Matematyka 1
-
Upload
centrum-dydaktyki-cyfrowej -
Category
Education
-
view
416 -
download
7
Transcript of Matematyka 1
MATEMATYKA
Odkryj, zrozum, zastosuj...klasa 1, szkoła ponadgimnazjalna
Odkryj, zrozum, zastosuj...Podtytuł:Matematyka
Przedmiot:matematyka
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej:Jacek Stańdo, Paweł Kwiatkowski, Henryk Dąbrowski , Hanna Drabik-Zalewska, Gertruda Gwóźdź-Łukawska, Agnieszka Zajączkowska , Krzysztof Kisiel, Grzegorz Kusztelak, Dorota Krawczyk - Stań-do, Magdalena Furmaniak, Kinga Pietrasik-Kulińska, Aneta Stasiak, Witold Walas, Wanda Człapińska,Mariusz Doliński, Maciej Furmaniak, Elżbieta Galewska , Kinga Gałązka, Magdalena Górajska, AnnaJeżewska, Dominik Kłys, Agata Krawczyk, Iwona Krawczyk-Kłys, Janusz Kuliński, Paweł Kuliński,Renata Kusztelak, Alicja Laskowska , Piotr Mazur , Bronisław Pabich, Dorota Palka-Rutkowska, JerzyPełczewski, Jolanta Piekarska, Marek Pisarski, Monika Potyrała , Dorota Rogowska , Alina Saganiak,Bartosz Sakowicz, Izabela Sakwa, Sławomir Sapanowski, Jolanta Schilling, Marzena Sławińska, To-masz Stasiak, Katarzyna Szczepaniak, Bożenna Szkopińska, Anna Warężak, Beata Wojciechowska iIzabella Żółtaszek
Format treści:E-podręcznik dla ucznia
Data wydania:24 lutego 2016
Typ szkoły:szkoła ponadgimnazjalna
Oznaczenia zadań:A - zadanie z minimalnego poziomu osiągnięcia efektu kształceniaB - zadanie z ogólnego poziomu osiągnięcia efektu kształceniaC - zadania z kreatywnego osiągnięcia efektu kształceniaK - zadanie do osiągnięcia kompetencji
- zadanie do wykonania w zeszycie
Oznaczenia treści:treści rozszerzające
oprawa metodyczna
ISBN 978-83-65450-38-8E-podręcznik, po uzyskaniu akceptacji ministra właściwego do spraw oświaty i wychowania, zostałdopuszczony do użytku szkolnego na podstawie art. 22 c ust. 2 i 5 Ustawy z dnia 7 września 1991roku o systemie oświaty (Dz. U. Nr 95, poz. 425 z późn. zm.).
Rzeczoznawcy Ministerstwa Edukacji Narodowej:merytoryczno-dydaktyczni – dr hab. Maria Korcz, mgr Agnieszka Pfeiffer, dr hab. WacławZawadowskijęzykowy – dr Iwona Wanda Grygields. podręczników do kształcenia specjalnego – dr Jan Piotr Omieciński
Spis treściRozdział 1. Funkcja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1. Pojęcie funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.1. Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.2. Definicja funkcji. Sposoby przedstawiania funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.1.3. Zbiór zadań . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.1.3.1. Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.1.3.2. Zadania generatorowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.2. Dziedzina funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.2.1. Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.2.2. Dziedzina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351.2.3. Zbiór zadań . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.2.3.1. Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411.2.3.2. Zadania generatorowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
1.3. Argument i wartość funkcji. Miejsca zerowe funkcji liczbowej . . . . . . . . . . . . . . 52
1.3.1. Miejsca zerowe funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521.3.2. Argumenty, dla których funkcja przyjmuje daną wartość . . . . . . . . . . . . . . . 571.3.3. Zbiór zadań . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
1.3.3.1. Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 681.3.3.2. Zadania generatorowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
1.4. Odczytywanie własności funkcji na podstawie jej wykresu. Część I . . . . . . . . . . . . 78
1.4.1. Argumenty i wartości funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 781.4.2. Przykłady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 831.4.3. Zadania. Część I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 881.4.4. Zadania. Część II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
1.5. Odczytywanie własności funkcji na podstawie jej wykresu. Część II . . . . . . . . . . . 129
1.5.1. Przykłady zastosowania funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1291.5.2. Monotoniczność funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1311.5.3. Monotoniczność. Przykłady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1401.5.4. Zadania. Część I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1461.5.5. Zadania. Część II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1631.5.6. Zadania generatorowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
1.6. Przekształcanie figur na płaszczyźnie kartezjańskiej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
1.6.1. Symetria punktu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1811.6.2. Symetria wykresu funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1851.6.3. Przykłady symetrii funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1871.6.4. Zadania. Część I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1921.6.5. Zadania. Część II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2031.6.6. Zadania generatorowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
1.7. Przesunięcie wzdłuż osi układu współrzędnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
1.7.1. Przesunięcie punktu w układzie współrzędnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2161.7.2. Przykłady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2191.7.3. Przesunięcie wykresów funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
Odkryj, zrozum, zastosuj...
3
1.7.4. Przykłady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2261.7.5. Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2301.7.6. Zadania generatorowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
Rozdział 2. Funkcja liniowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
2.1. Funkcja liniowa. Wykres funkcji liniowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
2.1.1. Proporcjonalność prosta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2562.1.2. Przykłady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2602.1.3. Definicja funkcji liniowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2672.1.4. Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2682.1.5. Zadania generatorowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
2.2. Własności funkcji liniowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
2.2.1. Współczynnik kierunkowy funkcji liniowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2832.2.2. Funkcja liniowa rosnąca, funkcja liniowa malejąca . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2922.2.3. Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2972.2.4. Zadania generatorowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
2.3. Miejsce zerowe funkcji liniowej. Równanie liniowe, nierówność liniowa . . . . . . . . . 313
2.3.1. Równanie liniowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3132.3.2. Nierówność liniowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3162.3.3. Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
2.4. Układ równań liniowych. Geometryczna interpretacja układu równań . . . . . . . . . . . 328
2.4.1. Układ dwóch równań liniowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3282.4.2. Układ równań liniowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3352.4.3. Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3382.4.4. Zadania generatorowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
2.5. Zastosowanie funkcji liniowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
2.5.1. Przykłady zastosowania funkcji liniowej. Część I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3512.5.2. Przykłady zastosowania funkcji liniowej. Część II . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3542.5.3. Zadania. Część I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3622.5.4. Zadania. Część II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
Rozdział 3. Trygonometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368
3.1. Podobieństwo trójkątów prostokątnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368
3.1.1. Wprowadzenie do trygonometrii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3683.1.2. Sinus, cosinus i tangens kąta ostrego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3753.1.3. Przykłady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3823.1.4. Zadania. Część I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3873.1.5. Zadania. Część II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393
3.2. Tożsamości trygonometryczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400
3.2.1. Tożsamości trygonometryczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4003.2.2. Przykłady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4023.2.3. Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4103.2.4. Zadania generatorowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419
3.3. Zastosowanie trygonometrii w geometrii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420
3.3.1. Przykłady. Część I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4203.3.2. Przykłady. Część II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4283.3.3. Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432
3.4. Wykresy i własności funkcji trygonometrycznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440
Odkryj, zrozum, zastosuj...
4
Rozdział 4. Liczby . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446
4.1. Liczby naturalne, całkowite, wymierne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446
4.1.1. Liczby naturalne, całkowite i wymierne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4464.1.2. Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448
4.2. Procenty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462
4.2.1. Procenty i punkty procentowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4624.2.2. Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4654.2.3. Zadania generatorowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475
4.3. Potęgi, pierwiastki, notacja wykładnicza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476
4.3.1. Działania na potęgach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4764.3.2. Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4824.3.3. Działania na pierwiastkach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4894.3.4. Zadania. Część I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4904.3.5. Zadania. Część II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494
4.4. Wyrażenia algebraiczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 498
4.4.1. Działania na wyrażeniach algebraicznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4984.4.2. Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5014.4.3. Przykłady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5074.4.4. Zadania, zadania generatorowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511
4.5. Potęga o wykładniku wymiernym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526
4.5.1. Potęga o wykładniku wymiernym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5264.5.2. Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529
4.6. Nierówności, przedziały, odległość . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536
4.6.1. Równania i nierówności liczbowe. Przedziały liczbowe . . . . . . . . . . . . . . . . 5364.6.2. Przedziały liczbowe. Przedziały jako zbiory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5434.6.3. Wartość bezwzględna - definicja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5504.6.4. Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 561
4.7. Zaokrąglenia i przybliżenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 570
4.7.1. Przybliżenia i zaokrąglenia liczb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5704.7.2. Błąd bezwzględny, błąd względny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5754.7.3. Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 578
Rozdział 5. Geometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583
5.1. Planimetria. Podstawowe związki na płaszczyźnie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583
5.1.1. Przystawanie trójkątów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5835.1.2. Twierdzenie Pitagorasa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5865.1.3. Dwusieczne kąta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5905.1.4. Symetralna odcinka. Symetralne boków trójkąta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5945.1.5. Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 601
5.2. Wielokąty na płaszczyźnie. Związki miarowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 611
5.2.1. Kąty przyległe, wierzchołkowe, naprzemianległe i odpowiadające . . . . . . . . . . 6115.2.2. Kąty w figurach, przekątne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6255.2.3. Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 641
5.3. Przystawanie trójkątów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652
5.3.1. Przykłady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6525.3.2. Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 668
Odkryj, zrozum, zastosuj...
5
5.4. Podobieństwo trójkątów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685
5.4.1. Cechy podobieństwa trójkątów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6855.4.2. Przykłady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6925.4.3. Własności podobieństwa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695
5.5. Kąty w trójkącie. Styczna do okręgu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 717
5.5.1. Kąty w okręgu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7175.5.2. Kąt środkowy, kąt wpisany . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7185.5.3. Wzajemne położenie prostej i okręgu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7265.5.4. Wycinek i odcinek koła . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7345.5.5. Okrąg wpisany w trójkąt prostokątny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7395.5.6. Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742
5.6. Stereometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 759
5.6.1. Siatki i modele brył . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 759
Słowniczek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 767Rozdział 6. Odpowiedzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 789
Rozdział 7. O e-podręczniku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1060
Odkryj, zrozum, zastosuj...
6
Rozdział 1. Funkcja
1.1. Pojęcie funkcji
1.1.1. Wprowadzenie
W praktyce często korzystamy z zależności między różnymi wielkościami.
Przykład 1.Przeprowadź symulację kosztów tankowania. Obserwuj, jak zmienia się kwota należności w
zależności od ilości zatankowanego paliwa.
Aplikacja na epodreczniki.pl
Symulacja kosztów tankowania paliwa jest przykładem modelowania matematycznego. Two-
rzenie modelu rozpoczyna się od opisu zjawiska, a następnie określamy zależności między
danymi wielkościami.
Przykład 2.Droga s, jaką pokonuje samochód jadący ze stałą prędkością v zależy od czasu t. Zależność
tę możemy opisać za pomocą równości
s = vt
Obserwuj, jak zmienia się długość drogi pokonywanej przez samochód jadący ze stałą pręd-
kością v = 80 km/h.
Funkcja
7
• W ciągu 1 godziny samochód pokonuje drogę długości 80 km.
• W ciągu 2 godzin samochód pokonuje drogę długości 160 km.
• W ciągu pół godziny samochód pokonuje drogę długości 40 km.
• W ciągu 15 minut samochód pokonuje drogę długości 20 km.
• W ciągu 3 godzin 45 minut samochód pokonuje drogę długości 300 km.
Aplikacja na epodreczniki.pl
Przykład 3.• Energia kinetyczna Ek ciała poruszającego się z prędkością v zależy od tej prędkości i
masy danego ciała m
Ek =mv2
2
Energia kinetyczna jest równa pracy, jaką należy wykonać, by ciało o masie m rozpędzić od
prędkości 0 (względem przyjętego układu odniesienia) do danej prędkości v.
Dla ciał poruszających się z prędkościami bliskimi prędkości światła energia kinetyczna obli-
czana jest według innego wzoru. Energia kinetyczna jest różnicą pomiędzy energią całkowitą
i energią spoczynkową.
• Energia potencjalna grawitacji ziemskiej ciała o masie m, znajdującego się na wysoko-
ści h ponad poziomem Ziemi, jest równa iloczynowi m, h i przyspieszenia ziemskiego g
Ep = mgh
Poziom trudności: KZadanie 1.1.1.1Aplikacja na epodreczniki.pl
(Pokaż odpowiedź)
Zależności między wielkościami możemy także opisywać za pomocą grafów.
Wprowadzenie
8
Przykład 4.Graf opisuje przyporządkowanie, które każdej z osób: Mariuszowi, Joli, Ewie i Ani przyporząd-
kowuje ocenę z matematyki, jaką otrzymała na koniec roku szkolnego.
Film na epodreczniki.pl
Wprowadzenie
9
1.1.2. Definicja funkcji. Sposoby przedstawiania funkcji
Definicja: Funkcja
Funkcją f ze zbioru X w zbiór Y nazywamy przyporządkowanie, które każdemu ele-
mentowi zbioru X przyporządkowuje dokładnie jeden element zbioru Y.
Symbolicznie piszemy f : X → Y. Czytamy „funkcja f odwzorowuje zbiór X w zbiór Y”.
• Zbiór X nazywamy dziedziną funkcji, a jego elementy – argumentami funkcji f.
• Zbiór Y nazywamy przeciwdziedziną funkcji. Każdy element y zbioru Y, który
został przyporządkowany co najmniej jednemu argumentowi x nazywamy
wartością funkcji f dla argumentu x, co zapisujemy symbolicznie y = f(x). Zbiór
Z tych elementów y nazywamy zbiorem wartości funkcji.
Przykład 1.Dane są zbiory X = {1, 2, 3, 4} oraz Y = { – 3, – 2, 0, 1}.Rozważmy różne sposoby opisu funkcji.
• Funkcja f opisana jest za pomocą tabeli.
x 1 2 3 4
f(x) 1 – 2 – 2 – 2
• Funkcja k przedstawiona jest za pomocą grafu.
• Funkcja g opisana jest słownie. Funkcja g każdej liczbie nieparzystej ze zbioru X przypo-
rządkowuje wartość 1. Każdemu z pozostałych argumentów przyporządkowuje liczbę o
4 mniejszą.
Zatem: g(1) = g(3) = 1, g(2) = 2 − 4 = − 2 i g(4) = 4 − 4 = 0.
Definicja funkcji. Sposoby przedstawiania funkcji
10
• Funkcja w opisana jest za pomocą wykresu.
• Funkcja z opisana jest za pomocą wzoru.
f(x) = {−3
−2
0
1
dla
dla
dla
dla
x = 1
x = 2
x = 3
x = 4
Film na epodreczniki.pl
Przedstawiliśmy różne przykłady funkcji określonych na zbiorze X = {1, 2, 3, 4} o wartościach ze
zbioru Y = { – 3, – 2, 0, 1}.
Definicja funkcji. Sposoby przedstawiania funkcji
11
Poziom trudności: AZadanie 1.1.2.1
Podaj przykład funkcji określonej na zbiorze X = {1, 4, 5, 7} o wartościach ze zbioru
Y = { – 4, – 1, 0, 1}.
Poziom trudności: CZadanie 1.1.2.2
Ile jest wszystkich funkcji określonych na zbiorze X = {1, 2, 3, 4} o wartościach ze zbioru
Y = { – 3, – 2, 0, 1}?(Pokaż odpowiedź)
Przykład 2.
Film na epodreczniki.pl
Definicja funkcji. Sposoby przedstawiania funkcji
12
Przykład 3.Pole kwadratu o boku długości x określamy wzorem P = x2 . Wobec tego dla dowolnego x > 0
funkcja P(x) = x2 opisuje pole kwadratu o boku x.
Aplikacja na epodreczniki.pl
Przykład 4.Długość d przekątnej kwadratu jest funkcją długości x jego boku.
W szczególności d(3) = 3√2 , a ogólnie d(x) = x√2, dla x > 0.
Przykład 5.Wysokość h trójkąta równobocznego i pole P tego trójkąta są funkcjami długości a boku trój-
kąta.
W szczególności h(6) = 3√3 , P(4) = 4√3, a ogólnie h(a) =a√3
2 oraz P(a) =a2√3
4 , dla a > 0.
Poziom trudności: AZadanie 1.1.2.3W zależności od długości promienia r, podaj wzór funkcji opisującej
(Pokaż odpowiedź)
Przykład 6.Rzucamy cztery razy sześcienną kostką. Rozpatrzmy funkcję f, która numerowi rzutu przy-
porządkowuje liczbę wyrzuconych oczek uzyskanych na kostce w tym rzucie. Wówczas dzie-
pole kołaa)
obwód kołab)
Definicja funkcji. Sposoby przedstawiania funkcji
13
dziną funkcji f jest zbiór {1, 2, 3, 4}, a jej przeciwdziedziną zbiór {1, 2, 3, 4, 5, 6}, przy czym
zbiór wartości funkcji jest co najwyżej czteroelementowy.
Aplikacja na epodreczniki.pl
Przykład 7.Dla danej funkcji określ dziedzinę i zbiór wartości.
Aplikacja na epodreczniki.pl
Poziom trudności: AZadanie 1.1.2.4Funkcja g, ze zbioru X w zbiór Y, określona jest za pomocą tabeli.
Definicja funkcji. Sposoby przedstawiania funkcji
14
x 1 2 3 4 5
g(x) 2 −312 2,7 √2
Uzupełnij graf tej funkcji.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 1.1.2.5
Dane są zbiory X = { – 2, – 1, 0, 1, 2, 3}, Y = { – 1, 0, 1, 2, 5} oraz funkcja f : X → Y taka,
że
f(x) = {5
x − 3
x + 1
dla
dla
dla
x < 0
x > 1
x = 0 lub x = 1
Uzupełnij tabelkę.
x – 2 – 1 0 1 2 3
f(x)
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.1.2.6Uczniom klasy Ia przyporządkowane są w dzienniku kolejne numery od 1 do 33. Które z poniż-
szych przyporządkowań jest funkcją?
Definicja funkcji. Sposoby przedstawiania funkcji
15
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 1.1.2.7Funkcja s każdej liczbie dwucyfrowej przypisuje sumę cyfry dziesiątek i podwojonej cyfry jed-
ności.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.1.2.8Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f, określonej na zbiorze { – 2, – 1, 0, 1, 2, 3}.
Oceń, które równości są prawdziwe.
a) f(−1) + f(0) = 6
b) f(0) + f(1) = f(2)c) f(−2) + f(2) = 0
(Pokaż odpowiedź)
Każdemu numerowi ucznia przyporządkowujemy dzień tygodnia, w którym się uczeń
urodził.
a)
Każdemu z 7 dni tygodnia przyporządkowujemy numer z dziennika tego ucznia, który się
w tym dniu urodził.
b)
Oblicz s(37).a)
Zapisz w tabelce wartości funkcji s dla argumentów większych od 94.b)
Definicja funkcji. Sposoby przedstawiania funkcji
16
Poziom trudności: AZadanie 1.1.2.9Czy dla funkcji określonej wzorem f(x) = 2x2 − x + 3 podane równości są prawdziwe?
a) f(3) = f(−3)
b) f(1) + f(2) = 10
c) f(−1) = 0
d) f(0) = 3
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: CZadanie 1.1.2.10W klasie jest 31 uczniów. Każdemu z nich na zakończenie roku szkolnego została wystawiona
pozytywna ocena z matematyki. Uzasadnij, że wśród uczniów jest co najmniej siedmiu takich,
którzy na zakończenie roku szkolnego uzyskali taką samą ocenę z matematyki.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: CZadanie 1.1.2.11
Graniastosłup prawidłowy ma w podstawie wielokąt o n wierzchołkach (n ≥ 3 ).Oznaczmy
przez w(n) liczbę wszystkich wierzchołków tego graniastosłupa
przez k(n) liczbę wszystkich krawędzi tego graniastosłupa
przez s(n) liczbę wszystkich ścian tego graniastosłupa
(Pokaż odpowiedź)
Wyznacz: w(3), k(4), s(5).a)
Wyznacz: w(31), k(28), s(17).b)
Dla ustalonej liczby naturalnej n ≥ 3 podaj wzory funkcji : w(n), k(n), s(n).c)
Wykaż, że dla dowolnej liczby naturalnej n ≥ 3 prawdziwa jest równość
w(n) + s(n) − k(n) = 2.
d)
Definicja funkcji. Sposoby przedstawiania funkcji
17
1.1.3. Zbiór zadań
1.1.3.1. Zadania
Poziom trudności: AZadanie 1.1.3.1.1Na rysunku przedstawiono wykres funkcji f.
Dla argumentu 0 funkcja przyjmuje wartość
a) 4
b) 2
c) 0
d) – 2
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.1.3.1.2Wybierz graf przedstawiający funkcję, której dziedziną jest zbiór A i przeciwdziedziną zbiór B.
Zbiór zadań
18
a)
b)
c)
Zadania
19
d)
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.1.3.1.3Funkcja f określona na zbiorze { − 2, − 1, 0, 1, 2} każdemu argumentowi przyporządkowu-
je liczbę do niego przeciwną. Na którym rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f?
a)
b)
Zadania
20
c)
d)
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.1.3.1.4Funkcja f każdej liczbie ze zbioru {20, 31, 44, 52, 67} przypisuje sumę jej cyfr. Wskaż tabelkę,
która ilustruje to przyporządkowanie.
a)
x 20 31 44 52 67
f(x) 0 3 16 10 42
b)
x 20 31 44 52 67
f(x) 2 4 8 7 13
Zadania
21
c)
x 20 31 44 52 67
f(x) 2 3 4 5 6
d)
x 20 31 44 52 67
f(x) 0 1 4 2 7
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.1.3.1.5Funkcja f określona wzorem f(a) = 4a dla a > 0 opisuje
a) obwód kwadratu o boku długości a
b) długość boku kwadratu o przekątnej długości a
c) pole kwadratu o boku długości a
d) długość przekątnej kwadratu o boku długości a
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 1.1.3.1.6Funkcja f określona na zbiorze liczb całkowitych dodatnich każdemu argumentowi x przypo-
rządkowuje największą wielokrotność liczby 3, która jest nie większa od x. Liczba f(101) jest
równa
a) 102
b) 99
c) 3
d) 33
(Pokaż odpowiedź)
Zadania
22
Poziom trudności: BZadanie 1.1.3.1.7
Funkcja g jest określona wzorem g(x) = { 6 − 2x
x + 5
dla
dla
x ≤ 2
x > 2. Wynika z tego, że liczba g(2) jest
równa
a) 7
b) 5
c) 4
d) 2
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: CZadanie 1.1.3.1.8Ponumerujmy kolejne liczby naturalne podzielne przez 3, zaczynając od 30, a kończąc na 999.
Wtedy liczba 900 jest zapisana na miejscu o numerze
a) 300
b) 299
c) 291
d) 290
(Pokaż odpowiedź)
Zadania
23
Poziom trudności: AZadanie 1.1.3.1.9
Poniższy graf opisuje funkcję f ze zbioru A w zbiór B. Odczytaj f(3).
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.1.3.1.10Funkcja g jest określona za pomocą tabeli. Odczytaj najmniejszą wartość funkcji g.
x – 4 – 3 – 2 – 1 0 1
g(x) 0 1 2 – 1 1 0
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 1.1.3.1.11
Dziedziną funkcji f określonej wzorem f(x) =x
x2 − 3jest zbiór {−√2, 0,
12 , 1, 2, √5}. Dla każde-
go z argumentów funkcji f oblicz wartość tej funkcji.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.1.3.1.12Funkcja f każdej dodatniej liczbie całkowitej mniejszej od 6 przyporządkowuje 20% tej liczby.
Przedstaw tę funkcję w postaci grafu.
(Pokaż odpowiedź)
Zadania
24
Poziom trudności: AZadanie 1.1.3.1.13
Funkcja f jest określona dla każdej liczby całkowitej dodatniej n wzorem f(n) = − 2n + 5.Wypisz
wartości, które funkcja f przyjmuje dla czterech najmniejszych argumentów.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.1.3.1.14Rozpatrzmy wszystkie liczby dwucyfrowe, których suma cyfr jest równa 8. Funkcja f każdej z
tych liczb przyporządkowuje iloczyn jej cyfr. Przedstaw funkcję f za pomocą tabeli.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 1.1.3.1.15Funkcja f każdej liczbie dwucyfrowej mniejszej od 26 przyporządkowuje liczbę jej dzielników
naturalnych. Przedstaw tę funkcję za pomocą tabeli. Podaj
(Pokaż odpowiedź)
wszystkie argumenty x, dla których f(x) = 2a)
wszystkie argumenty x, dla których f(x) = 3b)
największą wartość funkcji fc)
Zadania
25
1.1.3.2. Zadania generatorowe
Poziom trudności: AZadanie 1.1.3.2.1Funkcja P każdej liczbie dodatniej a przyporządkowuje pole koła o średnicy a. Oblicz P(11).
a) 3,14 ? 121
b) 121π
c)121π
4
d) 22π
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.1.3.2.2Funkcja f(x) = (m − 4)x + 19 dla x = 1 przyjmuje wartość 2. Wynika z tego, że liczba m jest równa
a) 25
b) −21
c) 17
d) −13
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 1.1.3.2.3Wypisujemy, zaczynając od 36, kolejne liczby parzyste: 36, 38, 40, … . Jaka liczba stoi na
miejscu o numerze 71?
a) 2520
b) 176
c) 180
d) 178
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.1.3.2.4Funkcja f każdej dodatniej liczbie rzeczywistej x przyporządkowuje liczbę o 43% większą. Wów-
czas funkcja f jest określona wzorem
Zadania generatorowe
26
a) f(x) =43
100x
b) f(x) =143100x
c) f(x) = x +43
100
d) f(x) = x + 43
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.1.3.2.5
Niech f(x) = 3x + 4 i g(x) = 3x + 7. Jakim wzorem jest opisana funkcja g(x) + f(x)?
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.1.3.2.6
Niech f(x) = − 2x + 5 i g(x) = − 2x + 13. Jakim wzorem jest opisana funkcja g(x) + f(x)?
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.1.3.2.7Zapisz wzór funkcji f, która każdej dodatniej liczbie rzeczywistej x przyporządkowuje wartość o
12 mniejszą od liczby 5 razy większej od x.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 1.1.3.2.8Kolarz na treningu pokonuje 95 okrążeń toru o długości 400 metrów. Oblicz czas potrzebny na
pokonanie całego dystansu, przyjmując, że kolarz jedzie ze średnią prędkością 36 km/h.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 1.1.3.2.9Rozpatrzmy wszystkie liczby trzycyfrowe, których cyfra setek jest równa x i cyfra dziesiątek jest
równa x, a suma wszystkich cyfr wynosi 14. Funkcja f argumentowi x przypisuje iloczyn cyfr da-
nej liczby.
Oblicz f(4).a)
Zadania generatorowe
27
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 1.1.3.2.10Podane w cenniku opłaty za noclegi w schronisku wynoszą: za pierwszą dobę – 28.50 zł od oso-
by, za każdą następną – po 23,50 zł. Członkowie Polskiego Towarzystwa Schronisk Młodzieżo-
wych mają 18% zniżki.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 1.1.3.2.11Ostrosłup prawidłowy ma w podstawie wielokąt o 34 wierzchołkach.
(Pokaż odpowiedź)
Oblicz f(5).b)
Oblicz koszt tygodniowego pobytu w tym schronisku 8 osób, z których żadna nie jest
członkiem PTSM.
a)
Oblicz opłatę za pięciodniowy pobyt w schronisku 25 turystów, spośród których 10 nale-
ży do PTSM.
b)
Do schroniska przybyło 32 turystów, wśród których jest x osób należących do PTSM.
Przez f(x) oznaczamy opłatę za tygodniowy pobyt tej grupy w schronisku. Podaj wzór opi-
sujący wyrażenie f(x).
c)
Oblicz liczbę wszystkich wierzchołków tego ostrosłupa.a)
Oblicz liczbę wszystkich krawędzi tego ostrosłupa.b)
Oblicz liczbę wszystkich ścian tego ostrosłupa.c)
Zadania generatorowe
28
1.2. Dziedzina funkcji
1.2.1. Wprowadzenie
Analizując zależności funkcyjne między różnymi wielkościami, spotykamy się z przypadkami, w
których należy dokładnie ustalić, dla jakich argumentów określamy funkcję. Taką czynność nazy-
wamy wyznaczaniem dziedziny funkcji.
Przykład 1.Rozważmy pole P kwadratu jako funkcję długości jego boku x. Funkcję tę zapisujemy wzorem
P(x) = x2.
Do wzoru funkcji P można podstawiać dowolną liczbę rzeczywistą x, jednak dziedziną tej
funkcji nie jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, tylko zbiór liczb dodatnich, bo tylko takie
liczby mogą być długościami boków.
Z warunków zadania wynika, że dziedziną DP funkcji P jest zbiór wszystkich liczb dodatnich.
Aplikacja na epodreczniki.pl
Dziedzina funkcji
29
Przykład 2.W trójkącie ABC dane są długości boków | AC | = 7 i | BC | = 8. Oznaczmy | AB | = c
. Funkcja L przyporządkowuje długości boku c obwód trójkąta ABC. Wówczas
L(c) = 7 + 8 + c = 15 + c, przy czym funkcja L jest określona dla tych c, dla których istnieje trój-
kąt ABC.
Z nierówności trójkąta wiemy, że odcinki o długościach 7, 8, c są bokami trójkąta wtedy i tylko
wtedy, gdy spełnione są warunki:
c > 0, c + 7 > 8, 7 + 8 > c oraz c + 8 > 7.
Stąd c > 1 i c < 15. A zatem dziedziną DL funkcji L jest przedział (1, 15).
Aplikacja na epodreczniki.pl
Wprowadzenie
30
Przykład 3.Rozważmy wszystkie prostokąty, których obwód jest równy 24. Jeżeli przez a oznaczymy dłu-
gość jednego z boków takiego prostokąta, to sąsiedni bok ma długość 12 − a, zatem pole P
prostokąta wyraża się wzorem P(a) = a(12 − a) = − a2 + 12a. Taki prostokąt istnieje, gdy a > 0
i 12 − a > 0. Wobec tego dziedziną D funkcji P jest przedział (0, 12).
Aplikacja na epodreczniki.pl
Przykład 4.Rozważmy wszystkie pary dodatnich liczb rzeczywistych x i y, których suma jest dwa razy
mniejsza od ich iloczynu. Zapiszemy liczbę y w zależności od x.
Warunki zadania zapisujemy w postaci
x > 0 i y > 0 i xy = 2(x + y).Z równości xy = 2(x + y) wyznaczamy y
xy − 2y = 2x
y(x − 2) = 2x
Zauważmy, że dla x = 2 otrzymujemy równość sprzeczną 0 = 4. A zatem dla x ≠ 2 mamy
y =2x
x − 2 . Wynika z tego, że liczba dodatnia y jest ilorazem liczby dodatniej 2x i liczby x – 2,
więc x – 2 > 0, czyli x > 2.
Zatem funkcję y zapisujemy wzorem
y(x) =2x
x − 2
a dziedziną D tej funkcji jest przedział
(2, + ∞)
Wprowadzenie
31
Aplikacja na epodreczniki.pl
Poziom trudności: CZadanie 1.2.1.1Znajdź wszystkie pary dodatnich liczb całkowitych x i y, których suma jest dwa razy mniejsza
od ich iloczynu.
(Pokaż odpowiedź)
Przykład 5.Rozważmy wszystkie trójkąty prostokątne o przeciwprostokątnej długości 5. Na przyprosto-
kątnych takiego trójkąta zbudujemy kwadraty o polach x i y. Wyznaczymy długość boku kwa-
dratu o polu y w zależności od x.
Wiemy, że x > 0 i y > 0. Z twierdzenia Pitagorasa wynika, że x + y = 52, czyli y = 25 − x.
Zatem długość d boku kwadratu o polu y jest funkcją zmiennej x, postaci d(x) = √25 − x, a
dziedziną Dd tej funkcji jest przedział (0, 25).
Aplikacja na epodreczniki.pl
Wprowadzenie
32
Przykład 6.Rozważmy wszystkie graniastosłupy prawidłowe czworokątne, których suma długości
wszystkich krawędzi jest równa 16. Wyznaczymy objętość V takiego graniastosłupa w zależ-
ności od długości a krawędzi jego podstawy.
Oznaczmy długość krawędzi bocznej tego graniastosłupa przez b. Z warunków zadania ma-
my a > 0 i b > 0 oraz 8a + 4b = 16, skąd b = 4 − 2a, zatem a < 2.
Wobec tego objętość V graniastosłupa jest funkcją zmiennej a postaci
V(a) = a2(4 − 2a) = − 2a3 + 4a2
a dziedziną funkcji V jest przedział (0, 2).
Aplikacja na epodreczniki.pl
Przykład 7.Rozważmy wszystkie liczby dwucyfrowe, których suma cyfr jest równa 15, a cyfrą dziesiątek
jest x. Zapiszemy taką liczbę dwucyfrową wzorem zależnym od x.
Z warunków zadania wynika, że cyfrą jedności takiej liczby jest 15 − x, a tą liczbą dwucyfrową
jest 10x + (15 − x).Zauważmy, że powyższy wzór określa liczbę dwucyfrową wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione
są następujące dwa warunki:
• cyfra dziesiątek: x jest jedną z liczb: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,
• cyfra jedności: 15 – x jest jedną z liczb: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Wobec tego x należy do zbioru {6, 7, 8, 9}.Zapisując tę liczbę dwucyfrową jako funkcję f zmiennej x, otrzymujemy
f(x) = 10x + (15 − x) = 9x + 15
Dziedziną funkcji f jest zbiór czteroelementowy {6, 7, 8, 9}.
Wprowadzenie
33
Przykład 8.Na rysunku przedstawiony jest wykres zmian ceny akcji pewnej spółki w ciągu kilku miesięcy
2013 i 2014 r. Na podstawie wykresu można odczytać cenę akcji w każdym miesiącu, w któ-
rym została ona zapisana. Jednak przebieg tej funkcji opisującej te zmiany zmienia się w cza-
sie rzeczywistym. Nie jesteśmy w stanie wyznaczyć wartości akcji w kolejnych miesiącach.
Poziom trudności: KZadanie 1.2.1.2Zapoznaj się z najprostszą metodą przewidywania cen akcji na giełdzie.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: KZadanie 1.2.1.3Zapoznaj się ze stroną internetową zawierającą informacje o notowaniu spółek giełdowych.
Wybierz jedną z nich i śledź zmiany jej ceny przez kilka dni. Staraj się codziennie przewidzieć
cenę spółki i oceń trafność swoich przewidywań.
(Pokaż odpowiedź)
Wprowadzenie
34
1.2.2. Dziedzina
Definicja: Dziedzina
Zbiór tych wszystkich liczb rzeczywistych, dla których wzór funkcji ma sens liczbowy
nazywamy dziedziną funkcji.
Przyjmujemy domyślnie, że jeżeli w zadaniu pojawi się tylko wzór funkcji, to funkcja określona jest
w całej swojej dziedzinie.
Przykład 1.Wyznacz dziedzinę funkcji P(x) = x2.
Dziedziną funkcji P jest zbiór liczb rzeczywistych, co zapisujemy: DP = R.
Dziedzina
35
Przykład 2.Wyznacz dziedzinę funkcji L(c) = 15 + c.
Dziedziną funkcji L jest zbiór liczb rzeczywistych, co zapisujemy: DL = R.
Przykład 3.Wyznacz dziedzinę funkcji P(a) = − a2 + 12a.
Dziedziną funkcji P jest zbiór liczb rzeczywistych, co zapisujemy: DP = R.
Dziedzina
36
Przykład 4.
Wyznacz dziedzinę funkcji y(x) =2x
x − 2 .
Dzielenie przez zero jest niewykonalne, zatem x − 2 ≠ 0. Dziedziną funkcji y jest zbiór liczb
rzeczywistych różnych od 2, co zapisujemy: Dy = R ? {2}.
Przykład 5.Wyznacz dziedzinę funkcji d(x) = √10 − x
Pierwiastek kwadratowy określony jest dla liczb nieujemnych, zatem 10 − x ≥ 0. Dziedziną
funkcji d jest zbiór ( − ∞; 10 ? , co zapisujemy: Dd = ( − ∞; 10 ? .
Dziedzina
37
Przykład 6.Wyznacz dziedzinę funkcji V(a) = − 2a3 + 4a2.
Dziedziną funkcji V jest zbiór liczb rzeczywistych, co zapisujemy: DV = R.
Przykład 7.Wyznacz dziedzinę funkcji f(x) = 9x + 15.
Dziedziną funkcji f jest zbiór liczb rzeczywistych, co zapisujemy: Df = R.
Poziom trudności: AZadanie 1.2.2.1
Wskaż, która z podanych liczb należy do dziedziny funkcji f(x) =x
x + 3 + 1.
a) 0
b) – 3
c) 2
(Pokaż odpowiedź)
Dziedzina
38
Poziom trudności: AZadanie 1.2.2.2
Sprawdź, czy podana liczba należy do dziedziny funkcji g(x) =x
x2 + 3.
a) 0
b) – 3
c) −√3
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.2.2.3Sprawdź, czy podana liczba należy do dziedziny funkcji f(x) = √x + 2 − 3.
a) – 4
b) – 2
c) 3
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.2.2.4
Wyznacz dziedzinę funkcji k(x) =x + 2x − 3 .
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.2.2.5
Wyznacz dziedzinę funkcji f(x) = √x − 5.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 1.2.2.6
Wyznacz dziedzinę funkcji f(x) =3
(x + 1)(2x − 6).
(Pokaż odpowiedź)
Dziedzina
39
Poziom trudności: BZadanie 1.2.2.7
Znajdź dziedzinę funkcji f(x) =x − 3
x2 − 4x.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 1.2.2.8
Wyznacz dziedzinę funkcji t(x) =3
√−1 − x .
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 1.2.2.9
Ustal dziedzinę funkcji f(x) = √2 − x +x
x + 7 .
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: CZadanie 1.2.2.10Bok kwadratu ABCD ma długość 2. Punkt E leży na boku BC, przy czym długość odcinka CE jest
równa x. Punkt F leży na boku CD i | CF | = | CE | . Zapisz pole P trójkąta AEF jako funkcję
x. Ustal dziedzinę tej funkcji.
(Pokaż odpowiedź)
Dziedzina
40
1.2.3. Zbiór zadań
1.2.3.1. Zadania
Poziom trudności: AZadanie 1.2.3.1.1Wskaż funkcję, której dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych.
a) f(x) =1
x + 2
b) f(x) =x + √3
2
c) f(x) =3x + 7
x
d) f(x) =5
3 − x
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.2.3.1.2Liczba 1 należy do dziedziny funkcji
a) f(x) =3
x2 − 1
b) f(x) =1
3 − 3x
c) f(x) =4
x + 1
d) f(x) =2
x − 1
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.2.3.1.3Dziedziną funkcji f(x) = √x + 2 jest przedział
a) ? −2, + ∞)
b) ? 2, + ∞)
Zbiór zadań
41
c) ( − ∞, − 2 ?
d) ( − ∞, 2 ?
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.2.3.1.4
Aplikacja na epodreczniki.pl
Poziom trudności: AZadanie 1.2.3.1.5
Aplikacja na epodreczniki.pl
Poziom trudności: AZadanie 1.2.3.1.6Wskaż funkcję, do dziedziny której należy każda liczba ze zbioru {−1, 0, 1, 2}.
a) f(x) =x − 2
x
b) f(x) =x − 1x + 2
c) f(x) =x
x − 2
d) f(x) =x + 1x − 1
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.2.3.1.7
Do dziedziny funkcji f(x) =2
√4 − x należy liczba
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
(Pokaż odpowiedź)
Zadania
42
Poziom trudności: BZadanie 1.2.3.1.8Wskaż funkcję, której dziedziną nie jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych.
a) f(x) =x + 2
√x2 + 4
b) f(x) =x2 − 5x
x2 − 3
c) f(x) =x2 + x
−x2 − 3
d) f(x) =x2 − 1
x2 + 1
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 1.2.3.1.9
Do dziedziny funkcji f(x) =x
(x − 1)(x + 2)(x − 3)należy liczba
a) 3
b) – 2
c) 1
d) – 1
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 1.2.3.1.10Rozważmy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne, których suma długości wszystkich
krawędzi jest równa 18. Długość krawędzi podstawy takiego graniastosłupa może być dowolną
liczbą rzeczywistą z przedziału
a) (2, 6)
b) ?0, 2?
c) (0, 3)
d) (1, 4)
(Pokaż odpowiedź)
Zadania
43
Poziom trudności: AZadanie 1.2.3.1.11Wyznacz dziedzinę funkcji.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.2.3.1.12Wypisz wszystkie liczby, które nie należą do dziedziny funkcji.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 1.2.3.1.13Ustal dziedzinę funkcji.
f(x) = 2x + 5a)
g(x) = x2 − 5b)
h(x) = x3 − 2x + 7c)
k(x) = 5d)
f(x) =2x
x + 7a)
g(x) =x − 11 − x
b)
h(x) =2x + 13x − 9
c)
k(x) =3x − 1120x + 4
d)
f(x) =7
(x − 2)(x + 2)
a)
h(x) =x − 3
x(3 − x)
b)
g(x) =x2 − 1
(x − 1)(x + 4)
c)
k(x) =x3 − 5x2
x(2x + 4)(x − 1)
d)
Zadania
44
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 1.2.3.1.14Wypisz wszystkie dodatnie liczby całkowite, które należą do dziedziny funkcji
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 1.2.3.1.15Wyznacz dziedzinę funkcji.
(Pokaż odpowiedź)
m(x) =5
x2 − 9
e)
p(x) =2x + 5
x2 + 6
f)
t(x) =3 − 6x
x2 + 2x + 1
g)
u(x) =8x − 9
x2 − 4x + 4
h)
f(x) = √5 − xa)
g(x) = √18 − 2xb)
h(x) = √7 − 3xc)
k(x) = √24 − 5xd)
f(x) =2
√x + 3a)
g(x) = √4 − 2x10x + 10
b)
h(x) =x
15 − 3x + √x − 4c)
t(x) = √16 − 2xx + 1 + √7x + 21
x − 5d)
Zadania
45
Poziom trudności: BZadanie 1.2.3.1.16Rozpatrzmy wszystkie trójkąty, których obwód jest równy 8. Oznaczmy wierzchołki takiego trój-
kąta przez A, B, C. Przyjmijmy, że AB jest najkrótszym bokiem | AB | = 2 i | AC | = x. Zapisz
długość a boku BC w zależności od x. Wyznacz dziedzinę otrzymanej funkcji a.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 1.2.3.1.17Bok trójkąta równobocznego ABC ma długość 6. Punkty D i E leżą na bokach odpowiednio BC i
AC w tej samej odległości x od wierzchołka C. Zapisz pole P trapezu ABDE jako funkcję x. Ustal
dziedzinę tej funkcji.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 1.2.3.1.18Rozważmy wszystkie graniastosłupy prawidłowe czworokątne o objętości 100. Zakładając, że
krawędź podstawy takiego graniastosłupa jest równa a, zapisz jego pole powierzchni całkowitej
P w zależności od a. Wyznacz dziedzinę funkcji P.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: CZadanie 1.2.3.1.19Rozpatrzmy wszystkie trójkąty prostokątne, których pole jest równe 18. Przyjmijmy, że długość
jednej z przyprostokątnych takiego trójkąta jest równa b. Zapisz długość c przeciwprostokątnej
trójkąta w zależności od b. Wyznacz dziedzinę funkcji c.
(Pokaż odpowiedź)
Zadania
46
1.2.3.2. Zadania generatorowe
Poziom trudności: AZadanie 1.2.3.2.1Liczba 7 nie należy do dziedziny funkcji
a) f(x) =12
3x − 7
b) f(x) =6
2x − 14
c) f(x) =7x + 17x − 7
d) f(x) =9
x + 7
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.2.3.2.2Dziedziną funkcji f(x) = √15 − 3x jest przedział
a) ? −5, + ∞)
b) ? 5, + ∞)
c) (−∞, − 5 ?
d) (−∞, 5 ?
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 1.2.3.2.3
Do dziedziny funkcji f(x) =4x2 + 5
(x − 4)(x + 9)(x + 5)należy liczba
a) −4
b) 4
c) −9
d) − 5
(Pokaż odpowiedź)
Zadania generatorowe
47
Poziom trudności: AZadanie 1.2.3.2.4Wskaż funkcję, której dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych.
a) f(x) =x2 + 24
x2 + 6
b) f(x) =8
6 − 7x
c) f(x) =2x + 76x + 1
d) f(x) =x − 6x − 6
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.2.3.2.5
Aplikacja na epodreczniki.pl
Poziom trudności: BZadanie 1.2.3.2.6Rozważmy wszystkie prostokąty, których obwód jest równy 48. Wybrany bok takiego prosto-
kąta może być dowolną liczbą rzeczywistą z przedziału
a) (1, 27)
b) (0, 24)
c) (12 ,
1474 )
d) ?0, 12?
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.2.3.2.7Wskaż funkcję, do dziedziny której należy każda liczba ze zbioru { − 6, 0, 6, − 15}.
a) f(x) =x − 2
48 − 8x
b) f(x) =21x − 12x + 30
c) f(x) =−15x − 6
4 − 4x
Zadania generatorowe
48
d) f(x) =2x − 153x + 18
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 1.2.3.2.8Do dziedziny funkcji f(x) = √9 − x + √x − 6 należy liczba
a) 5
b) 7
c) 10
d) 11
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 1.2.3.2.9
Do dziedziny funkcji f(x) =1
14x − 14 +2
x + 14 nie należy liczba
a) −14
b) −13
c) −12
d) 1
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 1.2.3.2.10Do dziedziny której z poniższych funkcji, należy każda liczba rzeczywista większa od 9?
a) f(x) =3x − 9
√x − 8
b) f(x) = √9 − x
c) f(x) =2x + 9x − 10
d) f(x) =x2 + 9x
x2 − 64
(Pokaż odpowiedź)
Zadania generatorowe
49
Poziom trudności: BZadanie 1.2.3.2.11Każda ujemna liczba całkowita należy do dziedziny funkcji
a) f(x) = √13 − x
b) f(x) = √x − 12
c) f(x) =4
x − 11
d) f(x) =x − 12x + 11
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 1.2.3.2.12Zbiór R wszystkich liczb rzeczywistych jest dziedziną funkcji
a) f(x) = √x2 + 7
b) f(x) =7x + 1
282 − 7
c) f(x) =14x − 14
7x − 7
d) f(x) =x − 7
9 + √50
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 1.2.3.2.13Do dziedziny funkcji f(x) = √3x − 33 + √12 − x należy liczba
a) 11
b) 12
c) 13
d) 14
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: CZadanie 1.2.3.2.14Rozpatrzmy wszystkie trójkąty równoramienne, których podstawa ma długość 18. Przyjmijmy,
że ramię takiego trójkąta ma długość x. Jeżeli wysokość h takiego trójkąta uzależnimy od x, to
Zadania generatorowe
50
a) dziedziną otrzymanej funkcji h jest przedział (9, + ∞)
b) dziedziną otrzymanej funkcji h jest przedział (0, + ∞)
c) h jest funkcją x postaci h(x) = √x2 + 81
d) h jest funkcją x postaci h(x) = √x2 − 81
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 1.2.3.2.15
Wypisz wszystkie liczby całkowite, które należą do dziedziny funkcji f(x) = √3 − xx + 8 +
8x − 1
√x + 10 .
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: CZadanie 1.2.3.2.16Rozpatrzmy wszystkie prostokąty o polu równym 100. Oznaczmy wierzchołki takiego prosto-
kąta przez A, B, C, D i przyjmijmy, że | AB | = x. Uzależnij od x obwód l prostokąta ABCD.
Ustal dziedzinę funkcji l.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: CZadanie 1.2.3.2.17
Wyznacz dziedzinę funkcji f(x) = √36 − 3xx − 10 + √x + 13
x + 11 .
(Pokaż odpowiedź)
Zadania generatorowe
51
1.3. Argument i wartość funkcji. Miejsca zerowefunkcji liczbowej
1.3.1. Miejsca zerowe funkcji
Przykład 1.Przyjrzyjmy się wykresowi zmian temperatury powietrza w pewnej miejscowości w marcu.
Z wykresu możemy odczytać, że temperatura powietrza w dniu 5 marca była równa 3 ° C,
natomiast 11 marca wynosiła 4 ° C. Możemy też zadać pytanie: kiedy temperatura wynosiła
5 ° C? Z wykresu odczytujemy, że temperaturę 5 ° C odnotowano czterokrotnie: 2, 12, 14, 26
marca.
Szczególną wartością temperatury powietrza jest 0 ° C. W tej temperaturze woda przechodzi
ze stanu stałego w ciekły lub na odwrót. Zadajmy sobie pytanie: kiedy w marcu, w tej miej-
Argument i wartość funkcji. Miejsca zerowe funkcji liczbowej
52
scowości odnotowano temperaturę 0 ° C? Z wykresu odczytujemy: 6, 10, 16 marca. Przyjmij-
my, że rysunek przedstawia wykres pewnej funkcji. Wtedy dla x = 6, x = 10, x = 16 wartości
tej funkcji wynoszą 0.
Definicja: Miejsce zerowe funkcji
Każdy argument, dla którego funkcja przyjmuje wartość 0 nazywamy miejscem ze-
rowym tej funkcji.
Przykład 2.Wykres przedstawia zmiany stanu konta klienta banku w pierwszych jedenastu dniach mie-
siąca.
Klient zakupił lodówkę za kwotę 2 tys. euro (czyli stan jego konta zmniejszył się o 2 tys. euro
w momencie dokonania płatności). Innych zakupów tego dnia już nie zrobił. Z wykresu od-
czytujemy, że zakup ten nastąpił 5. dnia miesiąca, gdyż 4. dnia stan konta wynosił 4 tys. euro,
a 5 dnia 2 tys. euro, a w żadnym innym dniu stan konta nie był o 2 tys. euro niższy, niż w dniu
poprzednim.
Miejsca zerowe funkcji
53
Konto klienta zostało zasilone kwotą 3 tys. euro. Którego dnia miesiąca zostało zasilone kon-
to taką kwotą? Z wykresu możemy odczytać, że nastąpiło to w 7. dniu miesiąca.
Kiedy stan konta klienta był równy zero? Z wykresu odczytujemy, że klient miał zerowy stan
konta 9. i 11. dnia miesiąca. W przypadku niektórych kont banki dopuszczają sytuację, w któ-
rej klient wypłaca z konta więcej pieniędzy niż posiada na koncie. Powstaje wówczas tzw.
debet. Możemy, analizując ciągle ten sam wykres, zapytać, czy na koncie klienta był w tym
okresie debet, a jeśli był, to w jakiej wysokości. Debet ilustrują te punkty wykresu, które znaj-
dują się poniżej osi poziomej układu współrzędnych, a więc punkty odpowiadające ujemnym
wartościom funkcji. Z wykresu odczytujemy, że tylko w 1. dniu miesiąca miała miejsce taka
sytuacja. Wielkość debetu wyniosła 1 tys.zł.
Miejsca zerowe funkcji
54
Powyższe przykłady pokazują, że w praktyce niekiedy istotne jest określenie, w jakim przypadku
funkcja przyjmuje wartość 0. Są też sytuacje, gdy wygodniej jest porównywać wartości funkcji z
inną szczególną wartością tej funkcji. Na przykład, gdy analizujemy wykres temperatury ciała czło-
wieka w pewnym przedziale czasowym, to temperaturę porównujemy z wartością 36,6 ° C. Jest
to tzw. normalna temperatura ciała człowieka. Temperatura ciała wyższa od tej wartości, ale nie
większa niż 37 ° C, wskazuje na stan podgorączkowy. Temperatura ciała wyższa niż 37 ° C ozna-
cza gorączkę. Temperatura ciała człowieka niższa niż 36,6 ° C oznacza osłabienie organizmu.
Przykład 3.Na rysunku przedstawiony jest wykres temperatury ciała pacjenta, mierzonej co godzinę,
przez kolejnych 12 godzin.
Określmy kilka przykładowych wartości temperatury ciała tego pacjenta. W początkowym
momencie mierzenia, czyli w chwili t = 0 pacjent miał stan podgorączkowy, temperatura jego
ciała była równa 37 ° C. W chwili t = 4 temperatura jego ciała wynosiła 39 ° C, a więc miał
wówczas gorączkę. Po siedmiu godzinach pomiaru temperatura ciała pacjenta przyjęła war-
tość normalną i taka temperatura utrzymywała się przez godzinę, do chwili t = 8. Przez na-
stępne dwie godziny pacjent był osłabiony, ale od chwili t = 10, aż do końca pomiaru, czyli
do chwili t = 12 znowu powróciła u niego temperatura normalna. Możemy więc powiedzieć,
że normalna temperatura odnotowana była w dwóch przedziałach czasowych ?7, 8? oraz
?10, 12?.
W praktyce często występują charakterystyczne wartości różnych wielkości, często inne niż zero,
w stosunku do których odnosimy mierzone wartości. Np. temperatura 100 ° C, a więc tempera-
tura wrzenia wody w warunkach normalnego ciśnienia, 50 km / h – dopuszczalna prędkość poru-
szania się pojazdów po drogach na obszarach zabudowanych, 8000 metrów n.p.m. – tzw. „granica
śmierci” w górach.
Miejsca zerowe funkcji
55
Przykład 4.Gdy dziedziną lub zbiorem wartości funkcji jest zbiór nieograniczony, to jesteśmy w stanie
narysować jedynie pewien fragment wykresu tej funkcji (ze względu na ograniczone rozmiary
kartki papieru lub ekranu monitora). Jeśli narysowany jest jedynie fragment wykresu funkcji i
nie wiemy nic więcej o tej funkcji, to nie możemy na podstawie tego fragmentu wykresu wyci-
ągać wniosków, które dotyczą tych części wykresu, których rysunek nie przedstawia. Na przy-
kład na podstawie przedstawionego fragmentu wykresu funkcji h możemy podać jej miejsce
zerowe x = 2 i stwierdzić, że w widocznym na rysunku przedziale ?−6,6? innych miejsc zero-
wych ta funkcja nie ma.
Jeśli wiedzielibyśmy, że funkcja przedstawiona na wykresie jest dla każdego x rzeczywistego
określona wzorem
h(x) =12x − 1,
to wyznaczenie jej wszystkich miejsc zerowych sprowadziłoby się do rozwiązania równania
h(x) = 0, co równoważnie zapisujemy12x − 1 = 0, skąd
12x = 1, czyli x = 2.
Miejsca zerowe funkcji
56
1.3.2. Argumenty, dla których funkcja przyjmuje daną wartość
Przykład 1.Aby odczytać z wykresu, czy i dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartość w, wystarczy
dorysować prostą równoległą do osi OX, na której leżą wszystkie punkty, których druga
współrzędna jest równa w (o takiej prostej mówimy, że ma równanie y = w). Jeżeli taka dory-
sowana prosta przecina wykres danej funkcji, to odczytując pierwszą współrzędną każdego z
punktów przecięcia, wyznaczymy argumenty, dla których funkcja przyjmuje daną wartość.
Film na epodreczniki.pl
Przykład 2.Odczytaj z wykresu funkcji f liczbę rozwiązań równania f(x) = m.
Aplikacja na epodreczniki.pl
Argumenty, dla których funkcja przyjmuje daną wartość
57
Przykład 3.Wyznaczymy wszystkie miejsca zerowe funkcji
• p(x) = 8 − 7x
Dziedziną tej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych.
Rozwiązujemy równanie p(x) = 0, a zatem 8 − 7x = 0, skąd 7x = 8, czyli x =87 .
Funkcja p ma jedno miejsce zerowe x =87 .
• k(x) = (3x − 2)(x + 1)Dziedziną tej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych.
Rozwiązujemy równanie k(x) = 0, a zatem (3x − 2)(x + 1) = 0. Ponieważ iloczyn jest równy 0
wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jeden z jego czynników jest równy 0, więc 3x − 2 = 0 lub
x + 1 = 0. Stąd x =23 lub x = − 1.
Funkcja k ma dwa miejsca zerowe: x1 =23 oraz x2 = − 1.
• f(x) = x2 − 4
Dziedziną tej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych.
Rozwiązujemy równanie f(x) = 0, a zatem x2 − 4 = 0. Korzystając ze wzoru na różnicę kwadra-
tów, zapisujemy równanie w postaci (x − 2)(x + 2) = 0, a więc x − 2 = 0 lub x + 2 = 0. Wynika z
tego, że x = 2 lub x = − 2.
Funkcja f ma dwa miejsca zerowe: x1 = 2 oraz x2 = − 2.
Fragment wykresu funkcji f(x) = x2 − 4 przedstawiony jest na rysunku.
• g(x) = (x − 1)(x + 1)(x − 2)
Dziedziną tej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych.
Rozwiązujemy równanie g(x) = 0, a zatem (x − 1)(x + 1)(x − 2) = 0, skąd x − 1 = 0 lub x + 1 = 0
Argumenty, dla których funkcja przyjmuje daną wartość
58
lub x − 2 = 0. Wynika z tego, że funkcja g ma 3 miejsca zerowe: x1 = 1, x2 = − 1 oraz x3 = 2.
Fragment wykresu funkcji g(x) = (x − 1)(x + 1)(x − 2) przedstawiony jest na rysunku.
• t(x) =x2 − 1x + 1
Dziedziną funkcji t jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, z wyjątkiem liczby – 1. Zauważ-
my, że dla x ≠ − 1 funkcję t można zapisać w postaci
t(x) =(x − 1)(x + 1)
x + 1 = x − 1. Jedynym miejscem zerowym funkcji t jest zatem x = 1.
Fragment wykresu funkcji t(x) =x2 − 1x + 1 przedstawiony jest na rysunku.
Argumenty, dla których funkcja przyjmuje daną wartość
59
• m(x) = {−2x − 2
0
2x − 2
dla
dla
dla
−2 ≤ x < − 1
−1 ≤ x ≤ 1
1 < x ≤ 2
Dziedziną tej funkcji jest przedział ?−2, 2?.
Zauważmy, że:
A zatem każda liczba rzeczywista z przedziału ?−1, 1? jest miejscem zerowym funkcji m.
Funkcja m ma nieskończenie wiele miejsc zerowych.
Cały wykres funkcji m przedstawiony jest na rysunku.
Przykład 4.Funkcja f każdej liczbie rzeczywistej dodatniej przyporządkowuje liczbę o 30% od niej mniej-
szą. Obliczymy, dla jakiego argumentu funkcja f przyjmuje wartość 14.
Oznaczmy taką liczbę rzeczywistą przez x. Przyporządkowanie opisane w treści zadania zapi-
sujemy wzorem f(x) = x − 30% x = x − 0,3x = 0,7x. Dziedziną tej funkcji jest zbiór liczb rzeczy-
wistych dodatnich.
Szukamy argumentu, dla którego f(x) = 14, a więc 0,7x = 14, skąd x =140,7 = 20.
Jedynym argumentem, dla którego funkcja f przyjmuje wartość 14 jest x = 20.
Jeżeli x ? ? −2, − 1), to m(x) = − 2x − 2. Rozwiązujemy równanie m(x) = 0, a zatem
−2x − 2 = 0, skąd x = − 1. Ale – 1 nie należy do przedziału ? −2, − 1), zatem w tym
przypadku funkcja m nie ma miejsc zerowych;
a)
Ponieważ dla x ? ?−1, 1? funkcja m dana jest wzorem m(x) = 0, to każda liczba z prze-
działu ?−1, 1? jest miejscem zerowym tej funkcji;
b)
Jeżeli x ? (1, 2 ? , to m(x) = 2x − 2. Rozwiązujemy równanie m(x) = 0, a więc 2x − 2 = 0,
skąd x = 1. Ale 1 nie należy do przedziału (1, 2 ? , zatem w tym przypadku funkcja m
nie ma miejsc zerowych.
c)
Argumenty, dla których funkcja przyjmuje daną wartość
60
Przykład 5.
Wyznaczymy wszystkie argumenty, dla których funkcja g(x) =x2 − 4x
2 przyjmuje wartość – 2.
Dziedziną tej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych.
Rozwiązujemy równanie g(x) = − 2.
x2 − 4x2 = − 2
x2 − 4x = − 4
x2 − 4x + 4 = 0
Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy. Wtedy (x − 2)2
= 0,
czyli x − 2 = 0, a zatem x = 2.
Wobec tego funkcja g(x) =x2 − 4x
2 przyjmuje wartość – 2 tylko wtedy, gdy x = 2.
Przykład 6.
Wyznaczymy wszystkie argumenty, dla których funkcja k(x) =2
x + 1 przyjmuje wartość13 .
Najpierw ustalimy dziedzinę funkcji k. Jest to zbiór wszystkich liczb rzeczywistych różnych od
– 1.
Rozwiązujemy równanie k(x) =13 .
2x + 1 =
13
Z własności proporcji x + 1 = 2 ? 3,
czyli x = 5.
A zatem funkcja k(x) =2
x + 1 przyjmuje wartość13 tylko wtedy, gdy x = 5.
Przykład 7.Funkcja P każdej dodatniej liczbie rzeczywistej a przyporządkowuje pole trójkąta równobocz-
nego o boku a. Obliczymy a, dla którego funkcja P osiąga wartość √3.
Korzystając ze wzoru na pole trójkąta równobocznego, ustalamy wzór funkcji P:P(a) = √34 a2,
dla a > 0.
Rozwiązujemy równanie P(a) = √3
√34 a2 = √3 | ?
4
√3
a2 = 4
Argumenty, dla których funkcja przyjmuje daną wartość
61
Ponieważ a jest liczbą dodatnią, to korzystamy z definicji pierwiastka kwadratowego, skąd
a = √4 = 2.
A zatem P osiąga wartość √3 dla a = 2.
Przykład 8.
Funkcje: a(n) = n(2n − 3)(n − 4) i b(n) = − 3n2 + 1 określone są na zbiorze dodatnich liczb cał-
kowitych.
• Obliczymy miejsce zerowe funkcji a.
Rozwiązujemy równanie a(n) = 0, a więc n(2n − 3)(n − 4) = 0, skąd n = 0 lub 2n − 3 = 0 lub
n − 4 = 0, czyli n = 0 lub n =32 lub n = 4. Spośród tych trzech liczb jedynie 4 jest liczbą całko-
witą dodatnią, a zatem funkcja a ma tylko jedno miejsce zerowe, n = 4.
• Wyznaczymy wszystkie argumenty, dla których funkcja b przyjmuje wartość −26.
Rozwiązujemy równanie b(n) = − 26.
−3n2 + 1 = − 26
−3n2 = − 26 − 1
−3n2 = − 27 | : | −3
n2 = 9
Ponieważ n jest liczbą dodatnią, to korzystamy z definicji pierwiastka kwadratowego, skąd
n = √9 = 3
Wynika z tego, że funkcja b przyjmuje wartość – 26 tylko wtedy, gdy n = 3.
Argumenty, dla których funkcja przyjmuje daną wartość
62
Przykład 9.
Dana jest funkcja f(x) = {4
2 − 7x
x2
dla
dla
dla
x ≤ − 1
−1 < x ≤ 3
x > 3
.
Wyznaczymy wartości funkcji f dla argumentów: x = − √5, x = − 1, x =157 , x = 4.
Film na epodreczniki.pl
Argumenty, dla których funkcja przyjmuje daną wartość
63
Poziom trudności: AZadanie 1.3.2.1Funkcję f przedstawiono za pomocą grafu.
Wskaż, która równość jest poprawna.
a) f(−2) = − 3
b) f(−3) + f(−1) = 0
c) f(−1) = 2
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.3.2.2Funkcję g przedstawiono za pomocą tabelki.
x −2 −1 0 1 2 3
g(x) 2 4 −1 0 −2 2
Wynika z tego, że funkcja g
a) przyjmuje wartość 3
b) dla każdego argumentu ujemnego przyjmuje wartość dodatnią
c) dla x = 0 przyjmuje wartość 1
d) ma dwa miejsca zerowe
(Pokaż odpowiedź)
Argumenty, dla których funkcja przyjmuje daną wartość
64
Poziom trudności: AZadanie 1.3.2.3Funkcja i każdej dodatniej liczbie dwucyfrowej przyporządkowuje iloraz tej liczby przez sumę
jej cyfr. Wynika z tego, że
a) i(20) < i(21)b) i(35) jest liczbą całkowitą
c) i(24) = 4
d) i(10) = 10
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.3.2.4
Rozpatrzmy funkcję g(x) =3 − 2x
5 . Funkcja g
a) nie przyjmuje wartości 2
b) ma jedno miejsce zerowe
c) dla x = 7 przyjmuje wartość całkowitą
d) dla x = − 1 przyjmuje wartość 1
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.3.2.5Funkcja z każdej dodatniej liczbie całkowitej n przyporządkowuje liczbę o 1 mniejszą od dwu-
krotności liczby n. Wtedy
a) do zbioru wartości funkcji z należy liczba 333
b) z(2) = z(3)
c) funkcja z nie ma miejsc zerowych
d) z(5) = 4
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 1.3.2.6
Oznaczmy przez P(a) pole powierzchni sześcianu o krawędzi długości a.
Argumenty, dla których funkcja przyjmuje daną wartość
65
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.3.2.7
Aplikacja na epodreczniki.pl
Poziom trudności: AZadanie 1.3.2.8Dziedziną funkcji a(n) = 7n − 2 jest zbiór liczb naturalnych. Sprawdź, czy do zbioru wartości
funkcji a należy liczba
a) 1000
b) 110
c) 15
d) 5
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.3.2.9Miejscem zerowym funkcji f(x) = (m + 2)x2 − mx + 8 jest liczba – 1. Wynika stąd, że
a) m = − 5
b) m = 8
c) m = − 1
d) m = 0
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 1.3.2.10Funkcja f jest określona wzorem
Oblicz P(12 ).a)
Wykaż, że P(√2) > 10.b)
Wyznacz a, dla którego P(a) przyjmuje wartość 6.c)
Wyznacz a, dla którego P(a) przyjmuje wartość 30.d)
Argumenty, dla których funkcja przyjmuje daną wartość
66
f(x) = { x + 1
7 − 2x
dla
dla
x ≤ 2
2 < x < 5
Dla jakich argumentów funkcja f przyjmuje wartość – 5?
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 1.3.2.11
Dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej n przez s(n) oznaczamy sumę n początkowych liczb
całkowitych dodatnich, to znaczy s(n) = 1 + 2 + … + n.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: CZadanie 1.3.2.12Długość boku kwadratu ABCD jest równa 4. Punkt E leży na przekątnej AC kwadratu, przy czym
| AE | = x. Dla jakiej wartości x pole P trójkąta ABE jest równe 3√2?
(Pokaż odpowiedź)
Oblicz s(10).a)
Znajdź n, dla którego s(n) = 66.b)
Wykaż, że nie istnieje n, dla którego s(n) = 60.c)
Argumenty, dla których funkcja przyjmuje daną wartość
67
1.3.3. Zbiór zadań
1.3.3.1. Zadania
Poziom trudności: AZadanie 1.3.3.1.1Wskaż funkcję, której miejscem zerowym jest liczba 3.
a) f(x) =13x + 3
b) f(x) = 3x
c) f(x) = 15 − 5x
d) f(x) = 2x + 3
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.3.3.1.2
Funkcja f określona jest wzorem f(x) =x − 3
2 . Wynika z tego, że f(x) = − 2 dla
a) x = − 2
b) x = − 1
c) x = 1
d) x = 2
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 1.3.3.1.3Funkcja g określona jest za pomocą tabeli.
x 1 2 3 4 5 6
g(x) 074 √5 0 1 2
Największą wartością funkcji g jest
a) 6
b) √5
c) 2
Zbiór zadań
68
d)74
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.3.3.1.4
Aplikacja na epodreczniki.pl
Poziom trudności: AZadanie 1.3.3.1.5Funkcja k określona jest za pomocą grafu.
Dla ilu argumentów funkcja k przyjmuje wartości ujemne?
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.3.3.1.6
Aplikacja na epodreczniki.pl
Zadania
69
Poziom trudności: BZadanie 1.3.3.1.7
Dana jest funkcja f(x) = { 3x − 1
x + 2
dla
dla
x ≤ − 1
x > − 1. Wynika z tego, że f( − 1) jest równe
a) 1
b) 0
c) −2
d) −4
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 1.3.3.1.8Funkcja f każdej liczbie trzycyfrowej mniejszej od 125 przypisuje iloczyn jej cyfr. Różnica między
największą i najmniejszą wartością tej funkcji jest równa
a) 9
b) 8
c) 10
d) 19
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 1.3.3.1.9Miejscem zerowym funkcji t(x) = (3 − m)x − 3m − 4 jest – 2. Wynika z tego, że t(0) jest równe
a) −4
b) 3
c) 17
d) 26
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 1.3.3.1.10Do zbioru wartości funkcji f(x) = x2 + 2 należy liczba
a) √5
Zadania
70
b) √3
c) √2
d) 1
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.3.3.1.11Funkcja g określona jest za pomocą tabeli.
x – 4 – 3 – 2 – 1 0 1 2 3
g(x) 4 3 2 1 1 2 3 4
Wyznacz zbiór wartości funkcji g.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.3.3.1.12
Funkcja f jest określona wzorem f(x) = { x2
x + 1
dla
dla
x ≤ 0
x > 0. Oblicz.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 1.3.3.1.13Wyznacz miejsce zerowe funkcji.
(Pokaż odpowiedź)
f(0)a)
f( − √2)b)
f(23 )c)
f(√5)d)
f(x) = 4x − 6a)
g(x) = 5 − 2xb)
h(x) =2x − 3
7c)
k(x) =9 − 3x
11d)
Zadania
71
Poziom trudności: AZadanie 1.3.3.1.14
Na wykresie funkcji f(x) = − 2x + 5 leży każdy z punktów: A = ( − 1, a), B = (0, b), C = (1, c),D = (2, d). Oblicz a, b, c i d.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 1.3.3.1.15Wyznacz miejsca zerowe funkcji.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 1.3.3.1.16
Dany jest okrąg o promieniu r. Przez P(r) oznaczamy funkcję określającą zależność między po-
lem sześciokąta foremnego wpisanego w ten okrąg a promieniem r.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 1.3.3.1.17
Dziedziną funkcji f(x) = x2 jest przedział ?−5, 2?. Znajdź wszystkie argumenty, dla których funk-
cja f przyjmuje wartość
(Pokaż odpowiedź)
f(x) = x(x − 5)a)
g(x) = (2x + 4)(x − 3)b)
h(x) = (x − 1)(5 − x)c)
k(x) = x(x + 2)(8 − 4x)d)
Podaj wzór funkcji P.a)
Oblicz P(2).b)
Znajdź r, dla którego funkcja P przyjmuje wartość 54√3.c)
0a)
1b)
3c)
16d)
Zadania
72
Poziom trudności: BZadanie 1.3.3.1.18
Funkcja g określona jest, dla każdej dodatniej liczby całkowitej n, wzorem g(n) =n2 − 1
4 . Znajdź
wszystkie argumenty, dla których funkcja g osiąga wartość 20.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 1.3.3.1.19Wyznacz miejsca zerowe funkcji.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: CZadanie 1.3.3.1.20
Funkcja u jest określona wzorem u(x) = {−x − 1
2
2x − 2
dla
dla
dla
x < − 3
−3 ≤ x ≤ 2
x > 2
Wykaż, że dla dowolnej liczby
rzeczywistej x funkcja u przyjmuje tylko wartości dodatnie.
(Pokaż odpowiedź)
f(x) = x2 − 25a)
g(x) = 7 − x2b)
h(x) = 9x2 + 6x + 1c)
k(x) = x2 − 12x + 36d)
Zadania
73
1.3.3.2. Zadania generatorowe
Poziom trudności: AZadanie 1.3.3.2.1Wskaż funkcję, której miejscem zerowym jest liczba 4.
a) f(x) =14x + 1
b) f(x) = 16 − 4x
c) f(x) = 4x
d) f(x) = 4x − 4
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.3.3.2.2
Funkcja f określona jest wzorem f(x) =x − 6
5 . Wynika z tego, że f(x) = − 4 dla
a) x = − 26
b) x = − 16
c) x = − 15
d) x = − 14
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 1.3.3.2.3
Dana jest funkcja f(x) = { 4x − 1
x + 6
dla
dla
x ≤ − 7
x > − 7. Wynika z tego, że f( − 7) jest równe
a) −2
b) −1
c) −29
d) −28
(Pokaż odpowiedź)
Zadania generatorowe
74
Poziom trudności: AZadanie 1.3.3.2.4Miejscem zerowym funkcji t(x) = (m + 9)x − m + 37 jest – 4. Wynika z tego, że m jest równe
a)15
b)19
c)1
37
d)1
10
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.3.3.2.5Na wykresie funkcji f(x) = 6x2 − 7x leży punkt
a) D = ( − 1, 1)
b) C = ( − 1, − 13)
c) B = ( − 1, 13)
d) A = ( − 1, − 1)
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 1.3.3.2.6
Miejscami zerowymi funkcji f(x) = (x − 3)( − 8 − x) są liczby
a) x = − 3 oraz x = 8
b) x = − 3 oraz x = − 8
c) x = 3 oraz x = 8
d) x = 3 oraz x = − 8
(Pokaż odpowiedź)
Zadania generatorowe
75
Poziom trudności: AZadanie 1.3.3.2.7Dziedziną funkcji a(n) = 7n − 5 jest zbiór liczb naturalnych. Do zbioru wartości funkcji a należy
liczba
a) 67
b) 58
c) 45
d) 50
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 1.3.3.2.8Dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej n przez s(n) oznaczamy sumę n początkowych liczb
całkowitych dodatnich, to znaczy s(n) = 1 + 2 + … + n. Wskaż wartość s(16).
a) 256
b) 135
c) 120
d) 136
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 1.3.3.2.9
Dany jest okrąg o promieniu r. Przez K(r) oznaczamy pole kwadratu opisanego na tym okręgu.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 1.3.3.2.10Funkcja i każdej dodatniej liczbie dwucyfrowej przyporządkowuje iloraz tej liczby przez sumę
jej cyfr. Wynika z tego, że
a) i(39) jest liczbą całkowitą
b) i(60) jest liczbą całkowitą
Oblicz K(8)a)
Znajdź r, dla którego wyrażenie k(x) przyjmuje wartość3025
64 .b)
Zadania generatorowe
76
c) i(38) =195
d) i(37) =3710
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.3.3.2.11Wyznacz miejsca zerowe funkcji.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 1.3.3.2.12
Funkcja g jest określona dla każdej dodatniej liczby całkowitej n wzorem g(n) =n2 − 100
7 . Znajdź
wszystkie argumenty, dla których funkcja g osiąga wartość równą 27.
(Pokaż odpowiedź)
f(x) = x(x − 5)a)
g(x) = (3x + 15)( − 8 − x)b)
h(x) = (x − 16)(23 − x)c)
k(x) = − 9x(x − 15)( − 32 + 8x)d)
Zadania generatorowe
77
1.4. Odczytywanie własności funkcji na podstawiejej wykresu. Część I
1.4.1. Argumenty i wartości funkcji
Już wiesz:
Przypomnijmy, że wykres funkcji, której argumentami i wartościami są liczby rze-
czywiste, to zbiór tych punktów płaszczyzny, których pierwsza współrzędna jest ar-
gumentem funkcji, a druga współrzędna – wartością funkcji dla tego argumentu.
Przykład 1.Z przedstawionego wykresu funkcji f odczytaj jej wartości kolejno dla argumentów:
−4, − 3, − 1, 1, 2, 3, 4. Wskaż miejsca zerowe funkcji.
Dla argumentu
• x = – 4 wartość funkcji f jest równa – 3, co zapiszemy f( – 4) = – 3
• x = – 3 wartość tej funkcji jest równa – 2, czyli f( – 3) = – 2
Następnie f( – 1) = 3, f(1) = 2, f(2) = 1, f(3) = 0 oraz f(4) = – 2.
Funkcja ma dwa miejsca zerowe.
Odczytywanie własności funkcji na podstawie jej wykresu. Część I
78
Ważne
Przypominamy, że nie należy mylić miejsca zerowego z punktem wspólnym wykresu funkcji
i osi Ox. W tym rozpatrywanym przykładzie są dwa takie punkty ( – 2, 0) oraz (3, 0). Miejsca
zerowe to pierwsze współrzędne tych punktów, czyli x1 = – 2 oraz x2 = 3. Są to argumenty,
dla których funkcja przyjmuje wartość 0.
Przykład 2.Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu pewnej funkcji s, której dziedziną jest zbiór
wszystkich liczb rzeczywistych.
Na podstawie tego fragmentu wykresu funkcji s możemy wskazać pięć miejsc zerowych:
x = − π, x = 0, x = π, x = 2π , x = 3π.
W rzeczywistości funkcja ta jest określona dla każdej liczby rzeczywistej. Miejscem zerowym
tej funkcji jest każda całkowita wielokrotność liczby π, a więc każda liczba postaci x = kπ,
gdzie k jest liczbą całkowitą. Funkcją tą jest sinus. Jest to jedna z funkcji trygonometrycznych.
Argumenty i wartości funkcji
79
Film na epodreczniki.pl
Ważne
Nie narysujemy w całości wykresu funkcji, której dziedziną jest zbiór nieograniczony. Z wy-
kresu takiej funkcji nie odczytamy poprawnie wszystkich jej własności.
Przykład 3.
Argumenty i wartości funkcji
80
Już wiesz:
Aby odczytać z wykresu funkcji, jaką wartość przyjmuje ona dla danego argumen-
tu a, wystarczy dorysować prostą równoległą do osi Oy, na której leżą wszystkie
punkty, których pierwsza współrzędna jest równa a (taką prostą opisujemy równa-
niem x = a). Otrzymamy wtedy dokładnie jeden punkt przecięcia tej prostej z wy-
kresem funkcji. Druga współrzędna tego punktu jest szukaną wartością.
Film na epodreczniki.pl
Już wiesz:
• Aby odczytać z wykresu, czy i dla jakich argumentów funkcja przyjmuje war-
tość w, wystarczy dorysować prostą równoległą do osi Ox, na której leżą
wszystkie punkty, których druga współrzędna jest równa w (taką prostą opi-
sujemy równaniem y = w).
Argumenty i wartości funkcji
81
• Jeżeli taka dorysowana prosta ma punkt wspólny z wykresem danej funkcji,
to odczytując pierwszą współrzędną każdego z takich punktów wspólnych,
wyznaczymy argumenty, dla których funkcja przyjmuje zadaną wartość.
Film na epodreczniki.pl
Argumenty i wartości funkcji
82
1.4.2. Przykłady
Przykład 1.Odczytaj miejsca zerowe funkcji przedstawionej na wykresie.Jeżeli argument funkcji nie jest
jej miejscem zerowym, to wartość funkcji dla tego argumentu jest dodatnia lub ujemna.
Aplikacja na epodreczniki.pl
Oś Ox dzieli wykres funkcji tak, że każdy punkt wykresu, który leży powyżej osi Ox ma drugą
współrzędną dodatnią. Mówimy wtedy, że funkcja przyjmuje wartości dodatnie.
Podobnie każdy punkt wykresu, który leży poniżej osi Ox ma drugą współrzędną ujemną.
Mówimy wtedy, że funkcja przyjmuje wartości ujemne.
Przykład 2.Wskaż, dla jakich argumentów funkcja f przyjmuje wartości dodatnie, a dla jakich ujemne.
Aplikacja na epodreczniki.pl
Przykłady
83
Przykład 3.Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f.
Odczytujemy z wykresu tej funkcji dziedzinę, wartość najmniejszą, wartość największą, zbiór
wartości, liczbę miejsc zerowych.
Dziedzina to przedział < – 9, 7).a)
Wartość najmniejsza to liczba – 3.b)
Wartość największa to liczba 2.c)
Zbiór wartości to przedział < – 3, 2 > .d)
Przykłady
84
Przykład 4.Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji g.
Odczytujemy z wykresu tej funkcji dziedzinę, wartość najmniejszą, wartość największą, zbiór
wartości, liczbę miejsc zerowych, zbiór argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości
dodatnie oraz ujemne.
Odczytujemy z wykresu funkcji:
Funkcja f ma jedno miejsce zerowe.
Film na epodreczniki.pl
e)
Przykłady
85
Przykład 5.Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji t.
Odczytujemy z wykresu tej funkcji dziedzinę, wartość najmniejszą, wartość największą, zbiór
wartości, liczbę miejsc zerowych, zbiór argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości
dodatnie oraz ujemne.
Odczytujemy z wykresu funkcji:
dziedzinę: przedział ( – 3, 6),a)
zbiór wartości: przedział < 0, 9),b)
wartość najmniejszą: 0
zauważmy, że funkcja g nie przyjmuje wartości największej,
c)
liczbę miejsc zerowych: jedno, jest to x = 0,d)
dla jakich argumentów funkcja g przyjmuje wartości dodatnie: dla każdego x z prze-
działu ( – 3, 0) oraz dla każdego x z przedziału (0, 6).Zauważmy też, że funkcja g nie przyjmuje wartości ujemnych.
e)
dziedzinę: zbiór czternastoelementowy
{ – 7, – 6, – 5, – 4, – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6},a)
zbiór wartości: zbiór sześcioelementowy { – 2, 0, 1, 2, 3, 4},b)
wartość najmniejszą: – 2,c)
wartość największą: 4,d)
liczbę miejsc zerowych: trzy, są to: liczby – 4, 2, 5,e)
Przykłady
86
dla jakich argumentów funkcja t przyjmuje wartości dodatnie: dla każdego x ze zbioru
{ – 7, – 6, – 5, – 3, – 2, – 1, 3, 4, 6},f)
dla jakich argumentów funkcja t przyjmuje wartości ujemne: dla x = 0 oraz x = 1.g)
Przykłady
87
1.4.3. Zadania. Część I
Poziom trudności: AZadanie 1.4.3.1Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f.
Zbiorem wartości funkcji f jest przedział
a) ? −1, 4 ?
b) (−1, 4)
c) ? −7, 4 ?
d) (−7, 4)
(Pokaż odpowiedź)
Zadania. Część I
88
Poziom trudności: AZadanie 1.4.3.2Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f.
Największa wartość funkcji f
a) jest równa 4 i funkcja przyjmuje tę wartość dla argumentu x = – 3
b) jest równa 3 i funkcja przyjmuje tę wartość dla argumentu x = – 2
c) nie istnieje
(Pokaż odpowiedź)
Zadania. Część I
89
Poziom trudności: AZadanie 1.4.3.3Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f.
Najmniejsza wartość funkcji f
a) jest równa 1 i funkcja przyjmuje tę wartość dla argumentu x = – 7
b) jest równa – 1 i funkcja przyjmuje tę wartość dla argumentu x = 2
c) nie istnieje
(Pokaż odpowiedź)
Zadania. Część I
90
Poziom trudności: AZadanie 1.4.3.4Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji g.
Zbiorem wartości funkcji g jest
a) (−2, 5 ?
b) ? −2, 5)
c) (−2, 5)
d) ? −7, 1)
(Pokaż odpowiedź)
Zadania. Część I
91
Poziom trudności: AZadanie 1.4.3.5Wykres funkcji g przedstawiony jest na rysunku.
Największa wartość funkcji g
a) jest równa 5
b) jest równa – 2
c) nie istnieje
(Pokaż odpowiedź)
Zadania. Część I
92
Poziom trudności: AZadanie 1.4.3.6Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji g.
Najmniejsza wartość funkcji g
a) jest równa – 2
b) jest równa 4
c) nie istnieje
(Pokaż odpowiedź)
Zadania. Część I
93
Poziom trudności: AZadanie 1.4.3.7Wykres funkcji f przedstawiony jest na rysunku.
Zbiorem wartości funkcji jest
a) (−3, 6)
b) ? −3, 6 ?
c) (−2, 3)
d) ? 1, 6 ?
(Pokaż odpowiedź)
Zadania. Część I
94
Poziom trudności: AZadanie 1.4.3.8Wykres funkcji f przedstawiony jest na rysunku.
Największa wartość funkcji f
a) jest równa 6
b) nie istnieje
c) jest równa 1
(Pokaż odpowiedź)
Zadania. Część I
95
Poziom trudności: AZadanie 1.4.3.9Wykres funkcji f przedstawiony jest na rysunku.
Najmniejsza wartość funkcji
a) jest równa – 3
b) jest równa 1
c) nie istnieje
(Pokaż odpowiedź)
Zadania. Część I
96
Poziom trudności: AZadanie 1.4.3.10Wykres funkcji h przedstawiony jest na rysunku.
Zbiorem wartości funkcji jest
a) ? −3, 6)
b) ? −3, 6 ?
c) (−2, 3)
d) ? 1, 6 ?
(Pokaż odpowiedź)
Zadania. Część I
97
Poziom trudności: AZadanie 1.4.3.11Wykres funkcji h przedstawiony jest na rysunku.
Największa wartość funkcji h
a) jest równa 6
b) nie istnieje
c) jest równa 1
(Pokaż odpowiedź)
Zadania. Część I
98
Poziom trudności: AZadanie 1.4.3.12Wykres funkcji h przedstawiony jest na rysunku.
Najmniejsza wartość funkcji h
a) jest równa – 2 dla argumentu x = 1
b) jest równa – 3 dla argumentu x = 0
c) nie istnieje
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.4.3.13Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji t. Odczytaj z wykresu
zbiór wartości funkcji t,a)
najmniejszą wartość funkcji t,b)
największą wartość funkcji t,c)
miejsca zerowe funkcji t,d)
Zadania. Część I
99
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.4.3.14Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f.
maksymalny przedział, w którym funkcja t przyjmuje wartości ujemne.e)
Zadania. Część I
100
Ile miejsc zerowych ma funkcja f?
a) nieskończenie wiele
b) 5
c) 4
d) 3
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.4.3.15Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f.
Zaznacz wszystkie miejsca zerowe funkcji f.
a) x = − 1
b) x = 2
c) x = − 6
d) x = − 5
e) x = 7
f) x = − 3
(Pokaż odpowiedź)
Zadania. Część I
101
Poziom trudności: AZadanie 1.4.3.16Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji g.
Ile miejsc zerowych ma ta funkcja?
a) nieskończenie wiele
b) 2
c) 1
d) 0
(Pokaż odpowiedź)
Zadania. Część I
102
Poziom trudności: AZadanie 1.4.3.17Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji g.
Zaznacz wszystkie miejsca zerowe funkcji g.
a) x = − 4
b) x = − 1
c) x = 2
d) x = − 3
e) x = − 2
(Pokaż odpowiedź)
Zadania. Część I
103
Poziom trudności: AZadanie 1.4.3.18Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji k.
Wskaż maksymalny przedział, w którym funkcja k przyjmuje wartości dodatnie.
a) x ? (−8, −1 ?
b) x ? ? −8, −1)
c) x ? ? −8, − 1 ?
d) x ? (−8, − 1)
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 1.4.3.19Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f. Wyznacz:
f(2 − √10),a)
znak iloczynu f(1) ? f(−3),b)
Zadania. Część I
104
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 1.4.3.20Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji g. Odczytaj z niego liczbę rozwiązań równania.
różnicę między wartością największą a wartością najmniejszą funkcji f.c)
g(x) = 1a)
g(x) = 2b)
g(x) = 3c)
Zadania. Część I
105
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: CZadanie 1.4.3.21Na rysunkach przedstawione są wykresy funkcji h i k.Funkcja f określona jest następująco
f(x) = { h{x
k{x
dla
dla
−4 ≤ x ≤ − 1
−1 < x ≤ 5.
g(x) =12
d)
Podaj miejsca zerowe funkcji f.a)
Podaj wartość najmniejszą oraz wartość największą funkcji f.b)
Podaj wszystkie argumenty, dla których funkcja f przyjmuje wartości dodatnie.c)
Zadania. Część I
106
(Pokaż odpowiedź)
Ile rozwiązań ma równanie f(x) = − 1?d)
Zadania. Część I
107
Poziom trudności: AZadanie 1.4.3.22Rysunek przedstawia wykres funkcji f.
Podaj liczbę miejsc zerowych funkcji f.
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
(Pokaż odpowiedź)
Zadania. Część I
108
1.4.4. Zadania. Część II
Poziom trudności: AZadanie 1.4.4.1Wskaż wykres funkcji, która w przedziale ? −2, 3 ? ma dokładnie jedno miejsce zerowe.
a)
b)
Zadania. Część II
109
c)
d)
(Pokaż odpowiedź)
Zadania. Część II
110
Poziom trudności: BZadanie 1.4.4.2Na rysunku przedstawiono wykres funkcji y = f(x).
Zbiorem wartości funkcji jest
a) ? −2, 0) ? ? 1, 3 ?
b) ? −2, 0 ? ? ? 1, 3 ?
c) ? −2, 3 ?
d) ? −3, 3 ?
(Pokaż odpowiedź)
Zadania. Część II
111
Poziom trudności: AZadanie 1.4.4.3Rysunek przedstawia wykres funkcji g.
Zaznacz nierówność prawdziwą.
a) g(0) < g(2)
b) g(1) < g(−1)
c) g(−2) < g(4)
d) g(−3) < g(−4)
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.4.4.4Wskaż wykres funkcji, której zbiorem wartości jest { – 1, 0, 1, 2, 3}.
Zadania. Część II
112
a)
b)
Zadania. Część II
113
c)
d)
(Pokaż odpowiedź)
Zadania. Część II
114
Poziom trudności: BZadanie 1.4.4.5Na rysunku jest przedstawiony wykres funkcji k.
Które równanie ma dokładnie 4 różne rozwiązania?
a) k(x) = 1
b) k(x) = 0,5
c) k(x) = 0
d) k(x) = − 0,5
(Pokaż odpowiedź)
Zadania. Część II
115
Poziom trudności: AZadanie 1.4.4.6Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji h.
Suma wartości najmniejszej i wartości największej funkcji h jest równa
a) 2
b) −1
c) 0
d) 1
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.4.4.7Wskaż wykres funkcji, która dla każdego argumentu z przedziału ? −2, 2 ? przyjmuje wartości
ujemne.
Zadania. Część II
116
a)
b)
Zadania. Część II
117
c)
d)
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.4.4.8Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f.
Podaj wartość funkcji dla x = 0.a)
Zadania. Część II
118
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 1.4.4.9Na rysunku przedstawiono wykres funkcji g. Podaj wszystkie argumenty, dla których funkcja g
przyjmuje wartość
Zapisz zbiór wartości funkcji f.b)
Wypisz miejsca zerowe tej funkcji.c)
Podaj wszystkie argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartości nieujemne.d)
0a)
1b)
– 1c)
Zadania. Część II
119
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.4.4.10Z wykresu funkcji h odczytaj
2d)
najmniejszą wartość tej funkcjia)
dla jakich x funkcja h przyjmuje wartości niedodatnieb)
Zadania. Część II
120
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.4.4.11Korzystając z przedstawionego wykresu funkcji k, odczytaj
jakie wartości przyjmuje funkcja h dla każdego z argumentów dodatnichc)
ile miejsc zerowych ma ta funkcjaa)
dla jakiego argumentu funkcja k przyjmuje wartość największąb)
dla jakiego argumentu funkcja k przyjmuje wartość najmniejsząc)
Zadania. Część II
121
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.4.4.12Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji t. Odczytaj z wykresu
zbiór wartości funkcji kd)
najmniejszą wartość funkcji t w przedziale ? −3, − 1 ?a)
najmniejszą wartość funkcji t w przedziale ? −1, 1 ?b)
najmniejszą wartość funkcji t w przedziale ? 0, 2 ?c)
Zadania. Część II
122
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.4.4.13Korzystając z wykresu funkcji f, ustal znak
najmniejszą wartość funkcji t w przedziale ? 1, 3 ?d)
iloczynu f(2) ? f(1)a)
różnicy f(3) − f(0)b)
sumy f(−2) + f(3)c)
Zadania. Część II
123
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 1.4.4.14Z przedstawionego na rysunku wykresu funkcji h, odczytaj
ilorazuf(4)
f(−3)d)
zbiór wartości tej funkcjia)
wszystkie argumenty, dla których funkcja h przyjmuje wartości ujemneb)
dla ilu argumentów funkcja h przyjmuje wartość 2c)
Zadania. Część II
124
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 1.4.4.15Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji t. Odczytaj z wykresu
wszystkie argumenty, dla których funkcja h przyjmuje wartości większe od 1d)
wartość t(√2)a)
znak t(−0,3)b)
wartość iloczynu t(2517 ) ? t(− 34
29 )c)
Zadania. Część II
125
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.4.4.16Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f. Odczytaj z niego różnicę między wartością naj-
większą a wartością najmniejszą funkcji f.
(Pokaż odpowiedź)
znak różnicy t(π) − t(3 − π)d)
Zadania. Część II
126
Poziom trudności: CZadanie 1.4.4.17
Wykres funkcji g przedstawiony jest na rysunku. Ustal liczbę rozwiązań równania g(x) = m w za-
leżności od m.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.4.4.18
Sporządź przykładowy wykres funkcji, której dziedziną jest zbiór {−2, 3}, a zbiorem wartości
jest przedział { − 3, 1}.(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.4.4.19Sporządź przykładowy wykres funkcji, która posiada dwa miejsca zerowe, a jej dziedziną jest
zbiór {−4; 0}.(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.4.4.20Sporządź przykładowy wykres funkcji, która spełnia wszystkie podane warunki:
największa wartość funkcji wynosi 3,a)
Zadania. Część II
127
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 1.4.4.21Sporządź przykładowy wykres funkcji, która spełnia wszystkie podane warunki:
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: CZadanie 1.4.4.22Sporządź przykładowy wykres funkcji, która spełnia wszystkie podane warunki:
(Pokaż odpowiedź)
najmniejsza wartość funkcji wynosi – 1.b)
w przedziale (−4, 0) funkcja jest dodatnia,a)
dziedzina funkcji to (−4, 0) ? (0, 5 ? ,b)
zbiór wartości funkcji to { − 2, 0, 1}.c)
dziedziną funkcji jest (−1, 1) ? (1, 5 ? ,a)
zbiór wartości to { − 2, 0, 1},b)
funkcja posiada dwa miejsca zerowe,c)
funkcja osiąga minimum tylko dla x = 2.d)
Zadania. Część II
128
1.5. Odczytywanie własności funkcji na podstawiejej wykresu. Część II
1.5.1. Przykłady zastosowania funkcji
W analizach zjawisk gospodarczych bardzo często używa się sformułowań: „tendencja spadkowa”,
„wzrost sprzedaży”, „nagły spadek notowań” itp. Pojęcia te są ściśle związane ze zmniejszaniem
się, zwiększaniem lub stabilizacją pewnych wielkości wraz z upływem czasu.
Przykład 1.Wykres przedstawia zmiany kursu euro w odniesieniu do złotego (1 EUR do 1 PLN), w okresie
od 24.06.2013 r do 22.07.2013 r.
Analizując wykres, odczytujemy, jak zmieniał się średni kurs euro w tym czasie. Zauważmy,
że w niektórych okresach kurs wzrastał, a w innych spadał lub nie zmieniał się.
• W okresie od 5 do 11 lipca kurs euro wzrósł z 4,282 zł do 4,336 zł.
• W ciągu pięciu dni, od 14 do 18 lipca kurs euro nieustannie spadał – w ciągu tego okre-
su kurs spadł z 4,333 zł do 4,245 zł, a więc w efekcie spadł o blisko 9 groszy.
• Między 18 lipca a 19 lipca jego wartość ustaliła się na poziomie 4,245 zł.
Podsumowując cały analizowany okres, stwierdzamy, że w ciągu obserwowanych 30 dni kurs
euro miał tendencję spadkową, co pokazuje widoczna w tle linia trendu.
Przykład 2.Ważną cechą niektórych związków chemicznych jest ich rozpuszczalność w wodzie. Rozpusz-
czalność jest definiowana jako masa substancji rozpuszczona w 100g wody. Nie wszystkie
substancje rozpuszczają się równie łatwo, często ich wskaźnik rozpuszczalności jest zależny
Odczytywanie własności funkcji na podstawie jej wykresu. Część II
129
od temperatury wody. Na wykresie przedstawiano wykres rozpuszczalności chlorku wapnia
(calcium chloratum - wzór chemiczny CaCl2) w zależności od temperatury wody.
Z wykresu możemy odczytać, że rozpuszczalność chlorku wapnia wzrasta, jeśli podgrzewamy
wodę od temperatury zbliżonej do 0 ° C do temperatury około 42 ° C. W przedziale od 42 ° C
do 83 ° C rozpuszczalność spada do tego stopnia, że w 100 g wody o temperaturze 83 ° C
rozpuścimy mniej chlorku CaCl2 niż w lodowatej wodzie o temperaturze zbliżonej do 0 ° C.
Przykłady zastosowania funkcji
130
1.5.2. Monotoniczność funkcji
Przykład 1.Obserwuj, jak przy zmianie argumentów zmieniają się wartości funkcji, o której mówimy, że
jest funkcją rosnącą.
Aplikacja na epodreczniki.pl
Monotoniczność funkcji
131
Przykład 2.Obserwuj, jak przy zmianie argumentów zmieniają się wartości funkcji, o której mówimy, że
jest funkcją malejącą.
Aplikacja na epodreczniki.pl
Przykład 3.Obserwuj, jak przy zmianie argumentów zmieniają się wartości funkcji, o której mówimy, że
jest funkcją nierosnącą.
Aplikacja na epodreczniki.pl
Monotoniczność funkcji
132
Przykład 4.Obserwuj, jak przy zmianie argumentów zmieniają się wartości funkcji, o której mówimy, że
jest funkcją niemalejącą.
Aplikacja na epodreczniki.pl
Każdą z czterech prezentowanych w powyższych przykładach funkcji nazywać będziemy funkcją
monotoniczną.
Definicja: Funkcja rosnąca
Funkcja f jest określona w przedziale ? a, b ? .
Jeżeli dla dowolnych x1, x2 ? ? a, b ? takich, że x1 < x2 spełniony jest warunek:
f(x1) < f(x2),
to mówimy, że funkcja f jest rosnąca w przedziale ? a, b ? .
Monotoniczność funkcji
133
Przykład
Film na epodreczniki.pl
Definicja: Funkcja malejąca
Funkcja f jest określona w przedziale ? a, b ? .
Jeżeli dla dowolnych x1, x2 ? ? a, b ? takich, że x1 < x2 spełniony jest warunek:
f(x1) > f(x2),
Monotoniczność funkcji
134
to mówimy, że funkcja f jest malejąca w przedziale ? a, b ? .
Film na epodreczniki.pl
Definicja: Funkcja stała
Funkcja f jest określona w przedziale ?a, b?. Jeżeli dla dowolnych x1, x2 ? ? a, b ? ta-
kich, że x1 < x2 spełniony jest warunek:
f(x1) = f(x2),
Monotoniczność funkcji
135
to funkcję f nazywamy stałą w przedziale ? a, b ? .
Film na epodreczniki.pl
Definicja: Funkcja niemalejąca
Funkcja f jest określona w przedziale ?a, b?. Jeżeli dla dowolnych x1, x2 ? ? a; b ? ta-
kich, że x1 < x2 spełniony jest warunek:
f(x1) ≤ f(x2),
to mówimy, że funkcja f jest niemalejąca w przedziale ? a, b ? .
Monotoniczność funkcji
136
Przykład
Film na epodreczniki.pl
Definicja: Funkcja nierosnąca
Funkcja f jest określona w przedziale ?a, b?. Jeżeli dla dowolnych x1, x2 ? ? a, b ? ta-
kich, że x1 < x2 spełniony jest warunek:
f(x1) ≥ f(x2),
To mówimy, że funkcja f jest nierosnąca w przedziale ? a, b ? .
Monotoniczność funkcji
137
Przykład
Film na epodreczniki.pl
Definicja: Funkcja monotoniczna przedziałami
Jeśli funkcja, której dziedzinę można podzielić na rozłączne przedziały tak, aby w każ-
dym z nich funkcja ta była monotoniczna, to powiemy, że jest ona monotoniczna
przedziałami.
Przykład 5.
Monotoniczność funkcji
138
Z wykresu funkcji f odczytamy na przykład, że:
Zauważmy jednak, że:
Funkcja f jest monotoniczna przedziałami, ale nie jest monotoniczna w całym przedziale
? −4, 5 ? .
w przedziale (0, 1 ? funkcja f jest rosnąca,a)
w przedziale (3, 4) funkcja f jest stała,b)
w przedziale ? −3, −2) funkcja f jest malejąca.c)
przedział ? −1, 2 ? jest maksymalnym przedziałem, w którym funkcja f jest rosnąca,a)
przedział ? 2, 5 ? jest maksymalnym przedziałem, w którym funkcja f jest stała,b)
przedział ? −4, − 1 ? jest maksymalnym przedziałem, w którym funkcja f jest male-
jąca,
c)
przedział ? −1, 5 ? jest maksymalnym przedziałem, w którym funkcja f jest niemale-
jąca.
d)
Monotoniczność funkcji
139
1.5.3. Monotoniczność. Przykłady
Przykład 1.Rysunek przedstawia wykres funkcji g.
Z wykresu funkcji g odczytamy, że:
Funkcja g jest monotoniczna przedziałami, ale nie jest monotoniczna w całym przedziale
? −4, 5 ? .
przedział ? 1, 4 ? jest przedziałem, w którym funkcja g jest rosnąca,a)
przedział ? −1, 1 ? jest przedziałem, w którym funkcja g jest malejąca,b)
przedział ? −3, − 1 ? jest maksymalnym przedziałem, w którym funkcja g jest stała,c)
przedział ? −4, − 1 ? jest przedziałem, w którym funkcja g jest niemalejąca,d)
przedział ? −3, 1 ? jest przedziałem, w którym funkcja g jest nierosnąca.e)
Monotoniczność. Przykłady
140
Przykład 2.Z wykresu funkcji h odczytamy, że:
przedział ? −4, 2 ? jest przedziałem, w którym funkcja h jest rosnąca.
Funkcja h jest monotoniczna przedziałami, ale nie jest monotoniczna w całym przedziale
? −4, 5 ? .
Przykład 3.Z wykresu funkcji t odczytamy, że:
Funkcja t jest monotoniczna przedziałami, ale nie jest monotoniczna w całym przedziale
? −4, 5 ? .
przedział ? −2, 1 ? jest maksymalnym przedziałem, w którym funkcja t jest rosnąca,a)
przedział ? −3, − 2 ? jest przedziałem, w którym funkcja t jest malejąca,b)
przedział ? 1, 4 ? jest przedziałem, w którym funkcja t jest malejąca.c)
Monotoniczność. Przykłady
141
Przykład 4.Na rysunku, w tym samym układzie współrzędnych, przedstawione są wykresy funkcji p oraz
k.
Dziedziną funkcji p jest przedział ? −4, 3 ? , a dziedziną funkcji k jest przedział ? −3, 4 ? .
Z wykresów funkcji k i p odczytamy, że:
funkcja k jest rosnąca (jako rosnąca w całej swojej dziedzinie),a)
funkcja p jest malejąca (jako malejąca w całej swojej dziedzinie).b)
Monotoniczność. Przykłady
142
Przykład 5.
Dziedziną funkcji f, przedstawionej na rysunku, jest zbiór {−4, − 3, − 2, − 1, 0, 1, 2}.Z wykresu odczytujemy, że:
f(−4) = − 2, f(−3) = − 1, f(−2) = 1, f(−1) = 2, f(0) = 212 , f(1) = 3, f(2) = 4.
Ponieważ
f(−4) < f(−3) < f(−2) < f(−1) < f(0) < f(1) < f(2),
więc funkcja f jest rosnąca.
Przykład 6.Dziedziną funkcji g jest zbiór {−4, − 3, − 2, − 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}. Korzystając z przedsta-
wionego na rysunku wykresu funkcji g, odczytamy, że:
f(−4) = f(−3) = 3, f(−2) = f(−1) = 2, f(0) = f(1) = 0, f(2) = − 1, f(3) = f(4) = − 2, f(5) = − 3.
Ponieważ
f( − 4) ≥ f( − 3) > f( − 2) ≥ f( − 1) > f(0) ≥ f(1) > f(2) > f(3) ≥ f(4) > f(5),
więc funkcja g jest nierosnąca.
Monotoniczność. Przykłady
143
Przykład 7.Dziedziną funkcji a, przedstawionej na rysunku, jest zbiór {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.Przy zwiększaniu argumentu o 1 również o 1 rosną wartości funkcji a.
A zatem funkcja a jest rosnąca.
Z wykresu odczytujemy, że dla każdej liczby całkowitej dodatniej n ze zbioru
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} zachodzi zależność
a(n) = n − 2.
Funkcja a jest przykładem ciągu – tak nazywa się funkcje, których dziedziną jest podzbiór
Monotoniczność. Przykłady
144
zbioru liczb całkowitych dodatnich.
Dla wyróżnienia tych szczególnych funkcji:
• zamiast tradycyjnego zapisu wartości a(n) stosuje się zapis an,
• an nazywamy n–tym wyrazem ciągu, zaś n nazywamy indeksem (lub wskaźnikiem).
Ciąg o kolejnych wyrazach a1, a2, a3,… oznaczamy symbolicznie (an).
Monotoniczność. Przykłady
145
1.5.4. Zadania. Część I
Poziom trudności: AZadanie 1.5.4.1Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f.
Jest to funkcja
a) niemonotoniczna
b) stała
c) malejąca
d) rosnąca
(Pokaż odpowiedź)
Zadania. Część I
146
Poziom trudności: AZadanie 1.5.4.2Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f.
Jest to funkcja
a) niemonotoniczna
b) stała
c) malejąca
d) rosnąca
(Pokaż odpowiedź)
Zadania. Część I
147
Poziom trudności: AZadanie 1.5.4.3Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f.
Jest to funkcja
a) niemonotoniczna
b) stała
c) malejąca
d) nierosnąca
e) rosnąca
f) niemalejąca
(Pokaż odpowiedź)
Zadania. Część I
148
Poziom trudności: AZadanie 1.5.4.4Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f.
Jest to funkcja
a) niemonotoniczna
b) stała
c) malejąca
d) nierosnąca
e) rosnąca
f) niemalejąca
(Pokaż odpowiedź)
Zadania. Część I
149
Poziom trudności: AZadanie 1.5.4.5Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f.
Jest to funkcja
a) niemonotoniczna
b) stała
c) malejąca
d) nierosnąca
e) rosnąca
f) niemalejąca
(Pokaż odpowiedź)
Zadania. Część I
150
Poziom trudności: AZadanie 1.5.4.6Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f.
Jest to funkcja
a) niemonotoniczna
b) stała
c) malejąca
d) nierosnąca
e) rosnąca
f) niemalejąca
(Pokaż odpowiedź)
Zadania. Część I
151
Poziom trudności: AZadanie 1.5.4.7Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f.
Jest to funkcja
a) niemonotoniczna
b) stała
c) malejąca
d) nierosnąca
e) rosnąca
f) niemalejąca
(Pokaż odpowiedź)
Zadania. Część I
152
Poziom trudności: AZadanie 1.5.4.8Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f.
Jest to funkcja
a) niemonotoniczna
b) stała
c) malejąca
d) nierosnąca
e) rosnąca
f) niemalejąca
(Pokaż odpowiedź)
Zadania. Część I
153
Poziom trudności: AZadanie 1.5.4.9Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f.
Jest to funkcja
a) niemonotoniczna
b) stała
c) malejąca
d) nierosnąca
e) rosnąca
f) niemalejąca
(Pokaż odpowiedź)
Zadania. Część I
154
Poziom trudności: AZadanie 1.5.4.10Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f.
Jest to funkcja
a) niemonotoniczna
b) stała
c) malejąca
d) nierosnąca
e) rosnąca
f) niemalejąca
(Pokaż odpowiedź)
Zadania. Część I
155
Poziom trudności: AZadanie 1.5.4.11Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji g.
Funkcja g jest rosnąca w przedziale
a) ? 1, 6 ?
b) ? −1, 4 ?
c) ? −5, − 1 ?
d) (−5, 0)
(Pokaż odpowiedź)
Zadania. Część I
156
Poziom trudności: AZadanie 1.5.4.12Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji h.
Funkcja h jest malejąca w przedziale
a) (3, 6)
b) ? −6, 2 ?
c) ? −2, 2 ?
d) ( − 6, − 2 ?
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.5.4.13Wskaż wykres funkcji rosnącej.
Zadania. Część I
157
a)
b)
Zadania. Część I
158
c)
d)
(Pokaż odpowiedź)
Zadania. Część I
159
Poziom trudności: AZadanie 1.5.4.14Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f.
Maksymalnym przedziałem, w którym funkcja f jest malejąca, jest przedział
a) ? −3, 4 ?
b) ? −1, 2 ?
c) ? 1, 2 ?
d) (1, 2)
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.5.4.15Wskaż wykres funkcji, która rośnie w przedziale ? −1, 1 ? .
Zadania. Część I
160
a)
b)
Zadania. Część I
161
c)
d)
(Pokaż odpowiedź)
Zadania. Część I
162
1.5.5. Zadania. Część II
Poziom trudności: AZadanie 1.5.5.1Na rysunku przedstawiono wykres funkcji g.
Maksymalny przedział, w którym funkcja g jest rosnąca, ma długość
a) 3
b) 2
c) 1,5
d) 1
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.5.5.2Wskaż wykres funkcji, która jest malejąca w przedziale ? 0, 3 ? .
Zadania. Część II
163
a)
b)
Zadania. Część II
164
c)
d)
(Pokaż odpowiedź)
Zadania. Część II
165
Poziom trudności: AZadanie 1.5.5.3Na rysunku przedstawiono wykres funkcji k.
Maksymalny przedział, w którym funkcja k jest malejąca, to
a) ? −3, − 2 ?
b) ? 2, 3 ?
c) ? −3, 2 ?
d) ? −3, 3 ?
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 1.5.5.4Wskaż wykres funkcji niemalejącej, której dziedziną jest zbiór {−2, − 1, 0, 1, 2}.
Zadania. Część II
166
a)
b)
Zadania. Część II
167
c)
d)
(Pokaż odpowiedź)
Zadania. Część II
168
Poziom trudności: BZadanie 1.5.5.5Na rysunku przedstawiono wykres funkcji t.
Maksymalny przedział, w którym funkcja t jest malejąca, ma długość
a) 7
b) 5
c) 4
d) 3
(Pokaż odpowiedź)
Zadania. Część II
169
Poziom trudności: AZadanie 1.5.5.6Na rysunku przedstawiono wykres funkcji f.
Odczytaj z wykresu i zapisz:
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.5.5.7Na rysunku jest przedstawiony wykres funkcji g.
maksymalny przedział, w którym funkcja f jest rosnąca,a)
długość maksymalnego przedziału, w którym funkcja f jest malejąca.b)
Podaj długość maksymalnego przedziału, w którym funkcja g jest rosnąca.a)
Zadania. Część II
170
(Pokaż odpowiedź)
Podaj przedział o długości 2, w którym funkcja g jest malejąca.b)
Zadania. Część II
171
Poziom trudności: AZadanie 1.5.5.8Korzystając z wykresu funkcji p, który jest przedstawiony na rysunku, podaj:
(Pokaż odpowiedź)
maksymalny przedział, w którym funkcja p jest niemalejąca,a)
maksymalny przedział, w którym funkcja p jest nierosnąca.b)
Zadania. Część II
172
Poziom trudności: AZadanie 1.5.5.9Na rysunku przedstawiono wykres funkcji f.
Odczytaj z wykresu i zapisz:
(Pokaż odpowiedź)
przedziały, w których funkcja f jest rosnąca,a)
przedziały, w których funkcja f jest malejąca.b)
Zadania. Część II
173
Poziom trudności: AZadanie 1.5.5.10Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji t.
Korzystając z wykresu funkcji t, zaznacz poprawną odpowiedź opisującą tę funkcje.
a) funkcja t w przedziale ? 3, 4 ? jest niemalejąca
b) funkcja t w przedziale ? 0, 2 ? jest malejąca
c) funkcja t w przedziale ? −1, 0 ? jest malejąca
d) funkcja t w przedziale ? −4, − 1 ? jest rosnąca
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.5.5.11Z wykresu funkcji f odczytaj i zapisz:
maksymalny przedział, w którym funkcja f jest malejącaa)
Zadania. Część II
174
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 1.5.5.12Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji g.
maksymalny przedział, w którym funkcja f jest rosnącab)
Odczytaj maksymalny przedział o długości 2, w którym funkcja g jest rosnąca.a)
Zadania. Część II
175
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 1.5.5.13Na rysunku przedstawiono wykres funkcji k. Odczytaj z wykresu i zapisz:
Odczytaj maksymalny przedział o długości 2, w którym funkcja g jest malejąca.b)
maksymalne przedziały, w których funkcja k jest nierosnąca,a)
Zadania. Część II
176
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 1.5.5.14Rysunek przedstawia wykres funkcji t.
Ustal, czy
a) funkcja t jest niemalejąca
maksymalne przedziały, w których funkcja k jest rosnąca.b)
Zadania. Część II
177
b) funkcja t jest malejąca
c) funkcja t jest nierosnąca
d) funkcja t jest rosnąca
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 1.5.5.15Odczytaj z przedstawionego na rysunku wykresu funkcji f
(Pokaż odpowiedź)
maksymalny przedział o długości 2, w którym funkcja jest rosnąca,a)
maksymalny przedział o długości 3, w którym funkcja jest rosnąca,b)
maksymalny przedział o długości 2, w którym funkcja jest malejąca,c)
maksymalny przedział o długości 1, w którym funkcja jest malejąca.d)
Zadania. Część II
178
Poziom trudności: AZadanie 1.5.5.16Rysunek przedstawia wykres pewnej funkcji.Określ maksymalne przedziały, w których ta funk-
cja jest malejąca, rosnąca, stała.
Aplikacja na epodreczniki.pl
Zadania. Część II
179
1.5.6. Zadania generatorowe
Zadania generatorowe
Poziom trudności: AZadanie 1.5.6.1Odczytaj monotoniczność funkcji w danym przedziale.
(Pokaż odpowiedź)
Zadania generatorowe
180
1.6. Przekształcanie figur na płaszczyźniekartezjańskiej
1.6.1. Symetria punktu
Przykład 1.Spróbuj wyjaśnić, jak wyznaczyć współrzędne obrazu punktu w symetrii względem
• osi Ox,
• osi Oy,
• początku układu współrzędnych.
Film na epodreczniki.pl
Przekształcanie figur na płaszczyźnie kartezjańskiej
181
Film na epodreczniki.pl
Przykład 2.
Film na epodreczniki.pl
Symetria punktu
182
Zapamiętaj
• Przekształcając punkt P = (x, y) w symetrii względem osi Ox, otrzymujemy punkt
P1 = (x, − y). Oś Ox jest symetralną odcinka PP1.
• Przekształcając punkt P = (x, y) w symetrii względem osi Oy, otrzymujemy punkt
P2 = (−x, y). Oś Oy jest symetralną odcinka PP2.
• Punkt P3 = (−x, − y), symetryczny do punktu P = (x, y) względem punktu O = (0, 0),jest obrazem punktu P1 = (x, − y) w symetrii względem osi Oy i jednocześnie obrazem
punktu P2 = (−x, y) w symetrii względem osi Ox.
Przykład 3.Rozpatrzmy trójkąt ABC o wierzchołkach
A = (1, 2), B = (5, 1), C = (2, 7).
Przekształcając trójkąt ABC w symetrii względem osi Ox, otrzymujemy trójkąt o wierzchoł-
kach
A1 = (1, – 2), B1 = (5, – 1), C1 = (2, – 7).
Przekształcając trójkąt ABC w symetrii względem osi Oy, otrzymujemy trójkąt o wierzchoł-
kach
A2 = ( – 1, 2), B2 = ( – 5, 1), C2 = ( – 2, 7).
Natomiast trójkąt A3B3C3 o wierzchołkach
A3 = ( – 1, – 2), B3 = ( – 5, – 1), C3 = ( – 2, – 7)
jest zarówno obrazem trójkąta A1B1C1 w symetrii względem osi Oy, jak i trójkąta A2B2C2 w
symetrii względem osi Ox, a także trójkąta ABC w symetrii względem punktu O = (0, 0).
Symetria punktu
183
Aplikacja na epodreczniki.pl
Uwaga
Rozpatrzmy okrąg o środku S = (0, 0) i promieniu r = 5. Ponieważ każda prosta przecho-
dząca przez punkt S jest osią symetrii tego okręgu, to w szczególności ten okrąg jest syme-
tryczny względem obu osi układu współrzędnych.
Symetria punktu
184
1.6.2. Symetria wykresu funkcji
Rozpatrzmy wykres funkcji
y = f(x),
określonej na pewnym podzbiorze zbioru liczb rzeczywistych. Punkt P = (a, b), który leży na wy-
kresie funkcji f ma współrzędne, które spełniają warunek b = f(a).Przekształcając wykres funkcji f w symetrii względem osi Ox, otrzymujemy wykres pewnej funkcji
g, opisanej równaniem
y = g(x).
W symetrii względem osi Ox obrazem punktu P jest punkt o współrzędnych (a, − b), leżący na
wykresie funkcji g. Wynika z tego, że g(a) = − b, czyli g(a) = − f(a). Punkt P wybraliśmy dowolnie,
a zatem dla każdego x należącego do dziedziny funkcji f zachodzi zależność g(x) = − f(x). Wobec
tego, przekształcając wykres funkcji f w symetrii względem osi Ox, otrzymujemy wykres funkcji g
opisanej wzorem
g(x) = − f(x).
Film na epodreczniki.pl
Przekształcając wykres funkcji f w symetrii względem osi Oy, otrzymujemy wykres funkcji h opi-
sanej równaniem
y = h(x).
Symetria wykresu funkcji
185
W symetrii względem osi Oy obrazem punktu P jest punkt o współrzędnych (−a, b) leżący na wy-
kresie funkcji h. Wynika z tego, że h(−a) = b, czyli h(−a) = f(a). Punkt P wybraliśmy dowolnie, co
oznacza, że jeśli argumenty funkcji h i f są liczbami przeciwnymi, to wartości tych funkcji są równe.
Wobec tego, przekształcając wykres funkcji f w symetrii względem osi Oy, otrzymujemy wykres
funkcji h, opisanej wzorem
h(x) = f(−x).
Film na epodreczniki.pl
Symetria wykresu funkcji
186
1.6.3. Przykłady symetrii funkcji
Przykład 1.Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f.
h(x) = f(−x)
otrzymamy, przekształcając symetrycznie wykres funkcji f względem osi Oy.
Wykres funkcji g określonej wzorem
g(x) = − f(x) otrzymamy, przekształcając symetrycznie wykres funkcji f względem osi
Ox.
a)
Wykres funkcji h określonej wzoremb)
Przykłady symetrii funkcji
187
Przykład 2.Rysunek przedstawia wykres funkcji k.
Przykłady symetrii funkcji
188
y = k(−x),
która jest wykresem funkcji h określonej wzorem
h(x) = k(−x).
Zauważmy, że wykresy funkcji k i h pokrywają się. A zatem funkcje k i h są równe, ponieważ
ich dziedziną jest taki sam zbiór i dla każdego argumentu wartości obu tych funkcji są równe.
Przekształcając wykres funkcji k w symetrii względem osi Ox, otrzymamy krzywą
y = − k(x), która jest wykresem funkcji g określonej wzorem
g(x) = − k(x).
a)
Przekształcając wykres funkcji k w symetrii względem osi Oy, otrzymamy krzywąb)
Przykłady symetrii funkcji
189
Film na epodreczniki.pl
Przykład 3.Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f.
Przykłady symetrii funkcji
190
y = f( − x),
która jest wykresem funkcji h określonej wzorem
h(x) = f(−x).
Zauważmy, że wykresy funkcji g i h pokrywają się. Zatem funkcje g i h są równe.
Przekształcając wykres tej funkcji w symetrii względem osi Ox, otrzymamy krzywą
y = − f(x), która jest wykresem funkcji g określonej wzorem g(x) = − f(x).a)
Przekształcając wykres funkcji f w symetrii względem osi Oy, otrzymamy krzywąb)
Przykłady symetrii funkcji
191
1.6.4. Zadania. Część I
Poziom trudności: AZadanie 1.6.4.1Dane są punkty A = ( – 3,0) i B = (2,5). Przekształcając odcinek AB w symetrii względem osi Ox,
otrzymamy
a) odcinek, którego jednym z końców jest punkt ( – 2, 5)
b) odcinek, którego jeden z końców leży na osi Ox
c) odcinek, który ma jeden punkt wspólny z osią Oy
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.6.4.2Dane są punkty A = ( – 2, 3), B = ( – 1, – 1) i C = (3,0). Przekształcając trójkąt ABC w symetrii
względem osi Oy, otrzymamy trójkąt, którego jeden z wierzchołków
a) leży na osi Ox
b) ma obie współrzędne ujemne
c) leży na osi Oy
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.6.4.3Punkt S = (2, – 4) jest środkiem okręgu o promieniu 4. Przekształcając ten okrąg w symetrii
względem osi Ox, otrzymamy
a) okrąg, którego środkiem jest punkt (2, 4)
b) okrąg, który ma trzy punkty wspólne z osiami układu współrzędnych
c) okrąg o promieniu 4
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 1.6.4.4
Aplikacja na epodreczniki.pl
Zadania. Część I
192
Poziom trudności: BZadanie 1.6.4.5Osie Ox i Oy są osiami symetrii prostokąta ABCD, w którym A = (7, – 6). Wówczas
a) obwód tego prostokąta wynosi 26
b) pole tego prostokąta jest równe 168
c) C = ( – 7, 6)
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 1.6.4.6Oś Oy jest osią symetrii trapezu KLMN, w którym K = ( – 5,11) oraz L = ( – 8, – 9). Wynika z te-
go, że
a) wysokość tego trapezu ma długość 20
b) pole trapezu jest równe 260
c) M = (8, 9)
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.6.4.7Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f.
Zadania. Część I
193
Wskaż wzór funkcji, której wykres przedstawiony jest na rysunku I.
a) y = − f(x)
b) y = − f( − x)
c) y = f( − x)
(Pokaż odpowiedź)
Zadania. Część I
194
Poziom trudności: AZadanie 1.6.4.8Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f.
Wskaż wzór funkcji, której wykres przedstawiony jest na rysunku II.
a) y = − f(x)
b) y = − f( − x)
c) y = f( − x)
(Pokaż odpowiedź)
Zadania. Część I
195
Poziom trudności: AZadanie 1.6.4.9Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f.
Wskaż wzór funkcji, której wykres przedstawiony jest na rysunku III.
Zadania. Część I
196
a) y = − f(x)
b) y = − f( − x)
c) y = f( − x)
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.6.4.10Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f.
Zadania. Część I
197
Wskaż wzór funkcji, której wykres przedstawiony jest na rysunku I.
a) y = − f(x)
b) y = − f( − x)
c) y = f( − x)
(Pokaż odpowiedź)
Zadania. Część I
198
Poziom trudności: AZadanie 1.6.4.11Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f.
Wskaż wzór funkcji, której wykres przedstawiony jest na rysunku II.
a) y = − f(x)
b) y = − f( − x)
c) y = f( − x)
(Pokaż odpowiedź)
Zadania. Część I
199
Poziom trudności: AZadanie 1.6.4.12Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f.
Wskaż wzór funkcji, której wykres przedstawiony jest na rysunku III.
a) y = − f(x)
b) y = − f( − x)
c) y = f( − x)
(Pokaż odpowiedź)
Zadania. Część I
200
Poziom trudności: AZadanie 1.6.4.13Funkcja f określona jest wzorem f(x) = x4 − 4x3.
a) Przekształcając wykres funkcji f w symetrii względem osi Ox, otrzymamy wykres funkcji
g(x) = − x4 + 4x3.
b) Przekształcając wykres funkcji f w symetrii względem osi Oy, otrzymamy wykres funkcji
h(x) = − x4 − 4x3.
c) Wykres funkcji f jest symetryczny względem osi Oy.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.6.4.14Wśród podanych niżej funkcji są takie, których wykres jest symetryczny względem osi Oy.
Wskaż te funkcje.
a) f4(x) = 2x − 5
b) f3(x) = − x5 + 2x3
c) f2(x) =1
x4 + 2
d) f1(x) = x2 + 2
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: CZadanie 1.6.4.15Dana jest funkcja f(x) = ax3 + bx2.
a) Istnieją takie wartości a i b, że wykres funkcji f jest symetryczny względem osi Ox.
b) Istnieją takie wartości a i b, że wykres funkcji f nie ma punktów wspólnych z wykresem
funkcji y = f(−x).
c) Istnieją takie wartości a i b, że wykres funkcji f jest symetryczny względem osi Oy.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.6.4.16Dane są punkty A = (1, 2), B = (1, − 2), C = (−1, 2), D = (−2, − 1). Wskaż odcinek, którego osią
symetrii jest oś Oy.
Zadania. Część I
201
a) DB
b) CA
c) BC
d) AB
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.6.4.17Oś Oy jest osią symetrii trójkąta ABC, w którym A = (2, – 5), B = ( – 2, – 5). Wynika z tego, że
wierzchołek C może mieć współrzędne
a) (0, 2)
b) (0, − 5)
c) (2, 0)
d) ( – 2, 0)
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.6.4.18Wskaż okrąg symetryczny względem osi Ox.
a) Okrąg o środku w punkcie S = (0, 3) i promieniu równym 3.
b) Okrąg o środku w punkcie S = (0, 3) i promieniu równym 2.
c) Okrąg o środku w punkcie S = ( – 2, 0) i promieniu równym 2.
d) Okrąg o środku w punkcie S = (2, 2) i promieniu równym 2.
(Pokaż odpowiedź)
Zadania. Część I
202
1.6.5. Zadania. Część II
Poziom trudności: AZadanie 1.6.5.1Rysunek przedstawia wykres funkcji y = f(x).
Wskaż rysunek, na którym przedstawiony jest wykres funkcji y = − f(x).
a)
Zadania. Część II
203
b)
c)
Zadania. Część II
204
d)
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.6.5.2Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji y = f(x).
Wskaż rysunek, na którym przedstawiony jest wykres funkcji y = f(−x).
Zadania. Część II
205
a)
b)
Zadania. Część II
206
c)
d)
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.6.5.3Dana jest funkcja f(x) = 2x + 1. Przekształcając wykres funkcji f w symetrii względem osi Ox,
otrzymujemy wykres funkcji g. Funkcja g określona jest wzorem
Zadania. Część II
207
a) g(x) = 2x + 1
b) g(x) = − 2x − 1
c) g(x) = x2 − 1
d) g(x) = − x2 − 1
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.6.5.4Funkcja f określona jest wzorem f(x) = x2 − 1. Przekształcając wykres funkcji f w symetrii wzglę-
dem osi Oy, otrzymujemy wykres funkcji g. Wskaż wzór funkcji g.
a) g(x) = x2 + 1
b) g(x) = − x2 + 1
c) g(x) = x2 − 1
d) g(x) = − x2 − 1
(Pokaż odpowiedź)
Zadania. Część II
208
Poziom trudności: BZadanie 1.6.5.5Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji y = f(x). Funkcja g określona jest wzorem
g(x) = − f(x).
Które równanie ma dokładnie trzy rozwiązania?
a) g(x) = − 2
b) g(x) = − 1
c) g(x) = 0
d) g(x) = 1
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.6.5.6
Oś Ox jest symetralną odcinka AB, przy czym A = ( – 3, 5). Znajdź współrzędne punktu B.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 1.6.5.7
Oś Oy jest symetralną odcinka KL, przy czym L = (29, – 51). Odcinek KL jest średnicą okręgu
o środku S. Oblicz współrzędne punktu S i promień r tego okręgu.
(Pokaż odpowiedź)
Zadania. Część II
209
Poziom trudności: BZadanie 1.6.5.8
Dane są punkty A = ( – 7, 0) i B = (0, – 4). Trójkąt ABC1 jest symetryczny względem osi Ox, a
trójkąt ABC2 jest symetryczny względem osi Oy.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: CZadanie 1.6.5.9Obie osie układu współrzędnych są osiami symetrii ośmiokąta ABCDEFGH, w którym
A = (2, – 2) i B = (3, – 1). Oblicz.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.6.5.10Dziedziną funkcji f jest przedział ? −4, 4 ? , a jej wykres jest symetryczny względem osi Oy. Czę-
ść wykresu funkcji f zaprezentowana jest na rysunku. Uzupełnij wykres funkcji f.
(Pokaż odpowiedź)
Znajdź współrzędne wierzchołka C1.a)
Ustal współrzędne wierzchołka C2.b)
Wykaż, że pola trójkątów ABC1 i ABC2 są równe.c)
współrzędne pozostałych wierzchołków tego ośmiokąta,a)
pole ośmiokąta ABCDEFGH.b)
Zadania. Część II
210
Poziom trudności: AZadanie 1.6.5.11Wykres funkcji f jest przedstawiony na rysunku. Przekształcając wykres funkcji f w symetrii
względem osi Ox, otrzymujemy wykres funkcji g. Wykaż, że
g(−2) + g(−1) + g(0) + g(1) + g(2) = f(−2) + f(−1) + f(0) + f(1) + f(2).
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.6.5.12Dziedziną funkcji f jest przedział ? −2, 2 ? , a jej wykres jest symetryczny względem osi Ox. Na-
szkicuj wykres funkcji f.
(Pokaż odpowiedź)
Zadania. Część II
211
Poziom trudności: AZadanie 1.6.5.13Wykres funkcji f jest przedstawiony na rysunku.
Naszkicuj wykresy funkcji
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.6.5.14Podaj wzór funkcji h, której wykres jest symetryczny do wykresu funkcji f względem osi Ox.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.6.5.15Podaj wzór funkcji t, której wykres jest symetryczny do wykresu funkcji f względem osi Oy.
y = f( – x)a)
y = – f(x)b)
f(x) = 5x − 1a)
f(x) = 4 − 3xb)
f(x) = x2 + 3xc)
f(x) =1
x + 3d)
Zadania. Część II
212
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 1.6.5.16
Wykres funkcji f jest przedstawiony na rysunku. Funkcje g i h określone są wzorami g(x) = − f(x)oraz h(x) = f(−x).
(Pokaż odpowiedź)
f(x) = 2x + 9a)
f(x) = − x + 7b)
f(x) = x2 − xc)
f(x) =x3 − 2
5 − x2
d)
Ile rozwiązań ma równanie g(x) = 1?a)
Ile rozwiązań ma równanie g(x) = − 1?b)
Ile dodatnich rozwiązań ma równanie h(x) = 1?c)
Ile ujemnych rozwiązań ma równanie h(x) = − 1?d)
Zadania. Część II
213
Poziom trudności: BZadanie 1.6.5.17Funkcja f jest określona dla każdego x rzeczywistego. Uzasadnij, że jeżeli wykres funkcji f prze-
kształcimy symetrycznie względem osi Ox, a następnie otrzymaną w ten sposób krzywą prze-
kształcimy jeszcze raz względem osi Ox, to ponownie otrzymamy wykres funkcji f.
(Pokaż odpowiedź)
Zadania. Część II
214
1.6.6. Zadania generatorowe
Zadania generatorowe
Poziom trudności: AZadanie 1.6.6.1
Podaj obraz P’ punktu P(4, − 3) w symetrii względem osi Ox.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.6.6.2
Podaj obraz P’ punktu P( − 2, − 5) w symetrii względem osi Oy.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.6.6.3
Podaj obraz P’ punktu P( − 3, 4) w symetrii względem początku układu współrzędnych.
(Pokaż odpowiedź)
Zadania generatorowe
215
1.7. Przesunięcie wzdłuż osi układu współrzędnych
1.7.1. Przesunięcie punktu w układzie współrzędnych
W prostokątnym układzie współrzędnych na płaszczyźnie zaznaczmy punkt A = (2, – 3) i wy-
znaczmy współrzędne punktów:
B1 – otrzymanego w wyniku przesunięcia punktu A o 3 jednostki w lewo równolegle do osi Ox,
B2 – otrzymanego w wyniku przesunięcia punktu A o 2 jednostki w prawo równolegle do osi Ox,
C1 – otrzymanego w wyniku przesunięcia punktu A o 5 jednostek w górę równolegle do osi Oy,
C2 – otrzymanego w wyniku przesunięcia punktu A o 3 jednostkę w dół równolegle do osi Oy.
Przyjmujemy, że „przesunięcie o ujemną liczbę jednostek”, oznaczać będzie przesunięcie w prze-
ciwną stronę niż wskazuje strzałka na osi liczbowej, np.:
• zamiast pisać, że przesuwamy punkt o 3 jednostki wzdłuż osi Ox w lewo, zapiszemy, że prze-
suwamy o – 3 jednostki wzdłuż osi Ox,
• zamiast pisać, że przesuwamy punkt o −3 jednostki wzdłuż osi Oy w dół, zapiszemy, że prze-
suwamy o −3 jednostki wzdłuż osi Oy.
Aplikacja na epodreczniki.pl
W wyniku przesunięcia punktu A = (x, y) o p jednostek wzdłuż osi Ox otrzymujemy punkt o współ-
rzędnych
Przesunięcie wzdłuż osi układu współrzędnych
216
B = (x + p, y).
Film na epodreczniki.pl
W wyniku przesunięcia punktu A = (x, y) o q jednostek wzdłuż osi Oy otrzymujemy punkt
Przesunięcie punktu w układzie współrzędnych
217
C = (x, y + q).
Film na epodreczniki.pl
Przesunięcie punktu w układzie współrzędnych
218
1.7.2. Przykłady
Przykład 1.W prostokątnym układzie współrzędnych na płaszczyźnie zaznaczmy punkt A = (1, 1). W wy-
niku przesunięcia tego punktu o 3 jednostki wzdłuż osi Ox i o 5 jednostek wzdłuż osi Oy,
otrzymujemy punkt
B = (4, 6).
Stosując pojęcie wektora, powiemy, że po przesunięciu punktu A o wektor [3, 5], otrzyma-
my punkt
B = (4, 6).
Po przesunięciu punktu A = (x, y) o p jednostek wzdłuż osi Ox i o q jednostek wzdłuż osi Oy,
otrzymujemy punkt
B = (x + p, y + q).
Stosując pojęcie wektora, po przesunięciu punktu A o wektor [p, q], otrzymamy punkt
B = (x + p, y + q).
Film na epodreczniki.pl
Przykłady
219
Przykład 2.
Aplikacja na epodreczniki.pl
Przykład 3.Rozpatrzmy trójkąt ABC o wierzchołkach:
A = ( – 3, 7), B = (2, 4), C = ( – 1, – 1).
W wyniku przesunięcia trójkąta ABC o 3 jednostki wzdłuż osi Ox i o ( – 7) jednostek wzdłuż
osi Oy, otrzymujemy trójkąt A1B1C1 o wierzchołkach:
A1 = (0, 0), B1 = (5, – 3), C1 = (2, – 8).
Obrazem trójkąta ABC w przesunięciu o wektor [3, − 7] jest trójkąt A1B1C1
Przykłady
220
Aplikacja na epodreczniki.pl
Przykład 4.
Aplikacja na epodreczniki.pl
Przykład 5.W równoległoboku ABCD dane są wierzchołki:
A = ( – 3, – 1), B = ( – 1, 4), C = (5, 5).
Przykłady
221
Chcemy znaleźć współrzędne punktu D. Z własności równoległoboku wiemy, że odcinki AD i
BC są równe i równoległe. Zatem, jeżeli obrazem punktu B będzie punkt C w pewnym prze-
sunięciu, to w tym samym przesunięciu obrazem punktu A będzie punkt D.
Przesuwając punkt B o 6 jednostek w prawo wzdłuż osi Ox i o 1 jednostkę w górę wzdłuż
osi Oy, otrzymujemy punkt C. Aby otrzymać punkt D, należy w podobny sposób przesunąć
punkt A. Stąd D = (−3 + 6, − 1 + 1) = (3,0).Uwaga. Współrzędne punktu D można również obliczyć, korzystając z tego, że punkt przecię-
cia przekątnych AC i BD jest środkiem każdej z nich.
W wyniku przesunięcia punktu A = (xA, yA) o xB − xA jednostek wzdłuż osi Ox i o yB − yA jedno-
stek wzdłuż osi Oy otrzymujemy punkt B = (xB, yB).
Przykłady
222
1.7.3. Przesunięcie wykresów funkcji
Funkcja f określona jest na pewnym podzbiorze zbioru liczb rzeczywistych. Punkt P = (a, b) leżący
na wykresie funkcji f ma współrzędne, które spełniają warunek b = f(a).Przesuwając wykres funkcji f o p jednostek wzdłuż osi Ox, otrzymujemy wykres pewnej funkcji g
opisany równaniem y = g(x). W przesunięciu o p jednostek wzdłuż osi Ox obrazem punktu P jest
punkt o współrzędnych (a + p, b) leżący na wykresie funkcji g. Wynika z tego, że g(a + p) = b, czyli
g(a + p) = f(a). Jeśli x = a + p, to a = x – p, stąd
g(x) = f(x – p).
Wobec tego, przesuwając wykres funkcji f o p jednostek wzdłuż osi Ox, otrzymujemy wykres
funkcji g opisanej wzorem
g(x) = f(x − p).
Film na epodreczniki.pl
Przesuwając wykres funkcji f o q jednostek wzdłuż osi Oy, otrzymujemy wykres pewnej funkcji h.
Tak otrzymaną krzywą opiszemy równaniem
y = h(x).
W przesunięciu o q jednostek wzdłuż osi Oy obrazem punktu P = (a, b) jest punkt o współrzęd-
nych (a, b + q), który leży na wykresie funkcji h. Wynika z tego, że h(a) = b + q, czyli h(a) = f(a) + q
. Punkt P wybraliśmy dowolnie, co oznacza, że dla każdego x należącego do dziedziny funkcji f za-
chodzi zależność
Przesunięcie wykresów funkcji
223
h(x) = f(x) + q.
Wobec tego, przesuwając wykres funkcji f o q jednostek wzdłuż osi Oy, otrzymujemy wykres funk-
cji h opisanej wzorem
h(x) = f(x) + q.
Film na epodreczniki.pl
Przesuwając wykres funkcji f o p jednostek wzdłuż osi Ox i o q jednostek wzdłuż osi Oy, otrzymu-
jemy wykres pewnej funkcji k. Tak otrzymaną krzywą opiszemy równaniem
y = k(x).
W przesunięciu o p jednostek wzdłuż osi Ox i o q jednostek wzdłuż osi Oy, obrazem punktu
P jest punkt o współrzędnych (a + p, b + q) leżący na wykresie funkcji k. Wynika z tego, że
k(a + p) = b + q, czyli k(a + p) = f(a) + q. Punkt P wybraliśmy dowolnie, co oznacza, że dla każdego x
należącego do dziedziny funkcji f zachodzi zależność
k(x) = f(x − p) + q.
Wobec tego, przesuwając wykres funkcji f o p jednostek wzdłuż osi Ox i o q jednostek wzdłuż osi
Oy, otrzymujemy wykres funkcji k opisanej wzorem
Przesunięcie wykresów funkcji
224
k(x) = f(x − p) + q.
Film na epodreczniki.pl
Przykład 1.
Aplikacja na epodreczniki.pl
Przesunięcie wykresów funkcji
225
1.7.4. Przykłady
Przykład 1.Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f.
• Wykres funkcji g określonej wzorem
g(x) = f(x − 1)
otrzymamy, przesuwając krzywą o równaniu y = f(x) o 1 jednostkę w prawo wzdłuż osi Ox.
• Wykres funkcji h określonej wzorem
Przykłady
226
h(x) = f(x) + 2
otrzymamy, przesuwając krzywą o równaniu y = f(x) o 2 jednostki w górę wzdłuż osi Oy.
• Wykres funkcji t określonej wzorem
t(x) = f(x − 1) + 2
otrzymamy, przesuwając krzywą o równaniu y = f(x) o 1 jednostkę w prawo wzdłuż osi Ox i o
2 jednostki w górę wzdłuż osi Oy.
Przykłady
227
Przykład 2.Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f.
• Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f oraz wykres funkcji g opisanej wzorem
g(x) = f(x + 2).
• Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f oraz wykres funkcji h opisanej wzorem
h(x) = f(x) − 3.
Przykłady
228
• Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f oraz wykres funkcji k opisanej wzorem
k(x) = f(x + 2) − 3.
Przykłady
229
1.7.5. Zadania
Poziom trudności: AZadanie 1.7.5.1Na rysunku przedstawiono wykres funkcji f .
Wybierz rysunek, na którym jest przedstawiony wykres funkcji y = f(x + 1).
a)
Zadania
230
b)
c)
Zadania
231
d)
(Pokaż odpowiedź)
Zadania
232
Poziom trudności: AZadanie 1.7.5.2Wykresy funkcji f i g przedstawione są na rysunkach.
Jak należy przekształcić wykres funkcji f, żeby otrzymać wykres funkcji g?
a) przesunąć o 1 jednostkę wzdłuż osi Ox i o 2 jednostki wzdłuż osi Oy
b) przesunąć o 2 jednostki wzdłuż osi Ox i o 1 jednostkę wzdłuż osi Oy
c) przesunąć o 2 jednostki wzdłuż osi Ox i o 2 jednostki wzdłuż osi Oy
Zadania
233
d) przesunąć o 1 jednostkę wzdłuż osi Ox i o 1 jednostkę wzdłuż osi Oy
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.7.5.3
Dana jest funkcja f(x) =2x dla x ≠ 0.
a) Jeżeli przesuniemy wykres funkcji f o ( – 3) jednostki wzdłuż osi Ox i o ( – 2) jednostki
wzdłuż osi Oy, to otrzymamy wykres funkcji y =2
x − 3 − 2 dla x ≠ 3.
b) Jeżeli przesuniemy wykres funkcji f o 2 jednostki wzdłuż osi Ox i o 1 jednostkę wzdłuż osi
Oy, to otrzymamy wykres funkcji y =2
x − 2 + 1 dla x ≠ 2.
c) Jeżeli przesuniemy wykres funkcji f o 5 jednostek wzdłuż osi Oy, to otrzymamy wykres
funkcji y =2
x + 5 dla x ≠ − 5.
d) Jeżeli przesuniemy wykres funkcji f o 4 jednostki wzdłuż osi Ox, to otrzymamy wykres
funkcji y =2
x − 4 dla x ≠ 4.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.7.5.4Dana jest funkcja f(x) = x2. Jeżeli jej wykres przesuniemy o 3 jednostki wzdłuż osi Ox i o ( − 2)jednostki wzdłuż osi Oy, to otrzymamy wykres funkcji g. Wskaż wzór funkcji g.
a) g(x) = (x − 3)2
+ 2
b) g(x) = (x + 3)2
+ 2
c) g(x) = (x − 3)2
− 2
d) g(x) = (x + 3)2
− 2
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.7.5.5Dana jest funkcja f(x) = x2.
a) Aby otrzymać wykres funkcji k(x) = (x − 2)2
+ 4, należy przesunąć wykres funkcji f o 2
jednostki wzdłuż osi Ox i o 4 jednostki wzdłuż osi Oy.
Zadania
234
b) Aby otrzymać wykres funkcji h(x) = x2 + 4, należy przesunąć wykres funkcji f o 4 jednostki
wzdłuż osi Oy.
c) Aby otrzymać wykres funkcji t(x) = (x + 1)2
− 3, należy przesunąć wykres funkcji f o 1
jednostkę wzdłuż osi Ox i o ( – 3) jednostki wzdłuż osi Oy.
d) Aby otrzymać wykres funkcji g(x) = (x − 3)2
+ 5, należy przesunąć wykres funkcji f o 3
jednostki wzdłuż osi Ox i o 5 jednostek wzdłuż osi Oy.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 1.7.5.6Dane są funkcje f(x) = 2x oraz g(x) = 2x − 3. Jak należy przekształcić wykres funkcji f, żeby otrzy-
mać wykres funkcji g?
a) przesunąć o 1 jednostkę wzdłuż osi Ox i o ( – 2) jednostki wzdłuż osi Oy
b) przesunąć o 2 jednostki wzdłuż osi Ox i o 1 jednostkę wzdłuż osi Oy
c) przesunąć o ( – 2) jednostki wzdłuż osi Ox
d) przesunąć o 2 jednostki wzdłuż osi Ox
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: CZadanie 1.7.5.7Dane są funkcje f(x) = x2 oraz g(x) = x2 − 2x. Jak należy przekształcić wykres funkcji f, żeby otrzy-
mać wykres funkcji g?
a) przesunąć o 1 jednostkę wzdłuż osi Ox i o ( – 1) jednostkę wzdłuż osi Oy
b) przesunąć o ( – 1) jednostkę wzdłuż osi Ox i o 1 jednostkę wzdłuż osi Oy
c) przesunąć o ( – 2) jednostki wzdłuż osi Ox
d) przesunąć o 2 jednostki wzdłuż osi Ox
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.7.5.8Po przesunięciu punktu A = (−1, − 1) o ( – 7) jednostek wzdłuż osi Ox i o 12 jednostek wzdłuż
osi Oy otrzymamy punkt o współrzędnych
Zadania
235
a) (−8, − 13)
b) (6, − 13)
c) (−8, 11)
d) (6, 11)
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.7.5.9Punkt P = (5, − 2) jest środkiem odcinka AB, w którym A = (3, 6). Punkt B ma współrzędne
a) (7, – 10)
b) ( – 1, – 14)
c) (1, 14)
d) (4, 2)
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 1.7.5.10W równoległoboku ABCD dane są wierzchołki: A = (0, 0), B = (5, 2), C = (6, 5). Wierzchołek D
ma współrzędne
a) (4, – 1)
b) ( – 1, – 3)
c) (1, 3)
d) (0, 3)
(Pokaż odpowiedź)
Zadania
236
Poziom trudności: AZadanie 1.7.5.11Rysunek przedstawia wykres funkcji f.
Wskaż rysunek, na którym przedstawiony jest wykres funkcji g określonej wzorem g(x) = f(x) + 1
.
a)
Zadania
237
b)
c)
Zadania
238
d)
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.7.5.12Rysunek przedstawia wykres funkcji y = f(x).
Zadania
239
Wskaż rysunek, na którym przedstawiony jest wykres funkcji g określonej wzorem g(x) = f(x + 2).
a)
b)
Zadania
240
c)
d)
(Pokaż odpowiedź)
Zadania
241
Poziom trudności: AZadanie 1.7.5.13Na rysunkach przedstawione są wykresy funkcji y = f(x) i y = g(x).
Funkcja g jest określona wzorem
a) g(x) = f(x + 1) + 1
b) g(x) = f(x + 1) − 1
c) g(x) = f(x − 1) + 1
Zadania
242
d) g(x) = f(x − 1) − 1
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.7.5.14Funkcja f jest określona wzorem f(x) = x. Po przesunięciu wykresu funkcji f o 6 jednostek wzdłuż
osi Ox i o ( – 4) jednostki wzdłuż osi Oy, otrzymujemy wykres funkcji g. Funkcja g określona jest
wzorem:
a) g(x) = x − 10
b) g(x) = x − 2
c) g(x) = x + 2
d) g(x) = x + 10
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.7.5.15Funkcja f określona jest wzorem f(x) = x2. Po przesunięciu wykresu funkcji f o ( – 3) jednostki
wzdłuż osi Ox i o 2 jednostki wzdłuż osi Oy, otrzymujemy wykres funkcji h. Wskaż wzór funkcji
h.
a) h(x) = (x − 3)2
− 2
b) h(x) = (x + 3)2
− 2
c) h(x) = (x + 3)2
+ 2
d) h(x) = (x − 3)2
+ 2
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 1.7.5.16
Funkcja f określona jest wzorem f(x) =1x dla x ≠ 0 . Po przesunięciu wykresu funkcji f o 4 jed-
nostki wzdłuż osi Ox i o ( – 1) jednostkę wzdłuż osi Oy, otrzymujemy wykres funkcji t. Funkcja
t określona jest wzorem
a) t(x) =1
x + 4 − 1 dla x ≠ − 4
Zadania
243
b) t(x) =1
x + 4 + 1 dla x ≠ − 4
c) t(x) =1
x − 4 + 1 dla x ≠ 4
d) t(x) =1
x − 4 − 1 dla x ≠ 4
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 1.7.5.17Na rysunku jest przedstawiony wykres funkcji f.
Która funkcja ma dokładnie trzy miejsca zerowe?
a) y = f(x) + 2
b) y = f(x) − 2
c) y = f(x + 2)
d) y = f(x − 2)
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.7.5.18
Aplikacja na epodreczniki.pl
Zadania
244
Poziom trudności: BZadanie 1.7.5.19
Dany jest punkt A = (−2, − 3). Po przesunięciu punktu A o 6 jednostek wzdłuż osi Ox, otrzy-
mujemy punkt B, a po przesunięciu punktu B o 4 jednostki wzdłuż osi Oy, otrzymujemy punkt
C. Oblicz współrzędne punktów B i C oraz pole trójkąta ABC.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: CZadanie 1.7.5.20
Dany jest czworokąt ABCD, o wierzchołkach w punktach: A = (0, 0), B = (4, 3), C = (1, 5),D = (−3, 2). Sprawdź, czy czworokąt ABCD jest równoległobokiem.
(Pokaż odpowiedź)
Zadania
245
Poziom trudności: AZadanie 1.7.5.21Na rysunku jest przedstawiony wykres funkcji f.
Narysuj wykresy funkcji określonych wzorami
(Pokaż odpowiedź)
y = f(x) + 2a)
y = f(x) − 2b)
y = f(x − 2)c)
y = f(x + 2)d)
Zadania
246
Poziom trudności: AZadanie 1.7.5.22Na rysunku jest przedstawiony wykres funkcji f.
Narysuj w tym samym układzie współrzędnych wykresy funkcji określonych wzorami y = f(x + 6)i y = f(x − 6).(Pokaż odpowiedź)
Zadania
247
Poziom trudności: AZadanie 1.7.5.23Na rysunku jest przedstawiony wykres funkcji f.
Ustal, ile miejsc zerowych ma funkcja określona wzorem
(Pokaż odpowiedź)
y = f(x) − 3a)
y = f(x) + 1b)
y = f(x − 2)c)
y = f(x + 4)d)
Zadania
248
Poziom trudności: AZadanie 1.7.5.24Na rysunku jest przedstawiony wykres funkcji f.
Narysuj wykresy funkcji określonych wzorami
(Pokaż odpowiedź)
g(x) = f(x − 1) + 2a)
h(x) = f(x + 2) − 1b)
Zadania
249
Poziom trudności: BZadanie 1.7.5.25Wykres funkcji f jest przedstawiony na rysunku.
Funkcje g i h określone są wzorami g(x) = f(x − 1) + 2 oraz h(x) = f(x + 2) − 1.
(Pokaż odpowiedź)
Jaka jest największa wartość funkcji g?a)
Jaka jest największa wartość funkcji h?b)
Jaka jest najmniejsza wartość funkcji g?c)
Jaka jest najmniejsza wartość funkcji h?d)
Zadania
250
Poziom trudności: AZadanie 1.7.5.26Wykres funkcji f jest przedstawiony na rysunku.
Funkcje g, h oraz k określone są wzorami: g(x) = f(x − 1) + 2, h(x) = f(x + 1) + 1, k(x) = f(x − 2) + 1
.Wskaż na poniższych rysunkach wykresy tych funkcji.
a)
Zadania
251
b)
c)
Zadania
252
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 1.7.5.27
Funkcja f jest określona wzorem f(x) = − 3x + 2. Jeżeli jej wykres przesuniemy o p jednostek
wzdłuż osi Ox i o q jednostek wzdłuż osi Oy, to otrzymamy wykres funkcji g. Ustal wzór funkcji
g, gdy
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 1.7.5.28
Funkcja f jest określona wzorem f(x) =2x , x ≠ 0. Zapisz wzór funkcji, której wykres powstał w
wynikuprzekształcenia opisanego poniżej.
d)
p = 3, q = − 5a)
p = 2, q = − 2b)
p = − 1, q = 7c)
p = − 2, q = 10d)
Wykres funkcji f przesuwamy o 2 jednostki wzdłuż osi Ox i o 3 jednostki wzdłuż osi Oy.a)
Wykres funkcji f przesuwamy o ( – 1) jednostkę wzdłuż osi Ox i o 1 jednostkę wzdłuż osi
Oy.
b)
Zadania
253
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 1.7.5.29
Funkcja f jest określona wzorem f(x) = x2. Wykres funkcji g otrzymujemy po przesunięciu wy-
kresu funkcji f o 3 jednostki wzdłuż osi Ox i o 2 jednostki wzdłuż osi Oy. Uzasadnij, że funkcja g
określona jest wzorem g(x) = x2 − 6x + 11.
(Pokaż odpowiedź)
Wykres funkcji f przesuwamy o ( – 4) jednostki wzdłuż osi Ox i o ( – 2) jednostki wzdłuż
osi Oy.
c)
Wykres funkcji f przesuwamy o 3 jednostki wzdłuż osi Ox i o ( – 4) jednostki wzdłuż osi
Oy.
d)
Zadania
254
1.7.6. Zadania generatorowe
Zadania generatorowe
Poziom trudności: AZadanie 1.7.6.1Rysunek przedstawia wykres funkcji. Zapisz jej wzór.
Poziom trudności: AZadanie 1.7.6.2
Niech f(x) = 4x+5. Jakim wzorem jest opisana funkcja f(x − 6)?(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.7.6.3
Niech f(x) = − 4x + 7. Jakim wzorem jest opisana funkcja f(x) + 5?
(Pokaż odpowiedź)
Zadania generatorowe
255
Rozdział 2. Funkcja liniowa
2.1. Funkcja liniowa. Wykres funkcji liniowej
2.1.1. Proporcjonalność prosta
Funkcja liniowa
256
W dziale dotyczącym funkcji zostały podane różne zależności między dwiema dodatnimi wielko-
ściami.Niektóre z wielkości są wprost proporcjonalnymi, np.:
• droga s, jaką pokonuje samochód jadący ze stałą prędkością v, jest wprost proporcjonalna
do czasu jazdy t,
• siła grawitacji F działająca na Ziemi na ciało jest wprost proporcjonalna do masy m tego cia-
ła.
Film na epodreczniki.pl
Proporcjonalność prosta
257
Film na epodreczniki.pl
Definicja: Wielkości wprost proporcjonalne
Dwie zmienne wielkości dodatnie nazywamy wprost proporcjonalnymi, jeżeli iloraz
tych wielkości jest stały.
PrzykładRowerzysta jechał przez 2 godziny ze stałą prędkością, przy czym
w ciągu 10 minut przejechał 3 km. Prędkość rowerzysty jest zatem
równa
v =3
10km / min = 18 km / h.
Przebyta przez tego rowerzystę droga s jest wprost proporcjonal-
na do czasu jazdy t.
Zależność tę możemy zapisać za pomocą wzoru s(t) = 18 t, gdzie
• s oznacza drogę wyrażoną w kilometrach, natomiast
• t czas wyrażony w godzinach.
Za pomocą tego wzoru obliczymy, że:
Proporcjonalność prosta
258
• w ciągu minuty rowerzysta pokonywał 300 m, bo
s( 160 ) =
160 ? 18 =
310 km = 300 m,
• w ciągu 2 godzin rowerzysta przejechał 36 km, bo
s(2) = 18 ? 2 km = 36 km.
Definicja: Proporcjonalność prosta
Funkcja f, opisująca zależność między dodatnimi wielkościami wprost proporcjonal-
nymi x i y nazywana jest proporcjonalnością prostą, a ilorazyx nazywamy współ-
czynnikiem tej proporcjonalności. Oznaczając ten współczynnik przez a, zapisujemy
funkcję f wzorem
f(x) = ax,
gdzie x > 0.
Uwaga: Wprost z definicji wynika, że a > 0.
PrzykładSiła grawitacji F działająca na Ziemi (wyrażona w niutonach) na cia-
ło o masie m (wyrażonej w kilogramach) jest określona wzorem:
F(m) = g ? m,
gdzie g to przyspieszenie ziemskie.
Zależność ta to proporcjonalność prosta, a współczynnikiem tej
proporcjonalności jest g.
Do szacowania wartości siły F przyjmuje się, że g = 10 m / s2.
Proporcjonalność prosta
259
2.1.2. Przykłady
Przykład 1.Zależność między długością d przekątnej kwadratu a długością x jego boku jest określona
wzorem
d(x) = x√2
Film na epodreczniki.pl
Jest to proporcjonalność prosta, a współczynnikiem tej proporcjonalności jest √2.
Przykład 2.Zależność między wysokością h trójkąta równobocznego a długością a jego boku jest okre-
ślona wzorem:
h(a) =a√3
2 .
Przykłady
260
Film na epodreczniki.pl
Zależność ta to proporcjonalność prosta, a współczynnikiem tej proporcjonalności jest √32 .
Przykład 3.Zależność między obwodem L koła a promieniem tego koła jest określona wzorem:
L(r) = 2πr.
Przykłady
261
Film na epodreczniki.pl
Zależność ta to proporcjonalność prosta, a współczynnikiem tej proporcjonalności jest 2π.
Funkcja liniowaPrzejdźmy teraz do funkcji opisanych tym samym wzorem co proporcjonalność
prosta, a więc f(x) = ax, ale określonych dla dowolnej liczby rzeczywistej x. O liczbie a nie będziemy
już zakładać, że musi być dodatnia. Zastanówmy się, jak wygląda wykres takiej funkcji.
Twierdzenie: Wykres funkcji f(x) = ax
Wykresem funkcji f(x) = ax, gdzie a to ustalona liczba rzeczywista, jest prosta o równaniu
y = ax.
Wykres funkcji f(x) = ax, gdzie x ? R to prosta, która przechodzi przez każdy z punktów postaci
(x, a ? x).W praktyce do jej narysowania wystarczy zaznaczyć punkt (0, 0) i odpowiednio dobrany inny
punkt (x, a ? x).
Przykład 4.• Wykresem funkcji
f(x) = 2x
Przykłady
262
jest prosta przechodząca przez punkty (0, 0) i (1, 2). Wykres ten jest zbiorem punktów (x, y), które spełniają równanie y = 2x, czyli prostą opisaną równaniem y = 2x.
• Wykresem funkcji
f(x) = − 3x
jest prosta opisana równaniem y = − 3x, przechodząca przez punkty (0, 0) i (1, – 3).
• Wykresem funkcji
f(x) =54x
jest prosta opisana równaniem y =54x, przechodząca przez punkty (0, 0) i (4, 5).
• Wykresem funkcji
f(x) = − 1,4 ? x
jest prosta opisana równaniem y = − 1,4 ? x, przechodząca przez punkty (0, 0) i (5, – 7).
Aplikacja na epodreczniki.pl
W dalszej części tego rozdziału będziemy zajmować się funkcjami określonymi wzorem
f(x) = ax + b, gdzie a, b są ustalonymi liczbami rzeczywistymi.
Zauważmy, że po przesunięciu wykresu funkcji f(x) = ax o b jednostek wzdłuż osi Oy otrzymamy
wykres funkcji określonej wzorem
g(x) = f(x) + b
Przykłady
263
a więc
g(x) = ax + b.
Zatem wykresem funkcji g jest prosta równoległa do prostej o równaniu
y = ax.
Przykład 5.• Wykresem funkcji
f(x) = 2x − 3
jest prosta równoległa do prostej o równaniu y = 2x i przechodząca przez punkt (0, – 3), czyli
prosta o równaniu
y = 2x − 3.
• Wykresem funkcji
f(x) = − 3x + 4
jest prosta równoległa do prostej o równaniu y = − 3x i przechodząca przez punkt (0, 4), czyli
prosta o równaniu
y = − 3x + 4.
Przykłady
264
• Wykresem funkcji
f(x) =45x + 2
jest prosta równoległa do prostej o równaniu y =45x i przechodząca przez punkt (0, 2), czyli
prosta o równaniu
y =45x + 2.
• Wykresem funkcji
f(x) = − 1,4 ? x − 1
Przykłady
265
jest prosta równoległa do prostej o równaniu y = − 1,4 ? x i przechodząca przez punkt
(0, – 1), czyli prosta o równaniu
y = − 1,4 ? x − 1.
Przykłady
266
2.1.3. Definicja funkcji liniowej
Definicja: Funkcja liniowa
Funkcję f(x) określoną wzorem f(x) = ax + b, nazywamy funkcją liniową, gdzie a i b
są liczbami rzeczywistymi.
Wykresem funkcji liniowej jest prosta o równaniu y = ax + b.
Prosta ta jest równoległa do prostej o równaniu y = ax oraz przecina oś Oy w punk-
cie o współrzędnych (0, b).
Aplikacja na epodreczniki.pl
Definicja funkcji liniowej
267
2.1.4. Zadania
Poziom trudności: AZadanie 2.1.4.1Za trzy kostki masła trzeba zapłacić 12,60 zł. Wynika z tego, że
a) za 1 kostkę zapłacimy 6,30 zł
b) za 6 kostek zapłacimy więcej niż 20 zł
c) za 4 kostki zapłacimy 16,80 zł
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.1.4.2W poniższej tabeli prezentowane są wprost proporcjonalne wielkości x i y.
x x1 = 1 x2 = 2 x3 x4 = 10
y y1 y2 = 3 y3 = 9 y4
Wówczas
a)yx =
32
b) y4 = 15
c) x3 = 3
d) y1 = 2
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 2.1.4.3Które spośród poniższych par to wielkości są wprost proporcjonalne?
a) pole kwadratu i pole koła na nim opisanego
b) bok trójkąta równobocznego i promień koła wpisanego w ten trójkąt
c) krawędź sześcianu i jego objętość
d) obwód i średnica koła
(Pokaż odpowiedź)
Zadania
268
Poziom trudności: AZadanie 2.1.4.4
Samochód jedzie ze stałą prędkością 70kmh . Wówczas
a) w ciągu 5 minut przejedzie więcej niż 5 km
b) w ciągu 10 minut przejedzie 7 km
c) w ciągu 30 minut przejedzie 30 km
d) w ciągu 2 godzin przejedzie 140 km
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.1.4.5Wykres funkcji f(x) = √2x + 2
a) przechodzi przez punkt (√2, 4)
b) przecina wykres funkcji g(x) = − 3x + 2 w punkcie leżącym na osi Oy
c) jest równoległy do prostej o równaniu y = 2
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.1.4.6Przyporządkuj podane wzory funkcji liniowych do odpowiednich wykresów.
y = 3x + 2a)
y = − 3x + 2b)
y = 3x − 2c)
y = − 3x − 2d)
Zadania
269
I.
II.
Zadania
270
III.
IV.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 2.1.4.7Rozstrzygnij, czy punkty A, B, C leżą na wykresie tej samej funkcji liniowej.
Zadania
271
a) A = (0, 1), B = (1, 2), C = (2, 4)
b) A = (0, − 1), B = (−1, − 3), C = (−2, − 5)
c) A = (0, 1), B = (1, 11), C = (2, 21)
d) A = (0, 2), B = (20, 2), C = (−20, 2)
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.1.4.8Wskaż punkt, który leży na wykresie funkcji f określonej wzorem f(x) = √3x.
a) (−√3, − 3)
b) (−√3, − 1)
c) (−√3, 1)
d) (−√3, 0)
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.1.4.9Na wykresie funkcji f(x) = ax leży punkt A = (1, 3). Wtedy liczba f( – 2) jest równa
a) – 9
b) – 6
c) – 3
d) 0
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.1.4.10Jeżeli za 3 takie same zeszyty w kratkę trzeba zapłacić w szkolnym sklepiku 7 zł 20 gr, to za 7
takich zeszytów zapłacimy
a) 11 zł 20 gr
b) 14 zł 20 gr
c) 16 zł 80 gr
Zadania
272
d) 24 zł
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.1.4.11Przedstawiona na rysunku prosta jest wykresem funkcji f.
Funkcja ta określona jest wzorem
a) f(x) =25x
b) f(x) =52x
c) f(x) = 5x
d) f(x) = 2x
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.1.4.12Do wykresu funkcji liniowej określonej wzorem f(x) = − 2x + 3 należy punkt
a) (12 ,
12 )
b) (12 , 1
12 )
Zadania
273
c) (12 , 3)
d) (12 , 2)
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.1.4.13Wykres funkcji liniowej f przecina oś Oy w punkcie (0, – 2) i przechodzi przez punkt ( – 1, 3).Funkcja ta określona jest wzorem
a) f(x) = − 5x − 2
b) f(x) = 5x − 2
c) f(x) = − 3x − 2
d) f(x) = 3x − 2
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.1.4.14Wykres funkcji liniowej f określonej wzorem f(x) = 2x przesunięto o 3 jednostki w prawo, wzdłuż
osi Ox. Otrzymana prosta jest wykresem funkcji g danej wzorem
a) g(x) = 2x + 6
b) g(x) = 2x − 6
c) g(x) = 2x + 3
d) g(x) = 2x − 3
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.1.4.15Wskaż liczbę m, dla której wykres funkcji liniowej f określonej wzorem f(x) = (m − 2)x + 3 przeci-
na oś Ox w punkcie ( – 1, 0).
a) m = − 2
b) m = − 3
c) m = 3
Zadania
274
d) m = 5
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.1.4.16
Uzupełnij tabelę, wiedząc, że x jest argumentem funkcji f(x) = ax, natomiast y odpowiadającą
mu wartością.
x – 6 – 3 – 2 – 1 0 1 2 3 6 15 33
y 10
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.1.4.17Każda z prostych prezentowanych na rysunkach określona jest równaniem y = ax. Wyznacz a.
a)
Zadania
275
b)
c)
Zadania
276
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.1.4.18
Wykres funkcji f(x) = − 13x przesunięto o 3 jednostki, wzdłuż osi Ox. Podaj równanie otrzymanej
prostej.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.1.4.19
Wykres funkcji f(x) = − 13x przesunięto o 3 jednostki, wzdłuż osi Oy. Podaj równanie otrzymanej
prostej.
(Pokaż odpowiedź)
d)
Zadania
277
Poziom trudności: AZadanie 2.1.4.20Na rysunku prezentowany jest wykres funkcji liniowej f. Uzupełnij tabelę.
x – 4 – 3 – 2 4 5 6 7
f(x)
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.1.4.21Uzupełnij tabelę, wiedząc, że funkcja f jest liniowa.
x – 2 – 1 0 1 2 3 4
f(x) 2 – 1
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.1.4.22Przyporządkuj podane wzory funkcji liniowych do odpowiednich wykresów.
y = x − 2a)
Zadania
278
I.
II.
y = − 12x − 2b)
y = 2x − 1c)
y =12x − 1d)
Zadania
279
III.
IV.
(Pokaż odpowiedź)
Zadania
280
Poziom trudności: AZadanie 2.1.4.23Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji liniowej f określonej wzorem f(x) = ax + b.
Oceń, czy poniższe stwierdzenia są prawdziwe.
a) punkt ( – 1, 5) należy do wykresu funkcji f
b) b = 3
c) a < 0
d) a > 2
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 2.1.4.24Dane są funkcje f(x) = 2x, g(x) = 2x + 3, h(x) = − 2x + 3. Oceń, czy poniższe stwierdzenia są praw-
dziwe.
a) Wykresy funkcji g i h przecinają się w punkcie (0, 3).
b) Wykresy funkcji f i h są prostymi równoległymi.
c) Wykresy funkcji f i g przecinają się w punkcie (0, 0).
(Pokaż odpowiedź)
Zadania
281
2.1.5. Zadania generatorowe
Poziom trudności: AZadanie 2.1.5.1
Niech f(x) = 2x2 + 3x. Ile jest równa liczba f(−4)?
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.1.5.2
Dana jest funkcja f(x) = − 4x + 5. Podaj liczbę x0, dla której f(x0) = − 3.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.1.5.3Rysunek przedstawia prostą . Zapisz jej wzór.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.1.5.4Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji. Odczytaj zbiór argumentów i zbiór wartości
funkcji.
Zadania generatorowe
282
2.2. Własności funkcji liniowej
2.2.1. Współczynnik kierunkowy funkcji liniowej
Przykład 1.Rozpatrzmy funkcję liniową określoną wzorem
f(x) = 2x − 1.
Ponieważ f(0) = − 1 oraz f(1) = 1, zatem wykres funkcji przecina oś Oy w punkcie (0, – 1) i
przechodzi przez punkt (1, 1).
Pokażemy, że przy zwiększaniu argumentu o 1 odpowiadająca mu wartość funkcji f zwiększa
się o 2.
Weźmy dowolną liczbę rzeczywistą x1. Wtedy
f(x1) = 2x1 − 1,
a także
f(x1 + 1) = 2(x1 + 1) − 1 = 2x1 + 2 − 1 = 2x1 + 1.
Obliczamy różnicę tych dwóch wartości
f(x1 + 1) − f(x1) = 2x1 + 1 − (2x1 − 1) = 2x1 + 1 − 2x1 + 1 = 2.
Punkt A jest dowolnym punktem należącym do wykresu funkcji f. Aby znaleźć punkt B, które-
Własności funkcji liniowej
283
go pierwsza współrzędna jest o 1 większa od pierwszej współrzędnej punktu A, przesuwamy
się, o 1 jednostkę, wzdłuż osi Ox i o 2 jednostki, wzdłuż osi Oy.
Film na epodreczniki.pl
Przykład 2.Rozpatrzmy funkcję liniową określoną wzorem
f(x) = − x + 1.
Ponieważ f(0) = 1 oraz f(1) = 0, to wykres funkcji przecina oś Oy w punkcie (0, 1) i przechodzi
przez punkt (1, 0).
Współczynnik kierunkowy funkcji liniowej
284
Pokażemy, że przy zwiększaniu argumentu o 1 odpowiadająca mu wartość funkcji f zmniej-
sza się o 1.
Weźmy dowolną liczbę rzeczywistą x1. Wtedy
f(x1) = − x1 + 1,
a także
f(x1 + 1) = − (x1 + 1) + 1 = − x1 − 1 + 1 = − x1.
Obliczamy różnicę tych dwóch wartości
f(x1 + 1) − f(x1) = − x1 − (−x1 + 1) = − x1 + x1 − 1 = − 1.
Wobec tego, wybierając dowolny punkt A na wykresie funkcji f, znajdziemy na wykresie inny
punkt, który powstaje z przesunięcia punktu A o 1 jednostkę, wzdłuż osi Ox i o ( − 1) jednost-
kę, wzdłuż osi Oy.
Współczynnik kierunkowy funkcji liniowej
285
Film na epodreczniki.pl
Przykład 3.Rozpatrzmy funkcję liniową określoną wzorem
f(x) = − 12x + 2.
Ponieważ f(0) = 2 oraz f(2) = 1, to wykres funkcji przecina oś Oy w punkcie (0, 2) i przechodzi
przez punkt (2, 1).
Współczynnik kierunkowy funkcji liniowej
286
Pokażemy, że przy zwiększaniu argumentu o 1 odpowiadająca mu wartość funkcji f zmniej-
sza się o12 .
Weźmy dowolną liczbę rzeczywistą x1. Wtedy
f(x1) = − 12x1 + 2,
a także
f(x1 + 1) = − 12 (x1 + 1) + 2 = − 1
2x1 − 12 + 2 = − 1
2x1 + 112 .
Obliczamy różnicę tych dwóch wartości
f(x1 + 1) − f(x1) = − 12x1 + 1
12 − (− 1
2x1 + 2) = − 12x1 + 1
12 +
12x1 − 2 = − 1
2 .
Wobec tego, wybierając dowolny punkt A na wykresie funkcji f, znajdziemy na wykresie inny
punkt, który powstaje z przesunięcia punktu A o 1 jednostkę, wzdłuż osi Ox i o (− 12 ) jednostki,
wzdłuż osi Oy. Można też znaleźć kolejny punkt, który powstaje z przesunięcia punktu A o 2
jednostki wzdłuż osi Ox i o (−1) jednostkę wzdłuż osi Oy.
Współczynnik kierunkowy funkcji liniowej
287
Film na epodreczniki.pl
Aplikacja na epodreczniki.pl
Współczynnik kierunkowy funkcji liniowej
288
Wybierzmy na wykresie funkcji liniowej f(x) = ax + b różne punkty A i B, o współrzędnych (xA, yA) i
(xB, yB) Wtedy
• yA = f(xA) = axA + b
• yB = f(xB) = axB + b
Zauważmy, że yA − axA = b, a także yB − axB = b, więc yB − axB = yA − axA, skąd yB − yA = axB − axA.
Zatem
a(xB − xA) = yB − yA,
Ponieważ punkty A i B są różne i leżą na wykresie funkcji, więc xA ≠ xB, stąd xB − xA ≠ 0. Wobec
tego
a =yB − yAxB − xA
.
jest ilorazem różnicy dwóch wartości funkcji liniowej przez różnicę odpowiadających im argumen-
tów.
Patrząc na dwa różne punkty A i B leżące na wykresie funkcji
f(x) = ax + b,
interpretujemy współczynnik kierunkowy a jako iloraz wartości przesunięcia yB − yA wzdłuż osi Oy
do odpowiadającej mu wartości przesunięcia xB − xA wzdłuż osi Ox.
Film na epodreczniki.pl
Współczynnik kierunkowy funkcji liniowej
289
Przykład 4.Na wykresie funkcji liniowej f leżą punkty A = (3, 11) i B = (−2, − 4). Ponieważ
xB − xA = − 2 − 3 = − 5, yB − yA = − 4 − 11 = − 15,
więc współczynnik kierunkowy a tej funkcji jest równy
a =−15−5 = 3.
Liczba a = 3 oznacza również, że wzrostowi argumentu funkcji f o jedną jednostkę, odpowia-
da wzrost wartości o 3 jednostki.
Przykład 5.Na wykresie funkcji liniowej f leżą punkty A = (−2, 1) i B = (−3, 5). Ponieważ
xB − xA = − 3 − (−2) = − 1, yB − yA = 5 − 1 = 4,
zatem współczynnik kierunkowy a tej funkcji jest równy
a =4
−1 = − 4.
Liczba a = − 4 oznacza również, że wzrostowi argumentu funkcji f o jedną jednostkę, odpo-
wiada zmniejszenie wartości funkcji o 4 jednostki.
Przykład 6.Na wykresie funkcji liniowej f leżą punkty A = (1, 3) i B = (3, 6). Ponieważ
xB − xA = 3 − 1 = 2, yB − yA = 6 − 3 = 3,
to współczynnik kierunkowy a tej funkcji jest równy
a =32 .
Wartość a =32 oznacza również, że wzrostowi argumentu funkcji f o jedną jednostkę, odpo-
wiada wzrost wartości o32 .
Współczynnik kierunkowy funkcji liniowej
290
Aplikacja na epodreczniki.pl
Współczynnik kierunkowy funkcji liniowej
291
2.2.2. Funkcja liniowa rosnąca, funkcja liniowa malejąca
Funkcja liniowa rosnąca, funkcja liniowa malejąca
292
Wśród prezentowanych w poprzednim rozdziale wykresów funkcji liniowych da się wyróżnić
takie, które są wykresami funkcji rosnących oraz takie, które są wykresami funkcji male-
jących.Pokażemy, że funkcja liniowa f(x) = ax + b jest rosnąca wtedy i tylko wtedy, gdy jej współ-
czynnik kierunkowy jest dodatni.
Jak wykazaliśmy wcześniej: jeżeli na wykresie funkcji liniowej f leżą dwa różne punkty A = (xA, yA)i B = (xB, yB), to współczynnik kierunkowy funkcji f jest równy
a =yB − yAxB − xA
.
Załóżmy, że xB − xA > 0, czyli wzdłuż osi Ox przesuwamy się od punktu A do B w prawo. Wobec
tego znak współczynnika a jest taki sam jak znak wyrażenia yB − yA. Zatem
• a > 0 wtedy i tylko wtedy, gdy yB − yA > 0. Zatem wzdłuż osi Oy przesuwamy się od punktu A
do B w górę, czyli funkcja f jest rosnąca,
• a < 0 wtedy i tylko wtedy, gdy yB − yA < 0. Zatem wzdłuż osi Oy przesuwamy się od punktu A
do B w dół, czyli funkcja f jest malejąca.
• a = 0, wtedy i tylko wtedy, gdy yB = yA, czyli funkcja liniowa f(x) = ax + b jest stała.
Film na epodreczniki.pl
Funkcja liniowa rosnąca, funkcja liniowa malejąca
293
Film na epodreczniki.pl
Przykład 1.Funkcja f(x) = 2x + 5 jest rosnąca, ponieważ jej współczynnik kierunkowy jest równy 2, czyli
a > 0.
Przykład 2.
Funkcja f(x) =13x − 1 jest rosnąca, ponieważ jej współczynnik kierunkowy jest równy
13 , czyli
a > 0.
Przykład 3.Funkcja f(x) = − x + 2 jest malejąca, ponieważ jej współczynnik kierunkowy jest równy −1, czy-
li a < 0.
Wiemy już, że jeżeli na wykresie funkcji liniowej f leżą dwa różne punkty A = (xA, yA) i B = (xB, yB), to współczynnik kierunkowy funkcji f jest równy
a =yB − yAxB − xA
,
a także
yA − axA = b.
Funkcja liniowa rosnąca, funkcja liniowa malejąca
294
Wynika z tego, że prosta będąca wykresem funkcji liniowej, która
• przechodzi przez punkt A = (xA, yA) ma równanie
y = ax + (yA − axA),
co zapisujemy w postaci
y = a(x − xA) + yA,
• przechodzi przez dwa różne punkty A = (xA, yA) i B = (xB, yB) ma równanie
y =yB − yAxB − xA
(x − xA) + yA.
Film na epodreczniki.pl
Przykład 4.Dane są punkty A = (2, − 4), B = (9, 10). Wtedy
xB − xA = 9 − 2 = 7
oraz
yB − yA = 10 − ( − 4) = 14.
Wynika z tego, że współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez punkty A i B jest
Funkcja liniowa rosnąca, funkcja liniowa malejąca
295
równy a =147 , czyli a = 2.
Ponieważ na tej prostej leży punkt B = (9, 10), to jej równanie zapisujemy w postaci
y = a(x − 9) + 10,
a po uwzględnieniu a = 2 mamy ostatecznie y = 2(x − 9) + 10, skąd
y = 2x − 8.
Aplikacja na epodreczniki.pl
Funkcja liniowa rosnąca, funkcja liniowa malejąca
296
2.2.3. Zadania
Poziom trudności: AZadanie 2.2.3.1
Na rysunku jest przedstawiony wykres funkcji f określonej wzorem f(x) = ax + b.
(Pokaż odpowiedź)
Oblicz a.a)
Podaj wzór funkcji f.b)
Zadania
297
Poziom trudności: AZadanie 2.2.3.2Na rysunku jest przedstawiony wykres funkcji f określonej wzorem f(x) = ax + b.
Wówczas
a) b = 3
b) b < 0
c) a = − 1
d) a < 0
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.2.3.3Wskaż wykres funkcji f określonej wzorem f(x) = ax + b, dla której a > 0 i b < 0.
Zadania
298
a)
b)
Zadania
299
c)
d)
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.2.3.4
Funkcja liniowa f(x) =13x − 5
a) jest rosnąca i jej wykres przechodzi przez punkt (0, – 5)
Zadania
300
b) jest malejąca i jej wykres przechodzi przez punkt (0, – 5)
c) jest rosnąca i jej wykres przechodzi przez punkt (0, 5)
d) jest malejąca i jej wykres przechodzi przez punkt (0, 5)
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 2.2.3.5Funkcja liniowa f(x) = (2m + 3)x + m − 2
a) jest malejąca tylko wtedy, gdy m < − 32
b) jest rosnąca tylko wtedy, gdy m < 2
c) dla m = − 1 jest malejąca
d) dla m = 0 jest rosnąca
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 2.2.3.6Funkcja liniowa f jest określona wzorem f(x) = ax + 3, gdzie a > 0. Wówczas
a) f(2) + f(−2) > 6
b) f(1) > 3
c) f(−1) < 0
d) f(0) = 0
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 2.2.3.7Dane są punkty A = ( − 2, 3) i B = (1, − 5), C = (4, 4). Wynika z tego, że ujemny współczynnik
kierunkowy ma prosta przechodząca przez punkty
a) A i C
b) B i C
c) A i B
(Pokaż odpowiedź)
Zadania
301
Poziom trudności: BZadanie 2.2.3.8Dane są punkty A = (0, 3) i B = ( – 2, 1). Wynika z tego, że prosta AB
a) przechodzi przez punkt (−3, 0)
b) ma równanie y = x + 3
c) ma współczynnik kierunkowy równy 1
d) przecina oś Oy w punkcie, którego druga współrzędna jest dodatnia
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.2.3.9
Aplikacja na epodreczniki.pl
Poziom trudności: AZadanie 2.2.3.10Na wykresie funkcji liniowej f(x) = ax + b leżą punkty A = ( – 2, – 3) i B = (2, 5). Wynika z tego,
że
a) funkcja f określona jest wzorem f(x) = 2x + 1
b) a = 4
c) wykres funkcji f przecina oś Oy w punkcie (0, 2)
d) funkcja f jest rosnąca
(Pokaż odpowiedź)
Zadania
302
Poziom trudności: AZadanie 2.2.3.11Na rysunku jest przedstawiony fragment wykresu pewnej funkcji liniowej y = ax + b.
Współczynnik a jest równy
a) − 32
b) − 23
c) 3
d)92
(Pokaż odpowiedź)
Zadania
303
Poziom trudności: BZadanie 2.2.3.12Na rysunku jest przedstawiony fragment wykresu pewnej funkcji liniowej y = ax + b.
Jakie znaki mają współczynniki a i b?
a) a > 0 i b > 0
b) a < 0 i b > 0
c) a > 0 i b < 0
d) a < 0 i b < 0
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.2.3.13Wskaż m, dla którego funkcja liniowa f(x) = (2 − 3m)x − 1 jest rosnąca.
a) m = 3
b) m = 2
c) m = 1
d) m = − 1
(Pokaż odpowiedź)
Zadania
304
Poziom trudności: AZadanie 2.2.3.14Funkcja liniowa f(x) = (3m + 1)x + m − 2 jest stała, gdy
a) m = − 13
b) m = 1
c) m = 2
d) m = 3
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.2.3.15Funkcja liniowa f(x) = (4 − m)x + 1 jest malejąca wtedy i tylko wtedy, gdy
a) m < 0
b) m < 4
c) m > 4
d) m > 3
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 2.2.3.16
Aplikacja na epodreczniki.pl
Poziom trudności: BZadanie 2.2.3.17Na wykresie funkcji liniowej f leżą punkty A = (2, 3), B = (1, − 1). Funkcja f określona jest wzo-
rem
a) f(x) = 4x − 5
b) f(x) = 3x − 4
c) f(x) = 2x − 3
d) f(x) = x − 1
(Pokaż odpowiedź)
Zadania
305
Poziom trudności: AZadanie 2.2.3.18Dane są punkty A = (−3, 0) i B = (1, − 2). Współczynnik kierunkowy prostej AB jest równy
a) − 34
b) − 23
c) − 12
d) −1
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.2.3.19Dane są punkty A = (−2, 1) i B = (3, 3). Na prostej AB leży punkt
a) (18, 18)
b) (18, 15)
c) (18, 12)
d) (18, 9)
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.2.3.20Każda z prostych prezentowanych na rysunkach jest określona równaniem y = ax + b. Odczytaj
a i b.
Zadania
306
a)
b)
Zadania
307
(Pokaż odpowiedź)
c)
d)
Zadania
308
Poziom trudności: AZadanie 2.2.3.21
Podaj wzór funkcji liniowej f, której wykres przechodzi przez punkt A = (10, 112) i przecina oś
Oy w punkcie B = (0, 2).(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.2.3.22Spośród podanych funkcji liniowych wybierz funkcje rosnące.
a) y = 5 − x
b) y =x − 1
3
c) y =1
10x − 5
d) y = x − 100
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.2.3.23Spośród podanych funkcji liniowych wybierz funkcje malejące.
a) y = 1 − 34x
b) y =x − 5
9
c) y = − x + 6
d) y = x +13
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.2.3.24
Wyznacz wszystkie wartości m, dla których funkcja liniowa f(x) = (2m + 5)x − 1 jest
(Pokaż odpowiedź)
malejącaa)
rosnącab)
stałac)
Zadania
309
Poziom trudności: AZadanie 2.2.3.25Wykres funkcji liniowej f(x) = ax + b przechodzi przez punkty A = ( – 7, 11) i B = (23, – 19).Wynika z tego, że
a) na wykresie funkcji f leży co najmniej 7 punktów, których obie współrzędne są
całkowitymi liczbami dodatnimi
b) do wykresu funkcji f należy punkt C = (1, 5)
c) b < 0
d) a = − 117
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.2.3.26
Dana jest funkcja liniowa f(x) = (2m + 3k)x + 2. Podaj przykład
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 2.2.3.27
Dana jest funkcja liniowa f(x) = (2m + 3k)x + 2. Podaj przykład
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.2.3.28Dana jest funkcja liniowa f(x) = (2m + 3k)x + 2. Rozstrzygnij, czy istnieją takie wartości parame-
trów m i k, że na wykresie funkcji f
takich wartości parametrów m i k, że m > 0 i k < 0 i funkcja f jest malejącaa)
takich wartości parametrów m i k, że m < 0 i k > 0 i funkcja f jest malejącab)
takich wartości parametrów m i k, że m > 0 i k < 0 i funkcja f jest rosnącac)
takich wartości parametrów m i k, że m < 0 i k > 0 i funkcja f jest rosnącad)
takich wartości parametrów m i k, że 2m + k = 1 i funkcja f jest malejącaa)
takich wartości parametrów m i k, że m + 3k = − 1 i funkcja f jest rosnącab)
takich wartości parametrów m i k, że m + k = 2 i funkcja f jest malejącac)
takich wartości parametrów m i k, że m + k = − 1000 i funkcja f jest rosnącad)
Zadania
310
a) leży dokładnie jeden punkt, którego obie współrzędne są całkowitymi liczbami
przeciwnych znaków
b) leżą dokładnie dwa punkty, których obie współrzędne są całkowitymi liczbami ujemnymi
c) leży dokładnie jeden punkt, którego obie współrzędne są całkowitymi liczbami dodatnimi
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 2.2.3.29
Dana jest funkcja liniowa f(x) = (2m + 3k)x + 2. Wykaż, że
(Pokaż odpowiedź)
jeżeli k = − 23m, to funkcja f jest stała,a)
jeżeli k > − 23m, to funkcja f jest rosnąca,b)
jeżeli k < − 23m, to funkcja f jest malejąca.c)
Zadania
311
2.2.4. Zadania generatorowe
Zadania generatorowe
Poziom trudności: AZadanie 2.2.4.1
Czy punkt (1,5) należy do wykresu funkcji f(x) = 2x + 3?
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.2.4.2Ile wynosi współczynnik kierunkowy prostej y = − 3x + 1?
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.2.4.3
Określ, czy funkcja f(x) = − 5x + 8 jest rosnąca, malejąca czy stała.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.2.4.4Wyznacz równanie prostej o współczynniku kierunkowym a = 3, która przechodzi przez punkt
(4, − 10).(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.2.4.5
Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez punkty ( − 2, − 1) i (3, 9).(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.2.4.6
Wyznacz miejsce zerowe funkcji f(x) = 7x − 21.
(Pokaż odpowiedź)
Zadania generatorowe
312
2.3. Miejsce zerowe funkcji liniowej. Równanieliniowe, nierówność liniowa
2.3.1. Równanie liniowe
Obliczanie miejsca zerowego funkcji liniowej
f(x) = ax + b
sprowadza się do rozwiązania równania z niewiadomą x postaci
ax + b = 0, dla ustalonych wartości współczynników a i b. Takie równanie nazywamy równaniem
liniowym.
• Gdy a = 0 i b ≠ 0, to równanie f(x) = b jest sprzeczne, więc w tym przypadku funkcja liniowa
nie ma miejsc zerowych. Wykresem takiej funkcji liniowej jest prosta równoległa do prostej o
równaniu y = 0 i przecinająca oś Oy w punkcie (0, b).• Gdy a = 0 i b = 0, to funkcja f jest tożsamościowo równa 0, to znaczy, że dla każdej liczby rze-
czywistej x przyjmuje wartość zero. W tym przypadku funkcja f ma nieskończenie wiele
miejsc zerowych. Każda liczba rzeczywista jest miejscem zerowym funkcji f. Wykres takiej
funkcji liniowej pokrywa się z prostą o równaniu y = 0.
Przykład 1.Rozwiążemy równania.
• x + 12 − 2x − 5
6 =34
Przekształcamy równanie równoważnie. Najpierw mnożymy je obustronnie przez 12
6(x + 1) − 2(2x − 5) = 9
Stosujemy prawo rozdzielności mnożenia względem dodawania otrzymujemy:
6x + 6 − 4x + 10 = 9
2x = − 7
Równanie ma jedno rozwiązanie x = − 72 .
Jeśli a ≠ 0, to mamy ax = − b, skąd x = − ba . Wynika z tego, że każda funkcja liniowa
f(x) = ax + b, gdzie a ≠ 0, ma dokładnie jedno miejsce zerowe x0 = − ba . Korzystając z pozna-
nych własności funkcji liniowej, zauważmy też, że dla a ≠ 0 funkcja f(x) = ax + b nie jest stała
(jest rosnąca dla a > 0, malejąca dla a < 0), zatem prosta będąca jej wykresem przecina oś
Ox w dokładnie jednym punkcie (− ba , 0).
a)
Jeśli a = 0, to funkcja f określona jest wzorem f(x) = b. Jest to funkcja stała.b)
Miejsce zerowe funkcji liniowej. Równanie liniowe, nierówność liniowa
313
• (x + 2)2
= (x − 2)(x + 2)Przekształcamy równanie równoważnie, stosując najpierw wzory skróconego mnożenia
x2 + 4x + 4 = x2 − 4
Po zredukowaniu x2 otrzymujemy równanie liniowe:
4x + 4 = − 4
4x = − 8
x = − 2
Równanie ma zatem jedno rozwiązanie x = − 2.
• (x + 3)(x − 3) + 2x = (x + 1)2
Przekształcamy równanie równoważnie, stosując najpierw wzory skróconego mnożenia
x2 − 9 + 2x = x2 + 2x + 1.
Po zredukowaniu x2 i 2x otrzymujemy równość sprzeczną
0 ∙ x = 10.
A zatem równanie nie ma rozwiązań.
• 3x2 + (x − 1)(x + 1) + 10 = (2x − 3)2
+ 12x
Przekształcamy równanie równoważnie, stosując najpierw wzory skróconego mnożenia:
3x2 + x2 − 1 + 10 = 4x2 − 12x + 9 + 12x
Po zredukowaniu otrzymujemy
0 ∙ x = 0
Rozwiązaniem równania jest każda liczba rzeczywista x.
Równanie liniowe
314
Film na epodreczniki.pl
Równanie liniowe
315
2.3.2. Nierówność liniowa
Przykład 1.Ustalimy, w jakim przedziale funkcja liniowa f(x) = 2x − 4 przyjmuje wartości dodatnie.
W tym celu należy rozwiązać nierówność f(x) > 0, czyli wyznaczyć wszystkie wartości x, dla
których 2x − 4 > 0.
Przekształcamy nierówność równoważnie
2x − 4 > 0
2x > 4
x > 2.
Funkcja f(x) = 2x − 4 przyjmuje wartości dodatnie dla x należących do przedziału (2, + ∞).
Przykład 2.Znajdziemy największą liczbę całkowitą, dla której funkcja f(x) = − 3x + 5 przyjmuje wartość
dodatnią.
Rozwiązujemy nierówność f(x) > 0
−3x + 5 > 0
−3x > − 5 / : (−3).
x <53
x < 123 .
A zatem x = 1 jest największą liczbą całkowitą, dla której funkcja f(x) = − 3x + 5 przyjmuje
wartość dodatnią.
Przykład 3.
Rozwiążemy nierówność (x − 5)2
> (x − 3)2.
Przekształcamy równoważnie daną nierówność, stosując wzory skróconego mnożenia
x2 − 10x + 25 > x2 − 6x + 9
−4x > − 16 / : (−4)
Nierówność liniowa
316
x < 4.
Rozwiązaniem nierówności jest więc każda liczba rzeczywista należąca do przedziału (−∞, 4).
Przykład 4.
Znajdziemy najmniejszą liczbę całkowitą x, która spełnia nierówność53 − x − 5
2 <4x + 7
6 .
Przekształcamy równoważnie daną nierówność
53 − x − 5
2 <4x + 7
6 / ∙ 6
10 − 3(x − 5) < 4x + 7
10 − 3x + 15 < 4x + 7
−7x < − 18 / : (−7)
x >187
x > 247
A zatem x = 3 jest najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą tę nierówność.
Nierówność liniowa
317
Film na epodreczniki.pl
Aplikacja na epodreczniki.pl
Nierówność liniowa
318
2.3.3. Zadania
Poziom trudności: AZadanie 2.3.3.1Liczba – 3 jest miejscem zerowym funkcji
a) y = 7x + 21
b) y = x − 3
c) y = x + 3
d) y = 2x − 3
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.3.3.2Odczytaj miejsca zerowe funkcji liniowych, których fragmenty wykresów prezentowane są na
rysunkach.
a)
Zadania
319
b)
c)
Zadania
320
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.3.3.3Wskaż miejsce zerowe funkcji f(x) = √3x − 9.
a) −3√3
b) 3√3
c) √33
d) − √33
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.3.3.4Liczba ( – 1) jest miejscem zerowym funkcji f(x) = (m + 2)x − 3. Wówczas
a) m = 5
b) m = − 5
c) m = 1
d)
Zadania
321
d) m = 0
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 2.3.3.5Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu funkcji liniowej f.
Na podstawie rysunku można stwierdzić, że
a) największą liczbą całkowitą spełniającą nierówność f(x) > 0 jest 10
b) najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą nierówność f(x) < 0 jest 9
c) funkcja f nie ma miejsc zerowych
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.3.3.6Rozwiązanie równania 5(2 − 3x) = 1 − 2(7x + 3) należy do przedziału
a) ? −19, − 2 ?
b) ( − 7, − 3)
c) (10, 20)
d) ? 0, 15 ?
(Pokaż odpowiedź)
Zadania
322
Poziom trudności: AZadanie 2.3.3.7
Rozpatrzmy nierówność (x − 4)(x + 4) + 14x < (x + 7)2. Która z podanych liczb spełnia tę nierów-
ność?
a) 3 − √17
b) – 2
c)34
d) 1
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.3.3.8Funkcja liniowa określona jest wzorem f(x) = − 5x + 3. Miejscem zerowym tej funkcji jest liczba
a) 0,6
b) – 0,6
c) 3
d) – 5
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.3.3.9Liczba ( – 4) jest miejscem zerowym funkcji f(x) = (m − 1)x + 8. Wtedy
a) m = 8
b) m = 3
c) m = 2
d) m = 1
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.3.3.10Rozwiązaniem równania 3(2 − x) = 5 − 4x jest liczba
a) x = − 4
b) x = − 3
Zadania
323
c) x = − 2
d) x = − 1
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.3.3.11Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu funkcji liniowej f.
Funkcja f przyjmuje wartość ujemną dla
a) x = − 1
b) x = − 2
c) x = − 3
d) x = − 4
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 2.3.3.12
Rozwiązanie równania x(x + 5) = (x + 2)2
należy do przedziału
a) (8, 10)
b) (3, 6)
c) (−1, 2)
Zadania
324
d) (−5, − 2)
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 2.3.3.13Najmniejsza liczba całkowita spełniająca nierówność (x − 6)(x + 6) > x(x − 12) to
a) 12
b) 6
c) 5
d) 4
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.3.3.14Funkcja f(x) = − 3x − 1 przyjmuje wartości ujemne dla wszystkich x należących do przedziału
a) (13 , + ∞)
b) (− 13 , + ∞)
c) (−∞, − 13 )
d) (−∞,13 )
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.3.3.15Wskaż liczbę m, dla której wykres funkcji liniowej f określonej wzorem f(x) = (m − 1)x + 4 przyj-
muje wartości dodatnie wtedy i tylko wtedy, gdy x < 2.
a) m = 3
b) m = 1
c) m = − 1
d) m = − 3
(Pokaż odpowiedź)
Zadania
325
Poziom trudności: AZadanie 2.3.3.16Oblicz miejsce zerowe funkcji f określonej wzorem
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.3.3.17
Liczba √5 jest miejscem zerowym funkcji f(x) = ax − 10. Oblicz a.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.3.3.18
Rozwiąż nierównośćx
21 − 2 >2 − x19 . Wyznacz najmniejszą liczbę całkowitą, która spełnia tę nie-
równość.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.3.3.19
Rozwiąż nierówność 3x(x + 1) + (x − 1)2
≥ (2x − 1)(2x + 1). Zaznacz zbiór jej rozwiązań na osi licz-
bowej.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: CZadanie 2.3.3.20
Wykaż, że liczba 212 jest rozwiązaniem równania 222 − 162 ? x − 410 = 87.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 2.3.3.21
Wypisz wszystkie liczby całkowite, które spełniają jednocześnie nierówności x(x + 2) < (x − 2)2
ix4 +
x + 12 > − 2.
(Pokaż odpowiedź)
f(x) = 3x − 4a)
f(x) = − 12x + 5b)
f(x) =3x − 7
4c)
f(x) = √2x + 6d)
Zadania
326
Poziom trudności: AZadanie 2.3.3.22
Aplikacja na epodreczniki.pl
Poziom trudności: BZadanie 2.3.3.23Zaznacz na osi liczbowej zbiór wszystkich liczb spełniających jednocześnie nierówności
(2x − 1)2
< (2x + 5)2, 4(3x + 1)
2≤ 9(2x − 1)
2.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 2.3.3.24Wypisz wszystkie nieujemne liczby całkowite, które spełniają jednocześnie nierówności
(x + 3)2
< (x − 4)2
i (9x + 7)x ≤ (3x + 1)2.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 2.3.3.25Wykaż, że nie istnieje liczba rzeczywista x, która spełnia jednocześnie nierówności
3x(x − 7) < 2x2 + (x − 5)2,
x + 25 − 2x + 1
2 > 21
10 .
(Pokaż odpowiedź)
Zadania
327
2.4. Układ równań liniowych. Geometrycznainterpretacja układu równań
2.4.1. Układ dwóch równań liniowych
Analizując wykresy dwóch funkcji liniowych, zaznaczone w tym samym układzie współrzędnych,
możemy stwierdzić, czy wykresy te mają punkty wspólne.
Przykład 1.Rysunek przedstawia wykresy funkcji f(x) = 3x − 1 i g(x) = x + 1.
Z rysunku odczytamy, że wykresy funkcji przecinają się w punkcie (1, 2).
Obliczając wartość każdej z funkcji dla argumentu 1, stwierdzamy, że
f(1) = 3 ? 1 − 1 = 2,
a także
g(1) = 1 + 1 = 2.
Wykresy funkcji f i g nie są prostymi równoległymi. Punkt (1, 2) jest ich jedynym punktem
wspólnym.
Nie zawsze jednak można z rysunku dokładnie odczytać współrzędne punktu przecięcia wy-
kresów dwóch funkcji liniowych.
Układ równań liniowych. Geometryczna interpretacja układu równań
328
Przykład 2.Rysunek przedstawia wykresy funkcji f(x) = 4x − 9 i g(x) = − 3x + 2.
Przykład 3.Rozwiążemy układ równań
{ 2x − y = − 4
x + 2y = 3
• I sposób
Wyznaczymy z drugiego równania niewiadomą x
x = 3 − 2y.
Następnie wykorzystujemy otrzymany związek w pierwszym równaniu, skąd otrzymujemy
2 ∙ (3 − 2y) − y = − 4
6 − 4y − y = − 4
−4y − y = − 4 − 6
−5y = − 10
y = 2
Układ dwóch równań liniowych
329
Wobec tego
x = 3 − 2 ∙ 2 = − 1
Rozwiązaniem danego układu jest więc para liczb x = − 1 oraz y = 2.
• II sposób
Rozwiążemy dany układ metodą graficzną.
Wyznaczymy y z każdego równania układu
{ 2x + 4 = y
2y = − x + 3
{ y = 2x + 4
y = − 12x +
32
Proste o równaniach y = 2x + 4 i y = − 12x +
32 nie są równoległe, więc przecinają się w jednym
punkcie.
Rysunek przedstawia obie te proste w układzie współrzędnych.
Odczytujemy z rysunku, że te proste przecinają się w punkcie (−1, 2).Wobec tego układ równań
{ 2x − y = − 4
x + 2y = 3
Układ dwóch równań liniowych
330
ma jedno rozwiązanie, parę liczb x = − 1 oraz y = 2.
Przykład 4.Rozwiążemy układ równań
{ 4x − y = − 5
3x = − 6
• I sposób
Z drugiego równania natychmiast wynika, że x = − 2. Po wstawieniu otrzymanej wartości x
do pierwszego równania otrzymujemy y = − 8 + 5, skąd y = − 3.
Para x = − 2 i y = − 3 jest więc jedynym rozwiązaniem danego układu.
• II sposób
Rozwiążemy dany układ metodą graficzną.
Z pierwszego równania wyznaczamy y, ale w drugim równaniu ta niewiadoma nie występuje.
Zapisujemy więc drugie równanie w postaci x = − 2.
{ y = 4x + 5
x = − 2
Zauważmy, że równanie x = − 2 opisuje zbiór wszystkich takich punktów, których pierwsza
współrzędna jest równa – 2.
Jest to więc równanie prostej równoległej do osi Oy, przecinającej oś Ox w punkcie (0, − 2).Rysunek przedstawia proste o równaniach y = 4x + 5 i x = − 2 w układzie współrzędnych.
Układ dwóch równań liniowych
331
Odczytujemy z niego, że te proste przecinają się w punkcie ( − 2, − 3).Oznacza to, że układ równań
{ 4x − y = − 5
3x = − 6
ma jedno rozwiązanie, parę liczb x = − 2 oraz y = − 3.
Przykład 5.
Para x = 1 i y = − 1 jest rozwiązaniem układu równań { 4x − 6y = 10
−6x + 9y = − 15, ponieważ dla x = 1 i
y = − 1 jest
4x − 6y = 4 ∙ 1 − 6 ∙ (−1) = 4 + 6 = 10
oraz
−6x + 9y = − 6 ∙ 1 + 9 ∙ (−1) = − 6 − 9 = − 15.
Nie jest to jedyne rozwiązanie tego układu, co stwierdzimy, wyznaczając y z każdego z rów-
nań układu
{ 4x − 10 = 6y
9y = 6x − 15
{ y =23x − 5
3
y =23x − 5
3
Oba równania opisują tę samą prostą, a zatem układ ten ma nieskończenie wiele rozwiązań.
Jest nim każda para liczb rzeczywistych x i y, która spełnia równanie y =23x − 5
3 .
Rysunek przedstawia prostą o równaniu y =23x − 5
3 .
Układ dwóch równań liniowych
332
Przykład 6.Pokażemy, że układ
{ 6x + 15y = 30
14x + 35y = 140
nie ma rozwiązań.
Wyznaczamy y z każdego z równań układu
{ 15y = − 6x + 30
35y = − 14x + 140
{ y = − 25x + 2
y = − 25x + 4
.
Proste o równaniach y = − 25x + 2 i y = − 2
5x + 4 są równoległe i różne, więc dany układ nie ma
rozwiązań.
Rysunek przedstawia obie te proste w układzie współrzędnych.
Układ dwóch równań liniowych
333
Film na epodreczniki.pl
Układ dwóch równań liniowych
334
2.4.2. Układ równań liniowych
Rozpatrzmy układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi x i y
{ a1x + b1y = c1
a2x + b2y = c2
,
gdzie a1, b1, c1, a2, b2 i c2 są ustalonymi liczbami rzeczywistymi, przy czym pary liczb: a1 i b1 oraz
a2 i b2 nie są równocześnie równe zero.
Rozwiązaniem układu dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi jest każda para (x, y) ta-
kich liczb x i y, która spełnia każde z równań układu.
Na podstawie spostrzeżeń poczynionych w przykładach omówionych powyżej zauważmy, że
układ równań liniowych
{ a1x + b1y = c1
a2x + b2y = c2
,
• ma dokładnie jedno rozwiązanie, gdy proste o równaniach
a1x + b1y − c1 = 0
oraz
a2x + b2y − c2 = 0
nie są równoległe. Jest tak wtedy i tyko wtedy , gdy współczynniki przy x i y nie są proporcjonalne,
to znaczy, gdy
a1b2 − a2b1 ≠ 0
• ma nieskończenie wiele rozwiązań, gdy proste o równaniach
a1x + b1y − c1 = 0
oraz
a2x + b2y − c2 = 0
pokrywają się, czyli wtedy i tylko wtedy, gdy
a1b2 − a2b1 = 0
i
a1c2 − a2c1 = 0
i
Układ równań liniowych
335
b1c2 − b2c1 = 0
• nie ma rozwiązań, gdy proste o równaniach a1x + b1y − c1 = 0
i
a2x + b2y − c2 = 0
są równoległe i różne, czyli wtedy i tylko wtedy, gdy
a1b2 − a2b1 = 0
oraz zachodzi choć jeden z warunków
a1c2 − a2c1 ≠ 0
lub
b1c2 − b2c1 ≠ 0
Przykład 1.Rozwiążemy układ równań
{ 3x + 2y = − 1
x + 5y = 4
Zauważmy, że w powyższym przykładzie 3 ∙ 5 − 1 ∙ 2 = 13 ≠ 0, więc układ ma jedno rozwiąza-
nie.
W rozwiązaniu zastosujemy metodę podstawiania.
W tym celu wyznaczymy x z drugiego równania.
{ 3x + 2y = − 1
x = 4 − 5y
{ 3 ∙ {4 − 5y + 2y = − 1
x = 4 − 5y
{ 12 − 15y + 2y = − 1
x = 4 − 5y
Układ równań liniowych
336
{ −13y = − 13
x = 4 − 5y
{ y = 1
x = 4 − 5 ∙ 1
A zatem rozwiązaniem danego układu jest para liczb x = − 1 i y = 1. Jest to jedyne rozwiąza-
nie tego układu.
Przykład 2.Rozwiążemy układ równań
{ 7x + 5y = 1
3x − 2y = − 12
Zauważmy, że w powyższym przykładzie
7 ∙ (−2) − 5 ∙ 3 = − 29 ≠ 0,
więc układ ma jedno rozwiązanie.
W rozwiązaniu zastosujemy metodę przeciwnych współczynników.
Pomnożymy obie strony pierwszego równania przez 2, a drugiego przez 5.
{ 14x + 10y = 2
15x − 10y = − 60
Wynika stąd, że
29x = − 58,
czyli x = − 2.
Wstawiając tę wartość do pierwszego równania układu, otrzymujemy
7 ∙ (−2) + 5y = 1,
skąd y = 3.
Wobec tego rozwiązaniem danego układu jest para liczb x = − 2 i y = 3. Jest to jedyne rozwi-
ązanie tego układu.
Układ równań liniowych
337
2.4.3. Zadania
Poziom trudności: AZadanie 2.4.3.1W punkcie (1, 3) przecinają się wykresy funkcji
a) h(x) = 2x + 1 i k(x) = − x + 4
b) l(x) = 3x i m(x) = 3x + 2
c) f(x) = 1 i g(x) = x + 2
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.4.3.2Proste o równaniach 2x − 3y = 0 i x + y = 5
a) są równoległe i różne
b) mają dokładnie jeden punkt wspólny
c) pokrywają się
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 2.4.3.3Wykresy funkcji f(x) = − 3x − 6, g(x) = ax + 4 i h(x) = 5x + b mają punkt wspólny leżący na osi Ox.
Wynika z tego, że
a) a = − 2
b) b = 10
c) wykresy funkcji g i h pokrywają się
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 2.4.3.4Dane są punkty A = (0, 2), B = (1, − 1), C = (−3, 5), D = (−2, − 2) oraz funkcje określone wzo-
rami f(x) = − 3x + 2, g(x) = 2x + 2, h(x) = − x + 2, k(x) = − 32x +
12 . Wówczas
a) na wykresie funkcji k leżą punkty B i C
b) na wykresie funkcji h leżą punkty B i D
Zadania
338
c) na wykresie funkcji g leżą punkty C i D
d) A jest punktem wspólnym wykresów funkcji f, g i h
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.4.3.5
Aplikacja na epodreczniki.pl
Poziom trudności: AZadanie 2.4.3.6Rysunki przedstawiają interpretację geometryczną układów równań. Przyporządkuj układy
równań odpowiednim rysunkom.
I. { x − 2y = 1
−2x + 4y = 4
II. { x + 2y = 3
3x − y = 2
III. { x + y = 1
2x − y = 2
Zadania
339
a)
b)
Zadania
340
(Pokaż odpowiedź)
c)
d)
Zadania
341
Poziom trudności: AZadanie 2.4.3.7
Dany jest układ równań { 2x + y = − 3
ax + by = 6z niewiadomymi x i y . Wówczas
a) dla a = − 4 i b = − 2 układ ma nieskończenie wiele rozwiązań
b) dla a = 2 i b = 1 układ ma nieskończenie wiele rozwiązań
c) dla a = 1 i b = 2 układ nie ma rozwiązań
d) dla a = 1 i b = 1 układ ma jedno rozwiązanie
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 2.4.3.8
Wyznacz wszystkie wartości a i c, dla których układ równań { ax + y = 5
6x − 2y = cnie ma rozwiązań.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: CZadanie 2.4.3.9
Wyznacz wszystkie wartości m, dla których rozwiązaniem układu równań { x − y = m
2x − 5y = 3m − 1
jest para liczb (x, y), takich że x > 0 i y > 0.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.4.3.10Wykresy funkcji f(x) = − 2x + 4 i g(x) = x + 7 przecinają się w punkcie
a) (−1, 6)
b) (1, 8)
c) (2, 0)
d) (0, 4)
(Pokaż odpowiedź)
Zadania
342
Poziom trudności: AZadanie 2.4.3.11Wskaż układ równań, którego geometryczna interpretacja przedstawiona jest na rysunku.
a) { x + y = − 2
−3x + y = 2
b) { x − y = 2
−3x + y = 2
c) { x + y = − 2
3x + y = 2
d) { x − y = 2
3x + y = 2
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.4.3.12
Rozwiązaniem układu równań { x + y = 5
3x + 2y = 3jest para liczb
a) x = − 8 i y = 13
Zadania
343
b) x = − 7 i y = 12
c) x = − 6 i y = 11
d) x = 2 i y = 3
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.4.3.13Wskaż układ równań, który ma nieskończenie wiele rozwiązań.
a) { x − 2y = 4
x − 4y = 8
b) { x + y = 3
3x + 3y = 6
c) { 3x + 6y = 21
5x + 10y = 35
d) { x + y = 0
x − y = 0
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.4.3.14
Rozwiązaniem układu równań { x + y = − 2
2x − 3y = 0jest para liczb (x, y), takich że
a) x < 0 i y > 0
b) x < 0 i y < 0
c) x > 0 i y < 0
d) x > 0 i y > 0
(Pokaż odpowiedź)
Zadania
344
Poziom trudności: BZadanie 2.4.3.15
Rozwiązaniem układu równań { x + by = − 2
ax − 4y = 3jest para liczb x = 1 i y = 1. Wynika stąd, że
a) a = 7 i b = − 1
b) a = − 1 i b = − 3
c) a = − 1 i b = − 1
d) a = 7 i b = − 3
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 2.4.3.16
Rozwiązaniem układu równań { 5x + 2y = 1
11x + 5y = − 3jest para liczb (x, y), takich że
a) x + y = 0
b) x + y = − 2
c) x + y = − 5
d) x + y = − 9
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 2.4.3.17
Układ równań { 14x − 21y = 63
ax + 6y = − 18z niewiadomymi x i y ma nieskończenie wiele rozwiązań, jeśli
a) a = 31
b) a = − 29
c) a = 1
d) a = − 4
(Pokaż odpowiedź)
Zadania
345
Poziom trudności: AZadanie 2.4.3.18Wyznacz współrzędne punktu, w którym przecinają się wykresy funkcji f i g.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.4.3.19Który układ równań ma dokładnie jedno rozwiązanie?
a) { 119x + 211y = − 73
211x + 119y = 37
b) { x + 2y = 1
x + y = 1
c) { x + y = 0
x − y = 0
d) { x + y = 1
x + y = − 1
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.4.3.20Rozwiąż układ równań i podaj jego interpretację geometryczną.
f(x) = − 4x, g(x) = x + 10a)
f(x) = 2x − 5, g(x) = x − 6b)
f(x) = − x + 4, g(x) = 3x − 8c)
f(x) =13x − 2
3 , g(x) =38x − 5
8d)
{ 4x = − 8
x + 2y = 4
a)
{ 2x − y = 3
17y = 51
b)
Zadania
346
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.4.3.21Rozwiąż układ równań i podaj jego interpretację geometryczną.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.4.3.22Rozwiąż układ równań i podaj jego interpretację geometryczną.
{ x + y = − 3
2x + y = − 1
c)
{ 2x + y = 3
2x − 3y = − 9
d)
{ 2x + y = 2
3x − 2y = − 4
a)
{ 2x + 3y = − 1
4x + 7y = − 3
b)
{ 2x + 3y = − 1
5x + 6y = − 4
c)
{ 3x + 4y = 1
4x + 5y = 2
d)
{ 95x − 57y = 38
−60x + 36y = − 24
a)
{ 119x − 34y = 68
−35x + 10y = − 25
b)
Zadania
347
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 2.4.3.23
Wyznacz wszystkie wartości a, dla których układ równań { ax − y = 5
2x + 3y = − 15ma nieskończenie
wiele rozwiązań.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 2.4.3.24
Rozstrzygnij, czy istnieje liczba b taka, że układ równań { 4x − 2y = 7
3x + by = 10nie ma rozwiązań.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: CZadanie 2.4.3.25
Wyznacz wszystkie wartości c, dla których rozwiązaniem układu równań { x + 2y = c
3x + 7y = 2c − 1jest
para liczb (x, y), takich że x < 0 i y < 0.
(Pokaż odpowiedź)
{ 0,3x − 0,3y = 0,3
−2,5x + 2,5y = 0
c)
{14x − 1
8y = − 18
− 67x +
37y =
37
d)
Zadania
348
Poziom trudności: CZadanie 2.4.3.26
Wyznacz wszystkie wartości m i k, dla których układ równań { x + 3y = m
kx − 12y = − 8ma nieskończenie
wiele rozwiązań.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: CZadanie 2.4.3.27
Wyznacz wszystkie wartości m, dla których rozwiązaniem układu równań { 5x − 2y = m − 3
x + 3y = 2m − 3jest
dokładnie jedna para liczb (x, y), spełniająca warunek y = x + 1.
(Pokaż odpowiedź)
Zadania
349
2.4.4. Zadania generatorowe
Zadania generatorowe
Poziom trudności: AZadanie 2.4.4.1
Rozwiąż układ równań { 2x + 3y = − 4
x − y = 5.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.4.4.2
Aplikacja na epodreczniki.pl
Zadania generatorowe
350
2.5. Zastosowanie funkcji liniowej
2.5.1. Przykłady zastosowania funkcji liniowej. Część I
W zadaniach tekstowych opisywane są zależności między wielkościami niewiadomymi. Analiza
tych zależności powinna doprowadzić do zapisania związków między tymi wielkościami w postaci
równania, nierówności, układu równań bądź układu nierówności. Zadanie uważa się za rozwiąza-
ne, kiedy wyznaczymy wszystkie wartości niewiadomych, spełniające warunki zadania.
W poniższych przykładach będziemy rozwiązywać zadania tekstowe za pomocą równań, nierów-
ności oraz układów równań liniowych.
Przykład 1.Znajdziemy trzy takie liczby, których suma jest równa 85. Pierwsza z tych liczb jest o 7 większa
od drugiej i jest jednocześnie dwa razy mniejsza od trzeciej.
Jeżeli pierwszą z tych liczb oznaczymy przez x, to z treści zadania wynika, że druga jest równa
x – 7, a trzecia jest równa 2x. Ponieważ suma tych trzech liczb jest równa 85, zatem otrzy-
mujemy równanie
x + x − 7 + 2x = 85.
Rozwiązujemy równanie, przekształcając je równoważnie
x + x + 2x = 85 + 7
4x = 92
x = 23
Pierwsza z tych liczb to 23, druga to 16, a trzecia to 46.
Przykład 2.Uczniowie rozwiązywali zadanie, za które można było otrzymać 0, 1 lub 2 punkty. Po ukoń-
czeniu pracy okazało się, że23 uczniów otrzymało 2 punkty, 25% pozostałych otrzymało za
rozwiązanie zadania 1 punkt, a 9 uczniów otrzymało 0 punktów. Obliczmy, ilu uczniów rozwi-
ązywało zadanie.
Oznaczmy przez x liczbę uczniów rozwiązujących zadanie. Wtedy23x to liczba uczniów, którzy
uzyskali za zadanie 2 punkty, a 25%(x − 23x) to liczba uczniów, którzy uzyskali 1 punkt.
Otrzymujemy równanie
23x + 25% ?
13x + 9 = x.
Obliczmy niewiadomą x
Zastosowanie funkcji liniowej
351
x − 23x − 1
4 ?13x = 9
12x − 8x − x = 9 ? 12
3x = 108
x = 36.
Zatem zadanie rozwiązywało 36 uczniów.
.
223 ∙ 36 = 24
1 25%14 ∙ 12 = 3
36 − 24 − 3 = 9
Przykład 3.
Film na epodreczniki.pl
Przykład 4.Wyznaczymy wszystkie pary różnych liczb całkowitych, których suma jest równa 130, a więk-
sza z nich jest mniejsza od 68.
Oznaczmy mniejszą z liczb przez x. Wtedy większa z nich, która jest równa 130 − x, spełnia
dwa warunki
130 − x > x i 130 − x < 68.
Przykłady zastosowania funkcji liniowej. Część I
352
Wynika z tego, że
2x < 130 i x > 130 − 68,
czyli
x < 65 i x > 62.
Stąd x = 63 lub x = 64. Zatem są dwie pary liczb całkowitych spełniających warunki zadania
63 i 67 oraz 64 i 66.
Przykłady zastosowania funkcji liniowej. Część I
353
2.5.2. Przykłady zastosowania funkcji liniowej. Część II
Przykład 1.Wskazówki na tarczy zegara pokazują godzinę 1200. Obliczmy, za ile minut obie wskazówki
zegara utworzą kąt 90 ° .
Ruch po okręgu opisujemy za pomocą prędkości kątowej. Dla zegara prawidłowo odmierza-
jącego czas prędkość wskazówki godzinowej to 30 stopni na godzinę (30 ° / h), a wskazówki
minutowej to 360 stopni na godzinę (360 ° / h).
Oznaczmy przez x czas (w godzinach), po którym wskazówki po raz pierwszy od godziny 1200
utworzyły kąt 90 ° . Zauważmy, że kąt, zakreślony przez wskazówkę minutową jest o 90 °większy niż kąt zakreślony przez wskazówkę godzinową. Wobec tego
30x + 90 = 360x
330x = 90
x =90330h =
311h =
18011 min.
A zatem po raz pierwszy wskazówki utworzą kąt 90 ° po upływie 164
11 minut.
Oznaczmy przez y czas (w godzinach), po którym wskazówki po raz drugi od godziny 1200
utworzyły kąt 90 ° . Zauważmy, że kąt, zakreślony przez wskazówkę minutową jest o 270 °większy, niż kąt zakreślony przez wskazówkę godzinową. Wobec tego
30x + 270 = 360y
po raz pierwszya)
po raz drugib)
Przykłady zastosowania funkcji liniowej. Część II
354
330y = 270
y =270330 h =
911h =
54011 min.
Stąd wniosek, że wskazówki po raz drugi utworzą kąt 90 ° po upływie 491
11 minuty.
Przykład 2.Na szkolną akademię z okazji Święta Niepodległości przyszło 520 uczniów. Można było usiąść
na krześle lub w czteroosobowej ławce. Uczniowie zajęli w sumie 164 krzesła i ławki. Uczniów,
którzy zajęli miejsca siedzące było 7 razy więcej niż pozostałych. Ustalimy, ile krzeseł było za-
jętych.
Obliczymy najpierw, ilu uczniów zajęło miejsca siedzące. Z treści zadania wynika, że było to78 ? 520, czyli 455 osób.
Oznaczmy przez x liczbę zajętych krzeseł, a przez y – liczbę zajętych ławek.
Wówczas
{ x + y = 164
x + 4y = 455,
skąd
{ x = 164 − y
{164 − y + 4y = 455
Przykłady zastosowania funkcji liniowej. Część II
355
{ x = 164 − y
−y + 4y = 455 − 164
{ x = 164 − y
3y = 291
{ x = 164 − y
y = 97
{ x = 164 − 97
y = 97.
Wobec tego x = 67, czyli podczas akademii było zajętych 67 krzeseł. .
Przykład 3.Dwie maszyny tłoczą detale tego samego typu. W poniedziałek pierwsza maszyna pracowała
10 godzin, a druga 8 godzin i razem maszyny wyprodukowały 1940 detali. We wtorek pierw-
sza maszyna pracowała 3 godziny, a druga 5 godzin i razem wyprodukowały 894 takie detale.
Ustalimy, ile godzin potrzebuje oddzielnie każda z maszyn, aby wyprodukować 5880 detali.
Oznaczmy:
x – liczba detali produkowanych przez pierwszą maszynę w ciągu godziny,
y – liczba detali produkowanych przez drugą maszynę w ciągu godziny.
Otrzymujemy układ równań
{ 10x + 8y = 1940
3x + 5y = 894.
Zatem
{ 50x + 40y = 9700
−24x − 40y = − 7152,
skąd
26x = 2548.
Czyli
x = 98, y = 120.
Przykłady zastosowania funkcji liniowej. Część II
356
Stąd wniosek, że pierwsza maszyna wykona 5880 detali w ciągu 60 godzin, a druga – w ciągu
49 godzin.
Przykład 4.
Film na epodreczniki.pl
W pierwszej probówce znajduje się dwudziestoprocentowy roztwór wodny soli, w drugiej –
roztwór wodny soli o stężeniu piętnastu procent. Do trzeciej, początkowo pustej probówki,
przelano pewną ilość mililitrów pierwszego roztworu, po czym dolano tyle mililitrów drugie-
go, że w trzeciej probówce otrzymano roztwór o stężeniu 18%. Oblicz o ile procent więcej
wykorzystano roztworu dwudziestoprocentowego, niż piętnastoprocentowego.
Opis wszystkich wielkości ujętych w zadaniu prezentujemy w poniższej tabeli.
Odlane z pierwszego
naczynia
Odlane z drugiego
naczynia
Razem w trzecim naczy-
niu
Ilość roz-
tworu x y x + y
Ilość soli 20%x 15%y 20%x + 15%y = 18%(x + y)
Rozwiązujemy równanie
20%x + 15%y = 18%(x + y)
0,2x + 0,15y = 0,18x + 0,18y
Przykłady zastosowania funkcji liniowej. Część II
357
0,02x = 0,03y
x = 1,5y
Co możemy zapisać x = 150%y = y + 50%y.
Oznacza to, że aby otrzymać roztwór o stężeniu 18% należy użyć o 50% więcej roztworu dwu-
dziestoprocentowego, niż piętnastoprocentowego.
Przykład 5.
Film na epodreczniki.pl
Ala spytała starszą koleżankę Olę: „Ile masz lat, Olu?”. Ola odpowiedziała: „Gdy ty będziesz w
moim wieku, mój ojciec będzie od ciebie 3 razy starszy. Gdy ja byłam w twoim wieku, mieli-
śmy razem z moim ojcem 52 lata, a twój wiek stanowił dwie trzecie mojego.” Obliczymy, ile
lat ma Ola.
Oznaczmy:
• y – aktualny wiek Ali,
• x – aktualny wiek Oli.
W poniższej tabelce opisujemy fakty podane w treści zadania.
Przykłady zastosowania funkcji liniowej. Część II
358
gdy Ola była
w wieku Aliteraz
gdy Ala będzie
w wieku Oli
wiek Ali 23y y x
wiek Oli y x
wiek ojca Oli 52 − y 3x
Zauważmy, że y − 23y = x − y, czyli x =
43y.
Ponownie wypełniamy tabelkę.
gdy Ola była
w wieku Aliteraz
gdy Ala będzie
w wieku Oli
wiek Ali 23y y x =
43y
wiek Oli y x =43y
53y
wiek ojca Oli 52 − y =113 y − 1
3y =103 y 4y − 1
3y =113 y 3x = 4y
Mamy w tabelce komórkę z równaniem 52 − y =103 y, skąd y = 12. To znaczy, że x = 16, czyli
Ola ma 16 lat.
Przykład 6.Znajdziemy wszystkie liczby czterocyfrowe, które po skreśleniu ostatniej cyfry zmniejszają się
o 1269.
Oznaczmy:
• x cyfra jedności szukanej liczby czterocyfrowej,
• y liczba trzycyfrowa, która powstaje po skreśleniu ostatniej cyfry szukanej liczby cztero-
cyfrowej.
Wtedy liczba czterocyfrowa to 10y + x.
Zapisujemy równanie
10y + x = y + 1269,
skąd
9y + x = 1269.
Zauważmy, że:
• liczba x może przyjmować jedną z wartości: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,
• liczba 1269 – x jest podzielna przez 9.
Przykłady zastosowania funkcji liniowej. Część II
359
Ponieważ 1269 = 9 ∙ 141, x to możliwe
x = 0 x = 9
• x = 0, y = 141 szukaną liczbą czterocyfrow 1410.
• x = 9, y = 140, szukaną liczbą czterocyfrowa 1409.
Przykład 7.Ustalimy, ile jest liczb trzycyfrowych, które mają następującą własność: jeżeli pomiędzy cyfrę
jedności a cyfrę dziesiątek tej liczby wpiszemy znak mnożenia, to po wykonaniu mnożenia
otrzymamy liczbę o 35 mniejszą od danej liczby trzycyfrowej.
Dla szukanej liczby trzycyfrowej wprowadzamy następujące oznaczenia:
• x cyfra jedności,
• y liczba dwucyfrowa otrzymana po skreśleniu cyfry jedności.
Wtedy dana liczba trzycyfrowa to 10y + x, a iloczyn, o którym mowa w treści zadania to y ? x.
Otrzymujemy równanie
10y + x = xy + 35,
skąd
10y + x − xy = 35
y(10 − x) + x = 35.
Jeżeli teraz od obu stron równania odejmiemy 10, to lewą stronę będziemy mogli zapisać w
postaci iloczynu dwóch liczb całkowitych.
y(10 − x)x + x − 10 = 35 − 10
y(10 − x) − (10 − x) = 25
(y − 1)(10 − x) = 25.
Ponieważ liczba y jest dwucyfrowa, to liczba y − 1 jest dodatnia, a skoro iloczyn (y − 1)(10 − x)jest równy 25, to liczba 10 − x jest również dodatnia. Obie liczby y − 1 i 10 − x są zatem całko-
witymi i dodatnimi dzielnikami liczby 25.
Zauważmy, że liczba x może przyjmować jedną z wartości: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Liczba 10 − x jest dzielnikiem liczby 25 w dwóch przypadkach:
W pierwszym przypadku liczba y nie jest dwucyfrowa (y = 6), czyli warunki zadania nie są
spełnione.
x = 5, wtedy 10 − x = 5 oraz y − 1 =255 = 5,a)
x = 9, wtedy 10 − x = 1 oraz y − 1 = 25.b)
Przykłady zastosowania funkcji liniowej. Część II
360
W drugim przypadku y = 26, skąd wniosek, że jedyną liczbą trzycyfrową o zadanych własno-
ściach jest 269.
Przykłady zastosowania funkcji liniowej. Część II
361
2.5.3. Zadania. Część I
Poziom trudności: AZadanie 2.5.3.1W koszyku znajdują się owoce: jabłka, gruszki i brzoskwinie, razem jest ich 18. Brzoskwiń jest
dwa razy mniej niż jabłek, ale o dwie więcej niż gruszek. Oblicz, ile jest w tym koszyku każdego
rodzaju owoców.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.5.3.2Magda brała udział w szkolnej akcji „Góra złota”. Przekazała na ten cel 135 monet, wśród któ-
rych były tylko monety jednogroszowe, dwugroszowe i pięciogroszowe. Przy czym monet jed-
nogroszowych było dwa razy mniej niż dwugroszowych. Cała kwota przekazana w ten sposób
przez dziewczynkę to 2 zł 65 gr. Ile monet pięciogroszowych zebrała Magda?
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.5.3.3Pewna liczba dwucyfrowa ma następujące własności
cyfra dziesiątek tej liczby jest o 1 większa od cyfry jedności,
jeżeli tę liczbę podzielimy przez sumę jej cyfr, to w wyniku otrzymamy 6 i resztę 1.
Jaka jest suma cyfr tej liczby?
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.5.3.4Testowana jest nowa, automatyczna linia technologiczna do produkcji pewnego detalu. Auto-
maty, które są do niej włączone, mogą pracować na dwóch różnych poziomach wydajności.
Uruchomiono 48 automatów, które, pracując na pierwszym poziomie wydajności, miały przez
21 godzin wyprodukować ustaloną partię detali. Po 9 godzinach 3 automaty wyłączono, a po-
zostałe przełączono na drugi poziom wydajności, zwiększając ją w ten sposób o 28%. Po ilu go-
dzinach pracy przy zwiększonej wydajności wyprodukowano ustaloną partię detali?
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.5.3.5Suma jedenastu kolejnych liczb naturalnych jest równa 176. Która z tych liczb jest największa?
(Pokaż odpowiedź)
Zadania. Część I
362
Poziom trudności: AZadanie 2.5.3.6Szkolne koło sportowe zorganizowało konkursowe zawody w rzutach do kosza z odległości 7,5
metra. Każdy zawodnik oddawał 10 rzutów. Za celny rzut przyznawano 8 punktów, a za każdy
rzut niecelny odbierano 3 punkty. Czy można było w ten sposób uzyskać
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.5.3.7Zmieszano 3 kg cukierków czekoladowych i 5 kg cukierków toffi. Za kilogram mieszanki trzeba
zapłacić 9,50 zł. Gdyby zmieszać 5 kg takich cukierków czekoladowych i 3 kg cukierków toffi, to
jeden kilogram mieszanki kosztowałby 10,50 zł. Ile kosztuje kilogram mieszanki otrzymanej z
3 kg cukierków czekoladowych i 2 kg cukierków toffi?
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 2.5.3.8Na tarczy zegara wskazówki minutowa i godzinowa
a) w ciągu doby tworzą kąt prosty (tak jest np. o godzinie 9.00) 24 razy
b) w ciągu doby tworzą kąt półpełny (tak jest np. o godzinie 6.00) 12 razy
c) w ciągu doby spotykają się (tak jest np. o godzinie 12.00) 22 razy
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.5.3.9Zapis dziesiętny pierwszej liczby sześciocyfrowej zaczyna się z lewej strony cyfrą 4. Jeżeli tę cy-
frę przestawimy na ostatnie miejsce zapisu dziesiętnego, to otrzymamy drugą liczbę sześciocy-
frową, która jest cztery razy mniejsza od pierwszej liczby. Znajdź te liczby.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.5.3.10Mateusz mówi do Piotra: „Mam 3 razy więcej lat niż ty miałeś, kiedy ja miałem tyle lat, ile ty
masz teraz. Kiedy osiągniesz mój wiek, będziemy mieli łącznie 112 lat. Ile lat ma obecnie Mate-
usz, a ile Piotr?
(Pokaż odpowiedź)
47 punktów,a)
63 punkty?b)
Zadania. Część I
363
Poziom trudności: AZadanie 2.5.3.11Małgosia ma zbiór 434 znaczków pocztowych. W tym zbiorze jest 6 razy więcej znaczków pol-
skich niż zagranicznych. Ile znaczków zagranicznych ma Małgosia?
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.5.3.12Suma trzech liczb jest równa 90. Znajdź te liczby, jeżeli druga jest 2 razy większa od pierwszej,
ale o 5 mniejsza od trzeciej.
(Pokaż odpowiedź)
Zadania. Część I
364
2.5.4. Zadania. Część II
Poziom trudności: BZadanie 2.5.4.1Cztery liczby całkowite pozostają w stosunku 5:7:11:26. Suma dwóch skrajnych liczb jest równa
713. Jakie to liczby?
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 2.5.4.2Suma siedemnastu kolejnych liczb naturalnych jest równa 544. Znajdź dziewiątą z tych liczb.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 2.5.4.3Z miejscowości A i B oddalonych od siebie o 90 km wyjechali w tym samym momencie naprze-
ciw siebie dwaj rowerzyści. Rowerzysta jadący z A do B jechał ze średnią prędkością o 25% więk-
szą niż średnia prędkość drugiego rowerzysty. Po dwóch godzinach jazdy rowerzyści spotkali
się w miejscowości C. O ile kilometrów oddalone są od siebie miejscowości A i C?
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 2.5.4.4Suma cyfr pewnej liczby dwucyfrowej jest równa 11. Po zamianie cyfr miejscami otrzymujemy
liczbę większą od danej. Znajdź wszystkie liczby dwucyfrowe o tej własności.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 2.5.4.5
W sobotę o 900 grupa znajomych wyjechała na wycieczkę rowerową z Piotrkowa do Inowłodza.
Mieli do pokonania 54 km. Jeden z uczestników spóźnił się i z miejsca zbiórki wyjechał o 920.
Z jaką średnią prędkością musi jechać ten spóźnialski, żeby dogonić grupę zanim dojedzie do
Inowłodza, jeśli grupa jedzie ze średnią prędkością 18 km / h?
(Pokaż odpowiedź)
Zadania. Część II
365
Poziom trudności: BZadanie 2.5.4.6Cyfrą dziesiątek pewnej liczby trzycyfrowej jest 5, a suma wszystkich jej cyfr jest równa 17. Jeżeli
cyfry setek i dziesiątek zamienimy miejscami, to otrzymamy liczbę o 90 większą od danej liczby.
Znajdź tę liczbę trzycyfrową.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: CZadanie 2.5.4.7Dwaj bracia Janek i Franek zaplanowali, że w sobotę odwiedzą babcię. Babcia chłopców miesz-
ka w odległości 20 km od ich domu. Janek wyszedł z domu o godzinie 600 i szedł do babci z
prędkością 5 km / h. Franek wyjechał z domu do babci o 748 na rowerze i dogonił Janka po 36
minutach jazdy. Obaj chłopcy kontynuowali podróż, nie zmieniając prędkości. O której godzinie
Franek przyjechał do babci?
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.5.4.8Kwotę 970 zł wypłacono banknotami o nominałach 20 zł, 50 zł i 100 zł. Ile było banknotów każ-
dej wartości, jeżeli banknotów stuzłotowych było 2 razy więcej niż pięćdziesiątek, a dwudzie-
stek o 2 więcej niż pięćdziesiątek i setek razem?
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 2.5.4.9Jeśli do pewnej liczby trzycyfrowej dopiszemy na końcu cyfrę 9, to otrzymamy liczbę o 4257
większą od danej. Jaka to liczba?
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 2.5.4.10Ile wody trzeba odparować z 3 kg wodnego roztworu soli kuchennej o stężeniu 5%, żeby otrzy-
mać roztwór o stężeniu 12%?
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 2.5.4.11Bilet na pewne przedstawienie kosztował odpowiednio 20 zł dla dorosłych i 12 zł dla dzieci. Po
potrąceniu 18% kwoty uzyskanej ze sprzedaży biletów na koszty związane z wynajęciem sali,
Zadania. Część II
366
organizatorzy uzyskali 2624 zł dochodu. Ilu dorosłych i ile dzieci było na tym przedstawieniu,
jeżeli wiadomo, że sprzedano 222 bilety?
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 2.5.4.12Osiemnaście lat temu dziadek Marka był trzy razy starszy od taty Marka, a obecnie dziadek jest
dwa razy starszy od taty Marka. Ile lat ma dziadek Marka, a ile jego tata?
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 2.5.4.13Ile gramów złota próby 0,680 należy stopić z 10 g złota próby 0,960, aby otrzymać złoto próby
0,750?
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 2.5.4.14W pierwszym naczyniu znajduje się 12% roztwór wodny soli, w drugim – roztwór wodny soli
o stężeniu 16%. Do trzeciego, początkowo pustego naczynia przelano pewną ilość roztworu z
pierwszego naczynia, po czym dolano tyle roztworu z drugiego naczynia, że w trzecim naczyniu
otrzymano 4 kg roztworu o stężeniu 15%. Ile kg roztworu z drugiego naczynia dolano do trze-
ciego naczynia?
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 2.5.4.15W zakładzie poligraficznym do produkcji kopert bąbelkowych używane są dwa różne automaty,
które przez 10 minut pracy wytwarzają razem 2700 kopert. Gdyby pierwszy automat pracował
przez 12 minut, a drugi przez 15 minut, to wyprodukowałyby tę samą liczbę kopert. Ile czasu
potrzebuje każdy z tych automatów, żeby wyprodukować 600 kopert?
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 2.5.4.16Znajdź wszystkie liczby trzycyfrowe, które po skreśleniu ostatniej cyfry zmniejszają się o 650.
(Pokaż odpowiedź)
Zadania. Część II
367
Rozdział 3. Trygonometria
3.1. Podobieństwo trójkątów prostokątnych
3.1.1. Wprowadzenie do trygonometrii
Przypomnijmy, że trójkąty są podobne, jeśli wszystkie ich odpowiednie kąty są równe (cecha kąt-
kąt-kąt).
Film na epodreczniki.pl
Trygonometria
368
Korzystając z cechy podobieństwa kąt-kąt-kąt, możemy sprawdzić, czy dwa trójkąty prostokątne
są podobne, gdy w każdym z nich znamy miarę jednego z kątów ostrych.
Film na epodreczniki.pl
Przykład 1.W trójkącie prostokątnym ABC kąt przy wierzchołku C jest prosty, a miara kąta ABC jest rów-
na 35 ° . W trójkącie prostokątnym KLM kąt przy wierzchołku K jest prosty, a miara kąta KLM
jest równa 55 ° .
A zatem
| ?ACB | = | ?LKM | = 90 ° , | ?ABC | = | ?KML | = 35 ° , | ?BAC | = | ?KLM | = 55 ° .
Trójkąty ABC i KLM są więc podobne, co stwierdzamy, powołując się na cechę podobieństwa
kąt-kąt-kąt.
Wprowadzenie do trygonometrii
369
W trójkątach podobnych pary odpowiednich boków są proporcjonalne – boki trójkątów ABC
i KLM spełniają więc zależność
| AB || LM |
=| BC || KM |
=| AC || KL |
.
Wynika z tego, że każdy stosunek długości dwóch boków w trójkącie ABC jest równy stosun-
kowi długości odpowiednich boków w trójkącie KLM, np.
| AB || BC |
=| LM || KM |
,| AC || BC |
=| KL || KM |
,| AC || AB |
=| KL || LM |
.
Przykład 2.Rozpatrzmy trójkąt prostokątny ABC, którego przyprostokątne AC i BC są równe 1.
Ponieważ trójkąt ten jest równoramienny, to miary jego kątów ostrych ABC i CAB są równe
45 ° .
Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy długość przeciwprostokątnej AB tego trójkąta.
| AB |2
= | AC |2
+ | BC |2
| AB |2
= 12 + 12.
Ponieważ | AB | > 0, stąd
| AB | = √2.
Wprowadzenie do trygonometrii
370
Wówczas| AC || BC |
= 1,| AC || AB |
=1
√2 , czyli| AC || AB |
= √22 , a także
| BC || AB |
= √22 .
Każdy równoramienny trójkąt prostokątny jest podobny do trójkąta ABC, co stwierdzamy na
mocy cechy podobieństwa kąt-kąt-kąt. Zatem w każdym trójkącie prostokątnym, którego je-
den z kątów ostrych jest równy 45 ° , stosunek dowolnie wybranej przyprostokątnej do prze-
ciwprostokątnej jest równy √22 .
Przykład 3.Pokażemy, że trójkąt prostokątny, w którym stosunek jednej z przyprostokątnych do prze-
ciwprostokątnej jest równy √22 , jest trójkątem, w którym oba kąty ostre są równe 45 ° .
Oznaczając długość przeciwprostokątnej tego trójkąta przez x, gdzie x > 0, zauważmy, że jed-
na z jego przyprostokątnych ma długość √22 x, a zatem (na podstawie twierdzenia Pitagorasa)
druga przyprostokątna ma długość √x2 − (√22 x)
2= √2
2 x. Wobec tego dany trójkąt prostokątny
jest równoramienny, więc każdy z jego kątów ostrych ma miarę 45 ° .
Wprowadzenie do trygonometrii
371
Przykład 4.Rozpatrzmy trójkąt prostokątny ABC, którego przyprostokątna AC jest równa 1, a przeciw-
prostokątna AB jest równa 2. Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy | BC | = √3.
Na prostej AC wybierzmy teraz punkt D symetryczny do punktu A względem punktu C. Wtedy
| AD | = 2, | DB | = | AB | ,
bo odcinki AB i DB są symetryczne względem prostej BC. Wobec tego trójkąt ABD jest rów-
noboczny, a BC to jego wysokość poprowadzona do boku AD.
Wynika z tego, że w trójkącie ABC kąt ostry leżący naprzeciwko przyprostokątnej AC ma mia-
rę 30 ° , a kąt ostry leżący naprzeciwko przyprostokątnej BC ma miarę 60 ° .
Wprowadzenie do trygonometrii
372
Przykład 5.Rozpatrzmy trójkąt prostokątny ABC, którego przyprostokątna BC jest równa 9, a przeciw-
prostokątna AB jest równa 15.
Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy | AC | = 12.
Wybierzmy na półprostej CB takie punkty D i E, że | CD | = 12 i | CE | = 4√3.
Wtedy:
• w trójkącie ACD jest | AC | = | CD | , więc kąt DAC ma miarę 45 ° .
• w trójkącie ACE jest| CE || AC |
= √33 , a zatem kąt EAC ma miarę 30 ° .
Wprowadzenie do trygonometrii
373
Zatem kąt ostry BAC w trójkącie ABC ma miarę większą niż 30 ° i mniejszą niż 45 ° .
Za pomocą kątomierza, można zmierzyć na rysunku, że kąt ten ma miarę około 39 ° .
Przykład 6.Każdy trójkąt prostokątny, którego kąty ostre mają miary 30 ° , 60 ° jest podobny do trójkąta
ABC, opisanego w poprzednim przykładzie. Wobec tego w każdym takim trójkącie prostokąt-
nym:
• stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta 30 ° do przeciwprostokąt-
nej jest równy12 ,
• stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy kącie 30 ° do przeciwprostokątnej jest
równy √32 ,
• stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta 30 ° do drugiej przyprosto-
kątnej jest równy1
√3 , czyli √33 .
Wynika z tego również, że:
• w każdym trójkącie prostokątnym, w którym jedna z przyprostokątnych jest dwa razy
krótsza od przeciwprostokątnej, kąt ostry leżący naprzeciw tej przyprostokątnej jest
równy 30 ° ,
• w każdym trójkącie prostokątnym, w którym stosunek długości jednej z przyprostokąt-
nych do długości przeciwprostokątnej jest równy √32 , kąt ostry leżący naprzeciw tej przy-
prostokątnej jest równy 60 ° ,
• w każdym trójkącie prostokątnym, w którym stosunek długości jednej z przyprostokąt-
nych do długości drugiej przyprostokątnej jest równy √3, kąt ostry leżący naprzeciw
krótszej przyprostokątnej jest równy 30 ° .
Wprowadzenie do trygonometrii
374
3.1.2. Sinus, cosinus i tangens kąta ostrego
Definicja: Sinus, cosinus i tangens kąta ostregow trójkącie prostokątnym
Załóżmy, że w trójkącie prostokątnym jeden z kątów ostrych ma miarę α. Wprowa-
dzimy nazwy stosunków długości boków tego trójkąta.
• Sinusem kąta ostrego α (w skrócie sinα) nazywamy stosunek długości przypro-
stokątnej leżącej naprzeciw kąta α do długości przeciwprostokątnej.
• Cosinusem kąta ostrego α (w skrócie cosα) nazywamy stosunek długości przy-
prostokątnej leżącej przy kącie α do długości przeciwprostokątnej.
• Tangensem kąta ostrego α (w skrócie tgα) nazywamy stosunek długości przy-
prostokątnej leżącej naprzeciw kąta α do długości przyprostokątnej leżącej
przy kącie α.
Aplikacja na epodreczniki.pl
Korzystając z oznaczeń na rysunku, zapisujemy
sinα =ac , cosα =
bc , tgα =
ab .
Sinus, cosinus i tangens kąta ostrego
375
Powyższe zależności nazywa się funkcjami trygonometrycznymi kąta ostrego
α.
Przykład 1.
Film na epodreczniki.pl
Sinus, cosinus i tangens kąta ostrego
376
Film na epodreczniki.pl
Uwaga
Bezpośrednio z definicji wynika, że dla dowolnego kąta ostrego α
sinα > 0 , cosα > 0.
Ponadto, w każdym trójkącie prostokątnym najdłuższym bokiem jest przeciwprostokątna,
zatem dla dowolnego kąta ostrego α
sinα < 1 , cosα < 1.
Twierdzenie: 1
Dla dowolnego kąta ostrego α prawdziwe są nierówności:
0 < sinα < 1
0 < cosα < 1.
Sinus, cosinus i tangens kąta ostrego
377
Uwaga
Jeżeli jeden z kątów ostrych trójkąta prostokątnego ma miarę α, to drugi kąt ostry w tym trój-
kącie ma miarę 90 ° − α. Korzystając z definicji funkcji trygonometrycznych, zapisujemy
sin(90 ° − α) =bc
cos(90 ° − α) =ac
tg(90 ° − α) =ba .
Sinus, cosinus i tangens kąta ostrego
378
Twierdzenie: 2
Dla dowolnego kąta ostrego α prawdziwe są równości
cos(90 ° − α) = sinα
sin(90 ° − α) = cosα
tg(90 ° − α) =1
tgα .
Film na epodreczniki.pl
Sinus, cosinus i tangens kąta ostrego
379
Film na epodreczniki.pl
Film na epodreczniki.pl
Sinus, cosinus i tangens kąta ostrego
380
Film na epodreczniki.pl
Sinus, cosinus i tangens kąta ostrego
381
3.1.3. Przykłady
Przykład 1.Na podstawie spostrzeżeń poczynionych w poprzednich przykładach, uzupełnimy tabelkę,
wpisując wartości sinusa, cosinusa i tangensa kątów: 30 ° , 45 ° , 60 ° .
α 30 ° 45 ° 60 °
sinα 12
√22
√32
cosα √32
√22
12
tgα √33 1 √3
Przykład 2.Trójkąt na rysunku jest prostokątny.
Dla tego trójkąta zachodzą następujące związki trygonometryczne:
sinα =8
17 , cosα =1517 , tgα =
815
oraz
sin(90 ° − α) =1517 , cos(90 ° − α) =
817 , tg(90 ° − α) =
158 .
Przykład 3.W trójkącie prostokątnym jeden z kątów ostrych ma miarę α, przyprostokątna leżąca naprze-
ciw tego kąta ma długość 5, a druga przyprostokątna ma długość 4. Wtedy
tgα =54 .
Przykłady
382
Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy długość przeciwprostokątnej c tego trójkąta
c2 = 42 + 52.
Ponieważ c > 0, stąd
c = √41.
Zatem
sinα =5
√41 , cosα =4
√41 ,
czyli
sinα =5√41
41 , cosα =4√41
41 .
Przykład 4.Obliczymy wartość wyrażenia
2sin42 ° + 3cos48 °5cos48 ° − 4sin42 ° .
Zauważmy, że
42 ° + 48 ° = 90 ° .
Wobec tego
cos48 ° = cos(90 ° − 42 ° ) = sin42 ° ,
a zatem
2sin42 ° + 3cos48 °5cos48 ° − 4sin42 ° =
2sin42 ° + 3sin42 °5sin42 ° − 4sin42 ° =
5sin42 °sin42 ° = 5.
Przykłady
383
Przykład 5.
Kąt α jest ostry i sinα =23 . Znajdziemy wartości cosα i tgα.
Wystarczy w tym celu rozpatrzyć dowolny trójkąt prostokątny, w którym stosunek długości
jednej z przyprostokątnych do długości przeciwprostokątnej jest równy23 . Najprostszym
przykładem jest trójkąt o przeciwprostokątnej długości 3 i jednej z przyprostokątnych długo-
ści 2. Kąt α leży wtedy naprzeciwko tej przyprostokątnej.
Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, obliczamy długość b drugiej przyprostokątnej
22 + b2 = 32.
Ponieważ b > 0, stąd
b = √5.
Zatem
cosα = √53 , tgα =
2
√5 ,
czyli
tgα =2√5
5 .
Przykłady
384
Przykład 6.
Wykażemy, że jeżeli kąt α jest ostry i cosα =25 , to α > 60 ° .
Rozpatrzmy trójkąt prostokątny ABC, w którym | AC | = 2 i | AB | = 5. Wtedy
cos(?BAC) =25 , co oznacza, że miary kątów | ?BAC | i α są równe.
Wybierzmy na przyprostokątnej BC taki punkt D, że | AD | = 4.
Wówczas cos(?DAC) =24 , czyli cos(?DAC) =
12 , więc | ?DAC | = 60 ° . Ponieważ
| ?DAC | < | ?BAC | , to 60 ° < α. Koniec dowodu.
Uwaga. Zestaw wzorów, przygotowany dla potrzeb egzaminu maturalnego z matematyki,
Przykłady
385
zawiera tablicę wartości funkcji trygonometrycznych. Można z niej odczytać, że
cos68 ° ≈ 0,4040 i cos69 ° ≈ 0,3839. Wynika stąd, że kąt ostry α, dla którego cosα = 0,4, jest
kątem z przedziału (68 ° , 69 ° ).
Przykłady
386
3.1.4. Zadania. Część I
Poziom trudności: AZadanie 3.1.4.1Na rysunku zaznaczono długości boków trójkąta prostokątnego. Jeden z kątów ostrych tego
trójkąta ma miarę α.
Wówczas
a) 13cosα = 12
b) tgα > 1
c) sinα =5
13
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 3.1.4.2Jeżeli α = 30 ° i β = 45 ° , to
a) cosα ? cosβ = √64
b) √3 ? tgα = tgβ
c) sinα + sinβ =34
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 3.1.4.3W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości 4 i 7, a mniejszy z kątów ostrych ma
miarę α. Wówczas
a) cos(90 ° − α) =4
11
b) tg(90 ° − α) < 2
Zadania. Część I
387
c) cosα =7
√65
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 3.1.4.4Jeżeli α = 49 ° , to
a) sinα >12
b) cosα > √22
c) tgα > 1
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 3.1.4.5Prawdziwa jest równość
a) sin12 ° = cos78 °
b) tg65 ° ? tg25 ° = 1
c) cos51 ° = sin59 °
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 3.1.4.6Kąt α jest ostry oraz sinα = 0,1. Wówczas
a) tgα <1
11
b) tgα ? cosα < 0,1
c) cosα > 0,9
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 3.1.4.7Kąt α jest ostry oraz cosα = sin38 ° . Wynika z tego, że
a) α > 60 °
b) tgα > 1
Zadania. Część I
388
c) sinα = cos38 °
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 3.1.4.8W trójkącie prostokątnym kąty ostre α i β spełniają zależność α = 4β. Wówczas
a) cosα + sinβ < 1
b) sinα ? cosβ + cosα ? sinβ = 1
c) sinα > tgβ
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 3.1.4.9W trójkącie równoramiennym ABC podstawa AB ma długość 30, a każde z ramion ma długość
25. Oznaczmy miary kątów ABC i ACB odpowiednio przez α i 2β. Wtedy
a) sinβ = 0,96
b) tgα · tgβ = 1
c) cosα = 0,6
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 3.1.4.10W trapezie prostokątnym ABCD o podstawach AB i CD kąty przy wierzchołkach A i D są proste.
Bok AD jest dwa razy dłuższy od boku CD i trzy razy krótszy od boku AB. Wtedy
a) miara kąta ostrego tego trapezu jest równa 45 °
b) kąt rozwarty tego trapezu ma miarę mniejszą od 150 °
c) tangens kąta ostrego tego trapezu jest równy25
(Pokaż odpowiedź)
Zadania. Część I
389
Poziom trudności: AZadanie 3.1.4.11Na rysunku podano długości boków i zaznaczono kąt ostry α trójkąta prostokątnego.
Wtedy
a) tgα =158
b) tgα =8
15
c) tgα =1517
d) tgα =8
17
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 3.1.4.12Na rysunku podano długości dwóch boków i zaznaczono kąt ostry trójkąta prostokątnego.
Wtedy
a) sin (90 ° − α) =23
Zadania. Część I
390
b) sin (90 ° − α) =34
c) sin (90 ° − α) =45
d) sin (90 ° − α) =35
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 3.1.4.13Na rysunku podane są długości przyprostokątnych trójkąta prostokątnego, którego jeden z
kątów ostrych jest równy α.
Wówczas
a) sinα =3
2√5
b) sinα = √53
c) sinα =23
d) sinα =2√5
5
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 3.1.4.14
Liczba √2 ∙ tg60 ° + √3 cos45 °sin30 ° jest równa
a)2√2 + 3√3
3
b) 3√6
c) 6√3
Zadania. Część I
391
d)3√2 + 2√3
2
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 3.1.4.15
Kąt α jest ostry i tgα =23 . Wtedy
a) α < 60 °
b) α = 60 °
c) α = 45 °
d) α < 45 °
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 3.1.4.16
W trójkącie prostokątnym dane są kąty ostre α = 28 ° i β = 62 ° . Wtedycosα + sinβ
sinβ − 3cosα równa się
a) – 1
b) 1
c) – 2
d) 2
(Pokaż odpowiedź)
Zadania. Część I
392
3.1.5. Zadania. Część II
Poziom trudności: AZadanie 3.1.5.1Na rysunku podane są długości boków trójkąta równoramiennego, którego kąt przy podstawie
jest równy α.
Wtedy
a) sinα =2√2
3
b) sinα =23
c) sinα = √23
d) sinα =13
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 3.1.5.2Długość boku rombu jest równa 7. Pole rombu jest równe 28. Wówczas cosinus kąta ostrego
tego rombu jest równy
a)7
√65
b) √337
c)47
d)4
√65
(Pokaż odpowiedź)
Zadania. Część II
393
Poziom trudności: BZadanie 3.1.5.3W trapezie ABCD, o podstawach AB i CD, dane są długości boków | AB | = 12 i
| AD | = | BC | = | CD | = 6. Wynika z tego, że sinus kąta BAC jest równy
a)12
b) √32
c) √33
d)13
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 3.1.5.4Wskaż liczbę równą 1.
a) tg40 ° · sin50 ° · cos50 °
b) tg40 ° · tg50 °
c) tg40 ° · cos50 °
d) tg40 ° · sin50 °
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 3.1.5.5
O kątach ostrych: α, β, γ wiadomo, że: tgα =32 , cosβ =
910 , sinγ =
78 . Wynika z tego, że
a) β > α > γ
b) β > γ > α
c) γ > α > β
d) α > β > γ
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 3.1.5.6Podaj sinus, cosinus i tangens kąta ostrego α.
Zadania. Część II
394
a)
b)
c)
Zadania. Część II
395
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 3.1.5.7Dane są długości przyprostokątnych a i b trójkąta prostokątnego. Oblicz sinus, cosinus i tan-
gens kąta ostrego α, leżącego naprzeciw przyprostokątnej a, jeżeli
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 3.1.5.8W trójkącie prostokątnym dana jest długość przyprostokątnej a i długość przeciwprostokątnej
c. Oblicz sinus, cosinus i tangens kąta ostrego β, leżącego przy przyprostokątnej a, jeśli
(Pokaż odpowiedź)
d)
a = 1, b = 7a)
a = √7, b = 3b)
a = 3, b = 6√2c)
a = √41, b = 2d)
a = 1, c = 7a)
a = √7, c = 5b)
a = 3, c = 2√5c)
a = 7, c = √74d)
Zadania. Część II
396
Poziom trudności: AZadanie 3.1.5.9Oblicz.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 3.1.5.10Wykaż, że
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 3.1.5.11Oblicz.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 3.1.5.12Wykaż, że
(Pokaż odpowiedź)
(sin30 ° + sin60 ° )2
− 2sin 60 ° ∙ cos 30 °a)
(sin60 ° ∙ tg30 ° + cos30 ° )2
− sin 60 °b)
(tg30 ° + tg60 ° ) ∙ sin30 ° ∙ sin60 °c)
16 ∙ (sin 30 ° + sin245 ° + sin4 60 ° ) = 25a)
8 ∙ (cos230 ° ∙ cos245 ° + cos60 ° ) = 7b)
tg30 ° ∙ tg45 ° ∙ tg60 ° = 1c)
5 cos18 ° + 7 sin 72 °17 sin 72 ° − 11 cos18 °
a)
tg22 ° ∙ tg44 ° ∙ tg46 ° ∙ tg68 °b)
cos72 ° ∙ cos 28 ° = sin 62 ° ∙ sin 18 °a)
tg18 °tg54 ° =
tg36 °tg72 °
b)
(3sin19 ° + 2cos71 ° )(sin44 ° + 7cos46 ° ) = 40cos71 ° sin44 °c)
Zadania. Część II
397
Poziom trudności: AZadanie 3.1.5.13
W trójkącie ABC dane są długości boków | AC | = | BC | = √29 i | AB | = 4. Oblicz sinus
każdego z kątów tego trójkąta.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 3.1.5.14W trapezie prostokątnym ABCD ramię AD jest prostopadłe do podstaw AB i CD. Boki trapezu
mają długości: | AB | = 21, | AD | = 12, | CD | = 16. Oblicz.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 3.1.5.15
Długości przekątnych rombu ABCD są równe | AC | = 48 i | BD | = 14. Oblicz.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 3.1.5.16
W trapezie równoramiennym ABCD długości podstaw są równe | AB | = 11 i | CD | = 7, a
każde z ramion ma długość 6. Oblicz.
(Pokaż odpowiedź)
sin(?BAC)a)
tg(?BDC)b)
cos(?ABC)c)
tg(?CAB)a)
cos(?CDB)b)
sin(?BAD)c)
cos(? BAD)a)
tg(? CAB)b)
sin(? ACD)c)
Zadania. Część II
398
Poziom trudności: BZadanie 3.1.5.17
W równoległoboku ABCD dane są długości boków | AB | = 28 i | AD | = 17. Pole tego rów-
noległoboku jest równe 420, a kąt przy wierzchołku A jest ostry. Oblicz.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 3.1.5.18
Pole trójkąta ostrokątnego jest równe 780. Boki tego trójkąta mają długości | AB | = 39 i
| AC | = 41. Oblicz.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 3.1.5.19
W rombie ABCD krótsza przekątna ma długość | BD | = 30, a bok 25. Wykaż, że
sin(? BAD) = 2 ∙ sin(? CAD) ∙ cos(? CAB).(Pokaż odpowiedź)
sin(? BAD)a)
tg(? DBA)b)
cos(? CAB)c)
sin(? BAC)a)
cos(? ABC)b)
tg(? ACB)c)
Zadania. Część II
399
3.2. Tożsamości trygonometryczne
3.2.1. Tożsamości trygonometryczne
Na podstawie twierdzenia Pitagorasa zapisujemy związek między długościami boków w trójkącie
prostokątnym (przy oznaczeniach takich jak na rysunku)
a2 + b2 = c2.
Oznaczmy przez α miarę kąta ostrego, leżącego naprzeciwko przyprostokątnej o długości a. Z de-
finicji sinusa oraz cosinusa kąta ostrego α w trójkącie prostokątnym mamy
sinα =ac , cosα =
bc .
Wówczas
(sinα)2
+ (cosα)2
= (ac )
2+ (b
c )2
=a2
c2 +b2
c2 =a2 + b2
c2 =c2
c2 = 1.
Bezpośrednio z definicji sinusa, cosinusa i tangensa kąta ostrego α w trójkącie prostokątnym wy-
nika, że wartość tgα możemy wyrazić za pomocą sin α i cosα.
sinαcosα =
acbc
=ac ?
cb =
ab = tg α.
Udowodniliśmy w ten sposób następujące twierdzenie.
Twierdzenie: 3
Dla dowolnego kąta ostrego α prawdziwe są równości
Tożsamości trygonometryczne
400
sin2α + cos2α = 1
sinαcosα = tgα.
Powyższe zależności określają związki między funkcjami trygonometrycznymi tego samego
kąta ostrego.
Tożsamości trygonometryczne
401
3.2.2. Przykłady
Przykład 1.Obliczymy wartość wyrażenia
sin227 ° + cos227 ° − 3
cos263 ° + sin263 ° + 1.
Ponieważ dla dowolnego kąta ostrego α zachodzi równość
sin2α + cos2α = 1,
to
sin227 ° + cos227 ° = 1 , cos263 ° + sin263 ° = 1.
Wobec tego
sin227 ° + cos227 ° − 3
cos263 ° + sin263 ° + 1=
1 − 31 + 1 =
−22 = − 1.
Przykład 2.
Kąt α jest ostry i sinα =9
11 . Obliczymy wartość wyrażenia cos2α.
Ponieważ
sin2α + cos2α = 1,
to
cos2α = 1 − sin2α
dla dowolnego kąta ostrego α.
Skoro sinα =9
11 , to
cos2α = 1 − ( 911 )
2= 1 − 81
121 =40
121 .
Przykład 3.
Kąt α jest ostry i cosα =34 . Obliczymy wartość wyrażenia 3 − sin α
tg α .
Ponieważ
sinαcosα = tgα,
to
sinαtgα =
sinαsinαcosα
=sinα ? cosα
sinα = cosα
Przykłady
402
Zatem dla cosα =34 otrzymujemy
3 − sinαtgα = 3 − cosα = 3 − 3
4 = 214 .
Przykład 4.Wykażemy, że sin38 ° < tg38 ° .
Wiemy, że cos dowolnego kąta ostrego jest mniejszy od 1, więc
cos38 ° < 1.
Mnożymy obie strony nierówności przez liczbę dodatniąsin38 °cos38 ° .
Zatem
sin38 °cos38 ° ∙ cos38 ° <
sin38 °cos38 °
Ponieważ
sin38 °cos38 ° = tg38 ° ,
więc
sin38 ° < tg38 ° ,
co należało wykazać.
Przykład 5.
Kąt α jest ostry i cosα = √53 . Obliczymy wartość wyrażenia 2sin2α − cos2α.
Korzystając z tożsamości sin2α + cos2α = 1, otrzymujemy
sin2α = 1 − cos2α.
Wobec tego
2sin2α − cos2α = 2(1 − cos2α) − cos2α = 2 − 2cos2α − cos2α = 2 − 3cos2α.
Dla cosα = √53 mamy
2sin2α − cos2α = 2 − 3 ? (√53 )
2= 2 − 3 ? 5
9 = 2 − 53 =
13 .
Przykłady
403
Przykład 6.Kąt α jest ostry i sinα = 0,3. Obliczymy cosα i tgα.
Korzystając z tożsamości sin2α + cos2α = 1, otrzymujemy cos2α = 1 − sin2α. Wobec tego dla
sinα = 0,3 mamy:
cos2α = 1 − sin2α = 1 − (0,3)2
= 1 − 0,09 =91
100 ,
Ponieważ cosα > 0, więc otrzymujemy
cosα = √9110 ,
stąd
tgα =sinαcosα =
310
√9110
=3
√91 =3√91
91 .
Przykład 7.
Kąt α jest ostry i sinα = √74 . Obliczymy wartość wyrażenia 10 − 9tg2α.
• I sposób
Skoro sinα = √74 , to
cos2α = 1 − sin2α = 1 − (√74 )
2= 1 − 7
16 =9
16 .
Ponieważ cosα > 0, to cosα =34 oraz
tgα =
√7434
= √73 .
Stąd
10 − 9tg2α = 10 − 9 ? (√73 )
2= 10 − 9 ?
79 = 10 − 7 = 3.
• II sposób
Korzystając z tożsamości stosowanych w poprzednich przykładach, wyrazimy 10 − 9tg2α za
pomocą sinα.
10 − 9tg2α = 10 − 9 ? ( sinαcosα )
2= 10 − 9 ?
sin2α
cos2α= 10 − 9 ?
sin2α
1 − sin2α.
Wtedy dla sinα = √74 otrzymujemy
Przykłady
404
10 − 9tg2α = 10 − 9 ?sin2α
1 − sin2α= 10 − 9 ?
(√74 )
2
1 − (√74 )
2 = 10 − 9 ?7
16 ?169 = 3.
Przykład 8.
Kąt α jest ostry i tgα = √115 . Obliczymy sinα i cosα.
Jeśli tgα = √115 , to
sinαcosα = √11
5 , skąd sinα = √115 cosα. Ponadto sin2α + cos2α = 1, czyli
(√115 cosα)
2+ cos2α = 1.
Zatem
1125cos2α + cos2α = 1
11cos2α + 25cos2α = 25
36cos2α = 25
cos2α =2536 .
Ponieważ cosα > 0, to
cosα = √2536 =
56 , sinα = √11
5 ?56 = √11
6 .
Przykład 9.
Kąt α jest ostry i tgα =38 . Obliczymy
2sinα + cosα2cosα − 6sinα .
• I sposób
Najpierw obliczamy sinα i cosα.
Jeśli tgα =38 , to sinα =
38cosα. Ponadto sin2α + cos2α = 1, skąd
(38cosα)
2+ cos2α = 1.
Wobec tego
964cos2α + cos2α = 1
9cos2α + 64cos2α = 64
Przykłady
405
cos2α =6473 .
Ponieważ cosα > 0, to cosα = √6473 =
8√7373 i sinα =
38 ?
8√7373 =
3√7373 ,
czyli wartość danego wyrażenia to
2sinα + cosα2cosα − 6sinα =
2 ?3√73
73+
8√7373
2 ?8√73
73− 6 ?
3√7373
=14√73−2√73 = − 7.
• II sposób
Zauważmy, że jeśli tgα =38 , to sinα =
38cosα. Uwzględniając tę zależność, otrzymujemy
2sinα + cosα2cosα − 6sinα =
2 ?38
cosα + cosα
2cosα − 6 ?38
cosα=
74
cosα
−14
cosα= − 7
• III sposób
Korzystając z tożsamości tgα =sinαcosα , wyrazimy
2sinα + cosα2cosα − 6cosα za pomocą tgα
2sinα + cosα2cosα − 6sinα =
2sinαcosα
+cosαcosα
2cosαcosα
−6sinαcosα
=2tgα + 12 − 6tgα .
Skoro tgα =38 , to
2sinα + cosα2cosα − 6sinα =
2tgα + 12 − 6tgα =
2 ?38
+ 1
2 − 6 ?38
=
74
−14
= − 7.
Przykład 10.
Wykażemy, że jeżeli kąt α jest ostry i tgα +1
tg α = 9, to tg2α +1
tg2α= 79.
Skoro tgα +1
tgα = 9, to
(tgα +1
tgα )2
= 81.
Stąd
tg2α + 2tgα ?1
tgα +1
tg2α= 81,
czyli
tg2α + 2 +1
tg2α= 81.
Przykłady
406
Wynika z tego, że tg2α +1
tg2α= 79, a to właśnie należało wykazać.
Przykład 11.
Wykażemy, że dla każdego kąta ostrego α wartość wyrażenia (sinα + cosα)2
+ (cosα − sinα)2
jest równa 2.
Przekształcamy wyrażenie
(sinα + cosα)2
+ (cosα − sinα)2
=
= sin2α + 2sinαcosα + cos2α + cos2α − 2sinαcosα + sin2α =
= 2sin2α + 2cos2α = 2(sin2α + cos2α).
Korzystamy z tożsamości sin2α + cos2α = 1, skąd
(sinα + cosα)2
+ (cosα − sinα)2
= 2(sin2α + cos2α) = 2 ? 1 = 2,
a to właśnie należało wykazać.
Przykład 12.
Wykażemy, że jeżeli kąt α jest ostry i sinα + cosα =75 , to sin4α + cos4α =
337625 .
Jeśli sinα + cosα =75 , to (sinα + cosα)
2= (7
5 )2, skąd sin2α + 2sinαcosα + cos2α =
4925 .
Ponieważ sin2α + cos2α = 1, to 2sinαcosα =4925 − 1, czyli sinαcosα =
1225 .
Przekształcając tożsamość sin2α + cos2α = 1, otrzymujemy kolejno
(sin2α + cos2α)2
= 1
sin4α + 2sin2αcos2α + cos4α = 1
sin4α + cos4α = 1 − 2sin2αcos2α
sin4α + cos4α = 1 − 2(sinαcosα)2
Uwzględniając równość sinαcosα =1225 , otrzymujemy
sin4α + cos4α = 1 − 2 ? (1225 )
2,
Przykłady
407
skąd
sin4α + cos4α = 1 − 2 ? 144625 =
337625 .
Koniec dowodu.
Przykład 13.
W pewnym trójkącie prostokątnym suma sinusów kątów ostrych jest równa3125 . Wykażemy,
że iloczyn sinusów tych kątów jest równy168625 .
Oznaczmy przez α i β miary kątów ostrych w danym trójkącie. Wtedy
sinβ = sin(90 ° − α) = cosα.
Z warunków zadania mamy sinα + sinβ =3125 , czyli sinα + cosα =
3125 .
Wynika z tego, że
(sinα + cosα)2
= (3125 )
2=
961625 .
Ponadto
(sinα + cosα)2
= sin2α + 2sinαcosα + cos2α = 1 + 2sinαcosα.
Zatem 1 + 2sinαcosα =961625 , skąd
2sinαcosα =961625 − 1 =
336625 ,
czyli
sinαcosα =168625 .
Koniec dowodu.
Przykład 14.Wykażemy, że dla każdego kąta ostrego α prawdziwa jest nierówność sinα + cosα ≤ √2.
Skorzystamy z udowodnionej wcześniej tożsamości
(sinα + cosα)2
+ (cosα − sinα)2
= 2,
którą przekształcimy do postaci
(cosα − sinα)2
= 2 − (sinα + cosα)2.
Ponieważ kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny, to (cosα − sinα)2
≥ 0 dla do-
Przykłady
408
wolnego kąta ostrego α.
Wynika z tego, że
2 − (sinα + cosα)2
≥ 0,
czyli
(sinα + cosα)2
≤ 2.
Stąd
sinα + cosα ≤ √2.
Koniec dowodu.
Przykłady
409
3.2.3. Zadania
Poziom trudności: AZadanie 3.2.3.1
Dane są liczby a = cos225 ° + sin225 ° , b =tg42 °sin42 ° ? cos42 ° . Wówczas
a) b > 1
b) a = b
c) a < 2
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 3.2.3.2
Kąt α jest ostry i sinα =34 . Wtedy
a) 7sin2α = 9cos2α
b) sin4α + cos4α = 1
c) cos2α =78
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 3.2.3.3Kąt α jest ostry i tgα = 5. Wówczas
a) sinα =56 i cosα =
16
b) sinα =5√26
26 i cosα = √2626
c)cosαsinα = 0,2
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 3.2.3.4
Kąt α jest ostry i cosα =13 . Wynika z tego, że
a) sinα =89
b) tgα = 2√2
Zadania
410
c) sin2α =23
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 3.2.3.5Kąt α jest ostry i tgα = 2. Wówczas
a)6cosα + sinα2cosα + sinα = 4
b)11sinα + 3cosα
cosα + 2sinα = 5
c)cosα + sinαsinα − cosα = 3
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 3.2.3.6Dla dowolnego kąta ostrego α prawdziwa jest równość
a)1 − (sin4α + cos4α)
2 = (sinαcosα)2
b) sin4α − cos4α = sin2α − cos2α
c)(sinα + cosα)
2− 1
2 = sinαcosα
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 3.2.3.7Dla dowolnego kąta ostrego α prawdziwa jest równość
a) (tgα +1
tgα )2
− (tg2α +1
tg2α ) = 2
b) (2sinα + cosα)2
+ (2cosα − sinα)2
= 3
c) cos2α(tg2α + sin2α) + cos4α = 1
(Pokaż odpowiedź)
Zadania
411
Poziom trudności: AZadanie 3.2.3.8Dla dowolnego kąta ostrego α prawdziwa jest nierówność
a) 3sinα + 4cosα < 5
b) cosα + sinα > 1
c) tgα > sinα
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 3.2.3.9
Kąt α jest ostry i sinαcosα =25 . Wtedy
a) (sinα − cosα)2
=1
10
b) sin4α + cos4α =1725
c) sinα + cosα =3√5
5
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 3.2.3.10Dla każdego kąta ostrego α
a) wyrażenie √cos4α + 4sin2α jest równe 2 − cos2α
b) wyrażenie √sin4α + 4cos2α + √cos4α + 4sin2α jest równe 3
c) wyrażenie √sin4α + 4cos2α jest równe sin2α − 2
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 3.2.3.11
Kąt α jest ostry i sinα =23 . Wtedy liczba cos2α jest równa
Zadania
412
a)59
b)49
c)23
d)13
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 3.2.3.12
Dla każdego kąta ostrego α wyrażenie sin2α + (1 − cos2α) jest równe
a) 2sin2α
b) cos2α
c) 2
d) 1
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 3.2.3.13Kąt α jest ostry i tgα = 1,2. Wówczas
a)cosαsinα = 5
b)cosαsinα = 2
c)cosαsinα =
3625
d)cosαsinα =
56
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 3.2.3.14
Wartość wyrażenia29 + (sin29 ° ∙ cos29 ° ? tg29 ° + cos229 ° )61 − (sin61 ° ? cos61 ° ? tg61 ° + cos261 ° )
jest równa
Zadania
413
a) 1
b)12
c)2961
d)13
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 3.2.3.15Kąt α jest ostry i cosα = 0,7. Wynika z tego, że
a) sinα = 0,51
b) sinα = √5110
c) sinα = √310
d) sinα =3
10
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 3.2.3.16
Wartość wyrażenia (sin15 ° + 3cos15 ° )2
+ (3sin15 ° − cos15 ° )2
jest równa
a) 10
b) 4
c) 3
d) 1
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 3.2.3.17
Kąt α jest ostry i sinα =49 . Wtedy liczba tgα jest równa
a)3665
b)16
√65
Zadania
414
c)4
√65
d)45
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 3.2.3.18
Dla każdego kąta ostrego α wyrażeniesin8α − cos8α
sin4α + cos4αjest równe
a) 2sin2α + 1
b) 2
c) 2sin2α − 1
d) 1
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 3.2.3.19
Kąt α jest ostry i sinα + cosα =1110 . Wtedy iloczyn sinα ? cosα jest równy
a)11
100
b)21
100
c)11
200
d)21
200
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 3.2.3.20Dla każdego kąta ostrego α wartość wyrażenia sin4α + cos4α
a) jest większa od 2
b) jest równa 2
c) jest równa 1
d) jest mniejsza od 1
(Pokaż odpowiedź)
Zadania
415
Poziom trudności: AZadanie 3.2.3.21
Kąt α jest ostry i cos2α − sin2α =79 . Oblicz.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 3.2.3.22
Kąt α jest ostry i sinα =2
11 . Oblicz.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 3.2.3.23
Kąt α jest ostry i cosα = √116 . Oblicz.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 3.2.3.24
Kąt α jest ostry i tgα =52 . Oblicz.
(Pokaż odpowiedź)
cos2αa)
cosαb)
sin2αc)
sinαd)
wartość wyrażenia 5 − 3cos2αa)
cosαb)
wartość wyrażenia √13 tg2α +73
c)
wartość wyrażenia 5 − 12sin2αa)
sinαb)
wartość wyrażenia 4sin2α − sin3α − sinα ∙ cos2αc)
sinαa)
cosαb)
wartość wyrażenia4sinα + cosα
7cosα − 2sinαc)
Zadania
416
Poziom trudności: AZadanie 3.2.3.25Rozstrzygnij, czy istnieje kąt ostry α, dla którego
a) sinαcosα =23
b) cosα =35 i tgα =
34
c) sinα =27 i tgα =
2√515
d) sinα =27 i cosα =
57
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 3.2.3.26
Kąt α jest ostry i tgα +1
tgα =103 . Oblicz wartość wyrażenia
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 3.2.3.27
Kąt α jest ostry i sinα − cosα =7
13 . Oblicz wartość wyrażenia.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 3.2.3.28Kąt α jest ostry i sinα + cosα = 1,4. Oblicz wartość wyrażenia.
(Pokaż odpowiedź)
sinα + cosαa)
tg2α +1
tg2αb)
sinαcosαa)
sinα + cosαb)
sinαcosαa)
sin4α + cos4αb)
Zadania
417
Poziom trudności: CZadanie 3.2.3.29Uzasadnij, że jeżeli α jest kątem ostrym, to
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: CZadanie 3.2.3.30
Uzasadnij, że jeżeli α jest kątem ostrym, to √sin4α − 2cos2α + 3 + √cos4α − 2sin2α + 3 = 3.
(Pokaż odpowiedź)
2sin2α + cos2α = (1 + tg2α)(1 + sin2α)cos2αa)
sin4α + cos4α = 1 − 2sin2α
1 + tg2α
b)
cos8α − sin8α = (cos4α + sin4α)(cos2α − sin2α)c)
Zadania
418
3.2.4. Zadania generatorowe
Zadania generatorowe
Poziom trudności: AZadanie 3.2.4.1Oblicz wysokość figury przedstawionej na rysunku.
(Pokaż odpowiedź)
Zadania generatorowe
419
3.3. Zastosowanie trygonometrii w geometrii
3.3.1. Przykłady. Część I
W poniższych przykładach pokażemy zastosowania trygonometrii do opisu związków miarowych
w figurach płaskich.
Przykład 1.W trójkącie równoramiennym ABC każde z ramion AC i BC ma długość równą 10. Miara kąta
ACB jest równa 45 ° . Obliczymy pole tego trójkąta.
Zauważmy, że wysokość AD, opuszczona na bok CB, odcina trójkąt prostokątny ADC. Ponie-
waż kąt ACD ma miarę 45 ° , to
| AD || AC |
= sin45 ° .
Wobec tego
| AD | = | AC | ? sin45 ° = 10 ? √22 = 5√2
i pole P trójkąta ABC jest równe
P =12 ? | BC | ? | AD | =
12 ? 10 ? 5√2 = 25√2.
Zastosowanie trygonometrii w geometrii
420
Przykład 2.Rozpatrzmy trójkąt ostrokątny ABC, w którym dane są długości boków
| AC | = b, | BC | = a oraz miara γ kąta ACB.
Zauważmy, że wysokość AD opuszczona na bok BC, odcina trójkąt prostokątny, w którym
| AD || AC |
= sinγ,
Przyjmując h = | AD | , otrzymujemy
hb = sinγ,
stąd
h = b sinγ.
Pole trójkąta ABC jest równe
PABC =12 ? a ? h,
zatem
PABC =12 ? a ? b ? sinγ.
Wobec tego pole trójkąta ostrokątnego możemy wyrazić za pomocą danych długości dwóch
boków i sinusa kąta między nimi.
Przykład 3.W równoległoboku ABCD dane są długości boków | AB | = 5 i | BC | = 2. Kąt DAB ma
miarę 30 ° . Obliczymy pole tego równoległoboku.
Przykłady. Część I
421
Zauważmy, że przekątna DB dzieli dany równoległobok na dwa trójkąty przystające ADB i
CBD.
Ponieważ pole trójkąta ABD jest równe
PABD =12 ? | AB | ? | AD | ? sin30 ° =
12 ? 5 ? 2 ?
12 =
52 ,
to pole równoległoboku ABCD jest równe 5.
Przykład 4.Rozpatrzmy równoległobok ABCD, w którym długości boków AB i AD są równe odpowiednio
a oraz b. Kąt ostry między tymi bokami ma miarę α.
Podobnie jak w poprzednim przykładzie, zauważmy, że przekątna DB dzieli dany równoległo-
bok na dwa trójkąty przystające ADB i BCD.
Ponieważ pole trójkąta ABD jest równe
PABD =12 ? | AB | ? | AD | ? sinα =
12ab ? sinα,
to pole równoległoboku ABCD jest równe
PABCD = 2 ? PABD = 2 ?12absinα = absinα.
Przykłady. Część I
422
Przykład 5.W czworokącie ABCD przekątne długości |AC | = 11 oraz | BD | = 16 przecinają się w
punkcie P pod kątem 60 ° . Obliczymy pole tego czworokąta.
Poprowadźmy przez wierzchołki czworokąta ABCD cztery proste k, l, m, n równoległe odpo-
wiednio do przekątnych tego czworokąta. Punkty przecięcia tych prostych oznaczmy K, L, M,
N.
Czworokąt KLMN jest równoległobokiem. Wobec tego | NK | = 11 i | KL | = 16 oraz
kąt NKL ma miarę 60 ° . A zatem pole czworokąta KLMN jest równe
Przykłady. Część I
423
PKLMN = | NK | ? | KL | ? sin60 ° = 16 ? 11 ? √32 = 88√3.
Każdy z czworokątów APDM, BPAN, CPBK i DPCL jest równoległobokiem, w którym jedna z
przekątnych jest bokiem czworokąta ABCD.
Każda przekątna dzieli równoległobok na dwa trójkąty przystające. Pola tych trójkątów są
równe
PAPD = PAMD, PBPA = PBNA , PCPB = PCKB, PDPC = PDLC.
Ponadto pole czworokąta ABCD jest sumą pól trójkątów APD, BPA, CPB i DPC. To znaczy, że
pole równoległoboku KLMN jest dwa razy większe od pola czworokąta ABCD. Zatem
PABCD =12 ? PKLMN =
12 ? 88√3 = 44√3.
Przykład 6.Rozpatrzmy czworokąt ABCD, w którym długości przekątnych AC i BD są równe odpowiednio
d1 oraz d2, a kąt ostry między nimi ma miarę α.
Podobnie jak w poprzednim przykładzie, poprowadźmy przez wierzchołki czworokąta cztery
proste k, l, m, n równoległe odpowiednio do przekątnych tego czworokąta. Punkty przecięcia
tych prostych oznaczmy K, L, M, N.
Czworokąt KLMN jest równoległobokiem. Wobec tego | NK | = d1 i | KL | = d2 oraz
kąt NKL ma miarę α. Pole KLMN jest równe
PKLMN = | NK | ? | KL | ? sinα = d1 ? d2 ? sinα.
Każdy z czworokątów APDM, BPAN, CPBK i DPCL jest równoległobokiem, w którym jedna z
przekątnych jest bokiem czworokąta ABCD.
Przekątna dzieli równoległobok na dwa trójkąty przystające. Pola tych trójkątów są równe
Przykłady. Część I
424
PAPD = PAMD, PBPA = PBNA, PCPB = PCKB, PDPC = PDLC.
Ponadto pole czworokąta ABCD jest sumą pól trójkątów APD, BPA, CPB i DPC. To znaczy, że
pole równoległoboku KLMN jest dwa razy większe od pola czworokąta ABCD, skąd
PABCD =12 ? PKLMN =
12d1d2sinα.
Przykład 7.W trójkącie ABC boki AC i BC mają długości | AC | = 6 i | BC | = 4, a kąt między tymi
bokami ma miarę 120 ° . Obliczymy pole tego trójkąta.
Zauważmy, że wysokość AD jest opuszczona na przedłużenie boku BC.
W trójkącie prostokątnym ADC kąt przy wierzchołku C ma miarę 60 ° . Wówczas
| AD || AC |
= sin60 ° ,
Przykłady. Część I
425
stąd
| AD | = | AC | ? sin60 ° = 6 ? √32 = 3√3.
Pole P trójkąta ABC jest więc równe
PABC =12 ? | BC | ? | AD | =
12 ? 4 ? 3√3 = 6√3.
Wybierzmy dodatkowo na półprostej BC taki punkt E, że | EC | = | BC | . Wówczas trój-
kąty BAC oraz EAC mają równe boki BC i EC oraz wspólną wysokość AD, opuszczoną z wierz-
chołka A.
Pola tych trójkątów są więc równe, co znaczy, że pole trójkąta ABC można wyrazić za pomocą
danych długości boków i sinusa kąta przyległego do kąta rozwartego zawartego między tymi
bokami
PABC = PACE =12 ? | EC | ? | CA | ? sin60 ° =
12 ? | BC | ? | CA | ? sin60 ° =
12 ? 4 ? 6 ? √3
2 = 6√3.
Przykłady. Część I
426
Przykład 8.Rozpatrzmy trójkąt rozwartokątny ABC, w którym dane są długości boków | CB | = a i
| AC | = b. Kąt ACB jest rozwarty i ma miarę γ.
Niech AD będzie wysokością trójkąta ABC, przy czym punkt D niech leży na przedłużeniu bo-
ku BC. Postępując podobnie jak w poprzednim przykładzie, wybierzmy na półprostej BC taki
punkt E, że
| CE | = a.
Wówczas trójkąty ABC i AEC mają równe pola, czyli
PABC = PACE =12 ? | EC | ? | CA | ? sin(180 ° − γ) =
12absin(180 ° − γ).
Przykłady. Część I
427
3.3.2. Przykłady. Część II
Sinus kąta można rozważać także dla kąta prostego oraz rozwartego. Wówczas
sin90 ° = 1
i jeżeli α jest kątem ostrym, to
sin(180 ° − α) = sinα.
Z powyższych równości i z wcześniejszych przykładów wynika, że pole dowolnego trójkąta jest
równe połowie iloczynu długości dwóch jego boków i sinusa kąta zawartego między nimi.
Twierdzenie:
Pole trójkąta jest równe połowie iloczynu długości dwóch jego boków i sinusa kąta zawartego
między tymi bokami.Przy oznaczeniach takich jak na rysunku
PABC =12absinγ.
Przykład 1.W trójkącie ABC dane są długości boków: | BC | = 6, | AC | = 4. Kąt ACB ma miarę
120 ° . Na boku AB leży taki punkt D, że | ?ACD | = 60 ° . Obliczymy długość odcinka CD.
Zauważmy, że pole trójkąta ABC jest równe sumie pól trójkątów ADC i BDC.
Ponadto
PABC =12 ? 6 ? 4 ? sin120 ° = 6√3.
Oznaczmy | CD | = x. Wtedy pola trójkątów ADC i BDC możemy zapisać za pomocą x.
PADC =12 ? 4 ? x ? sin60 ° = √3x
Przykłady. Część II
428
PBDC =12 ? x ? 6 ? sin60 ° =
3√32 x.
Otrzymujemy równanie
3√32 x + √3x = 6√3,
skąd
x =125 .
Zatem
| CD | = 2,4.
Przykład 2.W trójkącie prostokątnym ABC kąt przy wierzchołku C jest prosty, a punkt D jest spodkiem
wysokości poprowadzonej na przeciwprostokątną z wierzchołka C. Wykażemy, że
| AC |2
= | AD | ? | AB | .
Oznaczmy przez α miarę kąta BAC.
Wówczas w trójkącie ABC
cosα =| AC || AB |
,
a w trójkącie ACD
cosα =| AD || AC |
.
Stąd
| AC || AB |
=| AD || AC |
,
czyli
Przykłady. Część II
429
| AC |2
= | AD | ? | AB | .
W ten sposób dowód został zakończony.
Przykład 3.W trójkącie prostokątnym ABC przyprostokątne mają długości | BC | = 14,8 i
| AC | = 11,1. Kwadrat DEFG jest wpisany w trójkąt ABC tak, że bok DE leży na przeciwpro-
stokątnej AB, a wierzchołki F i G leżą na przyprostokątnych odpowiednio BC i AC. Obliczymy
długość boku tego kwadratu.
Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie ABC obliczamy długość boku AB.
| AB |2
= (11,1)2
+ (14,8)2
| AB |2
= 342,25
Ponieważ | AB | > 0, to
| AB | = 18,5.
Oznaczmy przez x długość boku kwadratu DEFG, a przez α miarę kąta BAC.
Stąd
| ?CGF | = α, | ?EFB | = α.
Każdy z trójkątów prostokątnych ADG, GCF oraz FEB jest zatem podobny do trójkąta ABC.
Wobec tego stosunki długości boków w tych trójkątach możemy wyrazić za pomocą funkcji
trygonometrycznych kąta α.
W trójkącie ABC
sinα =14,818,5 =
45 , cosα =
11,118,5 =
35 .
Przykłady. Część II
430
W trójkącie ADG
sinα =x
| AG |,
a w trójkącie CGF
cosα =| CG |
x .
Wynika z tego, że
x
| AG |=
45 ,
| CG |x =
35 ,
skąd
| AG | =54x, | CG | =
35x.
Ale | AG | + | CG | = | AC | , więc54x +
35x =
11110 , a zatem
3720x =
11110 , czyli x = 6.
Zatem długość boku kwadratu DEFG jest równa 6.
Przykłady. Część II
431
3.3.3. Zadania
Poziom trudności: AZadanie 3.3.3.1W trójkącie równoramiennym ABC dane są | AC | = | BC | = 4 i | ?ACB | = 30 ° . Wów-
czas
a) podstawa AB ma długość 2
b) pole trójkąta ABC jest równe 4
c) wysokość AD opuszczona z wierzchołka A na bok BC ma długość 2
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 3.3.3.2W trójkącie ABC dane są | AB | = 6, | BC | = 2√2 i | ?ABC | = 45 ° . Wynika z tego, że
a) wysokość CD opuszczona z wierzchołka C na bok AB ma długość 2
b) kąt BAC ma miarę 30 °
c) pole trójkąta ABC jest równe 6
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 3.3.3.3W równoległoboku ABCD dane są długości boków | AB | = 10, | AD | = 6. Miara kąta BAD
jest równa 60 ° . Wtedy
a) wysokość DE opuszczona z wierzchołka D na bok BC ma długość 5√3
b) kąt ABD ma miarę większą niż 30 °
c) pole równoległoboku ABCD jest równe 15√3
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 3.3.3.4W trapezie równoramiennym ABCD podstawy mają długości | AB | = 7 i | CD | = 5. Prze-
kątne AC i BD tego trapezu przecinają się w punkcie S, przy | ?BSA | = 60 ° . Wówczas
a) pole trapezu ABCD jest równe 36√3
b) trójkąt ASD ma pole równe35√3
4
Zadania
432
c) | BD | = 12
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 3.3.3.5W rombie ABCD o boku równym 2√3 przekątna AC ma długość 6. Wynika z tego, że
a) pole tego rombu jest równe 10
b) przekątna BD jest równa √3
c) kąt ABC ma miarę 4 razy większą od miary kąta ACD
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 3.3.3.6W trójkącie ABC boki AB i BC mają długości równe odpowiednio 7 oraz 4√2. Kąt ABC ma miarę
135 ° . Wtedy
a) pole trójkąta ABC jest równe 14
b) kąt BAC ma miarę 30 °
c) odległość punktu C od prostej AB jest równa 4
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 3.3.3.7Podstawy trapezu prostokątnego ABCD mają długości 5 i 9. Cosinus kąta ostrego tego trapezu
jest równy 0,8. Wówczas
a) dłuższe ramię trapezu ABCD jest równe 5
b) kąt nachylenia krótszej przekątnej tego trapezu do podstawy jest większy niż 30 °
c) pole trapezu ABCD jest równe 21
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 3.3.3.8W trójkącie ABC dane są długości boków: | AB | = 8, | BC | = 6, | AC | = 5. Punkt
D jest środkiem boku AB. Punkty E i F leżą na bokach odpowiednio BC i AC, przy czym
| BE | = | CF | = 2. Wynika z tego, że
Zadania
433
a) pole trójkąta BDE stanowi16 pola trójkąta ABC
b) pola trójkątów DEF i CEF są równe
c) pole trójkąta ADF stanowi3
10 pola trójkąta ABC
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 3.3.3.9W trójkącie prostokątnym ABC kąt ostry przy wierzchołku B jest dwa razy większy od kąta ostre-
go przy wierzchołku A. Stosunek długości przyprostokątnej BC do przeciwprostokątnej AB jest
równy
a) √32
b) √22
c)12
d)13
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 3.3.3.10W trójkącie prostokątnym ABC o kącie prostym przy wierzchołku C, dane są | BC | = 12 i
sin(?CAB) =35 . Wynika z tego, że długość boku AC jest równa
a) 16
b) 20
c) 9
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 3.3.3.11W trójkącie równoramiennym ABC dane są długości boków | AC | = | BC | = 6 i
| AB | = 6√3. Wówczas kąt między ramionami tego trójkąta ma miarę
a) 150º
b) 120º
Zadania
434
c) 90º
d) 60º
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 3.3.3.12Pole trójkąta ABC, w którym | AB | = 8, | AC | = 2√3 i | ?CAB | = 60 ° jest równe
a) 24
b) 12√3
c) 12√2
d) 12
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 3.3.3.13W trapezie równoramiennym ABCD podstawy mają długości | AB | = 11 i | CD | = 5. Wy-
sokość tego trapezu jest równa 3. Wówczas kąt ostry przy podstawie tego trapezu ma miarę
a) 60 °
b) 45 °
c) 30 °
d) 15 °
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 3.3.3.14Dany jest trójkąt równoramienny, w którym ramię ma długość 6, a miara kąta przy podstawie
jest równa 75 ° . Pole tego trójkąta jest równe
a) 9
b) 9√2
c) 9√3
d) 18
(Pokaż odpowiedź)
Zadania
435
Poziom trudności: AZadanie 3.3.3.15W równoległoboku ABCD dane są | AB | = 7, | AD | = 12 i | ?BCD | = 150 ° . Pole te-
go równoległoboku jest równe
a) 42√2
b) 42√3
c) 42
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 3.3.3.16W czworokącie wypukłym ABCD punkty K, L i M są środkami boków odpowiednio BC, CD i DA,
| KL | = 6, | LM | = 2√2, a kąt KLM ma miarę 135 ° . Wówczas pole czworokąta ABCD jest
równe
a) 24
b) 18
c) 12
d) 6
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 3.3.3.17Na bokach AB i AC trójkąta ABC odpowiednio leżą punkty K i L takie, że | AK | = 2 | KB |i | AL | = 3 | LC | . Wynika z tego, że stosunek pola trójkąta AKL do pola trójkąta ABC jest
równy
a)45
b)34
c)23
d)12
(Pokaż odpowiedź)
Zadania
436
Poziom trudności: AZadanie 3.3.3.18W trójkącie prostokątnym ABC przyprostokątne mają długości | AC | = 5, | BC | = 20.
Punkt D leży na przeciwprostokątnej AB i | ?DCA | = 45 ° . Odcinek CD ma długość
a) 3√3
b) 4√2
c)254
d)5√17
2
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 3.3.3.19W trójkącie prostokątnym ABC przeciwprostokątna AB ma długość 6. Kąt ABC ma miarę 30 ° .
Oblicz długości przyprostokątnych i pole tego trójkąta.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 3.3.3.20
W trójkącie równoramiennym ABC dane są długości boków | AC | = | BC | = 2. Miara
kąta ABC jest równa 75 ° . Oblicz pole tego trójkąta.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 3.3.3.21
W równoległoboku ABCD dane są długości boków | AD | = 5, | CD | = 8, a miara kąta
ABC jest 3 razy większa od miary kąta BAD. Oblicz pole równoległoboku ABCD.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 3.3.3.22W trapezie równoramiennym ABCD podstawami są boki AB i CD. Każda z przekątnych AC i BD
ma długość 10. Przekątne AC i BD przecinają się w punkcie M, przy czym | ?AMB | = 150 °. Oblicz pole trapezu ABCD.
(Pokaż odpowiedź)
Zadania
437
Poziom trudności: AZadanie 3.3.3.23W trójkącie prostokątnym ABC przedstawionym na rysunku kąt ostry BAC ma miarę 45 ° . Bok
kwadratu DEFG, wpisanego w ten trójkąt, jest równy 2√2. Oblicz pole trójkąta ABC.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 3.3.3.24
W trapezie równoramiennym ABCD podstawy mają długości | AB | = 18, | CD | = 6.
Proste AD i BC przecinają się w punkcie E, przy czym | ?AEB | = 120 ° . Oblicz pole trapezu
ABCD.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 3.3.3.25
Bok rombu ABCD ma długość 2012 . Tangens kąta ostrego przy wierzchołku A jest równy
409 . Ob-
licz długość przekątnej AC.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 3.3.3.26
W trójkącie prostokątnym ABC kąt przy wierzchołku C jest prosty, | AB | = 17 i
tg(?ABC) = 1,875. Oblicz długości boków AC i BC oraz pole koła wpisanego w ten trójkąt.
(Pokaż odpowiedź)
Zadania
438
Poziom trudności: AZadanie 3.3.3.27
W trójkącie ABC na bokach AB i AC wybrano takie punkty D i E, że| AD || DB |
=54 i
| AE || EC |
=32 . Wy-
każ, że pole trójkąta ABC jest 3 razy większe od pola trójkąta ADE.
(Pokaż odpowiedź)
Zadania
439
3.4. Wykresy i własności funkcjitrygonometrycznych
Film na epodreczniki.pl
Film na epodreczniki.pl
Wykresy i własności funkcji trygonometrycznych
440
Film na epodreczniki.pl
Film na epodreczniki.pl
Wykresy i własności funkcji trygonometrycznych
441
Film na epodreczniki.pl
Film na epodreczniki.pl
Wykresy i własności funkcji trygonometrycznych
442
Film na epodreczniki.pl
Film na epodreczniki.pl
Wykresy i własności funkcji trygonometrycznych
443
Film na epodreczniki.pl
Film na epodreczniki.pl
Wykresy i własności funkcji trygonometrycznych
444
Film na epodreczniki.pl
Film na epodreczniki.pl
Wykresy i własności funkcji trygonometrycznych
445
Rozdział 4. Liczby
4.1. Liczby naturalne, całkowite, wymierne
4.1.1. Liczby naturalne, całkowite i wymierne
Już wiesz:
• 0, 1, 2, 3, 4, 5, …. to liczby naturalne. Liczby naturalne można uporząd-
kować rosnąco, wtedy dla dowolnej liczby naturalnej n następna jest liczba
n + 1. Liczb naturalnych jest nieskończenie wiele.
Film na epodreczniki.pl
• Liczba naturalna większa od 1, która ma dokładnie dwa dzielniki (1 i samą
siebie) jest liczbą pierwszą (np. 2, 3, 5, 7, 11, 13 …).
• Liczba naturalna większa od 1, która ma więcej niż dwa dzielniki jest liczbą
złożoną (np. 4, 9, 10, 24 …).
• Liczba 1 nie jest ani pierwsza, ani złożona.
• Dwie liczby naturalne nazywamy względnie pierwszymi, jeżeli nie mają
wspólnego dzielnika większego niż 1 (np. 3 i 5 lub 7 i 9).
Liczby
446
• Ułamekpq nazywamy nieskracalnym, jeżeli liczby naturalne p i q są względnie
pierwsze.(np.57 ,
710 ,
1213 ).
Film na epodreczniki.pl
• Jeśli liczbę naturalną a można zapisać jako iloczyn dodatnich liczb natural-
nych b i n (czyli a = b ∙ n ), to wtedy:
• - b i n są dzielnikami liczby naturalnej a.
• - a jest wielokrotnością liczby naturalnej b lub liczby naturalnej n.
• Liczby całkowite to wszystkie liczby naturalne 0, 1, 2, 3, 4, 5 … oraz liczby
do nich przeciwne 0, − 1, − 2, − 3, − 4 …
• Liczba całkowita podzielna przez 2 jest liczbą parzystą. Liczbę parzystą może-
my zapisać w postaci 2k, gdzie k jest liczbą całkowitą. 0 jest liczbą parzystą.
• Liczba całkowita, która nie jest podzielna przez 2 jest nieparzysta. Liczbę nie-
parzystą możemy zapisać np. jako 2k + 1 lub 2k − 1, gdzie k jest liczbą całko-
witą.
• Liczby wymierne to wszystkie liczby, które można przedstawić w postaci
ułamkapq , którego licznik p i mianownik q (q ≠ 0) są liczbami całkowitymi.
Liczby naturalne, całkowite i wymierne
447
4.1.2. Zadania
Poziom trudności: AZadanie 4.1.2.1
Dane są liczby: −4,32 , 7, √3, (1
5 )−1
, 4√5 − √5, √9, 0. Wypisz
liczby naturalne,
liczby, które nie są liczbami naturalnymi.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.1.2.2
Dane są liczby: −4,32 , 7, √3, (1
5 )−1
, 16−1, √9, 0,123 . Wypisz
liczby całkowite,
liczby, które nie są liczbami całkowitymi.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.1.2.3
Dane są liczby: −4,32 , 7, √3, (1
5 )−1
, 4√5 − √5, 16−1, √9, 0,123 , π. Wypisz
liczby wymierne,
liczby, które nie są liczbami wymiernymi.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.1.2.4Odpowiedz na pytania.
(Pokaż odpowiedź)
Podaj przykład liczby całkowitej, która nie jest liczbą naturalną.a)
Podaj przykład liczby wymiernej, która nie jest całkowita.b)
Czy istnieje liczba naturalna, która nie jest wymierna?c)
Czy istnieje liczba naturalna, która nie jest całkowita?d)
Zadania
448
Przykład 1.
Film na epodreczniki.pl
Poziom trudności: AZadanie 4.1.2.5Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.
a) Wynikiem dzielenia 312 : 2
34 jest liczba 1
311 .
b) Wynikiem mnożenia 234 · 8
11 jest liczba 26
11 .
c) Wynikiem odejmowania1118 − 5
6 jest liczba (− 12 ).
d) Wynikiem działania12 − 1
4 − 18 − 1
16 jest liczba1
16 .
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.1.2.6Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.
a) Iloraz liczby 4,8 przez liczbę 0,03 jest równy 16.
b) Wynikiem działania0,92 + 0,490,3 · 0,1 jest liczba 47.
Zadania
449
c) Iloczyn liczb 2,35 i 0,4 jest równy 0,94.
(Pokaż odpowiedź)
Ważne
• Mówimy, że liczby a i b są przeciwne, jeżeli a + b = 0. Liczbę przeciwną do x oznaczamy
– x.
• Mówimy, że liczby a i b są odwrotne, jeżeli a ∙ b = 1. Liczbą odwrotną do liczby x różnej
od zera jest1x . Zauważmy, że nie ma liczby odwrotnej do zera, gdyż nie istnieje taka licz-
ba, która pomnożona przez 0 dałaby 1.
• Zauważ, że jeżeli x ≠ 0, to iloczyn liczby odwrotnej do x i liczby przeciwnej do x jest rów-
ny −1.
−x ∙ 1x = − 1
Poziom trudności: AZadanie 4.1.2.7Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.
a) Każda liczba rzeczywista ma liczbę do siebie odwrotną.
b) Liczba 137 jest odwrotna do liczby
710 .
c) Liczbą odwrotną do liczby 225 jest liczba przeciwna do liczby − 5
12 .
d) Każda liczba rzeczywista ma liczbę do siebie przeciwną.
e) Liczbą przeciwną do1120 jest liczba ( − 0,55).
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.1.2.8Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.
a) Podwojonym iloczynem liczb 235 i − 1
2 jest −2,6.
b) Liczba 0, (36) leży pomiędzy liczbami9
25 i37
100 .
c) Średnia arytmetyczna liczb 259 oraz 1
712 jest równa 2
16 .
Zadania
450
d) Liczba 318 jest większa od liczby −2
34 o 5
38 .
(Pokaż odpowiedź)
Przykład 2.
Film na epodreczniki.pl
Poziom trudności: AZadanie 4.1.2.9Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.
a) Wynik działania2,75 − 1
12
: (−3,375)
5 − 249
jest liczbą większą od 1.
b) Wynik działania
−2,25 + (2 − 345 )
−34
17·
15
+ 128
: 2,125jest liczbą ujemną.
c) Po wykonaniu obliczeń ( 215 + 0,45) · 3
7 otrzymamy liczbę 0,4.
(Pokaż odpowiedź)
Zadania
451
Poziom trudności: BZadanie 4.1.2.10Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.
a) Suma liczb 0, (4) + 0, (18) jest równa 0, (62).
b) Liczba 3, (6) jest wymierna.
c) Ułamek 0, (27) jest równy3
11 .
d) Ułamek17 ma skończone rozwinięcie dziesiętne.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 4.1.2.11Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.
a) Ósma cyfra po przecinku w rozwinięciu dziesiętnym liczby4111 jest równa 7.
b) Dwudziesta pierwsza cyfra po przecinku w rozwinięciu dziesiętnym liczby 0, (725) jest
równa 5.
(Pokaż odpowiedź)
Zadania
452
Poziom trudności: AZadanie 4.1.2.12Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.
a) Ułamek520
1041 jest ułamkiem nieskracalnym.
b) Ułamek13263913 jest ułamkiem skracalnym.
c) Największą liczbą, przez jaką można skrócić licznik i mianownik ułamka23762592 jest 216.
d) Ułamek1115 jest równy
112152 .
(Pokaż odpowiedź)
Film na epodreczniki.pl
Poziom trudności: AZadanie 4.1.2.13
Liczba 237 − 1
25 jest mniejsza od liczby
35 +
87
a) o12
b) o 112
Zadania
453
c) o75
d) o57
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.1.2.14
Wynikiem działania78 +
74 − 7
16 jest liczba
a) 2,987
b) 2,1875
c) 2,1853
d) 2,725
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.1.2.15
Odwrotnością liczby78 +
74 − 7
16 jest liczba
a)3516
b)1635
c)1335
d) 15
35
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.1.2.16
Dane są liczby a = 237 , b = 1
35 , c = 3
14 . Różnica liczb (a + b)c i (a − b)c jest równa
a) 1035
b)1059140
c)525
Zadania
454
d)874
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.1.2.17
Niech a =35 i b =
112 . Wskaż liczbę, której rozwinięcie dziesiętne jest skończone.
a)ba
b) ab
c) a − b
d) a + b
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.1.2.18Która równość jest prawdziwa?
a)384
40320 =1
105
b)384
40320 =18
c)384
40320 =2113
d)384
40320 =23
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 4.1.2.19
Liczbą x, która spełnia równanie1
22 + x = 0,06(81) jest
a) 0,34
b) 0, (343)
c)2
44
d) 0,02(27)
(Pokaż odpowiedź)
Zadania
455
Poziom trudności: AZadanie 4.1.2.20
Niech x = 315 i y = 4
14 . Prawdziwa jest równość
a) x − y = 1335
b)xy = 13
35
c) xy = 1335
d) x + y = 1335
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 4.1.2.21Niech x = 0, (03) i y = 0, (01). Wskaż równość prawdziwą.
a) x − y = 0, (2)
b)xy = 3
c) xy = 3
d) x + y = 0, (4)
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 4.1.2.22Dane są liczby x = 0, (285714) i y = 0, (142857). Suma x + y jest równa
a) 0, (428571)
b) 0, (423571)
c) 0, (428561)
d) 0, (448571)
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 4.1.2.23
Dane są liczby x =59 i y = 0, (003). Różnica x − y jest równa
Zadania
456
a) 0, (559)
b) 0, (558)
c) 0, (552)
d) 0, (553)
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.1.2.24Iloczyn cyfr stojących na trzydziestym pierwszym i trzydziestym drugim miejscu po przecinku
w rozwinięciu dziesiętnym ułamka8
11 jest równy
a) 16
b) 14
c) 13
d) 15
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.1.2.25
Niech x = 0,875 i y = 0,9875. Zapisz każdą z liczb x + y, x − y, xy,yx w postaci ułamka zwykłe-
go, nieskracalnego.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.1.2.26Zapisz rozwinięcie dziesiętne
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.1.2.27Dane są wszystkie jednocyfrowe liczby całkowite dodatnie podzielne przez 4. Zapisz rozwinię-
cie dziesiętne sumy kwadratów odwrotności tych liczb.
(Pokaż odpowiedź)
odwrotności liczby naturalnej większej od 10 i mniejszej od 12a)
sumy odwrotności trzech początkowych liczb pierwszychb)
Zadania
457
Poziom trudności: AZadanie 4.1.2.28
Podaj rozwinięcia dziesiętne ułamków zwykłych:14980 , − 9
80 ,553640 .
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.1.2.29
Dane są liczby a =12 +
32 + 4 +
52 + 4 + 6 oraz b =
23 +
43 + 5 +
63 + 5 + 7 . Wykaż, że
12b − 1
5a =12 .
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.1.2.30Oblicz i zapisz wynik w postaci ułamka nieskracalnego.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 4.1.2.31Porównaj liczby
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.1.2.32Oblicz i zapisz wynik w postaci ułamka dziesiętnego.
25231 +
263 +
599
a)
1360 +
55126 +
1735
b)
95133 +
4691 +
138161
c)
524 − 11
57 +57
456d)
0, (36) …5
11a)
516 …
417
b)
2, (9) … 3c)
2, (3) +1
11 … 2 ∙ 1, (27)d)
Zadania
458
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 4.1.2.33Wyznacz taki ułamek zwykły x, aby równość była prawdziwa.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 4.1.2.34Wyznacz taki ułamek dziesiętny x, aby równość była prawdziwa.
(Pokaż odpowiedź)
(13 + 2
19 ) ∙ (1
2 + 214 )a)
(13 + 2
19 ) : (1
2 + 214 )b)
67 + x = 0,0(45)a)
13 + x =
14 + 0, (09)b)
0, (01) + x =1
33c)
x11 +
27 = 0,0(45)d)
13 + x = 1,1(6)a)
13 + x ∙ 0,0(18) =
14 + 0,125b)
0, (01) + x =1
33 + 0,1(6)c)
x11 +
23 = 0,041(6)d)
Zadania
459
Poziom trudności: AZadanie 4.1.2.35Wyznacz liczbę, która na osi liczbowej leży w jednakowej odległości od liczb x i y, gdy
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.1.2.36Podaj przykład liczby, która na osi liczbowej leży między liczbami
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.1.2.37
Wyznacz wszystkie nieskracalne ułamki zwykłe o liczniku 3, które są większe od4
11 i mniejsze
od7
13 .
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.1.2.38Znajdź wszystkie pary dodatnich liczb całkowitych a i b, dla których spełniony jest warunek37 <
a11 <
4b <
1720 .
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.1.2.39Dziesiąta część uczestników maratonu przebiegła wyznaczoną trasę w czasie krótszym niż 3 h
. Połowa pozostałych uczestników uzyskała czas nie dłuższy niż 4 h. Jaka część spośród wszyst-
kich zawodników maratonu przebiegła trasę w czasie dłuższym niż 4 h?
(Pokaż odpowiedź)
x =5
13 , y =5
12a)
x = 5, (3) , y = 5, (36)b)
x =1a , y =
1b
c)
1916 i
1714
a)
3, (5) i 3, (6)b)
−513 i −5
14
c)
Zadania
460
Poziom trudności: AZadanie 4.1.2.40
Podaj trzy różne liczby naturalne n, dla których ułamek2n + 13n + 5 jest skracalny. Przez jaką liczbę
naturalną, w każdym przypadku, ten ułamek można skrócić?
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.1.2.41
Uzasadnij, że dla każdej liczby naturalnej a ułameka
2a + 1 jest nieskracalny.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.1.2.42
Sprawdź, czy istnieją liczby naturalne n, dla których ułamek7n + 113n + 4 można skrócić przez 5. Czy
istnieje liczba naturalna n, dla której ten ułamek można skrócić przez liczbę większą niż 5?
(Pokaż odpowiedź)
Zadania
461
4.2. Procenty
4.2.1. Procenty i punkty procentowe
Film na epodreczniki.pl
Procenty
462
Już wiesz:
• Jeden procent (1%) liczby x to1
100x.
Film na epodreczniki.pl
• Różnicę między dwiema podanymi w procentach wartościami jednej wielko-
ści określamy za pomocą punktów procentowych.Na przykład zmiana opro-
centowania z 4% na 3% oznacza spadek o 1 punkt procentowy.
Procenty i punkty procentowe
463
Film na epodreczniki.pl
Już wiesz:
Film na epodreczniki.pl
Procenty i punkty procentowe
464
4.2.2. Zadania
Poziom trudności: AZadanie 4.2.2.1Zaznacz poprawne stwierdzenie.
a) 12% liczby y jest równe 18. Wtedy y = 216.
b) 45% liczby z jest równe 15. Wtedy z > 33.
c) 25% liczby x jest równe 26. Wynika z tego, że x = 6,5.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.2.2.2Zaznacz poprawne stwierdzenie.
a) Liczba o 55% mniejsza od 155 jest równa 85,25.
b) 400 g śmietany zawiera 120 g tłuszczu, zatem zawartość tłuszczu w tej śmietanie wynosi
18%.
c) Liczba o 20% większa od 120 jest równa 144.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.2.2.3Zaznacz poprawne stwierdzenie.
a) Cenę telewizora obniżono o 15% i teraz kosztuje 1519,8 zł. Z tego wynika, że przed
obniżką telewizor kosztował 1788 zł.
b) Cenę płyty zmniejszono o 10%, a następnie nową cenę znów zmniejszono o 10%.
Wówczas cena płyty zmniejszyła się o 20%.
c) Cenę książki obniżono o 20%. Jeśli sprzedawca chciałby sprzedawać ją po takiej cenie jak
przed obniżką, to powinien podwyższyć nową cenę o 25%.
d) W grudniu cenę tabletu podwyższono o 15%, a w styczniu obniżono tę nową cenę o 15%.
Teraz tablet kosztuje tyle samo, co w grudniu.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.2.2.4Zaznacz poprawne stwierdzenie.
Zadania
465
a) Każdy z boków pierwszego trójkąta jest o 30% krótszy od odpowiedniego boku drugiego
trójkąta. Z tego wynika, że obwód pierwszego trójkąta jest o 30% mniejszy od obwodu
drugiego trójkąta.
b) Długość boku kwadratu ABCD jest o 5% większa od długości boku kwadratu MNKL.
Wynika z tego, że pole kwadratu ABCD jest o 5% większe od pola kwadratu MNKL.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.2.2.5Rysy, najwyższy szczyt polskich Tatr ma wysokość 2499 m.n.p.m, podczas gdy Gerlach, najwyż-
szy szczyt Tatr, ma wysokość 2655 m.n.p.m.
a) Gerlach jest wyższy od Rysów o mniej niż 5,88%.
b) Rysy są niższe od Gerlacha o mniej niż 5,88%.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.2.2.6Zaznacz poprawne stwierdzenie.
a) W klasie Ia dziewczęta stanowią 60% wszystkich uczniów, a jednocześnie jest ich o 4
więcej niż chłopców. Wynika z tego, że w tej klasie jest 20 uczniów.
b) W klasie Ib jest 28 uczniów, przy czym dziewcząt jest o 4 więcej niż chłopców. Języka
hiszpańskiego uczy się 25% wszystkich chłopców oraz 75% wszystkich dziewcząt. Wynika z
tego, że języka hiszpańskiego uczy się 50% wszystkich uczniów tej klasy.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.2.2.7Zaznacz poprawne stwierdzenie.
a) Jeżeli oprocentowanie lokaty wynosiło 10% i zostało zwiększone o 20%, to znaczy, że
zwiększyło się o 2 punkty procentowe.
b) Kandydat na burmistrza był popierany przez 25% obywateli. W ostatnim czasie poparcie
wzrosło o 20 punktów procentowych. Obecnie popiera go 30% obywateli.
(Pokaż odpowiedź)
Zadania
466
Poziom trudności: AZadanie 4.2.2.8Wiadomo, że 17% pewnej liczby równa się 5,78. Ta liczba to
a) 33
b) 17,5
c) 34
d) 30
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.2.2.9Ile procent liczby 80 stanowi liczba 55?
a) 76%
b) 68,75%
c) 60%
d) 120%
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.2.2.10W skarbcu jest 40 sztabek złota i 30 sztabek srebra. O ile procent więcej jest sztabek złota niż
sztabek srebra?
a) 40%
b) 25%
c) 20%
d) 33, (3)%
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.2.2.11W koszyku są jabłka i gruszki, przy czym liczba gruszek stanowi 80% liczby jabłek. Wynika stąd,
że liczba jabłek stanowi
a) 125% liczby gruszek
Zadania
467
b) 20% liczby gruszek
c) 80% liczby gruszek
d) 70% liczby gruszek
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.2.2.12Długość podstawy trójkąta ABC wydłużono o 20%, a wysokość opuszczoną na tę podstawę
skrócono o 20%. Pole tak otrzymanego trójkąta
a) jest mniejsze o 4% od pola trójkąta ABC
b) jest większe o 8% od pola trójkąta ABC
c) jest równe polu trójkąta ABC
d) jest większe o 4% od pola trójkąta ABC
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.2.2.13Lodówka kosztuje 1600 zł. Jaka będzie cena lodówki, jeśli podwyższymy ją o 30%, a następnie
obniżymy o 30%?
a) 1200 zł
b) 1600 zł
c) 1500 zł
d) 1456 zł
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.2.2.14Gdy beczka z wodą jest w 30% pusta, zawiera o 30 litrów wody więcej, niż gdy jest w 30% na-
pełniona. Pojemność beczki jest równa
a) 100 litrów
b) 75 litrów
c) 90 litrów
d) 60 litrów
(Pokaż odpowiedź)
Zadania
468
Poziom trudności: AZadanie 4.2.2.15Po dwukrotnej obniżce ceny towaru, za każdym razem o ten sam procent, jego cena końcowa
stanowi 64% ceny początkowej. O ile procent każdorazowo dokonywano obniżki ceny towaru?
a) o 20%
b) o 18%
c) o 6%
d) o 8%
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.2.2.16Jedna piąta powierzchni czarno – białej fotografii to kolor czarny, a reszta to kolor biały. Fo-
tografia została powiększona. Jaki procent powierzchni powiększonej fotografii zajmuje kolor
biały?
a) 20%
b) 80%
c) 40%
d) 60%
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.2.2.17Cena puszki farby z podatkiem VAT w wysokości 22% była równa 164,70 zł. O ile złotych zdro-
żała puszka farby, jeśli stawka podatku wzrosła do 23%?
a) o 1,61zł
b) o 1,60 zł
c) o 1,35 zł
d) o 1,3 zł
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.2.2.18Która z liczb jest większa: 51% liczby 75 czy 75% liczby 51?
(Pokaż odpowiedź)
Zadania
469
Poziom trudności: AZadanie 4.2.2.19Zmieszano 30 kg stopu zawierającego 15% żelaza i 45 kg stopu zawierającego 20% żelaza. Ob-
licz, ile procent żelaza zawiera powstały stop.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.2.2.20Tabela przedstawia zestawienie wyników sprawdzianu z geografii, który pisali uczniowie Ia.
ocena 1 2 3 4 5 6
liczba uczniów 4 8 11 5 3 1
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.2.2.21Cena netto zmywarki jest równa 1100 zł, zaś cena brutto telewizora to 3800 zł. Stawka podatku
VAT na sprzęt AGD i RTV wynosi 23%. Oblicz
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.2.2.22Rodzeństwo Marek i Kasia mają dwie prostokątne działki. Długość jednego z boków działki Kasi
jest o 20% krótsza od długości boku działki Marka. Szerokość boku działki Kasi jest o 10% dłuż-
sza od szerokości boku działki Marka. O ile procent pole działki Kasi jest mniejsze od pola dział-
ki brata?
(Pokaż odpowiedź)
Ile procent uczniów klasy Ia uzyskało ocenę niedostateczną?a)
Ile procent uczniów tej klasy uzyskało ocenę co najmniej dostateczną?b)
Jaki procent uczniów klasy Ia, którzy uzyskali ocenę pozytywną, stanowią uczniowie z
oceną dobrą ?
c)
cenę brutto zmywarkia)
cenę netto telewizorab)
jaki procent ceny brutto zmywarki stanowi jej cena nettoc)
jaki procent ceny netto telewizora stanowi jego cena bruttod)
Zadania
470
Poziom trudności: AZadanie 4.2.2.23Jaś i Małgosia zdawali egzamin testowy z matematyki. Jaś uzyskał 64% punktów możliwych do
zdobycia, natomiast wynik Małgosi był lepszy od wyniku Jasia o 15 punktów procentowych. O
ile więcej procent punktów otrzymała Małgosia od Jasia?
(Pokaż odpowiedź)
Podatek VAT
Podstawowym podatkiem, z jakim mają do czynienia zarówno przedsiębiorcy, jak i ich klienci, jest
podatek od wartości dodanej, czyli VAT (Value Added Tax). Jego cechą charakterystyczną jest to, że
całą wartością opodatkowany jest ostateczny konsument danej czynności.
Szczegółowe zasady obliczania podatku VAT oraz jego stawki dla określonych grup towarów i
usług ustalane są aktami prawnymi. Zmieniająca się sytuacja gospodarcza powoduje kolejne mo-
dyfikacje zarówno stawek, jak i sposobu naliczania VAT, co czyni go jednym z bardziej skompliko-
wanych podatków w polskim systemie prawnym.
Przy obliczeniach będziemy używać takich pojęć, jak:
• kwota netto – kwota bez podatku VAT,
• kwota brutto = kwota netto + stawka podatku VAT∙ kwota netto.
Poziom trudności: AZadanie 4.2.2.24Zaznacz poprawne stwierdzenie.
a) Cena książki wraz z podatkiem VAT wynosi 47,46 zł. Jeżeli stawka podatku VAT na książki
wynosi 5%, to cena netto tej książki jest równa 45,08 zł.
b) Zestaw gier komputerowych kosztuje 196,80 zł. Jeżeli stawka podatku VAT zostałaby
zmniejszona z 23% na 8 %, to przy zakupie tego zestawu zaoszczędzilibyśmy 25 zł.
c) Cena netto laptopa jest równa 929 zł. Stawka podatku VAT na sprzęt elektroniczny wynosi
23%. Markowi wystarczy 1200 zł na zakup tego laptopa.
(Pokaż odpowiedź)
Podatek PIT Podatek dochodowy od osób fizycznych PIT (Personal IncomeTax) jest to podatek
bezpośredni, obejmujący dochody uzyskiwane przez osoby fizyczne. W terminie do 30 kwietnia
każdego roku w Urzędzie Skarbowym należy złożyć odpowiednie rozliczenie, w którym po usta-
leniu podstawy obliczenia podatku, nalicza się kwotę tego podatku. Kwota podatku zaokrąglana
jest do pełnych złotych.
W roku 2013 podatek PIT naliczany był zgodnie z tabelą
Zadania
471
Podstawa obliczenia podatku w zło-Podstawa obliczenia podatku w zło-
tychtych
ponadponad dodo
Podatek wynosiPodatek wynosi
85 528 zł18% minus kwota zmniejszająca podatek o 556,02 zł
85 528 zł 14 839,02 zł plus 32% nadwyżki ponad 85 528 zł
Jeśli podatnik spełnia odpowiednie warunki, może skorzystać z ulgi prorodzinnej z tytułu wycho-
wywania dziecka.
• Ulga dla osób wychowujących tylko 1 dziecko – 1112,04 zł rocznie (pod warunkiem, że do-
chód roczny nie przekroczył kwoty 112 000 zł).
• Ulga dla osób wychowujących więcej niż jedno dziecko (niezależnie od wysokości docho-
dów).
Liczba dzieci Wysokość ulgi rocznie
Pierwsze dziecko1112,04 zł (w przypadku, gdy dochód nie przekroczy kwoty
112000 zł)
Drugie dziecko 1112,04 zł
Trzecie dziecko 1668,12 zł
Czwarte i każde następne
dziecko 2224,08 zł
Podatek pomniejszany jest o wysokość ulgi.Pozostający w związku małżeńskim przez cały
rok podatkowy mogą rozliczać PIT wspólnie według następującej zasady:
• sumujemy podstawy opodatkowania obojga małżonków,
• otrzymaną kwotę dzielimy przez 2, wynik traktujemy jako postawę obliczania podatku PIT,
• obliczamy należny podatek według odpowiedniej skali podatkowej
• mnożymy kwotę podatku przez 2.
Ostateczną kwotę podatku do zapłacenia (po uwzględnieniu wszystkich odliczeń) zaokrągla się do
pełnych złotych.
Poziom trudności: AZadanie 4.2.2.25Zaznacz poprawne stwierdzenie.
a) W rozliczeniu podatkowym pani Joanny podstawa opodatkowania jest równa 112 560 zł.
Podatek PIT, który zapłaci pani Joanna przekroczy więc kwotę 25 000 zł.
Zadania
472
b) W rocznym rozliczeniu podatkowym pan Jacek wykazał, że podstawa naliczenia podatku
PIT w 2013 roku, od jego dochodów wynosiła 58 625 zł. Podatek, który zapłaci za ten rok to
9 996,48 zł.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.2.2.26Podstawy obliczenia podatku PIT w 2013 r. wynosiły odpowiednio: od dochodów Marty -
98 564 zł i od dochodów jej męża Jana – 79 366 zł.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.2.2.27Dorota wychowuje samotnie córkę i syna. Jej podstawa obliczania podatku od dochodu w roku
2013 wynosi 132 450 zł. Jaki podatek zapłaci Dorota, jeśli wykorzysta ulgę prorodzinną?
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.2.2.28Wspólna podstawa opodatkowania dochodów dla Ani i Wojtka wynosi w 2013 r. 152 469 zł. Czy
zapłacony przez nich podatek przekroczy 23 000 zł, jeśli skorzystają z ulgi z tytułu wychowywa-
nia trójki dzieci?
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.2.2.29Ile kilogramów czystej wody dolano do 15% roztworu wodnego saletry potasowej, jeżeli otrzy-
mano 10 kg roztworu o stężeniu 6%?
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.2.2.30Właściciel sklepu otrzymał 15% rabat w hurtowni. Za 1 kg cukru zapłacił wtedy 3,40 zł. Oblicz,
jaką cenę zapłaciłby za 1 kg cukru, gdyby nie otrzymał rabatu.
(Pokaż odpowiedź)
Jaką kwotę podatku zapłacił każdy z małżonków, jeśli rozliczali podatek osobno?a)
Ile zaoszczędziliby jako rodzina, jeśli rozliczyliby podatek wspólnie?b)
Zadania
473
Poziom trudności: AZadanie 4.2.2.31Litr benzyny kosztował w grudniu 5, 20 zł. W kolejnych miesiącach cena benzyny zmieniała się
następująco: w styczniu - wzrosła o 12%, w lutym – spadła o 14%, w marcu wzrosła o 5%. Jaka
była cena litra benzyny na koniec marca?
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.2.2.32Liczba chłopców w klasie Ic jest o 70% większa od liczby dziewcząt w tej klasie. Jaki procent całej
klasy stanowią dziewczęta?
(Pokaż odpowiedź)
Zadania
474
4.2.3. Zadania generatorowe
Poziom trudności: AZadanie 4.2.3.170% liczby 20 jest równe …
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.2.3.2Liczba 63 stanowi …% liczby 90.
(Pokaż odpowiedź)
Zadania generatorowe
475
4.3. Potęgi, pierwiastki, notacja wykładnicza
4.3.1. Działania na potęgach
Przypomnijmy
• Potęgą an o wykładniku naturalnym (n > 1) nazywamy iloczyn n czynników, z których każdy
jest równy a.
an = a ∙ a ∙ a ∙ … … ∙ an czynników
.
• Przyjmujemy, że a0 = 1 dla a ≠ 0 oraz a1 = a.
• Dla każdej liczby naturalnej n i dla dowolnej liczby a ≠ 0 przyjmujemy a−n =1
an .
Twierdzenie: Działania na potęgach
• Iloczyn potęg o tych samych podstawach
Dla dowolnej liczby rzeczywistej a ≠ 0 i dowolnych liczb całkowitych n i m prawdziwa jest rów-
ność
Potęgi, pierwiastki, notacja wykładnicza
476
an ∙ am = an + m.
Film na epodreczniki.pl
• Iloraz potęg o tych samych podstawach
Dla dowolnej liczby rzeczywistej a ≠ 0 i dowolnych liczb całkowitych n i m prawdziwa jest rów-
ność
Działania na potęgach
477
an
am = an − m.
Film na epodreczniki.pl
• Potęga potęgi
Dla dowolnej liczby rzeczywistej a ≠ 0 i dowolnych liczb całkowitych n i m prawdziwa jest rów-
ność
Działania na potęgach
478
(an)m
= an ∙ m.
Film na epodreczniki.pl
• Iloczyn potęg o tych samych wykładnikach
Dla dowolnych liczb rzeczywistych a ≠ 0 i b ≠ 0 i dowolnej liczby całkowitej n prawdziwa jest
równość
Działania na potęgach
479
an ∙ bn = (a ∙ b)n.
Film na epodreczniki.pl
• Iloraz potęg o tych samych wykładnikach
Dla dowolnych liczb rzeczywistych a ≠ 0 i b ≠ 0 i dowolnej liczby całkowitej n prawdziwa jest
równość
Działania na potęgach
480
an
bn = ( ab )
n.
Film na epodreczniki.pl
Działania na potęgach
481
4.3.2. Zadania
Poziom trudności: AZadanie 4.3.2.1Zaznacz poprawne stwierdzenia.
a) Liczba −42 jest równa 16.
b) Liczba (−4)2
jest równa 16.
c) Liczba 3−6 jest równa1
729 .
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.3.2.2Zaznacz poprawne stwierdzenie.
a) Liczba (√7)12
jest równa 76.
b) Liczba ( 1256 )
4jest równa 2−16.
c) Liczba 256 jest równa 58.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.3.2.3Suma odwrotności trzech początkowych liczb pierwszych jest równa
a) 2−1 + 3−1 + 5−1
b)1
2−1 + 3−1 + 5−1
c) (1−1 + 2−1
+ 3−1)d) (2−1 + 3−1 + 5−1)
−1
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.3.2.4
Ułamek35 ∙ 2 + 36 ∙ 4
37 ∙ 3−2 jest równy
Zadania
482
a) 35
b) 14
c) 32
d) 12
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.3.2.5Liczbę 0,0000000000345 można zapisać w postaci
a) 34,5 · 10−9
b) 34,5 · 10−11
c) 3,45 · 10−11
d) 3,45 · 10−10
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.3.2.6Ćwierć liczby 8100 to
a) 2298
b) 2300
c) 850
d) 825
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.3.2.7Suma 4100 + 4100 + 4100 + 4100 jest równa
Zadania
483
a) 16400
b) 16100
c) 4400
d) 4101
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.3.2.8Dane są liczby: x = 85, y = 2−3, z = 318. Wtedy
a)xy · z = 418
b)xy · z = 318
c)xy · z = 218
d)xy · z = 618
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.3.2.9Oblicz.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.3.2.10Oblicz.
56a)
−56b)
5−6c)
−5−6d)
(−5)6e)
(−5)−6f)
Zadania
484
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.3.2.11Podane liczby zapisz w postaci potęgi o podstawie 2.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.3.2.12Wykonaj działania.
(Pokaż odpowiedź)
(23 )
2∙ (3
2 )4a)
(52 )
−3: (2
5 )5b)
(−1)5
∙ 32 ∙ (− 13 )
2c)
(45 )
−3∙ (5
4 )3d)
(225 )
2: ( 5
12 )3e)
23 ∙ 4−2 ∙ 18
a)
51246 ∙ (102420)8b)
( 116 )
−1∙ 85
32
c)
( 116 )
3∙ (− 1
2 )−5
(−2)5
∙ 256−2
d)
712 + 714
710
a)
11111 − 11113
11110
b)
318 + 319 + 320 + 321
320 + 322
c)
Zadania
485
Poziom trudności: AZadanie 4.3.2.13Zapisz wyrażenie w postaci potęgi o podstawie a i wykładniku całkowitym.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.3.2.14Zaznacz poprawne stwierdzenie.
a) Jeżeli x = 4 · 53 i y = 203, to x = y.
b) Liczba 328 jest równa 2565.
c) Liczba216 · 423
810 jest równa 168.
d) Liczba 520 · 2515 jest równa 525.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.3.2.15Zaznacz poprawne stwierdzenie.
a) Równość3 · 52013 + 52014
52013 · 23 = 1 jest prawdziwa.
b) Ułamek363
36 jest równy 64.
c) Liczba 37 : 67 jest równa1
256 .
d) Liczba 25 · 55 jest równa 100000.
(Pokaż odpowiedź)
a3 ∙ a−4
a−5 :a6
(a−3)2
a)
(a3)2
∙ a2
(a2)4 ∙ a−1
b)
a−33 ∙ a13
(a−5)4
c)
Zadania
486
Uwaga
Porównując potęgi o tych samych podstawach dodatnich a, musimy pamiętać, że:
• dla a > 1 większa jest ta potęga, która ma większy wykładnik,
• dla a < 1 to większa jest ta potęga, która ma mniejszy wykładnik.
Poziom trudności: AZadanie 4.3.2.16Dane są liczby a = 5544 i b = 5555.
a) Prawdziwa jest nierówność a > b.
b) Prawdziwa jest nierówność a < b .
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.3.2.17Dane są liczby m = 2244 i n = 4422.
a) Prawdziwa jest nierówność m < n.
b) Prawdziwa jest nierówność m > n .
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.3.2.18
Aplikacja na epodreczniki.pl
Ciekawostka
Potęg o wykładniku całkowitym używamy do zapisywania liczb bardzo małych lub bardzo du-
żych. Stosujemy wtedy notację wykładniczą, np.:
• 6,02 ∙ 1023 mol−1 to liczba Avogadro oznaczająca liczbę cząsteczek materii znajdujących
się w jednym molu tej materii,
• 3 ∙ 108 m / s to prędkość światła,
• 1,66 ∙ 10 − 27 kg to masa pojedynczego atomu węgla,
• 3,84 ∙ 108 m to średnia odległość Księżyca od Ziemi.
Zadania
487
Ważne
Liczba zapisana w notacji wykładniczej ma postać a ∙ 10k, gdzie 1 ≤ a < 10 oraz k jest liczbą
całkowitą.
Poziom trudności: AZadanie 4.3.2.19Zaznacz poprawne stwierdzenie.
a) Liczba a = 2,4 · 10−5 jest 3 razy większa od liczby b = 8 · 10−7.
b) Iloczynem liczb 5,6 · 1015 i 3,5 · 10−7 jest liczba 1,96 · 109.
c) Liczba 2,37 · 10−5 jest mniejsza od 3,24 · 10−6.
d) Liczba 6,52 · 10−6 jest równa 0,000652.
(Pokaż odpowiedź)
Zadania
488
4.3.3. Działania na pierwiastkach
• Pierwiastkiem kwadratowym z liczby nieujemnej a nazywamy liczbę nieujemną b taką, która
podniesiona do drugiej potęgi jest równa a.
Zatem, dla dowolnej liczby nieujemnej a √a = b wtedy i tylko wtedy, gdy b2 = a i b ≥ 0.
• Pierwiastkiem sześciennym z liczby a nazywamy taką liczbę b, która podniesiona do trzeciej
potęgi jest równa a.
Zatem, dla dowolnej liczby a3√a = b wtedy i tylko wtedy, gdy b3 = a.
Zauważmy, że powyższe definicje różnią się wyłącznie założeniami dla liczb a i b. Ponieważ b2 jest
zawsze liczbą nieujemną, to pierwiastki kwadratowe obliczamy wyłącznie z liczb nieujemnych. Na-
tomiast b3 może być zarówno ujemne, jak i nieujemne, dlatego pierwiastek sześcienny obliczamy
z dowolnej liczby a.
Podobnie możemy zapisać definicje pierwiastka stopnia n większego niż 1, pamiętając o odpo-
wiednim założeniu dotyczącym liczby podpierwiastkowej.
• Jeśli n jest liczbą parzystą większą od 1, to pierwiastkiem stopnia n z liczby nieujemnej a na-
zywamy liczbę nieujemną b taką, która podniesiona do potęgi n jest równa a.
n√a = b ? bn = a
• Jeśli n jest liczbą nieparzystą większą od 1 to pierwiastkiem stopnia n z liczby a nazywamy
liczbę b taką, która podniesiona do potęgi n jest równa a.
n√a = b ? bn = a
Twierdzenie: Działania na pierwiastkach
Jeśli a i b są liczbami nieujemnymi, n i m są liczbami naturalnymi większymi od 1, k jest do-
datnią liczbą naturalną, to
• n√a ∙ b =n√a ∙ n√b
• n√ ab =
n√an√b
, b ≠ 0
• (n√a)n
= a
• (n√a)k
=n√ak
•n√m√a =
n ∙ m√a
Jeśli w powyższym twierdzeniu liczby n i m (stopnie pierwiastków) są nieparzyste, to twier-
dzenie pozostanie prawdziwe również dla ujemnych liczb podpierwiastkowych (a lub b) .
Działania na pierwiastkach
489
4.3.4. Zadania. Część I
Poziom trudności: AZadanie 4.3.4.1Zaznacz poprawne stwierdzenie.
a) Liczba√41625 jest równa 2
45 .
b) Liczba −3√−512 jest ujemna.
c) Liczba √289 jest równa 17.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.3.4.2Zaznacz poprawne stwierdzenie.
a) Liczba √2 · √32 jest równa 8.
b) Liczba3√36 · 3√6 jest liczbą całkowitą.
c) Liczba √7 : √28 jest równa14 .
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.3.4.3Zaznacz poprawne stwierdzenie.
a) Liczba 23√21 jest równa
3√42.
b) Liczba 3√5 jest równa √45.
c) Liczba3√261 jest równa 3
3√29.
d) Liczba √1575 jest równa 15√7.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.3.4.4Zaznacz poprawne stwierdzenie.
a) Liczba3
3√5jest równa
33√55 .
b) Liczba3
4√2 jest równa38√2.
Zadania. Część I
490
c) Liczba7
√7 jest równa √7.
d) Liczba1
√3 jest równa √33 .
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.3.4.5Zaznacz poprawne stwierdzenie.
a) Liczba (√√√6)12
jest równa 6.
b) Liczba ((−2√5)−1)
−2jest liczbą dodatnią.
c) Liczba ( 5
√2 )−3
jest mniejsza od 1.
d) Liczba (2√3)−4
jest większa od 1.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.3.4.6Zaznacz poprawne stwierdzenie.
a) Wynikiem dodawania 2999 + 2999 jest 21000.
b) Prawdziwa jest równość √3555 + 3555 + 3555 = 3555.
c) Wynikiem dodawania √50 + √18 + √32 jest liczba 10√2.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.3.4.7
Liczba20 + 23 ∙ 24 + 2−1 : 2−3
2−1 + 2−2 + 2−3 jest
a) mniejsza od 1
b) naturalna
c) całkowita ujemna
d) niewymierna
(Pokaż odpowiedź)
Zadania. Część I
491
Poziom trudności: AZadanie 4.3.4.8
Liczba (√√√3)16
jest równa
a) 9√3
b) 34
c) 32
d) 3√3
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.3.4.9Liczba
3√−8 ∙ 3√−512 jest równa
a) 2−4
b) −2−4
c) 24
d) −24
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.3.4.10
Dane są liczby: x = − 3√−64, y = √93, z =22
33 . Prawdziwa jest równość
a) z = x · y
b) z = − yx
c) z =xy
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.3.4.11Oblicz.
√125 + √405 + √20a)
√50 − 2√72 + √800b)
Zadania. Część I
492
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.3.4.12
Udowodnij, że jeśli x = (23)4
∙ ( 164 )
−2oraz y = (25 ∙ 3√8)
2, to x = y2.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.3.4.13
Wykaż, że prawdziwa jest nierówność(3−2)
3∙ 32
27−2 > (√33√27)
−1.
(Pokaż odpowiedź)
√98 − √162 + √288c)
3√108 +3√500 − 5
3√32d)
Zadania. Część I
493
4.3.5. Zadania. Część II
Poziom trudności: AZadanie 4.3.5.1
Dane są liczby: 35 , −(13 )
3, (1
2 )−2
, (− 12 )
−2, − (1
2 )−2
, 2−4, −24, −35 , 3−5 , (− 13 )
3, (−2)
4, (− 1
3 )−3
, 24, (−3)5
. Podziel je na liczby dodatnie oraz liczby ujemne.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.3.5.2Porównaj liczby. Wstaw znak równości bądź znak nierówności.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.3.5.3
Aplikacja na epodreczniki.pl
Poziom trudności: AZadanie 4.3.5.4Połącz w pary liczby, które są równe.
532010 … 532014a)
(−3)76
… (−3)80b)
−376 … − 380c)
(14 )
5… (1
4 )10d)
(− 23 )
8… (2
3 )8e)
(√22 )
10… (√2
2 )15f)
(√22 )
−7… (√2
2 )−10g)
(√2 + 2)20
… (√2 + 2)60h)
(√2 − 2)20
… (√2 − 2)60i)
(67 )
4… (7
6 )−4j)
Zadania. Część II
494
I 92√3
3
√3A
II √35
√3B
III 2√39
3√32
C
IV 5√33
23√3 D
V 23√3
E
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.3.5.5Połącz w pary liczby, które są równe.
I 7√2 √150 A
II 5√2 √50 B
III 5√3 √28 C
IV 2√5 √20 D
V 5√5 √75 E
VI 2√7 √96 F
VII 5√6 √125 G
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.3.5.6Połącz w pary liczby, które są równe.
Zadania. Część II
495
I 23√4
4√32 A
II 43√2
3√32 B
III 24√2
3√128 C
IV 44√2
4√162 D
V 34√2 E
VI F
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.3.5.7Uzupełnij tabelę.
Zapis dziesiętny Notacja wykładnicza
1350000000000000 1,35 ∙ 1015
13500000000000 1,35 ∙ 10 …
1,36 ∙ 1014
0,0000000000000135 1,35 ∙ 10 …
1,35 ∙ 10−12
0,00000000000136 … ∙ 10−12
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.3.5.8Oblicz. Odpowiedź podaj w notacji wykładniczej.
(5,3 ∙ 109) ∙ (1,4 ∙ 1012)a)
(6,4 ∙ 1023) ∙ (2 ∙ 1018)b)
Zadania. Część II
496
(Pokaż odpowiedź)
(8,6 ∙ 10−12) ∙ (4 ∙ 10−18)c)
2,98 ∙ 1011
1,49 ∙ 1018
d)
3,15 ∙ 1031
(2,1 ∙ 1018) ∙ (2,5 ∙ 108)e)
Zadania. Część II
497
4.4. Wyrażenia algebraiczne
4.4.1. Działania na wyrażeniach algebraicznych
Już wiesz:
• Dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b, x, y zachodzi prawo rozdzielności
mnożenia względem dodawania
a(x + y) = ax + ay.
• Jeśli do powyższego wzoru zamiast y wstawimy liczbę do niej przeciwną, czyli
( − y), to otrzymamy
a(x + (−y)) = a(x − y) = ax − ay.
• Na podstawie prawa rozdzielności możemy zapisać również
(a + b)(x + y) = a(x + y) + b(x + y) = ax + ay + bx + by.
Wyrażenia algebraiczne
498
Przykład 1.Ilustracja graficzna mnożenia liczby przez sumę algebraiczną.
Aplikacja na epodreczniki.pl
Film na epodreczniki.pl
Działania na wyrażeniach algebraicznych
499
Film na epodreczniki.pl
Film na epodreczniki.pl
Działania na wyrażeniach algebraicznych
500
4.4.2. Zadania
Poziom trudności: AZadanie 4.4.2.1Wskaż poprawne stwierdzenie.
a) Iloczyn 65 · 74 jest równy 4200 + 350 + 24 + 20.
b) Iloczyn 99 · 89 jest równy 9000 − 100 − 90 − 1.
c) Iloczyn 8 · 1256 jest równy 8000 + 1600 + 400 + 48.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.4.2.2Wskaż poprawne stwierdzenie.
a) Dla dowolnej liczby x zachodzi równość (x − 2)(x + 1) = x2 − x − 2.
b) Wyrażenie 2x(3 − 5x) + 10(x2 − x + 4) jest równe 4(10 − x).
c) Jeżeli a =12x(5x − 8) oraz b =
52x2 − 4x, to a = b.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.4.2.3Wskaż poprawne stwierdzenie.
a) Dla dowolnych dodatnich liczb x i y pole trójkąta prostokątnego ABC, w którym
| DC | = 4, | DF | = 5y, | EF | =12x oraz | EB | = 6x jest równe
20y + 24x +53xy + 2x2.
Zadania
501
b) Jeśli a > 3, to pole równoległoboku przedstawionego na rysunku jest równe
a2 + a − 12.
c) Jeżeli x i y są liczbami dodatnimi, to pole prostokąta przedstawionego na rysunku można
zapisać jako 2x + 2xy.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.4.2.4Zaznacz poprawne stwierdzenie.
a) W trójkącie równoramiennym wysokość opuszczona na podstawę długości 3b jest równa
5b − 2 (dla b >25 ). Z tego wynika, że pole tego trójkąta jest równe 4b2 − 3b.
b) Dla pewnej liczby dodatniej a jedna z przekątnych rombu jest równa 6a + 5, a druga jest
od niej krótsza o 3. Z tego wynika, że pole tego rombu jest równe 36a2 + 42a + 10.
c) Jeden z boków prostokąta jest równy x, a drugi jest o 5 dłuższy od połowy pierwszego
boku. Wtedy pole tego prostokąta jest równe 2x2 + 5x.
(Pokaż odpowiedź)
Zadania
502
Poziom trudności: AZadanie 4.4.2.5Zaznacz poprawne stwierdzenie.
a) Liczba (2√3 − 3)(3√3 + 4) jest większa od 5.
b) Iloczyn (√5 + 1)(√5 + 2) jest równy 8.
c) Liczba (√2 + 2√3)(√3 − √2) − 1 jest dodatnia.
d) Liczba √2(√8 + √32) jest całkowita.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.4.2.6Wskaż poprawne stwierdzenie.
a) Dla dowolnych liczb x i y wyrażenie 5x3y − 10xy2 jest równe 5xy(x2 − 2y).
b) Dla dowolnych liczb x i y wyrażenie x(y − 4) + 5(y − 4) jest równe (y − 4)(x + 5).
c) Liczba 35 + 7√3 jest równa 7(5 + √3).
(Pokaż odpowiedź)
Zadania
503
Poziom trudności: AZadanie 4.4.2.7Oznaczmy: W = x(8x + 11) − (2x − 1)4x + x2. Wtedy
a) dla x = − 12 wartość wyrażenia W jest równa ( − 7
14 )
b) istnieje taka liczba x, dla której wartość wyrażenia W jest równa 0
c) dla x = 1 wartość wyrażenia W jest równa 1
(Pokaż odpowiedź)
Film na epodreczniki.pl
Zadania
504
Film na epodreczniki.pl
Poziom trudności: AZadanie 4.4.2.8Dane są dwa prostokąty. Pierwszy o bokach a i b, drugi o bokach c i d. Odcinek a jest połową
boku c, natomiast d = b + a. Wynika z tego, że
a) a − b = c − d
b) pole drugiego prostokąta jest równe b2 + 2ab
c) b = d − 12c
d) c = 50%a
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.4.2.9Zaznacz zdanie, które jest prawdziwe.
a) Jeżeli dodatnie liczby k, l ,m spełniają zależność: 2k(l2 − m) = 5, to m =5 − l2
2k .
b) Jeżeli dodatnie liczby a, b, c spełniają zależność ab = c(3c − a), to a =3c
b + c .
Zadania
505
c) Jeżeli dodatnie liczby x, y, z spełniają zależność (z + y)x = 1, to x =1
z + y .
(Pokaż odpowiedź)
Zadania
506
4.4.3. Przykłady
Przykład 1.Zapisz iloczyn w postaci sumy.
Korzystamy z rozdzielności mnożenia względem dodawania.
Iloczyn dwóch takich samych wyrażeń to inaczej kwadrat danego wyrażenia.
(x + y)(x + y) = (x + y)2
= x2 + 2xy + y2
Film na epodreczniki.pl
Graficznie można ten wzór zilustrować, obliczając pole kwadratu o boku a + b.
(3a + 2)(3a + 2)a)
(2 + 4x)(2 + 4x)b)
(x + y)(x + y)c)
(3a + 2)(3a + 2) = (3a)2
+ 6a + 6a + 4 = 9a2 + 12a + 4a)
(2 + 4x)(2 + 4x) = 4 + 8x + 8x + 16x2 = 4 + 16x + 16x2b)
(x + y)(x + y) = x2 + xy + xy + y2 = x2 + 2xy + y2c)
Przykłady
507
Aplikacja na epodreczniki.pl
Przykład 2.Oblicz.
Różnicę dwóch wyrażeń zapisujemy w postaci sumy i korzystamy ze wzoru na kwadrat sumy.
Otrzymamy wtedy
Otrzymujemy wzór na kwadrat różnicy dwóch wyrażeń
(x − y)2
= x2 − 2xy + y2.
Przykład 3.Zapisz iloczyn w postaci sumy.
Korzystając z rozdzielności mnożenia względem dodawania, otrzymujemy
(a − 3)2a)
(4x − 1)2b)
(x − y)2c)
(a − 3)2
= (a + (−3))2
= a2 + 2 ∙ (−3) ∙ a + (−3)2
= a2 − 6a + 9a)
(4x − 1)2
= (4x + (−1))2
= (4x)2
+ 2 ∙ (−1) ∙ 4x + (−1)2
= 16x2 − 8x + 1b)
(x − y)2
= (x + (−y))2
= x2
+ 2 ∙ x ∙ (−y) + (−y)2
= x2 − 2xy + y2c)
(3x − 1)(3x + 1)a)
(2a − 4)(2a + 4)b)
(x + y)(x − y)c)
Przykłady
508
Zauważmy, że po pomnożeniu sumy dwóch wyrażeń przez ich różnicę, otrzymamy różnicę
kwadratów tych wyrażeń:
(x + y)(x − y) = x2 − y2.
Film na epodreczniki.pl
(3x − 1)(3x + 1) = 9x2 − 3x + 3x − 1 = 9x2 − 1a)
(2a − 4)(2a + 4) = 4a2 − 8a + 8a − 16 = 4a2 − 16b)
(x + y)(x − y) = x2 − xy + xy − y2 = x2 − y2c)
Przykłady
509
Przykład 4.Ten wzór możemy zilustrować graficznie, porównując pola sześciokąta i prostokąta.
Aplikacja na epodreczniki.pl
Przykłady
510
4.4.4. Zadania, zadania generatorowe
Poziom trudności: AZadanie 4.4.4.1Oblicz bez użycia kalkulatora.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.4.4.2Wskaż równości prawdziwe dla wszystkich liczb rzeczywistych x i a.
a) 2(x − 4)(x + 4) + 32 = 2x2
b) (12x − 3
2 )2
=14x2 − 3
2x +94
c) (a + 5)2
= a2 + 10a + 25
d) (2x − 4)2
= 4x2 − 8x + 16
e) (x − 3)2
= x2 − 9
f) (x + 3√2)2
= x2 + 6x√2 + 18
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.4.4.3Oblicz, korzystając ze wzorów skróconego mnożenia.
(Pokaż odpowiedź)
2092a)
2972b)
203 ∙ 197c)
(√2 + 3)2a)
(3 − √5)2b)
(3√2 + 2√3)2c)
(12√2 − 1
3√3)2d)
Zadania, zadania generatorowe
511
Przykład 1.• Zapisz sumę x2 + 8x + 16 w postaci potęgi, wykorzystując wzór skróconego mnożenia.
Sumę
x2 + 8x + 16
zapiszemy w postaci kwadratu pierwszego wyrażenia, podwojonego iloczynu obu wyrażeń
oraz kwadratu drugiego wyrażenia
x2 + 8x + 16 = x2 + 2 ∙ 4 ∙ x + 42.
Zatem
x2 + 8x + 16 = x2 + 2 ∙ 4 ∙ x + 42 = (x + 4)2.
• Sprawdź, czy wyrażenie x2 + 5x + 16 można zapisać w postaci kwadratu sumy dwóch
wyrażeń, wykorzystując wzór skróconego mnożenia.
Jeśli wyrażenie
x2 + 5x + 16
jest kwadratem sumy dwóch wyrażeń, to oznacza, że pierwszym wyrażeniem jest x, a drugim
4 (kwadraty tych wyrażeń to odpowiednio x2 i 16). Musimy sprawdzić, czy wyrażenie 5x jest
podwojonym iloczynem.
2 ∙ 4 ∙ x = 8x ≠ 5x
Z tego wynika, że sumy x2 + 5x + 16 nie można zapisać w postaci kwadratu sumy dwóch wy-
rażeń.
Przykład 2.Podane wyrażenia zapisz, jeśli będzie to możliwe w postaci iloczynu, wykorzystując wzór
skróconego mnożenia na różnicę kwadratów.
• x2 − 25
Wyrażenie jest różnicą kwadratów liczb x i 5. Zatem na podstawie wzoru skróconego mnoże-
nia otrzymujemy:
x2 − 25 = x2 − 52 = (x − 5)(x + 5).
• x2 − 10
Wyrażenie jest różnicą kwadratów liczb x i √10, więc
x2 − 10 = x2 − (√10)2
= (x − √10)(x + √10).
Zadania, zadania generatorowe
512
• x2 + 4
Wyrażenia nie można zapisać w postaci różnicy liczb rzeczywistych nieujemnych, zatem nie
możemy skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia.
Przykład 3.Wykaż, że liczba 29 + 12√5 jest kwadratem liczby 3 + 2√5.
Aby przeprowadzić dowód, wystarczy wykazać, że
(3 + 2√5)2
= 29 + 12√5.
Po zastosowaniu wzoru skróconego mnożenia (na kwadrat sumy) otrzymamy
(3 + 2√5.)2
= 9 + 2 ∙ 3 ∙ 2√5 + (2√5)2
= 9 + 12√5 + 20 = 29 + 12√5.
Z tego wynika, że liczba 29 + 12√5 jest kwadratem liczby 3 + 2√5.
Przykład 4.Znajdź liczbę postaci a + b√3, gdzie a i b są liczbami całkowitymi, której kwadrat jest równy
19 − 8√3.
W znalezieniu takiej liczby pomoże wzór skróconego mnożenia na kwadrat różnicy. Liczbę
8√3 możemy zapisać na przykład w postaci
8√3 = 2 ∙ 2 ∙ 2√3
lub
8√3 = 2 ∙ 4 ∙ √3,
czyli jako podwojony iloczyn liczb odpowiednio 2 i 2√3 lub 4 i √3. Sprawdzimy, w którym przy-
padku suma kwadratów tych liczb jest równa 19.
jeśli przyjmiemy, że 8√3 = 2 ∙ 2 ∙ 2√3, to jeśli przyjmiemy, że 8√3 = 2 ∙ 4 ∙ √3, to
22 + (2√3)2
= 4 + 12 ≠ 19 42 + (√3)2
= 16 + 3 = 19
Z tego wynika, że liczbę 19 − 8√3 możemy zapisać jako (4 − √3)2
lub jako (√3 − 4)2.
Zatem istnieją dwie liczby, których kwadrat jest równy 19 − 8√3 . Jest to liczba 4 − √3 i liczba
do niej przeciwna √3 − 4.
Przykład 5.
Wykaż, że liczba2
2 + √2 + √2 jest całkowita.
Wykażemy, że podana liczba jest całkowita, usuwając niewymierność z mianownika ułamka.
W tym celu pomnożymy licznik i mianownik ułamka przez takie wyrażenie, aby w mianowni-
ku otrzymać różnicę kwadratów. Zatem
Zadania, zadania generatorowe
513
22 + √2 + √2 =
22 + √2 ∙ 2 − √2
2 − √2 + √2 =2(2 − √2)
4 − 2 + √2 =2(2 − √2)
2 + √2 = 2 − √2 + √2 = 2.
Liczba 2 jest całkowita, zatem liczba2
2 + √2 + √2 jest całkowita.
Poziom trudności: AZadanie 4.4.4.4Liczba √2(5√2 − 6) + 3(4 − 2√2) − 22 jest równa
a) −6√2
b) −12√2
c) 0
d) 6√2
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.4.4.5Dla a = − 1 wartość wyrażenia a(3a − 1) + 2a(a − 3) jest równa
a) 2
b) 0
c) −2
d) 12
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.4.4.6
Dla dowolnej liczby x wyrażenie (3x2 − 4)(2x2 + 6) jest równe
a) 6x4 + 10x2 − 24
b) 6x4 − 10x2 − 24
c) 6x4 + 10x2 + 24
d) 6x4 − 10x2 + 24
(Pokaż odpowiedź)
Zadania, zadania generatorowe
514
Poziom trudności: AZadanie 4.4.4.7Dla dowolnych liczb a i b wyrażenie −3a2 + 3ab + 6b2 jest równe
a) 3(a − 2b)(a + b)
b) −3(a − 2b)(a + b)
c) −3(a + 2b)(a − b)
d) 3(a + 2b)(a − b)
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.4.4.8
Jeżeli a = 6x − 4 i b =12 to
a)12a2b = 36x2 − 48x + 16
b)12a2b = 9x2 − 12x + 4
c)12a2b = 18x2 + 8
d)12a2b = 18x2 − 24x + 8
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.4.4.9Dla dowolnych liczb a, b i c wyrażenie (a − c)(b − a) − (a − b)c jest równe
a) −a2
b) ac − a2
c) ab − a2
d) bc − a2
(Pokaż odpowiedź)
Zadania, zadania generatorowe
515
Poziom trudności: AZadanie 4.4.4.10Dla pewnej liczby dodatniej a podstawa trójkąta jest równa 4a + 6 . Wysokość opuszczona na tę
podstawę jest od niej o 2a − 2 krótsza. Pole tego trójkąta jest równe
a) 4a2 + 10a + 6
b) 8a2 + 44a + 48
c) 4a2 + 22a + 24
d) 8a2 + 20a + 12
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.4.4.11Wyrażenie 1 − 5x2 po rozłożeniu na czynniki ma postać
a) (1 − 5x)(1 + 5x)
b) (1 − √5x)(1 + 5x)
c) (1 − √5x)(1 + √5x)
d) (1 − √5x)(1 − √5x)
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.4.4.12
Wartość wyrażenia (3x − 2)(3x + 2)(9x2 + 4) dla x = √2 jest równa
a) 309
b) 308
c) 307
d) 305
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.4.4.13
Liczba5
3 − 2√2 jest równa
a) −2√2 − 3
Zadania, zadania generatorowe
516
b) 15 + 10√2
c) 10√2 + 15
d) 2√2 + 3
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.4.4.14Oblicz w pamięci.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.4.4.15Oblicz.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.4.4.16Wykonaj mnożenie.
7 ∙ 89a)
6 ∙ 203b)
8 ∙ 397c)
201310 − 2011 ∙ 20139 − 2 ∙ 20139a)
4004−25 ∙ (400426 − 400425)b)
(1 − 9x)(2 + 6x)a)
(2x + 3)(4 − x2)b)
(x + y + z)(xy + y3 + x2z)c)
13 (5y − 9)(3y + 4)d)
(13x − 2
3 )(32x +
23 )e)
(3x2 + 2x − 1)(2x − 4)f)
(4y3 − 2y + 5)(y2 + y − 2)g)
Zadania, zadania generatorowe
517
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.4.4.17Wyłącz wspólny czynnik przed nawias.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.4.4.18Uprość wyrażenie, a następnie oblicz jego wartość liczbową dla podanej wartości x.
(Pokaż odpowiedź)
(5x − √3)(√2x + √6)h)
√3(a − √3)(3a − 4√3)i)
(√3x + √2)(2√3x − √2)j)
4ab3 − 2a2b + 6aba)
2x3y + 18x2y2 + 9xy3b)
4x(x − 3) + 2x2(x − 3) − 6x3(x − 3)c)
3a(a + 5)(a − 1) + 9a(a − 1)(a + 3) − 6a(a − 1)(a + 2)d)
2(x − 1)2(x + 3) + 4(x − 1)(x + 3)
2+ 6(x − 1)(x + 3)e)
x2y2 + x3y + 3xyf)
xz2 + xyz + x2z + 3z + x2y + 3xg)
(2x − 3)(3x − 1) − 3 dla x = 2√3a)
4x(x − 3) + 2x(1 − 2x) + 3 dla x =12 + √2b)
3x2(2x + 1) + x(4 − 3x) dla x =3√5c)
(4x − 1)(2 − 3x) − (x − 1)(x − 2) dla x = − 3√5d)
(2x − 3)2
+ 2(x2 − 4)(x2 + 4) − 3(10 − 4x) dla x = 3√10e)
6(x − 1)(x + 1) + 4(x − 3)(x + 3) + 2(x − 5)(x + 5) dla x = 1 + 2√2f)
Zadania, zadania generatorowe
518
Poziom trudności: AZadanie 4.4.4.19Każdej figurze przyporządkuj wzór opisujący jej pole.
I.
P = 2a2 + 5aa)
P = 2a2 − 52a − 3b)
P = 2a2 − 312a − 1c)
P = 2a2 +52ad)
P = 2a2 − a − 6e)
P = 2a2 + 3af)
P = 2a2 − a + 6g)
Zadania, zadania generatorowe
519
II.
III.
Zadania, zadania generatorowe
520
IV.
V.
Zadania, zadania generatorowe
521
VI.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.4.4.20Boki prostokąta są równe a + 5 i 2a + 5, gdzie a jest liczbą dodatnią. O ile zmieni się pole pro-
stokąta, jeśli długość pierwszego boku zwiększymy o 3, a długość drugiego zmniejszymy o 4?
Podaj odpowiednie założenia.
(Pokaż odpowiedź)
Zadania, zadania generatorowe
522
Poziom trudności: AZadanie 4.4.4.21Zapisz wyrażenie opisujące pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu przestawionego na
rysunku. Krawędzie prostopadłościanu są równe y + 4, z + 6, x + z, gdzie x, y, z to liczby dodat-
nie.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.4.4.22
Wykaż, że równość √3 − 12√3 + 4 =
3(√3 − 1)2 − 1 jest prawdziwa.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.4.4.23Połącz w pary wyrażenia, które są równe
I x2 − 2x + 1 (x − 1)(x + 1) A
II 4x2 − 1 (2x − 1)2 B
III 4x2 + 4x + 1 (x + 1)2 C
IV x2 + 2x + 1 (2x + 1)2 D
V x2 − 1 (x − 1)2 E
VI 4x2 − 4x + 1 (2x − 1)(2x + 1) F
(Pokaż odpowiedź)
Zadania, zadania generatorowe
523
Poziom trudności: AZadanie 4.4.4.24Niech p, q oznaczają wyrażenia algebraiczne. Uzupełnij tabelę tak, aby każdej nazwie zostało
przyporządkowane odpowiadające jej wyrażenie.
Nazwa wyrażenia Zapis symboliczny wyrażenia
kwadrat sumy dwóch wyrażeń (p + q)2
suma kwadratów dwóch wyrażeń
suma odwrotności dwóch wyrażeń
odwrotność sumy dwóch wyrażeń
różnica kwadratów dwóch wyrażeń
kwadrat różnicy dwóch wyrażeń
podwojony iloczyn dwóch wyrażeń
potrojony kwadrat sumy dwóch wyrażeń
potrojona suma kwadratów dwóch wyrażeń
odwrotność różnicy kwadratów dwóch wyrażeń
odwrotność kwadratu różnicy dwóch wyrażeń
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.4.4.25Połącz w pary równe liczby.
I 4 + 2√3 (2√2 + 1)2 A
II 7 − 4√3 (√3 − 1)2 B
III 9 + 4√2 7 + 4√3 C
IV 9 − 4√2 (2√2 − 1)2 D
V 4 − 2√3 (√3 + 1)2 E
VI (2 + √3)2
(2 − √3)2 F
(Pokaż odpowiedź)
Zadania, zadania generatorowe
524
Poziom trudności: AZadanie 4.4.4.26
Uzupełnij. (3 + √5)2
= … + … √5.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.4.4.27
Uzupełnij. (2 − √7)2
= … − … √7.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.4.4.28
Uzupełnij. (3 − √5)(3 + √5) = …
(Pokaż odpowiedź)
Zadania, zadania generatorowe
525
4.5. Potęga o wykładniku wymiernym
4.5.1. Potęga o wykładniku wymiernym
Definicja: Potęga o wykładniku1n
Dla dowolnej liczby nieujemnej a i liczby naturalnej n większej od 1 przyjmujemy
a1n =
n√a.
Dla liczby naturalnej n większej od 1, liczby całkowitej m i liczby dodatniej a przyjmujemy
amn =
n√am
W szczególności, gdy m = 1 otrzymujemy a1n =
n√a. Równość tę przyjmujemy też dla a = 0.
Poznane wcześniej twierdzenia o działaniach na potęgach o całkowitych wykładnikach są praw-
dziwe również wtedy, gdy wykładnik jest liczbą wymierną. Mamy zatem:
Definicja: Działania na potęgach
Dla dowolnej liczby dodatniej a i dowolnych liczb wymiernych x i y prawdziwe są
równości
• ax ∙ ay = ax + y (wzór na iloczyn potęg o tych samych podstawach)
• ax
ay = ax − y (wzór na iloraz potęg o tych samych podstawach)
• (ax)y
= ax ∙ y (wzór na potęgę potęgi)
Dla dowolnych liczb dodatnich a i b oraz dowolnej liczby wymiernej x prawdziwe są równości
• ax ∙ bx = (a ∙ b)x
(wzór na iloczyn potęg o tych samych wykładnikach)
• ax
bx = ( ab )
x(wzór na iloraz potęg o tych samych wykładnikach)
Poziom trudności: AZadanie 4.5.1.1Połącz w pary równe liczby.
Potęga o wykładniku wymiernym
526
I 3√2 413
A
II (0, 5)12
415
B
III8
14
4√4 C
IV 3√45√8 D
V 5√4 213
E
VI √2 √0,5 F
VII4
14
4√8 G
VIII(0,5)
13
3√0,5 H
IX8
15
I
X8
13 2
12
J
(Pokaż odpowiedź)
Przykład 1.Wykażemy, że
3212 + 18
12 = 98
12.
Po lewej stronie równości zamieniamy potęgi na pierwiastki.
3212 + 18
12 = √32 + √18 = 4√2 + 3√2 = 7√2.
Po prawej stronie równości postąpimy podobnie
9812 = √98 = 7√2
Z tego wynika, że obie strony równości są równe.
Potęga o wykładniku wymiernym
527
3212 + 18
12 = 98
12
Przykład 2.
Sprawdzimy, czy liczby x = 312 + 2 oraz y = (7 + 4 ∙ 3
12)
12
są równe.
Podnosimy liczbę do kwadratu
x2 = (312 + 2)
2
Stosujemy wzór na kwadrat sumy.
(312 + 2)
2
= (312)
2
+ 2 ∙ 2 ∙ 312 + 4 = 3 + 4 ∙ 3
12 + 4 = 7 + 4 ∙ 3
12
Podobnie podnosimy do kwadratu liczbę y.
y2 = ((7 + 4 ∙ 312)
12)
2
= (7 + 4 ∙ 312)
1
= 7 + 4 ∙ 312
Zatem
x2 = y2.
Liczby x oraz y są dodatnie. Stąd, że ich kwadraty są równe, wynika, że liczby również są rów-
ne.
x = y
Potęga o wykładniku wymiernym
528
4.5.2. Zadania
Poziom trudności: AZadanie 4.5.2.1Uzupełnij równości.
(Pokaż odpowiedź)
√ … = 332
a)
√115 = 11 …b)
4√63 = 6 …c)
(3√ … )5
= 553
d)
(3√6)4
= 6 …e)
5√ … = 345
f)
4√125 = 5 …g)
(6√11)5
= 1156
h)
5√ … = 1125
i)
√0,1 = ( … )−
12
j)
…√0,04 = 5−
23
k)
3√6−4 = 6 …l)
Zadania
529
Poziom trudności: AZadanie 4.5.2.2Zapisz liczbę w postaci potęgi o podstawie 3 i wykładniku wymiernym.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.5.2.3Oblicz iloczyn. Wynik zapisz w postaci potęgi o wykładniku wymiernym.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.5.2.4
Sprawdź, czy liczba x = 23√4 spełnia nierówność x < 2
73.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.5.2.5Uporządkuj liczby w kolejności od najmniejszej do największej.
(Pokaż odpowiedź)
√243a)
94√3b)
33√3c)
√35
9
d)
√√3e)
3√3√3f)
3√9 ∙ √27a)
4√0,2 ∙ 3√25b)
√125 ∙ 4√125c)
8√2 ∙ 43√2d)
5−
15, 5
15, 5
23, 5
34, 5
−34, 5
−23
a)
(0,3)13 , (0,3)
−3, (0,3)
−12, (0,3)
−56, (0,3)
37, (0,3)
58
b)
3√16 ,3√4 ,
4√128 ,4√32 ,
3√256, √8c)
Zadania
530
Poziom trudności: AZadanie 4.5.2.6Liczba 5
5√125 ∙ 0,44√25 jest równa
a) 5−2
110
b) 52
110
c) 2 · 51110
d) 5−
110
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.5.2.7Dane są liczby x = √2√√2 i y =
8√32 . Prawdziwa jest zależność
a) x > y
b) x < y
c) x = 2y
d) x = y
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.5.2.8
Liczba 412 ∙ 64
−14 jest równa
a)4√0,25
b) (4√0,25)5
c)4√45
d)4√4
(Pokaż odpowiedź)
Zadania
531
Poziom trudności: AZadanie 4.5.2.9
Liczba x =3√32
√8 spełnia nierówność
a) x > 213
b) x > 214
c) x > 21
12
d) x > 25
12
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.5.2.10
Dane są liczby a = (√3 − 1)12 , b = (√3 − 1)
34, c = (√3 − 1)
56. Prawdziwa jest nierówność
a) c < b < a
b) a < b < c
c) c < a < b
d) b < a < c
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.5.2.11Zapisz w postaci potęgi o podstawie 6 i wykładniku wymiernym.
(Pokaż odpowiedź)
4√216a)
363√6b)
(3249 )
12 ∙ 4√36
c)
136 ∙ (√6)
−2∙
3√68d)
Zadania
532
Poziom trudności: AZadanie 4.5.2.12
Aplikacja na epodreczniki.pl
Poziom trudności: AZadanie 4.5.2.13Oblicz. Wynik zapisz w postaci potęgi o podstawie będącej liczbą naturalną.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.5.2.14Niech x będzie liczbą dodatnią. Oblicz i zapisz wynik w postaci jednej potęgi o podstawie x.
323 ∙
3√34 ∙ (19 )
2,5a)
8 ∙ 4√4 ∙ (0,5)12
b)
14√6
∙ (3√36)2
∙ (634)
−1c)
(18 )
−3,5∙ (1
4 )2,5d)
90,4 ∙ √30,5 ∙ ( 127 )
13
e)
√27 : 3−
52
f)
14√8 ∙ ( 1
64 )−2
∙ 16−2,5g)
5−3 ∙ (0,2)1,5
∙ √5
√0,043 ∙ 5−0,5
h)
(0,125)−3,5
∙3√64 ∙ 4
23
(32√2)−2
i)
x12 ∙ x
34 ∙ 1
x
a)
√x ∙3√x2 ∙
4√x3b)
Zadania
533
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.5.2.15
Aplikacja na epodreczniki.pl
Poziom trudności: BZadanie 4.5.2.16Oblicz, korzystając ze wzorów skróconego mnożenia.
x−1,5 ∙ x2,5 ∙ x3
(x3,5)2
c)
x
32 ∙
4√x6 ∙ (x3,5)−1
x−1 ∙ √x6
d)
3√4√x3e)
(√x3 :4√x5)
−13
f)
3
√(x12)
3
∙ (x52)
−1g)
(2 + 512)
2
+ (2 − 512)
2a)
(3 − 70,5)(3 + 70,5)b)
(1212 − 27
12)
2
− (1212 + 27
12)
2c)
((6 + 1112)
12
+ (6 − 1112)
12)
2d)
Zadania
534
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 4.5.2.17Wykaż, że
Wskazówka: zamień potęgi o wykładnikach wymiernych na pierwiastki.
Poziom trudności: BZadanie 4.5.2.18Wykaż, że podana równość jest prawdziwa.
Wskazówka: podnieś do kwadratu obie strony równości.
Poziom trudności: BZadanie 4.5.2.19
Wykaż, że (6 + 2012)
12
− (6 − 2012)
12
jest liczbą całkowitą.Wskazówka: oblicz kwadrat tej liczby.
((4 − 312)
12
− (4 + 312)
12)
2e)
1212 + 27
12 = 75
12
a)
1212 + 48
12 = 108
12
b)
3213 + 108
13 = 500
13
c)
353 + 3
83 = 4 ∙ 3
53
d)
(4 + 1212)
12
− (4 − 1212)
12
= 2
a)
(14 + 6 ∙ 512)
12
+ (14 − 6 ∙ 512)
12
= 6
b)
Zadania
535
4.6. Nierówności, przedziały, odległość
4.6.1. Równania i nierówności liczbowe. Przedziały liczbowe
Już wiesz:
Szukając liczb, które spełniają równanie, możemy to równanie przekształcać rów-
noważnie. Stosujemy następujące zasady
• po obu stronach równania można wykonać wskazane działania (np. wykorzy-
stując wzory skróconego mnożenia),
• do obu stron równania możemy dodać to samo wyrażenie, pod warunkiem
że nie zmienimy dziedziny równania (wyrażenia możemy przenosić z jednej
strony równania na drugą pod warunkiem zmiany znaku tego wyrażenia na
przeciwny),
• możemy mnożyć lub dzielić obie strony równania przez dowolną liczbę różną
od zera.
Przykład 1.• Rozwiąż równanie
x + 12 = 2 − x − 1
4 .
Mnożymy obie strony równania przez 4.
2(x + 1) = 8 − (x − 3)
2x + 2 = 8 − x + 3
2x + x = 8 − 2 + 3
3x = 9
x = 3
Rozwiązaniem równaniax + 1
2 = 2 − x − 34 jest liczba 3.
• Rozwiąż równanie
3(x − 5) = x + 2(x + 4).
Przekształcając kolejno, otrzymujemy
3(x − 5) = x + 2(x + 4)
Nierówności, przedziały, odległość
536
3x − 15 = x + 2x + 8
3x − x − 2x = 15 + 8
0 ∙ x = 23
Otrzymaliśmy sprzeczność, ponieważ 0 ≠ 23. Zatem nie istnieje liczba, która spełnia to rów-
nanie. Jest to równanie sprzeczne.
• Wyznacz liczby, które spełniają równanie
(x − 3)(x + 2) + 1 = (x − 1)(x + 5) − 5x.
Po przekształceniach otrzymujemy
x2 − 3x + 2x − 6 + 1 = x2 − x + 5x − 5 − 5x
x2 − x − 5 = x2 − x − 5.
Po obu stronach równania otrzymaliśmy to samo wyrażenie. Z tego wynika, że równanie jest
spełnione dla dowolnej liczby x. Jest to równanie tożsamościowe.
Przykład 2.Rozwiąż nierówność
3x − 4 < 5x + 2.
Przy rozwiązywaniu nierówności możemy wykorzystywać zasady podobne do tych, które
pozwalały rozwiązywać równania. Mnożąc lub dzieląc obie strony nierówności przez liczbę
ujemną, musimy zmienić zwrot nierówności.
Zapamiętaj
Obie strony nierówności możemy mnożyć lub dzielić przez dowolną liczbę:
• dodatnią – wtedy zachowujemy ten sam zwrot nierówności,
• ujemną – wtedy zmieniamy zwrot nierówności na przeciwny.
W każdym przypadku otrzymamy nierówność równoważną danej.
Równania i nierówności liczbowe. Przedziały liczbowe
537
Przykład 3.Zaznaczmy na osi liczbowej liczby spełniające nierówność x > − 3.
Film na epodreczniki.pl
Do zbioru ( − 3, + ∞) należą liczby większe od ( − 3). Zbiór taki nazywamy przedziałem nie-
ograniczonym lewostronnie otwartym. Zapis x ? (−3, + ∞) oznacza, że liczba x należy do tego
przedziału, np. 4 ? ( − 3, + ∞), a zapis x ? (−3 + ∞) oznacza, że liczba x nie należy do tego prze-
działu np.−5 ? (−3 + ∞).
Równania i nierówności liczbowe. Przedziały liczbowe
538
Przykład 4.Prześledzimy rozwiązanie „krok po kroku”.
Film na epodreczniki.pl
Przykład 5.Rozwiąż nierówność
5x + 72 > 3x + 5.
Przekształcamy nierówność równoważnie.
5x + 72 > 3x + 5
5x + 7 > 6x + 10
5x − 6x > 10 − 7
−x > 3
x < − 3.
Rozwiązaniem nierówności5x + 7
2 > 3x + 5 jest każda liczba mniejsza od (−3).Zaznaczymy wszystkie liczby spełniające nierówność x < − 3 na osi liczbowej.
Równania i nierówności liczbowe. Przedziały liczbowe
539
Film na epodreczniki.pl
Zbiór (−∞, − 3) nazywamy przedziałem nieograniczonym prawostronnie otwartym. Należą
do niego liczby mniejsze od ( − 3).
Przykład 6.Rozwiąż nierówność
(x − 2)2
≤ (x + 4)(x + 1) − 9.
Zaznacz na osi liczbowej wszystkie liczby, które spełniają tę nierówność.
Rozwiązujemy nierówność.
(x − 2)2
≤ (x + 4)(x + 1) − 9
x2 − 4x + 4 ≤ x2 + 4x + x + 4 − 9
x2 − 4x − 4x − x − x2 ≤ 4 − 9 − 4
−9x ≤ − 9
x ≥ 1
Równania i nierówności liczbowe. Przedziały liczbowe
540
Rozwiązaniem nierówności (x − 2)2
≤ (x + 4)(x + 1) − 9 jest każda liczba większa lub równa 1.
Zaznaczymy wszytskie liczby spełniające nierówność x ≥ 1 na osi liczbowej.
Film na epodreczniki.pl
Zbiór ? 1, ∞) nazywamy przedziałem nieograniczonym lewostronnie domkniętym. Należą
do niego liczby większe od 1, razem z liczbą 1.
Przykład 7.Zaznacz na osi liczbowej liczby spełniające nierówność
x − 3 ≤ 2x − 35 .
Rozwiążemy nierówność.
x − 3 ≤ 2x − 35
5(x − 3) ≤ 2x − 3
5x − 15 ≤ 2x − 3
3x ≤ 12
x ≤ 4
Równania i nierówności liczbowe. Przedziały liczbowe
541
Rozwiązaniem nierówności x − 3 ≤ 2x − 35 jest każda liczba mniejsza lub równa 4.
Zaznaczymy wszystkie liczby spełniające nierówność x ≤ 4 na osi liczbowej.
Film na epodreczniki.pl
Zbiór (−∞, 4 ? nazywamy przedziałem nieograniczonym prawostronnie domkniętym. Należą
do niego liczby mniejsze od 4, razem z liczbą 4.
Równania i nierówności liczbowe. Przedziały liczbowe
542
4.6.2. Przedziały liczbowe. Przedziały jako zbiory
Już wiesz:
Film na epodreczniki.pl
Rozwiązania powyższych nierówności doprowadziły nas do zdefiniowania przedziałów nieograni-
czonych
Definicja: Przedziały nieograniczone
Niech a będzie dowolną liczbą rzeczywistą.
• Zbiór liczb spełniających nierówność x > a nazywamy przedziałem nieograni-
czonym lewostronnie otwartym. Taki przedział oznaczamy (a, ∞).• Zbiór liczb spełniających nierówność x ≥ a nazywamy przedziałem nieograni-
czonym lewostronnie domkniętym. Taki przedział oznaczamy ? a, ∞.
• Zbiór liczb x spełniających nierówność x < a nazywamy przedziałem nieograni-
czonym prawostronnie otwartym. Taki przedział oznaczamy (−∞, a).• Zbiór liczb x spełniających nierówność x ≤ a nazywamy przedziałem nieograni-
czonym prawostronnie domkniętym. Taki przedział oznaczamy (−∞, a ? .
Przyjrzyjmy się teraz przedziałom ograniczonym.
Przedziały liczbowe. Przedziały jako zbiory
543
Przykład 1.• Zaznacz na osi liczbowej wszystkie liczby, które jednocześnie spełniają nierówności
x > − 3 i x < 5.
Film na epodreczniki.pl
Taki przedział nazywamy otwartym. Należą do niego wszystkie liczby większe od ( − 3) i
jednocześnie mniejsze od 5. Przedział otwarty oznaczamy (−3,5 ).Nierówności x > − 3 i
x < 5 możemy zastąpić nierównością podwójną −3 < x < 5.
Przedziały liczbowe. Przedziały jako zbiory
544
• Zaznacz na osi liczbowej wszystkie liczby, które spełniają warunek −3 ≤ x ≤ 5.
Film na epodreczniki.pl
Taki przedział nazywamy domkniętym. Należą do niego wszystkie liczby większe lub
równe ( − 3) i jednocześnie mniejsze lub równe 5. Przedział domknięty oznaczamy
?−3, 5?.
• Zaznacz na osi liczbowej wszystkie liczby, które spełniają warunek −3 < x ≤ 5.
Film na epodreczniki.pl
Przedziały liczbowe. Przedziały jako zbiory
545
Taki przedział jest otwarty z lewej strony i domknięty z prawej. Należą do niego wszyst-
kie liczby większe od ( − 3) i jednocześnie mniejsze lub równe 5. Musimy pamiętać, że
liczba ( − 3) nie należy do tego przedziału, a liczba 5 do niego należy. Przedział ten ozna-
czamy (−3, 5 ? .
• Zaznacz na osi liczbowej wszystkie liczby, które spełniają warunek −3 ≤ x < 5.
Film na epodreczniki.pl
Taki przedział jest domknięty z lewej strony i otwarty z prawej. Należą do niego wszyst-
kie liczby większe lub równe ( − 3) i jednocześnie mniejsze od 5. Musimy pamiętać, że
liczba ( − 3) należy do tego przedziału, a liczba 5 do niego nie należy. Przedział ten ozna-
czamy ? −3, 5.
Definicja: Przedziały ograniczone
Niech a i b będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi, przy czym a < b.
• Przedziałem obustronnie otwartym nazywamy zbiór liczb x spełniających wa-
runek a < x < b. Przedział ten oznaczamy (a, b).• Przedziałem obustronnie domkniętym nazywamy zbiór liczb x spełniających
warunek a ≤ x ≤ b. Przedział ten oznaczamy ?a, b?.
Przedziały liczbowe. Przedziały jako zbiory
546
Przykład 2.Usystematyzujemy wiadomości dotyczące przedziałów.
Przykład 3.Zaznacz na osi liczbowej wszystkie liczby należące jednocześnie do przedziału (0, 7) i do
przedziału ?−2,4?.
Film na epodreczniki.pl
Przedziały liczbowe. Przedziały jako zbiory
547
Przedział (0, 4 ? zawiera liczby, które należą do obu przedziałów jednocześnie. Przedział
(0, 4 ? jest częścią wspólną (iloczynem) przedziałów (0, 7) i ?−2,4?.
Symbolicznie zapisujemy
(0, 7) ∩ ?−2,4? = (0, 4 ? .
Przykład 4.Zaznacz na osi liczbowej wszystkie liczby należące do przedziału (0, 7) lub do przedziału
?−2,4?.
Film na epodreczniki.pl
Przedziały liczbowe. Przedziały jako zbiory
548
Przedział ? −2, 7 zawiera liczby, które należą do jednego z dwóch przedziałów (lub do obu
jednocześnie). Przedział ? −2, 7 jest sumą przedziałów ? 0,7) i ?−2,4?.
Symbolicznie zapisujemy
(0, 7) ? ?−2,4? = ? −2, 7.
Definicja: Część wspólna przedziałów. Sumaprzedziałów
• Częścią wspólną (iloczynem) przedziałów A i B nazywamy zbiór złożony z liczb,
które należą jednocześnie do obu przedziałów. Iloczyn przedziałów oznaczamy
A ∩ B.
• Sumą przedziałów A i B nazywamy zbiór złożony z tych liczb, które należą tylko
do jednego z przedziałów A lub B albo do obu przedziałów jednocześnie. Sumę
przedziałów oznaczamy A ? B.
Poziom trudności: AZadanie 4.6.2.1Zaznacz na osi liczbowej liczby, które
(Pokaż odpowiedź)
należą do sumy przedziałów (−3,4) oraz (0, ∞)a)
należą do sumy przedziałów (−5, −2 ? oraz ?−2,5?b)
należą do części wspólnej przedziałów (−∞, 5) i ?−2,4?c)
należą do części wspólnej przedziałów (4, 6 ? i ?6,10?d)
Przedziały liczbowe. Przedziały jako zbiory
549
4.6.3. Wartość bezwzględna - definicja
Definicja: Wartość bezwzględna
Niech a będzie dowolną liczbą rzeczywistą.
• Odległość liczby a od liczby 0 na osi liczbowej nazywamy wartością bezwzględ-
ną liczby a.
• Wartość bezwzględną liczby a oznaczamy | a | .
Przykład
Film na epodreczniki.pl
Własność: Własności wartości bezwzględnej
Zauważmy, że z definicji wartości bezwzględnej wynikają jej własności:
• wartość bezwzględna liczby jest dodatnia lub równa 0, czyli | x | ≥ 0, dla dowolnej
liczby rzeczywistej x,
• jeśli | x | = 0, to x = 0,
• wartości bezwzględne liczb przeciwnych są równe, czyli | x | = | −x | dla dowolnej
liczby rzeczywistej x.
Wartość bezwzględna - definicja
550
Przykład 1.
Film na epodreczniki.pl
Przykład 2.
Film na epodreczniki.pl
Wartość bezwzględna - definicja
551
Poziom trudności: AZadanie 4.6.3.1Zaznacz na osi liczbowej liczby spełniające równanie.
(Pokaż odpowiedź)
Film na epodreczniki.pl
| x | = 6a)
| x | = √5b)
| x | = √29 − 1c)
Wartość bezwzględna - definicja
552
Przykład 3.
Film na epodreczniki.pl
Film na epodreczniki.pl
Wartość bezwzględna - definicja
553
Przykład 4.
Film na epodreczniki.pl
Wartość bezwzględna liczby jest przydatna do definiowania odległości miedzy liczbami na osi
liczbowej.
Wartość bezwzględna - definicja
554
Przykład 5.Oblicz odległość na osi liczbowej liczb 2,5 i 9.
Film na epodreczniki.pl
Odległość między tymi liczbami obliczyliśmy, odejmując mniejszą z nich od większej, czyli
9 − 2,5 = 6,5.
Odległość jest zawsze liczbą nieujemną. Ponieważ nie zawsze możemy łatwo stwierdzić, któ-
ra z danych liczb jest większa, a która mniejsza, wykorzystamy wartość bezwzględną.
| 9 − 2,5 | = | 2,5 − 9 | = 6,5.
Wartość bezwzględna - definicja
555
Przykład 6.Oblicz odległość na osi liczbowej liczb −1 i 7,5.
Film na epodreczniki.pl
Definicja: Odległość liczb na osi liczbowej
• Odległość liczb a i b na osi liczbowej jest równa wartości bezwzględnej ich róż-
nicy | a − b | .
• Zapis | x − 5 | = 3 możemy czytać następująco: odległość liczby x od liczby 5
na osi liczbowej jest równa 3.
Przykład 7.Zaznacz na osi liczbowej liczby, które spełniają równanie
| x − 2 | = 4.
Aby rozwiązać równanie, należy znaleźć takie liczby x, których odległość na osi liczbowej od 2
jest równa 4.
Wartość bezwzględna - definicja
556
Film na epodreczniki.pl
Korzystając z interpretacji geometrycznej nierówności, zauważamy, że w odległości 4 od licz-
by 2 znajdują się liczby −2 i 6. Są to liczby spełniające równanie.
| x − 2 | = 4.
Przykład 8.Wyznacz liczby, które są rozwiązaniem nierówności
| x − 1 | ≤ 4.
Wartość bezwzględna - definicja
557
Film na epodreczniki.pl
Korzystając z interpretacji geometrycznej nierówności, zauważamy, że nierówność
| x − 1 | ≤ 4 spełniają liczby należące do przedziału ?−3, 5?.
Przykład 9.Wyznacz liczby, które są rozwiązaniem nierówności
| x + 1 | > 3.
Jeśli nierówność | x + 1 | > 3 zapiszemy jako | x − | −1 | | > 3, to będzie można ją od-
czytać: odległość liczby x od liczby (−1) jest większa od 3 .
Zaznaczymy liczby spełniające nierówność na osi liczbowej.
Wartość bezwzględna - definicja
558
Film na epodreczniki.pl
Nierówność | x + 1 | > 3 spełniają wszystkie liczby należące do sumy przedziałów
(−∞, − 4) ? (2, ∞).
Poziom trudności: AZadanie 4.6.3.2Połącz w pary nierówności z odpowiadającymi jej opisami.
I | x − 7 | ≤ 2 odległość liczby x od liczby (−7) jest mniejsza lub równa 2 A
II | x + 7 | ≤ 2 odległość liczby x od liczby (−2) jest nie większa od 7 B
III | x − 2 | ≤ 7 C
IV | x − 7 | > 2 odległość liczby x od liczby 7 jest większa od 2 D
V | x + 2 | > 7 odległość liczby x od liczby (−7) jest większa od 2 E
VI | x + 2 | ≤ 7 odległość liczby x od liczby 2 jest mniejsza lub równa 7 F
VII | x + 7 | > 2 odległość liczby x od liczby 7 jest nie większa od 2 G
(Pokaż odpowiedź)
Wartość bezwzględna - definicja
559
Poziom trudności: AZadanie 4.6.3.3
Podaj rozwiązanie równania | x + 8 | = 5.
(Pokaż odpowiedź)
Wartość bezwzględna - definicja
560
4.6.4. Zadania
Poziom trudności: AZadanie 4.6.4.1Rozwiązaniem nierówności | x | < 3 jest przedział
a) (−∞, −3 ? ? ? 3, +∞
b) (−∞, − 3) ? (3, + ∞)
c) ?−3,3?
d) (−3,3)
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.6.4.2Liczbami spełniające równanie | x − 5 | = 4 są
a) −1 oraz -9
b) 1 oraz 9
c) −5 oraz 5
d) −4 oraz 4
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.6.4.3Rozwiązaniem nierówności | x + 4 | ≤ 6 jest przedział
a) ?−10,2?
b) (−10,2)
c) ?−2,10?
d) (−2,10)
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.6.4.4
Przedział (−3,5) jest rozwiązaniem nierówności
Zadania
561
Poziom trudności: AZadanie 4.6.4.5
Liczba √154 należy do przedziału
a) (67 ,
1110 )
b) (54 ,
32 )
c) (35 ,
53 )
d) ?23 ,
76?
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.6.4.6Równanie −2x + 4 = 1 spełnia liczba należąca do przedziału
a) (− 32 , − 1)
b) ?1,32?
c) ?− 32 , − 1?
d) (1,32 )
(Pokaż odpowiedź)
| x − 1 | < 4a)
| x + 1 | < 4b)
| x − 3 | < 5c)
| x + 3 | < 5d)
Zadania
562
Poziom trudności: AZadanie 4.6.4.7
Liczba x = (13 )
−2spełnia warunek
a) 2x − 3 ≥ x + 7
b) 2x − 3 > x + 7
c) 2x − 3 ≥ x + 6
d) 2x − 3 > x + 6
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.6.4.8
Rozwiązaniem nierówności (x + 1)2
≥ x2 jest przedział
a) ?12 , ∞)
b) (−∞,12 ?
c) ? − 12 , ∞)
d) (−∞, − 12 ?
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.6.4.9Liczba 5 − √5 należy do przedziału
a) (2,3)
b) (1,2)
c) (−1,0)
d) (0,1)
(Pokaż odpowiedź)
Zadania
563
Poziom trudności: AZadanie 4.6.4.10Liczby należące jednocześnie do przedziałów (−5, 3 ? i (−1,5) przestawione są na rysunku
a)
b)
c)
d)
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.6.4.11Ile liczb całkowitych należy do przedziału (−3, 2 ? ?
Zadania
564
a) 6
b) 5
c) 4
d) 3
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.6.4.12
Dane są liczby a = 3 ∙ 212 + (1
4 )−2
∙ (12 )
3oraz b = 1, (6) − 3√2. Liczba a + b należy do przedziału:
a) (412 , 5)
b) (4, 412 )
c) (312 , 4)
d) (3, 312 )
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.6.4.13Rozwiąż nierówności.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.6.4.14Rozwiąż nierówności.
2(−√3x − 6) ≤ 3√3x + 4a)
√5x − 6 > 7 − 2√5xb)
√2x + 6 < 7 + √8xc)
√6x + 4 ≤ 7 + √12xd)
√7x − 3 ≤ 7 + √21xe)
√2x + 74 <
2√3x − 36
f)
Zadania
565
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.6.4.15Zapisz przedział, do którego należą wszystkie liczby spełniające warunek
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.6.4.16Wypisz wszystkie liczby całkowite
(Pokaż odpowiedź)
4(x + 3)2
− 4(x + 2)(x − 2) < 5a)
(x + 2)2
> x2 + 4b)
(2x + 3)2
+ (1 − 2x)(1 + 2x) < 2x − 4c)
9(x +16 )
2<
13x − 5 + (3x − 1
6 )2d)
( x
√3 − 2)( x
√3 + 2) <(x − 2)
2
3
e)
(3x − 4)2
3 ≥ 3(x − 3)2
+ xf)
x ≥ √13a)
x < 2√2b)
x ≥ 1 + √3c)
−7 ≤ x ≤ 8d)
3 < x ≤ √7e)
x ≤ − 3 lub x > 5f)
x ≥ − 4 i x < 10g)
należące do przedziału(−∞, 3) lub do przedziału (−2, 1 ? ,a)
należące do przedziału(−4, 8 ? i do przedziału ? 0, 6,b)
należące do przedziału(−5, − 3) i do przedziału (−4, ∞),c)
należące do przedziału(−5, −3 ? i do przedziału.d)
Zadania
566
Poziom trudności: AZadanie 4.6.4.17Zapisz za pomocą układu nierówności zbiór wszystkich liczb, które należą do przedziału
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.6.4.18Rozwiąż równanie.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.6.4.19Wyznacz liczby spełniające równanie
(42,43)a)
?−126, − 116?b)
(−215, 210 ?c)
?5 − √6, 5 − √2?d)
(−∞, 518)e)
? −√7, +∞f)
(−∞, 5) ? ? 9, +∞g)
| x − 10 | = 6a)
| x + 55 | = 11b)
| x − 12 | =
13
c)
| x + 534 | = 3
14
d)
2 | x − 4 | = 7e)
| 3x − 5 | = 9f)
| 4 − x | = 6g)
| 5 + x | =78
h)
| x − √2 | = √3i)
| x | = 6,25 ∙ 1015a)
Zadania
567
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.6.4.20Zaznacz na osi liczbowej i zapisz w postaci przedziału wszystkie liczby spełniające podany układ
warunków
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.6.4.21Wykaż, że
Wskazówka: zamień potęgi o wykładnikach wymiernych na pierwiastki.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.6.4.22Wykaż, że prawdziwa jest równość.
| x − 210 | = 29b)
| x + 3,2 ∙ 10−15 | = 4 ∙ 10−15c)
| x − 2, (32) | = 2d)
| x + 4 | = 2, (21)e)
−3 < x < 3 i x ≥ 32 i x < √3a)
| x | > 5 i −7 ≤ x ≤ 10b)
1212 + 27
12 = 75
12
a)
812 + 72
12 = 128
12
b)
1212 + 48
12 = 108
12
c)
3213 + 108
13 = 500
13
d)
353 + 3
83 = 4 ∙ 3
53
e)
Zadania
568
Wskazówka: sprawdź, czy kwadraty liczb po obu stronach równości są sobie równe.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.6.4.23
Wykaż, że (6 + 2012)
12
− (6 − 2012)
12
jest liczbą całkowitą.Wskazówka: oblicz kwadrat tej liczby.
(Pokaż odpowiedź)
(4 + 1212)
12
− (4 − 1212)
12
= 2
a)
(14 + 6 ∙ 512)
12
+ (14 − 6 ∙ 512)
12
= 6
b)
Zadania
569
4.7. Zaokrąglenia i przybliżenia
4.7.1. Przybliżenia i zaokrąglenia liczb
W praktycznych zastosowaniach matematyki bardzo często zachodzi konieczność zaokrąglania
wartości liczbowych lub posługiwania się wartościami przybliżonymi.
Przykład 1.
Film na epodreczniki.pl
Przykład 2.Cena netto zestawu akcesoriów rowerowych jest równa 155,60 zł. Aby otrzymać cenę brutto,
musimy doliczyć jeszcze 23% podatku VAT. Zatem cena brutto jest równa
155,6 zł ∙ 1,23 = 191,388 zł.
Jest to wartość dokładna. Ponieważ najmniejszą jednostką monetarną w Polsce jest 1 grosz,
to obliczoną cenę musimy zaokrąglić do drugiego miejsca po przecinku.
191,388 zł ≈ 191,39 zł.
Przykład 3.W rozliczeniach podatku PIT stosuje się zasadę, że ostateczna kwota należnego podatku za-
okrąglana jest do pełnych złotych.Jeśli zatem obliczony podatek jest równy 8562,15 zł, to po
prawidłowym zaokrągleniu będzie równy 8562 zł, natomiast jeśli obliczony podatek jest rów-
ny 8562,78 zł, to po zaokrągleniu będzie równy 8563 zł.
Zaokrąglenia i przybliżenia
570
Reguła: zaokrąglania liczb
Jeżeli liczbę dodatnią zaokrąglamy do ustalonego rzędu wielkości, np. do tysięcy, setek, dzie-
siątek, jedności, części dziesiątych, części setnych itd., to wszystkie cyfry stojące po prawej
stronie ostatniej (licząc od strony lewej) cyfry znaczącej zastępujemy zerami. Z cyframi zna-
czącymi postępujemy następująco:
• gdy pierwsza cyfra z prawej strony ostatniej cyfry znaczącej jest mniejsza od 5, to
wszystkie cyfry znaczące pozostawiamy bez zmian,
• gdy pierwsza cyfra z prawej strony ostatniej cyfry znaczącej jest co najmniej równa 5, a
ostatnia cyfra znacząca jest mniejsza od 9, to tę cyfrę zwiększamy o 1, a wszystkie po-
przednie cyfry znaczące pozostawiamy bez zmian. Jeśli natomiast ostatnią cyfrą zna-
czącą jest 9, to zamiast niej piszemy cyfrę 0 i tę samą procedurę stosujemy do poprzed-
nich cyfr znaczących.
Zastosowanie tej reguły pokażemy na kilku przykładach.
Przykład 4.• Liczbę 207 195 468 zaokrąglimy do tysięcy. Cyfry znaczące tego zaokrąglenia to:
2, 0, 7, 1, 9,5. Pierwsza cyfra stojąca po prawej stronie ostatniej cyfry znaczącej to 4,
a więc jest mniejsza od 5. Zatem wszystkie cyfry znaczące pozostawiamy bez zmian,
a pozostałe zastępujemy zerami. Zatem zaokrągleniem liczby 207 195 468 do tysięcy
jest liczba 207 195 000.
207 195 468 ≈ 207 195 000
• Tę samą liczbę 207 195 468 zaokrąglimy do setek tysięcy. Cyfry znaczące tego za-
okrąglenia to: 2, 0, 7,1. Pierwsza cyfra stojąca po prawej stronie ostatniej cyfry zna-
czącej to 9, ostatnia cyfra znacząca to 1, a więc jest mniejsza od 9. Zatem ostatnią cyfrę
znaczącą zwiększamy o 1, pozostałe cyfry znaczące pozostawiamy bez zmian, cyfry nie-
znaczące zastępujemy zerami. Zatem zaokrągleniem liczby 207 195 468 do setek tysię-
cy jest liczba 207 200 000.
207 195 468 ≈ 207 200 000
• Raz jeszcze zaokrąglimy liczbę 207 195 468, tym razem do dziesiątek tysięcy. Cyfry zna-
czące tego zaokrąglenia to: 2, 0, 7, 1,9. Pierwsza cyfra stojąca po prawej stronie ostat-
niej cyfry znaczącej to 5, ostatnia cyfra znacząca to 9. Zatem ostatnią cyfrę znaczącą za-
stępujemy cyfrą 0. Przedostatnią (jest ona równa 1, a więc mniejsza od 9) zwiększamy o
1, pozostałe cyfry znaczące pozostawiamy bez zmian. Cyfry nieznaczące zastępujemy
zerami. Zatem zaokrągleniem liczby 207 195 468 do dziesiątek tysięcy jest liczba
207 200 000.
207 195 468 ≈ 207 200 000
Przybliżenia i zaokrąglenia liczb
571
• Zaokrąglimy liczbę √37 do części tysięcznych, czyli do trzeciego miejsca po przecinku.
Rozwinięcie dziesiętne liczby√37 to 6,0827625 … . Cyfry znaczące tego zaokrąglenia to:
6, 0, 8, 2. Pierwsza cyfra stojąca po prawej stronie ostatniej cyfry znaczącej to 7, a
ostatnia cyfra znacząca to 2, a więc mniejsza od 9. Zatem ostatnią cyfrę znaczącą zwięk-
szamy o 1, pozostałe cyfry znaczące pozostawiamy bez zmian, cyfry nieznaczące zastę-
pujemy zerami, których w tym przypadku możemy nie pisać. Zatem zaokrągleniem licz-
by √37 do części tysięcznych jest liczba 6,083.
√37 ≈ 6,083
Przykład 5.Główny Urząd Statystyczny podaje, że w 2012 roku w Polsce mieszkało 38,54 mln ludzi. Jest
to oczywiście wielkość przybliżona, ponieważ niemożliwe jest podanie liczby ludności kraju z
dokładnością do 1 osoby.
Jeśli zachodzi taka konieczność, możemy zaokrąglać duże liczby do zadanego rzędu.
Np. liczba 65 846 236 może być zapisana z dokładnością do:
dziesiątek 65 846 240
setek 65 846 200
tysięcy 65 846 000
dziesiątek tysięcy 65 850 000
setek tysięcy 65 800 000
milionów 66 000 000
Ze względów praktycznych tak zaokrąglone liczby możemy zapisać w skrócie: 66 mln lub
65,8 mln lub 65,85 mln.
Poziom trudności: AZadanie 4.7.1.1Rozstrzygnij, które zdanie jest prawdziwe, a które fałszywe.
a) Liczba2813 = 2, 153846153846154 … zaokrąglona do jednego miejsca po przecinku jest
równa 2,2.
b) Liczba2813 = 2, 153846153846154 … zaokrąglona do dwóch miejsc po przecinku jest
równa 2,16.
c) Liczba2813 = 2, 153846153846154 … zaokrąglona do trzech miejsc po przecinku jest
równa 2,154.
Przybliżenia i zaokrąglenia liczb
572
d) Liczba2813 = 2, 153846153846154 … zaokrąglona do czterech miejsc po przecinku jest
równa 2,1538.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.7.1.2Rozstrzygnij, które zdanie jest prawdziwe, a które fałszywe.
a) Liczbę 56 836 w zaokrągleniu do setek możemy zapisać jako 56 800.
b) Liczba 6 455 zaokrąglona do setek jest równa 6,5 tys.
c) Liczba 74 899 654 zaokrąglona do tysięcy jest równa 74 899 000.
(Pokaż odpowiedź)
Definicja: Przybliżenie
Przybliżeniem liczby dodatniej a z ustaloną dokładnością d > 0 jest każda liczba,
która różni się od liczby a o nie więcej niż d.
Przykład 6.Bardzo często używanym w praktyce przybliżeniem liczby π z dokładnością do dwóch miejsc
po przecinku jest liczba 3,14. Jest to liczba mniejsza od π. Mówimy wtedy, że jest to przybliże-
nie z niedomiarem. Archimedes (III w.p.n.e) w obliczeniach przyjmował, że stosunek długości
okręgu do jego średnicy (a więc liczba π) jest równy227 , czyli 3,142857142857 … . Jest to licz-
ba większa od π, a więc jest przybliżeniem liczby π z nadmiarem. Dokładność tego przybliże-
nia jest mniejsza od 0,01 ale większa od 0,001.
Zwróć uwagę, że nie każde przybliżenie jest zaokrągleniem. Liczba227 jest przybliżeniem licz-
by π, ale nie jest jej zaokrągleniem.
Wartości przybliżonych należy używać rozważnie, w przeciwnym razie może to prowadzić do błę-
du.
Przykład 7.
Sprawdź, czy liczba11
2 − √3 jest większa od 41.
W obliczeniach wykorzystamy liczbę 1,73, a więc przybliżenie liczby √3 z dokładnością do dru-
giego miejsca po przecinku.
112 − √3 ≈ 11
2 − 1,73 =11
0,27 = 40,740740...
Przybliżenia i zaokrąglenia liczb
573
Stąd można by wywnioskować, że liczba11
2 − √3 jest mniejsza od 41. Wniosek ten jest jednak
błędny.
Wykażemy, że liczba11
2 − √3 jest większa od 41. Usuwając niewymierność z mianownika, otrzy-
mujemy
112 − √3 =
11(2 + √3)(2 − √3)(2 + √3)
=11(2 + √3)
4 − 3 = 11(2 + √3) = 22 + 11√3.
Po odjęciu 22 od obu stron nierówności 22 + 11√3 > 41 otrzymujemy 11√3 > 19, co jest praw-
dą, gdyż
11√3 = √121 ? √3 = √363,
19 = √361.
Przybliżenia i zaokrąglenia liczb
574
4.7.2. Błąd bezwzględny, błąd względny
Przykład 1.
Film na epodreczniki.pl
Należy pomalować lakierem podłogę w prostokątnym pokoju o wymiarach 5,9 m i 4,35 m.
Powierzchnia podłogi jest równa 5,9 m ∙ 4,35 m = 25,665 m2. W celu oszacowania, ile lakieru
należy kupić, możemy przyjąć, że powierzchnia podłogi jest równa 26 m2. Pomylimy się wte-
dy o 0,335 m2.
Jest to błąd bezwzględny tego przybliżenia.
Definicja: Błąd bezwzględny
Jeżeli liczba ap jest przybliżeniem liczby a, to liczbę | a − ap | nazywamy błędem
bezwzględnym tego przybliżenia.
• Błąd bezwzględny zawsze wyrażamy w takich samych jednostkach jak przybli-
żaną wielkość.
• Błąd bezwzględny jest zawsze liczbą nieujemną.
Przykład 2.Prostokątną podłogę balkonu zmierzono taśmą mierniczą z dokładnością do 1 cm. Okre-
ślono, że podłoga ma wymiary 250 cm na 145 cm. Na tej podstawie obliczono, że pole po-
wierzchni podłogi jest równe 250 cm ∙ 145 cm = 36250 cm2. Jaki największy błąd bezwzględ-
ny mógł być popełniony?
Błąd bezwzględny, błąd względny
575
Ponieważ pomiaru dokonano taśmą z podziałką centymetrową, zatem możliwy błąd popeł-
niony przy pomiarze długości każdego z boków wynosi 1 cm (z nadmiarem lub z niedomia-
rem).
długość podłogi
balkonu (250 cm)szerokość podłogi
balkonu (145 cm)
powierzchnia
(36250 cm2) błąd bezwzględny
249 cm 144 cm 36856 cm2 | 36250 − 36856 | = 394 (cm2)
251 cm 146 cm 36646 cm2 | 36250 − 36646 | = 396 (cm2)
Zatem największy możliwy błąd bezwzględny jest równy 396 cm2.
Przykład 3.
Film na epodreczniki.pl
Prostokątna podłoga w sali gimnastycznej długości 24,1 m i szerokości 10,65 m wymaga wy-
miany parkietu. Dokładne pole powierzchni podłogi tej sali jest równe
24,1 m ∙ 10,65 m = 256, 665 m2.
Jeśli przyjmiemy, że pole powierzchni jest równe 257 m2, to popełniony przez nas błąd bez-
względny będzie równy 257 − 256,665 = 0, 335 m2, czyli dokładnie tyle samo, ile błąd bez-
względny obliczony w pierwszym przykładzie.
Błąd bezwzględny, błąd względny
576
Błędy bezwzględne w obu przypadkach są równe, ale odnoszą się do różnych wielkości. Obliczmy,
jaką częścią przybliżanej wielkości jest każdy z błędów:
• w przypadku pokoju:0,33525,665 ≈ 0,013053 ≈ 1,3%,
• w przypadku sali gimnastycznej:0,335
256,665 ≈ 0,0013053 ≈ 0,13%.
Możemy więc powiedzieć, że w pewnym sensie błąd popełniony w pierwszej sytuacji jest 10 razy
większy od błędu popełnionego w drugiej sytuacji.
Definicja: Błąd względny
Jeżeli liczba ap jest przybliżeniem liczby a, to liczbę| a − ap |
a nazywamy błędem
względnym tego przybliżenia.
Błąd względny jest wielkością, którą możemy wyrazić w procentach.
Przykład 4.Michał robi zakupy w supermarkecie. Oszacował, że za wybrane produkty będzie musiał za-
płacić 250 zł. Po dokładnym policzeniu okazało się, że koszt zakupów wyniósł 317,78 zł. Przyj-
mując, ze wartością dokładną jest faktyczny koszt zakupu, oblicz błąd względny oszacowania
jakiego dokonał Michał.
Błąd bezwzględny jest równy
| 250 − 317,78 | zł = 67,78 zł.
Błąd względny jest równy
67,78317,78 ≈ 21,33%.
Michał pomylił się o więcej niż 15%.
Błąd bezwzględny, błąd względny
577
4.7.3. Zadania
Poziom trudności: AZadanie 4.7.3.1Zaokrąglenie liczby √23 = 4,79583152 … do drugiego miejsca po przecinku jest równe
a) 4,7
b) 4,795
c) 4,80
d) 4,79
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.7.3.2
Liczbę2514 = 1,7(857142) zaokrąglono do dwunastego miejsca po przecinku. Wskaż ostatnią cy-
frę otrzymanego zaokrąglenia.
a) 6
b) 1
c) 4
d) 2
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.7.3.3Przyjmujemy, że pole kwadratu o boku długości 5,62 cm jest równe 32 cm2. Błąd bezwzględny
tego przybliżenia jest równy
a) 0,4156 cm2
b) 0,0844 cm2
c) 0,3844 cm2
d) 0,5844 cm2
(Pokaż odpowiedź)
Zadania
578
Poziom trudności: AZadanie 4.7.3.4Mount Everest, najwyższy szczyt świata ma wysokość 8848 m n.p.m. Jeśli przyjmiemy, że Mo-
unt Everest ma wysokość 8,5 km n.p.m, to błąd względny przybliżenia jest
a) większy od 0,04% , ale mniejszy od 0,4%
b) większy od 0,4% , ale mniejszy od 4%
c) większy od 4%
d) mniejszy od 0,04%
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.7.3.5
Liczba x =38
√3 − 1 spełnia nierówność
a) 54 < x < 55
b) 53 < x < 54
c) 52 < x < 53
d) 51 < x < 52
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.7.3.6Zaokrąglij liczbę do dwóch miejsc po przecinku.
(Pokaż odpowiedź)
234,5622a)
32,779b)
23,499c)
6,9888d)
Zadania
579
Poziom trudności: AZadanie 4.7.3.7Zaokrąglij liczbę 35768914 do podanego rzędu wielkości.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.7.3.8Podaj przybliżenie liczby z nadmiarem, z dokładnością do 0,0001.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.7.3.9Oblicz.
Wynik zaokrąglij do drugiego miejsca po przecinku.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.7.3.10W hurtowni cena netto 1 l lakieru jest równa 38,70 zł. Na pomalowanie podłogi w szkolnej sali
gimnastycznej potrzeba 26 l lakieru. Do ceny netto lakieru doliczone jest 23% podatku VAT. Ile
trzeba zapłacić za 26 litrów lakieru w tej hurtowni?
(Pokaż odpowiedź)
seteka)
tysięcyb)
milionówc)
413
a)
1617
b)
719
c)
√515
d)
2√117
e)
Jakim procentem doby jest 1 godzina?a)
Jakim procentem godziny jest 17 minut?b)
Jakim procentem godziny jest 15 minut i 50 sekund?c)
Zadania
580
Poziom trudności: AZadanie 4.7.3.11W teleturnieju bierze udział dwóch zawodników. Pytanie w eliminacjach brzmi: „Jaką wysokość
ma najwyższy budynek świata Burj Khalifa w Dubaju? Możesz pomylić się nie więcej niż o 0,5%
”Pierwszy zawodnik podał wysokość 823 m, a drugi 831 m. Który z zawodników zmieścił się w
granicach dopuszczalnego błędu, jeśli rzeczywista wysokość tego budynku to 828 m?
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.7.3.12Produkowane w Polsce zapałki mają długość około 43 mm i grubość od 1 mm do 1,5 mm.Pako-
wane są najczęściej w pudełka od 38 do 42 sztuk ( w zależności od producenta). Standardowe
pudełko zawiera 40 sztuk zapałek. Na podstawie powyższych informacji oblicz, jaki jest dopusz-
czalny błąd względny liczby zapałek w pudełku, w zależności od producenta.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 4.7.3.13
Wykaż, że liczba t =4
3 − √5 spełnia nierówność podwójną 5 < t < 6.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.7.3.14
Wypisz wszystkie liczby całkowite spełniające układ nierówności1
2 + √3 < x <1
2 − √3 .
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 4.7.3.15Określ przybliżenie liczby 194,41, które należy podać, aby popełniony błąd względny był równy
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: CZadanie 4.7.3.16Przybliżenie liczby π z dowolną dokładnością możemy uzyskać, wykorzystując wzór
3%a)
0,9%b)
mniej niż 0,5%c)
Zadania
581
π = √6 ? ( 1
12 +1
22 +1
32 + … ).Każde takie przybliżenie z niedomiarem jest tym dokładniejsze, im więcej weźmiemy początko-
wych składników sumy1
12 +1
22 +1
32 + … występującej w tym wzorze (jest to suma odwrotności
kwadratów kolejnych liczb całkowitych dodatnich).
Do rozwiązania zadania wykorzystaj kalkulator.
(Pokaż odpowiedź)
Wykorzystaj tylko cztery początkowe składniki sumy1
12 +1
22 +1
32 + … , oblicz za pomocą
podanego wzoru przybliżenie liczby π. Sprawdź, czy błąd bezwzględny tego przybliżenia
jest mniejszy od 0,1.
a)
Ile co najmniej początkowych składników sumy należy dodać, aby otrzymać przybliżenie
większe od 3?
b)
Zadania
582
Rozdział 5. Geometria
5.1. Planimetria. Podstawowe związki napłaszczyźnie
5.1.1. Przystawanie trójkątów
W tym rozdziale przypomnimy podstawowe związki między kątami i bokami w figurach geo-
metrycznych.Udowadniając wiele własności figur geometrycznych, często wykorzystujemy cechy
przystawania trójkątów.
Film na epodreczniki.pl
Twierdzenie: Cechy przystawania trójkątów
Przystawanie trójkątów ABC i DEF wynika z każdej z następujących cech przystawania trój-
kątów:
• cecha przystawania bok-bok-bok (bbb)
Trójkąty ABC i DEF są przystające wtedy i tylko wtedy, gdy długości boków jednego trójkąta
są odpowiednio równe długościom boków drugiego trójkąta.
Geometria
583
| AB | = | DE | , | AC | = | DF | , | BC | = | EF | .
• cecha przystawania bok-kąt-bok (bkb)
Trójkąty ABC i DEF są przystające wtedy i tylko wtedy, gdy długości dwóch boków i kąt między
tymi bokami w jednym trójkącie są odpowiednio równe dwóm bokom i kątowi między tymi
bokami w drugim trójkącie
| AB | = | DE | , | AC | = | DF | , | ?BAC | = | ?EDF | .
• cecha przystawania kąt-bok-kąt (kbk)
Trójkąty ABC i DEF są przystające wtedy i tylko wtedy, gdy długości boku i miary kątów przyle-
głych do tego boku w jednym trójkącie są odpowiednio równe długości boku i miarom kątów
przyległych do tego boku w drugim trójkącie
Przystawanie trójkątów
584
| AB | = | DE | , | ?BAC | = | ?EDF | , | ?ABC | = | ?DEF | .
Przystawanie trójkątów
585
5.1.2. Twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie: Pitagorasa
W trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadra-
towi długości przeciwprostokątnej
a2 + b2 = c2.
Dowód
Aplikacja na epodreczniki.pl
Prawdziwe jest też twierdzenie odwrotne do Twierdzenia Pitagorasa.
Twierdzenie Pitagorasa
586
Twierdzenie: odwrotne do twierdzenia Pitagorasa
Jeżeli suma kwadratów długości dwóch boków trójkąta jest równa kwadratowi długości trze-
ciego boku, to trójkąt jest prostokątny.
Przykład 1.Sprawdź, czy trójkąt o bokach 9, 12 i 15 jest trójkątem prostokątnym.
Jeżeli trójkąt będzie prostokątny, to przeciwprostokątną będzie najdłuższy z boków. Obliczmy
kwadraty długości boków.
92 = 81, 122 = 144, 152 = 225 i zauważmy, że
92 + 122 = 81 + 144 = 225 = 152
Zatem z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa ten trójkąt jest trójkątem pro-
stokątnym.
Związki miarowe wynikające z twierdzenia Pitagorasa
Przekątna w kwadracie o boku a ma długość
√a2 + a2 = √2a2 = a√2.
Twierdzenie Pitagorasa
587
Zatem w trójkącie równoramiennym prostokątnym długości boków pozostają w zależności.
Rozważmy teraz trójkąt równoboczny o boku a. Jego wysokość liczymy w następujący sposób
h = √a2 − (a2 )
2= √a2 − a2
4 = √3a2
4 =a√3
2
Pole trójkąta równobocznego o boku a jest więc równe
P =12a ∙ h =
12 ∙ a ∙ a√3
2 =a2√3
4
Twierdzenie Pitagorasa
588
Oznaczmy przez x najkrótszy z boków trójkąta prostokątnego, w którym kąty ostre mają miary
30 ° i 60 ° . Wtedy długości boków tego trójkąta są równe x, 2x, x√3. O takim trójkącie mówi się
czasami, że jest to „trójkąt piękny”.
Twierdzenie Pitagorasa
589
5.1.3. Dwusieczne kąta
Definicja: Dwusieczna kąta
Dwusieczną kąta nazywamy półprostą, której początkiem jest wierzchołek kąta i któ-
ra dzieli dany kąt na dwa równe kąty.
Twierdzenie: o punktach leżących na dwusiecznejkąta
Jeżeli punkt leży na dwusiecznej kąta, to jego odległości od obu ramion kąta są równe.
Dwusieczne kąta
590
Dowód
Aplikacja na epodreczniki.pl
Uwaga
Dla kątów, których miara jest mniejsza od 180 ° prawdziwe jest też twierdzenie odwrotne.
Jeżeli punkt należący do kąta jest równoodległy od jego ramion, to leży na dwusiecznej tego
kąta.
Dwusieczne kąta
591
Twierdzenie: o dwusiecznych kątów trójkąta
Dwusieczne każdego z kątów w trójkącie przecinają się w jednym punkcie. Punkt ten jest
środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt.
Odcinki łączące środek S okręgu wpisanego w trójkąt ABC z wierzchołkami tego trójkąta po-
dzieliły trójkąt na trzy trójkąty ABS, BCS i ACS.
Wysokość każdego z tych trójkątów jest równa promieniowi okręgu wpisanego w trójkąt ABC
(jak na rysunku).
Pole trójkąta ABC jest równe sumie pól trójkątów BCS, ACS i ABS
Dwusieczne kąta
592
PABC = PBCS + PACS + PABS =12ar +
12br +
12cr =
a + b + c2 ∙ r.
Wyprowadziliśmy w ten sposób wzór na pole trójkąta, w którym występują długości jego bo-
ków oraz promień okręgu wpisanego w ten trójkąt.
Twierdzenie: Pole trójkąta
Pole trójkąta o bokach długości a, b, c oraz promieniu r okręgu wpisanego w ten trójkąt wy-
raża się wzorem
P =a + b + c
2 r.
Gdy oznaczymya + b + c
2 = p, wzór przyjmuje postać P = pr.
Dwusieczne kąta
593
5.1.4. Symetralna odcinka. Symetralne boków trójkąta
Definicja: Symetralna odcinka
Symetralną odcinka AB nazywamy prostą prostopadłą do tego odcinka i przecho-
dzącą przez jego środek.
Twierdzenie: o punkcie leżącym na symetralnejodcinka
Jeżeli punkt leży na symetralnej odcinka, to jest równoodległy od końców tego odcinka.
Symetralna odcinka. Symetralne boków trójkąta
594
Jeżeli punkt płaszczyzny jest równoodległy od końców odcinka, to leży na symetralnej tego odcin-
ka.
Aplikacja na epodreczniki.pl
Prawdziwe jest też twierdzenie odwrotne.
Symetralna odcinka. Symetralne boków trójkąta
595
Twierdzenie: o symetralnych boków trójkąta
Symetralne trzech boków trójkąta przecinają się w jednym punkcie. Punkt ten jest środkiem
okręgu opisanego na tym trójkącie.
Dowód
Aplikacja na epodreczniki.pl
Symetralna odcinka. Symetralne boków trójkąta
596
Uwaga
Przypadki szczególne
W trójkącie równobocznym wysokości, dwusieczne kątów, symetralne boków i środkowe po-
krywają się. Stąd:
• środek okręgu wpisanego w trójkąt i środek okręgu opisanego na trójkącie pokrywają
się,
• środek okręgu wpisanego w trójkąt i środek okręgu opisanego na trójkącie leżą w punk-
cie przecięcia się wysokości,
• środki okręgów wpisanego i opisanego na trójkącie leżą w punkcie przecięcia środko-
wych. Punkt przecięcia środkowych dzieli każdą z nich w stosunku 2 : 1, licząc od wierz-
chołka.
R =23h, r =
13h, h =
a√32 , P =
a2√34
Trójkąt równobocznya)
Trójkąt prostokątnya)
Symetralna odcinka. Symetralne boków trójkąta
597
Środek okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym leży na przeciwprostokątnej i dzieli ją
na dwa odcinki równej długości. Wynika stąd, że długość promienia okręgu opisanego na
trójkącie prostokątnym jest równa połowie długości przeciwprostokątnej tego trójkąta.
Już wiesz:
Wzory na pola wielokątów
Aplikacja na epodreczniki.pl
Symetralna odcinka. Symetralne boków trójkąta
598
Aplikacja na epodreczniki.pl
Aplikacja na epodreczniki.pl
Symetralna odcinka. Symetralne boków trójkąta
599
Przykład 1.
Aplikacja na epodreczniki.pl
Przykład 2.
Aplikacja na epodreczniki.pl
Symetralna odcinka. Symetralne boków trójkąta
600
5.1.5. Zadania
Poziom trudności: AZadanie 5.1.5.1Dany jest prostokąt ABCD, w którym przekątna BD ma długość 17, a bok AB ma długość 10.
Oblicz długość boku BC.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 5.1.5.2Zaznacz poprawne stwierdzenie.
a) Boki prostokąta mają długości 3 i 6. Wtedy kąt między przekątną i dłuższym bokiem ma
miarę 30 ° .
b) W prostokącie przekątna ma długość 8, a kąt między przekątną i dłuższym bokiem ma
miarę 30 ° . Wtedy długość krótszego boku tego prostokąta jest równa 4.
c) W prostokącie przekątna ma długość7√2, a kąt między tą przekątną i jednym z boków ma
miarę 45 ° . Wtedy boki tego prostokąta mają długości 7 i 7√2.
d) W prostokącie dłuższy bok ma długość 4, a kąt między przekątną i krótszym bokiem ma
miarę 60 ° . Wtedy długość krótszego boku tego prostokąta wynosi 2.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 5.1.5.3W trójkącie równoramiennym ABC dane są długości ramion | BC | = | AC | = 7 oraz wyso-
kość | CD | = 3. Wówczas
a) pole tego trójkąta wynosi 4√10
b) długość drugiej wysokości tego trójkąta wynosi127 √10
c) długość podstawy AB tego trójkąta wynosi 2√10
(Pokaż odpowiedź)
Zadania
601
Poziom trudności: AZadanie 5.1.5.4Na rysunku przedstawione są kwadraty. Długość boku pierwszego kwadratu jest równa 16.
Wierzchołki drugiego to środki boków pierwszego. Wierzchołki trzeciego to środki boków dru-
giego kwadratu.
Wówczas
a) długość boku trzeciego kwadratu jest równa 8
b) długość odcinka A1A2 jest równa 4√5
c) długość boku drugiego kwadratu jest równa 4√2
(Pokaż odpowiedź)
Zadania
602
Poziom trudności: AZadanie 5.1.5.5Przekątna AC czworokąta ABCD dzieli go na dwa trójkąty prostokątne. Długości trzech jego bo-
ków zostały podane na rysunku. Ile wynosi obwód tego czworokąta?
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 5.1.5.6Zaznacz poprawne stwierdzenie.
a) Stosunek długości przekątnych rombu wynosi 6 : 8. Wówczas stosunek boku rombu do
dłuższej przekątnej wynosi 5 : 8.
b) Stosunek długości przekątnych rombu wynosi 5 : 8. Obwód rombu jest równy 4√89.
Wynika z tego, że długość dłuższej przekątnej jest równa 10.
c) Obwód prostokąta wynosi 70. Stosunek długości jego boków jest równy 2 : 3. Wówczas
długość krótszego boku tego prostokąta wynosi 21.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 5.1.5.7Zaznacz poprawne stwierdzenie.
Zadania
603
a) Dane są dwa trójkąty równoboczne T1 i T2. Długość boku trójkąta T2 jest o 10% większa
od długości boku trójkąta T1. Wynika stąd, że pole trójkąta T2 jest o 21% większe od pola
trójkąta T1.
b) Wysokość trójkąta równobocznego jest o 2 krótsza od długości boku. Wtedy pole tego
trójkąta wynosi P = 28 + 48√3.
c) Pole trójkąta równobocznego wynosi 9√3. Wówczas bok tego trójkąta ma długość 6.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 5.1.5.8Zaznacz poprawne stwierdzenie.
a) Długość boku trójkąta równobocznego jest równa 7√3 . Wówczas promień okręgu
wpisanego w ten trójkąt jest równy 7.
b) Długość boku trójkąta równobocznego jest równa 2√3. Wówczas promień okręgu
opisanego na tym trójkącie jest równy 2.
c) Wysokość trójkąta równobocznego jest równa 15. Wówczas promień okręgu wpisanego w
ten trójkąt jest równy 5, a promień okręgu opisanego na trójkącie jest równy 10.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 5.1.5.9Zaznacz poprawne stwierdzenie.
a) Jeżeli stosunek długości przyprostokątnych w trójkącie prostokątnym wynosi 3 : 5, to
stosunek długości promienia okręgu opisanego na tym trójkącie do długości dłuższej
przyprostokątnej trójkąta wynosi 17 : 10.
b) Przyprostokątne w trójkącie prostokątnym mają długości 8 i 4√5. Wtedy długość
promienia okręgu opisanego na tym trójkącie wynosi 6.
(Pokaż odpowiedź)
Zadania
604
Poziom trudności: AZadanie 5.1.5.10
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 5.1.5.11Podstawą AB trójkąta równoramiennego ABM jest dłuższy bok prostokąta ABCD. Wierzchołek
M leży na boku CD, jak pokazano na rysunku.
Obwód tego trójkąta wynosi
a) 10√7 + 12
b) 2√481 + 16
c) 48
d) 50
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 5.1.5.12W trójkącie prostokątnym długości przyprostokątnych są równe 2 i 2√3. Większy z kątów
ostrych w tym trójkącie ma miarę
a) 15 °
b) 30 °
Kąt między ramionami trójkąta równoramiennego jest prosty. Wysokość opuszczona na
podstawę tego trójkąta jest równa 5. Oblicz długość środkowej tego trójkąta, której jed-
nym z końców jest wierzchołek kąta ostrego.
a)
W trójkącie równoramiennym kąt między ramionami jest równy 120 ° . Wysokość opusz-
czona na podstawę tego trójkąta jest równa 2. Oblicz długość środkowej tego trójkąta,
której jednym z końców jest wierzchołek kąta ostrego.
b)
Zadania
605
c) 60 °
d) 45 °
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 5.1.5.13Liczby 6,14, x są długościami boków trójkąta równoramiennego. Wtedy x wynosi
a) x = 8
b) x = √113
c) x = 12
d) x = 14
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 5.1.5.14Na rysunku przedstawiony jest prostokąt.
Długość a dłuższego boku oraz długość d przekątnej tego prostokąta wynoszą
a) a =5√3
3 , d = 10
b) a = 5√3, d = 10
c) a = 5√3, d =10√3
3
d) a =5
√3 , d =5√3
3
(Pokaż odpowiedź)
Zadania
606
Poziom trudności: AZadanie 5.1.5.15W trójkącie prostokątnym dwa dłuższe boki mają długości 15 i 17. Obwód tego trójkąta jest
równy
a) √514 + 32
b) 39,5
c) 40
d) 40,5
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 5.1.5.16W trójkącie równoramiennym ABC dane są długości boków | AB | = | BC | = 10 oraz
| AC | = 14.
Pole tego trójkąta jest równe
a) 28√6
b) 20√6
c) 49
d) 7√51
(Pokaż odpowiedź)
Zadania
607
Poziom trudności: AZadanie 5.1.5.17
Długość boku trójkąta równobocznego jest równa √212 . Promień r okręgu wpisanego w ten trój-
kąt i promień R okręgu opisanego na tym trójkącie są równe odpowiednio
a) r = √214 , R = √21
8
b) r = √74 , R = √7
2
c) r = √218 , R = √21
4
d) r = √144 , R = √14
2
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 5.1.5.18W prostokącie długość jednego z boków jest równa 3√2, a przekątna ma długość 3√6. Oblicz
długość drugiego boku prostokąta.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 5.1.5.19Dane są trzy czworokąty. Pierwszy jest prostokątem o bokach długości 2 i 4. Wierzchołki dru-
giego czworokąta to środki boków pierwszego, a wierzchołki trzeciego to środki boków drugie-
go czworokąta. Oblicz sumę obwodów tych wielokątów.
(Pokaż odpowiedź)
Zadania
608
Poziom trudności: AZadanie 5.1.5.20W kwadrat wpisano okrąg i na tym samym kwadracie opisano okrąg, jak pokazano na rysunku.
Pole zaznaczonego pierścienia jest równe 5π. Oblicz obwód kwadratu.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 5.1.5.21Dany jest równoległobok, w którym jeden z boków ma długość b = 6. Kąt ostry równoległoboku
ma miarę 30 ° , kąt między krótszą przekątną a bokiem a ma miarę 45 ° , jak na rysunku. Oblicz
pole tego równoległoboku.
(Pokaż odpowiedź)
Zadania
609
Poziom trudności: AZadanie 5.1.5.22
W trójkąt równoramienny ABC o podstawie długości | AB | = 6 i ramionach długości
| AC | = | BC | = 5 wpisano okrąg. Oblicz promień tego okręgu.
(Pokaż odpowiedź)
Zadania
610
5.2. Wielokąty na płaszczyźnie. Związki miarowe
5.2.1. Kąty przyległe, wierzchołkowe, naprzemianległe iodpowiadające
Wielokąty na płaszczyźnie. Związki miarowe
611
W tej części podręcznika usystematyzujemy zdobyte wcześniej wiadomości na temat własności fi-
gur płaskich i rozszerzymy je w oparciu o nowe narzędzia algebraiczne.
Aplikacja na epodreczniki.pl
Aplikacja na epodreczniki.pl
Kąty przyległe, wierzchołkowe, naprzemianległe i odpowiadające
612
Definicja: Kąty przyległe i wierzchołkowe
• Kąty przyległe to dwa kąty, które mają jedno ramię wspólne, a pozostałe ra-
miona dopełniają się do prostej.
• Kąty wierzchołkowe to dwa kąty, które mają wspólny wierzchołek i przedłuże-
niem ramion jednego kąta są odpowiednie ramiona drugiego kąta.
Na przykład α i γ na rysunku są kątami przyległymi. Pary kątów wierzchołko-
wych to α i β oraz γ i δ.
Aplikacja na epodreczniki.pl
Kąty przyległe, wierzchołkowe, naprzemianległe i odpowiadające
613
Twierdzenie: Suma miar kątów przyległych
Suma miar kątów przyległych jest równa 180 ° .
Wprost z twierdzenia o sumie miar kątów przyległych wynika, że
α + γ = 180 °
oraz
β + γ = 180 ° .
Stąd α = β . Udowodniliśmy w ten sposób następujące twierdzenie.
Aplikacja na epodreczniki.pl
Twierdzenie: o kątach wierzchołkowych
Kąty wierzchołkowe są równe.
Kąty przyległe, wierzchołkowe, naprzemianległe i odpowiadające
614
Przykład 1.Obliczmy miary kątów α, β i γ zaznaczonych na rysunku.
Kąty 47 ° i β są wierzchołkowe, więc β = 47 ° . Każdy z kątów α i γ jest przyległy do kąta 47 ° .
Zatem
α = γ = 180 ° − 47 ° = 133 ° .
Przykład 2.
Aplikacja na epodreczniki.pl
Kąty przyległe, wierzchołkowe, naprzemianległe i odpowiadające
615
Przykład 3.
Aplikacja na epodreczniki.pl
Definicja: Kąty naprzemianległe iodpowiadające
• Kąty: α i α1, β i β1, γ i γ1 oraz δ i δ1 nazywamy kątami odpowiadającymi.
• Kąty α1 i δ oraz β1i γ nazywamy kątami naprzemianległymi wewnętrznymi.
• Kąty β i γ1 oraz α i δ1 nazywamy kątami naprzemianległymi zewnętrznymi.
Kąty przyległe, wierzchołkowe, naprzemianległe i odpowiadające
616
Przykład 4.W przypadku, gdy proste k i l są równoległe
• Kąty: α i α1, β i β1, γ i γ1 oraz δ i δ1 są kątami odpowiadającymi.
• Kąty α1 i δ oraz β1i γ są kątami naprzemianległymi wewnętrznymi.
• Kąty β i γ1 oraz α i δ1 są kątami naprzemianległymi zewnętrznymi.
Przykład 5.
Aplikacja na epodreczniki.pl
Kąty przyległe, wierzchołkowe, naprzemianległe i odpowiadające
617
Aplikacja na epodreczniki.pl
Przykład 6.
Aplikacja na epodreczniki.pl
Kąty przyległe, wierzchołkowe, naprzemianległe i odpowiadające
618
Przykład 7.
Aplikacja na epodreczniki.pl
Twierdzenie: Proste równoległe
Jeżeli dwie proste równoległe przetniemy trzecią prostą, to tak utworzone kąty naprzemian-
ległe są równe i kąty odpowiadające są równe.
Kąty przyległe, wierzchołkowe, naprzemianległe i odpowiadające
619
Twierdzenie: Kąty naprzemianległe
• Jeżeli proste k i l przetniemy trzecią prostą i tak utworzone kąty naprzemianległe są
równe, to proste k i l są równoległe.
Aplikacja na epodreczniki.pl
Kąty przyległe, wierzchołkowe, naprzemianległe i odpowiadające
620
Twierdzenie: Kąty odpowiadające
• Jeżeli proste k i l przetniemy trzecią prostą i tak utworzone kąty odpowiadające są rów-
ne, to proste k i l są równoległe.
Aplikacja na epodreczniki.pl
Kąty przyległe, wierzchołkowe, naprzemianległe i odpowiadające
621
Przykład 8.Proste k i l zostały przecięte trzecią prostą. Miary kątów zaznaczono na rysunku. Uzasadnimy,
że proste k i l są równoległe.
Zaznaczmy kąt przyległy do kąta 128 ° . Jego miara jest równa
180 ° − 128 ° = 52 ° .
Dwa kąty odpowiadające mają taką samą miarę 52 ° , skąd wynika, że proste k i l są równo-
ległe.
Kąty przyległe, wierzchołkowe, naprzemianległe i odpowiadające
622
Przykład 9.Konstrukcja kątów naprzemianległych.
Aplikacja na epodreczniki.pl
Przykład 10.Konstrukcja kątów odpowiadających.
Aplikacja na epodreczniki.pl
Kąty przyległe, wierzchołkowe, naprzemianległe i odpowiadające
623
Poziom trudności: AZadanie 5.2.1.1Podaj miary kątów przy prostych równoległych.
Aplikacja na epodreczniki.pl
Dwie proste przecięte trzecią prostą – zmienia się położenie trzeciej prostej. Dany
jest jeden kąt – należy podać miary pozostałych kątów
Kąty przyległe, wierzchołkowe, naprzemianległe i odpowiadające
624
5.2.2. Kąty w figurach, przekątne
Aplikacja na epodreczniki.pl
Twierdzenie: Suma miar kątów trójkąta
Suma miar kątów trójkąta jest równa 180 ° .
Kąty w figurach, przekątne
625
DowódRozważmy dowolny trójkąt ABC. Rysujemy prostą równoległą do boku AB, która przechodzi
przez wierzchołek C.
Kąty δ i α są równe jako kąty naprzemianległe wewnętrznie. Podobnie ε = β.
Suma miar kątów α, β, γ jest równa 180 ° .
Kąty w figurach, przekątne
626
Wiemy już, że suma miar kątów w trójkącie jest równa 180 ° . Zastanówmy się teraz, czy można
znaleźć wzór na określenie sumy miar kątów dowolnego wielokąta wypukłego.
W tym celu narysujmy kilka wielokątów i podzielmy każdy z nich na trójkąty. Poprowadzimy
wszystkie przekątne z jednego wierzchołka każdego z wielokątów.
Zauważmy, że liczba utworzonych trójkątów jest o 2 mniejsza od liczby wierzchołków wielokąta.
Zatem n – kąt wypukły można podzielić na (n − 2) trójkąty. Suma miar kątów n − kąta jest więc
równa sumie miar kątów tych trójkątów. W każdym z tych trójkątów suma miar kątów jest równa
180 ° .
Twierdzenie: Suma miar kątów w n-kącie wypukłym
Suma miar kątów w n-kącie wypukłym jest równa (n − 2) ∙ 180 ° .
PrzykładSuma miar kątów dwudziestokąta jest równa (20 − 2) 180 ° = 3240 ° .
Kąty w figurach, przekątne
627
Ciekawostka
Twierdzenie dotyczące sumy miar kątów wielokąta pozostaje również prawdziwe w przypad-
ku, gdy wielokąt nie jest wypukły (jest wklęsły). Aby udowodnić to twierdzenie, można po-
stąpić podobnie jak poprzednio, dzieląc wielokąt na trójkąty. Trudniej jednak opisać ten po-
dział, gdyż nie zawsze da się podzielić wielokąt na trójkąty, wykorzystując przekątne wycho-
dzące z jednego wierzchołka.
Ten wielokąt został podzielony na 9 trójkątów, suma miar jego kątów jest równa 1620 ° .
Wyprowadzimy wzór na liczbę przekątnych dowolnego wielokąta wypukłego. Rozpatrzmy jeden z
wierzchołków takiego wielokąta. Ile przekątnych możemy z niego poprowadzić?
Kąty w figurach, przekątne
628
Ten wielokąt ma 9 wierzchołków. Z jednego wierzchołka można poprowadzić 6 przekątnych. Z wy-
branego wierzchołka nie można poprowadzić przekątnych do wierzchołków sąsiednich, ani do te-
go wybranego wierzchołka.
Niech n będzie liczbą naturalną większą od 3. Rozpatrzmy dowolny n-kąt wypukły. Ponieważ
mamy n wierzchołków, a z każdego wierzchołka możemy poprowadzić n − 3 przekątne, więc ze
wszystkich wierzchołków możemy poprowadzić n(n − 3) przekątne. Jednak w ten sposób każdą z
przekątnych policzyliśmy dwukrotnie. Zatem liczba wszystkich przekątnych n-kąta wypukłego jest
równa
n ∙ (n − 3)2 .
Przekątna AB wychodzi zarówno z wierzchołka A, jak i z wierzchołka B.
Kąty w figurach, przekątne
629
Twierdzenie: O przekątnych wielokąta
Dowolny n-kąt wypukły man ∙ (n − 3)
2 przekątnych, gdzie n jest liczbą naturalną większą od 3.
Aplikacja na epodreczniki.pl
Kąty w figurach, przekątne
630
Przypomnimy teraz podstawowe własności związane z kątami w czworokątach. Rozważmy dowol-
ny równoległobok i narysujmy proste, na których leżą boki tego równoległoboku.
Zaznaczmy kąty odpowiadające kątowi α. Ponieważ boki równoległoboku są parami równoległe,
zaznaczone na rysunku kąty odpowiadające są równe.
Kąty w figurach, przekątne
631
Kąty BCD i α są wierzchołkowe, więc | ?BCD | = α.
Oznaczmy miarę kąta ADC przez β. Miara kąta CBA także jest równa β.
Kąty β i α są przyległe, zatem α + β = 180 ° .
Twierdzenie: Suma miar sąsiednich kątówwewnętrznych w równoległoboku
W równoległoboku suma miar sąsiednich kątów wewnętrznych jest równa 180 ° .
Kąty w figurach, przekątne
632
Rozważmy trapez ABCD.
Niech α, β będą kątami ostrymi w tym trapezie. Poprowadźmy proste zawierające boki tego tra-
pezu i zaznaczmy kąty naprzemianległe do kątów α i β. Ponieważ proste AB i CD są równoległe, to
miary odpowiednich kątów naprzemianległych są równe.
Kąt CDA jest przyległy do kąta α, zatem
| ?CDA | = 180 ° − α.
Kąt BCD jest przyległy do kąta β, zatem
| ?BCD | = 180 ° − β.
Kąty w figurach, przekątne
633
Twierdzenie: Suma miar kątów przy jednymramieniu trapezu
W trapezie suma miar kątów przy jednym ramieniu jest równa 180 ° .
Rozpatrzmy romb ABCD. Wykreślmy przekątną rombu jak na rysunku i zaznaczmy powstałe kąty
naprzemianległe. Ponieważ proste AB i CD są równoległe, to kąty naprzemianległe są równe.
Kąty w figurach, przekątne
634
W rombie wszystkie boki są równe, więc trójkąt ACD jest równoramienny, a jako równoramienny
ma kąty przy podstawie AC równe, czyli α = β. Przekątna AC zawiera się w dwusiecznej kąta DCB i
DAB. Podobnie, przekątna DB zawiera się w dwusiecznej kąta ADC i (ABC).Niech S będzie punktem przecięcia przekątnych rombu. Romb jest równoległobokiem, więc
| ?ADS | =180 ° − 2α
2
| ?ADS | = 90 ° − α.
W trójkącie ADS kąt DAS ma miarę α, a kąt ADS ma miarę 90 ° − α.
Zatem miara kąta ASD jest równa
180 ° – (α + 90 ° − α) = 90 ° .
Możemy więc sformułować twierdzenie
Twierdzenie: Kąt przecięcia przekątnych rombu
Przekątne rombu zawierają się w dwusiecznych jego kątów wewnętrznych i przecinają się
pod kątem prostym.
Przypomnijmy znane wzory na pola czworokątów.
• Pole równoległoboku
P = a ∙ h,
Kąty w figurach, przekątne
635
gdzie a jest długością jednego z boków oraz h jest wysokością opuszczoną na ten bok.
Umieśćmy równoległobok ABCD w prostokącie AECF, jak pokazano na rysunku. Trójkąty ADF i CBE
są przystające, czyli
| BE | = | DF | .
Oznaczmy | BE | = x
Pole równoległoboku ob liczymy odejmując od pola prostokąta sumę pól trójkątów ADF i CBE. Z
tych trójkątów można utworzyć prostokąt o bokach h, x. Pole równoległoboku jest równe
Kąty w figurach, przekątne
636
P = (a + x)h − xh = ah.
Aplikacja na epodreczniki.pl
• Pole trójkąta
P =12a ∙ h,
gdzie a jest jednym z boków trójkąta, a h jest wysokością opuszczoną na ten bok.
Kąty w figurach, przekątne
637
Podzielmy równoległobok ABCD przekątną DB na dwa trójkąty. Zauważmy, że trójkąty ABD i BCD
są przystające, ponieważ mają te same długości boków. Zatem pole trójkąta jest równe połowie
pola równoległoboku.
P =a ∙ h
2 .
Aplikacja na epodreczniki.pl
• Pole trapezu
P =a + b
2 ∙ h,
Kąty w figurach, przekątne
638
gdzie a, b są długościami podstaw trapezu, a h jest jego wysokością.
Dzielimy trapez przekątną na dwa trójkąty. Jeden z nich ma podstawę a, drugi podstawę b oraz
oba mają tę samą wysokość h.
P = P1 + P2 =12ah +
12bh =
a + b2 ∙ h
Aplikacja na epodreczniki.pl
Pole czworokąta wypukłego, w którym przekątne przecinają się pod kątem prostym
Kąty w figurach, przekątne
639
P =d1 ∙ d2
2 ,
gdzie d1, d2 są przekątnymi tego czworokąta.
Czworokąt ABCD umieścimy w prostokącie EFGH, którego boki są równoległe do przekątnych.
Prostokąt EFGH jest podzielony na cztery prostokąty. Otrzymujemy cztery pary trójkątów przysta-
jących:
• trójkąt ASD jest przystający do trójkąta DHA,
• trójkąt CSD jest przystający do trójkąta DGC,
• trójkąt CSB jest przystający do trójkąta BFC,
• trójkąt ASB jest przystający do trójkąta BEA.
Pole czworokąta ABCD jest więc dwa razy mniejsze od pola prostokąta EFGH, skąd otrzymujemy
P =d1 ∙ d2
2 .
Kąty w figurach, przekątne
640
5.2.3. Zadania
Poziom trudności: AZadanie 5.2.3.1Na rysunku podane są miary kątów α, β, γ. Czy wynika z tego, że punkty A, B, C są współlinio-
we?
(Pokaż odpowiedź)
Zadania
641
Poziom trudności: AZadanie 5.2.3.2Podaj miary kątów przy prostych równoległych.
Aplikacja na epodreczniki.pl
Zadania
642
Poziom trudności: AZadanie 5.2.3.3Na rysunku podane są miary kątów α, β. Czy czworokąt ABCD jest równoległobokiem?
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 5.2.3.4Proste k i l są równoległe. Miary kątów α, β podano na rysunku. Czy wynika stąd, że γ = 125 °oraz δ = 143 ° ?
(Pokaż odpowiedź)
Zadania
643
Poziom trudności: AZadanie 5.2.3.5Zaznacz poprawne stwierdzenie.
a) Jeden z kątów trójkąta ma miarę 50 ° . Miara kąta między dwusiecznymi pozostałych
kątów wewnętrznych tego trójkąta jest równa 115 ° .
b) Kąty między jednym z boków trójkąta ostrokątnego i wysokościami opuszczonymi na
pozostałe boki mają miary 35 ° oraz 45 ° . Kąt leżący naprzeciw tego boku ma miarę 80 ° .
c) Miary kątów trójkąta pozostają w stosunku 1 : 2 : 3. Wtedy najmniejszy kąt ma miarę
20 ° .
d) W trójkącie miara jednego kąta jest dwa razy większa od miary drugiego i trzy razy
mniejsza od miary trzeciego kąta. Wtedy największy kąt ma miarę 120 ° .
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 5.2.3.6Zaznacz poprawne stwierdzenie.
a) W pewnym wielokącie wypukłym suma miar kątów wynosi 1620 ° . Liczba boków tego
wielokąta jest równa 11.
b) W osiemnastokącie foremnym miara kąta wewnętrznego wynosi 160 ° .
c) W dziesięciokącie wypukłym suma miar kątów jest równa 1800 ° .
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 5.2.3.7Zaznacz poprawne stwierdzenie.
a) Pewien wielokąt wypukły ma 35 przekątnych. Liczba boków tego wielokąta jest równa 7.
b) Liczba przekątnych wielokąta wypukłego jest cztery razy większa od liczby jego boków.
Wielokątem tym jest jedenastokąt.
c) W siedemnastokącie wypukłym liczba przekątnych jest równa 119.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 5.2.3.8Zaznacz poprawne stwierdzenie.
a) Różnica miar przeciwległych kątów trapezu równoramiennego wynosi 24 ° . Wówczas
miara kąta wewnętrznego przy dłuższej podstawie trapezu jest równa 102 ° .
Zadania
644
b) Z wierzchołka kąta rozwartego równoległoboku poprowadzono dwie wysokości, które
tworzą kąt o mierze 30 ° . Wtedy miara kąta ostrego tego równoległoboku wynosi 60 ° .
c) Różnica miar dwóch sąsiednich kątów wewnętrznych równoległoboku jest równa 40 ° .
Wówczas kąt rozwarty tego równoległoboku jest równy 140 ° .
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 5.2.3.9W trapezie równoramiennym ABCD podstawa AB jest dwa razy dłuższa od podstawy CD. Prze-
kątna AC zawiera się w dwusiecznej kąta DAB. Pole trapezu jest równe 27√3 . Wtedy
a) długość ramienia trapezu jest równa 6
b) przekątna AC dzieli trapez na dwa trójkąty, z których jeden ma pole dwa razy większe od
drugiego
c) ramię trapezu jest dwa razy dłuższe od krótszej podstawy
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 5.2.3.10Zaznacz poprawne stwierdzenie.
a) W sześciokącie foremnym o boku długości 3, długość krótszej przekątnej jest równa 6.
b) W pięciokącie foremnym kąt między dwiema przekątnymi poprowadzonymi z tego
samego wierzchołka jest równy 36 ° .
c) W dowolnym wielokącie foremnym wszystkie przekątne przecinają się w jednym punkcie.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 5.2.3.11Zaznacz poprawne stwierdzenie.
a) W równoległoboku o obwodzie równym 154, wysokości spełniają warunekh1h2
=34 . Wtedy
krótszy bok ma długość 44.
b) W deltoidzie przekątne mają długości 10 i 7. Wtedy pole tego deltoidu wynosi 70.
c) Krótsza przekątna trapezu prostokątnego dzieli go na trójkąt prostokątny i trójkąt
równoboczny. Dłuższa podstawa trapezu jest równa 8. Wtedy obwód trapezu ma długość
20 + 4√3.
(Pokaż odpowiedź)
Zadania
645
Poziom trudności: AZadanie 5.2.3.12Dziewięciokąt ABCDEFGHI jest foremny. Wynika stąd, że
a) miara kąta ABC wynosi 150 °
b) suma miar wszystkich kątów wewnętrznych wielokąta jest równa 1620 °
c) wielokąt ten ma 27 przekątnych
d) z wierzchołka D można poprowadzić 9 przekątnych
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 5.2.3.13Jeden z kątów trójkąta ma miarę 72 ° . Jeden z pozostałych jest 5 razy większy od drugiego. Mia-
ry tych kątów to
a) 28 ° i 80 °
b) 21 ° i 105 °
c) 18 ° i 90 °
d) 20 ° i 100 °
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 5.2.3.14Dwa sąsiednie kąty równoległoboku różnią się o 20 ° . Kąt ostry tego równoległoboku ma miarę
a) 80 °
b) 60 °
c) 40 °
d) 20 °
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 5.2.3.15W trójkącie ABC poprowadzono dwusieczne kątów CAB i ABC. Dwusieczne te przecinają się w
punkcie P. Kąt APB jest
a) mniejszy lub równy 60 °
b) ostry, ale większy od 60 °
Zadania
646
c) prosty
d) rozwarty
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 5.2.3.16Obwód sześciokąta foremnego jest równy 36. Pole tego sześciokąta jest równe
a) 54√3
b) 27√3
c) 18√3
d) 9√3
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 5.2.3.17Stosunek długości boków równoległoboku jest równy 3 : 5, a krótsza z jego wysokości ma dłu-
gość 6. Wówczas druga wysokość jest równa
a) 15
b) 10
c) 6
d) 3,6
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 5.2.3.18Dany jest trapez prostokątny ABCD o dłuższej podstawie AB . Ramię AD jest prostopadłe do
podstaw, a długość boku BC jest dwa razy większa od różnicy długości podstaw trapezu. Kąt
ABC ma miarę
a) 75 °
b) 60 °
c) 45 °
d) 30 °
(Pokaż odpowiedź)
Zadania
647
Poziom trudności: AZadanie 5.2.3.19Przekątna BD rombu ABCD ma taką samą długość jak bok rombu. Wynika stąd, że
a) obwód rombu jest równy 2 | AC |
b) pole rombu jest równe | BD |2
c) | ?ABC | = 120 °
d) | AC | = 2 | BD |
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 5.2.3.20Na rysunku przedstawiony jest trójkąt ABC.
Wtedy
a) | ?CAB | = 146 °
b) | ?CAB | = 68 °
c) | ?CAB | = 56 °
d) | ?CAB | = 34 °
(Pokaż odpowiedź)
Zadania
648
Poziom trudności: AZadanie 5.2.3.21Punkty E i F są środkami boków prostokąta ABCD.
Jaką częścią pola prostokąta jest pole trójkąta AFE?
a)78
b)58
c)38
d)12
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 5.2.3.22Ile boków ma wielokąt foremny, którego każdy kąt wewnętrzny ma miarę 160 ° ?
(Pokaż odpowiedź)
Zadania
649
Poziom trudności: AZadanie 5.2.3.23
Dany jest trapez ABCD o podstawach AB i CD, w którym | AD | = | DC | = 3.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 5.2.3.24Podstawy trapezu mają długości 6 i 10. Miary kątów przy dłuższej podstawie są równe 30 ° i
60 ° . Oblicz pole trapezu.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 5.2.3.25W trapezie ABCD poprowadzono krótszą przekątną, która podzieliła go na trójkąt prostokątny
i trójkąt równoboczny. Oblicz miary kątów tego trapezu. Rozważ wszystkie przypadki.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 5.2.3.26Dany jest romb, którego kąt ostry ma miarę 45 ° , a jego pole jest równe 72√2. Oblicz długość
boku tego rombu.
(Pokaż odpowiedź)
Czy wysokość tego trapezu może być równa 4? Odpowiedź uzasadnij.a)
Uzasadnij, że przekątna AC zawiera się w dwusiecznej kąta DAB.b)
Zadania
650
Poziom trudności: BZadanie 5.2.3.27Trapez prostokątny ABCD podzielono na trzy figury o równych polach, tak jak na rysunku. Dłu-
gość boku kwadratu CDEF jest równa 6. Oblicz obwód i pole trapezu ABCD.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 5.2.3.28Jaka jest miara kąta pomiędzy dwiema przekątnymi różnej długości poprowadzonymi z tego
samego wierzchołka sześciokąta foremnego ?
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 5.2.3.29Udowodnij, że dwusieczne dwóch sąsiednich kątów równoległoboku są prostopadłe.
(Pokaż odpowiedź)
Zadania
651
5.3. Przystawanie trójkątów
5.3.1. Przykłady
W poniższych przykładach pokażemy zastosowanie cech przystawania trójkątów w zadaniach na
dowodzenie.
Przykład 1.W równoległoboku ABCD przekątne AC i BD przecinają się w punkcie M. Wykaż, że trójkąty
ABM i CDM są przystające.
Czworokąt ABCD jest równoległobokiem, a zatem boki AB i CD są równe oraz zawierają się
w prostych równoległych. Wynika stąd, że kąty CAB i DCA mają równe miary oraz kąty DBA i
BDC mają równe miary.
Stąd i z równości
| AB | = | CD | ,
wynika, że trójkąty ABM i CDM są przystające, co stwierdzamy na mocy cechy kąt-bok-kąt.
Uwaga. Z przystawania trójkątów ABM i CDM wynika, że | AM | = | MC | i
| BM | = | MD | . Prawdziwe jest zatem poniższe twierdzenie.
Przystawanie trójkątów
652
Twierdzenie: Przekątne w równoległoboku
W dowolnym równoległoboku przekątne dzielą się na połowy.
Prawdziwe jest również twierdzenie odwrotne.
Twierdzenie: Czworokąt, który jestrównoległobokiem
Czworokąt, którego przekątne dzielą się na połowy jest równoległobokiem.
DowódDla dowodu rozpatrzmy czworokąt ABCD, którego przekątne AC i BD przecinają się w punk-
cie P będącym środkiem każdej z nich. Wtedy
| AP | = | CP | , | DP | = | BP |
oraz
| ?APD | = | ?BPC | ,
Przykłady
653
jako kąty wierzchołkowe. Zatem trójkąty APD i BPC są przystające, co stwierdzamy na mocy
cechy bok-kąt-bok.
Wobec tego | AD | = | BC | , a także | ?PAD | = | ?PCB | , stąd wniosek, że proste
AD i BC są równoległe.
Skoro dwa boki czworokąta ABCD są równe i równoległe, to jest on równoległobokiem, co
kończy dowód.
Przykład 2.• W trójkącie ABC środek boku AB jest spodkiem wysokości opuszczonej z wierzchołka C.
Wykaż, że boki AC i BC tego trójkąta są równe.
Oznaczmy przez D środek boku AB. Trójkąty ADC i BDC są prostokątne. Mają wspólną przy-
prostokątną DC, a także | AD | = | DB | .
Przykłady
654
Są to więc trójkąty przystające (na mocy cechy bok-kąt-bok). Stąd wynika, że
| AC | = | BC | . To spostrzeżenie kończy dowód.
• W trójkącie ABC spodkiem wysokości opuszczonej z wierzchołka C na bok AB jest taki
punkt P, że kąty ACP i BCP mają równe miary. Wykaż, że
| AC | = | BC | .
Trójkąty APC i BPC są prostokątne, mają wspólną przyprostokątną PC, a także kąty ACP i BCP
mają równe miary.
Trójkąty te są zatem przystające (na mocy cechy kąt-bok-kąt). Stąd | AC | = | BC | .
Koniec dowodu.
• W trójkącie ABC boki AC i BC są równe. Wykaż, że spodkiem wysokości opuszczonej
z wierzchołka C tego trójkąta jest środek boku AB.
Oznaczmy przez E spodek wysokości poprowadzonej z wierzchołka C na bok AB.
Przykłady
655
Wtedy z twierdzenia Pitagorasa w trójkątach prostokątnych AEC i BEC mamy odpowiednio
| AE |2
+ | EC |2
= | AC |2
| BE |2
+ | EC |2
= | BC |2,
stąd
| AE |2
= | AC |2
− | EC |2
| BE |2
= | BC |2
− | EC |2.
Skoro | AC | = | BC | , to | AE |2
= | BE |2. Uwzględniając, że | AE | > 0 oraz
| BE | > 0, otrzymujemy | AE | = | BE | , czyli punkt E jest środkiem boku AB, co nale-
żało wykazać.
Uwaga
Ponieważ odpowiednie boki w trójkątach AEC i BEC są równe, to na mocy cechy bok-bok-bok
stwierdzamy, że trójkąty te są przystające. Wynika z tego, że
| ?CAE | = | ?CBE | ,
| ?ACE | = | ?BCE | .
Przykłady
656
Twierdzenie: Trójkąt równoramienny
W dowolnym trójkącie równoramiennym
• kąty wewnętrzne przy podstawie są równe,
• środek podstawy jest spodkiem wysokości opuszczonej na tę podstawę,
• wysokość poprowadzona z wierzchołka kąta wspólnego dla ramion zawiera się w dwu-
siecznej tego kąta.
Przykład 3.W prostokącie ABCD przekątne AC i BD przecinają się pod kątem prostym. Wykaż, że
| AB | = | BC | .
Oznaczmy przez P punkt przecięcia przekątnych AC i BD prostokąta ABCD. Jest on środkiem
każdej z tych przekątnych, bo czworokąt ABCD jest równoległobokiem.
Zauważmy, że punkt P jest spodkiem wysokości poprowadzonej w trójkącie ABC z wierzchoł-
ka B na bok AC. Wobec tego trójkąt ABC jest równoramienny i
| AB | = | BC | .
To spostrzeżenie kończy dowód.
Udowodniliśmy więc, że prostokąt, którego przekątne przecinają się pod kątem prostym jest
kwadratem.
Przykłady
657
Przykład 4.W równoległoboku ABCD przekątna AC zawiera się w dwusiecznej kąta BAD. Wykaż, że prze-
kątne AC i BD tego równoległoboku przecinają się pod kątem prostym.
Oznaczmy przez α miarę każdego z kątów, na które dwusieczna AC podzieliła kąt BAD
| ?CAB | = α, | ?CAD | = α.
Wtedy
| ?ACD | = α
| ?ACB | = α.
Trójkąty ABC i ADC są zatem równoramienne, bo w każdym z nich kąty przy podstawie AC
mają miarę równą α. Zatem
| AB | = | BC | = | CD | = | AD |
Wynika z tego, że spodkiem wysokości poprowadzonej z wierzchołka B trójkąta ABC na pod-
Przykłady
658
stawę AC jest środek M odcinka AC, który jest również spodkiem wysokości poprowadzonej
z wierzchołka D trójkąta ADC na podstawę AC.
Wobec tego miary kątów BMA i AMD sumują się do kąta półpełnego, zatem punkt M leży na
przekątnej BD.
To oznacza, że przekątne AC i BD równoległoboku przecinają się pod kątem prostym. Koniec
dowodu.
Uwaga. Wykazaliśmy, że jeżeli w równoległoboku ABCD przekątna AC zawiera się w dwu-
siecznej kąta BAD, to równoległobok ABCD jest rombem.
Przykład 5.W trójkącie prostokątnym ABC punkt D jest spodkiem wysokości opuszczonej z wierzchołka
kąta prostego C na przeciwprostokątną AB. Punkt E jest symetryczny do punktu D względem
prostej AC, a punkt F jest symetryczny do punktu D względem prostej BC.
Wykażemy, że punkty C, E i F leżą na jednej prostej.
Zauważmy, że prosta AC jest symetralną odcinka DE. Wynika stąd, że
Przykłady
659
| AE | = | AD | ,
| CE | = | CD | .
Wobec tego trójkąty EAC i DAC są przystające, co stwierdzamy na mocy cechy bok-bok-bok.
Zauważmy też, że prosta BC jest symetralną odcinka DF. Wynika stąd, że
| BF | = | BD | ,
| CF | = | CD | .
Zatem trójkąty FBC i DBC są przystające, co stwierdzamy na mocy cechy bok-bok-bok.
W trójkącie ABC kąt ACB jest prosty. Oznaczmy przez α miarę kąta CAB. Wtedy
| ?CBA | = 90 ° – α.
Przykłady
660
W trójkącie prostokątnym ADC kąt przy wierzchołku D jest prosty i
| ?CAD | = α,
więc
| ?DCA | = 90 ° – α.
Wobec tego
| ?ECA | = 90 ° – α.
(bo DCA i ECA to odpowiednie kąty w trójkątach przystających EAC i DAC).
W trójkącie prostokątnym BDC kąt przy wierzchołku D jest prosty i
| ?DBC | = 90 ° – α.
Zatem
| ?BCD | = α.
Wobec tego
| ?BCF | = α,
(bo ?BCD i ?BCF to odpowiednie kąty w trójkątach przystających FBC i DBC).
Obliczmy miarę kąta ECF. Mamy
| ?ECF | = | ?ECA | + | ?ACB | + | ?BCF | = (90 ° – α ) + 90 ° + α = 180 ° .
Wynika z tego, że punkty C, E i F leżą na jednej prostej, a to właśnie należało udowodnić.
Przykłady
661
Przykład 6.Na bokach AC i BC trójkąta ostrokątnego ABC zbudowano kwadraty ACDE i BCFG.
Wykażemy, że odcinki BD i AF mają równe długości.
Oznaczmy
| AC | = b, | BC | = a , | ?ACB | = γ.
Czworokąt ACDE jest kwadratem, więc | CD | = | AC | = b. Czworokąt BCFG jest rów-
nież kwadratem, więc
| CF | = | BC | = a.
Ponadto
| ?DCB | = | ?DCA | + | ?ACB | = 90 ° + γ
oraz
| ?ACF | = | ?ACB | + | ?BCF | = γ + 90 ° .
Przykłady
662
Wobec tego
| CD | = | AC | = b
| ?DCB | = | ?ACF | = 90 ° + γ
| CB | = | CF | = a,
więc trójkąty DCB i ACF są przystające, na mocy cechy bok-kąt-bok.
Wynika z tego, że | BD | = | AF | (bo są to odpowiednie boki w trójkątach przysta-
jących).
To kończy dowód.
Przykłady
663
Przykład 7.Trójkąt ABC przedstawiony na poniższym rysunku jest równoboczny, a punkty B, C, N są
współliniowe. Na boku AC wybrano punkt M taki, że
| AM | = | CN | .
Wykaż, że
| BM | = | MN | .
Oznaczamy
| AB | = | BC | = | CA | = a, | AM | = | CN | = x.
• sposób I
Wybierzmy na boku BC taki punkt D, że odcinki MD i AB są równoległe.
Przykłady
664
Wtedy
| ?CMD | = | ?CAB | = 60 ° ,
czyli trójkąt CMD jest równoboczny, a jego bok jest równy a – x. Zatem
| MD | = | CM | = a – x,
| BD | = | BC | – | CD | = a – (a – x) = x , | CN | = x,
| ?BDM | = 120 ° , | ?NCM | = 120 ° ,
więc trójkąty BDM i MCN są przystające, na mocy cechy bok-kąt-bok.
Wobec tego odcinki BM i MN są równe.
Koniec dowodu.
• sposób II
Przedłużamy bok AC o odcinek CN’ tak, że
| MN' | = a.
Przykłady
665
Wtedy w trójkącie NCN’ mamy
| CN | = | CN’ | = x
oraz
| ?NCN’ | = 60 ° ,
więc trójkąt NCN’ jest równoboczny.
Wynika z tego, że
| NN’ | = x.
Zatem
| MN’ | = | AB | = a,
| NN’ | = | MA | = x,
| ?MN’N | = 60 ° , | ?BAM | = 60 ° ,
więc trójkąty MN’N i BAM są przystające, na mocy cechy bok-kąt-bok.
Wobec tego odcinki BM i MN są równe. Koniec dowodu.
• sposób III
Na boku AB odkładamy taki punkt M', że
| AM' | = | AM | = x.
Przykłady
666
Wówczas trójkąt AMM’ jest równoboczny, a jego bok jest równy x.
Wynika z tego, że
| MM’ | = x , | ?BM’M | = 120 ° .
Wobec tego
| MM’ | = | NC | = x
| M’B | = | CM | = a – x
| ?MM’B | = 120 ° , | ?NCM | = 120 ° ,
więc trójkąty MM’B i NCM są przystające, na mocy cechy bok-kąt-bok.
Zatem odcinki BM i MN są równe.
Koniec dowodu.
Przykłady
667
5.3.2. Zadania
Poziom trudności: AZadanie 5.3.2.1W trójkącie nierównoramiennym ABC punkt D jest środkiem boku AB. Wykaż, że odległości
punktów A i B od prostej CD są równe.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 5.3.2.2Pięciokąt ABCDE jest foremny. Wykaż, że wszystkie przekątne tego pięciokąta są równe.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 5.3.2.3Ośmiokąt ABCDEFGH jest foremny. Wykaż, że czworokąt ACEG jest kwadratem.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 5.3.2.4
Na przekątnej AC równoległoboku ABCD wybrano punkty E i F, takie że | AE | = | CF | .
Wykaż, że | BF | = | DE | .
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 5.3.2.5W trapezie równoramiennym ABCD podstawa AB jest dłuższa od podstawy CD. Na przekątnych
AC i BD wybrano punkty odpowiednio P i Q tak, że | AP | =13 | AC | i | BQ | =
13 | BD | .
Wykaż, że | AQ | = | BP | .
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 5.3.2.6Na bokach AB, BC, CD i DA kwadratu ABCD wybrano takie punkty odpowiednio K, L, M i
N, że | AK | = 3 | KB | , | BL | = 3 | LC | , | CM | = 3 | MD | i | DN | = 3 | NA | .
Wykaż, że czworokąt KLMN jest kwadratem.
(Pokaż odpowiedź)
Zadania
668
Poziom trudności: AZadanie 5.3.2.7Na bokach AB i BC kwadratu ABCD zbudowano na zewnątrz trójkąty równoboczne AEB i BFC.
Uzasadnij, że trójkąt DEF jest równoboczny.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 5.3.2.8Czworokąty ABCD i APQR, przedstawione na rysunku, są kwadratami.
Wykaż, że | BP | = | DR | .
(Pokaż odpowiedź)
Zadania
669
Poziom trudności: AZadanie 5.3.2.9Na odcinku AC wybrano punkt B różny od końców tego odcinka. Trójkąty ABD i BCE są równo-
boczne.
Wykaż, że | AE | = | CD | .
(Pokaż odpowiedź)
Zadania
670
Poziom trudności: AZadanie 5.3.2.10Trójkąty ABC i BDE, przedstawione na rysunku, są równoboczne.
Wykaż, że | AE | = | DC | .
(Pokaż odpowiedź)
Zadania
671
Poziom trudności: AZadanie 5.3.2.11W trójkącie równoramiennym ABC boki AC i BC są równe. Na podstawie AB i ramieniu BC zbu-
dowano trójkąty równoboczne ABK i BCL, jak przedstawiono na rysunku.
Wykaż, że | AL | = | CK | .
(Pokaż odpowiedź)
Zadania
672
Poziom trudności: BZadanie 5.3.2.12Na bokach BC i CD równoległoboku ABCD zbudowano kwadraty CDEF i BCGH. Udowodnij, że
| AC | = | FG | .
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 5.3.2.13W trójkącie ostrokątnym ABC na bokach BC i AC leżą odpowiednio takie punkty D i E, że
| AD | = | BE | i | ?ADC | = | ?BEC | = 110 ° . Wykaż, że trójkąt ABC jest równoramien-
ny.
(Pokaż odpowiedź)
Zadania
673
Poziom trudności: AZadanie 5.3.2.14W trójkącie prostokątnym ABC punkt D leży na przeciwprostokątnej AB. Punkt E jest symetrycz-
ny do punktu D względem prostej AC, a punkt F jest symetryczny do punktu D względem pro-
stej BC.
Wykaż, że punkty C, E i F leżą na jednej prostej.
(Pokaż odpowiedź)
Zadania
674
Poziom trudności: AZadanie 5.3.2.15Na bokach AB i CD równoległoboku ABCD zbudowano kwadraty ABKL i CDMN.
Wykaż, że trójkąty BNK i DLM są przystające.
(Pokaż odpowiedź)
Zadania
675
Poziom trudności: AZadanie 5.3.2.16Na bokach trójkąta równobocznego ABC, przedstawionego na rysunku, zbudowano kwadraty
ABDE, CBGH i ACKL.
Wykaż, że trójkąt KGE jest równoboczny.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 5.3.2.17Na ramionach AC i BC trójkąta równoramiennego ABC zbudowano kwadraty ACKL i BCMN. Wy-
każ, że trójkąty MLA i KNB są przystające.
(Pokaż odpowiedź)
Zadania
676
Poziom trudności: BZadanie 5.3.2.18Wewnątrz kwadratu ABCD wybrano takie punkty M i N, że trójkąty ABM i BCN są równoboczne
(zobacz rysunek). Wykaż, że trójkąt DNM jest równoboczny.
(Pokaż odpowiedź)
Zadania
677
Poziom trudności: BZadanie 5.3.2.19Na rysunku przedstawiony jest trójkąt prostokątny ABC. Punkt C jest wierzchołkiem kąta pro-
stego. Na bokach AC i BC zbudowano kwadraty ACKL i CBMN.
Wykaż, że suma odległości punktów L i M od prostej AB jest równa długości przeciwprostokąt-
nej AB.
(Pokaż odpowiedź)
Zadania
678
Poziom trudności: AZadanie 5.3.2.20Na bokach BC i CD równoległoboku ABCD, przedstawionego na rysunku, zbudowano trójkąty
równoboczne BCK i CDL.
Wykaż, że dwusieczna kąta LAK dzieli odcinek KL na połowy.
(Pokaż odpowiedź)
Zadania
679
Poziom trudności: BZadanie 5.3.2.21Punkty A, B, C leżą na jednej prostej, a czworokąty ABDE i BCFG przedstawione na rysunku są
kwadratami.
Punkt K jest środkiem odcinka AG, punkt L jest środkiem odcinka DC. Wykaż, że
| ?KBL | = 90 ° .
(Pokaż odpowiedź)
Zadania
680
Poziom trudności: BZadanie 5.3.2.22W trójkącie ostrokątnym ABC kąt przy wierzchołku A ma miarę 45 ° . Wysokości BD i CE tego
trójkąta przecinają się w punkcie H.
Wykaż, że | AH | = | BC | .
(Pokaż odpowiedź)
Zadania
681
Poziom trudności: BZadanie 5.3.2.23
Trójkąt ABC, przedstawiony na rysunku, jest równoramienny i | AC | = | BC|. Punkty C, B,
M są współliniowe. Na boku AC wybrano punkt N tak, że | AN | = | BM | . Proste NM i AB
przecinają się w punkcie P. Wykaż, że | NP | = | PM | .
(Pokaż odpowiedź)
Zadania
682
Poziom trudności: BZadanie 5.3.2.24
W prostokącie ABCD, przedstawionym na rysunku, dane są długości boków | AB | = 3 i
| BC | = 1. Punkty E i G leżą na boku AB, a punkty F i H leżą na boku CD tak, że czworokąty
AEFD, EGHF i GBCH są kwadratami.
Wykaż, że | ?AED | + | ?AGD | + | ?ABD | = 90 ° .
(Pokaż odpowiedź)
Zadania
683
Poziom trudności: BZadanie 5.3.2.25Bok kwadratu ABCD ma długość 1. Punkty M i K leżą na bokach odpowiednio BC i CD tego kwa-
dratu, przy czym | ?BAM | = 12 ° oraz | ?DAK | = 33 ° .
Wykaż, że w trójkącie MAK wysokość opuszczona z wierzchołka A na bok MK ma długość 1.
(Pokaż odpowiedź)
Zadania
684
5.4. Podobieństwo trójkątów
5.4.1. Cechy podobieństwa trójkątów
Przykład 1.
Popatrz na trójkąty przedstawione na rysunku. Drugi z nich powstał przez powiększenie dłu-
gości każdego boku trójkąta ABC dwa razy. Trzeci przez powiększenie długości każdego boku
trójkąta ABC trzy razy.
Odpowiadające sobie kąty mają jednakowe miary, a odpowiadające sobie boki są proporcjo-
nalne. Takie trójkąty nazywamy podobnymi.
Figury podobne to takie, które mają jednakowy kształt, a mogą się różnić wielkością. Przykła-
dami figur podobnych są kopie tego samego obrazka, które powiększamy lub pomniejsza-
my.
Żeby stwierdzić, czy dwa trójkąty są podobne, korzystamy z cech podobieństwa trójkątów.
Twierdzenie: Cechy podobieństwa trójkątów
• Cecha bok-bok-bok (bbb)
Podobieństwo trójkątów
685
Jeżeli każdy bok trójkąta A'B'C' jest proporcjonalny do odpowiedniego boku trójkąta ABC, to
trójkąty te są podobne.
Aplikacja na epodreczniki.pl
• Cecha bok-kąt-bok (bkb)
Cechy podobieństwa trójkątów
686
Jeżeli dwa boki trójkąta A'B'C' są proporcjonalne do odpowiednich dwóch boków trójkąta
ABC oraz kąt między tymi bokami w trójkącie A'B'C' jest równy kątowi między odpowiednimi
bokami w trójkącie ABC, to trójkąty te są podobne.
Aplikacja na epodreczniki.pl
• Cecha kąt-kąt-kąt (kkk)
Cechy podobieństwa trójkątów
687
Jeżeli trzy kąty trójkąta A'B'C' są równe trzem kątom trójkąta ABC, to trójkąty te są podobne.
Aplikacja na epodreczniki.pl
Cechy podobieństwa trójkątów
688
Film na epodreczniki.pl
Film na epodreczniki.pl
Cechy podobieństwa trójkątów
689
Film na epodreczniki.pl
Twierdzenie: Skala podobieństwa trójkątów
Jeżeli trójkąty A'B'C' oraz ABC są podobne, przy czym wierzchołki A, B, C odpowiadają wierz-
chołkom odpowiednio A', B', C', to
| A'B' || AB |
=| B'C' || BC |
=| C'A' || CA |
oraz
| ?A | = | ?A' | , | ?B | = | ?B' | , | ?C | = | ?C' | .
Skalą k podobieństwa trójkątów nazywamy iloraz długości odpowiadających sobie boków w
trójkątach podobnych
Cechy podobieństwa trójkątów
690
| A'B' || AB |
=| B'C' || BC |
=| C'A' || CA |
= k
Zauważ, że trójkąty podobne w skali k = 1 są przystające.
Podobieństwo trójkątów A'B'C' oraz ABC symbolicznie oznaczamy
∆ A'B'C'~ ∆ ABC.
Aplikacja na epodreczniki.pl
Cechy podobieństwa trójkątów
691
5.4.2. Przykłady
Przykład 1.Czy trójkąty ABC i DEF są podobne?
Tak. Trójkąty ABC i DEF są podobne na mocy cechy kąt − kąt − kąt. W każdym z tych
trójkątów miary kątów są równe 35 ° , 55 ° oraz 90 ° .
a)
Trójkąty ABC i DEF nie są podobne. Każdy z nich ma kąt o mierze 115 ° . Jednak sto-
sunki długości odpowiadających sobie boków tych trójkątów nie są równe. Rzeczywi-
ście| FE || AB |
=65 ,
| DF || AC |
=32 , a
65 ≠ 3
2 .
b)
Przykłady
692
Przykład 2.
Obliczymy stosunki długości odpowiadających sobie boków trójkątów ABC i DEF.
84 = 2,
105 = 2,
126 = 2.
Trójkąty te na mocy cechy bok − bok − bok są podobne w skali k = 2.
Przykład 3.Trójkąt ABC ma boki długości 15, 20, 25. Trójkąt EFG jest do niego podobny. Najkrótszy bok
w trójkącie EFG ma długość 30. Obliczmy stosunek obwodu trójkąta EFG do obwodu trójkąta
ABC i stosunek pola trójkąta EFG do pola trójkąta ABC.
Najkrótszy bok w trójkącie EFG odpowiada najkrótszemu bokowi trójkąta ABC. Skala podo-
bieństwa trójkąta EFG do trójkąta ABC jest więc równa
k =3015 = 2.
Pozostałe boki trójkąta EFG mają długości
20 ∙ 2 = 40, 25 ∙ 2 = 50.
Obliczamy obwody trójkątów i stosunek tych obwodów
LABC = 15 + 20 + 25 = 60
LEFG = 30 + 40 + 50 = 120
LEFGLABC
=12060 = 2 = k.
Przykłady
693
Zauważmy, że trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym
152 + 202 = 225 + 400 = 625 = 252.
Zatem trójkąt EFG do niego podobny też jest trójkątem prostokątnym.
Własność tę wykorzystamy, obliczając pola trójkątów i ich stosunek.
PABC =15 ? 20
2 = 150
PEFG =30 ? 40
2 = 600
PEFGPABC
=600150 = 4 = k2
Stosunek obwodu trójkąta EFG do obwodu trójkąta ABC jest równy 2, a stosunek pola trój-
kąta EFG do pola trójkąta ABC jest równy 4.
Przykłady
694
5.4.3. Własności podobieństwa
Twierdzenie: Własności podobieństwa
Jeżeli trójkąt A'B'C' jest podobny do trójkąta ABC w skali podobieństwa k, to stosunek obwo-
dów tych trójkątów jest równy skali podobieństwa, a stosunek ich pól jest równy kwadratowi
skali podobieństwa
LA'B'C'LABC
= k
PA'B'C'PABC
= k2.
Rozważmy trójkąty prostokątne A'B'C' oraz ABC podobne w skali k. Wysokości tych trójkątów za-
znaczone na rysunku są równe odpowiednio h' i h.
Zauważmy, że skoro trójkąt A'B'C' jest podobny do trójkąta ABC, to
| C'A' || CA |
= k
oraz
| ?ACD | = | ?A'C'D' | , | ?CDA | = | ?C'D'A' | = 90 ° .
Stąd
| ?CAD | = | ?C'A'D' | = 90 ° − | ?A'C'D' | .
Na mocy cechy podobieństwa kąt − bok − kąt trójkąt A'C'D' jest podobny do trójkąta ACD i skala
podobieństwa wynosi k. Stąd
Własności podobieństwa
695
h'h = k,
czyli stosunek długości wysokości w trójkątach podobnych jest taki sam jak stosunek długości bo-
ków.
PA'B'C' =12c'h' =
12kc ∙ kh =
12ch ∙ k2 = PABC ∙ k2
PA'B'C'PABC
= k2
Stosunek pól trójkątów podobnych jest więc równy kwadratowi skali podobieństwa.
LA'B'C' = a' + b' + c' = ka + kb + kc = k(a + b + c) = k ∙ LABC
LA'B'C'LABC
= k
Stosunek obwodów trójkątów podobnych jest równy skali podobieństwa.
Rozważmy dowolny trójkąt ABC. Zaznaczmy w nim środki dwóch boków i połączmy je odcinkiem.
Taki odcinek nazywamy linią środkową trójkąta.
Zauważmy, że trójkąty DCE i ABC są podobne na mocy cechy bok − kąt − bok. Kąt DCE jest wspólny
dla obu trójkątów oraz
| DC || AC |
=| EC || BC |
=12 .
Własności podobieństwa
696
Z definicji podobieństwa wynika, że| DE || AB |
=12 . Mamy też równość kątów
| ?CDE | = | ?CAB | , | ?CED | = | ?CBA | .
Ponieważ punkty C, D, A są współliniowe, więc kąty CDE i CAB są odpowiadające. Stąd wynika rów-
noległość DE i AB.
Własności podobieństwa
697
Twierdzenie: o linii środkowej trójkąta
Odcinek łączący środki dwóch boków w trójkącie jest równoległy do trzeciego boku trójkąta i
jest od niego dwa razy krótszy.
Aplikacja na epodreczniki.pl
Własności podobieństwa
698
Podstawy trapezu ABCD mają długości a oraz b. Punkt E jest środkiem boku AD, a punkt F jest
środkiem boku CB. Odcinek łączący środki ramion trapezu nazywamy linią środkową w trapezie.
Obliczymy jego długość.
Poprowadźmy przekątną AC i oznaczmy przez G jej środek.
Odcinek EG jest odcinkiem łączącym środki boków w trójkącie ADC. Stąd EG jest równoległy do
podstawy trapezu DC oraz
| EG | =12a.
Własności podobieństwa
699
Podobnie odcinek GF jest odcinkiem łączącym środki boków trójkąta ABC, czyli jest równoległy do
podstawy trapezu AB oraz
| GF | =12b.
Ponieważ oba odcinki EG i GF są równoległe do podstaw trapezu, więc punkty E, G, F leżą na jed-
nej prostej.
Mamy
| EF | = | EG | + | GF | =12a +
12b =
a + b2 .
Stąd twierdzenie:
Własności podobieństwa
700
Twierdzenie: o linii środkowej w trapezie
Odcinek łączący środki ramion trapezu jest równoległy do podstaw tego trapezu, a jego dłu-
gość jest równa średniej arytmetycznej długości podstaw trapezu.
Aplikacja na epodreczniki.pl
Poziom trudności: AZadanie 5.4.3.1Zaznacz poprawne stwierdzenie.
a) Jeżeli DB ? CE oraz odcinki mają długości takie, jak na rysunku, to długość odcinka AB
jest równa 9.
Własności podobieństwa
701
b) W trójkącie ABC bok BC ma długość 6. Prosta równoległa do boku AC dzieli bok AB tego
trójkąta w stosunku 2 : 3, licząc od wierzchołka A. Wtedy bok BC zostanie podzielony przez
tę prostą na odcinki długości 2,4 oraz 3,6.
c) Jeżeli DE ? AC oraz odcinki mają długości takie, jak na rysunku, to długość odcinka x jest
równa 5.
d) Jeżeli DE ? AB oraz odcinki mają długości takie, jak na rysunku, to długość odcinka AD jest
równa 6.
(Pokaż odpowiedź)
Własności podobieństwa
702
Poziom trudności: AZadanie 5.4.3.2Punkty K, L i M dzielą ramię AC trójkąta ABC na odcinki równej długości. Punkty N, O i P wy-
brano na boku BC tak, że odcinki MN, LO i KP są równoległe do podstawy AB (patrz rysunek).
Długość odcinka MN jest równa 2.
Wtedy
a) | KP | = 8
b)PCMNPABC
=1
16
c) | LO | = 4
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 5.4.3.3W trapezie ABCD podstawa AB jest dłuższa od podstawy CD. Ramiona AD i BC mają długości
| AD | = 10, | BC | = 12. Proste zawierające te ramiona przecinają się w punkcie S i
| SD | = 15. Wówczas
a) Długość odcinka SC jest równa 18.
b)PSABPSDC
=9
25
c) Trójkąt SDC jest podobny do trójkąta SAB w skali35 .
(Pokaż odpowiedź)
Własności podobieństwa
703
Poziom trudności: AZadanie 5.4.3.4
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 5.4.3.5Zaznacz poprawne stwierdzenie.
a) W trójkącie prostokątnym ABC stosunek długości przyprostokątnych AB i AC jest równy
15 : 8. Poprowadzono wysokość AD. Pole trójkąta ACD jest równe 16. Wtedy pole trójkąta
ABC jest równe 72,25.
b) W trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych długości a i b wysokość poprowadzona z
wierzchołka kąta prostego jest równaab
√a2 + b2 .
c) W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości 3 i 6. Wtedy wysokość
poprowadzona z wierzchołka kąta prostego dzieli przeciwprostokątną na odcinki długości
√5 i 2√5.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 5.4.3.6Zaznacz poprawne stwierdzenie.
a) Trójkąt ABC jest równoramienny o ramionach długości 25 i podstawie długości 30. Wtedy
wysokości w tym trójkącie są równe 20 i 24.
b) Odcinki | AD | = 6 i | BE | = 7 są wysokościami trójkąta ostrokątnego ABC, którego
bok BC ma długość 8. Wtedy, | AC | =283 .
(Pokaż odpowiedź)
W trapezie ABCD podstawa AB jest dłuższa od podstawy CD. Punkt przecięcia przekąt-
nych trapezu dzieli każdą z nich w stosunku 2 : 3. Krótsza podstawa trapezu ma długość
5. Oblicz długość drugiej podstawy.
a)
W trapezie ABCD podstawy mają długości | AB | = 9 i | CD | = 3. Przekątna BD ma
długość 8. Na jakie odcinki dzieli tę przekątną prosta AC?
b)
W trapezie ABCD podstawy mają długości | AB | = 8 i |CD | = 2. Przekątne AC i BD
przecinają się w punkcie S. Trójkąt SAB ma pole równe 10. Oblicz pole trójkąta SCD.
c)
Własności podobieństwa
704
Poziom trudności: AZadanie 5.4.3.7
W trójkąt prostokątny ABC o przyprostokątnych | AB | = 4 i | AC | = 7 wpisano kwa-
drat, tak jak na rysunku. Oblicz długość boku tego kwadratu.
a)
W trójkąt ABC o podstawie | AB | = 40 i wysokości równej 16 opuszczonej z wierzchoł-
ka C na tę podstawę wpisano prostokąt, tak jak na rysunku. Długości odcinków EF i DE
pozostają w stosunku 2 : 5. Znajdź długości boków prostokąta DEFG.
b)
Własności podobieństwa
705
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 5.4.3.8Odpowiedz na pytania.
W trójkąt prostokątny ABC, w którym kąt ACB jest prosty, wpisano kwadrat DEGF o boku
długości 4. Bok GF kwadratu leży na przeciwprostokątnej AB trójkąta. Wierzchołki E, D le-
żą odpowiednio na przyprostokątnych AC i CB. Odcinek AG jest równy 2. Oblicz pole trój-
kąta ABC.
c)
W trapezie ABCD długość podstawy AB jest równa 28, a długości ramion trapezu AD i BC
są odpowiednio równe 20 i 15. Kąty ADB i DCB, zaznaczone na rysunku, mają równe
miary. Oblicz obwód tego trapezu.
a)
Własności podobieństwa
706
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 5.4.3.9Zaznacz poprawne stwierdzenie.
a) Stosunek pól dwóch trójkątów podobnych wynosi 144 : 225. Wówczas stosunek
obwodów tych trójkątów jest równy 12 : 15.
b) W trójkącie ABC poprowadzono odcinek DE równoległy do podstawy AB, który ramię CB
podzielił w stosunku 1 : 4, licząc od wierzchołka C. Wówczas pole trójkąta DEC stanowi1
16
pola trójkąta ABC.
c) Stosunek długości przekątnych dwóch prostokątów podobnych jest równy 4 : 7. Wówczas
stosunek pól tych prostokątów jest równy 4 : 7.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 5.4.3.10Zaznacz poprawne stwierdzenie.
Dwa trójkąty podobne ABC i BDE umieszczono obok siebie (patrz rysunek) tak, że punkty
A, B i D leżą na jednej prostej. Punkty K, L i M są odpowiednio środkami odcinków AB, BD
i CE. Udowodnij, że trójkąt KLM jest podobny do każdego z trójkątów ABC i BDE.
b)
Przekątne czworokąta ABCD przecinają się w punkcie S i zachodzi równość
| AS | ∙ | DS | = | BS | ∙ | CS | . Udowodnij, że czworokąt ABCD jest trapezem.
c)
Własności podobieństwa
707
a) Wysokość trapezu jest równa 4, a odcinek łączący środki ramion trapezu ma długość 5.
Wtedy pole tego trapezu jest równe 20.
b) W trapezie o podstawach długości a i b (gdzie b > a) odcinek łączący środki przekątnych
ma długośćb − a
2 .
c) Ramiona trapezu mają długości 3 i 5, a obwód trapezu jest równy 20. Wtedy długość
odcinka łączącego środki ramion tego trapezu jest równa 12.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 5.4.3.11Odcinki DE i BC są równoległe oraz | DB | = 8, | DE | = 12, | BC | = 16.
Wówczas długość odcinka AD jest równa
a) 24
b) 12
c) 8
d) 4
(Pokaż odpowiedź)
Własności podobieństwa
708
Poziom trudności: AZadanie 5.4.3.12
Prosta równoległa do boku AB trójkąta ABC odcina z niego trójkąt, którego pole stanowi14 pola
trójkąta ABC. Wynika stąd, że ta prosta dzieli boki AC i BC w stosunku
a) 1 : 4
b) 1 : 3
c) 1 : 2
d) 1 : 1
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 5.4.3.13W prostokącie ABCD o bokach długości 6 i 8 odległość wierzchołka D od przekątnej AC jest rów-
na
a) 4√3
b)403
c) 4,8
d) 7,5
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 5.4.3.14W trapezie ABCD podstawa AB jest 2 razy dłuższa od podstawy CD. Punkt S jest punktem prze-
cięcia się przekątnych. Wówczas stosunek| DS || DB |
jest równy
a)23
b)23
c)13
d)12
(Pokaż odpowiedź)
Własności podobieństwa
709
Poziom trudności: AZadanie 5.4.3.15Drzewo rzuca cień długości 12 m. W tym samym czasie stojący obok człowiek o wzroście
180 cm rzuca cień długości 120 cm. Drzewo ma wysokość
a) 18 m
b) 12 m
c) 9 m
d) 8 m
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 5.4.3.16Odcinek łączący środki ramion trapezu ma długość 8. Krótsza podstawa ma długość 2. Wtedy
długość dłuższej podstawy jest równa
a) 16
b) 14
c) 10
d) 6
(Pokaż odpowiedź)
Własności podobieństwa
710
Poziom trudności: AZadanie 5.4.3.17W trójkąt równoboczny o boku długości 4 wpisano kwadrat, w taki sposób, że jego dwa wierz-
chołki leżą na jednym z boków trójkąta, a dwa pozostałe wierzchołki leżą na pozostałych dwóch
ramionach trójkąta.
Długość boku kwadratu jest równa
a) 2√3
b) √32
c) 4√3 − 6
d) 8√3 − 12
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 5.4.3.18Dany jest trójkąt równoramienny o podstawie długości 10 i ramionach długości 13. Wysokość
opuszczona na ramię tego trójkąta jest równa
a)12013
b)6013
c)15610
d)156
5
(Pokaż odpowiedź)
Własności podobieństwa
711
Poziom trudności: AZadanie 5.4.3.19Trójkąt ABC ma boki długości 3,5,7. W trójkącie A'B'C',podobnym do trójkąta ABC, najkrótszy
bok ma długość 412 . Obwód trójkąta A'B'C' jest równy
a) 40
b) 3334
c) 2212
d) 10
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 5.4.3.20Suma obwodów dwóch trójkątów podobnych jest równa 20. Stosunek pól tych trójkątów jest
równy 16 : 1. Obwody tych trójkątów są równe
a) 4 i 16
b) 2 i 18
c) 6 i 14
d) 8 i 12
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 5.4.3.21
W trójkącie ABC długości boków są równe | AC | = 6, | BC | = 9 oraz | AB | = 12. Na bo-
kach AC i BC wybrano punkty D i E, które podzieliły te boki w stosunku 1 : 2, licząc od wierz-
chołka C. Oblicz obwód trójkąta DEC.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 5.4.3.22Punkty D i E leżą na boku AC trójkąta ABC i dzielą go w stosunku 1 : 2 : 3, licząc od wierzchołka
C. Przez punkty D i E poprowadzono proste równoległe do boku AB. Oblicz, w jakim stosunku
pozostają pola figur, na jakie te proste podzieliły trójkąt ABC.
(Pokaż odpowiedź)
Własności podobieństwa
712
Poziom trudności: AZadanie 5.4.3.23
W trapezie ABCD o podstawach długości | AB | = 18 i | CD | = 6 przedłużono ramiona do
punktu S ich przecięcia. Długości odcinków DS i CS są równe | DS | = 3 i | CS | = 5. Oblicz
długości ramion trapezu ABCD.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 5.4.3.24Dany jest trójkąt prostokątny ABC o kącie prostym przy wierzchołku C. Punkt D jest spodkiem
wysokości poprowadzonej z wierzchołka C tego trójkąta. Wykaż, że
| CD | = √ | AD | ∙ | BD | .
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 5.4.3.25W trapezie ABCD dłuższa podstawa AB ma długość 10. Przekątne tego trapezu przecinają się w
punkcie S, który dzieli każdą z nich w stosunku 3 : 5. Oblicz długość krótszej podstawy.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 5.4.3.26W trójkącie ABC podstawa AB ma długość 24, a wysokość opuszczona na tę podstawę jest
równa 9. W trójkąt ten wpisano prostokąt DEFG, taki jak na rysunku. Boki tego prostokąta po-
zostają w stosunku 3 : 4, przy czym dłuższy bok leży na podstawie trójkąta ABC. Oblicz pole
wpisanego prostokąta.
(Pokaż odpowiedź)
Własności podobieństwa
713
Poziom trudności: AZadanie 5.4.3.27
Na zewnątrz trójkąta prostokątnego ABC, w którym kąt ACB jest prosty oraz | AC | = 5 i
| BC | = 12, zbudowano kwadrat ACDE. Punkt H należy do prostej AB i | ?HEA | = 90 ° . Ob-
licz pole trójkąta HAE.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 5.4.3.28Dany jest równoległobok ABCD. Na przedłużeniu przekątnej AC poza punkt C, wybrano punkt P
, taki że | AC | = 3 | CP | . Znajdź stosunek pola trójkąta DCP do pola równoległoboku ABCD
.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 5.4.3.29
W trójkącie ABC środkowa CD ma długość 8. Punkt K leży na środkowej CD i | CK | = 2. Na
boku AC leży taki punkt M, że proste MK i BC są równoległe. Oblicz | AM | : | MC | .
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 5.4.3.30W rombie ABCD kąt przy wierzchołku A jest ostry. Na boku AB leży taki punkt E, że proste DE
i AB są prostopadłe. Przekątna AC przecina odcinek DE w punkcie F, przy czym | DF | = 13 i
| FE | = 12. Oblicz pole tego rombu.
(Pokaż odpowiedź)
Własności podobieństwa
714
Poziom trudności: BZadanie 5.4.3.31
W trójkącie prostokątnym ABC przyprostokątne mają długości | AC | = 13,6 i | BC | = 25,5.
Punkt D leży na przeciwprostokątnej AB i | AD | = 8,5. Na przyprostokątnej AC leży taki punkt
E, że proste DE i AC są prostopadłe. Na przyprostokątnej BC leży taki punkt F, że proste DF i BC
są prostopadłe. Oblicz pole czworokąta DFCE.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 5.4.3.32
W równoległoboku ABCD dane są długości boków | AB | = 12 i | BC | = 16. Punkt E leży na
boku AB i | AE | = 8. Punkt F leży na boku BC i | CF | = 4. Proste DE i DF przecinają prze-
kątną AC w punktach odpowiednio K i L. Wykaż, że | AK | = 2 | LC | .
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 5.4.3.33W trójkącie ABC kąt przy wierzchołku A ma miarę większą od kąta przy wierzchołku B. Punkt K
jest środkiem boku AB. Prosta zawierająca wysokość tego trójkąta, poprowadzona z wierzchoł-
ka C, przecina bok AB w punkcie D, przy czym | AD | : | DB | = 5 : 11. Symetralna boku AB
przecina bok BC w punkcie L i przedłużenie boku AC w punkcie M. Oblicz.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 5.4.3.34
W trapezie równoramiennym ABCD podstawy mają długości | AB | = 20, | CD | = 5. Prze-
kątne AC i BD przecinają się w punkcie S. Prosta równoległa do podstawy AB i przechodząca
przez punkt S przecina ramiona AD i BC w punktach odpowiednio K i L. Oblicz długość odcinka
KL.
(Pokaż odpowiedź)
| BL | : | LC |a)
| AC | : | CM |b)
| KL | : | LM |c)
Własności podobieństwa
715
Poziom trudności: BZadanie 5.4.3.35
W trójkącie ABC dane są długości boków | AC | = 8, | BC | = 12 i | AB | = 10. Na bokach
AB, BC i CA wybrano odpowiednio takie punkty D, E i F, że czworokąt CFDE jest rombem. Oblicz
długość boku tego rombu oraz długości odcinków DB i DA.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 5.4.3.36Na bokach AB, BC i AC trójkąta ABC leżą odpowiednio takie punkty D, E i F, że prosta DE jest
równoległa do boku AC i prosta DF jest równoległa do boku BC. Pole trójkąta ADF jest równe
18, a pole trójkąta BDE jest równe 50. Oblicz pole trójkąta ABC.
(Pokaż odpowiedź)
Własności podobieństwa
716
5.5. Kąty w trójkącie. Styczna do okręgu
5.5.1. Kąty w okręgu
Definicja: Kąt wpisany w okrąg
Kątem wpisanym w okrąg nazywamy kąt, którego wierzchołek leży na okręgu, a jego
ramionami są półproste zawierające dwie cięciwy tego okręgu.
Punkty A i C wyznaczają dwa łuki na okręgu. Mówimy, że kąt wpisany α jest oparty
na łuku AC, mając na myśli łuk zaznaczony na rysunku, na którym nie leży wierzcho-
łek B (łuk zawarty w kącie ABC). Czasem mówimy też, że kąt α jest oparty na cięciwie
AC.
Kąty w trójkącie. Styczna do okręgu
717
5.5.2. Kąt środkowy, kąt wpisany
Definicja: Kąt środkowy okręgu
Kątem środkowym okręgu nazywamy kąt, którego wierzchołek jest środkiem okrę-
gu.
Mówimy, że kąt środkowy α jest oparty na łuku AC, mając na myśli łuk zaznaczony
na rysunku.
• w przypadku kątów mniejszych niż 180 ° , kąt środkowy jest oparty na krót-
szym z łuków AC,
• w przypadku kątów większych niż 180 ° , kąt środkowy oparty jest na dłuższym
z łuków AC.
• W przypadku kąta równego 180 ° , kąt środkowy oparty jest na półokręgu.
Kąt środkowy, kąt wpisany
718
Rozpatrzymy teraz sytuację, w której kąt środkowy i kąt wpisany oparte są na tym samym łuku
okręgu.
Aplikacja na epodreczniki.pl
• I przypadek
Środek okręgu leży wewnątrz kąta wpisanego.
Kąt środkowy, kąt wpisany
719
Na okręgu o środku w punkcie S i promieniu r zaznaczmy punkty A, B i C. Niech α będzie kątem
środkowym opartym na łuku AB, a β niech będzie kątem wpisanym opartym na tym samym łuku
AB.
Oznaczmy γ = | ?CAS | oraz δ = | ?SBC | . Poprowadźmy z punktu C promień okręgu. Utwo-
rzone w ten sposób trójkąty ACS oraz BCS są równoramienne. Zatem w każdym z tych trójkątów
miary kątów przy podstawie są równe.
Zatem | ?ACS | = | ?CAS | = γ i | ?BCS | = | ?CBS | = δ .
Wtedy
| ?ASC | = 180 ° − 2γ, | ?BSC | = 180 ° − 2δ.
Suma miar kątów ASC, BSC, ASB jest równa 360 °
| ?ASC | + | ?BSC | + | ?ASB | = 360 °
Czyli
180 ° − 2γ + 180 ° − 2δ + α = 360 °
α = 2γ + 2δ = 2(γ + δ),
ale
γ + δ = β,
więc
α = 2β.
• II przypadek
Kąt środkowy, kąt wpisany
720
Środek okręgu leży na ramieniu kąta wpisanego.
Trójkąt BCS jest równoramienny, stąd | ?SBC | = β. Zatem
| ?BSC | = 180 ° − 2β.
Z drugiej strony | ?BSC | + α = 180 ° .
Zatem 180 ° − 2β + α = 180 ° , więc w tym przypadku także
α = 2β.
• III przypadek
Środek okręgu leży na zewnątrz kąta wpisanego.
Kąt środkowy, kąt wpisany
721
Narysujmy średnicę okręgu przechodzącą przez punkt C.
Oznaczmy przez γ kąt pomiędzy narysowaną średnicą a ramieniem AC kąta wpisanego, jak na ry-
sunku.
Zauważmy, że kąt ASD jest kątem środkowym opartym na tym samym łuku co kąt γ i jest to sytu-
acja opisana w przypadku II. Zatem
| ?ASD | = 2γ.
Kąt γ + β jest kątem wpisanym opartym na tym samym łuku, co kąt środkowy 2γ + α i jest to sytu-
acja opisana w przypadku II. Zatem
2(γ + β) = 2γ + α.
Stąd ponownie otrzymujemy
α = 2β.
Udowodniliśmy w ten sposób twierdzenie o kącie środkowym i wpisanym.
Kąt środkowy, kąt wpisany
722
Twierdzenie: o kącie środkowym i wpisanym
Kąt środkowy ma miarę dwa razy większą niż kąt wpisany oparty na tym samym łuku.
Z tego twierdzenia wynikają wprost twierdzenia zapisane poniżej.
Twierdzenie: o kątach wpisanych opartych na tymsamym łuku okręgu
Kąty wpisane oparte na tym samym łuku okręgu mają równe miary.
Kąt środkowy, kąt wpisany
723
Twierdzenie: o kącie wpisanym opartym na średnicyokręgu
Kąt wpisany oparty na półokręgu ma miarę 90 ° .
Kąt środkowy, kąt wpisany
724
PrzykładNa rysunku przedstawiony jest okrąg o środku w punkcie S i trójkąty ABC i
ADC wpisane w ten okrąg. Obliczmy miary kątów trójkąta ABC .
Kąt ACB jest wpisany i oparty na średnicy. Zatem
| ?ACB | = 90 ° .
Kąt wpisany ABC jest oparty na tym samym łuku okręgu, co kąt wpisany
ADC. Kąty mają tę samą miarę
| ?ABC | = 56 °
Stąd
| ?CAB | = 180 ° − 90 ° − 56 ° = 34 ° .
Kąt środkowy, kąt wpisany
725
5.5.3. Wzajemne położenie prostej i okręgu
Rozważmy prostą oraz okrąg o środku w punkcie S i promieniu r. Prosta oraz okrąg, leżące w tej
samej płaszczyźnie, mogą mieć jeden punkt wspólny, mogą mieć dwa punkty wspólne lub nie ma-
ją punktów wspólnych.
Aplikacja na epodreczniki.pl
Wzajemne położenie prostej i okręgu
726
Wzajemne położenie prostej i okręgu
Nazwa
prostej
Liczba punktów
wspólnych pro-
stej i okręgu
Interpretacja graficzna
Sieczna
okręgudwa
A, B – punkty wspólne prostej i okręgu
Styczna
do okrę-
gu
jeden
A – punkt wspólny prostej i okręgu
Wzajemne położenie prostej i okręgu
727
Rozłączna
z okrę-
giem
zero
Prosta i okrąg nie mają punktów wspólnych.
Twierdzenie: Styczna do okręgu
Styczna do okręgu jest prostopadła do promienia tego okręgu poprowadzonego z punktu
styczności.
Wzajemne położenie prostej i okręgu
728
Rozważmy okrąg o środku w punkcie S i promieniu r oraz punkt A leżący na zewnątrz tego
okręgu. Poprowadźmy dwie styczne do tego okręgu przechodzące przez punkt A. Punkty styczno-
ści oznaczmy B i C.
Aplikacja na epodreczniki.pl
Poprowadźmy odcinek AS . Trójkąty ABS i ACS są prostokątne i mają wspólną przeciwprostokątną
SA. Przyprostokątne SB i SC mają taką samą długość r. Obliczając z twierdzenia Pitagorasa trzeci
z boków w obu trójkątach, otrzymujemy
Wzajemne położenie prostej i okręgu
729
| AB | = √ | AS |2
− r2,
oraz
| AC | = √ | AS |2
− r2,
zatem
| AB | = | AC | .
Twierdzenie: o odcinkach stycznych
Jeżeli styczne do okręgu w punktach A i B przecinają się w punkcie C, to odcinki AB i AC są
równej długości.
Rozważmy dwa okręgi: jeden o środku w punkcie S1 i promieniu r1, drugi o środku w punkcie S2 i
promieniu r2, przy czym S1 ≠ S2. Dwa okręgi mogą mieć dwa punkty wspólne, jeden punkt wspól-
ny lub nie mają punktów wspólnych.
Aplikacja na epodreczniki.pl
Wzajemne położenie prostej i okręgu
730
Wzajemne położenie dwóch okręgów o różnych promieniach
Nazwa okrę-
gów
Liczba
punktów
wspólnych
Zależność między środkami
S1, S2 okręgów a ich promie-
niami r1, r2
Interpretacja graficzna
Okręgi prze-
cinające siędwa | r1 − r2 | < | S1S2 |
< r1 + r2
Okręgi stycz-
ne zewnętrz-
nie
jeden | S1S2 | = r1 + r2
Wzajemne położenie prostej i okręgu
731
Okręgi stycz-
ne we-
wnętrznie
jeden 0 < | S1S2 | = | r1 − r2 |
Okręgi roz-
łączne ze-
wnętrznie
zero | S1S2 | > r1 + r2
Wzajemne położenie prostej i okręgu
732
Okręgi roz-
łączne we-
wnętrznie
zero | S1S2 | < | r1 − r2 |
Wzajemne położenie prostej i okręgu
733
5.5.4. Wycinek i odcinek koła
Przypomnijmy wzory na pole i obwód koła.Pole koła P = πr2 oraz obwód koła L = 2πr, gdzie
π ≈ 3,14159 jest stałą matematyczną definiowaną jako stosunek obwodu koła do jego średnicy.
Definicja: Wycinek koła
Wycinkiem koła nazywamy każdą z dwóch jego części wyznaczonych przez dwa pro-
mienie tego koła wraz z tymi promieniami. Kąt pomiędzy tymi promieniami nazywa-
my kątem wycinka.
Wycinek i odcinek koła
734
Przykład 1.Obliczmy pole wycinka koła o promieniu 3, którego kąt jest równy α = 45 ° .
Zastanówmy się, jaką częścią całego koła jest ten wycinek.
Zauważmy, że45 °
360 ° =18 . Zatem pole wycinka stanowi ósmą część pola koła.
Pwycinka =18Pkoła
Pwycinka =18πr2
Pwycinka =18 ∙ π ∙ 32 =
98π
Definicja: Pole wycinka
Pole wycinka koła o promieniu r i kącie α jest równe
Pwycinka = α360 ° ∙ πr2
Wycinek i odcinek koła
735
Definicja: Odcinek koła
Odcinkiem koła nazywamy każdą z dwóch części, na jakie dzieli to koło jego cięciwa
wraz z tą cięciwą i łukiem okręgu.
Wycinek i odcinek koła
736
Aplikacja na epodreczniki.pl
Obliczymy pole odcinka koła.
• przypadek I
Środek koła leży na zewnątrz odcinka koła. Wtedy pole tego odcinka jest mniejsze od połowy pola
koła.
Połączmy końce cięciwy ze środkiem okręgu. Otrzymane promienie wraz z cięciwą są bokami trój-
kąta równoramiennego ASB, a kąt α między ramionami SA i SB jest kątem wycinka koła ASB. Pole
odcinka koła obliczymy, odejmując od pola wycinka pole trójkąta ASB.
Wycinek i odcinek koła
737
Podcinka = Pwycinka − Ptrójkąta
• przypadek II
Środek koła leży wewnątrz odcinka koła. Pole odcinka jest wtedy większe od połowy pola koła. Tak
jak poprzednio, połączmy końce cięciwy ze środkiem okręgu. Otrzymane promienie wraz z cięci-
wą są bokami trójkąta równoramiennego ASB. Między ramionami SA i SB znajduje się kąt α. Pole
odcinka koła obliczymy, dodając pole trójkąta ASB do pola wycinka.
Podcinka = Pwycinka + Ptrójkąta.
• przypadek III
Środek koła leży na cięciwie AB.
Cięciwa AB jest wtedy średnicą koła o promieniu r. Każdy z dwóch wyznaczonych przez nią odcin-
ków koła jest półkolem o poluπr2
2 .
Wycinek i odcinek koła
738
5.5.5. Okrąg wpisany w trójkąt prostokątny
Przykład 1.W trójkącie prostokątnym ABC dane są długości przyprostokątnych
| AC | = 16, | BC | = 30.
Obliczymy długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie oraz długość promienia
okręgu wpisanego w ten trójkąt.
Ponieważ trójkąt jest prostokątny, to środek okręgu na nim opisanego jest środkiem prze-
ciwprostokątnej.
Z twierdzenia Pitagorasa
| AB |2
= 162 + 302.
Po uwzględnieniu, że | AB | > 0, otrzymujemy | AB | = 34. Zatem promień R okręgu
opisanego na tym trójkącie jest równy 17.
Niech S i r oznaczają odpowiednio środek i promień okręgu wpisanego w trójkąt ABC. Okrąg
ten jest styczny do przyprostokątnych AC i BC w punktach odpowiednio D i F, a do przeciw-
prostokątnej w punkcie E, jak na rysunku.
Okrąg wpisany w trójkąt prostokątny
739
Z twierdzenia o odcinkach stycznych wynika, że
| CD | = | CF | , | BE | = | BF | , | AD | = | AE | .
Czworokąt SDCF jest kwadratem o boku r. Zatem
| CD | = | CF | = r
| BE | = | BF | = 16 − r.
Ponieważ
| AB | = | AE | + | BE |
| AD | = | AE | = 30 − r,
to
16 − r + 30 − r = 34.
Stąd r = 6.
Przeprowadzając analogiczne rozumowanie dla trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych
długości a i b i przeciwprostokątnej długości c, otrzymujemy związek między długościami bo-
ków trójkąta prostokątnego i promieniem okręgu wpisanego w ten trójkąt.
Okrąg wpisany w trójkąt prostokątny
740
c = a − r + b − r
Twierdzenie: Promień okręgu wpisanego w trójkątprostokątny
Promień r okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości a i b oraz
przeciwprostokątnej długości c jest równy
r =a + b − c
2 .
Okrąg wpisany w trójkąt prostokątny
741
5.5.6. Zadania
Poziom trudności: AZadanie 5.5.6.1Zaznacz poprawne stwierdzenie.
a) Punkt S jest środkiem okręgu. Wówczas zaznaczony na rysunku kąt α ma miarę 145 ° .
b) Punkty A, B, C, D leżą na okręgu o środku w punkcie S (zobacz rysunek). Wtedy kąt α ma
miarę 52 ° .
Zadania
742
c) Kąt środkowy i kąt wpisany oparte są na tym samym łuku okręgu. Suma ich miar jest
równa 150 ° . Wówczas miara kąta wpisanego jest równa 100 ° .
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 5.5.6.2Punkty A, B, C leżą na okręgu o środku S. Miara kąta ASC jest równa 120 ° , a kąt ASB jest prosty
(jak na rysunku).
Wtedy
a) | ?CAB | = 60 °
b) | ?SCB | = 15 °
c) | ?ACB | = 45 °
(Pokaż odpowiedź)
Zadania
743
Poziom trudności: AZadanie 5.5.6.3Odcinek AC jest średnicą okręgu o środku S, punkty B i D leżą na tym okręgu. Kąty w tym okręgu
zaznaczono na rysunku.
Zaznacz poprawne stwierdzenie.
a) β = 110 °
b) γ = 35 °
c) α = 55 °
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 5.5.6.4Połącz w pary określenie wzajemnego położenia dwóch okręgów z odpowiednimi własnościa-
mi tych okręgów.
I. promienie okręgów są równe r1 = 2, r2 = 4√2 − 2, a odległość między środkami
| S1S2 | = 4√2
okręgi są styczne wewnętrzniea)
okręgi są styczne zewnętrznieb)
okręgi są rozłączne wewnętrznie (jeden okrąg leży w drugim)c)
okręgi przecinają sięd)
okręgi są rozłączne zewnętrznie (jeden leży na zewnątrz drugiego)e)
Zadania
744
II. promienie okręgów są równe r1 = √3 + 4, r2 = 5√3, a odległość między środkami
| S1S2 | = 4√3
III. promienie okręgów są równe r1 = 2, r2 = 7 ,a odległość między środkami
| S1S2 | = 10
IV. promienie okręgów są równe, r1 = 2, r2 = 5, a odległość między środkami
| S1S2 | = 1
V. promienie okręgów są równe r1 = 3 − √2, r2 = 2 + √ 2, a odległość między środkami
| S1S2 | = 1
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 5.5.6.5Trzy okręgi, każdy o promieniu 1, są styczne zewnętrznie każdy do każdego. Okręgi wpi-
sano w prostokąt, jak na rysunku. Oblicz długość boków tego prostokąta.
a)
Zadania
745
(Pokaż odpowiedź)
Trzy okręgi, każdy o promieniu 1, są parami styczne zewnętrznie. Każdy z tych okręgów
jest wewnętrznie styczny do czwartego okręgu, jak na rysunku. Uzasadnij, że promień
czwartego okręgu jest równy 1 +2√3
3 .
b)
Zadania
746
Poziom trudności: AZadanie 5.5.6.6Poprowadzono styczne do okręgu o środku S, w punktach A i B, które przecięły się w punkcie
O. Odcinek AO ma długość 12. Przez punkt C, leżący na krótszym z łuków AB, poprowadzono
styczną do okręgu, która przecina odcinki OA i OB w punktach D i E (jak na rysunku). Oblicz
obwód trójkąta DEO.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 5.5.6.7W okręgu o promieniu 13 poprowadzono cięciwę długości 24. Oblicz odległość środka okręgu
od tej cięciwy.
(Pokaż odpowiedź)
Zadania
747
Poziom trudności: AZadanie 5.5.6.8Na rysunku jest przedstawiony kąt o wierzchołku O oraz okrąg o środku S i promieniu 4, stycz-
ny w punktach A i B do ramion tego kąta.
Wtedy
a) pole zaznaczonego wycinka ASB jest równe 3,2π
b) punkty A i B dzielą okrąg na dwa łuki długości 2,4π oraz 5,6π
c) kąt wypukły ASB ma miarę 144 °
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 5.5.6.9Okrąg wpisany w trójkąt prostokątny ABC jest styczny do przeciwprostokątnej AB w punkcie D
takim, że | AD | = 4 i | BD | = 21. Suma długości przyprostokątnych tego trójkąta jest rów-
na 31. Wtedy
a) pole trójkąta ABC jest równe 84
b) długości przyprostokątnych trójkąta ABC różnią się o 17
c) promień okręgu wpisanego w trójkąt ABC jest równy 3
(Pokaż odpowiedź)
Zadania
748
Poziom trudności: AZadanie 5.5.6.10Dany jest prostokąt ABCD. Okręgi o średnicach AB i AD przecinają się w punktach A i P. Wykaż,
że punkty B, P i D leżą na jednej prostej.
(Pokaż odpowiedź)
Zadania
749
Poziom trudności: BZadanie 5.5.6.11
(Pokaż odpowiedź)
Odległość środków dwóch kół jest równa 2 i promień każdego z nich jest równy 2. Oblicz
pole części wspólnej tych kół.
a)
W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości 6 i 8. Trzy półokręgi, których
średnicami są boki tego trójkąta, wyznaczają figurę zaznaczoną na rysunku (są to tzw.
księżyce Hipokratesa). Oblicz pole tej figury.
b)
Zadania
750
Poziom trudności: AZadanie 5.5.6.12Odcinek AB jest średnicą okręgu o środku O. Punkt C leży na tym okręgu. Punkty D, E i F leżą
na okręgu o środku S.
Wówczas
a) α = 90 ° , β = 55 ° , γ = 130 °
b) α = 85 ° , β = 40 ° , γ = 50 °
Zadania
751
c) α = 90 ° , β = 55 ° , γ = 50 °
d) α = 90 ° , β = 45 ° , γ = 30 °
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 5.5.6.13Punkty A, B, C leżące na okręgu o środku S są wierzchołkami trójkąta równobocznego. Miara
kąta SAB jest równa
a) 15 °
b) 30 °
c) 60 °
d) 120 °
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 5.5.6.14Pole wycinka koła o promieniu 3 i kącie 40 ° jest równe
a) 81π
b) 9π
c) 3π
d) π
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 5.5.6.15Odległość środków S1 i S2 dwóch przecinających się okręgów jest równa √17. Promienie tych
okręgów mogą być równe
a) r1 = 1 i r2 = 3
b) r1 = √17 i r2 = 2√17
c) r1 = 2 i r2 = 7
d) r1 = 3 i r2 = 6
(Pokaż odpowiedź)
Zadania
752
Poziom trudności: AZadanie 5.5.6.16Kąt środkowy i kąt wpisany oparte są na tym samym łuku okręgu. Wynika z tego, że miara kąta
środkowego jest większa od miary kąta wpisanego o
a) 200%
b) 150%
c) 100%
d) 50%
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 5.5.6.17
Kąt środkowy, oparty na łuku stanowiącym5
18 długości okręgu, ma miarę
a) 110 °
b) 100 °
c) 80 °
d) 50 °
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 5.5.6.18Dwa okręgi o promieniach 3 i 5 są zewnętrznie styczne. Każdy z nich jest styczny wewnętrznie
do okręgu o promieniu 10. Środki tych wszystkich trzech okręgów tworzą trójkąt, którego ob-
wód jest równy
a) 30
b) 26
c) 20
d) 18
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 5.5.6.19Środek okręgu o promieniu 10 jest oddalony od cięciwy AB tego okręgu o 6. Długość tej cięciwy
jest równa
Zadania
753
a) 20
b) 16
c) 12
d) 8
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 5.5.6.20Dane są trzy okręgi o środkach S1, S2, S3 i promieniu 4. Każdy z tych okręgów przechodzi przez
środki dwóch pozostałych.
Pole zacienionej figury (zwanej trójkątem Rellaux) jest równe
a) 8π + 8√3
b)8π3 + 8√3
c)8π3 − 8√3
d) 8π − 8√3
(Pokaż odpowiedź)
Zadania
754
Poziom trudności: AZadanie 5.5.6.21Odległość między środkami stycznych wewnętrznie okręgów o promieniach r i R jest równa 7.
Odległość między środkami stycznych zewnętrznie okręgów o promieniach r i R jest równa 23.
Promienie r i R mają długości
a) 11 i 12
b) 10 i 13
c) 8 i 15
d) 6 i 17
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 5.5.6.22Dany jest okrąg o środku S i promieniu 17 oraz dwie równoległe cięciwy tego okręgu, każda o
długości 30. Oblicz odległość między tymi cięciwami.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 5.5.6.23Okrąg wpisany w trójkąt ABC jest styczny do jego boków w punktach D, E i F tak, jak pokazano
na rysunku. Długości odcinków BE, CF i AD są równe | BE | = 10, | CF | = 5 oraz
| AD | = 6. Oblicz obwód trójkąta ABC.
(Pokaż odpowiedź)
Zadania
755
Poziom trudności: AZadanie 5.5.6.24Punkty A i B leżą na okręgu o środku S. Kąt środkowy ASB ma miarę 110 ° . Oblicz miarę kąta,
pod jakim przecinają się styczne do tego okręgu poprowadzone przez punkty A i B.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 5.5.6.25Na okręgu koła o promieniu 5 leżą punkty A, B, C (patrz rysunek). Oblicz pole zacieniowanego
odcinka koła.
(Pokaż odpowiedź)
Zadania
756
Poziom trudności: AZadanie 5.5.6.26Dwa okręgi o promieniach 2 i 6 są styczne zewnętrznie, a także są styczne do ramion kąta (patrz
rysunek). Oblicz odległości środków tych okręgów od wierzchołka kąta.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 5.5.6.27Dwa okręgi o promieniach 5 i 13 są współśrodkowe. Oblicz długość cięciwy większego okręgu,
która jest styczna do mniejszego okręgu.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 5.5.6.28Do okręgu o promieniu 8 poprowadzono styczne odpowiednio w punktach A i B. Styczne te
przecinają się w punkcie O. Długości odcinków AO i BO tych stycznych są równe 15. Oblicz dłu-
gość odcinka AB.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 5.5.6.29
W okręgu o środku S dane są kąty środkowe ASB oraz BSC takie, że | ?ASB | = 32 ° oraz
| ?BSC | = 70 ° . Oblicz miary kątów trójkąta ABC.
(Pokaż odpowiedź)
Zadania
757
Poziom trudności: BZadanie 5.5.6.30Dane są dwa okręgi: pierwszy o środku S1 i promieniu 2, a drugi o środku S2 i promieniu 6. Od-
ległość między środkami tych okręgów jest równa 10. Wspólna styczna do tych okręgów prze-
cina prostą S1S2 w punkcie O. Oblicz długości odcinków S1O i S2O . Rozważ dwa przypadki.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 5.5.6.31Trzy okręgi o środkach A, B, C i promieniach odpowiednio równych 2, 3, 10 są parami styczne
zewnętrznie. Punktami styczności są punkty D, E, F. Wykaż, że okrąg wpisany w trójkąt ABC jest
styczny do jego boków w punktach D, E, F.
(Pokaż odpowiedź)
Zadania
758
5.6. Stereometria
5.6.1. Siatki i modele brył
Stereometria
759
Film na epodreczniki.pl
Film na epodreczniki.pl
Siatki i modele brył
760
Film na epodreczniki.pl
Film na epodreczniki.pl
Siatki i modele brył
761
Film na epodreczniki.pl
Film na epodreczniki.pl
Siatki i modele brył
762
Film na epodreczniki.pl
Film na epodreczniki.pl
Siatki i modele brył
763
Film na epodreczniki.pl
Film na epodreczniki.pl
Siatki i modele brył
764
Film na epodreczniki.pl
Film na epodreczniki.pl
Siatki i modele brył
765
Film na epodreczniki.pl
Film na epodreczniki.pl
Siatki i modele brył
766
Słowniczek
Twierdzenie:
Pole trójkąta jest równe połowie iloczynu długości dwóch jego boków i sinusa kąta zawartego
między tymi bokami.Przy oznaczeniach takich jak na rysunku
PABC =12absinγ.
Twierdzenie: Cechy przystawania trójkątów
Przystawanie trójkątów ABC i DEF wynika z każdej z następujących cech przystawania trój-
kątów:
• cecha przystawania bok-bok-bok (bbb)
Trójkąty ABC i DEF są przystające wtedy i tylko wtedy, gdy długości boków jednego trójkąta
są odpowiednio równe długościom boków drugiego trójkąta.
Słowniczek
767
| AB | = | DE | , | AC | = | DF | , | BC | = | EF | .
• cecha przystawania bok-kąt-bok (bkb)
Trójkąty ABC i DEF są przystające wtedy i tylko wtedy, gdy długości dwóch boków i kąt między
tymi bokami w jednym trójkącie są odpowiednio równe dwóm bokom i kątowi między tymi
bokami w drugim trójkącie
| AB | = | DE | , | AC | = | DF | , | ?BAC | = | ?EDF | .
• cecha przystawania kąt-bok-kąt (kbk)
Trójkąty ABC i DEF są przystające wtedy i tylko wtedy, gdy długości boku i miary kątów przyle-
głych do tego boku w jednym trójkącie są odpowiednio równe długości boku i miarom kątów
przyległych do tego boku w drugim trójkącie
Słowniczek
768
| AB | = | DE | , | ?BAC | = | ?EDF | , | ?ABC | = | ?DEF | .
Twierdzenie: Działania na pierwiastkach
Jeśli a i b są liczbami nieujemnymi, n i m są liczbami naturalnymi większymi od 1, k jest do-
datnią liczbą naturalną, to
• n√a ∙ b =n√a ∙ n√b
• n√ ab =
n√an√b
, b ≠ 0
• (n√a)n
= a
• (n√a)k
=n√ak
•n√m√a =
n ∙ m√a
Jeśli w powyższym twierdzeniu liczby n i m (stopnie pierwiastków) są nieparzyste, to twier-
dzenie pozostanie prawdziwe również dla ujemnych liczb podpierwiastkowych (a lub b) .
Definicja: Działania na potęgach
Dla dowolnej liczby dodatniej a i dowolnych liczb wymiernych x i y prawdziwe są
równości
• ax ∙ ay = ax + y (wzór na iloczyn potęg o tych samych podstawach)
Słowniczek
769
• ax
ay = ax − y (wzór na iloraz potęg o tych samych podstawach)
• (ax)y
= ax ∙ y (wzór na potęgę potęgi)
Twierdzenie: Działania na potęgach
• Iloczyn potęg o tych samych podstawach
Dla dowolnej liczby rzeczywistej a ≠ 0 i dowolnych liczb całkowitych n i m prawdziwa jest rów-
ność
an ∙ am = an + m.
Film na epodreczniki.pl
• Iloraz potęg o tych samych podstawach
Dla dowolnej liczby rzeczywistej a ≠ 0 i dowolnych liczb całkowitych n i m prawdziwa jest rów-
ność
Słowniczek
770
an
am = an − m.
Film na epodreczniki.pl
• Potęga potęgi
Dla dowolnej liczby rzeczywistej a ≠ 0 i dowolnych liczb całkowitych n i m prawdziwa jest rów-
ność
Słowniczek
771
(an)m
= an ∙ m.
Film na epodreczniki.pl
• Iloczyn potęg o tych samych wykładnikach
Dla dowolnych liczb rzeczywistych a ≠ 0 i b ≠ 0 i dowolnej liczby całkowitej n prawdziwa jest
równość
Słowniczek
772
an ∙ bn = (a ∙ b)n.
Film na epodreczniki.pl
• Iloraz potęg o tych samych wykładnikach
Dla dowolnych liczb rzeczywistych a ≠ 0 i b ≠ 0 i dowolnej liczby całkowitej n prawdziwa jest
równość
Słowniczek
773
an
bn = ( ab )
n.
Film na epodreczniki.pl
Definicja: Dziedzina
Zbiór tych wszystkich liczb rzeczywistych, dla których wzór funkcji ma sens liczbowy
nazywamy dziedziną funkcji.
Definicja: Funkcja
Funkcją f ze zbioru X w zbiór Y nazywamy przyporządkowanie, które każdemu ele-
mentowi zbioru X przyporządkowuje dokładnie jeden element zbioru Y.
Symbolicznie piszemy f : X → Y. Czytamy „funkcja f odwzorowuje zbiór X w zbiór Y”.
• Zbiór X nazywamy dziedziną funkcji, a jego elementy – argumentami funkcji f.
• Zbiór Y nazywamy przeciwdziedziną funkcji. Każdy element y zbioru Y, który
został przyporządkowany co najmniej jednemu argumentowi x nazywamy
wartością funkcji f dla argumentu x, co zapisujemy symbolicznie y = f(x). Zbiór
Z tych elementów y nazywamy zbiorem wartości funkcji.
Słowniczek
774
Definicja: Funkcja malejąca
Funkcja f jest określona w przedziale ? a, b ? .
Jeżeli dla dowolnych x1, x2 ? ? a, b ? takich, że x1 < x2 spełniony jest warunek:
f(x1) > f(x2),
to mówimy, że funkcja f jest malejąca w przedziale ? a, b ? .
Film na epodreczniki.pl
Definicja: Funkcja monotoniczna przedziałami
Jeśli funkcja, której dziedzinę można podzielić na rozłączne przedziały tak, aby w każ-
dym z nich funkcja ta była monotoniczna, to powiemy, że jest ona monotoniczna
przedziałami.
Definicja: Funkcja niemalejąca
Funkcja f jest określona w przedziale ?a, b?. Jeżeli dla dowolnych x1, x2 ? ? a; b ? ta-
kich, że x1 < x2 spełniony jest warunek:
f(x1) ≤ f(x2),
to mówimy, że funkcja f jest niemalejąca w przedziale ? a, b ? .
Słowniczek
775
Przykład
Film na epodreczniki.pl
Definicja: Funkcja nierosnąca
Funkcja f jest określona w przedziale ?a, b?. Jeżeli dla dowolnych x1, x2 ? ? a, b ? ta-
kich, że x1 < x2 spełniony jest warunek:
f(x1) ≥ f(x2),
To mówimy, że funkcja f jest nierosnąca w przedziale ? a, b ? .
Słowniczek
776
Przykład
Film na epodreczniki.pl
Definicja: Funkcja rosnąca
Funkcja f jest określona w przedziale ? a, b ? .
Jeżeli dla dowolnych x1, x2 ? ? a, b ? takich, że x1 < x2 spełniony jest warunek:
f(x1) < f(x2),
to mówimy, że funkcja f jest rosnąca w przedziale ? a, b ? .
Słowniczek
777
Przykład
Film na epodreczniki.pl
Definicja: Funkcja stała
Funkcja f jest określona w przedziale ?a, b?. Jeżeli dla dowolnych x1, x2 ? ? a, b ? ta-
kich, że x1 < x2 spełniony jest warunek:
f(x1) = f(x2),
Słowniczek
778
to funkcję f nazywamy stałą w przedziale ? a, b ? .
Film na epodreczniki.pl
Definicja: Kąty naprzemianległe iodpowiadające
• Kąty: α i α1, β i β1, γ i γ1 oraz δ i δ1 nazywamy kątami odpowiadającymi.
• Kąty α1 i δ oraz β1i γ nazywamy kątami naprzemianległymi wewnętrznymi.
• Kąty β i γ1 oraz α i δ1 nazywamy kątami naprzemianległymi zewnętrznymi.
Słowniczek
779
Definicja: Kąty przyległe i wierzchołkowe
• Kąty przyległe to dwa kąty, które mają jedno ramię wspólne, a pozostałe ra-
miona dopełniają się do prostej.
• Kąty wierzchołkowe to dwa kąty, które mają wspólny wierzchołek i przedłuże-
niem ramion jednego kąta są odpowiednie ramiona drugiego kąta.
Na przykład α i γ na rysunku są kątami przyległymi. Pary kątów wierzchołko-
wych to α i β oraz γ i δ.
Definicja: Miejsce zerowe funkcji
Każdy argument, dla którego funkcja przyjmuje wartość 0 nazywamy miejscem ze-
rowym tej funkcji.
Twierdzenie: odwrotne do twierdzenia Pitagorasa
Jeżeli suma kwadratów długości dwóch boków trójkąta jest równa kwadratowi długości trze-
ciego boku, to trójkąt jest prostokątny.
Słowniczek
780
Twierdzenie: o dwusiecznych kątów trójkąta
Dwusieczne każdego z kątów w trójkącie przecinają się w jednym punkcie. Punkt ten jest
środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt.
Odcinki łączące środek S okręgu wpisanego w trójkąt ABC z wierzchołkami tego trójkąta po-
dzieliły trójkąt na trzy trójkąty ABS, BCS i ACS.
Wysokość każdego z tych trójkątów jest równa promieniowi okręgu wpisanego w trójkąt ABC
(jak na rysunku).
Pole trójkąta ABC jest równe sumie pól trójkątów BCS, ACS i ABS
Słowniczek
781
PABC = PBCS + PACS + PABS =12ar +
12br +
12cr =
a + b + c2 ∙ r.
Wyprowadziliśmy w ten sposób wzór na pole trójkąta, w którym występują długości jego bo-
ków oraz promień okręgu wpisanego w ten trójkąt.
Twierdzenie: o kątach wierzchołkowych
Kąty wierzchołkowe są równe.
Twierdzenie: o linii środkowej w trapezie
Odcinek łączący środki ramion trapezu jest równoległy do podstaw tego trapezu, a jego dłu-
gość jest równa średniej arytmetycznej długości podstaw trapezu.
Aplikacja na epodreczniki.pl
Słowniczek
782
Twierdzenie: o symetralnych boków trójkąta
Symetralne trzech boków trójkąta przecinają się w jednym punkcie. Punkt ten jest środkiem
okręgu opisanego na tym trójkącie.
Dowód
Aplikacja na epodreczniki.pl
Słowniczek
783
Twierdzenie: Pitagorasa
W trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadra-
towi długości przeciwprostokątnej
a2 + b2 = c2.
Dowód
Aplikacja na epodreczniki.pl
Słowniczek
784
Twierdzenie: Pole trójkąta
Pole trójkąta o bokach długości a, b, c oraz promieniu r okręgu wpisanego w ten trójkąt wy-
raża się wzorem
P =a + b + c
2 r.
Gdy oznaczymya + b + c
2 = p, wzór przyjmuje postać P = pr.
Definicja: Pole wycinka
Pole wycinka koła o promieniu r i kącie α jest równe
Pwycinka = α360 ° ∙ πr2
Definicja: Potęga o wykładniku1n
Dla dowolnej liczby nieujemnej a i liczby naturalnej n większej od 1 przyjmujemy
a1n =
n√a.
Definicja: Proporcjonalność prosta
Funkcja f, opisująca zależność między dodatnimi wielkościami wprost proporcjonal-
nymi x i y nazywana jest proporcjonalnością prostą, a ilorazyx nazywamy współ-
czynnikiem tej proporcjonalności. Oznaczając ten współczynnik przez a, zapisujemy
funkcję f wzorem
f(x) = ax,
gdzie x > 0.
Uwaga: Wprost z definicji wynika, że a > 0.
Słowniczek
785
PrzykładSiła grawitacji F działająca na Ziemi (wyrażona w niutonach) na cia-
ło o masie m (wyrażonej w kilogramach) jest określona wzorem:
F(m) = g ? m,
gdzie g to przyspieszenie ziemskie.
Zależność ta to proporcjonalność prosta, a współczynnikiem tej
proporcjonalności jest g.
Do szacowania wartości siły F przyjmuje się, że g = 10 m / s2.
Definicja: Wielkości wprost proporcjonalne
Dwie zmienne wielkości dodatnie nazywamy wprost proporcjonalnymi, jeżeli iloraz
tych wielkości jest stały.
PrzykładRowerzysta jechał przez 2 godziny ze stałą prędkością, przy czym
w ciągu 10 minut przejechał 3 km. Prędkość rowerzysty jest zatem
równa
v =3
10km / min = 18 km / h.
Przebyta przez tego rowerzystę droga s jest wprost proporcjonal-
na do czasu jazdy t.
Zależność tę możemy zapisać za pomocą wzoru s(t) = 18 t, gdzie
• s oznacza drogę wyrażoną w kilometrach, natomiast
• t czas wyrażony w godzinach.
Za pomocą tego wzoru obliczymy, że:
• w ciągu minuty rowerzysta pokonywał 300 m, bo
s( 160 ) =
160 ? 18 =
310 km = 300 m,
• w ciągu 2 godzin rowerzysta przejechał 36 km, bo
s(2) = 18 ? 2 km = 36 km.
Słowniczek
786
Twierdzenie: Własności podobieństwa
Jeżeli trójkąt A'B'C' jest podobny do trójkąta ABC w skali podobieństwa k, to stosunek obwo-
dów tych trójkątów jest równy skali podobieństwa, a stosunek ich pól jest równy kwadratowi
skali podobieństwa
LA'B'C'LABC
= k
PA'B'C'PABC
= k2.
Definicja: Wycinek koła
Wycinkiem koła nazywamy każdą z dwóch jego części wyznaczonych przez dwa pro-
mienie tego koła wraz z tymi promieniami. Kąt pomiędzy tymi promieniami nazywa-
my kątem wycinka.
Słowniczek
787
Twierdzenie: Wykres funkcji f(x) = ax
Wykresem funkcji f(x) = ax, gdzie a to ustalona liczba rzeczywista, jest prosta o równaniu
y = ax.
Reguła: zaokrąglania liczb
Jeżeli liczbę dodatnią zaokrąglamy do ustalonego rzędu wielkości, np. do tysięcy, setek, dzie-
siątek, jedności, części dziesiątych, części setnych itd., to wszystkie cyfry stojące po prawej
stronie ostatniej (licząc od strony lewej) cyfry znaczącej zastępujemy zerami. Z cyframi zna-
czącymi postępujemy następująco:
• gdy pierwsza cyfra z prawej strony ostatniej cyfry znaczącej jest mniejsza od 5, to
wszystkie cyfry znaczące pozostawiamy bez zmian,
• gdy pierwsza cyfra z prawej strony ostatniej cyfry znaczącej jest co najmniej równa 5, a
ostatnia cyfra znacząca jest mniejsza od 9, to tę cyfrę zwiększamy o 1, a wszystkie po-
przednie cyfry znaczące pozostawiamy bez zmian. Jeśli natomiast ostatnią cyfrą zna-
czącą jest 9, to zamiast niej piszemy cyfrę 0 i tę samą procedurę stosujemy do poprzed-
nich cyfr znaczących.
Słowniczek
788
Rozdział 6. Odpowiedzi
Funkcja / Pojęcie funkcji / WprowadzenieZadanie 1.1.1.1 (Wróć do zadania)OdpowiedźNumer PESEL składa się m.in. z zakodowanej daty urodzenia (wpisanej na pierwszych 6 polach),
informacji o płci (10 pole; cyfra parzysta oznacza płeć żeńską) oraz cyfry kontrolnej, dzięki której z
dużym prawdopodobieństwem ustalane jest, czy liczba 11-cyfrowa jest właściwym numerem PE-
SEL.
Odpowiedzi
789
Funkcja / Pojęcie funkcji / Definicjafunkcji. Sposoby przedstawiania funkcjiZadanie 1.1.2.2 (Wróć do zadania)OdpowiedźLiczba wszystkich funkcji, których dziedziną jest zbiór X i przeciwdziedziną zbiór Y równa się 256.
Zadanie 1.1.2.3 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 1.1.2.4 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Z tabelki odczytujemy, że: g(1) = 2, g(2) = − 3, g(3) =12 , g(4) = 2,7, g(5) = √2.
W grafie jest już zaznaczone przyporządkowanie 3 → 12 .
Następnie zauważamy, że
• argumentowi 1 odpowiada wartość 2: 1 → 2,
• wartość 2,7 odpowiada argumentowi 4: 4 → 2,7,
• wartość √2 odpowiada argumentowi 5: 5 → √2,
• ostatnią parą jest argument 2 i odpowiadająca mu wartość – 3 : 2 → − 3.
Zadanie 1.1.2.5 (Wróć do zadania)Odpowiedź
x – 2 – 1 0 1 2 3
f(x) 5 5 1 2 – 1 0
P(r) = πr2 dla r > 0a)
L(r) = 2πr dla r > 0b)
Odpowiedzi
790
RozwiązanieInterpretujemy warunki podane we wzorze funkcji
Zgodnie z obliczeniami wypełniamy tabelkę.
Zadanie 1.1.2.6 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Rozwiązanie
Zadanie 1.1.2.7 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Rozwiązanie
Zadanie 1.1.2.8 (Wróć do zadania)Odpowiedź
f(−1) + f(0) = 6
f(0) + f(1) = f(2)
f(x) = 5 dla x < 0; wynika z tego, że f(−2) = f(−1) = 5,a)
f(x) = x − 3 dla x > 1; wynika z tego, że f(2) = 2 − 3 = − 1 oraz f(3) = 3 − 3 = 0,b)
f(x) = x + 1 dla x = 0 lub x = 1; wynika z tego, że f(0) = 0 + 1 = 1 oraz f(1) = 1 + 1 = 2.c)
jest funkcjąa)
nie jest funkcjąb)
Takie przyporządkowanie jest funkcją, ponieważ każdemu uczniowi jest przyporządkowany
dokładnie jeden dzień tygodnia, zgodnie z dniem urodzenia.
a)
Takie przyporządkowanie nie jest funkcją, ponieważ nie jest możliwe, aby w tym przypadku
każdy dzień tygodnia miał przyporządkowany dokładnie jeden numer ucznia. W zadanym
przyporządkowaniu jednemu z dni tygodnia przypisano co najmniej 5 numerów.
b)
s(37) = 17a)
x 95 96 97 98 99
s(x) 19 21 23 25 27
b)
Ponieważ cyfrą dziesiątek liczby 37 jest 3, a jej cyfrą jedności jest 7, to
s(37) = 3 + 2 ? 7 = 3 + 14 = 17.
a)
Obliczamy: s(95) = 9 + 2 ? 5 = 19, s(96) = 9 + 2 ? 6 = 21, s(97) = 9 + 2 ? 7 = 23,
s(98) = 9 + 2 ? 8 = 25, s(99) = 9 + 2 ? 9 = 27.
b)
Odpowiedzi
791
Zadanie 1.1.2.9 (Wróć do zadania)Odpowiedź
f(0) = 3
Zadanie 1.1.2.10 (Wróć do zadania)OdpowiedźWykażemy ten fakt za pomocą dowodu nie wprost.Załóżmy przeciwnie, że każdemu z uczniów tej
klasy wystawiono ocenę i każda ocena została przyporządkowana co najwyżej 6 uczniom. Ponie-
waż przypisujemy każdemu z uczniów ocenę ze zbioru pięcioelementowego {2, 3, 4, 5, 6} (nie
ma oceny 1), to ogółem uczniów, którym wystawiono oceny jest nie więcej niż 5 ? 6, czyli 30. Ale
to jest niemożliwe, bo przecież w tej klasie jest 31 uczniów.
Otrzymana sprzeczność pokazuje, że w tej klasie jest co najmniej 7 uczniów, którzy uzyskali tę sa-
mą ocenę z matematyki.
Zadanie 1.1.2.11 (Wróć do zadania)Odpowiedź
RozwiązanieJeżeli graniastosłup prawidłowy ma w podstawie wielokąt o n wierzchołkach, to
• Wszystkich wierzchołków tego graniastosłupa jest tyle, ile w sumie wierzchołków w każdej z
dwóch podstaw.
Wobec tego w(n) = 2n.
• Wszystkich krawędzi tego graniastosłupa jest tyle, ile jest krawędzi bocznych i krawędzi w
każdej z podstaw razem. Ale krawędzi w każdej z podstaw jest tyle, ile jest tam wierzchołków
(czyli n), a także krawędzi bocznych jest tyle, ile wierzchołków w każdej z podstaw.
Wynika z tego, że k(n) = 3n.
• Wszystkich ścian tego graniastosłupa jest tyle, ile jest podstaw i ścian bocznych razem. Ale
podstawy są 2, a ścian bocznych jest tyle, ile krawędzi w każdej z podstaw.
A zatem s(n) = n + 2.
Stosujemy otrzymane wzory
w(3) = 6, k(4) = 12, s(5) = 7a)
w(31) = 62, k(28) = 84, s(17) = 19b)
w(n) = 2n, k(n) = 3n, s(n) = n + 2c)
Patrz – rozwiązanie.d)
w(3) = 2 ? 3 = 6, k(4) = 3 ? 4 = 12, s(5) = 5 + 2 = 7a)
w(31) = 2 ? 31 = 62, k(28) = 3 ? 28 = 84, s(17) = 17 + 2 = 19b)
w(n) = 2n, k(n) = 3n, s(n) = n + 2c)
dla dowolnego n ≥ 3: w(n) + s(n) – k(n) = 2n + n + 2 – 3n = 2, a to właśnie należało
udowodnić.
d)
Odpowiedzi
792
Funkcja / Pojęcie funkcji / Zbiór zadań /ZadaniaZadanie 1.1.3.1.1 (Wróć do zadania)Odpowiedź4
Zadanie 1.1.3.1.2 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 1.1.3.1.3 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 1.1.3.1.4 (Wróć do zadania)Odpowiedź
x 20 31 44 52 67
f(x) 2 4 8 7 13
Odpowiedzi
793
Zadanie 1.1.3.1.5 (Wróć do zadania)Odpowiedźobwód kwadratu o boku długości a
Zadanie 1.1.3.1.6 (Wróć do zadania)Odpowiedź99
Zadanie 1.1.3.1.7 (Wróć do zadania)Odpowiedź2
Zadanie 1.1.3.1.8 (Wróć do zadania)Odpowiedź291
Zadanie 1.1.3.1.9 (Wróć do zadania)Odpowiedź– 1
Zadanie 1.1.3.1.10 (Wróć do zadania)Odpowiedź– 1
Zadanie 1.1.3.1.11 (Wróć do zadania)Odpowiedź
f(−√2) = √2, f(0) = 0, f(12 ) = − 2
11 , f(1) = − 12 , f(2) = 2, f(√5) = √5
2
Zadanie 1.1.3.1.12 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 1.1.3.1.13 (Wróć do zadania)Odpowiedź
f(1) = 3, f(2) = 1, f(3) = − 1, f(4) = − 3
Zadanie 1.1.3.1.14 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Odpowiedzi
794
x 17 26 35 44 53 62 71 80
f(x) 7 12 15 16 15 12 7 0
Zadanie 1.1.3.1.15 (Wróć do zadania)Odpowiedź
x 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
f(x) 4 2 6 2 4 4 5 2 6 2 6 4 4 2 8 3
x ? {11, 13, 17, 19, 23}a)
x = 25b)
największa wartość 8c)
Odpowiedzi
795
Funkcja / Pojęcie funkcji / Zbiór zadań /Zadania generatoroweZadanie 1.1.3.2.1 (Wróć do zadania)Odpowiedź121π
4
Zadanie 1.1.3.2.2 (Wróć do zadania)Odpowiedź−13
Zadanie 1.1.3.2.3 (Wróć do zadania)Odpowiedź176
Zadanie 1.1.3.2.4 (Wróć do zadania)Odpowiedź
f(x) =143100x
Zadanie 1.1.3.2.5 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 1.1.3.2.6 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 1.1.3.2.7 (Wróć do zadania)Odpowiedź
f(x) = 5x − 12
Zadanie 1.1.3.2.8 (Wróć do zadania)Odpowiedź1918 h = 1 godzina 3 minuty 20 sekund
Zadanie 1.1.3.2.9 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 1.1.3.2.10 (Wróć do zadania)Odpowiedź
f(4) = 96a)
f(5) = 100b)
1356 zła)
2842 złb)
f(x) = 5424 − 30,51xc)
Odpowiedzi
796
Zadanie 1.1.3.2.11 (Wróć do zadania)Odpowiedź
35a)
68b)
35c)
Odpowiedzi
797
Funkcja / Dziedzina funkcji /WprowadzenieZadanie 1.2.1.1 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Wiemy, że y =2x
x − 2 przy czym x > 2.
Zauważmy, że 2x − 4 = 2(x − 2), co znaczy, że y =(2x − 4) + 4
x − 2 =2(x − 2) + 4
x − 2 = 2 +4
x − 2 . Ponieważ y jest licz-
bą całkowitą, to y − 2 =4
x − 2 jest również liczbą całkowitą. Wynika z tego, że x − 2 jest całkowitym
dodatnim dzielnikiem liczby 4. Jest to możliwe tylko wtedy, gdy x − 2 = 1 (wtedy y − 2 = 4) lub
x − 2 = 2 (wtedy y − 2 = 2) lub x − 2 = 4 (wtedy y − 2 = 1).
A zatem są trzy pary dodatnich liczb całkowitych, których suma jest dwa razy mniejsza od ich ilo-
czynu
{ x = 3
y = 6, { x = 4
y = 4
oraz
{ x = 6
y = 3
Wynika z tego, że na wykresie funkcji y(x) =2x
x − 2 , gdzie x > 2 znajdują się tylko 3 punkty kratowe,
czyli punkty, których obie współrzędne są liczbami całkowitymi.
Zadanie 1.2.1.2 (Wróć do zadania)OdpowiedźRegresja liniowa jest jedną z metod przewidywania cen akcji na giełdzie. Wyszukaj niezbędne in-
formacje na ten temat w Internecie.
Zadanie 1.2.1.3 (Wróć do zadania)OdpowiedźUżyj arkusza kalkulacyjnego.
Odpowiedzi
798
Funkcja / Dziedzina funkcji / DziedzinaZadanie 1.2.2.1 (Wróć do zadania)Odpowiedź2
0
Zadanie 1.2.2.2 (Wróć do zadania)Odpowiedź−√3
0
– 3
Zadanie 1.2.2.3 (Wróć do zadania)Odpowiedź3
– 2
Zadanie 1.2.2.4 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Dk = R \ {3}RozwiązanieWe wzorze występuje wyrażenie wymierne, więc jego mianownik x − 3 musi być różny od zera.
A zatem dziedziną funkcji k jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych różnych od 3, co zapisujemy
symbolicznie: Dk = R ? {3} lub Dk = (−∞, 3) ? (3, + ∞).
Zadanie 1.2.2.5 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Df = ? 5, + ∞)RozwiązanieWe wzorze funkcji występuje pierwiastek, a zatem wyrażenie pod pierwiastkiem x − 5 musi być
nieujemne. Wobec tego x ≥ 5. Wynika z tego, że dziedziną funkcji f jest zbiór wszystkich liczb rze-
czywistych nie mniejszych od 5.
Zadanie 1.2.2.6 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Df = R ? { – 1, 3}Rozwiązanie
We wzorze funkcji występuje wyrażenie wymierne, więc jego mianownik (x + 1)(2x − 6) musi być
różny od zera. Wobec tego każdy z czynników tego iloczynu musi byc różny od zera. Stąd x + 1 ≠ 0
i 2x − 6 ≠ 0, czyli x ≠ − 1 i x ≠ 3 Wynika z tego, że dziedziną funkcji f jest zbiór wszystkich liczb rze-
czywistych różnych od – 1 i od 3.
Odpowiedzi
799
Zadanie 1.2.2.7 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Df = R ? {0, 4}Rozwiązanie
We wzorze funkcji występuje wyrażenie wymierne, skąd wniosek, że jego mianownik x2 − 4x musi
być różny od zera. Ponieważ x2 − 4x = x(x − 4), to każdy z czynników tego iloczynu musi być różny
od zera. Stąd x ≠ 0 i x − 4 ≠ 0.
A zatem dziedziną funkcji f jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych różnych od 0 i od 4.
Zadanie 1.2.2.8 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Dt = ( − ∞, − 1)RozwiązanieWe wzorze funkcji t występuje wyrażenie wymierne, w którego mianowniku zapisany jest pierwia-
stek. Wynika z tego, że wyrażenie pod pierwiastkiem musi być nieujemne i jednocześnie wartość
tego pierwiastka musi być różna od 0. Stąd √−1 − x ≠ 0 i −1 − x ≥ 0, czyli −1 − x ≠ 0 i −1 ≥ x, x ≠ − 1
i x ≤ − 1, a zatem x < − 1. Dziedziną funkcji t jest wobec tego przedział ( − ∞, − 1).Warto przy okazji podkreślić, że jeżeli mianownik wyrażenia wymiernego jest zapisany w postaci
pierwiastka kwadratowego, to liczba pod pierwiastkiem musi być dodatnia.
Zadanie 1.2.2.9 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Df = (−∞, − 7) ? (−7, 2 >
RozwiązanieWe wzorze funkcji f występują pierwiastek i wyrażenie wymierne.
Wobec tego funkcja f jest określona dla tych x, które spełniają układ warunków 2 − x ≥ 0 i x + 7 ≠ 0
czyli x ≤ 2 i x ≠ − 7.
Do dziedziny funkcji f należą wobec tego wszystkie liczby rzeczywiste należące do przedziału
(−∞, − 7) lub do przedziału (−7, 2 > .
Zadanie 1.2.2.10 (Wróć do zadania)Odpowiedź
P(x) = − 12x2 + 2x, DP = (0, 2)
RozwiązanieZauważmy, że pole kwadratu jest równe 4 i jest równe sumie pól trójkątów: AEF, ABE, ADF i ECF.
Pole trójkąta AEF zapiszemy jako różnicę pola kwadratu oraz sumy pól trójkątów ABF, ADE i ECF.
Trójkąt ECF jest prostokątny, jego przyprostokątne mają długość x, czyli jego pole jest równe12x2.
Trójkąty ABF i ADE są przystającymi trójkątami prostokątnymi, w których długości przyprostokąt-
nych są równe 2 i 2 − x. Wobec tego każdy z tych trójkątów ma pole12 ? 2 ? (2 − x) = 2 − x, a zatem
P(x) = 4 − (12x2 + 2 ? (2 − x)) = 4 − 1
2x2 − 4 + 2x = − 12x2 + 2x.
Ponieważ długość odcinka CE nie przekracza 2, to dziedziną funkcji P jest przedział (0, 2).
Odpowiedzi
800
Funkcja / Dziedzina funkcji / Zbiór zadań/ ZadaniaZadanie 1.2.3.1.1 (Wróć do zadania)Odpowiedź
f(x) =x + √3
2
Zadanie 1.2.3.1.2 (Wróć do zadania)Odpowiedź
f(x) =4
x + 1
Zadanie 1.2.3.1.3 (Wróć do zadania)Odpowiedź
? −2, + ∞)
Zadanie 1.2.3.1.6 (Wróć do zadania)Odpowiedź
f(x) =x − 1x + 2
Zadanie 1.2.3.1.7 (Wróć do zadania)Odpowiedź3
Zadanie 1.2.3.1.8 (Wróć do zadania)Odpowiedź
f(x) =x2 − 5x
x2 − 3
Zadanie 1.2.3.1.9 (Wróć do zadania)Odpowiedź– 1
Zadanie 1.2.3.1.10 (Wróć do zadania)Odpowiedź
(0, 3)
Zadanie 1.2.3.1.11 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Ra)
Rb)
Rc)
Rd)
Odpowiedzi
801
Zadanie 1.2.3.1.12 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 1.2.3.1.13 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 1.2.3.1.14 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 1.2.3.1.15 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 1.2.3.1.16 (Wróć do zadania)Odpowiedź
a(x) = 6 − x, Da = (2, 4)
– 7a)
1b)
3c)
–15
d)
R ? { – 2; 2}a)
R ? {0; 3}b)
R ? {1; – 4}c)
R ? {0; − 2; 1}d)
R ? {3; – 3}e)
Rf)
R ? { – 1}g)
R ? {2}h)
1, 2, 3, 4, 5a)
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9b)
1, 2c)
1, 2, 3, 4d)
Df = ( − 3, + ∞)a)
Dg = ( − ∞, − 1) ? (−1, 2 ?b)
Dh = ? 4, 5) ? (5, + ∞)c)
Dt = ? −3, − 1) ? ( − 1, 5) ? (5, 8 ?d)
Odpowiedzi
802
Zadanie 1.2.3.1.17 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Skorzystaj z wzoru na wysokość w trójkącie równobocznym h =a√3
2 .
P(x) = 9√3 − √34 x2, DP = (0, 6)
Zadanie 1.2.3.1.18 (Wróć do zadania)Odpowiedź
P(a) = 2a2 +400
a , DP = (0, + ∞)
Zadanie 1.2.3.1.19 (Wróć do zadania)Odpowiedź
c(b) = √b2 +1296
b2 , Dc = (0, + ∞)
Odpowiedzi
803
Funkcja / Dziedzina funkcji / Zbiór zadań/ Zadania generatoroweZadanie 1.2.3.2.1 (Wróć do zadania)Odpowiedź
f(x) =6
2x − 14
Zadanie 1.2.3.2.2 (Wróć do zadania)Odpowiedź
(−∞, 5 ?
Zadanie 1.2.3.2.3 (Wróć do zadania)Odpowiedź−4
Zadanie 1.2.3.2.4 (Wróć do zadania)Odpowiedź
f(x) =x2 + 24
x2 + 6
Zadanie 1.2.3.2.6 (Wróć do zadania)Odpowiedź
(0, 24)
Zadanie 1.2.3.2.7 (Wróć do zadania)Odpowiedź
f(x) =−15x − 6
4 − 4x
Zadanie 1.2.3.2.8 (Wróć do zadania)Odpowiedź7
Zadanie 1.2.3.2.9 (Wróć do zadania)Odpowiedź1
−14
Zadanie 1.2.3.2.10 (Wróć do zadania)Odpowiedź
f(x) =2x + 9x − 10
f(x) =3x − 9
√x − 8
Zadanie 1.2.3.2.11 (Wróć do zadania)Odpowiedź
f(x) =4
x − 11
f(x) = √13 − x
Odpowiedzi
804
Zadanie 1.2.3.2.12 (Wróć do zadania)Odpowiedź
f(x) =x − 7
9 + √50
f(x) = √x2 + 7
Zadanie 1.2.3.2.13 (Wróć do zadania)Odpowiedź12
11
Zadanie 1.2.3.2.14 (Wróć do zadania)Odpowiedź
h jest funkcją x postaci h(x) = √x2 − 81
dziedziną otrzymanej funkcji h jest przedział (9, + ∞)
Zadanie 1.2.3.2.15 (Wróć do zadania)Odpowiedź
{ – 9; – 7; – 6; – 5; – 4; – 3; – 2; – 1; 0; 1; 2; 3}
Zadanie 1.2.3.2.16 (Wróć do zadania)Odpowiedź
l(x) = 2(x +100
x ), Dl = (0, + ∞)
Zadanie 1.2.3.2.17 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Df = ? −13, − 11) ? ( − 11, 10) ? (10, 12 ?
Odpowiedzi
805
Funkcja / Argument i wartość funkcji.Miejsca zerowe funkcji liczbowej /Argumenty, dla których funkcja przyjmujedaną wartośćZadanie 1.3.2.1 (Wróć do zadania)Odpowiedź
f(−1) = 2
f(−3) + f(−1) = 0
Zadanie 1.3.2.2 (Wróć do zadania)Odpowiedźdla każdego argumentu ujemnego przyjmuje wartość dodatnią
Zadanie 1.3.2.3 (Wróć do zadania)Odpowiedź
i(10) = 10
i(24) = 4
Zadanie 1.3.2.4 (Wróć do zadania)Odpowiedźdla x = − 1 przyjmuje wartość 1
ma jedno miejsce zerowe
Zadanie 1.3.2.5 (Wróć do zadania)Odpowiedźfunkcja z nie ma miejsc zerowych
do zbioru wartości funkcji z należy liczba 333
Zadanie 1.3.2.6 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Rozwiązanie
Pole powierzchni sześcianu o krawędzi długości a dane jest wzorem P(a) = 6a2, gdzie a > 0
P(12 ) =
32
a)
P(√2) = 12 > 10b)
P(a) = 6, gdy a = 1c)
P(a) = 30, gdy a = √5d)
P(12 ) = 6 ? (1
2 )2
= 6 ?14 =
32
a)
Odpowiedzi
806
Zadanie 1.3.2.8 (Wróć do zadania)Odpowiedź5
110
Zadanie 1.3.2.9 (Wróć do zadania)Odpowiedźm = − 5
Zadanie 1.3.2.10 (Wróć do zadania)Odpowiedź
f(x) = − 5 tylko wtedy, gdy x = − 6
Rozwiązanie
Jeżeli x ≤ 2, to f(x) = x + 1 i równanie f(x) = − 5 zapisujemy jako x + 1 = − 5, a zatem x = − 6. Ponie-
waż −6 ≤ 2, to f(−6) = − 5.
Jeżeli x ? (2,5), to f(x) = 7 − 2x i równanie f(x) = − 5 zapisujemy jako 7 − 2x = − 5, skąd 2x = 12, a
więc x = 6. Ale 6 nie należy do przedziału (2, 5), czyli w tym przypadku funkcja f nie przyjmuje war-
tości −5.
Zadanie 1.3.2.11 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Rozwiązanie
Zadanie 1.3.2.12 (Wróć do zadania)OdpowiedźDla x = 3
P(√2) = 6 ? (√2)2
= 6 ? 2 = 12 > 10b)
P(a) = 6, gdy 6a2 = 6, a więc a2 = 1, skąd a = √1 = 1c)
P(a) = 30, gdy 6a2 = 30, a zatem a2 = 5, skąd a = √5d)
s(10) = 55a)
s(n) = 66 dla n = 11b)
Ponieważ s(10) = 55 i s(11) = 66 oraz w przedziale (10, 11) nie ma żadnej liczby całkowitej,
to nie istnieje n, dla którego s(n) = 60.
c)
s(10) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55a)
Z warunków zadania wynika, że wartości funkcji s rosną wraz ze wzrostem argumentów.
Ponieważ s(10) = 55 < 66, to s(n) = 66 dla n > 1. Sprawdzamy, że
s(11) = s(10) + 11 = 55 + 11 = 66, czyli s(n) = 66 dla n = 11.
b)
Ponieważ s(10) = 55 i s(11) = 66 oraz w przedziale (10, 11) nie ma żadnej liczby całkowitej,
to nie istnieje n, dla którego s(n) = 60.
c)
Odpowiedzi
807
Rozwiązanie
Wysokość h trójkąta ABE, poprowadzona z wierzchołka E na bok AB jest równax√2
2 , więc pole P
trójkąta ABE jest opisane wzorem P(x) =12 ? 4 ?
x√22 = x√2.
Rozwiązujemy równanie P(x) = 3√2, a więc x√2 = 3√2, skąd x = 3.
Odpowiedzi
808
Funkcja / Argument i wartość funkcji.Miejsca zerowe funkcji liczbowej / Zbiórzadań / ZadaniaZadanie 1.3.3.1.1 (Wróć do zadania)Odpowiedź
f(x) = 15 − 5x
Zadanie 1.3.3.1.2 (Wróć do zadania)Odpowiedźx = − 1
Zadanie 1.3.3.1.3 (Wróć do zadania)Odpowiedź
√5
Zadanie 1.3.3.1.5 (Wróć do zadania)Odpowiedź4
Zadanie 1.3.3.1.7 (Wróć do zadania)Odpowiedź−4
Zadanie 1.3.3.1.8 (Wróć do zadania)Odpowiedź8
Zadanie 1.3.3.1.9 (Wróć do zadania)Odpowiedź26
Zadanie 1.3.3.1.10 (Wróć do zadania)Odpowiedź
√5
Zadanie 1.3.3.1.11 (Wróć do zadania)Odpowiedź
{1, 2, 3, 4}
Zadanie 1.3.3.1.12 (Wróć do zadania)Odpowiedź
f(0) = 0a)
f(−√2) = 2b)
f(23 ) =
53
c)
Odpowiedzi
809
Zadanie 1.3.3.1.13 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 1.3.3.1.14 (Wróć do zadania)Odpowiedźa = 7, b = 5, c = 3, d = 1
Zadanie 1.3.3.1.15 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 1.3.3.1.16 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 1.3.3.1.17 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 1.3.3.1.18 (Wróć do zadania)Odpowiedźn = 9
Zadanie 1.3.3.1.19 (Wróć do zadania)Odpowiedź
f(√5) = √5 + 1d)
x =32
a)
x =52
b)
x =32
c)
x = 3d)
x = 0 oraz x = 5a)
x = − 2 oraz x = 3b)
x = 1 oraz x = 5c)
x = 0, x = − 2 oraz x = 2d)
P(r) =3√3
2 r2a)
P(2) = 6√3b)
r = 6c)
x = 0a)
x = 1 oraz x = − 1b)
x = √3 oraz x = − √3c)
x = − 4d)
x = − 5 oraz x = 5a)
x = − √7 oraz x = √7b)
Odpowiedzi
810
Zadanie 1.3.3.1.20 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Jeżeli x < − 3, to −x > 3, więc u(x) = − x − 1 > 3 − 1 = 2, a zatem dla x < − 3 funkcja u przyjmuje war-
tości dodatnie.
Jeżeli −3 ≤ x ≤ 2, to u(x) = 2, więc funkcja u przyjmuje wartości dodatnie;
Jeżeli x > 2, to 2x > 4, więc u(x) = 2x − 2 > 4 − 2 = 2, a zatem również dla x > 2 funkcja u przyjmuje
wartości dodatnie.
Wynika z tego, że dla dowolnej liczby rzeczywistej x funkcja u przyjmuje wartości dodatnie.
x = − 13
c)
x = 6d)
Odpowiedzi
811
Funkcja / Argument i wartość funkcji.Miejsca zerowe funkcji liczbowej / Zbiórzadań / Zadania generatoroweZadanie 1.3.3.2.1 (Wróć do zadania)Odpowiedź
f(x) = 16 − 4x
Zadanie 1.3.3.2.2 (Wróć do zadania)Odpowiedźx = − 14
Zadanie 1.3.3.2.3 (Wróć do zadania)Odpowiedź−29
Zadanie 1.3.3.2.4 (Wróć do zadania)Odpowiedź15
Zadanie 1.3.3.2.5 (Wróć do zadania)Odpowiedź
B = ( − 1, 13)
Zadanie 1.3.3.2.6 (Wróć do zadania)Odpowiedźx = 3 oraz x = − 8
Zadanie 1.3.3.2.7 (Wróć do zadania)Odpowiedź58
Zadanie 1.3.3.2.8 (Wróć do zadania)Odpowiedź136
Zadanie 1.3.3.2.9 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 1.3.3.2.10 (Wróć do zadania)Odpowiedź
i(37) =3710
i(60) jest liczbą całkowitą
256a)
r =5516
b)
Odpowiedzi
812
Zadanie 1.3.3.2.11 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 1.3.3.2.12 (Wróć do zadania)Odpowiedźn = 17
x = 0 oraz x = 5a)
x = − 5 oraz x = − 8b)
x = 16 oraz x = 23c)
x = 0, x = 15 oraz x = 4d)
Odpowiedzi
813
Funkcja / Odczytywanie własności funkcjina podstawie jej wykresu. Część I /Zadania. Część IZadanie 1.4.3.1 (Wróć do zadania)Odpowiedź? −1, 4 ?
Zadanie 1.4.3.2 (Wróć do zadania)Odpowiedźjest równa 4 i funkcja przyjmuje tę wartość dla argumentu x = – 3
Zadanie 1.4.3.3 (Wróć do zadania)Odpowiedźjest równa – 1 i funkcja przyjmuje tę wartość dla argumentu x = 2
Zadanie 1.4.3.4 (Wróć do zadania)Odpowiedź
? −2, 5)
Zadanie 1.4.3.5 (Wróć do zadania)Odpowiedźnie istnieje
Zadanie 1.4.3.6 (Wróć do zadania)Odpowiedźjest równa – 2
Zadanie 1.4.3.7 (Wróć do zadania)Odpowiedź? −3, 6 ?
Zadanie 1.4.3.8 (Wróć do zadania)Odpowiedźjest równa 6
Zadanie 1.4.3.9 (Wróć do zadania)Odpowiedźjest równa – 3
Zadanie 1.4.3.10 (Wróć do zadania)Odpowiedź
? −3, 6)
Zadanie 1.4.3.11 (Wróć do zadania)Odpowiedźnie istnieje
Odpowiedzi
814
Zadanie 1.4.3.12 (Wróć do zadania)Odpowiedźjest równa – 3 dla argumentu x = 0
Zadanie 1.4.3.13 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 1.4.3.14 (Wróć do zadania)Odpowiedź4
Zadanie 1.4.3.15 (Wróć do zadania)Odpowiedźx = 7
x = − 5
x = 2
x = − 1
Zadanie 1.4.3.16 (Wróć do zadania)Odpowiedź1
Zadanie 1.4.3.17 (Wróć do zadania)Odpowiedźx = − 2
Zadanie 1.4.3.18 (Wróć do zadania)Odpowiedź
x ? ? −8, −1)
Zadanie 1.4.3.19 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 1.4.3.20 (Wróć do zadania)Odpowiedź
? −8, 8 ?a)
– 8b)
8c)
x = − 1, x = 2 oraz x = 4d)
(−1, 2)e)
– 2a)
f(1)f( − 3) > 0b)
5c)
3a)
2b)
1c)
Odpowiedzi
815
Zadanie 1.4.3.21 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 1.4.3.22 (Wróć do zadania)Odpowiedź2
4d)
x = − 3 oraz x = − 1a)
wartość najmniejsza to – 3, wartość największa to 1b)
dla wszystkich argumentów z przedziału (−3, − 1)c)
nieskończenie wieled)
Odpowiedzi
816
Funkcja / Odczytywanie własności funkcjina podstawie jej wykresu. Część I /Zadania. Część IIZadanie 1.4.4.1 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 1.4.4.2 (Wróć do zadania)Odpowiedź
? −2, 0) ? ? 1, 3 ?
Zadanie 1.4.4.3 (Wróć do zadania)Odpowiedź
g(1) < g(−1)
Odpowiedzi
817
Zadanie 1.4.4.4 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 1.4.4.5 (Wróć do zadania)Odpowiedź
k(x) = − 0,5
Zadanie 1.4.4.6 (Wróć do zadania)Odpowiedź−1
Zadanie 1.4.4.7 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Odpowiedzi
818
Zadanie 1.4.4.8 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 1.4.4.9 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 1.4.4.10 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 1.4.4.11 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 1.4.4.12 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 1.4.4.13 (Wróć do zadania)Odpowiedź
1a)
? −2, 2 ?b)
x1 = − 2 i x2 = 2c)
x ? ?−3, 2?d)
dla x = 0 oraz dla każdego x z przedziału ? 2, 3)a)
dla x = 1 oraz dla x = 3b)
dla każdego x z przedziału ? −3, − 1 ?c)
dla x = 4.d)
– 2a)
dla x ? {−3, − 2, − 1, 0, 1, 4}b)
h(1) = 0, h(2) = 1, h(3) = 3, h(4) = 0c)
3a)
x = 1b)
x = − 1c)
? −2, 2 ?d)
−1a)
2b)
– 2c)
– 2d)
f(2) ? f(1) < 0a)
f(3) − f(0) > 0b)
f(−2) + f(3) < 0c)
Odpowiedzi
819
Zadanie 1.4.4.14 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 1.4.4.15 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 1.4.4.16 (Wróć do zadania)Odpowiedź5
Zadanie 1.4.4.17 (Wróć do zadania)Odpowiedźdla m < – 1 lub m > 3 liczba rozwiązań jest równa 0 (równanie nie ma rozwiązań)
dla m = − 1 oraz m ? (2, 3 ? jest 1 rozwiązanie
dla m ? (1, 2) są 2 rozwiązania
dla m = 1 oraz dla m = 2 są 3 rozwiązania
dla m ? (−1, 1) są 4 rozwiązania
f(4)f(−3)
> 0d)
? −1, 0) ? ? 1, 3)a)
x ? ? 1, 2)b)
dla dwóchc)
x ? (−3, − 2) ? (2, 4)d)
1a)
t(−0,3) < 0b)
0c)
t(π) − t(3 − π) > 0d)
Odpowiedzi
820
Zadanie 1.4.4.18 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 1.4.4.19 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Odpowiedzi
821
Zadanie 1.4.4.20 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 1.4.4.21 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Odpowiedzi
822
Zadanie 1.4.4.22 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Odpowiedzi
823
Funkcja / Odczytywanie własności funkcjina podstawie jej wykresu. Część II /Zadania. Część IZadanie 1.5.4.1 (Wróć do zadania)Odpowiedźniemonotoniczna
Zadanie 1.5.4.2 (Wróć do zadania)Odpowiedźrosnąca
Zadanie 1.5.4.3 (Wróć do zadania)Odpowiedźnierosnąca
Zadanie 1.5.4.4 (Wróć do zadania)Odpowiedźniemonotoniczna
Zadanie 1.5.4.5 (Wróć do zadania)Odpowiedźnierosnąca
niemalejąca
stała
Zadanie 1.5.4.6 (Wróć do zadania)Odpowiedźniemalejąca
Zadanie 1.5.4.7 (Wróć do zadania)Odpowiedźmalejąca
nierosnąca
Zadanie 1.5.4.8 (Wróć do zadania)Odpowiedźmalejąca
nierosnąca
Zadanie 1.5.4.9 (Wróć do zadania)Odpowiedźniemalejąca
Zadanie 1.5.4.10 (Wróć do zadania)Odpowiedźniemalejąca
Odpowiedzi
824
Zadanie 1.5.4.11 (Wróć do zadania)Odpowiedź? −5, − 1 ?
? 1, 6 ?
Zadanie 1.5.4.12 (Wróć do zadania)Odpowiedź
(3, 6)
Zadanie 1.5.4.13 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 1.5.4.14 (Wróć do zadania)Odpowiedź? −1, 2 ?
Odpowiedzi
825
Zadanie 1.5.4.15 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Odpowiedzi
826
Funkcja / Odczytywanie własności funkcjina podstawie jej wykresu. Część II /Zadania. Część IIZadanie 1.5.5.1 (Wróć do zadania)Odpowiedź2
Zadanie 1.5.5.2 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 1.5.5.3 (Wróć do zadania)Odpowiedź? −3, 3 ?
Odpowiedzi
827
Zadanie 1.5.5.4 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 1.5.5.5 (Wróć do zadania)Odpowiedź5
Zadanie 1.5.5.6 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 1.5.5.7 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 1.5.5.8 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 1.5.5.9 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 1.5.5.10 (Wróć do zadania)Odpowiedźfunkcja t w przedziale ? −1, 0 ? jest malejąca
? −3, 1 ?a)
1b)
3a)
? −3, − 1 ? (−3, − 1) (−3, −1 ? ? −3, −1)b)
? −3, 2 ?a)
? 2, 4 ?b)
? −3, − 2 ? ? −1, 1 ? oraz ? 3, 4 ?a)
? −2, − 1 ? oraz ? 1, 3 ?b)
Odpowiedzi
828
funkcja t w przedziale ? 0, 2 ? jest malejąca
funkcja t w przedziale ? 3, 4 ? jest niemalejąca
Zadanie 1.5.5.11 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 1.5.5.12 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 1.5.5.13 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 1.5.5.14 (Wróć do zadania)Odpowiedźfunkcja t jest niemalejąca
Zadanie 1.5.5.15 (Wróć do zadania)Odpowiedź
(−3, − 2 ?a)
? −2, 4)b)
? −4, − 2 ?a)
? 3, 5 ?b)
? −3, 3 ?a)
? −4, − 3 ? oraz ? 3, 4 ?b)
? 2, 4 ?a)
? −3, 0 ?b)
? 0, 2 ?c)
? −4, − 3 ?d)
Odpowiedzi
829
Funkcja / Odczytywanie własności funkcjina podstawie jej wykresu. Część II /Zadania generatoroweZadanie 1.5.6.1 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Odpowiedzi
830
Funkcja / Przekształcanie figur napłaszczyźnie kartezjańskiej / Zadania.Część IZadanie 1.6.4.1 (Wróć do zadania)Odpowiedźodcinek, który ma jeden punkt wspólny z osią Oy
odcinek, którego jeden z końców leży na osi Ox
Zadanie 1.6.4.2 (Wróć do zadania)Odpowiedźleży na osi Ox
Zadanie 1.6.4.3 (Wróć do zadania)Odpowiedźokrąg o promieniu 4
okrąg, którego środkiem jest punkt (2, 4)okrąg, który ma trzy punkty wspólne z osiami układu współrzędnych
Zadanie 1.6.4.5 (Wróć do zadania)Odpowiedź
C = ( – 7, 6)pole tego prostokąta jest równe 168
Zadanie 1.6.4.6 (Wróć do zadania)Odpowiedźwysokość tego trapezu ma długość 20
pole trapezu jest równe 260
Zadanie 1.6.4.7 (Wróć do zadania)Odpowiedź
y = − f(x)
Zadanie 1.6.4.8 (Wróć do zadania)Odpowiedź
y = f( − x)
Zadanie 1.6.4.9 (Wróć do zadania)Odpowiedź
y = − f( − x)
Zadanie 1.6.4.10 (Wróć do zadania)Odpowiedź
y = f( − x)
Odpowiedzi
831
Zadanie 1.6.4.11 (Wróć do zadania)Odpowiedź
y = − f( − x)
Zadanie 1.6.4.12 (Wróć do zadania)Odpowiedź
y = − f(x)
Zadanie 1.6.4.13 (Wróć do zadania)OdpowiedźPrzekształcając wykres funkcji f w symetrii względem osi Ox, otrzymamy wykres funkcji
g(x) = − x4 + 4x3.
Zadanie 1.6.4.14 (Wróć do zadania)Odpowiedź
f1(x) = x2 + 2
f2(x) =1
x4 + 2
Zadanie 1.6.4.15 (Wróć do zadania)OdpowiedźIstnieją takie wartości a i b, że wykres funkcji f jest symetryczny względem osi Oy.
Istnieją takie wartości a i b, że wykres funkcji f jest symetryczny względem osi Ox.
Zadanie 1.6.4.16 (Wróć do zadania)OdpowiedźCA
Zadanie 1.6.4.17 (Wróć do zadania)Odpowiedź
(0, 2)
Zadanie 1.6.4.18 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Okrąg o środku w punkcie S = ( – 2, 0) i promieniu równym 2.
Odpowiedzi
832
Funkcja / Przekształcanie figur napłaszczyźnie kartezjańskiej / Zadania.Część IIZadanie 1.6.5.1 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 1.6.5.2 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Odpowiedzi
833
Zadanie 1.6.5.3 (Wróć do zadania)Odpowiedź
g(x) = − 2x − 1
Zadanie 1.6.5.4 (Wróć do zadania)Odpowiedź
g(x) = x2 − 1
Zadanie 1.6.5.5 (Wróć do zadania)Odpowiedź
g(x) = − 1
Zadanie 1.6.5.6 (Wróć do zadania)Odpowiedź
B = ( – 3, – 5)
Zadanie 1.6.5.7 (Wróć do zadania)Odpowiedź
S = (0, – 51), r = 29
Zadanie 1.6.5.8 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 1.6.5.9 (Wróć do zadania)Odpowiedź
C1 = (0, 4)a)
C2 = (7, 0)b)
Pola obu trójkątów są równe 28.c)
C = (3, 1), D = (2, 2), E = ( – 2, 2), F = ( – 3, 1), G = ( – 3, – 1), H = ( – 2, – 2)a)
Pole jest równe 22.b)
Odpowiedzi
834
Zadanie 1.6.5.10 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 1.6.5.11 (Wróć do zadania)Odpowiedź
g(−2) + g(−1) + g(0) + g(1) + g(2) = f(−2) + f(−1) + f(0) + f(1) + f(2) = 0
Zadanie 1.6.5.12 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Odpowiedzi
835
Zadanie 1.6.5.13 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 1.6.5.14 (Wróć do zadania)Odpowiedź
a)
b)
h(x) = − 5x + 1a)
h(x) = 3x − 4b)
h(x) = − x2 − 3xc)
h(x) = − 1x + 3
d)
Odpowiedzi
836
Zadanie 1.6.5.15 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 1.6.5.16 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 1.6.5.17 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Przekształcając wykres funkcji f w symetrii względem osi Ox, otrzymamy krzywą y = − f(x). Prze-
kształcając tę krzywą ponownie w symetrii względem osi Ox, otrzymamy krzywą y = − ( − f(x)),czyli wykres funkcji y = f(x).
t(x) = − 2x + 9a)
t(x) = x + 7b)
t(x) = x2 + xc)
t(x) =x3 + 2
x2 − 5
d)
3 rozwiązaniaa)
2 rozwiązaniab)
2 rozwiązaniac)
2 rozwiązaniad)
Odpowiedzi
837
Funkcja / Przekształcanie figur napłaszczyźnie kartezjańskiej / ZadaniageneratoroweZadanie 1.6.6.1 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 1.6.6.2 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 1.6.6.3 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Odpowiedzi
838
Funkcja / Przesunięcie wzdłuż osi układuwspółrzędnych / ZadaniaZadanie 1.7.5.1 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 1.7.5.2 (Wróć do zadania)Odpowiedźprzesunąć o 2 jednostki wzdłuż osi Ox i o 1 jednostkę wzdłuż osi Oy
Zadanie 1.7.5.3 (Wróć do zadania)OdpowiedźJeżeli przesuniemy wykres funkcji f o 4 jednostki wzdłuż osi Ox, to otrzymamy wykres funkcji
y =2
x − 4 dla x ≠ 4.
Jeżeli przesuniemy wykres funkcji f o 2 jednostki wzdłuż osi Ox i o 1 jednostkę wzdłuż osi Oy, to
otrzymamy wykres funkcji y =2
x − 2 + 1 dla x ≠ 2.
Zadanie 1.7.5.4 (Wróć do zadania)Odpowiedź
g(x) = (x − 3)2
− 2
Zadanie 1.7.5.5 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Aby otrzymać wykres funkcji g(x) = (x − 3)2
+ 5, należy przesunąć wykres funkcji f o 3 jednostki
wzdłuż osi Ox i o 5 jednostek wzdłuż osi Oy.
Aby otrzymać wykres funkcji h(x) = x2 + 4, należy przesunąć wykres funkcji f o 4 jednostki wzdłuż
osi Oy.
Odpowiedzi
839
Aby otrzymać wykres funkcji k(x) = (x − 2)2
+ 4, należy przesunąć wykres funkcji f o 2 jednostki
wzdłuż osi Ox i o 4 jednostki wzdłuż osi Oy.
Zadanie 1.7.5.6 (Wróć do zadania)Odpowiedźprzesunąć o 2 jednostki wzdłuż osi Ox i o 1 jednostkę wzdłuż osi Oy
Zadanie 1.7.5.7 (Wróć do zadania)Odpowiedź
przesunąć o 1 jednostkę wzdłuż osi Ox i o ( – 1) jednostkę wzdłuż osi Oy
Zadanie 1.7.5.8 (Wróć do zadania)Odpowiedź
(−8, 11)
Zadanie 1.7.5.9 (Wróć do zadania)Odpowiedź
(7, – 10)
Zadanie 1.7.5.10 (Wróć do zadania)Odpowiedź
(1, 3)
Zadanie 1.7.5.11 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Odpowiedzi
840
Zadanie 1.7.5.12 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 1.7.5.13 (Wróć do zadania)Odpowiedź
g(x) = f(x − 1) − 1
Zadanie 1.7.5.14 (Wróć do zadania)Odpowiedź
g(x) = x − 10
Zadanie 1.7.5.15 (Wróć do zadania)Odpowiedź
h(x) = (x + 3)2
+ 2
Zadanie 1.7.5.16 (Wróć do zadania)Odpowiedź
t(x) =1
x − 4 − 1 dla x ≠ 4
Zadanie 1.7.5.17 (Wróć do zadania)Odpowiedź
y = f(x) − 2
Zadanie 1.7.5.19 (Wróć do zadania)Odpowiedź
B = (4, – 3)C = (4, 1)Pole trójkąta ABC jest równe 12.
Zadanie 1.7.5.20 (Wróć do zadania)OdpowiedźCzworokąt ABCD jest równoległobokiem.
Odpowiedzi
841
Zadanie 1.7.5.21 (Wróć do zadania)Odpowiedź
• y = f(x) + 2
• y = f(x) − 2
Odpowiedzi
842
• y = f(x − 2)
• y = f(x + 2)
Odpowiedzi
843
Zadanie 1.7.5.22 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 1.7.5.23 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 1.7.5.24 (Wróć do zadania)Odpowiedź
• g = f(x − 1) + 2
4a)
2b)
3c)
3d)
Odpowiedzi
844
• h = f(x + 2) − 1
Zadanie 1.7.5.25 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 1.7.5.26 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 1.7.5.27 (Wróć do zadania)Odpowiedź
5a)
2b)
1c)
– 2d)
----a)
y = h(x)b)
y = g(x)c)
y = k(x)d)
g(x) = − 3x + 6a)
g(x) = − 3x + 6b)
g(x) = − 3x + 6c)
g(x) = − 3x + 6d)
Odpowiedzi
845
Zadanie 1.7.5.28 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 1.7.5.29 (Wróć do zadania)Odpowiedź
g(x) = f(x − 3) + 2, czyli g(x) = (x − 3)2
+ 2, skąd g(x) = x2 − 6x + 11
y =2
x − 2 + 3 x ≠ 2a)
y =2
x + 1 + 1, x ≠ − 1b)
y =2
x + 4 − 2, x ≠ − 4c)
y =2
x − 3 − 4, x ≠ 3d)
Odpowiedzi
846
Funkcja / Przesunięcie wzdłuż osi układuwspółrzędnych / Zadania generatoroweZadanie 1.7.6.2 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 1.7.6.3 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Odpowiedzi
847
Funkcja liniowa / Funkcja liniowa. Wykresfunkcji liniowej / ZadaniaZadanie 2.1.4.1 (Wróć do zadania)Odpowiedźza 4 kostki zapłacimy 16,80 zł
za 6 kostek zapłacimy więcej niż 20 zł
Zadanie 2.1.4.2 (Wróć do zadania)Odpowiedźy4 = 15
yx =
32
Zadanie 2.1.4.3 (Wróć do zadania)Odpowiedźobwód i średnica koła
bok trójkąta równobocznego i promień koła wpisanego w ten trójkąt
pole kwadratu i pole koła na nim opisanego
Zadanie 2.1.4.4 (Wróć do zadania)Odpowiedźw ciągu 2 godzin przejedzie 140 km
w ciągu 5 minut przejedzie więcej niż 5 km
Zadanie 2.1.4.5 (Wróć do zadania)Odpowiedź
przechodzi przez punkt (√2, 4)
przecina wykres funkcji g(x) = − 3x + 2 w punkcie leżącym na osi Oy
Zadanie 2.1.4.6 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Rozwiązanie
IIa)
IIIb)
Ic)
IVd)
Wykres funkcji y = 3x + 2 przecina oś Oy w punkcie (0, 2) i ma współczynnik kierunkowy 3 –
jej wykres jest na rysunku II.
a)
Wykres funkcji y = − 3x + 2 przecina oś Oy w punkcie (0, 2) i ma współczynnik kierunkowy
( – 3) – jej wykres jest na rysunku III.
b)
Odpowiedzi
848
Zadanie 2.1.4.7 (Wróć do zadania)Odpowiedź
A = (0, 2), B = (20, 2), C = (−20, 2)
A = (0, 1), B = (1, 11), C = (2, 21)
A = (0, − 1), B = (−1, − 3), C = (−2, − 5)
Zadanie 2.1.4.8 (Wróć do zadania)Odpowiedź
(−√3, − 3)
Zadanie 2.1.4.9 (Wróć do zadania)Odpowiedź– 6
Zadanie 2.1.4.10 (Wróć do zadania)Odpowiedź16 zł 80 gr
Zadanie 2.1.4.11 (Wróć do zadania)Odpowiedź
f(x) =52x
Zadanie 2.1.4.12 (Wróć do zadania)Odpowiedź
(12 , 2)
Zadanie 2.1.4.13 (Wróć do zadania)Odpowiedź
f(x) = − 5x − 2
Zadanie 2.1.4.14 (Wróć do zadania)Odpowiedź
g(x) = 2x − 6
Zadanie 2.1.4.15 (Wróć do zadania)Odpowiedźm = 5
Zadanie 2.1.4.16 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Wykres funkcji y = 3x − 2 przecina oś Oy w punkcie (0, – 2) i ma współczynnik kierunkowy 3
– jej wykres jest na rysunku I.
c)
Prosta na rysunku IV przecina oś Oy w punkcie (0, – 2) i ma współczynnik kierunkowy ( – 3)– jest to więc funkcja liniowa określona wzorem y = − 3x − 2.
d)
Odpowiedzi
849
x – 6 – 3 – 2 – 1 0 1 2 3 6 15 33
y 10 5103
53 0 − 5
3 − 103 – 5 – 10 – 25 – 55
Odczytujemy współczynnik proporcjonalności na podstawie proporcji wielkości x i y
a =y1x1
=10−6 =
5−3 .
Wynika stąd, że:
y1 = a ∙ x1 = − 53 ∙ ( − 6) = 10, y2 = a ∙ x2 = − 5
3 ∙ ( − 3) = 5
y3 = a ∙ x3 = − 53 ∙ ( − 2) =
103 , y4 = a ∙ x4 = − 5
3 ∙ ( − 1) =53
y5 = a ∙ x5 = − 53 ∙ 0 = 0, y6 = a ∙ x6 = − 5
3 ∙ 1 =−53
y7 = a ∙ x7 = − 53 ∙ 2 = − 10
3 , y8 = a ∙ x8 = − 53 ∙ 3 = − 5
y9 = a ∙ x9 = − 53 ∙ 6 = − 10, y10 = a ∙ x10 = − 5
3 ∙ 15 = − 25
y11 = a ∙ x11 = − 53 ∙ 33 = − 55
Zadanie 2.1.4.17 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Rozwiązanie
Zadanie 2.1.4.18 (Wróć do zadania)Odpowiedź
y = − 13x + 1
Rozwiązanie
Po przesunięciu w prawo o 3 jednostki wzdłuż osi Ox wykresu funkcji f(x) = − 13 x otrzymujemy
prostą do niej równoległą i przechodzącą przez punkt (3, 0). Zatem prosta ta ma równanie
a = 3a)
a = − 2b)
a =34
c)
a = − 54
d)
Zauważmy, że f(1) = 3, czyli a ∙ 1 = 3. Zatem współczynnik kierunkowy funkcji f jest równy 3.a)
Zauważmy, że f(−1) = 2, czyli a ∙ ( − 1) = 2. Zatem współczynnik kierunkowy funkcji f jest rów-
ny −2.
b)
Zauważmy, że f(4) = 3, czyli a ∙ 4 = 3. Zatem współczynnik kierunkowy funkcji f jest równy34 .c)
Zauważmy, że f(−4) = 5, czyli a ∙ ( − 4) = 5. Zatem współczynnik kierunkowy funkcji f jest rów-
ny − 54 .
d)
Odpowiedzi
850
y = − 13x + b.
Ponieważ f(3) = 0, to 0 = − 13 ∙ 3 + b, zatem b = 1. Stąd równanie prostej to
y = − 13x + 1.
Zadanie 2.1.4.19 (Wróć do zadania)Odpowiedź
y = − 13x + 3
Rozwiązanie
Po przesunięciu o 3 jednostki wzdłuż osi Oy wykresu funkcji f(x) = − 13x otrzymujemy prostą do
niej równoległą i przechodzącą przez punkt (0, 3). Zatem prosta ta ma równanie
y = − 13x + b.
Ponieważ f(0) = 3, to 3 = − 13 ∙ 0 + b, zatem b = 3. Stąd równanie prostej to
y = − 13x + 3.
Zadanie 2.1.4.20 (Wróć do zadania)Odpowiedź
x – 4 – 3 – 2 4 5 6 7
f(x) 6 5 4 – 2 – 3 – 4 – 5
Rozwiązanie
Zauważmy, że punkty (0, 2), (2, 0) należą do wykresu funkcji. Zatem f(0) = 2, czyli 2 = a ∙ 0 + b,
stąd b = 2. Biorąc pod uwagę punkt (2, 0), otrzymujemy f(2) = 0, czyli 0 = a ∙ 2 + 2, stąd a = − 1.
Zatem funkcja ma postać:
f(x) = − x + 2.
Obliczamy wartości funkcji dla poszczególnych argumentów:
f(−4) = − (−4) + 2 = 6
f(−3) = − (−3) + 2 = 5
f(−2) = − (−2) + 2 = 4
f(4) = − 4 + 2 = − 2
Odpowiedzi
851
f(5) = − 5 + 2 = − 3
f(6) = − 6 + 2 = − 4
f(7) = − 7 + 2 = − 5
Zadanie 2.1.4.21 (Wróć do zadania)Odpowiedź
x – 2 – 1 0 1 2 3 4
f(x) 8 5 2 – 1 – 4 – 7 – 10
Rozwiązanie
Zauważmy, że punkty (0, 2), (1, − 1) należą do wykresu funkcji liniowej. Zatem f(0) = 2, czyli
2 = a ∙ 0 + b, stąd b = 2. Biorąc pod uwagę punkt (1, − 1), otrzymujemy f(1) = − 1, czyli
−1 = a ∙ 1 + 2, stąd a = − 3. Zatem funkcja ma postać:
f(x) = − 3x + 2.
Obliczamy wartości funkcji dla poszczególnych argumentów:
f(−2) = − 3(−2) + 2 = 8
f(−1) = − 3(−1) + 2 = 5
f(2) = − 3 ∙ 2 + 2 = − 4
f(3) = − 3 ∙ 3 + 2 = − 7
f(4) = − 3 ∙ 4 + 2 = − 10
Zadanie 2.1.4.22 (Wróć do zadania)Odpowiedź
IIa)
IVb)
Ic)
IIId)
Odpowiedzi
852
Rozwiązanie
Zadanie 2.1.4.23 (Wróć do zadania)Odpowiedźa < 0
b = 3
punkt ( – 1, 5) należy do wykresu funkcji f
Zadanie 2.1.4.24 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Wykresy funkcji g i h przecinają się w punkcie (0, 3).
Wykres funkcji y = x − 2 przecina oś Oy w punkcie (0, − 2) i ma współczynnik kierunkowy 1
– jej wykres jest na rysunku II.
a)
Wykres funkcji y = − 12x − 2 przecina oś Oy w punkcie (0, − 2) i ma współczynnik kierunko-
wy (− 12 ) – jej wykres jest na rysunku IV.
b)
Wykres funkcji y = 2x − 1 przecina oś Oy w punkcie (0, – 1) i ma współczynnik kierunkowy 2
– jej wykres jest na rysunku I.
c)
Wykres funkcji y =12x − 1 przecina oś Oy w punkcie (0, − 1) i ma współczynnik kierunkowy
12 – jej wykres jest na rysunku III.
d)
Odpowiedzi
853
Funkcja liniowa / Funkcja liniowa. Wykresfunkcji liniowej / Zadania generatoroweZadanie 2.1.5.1 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 2.1.5.2 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 2.1.5.3 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Odpowiedzi
854
Funkcja liniowa / Własności funkcjiliniowej / ZadaniaZadanie 2.2.3.1 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Prosta przechodząca przez punkty ( – 1, – 1) i ( – 3, 2) ma równanie
y = − 32 (x − ( − 1)) + ( − 1),
czyli
y = − 32 (x + 1) − 1 = − 3
2 x − 52 .
Zadanie 2.2.3.2 (Wróć do zadania)Odpowiedźa < 0
b = 3
a = − 32
Na wykresie funkcji f leżą punkty ( – 1, – 1) i ( – 3, 2). Wobec tego
a =2 − (−1)
−3 − (−1)=
3−2 = − 3
2 .
a)
y = − 32x − 5
2b)
Odpowiedzi
855
Zadanie 2.2.3.3 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 2.2.3.4 (Wróć do zadania)Odpowiedź
jest rosnąca i jej wykres przechodzi przez punkt (0, – 5)
Zadanie 2.2.3.5 (Wróć do zadania)Odpowiedźdla m = 0 jest rosnąca
jest malejąca tylko wtedy, gdy m < − 32
Zadanie 2.2.3.6 (Wróć do zadania)Odpowiedź
f(1) > 3
Zadanie 2.2.3.7 (Wróć do zadania)OdpowiedźA i B
Zadanie 2.2.3.8 (Wróć do zadania)Odpowiedźprzecina oś Oy w punkcie, którego druga współrzędna jest dodatnia
ma współczynnik kierunkowy równy 1
ma równanie y = x + 3
przechodzi przez punkt (−3, 0)
Zadanie 2.2.3.10 (Wróć do zadania)Odpowiedźfunkcja f jest rosnąca
funkcja f określona jest wzorem f(x) = 2x + 1
Odpowiedzi
856
Zadanie 2.2.3.11 (Wróć do zadania)Odpowiedź
− 23
Zadanie 2.2.3.12 (Wróć do zadania)Odpowiedźa > 0 i b > 0
Zadanie 2.2.3.13 (Wróć do zadania)Odpowiedźm = − 1
Zadanie 2.2.3.14 (Wróć do zadania)Odpowiedź
m = − 13
Zadanie 2.2.3.15 (Wróć do zadania)Odpowiedźm > 4
Zadanie 2.2.3.17 (Wróć do zadania)Odpowiedź
f(x) = 4x − 5
Zadanie 2.2.3.18 (Wróć do zadania)Odpowiedź
− 12
Zadanie 2.2.3.19 (Wróć do zadania)Odpowiedź
(18, 9)
Zadanie 2.2.3.20 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Rozwiązanie
a = 2, b = − 3a)
a = − 1, b = − 2b)
a = 3, b = − 1c)
a = − 25 , b = 1d)
Zauważmy, że punkty (2, 1), (3, 3) należą do wykresu funkcji. Zatem f(2) = 1, czyli
1 = a ∙ 2 + b, stąd b = 1 − a ∙ 2. Biorąc pod uwagę punkt (3, 3), otrzymujemy f(3) = 3, czyli
3 = a ∙ 3 + b. Ponieważ b = 1 − a ∙ 2, to uzyskujemy 3 = a ∙ 3 + 1 − 2 ∙ a. Stąd a = 2 oraz
b = 1 − 2 ∙ 2 = − 3. Zadanie to można rozwiązać znacznie szybciej. Biorąc pod uwagę punkty
(2, 1), (3, 3), obliczamy współczynnik kierunkowy jako a =3 − 13 − 2 = 2. Ponieważ f(0) = − 3,
czyli −3 = a ∙ 0 + b, to b = − 3.
a)
Odpowiedzi
857
Zadanie 2.2.3.21 (Wróć do zadania)Odpowiedź
f(x) = 11x + 2
Rozwiązanie
Biorąc pod uwagę punkty (0, 2), (10, 112), obliczamy współczynnik kierunkowy jako
a =112 − 210 − 0 = 11. Ponieważ f(0) = 2, to b = 2.
Zadanie 2.2.3.22 (Wróć do zadania)Odpowiedźy = x − 100
y =1
10x − 5
y =x − 1
3
Zadanie 2.2.3.23 (Wróć do zadania)Odpowiedźy = − x + 6
y = 1 − 34x
Zadanie 2.2.3.24 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Rozwiązanie
Biorąc pod uwagę punkty ( − 3, 1), ( − 1, − 1), obliczamy współczynnik kierunkowy jako
a =−1 − 1
−1 − (−3)= − 1. Ponieważ f(0) = − 2, to b = − 2.
b)
Biorąc pod uwagę punkty (1, 2), (2, 5), obliczamy współczynnik kierunkowy jako
a =5 − 22 − 1 = 3. Ponieważ f(0) = − 1, to b = − 1.
c)
Biorąc pod uwagę punkty (0, 1), (5, − 1), obliczamy współczynnik kierunkowy jako
a =−1 − 15 − 0 = − 2
5 . Ponieważ f(0) = 1, to b = 1.
d)
m < − 52
a)
m > − 52
b)
m = − 52
c)
Funkcja liniowa jest malejąca, gdy współczynnik kierunkowy jest ujemny, czyli 2m + 5 < 0,
skąd uzyskujemy, że m < − 52 .
a)
Funkcja liniowa jest rosnąca, gdy współczynnik kierunkowy jest dodatni, czyli 2m + 5 > 0,
skąd uzyskujemy, że m > − 52 .
b)
Funkcja liniowa jest stała, gdy współczynnik kierunkowy jest równy 0, czyli 2m + 5 = 0, skąd
uzyskujemy, że m = − 52 .
c)
Odpowiedzi
858
Zadanie 2.2.3.25 (Wróć do zadania)OdpowiedźŻadna z odpowiedzi nie jest poprawna.
Zadanie 2.2.3.26 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 2.2.3.27 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 2.2.3.28 (Wróć do zadania)Odpowiedźleży dokładnie jeden punkt, którego obie współrzędne są całkowitymi liczbami dodatnimi
leży dokładnie jeden punkt, którego obie współrzędne są całkowitymi liczbami przeciwnych zna-
ków
Zadanie 2.2.3.29 (Wróć do zadania)Odpowiedź
m = 1 i k = − 1a)
m = − 2 i k = 1b)
m = 2 i k = − 1c)
m = − 1 i k = 1d)
m = 1 i k = − 1a)
m = 2 i k = − 1b)
m = 7 i k = − 5c)
m = − 3001 i k = 2001d)
Jeżeli k = − 23m, to 3k = − 2m i 2m + 3k = 0, czyli funkcja f jest stała.a)
Jeżeli k > − 23m, to 3k > − 2m i 2m + 3k > 0, czyli funkcja f jest rosnąca.b)
Jeżeli k < − 23m, to 3k < − 2m i 2m + 3k < 0, czyli funkcja f jest malejąca.c)
Odpowiedzi
859
Funkcja liniowa / Własności funkcjiliniowej / Zadania generatoroweZadanie 2.2.4.1 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 2.2.4.2 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 2.2.4.3 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 2.2.4.4 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 2.2.4.5 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 2.2.4.6 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Odpowiedzi
860
Funkcja liniowa / Miejsce zerowe funkcjiliniowej. Równanie liniowe, nierównośćliniowa / ZadaniaZadanie 2.3.3.1 (Wróć do zadania)Odpowiedźy = x + 3
y = 7x + 21
Zadanie 2.3.3.2 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 2.3.3.3 (Wróć do zadania)Odpowiedź3√3
Zadanie 2.3.3.4 (Wróć do zadania)Odpowiedźm = − 5
Zadanie 2.3.3.5 (Wróć do zadania)OdpowiedźŻadna z odpowiedzi nie jest poprawna.
Zadanie 2.3.3.6 (Wróć do zadania)Odpowiedź? 0, 15 ?
(10, 20)
Zadanie 2.3.3.7 (Wróć do zadania)Odpowiedź1
34
– 2
3 − √17
Zadanie 2.3.3.8 (Wróć do zadania)Odpowiedź0,6
x0 = 2a)
x0 = 1b)
x0 = 2,5c)
x0 = 1,25d)
Odpowiedzi
861
Zadanie 2.3.3.9 (Wróć do zadania)Odpowiedźm = 3
Zadanie 2.3.3.10 (Wróć do zadania)Odpowiedźx = − 1
Zadanie 2.3.3.11 (Wróć do zadania)Odpowiedźx = − 1
Zadanie 2.3.3.12 (Wróć do zadania)Odpowiedź
(3, 6)
Zadanie 2.3.3.13 (Wróć do zadania)Odpowiedź4
Zadanie 2.3.3.14 (Wróć do zadania)Odpowiedź
(− 13 , + ∞)
Zadanie 2.3.3.15 (Wróć do zadania)Odpowiedźm = − 1
Zadanie 2.3.3.16 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Rozwiązanie
x =43
a)
x = 10b)
x =73
c)
x = − 3√2d)
Obliczymy miejsce zerowe funkcji f(x) = 3x − 4. Szukamy takich x, dla których 3x − 4 = 0.
Wtedy 3x = 4, skąd x =43 . Zatem funkcja f(x) = 3x − 4 ma jedno miejsce zerowe, x =
43 .
a)
Obliczymy miejsce zerowe funkcji f(x) = − 12x + 5. Szukamy takich x, dla których − 1
2x + 5 = 0.
Wtedy − 12x = − 5, skąd x = 10. Zatem funkcja f(x) = − 1
2x + 5 ma jedno miejsce zerowe,
x = 10.
b)
Obliczymy miejsce zerowe funkcji f(x) =3x − 7
4 . Szukamy takich x, dla których3x − 7
4 = 0. Wte-
dy34x =
74 , skąd x =
73 . Zatem funkcja f(x) =
3x − 74 ma jedno miejsce zerowe, x =
73 .
c)
Odpowiedzi
862
Zadanie 2.3.3.17 (Wróć do zadania)Odpowiedźa = 2√5
RozwiązaniePonieważ liczba √5 jest miejscem zerowym funkcji f, to
f(√5) = 0
czyli
a ∙ √5 − 10 = 0.
Stąd otrzymujemy, że
a =10
√5 =10√5
5 = 2√5.
Zadanie 2.3.3.18 (Wróć do zadania)Odpowiedźx > 21; najmniejsza liczba całkowita, która spełnia tę nierówność to 22.
Znajdziemy najmniejszą liczbę całkowitą x, która spełnia nierówność
x21 − 2 >
2 − x19 .
Przekształcamy równoważnie daną nierówność
x − 4221 >
2 − x19
(x − 42)21 −
(2 − x)19 > 0.
Mnożąc obie strony nierówności przez liczbę 21 ∙ 19, otrzymujemy nierówność
19 ∙ (x − 42) − 21 ∙ (2 − x) > 0
19x − 798 − 42 + 21x > 0
40x > 840
x > 21
A zatem x = 22 jest najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą tę nierówność.
Obliczymy miejsce zerowe funkcji f(x) = √2x + 6. Szukamy takich x, dla których √2x + 6 = 0.
Wtedy √2x = − 6, skąd x =−6
√2 =−6√2
2 = − 3√2. Zatem funkcja f(x) = √2x + 6 ma jedno miejsce
zerowe, x = − 3√2.
d)
Odpowiedzi
863
Zadanie 2.3.3.19 (Wróć do zadania)Odpowiedźx ≥ − 2
RozwiązaniePrzekształcamy równoważnie daną nierówność
3x2 + 3x + x2 − 2x + 1 ≥ 4x2 − 1.
Po redukcji wyrazów podobnych, otrzymujemy nierówność liniową
x + 1 ≥ − 1
x ≥ − 2
Rozwiązaniem nierówności jest więc każda liczba rzeczywista x nie mniejsza od −2.
Zadanie 2.3.3.20 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Podstawmy za x liczbę 212. Stosując własności działań na potęgach i przekształcając lewą stronę
równości, otrzymujemy
222 − 162 ∙ 212 − 410 = 222 − 28 ∙ 212 − 410 =
222 − 220−220 = 2 ∙ 221 − 2 ∙ 220 = 2(221 − 220) = 2(2 ∙ 220 − 220) =
2 ∙ 220(2 − 1) = 221 = 23 ∙ 7 = 87
Zatem liczba 212 jest rozwiązaniem rozważanego równania.
Zadanie 2.3.3.21 (Wróć do zadania)Odpowiedź−3, − 2, − 1, 0
Znajdziemy wszystkie liczby całkowite, które spełniają nierówności
x(x + 2) < (x − 2)2,
x4 +
x + 12 > − 2
Przekształcamy równoważnie nierówności.
x2 + 2x < x2 − 4x + 4,(3x + 2)
4 > − 2
Odpowiedzi
864
6x < 4, 3x + 2 > − 8
x <23 , 3x > − 10
x <23 , x > − 10
3
Rozwiązaniem układu nierówności jest każda liczba rzeczywista x należąca do przedziału ( − 103 ,
23 )
.
A zatem liczby całkowite, które spełniają jednocześnie nierówności to: −3, − 2, − 1, 0.
Zadanie 2.3.3.23 (Wróć do zadania)OdpowiedźPrzekształcamy równoważnie nierówności.
4x2 − 4x + 1 < 4x2 + 20x + 25, 36x2 + 24x + 4 ≤ 36x2 − 36x + 9
−24x < 24, 60x ≤ 5
x > − 1, x ≤ 112 .
Rozwiązaniem układu nierówności jest każda liczba rzeczywista x spełniająca warunek ( − 1,1
12 > .
Zadanie 2.3.3.24 (Wróć do zadania)Odpowiedź0
RozwiązanieZnajdziemy wszystkie nieujemne liczby całkowite, które spełniają nierówności
(x + 3)2
< (x−4)2, (9x + 7)x ≤ (3x + 1)
2.
Przekształcamy równoważnie nierówności.
x2 + 6x + 9 < x2 − 8x + 16, 9x2 + 7x ≤ 9x2 + 6x + 1
Odpowiedzi
865
14x < 7, x ≤ 1
x <12 , x ≤ 1
Rozwiązaniem układu nierówności jest każda liczba rzeczywista x spełniająca warunek x <12 .
A zatem jedyną nieujemną liczbą całkowitą spełniającą nierówności jest liczba 0.
Zadanie 2.3.3.25 (Wróć do zadania)OdpowiedźPrzekształcamy równoważnie nierówności.
3x2 − 21x < 3x2 − 10x + 25, − 8x + 110 >
2110
−11x < 25 , − 8x − 1 > 21
x > − 2511 , − 8x > 22
x > − 2511 ≈ − 2, 27, x < − 11
4 ≈ − 2,75.
Ponieważ − 2511 > − 11
4 , to nie istnieje liczba rzeczywista x spełniająca jednocześnie warunki
x > − 2511 , x < − 11
4 . Zatem nie istnieje liczba rzeczywista, która jednocześnie spełnia podane nie-
równości.
Odpowiedzi
866
Funkcja liniowa / Układ równań liniowych.Geometryczna interpretacja układurównań / ZadaniaZadanie 2.4.3.1 (Wróć do zadania)Odpowiedź
h(x) = 2x + 1 i k(x) = − x + 4
Zadanie 2.4.3.2 (Wróć do zadania)Odpowiedźmają dokładnie jeden punkt wspólny
Zadanie 2.4.3.3 (Wróć do zadania)Odpowiedźb = 10
Zadanie 2.4.3.4 (Wróć do zadania)OdpowiedźA jest punktem wspólnym wykresów funkcji f, g i h
na wykresie funkcji k leżą punkty B i C
Zadanie 2.4.3.6 (Wróć do zadania)OdpowiedźI − d, II − a, III − b
Rozwiązanie
I. Układ { x − 2y = 1
−2x + 4y = 4zapisujemy w postaci { y =
12x − 1
2
y =12x + 1
i sprawdzamy, że jego interpreta-
cja geometryczna znajduje się na rysunku d).
II. Rozwiązaniem układu { x + 2y = 3
3x − y = 2jest para { x = 1
y = 1. Układ zapisujemy w postaci
{ y = − 12x +
32
y = 3x − 2i sprawdzamy, że jego interpretacja geometryczna znajduje się na rysunku
a).
Odpowiedzi
867
III. Rozwiązaniem układu { x + y = 1
2x − y = 2jest para { x = 1
y = 0. Układ zapisujemy w postaci
{ y = − x + 1
y = 2x − 2i sprawdzamy, że jego interpretacja geometryczna znajduje się na rysunku b).
Zadanie 2.4.3.7 (Wróć do zadania)Odpowiedźdla a = 1 i b = 1 układ ma jedno rozwiązanie
dla a = − 4 i b = − 2 układ ma nieskończenie wiele rozwiązań
Zadanie 2.4.3.8 (Wróć do zadania)Odpowiedźa = − 3 i c ≠ − 10
RozwiązanieW obu równaniach układu wyznaczamy y
{ y = − ax + 5
−2y = − 6x + c
{ y = − ax + 5
y = 3x − 12c
Układ ten nie ma rozwiązań wtedy i tylko wtedy, gdy proste o równaniach y = − ax + 5 i y = 3x − 12c
są równoległe i różne. A zatem −a = 3 i 5 ≠ − 12c, skąd a = − 3 i c ≠ − 10.
Zadanie 2.4.3.9 (Wróć do zadania)Odpowiedź
− 12 < m < 1
RozwiązanieRozwiązujemy układ metodą podstawiania.
{ x = y + m
2x − 5y = 3m − 1
{ x = y + m
2{y + m − 5y = 3m − 1
Odpowiedzi
868
{ x = y + m
2y + 2m − 5y = 3m − 1
{ x = y + m
−3y = m − 1
{ x = y + m
y = − 13m +
13
{ x =23m +
13
y = − 13m +
13
Otrzymana para (x, y) spełnia warunek x > 0 i y > 0 wtedy i tylko wtedy, gdy23m +
13 > 0 i
− 13m +
13 > 0. Wynika stąd, że m > − 1
2 i m < 1, a zatem − 12 < m < 1.
Zadanie 2.4.3.10 (Wróć do zadania)Odpowiedź
(−1, 6)
Zadanie 2.4.3.11 (Wróć do zadania)Odpowiedź
{ x − y = 2
3x + y = 2
Zadanie 2.4.3.12 (Wróć do zadania)Odpowiedźx = − 7 i y = 12
Zadanie 2.4.3.13 (Wróć do zadania)Odpowiedź
{ 3x + 6y = 21
5x + 10y = 35
Zadanie 2.4.3.14 (Wróć do zadania)Odpowiedźx < 0 i y < 0
Odpowiedzi
869
Zadanie 2.4.3.15 (Wróć do zadania)Odpowiedźa = 7 i b = − 3
Zadanie 2.4.3.16 (Wróć do zadania)Odpowiedźx + y = − 5
Zadanie 2.4.3.17 (Wróć do zadania)Odpowiedźa = − 4
Zadanie 2.4.3.18 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Rozwiązanie
• f(x) = − 4x, g(x) = x + 10
Aby wyznaczyć współrzędne punktu, w którym przecinają się wykresy funkcji f i g wyznaczy-
my taki element x, dla którego rozważane funkcje przyjmują tę samą wartość. Mamy zatem
równanie −4x = x + 10 , które jest równoważne równaniu −5x = 10. Stąd otrzymujemy, że
x = − 2. Zatem
y = f(−2) = g(−2) = 8,
czyli punkt ( − 2, 8) jest punktem, w którym przecinają się wykresy funkcji f i g.
• f(x) = 2x − 5, g(x) = x − 6
Aby wyznaczyć współrzędne punktu, w którym przecinają się wykresy funkcji f i g wyznaczy-
my taki element x, dla którego rozważane funkcje przyjmują tę samą wartość. Mamy zatem
równanie 2x − 5 = x − 6, które jest równoważne równaniu x − 5 = − 6. Stąd otrzymujemy, że
x = − 1. Zatem
y = f(−1) = g(−1) = − 7,
czyli punkt ( − 1, − 7) jest punktem, w którym przecinają się wykresy funkcji f i g.
• f(x) = − x + 4, g(x) = 3x − 8
Aby wyznaczyć współrzędne punktu, w którym przecinają się wykresy funkcji f i g wyznaczy-
my taki element x, dla którego rozważane funkcje przyjmują tę samą wartość. Mamy zatem
równanie – x + 4 = 3x − 8, które jest równoważne równaniu −4x = − 12. Stąd otrzymujemy,
że x = 3. Zatem
y = f(3) = g(3) = 1,
(−2, 8)a)
(−1, − 7)b)
(3, 1)c)
(−1, − 1)d)
Odpowiedzi
870
czyli punkt (3, 1) jest punktem, w którym przecinają się wykresy funkcji f i g.
• f(x) =13x − 2
3 , g(x) =38x − 5
8
Aby wyznaczyć współrzędne punktu, w którym przecinają się wykresy funkcji f i g wyznaczy-
my taki element x, dla którego rozważane funkcje przyjmują tę samą wartość. Mamy zatem
równanie13x − 2
3 =38x − 5
8 , które jest równoważne równaniu − x24 =
124 . Stąd otrzymujemy, że
x = − 1. Zatem
y = f(−1) = g(−1) = − 1,
czyli punkt ( − 1, − 1) jest punktem, w którym przecinają się wykresy funkcji f i g.
Zadanie 2.4.3.19 (Wróć do zadania)Odpowiedź
{ x + y = 0
x − y = 0
{ x + 2y = 1
x + y = 1
{ 119x + 211y = − 73
211x + 119y = 37
Zadanie 2.4.3.20 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Rozwiązanie
• Para liczb x = − 2 i y = 3 jest rozwiązaniem układu równań:
{ x = − 2
y = 3
a)
{ x = 3
y = 3
b)
{ x = 2
y = − 5
c)
{ x = 0
y = 3
d)
Odpowiedzi
871
{ 4x = − 8
x + 2y = 4
Z pierwszego równania natychmiast wynika, że x = − 2, a po wstawieniu do drugiego równania
otrzymanej wartości x otrzymujemy
−2 + 2y = 4,
czyli y = 3. Para liczb x = − 2 i y = 3 jest więc jedynym rozwiązaniem danego układu równań.
Interpretacja geometryczna: z pierwszego równania wyznaczamy x, a z drugiego y, skąd otrzymu-
jemy
{ x = − 2
y = − 12x + 2
Szkicujemy prostą x = − 2, a następnie prostą y = − 12x + 2 i z wykresu odczytujemy współrzędne
ich punktu przecięcia: ( − 2, 3).
• Para liczb x = 3 i y = 3 jest rozwiązaniem układu równań.
{ 2x − y = 3
17y = 51
Z drugiego równania wynika, że y = 3, a po wstawieniu do pierwszego równania otrzymanej war-
tości y otrzymujemy
2x − 3 = 3,
Odpowiedzi
872
czyli x = 3. Para liczb x = 3 i y = 3 jest więc jedynym rozwiązaniem danego układu.
Interpretacja geometryczna: z obu równań wyznaczamy y, skąd otrzymujemy
{ y = 2x − 3
y = 3
Szkicujemy prostą y = 2x − 3, a następnie prostą y = 3 i z wykresu odczytujemy współrzędne ich
punktu przecięcia: (3, 3).
• Para liczb x = 2 i y = − 5 jest rozwiązaniem układu równań
{ x + y = − 3
2x + y = − 1
ponieważ dla x = 2 i y = − 5 otrzymujemy
x + y = 2 − 5 = − 3
oraz
2x + y = 2 ∙ 2 − 5 = − 1.
Jest to jedyne rozwiązanie tego układu co stwierdzimy, wyznaczając y z każdego równania układu
równań
{ y = − x − 3
y = − 2x − 1
Odpowiedzi
873
Proste o równaniach y = − x − 3 i y = − 2x − 1 nie są równoległe, więc przecinają się w jednym
punkcie. Jest to punkt o współrzędnych (2, − 5).
• Para liczb x = 0 i y = 3 jest rozwiązaniem układu równań
{ 2x + y = 3
2x − 3y = − 9
ponieważ dla x = 0 i y = 3 otrzymujemy
2x + y = 2 ∙ 0 + 3 = 3
oraz
2x − 3y = 2 ∙ 0 − 3 ∙ 3 = − 9.
Jest to jedyne rozwiązanie tego układu co stwierdzimy, wyznaczając y z każdego równania układu
{ y = − 2x + 3
y =23x + 3
Odpowiedzi
874
Proste o równaniach y = − 2x + 3 i y =23x + 3 nie są równoległe, więc przecinają się w jednym
punkcie. Jest to punkt o współrzędnych (0, 3).
Zadanie 2.4.3.21 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Rozwiązanie
{ x = 0
y = 2
a)
{ x = 1
y = − 1
b)
{ x = − 2
y = 1
c)
{ x = 3
y = − 2
d)
Rozwiążemy układ równań { 2x + y = 2
3x − 2y = − 4
Zastosujemy metodę przeciwnych współczynników – pomnożymy obie strony pierwszego
równania przez 2, a następnie równania dodamy stronami.
a)
Odpowiedzi
875
{ 4x + 2y = 4
3x − 2y = − 4
Wynika stąd, że 7x = 0, czyli x = 0.
Wstawiając tę wartość do pierwszego równania układu, otrzymujemy 4 ∙ 0 + 2y = 4, skąd
y = 2.
Zatem rozwiązaniem danego układu równań jest para liczb x = 0 i y = 2. Jest to jedyne roz-
wiązanie tego układu.
Interpretacja geometryczna: z obu równań wyznaczamy y, skąd otrzymujemy
{ y = − 2x + 2
y =32x + 2
Szkicujemy prostą y = − 2x + 2 , a następnie prostą y =32x + 2 i z wykresu od-
czytujemy współrzędne ich punktu przecięcia: (0, 2).
Rozwiążemy układ równań { 2x + 3y = − 1
4x + 7y = − 3
Zastosujemy metodę przeciwnych współczynników – pomnożymy obie strony pierwszego
równania przez −2 a następnie równania dodamy stronami.
{ −4x − 6y = 2
4x + 7y = − 3
Wynika stąd, że y = − 1.
Wstawiając tę wartość do pierwszego równania układu, otrzymujemy 2x + 3 ∙ (−1) = − 1,
skąd x = 1.
A zatem rozwiązaniem danego układu jest para liczb x = 1 i y = − 1. Jest to jedyne rozwiąza-
b)
Odpowiedzi
876
nie tego układu równań.
Interpretacja geometryczna: z obu równań wyznaczamy y, skąd otrzymujemy układ
{ y = − 23x − 1
3
y = − 47x − 3
7
Szkicujemy prostą y = − 23x − 1
3 , a następnie prostą y = − 47x − 3
7 i z wykresu odczytujemy
współrzędne ich punktu przecięcia: (1, − 1).
Rozwiążemy układ równań { 2x + 3y = − 1
5x + 6y = − 4
Zastosujemy metodę przeciwnych współczynników – pomnożymy obie strony pierwszego
równania przez −2, a następnie równania dodamy stronami.
{ −4x − 6y = 2
5x + 6y = − 4
Wynika stąd, że x = − 2.
Wstawiając tę wartość do pierwszego równania układu otrzymujemy 2 ∙ (−2) + 3y = − 1,
skąd y = 1.
Zatem rozwiązaniem danego układu jest para liczb x = − 2 i y = 1. Jest to jedyne rozwiąza-
nie tego układu.
Interpretacja geometryczna: z obu równań wyznaczamy y, skąd otrzymujemy
c)
Odpowiedzi
877
{ y = − 23x − 1
3
y = − 56x − 2
3
Szkicujemy prostą y = − 23x − 1
3 , a następnie prostą y = − 56x − 2
3 i z wykresu odczytujemy
współrzędne ich punktu przecięcia: ( − 2, 1).
Rozwiążemy układ równań { 3x + 4y = 1
4x + 5y = 2
Zastosujemy metodę przeciwnych współczynników – pomnożymy obie strony pierwszego
równania przez −4 oraz pomnożymy obie strony drugiego równania przez 3, a następnie
równania dodamy stronami.
{ −12x − 16y = − 4
12x + 15y = 6
Wynika stąd, że y = − 2.
Wstawiając tę wartość do pierwszego równania układu, otrzymujemy 3x + 4 ∙ (−2) = 1, skąd
x = 3.
A zatem rozwiązaniem danego układu równań jest para liczb x = 3 i y = − 2. Jest to jedyne
rozwiązanie tego układu.
Interpretacja geometryczna: z obu równań wyznaczamy y, skąd otrzymujemy
{ y = − 34x +
14
y = − 45x +
25
d)
Odpowiedzi
878
Zadanie 2.4.3.22 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Rozwiązanie
• Rozwiążemy układ równań
{ 95x − 57y = 38
−60x + 36y = − 24
Z obu równań wyznaczamy y, skąd otrzymujemy układ
{ y =53x − 2
3
y =53x − 2
3
Szkicujemy prostą y = − 34x +
14 , a następnie prostą y = − 4
5x +25 i z wykresu odczytujemy
współrzędne ich punktu przecięcia: (3, − 2).
nieskończenie wiele rozwiązań (rozwiązaniem jest każda taka para liczb (x, y), że
5x − 3y = 2,
a)
układ sprzeczny,b)
układ sprzeczny,c)
nieskończenie wiele rozwiązań (rozwiązaniem jest każda taka para liczb (x, y), że
2x − y = − 1).
d)
Odpowiedzi
879
Obydwa równania opisują tę samą prostą o równaniu y =53x − 2
3 . Zatem układ ma nieskończenie
wiele rozwiązań. Są to pary liczb: (x,53x − 2
3 ) , gdzie x ? R.
• Rozwiążemy układ równań
{ 119x − 34y = 68
−35x + 10y = − 25
Z obu równań wyznaczamy y, skąd otrzymujemy układ
{ y =72x − 2
y =72x − 5
2
Odpowiedzi
880
Proste o równaniach y =72x − 2 i y =
72x − 5
2 są równoległe i różne, więc dany układ równań nie ma
rozwiązań.
• Rozwiążemy układ równań
{ 0, 3x − 0, 3y = 0, 3
−2, 5x + 2, 5y = 0
Układ ten jest równoważny układowi
{ x − y = 1
−x + y = 0
Z obu równań wyznaczamy y, skąd otrzymujemy układ
{ y = x − 1
y = x
Odpowiedzi
881
Proste o równaniach y = x − 1 i y = x są równoległe i różne, więc dany układ nie ma rozwiązań.
• Rozwiążemy układ równań
{14x − 1
8y = − 18
− 67x +
37y =
37
Z obu równań wyznaczamy y, skąd otrzymujemy układ
{ y = 2x + 1
y = 2x + 1
Odpowiedzi
882
Obydwa równania opisują tę samą prostą o równaniu 2x + 1. Zatem układ ma nieskończenie wiele
rozwiązań. Są to pary liczb: (x, 2x + 1), gdzie x ? R.
Zadanie 2.4.3.23 (Wróć do zadania)Odpowiedź
a = − 23
RozwiązanieW obu równaniach układu wyznaczamy y
{ y = ax − 5
y = − 23x − 5
Układ ten ma nieskończenie wiele rozwiązań wtedy i tylko wtedy, gdy proste o równaniach
y = ax − 5 i y = − 23x − 5 pokrywają się. A zatem a = − 2
3 .
Zadanie 2.4.3.24 (Wróć do zadania)Odpowiedź
b = − 32
RozwiązanieW obu równaniach układu wyznaczamy y
{ y = 2x − 72
y = − 3bx +
10b
, b ≠ 0
Układ ten nie ma rozwiązań wtedy i tylko wtedy, gdy proste o równaniach y = 2x − 72 i y = − 3
bx +10b
Odpowiedzi
883
są równoległe i różne. Zatem − 3b = 2 i − 7
2 ≠ 10b , skąd b = − 3
2 i b ≠ − 207 ,
czyli dla b = − 32 układ nie posiada rozwiązań.
Rozważmy sytuację, gdy b = 0. W tym przypadku układ równań ma postać
{ 4x − 2y = 7
3x = 10
Wynika stąd, że x =103 , a y =
196 . Zatem dla b = 0 układ ma dokładnie jedno rozwiązanie.
Zatem dla parametru b = − 32 , układ równań nie ma rozwiązania.
Zadanie 2.4.3.25 (Wróć do zadania)Odpowiedź
−1 < c < − 23
RozwiązanieRozwiązujemy układ metodą podstawiania
{ x = c − 2y
3x + 7y = 2c − 1
{ x = c − 2y
3(c − 2y) + 7y = 2c − 1
{ x = c − 2y
y = − c − 1
{ x = 3c + 2
y = − c − 1
Otrzymana para liczb (x, y) spełnia warunek x < 0 i y < 0 wtedy i tylko wtedy, gdy 3c + 2 < 0 i
−c − 1 < 0. Wynika stąd, że c < − 23 i c > − 1, a zatem c ? (−1, − 2
3 ).Zadanie 2.4.3.26 (Wróć do zadania)Odpowiedźm = 2 i k = − 4
RozwiązanieW obu równaniach układu wyznaczamy y
Odpowiedzi
884
{ y = − 13x +
m3
y =k
12x +23
Układ ten ma nieskończenie wiele rozwiązań wtedy i tylko wtedy, gdy proste o równaniach
y = − 13x +
m3 i y =
k12x +
23 pokrywają się. Zatem − 1
3 =k
12 im3 =
23 .
Stąd k = − 4 i m = 2. Zatem układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań dla k = − 4 i m = 2.
Zadanie 2.4.3.27 (Wróć do zadania)Odpowiedźm = 7
RozwiązanieRozwiązujemy układ metodą podstawiania
{ 5( − 3y + 2m − 3) − 2y = m − 3
x = 3y + 2m − 3
{ −15y + 10m − 15 − 2y = m − 3
x = − 3y + 2m − 3
{ x =7m − 15
17
y =9m − 12
17
Otrzymana para liczb (x, y) spełnia warunek y = x + 1 wtedy i tylko wtedy, gdy9m − 12
17 = 1 +7m − 15
17 ,
co jest równoważne równaniu9m − 12
17 =7m + 2
17 . Wynika stąd, że 9m − 12 = 7m + 2, czyli m = 7.
Odpowiedzi
885
Funkcja liniowa / Układ równań liniowych.Geometryczna interpretacja układurównań / Zadania generatoroweZadanie 2.4.4.1 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Odpowiedzi
886
Funkcja liniowa / Zastosowanie funkcjiliniowej / Zadania. Część IZadanie 2.5.3.1 (Wróć do zadania)OdpowiedźJabłek jest dziesięć, brzoskwiń jest pięć, a gruszki są trzy.
Rozwiązanie
Oznaczamy przez x liczbę gruszek. Wtedy liczba brzoskwiń to x + 2, a liczba jabłek to 2 ? (x + 2).Otrzymujemy równanie
x + x + 2 + 2 ? (x + 2) = 18
4x = 12
x = 3.
Zadanie 2.5.3.2 (Wróć do zadania)OdpowiedźOznaczamy przez x liczbę monet jednogroszowych. Wtedy liczba monet dwugroszowych to 2x.
Skoro wszystkich monet jest 135, to liczba monet pięciogroszowych jest równa 135 – 3x. Ponie-
waż cała kwota przekazana przez dziewczynkę to 2 zł 65 gr, to
1 ? x + 2 ? 2x + 5 ? (135 − 3x) = 265,
skąd x = 41.
Zatem monet jednogroszowych jest 41, monet dwugroszowych − 82, a monet pięciogroszowych
− 12.
Zadanie 2.5.3.3 (Wróć do zadania)OdpowiedźOznaczamy przez x cyfrę dziesiątek, wtedy cyfra jedności to x – 1. Zatem ta liczba dwucyfrowa to
10x + x − 1, czyli 11x − 1.
Z treści zadania wynika, że 11x − 1 = 6(x + x − 1) + 1, skąd x = 4.
Wynika stąd, że cyfra dziesiątek jest równa 4, a cyfra jedności to 3, stąd suma tych cyfr jest równa
7.
Zadanie 2.5.3.4 (Wróć do zadania)OdpowiedźOznaczmy przez x liczbę detali produkowanych w ciągu godziny przez automat na pierwszym po-
ziomie wydajności. Wtedy liczba detali produkowanych w ciągu godziny przez automat na drugim
poziomie wydajności to128100x.
Zauważmy, że planowana do wytworzenia liczba detali była równa 21 ? 48 ? x. Przez 9 godzin wy-
produkowano 9 ? 48 ? x, czyli pozostało do wyprodukowania (21 − 9) ? 48 ? x = 12 ? 48 ? x detali.
Aby wyprodukować tę liczbę detali, włączono 45 automatów pracujących na drugim poziomie wy-
Odpowiedzi
887
dajności. Wykonały one tę pracę w czasie12 ? 48 ? x
45 ?128100
? x=
12 ? 48 ? 10045 ? 128 = 10 godzin.
Zadanie 2.5.3.5 (Wróć do zadania)OdpowiedźOznaczamy przez n szóstą z tych liczb.
Wtedy liczby od pierwszej do piątej to
n − 5, n − 4, n − 3, n − 2, n − 1,
a liczby od siódmej do jedenastej to
n + 1, n + 2, n + 3, n + 4, n + 5.
Zauważmy, że sumę tych jedenastu liczb możemy zapisać jako
n + (n − 5 + n + 5) + (n − 4 + n + 4) + (n − 3 + n + 3) + (n − 2 + n + 2) + (n − 1 + n + 1) = n + 5 ? 2n = 11n.
Otrzymujemy więc równanie
11n = 176
n = 16.
Zatem największa z tych liczb to
n + 5 = 21.
Zadanie 2.5.3.6 (Wróć do zadania)Odpowiedź
RozwiązanieOznaczamy przez x liczbę celnych rzutów oddanych przez zawodnika startującego w konkursie,
gdzie x jest nieujemną liczbą całkowitą nie większą od 10. Wtedy liczba niecelnych rzutów to 10 − x
, a suma punktów uzyskanych przez tego zawodnika to 8x − 3(10 − x).Załóżmy, że zawodnik startujący w tym konkursie zdobył 47 punktów. Otrzymujemy wówczas rów-
nanie
8x − 3(10 − x) = 47
11x = 77
x = 7.
Oddając 7 rzutów celnych i 3 niecelne zawodnik zdobyłby 47 punktów.
Można było uzyskać 47 punktów.a)
Nie można było uzyskać 63 punktów.b)
Odpowiedzi
888
Wynika stąd, że w tym konkursie można było uzyskać 47 punktów.
Załóżmy, że zawodnik startujący w tym konkursie zdobył 63 punkty. Wtedy
8x − 3(10 − x) = 63
11x = 93
x =9311 .
Uzyskany wynik nie jest liczbą naturalną, stąd nie może być liczbą celnych rzutów. Wobec tego,
startując w tym konkursie, nie można było uzyskać 63 punktów.
Zadanie 2.5.3.7 (Wróć do zadania)Odpowiedź10,40 zł
RozwiązanieOznaczamy przez x cenę 1 kg cukierków czekoladowych, zaś przez y cenę 1 kg cukierków toffi.
Otrzymujemy układ równań
{ 3x + 5y = 8 ? 9,50
5x + 3y = 8 ? 10,50.
A zatem
{ x = 12
y = 8.
Wynika stąd, że cena 1 kg cukierków czekoladowych jest równa 12 zł, a cena 1 kg cukierków toffi
to 8 zł.
Gdyby połączyć 3 kg takich cukierków czekoladowych i 2 kg takich cukierków toffi, to jeden kilo-
gram otrzymanej mieszanki kosztowałby(3 ? 12 + 2 ? 8)
3 + 2 = 10,40 zł.
Zadanie 2.5.3.8 (Wróć do zadania)Odpowiedźw ciągu doby spotykają się (tak jest np. o godzinie 12.00) 22 razy
Zadanie 2.5.3.9 (Wróć do zadania)OdpowiedźPrzez x oznaczamy liczbę pięciocyfrową, utworzoną przez pięć pierwszych (patrząc od prawej) cyfr
zapisu dziesiętnego pierwszej liczby sześciocyfrowej.
Wtedy pierwsza liczba sześciocyfrowa to 400000 + x, a druga to 10x + 4.
Zapisujemy równanie
400000 + x = 4(10x + 4),
skąd
Odpowiedzi
889
400000 + x = 40x + 16
39x = 399984
x = 10256.
Zatem pierwsza liczba sześciocyfrowa to 410256, a druga to 102564.
Zadanie 2.5.3.10 (Wróć do zadania)OdpowiedźOznaczamy
• przez y – aktualny wiek Mateusza,
• przez x – aktualny wiek Piotra.
W poniższej tabelce opisujemy fakty podane w treści zadania.
gdy Mateusz był
w wieku Piotrateraz
gdy Piotr będzie
w wieku Mateusza
wiek Mateusza x y
wiek Piotra 13y x y
Zauważmy, że x − 13y = y − x, czyli x =
23y.
Tabelkę wypełniamy ponownie.
gdy Mateusz był
w wieku Piotrateraz
gdy Piotr będzie
w wieku Mateusza
wiek Mateusza 23y y
43y
wiek Piotra 13y
23y y
Z treści zadania wiemy, że43y + y = 112, skąd
73y = 112, czyli y = 48 oraz x =
23 ? 48 = 32.
Wobec tego Mateusz ma 48 lat, a Piotr ma 32 lata.
Zadanie 2.5.3.11 (Wróć do zadania)Odpowiedź62
RozwiązanieOznaczamy przez x liczbę znaczków zagranicznych, wtedy 6x to liczba znaczków polskich. Otrzy-
mujemy równanie
x + 6x = 434
x = 62.
Odpowiedzi
890
Zatem Małgosia ma 62 zagraniczne znaczki.
Uwaga. Z treści zadania wynika, że liczba znaczków zagranicznych stanowi17 liczby wszystkich
znaczków zebranych przez Małgosię, można więc bez układania równania policzyć, że jest ich17 ? 434 = 62.
Zadanie 2.5.3.12 (Wróć do zadania)Odpowiedź17, 34, 39
RozwiązanieOznaczamy przez x pierwszą liczbę. Wtedy druga liczba to 2x, a trzecia to 2x + 5. Otrzymujemy
równanie
x + 2x + (2x + 5) = 90
5x + 5 = 90
5x = 85
x = 17.
Zatem poszukiwane liczby to x = 17, 2x = 34, 2x + 5 = 39.
Odpowiedzi
891
Funkcja liniowa / Zastosowanie funkcjiliniowej / Zadania. Część IIZadanie 2.5.4.1 (Wróć do zadania)Odpowiedź115, 161, 253, 598
RozwiązaniePrzyjmijmy, że pierwsza z tych liczb to 5x. Wtedy druga to 7x, trzecia to 11x, a czwarta to 26x. Su-
ma pierwszej i czwartej liczby to 713, więc otrzymujemy równanie
5x + 26x = 713
31x = 713
x = 23.
Wobec tego 5x = 115, 7x = 161, 11x = 253 oraz 26x = 598.
Zadanie 2.5.4.2 (Wróć do zadania)Odpowiedź32
RozwiązanieOznaczamy przez n dziewiątą z kolei liczbę naturalną spośród tych siedemnastu.
Wtedy liczby od pierwszej do ósmej to
n − 8, n − 7, n − 6, n − 5, n − 4, n − 3, n − 2, n − 1,
a liczby od dziesiątej do siedemnastej to
n + 1, n + 2, n + 3, n + 4, n + 5, n + 6, n + 7, n + 8.
Zauważmy, że sumę tych siedemnastu liczb możemy zapisać jako
n + (n − 8 + n + 8) + (n − 7 + n + 7) + (n − 6 + n + 6) + (n − 5 + n + 5) + (n − 4 + n + 4) + (n − 3 + n + 3) +
+(n − 2 + n + 2) + (n − 1 + n + 1) = n + 8 ? 2n = 17n
Otrzymujemy więc równanie
17n = 544
n = 32.
Zatem dziewiąta z tych liczb to 32.
Odpowiedzi
892
Zadanie 2.5.4.3 (Wróć do zadania)Odpowiedź50 km
RozwiązanieOznaczamy przez V prędkość rowerzysty jadącego z miejscowości B (w kilometrach na godzinę).
Wtedy prędkość rowerzysty jadącego z miejscowości A była równa54V. Zatem w ciągu dwóch go-
dzin pierwszy rowerzysta (jadący z miejscowości A) pokonał drogę równą 2 ?54V =
52V, a drugi –
drogę 2V.
Otrzymujemy równanie
52V + 2V = 90
92V = 90
V = 20.
Prędkość rowerzysty jadącego z miejscowości B była więc równa 20 km / h, a rowerzysty jadącego
z miejscowości A była równa54 ? 20 = 25 km / h.
Rowerzysta jadący z A po dwóch godzinach dojechał do C, zatem z A do C jest 2 ? 25 = 50 km.
Zadanie 2.5.4.4 (Wróć do zadania)Odpowiedź29, 38, 47, 56
RozwiązanieOznaczamy przez x cyfrę dziesiątek tej liczby dwucyfrowej, wtedy jej cyfrą jedności jest 11 − x. Za-
tem ta liczba dwucyfrowa to 10x + (11 − x) = 9x + 11, a liczba powstała po zamianie cyfr to
10(11 − x) + x = 110 − 9x.
Liczba dwucyfrowa jest mniejsza od liczby powstałej po zamianie cyfr, otrzymujemy więc nierów-
ność
9x + 11 < 110 − 9x
18x < 99
x < 512 .
Wobec tego cyfrą dziesiątek może być 5, 4, 3, 2 lub 1. Dla x = 1 otrzymujemy sprzeczność (wtedy
11 − x = 10 > 9), więc są cztery liczby dwucyfrowe spełniające warunki zadania: 56, 47, 38 oraz 29.
Uwaga. Jest tylko osiem liczb dwucyfrowych, których suma cyfr jest równa 11 – są to liczby: 29, 38
, 47, 56, 65, 74, 83, 92. Zapisując dla każdej z nich liczbę otrzymaną po zamianie cyfr, znajdziemy
rozwiązanie zadania bez układania równania.
Odpowiedzi
893
Zadanie 2.5.4.5 (Wróć do zadania)Odpowiedź
V > 20,25 km / h
Rozwiązanie
Grupa znajomych jedzie z prędkością 18 km / h i ma do przejechania 54 km, więc pokona tę drogę
w czasie5418 = 3 godzin. To znaczy, że grupa dojedzie do Inowłodza o godzinie 1200.
Oznaczmy średnią prędkość spóźnialskiego przez x (w kilometrach na godzinę). Żeby spóźnialski
dogonił grupę, zanim dojedzie ona do Inowłodza, musi pokonać 54 kilometry w czasie krótszym
niż 2 godziny 40 minut.
Otrzymujemy więc nierówność
24060 ? x > 54
83 ? x > 54
x >54 ? 3
8
x >814 = 20
14 .
Zatem, aby dogonić grupę, zanim dojedzie do Inowłodza, spóźnialski rowerzysta musi jechać ze
średnią prędkością większą niż 20,25 km / h.
Zadanie 2.5.4.6 (Wróć do zadania)Odpowiedź458
RozwiązanieOznaczamy przez x cyfrę setek tej liczby. Wtedy jej cyfrą jedności jest 17 − 5 − x = 12 − x. Zatem ta
liczba trzycyfrowa to 100x + 50 + 12 − x = 99x + 62, a po zamianie cyfr otrzymujemy liczbę
500 + 10x + 12 − x = 9x + 512.
Otrzymujemy więc równanie
99x + 62 + 90 = 9x + 512
90x = 360
x = 4.
Stąd cyfra setek szukanej liczby to 4, jej cyfra jedności to 12 − 4 = 8, a szukana liczba trzycyfrowa
to 458.
Zadanie 2.5.4.7 (Wróć do zadania)Odpowiedź
O godzinie 848.
Odpowiedzi
894
Rozwiązanie
Zauważmy, że Janek szedł z prędkością 5 km / h przez 2 godziny i 24 minuty do miejsca, w którym
Franek go dogonił. Pokonał więc drogę długości
22460 ? 5 =
125 ? 5 = 12 km.
Franek pokonał te 12 km, jadąc na rowerze przez 36 minut, zatem jego prędkość była równa
123660
= 12 ?53 = 20
kmh .
Zatem 20 km drogi z domu do babci Franek pokonał przez godzinę. Skoro wyjechał o godzinie 748
, to u babci będzie o godzinie 848.
Zadanie 2.5.4.8 (Wróć do zadania)Odpowiedź
• setek było 6
• pięćdziesiątki były 3
• dwudziestek było 11
RozwiązanieOznaczamy przez x liczbę banknotów o nominale 50 zł, wtedy banknotów o nominale 100 zł było
2x, a banknotów o nominale 20 zł było x + 2x + 2, czyli 3x + 2.
Otrzymujemy równanie
2x ? 100 + x ? 50 + (3x + 2) ? 20 = 970
200x + 50x + 60x + 40 = 970
310x = 930
x = 3.
Zatem były 3 banknoty o nominale 50 zł, sześć banknotów o nominale 100 zł i jedenaście bank-
notów o nominale 20 zł.
Zadanie 2.5.4.9 (Wróć do zadania)Odpowiedź472
RozwiązanieOznaczmy daną liczbę trzycyfrową przez x. Wtedy po dopisaniu do niej na końcu (z prawej strony)
cyfry 9 otrzymamy liczbę 10x + 9.
Otrzymujemy równanie
10x + 9 = x + 4257
9x = 4248
Odpowiedzi
895
x = 472.
Szukaną liczbą jest więc 472.
Zadanie 2.5.4.10 (Wróć do zadania)Odpowiedź1,75 kg
Rozwiązanie
W 3 kg roztworu o stężeniu 5% soli jest5
100 ? 3 = 0, 15 kg.
Oznaczmy przez x masę wody, którą należy odparować, aby otrzymać roztwór o stężeniu 12%. Po
odparowaniu masa roztworu zmniejszy się o x kg, a masa soli pozostanie bez zmian.
Otrzymujemy równanie
0,153 − x =
12100
12(3 − x) = 100 ? 0,15
36 − 12x = 15
12x = 21
x =74 .
Zatem należy odparować 1,75 kg wody.
Zadanie 2.5.4.11 (Wróć do zadania)Odpowiedź67 dorosłych, 155 dzieci
RozwiązanieOznaczmy przez x liczbę dzieci uczestniczących w przedstawieniu. Wtedy liczba dorosłych to
222 − x, wartość biletów zakupionych przez dzieci to 12x, a wartość biletów zakupionych przez do-
rosłych to 20(222 − x). Łącznie za bilety zapłacono 12x + 20(222 − x), czyli 4440 − 8x.
Otrzymujemy równanie
82% ? (4440 − 8x) = 2624
4440 − 8x = 3200
8x = 4440 − 3200
8x = 1240
x = 155.
Odpowiedzi
896
Wobec tego na przedstawieniu było 155 dzieci i 67 dorosłych.
Zadanie 2.5.4.12 (Wróć do zadania)OdpowiedźDziadek ma 72 lata, tata ma 36 lat
RozwiązanieOznaczmy aktualny wiek taty Marka przez x, wtedy aktualny wiek dziadka Marka to 2x.
Otrzymujemy równanie
2x − 18 = 3(x − 18)
2x − 18 = 3x − 54
x = 36.
To znaczy, ze tata Marka ma 36 lat, a dziadek Marka 72 lata.
Zadanie 2.5.4.13 (Wróć do zadania)Odpowiedź30 gramów
RozwiązanieOznaczmy przez x masę złota próby 0,680 (w gramach). Wtedy stop ma masę 10 + x gramów i za-
wiera 0,68 ? x + 0,96 ? 10 gramów złota.
Otrzymujemy równanie
0,68 ? x + 0,96 ? 1010 + x = 0,75
68100x +
9610 =
75100 (x + 10)
68x + 960 = 75x + 750
7x = 210
x = 30.
Zatem do stopu należy użyć 30 gramów złota próby 0,680.
Zadanie 2.5.4.14 (Wróć do zadania)Odpowiedź3 kg
RozwiązanieOznaczmy przez x masę drugiego (szesnastoprocentowego) roztworu przelanego do trzeciego na-
czynia. Wtedy roztworu dwunastoprocentowego dolano tam 4 – x kilogamów.
Otrzymujemy więc równanie
Odpowiedzi
897
16% ? x + 12% ? (4 − x) = 15% ? 4
16 ? x + 12 ? (4 − x) = 15 ? 4
16x + 48 − 12x = 60
4x = 12
x = 3.
To znaczy, że dolano 3 kg drugiego roztworu.
Zadanie 2.5.4.15 (Wróć do zadania)Odpowiedź
• I automat – 4 minuty
• II automat – 5 minut
RozwiązanieOznaczmy przez x liczbę kopert, które przez minutę wytwarza pierwszy automat, przez y - liczbę
kopert, które przez minutę wytwarza drugi automat.
Otrzymujemy układ równań
{ 10{x + y = 2700
12x = 15y
{ x + y = 270
x =54y
{54y + y = 270
x =54y
{ y = 270 ?49
x =54y
Odpowiedzi
898
{ y = 120
x = 150.
Wynika stąd, że
• I automat wytwarza 150 kopert w ciągu minuty, więc na wyprodukowanie 600 kopert potrze-
buje 4 minut,
• II automat wytwarza 120 kopert w ciągu minuty, więc na wyprodukowanie 600 kopert po-
trzebuje 5 minut.
Zadanie 2.5.4.16 (Wróć do zadania)Odpowiedź722
RozwiązanieDla szukanej liczby trzycyfrowej wprowadzamy oznaczenia
• x – cyfra jedności,
• y – liczba dwucyfrowa otrzymana po skreśleniu cyfry jedności.
Wtedy szukana liczba trzycyfrowa to 10y + x.
Otrzymujemy równanie
10y + x = y + 650
9y + x = 650.
Zauważmy, że
• liczba x może przyjmować jedną z wartości: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,
• liczba 650 – x jest podzielna przez 9.
Ponieważ 650 = 72 ? 9 + 2, to x = 2, wtedy y = 72, czyli szukana liczba trzycyfrowa to 722.
Odpowiedzi
899
Trygonometria / Podobieństwo trójkątówprostokątnych / Zadania. Część IZadanie 3.1.4.1 (Wróć do zadania)Odpowiedź
sinα =5
13
13cosα = 12
Zadanie 3.1.4.2 (Wróć do zadania)Odpowiedź
cosα ? cosβ = √64
√3 ? tgα = tgβ
Zadanie 3.1.4.3 (Wróć do zadania)Odpowiedź
cosα =7
√65
tg(90 ° − α) < 2
Zadanie 3.1.4.4 (Wróć do zadania)Odpowiedźtgα > 1
sinα >12
Zadanie 3.1.4.5 (Wróć do zadania)Odpowiedźsin12 ° = cos78 °
tg65 ° ? tg25 ° = 1
Zadanie 3.1.4.6 (Wróć do zadania)Odpowiedźcosα > 0,9
Zadanie 3.1.4.7 (Wróć do zadania)Odpowiedźsinα = cos38 °
tgα > 1
Zadanie 3.1.4.8 (Wróć do zadania)Odpowiedźsinα > tgβ
cosα + sinβ < 1
sinα ? cosβ + cosα ? sinβ = 1
Odpowiedzi
900
Zadanie 3.1.4.9 (Wróć do zadania)Odpowiedźcosα = 0,6
Zadanie 3.1.4.10 (Wróć do zadania)Odpowiedź
tangens kąta ostrego tego trapezu jest równy25
Zadanie 3.1.4.11 (Wróć do zadania)Odpowiedź
tgα =8
15
Zadanie 3.1.4.12 (Wróć do zadania)Odpowiedź
sin (90 ° − α) =35
Zadanie 3.1.4.13 (Wróć do zadania)Odpowiedź
sinα =23
Zadanie 3.1.4.14 (Wróć do zadania)Odpowiedź3√6
Zadanie 3.1.4.15 (Wróć do zadania)Odpowiedźα < 45 °
Zadanie 3.1.4.16 (Wróć do zadania)Odpowiedź– 1
Odpowiedzi
901
Trygonometria / Podobieństwo trójkątówprostokątnych / Zadania. Część IIZadanie 3.1.5.1 (Wróć do zadania)Odpowiedź
sinα =2√2
3
Zadanie 3.1.5.2 (Wróć do zadania)Odpowiedź√33
7
Zadanie 3.1.5.3 (Wróć do zadania)Odpowiedź12
Zadanie 3.1.5.4 (Wróć do zadania)Odpowiedźtg40 ° ∙ tg50 °
Zadanie 3.1.5.5 (Wróć do zadania)Odpowiedźγ > α > β
Zadanie 3.1.5.6 (Wróć do zadania)Odpowiedź
sinα =5
13 , cosα =1213 , tgα =
512
Zauważmy, że przyprostokątna leżąca naprzeciw kąta α ma długość 5, przyprostokątna
przyległa do tego kąta ma długość 12, a przeciwprostokątna ma długość 13. Stąd
sinα =5
13 , cosα =1213 , tgα =
512 .
a)
sinα =4041 , cosα =
941 , tgα =
409
Zauważmy, że przyprostokątna przeciwległa do kąta α ma długość 40, przyprostokątna
przyległa do tego kąta ma długość 9, a przeciwprostokątna ma długość 41. Stąd
sinα =4041 , cosα =
941 , tgα =
409 .
b)
sinα =1517 , cosα =
817 , tgα =
158
Zauważmy, że przyprostokątna przeciwległa do kąta α ma długość 15, przyprostokątna
przyległa do tego kąta ma długość 8, a przeciwprostokątna ma długość 17. Stąd
sinα =1517 , cosα =
817 , tgα =
158 .
c)
sinα =7
25 , cosα =2425 , tgα =
724
Zauważmy, że przyprostokątna przeciwległa do kąta α ma długość 7, przyprostokątna przy-
legła do tego kąta ma długość 24, a przeciwprostokątna ma długość 25. Stąd
sinα =7
25 , cosα =2425 , tgα =
724 .
d)
Odpowiedzi
902
Zadanie 3.1.5.7 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 3.1.5.8 (Wróć do zadania)Odpowiedź
sinα = √210 , cosα =
7√210 , tgα =
17
a = 1, b = 7
Zauważmy, że przyprostokątna przeciwległa do kątaα ma długość 1, przyprostokątna przy-
legła do tego kąta ma długość 7, a przeciwprostokątna ma długość √12 + 72 = √50 = 5√2.
Stąd
sinα =1
5√2 = √210 , cosα =
75√2 =
7√210 , tgα =
17 .
a)
sinα = √74 , cosα =
34 , tgα = √7
3
a = √7, b = 3
Zauważmy, że przyprostokątna przeciwległa do kąta α ma długość √7, przyprostokątna
przyległa do tego kąta ma długość 3, a przeciwprostokątna ma długość √7 + 9 = √16 = 4.
Stąd
sinα = √74 , cosα =
34 , tgα = √7
3 .
b)
sinα =13 , cosα =
2√23 , tgα = √2
4
a = 3, b = 6√2
Zauważmy, że przyprostokątna przeciwległa do kąta α ma długość 3, przyprostokątna przy-
legła do tego kąta ma długość 6√2, a przeciwprostokątna ma długość √9 + 72 = √81 = 9.
Stąd
sinα =39 =
13 , cosα =
6√29 =
2√23 , tgα =
36√2 = √2
4 .
c)
sinα = √20515 , cosα =
2√515 , tgα = √41
2
a = √41, b = 2
Zauważmy, że przyprostokątna przeciwległa do kąta α ma długość √41, przyprostokątna
przyległa do tego kąta ma długość 2, a przeciwprostokątna ma długość √41 + 4 = √45 = 3√5.
Stąd
sinα = √413√5 = √205
15 , cosα =2
3√5 =2√515 , tgα = √41
2 .
d)
sinβ =4√3
7 , cosβ =17 , tgβ = 4√3
Zauważmy, że przyprostokątna przyległa do kąta β ma długość 1, przeciwprostokątna ma
długość 7, a przyprostokątna przeciwległa do tego kąta ma długość √72 − 12 = √48 = 4√3.
Stąd
sinβ =4√3
7 , cosβ =17 , tgβ =
sinβcosβ =
4√37 ? 7 = 4√3.
a)
sinβ =3√2
5 , cosβ = √75 , tgβ =
3√147
Zauważmy, że przyprostokątna przyległa do kąta β ma długość √7, przeciwprostokątna ma
długość 5, a przyprostokątna przeciwległa do tego kąta ma długość √25 − 7 = √18 = 3√2.
Stąd
sinβ =3√2
5 , cosβ = √75 , tgβ =
sinβcosβ =
3√2
√7 =3√14
7 .
b)
Odpowiedzi
903
Zadanie 3.1.5.9 (Wróć do zadania)OdpowiedźRozważmy trójkąt równoboczny o boku długości 1. Patrząc na rysunek, łatwo można odczytać
wartości sinusa, cosinusa i tangensa dla kątów o miarach 60 ° i 30 ° .
sinβ = √5510 , cosβ =
3√510 , tgβ = √11
3
Zauważmy, że przyprostokątna przyległa do kąta β ma długość 3, przeciwprostokątna ma
długość 2√5, a przyprostokątna przeciwległa do tego kąta ma długość √20 − 9 = √11. Stąd
sinβ = √112√5 = √55
10 , cosβ =3
2√5 =3√510 , tgβ =
sinβcosβ = √11
2√5 ?10
3√5 = √113 .
c)
sinβ =5√74
74 , cosβ =7√74
74 , tgβ =57
Zauważmy, że przyprostokątna przyległa do kąta β ma długość 7, przeciwprostokątna ma
długość √74, a przyprostokątna przeciwległa do tego kąta ma długość √74 − 49 = 5. Stąd
sinβ =5
√74 =5√74
74 , cosβ =7
√74 =7√74
74 , tgβ =sinβcosβ =
5√7474 ?
747√74 =
57 .
d)
√3 − 12
Zauważmy, że
(sin30 ° + sin60 ° )2
− 2sin60 ° ? cos30 ° = (12 + √3
2 )2
− 2√32 ? √3
2 =1 + 2√3 + 3
4 − 32 =
4 + 2√34 − 6
4 − 2√3 − 24 = √3 − 1
2
a)
1
Zauważmy, że
(sin60 ° ? tg30 ° + cos30 ° )2
− sin60 ° = (√32 ? √3
3 + √32 )
2− √3
2 =1 + 2√3 + 3
4 − √32 = 1.
b)
1
Zauważmy, że
(tg30 ° + tg60 ° ) ? sin30 ° ? sin60 ° = (√33 + √3) ?
12 ? √3
2 =1 + 3
√3 ? √34 = 1.
c)
Odpowiedzi
904
Zadanie 3.1.5.10 (Wróć do zadania)OdpowiedźRozważmy kwadrat o boku długości 1. Patrząc na rysunek, łatwo można odczytać wartości sinusa,
cosinusa i tangensa dla kąta o mierze 45 ° .
Zadanie 3.1.5.11 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Rozwiązanie
Zadanie 3.1.5.12 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zauważmy, że 16 ? (sin30 ° + sin245 ° + sin460 ° ) = 16(12 + (√2
2 )2
+ (√32 )
4
) = 16(12 +
12 +
916 ) = 25.
a)
Zauważmy, że 8 ? (cos230 ° ? cos245 ° + cos60 ° ) = 8((√32 )
2? (√2
2 )2
+12 ) = 8( 6
16 +12 ) = 7.
b)
Zauważmy, że tg30 ° ? tg45 ° ? tg60 ° =1
√3 ? 1 ? √3 = 1.c)
2a)
1b)
5cos18 ° + 7sin72 °17sin72 ° − 11cos18 ° =
5cos18 ° + 7sin(90 ° − 18 ° )17sin(90 ° − 18 ° ) − 11cos18 °
=5cos18 ° + 7cos(18 ° )
17cos(18 ° ) − 11cos18 °=
12cos18 °6cos18 ° = 2.
a)
tg22 ° ? tg44 ° ? tg46 ° ? tg68 ° = tg22 ° ? tg44 ° ∙ tg(90 ° − 44 ° ) ∙ tg(90 ° − 22 ° ) =tg22 ° ∙ tg44 °tg44 ° ∙ tg22 ° ? = 1.b)
Zauważmy, że cos72 ° ? cos28 ° = cos(90 ° − 18 ° ) ? cos(90 ° − 62 ° ) = sin62 ° ? sin18 ° .a)
Odpowiedzi
905
= (3cos71 ° + 2cos71 ° ) ? (sin44 ° + 7sin44 ° ) = 5cos71 ° ? 8sin44 ° = 40cos71 ° sin44 ° .
Zadanie 3.1.5.13 (Wróć do zadania)Odpowiedź
sin(?ABC) = sin(?BAC) =5√29
29
sin(?BCA) =2029
Zadanie 3.1.5.14 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 3.1.5.15 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 3.1.5.16 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 3.1.5.17 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zauważmy, żetg18 °tg54 ° =
1tg72 °
1tg36 °
=tg36 °tg72 °
b)
Zauważmy, że
(3sin19 ° + 2cos71 ° )(sin44 ° + 7cos46 ° ) = (3sin(90 ° − 71 ° ) + 2cos71 ° ) ? (sin44 ° + 7cos(90 ° − 44 ° )) =
c)
sin(?BAC) =35
a)
tg(?BDC) =47
b)
cos(?ABC) =5
13c)
tg(?CAB) =7
24a)
cos(?CDB) =7
25b)
sin(?BAD) =336625
c)
cos(?BAD) =13
a)
tg(?CAB) =4√2
9b)
sin(?ACD) =4√226
113c)
sin(? BAD) =1517
a)
tg(? DBA) =34
b)
cos(? CAB) =1213
c)
Odpowiedzi
906
Zadanie 3.1.5.18 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 3.1.5.19 (Wróć do zadania)Odpowiedź
sin(? BAD) =2425 , sin(? CAD) =
35 , cos(?CAB) =
45
sin (?BAD) =2425 = 2 ∙ 3
5 ∙ 45 = 2 ∙ sin (?CAD) ∙ cos (?CAB)
sin(? BAC) =4041
a)
cos(? ABC) =35
b)
tg(? ACB) =156133
c)
Odpowiedzi
907
Trygonometria / Tożsamościtrygonometryczne / ZadaniaZadanie 3.2.3.1 (Wróć do zadania)Odpowiedźa < 2
a = b
Zadanie 3.2.3.2 (Wróć do zadania)Odpowiedź
7sin2α = 9cos2α
Zadanie 3.2.3.3 (Wróć do zadania)Odpowiedźcosαsinα = 0,2
sinα =5√26
26 i cosα = √2626
Zadanie 3.2.3.4 (Wróć do zadania)Odpowiedźtgα = 2√2
Zadanie 3.2.3.5 (Wróć do zadania)Odpowiedźcosα + sinαsinα − cosα = 3
11sinα + 3cosαcosα + 2sinα = 5
Zadanie 3.2.3.6 (Wróć do zadania)Odpowiedź
(sinα + cosα)2
− 1
2 = sinαcosα
1 − (sin4α + cos4α)2 = (sinαcosα)
2
sin4α − cos4α = sin2α − cos2α
Zadanie 3.2.3.7 (Wróć do zadania)Odpowiedź
cos2α(tg2α + sin2α) + cos4α = 1
(tgα +1
tgα )2
− (tg2α +1
tg2α ) = 2
Zadanie 3.2.3.8 (Wróć do zadania)Odpowiedźtgα > sinα
Odpowiedzi
908
cosα + sinα > 1
Zadanie 3.2.3.9 (Wróć do zadania)Odpowiedź
sinα + cosα =3√5
5
sin4α + cos4α =1725
Zadanie 3.2.3.10 (Wróć do zadania)Odpowiedź
wyrażenie √cos4α + 4sin2α jest równe 2 − cos2α
wyrażenie √sin4α + 4cos2α + √cos4α + 4sin2α jest równe 3
Zadanie 3.2.3.11 (Wróć do zadania)Odpowiedź59
Zadanie 3.2.3.12 (Wróć do zadania)Odpowiedź
2sin2α
Zadanie 3.2.3.13 (Wróć do zadania)Odpowiedźcosαsinα =
56
Zadanie 3.2.3.14 (Wróć do zadania)Odpowiedź12
Zadanie 3.2.3.15 (Wróć do zadania)Odpowiedź
sinα = √5110
Zadanie 3.2.3.16 (Wróć do zadania)Odpowiedź10
Zadanie 3.2.3.17 (Wróć do zadania)Odpowiedź
4
√65
Zadanie 3.2.3.18 (Wróć do zadania)Odpowiedź
2sin2α − 1
Zadanie 3.2.3.19 (Wróć do zadania)Odpowiedź21
200
Zadanie 3.2.3.20 (Wróć do zadania)Odpowiedźjest mniejsza od 1
Odpowiedzi
909
Zadanie 3.2.3.21 (Wróć do zadania)Odpowiedź
RozwiązanieWykorzystując tożsamość
sin2α+ cos2α = 1,
otrzymujemy
cos2α − (1 − cos2α) =79 .
2cos2α = 1 +79
cos2α =89
sin2α =19
Ponieważ sinα > 0 i cosα > 0, to
cosα = √89 =
2√23
sinα =13
Zadanie 3.2.3.22 (Wróć do zadania)Odpowiedź
89
a)
2√23
b)
19
c)
13
d)
254121
Z tożsamości
sin2α + cos2α = 1otrzymujemy
cos2α = 1 − sin2α.Zatem
5 − 3cos2α = 5 − 3(1 − sin2α) = 5 − 3(1 − ( 211 )
2
) = 5 − 3 ?117121 =
254121 .
a)
3√1311
Z tożsamości
sin2α + cos2α = 1
b)
Odpowiedzi
910
Zadanie 3.2.3.23 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 3.2.3.24 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 3.2.3.25 (Wróć do zadania)Odpowiedź
sinα =27 i tgα =
2√515
otrzymujemy
cos2α = 1 − sin2α. Zatem cos2α = 1 − ( 211 )
2=
117121 . Ponieważ cosα > 0, to cosα = √117
121 =3√13
11 .
53
Korzystając z podpunktu b), otrzymujemy
tgα =sinαcosα =
211
3√1311
=2
3√13 .
Zatem
√13 tg2α +73 = √13 ( 2
3√13 )2
+73 = √13 ?
49 ? 13 +
73 = √4
9 +73 = √25
9 =53 .
c)
− 103
a)
56
b)
3518
c)
5√2929
Kąt α jest ostry i tgα =52 . Obliczymy sinα i cosα.
Jeśli tgα =52 , to
sinαcosα =
52 , skąd sinα =
5cosα2 . Ponadto sin2α + cos2α = 1, czyli
(5cos α2 )
2+ cos2α = 1.Zatem
29cos2α4 = 1 cos2α =
429 .Ponieważ sinα > 0 i cosα > 0, to
cosα = √ 429 =
2√2929 , sinα =
52 ∙ 2√29
29 =5√29
29 .
a)
2√2929
Zauważmy, że cosα =2√29
29 .
b)
112
Zauważmy, że4sinα + cosα
7cosα − 2sinα =4 ∙
5√2929
+2√29
29
7 ∙2√29
29− 2 ∙
5√2929
=112 .
c)
Odpowiedzi
911
Zadanie 3.2.3.26 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 3.2.3.27 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 3.2.3.28 (Wróć do zadania)Odpowiedź
2√105
Przekształcamy lewą stronę równości tgα +1
tgα =103 . Otrzymujemy
tgα +1
tgα =sinαcosα +
cosαsinα =
sin2α + cos2αcosαsinα =
1cosαsinα .Zatem
1cosαsinα =
103 , czyli cosαsinα =
310 .
Zauważmy, że
(sinα + cosα)2
= sin2α + 2sinαcosα + cos2α = 2sinαcosα + 1stąd
sinα + cosα = √2 ∙ 310 + 1 = √8
5 =2√10
5 Zatem (sinα + cosα)2
=85 . Ponieważ sinα + cosα > 0,
ostatecznie otrzymujemy
sinα + cosα =2√2
√5 =2√10
5 .
a)
829
Przekształcamy wyrażenie
(tgα +1
tgα )2
= tg2α + 2 ∙ tgα ∙ 1tgα +
1
tg2α= tg2α +
1
tg2α+ 2 Zatem
tg2α +1
tg2α= (tgα +
1tgα )
2− 2 = (10
3 )2
− 2 =829 .
b)
60169
Podnosząc równość stronami do kwadratu, otrzymujemy (sinα − cosα)2
=49
169 .
Stąd
sin2α − 2cosα sinα + cos2α =49
169 1 − 2cosα sinα =49
169 .Ostatecznie otrzymujemy
cosα sinα =60
169 .
a)
1713
Zauważmy, że
(sinα + cosα)2
= 1 + 2 sinαcosα = 1 + 2 ∙ 60169 =
169 + 120169 =
289169 sinα + cosα =
1713 .
b)
1225
Podnosząc równość sinα + cosα = 1,4 stronami do kwadratu, otrzymujemy
(sinα + cosα)2
=4925 . Przekształcamy, otrzymując
sin2α + 2cosαsinα + cos2α =4925 1 + 2cosαsinα =
4925 .Ostatecznie otrzymujemy
cosαsinα =1225 .
a)
125
Przekształcamy wyrażenie sin4α + cos4α, otrzymujemy
b)
Odpowiedzi
912
Zadanie 3.2.3.29 (Wróć do zadania)Odpowiedź
• 2sin2α + cos2α = (1 + tg2α)(1 + sin2α)cos2α
Wykażemy, że dla każdego kąta ostrego α zachodzi równość
2sin2α + cos2α = (1 + tg2α)(1 + sin2α)cos2α.
Przekształcamy prawą stronę równości
(1 + tg2α)(1 + sin2α)cos2α = (1 +sin2α
cos2α )(1 + sin2α)cos2α =
1
cos2α(1 + sin2α) cos2α =
1 + sin2α =
sin2α + cos2α + sin2α =
2sin2α + cos2α
• sin4α + cos4α = 1 − 2sin2α
1 + tg2α
Wykażemy, że dla każdego kąta ostrego α zachodzi równość
sin4α + cos4α = 1 − 2sin2α
1 + tg2α.
Przekształcamy prawą stronę równości
1 − 2sin2α
1 + tg2α= 1 − 2sin2α
1 +sin2α
cos2α
= 1 − 2sin2α
cos2α + sin2α
cos2α
= 1 − 2sin2α1
cos2α
= 1 − 2sin2α cos2α
Następnie przekształcamy lewą stronę równości
sin4α + cos4α = sin4α + cos4α + 2sin2α cos2α − 2sin2αcos2α =
sin4α + cos4α = sin4α + cos4α + 2sin2α cos2α − 2sin2α cos2α =
(sin2α + cos2α)2
− 2(sinαcosα)2
= 1 − 2(sinαcosα)2.Ponieważ sinαcosα =
1225 , to
sin4α + cos4α = 1 − 2(sinαcosα)2
= 1 − 2 ∙ 144625 =
337625 .
Odpowiedzi
913
= (sin2α + cos2α)2
− 2sin2α cos2α = 1 − 2sin2α cos2α.
Zatem dla każdego kąta ostrego α zachodzi równość
sin4α + cos4α = 1 − 2sin2α
1 + tg2α.
• cos8α − sin8α = (cos4α + sin4α)(cos2α − sin2α)Wykażemy, że dla każdego kąta ostrego α zachodzi równość
cos8α − sin8α = (cos4α + sin4α)(cos2α − sin2α ).
Przekształcamy lewą stronę równości, stosując odpowiedni wzór skróconego mnożenia
cos8α − sin8α = (cos4α + sin4α)(cos4α − sin4α ) =
= (cos4α + sin4α)(cos2α − sin2α)(cos2α + sin2α) =
(cos4α + sin4α)(cos2α − sin2α).
Zadanie 3.2.3.30 (Wróć do zadania)OdpowiedźPrzekształcamy prawą stronę równości
√sin4α − 2cos2α + 3 + √cos4α − 2sin2α + 3 =
√sin4α + 2sin2α + 1 + √cos4α + 2cos2α + 1 =
√(sin2α + 1)2
+ √(cos2α + 1)2
= sin2α + 1 + cos2α + 1 = 3.
Odpowiedzi
914
Trygonometria / Tożsamościtrygonometryczne / ZadaniageneratoroweZadanie 3.2.4.1 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Odpowiedzi
915
Trygonometria / Zastosowanietrygonometrii w geometrii / ZadaniaZadanie 3.3.3.1 (Wróć do zadania)Odpowiedźwysokość AD opuszczona z wierzchołka A na bok BC ma długość 2
pole trójkąta ABC jest równe 4
Zadanie 3.3.3.2 (Wróć do zadania)Odpowiedźpole trójkąta ABC jest równe 6
wysokość CD opuszczona z wierzchołka C na bok AB ma długość 2
Zadanie 3.3.3.3 (Wróć do zadania)Odpowiedźwysokość DE opuszczona z wierzchołka D na bok BC ma długość 5√3
kąt ABD ma miarę większą niż 30 °
Zadanie 3.3.3.4 (Wróć do zadania)Odpowiedź
| BD | = 12
pole trapezu ABCD jest równe 36√3
trójkąt ASD ma pole równe35√3
4
Zadanie 3.3.3.5 (Wróć do zadania)Odpowiedźkąt ABC ma miarę 4 razy większą od miary kąta ACD
Zadanie 3.3.3.6 (Wróć do zadania)Odpowiedźodległość punktu C od prostej AB jest równa 4
pole trójkąta ABC jest równe 14
Zadanie 3.3.3.7 (Wróć do zadania)Odpowiedźpole trapezu ABCD jest równe 21
dłuższe ramię trapezu ABCD jest równe 5
kąt nachylenia krótszej przekątnej tego trapezu do podstawy jest większy niż 30 °
Zadanie 3.3.3.8 (Wróć do zadania)Odpowiedź
pole trójkąta ADF stanowi3
10 pola trójkąta ABC
pole trójkąta BDE stanowi16 pola trójkąta ABC
pola trójkątów DEF i CEF są równe
Odpowiedzi
916
Zadanie 3.3.3.9 (Wróć do zadania)Odpowiedź12
Zadanie 3.3.3.10 (Wróć do zadania)Odpowiedź16
Zadanie 3.3.3.11 (Wróć do zadania)Odpowiedź120º
Zadanie 3.3.3.12 (Wróć do zadania)Odpowiedź12
Zadanie 3.3.3.13 (Wróć do zadania)Odpowiedź45 °
Zadanie 3.3.3.14 (Wróć do zadania)Odpowiedź9
Zadanie 3.3.3.15 (Wróć do zadania)Odpowiedź42
Zadanie 3.3.3.16 (Wróć do zadania)Odpowiedź24
Zadanie 3.3.3.17 (Wróć do zadania)Odpowiedź12
Zadanie 3.3.3.18 (Wróć do zadania)Odpowiedź4√2
Zadanie 3.3.3.19 (Wróć do zadania)Odpowiedź
| AC | = 3
| BC | = 3√3
PABC =9√3
2
Rozwiązanie
| AC || AB |
= sin30 °
| AC |6 =
12
Odpowiedzi
917
| AC | = 3,| BC || AB |
= cos30 °
| BC |6 = √3
2
| BC | = 3√3
PABC =12 ? 3 ? 3√3 =
9√32
Zadanie 3.3.3.20 (Wróć do zadania)Odpowiedź1
Rozwiązanie
| ?ACB | = 180 ° − ( | ?ABC | + | ?BAC | ) = 180 ° − (75 ° + 75 ° ) = 30 °
PABC =12 ? 2 ? 2 ? sin30 ° =
12 ? 2 ? 2 ?
12 = 1
Zadanie 3.3.3.21 (Wróć do zadania)Odpowiedź20√2
Rozwiązanie
Oznaczmy | ?DAB | = α, wtedy | ?ABC | = 4α. Z własności równoległoboku
α + 3α = 180 ° , więc α = 45 ° .
PABCD = | AB | ? | AD | ? sin45 ° = 5 ? 8 ? √22 = 20√2.
Zadanie 3.3.3.22 (Wróć do zadania)Odpowiedź25
RozwiązaniePole trapezu ABCD jest równe
PABCD =12 | AC | ? | BD | ? sin(?AMD),
czyli
PABCD =12 ? 10 ? 10 ? sin30 ° =
12 ? 10 ? 10 ?
12 = 25.
Zadanie 3.3.3.23 (Wróć do zadania)Odpowiedź18
RozwiązanieW trójkącie prostokątnym ADE
sin(?DAE) =| DE || AD |
,
Odpowiedzi
918
stąd2√2
| AD |= sin45 ° , czyli | AD | ? √2
2 = 2√2, zatem | AD | = 4.
Trójkąt BFG jest przystający do trójkąta AED, więc
| GB | = 4.
W trójkącie prostokątnym DGC
sin(?CDG) =| CG || DG |
.
Skąd
| CG |2√2 = sin45 ° ,
czyli
| CG | = 2√2 ? √22 ,
zatem | CG | = 2.
Trójkąt ten jest równoramienny, więc | CD | = 2.
Wobec tego
| AC | = | AD | + | DC | = 4 + 2 = 6
oraz | BC | = 6, zatem pole trójkąta ABC jest równe
PABC =12 ? 6 ? 6 = 18.
Zadanie 3.3.3.24 (Wróć do zadania)Odpowiedź24√3
Rozwiązanie
W trójkącie równoramiennym CDE mamy | CD | = 6 i | ?CED | = 120 ° .
Oznaczmy przez h1 wysokość tego trójkąta opuszczoną z wierzchołka E na bok CD. Wówczash13 = tg 30 ° , więc
h1 = 3 ? √33 = √3.
W trójkącie równoramiennym ABE mamy | AB | = 18 i | ?AEB | = 120 ° .
Oznaczmy przez h2 wysokość tego trójkąta opuszczoną z wierzchołka E na bok AB. Wówczash29 = tg 30 ° , stąd
h2 = 9 ? √33 = 3√3.
Wynika z tego, że wysokość trapezu ABCD jest równa
Odpowiedzi
919
h2 − h1 = 3√3 − √3 = 2√3,
zatem jego pole jest równe
PABCD =12 (18 + 6) ? 2√3 = 24√3.
Zadanie 3.3.3.25 (Wróć do zadania)Odpowiedź
| AC | = 5√41
RozwiązanieOznaczmy literą E – spodek wysokości opuszczonej z wierzchołka D rombu ABCD na bok AB, literą
F – spodek wysokości opuszczonej z wierzchołka C rombu ABCD na prostą AB. Wtedy trójkąty AED
oraz BFC są przystające (na mocy cechy bkb), zatem
| DE | = | CF | i | AE | = | BF | .
W trójkącie prostokątnym AED mamy
tg (?DAE) =| DE || AE |
=409 .
Oznaczmy | DE | = 40x, wtedy | AE | = 9x. Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy
(412 )
2= (40x)
2+ (9x)
2,
stąd 1681x2 =1681
4 . Ponieważ x > 0, to x =12 . Stąd
| AE | =92 , | DE | = 20.
Wobec tego w trójkącie prostokątnym AFC
| AF | = | AB | + | BF | = 25 , | CF | = 20.
Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy
| AC |2
= | AF |2
+ | CF |2
| AC |2
= 252 + 202.
Ponieważ | AC | > 0, to
| AC | = √1025 = 5√41.
Zadanie 3.3.3.26 (Wróć do zadania)Odpowiedź
| AC | = 15, | BC | = 8, pole koła wpisanego jest równe 9π.
RozwiązaniePonieważ
Odpowiedzi
920
tg(?ABC) = 1,875,
to| AC || BC |
= 1,875 =158 .
Oznaczmy | AC | = 15x, wtedy | BC | = 8x. W trójkącie ABC, z twierdzenia Pitagorasa mamy
172 = (15x)2
+ (8x)2,
stąd 289x2 = 289. Ponieważ x > 0, to x = 1.
Zatem
| AC | = 15, | BC | = 8.
Ponieważ trójkąt ABC jest prostokątny, to promień r koła wpisanego w ten trójkąt, jest równy
r =| AC | + | BC | − | AB |
2 ,
skąd
r =15 + 8 − 17
2 = 3.
Wobec tego pole koła wpisanego w trójkąt ABC jest równe π ? 32, czyli 9π.
Zadanie 3.3.3.27 (Wróć do zadania)Rozwiązanie
Oznaczmy | ?BAC | = α, | AD | = 5a i | AE | = 3b.
Wtedy | DB | = 4a, skąd | AB | = 9a oraz | EC | = 2b, zatem
| AC | = 5b
Pola trójkątów ABC i ADE są wówczas równe
PABC =12 ? | AB | ? | AC | ? sinα,
czyli
PABC =12 ? 9a ? 5b ? sinα,
PADE =12 ? | AD | ? | AE | ? sinα, czyli
PADE =12 ? 5a ? 3b ? sinα.
Zatem
PABCPADE
=
12
? 9a ? 5b ? sinα
12
? 5a ? 3b ? sinα= 3.
Odpowiedzi
921
To spostrzeżenie kończy dowód.
Odpowiedzi
922
Liczby / Liczby naturalne, całkowite,wymierne / ZadaniaZadanie 4.1.2.1 (Wróć do zadania)Odpowiedź
• liczby naturalne: 7, (15 )
−1, √9, 0.
• liczby, które nie są liczbami naturalnymi: −4,32 , √3, 4√5 − √5.
Zadanie 4.1.2.2 (Wróć do zadania)Odpowiedź
• liczby całkowite: − 4, 7, (15 )
−1, √9, 0,
123 .
• liczby, które nie są liczbami całkowitymi:32 , √3, 16−1.
Zadanie 4.1.2.3 (Wróć do zadania)Odpowiedź
• liczby wymierne: − 4, 16−1,32 , (1
5 )−1
, 7, √9, 0,123 .
• liczby, które nie są liczbami wymiernymi (niewymierne): √3, 4√5 − √5, π.
Zadanie 4.1.2.4 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 4.1.2.5 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Wynikiem działania12 − 1
4 − 18 − 1
16 jest liczba1
16 .
Wynikiem dzielenia 312 : 2
34 jest liczba 1
311 .
Zadanie 4.1.2.6 (Wróć do zadania)OdpowiedźIloczyn liczb 2,35 i 0,4 jest równy 0,94.
Wynikiem działania0,92 + 0,490,3 ∙ 0,1 jest liczba 47.
Zadanie 4.1.2.7 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Liczba 137 jest odwrotna do liczby
710 .
Taka liczba to np. −2.a)
Taka liczba to np. − 12 .b)
Nie. Każdą liczbę naturalną można przedstawić w postaci ułamka zwykłego, np.
4 =41 =
82 =
−8−2 = …
c)
Nie. Każda liczba naturalna jest całkowita.d)
Odpowiedzi
923
Liczbą przeciwną do1120 jest liczba ( − 0,55).
Każda liczba rzeczywista ma liczbę do siebie przeciwną.
Liczbą odwrotną do liczby 225 jest liczba przeciwna do liczby − 5
12 .
Zadanie 4.1.2.8 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Liczba 0, (36) leży pomiędzy liczbami9
25 i37
100 .
Podwojonym iloczynem liczb 235 i − 1
2 jest −2,6.
Zadanie 4.1.2.9 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Wynik działania2,75 − 1
12
: (−3,375)
5 − 249
jest liczbą większą od 1.
Zadanie 4.1.2.10 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Ułamek 0, (27) jest równy3
11 .
Liczba 3, (6) jest wymierna.
Suma liczb 0, (4) + 0, (18) jest równa 0, (62).
Zadanie 4.1.2.11 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Dwudziesta pierwsza cyfra po przecinku w rozwinięciu dziesiętnym liczby 0, (725) jest równa 5.
Zadanie 4.1.2.12 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Największą liczbą, przez jaką można skrócić licznik i mianownik ułamka23762592 jest 216.
Ułamek13263913 jest ułamkiem skracalnym.
Ułamek520
1041 jest ułamkiem nieskracalnym.
Zadanie 4.1.2.13 (Wróć do zadania)Odpowiedź
o57
Zadanie 4.1.2.14 (Wróć do zadania)Odpowiedź2,1875
Zadanie 4.1.2.15 (Wróć do zadania)Odpowiedź1635
Zadanie 4.1.2.16 (Wróć do zadania)Odpowiedź525
Odpowiedzi
924
Zadanie 4.1.2.17 (Wróć do zadania)Odpowiedźab
Zadanie 4.1.2.18 (Wróć do zadania)Odpowiedź
38440320 =
1105
Zadanie 4.1.2.19 (Wróć do zadania)Odpowiedź
0,02(27)
Zadanie 4.1.2.20 (Wróć do zadania)Odpowiedź
xy = 1335
Zadanie 4.1.2.21 (Wróć do zadania)Odpowiedźxy = 3
Zadanie 4.1.2.22 (Wróć do zadania)Odpowiedź
0, (428571)
Zadanie 4.1.2.23 (Wróć do zadania)Odpowiedź
0, (552)
Zadanie 4.1.2.24 (Wróć do zadania)Odpowiedź14
Zadanie 4.1.2.25 (Wróć do zadania)Odpowiedź
x + y =14980
x − y = − 980
xy =553640
yx =
7970
Zadanie 4.1.2.26 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 4.1.2.27 (Wróć do zadania)Odpowiedź
(14 )
2+ (1
8 )2
=1
16 +1
64 =5
64 = 0,078125
111 = 0, (09)a)
12 +
13 +
15 =
3130 = 1,0(3)b)
Odpowiedzi
925
RozwiązanieJednocyfrowe liczby całkowite, dodatnie, podzielne przez 4 to 4 i 8. Suma kwadratów odwrotności
tych liczb jest równa
(14 )
2+ (1
8 )2
=1
16 +1
64 =5
64 = 0,078125.
Zadanie 4.1.2.28 (Wróć do zadania)Odpowiedź1,8625
−0,1125
0,8640625
Zadanie 4.1.2.29 (Wróć do zadania)OdpowiedźPo wykonaniu działań otrzymamy
a =12 +
32 + 4 +
52 + 4 + 6 =
1712
b =23 +
43 + 5 +
63 + 5 + 7 =
4730 .
Zatem
12b − 1
5a =12 ∙ 47
30 − 15 ∙ 17
12 =3060 =
12 .
Zadanie 4.1.2.30 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 4.1.2.31 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 4.1.2.32 (Wróć do zadania)Odpowiedź
421
a)
4136
b)
2713
c)
857
d)
0, (36) <5
11a)
516 >
417
b)
2, (9) = 3c)
2, (3) +1
11 < 2 ∙ 1, (27)d)
6,7(2)a)
Odpowiedzi
926
Zadanie 4.1.2.33 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 4.1.2.34 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 4.1.2.35 (Wróć do zadania)Odpowiedź
RozwiązanieTą liczbą jest średnia arytmetyczna liczb x i y.
Zadanie 4.1.2.36 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 4.1.2.37 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Są tylko dwa takie ułamki37 i
38
0, (8)b)
− 125154
a)
1132
b)
299
c)
− 3714
d)
0,8(3)a)
2,291(6)b)
0,1(86)c)
−6,875d)
125312
a)
5,3(48)b)
1a
+1b
2 =
a + bab2 =
a + b2ab
c)
np.135112
a)
np.6518 = 3
1118
b)
np. −57
24c)
Odpowiedzi
927
Zadanie 4.1.2.38 (Wróć do zadania)OdpowiedźDodatnie liczby całkowite a i b muszą spełniać warunki: a ≥ 5 i b ≥ 5 i a ∙ b < 44.
Jest 10 takich par: { a = 5
b = 5, { a = 5
b = 6, { a = 5
b = 7, { a = 5
b = 8,{ a = 6
b = 5, { a = 6
b = 6, { a = 6
b = 7, { a = 7
b = 5, { a = 7
b = 6,
{ a = 8
b = 5.
Rozwiązanie
Rozważmy nierówność37 <
a11 . Wspólnym mianownikiem obu ułamków jest 77. Otrzymujemy nie-
równość3377 <
7a77 , czyli 33 < 7a, stąd a >
337 . Ponieważ a jest liczbą dodatnią i całkowitą, zatem
otrzymujemy a ≥ 5.
Przeprowadź podobne rozumowanie dla pozostałych dwóch nierówności, aby dowiedzieć się, ja-
kie warunki spełnia b oraz a ∙ b.
Zadanie 4.1.2.39 (Wróć do zadania)Odpowiedź9
20
Zadanie 4.1.2.40 (Wróć do zadania)OdpowiedźUłamek jest skracalny na przykład dla:
• n = 3 ułamek jest równy7
14 , a po skróceniu12
• n = 10 ułamek jest równy2135 , a po skróceniu
35
• n = 17 ułamek jest równy3556 , a po skróceniu
58
W każdym przypadku ułamek można skrócić przez 7.
Zadanie 4.1.2.41 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zauważymy, że (2a + 1) − 2a = 1. Zatem dla dowolnej liczby naturalnej a ułamek jest nieskracalny.
Zadanie 4.1.2.42 (Wróć do zadania)OdpowiedźZauważmy, że
3 ∙ (7n + 11) − 7 ∙ (3n + 4) = 5,
więc dla ustalonej liczby naturalnej n wspólny dzielnik liczb 7n + 11 i 3n + 4 jest dzielnikiem liczby
5. Wynika z tego, że nie istnieje taka liczba naturalna n, dla której ułamek7n + 113n + 4 można skrócić
przez liczbę większą niż 5.
Ułamek jest skracalny np.
• dla n = 2 otrzymujemy ułamek2510 , a po skróceniu
52
• dla n = 7 otrzymujemy ułamek6025 , a po skróceniu
125
Odpowiedzi
928
• dla n = 12 otrzymujemy ułamek954 , a po skróceniu
198
W każdym przypadku ułamek został skrócony przez 5.
Odpowiedzi
929
Liczby / Procenty / ZadaniaZadanie 4.2.2.1 (Wróć do zadania)Odpowiedź45% liczby z jest równe 15. Wtedy z > 33.
Zadanie 4.2.2.2 (Wróć do zadania)OdpowiedźLiczba o 20% większa od 120 jest równa 144.
Zadanie 4.2.2.3 (Wróć do zadania)OdpowiedźCenę książki obniżono o 20%. Jeśli sprzedawca chciałby sprzedawać ją po takiej cenie jak przed
obniżką, to powinien podwyższyć nową cenę o 25%.
Cenę telewizora obniżono o 15% i teraz kosztuje 1519,8 zł. Z tego wynika, że przed obniżką tele-
wizor kosztował 1788 zł.
Zadanie 4.2.2.4 (Wróć do zadania)OdpowiedźKażdy z boków pierwszego trójkąta jest o 30% krótszy od odpowiedniego boku drugiego trójkąta.
Z tego wynika, że obwód pierwszego trójkąta jest o 30% mniejszy od obwodu drugiego trójkąta.
Zadanie 4.2.2.5 (Wróć do zadania)OdpowiedźRysy są niższe od Gerlacha o mniej niż 5,88%.
Zadanie 4.2.2.6 (Wróć do zadania)OdpowiedźW klasie Ia dziewczęta stanowią 60% wszystkich uczniów, a jednocześnie jest ich o 4 więcej niż
chłopców. Wynika z tego, że w tej klasie jest 20 uczniów.
Zadanie 4.2.2.7 (Wróć do zadania)OdpowiedźJeżeli oprocentowanie lokaty wynosiło 10% i zostało zwiększone o 20%, to znaczy, że zwiększyło
się o 2 punkty procentowe.
Zadanie 4.2.2.8 (Wróć do zadania)Odpowiedź34
Zadanie 4.2.2.9 (Wróć do zadania)Odpowiedź68,75%
Zadanie 4.2.2.10 (Wróć do zadania)Odpowiedź
33, (3)%
Zadanie 4.2.2.11 (Wróć do zadania)Odpowiedź125% liczby gruszek
Odpowiedzi
930
Zadanie 4.2.2.12 (Wróć do zadania)Odpowiedźjest mniejsze o 4% od pola trójkąta ABC
Zadanie 4.2.2.13 (Wróć do zadania)Odpowiedź1456 zł
Zadanie 4.2.2.14 (Wróć do zadania)Odpowiedź75 litrów
Zadanie 4.2.2.15 (Wróć do zadania)Odpowiedźo 20%
Zadanie 4.2.2.16 (Wróć do zadania)Odpowiedź80%
Zadanie 4.2.2.17 (Wróć do zadania)Odpowiedźo 1,35 zł
Zadanie 4.2.2.18 (Wróć do zadania)OdpowiedźWymienione liczby są równe.
Zadanie 4.2.2.19 (Wróć do zadania)Odpowiedź18%
Zadanie 4.2.2.20 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 4.2.2.21 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 4.2.2.22 (Wróć do zadania)Odpowiedźo 12%
12,5%a)
62,5%b)
ok. 17,9%c)
1353 zła)
3089,43 złb)
ok. 81%c)
123%d)
Odpowiedzi
931
Zadanie 4.2.2.23 (Wróć do zadania)Odpowiedźo około 23,4%
Zadanie 4.2.2.24 (Wróć do zadania)OdpowiedźCena netto laptopa jest równa 929 zł. Stawka podatku VAT na sprzęt elektroniczny wynosi 23%.
Markowi wystarczy 1200 zł na zakup tego laptopa.
Zadanie 4.2.2.25 (Wróć do zadania)OdpowiedźW rocznym rozliczeniu podatkowym pan Jacek wykazał, że podstawa naliczenia podatku PIT w
2013 roku, od jego dochodów wynosiła 58 625 zł. Podatek, który zapłaci za ten rok to 9 996,48 zł.
Zadanie 4.2.2.26 (Wróć do zadania)Odpowiedź
(19 011 + 13 730) − 31 878 = 863 (zł).
Zadanie 4.2.2.27 (Wróć do zadania)OdpowiedźPodatek Doroty wynosi 27 630 zł.
Zadanie 4.2.2.28 (Wróć do zadania)OdpowiedźNie, zapłacony podatek wyniesie 22 440 zł.
Zadanie 4.2.2.29 (Wróć do zadania)Odpowiedź6 kg
Zadanie 4.2.2.30 (Wróć do zadania)OdpowiedźBez rabatu 1 kg cukru kosztuje 4 zł.
Zadanie 4.2.2.31 (Wróć do zadania)OdpowiedźNa koniec marca benzyna kosztowała około 5,26 zł.
Zadanie 4.2.2.32 (Wróć do zadania)OdpowiedźDziewczęta stanowią około 37% uczniów w klasie.
Marta zapłaci 19 011 zł, a Jan - 13 730 zł.a)
Jeśli rozliczą się wspólnie, podatek wyniesie łącznie 31 878 zł, czyli zaoszczędząb)
Odpowiedzi
932
Liczby / Procenty / Zadania generatoroweZadanie 4.2.3.1 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 4.2.3.2 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Odpowiedzi
933
Liczby / Potęgi, pierwiastki, notacjawykładnicza / ZadaniaZadanie 4.3.2.1 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Liczba 3−6 jest równa1
729 .
Liczba (−4)2
jest równa 16.
Zadanie 4.3.2.2 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Liczba (√7)12
jest równa 76.
Zadanie 4.3.2.3 (Wróć do zadania)Odpowiedź
2−1 + 3−1 + 5−1
Zadanie 4.3.2.4 (Wróć do zadania)Odpowiedź14
Zadanie 4.3.2.5 (Wróć do zadania)Odpowiedź
3,45 ∙ 10−11
Zadanie 4.3.2.6 (Wróć do zadania)Odpowiedź
2298
Zadanie 4.3.2.7 (Wróć do zadania)Odpowiedź
4101
Zadanie 4.3.2.8 (Wróć do zadania)Odpowiedźxy ∙ z = 618
Zadanie 4.3.2.9 (Wróć do zadania)Odpowiedź
15625a)
−15625b)
115625
c)
− 115625
d)
15625e)
Odpowiedzi
934
Zadanie 4.3.2.10 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 4.3.2.11 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 4.3.2.12 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 4.3.2.13 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 4.3.2.14 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Liczba216 ∙ 423
810 jest równa 168.
Liczba 328 jest równa 2565.
Zadanie 4.3.2.15 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Liczba 25 ∙ 55 jest równa 100000.
115625
f)
(32 )
2=
94
a)
(25 )
−2=
254
b)
−1c)
(45 )
−6d)
(125 )
5e)
2−4a)
22014b)
214c)
24d)
72 ∙ 50 = 2450a)
11 ∙ (−120) = − 1320b)
49
c)
a−8a)
a−1b)
a0c)
Odpowiedzi
935
Ułamek363
36 jest równy 64.
Równość3 ∙ 52013 + 52014
52013 ∙ 23 = 1 jest prawdziwa.
Zadanie 4.3.2.16 (Wróć do zadania)OdpowiedźPrawdziwa jest nierówność a < b .
Zadanie 4.3.2.17 (Wróć do zadania)OdpowiedźPrawdziwa jest nierówność m > n .
Zadanie 4.3.2.19 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Iloczynem liczb 5,6 ∙ 1015 i 3,5 ∙ 10−7 jest liczba 1,96 ∙ 109.
Odpowiedzi
936
Liczby / Potęgi, pierwiastki, notacjawykładnicza / Zadania. Część IZadanie 4.3.4.1 (Wróć do zadania)OdpowiedźLiczba √289 jest równa 17.
Zadanie 4.3.4.2 (Wróć do zadania)OdpowiedźLiczba √2 ∙ √32 jest równa 8.
Liczba3√36 ∙ 3√6 jest liczbą całkowitą.
Zadanie 4.3.4.3 (Wróć do zadania)OdpowiedźLiczba √1575 jest równa 15√7.
Liczba 3√5 jest równa √45.
Zadanie 4.3.4.4 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Liczba1
√3 jest równa √33 .
Liczba7
√7 jest równa √7.
Liczba3
4√2 jest równa38√2.
Zadanie 4.3.4.5 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Liczba ( 5
√2 )−3
jest mniejsza od 1.
Liczba ((−2√5)−1)
−2jest liczbą dodatnią.
Zadanie 4.3.4.6 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Wynikiem dodawania 2999 + 2999 jest 21000.
Zadanie 4.3.4.7 (Wróć do zadania)Odpowiedźnaturalna
Zadanie 4.3.4.8 (Wróć do zadania)Odpowiedź
32
Zadanie 4.3.4.9 (Wróć do zadania)Odpowiedź
24
Odpowiedzi
937
Zadanie 4.3.4.10 (Wróć do zadania)Odpowiedź
z =xy
Zadanie 4.3.4.11 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 4.3.4.12 (Wróć do zadania)Odpowiedź
x = 224 , y = 212 zatem, x = 224 = (212)2
= y2.
Zadanie 4.3.4.13 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Lewa strona nierówności jest równa(3−2)
3∙ 32
27−2 = 32.
Prawa strona nierówności jest równa (√33√27)
−1= 3−1, czyli nierówność 32 > 3−1 jest prawdziwa.
16√5a)
13√2b)
10√2c)
−23√4d)
Odpowiedzi
938
Liczby / Potęgi, pierwiastki, notacjawykładnicza / Zadania. Część IIZadanie 4.3.5.1 (Wróć do zadania)Odpowiedź
LICZBY DODATNIE: 35 , (−2)4, (1
2 )−2
, (− 12 )
−2, 24, 2−4, 3−5
LICZBY UJEMNE:
−24, −35 , −(12 )
−2, (− 1
3 )3, (− 1
3 )−3
, −(13 )
3, (−3)
5
Zadanie 4.3.5.2 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 4.3.5.4 (Wróć do zadania)OdpowiedźI-C, II-A, III-E, IV-B.
Zadanie 4.3.5.5 (Wróć do zadania)OdpowiedźI-F, II-B, III-E, IV-D, V-G, VI-C, VII-A
Zadanie 4.3.5.6 (Wróć do zadania)OdpowiedźI-B, II-C, III-A, V-D
532010 < 532014a)
(−3)76
< (−3)80b)
−376 > − 380c)
(14 )
5> (1
4 )10d)
(− 23 )
8= (2
3 )8e)
(√22 )
10> (√2
2 )15f)
(√22 )
−7< (√2
2 )−10g)
(√2 + 2)20
< (√2 + 2)60h)
(√2 − 2)20
> (√2 − 2)60i)
(67 )
4= (7
6 )−4j)
Odpowiedzi
939
Zadanie 4.3.5.7 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zapis dziesiętny Notacja wykładnicza
1350000000000000 1, 35 ∙ 1015
13500000000000 1, 35 ∙ 1013
136000000000000 1, 36 ∙ 1014
0, 0000000000000135 1, 35 ∙ 10−14
0, 00000000000135 1, 35 ∙ 10−12
0, 00000000000136 1, 36 ∙ 10−12
Zadanie 4.3.5.8 (Wróć do zadania)Odpowiedź
7,42 ∙ 1021a)
1,28 ∙ 1042b)
3,44 ∙ 10−29c)
2 ∙ 10−7d)
6 ∙ 104e)
Odpowiedzi
940
Liczby / Wyrażenia algebraiczne /ZadaniaZadanie 4.4.2.1 (Wróć do zadania)OdpowiedźIloczyn 8 ∙ 1256 jest równy 8000 + 1600 + 400 + 48.
Zadanie 4.4.2.2 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Jeżeli a =12x(5x − 8) oraz b =
52x2 − 4x, to a = b.
Dla dowolnej liczby x zachodzi równość (x − 2)(x + 1) = x2 − x − 2.
Wyrażenie 2x(3 − 5x) + 10(x2 − x + 4) jest równe 4(10 − x).
Zadanie 4.4.2.3 (Wróć do zadania)OdpowiedźJeśli a > 3, to pole równoległoboku przedstawionego na rysunku jest równe
a2 + a − 12.
Zadanie 4.4.2.4 (Wróć do zadania)OdpowiedźŻadna z odpowiedzi nie jest poprawna.
Zadanie 4.4.2.5 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Liczba √2(√8 + √32) jest całkowita.
Liczba (√2 + 2√3)(√3 − √2) − 1 jest dodatnia.
Zadanie 4.4.2.6 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Liczba 35 + 7√3 jest równa 7(5 + √3).
Dla dowolnych liczb x i y wyrażenie 5x3y − 10xy2 jest równe 5xy(x2 − 2y).Dla dowolnych liczb x i y wyrażenie x(y − 4) + 5(y − 4) jest równe (y − 4)(x + 5).
Odpowiedzi
941
Zadanie 4.4.2.7 (Wróć do zadania)Odpowiedź
dla x = − 12 wartość wyrażenia W jest równa ( − 7
14 )
istnieje taka liczba x, dla której wartość wyrażenia W jest równa 0
Zadanie 4.4.2.8 (Wróć do zadania)Odpowiedź
b = d − 12c
a − b = c − d
Zadanie 4.4.2.9 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Jeżeli dodatnie liczby x, y, z spełniają zależność (z + y)x = 1, to x =1
z + y .
Odpowiedzi
942
Liczby / Wyrażenia algebraiczne /Zadania, zadania generatoroweZadanie 4.4.4.1 (Wróć do zadania)Odpowiedź
RozwiązanieDo takich obliczeń możemy wykorzystać wzory skróconego mnożenia
Zadanie 4.4.4.2 (Wróć do zadania)Odpowiedź
(a + 5)2
= a2 + 10a + 25
(x + 3√2)2
= x2 + 6x√2 + 18
(12x − 3
2 )2
=14x2 − 3
2x +94
2(x − 4)(x + 4) + 32 = 2x2
Zadanie 4.4.4.3 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Rozwiązanie
43681a)
88209b)
39991c)
2092 = (200 + 9)2
= 40000 + 3600 + 81 = 43681a)
2972 = (300 − 3)2
= 90000 − 1800 + 9 = 88209b)
203 ∙ 197 = (200 + 3)(200 − 3) = 40000 − 9 = 39991c)
(√2 + 3)2
= 11 + 6√2a)
(3 − √5)2
= 14 − 6√5b)
(3√2 + 2√3)2
= 30 + 12√6c)
(12√2 − 1
3√3)2
=56 − 1
3√6d)
(√2 + 3)2
= (√2)2
+ 2 ∙ 3 ∙ √2 + 32 = 11 + 6√2a)
(3 − √5)2
= 32 − 2 ∙ 3 ∙ √5 + (√5)2
= 14 − 6√5b)
(3√2 + 2√3)2
= (3√2)2
+ 2 ∙ 3√2 ∙ 2√3 + (2√3)2
= 18 + 12√6 + 12 = 30 + 12√6c)
Odpowiedzi
943
Zadanie 4.4.4.4 (Wróć do zadania)Odpowiedź−12√2
Zadanie 4.4.4.5 (Wróć do zadania)Odpowiedź12
Zadanie 4.4.4.6 (Wróć do zadania)Odpowiedź
6x4 + 10x2 − 24
Zadanie 4.4.4.7 (Wróć do zadania)Odpowiedź
−3(a − 2b)(a + b)
Zadanie 4.4.4.8 (Wróć do zadania)Odpowiedź12a2b = 9x2 − 12x + 4
Zadanie 4.4.4.9 (Wróć do zadania)Odpowiedź
ab − a2
Zadanie 4.4.4.10 (Wróć do zadania)Odpowiedź
4a2 + 22a + 24
Zadanie 4.4.4.11 (Wróć do zadania)Odpowiedź
(1 − √5x)(1 + √5x)
Zadanie 4.4.4.12 (Wróć do zadania)Odpowiedź308
Zadanie 4.4.4.13 (Wróć do zadania)Odpowiedź15 + 10√2
Zadanie 4.4.4.14 (Wróć do zadania)Odpowiedź
(12√2 − 1
3√3)2
= (12√2)
2− 2 ∙ 1
2√2 ∙ 13√3 + (1
3√3)2
=12 − 1
3√6 +13 =
56 − 1
3√6d)
623a)
1218b)
3176c)
Odpowiedzi
944
Zadanie 4.4.4.15 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 4.4.4.16 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 4.4.4.17 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 4.4.4.18 (Wróć do zadania)Odpowiedź
0a)
4003b)
−54x2 − 12x + 2a)
−2x3 − 3x2 + 8x + 12b)
x2z2 + y3z + x2yz + xyz + x3z + y4 + xy3 + xy2 + x2yc)
5y2 − 7y3 − 12d)
12x2 − 7
9x − 49
e)
6x3 − 8x2 − 10x + 4f)
4y5 + 4y4 − 10y3 + 3y2 + 9y − 10g)
5√2x2 + 4x√6x − 3√2h)
3√3a2 − 21a + 12√3i)
6x2 + x√6 − 2j)
2ab(2b2 − a + 3)a)
xy(2x2 + 18xy + 9y2)b)
−2x(x − 3)(x − 1)(3x + 2)c)
6a(a − 1)(a + 5)d)
2(x − 1)(x + 3)(3x + 8)e)
xy(xy + x2 + 3)f)
(x + z)(xz + xy + 3)g)
6x2 − 11x. Dla x = 2√3 wartość wyrażenia wynosi 72 − 22√3a)
−10x + 3. Dla x =12 + √2 wartość wyrażenia wynosi −2 − 10√2b)
6x3 + 4x. Dla x =3√5 wartość wyrażenia wynosi 30 + 4
3√5c)
Odpowiedzi
945
Zadanie 4.4.4.19 (Wróć do zadania)Odpowiedźa − I
b − II
c − III
d − IV
e − V
f − VI
Element g pozostaje bez przypisanej figury.
Zadanie 4.4.4.20 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Różnica pól prostokątów jest równa (a + 5 + 3) ∙ (2a + 5 − 4) − (a + 5) ∙ (2a + 5) = 2a − 17.
Zadanie 4.4.4.21 (Wróć do zadania)Odpowiedź
P = 2((y + 4)(z + 6) + (y + 4)(x + z) + (x + z)(z + 6) = 2z2 + 4yz + 2xz + 28z + 2xy + 12y + 20x + 48
Zadanie 4.4.4.22 (Wróć do zadania)Odpowiedź
√3 − 12√3 + 4 = √3 − 1
2√3 + 4 ∙ 2√3 − 42√3 − 4 =
−6√3 + 10−4 =
−6(√3 − 1) + 4
−4 =3(√3 − 1)
2 − 1
RozwiązanieDla udowodnienia tej równości możemy usunąć niewymierność z mianownika.
Zadanie 4.4.4.23 (Wróć do zadania)OdpowiedźI-E, II-F, III-D, IV-C, V-A, VI-B
Zadanie 4.4.4.24 (Wróć do zadania)OdpowiedźPoprawnie uzupełniona tabela.
−13x2 + 14x − 4 . Dla x = − 3√5 wartość wyrażenia wynosi −589 − 42√5d)
2x4 + 4x2 − 53. Dla x = 3√10 wartość wyrażenia wynosi 16507e)
12x2 − 92 . Dla x = 1 + 2√2 wartość wyrażenia wynosi 16 + 48√2f)
Odpowiedzi
946
Nazwa wyrażenia Zapis symboliczny wyrażenia
kwadrat sumy dwóch wyrażeń (p + q)2
suma kwadratów dwóch wyrażeń p2 + q2
suma odwrotności dwóch wyrażeń 1p +
1q
odwrotność sumy dwóch wyrażeń 1p + q
różnica kwadratów dwóch wyrażeń p2 − q2
kwadrat różnicy dwóch wyrażeń (p − q)2
podwojony iloczyn dwóch wyrażeń 2pq
potrojony kwadrat sumy dwóch wyrażeń 3(p + q)2
potrojona suma kwadratów dwóch wyrażeń 3(p2 + q2)
odwrotność różnicy kwadratów dwóch wyrażeń 1
p2 − q2
odwrotność kwadratu różnicy dwóch wyrażeń1
(p − q)2
suma kwadratów odwrotności dwóch wyrażeń 1
p2 +1
q2
Zadanie 4.4.4.25 (Wróć do zadania)OdpowiedźI-E, II-F, III-A, IV-D, V-B, VI-C.
Zadanie 4.4.4.26 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 4.4.4.27 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 4.4.4.28 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Odpowiedzi
947
Liczby / Potęga o wykładniku wymiernym/ Potęga o wykładniku wymiernymZadanie 4.5.1.1 (Wróć do zadania)OdpowiedźI-E, II-F, III-G, IV-A, V-B, VI-J, VII-C, VIII-H, IX-D
Odpowiedzi
948
Liczby / Potęga o wykładniku wymiernym/ ZadaniaZadanie 4.5.2.1 (Wróć do zadania)Odpowiedź
√27 = 332
√115 = 1152
4√63 = 634
(3√5)5
= 553
(3√6)4
= 643
5√81 = 345
4√125 = 534
(6√11)5
= 1156
5√121 = 1125
√0, 1 = 10−
12
3√0, 04 = 5−
23
3√6−4 = 6−
43
1165, 5
35, 3
54 , 6
−34, 4
23
Zadanie 4.5.2.2 (Wróć do zadania)Odpowiedź
√243 = √35 = 352
a)
94√3 = 32 ∙ 3
14 = 3
2 +14 = 3
94
b)
33√3 = 3 ∙ 3
13 = 3
43
c)
√35
9 =3
52
32 = 352
− 2= 3
12
d)
√√3 = √312 = (3
12)
12
= 314
e)
Odpowiedzi
949
Zadanie 4.5.2.3 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 4.5.2.4 (Wróć do zadania)Odpowiedź
x = 23√4 = 2
3√22 = 21 ∙ 223 = 2
53
.
Ponieważ53 <
73 to 2
53 < 2
73, czyli liczba 2
53 spełnia nierówność x < 2
73.
Zadanie 4.5.2.5 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 4.5.2.6 (Wróć do zadania)Odpowiedź
2 ∙ 51110
Zadanie 4.5.2.7 (Wróć do zadania)Odpowiedźx = y
Zadanie 4.5.2.8 (Wróć do zadania)Odpowiedź4√0,25
Zadanie 4.5.2.9 (Wróć do zadania)Odpowiedź
x > 21
12
Zadanie 4.5.2.10 (Wróć do zadania)Odpowiedźc < b < a
3√3√3 =3√3 ∙ 3
12 = (3 ∙ 3
12)
13
= 332
∙13 = 3
12
f)
3√9 ∙ √27 =3√32 ∙ √33 = 3
23 ∙ 3
32 = 3
23
+32 = 3
136
a)
4√0,2 ∙ 3√25 =4√5−1 ∙
3√52 = 5−
14 ∙ 5
23 = 5
−14
+23 = 5
512
b)
√125 ∙ 4√125 = √53 ∙4√53 = 5
32 ∙ 5
34 = 5
94
c)
8√2 ∙ 43√2 = 23 ∙ 2
12 ∙ 22 ∙ 2
13 = 2
3 +12
+ 2 +13 = 2
356
d)
5−
34, 5
−23, 5
−15, 5
15, 5
23, 5
34
a)
(0, 3)58, (0, 3)
37, (0, 3)
13, (0, 3)
−12, (0, 3)
−56(0, 3)
−3b)
3√4,4√32 ,
3√16, √8,4√128,
3√256c)
Odpowiedzi
950
Zadanie 4.5.2.11 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 4.5.2.13 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 4.5.2.14 (Wróć do zadania)Odpowiedź
634
a)
673
b)
632
c)
6−
13
d)
3−3a)
23b)
613
c)
25,5d)
31
20e)
34f)
21,5g)
5−
12
h)
2149
6i)
x14
a)
x2312
b)
x−3c)
x−2,5d)
x14
e)
x−
112
f)
x−
13
g)
Odpowiedzi
951
Zadanie 4.5.2.16 (Wróć do zadania)Odpowiedź
18a)
2b)
−72c)
22d)
8 − 2√13e)
Odpowiedzi
952
Liczby / Nierówności, przedziały,odległość / Przedziały liczbowe.Przedziały jako zbioryZadanie 4.6.2.1 (Wróć do zadania)Odpowiedź
a)
b)
Odpowiedzi
953
c)
d)
Odpowiedzi
954
Liczby / Nierówności, przedziały,odległość / Wartość bezwzględna -definicjaZadanie 4.6.3.1 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Odpowiedzi
955
Zadanie 4.6.3.2 (Wróć do zadania)OdpowiedźI-G, II-A, III-F, IV-D, V-C, VI-B, VII-E
Zadanie 4.6.3.3 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Odpowiedzi
956
Liczby / Nierówności, przedziały,odległość / ZadaniaZadanie 4.6.4.1 (Wróć do zadania)Odpowiedź
(−3,3)
Zadanie 4.6.4.2 (Wróć do zadania)Odpowiedź1 oraz 9
Zadanie 4.6.4.3 (Wróć do zadania)Odpowiedź
?−10,2?
Zadanie 4.6.4.5 (Wróć do zadania)Odpowiedź
(35 ,
53 )
Zadanie 4.6.4.6 (Wróć do zadania)Odpowiedź
?1,32?
Zadanie 4.6.4.7 (Wróć do zadania)Odpowiedź2x − 3 ≥ x + 6
Zadanie 4.6.4.8 (Wróć do zadania)Odpowiedź
? − 12 , ∞)
Zadanie 4.6.4.9 (Wróć do zadania)Odpowiedź
(2,3)
Zadanie 4.6.4.10 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Odpowiedzi
957
Zadanie 4.6.4.11 (Wróć do zadania)Odpowiedź5
Zadanie 4.6.4.12 (Wróć do zadania)Odpowiedź
(312 , 4)
Zadanie 4.6.4.13 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 4.6.4.14 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 4.6.4.15 (Wróć do zadania)Odpowiedź
x ≥ − 16√315
a)
x >13√5
15b)
x > − √22
c)
x ≥ − √6 + 2√32
d)
x ≥ −5(√21 + √7)
7e)
x >9(8√3 + 6√2)
20f)
x < − 4724
a)
x > 0b)
x < − 75
c)
x < − 4733
d)
x < 4e)
x ≥ 6527
f)
? √13, + ∞)a)
( − ∞, 2√2)b)
? 1 + √3, + ∞)c)
? −7, 8 ?d)
( − ∞, −3 ? ? (5, + ∞)e)
? −4, 10)f)
Odpowiedzi
958
Zadanie 4.6.4.16 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 4.6.4.17 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 4.6.4.18 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 4.6.4.19 (Wróć do zadania)Odpowiedź
−1, 0, 1a)
0, 1, 2, 3, 4, 5b)
nie istnieje taka liczbac)
−4, − 3d)
42 < x < 43a)
−126 ≤ x ≤ − 116b)
−215 < x ≤ 210c)
5 − √6 ≤ x ≤ 5 − √2d)
x < 518e)
x ≥ − √7f)
x < 5 lub x ≥ 9g)
x = 4 lub x = 16a)
x = − 66 lub x = − 44b)
x =16 lub x =
56
c)
x = − 9 lub x = − 212
d)
x =12 lub x = 7
12
e)
x = − 113 lub x = 4
23
f)
x = − 2 lub x = 10g)
x = − 578 lub x = − 4
18
h)
x = √2 − √3 lub x = √2 + √3i)
x = − 6,25 ∙ 1015 lub x = 6,25 ∙ 1015a)
x = 29 lub x = 3 ∙ 29b)
x = 0,8 ∙ 10−15 lub x = − 7,2 ∙ 10−15c)
x = 4, (32) lub x = 0, (32)d)
x = − 1, (79) lub x = − 6, (21)e)
Odpowiedzi
959
Zadanie 4.6.4.20 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 4.6.4.21 (Wróć do zadania)Rozwiązanie
Zadanie 4.6.4.22 (Wróć do zadania)Rozwiązanie
• Ponieważ liczby po obu stronach równości są dodatnie, wystarczy sprawdzić, czy kwadraty
tych liczb są równe.
((4 + 1212)
12
− (4 − 1212)
12)
2
= 4
Przekształcając lewą stronę równości, wykorzystamy wzory skróconego mnożenia.
((4 + 1212)
12
− (4 − 1212)
12)
2
=
= (4 + 1212) − 2√(4 + 12
12)(4 − 12
12) + (4 + 12
12) =
= 8 − 2√16 − 12 = 8 − 4 = 4.
Zatem obie strony równości są równe. Z tego, że kwadraty liczb dodatnich są równe wnioskujemy,
że obie liczby również są równe.
• Podobnie jak powyżej
?32 , √3)a)
? −7, − 5) ? (5, 10 ?b)
1212 + 27
12 = √12 + √27 = 2√3 + 3√3 = 5√3 = √75 = 75
12
a)
812 + 72
12 = √8 + √72 = 2√2 + 6√2 = 8√2 = √128 = 128
12
b)
1212 + 48
12 = √12 + √48 = 2√3 + 4√3 = 6√3 = √108 = 108
12
c)
3213 + 108
13 =
3√32 +3√108 = 2
3√4 + 33√4 = 5
3√4 =3√500 = 500
13
d)
353 + 3
83 =
3√35 +3√38 = 3
3√9 + 93√9 = 12
3√9 = 4 ∙ 33√9 = 4 ∙
3√33 ∙ 32 = 4 ∙3√35 = = 4 ∙ 3
53
e)
Odpowiedzi
960
((14 + 6 ∙ 512)
12
+ (14 − 6 ∙ 512)
12)
2
= 36
Lewa strona po przekształceniach
((14 + 6 ∙ 512)
12
+ (14 − 6 ∙ 512)
12)
2
= (14 + 6 ∙ 512) + 2√(14 + 6 ∙ 5
12)(14 − 6 ∙ 5
12) + (14 − 6 ∙ 5
12) =
= 28 + 2√196 − 180 = 28 + 8 = 36.
Ponieważ kwadraty liczb dodatnich są równe, to liczby te również są sobie równe.
Zadanie 4.6.4.23 (Wróć do zadania)Rozwiązanie
Oznaczmy liczbę (6 + 2012)
12
− (6 − 2012)
12
= x.
Wtedy
x2 = ((6 + 2012)
12
− (6 − 2012)
12)
2
= 6 + 2012 − 2√(6 + 20
12)(6 − 20
12) + 6 − 20
12 = 12 − 2√36 − 20 = 4.
Ponieważ x2 = 4 to wnioskujemy, że x = 2 lub x = − 2 . Obie liczby są całkowite, zatem liczba
(6 + 2012)
12
− (6 − 2012)
12
jest liczbą całkowitą.
Odpowiedzi
961
Liczby / Zaokrąglenia i przybliżenia /Przybliżenia i zaokrąglenia liczbZadanie 4.7.1.1 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Liczba2813 = 2, 153846153846154 … zaokrąglona do czterech miejsc po przecinku jest równa
2,1538.
Liczba2813 = 2, 153846153846154 … zaokrąglona do trzech miejsc po przecinku jest równa 2,154.
Liczba2813 = 2, 153846153846154 … zaokrąglona do jednego miejsca po przecinku jest równa 2,2.
Zadanie 4.7.1.2 (Wróć do zadania)OdpowiedźLiczbę 56 836 w zaokrągleniu do setek możemy zapisać jako 56 800.
Liczba 6 455 zaokrąglona do setek jest równa 6,5 tys.
Odpowiedzi
962
Liczby / Zaokrąglenia i przybliżenia /ZadaniaZadanie 4.7.3.1 (Wróć do zadania)Odpowiedź4,80
Zadanie 4.7.3.2 (Wróć do zadania)Odpowiedź4
Zadanie 4.7.3.3 (Wróć do zadania)Odpowiedź
0,4156 cm2
Zadanie 4.7.3.4 (Wróć do zadania)Odpowiedźwiększy od 0,4% , ale mniejszy od 4%
Zadanie 4.7.3.5 (Wróć do zadania)Odpowiedź51 < x < 52
Zadanie 4.7.3.6 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 4.7.3.7 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 4.7.3.8 (Wróć do zadania)Odpowiedź
234,56a)
32,78b)
23,50c)
6,99d)
35 768 900a)
35 769 000b)
36 000 000c)
0,3077a)
0,9412b)
0,3685c)
0,1491d)
0,9477e)
Odpowiedzi
963
Zadanie 4.7.3.9 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zadanie 4.7.3.10 (Wróć do zadania)Odpowiedź1237,6 zł
Zadanie 4.7.3.11 (Wróć do zadania)OdpowiedźBłąd pierwszego zawodnika to około 0,6%, a drugiego - 0,36%. Prawidłowo odpowiedział drugi za-
wodnik.
Zadanie 4.7.3.12 (Wróć do zadania)OdpowiedźBłąd względny wynosi 5%.
Zadanie 4.7.3.13 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Zauważmy, że t =4
3 − √5 = 3 + √5.
Mamy
√5 = 2,23606797749979 …
Zatem prawdziwa jest nierówność
2,23 < √5 < 2,24.
Do wszystkich stron dodamy liczbę 3, zatem
2,23 + 3 < √5 + 3 < 2,24 + 3
5,23 < √5 + 3 < 5,24.
Liczba t = 3 + √5 spełnia nierówność 5 < t < 6.
Zadanie 4.7.3.14 (Wróć do zadania)Odpowiedź1, 2, 3
Zadanie 4.7.3.15 (Wróć do zadania)Odpowiedź
4,17%a)
28,33%b)
26,39%c)
mogą być dwa przybliżenia: około 200,24 lub około 188,58a)
mogą być dwa przybliżenia: około 196,16 lub około 192,66b)
jako przybliżenia należy podać dowolną liczbę z przedziału ?193,44; 195,38?c)
Odpowiedzi
964
Zadanie 4.7.3.16 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Rozwiązanie
√6 ? ( 1
12 +1
22 +1
32 +1
42 ) = √6 ? (1 +14 +
19 +
116 ) = √205
24 = 2,9226 …
Liczba π jest większa od 3,1, więc błąd bezwzględny otrzymanego przybliżenia jest większy od 0,1
.
√6 ? ( 1
12 +1
22 +1
32 +1
42 +1
52 +1
62 ) = √6 ? (1 +14 +
19 +
116 +
125 +
136 ) = √5369
600 = 2,9633 … ,
gdy natomiast dodamy siedem składników, to otrzymamy
√6 ? ( 1
12 +1
22 +1
32 +1
42 +1
52 +1
62 +1
72 ) = √6 ? (1 +14 +
19 +
116 +
125 +
136 +
149 ) = √266681
29400 = 3,0117 …
Błąd bezwzględny otrzymanego przybliżenia jest większy od 0,1.a)
Należy dodać co najmniej 7 składników.b)
Szukane przybliżenie jest równea)
Gdy dodamy tylko sześć składników, to otrzymamy przybliżenie równea)
Odpowiedzi
965
Geometria / Planimetria. Podstawowezwiązki na płaszczyźnie / ZadaniaZadanie 5.1.5.1 (Wróć do zadania)Odpowiedź
| BC | = 3√21
Rozwiązanie
Trójkąt ABD jest prostokątny, więc z twierdzenia Pitagorasa, po uwzględnieniu, że | AD | > 0,
otrzymujemy
| AD |2
+ 102 = 172,
stąd
| AD | = 3√21.
Ponieważ ABCD jest prostokątem, więc
| BC | = | AD | = 3√21.
Zadanie 5.1.5.2 (Wróć do zadania)OdpowiedźW prostokącie przekątna ma długość 8, a kąt między przekątną i dłuższym bokiem ma miarę 30 °. Wtedy długość krótszego boku tego prostokąta jest równa 4.
Odpowiedzi
966
Zadanie 5.1.5.3 (Wróć do zadania)Odpowiedź
długość drugiej wysokości tego trójkąta wynosi127 √10
Zadanie 5.1.5.4 (Wróć do zadania)Odpowiedźdługość boku trzeciego kwadratu jest równa 8
długość odcinka A1A2 jest równa 4√5
Zadanie 5.1.5.5 (Wróć do zadania)Odpowiedź24
RozwiązanieZ twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta ACB, a następnie dla trójkąta ACD, otrzymujemy
| AC | = √72 + 42 = √65.
Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta ACD otrzymujemy
| AD | = √ | AC |2
+ 42 = √65 + 16 = √81 = 9.
Obwód czworokąta ABCD jest więc równy
LABCD = 7 + 4 + 4 + 9 = 24.
Zadanie 5.1.5.6 (Wróć do zadania)OdpowiedźStosunek długości przekątnych rombu wynosi 6 : 8. Wówczas stosunek boku rombu do dłuższej
przekątnej wynosi 5 : 8.
Zadanie 5.1.5.7 (Wróć do zadania)OdpowiedźPole trójkąta równobocznego wynosi 9√3. Wówczas bok tego trójkąta ma długość 6.
Dane są dwa trójkąty równoboczne T1 i T2. Długość boku trójkąta T2 jest o 10% większa od długo-
ści boku trójkąta T1. Wynika stąd, że pole trójkąta T2 jest o 21% większe od pola trójkąta T1.
Zadanie 5.1.5.8 (Wróć do zadania)OdpowiedźWysokość trójkąta równobocznego jest równa 15. Wówczas promień okręgu wpisanego w ten trój-
kąt jest równy 5, a promień okręgu opisanego na trójkącie jest równy 10.
Długość boku trójkąta równobocznego jest równa 2√3. Wówczas promień okręgu opisanego na
tym trójkącie jest równy 2.
Zadanie 5.1.5.9 (Wróć do zadania)OdpowiedźJeżeli stosunek długości przyprostokątnych w trójkącie prostokątnym wynosi 3 : 5, to stosunek
długości promienia okręgu opisanego na tym trójkącie do długości dłuższej przyprostokątnej trój-
kąta wynosi 17 : 10.
Odpowiedzi
967
Zadanie 5.1.5.10 (Wróć do zadania)Odpowiedź
• Przyjmijmy oznaczenia, tak jak na rysunku.
Trójkąt ADC jest połową kwadratu o boku długości h = 5. Ze wzoru na długość przekątnej
kwadratu otrzymujemy
2a = 5√2.
Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta BCE obliczamy długość środkowej BE
| BE |2
= (2a)2
+ a2 = (5√2)2
+ (52√2)
2=
1252 .
Po uwzględnieniu, że | BE | > 0, otrzymujemy
| BE | = √1252 = √250
4 =52√10.
• Przyjmijmy oznaczenia, tak jak na rysunku i poprowadźmy odcinek DF prostopadły do pro-
stej BC, którego koniec F leży na tej prostej.
Odpowiedzi
968
Trójkąt ACE to połowa trójkąta równobocznego, więc
| AC | = 2 | CE | = 2 ? 2 = 4,
czyli 2a = 4. Stąd a = 2.Trójkąt CDF jest także połową trójkąta równobocznego o boku długo-
ści a, więc
b =a2 =
22 = 1, h =
a√32 =
2√32 = √3.
Wobec tego przyprostokątna BF trójkąta prostokątnego BDF ma długość
| BF | = 4 + 1 = 5.
Środkowa BD trójkąta ABC jest przeciwprostokątną trójkąta BDF. Z twierdzenia Pitagorasa
otrzymujemy
| BD |2
= 52 + (√3)2
= 25 + 3 = 28.
Po uwzględnieniu, że | BD | > 0, otzrymujemy
| BD | = √28 = 2√7.
Zadanie 5.1.5.11 (Wróć do zadania)Odpowiedź50
Zadanie 5.1.5.12 (Wróć do zadania)Odpowiedź60 °
Zadanie 5.1.5.13 (Wróć do zadania)Odpowiedźx = 14
Zadanie 5.1.5.14 (Wróć do zadania)Odpowiedźa = 5√3, d = 10
Zadanie 5.1.5.15 (Wróć do zadania)Odpowiedź40
Zadanie 5.1.5.16 (Wróć do zadania)Odpowiedź7√51
Zadanie 5.1.5.17 (Wróć do zadania)Odpowiedź
r = √74 , R = √7
2
Odpowiedzi
969
Zadanie 5.1.5.18 (Wróć do zadania)OdpowiedźPrzyjmijmy oznaczenia, tak jak na rysunku.
Trójkąt LMN jest prostokątny, więc z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy
(3√2)2
+ | MN |2
= (3√6)2.
Stąd
| MN |2
= 36.
Ponieważ,
| MN | > 0,
to
| MN | = 6.
Zadanie 5.1.5.19 (Wróć do zadania)OdpowiedźSuma obwodów wynosi 18 + 4√5.
Odpowiedzi
970
RozwiązaniePoprowadźmy odcinki łączące środki przeciwległych boków pierwszego prostokąta. Podzielą one
ten prostokąt na cztery przystające prostokąty o bokach długości 1 i 2.
Przekątna każdego z tych prostokątów ma długość √5 i jest jednocześnie bokiem drugiego czwo-
rokąta. Zatem drugi czworokąt jest rombem o boku długości √5.
Odpowiedzi
971
Zauważmy, że odcinki łączące środki przeciwległych boków każdego z tych czterech prostokątów
dzielą go na cztery przystające prostokąty o bokach długości12 i 1.
Trzeci z czworokątów jest prostokątem zbudowanym z czterech uzyskanych wcześniej prosto-
kątów, zatem długości jego boków to 2 ∙ 12 oraz2 ∙ 1, czyli 1 i 2.
Szukana suma obwodów wynosi więc
2 ∙ (4 + 2) + 4 ∙ √5 + 2 ∙ (2 + 1) = 18 + 4√5.
Zadanie 5.1.5.20 (Wróć do zadania)Odpowiedź8√5
Odpowiedzi
972
RozwiązaniePole pierścienia jest równe różnicy pola koła opisanego i pola koła wpisanego w kwadrat. Promie-
nie tych kół są równe odpowiednio połowie długości przekątnej i połowie długości boku kwadratu.
Zatem
5π = π((a√22 )
2− (a
2 )2
),
gdzie a jest długością boku kwadratu. Stąd
5 =a2
2 − a2
4
5 =a2
4
a2 = 20.
Ponieważ a > 0, to
a = √20 = 2√5
Obwód kwadratu jest równy
Lkwadratu = 4a = 8√5.
Zadanie 5.1.5.21 (Wróć do zadania)Odpowiedź9√3 + 9
RozwiązanieTrójkąt AED jest połową trójkąta równobocznego. Z zależności między długościami boków w trój-
kącie równobocznym mamy
| DE | = h =12b = 3
| AE | = 3√3.
Odpowiedzi
973
Trójkąt BDE jest połową kwadratu, zatem długość odcinka EB jest równa długości wysokości h.
Długość odcinka AE jest więc równa a − 3, zatem
a − 3 = 3√3,
więc
a = 3√3 + 3.
Pole równoległoboku wynosi
P = a ∙ h = 3(3√3 + 3) = 9√3 + 9.
Zadanie 5.1.5.22 (Wróć do zadania)Odpowiedź
r =32
Odpowiedzi
974
Rozwiązanie
W trójkącie równoramiennym spodek wysokości dzieli podstawę na równe części.
Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta ADC mamy więc
| DC | = √ | AC |2
− | AD |2,
czyli
| DC | = √52 − 32 = 4.
Pole trójkąta ABC jest równe
PABC =12 ∙ 6 ∙ 4 = 12.
Połowa obwodu jest równa
p =5 + 5 + 6
2 = 8.
Pole trójkąta możemy też obliczyć ze wzoru PABC = pr, czyli 12 = 8r. Skąd r = 1,5.
Odpowiedzi
975
Geometria / Wielokąty na płaszczyźnie.Związki miarowe / ZadaniaZadanie 5.2.3.1 (Wróć do zadania)OdpowiedźNie. Punkty A, B, C nie są współliniowe.
RozwiązanieSumując miary kątów, otrzymujemy 32 ° + 17 ° + 90 ° + 40 ° = 179 ° . Gdyby punkty były współli-
niowe suma miar kątów byłaby równa 180 ° .
Zadanie 5.2.3.3 (Wróć do zadania)OdpowiedźNie. Czworokąt ABCD nie jest równoległobokiem.
RozwiązanieKąty DAB i α = 36 ° są odpowiadające. Gdyby prosta AD była równoległa do prostej BC, kąty mia-
łyby tę samą miarę. Jednak wówczas suma kątów przy boku równoległoboku byłaby równa.
| ?DAB | + | ?ADC | = 179 ° ≠ 180 ° .
Zatem figura nie jest równoległobokiem.
Zadanie 5.2.3.4 (Wróć do zadania)OdpowiedźTak.Zaznaczmy kąty przyległe do α i do β.
Kąty γ i 125 ° są odpowiadające, ponieważ prosta k jest równoległa do prostej l, więc γ = 125 ° .
Podobnie kąty δ i 143 ° , są odpowiadające, więc z równoległości k i l,
δ = 143 ° .
Odpowiedzi
976
Zadanie 5.2.3.5 (Wróć do zadania)OdpowiedźW trójkącie miara jednego kąta jest dwa razy większa od miary drugiego i trzy razy mniejsza od
miary trzeciego kąta. Wtedy największy kąt ma miarę 120 ° .
Kąty między jednym z boków trójkąta ostrokątnego i wysokościami opuszczonymi na pozostałe
boki mają miary 35 ° oraz 45 ° . Kąt leżący naprzeciw tego boku ma miarę 80 ° .
Zadanie 5.2.3.6 (Wróć do zadania)OdpowiedźW pewnym wielokącie wypukłym suma miar kątów wynosi 1620 ° . Liczba boków tego wielokąta
jest równa 11.
W osiemnastokącie foremnym miara kąta wewnętrznego wynosi 160 ° .
Zadanie 5.2.3.7 (Wróć do zadania)OdpowiedźW siedemnastokącie wypukłym liczba przekątnych jest równa 119.
Liczba przekątnych wielokąta wypukłego jest cztery razy większa od liczby jego boków. Wielo-
kątem tym jest jedenastokąt.
Zadanie 5.2.3.8 (Wróć do zadania)OdpowiedźŻadna z odpowiedzi nie jest poprawna.
Zadanie 5.2.3.9 (Wróć do zadania)Odpowiedźdługość ramienia trapezu jest równa 6
przekątna AC dzieli trapez na dwa trójkąty, z których jeden ma pole dwa razy większe od drugiego
Zadanie 5.2.3.10 (Wróć do zadania)OdpowiedźW pięciokącie foremnym kąt między dwiema przekątnymi poprowadzonymi z tego samego wierz-
chołka jest równy 36 ° .
Zadanie 5.2.3.11 (Wróć do zadania)OdpowiedźKrótsza przekątna trapezu prostokątnego dzieli go na trójkąt prostokątny i trójkąt równoboczny.
Dłuższa podstawa trapezu jest równa 8. Wtedy obwód trapezu ma długość 20 + 4√3.
Zadanie 5.2.3.12 (Wróć do zadania)Odpowiedźwielokąt ten ma 27 przekątnych
Zadanie 5.2.3.13 (Wróć do zadania)Odpowiedź18 ° i 90 °
Zadanie 5.2.3.14 (Wróć do zadania)Odpowiedź80 °
Zadanie 5.2.3.15 (Wróć do zadania)Odpowiedźrozwarty
Odpowiedzi
977
Zadanie 5.2.3.16 (Wróć do zadania)Odpowiedź54√3
Zadanie 5.2.3.17 (Wróć do zadania)Odpowiedź10
Zadanie 5.2.3.18 (Wróć do zadania)Odpowiedź60 °
Zadanie 5.2.3.19 (Wróć do zadania)Odpowiedź
| ?ABC | = 120 °
Zadanie 5.2.3.20 (Wróć do zadania)Odpowiedź
| ?CAB | = 56 °
Zadanie 5.2.3.21 (Wróć do zadania)Odpowiedź38
Zadanie 5.2.3.22 (Wróć do zadania)Odpowiedź18
RozwiązanieSuma wszystkich kątów w danym n-kącie jest równa
(n − 2) ∙ 180 ° .
Ponieważ jest to wielokąt wypukły, miary wszystkich kątów są jednakowe. Stąd miara każdego
kąta jest równa
(n − 2) ∙ 180 °n = 160 ° .
Otrzymujemy
(n − 2) ∙ 180 ° = 160 ° ∙ n
180 ° ∙ n − 360 ° = 160 ° ∙ n
20 ° ∙ n = 360 °
n = 18.
Zatem szukanym wielokątem foremnym jest osiemnastokąt.
Odpowiedzi
978
Zadanie 5.2.3.23 (Wróć do zadania)Rozwiązanie
Zadanie 5.2.3.24 (Wróć do zadania)Odpowiedź8√3
Trójkąt AED jest prostokątny. Odcinek AD jest jego przeciwprostokątną, a odcinek DE przy-
prostokątną. Przeciwprostokątna jest najdłuższym bokiem w trójkącie, stąd
| DE | < | AD | , czyli | DE | < 3. Zatem długość odcinka DE nie może być równa 4.
a)
Kąty ACD i CAB są odpowiadające. Ponieważ proste AB i CD są równoległe,
| ?ACD | = | ?CAB | . Oznaczmy miarę każdego z tych kątów przez α.
Trójkąt ACD jest równoramienny, więc kąty przy podstawie AC są sobie równe. Stąd
| ?DAC | = α. Zatem prosta AC jest dwusieczną kąta DAB.
b)
Odpowiedzi
979
RozwiązanieOznaczmy długość odcinka EB przez x. Trójkąty AFD oraz CEB są prostokątne, a miary ich kątów
ostrych są równe 30 ° i 60 ° . Ze związków miarowych w trójkącie CEB otrzymujemy
| CE | = | DF | = x√3.
Ze związków miarowych w trójkącie AFD mamy | AF | = 3x. Podstawa AB trapezu ABCD ma więc
długość
| AB | = 3x + 6 + x = 10,
skąd 4x = 4, czyli x = 1.
Wysokość DF trapezu jest równa | DF | = √3.
Pole trapezu wynosi
P =6 + 10
2 √3 = 8√3.
Zadanie 5.2.3.25 (Wróć do zadania)Odpowiedź60 ° , 150 ° , 30 ° , 120 ° lub 90 ° , 90 ° , 120 ° , 60 °Rozwiązanie
• I przypadek
Kąt prosty BAD jest sumą kątów CAB oraz CAD. Trójkąt ABC jest równoboczny, więc wszyst-
kie jego kąty mają miarę 60 ° . Stąd
| ?CAD | = 90 ° − | ?CAB | ,
czyli
| ?CAD | = 90 ° − 60 ° = 30 ° .
Odpowiedzi
980
Kąt ACD ma więc miarę 60 ° .
Stąd miary kątów w trapezie ABCD są równe: 90 ° , 90 ° , 120 ° , 60 ° .
• II przypadek
Kąty ACD i BAC są naprzemianległe. Proste AB i CD są równoległe, zatem
| ?ACD | = | ?BAC | .
Trójkąt ABC jest równoboczny, więc wszystkie jego kąty mają miarę 60 ° . Stąd
| ?ACD | = 60 ° .
Otrzymujemy więc
| ?CDA | = 90 ° − 60 ° = 30 ° .
Odpowiedzi
981
Miary kątów w trapezie ABCD są równe: 60 ° , 150 ° , 30 ° , 120 ° .
Zadanie 5.2.3.26 (Wróć do zadania)Odpowiedź12
Rozwiązanie
Oznaczmy wysokość DE przez h. Trójkąt ADE jest prostokątny, a miary jego kątów ostrych są rów-
ne 45 ° i 45 ° , skąd długość boku rombu AD jest równa h√2. Zatem
P = h√2 ∙ h = h2√2.
Otrzymujemy równanie
h2√2 = 72√2,
Ponieważ h > 0, to
Odpowiedzi
982
h = √72 = 6√2.
Długość boku rombu jest równa
6√2 ∙ √2 = 12.
Zadanie 5.2.3.27 (Wróć do zadania)OdpowiedźP = 108, L = 48
Rozwiązanie
Pole kwadratu CDEF o boku 6 jest równe 36. Zatem pola trapezu ABFE oraz trójkąta CFB także są
równe 36.
Ze wzoru na pole trójkąta CFB
PCFB =12 | CF | ∙ | GB |
otrzymujemy 36 =12 ∙ 6 | GB | . Stąd | GB | = 12. Długość podstawy AB jest więc równa 18.
Ze wzoru na pole trapezu ABFE otrzymujemy
PABFE =12 ( | AB | + | EF | ) ∙ | AE | ,
czyli
36 =12 (18 + 6) ∙ | AE | .
Stąd
| AE | = 3.
Odpowiedzi
983
Wysokość trapezu ABCD jest więc równa 6 + 3 = 9.
Z twierdzenia Pitagorasa
| CB | = √122 + 92 = 15.
Pole trapezu ABCD jest równe
PABCD =12 (18 + 6) ∙ 9 = 108,
a jego obwód
LABCD = 18 + 15 + 6 + 9 = 48.
Zadanie 5.2.3.28 (Wróć do zadania)Odpowiedź30 °RozwiązanieSześciokąt foremny możemy podzielić na sześć trójkątów równobocznych.
Szukamy miary kąta DAE pomiędzy odcinkiem DA, który składa się z dwóch boków trójkątów rów-
nobocznych, a odcinkiem AE, który składa się z dwóch wysokości trójkąta równobocznego. Zatem
kąt ten ma miarę 30 ° .
Odpowiedzi
984
Zadanie 5.2.3.29 (Wróć do zadania)OdpowiedźSuma miar dwóch sąsiednich kątów w równoległoboku wynosi 180 ° , zatem jeżeli jeden kąt ma
miarę α, to drugi ma miarę 180 ° − α. Prowadzimy dwusieczne kątów.
Sumujemy miary kątów w trójkącie ABS α2 + 90 ° − α
2 + x = 180 ° .
Stąd otrzymujemy, że x = 90 ° , co było do udowodnienia.
Odpowiedzi
985
Geometria / Przystawanie trójkątów /ZadaniaZadanie 5.3.2.1 (Wróć do zadania)OdpowiedźSzkic dowodu.Oznaczamy przez E i F takie punkty na prostej CD, że prosta AE jest prostopadła do
prostej CD oraz prosta BF jest prostopadła do prostej CD.
Ponieważ
• | ?ADE | = | ?BDF | , jako kąty wierzchołkowe,
• | AD | = | DB | , jako połowy boku AB,
• | ?AED | = 90 ° i | ?BFD | = 90 ° , skąd
| ?EAD | = 90 ° – | ?ADE | = 90 ° – | ?BDF | = | ?FBD |
to na mocy cechy kąt-bok-kąt trójkąty ADE i BDF są przystające.
Wynika z tego, że | AE | = | BF | .
Odpowiedzi
986
Zadanie 5.3.2.2 (Wróć do zadania)OdpowiedźSzkic dowodu.Zauważmy, że z jednego wierzchołka pięciokąta foremnego można poprowadzić
dwie przekątne, np. przekątne AC i AD poprowadzone z wierzchołka A.
Każda z tych przekątnych odcina od pięciokąta ABCDE trójkąt równoramienny, którego ramionami
są dwa kolejne boki tego pięciokąta, np. przekątna AC odcina trójkąt ABC, a przekątna AD odcina
trójkąt AED. Kąt między ramionami w każdym z takich trójkątów jest kątem wewnętrznym pię-
ciokąta foremnego ABCDE, więc ma miarę 108 ° . Na mocy cechy bok-kąt-bok stwierdzamy, że
wszystkie takie trójkąty są przystające. Zatem mają one równe podstawy, a to znaczy, że wszystkie
przekątne w pięciokącie foremnym są równe.
Uwaga. Na pięciokącie foremnym można opisać okrąg. Każda z przekątnych pięciokąta jest cięci-
wą koła ograniczonego tym okręgiem. Mniejszemu odcinkowi koła, otrzymanemu z jego podziału
taką cięciwą, odpowiada w każdym przypadku kąt środkowy 144 ° .
Odpowiedzi
987
Zatem wszystkie te wycinki są przystające, więc wszystkie przekątne w pięciokącie foremnym są
równe.
Zadanie 5.3.2.3 (Wróć do zadania)OdpowiedźSzkic dowodu.Trójkąty: ABC, CDE, EFG, GHA są równoramienne, ich ramionami są dwa kolejne
boki ośmiokąta ABCDEFGH. Kąt między ramionami w każdym z takich trójkątów jest kątem we-
wnętrznym ośmiokąta foremnego, więc ma miarę 135 ° .
Na mocy cechy bok-kąt-bok stwierdzamy, że wszystkie takie trójkąty są przystające. Zatem mają
one równe podstawy, czyli
| AC | = | CE | = | EG | = | GA | ,
a suma obu kątów przy tej podstawie jest równa 180 ° − 135 ° , czyli 45 ° .
Obliczymy miarę kąta ACE. Ponieważ | ?BCD | = 135 ° , a suma miar kątów BCA i ECD jest rów-
na 45 ° , to | ?ACE | = 135 ° – 45 ° = 90 ° . To znaczy, że każdy kąt wewnętrzny czworokąta
ACEG jest równy 90 ° , więc jest on kwadratem.
Uwaga. Na ośmiokącie foremnym można opisać okrąg. Wierzchołki ośmiokąta foremnego dzielą
ten okrąg na osiem równych łuków. Zauważmy, że np. kąt wpisany ACE jest oparty na łuku, który
stanowi48 okręgu opisanego, zatem jest półokręgiem. Wobec tego kąt ACE jest prosty. Podobnie
pokazujemy, że każdy z kątów CEG, EGA i GAC jest prosty.
Zadanie 5.3.2.4 (Wróć do zadania)OdpowiedźSzkic dowodu.Ponieważ
• | AD | = | CB | , jako przeciwległe boki równoległoboku ABCD,
• | ?EAD | = | ?FCB | ,
• | AE | = | CF | , z warunków zadania,
Odpowiedzi
988
to na mocy cechy bok-kąt-bok trójkąty ADE i CBF są przystające.
Wynika z tego, że | DE | = | BF | .
Zadanie 5.3.2.5 (Wróć do zadania)OdpowiedźSzkic dowodu.Wykażemy najpierw, że w trapezie równoramiennym kąty przy podstawie są równe,
a także równe są długości obu przekątnych.
Oznaczmy przez E i F spodki wysokości trapezu ABCD opuszczonych z wierzchołków odpowiednio
D i C na podstawę AB trapezu. Przyjmujemy też oznaczenia długości podstaw, ramion i wysokości,
jak pokazano na rysunku
Trójkąty DAE i CBF są przystające − korzystamy z cechy bok-kąt-bok:
• |DE | = | CF | = h,
• | ?DEA | = | ?CFB | = 90 ° ,
• z twierdzenia Pitagorasa | AE |2
= | BF |2
= c2 − h2. Ponieważ | AE | > 0 i | BF | > 0,
to
| AE | = | BF | = √c2 − h2.
Odpowiedzi
989
Wynika z tego, że | AE | = | BF | oraz równość miar kątów DAE i CBF.
Rozpatrzmy trójkąty ABC i BAD.
Ponieważ:
• AB jest wspólnym bokiem trójkątów ABC i BAD,
• | ?DAB | = | ?CBA | ,
• | BC | = | AD | ,
to na mocy cechy bok-kąt-bok trójkąty ABC i BAD są przystające.
Stąd wynika, że
| AC | = | BD | , | ?CAB | = | ?DBA | .
Wykażemy teraz, że trójkąty APB i BQA są przystające – korzystamy z cechy bok-kąt-bok:
• AB jest wspólnym bokiem trójkątów APB i BQA,
• | ?PAB | = | ?QBA | ,
• | AC | = | BD | , skąd | AP | =13 | AC | =
13 | BD | = | BQ | .
Wobec tego |AQ | = | BP | .
Odpowiedzi
990
Zadanie 5.3.2.6 (Wróć do zadania)OdpowiedźSzkic dowodu.Przyjmujemy, że bok kwadratu ABCD ma długość 4a. Stosujemy oznaczenia, takie
jak na rysunku.
Zauważmy, że na mocy cechy bok-kąt-bok trójkąty NAK, KBL, LCM i MDN są przystające
• |NA | = | KB | = | LC | = | MD | = a,
• | ?NAK | = | ?KBL | = | ?LCM | = | ?MDN | = 90 ° ,
• | AK | = | BL | = | CM | = | DN | = 3a.
Wobec tego
| NK | = | KL | = | LM | = | MN |
oraz
| ?KLB | = | ?LMC | = | ?MND | = | ?NKA | = α.
Wtedy
| ?KNA | = | ?LKB | = | ?MLC | = | ?NMD | = 90 ° – α.
To znaczy, że
| ?MNK | = 180 ° – ( | ?MND | + | KNA | ) = 180 ° – (α + 90 ° – α) = 180 ° – 90 ° = 90 ° .
Zatem czworokąt KLMN jest kwadratem.
Odpowiedzi
991
Zadanie 5.3.2.7 (Wróć do zadania)OdpowiedźSzkic dowodu.Rysujemy trójkąty AEB i CBF.
Oznaczamy przez a długość boku kwadratu ABCD. Wtedy rownież boki trójkątów AEB i BFC są
równe a.
Trójkąty DAE, DFC i EFB są przystające na mocy cechy bok-kąt-bok:
• | AD | = | DC | = | BE | = a,
• | ?DAE | = 90 ° + 60 ° = | ?DCF | , | ?EBF | = 360 ° − 90 ° − 60 ° − 60 ° = 150 ° ,
czyli | ?DAE | = | ?DCF | = | ?EBF | ,
• | AE | = | CF | = | BF | = a.
Odpowiedzi
992
Stąd | DE | = | DF | = | EF | .
Zatem trójkąt DEF jest równoboczny
Zadanie 5.3.2.8 (Wróć do zadania)OdpowiedźSzkic dowodu.Ponieważ
• | AP | = | AR | , jako boki kwadratu APQR,
• | AB | = | AD | , jako boki kwadratu ABCD,
• | ?PAB | = 90 ° – | ?DAP | = | ?RAD | ,
to na mocy cechy bok-kąt-bok trójkąty APB i ARD są przystające.
Wynika z tego, że | BP | = | DR | .
Zadanie 5.3.2.9 (Wróć do zadania)OdpowiedźSzkic dowodu.Ponieważ
• | AB | = | DB | , jako boki trójkąta równobocznego ABD,
• | BE | = | BC | , jako boki trójkąta równobocznego BCE,
• | ?ABE | = 180 ° – | ?EBD | = 180 ° – 60 ° = 120 ° oraz
| ?DBC | = 180 ° – | ?ABD | = 180 ° – 60 ° = 120 ° ,
to na mocy cechy bok-kąt-bok trójkąty ABE i DBC są przystające.
Wynika z tego, że | AE | = | DC | .
Zadanie 5.3.2.10 (Wróć do zadania)OdpowiedźSzkic dowodu.Ponieważ
• | AB | = | BC | , jako boki trójkąta równobocznego ABC,
• | ?ABE | = | ?ABC | – | ?EBC | = 60 ° – | ?EBC | = | ?EBD | – | ?EBC | = | ?CBD |,
Odpowiedzi
993
• | BE | = | BD | , jako boki trójkąta równobocznego BDE,
to na mocy cechy bok-kąt-bok trójkąty ABE i CBD są przystające.
Wynika z tego, że | AE | = | DC | .
Zadanie 5.3.2.11 (Wróć do zadania)OdpowiedźSzkic dowodu.W trójkącie ABC oznaczmy przez a długość podstawy AB, przez b długość ramienia,
przez α miarę kąta wewnętrznego przy podstawie AB.
Wtedy każdy z boków trójkąta ABK jest równy a oraz każdy z boków trójkąta BLC jest równy b.
Trójkąty ABL i KBC są przystające, co stwierdzamy powołując się na cechę bok-kąt-bok, gdyż
• | AB | = | KB | = a,
• | ?ABL | = | ?ABC | + | ?CBL | = α + 60 ° = | ?CBA | + | ?ABK | = | ?CBK |,
• | BL | = | BC | = b.
Wobec tego | AL | = | CK | .
Odpowiedzi
994
Zadanie 5.3.2.12 (Wróć do zadania)OdpowiedźSzkic dowodu.W równoległoboku ABCD oznaczmy przez a długość boku AB, przez b długość boku
BC, przez α miarę kąta wewnętrznego DAB.
Wtedy każdy z boków kwadratu CDEF ma długość a oraz każdy z boków kwadratu BCGH jest rów-
ny b, a każdy z kątów ABC i ADC ma miarę 180 ° – α.
Trójkąty ABC i FCG są przystające, co stwierdzamy, powołując się na cechę bok-kąt-bok, gdyż
• | AB | = | FC | = a,
• | ?ABC | = 180 ° – α oraz
| ?FCG | = 360 ° – ( | ?FCD | + | ?DCB | + | ?BCG | ) = 360 ° – (90 ° + α + 90 ° ) = 180 ° – α,
zatem | ?ABC | = | ?FCG | ,
• | BC | = | CG | = b.
Wobec tego | AC | = | FG | .
Odpowiedzi
995
Zadanie 5.3.2.13 (Wróć do zadania)OdpowiedźSzkic dowodu.Oznaczmy przez α miarę kąta ACB.
Trójkąty ADC i BEC są przystające (cecha kąt-bok-kąt), gdyż
• | ?BEC | = | ?ADC | = 110 ° ,
• | AD | = | BE | ,
• | ?EBC | = 180 ° – ( | ?BEC | + | ?ECB | ) = 180 ° – (110 ° + α) = 180 ° – ( | ?ADC | + | ?DCA | ) = | ?DAC |.
Wobec tego | AC | = | BC | , czyli trójkąt ABC jest równoramienny.
Odpowiedzi
996
Zadanie 5.3.2.14 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Szkic dowodu.Prosta AC jest symetralną odcinka DE. Wynika stąd, że | AE | = | AD | i
| CE | = | CD | . Wobec tego trójkąty EAC i DAC są przystające (na mocy cechy bok-bok-bok).
Zatem | ?ECA | = | ?DCA | .
Prosta BC jest symetralną odcinka DF, co znaczy, że | BF | = | BD | i | CF | = | CD |. Zatem trójkąty FBC i DBC są przystające (na mocy cechy bok-bok-bok), więc
| ?DCB | = | ?FCB | .
Przeciwprostokątną w trójkącie ABC jest bok AB, więc kąt ACB jest prosty. Oznaczmy przez α miarę
kąta DCB. Wtedy
Odpowiedzi
997
| ?FCB | = α i | ?DCA | = | ?ECA | = 90 ° – α.
Wobec tego miara kąta ECF jest równa
| ?ECF | = | ?ECA | + | ?ACB | + | ?BCF | = 90 ° – α + 90 ° + α = 180 ° .
Wynika z tego, że punkty C, E i F leżą na jednej prostej. Koniec dowodu.
Zadanie 5.3.2.15 (Wróć do zadania)OdpowiedźSzkic dowodu.W równoległoboku ABCD oznaczmy przez a długość boku AB, przez b długość boku
BC, przez α miarę kąta wewnętrznego DAB (patrz rysunek).
Odpowiedzi
998
Wtedy każdy z boków kwadratów ABKL i CDMN jest równy a, kąt BCD ma miarę α, a każdy z kątów
ABC i ADC ma miarę 180 ° – α.
Trójkąty ADL i CBN są przystające, co stwierdzamy, powołując się na cechę bok-kąt-bok, ponieważ
• | AD | = | CB | = b,
• | ?DAL | = | ?DAB | + | ?BAL | = α + 90 ° = | ?BCD | + | ?DCN | = | ?BCN |,
• | AL | = | CN | = a.
Wobec tego | DL | = | BN | i | ?ADL | = | ?CBN | . Ponieważ
• | LD | = | NB | ,
• | ?LDM | = | ?LDA | + | ?ADM | =
| ?LDA | + 360 ° – ( | ?ADC | + | ?CDM | ) =
| ?LDA | + 360 ° – (90 ° + 180 ° – α) = | ?LDA | + 90 ° + α
• | ?NBK | = | ?CBN | + | ?CBK | = | ?CBN | + 360 ° – ( | ?KBA | + | ?ABC | ) =
| ?CBN | + 360 ° – (90 ° + 180 ° – α) = | ?CBN | + 90 ° + α
skąd | ?LDM | = | ?NBK | (skorzystaliśmy z równości miar kątów ADL i CBN)
• | DM | = | BK | = α
Odpowiedzi
999
to trójkąty LDM i NBK są przystające na mocy cechy bok-kąt-bok.
Zadanie 5.3.2.16 (Wróć do zadania)OdpowiedźSzkic dowodu.Rysujemy odcinki: KG, CG, GE, BE, KE, KA.
Wówczas
• | KC | = | GB | = | AE | , jako boki przystających kwadratów,
• | ?GCK | = 360 ° – ( | ?KCA | + | ?ACB | + | ?BCG | ) = 360 ° – 90 ° – 60 ° – 45 ° = 165 °
. Analogicznie uzasadniamy, że | ?GBE | = | ?EAK | = 165 ° .
• | CG | = | BE | = | AK | , jako przekątne przystających kwadratów.
Odpowiedzi
1000
Wobec tego na mocy cechy bok-kąt-bok trójkąty KCG, GBE i AEK są przystające.
Stąd | KG | = | GE | = | EK | , czyli trójkąt KGE jest równoboczny.
Zadanie 5.3.2.17 (Wróć do zadania)OdpowiedźSzkic dowodu. Oznaczmy przez a długość ramienia trójkąta ABC, przez α – miarę jego kąta we-
wnętrznego przy podstawie AB (patrz rysunek).
Wykażemy najpierw, że | AN | = | BL | , | AM | = | BK | oraz | ML | = | KN | .
Trójkąty BAL i ABN są przystające (na mocy cechy bok-kąt-bok), gdyż:
• BA jest wspólnym bokiem tych trójkątów,
• | ?BAL | = | ?ABN | = 90 ° + α,
• | AL | = | BN | = a.
Odpowiedzi
1001
Stąd | BL | = | AN | i | ?BLA | = | ?ANB | .Trójkąty BKL i AMN są przystające (na
mocy cechy bok-kąt-bok), ponieważ | BL | = | AN | ,
| ?BLK | = 90 ° – | ?BLA | = 90 ° – | ?ANB | = | ?ANM | ,
| LA | = | NB | = a.
Stąd | BK | = | AM | i | ?KBL | = | ?MAN | .Trójkąty KNM i MLK są przystające (na
mocy cechy bok-kąt-bok), gdyż
• KM jest wspólnym bokiem tych trójkątów,
• | ?KMN | = | ?KMC | + | ?CMN | = | ?KMC | + 90 ° oraz
| ?MKL | = | ?MKC | + | ?CKL | = | ?MKC | + 90 ° . Trójkąt MKC jest równora-
mienny ( | MC | = | CK | = a), więc kąty MKC i KMC są równe (miara obu jest równa
90 ° – α), co znaczy, że | ?KMN | = | ?MKL | ,
• | NM | = | LK | = a.
Stąd | KN | = | ML | . Zatem trójkąty MLA i KNB są przystające, co stwierdzamy, powo-
łując się na cechę bok-bok-bok, gdyż
• | AL | = | BN | = a,
• | KN | = | ML | ,
Odpowiedzi
1002
• | BK | = | AM | .
Zadanie 5.3.2.18 (Wróć do zadania)OdpowiedźSzkic dowodu.Oznaczmy przez a długość boku kwadratu ABCD. Trójkąty ABM i BCN są równobocz-
ne, zatem | AM | = | BM | = a oraz | BN | = | CN | = a.
Ponadto
| ?DAM | = | ?DAB | – | ?MAB | = 90 ° – 60 ° = 30 ° ,
| ?NCD | = | ?DCB | – | ?NCB | = 90 ° – 60 ° = 30 ° ,
| ?CBM | = | ?CBA | – | ?MBA | = 90 ° – 60 ° = 30 ° ,
| ?NBM | = | ?CBN | – | ?CBM | = 60 ° – 30 ° = 30 ° .
Zatem trójkąty DAM, NBM i NCD są przystające, co stwierdzamy, powołując się na cechę bok-kąt-
bok, gdyż
• | DA | = | NB | = | NC | = a,
• | ?DAM | = | ?NBM | = | ?NCD | = 30 ° ,
• | AM | = | BM | = | CD | .
Stąd | DM | = | NM | = | ND | , czyli trójkąt DMN jest równoboczny.
Odpowiedzi
1003
Zadanie 5.3.2.19 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Szkic dowodu.Oznaczmy przez X i Y takie punkty na prostej AB, że | ?LXA | = 90 ° i
| ?BYM | = 90 ° , przez D – spodek wysokości opuszczonej z wierzchołka C trójkąta ABC, a także
| BC | = a, | AC | = b, | ?CAB | = α (jak na rysunku).
Trójkąty LXA i ADC są przystające, co stwierdzamy, powołując się na cechę kąt- bok-kąt, ponieważ
• | ?XAL | = 180 ° – ( | ?DAC | + | ?CAL | ) = 180 ° – α – 90 ° = 90 ° – α,
| ?ACD | = 180 ° – ( | ?ADC | + | ?CAD | ) = 180 ° – 90 ° – α = 90 ° – α,
skąd | ?XAL | = | ?ACD|,
• | AL | = | CA | = b,
• | ?XLA | = 180 ° – ( | ?LXA | + | ?XAL | ) = 180 ° – 90 ° – (90 ° – α) = α = | ?DAC |.
Wynika z tego, że | LX | = | AD | .
Trójkąty MYB i BDC są przystające, co stwierdzamy, powołując się na cechę kąt- bok-kąt, ponieważ
| ?CBD | = 180 ° – ( | ?ACB | + | ?BAC | ) = 180 ° – 90 ° – α = 90 ° – α,
| ?BCD | = 180 ° – ( | ?CBD | + | ?BDC | ) = 180 ° – (90 ° – α) – 90 ° = α, | ?YBM |
180 ° – ( | ?CBD | + | ?CBM | ) = 180 ° – (90 ° – α) – 90 ° = α,
skąd | ?YBM | = | ?BCD | ,
| BM | = | CB | = a,
| ?YMB | = 180 ° – ( | ?MYB | + | ?YBM | ) = 180 – 90 ° – α = 90 ° – α = | ?CBD | .
Odpowiedzi
1004
Wynika z tego, że | MY | = | BD | .
Zatem | LX | + | MY | = | BD | + | AD | = | AB | , a to właśnie należało udowodnić.
Zadanie 5.3.2.20 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Szkic dowodu.Oznaczmy: | AB | = a, | BC | = b, | ?DAB | = α (jak na rysunku).
Wtedy w równoległoboku ABCD:
| AD | = b, | CD | = a, | ?BCD | = α, | ?ABC | = | ?ADC | = 180 ° – α, a w trój-
kątach równobocznych DCL i BCK boki mają długości równe odpowiednio a i b.
Dorysujmy odcinki AL i AK.
Trójkąty ADL i KBA są przystające, co stwierdzamy, powołując się na cechę kąt- bok-kąt, gdyż
• | AD | = | KB | = b,
• | ?ADL | = 360 ° – ( | ?ADC | + | ?CDL | ) = 360 ° – (180 ° – α) – 60 ° = 120 ° + α,
| ?ABK | = 360 ° – ( | ?ABC | + | ?CBK | ) = 360 ° – (180 ° – α) – 60 ° = 120 ° + α,
skąd | ?ADL | = | ?ABK | ,
• | DL | = | BA | = a.
Wynika z tego, że | AL | = | AK | .
Zatem trójkąt LAK jest równoramienny, przy czym | AL | = | AK | , więc dwusieczna kąta LAK
przecina podstawę KL w połowie. Koniec dowodu.
Zadanie 5.3.2.21 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Szkic dowodu.Oznaczmy: | AB | = a, | BC | = b.
Wtedy boki kwadratów ABDE i BCFG mają długości równe odpowiednio a i b.
Trójkąty ABG i DBC są przystające, co stwierdzamy, powołując się na cechę bok-kąt-bok, gdyż
Odpowiedzi
1005
• | AB | = | DB | = a,
• | ?ABG | = | ?DBC | = 90 ° ,
• | BG | = | BC | = b.
Oznaczając przez α miarę kąta GAB, mamy
| ?AGB | = 180 ° – ( | ?GBA | + | ?GAB | ) = 180 – 90 ° – α = 90 ° – α, skąd, wobec przy-
stawania trójkątów ABG i DBC, | ?CDB | = α oraz | ?DCB | = 90 ° – α.
Wybierzmy na półprostej AE taki punkt P, że | AP | = | BG| oraz na półprostej CF taki punkt
Q, że | CQ | = | BD | .
Wtedy czworokąty ABGP i DBCQ są prostokątami o bokach długości a i b. Wobec tego ich przekąt-
ne: AG, PB, CD, BQ są równe (a długość każdej z nich to √a2 + b2) i przecinają się w połowie.
Zatem
• | GK | = | KB | , czyli trójkąt GKB jest równoramienny, więc
| ?KBG | = | ?KGB | = 90 ° – α,
Odpowiedzi
1006
• | DL | = | LB | , czyli trójkąt DLB jest równoramienny, więc
| ?LDB | = | ?LBD | = α.
Odpowiedzi
1007
Wynika z tego, że | ?KBL | = | ?KBG | + | ?GBL | = 90 ° – α + α = 90 ° . Koniec
dowodu. Uwaga. Rozwiązując powyższe zadanie, udowodniliśmy (korzystając z własności
przekątnych w prostokącie), że w dowolnym trójkącie prostokątnym środkowa łącząca
wierzchołek kąta prostego ze środkiem przeciwprostokątnej jest równa połowie długości tej
przeciwprostokątnej.Fakt ten można też udowodnić, korzystając z własności okręgu opisa-
nego na trójkącie prostokątnym. Rozpatrzmy w tym celu trójkąt ABC o kącie prostym przy
wierzchołku C. Ponieważ kąt wpisany ACB jest prosty, to jest oparty na półokręgu, więc środ-
kiem S tego okręgu opisanego jest środek przeciwprostokątnej trójkąta ABC. To znaczy, że
| SC | = r = | SA | = | SB | =12 | AB | (patrz rysunek).
Zadanie 5.3.2.22 (Wróć do zadania)OdpowiedźSzkic dowodu.Oznaczmy przez a długość odcinka AE, przez b – długość odcinka AD.
Zauważmy, że
• | ?ACE | = 180 ° – ( | ?AEC | + | ?CAE | ) = 180 ° – 90 ° – 45 ° = 45 ° , więc trójkąt
AEC jest równoramienny i | CE | = | AE | = a,
• | ?DBA | = 180 ° – ( | ?ADB | + | ?DAB | ) = 180 ° – 90 ° – 45 ° = 45 ° , więc trój-
kąt ADB jest równoramienny i | BD | = | AD | = b,
• | ?DHC | = 180 ° – ( | ?CDH | + | ?HDC | ) = 180 ° – 90 ° – 45 ° = 45 ° , więc trój-
kąt CDH jest równoramienny i | DH | = | DC | .
Wynika z tego, że trójkąty ADH i BDC są przystające, co stwierdzamy, powołując się na cechę bok-
kąt-bok, gdyż
• | AD | = | BD | = b,
• | ?ADH | = 90 ° = | ?BDC | ,
• | DH | = | DC | .
Odpowiedzi
1008
Zatem | AH | = | BC | . Koniec dowodu.
Uwaga. Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie AEC obliczamy długość przeciwprostokątnej AC:
| AC | = √a2 + a2 = √2a2 = √2a. Wobec tego długość każdego z odcinków DH i DC można wyrazić
za pomocą a i b:
| DH | = | DC | = | AC | – | AD | = √2a – b.
Zadanie 5.3.2.23 (Wróć do zadania)OdpowiedźSzkic dowodu. Poprowadźmy przez punkt N prostą równoległą do prostej BC. Przez Q oznaczamy
punkt przecięcia tej prostej z bokiem AB.
Wtedy trójkąt ANQ jest równoramienny i | AN | = | NQ | , więc także | NQ | = | BM | .
Na mocy cechy kąt-bok-kąt trójkąty PNQ i PMB są przystające, skąd | NP | = | PM | .
Odpowiedzi
1009
Zadanie 5.3.2.24 (Wróć do zadania)OdpowiedźSzkic dowodu.Dorysujmy trzy kwadraty: AELK, EGML, GBNM oraz poprowadźmy odcinki DL i LB.
Zauważmy, że przekątna DE kwadratu AEFD tworzy z jego bokiem kąt 45 ° . Należy więc wykazać,
że
| ?AGD | + | ?ABD | = 90 ° – | ?AED | = 90 ° – 45 ° = 45 ° .
Każdy z odcinków DG, BL i DL jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego o przyprostokąt-
nych długości 1 i 2, więc długość każdego z nich jest (na mocy twierdzenia Pitagorasa) równa
√12 + 22 = √5.
Z twierdzenia Pitagorasa mamy też | DB |2
= | DA |2
+ | AB |2
= 12 + 32 = 10. Ponie-
waż | DB | > 0, to | DB | = √10.
W trójkącie DLB mamy | DB |2
= 10 oraz | DL |2
+ | LB |2
= 5 + 5 = 10. Z twierdzenia
odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa mamy więc, że trójkąt DBL jest prostokątny. Jest on też
równoramienny, co znaczy, że | ?LBD | = | ?LDB | = 45 ° .
Ponieważ
• | DA | = 1 = | LE | ,
• | AG | = 2 = | EB | ,
• | GD | = | BL | = √5,
to trójkąty DAG i LEB są przystające, na mocy cechy bok-bok-bok.
Wobec tego | ?AGD | = | ?EBL | .
Ponadto | ?DBA | + | ?EBL | = | ?DBL | = 45 ° , zatem | ?DBA | + | ?AGD | = 45 °. Koniec dowodu.
Odpowiedzi
1010
Zadanie 5.3.2.25 (Wróć do zadania)OdpowiedźSzkic dowodu. Zauważmy, że
| ?MAK | = 90 ° – ( | ?MAB | + | ?KAD | ) = | ?MAK | = 90 ° – (12 ° + 33 ° ) = 45 ° .
Poprowadźmy z punktu A półprostą, która tworzy z półprostymi AM i AK kąty odpowiednio 12 ° i
33 ° . Wybierzmy na tej półprostej taki punkt L, że | AL | = 1.
Odpowiedzi
1011
Wtedy | AL | = | AD | = 1 i | ?LAK | = | ?KAD | = 33 ° , zatem trójkąty DAK i LAK są
przystające na mocy cechy bok-kąt-bok.
Mamy również | AL | = | AB | = 1 i | ?LAM | = | ?BAM | = 12 ° , więc trójkąty BAM i
LAM są przystające na mocy cechy bok-kąt-bok.
Wobec tego | ?ALK | = | ?ADK | = 90 ° oraz | ?MLA | = | ?MBA | = 90 ° . To oznacza,
że punkty M, L i K są współliniowe i w trójkącie AKM punkt L jest spodkiem wysokości opuszczonej
z wierzchołka A.
Długość tej wysokości jest równa 1. Koniec dowodu.
Odpowiedzi
1012
Geometria / Podobieństwo trójkątów /Własności podobieństwaZadanie 5.4.3.1 (Wróć do zadania)OdpowiedźJeżeli DE ? AC oraz odcinki mają długości takie, jak na rysunku, to długość odcinka x jest równa 5.
W trójkącie ABC bok BC ma długość 6. Prosta równoległa do boku AC dzieli bok AB tego trójkąta
w stosunku 2 : 3, licząc od wierzchołka A. Wtedy bok BC zostanie podzielony przez tę prostą na
odcinki długości 2,4 oraz 3,6.
Jeżeli DB ? CE oraz odcinki mają długości takie, jak na rysunku, to długość odcinka AB jest równa
9.
Zadanie 5.4.3.2 (Wróć do zadania)Odpowiedź
| LO | = 4
Odpowiedzi
1013
PCMNPABC
=1
16
Zadanie 5.4.3.3 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Trójkąt SDC jest podobny do trójkąta SAB w skali35 .
Długość odcinka SC jest równa 18.
Zadanie 5.4.3.4 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Rozwiązanie
•
Trójkąt SDC jest podobny do trójkąta SBA, ponieważ odpowiednie kąty (zaznaczone na ry-
sunku kolorami) są wierzchołkowe albo naprzemianległe, czyli równe. Otrzymujemy więc
równanie
2x3x =
5
| AB |
| AB | = 7,5.
| AB | = 7,5a)
2 6b)
PSCD =58
c)
Odpowiedzi
1014
•
Trójkąt SDC jest podobny do trójkąta SBA (patrz podpunkt a)).Mamy więc39 =
| DS || SB |
oraz
| DS | + | SB | = 8. Stąd
13 =
| DS |8 − | DS |
3 | DS | = 8 − | DS |
4 | DS | = 8
| DS | = 2, | SB | = 8 − 2 = 6.
• Trójkąt SDC jest podobny do trójkąta SBA, a skala tego podobieństwa jest równa k =28 =
14 .
Mamy więc
PSDCPSBA
= (14 )
2=
116
PSDC =1
16PSBA =1
16 ∙ 10 =58 .
Zadanie 5.4.3.5 (Wróć do zadania)OdpowiedźW trójkącie prostokątnym ABC stosunek długości przyprostokątnych AB i AC jest równy 15 : 8. Po-
prowadzono wysokość AD. Pole trójkąta ACD jest równe 16. Wtedy pole trójkąta ABC jest równe
72,25.
W trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych długości a i b wysokość poprowadzona z wierz-
chołka kąta prostego jest równaab
√a2 + b2 .
Odpowiedzi
1015
Zadanie 5.4.3.6 (Wróć do zadania)OdpowiedźTrójkąt ABC jest równoramienny o ramionach długości 25 i podstawie długości 30. Wtedy wysoko-
ści w tym trójkącie są równe 20 i 24.
Zadanie 5.4.3.7 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Rozwiązanie
• Trójkąt CEF jest podobny do trójkąta CAB na mocy cechy podobieństwa kąt − kąt − kąt, po-
nieważ trójkąty mają wspólny kąt przy wierzchołku C oraz oba są prostokątne. Kąt odpo-
wiedni w obu trójkątach jest więc równy. Zachodzi więc równość
| CE || CA |
=x
| AB |
7 − x7 =
x4
28 − 4x = 7x
11x = 28
x =2811 .
2811
a)
8 20b)
39,2c)
Odpowiedzi
1016
• Prosta GF jest równoległa do AB, stąd odpowiednie kąty (patrz rysunek) są równe, jako kąty
odpowiadające. Trójkąt CGF jest podobny do trójkąta CAB na mocy cechy podobieństwa
kąt − kąt − kąt.
Przez 2x oznaczmy długość odcinka EF. Wówczas odcinek DE ma długość 5x.Stosunek długo-
ści odpowiednich wysokości w trójkątach podobnych jest równy skali podobieństwa, czyli
jest równy stosunkowi długości odpowiednich boków. Stąd otrzymujemy
16 − 2x16 =
5x40
8 − x8 =
x8
8 − x = x
x = 4.
Długości boków prostokąta DEFG są równe 2x = 8, oraz 5x = 20.
Odpowiedzi
1017
• Zauważmy, że otrzymane trójkąty są do siebie podobne oraz podobne do całego trójkąta
ABC.
Z podobieństwa trójkątów AGE oraz DFB obliczamy długość odcinka BF| AG || DF |
=| EG || FB |
, czy-
li24 =
4
| FB |, skąd | FB | = 8.Długość przeciwprostokątnej trójkąta ABC jest więc równa 14
.Długość przeciwprostokątnej AE w trójkącie AGE obliczymy z twierdzenia Pitagorasa
| AE |2
= 22 + 42 = 20.
Ponieważ | AE | > 0, to
| AE | = 2√5.
Skala podobieństwa trójkąta AGE do trójkąta ACB jest więc równa
k =2√514 = √5
7 .
Pole trójkąta AGE jest równe PAGE = 4. Stosunek pól trójkątów podobnych jest równy kwa-
dratowi skali podobieństwa, czyli
PAGEPACB
=5
49 =4
PACB.
Otrzymujemy więc
PACB =196
5 = 39,2.
Odpowiedzi
1018
Zadanie 5.4.3.8 (Wróć do zadania)Odpowiedź
• | ?CDB | = | ?DBA | , gdyż są to kąty naprzemianległe. Stąd na mocy cechy podobień-
stwa kąt − kąt − kąt trójkąt ABD jest podobny do trójkąta BCD.
Z podobieństwa tych trójkątów otrzymujemy
2015 =
28
| DB |=
| DB || DC |
.
Stąd
| DB | =15 ∙ 28
20 = 21
| DC || DB |
=| DB || AB |
| DC | =212
28 = 15,75.
Obwód trapezu jest równy
L = 20 + 28 + 15 + 15,75 = 78,75.
• Ponieważ trójkąty ABC i BDE są podobne, więc | ?CAB | = | ?EBD | . Punkty A, B i D leżą
na jednej prostej. Otrzymaliśmy więc dwa kąty odpowiadające równej miary. Stąd AC jest
równoległe do BE. Figura ABEC jest więc trapezem. Odcinek KM łączy środki jego ramion,
jest więc równoległy do podstaw AC oraz BE, zatem
| ?CAB | = | ?MKB | = | ?EBD | .
Podobnie można wykazać, że figura CBDE jest trapezem. Odcinek ML łączy środki jego ramion,
zatem jest równoległy do podstaw CB i DE trapezu CBDE. Stąd
| ?CBA | = | ?MLA | = | ?EDA | .
Odpowiedzi
1019
Z cechy podobieństwa kąt − kąt − kąt wynika, że trójkąty KLM, ABC, BDE są podobne.
Aplikacja na epodreczniki.pl
• Przekształćmy równość daną w zadaniu do postaci| AS || CS |
=| BS || DS |
. Zauważmy, że miara
kąta DSC jest równa mierze kąta ASB, ponieważ są to kąty wierzchołkowe. Zatem trójkąty
ABS i CDS są podobne, co wynika z cechy podobieństwa trójkątów bok − kąt − bok. Wynika
stąd, że
| ?CDS | = | ?SBA | .
Są to kąty naprzemianległe i równe, zatem bok CD jest równoległy do AB. Czworokąt ABCD jest
więc trapezem.
Zadanie 5.4.3.9 (Wróć do zadania)OdpowiedźStosunek pól dwóch trójkątów podobnych wynosi 144 : 225. Wówczas stosunek obwodów tych
trójkątów jest równy 12 : 15.
Zadanie 5.4.3.10 (Wróć do zadania)OdpowiedźWysokość trapezu jest równa 4, a odcinek łączący środki ramion trapezu ma długość 5. Wtedy po-
le tego trapezu jest równe 20.
W trapezie o podstawach długości a i b (gdzie b > a) odcinek łączący środki przekątnych ma dłu-
gośćb − a
2 .
Zadanie 5.4.3.11 (Wróć do zadania)Odpowiedź24
Odpowiedzi
1020
Zadanie 5.4.3.12 (Wróć do zadania)Odpowiedź1 : 1
Zadanie 5.4.3.13 (Wróć do zadania)Odpowiedź4,8
Zadanie 5.4.3.14 (Wróć do zadania)Odpowiedź13
Zadanie 5.4.3.15 (Wróć do zadania)Odpowiedź18 m
Zadanie 5.4.3.16 (Wróć do zadania)Odpowiedź14
Zadanie 5.4.3.17 (Wróć do zadania)Odpowiedź8√3 − 12
Zadanie 5.4.3.18 (Wróć do zadania)Odpowiedź12013
Zadanie 5.4.3.19 (Wróć do zadania)Odpowiedź
2212
Zadanie 5.4.3.20 (Wróć do zadania)Odpowiedź4 i 16
Zadanie 5.4.3.21 (Wróć do zadania)Odpowiedź9
Odpowiedzi
1021
Rozwiązanie
Trójkąty CDE i CAB mają wspólny kąt DCE oraz boki przy tym kącie są proporcjonalne
| CD || CA |
=x
3x =13
| CE || CB |
=y
3y =13 .
Zatem trójkąty CDE i CAB są podobne, co wynika z cechy podobieństwa bok − kąt − bok. Skala te-
go podobieństwa jest równa13 .
Boki trójkąta DEC są więc równe
| CE | =13 ∙ 9 = 3, | CD | =
13 ∙ 6 = 2, | DE | =
13 ∙ 12 = 4.
Ostatecznie obwód trójkąta DEC jest równy
LDEC = 3 + 2 + 4 = 9.
Zadanie 5.4.3.22 (Wróć do zadania)Odpowiedź1 : 8 : 27
Odpowiedzi
1022
Rozwiązanie
Pole trapezu DEGF obliczymy jako różnicę pól trójkątów CEG i CDF.
Trójkąt CDF jest podobny do trójkąta CEG (na mocy cechy podobieństwa kąt − kąt − kąt) oraz
k =x
3x =13 . Stosunek pól tych trójkątów jest równy kwadratowi skali podobieństwa
PCDFPCEG
=19 .
Stąd
PCEG = 9PCDF,
a zatem
PDEGF = 9PCDF − PCDF = 8PCDF.
Pole trapezu EABG obliczymy jako różnicę pól trójkątów CAB i CEG.
Trójkąt CDF jest podobny do trójkąta CAB (na mocy cechy podobieństwa kąt − kąt − kąt) oraz
k =x
6x =16 . Stosunek pól tych trójkątów jest równy kwadratowi skali podobieństwa
PCDFPCAB
=1
36 .
Stąd
PCEG = 36PCDF,
a zatem
PEABG = 36PCDF − 9PCDF = 27PCDF.
Odpowiedzi
1023
Zadanie 5.4.3.23 (Wróć do zadania)Odpowiedź6 i 10
Rozwiązanie
Trójkąty SDC oraz SAB są podobne na mocy cechy podobieństwa kąt − kąt − kąt. Otrzymujemy
równanie
| SD |
| SD | + | DA |=
| DC || AB |
3
3 + | DA |=
618
3
3 + | DA |=
13
3 + | DA | = 9
| DA | = 6.
Z podobieństwa trójkątów SDC oraz SAB mamy też
| SC |
| SC | + | CB |=
| DC || AB |
5
5 + | DA |=
618
5
5 + | DA |=
13
Odpowiedzi
1024
5 + | DA | = 15
| DA | = 10.
Zadanie 5.4.3.24 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Oznaczmy przez α kąt w trójkącie ABC znajdujący się przy wierzchołku A. Zauważmy, ze trójkąty
ADC oraz CBD mają kąty 90 ° , α, 90 ° − α. Zatem trójkąty ADC oraz CDB są podobne, na mocy ce-
chy podobieństwa kąt − kąt − kąt. Możemy napisać proporcję
| CD || BD |
=| AD || CD |
,
z której otrzymujemy
| CD |2
= | AD | ∙ | BD | .
Ponieważ | CD | > 0, to
| CD | = √ | AD | ∙ | BD | .
Zadanie 5.4.3.25 (Wróć do zadania)Odpowiedź6
Odpowiedzi
1025
Rozwiązanie
Kąty ASB oraz CSD są wierzchołkowe, zatem mają taką samą miarę. Kąty DCS oraz BAS są naprze-
mianległe. Ponieważ podstawy trapezu są równoległe, miary kątów DCS i BAS są równe. Podobnie
równe są miary kątów naprzemianległych SDC i SBA.
Trójkąt ASB jest podobny do trójkąta CSD na mocy cechy kąt − kąt − kąt podobieństwa trójkątów.
Skala podobieństwa wynosi53 .
Stąd
| AB || CD |
=53
10
| CD |=
53 .
Zatem
| CD | = 6.
Zadanie 5.4.3.26 (Wróć do zadania)Odpowiedź48
Odpowiedzi
1026
RozwiązanieOdcinek GF jest równoległy do AB, skąd miary odpowiednich kątów są równe jako kątów odpowia-
dających. Trójkąt CGF jest podobny do trójkąta CAB na mocy cechy podobieństwa kąt − kąt − kąt.
Stosunek odpowiednich wysokości w trójkątach podobnych jest równy skali podobieństwa, czyli
jest równy stosunkowi długości odpowiednich boków. Stąd otrzymujemy
9 − 3x9 =
4x24
3 − x3 =
x6
3 − x =x2
6 = 3x
x = 2.
Boki prostokąta EFGD są równe 3x = 6 oraz 4x = 8, zatem pole jest równe 6 ∙ 8 = 48.
Zadanie 5.4.3.27 (Wróć do zadania)Odpowiedź12524
RozwiązanieOznaczmy miarę kąta ABC przez α. Mamy wówczas
| ?BAC | = 90 ° − α.
Kąt HAB jest kątem półpełnym, więc
| ?HAE | = 180 ° − 90 ° − (90 ° − α) = α.
Odpowiedzi
1027
Zatem trójkąty prostokątne ABC i HAE są podobne na mocy cechy kąt − kąt − kąt podobieństwa
trójkątów. Z proporcji
5
| EH |=
125
mamy
| EH | =2512 .
Pole trójkąta HAE wynosi
PHAE =12 ∙ | EH | ∙ | EA | =
12 ∙ 25
12 ∙ 5 =12524 .
Zadanie 5.4.3.28 (Wróć do zadania)Odpowiedź16
Rozwiązanie
Zaznaczmy odcinek PE równoległy do BC oraz odcinek CE równoległy do AB. Powstały trójkąt CEP
jest podobny do trójkąta ABC. Skala tego podobieństwa jest równa
k =x
3x =13 .
Stosunek wysokości trójkątów podobnych jest równy skali podobieństwah1h =
13 , skąd h = 3h1.
Trójkąt DCP oraz równoległobok ABCD mają podstawę tej samej długości. Oznaczmy ją przez a.
Pola tych figur wyrażają się wzorami
PDCP =12ah1,
PABCD = ah = a ∙ 3h1.
Zatem stosunek tych pól jest równy
Odpowiedzi
1028
PDCPPABCD
=
12
ah1
a ∙ 3h1=
16 .
Zadanie 5.4.3.29 (Wróć do zadania)Odpowiedź7 : 1
Rozwiązanie
Długość odcinka | DK | wynosi
| DK | = | CD | − | CK | ,
czyli
| DK | = 8 − 2 = 6.
Oznaczmy przez L punkt wspólny prostej MK i boku AB. Trójkąty DKL i DCB są podobne na mocy
cechy kąt − kąt − kąt podobieństwa trójkątów (ponieważ proste KL i CB są równoległe, więc kąty
odpowiadające są sobie równe). Otrzymujemy proporcję| DB || DL |
=| DC || DK |
, czyli| DB || DL |
=86 =
43 .
Oznaczmy długość odcinka BL przez x. Mamy wtedy | DL | = 3x oraz | DB | = 4x.
Punkt D jest środkiem odcinka AB. Stąd
| AD | = | DB | = 4x.
Trójkąt ALM jest podobny do trójkąta ABC (na mocy cechy kąt − kąt − kąt podobieństwa trój-
kątów). Mamy więc| AM || AC |
=| AL || AB |
, czyli| AM || AC |
=7x8x =
78 . Otrzymujemy
| AM | =78 | AC | ,
skąd
Odpowiedzi
1029
| MC | = | AC | − | AM | =18 | AC | .
Szukany stosunek wynosi| AM || MC |
=
78 | AC |
18 | AC |
= 7. Ostatecznie | AM | : | MC | = 7 : 1.
Zadanie 5.4.3.30 (Wróć do zadania)Odpowiedź1625
Rozwiązanie
Odcinek DE jest wysokością rombu.
Trójkąty AEF i CDF są podobne na mocy cechy kąt − kąt − kąt podobieństwa trójkątów (odpowied-
nie kąty w obu trójkątach są równe jako wierzchołkowe albo naprzemianległe). Otrzymujemy pro-
porcję| AE || CD |
=| EF || DF |
, czyli| AE || CD |
=1213 . Oznaczmy
| AE | = 12x, | CD | = 13x.
Czworokąt ABCD jest rombem, stąd wszystkie jego boki mają tę samą długość, zatem
| AD | = | CD | = 13x.
Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta AED otrzymujemy
(12x)2
+ 252 = (13x)2
144x2 + 625 = 169x2
25x2 = 625
Ponieważ x > 0, to
Odpowiedzi
1030
x = 5.
Stąd
| AB | = 13 ∙ 5 = 65.
Otrzymujemy pole
P = | AB | ∙ | DE | = 65 ∙ 25 = 1625.
Zadanie 5.4.3.31 (Wróć do zadania)Odpowiedź72
Rozwiązanie
• I sposób
Pole trójkąta ABC jest równe
PABC =12 ∙ 13,6 ∙ 22,5 = 173,4.
Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta ABC mamy
| AB | = √(13,6)2
+ (25,5)2
= 28,9.
Długość odcinka DB jest równa
| DB | = | AB | − | AD | = 28,9 − 8,5 = 20,4.
Trójkąty ADE i ABC są podobne na mocy cechy kąt − kąt − kąt podobieństwa trójkątów. Skala tego
podobieństwa jest równa
k =8,5
28,9 =85
289 =5
17 .
Odpowiedzi
1031
Stosunek pól tych trójkątów jest równy kwadratowi skali podobieństwaPADEPABC
= ( 517 )
2=
25289 . Otrzy-
mujemy
PADE =25
289PABC.
Trójkąty DBF i ABC są podobne na mocy cechy kąt − kąt − kąt podobieństwa trójkątów i skala tego
podobieństwa jest równa
k1 =20,428,9 =
204289 =
1217 .
Wtedy stosunek pól tych trójkątów jest równyPDBFPABC
= (1217 )
2=
144289 , skąd PDBF =
144289PABC.
Pole prostokąta DFCE wynosi
PDFCE = PABC − PADE − PDBF = PABC − 25289PABC − 144
289PABC =120289PABC,
czyli
PDFCE =120289 ∙ 173,4 = 72.
• II sposób
Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta ABC mamy
| AB | = √(13,6)2
+ (25,5)2
= 28,9.
Długość odcinka DB jest równa
| DB | = | AB | − | AD | = 28,9 − 8,5 = 20,4.
Trójkąty ADE i ABC są podobne na mocy cechy kąt − kąt − kąt podobieństwa trójkątów. Otrzymu-
jemy więc| ED |
25,5 =8,5
28,9 , skąd
| ED | = 7,5.
Trójkąty ABF i ABC są podobne na mocy cechy kąt − kąt − kąt podobieństwa trójkątów. Otrzymu-
jemy więc| FD |
13,6 =20,428,9 , skąd
| FD | = 9,6.
Szukane pole jest więc równe
PDFCE = 7,5 ∙ 9,6 = 72.
Odpowiedzi
1032
Zadanie 5.4.3.32 (Wróć do zadania)Odpowiedź
Długości odcinków EB i BF są odpowiednio równe 4 i 12.
Trójkąty AEK i CDK są podobne na mocy cechy kąt − kąt − kąt podobieństwa trójkątów (równe kąty
są zaznaczone kolorami na rysunku).
Mamy więc proporcję| AE || CD |
=| AK || CK |
, czyli| AK || CK |
=8
12 .
Stąd | AK | =23 | CK | .
Wiemy, że | AC | = | AK | + | KC | . Zatem | AK | =25 | AC | .
Odpowiedzi
1033
Trójkąty CFL i ADL są podobne na mocy cechy kąt − kąt − kąt podobieństwa trójkątów (równe kąty
są zaznaczone kolorami na rysunku).
Mamy więc| CF || AD |
=| LC || AL |
, czyli| LC || AL |
=4
16 .
Stąd | LC | =14 | AL | .
Wiemy, że | AC | = | AL | + | LC | . Zatem
| LC | =15 | AC | .
Otrzymujemy więc
| AK || LC |
=
25 | AC |15 | AC |
= 2.
Stąd
| AK | = 2 | LC | .
Zadanie 5.4.3.33 (Wróć do zadania)Odpowiedź
8 : 3a)
5 : 3b)
5 : 6c)
Odpowiedzi
1034
Rozwiązanie
Oznaczmy długość odcinka AD przez 5x, a długość odcinka DB przez 11x. Punkt K dzieli odcinek
AB na połowy. Stąd | KB | = 8x oraz | DK | = 3x.
• Trójkąt BKL jest podobny do trójkąta BDC na mocy cechy kąt − kąt − kąt podobieństwa trój-
kątów. Stąd| BK || BD |
=| BL || BC |
, czyli| BL || BC |
=8x
11x =8
11 . Otrzymaliśmy więc
| BL | =8
11 | BC | ,
stąd
| LC | =3
11 | BC | .
Szukany stosunek jest równy| BL || LC |
=
811 | BC |3
11 | BC |=
83 .
• Trójkąt ADC jest podobny do trójkąta AKM na mocy cechy kąt − kąt − kąt podobieństwa trój-
kątów. Stąd| AD || AK |
=| AC || AM |
, czyli| AC || AM |
=5x8x =
58 . Otrzymaliśmy więc
| AC | =58 | AM | ,
stąd
| CM | =38 | AM | .
Szukany stosunek jest równy| AC || CM |
=
58 | AM |38 | AM |
=53 .
Odpowiedzi
1035
• Z podobieństwa trójkątów BKL i BDC mamy| KL || CD |
=| BK || BD |
=8
11 .
Stąd
| KL | =8
11 | CD | =4055 | CD | .
Z podobieństwa trójkątów ADC i AKM mamy
| CD || KM |
=| AD || AK |
=58 .
Stąd
| KM | =85 | CD | =
8855 | CD | .
Otrzymujemy| KL || KM |
=
4055 | CD |
8855 | CD |
=5
11 . Zatem
| KL | =5
11 | KM | ,
skąd
| LM | =6
11 | KM | .
Szukany stosunek jest równy| KL || LM |
=
511 | KM |
611 | KM |
=56 .
Zadanie 5.4.3.34 (Wróć do zadania)Odpowiedź8
Rozwiązanie
Odpowiedzi
1036
Trójkąty ABS i CDS są podobne na mocy cechy kąt − kąt − kąt podobieństwa trójkątów (kąty o rów-
nej mierze są zaznaczone na rysunku kolorami).
Mamy proporcję| AS || CS |
=| AB || CD |
, czyli| AS || CS |
=205 , skąd | AS | = 4 | CS | .
Oznaczmy długość boku CS przez x. Mamy wtedy | AS | = 4x oraz | AC | = 5x.
Trapez ABCD jest równoramienny, więc trójkąty ABS i CDS też są równoramienne, zatem
| DS | = x, | BS | = 4x
oraz
| BD | = 5x.
Trójkąty BKS i BCD są podobne na mocy cechy kąt − kąt − kąt podobieństwa trójkątów.
Odpowiedzi
1037
Mamy więc| KS || CD |
=| BS || BD |
, czyli| KS |
5 =4x5x . Stąd | KS | = 4.
Analogicznie trójkąty DLS i DAB są podobne na mocy cechy kąt − kąt − kąt podobieństwa trój-
kątów.
Mamy więc| LS || CD |
=| AS || AC |
, czyli| LS |
5 =4x5x . Stąd | LS | = 4.
Otrzymujemy
| KL | = | LS | + | KS | = 4 + 4 = 8.
Zadanie 5.4.3.35 (Wróć do zadania)Odpowiedź245 , 4 i 5
Odpowiedzi
1038
Rozwiązanie
Oznaczmy długość boku rombu przez x. Mamy wówczas | AF | = 8 − x, | BE | = 12 − x.
Trójkąty ADF i DBE są podobne na mocy cechy kąt − kąt − kąt podobieństwa trójkątów. Stąd otrzy-
mujemy| AF || DE |
=| FD || EB |
, czyli8 − x
x =x
12 − x . Zatem
(8 − x)(12 − x) = x2
96 − 12x − 8x + x2 = x2
20x = 96
x =245 .
Zatem
| FD | = | DE | =245
| AF | = 8 − 245 =
165
| BE | = 12 − 245 =
365 .
Trójkąty ADF i ABC są podobne na mocy cechy kąt − kąt − kąt podobieństwa trójkątów. Stąd otrzy-
mujemy| AF || AC |
=| AD || AB |
, czyli
1658 =
| AD |10 . Stąd | AD | = 4 oraz
Odpowiedzi
1039
| DB | = | AB | − | AD | = 10 − 4 = 6.
Zadanie 5.4.3.36 (Wróć do zadania)Odpowiedź128
Rozwiązanie
Trójkąty ADF i ABC są podobne na mocy cechy kąt − kąt − kąt podobieństwa trójkątów oraz trój-
kąty DBE i ABC są podobne na mocy cechy kąt − kąt − kąt podobieństwa trójkątów.
Stosunek pól trójkątów podobnych jest równy kwadratowi podobieństwa, więc
PADFPABC
= ( | AD || AB | )
2
orazPDBEPABC
= ( | BD || AB | )
2
.
Ponieważ | AD | > 0, | AB | > 0, | DB | > 0, to
| AD || AB |
= √ 18PABC
oraz| BD || AB |
= √ 50PABC
.
Zatem | AD | = √ 18PABC
|AB| oraz | BD | = √ 50PABC | AB | .
Ponieważ | AD | + | BD | = | AB | , to otrzymujemy równanie
√ 18PABC | AB | + √ 50
PABC| AB | = | AB |
√ 18PABC
+ √ 50PABC
= 1
√18
√PABC+ √50
√PABC= 1
√18 + √50 = PABC
Odpowiedzi
1040
PABC = 3√2 + 5√2
PABC = 8√2
PABC = 128.
Odpowiedzi
1041
Geometria / Kąty w trójkącie. Styczna dookręgu / ZadaniaZadanie 5.5.6.1 (Wróć do zadania)OdpowiedźPunkt S jest środkiem okręgu. Wówczas zaznaczony na rysunku kąt α ma miarę 145 ° .
Punkty A, B, C, D leżą na okręgu o środku w punkcie S (zobacz rysunek). Wtedy kąt α ma miarę
52 ° .
Odpowiedzi
1042
Zadanie 5.5.6.2 (Wróć do zadania)Odpowiedź
| ?ACB | = 45 °
| ?SCB | = 15 °
Zadanie 5.5.6.3 (Wróć do zadania)Odpowiedźα = 55 °
γ = 35 °
Zadanie 5.5.6.4 (Wróć do zadania)OdpowiedźI-b, II-d, III-e, IV-c, V-a
Rozwiązanie
I. r1 + r2 = 2 + 4√2 − 2 = 4√2 = | S1S2 | . Zatem okręgi są styczne zewnętrznie.
II. r1 + r2 = √3 + 4 + 5√3 = 6√3 + 4, | r1 − r2 | = 5√3 − √3 − 4 = 4√3 − 4, | S1S2 | = 4√3.
Mamy więc | r1 − r2 | < | S1S2 | < r1 + r2. Zatem okręgi przecinają się.
III. r1 + r2 = 2 + 7 = 9, | S1S2 | = 10. Mamy więc | S1S2 | > r1 + r2. Zatem okręgi są roz-
łączne zewnętrznie.
IV. | r1 − r2 | = | 2 − 5 | = 3 > 1 = | S1S2 | . Zatem okręgi są rozłączne wewnętrznie.
V. | r1 − r2 | = | 3 − √2 − 2 + √2 | = 1. Zatem okręgi są styczne wewnętrznie.
Zadanie 5.5.6.5 (Wróć do zadania)Odpowiedź
4, 2 + √3
a)
Odpowiedzi
1043
Rozwiązanie
Poprowadźmy promienie okręgów jak na rysunku.
Trójkąt, który łączy środki okręgów jest równoboczny i jego bok ma długość 2r = 2. Zatem
bok AB prostokąta ABCD jest równy
r + 2r + r = 4r = 4.
Bok AD prostokąta jest równy sumie dwóch odcinków długości 1 i wysokości trójkąta rów-
nobocznego o boku długości 2. Zatem
| AD | = 2r +2r√3
2 = 2 + √3.
a)
Odpowiedzi
1044
Zadanie 5.5.6.6 (Wróć do zadania)Odpowiedź24
RozwiązanieZ twierdzenia o odcinkach stycznych wynika, że
| AO | = | BO | , | AD | = | DC | , | BE | = | CE | .
Zatem obwód trójkąta ADE jest równy
LDEO = | EO | + | DO | + | ED | = | EO | + | DO | + | CE | + | DC | =
| EO | + | DO | + | BE | + | AD | = | EO | + | BE | + | DO | + | AD |
= | BO | + | AO | = 12 + 12 = 24
Oznaczmy środki trzech mniejszych okręgów przez S1, S2, S3, środek czwartego okręgu
przez S, a jego promień – przez R (jak na rysunku). Ponieważ |S1 S2 | = |S2 S3| = |S3S1 | = 2,
to trójkąt S1 S2 S3 jest równoboczny. Każdy z odcinków SS1 , SS2 , SS3 jest równy R – 1, więc
punkt S jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie równobocznym S1 S2 S3. Wynika z te-
go, że
R − 1 = √33 ? 2,
stąd
R =2√3
3 + 1.
a)
Odpowiedzi
1045
Zadanie 5.5.6.7 (Wróć do zadania)Odpowiedź5
Rozwiązanie
Niech A i B będą końcami cięciwy o długości 24. Odległość środka S okręgu od cięciwy AB jest
wysokością trójkąta równoramiennego ABS opuszczoną na podstawę AB. Ramiona AS i BS tego
trójkąta mają długość | AS | = | SB | = 13. Spodek C wysokości SC jest środkiem podstawy AB
trójkąta ABC. Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta ASC otrzymujemy
| SC |2
+ 122 = 132.
Ponieważ | SC | > 0, to
Stąd | SC | = 5.
Zadanie 5.5.6.8 (Wróć do zadania)Odpowiedźpunkty A i B dzielą okrąg na dwa łuki długości 2,4π oraz 5,6π
Zadanie 5.5.6.9 (Wróć do zadania)Odpowiedźpromień okręgu wpisanego w trójkąt ABC jest równy 3
pole trójkąta ABC jest równe 84
długości przyprostokątnych trójkąta ABC różnią się o 17
Odpowiedzi
1046
Zadanie 5.5.6.10 (Wróć do zadania)Rozwiązanie
Kąt DPA to kąt wpisany w okrąg oparty na średnicy AD tego okręgu, zatem ma miarę 90 ° . Po-
dobnie kąt APB, który jest kątem wpisanym opartym na średnicy AB drugiego z okręgów, więc
również ma miarę 90 ° . Wynika stąd, że kąt DPB ma miarę równą 90 ° + 90 ° = 180 ° , co oznacza,
że punkty B, P i D leżą na jednej prostej.
Zadanie 5.5.6.11 (Wróć do zadania)Odpowiedź
2(4π3 − √3)a)
24b)
Odpowiedzi
1047
Rozwiązanie
Zauważmy, że wspólna cięciwa tych dwóch kół dzieli ich część wspólną na dwa przystające
odcinki koła.
Oznaczmy przez A i B punkty przecięcia okręgów obu kół. Poprowadźmy promienie obu
kół. W trójkątach S1S2A i S1S2B każdy z boków ma długość 2, więc oba te trójkąty są równo-
boczne.
Kąt środkowy wycinka koła o środku S1, opartego na łuku AS2B, ma miarę 120 ° , więc jego
pole jest równe
Pwycinka =120 °360 ° π ∙ 4 =
4π3 .
a)
Odpowiedzi
1048
Pole P1 + P2 zaznaczonej figury obliczamy, odejmując pole półkola o średnicy 10 od sumy pola
trójkąta ABC i dwóch półkoli o średnicach 6 i 8.
Suma pól trójkąta i dwóch półkoli o średnicach 6 i 8, a więc o promieniach 3 i 4, jest równa
P =6 ∙ 8
2 +9π2 +
16π2 = 24 +
25π2 .
Pole półkola o średnicy 10, a więc o promieniu 5, jest równe25π
2 . Stąd pole zacieniowanej figury
jest równe
P = 24 +25π
2 − 25π2 = 24.
Suma P1 + P2 pól dwóch księżyców Hipokratesa jest więc równa polu trójkąta ABC.
Długość podstawy AB trójkąta AS1B jest równa podwojonej wysokości trójkąta równobocz-
nego o boku 2, natomiast wysokość opuszczona na tę podstawę z wierzchołka S1 jest rów-
na 1. Zatem pole trójkąta AS1B jest równe
PAS1B =2√3
2 = √3.
Stąd wynika, że pole P1 odcinka koła jest równe
Pwycinka − PAS1B =4π3 − √3.
Pole części wspólnej rozważanych kół jest równe
P = 2(4π3 − √3).
Przeciwprostokątna tego trójkąta ma długość 10, co stwierdzamy, stosując twierdzenie Pita-
gorasa.
b)
Odpowiedzi
1049
Można wykazać, że analogiczna równość pól zachodzi dla dowolnego trójkąta prostokątnego. Wy-
kazanie tego faktu proponujemy jako pouczające ćwiczenie.
Zadanie 5.5.6.12 (Wróć do zadania)Odpowiedźα = 90 ° , β = 55 ° , γ = 50 °
Zadanie 5.5.6.13 (Wróć do zadania)Odpowiedź30 °
Zadanie 5.5.6.14 (Wróć do zadania)Odpowiedźπ
Zadanie 5.5.6.15 (Wróć do zadania)Odpowiedźr1 = 3 i r2 = 6
Zadanie 5.5.6.16 (Wróć do zadania)Odpowiedź100%
Zadanie 5.5.6.17 (Wróć do zadania)Odpowiedź100 °
Zadanie 5.5.6.18 (Wróć do zadania)Odpowiedź20
Zadanie 5.5.6.19 (Wróć do zadania)Odpowiedź16
Zadanie 5.5.6.20 (Wróć do zadania)Odpowiedź8π − 8√3
Zadanie 5.5.6.21 (Wróć do zadania)Odpowiedź8 i 15
Zadanie 5.5.6.22 (Wróć do zadania)Odpowiedź16
Odpowiedzi
1050
Rozwiązanie
Koniec A jednej z cięciw, jej środek E i środek S okręgu to wierzchołki trójkąta prostokątnego, w
którym
| AS | = 17, | AE | =12 | AB | = 15.
Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy
| ES | = √172 − 152 = 8.
Stąd odległość między cięciwami jest równa
| EF | = 16.
Zadanie 5.5.6.23 (Wróć do zadania)Odpowiedź42
RozwiązanieZ twierdzenia o odcinkach stycznych otrzymujemy
| AD | = | AF | = 6
| CE | = | CF | = 5
Odpowiedzi
1051
| BD | = | BE | = 10.
Obwód trójkąta ABC jest równy L = 2 ∙ 6 + 2 ∙ 5 + 2 ∙ 10 = 42.
Zadanie 5.5.6.24 (Wróć do zadania)Odpowiedź70 °Rozwiązanie
Suma miar kątów w czworokącie ASBC jest równa 360 ° , zatem
360 ° = 110 ° + 90 ° + α + 90 ° ,
skąd α = 70 ° .
Odpowiedzi
1052
Zadanie 5.5.6.25 (Wróć do zadania)Odpowiedź252 (π
3 − √32 )
RozwiązanieMiara kąta środkowego ASB opartego na łuku AB jest dwa razy większa od miary kąta wpisanego
ACB, więc | ?ASB | = 60 ° .
Pole wycinka ASB o kącie 60 ° i promieniu 5 jest równe
60 °360 ° π ∙ 25 =
25π6 .
Trójkąt ASB jest równoboczny, więc jego pole jest równe
PASB =52√3
4 =25√3
4 .
Zatem szukane pole zacieniowanego odcinka jest równe
Pwycinka − PASB =25π
6 − 25√34 =
252 (π
3 − √32 ).
Zadanie 5.5.6.26 (Wróć do zadania)Odpowiedź4 i 12
RozwiązanieOkręgi są styczne zewnętrznie, zatem
| S1S2 | = 6 + 2 = 8.
Trójkąty OS1G oraz OS2H są podobne (oba są prostokątne i mają wspólny kąt ostry przy wierz-
Odpowiedzi
1053
chołku O, więc trzeci kąt też mają taki sam. Korzystamy z cechy kąt − kąt − kąt podobieństwa trój-
kątów). Z tego otrzymujemy
| GS1 || S1O |
=| HS2 |
| S1S2 | + | S1O |
2
| S1O |=
6
8 + | S1O |
1
| S1O |=
3
8 + | S1O |
8 + | S1O | = 3 | S1O |
2 | S1O | = 8
| S1O | = 4
| S2O | = | S1O | + | S1S2 | = 4 + 8 = 12.
Zadanie 5.5.6.27 (Wróć do zadania)Odpowiedź24
Rozwiązanie
Odpowiedzi
1054
Ponieważ AB jest styczną, więc promień CS mniejszego okręgu jest prostopadły do AB. Z twierdze-
nia Pitagorasa wynika, że długość odcinka CB jest równa
| CB | = √132 − 52
= √144 = 12.
Trójkąt ASB jest równoramienny, gdyż | AS | = | BS | = 13 . Zatem wysokość SC dzieli jego
podstawę AB na połowy. Cięciwa AB ma więc długość 24.
Zadanie 5.5.6.28 (Wróć do zadania)Odpowiedź24017
Rozwiązanie
Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie AOS obliczymy długość odcinka SO
| SO | = √82 + 152 = √289 = 17.
Czworokąt AOBS jest deltoidem, którego pole możemy obliczyć na dwa sposoby.
Przekątne deltoidu AB i SO przecinają się pod kątem prostym. Stąd
PAOBS =| AB | ∙ | SO |
2 =| AB | ∙ 17
2 .
Z drugiej strony deltoid składa się z dwóch przystających trójkątów prostokątnych, więc
PAOBS = 2 ∙ 8 ∙ 152 = 120.
Otrzymujemy w ten sposób równanie
| AB | ∙ 17
2 = 120,
z którego obliczamy
Odpowiedzi
1055
| AB | =24017 .
Zadanie 5.5.6.29 (Wróć do zadania)Odpowiedź35 ° , 16 ° , 129 °Rozwiązanie
Kąt ACB jest wpisany w okrąg i oparty na łuku AB, na którym oparty jest też kąt środkowy ASB.
Zatem miara kąta ACB jest równa
| ?ACB | =12 | ?ASB | =
12 ∙ 32 ° = 16 ° .
Wklęsły kąt środkowy ASC ma miarę 360 ° − (70 ° + 32 ° ) = 258 ° . Kąt środkowy ASC jest oparty
na łuku AC, na którym oparty jest też kąt wpisany ABC. Zatem miara kąta ABC jest równa
| ?ABC | =12 | ?ASC | =
12 ∙ 258 ° = 129 ° .
Miara trzeciego kąta BAC trójkąta jest równa 180 ° − 129 ° − 16 ° = 35 ° .
Zadanie 5.5.6.30 (Wróć do zadania)Odpowiedź5 i 15 lub 2,5 i 7,5
Odpowiedzi
1056
Rozwiązanie
• I przypadek
Trójkąty OS1A oraz OS2B są podobne, co wynika z cechy kąt − kąt − kąt podobieństwa trój-
kątów (Kąt AOS1 jest wspólnym kątem obu trójkątów i oba są prostokątne, zatem trzeci kąt
też musi mieć taką samą miarę). Zatem
| AS1 || BS2 |
=| OS1 || OS2 |
,
czyli
26 =
| OS1 || OS1 | + 10
13 =
| OS1 || OS1 | + 10
| OS1 | + 10 = 3 | OS1 |
| OS1 | = 5.
Mamy więc
| OS2 | = 5 + 10 = 15.
Odpowiedzi
1057
• II przypadek
Podobnie jak w przypadku I wykazujemy, że trójkąty OS1A oraz OS2B są podobne, więc
| AS1 || BS2 |
=| OS1 || OS2 |
,
czyli
26 =
| OS1 |10 − | OS1 |
13 =
| OS1 |10 − | OS1 |
10 − | OS1 | = 3 | OS1 | ,
skąd | OS1 | = 2,5 oraz | OS1 | = 10 − 2,5 = 7,5.
Zadanie 5.5.6.31 (Wróć do zadania)OdpowiedźTrójkąt ABC jest prostokątny. Wynika to z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa, po-
nieważ
122 + 52 = 132.
Promień okręgu wpisanego w trójkąt ABC jest równy
r =a + b − c
2 =5 + 12 − 13
2 = 2.
Odpowiedzi
1058
Wierzchołek kąta prostego, środek okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny oraz punkty styczno-
ści tego okręgu z przyprostokątnymi to wierzchołki kwadratu, którego bok ma długość równą pro-
mieniowi okręgu wpisanego. Stąd wynika, że punkty D i E są punktami styczności.
Niech G oznacza punkt styczności okręgu wpisanego w trójkąt z przeciwprostokątną AB. Z twier-
dzenia o odcinkach stycznych wynika, że
| BD | = | BG | = 3,
ale to oznacza, że punkt G pokrywa się z punktem F. To kończy dowód.
Odpowiedzi
1059
Rozdział 7. O e-podręczniku
Cele kształcenia - wymagania ogólne:
Moduł: Funkcja / Pojęcie funkcji / Wprowadzenie
Autorzy: Jacek Stańdo, Henryk Dąbrowski, Hanna Drabik - Zalewska, Gertruda Gwóźdź - Łukawska, Krzysztof Kisiel,
Paweł Kwiatkowski, Agnieszka Zajączkowska, Dorota Krawczyk - Stańdo, Grzegorz Kusztelak, Witold Walas, Adam Depta,
Kinga Gałązka, Andrzej Just, Dominik Kłys, Iwona Krawczyk-Kłys, Jacek Kucharski, Renata Kusztelak, Alicja Laskowska,
Piotr Mazur, Jan Omieciński, Bronisław Pabich, Dorota Palka - Rutkowska, Iwona Pecyna, Marek Pisarski, Alina Saganiak,
Bartosz Sakowicz, Izabela Sakwa, Sławomir Sapanowski, Jolanta Schilling, Marzena Sławińska, Iwona Staniec, Aneta
Stasiak, Katarzyna Szczepaniak, Bożenna Szkopińska, Renata Wojtuś, Izabella Żółtaszek, Katarzyna Szablewska i Kinga
Antonijczuk
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iTaIFCUVjc/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iTaIFCUVjc
Hasła podstawy programowej:
E4-SRE-MAT-1.0-I-4.1: określa funkcje za pomocą wzoru, tabeli, wykresu, opisu słownego;
Informacje o licencjach osadzonych obiektów (w kolejności występowania w treści modułu):
Ilya Andreev: Okładka [Licencja: shutterstock]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Wprowadzenie do pojęcia funkcji, przykład 1.1, symulacja kosztów tankowania,
dystrybutor [Licencja: CC BY NC 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Wprowadzenie do pojęcia funkcji, przykład 1.2, zależność drogi od czasu [Licencja:
CC BY NC 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Wprowadzenie do pojęcia funkcji, zadanie 1.1, pesel [Licencja: CC BY NC 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Pojecie funkcji_atrapa_animacja_450 [Licencja: CC BY 3.0]
O e-podręczniku
1060
Moduł: Funkcja / Pojęcie funkcji / Definicja funkcji. Sposoby przedstawiania funkcji
Autorzy: Jacek Stańdo, Henryk Dąbrowski, Hanna Drabik - Zalewska, Gertruda Gwóźdź - Łukawska, Krzysztof Kisiel,
Paweł Kwiatkowski, Agnieszka Zajączkowska, Dorota Krawczyk - Stańdo, Grzegorz Kusztelak, Witold Walas, Adam Depta,
Kinga Gałązka, Andrzej Just, Dominik Kłys, Iwona Krawczyk-Kłys, Jacek Kucharski, Renata Kusztelak, Alicja Laskowska,
Piotr Mazur, Jan Omieciński, Bronisław Pabich, Dorota Palka - Rutkowska, Iwona Pecyna, Marek Pisarski, Alina Saganiak,
Bartosz Sakowicz, Izabela Sakwa, Sławomir Sapanowski, Jolanta Schilling, Marzena Sławińska, Iwona Staniec, Aneta
Stasiak, Katarzyna Szczepaniak, Bożenna Szkopińska, Renata Wojtuś, Izabella Żółtaszek, Katarzyna Szablewska i Kinga
Antonijczuk
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iXi2y4Qq7H/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iXi2y4Qq7H
Hasła podstawy programowej:
E4-SRE-MAT-1.0-I-4.1: określa funkcje za pomocą wzoru, tabeli, wykresu, opisu słownego;
Informacje o licencjach osadzonych obiektów (w kolejności występowania w treści modułu):
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Wprowadzenie do pojęcia funkcji, przykład 1.4a, różne sposoby przedstawiania
funkcji, zbiory [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Wprowadzenie do pojęcia funkcji, przykład 1.4b, różne sposoby przedstawiania
funkcji, wykres [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Pojecie funkcji_atrapa_animacja_251 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Pojecie funkcji_atrapa_animacja_252 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Wprowadzenie do pojęcia funkcji, przykład 1.6, pole kwadratu [Licencja: CC BY NC
3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Wprowadzenie do pojęcia funkcji, przykład 1.9, rzut kostką [Licencja: CC BY NC
3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Wprowadzenie do pojęcia funkcji, przykład 1.10, dziedzina i zbiór wartości funkcji
[Licencja: CC BY NC 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Wprowadzenie do pojęcia funkcji, zadanie 1.5, graf na podstawie tabeli [Licencja:
CC BY 3.0]
O e-podręczniku
1061
Moduł: Funkcja / Pojęcie funkcji / Zbiór zadań / Zadania
Autorzy: Jacek Stańdo, Henryk Dąbrowski, Hanna Drabik - Zalewska, Gertruda Gwóźdź - Łukawska, Krzysztof Kisiel,
Paweł Kwiatkowski, Agnieszka Zajączkowska, Dorota Krawczyk - Stańdo, Grzegorz Kusztelak, Witold Walas, Adam Depta,
Kinga Gałązka, Andrzej Just, Dominik Kłys, Iwona Krawczyk-Kłys, Jacek Kucharski, Renata Kusztelak, Alicja Laskowska,
Piotr Mazur, Jan Omieciński, Bronisław Pabich, Dorota Palka - Rutkowska, Iwona Pecyna, Marek Pisarski, Alina Saganiak,
Bartosz Sakowicz, Izabela Sakwa, Sławomir Sapanowski, Jolanta Schilling, Marzena Sławińska, Iwona Staniec, Aneta
Stasiak, Katarzyna Szczepaniak, Bożenna Szkopińska, Renata Wojtuś, Izabella Żółtaszek, Katarzyna Szablewska i Kinga
Antonijczuk
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iD9uIdZhyy/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iD9uIdZhyy
Hasła podstawy programowej:
E4-SRE-MAT-1.0-I-4.1: określa funkcje za pomocą wzoru, tabeli, wykresu, opisu słownego;
Informacje o licencjach osadzonych obiektów (w kolejności występowania w treści modułu):
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Wprowadzenie do pojęcia funkcji, zbiór, zadanie 1.13 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Wprowadzenie do pojęcia funkcji, zbiór, zadanie 1.13 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Wprowadzenie do pojęcia funkcji, zbiór, zadanie 1.14b [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Wprowadzenie do pojęcia funkcji, zbiór, zadanie 1.14c [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Wprowadzenie do pojęcia funkcji, zbiór, zadanie 1.14d [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Wprowadzenie do pojęcia funkcji, zbiór, zadanie 1.14b [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Wprowadzenie do pojęcia funkcji, zbiór, zadanie 1.14c [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Wprowadzenie do pojęcia funkcji, zbiór, zadanie 1.14d [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Wprowadzenie do pojęcia funkcji, zbiór, zadanie 1.15a [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Wprowadzenie do pojęcia funkcji, zbiór, zadanie 1.15b [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Wprowadzenie do pojęcia funkcji, zbiór, zadanie 1.15d [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Wprowadzenie do pojęcia funkcji, zbiór, zadanie 1.15a [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Wprowadzenie do pojęcia funkcji, zbiór, zadanie 1.15b [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Wprowadzenie do pojęcia funkcji, zbiór, zadanie 1.15d [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Wprowadzenie do pojęcia funkcji, zbiór, zadanie 1.21 [Licencja: CC BY 3.0]
O e-podręczniku
1062
Moduł: Funkcja / Pojęcie funkcji / Zbiór zadań / Zadania generatorowe
Autorzy: Jacek Stańdo, Henryk Dąbrowski, Hanna Drabik - Zalewska, Gertruda Gwóźdź - Łukawska, Krzysztof Kisiel,
Paweł Kwiatkowski, Agnieszka Zajączkowska, Dorota Krawczyk - Stańdo, Grzegorz Kusztelak, Witold Walas, Adam Depta,
Kinga Gałązka, Andrzej Just, Dominik Kłys, Iwona Krawczyk-Kłys, Jacek Kucharski, Renata Kusztelak, Alicja Laskowska,
Piotr Mazur, Jan Omieciński, Bronisław Pabich, Dorota Palka - Rutkowska, Iwona Pecyna, Marek Pisarski, Alina Saganiak,
Bartosz Sakowicz, Izabela Sakwa, Sławomir Sapanowski, Jolanta Schilling, Marzena Sławińska, Iwona Staniec, Aneta
Stasiak, Katarzyna Szczepaniak, Bożenna Szkopińska, Renata Wojtuś, Izabella Żółtaszek, Katarzyna Szablewska i Kinga
Antonijczuk
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iOLUBobgQT/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iOLUBobgQT
Hasła podstawy programowej:
E4-SRE-MAT-1.0-I-4.1: określa funkcje za pomocą wzoru, tabeli, wykresu, opisu słownego;
Informacje o licencjach osadzonych obiektów (w kolejności występowania w treści modułu):
Moduł: Funkcja / Dziedzina funkcji / Wprowadzenie
Autorzy: Jacek Stańdo, Henryk Dąbrowski, Hanna Drabik - Zalewska, Gertruda Gwóźdź - Łukawska, Krzysztof Kisiel,
Paweł Kwiatkowski, Agnieszka Zajączkowska, Dorota Krawczyk - Stańdo, Grzegorz Kusztelak, Witold Walas, Adam Depta,
Kinga Gałązka, Andrzej Just, Dominik Kłys, Iwona Krawczyk-Kłys, Jacek Kucharski, Renata Kusztelak, Alicja Laskowska,
Piotr Mazur, Jan Omieciński, Bronisław Pabich, Dorota Palka - Rutkowska, Iwona Pecyna, Marek Pisarski, Alina Saganiak,
Bartosz Sakowicz, Izabela Sakwa, Sławomir Sapanowski, Jolanta Schilling, Marzena Sławińska, Iwona Staniec, Aneta
Stasiak, Katarzyna Szczepaniak, Bożenna Szkopińska, Renata Wojtuś, Izabella Żółtaszek, Katarzyna Szablewska i Kinga
Antonijczuk
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/ijIVAk3uoW/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/ijIVAk3uoW
Hasła podstawy programowej:
E4-SRE-MAT-1.0-I-4.2: oblicza ze wzoru wartość funkcji dla danego argumentu. Posługuje się poznanymi metodami
rozwiązywania równań do obliczenia, dla jakiego argumentu funkcja przyjmuje daną wartość;
Informacje o licencjach osadzonych obiektów (w kolejności występowania w treści modułu):
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Dziedzina funkcji, przykład 2.1, pole kwadratu [Licencja: CC BY NC 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Dziedzina funkcji, przykład 2.2, pole trójkąta [Licencja: CC BY NC 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Dziedzina funkcji, przykład 2.3, pole prostokąta [Licencja: CC BY NC 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Dziedzina funkcji, przykład 2.4, para dodatnich liczb [Licencja: CC BY NC 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Dziedzina funkcji, przykład 2.5, trójkąty prostokątne [Licencja: CC BY NC 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Dziedzina funkcji, przykład 2.6, graniastosłupy [Licencja: CC BY NC 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Dziedzina funkcji, przykład 2.7, suma cyfr liczby dwucyfrowej [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Dziedzina funkcji_atrapa_gielda [Licencja: CC BY 3.0]
O e-podręczniku
1063
Moduł: Funkcja / Dziedzina funkcji / Dziedzina
Autorzy: Jacek Stańdo, Henryk Dąbrowski, Hanna Drabik - Zalewska, Gertruda Gwóźdź - Łukawska, Krzysztof Kisiel,
Paweł Kwiatkowski, Agnieszka Zajączkowska, Dorota Krawczyk - Stańdo, Grzegorz Kusztelak, Witold Walas, Adam Depta,
Kinga Gałązka, Andrzej Just, Dominik Kłys, Iwona Krawczyk-Kłys, Jacek Kucharski, Renata Kusztelak, Alicja Laskowska,
Piotr Mazur, Jan Omieciński, Bronisław Pabich, Dorota Palka - Rutkowska, Iwona Pecyna, Marek Pisarski, Alina Saganiak,
Bartosz Sakowicz, Izabela Sakwa, Sławomir Sapanowski, Jolanta Schilling, Marzena Sławińska, Iwona Staniec, Aneta
Stasiak, Katarzyna Szczepaniak, Bożenna Szkopińska, Renata Wojtuś, Izabella Żółtaszek, Katarzyna Szablewska i Kinga
Antonijczuk
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/imDezqtFmV/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/imDezqtFmV
Hasła podstawy programowej:
E4-SRE-MAT-1.0-I-4.2: oblicza ze wzoru wartość funkcji dla danego argumentu. Posługuje się poznanymi metodami
rozwiązywania równań do obliczenia, dla jakiego argumentu funkcja przyjmuje daną wartość;
Informacje o licencjach osadzonych obiektów (w kolejności występowania w treści modułu):
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Dziedzina funkcji, przykład 2.9 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Dziedzina funkcji, przykład 2.10 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Dziedzina funkcji, przykład 2.11 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Dziedzina funkcji, przykład 2.12 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Dziedzina funkcji, przykład 2.13 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Dziedzina funkcji, przykład 2.14 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Dziedzina funkcji, przykład 2.15 [Licencja: CC BY 3.0]
Moduł: Funkcja / Dziedzina funkcji / Zbiór zadań / Zadania
Autorzy: Jacek Stańdo, Henryk Dąbrowski, Hanna Drabik - Zalewska, Gertruda Gwóźdź - Łukawska, Krzysztof Kisiel,
Paweł Kwiatkowski, Agnieszka Zajączkowska, Dorota Krawczyk - Stańdo, Grzegorz Kusztelak, Witold Walas, Adam Depta,
Kinga Gałązka, Andrzej Just, Dominik Kłys, Iwona Krawczyk-Kłys, Jacek Kucharski, Renata Kusztelak, Alicja Laskowska,
Piotr Mazur, Jan Omieciński, Bronisław Pabich, Dorota Palka - Rutkowska, Iwona Pecyna, Marek Pisarski, Alina Saganiak,
Bartosz Sakowicz, Izabela Sakwa, Sławomir Sapanowski, Jolanta Schilling, Marzena Sławińska, Iwona Staniec, Aneta
Stasiak, Katarzyna Szczepaniak, Bożenna Szkopińska, Renata Wojtuś, Izabella Żółtaszek, Katarzyna Szablewska i Kinga
Antonijczuk
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/izfT7XnIJ4/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/izfT7XnIJ4
Hasła podstawy programowej:
E4-SRE-MAT-1.0-I-4.2: oblicza ze wzoru wartość funkcji dla danego argumentu. Posługuje się poznanymi metodami
rozwiązywania równań do obliczenia, dla jakiego argumentu funkcja przyjmuje daną wartość;
Informacje o licencjach osadzonych obiektów (w kolejności występowania w treści modułu):
O e-podręczniku
1064
Moduł: Funkcja / Dziedzina funkcji / Zbiór zadań / Zadania generatorowe
Autorzy: Jacek Stańdo, Henryk Dąbrowski, Hanna Drabik - Zalewska, Gertruda Gwóźdź - Łukawska, Krzysztof Kisiel,
Paweł Kwiatkowski, Agnieszka Zajączkowska, Dorota Krawczyk - Stańdo, Grzegorz Kusztelak, Witold Walas, Adam Depta,
Kinga Gałązka, Andrzej Just, Dominik Kłys, Iwona Krawczyk-Kłys, Jacek Kucharski, Renata Kusztelak, Alicja Laskowska,
Piotr Mazur, Jan Omieciński, Bronisław Pabich, Dorota Palka - Rutkowska, Iwona Pecyna, Marek Pisarski, Alina Saganiak,
Bartosz Sakowicz, Izabela Sakwa, Sławomir Sapanowski, Jolanta Schilling, Marzena Sławińska, Iwona Staniec, Aneta
Stasiak, Katarzyna Szczepaniak, Bożenna Szkopińska, Renata Wojtuś, Izabella Żółtaszek, Katarzyna Szablewska i Kinga
Antonijczuk
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/i4sXmn6vty/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/i4sXmn6vty
Hasła podstawy programowej:
E4-SRE-MAT-1.0-I-4.2: oblicza ze wzoru wartość funkcji dla danego argumentu. Posługuje się poznanymi metodami
rozwiązywania równań do obliczenia, dla jakiego argumentu funkcja przyjmuje daną wartość;
Informacje o licencjach osadzonych obiektów (w kolejności występowania w treści modułu):
O e-podręczniku
1065
Moduł: Funkcja / Argument i wartość funkcji. Miejsca zerowe funkcji liczbowej / Miejsca zerowe funkcji
Autorzy: Jacek Stańdo, Henryk Dąbrowski, Hanna Drabik - Zalewska, Gertruda Gwóźdź - Łukawska, Krzysztof Kisiel,
Paweł Kwiatkowski, Agnieszka Zajączkowska, Dorota Krawczyk - Stańdo, Grzegorz Kusztelak, Witold Walas, Adam Depta,
Kinga Gałązka, Andrzej Just, Dominik Kłys, Iwona Krawczyk-Kłys, Jacek Kucharski, Renata Kusztelak, Alicja Laskowska,
Piotr Mazur, Jan Omieciński, Bronisław Pabich, Dorota Palka - Rutkowska, Iwona Pecyna, Marek Pisarski, Alina Saganiak,
Bartosz Sakowicz, Izabela Sakwa, Sławomir Sapanowski, Jolanta Schilling, Marzena Sławińska, Iwona Staniec, Aneta
Stasiak, Katarzyna Szczepaniak, Bożenna Szkopińska, Renata Wojtuś, Izabella Żółtaszek, Katarzyna Szablewska i Kinga
Antonijczuk
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/inbq6sFckr/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/inbq6sFckr
Hasła podstawy programowej:
E4-SRE-MAT-1.0-I-4.3: odczytuje z wykresu własności funkcji (dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, maksymalne
przedziały, w których funkcja maleje, rośnie, ma stały znak; punkty, w których funkcja przyjmuje w podanym przedziale
wartość największą lub najmniejszą);
Informacje o licencjach osadzonych obiektów (w kolejności występowania w treści modułu):
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Argument i wartosc funkcji. Miejsca zerowe funkcji
liczbowej_atrapa_temperatura1 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Argument i wartosc funkcji. Miejsca zerowe funkcji
liczbowej_atrapa_temperatura2 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Argument i wartosc funkcji. Miejsca zerowe funkcji liczbowej_atrapa_bank1
[Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Argument i wartosc funkcji. Miejsca zerowe funkcji liczbowej_atrapa_bank2
[Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Argument i wartosc funkcji. Miejsca zerowe funkcji liczbowej_atrapa_bank3
[Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Argument i wartosc funkcji. Miejsca zerowe funkcji
liczbowej_atrapa_temp_pacjenta [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Argument i wartość funkcji. Miejsca zerowe funkcji liczbowej, przykład 3.4, funkcja
liniowa [Licencja: CC BY 3.0]
O e-podręczniku
1066
Moduł: Funkcja / Argument i wartość funkcji. Miejsca zerowe funkcji liczbowej / Argumenty, dla których funkcja
przyjmuje daną wartość
Autorzy: Jacek Stańdo, Henryk Dąbrowski, Hanna Drabik - Zalewska, Gertruda Gwóźdź - Łukawska, Krzysztof Kisiel,
Paweł Kwiatkowski, Agnieszka Zajączkowska, Dorota Krawczyk - Stańdo, Grzegorz Kusztelak, Witold Walas, Adam Depta,
Kinga Gałązka, Andrzej Just, Dominik Kłys, Iwona Krawczyk-Kłys, Jacek Kucharski, Renata Kusztelak, Alicja Laskowska,
Piotr Mazur, Jan Omieciński, Bronisław Pabich, Dorota Palka - Rutkowska, Iwona Pecyna, Marek Pisarski, Alina Saganiak,
Bartosz Sakowicz, Izabela Sakwa, Sławomir Sapanowski, Jolanta Schilling, Marzena Sławińska, Iwona Staniec, Aneta
Stasiak, Katarzyna Szczepaniak, Bożenna Szkopińska, Renata Wojtuś, Izabella Żółtaszek, Katarzyna Szablewska i Kinga
Antonijczuk
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/i7nzJDE7zr/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/i7nzJDE7zr
Hasła podstawy programowej:
E4-SRE-MAT-1.0-I-4.3: odczytuje z wykresu własności funkcji (dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, maksymalne
przedziały, w których funkcja maleje, rośnie, ma stały znak; punkty, w których funkcja przyjmuje w podanym przedziale
wartość największą lub najmniejszą);
Informacje o licencjach osadzonych obiektów (w kolejności występowania w treści modułu):
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Argument i wartosc funkcji. Miejsca zerowe funkcji liczbowej_atrapa_animacja_460
[Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Argument i wartość funkcji. Miejsca zerowe funkcji liczbowej, przykład 3.10, liczba
rozwiązań f(x) [Licencja: CC BY NC 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Argument i wartość funkcji. Miejsca zerowe funkcji liczbowej, przykład 3.13
[Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Argument i wartość funkcji. Miejsca zerowe funkcji liczbowej, przykład 3.14
[Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Argument i wartość funkcji. Miejsca zerowe funkcji liczbowej, przykład 3.15
[Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Argument i wartość funkcji. Miejsca zerowe funkcji liczbowej, przykład 3.16
[Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Argument i wartosc funkcji. Miejsca zerowe funkcji
liczbowej_atrapa_animacja_1154 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Argument i wartość funkcji. Miejsca zerowe funkcji liczbowej, zadanie 3.1, graf
[Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Argument i wartość funkcji. Miejsca zerowe funkcji liczbowej, zadanie 3.1, graf
[Licencja: CC BY 3.0]
O e-podręczniku
1067
Moduł: Funkcja / Argument i wartość funkcji. Miejsca zerowe funkcji liczbowej / Zbiór zadań / Zadania
Autorzy: Jacek Stańdo, Henryk Dąbrowski, Hanna Drabik - Zalewska, Gertruda Gwóźdź - Łukawska, Krzysztof Kisiel,
Paweł Kwiatkowski, Agnieszka Zajączkowska, Dorota Krawczyk - Stańdo, Grzegorz Kusztelak, Witold Walas, Adam Depta,
Kinga Gałązka, Andrzej Just, Dominik Kłys, Iwona Krawczyk-Kłys, Jacek Kucharski, Renata Kusztelak, Alicja Laskowska,
Piotr Mazur, Jan Omieciński, Bronisław Pabich, Dorota Palka - Rutkowska, Iwona Pecyna, Marek Pisarski, Alina Saganiak,
Bartosz Sakowicz, Izabela Sakwa, Sławomir Sapanowski, Jolanta Schilling, Marzena Sławińska, Iwona Staniec, Aneta
Stasiak, Katarzyna Szczepaniak, Bożenna Szkopińska, Renata Wojtuś, Izabella Żółtaszek, Katarzyna Szablewska i Kinga
Antonijczuk
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iI2WwOZPY8/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iI2WwOZPY8
Hasła podstawy programowej:
E4-SRE-MAT-1.0-I-4.3: odczytuje z wykresu własności funkcji (dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, maksymalne
przedziały, w których funkcja maleje, rośnie, ma stały znak; punkty, w których funkcja przyjmuje w podanym przedziale
wartość największą lub najmniejszą);
Informacje o licencjach osadzonych obiektów (w kolejności występowania w treści modułu):
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Argument i wartość funkcji. Miejsca zerowe funkcji liczbowej, zb.zadań, zadanie
3.15, graf [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Argument i wartość funkcji. Miejsca zerowe funkcji liczbowej, zb.zadań, zadanie
3.15, graf [Licencja: CC BY 3.0]
Moduł: Funkcja / Argument i wartość funkcji. Miejsca zerowe funkcji liczbowej / Zbiór zadań / Zadania generatorowe
Autorzy: Jacek Stańdo, Henryk Dąbrowski, Hanna Drabik - Zalewska, Gertruda Gwóźdź - Łukawska, Krzysztof Kisiel,
Paweł Kwiatkowski, Agnieszka Zajączkowska, Dorota Krawczyk - Stańdo, Grzegorz Kusztelak, Witold Walas, Adam Depta,
Kinga Gałązka, Andrzej Just, Dominik Kłys, Iwona Krawczyk-Kłys, Jacek Kucharski, Renata Kusztelak, Alicja Laskowska,
Piotr Mazur, Jan Omieciński, Bronisław Pabich, Dorota Palka - Rutkowska, Iwona Pecyna, Marek Pisarski, Alina Saganiak,
Bartosz Sakowicz, Izabela Sakwa, Sławomir Sapanowski, Jolanta Schilling, Marzena Sławińska, Iwona Staniec, Aneta
Stasiak, Katarzyna Szczepaniak, Bożenna Szkopińska, Renata Wojtuś, Izabella Żółtaszek, Katarzyna Szablewska i Kinga
Antonijczuk
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iM5UjKTTt4/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iM5UjKTTt4
Hasła podstawy programowej:
E4-SRE-MAT-1.0-I-4.3: odczytuje z wykresu własności funkcji (dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, maksymalne
przedziały, w których funkcja maleje, rośnie, ma stały znak; punkty, w których funkcja przyjmuje w podanym przedziale
wartość największą lub najmniejszą);
Informacje o licencjach osadzonych obiektów (w kolejności występowania w treści modułu):
O e-podręczniku
1068
Moduł: Funkcja / Odczytywanie własności funkcji na podstawie jej wykresu. Część I / Argumenty i wartości funkcji
Autorzy: Jacek Stańdo, Henryk Dąbrowski, Hanna Drabik - Zalewska, Gertruda Gwóźdź - Łukawska, Krzysztof Kisiel,
Paweł Kwiatkowski, Agnieszka Zajączkowska, Dorota Krawczyk - Stańdo, Grzegorz Kusztelak, Witold Walas, Magdalena
Furmaniak, Kinga Gałązka, Dominik Kłys, Iwona Krawczyk-Kłys, Jacek Kucharski, Renata Kusztelak, Alicja Laskowska,
Piotr Mazur, Jan Omieciński, Bronisław Pabich, Dorota Palka - Rutkowska, Iwona Pecyna, Marek Pisarski, Alina Saganiak,
Bartosz Sakowicz, Izabela Sakwa, Sławomir Sapanowski, Jolanta Schilling, Marzena Sławińska, Aneta Stasiak, Katarzyna
Szczepaniak, Bożenna Szkopińska, Izabella Żółtaszek i Katarzyna Szablewska
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iQcTmrc2QH/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iQcTmrc2QH
Hasła podstawy programowej:
E2-PODST-MAT-1.0-2.3: mnoży i dzieli liczbę naturalną przez liczbę naturalną jednocyfrową, dwucyfrową lub trzycyfrową
pisemnie, w pamięci (w najprostszych przykładach) i za pomocą kalkulatora (w trudniejszych przykładach);
Informacje o licencjach osadzonych obiektów (w kolejności występowania w treści modułu):
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f4_Przyklad1_pop [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f4 Przyklad2 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Funkcja sinus [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f4 Przyklad2b [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Odczytywanie wlasnosci funkcji na podsatwie jej wykresu
czII_atrapa_animacji_256 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Odczytywanie wlasnosci funkcji na podsatwie jej wykresu
czII_atrapa_animacji_257 [Licencja: CC BY 3.0]
O e-podręczniku
1069
Moduł: Funkcja / Odczytywanie własności funkcji na podstawie jej wykresu. Część I / Przykłady
Autorzy: Jacek Stańdo, Henryk Dąbrowski, Hanna Drabik - Zalewska, Gertruda Gwóźdź - Łukawska, Krzysztof Kisiel,
Paweł Kwiatkowski, Agnieszka Zajączkowska, Dorota Krawczyk - Stańdo, Grzegorz Kusztelak, Witold Walas, Magdalena
Furmaniak, Kinga Gałązka, Dominik Kłys, Iwona Krawczyk-Kłys, Jacek Kucharski, Renata Kusztelak, Alicja Laskowska,
Piotr Mazur, Jan Omieciński, Bronisław Pabich, Dorota Palka - Rutkowska, Iwona Pecyna, Marek Pisarski, Alina Saganiak,
Bartosz Sakowicz, Izabela Sakwa, Sławomir Sapanowski, Jolanta Schilling, Marzena Sławińska, Aneta Stasiak, Katarzyna
Szczepaniak, Bożenna Szkopińska, Izabella Żółtaszek i Katarzyna Szablewska
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iQWD5EMEcc/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iQWD5EMEcc
Hasła podstawy programowej:
E2-PODST-MAT-1.0-2.3: mnoży i dzieli liczbę naturalną przez liczbę naturalną jednocyfrową, dwucyfrową lub trzycyfrową
pisemnie, w pamięci (w najprostszych przykładach) i za pomocą kalkulatora (w trudniejszych przykładach);
Informacje o licencjach osadzonych obiektów (w kolejności występowania w treści modułu):
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f4_aplet4 [Licencja: CC BY NC 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f4_aplet5 [Licencja: CC BY NC 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f4 Przyklad8 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Odczytywanie wlasnosci funkcji na podsatwie jej wykresu
czII_atrapa_animacji_258 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f4 Przyklad10 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f4 Przyklad11 [Licencja: CC BY 3.0]
O e-podręczniku
1070
Moduł: Funkcja / Odczytywanie własności funkcji na podstawie jej wykresu. Część I / Zadania. Część I
Autorzy: Jacek Stańdo, Henryk Dąbrowski, Hanna Drabik - Zalewska, Gertruda Gwóźdź - Łukawska, Krzysztof Kisiel,
Paweł Kwiatkowski, Agnieszka Zajączkowska, Dorota Krawczyk - Stańdo, Grzegorz Kusztelak, Witold Walas, Magdalena
Furmaniak, Kinga Gałązka, Dominik Kłys, Iwona Krawczyk-Kłys, Jacek Kucharski, Renata Kusztelak, Alicja Laskowska,
Piotr Mazur, Jan Omieciński, Bronisław Pabich, Dorota Palka - Rutkowska, Iwona Pecyna, Marek Pisarski, Alina Saganiak,
Bartosz Sakowicz, Izabela Sakwa, Sławomir Sapanowski, Jolanta Schilling, Marzena Sławińska, Aneta Stasiak, Katarzyna
Szczepaniak, Bożenna Szkopińska, Izabella Żółtaszek i Katarzyna Szablewska
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iwSwh3gflz/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iwSwh3gflz
Hasła podstawy programowej:
E2-PODST-MAT-1.0-2.3: mnoży i dzieli liczbę naturalną przez liczbę naturalną jednocyfrową, dwucyfrową lub trzycyfrową
pisemnie, w pamięci (w najprostszych przykładach) i za pomocą kalkulatora (w trudniejszych przykładach);
Informacje o licencjach osadzonych obiektów (w kolejności występowania w treści modułu):
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f4 CwiczenieWstepne1 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f4 CwiczenieWstepne1 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f4 CwiczenieWstepne1 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f4 CwiczenieWstepne2 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f4 CwiczenieWstepne2 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f4 CwiczenieWstepne2 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f4 CwiczenieWstepne3 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f4 CwiczenieWstepne3 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f4 CwiczenieWstepne3 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f4 CwiczenieWstepne4 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f4 CwiczenieWstepne4 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f4 CwiczenieWstepne4 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f4_cwiczenieWstepne_5_pop [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f4 CwiczenieWstepne6 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f4 CwiczenieWstepne6 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f4CwiczenieWstepne7 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f4CwiczenieWstepne7 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f4 CwiczenieWstepne8 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f4 CwiczenieWstepne9 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f4 CwiczenieWstepne10 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f4 CwiczenieWstepne11_1 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f4-CwiczeniaWstepne11_2 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f4 ZadanieZamkniete1 [Licencja: CC BY 3.0]
O e-podręczniku
1071
Moduł: Funkcja / Odczytywanie własności funkcji na podstawie jej wykresu. Część I / Zadania. Część II
Autorzy: Jacek Stańdo, Henryk Dąbrowski, Hanna Drabik - Zalewska, Gertruda Gwóźdź - Łukawska, Krzysztof Kisiel,
Paweł Kwiatkowski, Agnieszka Zajączkowska, Dorota Krawczyk - Stańdo, Grzegorz Kusztelak, Witold Walas, Magdalena
Furmaniak, Kinga Gałązka, Dominik Kłys, Iwona Krawczyk-Kłys, Jacek Kucharski, Renata Kusztelak, Alicja Laskowska,
Piotr Mazur, Jan Omieciński, Bronisław Pabich, Dorota Palka - Rutkowska, Iwona Pecyna, Marek Pisarski, Alina Saganiak,
Bartosz Sakowicz, Izabela Sakwa, Sławomir Sapanowski, Jolanta Schilling, Marzena Sławińska, Aneta Stasiak, Katarzyna
Szczepaniak, Bożenna Szkopińska, Izabella Żółtaszek i Katarzyna Szablewska
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iNcttILBPI/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iNcttILBPI
Hasła podstawy programowej:
E2-PODST-MAT-1.0-2.3: mnoży i dzieli liczbę naturalną przez liczbę naturalną jednocyfrową, dwucyfrową lub trzycyfrową
pisemnie, w pamięci (w najprostszych przykładach) i za pomocą kalkulatora (w trudniejszych przykładach);
Informacje o licencjach osadzonych obiektów (w kolejności występowania w treści modułu):
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f4_ZadZamkniete2a_pop [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f4_ZadZamkniete2c_pop [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f4_ZadZamkniete2d_pop [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f4 ZadanieZamkniete3 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f4 ZadanieZamkniete4 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f4_ZadZamkniete5a_pop [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f4_ZadZamkniete5c_pop [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f4_ZadZamkniete5d_pop [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f4_ZadZamkniete6_pop [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f4_ZadZamkniete7_pop [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f4_ZadZamkniete8a_pop [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f4_ZadZamkniete8b_pop [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f4_ZadZamkniete8d_pop [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f4 ZadanieOtwarte1 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f4 ZadanieOtwarte2 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f4 ZadanieOtwarte3 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f4 ZadanieOtwarte4 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f4 ZadanieOtwarte5 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f4 ZadanieOtwarte6 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f4 ZadanieOtwarte7 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f4 ZadanieOtwarte8 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f4 ZadanieOtwarte9 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f5 ZadanieOtwarte10 [Licencja: CC BY 3.0]
O e-podręczniku
1072
Moduł: Funkcja / Odczytywanie własności funkcji na podstawie jej wykresu. Część II / Przykłady zastosowania funkcji
Autorzy: Jacek Stańdo, Henryk Dąbrowski, Hanna Drabik - Zalewska, Gertruda Gwóźdź - Łukawska, Krzysztof Kisiel,
Paweł Kwiatkowski, Agnieszka Zajączkowska, Dorota Krawczyk - Stańdo, Grzegorz Kusztelak, Witold Walas, Magdalena
Furmaniak, Kinga Gałązka, Dominik Kłys, Iwona Krawczyk-Kłys, Jacek Kucharski, Renata Kusztelak, Alicja Laskowska,
Piotr Mazur, Jan Omieciński, Bronisław Pabich, Dorota Palka - Rutkowska, Iwona Pecyna, Marek Pisarski, Alina Saganiak,
Bartosz Sakowicz, Izabela Sakwa, Sławomir Sapanowski, Jolanta Schilling, Marzena Sławińska, Aneta Stasiak, Katarzyna
Szczepaniak, Bożenna Szkopińska, Izabella Żółtaszek i Katarzyna Szablewska
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/ieMrTr2FFn/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/ieMrTr2FFn
Hasła podstawy programowej:
E2-PODST-MAT-1.0-2.3: mnoży i dzieli liczbę naturalną przez liczbę naturalną jednocyfrową, dwucyfrową lub trzycyfrową
pisemnie, w pamięci (w najprostszych przykładach) i za pomocą kalkulatora (w trudniejszych przykładach);
Informacje o licencjach osadzonych obiektów (w kolejności występowania w treści modułu):
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Odczytywanie wlasnosci funkcji na podstawie jej wykresu czII_atrapa_kurs_euro
[Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Odczytywanie wlasnosci funkcji na podstawie jej wykresu
czII_atrapa_wykres_rozp_chlorku [Licencja: CC BY 3.0]
O e-podręczniku
1073
Moduł: Funkcja / Odczytywanie własności funkcji na podstawie jej wykresu. Część II / Monotoniczność funkcji
Autorzy: Jacek Stańdo, Henryk Dąbrowski, Hanna Drabik - Zalewska, Gertruda Gwóźdź - Łukawska, Krzysztof Kisiel,
Paweł Kwiatkowski, Agnieszka Zajączkowska, Dorota Krawczyk - Stańdo, Grzegorz Kusztelak, Witold Walas, Magdalena
Furmaniak, Kinga Gałązka, Dominik Kłys, Iwona Krawczyk-Kłys, Jacek Kucharski, Renata Kusztelak, Alicja Laskowska,
Piotr Mazur, Jan Omieciński, Bronisław Pabich, Dorota Palka - Rutkowska, Iwona Pecyna, Marek Pisarski, Alina Saganiak,
Bartosz Sakowicz, Izabela Sakwa, Sławomir Sapanowski, Jolanta Schilling, Marzena Sławińska, Aneta Stasiak, Katarzyna
Szczepaniak, Bożenna Szkopińska, Izabella Żółtaszek i Katarzyna Szablewska
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iXiFhkZ7Ue/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iXiFhkZ7Ue
Hasła podstawy programowej:
E2-PODST-MAT-1.0-2.3: mnoży i dzieli liczbę naturalną przez liczbę naturalną jednocyfrową, dwucyfrową lub trzycyfrową
pisemnie, w pamięci (w najprostszych przykładach) i za pomocą kalkulatora (w trudniejszych przykładach);
Informacje o licencjach osadzonych obiektów (w kolejności występowania w treści modułu):
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f5_aplet1_przyklad3 [Licencja: CC BY NC 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f5_aplet2_przyklad4 [Licencja: CC BY NC 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f5_monotonicznosc_funkcji_nierosnaca_pop [Licencja: CC BY NC 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f5_funkcja_niemalejaca_pop [Licencja: CC BY NC 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Odczytywanie wlasnosci funkcji na podstawie jej wykresu
czII_atrapa_animacja_259 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Odczytywanie wlasnosci funkcji na podstawie jej wykresu
czII_atrapa_animacja_260 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Odczytywanie wlasnosci funkcji na podstawie jej wykresu
czII_atrapa_animacja_261 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Odczytywanie wlasnosci funkcji na podstawie jej wykresu
czII_atrapa_animacja_262 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Odczytywanie wlasnosci funkcji na podstawie jej wykresu
czII_atrapa_animacja_263 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f5 Przykład7 [Licencja: CC BY 3.0]
O e-podręczniku
1074
Moduł: Funkcja / Odczytywanie własności funkcji na podstawie jej wykresu. Część II / Monotoniczność. Przykłady
Autorzy: Jacek Stańdo, Henryk Dąbrowski, Hanna Drabik - Zalewska, Gertruda Gwóźdź - Łukawska, Krzysztof Kisiel,
Paweł Kwiatkowski, Agnieszka Zajączkowska, Dorota Krawczyk - Stańdo, Grzegorz Kusztelak, Witold Walas, Magdalena
Furmaniak, Kinga Gałązka, Dominik Kłys, Iwona Krawczyk-Kłys, Jacek Kucharski, Renata Kusztelak, Alicja Laskowska,
Piotr Mazur, Jan Omieciński, Bronisław Pabich, Dorota Palka - Rutkowska, Iwona Pecyna, Marek Pisarski, Alina Saganiak,
Bartosz Sakowicz, Izabela Sakwa, Sławomir Sapanowski, Jolanta Schilling, Marzena Sławińska, Aneta Stasiak, Katarzyna
Szczepaniak, Bożenna Szkopińska, Izabella Żółtaszek i Katarzyna Szablewska
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iKCV7dPxfB/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iKCV7dPxfB
Hasła podstawy programowej:
E2-PODST-MAT-1.0-2.3: mnoży i dzieli liczbę naturalną przez liczbę naturalną jednocyfrową, dwucyfrową lub trzycyfrową
pisemnie, w pamięci (w najprostszych przykładach) i za pomocą kalkulatora (w trudniejszych przykładach);
Informacje o licencjach osadzonych obiektów (w kolejności występowania w treści modułu):
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f5 Przykład8 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f5 Przykład9 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f5 Przyklad10 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f5 Przykład10 drugi [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f5 Przykład11 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f5 Przykład12 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f5 Przykład13 [Licencja: CC BY 3.0]
O e-podręczniku
1075
Moduł: Funkcja / Odczytywanie własności funkcji na podstawie jej wykresu. Część II / Zadania. Część I
Autorzy: Jacek Stańdo, Henryk Dąbrowski, Hanna Drabik - Zalewska, Gertruda Gwóźdź - Łukawska, Krzysztof Kisiel,
Paweł Kwiatkowski, Agnieszka Zajączkowska, Dorota Krawczyk - Stańdo, Grzegorz Kusztelak, Witold Walas, Magdalena
Furmaniak, Kinga Gałązka, Dominik Kłys, Iwona Krawczyk-Kłys, Jacek Kucharski, Renata Kusztelak, Alicja Laskowska,
Piotr Mazur, Jan Omieciński, Bronisław Pabich, Dorota Palka - Rutkowska, Iwona Pecyna, Marek Pisarski, Alina Saganiak,
Bartosz Sakowicz, Izabela Sakwa, Sławomir Sapanowski, Jolanta Schilling, Marzena Sławińska, Aneta Stasiak, Katarzyna
Szczepaniak, Bożenna Szkopińska, Izabella Żółtaszek i Katarzyna Szablewska
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/i3ImVQkVa4/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/i3ImVQkVa4
Hasła podstawy programowej:
E2-PODST-MAT-1.0-2.3: mnoży i dzieli liczbę naturalną przez liczbę naturalną jednocyfrową, dwucyfrową lub trzycyfrową
pisemnie, w pamięci (w najprostszych przykładach) i za pomocą kalkulatora (w trudniejszych przykładach);
Informacje o licencjach osadzonych obiektów (w kolejności występowania w treści modułu):
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f5 Ćwiczenie Wstepne1 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f5 Ćwiczenie Wstępne2 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f5 Ćwiczenie Wstępne3 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f5 Ćwiczenie Wstępne4 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f5 Cwiczenie Wstępne5 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: 5f Ćwiczenie Wstępne6 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f5 Ćwiczenie Wstępne7 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f5 Ćwiczenie Wstępne8 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f5_Cwiczenie_Wstepne_9 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f5 Ćwiczenie Wstępne10 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f5 Cwiczenie Wstępne12 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f5 Ćwiczenie Wstepne13 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f5_ZadZamkniete1b_pop [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f5_ZadZamkniete1c_pop [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f5_ZadZamkniete1d_pop [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f5 Zadanie Zamknięte2 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f5_ZadZamkniete_3a_pop [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f5_ZadZamkniete_3c_pop [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f5_ZadZamkniete_3d_pop [Licencja: CC BY 3.0]
O e-podręczniku
1076
Moduł: Funkcja / Odczytywanie własności funkcji na podstawie jej wykresu. Część II / Zadania. Część II
Autorzy: Jacek Stańdo, Henryk Dąbrowski, Hanna Drabik - Zalewska, Gertruda Gwóźdź - Łukawska, Krzysztof Kisiel,
Paweł Kwiatkowski, Agnieszka Zajączkowska, Dorota Krawczyk - Stańdo, Grzegorz Kusztelak, Witold Walas, Magdalena
Furmaniak, Kinga Gałązka, Dominik Kłys, Iwona Krawczyk-Kłys, Jacek Kucharski, Renata Kusztelak, Alicja Laskowska,
Piotr Mazur, Jan Omieciński, Bronisław Pabich, Dorota Palka - Rutkowska, Iwona Pecyna, Marek Pisarski, Alina Saganiak,
Bartosz Sakowicz, Izabela Sakwa, Sławomir Sapanowski, Jolanta Schilling, Marzena Sławińska, Aneta Stasiak, Katarzyna
Szczepaniak, Bożenna Szkopińska, Izabella Żółtaszek i Katarzyna Szablewska
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iglkZEKznx/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iglkZEKznx
Hasła podstawy programowej:
E2-PODST-MAT-1.0-2.3: mnoży i dzieli liczbę naturalną przez liczbę naturalną jednocyfrową, dwucyfrową lub trzycyfrową
pisemnie, w pamięci (w najprostszych przykładach) i za pomocą kalkulatora (w trudniejszych przykładach);
Informacje o licencjach osadzonych obiektów (w kolejności występowania w treści modułu):
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f5 Zadania Zamknięte4 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f5_ZadZamkniete5a_pop [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f5_ZadZamkniete5d_pop [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f5_ZadZamkniete5c_pop [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f5 Zadania Zamknięte6 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f5_ZZ7a_pop [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f5_ZZ7c_pop [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f5_ZZ7d_pop [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f5 Zadania Zamknięte8 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f5 Zadania Otwarte1 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f5 Zadania Otwarte2 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f5 Zadanie Otwarte3 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f5 Zadanie Otwarte4 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f5 Zadanie Otwarte5 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f5 Zadania Otwarte6 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f5 Zadania Otwarte7 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f5 Zadania Otwarte8 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f5 Zadania Otwarte9 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f5 Zadania Otwarte10 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f5_monotonicznosc_funkcji [Licencja: CC BY NC 3.0]
O e-podręczniku
1077
Moduł: Funkcja / Odczytywanie własności funkcji na podstawie jej wykresu. Część II / Zadania generatorowe
Autorzy: Jacek Stańdo, Henryk Dąbrowski, Hanna Drabik - Zalewska, Gertruda Gwóźdź - Łukawska, Krzysztof Kisiel,
Paweł Kwiatkowski, Agnieszka Zajączkowska, Dorota Krawczyk - Stańdo, Grzegorz Kusztelak, Witold Walas, Magdalena
Furmaniak, Kinga Gałązka, Dominik Kłys, Iwona Krawczyk-Kłys, Jacek Kucharski, Renata Kusztelak, Alicja Laskowska,
Piotr Mazur, Jan Omieciński, Bronisław Pabich, Dorota Palka - Rutkowska, Iwona Pecyna, Marek Pisarski, Alina Saganiak,
Bartosz Sakowicz, Izabela Sakwa, Sławomir Sapanowski, Jolanta Schilling, Marzena Sławińska, Aneta Stasiak, Katarzyna
Szczepaniak, Bożenna Szkopińska, Izabella Żółtaszek i Katarzyna Szablewska
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/i3eyXqFWnA/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/i3eyXqFWnA
Hasła podstawy programowej:
E2-PODST-MAT-1.0-2.3: mnoży i dzieli liczbę naturalną przez liczbę naturalną jednocyfrową, dwucyfrową lub trzycyfrową
pisemnie, w pamięci (w najprostszych przykładach) i za pomocą kalkulatora (w trudniejszych przykładach);
Informacje o licencjach osadzonych obiektów (w kolejności występowania w treści modułu):
Moduł: Funkcja / Przekształcanie figur na płaszczyźnie kartezjańskiej / Symetria punktu
Autorzy: Jacek Stańdo, Henryk Dąbrowski, Hanna Drabik - Zalewska, Gertruda Gwóźdź - Łukawska, Krzysztof Kisiel,
Paweł Kwiatkowski, Agnieszka Zajączkowska, Dorota Krawczyk - Stańdo, Grzegorz Kusztelak, Witold Walas, Magdalena
Furmaniak, Kinga Gałązka, Dominik Kłys, Iwona Krawczyk-Kłys, Jacek Kucharski, Renata Kusztelak, Alicja Laskowska,
Piotr Mazur, Jan Omieciński, Bronisław Pabich, Dorota Palka - Rutkowska, Iwona Pecyna, Marek Pisarski, Alina Saganiak,
Bartosz Sakowicz, Izabela Sakwa, Sławomir Sapanowski, Jolanta Schilling, Marzena Sławińska, Aneta Stasiak, Katarzyna
Szczepaniak, Bożenna Szkopińska, Izabella Żółtaszek i Katarzyna Szablewska
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iujnbLcEZ4/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iujnbLcEZ4
Hasła podstawy programowej:
E2-PODST-MAT-1.0-2.3: mnoży i dzieli liczbę naturalną przez liczbę naturalną jednocyfrową, dwucyfrową lub trzycyfrową
pisemnie, w pamięci (w najprostszych przykładach) i za pomocą kalkulatora (w trudniejszych przykładach);
Informacje o licencjach osadzonych obiektów (w kolejności występowania w treści modułu):
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Przeksztalcanie figur na plaszczyznie kartezjanskiej_atrapa_animacja_264
[Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Przeksztalcanie figur na plaszczyznie kartezjanskiej_atrapa_animacja_265
[Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Przeksztalcanie figur na plaszczyznie kartezjanskiej_atrapa_animacja_266
[Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f6_aplet_symetria_wielokata_Oy_4a [Licencja: CC BY NC 3.0]
O e-podręczniku
1078
Moduł: Funkcja / Przekształcanie figur na płaszczyźnie kartezjańskiej / Symetria wykresu funkcji
Autorzy: Jacek Stańdo, Henryk Dąbrowski, Hanna Drabik - Zalewska, Gertruda Gwóźdź - Łukawska, Krzysztof Kisiel,
Paweł Kwiatkowski, Agnieszka Zajączkowska, Dorota Krawczyk - Stańdo, Grzegorz Kusztelak, Witold Walas, Magdalena
Furmaniak, Kinga Gałązka, Dominik Kłys, Iwona Krawczyk-Kłys, Jacek Kucharski, Renata Kusztelak, Alicja Laskowska,
Piotr Mazur, Jan Omieciński, Bronisław Pabich, Dorota Palka - Rutkowska, Iwona Pecyna, Marek Pisarski, Alina Saganiak,
Bartosz Sakowicz, Izabela Sakwa, Sławomir Sapanowski, Jolanta Schilling, Marzena Sławińska, Aneta Stasiak, Katarzyna
Szczepaniak, Bożenna Szkopińska, Izabella Żółtaszek i Katarzyna Szablewska
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/i2HWLSBG0g/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/i2HWLSBG0g
Hasła podstawy programowej:
E2-PODST-MAT-1.0-2.3: mnoży i dzieli liczbę naturalną przez liczbę naturalną jednocyfrową, dwucyfrową lub trzycyfrową
pisemnie, w pamięci (w najprostszych przykładach) i za pomocą kalkulatora (w trudniejszych przykładach);
Informacje o licencjach osadzonych obiektów (w kolejności występowania w treści modułu):
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Przeksztalcanie figur na plaszczyznie kartezjanskiej_atrapa_animacja_267
[Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Przeksztalcanie figur na plaszczyznie kartezjanskiej_atrapa_animacja_268
[Licencja: CC BY 3.0]
O e-podręczniku
1079
Moduł: Funkcja / Przekształcanie figur na płaszczyźnie kartezjańskiej / Przykłady symetrii funkcji
Autorzy: Jacek Stańdo, Henryk Dąbrowski, Hanna Drabik - Zalewska, Gertruda Gwóźdź - Łukawska, Krzysztof Kisiel,
Paweł Kwiatkowski, Agnieszka Zajączkowska, Dorota Krawczyk - Stańdo, Grzegorz Kusztelak, Witold Walas, Magdalena
Furmaniak, Kinga Gałązka, Dominik Kłys, Iwona Krawczyk-Kłys, Jacek Kucharski, Renata Kusztelak, Alicja Laskowska,
Piotr Mazur, Jan Omieciński, Bronisław Pabich, Dorota Palka - Rutkowska, Iwona Pecyna, Marek Pisarski, Alina Saganiak,
Bartosz Sakowicz, Izabela Sakwa, Sławomir Sapanowski, Jolanta Schilling, Marzena Sławińska, Aneta Stasiak, Katarzyna
Szczepaniak, Bożenna Szkopińska, Izabella Żółtaszek i Katarzyna Szablewska
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/ifXk8bDoha/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/ifXk8bDoha
Hasła podstawy programowej:
E2-PODST-MAT-1.0-2.3: mnoży i dzieli liczbę naturalną przez liczbę naturalną jednocyfrową, dwucyfrową lub trzycyfrową
pisemnie, w pamięci (w najprostszych przykładach) i za pomocą kalkulatora (w trudniejszych przykładach);
Informacje o licencjach osadzonych obiektów (w kolejności występowania w treści modułu):
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f6_Przyklad_5_1 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f6_Przyklad_5_2 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f6_Przyklad_5_3 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f6_Przyklad_6_1 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f6_Przyklad_6_2 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f6_Przyklad_6_3 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Przeksztalcanie figur na plaszczyznie kartezjanskiej_atrapa_animacja_269
[Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f6_Przyklad8_1 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f6_Przyklad_8_2 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f6_Przykladd_8_3 [Licencja: CC BY 3.0]
O e-podręczniku
1080
Moduł: Funkcja / Przekształcanie figur na płaszczyźnie kartezjańskiej / Zadania. Część I
Autorzy: Jacek Stańdo, Henryk Dąbrowski, Hanna Drabik - Zalewska, Gertruda Gwóźdź - Łukawska, Krzysztof Kisiel,
Paweł Kwiatkowski, Agnieszka Zajączkowska, Dorota Krawczyk - Stańdo, Grzegorz Kusztelak, Witold Walas, Magdalena
Furmaniak, Kinga Gałązka, Dominik Kłys, Iwona Krawczyk-Kłys, Jacek Kucharski, Renata Kusztelak, Alicja Laskowska,
Piotr Mazur, Jan Omieciński, Bronisław Pabich, Dorota Palka - Rutkowska, Iwona Pecyna, Marek Pisarski, Alina Saganiak,
Bartosz Sakowicz, Izabela Sakwa, Sławomir Sapanowski, Jolanta Schilling, Marzena Sławińska, Aneta Stasiak, Katarzyna
Szczepaniak, Bożenna Szkopińska, Izabella Żółtaszek i Katarzyna Szablewska
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iyKnFotul8/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iyKnFotul8
Hasła podstawy programowej:
E2-PODST-MAT-1.0-2.3: mnoży i dzieli liczbę naturalną przez liczbę naturalną jednocyfrową, dwucyfrową lub trzycyfrową
pisemnie, w pamięci (w najprostszych przykładach) i za pomocą kalkulatora (w trudniejszych przykładach);
Informacje o licencjach osadzonych obiektów (w kolejności występowania w treści modułu):
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f6_zad4 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f6_zad5 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f6_Cwiczenie_6 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f6 Cwiczenie6a [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f6_Cwiczenie_6 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f6 Cwiczenie6b [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f6_Cwiczenie_6 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f6 Cwiczenie6c [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f6 Cwiczenie7 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f6 Cwiczenie7a [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f6 Cwiczenie7 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f6 Cwiczenie7b [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f6 Cwiczenie7 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f6 Cwiczenie7c [Licencja: CC BY 3.0]
O e-podręczniku
1081
Moduł: Funkcja / Przekształcanie figur na płaszczyźnie kartezjańskiej / Zadania. Część II
Autorzy: Jacek Stańdo, Henryk Dąbrowski, Hanna Drabik - Zalewska, Gertruda Gwóźdź - Łukawska, Krzysztof Kisiel,
Paweł Kwiatkowski, Agnieszka Zajączkowska, Dorota Krawczyk - Stańdo, Grzegorz Kusztelak, Witold Walas, Magdalena
Furmaniak, Kinga Gałązka, Dominik Kłys, Iwona Krawczyk-Kłys, Jacek Kucharski, Renata Kusztelak, Alicja Laskowska,
Piotr Mazur, Jan Omieciński, Bronisław Pabich, Dorota Palka - Rutkowska, Iwona Pecyna, Marek Pisarski, Alina Saganiak,
Bartosz Sakowicz, Izabela Sakwa, Sławomir Sapanowski, Jolanta Schilling, Marzena Sławińska, Aneta Stasiak, Katarzyna
Szczepaniak, Bożenna Szkopińska, Izabella Żółtaszek i Katarzyna Szablewska
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iQ60uQMXIA/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iQ60uQMXIA
Hasła podstawy programowej:
E2-PODST-MAT-1.0-2.3: mnoży i dzieli liczbę naturalną przez liczbę naturalną jednocyfrową, dwucyfrową lub trzycyfrową
pisemnie, w pamięci (w najprostszych przykładach) i za pomocą kalkulatora (w trudniejszych przykładach);
Informacje o licencjach osadzonych obiektów (w kolejności występowania w treści modułu):
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f6z_ZadZamkniete4 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f6z_ZadZadanie4a [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f6z_ZadZamkniete4b [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f6z_ZadZamkniete4d [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f6z_ZadZamkniete4 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f6z_ZadZadanie4a [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f6z_ZadZamkniete4b [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f6z_ZadZamkniete4d [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f6z_ZadZamkniete5 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f6z_ZadZamkniete5a [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f6z_ZadZamkniete5b [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f6z_ZadZamkniete5c [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f6z_ZadZamkniete8 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f6z_ZadOtwarte5 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f6z_ZadOtwarte6 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f6z_ZadOtwarte8 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f6z_ZadOtwarte11 [Licencja: CC BY 3.0]
O e-podręczniku
1082
Moduł: Funkcja / Przekształcanie figur na płaszczyźnie kartezjańskiej / Zadania generatorowe
Autorzy: Jacek Stańdo, Henryk Dąbrowski, Hanna Drabik - Zalewska, Gertruda Gwóźdź - Łukawska, Krzysztof Kisiel,
Paweł Kwiatkowski, Agnieszka Zajączkowska, Dorota Krawczyk - Stańdo, Grzegorz Kusztelak, Witold Walas, Magdalena
Furmaniak, Kinga Gałązka, Dominik Kłys, Iwona Krawczyk-Kłys, Jacek Kucharski, Renata Kusztelak, Alicja Laskowska,
Piotr Mazur, Jan Omieciński, Bronisław Pabich, Dorota Palka - Rutkowska, Iwona Pecyna, Marek Pisarski, Alina Saganiak,
Bartosz Sakowicz, Izabela Sakwa, Sławomir Sapanowski, Jolanta Schilling, Marzena Sławińska, Aneta Stasiak, Katarzyna
Szczepaniak, Bożenna Szkopińska, Izabella Żółtaszek i Katarzyna Szablewska
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iJ2NWDdwP7/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iJ2NWDdwP7
Hasła podstawy programowej:
E2-PODST-MAT-1.0-2.3: mnoży i dzieli liczbę naturalną przez liczbę naturalną jednocyfrową, dwucyfrową lub trzycyfrową
pisemnie, w pamięci (w najprostszych przykładach) i za pomocą kalkulatora (w trudniejszych przykładach);
Informacje o licencjach osadzonych obiektów (w kolejności występowania w treści modułu):
Moduł: Funkcja / Przesunięcie wzdłuż osi układu współrzędnych / Przesunięcie punktu w układzie współrzędnych
Autorzy: Jacek Stańdo, Henryk Dąbrowski, Hanna Drabik - Zalewska, Gertruda Gwóźdź - Łukawska, Krzysztof Kisiel,
Paweł Kwiatkowski, Agnieszka Zajączkowska, Dorota Krawczyk - Stańdo, Grzegorz Kusztelak, Witold Walas, Magdalena
Furmaniak, Kinga Gałązka, Dominik Kłys, Iwona Krawczyk-Kłys, Jacek Kucharski, Renata Kusztelak, Alicja Laskowska,
Piotr Mazur, Jan Omieciński, Bronisław Pabich, Dorota Palka - Rutkowska, Iwona Pecyna, Marek Pisarski, Alina Saganiak,
Bartosz Sakowicz, Izabela Sakwa, Sławomir Sapanowski, Jolanta Schilling, Marzena Sławińska, Aneta Stasiak, Katarzyna
Szczepaniak, Bożenna Szkopińska, Izabella Żółtaszek i Katarzyna Szablewska
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/igCztBDm3m/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/igCztBDm3m
Hasła podstawy programowej:
E2-PODST-MAT-1.0-2.3: mnoży i dzieli liczbę naturalną przez liczbę naturalną jednocyfrową, dwucyfrową lub trzycyfrową
pisemnie, w pamięci (w najprostszych przykładach) i za pomocą kalkulatora (w trudniejszych przykładach);
Informacje o licencjach osadzonych obiektów (w kolejności występowania w treści modułu):
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f7_a1_aplet_pop [Licencja: CC BY NC 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Przesuniecie wzdluz osi ukladu wspolrzednych_atrapa_animacja_271 [Licencja: CC
BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Przesuniecie wzdluz osi ukladu wspolrzednych_atrapa_animacja_270 [Licencja: CC
BY 3.0]
O e-podręczniku
1083
Moduł: Funkcja / Przesunięcie wzdłuż osi układu współrzędnych / Przykłady
Autorzy: Jacek Stańdo, Henryk Dąbrowski, Hanna Drabik - Zalewska, Gertruda Gwóźdź - Łukawska, Krzysztof Kisiel,
Paweł Kwiatkowski, Agnieszka Zajączkowska, Dorota Krawczyk - Stańdo, Grzegorz Kusztelak, Witold Walas, Magdalena
Furmaniak, Kinga Gałązka, Dominik Kłys, Iwona Krawczyk-Kłys, Jacek Kucharski, Renata Kusztelak, Alicja Laskowska,
Piotr Mazur, Jan Omieciński, Bronisław Pabich, Dorota Palka - Rutkowska, Iwona Pecyna, Marek Pisarski, Alina Saganiak,
Bartosz Sakowicz, Izabela Sakwa, Sławomir Sapanowski, Jolanta Schilling, Marzena Sławińska, Aneta Stasiak, Katarzyna
Szczepaniak, Bożenna Szkopińska, Izabella Żółtaszek i Katarzyna Szablewska
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iuYO7oABdk/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iuYO7oABdk
Hasła podstawy programowej:
E2-PODST-MAT-1.0-2.3: mnoży i dzieli liczbę naturalną przez liczbę naturalną jednocyfrową, dwucyfrową lub trzycyfrową
pisemnie, w pamięci (w najprostszych przykładach) i za pomocą kalkulatora (w trudniejszych przykładach);
Informacje o licencjach osadzonych obiektów (w kolejności występowania w treści modułu):
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Przesuniecie wzdluz osi ukladu wspolrzednych_atrapa_animacja_272 [Licencja: CC
BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f7_Przyklad2 [Licencja: CC BY NC 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f7_Przyklad3 [Licencja: CC BY NC 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f7_przesuniecie_trojkata [Licencja: CC BY NC 3.0]
O e-podręczniku
1084
Moduł: Funkcja / Przesunięcie wzdłuż osi układu współrzędnych / Przesunięcie wykresów funkcji
Autorzy: Jacek Stańdo, Henryk Dąbrowski, Hanna Drabik - Zalewska, Gertruda Gwóźdź - Łukawska, Krzysztof Kisiel,
Paweł Kwiatkowski, Agnieszka Zajączkowska, Dorota Krawczyk - Stańdo, Grzegorz Kusztelak, Witold Walas, Magdalena
Furmaniak, Kinga Gałązka, Dominik Kłys, Iwona Krawczyk-Kłys, Jacek Kucharski, Renata Kusztelak, Alicja Laskowska,
Piotr Mazur, Jan Omieciński, Bronisław Pabich, Dorota Palka - Rutkowska, Iwona Pecyna, Marek Pisarski, Alina Saganiak,
Bartosz Sakowicz, Izabela Sakwa, Sławomir Sapanowski, Jolanta Schilling, Marzena Sławińska, Aneta Stasiak, Katarzyna
Szczepaniak, Bożenna Szkopińska, Izabella Żółtaszek i Katarzyna Szablewska
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/idq3TL5AAt/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/idq3TL5AAt
Hasła podstawy programowej:
E2-PODST-MAT-1.0-2.3: mnoży i dzieli liczbę naturalną przez liczbę naturalną jednocyfrową, dwucyfrową lub trzycyfrową
pisemnie, w pamięci (w najprostszych przykładach) i za pomocą kalkulatora (w trudniejszych przykładach);
Informacje o licencjach osadzonych obiektów (w kolejności występowania w treści modułu):
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Przesuniecie wzdluz osi ukladu wspolrzednych_atrapa_animacja_273 [Licencja: CC
BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Przesuniecie wzdluz osi ukladu wspolrzednych_atrapa_animacja_274 [Licencja: CC
BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Przesuniecie wzdluz osi ukladu wspolrzednych_atrapa_animacja_275 [Licencja: CC
BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f7_Przesuniecie_wykresu_Ox_Oy [Licencja: CC BY NC 3.0]
O e-podręczniku
1085
Moduł: Funkcja / Przesunięcie wzdłuż osi układu współrzędnych / Przykłady
Autorzy: Jacek Stańdo, Henryk Dąbrowski, Hanna Drabik - Zalewska, Gertruda Gwóźdź - Łukawska, Krzysztof Kisiel,
Paweł Kwiatkowski, Agnieszka Zajączkowska, Dorota Krawczyk - Stańdo, Grzegorz Kusztelak, Witold Walas, Magdalena
Furmaniak, Kinga Gałązka, Dominik Kłys, Iwona Krawczyk-Kłys, Jacek Kucharski, Renata Kusztelak, Alicja Laskowska,
Piotr Mazur, Jan Omieciński, Bronisław Pabich, Dorota Palka - Rutkowska, Iwona Pecyna, Marek Pisarski, Alina Saganiak,
Bartosz Sakowicz, Izabela Sakwa, Sławomir Sapanowski, Jolanta Schilling, Marzena Sławińska, Aneta Stasiak, Katarzyna
Szczepaniak, Bożenna Szkopińska, Izabella Żółtaszek i Katarzyna Szablewska
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iaBy7Rwlv4/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iaBy7Rwlv4
Hasła podstawy programowej:
E2-PODST-MAT-1.0-2.3: mnoży i dzieli liczbę naturalną przez liczbę naturalną jednocyfrową, dwucyfrową lub trzycyfrową
pisemnie, w pamięci (w najprostszych przykładach) i za pomocą kalkulatora (w trudniejszych przykładach);
Informacje o licencjach osadzonych obiektów (w kolejności występowania w treści modułu):
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f7_p5a [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f7_p5b [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f7_p5c [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f7_p5d [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f7_6a [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f7_6b [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f7_6c [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f7_6d [Licencja: CC BY 3.0]
O e-podręczniku
1086
Moduł: Funkcja / Przesunięcie wzdłuż osi układu współrzędnych / Zadania
Autorzy: Jacek Stańdo, Henryk Dąbrowski, Hanna Drabik - Zalewska, Gertruda Gwóźdź - Łukawska, Krzysztof Kisiel,
Paweł Kwiatkowski, Agnieszka Zajączkowska, Dorota Krawczyk - Stańdo, Grzegorz Kusztelak, Witold Walas, Magdalena
Furmaniak, Kinga Gałązka, Dominik Kłys, Iwona Krawczyk-Kłys, Jacek Kucharski, Renata Kusztelak, Alicja Laskowska,
Piotr Mazur, Jan Omieciński, Bronisław Pabich, Dorota Palka - Rutkowska, Iwona Pecyna, Marek Pisarski, Alina Saganiak,
Bartosz Sakowicz, Izabela Sakwa, Sławomir Sapanowski, Jolanta Schilling, Marzena Sławińska, Aneta Stasiak, Katarzyna
Szczepaniak, Bożenna Szkopińska, Izabella Żółtaszek i Katarzyna Szablewska
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iVyCTmvrLc/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iVyCTmvrLc
Hasła podstawy programowej:
E2-PODST-MAT-1.0-2.3: mnoży i dzieli liczbę naturalną przez liczbę naturalną jednocyfrową, dwucyfrową lub trzycyfrową
pisemnie, w pamięci (w najprostszych przykładach) i za pomocą kalkulatora (w trudniejszych przykładach);
Informacje o licencjach osadzonych obiektów (w kolejności występowania w treści modułu):
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f7_cw1 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f7_cw1a [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f7_cw1c [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f7_cw1d [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f7_cw2a [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f7_cw2b [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f7cz2_1 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f4_przeksztalcenia_wykresow_pop [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f7cz2_1b [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f7cz2_1c [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f7cz2_2 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f7cz2_2a [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f7cz2_2c [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f7cz2_2d [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f7cz2_3a [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f7cz2_3b [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f7cz2_4 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f7cz2_5 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f7cz2_6a [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f7cz2_7 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f7_cz2_8 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f7_cz2_9_pop5607 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f7_cz2_10_pop [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f7cz2_10a [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f7cz2_10b [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f7cz2_10c [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f7cz2_10d [Licencja: CC BY 3.0]
O e-podręczniku
1087
Moduł: Funkcja / Przesunięcie wzdłuż osi układu współrzędnych / Zadania generatorowe
Autorzy: Jacek Stańdo, Henryk Dąbrowski, Hanna Drabik - Zalewska, Gertruda Gwóźdź - Łukawska, Krzysztof Kisiel,
Paweł Kwiatkowski, Agnieszka Zajączkowska, Dorota Krawczyk - Stańdo, Grzegorz Kusztelak, Witold Walas, Magdalena
Furmaniak, Kinga Gałązka, Dominik Kłys, Iwona Krawczyk-Kłys, Jacek Kucharski, Renata Kusztelak, Alicja Laskowska,
Piotr Mazur, Jan Omieciński, Bronisław Pabich, Dorota Palka - Rutkowska, Iwona Pecyna, Marek Pisarski, Alina Saganiak,
Bartosz Sakowicz, Izabela Sakwa, Sławomir Sapanowski, Jolanta Schilling, Marzena Sławińska, Aneta Stasiak, Katarzyna
Szczepaniak, Bożenna Szkopińska, Izabella Żółtaszek i Katarzyna Szablewska
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iRxU4N5KUF/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iRxU4N5KUF
Hasła podstawy programowej:
E2-PODST-MAT-1.0-2.3: mnoży i dzieli liczbę naturalną przez liczbę naturalną jednocyfrową, dwucyfrową lub trzycyfrową
pisemnie, w pamięci (w najprostszych przykładach) i za pomocą kalkulatora (w trudniejszych przykładach);
Informacje o licencjach osadzonych obiektów (w kolejności występowania w treści modułu):
Moduł: Funkcja liniowa / Funkcja liniowa. Wykres funkcji liniowej / Proporcjonalność prosta
Autorzy: Jacek Stańdo, Henryk Dąbrowski, Hanna Drabik - Zalewska, Gertruda Gwóźdź - Łukawska, Krzysztof Kisiel,
Paweł Kwiatkowski, Agnieszka Zajączkowska, Dorota Krawczyk - Stańdo, Grzegorz Kusztelak, Witold Walas, Magdalena
Furmaniak, Kinga Gałązka, Dominik Kłys, Iwona Krawczyk-Kłys, Jacek Kucharski, Renata Kusztelak, Alicja Laskowska,
Piotr Mazur, Jan Omieciński, Bronisław Pabich, Dorota Palka - Rutkowska, Iwona Pecyna, Marek Pisarski, Alina Saganiak,
Bartosz Sakowicz, Izabela Sakwa, Sławomir Sapanowski, Jolanta Schilling, Marzena Sławińska, Aneta Stasiak, Katarzyna
Szczepaniak, Bożenna Szkopińska, Izabella Żółtaszek i Katarzyna Szablewska
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/idsHCqNtrt/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/idsHCqNtrt
Hasła podstawy programowej:
E2-PODST-MAT-1.0-2.3: mnoży i dzieli liczbę naturalną przez liczbę naturalną jednocyfrową, dwucyfrową lub trzycyfrową
pisemnie, w pamięci (w najprostszych przykładach) i za pomocą kalkulatora (w trudniejszych przykładach);
Informacje o licencjach osadzonych obiektów (w kolejności występowania w treści modułu):
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Atrapa_animacji [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Atrapa_animacji [Licencja: CC BY 3.0]
O e-podręczniku
1088
Moduł: Funkcja liniowa / Funkcja liniowa. Wykres funkcji liniowej / Przykłady
Autorzy: Jacek Stańdo, Henryk Dąbrowski, Hanna Drabik - Zalewska, Gertruda Gwóźdź - Łukawska, Krzysztof Kisiel,
Paweł Kwiatkowski, Agnieszka Zajączkowska, Dorota Krawczyk - Stańdo, Grzegorz Kusztelak, Witold Walas, Magdalena
Furmaniak, Kinga Gałązka, Dominik Kłys, Iwona Krawczyk-Kłys, Jacek Kucharski, Renata Kusztelak, Alicja Laskowska,
Piotr Mazur, Jan Omieciński, Bronisław Pabich, Dorota Palka - Rutkowska, Iwona Pecyna, Marek Pisarski, Alina Saganiak,
Bartosz Sakowicz, Izabela Sakwa, Sławomir Sapanowski, Jolanta Schilling, Marzena Sławińska, Aneta Stasiak, Katarzyna
Szczepaniak, Bożenna Szkopińska, Izabella Żółtaszek i Katarzyna Szablewska
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iZ5NefZyv7/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iZ5NefZyv7
Hasła podstawy programowej:
E2-PODST-MAT-1.0-2.3: mnoży i dzieli liczbę naturalną przez liczbę naturalną jednocyfrową, dwucyfrową lub trzycyfrową
pisemnie, w pamięci (w najprostszych przykładach) i za pomocą kalkulatora (w trudniejszych przykładach);
Informacje o licencjach osadzonych obiektów (w kolejności występowania w treści modułu):
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Funkcja liniowa.Wykres funkcji liniowej_atrapa_animacja_276 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Funkcja liniowa.Wykres funkcji liniowej_atrapa_animacja_277 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Funkcja liniowa.Wykres funkcji liniowej_atrapa_animacja_278 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: L1-P4 [Licencja: CC BY NC 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: L1_P5a [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: L1_P5b [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: L1_P5c [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: L1_P5d [Licencja: CC BY 3.0]
Moduł: Funkcja liniowa / Funkcja liniowa. Wykres funkcji liniowej / Definicja funkcji liniowej
Autorzy: Jacek Stańdo, Henryk Dąbrowski, Hanna Drabik - Zalewska, Gertruda Gwóźdź - Łukawska, Krzysztof Kisiel,
Paweł Kwiatkowski, Agnieszka Zajączkowska, Dorota Krawczyk - Stańdo, Grzegorz Kusztelak, Witold Walas, Magdalena
Furmaniak, Kinga Gałązka, Dominik Kłys, Iwona Krawczyk-Kłys, Jacek Kucharski, Renata Kusztelak, Alicja Laskowska,
Piotr Mazur, Jan Omieciński, Bronisław Pabich, Dorota Palka - Rutkowska, Iwona Pecyna, Marek Pisarski, Alina Saganiak,
Bartosz Sakowicz, Izabela Sakwa, Sławomir Sapanowski, Jolanta Schilling, Marzena Sławińska, Aneta Stasiak, Katarzyna
Szczepaniak, Bożenna Szkopińska, Izabella Żółtaszek i Katarzyna Szablewska
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iC5UlVWKOh/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iC5UlVWKOh
Hasła podstawy programowej:
E2-PODST-MAT-1.0-2.3: mnoży i dzieli liczbę naturalną przez liczbę naturalną jednocyfrową, dwucyfrową lub trzycyfrową
pisemnie, w pamięci (w najprostszych przykładach) i za pomocą kalkulatora (w trudniejszych przykładach);
Informacje o licencjach osadzonych obiektów (w kolejności występowania w treści modułu):
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: L1_aplet_1 [Licencja: CC BY NC 3.0]
O e-podręczniku
1089
Moduł: Funkcja liniowa / Funkcja liniowa. Wykres funkcji liniowej / Zadania
Autorzy: Jacek Stańdo, Henryk Dąbrowski, Hanna Drabik - Zalewska, Gertruda Gwóźdź - Łukawska, Krzysztof Kisiel,
Paweł Kwiatkowski, Agnieszka Zajączkowska, Dorota Krawczyk - Stańdo, Grzegorz Kusztelak, Witold Walas, Magdalena
Furmaniak, Kinga Gałązka, Dominik Kłys, Iwona Krawczyk-Kłys, Jacek Kucharski, Renata Kusztelak, Alicja Laskowska,
Piotr Mazur, Jan Omieciński, Bronisław Pabich, Dorota Palka - Rutkowska, Iwona Pecyna, Marek Pisarski, Alina Saganiak,
Bartosz Sakowicz, Izabela Sakwa, Sławomir Sapanowski, Jolanta Schilling, Marzena Sławińska, Aneta Stasiak, Katarzyna
Szczepaniak, Bożenna Szkopińska, Izabella Żółtaszek i Katarzyna Szablewska
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iXvri0TiC7/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iXvri0TiC7
Hasła podstawy programowej:
E2-PODST-MAT-1.0-2.3: mnoży i dzieli liczbę naturalną przez liczbę naturalną jednocyfrową, dwucyfrową lub trzycyfrową
pisemnie, w pamięci (w najprostszych przykładach) i za pomocą kalkulatora (w trudniejszych przykładach);
Informacje o licencjach osadzonych obiektów (w kolejności występowania w treści modułu):
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: L1_cw7a [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: L1_cw7b [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: L1_cw7c [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: L1_cw7d [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: L1_ZadZamkniete4 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: L1_ZadOtwarte_2a [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: L1_ZadOtwarte_2b [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: L1_ZadOtwarte_2c [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: L1_ZadOtwarte_2d [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: L1_ZadOtwarte_6 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: L1_ZadOtwarte_8a [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: L1_ZadOtwarte_8b [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: L1_ZadOtwarte_8c [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: L1_ZadOtwarte_8d [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: L1_ZadOtwarte_9 [Licencja: CC BY 3.0]
O e-podręczniku
1090
Moduł: Funkcja liniowa / Funkcja liniowa. Wykres funkcji liniowej / Zadania generatorowe
Autorzy: Jacek Stańdo, Henryk Dąbrowski, Hanna Drabik - Zalewska, Gertruda Gwóźdź - Łukawska, Krzysztof Kisiel,
Paweł Kwiatkowski, Agnieszka Zajączkowska, Dorota Krawczyk - Stańdo, Grzegorz Kusztelak, Witold Walas, Magdalena
Furmaniak, Kinga Gałązka, Dominik Kłys, Iwona Krawczyk-Kłys, Jacek Kucharski, Renata Kusztelak, Alicja Laskowska,
Piotr Mazur, Jan Omieciński, Bronisław Pabich, Dorota Palka - Rutkowska, Iwona Pecyna, Marek Pisarski, Alina Saganiak,
Bartosz Sakowicz, Izabela Sakwa, Sławomir Sapanowski, Jolanta Schilling, Marzena Sławińska, Aneta Stasiak, Katarzyna
Szczepaniak, Bożenna Szkopińska, Izabella Żółtaszek i Katarzyna Szablewska
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iU3Qbix5DD/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iU3Qbix5DD
Hasła podstawy programowej:
E2-PODST-MAT-1.0-2.3: mnoży i dzieli liczbę naturalną przez liczbę naturalną jednocyfrową, dwucyfrową lub trzycyfrową
pisemnie, w pamięci (w najprostszych przykładach) i za pomocą kalkulatora (w trudniejszych przykładach);
Informacje o licencjach osadzonych obiektów (w kolejności występowania w treści modułu):
Moduł: Funkcja liniowa / Własności funkcji liniowej / Współczynnik kierunkowy funkcji liniowej
Autorzy: Jacek Stańdo, Henryk Dąbrowski, Hanna Drabik - Zalewska, Gertruda Gwóźdź - Łukawska, Krzysztof Kisiel,
Paweł Kwiatkowski, Agnieszka Zajączkowska, Dorota Krawczyk - Stańdo, Grzegorz Kusztelak, Witold Walas, Magdalena
Furmaniak, Kinga Gałązka, Dominik Kłys, Iwona Krawczyk-Kłys, Jacek Kucharski, Renata Kusztelak, Alicja Laskowska,
Piotr Mazur, Jan Omieciński, Bronisław Pabich, Dorota Palka - Rutkowska, Iwona Pecyna, Marek Pisarski, Alina Saganiak,
Bartosz Sakowicz, Izabela Sakwa, Sławomir Sapanowski, Jolanta Schilling, Marzena Sławińska, Aneta Stasiak, Katarzyna
Szczepaniak, Bożenna Szkopińska, Izabella Żółtaszek i Katarzyna Szablewska
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/i2lXwmfXei/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/i2lXwmfXei
Hasła podstawy programowej:
E2-PODST-MAT-1.0-2.3: mnoży i dzieli liczbę naturalną przez liczbę naturalną jednocyfrową, dwucyfrową lub trzycyfrową
pisemnie, w pamięci (w najprostszych przykładach) i za pomocą kalkulatora (w trudniejszych przykładach);
Informacje o licencjach osadzonych obiektów (w kolejności występowania w treści modułu):
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: L2_P1 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Funkcja liniowa_wspolczynniki_atrapa_animacja_279 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: L2_P2 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Funkcja liniowa_wspolczynniki_atrapa_animacja_280 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: L2_P3 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Funkcja liniowa_wspolczynniki_atrapa_animacja_281 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: L2_aplet1_rysowanie_wykresu_funkcji_liniowej [Licencja: CC BY NC 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Funkcja liniowa_wspolczynniki_atrapa_animacja_282 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: L2_aplet2_kontrola_wk [Licencja: CC BY NC 3.0]
O e-podręczniku
1091
Moduł: Funkcja liniowa / Własności funkcji liniowej / Funkcja liniowa rosnąca, funkcja liniowa malejąca
Autorzy: Jacek Stańdo, Henryk Dąbrowski, Hanna Drabik - Zalewska, Gertruda Gwóźdź - Łukawska, Krzysztof Kisiel,
Paweł Kwiatkowski, Agnieszka Zajączkowska, Dorota Krawczyk - Stańdo, Grzegorz Kusztelak, Witold Walas, Magdalena
Furmaniak, Kinga Gałązka, Dominik Kłys, Iwona Krawczyk-Kłys, Jacek Kucharski, Renata Kusztelak, Alicja Laskowska,
Piotr Mazur, Jan Omieciński, Bronisław Pabich, Dorota Palka - Rutkowska, Iwona Pecyna, Marek Pisarski, Alina Saganiak,
Bartosz Sakowicz, Izabela Sakwa, Sławomir Sapanowski, Jolanta Schilling, Marzena Sławińska, Aneta Stasiak, Katarzyna
Szczepaniak, Bożenna Szkopińska, Izabella Żółtaszek i Katarzyna Szablewska
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/ii5ui8UqCh/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/ii5ui8UqCh
Hasła podstawy programowej:
E2-PODST-MAT-1.0-2.3: mnoży i dzieli liczbę naturalną przez liczbę naturalną jednocyfrową, dwucyfrową lub trzycyfrową
pisemnie, w pamięci (w najprostszych przykładach) i za pomocą kalkulatora (w trudniejszych przykładach);
Informacje o licencjach osadzonych obiektów (w kolejności występowania w treści modułu):
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Funkcja liniowa_wspolczynniki_atrapa_animacja_283 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Funkcja liniowa_wspolczynniki_atrapa_animacja_284 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Funkcja liniowa_wspolczynniki_atrapa_animacja_285 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Informacja niezdefiniowana [Licencja: CC BY NC 3.0]
O e-podręczniku
1092
Moduł: Funkcja liniowa / Własności funkcji liniowej / Zadania
Autorzy: Jacek Stańdo, Henryk Dąbrowski, Hanna Drabik - Zalewska, Gertruda Gwóźdź - Łukawska, Krzysztof Kisiel,
Paweł Kwiatkowski, Agnieszka Zajączkowska, Dorota Krawczyk - Stańdo, Grzegorz Kusztelak, Witold Walas, Magdalena
Furmaniak, Kinga Gałązka, Dominik Kłys, Iwona Krawczyk-Kłys, Jacek Kucharski, Renata Kusztelak, Alicja Laskowska,
Piotr Mazur, Jan Omieciński, Bronisław Pabich, Dorota Palka - Rutkowska, Iwona Pecyna, Marek Pisarski, Alina Saganiak,
Bartosz Sakowicz, Izabela Sakwa, Sławomir Sapanowski, Jolanta Schilling, Marzena Sławińska, Aneta Stasiak, Katarzyna
Szczepaniak, Bożenna Szkopińska, Izabella Żółtaszek i Katarzyna Szablewska
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/i0XbzDniFf/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/i0XbzDniFf
Hasła podstawy programowej:
E2-PODST-MAT-1.0-2.3: mnoży i dzieli liczbę naturalną przez liczbę naturalną jednocyfrową, dwucyfrową lub trzycyfrową
pisemnie, w pamięci (w najprostszych przykładach) i za pomocą kalkulatora (w trudniejszych przykładach);
Informacje o licencjach osadzonych obiektów (w kolejności występowania w treści modułu):
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: L2_cw1 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: L2_ZadZamkniete1 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: L2_ZadZamkniete2 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: L2_ZadOtwarte1a [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: L2_ZadOtwarte1b [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: L2_ZadOtwarte1c [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: L2_ZadOtwarte1d [Licencja: CC BY 3.0]
Moduł: Funkcja liniowa / Własności funkcji liniowej / Zadania generatorowe
Autorzy: Jacek Stańdo, Henryk Dąbrowski, Hanna Drabik - Zalewska, Gertruda Gwóźdź - Łukawska, Krzysztof Kisiel,
Paweł Kwiatkowski, Agnieszka Zajączkowska, Dorota Krawczyk - Stańdo, Grzegorz Kusztelak, Witold Walas, Magdalena
Furmaniak, Kinga Gałązka, Dominik Kłys, Iwona Krawczyk-Kłys, Jacek Kucharski, Renata Kusztelak, Alicja Laskowska,
Piotr Mazur, Jan Omieciński, Bronisław Pabich, Dorota Palka - Rutkowska, Iwona Pecyna, Marek Pisarski, Alina Saganiak,
Bartosz Sakowicz, Izabela Sakwa, Sławomir Sapanowski, Jolanta Schilling, Marzena Sławińska, Aneta Stasiak, Katarzyna
Szczepaniak, Bożenna Szkopińska, Izabella Żółtaszek i Katarzyna Szablewska
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/ifmDv2cNM8/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/ifmDv2cNM8
Hasła podstawy programowej:
E2-PODST-MAT-1.0-2.3: mnoży i dzieli liczbę naturalną przez liczbę naturalną jednocyfrową, dwucyfrową lub trzycyfrową
pisemnie, w pamięci (w najprostszych przykładach) i za pomocą kalkulatora (w trudniejszych przykładach);
Informacje o licencjach osadzonych obiektów (w kolejności występowania w treści modułu):
O e-podręczniku
1093
Moduł: Funkcja liniowa / Miejsce zerowe funkcji liniowej. Równanie liniowe, nierówność liniowa / Równanie liniowe
Autorzy: Jacek Stańdo, Henryk Dąbrowski, Hanna Drabik - Zalewska, Gertruda Gwóźdź - Łukawska, Krzysztof Kisiel,
Paweł Kwiatkowski, Agnieszka Zajączkowska, Dorota Krawczyk - Stańdo, Grzegorz Kusztelak, Witold Walas, Magdalena
Furmaniak, Kinga Gałązka, Dominik Kłys, Iwona Krawczyk-Kłys, Jacek Kucharski, Renata Kusztelak, Alicja Laskowska,
Piotr Mazur, Jan Omieciński, Bronisław Pabich, Dorota Palka - Rutkowska, Iwona Pecyna, Marek Pisarski, Alina Saganiak,
Bartosz Sakowicz, Izabela Sakwa, Sławomir Sapanowski, Jolanta Schilling, Marzena Sławińska, Aneta Stasiak, Katarzyna
Szczepaniak, Bożenna Szkopińska, Izabella Żółtaszek i Katarzyna Szablewska
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iMtsQSV59x/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iMtsQSV59x
Hasła podstawy programowej:
E2-PODST-MAT-1.0-2.3: mnoży i dzieli liczbę naturalną przez liczbę naturalną jednocyfrową, dwucyfrową lub trzycyfrową
pisemnie, w pamięci (w najprostszych przykładach) i za pomocą kalkulatora (w trudniejszych przykładach);
Informacje o licencjach osadzonych obiektów (w kolejności występowania w treści modułu):
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Miejsce zerowe funkcji liniowej. Rownanie nierownosc
liniowa_atrapa_animacja_286 [Licencja: CC BY 3.0]
Moduł: Funkcja liniowa / Miejsce zerowe funkcji liniowej. Równanie liniowe, nierówność liniowa / Nierówność liniowa
Autorzy: Jacek Stańdo, Henryk Dąbrowski, Hanna Drabik - Zalewska, Gertruda Gwóźdź - Łukawska, Krzysztof Kisiel,
Paweł Kwiatkowski, Agnieszka Zajączkowska, Dorota Krawczyk - Stańdo, Grzegorz Kusztelak, Witold Walas, Magdalena
Furmaniak, Kinga Gałązka, Dominik Kłys, Iwona Krawczyk-Kłys, Jacek Kucharski, Renata Kusztelak, Alicja Laskowska,
Piotr Mazur, Jan Omieciński, Bronisław Pabich, Dorota Palka - Rutkowska, Iwona Pecyna, Marek Pisarski, Alina Saganiak,
Bartosz Sakowicz, Izabela Sakwa, Sławomir Sapanowski, Jolanta Schilling, Marzena Sławińska, Aneta Stasiak, Katarzyna
Szczepaniak, Bożenna Szkopińska, Izabella Żółtaszek i Katarzyna Szablewska
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iz3YYsvkqA/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iz3YYsvkqA
Hasła podstawy programowej:
E2-PODST-MAT-1.0-2.3: mnoży i dzieli liczbę naturalną przez liczbę naturalną jednocyfrową, dwucyfrową lub trzycyfrową
pisemnie, w pamięci (w najprostszych przykładach) i za pomocą kalkulatora (w trudniejszych przykładach);
Informacje o licencjach osadzonych obiektów (w kolejności występowania w treści modułu):
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Miejsce zerowe funkcji liniowej. Rownanie nierownosc
liniowa_atrapa_animacja_287 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: L3_aplet_znak_funkcji_liniowej1 [Licencja: CC BY NC 3.0]
O e-podręczniku
1094
Moduł: Funkcja liniowa / Miejsce zerowe funkcji liniowej. Równanie liniowe, nierówność liniowa / Zadania
Autorzy: Jacek Stańdo, Henryk Dąbrowski, Hanna Drabik - Zalewska, Gertruda Gwóźdź - Łukawska, Krzysztof Kisiel,
Paweł Kwiatkowski, Agnieszka Zajączkowska, Dorota Krawczyk - Stańdo, Grzegorz Kusztelak, Witold Walas, Magdalena
Furmaniak, Kinga Gałązka, Dominik Kłys, Iwona Krawczyk-Kłys, Jacek Kucharski, Renata Kusztelak, Alicja Laskowska,
Piotr Mazur, Jan Omieciński, Bronisław Pabich, Dorota Palka - Rutkowska, Iwona Pecyna, Marek Pisarski, Alina Saganiak,
Bartosz Sakowicz, Izabela Sakwa, Sławomir Sapanowski, Jolanta Schilling, Marzena Sławińska, Aneta Stasiak, Katarzyna
Szczepaniak, Bożenna Szkopińska, Izabella Żółtaszek i Katarzyna Szablewska
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iAPzA JyJLl/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iAPzA JyJLl
Hasła podstawy programowej:
E2-PODST-MAT-1.0-2.3: mnoży i dzieli liczbę naturalną przez liczbę naturalną jednocyfrową, dwucyfrową lub trzycyfrową
pisemnie, w pamięci (w najprostszych przykładach) i za pomocą kalkulatora (w trudniejszych przykładach);
Informacje o licencjach osadzonych obiektów (w kolejności występowania w treści modułu):
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: L3_cwiczenie2a [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: L3_cwiczenie2b [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: L3_cwiczenie2c [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: L3_cwiczenie2d [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: L3_cwiczenie5 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: L3_ZadZamkniete4 [Licencja: CC BY 3.0]
O e-podręczniku
1095
Moduł: Funkcja liniowa / Układ równań liniowych. Geometryczna interpretacja układu równań / Układ dwóch równań
liniowych
Autorzy: Jacek Stańdo, Henryk Dąbrowski, Hanna Drabik - Zalewska, Gertruda Gwóźdź - Łukawska, Krzysztof Kisiel,
Paweł Kwiatkowski, Agnieszka Zajączkowska, Dorota Krawczyk - Stańdo, Grzegorz Kusztelak, Witold Walas, Magdalena
Furmaniak, Kinga Gałązka, Dominik Kłys, Iwona Krawczyk-Kłys, Jacek Kucharski, Renata Kusztelak, Alicja Laskowska,
Piotr Mazur, Jan Omieciński, Bronisław Pabich, Dorota Palka - Rutkowska, Iwona Pecyna, Marek Pisarski, Alina Saganiak,
Bartosz Sakowicz, Izabela Sakwa, Sławomir Sapanowski, Jolanta Schilling, Marzena Sławińska, Aneta Stasiak, Katarzyna
Szczepaniak, Bożenna Szkopińska, Izabella Żółtaszek i Katarzyna Szablewska
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iwlla7UcWu/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iwlla7UcWu
Hasła podstawy programowej:
E2-PODST-MAT-1.0-2.3: mnoży i dzieli liczbę naturalną przez liczbę naturalną jednocyfrową, dwucyfrową lub trzycyfrową
pisemnie, w pamięci (w najprostszych przykładach) i za pomocą kalkulatora (w trudniejszych przykładach);
Informacje o licencjach osadzonych obiektów (w kolejności występowania w treści modułu):
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: L4_rys1_uklady_rownan_pop [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: L4-p2 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Uklad rownan liniowych.Geometryczna interpretacja ukl rownan_atrapa_rys_1461
[Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: L4_rys2_doPrzykladu_pop [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: L4-p8 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: L4-p9 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Uklad rownan liniowych.Geometryczna interpretacja ukl
rownan_atrapa_animacja_462 [Licencja: CC BY 3.0]
Moduł: Funkcja liniowa / Układ równań liniowych. Geometryczna interpretacja układu równań / Układ równań liniowych
Autorzy: Jacek Stańdo, Henryk Dąbrowski, Hanna Drabik - Zalewska, Gertruda Gwóźdź - Łukawska, Krzysztof Kisiel,
Paweł Kwiatkowski, Agnieszka Zajączkowska, Dorota Krawczyk - Stańdo, Grzegorz Kusztelak, Witold Walas, Magdalena
Furmaniak, Kinga Gałązka, Dominik Kłys, Iwona Krawczyk-Kłys, Jacek Kucharski, Renata Kusztelak, Alicja Laskowska,
Piotr Mazur, Jan Omieciński, Bronisław Pabich, Dorota Palka - Rutkowska, Iwona Pecyna, Marek Pisarski, Alina Saganiak,
Bartosz Sakowicz, Izabela Sakwa, Sławomir Sapanowski, Jolanta Schilling, Marzena Sławińska, Aneta Stasiak, Katarzyna
Szczepaniak, Bożenna Szkopińska, Izabella Żółtaszek i Katarzyna Szablewska
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iA9xbPkJ23/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iA9xbPkJ23
Hasła podstawy programowej:
E2-PODST-MAT-1.0-2.3: mnoży i dzieli liczbę naturalną przez liczbę naturalną jednocyfrową, dwucyfrową lub trzycyfrową
pisemnie, w pamięci (w najprostszych przykładach) i za pomocą kalkulatora (w trudniejszych przykładach);
O e-podręczniku
1096
Moduł: Funkcja liniowa / Układ równań liniowych. Geometryczna interpretacja układu równań / Zadania
Autorzy: Jacek Stańdo, Henryk Dąbrowski, Hanna Drabik - Zalewska, Gertruda Gwóźdź - Łukawska, Krzysztof Kisiel,
Paweł Kwiatkowski, Agnieszka Zajączkowska, Dorota Krawczyk - Stańdo, Grzegorz Kusztelak, Witold Walas, Magdalena
Furmaniak, Kinga Gałązka, Dominik Kłys, Iwona Krawczyk-Kłys, Jacek Kucharski, Renata Kusztelak, Alicja Laskowska,
Piotr Mazur, Jan Omieciński, Bronisław Pabich, Dorota Palka - Rutkowska, Iwona Pecyna, Marek Pisarski, Alina Saganiak,
Bartosz Sakowicz, Izabela Sakwa, Sławomir Sapanowski, Jolanta Schilling, Marzena Sławińska, Aneta Stasiak, Katarzyna
Szczepaniak, Bożenna Szkopińska, Izabella Żółtaszek i Katarzyna Szablewska
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iipFFTLFTV/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iipFFTLFTV
Hasła podstawy programowej:
E2-PODST-MAT-1.0-2.3: mnoży i dzieli liczbę naturalną przez liczbę naturalną jednocyfrową, dwucyfrową lub trzycyfrową
pisemnie, w pamięci (w najprostszych przykładach) i za pomocą kalkulatora (w trudniejszych przykładach);
Informacje o licencjach osadzonych obiektów (w kolejności występowania w treści modułu):
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: L4_cw5a [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: L4_cw5b [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: L4_cw5c [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: L4_cw5d [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: L4-ZadZamkniete2 [Licencja: CC BY 3.0]
Moduł: Funkcja liniowa / Układ równań liniowych. Geometryczna interpretacja układu równań / Zadania generatorowe
Autorzy: Jacek Stańdo, Henryk Dąbrowski, Hanna Drabik - Zalewska, Gertruda Gwóźdź - Łukawska, Krzysztof Kisiel,
Paweł Kwiatkowski, Agnieszka Zajączkowska, Dorota Krawczyk - Stańdo, Grzegorz Kusztelak, Witold Walas, Magdalena
Furmaniak, Kinga Gałązka, Dominik Kłys, Iwona Krawczyk-Kłys, Jacek Kucharski, Renata Kusztelak, Alicja Laskowska,
Piotr Mazur, Jan Omieciński, Bronisław Pabich, Dorota Palka - Rutkowska, Iwona Pecyna, Marek Pisarski, Alina Saganiak,
Bartosz Sakowicz, Izabela Sakwa, Sławomir Sapanowski, Jolanta Schilling, Marzena Sławińska, Aneta Stasiak, Katarzyna
Szczepaniak, Bożenna Szkopińska, Izabella Żółtaszek i Katarzyna Szablewska
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/itUPZQIKbp/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/itUPZQIKbp
Hasła podstawy programowej:
E2-PODST-MAT-1.0-2.3: mnoży i dzieli liczbę naturalną przez liczbę naturalną jednocyfrową, dwucyfrową lub trzycyfrową
pisemnie, w pamięci (w najprostszych przykładach) i za pomocą kalkulatora (w trudniejszych przykładach);
Informacje o licencjach osadzonych obiektów (w kolejności występowania w treści modułu):
O e-podręczniku
1097
Moduł: Funkcja liniowa / Zastosowanie funkcji liniowej / Przykłady zastosowania funkcji liniowej. Część I
Autorzy: Jacek Stańdo, Henryk Dąbrowski, Hanna Drabik - Zalewska, Gertruda Gwóźdź - Łukawska, Krzysztof Kisiel,
Paweł Kwiatkowski, Agnieszka Zajączkowska, Dorota Krawczyk - Stańdo, Grzegorz Kusztelak, Witold Walas, Magdalena
Furmaniak, Kinga Gałązka, Dominik Kłys, Iwona Krawczyk-Kłys, Jacek Kucharski, Renata Kusztelak, Alicja Laskowska,
Piotr Mazur, Jan Omieciński, Bronisław Pabich, Dorota Palka - Rutkowska, Iwona Pecyna, Marek Pisarski, Alina Saganiak,
Bartosz Sakowicz, Izabela Sakwa, Sławomir Sapanowski, Jolanta Schilling, Marzena Sławińska, Aneta Stasiak, Katarzyna
Szczepaniak, Bożenna Szkopińska, Izabella Żółtaszek i Katarzyna Szablewska
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/is1ZZd9x6d/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/is1ZZd9x6d
Hasła podstawy programowej:
E2-PODST-MAT-1.0-2.3: mnoży i dzieli liczbę naturalną przez liczbę naturalną jednocyfrową, dwucyfrową lub trzycyfrową
pisemnie, w pamięci (w najprostszych przykładach) i za pomocą kalkulatora (w trudniejszych przykładach);
Informacje o licencjach osadzonych obiektów (w kolejności występowania w treści modułu):
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Zastosowanie funkcji liniowej_atrapa_animacja_1138 [Licencja: CC BY 3.0]
Moduł: Funkcja liniowa / Zastosowanie funkcji liniowej / Przykłady zastosowania funkcji liniowej. Część II
Autorzy: Jacek Stańdo, Henryk Dąbrowski, Hanna Drabik - Zalewska, Gertruda Gwóźdź - Łukawska, Krzysztof Kisiel,
Paweł Kwiatkowski, Agnieszka Zajączkowska, Dorota Krawczyk - Stańdo, Grzegorz Kusztelak, Witold Walas, Magdalena
Furmaniak, Kinga Gałązka, Dominik Kłys, Iwona Krawczyk-Kłys, Jacek Kucharski, Renata Kusztelak, Alicja Laskowska,
Piotr Mazur, Jan Omieciński, Bronisław Pabich, Dorota Palka - Rutkowska, Iwona Pecyna, Marek Pisarski, Alina Saganiak,
Bartosz Sakowicz, Izabela Sakwa, Sławomir Sapanowski, Jolanta Schilling, Marzena Sławińska, Aneta Stasiak, Katarzyna
Szczepaniak, Bożenna Szkopińska, Izabella Żółtaszek i Katarzyna Szablewska
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iPZAoFZ00h/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iPZAoFZ00h
Hasła podstawy programowej:
E2-PODST-MAT-1.0-2.3: mnoży i dzieli liczbę naturalną przez liczbę naturalną jednocyfrową, dwucyfrową lub trzycyfrową
pisemnie, w pamięci (w najprostszych przykładach) i za pomocą kalkulatora (w trudniejszych przykładach);
Informacje o licencjach osadzonych obiektów (w kolejności występowania w treści modułu):
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Zastosowanie funkcji liniowej_atrapa_zegar1 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Zastosowanie funkcji liniowej_atrapa_zegar2 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Zastosowanie funkcji liniowej_atrapa_animacja_1139 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Zastosowanie funkcji liniowej_atrapa_animacja_1140 [Licencja: CC BY 3.0]
O e-podręczniku
1098
Moduł: Funkcja liniowa / Zastosowanie funkcji liniowej / Zadania. Część I
Autorzy: Jacek Stańdo, Henryk Dąbrowski, Hanna Drabik - Zalewska, Gertruda Gwóźdź - Łukawska, Krzysztof Kisiel,
Paweł Kwiatkowski, Agnieszka Zajączkowska, Dorota Krawczyk - Stańdo, Grzegorz Kusztelak, Witold Walas, Magdalena
Furmaniak, Kinga Gałązka, Dominik Kłys, Iwona Krawczyk-Kłys, Jacek Kucharski, Renata Kusztelak, Alicja Laskowska,
Piotr Mazur, Jan Omieciński, Bronisław Pabich, Dorota Palka - Rutkowska, Iwona Pecyna, Marek Pisarski, Alina Saganiak,
Bartosz Sakowicz, Izabela Sakwa, Sławomir Sapanowski, Jolanta Schilling, Marzena Sławińska, Aneta Stasiak, Katarzyna
Szczepaniak, Bożenna Szkopińska, Izabella Żółtaszek i Katarzyna Szablewska
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iXfufmgP5f/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iXfufmgP5f
Hasła podstawy programowej:
E2-PODST-MAT-1.0-2.3: mnoży i dzieli liczbę naturalną przez liczbę naturalną jednocyfrową, dwucyfrową lub trzycyfrową
pisemnie, w pamięci (w najprostszych przykładach) i za pomocą kalkulatora (w trudniejszych przykładach);
Moduł: Funkcja liniowa / Zastosowanie funkcji liniowej / Zadania. Część II
Autorzy: Jacek Stańdo, Henryk Dąbrowski, Hanna Drabik - Zalewska, Gertruda Gwóźdź - Łukawska, Krzysztof Kisiel,
Paweł Kwiatkowski, Agnieszka Zajączkowska, Dorota Krawczyk - Stańdo, Grzegorz Kusztelak, Witold Walas, Magdalena
Furmaniak, Kinga Gałązka, Dominik Kłys, Iwona Krawczyk-Kłys, Jacek Kucharski, Renata Kusztelak, Alicja Laskowska,
Piotr Mazur, Jan Omieciński, Bronisław Pabich, Dorota Palka - Rutkowska, Iwona Pecyna, Marek Pisarski, Alina Saganiak,
Bartosz Sakowicz, Izabela Sakwa, Sławomir Sapanowski, Jolanta Schilling, Marzena Sławińska, Aneta Stasiak, Katarzyna
Szczepaniak, Bożenna Szkopińska, Izabella Żółtaszek i Katarzyna Szablewska
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iJXhEAZsUa/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iJXhEAZsUa
Hasła podstawy programowej:
E2-PODST-MAT-1.0-2.3: mnoży i dzieli liczbę naturalną przez liczbę naturalną jednocyfrową, dwucyfrową lub trzycyfrową
pisemnie, w pamięci (w najprostszych przykładach) i za pomocą kalkulatora (w trudniejszych przykładach);
O e-podręczniku
1099
Moduł: Trygonometria / Podobieństwo trójkątów prostokątnych / Wprowadzenie do trygonometrii
Autorzy: Jacek Stańdo, Henryk Dąbrowski, Hanna Drabik - Zalewska, Gertruda Gwóźdź - Łukawska, Krzysztof Kisiel,
Paweł Kwiatkowski, Agnieszka Zajączkowska, Dorota Krawczyk - Stańdo, Grzegorz Kusztelak, Witold Walas, Magdalena
Furmaniak, Kinga Gałązka, Dominik Kłys, Iwona Krawczyk-Kłys, Jacek Kucharski, Renata Kusztelak, Alicja Laskowska,
Piotr Mazur, Jan Omieciński, Bronisław Pabich, Dorota Palka - Rutkowska, Iwona Pecyna, Marek Pisarski, Alina Saganiak,
Bartosz Sakowicz, Izabela Sakwa, Sławomir Sapanowski, Jolanta Schilling, Marzena Sławińska, Aneta Stasiak, Katarzyna
Szczepaniak, Bożenna Szkopińska, Izabella Żółtaszek i Katarzyna Szablewska
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iFi3Grbpkc/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iFi3Grbpkc
Hasła podstawy programowej:
E2-PODST-MAT-1.0-2.3: mnoży i dzieli liczbę naturalną przez liczbę naturalną jednocyfrową, dwucyfrową lub trzycyfrową
pisemnie, w pamięci (w najprostszych przykładach) i za pomocą kalkulatora (w trudniejszych przykładach);
Informacje o licencjach osadzonych obiektów (w kolejności występowania w treści modułu):
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Atrapa_animacji [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Atrapa_animacji [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: T1_Podobienstwo trojkatow_prostkatnych_T1_P1a [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: T1_Podobienstwo trojkatow_prostkatnych_T1_P1b [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: T1_Podobienstwo trojkatow_prostkatnych_T1-P2 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: T1_Podobienstwo trojkatow_prostkatnych_T1-P4_1 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: T1_Podobienstwo trojkatow_prostkatnych_T1_P4_2 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: T1_Podobienstwo trojkatow_prostkatnych_T1_P5_1 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: T1_Podobienstwo trojkatow_prostkatnychT1_P5_2 [Licencja: CC BY 3.0]
O e-podręczniku
1100
Moduł: Trygonometria / Podobieństwo trójkątów prostokątnych / Sinus, cosinus i tangens kąta ostrego
Autorzy: Jacek Stańdo, Henryk Dąbrowski, Hanna Drabik - Zalewska, Gertruda Gwóźdź - Łukawska, Krzysztof Kisiel,
Paweł Kwiatkowski, Agnieszka Zajączkowska, Dorota Krawczyk - Stańdo, Grzegorz Kusztelak, Witold Walas, Magdalena
Furmaniak, Kinga Gałązka, Dominik Kłys, Iwona Krawczyk-Kłys, Jacek Kucharski, Renata Kusztelak, Alicja Laskowska,
Piotr Mazur, Jan Omieciński, Bronisław Pabich, Dorota Palka - Rutkowska, Iwona Pecyna, Marek Pisarski, Alina Saganiak,
Bartosz Sakowicz, Izabela Sakwa, Sławomir Sapanowski, Jolanta Schilling, Marzena Sławińska, Aneta Stasiak, Katarzyna
Szczepaniak, Bożenna Szkopińska, Izabella Żółtaszek i Katarzyna Szablewska
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iADD4BWuQT/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iADD4BWuQT
Hasła podstawy programowej:
E2-PODST-MAT-1.0-2.3: mnoży i dzieli liczbę naturalną przez liczbę naturalną jednocyfrową, dwucyfrową lub trzycyfrową
pisemnie, w pamięci (w najprostszych przykładach) i za pomocą kalkulatora (w trudniejszych przykładach);
Informacje o licencjach osadzonych obiektów (w kolejności występowania w treści modułu):
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: T1_Podobienstwo trojkatow_prostkatnych_T1-P6_Def1 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: T1_aplet_def_funkcji_tryg_pop [Licencja: CC BY NC 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Podobienstwo trojkatow prostokatnych_atrapa_animacja_piramida_380 [Licencja:
CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Podobienstwo trojkatow prostokatnych_atrapa_animacja_piramida [Licencja: CC
BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: T1_Podobienstwo trojkatow_prostkatnych_T1-P6_Def2 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Podobienstwo trojkatow prostokatnych_atrapa_animacja_514 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Podobienstwo trojkatow prostokatnych_atrapa_animacja_515 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Podobienstwo trojkatow prostokatnych_atrapa_animacja_516 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Podobienstwo trojkatow prostokatnych_atrapa_animacja_517 [Licencja: CC BY 3.0]
O e-podręczniku
1101
Moduł: Trygonometria / Podobieństwo trójkątów prostokątnych / Przykłady
Autorzy: Jacek Stańdo, Henryk Dąbrowski, Hanna Drabik - Zalewska, Gertruda Gwóźdź - Łukawska, Krzysztof Kisiel,
Paweł Kwiatkowski, Agnieszka Zajączkowska, Dorota Krawczyk - Stańdo, Grzegorz Kusztelak, Witold Walas, Magdalena
Furmaniak, Kinga Gałązka, Dominik Kłys, Iwona Krawczyk-Kłys, Jacek Kucharski, Renata Kusztelak, Alicja Laskowska,
Piotr Mazur, Jan Omieciński, Bronisław Pabich, Dorota Palka - Rutkowska, Iwona Pecyna, Marek Pisarski, Alina Saganiak,
Bartosz Sakowicz, Izabela Sakwa, Sławomir Sapanowski, Jolanta Schilling, Marzena Sławińska, Aneta Stasiak, Katarzyna
Szczepaniak, Bożenna Szkopińska, Izabella Żółtaszek i Katarzyna Szablewska
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/i9VM97Ks75/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/i9VM97Ks75
Hasła podstawy programowej:
E2-PODST-MAT-1.0-2.3: mnoży i dzieli liczbę naturalną przez liczbę naturalną jednocyfrową, dwucyfrową lub trzycyfrową
pisemnie, w pamięci (w najprostszych przykładach) i za pomocą kalkulatora (w trudniejszych przykładach);
Informacje o licencjach osadzonych obiektów (w kolejności występowania w treści modułu):
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: T1_Podobienstwo trojkatow_prostkatnych_T1-P8 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: T1_Podobienstwo trojkatow_prostkatnych_T1-P-9 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: T1_Podobienstwo trojkatow_prostkatnych_T1-p_11 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: T1_Podobienstwo trojkatow_prostkatnych_T1_P12_1 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: T1_Podobienstwo trojkatow_prostkatnych_T1_P12_2 [Licencja: CC BY 3.0]
Moduł: Trygonometria / Podobieństwo trójkątów prostokątnych / Zadania. Część I
Autorzy: Jacek Stańdo, Henryk Dąbrowski, Hanna Drabik - Zalewska, Gertruda Gwóźdź - Łukawska, Krzysztof Kisiel,
Paweł Kwiatkowski, Agnieszka Zajączkowska, Dorota Krawczyk - Stańdo, Grzegorz Kusztelak, Witold Walas, Magdalena
Furmaniak, Kinga Gałązka, Dominik Kłys, Iwona Krawczyk-Kłys, Jacek Kucharski, Renata Kusztelak, Alicja Laskowska,
Piotr Mazur, Jan Omieciński, Bronisław Pabich, Dorota Palka - Rutkowska, Iwona Pecyna, Marek Pisarski, Alina Saganiak,
Bartosz Sakowicz, Izabela Sakwa, Sławomir Sapanowski, Jolanta Schilling, Marzena Sławińska, Aneta Stasiak, Katarzyna
Szczepaniak, Bożenna Szkopińska, Izabella Żółtaszek i Katarzyna Szablewska
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iQJNKh7EjN/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iQJNKh7EjN
Hasła podstawy programowej:
E2-PODST-MAT-1.0-2.3: mnoży i dzieli liczbę naturalną przez liczbę naturalną jednocyfrową, dwucyfrową lub trzycyfrową
pisemnie, w pamięci (w najprostszych przykładach) i za pomocą kalkulatora (w trudniejszych przykładach);
Informacje o licencjach osadzonych obiektów (w kolejności występowania w treści modułu):
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: T1_Podobienstwo trojkatow_prostkatnych_T1-cw_1 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: T1_Podobienstwo trojkatow_prostkatnych_T1-ZZ_1 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: T1_Podobienstwo trojkatow_prostkatnych_T1-ZZ_2 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: T1_Podobienstwo trojkatow_prostkatnych_T1-ZZ_3 [Licencja: CC BY 3.0]
O e-podręczniku
1102
Moduł: Trygonometria / Podobieństwo trójkątów prostokątnych / Zadania. Część II
Autorzy: Jacek Stańdo, Henryk Dąbrowski, Hanna Drabik - Zalewska, Gertruda Gwóźdź - Łukawska, Krzysztof Kisiel,
Paweł Kwiatkowski, Agnieszka Zajączkowska, Dorota Krawczyk - Stańdo, Grzegorz Kusztelak, Witold Walas, Magdalena
Furmaniak, Kinga Gałązka, Dominik Kłys, Iwona Krawczyk-Kłys, Jacek Kucharski, Renata Kusztelak, Alicja Laskowska,
Piotr Mazur, Jan Omieciński, Bronisław Pabich, Dorota Palka - Rutkowska, Iwona Pecyna, Marek Pisarski, Alina Saganiak,
Bartosz Sakowicz, Izabela Sakwa, Sławomir Sapanowski, Jolanta Schilling, Marzena Sławińska, Aneta Stasiak, Katarzyna
Szczepaniak, Bożenna Szkopińska, Izabella Żółtaszek i Katarzyna Szablewska
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/i6HzVy1ZMW/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/i6HzVy1ZMW
Hasła podstawy programowej:
E2-PODST-MAT-1.0-2.3: mnoży i dzieli liczbę naturalną przez liczbę naturalną jednocyfrową, dwucyfrową lub trzycyfrową
pisemnie, w pamięci (w najprostszych przykładach) i za pomocą kalkulatora (w trudniejszych przykładach);
Informacje o licencjach osadzonych obiektów (w kolejności występowania w treści modułu):
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: T1_Podobienstwo trojkatow_prostkatnych_T1-ZZ7 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: T1_Podobienstwo trojkatow_prostkatnych_T1-ZadOtwarte_1a [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: T1_Podobienstwo trojkatow_prostkatnych_T1-ZadOtwarte_1b [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: T1_Podobienstwo trojkatow_prostkatnych_T1-ZadOtwarte_1c [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: T1_Podobienstwo trojkatow_prostkatnych_T1-ZadOtwarte_1d [Licencja: CC BY 3.0]
Moduł: Trygonometria / Tożsamości trygonometryczne / Tożsamości trygonometryczne
Autorzy: Jacek Stańdo, Henryk Dąbrowski, Hanna Drabik - Zalewska, Gertruda Gwóźdź - Łukawska, Krzysztof Kisiel,
Paweł Kwiatkowski, Agnieszka Zajączkowska, Dorota Krawczyk - Stańdo, Grzegorz Kusztelak, Witold Walas, Magdalena
Furmaniak, Kinga Gałązka, Dominik Kłys, Iwona Krawczyk-Kłys, Jacek Kucharski, Renata Kusztelak, Alicja Laskowska,
Piotr Mazur, Jan Omieciński, Bronisław Pabich, Dorota Palka - Rutkowska, Iwona Pecyna, Marek Pisarski, Alina Saganiak,
Bartosz Sakowicz, Izabela Sakwa, Sławomir Sapanowski, Jolanta Schilling, Marzena Sławińska, Aneta Stasiak, Katarzyna
Szczepaniak, Bożenna Szkopińska, Izabella Żółtaszek i Katarzyna Szablewska
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/itZ4HGfLvb/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/itZ4HGfLvb
Hasła podstawy programowej:
E2-PODST-MAT-1.0-2.3: mnoży i dzieli liczbę naturalną przez liczbę naturalną jednocyfrową, dwucyfrową lub trzycyfrową
pisemnie, w pamięci (w najprostszych przykładach) i za pomocą kalkulatora (w trudniejszych przykładach);
Informacje o licencjach osadzonych obiektów (w kolejności występowania w treści modułu):
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: T2_P6_def1 [Licencja: CC BY 3.0]
O e-podręczniku
1103
Moduł: Trygonometria / Tożsamości trygonometryczne / Przykłady
Autorzy: Jacek Stańdo, Henryk Dąbrowski, Hanna Drabik - Zalewska, Gertruda Gwóźdź - Łukawska, Krzysztof Kisiel,
Paweł Kwiatkowski, Agnieszka Zajączkowska, Dorota Krawczyk - Stańdo, Grzegorz Kusztelak, Witold Walas, Magdalena
Furmaniak, Kinga Gałązka, Dominik Kłys, Iwona Krawczyk-Kłys, Jacek Kucharski, Renata Kusztelak, Alicja Laskowska,
Piotr Mazur, Jan Omieciński, Bronisław Pabich, Dorota Palka - Rutkowska, Iwona Pecyna, Marek Pisarski, Alina Saganiak,
Bartosz Sakowicz, Izabela Sakwa, Sławomir Sapanowski, Jolanta Schilling, Marzena Sławińska, Aneta Stasiak, Katarzyna
Szczepaniak, Bożenna Szkopińska, Izabella Żółtaszek i Katarzyna Szablewska
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/i5j7qqwIzq/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/i5j7qqwIzq
Hasła podstawy programowej:
E2-PODST-MAT-1.0-2.3: mnoży i dzieli liczbę naturalną przez liczbę naturalną jednocyfrową, dwucyfrową lub trzycyfrową
pisemnie, w pamięci (w najprostszych przykładach) i za pomocą kalkulatora (w trudniejszych przykładach);
Moduł: Trygonometria / Tożsamości trygonometryczne / Zadania
Autorzy: Jacek Stańdo, Henryk Dąbrowski, Hanna Drabik - Zalewska, Gertruda Gwóźdź - Łukawska, Krzysztof Kisiel,
Paweł Kwiatkowski, Agnieszka Zajączkowska, Dorota Krawczyk - Stańdo, Grzegorz Kusztelak, Witold Walas, Magdalena
Furmaniak, Kinga Gałązka, Dominik Kłys, Iwona Krawczyk-Kłys, Jacek Kucharski, Renata Kusztelak, Alicja Laskowska,
Piotr Mazur, Jan Omieciński, Bronisław Pabich, Dorota Palka - Rutkowska, Iwona Pecyna, Marek Pisarski, Alina Saganiak,
Bartosz Sakowicz, Izabela Sakwa, Sławomir Sapanowski, Jolanta Schilling, Marzena Sławińska, Aneta Stasiak, Katarzyna
Szczepaniak, Bożenna Szkopińska, Izabella Żółtaszek i Katarzyna Szablewska
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iGm9THSfIh/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iGm9THSfIh
Hasła podstawy programowej:
E2-PODST-MAT-1.0-2.3: mnoży i dzieli liczbę naturalną przez liczbę naturalną jednocyfrową, dwucyfrową lub trzycyfrową
pisemnie, w pamięci (w najprostszych przykładach) i za pomocą kalkulatora (w trudniejszych przykładach);
O e-podręczniku
1104
Moduł: Trygonometria / Tożsamości trygonometryczne / Zadania generatorowe
Autorzy: Jacek Stańdo, Henryk Dąbrowski, Hanna Drabik - Zalewska, Gertruda Gwóźdź - Łukawska, Krzysztof Kisiel,
Paweł Kwiatkowski, Agnieszka Zajączkowska, Dorota Krawczyk - Stańdo, Grzegorz Kusztelak, Witold Walas, Magdalena
Furmaniak, Kinga Gałązka, Dominik Kłys, Iwona Krawczyk-Kłys, Jacek Kucharski, Renata Kusztelak, Alicja Laskowska,
Piotr Mazur, Jan Omieciński, Bronisław Pabich, Dorota Palka - Rutkowska, Iwona Pecyna, Marek Pisarski, Alina Saganiak,
Bartosz Sakowicz, Izabela Sakwa, Sławomir Sapanowski, Jolanta Schilling, Marzena Sławińska, Aneta Stasiak, Katarzyna
Szczepaniak, Bożenna Szkopińska, Izabella Żółtaszek i Katarzyna Szablewska
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iLQJx6vgt6/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iLQJx6vgt6
Hasła podstawy programowej:
E2-PODST-MAT-1.0-2.3: mnoży i dzieli liczbę naturalną przez liczbę naturalną jednocyfrową, dwucyfrową lub trzycyfrową
pisemnie, w pamięci (w najprostszych przykładach) i za pomocą kalkulatora (w trudniejszych przykładach);
Informacje o licencjach osadzonych obiektów (w kolejności występowania w treści modułu):
O e-podręczniku
1105
Moduł: Trygonometria / Zastosowanie trygonometrii w geometrii / Przykłady. Część I
Autorzy: Jacek Stańdo, Henryk Dąbrowski, Hanna Drabik - Zalewska, Gertruda Gwóźdź - Łukawska, Krzysztof Kisiel,
Paweł Kwiatkowski, Agnieszka Zajączkowska, Dorota Krawczyk - Stańdo, Grzegorz Kusztelak, Witold Walas, Magdalena
Furmaniak, Kinga Gałązka, Dominik Kłys, Iwona Krawczyk-Kłys, Jacek Kucharski, Renata Kusztelak, Alicja Laskowska,
Piotr Mazur, Jan Omieciński, Bronisław Pabich, Dorota Palka - Rutkowska, Iwona Pecyna, Marek Pisarski, Alina Saganiak,
Bartosz Sakowicz, Izabela Sakwa, Sławomir Sapanowski, Jolanta Schilling, Marzena Sławińska, Aneta Stasiak, Katarzyna
Szczepaniak, Bożenna Szkopińska, Izabella Żółtaszek i Katarzyna Szablewska
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iFo0hxIwlP/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iFo0hxIwlP
Hasła podstawy programowej:
E2-PODST-MAT-1.0-2.3: mnoży i dzieli liczbę naturalną przez liczbę naturalną jednocyfrową, dwucyfrową lub trzycyfrową
pisemnie, w pamięci (w najprostszych przykładach) i za pomocą kalkulatora (w trudniejszych przykładach);
Informacje o licencjach osadzonych obiektów (w kolejności występowania w treści modułu):
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: T3_Przyklad1 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Zastosowanie trygonometrii w geometrii_atrapa_rys_1461 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: T3_Przyklad3 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: T3_Przyklad4 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: T3_P5_pop [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: T3_P5a_nowy_pop [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: T3_P5b_nowy_pop [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: T3_P5c_nowy_pop [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: T3_Przyklad7 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: T3_Przyklad7a [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: T3_Przyklad8 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: T3_Przyklad8a [Licencja: CC BY 3.0]
O e-podręczniku
1106
Moduł: Trygonometria / Zastosowanie trygonometrii w geometrii / Przykłady. Część II
Autorzy: Jacek Stańdo, Henryk Dąbrowski, Hanna Drabik - Zalewska, Gertruda Gwóźdź - Łukawska, Krzysztof Kisiel,
Paweł Kwiatkowski, Agnieszka Zajączkowska, Dorota Krawczyk - Stańdo, Grzegorz Kusztelak, Witold Walas, Magdalena
Furmaniak, Kinga Gałązka, Dominik Kłys, Iwona Krawczyk-Kłys, Jacek Kucharski, Renata Kusztelak, Alicja Laskowska,
Piotr Mazur, Jan Omieciński, Bronisław Pabich, Dorota Palka - Rutkowska, Iwona Pecyna, Marek Pisarski, Alina Saganiak,
Bartosz Sakowicz, Izabela Sakwa, Sławomir Sapanowski, Jolanta Schilling, Marzena Sławińska, Aneta Stasiak, Katarzyna
Szczepaniak, Bożenna Szkopińska, Izabella Żółtaszek i Katarzyna Szablewska
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iU3I2H0629/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iU3I2H0629
Hasła podstawy programowej:
E2-PODST-MAT-1.0-2.3: mnoży i dzieli liczbę naturalną przez liczbę naturalną jednocyfrową, dwucyfrową lub trzycyfrową
pisemnie, w pamięci (w najprostszych przykładach) i za pomocą kalkulatora (w trudniejszych przykładach);
Informacje o licencjach osadzonych obiektów (w kolejności występowania w treści modułu):
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: T3_Twierdzenie [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: T3_Przyklad10 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: T3_Przyklad11 [Licencja: CC BY 3.0]
Moduł: Trygonometria / Zastosowanie trygonometrii w geometrii / Zadania
Autorzy: Jacek Stańdo, Henryk Dąbrowski, Hanna Drabik - Zalewska, Gertruda Gwóźdź - Łukawska, Krzysztof Kisiel,
Paweł Kwiatkowski, Agnieszka Zajączkowska, Dorota Krawczyk - Stańdo, Grzegorz Kusztelak, Witold Walas, Magdalena
Furmaniak, Kinga Gałązka, Dominik Kłys, Iwona Krawczyk-Kłys, Jacek Kucharski, Renata Kusztelak, Alicja Laskowska,
Piotr Mazur, Jan Omieciński, Bronisław Pabich, Dorota Palka - Rutkowska, Iwona Pecyna, Marek Pisarski, Alina Saganiak,
Bartosz Sakowicz, Izabela Sakwa, Sławomir Sapanowski, Jolanta Schilling, Marzena Sławińska, Aneta Stasiak, Katarzyna
Szczepaniak, Bożenna Szkopińska, Izabella Żółtaszek i Katarzyna Szablewska
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iorBXXMsgu/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iorBXXMsgu
Hasła podstawy programowej:
E2-PODST-MAT-1.0-2.3: mnoży i dzieli liczbę naturalną przez liczbę naturalną jednocyfrową, dwucyfrową lub trzycyfrową
pisemnie, w pamięci (w najprostszych przykładach) i za pomocą kalkulatora (w trudniejszych przykładach);
Informacje o licencjach osadzonych obiektów (w kolejności występowania w treści modułu):
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: T3_ZadOtwarte6 [Licencja: CC BY 3.0]
O e-podręczniku
1107
Moduł: Trygonometria / Wykresy i własności funkcji trygonometrycznych
Autorzy: Jacek Stańdo, Henryk Dąbrowski, Hanna Drabik - Zalewska, Gertruda Gwóźdź - Łukawska, Krzysztof Kisiel,
Paweł Kwiatkowski, Agnieszka Zajączkowska, Dorota Krawczyk - Stańdo, Grzegorz Kusztelak, Witold Walas, Magdalena
Furmaniak, Kinga Gałązka, Dominik Kłys, Iwona Krawczyk-Kłys, Jacek Kucharski, Renata Kusztelak, Alicja Laskowska,
Piotr Mazur, Jan Omieciński, Bronisław Pabich, Dorota Palka - Rutkowska, Iwona Pecyna, Marek Pisarski, Alina Saganiak,
Bartosz Sakowicz, Izabela Sakwa, Sławomir Sapanowski, Jolanta Schilling, Marzena Sławińska, Aneta Stasiak, Katarzyna
Szczepaniak, Bożenna Szkopińska, Izabella Żółtaszek i Katarzyna Szablewska
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iTswnOSrCA/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iTswnOSrCA
Hasła podstawy programowej:
E2-PODST-MAT-1.0-2.3: mnoży i dzieli liczbę naturalną przez liczbę naturalną jednocyfrową, dwucyfrową lub trzycyfrową
pisemnie, w pamięci (w najprostszych przykładach) i za pomocą kalkulatora (w trudniejszych przykładach);
Informacje o licencjach osadzonych obiektów (w kolejności występowania w treści modułu):
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Wykresy i wlasnosci funkcji trygonometrycznych_animacja 2030 [Licencja: CC BY
3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Wykresy i wlasnosci funkcji trygonometrycznych_animacja_2031 [Licencja: CC BY
3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Wykresy i wlasnosci funkcji trygonometrycznych_animacja_2032 [Licencja: CC BY
3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Wykresy i wlasnosci funkcji trygonometrycznych_animacja_2033 [Licencja: CC BY
3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Wykresy i wlasnosci funkcji trygonometrycznych_animacja_2034 [Licencja: CC BY
3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Wykresy i wlasnosci funkcji trygonometrycznych_animacja_2035 [Licencja: CC BY
3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Wykresy i wlasnosci funkcji trygonometrycznych_animacja_2036 [Licencja: CC BY
3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Wykresy i wlasnosci funkcji trygonometrycznych_animacja_2037 [Licencja: CC BY
3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Wykresy i wlasnosci funkcji trygonometrycznych_animacja_2038 [Licencja: CC BY
3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Wykresy i wlasnosci funkcji trygonometrycznych_animacja_2039 [Licencja: CC BY
3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Wykresy i wlasnosci funkcji trygonometrycznych_animacja_2040 [Licencja: CC BY
3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Wykresy i wlasnosci funkcji trygonometrycznych_animacja_2041 [Licencja: CC BY
3.0]
O e-podręczniku
1108
Moduł: Liczby / Liczby naturalne, całkowite, wymierne / Liczby naturalne, całkowite i wymierne
Autorzy: Jacek Stańdo, Henryk Dąbrowski, Hanna Drabik - Zalewska, Gertruda Gwóźdź - Łukawska, Krzysztof Kisiel,
Paweł Kwiatkowski, Agnieszka Zajączkowska, Dorota Krawczyk - Stańdo, Grzegorz Kusztelak, Witold Walas, Magdalena
Furmaniak, Kinga Gałązka, Dominik Kłys, Iwona Krawczyk-Kłys, Jacek Kucharski, Renata Kusztelak, Alicja Laskowska,
Piotr Mazur, Jan Omieciński, Bronisław Pabich, Dorota Palka - Rutkowska, Iwona Pecyna, Marek Pisarski, Alina Saganiak,
Bartosz Sakowicz, Izabela Sakwa, Sławomir Sapanowski, Jolanta Schilling, Marzena Sławińska, Aneta Stasiak, Katarzyna
Szczepaniak, Bożenna Szkopińska, Izabella Żółtaszek i Katarzyna Szablewska
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/ikdIx7QISW/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/ikdIx7QISW
Hasła podstawy programowej:
E2-PODST-MAT-1.0-2.3: mnoży i dzieli liczbę naturalną przez liczbę naturalną jednocyfrową, dwucyfrową lub trzycyfrową
pisemnie, w pamięci (w najprostszych przykładach) i za pomocą kalkulatora (w trudniejszych przykładach);
Informacje o licencjach osadzonych obiektów (w kolejności występowania w treści modułu):
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Zapisywanie i odczytywanie liczb wielocyfrowych_atrapa_animacja_208 [Licencja:
CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Przypomnienie wiadomosci o ulamkach_atrapa_animacja_420 [Licencja: CC BY
3.0]
Moduł: Liczby / Liczby naturalne, całkowite, wymierne / Zadania
Autorzy: Jacek Stańdo, Henryk Dąbrowski, Hanna Drabik - Zalewska, Gertruda Gwóźdź - Łukawska, Krzysztof Kisiel,
Paweł Kwiatkowski, Agnieszka Zajączkowska, Dorota Krawczyk - Stańdo, Grzegorz Kusztelak, Witold Walas, Magdalena
Furmaniak, Kinga Gałązka, Dominik Kłys, Iwona Krawczyk-Kłys, Jacek Kucharski, Renata Kusztelak, Alicja Laskowska,
Piotr Mazur, Jan Omieciński, Bronisław Pabich, Dorota Palka - Rutkowska, Iwona Pecyna, Marek Pisarski, Alina Saganiak,
Bartosz Sakowicz, Izabela Sakwa, Sławomir Sapanowski, Jolanta Schilling, Marzena Sławińska, Aneta Stasiak, Katarzyna
Szczepaniak, Bożenna Szkopińska, Izabella Żółtaszek i Katarzyna Szablewska
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iEiwlNZRkK/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iEiwlNZRkK
Hasła podstawy programowej:
E2-PODST-MAT-1.0-2.3: mnoży i dzieli liczbę naturalną przez liczbę naturalną jednocyfrową, dwucyfrową lub trzycyfrową
pisemnie, w pamięci (w najprostszych przykładach) i za pomocą kalkulatora (w trudniejszych przykładach);
Informacje o licencjach osadzonych obiektów (w kolejności występowania w treści modułu):
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Liczby_Zadania_atrapa_animacja_dzialania_na_ulamkach [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Liczby_Zadania_atrapa_animacja_NWW [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Liczby_Zadania_atrapa_animacja_NWD [Licencja: CC BY 3.0]
O e-podręczniku
1109
Moduł: Liczby / Procenty / Procenty i punkty procentowe
Autorzy: Jacek Stańdo, Henryk Dąbrowski, Hanna Drabik - Zalewska, Gertruda Gwóźdź - Łukawska, Krzysztof Kisiel,
Paweł Kwiatkowski, Agnieszka Zajączkowska, Dorota Krawczyk - Stańdo, Grzegorz Kusztelak, Witold Walas, Magdalena
Furmaniak, Kinga Gałązka, Dominik Kłys, Iwona Krawczyk-Kłys, Jacek Kucharski, Renata Kusztelak, Alicja Laskowska,
Piotr Mazur, Jan Omieciński, Bronisław Pabich, Dorota Palka - Rutkowska, Iwona Pecyna, Marek Pisarski, Alina Saganiak,
Bartosz Sakowicz, Izabela Sakwa, Sławomir Sapanowski, Jolanta Schilling, Marzena Sławińska, Aneta Stasiak, Katarzyna
Szczepaniak, Bożenna Szkopińska, Izabella Żółtaszek i Katarzyna Szablewska
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/i1bNoVvuYb/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/i1bNoVvuYb
Hasła podstawy programowej:
E2-PODST-MAT-1.0-2.3: mnoży i dzieli liczbę naturalną przez liczbę naturalną jednocyfrową, dwucyfrową lub trzycyfrową
pisemnie, w pamięci (w najprostszych przykładach) i za pomocą kalkulatora (w trudniejszych przykładach);
Informacje o licencjach osadzonych obiektów (w kolejności występowania w treści modułu):
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Procenty_atrapa_procenty jablka_382 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Procenty_atrapa_animacja_murawa [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Procenty_atrapa_sok w szklance_381 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Procenty_atrapa_animacja_sniezna_gora [Licencja: CC BY 3.0]
Moduł: Liczby / Procenty / Zadania
Autorzy: Jacek Stańdo, Henryk Dąbrowski, Hanna Drabik - Zalewska, Gertruda Gwóźdź - Łukawska, Krzysztof Kisiel,
Paweł Kwiatkowski, Agnieszka Zajączkowska, Dorota Krawczyk - Stańdo, Grzegorz Kusztelak, Witold Walas, Magdalena
Furmaniak, Kinga Gałązka, Dominik Kłys, Iwona Krawczyk-Kłys, Jacek Kucharski, Renata Kusztelak, Alicja Laskowska,
Piotr Mazur, Jan Omieciński, Bronisław Pabich, Dorota Palka - Rutkowska, Iwona Pecyna, Marek Pisarski, Alina Saganiak,
Bartosz Sakowicz, Izabela Sakwa, Sławomir Sapanowski, Jolanta Schilling, Marzena Sławińska, Aneta Stasiak, Katarzyna
Szczepaniak, Bożenna Szkopińska, Izabella Żółtaszek i Katarzyna Szablewska
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iPJptyFPKc/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iPJptyFPKc
Hasła podstawy programowej:
E2-PODST-MAT-1.0-2.3: mnoży i dzieli liczbę naturalną przez liczbę naturalną jednocyfrową, dwucyfrową lub trzycyfrową
pisemnie, w pamięci (w najprostszych przykładach) i za pomocą kalkulatora (w trudniejszych przykładach);
O e-podręczniku
1110
Moduł: Liczby / Procenty / Zadania generatorowe
Autorzy: Jacek Stańdo, Henryk Dąbrowski, Hanna Drabik - Zalewska, Gertruda Gwóźdź - Łukawska, Krzysztof Kisiel,
Paweł Kwiatkowski, Agnieszka Zajączkowska, Dorota Krawczyk - Stańdo, Grzegorz Kusztelak, Witold Walas, Magdalena
Furmaniak, Kinga Gałązka, Dominik Kłys, Iwona Krawczyk-Kłys, Jacek Kucharski, Renata Kusztelak, Alicja Laskowska,
Piotr Mazur, Jan Omieciński, Bronisław Pabich, Dorota Palka - Rutkowska, Iwona Pecyna, Marek Pisarski, Alina Saganiak,
Bartosz Sakowicz, Izabela Sakwa, Sławomir Sapanowski, Jolanta Schilling, Marzena Sławińska, Aneta Stasiak, Katarzyna
Szczepaniak, Bożenna Szkopińska, Izabella Żółtaszek i Katarzyna Szablewska
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iXoZWvnjUE/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iXoZWvnjUE
Hasła podstawy programowej:
E2-PODST-MAT-1.0-2.3: mnoży i dzieli liczbę naturalną przez liczbę naturalną jednocyfrową, dwucyfrową lub trzycyfrową
pisemnie, w pamięci (w najprostszych przykładach) i za pomocą kalkulatora (w trudniejszych przykładach);
Informacje o licencjach osadzonych obiektów (w kolejności występowania w treści modułu):
O e-podręczniku
1111
Moduł: Liczby / Potęgi, pierwiastki, notacja wykładnicza / Działania na potęgach
Autorzy: Jacek Stańdo, Henryk Dąbrowski, Hanna Drabik - Zalewska, Gertruda Gwóźdź - Łukawska, Krzysztof Kisiel,
Paweł Kwiatkowski, Agnieszka Zajączkowska, Dorota Krawczyk - Stańdo, Grzegorz Kusztelak, Witold Walas, Magdalena
Furmaniak, Kinga Gałązka, Dominik Kłys, Iwona Krawczyk-Kłys, Jacek Kucharski, Renata Kusztelak, Alicja Laskowska,
Piotr Mazur, Jan Omieciński, Bronisław Pabich, Dorota Palka - Rutkowska, Iwona Pecyna, Marek Pisarski, Alina Saganiak,
Bartosz Sakowicz, Izabela Sakwa, Sławomir Sapanowski, Jolanta Schilling, Marzena Sławińska, Aneta Stasiak, Katarzyna
Szczepaniak, Bożenna Szkopińska, Izabella Żółtaszek i Katarzyna Szablewska
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/inh2Yk0NEJ/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/inh2Yk0NEJ
Hasła podstawy programowej:
E2-PODST-MAT-1.0-2.3: mnoży i dzieli liczbę naturalną przez liczbę naturalną jednocyfrową, dwucyfrową lub trzycyfrową
pisemnie, w pamięci (w najprostszych przykładach) i za pomocą kalkulatora (w trudniejszych przykładach);
Informacje o licencjach osadzonych obiektów (w kolejności występowania w treści modułu):
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Liczby3_potegi1 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Liczby_Dzialania na potegach_atrapa_animacja_mnozenie_poteg_podstawy
[Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Liczby_Dzialania na potegach_atrapa_animacja_iloraz_poteg_podstawy [Licencja:
CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Liczby_Dzialania na potegach_atrapa_animacja_potega_potegi [Licencja: CC BY
3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Liczby_Dzialania na potegach_atrapa_animacja_iloczyn_poteg_wykl [Licencja: CC
BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Liczby_Dzialania na potegach_atrapa_animacja_iloraz_poteg_wykl [Licencja: CC BY
3.0]
O e-podręczniku
1112
Moduł: Liczby / Potęgi, pierwiastki, notacja wykładnicza / Zadania
Autorzy: Jacek Stańdo, Henryk Dąbrowski, Hanna Drabik - Zalewska, Gertruda Gwóźdź - Łukawska, Krzysztof Kisiel,
Paweł Kwiatkowski, Agnieszka Zajączkowska, Dorota Krawczyk - Stańdo, Grzegorz Kusztelak, Witold Walas, Magdalena
Furmaniak, Kinga Gałązka, Dominik Kłys, Iwona Krawczyk-Kłys, Jacek Kucharski, Renata Kusztelak, Alicja Laskowska,
Piotr Mazur, Jan Omieciński, Bronisław Pabich, Dorota Palka - Rutkowska, Iwona Pecyna, Marek Pisarski, Alina Saganiak,
Bartosz Sakowicz, Izabela Sakwa, Sławomir Sapanowski, Jolanta Schilling, Marzena Sławińska, Aneta Stasiak, Katarzyna
Szczepaniak, Bożenna Szkopińska, Izabella Żółtaszek i Katarzyna Szablewska
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/ij3qbxsvja/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/ij3qbxsvja
Hasła podstawy programowej:
E2-PODST-MAT-1.0-2.3: mnoży i dzieli liczbę naturalną przez liczbę naturalną jednocyfrową, dwucyfrową lub trzycyfrową
pisemnie, w pamięci (w najprostszych przykładach) i za pomocą kalkulatora (w trudniejszych przykładach);
Informacje o licencjach osadzonych obiektów (w kolejności występowania w treści modułu):
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Liczby3_potegi2 [Licencja: CC BY 3.0]
Moduł: Liczby / Potęgi, pierwiastki, notacja wykładnicza / Działania na pierwiastkach
Autorzy: Jacek Stańdo, Henryk Dąbrowski, Hanna Drabik - Zalewska, Gertruda Gwóźdź - Łukawska, Krzysztof Kisiel,
Paweł Kwiatkowski, Agnieszka Zajączkowska, Dorota Krawczyk - Stańdo, Grzegorz Kusztelak, Witold Walas, Magdalena
Furmaniak, Kinga Gałązka, Dominik Kłys, Iwona Krawczyk-Kłys, Jacek Kucharski, Renata Kusztelak, Alicja Laskowska,
Piotr Mazur, Jan Omieciński, Bronisław Pabich, Dorota Palka - Rutkowska, Iwona Pecyna, Marek Pisarski, Alina Saganiak,
Bartosz Sakowicz, Izabela Sakwa, Sławomir Sapanowski, Jolanta Schilling, Marzena Sławińska, Aneta Stasiak, Katarzyna
Szczepaniak, Bożenna Szkopińska, Izabella Żółtaszek i Katarzyna Szablewska
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iwHXiIWbig/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iwHXiIWbig
Hasła podstawy programowej:
E2-PODST-MAT-1.0-2.3: mnoży i dzieli liczbę naturalną przez liczbę naturalną jednocyfrową, dwucyfrową lub trzycyfrową
pisemnie, w pamięci (w najprostszych przykładach) i za pomocą kalkulatora (w trudniejszych przykładach);
O e-podręczniku
1113
Moduł: Liczby / Potęgi, pierwiastki, notacja wykładnicza / Zadania. Część I
Autorzy: Jacek Stańdo, Henryk Dąbrowski, Hanna Drabik - Zalewska, Gertruda Gwóźdź - Łukawska, Krzysztof Kisiel,
Paweł Kwiatkowski, Agnieszka Zajączkowska, Dorota Krawczyk - Stańdo, Grzegorz Kusztelak, Witold Walas, Magdalena
Furmaniak, Kinga Gałązka, Dominik Kłys, Iwona Krawczyk-Kłys, Jacek Kucharski, Renata Kusztelak, Alicja Laskowska,
Piotr Mazur, Jan Omieciński, Bronisław Pabich, Dorota Palka - Rutkowska, Iwona Pecyna, Marek Pisarski, Alina Saganiak,
Bartosz Sakowicz, Izabela Sakwa, Sławomir Sapanowski, Jolanta Schilling, Marzena Sławińska, Aneta Stasiak, Katarzyna
Szczepaniak, Bożenna Szkopińska, Izabella Żółtaszek i Katarzyna Szablewska
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/i09oPkWcMs/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/i09oPkWcMs
Hasła podstawy programowej:
E2-PODST-MAT-1.0-2.3: mnoży i dzieli liczbę naturalną przez liczbę naturalną jednocyfrową, dwucyfrową lub trzycyfrową
pisemnie, w pamięci (w najprostszych przykładach) i za pomocą kalkulatora (w trudniejszych przykładach);
Moduł: Liczby / Potęgi, pierwiastki, notacja wykładnicza / Zadania. Część II
Autorzy: Jacek Stańdo, Henryk Dąbrowski, Hanna Drabik - Zalewska, Gertruda Gwóźdź - Łukawska, Krzysztof Kisiel,
Paweł Kwiatkowski, Agnieszka Zajączkowska, Dorota Krawczyk - Stańdo, Grzegorz Kusztelak, Witold Walas, Magdalena
Furmaniak, Kinga Gałązka, Dominik Kłys, Iwona Krawczyk-Kłys, Jacek Kucharski, Renata Kusztelak, Alicja Laskowska,
Piotr Mazur, Jan Omieciński, Bronisław Pabich, Dorota Palka - Rutkowska, Iwona Pecyna, Marek Pisarski, Alina Saganiak,
Bartosz Sakowicz, Izabela Sakwa, Sławomir Sapanowski, Jolanta Schilling, Marzena Sławińska, Aneta Stasiak, Katarzyna
Szczepaniak, Bożenna Szkopińska, Izabella Żółtaszek i Katarzyna Szablewska
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iwMAZ8Y2HQ/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iwMAZ8Y2HQ
Hasła podstawy programowej:
E2-PODST-MAT-1.0-2.3: mnoży i dzieli liczbę naturalną przez liczbę naturalną jednocyfrową, dwucyfrową lub trzycyfrową
pisemnie, w pamięci (w najprostszych przykładach) i za pomocą kalkulatora (w trudniejszych przykładach);
Informacje o licencjach osadzonych obiektów (w kolejności występowania w treści modułu):
O e-podręczniku
1114
Moduł: Liczby / Wyrażenia algebraiczne / Działania na wyrażeniach algebraicznych
Autorzy: Jacek Stańdo, Henryk Dąbrowski, Hanna Drabik - Zalewska, Gertruda Gwóźdź - Łukawska, Krzysztof Kisiel,
Paweł Kwiatkowski, Agnieszka Zajączkowska, Dorota Krawczyk - Stańdo, Grzegorz Kusztelak, Witold Walas, Magdalena
Furmaniak, Kinga Gałązka, Dominik Kłys, Iwona Krawczyk-Kłys, Jacek Kucharski, Renata Kusztelak, Alicja Laskowska,
Piotr Mazur, Jan Omieciński, Bronisław Pabich, Dorota Palka - Rutkowska, Iwona Pecyna, Marek Pisarski, Alina Saganiak,
Bartosz Sakowicz, Izabela Sakwa, Sławomir Sapanowski, Jolanta Schilling, Marzena Sławińska, Aneta Stasiak, Katarzyna
Szczepaniak, Bożenna Szkopińska, Izabella Żółtaszek i Katarzyna Szablewska
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/idJU0J7zOr/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/idJU0J7zOr
Hasła podstawy programowej:
E2-PODST-MAT-1.0-2.3: mnoży i dzieli liczbę naturalną przez liczbę naturalną jednocyfrową, dwucyfrową lub trzycyfrową
pisemnie, w pamięci (w najprostszych przykładach) i za pomocą kalkulatora (w trudniejszych przykładach);
Informacje o licencjach osadzonych obiektów (w kolejności występowania w treści modułu):
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Liczby_4-mnozenie_przez_liczbe_i_mnozenie_sum [Licencja: CC BY NC 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Liczby_Działania na wyrazeniach
algebraicznych_atrapa_animacja_czynnik_przed_nawias1 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Liczby_Działania na wyrazeniach algebraicznych_atrapa_animacja_czynnik-
przed_nawias2 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Liczby_Działania na wyrazeniach
algebraicznych_atrapa_animacja_czynnik_przed_nawias3 [Licencja: CC BY 3.0]
O e-podręczniku
1115
Moduł: Liczby / Wyrażenia algebraiczne / Zadania
Autorzy: Jacek Stańdo, Henryk Dąbrowski, Hanna Drabik - Zalewska, Gertruda Gwóźdź - Łukawska, Krzysztof Kisiel,
Paweł Kwiatkowski, Agnieszka Zajączkowska, Dorota Krawczyk - Stańdo, Grzegorz Kusztelak, Witold Walas, Magdalena
Furmaniak, Kinga Gałązka, Dominik Kłys, Iwona Krawczyk-Kłys, Jacek Kucharski, Renata Kusztelak, Alicja Laskowska,
Piotr Mazur, Jan Omieciński, Bronisław Pabich, Dorota Palka - Rutkowska, Iwona Pecyna, Marek Pisarski, Alina Saganiak,
Bartosz Sakowicz, Izabela Sakwa, Sławomir Sapanowski, Jolanta Schilling, Marzena Sławińska, Aneta Stasiak, Katarzyna
Szczepaniak, Bożenna Szkopińska, Izabella Żółtaszek i Katarzyna Szablewska
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/ibT9N68gtu/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/ibT9N68gtu
Hasła podstawy programowej:
E2-PODST-MAT-1.0-2.3: mnoży i dzieli liczbę naturalną przez liczbę naturalną jednocyfrową, dwucyfrową lub trzycyfrową
pisemnie, w pamięci (w najprostszych przykładach) i za pomocą kalkulatora (w trudniejszych przykładach);
Informacje o licencjach osadzonych obiektów (w kolejności występowania w treści modułu):
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Liczby_4-cwiczenie_4A [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Liczby_4-cwiczenie_4B [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Zadania_atrapa_animacja_czynnik_przed_pierwiastek2 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Zadania_atrapa_animacja_czynnik_przed_pierwiastek3 [Licencja: CC BY 3.0]
Moduł: Liczby / Wyrażenia algebraiczne / Przykłady
Autorzy: Jacek Stańdo, Henryk Dąbrowski, Hanna Drabik - Zalewska, Gertruda Gwóźdź - Łukawska, Krzysztof Kisiel,
Paweł Kwiatkowski, Agnieszka Zajączkowska, Dorota Krawczyk - Stańdo, Grzegorz Kusztelak, Witold Walas, Magdalena
Furmaniak, Kinga Gałązka, Dominik Kłys, Iwona Krawczyk-Kłys, Jacek Kucharski, Renata Kusztelak, Alicja Laskowska,
Piotr Mazur, Jan Omieciński, Bronisław Pabich, Dorota Palka - Rutkowska, Iwona Pecyna, Marek Pisarski, Alina Saganiak,
Bartosz Sakowicz, Izabela Sakwa, Sławomir Sapanowski, Jolanta Schilling, Marzena Sławińska, Aneta Stasiak, Katarzyna
Szczepaniak, Bożenna Szkopińska, Izabella Żółtaszek i Katarzyna Szablewska
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iYHU9sr5d5/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iYHU9sr5d5
Hasła podstawy programowej:
E2-PODST-MAT-1.0-2.3: mnoży i dzieli liczbę naturalną przez liczbę naturalną jednocyfrową, dwucyfrową lub trzycyfrową
pisemnie, w pamięci (w najprostszych przykładach) i za pomocą kalkulatora (w trudniejszych przykładach);
Informacje o licencjach osadzonych obiektów (w kolejności występowania w treści modułu):
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Przyklady_atrapa_animacja_kwadrat_sumy [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Liczby_4_kwadrat_sumy [Licencja: CC BY NC 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Przyklady_atrapa_animacja_roznica_kwadratow [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Liczby_4_roznica_kwadratow_dwoch_wyrazen [Licencja: CC BY NC 3.0]
O e-podręczniku
1116
Moduł: Liczby / Wyrażenia algebraiczne / Zadania, zadania generatorowe
Autorzy: Jacek Stańdo, Henryk Dąbrowski, Hanna Drabik - Zalewska, Gertruda Gwóźdź - Łukawska, Krzysztof Kisiel,
Paweł Kwiatkowski, Agnieszka Zajączkowska, Dorota Krawczyk - Stańdo, Grzegorz Kusztelak, Witold Walas, Magdalena
Furmaniak, Kinga Gałązka, Dominik Kłys, Iwona Krawczyk-Kłys, Jacek Kucharski, Renata Kusztelak, Alicja Laskowska,
Piotr Mazur, Jan Omieciński, Bronisław Pabich, Dorota Palka - Rutkowska, Iwona Pecyna, Marek Pisarski, Alina Saganiak,
Bartosz Sakowicz, Izabela Sakwa, Sławomir Sapanowski, Jolanta Schilling, Marzena Sławińska, Aneta Stasiak, Katarzyna
Szczepaniak, Bożenna Szkopińska, Izabella Żółtaszek i Katarzyna Szablewska
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/ig42CnZLFQ/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/ig42CnZLFQ
Hasła podstawy programowej:
E2-PODST-MAT-1.0-2.3: mnoży i dzieli liczbę naturalną przez liczbę naturalną jednocyfrową, dwucyfrową lub trzycyfrową
pisemnie, w pamięci (w najprostszych przykładach) i za pomocą kalkulatora (w trudniejszych przykładach);
Informacje o licencjach osadzonych obiektów (w kolejności występowania w treści modułu):
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Liczby_4-laczenie_figur_ze_wzorem_A [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Liczby_4-laczenie_figur_ze_wzorem_B [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Liczby_4-laczenie_figur_ze_wzorem_C [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Liczby_4-laczenie_figur_ze_wzorem_D [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Liczby_4-laczenie_figur_ze_wzorem_E [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Liczby_4-laczenie_figur_ze_wzorem_F [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Liczby_4-Zadanie7_graniastoslup [Licencja: CC BY 3.0]
Moduł: Liczby / Potęga o wykładniku wymiernym / Potęga o wykładniku wymiernym
Autorzy: Jacek Stańdo, Henryk Dąbrowski, Hanna Drabik - Zalewska, Gertruda Gwóźdź - Łukawska, Krzysztof Kisiel,
Paweł Kwiatkowski, Agnieszka Zajączkowska, Dorota Krawczyk - Stańdo, Grzegorz Kusztelak, Witold Walas, Magdalena
Furmaniak, Kinga Gałązka, Dominik Kłys, Iwona Krawczyk-Kłys, Jacek Kucharski, Renata Kusztelak, Alicja Laskowska,
Piotr Mazur, Jan Omieciński, Bronisław Pabich, Dorota Palka - Rutkowska, Iwona Pecyna, Marek Pisarski, Alina Saganiak,
Bartosz Sakowicz, Izabela Sakwa, Sławomir Sapanowski, Jolanta Schilling, Marzena Sławińska, Aneta Stasiak, Katarzyna
Szczepaniak, Bożenna Szkopińska, Izabella Żółtaszek i Katarzyna Szablewska
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iWtrtHADs4/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iWtrtHADs4
Hasła podstawy programowej:
E2-PODST-MAT-1.0-2.3: mnoży i dzieli liczbę naturalną przez liczbę naturalną jednocyfrową, dwucyfrową lub trzycyfrową
pisemnie, w pamięci (w najprostszych przykładach) i za pomocą kalkulatora (w trudniejszych przykładach);
Informacje o licencjach osadzonych obiektów (w kolejności występowania w treści modułu):
O e-podręczniku
1117
Moduł: Liczby / Potęga o wykładniku wymiernym / Zadania
Autorzy: Jacek Stańdo, Henryk Dąbrowski, Hanna Drabik - Zalewska, Gertruda Gwóźdź - Łukawska, Krzysztof Kisiel,
Paweł Kwiatkowski, Agnieszka Zajączkowska, Dorota Krawczyk - Stańdo, Grzegorz Kusztelak, Witold Walas, Magdalena
Furmaniak, Kinga Gałązka, Dominik Kłys, Iwona Krawczyk-Kłys, Jacek Kucharski, Renata Kusztelak, Alicja Laskowska,
Piotr Mazur, Jan Omieciński, Bronisław Pabich, Dorota Palka - Rutkowska, Iwona Pecyna, Marek Pisarski, Alina Saganiak,
Bartosz Sakowicz, Izabela Sakwa, Sławomir Sapanowski, Jolanta Schilling, Marzena Sławińska, Aneta Stasiak, Katarzyna
Szczepaniak, Bożenna Szkopińska, Izabella Żółtaszek i Katarzyna Szablewska
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/ilUEeWkfvv/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/ilUEeWkfvv
Hasła podstawy programowej:
E2-PODST-MAT-1.0-2.3: mnoży i dzieli liczbę naturalną przez liczbę naturalną jednocyfrową, dwucyfrową lub trzycyfrową
pisemnie, w pamięci (w najprostszych przykładach) i za pomocą kalkulatora (w trudniejszych przykładach);
Informacje o licencjach osadzonych obiektów (w kolejności występowania w treści modułu):
Moduł: Liczby / Nierówności, przedziały, odległość / Równania i nierówności liczbowe. Przedziały liczbowe
Autorzy: Jacek Stańdo, Henryk Dąbrowski, Hanna Drabik - Zalewska, Gertruda Gwóźdź - Łukawska, Krzysztof Kisiel,
Paweł Kwiatkowski, Agnieszka Zajączkowska, Dorota Krawczyk - Stańdo, Grzegorz Kusztelak, Witold Walas, Magdalena
Furmaniak, Kinga Gałązka, Dominik Kłys, Iwona Krawczyk-Kłys, Jacek Kucharski, Renata Kusztelak, Alicja Laskowska,
Piotr Mazur, Jan Omieciński, Bronisław Pabich, Dorota Palka - Rutkowska, Iwona Pecyna, Marek Pisarski, Alina Saganiak,
Bartosz Sakowicz, Izabela Sakwa, Sławomir Sapanowski, Jolanta Schilling, Marzena Sławińska, Aneta Stasiak, Katarzyna
Szczepaniak, Bożenna Szkopińska, Izabella Żółtaszek i Katarzyna Szablewska
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/ijfg65U76S/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/ijfg65U76S
Hasła podstawy programowej:
E2-PODST-MAT-1.0-2.3: mnoży i dzieli liczbę naturalną przez liczbę naturalną jednocyfrową, dwucyfrową lub trzycyfrową
pisemnie, w pamięci (w najprostszych przykładach) i za pomocą kalkulatora (w trudniejszych przykładach);
Informacje o licencjach osadzonych obiektów (w kolejności występowania w treści modułu):
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Nierownosci przedzialy odleglosc_atrapa_animacji_289 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Nierownosci przedzialy odleglosc_atrapa_animacji_288 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Nierownosci przedzialy odleglosc_atrapa_animacji_290 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Nierownosci przedzialy odleglosc_atrapa_animacji_290 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Nierownosci przedzialy odleglosc_atrapa_animacji_292 [Licencja: CC BY 3.0]
O e-podręczniku
1118
Moduł: Liczby / Nierówności, przedziały, odległość / Przedziały liczbowe. Przedziały jako zbiory
Autorzy: Jacek Stańdo, Henryk Dąbrowski, Hanna Drabik - Zalewska, Gertruda Gwóźdź - Łukawska, Krzysztof Kisiel,
Paweł Kwiatkowski, Agnieszka Zajączkowska, Dorota Krawczyk - Stańdo, Grzegorz Kusztelak, Witold Walas, Magdalena
Furmaniak, Kinga Gałązka, Dominik Kłys, Iwona Krawczyk-Kłys, Jacek Kucharski, Renata Kusztelak, Alicja Laskowska,
Piotr Mazur, Jan Omieciński, Bronisław Pabich, Dorota Palka - Rutkowska, Iwona Pecyna, Marek Pisarski, Alina Saganiak,
Bartosz Sakowicz, Izabela Sakwa, Sławomir Sapanowski, Jolanta Schilling, Marzena Sławińska, Aneta Stasiak, Katarzyna
Szczepaniak, Bożenna Szkopińska, Izabella Żółtaszek i Katarzyna Szablewska
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/ilYsbYn3sZ/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/ilYsbYn3sZ
Hasła podstawy programowej:
E2-PODST-MAT-1.0-2.3: mnoży i dzieli liczbę naturalną przez liczbę naturalną jednocyfrową, dwucyfrową lub trzycyfrową
pisemnie, w pamięci (w najprostszych przykładach) i za pomocą kalkulatora (w trudniejszych przykładach);
Informacje o licencjach osadzonych obiektów (w kolejności występowania w treści modułu):
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Nierownosci przedzialy odleglosc_atrapa_animacji_293 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Nierownosci przedzialy odleglosc_atrapa_animacji_294 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Nierownosci przedzialy odleglosc_atrapa_animacji_295 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Nierownosci przedzialy odleglosc_atrapa_animacji_296 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Nierownosci przedzialy odleglosc_atrapa_animacji_297 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Nierownosci przedzialy odleglosc_atrapa_rys_1351 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Nierownosci przedzialy odleglosc_atrapa_animacji_298 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Liczby7_Przykład7_2 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Nierownosci przedzialy odleglosc_atrapa_animacji_299 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Liczby7_Przykład8_2 [Licencja: CC BY 3.0]
O e-podręczniku
1119
Moduł: Liczby / Nierówności, przedziały, odległość / Wartość bezwzględna - definicja
Autorzy: Jacek Stańdo, Henryk Dąbrowski, Hanna Drabik - Zalewska, Gertruda Gwóźdź - Łukawska, Krzysztof Kisiel,
Paweł Kwiatkowski, Agnieszka Zajączkowska, Dorota Krawczyk - Stańdo, Grzegorz Kusztelak, Witold Walas, Magdalena
Furmaniak, Kinga Gałązka, Dominik Kłys, Iwona Krawczyk-Kłys, Jacek Kucharski, Renata Kusztelak, Alicja Laskowska,
Piotr Mazur, Jan Omieciński, Bronisław Pabich, Dorota Palka - Rutkowska, Iwona Pecyna, Marek Pisarski, Alina Saganiak,
Bartosz Sakowicz, Izabela Sakwa, Sławomir Sapanowski, Jolanta Schilling, Marzena Sławińska, Aneta Stasiak, Katarzyna
Szczepaniak, Bożenna Szkopińska, Izabella Żółtaszek i Katarzyna Szablewska
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iJi9BWd1Vm/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iJi9BWd1Vm
Hasła podstawy programowej:
E2-PODST-MAT-1.0-2.3: mnoży i dzieli liczbę naturalną przez liczbę naturalną jednocyfrową, dwucyfrową lub trzycyfrową
pisemnie, w pamięci (w najprostszych przykładach) i za pomocą kalkulatora (w trudniejszych przykładach);
Informacje o licencjach osadzonych obiektów (w kolejności występowania w treści modułu):
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Nierownosci przedzialy odleglosc_atrapa_animacja_463 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Nierownosci przedzialy odleglosc_atrapa_animacja_464 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Nierownosci przedzialy odleglosc_atrapa_animacja_465 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Nierownosci przedzialy odleglosc_atrapa_animacja_466 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Nierownosci przedzialy odleglosc_atrapa_animacja_467 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Nierownosci przedzialy odleglosc_atrapa_animacja_468 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Nierownosci przedzialy odleglosc_atrapa_animacja_469 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Nierownosci przedzialy odleglosc_470a [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Nierownosci przedzialy odleglosc_atrapa_animacja_1485 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Nierownosci przedzialy odleglosc_atrapa_animacja_471a [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Nierownosci przedzialy odleglosc_atrapa_animacja_472a [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Nierownosci przedzialy odleglosc_atrapa_animacji_473 [Licencja: CC BY 3.0]
O e-podręczniku
1120
Moduł: Liczby / Nierówności, przedziały, odległość / Zadania
Autorzy: Jacek Stańdo, Henryk Dąbrowski, Hanna Drabik - Zalewska, Gertruda Gwóźdź - Łukawska, Krzysztof Kisiel,
Paweł Kwiatkowski, Agnieszka Zajączkowska, Dorota Krawczyk - Stańdo, Grzegorz Kusztelak, Witold Walas, Magdalena
Furmaniak, Kinga Gałązka, Dominik Kłys, Iwona Krawczyk-Kłys, Jacek Kucharski, Renata Kusztelak, Alicja Laskowska,
Piotr Mazur, Jan Omieciński, Bronisław Pabich, Dorota Palka - Rutkowska, Iwona Pecyna, Marek Pisarski, Alina Saganiak,
Bartosz Sakowicz, Izabela Sakwa, Sławomir Sapanowski, Jolanta Schilling, Marzena Sławińska, Aneta Stasiak, Katarzyna
Szczepaniak, Bożenna Szkopińska, Izabella Żółtaszek i Katarzyna Szablewska
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iv5QSfsCk2/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iv5QSfsCk2
Hasła podstawy programowej:
E2-PODST-MAT-1.0-2.3: mnoży i dzieli liczbę naturalną przez liczbę naturalną jednocyfrową, dwucyfrową lub trzycyfrową
pisemnie, w pamięci (w najprostszych przykładach) i za pomocą kalkulatora (w trudniejszych przykładach);
Informacje o licencjach osadzonych obiektów (w kolejności występowania w treści modułu):
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Liczby7_Zadanie_6a [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Liczby7_Zadanie_6c [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Liczby7_Zadanie_6d [Licencja: CC BY 3.0]
Moduł: Liczby / Zaokrąglenia i przybliżenia / Przybliżenia i zaokrąglenia liczb
Autorzy: Jacek Stańdo, Henryk Dąbrowski, Hanna Drabik - Zalewska, Gertruda Gwóźdź - Łukawska, Krzysztof Kisiel,
Paweł Kwiatkowski, Agnieszka Zajączkowska, Dorota Krawczyk - Stańdo, Grzegorz Kusztelak, Witold Walas, Magdalena
Furmaniak, Kinga Gałązka, Dominik Kłys, Iwona Krawczyk-Kłys, Jacek Kucharski, Renata Kusztelak, Alicja Laskowska,
Piotr Mazur, Jan Omieciński, Bronisław Pabich, Dorota Palka - Rutkowska, Iwona Pecyna, Marek Pisarski, Alina Saganiak,
Bartosz Sakowicz, Izabela Sakwa, Sławomir Sapanowski, Jolanta Schilling, Marzena Sławińska, Aneta Stasiak, Katarzyna
Szczepaniak, Bożenna Szkopińska, Izabella Żółtaszek i Katarzyna Szablewska
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iuT6SvOx9A/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iuT6SvOx9A
Hasła podstawy programowej:
E2-PODST-MAT-1.0-2.3: mnoży i dzieli liczbę naturalną przez liczbę naturalną jednocyfrową, dwucyfrową lub trzycyfrową
pisemnie, w pamięci (w najprostszych przykładach) i za pomocą kalkulatora (w trudniejszych przykładach);
Informacje o licencjach osadzonych obiektów (w kolejności występowania w treści modułu):
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Procenty_atrapa_animacja_blok_mieszkalny [Licencja: CC BY 3.0]
O e-podręczniku
1121
Moduł: Liczby / Zaokrąglenia i przybliżenia / Błąd bezwzględny, błąd względny
Autorzy: Jacek Stańdo, Henryk Dąbrowski, Hanna Drabik - Zalewska, Gertruda Gwóźdź - Łukawska, Krzysztof Kisiel,
Paweł Kwiatkowski, Agnieszka Zajączkowska, Dorota Krawczyk - Stańdo, Grzegorz Kusztelak, Witold Walas, Magdalena
Furmaniak, Kinga Gałązka, Dominik Kłys, Iwona Krawczyk-Kłys, Jacek Kucharski, Renata Kusztelak, Alicja Laskowska,
Piotr Mazur, Jan Omieciński, Bronisław Pabich, Dorota Palka - Rutkowska, Iwona Pecyna, Marek Pisarski, Alina Saganiak,
Bartosz Sakowicz, Izabela Sakwa, Sławomir Sapanowski, Jolanta Schilling, Marzena Sławińska, Aneta Stasiak, Katarzyna
Szczepaniak, Bożenna Szkopińska, Izabella Żółtaszek i Katarzyna Szablewska
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/isi4Lctor5/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/isi4Lctor5
Hasła podstawy programowej:
E2-PODST-MAT-1.0-2.3: mnoży i dzieli liczbę naturalną przez liczbę naturalną jednocyfrową, dwucyfrową lub trzycyfrową
pisemnie, w pamięci (w najprostszych przykładach) i za pomocą kalkulatora (w trudniejszych przykładach);
Informacje o licencjach osadzonych obiektów (w kolejności występowania w treści modułu):
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Zaokraglenia i przyblizenia_atrapa_animacja_1139 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Zaokraglenia i przyblizenia_atrapa_animacja_1140 [Licencja: CC BY 3.0]
Moduł: Liczby / Zaokrąglenia i przybliżenia / Zadania
Autorzy: Jacek Stańdo, Henryk Dąbrowski, Hanna Drabik - Zalewska, Gertruda Gwóźdź - Łukawska, Krzysztof Kisiel,
Paweł Kwiatkowski, Agnieszka Zajączkowska, Dorota Krawczyk - Stańdo, Grzegorz Kusztelak, Witold Walas, Magdalena
Furmaniak, Kinga Gałązka, Dominik Kłys, Iwona Krawczyk-Kłys, Jacek Kucharski, Renata Kusztelak, Alicja Laskowska,
Piotr Mazur, Jan Omieciński, Bronisław Pabich, Dorota Palka - Rutkowska, Iwona Pecyna, Marek Pisarski, Alina Saganiak,
Bartosz Sakowicz, Izabela Sakwa, Sławomir Sapanowski, Jolanta Schilling, Marzena Sławińska, Aneta Stasiak, Katarzyna
Szczepaniak, Bożenna Szkopińska, Izabella Żółtaszek i Katarzyna Szablewska
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iMB87PL04P/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iMB87PL04P
Hasła podstawy programowej:
E2-PODST-MAT-1.0-2.3: mnoży i dzieli liczbę naturalną przez liczbę naturalną jednocyfrową, dwucyfrową lub trzycyfrową
pisemnie, w pamięci (w najprostszych przykładach) i za pomocą kalkulatora (w trudniejszych przykładach);
O e-podręczniku
1122
Moduł: Geometria / Planimetria. Podstawowe związki na płaszczyźnie / Przystawanie trójkątów
Autorzy: Jacek Stańdo, Henryk Dąbrowski, Hanna Drabik - Zalewska, Gertruda Gwóźdź - Łukawska, Krzysztof Kisiel,
Paweł Kwiatkowski, Agnieszka Zajączkowska, Dorota Krawczyk - Stańdo, Grzegorz Kusztelak, Witold Walas, Magdalena
Furmaniak, Kinga Gałązka, Dominik Kłys, Iwona Krawczyk-Kłys, Jacek Kucharski, Renata Kusztelak, Alicja Laskowska,
Piotr Mazur, Jan Omieciński, Bronisław Pabich, Dorota Palka - Rutkowska, Iwona Pecyna, Marek Pisarski, Alina Saganiak,
Bartosz Sakowicz, Izabela Sakwa, Sławomir Sapanowski, Jolanta Schilling, Marzena Sławińska, Aneta Stasiak, Katarzyna
Szczepaniak, Bożenna Szkopińska, Izabella Żółtaszek i Katarzyna Szablewska
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/inHat0Iy53/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/inHat0Iy53
Hasła podstawy programowej:
E2-PODST-MAT-1.0-2.3: mnoży i dzieli liczbę naturalną przez liczbę naturalną jednocyfrową, dwucyfrową lub trzycyfrową
pisemnie, w pamięci (w najprostszych przykładach) i za pomocą kalkulatora (w trudniejszych przykładach);
Informacje o licencjach osadzonych obiektów (w kolejności występowania w treści modułu):
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Atrapa_animacji [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G1_Planimetria_przystawanie1_nowy [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G1_Planimetria_Przystawanie2_nowy [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G1_Planimetria_Przystawanie3_nowy [Licencja: CC BY 3.0]
Moduł: Geometria / Planimetria. Podstawowe związki na płaszczyźnie / Twierdzenie Pitagorasa
Autorzy: Jacek Stańdo, Henryk Dąbrowski, Hanna Drabik - Zalewska, Gertruda Gwóźdź - Łukawska, Krzysztof Kisiel,
Paweł Kwiatkowski, Agnieszka Zajączkowska, Dorota Krawczyk - Stańdo, Grzegorz Kusztelak, Witold Walas, Magdalena
Furmaniak, Kinga Gałązka, Dominik Kłys, Iwona Krawczyk-Kłys, Jacek Kucharski, Renata Kusztelak, Alicja Laskowska,
Piotr Mazur, Jan Omieciński, Bronisław Pabich, Dorota Palka - Rutkowska, Iwona Pecyna, Marek Pisarski, Alina Saganiak,
Bartosz Sakowicz, Izabela Sakwa, Sławomir Sapanowski, Jolanta Schilling, Marzena Sławińska, Aneta Stasiak, Katarzyna
Szczepaniak, Bożenna Szkopińska, Izabella Żółtaszek i Katarzyna Szablewska
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iTdzyC9y6c/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iTdzyC9y6c
Hasła podstawy programowej:
E2-PODST-MAT-1.0-2.3: mnoży i dzieli liczbę naturalną przez liczbę naturalną jednocyfrową, dwucyfrową lub trzycyfrową
pisemnie, w pamięci (w najprostszych przykładach) i za pomocą kalkulatora (w trudniejszych przykładach);
Informacje o licencjach osadzonych obiektów (w kolejności występowania w treści modułu):
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G1_Planimetria_TwPitagorasa_nowy [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G1_Planimetria_apllet_dowod_tw_pitagorasa [Licencja: CC BY NC 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G1_Planimetria_ZM1_nowy [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G1_Planimetria_ZM_1a [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G1_Planimetria_ZM2_nowy [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G1_Planimetria_Cw1_ZwMiarowe2c [Licencja: CC BY 3.0]
O e-podręczniku
1123
Moduł: Geometria / Planimetria. Podstawowe związki na płaszczyźnie / Dwusieczne kąta
Autorzy: Jacek Stańdo, Henryk Dąbrowski, Hanna Drabik - Zalewska, Gertruda Gwóźdź - Łukawska, Krzysztof Kisiel,
Paweł Kwiatkowski, Agnieszka Zajączkowska, Dorota Krawczyk - Stańdo, Grzegorz Kusztelak, Witold Walas, Magdalena
Furmaniak, Kinga Gałązka, Dominik Kłys, Iwona Krawczyk-Kłys, Jacek Kucharski, Renata Kusztelak, Alicja Laskowska,
Piotr Mazur, Jan Omieciński, Bronisław Pabich, Dorota Palka - Rutkowska, Iwona Pecyna, Marek Pisarski, Alina Saganiak,
Bartosz Sakowicz, Izabela Sakwa, Sławomir Sapanowski, Jolanta Schilling, Marzena Sławińska, Aneta Stasiak, Katarzyna
Szczepaniak, Bożenna Szkopińska, Izabella Żółtaszek i Katarzyna Szablewska
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/i9MtdNVchn/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/i9MtdNVchn
Hasła podstawy programowej:
E2-PODST-MAT-1.0-2.3: mnoży i dzieli liczbę naturalną przez liczbę naturalną jednocyfrową, dwucyfrową lub trzycyfrową
pisemnie, w pamięci (w najprostszych przykładach) i za pomocą kalkulatora (w trudniejszych przykładach);
Informacje o licencjach osadzonych obiektów (w kolejności występowania w treści modułu):
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G1_Planimetria_D1_nowy [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G1_Planimetria_Tw1_nowy [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: P1_aplet_punkt_na_dwusiecznej_pop [Licencja: CC BY NC 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G1_Planimetria_Tw2_nowy [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G1_Planimetria_Tw3_b [Licencja: CC BY 3.0]
O e-podręczniku
1124
Moduł: Geometria / Planimetria. Podstawowe związki na płaszczyźnie / Symetralna odcinka. Symetralne boków trójkąta
Autorzy: Jacek Stańdo, Henryk Dąbrowski, Hanna Drabik - Zalewska, Gertruda Gwóźdź - Łukawska, Krzysztof Kisiel,
Paweł Kwiatkowski, Agnieszka Zajączkowska, Dorota Krawczyk - Stańdo, Grzegorz Kusztelak, Witold Walas, Magdalena
Furmaniak, Kinga Gałązka, Dominik Kłys, Iwona Krawczyk-Kłys, Jacek Kucharski, Renata Kusztelak, Alicja Laskowska,
Piotr Mazur, Jan Omieciński, Bronisław Pabich, Dorota Palka - Rutkowska, Iwona Pecyna, Marek Pisarski, Alina Saganiak,
Bartosz Sakowicz, Izabela Sakwa, Sławomir Sapanowski, Jolanta Schilling, Marzena Sławińska, Aneta Stasiak, Katarzyna
Szczepaniak, Bożenna Szkopińska, Izabella Żółtaszek i Katarzyna Szablewska
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/igxObBDDby/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/igxObBDDby
Hasła podstawy programowej:
E2-PODST-MAT-1.0-2.3: mnoży i dzieli liczbę naturalną przez liczbę naturalną jednocyfrową, dwucyfrową lub trzycyfrową
pisemnie, w pamięci (w najprostszych przykładach) i za pomocą kalkulatora (w trudniejszych przykładach);
Informacje o licencjach osadzonych obiektów (w kolejności występowania w treści modułu):
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G1_Planimetria_D2_nowy [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G1_Planimetria_punkt_na_symetralnej_tw [Licencja: CC BY NC 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G1_Planimetria_Tw3_nowy [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G1_Planimetria_dowod_tw_symetralnych [Licencja: CC BY NC 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G1_Planimetria_PrzypadkiSz_1_nowy [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G1_Planimetria_PrzypadkiSz_2_nowy [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G_pole_trojkata [Licencja: CC BY NC 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G_pole_trapezu [Licencja: CC BY NC 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G_pole_rownolegloboku [Licencja: CC BY NC 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Planimetria. Podstawowe zwiazki naplaszczyznie_cw_ok_wp_4new [Licencja: CC BY
NC 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G_okr_wpis_w_czworokat [Licencja: CC BY NC 3.0]
O e-podręczniku
1125
Moduł: Geometria / Planimetria. Podstawowe związki na płaszczyźnie / Zadania
Autorzy: Jacek Stańdo, Henryk Dąbrowski, Hanna Drabik - Zalewska, Gertruda Gwóźdź - Łukawska, Krzysztof Kisiel,
Paweł Kwiatkowski, Agnieszka Zajączkowska, Dorota Krawczyk - Stańdo, Grzegorz Kusztelak, Witold Walas, Magdalena
Furmaniak, Kinga Gałązka, Dominik Kłys, Iwona Krawczyk-Kłys, Jacek Kucharski, Renata Kusztelak, Alicja Laskowska,
Piotr Mazur, Jan Omieciński, Bronisław Pabich, Dorota Palka - Rutkowska, Iwona Pecyna, Marek Pisarski, Alina Saganiak,
Bartosz Sakowicz, Izabela Sakwa, Sławomir Sapanowski, Jolanta Schilling, Marzena Sławińska, Aneta Stasiak, Katarzyna
Szczepaniak, Bożenna Szkopińska, Izabella Żółtaszek i Katarzyna Szablewska
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iYvSXQ2WQA/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iYvSXQ2WQA
Hasła podstawy programowej:
E2-PODST-MAT-1.0-2.3: mnoży i dzieli liczbę naturalną przez liczbę naturalną jednocyfrową, dwucyfrową lub trzycyfrową
pisemnie, w pamięci (w najprostszych przykładach) i za pomocą kalkulatora (w trudniejszych przykładach);
Informacje o licencjach osadzonych obiektów (w kolejności występowania w treści modułu):
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: P1_Cw4_pop [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: P1_cw5_pop [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G1_Planimetria_ZadZamniete1 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G1_Planimetria_ZadZamkniete6_nowy [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G1_Planimetria_ZadOtwarte4_nowy [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: P1_ZO5_1_pop [Licencja: CC BY 3.0]
O e-podręczniku
1126
Moduł: Geometria / Wielokąty na płaszczyźnie. Związki miarowe / Kąty przyległe, wierzchołkowe, naprzemianległe i
odpowiadające
Autorzy: Jacek Stańdo, Henryk Dąbrowski, Hanna Drabik - Zalewska, Gertruda Gwóźdź - Łukawska, Krzysztof Kisiel,
Paweł Kwiatkowski, Agnieszka Zajączkowska, Dorota Krawczyk - Stańdo, Grzegorz Kusztelak, Witold Walas, Magdalena
Furmaniak, Kinga Gałązka, Dominik Kłys, Iwona Krawczyk-Kłys, Jacek Kucharski, Renata Kusztelak, Alicja Laskowska,
Piotr Mazur, Jan Omieciński, Bronisław Pabich, Dorota Palka - Rutkowska, Iwona Pecyna, Marek Pisarski, Alina Saganiak,
Bartosz Sakowicz, Izabela Sakwa, Sławomir Sapanowski, Jolanta Schilling, Marzena Sławińska, Aneta Stasiak, Katarzyna
Szczepaniak, Bożenna Szkopińska, Izabella Żółtaszek i Katarzyna Szablewska
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iUkVySbp2p/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iUkVySbp2p
Hasła podstawy programowej:
E2-PODST-MAT-1.0-2.3: mnoży i dzieli liczbę naturalną przez liczbę naturalną jednocyfrową, dwucyfrową lub trzycyfrową
pisemnie, w pamięci (w najprostszych przykładach) i za pomocą kalkulatora (w trudniejszych przykładach);
O e-podręczniku
1127
Informacje o licencjach osadzonych obiektów (w kolejności występowania w treści modułu):
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Wielokaty na plaszczyznie. Zwiazki miarowe_katy wierzcholkowe bez miar
[Licencja: CC BY NC 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Wielokaty na plaszczyznie. Zwiazki miarowe_katy przylegle_bez miar [Licencja: CC
BY NC 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G2_definicja1 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G_katy_przylegle [Licencja: CC BY NC 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G_katy_wierzcholkowe [Licencja: CC BY NC 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G2_definicja1_nowe [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Wielokaty na plaszczyznie. Zwiazki miarowe_katy odpowiadajace [Licencja: CC BY
NC 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: g2_aplet1_katy_przy_prostych_rownoleglych [Licencja: CC BY NC 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Wielokaty na plaszczyznie. Zwiazki miarowe_atrapa_rys_1350 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Wielokaty na plaszczyznie. Zwiazki miarowe_rys_atrapa_1141 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Katy utworz przez proste row przec trzec prosta_8 katow_naprzemian [Licencja:
CC BY NC 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Wielokaty na plaszczyznie. Zwiazki miarowe_katy_naprzemianlegle_row [Licencja:
CC BY NC 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Katy utworz przez proste row przec trzec prosta_8 katow odpowiadajacych
[Licencja: CC BY NC 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Wielokaty na plaszczyznie. Zwiazki miarowe_katy odpowiadajace_row [Licencja: CC
BY NC 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Wielokaty na plaszczyznie. Zwiazki miarowe_katy naprzemianlegle [Licencja: CC BY
NC 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Wielokaty na plaszczyznie. Zwiazki miarowe_katy odpowiadajace [Licencja: CC BY
NC 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G2_Przyklad2a_nowy [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G2_przyklad2 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Katy utworz przez proste row przec trzec prosta_katy naprzemianlegle [Licencja:
CC BY NC 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Katy utworz przez proste row przec trzec prosta_katy odpowiadajace [Licencja: CC
BY NC 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Katy utworz przez proste row przec trzec prosta_zadanie z katami [Licencja: CC BY
NC 3.0]
O e-podręczniku
1128
Moduł: Geometria / Wielokąty na płaszczyźnie. Związki miarowe / Kąty w figurach, przekątne
Autorzy: Jacek Stańdo, Henryk Dąbrowski, Hanna Drabik - Zalewska, Gertruda Gwóźdź - Łukawska, Krzysztof Kisiel,
Paweł Kwiatkowski, Agnieszka Zajączkowska, Dorota Krawczyk - Stańdo, Grzegorz Kusztelak, Witold Walas, Magdalena
Furmaniak, Kinga Gałązka, Dominik Kłys, Iwona Krawczyk-Kłys, Jacek Kucharski, Renata Kusztelak, Alicja Laskowska,
Piotr Mazur, Jan Omieciński, Bronisław Pabich, Dorota Palka - Rutkowska, Iwona Pecyna, Marek Pisarski, Alina Saganiak,
Bartosz Sakowicz, Izabela Sakwa, Sławomir Sapanowski, Jolanta Schilling, Marzena Sławińska, Aneta Stasiak, Katarzyna
Szczepaniak, Bożenna Szkopińska, Izabella Żółtaszek i Katarzyna Szablewska
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/ifaQywdfl4/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/ifaQywdfl4
Hasła podstawy programowej:
E2-PODST-MAT-1.0-2.3: mnoży i dzieli liczbę naturalną przez liczbę naturalną jednocyfrową, dwucyfrową lub trzycyfrową
pisemnie, w pamięci (w najprostszych przykładach) i za pomocą kalkulatora (w trudniejszych przykładach);
Informacje o licencjach osadzonych obiektów (w kolejności występowania w treści modułu):
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G2_aplet_1_suma_miar_trojkata [Licencja: CC BY NC 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G2_twierdzenie5a [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G2_twierdzenie5b [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G2_po_twierdzeniu5 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G2_ciekawostka_po_twierdzeniu6 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G2_liczba_przekatnych1 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G2_liczba_przekatnych2 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G2_aplet2_wielokaty_wypukle [Licencja: CC BY NC 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G2_katy_w_czworokatach1 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G2_katy_w_czworokatach2 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G2_Geometria_katy_w czworokatach_nowy [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G2_twierdzenie9a_nowy [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G2_twierdzenie9b_nowy [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G2_twierdzenie9 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G2_twierdzenie10a [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G2_twierdzenie10b [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G2_pole_rownolegloboku_nowy [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G_pole_rownolegloboku [Licencja: CC BY NC 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G2_pola_czworokatow_trojkat [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G_pole_trojkata [Licencja: CC BY NC 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G2_pola_czworokatow_trapez [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G_pole_trapezu [Licencja: CC BY NC 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G2_pola_czworokatow_przekatne_kat_prosty [Licencja: CC BY 3.0]
O e-podręczniku
1129
Moduł: Geometria / Wielokąty na płaszczyźnie. Związki miarowe / Zadania
Autorzy: Jacek Stańdo, Henryk Dąbrowski, Hanna Drabik - Zalewska, Gertruda Gwóźdź - Łukawska, Krzysztof Kisiel,
Paweł Kwiatkowski, Agnieszka Zajączkowska, Dorota Krawczyk - Stańdo, Grzegorz Kusztelak, Witold Walas, Magdalena
Furmaniak, Kinga Gałązka, Dominik Kłys, Iwona Krawczyk-Kłys, Jacek Kucharski, Renata Kusztelak, Alicja Laskowska,
Piotr Mazur, Jan Omieciński, Bronisław Pabich, Dorota Palka - Rutkowska, Iwona Pecyna, Marek Pisarski, Alina Saganiak,
Bartosz Sakowicz, Izabela Sakwa, Sławomir Sapanowski, Jolanta Schilling, Marzena Sławińska, Aneta Stasiak, Katarzyna
Szczepaniak, Bożenna Szkopińska, Izabella Żółtaszek i Katarzyna Szablewska
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iW8dhFubnF/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iW8dhFubnF
Hasła podstawy programowej:
E2-PODST-MAT-1.0-2.3: mnoży i dzieli liczbę naturalną przez liczbę naturalną jednocyfrową, dwucyfrową lub trzycyfrową
pisemnie, w pamięci (w najprostszych przykładach) i za pomocą kalkulatora (w trudniejszych przykładach);
Informacje o licencjach osadzonych obiektów (w kolejności występowania w treści modułu):
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G2_cwiczenie_1a [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Katy utworz przez proste row przec trzec prosta_zadanie z katami [Licencja: CC BY
NC 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G2_cwiczenie_1b [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G2_cwiczenie_1c [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G2_ZadZamkniete9_pop [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G5_ZadZamkniete_10_nowe [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G2_ZadOtwarte_3_nowy [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G2_ZadOtwarte_6 [Licencja: CC BY 3.0]
O e-podręczniku
1130
Moduł: Geometria / Przystawanie trójkątów / Przykłady
Autorzy: Jacek Stańdo, Henryk Dąbrowski, Hanna Drabik - Zalewska, Gertruda Gwóźdź - Łukawska, Krzysztof Kisiel,
Paweł Kwiatkowski, Agnieszka Zajączkowska, Dorota Krawczyk - Stańdo, Grzegorz Kusztelak, Witold Walas, Magdalena
Furmaniak, Kinga Gałązka, Dominik Kłys, Iwona Krawczyk-Kłys, Jacek Kucharski, Renata Kusztelak, Alicja Laskowska,
Piotr Mazur, Jan Omieciński, Bronisław Pabich, Dorota Palka - Rutkowska, Iwona Pecyna, Marek Pisarski, Alina Saganiak,
Bartosz Sakowicz, Izabela Sakwa, Sławomir Sapanowski, Jolanta Schilling, Marzena Sławińska, Aneta Stasiak, Katarzyna
Szczepaniak, Bożenna Szkopińska, Izabella Żółtaszek i Katarzyna Szablewska
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iBdq3RI1Kn/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iBdq3RI1Kn
Hasła podstawy programowej:
E2-PODST-MAT-1.0-2.3: mnoży i dzieli liczbę naturalną przez liczbę naturalną jednocyfrową, dwucyfrową lub trzycyfrową
pisemnie, w pamięci (w najprostszych przykładach) i za pomocą kalkulatora (w trudniejszych przykładach);
Informacje o licencjach osadzonych obiektów (w kolejności występowania w treści modułu):
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G3_Geometria_P1_a [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G3_P1_b_pop [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G3_Geometria_P2 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G3_Geometria_p2b [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G3_Geometria_P2c [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G3_Geometria_P3 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G3_Geometria_P0 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G3_Geometriap4_1 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G3_Geometria_P3_1 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G3_GeometriaP5_1 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G3_GeometriaP5_2 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G3_GeometriaP5_3 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G3_GeometriaZO_P5_4 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G3_Geometria_P6_1 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G3_Geometria_P6_2_nowy [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G3_Geometria_P6_3nowy [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G3_Geometria_P8_1 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G3_Geometria_P8_2 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G3_Geometria_P8_3 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G3_Geometria_P8_4 [Licencja: CC BY 3.0]
O e-podręczniku
1131
Moduł: Geometria / Przystawanie trójkątów / Zadania
Autorzy: Jacek Stańdo, Henryk Dąbrowski, Hanna Drabik - Zalewska, Gertruda Gwóźdź - Łukawska, Krzysztof Kisiel,
Paweł Kwiatkowski, Agnieszka Zajączkowska, Dorota Krawczyk - Stańdo, Grzegorz Kusztelak, Witold Walas, Magdalena
Furmaniak, Kinga Gałązka, Dominik Kłys, Iwona Krawczyk-Kłys, Jacek Kucharski, Renata Kusztelak, Alicja Laskowska,
Piotr Mazur, Jan Omieciński, Bronisław Pabich, Dorota Palka - Rutkowska, Iwona Pecyna, Marek Pisarski, Alina Saganiak,
Bartosz Sakowicz, Izabela Sakwa, Sławomir Sapanowski, Jolanta Schilling, Marzena Sławińska, Aneta Stasiak, Katarzyna
Szczepaniak, Bożenna Szkopińska, Izabella Żółtaszek i Katarzyna Szablewska
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/itnpvkjoPI/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/itnpvkjoPI
Hasła podstawy programowej:
E2-PODST-MAT-1.0-2.3: mnoży i dzieli liczbę naturalną przez liczbę naturalną jednocyfrową, dwucyfrową lub trzycyfrową
pisemnie, w pamięci (w najprostszych przykładach) i za pomocą kalkulatora (w trudniejszych przykładach);
Informacje o licencjach osadzonych obiektów (w kolejności występowania w treści modułu):
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G3_Geometria_ZO_8 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G3_Geometria_ZO9_1 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G3_Geometria_ZO_12 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G3_Geometria_ZO_11 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G3_Geometria_Z14 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G3_Geometria_ZO14_1_nowe [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G3_Geometria_ZO_13 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G3_Geometria_ZO_15_1 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G3_GeometriaZO_17_1 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G3_Geometria_ZO_17 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G3_Geometria_ZO19 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G3_Geometria_Zo20 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G3_GeometriaZO22 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G3_GeometriaZO_23 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G3_Geometria_Zo24 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G3_GeometriaZO_25_1 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G3_GeometriaZO_26_1 [Licencja: CC BY 3.0]
O e-podręczniku
1132
Moduł: Geometria / Podobieństwo trójkątów / Cechy podobieństwa trójkątów
Autorzy: Jacek Stańdo, Henryk Dąbrowski, Hanna Drabik - Zalewska, Gertruda Gwóźdź - Łukawska, Krzysztof Kisiel,
Paweł Kwiatkowski, Agnieszka Zajączkowska, Dorota Krawczyk - Stańdo, Grzegorz Kusztelak, Witold Walas, Magdalena
Furmaniak, Kinga Gałązka, Dominik Kłys, Iwona Krawczyk-Kłys, Jacek Kucharski, Renata Kusztelak, Alicja Laskowska,
Piotr Mazur, Jan Omieciński, Bronisław Pabich, Dorota Palka - Rutkowska, Iwona Pecyna, Marek Pisarski, Alina Saganiak,
Bartosz Sakowicz, Izabela Sakwa, Sławomir Sapanowski, Jolanta Schilling, Marzena Sławińska, Aneta Stasiak, Katarzyna
Szczepaniak, Bożenna Szkopińska, Izabella Żółtaszek i Katarzyna Szablewska
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iXzwKyrgcB/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iXzwKyrgcB
Hasła podstawy programowej:
E2-PODST-MAT-1.0-2.3: mnoży i dzieli liczbę naturalną przez liczbę naturalną jednocyfrową, dwucyfrową lub trzycyfrową
pisemnie, w pamięci (w najprostszych przykładach) i za pomocą kalkulatora (w trudniejszych przykładach);
Informacje o licencjach osadzonych obiektów (w kolejności występowania w treści modułu):
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G4_Podobienstwo_trojkatow_Przyklad1_nowy [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G4_aplet1_nowy [Licencja: CC BY NC 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G4_aplet2_nowy [Licencja: CC BY NC 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G4_aplet3_nowy [Licencja: CC BY NC 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Atrapa_animacji [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Atrapa_animacji [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Atrapa_animacji [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G4_Podobienstwo_trojkatow_Twierdzenie2_nowy [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G4_Podobienstwo_trojkatow_aplet4 [Licencja: CC BY NC 3.0]
O e-podręczniku
1133
Moduł: Geometria / Podobieństwo trójkątów / Przykłady
Autorzy: Jacek Stańdo, Henryk Dąbrowski, Hanna Drabik - Zalewska, Gertruda Gwóźdź - Łukawska, Krzysztof Kisiel,
Paweł Kwiatkowski, Agnieszka Zajączkowska, Dorota Krawczyk - Stańdo, Grzegorz Kusztelak, Witold Walas, Magdalena
Furmaniak, Kinga Gałązka, Dominik Kłys, Iwona Krawczyk-Kłys, Jacek Kucharski, Renata Kusztelak, Alicja Laskowska,
Piotr Mazur, Jan Omieciński, Bronisław Pabich, Dorota Palka - Rutkowska, Iwona Pecyna, Marek Pisarski, Alina Saganiak,
Bartosz Sakowicz, Izabela Sakwa, Sławomir Sapanowski, Jolanta Schilling, Marzena Sławińska, Aneta Stasiak, Katarzyna
Szczepaniak, Bożenna Szkopińska, Izabella Żółtaszek i Katarzyna Szablewska
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/ihJQ12xslc/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/ihJQ12xslc
Hasła podstawy programowej:
E2-PODST-MAT-1.0-2.3: mnoży i dzieli liczbę naturalną przez liczbę naturalną jednocyfrową, dwucyfrową lub trzycyfrową
pisemnie, w pamięci (w najprostszych przykładach) i za pomocą kalkulatora (w trudniejszych przykładach);
Informacje o licencjach osadzonych obiektów (w kolejności występowania w treści modułu):
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G4_Podobienstwo_trojkatow_Przyklad2a_nowy [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G4_Przyklad2b_pop [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G4_Podobienstwo_trojkatow_Przyklad2c_nowy [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G4_Podobienstwo_trojkatow_Przyklad3_nowy [Licencja: CC BY 3.0]
O e-podręczniku
1134
Moduł: Geometria / Podobieństwo trójkątów / Własności podobieństwa
Autorzy: Jacek Stańdo, Henryk Dąbrowski, Hanna Drabik - Zalewska, Gertruda Gwóźdź - Łukawska, Krzysztof Kisiel,
Paweł Kwiatkowski, Agnieszka Zajączkowska, Dorota Krawczyk - Stańdo, Grzegorz Kusztelak, Witold Walas, Magdalena
Furmaniak, Kinga Gałązka, Dominik Kłys, Iwona Krawczyk-Kłys, Jacek Kucharski, Renata Kusztelak, Alicja Laskowska,
Piotr Mazur, Jan Omieciński, Bronisław Pabich, Dorota Palka - Rutkowska, Iwona Pecyna, Marek Pisarski, Alina Saganiak,
Bartosz Sakowicz, Izabela Sakwa, Sławomir Sapanowski, Jolanta Schilling, Marzena Sławińska, Aneta Stasiak, Katarzyna
Szczepaniak, Bożenna Szkopińska, Izabella Żółtaszek i Katarzyna Szablewska
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iyj6xbHTa3/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iyj6xbHTa3
Hasła podstawy programowej:
E2-PODST-MAT-1.0-2.3: mnoży i dzieli liczbę naturalną przez liczbę naturalną jednocyfrową, dwucyfrową lub trzycyfrową
pisemnie, w pamięci (w najprostszych przykładach) i za pomocą kalkulatora (w trudniejszych przykładach);
Informacje o licencjach osadzonych obiektów (w kolejności występowania w treści modułu):
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G4_Podobienstwo_trojkatow_Przyklad3b_nowy [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G4_Podobienstwo_trojkatow_Twierdzenie3a_nowy [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G4_Podobienstwo_trojkatow_Twierdzenie3b_nowy [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G4_aplet5_linia_srodkowa_w_trojkacie_pop [Licencja: CC BY NC 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G4_Podobienstwo_trojkatow_Twierdzenie4_nowy [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G4_Podobienstwo_trojkatow_Twierdzenie4a_nowy [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G4_Podobienstwo_trojkatow_Twierdzenie4b_nowy [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G4_aplet6_linia_srodkowa_w_trapezie_pop [Licencja: CC BY NC 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G4_Podobienstwo_trojkatow_Cw2a_nowy [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G4_Podobienstwo_trojkatow_Cw7a_nowy [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G4_Podobienstwo_trojkatow_Cw7b_nowy [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G4_Podobienstwo_trojkatow_Cw7c_nowy [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G4_Podobienstwo_trojkatow_Cw8a_nowy [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G4_Podobienstwo_trojkatow_Cw8b_nowy [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G4_Podobienstwo_trojkatow_ZadZamkniete1_nowy [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G4_Podobienstwo_trojkatow_ZadZamkniete7_nowy [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G4_Podobienstwo_trojkatowZadOtwarte6_nowy [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G4_Podobienstwo_trojkatow_ZadZamkniete7a_nowy [Licencja: CC BY 3.0]
O e-podręczniku
1135
Moduł: Geometria / Kąty w trójkącie. Styczna do okręgu / Kąty w okręgu
Autorzy: Jacek Stańdo, Henryk Dąbrowski, Hanna Drabik - Zalewska, Gertruda Gwóźdź - Łukawska, Krzysztof Kisiel,
Paweł Kwiatkowski, Agnieszka Zajączkowska, Dorota Krawczyk - Stańdo, Grzegorz Kusztelak, Witold Walas, Magdalena
Furmaniak, Kinga Gałązka, Dominik Kłys, Iwona Krawczyk-Kłys, Jacek Kucharski, Renata Kusztelak, Alicja Laskowska,
Piotr Mazur, Jan Omieciński, Bronisław Pabich, Dorota Palka - Rutkowska, Iwona Pecyna, Marek Pisarski, Alina Saganiak,
Bartosz Sakowicz, Izabela Sakwa, Sławomir Sapanowski, Jolanta Schilling, Marzena Sławińska, Aneta Stasiak, Katarzyna
Szczepaniak, Bożenna Szkopińska, Izabella Żółtaszek i Katarzyna Szablewska
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iuWGcr0yHC/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iuWGcr0yHC
Hasła podstawy programowej:
E2-PODST-MAT-1.0-2.3: mnoży i dzieli liczbę naturalną przez liczbę naturalną jednocyfrową, dwucyfrową lub trzycyfrową
pisemnie, w pamięci (w najprostszych przykładach) i za pomocą kalkulatora (w trudniejszych przykładach);
Informacje o licencjach osadzonych obiektów (w kolejności występowania w treści modułu):
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G5_definicja1_pop [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G5_definicja1a_pop [Licencja: CC BY 3.0]
O e-podręczniku
1136
Moduł: Geometria / Kąty w trójkącie. Styczna do okręgu / Kąt środkowy, kąt wpisany
Autorzy: Jacek Stańdo, Henryk Dąbrowski, Hanna Drabik - Zalewska, Gertruda Gwóźdź - Łukawska, Krzysztof Kisiel,
Paweł Kwiatkowski, Agnieszka Zajączkowska, Dorota Krawczyk - Stańdo, Grzegorz Kusztelak, Witold Walas, Magdalena
Furmaniak, Kinga Gałązka, Dominik Kłys, Iwona Krawczyk-Kłys, Jacek Kucharski, Renata Kusztelak, Alicja Laskowska,
Piotr Mazur, Jan Omieciński, Bronisław Pabich, Dorota Palka - Rutkowska, Iwona Pecyna, Marek Pisarski, Alina Saganiak,
Bartosz Sakowicz, Izabela Sakwa, Sławomir Sapanowski, Jolanta Schilling, Marzena Sławińska, Aneta Stasiak, Katarzyna
Szczepaniak, Bożenna Szkopińska, Izabella Żółtaszek i Katarzyna Szablewska
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iiqv10hdWF/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iiqv10hdWF
Hasła podstawy programowej:
E2-PODST-MAT-1.0-2.3: mnoży i dzieli liczbę naturalną przez liczbę naturalną jednocyfrową, dwucyfrową lub trzycyfrową
pisemnie, w pamięci (w najprostszych przykładach) i za pomocą kalkulatora (w trudniejszych przykładach);
Informacje o licencjach osadzonych obiektów (w kolejności występowania w treści modułu):
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: g5_definicja2_pop [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G5_definicja2a_pop [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G5_aplet1_zaleznosci_miedzy_katem_srodkowym_wpisanym [Licencja: CC BY NC
3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G5_twierdzenie1_pop [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G5_twierdzenie1a_pop [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G5_twierdzenie1b_pop [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G5_twierdzenie1c_pop [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G5_Twierdzenie1d_pop [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G5_twierdzenie1e_pop [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G5_twierdzenie2_pop [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G5_twierdzenie3_pop [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G5_Przyklad_nowy [Licencja: CC BY 3.0]
O e-podręczniku
1137
Moduł: Geometria / Kąty w trójkącie. Styczna do okręgu / Wzajemne położenie prostej i okręgu
Autorzy: Jacek Stańdo, Henryk Dąbrowski, Hanna Drabik - Zalewska, Gertruda Gwóźdź - Łukawska, Krzysztof Kisiel,
Paweł Kwiatkowski, Agnieszka Zajączkowska, Dorota Krawczyk - Stańdo, Grzegorz Kusztelak, Witold Walas, Magdalena
Furmaniak, Kinga Gałązka, Dominik Kłys, Iwona Krawczyk-Kłys, Jacek Kucharski, Renata Kusztelak, Alicja Laskowska,
Piotr Mazur, Jan Omieciński, Bronisław Pabich, Dorota Palka - Rutkowska, Iwona Pecyna, Marek Pisarski, Alina Saganiak,
Bartosz Sakowicz, Izabela Sakwa, Sławomir Sapanowski, Jolanta Schilling, Marzena Sławińska, Aneta Stasiak, Katarzyna
Szczepaniak, Bożenna Szkopińska, Izabella Żółtaszek i Katarzyna Szablewska
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/i4J0Je8JfJ/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/i4J0Je8JfJ
Hasła podstawy programowej:
E2-PODST-MAT-1.0-2.3: mnoży i dzieli liczbę naturalną przez liczbę naturalną jednocyfrową, dwucyfrową lub trzycyfrową
pisemnie, w pamięci (w najprostszych przykładach) i za pomocą kalkulatora (w trudniejszych przykładach);
Informacje o licencjach osadzonych obiektów (w kolejności występowania w treści modułu):
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G5_Aplet2_wzajemne_polozenie_prostej_okregu [Licencja: CC BY NC 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G5_Tabela1a [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G5_Tabela1b [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G5_Tabela1c [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G5_Twierdzenie4_nowy [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G5_Twierdzenie5a_nowy [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G5_Aplet_dynamiczny [Licencja: CC BY NC 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G5_aplet3_wzajemne_polozenie_okregow [Licencja: CC BY NC 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G5_Tabela2b [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G5_Tabela2a [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G2_Tabela2d [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G5_Tabela2 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G5_Tabela2c [Licencja: CC BY 3.0]
O e-podręczniku
1138
Moduł: Geometria / Kąty w trójkącie. Styczna do okręgu / Wycinek i odcinek koła
Autorzy: Jacek Stańdo, Henryk Dąbrowski, Hanna Drabik - Zalewska, Gertruda Gwóźdź - Łukawska, Krzysztof Kisiel,
Paweł Kwiatkowski, Agnieszka Zajączkowska, Dorota Krawczyk - Stańdo, Grzegorz Kusztelak, Witold Walas, Magdalena
Furmaniak, Kinga Gałązka, Dominik Kłys, Iwona Krawczyk-Kłys, Jacek Kucharski, Renata Kusztelak, Alicja Laskowska,
Piotr Mazur, Jan Omieciński, Bronisław Pabich, Dorota Palka - Rutkowska, Iwona Pecyna, Marek Pisarski, Alina Saganiak,
Bartosz Sakowicz, Izabela Sakwa, Sławomir Sapanowski, Jolanta Schilling, Marzena Sławińska, Aneta Stasiak, Katarzyna
Szczepaniak, Bożenna Szkopińska, Izabella Żółtaszek i Katarzyna Szablewska
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/i5SKkI04eR/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/i5SKkI04eR
Hasła podstawy programowej:
E2-PODST-MAT-1.0-2.3: mnoży i dzieli liczbę naturalną przez liczbę naturalną jednocyfrową, dwucyfrową lub trzycyfrową
pisemnie, w pamięci (w najprostszych przykładach) i za pomocą kalkulatora (w trudniejszych przykładach);
Informacje o licencjach osadzonych obiektów (w kolejności występowania w treści modułu):
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Katy w trojkacie. Styczna do okregu_atrapa_rysunek_1469 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Katy w trojkacie. Styczna do okregu_atrapa_rysunek_1470 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G5_definicja5a_nowy [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G5_definicja5aa_nowy [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G5_aplet_pole_odcinka_kola [Licencja: CC BY NC 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G5_definicja_5b_nowy_pop [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G5_definicja5a_nowy_pop [Licencja: CC BY 3.0]
Moduł: Geometria / Kąty w trójkącie. Styczna do okręgu / Okrąg wpisany w trójkąt prostokątny
Autorzy: Jacek Stańdo, Henryk Dąbrowski, Hanna Drabik - Zalewska, Gertruda Gwóźdź - Łukawska, Krzysztof Kisiel,
Paweł Kwiatkowski, Agnieszka Zajączkowska, Dorota Krawczyk - Stańdo, Grzegorz Kusztelak, Witold Walas, Magdalena
Furmaniak, Kinga Gałązka, Dominik Kłys, Iwona Krawczyk-Kłys, Jacek Kucharski, Renata Kusztelak, Alicja Laskowska,
Piotr Mazur, Jan Omieciński, Bronisław Pabich, Dorota Palka - Rutkowska, Iwona Pecyna, Marek Pisarski, Alina Saganiak,
Bartosz Sakowicz, Izabela Sakwa, Sławomir Sapanowski, Jolanta Schilling, Marzena Sławińska, Aneta Stasiak, Katarzyna
Szczepaniak, Bożenna Szkopińska, Izabella Żółtaszek i Katarzyna Szablewska
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/itHO3Da6eQ/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/itHO3Da6eQ
Hasła podstawy programowej:
E2-PODST-MAT-1.0-2.3: mnoży i dzieli liczbę naturalną przez liczbę naturalną jednocyfrową, dwucyfrową lub trzycyfrową
pisemnie, w pamięci (w najprostszych przykładach) i za pomocą kalkulatora (w trudniejszych przykładach);
Informacje o licencjach osadzonych obiektów (w kolejności występowania w treści modułu):
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G5_przyklad_do_szkicu16301_nowy [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G5_twierdzenie7_1_nowy_pop [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G5_twierdzenie7a_nowy_pop [Licencja: CC BY 3.0]
O e-podręczniku
1139
Moduł: Geometria / Kąty w trójkącie. Styczna do okręgu / Zadania
Autorzy: Jacek Stańdo, Henryk Dąbrowski, Hanna Drabik - Zalewska, Gertruda Gwóźdź - Łukawska, Krzysztof Kisiel,
Paweł Kwiatkowski, Agnieszka Zajączkowska, Dorota Krawczyk - Stańdo, Grzegorz Kusztelak, Witold Walas, Magdalena
Furmaniak, Kinga Gałązka, Dominik Kłys, Iwona Krawczyk-Kłys, Jacek Kucharski, Renata Kusztelak, Alicja Laskowska,
Piotr Mazur, Jan Omieciński, Bronisław Pabich, Dorota Palka - Rutkowska, Iwona Pecyna, Marek Pisarski, Alina Saganiak,
Bartosz Sakowicz, Izabela Sakwa, Sławomir Sapanowski, Jolanta Schilling, Marzena Sławińska, Aneta Stasiak, Katarzyna
Szczepaniak, Bożenna Szkopińska, Izabella Żółtaszek i Katarzyna Szablewska
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/ipwitdW8ay/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/ipwitdW8ay
Hasła podstawy programowej:
E2-PODST-MAT-1.0-2.3: mnoży i dzieli liczbę naturalną przez liczbę naturalną jednocyfrową, dwucyfrową lub trzycyfrową
pisemnie, w pamięci (w najprostszych przykładach) i za pomocą kalkulatora (w trudniejszych przykładach);
Informacje o licencjach osadzonych obiektów (w kolejności występowania w treści modułu):
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G5_cwiczenie2_pop [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G5_cwiczenie3_nowe_pop [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G5_Cwiczenie5a [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G5_Cwiczenie5b [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G5_Cwiczenie6 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G5_Cwiczenie8_nowy_pop [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G5_Cwiczenie10 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G5_Cwiczenie11a [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G5_Cwiczenie11b_pop [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G5_ZadZamkniete1a_nowy_pop [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G5_ZadZamkniete1b_nowy_pop [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G5_ZadZamkniete9 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G5_ZadOtwarte2 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G5_ZadOtwarte4 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G5_ZadOtwarte5 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G5_ZadOtwarte10 [Licencja: CC BY 3.0]
O e-podręczniku
1140
Moduł: Geometria / Stereometria / Siatki i modele brył
Autor: Jacek Stańdo
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iykFfPb7YW/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/iykFfPb7YW
Hasła podstawy programowej:
E2-PODST-MAT-1.0-10.4: rysuje siatki prostopadłościanów.
Informacje o licencjach osadzonych obiektów (w kolejności występowania w treści modułu):
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Siatki i modele prostopadloscianow i szescianow_atrapa_animacja [Licencja: CC BY
3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Gimnazjum - Matematyka 2_5002 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Pole figury_atrapa_animacja_330 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Matematyka_3D_5003 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Matematyka_3D_5004 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Matematyka_3D_5005 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Matematyka_3D_5006 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Matematyka_3D_5007 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Matematyka_3D_5008 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Matematyka_3D_5009 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Matematyka_3D_5010 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Matematyka_3D_5011 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: 3D_walec_1538 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: atrapa:opis animacji [Licencja: CC BY 3.0]
O e-podręczniku
1141
Moduł: Słowniczek
Moduł wygenerowany przez platformę
Licencja: CC BY 3.0
Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/104436_25_glossary/contact
Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/104436/v/25/t/student-canon/m/104436_25_glossary
Informacje o licencjach osadzonych obiektów (w kolejności występowania w treści modułu):
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: T3_Twierdzenie [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G1_Planimetria_przystawanie1_nowy [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G1_Planimetria_Przystawanie2_nowy [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G1_Planimetria_Przystawanie3_nowy [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Liczby_Dzialania na potegach_atrapa_animacja_mnozenie_poteg_podstawy
[Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Liczby_Dzialania na potegach_atrapa_animacja_iloraz_poteg_podstawy [Licencja:
CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Liczby_Dzialania na potegach_atrapa_animacja_potega_potegi [Licencja: CC BY
3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Liczby_Dzialania na potegach_atrapa_animacja_iloczyn_poteg_wykl [Licencja: CC
BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Liczby_Dzialania na potegach_atrapa_animacja_iloraz_poteg_wykl [Licencja: CC BY
3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Odczytywanie wlasnosci funkcji na podstawie jej wykresu
czII_atrapa_animacja_260 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Odczytywanie wlasnosci funkcji na podstawie jej wykresu
czII_atrapa_animacja_262 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Odczytywanie wlasnosci funkcji na podstawie jej wykresu
czII_atrapa_animacja_263 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Odczytywanie wlasnosci funkcji na podstawie jej wykresu
czII_atrapa_animacja_259 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Odczytywanie wlasnosci funkcji na podstawie jej wykresu
czII_atrapa_animacja_261 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Wielokaty na plaszczyznie. Zwiazki miarowe_atrapa_rys_1350 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G2_definicja1 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G1_Planimetria_Tw2_nowy [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G1_Planimetria_Tw3_b [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G4_aplet6_linia_srodkowa_w_trapezie_pop [Licencja: CC BY NC 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G1_Planimetria_Tw3_nowy [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G1_Planimetria_dowod_tw_symetralnych [Licencja: CC BY NC 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G1_Planimetria_TwPitagorasa_nowy [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G1_Planimetria_apllet_dowod_tw_pitagorasa [Licencja: CC BY NC 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Katy w trojkacie. Styczna do okregu_atrapa_rysunek_1469 [Licencja: CC BY 3.0]
O e-podręczniku
1142
Informacje o licencjach osadzonych obiektów w odpowiedziach (w kolejności występowania w treści e-podręcznika)
O e-podręczniku
1143
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Wprowadzenie do pojęcia funkcji, zadanie 1.5, graf na podstawie tabeli - odp
[Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Wprowadzenie do pojęcia funkcji, zbiór, zadanie 1.14a [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Wprowadzenie do pojęcia funkcji, zbiór, zadanie 1.14a [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Wprowadzenie do pojęcia funkcji, zbiór, zadanie 1.15c [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Wprowadzenie do pojęcia funkcji, zbiór, zadanie 1.15c [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Wprowadzenie do pojęcia funkcji, zbiór, zadanie 1.24 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f4_ZadZamkniete2b_pop [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f4_ZadZamkniete5b_pop [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f4_ZadZamkniete8c_pop [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f4_ZadOtwarte17 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f4_ZadOtwarte18 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f4_ZadOtwarte19 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f4_ZadOtwarte20 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f4_ZadOtwarte21 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f5_ZadZamkniete1a_pop [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f5_ZadZamkniete_3b_pop [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f5_ZadZamkniete_5d_pop [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f5_ZZ7b_pop [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f6z_ZadZamkniete4c [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f6z_ZadZamkniete4c [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f6z_ZadZamkniete5d [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f6z_ZadOtwarte_5_odp [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f6z_ZadOtwarte_15_odp [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f6z_ZadOtwarte_8_odp_a [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f6z_ZadOtwarte_8_odp_b [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f7_cw1b [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f7_cz2_1dd_pop [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f7cz2_2b [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f7cz2_5a [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f7cz2_5b [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f7cz2_5c [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f7cz2_5d [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f7cz2_6b [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f7cz2_8a [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: f7cz2_8b [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: L2_cw3a [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: L2_ZadOtwarte_6 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: L3_ZadOtwarte4 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: L3_ZadOtwarte7 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: L4_o3a [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: L4_o3b [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: L4_o3c [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: L4_o3d [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: L4_o4a [Licencja: CC BY 3.0]
O e-podręczniku
1144
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: L4_o4b [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: L4_o4c [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: L4_o4d [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: L4_o5a [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: L4_o5b [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: L4_o5c [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: L4_o5d [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: T1_Podobienstwo trojkatow_prostkatnych_rownoboczny [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: T1_Podobienstwo trojkatow_prostkatnych_kwadrat [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Liczby_4-cwiczenie_4C [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Liczby7_Cwiczenie2a [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Liczby7_Cwiczenie2b [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Liczby7_Cwiczenie2c [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Liczby7_Cwiczenie2d [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Liczby7_Cwiczenie3a [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Liczby7_Cwiczenie3b [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Liczby7_Cwiczenie3c [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Liczby7_Zadanie_6b [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G1_Planimetria_Cw1_nowy [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G1_ZadOtwarte_10a [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G1_Planimetria_ZadanieOtwarte_10b [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G1_Planimetria_ZadZamkniete5_nowy [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G1_Planimetria_Otwarte1poprawione [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G1_Planimetria_ZadOtwarte3_1_nowy [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G1_Planimetria_ZadOtwarte3_2_nowy [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G1_Planimetria_ZadOtwarte3_3_nowy [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G1_Planimetria_ZadOtwarte3_4_nowy [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G1_Planimetria_ZadOtwarte5_1_nowy [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G1_Planimetria_Otwarte7 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G2_cwiczenie1c_2 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G2_ZadOtwarte1a_odp [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G2_ZadOtwarte1b_odp [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G2_ZadOtwarte4_odp [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G2_ZadOtwarte4a_odp [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G2_ZadOtwarte4c_odp [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G2_ZadOtwarte4d_odp [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G2_ZadOtwarte5_odp [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G2_ZadOtwarte6a_odp [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G2_ZadOtwarte7_odp [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G2_ZadOtwarte_8 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G3_Geometria_ZO_1 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G3_Geometria_ZO_2 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G3_Geometria_ZO_2a [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G3_Geometria_ZO_3 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G3_Geometria_ZO_5a [Licencja: CC BY 3.0]
O e-podręczniku
1145
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G3_Geometria_ZO_2b [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G3_Geometria_ZO6 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G3_Geometria_ZO_7a [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G3_Geometria_ZO_7b [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G3_Geometria_Z11_1 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G3_Geometria_ZO_14_1 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G3_Geometria_Z13_nowe [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G3_Geometria_ZO_14_2_nowe [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G3_Geometria_ZO_14_3_nowe [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G3_Geometria_ZO_14_4_nowe [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G3_Geometria_ZO_15_2_nowe [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G3_Geometria_ZO_15_3 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G3_Geometria_ZO_15_4nowe [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G3_Geometria_ZO_15_2_poprawiony [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G3_GeometriaZo_17_2 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G3_GeometriaZo_17_2 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G3_Geometria_ZO_17_4 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G3_Geometria_ZO_17_5 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G3_GeometriaZO17_6 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G3_Geometria_Zo_19_2 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G3_Geometria_ZO_20_2 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G3_Geometria_ZO_22_2 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G3_GeometriaZO_22_3 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G3_GeometriaZOO_22_4 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G3_GeometriaZO_24_1 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G3_Geometria_ZO_25_2 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G3_GeometriaZO_26_2 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G3_Geometria_Zo_26_3 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G4_Podobienstwo_trojkatow_Cw1b_nowy [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G4_Podobienstwo_trojkatow_Cw1c_nowy [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G4_cw1d_pop [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G4_Podobienstwo_trojkatow_Cw1b_nowy [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G4_Podobienstwo_trojkatow_Cw1c_nowy [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G4_cw1d_pop [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G4_Podobienstwo_trojkatow_Cw3_nowy [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G4_Podobienstwo_trojkatow_Cw4a_nowy [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G4_Podobienstwo_trojkatow_Cw4b_nowy [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G4_Podobienstwo_trojkatow_Cw7b2_nowy [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G4_Podobienstwo_trojkatow_Cw7c2_nowy [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G4_Podobienstwo_trojkatow_Cw8a2_nowy [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G4_Podobienstwo_trojkatow_aplet7 [Licencja: CC BY NC 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G4_ZadOtwarte1_odp [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G4_ZadOtwarte2_odp [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G4_ZadOtwarte3_odp [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G4_ZadOtwarte4_odp [Licencja: CC BY 3.0]
O e-podręczniku
1146
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G4_ZadOtwarte5_odp [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G4_Zadanie6a_odp [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G4_ZadOtwarte8_odp [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G4_ZadOtwarte9_odp [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G4_ZadOtwarte10_odp [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G4_ZadOtwarte11_odp [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G4_ZadOtwarte12_odp [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G4_ZadOtwarte12a_odp [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G4_ZadOtwarte12b_odp [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G4_Podobienstwo_trojkatow_ZadOtwarte13 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G4_Podobienstwo_trojkatow_ZadOtwarte14 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G4_Podobienstwo_trojkatow_ZadOtwarte_14_a [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G4_Podobienstwo_trojkatow_ZadOtwarte_14b [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G4_Podobienstwo_trojkatow_ZadOtwarte14c [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G4_Podobienstwo_trojkatow_ZadOtwarte15 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G4_Podobienstwo_trojkatow_ZadOtwarte16 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G5_cwiczenie1b_pop [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G5_cwiczenie1c_pop [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G5_cwiczenie1b_1_pop [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G5_Cwiczenie5a1_pop [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G5_cwiczenie5b1_pop [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G5_Cwiczenie7 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G5_Cwiczenie9_nowy_pop [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G5_Cwiczenie10a [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: GeometriaG5_Cwiczenie11a1 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G5_cwiczenie11_2a [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: GeometriaG5_Cwiczenie11b1 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G5_ZadOtwarte1 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G5_ZadOtwarte2a [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G5_ZadOtwarte3 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G5_ZadOtwarte4b [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: g5_ZadOtwarte6 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G5_ZadOtwarte7 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G5_ZadOtwarte8 [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G5_ZadOtwarte9a [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G5_ZadOtwarte9b [Licencja: CC BY 3.0]
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: G5_ZadOtwart5b [Licencja: CC BY 3.0]
O e-podręczniku
1147
Lista licencji
E-podręczniki 1.0 http://www.epodreczniki.pl/licenses/e-podreczniki/1.0
domena publiczna http://www.epodreczniki.pl/licenses/domena-publiczna/1.0
tylko do użytku edukacyjnego http://www.epodreczniki.pl/licenses/tylko-do-uzytku-edukacyjnego/1.0
tylko do użytku edukacyjnego na epodreczniki.pl http://www.epodreczniki.pl/licenses/tylko-do-uzytku-edukacyjnego-na-
epodreczniki_pl/1.0
tylko do użytku niekomercyjnego http://www.epodreczniki.pl/licenses/tylko-do-uzytku-niekomercyjnego/1.0
CC 0 1.0 http://creativecommons.org/publicdomain/zero/1.0/legalcode
CC BY 1.0 https://creativecommons.org/licenses/by/1.0/legalcode
CC BY 2.0 https://creativecommons.org/licenses/by/2.0/pl/legalcode
CC BY 2.5 https://creativecommons.org/licenses/by/2.5/pl/legalcode
CC BY 3.0 http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/pl/legalcode
CC BY 4.0 https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/legalcode
CC BY SA 1.0 https://creativecommons.org/licenses/by-sa/1.0/legalcode
CC BY SA 2.0 https://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/pl/legalcode
CC BY SA 2.5 https://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.5/pl/legalcode
CC BY SA 3.0 https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/pl/legalcode
CC BY SA 4.0 https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/legalcode
CC BY ND 1.0 https://creativecommons.org/licenses/by-nd/1.0/legalcode
CC BY ND 2.0 https://creativecommons.org/licenses/by-nd/2.0/pl/legalcode
CC BY ND 2.5 https://creativecommons.org/licenses/by-nd/2.5/pl/legalcode
CC BY ND 3.0 https://creativecommons.org/licenses/by-nd/3.0/pl/legalcode
CC BY ND 4.0 https://creativecommons.org/licenses/by-nd/4.0/legalcode
CC BY NC 1.0 https://creativecommons.org/licenses/by-nc/1.0/legalcode
CC BY NC 2.0 https://creativecommons.org/licenses/by-nc/2.0/pl/legalcode
CC BY NC 2.5 https://creativecommons.org/licenses/by-nc/2.5/pl/legalcode
CC BY NC 3.0 https://creativecommons.org/licenses/by-nc/3.0/pl/legalcode
CC BY NC 4.0 https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/legalcode
CC BY NC ND 2.0 https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/pl/legalcode
CC BY NC ND 2.5 https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.5/pl/legalcode
CC BY NC ND 3.0 https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/pl/legalcode
CC BY NC ND 4.0 https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/legalcode
CC BY NC SA 1.0 https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/1.0/legalcode
CC BY NC SA 2.0 https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.0/pl/legalcode
CC BY NC SA 2.5 https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pl/legalcode
CC BY NC SA 3.0 https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/pl/legalcode
CC BY NC SA 4.0 https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/legalcode
PŁ - Politechnika Łódzka
O e-podręczniku
1148