matematyka dla opornych i ich korepetytorów

Matematykamichalina malinowska

matura dla opornych

zestaw Ipoziom podstawowy

Wszelkie prawa zastrzeżone. Nieautoryzowane rozpowszechnianie całości lub fragmentu niniejszej publikacji w jakiejkolwiek postaci jest zabronione. Wykonywanie kopii metodą kserograficzną, foto-graficzną, a także kopiowanie książki na nośniku filmowym, magnetycznym lub innym powoduje naruszenie praw autorskich niniejszej publikacji.

Projekt okładki: Michalina Malinowska

Skład: Michalina Malinowska

Copyright © Michalina Malinowska

ISBN: 978-83-940990-0-8

Dlaczego ludzie uczą się matematyki? Aby nauczać matematyki innych.

Hugo Steinhaus

mdo - matematyka dla opornych

4

odpowiedzi

wstęp

co już potrafię - zestaw I

rozkład materiału

gdy chcesz powrócić do podstaw

gdy szukasz szybkiej powtórki

gdy chcesz dobrze zdać maturę

gdy lubisz wyzwania

57874767881

matematyka: matura dla opornychspis treści

gdy potrzebujesz dowodu 8386

mdo - matematyka dla opornych

wstęp 5

wstęp

Dla większości maturzystów obowiązkowa matura z matematyki to zło konieczne, coś co trzeba zdać a następnie o tym zapomnieć. Nie chcą więc spędzać każdej wolnej chwili zmagając się z dziesiątkami zadań, z których żadne nie pojawi się na egzaminie. W zasadzie to chcą zdać/dobrze zdać maturę przy możliwie jak najmniejszej liczbie rozwiązanych zadań. A gdy liczy się jakoś a nie ilość to przygotowane przeze mnie repetytorium sprawdzi się doskonale.

„Matematyka: matura dla opornych” to zbiór 395 zadań, umożliwiających powtórkę całe-go wymaganego na maturze materiału. Zadania opracowałam na podstawie materiałów udostę- pnionych przez CKE oraz oficjalnych arkuszy maturalnych, są więc dostosowane do aktualnych wymogów oraz standardów. Zrezygnowałam jednak z formy testowej – moim zdaniem ważniejsze od nauki dopasowywania otrzymanych wyników do podanych odpowiedzi jest to, by uczniowie zrozumieli istotę zadań oraz poznali schematy ich rozwiązywania.

Zamieszczone w repetytorium zadania są różnorodne, dlatego ze zbioru mogą korzystać zarówno zatwardziali humaniści, oraz ci, którzy matematykę lubią i rozumieją. Niektóre zadania umożliwiają powrót do korzeni – są powtórką materiału przerabianego w gimnazjum a nawet w szkole podstawowej. Czasami skupiają się na oczywistych oczywistościach – kwestiach często nie tłumaczonych przez nauczycieli bo „to przecież oczywiste i każdy to wie”. Z mojej wieloletniej praktyki wynika jednak, że dla uczniów oczywiste oczywistości wcale nie są tak oczywiste i lepiej (nawet narażając się na śmieszność i protekcjonalne spojrzenia) im o nich wspomnieć. Inne są ty-powymi, schematycznymi zadaniami maturalnymi, zadaniami pewniakami – dzięki ich rozwiązaniu uczeń oswoi się z tym, co go czeka w maju. Mając jednak na uwadze to, że każde drobne odchylenie od schematu czy użycie innego sformułowania w poleceniu może powodować, że proste zadanie staje się problemem nie do rozwiązania, czasami prezentuję je w dość niekonwencjonalnej formie. Dzięki temu uczeń nie tylko uczy się je rozwiązywać, ale także myśleć i kombinować. Osobną grupę zadań stanowią dowody, tych w zbiorze jest aż 31 – ich przykładowe rozwiązania zamieściłam na końcu książki, w dziale z odpowiedziami. Szczególną uwagę polecam zwrócić na dowody na podzielność liczb oraz algebraiczne – tak naprawdę to nie są one trudne, jak już się zrozumie, o co w nich chodzi. A zrozumieć warto, bo co roku pojawiają się one na egzaminie i co roku są wyzwaniem dla wielu maturzystów (w 2014 roku zadanie tego typu rozwiązało zaledwie 8% abi-turientów). Ponadto w repetytorium nie brakuje zadań z modelowania matematycznego (słynnych i oklepanych pociągów, samochodów, turystów…) – także w nowym wydaniu (zgodnym z przykład-ami zamieszczonymi w „Zbiorze zadań maturalnych z matematyki” udostępnianym przez CKE) oraz ambitniejszych zadań wymagających niekonwencjonalnego podejścia oraz matematycznej biegłości i pewności siebie.

mdo - matematyka dla opornych

6 wstęp

Rozwiązanie wszystkich zadań zajmuje około 50 godzin. Jeżeli więc jesteś korepetytorem to pamiętaj o tym planując swoją pracę z uczniem. Jeżeli nie masz tyle czasu możesz pominąć niektóre zadania. By ułatwić ci wybór tych najważniejszych spośród ważnych na końcu książki zamieściłam przykładowe listy zadań, których rozwiązanie polecam. W zależności od poziomu zaawansowania oraz czasu jakim dysponuje twój uczeń możesz wybrać wariant najbardziej dostosowany do jego potrzeb.

Jeżeli któryś z Twoich uczniów zdaje „starą” maturę, również może korzystać z tego repety-torium, ponieważ znajduje się w nim kilka zadań zgodnych z poprzednimi standardami. Zadania te wyróżnione są kolorem zielonym, więc łatwo je odróżnić od pozostałych.

Najlepsze efekty uczniowie osiągają korzystając z pierwszego oraz drugiego zestawu zadań (który ukaże się niebawem). Oba zawierają identyczne zadania, choć oczywiście z innymi wynikami. Pierwszy zestaw możesz wykorzystać podczas korepetycji, rozwiązując go razem z uczniem, drugi natomiast pozostawić uczniowi do samodzielnego, równoległego rozwiązywania. Dzięki temu lepiej utrwali i zapamięta przerabiany materiał.

Brak samodzielnego myślenia oraz przyzwyczajenie do schematów to dwa główne powody dla których matury z matematyki nie zdaje co roku parędziesiąt tysięcy osób. Kolejny to niechęć do tego przedmiotu – głównie wynikająca z zaniedbań sięgających często czasów szkoły podstawowej. Wiadomo: jak się czegoś nie rozumie to trudno to też polubić. Dlatego mam nadzieję, że wszystko to, co oferuje przygotowane przeze mnie repetytorium, czyli gruntowną powtórkę, odświeżanie starych i zdobywanie nowych wiadomości, pozwoli Twoim uczniom nie tylko dobrze zdać maturę, ale także lepiej zrozumieć matematykę, i kto wie… może nawet polubić.

mdo - matematyka dla opornych

rozkład materiału 7

rozkład materiału

1 - 50

wyrażenia algebraiczne

65 - 90równania i nierówności

91 - 170funkcje

51 - 64

ciągi 171 - 219

funkcje trygonometryczne

planimetria

geometria analityczna

stereometria

220 - 231

232 - 286

287 - 331

332 - 361

362 - 395statystyka i rachunek prawdopodonieństwa

czas: 5,5 h

czas: 2,5 h

czas: 3 h

czas: 12 h

czas: 4,5 h

czas: 1,5 h

czas: 7,5 h

czas: 4 h

czas: 5 h

czas: 4,5 h

razem: 395 czas: 50 h

liczby rzeczywiste

mdo - matematyka dla opornych

8 co już potrafię - zestaw I

co już potrafięzestaw I

1 Oblicz:

12 - 21 - 24 + 52

- 15 - 33 - 18 + (- 27)

35 - (- 49) - 17 - (- 13)

23 + 19 34 + 15

2 Oblicz zachowując kolejność wykonywania działań:

3 + 3 • 3

56 : 7 • 2

12 + 7 - 25

-15 : (- 3) + 2 • (-8)

4 Oblicz, nie używając kalku-latora:

0,5 • 0,4 0,8 • ( - 8)

3 Oblicz, zachowując kolejność wykonywania działań:

(8 - 2 • 3)2 + [81 : (- 3)3 + 10]

6 Oblicz:

122,75

3,125231

5 Oblicz:

49

1528 1 6

71 813 32 1

6

3 35

610

1621 8 15 5

6

34

712

35 2 1

218

561

3711,4

mdo - matematyka dla opornych

co już potrafię - zestaw I 9

8 Oblicz:

122

34

47

272

9 Oblicz:

4,15 1320

121,4 3

7 Oblicz:

5 56 (- 2) 9 7

3 1( )2 343 27

8

10 Wynikiem jakiego działania jest:

suma

iloczyn

różnica

iloraz

11 Jakim procentem liczby 35 jest licz-ba 14? Jakim procentem liczby 14 jest liczba 35?

Ile wynosi 45% z 80?

Wyznacz liczbę, której 12% jest rów-ne 36.

Znajdź liczbę o 24% większą od licz-by 60.

Zapisz liczbę o 38% mniejszą od licz-by 150.12 Dane są dwie liczby rzeczywiste a i b:

Liczba a jest o 25% większa od liczby b. Ile wynosi liczba b?

Liczba a stanowi 75% liczby b. Jakim procentem liczby a jest liczba b?

13 W pewnej gildii w grze internetowej RPG stosunek liczby wojowników do elfów i magów wynosi odpowiednio 5 : 8 : 7. Jakim procentem wszystkich graczy w tej gildi są magowie?

mdo - matematyka dla opornych

10 co już potrafię - zestaw I

21 Włącz czynnik pod znak pierwiastka:

2 5 18 2

20 Wyłącz czynnik przed znak pier-wiastka:

12 180

9 + 9 243 3 23 -5 33

17 Oblicz:

81

49

0,0025

1,44

11251

18 Oblicz:

- 0,0083

273

1,3313

2163433

361641

19 Oblicz nie używa-jąc kalkulatora:

2025

3721

576

14400

22801

15 Karolina za połowę swoich oszczędności kupiła grę komputerową. 20 % tego, co jej pozo-stało przeznaczyła na książki. Ile procent oszczędności pozostało Karolinie?

14 W pewnej klasie jest trzy razy więcej dziewczyn niż chłopców. Jaki procent wszystkich uczniów tej klasy stanowią chłopcy?

16 Cenę gry komputerowej obniżono o 10%. Po miesiącu ponownie obniżono jej cenę o 10%. O ile procent łącznie obniżono cenę tej gry?

mdo - matematyka dla opornych

co już potrafię - zestaw I 11

22Usuń niewymierność z mianownika:

52

73 7

32 - 1

23 Oblicz:

2 53 3

5

3 5 2 5

3

2 - 52

2 + 53

48 + 12 3

2 4 2

3 3

3 61

( 6 - 2 )2

24 Oblicz, stosując wzory skróconego mnożenia:

( 5 - 3 )( 3 + 5)

( 2 3 + 3 )2

2 + 2 2( )2

5 - 3( )2

+ 3 5

25 Oblicz korzystając z praw działań na pierwiastkach:

25 + 64 - 81

5(2 3 + 5 3)35

5 + 2 45245

26 Wykaż, że prawdziwa jest nierówność:

12( 1932 + 2016 ) < 2025

27 Zapisz w postaci potęgi liczby 2:

8 12

116 2 8

mdo - matematyka dla opornych

12 co już potrafię - zestaw I

28 Zapisz w postaci potęgi liczby 3:

29 Zapisz w postaci potęgi liczby 5:

27 19

19

127 9 3

125 5625

1253 25 625 5

11255

30 Która z podanych liczb jest większa?

399 czy 2734

749 czy 750

31 Zapisz liczby używając notacji wykładniczej:

5000000

432000

0,00000009

0,0001205

32 Oblicz:

93 127

8134

7 • 12 12 • 76 + 2 3( )0

16

34

5 • 20

1410 3

7 6 + 7 77 6 + 7 5

( 3 + 2 2 )[ 27 - ( ) ]18

32

12

[( 2 + 5) - ( 25 - 2 ) ]212 1

212

mdo - matematyka dla opornych

co już potrafię - zestaw I 13

log232

33 Przedstaw wyrażenie w postaci potęgi liczby a:

39 Oblicz:

log28 + 1

a-3 1a( ) ( a3 1

a74 )14

35 Oblicz:

log 51125

log3 813

log816 2

36 Oblicz:

log200 + log5

log5100 - log520

2log327

log4144 - log4312

7 log714

91 + log34

37 Oblicz:

25 log57

43 - log4 12

38 Korzystając z definicji lo-garytmu określ jakie war-tości może przyjmować x:

log x 7

log (2 - x) 4

log 5 x

log 5 (3x - 9)

log3 + 219

34 Wykaż, że prawdziwa jest nierówność:

230 + 1 + 230 - 1 < 216

40 Oblicz:

log5log232

log8log381

2log16log525

mdo - matematyka dla opornych

14 co już potrafię - zestaw I

Wykaż, że liczba 5 • 33 + 34 + 35 jest po-dzielna przez 17.43

42 Ile wynosi reszta z dzielenia liczby 29 przez 8?

45 Które spośród wypisanych liczb po podzieleniu przez:

3 dają resztę 2?

7 917 5 28

5 dają resztę 3?

375311 10418

47 Które z podanych równości są nieprawdziwe?

( 5 )2 = 52 7 4 = 74

23 = - 2

- 3

-27 = - 273 3

(-3)2 = - 3 -42 = 42

46 Które z wyrażeń są równe wyrażeniu 18 + 4,5 3?

9(2 + )2 3

218 + 9 3

29(4 + 3)

17=1

- 7

55 = (-5)5

41 Wyznacz wartość x:

log5(3x + 5) = 3

log9 log2(2x + 2) - = 012

log 6 2x = 2

Wykaż, że liczba 211 - 213 + 215 jest podziel-na przez 26.44

mdo - matematyka dla opornych

co już potrafię - zestaw I 15

48 Liczbę 27,4 zaokrąglij do cyfry jedności oraz dziesiątek. Dla obu zaokrągleń oblicz błąd względny i bezwzględny przybliżenia a t akże określ typ przybliżenia (przybliżenie z nad-miarem bądź niedomiarem).

49 Liczba 20 jest przybliżeniem liczby x. Błąd bezwzględny tego przybliżenia wynosi 0,48. Wy-znacz liczbę x (rozważ dwa przypadki).

50 Liczba 2 jest przybliżeniem z niedomiarem liczby x. Błąd względny tego przybliżenia wynosi 20%. Oblicz wartość x.

51 Zapisz za pomocą wyrażeń algebraicznych:

liczbę o sześć mniejszą od c

liczbę o pięć większą od a

liczbę cztery razy mniejsza od d

liczbę trzy razy większą od b

liczbę, która stanowi 75% liczby e

liczbę o 35% większą od liczby f

52 Zapisz za pomocą wyrażeń algebraicznych (podaj konieczne założenia):

liczbę parzystą

liczbę nieparzystą

trzy kolejne liczby naturalne

liczbę podzielną przez 7

liczbę, która dzieląc się przez 3 daje resztę 2

liczbę dwucyfrową

53 Oblicz wartość poniższych wyrażeń dla a = 3 i a = - 2

2a - a a2 + 5 - a2 + 2(- a)2

mdo - matematyka dla opornych

16 co już potrafię - zestaw I

54 Uporządkuj jednomiany:

-2 • 4a • b (-5)25 c c c

- 2 (-5) • (- d2) • (-2) • d-1

55 Wyciągnij największy wspólny czynnik przed nawias:

9a3 + 15a2 - 3a 16a2b2 - ab 48 + 8a2b

- 50c4 - 75c5 + 25c6 12 x4 1

4 x3 58 x2

57 Wyznacz wartość b wiedząc, że:

0,5b = 2,4a

12 b = b

4 + a

3b + 7a2 = ab

56 Wyznacz ze wzoru:

wartość a2 a1 a2 = - 1

wartość t stv =

wartość a b2 - 4ac4aq =q =

(2a + 3b)2 12( c - 5d)2

(4a + b) (4a - b)

58 Zapisz w postaci sumy algebraicznej:

( c + d)223

34

(7a - 2b)2 (2c + d) (d - 2c)

mdo - matematyka dla opornych

co już potrafię - zestaw I 17

59 Zapisz w postaci iloczynowej:

60 Wykonaj działania i zredukuj wy-razy podobne:

6a - 5a2 - 4a + 7a2

61 Wykonaj działanie:

22a + 1

5a - 3

2b + 13 - b

3 - b1 + 2b

a2 + 2ab + b2

9c4 - 12c2d + 4d2

6a2 + 6 2ab + 3b2

14 c2 + 4d2 - 4cd

a + 2 ab + b

- 25c2 + 20cd - 4d2

2b3(0,5b2 - 10b) - 4b4( - b)32

(a + b)(2a - b) - (3b - a)(a + 3b) a + b2a ( )4

b - a

62 Dana jest liczba x taka, że: x ϵ <- 5 , 5) ∩ (5, + ∞)

czy x = 5 ?

czy x = 50 ?

63 Zaznacz przedział na osi liczbowej:

x ϵ (- ∞ , - 7 > (3, + ∞ )∩

x ϵ (- 11 , 15) / < 2, 7 >

(3a2 + a2 - 2)(a2 - 2a + 1) 2aa - b b

a + b

mdo - matematyka dla opornych

18 co już potrafię - zestaw I

-5 3 -10 -3

65 Sprawdź, czy liczba x jest rozwiązaniem równania:

34 x + 6 = 2x + 1

64 Jaki przedział zaznaczono na osi liczbowej?

x = - 5

- x + 12 = x - 7

x = 1 - 2

x2 = 2x + 1

x = 13

6x + 2 = 5 - 3x

66 Rozwiąż równanie:

5x + 15 = 0 25 x = 6

- (3x + 2) = 4(1,5x + 5)

x + 22

2x - 23 = x + 2

6 x - 3 = x 3

67 Rozwiąż równanie korzystając z własności iloczynu:

x(x - 4)(3x + 9) = 0 - 3x(x2 - 36) = 0

(x2 - 16)(3x3 + 24) = 0 (x2 - 8)(3x2 + 36) = 0