METODO LOG PEARSON TIPO III

INTRODUCCIÓN

Es importante en la ingeniería utilizar la estadística como un medio numérico para predecir los cambios hidrológicos producidos por la naturaleza, contando como elemento principal el uso del agua.

La estadística fundamentalmente se aplica sobre datos hidrológicos recolectados de estaciones meteorológicas, que pueden medir las precipitaciones, caudales de ríos, radiación solar, etc. Que son factores que influyen en el comportamiento del agua en nuestro medio. Es precisamente que mediante la estadística se busca encontrar un comportamiento típico del agua a través del tiempo en una determinada área, para así ayudar al ingeniero a diseñar las estructuras necesarias.

B.2. FUNCIONES DE FRECUENCIA Y DE PROBABILIDAD

En una muestra dada, que puede ser una precipitación (mm), se observa que está idénticamente distribuido; a partir de este se puede construir un histograma de frecuencias, mediante los siguientes pasos:

- El rango de datos de la muestra aleatoria se divide en intervalos discretos

- Se cuenta el número de observaciones dentro de la muestra- Se dibuja como un gráfico de barras

Si el número total de observaciones de cada barra del histograma de frecuencias, se divide entre el número de observaciones contadas, se obtiene otro de diagrama de barras, llamada Función de Frecuencia Relativa (fm(x)), que está dado por la expresión matemática:

La sumatoria de Frecuencias Relativas se convierte en una nueva Función de Frecuencias Acumuladas Fm(x), expresado de la siguiente manera:

Esta función se lleva al límite de aproximación a cero, obteniendo la siguiente figura:

Esta última función se llama Función de Distribución de Probabilidad, la cual se deriva y se obtiene la Función de Densidad de probabilidad para la población:

Esta última función es un grado de ajuste de la información, la cual por su forma puede ser ajustada por funciones de densidad conocida, como la función normal, la cual forma la campana de Gauss.

CICLO DE FUNCIONES DE FRECUENCIA Y PROBABILIDAD

La función Normal, tiene desventajas como el de tener valores negativos, la cual la muestra hidrológica no tiene y tiene forma simétrica, y la función de densidad obtenida por lo general no lo tiene, así que también se tiene otras funciones, la cual es nuestro tema ver la Distribución Log Pearson Tipo III.

b.3. Distribución Log Pearson Tipo III:

Esta Distribución se aplica al logaritmo de los datos, es muy utilizada por sus resultados de aceptable confiabilidad cuando se efectúan predicciones con grandes periodos de retorno, la expresión de la función es la siguiente:

Donde los 3 parámetros son:

Clog = es el coeficiente de Asimetría de los logaritmos de datos

La función es muy complicada analíticamente, por lo que se usa la fórmula de Chow transformada logarítmicamente:

El valor de KT, se obtiene tabulando de una tabla, de acuerdo a la probabilidad de ocurrencia y al tiempo de retorno; en la siguiente tabla presentada, se obtiene dicho coeficiente (KT = k):

Dicho Coeficiente “k”, también puede obtenerse con la fórmula siguiente, la cual depende del coeficiente de asimetría de los logaritmos de datos (S = Clog) y de la variable normalizada “z” que depende del periodo de Retorno como una variable de probabilidad de excedencia. Aquí se muestra las siguientes fórmulas:

z=w− 2 .51557+0.802853w+0 .010328w2

1+1. 432788w+0 .189269w2+0 .001308w3

Donde:

w=[ ln 1p2 ]1 /2

; 0<p≤0.5

w=[ ln( 1

(1−p)2 )]1/2

; p>0.5

Para p>0.5 se le agrega a z un signo negativo

Donde :

p= 1Tr

Siendo

w: Variable intermedia

p: Probabilidad de excedencia

T: Periodo de retorno (años)

De los parámetros “z” y Coeficiente de Asimetría:

A. EJEMPLO APLICATIVO Y COMPARATIVO:

Dado los datos de máximas precipitaciones anuales del Rio Pisco

Se desea construir una defensa Ribereña, hallar la precipitación de diseño:

SOLUCIÓN:

El Ejemplo dado se resolverá mediante el método de Distribución Log Pearson Tipo III; adoptando un periodo de retorno de 10 años que puede durar la posible estructura de defensa Ribereña

n° AÑO P(mm)1 1964 21.42 1965 19.43 1966 30.74 1967 23.25 1968 26.16 1969 12.17 1970 23.68 1971 38.69 1972 13.8

10 1973 30.811 1974 27.412 1975 30.613 1976 34.314 1977 32.915 1978 21.616 1979 25.7617 1980 28.9518 1981 33.2619 1982 17.220 1983 12.5

Por Distribución Log Pearson Tipo III se obtiene de los datos los siguientes parámetros:

RIO PISCO

n° AÑO P(mm) log Xi log x Log Xi- log x (log Xi- log X)2 (log Xi- log X)3

1 1964 21.4 1.33 1.38 -0.05 0.0025 -0.000125

2 1965 19.4 1.29 1.38 -0.09 0.0081 -0.000729

3 1966 30.7 1.49 1.38 0.11 0.0121 0.001331

4 1967 23.2 1.36 1.38 -0.02 0.0004 0.000008

5 1968 26.1 1.42 1.38 0.04 0.0016 0.000064

6 1969 12.1 1.08 1.38 -0.3 0.09 -0.027

7 1970 23.6 1.37 1.38 -0.01 0.0001 0.000001

8 1971 38.6 1.59 1.38 0.21 0.0441 0.009261

9 1972 13.8 1.14 1.38 -0.24 0.0576 -0.013824

10 1973 30.8 1.49 1.38 0.11 0.0121 0.001331

11 1974 27.4 1.44 1.38 0.06 0.0036 0.000216

12 1975 30.6 1.49 1.38 0.11 0.0121 0.001331

13 1976 34.3 1.53 1.38 0.15 0.0225 0.003375

14 1977 32.9 1.52 1.38 0.14 0.0196 0.002744

15 1978 21.6 1.33 1.38 -0.05 0.0025 -0.000125

16 1979 25.76 1.41 1.38 0.03 0.0009 0.000027

17 1980 28.95 1.46 1.38 0.08 0.0064 0.000512

18 1981 33.26 1.52 1.38 0.14 0.0196 0.002744

19 1982 17.2 1.24 1.38 -0.14 0.0196 -0.002744

20 1983 12.5 1.1 1.38 -0.28 0.0784 -0.021952

Sumatoria 27.6 0.4138 -0.043554

Promedio 1.38

- Promedio (LogX) = 1.38- Desviación Estandar (σlogx) = 0.148- Probabilidad de ocurrencia (%) = 0.1- Coeficiente de Asimetría = -0.786- Coeficiente KT de tabla = 1.183- Coeficiente KT de fórmula = 0.6252

A partir de los parámetros encontrados obtenemos los valores sabiendo que y=log(x):

X= 35.89 mm (KT de tabla)

X= 29.51 mm (KT de fórmula)

CONCLUSIONES:

Después de lo investigado se pudo entender la necesidad de la hidrología estadística y de tener datos de estaciones hidrológicas para su desarrollo y mejor predicción; el método de Distribución Log Pearson Tipo III, es una función muy adaptable a las funciones obtenidas por las muestras de campo, la cual la hace una buena elección para largos periodos de retorno.

RECOMENDACIONES DE ALGUNOS INVESTIGADORES:

Para ajustar distribuciones de tres parámetros (Log Normal III, Log Pearson) se requiere estimar el coeficiente de asimetría de la distribución; para ello es necesario disponer de una serie con longitud de registros larga, mayor de 50 años, (Kite, 1988). Las distribuciones de dos parámetros son usualmente preferidas cuando se dispone de pocos datos, porque reducen la varianza de la muestra, (Ashkar, et al. 1994).