MES w zagadnieniach sprężysto-plastycznychWykład 5 z MKwIL, kierunek Budownictwo

Jerzy Pamin

Instytut Technologii Informatycznych w Inżynierii Lądowej

Politechnika Krakowska

Podziękowania:

P. Mika, A. Winnicki, A. WosatkoTNO DIANA http://www.tnodiana.comFEAP http://www.ce.berkeley.edu/feap

MKwIL, Budownictwo II st.

Tematyka zajęć

Nieliniowość fizyczna

Teoria plastycznego płynięcia

Zastosowania - deformacje plastyczne

Symulacja zarysowania konstrukcji murowych

Modelowanie katastrofy World Trade Center

MKwIL, Budownictwo II st.

Analiza przyrostowo-iteracyjnaNieliniowy problem:fext przykładane w przyrostacht → t + ∆t → σt+∆t = σt + ∆σ

Równowaga w chwili t + ∆t:ne∑e=1

AeT∫V e

BTσt+∆t dV = ft+∆text

ne∑e=1

AeT∫V e

BT∆σ dV = ft+∆text − ftint

gdzie: ftint =∑nee=1AeT

∫V e BTσt dV

Linearyzacja lewej strony w chwili czasu t:

∆σ = ∆σ(∆ε(∆u))

Układ równań dla przyrostu:

K ∆d = ft+∆text − ftint

MKwIL, Budownictwo II st.

Nieliniowość fizyczna

K ∆d = ft+∆text − ftint

Linearyzacja lewej strony w chwili czasu t:

∆σ = ∆σ(∆ε(∆u))

∆σ =(∂σ∂ε

)t ( ∂ε∂u

)t∆u

D = ∂σ∂ε , L = ∂ε

∂u

Dyskretyzacja: ∆u = N∆de

Liniowe związki geometryczne → macierz dyskretnych związkówkinematycznych B = LN niezależna od przemieszczeń

Styczna macierz sztywności

K =ne∑e=1

AeT∫V e

BTD B dV Ae

MKwIL, Budownictwo II st.

Uplastycznienie materiału

A

CB

przemieszczenie

siła

P

A

+

-σy

σy

σy

σy

σy

σy

+

- -

+

CB

zakres sprężysty

pełne uplastycznienie

pełne uplastycznieniezakres sprężysty

poziom mikroskopowy

sieć ścinanie poślizgkrystaliczna dyskolacyjny

MKwIL, Budownictwo II st.

Teoria płynięcia plastycznego [1,2]

Nośność materiału nie jest nieskończona, przy deformacji powstająodkształcenia trwałe

Pojęcia teorii plastycznościI Funkcja plastyczności f (σ) = 0

- określa granicę zachowania sprężystegoI Prawo płynięcia plastycznego εp = λm

- określa prędkość odkształceń plastycznychλ - mnożnik plastycznym - kierunek płynięcia plastycznego(zazwyczaj stowarzyszony z funkcją płynięcia mT = nT = ∂f

∂σ )I Wzmocnienie plastyczne f (σ −α, κ) ¬ 0

kinematyczne (κ = 0) lub izotropowe (α = 0)I Warunki obciążenie-odciążenie:

f ¬ 0, λ ­ 0, λf = 0(odciążenie jest sprężyste)

MKwIL, Budownictwo II st.

Teoria płynięcia plastycznego

Deformacja materiału zależy od historii obciążenia, zatem związkikonstytutywne są zapisywane w prędkościach.

Płynięcie plastyczne gdyf = 0 i f = 0(warunek zgodności plastycznej)

Dekompozycja addytywnaε = εe + εp

Odwzorowanie bijekcyjneσ = Deεe

Wykorzystując prawo płynięciaσ = De(ε− λm)

Zgodność procesu plastycznego

f = ∂f∂σ σ + ∂f

∂κ κ

Moduł wzmocnienia

h = − 1λ∂f∂κ κ

Podstawiając σ do równ. zgodnościnTσ − hλ = 0

oblicza się mnożnik plastyczny

λ = nTDe εh+nTDem

Macierzowe równanie konstytutywne

σ =[De − DemnTDe

h+nTDem

]ε

Operator styczny

Dep = De − DemnTDe

h+nTDem

Całkowanie po czasie niezbędne na poziomie punktu

MKwIL, Budownictwo II st.

Teoria Hubera-Misesa-Hencky’ego

Najczęściej stosowana jest teoria Hubera-Misesa-Hencky’ego (H-M-H),oparta na skalarnej mierze energii odkształcenia postaciowego.Dla małych odkształceń zakłada się addytywność ich przyrostów:ε = εe + εp

I Funkcja płynięcianp. ze wzmocnieniem izotropowymf (σ, κ) =

√3Jσ2 − σ(κ) = 0

κ - miara odkształcenia plastycznego(κ = 1

σσTεp = λ)

I Prawo płynięcia plastycznegoεp = λ ∂f∂σ

I Prawo wzmocnienia izotropowegonp. linioweσ(κ) = σy + hκh - moduł wzmocnienia

MKwIL, Budownictwo II st.

Wykresy siła-przemieszczenie

Idealna plastyczność Plastyczność ze wzmocnieniem

MKwIL, Budownictwo II st.

Teoria plastycznego płynięcia

Funkcje plastyczności dla metali:Coulomba-Tresca’i-Guesta i Hubera-Misesa-Hencky’ego

Funkcje plastyczności niezależne od ciśnienia

MKwIL, Budownictwo II st.

Teoria plastycznego płynięcia

Funkcje plastyczności dla gruntów:Mohra-Coulomba i Burzyńskiego-Druckera-Pragera

Funkcje plastyczności zależne od ciśnienia

MKwIL, Budownictwo II st.

Powierzchnie „plastyczności” dla betonuPłaski stan naprężenia

Eksperyment Kupfera

Funkcja ”plastyczności” Rankine’a: f (σ, κ) = σ1 − σ(κ) = 0Miara odkształcenia zarysowania κ = |εp1 |

MKwIL, Budownictwo II st.

Algorytm komputerowej plastyczności

Algorytm powrotnego odwzorowania→ algorytm Eulera „wstecz” (bezwarunkowo stabilny)

1. Obliczyć sprężysty predyktorσtr = σt + De∆ε

2. Sprawdzić, czy f (σtr , κt) > 0 ?Jeśli nie, to stan sprężysty σ = σtrJeśli tak, to stan plastyczny,obliczyć plastyczny korektorσ = σtr −∆λDem(σ)

f (σ, κ) = 0(układ 7 równań nieliniowych na σ,∆λ)Obliczyć κ = κt + ∆κ(∆λ)

σ

σtr

σt

f = 0

Iteracyjne poprawki są konieczne, chyba, że powrót odbywa się popromieniu i wzmocnienie jest liniowe.

MKwIL, Budownictwo II st.

Brazylijski test rozłupywania

Sprężystość, płaski stan odkształcenia

Deformacje, naprężenie pionowe σyy i niezmiennik naprężenia Jσ2

MKwIL, Budownictwo II st.

Brazylijski test rozłupywania

Sprężystość, zależność naprężeń od siatki

Naprężenia σyy dla rzadkiej i gęstej siatki

Naprężenia pod siłą zmierzają do nieskończoności (zależność rozwiązaniaod gęstości siatki) - rozwiązanie sprzeczne z fizyką

MKwIL, Budownictwo II st.

Brazylijski test rozłupywania

Idealna plastyczność H-M-H

Końcowa deformacja i naprężenie σyy

MKwIL, Budownictwo II st.

Brazylijski test rozłupywania

Idealna plastyczność H-M-H

Końcowe odkształcenie εyy i niezmiennik Jε2

MKwIL, Budownictwo II st.

Brazylijski test rozłupywania

Idealna plastyczność H-M-H

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Displacement

0

200

400

600

800

Forc

e

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Displacement

0

200

400

600

800

Forc

e

This is correct!

Dla elementu czterowęzłowego wykres siła-przemieszczenie wykazujewzmocnienie na skutek blokady objętościowej, bo plastyczność H-M-Hzawiera więz nieściśliwości plastycznej, którego nie potrafi odtworzyćpoprawnie model MESElement ośmiowęzłowy nie wykazuje blokady

MKwIL, Budownictwo II st.

Brazylijski test rozłupywania

Sprężystość, płaski stan odkształcenia, elementy 8-węzłowe

Deformacje, naprężenie pionowe σyy i niezmiennik naprężenia Jσ2

MKwIL, Budownictwo II st.

Brazylijski test rozłupywania

Idealna plastyczność H-M-H

Końcowa deformacja i naprężenie σyy

MKwIL, Budownictwo II st.

Brazylijski test rozłupywania

Idealna plastyczność H-M-H

Końcowe odkształcenie εyy i niezmiennik Jε2

MKwIL, Budownictwo II st.

Plastyczność Burzyńskiego-Druckera-PrageraI Funkcja plastyczności ze wzmocnieniem

izotropowymf (σ, κ) = q + α p − βcp(κ) = 0q =√

3J2 - dewiatorowa miara napr.p = 1

3 I1 - ciśnienie hydrostatyczneα = 6 sinϕ

3−sinϕ , β = 6 cosϕ3−sinϕ

ϕ - kąt tarcia wewnętrznegocp(κ) - kohezja

I Potencjał plastyczny f p = q + α pα = 6 sinψ

3−sinψψ - kąt dylatacjiNiestowarzyszone prawo płynięciaεp = λm, m = ∂f p

∂σ

I Miara odkształceń plastycznychκ = ηλ, η = (1 + 2

9 α2)12

I Moduł wzmocnienia kohezjih(κ) = ηβ

∂cp∂κ

q

p

HMH

BDP

ϕ

βcp

Dla sinϕ = sinψ = 0otrzymuje się funkcję Hubera-Misesa-Hencky’ego.

MKwIL, Budownictwo II st.

Symulacja niestateczności zbocza

Gradientowa plastyczność Burzyńskiego-Druckera-Pragera

Ewolucja miary odkształceń plastycznych

MKwIL, Budownictwo II st.

Interfejsowe elementy skończone 2D i 3D

Przykład zastosowania: zarysowanie przy zginaniu

MKwIL, Budownictwo II st.

Elementy interfejsowe

t = D ∆u

Dla interfejsu 2D w modelu 3D:

t = [tn tt ts ]T

Względne przemieszczenie ∆ustron (A) i (B) interfejsu

∆u = [∆un ∆ut ∆us ]T

u = [u(A)n u

(B)n u

(A)t u

(B)t u

(A)s u

(B)s ]T

∆u = Lu , u = N de

L =

−1 1 0 0 0 00 0 −1 1 0 00 0 0 0 −1 1

∆u = LN de

Interfejs w modelu 2D

Przypadek ścinania

MKwIL, Budownictwo II st.

Symulacja zarysowania konstrukcji murowych [3]

DIANA

MKwIL, Budownictwo II st.

Modelowanie konstrukcji murowych

Model ”mikro”(dyskretne interfejsy)lub model ”makro”(homogenizacja)

W każdym z trzech podstawowych stanów wytrzymałościowych pojawiasię osłabienie

MKwIL, Budownictwo II st.

Teoria plastyczności

Model interfejsu

Model kontinuum

MKwIL, Budownictwo II st.

Budowa metra w Amsterdamie (Noord/Zuidlijn)

MKwIL, Budownictwo II st.

Katastrofa World Trade Center

Wybudowany w latach 1966-77, 110 kondygnacji o wys. ok. 3.7m, konstrukcja ramowa stalowazgodnie z koncepcją „rura w rurze”, rdzeń 26.5×41.8m (47 słupów połączonych krótkimi belkami,przenosił 60% ciężaru własnego), rama zewnętrzna (240 słupów skrzynkowych 356x356 co 1m naobwodzie, przenosiła 40% ciężaru własnego), stropy zespolone na dźwigarach kratowychpołączonych przegubowo ze rdzeniem i ramą zewnętrzną, stężenie szczytowe na kondygnacjach107-110. Ciężar budynku ponad ziemią 3630MN, ciężar własny 2890MN, obc. użytkowe 740MN.

Czas na ucieczkę w WTC1 i WTC2 odpowiednio 100 i 60 min.

MKwIL, Budownictwo II st.

Uproszczony mechanizm katastrofy WTC [4,6]Efekt dynamiczny wysokiej tempera-tury, która obniżyła granicę plastycz-ności stali i spowodowała wyboczeniesłupów w warunkach pełzania1. Konstrukcja osłabiona przez uderzenie,pożar paliwa powoduje wzrost temperaturydo ok. 600C

2. Redystrybucja naprężeń, lepkoplastycznewyboczenie słupów na krytycznejkondygnacji, zniszczeniu ulegają węzłykratownic nośnych stropów i postępujewyboczenie słupów

3. Połowa słupów przestaje przenosić ciężarczęści budynku powyżej

4. Część ta spada na niższy strop z rosnącąenergią kinetyczną, uderzenie stanowiobciążenie dynamiczne, którego kontrukcjaponiżej nie jest w stanie przenieść

5. Górna część wieży stopniowo zapada się,gdy rośnie jej masa i energia

Szacunkowe obliczenia energetycznedają współczynnik przeciążeniaPdyn/mg = 30− 60.

MKwIL, Budownictwo II st.

Odpowiedź wież World Trade Center na obciążeniewyjątkowe [5]

Uproszczony model dynamiczny (110 elementow belkowych) z masami skupionymi (ciężar stropów

33 MN), sztywność na zginanie i ścinanie określona na podstawie modelu ramy przestrzennej, 3%

tłumienie Rayleigha.

MKwIL, Budownictwo II st.

Wyniki dla uproszczonego modelu dynamicznego

Przemieszczenia i siły w momencie uderzenia nie przekroczyływynikających z projektowanego obciążenia wiatrem, dlatego wieżeprzetrzymały początkowo obciążenie wyjątkowe.

MKwIL, Budownictwo II st.

Katastrofa World Trade Center, 2001 [5]Model MES do oceny szczegółowej zniszczeń - LS-DYNA

Model strefy uderzenia i samolotu o masie 140 ton,materiał sprężysto-plastyczny.

MKwIL, Budownictwo II st.

Model krytycznego segmentu - wyniki

Siły osiowe w słupach zewnętrznych przed i po uderzeniu

Redystrybucja obciążeń pionowych po uderzeniu, zniszczonych 122/113słupów odpowiednio dla WTC1/WTC2, granica plastyczności osiągana wpozostałych słupach, pozytywny wpływ stężeń szczytowych.

MKwIL, Budownictwo II st.

Literatura

[1] R. de Borst and L.J. Sluys. Computational Methods in NonlinearSolid Mechanics. Lecture notes, Delft University of Technology, 1999.

[2] M. Jirasek and Z.P. Bazant. Inelastic Analysis of Structures. J.Wiley & Sons, Chichester, 2002.

[3] P.B. Lourenco. Computational strategies for masonry structures.PhD Thesis, Delft University of Technology, 1996.

[4] Z.P. Bazant, Y. Zhou. Why Did the World Trade Center Collapse?- Simple Analysis. ASCE J. Eng. Mech., 128, 2-6, 2002.

[5] Y. Omika, E. Fukuzawa, N. Koshika, H. Morikawa, R.Fukuda. Structural Responses of World Trade Center Collapse underAircraft Attacks. ASCE J. Eng. Mech., 131, 6-15, 2005.

[6] Z.P. Bazant, M. Verdure. Mechanics of Progressive Collapse:Learning from World Trade Center and Building Demolitions. ASCE J.Eng. Mech., 133, 308-319, 2007.

MKwIL, Budownictwo II st.