MECHANIKA 2

Wykład Nr 12

Zasady pracy i energii

Wektor pola sił możemy zapisać w postaci:

Prawa strona jest gradientem funkcji , czyli

WEKTOR POLA SIŁ

(1)

(2)

POTENCJAŁ POLA SIŁ

Funkcję nazywamy potencjałem pola sił. Potencjał spełnia następujące zależności:

zyxzyxU ,,,,

lub w postaci wektorowej

(3)

SIŁA W POTENCJALNYM POLU SIŁ

Cechy siły potencjalnego pola sił :

a) Moduł siły jest równy

b) kierunek prostopadły do powierzchni ekwipotencjalnej,

c) Siła ma zwrot od powierzchni wyższego potencjału do powierzchni niższego potencjału.

Po zróżniczkowaniu pierwszego równania (z układu 3) względem y, drugiego względem x, otrzymamy:

(4)

WŁASNOŚCI POTENCJALNEGO POLA SIŁ

Podobnie, różniczkując względem „przemiennych" kierunków układ równań (3), dochodzimy do następujących zależności:

Z (4) wynika, że:

(5)

(6)

Składowe siły pola muszą spełniać związki (6), ażeby pole sił było

polem potencjalnym. W postaci wektorowej:

(7)

Aby pole sił było polem potencjalnym, rotacja

wektora siły pola musi być równa zeru.

WŁASNOŚCI POTENCJALNEGO POLA SIŁ

PRACA W POTENCJALNYM POLU SIŁ Praca elementarna

(8)

W polu potencjalnym praca elementarna jest różniczką zupełną

pewnej funkcji skalarnej - potencjału pola sił - ze znakiem ujemnym.Praca całkowita

W polu potencjalnym praca całkowita jest równa różnicy

potencjałów w położeniu początkowym i końcowym.

stąd (10)(9)

CECHY POTENCJALNEGO POLA SIŁa) potencjał jest skalarną funkcją położenia

b) potencjał istnieje w polu, dla którego

c) w polu potencjalnym praca elementarna jest równa różniczce zupełnej potencjału ze znakiem ujemnym

e) praca w polu potencjalnym po dowolnej krzywej leżącej na powierzchni

ekwipotencjalnej jest równa zeru.

d) praca całkowita w polu potencjalnym nie zależy od

kształtu toru i równa się różnicy potencjałów

h) powierzchnie ekwipotencjonalne i linie sił tworzą układ ortogonalny,

i) siły pola są zwrócone od powierzchni wyższego potencjału do powierzchni niższego potencjału.

j) praca całkowita w polu potencjalnym po dowolnej linii zamkniętej jest równa zeru

CECHY POTENCJALNEGO POLA SIŁ

PRACA W POLU SIŁ CIĘŻKOŚCI

Rys. 4 Składowe sił pola grawitacyjnego Ziemi

Praca elementarna

Potencjał pola sił ciężkości ma postać:

(11)

Praca całkowita od położenia 1 do położenia 2 (rys. 4) będzie równa

Przyjmiemy, że na poziomie Ziemi (na której znajduje się położenie 2) potencjał jest równy zeru. Wtedy praca całkowita wynosi :

(12)

Pracę nazywamy energią

potencjalną. Jest to praca, jaką wykona pole sił ciężkości przy

przemieszczeniu masy m z wysokości h na powierzchnię

Ziemi.

mghU

PRACA W POLU SIŁ CIĘŻKOŚCI

oraz pracy i energii potencjalnej wynika że:

ZASADA ZACHOWANIA ENERGII MECHANICZNEJ

dUA dEA

(13)czyli

Jest to forma różniczkowa zasady zachowania energii mechanicznej.

Z zasady pracy i energii kinetycznej

Całkując to równanie otrzymujemy

W polu potencjalnym suma energii kinetycznej i potencjalnej jest w

każdym położeniu wielkością stalą.

W odniesieniu do poruszającego się punktu zasadę tę możemy przedstawić za pomocą wzoru

(14)

(15)

Przykład 1

A

Bh

Z zasady zachowania energii mechanicznej

EA = EB, (E = Ep+ Ek)

ZASADA ZACHOWANIA ENERGII MECHANICZNEJ

Po gładkim torze porusza się punkt materialny o masie m.

Rys. 5

Z zasady zachowania energii (15) wynika równość:

a stąd

(16)

(17)

Przykład 2

ZASADA ZACHOWANIA ENERGII MECHANICZNEJ

ZACHOWANIE PUNKTU W POLU SIŁ CIĘŻKOŚCI

Największa wysokość zmax, którą osiągnie punkt materialny, otrzymamy v

= 0, podstawiając do równania (17)

(18)

Wynika stąd, że:

a) na jednym i tym samym poziomie punkt ma tę samą prędkość (przy

założeniu toru gładkiego),

b) maksymalny poziom, jaki osiągnie punkt materialny, wynosi zmax (18),

c) punkt materialny przejdzie przez wszystkie „garby„ toru, nie większe

od wysokości zmax.

RÓWNOWAGARównowagę punktu w polu ciężkości na gładkim torze

Punkt będzie w równowadze na krzywej gładkiej wtedy, gdy wypadkowa sił czynnych będzie prostopadła do tej krzywej.

(19)

Rozróżniamy:

równowagę stałą, która zachodzi w położeniu, w którym wychylony z położenie równowagi punkt materialny będzie się poruszał w pobliżu tego położenia równowagi,

równowagę chwiejną, która zachodzi w ,położeniu, w którym nawet dowolnie m prędkość udzielona punktowi materialnemu oddala go na stałe od tego położenia równowagi,

równowagę obojętną, zachodzącą w położeniu, gdzie punkt materialny wychylony ze swego położenia równowagi natrafia w pobliżu na nowe położenie równowagi.

W polu sił ciężkości równowaga punktu materialnego zachodzi w położeniu, gdzie energia potencjalna osiąga ekstremum (rys.6).

W szczególności równowaga stała zachodzi w położeniu, w którym energia potencjalna osiąga minimum. Jest to tzw. kryterium stateczności Mindinga i Dirichleta.

Rys. 6

RÓWNOWAGA

POSTACIE ENERGII

potencjalna położenia, sprężystościpotencjalna położenia, sprężystości

potencjalna ciśnienia (płynu)potencjalna ciśnienia (płynu)

kinetycznakinetyczna

elektrycznaelektryczna

chemicznachemiczna

cieplnacieplna

jądrowajądrowa

termojądrowatermojądrowa

elektrostatyczna, magnetyczna, elektromagnetycznaelektrostatyczna, magnetyczna, elektromagnetyczna

ENERGIA – zdolność układu do wykonania pracy