego modelu i szacuje się że jest rzędu pojedynczych Faradoacutew

Kondensatory

Pracę wykonaną na rozdzielenie ładunkoacutew elektrycznych na okładkach kondensatora możemy wykorzystać w procesie rozładowania kondensa-tora ndash urządzenie takie możemy zatem wykorzystać do gromadzenia energii w postaci ładunku elektrycznego Rozroacuteżniamy wiele typoacutew kondensatoroacutew Pierwotnie popularnym rozwiązaniem gromadzenia ła-dunku były tzw butelki lejdejskie ndash szklane cylindryczne pojemniki w ktoacuterych okładkami były warstwy folii metalowej znajdujące się wew-nątrz i na zewnątrz cylindra Obecnie często spotyka się kondensatory elektrolityczne w ktoacuterych jedną z okładek stanowi elektrolit przewodzą-cy ładunek w postaci jonoacutew Kondensatory tego typu pozwalają na uzys-kiwanie wysokich pojemności elektrycznych W urządzeniach elektro-nicznych spotykamy roacutewnież kondensatory nastawne zbudowane z dwoacutech układoacutew metalowych blaszek rozdzielonych szczeliną powietrz-ną Układy te mogą się przesuwać względem siebie Wsuwając jedne blaszki między drugie zmieniamy efektywną powierzchnię oraz odleg-łość między elektrodami a i w efekcie możemy płynnie regulować po-jemność takiego kondensatora

Kondensator płaski

Idealny kondensator płaski składa się z dwoacutech nieskończenie dużych płyt (tzw okładek) o powierzchni S ustawionych roacutewnolegle do siebie w odległości d ktoacutere ładujemy ładunkiem Q tzn na jednej z płyt gromadzimy ładunek bdquo+Qrdquo a na drugiej bdquo-Qrdquo Natężenie pola elektrycz-nego wytworzonego przez taki płaski kondensator możemy obliczyć korzystając z prawa Gaussa Jeśli obejmiemy obie okładki kondensatora zamkniętą walcową powierzchnią Gaussa (podobnie jak w przykładzie

ROZDZIAŁ 10

Strona 176176176176

z naładowaną płaszczyzną rysunek 105) zauważamy że całkowity ła-dunek objęty przez tę powierzchnię Gaussa wynosi zero a więc na zew-nątrz kondensatora natężenie pola elektrycznego roacutewnież wynosi zero W rzeczywistości kondensator płaski nie jest nieskończenie wielki i dlatego roacutewnież na zewnątrz kondensatora przy obrzeżach okładek ist-nieje pewne małe pole elektryczne ale jego wartość jest wielokrotnie mniejsza od natężenia wewnątrz i w obliczeniach możemy je zaniedbać W praktyce jeżeli odległość d między okładkami jest znacznie mniejsza od rozmiaroacutew liniowych okładek (dltlta dltltb S=ab) to z dobrym przybliżeniem taki kondensator można traktować jako nieskończony

Natężenie pola elektrycznego między okładkami będzie sumą natężeń pochodzących od każdej z nieskończenie wielkich okładek naładowa-nych ładunkiem Q Korzystając z wyznaczonej zależności 1031 oraz uwzględniając gęstość powierzchniową ładunku σ = QS otrzymujemy natężenie pola elektrycznego między okładkami kondensatora

S

QE

0000 εε

σ

ε2

σ

ε2

σ==+= (1039)

Następnie wstawiając powyższe natężenie pola elektrycznego do zależ-ności 1020 obliczymy roacuteżnicę potencjałoacutew między okładkami

S

dQx

S

QxE∆V

d

0

d

0 00 εε=== intint dd (1040)

Pojemność C kondensatora płaskiego o powierzchni okładek S oraz od-ległości między okładkami d wynosić więc będzie

d

SC 0ε= (1041)

Pojemność kondensatora płaskiego jest tym większa im większa jest jego powierzchnia okładek S oraz im mniejsza jest odległość d między nimi

W tak zwanych super-kondensatorach wykorzystywanych w napędzie pojazdoacutew hybrydowych i elektrycznych odległość pomiędzy obszarami naładowanymi ładunkiem dodatnim i ujemnym jest bardzo mała ndash rzędu promienia jonoacutew ktoacutere są nośnikami ładunku Pozwala to na uzyskiwa-nie bardzo wysokich wartości pojemności elektrycznej co jest niezbędne do zmagazynowania energii odzyskiwanej w trakcie hamowania pojazdu

ELEKTROSTATYKA

Strona 177177177177

Łączenie kondensatoroacutew

Kondensator możemy naładować jedynie do określonego napięcia pomiędzy okładkami nazywanego napięciem przebicia Dla wyższych wartości napięcia następuje lawinowy przepływ ładunku pomiędzy okładkami ktoacutery może prowadzić do uszkodzenia kondensatora Zwięk-szenie napięcia przebicia możemy uzyskać łącząc kondensatory szere-gowo ndash układ taki nazywamy roacutewnież dzielnikiem napięcia

Chcąc zwiększyć pojemność układu kondensatory łączymy roacutewnolegle ndash przy identycznej wartości napięcia możemy zgromadzić w takim układzie większy ładunek niż na pojedynczym kondensatorze

Połączenie szeregowe

Jeżeli połączymy dwa kondensatory szeregowo to na okładkach obu kondensatoroacutew zgromadzony będzie ten sam ładunek Q przy czym okładka naładowana znakiem bdquo+rdquo jednego kondensatora jest połączona z okładką naładowaną znakiem bdquo-rdquo drugiego z nich Całkowita roacuteżnica potencjałoacutew występująca pomiędzy zaciskami układu jest sumą napięć na obu kondensatorach Pojemność kondensatora zastępczego (konden-satora dla ktoacuterego przy danym ładunku na zaciskach wytworzyłaby się identyczna roacuteżnica potencjałoacutew jak na zaciskach całego układu) dla szeregowego połączenia kondensatoroacutew wyraża się wzorem

sum=i iZ CC

11 (1042)

Jeśli połączymy ze sobą szeregowo dwa kondensatory o pojemności C=2mF każdy to pojemność zastępcza układu obliczona ze wzoru 1038 wyniesie CZ=1mF ndash jest zatem mniejsza niż pojemność każdego z kondensatoroacutew

Połączenie roacutewnoległe

Łącząc kondensatory roacutewnolegle ustalamy identyczną wartość roacuteżnicy potencjałoacutew między okładkami Ponieważ na każdym z kondensatoroacutew możemy przy danym napięciu zgromadzić inny ładunek całkowity ładunek zgromadzony w takim połączeniu będzie sumą ładunkoacutew na okładkach każdego z kondensatoroacutew Pojemność zastępcza układu roacutewnolegle połączonych kondensatoroacutew jest sumą pojemności tych kondensatoroacutew

ROZDZIAŁ 10

Strona 178178178178

sum=i

iZ CC (1043)

Roacutewnoległe połączenie kondensatoroacutew można wyobrazić sobie roacutewnież jako zwiększenie powierzchni okładek pojedynczego kondensatora ndash zatem przy identycznym napięciu można na nim zgromadzić więcej ładunku

Energia naładowanego kondensatora

Definiując roacuteżnicę potencjałoacutew (napięcie) we wcześniejszej części tego rozdziału powiedzieliśmy że roacuteżnica potencjałoacutew ∆V wyraża pracę W jaką należy wykonać żeby przemieścić ładunek Q w polu elektrycznym

U∆VQ

W== (1044)

W procesie ładowania kondensatora roacuteżnica potencjałoacutew między okład-kami zmienia wraz z wartością zgromadzonego ładunku Dlatego obli-czając całkowitą pracę naładowania kondensatora WC o pojemności C ładunkiem Q musimy zastosować procedurę całkowania

2

QU

2

CU

C2

QE

C2

Qqq

C

1q

C

qqUW

22

C

2Q

0

Q

0

Q

0

===

==== intintint dddC

(1045)

Energia takiego naładowanego kondensatora EC czyli energia zgroma-dzona w postaci pola elektrycznego wytworzonego między okładkami tego kondensatora jest roacutewna pracy WC naładowania tego kondensatora Możemy roacutewnież obliczyć gęstość energii na jednostkę objętości

2

ε

2

ε

200

2

2

222

el E

Sd

dES

Sd

1CU

V

Wρ ==== (1046)

Gęstość energii pola elektrycznego dla kondensatora płaskiego zależy od kwadratu natężenia pola elektrycznego wytworzonego między jego okładkami Można wykazać że taką samą zależność gęstości energii od kwadratu natężenia pola elektrycznego otrzymamy nie tylko dla konden-

ELEKTROSTATYKA

Strona 179179179179

satora płaskiego i że jest to zależność prawdziwa dla dowolnego rozkła-du pola elektrycznego

107 Dielektryki

Jeśli okładki kondensatora płaskiego naładujemy ładunkiem Q ustali się

między nimi roacuteżnica potencjałoacutew CQU∆V =equiv Jeśli pomiędzy okładki wsuniemy płaską ściśle przylegającą do nich płytkę z nieprze-wodzącego materiału (dielektryka) zauważymy że roacuteżnica potencjałoacutew zmniejszy się mimo że ładunek pozostał identyczny a więc po włożeniu płytki pojemność kondensatora wzrosła

Polaryzacja dielektryczna

Wyjaśnienie obserwowanego efektu wiąże się z właściwościami elek-trycznymi materiału jaki umieszczamy między okładkami Dielektryki są materiałami nieprzewodzącymi czyli w przeciwieństwie do metali ładunek nie może się swobodnie przemieszczać w całej objętości Może natomiast dochodzić do zjawisk polaryzacji ndash rozsunięcia się ładunkoacutew dodatnich i ujemnych i wytworzenia dipoli elektrycznych gdyż na ła-dunki dodatnie działa siła zgodna a na ujemne przeciwnie skierowana niż pole elektryczne W efekcie dipole takie ułożone są zgodnie z kie-runkiem pola elektrycznego w ktoacuterym się znajdują i wytwarzają własne pole elektryczne ndash jego kierunek jest przeciwny do kierunku zewnętrzne-go pola elektrycznego Wypadkowe natężenie pola elektrycznego mię-dzy okładkami kondensatora po włożeniu dielektryka będzie więc mniej-sze niż dla kondensatora proacuteżniowego Ponieważ roacuteżnica potencjałoacutew czyli napięcie między okładkami kondensatora jest proporcjonalna do natężenia pola wewnątrz kondensatora w takim przypadku otrzymujemy mniejsze napięcie na kondensatorze i w efekcie większą pojemność przy ładowaniu kondensatora tym samym ładunkiem

Efekty polaryzacyjne opisane powyżej jakim podlegają ładunki w die-lektryku są jego charakterystyczną cechą materiałową Względna przeni-kalność elektryczna ε określa ile razy w poroacutewnaniu z proacuteżnią zmniej-szy się natężenie pola elektrycznego w dielektryku Dla proacuteżni wartość względnej przenikalności dielektrycznej roacutewna jest jedności ε=1 Jeśli

ROZDZIAŁ 10

Strona 180180180180

między okładkami kondensatora umieścimy płytkę z dielektryka o względnej przenikalności roacutewnej ε to jego pojemność wzrośnie ε razy

Efektywną wartość pola elektrycznego w dielektryku opisuje wektor

indukcji pola elektrycznego EεDrr

0ε= Efekty polaryzacyjne zacho-

dzącego w dielektryku na skutek zewnętrznego pola elektrycznego Er

opisuje wektor polaryzacji Pr

Indukcja pola elektrycznego Dr

czyli wypadkowe pole elektryczne jest złożeniem wpływu pola zewnętrznego

Er

oraz polaryzacji Pr

co zapisujemy

PEEεDrrrr

+== 00 εε (1047)

Z powyższej zależności wynika że polaryzacja P jest zależna od zew-nętrznego pola elektrycznego E a wspoacutełczynnik proporcjonalności nazywamy podatnością elektryczną χ

EχE1)(εE)ε(Prrrr

0000 εεεε =minus=minus= (1048)

Uwzględniając właściwości dielektryczne materii prawo Gaussa w uogoacutelnionej postaci dla dielektrykoacutew możemy przedstawić w postaci

qSdD =sdotintrr

(1049)

Możemy w tym miejscu wprowadzić rozroacuteżnienie pomiędzy ładunkiem swobodnym q (ładunkiem ktoacutery może swobodnie się przemieszczać) a ładunkiem związanym qpol ndash powstającym w wyniku polaryzacji na powierzchni dielektryka Dzieląc obie strony roacutewnania 1045 przez powierzchnię możemy powiązać wektor indukcji D z powierzchniową gęstością ładunku swobodnego q zgromadzonego na okładkach konden-

satora wypełnionego dielektrykiem σD = Analogicznie wartość wektora polaryzacji P jest miarą gęstości ładunku związanego

polσP =

Dipol elektryczny charakteryzuje elektryczny moment dipolowy p Jest to wielkość wektorowa wyrażona przez iloczyn ładunku dipola q

i wektora odległości lr

od ładunku ujemnego do dodatniego

lrr

qp = (1050)

Na dipol znajdujący się w jednorodnym polu elektrycznym o natężeniu E działać będzie moment sił obracający dipol tak aby ustawił się zgodnie

ELEKTROSTATYKA

Strona 181181181181

z kierunkiem zewnętrznego pola elektrycznego Moment ten wyrażamy przez iloczyn wektorowy momentu dipolowego i wektora natężenia pola elektrycznego

EpMrrr

times= (1051)

Rysunek 106 Moment sił działających na dipol w zewnętrznym polu

elektrycznym

Podobnie jak wartość wektora polaryzacji P zależy od natężenia pola elektrycznego E w ktoacuterym znajduje się dielektryk roacutewnież elektryczny moment dipolowy charakteryzujący pojedynczy dipol jest wprost pro-porcjonalny do natężenia pola elektrycznego E

Eprr

α= (1052)

Wspoacutełczynnik α w powyższym wzorze jest nazywany polaryzowalnością dipola Dipol elektryczny roacutewnież jest źroacutedłem pola elektrycznego W materiałach dielektrycznych takie pole pochodzące od sąsiadujących dipoli tzw pole lokalne jest silniejsze niż pole zewnętrzne Całkowite lokalne natężenie pola jakiemu podlegać będzie dielektryk uwzględniać więc musi zaroacutewno zewnętrzne pole E jak i pole pochodzące od otocze-nia danego atomu

03ε

PEE L

rrr

+= (1053)

ROZDZIAŁ 10

Strona 182182182182

Ponieważ wektor polaryzacji jest sumą momentoacutew dipolowych pocho-dzących od wszystkich N dipoli znajdujących się w jednostce objętości materiału polaryzację całkowitą możemy zapisać

LENpNPrrr

α== (1054)

Przekształcając powyższą zależność otrzymujemy prawo Clausiusa ndash Mosottiego ktoacutere określa związek między polaryzowalnością α a względną przenikalnością elektryczną ośrodka ε

03ε2ε

1ε αN=

+

minus (1055)

Wymnażając obie strony przez objętość molową dielektryka Vm oraz

uwzględniając ρmicro=mV otrzymujemy zależność polaryzowalnością α (wielkością mikroskopową) a parametrami mierzalnymi makroskopowy-mi takimi jak gęstość materiału ρ czy masa molowa micro

micro0

A

3ε

N

2ε

1ε α=

+

minus

ρ

1 (1056)

gdzie NA oznacza stałą Avogadra

Rodzaje dielektrykoacutew

Dielektryki możemy podzielić na dwie zasadnicze grupy

1 dielektryki polarne w ktoacuterych istnieją stałe dipole elektryczne

2 dielektryki niepolarne (indukowane) w ktoacuterych dipole powstają jedynie przy włączonym zewnętrznym polu elektrycznym

Przykładem dielektryka polarnego jest woda Cząsteczki wody zbudo-wane są tak że na atomach wodoru występuje niedoboacuter elektronoacutew a na atomach tlenu nadmiar elektronoacutew Ponieważ oba atomy wodoru geome-trycznie znajdują się po tej samej stronie atomu tlenu ładunek dodatni związany z atomami wodoru nie pokrywa się z ładunkiem ujemnym związanym z atomami tlenu tworząc trwały dipol elektryczny

W dielektrykach niepolarnych polaryzacja zachodzi pod wpływem zew-nętrznego pola elektrycznego Powoduje ono przemieszczenie się ładun-koacutew roacuteżnoimiennych względem siebie pod wpływem zewnętrznego pola

ELEKTROSTATYKA

Strona 183183183183

elektrycznego na skutek czego indukują się dipole elektryczne Można wyroacuteżnić trzy typy takiej polaryzacji

bull polaryzacja elektronowa dipol elektryczny powstaje w wy-niku zniekształcenia chmury elektronowej wokoacuteł jądra ndash na elektrony znajdujące się na orbicie wokoacuteł jądra oddziałuje zewnętrzne pole siłą o przeciwnym zwrocie niż na dodatnie jądro atomowe

bull polaryzacja jonowa występuje w substancjach o wiązaniu jonowym (np NaCl) ktoacutere zbudowane są z dwu rodzajoacutew jonoacutew Dochodzi do wzajemnego przesunięcia podsieci kationowej (Na+) i anionowej (Cl )

bull polaryzacja ładunkiem przestrzennym nośniki ładunku ndashna-ładowane elektrycznie atomy (jony) gromadzą się na niejed-norodnościach ośrodka np na granicach obszaroacutew o roacuteżnej wartości przenikalności dielektrycznej

Ferroelektryki

Ferroelektryki są ciekawą grupą materiałoacutew w ktoacuterych lokalne oddziały-wania między dipolami są na tyle silne że tworzą uporządkowane struk-tury Oddziaływania sąsiadoacutew danego dipola ustawiają dipol zgodnie z tymi sąsiadami Ustawienie przeciwne jest niekorzystne energetycznie Dochodzi w efekcie do powstanie dużych obszaroacutew w ktoacuterych wszyst-kie dipole są ustawione w jednakowym kierunku zwanych domenami Dipole znajdujące się wewnątrz domen osiągają minimum energii Przykładem ferroelektryka jest tytanian baru BaTiO3

Można by sądzić że najkorzystniejszym ustawieniem dipoli będzie wo-bec tego jedna wielka domena obejmująca całą objętość ferroelektryka Taka domena wytwarzałaby jednak silne pole elektryczne na zewnątrz materiału co roacutewnież byłoby niekorzystne energetycznie W praktyce dochodzi do podziału materiału na wiele domen o roacuteżnych kierunkach zorientowania dipoli W strefie dzielącej domeny zwrot dipoli ulega stopniowej zmianie od jednej orientacji do drugiej ndash obszar taki nazywa-my ścianką domenową

Załoacuteżmy że ferroelektryk znajduje się w stanie w ktoacuterym elektryczne momenty dipolowe domen ułożone są w przypadkowy sposoacuteb Jeśli taki fragment ferroelektryka umieścimy w zewnętrznym polu elektrycznym pole to będzie oddziaływało na dipole powodując ich obracanie Prowa-dzi to do uporządkowania struktury domenowej Porządkowanie domen powoduje szybki wzrost wartości polaryzacji elektrycznej P w funkcji

ROZDZIAŁ 10

Strona 184184184184

natężenia pola zewnętrznego E Dla ferroelektrykoacutew względna przeni-kalność dielektryczna osiąga wartości rzędu tysięcy Wykres polaryzacji elektrycznej w funkcji natężenia pola elektrycznego (rysunek 106) nazywany roacutewnież pierwotną krzywą polaryzacji nie jest jednak liniowy ndash jeśli wszystkie dipole ustawią się zgodnie z liniami sił pola dalszy wzrost wartości natężenia pola zewnętrznego nie zmieni już ich uporząd-kowania Dalszy wzrost natężenia prowadzi jedynie do wzrostu wartości wektora indukcji a wektor polaryzacji pozostaje już stały Stan w ktoacuterym wszystkie dipole są ustawione roacutewnolegle do linii pola zew-nętrznego nazywamy stanem nasycenia

Rysunek 107 Wykres zależności polaryzacji od natężenia

zewnętrznego pola dla ferroelektryka

Przy zmniejszaniu natężenia wykres polaryzacji nie przebiega wzdłuż krzywej polaryzacji pierwotnej Uprzednio spolaryzowany ferroelektryk zachowuje częściowo polaryzację nawet po wyłączeniu pola zewnętrzne-go co określamy jako remanencję (jest to punkt przecięcia krzywej z osią pionową) Aby zmniejszyć polaryzację materiału do zera należy przyłożyć pole zewnętrzne skierowane przeciwnie do pola ktoacuterym spo-laryzowano ferroelektryk Wartość natężenia pola niezbędną do depola-ryzacji materiału nazywamy polem koercji Na wykresie polaryzacji wartość ta odpowiada przecięciu z osią poziomą Jeśli wartość natężenie pola elektrycznego będzie większa niż wartość pola koercji materiał spolaryzuje się w przeciwnym kierunku Nastąpi ponowne utworzenie struktury domenowej z dipolami o przeciwnym zwrocie

ELEKTROSTATYKA

Strona 185185185185

W wyniku cyklicznych zmian kierunku pola zewnętrznego otrzymujemy wykres pewnej krzywej zamkniętej zwanej pętlą histerezy Pole takiej pętli histerezy odpowiada energii ktoacuterą należy zużyć na spolaryzowanie ferroelektryka w jednym cyklu W zależności od właściwości ferroelek-tryka i maksymalnych wartości przyłożonego pola zewnętrznego pętla histerezy może przybierać roacuteżny kształt Materiały o wąskiej pętli histe-rezy łatwo jest spolaryzować Materiały takie mogą być stosowane w pa-mięciach ferroelektrycznych (FRAM) Pamięci tego typu są znacząco szybsze niż ich odpowiedniki typu EEPROM zużywają roacutewnież znaczą-co mniej energii elektrycznej Pamięci tego typu są stosowane min w konsolach do gier Polaryzacja materiałoacutew o szerokiej pętli histerezy wymaga dużych wartości natężenia pola Zapisanie informacji wymaga dłuższego czasu i zużycia większej ilości energii Informacja jest jednak zapisana w bardziej trwały sposoacuteb Pamięci tego typu są stosowane np w technice wojskowej a często roacutewnież motoryzacyjnej

Właściwości ferroelektryczne zależą w znaczący sposoacuteb od temperatury w ktoacuterej znajduje się materiał Rozszerzanie się ciał powoduje że odleg-łości między dipolami zwiększają się Ponieważ pole elektryczne wytwarzane przez dipol zależy od odległości w potędze 3 nawet nie-wielka jej zmiana ma duży wpływ na siły wzajemnego oddziaływania di-poli Drgania termiczne prowadzą roacutewnież do zmiany ustawienia po-szczegoacutelnych dipoli zmniejszając zatem uporządkowanie wewnątrz do-meny Z tego względu powyżej pewnej temperatury zwanej temperaturą Curie Tc następuje stopniowy zanik uporządkowania a materiał z ferro-elektryka przechodzi w paraelektryk Powyżej temperatury Curie zależ-ność temperaturowa podatności elektrycznej χ ferroelektrykoacutew wyrażona jest przez prawo Curie ndash Weissa

C

C

T

C

minus=

Tχ (1057)

W prawie Curie-Weissa stała Curie CC jest charakterystyczną cechą danego ferroelektryka

Piezoelektryki

W pewnej grupie materiałoacutew określanych jako piezoelektryki obserwu-je się zjawisko powstawania ładunku elektrycznego na ich powierzchni pod wpływem siły przyłożonej wzdłuż określonego kierunku krystalo-graficznego Oproacutecz takiego tzw efektu piezoelektrycznego prostego obserwuje się roacutewnież zjawisko odwrotne w ktoacuterym pod wpływem przyłożonego napięcia kryształ zmienia swoje wymiary

ROZDZIAŁ 10

Strona 186186186186

Wszystkie ferroelektryki są roacutewnież piezoelektrykami- ale nie wszystkie piezoelektryki są ferroelektrykami Zjawisko piezoelektryczne może roacutewnież występować w materiałach w ktoacuterych strukturze krystalicznej występują naprzemiennie atomy obdarzone ładunkiem dodatnim (katio-ny) i ujemnym (aniony) Taki kryształ nie poddany działaniu ciśnienia jest obojętny elektrycznie zaroacutewno w skali makroskopowej jak i lokalnie a jony znajdują się w położeniach roacutewnowagi określonych przez kształt pola sił ich wzajemnych oddziaływań Kiedy do powierzchni kryształu przyłożymy ciśnienie wzajemne położenie ładunkoacutew zmienia się pow-stają dipole elektryczne ktoacutere wytwarzają pole elektryczne tak że na przeciwległych powierzchniach kryształu wyznaczonych przez kierunek ściskania indukują się ładunki Ładunek ten jest wprost proporcjonalny do wytworzonego ciśnienia

W zjawisku piezoelektrycznym odwrotnym przyłożone napięcie wytwa-rza pole elektryczne ktoacutere wywołuje rozsunięcie ładunkoacutew dodatnich i ujemnych a więc kationoacutew i anionoacutew w strukturze tego kryształu po-wodując zmianę długości tego materiału w tym kierunku

Typowym piezoelektrykiem jest kwarc czyli tlenek krzemu tytanian ołowiu wspomniany już przy okazji ferroelektryczności tytanian baru czy niektoacutere tworzywa sztuczne (polimery) Piezoelektryki są stosowane wszędzie tam gdzie zachodzi potrzeba przetworzenia sygnału elektrycz-nego na mechaniczny Zakres wydłużenia piezoelektryka jest niewielki ale można nim bardzo precyzyjnie sterować Piezoelektryki można za-tem wykorzystywać w układach dokładnego pozycjonowania lub prze-twornikach drgań Czujniki piezoelektryczne można stosować w pomia-rach dynamicznych naprężeń i odkształceń Zaletą piezoelektrykoacutew jest duża szybkość reakcji piezoelektryka na sygnał elektryczny Elementy piezoelektryczne wykorzystywane są w głowicach ultradźwiękowych i defektoskopach echosondach oraz aparatach USG W motoryzacji zawory piezoelektryczne stosuje się w układach wtrysku paliwa

11 Prąd elektryczny

W tym rozdziale

o Natężenie prądu elektrycznego o Prawo Ohma mikroskopowe prawo Ohma o Oporniki łączenie opornikoacutew o Praca i moc prądu elektrycznego o Obwody elektryczne prawa Kirchhoffa

ROZDZIAŁ 11

Strona 188188188188

111 Natężenie prądu elektrycznego

Prąd elektryczny jest uporządkowanym ruchem ładunkoacutew elektrycznych Może być wywołany i obserwowany w tych materiałach w ktoacuterych istnieją swobodne cząstki obdarzone ładunkiem elektrycznym tzw nośniki ładunku W metalach nośnikami są swobodne elektrony walen-cyjne tworzące tzw gaz elektronoacutew swobodnych W poacutełprzewodnikach takimi nośnikami ładunku są zaroacutewno elektrony jak i dziury (posiadające ładunek dodatni) W materiałach ciekłych roztworach kwasoacutew zasad lub soli nazywanych elektrolitami a także niektoacuterych materiałach sta-łych (bdquoprzewodniki superjonowerdquo) ruchliwymi nośnikami ładunku są jo-ny zaroacutewno dodatnie jak i ujemne

Przyłożenie do takiego przewodnika napięcia (roacuteżnicy potencjałoacutew) po-woduje powstanie pola elektrycznego ktoacutere będzie oddziaływać na nośniki ładunku wywołując ich uporządkowany ruch nazywamy prądem elektrycznym Należy zaznaczyć że w przypadku elektronoacutew ten upo-rządkowany ruch jest nałożony na o wiele szybszy chaotyczny ruch cieplny nośnikoacutew Prędkość termiczna elektronoacutew pomiędzy zderzenia-mi jest bardzo duża rzędu 106ms Przemieszczenie elektronoacutew pod wpływem przyłożonego pola czyli tak zwana prędkość dryfu jest nato-miast niewielka i wynosi około vd~10-4ms

Ilościowo prąd charakteryzujemy za pomocą natężenia prądu

Natężenie prądu I jest to ilość ładunku Q przepływającego przez dowolny przekroacutej przewodnika w ciągu jednostki czasu t Dla prądu stałego natężenie prądu I jest wyrażone stosunkiem ładunku ktoacutery przepłynął do czasu przepływu

t

QI = (111)

Jednostką natężenia prądu jest jeden amper 1A=1Cs Dla prądu zmien-nego chwilowa wartość natężenia prądu definiowana jest jako pochodna ładunku po czasie

PRĄD ELEKTRYCZNY

Strona 189189189189

( ) ( )t

tQtI

d

d= (112)

Kierunek przepływu prądu jest zgodny z kierunkiem ruchu ładunku do-datniego Zatem w przypadku przepływu elektronoacutew i jonoacutew ujemnych umowny kierunek prądu jest odwrotny niż kierunek poruszania się tych nośnikoacutew ładunku

Istnieją przypadki gdy prąd nie jest roacutewnomiernie rozłożony na przekro-ju przewodnika Wtedy możemy wprowadzić wektor gęstości prądu

jr

taki że

)dcos(ddd SjSjSjIrrrr

=sdot= (113)

Wektor gęstości prądu jr

jest w tym przypadku funkcją wspoacutełrzędnych a dS jest elementem powierzchni przekroju przewodnika W szczegoacutel-nym przypadku roacutewnomiernego rozkładu gęstości prądu

perp

==S

I

αS

Ij

cos

r

(114)

gdzie α oznacza kąt pomiędzy kierunkiem przepływu prądu a wybraną

płaszczyzną zaś perpS - polem powierzchni prostopadłej do kierunku przepływu prądu

112 Prawo Ohma

Stwierdziliśmy że przyczyną powstania prądu w przewodniku jest przy-łożenie napięcia do końcoacutew przewodnika Jak pokazują doświadczenia dla dużej grupy przewodnikoacutew (metale stopy metali związki intermeta-liczne jednorodne poacutełprzewodniki) natężenie prądu jest wprost propor-cjonalne do napięcia co określamy jako prawo Ohma

Stosunek napięcia na końcach przewodnika do natężenia prądu wywołanego tym napięciem jest wielkością stałą i charakte-rystyczną dla danego przewodnika Wielkość ta zależy zaroacutewno od kształtu przewodnika jak i materiału z ktoacuterego jest wyko-nany i nazywana jest oporem elektrycznym lub rezystancją

ROZDZIAŁ 11

Strona 190190190190

const== RI

U (115)

Jednostką oporu elektrycznego jest om (Ohm) 1Ω=1VA i jest rezystan-cją takiego przewodnika dla ktoacuterego napięcie 1V przyłożone do jego końcoacutew wywołuje powstanie prądu o natężeniu 1A Rezystancja R zale-ży od kształtu przewodnika jest wprost proporcjonalna do jego długości l i odwrotnie proporcjonalne do pola przekroju S

S

ρRl

= (116)

Wspoacutełczynnik proporcjonalności zapisany grecką literą ρ (bdquorordquo) oznacza oporność właściwą ktoacutera jest cechą charakterystyczną materiału z ktoacutere-go zbudowany jest przewodnik Odwrotność rezystancji nazywamy prze-

wodnością elektryczną i oznaczamy symbolem σ (bdquosigmardquo) ρ

σ1

=

Wartości oporności właściwej dla metali sięga od 10-5 do 10-7Ωm oraz powyżej 1015Ωm dla izolatoroacutew Poacutełprzewodniki charakteryzują się pośrednimi wartościami oporności właściwej

Opoacuter elektryczny i oporność właściwa metali w dość szerokim zakresie temperatur wzrasta liniowo z temperaturą

)(1 tαRR 0 += (117)

gdzie α jest temperaturowym wspoacutełczynnikiem oporu zaś t jest tempera-turą wyrażoną w skali Celsjusza Powyższa zależność opisuje własność metali na tyle precyzyjnie że stała się ona podstawą budowy czujnikoacutew termometrycznych Przykładem są platynowe czujniki temperatury typu Pt100 i Pt1000 stosowane roacutewnież w motoryzacji Mierząc prąd płynący przez czujnik jesteśmy w stanie z dużą dokładnością określić jego temperaturę

Mikroskopowe prawo Ohma

Jak dotąd sformułowaliśmy prawo Ohma dotyczące makroskopowego przewodnika w ktoacuterym płynie prąd Połączmy prawo Ohma (roacutewna-nie 115) z zależnością oporu elektrycznego od kształtu przewodnika (roacutewnanie 116) i przekształćmy odpowiednio

PRĄD ELEKTRYCZNY

Strona 191191191191

l

σU

S

I= (118)

co następnie możemy zapisać wektorowo jako tzw mikroskopowe pra-wo Ohma ktoacutere jest roacutewnaniem dotyczącym dowolnie wybranego punk-tu ośrodka przewodzącego

Ejrr

σ= (119)

Jeśli w wybranym punkcie ośrodka przewodzącego natężenie pola elektrycznego ma wartość E to w otoczeniu tego punktu wektor gęstości prądu ma wartość wprost proporcjonalną do wektora natężenia pola ze wspoacutełczynnikiem proporcjonalności roacutewnym przewodności elektrycznej materiału

Rozważmy teraz mikroskopowy sens wektora gęstości prądu wynikający z uproszczonej definicji tego pojęcia (podobnie definiuje się w fizyce strumień ciepła czy masy)

∆S∆t

∆Q

∆S

∆Ij == (1110)

Wektor gęstości prądu oznacza strumień ładunku elektrycznego tzn ilość ładunku ∆Q ktoacutera przechodzi przez jednostkę powierzchni prostopadłej ∆S na jednostkę czasu ∆t Jeżeli w jednostce objętości materiału przewodnika metalicznego znajduje się n swobodnych elektro-noacutew to koncentracja elektronoacutew (ogoacutelnie nośnikoacutew ładunku) wynosi n Jeśli wszystkie nośniki poruszają się ruchem uporządkowanym z pręd-kością unoszenia (prędkością dryfu) vd wzdłuż kierunku wyznaczonego przez pole elektryczne to strumień nośnikoacutew ładunku jest roacutewny nvd a odpowiadający mu strumień ładunku elektrycznego przenoszonego przez elektrony (-e) wynosi

dnej vminus= (1111)

W ogoacutelnym przypadku nośnikoacutew o ładunku q strumień ładunku elek-trycznego i gęstość prądu wynosi

dnqj v= (1112)

Jeżeli poroacutewnamy powyższy wzoacuter 1112 z mikroskopowym prawem

Ohma ( Eσj = ) okazuje się że ktoacuteraś z wielkości n q lub vd musi być proporcjonalna do natężenia pola elektrycznego E Ponieważ ani

ROZDZIAŁ 11

Strona 192192192192

koncentracja nośnikoacutew n ani ładunek nośnika q nie jest proporcjonalna do natężenia pola elektrycznego E więc to prędkość vd unoszenia (dryfu) wywoływana przez pole elektryczne jest proporcjonalna do natężenia pola elektrycznego E

Ed micro=v (1113)

gdzie wspoacutełczynnik proporcjonalności micro nazywany jest ruchliwością nośnikoacutew ktoacutera jest cechą charakterystyczną materiału przewodnika Wstawiając roacutewnanie 1113 do 1112 otrzymujemy

Enqj micro= (1114)

a poroacutewnując powyższą zależność z mikroskopowym prawem Ohma (wzoacuter 119) otrzymujemy że przewodność materiału σ zależy od kon-centracji nośnikoacutew n ich ładunku q oraz ruchliwości micro

micronqσ = (1115)

Model klasyczny Drudego-Lorentza przewodnictwa elektrycznego metali

Podstawowym modelem przewodnictwa elektrycznego w metalach jest tzw model klasyczny Drudego-Lorentza Model ten traktuje elektrony jako cząsteczki gazu idealnego Ruch elektronoacutew może być zobrazowa-ny mechanicznym modelem kulki staczającej się po pochylonej tablicy z roacutewnomiernie przymocowanymi kołkami Kulka staczając się po roacutewni zderza się z kołkami i przy każdym takim zderzeniu zmienia się zaroacutewno kierunek jak i wartości jej pędu Jeśli policzylibyśmy średnią prędkość tej kulki wzdłuż krawędzi tablicy to okazałoby się że jest ona stała (zderzenia kompensują stałą siłę grawitacji) i wielokrotnie niższa niż prędkości jakie posiada kulka pomiędzy zderzeniami Podobnie elektro-ny swobodne w metalu tworzące tzw gaz elektronowy zderzają się z do-datnimi rdzeniami atomowymi tracąc część energii jaką otrzymały w po-lu elektrycznym zmieniając za każdym razem zaroacutewno wartość jak i kierunek pędu W efekcie prędkość dryfu jest stała i wielokrotnie mniejsza niż chwilowe prędkości między zderzeniami Średnia wartość tej prędkości może być wyznaczona jako frac12 prędkości uzyskanej w wy-niku przyspieszania elektronoacutew przez zewnętrzne pole elektryczne

( meEmFa == ) w czasie τ

PRĄD ELEKTRYCZNY

Strona 193193193193

mEead 22 τ== τv (1116)

gdzie τ jest średnim czasem między zderzeniami i zależy od średniej

drogi swobodnej λ oraz średniej prędkości termicznej Tv elektronoacutew (

T vλτ = ) Ruchliwość elektronoacutew roacutewna stosunkowi prędkości dry-

fu do natężenia pola elektrycznego wywołującego unoszenie w modelu Drudego-Lorentza można więc zapisać

T

d

m

e

E v

v

2

λmicro == (1117)

Ponieważ prędkość termiczna elektronoacutew jest proporcjonalna do pier-wiastka z temperatury więc przewodność (zależność 1115) w modelu Drudego-Lorentza jest odwrotnie proporcjonalna do pierwiastka

z temperatury T1propσ podczas gdy z wynikoacutew eksperymentoacutew

wynika T1propσ Model zjawiska oporu elektrycznego odtwarzający prawidłowo zależność temperaturową przewodności udało się stworzyć dopiero posługując się regułami mechaniki kwantowej W kwantowym modelu Blocha rozważa się rozpraszanie elektronoacutew na niedoskonałoś-ciach sieci krystalicznej np na atomach domieszki lub defektach struk-tury Drugim ważnym czynnikiem wpływającym na ruch elektronoacutew są drgania termiczne sieci krystalicznej Rozpraszanie elektronoacutew na drga-niach sieci zależy od temperatury ndash im wyższa jest temperatura tym większa jest amplituda drgań atomoacutew i tym większy opoacuter elektryczny

Oporniki Łączenie oporoacutew

Elementy oporowe (oporniki) o znanej wartości oporu elektrycznego w obwodach elektrycznych oznaczamy za pomocą dwoacutech rodzajoacutew sym-boli ndash linią łamaną (standard amerykański) lub prostokątem (standard europejski)

Łącząc oporniki szeregowo zwiększamy całkowity opoacuter gałęzi obwodu Jest to zrozumiałe biorąc pod uwagę że połączenie takie odpowiada zwiększeniu całkowitej długości przewodnika przez ktoacutery przepływają ładunki elektryczne W przypadku szeregowego połączenia opornikoacutew opoacuter całkowity gałęzi jest sumą wartości oporoacutew

sum=i

iC RR (1118)

ROZDZIAŁ 11

Strona 194194194194

Powyższa zależność wynika z faktu że całkowity spadek napięcia (roacuteżnica potencjałoacutew) jest sumą spadkoacutew napięć na poszczegoacutelnych opornikach Ponieważ przez każdy z szeregowo połączonych opornikoacutew płynie ten sam prąd wiec zgodnie z prawem Ohma w efekcie całkowity opoacuter jest sumą oporoacutew poszczegoacutelnych opornikoacutew

Przy roacutewnoległym połączeniu opornikoacutew całkowity opoacuter obwodu male-je ndash odpowiada to zwiększeniu przekroju przez ktoacutery mogą przepływać nośniki ładunku Jeśli dwa oporniki o identycznym oporze połączymy roacutewnolegle całkowity opoacuter gałęzi wyniesie frac12 oporu pojedynczego opor-nika W ogoacutelnym przypadku opoacuter całkowity RC układu roacutewnoległych opornikoacutew wyznaczamy z zależności

sum=i iC RR

11 (1119)

Wyprowadzając tę zależność roacutewnież zauważyć że spadek napięcia na każdym z roacutewnolegle połączonych opornikoacutew jest taki sam (łączą pun-kty o określonej roacuteżnicy potencjałoacutew) Roacuteżny jest natomiast prąd płyną-cy przez każdy z opornikoacutew ale suma tych prądoacutew musi być roacutewna całkowitemu prądowi dopływającemu do układu Ponownie po zastoso-waniu prawa Ohma otrzymujemy opoacuter zastępczy taki jak we wzo-rze 1119 Przy obliczaniu oporu bardziej złożonych obwodoacutew pomocne jest odpowiednie grupowanie elementoacutew tak by można było skorzystać z powyższych wzoroacutew dla roacutewnoległego i szeregowego połączenia opornikoacutew

Rysunek 111 Układy opornikoacutew o topologii bdquotroacutejkątardquo i bdquogwiazdy

Nieco bardziej złożonym zagadnieniem jest obliczanie oporu obwodoacutew o topologii bdquotroacutejkątardquo Istnieją jednak wzory pozwalające na przedsta-wienie ich w postaci układu o topologii gwiazdy ndash o kształcie litery bdquoYrdquo (Rysunek 111)

PRĄD ELEKTRYCZNY

Strona 195195195195

Aby obwody w przedstawionych powyżej topologiach miały identyczne właściwości elektryczne przy danej roacuteżnicy potencjałoacutew natężenie prą-doacutew przepływających pomiędzy węzłami 1 2 i 3 musi być takie samo Dla węzłoacutew 1 i 2 w topologii bdquotroacutejkątardquo prąd płynie przez opornik RA połączony roacutewnolegle z oporem (RC+RB) Dla topologii gwiazdy prąd płynie przez oporniki R1 i R2 połączone szeregowo Zapisując układ roacutewnań dla każdej pary węzłoacutew otrzymujemy trzy roacutewnania poz-walające otrzymać zależności pomiędzy wartościami oporoacutew w dwoacutech topologiach

C

RB

RA

R

CR

BR

3R

CR

BR

AR

CR

AR

2R

CR

BR

AR

BR

AR

1R++

=++

=++

= (1120)

3R2R

1R

3R2R

CR3R1R

2R

1R3R

BR1R2R

3R

2R1R

AR ++=++=++= (1121)

113 Praca i moc prądu elektrycznego

Na skutek przepływu prądu elektrycznego w elementach oporowych wy-dziela się ciepło ktoacutere jest wynikiem rozpraszania części energii elektro-noacutew na sieci krystalicznej metalu Efekt ten stanowi podstawę działania żaroacutewek i elektrycznych elementoacutew grzejnych

Zgodnie z definicją wprowadzoną w elektrostatyce wiemy że praca przeniesienia ładunku q przy roacuteżnicy potencjałoacutew U jest roacutewna

UItUqW el == (1122)

Ponieważ natężenie prądu elektrycznego jest wyrażone stosunkiem ła-dunku ktoacutery przepłynął do czasu przepływu możemy wyrazić ładunek q poprzez iloczyn natężenia prądu I i czasu jego przepływu t zaś napięcie U zgodnie z prawem Ohma powiązać z wartością płynącego prądu przez element o oporze R W efekcie otrzymujemy że praca prądu jest roacutewna energii ER jaka wydziela się na oporniku o oporze R przez ktoacutery płynie prąd elektryczny o natężeniu I Korzystając z prawa Ohma otrzymujemy prawo nazywane jest prawem Joulersquoa

tRIW2

el = (1123)

ROZDZIAŁ 11

Strona 196196196196

Energia jaka wydziela się na oporniku nazywana ciepłem Joulersquoa jest proporcjonalna do wartości oporu R oraz kwadratu natężenia prądu elektrycznego I płynącego przez ten opornik

Ponieważ moc jest stosunkiem wykonanej pracy do czasu w jakim ta praca została wykonana w przypadku mocy wydzielanej na elemencie obwodu elektrycznego otrzymujemy

R

URIIUP

22 === (1124)

gdzie U oznacza napięcie na zaciskach danego elementu (odbiornika) a I ndash natężenie prądu przepływającego przez element o oporze R

W przypadku przesyłania energii elektrycznej wytworzonej w elektrow-ni staramy się zminimalizować straty na liniach przesyłowych Iloczyn napięcia i natężenia przesyłanego prądu jest w tym przypadku wartością stałą (odpowiada on mocy elektrowni) Sposobem na redukcję mocy traconej na liniach jest zmniejszenie natężenia prądu a proporcjonalne zwiększenie napięcia Z tego względu buduje się tzw przesyłowe linie wysokiego napięcia a zwiększenie wartości napięcia i jego ponowna re-dukcja przed odbiornikiem realizowane są za pomocą transformatoroacutew Ograniczeniem wartości użytego napięcia jest jonizacja powietrza ndash przy zbyt wysokim napięciu wokoacuteł przewodoacutew natężenie pola jest dostatecz-nie wysokie by oderwać elektrony z cząsteczek gazu i wytworzyć noś-niki ładunku co prowadzi do bdquoucieczkirdquo energii elektrycznej

114 Obwody elektryczne

Źroacutedła napięcia

W dotychczasowych rozważaniach przedstawiliśmy zjawisko przepływu ładunku w przewodniku Aby wymusić przepływ ładunku niezbędne jest przyłożenie do końcoacutew przewodnika napięcia czyli roacuteżnicy potencja-łoacutew Takim źroacutedłem napięcia może być naładowany kondensator jednak napięcie to nie będzie stałe Przepływ prądu przez przewodnik oznaczać będzie rozładowywanie kondensatora a ponieważ roacuteżnica potencjałoacutew między okładkami kondensatora jest proporcjonalna do ładunku zgroma-dzonego na okładkach wartość napięcia będzie maleć

PRĄD ELEKTRYCZNY

Strona 197197197197

Ogniwa

Stałe napięcie na zaciskach elementu oporowego możemy uzyskać włą-czając do obwodu stałe źroacutedło energii ndash ogniwo Parametrami opisują-cymi ogniwo są siła elektromotoryczna ε i opoacuter wewnętrzny Rw Miarą siły elektromotorycznej ε jest stosunek pracy wykonanej na przeniesienie ładunku w obwodzie zamkniętym do wartości tego ładunku

q

Wε = (1125)

W przypadku rzeczywistych ogniw część energii jest rozpraszana na oporze wewnętrznym źroacutedła ktoacutery jest połączony szeregowo z siłą elektromotoryczną Napięcie na zaciskach takiego źroacutedła zależy od war-tości oporu zewnętrznego podłączonego do źroacutedła czyli tzw obciążenia (rysunek 112) Jeśli opoacuter obciążenia jest mały wartość natężenia prądu płynącego przez obwoacuted jest duża to straty energii na oporze wew-nętrznym są znaczne Napięcie na zaciskach ogniwa jest niższe niż siła elektromotoryczna źroacutedła o spadek napięcia na obwodzie wewnętrznym Jeśli opoacuter obciążenia jest duży straty energii na oporze wewnętrznym są niewielkie a napięcie na zaciskach ogniwa osiąga wartość zbliżoną do jego siły elektromotorycznej Można zatem stwierdzić że w granicy

infinrarrZEWNR siła elektromotoryczna jest roacutewna napięciu na zaciskach ogniwa otwartego

Energię elektryczną możemy uzyskiwać korzystając z pracy mechanicz-nej ktoacutera zamieniamy na energię elektryczną za pomocą prądnic czy alternatoroacutew Większość z tych urządzeń wytwarza zmienną siłę elektro-motoryczną a uzyskanie stałej wartości wymaga dodatkowych urządzeń przetwarzających napięcie zmienne na stałe w czasie Energię elektrycz-ną możemy czerpać roacutewnież ze źroacutedeł chemicznych ndash baterii akumula-toroacutew i stosowanych coraz częściej ogniw paliwowych Źroacutedłami energii elektrycznej mogą być roacutewnież termoogniwa (wykorzystujące roacuteżnicę temperatur) oraz fotoogniwa (korzystające z energii promieniowania słonecznego) Jak stąd wynika źroacutedłami prądu stałego są urządzenia przetwarzające energię innego rodzaju na energię elektryczną

ROZDZIAŁ 11

Strona 198198198198

Rysunek 112 Obwoacuted złożony ze źroacutedła rzeczywistego i obciążenia

oporowego Spadki napięć na opornikach skierowane są przeciwnie niż SEM ogniwa

Prawa Kirchhoffa

Rozpatrzmy obwoacuted składający się z pojedynczego opornika R i źroacutedła o sile elektromotorycznej ε i oporze wewnętrznym Rw (rysunek 112) Za-piszmy zasadę zachowania energii dla takiego obwodu elektrycznego Praca wykonana przez ogniwo nad ładunkiem w obwodzie zamkniętym jest roacutewna energii rozpraszanej na elementach oporowych

RtItRItIε 2

w

2 += (1124)

Dzieląc obie strony roacutewnania 1122 przez czas i natężenie prądu otrzy-mujemy roacutewnanie

RIRI += wε (1125)

Zgodnie z uprzednio wprowadzoną definicją siła elektromotoryczna jest pracą wykonaną na przepływ jednostkowego ładunku w obwodzie zamkniętym

Napięcia na poszczegoacutelnych elementach obwodu i natężenia prądu prze-pływającego przez poszczegoacutelne jego gałęzie możemy obliczyć stosując prawa Kirchhoffa

PRĄD ELEKTRYCZNY

Strona 199199199199

I Prawo Kirchhoffa

Suma natężeń prądoacutew dopływających do węzła jest roacutewna sumie natężeń prądoacutew wypływających z tego węzła

W obwodzie zachowuje się roacutewnież ładunek elektryczny ndash jeśli w obwo-dzie znajduje się rozgałęzienie (węzeł) to ładunek ktoacutery dopłynie do wę-zła musi być roacutewny temu ktoacutery z węzła wypłynął

II Prawo Kirchhoffa

W dowolnym obwodzie zamkniętym sieci elektrycznej (oczku sieci) suma wartości sił elektromotorycznych roacutewna jest sumie wartości spadkoacutew napięcia na elementach tego obwodu

Drugie prawo Kirchhoffa odpowiada roacutewnaniu 1125

Obwoacuted RC

Jeśli naładowany do napięcia U kondensator o pojemności C zewrzemy opornikiem R to dla takiego obwodu II prawo Kirchhoffa możemy zapisać w postaci

0=+

=+

C

qRI

0UU CR

(1126)

Ponieważ natężenie prądu możemy wyrazić jako pochodną przepływającego ładunku po czasie roacutewnanie przyjmie postać

0d

d=+

C

qR

t

q (1127)

Rozwiązanie tego roacutewnania roacuteżniczkowego opisujące ładunek na kondensatorze ma postać malejącą wykładniczo

( ) RCt

0 eqtqminus

= (1128)

Skoro ładunek będzie się zmieniał wykładniczo to roacutewnież natężenie prądu w obwodzie będzie wykładniczo malało w czasie

ROZDZIAŁ 11

Strona 200200200200

Pomiar natężenia i napięcia

Wartości napięcia pomiędzy zaciskami elementu i natężenia prądu przepływającego przez element możemy wyznaczyć posługując się tym samym urządzeniem nazywanym galwanometrem Wychylenie wska-zoacutewki galwanometru jest wprost proporcjonalne do przepływającego przez urządzenie prądu

Rysunek 113 Podłączenie miernika do obwodu

a) pomiar natężenia prądu b) pomiar napięcia

Przy pomiarze natężenia prądu miernik włączamy w obwoacuted szeregowo (rysunek 113) W ten sposoacuteb mierzymy całkowity prąd płynący przez gałąź Opoacuter własny amperomierza powinien być jednak jak najmniejszy znacznie mniejszy niż wartości oporoacutew znajdujących się na mierzonej gałęzi ndash inaczej pomiar zakłoacuteci wartość mierzoną Aby spełnić ten waru-nek do zaciskoacutew galwanometru dołączamy roacutewnolegle bocznik o ma-łym oporze Większość natężenia prądu jest przepuszczana przez bocz-nik a tylko niewielka część przepływa przez galwanometr Zmieniając wartość oporu bocznika pomiędzy zaciskami miernika możemy zmieniać zakres pomiaru prądu układem galwanometr-bocznik

Przy pomiarze napięcia miernik ndash pełniący funkcję woltomierza ndash jest podłączony roacutewnolegle do badanego elementu (rysunek 113) W tym przypadku opoacuter własny woltomierza powinien być jak największy by nie odbierał on prądu z elementu Z tego względu pomiędzy zaciskami miernika a galwanometrem podłączony jest szeregowo opornik o dużej wartości Opornik ten zmniejsza natężenie prądu przepływającego przez galwanometr Zmieniając wartość użytego opornika można zmieniać za-kres pomiaru napięcia

Często stosowanym przyrządem jest proacutebnik (wskaźnik) napięcia Wy-korzystuje on pojemność elektryczną ludzkiego ciała Proacutebnika możemy używać przykładając palec do metalowego zakończenia rękojeści a ostrze do badanego elementu obwodu Natężenie prądu przepływają-

PRĄD ELEKTRYCZNY

Strona 201201201201

cego przez dłoń jest w tym przypadku niewielkie i nie zagraża bezpie-czeństwu osoby dokonującej pomiaru

ROZDZIAŁ 11

Strona 202202202202

Strona 6666

Wstęp Niniejsze materiały zostały opracowane w ramach realizacji Programu Rozwojowego Politechniki Warszawskiej wspoacutełfinansowanego ze środ-koacutew PROGRAMU OPERACYJNEGO KAPITAŁ LUDZKI Przezna-czone są dla studentoacutew pierwszego roku studioacutew inżynierskich kierunku nauczania bdquoEdukacja techniczno-informatycznardquo prowadzonych na Wy-dziale Samochodoacutew i Maszyn Roboczych Politechniki Warszawskiej

Niniejsze opracowanie przygotowano dla przedmiotu pt bdquoPodstawy fizykirdquo Jego zawartość merytoryczna w pełni odpowiada zakresowi opi-sanemu w sylabusie opracowanym dla tego przedmiotu

Skrypt stanowi pierwszą część opracowanych materiałoacutew dydaktycz-nych i dotyczy zagadnień omawianych podczas pierwszego semestru wykładoacutew z ww przedmiotu Opracowane zagadnienia podzielone zo-stały na 11 rozdziałoacutew

Rozdział 1 wprowadza pojęcie wielkości fizycznych ich jednostek oraz operacji na tych jednostkach

Rozdział 2 został poświęcony opisowi ruchu ciał w roacuteżnych układach wspoacutełrzędnych za pomocą takich wielkości fizycznych jak przemiesz-czenie prędkość czy przyspieszenie

W rozdziale 3 omoacutewione zostały zasady dynamiki Newtona oraz zasada zachowania pędu

W rozdziale 4 wprowadzone są pojęcia pracy oraz energii Rozważane są roacuteżne formy energii (energia potencjalna i kinetyczna) oraz zasada za-chowania energii

Rozdział 5 dotyczy zagadnień z zakresu dynamiki bryły sztywnej takich jak roacutewnanie ruchu bryły sztywnej zasada zachowania momentu pędu czy energia ruchu obrotowego

Rozdział 6 został poświęcony zagadnieniom drgań w szczegoacutelności drgań harmonicznych z uwzględnieniem wpływu tłumienia oraz wymuszenia

W rozdziale 7 omoacutewione zostały roacuteżne stany skupienia materii ndash ciała stałe płyny oraz inne stany materii

Strona 8888

W rozdziale 8 przedstawione zostały podstawowe zagadnienia hydrosta-tyki i hydrodynamiki w tym prawo Pascala Arhimedesa oraz roacutewnanie Bernouliego

Rozdział 9 poświęcony jest termodynamice Omoacutewiony został gaz do-skonały jego roacutewnanie stanu oraz roacuteżne przemiany jakim może podle-gać Przedstawiono definicję ciepła oraz pracy termodynamicznej a także opis cykli i silnikoacutew termodynamicznych Omoacutewiono roacutewnież podstawowe właściwości termiczne materii

W rozdziale 10 omoacutewione zostały takie zagadnienia elektrostatyki jak Coulombowska siła oddziaływania elektrostatycznego natężenie poten-cjał oraz energia pola elektrycznego czy pojemność elektryczna prze-wodnika Przedstawione zostało prawo Gaussa wraz z przykładami stosowania go do wyznaczania natężenia pola elektrycznego Rozdział opisuje także właściwości elektryczne dielektrykoacutew

Rozdział 11 dotyczy zagadnień z zakresu przepływu prądu elektryczne-go Podane zostało prawo Ohma wyznaczona praca i moc prądu elek-trycznego a także omoacutewione podstawowe właściwości obwodoacutew elek-trycznych w tym prawa Kirchhoffa

1 Czym jest fizyka Wielkości fizyczne jednostki i wzorce

W tym rozdziale

o Czym jest fizyka o Jednostki podstawowe o Miano jednostek wielkości podstawowych o Rachunek mian operacje na jednostkach wielkości

fizycznych o Działania na wektorach

ROZDZIAŁ 1

Strona 10101010

11 Czym jest fizyka

Fizyka jest podstawową nauką ścisłą wywodzącą się z filozofii Ślad tego faktu że fizyka była działem filozofii ndash filozofią przyrody ndash znajdujemy w tytule słynnego dzieła Izaaka Newtona stanowiącego fundament nowożytnej fizyki rdquoPrincipia mathematica philosophiae naturalisrdquo (1686 r) co może być przetłumaczone jako bdquoZasady matematyczne filozofii przyrodyrdquo

Fizyka jest nauką ścisła i empiryczną czyli opartą na doświadczeniu ponieważ

bull Używa wielkości fizycznych dokładnie zdefiniowanych W definicji wielkości fizycznej zawarte są informacje doty-czące jej pomiaru Wielkością fizyczną jest każda wielkość ktoacutera daje się mierzyć czyli poroacutewnywać ze wzorcem jed-nostki tej wielkości

bull Stosuje opis matematyczny zjawisk (bdquomatematyka jest języ-kiem fizykirdquo)

bull Prawa fizyczne formułuje na podstawie doświadczeń

Przez doświadczenie (eksperyment) fizyczny rozumiemy zjawisko prze-prowadzone w możliwie uproszczonych i nadających się do analizy warunkach laboratoryjnych z eliminacją zjawisk ubocznych zakłoacutecają-cych zjawisko badane Podstawowym działaniem w doświadczeniach są właśnie pomiary wielkości fizycznych

Fizyka opiera się na pewnej minimalnej liczbie praw podstawowych o charakterze pewnikoacutew aksjomatoacutew ktoacutere w fizyce nazywamy zasada-mi Czasami moacutewi się o nich ze są to bdquoprawa pierwszerdquo Oznacza to że nie odkryto praw bardziej podstawowych ktoacutere umożliwiłyby wyprowa-dzenie tych zasad Słuszność zasad wynika tylko z doświadczeń i jest uogoacutelnieniem dużej liczby eksperymentoacutew Klasycznymi przykładami zasad są zasady dynamiki Newtona Natomiast inne szczegoacutełowe prawa fizyczne (np prawo Ohma lub prawo indukcji elektromagnetycznej Faradaya) wyprowadzamy z zasad fizyki za pomocą modeli fizycznych opisywanych zjawisk

CZYM JEST FIZYKA WIELKOŚCI FIZYCZNE JEDNOSTKI I WZORCE

Strona 11111111

Istnienie zasad i praw szczegoacutełowych powoduje wzajemne powiązanie wielkości fizycznych Stąd z kolei wynika że jest w fizyce pewna liczba podstawowych wielkości fizycznych a pozostałe wielkości są wielkoś-ciami zależnymi pochodnymi W tej sytuacji wystarczy iż wzorce jed-nostek fizycznych stworzymy tylko dla wielkości podstawowych

Ustalono że są cztery podstawowe wielkości fizyczne długość masa czas i natężenie prądu Stworzono zatem wzorce metra kilograma se-kundy i ampera Taki układ jednostek nazwano pierwotnie układem MKSA od początkowych liter nazw wzorcoacutew Z powodu tradycji i dla wygody dodano jednak następnie przejściowo do układu jeszcze cztery wielkości fizyczne mimo iż można by je określić przez te pierwsze cztery wielkości podstawowe Są to temperatura (w kelwinach) licz-ność materii (w molach) jasność źroacutedeł promieniowania (w kandelach) i kąt płaski (w radianach) W ten sposoacuteb powstał układ jednostek złożony z ośmiu wzorcoacutew jednostek wielkości fizycznych wymienio-nych wyżej nazywany układem SI (od fr Systeme International) Wy-magania postawione wzorcom jednostek dotyczą maksymalnej dokład-ności i powszechności uniwersalności Ta druga własność ma polegać na tym by wzorzec moacutegł być z roacutewną dokładnością odtwarzalny we wszystkich laboratoriach na świecie Ma to zapewnić możliwość poroacutewnywania wynikoacutew doświadczeń roacuteżnych laboratorioacutew a przez to możliwość sprawdzania powtarzalności pomiaroacutew co ma decydujące znaczenie przy tworzeniu praw fizycznych

Jednostki pochodnych wielkości fizycznych są tworzone w oparciu o de-finicje tych wielkości i istniejące związki tych wielkości z wielkościami podstawowymi ustalone prawami fizyki Jako przykład ustalmy jednost-kę i sposoacuteb pomiaru prędkości chwilowej Powołamy się tu na definicję prędkości chwilowej ktoacutera będzie uzasadniona w dalszej części skryptu

∆t

∆x

0∆t rarr= limv

(11)

Ta matematyczna definicja wskazuje że aby wyznaczyć prędkość chwi-lową obiektu trzeba mierzyć odcinki przesunięcia ∆x tego obiektu odpowiadające jak najkroacutetszym odcinkom czasu ∆t (dążącym do zera) i dzielić je przez siebie Jest więc w definicji wskazoacutewka pomiarowa i wiemy już że jednostką prędkości będzie ms

ROZDZIAŁ 1

Strona 12121212

12 Jednostki podstawowe

Jednostką długości jest metr [m] Metr jest to odległość jaką pokonuje światło w proacuteżni w czasie 1299 792 458 s

Jednostką czasu jest sekunda [s] Sekunda jest definiowana za pomocą tzw zegara atomowego jako 9 192 631 770 okresoacutew drgań określonego promieniowania atomu cezu 133Cs w temperaturze 0 K

Jednostką masy jest kilogram [kg] Wzorzec kilograma wykonany ze stopu platynowo-irydowego znajduje się w Sevres pod Paryżem Kopie tego wzorca zostały rozesłane do instytutoacutew miar i wag poszczegoacutelnych państw Obecnie dąży się do opracowania lepszej definicji opartej na masie atomowej

Jednostką temperatury jest Kelwin [K] Jeden kelwin odpowiada 1 27316 temperatury termodynamicznej punktu potroacutejnego wody ndash punktu w ktoacuterym wspoacutełistnieją fazy ciekła (woda) stała (loacuted) i gazowa (para wodna) Temperatura termodynamiczna jest zdefiniowana w odnie-sieniu do tzw zera absolutnego 0 K ktoacutera oznacza najniższą temperaturę do jakiej możemy się dowolnie zbliżyć ale jest nieosiągalna Na po-wszechnie stosowanej skali Celsjusza temperaturze punktu potroacutejnego wody (27316 K) odpowiada 001ordmC

W niniejszym skrypcie jako separator dziesiętny stosować będziemy znak kropki a nie przecinka

Jednostką liczności materii jest jeden mol [mol] Jest to liczność materii układu zawierającego liczbę cząsteczek roacutewną liczbie atomoacutew w masie 12 gramoacutew izotopu węgla 12C W jednym molu znajduje się ok 60221415(10)middot1023 cząsteczek Liczba ta jest nazywana stałą Avogadra (liczbą Avogadra) Ponieważ roacuteżne cząsteczki mają roacuteżną masę roacutewnocześnie z licznością należy podać rodzaj cząsteczek (cząsteczki atomy jony itp) lub też zdefiniować masę molową jako masę jednego mola danej substancji W opisie materii używa się roacutewnież masy atomowej ktoacutera określa ile razy masa jednego atomu danego pierwiastka chemicznego jest większa od jednostki zdefiniowanej jako 1 12 masy izotopu węgla 12C

Jednostką światłości jest kandela [cd] i definiuje się ja jako strumień energii (1 683 Wsr) wysyłany na sekundę w jednostkowy kąt prze-strzenny ndash steradian W definicji kandeli wykorzystuje się zielone świa-

CZYM JEST FIZYKA WIELKOŚCI FIZYCZNE JEDNOSTKI I WZORCE

Strona 13131313

tło monochromatyczne o długości 540 nm dla ktoacuterej to długości ludzkie oko charakteryzuje się największą czułością

Jednostką natężenia prądu elektrycznego jest amper [A] Prąd elektryczny jest uporządkowanym ruchem nośnikoacutew ładunku elektrycz-nego Natężenie prądu definiujemy jako stosunek wartości ładunku elek-trycznego ktoacutery przepływa przez przewodnik w jednostce czasu Z defi-nicji tej wynika jednostka natężenia prądu ndash amper ndash 1A=1Cs (ku-lombsekunda) Wzorzec pomiarowy jednego ampera definiujemy w na-stępujący sposoacuteb Jeżeli w dwoacutech roacutewnoległych prostoliniowych nieskończenie długich przewodach umieszczonych w proacuteżni w odleg-łości 1 m od siebie będzie płynął stały prąd o natężeniu jednego ampera (1A) to spowoduje on wzajemne oddziaływanie przewodoacutew z siłą roacutewną 2middot10-7N na każdy metr długości przewodu

Jako jednostek uzupełniających w układach opisywanych wspoacutełrzęd-nymi kątowymi używa się

bull radiana na oznaczenie kąta płaskiego [rad] Kąt pełny wy-nosi 2π radianoacutew Wartość kąta może być roacutewnież określana w stopniach ale w dalszej części tego skryptu jako miarę kąta przyjmować będziemy radiany

bull steradiana na oznaczenie kąta bryłowego [sr] Kąt pełny wynosi 4π sr

ROZDZIAŁ 1

Strona 14141414

13 Miano jednostek wielkości pochodnych

Tabela 11 Jednostki wielkości pochodnych układu SI Według rozporządzenia Rady Ministroacutew z dnia 30 listopada 2006r w sprawie legalnych jednostek miar

Wszystkie wielkości fizyczne mogą być opisane za pomocą jednostek wielkości podstawowych Dla wygody i prostoty zapisu wprowadzone zostały jednak jednostki wielkości pochodnych Przykładowo opisując siły działające w wybranym układzie moglibyśmy za każdym razem podawać jednostkę siły jako kg ms2 ale prościej i wygodniej jest ozna-czyć tę jednostkę symbolem N (1 Newton) W Tabeli 1 przedstawione są definicje przykładowych jednostek wielkości pochodnych tzw mian wielkości pochodnych

CZYM JEST FIZYKA WIELKOŚCI FIZYCZNE JEDNOSTKI I WZORCE

Strona 15151515

14 Rachunek mian operacje na jednostkach wielkości fizycznych

Wielkości skalarne i wektorowe

Wielkości fizyczne dzielimy na skalary i wektory Wielkości skalarne mają jedynie wartość Przykładem takich wielkości są energia masa czas czy ładunek elektryczny Wielkości wektorowe oproacutecz wartości (modułu) posiadają roacutewnież kierunek i zwrot Przykładem mogą być tutaj siła prędkość czy pęd W układzie wspoacutełrzędnych wektor opisuje-my podając jego składowe czyli rzuty tego wektora na osie układu

wspoacutełrzędnych Przykładowo ( ) k4j2i3324rrrr

++==v oznacza wek-

tor prędkości o składowych 3x =v ndash w kierunku x czyli wzdłuż werso-

ra ir

(wektora jednostkowego) 2v y = ndash w kierunku y wzdłuż wersora

jr

4z =v w kierunku z wzdłuż wersora kr

Działania na wektorach

Podstawowe działania na wektorach jakie będziemy wykorzystywać to dodawanie odejmowanie i mnożenie

Mnożenie

W wyniku mnożenia wektora br

przez skalar bcarr

= otrzymujemy

wektor ar

ktoacuterego kierunek jest zgodny z kierunkiem wektora br

zaś jego długość jest iloczynem długości wektora b oraz wielkości skalarnej

c bca = W przypadku gdy c lt 0 to zwrot wektora ar

jest przeciwny

niż br

To samo działanie możemy wykonać na składowych wektora

Przykładowo jeśli wektor ( )135b =r

wymnożymy skalarnie przez 3 otrzymujemy

( )391553k33j13ib3a =sdot+sdot+sdot==rrrrr

ROZDZIAŁ 1

Strona 16161616

Rysunek 11 Dodawanie wektoroacutew na płaszczyźnie a) i mnożenie wektorowe wektoroacutew b)

Dodawanie i odejmowanie wektoroacutew

Dodawanie wektoroacutew można przeprowadzić graficznie (rysunek 11) lub przez dodanie składowych określających wektory w wybranym układzie wspoacutełrzędnych Suma dwoacutech wektoroacutew jest roacutewnież wektorem Podob-nie jak poprzednio działanie dodawania można wykonać roacutewnież na składowych wektoroacutew Przykładowo dodając do siebie wektory

( )102a minus=r

( )135b =r

i ( )230c minus=r

otrzymujemy wektor

[ ] [ ] [ ] ( )184051k332j210id minus=++minus++++minus+=rrrr

Odejmowanie wektoroacutew przeprowadzamy podobnie ndash jeśli wykonujemy

operację barr

minus to do wektora ar

dodajemy wektor br

minus czyli wektor

o identycznej długości i kierunku co br

ale o przeciwnym zwrocie

Odejmowanie nie jest przemienne tzn działanie abrr

minus daje wektor

o przeciwnym zwrocie niż działanie barr

minus Przykładowo odejmując od

wektora ( )102a minus=r

wektor ( )135b =r

otrzymujemy wektor

( )611c minusminusminus=r

a wykonując działanie abrr

minus otrzymujemy wektor

( )116c =r

Iloczyn skalarny wektoroacutew

Iloczyn skalarny bacrr

sdot= jest iloczynem długości wektora ar

oraz rzutu

wektora br

na wektor ar

Iloczyn skalarny możemy zapisać inaczej jako

CZYM JEST FIZYKA WIELKOŚCI FIZYCZNE JEDNOSTKI I WZORCE

Strona 17171717

αcosbabac =sdot=rr

(12)

gdzie α jest kątem między wektorami ar

i br

Przykładem mnożenia skalarnego jest praca będąca iloczynem przesunięcia oraz rzutu siły wywołującej przesunięcie na kierunek tego przesunięcia Iloczyn skalar-ny uzyskuje maksymalną wartość gdy wektory są do siebie roacutewnoległe natomiast dla wektoroacutew prostopadłych wartość iloczynu skalarnego roacutewna jest zeru

Iloczyn wektorowy wektoroacutew

Wynikiem iloczynu wektorowego dwoacutech wektoroacutew ( bacrrr

times= ) jest wektor Długość tego wektora możemy obliczyć ze wzoru

αsinabc = (13)

gdzie α jest kątem między wektorami ar

i br

Kierunek tego wektora jest

prostopadły do płaszczyzny w ktoacuterej leżą wektory ar

oraz br

Zwrot

wektora cr

określa reguła śruby prawoskrętnej ndash jeśli będziemy kręcić

śrubą od wektora ar

do wektora br

po najmniejszym kącie to kierunek ruchu postępowego śruby wyznacza zwrot wektora będącego iloczynem

wektorowym bacrrr

times= Przykładem iloczynu wektorowego jest moment

siły FrMrrr

times= ndash mnożąc wektorowo wektor rr

określający położenie

punktu zaczepienia siły względem osi obrotu oraz wektor siły Fr

otrzy-

mujemy wektor momentu siły Mr

prostopadły do płaszczyzny w ktoacuterej oba wektory się znajdują

Iloczyn wektorowy uzyskuje wartość maksymalną gdy wektory ar

i br

są do siebie prostopadłe (α = π2) Gdy wektory są roacutewnoległe (α = 0) ich iloczyn wektorowy jest roacutewny zeru

Mnożenie wektorowe nie jest przemienne ndash w wyniku mnożenia wekto-

rowego abrr

times dostaniemy wektor o identycznej wartości i kierunku co

barr

times ale o przeciwnym zwrocie

Algebraicznie iloczyn dwoacutech wektoroacutew możemy przedstawić w postaci macierzy

ROZDZIAŁ 1

Strona 18181818

zyx

zyx

bbb

aaa

kji

ba

rrr

rr=times (14)

Po przekształceniach otrzymujemy

[ ]xyyxxzzxyzzy bababababababa minus+minusminus=timesrr

(15)

Rzuty wektoroacutew

Rozkładanie wektoroacutew na składowe czyli rzutowanie wektora na wybra-ne osie jest procedurą odwrotną do dodawania wektoroacutew pozwalającą wyznaczyć składowe wektora w wybranych kierunkach

Jeżeli rozpatrzymy wektor ar

na płaszczyźnie dwuwymiarowej tworzący kąt α z wyroacuteżnioną prostą składowa roacutewnoległa do tej prostej wynosi αcosaa =II (dla α = 0 wartość tej składowej wynosi aa =II

a dla α = π2 wynosi 0a =II ) zaś składowa prostopadła αsinaa =perp

Przykład

Rozłoacuteż siłę grawitacji działającą na ciało znajdujące się na powierzchni roacutewni o kącie nachylenia α na składową prostopadłą i roacutewnoległą do powierzchni roacutewni

Siła ciężkości ( mgFc = ) skierowana pionowo w doacuteł może być składo-

wą roacutewnoległą i prostopadłą do roacutewni (Rysunek 12) Ze względu na podobieństwo troacutejkątoacutew kąt α tworzący roacutewnię będzie roacutewnież występo-wał między siłą ciężkości i jej składowymi Składowa siły ciężkości roacutewnoległa do powierzchni roacutewni (siła ściągająca ciało) wynosi więc

αsinmgFII = a składowa prostopadła będąca siłą nacisku ciała na

roacutewnię αcosmgF =perp

CZYM JEST FIZYKA WIELKOŚCI FIZYCZNE JEDNOSTKI I WZORCE

Strona 19191919

Rysunek 12 Rozłożenie siły ciężkości działającej na ciało

na powierzchni roacutewni na składowe

ROZDZIAŁ 1

Strona 20202020

2 Opis ruchu

W tym rozdziale

o Układ odniesienia i układ wspoacutełrzędnych o Przemieszczenie i droga o Prędkość o Przyspieszenie

ROZDZIAŁ 2

Strona 22222222

21 Układ odniesienia i układ wspoacutełrzędnych

Opisując położenie obiektu musimy określić układ odniesienia czyli po-wiedzieć względem jakiego punktu będziemy opisywać położenie tego obiektu Na przykład opisując położenie samochodu zaparkowanego na ulicy między dwoma skrzyżowaniami przyjmujemy środek jednego ze skrzyżowań jako układ odniesienia Poza precyzyjnym określeniem względem jakiego punktu będziemy opisywać położenie samochodu istotne jest roacutewnież zdefiniowanie układu wspoacutełrzędnych W zależności od tego w ktoacuterą stronę będziemy zwroacuteceni stojąc na skrzyżowaniu nasz samochoacuted może być przed lub za nami z prawej lub lewej strony Po zdefiniowaniu okładu odniesienia oraz układu wspoacutełrzędnych położenie obiektu określamy podając jego odległość od osi układu wspoacutełrzędnych Rozpatrzmy samochoacuted zaparkowany na ulicy stojący w odległości 20m od skrzyżowania Samochoacuted jest obiektem przestrzennym ale w przy-padku gdy nie interesuje nas jak jest on zaparkowany (roacutewnolegle czy prostopadle) możemy zastąpić go punktem materialnym znajdującym się w środku samochodu o masie roacutewnej masie całego samochodu Jeśli interesuje nas jedynie odległość miejsca zaparkowania od skrzyżowania mierzona wzdłuż ulicy (rysunek 21 a) wybrany układ odniesienia ma tylko jeden wymiar ( x ) Jeżeli za początek układu przyjmiemy środek skrzyżowania woacutewczas położenie samochodu można opisać r = 20

Załoacuteżmy teraz że chcemy dokładniej opisać położenie samochodu (środ-ka masy samochodu) ndash będzie nas interesować nie tylko odległość mie-rzona wzdłuż ulicy ale roacutewnież położenie względem środka ulicy (czy samochoacuted zaparkowany jest tuż przy krawężniku czy na środku jezdni) W takim przypadku wprowadzimy dwuwymiarowy układ wspoacutełrzęd-nych Jeżeli przyjmiemy szerokość jezdni roacutewną 4m oraz ponownie za początek układu wspoacutełrzędnych przyjmiemy środek skrzyżowania to środek samochodu zaparkowanego przy chodniku będzie się znajdował w odległości 3m od osi jezdni (rysunek 21a) Wspoacutełrzędne zaparkowa-nego samochodu wynoszą więc x = 20 i y = minus3 a jego położenie możemy

opisać wektorem 3)(20minus=rr

Gdybyśmy natomiast chcieli opisać położenie środka masy samochodu z uwzględnieniem wysokości względem drogi potrzebna będzie trzecia wspoacutełrzędna z i troacutejwymiarowy układ wspoacutełrzędnych Przyjmując po-

OPIS RUCHU

Strona 23232323

nownie za początek układu wspoacutełrzędnych środek skrzyżowania zakła-dając że ulica jest pozioma oraz że środek masy samochodu znajduje się poacuteł metra nawierzchnią ulicy otrzymujemy wektor położenia środka ma-sy samochodu 305)(20r minus=

r

Rysunek 21 Opis położenia samochodu

a) z lewej ndash w układzie kartezjańskim dwuwymiarowym b) z prawej ndash w układzie biegunowym dwuwymiarowym

Warto zauważyć że zdefiniowany w powyższym przykładzie układ wspoacutełrzędnych jest układem prostokątnym (osie są wzajemnie prostopa-dłe) Taki układ nazywany jest roacutewnież układem kartezjańskim W pew-nych przypadkach znacznie wygodniejszy niż układ kartezjański jest tzw układ biegunowy W układzie tym położenie obiektu wyznacza wspoacutełrzędna radialna r oraz kąt α pod jakim widać obiekt względem wyroacuteżnionego kierunku Gdyby samochoacuted został zaparkowany w dziel-nicy o gwiaździstym układzie ulic (w Warszawie przykładem takiej za-budowy są Stary Żoliborz czy okolice gmachu głoacutewnego Politechniki Warszawskiej) jego położenie można by określić podając odległość od środka ronda oraz kąt (rysunek 21 b)

22 Przemieszczenie i droga

Przemieszczenie obiektu r∆r

definiujemy jako zmianę jego położenia czyli roacuteżnicę wektora opisującego położenie końcowe kr

r oraz początko-

we prr

obiektu

pk rrr∆rrr

minus= (21)

ROZDZIAŁ 2

Strona 24242424

Widzimy że tak zdefiniowany wektor zależy jedynie od początkowego i końcowego położenia ciała a nie od toru wzdłuż ktoacuterego ciało się poru-sza Wektor przemieszczenia nie określa toru po jakim ciało się prze-mieszcza z położenia początkowego do końcowego Dlatego w opisie ruchu ciała często wyznaczamy drogę przebytą przez ciało oznaczaną symbolem s ktoacutera jest roacutewna długości toru po ktoacuterym ciało się porusza W odroacuteżnieniu od wektora przemieszczenia droga jest wielkością skalarną

23 Prędkość

Kolejnym parametrem określającym stan ruchu ciała jest jego pręd-

kość vr

Prędkość średnią obiektu można zdefiniować na dwa sposoby

Prędkość średnią definiujemy jako przemieszczenie obiektu ktoacutere nastąpiło na jednostkę czasu

∆t

r∆r

r=v (22)

Tak wyrażona wielkość jest wektorem i zawiera informację o kierunku ruchu obiektu Warto jednak zauważyć że jeśli ruch nie odbywa się wzdłuż prostej wartość wektora średniej prędkości będzie znacznie od-biegać od rzeczywistej prędkości obiektu

Prędkość średnią można roacutewnież definiować za pomocą drogi pokonanej przez ciało w określonym czasie

∆t

∆s=v (23)

Wyliczona w ten sposoacuteb średnia prędkość obiektu jest skalarem i dobrze oddaje wartość średniej prędkości obiektu zaroacutewno w przypadku ruchu prostoliniowego jak i krzywoliniowego Nie zawiera jednak informacji o kierunku ruchu

Dobrym przykładem pozwalającym zrozumieć definicję prędkości jest ruch windy w pionowym szybie Załoacuteżmy że winda potrzebowała n sekund żeby przemieścić się z parteru na wysokość x [m] Dla wygody początek układu wspoacutełrzędnych umieścimy na wysokości roacutewnej

OPIS RUCHU

Strona 25252525

wysokości środka masy windy a zwrot osi ndash oznaczonej jako x minus skierujemy do goacutery W takim przypadku długość wektora przemieszcze-nia jest roacutewna przebytej przez ciało drodze i niezależnie od wyboru jednej z dwu powyższych definicji otrzymamy identyczną wartość prędkości

t

xv

∆

∆= (24)

Rysunek 22 Wyznaczanie średniej prędkości ciała

Na rysunku 22 przedstawiony został wykres położenia ciała w funkcji czasu Wyznaczając średnią prędkość ruchu tego ciała rysujemy cięciwę łączącą punkt początkowy oraz końcowy na tym wykresie a następnie wyznaczamy kąt nachylenia tej cięciwy Tangens tego kąta nachylenia roacutewny będzie co do wartości stosunkowi długości odcinkoacutew ∆x oraz ∆t i definiuje średnią prędkość ciała

Tak uzyskana wartość prędkości średniej nie zawiera jednak pełnej in-formacji o prędkości windy ndash początkowo winda znajduje się w spo-czynku następnie jej prędkość się zwiększa na odcinku między piętrami pozostaje stała a na najwyższym piętrze prędkość zmniejsza się aż do zatrzymania windy Pełniejsze dane dotyczące prędkości w poszcze-goacutelnych stadiach ruchu możemy otrzymać dzieląc wykres na mniejsze odcinki W ten sposoacuteb wyliczamy średnią prędkość windy w czasie ru-szania z miejsca średnią prędkość windy pomiędzy piętrami i średnią prędkość w trakcie hamowania Podobnie jak poprzednio wartość śred-niej prędkości wyliczonej dla danego odcinka jest roacutewna tangensowi kąta nachylenia krzywej wyliczonemu dla danego odcinka Warto zwroacute-

ROZDZIAŁ 2

Strona 26262626

cić uwagę że dla odcinka między piętrami gdzie prędkość jest stała ob-liczona średnia prędkość jest roacutewna rzeczywistej prędkości windy

Zgodnie z roacutewnaniem 23 wyznaczając prędkość średnią ciała rozpatru-jemy drogę ∆s jaką ciało to pokona w czasie ∆t Jeżeli rozpatrywane odstępy czasowe będą nieskończenie kroacutetkie czyli ∆trarr0 co oznaczamy symbolem dt woacutewczas wyznaczona w ten sposoacuteb prędkość będzie prędkością chwilową ciała Dla takich infinitezymalnych przedziałoacutew czasowych wartość przemieszczenia ciała oraz droga przebyta przez to ciało są sobie roacutewne a prędkość chwilową możemy zdefiniować

d

dlim

0 t

r

t

rv

t

rrr

=∆

∆=

rarr∆ (25)

Ze wzoru 25 wynika że prędkość chwilowa jest roacutewna pochodnej wek-tora położenia po czasie liczonej dla danej chwili Geometryczna inter-pretacja pochodnej to tangens kąta nachylenia stycznej do wykresu w danym punkcie Tak więc żeby wyznaczyć prędkość chwilową należy na wykresie drogi przebytej w funkcji czasu narysować styczną do tej krzywej w interesującym nas punkcie Im szybciej będzie się zmieniało położenie ciała tym bardziej stromy będzie wykres położenia w funkcji czasu i w efekcie większa wartość prędkości chwilowej

24 Przyspieszenie

Przyspieszenie chwilowe ciała definiujemy jako pochodną prędkości po czasie Przyspieszenie opisuje więc tempo zmian prędkości w danej chwili ruchu i wyraża się w ms2

2

2

d

d

d

) ddd(

d

)(d

t

s

t

ts

t

tva === (26)

Podobnie jak w przypadku prędkości chwilowej przyspieszenie chwilo-we jest roacutewne tangensowi kąta nachylenia krzywej określającej zależ-ność prędkości od czasu obliczonemu dla danej chwili ruchu Przeanali-zujmy jeszcze raz omawiany wcześniej ruch windy wykreślając zależ-ność prędkości windy od czasu Kiedy winda rusza z miejsca i jej prędkość jednostajnie narasta to styczna do tej krzywej będzie taka sama w każdym punkcie a więc otrzymujemy stałą dodatnią wartość przy-spieszenia Na odcinku pomiędzy piętrami wartość prędkości windy nie

OPIS RUCHU

Strona 27272727

zmienia się a więc kąt nachylenia krzywej prędkości względem osi czasu wynosi zero ndash wartość przyspieszenia jest roacutewnież zerowa Kiedy winda hamuje wykres prędkości od czasu jest liniowy a jego nachylenie przyjmuje wartość ujemną ndash zatem i przyspieszenie jest ujemne (opoacuteźnienie)

Wykresy przyśpieszenia prędkości oraz położenia od czasu dla oma-wianej windy przedstawione są na rysunku 23 Droga przebyta przez windę w początkowym etapie ruchu jest proporcjonalna do kwadratu czasu i może być wyrażona zależnością typu s = kt

2 gdzie k wyraża pewien stały wspoacutełczynnik Pochodna takiej funkcji jest funkcją liniową co oznacza że prędkość windy rośnie liniowo w funkcji czasu Podczas jednostajnego hamowania droga pokonywana przez windę roacutewnież będzie opisana funkcją kwadratową jednak w tym przypadku długość odcinkoacutew pokonywanych przez nią w jednostce czasu będzie malała z kwadratem czasu W tym etapie ruchu prędkość roacutewnież będzie się zmieniała liniowo ale tym razem prędkość będzie malała jednostajnie w czasie Pomiędzy piętrami nachylenie krzywej zależności drogi od czasu jest wielkością stałą w każdej chwili czasu ndash zatem roacutewnież prędkość jest stała

ROZDZIAŁ 2

Strona 28282828

Rysunek 23 Wykres zależności czasowej położenia prędkości

i przyśpieszenia poruszającej się w goacuterę windy

Warto poroacutewnać otrzymane zależności ze znanymi wzorami opisującymi ruch jednostajny i jednostajnie przyspieszony W ruchu prostoliniowym jednostajnie przyspieszonym przyspieszenie a ma wartość stałą ndash prędkość wyraża się wzorem

atvv += 0 (27)

gdzie 0v ndash prędkość początkowa obiektu

Pokonana przez ciało droga s wyraża się natomiast wzorem

2

2

00

attvss ++= (28)

OPIS RUCHU

Strona 29292929

gdzie s0 oznacza drogę początkową Jak łatwo zauważyć wielkości te są ze sobą powiązane zależnościami roacuteżniczkowymi ndash obliczając pochodną drogi po czasie otrzymujemy prędkość a obliczając z kolei pochodną prędkości otrzymujemy przyspieszenie ktoacutere jest stałe

ROZDZIAŁ 2

Strona 30303030

3 Dynamika

W tym rozdziale

o Zasady dynamiki Newtona o Zasada superpozycji o Zasada zachowania pędu

ROZDZIAŁ 3

Strona 32323232

31 Zasady dynamiki Newtona

Dynamika zajmuje się przyczynami zmian ruchu Ilość tego ruchu lub też stan ruchu danego ciała opisuje pęd Pęd ciała jest proporcjonalny zaroacutewno do prędkości poruszającego się ciała jak i jego masy ndash im szybciej ciało się porusza oraz im większą ma masę tym większa ilość ruchu związana jest z tym ciałem czyli tym większy jest jego pęd Jednostką pędu jest kg ms Pęd jest wektorem skierowanym zgodnie z kierunkiem prędkości ciała

vrr

mp = (31)

Dynamikę ruchu ciała czyli przyczyny zmian pędu ciała wyjaśniają zasady dynamiki Newtona Zasady dynamiki Newtona są prawami pierwszymi ktoacuterych nie można wyprowadzić ani udowodnić za pomocą innych praw Zasady dynamiki Newtona są ścisłym matematycznym ujęciem powszechnych obserwacji dotyczących poruszających się obiektoacutew

Druga zasada dynamiki Newtona

Nasze rozważania rozpoczniemy od II zasady dynamiki Newtona

Wyobraźmy sobie że chcemy rozpędzić ciężki woacutezek Z codziennych doświadczeń wynika że taki sam efekt możemy osiągnąć w wyniku kroacutetkotrwałego ale bardzo mocnego pchnięcia jak i długotrwałego popy-chania woacutezka z niewielką siłą Można roacutewnież powiedzieć że im więk-sza jest wartość siły działającej na ciało oraz im dłużej ona działa czyli im większy jest popęd tej siły tym większą zmianę pędu ona wywoła Zależność tę możemy zapisać w postaci

tF dpdvr

= (32)

Powyższy wzoacuter można przekształcić i zapisać w postaci roacuteżniczkowej (dla infinitezymalnie kroacutetkiego przedziału czasowego dt )

t

pF

d

dr

r= (33)

DYNAMIKA

Strona 33333333

Miarą siły działającej na ciało jest pochodna jego pędu po czasie

Powyższe sformułowanie oraz roacutewnanie 33 jest wspoacutełczesnym zapisem II zasady dynamiki Newtona

Definicja siły za pomocą pochodnej pędu ciała po czasie oznacza że jeżeli wykreślimy zależność pędu ciała od czasu to nachylenie stycznej do krzywej obrazującej zmiany wartości pędu od czasu będzie propor-cjonalne do wartości siły działającej na ciało

Żeby dokładniej zrozumieć znaczenie II zasady dynamiki Newtona wy-liczmy teraz wartość pochodnej pędu po czasie pamiętając że pęd jest wielkością złożoną tzn zależy zaroacutewno od masy jak i prędkości ciała

( )

vt

mm

t

v

t

mvF

d

d

d

d

d

d+== (34)

Powyższe roacutewnanie jest tzw roacuteżniczkowym roacutewnaniem ruchu ciała Pierwszy człon tego roacutewnania jest roacutewny iloczynowi masy i przyśpiesze-nia (pochodna prędkości po czasie) Widzimy zatem że im większa jest masa ciała tym trudniej jest mu nadać przyśpieszenie ndash masa jest miarą bezwładności ciała Drugi człon roacutewnania opisuje przypadki kiedy zmiana pędu następuje w wyniku zmiany masy ciała Przykładem takiego układu w ktoacuterym zmienia się masa może być rakieta Podczas startu z dysz rakiety wyrzucany jest strumień spalin ktoacutery wywołuje jej ruch ale roacutewnież zmniejsza masę całego obiektu Dla układoacutew ktoacuterych masa nie zmienia się drugi człon roacutewnania 34 wynosi zero i roacuteżniczko-we roacutewnanie ruchu można zapisać w postaci uproszczonej ndash siła F działająca na ciało o masie m nadaje mu przyspieszenie a o kierunku i zwrocie takim samym jak działająca siła

amFrr

= (35)

Pierwsza zasada dynamiki Newtona

Rozpatrzmy teraz przypadek kiedy pęd ciała jest stały czyli jego pręd-kość nie zmienia się w czasie Woacutewczas wykres zależności pędu od czasu jest linią poziomą czyli kąt nachylenia tej krzywej i zarazem tangens kąta stycznej do tej krzywej jest w każdym punkcie taki sam i wynosi zero Oznacza to że pochodna pędu po czasie w każdej chwili ruchu roacutewnież wynosi zero Zgodnie z II zasadą dynamiki Newtona

ROZDZIAŁ 3

Strona 34343434

jeżeli pochodna pędu po czasie wynosi zero to wypadkowa siła działająca na ciało roacutewnież musi wynosić zero Ten przypadek zachowa-nia się ciała pod wpływem zerowej wypadkowej siły opisuje I zasada

dynamiki Newtona

Jeżeli na ciało nie działa żadna siła albo siły działające roacutewno-ważą się to stan ruchu ciała nie ulega zmianie jeśli poruszało się prostoliniowo jednostajnie to będzie nadal trwało w tym ru-chu a jeśli było w spoczynku to nadal pozostaje w spoczynku

Zasada ta nazywana jest roacutewnież zasadą bezwładności ndash ciało nie jest władne zmienić stanu swego ruchu jeżeli nie działa na nie siła

Trzecia zasada dynamiki Newtona

Względem każdego działania (akcji) istnieje roacutewne mu przeciw-działanie (reakcja) skierowane przeciwnie tj wzajemne od-działywania dwoacutech ciał są zawsze roacutewne sobie i skierowane przeciwnie

Zgodnie z III zasadą dynamiki Newtona jeżeli jakieś ciało A działa na ciało B pewną siłą to roacutewnież ciało B działa na ciało A siłą roacutewną co do wartości ale o przeciwnym zwrocie co zapisujemy

A na BB naA FFrr

minus= (36)

Rozpatrzmy uderzenie ręką piłki siatkowej W momencie uderzenia działamy na piłkę siłą ktoacutera wywołuje jej ruch ale zgodnie z III zasadą dynamiki Newtona roacutewnież piłka działa na naszą dłoń z tą samą siłą lecz o przeciwnym zwrocie Gdy odbijamy piłkę lekko czyli działamy na nią niewielką siłą roacutewnież siła reakcji ma niewielką wartość ale przy moc-nym uderzeniu czyli gdy działamy na piłkę z dużą siłą występuje roacutewnie duża siła reakcji ktoacuterą odczuwamy jako ucisk czy nawet boacutel dłoni

Zasada superpozycji

Opisując ruch ciał pod wpływem działających na nie sił należy pamiętać że zaroacutewno siła jak i pęd są wektorami Szukając więc siły wypadkowej z kilku sił składowych działających na ciało należy dodać wektorowo wszystkie siły składowe Zmiana pędu będzie następowała w tym samym kierunku co ta wypadkowa siła W przypadku gdy roacuteżniczkowe

DYNAMIKA

Strona 35353535

roacutewnania ruchu dla każdego z kierunkoacutew w ktoacuterych działają siły składowe są liniowe możemy skorzystać z zasady superpozycji Zgod-nie z zasadą superpozycji wypadkowe zachowanie ciała pod wpływem kilku składowych sił może być opisane jako złożenie ruchoacutew wywoła-nych każdą z sił z osobna

Zasadę superpozycji wykorzystamy do opisu ruchu ciała rzuconego z prędkością początkową v0 pod pewnym kątem α względem powierz-chni Ziemi (rzut ukośny) Jeżeli chwilowo zaniedbamy opory powietrza to na takie ciało będzie działała tylko siła grawitacji skierowana wzdłuż osi pionowej ( y ) A więc tylko w kierunku pionowym będziemy obser-wowali zmianę ruchu (zmianę pędu) ciała W kierunku poziomym x natomiast na ciało nie działa żadna siła a więc pęd się nie zmienia i ruch jest jednostajny Wypadkowy ruch ciała rzuconego ukośnie jest więc złożeniem ruchu jednostajnie przyspieszonego w kierunku pionowym (pod wpływem przyspieszenia g) oraz jednostajnego w kierunku pozio-mym i może być opisany krzywą paraboliczną

32 Zasada zachowania pędu

Rozpatrzmy układ odosobniony w ktoacuterym na ciała nie oddziałują żadne siły zewnętrzne a jedynie siły wzajemnych oddziaływań Zgodnie z III zasadą dynamiki Newtona takie siły wzajemnych oddziaływań między każdymi dwoma ciałami układu są identyczne co do wartości lecz mają przeciwne zwroty Wypadkowa siła działająca na cały układ jest woacutewczas zerowa a więc zgodnie z I zasadą dynamiki Newtona całkowity pęd układu nie zmienia się w czasie Oznacza to że jeżeli w takim układzie odosobnionym nastąpi zmiana pędu jednego ciała o ∆p to pęd drugiego ciała (lub pozostałych ciał) musi roacutewnież ulec zmianie o taką samą wartość lecz o przeciwnym zwrocie (-∆p) W ten sposoacuteb dochodzimy do zasady zachowania pędu ktoacutera może być zapisana w następujący sposoacuteb

W układzie odosobnionym całkowity pęd układu (suma pędoacutew wszystkich ciał) jest wielkością stałą

0p∆

constppi

i

=

==sumr

rr

(37)

ROZDZIAŁ 3

Strona 36363636

Ponieważ pęd jest wielkością wektorową w przypadku zdarzeń opisywa-nych w więcej niż jednym wymiarze zasada zachowania pędu jest speł-niona niezależnie dla każdego z kierunkoacutew W troacutejwymiarowym ukła-dzie kartezjańskim zasadę zachowania pędu można więc zapisać

0p∆

0p∆

0p∆

z

y

x

=

=

=

(38)

Przykład 1

Zastosujmy najpierw zasadę zachowania pędu dla przykładu jednowy-miarowego Rozpatrzmy nieruchomy pocisk o masie m ktoacutery w wyniku wybuchu ulega rozerwaniu na dwie części o masach 13m oraz 23m Większa część porusza się w prawo z prędkością 0v Z jaką prędkością

i w ktoacuterą stronę poruszać się będzie mniejsza część pocisku

Ponieważ układ jest odosobniony to zgodnie z zasadą zachowania pędu całkowity pęd układu nie ulega zmianie Czyli jeżeli pęd układu przed wystrzałem wynosił zero (pocisk był nieruchomy) to roacutewnież pęd koń-cowy będący sumą pędoacutew obu części pocisku będzie roacutewny zeru Zasadę zachowania pędu w tym przypadku możemy zapisać

vmvm 31

0320 += (39)

02vv minus= (310)

Znak minus w powyższym wyniku oznacza że wektor prędkości mniej-szej części pocisku ma zwrot przeciwny do wektora prędkości większej części pocisku

DYNAMIKA

Strona 37373737

Rysunek 31 Zderzenie dwoacutech kul

Przykład 2

Zastosujmy teraz zasadę zachowania pędu dla układu dwuwymiarowego Rozważmy zderzenie dwoacutech identycznych kul bilardowych o masie m każda W chwili początkowej kula B jest nieruchoma i uderza w nią kula

A poruszająca się wzdłuż osi x z prędkością 0v W jakim kierunku i z jaką prędkością będzie się poruszała po zderzeniu kula B jeżeli po zderzeniu kula A porusza się z prędkością 0 05 v wzdłuż osi y jak na

rysunku 31

Podobnie jak w poprzednim przykładzie zakładamy że rozważany układ jest układem odosobnionym a więc całkowity pęd układu dwoacutech kul przed i po zderzeniu jest taki sam W szczegoacutelności składowe pędu całkowitego układu w kierunku każdej z osi układu odniesienia roacutewnież nie zmieniają się Przed zderzeniem w kierunku osi x całkowity pęd układu był roacutewny pędowi kuli A (tylko kula A porusza się w kierunku x a kula B jest nieruchoma) natomiast po zderzeniu tylko prędkość kuli B ma pewną składową wzdłuż osi x a więc po zderzeniu pęd całkowity układu w kierunku osi x jest roacutewny składowej pędu kuli B Zasadę zachowania pędu dla kierunku x możemy zatem zapisać

BXB0A

xkoncowy x poczatkowy

mm

pp

vv =

= (311)

ROZDZIAŁ 3

Strona 38383838

W kierunku osi y pęd początkowy układu wynosi zero (żadna z kul nie porusza się wzdłuż osi y) zaś pęd końcowy związany jest z kulą A poruszającą się w goacuterę w kierunku osi y oraz kulą B ktoacuterej prędkość ma składową o zwrocie przeciwnym niż oś y (składowa w doacuteł) Zasadę zachowania pędu dla kierunku y możemy więc zapisać

ByBAyA

ykoncowy y poczatkowy

mm0

pp

vv minus=

= (312)

Uwzględniając αcosBBx vv = αsinBBy vv = 0Ay 05 vv = oraz

przyjmując mmm BA == układ roacutewnań 311 oraz 312 możemy przekształcić do postaci

=sdot

sdot=

α

α

sinm05m

cosmm

B0

B0

vv

vv (313)

a następnie wyznaczyć prędkość kuli B oraz kąt pod jakim poruszać się będzie kula B

==

=

4tg

22

21

0B

παα

vv (314)

Kula B poruszać się więc będzie z prędkością 22

0B vv = w prawo

i w doacuteł pod kątem π4 względem osi x

Zasada zachowania pędu jest wykorzystywana i pozwala wyjaśnić dzia-łanie między innymi silnikoacutew odrzutowych samolotoacutew czy strumienio-wych łodzi W silniku odrzutowym powietrze jest najpierw zasysane do komory silnika w ktoacuterej ulega kompresji W skompresowanym powie-trzu następuje spalanie benzyny a gorące spaliny opuszczają dyszę silni-ka z dużą prędkością Pęd wyrzucanych spalin wywołuje w tym przypad-ku zmianę pędu silnika a przez to całego samolotu Konstrukcje innego typu wykorzystujące strumień rozpędzonych jonoacutew (naładowanych czą-stek) używane są do pozycjonowania satelitoacutew i sond kosmicznych Silniki oparte na zasadzie odrzutu wykorzystywane są roacutewnież w napę-dzie skuteroacutew wodnych i nowoczesnych łodzi podwodnych W tym drugim przypadku hałas wytwarzany przez układ napędowy jest niższy niż w tradycyjnym rozwiązaniu ze śrubą napędową Należy pamiętać że

DYNAMIKA

Strona 39393939

roacutewnież w przypadku śrub śmigieł i wirnikoacutew napędowych wykorzystu-jemy w mniejszym lub większym stopniu zjawisko odrzutu

ROZDZIAŁ 3

Strona 40404040

4 Praca i energia

W tym rozdziale

o Praca o Pole sił zachowawczych i niezachowawczych o Pole sił grawitacyjnych praca i energia w polu sił

grawitacyjnych o Ruch po okręgu ruch planet wokoacuteł Słońca prawa

Keplera o Energia potencjalna sprężystości o Energia kinetyczna o Zasada zachowania energii mechanicznej o Zderzenia

ROZDZIAŁ 4

Strona 42424242

41 Praca

W języku potocznym pojęcie pracy ma wiele znaczeń Moacutewimy o pracy umysłowej (na przykład uczenie się do egzaminoacutew) ale najczęściej z po-jęciem pracy wiąże się przemieszczaniem ciała Jeżeli na przykład prze-suwamy meble w pokoju to tym bardziej się zmęczymy im dalej przesu-niemy dany mebel Wiemy roacutewnież że bardziej męczące jest przesuwa-nie ciężkiej kanapy niż lekkiego krzesła oraz że dużo łatwiej jest przesu-wać meble po gładkiej podłodze niż po dywanie Tak więc moglibyśmy powiedzieć że tym bardziej się zmęczymy (wykonamy większą pracę) im trudniej jest nam przesuwać ciało (pokonać większą siłę) oraz im dalej to ciało przesuniemy (większe przemieszczenie) W ten sposoacuteb dochodzimy do fizycznej definicji pracy

Praca jest roacutewna iloczynowi przemieszczenia oraz siły ktoacutera te przemieszczenie wywołuje Praca jest wielkością skalarną wyra-żaną w dżulach (ang Joul) [J] i w ogoacutelności może być zdefinio-wana jako iloczyn skalarny siły i przesunięcia

αcos sFsFW =sdot=rr

(41)

gdzie α oznacza kąt między wektorem siły i przesunięcia

Rysunek 41 Praca jako iloczyn skalarny siły i przesunięcia

Taka definicja pracy uwzględnia fakt że pracę wykonuje tyko składowa siły roacutewnoległa do wektora przesunięcia Na przykład jeśli przesuwamy skrzynię po podłodze na odległość D = 3m ciągnąc ją za uchwyt siłą F = 20N skierowaną pod kątem α = 45ordm do poziomu to zgodnie z po-wyższym wzorem wykonamy pracę W = 423J Zależnie od wartości sił tarcia wykonana praca może być w całości zużyta na pokonanie sił tar-cia na tej drodze bądź (jeśli podłoga jest śliska) na nadanie dodatkowo skrzyni przyspieszenia

PRACA I ENERGIA

Strona 43434343

Definicja pracy przedstawiona w roacutewnaniu (41) słuszna jest jeśli za-roacutewno siła działająca na ciało jak i kąt między tą siłą a przesunięciem mają stałą wartość Jeśli natomiast wartość siły lub kąta pomiędzy kie-runkiem siły a wektorem przemieszczenia zmienia się podczas ruchu musimy zastosować inną procedurę obliczania pracy całkowitej Ponie-waż praca jest wielkością addytywną czyli całkowita praca wykonana na określonej drodze jest roacutewna sumie prac wykonanych na poszczegoacutelnych jej odcinkach to możemy całą drogę podzielić na takie odcinki dla ktoacuterych wartość siły i kąta między siłą a przemieszczeniem są stałe

nnn222111 coscoscos ααα xFxFxFW +++= (42)

Przykładowo praca wykonana przy przesuwaniu kanapy w pokoju mogłaby zostać podzielona na dwie składowe ndash przesunięcia po dywanie oraz po parkiecie

Opisaną procedurę obliczania pracy całkowitej można roacutewnież przedsta-wić w formie graficznej jako procedurę wyznaczania pola pod wykresem

zależności siły od przesunięcia Jeżeli na pewnym odcinku drogi nx siła

ma stałą wartość nF to pole pod takim odcinkiem wykresu wynosi

nn xF i jest roacutewnoznaczne wykonanej pracy

Jeżeli siła zmienia swoją wartość lub zwrot w każdej chwili czasu nie-zbędne jest podzielenie drogi na nieskończenie wiele bardzo małych kawałeczkoacutew (infinitezymalnie małych) dla ktoacuterych można przyjąć stałą wartość działającej siły Praca całkowita będzie sumą składowych prac wyznaczonych dla każdego z takich infinitezymalnych odcinkoacutew Proce-dura taka odpowiada matematycznej operacji całkowania i możemy ją zapisać w postaci

( ) ( )int=

=

=b

a

)( dcos x

x

xxxFW α (43)

lub w zapisie wektorowym

( )int=

=

sdot=b

a

dx

x

xxFWrr

(44)

W powyższym zapisie wprowadziliśmy znak całki oznaczonej ktoacutery oz-nacza że sumowanie składowych wartości pracy przeprowadzane jest od punktu x = a do x = b

ROZDZIAŁ 4

Strona 44444444

Aby wyjaśnić sposoacuteb obliczania całki oznaczonej rozpatrzmy najpierw całkę nieoznaczoną

( ) ( )int= xxfxg d (45)

gdzie int jest symbolem całkowania (jest to stylizowana litera s i odpo-

wiada sumowaniu) dx ndash zmienną całkowania f(x) ndash funkcją podcałkową zaś g(x) jest funkcją pierwotną Operacja całkowania jest operacją odwrotną do roacuteżniczkowania i oznacza że szukamy takiej funkcji g(x) ktoacuterej pochodna po zmiennej x będzie roacutewna funkcji podcałkowej f(x)

)(d

)(dxf

x

xg= (46)

Należy podkreślić że funkcję g(x) będącą wynikiem całkowania znamy z dokładnością do stałej ndash dodanie do funkcji g(x) dowolnej stałej C nie zmienia jej pochodnej f(x) Zatem wzoacuter 45 należy przepisać w postaci

( ) ( )int=+ xxfxg dC (47)

Rozpatrzmy teraz całkę oznaczoną

a)(b)()d(Zb

a

=minus=== int=

=

xgxgxxf

x

x

(48)

gdzie x = a jest dolną granicą całkowania zaś x = b jest goacuterną granicą całkowania

W wyniku obliczania całki oznaczonej w przeciwieństwie do całki nie-oznaczonej otrzymujemy liczbę (Z) a nie funkcję (g(x)) W praktyce w celu wyznaczenia wartości Z takiej całki oznaczonej najpierw znajdu-jemy funkcję g(x) będącą rozwiązaniem całki nieoznaczonej z funkcji f(x) a następnie od wartości tej funkcji w goacuternej granicy całkowania (g(x=b)) odejmujemy wartość otrzymaną w dolnej granicy całkowania (g(x=a))

Przykłady

Przykład 1 Jaką pracę należy wykonać by wciągnąć ciało o masie m po gładkiej roacutewni pochyłej o kącie nachylenia α na wysokość H Opory ruchu zaniedbujemy

PRACA I ENERGIA

Strona 45454545

Rysunek 42 Ruch ciała po roacutewni pochyłej

Załoacuteżmy że działamy na ciało siłą F skierowaną wzdłuż powierzchni roacutewni Ciężar ciała (mg) skierowany pionowo w doacuteł rozkładamy na dwie dwie składowe roacutewnoległą do roacutewni siłę ściągającą ciało w stronę podstawy roacutewni Fs oraz prostopadłą do roacutewni siłę nacisku FN Aby wciągać ciało siła F musi roacutewnoważyć siłę zsuwającą Fs

αsinmgF S = (49)

Droga na ktoacuterej wykonujemy pracę jest roacutewna

αsinHS = (410)

Zatem całkowita praca wynosi

mgHSFW S == (411)

Wynik ten jest identyczny jaki uzyskamy gdybyśmy podnosili ciało pionowo w goacuterę Tak więc jeżeli zaniedbamy opory ruchu praca (w polu grawitacyjnym) nie zależy od drogi po ktoacuterej przesuwamy ciało a jedy-nie od położenia punktu początkowego i końcowego

Przykład 2 Jaką pracę należy wykonać by wciągnąć ciało o masie m po roacutewni pochyłej o kącie nachylenia α na wysokość H jeśli wspoacutełczynnik tarcia kinetycznego o powierzchnię roacutewni wynosi micro

W tym przypadku wciągając przedmiot po roacutewni podobnie jak w po-przednim zadaniu roacutewnież musimy pokonywać siłę ściągającą ciało ku podstawie roacutewni Fs wykonując pracę roacutewną W1 = mgH Ponieważ na roacutewni występuje dodatkowo siła tarcia T do wciągnięcia ciała niezbędna będzie roacutewnież dodatkowa praca Siła tarcia jest proporcjonalna do siły

ROZDZIAŁ 4

Strona 46464646

nacisku ciała na powierzchnię FN (wypadkowa wszystkich sił działają-cych w kierunku prostopadłym do powierzchni) a jej kierunek i zwrot są zawsze przeciwne wektorowi przemieszczenia ndash tarcie przeciwdziała ruchowi ciała

SFT N= (412)

Tak więc praca związana z pokonaniem siły tarcia wynosi

SFSTW N2 micro== (413)

gdzie

αcosmgFN = (414)

Zatem całkowita praca wciągnięcia ciała po roacutewni pochyłej o kącie nachylenia α na wysokość H jest roacutewna

( )α

HαmicroαmgWWW

sincossin21 +=+= (415)

Przykład 3 Jaką pracę należy wykonać by oproacuteżnić przydomowy kolek-tor ściekowy o głębokości D = 2m i objętości V = 6m3 do cysterny Za-roacutewno zbiornik kolektora jak i zbiornik cysterny mają identyczne wy-miary Przyjmij że dno zbiornika cysterny znajduje się na identycznej wysokości jak goacuterna powierzchnia zbiornika kolektora

Rysunek 43 Przepompowywanie wody z kolektora ściekowego

do cysterny

Problem z pozoru wydaje się prosty ndash należy unieść pewną ilość wody na określoną wysokość Zauważamy że praca do wpompowania pierw-

PRACA I ENERGIA

Strona 47474747

szej porcji wody z powierzchni kolektora jest niewielka ndash dno cysterny znajduje się na identycznej wysokości co powierzchnia zbiornika Jed-nak po wpompowaniu do cysterny pierwszej porcji wody wytworzy ona warstwę o wysokości dh zaś poziom płynu w zbiorniku obniży się o dh i następna porcja musi być uniesiona na wysokość odpowiednio większą

Podzielmy rozwiązanie tego zagadnienia na dwa etapy ndash wypompowanie wody ze zbiornika na poziom ziemi (praca W1) oraz wpompowanie wody z poziomu ziemi do cysterny (W2) Będziemy rozpatrywać jednakowe małe porcje wody ndash warstwy o wysokości dh Masę takiej warstwy możemy wyrazić jako dm = Sρdh gdzie ρ jest gęstością wody a S polem przekroju zbiornika (roacutewnież cysterny) a siła użyta do podniesienia każdej takiej porcji wody ma tę samą stałą wartość Praca wykonana na podniesienie tej warstwy na wysokość h wynosi dW = Sρhdh Przy oproacuteżnianiu zbiornika porcję wody początkowo będziemy podnosić na wysokość 0 a na końcu na wysokość D ndash wielkości te będą granicami całkowania przy wyliczaniu pracy W1

2

DMg

2

DSρρhhgρSW

2D

0

1 === int d (416)

gdzie przez M możemy oznaczyć całkowitą masę wody roacutewną M = Vρ Pracę W2 niezbędną do napełnienia cysterny liczymy w identyczny sposoacuteb i otrzymamy tę samą wartość co w przypadku oproacuteżniania zbior-nika (W2 = W1) Całkowita praca wykonana przy przepompowaniu wody ze zbiornika do cysterny wynosi zatem

MgDWWW 1 =+= 2 (417)

Warto zwroacutecić uwagę że identyczny wynik uzyskalibyśmy traktując wodę jako bryłę sztywną o środku masy położonym w połowie wysokoś-ci zbiornika (w praktyce można to osiągnąć np żelując lub zamrażając wodę) ktoacuterą podnosimy na wysokość D Woacutewczas praca wykonana w obu przypadkach ndash czy mamy do czynienia z cieczą czy z bryłą lodu musi być taka sama Z przykładu tego wynika praktyczna wskazoacutewka że zamiast rozpatrywać obiekty rozciągłe przestrzennie możemy zastępo-wać je masą punktową czyli przyjąć że cała masa zgromadzona jest w jednym punkcie znajdującym się w środku ciężkości obiektu

ROZDZIAŁ 4

Strona 48484848

42 Pole sił zachowawczych i niezachowawczych

Jeśli siły są zachowawcze to praca wykonana podczas prze-mieszczenia obiektu nie zależy od drogi po jakiej przesuwamy ciało a jedynie od położenia punktu początkowego oraz końcowego

Rysunek 44 Praca przemieszczenia ciała w polu sił zachowawczych

Rozważmy dwie drogi między punktami A oraz B ndash A1B oraz A2B ndash przedstawione na rysunku 44 Jeżeli praca przemieszczenia ciała z pun-ktu A do punktu B po drodze A1B oraz A2B ma taką samą wartość to punkty A i B znajdują się w polu sił zachowawczych Praca przemiesz-czenia ciała w polu sił zachowawczych zależy tylko od położenia punktu początkowego i końcowego Zatem w przedstawionym przypadku praca wykonana po drodze zamkniętej wynosi zero gdyż położenie końcowe jest tożsame z początkowym Przykładem pola sił zachowawczych jest pole grawitacyjne Jeżeli pewien przedmiot przesuniemy na wierzchołek idealnie gładkiej roacutewni pochyłej wykonamy pewną pracę przeciwsta-wiając się sile grawitacji Przesunięcie tego przedmiotu z powrotem do położenia początkowego u podnoacuteża roacutewni odbywa się pod wpływem siły grawitacji Wykonuje ona nad przedmiotem pracę roacutewną co do wartości pracy wykonanej przez nas Ponieważ w tym przypadku zwrot siły jest przeciwny roacutewnież praca ma przeciwny znak W efekcie całkowita praca na takiej drodze zamkniętej (wsunięcie i zsunięcie po roacutewni pochyłej) jest roacutewna zeru Podobnie zerową całkowitą pracę otrzymamy na przykład dla ruchu wahadła zegara jeżeli zaniedbamy opory powietrza oraz opory mechanizmu Wahadło podnosząc się wykonuje

PRACA I ENERGIA

Strona 49494949

pracę przeciw siłom grawitacji ale podczas obniżania to siły grawitacji wykonują identyczną pracę nad wahadłem

Jeśli ciało znajduje się w polu sił niezachowawczych to praca wykona-na na drodze zamkniętej jest roacuteżna od zera Wszystkie układy w ktoacuterych mamy do czynienia z siłami oporu np siłami tarcia tworzą pole sił niezachowawczych W polu sił niezachowawczych część pracy zazwy-czaj rozpraszana jest w postaci ciepła i niemożliwe jest całkowite jej odzyskanie w postaci pracy mechanicznej

43 Pole sił grawitacyjnych

Siła grawitacji jest siłą przyciągającą działającą między wszystkimi ciałami obdarzonymi masą Wartość siły przyciągania grawitacyjnego zależy od masy oddziałujących ciał m1 i m2 oraz odległości r między nimi

221

r

mmGF = (418)

gdzie r ndash odległość pomiędzy masami G = 66742middot10-11 Nm2kg-2 ndash stała grawitacji

Podkreślając powszechność siły przyciągania grawitacyjnego należy za-znaczyć roacutewnież że wpływ oddziaływań grawitacyjnych pochodzących od niektoacuterych obiektoacutew często może być pominięty Na przykład na jabłko wiszące na drzewie działa nie tylko siła grawitacji pochodząca od Ziemi ale także od drzewa obserwatora stojącego pod drzewem czy in-nych jabłek wiszących powyżej naszego jabłka Ponieważ masa wszyst-kich wymienionych obiektoacutew jest wielokrotnie mniejsza niż masa Ziemi ich wpływ na wartość i zwrot wypadkowej siły grawitacji jest znikomo mały dlatego z bardzo dobrym przybliżeniem możemy zaniedbać te czynniki i rozważać wyłącznie wpływ oddziaływania grawitacyjnego Ziemi Dowodem tego że na obiekty znajdujące się na Ziemi działają roacutewnież siły przyciągania grawitacyjnego Słońca i Księżyca są min pływy morskie

Wroacutećmy do przykładu pola sił grawitacyjnych wytworzonych przez Ziemię Wartość siły grawitacji w takim polu sił jest proporcjonalna do masy ciała znajdującego się w tym polu Aby scharakteryzować pole sił

ROZDZIAŁ 4

Strona 50505050

grawitacyjnych niezależnie od masy ciała znajdującego się w tym polu definiujemy natężenie pola czyli stosunek siły działającej na niewielką masę m (nie zaburzającą pola pochodzącego od dużej masy M) do wartości tej masy m

gr

GM

mr

GMm

m

FE

22==== (419)

Zauważmy że wartość natężenia pola grawitacyjnego pochodzącego od Ziemi wyznaczona na jej powierzchni (w odległości RZ od środka Ziemi) jest roacutewna przyspieszeniu ziemskiemu g czyli wartości przyspieszenia z jakim poruszać się będzie ciało znajdujące się na powierzchni Ziemi podczas swobodnego spadku

2

Z

Z

R

GMg = (420)

Woacutewczas siłę oddziaływania grawitacyjnego Ziemi (siłę ciężkości Fc) na ciało o masie m znajdującej się na powierzchni Ziemi możemy zapisać roacutewnież w postaci

mgF =c (421)

Praca w polu sił grawitacyjnych

W poprzednim rozdziale przekonaliśmy się że podniesienie ciała na wy-sokość h wymaga wykonania nad ciałem pracy związanej z pokonywa-niem siły grawitacji (Fc = mg) i wynosi Wh = Fch = mgh Wiemy roacutew-nież że ciężarek ten upuszczony z tej samej wysokość h może wykonać pracę WC ktoacuterej wartość w układzie zachowawczym (nie istnieją siły oporu) jest identyczna z pracą wydatkowaną na jego podniesienie Wh = mgh Ciężarek znajdując się na wysokości h posiada zdolność wykonania pracy o wartości Wh = mgh Taka zdolność do wykonania pracy w fizyce nazywana jest energią

Praca i energia są ze sobą ściśle powiązane ndash wykonana praca jest magazynowana w postaci energii

Energia potencjalna sił grawitacyjnych

Energię można nazwać energią potencjalną jeśli zależy w jaw-ny sposoacuteb od położenia w polu sił

PRACA I ENERGIA

Strona 51515151

Energia ciężarka z poprzedniego przykładu znajdującego się na pewnej wysokości nad Ziemią spełnia tę definicję W pobliżu powierzchni Zie-mi dla niedużych zmian wysokości na ciało działa siła przyciągania o wartości mg Jeżeli opisując takie ciało wprowadzimy poziom odnie-sienia względem ktoacuterego liczymy wysokość (np powierzchnię Ziemi) to dowolnemu ciału znajdującemu się na wysokości h powyżej tego poziomu możemy przypisać konkretną wartość energii potencjalnej

mghE = (422)

Mapa geograficzna z naniesionymi poziomicami wyrażającymi wyso-kość punktoacutew względem poziomu morza (punkt odniesienia) może zo-stać zatem odczytana roacutewnież jako zapis energii potencjalnej ciała znaj-dującego się na powierzchni ziemi

Czy praca wykonana przeciwko siłom tarcia roacutewnież powoduje wzrost energii potencjalnej W tym przypadku praca nie jest magazynowana w postaci energii mechanicznej ale tracona (rozpraszana) w postaci cie-pła Możemy woacutewczas moacutewić jedynie o wzroście energii wewnętrznej ciała ndash problem ten omoacutewimy dokładniej w rozdziale poświęconym termodynamice

Podobnie jak w przypadku siły oddziaływania grawitacyjnego wzoacuter 421 jest prawdziwy jedynie dla obiektoacutew znajdujących się w pobliżu po-wierzchni Ziemi tak samo zależność 422 opisująca energię potencjalną pola sił grawitacyjnych jest prawdziwa jedynie dla niewielkich w poroacutew-naniu z promieniem Ziemi odległości od powierzchni Ziemi

W ogoacutelności energię potencjalną ciała możemy zdefiniować jako pracę jaką należy wykonać by umieścić ciało w danym punkcie Załoacuteżmy że przemieszczenie ciała o masie m odbywa się z punktu odległego o r1 od środka ciała o masie M do punktu odległego o r2 gdzie r2 lt r1 Obliczając pracę przesunięcia tego ciała z punktu r1 do r2 korzystamy ze wzoru 418 oraz 43 w ktoacuterym za wartość cosinusa przyjmujemy 1 gdyż w rozwa-żanym przypadku wektor przemieszczenia z punktu r1 do r2 oraz siła grawitacji mają ten sam kierunek i zwrot

int=2

1

r

r

2r

r

GMmW d (423)

Skorzystaliśmy w tym przypadku z całkowej postaci wzoru na pracę ponieważ siła działająca na ciało ma zmienną wartość ndash zależy od odległości od środka ciała o masie M Funkcją pierwotną dla funkcji 1r2

ROZDZIAŁ 4

Strona 52525252

jest funkcja 1r Aby obliczyć wartość powyższej całki od wartości funkcji pierwotnej wyznaczonej w goacuternej granicy odejmujemy wartość w dolnej granicy całkowania Otrzymujemy wzoacuter końcowy na pracę przesunięcia ciała o masie m w polu grawitacyjnym ciała o masie M z punktu odległego od środka ciała M o r1 do punktu odległego o r2

minus=

21 r

1

r

1GMmW (424)

Powyższy wzoacuter na pracę zależy od dwoacutech zmiennych ndash punktu odniesię-nia (r1) oraz punktu w ktoacuterym znajduje się ciało (r2) Żeby uniknąć pro-blemu definiowania za każdym razem punktu odniesienia we wszystkich zagadnieniach związanych z polem sił grawitacyjnych umieszczamy punkt odniesienia w nieskończoności Woacutewczas pierwszy wyraz we wzorze 424 zeruje się (jedność podzielona przez nieskończo-ność wynosi zero) i wartość wykonanej pracy zależy wyłącznie od koń-cowego położenia ciała w polu grawitacyjnym Oznacza to że energia potencjalna grawitacji ciała o masie m znajdującego się w odległości r od masy M będącej źroacutedłem pola grawitacyjnego wynosi więc

r

GMmWE P

minus== (425)

Jak pokazaliśmy powyżej ujemny znak energii potencjalnej jest konsek-wencją wyboru punktu odniesienia

Gdyby energia potencjalna nie była zdefiniowana ze znakiem minus energia potencjalna ciała znajdującego się w większej odległości od ma-sy M byłaby mniejsza Ponieważ wszystkie układy dążą do osiągnięcia minimum energii wszystkie ciała oderwałyby się od powierzchni Ziemi Obecność znaku minus powoduje że ciało by obniżyć swoją energię po-tencjalną porusza się w kierunku środka Ziemi Woacutewczas gdy odległość r od środka Ziemi maleje energia potencjalna staje się coraz bardziej ujemna czyli coraz mniejsza

Dla obiektoacutew znajdujących się w polu grawitacyjnym definiuje się czę-sto jeszcze jedną wielkość fizyczną ndash potencjał grawitacyjny Potencjał grawitacyjny jest roacutewny energii ciała podzielonej przez jego masę m (traktujemy masę m jako na tyle małą że nie zakłoacuteca ona pola) Potencjał jest zatem związany wyłącznie z masą M będącą źroacutedłem pola grawitacyjnego

PRACA I ENERGIA

Strona 53535353

r

GMV g

minus= (426)

Druga prędkość kosmiczna

Druga prędkość kosmiczna jest to minimalna prędkość jaką powinno mieć ciało żeby mogło opuścić pole grawitacyjne Ziemi W sposoacuteb ścisły warunek ten spełniony będzie tylko w nieskończoności ale w prak-tyce chodzi nam o odległość na tyle dużą aby energia potencjalna ciała (wzoacuter 425) była bliska zeru

Załoacuteżmy że rakieta o masie m zostaje wystrzelona z powierzchni Ziemi pionowo do goacutery z prędkością v Na powierzchni Ziemi rakieta ta będzie miała więc zaroacutewno energię potencjalną (wzoacuter 425) jak i energię kine-tyczną roacutewną Ek = frac12middotmmiddotv

2 Całkowita energia rakiety na powierzchni Ziemi wynosi zatem

2

m

r

GMmE

2

c

v+

minus= (427)

Żeby rakieta mogła dolecieć do nieskończoności jej całkowita energia na powierzchni Ziemi musi być przynajmniej roacutewna zero (Ec ge 0) Stąd otrzymujemy wzoacuter na II prędkość kosmiczną

Z

Z

ZII gR

R

GM22==v (428)

gdzie RZ jest promieniem zaś MZ jest masą Ziemi z ktoacuterej startuje rakieta Dla Ziemi wartość II prędkości kosmicznej wynosi 112 kms Drugą prędkość kosmiczną można wyznaczyć dla roacuteżnych ciał niebies-kich i np dla Księżyca wynosi ona 24 kms zaś dla Jowisza 595 kms

44 Ruch po okręgu

Szczegoacutelnym przypadkiem ruchu krzywoliniowego jest ruch jednostajny po okręgu czyli ruch jaki wykonuje ciało poruszające się w jednej płaszczyźnie ze stałą prędkością będące jednocześnie w stałej odległości od wybranego punktu odniesienia Tor ruchu takiego ciała jest okręgiem Opisując ruch po okręgu korzystnie jest zastosować biegunowy układ

ROZDZIAŁ 4

Strona 54545454

wspoacutełrzędnych Przypomnijmy że w układzie biegunowym położenie ciała jest opisywane przez jego odległość od początku układu wspoacutełrzęd-nych (wspoacutełrzędna radialna r) oraz przez położenie kątowe względem wybranej osi odniesienia (wspoacutełrzędna kątowa α) Jeżeli w opisie ruchu po okręgu początek biegunowego układu wspoacutełrzędnych umieścimy w środku okręgu to wspoacutełrzędna radialna będzie stała a zmieniać się bę-dzie jedynie położenie kątowe ciała Podobnie jak w przypadku ruchu prostoliniowego w ruchu po okręgu prędkość jest pochodną drogi kątowej po czasie i nazywana jest prędkością kątową ω

td

dαω = (430)

Prędkość kątowa mierzona w radianach na sekundę jest wektorem ktoacuterego kierunek zgodny jest z osią wokoacuteł ktoacuterej następuje obroacutet a zwrot wyznacza reguła śruby prawoskrętnej lub reguła prawej dłoni (jeżeli palce otwartej dłoni pokazują zwrot wektora prędkości liniowej czyli kierunek obrotu to kciuk wyznacza kierunek i zwrot wektora prędkości kątowej)

Pochodna prędkości kątowej po czasie definiuje przyspieszenie kątowe ε

2

2

d

d

d

d

tt

αω==ε (431)

Przedstawione powyżej definicje przyspieszenia i prędkości kątowych są analogiczne do odpowiednich wielkości w ruchu prostoliniowym Poszu-kując relacji pomiędzy wielkościami opisującymi ruch obrotowy oraz ruch liniowy zaczniemy od wyznaczenia drogi czyli długości łuku prze-bytej przez ciało poruszające się po okręgu Wielkość ta będzie zależała zaroacutewno od zmiany położenia kątowego jak i od położenia radialnego

czyli odległości od osi obrotu rαl = Jeżeli zroacuteżniczkujemy tę zależ-ność po czasie otrzymamy relacje między prędkością liniową i kątową a po ponownym zroacuteżniczkowaniu relację między przyspieszeniem linio-wym i kątowym Otrzymamy w ten sposoacuteb zestaw zależności

=

=

=

ra

r

r

ε

ω

αl

v (432)

PRACA I ENERGIA

Strona 55555555

Ponieważ poruszające się po okręgu ciało wraca cyklicznie do miejsca startu prędkość kątową można powiązać z częstotliwością

Tr

f1

22===

ππ

ω v (433)

Jednostką częstotliwości jest 1Hz (Hertz) = 1sndash1 co oznacza że przy czę-stotliwości 1Hz ciało wykonuje jeden obroacutet na sekundę Odwrotnością częstotliwości jest okres obrotu T czyli czas jednego pełnego obrotu wyrażony w sekundach

Przyspieszenie w ruchu po okręgu

W rozdziale 24 wprowadziliśmy składową styczną oraz normalną przy-spieszenia dla ruchu krzywoliniowego W przypadku jednostajnego ru-chu po okręgu wartość prędkości mierzona wzdłuż okręgu jest stała a więc składowa styczna przyspieszenia jest zerowa Przyśpieszenie cał-kowite w ruchu po okręgu jest więc roacutewne składowej normalnej

r

aa n

2v

== (434)

Składowa normalna przyspieszenia skierowana jest do środka krzywizny toru wzdłuż promienia okręgu i dlatego często nazywana jest składową radialną Ponieważ przyspieszenie normalne skierowane jest do środka okręgu nazywa się je roacutewnież przyspieszeniem dośrodkowym Odpowia-dająca mu siła oddziaływania ktoacutera wywołuje ruch ciała o masie m po okręgu o promieniu r jest nazywana siłą dośrodkową

r

mF

2v

= (435)

W przypadku obracającej się karuzeli metalowy pręt mocujący krzesełko działa na krzesełko karuzeli siłą skierowaną do środka roacutewną co do war-tości zdefiniowanej powyżej sile dośrodkowej Osoba siedząca na krzesełku karuzeli odczuwać będzie istnienie siły skierowanej wzdłuż promienia na zewnątrz Siłę taką występującą w układzie związanym z ciałem poruszającym się po okręgu nazywać będziemy siłą odśrodko-

wą Siła ta jest roacutewna co do wartości sile dośrodkowej ale ma przeciwny zwrot Warto podkreślić że siła odśrodkowa jest siłą pozorną i w mo-mencie przerwania pręta mocującego krzesełko karuzeli krzesełko to nie będzie poruszało się ruchem przyspieszonym wzdłuż promienia tylko ruchem jednostajnym prostoliniowym w kierunku wyznaczonym przez

ROZDZIAŁ 4

Strona 56565656

wektor prędkości w momencie zerwania pręta Układ odniesienia zwią-zany z takim poruszającym się po okręgu punktem jest tzw układem nieinercjalnym w ktoacuterym występują siły bezwładności działające na ciało W hamującym samochodzie przedmiot znajdujący się na poacutełce doznaje przyspieszenia względem samochodu ndash przedmiot zachowuje się bezwładnie czyli zachowuje stan ruchu przed hamowaniem i porusza się w kierunku przodu samochodu Jeśli ten sam samochoacuted porusza się po okręgu (wykonuje gwałtowny zakręt) przedmiot roacutewnież doznaje przy-spieszenia względem samochodu Przedmiot roacutewnież tutaj zachowuje się bezwładnie ndash porusza się po linii prostej (względem układu spoczynko-wego) i w konsekwencji zmienia położenie względem samochodu ndash przesuwa się w kierunku boku samochodu Siedząc w samochodzie od-czuwamy siłę wypychającą ciało na zewnątrz okręgu po ktoacuterym porusza się pojazd W obu przypadkach zaroacutewno hamowania jak i ruchu po okręgu siły bezwładności jakim ulega przedmiot są konsekwencją przy-spieszenia całego pojazdu

W przypadku pralek i suszarek bębnowych siła odśrodkowa wykorzysty-wana jest do usuwania wody z tkanin W urządzeniach takich jak wiroacutew-ki wykorzystuje się dodatkowo fakt że siła odśrodkowa zależy nie tylko od prędkości z jaką kręcą się obiekty we wnętrzu bębna wiroacutewki ale roacutewnież od masy tych obiektoacutew co umożliwia oddzielenie cięższych frakcji od lżejszych

Ruch planet wokoacuteł Słońca

Pierwsza prędkość kosmiczna

Przed odkryciem Kopernika w opisie ruchu planet i gwiazd korzystano z tzw geocentrycznego modelu świata w ktoacuterym Ziemia znajdowała się w centrum wszechświata a wszystkie ciała niebieskie krążyły wokoacuteł niej W dziele bdquoO obrotach ciał niebieskichrdquo Kopernik zaproponował model w ktoacuterym planety krążą wokoacuteł Słońca po orbitach kołowych (mo-del heliocentryczny) co pozwoliło stworzyć spoacutejny opis wielu zjawisk astronomicznych Jak już wiemy z poprzednich rozdziałoacutew aby planeta lub inne ciało niebieskie poruszało się po okręgu musi na nie działać siła dośrodkowa Newton jako pierwszy stwierdził że siłą dośrodkową jest siła grawitacji

r

m

r

GMm2

2

v= (436)

PRACA I ENERGIA

Strona 57575757

Gdyby nie istniała siła grawitacji ciało nie doznałoby przyspieszenia do-środkowego nie nastąpiłoby zakrzywienie toru i odleciało by w prze-strzeń Gdyby z kolei ciało nie miało prędkości stycznej na orbicie spadłoby na ciało centralne

Na podstawie zależności 436 możemy policzyć prędkość jaką musi mieć ciało o masie m aby poruszać się po orbicie Ziemi o promieniu roacutewnym promieniowi Ziemi RZ

Z

Z

ZI gR

R

GM==v (437)

Tak zdefiniowana prędkość nazywana jest pierwszą prędkością kosmicz-ną Dla Ziemi pierwsza prędkość kosmiczna przyjmuje wartość roacutewną około 791 kms Podobnie jak w przypadku drugiej prędkości kosmicz-nej roacutewnież pierwszą prędkość kosmiczną można wyznaczyć dla innych ciał niebieskich

W przeciwieństwie do drugiej prędkości kosmicznej w przypadku ktoacuterej rozważaliśmy prędkość skierowaną prostopadle w stosunku do powierz-chni ciała niebieskiego pierwsza prędkość odnosi się do wartości pręd-kości skierowanej roacutewnolegle do powierzchni ciała niebieskiego Jeśli satelita będzie miał mniejszą prędkość spadnie na powierzchnię ciała niebieskiego jeśli większą ndash siła grawitacji nie będzie wystarczająca do nadania satelicie odpowiedniego przyspieszenia dośrodkowego i ciało bądź znajdzie się na orbicie o większym promieniu bądź opuści pole grawitacyjne

Prawa Keplera

W heliocentrycznym modelu Kopernika planety krążą po kołowych orbi-tach Poacuteźniejsze dokładniejsze analizy ruchu planet wykonane min przez Tychona de Brahe i Johannesa Keplera wykazały że orbity te są w ogoacutelności krzywymi eliptycznymi Szczegoacutełowy opis ruchu planet za-wiera model Keplera opierający się na trzech prawach

1 Planety krążą dookoła Słońca po orbitach eliptycznych Słońce znajduje się w jednym z ognisk elipsy

Układ planeta-Słońce z dobrym przybliżeniem można potraktować jako układ odosobniony tzn uwzględniamy jedynie siły wzajemnego oddzia-ływania zaniedbując oddziaływania zewnętrzne W takim odosobnionym

ROZDZIAŁ 4

Strona 58585858

układzie planeta i Słońce poruszać się będą względem środka masy ukła-du po orbitach eliptycznych W układzie Ziemia-Słońce gdzie masa Zie-mi jest ponad 3 tysiące razy mniejsza niż Słońca z dobrym przybliże-niem można przyjąć że środek masy takiego układu pokrywa się z geo-metrycznym środkiem Słońca a w konsekwencji że Słońce jest nieru-chome a Ziemia porusza się po orbicie kołowej

2 Prędkość polowa planety jest jednakowa ndash wektor łączący Słońce i planetę zakreśla jednakowe pola w jednakowych odstępach czasu

Drugie prawo Keplera wynika bezpośrednio z zasady zachowania mo-mentu pędu ktoacutera zostanie omoacutewiona w jednym z kolejnych rozdziałoacutew

3 Kwadrat czasu obiegu planety dookoła słońca jest propor-cjonalny do sześcianu długiej osi elipsy po ktoacuterej porusza się planeta

Trzecie prawo Keplera wynika bezpośrednio z faktu że siłą dośrodkową działającej na planetę jest siła grawitacji Dla uproszczenia obliczeń załoacuteżmy na razie że planeta porusza się po orbicie kołowej Woacutewczas przyroacutewnując obie siły otrzymujemy zależność

o

2

2g Fr

m

r

MmF ===

vG (438)

Ponieważ prędkość planety wiąże czas pełnego obrotu (okres T) z dłu-gością orbity ( Trπ2=v ) roacutewność 438 można zapisać w postaci

( )2

2

T

r

r

M π2G=

(439)

a po przekształceniach

M

rT

322

G

4π= (440)

PRACA I ENERGIA

Strona 59595959

45 Energia potencjalna sił sprężystości

W urządzeniach mechanicznych ktoacutere wykonują pracę np obroacutet wska-zoacutewek zegara w starych zegarach szafkowych praca ta wykonywana jest kosztem energii dostarczonej z zewnątrz We wspoacutełczesnych urządze-niach w tym także w zegarach jako źroacutedło energii najczęściej stosuje się baterie elektryczne ale kiedyś powszechnie stosowano mechanizmy wykorzystujące energię potencjalną podciągniętych ciężarkoacutew lub w przenośnych zegarkach mechanizm magazynowania energii opierał się na bdquonakręcaniurdquo sprężyny Jest to przykład pokazujący że energia me-chaniczna może zostać roacutewnież zmagazynowana w postaci odkształcenia materiału ndash taki rodzaj energii potencjalnej będziemy nazywać energią potencjalną sił sprężystości wynikających z oddziaływań między czą-steczkami materiału

Rozpatrzmy sprężynę ktoacuterą rozciągniemy (lub ściśniemy) o długość x Siła jaką musimy rozciągać tę sprężynę roacutewnoważy siłę sprężystości sprężyny ktoacutera zgodnie z III zasadą dynamiki Newtona ma zwrot prze-ciwny do zwrotu siły rozciągającej Jej wartość zależy od długości roz-ciągnięcia x co opisuje prawo Hookersquoa

xkFrr

minus= (441)

gdzie k jest wspoacutełczynnikiem sprężystości Znak minus w powyższym wzorze oznacza że siła z jaką działa sprężyna ma przeciwny zwrot do wektora x czyli siła sprężystości przeciwstawia się wydłużaniu (lub ścis-kaniu) i wskazuje zawsze na położenie roacutewnowagowe

Siła jaką musimy działać żeby rozciągnąć sprężynę ma przeciwny zwrot

niż siła sprężystości ( xkFrr

= ) Ponieważ wartość tej siły zmienia się wraz z wartością wychylenia z położenia roacutewnowagi to pracę wykonaną przy rozciąganiu sprężyny o długość X obliczamy ze wzoru całkowego

( )S

2

X

0

X

0

EkX2

1xkxxxFW ==== intint dd (441)

Rozciągnięta sprężyna wracając do położenia roacutewnowagowego wykona taką samą pracę jaką wykonaliśmy podczas jej rozciągania Możemy

ROZDZIAŁ 4

Strona 60606060

roacutewnież powiedzieć że rozciągnięta sprężyna posiada zdolność do wyko-nania pracy Ponieważ wielkość tej pracy zależy jawnie od wartości od-kształcenia sprężyny to spełnia ona definicję energii potencjalnej i nazy-wana jest energią potencjalną sprężystości ES

Energię potencjalną sił sprężystości można policzyć roacutewnież dla ciał sta-łych poddanych rozciąganiu lub ściskaniu W tym przypadku rolę wspoacutełczynnika sprężystości opisującego własność materiału pełni moduł Younga E Poszukując związku między modułem Younga a stałą sprężystości możemy potraktować badany materiał jakby był zbudowa-ny z punktoacutew (atomoacutew) połączonych małymi sprężynkami Sprężynki te obrazują oddziaływania międzyatomowe a ich stała sprężystości zależy od struktury materiału Im większy będzie przekroacutej elementu wykonane-go z danego materiału czyli im więcej takich sprężynek opisuje badany element tym większy będzie wspoacutełczynnik sprężystości dla całego materiału ndash moduł Younga E

kxLL

EAF minus=minus= ∆

0

0 (442)

gdzie E jest modułem Younga A0 ndash przekrojem poprzecznym proacutebki L0 ndash długością początkową (roacutewnowagową) zaś ∆L jest zmianą długości proacutebki

46 Energia kinetyczna

Energia kinetyczna jest związana ze stanem ruchu ciała Ciało posiada energię kinetyczną jeśli znajduje się w ruchu w danym układzie odnie-sięnia Energię kinetyczną można roacutewnież zdefiniować jako ilość pracy jaką należy wykonać żeby wprawić ciało w ruch

Jeżeli więc siła F przeprowadzi ciało ze stanu bezruchu (stan bdquoArdquo) do prędkości v (stan bdquoBrdquo) to wykonana praca wyniesie

intint int ===B

A

B

A

B

A

st

mst

psFW d

d

dd

d

dd

v (443)

PRACA I ENERGIA

Strona 61616161

W powyższych przekształceniach siłę F zastąpiliśmy pochodną pędu po czasie Zależność tą można dalej przekształcić otrzymując zależność wykonanej pracy od prędkości v jaką osiągnie ciało

k

2

0

B

A

E2

mm

t

smW ==== intint

vvvv

v

ddd

d (444)

Tak wyznaczona praca wykonana by nadać ciału o masie m prędkość v definiuje energię kinetyczną ciała Energia ta jest wprost proporcjonalna do jego masy m i do kwadratu prędkości v2 Zależność energii kinetycz-nej od kwadratu prędkości jest jedną z głoacutewnych przyczyn (poza siłami oporu) dla ktoacuterych tzw dynamika samochodoacutew (sportowych i nie tylko) jest znacznie lepsza w zakresie niskich prędkości niż prędkości wyso-kich Aby to wyjaśnić obliczmy najpierw pracę jaką należy wykonać żeby rozpędzić samochoacuted o masie m = 1000kg od prędkości v1 = 0 ms do v2 = 10 ms = 36 kmh oraz od v2 = 10 ms do v3 = 20 ms=72 kmh Praca ta roacutewna jest roacuteżnicy energii kinetycznej końcowej oraz początkowej i w pierwszym przypadku wynosi W1 = Ek(v2) ndash Ek(v1) = 50000J zaś w drugim jest trzykrotnie większa i wynosi W2 = Ek(v3) ndash Ek(v2) = 150000J Tak więc utrzymanie podobnego przy-spieszenia w obu zakresach prędkości wymagałoby ciągłego wzrostu mocy co w praktyce jest trudne do osiągnięcia

Podczas przyspieszania to silnik pojazdu wykonuje pracę roacutewną energii kinetycznej tego pojazdu Natomiast gdy pojazd hamuje pracę musi wy-konać układ hamulcowy pojazdu Ponieważ przy dwukrotnie większej prędkości energia kinetyczna jest czterokrotnie większa to roacutewnież pra-ca wyhamowania jest czterokrotnie większa Praca ta w większości za-mieniana jest w energię cieplną i dlatego elementy układu hamulcowego w szczegoacutelności samochodoacutew sportowych powinny być odporne na wy-sokie temperatury oraz tak zaprojektowane aby jak najwydajniej odda-wały ciepło do otoczenia

Warto roacutewnież zwroacutecić uwagę że furgonetka o masie 2 ton i prędkości 15 ms ktoacutera ma identyczny pęd jak samochoacuted osobowy o masie 1 tony i prędkości 30 ms ma dwukrotnie mniejszą energię kinetyczną czyli zatrzymanie jej wymaga mniejszej pracy jest bdquołatwiejszerdquo

Pojęcie energii kinetycznej możemy odnosić roacutewnież do mikroskopowe-go opisu właściwości ciał Nawet jeśli pojazd znajduje się w spoczynku cząsteczki składające się na niego mają pewną energię kinetyczną ndash czą-steczki gazu znajdującego się w oponach znajdują się w ciągłym ruchu

ROZDZIAŁ 4

Strona 62626262

atomy metalu w karoserii wykonują drgania wokoacuteł położeń roacutewnowago-wych Energia kinetyczna jest w takim mikroskopowym ujęciu związana z temperaturą ciała a dokładniej ndash temperatura jest funkcją średniej energii kinetycznej o czym będzie jeszcze mowa w części poświęconej termodynamice

47 Zasada zachowania energii mechanicznej

Podsumowując rozważania dotyczące energii wprowadzimy zasadę za-chowania energii mechanicznej

W układzie zachowawczym odosobnionym całkowita energia mechaniczna czyli suma energii potencjalnej Ep zaroacutewno grawitacyjnej jak i sprężystości oraz energii kinetycznej Ek ciała jest wielkością stałą

const=+ pk EE (445)

Oznacza to że jeżeli zaniedbamy straty energii (pracy wykonanej na rzecz sił tarcia itp) roacuteżne formy energii jaką posiada ciało mogą się zmieniać ale ich suma pozostaje stała Dobrym przykładem do omoacutewie-nia zasady zachowania energii jest skok na linie bungee Stojąc na moście na wysokości h nad rzeką (na rysunku 44 h = h1 + h2) skoczek posiada energię potencjalną względem poziomu odniesienia znajdujące-go się na poziomie rzeki Pierwsza faza skoku jest spadkiem swobod-nym w ktoacuterym skoczek traci energię potencjalną ale nabiera prędkości czyli zyskuje energię kinetyczną

2

mmgh

2v

= (446)

Kiedy lina rozwinie się w pełni osiąga tzw długość swobodną ndash na ry-sunku 44 oznaczoną jako h1 Od tego momentu lina zaczyna działać jak rozciągana sprężyna W tej fazie skoku energia potencjalna nadal się zmniejsza kosztem wzrostu zaroacutewno energii kinetycznej jak i energii potencjalnej sił sprężystości

PRACA I ENERGIA

Strona 63636363

Rysunek 44 Energia skoczka bungee w roacuteżnych fazach skoku

W pewnym momencie ruchu gdy siła napięcia liny zroacutewnoważy siłę grawitacji prędkość ciała zacznie się zmniejszać a więc spada roacutewnież jego energia kinetyczna W najniższym położeniu skoczka jego prędkość wynosi zero ndash nie posiada on zatem energii kinetycznej Jego energia potencjalna grawitacji roacutewnież wynosi zero (skoczek znajduje się w punkcie odniesienia) i cała energia zmagazynowana jest w postaci energii potencjalnej sprężystości Tak więc początkowa energia poten-cjalna grawitacji zostaje w całości zmagazynowana w energii sprężystości rozciągniętej liny Energia ta może następnie wykonać pra-cę podniesienia skoczka na wysokość mostu a więc zgodnie z zasadą zachowania energii skoczek może wroacutecić do swojego położenia począt-kowego na moście W rzeczywistości mamy jednak do czynienia ze stra-tami energii związanymi zaroacutewno z oporami powietrza jak i wydziele-niem się ciepła w rozciągającej się linie (nie jest to idealna sprężyna) i w efekcie skoczek nie powroacuteci do poziomu mostu

Uogoacutelnieniem zasady zachowania energii mechanicznej jest ogoacutelna zasa-da zachowania energii ktoacutera moacutewi że w układzie zachowawczym odo-sobnionym zmiana całkowitej energii ciała (suma zmian wszystkich rodzajoacutew energii) wynosi zero

Jeżeli na przykład rozpędzony samochoacuted uderzy w przeszkodę to gwał-townie wytraci swoją energię kinetyczną ktoacutera zamieni się na pracę związaną z odkształceniem karoserii oraz na wydzielone ciepło

Zgodnie z zasadą zachowania energii w samochodach elektrycznych energia potencjalna ładunku elektrycznego zgromadzona w naładowa-

ROZDZIAŁ 4

Strona 64646464

nym akumulatorze zamieniana jest w energię kinetyczną pojazdu Jeśli taki samochoacuted jest wyposażony w hamulce elektromagnetyczne w trak-cie hamowania może odzyskać znaczną część energii kinetycznej i zgro-madzić ją w postaci energii potencjalnej ładunku elektrycznego

48 Zderzenia

Opis zderzeń ciał stanowi ważny element dynamiki ciał stałych ale po-nieważ podczas zderzenia dochodzi do przekazywania zaroacutewno pędu jak i energii zderzenia odgrywają roacutewnież dużą rolę w procesach trans-portu na przykład ciepła lub ładunku elektrycznego

Podczas zderzenia obowiązuje zasada zachowania pędu czyli pęd środka masy układu przed zderzeniem jest identyczny jak po zderzeniu Jak już omawialiśmy wcześniej zasada zachowania pędu w układzie dwu- lub troacutejwymiarowym obowiązuje dla każdego z wyroacuteżnionych kierunkoacutew Przykład zastosowania zasady zachowania pędu dla dwuwymiarowego zderzenia dwoacutech kul bilardowych omoacutewiliśmy w rozdziale 32

Zasada zachowania energii jako jedna z podstawowych zasad fizyki obo-wiązuje zawsze roacutewnież podczas zderzeń Jednakże w praktyce wykorzystujemy ją wyłącznie w przypadku zderzeń idealnie sprężys-

tych w ktoacuterych nie występują straty energii Zderzeniem bliskim do idealnie sprężystego jest uderzenie piłki rakietą tenisową ndash w czasie zderzenia oba ciała odkształcają się sprężyście zaroacutewno piłka jak i linka naciągu rakiety Pojęcie zderzenia sprężystego można rozszerzyć roacutew-nież na przypadki w ktoacuterych ciała nie stykają się ze sobą w sposoacuteb widoczny dla obserwatora Gdyby omawiane wcześniej kule bilardowe zostały naładowane elektrycznie lub namagnesowane w odpowiedni sposoacuteb mogłoby dojść do przekazania pędu i energii bez zetknięcia się krawędzi krążkoacutew O charakterze zderzenia (czy jest sprężyste czy niesprężyste) decyduje charakter sił wzajemnego oddziaływania ciał

Zderzenie sprężyste jest opisane następującymi roacutewnaniami

2K21K12P21P1 vvvv mmmm +=+ (447)

ndash roacutewnanie wyrażające zasadę zachowania pędu oraz

PRACA I ENERGIA

Strona 65656565

2222

22K2

21K1

22P2

21P1 vvvv mmmm

+=+ (448)

ndash roacutewnanie wyrażające zasadę zachowania energii kinetycznej

W przypadku zderzenia idealnie niesprężystego dochodzi do odkształce-nia plastycznego jednego lub obu ciał Odkształcenie to wiąże się z roz-praszaniem energii w postaci ciepła W wyniku niesprężystego zderzenia połączone ciała poruszają się w jednym kierunku Roacutewnania opisujące zderzenie niesprężyste mają więc postać

( ) K212P21P1 vvv mmmm +=+ (449)

( )

Emmmm

∆222

2K21

22P2

21P1 +

+=+

vvv (450)

gdzie ∆E oznacza straty energii w postaci ciepła Zderzenie niesprężyste wykorzystywane jest do wyznaczania prędkości pociskoacutew za pomocą tzw wahadła balistycznego Urządzenie to składa się z masywnego bloku w ktoacutery wbija się pocisk Znając masę pocisku i masę bloku oraz prędkość bloku z pociskiem po trafieniu można wyliczyć prędkość pocisku przed uderzeniem w blok Pomiar stosunkowo niewielkiej pręd-kości bloku jest znacznie łatwiejszy niż bezpośredni pomiar prędkości rozpędzonego pocisku W szczegoacutelności jeśli blok zawiesimy na dwoacutech niciach (rysunek 45) możemy oszacować prędkość na podstawie wyso-kości na ktoacuterą uniesie się blok Obecnie można wykonać taki pomiar technikami fotograficznymi lub za pomocą czujnikoacutew optycznych jed-nak w XIX wieku wahadło balistyczne było jednym z podstawowych przyrządoacutew do pomiaru prędkości pocisku

Rysunek 45 Zasada działania wahadła balistycznego

Do odkształceń plastycznych dochodzi roacutewnież podczas zderzenia dwoacutech samochodoacutew a więc zderzenia takie są niesprężyste We wspoacuteł-czesnych samochodach tzw strefy zgniotu są odpowiedzialne za rozpra-szanie energii uwolnionej podczas zderzenia Analizując roacutewnania opisujące zderzenie niesprężyste można ponadto zauważyć że jeśli zde-rzeniu ulega lekki samochoacuted osobowy to straty energii są tym większe

ROZDZIAŁ 4

Strona 66666666

im cięższy jest pojazd z ktoacuterym się zderza ndash zatem skutki zderzenia z sa-mochodem ciężarowym są znacznie poważniejsze niż skutki kolizji z sa-mochodem osobowym o podobnej masie

5 Dynamika bryły sztywnej

W tym rozdziale

o Bryła sztywna moment bezwładności środek masy o Roacutewnanie ruchu bryły sztywnej o Zasada zachowania momentu pędu o Energia ruchu obrotowego

ROZDZIAŁ 5

Strona 68686868

51 Bryła sztywna

Bryłą sztywną będziemy nazywać ciało w ktoacuterym odległości między po-szczegoacutelnymi punktami ciała są stałe Siły działające na bryłę sztywną nie wywołują więc ani deformacji plastycznych ani odkształceń sprężys-tych a jedynie ruch postępowy lub obrotowy Wszystkie ciała w ktoacute-rych odległość między dwoma punktami nie zmienia się w czasie lub odkształcenia pod wpływem działających sił są niewielkie można trak-tować jako bryłę sztywną Na przykład huśtawka wykonana z cienkiego pręta może ulegać deformacji wpływając tym samym na zachowanie całego układu ale jeżeli wykonamy ją np z szyny kolejowej jej defor-macja będzie zaniedbywalnie mała i może być woacutewczas potraktowana jako bryła sztywna

Moment bezwładności bryły sztywnej

W większości dotąd rozważanych przykładoacutew siła działająca na ciało przyłożona była do środka masy ciała i wywoływała ruch postępowy W ruchu prostoliniowym miarą bezwładności ciała jest jego masa tzn tym trudniej jest zmienić ilość ruchu ciała (pęd) im większa jest jego masa W przypadku ruchu obrotowego istotna jest nie tylko masa ale roacutewnież jej odległość od osi obrotu Miarą bezwładności w ruchu obrotowym jest moment bezwładności

Moment bezwładności masy punktowej m poruszającej się po okręgu o promieniu r zależy od tej masy oraz kwadratu odległości od osi obrotu

2mrI = (51)

Moment bezwładności podobnie jak masa jest wielkością addytywną tzn moment bezwładności bryły sztywnej jest roacutewny sumie momentoacutew bezwładności mas punktowych składających się na tę bryłę

sum=i

ii rmI 2

(52)

gdzie ri jest odległością od osi obrotu i-tego elementu o masie mi

DYNAMIKA BRYŁY SZTYWNEJ

Strona 69696969

Rozpatrzmy dwie ołowiane kulki o masach m1 oraz m2 (potraktujemy je jako masy punktowe) połączone cienkim nieważkim prętem o długości r ktoacuterego masa oraz moment bezwładności są pomijalnie małe w poroacutew-naniu z masą i momentem bezwładności kul Moment bezwładności takiej bryły sztywnej względem osi obrotu położonej w środku pręta mo-żemy policzyć jako sumę momentoacutew bezwładności obu kul Otrzyma-

my ( ) ( ) ( )221

22

21 2)(22 rmmrmrmI +=+=

W przypadku bryły o złożonym kształcie i rozkładzie masy procedura wyznaczania momentu bezwładności wymaga podzielenia bryły na jak najmniejsze elementy i zsumowania momentoacutew bezwładności pochodzą-cych od tych elementoacutew W granicznym przypadku działanie sumowania możemy zastąpić całkowaniem

int=M

mrI0

2 d (53)

Jako przykład obliczania momentu bezwładności wyznaczymy moment bezwładności pręta o masie M oraz długości b względem osi przecho-dzącej prostopadle przez koniec pręta Poszukując momentu bezwład-ności tej bryły musimy wykonywać całkowanie po całej masie pręta W praktyce znacznie łatwiej jest przeprowadzać całkowanie we wspoacutełrzęd-nych przestrzennych dlatego postaramy się powiązać masę z długością pręta W tym celu wprowadzamy gęstość liniową λ definiującą masę

przypadającą na jednostkę długości l

λd

dm= Woacutewczas element masy

pręta dm może być wyrażony lλdd =m gdzie gęstość liniowa dla

pręta z zadania wynosi b

M=λ Po zamianie zmiennej całkowania oraz

granic całkowania moment bezwładności pręta wynosi

333

2232 dd

bMbbbmrI

b

0

M

0

2 ===== intintλλ

lλl

(54)

W podobny sposoacuteb posługując się gęstością powierzchniową lub obję-tościową możemy obliczyć momenty bezwładności dla dowolnych brył W tabeli 51 przedstawione zostały momenty bezwładności wybranych brył sztywnych względem osi obrotu przechodzących przez środek ma-sy bryły

ROZDZIAŁ 5

Strona 70707070

Tabela 51 Momenty bezwładności wybranych brył względem środka masy

Pręt

12

mrI

2

z =

Walec i walec

wydrążony

( )2

2

2

1Z rr2

mI +=

( )[ 2

2

2

1x hrr312

mI ++=

Pierścień 2mrI =

Stożek

10

mr3I

2

z =

+= 2

2

x h4

r

5

m3I

Dysk

2

mrI

2

z =

4

mrI

2

x =

Sfera3

mr2I

2

=

Kula 5

mr2I

2

=

Twierdzenie Steinera

Załoacuteżmy że znana jest masa bryły oraz moment bezwładności I0 wzglę-dem osi przechodzącej przez środek jej masy Wtedy zgodnie z twier-dzeniem Steinera moment bezwładności I tej bryły względem osi obrotu roacutewnoległej do osi przechodzącej przez środek masy i przesuniętej o d roacutewny jest

2

mdII 0 += (55)

Twierdzenie Steinera zastosujemy do obliczenia momentu bezwładności dysku o promieniu r i masie m względem osi przechodzącej przez jego krawędź a prostopadłej do płaszczyzny dysku Moment bezwładności dysku względem osi prostopadłej przechodzącej przez jego środek znaj-dziemy w tabeli 51

DYNAMIKA BRYŁY SZTYWNEJ

Strona 71717171

2

mrI

2

0 = (56)

W naszym przypadku oś przesunięta jest roacutewnolegle o długość promie-nia dysku a więc stosując twierdzenie Steinera otrzymujemy

222

2

0 mrmr2

mrmrII

2

3=+=+=

(57)

Środek masy bryły sztywnej

Gdybyśmy chcieli układ ciał lub bryłę sztywną zastąpić masą punkto-wą czyli zgromadzić całkowitą masę układu w jednym punkcie geome-trycznym to punkt ten powinien się znajdować w środku masy Swobod-na oś obrotu bryły sztywnej lub układu ciał przechodzi przez ich środek masy

W układzie mas punktowych środek masy można obliczyć ze wzoru

sum

sum=

i

i

i

ii

SMm

rm

r

r

r (58)

gdzie mi ndash masy punktowe zaś irr

ndash położenia tych mas względem wybranego punktu odniesienia Wspoacutełrzędna x środka masy wynosić

więc będzie sum

sum=

i

i

i

ii

SMm

xm

x W przypadku gdy rozkład masy nie jest

dyskretny podobnie jak przy obliczaniu momentu bezwładności sumo-wanie musimy zastąpić całkowaniem Sposoacuteb wyznaczenia środka masy dla jednorodnego pręta z poprzedniego zadania przedstawiono poniżej

L

2

1

M

LL

M

L

MM

mr

x2

L

0

M

0SM =====

intint λλlλl

21

21

dd (59)

Całkowanie przeprowadzono względem jednego z końcoacutew pręta a więc wynik L2 oznacza że środek masy znajduje się w połowie długości pręta

ROZDZIAŁ 5

Strona 72727272

52 Roacutewnanie ruchu bryły sztywnej

Moment siły

W dotychczasowych rozważaniach rozpatrywaliśmy jedynie obiekty punktowe lub też bryłę sztywną zastępowaliśmy masą punktową znajdu-jącą się się w środku masy tej bryły Woacutewczas rozważaliśmy jedynie ruch postępowy takich obiektoacutew W dalszej części tego rozdziału opisze-my ruch obrotowy bryły sztywnej na ktoacuterą działa siła przyłożona w punkcie innym niż środek masy

Rozważmy najpierw siłę przyłożoną w dowolnym punkcie bryły sztywnej ale skierowaną wzdłuż prostej przechodzącej przez punkt wyznaczający środek masy tego ciała Woacutewczas siła ta wywoływać będzie ruch postępowy Jeżeli jednak kierunek działania tej siły nie będzie wskazywał środka masy ciała to na ciało działać będzie moment

siły ktoacutery wywołuje ruch obrotowy Moment siły Mr

zależy od

wartości siły działającej na bryłę sztywną Fr

odległości punktu zacze-pienia tej siły od osi obrotu r

r oraz kąta między tymi wektorami

Moment siły Mr

definiujemy jako iloczyn wektorowy wektoroacutew rr

oraz Fr

perp==

times=

rFαFrM

FrM

sin

rrr

(510)

Wielkość αrr sin=perp nazywana jest ramieniem siły Moment siły

uzyskuje maksymalną wartość gdy kąt α między rr

oraz Fr

jest kątem prostym Siła działająca wzdłuż ramienia nie wywołuje obrotu a jedynie ruch postępowy

Jeśli oś obrotu nie jest wymuszona (obroacutet jest obrotem swobodnym) następuje on zawsze wokoacuteł osi o największym momencie bezwładności przechodzącej przez środek masy ciała Podobnie jak w przypadku ruchu postępowego definiowaliśmy siłę poprzez pochodną pędu ciała po cza-sie tak w przypadku ruchu obrotowego bryły sztywnej możemy zdefi-niować moment siły jako pochodną momentu pędu po czasie

DYNAMIKA BRYŁY SZTYWNEJ

Strona 73737373

t

LM

d

dr

r= (511)

Moment pędu Lr

masy punktowej m poruszającej się po okręgu o pro-mieniu r jest iloczynem wektorowym wektora wodzącego r

r i pędu ciała pr

(rysunek 51) Kierunek wektora momentu pędu jest zgodny z osią

obrotu a zwrot określamy zgodnie z regułą śruby prawoskrętnej Zwrot ten jest identyczny ze zwrotem wektora prędkości kątowej ω

r

prLrrr

times= (512)

ωIωmrrωmrmrprL 2 ===== v (513)

W ostatnim przekształceniu iloczyn mr2 został zastąpiony momentem

bezwładności I Pęd ciała w ruchu prostoliniowym jest proporcjonalny do jego masy i prędkości (roacutewnanie 31) W ruchu po okręgu miarą ilości ruchu jest moment pędu L

r We wzorze 513 wykazaliśmy że ta ilość

ruchu jest proporcjonalna do prędkości kątowej a wspoacutełczynnikiem proporcjonalności jest moment bezwładności I

Rysunek 51 Moment pędu masy punktowej poruszającej się po okręgu

Zgodnie z roacutewnaniem 511 moment siły działający na bryłę sztywną wywołuje zmianę momentu pędu tej bryły Zmiana momentu pędu może być związana ze zmianą prędkości kątowej bryły ktoacuterej moment bezwładności się nie zmienia ale może roacutewnież wynikać ze zmiany samego momentu bezwładności bryły sztywnej Uwzględniając oba te człony możemy zapisać roacuteżniczkowe roacutewnanie ruchu obrotowego bryły sztywnej ktoacutere jest II zasadą dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego

t

I

tI

t

LM

d

d

d

d

d

dω

ω+== (514)

ROZDZIAŁ 5

Strona 74747474

53 Zasada zachowania momentu pędu

Rozważmy teraz ruch obrotowy bryły sztywnej na ktoacuterą działa wypad-kowy moment siły M roacutewny zero Woacutewczas zgodnie z roacutewnaniem 511 pochodna momentu pędu po czasie wynosi zero a więc wartość całkowi-tego momentu pędu musi być stała co zapisujemy jako zasadę zacho-wania momentu pędu

sum ==i

iLL constrr

c (515)

Jeżeli na układ ciał nie działają momenty sił zewnętrznych (układ jest odosobniony) to moment pędu tego układu jest stały

W przypadku gdy moment bezwładności układu nie zmienia się w cza-sie zasadę zachowania momentu pędu można zapisać

ωIL const== (516)

Zasada zachowania momentu pędu pozwala wyjaśnić tzw efekt żyrosko-powy stabilizujący np poruszający się rower czy motocykl Z obracają-cymi się kołami związany jest moment pędu skierowany poziomo zgodnie z osią obrotu (kierunek i zwrot wektora wyznacza reguła prawej dłoni) Jeżeli roacutewnowaga roweru ulegnie zachwianiu i rower przechyli się zmieni się kierunek wektora momentu pędu oproacutecz składowej po-ziomej będzie miał roacutewnież składową pionową Rower ktoacutery przechyli się zaczyna poruszać się po łuku Woacutewczas pojawia się dodatkowy mo-ment pędu skierowany pionowo do goacutery ktoacutery jest w stanie skompenso-wać zmianę momentu pędu wynikającą z przechyłu roweru Im większe wychylenie z położenia roacutewnowagi tym większą zmianę momentu pędu potrzeba skompensować i tym mniejszy musi być promień okręgu po ktoacuterym poruszać się będzie rower Z kolei im szybciej poruszać się bę-dzie rower tym większy jest moment pędu związany z obracającym się kołem ale roacutewnież większy jest moment pędu z całym rowerem porusza-jącym się po okręgu tak że nawet duże przechylenie roweru będzie kompensowane przez jego ruch po okręgu o dużym promieniu W kon-sekwencji moment pędu koła stabilizuje zachowanie całego obiektu w ktoacuterym zamocowane jest to koło Efekt żyroskopowy wykorzystywa-ny jest roacutewnież np na pokładach łodzi czy samolotoacutew gdzie montowane

DYNAMIKA BRYŁY SZTYWNEJ

Strona 75757575

są specjalne wirujące dyski (żyroskopy) mające na celu zwiększenie stabilności tych pojazdoacutew i zmniejszenie ich przechyłoacutew

Zasada zachowania momentu pędu musi być roacutewnież uwzględniona w konstrukcji śmigłowca Obracanie wirnika wymaga działania na niego pewnym momentem siły Identyczny moment siły ale o przeciwnym zwrocie działa na kadłub śmigłowca W efekcie kadłub zaczyna się obra-cać w stronę przeciwną do kierunku obrotu wirnika Zasada zachowania

momentu pędu dla takiego układu można zapisać kkss ωIωI = gdzie indeksy s i k oznaczają odpowiednio śmigło i kadłub Najpopularniej-szym rozwiązaniem tego problemu w konstrukcji helikoptera jest umieszczenie dodatkowego wirnika na ogonie Siła ciągu tego wirnika wytwarza moment sił działający na kadłub i przeciwdziałający obrotowi Ponadto regulując siłę ciągu wirnika ogonowego śmigłowiec może wykonać obroacutet w prawo lub w lewo Zamiast jednego wirnika można roacutewnież zastosować dwa śmigła obracające się w przeciwnych kierun-kach ktoacuterych moment pędu roacutewnoważy się

Efekty działania zasady zachowania momentu pędu są roacutewnież obserwo-wane w przypadkach kiedy zmieni się moment bezwładności obracają-cego się obiektu Łyżwiarze przygotowując się do skoku z obrotem szeroko rozstawiają ręce żeby uzyskać jak największy moment bezwład-ności wprawiają ciało w ruch obrotowy i odbijają się W powietrzu ścią-gają ręce do siebie zmniejszając tym samym moment bezwładności co zgodnie z zasadą zachowania momentu pędu wpływa na wzrost prędkoś-ci obrotowej i daje możliwości wykonania kilku obrotoacutew w powietrzu

Podobne zjawisko obserwujemy dla chmury gazoacutew wirującej wokoacuteł cia-ła niebieskiego (np gwiazdy) Jeżeli chmura ta ulegnie zapadnięciu pod wpływem sił grawitacji gwałtownie maleje jej moment bezwładności (proporcjonalny do kwadratu promienia) a wzrasta prędkość obrotowa tych gazoacutew Z tego względu gwiazdy uformowane z materii pozostałej po wybuchu supernowych mają z reguły bardzo duże prędkości obrotu względem własnej osi

54 Energia ruchu obrotowego

Zgodnie z II zasadą dynamiki ruchu obrotowego moment siły działający na ciało może wywołać jego ruch obrotowy Aby wyznaczyć energię jaką posiada ciało wykonujące ruch obrotowy wyznaczymy pracę jaką

ROZDZIAŁ 5

Strona 76767676

należy wykonać aby wywołać ruch obrotowy bryły sztywnej Rozpa-trzmy moment siły M ktoacutery wywołuje ruch obrotowy bryły sztywnej taki że siła F jest prostopadła do ramienia r na jakim działa W przypad-ku ruchu postępowego pracę dW liczyliśmy jako iloczyn siły F oraz przesunięcia dx jakie ta siła wywołuje ( xFW dd = ) W przypadku ruchu obrotowego moment siły M działając na bryłę sztywną powoduje przemieszczenie kątowe dα a więc pracę dW w ruchu obrotowym możemy zapisać jako

αdd MW = (517)

Pracę całkowitą jaką wykona moment siły M obracając bryłę sztywną od położenia początkowego (kątowego) αp do położenia końcowego αk wyznaczamy z zależności całkowej

int=k

p

MW

α

α

αd (518)

Podstawiając roacutewnanie 514 do 517 przy założeniu I =const otrzymujemy

ωωωα

αω

α ddd

dd

d

ddd I

tI

tIMW ==== (519)

Stąd wyznaczamy pracę jaką należy wykonać aby bryle o momencie bezwładności I nadać prędkość kątową ω Praca ta jest roacutewnoważna energii ruchu obrotowego tej bryły

2

d2

IωωωIWE

ω

0

=== into (520)

Powyższy wzoacuter ma postać podobną do wzoru na energię kinetyczną ruchu postępowego ale zamiast masy mamy moment bezwładności oraz prędkość kątową zamiast postępowej W ogoacutelności poruszająca się bryła sztywna może posiadać zaroacutewno energię kinetyczną ruchu postępowego ktoacutera jest związana z ruchem postępowym środka masy ciała oraz ener-gię ruchu obrotowego związaną z obrotem ciała wokoacuteł osi obrotu Dlate-go ten sam obiekt staczający się z poślizgiem (bez obracania) oraz bez poślizgu (staczając się) będzie miał na dole roacutewni inną prędkość postę-pową środka masy W pierwszym przypadku bowiem zgodnie z zasadą zachowania energii cała energia potencjalna zamieni się w energię kine-tyczną ruchu postępowego W drugim przypadku ta sama początkowa

DYNAMIKA BRYŁY SZTYWNEJ

Strona 77777777

energia potencjalna ulega zamianie zaroacutewno na energię kinetyczną ruchu postępowego jak i obrotowego decydując o mniejszej prędkości ruchu postępowego Podobnie prędkość postępowa pocisku wystrzelonego z broni palnej o gwintowanej lufie jest mniejsza niż w przypadku gładkiej lufy gdyż część energii jest zgromadzona w ruchu obrotowym pocisku Jednakże ruch wirowy i zasada zachowania momentu pędu chroni pocisk przed koziołkowaniem wpływając na większą celność strzałoacutew oraz efektywnie większy zasięg strzału

W niektoacuterych autobusach czy bolidach F1 stosuje się tzw koła zamacho-we do magazynowania energii w postaci energii ruchu obrotowego Pod-czas hamownia energia kinetyczną pojazdu nie jest bdquotrwonionardquo w posta-ci ciepła wydzielanego na tarczach hamulcowych a wykonuje pracę wprawienia tarcz o dużym momencie bezwładności w ruch obrotowy Tak zgromadzona energia ruchu obrotowego koła zamachowego może być odzyskana i może wykonać pracę rozpędzania pojazdu

ROZDZIAŁ 5

Strona 78787878

6 Ruch drgający

W tym rozdziale

o Drgania harmoniczne o Wahadło sprężynowe wahadło matematyczne

fizyczne i torsyjne o Drgania tłumione o Drgania wymuszone z tłumieniem

ROZDZIAŁ 6

Strona 80808080

61 Drgania harmoniczne

Rozpatrzmy ciało poruszające się po okręgu o promieniu R tak jak opi-sywaliśmy to w rozdziale 51 Tym razem jednak będziemy obserwować ruch rzutu punktu na nieruchomy ekran (np na ścianę) prostopadły do płaszczyzny ruchu po okręgu Woacutewczas ciało przesuwać się będzie w jednym wymiarze w powtarzalny sposoacuteb z jednego do drugiego krań-ca odcinka o długości 2R Ruch w ktoacuterym ciało powtarza te same poło-żenia nazywamy ruchem drgającym lub oscylującym Jeżeli drgania te występują w stałych odstępach czasu to mamy do czynienia z ruchem drgającym okresowym Gdybyśmy narysowali wykres położenia tego ciała w funkcji czasu otrzymalibyśmy krzywą sinusoidalną jak na rysun-ku 61 Rzut ruchu po okręgu jest więc ruchem drgającym okresowym opisanym funkcją typu sinus

Ruch okresowy drgający w ktoacuterym położenie ciała możemy opisać zależnością sinusoidalną nazywany jest ruchem harmonicznym

αRx sin= (61)

gdzie R jest promieniem okręgu po jakim porusza się obiekt a α oznacza fazę ruchu drgającego i dla rozpatrywanego przykładu jest powiązana z położeniem kątowym ciała na okręgu

Ponieważ położenie kątowe ciała na okręgu zależy od jego prędkości kątowej ω wiec roacutewnież faza w ruchu drgającym zmienia się w czasie proporcjonalnie do tej prędkości kątowej W zagadnieniach ruchu drga-jącego wielkość ω nazywa się częstotliwością kołową w odroacuteżnieniu od częstotliwości f Należy jednak pamiętać że obie te wielkości są ze sobą powiązane zależnością 54 (ω = 2πf )

RUCH DRGAJĄCY

Strona 81818181

Rysunek 61 Rzut położenia ciała poruszającego się po okręgu na oś w układzie liniowym

W ogoacutelności położenie ciała poruszającego się ruchem harmonicznym prostym można zapisać w postaci

( ) ( )ϕ+= ωtAsintx (62)

gdzie A jest amplitudą drgania argument funkcji sinus będziemy nazy-wać fazą ruchu φ jest fazą początkową a ω częstotliwością kołową

Prędkość ciała w ruchu harmonicznym wyznaczymy obliczając pochod-ną jego położenia po czasie

( ) ( ) ( )φωtωt

txt +== cosA

d

dv (63)

Poroacutewnując zależności 62 oraz 63 widzimy że prędkości i wychylenie z położenia roacutewnowagi nie są zgodne w fazie (opisane funkcjami sinus i cosinus) Oznacza to że prędkość w ruchu drgającym jest największa w momencie kiedy wychylenie jest roacutewne zeru (w momencie prze-chodzenia przez położenie roacutewnowagi) i jest zerowa dla maksymalnego wychylenia

Obliczając pochodną prędkości po czasie otrzymamy przyspieszenie ciała poruszającego się ruchem harmonicznym

( ) ( ) ( ) ( )txωφωtωt

tta

22 minus=+minus== sinAd

dv (64)

Otrzymaliśmy zależność w ktoacuterej występuje taka sama funkcja sinus jak dla wychylenia Znak minus oznacza że ciało wychylone z położenia

ROZDZIAŁ 6

Strona 82828282

roacutewnowagi będzie doznawało przyspieszenia w kierunku przeciwnym do jego wychylenia z położenia roacutewnowagi Przyspieszenie to jest wyni-kiem występowania siły ktoacutera tak jak przyspieszenie skierowana jest przeciwnie do wychylenia i ktoacutera zawsze skierowana jest do położenia roacutewnowagi Wartość tej siły jest proporcjonalna do wychylenia a więc im dalej od położenia roacutewnowagowego znajduje się ciało tym większa siła na nie działa Istnienie siły skierowanej do położenia roacutewnowagi o wartości proporcjonalnej do wartości wychylenia z położenia roacutewno-wagi jest roacutewnież cechą charakterystyczną ruchu harmonicznego

Przekształcenie wzoru 64 na przyśpieszenie ciała w ruchu harmonicz-nym pozwala nam zapisać roacuteżniczkowe roacutewnanie ruchu drgań harmonicznych

( ) ( ) 0

d

d=+ txω

t

tx 2

02

2

(65)

Jest to wzoacuter ogoacutelny opisujący drgania harmoniczne w ktoacuterym zamiast wychylenia x możemy wstawić roacutewnież inne wielkości fizyczne jak

ładunek elektryczny czy natężenie pola elektrycznego Wielkość 0ω oznacza częstotliwość kołową drgań własnych obiektu czyli częstotli-wość kołową z jaką wykonuje on drgania swobodne związane jedynie z siłami występującymi wewnątrz układu

Wahadło sprężynowe

Prostym przykładem ruchu drgającego harmonicznego są oscylacje

ciężarka zaczepionego do sprężyny o długości swobodnej 0x Dla uproszczenia przyjmijmy że na ciężarek nie działa siła grawitacji oraz że masa sprężyny jest niewielka w stosunku do masy ciężarka a opory ruchu można zaniedbać Jeśli sprężynę rozciągniemy o długość x (spo-wodujemy wychylenie z położenia roacutewnowagi o odległość x) sprężyna będzie działać na ciężarek siłą o wartości proporcjonalnej do wychylenia (zgodnie z prawem Hookersquoa ndash roacutewnanie 436) xkF minus= Gdy puścimy ciężarek będzie się on poruszał się w kierunku położenia roacutewnowagi Ciężarek minie położenie i będzie miał woacutewczas maksymalną prędkość oraz energię kinetyczną Energia kinetyczna ciała wykona pracę ściskania sprężyny i zostanie zamieniona na energię sił sprężystości (roacutewnanie 437) Gdyby w układzie nie było oporoacutew tarcia ani strat energii podczas ściskania sprężyny ciężarek wychyliłby się na taką sa-mą odległość względem położenia roacutewnowagi na jaką została ona po-przednio rozciągnięta Zatem amplituda drgań byłaby więc stała

RUCH DRGAJĄCY

Strona 83838383

Siła sprężystości działającą na ciało o masie m znajdujące się na końcu rozciągniętej sprężyny nadaje temu ciału przyspieszenie Roacutewnanie ru-chu w takim przypadku można więc zapisać w postaci

0d

d=+ xk

t

xm

2

2

(66)

Jeżeli podzielimy obie strony powyższego roacutewnania przez masę m otrzy-mamy roacutewnanie w postaci analogicznej do roacutewnania 65 nazywane roacutew-naniem wahadła sprężystego Częstość drgań własnych oraz okres drgań takiego wahadła zależy od masy zaczepionej do sprężyny oraz wspoacuteł-czynnika k sprężystości sprężyny

k

mT

m

kω0 π2 == (67)

W przypadku rzeczywistej sprężyny możemy uzyskać drgania harmo-niczne jeżeli wyeliminujemy opory ruchu oraz gdy rozpatrywać będzie-my wyłącznie niewielkie wychylenia z położenia roacutewnowagi Przy zbyt dużych wychyleniach mogą nastąpić odkształcenia plastyczne materiału z ktoacuterego sprężyna jest zrobiona powodując zmianę długości swobodnej sprężyny Podobnie przy zbyt mocnym ściskaniu sprężyny zwoje spręży-ny mogą stykać się uniemożliwiając dalsze odkształcanie

Wahadło matematyczne

Nie tylko siła sprężystości sprężyny powodować drgania harmoniczne W przypadku wahadła matematycznego to siła grawitacji wywołuje drgania harmoniczne Wahadło matematyczne to idealny układ składają-cy się z masy punktowej m zaczepionej do nieważkiej i nierozciągliwej nici o długości l znajdujący się w polu grawitacyjnym W stanie roacutewno-wagi masa punktowa zwisa pionowo na nici zgodnie z kierunkiem linii pola grawitacyjnego Rozpatrzmy teraz niewielkie wychylenie kątowe α z tego położenia roacutewnowagi (rysunek 62) Woacutewczas siłę grawitacji (Fc = mg skierowaną pionowo w doacuteł) możemy rozłożyć na dwie składowe ndash radialną (wzdłuż promienia zaznaczona na niebiesko na rysunku 62) i styczną (prostopadłą do promienia zaznaczoną na czer-wono na rysunku 62) Składowa radialna jest roacutewnoważona przez na-ciąg nici i nie wpływa na ruch wahadła Zatem siłą powodującą powroacutet ciężarka do położenia roacutewnowagi będzie składowa styczna siły ciężkości

αsinmgF s minus= (68)

ROZDZIAŁ 6

Strona 84848484

Przy niewielkich wychyleniach z położenia roacutewnowagi czyli dla małych kątoacutew α wartość funkcji sinus może być dobrze przybliżona argumentem tej funkcji Dla małych kątoacutew α składowa styczna siły ciężkości działają-cej na wychylone wahadło matematyczne jest skierowana do położenia roacutewnowagowego a jej wartość jest proporcjonalna do wartości tego wy-chylenia Uwzględniając powyższe założenia możemy przekształcić roacutewnanie 68 i otrzymujemy roacutewnanie drgań harmonicznych dla wahadła matematycznego

0d

d=+ α

l

α g

t2

2

(69)

Podobnie jak to zrobiliśmy dla wahadła sprężystego poroacutewnujemy roacutewnanie 69 z 65 i wyznaczamy częstości drgań własnych oraz okres drgań wahadła matematycznego o długości l

g

2Tg

ω0

l

lπ== (610)

Warto zauważyć że okres T drgań wahadła matematycznego zależy od długości nici l oraz przyspieszenia ziemskiego g i nie zależy od masy m zaczepionej na końcu nici (izochronizm)

Rysunek 62 Wahadło matematyczne (z lewej) i fizyczne (z prawej)

RUCH DRGAJĄCY

Strona 85858585

Wahadło fizyczne

W rzeczywistości nie jesteśmy w stanie skonstruować idealnego wahadła matematycznego ale z codziennych obserwacji wiemy że rzeczywiste fizyczne obiekty jak np lampa zamocowana na linie mogą wykonywać drgania harmoniczne w polu grawitacyjnym Taki rzeczywisty układ drgający pod wpływem sił grawitacyjnych nazywamy wahadłem fizycz-nym Rozpatrzmy bryłę sztywną o masie m ktoacutera może się obracać względem osi nie pokrywającej się z osią swobodną (środkiem masy ciała) odległej o d od środka masy bryły i ktoacutera zostaje wychylona z położenia roacutewnowagi o niewielki kąt α (rysunek 62) W opisie ruchu tego ciała skorzystamy z drugiej zasady dynamiki dla bryły sztywnej

2

2

ttM

d

d

d

d αωII == (611)

gdzie M oznacza moment siły działającej na bryłę a I jest momentem bezwładności bryły względem osi obrotu Rozważając siły i momenty sił działające na taką bryłę sztywną podobnie jak w poprzednim przypadku wahadła matematycznego rozkładamy siłę ciężkości bryły ktoacutera jest zaczepiona do środka jej masy na składową radialną i styczną Ruch obrotowy bryły sztywnej będzie wywołany przez moment siły Mt zwią-zany ze składową styczną siły ciężkości (wyliczoną w identyczny sposoacuteb jak w przypadku wahadła matematycznego) działającą na ramieniu d i wyniesie

dmgM t αsinminus= (612)

Roacutewnież w tym przypadku wartość funkcji sinus przybliżamy jej argu-mentem i otrzymujemy roacutewnanie ruchu harmonicznego

0d

d=+ α

α

I

mgd

t2

2

(613)

W tym przypadku częstość drgań i okres obiegu wynoszą

mgd

IT

I

mgdω0 π2 == (614)

Jeżeli podstawimy mdI0 =l powyższe zależności będą miały iden-

tyczną postać jaką otrzymaliśmy dla wahadła matematycznego (wzo-

ry 610) Długość 0l dla ktoacuterej okres wahadła matematycznego jest taki

ROZDZIAŁ 6

Strona 86868686

sam jak dla wahadła fizycznego nazywana jest długością zredukowaną wahadła fizycznego

Wahadło torsyjne

Innym typem wahadła w ktoacuterym siłą sprawczą drgań jest siła sprężys-tości jest wahadło torsyjne Zwykle jest to układ o momencie bezwład-ności I składający się z jednego lub kilku ciężarkoacutew zawieszonych na cienkim pręcie lub drucie Oś obrotu pokrywa się z osią pręta a moment sił działających na ciężarek wynika z sił sprężystości powstających przy skręceniu pręta (inaczej układ ten jest nazywany wahadłem skrętnym) Ten moment sił skręcających jest proporcjonalny do wychylenia kątowego z położenia roacutewnowagi α oraz tzw momentu kierującego D będącego cechą materiału pręta

αDM t minus= (615)

Dla wahadła torsyjnego druga zasada dynamiki przyjmuje postać

0d

d=+ α

I

D

t

α2

2

(616)

a częstość drgań i okres obiegu w tym przypadku wynoszą

D

IT

I

Dω0 π2 == (617)

62 Drgania tłumione

W rzeczywistych układach drgających amplituda drgań będzie stopnio-wo malała i po pewnym czasie drgania ustaną Związane jest to z wystę-powaniem strat energii wynikających między innymi z lepkości ośrod-ka w ktoacuterym poruszają się ciała sił tarcia występujących na połącze-niach mechanicznych itp Opis ruchu z uwzględnieniem tłumienia wy-maga określenia ktoacutery z czynnikoacutew tłumienia jest dominujący a następ-nie zapisania wpływu tego czynnika w roacutewnaniu ruchu Najczęściej tłu-mienie jest proporcjonalne do prędkości ciała Modelem takiego układu może być ciężarek umocowany do sprężyny i zanurzony w lepkiej cie-czy Jak pokażemy w rozdziale poświęconym hydrodynamice jeśli prze-pływ cieczy ma charakter laminarny siły oporu są wprost proporcjonalne

RUCH DRGAJĄCY

Strona 87878787

do prędkości ciała Roacutewnanie ruchu ciężarka w takim układzie możemy zapisać w postaci

vbkxma minusminus= (618)

gdzie wspoacutełczynnik b jest stałą proporcjonalności między siłą oporu a prędkością Zastępując prędkość pierwszą a przyspieszenie drugą po-chodną położenia po czasie powyższy wzoacuter możemy zapisać w postaci roacuteżniczkowej

0d

d

d

d=++ kx

t

xb

t

xm

2

2

(619)

Rozwiązanie roacutewnania ruchu drgań harmonicznych miało postać funkcji sinusoidalnej Rozwiązanie roacutewnania drgań tłumionych jest złożeniem dwoacutech funkcji ndash funkcji okresowej sinusoidalnej oraz funkcji opisującej wykładnicze malenie amplitudy wychylenia

( ) ( )φtωcosetx t +prime= minusγA (620)

Wykładnicze malenie amplitudy drgań zależy zaroacutewno od lepkości ośrodka jak i masy ciężarka zamocowanego do sprężyny i opisane jest za pomocą wspoacutełczynnik tłumienia γ=b2m Istnienie tłumienia w ukła-dzie wpływa roacutewnież na zmniejszenie częstości kołowej drgań tłumio-nych ωrsquo

222 γωγ minus=minus=minus=primem

k

m4

b

m

kω

2

2

(621)

Jeśli wspoacutełczynnik tłumienia jest niewielki to częstotliwość kołowa drgań tłumionych ulega tylko nieznacznej zmianie a amplituda stopnio-wo zmniejsza się w kolejnych okresach drgań ndash funkcja wykładnicza stanowi obwiednię obserwowanego przebiegu (rysunek 63)

Jeśli będziemy zwiększać wartość wspoacutełczynnika tłumienia poprzez zmianę lepkości ośrodka lub zmianę masy drgającej zanik amplitudy drgań będzie coraz szybszy a częstotliwość tych drgań coraz mniejsza aż w końcu osiągniemy wartość krytyczną dla ktoacuterej częstość kołowa drgań tłumionych będzie wynosiła zero

22

ω=kγ (622)

ROZDZIAŁ 6

Strona 88888888

Dla takiej wartości wspoacutełczynnika tłumienia obserwujemy najszybsze z możliwych wygaśnięcie drgań i dojście układu do stanu roacutewnowagi Zależność wychylenia od czasu nie ma woacutewczas postaci funkcji okreso-wej a jedynie aperiodycznego wykładniczego spadku (rysunek 63)

Jeśli wspoacutełczynnik tłumienia będzie jeszcze większy układ będzie prze-tłumiony Podobnie jak w przypadku tłumienia krytycznego nie obser-wujemy woacutewczas drgań okresowych a jedynie wykładnicze zmniejsza-nie się wychylenia Jednak w tym przypadku siły oporu są na tyle duże że powroacutet do położenia roacutewnowagi trwa wielokrotnie dłużej niż w przy-padku tłumienia krytycznego (rysunek 63)

Rysunek 63 Zależność wychylenia ciała dla oscylatora tłumionego w funkcji czasu Roacuteżne kolory krzywej obrazują

zachowanie oscylatora dla roacuteżnych wartości wspoacutełczynnika tłumienia

Urządzenia tłumiące drgania amortyzatory

Doboacuter odpowiedniego wspoacutełczynnika tłumienia jest ważnym zagadnie-niem inżynierskim przy projektowaniu urządzeń mechanicznych Sto-sunkowo prostym przykładem może być tutaj zamykacz do drzwi ktoacutery ma zapewnić jak najszybsze zamknięcie drzwi tak aby zminimalizować straty ciepła z wewnątrz budynku Znając masę drzwi na etapie projek-towania możemy tak dobrać olej o odpowiedniej lepkości oraz sprężynę o odpowiednim wspoacutełczynniku sprężystości aby wspoacutełczynnik tłumienia

RUCH DRGAJĄCY

Strona 89898989

był roacutewny wartości krytycznego wspoacutełczynnika tłumienia Jeśli dobie-rzemy za mały wspoacutełczynnik tłumienia drzwi przed zamknięciem wyko-nają kilka oscylacji wokoacuteł położenia roacutewnowagi (jeśli mają taką możli-wość) lub uderzą we framugę Jeśli wspoacutełczynnik tłumienia będzie zbyt duży drzwi będą zamykały się powoli a może nawet mogą w ogoacutele się nie zamknąć Jeśli natomiast tak dobierzemy parametry że otrzymamy wartość krytyczną wspoacutełczynnika tłumienia drzwi zamkną się szybko nie powodując uderzenia we framugę Warto zwroacutecić uwagę na fakt że zimą gdy pod wpływem spadku temperatury lepkość oleju w zamykaczu rośnie nadmiernie wspoacutełczynnik tłumienia wzrasta spowalniając tempo zamykania drzwi Wymiana oleju w zamykaczu byłaby w takim przy-padku mało praktycznym rozwiązaniem ale podobny efekt można roacutew-nież osiągnąć poprzez regulację długości sprężyny

Innym ważnym przykładem tłumionego oscylatora harmonicznego jest amortyzator samochodowy Typowy amortyzator składa się z cylindra oraz tłoka na długim trzpieniu wokoacuteł ktoacuterego owinięta jest sprężyna Tłok dzieli cylinder na dwie części między ktoacuterymi może odbywać się przepływ oleju przez otwory w tłoku Wielkość otworoacutew oraz lepkość użytego płynu determinuje wspoacutełczynnik tłumienia ndash im mniejsza ich średnica i im większy wspoacutełczynnik lepkości płynu tym większy wspoacutełczynnik tłumienia uzyskujemy W typowych amortyzatorach war-tość wspoacutełczynnika tłumienia jest ustalona istnieją jednak rozwiązania pozwalające ją regulować Jednym z nich jest zastosowanie cieczy ktoacute-rych lepkość zwiększa się pod wpływem pola magnetycznego (magneto-reologiczne) lub elektrycznego (elektro-reologiczne) Układy elektro-niczne poprzez wytwarzanie odpowiedniego pola magnetycznego lub elektrycznego mogą płynnie zmieniać wspoacutełczynnik tłumienia amortyza-tora i w ten sposoacuteb wpływać na charakterystykę układu zawieszenia

Amortyzatory lotnicze muszą wytłumić zaroacutewno oscylacje o dużej am-plitudzie powstające podczas lądowania przy zetknięciu z Ziemią jak i mniejsze drgania powstające podczas szybkiej jazdy po płycie lotniska W tym celu stosuje się amortyzatory powietrzno-olejowe z dodatkową poduszka gazową tłumiącą drgania o dużej amplitudzie

ROZDZIAŁ 6

Strona 90909090

63 Drgania wymuszone z tłumieniem

Wiemy już że każdy układ charakteryzuje częstość kołowa drgań włas-nych ω0 oraz że tłumienie zmienia częstość drgań układu Na układ mogą jednak działać roacutewnież zewnętrzne siły wymuszające o charakte-rze okresowym Rozpatrzmy oscylator harmoniczny tłumiony ktoacutery bę-dzie pobudzany zewnętrzną siłą okresową z częstością kłową ω Woacutew-czas roacutewnanie ruchu oscylatora w postaci roacuteżniczkowej będzie miało postać

ωtxωt

x

m

b

t

x02

2

cos Ad

d

d

d=++ (623)

gdzie A oznacza amplitudę wymuszenia

Rozwiązania tego roacutewnania mają dość skomplikowaną postać i nie bę-dziemy ich wyprowadzać Przeanalizujemy tylko zależność amplitudy drgań od częstości wymuszenia i wspoacutełczynnika tłumienia

( ) 22220

22

1

ωωωm

~X MAX

γ+minus (624)

Jeśli częstotliwość kołowa wymuszenia ω zbliża się do częstotliwości kołowej drgań własnych oscylatora ω0 to amplituda drgań rośnie Gdy częstotliwość drgań wymuszających jest zgodna z częstotliwością drgań własnych amplituda drgań osiąga maksymalną wartość a w przypadku gdy nie ma tłumienia dąży do nieskończoności a zjawisko to nazywa się rezonansem

Zjawisko rezonansu mechanicznego może więc doprowadzić do uszko-dzenia budynkoacutew lub pojazdoacutew Jako przykład niszczącej siły rezonansu podawane jest zazwyczaj zawalenie się mostu w Angers w 1850 roku pod wpływem drgań wywołanych przemarszem wojska Rytm kroku żołnierzy zgadzał się z częstością własną konstrukcji mostu wiszącego co doprowadziło do zniszczenia podtrzymujących go wież We wspoacuteł-czesnych pojazdach na przykład zjawiska rezonansu mogą prowadzić do powstawania znacznych naprężeń mechanicznych na elementach kon-strukcyjnych i luzowania połączeń skrętnych Siłą wymuszającą drgania

RUCH DRGAJĄCY

Strona 91919191

mogą być roacutewnież fale sejsmiczne wywołane trzęsieniami ziemi i dlate-go w regionach aktywnych sejsmicznie w konstrukcji wysokich budyn-koacutew stosuje się roacuteżnego rodzaju amortyzatory oraz tzw TMD ndash tuned mass damper czyli dodatkowy oscylator o innej częstotliwości własnej ktoacutery przejmuje i rozprasza część energii drgań

ROZDZIAŁ 6

Strona 92929292

7 Stany skupienia materii

W tym rozdziale

o Ciało stałe o Płyny o Inne stany materii szkło tworzywa sztuczne

plazma o Przemiany fazowe

ROZDZIAŁ 7

Strona 94949494

Stany skupienia materii

Dotychczas opisywaliśmy ciała stałe ktoacutere charakteryzowały się ustalo-nym kształtem ktoacutere pod wpływem działającej na nie siły poruszały się (bryła sztywna) lub też nieznacznie sprężyście się odkształcały (sprę-żyna) W tym rozdziale omoacutewimy także inne cechy charakterystyczne ciał stałych oraz przedstawimy wybrane właściwości innych stanoacutew skupienia materii ndash cieczy i gazoacutew o ktoacuterych więcej moacutewić będziemy w dalszych rozdziałach

71 Ciało stałe

Cechami charakterystycznymi ciała stałego są

bull ustalony kształt i objętość

bull występowanie oddziaływań harmonicznych pomiędzy ato-mami i cząsteczkami W pewnym zakresie naprężeń ciało stałe zachowuje się jak sprężyna ndash ściśnięte wraca do pier-wotnego kształtu a odkształcenie sprężyste jest proporcjo-nalne do wartości przyłożonej siły Atomy ciała stałego wykonują drgania wokoacuteł położenia roacutewnowagi a amplituda tych drgań jest tym wyższa im wyższa jest temperatura

bull uporządkowanie dalekiego zasięgu Krystaliczne ciało stałe otrzymujemy powielając niewielki podstawowy jego frag-ment (tak zwaną komoacuterkę elementarną) w każdym z kierun-koacutew Taka powtarzalność układoacutew atomowych tzw perio-dyczność pozwala nam zatem na podstawie znajomości układu atomoacutew w danym miejscu określić dokładnie jakie jest położenie atomoacutew w dowolnym innym miejscu

STANY SKUPIENIA MATERII

Strona 95959595

72 Płyny

Płyny do ktoacuterych zaliczamy ciecze i gazy roacuteżnią się od ciał stałych reakcją na naprężenie ścinające Ciała stałe w reakcji na takie naprężenie (w pewnym zakresie wartości) odkształcają się sprężyście a po zwolnie-niu siły powracają do pierwotnego kształtu Płyny natomiast ulegają odkształceniu plastycznemu czyli obserwujemy płynięcie ciała i zmianę jego kształtu

Ciecze

Ciecze w odroacuteżnieniu od ciała stałego nie posiadają ustalonego kształtu choć są podobnie jak ciała stałe słabo ściśliwe Ciecze tworzą powierz-chnię swobodną oraz charakteryzują się uporządkowaniem bliskiego za-sięgu Oznacza to że najbliższe otoczenie atomoacutew jest takie samo Cie-cze tworzą cząsteczki o ustalonej strukturze Jednakże względne ułoże-nie cząsteczek względem siebie jest przypadkowe i dlatego możemy przewidzieć położenie sąsiedniego atomu ale nie jesteśmy w stanie obli-czyć dokładnie struktury w dalszym miejscu Ruch obrotowy i ruch po-stępowy cząsteczek cieczy jest znacznie ograniczony

Gazy

Gaz wypełnia całą dostępną objętość naczynia w ktoacuterym się znajduje Jest ściśliwy a odległości wzajemne między cząsteczkami są duże Cząsteczki gazu znajdują się w ciągłym ruchu chaotycznym (ruchy Browna) Istnieją także silne ruchy obrotowe i ruchy drgające wewnątrz cząsteczek Dominującą formą oddziaływań są zderzenia Prędkość cząsteczek jest większa niż w przypadku cieczy

73 Inne stany materii

Powyższe kryteria podziału stanoacutew skupienia odnoszą się do właściwoś-ci idealnych ciał stałych gazoacutew i cieczy W rzeczywistości obserwowa-ne są pewne odstępstwa od zaprezentowanych cech Istnieją roacutewnież ciała ktoacutere trudno jest jednoznacznie przyporządkować do określonej kategorii

ROZDZIAŁ 7

Strona 96969696

Szkło

Szkło jest materiałem w ktoacuterym podobnie jak w cieczy występuje jedy-nie uporządkowanie bliskiego zasięgu W warunkach w ktoacuterych je ob-serwujemy zachowuje ono jednak nie tylko objętość ale i kształt co jest cechą charakterystyczną ciał stałych

Szkło jest w istocie stanem metastabilnym tzw przechłodzoną cieczą ndash czyli cieczą ktoacuterej ruchy uległy zamrożeniu bez przejścia w stan stały (krystalizacji) Czas potrzebny na reorganizację ustawienia cząsteczek (tak zwany czas relaksacji) jest na tyle długi że obserwator nie zauważy efektu płynięcia pod wpływem działania sił ścinających Umowną granicą jest w tym przypadku czas relaksacji roacutewny 100 sekund ndash jeśli jest on kroacutetszy możemy nazywać dane ciało cieczą Zamrażanie ruchoacutew cząsteczek cieczy nazywane jest roacutewnież przejściem szklistym a jego temperatura oznaczana jako Tg ndash temperaturą przejścia szklistego

Istnieje przeświadczenie że efekty płynięcia szkła są widoczne przy odpowiednio długiej obserwacji czyli w wystarczająco bdquostarychrdquo obiek-tach Dokładne badania szkła wytworzonego w starożytnym Egipcie oraz szkła użytego w witrażach średniowiecznych katedr wykazało jednak że czas potrzebny na obserwację efektu płynięcia dla tych szkieł w tempe-raturze pokojowej jest poroacutewnywalny z wiekiem wszechświata a więc trudny do zaobserwowania w normalnych warunkach Atomy szkła za-czynają się szybciej ruszać czyli szkło zaczyna płynąć dopiero po podgrzaniu powyżej temperatury przejścia szklistego co wykorzystywa-ne jest w hutach szkła do nadawania mu oczekiwanych kształtoacutew

Tworzywa sztuczne

Z tworzyw sztucznych zbudowane są takie przedmioty codziennego użytku jak opona gumowa piłka lub zderzak większości nowoczesnych samochodoacutew Wydaje się że zaroacutewno przedmioty te jak i materiał z ktoacuterych są zbudowane spełniają kryteria stawiane ciału stałemu Okazuje się jednak że roacutewnież w tych materiałach nie istnieje uporząd-kowanie dalekiego zasięgu a charakter oddziaływań między cząsteczka-mi jest harmoniczny jedynie w wąskim zakresie przyłożonych naprężeń

Tworzywa sztuczne są zbudowane z łańcuchoacutew polimerowych gdzie identyczne cząsteczki połączone są w długie łańcuchy Oddziaływania między łańcuchami mają złożony charakter i zależą od struktury łańcucha Prostym modelem tworzywa sztucznego może być miska pełna spaghetti Pojedyncze nitki makaronu oddziałują ze sobą nie tylko poprzez tarcie ale dodatkowo występują roacuteżnorakie zapętlenia i zawęźle-

STANY SKUPIENIA MATERII

Strona 97979797

nia w efekcie czego makaron nie rozpływa się W tworzywach sztucz-nych poprzez tzw sieciowanie można dodatkowo zwiększyć oddziały-wania między łańcuchami zwiększając ich wytrzymałość W tworzy-wach sztucznych często nawet nieznaczne modyfikacje materiału wyj-ściowego zmieniają zachowanie tworzywa z typowego dla cieczy na typowe dla ciała stałego

Rozciągnięcie lub ściśnięcie opony widziane w ujęciu mikroskopowym jest związane przede wszystkim z rekonfiguracją wzajemnego położenia łańcuchoacutew Gdybyśmy umieścili wewnątrz opony miernik temperatury okazałoby się że na skutek rozciągania i ściskania zmienia się lokalnie jej temperatura ndash zachodzi przemiana termodynamiczna

Plazma

Obok ciał stałych cieczy i gazoacutew wymienia się zazwyczaj roacutewnież czwarty stan skupienia materii ndash stan plazmy Jest to stan o najwyższej energii w ktoacuterym materia jest zjonizowana i składa się z naładowanych cząstek o przeciwnych znakach ładunku elektrycznego W odroacuteżnieniu od innych stanoacutew skupienia w stanie plazmy oddziaływanie pomiędzy cząsteczkami ma charakter dalekozasięgowy czyli nie ogranicza się do najbliższych sąsiadoacutew ale każda z naładowanych cząstek oddziałuje z wieloma innymi dalszymi cząstkami Plazma jest bardzo dobrym prze-wodnikiem elektrycznym

Materię w tym stanie możemy obserwować min w płomieniu i łuku elektrycznym jak roacutewnież w wyładowaniu następującym w lampach jarzeniowych i w wyładowaniach atmosferycznych

74 Przejścia między stanami ndash przemiany fazowe

Stan skupienia danego ciała zależy od takich wielkości makroskopowych jak objętość temperatura czy ciśnienie Analizując stany w jakich wy-stępuje dane ciało przy określonych wielkościach makroskopowych mo-żemy przygotować tak zwany diagram fazowy ktoacutery zwyczajowo przedstawia się na wykresie ciśnienia od temperatury Linie stanowiące granicę występowania danej fazy związane są ze zmianą stanu skupienia Ponieważ stany skupienia roacuteżnią się między sobą zaroacutewno energią jak i charakterem oddziaływań zmiana stanu skupienia wymaga dostarcze-

ROZDZIAŁ 7

Strona 98989898

nia lub odebrania tej energii Dokładniejszą dyskusję przemian fazowych przeprowadzimy w rozdziale poświęconym termodynamice Teraz jedynie wymienimy przemiany fazowe

Przejście pomiędzy ciałem stałym a cieczą nazywamy topnieniem Przy-kładem jest topnienie lodu lub proces przetapiania złomu w hucie W procesie topnienia energia cząsteczek zwiększa się i następuje zerwa-nie wiązań W pewnych warunkach ciało stałe może roacutewnież przejść bezpośrednio w stan gazowy ndash proces taki nazywamy sublimacją Sublimację obserwujemy w mroźne zimy ndash obecny na obiektach szron i loacuted stopniowo znika bez udziału pośredniego procesu topnienia

Ciecz przechodząc w stan stały ulega krystalizacji Podczas obniżania temperatury cieczy maleje energia kinetyczna cząsteczek cieczy i domi-nować zaczynają procesy porządkowania atomoacutew w charakterystyczną dla danego związku periodyczną strukturę krystaliczną Cząsteczki tracą możliwość przemieszczania się ruchem postępowym - w ciele stałym dominują ruchy drgające polegające na niewielkich oscylacjach wokoacuteł położenia roacutewnowagi Podczas ogrzewania cieczy natomiast wzrasta energia kinetyczna cząsteczek Gdy ta energia jest odpowiednio duża i cząsteczka cieczy jest w stanie pokonać siły oddziaływania międzyczą-steczkowego fazy ciekłej odrywa się do cieczy co nazywamy parowaniem Warto zwroacutecić uwagę na to że parowanie nie następuje tylko w temperaturze wrzenia cieczy

Rysunek 71 Schematyczny diagram fazowy Zaznaczono kierunki zachodzących przemian fazowych

STANY SKUPIENIA MATERII

Strona 99999999

Cząsteczki znajdujące się na powierzchni cieczy mają szansę uwolnić się do fazy gazowej w całym zakresie temperatur w ktoacuterych ciecz istnieje jednak intensywność tego procesu jest roacuteżna w roacuteżnych warunkach Podczas wrzenia natomiast zmiana stanu skupienia następuje w całej objętości cieczy

Procesem odwrotnym do parowania jest skraplanie Proces ten obser-wujemy na przykład w postaci rosy w chłodne poranki a warunki makroskopowe (temperatura i ciśnienie) niezbędne do jego zajścia nazy-wamy punktem rosy Gaz może roacutewnież przejść do fazy stałej bezpo-średnio w wyniku resublimacji Przykładem resublimacji jest osadzanie się szronu na chłodnych powierzchniach Zjawisko resublimacji wyko-rzystywane jest w procesie technologicznym wytwarzania cienkich warstw na potrzeby elektroniki

W przypadku typowego zachowania materii możemy tak dobrać ciśnie-nie objętość i temperaturę ciała aby otrzymać stan w ktoacuterym wspoacutełist-nieć mogą trzy fazy gazowy ciekły i ciało stałe Taki punkt na diagra-mie fazowym nazywamy punktem potroacutejnym

ROZDZIAŁ 7

Strona 100100100100

8 Hydrostatyka i hydrodynamika

W tym rozdziale

o Ciśnienie o Prawo Pascala o Siła wyporu ndash prawo Archimedesa o Roacutewnanie Bernoulliego dysza skrzydło samolotowe o Płyny rzeczywiste wiry i turbulencje o Opoacuter dynamiczny

ROZDZIAŁ 8

Strona 102102102102

81 Hydrostatyka

Hydrostatyka i hydrodynamika opisują własności i zachowanie płynoacutew czyli cieczy oraz gazoacutew

Ciśnienie

Jedną z kluczowych wielkości charakteryzujących płyny jest ciśnienie

Ciśnienie definiujemy jako stosunek siły wywieranej na daną powierzchnię do wielkości tej powierzchni A

A

Fp = (81)

Jednostką ciśnienia jest paskal (1Pa=1Nm2) ktoacutery odpowiada sile 1 N działającej na powierzchnię 1 metra kwadratowego

Ponieważ ciśnienia spotykane w opisie zjawisk przyrodniczych są wielo-krotnie większe np ciśnienie wywierane przez atmosferę jest roacutewne około 105 Pa powstały jednostki takie jak atmosfera fizyczna atmosfera techniczna oraz bar W motoryzacji natomiast często używa się jednostki angielskiej ndash psi czyli funt na cal kwadratowy Podczas gdy w technice proacuteżniowej z kolei często stosowaną jednostką jest tor

Tabela 81 Wybrane jednostki ciśnienia

Dla nieściśliwego płynu ciśnienie hydrostatyczne na pewnej głębokości h pod powierzchnią cieczy zależy wyłącznie od tej głębokości

ghpp 0 ρ+= (82)

gdzie po jest ciśnieniem wywieranym przez atmosferę na powierzchnię cieczy a ρ ndash gęstością płynu W celu przeprowadzenia dowodu tego twierdzenia wyodrębnijmy bdquowycinekrdquo cieczy o płaskich podstawach (np walec) Jeśli w cieczy nie ma ruchoacutew konwekcyjnych wycinek ten nie

mm Hg Tr At Atm bar Psi 1333 9807sdot10

4 1013sdot10

5 10sdot10

5 6893sdot10

3

HYDROSTATYKA I HYDRODYNAMIKA

Strona 103103103103

unosi się ani nie opada a zatem siły działające na obie postawy (goacuterną i dolną) muszą się roacutewnoważyć Siłę działającą na goacuterną podstawę

możemy wyrazić poprzez ciśnienie przy goacuternej krawędzi Gp oraz pole powierzchni tego walca A

ApF GG = (83)

Podobnie możemy wyznaczyć siłę działającą na dolną podstawę

ApF DD = (84)

Siłę działającą na dolną podstawę można roacutewnież wyznaczyć sumując siłę działającą na goacuterną podstawę oraz siłę ciężkości rozważanego bdquowycinkardquo

ghAApmgApF DDD ρ+=+= (85)

Jeżeli poroacutewnamy zależności 84 i 85 to po podzieleniu obu stron przez powierzchnię A otrzymujemy roacutewnanie 82 Wzrost ciśnienia wywołany głębokością pod powierzchnią płynu jest związany z ciężarem tego pły-nu W przypadku ogoacutelnym rozważany bdquowycinekrdquo cieczy może obejmo-wać cały słup cieczy począwszy od jej powierzchni na ktoacuterej panuje ciśnienie p0

Barometr cieczowy

Barometr cieczowy jest prostym urządzeniem do pomiaru ciśnienia at-mosferycznego za pomocą ciśnienia hydrostatycznego Barometr cieczo-wy składa się z płaskiej zlewki i długiej rury zamkniętej na jednym końcu Zaroacutewno zlewkę jak i rurę napełniamy cieczą a następnie rurę odwracamy tak by jej otwarty koniec znalazł się pod powierzchnią płynu w zlewce (rysunek 81) Wydawać by się mogło że skoro powierzchnia cieczy w rurce znajduje się wyżej od powierzchni płynu w zlewce czyli ma wyższą energię potencjalną ciecz znajdująca się w rurze powinna w całości wypłynąć do zlewki Tymczasem obserwuje-my jedynie obniżenie się wysokości słupa cieczy do pewnej wysokości Toricelli stwierdził że w rurce ustala się taki poziom płynu ktoacutery roacutewnoważy zewnętrzne ciśnienie atmosferyczne działające na otwartą zlewkę

ghp ρ=0 (86)

ROZDZIAŁ 8

Strona 104104104104

Rysunek 81 Barometr cieczowy

Przy zmieniającym się ciśnieniu atmosferycznym zmieniać się będzie roacutewnież wysokość słupa płynu a więc układ taki może być stosowany jako barometr do pomiaru ciśnienia atmosferycznego W praktyce najczęściej stosuje się barometry rtęciowe gdyż ze względu na wysoką gęstość rtęci barometr taki nie musi być bardzo wysoki ndash ciśnienie słupa rtęci o wysokości około 760mm jest poroacutewnywalne z ciśnieniem atmosferycznym

Wpływ ciśnienia słupa płynu należy uwzględniać np przy projektowaniu sieci wodociągowej i ujęć wody Jeśli roacuteżnica wysokości między ujęciem wody a punktem odbioru jest znaczna (źroacutedło znajduje się na przykład na zboczu goacutery) stosuje się reduktory ciśnienia tak aby rury doprowadzające wodę nie zostały rozsadzone Z odwrotnym problemem spotykamy się dostarczając wodę do wysokich budynkoacutew ndash przy zasilaniu bezpośrednio z sieci wodociągowej woda ma właściwe ciśnienie jedynie na najniższych piętrach Z tego względu w niektoacuterych przypadkach wodę pompuje się najpierw na najwyższe piętra by następnie przez odpowiednią redukcję ciśnienia uzyskać pożądaną wartość na poszczegoacutelnych kondygnacjach Regulacji ciśnienia w sieci wodociągowej mogą służyć roacutewnież tzw wieże ciśnień ndash wysokość słupa wody zgromadzonego w wieży określa ciśnienie w połączonej z nią sieci wodociągowej Przykładem naturalnej bdquowieży ciśnieńrdquo są tzw studnie artezyjskie Jeśli teren jest zagłębiony ndash tworzy tzw nieckę artezyjską a warstwa wodonośna jest uwięziona pomiędzy słabo przepuszczalnymi skałami ciśnienie wywierane przez wodę z warstwy na uniesionych brzegach niecki powoduje samorzutne wypływanie wody w zagłębionej części niecki

HYDROSTATYKA I HYDRODYNAMIKA

Strona 105105105105

Prawo Pascala

Ciśnienie w cieczy rozchodzi się we wszystkich kierunkach jednakowo

Powyższe prawo Pascala jest podstawą działania systemoacutew hydraulicz-nych Wzrost ciśnienia w jednym punkcie zamkniętego układu powoduje identyczny i natychmiastowy wzrost ciśnienia we wszystkich innych punktach Prostym przykładem wykorzystania tego prawa jest bębnowy hamulec hydrauliczny Naciskając pedał hamulca wciskamy (za pośred-nictwem dźwigni) tłok w niewielkim cylindrze wypełnionym cieczą Ponieważ średnica tłoka jest niewielka to siła ktoacuterą naciskamy pedał powoduje znaczny wzrost ciśnienia cieczy w układzie hamulcowym (ciś-nienie jest odwrotnie proporcjonalne do powierzchni na ktoacuterą działa siła zgodnie z roacutewnaniem 81) Poprzez przewoacuted hamulcowy ciśnienie to jest przekazywane do cylindra z dwoma tłokami znajdującego się wewnątrz mechanizmu hamulca W tej części układu powierzchnia tłokoacutew jest znacznie większa a więc siła z jaką tłoki dociskają okładki hamulcowe do wewnętrznej części bębna jest wielokrotnie większa niż siła nacisku na pedały wytwarzając w ten sposoacuteb duży moment hamujący

Zasada działania podnośnika hydraulicznego (prasy hydraulicznej) roacutew-nież może być wyjaśniona w oparciu o prawo Pascala Prasa hydraulicz-na składa się z połączonych ze sobą dwoacutech cylindroacutew o roacuteżnych średni-cach (rysunek 82) Naciskając jeden z nich o powierzchni S1 siłą F1 wytwarzamy ciśnienie

1

1

S

Fp = (87)

W układzie zamkniętym prasy dokładnie takie samo ciśnienie będzie działało na drugi tłok jeśli tylko znajduje się on na identycznej wysokości (jeśli wysokości byłyby roacuteżne należałoby uwzględnić dodat-kowe ciśnienie słupa cieczy) Możemy zatem obliczyć siłę F2 działającą na drugi tłok o powierzchni S2

2

1

1

2 SS

FF = (88)

Siła F2 zależy zatem od stosunku powierzchni tłokoacutew Jeśli średnica mniejszego tłoka wynosi 1cm a średnica większego 10cm (czyli po-wierzchnia tłoka jest 100 razy większa) to naciskając na mniejszy tłok

ROZDZIAŁ 8

Strona 106106106106

siłą 100N (około 10kg) wytwarzamy na większym tłoku siłę stokrotnie większą zdolną podnieść masę jednej tony Za pomocą przenośnego podnośnika hydraulicznego możemy zatem łatwo unieść samochoacuted w celu dokonania napraw W dużych prasach siła ta może osiągać kilka-set ton co jest wystarczające np do formowania blach karoserii samochodowych

Rysunek 82 Schemat budowy podnośnika hydraulicznego

Warto zwroacutecić uwagę że przemieszczenie dużego tłoka w powyższej prasie hydraulicznej jest odpowiednio mniejsze Aby uzyskać przemiesz-czenie dużego tłoka o 1cm przy danych identycznych jak w powyższym przykładzie mniejszy tłok należałoby przesunąć o 1 metr Ponieważ w praktyce może być to trudne do zrealizowania w systemach siłowni-koacutew hydraulicznych stosuje się system zaworoacutew zwrotnych ndash pozwalają-cych na przepływ płynu tylko w jedną stronę W podnośniku ręcznym zawoacuter zwrotny pozwala na wielokrotny ruch mniejszego tłoka w celu uzyskania odpowiedniego przesunięcia dużego tłoka W obu przypad-kach wykonana praca jest jednak identyczna Przyjmując oznaczenie przemieszczenia tłoka jako x otrzymujemy

222

2

2

1

1

2

2

1

1111 WxFS

VF

S

VS

S

F

S

VFxFW ====== (89)

Siła wyporu ndash prawo Archimedesa

Zgodnie z prawem Archimedesa

Na ciało zanurzone w płynie działa siła wyporu skierowana pionowo do goacutery roacutewna ciężarowi wypartego płynu

HYDROSTATYKA I HYDRODYNAMIKA

Strona 107107107107

gVF cW ρ= (810)

Wzoacuter na wartość siły wyporu można wyprowadzić w sposoacuteb analogicz-ny do zastosowanego przy wyznaczaniu ciśnienia wywieranego przez słup cieczy Wyodrębnijmy z cieczy o gęstości ρ fragment o objętości V polu przekroju S oraz wysokości h ktoacutery ani nie tonie ani nie unosi się Oznacza to że ciężar tego fragmentu musi być zroacutewnoważony przez siłę wyporu skierowaną w goacuterę Rozważania te nie zmienią się jeżeli na miejsce wyodrębnionego fragmentu wstawimy badane ciało w szczegoacutel-ności nie zmieni się wartość siły wyporu ndash wartość siły wyporu zależy od objętości zanurzonego ciała oraz gęstości cieczy w ktoacuterej te ciało jest zanurzone W przypadku ciał pływających na powierzchni wody prawo Archimedesa możemy sformułować w następujący sposoacuteb

Ciało pływające na powierzchni wody wypiera ilość wody ważącą tyle ile samo waży

Ciało pływające na powierzchni wypiera jedynie tyle wody ile wynosi objętość jego zanurzonej części Siła wyporu związana jest z objętością wypartej cieczy o gęstości ρc czyli tylko z częścią zanurzoną ciała Vz ale siła ta roacutewnoważy ciężar całego ciała (mg) co zapisujemy

gVmg cz ρ= (811)

Działania siły wyporu możemy doświadczyć pływając w wodzie Biorąc pod uwagę powietrze zgromadzone w płucach ciało ludzkie ma średnią gęstość mniejszą od wody co pozwala mu unosić się na powierzchni Pojazdy i konstrukcje pływające mają roacutewnież średnią gęstość mniejszą od wody ndash choć kadłub statku jest wykonany ze stali o znacznie większej gęstości od wody ale średnia gęstość liczona dla całej bryły okrętu jest mniejsza od gęstości wody Siła wyporu unosi roacutewnież balony zaroacutewno wypełnione gazami lżejszymi od powietrza (hel wodoacuter) jak i napełnione ogrzanym powietrzem W obu przypadkach balon unosi się ponieważ średnia gęstość liczona dla całej bryły balonu jest mniejsza niż gęstość otaczającego powietrza

Jak wynika z prawa Archimedesa i jak widać w przytoczonych przykładach siła wyporu zależy od gęstości płynu w ktoacuterym ciało jest zanurzone Oznacza to roacutewnież że mierząc siłę wyporu możemy mierzyć gęstości cieczy Urządzenia wykorzystujące ten efekt nazywa się areometrami i stosowane są zaroacutewno w przemyśle winiarskim (do wyznaczania zawartości alkoholu) jak i paliwowym Areometr ma zwykle kształt długiej rurki obciążonej na jednym końcu Po umieszcze-niu w cieczy przyjmuje pozycję pionową Głębokość zanurzenia pływa-

ROZDZIAŁ 8

Strona 108108108108

ka zależy od gęstości cieczy ndash jeśli gęstość jest mniejsza (np więcej alkoholu w stosunku do wody) zmniejsza się siła wyporu i pływak zanurza się głębiej Jeśli gęstość jest większa zanurzenie zmniejsza się Podobnie dzieje się z naszym ciałem ndash w gęstszej wodzie słonej siła wyporu jest większa i łatwiej jest unosić się na powierzchni Z tego samego powodu trudno jest utonąć w tzw grząskich piaskach ndash ich gęstość jest znacznie większa niż gęstość ludzkiego ciała

Prawo Archimedesa w praktyce wykorzystywane jest w roacuteżnych urzą-dzeniach hydrologicznych Na przykład w niektoacuterych krajach odcinki kanałoacutew żeglugowych poprowadzone są na wiaduktach Kiedy barka wpływa na taki wiadukt obciążenie konstrukcji nie zmienia się jednak ponieważ barka pływając na powierzchni wody wypiera z kanału do-kładnie tyle wody ile sama waży

82 Hydrodynamika

Hydrodynamika opisuje zjawiska związane z przepływem płynoacutew W pierwszym przybliżeniu badany ośrodek możemy zastąpić płynem idealnym ktoacutery wyroacuteżnia się następującymi cechami

bull Przepływ laminarny ndash prędkość poruszającego się płynu w każdym wybranym punkcie nie zmienia się z upływem czasu

bull Przepływ nieściśliwy ndash gęstość płynu jest stała

bull Przepływ nielepki ndash brak strat związanych z oporem wewnętrznym

bull Przepływ bezwirowy ndash zawieszona w płynie cząstka nie obraca się względem środka masy

Roacutewnanie ciągłości

W celu zobrazowania przepływu płynu idealnego wygodnie jest wpro-wadzić linie prądu Są to linie w każdym punkcie styczne do toru oraz prędkości cząstki zawieszonej w płynie Rozpatrzmy strugę nieściśliwe-go płynu definiowaną jako zespoacuteł linii prądu wypełniających poprzeczny

HYDROSTATYKA I HYDRODYNAMIKA

Strona 109109109109

do linii prądu mały kontur zamknięty (rurkę prądu) Jeżeli płyn jest nieściśliwy oraz w rurce prądu nie ma żadnych źroacutedeł ani wypływoacutew woacutewczas masa płynu przepływająca w jednostce czasu przez dowolny przekroacutej poprzeczny tej strugi musi być taka sama Zasadę zachowania masy dla takiej strugi płynu można więc zapisać

22 mtSρtSρm 111 dddd 2 === vv (812)

gdzie dm1 oraz dm2 oznaczają masę strugi płynu ktoacutera w czasie dt prze-pływa z prędkością v1 oraz v2 przez przekroacutej strugi o powierzchni odpo-wiednio S1 oraz S2 Po przekształceniach otrzymujemy roacutewność

21 vv 21 SS = (813)

co zapisujemy jako tzw roacutewnanie ciągłości

const=vS (814)

gdzie S jest polem przekroju poprzecznego zaś v prędkością przepływu płynu przez ten przekroacutej Z roacutewnania tego wynika że im węższy jest przekroacutej tym większa prędkość przepływu cieczy Efekt taki możemy zaobserwować na przykład dla wody w koryta rzecznego Jeśli koryto jest szerokie rzeka płynie powoli natomiast jeśli koryto jest wąskie ndash np w miejscu przełomu przez warstwy skał ndash prędkość nurtu zwiększa się

Roacutewnanie Bernoulliego

Roacutewnanie Bernoulliego określa związek między ciśnieniem cieczy prędkością jej przepływu oraz wysokością na ktoacuterej znajduje się ta ciecz

Rozpatrzmy rurę o zmiennym przekroju ktoacuterej dwa końce znajdują sie na roacuteżnych wysokościach jak na rysunku 83 Przepływ płynu z dolnej części (indeksy 1) do goacuternej części (indeksy 2) odbywa się pod wpły-wem siły parcia F1 zdefiniowanej przez ciśnienie p1

ROZDZIAŁ 8

Strona 110110110110

Rysunek 83 Ilustracja roacutewnania Bernoulliego

Siła ta przesuwając płyn o pewną odległość l1 wykonuje pracę

11111111 VpSpFW === ll (815)

Przesunięciu temu przeciwdziałać będzie siła parcia F2 związana z ciśnieniem p2 ktoacutera wykona pracę

22222222 VpSpFW minus=minus=minus= ll (816)

Ponieważ zgodnie z roacutewnaniem ciągłości taka sama objętość płynu przesunie się w dolnej i goacuternej części rury więc wypadkowa praca wykonana przez siły parcia wynosi

V)p(pVpVpW 2111 minus=minus=∆ 22 (817)

Praca sił parcia wpływać będzie na zmianę energii kinetycznej i poten-cjalna tej porcji płynu o objętości V Płyn ten przepływając z prędkością v1 przez rurę znajdującą się na wysokości y1 będzie miał energię

11 mgymE += 212

1v (818)

gdzie m oznacza masę porcji płynu o objętości V oraz gęstości ρ Zmiana energii płynu przepływającego przez rozważaną rurę wynosić więc będzie

221 mgymmgymE minusminus+=∆ 221 2

1

2

1vv (819)

Jeśli przyroacutewnamy zmianę energii płynu oraz wypadkową pracę sił parcia po podzieleniu roacutewnania przez objętość otrzymamy

HYDROSTATYKA I HYDRODYNAMIKA

Strona 111111111111

2

2

221

2

11 gy2

1pgy

2

1p ρρρρ ++=++ vv (820)

Powyższe wyprowadzenie można uogoacutelnić w postaci tzw roacutewnania Bernoulliego ktoacutere moacutewi że dla dowolnych dwoacutech przekroi rurki cieczy idealnej suma trzech ciśnień ndash statycznego hydrostatycznego oraz spiętrzania ndash jest stała

const=++ hg2

1p

2 ρρv (821)

Z roacutewnania Bernoulliego wynika na przykład że jeżeli będziemy rozpatrywać przepływ płynu na stałej wysokości (ciśnienie hydrostatyczne jest stałe) woacutewczas im większa jest prędkość przepływu cieczy (ciśnienie spiętrzania) tym mniejsze jest ciśnienie statyczne wytwarzane przez tę ciecz Efekt ten wykorzystujemy w szeregu urządzeń

Dysza

W pistolecie natryskowym wykorzystuje się strumień gazu poruszający się z dużą prędkością W miejscu podłączenia zbiornika z farbą znajduje się przewężenie o przekroju znacznie mniejszym niż przekroacutej wlotu dyszy Z roacutewnania ciągłości wiemy że w takim przewężeniu gaz ma znacznie większą prędkość niż przy wlocie i wylocie dyszy Z roacutewnania Bernoulliego zaś wynika że w takim punkcie gdzie prędkość przepływu płynu jest wysoka ciśnienie jest niskie Przy odpowiednio wąskim przewężeniu uzyskamy na tyle niskie ciśnienie (proacuteżnię) że farba jest zasysana do wnętrza dyszy gdzie jej kropelki są rozpylane w strumieniu przepływającego powietrza i mogą być wykorzystane do roacutewnomiernego rozprowadzenia farby Wykorzystując podobną konstrukcję można roacutewnież budować miniaturowe pompy proacuteżniowe a także przyrządy do pomiaru prędkości gazu

Skrzydło samolotu

Roacutewnanie Bernoulliego pozwala roacutewnież wyjaśnić zasadę wytwarzania siły nośnej przez skrzydło samolotu Niesymetryczny kształt przekroju płata skrzydła powoduje powstawanie roacuteżnicy prędkości strumienia powietrza powyżej i poniżej płata Roacuteżnica ta zależy od tzw kąta natarcia ndash określonego umownie pomiędzy cięciwą skrzydła a kierun-kiem strugi powietrza Przy pewnym kącie natarcia prędkości powietrza owiewającego płat są sobie roacutewne ciśnienie po obu stronach płata jest zatem roacutewnież identyczne Płat nie wytwarza wtedy siły nośnej Jeśli

ROZDZIAŁ 8

Strona 112112112112

zwiększymy kąt natarcia masy powietrza opływające skrzydło od goacutery muszą pokonać dłuższą drogę a więc prędkość powietrza na goacuternej powierzchni płata jest większa niż na dolnej Zatem zgodnie z roacutewna-niem Bernoulliego ciśnienie na goacuternej powierzchni jest niższe Roacuteżnica ciśnień po obu stronach płata powoduje powstanie siły nośnej unoszącej samolot Im większy kąt natarcia tym większa siła nośna ndash należy jednak pamiętać że przy zbyt dużym kącie natarcia wzrastają roacutewnież siły hamujące działające na układ Dochodzi wtedy do tzw przeciągnię-cia ndash zbyt duży kąt natarcia powoduje utratę prędkości i w konsekwencji spadek siły nośnej

Rysunek 84 Linie prądu powietrza opływającego skrzydło samolotu

Płyny rzeczywiste

Opis zachowania płynoacutew rzeczywistych jest znacznie bardziej złożony niż idealnych Płyny rzeczywiste roacuteżnią się od idealnych przede wszystkim niezerową lepkością oraz ściśliwością

Ściśliwość opisuje zmianę objętości obiektu pod wpływem ciśnienia zewnętrznego Gazy charakteryzują się znacznie większą ściśliwością niż ciecze jednak w pewnym zagadnieniach można ją roacutewnież zanied-bać Kryterium jest tzw liczba Macha ktoacutera wyraża się stosunkiem prędkości przepływu gazu do prędkości dźwięku w tym gazie Jeśli prędkość przepływu jest znacznie mniejsza od prędkości dźwięku ściśliwość gazu można zaniedbać

Lepkość płynu jest związana z tarciem wewnętrznym występującym w płynie Jeśli podzielimy płyn na cienkie warstwy ułożone roacutewnolegle do linii prądu to tarcie wewnętrzne określa wielkość sił oporu występu-jących pomiędzy poszczegoacutelnymi warstwami Jeśli lepkość jest niewiel-ka czyli wpływ sił lepkości na ruch płynu jest niewielki to przepływają-cy płyn nie napotyka na przeszkody i poszczegoacutelne warstwy płynu poru-

HYDROSTATYKA I HYDRODYNAMIKA

Strona 113113113113

szają się ze zbliżoną prędkością Jeśli w strumieniu cieczy znajduje się nieruchomy obiekt na skutek oddziaływania sił lepkości warstwa płynu najbliższa jego powierzchni będzie poruszała się z niewielką prędkością ndash w przybliżeniu można przyjąć że warstwa ta znajduje się w spo-czynku Kolejne warstwy coraz bardziej odległe od przeszkody będą poruszały się z coraz większą prędkością Stosunek sił tarcia wewnę-trznego do powierzchni warstwy możemy wyrazić jako tzw naprężenie styczne τ

y

ηA

Tτ x

part

part==

v (822)

Naprężenie styczne jest wprost proporcjonalne do gradientu prędkości występującego pomiędzy kolejnymi warstwami płynu Wspoacutełczynnik proporcjonalności nazywamy dynamicznym wspoacutełczynnikiem lepkości η a jego jednostką jest paskal sekunda [Pas]

Wiry i turbulencje

Cechą charakterystyczną płynoacutew rzeczywistych jest możliwość występo-wania w nich turbulencji i wiroacutew Przepływ wirowy występuje wtedy kiedy wydzielony przez obserwatora element płynu ulega obrotowi Oproacutecz obrotu wokoacuteł punktu wyznaczającego środek wiru obroacutet może następować także (w sposoacuteb jednoczesny) wokoacuteł osi własnej elementu Można to poroacutewnać do karuzeli w wesołym miasteczku na ktoacuterej fotele obracają się nie tylko wokoacuteł osi karuzeli ale roacutewnież własnej osi Powstawanie wiroacutew można obserwować min za przeszkodami w nurcie rzeki czy też za skrzydłem samolotu Podczas pokazoacutew lotniczych często prezentowane są bdquoskrzydła aniołardquo ktoacutere powstają w wyniku rozpylenia przez lecący samolot barwnika w powietrzu Drobiny barwnika zostają zassane przez wir powstający za skrzydłami a następnie opadają Przepływ wirowy powstaje roacutewnież za lotkami skrzydeł ptakoacutew Grupowanie się ptakoacutew w klucz podczas migracji jest metodą redukcji oporu związanego z powstawaniem wiroacutew Warto zwroacutecić uwagę że przyczyną powstawania roacuteżnego rodzaju wiroacutew może być roacutewnież np siła Coriolisa związana z ruchem obrotowym Ziemi Kierunek obrotu wiru nad otworem odpływowym zbiornika jest na poacutełkuli poacutełnocnej Ziemi zawsze identyczny i proacuteby bdquoodwroacuteceniardquo go nie powiodą się

Z turbulencjami mamy do czynienia wtedy kiedy przepływ nie jest stacjonarny ndash kierunek i wartość prędkości w danym punkcie ulegają zmianom w czasie Prostym przykładem turbulencji są bystrza rzeki i wodospady - widzimy że choć średni kierunek przepływu jest iden-

ROZDZIAŁ 8

Strona 114114114114

tyczny układ rozbryzgoacutew wody w poszczegoacutelnych punktach zmienia się w czasie Turbulencje powstają roacutewnież w strumieniach mas powietrza Szczegoacutelnie narażone na to zjawisko są zawietrzne stoki goacuter ale turbu-lencje mogą pojawiać się roacutewnież na granicy mas powietrza o roacuteżnych temperaturach wilgotności itp

Opoacuter dynamiczny

Płyn opływający ciało napotyka na opoacuter dynamiczny na ktoacutery składają się dwa czynniki ndash siły tarcia wewnętrznego T i tzw opoacuter ciśnieniowy R

Siły tarcia wewnętrznego związane są z lepkością opływającego płynu i zależą liniowo od prędkości v obiektu względem strumienia płynu

vLBηT = (823)

gdzie B jest wspoacutełczynnikiem proporcjonalności η oznacza wspoacutełczyn-nik lepkości a L określa tzw rozmiar ciała Dla kuli umownie przyjmuje się wielkość L roacutewną jej promieniowi

Opoacuter ciśnieniowy jest związany z naciskiem strumienia płynu na powierzchnię czołową przeszkody oraz koniecznością bdquorozepchnięciardquo przez przeszkodę warstw płynu ktoacutery go opływa Wartość oporu ciśnieniowego R jest proporcjonalna do kwadratu prędkości

222 vv LCρACρR == (824)

gdzie ρ oznacza gęstość cieczy a A powierzchnię ndash ktoacutera zależy od wymiaru ciała L w kwadracie Wspoacutełczynnik C jest stałą proporcjonal-ności ktoacutera zależy od kształtu ciała i dla kuli przykładowo wspoacutełczynnik ten wynosi około 015

Liczba Reynoldsa Re jest definiowana poprzez stosunek oporu ciśnie-niowego do tarcia wewnętrznego

ReB

C

η

ρL

B

C

LBη

LCρ

T

R===

v

v

v22

(825)

Liczba Reynoldsa charakteryzuje tzw podobieństwo hydrodynamiczne ndash jeśli warunki przepływu dwoacutech płynoacutew są określone identycznymi licz-bami Reynoldsa ich przepływ będzie miał podobny charakter Jeśli licz-ba Reynoldsa jest znacznie mniejsza od jedności przepływ ma charakter warstwowy a dominującą rolę mają siły lepkości Jeśli liczba Reynoldsa

HYDROSTATYKA I HYDRODYNAMIKA

Strona 115115115115

jest znacznie większa od jedności przepływ ma charakter burzliwy a na opoacuter decydujący wpływ ma opoacuter ciśnieniowy i powstające za obiektem turbulencje

W przypadku nadwozia samochodowego decydujące znaczenie ma opoacuter ciśnieniowy i dlatego siły oporu aerodynamicznego rosną z kwadratem prędkości Niski wspoacutełczynnik oporu ciśnieniowego jest korzystny ze względu na zużycie paliwa i uzyskiwaną prędkość maksymalną ale może pogarszać kontakt pojazdu z nawierzchnią Z tego względu stosuje się tzw spoilery ktoacutere działając podobnie jak skrzydło samolotu wytwa-rzają siłę dociskającą pojazd do drogi W przypadku bolidoacutew Formuły1 opływowe kształty ma kadłub natomiast zaroacutewno z przodu jak i z tyłu samochodu zamontowane są płaty zapewniające odpowiedni docisk i sterowność bolidu Z tego względu wspoacutełczynnik oporu aerodynamicz-nego bolidoacutew F1 jest stosunkowo wysoki ndash co roacutewnoważone jest jednak przez dużą moc silnika

Z oporem aero- i hydro-dynamicznym jest związane roacutewnież pojęcie tzw prędkości granicznej ośrodka Podczas spadku swobodnego w po-wietrzu prędkość ciała początkowo rośnie ponieważ na ciało działa siła przyciągania ziemskiego Wartość tej siły należy zmniejszyć o wartość siły wyporu ośrodka Wraz ze wzrostem prędkości ciała wzrastają jednak roacutewnież siły oporu ndash zależnie od rodzaju ośrodka i charakteru przepływu są one proporcjonalne do wartości prędkości lub do jej kwadratu W pewnym momencie przy pewnej prędkości nazywanej prędkością graniczną dochodzi do zroacutewnoważenia się siły grawitacji i sumy sił wyporu oraz oporu ośrodka Prędkość graniczna jest maksymalną pręd-kością osiąganą przez ciało w danym ośrodku i np dla skoczkoacutew spado-chronowych przed otwarciem spadochronu wynosi ona od ok 195 do ok 320 kmh w zależności od pozycji w jakiej spadają Osiągnięcie większej prędkości wymaga wykonania skoku na dużej wysokości gdzie atmosfera jest rozrzedzona i siły oporu są mniejsze

ROZDZIAŁ 8

Strona 116116116116

9 Termodynamika

W tym rozdziale

o Temperatura skale temperatur o Roacutewnanie stanu gazu doskonałego o Ciepło i praca termodynamiczna o Pierwsza zasada termodynamiki o Przemiany termodynamiczne o Cykle gazowe druga zasada termodynamiki o Entropia o Mechanizmy przekazywania ciepła rozszerzalność

cieplna ciał stałych

ROZDZIAŁ 9

Strona 118118118118

Termodynamika

Termodynamika jest nauką zajmującą się badaniem zjawisk przemiany energii (w szczegoacutelności zamiany ciepła na pracę mechaniczną) zachodzących w układach makroskopowych Szybki rozwoacutej termodyna-miki nastąpił w XIX wieku co jest związane z rozwojem technologii budowy silnikoacutew parowych i spalinowych Opisując stan układu termo-dynamika posługuje się wielkościami makroskopowymi Rozważając roacuteżne stany skupienia materii oraz występujące między nimi przejścia fazowe posłużyliśmy się już takimi parametrami inaczej nazywanymi parametrami stanu układu ndash ciśnieniem objętością i temperaturą Objętość jest rozmiarem przestrzeni zajmowanej przez dane ciało a definicję ciśnienia poznaliśmy już przy okazji omawiania zagadnień związanych z mechaniką płynoacutew ndash wartość ciśnienia otrzymujemy dzie-ląc siłę przez powierzchnię na ktoacuterą działa ta siła O temperaturze wspo-minaliśmy już wprowadzając pojęcie energii kinetycznej Wykazaliśmy woacutewczas że im szybciej poruszają się cząsteczki tym większą mają energię i tym wyższa jest temperatura układu Do tego mikroskopowego opisu jeszcze wroacutecimy postaramy się jednak najpierw opisać temperatu-rę w ujęciu makroskopowym Opisu takiego dostarcza tzw zerowa zasa-da termodynamiki

91 Temperatura zerowa zasada termodynamiki

Istnieje wielkość skalarna zwana temperaturą ktoacutera jest właściwością wszystkich ciał izolowanego układu termodyna-micznego pozostających w roacutewnowadze wzajemnej Roacutewnowaga polega na tym że każde z ciał tyle samo energii emituje (wysyła) co pochłania Temperatura każdego ciała układu pozostaje taka sama

Zerowa zasada termodynamiki może być roacutewnież sformułowana następująco

Jeśli ciało A jest w roacutewnowadze termicznej z ciałem B i z ciałem C to ciało B jest w roacutewnowadze z ciałem C

TERMODYNAMIKA

Strona 119119119119

Ciała znajdują się w stanie roacutewnowagi termicznej jeśli zachodzi między nimi wymiana ciepła Jeśli postawimy szklankę z gorącą wodą na ka-miennym zimnym blacie szklanka będzie stawać się coraz chłodniejsza a blat coraz cieplejszy ndash temperatura szklanki będzie malała a tempera-tura blatu rosła Kiedy temperatura szklanki zroacutewna się z temperaturą blatu znajdą się w stanie roacutewnowagi termicznej ndash ich temperatura będzie taka sama

Żeby sprawdzić czy ciała są w stanie roacutewnowagi termicznej nie muszą być one w bezpośrednim kontakcie Wystarczy znać temperaturę obu ciał Jeśli stwierdzimy że dowolne ciała A i B są w stanie roacutewnowagi termicznej z trzecim ciałem T to są także w stanie roacutewnowagi ze sobą nawzajem Ciało T pełni rolę termometru

Termometr

Temperaturę możemy mierzyć roacuteżnymi metodami W popularnych ter-mometrach rtęciowych lub spirytusowych wykorzystywana jest liniowa rozszerzalność cieplna tych cieczy a wartość temperatury pokazuje wy-sokość słupka cieczy Rozszerzalność temperaturową metali wykorzys-tuje się roacutewnież we wskaźnikach na desce rozdzielczej starszych samochodoacutew czy na drzwiczkach starych modeli piekarnikoacutew ndash spirala z metalu rozszerzając się pod wpływem ciepła obraca wskazoacutewkę Cie-kawy rodzaj termometru możemy zbudować wykorzystując siłę wyporu ndash jeśli umieścimy w kolumnie z cieczą odważniki o innym wspoacutełczynni-ku rozszerzalności cieplnej niż otaczająca ciecz w zależności od tempe-ratury poszczegoacutelne odważniki będą się wynurzać lub opadać w miarę jak będzie zmieniać się gęstość otaczającej cieczy Obecnie często stosu-je się termometry elektroniczne w ktoacuterych wykorzystujemy bądź zależ-ność temperaturową oporu elektrycznego (np samochodowe czujniki typu Pt-100 i Pt-1000) bądź zjawisko Seebecka powstania roacuteżnicy po-tencjałoacutew kontaktowych na połączeniu dwoacutech roacuteżnych metali ndash miernik taki nazywamy termoparą

Skale temperatur

Jednostką temperatury w układzie jednostek SI jest kelwin Często używa się jednak innych skali jak skala Celsjusza lub Fahrenheita Aby zdefiniować skalę temperatury są potrzebne dwa charakterystyczne punkty możliwie łatwe do odtworzenia w warunkach eksperymental-nych Zero absolutne - 0K - oznacza najniższą temperaturę do jakiej mo-żemy się zbliżyć dowolnie blisko ktoacutera jednak pozostaje nieosiągalna Drugi charakterystyczny punkt skali to tzw punkt potroacutejny wody ndash stan w ktoacuterym wspoacutełistnieją ze sobą faza gazowa (para wodna) woda

ROZDZIAŁ 9

Strona 120120120120

w stanie ciekłym i stanie stałym (loacuted) Pomiędzy tymi dwoma punktami skalę temperatur podzielono na 27316 roacutewnych części ndash każda z nich to jeden kelwin Zatem temperatura punktu potroacutejnego wody wynosi 27316 K (kelwinoacutew)

W często stosowanej skali Celsjusza jednostką temperatury jest stopień Celsjusza ordmC Jednym z charakterystycznych punktoacutew tej skali jest punkt potroacutejny wody Temperatura tego punktu w skali Celsjusza wynosi 0ordmC Drugim punktem jest punkt wrzenia wody czyli przejście z fazy ciekłej do gazowej Temperatura tego punktu w skali Celsjusza wynosi 100ordmC Warto zauważyć że 1ordmC na skali temperatur ma identyczną rozpiętość jak 1K ndash zatem zmiana temperatury o 50ordmC oznacza zmianę o 50K

Do zdefiniowania skali Fahrenheita użyto roztworu o znanym stężeniu soli chlorku amonu w wodzie Punkt potroacutejny takiego roztworu użyty do wyznaczenia bdquozerardquo skali występuje w niższej temperaturze niż dla czystej wody Temperaturze 100ordmC odpowiada 212ordmF a temperaturze 0ordmC odpowiada 32ordmF Przybliżony wzoacuter do przeliczania obu skal ma postać

( )329

5minus= FC TT (91)

gdzie TC i TF oznaczają temperatury odpowiednio w skali Fahrenheita i Celsjusza

92 Roacutewnanie stanu gazu doskonałego

Gaz doskonały

Wiele właściwości fizycznych gazu daje się wyjaśnić przez zastosowanie prostego modelu gazu doskonałego Model ten opiera się na kilku założeniach

bull gaz składa się z cząsteczek o rozmiarach dużo mniejszych niż średnia objętość przypadająca na cząsteczkę

TERMODYNAMIKA

Strona 121121121121

bull cząsteczki są w ciągłym chaotycznym ruchu cieplnym (ruchy Browna)

bull jedyną formą oddziaływań między cząsteczkami są wzajem-ne zderzenia ktoacutere mają charakter zderzeń sprężystych Po-za zderzeniami cząsteczki nie oddziałują wzajemnie i dlate-go energia układu cząsteczek nie zależy od objętości tego układu (tzn także od średniej odległości między cząsteczkami)

bull liczba cząsteczek w jednostce objętości jest bardzo duża (n gt 1023 m-3) co umożliwia stosowanie do opisu parame-troacutew ich ruchu metod statystycznych

Roacutewnanie stanu gazu doskonałego nazywane roacutewnież roacutewnaniem Cla-peyrona określa stan gazu doskonałego czyli podaje zależności między ciśnieniem p objętością V i temperaturą T Roacutewnanie to jest spełnione dla dowolnego stanu czyli zestawu wartości parametroacutew pV i T niezależnie od tego w jaki sposoacuteb nastąpiło przejście z jednego stanu do drugiego Roacutewnanie stanu gazu doskonałego ma postać

TnpV R= (92)

gdzie R oznacza stałą gazową roacutewną R=831 Jmol-1K-1 a n liczbę moli gazu Roacutewnanie to możemy wyrazić roacutewnież przez całkowitą liczbę cząsteczek gazu N

TNpV Bk= (93)

gdzie kB jest stałą Boltzmanna (kB=1380middot10-23 JK-1) Stałą Boltzmana otrzymujemy dzieląc stałą gazową przez liczbę Avogadra (NA=602214179middot1023mol-1)

93 Ciepło i praca termodynamiczna

Definiując temperaturę moacutewiliśmy że temperatura dwoacutech ciał uzyskuje identyczną wartość w stanie roacutewnowagi termicznej Aby ciała nie będące początkowo w stanie roacutewnowagi termicznej mogły osiągnąć taki stan muszą wymieniać między sobą energię Możliwe są dwa sposoby

ROZDZIAŁ 9

Strona 122122122122

przekazywania energii na sposoacuteb pracy (np poprzez ruch tłoka) oraz na sposoacuteb cieplny ndash przez chaotyczne ruchy cząsteczkowe Energię przeka-zywaną na drugi sposoacuteb będziemy nazywali ciepłem i oznaczali jako Q Należy tu zaznaczyć że nazwa ta wywodzi się z błędnej teorii bdquocieplikardquo i będziemy jej używać głoacutewnie ze względoacutew językowo-historycznych

Energia ktoacutera jest przekazywana między ciałami na skutek istniejącej między nimi roacuteżnicy temperatur wpływa na zmianę energii wewnętrznej ciała Energia wewnętrzna U jest miarą średniej energii kinetycznej cząstek materii zgromadzonej min w ruchu postępowym cząsteczek gazu czy w postaci drgań cząsteczek i atomoacutew w ciałach stałych

Ilość przekazywanej energii wyrażamy w dżulach [J] ale często stosuje się roacutewnież pozaukładową jednostkę ndash kalorię Jedna kaloria (1cal) jest roacutewna 41860 J a podstawą definicji tej jednostki jest ciepło potrzebne do podniesienia temperatury jednego grama wody z 145degC do 155 degC

W termodynamice istotną kwestią jest poprawne zdefiniowanie znaku ciepła Jeśli ciepło przepływa z danego ciała (układu) do otoczenia czyli gdy dochodzi do obniżenia jego energii wewnętrznej to ciepło zapisuje-my ze znakiem bdquo-rdquo Jeśli zaś ciepło przepływa z otoczenia do układu zwiększając energię wewnętrzną ciała jego znak określamy jako bdquo+rdquo

Pojemność cieplna

Żeby ogrzać ciało czyli żeby zwiększyć jego energię wewnętrzną musi-my dostarczyć ciepła (doprowadzić energię na sposoacuteb cieplny) Łatwo zauważyć jednak że niektoacutere ciała jest łatwiej ogrzać niż inne Jeśli na przykład na dwoacutech płytach grzejnych kuchenki o identycznej mocy umieścimy pojemnik z wodą o masie 1kg i blok stalowy o masie 1kg okaże się że temperatura bloku stalowego będzie wzrastała znacznie szybciej niż wody Zatem ilość przepływającej energii (przekazywane ciepło) niezbędna do podniesienia temperatury danej masy o jednostkę temperatury jest w przypadku wody znacznie większa niż dla stali Taką cechę danego materiału nazywamy jego pojemnością cieplną

Pojemność cieplna C danego ciała jest ilością energii potrzebną do podniesienia jego temperatury o 1K Jednostką jest JmiddotK-1

∆TCQ = (94)

TERMODYNAMIKA

Strona 123123123123

Ciepło właściwe i ciepło molowe

Ciepło właściwe cw danego materiału jest ilością energii potrzebną do podniesienia temperatury 1kg tego materiału o 1K Jednostką jest J kg 1middotK-1

∆TmcQ W= (95)

Ciepło właściwe można wyrazić roacutewnież w przeliczeniu na 1mol substancji ndash takie ciepło właściwe nazywamy ciepłem molowym Cmol

∆TnCQ mol= (96)

Przykładowe wartości ciepła właściwego roacuteżnych cieczy i ciał stałych znajdują się w tabeli 91

Przyczynę dla ktoacuterej roacuteżne substancje wykazują roacuteżne ciepło właściwe omoacutewimy dokładniej w kolejnych rozdziałach Warto zauważyć że w ogoacutelności ciepła właściwe mogą zależeć od temperatury i dlatego na ogoacuteł obok wartości podajemy temperaturę dla ktoacuterej została ono wyznaczone

Tabela 91 Wartości ciepła właściwego Cp roacuteżnych substancji ndash pomiar przy 25

oC

substancja C [J kg-1K-1] substancja C [J kg-1K-1] woda 4181 ołoacutew 128

gliceryna 2386 srebro 236 polietylen 2930 żelazo 450

miedź 386 aluminium 897

Duże ciepło właściwe wody ma ogromne znaczenie dla klimatu i środo-wiska biologicznego Woda ogrzewa się powoli ale roacutewnież powoli i długo oddaje ciepło do otoczenia i dlatego na obszarach pustynnych na ktoacuterych nie ma zbiornikoacutew wodnych wahania temperatury między nocą a dniem są bardzo duże ndash ziemia bardzo łatwo się nagrzewa i łatwo stygnie Jeziora rzeki i morza łagodzą wahania temperatury zaroacutewno w skali doby jak i w skali roku Klimat na wybrzeżu jest znacznie łagodniejszy niż w głębi lądu Na obszarach kontynentalnych częściej obserwuje się surowe zimy i gorące lata

Duże ciepło właściwe wody jest wykorzystywane w układach chłodzenia oraz ogrzewania Obieg wody chłodzącej stosowany jest np w silnikach samochodowych a w instalacjach centralnego ogrzewania woda jest

ROZDZIAŁ 9

Strona 124124124124

wykorzystywana do ogrzewania budynku ndash nawet jeśli w danej chwili piec nie podgrzewa wody kaloryfery długo pozostają ciepłe

Przykład

Jeśli do izolowanego zbiornika wlejemy 1 litr wody o temperaturze 10degC i 1 litr wody o temperaturze 50degC to w wyniku dochodzenia do roacutewno-wagi termicznej temperatura osiągnie wartość 30degC Łatwo zauważyć że jest to wartość średnia temperatur obu porcji wody Dzieje się tak dlate-go że ilość energii potrzebna do podniesienia temperatury chłodniejszej masy wody jest roacutewna ilości energii oddanej przez wodę cieplejszą Jeżeli układ zbiornika z wodą jest izolowany to zmiana energii całkowi-tej musi wynosić zero co możemy zapisać w postaci

( ) ( ) 0=minus+minus 2KW21KW1 TTcmTTcm (97)

Stąd możemy obliczyć temperaturę końcową TK (masę wyznaczamy jako iloczyn objętości i gęstość wody)

Jeśli do zbiornika zawierającego 1 litr wody czyli o masie mW=1kg o temperaturze TW=10degC wrzucimy żelazny blok o masie mFE=1kg i temperaturze TFE=50degC roacutewnież dojdzie do wyroacutewnania temperatur obu ciał Roacutewnież w tym przypadku ciepło oddane przez żelazo jest takie samo jak ciepło pobrane przez wodę a bilans cieplny możemy zapisać w następujący sposoacuteb

( ) ( ) 0=minussdotsdot+minussdotsdot FeKFeFeWKWW TTcmTTcm (98)

gdzie cW oraz cFE oznaczają ciepło właściwe wody oraz żelaza zaś TK temperaturę końcową układu Ponieważ ciepło właściwe wody jest znacznie większe niż żelaza temperatura wody podniesie się tylko nie-znacznie i końcowa temperatura układu wyniesie około 14degC

Praca termodynamiczna

Zgodnie z przedstawioną wcześniej definicją ciepło pobrane przez ciało wywołuje wzrost energii wewnętrznej tego ciała Energia ta może być roacutewnież zamieniona na pracę Aby wyznaczyć pracę jaka może być wykonana kosztem ciepła rozpatrzmy izolowany termicznie (brak wy-miany ciepła z otoczeniem) cylinder z gazem zamknięty od goacutery szczel-nie dopasowanym tłokiem o powierzchni S Jeśli działając pewną stałą

TERMODYNAMIKA

Strona 125125125125

siłą F przesuniemy tłok o odcinek dl to wykonamy nad gazem zawartym wewnątrz cylindra pracę dW

( ) ( ) VpSppSFW ddddd ==== lllrr

(99)

Praca całkowita jaką wykonamy nad gazem sprężając go od objętości początkowej Vp do końcowej Vk wynosi

int int==k

p

V

VVpWW dd (910)

Jeżeli ciśnienie p wywierane przez siłę F na powierzchnię S tłoka nie zmienia się w wyniku przesunięcia tłoka to podczas zmiany objętości gazu o ∆V wykonana zostanie praca ∆VpW =

Jeśli wykonamy wykres zmian objętości i ciśnienia w trakcie ściskania gazu zawartego w cylindrze wykonana praca (wzoacuter 910) będzie roacutewna polu znajdującemu się pod tym wykresem (rysunek 91)

Rysunek 91 Praca w przemianie termodynamicznej jako pole pod wykresem ciśnienia od objętości

Warto zwroacutecić uwagę na znak pracy obliczonej według powyższego wzoru Jeśli objętość końcowa jest większa niż początkowa całka będzie miała wartość dodatnią Odpowiada to sytuacji w ktoacuterej to nie my wykonujemy pracę nad gazem zawartym w cylindrze ale to gaz rozprę-żając się wypycha tłok i wykonuje pracę Jeśli natomiast przesuwając tłok będziemy sprężać gaz to my wykonamy pracę dodatnią ale obli-czona całka będzie miała znak ujemny gdyż praca wykonana przez gaz będzie w tym przypadku miała znak ujemny Istotne jest więc precyzyjne określanie czy wyznaczana praca jest pracą wykonaną przez gaz czy nad

ROZDZIAŁ 9

Strona 126126126126

gazem W dalszej części tego rozdziału przez pracę będziemy rozumieli pracę wykonaną przez gaz

Pierwsza zasada termodynamiki

Podczas podgrzewania układu przekazujemy do niego ciepło zwiększając w ten sposoacuteb jego energię wewnętrzną i temperaturę Energia wewnętrzna ciała może zmieniać się roacutewnież za sprawą pracy wykonanej nad tym ciałem Można roacutewnież powiedzieć że praca ktoacuterą wykonuje układ może się odbywać kosztem dostarczonego do układu ciepła lub też kosztem energii wewnętrznej układu Zależności te mogą być zapisane w zwięzły sposoacuteb w postaci I zasady termodynamiki

Energia wewnętrzna układu U wzrasta jeśli układ pobiera energię w postaci ciepła Q i maleje kiedy układ wykonuje pracę W

WQEE∆U WPWK minus=minus= (911)

Zapis roacuteżniczkowy powyższego prawa ma postać

WUQ δδ += d (912)

Zastosowany w powyższym zapisie symbol dU oznacza roacuteżniczkę energii wewnętrznej U ktoacutera jest funkcją stanu Ciepło Q oraz praca W nie są funkcjami stanu i w ich przypadku nie możemy moacutewić o roacuteż-niczce a jedynie o małej zmianie δ Zatem I zasadę termodynamiki możemy roacutewnież wyrazić w następujący sposoacuteb

Dostarczone do układu ciepło δQ powoduje zwiększenie energii wewnętrznej układu o dU i wykonanie przez układ pracy δW przeciwko siłom zewnętrznym

Należy zwroacutecić uwagę że ciepło dostarczone do układu zapisujemy ze znakiem bdquo+rdquo a ciepło oddane przez układ ze znakiem bdquo-rdquo natomiast praca W (lub dW) oznacza pracę wykonaną przez układ

TERMODYNAMIKA

Strona 127127127127

94 Przemiany termodynamiczne

Przemianą nazywamy przejście danej substancji z jednego stanu roacutewnowagi termodynamicznej do drugiego pod wpływem czynnika zewnętrznego Typowymi przemianami są ogrzewanie czy chłodzenie ciała a szczegoacutelnym typem są przemiany fazowe polegające na zmianie stanu skupienia ciała Niektoacutere przemiany fazowe wymagają dos-tarczenia ciepła do układu a podczas innych ciepło jest wydzielane przez układ Jest to konsekwencją budowy mikroskopowej ciał oraz energii oddziaływań międzycząsteczkowych w roacuteżnych stanach skupienia

Jako przykład omoacutewimy przemiany występujące podczas ogrzewania lodu Początkowo poniżej 0degC ciepło jakie dostarczamy do lodu jest zużywane na wzrost jego temperatury co w skali mikroskopowej oznacza wzrost amplitudy drgań cząsteczek wody tworzących loacuted Kiedy temperatura osiągnie 0degC rozpoczyna się proces topnienia czyli zmiany fazy ze stałej na ciekłą Dostarczane dalej ciepło (energia) służy zerwaniu wiązań pomiędzy cząsteczkami wody w krystalicznej struktu-rze lodu Cząsteczki wody w fazie ciekłej poruszają się szybciej niż cząsteczki tworzące loacuted a oddziaływania między nimi są słabsze Aż do całkowitego stopienia temperatura mieszaniny woda-loacuted nie będzie wzrastać ponieważ całe dostarczane ciepło jest zużywane w procesie przemiany fazowej

Dalsze dostarczane ciepła do wody w stanie ciekłym służy podniesieniu jej temperatury ndash aż do osiągnięcia temperatury wrzenia W tej tempera-turze następuje przemiana fazowa ze stanu ciekłego do gazowego Podobnie jak w przemianie ze stanu stałego do ciekłego wiąże się ona z zerwaniem oddziaływań międzycząsteczkowych i proces ten wymaga dostarczenia energii Tak więc aż do momentu całkowitego odparowania wody jej temperatura pozostaje stała mimo dostarczania ciepła W rze-czywistości parowanie zachodzi z powierzchni swobodnej cieczy nawet poniżej temperatury wrzenia Na powierzchni cieczy zawsze znajdują się cząsteczki ktoacutere na skutek oddziaływań ze strony swoich bdquosąsiadoacutewrdquo mają wyższe energie niż te znajdujące się w objętości cieczy i ktoacutere dzięki temu mogą się bdquouwolnićrdquo do stanu gazowego

Do zajścia odwrotnych przemian fazowych ndash skraplania i krystalizacji wymagany jest odwrotny kierunek przepływu ciepła Aby cząsteczki

ROZDZIAŁ 9

Strona 128128128128

pary wodnej skropliły się musimy odebrać nadmiar energii kinetycznej z gazu Podobnie podczas krystalizacji należy zmniejszyć energię cząsteczek cieczy zmniejszyć ich ruchliwość na tyle by umożliwić wytworzenie się pomiędzy nimi wiązań W przypadku obu tych prze-mian fazowych musimy odbierać energię z układu

Przemiany fazowe

Przemiana fazowa zachodzi w stałej temperaturze a ciepło pobrane przez materiał jest proporcjonalne do masy materiału oraz ciepła właściwego przemiany

mCQ PRZEMPRZEM = (913)

Warto zwroacutecić uwagę że tak zdefiniowane ciepła topnienia i parowania osiągają znaczne wartości w stosunku do ciepła właściwego W efekcie znacznie łatwiej jest ogrzać 1kg wody lub lodu o 1 kelwin niż doprowa-dzić do stopienia 1kg lodu Jeszcze wyższa jest wartość ciepła parowania

Duża wartość ciepła przemiany może być wykorzystywany do termore-gulacji przez organizmy żywe Nawet niewielka ilość wody wydzielana przez gruczoły potowe odparowując z powierzchni skoacutery odbiera dużo ciepła tym samym chroniąc organizm przed przegrzaniem Podobnie wysokie ciepło parowania wykorzystuje się np w nowoczesnych radia-torach do chłodzenia procesoroacutew komputerowych Pomiędzy żeberkami radiatora zamontowana jest zamknięta rurka tworząca tzw kanał cieplny (ang heat pipe) wypełniona niewielką ilością alkoholu i jego oparami (rysunek 92) W pobliżu procesora temperatura jest na tyle wysoka że alkohol intensywnie paruje pobierając jednocześnie dużo ciepła od procesora Opary alkoholu pod wpływem ruchoacutew konwekcyjnych docierają do radiatora na końcu rurki Ponieważ temperatura koło radiatora jest niższa alkohol ulega skropleniu (oddaje ciepło) a następnie spływa po ściankach w stronę procesora i cały proces może ulec powtoacuterzeniu Taki kanał cieplny niezwykle efektywnie wspomaga transport ciepła w kierunku od procesora na zewnątrz radiatora

TERMODYNAMIKA

Strona 129129129129

Rysunek 92 Schemat działania radiatora z kanałem cieplnym

Kalorymetr

Kalorymetr jest urządzeniem służącym do pomiaru ciepła wydzielanego lub pobieranego podczas procesoacutew chemicznych i fizycznych W naj-prostszej wersji kalorymetr jest po prostu zbiornikiem izolowanym termicznie od otoczenia wyposażonym w termometr Aby wskazania termometru były dokładne musi on pozostawać w kontakcie cieplnym z badanym układem Warunek ten jest osiągany zazwyczaj przez wypeł-nienie kalorymetru cieczą o znanym cieple właściwym Jeśli podczas badanego procesu chemicznego temperatura kalorymetru się zmieni to ilość ciepła jaka przepłynęła z badanego układu do kalorymetru lub w przeciwną stronę możemy obliczyć znając pojemność cieplną kalory-metru (cieczy oraz zbiornika) Aby pomiar był prawidłowy czyli aby wymiana ciepła między badanym układem a kalorymetrem była efek-tywna ciecz wypełniającą kalorymetr miesza się za pomocą mieszadła w ten sposoacuteb wyroacutewnując temperaturę w roacuteżnych częściach naczynia

Znacznie bardziej zaawansowanymi urządzeniami do badania właści-wości termicznych materii są kalorymetry roacuteżnicowe W urządzeniach tego typu przeprowadza się precyzyjny pomiar temperatury badanej proacutebki oraz proacutebki referencyjnej podczas jednostajnego grzania całej ko-mory badawczej Podczas przemian fazowych w badanym materiale wydzielane lub pochłaniane będzie ciepło i zarejestrowana woacutewczas zos-tanie roacuteżnica temperatur proacutebki badanej oraz referencyjnej Urządzenia tego typu pozwalają nie tylko precyzyjnie wyznaczyć temperatury prze-

ROZDZIAŁ 9

Strona 130130130130

mian fazowych takich jak topnienie krystalizacja parowanie czy też przejścia szkliste ale roacutewnież wartość ciepła tych przemian

Przemiany termodynamiczne

W termodynamice szczegoacutelny nacisk kładzie się na opis przemian termodynamicznych zachodzących w gazach Jest to zagadnienie istotne ze względu na zastosowanie praktyczne ndash większość silnikoacutew spalino-wych wykorzystuje w swoim cyklu pracy przemiany gazowe

W tym rozdziale omoacutewimy cechy charakterystyczne czterech podstawo-wych gazowych przemian termodynamicznych izochorycznej izoba-rycznej izotermicznej oraz adiabatycznej

Przemiana izochoryczna

Podczas przemiany izochorycznej objętość gazu jest stała Zgodnie ze wzorem 96 ciepło dostarczone do n moli gazu jest proporcjonalne do roacuteżnicy temperatur i zależy od ciepła molowego przy stałej objętości CV charakterystycznego dla tej przemiany

∆TCnQ V= (914)

Ponieważ objętość w przemianie izochorycznej się nie zmienia więc praca termodynamiczna wykonana przez gaz wynosi zero (roacutewnanie 910) a więc zgodnie z I zasadą termodynamiki całe ciepło Q ktoacutere dostarczymy do układu jest roacutewne przyrostowi energii wewnętrznej układu

∆UQ = (915)

Poroacutewnując roacutewnania 914 oraz 915 otrzymujemy że przyrost energii wewnętrznej zależy tylko od przyrostu temperatury

∆TCn∆U V= (916)

Warto podkreślić że powyższa zależność jest prawdziwa dla każdej przemiany a nie tylko dla przemiany izochorycznej dla ktoacuterej ją wyprowadziliśmy

Zapiszmy roacutewnanie stanu gazu dla dwoacutech stanoacutew podczas przemiany izochorycznej

TERMODYNAMIKA

Strona 131131131131

=

=

22

11

TnVp

TnVp

R

R (917)

Z powyższego układu roacutewnań wynika że w przemianie izochorycznej stosunek ciśnienia do temperatury jest wielkością stałą

const===T

p

T

p

T

p

2

2

1

1

(918)

Na wykresie p(V) ciśnienia od objętości przedstawionym na rysunku 93 przemiana izochoryczna jest odcinkiem pionowym

Przemiana izobaryczna

Dla przemiany izobarycznej charakteryzującej się stałością ciśnienia ciepło Q dostarczone do układu jest proporcjonalne roacuteżnicy temperatur i zależy od wartości ciepła molowego przy stałym ciśnieniu Cp

∆TCnQ p= (919)

Zgodnie z roacutewnaniem 916 zmianę energii wewnętrznej dla dowolnej

przemiany termodynamicznej możemy zapisać jako ∆TCn∆U V= zaś praca wykonana przez układ podczas przemiany izobarycznej roacutewna się iloczynowi ciśnienia i zmiany objętości (roacutewnanie 910)

∆VpW = (920)

Zapisując roacutewnanie stanu gazu dla tej przemiany otrzymamy stałość stosunku objętości do temperatury

const===T

V

T

V

T

V

2

2

1

1

(921)

Na wykresie p(V) ciśnienia od objętości przemiana izobaryczna jest odcinkiem poziomym (rysunek 93)

Jeśli przemianę przeprowadzimy przy stałym ciśnieniu to ciepło dostarczone do układu Q zamieniane jest zaroacutewno na przyrost energii wewnętrznej ∆U jak i na pracę W wykonaną przez gaz co zgodnie z I zasadą termodynamiki możemy zapisać

W∆UQ += (922)

ROZDZIAŁ 9

Strona 132132132132

Korzystając z roacutewnania stanu gazu (roacutewnanie 92) możemy wyrazić zmianę objętości ∆V poprzez zmianę temperatury ∆T

∆TnR∆VpW == Woacutewczas roacutewnanie 922 można zapisać w postaci

∆Tn∆TCn∆TCn Vp R+= (923)

skąd otrzymujemy że molowe ciepło właściwe gazu przy stałym ciśnie-niu Cp jest większe od molowego ciepła właściwego przy stałej objętości CV o wielkość stałej gazowej R

R+= Vp CC (924)

Przemiana izotermiczna

W przemianie izotermicznej temperatura gazu nie zmienia się Zgodnie z roacutewnaniem stanu gazu stały woacutewczas jest iloczyn objętości i ciśnienia

const=== pVVpVp 2211 (925)

Wykres takiej przemiany na wykresie p(V) jest hiperbolą (rysunek 93) Ponieważ temperatura jest stała stała jest roacutewnież energia wewnętrzna gazu czyli zmiana energii wewnętrznej wynosi zero ∆U = 0

Zgodnie z I zasadą termodynamiki oznacza to że całe dostarczane do gazu ciepło Q jest zużywane na pracę gazu W (Q = W)

Pracę wykonaną przez gaz obliczamy ze wzoru 910 int=K

P

V

V

VpW d

Zależność ciśnienia od objętości wyznaczamy z roacutewnania stanu gazu i otrzymujemy wzoacuter całkowy

intint ==K

P

K

P

V

V

V

VV

VTnV

V

TnW

dRd

R (926)

Rozwiązaniem takiej całki jest funkcja logarytmiczna (ln) i po podstawieniu granic całkowania otrzymujemy pracę W wykonaną przez gaz przy izotermicznym (w temperaturze T) rozprężaniu n moli gazu z objętości początkowej VP do końcowej VK

P

K

V

VTnW lnR= (927)

TERMODYNAMIKA

Strona 133133133133

Jeśli gaz rozpręża się to 1gtP

K

V

V 0ln gt

P

K

V

V i praca wykonywana

przez gaz jest dodatnia W przeciwnym przypadku kiedy VP gtVK praca jest ujemna

Przemiana adiabatyczna

Przemiana adiabatyczna charakteryzuje się brakiem wymiany ciepła z otoczeniem Roacutewnanie tej przemiany ma postać

const==κ

22

κ11 VpVp (928)

gdzie wspoacutełczynnik κ nazywany wykładnikiem adiabaty oznacza stosu-nek molowego ciepła właściwego przy stałym ciśnieniu do molowego

ciepła właściwego przy stałej objętości Cp do Cv (V

p

C

C=κ ) Roacutewna-

nie 928 można roacutewnież zapisać

const==1κ-

22

1κ-11 VT VT (929)

Wykres adiabaty w zmiennych p(V) jest bardziej stromy niż izotermy (rysunek 93)

Rysunek 93 Schematyczny wykres przebiegu przemian gazowych

Pracę wykonaną w przemianie można obliczyć podobnie jak to zrobiliśmy dla przemiany izotermicznej ze wzoru 910 wprowadzając pod całkę zależność ciśnienia od objętości zgodnie ze wzorem 928 Otrzymujemy

ROZDZIAŁ 9

Strona 134134134134

minus

minus=

minus1

2

111

V

V1

1

VPW

κ

κ (930)

95 Teoria kinetyczno - molekularna gazoacutew

W dotychczasowym opisie właściwości termodynamicznych ciał posłu-giwaliśmy się głoacutewnie wielkościami makroskopowymi Obecnie szerzej zajmiemy się właściwościami ciał w ujęciu mikroskopowym

Ciśnienie gazu

Zastanoacutewmy się w jaki sposoacuteb cząsteczki gazu wywierają ciśnienie na ścianki naczynia w ktoacuterym się znajdują

Każda z cząsteczek gazu przy prostopadłym odbiciu od ścianki zmienia

swoacutej pęd o vvv m)m(m∆p 2=minusminus= Jeśli wektor pędu cząsteczki

tworzy ze ścianką kąt α zmiana pędu wynosi αsin2 vm∆p = Siła jaką wywiera cząsteczka na ściankę sześciennego naczynia zależy od zmiany wartości składowej pędu prostopadłej do ściany i może być zapisana

∆t

∆pF x= (931)

Czas ∆t pomiędzy dwoma kolejnymi zderzeniami cząsteczki ze ścianka-mi zależy od jej prędkość oraz rozmiaru l naczynia ndash pomiędzy zderze-niami przebywa ona drogę 2l

x

∆tv

l2= (932)

Zatem siła wywierana przez cząsteczkę na ściankę wynosi

TERMODYNAMIKA

Strona 135135135135

l2

2 2

xmF

v= (933)

Całkowita siła wywierana na ściankę przez wszystkie N cząsteczki gazu znajdujące się w naczyniu wynosi

[ ]2

xN

2

2x

2

1xc m

F vvv +++=l

(934)

Ponieważ założyliśmy że liczba cząsteczek w naczyniu jest bardzo duża interesuje nas zależność ciśnienia od średniej prędkości (a ściślej ndash od średniej kwadratu prędkości) obliczonej dla wszystkich cząsteczek Średnią kwadratu prędkości w kierunku x dla N cząsteczek wyrażamy jako

N

N

1i

2

xi

x

sum==

v

v (935)

Cząsteczka gazu może posiadać roacutewnież składowe prędkości w kierun-kach y i z Kwadrat jej prędkości zapisujemy jako

2

z

2

y

2

x

2vvvv ++= (936)

Średnią kwadratu prędkości możemy wyrazić jako sumę średnich kwad-ratoacutew składowych prędkości w poszczegoacutelnych kierunkach Ponieważ ruch cząsteczek jest przypadkowy średnie prędkości dla kierunkoacutew x y i z są jednakowe

22222xzyx vvvvv 3=++= (937)

Stąd siłę wywieraną na ściankę naczynia możemy zapisać jako

l3

2vNm

F = (938)

Ponieważ ciśnienie definiuje się jako stosunek siły do powierzchni ścian-ki otrzymujemy

3

2

ll 32

vNmFp == (939)

ROZDZIAŁ 9

Strona 136136136136

Zastępując l3 objętością naczynia V otrzymujemy

22

vv

nmm

V

Np

3

1

23

2== (940)

gdzie NV=n oznacza koncentrację cząsteczek gazu Poroacutewnując otrzymaną postać roacutewnania z roacutewnaniem stanu gazu (93) możemy wyrazić temperaturę jako funkcję średniego kwadratu prędkości cząsteczek

k

2

E3

2N

2

m

3

2NTNpV =

==

vBk (941)

W powyższym wzorze kE oznacza średnią energię kinetyczną cząsteczek gazu

Zasada ekwipartycji energii

Przekształcając roacutewnanie 941 otrzymujemy związek pomiędzy średnią energią kinetyczną a temperaturą

T2

3E k Bk= (942)

Udowodniliśmy że temperatura jest wskaźnikiem wartości średniej ener-gii kinetycznej cząsteczek gazu

Z podstaw mechaniki wiemy jednak że ciało może posiadać energię kinetyczną nie tylko w postaci ruchu postępowego ale roacutewnież ruchu obrotowego lub drgającego Jeżeli każdy z rodzajoacutew ruchoacutew oraz każdy z kierunkoacutew w ktoacuterych cząsteczka gazu może się poruszać nazwiemy stopniem swobody f to można wykazać że średnia energia kinetyczna przypadająca na jeden stopień swobody jest taka sama dla wszystkich cząsteczek i wynosi

TE Bk2

1= (943)

Powyższą zasadę nazywamy zasadą ekwipartycji energii

TERMODYNAMIKA

Strona 137137137137

Cząsteczki jednoatomowe mogą poruszać się jedynie ruchem postępo-wym w trzech kierunkach wiec charakteryzować się będą trzema f = 3 stopniami swobody a średnia energia kinetyczna cząsteczek takiego gazu

będzie wynosiła TE Bk23=

Przykładem gazu jednoatomowego jest hel He

Energia związana z ruchem obrotowym nabiera znaczenia w przypadku gazoacutew dwuatomowych Prostym modelem cząsteczki takiego gazu mogą być hantle składające się z dwoacutech kul Hantle te mogą wirować w dwoacutech prostopadłych kierunkach wokoacuteł osi przechodzącej przez środek odcinka łączącego kule (w przypadku atomoacutew o roacuteżnych masach przechodzącej przez środek masy) Energia związana z takim obrotem może być prze-kazywana w wyniku zderzeń Nie ma natomiast możliwości przekazywa-nia energii związanej z obrotem hantli wokoacuteł osi roacutewnoległej do odcinka łączącego kule W efekcie dla gazoacutew dwuatomowych oproacutecz trzech stopni swobody związanych z ruchem postępowym mamy roacutewnież dwa dodatkowe stopnie swobody związane z ruchem obrotowym ndash f = 5 ndash a średnia energia kinetyczna cząsteczek takiego gazu będzie wynosiła

TE Bk25= Gazami dwuatomowymi są np tlen O2 czy azot N2

Gazy wieloatomowe tworzą większe cząsteczki ktoacutere oproacutecz ruchu postępowego mogą wykonywać ruch obrotowy względem trzech osi a więc ich całkowita liczba stopni swobody wynosi f = 6 Przykładem gazu wieloatomowego jest metan CH4

Ciepło molowe gazoacutew

Zdefiniowaliśmy wcześniej ciepło molowe jako wielkość charakteryzu-jącą substancję i określającą ilość ciepła jaką potrzeba dostarczyć żeby podnieść temperaturę jednego mola danej substancji o jeden stopień Po-kazaliśmy roacutewnież że średnia energia kinetyczna cząsteczek gazu zależy od ilości stopni swobody Wynika z tego że roacutewnież ciepło właściwe gazoacutew musi być zależne od liczby stopni swobody gdyż wraz ze wzros-tem tej liczby ta sama ilość energii dostarczana do gazu będzie się roz-kładać na większą ilość rodzajoacutew ruchu a więc wzrost temperatury jednego mola gazu będzie mniejszy Zatem najmniejsze ciepło właściwe mają gazy jednoatomowe a największe ndash wieloatomowe

ROZDZIAŁ 9

Strona 138138138138

Ciepło molowe przy stałej objętości

Jak wykazaliśmy w rozdziale 94 dla przemiany izochorycznej zmiana energii wewnętrznej roacutewna jest ciepłu dostarczonemu do układu

∆U∆TCnQ V == (944)

Przekształcając powyższą zależność i korzystając z zasady ekwipartycji energii ciepło właściwe przy stałej objętości CV możemy zapisać

Rf

∆Tn

∆UCV 2

== (945)

Dla gazu jednoatomowego ciepło właściwe przy stałej objętości wynosi CV = 32R dla gazu dwuatomowego CV = 52R a gazu wieloatomowego CV = 3R Należy jednak zauważyć że wartość ta może zależeć od tempe-ratury Pewne rodzaje ruchu wymagają dostatecznie wysokiej temperatu-ry żeby zostać bdquowzbudzonerdquo Z tego względu ciepło molowe gazoacutew dwuatomowych w temperaturze bliskiej temperatury skraplania może wynosić nie 52R a 32R

Ciepło molowe przy stałym ciśnieniu

Jeśli przemianę przeprowadzimy przy stałym ciśnieniu (przemiana izo-baryczna) to ciepło dostarczone do układu Q zamieniane jest zaroacutewno na przyrost energii wewnętrznej ∆U jak i na pracę W wykonaną przez gaz Molowe ciepło właściwe gazu przy stałym ciśnieniu Cp jest większe od molowego ciepła właściwego przy stałej objętości CV o wielkość stałej gazowej R

R+= Vp CC (946)

96 Roacutewnanie stanu gazu rzeczywistego

Właściwości gazoacutew rzeczywistych roacuteżnią się od właściwości gazu ideal-nego Rozpatrzmy prosty model mechaniczny składający się z cylindra z tłokiem wypełnionego gumowymi piłeczkami ktoacutery to model pozwoli nam lepiej zrozumieć roacuteżnice miedzy gazem doskonałym i rzeczywistym

TERMODYNAMIKA

Strona 139139139139

oraz zachowanie gazu rzeczywistego Jeśli piłeczek jest niewiele odle-głości między piłeczkami są duże i poruszają się one szybko możemy zastosować opis identyczny jak w przypadku gazu doskonałego Oddzia-ływania piłeczek możemy woacutewczas opisać z bardzo dobrym przybliżeniem jako zderzenia sprężyste W roacutewnaniach opisujących te zderzenia interesować nas będzie zachowanie środka masy piłeczek a ich rozmiar będzie miał drugorzędne znaczenie Jeśli odległości między piłeczkami są małe objętości piłeczek oraz ich deformacje zaczynają istotnie wpływać na zachowanie całego układu

Roacutewnaniem pozwalającym w przybliżony sposoacuteb modelować zachowa-nie gazoacutew rzeczywistych jest model van der Waalsa Roacutewnanie stanu gazu w tym modelu ma postać

( ) TnbVV

ap

2R=minus

+ (947)

W poroacutewnaniu z roacutewnaniem stanu gazu doskonałego w roacutewnaniu gazu rzeczywistego ciśnienie p powiększone jest o człon odwrotnie proporcjo-nalny do kwadratu objętości zajętej przez gaz Człon ten uwzględnia siły przyciągania między molekułami i określany jest jako tzw ciśnienie wewnętrzne gazu Objętość V zbiornika w ktoacuterym zajmuje gaz rzeczy-wisty została natomiast pomniejszona o tzw objętość wewnętrzną ktoacutera jest proporcjonalna do objętości cząsteczek gazu Wielkości a i b z roacutewnania van der Waalsa przyjmują roacuteżne wartości dla roacuteżnych gazoacutew i wpływają na kształt izoterm p(V) W wysokich temperaturach gdy prędkości cząsteczek gazu są znaczne kształt tych izoterm oraz właści-wości gazu rzeczywistego są zbliżone do gazu doskonałego

97 Cykle gazowe

Cyklem będziemy nazywać proces lub szereg procesoacutew ktoacutere doprowa-dzają układ termodynamiczny z powrotem do warunkoacutew początkowych Z cyklami gazowymi mamy do czynienia min w silnikach spalinowych

ROZDZIAŁ 9

Strona 140140140140

Cykl Carnota

Pierwszym cyklem jaki omoacutewimy będzie cykl Carnota Wyobraźmy sobie cylinder z gazem doskonałym ktoacuterego ścianki stanowią idealną izolację termiczną Pierwszym etapem cyklu (rysunek 94 a) będzie rozprężanie izotermiczne ndash do układu dostarczane jest ciepło ktoacutere w całości zamieniane jest na pracę rozprężenia gazu i podniesienia tłoka Zgodnie z roacutewnaniem stanu gazu doskonałego dla przemiany izotermicz-nej (roacutewnanie 928) skoro objętość gazu wzrasta to ciśnienie proporcjo-nalnie maleje Drugi etap cyklu Carnota to rozprężanie adiabatyczne Do układu nie jest już dostarczane ciepło i zakładamy że dno cylindra staje się roacutewnież idealnie izolujące (może się to odbywać za pomocą specjal-nej ruchomej przegrody) tak że cały układ jest całkowicie izolowany od otoczenia Podczas przemiany adiabatycznej zgodnie z roacutewnaniem adia-baty (roacutewnanie 931) ciśnienie gazu nadal spada a objętość rośnie Wy-konywana jest woacutewczas praca mechaniczna kosztem energii wewnę-trznej gazu i w efekcie temperatura gazu obniża się do T2 W tej części cyklu gaz roacutewnież wykonuje pracę rozprężając się i przesuwając tłok W trzecim etapie cyklu ponownie mamy do czynienia z przemianą izo-termiczną Otwieramy przegrodę cieplną umożliwiając odpływ ciepła do chłodnicy ale ponieważ roacutewnocześnie wykonujemy nad gazem pracę sprężania gazu energia wewnętrzna gazu nie zmienia się i jego tempera-tura jest stała W czwartym etapie ponownie zamykamy przegrodę ter-miczną (układ jest izolowany od otoczenia) wciąż wykonując pracę sprężania gazu Przy braku wymiany ciepła z otoczeniem zgodnie z roacutewnaniem adiabaty sprężaniu towarzyszyć będzie wzrost ciśnienia gazu i temperatury do T1 W ten sposoacuteb wracamy do punktu początkowego

Sprawność silnika termodynamicznego

Cykl Carnota pełni w termodynamice szczegoacutelnie ważną rolę gdyż dla tego cyklu otrzymujemy maksymalną możliwą sprawność zamiany cie-pła na pracę

Sprawność cyklu η definiujemy jako stosunek pracy użytecznej W wykonanej przez gaz do ciepła QG dostarczonego do gazu w danym cyklu

G

ZG

G Q

QQ

Q

W minus==η (948)

TERMODYNAMIKA

Strona 141141141141

W trakcie cyklu gaz pobiera ciepło QG ze zbiornika gorącego część tego ciepła zużywając na wykonanie pracy W a resztę oddając do chłodnicy (QZ) Zatem praca jaką wykonuje gaz jest roacutewna roacuteżnicy ciepła dostar-czonego ze zbiornika gorącego i oddanego do chłodnicy

ZG QQW minus= (949)

Tak zdefiniowana sprawność jest zawsze mniejsza od jedności gdyż układ nie może wykonać pracy roacutewnej lub większej niż ilość ciepła pobrana ze źroacutedła o temperaturze wyższej Część ciepła jest zawsze od-dawana do chłodnicy i nie jest możliwa całkowita zamiana ciepła na pracę

W przypadku cyklu Carnota ciepło jest dostarczane i oddawane z układu jedynie podczas izotermicznego sprężania i rozprężania odpowiednio Ciepło dostarczone możemy więc zastąpić ciepłem pobranym ze zbiorni-ka gorącego QG zaś ciepło oddane ciepłem oddanym zimnemu zbiorni-kowi QZ Można wykazać że dla cyklu Carnota prawdziwa jest relacja

Z

Z

G

G

T

Q

T

Q= (950)

gdzie TG i TZ są temperaturami gorącego i zimnego zbiornika odpowied-nio Woacutewczas sprawność cyklu Carnota można zapisać

G

ZG

T

TT minus=η (951)

Z powyższego wzoru na sprawność cyklu Carnota maksymalną możliwą do osiągnięcia sprawność wynika że im większa jest roacuteżnica temperatur tym wyższa jest sprawność całego cyklu Widzimy roacutewnież że do uzyskania wysokiej sprawności potrzebne jest źroacutedło ciepła ale roacutewnież odpowiednio efektywny system chłodzenia

Sprawność maszyny chłodniczej

Wyobraźmy sobie że przeprowadzimy cykl Carnota w odwrotnym kierunku tzn będziemy wykonywali pracę nad układem tak żeby układ pobierał ciepło ze zbiornika chłodniejszego i oddawał je do zbiornika cieplejszego W takim przypadku interesuje nas sprawność chłodnicza czyli stosunek ciepła odebranego ze zbiornika zimnego QZ do wykonanej pracy W

ROZDZIAŁ 9

Strona 142142142142

ZG

Z

ZG

Z

TT

T

QQ

Q

minus=

minus=η (952)

Praca W roacutewna jest roacuteżnicy ciepła QG oddanego do gorącego zbiornika i ciepła QZ pobranego z zimnego zbiornika a oba te ciepła podobnie jak w cyklu Carnota można powiązać z temperaturami zbiornika zimnego TZ i gorącego TG Sprawność chłodnicza jest zawsze większa od jedności i jest tym większa im mniejsza jest roacuteżnica temperatur między zbiornika-mi gorącym i zimnym

Przykładem zastosowania odwroacuteconego cyklu termodynamicznego może być klimatyzacja z tzw pompą ciepła Klimatyzacja taka może działać w obie strony ndash latem pobiera ciepło z wewnątrz budynku i oddaje je na zewnątrz a zimą pobiera ciepło z zewnątrz i oddaje je do wnętrza Aby klimatyzacja działała niezbędne jest wykonanie pracy Warto zauważyć że w poroacutewnaniu z tradycyjnymi metodami ogrzewania budynku układ z pompą ciepła jest wydajniejszy ndash jeśli zużyjemy tę samą ilość prądu na zasilanie grzejnika elektrycznego i zasilanie pompy ciepła ciepło dostar-czone do budynku będzie zawsze większe w przypadku pompy ciepła Wadami pomp ciepła są skomplikowana konstrukcja wpływająca na zwiększoną awaryjność oraz duży koszt całego układu Pompy ciepła wymagają ponadto z reguły dużego wymiennika ciepła

Chłodziarki i zamrażarki roacutewnież odbierają ciepło z komory chłodniczej W tym przypadku obok cyklu gazowego wykorzystujemy roacutewnież cie-pło przemian fazowych Sprężony przez kompresor gaz ulega skropleniu w systemie rurek wymiennika ciepła (znajdującego się z reguły w tylnej części chłodziarki) W obiegu wewnątrz komory chłodziarki ciśnienie spada i ciecz ulega przemianie w gaz pobierając przy tym ciepło z ko-mory Następnie gaz jest sprężany przez kompresor i cykl przemian może ulec powtoacuterzeniu

Cykl Otta

Cykl Otta stanowi dobre przybliżenie cyklu realizowanego w typowym silniku benzynowym W częściej spotykanym silniku czterosuwowym cykl pracy silnika zaczyna się od zassania do wnętrza cylindra mieszanki paliwowej ndash tłok cofa się przy otwartym zaworze (przy stałym ciśnieniu zwiększa się objętość gazu) Następnie zawoacuter zamyka się a tłok spręża mieszankę Sprężanie odbywa się na tyle szybko że może być uznane za proces adiabatyczny ndash nie ma wymiany ciepła z blokiem silnika Sprężo-na mieszanka ulega następnie zapłonowi co jest tak szybkim procesem

TERMODYNAMIKA

Strona 143143143143

że z powodzeniem można przyjąć że jest to przemiana izochoryczna ndash tłok nie zdążył się jeszcze ruszyć a jedynie wzrosło ciśnienie i tempera-tura gazu W kolejnej fazie cyklu gorący gaz rozpręża się adiabatycznie wypychając tłok a więc wykonując pracę nad tłokiem Po jego zakoń-czeniu kiedy tłok osiągnie maksymalne wychylenie otwiera się zawoacuter wydechu Powoduje to spadek ciśnienia gazu przy stałej jego objętości W kolejnym etapie cyklu zawoacuter wydechu jest wciąż otwarty a tłok wy-pycha spaliny z cylindra przy stałym ciśnieniu wracając do położenia początkowego Zależność ciśnienia od objętości dla cyklu Otta pokazana jest na rysunku 94 b)

Sprawność cyklu Otta wynosi

VC

R

2

1

V

V1η

minus= (953)

gdzie V1 i V2 oznaczają odpowiednio minimalną i maksymalną objętość cylindra

Cykl Diesla

Cykl Diesla zaczyna się podobnie jak cykl Otta ndash tłok cofa się zasysając powietrze do wnętrza cylindra Następnie zachodzi adiabatyczne spręża-nie powietrza zawartego w cylindrze W silniku Diesla proces spalania paliwa ma inny charakter niż w cyklu Otta ndash zamiast iskry wywołującej zapłon stosujemy w nim świecę żarową ktoacuterej głoacutewnym zadaniem jest wspomaganie rozruchu silnika Pary oleju sprężone do odpowiedniego ciśnienia ulegają bowiem samozapłonowi Etap spalania paliwa dostarczający ciepło niezbędne do działania silnika nie jest modelowany przez przemianę izochoryczną ale przez proces izobaryczny (rysu-nek 94 c) Następnie podobnie jak w cyklu Otta następuje rozprężanie adiabatyczne w trakcie ktoacuterego silnik wykonuje pracę Kiedy tłok znajdzie się w najdalszym położeniu (objętość gazu jest największa) otwiera się zawoacuter wydechu i ciśnienie gazu spada Podobnie jak w przy-padku silnika benzynowego cykl kończy wypchnięcie spalin z wnętrza cylindra poprzez ruch tłoka

Sprawność silnika Diesla można wyrazić wzorem

ROZDZIAŁ 9

Strona 144144144144

( )

21

κ21

κ

3

2

VV1

VV1

V

V

κ

11η

minus

minus

minus= (954)

Silniki Diesla ze względu na wyższy stopień sprężania są postrzegane jako oszczędniejsze mimo że wyliczona z powyższego wzoru sprawność silnika Diesla w poroacutewnaniu z cyklem Otta jest nieco mniejsza Silniki Diesla dobrze pracują przy niskich obrotach wytwarzając duży moment obrotowy i są mało wrażliwe na uszkodzenia instalacji elektrycznej ktoacutera jest potrzebna jedynie do rozruchu silnika Ich wadą jest trudny rozruch zimnego silnika

Cykl Stirlinga

W przeciwieństwie do poprzednio omawianych silnikoacutew w silniku Stirlinga gaz znajdujący się w cylindrze nie ulega wymianie w trakcie cyklu Silnik tego typu wymaga do działania jedynie źroacutedła ciepła oraz odpowiednio wydajnego chłodzenia Ciepło jest dostarczane i odbierane w sposoacuteb ciągły Cykl Stirlinga składa się z dwoacutech przemian izotermicz-nych na przemian z przemianami izochorycznymi (rysunek 94d) Istnie-je kilka rozwiązań samego silnika realizującego taki cykl W jednym z nich silnik składa się z dwoacutech cylindroacutew jednego połączonego ze źroacutedłem ciepła a drugiego z chłodnicą Cylindry te są połączone ze sobą kanałem umożliwiającym przepływ gazu Początkowo cały gaz znajduje się w cylindrze gorącym ndash w cylindrze chłodzonym tłok znajduje się w położeniu odpowiadającym minimum objętości W wyni-ku podgrzewania następuje rozprężanie (izotermiczne) gazu w cylindrze gorącym i silnik wykonuje pracę Po osiągnięciu pełnego wychylenia przez tłok w cylindrze gorącym zaczyna on opadać wypychając gaz do cylindra chłodnego w ktoacuterym tłok unosi się zasysając gaz W ten sposoacuteb dochodzi do wymiany gazu między cylindrami Po przepompo-waniu do cylindra chłodnego ciśnienie gazu spada W cylindrze chłodzo-nym gaz jest poddawany izotermicznemu sprężaniu a następnie jest wypychany do cylindra gorącego Tam jego ciśnienie wzrasta i cykl do-chodzi do warunkoacutew początkowych

Cykl Stirlinga charakteryzuje wysoka sprawność ktoacutera może osiągać wartości zbliżone do sprawności silnika Carnota

TERMODYNAMIKA

Strona 145145145145

( ) C12

V

C

ηVVn

c1

ηη

ln R+

= (955)

gdzie ηC oznacza sprawność silnika Carnota Silnik Stirlinga działa na-wet przy niewielkiej roacuteżnicy temperatur i dlatego stosowany jest do przetwarzania energii cieplnej uzyskanej ze źroacutedeł geotermalnych lub z procesoacutew fermentacji Jego wadą są stosunkowo duże rozmiary i kosz-ty wykonania urządzeń tego typu Silniki tego typu są mało awaryjne i z tego względu istnieją plany stosowania ich np w sondach kosmicz-nych wyposażonych w promieniotwoacutercze źroacutedło ciepła Są roacutewnież ci-che co czyni je przydatnymi do stosowania w łodziach podwodnych z napędem jądrowym W tym przypadku wydajne chłodzenie silnika zapewnia woda morska

Rysunek 94 Wybrane cykle termodynamiczne a) Carnota b) Otta

c) Diesla d) Stirlinga

Druga zasada termodynamiki

Wspominaliśmy już że w cyklu silnika jedynie część energii pobieranej ze źroacutedła gorącego jest zamieniana na pracę a część jest oddawana do chłodnicy Na przykładzie cyklu chłodniczego przekonaliśmy się że aby

ROZDZIAŁ 9

Strona 146146146146

przekazać ciepło z ciała zimnego do ciała gorącego niezbędne jest wyko-nanie pracy Oba te spostrzeżenia mogą być podstawą do sformułowa-nia drugiej zasady termodynamiki

Niemożliwe jest przekazywanie ciepła przez ciało o niższej temperaturze ciału o wyższej temperaturze bez wprowadzenia innych zmian w obu ciałach i ich otoczeniu

lub w innym sformułowaniu

Niemożliwe jest pobieranie ciepła z jednego źroacutedła i zamiana go na pracę bez wprowadzenia innych zmian w układzie i jego otoczeniu

Druga zasada termodynamiki zaprzecza istnieniu tzw perpetuum mobile drugiego rodzaju czyli całkowitej zamiany ciepła w pracę Druga zasada termodynamiki nakłada ograniczenia na wartość sprawności silnika ndash nie jest możliwe zbudowanie silnika o sprawności większej niż sprawność silnika Carnota

98 Entropia

Swobodny przepływ ciepła następuje tylko w kierunku od ciała gorącego do ciała zimnego Zgodnie z drugą zasadą termodynamiki przepływ w odwrotną stronę nie może odbywać się samoistnie i wymaga wykona-nia pracy nad układem Szczegoacutełowa analiza tego problemu pokazuje że kierunek zachodzenia procesoacutew fizycznych w przyrodzie jest wyznaczo-ny przez zmiany wartości pewnej funkcji stanu układu zwanej entropią

Entropia jest funkcją stanu a więc jej zmiana zależy jedynie od począt-kowego i końcowego stanu układu a nie zależy od sposobu przejścia między tymi stanami Dla przemiany izotermicznej zmianę entropii mo-żemy zdefiniować jako stosunek ilości ciepła ∆Q otrzymanego przez układ do temperatury w ktoacuterej układ otrzymał to ciepło Jest to tzw cie-pło zredukowane

T

∆Q∆S = (956)

W ogoacutelnym przypadku należy zastosować definicję roacuteżniczkową zmiany entropii

TERMODYNAMIKA

Strona 147147147147

T

QS

dd = (957)

Jeżeli szukamy zmiany entropii ∆S podczas jakiegoś procesu termodyna-micznego musimy dodać (scałkować) wszystkie składowe infinitezymal-ne zmiany entropii dS

Korzystając z pierwszej zasady termodynamiki oraz ciepło δQ można wyrazić za pomocą pracy δW oraz zmiany energii wewnętrznej dU a w konsekwencji za pomocą zmiany objętości dV oraz zmiany tempera-tury dT W efekcie po scałkowaniu otrzymujemy wzoacuter na zmianę entropii dla dowolnej przemiany gazowej gazu doskonałego

P

K

V

P

K

T

TCn

V

Vn∆S ln ln R += (958)

Entropię można roacutewnież definiować jako miarę tej części energii wew-nętrznej układu ktoacutera nie może być użyta do wykonania pracy mecha-nicznej co możemy zapisać w następujący sposoacuteb

VpSTU ddd minus= (959)

Entropia pokazuje w ktoacuterym kierunku procesy fizyczne mogą biec sa-morzutnie Jeżeli zmiana entropii układu w pewnym procesie wynosi zero to proces taki jest odwracalny czyli może zachodzić w obu kierun-kach Zmiana entropii dla cyklu Carnota podobnie jak dla każdego procesu cyklicznego roacutewnież wynosi zero gdy jest on odwracalny

Przemiany nieodwracalne przebiegają samorzutnie tylko w określonym

kierunku W przypadku tych przemian entropia wzrasta 0gt∆S Przy-kładem może być połączenie dwoacutech zbiornikoacutew zawierających odpo-wiednio gorący i zimny gaz Po usunięciu przegrody dzielącej zbiorniki dojdzie do wymiany energii kinetycznej pomiędzy cząsteczkami gazu a więc w konsekwencji do samorzutnego wyroacutewnania temperatur obu porcji gazu W przyrodzie proces ten nie zachodzi w odwrotnym kierun-ku ndash nie obserwujemy spontanicznego samorzutnego podgrzewania jednej porcji a oziębiania drugiej porcji gazu Możemy jednak osiągnąć taki efekt dostarczając do układu ciepło lub wykonując nad nim pracę Wtedy układ ten nie będzie jednak układem zamkniętym

ROZDZIAŁ 9

Strona 148148148148

Definicja statystyczna entropii

Entropia ma roacutewnież swoją definicję statystyczną Rozpatrzmy najpierw przykład nieodwracalnej przemiany rozprężania gazu do zbiornika z proacuteżnią W przyrodzie nie obserwujemy zachodzenia tego procesu w odwrotnym kierunku tzn nie jest możliwe aby wszystkie cząsteczki gazu z jednego zbiornika same spontanicznie go opuściły wytwarzając tam proacuteżnię Aby osiągnąć taki stan czyli aby wypompować gaz z jed-nego zbiornika i uzyskać proacuteżnię musimy użyć odpowiedniej pompy a więc wykonać pracę Możemy powiedzieć że najbardziej prawdopo-dobna będzie konfiguracja gdzie w obu zbiornikach będziemy mieli tyle samo cząsteczek Dla uproszczenia rozpatrzmy układ dwoacutech zbiornikoacutew w ktoacuterych znajdują się ponumerowane cztery cząsteczki Najbardziej prawdopodobny będzie taki stan (nazywany makrostanem) w ktoacuterym w obu zbiornikach będą dwie cząsteczki Ale taki makrostan może być zrealizowany na wiele sposoboacutew (poprzez wiele mikrostanoacutew) tzn w zbiorniku mogą być następujące konfiguracje cząsteczek (12) (13) (14) (23) (24) (34) Makrostan z jedną cząsteczką w prawym zbiorniku może być zrealizowany przez 4 mikrostany tzn w zbiorniku tym mogą być cząsteczki (1) lub (2) lub (3) lub (4) Liczba mikrostanoacutew realizujących dany mikrostan oznaczana jest symbolem w i definiuje entropię układu (wzoacuter Boltzmanna-Plancka)

( )wS ln k B= (960)

W celu wyznaczenia zmiany entropii układu należy obliczyć roacuteżnicę entropii końcowej i początkowej

P

K

BPKw

wkSS∆S ln=minus= (961)

Wyznaczmy teraz prawdopodobieństwa roacuteżnych konfiguracji dla wyniku rzutu dwiema kostkami do gry Wyniki bdquo2rdquo oraz bdquo12rdquo można uzyskać tylko w jeden sposoacuteb ndash rzucając dwie bdquojedynkirdquo lub dwie bdquoszoacutestkirdquo Prawdopodobieństwo uzyskania takiego wyniku jest zatem dość niskie ndash wynosi 1616=0028 Wynik bdquo3rdquo można uzyskać na dwa sposoby ndash wyrzucając bdquo1rdquo i bdquo2rdquo lub bdquo2rdquo i bdquo1rdquo Wynik ten ma zatem wyższą wielokrotność konfiguracji Prawdopodobieństwo uzyskania takiego wyniku jest roacutewnież dwa razy wyższe ndash wynosi 0056 W rzucie dwiema kostkami najbardziej prawdopodobny jest wynik bdquo7rdquo ndash można go uzys-kać na 6 sposoboacutew Wynik ten reprezentuje zatem roacutewnież największą entropię

TERMODYNAMIKA

Strona 149149149149

Zwiększanie się entropii w wyniku przemian termodynamicznych ozna-cza dążenie do stanoacutew najbardziej prawdopodobnych czyli do stanoacutew roacutewnowagowych Łatwo zauważyć że układy te reprezentują roacutewnież największy nieporządek Wroacutećmy do przykładu z rozprężeniem gazu do proacuteżnego zbiornika ndash stan w ktoacuterym jeden zbiornik jest proacuteżny a sąsied-ni zbiornik jest wypełniony gazem reprezentuje bardzo niską entropię Wyroacutewnanie się ciśnień w obu zbiornikach powoduje przejście do stanu o najwyższej entropii Widzimy zatem że w układzie zamkniętym bę-dzie pojawiał się nieporządek

Jeśli zbudujemy wieżę z kamieni wykonujemy pracę by wytworzyć stan o wysokim porządku ndash zatem o niskiej entropii W przypadku wieży stanem o najwyższej entropii jest losowe rozrzucenie kamieni Jeśli nie będziemy wykonywać nad tym układem żadnej pracy pod wpływem czynnikoacutew zewnętrznych stopniowo będzie dążył do stanu o wyższej entropii ndash wieża będzie się rozpadać aż do zamiany w stertę rozrzuco-nych kamieni W przyrodzie struktury uporządkowane takie jak żywe organizmy istnieją dzięki źroacutedłu energii jakim jest Słońce Energia czer-pana ze Słońca (w przypadku niektoacuterych bakterii energia może być po-zyskiwana z innych źroacutedeł) jest wykorzystywana na wykonywanie pracy i budowę struktur o wysokim uporządkowaniu Bez źroacutedła energii orga-niżmy żywe umierają ndash przechodzą w stan o wyższej entropii Warto zwroacutecić uwagę że procesy śmierci i rozkładu można interpretować w ra-mach przemian termodynamicznych Ciepło wytwarzane w procesie fer-mentacji szczątkoacutew organicznych może być odzyskiwane i wykorzysty-wane jako alternatywne źroacutedło energii

99 Właściwości termiczne materii

Mechanizmy przekazywania ciepła

Procesy transportu energii zmierzają do wyroacutewnywania energii w całym układzie prowadząc układ do stanu roacutewnowagi W przyrodzie istnieją trzy podstawowe mechanizmy przekazywania ciepła

bull przewodnictwo cieplne

bull konwekcja (unoszenie)

ROZDZIAŁ 9

Strona 150150150150

bull promieniowanie

Przewodnictwo cieplne

Przewodnictwo cieplne jest związane z przekazywaniem energii przez cząstki o wyższej energii cząstkom o niższej energii Jeśli w jednym miejscu ciała dostarczane jest ciepło cząstki z ktoacuterych zbudowane jest ciało uzyskują wyższą energię W przypadku gazu będzie to większa energia kinetyczna cząsteczek gazu w przypadku ciała stałego będziemy mieli do czynienia z większą energią drgań atomoacutew wokoacuteł ich położeń roacutewnowagi Energia ta jest przekazywana sąsiednim atomom tak żeby minimalizować roacuteżnicę temperatur pomiędzy ciepłym a chłodnym koń-cem W przypadku gazu przekazywanie energii kinetycznej odbywa się poprzez zderzenia zaś w ciele stałym w wyniku oddziaływań między atomami

Z codziennego doświadczenia wiemy że roacuteżne materiały mają roacuteżną przewodność cieplną Wysoką przewodność cieplną mają na przykład metale Związane jest to z przewodzeniem ciepła nie tylko na skutek drgań jąder atomowych ale roacutewnież zderzeń swobodnych elektronoacutew obecnych w metalach Tworzywa sztuczne takie jak guma czy polietylen są z reguły izolatorami elektrycznymi i wykazują roacutewnież niewielką przewodność cieplną

Strumień ciepła JQ czyli ciepło dQ przepływające w czasie dt przez po-wierzchnię dS jest proporcjonalny do gradientu temperatury wywołują-cego przepływ ciepła Wspoacutełczynnik proporcjonalności λ nazywa się wspoacutełczynnikiem przewodności cieplnej jest cechą charakterystyczną danego materiału i wyraża się w Wm

-1K

-1

W jednowymiarowym przypadku gradient temperatury jest roacutewny po-chodnej temperatury po wspoacutełrzędnej x i woacutewczas przepływ ciepła może być opisany następującą zależnością (prawo Fouriera przewodnictwa cieplnego)

x

T

St

QJ Q d

d

d d

dλminus== (962)

Dla cienkich warstw przybliżeniem gradientu temperatury jest iloraz roacuteżnicy temperatur przez grubość przegrody Rozpatrzmy cienką prze-grodę o grubości L i powierzchni S wykonaną z materiału o wspoacutełczyn-niku przewodności cieplnej λ ktoacutera oddziela zbiornik gorący o tempera-turze TG od zimnego o temperaturze TZ W takim przypadku ilość ciepła

TERMODYNAMIKA

Strona 151151151151

Q przepływająca przez przegrodę w czasie t (moc P) wyraża się wzorem (za bdquoPodstawy Fizykirdquo Halliday Resnick Walker PWN 2003)

L

TTSk

t

QP ZG minus

== (963)

Dla takiej przegrody można roacutewnież wyznaczyć wartość oporu cieplnego R będącego wspoacutełczynnikiem proporcjonalności między mocą przepły-wającego ciepła a roacuteżnicą temperatur

Sk

LR = (964)

Należy pamiętać że tak zdefiniowana wielkość charakteryzuje dane cia-ło a nie materiał z ktoacuterego jest wykonane

W układzie składającym się z wielu warstw przy stacjonarnym przepły-wie ciepła (temperatury i wartość strumienia ciepła nie zmieniają się w czasie) ciepło przepływające przez każdą z warstw jest jednostce czasu jest taki samo Rozpatrując przykład dwoacutech warstw wykonanych z roacuteżnych materiałoacutew roacutewnania Fouriera możemy zapisać w postaci

( ) ( )

2

Z122

1

12G1

L

TTSk

L

TTSkP

minus=

minus= (965)

gdzie T12 oznacza temperaturę na granicy dwoacutech warstw Wyznaczając z powyższego roacutewnania temperaturę T12 możemy wyznaczyć całkowitą moc traconą przez taką podwoacutejną przegrodę

( )

2

2

1

1

ZG

k

L

k

L

TTSP

+

minus=

(966)

W ogoacutelnym przypadku moc ciepła przepływającego przez przegrodę składającą się z kilku warstw o roacuteżnych grubościach Li oraz wspoacutełczyn-nikach przewodności cieplnej ki możemy zapisać

( )

sum

minus=

i i

i

ZG

k

L

TTSP

(967)

ROZDZIAŁ 9

Strona 152152152152

Konwekcja

Konwekcja jest mechanizmem przekazywania ciepła charakterystycz-nym dla płynoacutew (gazoacutew i cieczy) i nazywana bywa roacutewnież przepływem masowym Zwiększenie temperatury płynoacutew powoduje zmniejszenie ich gęstości a w konsekwencji pojawienie się siły wyporu skierowanej pionowo do goacutery Charakterystyczne przy tym jest że ruch taki może dotyczyć nie tylko pojedynczych cząsteczek ale roacutewnież znacznych objętości płynu

Prostym przykładem konwekcji jest ruch wody podgrzewanej w garnku Woda ogrzana przy dnie za sprawą siły wyporu unosi się ku powierz-chni gdzie ulega wychłodzeniu i opada ponownie na dno gdzie ponow-nie się ogrzewa wywołując cyrkulację w całym naczyniu Podobne zja-wisko w znacznie większej skali obserwujemy w roztopionych skałach pod powierzchnią Ziemi - gdzie gorąca magma wypływa ku powierz-chni gdzie stygnie i opada Ruchy konwekcyjne roztopionych skał kształtują powierzchnię Ziemi i mają decydujący wpływ na dryf płyt kontynentalnych unoszących się na powierzchni magmy Opis ruchoacutew konwekcyjnych mas powietrza jest jednym z podstawowych zagadnień meteorologii Ruchy te powodują powstawanie wiatroacutew i chmur a także powstawanie i przemieszczanie się frontoacutew atmosferycznych

Przepływ konwekcyjny jest podstawą działania instalacji centralnego ogrzewania Ciepła woda ogrzana w piecu lub kotle unosi się do goacutery wymuszając jednocześnie napływ zimniejszej wody do wymiennika cie-pła W grzejnikach woda (napływająca goacuternym wlotem) ochładza się i opada w kierunku pieca W samych grzejnikach powietrze jest zasysane znad podłogi ogrzewa się pomiędzy żebrami i unosi do goacutery Na podob-nej zasadzie działa wentylacja grawitacyjna W przypadku kiedy proces wymiany ciepła w urządzeniu jest w danym zastosowaniu zbyt powolny można wymusić konwekcję Prostym przykładem wymuszonej konwek-cji jest chłodnica samochodowa Wiatrak chłodnicy wymusza przepływ powietrza między żebrami wymiennika ciepła Identyczną funkcję pełni wiatrak na radiatorze procesora komputerowego W przypadku cieczy chłodzących o znacznej gęstości przepływ może być wymuszany za pomocą pomp Pompy wspomagające obieg wody i powietrza w piecu mogą być stosowane w domowych instalacjach grzewczych

Promieniowanie cieplne

Kolejnym mechanizmem wymiany ciepła jest promieniowanie cieplne Podstawy fizyczne tego zjawiska omoacutewimy w dalszej części wykładu

TERMODYNAMIKA

Strona 153153153153

Teraz podamy jedynie wzoacuter określający ilość energii wypromieniowa-nej lub pochłoniętej przez ciało przez jednostkę powierzchni

4TσE = (968)

Jest to tzw wzoacuter Stefana-Boltzmanna opisujący całkowitą (integralną) zdolność emisyjną ciała czyli energię wypromieniowaną w całym widmie częstotliwości Promieniowanie cieplne zależy od temperatury w potędze czwartej ale roacutewnież od rodzaju powierzchni ciała Powierz-chnie ciemne dobrze pochłaniają ale i dobrze wypromieniowują ciepło Pomalowany czarnym lakierem pojazd szybko nagrzewa się ale roacutewnie szybko stygnie Samochoacuted z jasnym nadwoziem pochłania niewiele cie-pła ale i niewiele oddaje Odbijanie ciepła jest podstawą działania tzw folii ratunkowej znajdującej się w apteczce samochodowej Ułożona srebrną stroną do ciała folia zabezpiecza przed wychłodzeniem odbijając promieniowanie cieplne do środka Ułożenie stroną złotą do ciała i srebrną na zewnątrz zmniejsza promieniowanie zewnętrzne i chro-ni przed przegrzaniem

Izolacja termiczna

Policzmy moc jaka jest tracona przez okno o powierzchni S=1m2 wykonane z pojedynczej szyby o grubości d=4mm i wspoacutełczynniku przewodności cieplnej k=1 zakładając temperaturę na zewnątrz TZ = -20oC=253K oraz wewnątrz pomieszczenia TW=20oC=293K

Zaniedbamy efekty związane z promieniowaniem cieplnym i konwekcją analizując jedynie przewodnictwo cieplne Korzystając ze wzoru 914 otrzymujemy znaczną stratę ciepła o mocy 10kW

( 100000040

25329311 =

minussdot=

P )

Rozważmy teraz drugi przypadek w ktoacuterym zastosowano podwoacutejną szybę Przy czym odległość między szybami wynosi z=1cm a przestrzeń jest wypełniona powietrzem o wspoacutełczynniku przewodności k=0025 Założymy że w tej warstwie powietrza konwekcja nie występuje Po podstawieniu do wzoru 918 opisującego wielowarstwową przegrodę otrzymujemy P=98W Widzimy że w przypadku zastosowania dwoacutech szyb przedzielonych warstwą powietrza strumień ciepła przepływający przez okno jest ponad 1000 razy mniejszy W krajach skandynawskich stosuje się nierzadko okna z trzema szybami ktoacutere gwarantują jeszcze niższe straty ciepła Podobny efekt wykorzystujemy w przypadku cegieł ceramicznych z kanałami powietrznymi czy popularnych wykończeń ścian typu bdquosidingrdquo W przypadku takich przegroacuted powietrznych najważ-

ROZDZIAŁ 9

Strona 154154154154

niejszym zagadnieniem jest uniknięcie lub zminimalizowanie konwek-cyjnego transportu ciepła Można to osiągnąć zamykając powietrze wew-nątrz małych poroacutew materiału Efekt taki jest wykorzystywany min w płytach styropianowych i piankach poliuretanowych Materiały te są bardzo lekkie ponieważ puste przestrzenie pomiędzy bdquowięźbąrdquo polime-rową wypełnia powietrze Materiałem o najlepszych własnościach izolacyjnych jest aerożel oparty na spienionych związkach krzemu

Konwekcja i przewodzenie cieplne nie występują roacutewnież w proacuteżni po-nieważ nie ma tam cząsteczek gazu ktoacutere mogłyby uczestniczyć w trans-porcie ciepła Na tym efekcie opiera się działanie tzw naczynia Dewara Spomiędzy podwoacutejnych ścianek tego naczynia wypompowuje się powie-trze Kontakt termiczny pomiędzy wewnętrznymi a zewnętrznymi ścian-kami istnieje jedynie przy wlocie naczynia ktoacutery ma jednak niewielki przekroacutej poprzeczny i powierzchnię Prostym przykładem naczynia Dewara jest termos Termosy szklane długo zachowują proacuteżnię są nato-miast podatne na uszkodzenia mechaniczne Termosy metalowe są wy-trzymałe mechanicznie ale ciśnienie wewnątrz stopniowo wzrasta i po pewnym czasie tracą one właściwości izolujące

Ciepło właściwe ciał stałych

Pojemność cieplną ciał stałych opisuje tzw model Debyersquoa Zakłada on że transport ciepła w ciałach stałych zachodzi w postaci rozchodzenia się drgań Im wyższa temperatura tym liczba wzbudzanych rodzajoacutew drgań rośnie ndash wzrasta roacutewnież ciepło właściwe W zakresie temperatur poniżej tzw temperatury Debyersquoa θ wzrost ten odbywa się proporcjonalnie do trzeciej potęgi temperatury Powyżej temperatury Debyersquoa wzrost war-tości ciepła właściwego jest znacznie mniej dynamiczny Wartością gra-niczną dla tzw ciał prostych ndash np kryształoacutew zbudowanych z jednego pierwiastka ndash jest wartość trzykrotnej stałej gazowej 3R Zależność tą określa się prawem Dulonga-Petita

Ciepło właściwe materii związane jest roacutewnież z ruchem elektronoacutew Elektronowe ciepło właściwe jest wprost proporcjonalne do temperatury W bardzo niskich temperaturach czynnik ten ma decydujący wpływ na całkowitą wartość ciepła właściwego

Pełna postać wzoru na ciepło właściwe ciał stałych przyjmuje zatem postać

TbaT += 3vc (969)

TERMODYNAMIKA

Strona 155155155155

Rozszerzalność cieplna ciał stałych

Drgania termiczne atomoacutew w ciałach stałych wpływają na zwiększenie średniej odległości międzyatomowej i zarazem zwiększają makroskopo-wą objętość kryształoacutew Efekt ten jest związany z kształtem potencjału oddziaływania międzyatomowego Rozszerzalność temperaturową ciał stałych możemy przybliżyć funkcją liniową wprowadzając wspoacutełczyn-nik rozszerzalności cieplnej i w przypadku jednowymiarowym np dłu-gości cienkiego pręta zapisujemy

∆TαL

∆LL

0

= (970)

gdzie αL jest wspoacutełczynnikiem rozszerzalności liniowej o wymiarze K-1 Zakładając jednakowe rozszerzanie się materiału w każdym kierunku (izotropia) wspoacutełczynnik rozszerzalności objętościowej αV jest roacutewny trzykrotnej wartości wspoacutełczynnika rozszerzalności liniowej αL a zależ-ność zmian objętości od temperatury zapisujemy

∆TαV

∆VV

0

= (971)

Rozszerzalność cieplna ciał stałych musi być uwzględniana przy projek-towaniu konstrukcji i połączeń konstrukcyjnych Materiały z ktoacuterych wykonane są obiekty takie jak mosty i wiadukty drogowe (stal i beton) mają z reguły inną rozszerzalność cieplną niż skała lub grunt na ktoacuterym są oparte Aby uniknąć nadmiernych naprężeń mechanicznych związa-nych z termicznym odkształcaniem się materiałoacutew na styku roacuteżnych ele-mentoacutew konstrukcyjnych stosuje się tzw szczeliny dylatacyjne Rolę takich szczelin dylatacyjnych spełnia roacutewnież fuga między płytkami ce-ramicznymi ale niezbędne jest roacutewnież zastosowanie odpowiednio elas-tycznej zaprawy klejącej tak aby nie doszło do zerwania kontaktu płytki z podłożem lub pęknięcia płytki W przyrodzie naprężenia powstające w skałach ogrzewanych przez słońce lub ochładzanych przez wiatr są jednym z głoacutewnych czynnikoacutew erozji

Zjawisko rozszerzalności cieplnej ciał można wykorzystać podczas nito-wania Wciskając nit w otwoacuter w rozgrzanym materiale zyskujemy ciasne połączenie po ostygnięciu Podobny efekt możemy otrzymać łącząc ma-teriały o roacuteżnym wspoacutełczynniku rozszerzalności cieplnej Często stoso-wanym czujnikiem temperatury opartym na zjawisku rozszerzalności cieplnej jest tzw bimetal Jest to pasek zbudowany z połączonych ze

ROZDZIAŁ 9

Strona 156156156156

sobą dwoacutech warstw metali o roacuteżnym wspoacutełczynniku rozszerzalności cieplnej Jeśli długość jednej z warstw paska wzrośnie pod wpływem temperatury bardziej niż drugiego cały pasek ulegnie wygięciu Bimetal możemy wykorzystywać np jako wyłącznik zwierający w instalacji przeciwpożarowej bądź wyłącznik rozwierający w instalacji zapobiega-jącej przegrzaniu się urządzenia

10 Elektrostatyka

W tym rozdziale

o Ładunek elektryczny oddziaływanie ładunkoacutew prawo Coulomba

o Natężenie pola elektrycznego ładunkoacutew dyskretnych oraz ciągłych rozkładoacutew ładunkoacutew

o Energia i potencjał w polu elektrycznym o Prawo Gaussa przykłady zastosowania prawa

Gaussa o Pojemność elektryczna kondensatory o Dielektryki

ROZDZIAŁ 10

Strona 158158158158

101 Ładunek elektryczny

Zjawisko elektryzowania ciał jest znane od czasoacutew starożytności Jeśli potrzemy kawałkiem jedwabiu o szkło zauważymy że kawałek szkła nabierze ciekawych właściwości ndash będzie przyciągał drobinki kurzu lub drobne skrawki papieru oraz jedwab ktoacuterym go pocieraliśmy Podobny efekt zaobserwujemy w przypadku kawałka bursztynu potartego o futro Jeśli zbliżymy do siebie szkło i bursztyn zauważymy ponadto że przy-ciągają się nawzajem Natomiast dwa takie kawałki szkła czy dwa ka-wałki bursztynu będą się nawzajem odpychać Ponadto bursztyn będzie odpychał kawałek jedwabiu ktoacuterym naelektryzowano szkło a szkło bę-dzie odpychać futro ktoacuterym naelektryzowano bursztyn

Aby usystematyzować powyższy opis założymy że podczas pocierania umieszczamy na ciele ładunek elektryczny elektryzując go w ten sposoacuteb Znak ładunku może być dodatni lub ujemny Ustalmy że w przypadku elektryzowania bursztynu ładunek znajdujący się na powierzchni bur-sztynu ma znak ujemny a na powierzchni futra użytego do elektryzowa-nia pozostaje identyczna porcja ładunku dodatniego Znak ładunku poja-wiającego się na powierzchni elektryzowanego szkła jest natomiast dodatni Opisane wyżej obserwacje wskazują że ładunki o identycznym znaku ndash jednoimienne ndash odpychają się a ładunki o roacuteżnych znakach ndash roacuteżnoimienne ndash przyciągają się Efekt odpychania się jednoimiennych ładunkoacutew można czasem zauważyć w burzowy dzień lub stojąc pod linią elektryczną wysokiego napięcia w postaci włosoacutew bdquostających dębardquo Ładunki zgromadzone na naszym ciele i ubraniach są przyciągane przez chmurę burzową czy linię energetyczną gromadzą się na włosach ale jednocześnie jako ładunki o tym samym znaku chcą być jak najdalej od siebie powodując że włosy bdquostają dębardquo

Ładunek elektryczny wymieniany jest w porcjach Najmniejszą niepo-dzielną porcję ładunku nazywamy ładunkiem elementarnym e i jest on roacutewny ładunkowi elektronu Wartość ładunku elementarnego wynosi e=160210ndash19C gdzie C jest jednostką ładunku elektrycznego ndash kulom-bem Ponieważ elektron ma ładunek ujemny więc zjawisko elektryzowa-nia ciał polega na wytworzeniu na nich nadmiaru elektronoacutew ndash wtedy ła-dunek ciała jest ujemny lub niedoboru elektronoacutew ndash w takim przypadku ładunek ciała jest dodatni

ELEKTROSTATYKA

Strona 159159159159

Ciała mogą mieć roacuteżne właściwości elektryczne Ciała w ktoacuterych ładu-nek może swobodnie się przemieszczać nazywamy przewodnikami (np metale) zaś ciała w ktoacuterych ruch ładunku jest niemożliwy nazywamy izolatorami (większość materiałoacutew organicznych i tworzyw sztucznych)

Oproacutecz omoacutewionego wcześniej elektryzowania przez pocieranie ciała można elektryzować roacutewnież przez indukcję Załoacuteżmy że naładowany ładunkiem ujemnym kawałek szkła zbliżymy do fragmentu przewodnika (metalu) Ładunek w metalu może się swobodnie przemieszczać Ponie-waż jak już zauważyliśmy ładunki tego samego znaku odpychają się z fragmentu przewodnika w pobliżu naładowanego ujemnie izolatora od-płynie ładunek ujemny Ten fragment metalu będzie zatem naładowany ładunkiem dodatnim Nie jest to jednak stan trwały i gdy następnie oddalimy naładowany fragment izolatora sytuacja wroacuteci do stanu po-czątkowego Jeśli jednak koniec metalu naładowany ujemnie podłączy-my na chwilę do tzw uziemienia ładunek ten spłynie do Ziemi Jak przekonamy się poacuteźniej zjawisko to jest wynikiem wyroacutewnania poten-cjałoacutew pomiędzy naładowanym obiektem i Ziemią ktoacutera ma bardzo dużą pojemność ndash może przyjąć bardzo dużo ładunku Jeśli teraz usunie-my połączenie pomiędzy metalem a ziemią a następnie usuniemy nała-dowany ujemnie izolator na metalu pozostanie ładunek dodatni Metal został naładowany przez indukcję

102 Prawo Coulomba

Określimy teraz ilościowo siły wzajemnego oddziaływania pomiędzy ładunkami

Siła oddziaływania pomiędzy dwoma ładunkami punktowymi Q1 oraz Q2 umieszczonymi w proacuteżni w odległości r od siebie zgodnie z prawem Coulomba jest proporcjonalna do wartości tych ładunkoacutew oraz odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości między nimi

204 r

QQF 21

πε= (101)

ROZDZIAŁ 10

Strona 160160160160

gdzie ε0 jest stałą przenikalności dielektrycznej proacuteżni i jest roacutewna

( )2212 NmC 108854 minussdot=0ε

(w przybliżeniu 2

29

Nm

C 10 minussdot=

π36

10ε )

Ponieważ siła oddziaływania elektrostatycznego jest wektorem więc jeśli obliczamy siły działające w układzie kilku ładunkoacutew musimy zastosować dodawanie wektorowe Jako przykład policzymy siłę oddziaływania na jeden z ładunkoacutew w układzie czterech ładunkoacutew dodatnich Q znajdujących się w wierzchołkach kwadratu o boku a (rysu-nek 101) Ponieważ ładunki są jednoimienne to wybrany ładunek odpychany jest przez jego trzech bdquosąsiadoacutewrdquo siłami F1 F2 i F3 oznaczonymi na rysunku 101 Siły F1 i F3 są roacutewne co do wartości (identyczne ładunki znajdują się w tej samej odległości)

204 a

QQFF 31

πε== (102)

Siły te są do siebie prostopadłe a więc dodając je wektorowo otrzymuje-my siłę wypadkową skierowaną wzdłuż przekątnej kwadratu

20

2

4

2

a

QF13

πε= (103)

Siła F2 pochodząca od ładunku znajdującego się po przekątnej kwadratu ma kierunek i zwrot identyczny jak siła F13 i wartość roacutewną

( )2

0

2

24 a

QF 2

πε= (104)

Wartość siły wypadkowej FW działająca na jeden z ładunkoacutew jest więc sumą F2 oraz F13

( )

20

2

πε8

122

a

QFW

+= (105)

ELEKTROSTATYKA

Strona 161161161161

Rysunek 101 Siły działające w układzie jednakowych ładunkoacutew Q

rozmieszczonych w wierzchołkach kwadratu o boku a

103 Natężenie pola elektrycznego

Ładunki elektryczne są źroacutedłem pola elektrycznego podobnie jak masa jest źroacutedłem pola grawitacyjnego Właściwości pola elektrycznego można badać umieszczając w nim ładunek Jeśli jednak ładunek ten będzie miał znaczną wartość w stosunku do ładunku badanego zakłoacuteci to pole elektryczne Z tego względu posłużymy się ładunkiem proacutebnym dodatnim q0 ndash o wartości na tyle małej że nie wprowadza dużych zakłoacuteceń badanego pola Tor ruchu takiego proacutebnego ładunku umiesz-czonego w obszarze pola elektrycznego wyznacza linie pola elektryczne-go Wektor siły działającej na proacutebny ładunek jest zawsze styczny do linii pola Dla ładunku punktowego linie sił pola rozchodzą się promie-niście w przestrzeni

Z obserwacji wynika że siła F działająca na ładunek umieszczony w po-lu elektrycznym jest proporcjonalna do wartości tego ładunku q Wynika z tego że stosunek siły działającej na ładunek proacutebny do wartości tego ładunku ma stałą wartość charakteryzującą pole elektryczne w tym punkcie i nazywany jest natężeniem pola elektrycznego E

ROZDZIAŁ 10

Strona 162162162162

204 r

Q

q

FE

Eq

F

πε==

==r

r

const

(106)

Natężenie pola elektrycznego jest miarą siły działającej na jednostkowy proacutebny ładunek elektryczny

Tak zdefiniowana wielkość jest niezależna od wielkości ładunku proacuteb-nego jest zatem wyłącznie właściwością badanego pola Natężenie pola elektrycznego jest wektorem ktoacuterego kierunek i zwrot jest identyczny jak zwrot siły działającej na dodatni ładunek umieszczony w badanym polu

Rozważmy układ dwoacutech ładunkoacutew punktowych o identycznym co do wartości ładunku Q znajdujących się w pewnej odległości D od siebie Obliczmy natężenie w roacuteżnych punktach położonych na prostej przecho-dzącej przez oba ładunki w przypadku kiedy ładunki są jednoimienne Woacutewczas zewnątrz układu oba wektory natężenia są skierowane w tym samym kierunku i sumują się Dla dużych odległości r od ładunkoacutew (rgtgtD) natężenie pola elektrycznego jest w przybliżeniu roacutewne natężeniu pochodzącemu od ładunku o wartości 2Q

Na odcinku łączącym oba ładunki wektory natężenia są skierowane prze-ciwnie Wartość wektora wypadkowego jest więc roacuteżnicą wartości wektoroacutew składowych i wynosi

( )20

20 πε4πε4 rD

Q

r

QE

minusminus= (107)

gdzie r oznacza odległość od jednego z ładunkoacutew W przypadku kiedy znajdziemy się w połowie odległości między ładunkami (r = D2) wartość natężenia pola elektrycznego wynosi zero E = 0 ponieważ wektory składowe znoszą się

Dipol elektryczny

Jeśli ładunki Q w powyższym przykładzie są roacuteżnoimienne to taki układ nazywa się dipolem elektrycznym Wartość wektora natężenia pola elek-trycznego na osi ale na zewnątrz dipola jest roacuteżnicą wartości wektoroacutew składowych ndash wektory mają przeciwne zwroty Natomiast na odcinku

ELEKTROSTATYKA

Strona 163163163163

łączącym ładunki wektory natężenia dodają się ndash wartość wektora wy-padkowego jest sumą wartości wektoroacutew składowych W połowie odleg-łości między ładunkami natężenie pola elektrycznego układu wynosi

( ) ( ) 20

20

20

πε4

8

2πε42πε4 D

Q

D

Q

D

QE =+= (108)

Rysunek 102 Natężenie pola elektrycznego pochodzącego od dipola elektrycznego na symetralnej osi dipola

W przypadku dipola elektrycznego istotne jest roacutewnież znalezienie natę-żenia pola elektrycznego na symetralnej osi dipola (rysunek 102) Jeśli narysujemy wektory natężenia pola elektrycznego pochodzące od każde-go z ładunkoacutew w danym punkcie odległym o z od osi dipola okaże się że ich składowe prostopadłe do odcinka łączącego ładunki znoszą się a prostopadłe ndash dodają Wypadkowe natężenie pola elektrycznego wyno-si woacutewczas

( )424πε4

222

220 Dz

D

Dz

QE W

++=

(109)

Dla dużych odległości z od osi dipola natężenie na symetralnej osi dipola maleje z sześcianem odległości z zgodnie ze wzorem

30

30 πε4πε4 z

p

z

QDE W == (1010)

ROZDZIAŁ 10

Strona 164164164164

Wektor Dqprr

= jest dipolowym momentem elektrycznym dipolu Natężenie pola elektrycznego na osi dipola jest dwukrotnie większe i wynosi

30πε2 z

pE

OŚ= (1011)

Natężenie pola elektrycznego dla dipola elektrycznego ma więc silnie kierunkowy charakter ndash wynosi zero na osi dipola dla dużych odległości oraz maleje z sześcianem odległości w kierunku prostopadłym do na osi dipola

Natężenie pola elektrycznego ciągłych rozkładoacutew ładunkoacutew elektrycznych

W poprzednim przykładzie pokazaliśmy jak policzyć natężenie pola elektrycznego pochodzącego od układu dwoacutech dyskretnych ładunkoacutew W przypadku naładowanych obiektoacutew np naładowanych prętoacutew pier-ścieni czy płyt mamy do czynienia z ciągłym rozkładem ładunku Obiekt taki traktujemy woacutewczas tak jakby składał się z wielu małych ładunkoacutew punktowych dq ktoacutere są źroacutedłem pola elektrycznego Natęże-nie wypadkowe możemy wyrazić przez sumę natężeń pochodzących od każdego z małych ładunkoacutew przy czym sumowanie zastępujemy całkowaniem

int=2

0πε4 r

qE

d (1012)

Przykład

Jako przykład obliczmy natężenie pola elektrycznego w środku poacutełokrę-gu o promieniu R zbudowanego z jednorodnie naładowanego ładunkiem Q pręta Rozpatrzmy mały odcinek tego poacutełokręgu ktoacuterego położenie może być określone za pomocą kąta α względem osi symetrii poacutełokręgu (rysunek 103) na ktoacuterym zgromadzony jest ładunek dq Taka mała porcja ładunku dq wytwarza w środku okręgu natężenie pola elektrycz-nego dE ktoacutere jest składową całkowitego natężenia pochodzącego od naładowanego poacutełokręgu Porcja ładunku dq znajdująca się na drugiej połoacutewce poacutełokręgu położona symetrycznie do pierwszej wytwarza natę-żenie pola elektrycznego dE o takiej samej wartości i zwrocie symetrycz-nym względem osi poacutełokręgu Wypadkowe natężenie pola elektrycznego

ELEKTROSTATYKA

Strona 165165165165

dEp jest skierowane roacutewnolegle do osi poacutełokręgu Podobny zwrot wy-padkowego wektora natężenia otrzymamy dla każdej pary ładunkoacutew dq położonych symetrycznie względem osi okręgu z ktoacuterego wycięto poacuteło-krąg Wartość składowej prostopadłej dEp możemy wyrazić za pomocą funkcji kąta α

204

22R

qEE p

πε

αα

cosdcosdd == (1013)

Całkowite natężenie pochodzące od rozpatrywanego poacutełokręgu będzie wyrażone za pomocą całki

int=2Q

pR

qE

02

0πε4

α2

cosd (1014)

Jako goacuterną granice całkowania przyjęliśmy tylko połowę całkowitego ładunku Q ponieważ przy wyliczeniu natężenia dEp wzięliśmy już pod uwagę wkład pochodzący od dwoacutech połoacutewek łuku Żeby obliczyć powyższą całkę musimy znaleźć relację między kątem α a ładunkiem dq i dokonać zamiany zmiennych W tym celu wprowadzimy gęstość liniową ładunku (podobnie liczyliśmy już moment bezwładności pręta) Ponieważ ładunek Q zgromadzony jest na poacutełokręgu więc gęstość

liniowa ładunku wynosiR

Q

πλ = a ładunek dq zgromadzony na odcin-

ku dl wynosi ldd λ=q Dodatkowo po zamianie zmiennych liniowych

na kątowe Rαdd =l otrzymujemy

Rq αλ dd = (1015)

Przy zamianie zmiennej całkowania z dq na dα granice całkowania wynoszą 0 oraz π2 Po wyciągnięciu stałych przed znak całki otrzymujemy

20

20

2

00

22

2

R

Q

RE

RE

p

p

εππε

λ

ααπε

λπ

==

= int dcos

(1016)

ROZDZIAŁ 10

Strona 166166166166

Rysunek 103 Wyznaczanie natężenia pola elektrycznego pochodzące

od naładowanego pręta wygiętego w poacutełokrąg

104 Energia i potencjał w polu elektrycznym

Energia jaką posiada ładunek w polu elektrycznym jest roacutewna pracy jaką należało wykonać aby umieścić go w danym miejscu tego pola

Jest to definicja identyczna jak ta wprowadzona już dla pola grawitacyj-nego Skorzystaliśmy woacutewczas ze wzoru całkowego na pracę

int= xF(x)W d

Obliczamy pracę przeniesienia ładunku Q2 z nieskończoności do punktu odległego o R od ładunku Q1 będącego źroacutedłem pola elektrycznego

intinfin

=R

21 rr

QQW d

204πε

(1017)

R

QQWE 21

pot

04πε== (1018)

ELEKTROSTATYKA

Strona 167167167167

Warto zauważyć że postać energii potencjalnej pola elektrycznego jest podobna do wyrażenia jakie otrzymaliśmy dla pola grawitacyjnego

Jeżeli w polu elektrycznym przesuwamy między dwoma punktami ładu-nek q to praca jaką wykonujemy jest proporcjonalna do wartości tego ładunku Stosunek tej pracy przesunięcia dW ładunku do wartości ładun-ku q jest dla danych dwoacutech punktoacutew stały i nie zależy od wartości ładun-ku Stosunek ten definiuje roacuteżnicę potencjałoacutew dV między tymi dwoma punktami pola czyli napięcie elektryczne U

q

E

q

WVU

potddd === (1019)

Jednostką napięcia (potencjału) jest 1 wolt 1V=1J1C czyli jest to napięcie między takimi punktami między ktoacuterymi przesunięcie ładunku 1C wymaga pracy 1J Potencjał pola elektrycznego jest związany z natężeniem pola elektrycznego zależnością

( )z

Vk

y

Vj

x

VizyxVE

d

d

d

d

d

dgrad

rrrr++=minus= (1020)

Roacuteżnicę potencjałoacutew Uab między punktami a i b możemy więc zapisać

int==b

a

ab xE(x)∆VU d (1021)

Dla pola elektrycznego wytworzonego przez punktowy ładunek Q poten-cjał pola w odległości r od tego ładunku wynosi

r

QV

04πε= (1022)

Warto podkreślić że potencjał pola elektrycznego jest wielkością skalarną i addytywną czyli potencjał wytwarzany przez układ ładunkoacutew jest sumą potencjałoacutew wytwarzanych przez każdy z ładunkoacutew w danym punkcie Powierzchnie stałego potencjału (powierzchnie ekwipotencjal-ne) są prostopadłe do linii sił pola

Wroacutećmy do przykładu dwoacutech ładunkoacutew o identycznej wartości znajdu-jących się w odległości D od siebie Pokazaliśmy już że jeśli ładunki są jednoimienne natężenie pola w połowie odległości między nimi jest

ROZDZIAŁ 10

Strona 168168168168

roacutewne zeru Jeśli jednak obliczymy potencjał w tym punkcie otrzymamy

2πε42πε4 00 D

Q

D

QV += (1023)

W przypadku dwoacutech ładunkoacutew roacuteżnoimiennych natężenie obliczone w połowie odległości między nimi wynosi dwukrotną wartość natężenia pochodzącego od pojedynczego ładunku Potencjał obliczony w tym samym punkcie jest roacutewny zeru

0=minus=2πε42πε4 00 D

Q

D

QV (1024)

W elektrostatyce często będziemy posługiwać się pojęciem roacuteżnicy potencjałoacutew pomiędzy dwoma punktami ndash roacuteżnica ta jest miarą pracy jaką należy wykonać przemieszczając ładunek między tymi punktami

105 Prawo Gaussa

Pokazaliśmy już że natężenie pola elektrycznego pochodzącego od wielu ładunkoacutew punktowych jest sumą wektorową natężeń pochodzą-cych od każdego z ładunkoacutew a w przypadku obiektoacutew naładowanych ciągłym rozkładem ładunku sumowanie zastępujemy całkowaniem Obliczenia takie bywają jednak często bardzo żmudne i wymagają dobrej znajomości zależności geometrycznych występujących w bada-nym układzie W wielu przypadkach znacznie prostszą metodą okazuje się skorzystanie z prawa Gaussa

Aby zapisać prawo Gaussa wprowadzimy najpierw wielkość zwaną stru-mieniem natężenia pola elektrycznego

Jeśli linie sił pola elektrycznego przecinają daną powierzchnię to strumień wektora natężenia pola elektrycznego jest zdefiniowany jako iloczyn skalarny wektora natężenia pola elektrycznego i wektora normalnego zewnętrznego do danej powierzchni o wartości roacutewnej polu tej powierzchni

αSESEΦ E cos=sdot=rr

(1025)

ELEKTROSTATYKA

Strona 169169169169

gdzie α oznacza kąt między wektorem normalnym do powierzchni a wektorem natężenia pola elektrycznego Widzimy że im większy kąt α tym mniejsza wartość strumienia Jeśli wektor natężenia jest skierowa-ny roacutewnolegle do powierzchni to strumień jest roacutewny zeru Jeżeli war-tość wektora natężenia przecinającego powierzchnię jest roacuteżna w roacuteż-nych jej punktach bądź roacuteżny jest kąt pomiędzy tym wektorem a powierzchnią w obliczaniu strumienia korzystamy z zależności całkowej

int sdot= SEΦ E

rrd (1026)

Na przykładzie ładunku punktowego zauważyliśmy że linie sił są rozmieszczone gęściej w pobliżu ładunku a rzadziej kiedy badamy pole w większej odległości od niego Gęstość rozmieszczenia linii odpowia-dająca wartości wektora natężenia zmienia się zatem z odległością Jednak całkowita liczba linii sił pola nie zmienia się chyba że w prze-strzeni umieścimy kolejny ładunek ktoacutery stałby się źroacutedłem pola Zatem całkowity strumień natężenia wytwarzany przez ładunek przechodzący przez powierzchnię zamkniętą wewnątrz ktoacuterej on się znajduje pozostaje stały Strumień nie zależy roacutewnież od kształtu przyjętej powierzchni Mierząc zależność pomiędzy strumieniem a wartością ładunku można sformułować prawo Gaussa

Strumień całkowity wektora natężenia pola przechodzący przez

dowolną powierzchnię zamkniętą pomnożony przez stałą 0ε jest

roacutewny sumie ładunkoacutew elektrycznych obejmowanych przez tę powierzchnię

0ε

QSE =sdotintrr

d (1027)

Prawo Gaussa choć jest wyrażone wzorem całkowym w wielu przypad-kach pozwala na szybkie obliczanie natężenia bez konieczności stosowa-nia rachunku całkowego Należy dobrać zamkniętą powierzchnię całko-wania w taki sposoacuteb aby wektor natężenia był stały w każdym jej punkcie i przecinał tę powierzchnię pod stałym kątem

Ładunek punktowy

Zastosujemy prawo Gaussa do wyznaczenia natężenia pola elektryczne-go wytwarzanego przez ładunek punktowy i poroacutewnamy z prawem Coulomba W przypadku ładunku punktowego jako powierzchnię zam-kniętą dla ktoacuterej będziemy liczyli strumień natężenia pola elektryczne-

ROZDZIAŁ 10

Strona 170170170170

go warto wybrać sferę z ładunkiem punktowym w środku (rysu-nek 105) Woacutewczas wartość natężenia pola elektrycznego w każdym jej punkcie będzie taka sama (rozkład linii pola elektrycznego wytworzo-nego przez ładunek punktowy jest symetryczny) oraz w każdym punkcie wektor natężenia pola elektrycznego będzie roacutewnoległy do wektora normalnego do powierzchni Woacutewczas iloczyn skalarny może być zastą-piony iloczynem obu wielkości a całka ze strumienia wektora natężenia pola elektrycznego będzie roacutewna iloczynowi wartości natężenia pola elektrycznego oraz powierzchni sfery

0

24ε

πQ

rE = (1028)

a po przekształceniach otrzymujemy wynik zgodny z prawem Coulomba

204 r

QE

πε= (1029)

W kolejnych przykładach zastosujemy prawo Gaussa do wyznaczenia natężenia pola elektrycznego wytworzonego przez kulę o promieniu R naładowaną ładunkiem Q wykonaną w pierwszym przypadku z prze-wodnika (metalu) natomiast w drugim z izolatora (dielektryka)

Rysunek 105 Powierzchnie zamknięte używane przy obliczaniu

natężenia pola elektrycznego z prawa Gaussa

Naładowana kula metalowa

Ładunki w metalu mogą się swobodnie przemieszczać W sytuacji więc gdy metalową kulę naładujemy jednoimiennym ładunkiem ładunki będą się odpychały i tak się rozmieszczą na powierzchni ciała żeby być jak najdalej od siebie W efekcie cały ładunek Q rozłoży się roacutewnomiernie

ELEKTROSTATYKA

Strona 171171171171

na powierzchni takiej kuli W tym przypadku roacutewnież warto wybrać powierzchnię Gaussa jako sferę wspoacutełśrodkową z naładowaną kulą (rysunek 105)

Jeśli promień takiej sfery Gaussa jest mniejszy od promienia kuli nasza sfera nie obejmie żadnego ładunku (cały ładunek jest na powierzchni) i woacutewczas zgodnie z prawem Gaussa natężenie pola elektrycznego będzie zerowe

RrSE lt=sdotint dla 0drr

(1030)

Wewnątrz każdej metalowej powierzchni zamkniętej niezależnie od zgromadzonego czy wyindukowanego na niej ładunku natężenie pola elektrycznego będzie zerowe Taka zamknięta powierzchnia nazywana jest puszką Faradayrsquoa Przykładami puszki Faradayrsquoa jest karoseria samochodu czy kadłub samolotu W obu przypadkach chronią one znajdujące się wewnątrz osoby przed skutkami wyładowań atmosferycz-nych ndash w przypadku trafienia przez piorun cały ładunek spływa po powierzchni Podobną funkcję pełnią metalizowane powłoki torebek antystatycznych do przechowywania elementoacutew elektronicznych

Rysunek 104 Wykres natężenia pola elektrycznego pochodzącego

od naładowanej kuli metalowej i kuli z dielektryka w funkcji odległości od środka kuli

Jeśli promień sfery Gaussa r jest większy lub roacutewny promieniowi R kuli (r ge R) woacutewczas obejmuje ona cały ładunek Q ktoacuterym naładowana jest kula Wektor natężenia pola elektrycznego jest w każdym punkcie takiej sfery stały i prostopadły do powierzchni zatem (podobnie jak dla ładunku punktowego) prawo Gaussa przyjmie postać

ROZDZIAŁ 10

Strona 172172172172

RrQ

rE ge= dla 0

2

επ4 (1031)

Obliczone w ten sposoacuteb natężenie pola elektrycznego daje wynik iden-tyczny jak w przypadku ładunku punktowego znajdującego się w środku kuli Oznacza to że na zewnątrz naładowanej kuli można ją traktować jako ładunek punktowy znajdujący się w środku tej kuli (rysunek 104)

Naładowana kula dielektryczna

W dielektrykach ładunek nie może się swobodnie przemieszczać i zakła-damy że jest rozłożony jednorodnie w całej objętości kuli z gęstością objętościową ρ Wybierzmy teraz sferę Gaussa wewnątrz kuli Ładunek obejmowany przez sferę jest proporcjonalny do jej objętości Natężenie pola elektrycznego obliczone z prawa Gaussa wyniesie

Rr

rE

r

rElt

=

= dla

0

0

3

2

3

3

4

4

ε

ρ

ε

ρππ

(1032)

Natężenie pola elektrycznego jest więc proporcjonalne do promienia sfery Gaussa (rysunek 104) Kiedy promień sfery Gaussa zroacutewna się z promieniem kuli obejmie ona całkowity ładunek na niej zgromadzony Przy dalszym zwiększaniu promienia sfery Gaussa będzie wzrastać jej powierzchnia ale nie ładunek ndash zatem natężenie na zewnątrz kuli będzie zmniejszać się w funkcji odległości Podobnie jak w przypadku kuli metalowej natężenie jest odwrotnie proporcjonalne do kwadratu odleg-łości a postać wzoru jest identyczna jak w przypadku kiedy całkowity ładunek znajdowałby się w samym środku kuli

Naładowany pręt

Stosując prawo Gaussa w łatwy sposoacuteb możemy obliczyć roacutewnież natę-żenie pola pochodzące od długiego naładowanego pręta Zakładając że pręt ten jest nieskończenie długi (zaniedbujemy efekty występujące na jego końcach) jako powierzchnię Gaussa możemy zastosować cylinder wspoacutełśrodkowy z prętem (rysunek 105) Na powierzchni bocznej cylin-dra natężenie ma w każdym punkcie identyczną wartość i jest do niej prostopadłe Wektor natężenia pochodzący od pręta nie posiada skła-dowej roacutewnoległej do pręta ponieważ dla każdego wybranego punktu

ELEKTROSTATYKA

Strona 173173173173

wpływ ładunkoacutew znajdujących się na przeciwległych wobec wybranego punktu fragmentach pręta znosi się Strumień wektora natężenia pola elektrycznego wynosi zero dla podstaw takiego walca gdyż wektor natężenia jest roacutewnoległy do powierzchni podstaw Przyjmując gęstość liniową ładunku na pręcie (ładunek przypadający na jednostkę długości pręta) jako λ otrzymujemy

0

0

επ2

λ

ε

λπ2

rE

LrLE

=

=

(1033)

Naładowana płaszczyzna

Dla płaszczyzny powierzchnią Gaussa może być dowolny prostopadło-ścian lub walec przecinający ją prostopadle (rysunek 105) Na ścian-kach bocznych strumień natężenia jest roacutewny zeru (wektor natężenia jest do nich roacutewnoległy) przy obliczaniu strumienia wektora natężenia pola elektrycznego bierzemy zatem pod uwagę jedynie powierzchnie pod-staw Przyjmując gęstość powierzchniową σ ładunku zgromadzonego na naładowanej płycie otrzymujemy

0ε

σ2

SSE = (1034)

Po obliczeniu natężenia pola elektrycznego pochodzącego od nieskoń-czenie dużej płyty okazuje się że jest ono niezależne od odległości od płyty

02ε

σ=E (1035)

Obliczenia te są słuszne dla płyty nieskończenie dużej ale prawdziwe bę-dą roacutewnież z dobrym przybliżeniem dla wyznaczania natężenia pola elektrycznego roacutewnież w niewielkiej odległości od płyty skończonej (dla odległości znacznie mniejszej od rozmiaru płyty)

ROZDZIAŁ 10

Strona 174174174174

106 Pojemność elektryczna przewodnika

Wyobraźmy sobie układ złożony z dwoacutech ciał Z jednego z nich pobiera-my małą porcję ładunku i przenosimy na drugie ciało W ten sposoacuteb na-ładowaliśmy oba ciała ładunkiem o identycznej wartości ale przeciw-nym znaku Między takimi ciałami powstaje woacutewczas roacuteżnica potencja-łoacutew (napięcie) Dalsze ładowanie takiego układu czyli dalsze przemiesz-czanie ładunkoacutew między ciałami wymagać będzie wykonania pracy na pokonanie roacuteżnicy potencjałoacutew

Roacuteżnica potencjałoacutew powstała między naładowanymi ciałami jest pro-

porcjonalna do wartości ładunku Q∆V prop Dla roacuteżnych układoacutew wytworzenie identycznej roacuteżnicy potencjałoacutew wymaga jednak przenie-sienia roacuteżnej ilości ładunku elektrycznego

Stosunek ładunku Q do roacuteżnicy potencjałoacutew ∆V (napięcia U) ktoacuterą wytwarza ten ładunek będziemy nazywali pojemnością C układu a sam układ kondensatorem

U

Q

∆V

QC == (1036)

Jednostką pojemności jest jeden Farad 1F=1CV W praktyce rzadko spotyka się kondensatory o tak dużej pojemności Warto zauważyć że właściwie każdy obiekt posiada jakąś wartość pojemności Prostym przykładem może być kondensator składający się z naładowanej kuli i Ziemi Wykazaliśmy już że natężenie oraz potencjał pola elektryczne-go na powierzchni kuli o promieniu R naładowanej ładunkiem Q wynoszą

R

QV

R

QE

0

20

4

4

πε

πε

=

=

(1037)

Ponieważ przyjmuje się że potencjał Ziemi wynosi 0 więc w wyniku naładowania kuli między nią a ziemią powstaje roacuteżnica potencjału V

ELEKTROSTATYKA

Strona 175175175175

Dzieląc ładunek Q zgromadzony na kuli przez roacuteżnicę potencjału V otrzymujemy pojemność kuli o promieniu R

RQ

RQC 0

0 44

πεπε

== (1038)

Podstawiając jako R promień Ziemi RZ otrzymamy pojemność elektrycz-ną Ziemi - C asymp 710 microF Żeby wyznaczyć rzeczywistą pojemność elek-tryczną Ziemi należy rozważyć układ Ziemia- jonosfera Pojemność elektryczna takiego układu jest znacznie większa niż wynika z powyż-szego uproszczonego modelu i szacuje się że jest rzędu pojedynczych Faradoacutew

Kondensatory

Pracę wykonaną na rozdzielenie ładunkoacutew elektrycznych na okładkach kondensatora możemy wykorzystać w procesie rozładowania kondensa-tora ndash urządzenie takie możemy zatem wykorzystać do gromadzenia energii w postaci ładunku elektrycznego Rozroacuteżniamy wiele typoacutew kondensatoroacutew Pierwotnie popularnym rozwiązaniem gromadzenia ła-dunku były tzw butelki lejdejskie ndash szklane cylindryczne pojemniki w ktoacuterych okładkami były warstwy folii metalowej znajdujące się wew-nątrz i na zewnątrz cylindra Obecnie często spotyka się kondensatory elektrolityczne w ktoacuterych jedną z okładek stanowi elektrolit przewodzą-cy ładunek w postaci jonoacutew Kondensatory tego typu pozwalają na uzys-kiwanie wysokich pojemności elektrycznych W urządzeniach elektro-nicznych spotykamy roacutewnież kondensatory nastawne zbudowane z dwoacutech układoacutew metalowych blaszek rozdzielonych szczeliną powietrz-ną Układy te mogą się przesuwać względem siebie Wsuwając jedne blaszki między drugie zmieniamy efektywną powierzchnię oraz odleg-łość między elektrodami a i w efekcie możemy płynnie regulować po-jemność takiego kondensatora

Kondensator płaski

Idealny kondensator płaski składa się z dwoacutech nieskończenie dużych płyt (tzw okładek) o powierzchni S ustawionych roacutewnolegle do siebie w odległości d ktoacutere ładujemy ładunkiem Q tzn na jednej z płyt gromadzimy ładunek bdquo+Qrdquo a na drugiej bdquo-Qrdquo Natężenie pola elektrycz-nego wytworzonego przez taki płaski kondensator możemy obliczyć korzystając z prawa Gaussa Jeśli obejmiemy obie okładki kondensatora zamkniętą walcową powierzchnią Gaussa (podobnie jak w przykładzie

ROZDZIAŁ 10

Strona 176176176176

z naładowaną płaszczyzną rysunek 105) zauważamy że całkowity ła-dunek objęty przez tę powierzchnię Gaussa wynosi zero a więc na zew-nątrz kondensatora natężenie pola elektrycznego roacutewnież wynosi zero W rzeczywistości kondensator płaski nie jest nieskończenie wielki i dlatego roacutewnież na zewnątrz kondensatora przy obrzeżach okładek ist-nieje pewne małe pole elektryczne ale jego wartość jest wielokrotnie mniejsza od natężenia wewnątrz i w obliczeniach możemy je zaniedbać W praktyce jeżeli odległość d między okładkami jest znacznie mniejsza od rozmiaroacutew liniowych okładek (dltlta dltltb S=ab) to z dobrym przybliżeniem taki kondensator można traktować jako nieskończony

Natężenie pola elektrycznego między okładkami będzie sumą natężeń pochodzących od każdej z nieskończenie wielkich okładek naładowa-nych ładunkiem Q Korzystając z wyznaczonej zależności 1031 oraz uwzględniając gęstość powierzchniową ładunku σ = QS otrzymujemy natężenie pola elektrycznego między okładkami kondensatora

S

QE

0000 εε

σ

ε2

σ

ε2

σ==+= (1039)

Następnie wstawiając powyższe natężenie pola elektrycznego do zależ-ności 1020 obliczymy roacuteżnicę potencjałoacutew między okładkami

S

dQx

S

QxE∆V

d

0

d

0 00 εε=== intint dd (1040)

Pojemność C kondensatora płaskiego o powierzchni okładek S oraz od-ległości między okładkami d wynosić więc będzie

d

SC 0ε= (1041)

Pojemność kondensatora płaskiego jest tym większa im większa jest jego powierzchnia okładek S oraz im mniejsza jest odległość d między nimi

W tak zwanych super-kondensatorach wykorzystywanych w napędzie pojazdoacutew hybrydowych i elektrycznych odległość pomiędzy obszarami naładowanymi ładunkiem dodatnim i ujemnym jest bardzo mała ndash rzędu promienia jonoacutew ktoacutere są nośnikami ładunku Pozwala to na uzyskiwa-nie bardzo wysokich wartości pojemności elektrycznej co jest niezbędne do zmagazynowania energii odzyskiwanej w trakcie hamowania pojazdu

ELEKTROSTATYKA

Strona 177177177177

Łączenie kondensatoroacutew

Kondensator możemy naładować jedynie do określonego napięcia pomiędzy okładkami nazywanego napięciem przebicia Dla wyższych wartości napięcia następuje lawinowy przepływ ładunku pomiędzy okładkami ktoacutery może prowadzić do uszkodzenia kondensatora Zwięk-szenie napięcia przebicia możemy uzyskać łącząc kondensatory szere-gowo ndash układ taki nazywamy roacutewnież dzielnikiem napięcia

Chcąc zwiększyć pojemność układu kondensatory łączymy roacutewnolegle ndash przy identycznej wartości napięcia możemy zgromadzić w takim układzie większy ładunek niż na pojedynczym kondensatorze

Połączenie szeregowe

Jeżeli połączymy dwa kondensatory szeregowo to na okładkach obu kondensatoroacutew zgromadzony będzie ten sam ładunek Q przy czym okładka naładowana znakiem bdquo+rdquo jednego kondensatora jest połączona z okładką naładowaną znakiem bdquo-rdquo drugiego z nich Całkowita roacuteżnica potencjałoacutew występująca pomiędzy zaciskami układu jest sumą napięć na obu kondensatorach Pojemność kondensatora zastępczego (konden-satora dla ktoacuterego przy danym ładunku na zaciskach wytworzyłaby się identyczna roacuteżnica potencjałoacutew jak na zaciskach całego układu) dla szeregowego połączenia kondensatoroacutew wyraża się wzorem

sum=i iZ CC

11 (1042)

Jeśli połączymy ze sobą szeregowo dwa kondensatory o pojemności C=2mF każdy to pojemność zastępcza układu obliczona ze wzoru 1038 wyniesie CZ=1mF ndash jest zatem mniejsza niż pojemność każdego z kondensatoroacutew

Połączenie roacutewnoległe

Łącząc kondensatory roacutewnolegle ustalamy identyczną wartość roacuteżnicy potencjałoacutew między okładkami Ponieważ na każdym z kondensatoroacutew możemy przy danym napięciu zgromadzić inny ładunek całkowity ładunek zgromadzony w takim połączeniu będzie sumą ładunkoacutew na okładkach każdego z kondensatoroacutew Pojemność zastępcza układu roacutewnolegle połączonych kondensatoroacutew jest sumą pojemności tych kondensatoroacutew

ROZDZIAŁ 10

Strona 178178178178

sum=i

iZ CC (1043)

Roacutewnoległe połączenie kondensatoroacutew można wyobrazić sobie roacutewnież jako zwiększenie powierzchni okładek pojedynczego kondensatora ndash zatem przy identycznym napięciu można na nim zgromadzić więcej ładunku

Energia naładowanego kondensatora

Definiując roacuteżnicę potencjałoacutew (napięcie) we wcześniejszej części tego rozdziału powiedzieliśmy że roacuteżnica potencjałoacutew ∆V wyraża pracę W jaką należy wykonać żeby przemieścić ładunek Q w polu elektrycznym

U∆VQ

W== (1044)

W procesie ładowania kondensatora roacuteżnica potencjałoacutew między okład-kami zmienia wraz z wartością zgromadzonego ładunku Dlatego obli-czając całkowitą pracę naładowania kondensatora WC o pojemności C ładunkiem Q musimy zastosować procedurę całkowania

2

QU

2

CU

C2

QE

C2

Qqq

C

1q

C

qqUW

22

C

2Q

0

Q

0

Q

0

===

==== intintint dddC

(1045)

Energia takiego naładowanego kondensatora EC czyli energia zgroma-dzona w postaci pola elektrycznego wytworzonego między okładkami tego kondensatora jest roacutewna pracy WC naładowania tego kondensatora Możemy roacutewnież obliczyć gęstość energii na jednostkę objętości

2

ε

2

ε

200

2

2

222

el E

Sd

dES

Sd

1CU

V

Wρ ==== (1046)

Gęstość energii pola elektrycznego dla kondensatora płaskiego zależy od kwadratu natężenia pola elektrycznego wytworzonego między jego okładkami Można wykazać że taką samą zależność gęstości energii od kwadratu natężenia pola elektrycznego otrzymamy nie tylko dla konden-

ELEKTROSTATYKA

Strona 179179179179

satora płaskiego i że jest to zależność prawdziwa dla dowolnego rozkła-du pola elektrycznego

107 Dielektryki

Jeśli okładki kondensatora płaskiego naładujemy ładunkiem Q ustali się

między nimi roacuteżnica potencjałoacutew CQU∆V =equiv Jeśli pomiędzy okładki wsuniemy płaską ściśle przylegającą do nich płytkę z nieprze-wodzącego materiału (dielektryka) zauważymy że roacuteżnica potencjałoacutew zmniejszy się mimo że ładunek pozostał identyczny a więc po włożeniu płytki pojemność kondensatora wzrosła

Polaryzacja dielektryczna

Wyjaśnienie obserwowanego efektu wiąże się z właściwościami elek-trycznymi materiału jaki umieszczamy między okładkami Dielektryki są materiałami nieprzewodzącymi czyli w przeciwieństwie do metali ładunek nie może się swobodnie przemieszczać w całej objętości Może natomiast dochodzić do zjawisk polaryzacji ndash rozsunięcia się ładunkoacutew dodatnich i ujemnych i wytworzenia dipoli elektrycznych gdyż na ła-dunki dodatnie działa siła zgodna a na ujemne przeciwnie skierowana niż pole elektryczne W efekcie dipole takie ułożone są zgodnie z kie-runkiem pola elektrycznego w ktoacuterym się znajdują i wytwarzają własne pole elektryczne ndash jego kierunek jest przeciwny do kierunku zewnętrzne-go pola elektrycznego Wypadkowe natężenie pola elektrycznego mię-dzy okładkami kondensatora po włożeniu dielektryka będzie więc mniej-sze niż dla kondensatora proacuteżniowego Ponieważ roacuteżnica potencjałoacutew czyli napięcie między okładkami kondensatora jest proporcjonalna do natężenia pola wewnątrz kondensatora w takim przypadku otrzymujemy mniejsze napięcie na kondensatorze i w efekcie większą pojemność przy ładowaniu kondensatora tym samym ładunkiem

Efekty polaryzacyjne opisane powyżej jakim podlegają ładunki w die-lektryku są jego charakterystyczną cechą materiałową Względna przeni-kalność elektryczna ε określa ile razy w poroacutewnaniu z proacuteżnią zmniej-szy się natężenie pola elektrycznego w dielektryku Dla proacuteżni wartość względnej przenikalności dielektrycznej roacutewna jest jedności ε=1 Jeśli

ROZDZIAŁ 10

Strona 180180180180

między okładkami kondensatora umieścimy płytkę z dielektryka o względnej przenikalności roacutewnej ε to jego pojemność wzrośnie ε razy

Efektywną wartość pola elektrycznego w dielektryku opisuje wektor

indukcji pola elektrycznego EεDrr

0ε= Efekty polaryzacyjne zacho-

dzącego w dielektryku na skutek zewnętrznego pola elektrycznego Er

opisuje wektor polaryzacji Pr

Indukcja pola elektrycznego Dr

czyli wypadkowe pole elektryczne jest złożeniem wpływu pola zewnętrznego

Er

oraz polaryzacji Pr

co zapisujemy

PEEεDrrrr

+== 00 εε (1047)

Z powyższej zależności wynika że polaryzacja P jest zależna od zew-nętrznego pola elektrycznego E a wspoacutełczynnik proporcjonalności nazywamy podatnością elektryczną χ

EχE1)(εE)ε(Prrrr

0000 εεεε =minus=minus= (1048)

Uwzględniając właściwości dielektryczne materii prawo Gaussa w uogoacutelnionej postaci dla dielektrykoacutew możemy przedstawić w postaci

qSdD =sdotintrr

(1049)

Możemy w tym miejscu wprowadzić rozroacuteżnienie pomiędzy ładunkiem swobodnym q (ładunkiem ktoacutery może swobodnie się przemieszczać) a ładunkiem związanym qpol ndash powstającym w wyniku polaryzacji na powierzchni dielektryka Dzieląc obie strony roacutewnania 1045 przez powierzchnię możemy powiązać wektor indukcji D z powierzchniową gęstością ładunku swobodnego q zgromadzonego na okładkach konden-

satora wypełnionego dielektrykiem σD = Analogicznie wartość wektora polaryzacji P jest miarą gęstości ładunku związanego

polσP =

Dipol elektryczny charakteryzuje elektryczny moment dipolowy p Jest to wielkość wektorowa wyrażona przez iloczyn ładunku dipola q

i wektora odległości lr

od ładunku ujemnego do dodatniego

lrr

qp = (1050)

Na dipol znajdujący się w jednorodnym polu elektrycznym o natężeniu E działać będzie moment sił obracający dipol tak aby ustawił się zgodnie

ELEKTROSTATYKA

Strona 181181181181

z kierunkiem zewnętrznego pola elektrycznego Moment ten wyrażamy przez iloczyn wektorowy momentu dipolowego i wektora natężenia pola elektrycznego

EpMrrr

times= (1051)

Rysunek 106 Moment sił działających na dipol w zewnętrznym polu

elektrycznym

Podobnie jak wartość wektora polaryzacji P zależy od natężenia pola elektrycznego E w ktoacuterym znajduje się dielektryk roacutewnież elektryczny moment dipolowy charakteryzujący pojedynczy dipol jest wprost pro-porcjonalny do natężenia pola elektrycznego E

Eprr

α= (1052)

Wspoacutełczynnik α w powyższym wzorze jest nazywany polaryzowalnością dipola Dipol elektryczny roacutewnież jest źroacutedłem pola elektrycznego W materiałach dielektrycznych takie pole pochodzące od sąsiadujących dipoli tzw pole lokalne jest silniejsze niż pole zewnętrzne Całkowite lokalne natężenie pola jakiemu podlegać będzie dielektryk uwzględniać więc musi zaroacutewno zewnętrzne pole E jak i pole pochodzące od otocze-nia danego atomu

03ε

PEE L

rrr

+= (1053)

ROZDZIAŁ 10

Strona 182182182182

Ponieważ wektor polaryzacji jest sumą momentoacutew dipolowych pocho-dzących od wszystkich N dipoli znajdujących się w jednostce objętości materiału polaryzację całkowitą możemy zapisać

LENpNPrrr

α== (1054)

Przekształcając powyższą zależność otrzymujemy prawo Clausiusa ndash Mosottiego ktoacutere określa związek między polaryzowalnością α a względną przenikalnością elektryczną ośrodka ε

03ε2ε

1ε αN=

+

minus (1055)

Wymnażając obie strony przez objętość molową dielektryka Vm oraz

uwzględniając ρmicro=mV otrzymujemy zależność polaryzowalnością α (wielkością mikroskopową) a parametrami mierzalnymi makroskopowy-mi takimi jak gęstość materiału ρ czy masa molowa micro

micro0

A

3ε

N

2ε

1ε α=

+

minus

ρ

1 (1056)

gdzie NA oznacza stałą Avogadra

Rodzaje dielektrykoacutew

Dielektryki możemy podzielić na dwie zasadnicze grupy

1 dielektryki polarne w ktoacuterych istnieją stałe dipole elektryczne

2 dielektryki niepolarne (indukowane) w ktoacuterych dipole powstają jedynie przy włączonym zewnętrznym polu elektrycznym

Przykładem dielektryka polarnego jest woda Cząsteczki wody zbudo-wane są tak że na atomach wodoru występuje niedoboacuter elektronoacutew a na atomach tlenu nadmiar elektronoacutew Ponieważ oba atomy wodoru geome-trycznie znajdują się po tej samej stronie atomu tlenu ładunek dodatni związany z atomami wodoru nie pokrywa się z ładunkiem ujemnym związanym z atomami tlenu tworząc trwały dipol elektryczny

W dielektrykach niepolarnych polaryzacja zachodzi pod wpływem zew-nętrznego pola elektrycznego Powoduje ono przemieszczenie się ładun-koacutew roacuteżnoimiennych względem siebie pod wpływem zewnętrznego pola

ELEKTROSTATYKA

Strona 183183183183

elektrycznego na skutek czego indukują się dipole elektryczne Można wyroacuteżnić trzy typy takiej polaryzacji

bull polaryzacja elektronowa dipol elektryczny powstaje w wy-niku zniekształcenia chmury elektronowej wokoacuteł jądra ndash na elektrony znajdujące się na orbicie wokoacuteł jądra oddziałuje zewnętrzne pole siłą o przeciwnym zwrocie niż na dodatnie jądro atomowe

bull polaryzacja jonowa występuje w substancjach o wiązaniu jonowym (np NaCl) ktoacutere zbudowane są z dwu rodzajoacutew jonoacutew Dochodzi do wzajemnego przesunięcia podsieci kationowej (Na+) i anionowej (Cl )

bull polaryzacja ładunkiem przestrzennym nośniki ładunku ndashna-ładowane elektrycznie atomy (jony) gromadzą się na niejed-norodnościach ośrodka np na granicach obszaroacutew o roacuteżnej wartości przenikalności dielektrycznej

Ferroelektryki

Ferroelektryki są ciekawą grupą materiałoacutew w ktoacuterych lokalne oddziały-wania między dipolami są na tyle silne że tworzą uporządkowane struk-tury Oddziaływania sąsiadoacutew danego dipola ustawiają dipol zgodnie z tymi sąsiadami Ustawienie przeciwne jest niekorzystne energetycznie Dochodzi w efekcie do powstanie dużych obszaroacutew w ktoacuterych wszyst-kie dipole są ustawione w jednakowym kierunku zwanych domenami Dipole znajdujące się wewnątrz domen osiągają minimum energii Przykładem ferroelektryka jest tytanian baru BaTiO3

Można by sądzić że najkorzystniejszym ustawieniem dipoli będzie wo-bec tego jedna wielka domena obejmująca całą objętość ferroelektryka Taka domena wytwarzałaby jednak silne pole elektryczne na zewnątrz materiału co roacutewnież byłoby niekorzystne energetycznie W praktyce dochodzi do podziału materiału na wiele domen o roacuteżnych kierunkach zorientowania dipoli W strefie dzielącej domeny zwrot dipoli ulega stopniowej zmianie od jednej orientacji do drugiej ndash obszar taki nazywa-my ścianką domenową

Załoacuteżmy że ferroelektryk znajduje się w stanie w ktoacuterym elektryczne momenty dipolowe domen ułożone są w przypadkowy sposoacuteb Jeśli taki fragment ferroelektryka umieścimy w zewnętrznym polu elektrycznym pole to będzie oddziaływało na dipole powodując ich obracanie Prowa-dzi to do uporządkowania struktury domenowej Porządkowanie domen powoduje szybki wzrost wartości polaryzacji elektrycznej P w funkcji

ROZDZIAŁ 10

Strona 184184184184

natężenia pola zewnętrznego E Dla ferroelektrykoacutew względna przeni-kalność dielektryczna osiąga wartości rzędu tysięcy Wykres polaryzacji elektrycznej w funkcji natężenia pola elektrycznego (rysunek 106) nazywany roacutewnież pierwotną krzywą polaryzacji nie jest jednak liniowy ndash jeśli wszystkie dipole ustawią się zgodnie z liniami sił pola dalszy wzrost wartości natężenia pola zewnętrznego nie zmieni już ich uporząd-kowania Dalszy wzrost natężenia prowadzi jedynie do wzrostu wartości wektora indukcji a wektor polaryzacji pozostaje już stały Stan w ktoacuterym wszystkie dipole są ustawione roacutewnolegle do linii pola zew-nętrznego nazywamy stanem nasycenia

Rysunek 107 Wykres zależności polaryzacji od natężenia

zewnętrznego pola dla ferroelektryka

Przy zmniejszaniu natężenia wykres polaryzacji nie przebiega wzdłuż krzywej polaryzacji pierwotnej Uprzednio spolaryzowany ferroelektryk zachowuje częściowo polaryzację nawet po wyłączeniu pola zewnętrzne-go co określamy jako remanencję (jest to punkt przecięcia krzywej z osią pionową) Aby zmniejszyć polaryzację materiału do zera należy przyłożyć pole zewnętrzne skierowane przeciwnie do pola ktoacuterym spo-laryzowano ferroelektryk Wartość natężenia pola niezbędną do depola-ryzacji materiału nazywamy polem koercji Na wykresie polaryzacji wartość ta odpowiada przecięciu z osią poziomą Jeśli wartość natężenie pola elektrycznego będzie większa niż wartość pola koercji materiał spolaryzuje się w przeciwnym kierunku Nastąpi ponowne utworzenie struktury domenowej z dipolami o przeciwnym zwrocie

ELEKTROSTATYKA

Strona 185185185185

W wyniku cyklicznych zmian kierunku pola zewnętrznego otrzymujemy wykres pewnej krzywej zamkniętej zwanej pętlą histerezy Pole takiej pętli histerezy odpowiada energii ktoacuterą należy zużyć na spolaryzowanie ferroelektryka w jednym cyklu W zależności od właściwości ferroelek-tryka i maksymalnych wartości przyłożonego pola zewnętrznego pętla histerezy może przybierać roacuteżny kształt Materiały o wąskiej pętli histe-rezy łatwo jest spolaryzować Materiały takie mogą być stosowane w pa-mięciach ferroelektrycznych (FRAM) Pamięci tego typu są znacząco szybsze niż ich odpowiedniki typu EEPROM zużywają roacutewnież znaczą-co mniej energii elektrycznej Pamięci tego typu są stosowane min w konsolach do gier Polaryzacja materiałoacutew o szerokiej pętli histerezy wymaga dużych wartości natężenia pola Zapisanie informacji wymaga dłuższego czasu i zużycia większej ilości energii Informacja jest jednak zapisana w bardziej trwały sposoacuteb Pamięci tego typu są stosowane np w technice wojskowej a często roacutewnież motoryzacyjnej

Właściwości ferroelektryczne zależą w znaczący sposoacuteb od temperatury w ktoacuterej znajduje się materiał Rozszerzanie się ciał powoduje że odleg-łości między dipolami zwiększają się Ponieważ pole elektryczne wytwarzane przez dipol zależy od odległości w potędze 3 nawet nie-wielka jej zmiana ma duży wpływ na siły wzajemnego oddziaływania di-poli Drgania termiczne prowadzą roacutewnież do zmiany ustawienia po-szczegoacutelnych dipoli zmniejszając zatem uporządkowanie wewnątrz do-meny Z tego względu powyżej pewnej temperatury zwanej temperaturą Curie Tc następuje stopniowy zanik uporządkowania a materiał z ferro-elektryka przechodzi w paraelektryk Powyżej temperatury Curie zależ-ność temperaturowa podatności elektrycznej χ ferroelektrykoacutew wyrażona jest przez prawo Curie ndash Weissa

C

C

T

C

minus=

Tχ (1057)

W prawie Curie-Weissa stała Curie CC jest charakterystyczną cechą danego ferroelektryka

Piezoelektryki

W pewnej grupie materiałoacutew określanych jako piezoelektryki obserwu-je się zjawisko powstawania ładunku elektrycznego na ich powierzchni pod wpływem siły przyłożonej wzdłuż określonego kierunku krystalo-graficznego Oproacutecz takiego tzw efektu piezoelektrycznego prostego obserwuje się roacutewnież zjawisko odwrotne w ktoacuterym pod wpływem przyłożonego napięcia kryształ zmienia swoje wymiary

ROZDZIAŁ 10

Strona 186186186186

Wszystkie ferroelektryki są roacutewnież piezoelektrykami- ale nie wszystkie piezoelektryki są ferroelektrykami Zjawisko piezoelektryczne może roacutewnież występować w materiałach w ktoacuterych strukturze krystalicznej występują naprzemiennie atomy obdarzone ładunkiem dodatnim (katio-ny) i ujemnym (aniony) Taki kryształ nie poddany działaniu ciśnienia jest obojętny elektrycznie zaroacutewno w skali makroskopowej jak i lokalnie a jony znajdują się w położeniach roacutewnowagi określonych przez kształt pola sił ich wzajemnych oddziaływań Kiedy do powierzchni kryształu przyłożymy ciśnienie wzajemne położenie ładunkoacutew zmienia się pow-stają dipole elektryczne ktoacutere wytwarzają pole elektryczne tak że na przeciwległych powierzchniach kryształu wyznaczonych przez kierunek ściskania indukują się ładunki Ładunek ten jest wprost proporcjonalny do wytworzonego ciśnienia

W zjawisku piezoelektrycznym odwrotnym przyłożone napięcie wytwa-rza pole elektryczne ktoacutere wywołuje rozsunięcie ładunkoacutew dodatnich i ujemnych a więc kationoacutew i anionoacutew w strukturze tego kryształu po-wodując zmianę długości tego materiału w tym kierunku

Typowym piezoelektrykiem jest kwarc czyli tlenek krzemu tytanian ołowiu wspomniany już przy okazji ferroelektryczności tytanian baru czy niektoacutere tworzywa sztuczne (polimery) Piezoelektryki są stosowane wszędzie tam gdzie zachodzi potrzeba przetworzenia sygnału elektrycz-nego na mechaniczny Zakres wydłużenia piezoelektryka jest niewielki ale można nim bardzo precyzyjnie sterować Piezoelektryki można za-tem wykorzystywać w układach dokładnego pozycjonowania lub prze-twornikach drgań Czujniki piezoelektryczne można stosować w pomia-rach dynamicznych naprężeń i odkształceń Zaletą piezoelektrykoacutew jest duża szybkość reakcji piezoelektryka na sygnał elektryczny Elementy piezoelektryczne wykorzystywane są w głowicach ultradźwiękowych i defektoskopach echosondach oraz aparatach USG W motoryzacji zawory piezoelektryczne stosuje się w układach wtrysku paliwa

11 Prąd elektryczny

W tym rozdziale

o Natężenie prądu elektrycznego o Prawo Ohma mikroskopowe prawo Ohma o Oporniki łączenie opornikoacutew o Praca i moc prądu elektrycznego o Obwody elektryczne prawa Kirchhoffa

ROZDZIAŁ 11

Strona 188188188188

111 Natężenie prądu elektrycznego

Prąd elektryczny jest uporządkowanym ruchem ładunkoacutew elektrycznych Może być wywołany i obserwowany w tych materiałach w ktoacuterych istnieją swobodne cząstki obdarzone ładunkiem elektrycznym tzw nośniki ładunku W metalach nośnikami są swobodne elektrony walen-cyjne tworzące tzw gaz elektronoacutew swobodnych W poacutełprzewodnikach takimi nośnikami ładunku są zaroacutewno elektrony jak i dziury (posiadające ładunek dodatni) W materiałach ciekłych roztworach kwasoacutew zasad lub soli nazywanych elektrolitami a także niektoacuterych materiałach sta-łych (bdquoprzewodniki superjonowerdquo) ruchliwymi nośnikami ładunku są jo-ny zaroacutewno dodatnie jak i ujemne

Przyłożenie do takiego przewodnika napięcia (roacuteżnicy potencjałoacutew) po-woduje powstanie pola elektrycznego ktoacutere będzie oddziaływać na nośniki ładunku wywołując ich uporządkowany ruch nazywamy prądem elektrycznym Należy zaznaczyć że w przypadku elektronoacutew ten upo-rządkowany ruch jest nałożony na o wiele szybszy chaotyczny ruch cieplny nośnikoacutew Prędkość termiczna elektronoacutew pomiędzy zderzenia-mi jest bardzo duża rzędu 106ms Przemieszczenie elektronoacutew pod wpływem przyłożonego pola czyli tak zwana prędkość dryfu jest nato-miast niewielka i wynosi około vd~10-4ms

Ilościowo prąd charakteryzujemy za pomocą natężenia prądu

Natężenie prądu I jest to ilość ładunku Q przepływającego przez dowolny przekroacutej przewodnika w ciągu jednostki czasu t Dla prądu stałego natężenie prądu I jest wyrażone stosunkiem ładunku ktoacutery przepłynął do czasu przepływu

t

QI = (111)

Jednostką natężenia prądu jest jeden amper 1A=1Cs Dla prądu zmien-nego chwilowa wartość natężenia prądu definiowana jest jako pochodna ładunku po czasie

PRĄD ELEKTRYCZNY

Strona 189189189189

( ) ( )t

tQtI

d

d= (112)

Kierunek przepływu prądu jest zgodny z kierunkiem ruchu ładunku do-datniego Zatem w przypadku przepływu elektronoacutew i jonoacutew ujemnych umowny kierunek prądu jest odwrotny niż kierunek poruszania się tych nośnikoacutew ładunku

Istnieją przypadki gdy prąd nie jest roacutewnomiernie rozłożony na przekro-ju przewodnika Wtedy możemy wprowadzić wektor gęstości prądu

jr

taki że

)dcos(ddd SjSjSjIrrrr

=sdot= (113)

Wektor gęstości prądu jr

jest w tym przypadku funkcją wspoacutełrzędnych a dS jest elementem powierzchni przekroju przewodnika W szczegoacutel-nym przypadku roacutewnomiernego rozkładu gęstości prądu

perp

==S

I

αS

Ij

cos

r

(114)

gdzie α oznacza kąt pomiędzy kierunkiem przepływu prądu a wybraną

płaszczyzną zaś perpS - polem powierzchni prostopadłej do kierunku przepływu prądu

112 Prawo Ohma

Stwierdziliśmy że przyczyną powstania prądu w przewodniku jest przy-łożenie napięcia do końcoacutew przewodnika Jak pokazują doświadczenia dla dużej grupy przewodnikoacutew (metale stopy metali związki intermeta-liczne jednorodne poacutełprzewodniki) natężenie prądu jest wprost propor-cjonalne do napięcia co określamy jako prawo Ohma

Stosunek napięcia na końcach przewodnika do natężenia prądu wywołanego tym napięciem jest wielkością stałą i charakte-rystyczną dla danego przewodnika Wielkość ta zależy zaroacutewno od kształtu przewodnika jak i materiału z ktoacuterego jest wyko-nany i nazywana jest oporem elektrycznym lub rezystancją

ROZDZIAŁ 11

Strona 190190190190

const== RI

U (115)

Jednostką oporu elektrycznego jest om (Ohm) 1Ω=1VA i jest rezystan-cją takiego przewodnika dla ktoacuterego napięcie 1V przyłożone do jego końcoacutew wywołuje powstanie prądu o natężeniu 1A Rezystancja R zale-ży od kształtu przewodnika jest wprost proporcjonalna do jego długości l i odwrotnie proporcjonalne do pola przekroju S

S

ρRl

= (116)

Wspoacutełczynnik proporcjonalności zapisany grecką literą ρ (bdquorordquo) oznacza oporność właściwą ktoacutera jest cechą charakterystyczną materiału z ktoacutere-go zbudowany jest przewodnik Odwrotność rezystancji nazywamy prze-

wodnością elektryczną i oznaczamy symbolem σ (bdquosigmardquo) ρ

σ1

=

Wartości oporności właściwej dla metali sięga od 10-5 do 10-7Ωm oraz powyżej 1015Ωm dla izolatoroacutew Poacutełprzewodniki charakteryzują się pośrednimi wartościami oporności właściwej

Opoacuter elektryczny i oporność właściwa metali w dość szerokim zakresie temperatur wzrasta liniowo z temperaturą

)(1 tαRR 0 += (117)

gdzie α jest temperaturowym wspoacutełczynnikiem oporu zaś t jest tempera-turą wyrażoną w skali Celsjusza Powyższa zależność opisuje własność metali na tyle precyzyjnie że stała się ona podstawą budowy czujnikoacutew termometrycznych Przykładem są platynowe czujniki temperatury typu Pt100 i Pt1000 stosowane roacutewnież w motoryzacji Mierząc prąd płynący przez czujnik jesteśmy w stanie z dużą dokładnością określić jego temperaturę

Mikroskopowe prawo Ohma

Jak dotąd sformułowaliśmy prawo Ohma dotyczące makroskopowego przewodnika w ktoacuterym płynie prąd Połączmy prawo Ohma (roacutewna-nie 115) z zależnością oporu elektrycznego od kształtu przewodnika (roacutewnanie 116) i przekształćmy odpowiednio

PRĄD ELEKTRYCZNY

Strona 191191191191

l

σU

S

I= (118)

co następnie możemy zapisać wektorowo jako tzw mikroskopowe pra-wo Ohma ktoacutere jest roacutewnaniem dotyczącym dowolnie wybranego punk-tu ośrodka przewodzącego

Ejrr

σ= (119)

Jeśli w wybranym punkcie ośrodka przewodzącego natężenie pola elektrycznego ma wartość E to w otoczeniu tego punktu wektor gęstości prądu ma wartość wprost proporcjonalną do wektora natężenia pola ze wspoacutełczynnikiem proporcjonalności roacutewnym przewodności elektrycznej materiału

Rozważmy teraz mikroskopowy sens wektora gęstości prądu wynikający z uproszczonej definicji tego pojęcia (podobnie definiuje się w fizyce strumień ciepła czy masy)

∆S∆t

∆Q

∆S

∆Ij == (1110)

Wektor gęstości prądu oznacza strumień ładunku elektrycznego tzn ilość ładunku ∆Q ktoacutera przechodzi przez jednostkę powierzchni prostopadłej ∆S na jednostkę czasu ∆t Jeżeli w jednostce objętości materiału przewodnika metalicznego znajduje się n swobodnych elektro-noacutew to koncentracja elektronoacutew (ogoacutelnie nośnikoacutew ładunku) wynosi n Jeśli wszystkie nośniki poruszają się ruchem uporządkowanym z pręd-kością unoszenia (prędkością dryfu) vd wzdłuż kierunku wyznaczonego przez pole elektryczne to strumień nośnikoacutew ładunku jest roacutewny nvd a odpowiadający mu strumień ładunku elektrycznego przenoszonego przez elektrony (-e) wynosi

dnej vminus= (1111)

W ogoacutelnym przypadku nośnikoacutew o ładunku q strumień ładunku elek-trycznego i gęstość prądu wynosi

dnqj v= (1112)

Jeżeli poroacutewnamy powyższy wzoacuter 1112 z mikroskopowym prawem

Ohma ( Eσj = ) okazuje się że ktoacuteraś z wielkości n q lub vd musi być proporcjonalna do natężenia pola elektrycznego E Ponieważ ani

ROZDZIAŁ 11

Strona 192192192192

koncentracja nośnikoacutew n ani ładunek nośnika q nie jest proporcjonalna do natężenia pola elektrycznego E więc to prędkość vd unoszenia (dryfu) wywoływana przez pole elektryczne jest proporcjonalna do natężenia pola elektrycznego E

Ed micro=v (1113)

gdzie wspoacutełczynnik proporcjonalności micro nazywany jest ruchliwością nośnikoacutew ktoacutera jest cechą charakterystyczną materiału przewodnika Wstawiając roacutewnanie 1113 do 1112 otrzymujemy

Enqj micro= (1114)

a poroacutewnując powyższą zależność z mikroskopowym prawem Ohma (wzoacuter 119) otrzymujemy że przewodność materiału σ zależy od kon-centracji nośnikoacutew n ich ładunku q oraz ruchliwości micro

micronqσ = (1115)

Model klasyczny Drudego-Lorentza przewodnictwa elektrycznego metali

Podstawowym modelem przewodnictwa elektrycznego w metalach jest tzw model klasyczny Drudego-Lorentza Model ten traktuje elektrony jako cząsteczki gazu idealnego Ruch elektronoacutew może być zobrazowa-ny mechanicznym modelem kulki staczającej się po pochylonej tablicy z roacutewnomiernie przymocowanymi kołkami Kulka staczając się po roacutewni zderza się z kołkami i przy każdym takim zderzeniu zmienia się zaroacutewno kierunek jak i wartości jej pędu Jeśli policzylibyśmy średnią prędkość tej kulki wzdłuż krawędzi tablicy to okazałoby się że jest ona stała (zderzenia kompensują stałą siłę grawitacji) i wielokrotnie niższa niż prędkości jakie posiada kulka pomiędzy zderzeniami Podobnie elektro-ny swobodne w metalu tworzące tzw gaz elektronowy zderzają się z do-datnimi rdzeniami atomowymi tracąc część energii jaką otrzymały w po-lu elektrycznym zmieniając za każdym razem zaroacutewno wartość jak i kierunek pędu W efekcie prędkość dryfu jest stała i wielokrotnie mniejsza niż chwilowe prędkości między zderzeniami Średnia wartość tej prędkości może być wyznaczona jako frac12 prędkości uzyskanej w wy-niku przyspieszania elektronoacutew przez zewnętrzne pole elektryczne

( meEmFa == ) w czasie τ

PRĄD ELEKTRYCZNY

Strona 193193193193

mEead 22 τ== τv (1116)

gdzie τ jest średnim czasem między zderzeniami i zależy od średniej

drogi swobodnej λ oraz średniej prędkości termicznej Tv elektronoacutew (

T vλτ = ) Ruchliwość elektronoacutew roacutewna stosunkowi prędkości dry-

fu do natężenia pola elektrycznego wywołującego unoszenie w modelu Drudego-Lorentza można więc zapisać

T

d

m

e

E v

v

2

λmicro == (1117)

Ponieważ prędkość termiczna elektronoacutew jest proporcjonalna do pier-wiastka z temperatury więc przewodność (zależność 1115) w modelu Drudego-Lorentza jest odwrotnie proporcjonalna do pierwiastka

z temperatury T1propσ podczas gdy z wynikoacutew eksperymentoacutew

wynika T1propσ Model zjawiska oporu elektrycznego odtwarzający prawidłowo zależność temperaturową przewodności udało się stworzyć dopiero posługując się regułami mechaniki kwantowej W kwantowym modelu Blocha rozważa się rozpraszanie elektronoacutew na niedoskonałoś-ciach sieci krystalicznej np na atomach domieszki lub defektach struk-tury Drugim ważnym czynnikiem wpływającym na ruch elektronoacutew są drgania termiczne sieci krystalicznej Rozpraszanie elektronoacutew na drga-niach sieci zależy od temperatury ndash im wyższa jest temperatura tym większa jest amplituda drgań atomoacutew i tym większy opoacuter elektryczny

Oporniki Łączenie oporoacutew

Elementy oporowe (oporniki) o znanej wartości oporu elektrycznego w obwodach elektrycznych oznaczamy za pomocą dwoacutech rodzajoacutew sym-boli ndash linią łamaną (standard amerykański) lub prostokątem (standard europejski)

Łącząc oporniki szeregowo zwiększamy całkowity opoacuter gałęzi obwodu Jest to zrozumiałe biorąc pod uwagę że połączenie takie odpowiada zwiększeniu całkowitej długości przewodnika przez ktoacutery przepływają ładunki elektryczne W przypadku szeregowego połączenia opornikoacutew opoacuter całkowity gałęzi jest sumą wartości oporoacutew

sum=i

iC RR (1118)

ROZDZIAŁ 11

Strona 194194194194

Powyższa zależność wynika z faktu że całkowity spadek napięcia (roacuteżnica potencjałoacutew) jest sumą spadkoacutew napięć na poszczegoacutelnych opornikach Ponieważ przez każdy z szeregowo połączonych opornikoacutew płynie ten sam prąd wiec zgodnie z prawem Ohma w efekcie całkowity opoacuter jest sumą oporoacutew poszczegoacutelnych opornikoacutew

Przy roacutewnoległym połączeniu opornikoacutew całkowity opoacuter obwodu male-je ndash odpowiada to zwiększeniu przekroju przez ktoacutery mogą przepływać nośniki ładunku Jeśli dwa oporniki o identycznym oporze połączymy roacutewnolegle całkowity opoacuter gałęzi wyniesie frac12 oporu pojedynczego opor-nika W ogoacutelnym przypadku opoacuter całkowity RC układu roacutewnoległych opornikoacutew wyznaczamy z zależności

sum=i iC RR

11 (1119)

Wyprowadzając tę zależność roacutewnież zauważyć że spadek napięcia na każdym z roacutewnolegle połączonych opornikoacutew jest taki sam (łączą pun-kty o określonej roacuteżnicy potencjałoacutew) Roacuteżny jest natomiast prąd płyną-cy przez każdy z opornikoacutew ale suma tych prądoacutew musi być roacutewna całkowitemu prądowi dopływającemu do układu Ponownie po zastoso-waniu prawa Ohma otrzymujemy opoacuter zastępczy taki jak we wzo-rze 1119 Przy obliczaniu oporu bardziej złożonych obwodoacutew pomocne jest odpowiednie grupowanie elementoacutew tak by można było skorzystać z powyższych wzoroacutew dla roacutewnoległego i szeregowego połączenia opornikoacutew

Rysunek 111 Układy opornikoacutew o topologii bdquotroacutejkątardquo i bdquogwiazdy

Nieco bardziej złożonym zagadnieniem jest obliczanie oporu obwodoacutew o topologii bdquotroacutejkątardquo Istnieją jednak wzory pozwalające na przedsta-wienie ich w postaci układu o topologii gwiazdy ndash o kształcie litery bdquoYrdquo (Rysunek 111)

PRĄD ELEKTRYCZNY

Strona 195195195195

Aby obwody w przedstawionych powyżej topologiach miały identyczne właściwości elektryczne przy danej roacuteżnicy potencjałoacutew natężenie prą-doacutew przepływających pomiędzy węzłami 1 2 i 3 musi być takie samo Dla węzłoacutew 1 i 2 w topologii bdquotroacutejkątardquo prąd płynie przez opornik RA połączony roacutewnolegle z oporem (RC+RB) Dla topologii gwiazdy prąd płynie przez oporniki R1 i R2 połączone szeregowo Zapisując układ roacutewnań dla każdej pary węzłoacutew otrzymujemy trzy roacutewnania poz-walające otrzymać zależności pomiędzy wartościami oporoacutew w dwoacutech topologiach

C

RB

RA

R

CR

BR

3R

CR

BR

AR

CR

AR

2R

CR

BR

AR

BR

AR

1R++

=++

=++

= (1120)

3R2R

1R

3R2R

CR3R1R

2R

1R3R

BR1R2R

3R

2R1R

AR ++=++=++= (1121)

113 Praca i moc prądu elektrycznego

Na skutek przepływu prądu elektrycznego w elementach oporowych wy-dziela się ciepło ktoacutere jest wynikiem rozpraszania części energii elektro-noacutew na sieci krystalicznej metalu Efekt ten stanowi podstawę działania żaroacutewek i elektrycznych elementoacutew grzejnych

Zgodnie z definicją wprowadzoną w elektrostatyce wiemy że praca przeniesienia ładunku q przy roacuteżnicy potencjałoacutew U jest roacutewna

UItUqW el == (1122)

Ponieważ natężenie prądu elektrycznego jest wyrażone stosunkiem ła-dunku ktoacutery przepłynął do czasu przepływu możemy wyrazić ładunek q poprzez iloczyn natężenia prądu I i czasu jego przepływu t zaś napięcie U zgodnie z prawem Ohma powiązać z wartością płynącego prądu przez element o oporze R W efekcie otrzymujemy że praca prądu jest roacutewna energii ER jaka wydziela się na oporniku o oporze R przez ktoacutery płynie prąd elektryczny o natężeniu I Korzystając z prawa Ohma otrzymujemy prawo nazywane jest prawem Joulersquoa

tRIW2

el = (1123)

ROZDZIAŁ 11

Strona 196196196196

Energia jaka wydziela się na oporniku nazywana ciepłem Joulersquoa jest proporcjonalna do wartości oporu R oraz kwadratu natężenia prądu elektrycznego I płynącego przez ten opornik

Ponieważ moc jest stosunkiem wykonanej pracy do czasu w jakim ta praca została wykonana w przypadku mocy wydzielanej na elemencie obwodu elektrycznego otrzymujemy

R

URIIUP

22 === (1124)

gdzie U oznacza napięcie na zaciskach danego elementu (odbiornika) a I ndash natężenie prądu przepływającego przez element o oporze R

W przypadku przesyłania energii elektrycznej wytworzonej w elektrow-ni staramy się zminimalizować straty na liniach przesyłowych Iloczyn napięcia i natężenia przesyłanego prądu jest w tym przypadku wartością stałą (odpowiada on mocy elektrowni) Sposobem na redukcję mocy traconej na liniach jest zmniejszenie natężenia prądu a proporcjonalne zwiększenie napięcia Z tego względu buduje się tzw przesyłowe linie wysokiego napięcia a zwiększenie wartości napięcia i jego ponowna re-dukcja przed odbiornikiem realizowane są za pomocą transformatoroacutew Ograniczeniem wartości użytego napięcia jest jonizacja powietrza ndash przy zbyt wysokim napięciu wokoacuteł przewodoacutew natężenie pola jest dostatecz-nie wysokie by oderwać elektrony z cząsteczek gazu i wytworzyć noś-niki ładunku co prowadzi do bdquoucieczkirdquo energii elektrycznej

114 Obwody elektryczne

Źroacutedła napięcia

W dotychczasowych rozważaniach przedstawiliśmy zjawisko przepływu ładunku w przewodniku Aby wymusić przepływ ładunku niezbędne jest przyłożenie do końcoacutew przewodnika napięcia czyli roacuteżnicy potencja-łoacutew Takim źroacutedłem napięcia może być naładowany kondensator jednak napięcie to nie będzie stałe Przepływ prądu przez przewodnik oznaczać będzie rozładowywanie kondensatora a ponieważ roacuteżnica potencjałoacutew między okładkami kondensatora jest proporcjonalna do ładunku zgroma-dzonego na okładkach wartość napięcia będzie maleć

PRĄD ELEKTRYCZNY

Strona 197197197197

Ogniwa

Stałe napięcie na zaciskach elementu oporowego możemy uzyskać włą-czając do obwodu stałe źroacutedło energii ndash ogniwo Parametrami opisują-cymi ogniwo są siła elektromotoryczna ε i opoacuter wewnętrzny Rw Miarą siły elektromotorycznej ε jest stosunek pracy wykonanej na przeniesienie ładunku w obwodzie zamkniętym do wartości tego ładunku

q

Wε = (1125)

W przypadku rzeczywistych ogniw część energii jest rozpraszana na oporze wewnętrznym źroacutedła ktoacutery jest połączony szeregowo z siłą elektromotoryczną Napięcie na zaciskach takiego źroacutedła zależy od war-tości oporu zewnętrznego podłączonego do źroacutedła czyli tzw obciążenia (rysunek 112) Jeśli opoacuter obciążenia jest mały wartość natężenia prądu płynącego przez obwoacuted jest duża to straty energii na oporze wew-nętrznym są znaczne Napięcie na zaciskach ogniwa jest niższe niż siła elektromotoryczna źroacutedła o spadek napięcia na obwodzie wewnętrznym Jeśli opoacuter obciążenia jest duży straty energii na oporze wewnętrznym są niewielkie a napięcie na zaciskach ogniwa osiąga wartość zbliżoną do jego siły elektromotorycznej Można zatem stwierdzić że w granicy

infinrarrZEWNR siła elektromotoryczna jest roacutewna napięciu na zaciskach ogniwa otwartego

Energię elektryczną możemy uzyskiwać korzystając z pracy mechanicz-nej ktoacutera zamieniamy na energię elektryczną za pomocą prądnic czy alternatoroacutew Większość z tych urządzeń wytwarza zmienną siłę elektro-motoryczną a uzyskanie stałej wartości wymaga dodatkowych urządzeń przetwarzających napięcie zmienne na stałe w czasie Energię elektrycz-ną możemy czerpać roacutewnież ze źroacutedeł chemicznych ndash baterii akumula-toroacutew i stosowanych coraz częściej ogniw paliwowych Źroacutedłami energii elektrycznej mogą być roacutewnież termoogniwa (wykorzystujące roacuteżnicę temperatur) oraz fotoogniwa (korzystające z energii promieniowania słonecznego) Jak stąd wynika źroacutedłami prądu stałego są urządzenia przetwarzające energię innego rodzaju na energię elektryczną

ROZDZIAŁ 11

Strona 198198198198

Rysunek 112 Obwoacuted złożony ze źroacutedła rzeczywistego i obciążenia

oporowego Spadki napięć na opornikach skierowane są przeciwnie niż SEM ogniwa

Prawa Kirchhoffa

Rozpatrzmy obwoacuted składający się z pojedynczego opornika R i źroacutedła o sile elektromotorycznej ε i oporze wewnętrznym Rw (rysunek 112) Za-piszmy zasadę zachowania energii dla takiego obwodu elektrycznego Praca wykonana przez ogniwo nad ładunkiem w obwodzie zamkniętym jest roacutewna energii rozpraszanej na elementach oporowych

RtItRItIε 2

w

2 += (1124)

Dzieląc obie strony roacutewnania 1122 przez czas i natężenie prądu otrzy-mujemy roacutewnanie

RIRI += wε (1125)

Zgodnie z uprzednio wprowadzoną definicją siła elektromotoryczna jest pracą wykonaną na przepływ jednostkowego ładunku w obwodzie zamkniętym

Napięcia na poszczegoacutelnych elementach obwodu i natężenia prądu prze-pływającego przez poszczegoacutelne jego gałęzie możemy obliczyć stosując prawa Kirchhoffa

PRĄD ELEKTRYCZNY

Strona 199199199199

I Prawo Kirchhoffa

Suma natężeń prądoacutew dopływających do węzła jest roacutewna sumie natężeń prądoacutew wypływających z tego węzła

W obwodzie zachowuje się roacutewnież ładunek elektryczny ndash jeśli w obwo-dzie znajduje się rozgałęzienie (węzeł) to ładunek ktoacutery dopłynie do wę-zła musi być roacutewny temu ktoacutery z węzła wypłynął

II Prawo Kirchhoffa

W dowolnym obwodzie zamkniętym sieci elektrycznej (oczku sieci) suma wartości sił elektromotorycznych roacutewna jest sumie wartości spadkoacutew napięcia na elementach tego obwodu

Drugie prawo Kirchhoffa odpowiada roacutewnaniu 1125

Obwoacuted RC

Jeśli naładowany do napięcia U kondensator o pojemności C zewrzemy opornikiem R to dla takiego obwodu II prawo Kirchhoffa możemy zapisać w postaci

0=+

=+

C

qRI

0UU CR

(1126)

Ponieważ natężenie prądu możemy wyrazić jako pochodną przepływającego ładunku po czasie roacutewnanie przyjmie postać

0d

d=+

C

qR

t

q (1127)

Rozwiązanie tego roacutewnania roacuteżniczkowego opisujące ładunek na kondensatorze ma postać malejącą wykładniczo

( ) RCt

0 eqtqminus

= (1128)

Skoro ładunek będzie się zmieniał wykładniczo to roacutewnież natężenie prądu w obwodzie będzie wykładniczo malało w czasie

ROZDZIAŁ 11

Strona 200200200200

Pomiar natężenia i napięcia

Wartości napięcia pomiędzy zaciskami elementu i natężenia prądu przepływającego przez element możemy wyznaczyć posługując się tym samym urządzeniem nazywanym galwanometrem Wychylenie wska-zoacutewki galwanometru jest wprost proporcjonalne do przepływającego przez urządzenie prądu

Rysunek 113 Podłączenie miernika do obwodu

a) pomiar natężenia prądu b) pomiar napięcia

Przy pomiarze natężenia prądu miernik włączamy w obwoacuted szeregowo (rysunek 113) W ten sposoacuteb mierzymy całkowity prąd płynący przez gałąź Opoacuter własny amperomierza powinien być jednak jak najmniejszy znacznie mniejszy niż wartości oporoacutew znajdujących się na mierzonej gałęzi ndash inaczej pomiar zakłoacuteci wartość mierzoną Aby spełnić ten waru-nek do zaciskoacutew galwanometru dołączamy roacutewnolegle bocznik o ma-łym oporze Większość natężenia prądu jest przepuszczana przez bocz-nik a tylko niewielka część przepływa przez galwanometr Zmieniając wartość oporu bocznika pomiędzy zaciskami miernika możemy zmieniać zakres pomiaru prądu układem galwanometr-bocznik

Przy pomiarze napięcia miernik ndash pełniący funkcję woltomierza ndash jest podłączony roacutewnolegle do badanego elementu (rysunek 113) W tym przypadku opoacuter własny woltomierza powinien być jak największy by nie odbierał on prądu z elementu Z tego względu pomiędzy zaciskami miernika a galwanometrem podłączony jest szeregowo opornik o dużej wartości Opornik ten zmniejsza natężenie prądu przepływającego przez galwanometr Zmieniając wartość użytego opornika można zmieniać za-kres pomiaru napięcia

Często stosowanym przyrządem jest proacutebnik (wskaźnik) napięcia Wy-korzystuje on pojemność elektryczną ludzkiego ciała Proacutebnika możemy używać przykładając palec do metalowego zakończenia rękojeści a ostrze do badanego elementu obwodu Natężenie prądu przepływają-

PRĄD ELEKTRYCZNY

Strona 201201201201

cego przez dłoń jest w tym przypadku niewielkie i nie zagraża bezpie-czeństwu osoby dokonującej pomiaru

ROZDZIAŁ 11

Strona 202202202202