MATEMATYKAMATEMATYKATrygonometria

TRYGONOMETRIATRYGONOMETRIA

Sinus Cosinus Tangens Cotangens

Wykres funkcji y=sinx Dziedzina Zbiór wartości Miejsca zerowe Monotoniczność Znak wartości funkcji Wartość największa i najmniejsza Przykładowe równania i nierówności

SINUSSINUS

Wykres funkcji y=cosx Dziedzina Zbiór wartości Miejsca zerowe Monotoniczność Znak wartości funkcji Wartość największa i najmniejsza Przykładowe równania i nierówności

COSINUSCOSINUS

Wykres funkcji y=tgx Dziedzina Zbiór wartości Miejsca zerowe Monotoniczność Znak wartości funkcji Wartość największa i najmniejsza Elementarne równania i nierówności

TANGENSTANGENS

Wykres funkcji y=ctgx Dziedzina Zbiór wartości Miejsca zerowe Monotoniczność Znak wartości funkcji Wartość największa i najmniejsza Przykładowe równania i nierówności

COTANGENSCOTANGENS

Wykres funkcji Wykres funkcji y=sinxy=sinx

DziedzinaDziedzina

xxRR

ZbiórZbiór wartościwartości

yy<-1,1><-1,1>

Miejsca zeroweMiejsca zerowe

Ckkxy 00

MonotonicznośćMonotonicznośćFunkcja rosnącaFunkcja rosnąca

Ckkkxy

2

2,2

2

MonotonicznośćMonotonicznośćFunkcja malejącaFunkcja malejąca

Ckkkxy

2

2

3,2

2

Znak wartości funkcjiZnak wartości funkcjiFunkcja stale dodatniaFunkcja stale dodatnia

Ckkkxy 2,200

Znak wartości funkcjiZnak wartości funkcjiFunkcja stale ujemnaFunkcja stale ujemna

Ckkkxy 20,20

Wartość największaWartość największa

CkkxY

22

1max

Wartość najmniejszaWartość najmniejsza

CkkxY

22

1min

Przykładowe równania i nierównościPrzykładowe równania i nierówności

2

2sin

2

1sin

2

2sin

2

3sin

2

1sin

1sin

1sin

0sin

x

x

x

x

x

x

x

x

2

2sin

2

1sin

2

2sin

2

3sin

2

1sin

1sin

1sin

0sin

x

x

x

x

x

x

x

x

Przykładowe równania i nierównościPrzykładowe równania i nierówności

Ckkx 0

Przykładowe równania i nierównościPrzykładowe równania i nierówności

2

2sin

2

1sin

2

2sin

2

3sin

2

1sin

1sin

1sin

0sin

x

x

x

x

x

x

x

x

Ckkx

22

Przykładowe równania i nierównościPrzykładowe równania i nierówności

2

2sin

2

1sin

2

2sin

2

3sin

2

1sin

1sin

1sin

0sin

x

x

x

x

x

x

x

x

Ckkx

22

Przykładowe równania i nierównościPrzykładowe równania i nierówności

2

2sin

2

1sin

2

2sin

2

3sin

2

1sin

1sin

1sin

0sin

x

x

x

x

x

x

x

x

Ckkxkx

26

52

6

Przykładowe równania i nierównościPrzykładowe równania i nierówności

2

2sin

2

1sin

2

2sin

2

3sin

2

1sin

1sin

1sin

0sin

x

x

x

x

x

x

x

x

Ckkxkx

23

23

2

Przykładowe równania i nierównościPrzykładowe równania i nierówności

2

2sin

2

1sin

2

2sin

2

3sin

2

1sin

1sin

1sin

0sin

x

x

x

x

x

x

x

x

Ckkxkx

24

32

4

Przykładowe równania i nierównościPrzykładowe równania i nierówności

2

2sin

2

1sin

2

2sin

2

3sin

2

1sin

1sin

1sin

0sin

x

x

x

x

x

x

x

x

Ckkkx

24

3,2

6

Przykładowe równania i nierównościPrzykładowe równania i nierówności

2

2sin

2

1sin

2

2sin

2

3sin

2

1sin

1sin

1sin

0sin

x

x

x

x

x

x

x

x

Ckkkx

2

4,2

4

5

Wykres funkcji Wykres funkcji y=cosxy=cosx

DziedzinaDziedzina

xxRR

ZbiórZbiór wartościwartości

yy<-1,1><-1,1>

Miejsca zeroweMiejsca zerowe

Ckkxy

2

0

MonotonicznośćMonotonicznośćFunkcja rosnącaFunkcja rosnąca

Ckkkxy 20,2

MonotonicznośćMonotonicznośćFunkcja malejącaFunkcja malejąca

Ckkkxy 2,20

Znak wartości funkcjiZnak wartości funkcjiFunkcja stale dodatniaFunkcja stale dodatnia

Ckkkxy

2

2,2

20

Znak wartości funkcjiZnak wartości funkcjiFunkcja stale ujemnaFunkcja stale ujemna

Ckkkxy

22

3,2

20

Wartość największaWartość największa

CkkxY 201max

Wartość najmniejszaWartość najmniejsza

CkkxY

22

1min

Przykładowe równania i nierównościPrzykładowe równania i nierówności

2

3cos

2

1cos

1cos

1cos2

3cos

2

2cos

2

1cos

2

3cos

2

2cos

2

1cos

0cos

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

Przykładowe równania i nierównościPrzykładowe równania i nierówności

Ckkx

2

2

3cos

2

1cos

1cos

1cos2

3cos

2

2cos

2

1cos

2

3cos

2

2cos

2

1cos

0cos

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

Przykładowe równania i nierównościPrzykładowe równania i nierówności

kxkx 23

23

2

3cos

2

1cos

1cos

1cos2

3cos

2

2cos

2

1cos

2

3cos

2

2cos

2

1cos

0cos

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

Przykładowe równania i nierównościPrzykładowe równania i nierówności

kxkx 24

24

2

3cos

2

1cos

1cos

1cos2

3cos

2

2cos

2

1cos

2

3cos

2

2cos

2

1cos

0cos

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

Przykładowe równania i nierównościPrzykładowe równania i nierówności

kxkx 26

26

2

3cos

2

1cos

1cos

1cos2

3cos

2

2cos

2

1cos

2

3cos

2

2cos

2

1cos

0cos

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

Przykładowe równania i nierównościPrzykładowe równania i nierówności

kxkx 23

22

3

2

2

3cos

2

1cos

1cos

1cos2

3cos

2

2cos

2

1cos

2

3cos

2

2cos

2

1cos

0cos

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

Przykładowe równania i nierównościPrzykładowe równania i nierówności

kxkx 24

32

4

3

2

3cos

2

1cos

1cos

1cos2

3cos

2

2cos

2

1cos

2

3cos

2

2cos

2

1cos

0cos

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

Przykładowe równania i nierównościPrzykładowe równania i nierówności

kxkx 26

52

6

5

2

3cos

2

1cos

1cos

1cos2

3cos

2

2cos

2

1cos

2

3cos

2

2cos

2

1cos

0cos

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

Przykładowe równania i nierównościPrzykładowe równania i nierówności

kx 202

3cos

2

1cos

1cos

1cos2

3cos

2

2cos

2

1cos

2

3cos

2

2cos

2

1cos

0cos

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

Przykładowe równania i nierównościPrzykładowe równania i nierówności

kx 22

3cos

2

1cos

1cos

1cos2

3cos

2

2cos

2

1cos

2

3cos

2

2cos

2

1cos

0cos

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

Przykładowe równania i nierównościPrzykładowe równania i nierówności

Ckkkx

2

3,2

3

2

3cos

2

1cos

1cos

1cos2

3cos

2

2cos

2

1cos

2

3cos

2

2cos

2

1cos

0cos

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

Przykładowe równania i nierównościPrzykładowe równania i nierówności

Ckkkx

26

4,2

6

2

3cos

2

1cos

1cos

1cos2

3cos

2

2cos

2

1cos

2

3cos

2

2cos

2

1cos

0cos

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

Wykres funkcji Wykres funkcji y=tgxy=tgx

DziedzinaDziedzina

CkkRx

2

\

ZbiórZbiór wartościwartości

yyRR

Miejsca zeroweMiejsca zerowe

Ckkxy 0

MonotonicznośćMonotonicznośćFunkcja rosnącaFunkcja rosnąca

Dxy

MonotonicznośćMonotonicznośćFunkcja malejącaFunkcja malejąca

xy

Znak wartości funkcjiZnak wartości funkcjiFunkcja stale dodatniaFunkcja stale dodatnia

Ckkkxy

2,00

Znak wartości funkcjiZnak wartości funkcjiFunkcja stale ujemnaFunkcja stale ujemna

Ckkkxy

0,

20

Wartość najmniejszaWartość najmniejsza

YYminmin - nie istnieje - nie istnieje

Wartość największaWartość największa

YYmaxmax - nie istnieje - nie istnieje

3

3

1

3

13

3

3

3

3

1

0

tgx

tgx

tgx

tgx

tgx

tgx

tgx

tgx

tgx

Elementarne równania i nierównościElementarne równania i nierówności

Elementarne równania i nierównościElementarne równania i nierówności

Ckkx 03

3

1

3

13

3

3

3

3

1

0

tgx

tgx

tgx

tgx

tgx

tgx

tgx

tgx

tgx

Elementarne równania i nierównościElementarne równania i nierówności

Ckkx

4

3

3

1

3

13

3

3

3

3

1

0

tgx

tgx

tgx

tgx

tgx

tgx

tgx

tgx

tgx

Elementarne równania i nierównościElementarne równania i nierówności

Ckkx

6

3

3

1

3

13

3

3

3

3

1

0

tgx

tgx

tgx

tgx

tgx

tgx

tgx

tgx

tgx

Elementarne równania i nierównościElementarne równania i nierówności

Ckkx

33

3

1

3

13

3

3

3

3

1

0

tgx

tgx

tgx

tgx

tgx

tgx

tgx

tgx

tgx

Elementarne równania i nierównościElementarne równania i nierówności

Ckkx

6

3

3

1

3

13

3

3

3

3

1

0

tgx

tgx

tgx

tgx

tgx

tgx

tgx

tgx

tgx

Elementarne równania i nierównościElementarne równania i nierówności

Ckkx

4

3

3

1

3

13

3

3

3

3

1

0

tgx

tgx

tgx

tgx

tgx

tgx

tgx

tgx

tgx

Elementarne równania i nierównościElementarne równania i nierówności

Ckkx

3

3

3

1

3

13

3

3

3

3

1

0

tgx

tgx

tgx

tgx

tgx

tgx

tgx

tgx

tgx

Elementarne równania i nierównościElementarne równania i nierówności

Ckkkx

2,

43

3

1

3

13

3

3

3

3

1

0

tgx

tgx

tgx

tgx

tgx

tgx

tgx

tgx

tgx

Elementarne równania i nierównościElementarne równania i nierówności

Ckkkx

6,

23

3

1

3

13

3

3

3

3

1

0

tgx

tgx

tgx

tgx

tgx

tgx

tgx

tgx

tgx

Wykres funkcji Wykres funkcji y=ctgxy=ctgx

DziedzinaDziedzina

CkkRx 0\

ZbiórZbiór wartościwartości

yyRR

Miejsca zeroweMiejsca zerowe

Ckkxy

2

0

MonotonicznośćMonotonicznośćFunkcja rosnącaFunkcja rosnąca

xy

MonotonicznośćMonotonicznośćFunkcja malejącaFunkcja malejąca

Dxy

Znak wartości funkcjiZnak wartości funkcjiFunkcja stale dodatniaFunkcja stale dodatnia

Ckkkxy

2,00

Znak wartości funkcjiZnak wartości funkcjiFunkcja stale ujemnaFunkcja stale ujemna

Ckkkxy

,2

0

Wartość najmniejszaWartość najmniejsza

YYminmin - nie istnieje - nie istnieje

Wartość największaWartość największa

YYmaxmax - nie istnieje - nie istnieje

3

1

3

13

3

3

13

3

0

ctgx

ctgx

ctgx

ctgx

ctgx

ctgx

ctgx

ctgx

ctgx

Przykładowe równania i nierównościPrzykładowe równania i nierówności

Przykładowe równania i nierównościPrzykładowe równania i nierówności

Ckkx

2

3

1

3

13

3

3

13

3

0

ctgx

ctgx

ctgx

ctgx

ctgx

ctgx

ctgx

ctgx

ctgx

Przykładowe równania i nierównościPrzykładowe równania i nierówności

Ckkx

3

3

1

3

13

3

3

13

3

0

ctgx

ctgx

ctgx

ctgx

ctgx

ctgx

ctgx

ctgx

ctgx

Przykładowe równania i nierównościPrzykładowe równania i nierówności

Ckkx

4

3

1

3

13

3

3

13

3

0

ctgx

ctgx

ctgx

ctgx

ctgx

ctgx

ctgx

ctgx

ctgx

Przykładowe równania i nierównościPrzykładowe równania i nierówności

Ckkx

6

3

1

3

13

3

3

13

3

0

ctgx

ctgx

ctgx

ctgx

ctgx

ctgx

ctgx

ctgx

ctgx

Przykładowe równania i nierównościPrzykładowe równania i nierówności

Ckkx

3

3

1

3

13

3

3

13

3

0

ctgx

ctgx

ctgx

ctgx

ctgx

ctgx

ctgx

ctgx

ctgx

Przykładowe równania i nierównościPrzykładowe równania i nierówności

Ckkx

4

3

1

3

13

3

3

13

3

0

ctgx

ctgx

ctgx

ctgx

ctgx

ctgx

ctgx

ctgx

ctgx

Przykładowe równania i nierównościPrzykładowe równania i nierówności

Ckkx

6

3

1

3

13

3

3

13

3

0

ctgx

ctgx

ctgx

ctgx

ctgx

ctgx

ctgx

ctgx

ctgx

Przykładowe równania i nierównościPrzykładowe równania i nierówności

Ckkkx

4,0

3

1

3

13

3

3

13

3

0

ctgx

ctgx

ctgx

ctgx

ctgx

ctgx

ctgx

ctgx

ctgx

Przykładowe równania i nierównościPrzykładowe równania i nierówności

Ckkkx

,

6

3

1

3

13

3

3

13

3

0

ctgx

ctgx

ctgx

ctgx

ctgx

ctgx

ctgx

ctgx

ctgx