MES w zagadnieniach sprężysto-plastycznychjpamin/dyd/MK/nielin_MK2.pdfTeoria płynięcia...
Transcript of MES w zagadnieniach sprężysto-plastycznychjpamin/dyd/MK/nielin_MK2.pdfTeoria płynięcia...
MES w zagadnieniach sprężysto-plastycznych
Jerzy Pamin
e-mail: [email protected]
Podziękowania:
P. Mika, A. Winnicki, A. WosatkoADINA R&D, Inc.http://www.adina.comANSYS, Inc. http://www.ansys.comTNO DIANA http://www.tnodiana.comFEAP http://www.ce.berkeley.edu/feap
Metody komputerowe, studia II st.
Tematyka zajęć
Nieliniowość fizyczna
Teoria plastycznego płynięcia
Zastosowania - deformacje plastyczne
Uwagi końcowe
Literatura[1] R. de Borst and L.J. Sluys. Computational Methods in Nonlinear SolidMechanics. Lecture notes, Delft University of Technology, 1999.
[2] G. Rakowski, Z. Kacprzyk. Metoda elementow skończonych w mechanicekostrukcji. Oficyna Wyd. PW, Warszawa, 2005.
[3] M. Jirasek and Z.P. Bazant. Inelastic Analysis of Structures. J. Wiley &Sons, Chichester, 2002.
Metody komputerowe, studia II st.
Analiza przyrostowo-iteracyjnaNieliniowy problem:fext przykładane w przyrostacht → t + ∆t → σt+∆t = σt + ∆σ
Równowaga w chwili t + ∆t:ne∑e=1
AeT∫V eBTσt+∆t dV = ft+∆t
ext
ne∑e=1
AeT∫V eBT∆σ dV = ft+∆t
ext − ftint
gdzie: ftint =∑nee=1A
eT∫V e B
Tσt dV
Linearyzacja lewej strony w chwili czasu t:
∆σ = ∆σ(∆ε(∆u))
Układ równań dla przyrostu:
K∆ug = ft+∆text − ftint
Metody komputerowe, studia II st.
Nieliniowość fizyczna
K∆ug = ft+∆text − ftint
Linearyzacja lewej strony w chwili czasu t:
∆σ = ∆σ(∆ε(∆u))
∆σ =(∂σ∂ε
)t ( ∂ε∂u
)t∆u
D = ∂σ∂ε , L = ∂ε
∂u
Dyskretyzacja: ∆u = N∆ue
Liniowe związki geometryczne → macierz dyskretnych związkówkinematycznych B = LN niezależna od przemieszczeń
Styczna macierz sztywności
K =ne∑e=1
AeT∫V eBTDB dV Ae
Metody komputerowe, studia II st.
Uplastycznienie materiału
A
CB
przemieszczenie
siła
P
A
+
-σy
σy
σy
σy
σy
σy
+
- -
+
CB
zakres sprężysty
pełne uplastycznienie
pełne uplastycznieniezakres sprężysty
Metody komputerowe, studia II st.
Teoria płynięcia plastycznego [1,3]
Nośność materiału nie jest nieskończona, przy deformacji powstająodkształcenia trwałe
Pojęcia teorii plastycznościI Funkcja plastyczności f (σ) = 0
- określa granicę zachowania sprężystegoI Prawo płynięcia plastycznego εp = λm
- określa prędkość odkształceń plastycznychλ - mnożnik plastycznym - kierunek płynięcia plastycznego(zazwyczaj stowarzyszony z funkcją płynięcia mT = nT = ∂f
∂σ )I Wzmocnienie plastyczne f (σ −α, κ) ¬ 0
kinematyczne (κ = 0) lub izotropowe (α = 0)I Warunki obciążenie-odciążenie:
f ¬ 0, λ 0, λf = 0(odciążenie jest sprężyste)
Metody komputerowe, studia II st.
Teoria płynięcia plastycznego
Deformacja materiału zależy od historii obciążenia, zatem związkikonstytutywne są zapisywane w prędkościach.
Płynięcie plastyczne gdyf = 0 i f = 0(warunek zgodności plastycznej)
Dekompozycja addytywnaε = εe + εp
Odwzorowanie bijekcyjneσ = Deεe
Wykorzystując prawo płynięciaσ = De(ε− λm)
Zgodność procesu plastycznego
f = ∂f∂σ σ + ∂f
∂κ κ
Moduł wzmocnienia
h = − 1λ∂f∂κ κ
Podstawiając σ do równ. zgodnościnTσ − hλ = 0
oblicza się mnożnik plastyczny
λ = nTDe εh+nTDem
Macierzowe równanie konstytutywne
σ =[De − D
emnTDe
h+nTDem
]ε
Operator styczny
Dep = De − DemnTDe
h+nTDem
Całkowanie po czasie niezbędne na poziomie punktu
Metody komputerowe, studia II st.
Teoria Hubera-Misesa-Hencky’ego
Najczęściej stosowana jest teoria Hubera-Misesa-Hencky’ego (H-M-H),oparta na skalarnej mierze energii odkształcenia postaciowego.Dla małych odkształceń zakłada się addytywność ich przyrostów:ε = εe + εp
I Funkcja płynięcianp. ze wzmocnieniem izotropowymf (σ, κ) =
√3Jσ2 − σ(κ) = 0
κ - miara odkształcenia plastycznego(κ = 1
σσTεp = λ)
I Prawo płynięcia plastycznegoεp = λ ∂f∂σ
I Prawo wzmocnienia izotropowegonp. linioweσ(κ) = σy + hκh - moduł wzmocnienia
Metody komputerowe, studia II st.
Wykresy siła-przemieszczenie
Idealna plastyczność Plastyczność ze wzmocnieniem
Metody komputerowe, studia II st.
Teoria plastycznego płynięcia
Funkcje plastyczności dla metali:Coulomba-Tresci-Guesta i Hubera-Misesa-Hencky’ego
Funkcje plastyczności niezależne od ciśnienia
Metody komputerowe, studia II st.
Teoria plastycznego płynięcia
Funkcje plastyczności dla gruntów:Mohra-Coulomba i Burzyńskiego-Druckera-Pragera
Funkcje plastyczności zależne od ciśnienia
Metody komputerowe, studia II st.
Powierzchnie „plastyczności” dla betonuPłaski stan naprężenia
Eksperyment Kupfera
Funkcja ”plastyczności” Rankine’a: f (σ, κ) = σ1 − σ(κ) = 0Miara odkształcenia zarysowania κ = |εp1 |
Metody komputerowe, studia II st.
Algorytm komputerowej plastyczności
Algorytm powrotnego odwzorowania→ algorytm Eulera „wstecz” (bezwarunkowo stabilny)
1. Obliczyć sprężysty predyktorσtr = σt +De∆ε
2. Sprawdzić, czy f (σtr , κt) > 0 ?Jeśli nie, to stan sprężysty σ = σtrJeśli tak, to stan plastyczny,obliczyć plastyczny korektorσ = σtr −∆λDem(σ)
f (σ, κ) = 0(układ 7 równań nieliniowych na σ,∆λ)Obliczyć κ = κt + ∆κ(∆λ)
σ
σtr
σt
f = 0
Iteracyjne poprawki są konieczne, chyba, że powrót odbywa się popromieniu i wzmocnienie jest liniowe.
Metody komputerowe, studia II st.
Brazylijski test rozłupywania
Sprężystość, płaski stan odkształcenia
Deformacje, naprężenie pionowe σyy i niezmiennik naprężenia Jσ2
Metody komputerowe, studia II st.
Brazylijski test rozłupywania
Sprężystość, zależność naprężeń od siatki
Naprężenia σyy dla rzadkiej i gęstej siatki
Naprężenia pod siłą zmierzają do nieskończoności (zależność rozwiązaniaod gęstości siatki) - rozwiązanie sprzeczne z fizyką
Metody komputerowe, studia II st.
Brazylijski test rozłupywania
Idealna plastyczność H-M-H
Końcowa deformacja i naprężenie σyy
Metody komputerowe, studia II st.
Brazylijski test rozłupywania
Idealna plastyczność H-M-H
Końcowe odkształcenie εyy i niezmiennik Jε2
Metody komputerowe, studia II st.
Brazylijski test rozłupywania
Idealna plastyczność H-M-H
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Displacement
0
200
400
600
800
Forc
e
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Displacement
0
200
400
600
800
Forc
e
This is correct!
Dla elementu czterowęzłowego wykres siła-przemieszczenie wykazujewzmocnienie na skutek blokady objętościowej, bo plastyczność H-M-Hzawiera więz nieściśliwości plastycznej, którego nie potrafi odtworzyćpoprawnie model MESElement ośmiowęzłowy nie wykazuje blokady
Metody komputerowe, studia II st.
Brazylijski test rozłupywania
Sprężystość, płaski stan odkształcenia, elementy 8-węzłowe
Deformacje, naprężenie pionowe σyy i niezmiennik naprężenia Jσ2
Metody komputerowe, studia II st.
Brazylijski test rozłupywania
Idealna plastyczność H-M-H
Końcowa deformacja i naprężenie σyy
Metody komputerowe, studia II st.
Brazylijski test rozłupywania
Idealna plastyczność H-M-H
Końcowe odkształcenie εyy i niezmiennik Jε2
Metody komputerowe, studia II st.
Plastyczność Burzyńskiego-Druckera-PrageraI Funkcja plastyczności ze wzmocnieniem
izotropowymf (σ, κ) = q + α p − βcp(κ) = 0q =√
3J2 - dewiatorowa miara napr.p = 1
3 I1 - ciśnienie hydrostatyczneα = 6 sinϕ
3−sinϕ , β = 6 cosϕ3−sinϕ
ϕ - kąt tarcia wewnętrznegocp(κ) - kohezja
I Potencjał plastyczny f p = q + α pα = 6 sinψ
3−sinψψ - kąt dylatacjiNiestowarzyszone prawo płynięciaεp = λm, m = ∂f p
∂σ
I Miara odkształceń plastycznychκ = ηλ, η = (1 + 2
9 α2)
12
I Moduł wzmocnienia kohezjih(κ) = ηβ
∂cp∂κ
cp
q
p
HMH
BDP
ϕ
Dla sinϕ = sinψ = 0otrzymuje się funkcję Hubera-Misesa-Hencky’ego.
Metody komputerowe, studia II st.
Symulacja niestateczności zbocza
Gradientowa plastyczność Burzyńskiego-Druckera-Pragera
Ewolucja miary odkształceń plastycznych
Metody komputerowe, studia II st.
Uwagi końcowe
1. Konsystentna linearyzacja równań zapewnia kwadratową zbieżnośćprocedury Newtona-Raphsona.
2. W projektowaniu akceptuje się zazwyczaj połączenie liniowosprężystych obliczeń statycznych celem wyznaczenia naprężeń (siłprzekrojowych) z analizą stanów granicznych uwzględniającychuplastycznienie lub zarysowanie.
3. W obliczeniach nieliniowych szacuje się mnożnik obciążenia, przyktórym następuje uszkodzenie/zniszczenie/utrata statecznościkonstrukcji - ma on interpretację globalnego współczynnikabezpieczeństwa, więc obliczenia powinno się prowadzić dla średnichwartości obciążeń i wytrzymałości.
Metody komputerowe, studia II st.