Matematyka w liceum - zspradzyn.internetdsl.plzspradzyn.internetdsl.pl/matura/matematyka1.pdf ·...

spis treci

wicej w MatTV

symbole

dodaj do drukowania

zgo bd na str. 1

szukasz i nie ma?

20 luty 2007pobierz nowszy

[email protected]

www.matematyka.pisz.pl

matematyka w liceum - matura z matematyki - zadaniamatematyka w przykadach - zadania z penymi rozwizaniami - arkusze maturalne rozwizane krok po kroku

Witam! Ten facet na zdjciu obok to ja JakubGrzegorzek. Od kilku lat pomagam w nauce mate-matyki. Czsto widziaem sytuacj, e czowiek czytazadania i ciana. Zupenie nie wie, z ktrej stronyje ugry. Co wtedy? Otwierasz mj ebook i szukaszpodobnego zadania. Czytasz rozwizanie i na jegopodstawie prbujesz wymyle swoje. Dlatego zawar-em w ebooku moliwie du liczb przykadw. Mamnadziej, e znajdziesz, to co szukasz. Klinij poniej.

pom mi spopularyzowa ten ebook

Matematykaw liceum

http://www.matematyka.pisz.pl/drukowanie/dodaj.pl?strona=1mailto:[email protected]://www.matematyka.pisz.plhttp://www.matematyka.pisz.pl/sznurki/sznurki.pl

spis treci

wicej w MatTV

symbole

dodaj do drukowania

zgo bd na str. 2

szukasz i nie ma?


[email protected]


Nie przegldaj strona po stronie !!!!!

Nie uywaj rolki w myszce !!!!!

Po tym ebooku naley porusza si TYLKO klikajc oznaczony na niebiesko tekst.

Jak chcesz si cofn, kliknij niebiesk strzak.

Zacznij jeszcze raz. Kliknij tutaj

spis treci

http://www.matematyka.pisz.pl/drukowanie/dodaj.pl?strona=2mailto:[email protected]://www.matematyka.pisz.pl

spis treci

wicej w MatTV

symbole

dodaj do drukowania

zgo bd na str. 3

szukasz i nie ma?


[email protected]


Spis treci:

liczby i wyraenia algebraiczne trygonometria zbiory, warto bezwgldna, indukcja geometria na paszczynie funkcja i jej wasnoci geometria analityczna funkcja liniowa geometria w przestrzeni funkcja kwadratowa kombinatoryka, prawdopodobiestwo, wielomiany elementy statystyki funkcje wymierne funkcja wykadnicza MATURA logarytmy cigi i ich granice blog granica funkcji w pom mi spopularyzowa ten ebook granica w punkcie i pochodna funkcji

za dua czcionka? jak ja to napisaem

gra w kropki

przegldanie drukowanie MatTV

kontakt z autorem: [email protected]

20 luty 2007r.

http://www.matematyka.pisz.pl/drukowanie/dodaj.pl?strona=3mailto:[email protected]://www.matematyka.pisz.plhttp://www.matematyka.pisz.pl/sznurki/sznurki.plmailto:[email protected]

spis treci

wicej w MatTV

symbole

dodaj do drukowania

zgo bd na str. 4

szukasz i nie ma?


[email protected]


Nie przegldaj strona po stronie !!!!!

Nie uywaj rolki w myszce !!!!!

Po tym ebooku naley porusza si TYLKO klikajc oznaczony na niebiesko tekst.

Jak chcesz si cofn, kliknij niebiesk strzak.

Zacznij jeszcze raz. Kliknij tutaj

spis treci


spis treci

wicej w MatTV

symbole

dodaj do drukowania

zgo bd na str. 5

szukasz i nie ma?


[email protected]


-3 1 2 4

A B

Dla przedziaw A = (3, 2 i B = (1, 4 wyznacz A B, A B, A \ B, B \ A, A,B.

Zaznaczamy przedziay na osi liczbowej i odczytujemy rozwizanie:

suma: A B = (3, 4cz wsplna: A B = (1, 2rnica: A \B = (3, 1rnica: B \A = (2, 4dopenienie: A = (,3 (2,)dopenienie: B = (, 1 (4,)

http://www.matematyka.pisz.pl/MatTV/5k.htmlhttp://www.matematyka.pisz.pl/drukowanie/dodaj.pl?strona=5mailto:[email protected]://www.matematyka.pisz.pl

spis treci

wicej w MatTV

symbole

dodaj do drukowania

zgo bd na str. 6

szukasz i nie ma?


[email protected]


wymagania maturalne zdajcy potrafi: wyznaczy sum, iloczyn, rnic, dopenienieprzedziaw liczbowych oraz innych podzbiorw zbioruliczb rzeczywistych

. Dla przedziaw A = (3, 2 i B = (1, 4 wyznacz A B, A B, A \B, B \A,A, B.


spis treci

wicej w MatTV

symbole

dodaj do drukowania

zgo bd na str. 7

szukasz i nie ma?


[email protected]


2 5

2 5

2 5

2 5

2

5

Przedziay liczbowePrzykady:

2, 5 Przedzia obustronnie domknity, zawiera liczby od 2 do 5.

(2, 5) Przedzia obustronnie otwarty, zawiera liczby od 2 do 5, bez 2 i 5.

2, 5) Przedzia lewostronnie domknity, zawiera liczby od 2 do 5,bez 5.

(2, 5 Przedzia prawostronnie domknity, zawiera liczby od 2 do 5,bez 2.

Nawiasy przy zawsze okrge2,) Przedzia lewostronnie domknity, zawiera liczby wiksze

lub rwne 2.

(, 5) Przedzia prawostronnie otwarty, zawiera liczby mniejsze od 5.


spis treci

wicej w MatTV

symbole

dodaj do drukowania

zgo bd na str. 8

szukasz i nie ma?


[email protected]


1 2 3 4

A B

1 2 3 4

A B

1 2 3 4

A B

1 3

AA A

Dziaania na przedziaach

suma: A BSuma przedziaw A i B to przedzia zawierajcy wszystkie liczby z przedziaw A i B.

przykad:A = (1, 3) B = (2, 4) A B = (1, 4)

cz wsplna (iloczyn): A BCz wsplna przedziaw A i B to przedzia zawierajcy liczby wsplne dla przedziaw Ai B.

przykad:A = (1, 3) B = (2, 4) A B = (2, 3)

Rnica : A \BRnica przedziaw A i B to przedzia zawierajcy liczby nalece do przedziau A, ale nienalece do przedziau B.

przykad:A = (1, 3) B = (2, 4) A \B = (1, 2

Dopenienie: A

Dopenienie przedziau A to przedzia lub suma przedziaw zawierajca liczby, ktre nienale do przedziau A.

przykad:A = (1, 3) A = (, 1 3,)


spis treci

wicej w MatTV

symbole

dodaj do drukowania

zgo bd na str. 9

szukasz i nie ma?


[email protected]


wymagania maturalne zdajcy potrafi: zaznacza na osi liczbowej zbiory opisaneza pomoc rwna i nierwnoci z wartoci bezwzgldntypu: |x a| = b, |x a| < b, |x a| > b

Rozwi rwnania:. |x| = 3 . |x+ 1| = 2 . |x 3| = 0. |x+ 4| = 5 .

(x+ 5)2 = 4

Rozwi nierwnoci:. |x| < 3 . |x 4| < 2 . |8 2x| 4. |x| > 2 . |2x 6| 4


spis treci

wicej w MatTV

symbole

dodaj do drukowania

zgo bd na str. 10

szukasz i nie ma?


[email protected]


Rozwi rwnanie:

|x| = 3

Warto bezwzgldna z 3 i 3 jest rwna 3, a wic:

x = 3 lub x = 3


spis treci

wicej w MatTV

symbole

dodaj do drukowania

zgo bd na str. 11

szukasz i nie ma?


[email protected]


Rozwi rwnanie:

|x+ 1| = 2


x+ 1 = 2 lub x+ 1 = 2x = 2 1 x = 2 1x = 3 x = 1


spis treci

wicej w MatTV

symbole

dodaj do drukowania

zgo bd na str. 12

szukasz i nie ma?


[email protected]


Rozwi rwnanie:

|x 3| = 0

Warto bezwzgldna tylko z 0 jest rwna 0, a wic:

x 3 = 0x = 3


spis treci

wicej w MatTV

symbole

dodaj do drukowania

zgo bd na str. 13

szukasz i nie ma?


[email protected]


Rozwi rwnanie:

|x+ 4| = 5

Warto bezwzgldna nie moe by ujemna, a wic rwnanie nie marozwizania.


spis treci

wicej w MatTV

symbole

dodaj do drukowania

zgo bd na str. 14

szukasz i nie ma?


[email protected]


Rozwi rwnanie: (x+ 5)2 = 4

Zgodnie ze wzoremx2 = |x| moemy napisa

(x+ 5)2 = |x+ 5|.

|x+ 5| = 4


x+ 5 = 4 lub x+ 5 = 4x = 4 5 x = 4 5x = 9 x = 1


spis treci

wicej w MatTV

symbole

dodaj do drukowania

zgo bd na str. 15

szukasz i nie ma?


[email protected]


03

3

0 5

5

warto bezwzgldna

warto bezwzgldna z dowolnej liczby jest dodatnia lub rwna zero.

|x| ={x gdy x 0x gdy x < 0

przykady:|4| = 4 | 4| = 4 |0| = 0| 5| = 5 | 12 | =

12

interpretacja geometryczna wartoci bezwzgldnej

warto bezwzgldna liczby jest rwna jej odlegoci od zera na osi liczbowej

przykady:

| 3| = 3 |5| = 5

wasnoci wartoci bezwzgldnej

|x| 0 | x| = |x|x2 = |x|

|x y| = |x| |y| |x| = |y| x = y lub x = yxy = |x||y| |x+ y| |x|+ |y|


spis treci

wicej w MatTV

symbole

dodaj do drukowania

zgo bd na str. 16

szukasz i nie ma?


[email protected]


-3 3

Rozwi nierwno:

|x| < 3

Nierwno z wartoci bezwzgldn mona zastpi ukadem nierwnoci bez wartoci bez-wzgldnej.

x < 3 i x > 3

Rozwizaniem jest cz wsplna przedziaw:

x (3, 3)


spis treci

wicej w MatTV

symbole

dodaj do drukowania

zgo bd na str. 17

szukasz i nie ma?


[email protected]


2 6

Rozwi nierwno:

|x 4| < 2


x 4 < 2 i x 4 > 2x < 2 + 4 x > 2 + 4x < 6 x > 2


x (2, 6)


spis treci

wicej w MatTV

symbole

dodaj do drukowania

zgo bd na str. 18

szukasz i nie ma?


[email protected]


2 6

Rozwi nierwno:

|8 2x| 4


8 2x 4 i 8 2x 42x 4 8 2x 4 82x 4 / : (2) 2x 12 / : (2)x 2 x 6


x 2, 6


spis treci

wicej w MatTV

symbole

dodaj do drukowania

zgo bd na str. 19

szukasz i nie ma?


[email protected]


-2 2

Rozwi nierwno:

|x| > 2


x > 2 lub x < 2

Rozwizaniem jest suma przedziaw:

x (,2) (2,)


spis treci

wicej w MatTV

symbole

dodaj do drukowania

zgo bd na str. 20

szukasz i nie ma?


[email protected]


1 5

Rozwi nierwno:

|2x 6| 4


2x 6 4 lub 2x 6 42x 4 + 6 2x 4 + 62x 10 / : 2 2x 2 / : 2x 5 x 1

Rozwizaniem jest suma przedziaw:

x (, 1 5,)


spis treci

wicej w MatTV

symbole

dodaj do drukowania

zgo bd na str. 21

szukasz i nie ma?


[email protected]


Definicja funkcji

Funkcja f : X Y to przyporzdkowanie, ktre kademu elementowi zbioru X przypo-rzdkowuje dokadnie jeden element ze zbioru Y .

x - argumenty (liczby nalece do X)y - wartoci (liczby nalece do Y )

Funkcj przedstawiamy najczciej za pomoc wzoru lub wykresu.

Moliwe zapisy wzoru funkcji:

y = x2 f(x) = x2


spis treci

wicej w MatTV

symbole

dodaj do drukowania

zgo bd na str. 22

szukasz i nie ma?


[email protected]


-2 5 x

y

Dziedzina funkcji

Dziedzina funkcji to zbir zawierajcy wszystkie liczby, ktre moemy podstawi do wzorufunkcji. Moemy j te odczyta z wykresu funkcji.

Oznaczenia: D Df X

Przykady:

y =x D = 0,), poniewa nie mona pierwiastkowa liczb ujemnych.

y = 1x D = R \ {0}, poniewa nie mona dzieli przez 0 (1x = 1 : x).

D = 2, 5)


spis treci

wicej w MatTV

symbole

dodaj do drukowania

zgo bd na str. 23

szukasz i nie ma?


[email protected]


Symbole matematyczne

x 0,) x naley do przedziau 0,)R liczby rzeczywiste, czyli wszystkie jakie znaszx R \ {0} x naley do liczb rzeczywistych oprcz 0.


spis treci

wicej w MatTV

symbole

dodaj do drukowania

zgo bd na str. 24

szukasz i nie ma?


[email protected]


-2

4

x

y

zbir wartoci

Zbir wartoci to zbir zawierajcy wszystkie liczby, ktre moemy otrzyma ze wzoru funkcji.Moemy go te odczyta z wykresu funkcji.

Oznaczenia: D1 Y Wf

Przykady:

y = x2 D1 = 0,), poniewa podnoszc do kwadratuotrzymujemy liczby nieujemne.

y = x+ 1 D1 = R, poniewa moemy otrzyma dowoln liczbwstawiajc odpowiedni za x.

D1 = 2, 4)


spis treci

wicej w MatTV

symbole

dodaj do drukowania

zgo bd na str. 25

szukasz i nie ma?


[email protected]


1 x

y

Miejsce zerowe

Miejsce zerowe to liczba, ktra podstawiona do wzoru funkcji daje warto rwn 0. Miejscezerowe moemy te odczyta z wykresu funkcji.

Przykady:

y = x+ 2 x0 = 2, poniewa podstawiajc 2 za x otrzymujemy 0.y = 2x 6 x0 = 3, poniewa podstawiajc 3 za x otrzymujemy 0.

x0 = 1


spis treci

wicej w MatTV

symbole

dodaj do drukowania

zgo bd na str. 26

szukasz i nie ma?


[email protected]


x

y

x1 x2f(x1)

f(x2)

x

y

x2x1f(x2)

f(x1)

x

y

c

Monotoniczno

Monotoniczno oznacza najczciej, e funkcja jest rosnca, malejca lub staa.

Przykady:

Funkcja Definicjarosnca: Dla kadego x1 < x2: f(x1) < f(x2)

Funkcja Definicjamalejca: Dla kadego x1 < x2: f(x1) > f(x2)

Funkcja Definicjastaa: Dla kadego x: f(x) = c


spis treci

wicej w MatTV

symbole

dodaj do drukowania

zgo bd na str. 27

szukasz i nie ma?


[email protected]


x

y

x

y

-4 3

1

Rnowartociowo

Funkcja jest rnowartociowa, jeeli nie ma takich dwch liczb, dla ktrych warto funkcjiwynosi tyle samo.

Przykady:

funkcja rnowartociowa

funkcja nie jest rnowartociowa, poniewadla 4 i 3 warto wynosi tyle samo.


spis treci

wicej w MatTV

symbole

dodaj do drukowania

zgo bd na str. 28

szukasz i nie ma?


[email protected]


Wzory, definicje, twierdzenia:

Podstawy Funkcja kwadratowa Wielomiany Funkcje wymierne Funkcja wykadnicza Logarytmy Cigi i ich granice Granica i pochodna funkcji Trygonometria


spis treci

wicej w MatTV

symbole

dodaj do drukowania

zgo bd na str. 29

szukasz i nie ma?


[email protected]


Jeeli czcionka wydaje ci si zbyt dua, zmie rozmiar okna. Kliknij w prawym grnym rogui wskanikiem myszki przecignij prawy dolny rg. Wraz z rozmiarem okna zmienisz rozmiartekstu.


spis treci

wicej w MatTV

symbole

dodaj do drukowania

zgo bd na str. 30

szukasz i nie ma?


[email protected]


x

y

-3 3

2

x

y

-5 5-4

4

Parzysto i nieparzysto

Funkcja jest parzysta, jeeli dla dowolnych liczb przeciwnych warto funkcji wynosi tylesamo. Lewa strona wykresu jest odbiciem prawej.

f(x) = f(x)

Funkcja parzysta, poniewa dla liczb przeciwnych(np 3, 3) warto wynosi tyle samo.

Funkcja jest nieparzysta, jeeli dla dowolnych liczb przeciwnych wartoci funkcji s te prze-ciwne. Lewa strona wykresu jest odwrconym odbiciem prawej.

f(x) = f(x)

Funkcja nieparzysta, poniewa dla liczb przeciwnych(np 5, 5) wartoci te s przeciwne.

dalej


spis treci

wicej w MatTV

symbole

dodaj do drukowania

zgo bd na str. 31

szukasz i nie ma?


[email protected]


x

y

Funkcja nie jest ani parzysta, ani nieparzysta.Tak jest z wikszoci funkcji.


spis treci

wicej w MatTV

symbole

dodaj do drukowania

zgo bd na str. 32

szukasz i nie ma?


[email protected]


x

y

Okresowo funkcji

Funkcja jest okresowa, jeeli jej wykres da si podzieli na nieskoczenie wiele identycznychczci.

Okres funkcji - dugo jednej czci na jakie zosta podzielony wykres.


spis treci

wicej w MatTV

symbole

dodaj do drukowania

zgo bd na str. 33

szukasz i nie ma?


[email protected]


x

y

1 x

y

1 x

y

1

wymagania maturalne zdajcy potrafi: okrela z wykresu funkcji: dziedzin,zbir wartoci, warto majc dany argument, argument majcdan warto, miejsca zerowe, przedziay monotonicznoci, zbirdla ktrych wartoci s dodatnie (ujemne), najmniejszi najwiksz warto funkcji

. . .

Dla powyszych funkcji okrel dziedzin, zbir wartoci, miejsca zerowe, monotoniczno,rnowartociowo, parzysto, okresowo.


spis treci

wicej w MatTV

symbole

dodaj do drukowania

zgo bd na str. 34

szukasz i nie ma?


[email protected]


Znajd dziedzin funkcji.f(x) =

3x+ 9

Rozwizanie:Wyznaczamy dziedzin wiedzc, e liczb ujemnych nie moemy pierwiastkowa.

3x+ 9 03x 9 / : 3x 3

Odp. D = 3,)


spis treci

wicej w MatTV

symbole

dodaj do drukowania

zgo bd na str. 35

szukasz i nie ma?


[email protected]


Znajd dziedzin funkcji.f(x) =

4 2x

Rozwizanie:Wyznaczamy dziedzin wiedzc, e liczb ujemnych nie moemy pierwiastkowa.

4 2x 02x 4 / : (2)x 2

Odp. D = (, 2


spis treci

wicej w MatTV

symbole

dodaj do drukowania

zgo bd na str. 36

szukasz i nie ma?


[email protected]


Znajd dziedzin funkcji.

f(x) =5

2x+ 6

Rozwizanie:

dziedzina funkcji

Mianownik nie moe by rwny 0, poniewa nie wolno dzieli przez 0.

2x+ 6 = 0

2x = 6 / : 2x = 3

Odp. D = R \ {3}


spis treci

wicej w MatTV

symbole

dodaj do drukowania

zgo bd na str. 37

szukasz i nie ma?


[email protected]


Znajd dziedzin funkcji.

f(x) =4

x(x+ 3)

Rozwizanie:

dziedzina funkcji

Mianownik nie moe by rwny 0, poniewa nie wolno dzieli przez 0.

x(x+ 3) = 0x = 0 lub x+ 3 = 0

x = 3Odp. D = R \ {0,3}


spis treci

wicej w MatTV

symbole

dodaj do drukowania

zgo bd na str. 38

szukasz i nie ma?


[email protected]


x

y

1

Rozwizanie:

dziedzina D = Rzbir wartoci D1 = (, 3miejsce zerowe x0 3 lub x0 1, 5monotoniczno funkcja jest przedziaami monotoniczna

rosnca w przedziale (,1)malejca w przedziale (1,)

rnowartociowo funkcja nie jest rnowartociowaparzysto funkcja nie jest ani parzysta ani nieparzystaokresowo funkcja nie jest okresowa


spis treci

wicej w MatTV

symbole

dodaj do drukowania

zgo bd na str. 39

szukasz i nie ma?


[email protected]


x

y

1

Rozwizanie:

dziedzina D = 3, 4)zbir wartoci D1 = 4, 3miejsce zerowe x0 2 lub x0 = 3monotoniczno funkcja jest przedziaami monotoniczna

malejca w przedziale 3,1)staa w przedziale (1, 1)rosnca w przedziale (1, 4)



spis treci

wicej w MatTV

symbole

dodaj do drukowania

zgo bd na str. 40

szukasz i nie ma?


[email protected]


x

y

1

Rozwizanie:

dziedzina D = 3,)zbir wartoci D1 = 4,)miejsce zerowe x0 2, 1 lub x0 = 0 lub x0 2, 1monotoniczno funkcja jest przedziaami monotoniczna

rosnca w przedziale 3,1)malejca w przedziale (1, 1)rosnca w przedziale (1,)



spis treci

wicej w MatTV

symbole

dodaj do drukowania

zgo bd na str. 41

szukasz i nie ma?


[email protected]


1

3y

=2x

+3

a > 0

x

y

1

1

y = 13 x + 1

a < 0

x

y

1

2y = 2

a = 0

x

y

funkcja liniowa

funkcja liniowa to funkcja dana wzorem

y = ax+ b

a wspczynnik kierunkowy

monotoniczno: a > 0 rosnca a < 0 malejca a = 0 staa

b wsprzdna punktu przecicia z osi Oy: (0, b)

wykres funkcji liniowej:

wspczynnik kierunkowy:a = 2 a = 13 a = 0

monotoniczno:rosnca malejca staa

punkt przecicia wykresu z osi Oy:

(0, 3) (0, 1) (0, 2)


spis treci

wicej w MatTV

symbole

dodaj do drukowania

zgo bd na str. 42

szukasz i nie ma?


[email protected]


11

1

y=

2x

1y=

2x+

2 x

y

11

3

y =12x

1

y=

2x

3

x

y

proste rwnolege i prostopade

Proste rwnolege majten sam wspczynnik kierunkowy.

Proste prostopade majwspczynniki kierunkowe speniajce wzr:

a1 a2 = 1

np. 2 12 = 1


spis treci

wicej w MatTV

symbole

dodaj do drukowania

zgo bd na str. 43

szukasz i nie ma?


[email protected]


wymagania maturalne zdajcy potrafi: podawa wzr funkcji liniowej o zadanychwasnociach

. Znajd rwnanie funkcji liniowej, ktrej wykres jest rwnolegy do y = 2x+4 i przechodziprzez punkt A(3, 7).

. Znajd rwnanie funkcji liniowej, ktrej wykres jest prostopady do y = 3x2 i przechodziprzez punkt A(6, 3).


spis treci

wicej w MatTV

symbole

dodaj do drukowania

zgo bd na str. 44

szukasz i nie ma?


[email protected]


1-11

-2

-5

x

y

Dla funkcjiy = 3x 2

narysuj wykres, podaj dziedzin, zbir wartoci, miejsce zerowe, monotoniczno.

Rozwizanie:Dla wybranych dowolnie x np. 1,0,1 liczymy y:x = 1 y = 3 (1) 2 = 3 2 = 5x = 0 y = 3 0 2 = 2x = 1 y = 3 1 2 = 1

x 1 0 1y 5 2 1

dziedzina D = Rzbir wartoci D1 = RMiejsce zerowe liczymy wstawiajc 0 za y.

0 = 3x 23x = 2/ : (3)

x0 =23

monotoniczno funkcja jest rosnca


spis treci

wicej w MatTV

symbole

dodaj do drukowania

zgo bd na str. 45

szukasz i nie ma?


[email protected]


Znajd rwnanie funkcji liniowej, ktrej wykres jest rwnolegy do y = 2x+ 4 i przechodziprzez punkt A(3, 7).

Rozwizanie:y = ax+ b

Musimy znale a i b.a = 2, poniewa szukana funkcja jest rwnolega do y = 2x+ 4.

y = 2x+ b

Wstawiajc do rwnania wsprzdne A(3, 7) znajdujemy b.

7 = 2 3 + b7 6 = bb = 1

Odp. y = 2x+ 1


spis treci

wicej w MatTV

symbole

dodaj do drukowania

zgo bd na str. 46

szukasz i nie ma?


[email protected]


Znajd rwnanie funkcji liniowej, ktrej wykres jest prostopady do y = 3x 2 i przechodziprzez punkt A(6, 3).

Rozwizanie:y = ax+ b

Musimy znale a i b.Wspczynnik kierunkowy a liczymy ze wzoru.

a1 a2= 13 a = 1/ : 3

a = 13

y = 13x+ bWstawiajc do rwnania wsprzdne punktu A(6, 3) znajdujemy b.

3 = 13 6 + b

3 = 2 + b3 + 2 = b

b = 5

Odp. y = 13x+ 5


spis treci

wicej w MatTV

symbole

dodaj do drukowania

zgo bd na str. 47

szukasz i nie ma?


[email protected]


Rysowanie wektorw

Wektor rysujemy w postaci strzaki.

~w = [a, b]

Rysowanie wektora:Zaznaczamy pocztek w dowolnym miejscu. Na podstawie wsprzdnych [a, b] znajdujemykoniec.

Przykady:

[2, 3] 2 w prawo 3 do gry

[3, 1] 3 w prawo 1 do gry

[2, 1] 2 w lewo 1 do gry

[3,2] 3 w prawo 2 do dou

[0, 2] 2 do gry

[3, 0] 3 w lewo


spis treci

wicej w MatTV

symbole

dodaj do drukowania

zgo bd na str. 48

szukasz i nie ma?


[email protected]


Przesuwanie wykresu funkcji

Wykres funkcjif(x a) + b

otrzymujemy przez narysowanie funkcji f(x) i przesuniciu jej o wektor [a, b].

Przykady:

y = |x 3|+ 2 rysujemy y = |x| i przesuwamy o wektor [3, 2]y = (x 2)24 y = x2 [2,4]y = (x+ 1)3 + 2 y = x3 [1, 2]y = (x+ 5)23 y = x2 [5,3]y = x2 + 1 y = x2 [0, 1]y = (x 2)2 y = x2 [2, 0]y = 2x+31 y =

2x [3,1]

Pierwsza wsprzdna wektora ma przeciwny znak ni liczba przy x, druga wsprzdna maznak taki sam jak liczba na kocu.


spis treci

wicej w MatTV

symbole

dodaj do drukowania

zgo bd na str. 49

szukasz i nie ma?


[email protected]


Narysuj wykres funkcji:

. y = (x 2)2 + 1 . y = (x+ 4)3 . y = 1x+1 2

. y = |x 3|+ 2


spis treci

wicej w MatTV

symbole

dodaj do drukowania

zgo bd na str. 50

szukasz i nie ma?


[email protected]


x

y

Narysuj wykres funkcji:y = (x 2)2 + 1

Rozwizanie:Wykres y = (x 2)2 + 1 otrzymujemy przez przesunicie y = x2 o wektor [2, 1].

x -2 -1 0 1 2

y = x2 4 1 0 1 4


spis treci

wicej w MatTV

symbole

dodaj do drukowania

zgo bd na str. 51

szukasz i nie ma?


[email protected]


x

y

Narysuj wykres funkcji:y = (x+ 4)3

Rozwizanie:Wykres y = (x+ 4)3 otrzymujemy przez przesunicie y = x3 o wektor [4, 0].

x -2 -1 0 1 2

y = x3 -8 -1 0 1 8


spis treci

wicej w MatTV

symbole

dodaj do drukowania

zgo bd na str. 52

szukasz i nie ma?


[email protected]


x

y

Narysuj wykres funkcji:

y =1x+ 1

2

Rozwizanie:Wykres y = 1x+12 otrzymujemy przez przesunicie y =

1x o wektor [1,2].

x -2 -1 - 1212 1 2

y = 1x -12 -1 -2 2 1

12


spis treci

wicej w MatTV

symbole

dodaj do drukowania

zgo bd na str. 53

szukasz i nie ma?


[email protected]


x

y

Narysuj wykres funkcji:y = |x 3|+ 2

Rozwizanie:Wykres y = |x 3|+ 2 otrzymujemy przez przesunicie y = |x| o wektor [3, 2].

x -2 -1 0 1 2

y = |x| 2 1 0 1 2


spis treci

wicej w MatTV

symbole

dodaj do drukowania

zgo bd na str. 54

szukasz i nie ma?


[email protected]


x1 =b

2ax2 =

b +

2a

x1 =b2a

Rwnanie kwadratowe

ax2 + bx+ c = 0 a 6= 0

Najpierw liczymy (delta). = b2 4ac

Pierwiastki rwnania kwadratowego liczymy w zalenoci od znaku delty.

> 0 dwa pierwiastki

= 0 jeden pierwiastek

< 0 nie ma pierwiastkw

Pierwiastki rwnania ax2 + bx + c = 0 s miejscami zerowymi funkcji kwadratowejy = ax2 + bx+ c.


spis treci

wicej w MatTV

symbole

dodaj do drukowania

zgo bd na str. 55

szukasz i nie ma?


[email protected]


Wzory skrconego mnoenia

Wzry: Przykady:

(a+ b)2 = a2 + 2ab+ b2 (x+ 3)2= x2 + 2 x 3 + 32 == x2 + 6x+ 9

(a b)2 = a2 2ab+ b2 (3x 4)2= (3x)2 2 3x 4 + 42 == 9x2 24x+ 16

(a b)(a+ b) = a2 b2 (3x 2)(3x+ 2)= (3x)2 22 = 9x2 4x2 9= (x 3)(x+ 3)x2 5= (x

5)(x+

5)

(a+ b)3 = a3 + 3a2b+ 3ab2 + b3 (x+ 2)3= x3 + 3 x2 2 + 3 x 22 + 23 == x3 + 6x2 + 12x+ 8

(a b)3 = a3 3a2b+ 3ab2 b3 (2x 1)3= (2x)3 3 (2x)2 1++3 2x 12 13 == 8x3 12x2 + 6x 1

a3 + b3 = (a+ b)(a2 ab+ b2) x3 + 27= x3 + 33 == (x+ 3)(x2 3x+ 9)

a3 b3 = (a b)(a2 + ab+ b2) x3 5= x3 ( 35)3 =

= (x 35)(x2 + 3

5x+ 3

25)


spis treci

wicej w MatTV

symbole

dodaj do drukowania

zgo bd na str. 56

szukasz i nie ma?


[email protected]


wymagania maturalne zdajcy potrafi: rozwizywa rwnania kwadratowe z jednniewiadom

rozwi rwnania:. x2 4 = 0 . 2x2 16 = 0 . x2 + 9 = 0. x2 3x = 0 . 2x2 + 6x = 0

rozwi rwnania:. x2 4x 5 = 0 . x2 + 6x+ 9 = 0 . x2 + 2x+ 5 = 0. x2 + 3x+ 4 = 0 . 2x2 + 3x 1 = 0


spis treci

wicej w MatTV

symbole

dodaj do drukowania

zgo bd na str. 57

szukasz i nie ma?


[email protected]


Rozwi rwnanie:x2 4 = 0

Rozwizanie:x2 4 = 0x2 = 4

x = 2 lub x = 2


spis treci

wicej w MatTV

symbole

dodaj do drukowania

zgo bd na str. 58

szukasz i nie ma?


[email protected]


Rozwi rwnanie:2x2 16 = 0

Rozwizanie:2x2 16 = 02x2 = 16/ : 2

x2 = 8

x =8 lub x =

8

x =4 2 x =

4 2

x = 22 x = 2

2


spis treci

wicej w MatTV

symbole

dodaj do drukowania

zgo bd na str. 59

szukasz i nie ma?


[email protected]


Rozwi rwnanie:x2 + 9 = 0

Rozwizanie:x2 + 9 = 0

x2 = 9

rwnanie nie ma rozwizania


spis treci

wicej w MatTV

symbole

dodaj do drukowania

zgo bd na str. 60

szukasz i nie ma?


[email protected]


Rozwi rwnanie:x2 3x = 0

Rozwizanie:x2 3x = 0x(x 3) = 0

x = 0 lub x 3 = 0x = 3


spis treci

wicej w MatTV

symbole

dodaj do drukowania

zgo bd na str. 61

szukasz i nie ma?


[email protected]


Rozwi rwnanie:2x2 + 6x = 0

Rozwizanie:2x2 + 6x = 0x(2x+ 6) = 0

x = 0 lub 2x+ 6 = 02x = 6/ : (2)x = 3


spis treci

wicej w MatTV

symbole

dodaj do drukowania

zgo bd na str. 62

szukasz i nie ma?


[email protected]


Rozwi rwnanie:x2 4x 5 = 0

Rozwizanie:x24x5 = 0

Korzystamy ze wzorw na pierwiastki rwnania kwadratowego.

a = 1 b = 4 c = 5 = (4)2 4 1 (5) = 16 + 20 = 36 =

36 = 6

x1 =(4) 62 1 =

4 62=22= 1

x2 =(4) + 62 1 =

4 + 62=102= 5


spis treci

wicej w MatTV

symbole

dodaj do drukowania

zgo bd na str. 63

szukasz i nie ma?


[email protected]


Rozwi rwnanie:x2 + 6x+ 9 = 0

Rozwizanie:x2 + 6x+ 9 = 0


a = 1 b = 6 c = 9

= 62 4 1 9 = 36 36 = 0

x1 =62 1=62= 3


spis treci

wicej w MatTV

symbole

dodaj do drukowania

zgo bd na str. 64

szukasz i nie ma?


[email protected]





a = 1 b = 2 c = 5

= 22 4 1 5 = 4 20 = 16rwnanie nie ma pierwiastkw


spis treci

wicej w MatTV

symbole

dodaj do drukowania

zgo bd na str. 65

szukasz i nie ma?


[email protected]





a = 1 b = 3 c = 4 = 32 4 (1) 4 = 9 + 16 = 25 =

25 = 5

x1 =3 52 (1) =

82 = 4

x2 =3 + 52 (1) =

22 = 1


spis treci

wicej w MatTV

symbole

dodaj do drukowania

zgo bd na str. 66

szukasz i nie ma?


[email protected]


Rozwi rwnanie:2x2 + 3x 1 = 0

Rozwizanie:2x2 + 3x1 = 0


a = 2 b = 3 c = 1 = 32 4 2 (1) = 9 + 8 = 17 =

17

x1 =3

17

2 2 =3

17

4

x2 =3 +

17

2 2=3 +

17

4


spis treci

wicej w MatTV

symbole

dodaj do drukowania

zgo bd na str. 67

szukasz i nie ma?


[email protected]


Funkcja kwadratowa

wzory, twierdzenia, definicje Rwnanie kwadratowe Posta oglna, kanoniczna, iloczynowa Wykres funkcji kwadratowej Nierwnoci kwadratowe

rozwizane zadania


spis treci

wicej w MatTV

symbole

dodaj do drukowania

zgo bd na str. 68

szukasz i nie ma?


[email protected]


zbiory, warto bezwzgldna, indukcja

wzory, twierdzenia, definicje zbiory dziaania na zbiorach wasnoci dziaa na zbiorach zbiory liczbowe przedziay liczbowe dziaania na przedziaach zdanie w logice kwantyfikatory rachunek zda prawa logiczne warto bezwzgldna odlego liczb na osi liczbowej indukcja matematyczna

rozwizane zadania


spis treci

wicej w MatTV

symbole

dodaj do drukowania

zgo bd na str. 69

szukasz i nie ma?


[email protected]


Posta oglna, kanoniczna, iloczynowa

Posta oglna: przykady:

y = ax2 + bx+ c y = 3x2 + 5x 2y = 4x2 + 6xy = x2 + 5

Posta kanoniczn otrzymujemy liczc najpierw delt, a nastpnie p i q.

y = a(x p)2 + q y = 6(x+ 3)2 4y = 2(x 5)2

p =b2a

q =4a

y = x2 + 3

Posta iloczynow otrzymujemy z postaci oglnej po obliczeniu pierwiastkw. Jej wygldzaley od delty.

> 0 y = a(x x1)(x x2) y = 2(x 3)(x+ 4)y = x(x+ 5)

= 0 y = a(x x1)2 y = (x 3)2y = 4x2

< 0 nie istnieje


spis treci

wicej w MatTV

symbole

dodaj do drukowania

zgo bd na str. 70

szukasz i nie ma?


[email protected]


wymagania maturalne zdajcy potrafi: przedstawia funkcj kwadratow w rnychpostaciach: oglnej, iloczynowej, kanonicznej

Sprowad do postaci kanonicznej:. y = x2 + 4x 3 . y = 2x2 + 8x . y = 3(x 1)(x+ 4)

Sprowad do postaci iloczynowej:. y = x2 + 2x 8 . y = 3x2 6 . y = 5x2 2x

Sprowad do postaci oglnej:. y = 2(x+ 3)2 4 . y = 2(x 3)(x+ 4)


spis treci

wicej w MatTV

symbole

dodaj do drukowania

zgo bd na str. 71

szukasz i nie ma?


[email protected]


Sprowad do postaci kanonicznej:

y = x2 + 4x3

Rozwizanie:liczymy delt:a = 1 b = 4 c = 3

= 42 4 1 (3) = 16 + 12 = 28

Wykorzystujemy wzory na p i q.

p =42 1 = 2 q =

284 1 = 7

Posta kanoniczna:y =

(x (2)

)2+ (7)

y = (x+ 2)2 7


spis treci

wicej w MatTV

symbole

dodaj do drukowania

zgo bd na str. 72

szukasz i nie ma?


[email protected]



y = 2x2 + 8x


= 82 4 (2) 0 = 64 0 = 64


p =82 (2)

=84= 2 q =

644 (2)

=648= 8

Posta kanoniczna:y = 2(x 2)2 + 8


spis treci

wicej w MatTV

symbole

dodaj do drukowania

zgo bd na str. 73

szukasz i nie ma?


[email protected]



y = 3(x 1)(x+ 4)

Rozwizanie:Najpierw sprowadzamy do postaci oglnej:

3(x 1)(x+ 4) = 3(x2 + 4x x 4) = 3(x2 + 3x 4) = 3x2 + 9x12

liczymy delt:a = 3 b = 9 c = 12

= 92 4 3 (12) = 81 + 144 = 225


p =92 3 =

32

q =2254 3 =

754= 183

4

Posta kanoniczna:

y = 3(x

(32

))2+(1834

)

y = 3(x+32

)2 1834


spis treci

wicej w MatTV

symbole

dodaj do drukowania

zgo bd na str. 74

szukasz i nie ma?


[email protected]


Sprowad do postaci iloczynowej:

y = x2 + 2x8


= 22 4 1 (8) = 4 + 32 = 36 =

36 = 6

liczymy pierwiastki.

x1 =2 62 1 x2 =

2 + 62 1

x1 =82

x2 =42

x1 = 4 x2 = 2

Posta iloczynowa:

y =(x (4)

)(x 2)

y = (x+ 4)(x 2)


spis treci

wicej w MatTV

symbole

dodaj do drukowania

zgo bd na str. 75

szukasz i nie ma?


[email protected]


Sprowad do postaci iloczynowej:y = 3x2 6

Rozwizanie:Prociej jest nie liczy z delty, tylko przeksztaca:

y = 3(x2 2)

Korzystamy ze wzoru a2 b2 = (a b)(a+ b):

y = 3(x2)(x+

2)


spis treci

wicej w MatTV

symbole

dodaj do drukowania

zgo bd na str. 76

szukasz i nie ma?


[email protected]


Sprowad do postaci iloczynowej:y = 5x2 2x

Rozwizanie:Prociej jest nie liczy z delty, tylko przeksztaca:

y = 5x(x 25

)


spis treci

wicej w MatTV

symbole

dodaj do drukowania

zgo bd na str. 77

szukasz i nie ma?


[email protected]


Sprowad do postaci oglnej:y = 2(x+ 3)2 4

Rozwizanie:Korzystamy ze wzoru (a+ b)2 = a2 + 2ab+ b2:

y = 2(x2 + 2 x 3 + 32) 4y = 2(x2 + 6x+ 9) 4y = 2x2 + 12x+ 18 4y = 2x2 + 12x+ 14


spis treci

wicej w MatTV

symbole

dodaj do drukowania

zgo bd na str. 78

szukasz i nie ma?


[email protected]


Sprowad do postaci oglnej:y = 2(x 3)(x+ 4)

Rozwizanie:

2(x 3)(x+ 4) = 2(x2 + 4x 3x 12) = 2(x2 + x 12) = 2x2 + 2x 24

y = 2x2 + 2x 24


spis treci

wicej w MatTV

symbole

dodaj do drukowania

zgo bd na str. 79

szukasz i nie ma?


[email protected]


a > 0 < 0

x

a > 0 = 0

x

a > 0 > 0

x

a < 0 < 0

xa < 0 = 0

xa < 0 > 0

x

Wykres funkcji kwadratowej

Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola.Pooenie wykresu wzgldem osi x zaley od delty i a.

y = ax2 + bx+ c

Wsprzdne wierzchoka W (p, q) paraboli dane s wzorem:

p =b2a

q =4a

Najatwiej wsprzdne wierzchoka odczyta z postaci kanonicznej.Przykad:y = 3(x 5)2 + 4 W (5, 4)y = 2(x+ 3)2 1 W (3,1)y = (x+ 4)2 W (4, 0)y = x2 6 W (0,6)


spis treci

wicej w MatTV

symbole

dodaj do drukowania

zgo bd na str. 80

szukasz i nie ma?


[email protected]


wymagania maturalne zdajcy potrafi: sporzdza wykresy funkcji kwadratowychodczytywa wasnoci z wykresu, okrela przedziaymonotonicznoci funkcji kwadratowej

Narysuj wykres funkcji kwadratowej i podaj jej wasnoci:. y = x2 4x+ 3 . y = 2x2 8x 5 . y = x2 6x+ 10


spis treci

wicej w MatTV

symbole

dodaj do drukowania

zgo bd na str. 81

szukasz i nie ma?


[email protected]


2-1

x

y

Narysuj wykres funkcji kwadratowej i podaj jej wasnoci:

y = x2 4x+ 3

Rozwizanie:Sprowadzamy funkcj do postaci kanonicznej: y = (x 2)21Rysujemy wykres y = x2 i przesuwamy go o wektor [2,1].

x -2 -1 0 1 2

y = x2 4 1 0 1 4

dziedzina D = Rzbir wartoci D1 = 1,)miejsce zerowe x0 = 1 lub x0 = 3monotoniczno funkcja jest przedziaami monotoniczna

malejca w przedziale (, 2)rosnca w przedziale (2,)

wierzchoek W (2,1)najmniejsza warto ymin = 1 dla x = 2najwiksza warto nie istniejernowartociowo funkcja nie jest rnowartociowaparzysto funkcja nie jest ani parzysta ani nieparzysta


spis treci

wicej w MatTV

symbole

dodaj do drukowania

zgo bd na str. 82

szukasz i nie ma?


[email protected]


y = x2 4x+ 3

a = 1 b = 4 c = 3

= (4)2 4 1 3 = 16 12 = 4

p =(4)2 1 =

42= 2 q =

44 1 =

44= 1

posta kanoniczna:y = (x 2)2 1


spis treci

wicej w MatTV

symbole

dodaj do drukowania

zgo bd na str. 83

szukasz i nie ma?


[email protected]


-2

3

x

y


y = 2x2 8x 5

Rozwizanie:Sprowadzamy funkcj do postaci kanonicznej: y = 2(x+ 2)2 + 3Rysujemy wykres y = 2x2 i przesuwamy go o wektor [2, 3].

x -2 -1 0 1 2

y = 2x2 -8 -2 0 -2 -8

dziedzina D = Rzbir wartoci D1 = (, 3miejsce zerowe x0 3, 2 lub x0 0, 8monotoniczno funkcja jest przedziaami monotoniczna

rosnca w przedziale (,2)malejca w przedziale (2,)

wierzchoek W (2, 3)najwiksza warto ymax = 3 dla x = 2najmniejsza warto nie istniejernowartociowo funkcja nie jest rnowartociowaparzysto funkcja nie jest ani parzysta ani nieparzysta


spis treci

wicej w MatTV

symbole

dodaj do drukowania

zgo bd na str. 84

szukasz i nie ma?


[email protected]


y = 2x2 8x 5

a = 2 b = 8 c = 5

= (8)2 4 (2) (5) = 64 40 = 24

p =(8)2 (2) =

84 = 2 q =

244 (2) =

248 = 3

posta kanoniczna:

y =(x (2)

)2 3y = 2(x+ 2)2 + 3


spis treci

wicej w MatTV

symbole

dodaj do drukowania

zgo bd na str. 85

szukasz i nie ma?


[email protected]


3

1

x

y


y = x2 6x+ 10

Rozwizanie:Sprowadzamy funkcj do postaci kanonicznej: y = (x 3)2 + 1Rysujemy wykres y = x2 i przesuwamy go o wektor [3, 1].

x -2 -1 0 1 2

y = x2 4 1 0 1 4

dziedzina D = Rzbir wartoci D1 = 1,)miejsce zerowe nie istniejmonotoniczno funkcja jest przedziaami monotoniczna

malejca w przedziale (, 3)rosnca w przedziale (3,)

wierzchoek W (3, 1)najmniejsza warto ymin = 1 dla x = 3najwiksza warto nie istniejernowartociowo funkcja nie jest rnowartociowaparzysto funkcja nie jest ani parzysta ani nieparzysta


spis treci

wicej w MatTV

symbole

dodaj do drukowania

zgo bd na str. 86

szukasz i nie ma?


[email protected]


y = x2 6x+ 10

a = 1 b = 6 c = 10

= (6)2 4 1 10 = 36 40 = 4

p =(6)2 1 =

62= 3 q =

(4)4 1 =

44= 1

posta kanoniczna:

y =(x 3

)2+ 1


spis treci

wicej w MatTV

symbole

dodaj do drukowania

zgo bd na str. 87

szukasz i nie ma?


[email protected]


x

y

1 42

1

5

A

B

W

Znajd najmniejsz i najwiksz warto funkcjiy = x2 4x+ 5

na przedziale 1, 4.

Rozwizanie:Znajdujemy wartoci funkcji na kracach przedziau:x = 1 y = 12 4 1 + 5 = 1 4 + 5 = 2 A(1, 2)x = 4 y = 42 4 4 + 5 = 16 16 + 5 = 5 B(4, 5)znajdujemy wsprzdne wierzchoka: W (2, 1).

Rysujemy przybliony wykres funkcji na podstawie punktw A(1, 2) B(4, 5) W (2, 1).

Z wykresu odczytujemy, e w przedziale 1, 4:- najmniejsza warto ymin = 1 dla x = 2- najwiksza warto ymax = 5 dla x = 4


spis treci

wicej w MatTV

symbole

dodaj do drukowania

zgo bd na str. 88

szukasz i nie ma?


[email protected]


y = x2 4x+ 5

a = 1 b = 4 c = 5

= (4)2 4 1 5 = 16 20 = 4

wsprzdne wierzchoka:

p =(4)2 1 =

42= 2 q =

(4)4 1 =

44= 1

W (2, 1)


spis treci

wicej w MatTV

symbole

dodaj do drukowania

zgo bd na str. 89

szukasz i nie ma?


[email protected]


x

y

-1 41

3

-1

-6

A

B

W

Znajd najmniejsz i najwiksz warto funkcjiy = x2 + 2x+ 2

na przedziale 1, 4.

Rozwizanie:Znajdujemy wartoci funkcji na kracach przedziau:x = 1 y = (1)2 + 2 (1) + 2 = 1 2 + 2 = 1 A(1,1)x = 4 y = 42 + 2 4 + 2 = 16 + 8 + 2 = 6 B(4,6)znajdujemy wsprzdne wierzchoka: W (1, 3).

Rysujemy przybliony wykres funkcji na podstawie punktwA(1,1)B(4,6)W (1, 3).



spis treci

wicej w MatTV

symbole

dodaj do drukowania

zgo bd na str. 90

szukasz i nie ma?


[email protected]


y = x2 + 2x+ 2

a = 1 b = 2 c = 2

= 22 4 (1) 2 = 4 + 8 = 12


p =22 (1)

=22= 1 q =

124 (1)

=124= 3

W (1, 3)


spis treci

wicej w MatTV

symbole

dodaj do drukowania

zgo bd na str. 91

szukasz i nie ma?


[email protected]


x

y

-1 1

-5

3

A

B

W

Znajd najmniejsz i najwiksz warto funkcjiy = x2 + 4x 2

na przedziale 1, 1.

Rozwizanie:Znajdujemy wartoci funkcji na kracach przedziau:x = 1 y = (1)2 + 4 (1) 2 = 1 4 2 = 5 A(1,5)x = 1 y = 12 + 4 1 2 = 1 + 4 2 = 3 B(1, 3)znajdujemy wsprzdne wierzchoka: W (2,6).Rysujemy przybliony wykres funkcji na podstawie punktw A(1,5) B(1, 3)W (2,6).



spis treci

wicej w MatTV

symbole

dodaj do drukowania

zgo bd na str. 92

szukasz i nie ma?


[email protected]


y = x2 + 4x 2

a = 1 b = 4 c = 2

= 42 4 1 (2) = 16 + 8 = 24


p =42 1=42= 2 q = 24

4 1=244= 6

W (2,6)


spis treci

wicej w MatTV

symbole

dodaj do drukowania

zgo bd na str. 93

szukasz i nie ma?


[email protected]


Nierwnoci kwadratowe

Przykady:x2 + 3x 5 > 0 2x2 + 4x+ 2 0 x2 5x 0 3x2 + 4x+ 2 < 0Nierwnoci kwadratowe rozwizujemy najczciej tak:1. liczymy delt2. znajdujemy miejsca zerowe, jeli s3. rysujemy parabol przechodzc przez miejsca zerowedla a > 0 ramiona w grdla a < 0 ramiona w d

4. zaznaczamy na zielono dla znakw:< cz wykresu pod osi x> cz wykresu nad osi x

5. dla znakw zaznaczamy w miejscach zerowych< > zaznaczamy w miejscach zerowych

6. rysujemy przedzia odpowiadajcy zielonej czci wykresu7. zapisujemy rozwizanie


spis treci

wicej w MatTV

symbole

dodaj do drukowania

zgo bd na str. 94

szukasz i nie ma?


[email protected]


wymagania maturalne zdajcy potrafi: rozwizywa nierwnoci kwadratowe z jednniewiadom

rozwi nierwnoci:. x2 3x 10 < 0 . x2 3x 10 > 0 . x2 3x 10 0. x2 + 2x+ 3 0 . 2x2 x+ 3 < 0

rozwi nierwnoci:. x2 3x 0 . 2x2 + 5x > 0 . x2 7 < 0

rozwi nierwnoci:. 3x2 + 6x+ 10 > 0 . 2x2 + 8x 8 0 . x2 + 2x+ 5 < 0


spis treci

wicej w MatTV

symbole

dodaj do drukowania

zgo bd na str. 95

szukasz i nie ma?


[email protected]


x-2 5

Rozwi nierwno:x2 3x 10 < 0

Rozwizanie:nierwnoci kwadratowea = 1 b = 3 c = 10

= (3)2 4 1 (10) = 9 + 40 = 49 =

49 = 7

x1 =(3) 72 1 =

3 72= 2 x2 =

(3) + 72 1 =

3 + 72= 5

rozwizaniem jest przedzia:x (2, 5)


spis treci

wicej w MatTV

symbole

dodaj do drukowania

zgo bd na str. 96

szukasz i nie ma?


[email protected]


x2 5

Rozwi nierwno:x2 3x 10 > 0


= (3)2 4 1 (10) = 9 + 40 = 49 =

49 = 7

x1 =(3) 72 1 =

3 72= 2 x2 =

(3) + 72 1 =

3 + 72= 5

rozwizaniem jest suma dwch przedziaw:x (,2) (5,)


spis treci

wicej w MatTV

symbole

dodaj do drukowania

zgo bd na str. 97

szukasz i nie ma?


[email protected]


x-2 5

Rozwi nierwno:x2 3x 10 0


= (3)2 4 1 (10) = 9 + 40 = 49 =

49 = 7

x1 =(3) 72 1 =

3 72= 2 x2 =

(3) + 72 1 =

3 + 72= 5

rozwizaniem jest suma dwch przedziaw:x (,2 5,)


spis treci

wicej w MatTV

symbole

dodaj do drukowania

zgo bd na str. 98

szukasz i nie ma?


[email protected]


x-1 3

Rozwi nierwno:x2 + 2x+ 3 0


= (2)2 4 (1) 3 = 4 + 12 = 16 =

16 = 4

x1 =2 42 (1) =

62 = 3 x2 =

2 + 42 (1) =

22 = 1

rozwizaniem jest przedzia:x 1, 3


spis treci

wicej w MatTV

symbole

dodaj do drukowania

zgo bd na str. 99

szukasz i nie ma?


[email protected]


x32 1

Rozwi nierwno:2x2 x+ 3 < 0


= (1)2 4 (2) 3 = 1 + 24 = 25 =

25 = 5

x1 =(1) 52 (2) =

1 54 =

44 = 1 x2 =

(1) + 52 (2) =

64 =

32 =

32

rozwizaniem jest suma dwch przedziaw:

x (,32

) (1,)


spis treci

wicej w MatTV

symbole

dodaj do drukowania

zgo bd na str. 100

szukasz i nie ma?


[email protected]


x0 3

Rozwi nierwno:x2 3x 0

Rozwizanie:nierwnoci kwadratowezamiast liczy delt prociej jest policzy pierwiastki w ten sposb:

x2 3x 0x(x 3) 0

x1 = 0 lub x 3 = 0x2 = 3

rozwizaniem jest suma dwch przedziaw:

x (, 0 3,)


spis treci

wicej w MatTV

symbole

dodaj do drukowania

zgo bd na str. 101

szukasz i nie ma?


[email protected]


x0 2 12

Rozwi nierwno:2x2 + 5x > 0

Rozwizanie:nierwnoci kwadratowezamiast liczy delt prociej jest policzy pierwiastki w ten sposb:

2x2 + 5x > 0

2(x2 5

2x

)> 0

2x(x 52

)> 0

x1 = 0 lub x 52 = 0x2 = 52 = 2

12

rozwizaniem jest przedzia:

x (0, 212

)


spis treci

wicej w MatTV

symbole

dodaj do drukowania

zgo bd na str. 102

szukasz i nie ma?


[email protected]


x

7

7

Rozwi nierwno:x2 7 < 0

Rozwizanie:nierwnoci kwadratowezamiast liczy delt prociej jest policzy pierwiastki korzystajc ze wzorua2 b2 = (a b)(a+ b):

x2 7 < 0(x

7)(x+

7) < 0

x7= 0 lub x+

7= 0

x1=7 x2=

7

rozwizaniem jest przedzia:x

(7,7)


spis treci

wicej w MatTV

symbole

dodaj do drukowania

zgo bd na str. 103

szukasz i nie ma?


[email protected]


x

Rozwi nierwno:3x2 + 6x+ 10 > 0


= 62 4 3 10 = 36 120 = 84

< 0, a wic nie ma miejsc zerowych.

wszystkie liczby speniaj t nierwno

x R


spis treci

wicej w MatTV

symbole

dodaj do drukowania

zgo bd na str. 104

szukasz i nie ma?


[email protected]


x

2

Rozwi nierwno:2x2 + 8x 8 0


= 82 4 (2) (8) = 64 64 = 0

x1 =82 (2) =

84 = 2

rozwizanie:x = 2


spis treci

wicej w MatTV

symbole

dodaj do drukowania

zgo bd na str. 105

szukasz i nie ma?


[email protected]


x

Rozwi nierwno:x2 + 2x+ 5 < 0


= 22 4 1 5 = 4 20 = 16

< 0, a wic nie ma miejsc zerowych.

nie ma liczb speniajcych t nierwno

x


spis treci

wicej w MatTV

symbole

dodaj do drukowania

zgo bd na str. 106

szukasz i nie ma?


[email protected]


Wielomiany

Przykady:y = x5 2x3 + 5x+ 4 wielomian stopnia 5y = 2x3 + 4x2 2 wielomian stopnia 3y = x2 3x+ 5 wielomian stopnia 2y = 5x 2 wielomian stopnia 1y = 8 wielomian stopnia 0


spis treci

wicej w MatTV

symbole

dodaj do drukowania

zgo bd na str. 107

szukasz i nie ma?


[email protected]


Dzielenie wielomianw

Z dzieleniem wielomianw jest tak samo, jak z dzieleniem liczb:6 : 3 = 2 poniewa 2 3 = 6(x3 8x2 + 15x 8) : (x 1) = x2 7x+ 8 poniewa(x2 7x+ 8)(x 1) = x3 x2 7x2 + 7x+ 8x 8 = x3 8x2 + 15x 8

Dzielenie krok po kroku:

Krok I

(x38x2+15x8) : (x 1) zaczynamy

dalej


spis treci

wicej w MatTV

symbole

dodaj do drukowania

zgo bd na str. 108

szukasz i nie ma?


[email protected]


Krok II

(x38x2+15x8) : (x 1) = x2 dzielimy x3 na x

Krok III

(x38x2+15x8): (x 1) = x2x3 + x2

mnoymy x2 razy x 1wyniki zapisujemy z przeciwnymiznakami

Krok IV

(x38x2+15x8) : (x 1) = x2x3 + x2= 7x2+15x

dodajemy i spisujemy 15x

dalej


spis treci

wicej w MatTV

symbole

dodaj do drukowania

zgo bd na str. 109

szukasz i nie ma?


[email protected]


Krok V

(x38x2+15x8) : (x 1) = x2 7xx3 + x2= 7x2+15x

dzielimy 7x2 na x

Krok VI

(x38x2+15x8) : (x 1) = x2 7xx3 + x2= 7x2+15x7x2 7x

mnoymy 7x razy x 1wyniki zapisujemy z przeciwnymiznakami

Krok VII

(x38x2+15x8) : (x 1) = x2 7xx3 + x2= 7x2+15x7x2 7x= 8x8

dodajemy i spisujemy 8

dalej


spis treci

wicej w MatTV

symbole

dodaj do drukowania

zgo bd na str. 110

szukasz i nie ma?


[email protected]


Krok VIII

(x38x2+15x8) : (x 1) = x2 7x+ 8x3 + x2= 7x2+15x7x2 7x= 8x8

dzielimy 8x na x

Krok IX

(x38x2+15x8) : (x 1) = x2 7x+ 8x3 + x2= 7x2+15x7x2 7x= 8x8

8x+8

mnoymy 8 razy x 1wyniki zapisujemy z przeciwnymiznakami

Krok X

(x38x2+15x8) : (x 1) = x2 7x+ 8x3 + x2= 7x2+15x7x2 7x= 8x8

8x+8= =

dodajemynie otrzymalimy reszty


spis treci

wicej w MatTV

symbole

dodaj do drukowania

zgo bd na str. 111

szukasz i nie ma?


[email protected]


Wielomiany

wzory, twierdzenia, definicje wielomiany pierwiastek wielomianu dzielenie wielomianw rozkad wielomianu na czynniki twierdzenie Bezout twierdzenie o pierwiastkach wymiernych krotno pierwiastka wielomianu nierwno wielomianowa

rozwizane zadania


spis treci

wicej w MatTV

symbole

dodaj do drukowania

zgo bd na str. 112

szukasz i nie ma?


[email protected]


.


spis treci

wicej w MatTV

symbole

dodaj do drukowania

zgo bd na str. 113

szukasz i nie ma?


[email protected]


wymagania maturalne zdajcy potrafi: wykonywa dzielenie wielomianu przez wielomian

Wykonaj dzielenie:. (x3 + x2 22x 40) : (x 5) . (2x3 5x2 + 8x 3) : (2x 1). (6x3 19x2 + 13x 2) : (3x 2) . (x4 5x3 + 10x2 15x+ 9) : (x 3). (2x3 14x2 + 14x+ 30) : (x2 2x 3)


spis treci

wicej w MatTV

symbole

dodaj do drukowania

zgo bd na str. 114

szukasz i nie ma?


[email protected]


Wykonaj dzielenie:(x3 + x2 22x 40) : (x 5)

Rozwizanie:dzielenie wielomianw

(x3 + x222x40) : (x 5) = x2 + 6x+ 8x3+5x2= 6x222x6x2+30x= 8x40

8x+40= =


spis treci

wicej w MatTV

symbole

dodaj do drukowania

zgo bd na str. 115

szukasz i nie ma?


[email protected]


Wykonaj dzielenie:(2x3 5x2 + 8x 3) : (2x 1)


(2x35x2+8x3) : (2x 1) = x2 2x+ 32x3 +x2= 4x2+8x

4x22x= 6x36x+3= =


spis treci

wicej w MatTV

symbole

dodaj do drukowania

zgo bd na str. 116

szukasz i nie ma?


[email protected]


Wykonaj dzielenie:(6x3 19x2 + 13x 2) : (3x 2)


(6x319x2+13x2) : (3x 2) = 2x2 5x+ 16x3 + 4x2= 15x2+13x

15x210x= 3x2

3x+2= =


spis treci

wicej w MatTV

symbole

dodaj do drukowania

zgo bd na str. 117

szukasz i nie ma?


[email protected]


Wykonaj dzielenie:(x4 5x3 + 10x2 15x+ 9) : (x 3)


(x45x3+10x215x+9) : (x 3) = x3 2x2 + 4x 3x4+3x3= 2x3+10x22x3 6x2= 4x215x

4x2+12x= 3x+93x9= =


spis treci

wicej w MatTV

symbole

dodaj do drukowania

zgo bd na str. 118

szukasz i nie ma?


[email protected]


Rozkad wielomianu na czynniki

Rozwizujc rwnanie wielomianowe lub nierwno wielomianow rozkadamy wielomian nailoczyn czynnikw, do ktrych zaliczamy: wyraenia liniowe np. (x+ 3), (x 5), (2x 1) wyraenia kwadratowe z < 0 np. (x2 + 9), (x2 + 7), (x2 + 2x+ 8) potgi x np. x, x2, x3

Z wielomianu rozoonego na czynniki atwo jest odczyta pierwiastki.

Przykady:x3 x2 17x 15 = (x 5)(x+ 3)(x+ 1)

pierwiastki: x1 = 5 x2 = 3 x3 = 1

x4 + 6x3 + 16x2 + 32x = x(x+ 4)(x2 + 2x+ 8)

pierwiastki: x1 = 0 x2 = 4 nie ma ( < 0)

x5 4x4 + 9x3 36x2 = x2(x2 + 9)(x 4)

pierwiastki: x1 = 0 nie ma x2 = 4


spis treci

wicej w MatTV

symbole

dodaj do drukowania

zgo bd na str. 119

szukasz i nie ma?


[email protected]


Pierwiastek wielomianu

Pierwiastek wielomianu to miejsce zerowe wielomianu, czyli liczba dla ktrej warto wielo-mianu jest rwna zero.

Przykady:w(x) = x4 x2 x0 = 1 poniewa w(1) = 14 12 = 1 1 = 0w(x) = x3 8 x0 = 2 poniewa w(2) = 23 8 = 8 8 = 0w(x) = x5 x4 + x2 + x x0 = 0 poniewa w(0) = 05 04 + 02 + 0 = 0

Najatwiej jest odczyta pierwiastki z wielomianu rozoonego na czynniki.


spis treci

wicej w MatTV

symbole

dodaj do drukowania

zgo bd na str. 120

szukasz i nie ma?


[email protected]


Twierdzenie Bezout

Jeeli x0 jest pierwiastkiem wielomianu w(x), to wielomian w(x) dzieli si przez x x0.Jeeli wielomian w(x) dzieli si przez x x0, to x0 jest pierwiastkiem wielomianu w(x).

Przykad:w(x) = x3 + x2 2 w(1) = 13 + 12 2 = 1 + 1 2 = 0Liczba 1 jest pierwiastkiem wielomianu x3+x22, a wic ten wielomian moemy podzielina x 1 i nie otrzymamy reszty.


spis treci

wicej w MatTV

symbole

dodaj do drukowania

zgo bd na str. 121

szukasz i nie ma?


[email protected]


Twierdzenie o pierwiastkach wymiernych

Jeeli wielomianw(x) = ax3 + bx2 + cx+ d

ma wspczynniki a, b, c, d cakowite, to jego pierwiastkw cakowitych naley szuka po-rd dzielnikw ostatniego wspczynnika d. Twierdzenie to jest prawdziwe dla wielomianwdowolnego stopnia.

Przykad:w(x) = x3 2x2 + 3x 6

dzielniki 6 to: 1, 1,2, 2,3, 3,6, 6Jeeli wielomian w(x) ma pierwiastek cakowity, to jest nim jeden z tych dzielnikw.

Jeeli wielomianw(x) = ax3 + bx2 + cx+ d

ma wspczynniki a, b, c, d cakowite, to jego pierwiastkw wymiernych naley szuka pordliczb postaci pqp dzielnik ostatniego wspczynnika dq dzielnik pierwszego wspczynnika a


spis treci

wicej w MatTV

symbole

dodaj do drukowania

zgo bd na str. 122

szukasz i nie ma?


[email protected]


wymagania maturalne zdajcy potrafi: rozwizywa rwnania wielomianowe

Rwnanie kwadratowe to rwnanie wielomianowe stopnia drugiego.

Rozwi przeksztacajc rwnanie:. x3 5x2 = 0 . x3 9x = 0 . x3 + 4x = 0. x3 + 3x2 + 2x = 0 . 2x3 + 2x2 12x = 0

Rozwi przeksztacajc rwnanie:. x3 + 1 = 0 . x3 8 = 0 . 2x4 + 4x = 0


spis treci

wicej w MatTV

symbole

dodaj do drukowania

zgo bd na str. 123

szukasz i nie ma?


[email protected]


Rozwi przeksztacajc rwnanie:

x3 5x2 = 0

Rozwizanie:Rozkadamy wielomian na czynniki:

x3 5x2 = 0x2(x 5) = 0

pierwiastki: x1 = 0 x2 = 5


spis treci

wicej w MatTV

symbole

dodaj do drukowania

zgo bd na str. 124

szukasz i nie ma?


[email protected]



x3 9x = 0


x3 9x = 0x(x2 9) = 0x(x2 32) = 0

Korzystamy z a2 b2 = (a b)(a+ b).

x(x 3)(x+ 3) = 0



spis treci

wicej w MatTV

symbole

dodaj do drukowania

zgo bd na str. 125

szukasz i nie ma?


[email protected]



x3 + 4x = 0


x3 + 4x = 0

x(x2 + 4) = 0

pierwiastki: x1 = 0 nie ma


spis treci

wicej w MatTV

symbole

dodaj do drukowania

zgo bd na str. 126

szukasz i nie ma?


[email protected]



x3 + 3x2 + 2x = 0


x3 + 3x2 + 2x = 0

x(x2 + 3x+ 2) = 0

x2 + 3x+ 2 = 0=32 4 1 2 = 9 8 = 1 =

1 = 1

x1= 3121 =42 = 2

x2= 3+121 =22 = 1

posta iloczynowa:(x (2)

)(x (1)

)= (x+ 2)(x+ 1)

x(x+ 2)(x+ 1) = 0



spis treci

wicej w MatTV

symbole

dodaj do drukowania

zgo bd na str. 127

szukasz i nie ma?


[email protected]



2x3 + 2x2 12x = 0


2x3 + 2x2 12x = 02(x3 + x2 6x) = 02x(x2 + x 6) = 0

x2 + x 6 = 0=12 4 1 (6) = 1 + 24 = 25 =

25 = 5

x1= 1521 =62 = 3

x2= 1+521 =42 = 2

posta iloczynowa:(x (3)

)(x 2) = (x+ 3)(x 2)

2x(x+ 3)(x 2) = 0



spis treci

wicej w MatTV

symbole

dodaj do drukowania

zgo bd na str. 128

szukasz i nie ma?


[email protected]


Rozwi przeksztacajc rwnanie:x3 + 1 = 0


x3 + 1 = 0

x3 + 13 = 0

Korzystamy z a3 + b3 = (a+ b)(a2 ab+ b2)

(x+ 1)(x2 x+ 1) = 0

x2 x+ 1 = 0=(1)2 4 1 1 = 1 4 = 3 < 0, nie ma pierwiastkw

(x+ 1)(x2 x+ 1) = 0



spis treci

wicej w MatTV

symbole

dodaj do drukowania

zgo bd na str. 129

szukasz i nie ma?


[email protected]


Rozwi przeksztacajc rwnanie:x3 8 = 0


x3 8 = 0x3 23 = 0

Korzystamy z a3 b3 = (a b)(a2 + ab+ b2)

(x 2)(x2 + 2x+ 4) = 0

x2 + 2x+ 4 = 0=22 4 1 4 = 4 16 = 12 < 0, nie ma pierwiastkw

(x 2)(x2 + 2x+ 4) = 0



spis treci

wicej w MatTV

symbole

dodaj do drukowania

zgo bd na str. 130

szukasz i nie ma?


[email protected]



2x4 + 4x = 0


2x4 + 4x = 0

2(x4 + 2x) = 0

2x(x3 + 2) = 0

2x(x3 + ( 3

2)3)= 0

Korzystamy z a3 + b3 = (a+ b)(a2 ab+ b2)

2x(x+ 32)(x2 3

2x+

( 32)

Matematyka w liceum - zspradzyn.internetdsl.plzspradzyn.internetdsl.pl/matura/matematyka1.pdf ·...

Documents

Transcript of Matematyka w liceum - zspradzyn.internetdsl.plzspradzyn.internetdsl.pl/matura/matematyka1.pdf ·...