matura_z_matmy
1
MATURA z matematyki 2009 Tajemnice Królowej Nauk Czyli wszystko, co musisz wiedzieç na 5 minut przed maturà z matematyki Do matury jeszcze pi´ç miesi´cy, ale na nauk´ nigdy nie jest za wczeÊnie! W tym miesiàcu prezentujemy jedyny w swoim rodzaju zestaw typowych matematycznych b∏´- dów oraz u˝ytecznych porad – wszystko przydatne na eg- zamin z matematyki. opr. Grzegorz Ga∏uszka, Lech Rostkowski, Krzysztof Fràczek, Matematyka.org, ForumMatematyka.pl, Poolicz.pl Za miesiàc: Na 5 minut przed... WOS Âpiesz si´ powoli czyli uwaga na b∏´dy Podczas rozwiàzywania zadaƒ maturalnych naj- cz´Êciej pope∏niamy typowe b∏´dy rachunkowe oraz tzw. b∏´dy nieuwagi. Pierwszy ich rodzaj pojawia si´ wskutek poÊpiechu i zdenerwowa- nia (jak choçby: ). B∏´dy nieuwagi powstajà najcz´Êciej przy przepisywaniu równania czy warunku z jed- nej strony na drugà, tak˝e z brudnopisu do czystopisu, a nawet z linijki do linijki. Do te- go dochodzà pomy∏ki wynikajàce z niezbyt uwa˝nego przeczytania treÊci zadania, a wi´c nieprawid∏owo sformu∏owane odpowiedzi czy przeoczone polecenia. Mo˝na ich unik- nàç tylko przez wzmo˝onà koncentracj´ i opanowanie, bardzo pomocne sà tu wcze- Êniejsze çwiczenia rachunkowe nawet na prostych zadaniach. Kolejny cz´sty rodzaj b∏´dów dotyczy za- daƒ geometrycznych. Maturzysta bez- wiednie rysuje jakiÊ specjalny przypadek, o którym nie ma mowy w poleceniu (np. w zadaniu o dowolnym trójkàcie rysunek przedstawia jakiÊ charakterystyczny trójkàt – prostokàtny lub równoramienny), a na- st´pnie te specjalne w∏asnoÊci figury geome- trycznej z rysunku wykorzystuje w rozwià- zaniu zadania. Procenty, procenty , procenty Egzaminatorzy bardzo lubià zadania z procenta- mi. Rozwiàzujàc te najbardziej typowe warto czasem „na chwil´” wprowadziç pomocniczà niewiadomà. Przyk∏ad: Lodówka najpierw podro˝a∏a o 10%, a potem w ramach promocji potania∏a o 15%. O ile procent zmieni∏a si´ cena lodówki? Zauwa˝my, ˝e nie znamy poczàtkowej jej ceny, ale jak si´ zaraz oka˝e, do niczego nie b´dzie nam ona potrzebna. Oznaczam poczàtkowà ce- n´ lodówki przez x. Po podwy˝ce o 10% b´dzie ona wynosiç x + 10%x = 110% x = 1,1x. Ob- ni˝ka o 15% da nam cen´ 1,1x –15% · 1,1x = 1,1x – 0,165x = 0,935 x. Te- raz musimy policzyç zmian´ procentowà: . A zatem lodówka stania∏a o 6,5%. Cz´sto spotykanym typem zadaƒ z obliczeniami procentowymi sà porównania. W ich przypadku nale˝y pami´taç, ˝e zawsze dzielimy przez wiel- koÊç, która wyst´puje po s∏owach ni˝ i od. Przyk∏ad: JaÊ ma do szko∏y 2 km, a Ma∏gosia 3 km. O ile procent Ma∏gosia ma dalej do szko∏y ni˝ JaÊ, a o ile procent JaÊ ma bli˝ej ni˝ Ma∏gosia? Najpierw obliczamy ró˝nic´ pomi´dzy odle- g∏oÊcià od szko∏y Jasia i Ma∏gosi, która wynosi oczywiÊcie 3 km – 2 km = 1 km. W pierwszym przypadku porównujemy uzyskany wynik do odleg∏oÊci Jasia, otrzymujàc , czyli JaÊ ma o 50% bli˝ej ni˝ Ma∏gosia. W dru- gim porównujemy do odleg∏oÊci od szko∏y Ma∏gosi, co daje nam wynik 33,33%. Strategia: jak rozwiàzywaç maturalne zadania? 1. Egzamin zacznij od szybkiego przejrzenia wszystkich zadaƒ i ju˝ podczas pierwszego czytania staraj si´ wynotowaç wszel- kie dane, przydatne wzory lub sugestie naprowadzajàce na roz- wiàzanie. JeÊli ju˝ na tym etapie pojawi si´ koncepcja komplet- nego rozwiàzania – zanotuj jà i przejdê do nast´pnego zadania. 2. W pierwszej kolejnoÊci rozwià˝ te zadania, z którymi nie masz ˝adnych problemów. Nast´pnie wróç do tych, których rozwiàzania nie by∏eÊ pewny. Dopiero na samym koƒcu spróbuj rozwiàzaç te, o których na poczàtku pomyÊla∏eÊ, ˝e sobie z ni- mi nie poradzisz. 3. Odpowiedê podana w rozwiàzaniu zadania musi korespon- dowaç z jego za∏o˝eniami, dlatego przed jej zapisaniem ponow- nie przeczytaj treÊç pytania. Pami´taj, by wyraênie oznaczyç w∏aÊciwe rozwiàzanie, gdy˝ zostawienie jednego poprawnego i kilku b∏´dnych skutkuje nie przyznaniem punktów. 4 Nigdy nie siedê d∏ugo nad zadaniem, je˝eli nie pojawia si´ szansa na jego rozwiàzanie. 5. O ile to mo˝liwe, rozwiàzuj zadania od razu w czystopisie, w ten sposób zaoszcz´dzisz cenny czas. 6. Pami´taj, ˝e wi´kszoÊç zadaƒ na maturze ∏àczy w sobie ró˝- ne dzia∏y matematyki. 7. W matematyce, w odró˝nieniu od innych przedmiotów, nie jest wa˝na metoda, tylko wynik. Zdarza∏o si´ ju˝, ˝e niektóre zadania maturalne mo˝na by∏o rozwiàzaç nawet 9 sposobami – ka˝dy z nich by∏ poprawny i dawa∏ maksymalnà liczb´ punk- tów. JeÊli u˝yjesz bardzo nietypowej metody, za to w popraw- ny sposób, to i tak otrzymasz maksa! Idê na skróty! Wiele zadaƒ daje si´ rozwiàzaç na kilka sposobów, z których cz´Êç jest zdecydowanie krótsza od innych. By u∏atwiç sobie ˝y- cie na egzaminie warto poznaç kilka sztuczek wykraczajàcych poza minimum programowe – zastosowanie wektorów w geo- metrii analitycznej czy wyznaczników do rozwiàzywania uk∏a- dów równaƒ, twierdzenie cosinusów, twierdzenie o pierwiast- kach ca∏kowitych, dzielenie wielomianów zamiast ich grupowa- nia, zastosowanie wzorów kombinatorycznych. Przyk∏ad: Znajdê d∏ugoÊç wysokoÊci opuszczonej na bok AB w trójkàcie o wierzcho∏kach A = (–1, 2); B = (1, –3), C = (3, 5) Tradycyjnie zadanie rozwiàzujemy nast´pujàco: szukamy równania prostej AB, szukamy równania prostej prostopad∏ej do AB prze- chodzàcej przez C, szukamy punktu przeci´cia si´ tych prostych (np. punkt D), szukamy odleg∏oÊci CD i tak uzyskujemy wysokoÊç. Mamy tu jednak sporo liczenia – trzy uk∏ady równaƒ i wzór na od- leg∏oÊç. Tymczasem wystarczy policzyç ze wzoru z tablic (albo wy- znaczników pary wektorów) pole trójkàta ABC oraz odleg∏oÊç AB (podstawa trójkàta), aby d∏ugoÊç wysokoÊci dostaç niemal od r´ki. Wa˝ne drobiazgi techniczne ● W ˝adnym wypadku nie u˝ywaj korektora, gdy˝ praca mo˝e zostaç uniewa˝niona. Najlepiej wcale nie bierz go na egzamin. ● Poza rysunkami staraj si´ nie u˝ywaç o∏ówka. Je˝eli zapomnisz poprawiç swoje zapiski d∏ugopisem, to ten fragment pracy nie b´- dzie oceniany. ● Nigdy nie sugeruj si´ wielkoÊcià miejsca na arkuszu przezna- czonego na rozwiàzanie. Czasem na zadanie wymagajàce zaled- wie pi´ciu linijek rozwiàzania przeznaczone sà dwie strony, cza- sem odwrotnie. ● JeÊli nie starczy Ci miejsca na arkuszu, kontynuuj rozwiàzanie w brudnopisie. Koniecznie jednak przekreÊl s∏owo brudnopis i na- pisz ciàg dalszy czystopisu podajàc numer zadania, a na arkuszu zaznacz, ˝e dalsze rozwiàzanie jest w brudnopisie. ● Komentarze, nawet te poprawne, ale nie wymagane w treÊci zadania, nie sà przez egzaminatorów brane pod uwag´. Rozgryêç kalkulator Przed maturà koniecznie przetestuj mo˝liwoÊci swojego kalkulatora (pami´taj, ˝e musi byç to kalkulator pro- sty, gdy˝ na egzaminie niedozwolone jest u˝ywanie kalkulatorów naukowych). W zale˝noÊci od modelu mo˝- na liczyç np. 0,125 2 poprzez naciÊni´cie klawiszy 0,125X= albo (1,05) 6 naciskajàc 1X1,05= = = = = = (dla niektórych kalkulatorów 1,05X1= = = = = =). Do tego warto nauczyç si´ pos∏ugiwania pami´ciami (klawi- sze M+, M-, MR), które bardzo przydajà si´ w zadaniach ze statystyki. Wzory dobrze znaç Na egzaminie masz dost´p do wzorów zapisa- nych w tablicach matematycznych, nie trzeba wi´c zaraz uczyç si´ ich na pami´ç (choç warto, gdy˝ nie b´dzie tam wszystkich wzorów i twier- dzeƒ – dla w∏asnego bezpieczeƒstwa przed ma- turà dok∏adnie zapoznaj si´ z tablicami). Koniecz- nie zaÊ trzeba wiedzieç o ich istnieniu tak, by móc je zastosowaç podczas rozwiàzywania zadaƒ. Najwa˝niejszà sprawà jest dostosowanie literek ze wzorów do naszych oznaczeƒ. Pami´taj, ˝e nie zawsze x we wzorze odpowiada literce x w zadaniu. Uwa˝aj, by nie zapomnieç o warto- Êci a we wzorze na pierwiastki równania kwad- ratowego (zamiast maturzyÊci cz´sto piszà ) czy pierwiastku z delty (cz´sto pojawia si´ sama delta). Zwróç te˝ uwag´ na prawid∏owe stosowanie wzorów skróconego mno˝enia (zamiast (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 cz´sto piszemy (a + b) 2 = a 2 + b 2 ). Przydatne triki i wa˝ne wzory: Podstawy, które musisz znaç: Geometria: Pole trójkàta ABC o wierzcho∏kach A=(x A , y A ), B=(x B , y B ), C=(x C , y C ): Pole trójkàta: , gdzie 2p = a + b + c (obwód trójkàta), R – pro- mieƒ okr´gu opisanego i r – promieƒ okr´gu wpisanego; Pole trapezu: Pole równoleg∏oboku: P = ah Deltoid: Graniastos∏up prosty: Pole powierzchni: P = 2p · h+2P p , gdzie 2p jest obwodem podsta- wy danego graniastos∏upa, a P p polem podstawy Obj´toÊç: V = P p · h Ostros∏up: Obj´toÊç: Walec: Pole powierzchni: P b = 2 · π · r · h P p = π · r 2 P = 2 · π · r · (r + h) Obj´toÊç: V = π · r 2 · h r – promieƒ podstawy, h – wysokoÊç walca Sto˝ek: Pole podstawy: P b = π · r · l P p = π · r 2 P = π · r · (r + l) Obj´toÊç: r – promieƒ podstawy, h – wysokoÊç sto˝ka, l – d∏ugoÊç tworzàcej sto˝ka; Kula: Pole powierzchni: P = 4 · π · r 2 Obj´toÊç: r – promieƒ kuli Kàty w okr´gu: Miara kàta wpisanego w okràg jest równa po- ∏owie miary kàta Êrod- kowego, opartego na tym samym ∏uku. Miary kàtów wpisanych w okràg, opartych na tych samych ∏ukach sà równe. Prostopad∏oÊcian: Pole powierzchni: P = 2 (ab + bc + ac) Obj´toÊç: V = abc Dzia∏ania na pot´gach a 0 = 1 dla a ≠ 0 a 1 = a a m · a n = a m+n a m : a n = a m–n dla m>n ` a ≠ 0 (a m ) n = a m · n (a · b) n = a n · b n dla b ≠ 0 Oblicz wartoÊç wyra˝enia: = = (2 15 – 2 16 + 2 –2 + 2 15 ) –1 = (2 · 2 15 – 2 16 + 2 –2 ) –1 = (2 16 – 2 16 + 2 –2 ) –1 = 2 2 = 4 Wzory uproszczonego mno˝enia i dzia∏ania na pierwiastkach (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a – b) 2 = a 2 – 2ab + b 2 (a – b)(a + b) = a 2 – b 2 Je˝eli a≥0, b≥0, m,n ∈ N\{0,1} to: dla b>0 Udowodnij, ˝e jest liczbà ca∏kowità Niech, policzmy x 2 x 2 = Zatem Wi´cej potu na çwi- czeniach = mniej krwi w boju Jak rzetelnie przygotowaç si´ do egzaminu z matematyki? Oto nasze rady: ● Codziennie poÊwi´ç godzin´ zegarowà na rozwiàzywanie zadaƒ, odpoczywaj w weeken- dy ● Uczestnicz we wszystkich dodatkowych bàdê bezp∏atnych zaj´ciach z matematyki ● Rozwiàzuj archiwalne zadania maturalne ● Uzupe∏niaj braki w teorii korzystajàc z pod- r´czników lub internetu, choçby serwisu www.Matematyka.org ● Rozwiàzania zadaƒ sprawdzaj za pomocà in- ternetowego kalkulatora www.Poolicz.pl, który wszystko liczy „krok po kroku” ● Przeglàdaj moderowane przez matematy- ków fora dyskusyjne, dziel si´ na nich swoimi obawami, pytaj – np. na www.ForumMate- matyka.pl Ciàgi arytmetyczne i geometryczne Wzór na n-ty wyraz ciàgu arytmetycznego o da- nym pierwszym wyrazie a 1 : a n = a 1 + (n – 1)r Wzór na sum´ n pierwszy wyrazów ciàgu aryt- metycznego: Wzór na n-ty wyraz ciàgu geometrycznego o danym pierwszym wyrazie a 1 : a n = a 1 · q n–1 Wzór na sum´ n pierwszy wyrazów ciàgu geo- metrycznego: Uzasadnij, ˝e je˝eli liczby x, y, z tworzà ciàg aryt- metyczny rosnàcy, to liczby a = 2 3–5x , b = 2 3–5y , c = 2 3–5z tworzà ciàg geome- tryczny malejàcy. Wiemy, ˝e x < y < z oraz z definicji ciàgu aryt- metycznego x – y = y – z. Aby ciàg a, b, c by∏ cià- giem geometrycznym musimy wykazaç, ˝e : . Korzystajàc z równoÊci x – y = y – z mamy: UdowodniliÊmy, ˝e ciàg liczb a, b, c jest geome- tryczny. Pozosta∏o nam dowieÊç, ˝e ciàg jest malejàcy. Weêmy par´ a, b i policzmy iloraz : . Z zale˝noÊci x < y < z: x – y < 0. Niech: , gdzie k = –(x – y). i k > 0. WykazaliÊmy, ˝e iloraz ciàgu jest mniejszy od 1 i wi´kszy od 0, wi´c ciàg jest malejàcy. Czego nie b´dzie – poziom podstawowy Osoby zdajàce matur´ w roku szkolnym 2008/2009, by∏y przygotowywane do egzami- nu na bazie programów nauczania uwzgl´dniajàcych podstaw´ programowà sprzed wrzeÊnia 2007r. Majàc na uwadze wprowadzone zmiany oraz mogàce z tego powodu wyniknàç problemy, na portalu Perspektywy .pl znajdziesz list´ treÊci, które nie b´- dà obowiàzywa∏y na danym poziomie egzaminów. www.perspektywy.pl/matematyka
description
dów równaƒ, twierdzenie cosinusów, twierdzenie o pierwiast- kach ca∏kowitych, dzielenie wielomianów zamiast ich grupowa- nia, zastosowanie wzorów kombinatorycznych. Przyk∏ad: Znajdê d∏ugoÊç wysokoÊci opuszczonej na bok AB (cz´sto pojawia si´ sama delta). Zwróç te˝ uwag´ na prawid∏owe stosowanie wzorów skróconego mno˝enia (zamiast (a + b) 2 P = 2 · π · r · (r + h) Obj´toÊç: Rozwiàzania zadaƒ sprawdzaj za pomocà in- ternetowego kalkulatora www.Poolicz.pl, = =
Transcript of matura_z_matmy
MATURA z matematyki 2009Ta
jemnic
e K
rólo
wej
Nau
kCz
yli w
szys
tko, c
o m
usisz
wied
zieç n
a 5m
inut p
rzed
matu
rà zm
atem
atyki
Do
mat
ury
jesz
cze
pi´ç
mie
si´cy
, ale
na
nauk
´ ni
gdy
nie
jest
za
wcz
eÊni
e! W
tym
mie
siàcu
pre
zent
ujem
y je
dyny
wsw
oim
rod
zaju
zes
taw
typ
owyc
h m
atem
atyc
znyc
h b∏
´-dó
w o
raz
u˝yt
eczn
ych
pora
d –
wsz
ystk
o pr
zyda
tne
na e
g-za
min
zm
atem
atyk
i.
opr. Grzegorz Ga∏uszka, Lech Rostkowski, Krzysztof Fràczek, Matematyka.org, ForumMatematyka.pl, Poolicz.pl
Za
mie
siàc:
Na
5 m
inut
prz
ed...
WO
S
Âpie
sz s
i´ p
owol
i czy
liuw
aga
na b
∏´dy
Podc
zas
rozw
iàzyw
ania
zada
ƒ m
atur
alnyc
h na
j-cz
´Êcie
j pop
e∏nia
my t
ypow
e b∏
´dy
rach
unko
we
oraz
tzw.
b∏´
dy n
ieuw
agi.
Pier
wsz
y ich
rodz
ajpo
jawia
si´ w
skut
ek p
oÊpi
echu
izd
ener
wow
a-ni
a (ja
k ch
oçby
:
)
. B∏
´dy
nieu
wag
i po
wst
ajà
najc
z´Êc
iej
przy
prze
pisy
wan
iu r
ówna
nia
czy
war
unku
zje
d-ne
j str
ony
na d
rugà
, tak
˝e z
brud
nopi
su d
ocz
ysto
pisu
, ana
wet
zlin
ijki d
o lin
ijki.
Do
te-
go d
ocho
dzà
pom
y∏ki
wyn
ikaj
àce
zni
ezby
tuw
a˝ne
go p
rzec
zyta
nia
treÊ
ci z
adan
ia, a
wi´
cni
epra
wid
∏ow
o sf
orm
u∏ow
ane
odpo
wie
dzi
czy
prze
oczo
ne p
olec
enia
. M
o˝na
ich
unik
-nà
ç ty
lko
prze
z w
zmo˝
onà
konc
entr
acj´
iopa
now
anie
, bar
dzo
pom
ocne
sà
tu w
cze-
Ênie
jsze
çwic
zeni
a ra
chun
kow
e na
wet
na
pros
tych
zad
ania
ch.
Kole
jny
cz´s
ty r
odza
j b∏
´dów
dot
yczy
za-
daƒ
geom
etry
czny
ch.
Mat
urzy
sta
bez-
wie
dnie
rys
uje
jaki
Ê sp
ecja
lny
przy
pade
k,o
któr
ym n
ie m
a m
owy
wpo
lece
niu
(np.
wza
dani
u o
dow
olny
m t
rójk
àcie
rys
unek
prze
dsta
wia
jak
iÊ ch
arak
tery
styc
zny
trój
kàt
– pr
osto
kàtn
y lu
b ró
wno
ram
ienn
y),
ana
-st
´pni
e te
spe
cjal
ne w
∏asn
oÊci
figu
ry g
eom
e-tr
yczn
ej z
rysu
nku
wyk
orzy
stuj
e w
rozw
ià-
zani
u za
dani
a.
Pro
cent
y, p
roce
nty,
proc
enty
Egza
min
ator
zy b
ardz
o lu
bià z
adan
ia zp
roce
nta-
mi.
Rozw
iàzuj
àc t
e na
jbar
dzie
j typ
owe
war
tocz
asem
„na
chw
il´”
wpr
owad
ziç p
omoc
nicz
àni
ewiad
omà.
Przy
k∏ad
: Lod
ówka
najp
ierw
pod
ro˝a
∏a o
10%
,a
pote
m w
ram
ach
prom
ocji
pota
nia∏a
o15
%.
Oile
pro
cent
zm
ieni
∏a si´
cen
a lo
dów
ki?
Zauw
a˝m
y, ˝e
nie
zna
my
pocz
àtko
wej
jej c
eny,
ale ja
k si´
zar
az o
ka˝e
, do
nicz
ego
nie
b´dz
iena
m o
na p
otrz
ebna
. Ozn
acza
m p
oczà
tkow
à ce-
n´ lo
dów
ki p
rzez
x. P
o po
dwy˝
ce o
10%
b´d
zieon
a w
ynos
iç x+
10%
x= 1
10%
x=
1,1
x. O
b-ni
˝ka
o15
% d
a na
m c
en´
1,1x
–15%
· 1,
1x=
1,1
x– 0
,165
x= 0
,935
x. T
e-ra
z m
usim
y po
liczy
ç zm
ian´
proc
ento
wà:
.
Aza
tem
lodó
wka
stan
ia∏a
o6,
5%.
Cz´
sto
spot
ykan
ym ty
pem
zada
ƒ zo
blicz
eniam
ipr
ocen
tow
ymi s
à por
ówna
nia.
Wich
prz
ypad
kuna
le˝y
pam
i´ta
ç, ˝e
zaw
sze
dzie
limy p
rzez
wie
l-ko
Êç, k
tóra
wys
t´pu
je p
o s∏o
wac
h ni
˝io
d.Pr
zyk∏
ad:
JaÊ m
a do
szk
o∏y
2km
, a
Ma∏g
osia
3km
. Oile
pro
cent
Ma∏g
osia
ma d
alej d
o sz
ko∏y
ni˝
JaÊ, a
oile
pro
cent
JaÊ m
a bl
i˝ej n
i˝ M
a∏gos
ia?N
ajpie
rw o
blicz
amy
ró˝n
ic´ p
omi´
dzy
odle
-g∏
oÊcià
od
szko
∏y Ja
sia i
Ma∏
gosi,
któ
ra w
ynos
ioc
zyw
iÊcie
3km
– 2
km =
1km
. Wpi
erw
szym
przy
padk
u po
rów
nuje
my
uzys
kany
wyn
ik d
o
odleg
∏oÊc
i Jas
ia, o
trzym
ujàc
,
czyli
JaÊ m
a o
50%
bli˝
ej n
i˝ M
a∏go
sia. W
dru-
gim p
orów
nuje
my
do o
dleg
∏oÊc
i od
szk
o∏y
Ma∏
gosi,
co
daje
nam
wyn
ik 3
3,33
%.
Stra
tegi
a:ja
k r
ozw
iàzy
waç
mat
ural
ne z
adan
ia?
1. E
gzam
in z
aczn
ij od
szy
bkie
go p
rzej
rzen
ia w
szys
tkich
zad
aƒij
u˝ p
odcz
as p
ierw
szeg
o cz
ytan
ia st
araj
si´ w
ynot
owaç
wsz
el-
kie
dane
, prz
ydat
ne w
zory
lub
suge
stie
nap
row
adza
jàce
na ro
z-w
iàzan
ie. J
eÊli
ju˝
na ty
m e
tapi
e po
jawi s
i´ k
once
pcja
kom
plet
-ne
go ro
zwiàz
ania
– za
notu
j jà
iprz
ejdê
do
nast
´pne
go z
adan
ia.2.
Wpi
erw
szej
kol
ejno
Êci r
ozw
ià˝ t
e za
dani
a, z
któr
ymi n
iem
asz
˝adn
ych
prob
lem
ów. N
ast´
pnie
wró
ç do
tyc
h, k
tóry
chro
zwiàz
ania
nie
by∏e
Ê pew
ny. D
opie
ro n
a sam
ym k
oƒcu
spró
buj
rozw
iàzaç
te, o
któr
ych
na p
oczà
tku
pom
yÊla∏
eÊ, ˝
e so
bie
zni
-m
i nie
por
adzis
z.3.
Odp
owie
dê p
odan
a w
rozw
iàzan
iu z
adan
ia m
usi k
ores
pon-
dow
aç z
jego
za∏o
˝eni
ami, d
lateg
o pr
zed
jej z
apisa
niem
pon
ow-
nie
prze
czyt
aj tr
eÊç
pyta
nia.
Pam
i´ta
j, by
wyr
aêni
e oz
nacz
yçw
∏aÊciw
e ro
zwiàz
anie
, gdy
˝ zo
staw
ieni
e je
dneg
o po
praw
nego
ikilk
u b∏
´dny
ch sk
utku
je n
ie p
rzyz
nani
em p
unkt
ów.
4N
igdy
nie
siedê
d∏u
go n
ad z
adan
iem
, je˝
eli n
ie p
ojaw
ia si´
szan
sa n
a je
go ro
zwiàz
anie
.5.
Oile
to m
o˝liw
e, r
ozw
iàzuj
zad
ania
od r
azu
wcz
ysto
pisie
,w
ten
spos
ób z
aosz
cz´d
zisz
cenn
y cz
as.
6. P
ami´
taj,
˝e w
i´ks
zoÊç
zad
aƒ n
a m
atur
ze ∏à
czy
wso
bie
ró˝-
ne d
zia∏y
mat
emat
yki.
7. W
mat
emat
yce,
wod
ró˝n
ieni
u od
inny
ch p
rzed
mio
tów
, nie
jest
wa˝
na m
etod
a, ty
lko
wyn
ik. Z
darz
a∏o
si´ ju
˝, ˝
e ni
ektó
reza
dani
a m
atur
alne
mo˝
na b
y∏o
rozw
iàzaç
naw
et 9
spos
obam
i–
ka˝d
y z
nich
by∏
pop
raw
ny i
daw
a∏ m
aksy
maln
à lic
zb´
punk
-tó
w. J
eÊli u
˝yje
sz b
ardz
o ni
etyp
owej
met
ody,
za to
wpo
praw
-ny
spos
ób, t
o it
ak o
trzy
mas
z m
aksa
!
Idê
na s
kró
ty!
Wie
le z
adaƒ
daje
si´
roz
wiàz
aç n
a ki
lka
spos
obów
, zkt
óryc
hcz
´Êç
jest
zde
cydo
wan
ie k
róts
za o
d in
nych
. By
u∏at
wiç
sobi
e ˝y
-cie
na
egza
min
ie w
arto
poz
naç
kilk
a sz
tucz
ek w
ykra
czajà
cych
poza
min
imum
pro
gram
owe
– za
stos
owan
ie w
ekto
rów
wge
o-m
etrii
ana
lityc
znej
czy
wyz
nacz
nikó
wdo
roz
wiàz
ywan
ia uk
∏a-dó
w r
ówna
ƒ, t
wie
rdze
nie
cosin
usów
, tw
ierd
zeni
e o
pier
wias
t-ka
ch c
a∏kow
itych
, dzie
leni
e w
ielo
mian
ów z
amias
t ich
gru
pow
a-ni
a, za
stos
owan
ie w
zoró
w k
ombi
nato
rycz
nych
.Pr
zyk∏
ad:
Znajd
ê d∏
ugoÊ
ç w
ysok
oÊci
opus
zczo
nej
na b
ok A
Bw
trój
kàcie
ow
ierz
cho∏
kach
A=
(–1,
2);
B=
(1, –
3), C
= (3
, 5)
Trad
ycyjn
ie za
danie
rozw
iàzuj
emy n
ast´
pujàc
o: sz
ukam
y rów
nania
pros
tej A
B, s
zuka
my
rów
nania
pro
stej p
rosto
pad∏
ej do
AB
prze
-ch
odzà
cej p
rzez
C, s
zuka
my
punk
tu p
rzec
i´cia
si´ ty
ch p
rosty
ch(n
p. p
unkt
D),
szuk
amy
odleg
∏oÊc
i CD
itak
uzy
skuj
emy
wys
okoÊ
ç.M
amy t
u jed
nak
spor
o lic
zenia
– tr
zy u
k∏ad
y rów
naƒ
iwzó
r na o
d-leg
∏oÊç
. Tym
czas
em w
ysta
rczy
pol
iczyç
ze w
zoru
zta
blic
(alb
o w
y-zn
aczn
ików
par
y w
ekto
rów
) pol
e tró
jkàta
ABC
oraz
odl
eg∏o
Êç A
B(p
odsta
wa t
rójkà
ta),
aby d
∏ugo
Êç w
ysok
oÊci
dosta
ç niem
al od
r´ki.
Wa˝
nedr
obia
zgi t
echn
iczn
e�
W˝a
dnym
wyp
adku
nie
u˝y
waj
kore
ktor
a, gd
y˝ p
raca
mo˝
ezo
staç
uni
ewa˝
nion
a. N
ajlep
iej w
cale
nie
bie
rz g
o na
egz
amin
.�
Poza
rys
unka
mi s
tara
j si´
nie u
˝yw
aç o
∏ów
ka. J
e˝eli
zap
omnis
zpo
praw
iç sw
oje
zapi
ski d
∏ugo
pise
m, t
o te
n fra
gmen
t pra
cy n
ie b´
-dz
ie oc
enian
y.�
Nigd
y ni
e su
geru
j si´
wie
lkoÊ
cià m
iejsc
a na
ark
uszu
prz
ezna
-cz
oneg
o na
rozw
iàzan
ie. C
zase
m n
a za
dani
e w
ymag
ajàce
zale
d-w
ie p
i´ciu
lini
jek
rozw
iàzan
ia pr
zezn
aczo
ne sà
dw
ie st
rony
, cza
-se
m o
dwro
tnie
.�
JeÊli
nie
sta
rczy
Ci m
iejsc
a na
ark
uszu
, kon
tynu
uj r
ozw
iàzan
iew
brud
nopi
sie. K
onie
czni
e je
dnak
prz
ekre
Êl s∏o
wo
brud
nopi
sina
-pi
sz c
iàg d
alszy
czy
stop
isupo
dajàc
num
er z
adan
ia, a
na a
rkus
zuza
znac
z, ˝
e da
lsze
rozw
iàzan
ie je
st w
brud
nopi
sie.
�Ko
men
tarz
e, n
awet
te p
opra
wne
, ale
nie
wym
agan
e w
treÊ
ciza
dani
a, ni
e sà
prz
ez e
gzam
inat
orów
bra
ne p
od u
wag
´.
Roz
gryê
ç ka
lkul
ator
Prze
d m
atur
à ko
niec
znie
prz
etes
tuj m
o˝liw
oÊci
swoj
ego
kalk
ulat
ora
(pam
i´ta
j, ˝e
mus
i byç
to k
alkul
ator
pro
-st
y, gd
y˝ n
a eg
zam
inie
nie
dozw
olon
e je
st u
˝yw
anie
kalk
ulat
orów
nau
kow
ych)
. Wza
le˝n
oÊci
od m
odel
u m
o˝-
na li
czyç
np.
0,1
252
popr
zez
naciÊ
ni´c
ie k
lawisz
y 0,
125X
= a
lbo
(1,0
5)6
nacis
kajàc
1X
1,05
= =
= =
= =
(dla
niek
tóry
ch k
alkul
ator
ów 1
,05X
1= =
= =
= =
). D
o te
go w
arto
nau
czyç
si´
pos∏u
giwan
ia pa
mi´
ciam
i (kl
awi-
sze
M+
, M-,
MR)
, któ
re b
ardz
o pr
zyda
jà si´
wza
dani
ach
ze st
atys
tyki
.
Wzo
rydo
brze
zna
çN
a eg
zam
inie
mas
z do
st´p
do w
zoró
w z
apisa
-ny
ch w
tabl
icach
mat
emat
yczn
ych,
nie
trzeb
aw
i´c z
araz
ucz
yç si
´ ich
na
pam
i´ç (c
hoç
war
to,
gdy˝
nie
b´dz
ie ta
m w
szys
tkich
wzo
rów
itw
ier-
dzeƒ
– d
la w
∏asne
go b
ezpi
ecze
ƒstw
a pr
zed
ma-
turà
dok
∏adnie
zapo
znaj
si´ z
tabl
icam
i). K
oniec
z-nie
zaÊ t
rzeb
a wied
zieç o
ich is
tnien
iu ta
k, b
y móc
je za
stoso
waç
pod
czas
rozw
iàzyw
ania
zada
ƒ.
Najw
a˝ni
ejszà
spr
awà
jest d
osto
sow
anie
liter
ekze
wzo
rów
do
nasz
ych
ozna
czeƒ
. Pam
i´taj,
˝e
nie
zaw
sze
xw
e w
zorz
e od
pow
iada
liter
cexw
zada
niu.
Uw
a˝aj,
by n
ie za
pom
nieç
ow
arto
-Êc
i aw
e w
zorz
e na
pie
rwias
tki r
ówna
nia
kwad
-
rato
weg
o (z
amias
t
mat
urzy
Êci
cz´s
to p
iszà
)
czy
pier
wias
tku
zdelt
y
(cz´
sto
pojaw
ia si´
sam
a de
lta).
Zwró
ç te
˝uw
ag´
na p
raw
id∏o
we
stos
owan
ie w
zoró
wsk
róco
nego
mno
˝eni
a (za
mias
t (a
+ b
)2=
a2+
2ab
+ b
2cz
´sto
pisz
emy
(a+
b)2
= a
2+
b2 ).
Prz
ydat
ne t
rik
i iw
a˝ne
wzo
ry:
Pod
staw
y, k
tóre
mus
isz
znaç
:G
eom
etri
a:Po
le t
rójk
àta
ABC
ow
ierz
cho∏
kach
A
=(x
A, y
A),
B=(x
B, y B
), C
=(x
C, y
C):
Pole
tró
jkàt
a:
,
gdzie
2p
= a
+ b
+ c
(obw
ód tr
ójkà
ta),
R–
pro-
mieƒ
okr
´gu
opisa
nego
ir
–pr
omieƒ
okr
´gu
wpi
sane
go;
Pole
tra
pezu
:
Pole
rów
nole
g∏ob
oku:
P=
ah
Del
toid
:
Gra
nias
tos∏u
p pr
osty
:Po
le p
owie
rzch
ni:
P=
2p
· h+
2Pp,
gdzie
2p
jest
obw
odem
pod
sta-
wy
dane
go g
rani
asto
s∏upa
, a P
ppo
lem
pod
staw
yO
bj´t
oÊç:
V=
Pp· h
Ost
ros∏u
p:O
bj´t
oÊç:
Wal
ec:
Pole
pow
ierz
chni
:P b
= 2
· π· r
· hP p
= π
· r2
P=
2· π
· r· (
r+ h
)O
bj´t
oÊç:
V=
π· r
2· h
r–pr
omie
ƒ po
dsta
wy,
h–
wys
okoÊ
ç w
alca
Sto˝
ek:
Pole
pod
staw
y:P b
= π
· r· l
P p=
π· r
2
P=
π· r
· (r+
l)O
bj´t
oÊç:
r–pr
omie
ƒ po
dsta
wy,
h–
wys
okoÊ
ç st
o˝ka
,l–
d∏ug
oÊç
twor
zàce
j sto
˝ka;
Kula
:Po
le p
owie
rzch
ni:
P=
4 ·
π· r
2
Obj
´toÊ
ç:
r–pr
omie
ƒ ku
li
Kàty
wok
r´gu
:M
iara
kàta
wpi
sane
gow
okrà
g je
st r
ówna
po-
∏ow
ie m
iary
kàta
Êro
d-ko
weg
o,
opar
tego
na
tym
sam
ym ∏u
ku.
Miar
y kà
tów
wpi
sany
chw
okrà
g, o
part
ych
naty
ch s
amyc
h ∏u
kach
sà
rów
ne.
Pros
topa
d∏oÊ
cian
:Po
le p
owie
rzch
ni:
P=
2 (a
b+
bc+
ac)
Obj
´toÊ
ç:V
= a
bc
Dzi
a∏an
ia n
a po
t´ga
ch
a0=
1dl
a a
≠0
a1=
aam
· an
= a
m+
n
am: a
n=
am
–n
dla
m>
n `
a ≠
0(a
m)n
= a
m· n
(a· b
) n=
an
· bn
dla
b ≠
0
Obl
icz w
arto
Êç w
yra˝
enia:
= =
(215
– 216
+ 2
–2+
215)–1
=
(2· 2
15–
216+
2–2)–1
=
(216
– 216
+ 2
–2)–1
= 2
2=
4
Wzo
ry u
pros
zczo
nego
mno
˝eni
a id
zia∏
ania
na
pier
wia
stka
ch(a
+ b
)2=
a2
+ 2
ab+
b2
(a–
b)2
= a
2–
2ab
+ b
2
(a–
b)(a
+ b
) = a
2–
b2
Je˝e
li a≥0
, b≥0
, m,n
∈∈ N
\{0,
1} to
:
dla
b>0
Udo
wod
nij,
˝e
jest
liczb
à ca
∏kow
ità
Nie
ch,
polic
zmy
x2
x2=
Zate
m
Wi´
cej p
otu
na ç
wi-
czen
iach
= m
niej
krw
i wbo
juJak
rze
teln
ie p
rzyg
otow
aç s
i´ d
o eg
zam
inu
zm
atem
atyk
i? O
to n
asze
rady
:�
Cod
zienn
ie po
Êwi´ç
god
zin´
zega
row
à na
rozw
iàzyw
anie
zada
ƒ, o
dpoc
zyw
aj w
wee
ken-
dy �U
czes
tnicz
we
wsz
ystk
ich d
odat
kow
ych
bàdê
bez
p∏at
nych
zaj´
ciach
zm
atem
atyk
i�
Rozw
iàzuj
arc
hiw
alne
zada
nia
mat
uraln
e�
Uzu
pe∏n
iaj b
raki
wte
orii
korz
ysta
jàc z
pod-
r´cz
nikó
w l
ub i
nter
netu
, ch
oçby
ser
wisu
ww
w.M
atem
atyk
a.or
g�
Rozw
iàzan
ia za
daƒ
spra
wdz
aj za
pom
ocà
in-
tern
etow
ego
kalk
ulat
ora
ww
w.P
oolic
z.pl
,kt
óry
wsz
ystk
o lic
zy „
krok
po
krok
u”�
Prze
glàda
j m
oder
owan
e pr
zez
mat
emat
y-kó
w fo
ra d
ysku
syjn
e, d
ziel s
i´ n
a ni
ch s
woi
mi
obaw
ami,
pyta
j – n
p. n
a w
ww.
Foru
mM
ate-
mat
yka.
pl
Cià
gi a
rytm
etyc
zne
igeo
met
rycz
ne
Wzó
r na n
-ty w
yraz
ciàg
u ar
ytm
etyc
zneg
o o
da-
nym
pie
rwsz
ym w
yraz
ie a
1:a n
= a
1+
(n–
1)r
Wzó
r na
sum
´ n
pier
wsz
y w
yraz
ów c
iàgu
aryt
-m
etyc
zneg
o:
Wzó
r na
n-ty
wyr
az c
iàgu
geom
etry
czne
goo
dany
m p
ierw
szym
wyr
azie
a1:
a n=
a1
· qn–
1
Wzó
r na
sum
´ n
pier
wsz
y w
yraz
ów c
iàgu
geo-
met
rycz
nego
:
Uza
sadn
ij, ̋e
je˝e
li licz
by x,
y, z
twor
zà ci
àg ar
yt-
met
yczn
y ro
snàc
y, to
liczb
y a
= 2
3–5x, b
= 2
3–5y, c
= 2
3–5z
twor
zà c
iàg g
eom
e-tr
yczn
y m
alejàc
y.
Wie
my,
˝e x
< y
< z
oraz
zde
finicj
i ciàg
u ar
yt-
met
yczn
ego
x–y=
y–
z. Ab
y ciàg
a, b
, cby
∏ cià-
giem
geo
met
rycz
nym
mus
imy
wyk
azaç
, ˝e
:
.
Korz
ysta
jàc z
rów
noÊc
i x–
y= y
–zm
amy:
Udo
wod
niliÊ
my,
˝e c
iàg lic
zb a
, b, c
jest
geo
me-
tryc
zny.
Pozo
sta∏o
nam
dow
ieÊç
, ˝e
ciàg
jest
male
jàcy.
Weê
my
par´
a, b
ipol
iczm
y ilo
raz
:
.
Zza
le˝n
oÊci
x<
y<
z: x
–y<
0.
Nie
ch:
, gdz
ie k
= –
(x–
y).
ik>
0.
Wyk
azali
Êmy,
˝e i
lora
z cià
gu j
est
mni
ejsz
y od
1iw
i´ks
zy o
d 0,
wi´
c cià
g je
st m
alejàc
y.
Cze
go n
ie b
´dzi
e–
pozi
om p
odst
awow
yO
soby
zda
jàce
mat
ur´
wro
ku sz
koln
ym 2
008/
2009
, by∏y
prz
ygot
owyw
ane
do e
gzam
i-nu
na
bazie
pro
gram
ów n
aucz
ania
uwzg
l´dn
iajàc
ych
pods
taw
´ pr
ogra
mow
à sp
rzed
wrz
eÊni
a 20
07r.
Majà
c na
uw
adze
wpr
owad
zone
zm
iany
oraz
mog
àce
zte
go p
owod
uw
ynik
nàç p
robl
emy,
na p
orta
lu P
ersp
ekty
wy.
pl z
najd
ziesz
list´
treÊ
ci, k
tóre
nie
b´-
dà o
bow
iàzyw
a∏y n
a da
nym
poz
iom
ie e
gzam
inów
.w
ww.
pers
pekt
ywy.p
l/mat
emat
yka
matura z matmy 11/24/08 2:06 PM Page 048
