Mat 1º Geometria 3 Parte

8/17/2019 Mat 1º Geometria 3 Parte

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III BIM – GEOMETRÍA – 1ER. AÑO

Colegio Particular Integrado CESAR´S 151

Como es sabido para la mayoría de las personas, las

matemáticas representan un estudio bastante pesado e

incluso llega a ser hasta odioso. Esto puede deberse

principalmente a la formación mal orientada en los primeros

años de estudios. Además, a esto se le suma los exigentes y

recios profesores con los que algunos se cruzan.

Sin embargo, alrededor de las matemáticas también existe

un mundo amable que no todos conocen, un mundo apartado

de esa cortina de humo compuesta por fórmulas, gráficas y

demostraciones, un mundo donde podrás encontrar desde

poemas hasta problemas matemáticos, pasando por chistes,

curiosidades, pensamientos, historias, etc.

Si bien no resulta fácil cruzar esa enigmática cortina de humo susodicha, los invitamos, queridos

alumnos, a que se esfuercen por ingresar al mundo amable de las matemáticas. Mucho dependerá

de la predisposición que manifiesten.

RECUERDEN: Así como es imposible aprender a nadar sin sumergirse en el agua, así también

será imposible percibir la belleza de las matemáticas sin empaparse completamente de ellas.

¡Crucen la cortina de humo y tengan la seguridad

de que no saldrán decepcionados!

SUS PROFESORES DE MATEMÁTICAS


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Colegio Particular Integrado CESAR´S152

ÁNGULOS SEGÚN SU MEDIDA

maginemos que Lorenita prepara una deliciosa torta

de chocolate y la va a compartir con algunos de susamiguitos. Así pues, están reunidos alrededor de latorta, esperando recibir su porción.

Llegó el momento tan esperado: Lorenita agarra elcuchillo y, desde el centro de la torta, empieza adividirla en tajadas, dejando, por supuesto, la cuartaparte para su voraz profesor de geometría.

Veamos como Lorenita dividió su torta:

Observemos, queridos alumnos, que las tajadas más

grandes tiene una mayor abertura en el centro conrespecto a las tajadas más chicas. Por ejemplo: ¿Noes cierto que la tajada de Lorenita es más estrechaque la de Fernandito?, ¿Y qué puedes decir de latajada del “profe” con respecto a la de Carlita?

Entonces, podemos concluir que, toda tajada, tieneuna determinada aberturas. Es decir:

AHORA BIEN: ¿Qué sistema se usa para medir lasaberturas de los ángulos?

En realidad, hay muchísimos sistemas de medidasangulares, sin embargo, para el desarrollo denuestro curso. Utilizaremos el antiquísimo pero aúnútil, SISTEMA SEXAGESIMAL .

¿Cómo se concibe el SistemaSexagesimal?

El sistema sexagesimal se concibe dividiendo a lacircunferencia en 360 partes iguales a partir delcentro. A cada una de esas partes se le llama“Grado Sexagesimal” (1º). Para ilustrarlo,imaginemos que Lorenita hubiese dividido sutorta en 360 tajadas, todas iguales entre sí,¿Puedes imaginarlo?. Pues bien, cada tajadarepresentaría un grado sexagesimal.

Debemos saber también, que cada gradosexagesimal se divide en 60 partecitas máspequeñas, todas iguales entre sí, a las quellamaremos minutos (‘). A su vez, y aunque no locrean, cada minuto se divide en 60 partecitasdiminutas, todas iguales entre sí, a las quellamaremos segundos (‘’).

En resumen:

NIVEL: SECUNDARIA SEMANA Nº 1 PRIMER AÑO

“Todo ángulo tiene

una determinada

medida”

El Profe

de Geo.

Savitri.

Cesitar

Fernandito

1 vuelta 360º

1º 60'

1’ 60’’

1º 3600’’


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CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS SEGÚN SUMEDIDA

1. Ángulo Nulo

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

2. Ángulo de una vuelta

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

3. Ángulo Llano o de Media Vuelta

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

4. Ángulo Recto o de un Cuarto de Vuelta

........................................................................................

........................................................................................

5. Ángulo Agudo

.........................................................................................

.........................................................................................

.........................................................................................

6. Ángulo Obtuso

.........................................................................................

.........................................................................................

.........................................................................................

O

w


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1. Indicar verdadero (V) o falso donde corresponda.

La medida de un ángulo llano equivale a la medidade los ángulos rectos. ( )

Un ángulo obtuso es aquel mayor que 90º ymenor que 360º ( )

La medida del ángulo de una vuelta equivale a lamedida de dos ángulos llanos ( )

a) VVV b) VFV c) FFFd) VVF e) VFF

2. Relacione de manera conveniente ambas columnas.

a) Ángulo Obtuso ( ) 180º

b) Ángulo Llano ( ) 127º

c) 3600’’ ( ) 1’

d) 60’’ ( ) 1º

3. Complete de manera adecuada.

La unidad del sistema sexagesimal es el

_______________ sexagesimal.

La medida de un ángulo cuantifica la _________________ entre sus lados.

Para medir un ángulo existen muchísimos ________________ pero el que usaremosen nuestro curso es __________________.


La suma de las medidas de dos ángulos agudoses equivalente a la medida de un ánguloobtuso. ( )

La suma de las medidas de dos ángulosobtusos siempre es mayor que la medida deun ángulo llano. ( )

Si tenemos 18 ángulos, cada uno de ellos con20º de medida, entonces, la suma de susmedidas equivale a la medida de una vuelta.

( )

5. ¿A cuánto equivale la medida de un ángulo si estees la quinta parte de la medida de un ángulo llano?

a) 72º b) 30º c) 36ºd) 40º e) N.A.

6. La suma de las medidas de dos ángulos que sonproporcionales a 2 y 3 es equivalente a la medidade un ángulo recto. Calcular la medida del menor.

a) 54º b) 18º c) 27ºd) 36º e) 30º

7. La suma de las medidas de tres ángulos que sonproporcionales a 2, 3 y 4 es equivalente a lamedida de un ángulo llano. Calcular la medida del

ángulo intermedio.

a) 20º b) 40º c) 80ºd) 60º e) 100º

8. Calcular “x + y”

a) 118º

b) 128º

c) 138º

d) 15º

e) 123º


a) Ángulo Agudo d) Ángulo Obtusob) Ángulo Llano e) Ángulo de unac) Ángulo Recto vuelta

10. Del gráfico mostrado, calcular “x”.

Si: m∢AOB = 37º ; OB OC

a) 63ºb) 43ºc) 53ºd) 60ºe) 37º

57º

x

y

5y

2xx

y3y5y

x

B

A O

C

D


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11. Del gráfico mostrado, calcular m∢BOC si losángulos AOB y COD son rectos.

a) 30º

b) 40º

c) 50ºd) 60º

e) 70º

12. Calcular “y 2x”

a) 30º

b) 60º

c) 90º

d) 120º

e) 150º

13. Si: m∢AOB = 20º. Calcular : m∢AOD; sabiendo

además: m∢BOC = 4m∢AOB

a) 20ºb) 40ºc) 60ºd) 80ºe) 100º

14. Del gráfico, calcular “x”.

Si: OA OC y OB OD

a) 40ºb) 25ºc) 30ºd) 50ºe) Faltan datos

15. Calcular m∢BOC si la suma de las medidas de losángulos AOC y BOC equivale a la medida de unángulos llano.

a) 40º

b) 50º

c) 80º

d) 90º

e) 100º


Nueve ángulos de 20º cada uno de ellosequivalen a la medida de un ángulo recto.

( )Cuatro ángulos rectos equivalen a la medida delángulo de una vuelta.

( )

El ángulo obtuso es aquel cuya medida es menorque 180º ( )

2. Complete de manera adecuada.

La cuarta parte de una vuelta es un ángulo ________________________.

10º es la ______________ parte de un ángulorecto.

179º + 60’ es un ángulo _______________.

3. Calcular la diferencia entre la décima parte de unángulo de una vuelta y la quinta parte de un ángulorecto.

a) 36º b) 18º c) 27ºd) 30º e) 38º

4. ¿En cuánto excede el duplo de un ángulo recto a latercera parte del ángulo de una vuelta?

a) 30º b) 40º c) 50ºd) 60º e) 70º

5. El doble de la octava parte del ángulo de unavuelta es:

a) Ángulo Recto d) Ángulo Llanob) Ángulo Agudo e) N.A.c) Ángulo Obtuso


a) 76º b) 66º c) 86ºd) 96º e) N.A.

120ºOC

B A

D

x x

x

y

O

x50º

D

CB

O A

D

A

B

O

C

C O

B

80º

A124º

x

270º

y2y


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7. La mitad de un ángulo llano es equivalente a sumade las medidas de dos ángulos que sonproporcionales a 4 y 11. Hallar la diferencia de lasmedidas de dichos ángulos.

a) 6º b) 12º c) 24ºd) 36º e) 42º

8. Calcular “y x”

a) 126º

b) 12º

c) 24º

d) 36º

e) 42º

9. Calcular m∢BOC; si OA OD y m∢AOB = m∢COD

a) 40º

b) 20º

c) 50º

d) 60º

e) 70º

10. Relacione de manera conveniente ambas columnas.

a) Rayos perpendiculares ( ) Áng. Llano

b) El doble de 46º ( ) Áng. Recto

c) Rayos opuestos ( ) Áng. Agudo

d) La mitad de 94º ( ) Áng. Obtuso

11. Hallar “y + z”

a) 100º

b) 200º

c) 300º

d) 310º

e) 320º

12. ¿Cuál es el ángulo que al sumarle la mitad de lamedida de un ángulo recto equivale a un ángulollano menos 80º?

a) 45º b) 55º c) 65ºd) 75º e) 85º

13. Si: m∢AOB = m∢BOC = m∢CODCalcular : m∢AOC

a) 60ºb) 120ºc) 130ºc) 140ºd) 150º

14.

Si: m∢

AOB = m∢

BOC = m∢

COD. Calcular: m∢

AOCa) 30ºb) 40ºc) 50ºd) 60ºe) 70º

15. ¿Cuánto hay que quitarle a la octava parte de unavuelta para obtener 25º?

a) 25º b) 20º c) 30ºd) 40º e) 50º

y

99º

2x

x

20ºAO

B

CD

z

y

4x

3x

2xO

C

DOA

B

O

A B

C

D


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III BIM – GEOMETRIA – 1ER. AÑO


Este hecho ya fue constatado por Papus

de Alejandria; matemático griego. Su

información se basaba en la forma

hexagonal que las abejas imprimen a sus

celdillas para guardar la miel. Las abejas

cuando guardan la miel, tienen queresolver varios problemas. Necesitan

guardar la miel en celdillas individuales,

de tal manera que formen un mosaico sin

huecos ni salientes entre las celdillas, ya

que hay que aprovechar el espacio al

máximo. Solo podrían hacerlo con

triángulos, cuadrados y hexágonos. ¿Por

qué eligieron entonces los hexágonos, si

son más difíciles de construir?

La respuesta es de carácter isoperimétrico (Igual perímetro) Pappus demostró que, entre todos los

polígonos regulares con el mismo perímetro, encierran más áreas aquellos que tienen mayor

número de lados. Por, eso, la figura que encierra mayor área para un perímetro determinado es el

círculo, que posee un número infinito de lados. Por eso las abejas construyen sus celdillas de

forma hexagonal, ya que, gastando la misma cantidad de cera en las celdillas, consiguen mayor

superficie para guardar su miel. La pregunta es ¿Y quién le enseño esto a las abejas?


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BISECTRIZ DE UN ÁNGULO

¿Verdad que a lo largo de tu vida vas a conocer una

cantidad indefinida de personas? Ahora bien,

coincidirás conmigo que, de todas ellas, una llegará a

ser muy especial, ¿correcto?

Algo así ocurre con el ángulo. De todos los rayos que

se pueden trazar por su vértice (cantidad indefinida

de rayos) solo uno será muy especial: “Aquel que lo

divida en dos ángulos congruentes (iguales)” A ese

rayo especial, queridos alumnos, se le llama bisectriz.

Construcción de la Bisectriz mediante la regla y el

compás.

Método # 1

Paso # 1 : Dibuja el ángulo al que deseastrazar su bisectriz.

Paso # 2 : Tomando como centro elvértice del ángulo utiliza tucompás para hacer un arco deradio arbitrario queintersecte a los lados delángulo.

Paso # 3: tomando como centros lospuntos de intersecciónobtenidos, utiliza nuevamentetu compás para hacer doscircunferencias congruentes(mismo radio), con la condiciónde que se intersecten.

Paso # 4: Ahora, traza el segmento queune el vértice del ángulo conlos puntos de intersección delas circunferencias. Dichotrazo será la bisectriz delángulo considerado.


La bisectriz es el rayo que biseca alángulo

O

M

A

B

OM : Bisectriz del ∢AOB

O

Ocentro

Ocentro


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Método # 2

Paso # 1 : Dibuja el ángulo al que deseas

trazar su bisectriz.

Paso # 2: Tomando como centro elvértice del ángulo, utiliza tucompás para trazar dos arcosde radios arbitrarios queintersecten a los lados delángulo.

Paso # 3: Los puntos de intersecciónobtenidos únelos dos a dos enaspa y marca el punto donde

se intersectan.

Paso #4: Traza el rayo que une elvértice del ángulo con esteúltimo punto de intersección.Dicho trazo será la bisectrizdel ángulo considerado.

Queridos alumnos, prescindiendo del método que

utilicemos para trazar la bisectriz de un ángulo,

siempre podemos verificar la calidad de nuestro

trabajo mediante el uso del transportador.

Desde hace quinientos años antes

de Jesucristo, muchos geómetras

han pasado gran parte del tiempo

en buscar una manera de combinar

rectas y circunferencias para trisecar al ángulo,

es decir, dividirlo en tres ángulos congruentes.

La verdad, cuesta creer que no se pueda trisecar

el ángulo utilizando reglas y compás. Y es que si

bisecarlo fue muy sencillo ¿por qué ha de ser

imposible trisecarlo?. Amiguitos, la verdad a veces

es dura y cruel: “No hay un método general quepermita trisecar a cualquier ángulo con solo regla

no graduada y compás”.

Fue P.L. Wantzel quien en 1837 publicó por

primera vez en una revista matemática, la prueba

completamente rigurosa de la imposibilidad de

trisecar un ángulo

OBisectriz

O

O

O

OBisectriz


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1. Indicar verdadero (V) o falso (F) dondecorresponda.

La bisectriz de un ángulo recto formará dos

ángulos de 55º. ( )El transportador es el instrumento que nospermite medir los ángulos. ( )Se puede trisecar el ángulo mediante eltransportador.

a) VVV b) FVF c) FFFd) VVF e) FVV

2. Complete de manera adecuada:

La bisectriz es ________________ que _____________ el ángulo.La bisectriz de un ángulo _____________determinará dos ______________ rectos.Es ____________________ bisecar alángulo con solo regla y compás.

3. Relacione de manera adecuada ambas columnas.

a) Bisecar ( ) Instrumento quehace arcos.

b) Compás ( ) Dividir en tres partesiguales.

c) Transportador ( ) Instrumento quemide los ángulos.

d) Trisecar ( ) Dividir en dos partes

iguales.4. Indicar verdadero (V) o falso (F) según

corresponda.

Si divido al ángulo en dos partes entonces lohe bisecado. ( )Si divido al ángulo en tres partes entonceslo he trisecado. ( )Es imprescindible el transportador parabisecar al ángulo ( )

a) FFF b) VVF c) VVVd) FVV e) VFF

5. En el gráfico OM es la bisectriz del ∢AOB.Calcular “x”

a) 10º

b) 20º

c) 30º

d) 25º

e) 15º

6. En el gráfico OR es la bisectriz del ∢MON.Calcular “”.

a) 5º

b) 10º

c) 15º

d) 20ºe) 30º

7. Calcular “x”, si OB es bisectriz del∢AOC.

a) 45º

b) 35º

c) 55º

d) 65º

e) 70º

8. Del gráfico, hallar “” si es bisectriz del ∢COE.

a) 100º

b) 110º

c) 120º

d) 130º

e) 140º

9. Del gráfico, calcular “x” si: OC OD

Además OB: Bisectriz del ∢AOC.

a) 10º

b) 15º

c) 18º

d) 20º

e) 25º

10. Del gráfico, calcule “x” si: OB: bisectriz del

∢AOC y OE: Bisectriz del ∢DOF.

a) 10º

b) 15º

c) 20º

d) 25ºe) 30º

11. Calcular la medida del ángulo formado por lasbisectrices de los ángulos AOB y BOC.

a) 35º

b) 40º

c) 45º

d) 50º

e) 55º

x+20º

30ºO

A

m

B

+ 10º

2 R

M

N

O

x 70º

A DO

B C

B

C

D

EOA

100º

30º

EOA

x 3x

B

CD

FOA

x x+10º

B

C

E

D

4x

A B

C

O


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12. Del gráfico, calcular la medida del ∢AOD, si el

rayo opuesto de OA es bisectriz del ∢BOC.

a) 100º

b) 110º

c) 120º

d) 130º

e) 140º

13. Del gráfico, OB bisectriz del ∢AOC. Calcular

m∢COD.

a) 45º

b) 55º

c) 35º

d) 40º

e) 50º

14. Calcular el ángulo formado por las bisectricesde AOB y BOC.

a) 80º

b) 90º

c) 100º

d) 110º

e) 70º

15. Del gráfico OB: bisectriz del ∢AOD;

OC: bisectriz del ∢BOD.

Calcular: m∢AOC

a) 20º

b) 40º

c) 60º

d) 80º

e) 90º

1. Indicar verdadero (V) o falso (F):

La bisectriz de un ángulo es un rayo que lobiseca. ( )La bisectriz de un ángulo lo divide en dosángulos congruentes. ( )La bisectriz de 78º determinará dos ángulosde 39º. ( )

a) FFF b) VVV c) FVFd) VVF e) VFF

2. Completar de manera adecuada.

_________________ publicó por primeravez la imposibilidad de trisecar al ángulo consolo regla y compás.

El _________________ sirve paramedir la abertura de los ángulos. El ____________ sirve para hacercurvas, arcos de circunferencia.

3. Hallar “x”, si OM es bisectriz del ∢AOB.

a) 10º

b) 15º

c) 20º

d) 25ºe) 30º

4. Hallar “x” si ON es bisectriz del∢AOB

a) 10º

b) 15º

c) 20º

d) 12º

e) 25º

5. Calcular la m∢AOM si OM es bisectriz del

∢AOB.

a) 5º

b) 10º

c) 15º

d) 20º

e) 25º

140º

A

DC

20º

B

70º

AB

C

O D

OA C

B

100º

AB

C

DO

2x3x10

A

M

B

6x20º

2x+40º

B

N

AO

5x5º

7x15º

A

M

B

O


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6. Hallar “x” si; OB es bisectriz del ∢AOC; OE es

bisectriz del ∢DOE.

a) 10º

b) 15º

c) 20ºd) 25º

e) 30º

7. Hallar “x”, si: OC: Bisectriz del ∢AOE.

OB: Bisectriz del ∢AOC.

a) 10º

b) 15º

c) 20º

d) 25º

e) 30º

8. Los ángulos AOB, BOC y COD están en la relación2, 3, 7 respectivamente. Hallar el ángulo menor.

a) 30º

b) 45º

c) 24º

d) 20º

e) 35º

9. Del problema anterior: Calcular el ángulo

formado por las bisectrices del ∢BOD con elrayo OC.

a) 20º b) 30º c) 15ºd) 25º e) 35º

10. Hallar: m∢AOP si OP es bisectriz del ∢AOB.

a) 50º

b) 40º

c) 30º

d) 20º

e) 10º

11. OB OC. Hallar “x” si OD es bisectriz del ∢COE.

a) 15º

b) 20º

c) 30º

d) 45º

e) 60º

12. Hallar el ángulo formado por el ∢AOB y el rayoOC.

a) 15ºb) 20ºc) 25º

d) 30ºe) 35º

13. Del gráfico, hallar el ángulo formado por las

bisectrices es AOB y BOC: m∢AOC = 140º y

m∢BOC = 30º

a) 60º

b) 70º

c) 75º

d) 80º

e) 85º

14. En el gráfico:

Medida del ∢AOB es la décima parte delángulo de una vuelta.

Medida del BOC es la tercera parte de unángulo llano.

Hallar la medida del ángulo formado por lasbisectrices de AOB y BOC.

a) 40º

b) 45º

c) 48ºd) 49º

e) 50º

15. En el gráfico:

OM : Bisectriz del ∢BOCCalcular: “x”

a) 50º

b) 70º

c) 60º

d) 40º

e) 55º

60º

x+10º

x

B

CD

A

E

FO

30º

10º

x+10º

OD

E

CBA

OD A

B

C

O

A

P B

x20º

3x120º

A

x

O E

D

C

B120º

O

30º20º

A AA

O

A

B

C

O

CB

A

A

B

M

C

30º

20º

x


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Este juego esta dirigido a estudiantes de cuarto grado de primaria en adelante y se juega

individualmente. Fue creado por la matemática inglesa Ada Byron (18151852) que en una carta

al científico inglés Charles Barbage escribió lo siguiente:

“Acabo de descubrir un juego al que he llamado “Solitario”. Consta de un tablero octagonal de 37

posiciones como el adjunto:

Las 37 posiciones del tablero deben tener una ficha cada uno y debe quitarse una ficha para

comenzar el juego. Entonces se salta y se come una ficha. Por ejemplo si la ficha 19, la del centro,

es la que quitamos en el primer momento, entonces la ficha 6 puede saltar sobre la ficha 12 y

colocarse en la casilla vacía 19, retirándose la ficha doce del tablero. Las fichas solo se pueden

mover saltando sobre otras, y siempre en forma horizontal o vertical, nunca en diagonal.

El juego consiste en dejar únicamente una ficha en el tablero.

Se puede jugar durante mucho tiempo y, sin embargo, no tener éxito.

El caso es que, por lo general; en el tablero llegan a quedar 3, 4, 5 o incluso más fichas que, al no

tener ninguna ficha vecina ya no pueden saltar.

He estado observando e investigando sobre el juego y ya soy capaz de terminarlo correctamente,

pero no conozco si el problema admite alguna fórmula matemática, que permita resolverlo. Pienso

que sí. Imagino que debe ser un principio definido por una composición de propiedades numéricas y

geométricas. Es muy probable que mucho dependa de la primera dicha eliminada”.

¿Quieres intentarlo Querido(a) alumno(a)?

1 2 3

4 5 6 7 8

9 10 11 12 13 14 15

16 17 18 19 20 21 22

23 24 25 26 27 28 29

30 31 32 33 34

35 36 37


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ÁNGULOS SEGÚN SU POSICIÓN YSEGÚN SU SUMA

Queridos Alumnos:

La semana antepasada estudiamos la clasificación delos ángulos según la medida que tenían. Hoy día, vamosa clasificarlos según la relación que guarda entre sí.

1.

Ángulos Adyacentes

Son dos ángulos que tienen el vértice y un ladocomunes.

2.

Ángulos Consecutivos

Son tres o más ángulos de vértice común yadyacentes de dos en dos.

∢AOB, ∢BOC, ∢COD, ∢DOE: ConsecutivosO : Vértice Común

3.

Opuestos por el Vértice

Son dos ángulos que sin ser adyacentes tiene unvértice en común. Los lados de uno de ellos sonrayos opuestos de los lados del otro.

Los ángulos opuestos por el vértice soncongruentes.

4.

Ángulos Complementarios

Son dos ángulos cuya suma de sus medidas es90º.

Complemento de un Ángulo (C∢)

Es lo que le falta a un ángulo para tener 90ºcomo medida.

Ejemplos

C(40º) = 90º 40º = 50º

C(60º) = 90º 60º = 30º

C(29º30’) = 90º 29º30’

C(25º22’58’’) = 90º 25º22’58’’

5.

Ángulos Suplementarios

Son dos ángulos cuya suma de sus medidas es180º.

Suplemento de un Ángulo (S

)

Es lo que le falta a un ángulo para tener 180ºcomo medida.


OB

A

C

∢AOB y ∢BOC: AdyacentesO : Vértice Común

OB : Lado Común

E

D

C B

A

O

a b

a = b

89º 60’

29º 30’

60º 30’

89º 59’ 60’’

25º 22’ 58’’

64º 37’ 02’’

C(x) = 90º x


15/32



Ejemplos:

S(100º) = 180º 100º = 80º

S(130º) = 100º 130º = 50º

S(117º32’) = 180º 117º32’

S(145º21’37’’) = 180º 145º21’37’’

S(x) = 180º x

1. Indicar verdadero (V) o falso (F) segúncorresponda.

40º, 30º, 20º son ángulos complementarios.( )

100º, 50º, 30º son ángulos suplementarios.

( )El complemento de 27º es 63º

( )

a) FFF b) FFV c) VFFd) VVV e) VFV

2. Complete adecuadamente:

Los ángulos opuestos por el vértice son __________________________.Los ángulos ___________________ sondos ángulos que suman 180º.El _________________ es la medida quele falta a un ángulo para tener 90º demedida.

3. Relacione adecuadamente ambas columnas.

a) C(20º) ( ) 160ºb) C(80º) + S(100º) ( ) 70ºc) S(20º) ( ) Ángulo Recto

d)2

vuelta1 ( ) Ángulo llano

4. Hallar “x” a partir del gráfico:

a) 20ºb) 30ºc) 40ºd) 25ºe) 35º

5. Hallar el complemento de la tercera parte de unángulo llano.

a) 20º b) 40º c) 60ºd) 30º e) 48º

6. Hallar el suplemento de la quinta parte de lamedida de una vuelta.

a) 72º b) 108º c) 36ºd) 144º e) 112º

7. Hallar “x + y”

a) 55ºb) 40ºc) 95ºd) 50ºe) 60º

8. Hallar “x”; si OM es bisectriz del ∢AOB

a) 5º

b) 10º

c) 15º

d) 20º

e) 30º

9. ¿En cuánto excede el suplemento de 50º alcomplemento de 40º?

a) 80º b) 70º c) 60ºd) 50º e) 40º

10. Se construyen los ángulos adyacentes AOB yBOC. Si: m∢AOB = 20º y m∢BOC = 40º.

Hallar el ángulo formado por sus bisectrices.

a) 20º b) 30º c) 40ºd) 50º e) 60º

179º 60’

117º 32’

162º 32’

179º 59’ 60’’

145º 21’ 37’’

34º 38’ 23’’

3x+10º 2x+40º

125º

3x+5º

y

60ºO

2x+10º

B

M

A


16/32



11. Hallar “x”

a) 20ºb) 60ºc) 30ºd) 40ºe) N.A.

12. Hallar “x” a partir del gráfico. OD : bisectrizdel ∢COE

a) 40ºb) 60ºc) 80ºd) 100ºe) N.A.

13. Hallar el complemento de “x”

a) 50ºb) 40ºc) 30ºd) 20ºe) N.A.

14. Hallar “x” si el complemento del ∢AOB es laoctava parte del ∢de una vuelta.

a) 115ºb) 125º

c) 100ºd) 105ºe) 110º

15. Hallar “x + y”. Si OC es bisectriz del ∢BOD.Hallar el ángulo formado por la bisectriz del∢DOE y el lado OC.

a) 80ºb) 90ºc) 100ºd) 110º

e) 85º

1. Marca verdadero o falso según corresponda:

50º y 40º son suplementarios. ( )

110º y 70º son complementarios. ( )Las bisectriz determina dos ángulosadyacentes congruentes. ( )

a) FFV b) FFV c) VVVd) VFV e) VVF

2. Los ángulos consecutivos AOB, BOC, COD y DOEson congruentes. Hallar “x”.

a) 10ºb) 20ºc) 30ºd) 40ºe) 50º

3. Si al doble del complemento de 80º se le resta elsuplemento de 170º se obtiene.

a) 50º b) 40º c) 30ºd) 20º e) 10º

4. Hallar “x” a partir del gráfico.

a) 20º

b) 30ºc) 40ºd) 50ºe) 60º

5. Se tienen los ángulos consecutivos AOB, BOC yCOD proporcionales a 1, 2 y 3 respectivamente. Siel mayor mide 75º. Calcular la medida del ∢AOD.

a) 75º b) 100º c) 125ºd) 150º e) 175º

6. El ángulo formado por las bisectrices de losángulos adyacentes AOB y BOC mide 30º. Calcularm∢AOC.

a) 30º b) 40º c) 50ºd) 60º e) 70º

50º

x

E

D

C

B

A

O

x

xx

x+30º

2x+20º

70ºx

D O A

C

B

20ºA

B

CD

E

O

60º

BA

C

D

E

O x

150º

4x10º


17/32



7. Hallar m∢EOF a partir del gráfico mostrado.

a) 20ºb) 30ºc) 40ºd) 50ºe) 60º

8. ¿En cuánto excede el complemento de la doceavaparte del ángulo de una vuelta al complemento dela quinta parte de un ángulo llano?

a) 60º b) 54º c) 6ºd) 12º e) 18º

9. Del gráfico, calcular “x”.

a) 50ºb) 60º

c) 65ºd) 45ºe) 70º

10. Dado los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD.Calcular m∢AOD si:

El ángulo AOB es la décima parte de un ángulorecto.El ángulo BOC es la cuarta parte de un ángulollano.El ángulo COD es el doble del ángulo AOB.

a) 70º b) 72º c) 75ºd) 60º e) N.A.

11. Calcular “x”. Si OB: es bisectriz del ∢AOD.OC: Bisectriz del ∢BOD.

a) 70º

b) 75º

c) 65º

d) 60º

e) 80º

12. Los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD miden20º, 30º y 40º respectivamente. Calcular lamedida del ángulo formado por las bisectrices delos ángulos AOB y COD.

a) 10º b) 20º c) 30ºd) 40º e) 50º

13. Los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD miden:x+10º, 2x5º y 3x+15º respectivamente. Calcularel complemento de “x” si m∢AOD = 80º.

a) 10º b) 80º c) 20ºd) 70º e) 50º

14.

Del gráfico, calcular “x”. Si: OB : bisectriz del∢AOC.

a) 40º

b) 50º

c) 60º

d) 70º

e) 80º

15. Si el complemento del doble de un ángulo es 40º.Calcular el complemento del ángulo.

a) 25º b) 65º c) 55ºd) 40º e) 50º

DC

B

AF

E

20º

60º

30º

20º

15º x

10º

x

A B C D

E

x

O

FG E

AB

C

D30º

110º


18/32

III BIM – GEOMETRÍA – 1ER.AÑO


Hipatia

Se considera la primera mujer matemática según la historia escrita, nacidacerca del año 370 después de Cristo. Hija de un profesor de matemática quien

quería crear un ser humano perfecto; Hipatia fue el resultado. La adiestró tanto

física como mentalmente. En la escuela de Atenas se convirtió en maestra y se

hizo muy popular como matemática. Escribió varios documentos, entre ellos,

sobre el Cánon Astronómico de Diafanto donde se habla de ecuaciones de

primero y segundo grado. Creó el astrolabio y la esfera plana. Inventó un

aparato para agua destilada, uno para medir el nivel del agua y uno para

determinar la gravedad específica de los líquidos. A esto se le llamó mas tarde

un aerómetro o hidroscopio. Nunca se casó y Cyril la mando a matar en el año

425 después de Cristo mientras era patriarca de Alejandría porque creía que

iba a ser mejor servido si sacrificaba a una mujer virgen.


19/32



OPERACIONES CON ÁNGULOS

I Suma y Resta de Medidas Angulares

Veamos el siguiente ejemplo:

Lorenita ha preparado otro delicioso pastel

para sus amiguitos. Igual que la vez pasada,

divide al pastel en tajadas de diferente

tamaño, todas desde el centro. Tal como se

muestra en el gráfico:

AHORA BIEN

a) ¿Cuál es la medida angular de las tajadas deFernandino y Silvia juntas?

Para obtener la respuesta sumaremos:

43º 51’ 05’’

69º 50’ 55’’

Rpta. Expresada incorrectamente 112º 101’ 60’’

Sin embargo: 112º 101’ + 1’

112º 102’

112º 60’ + 42’

112º + 1º 42’

Rpta. Expresada correctamente: 113º 42’

Para que una medidaangular indicada en grados

y minutos, grados ysegundos o en grados,minutos y segundos esté

bien expresada el númerode minutos y/o segundosdebe ser menor que 60.

b) ¿Cuál es la medida angular de las tajadas de Silvia

y Sharon juntas? (Completa los recuadros)

Para obtener la respuesta sumaremos:

69º 50’ 55’

28º 17’ 30’’

Rpta. expr. incorrec.: 97º 67’

Sin embargo: 97º 67’ 60’’ +97º 67’+

97º 25’’

97º 60’ + 25’’

97º + 1º 25’’

Rpta. Exp. Correct. 25’’

c) ¿Cuál es la medida angular de la tajada que ha

sobrado del pastel? (Completa los recuadros).


Hoy día aprenderemos a sumar, restar, multiplicar y dividir ángulos con la mismafacilidad con la que operamos los números naturales. Para alcanzar este objetivodebemos recordar que:

AMIGUITOS

ParaSharon

ParaSilvia

ParaFernandito

Para el “profe”que es muy

goloso Tajada que aún

queda

¡CUIDADO!

1 vuelta 360º 1º 60’

1’ 60”1º 3600”


20/32



PRIMERO

Sumaremos las medidas angulares de las tajadas

de los amiguitos de Lorena:

43º 51’ 05’’ → Fernandito

69º 50’ 55’’ → Silvia

28º 17’ 30’’ → Sharon

125º 57’ → El profe de geo

Rpta. Exp. Inc. 265º 175’ 80’’

Sin Embargo: 265º 175’ 60’’

265º 175’ + +

265º 30’’

265º 120’ + 30’’

265º + 2º 30’’

Rpta. Exp. Corr. 30’’

SEGUNDO

Ahora a la medida angular del pastel (360º) le

restamos la medida angular de lo repartido

(267º55’30’’)

360º → 60’ → 359º 59’ 60’’

267º 55’ 30’’

92º 04’ 30’’

Respuesta: La medida angular de la tajada que no

ha sido repartida es 92º04’30’’.

EJERCICIO #1

Calcular el complemento de 29º52’37’’

90º → 89º60’ → 89º 59’ 60”29º 52’ 37’’

EJERCICIO #2

Calcular el suplemento de 137º17’58’’

180º → 179º60’→ 179º 59’ 60”139º 17’ 58’’

II. MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE MEDIDAS ANGULARES

Las medidas angulares

pueden multiplicarse y

dividirse por una

cantidad escalar

(número sin unidad).

EJERCICIO #3

¿Cuál es el triple de 22º56’5’’?

22º 56’ 45’’ x

3

66º 168’ 135’’

66º 168’ 120’’ + 35’’

66º 35’’

66º 120’ + 50’ 35’’

50’ 35’

EJERCICIO #4

¿Cuál es la quinta parte de 36º41’25’’?

(36º41’25’’) 5

Se comienza por los grados, pasando a los minutos

y luego a los segundos.

36º 5 60’ + 41’ 60” + 25”

35º 7º 101’ 5 85’’ 5

1º 60’ 100’ 20’ 85’’ 17’’

1’ 60’ 00’ ‘

La respuesta esta dada por los cocientes:

(36º41’25’’) 5 = 7º20’17’’

EJERCICIO #5

¡IMPORTANTE!

Para restar medidas

angulares, el minuendo y el

sustraendo deben estar

expresados en la misma

forma.


21/32



¿Cuál es el cuádruple de 17º34’28’’?

17º 34’ 28’’ x

4

68º 136’ 112’’

68º 136’ 60’’ +

68º

68º 120’ + 52’’

52’

EJERCICIO #6

29º 3 120’ + 35’ 120’’ + 42’’

27º 9º 155’ 3 162’’ 3

2º 120’ 153’ 51’ 162’’ 54’’

2’ 120’’ 00’ ‘

Luego: (29º35’42’’) 3 = 9º51’54’’

Sería muy útil que

dominaras “la tabla del

60”.

60 x 1 = 60 60 x 7 = 420

60 x 2 = 120 60 x 8 = 480

60 x 3 = 180 60 x 4 = 240 60 x 9 = 540

60 x 5 = 300

60 x 6 = 360

1. Relaciona las columnas convenientemente:

a) 74º 100’ 65’’ ( ) 73º01’50’’

b) 73º90’75’’ ( ) 74º31’15’’

c) 72º73’69’’ ( ) 73º14’09’’

d) 71º120’110’’ ( ) 75º41’05’’

2. Calcular:24º55’35’’ + 39º050’28’’

a) 63º105’63’’ d) 64º46’03’’b) 63º106’03’’ e) 59º25’30’’c) 66º100’63’’

3. Calcular el complemento de: 29º37’28’’

a) 59º21’32’’ d) 60º22’32’’b) 61º21’32’’ e) 59º25’30’’c) 63º20’30’’

4. Calcular el suplemento de 142º37’29’’

a) 37º21’33’’ d) 30º22’31’’b) 37º22’31’’ e) 36º21’33’’c) 37º21’30’’

5. Se tienen los ángulos adyacentes AOB y BOC.

Calcular m∢AOC si:

m∢AOB = 20º37’26’’

M∢BOC = 15º52’36’’

a) 35º90’02’’ d) 34º89’61’’b) 35º89’62’’ e) N.A.

c) 36º30’02’’


Calcular m∢AOB si:

m∢AOC = 77º56’32’’

M∢BOC = 21º37’30’’

a) 56º20’02’’ d) 57º19’02’’b) 56º19’02’’ e) N.A.c) 58º20’05’’

7. Calcular el quíntuple de 52º29’18’’

a) 260º145’90’’ d) 261º26’30’’b) 260º146’30’’ e) N.A.c) 262º26’30’’

8. Calcular la cuarta parte de: 29º17’16’’

a) 7º18’19’’ d) 7º20’19’’b) 8º19’19’’ e) 9º20’19’’c) 7º19’19’’

9. Se dibuja el ángulo AOB cuya medida es117º47’32’’. Se traza la bisectriz OM. Calcular:

m∢AOM

a) 55º53’46’’ d) 55º52’45’’b) 57º53’46’’ e) N.A.c) 58º53’46’’

10. Si la tercera parte de un ángulo es 10º20’26’’.Calcular la mitad de dicho ángulo.

¡IMPORTANTE!


22/32



a) 31º01’18’’ d) 16º30’39’’b) 30º01’18’’ e) N.A.c) 15º30’39’’

11. Del gráfico, calcular:

m∢COD m∢AOB, si:

m∢BOC = 2m∢AOB y m∢COD = 3m∢AOB

a) 30ºb) 60º

c) 70º

d) 15º

e) 45º

12. Del gráfico, calcular m∢BOC; m∢AOD = 160º;

m∢AOB+m∢BOC = 100º y m∢BOC+m∢COD= 110º

a) 70º

b) 60º

c) 50º

d) 40º

e) 45º

13. Si: m∢AOC = 50º28’39’’ y m∢DOE = 20º17’30’’.

Calcular: m∢BOC.

a) 30º12’09’’ d) 25º17’09’’

b) 29º12’09’’ e) N.A.

c) 30º11’09’’

14. Del gráfico anterior calcular m∢COD.

a) 130º31’21’’ d) 128º31’21’’b) 129º31’21’’ e) N.A.c) 120º17’20’’

15. Calcular la mitad del complemento de 22º50’36’’

a) 33º34’40’’ d) 32º34’42’’b) 33º34’42’’ e) N.A.c) 30º34’40’’

1. Relaciona las columnas convenientemente:

a) 39º126’182’’ ( ) 20º42’08’’

b) 20º38’248’’ ( ) 40º10’09’’

c) 37º189’69’’ ( ) 22º02’02’’

d) 18º240’122’’ ( ) 41º09’02’’

2. Calcular: 29º35’29’’ + 39º45’55’’

a) 68º80’84’’ d) 69º21’24’’b) 68º81’24’’ e) N.A.c) 69º80’80’’

3. Calcular el complemento de 10º55’05’’

a) 69º04’55’’ d) 79º05’54’’b) 69º05’55’’ e) 79º04’55’’c) 79º05’55’’

4.

Calcular el suplemento de: 100º25’32’’

a) 69º34’25’’ d) 69º34’28’’b) 79º34’28’’ e) N.A.c) 78º34’28’’


Calcular: m∢AOC si: m∢AOB = 10º20’31’’ ;

m∢BOC = 2m∢AOB.

a) 30º61’33’’ d) 31º02’32’’b) 30º33’01’’ e) 31º01’33’’c) 30º01’33’’


Calcular m∢AOB si: m∢BOC = 3m∢AOB además

m∢AOC = 61º17’20’’

a) 15º18’20’’ d) 14º20’19’’b) 16º19’20’’ e) N.A.c) 14º19’20’’

7. Del gráfico:

OM es bisectriz del ∢AOB. Calcular la m∢AOB si:

m∢AOM = 25º25’31’’

a) 50º50’62’’

b) 51º51’02’’

c) 50º51’02’’

d) 14º50’02’’

e) N.A.

8. Del gráfico anterior. Calcular la m∢AOM.

C

B

M

AO

D

C

B

AO

D

C

B

AO


23/32



a) 155º34’29’’ d) 150º33’30’’b) 154º34’30’’ e) N.A.c) 154º34’29’’

9. Calcular la mitad de complemento de 33º52’18’’

a) 28º33’51’’ d) 27º03’51’’b) 28º03’51’’ e) N.A.c) 28º03’51’’

10. Calcular la medida de “x”.

a) 11º50’30’’

b) 10º49’30’’

c) 10º49’29’’

d) 32º29’27’’

e) N.A.

11. Del gráfico, calcular el suplemento de la mitad dela medida del ángulo BOC.

Si: m∢DOE + m∢FOA = 80º

a) 80º

b) 130º

c) 40º

d) 100º

e) N.A.

12. Del gráfico calcular: m∢MOC m∢AOM.

Si: OM: bisectriz del ∢AOB.

a) 20º

b) 10º

c) 30º

d) 40º

e) 50º

13. Del gráfico. Calcular: 2m∢BOD 2m∢AOB.

Si: OB : Bisectriz del ∢AOC.

a) 10º

b) 20º

c) 30º

d) 40º

e) 50º

14. Del gráfico anterior. Calcular el suplemento de la

medida del ángulo AOD. Si: m∢AOB = 15º30’

a) 130º b) 129º c) 131ºd) 119º e) 109º

15. Si el suplemento de un ángulo es 100º20’30’’.Calcular su complemento.

a) 10º20’30’’ d) 15º30’20’’

b) 100º20’30’’ e) N.A.c) 12º20’40’’

32º29’27’’ 3x

A

B C

D

EF

O

O

A

M

B

C

30º

A

B

O

20º

C

D


24/32



La Arquitectura

del Cuerpo

El arquitecto Vitrubio dice en su obra de arquitectura que las medidas del cuerpo humano

están distribuidas por la naturaleza de la manera siguiente: Cuatro dedos hacen una palma,

cuatro palmas hacen 1 pie, seis palmas hacen un codo, cuatro codos hacen la altura de un

hombre, cuatro codos hacen un paso y veinticuatro palmas hacen 1 hombre.

Leonardo Da Vinci dijo si abrimos las piernas hasta disminuir la altura en 1/4 y extendemos

los brazos levantándolos de tal modo que los dedos medios estén al nivel de la parte superior

de la cabeza, debemos saber que el ombligo será el centro de un círculo del que los dedos de

las manos y los pies tocan la circunferencia. El espacio entre la pierna forma un triángulo

equilátero.

El espacio entre los brazos extendidos de un hombre es igual a su altura.


25/32



OPERACIONES CON ÁNGULOS ENTRE PARALELAS

A las propiedades que a continuación aprenderemosse les llama: “Propiedades de SARRUS”.

PROPIEDAD #1 (ZIG – ZAG)

Si: L1 // L2

PROPIEDAD #2

(Propiedades del trueno o del rayo)

Si: L1 // L2

1. Calcular “x” si L1 // L2.

a) 80º

b) 85º

c) 90º

d) 95º

e) 75º

2.

Calcular “x”, si: L1 // L2.

a) 40º

b) 30º

c) 80º

d) 50º

e) 60º


La semana pasada vimos a los ángulos

formados por dos rectas paralelas y una

secante común a ellas.

En la clase de hoy veremos las propiedades

implicadas cuando dos rectas paralelas

(L1 L2) son cortadas por una misma línea

quebrada que nunca retrocede.

QUERIDOS ALUMNOS

Línea quebrada que

nunca retrocede

L1

L2

yºxº

º

º º

º

L1

L2

xº = º + º yº = º + º

º zº

º

yº

º

xº L1

L2

xº + yº + zº = º + º + º

“La suma de los ángulos quemiran hacia la izquierda es

igual a la suma de losángulos que miran hacia la

derecha”

40º

45º

x

L1

L2

xº

30º

80º

L1

L2


26/32



3. Calcular “x”, si: L1 // L2.

a) 10º

b) 30º

c) 35º

d) 40º

e) 45º

4. Calcular “x”, si : L1 // L2.

a) 10º

b) 20º

c) 30º

d) 40º

e) 50º

5. Calcular “x”; si L1 // L2.

a) 10º

b) 20º

c) 30º

d) 40º

e) 50º

6.

Calcular “x” si : L1 // L2 y L3 L4

a) 10º

b) 20º

c) 30ºd) 40º

e) 50º

7.

Calcular “x” si: L1 // L2

a) 150º

b) 310º

c) 340º

d) 155º

e) 160º

8.

Calcular “x”, si: L1 // L2

a) 60º

b) 100º

c) 110º

d) 120º

e) 130º

9. Calcular “x”; si : L1 // L2.

a) 10º

b) 20º

c) 25º

d) 30º

e) 35º

10. Calcular “x” si: L1 // L2.

a) 10º

b) 20º

c) 30º

d) 40º

e) 50º

11. Calcular “x” si : L1 // L2 y L3 L4.

a) 40º

b) 50º

c) 60º

d) 70º

e) 80º

12. Calcular “x” si: L1 // L2 y medida del ángulo AOBes la mitad del suplemento de 100º.

a) 40º

b) 30ºc) 35º

d) 50º

e) 55º

13. Calcular “x” si: L1 // L2

a) 60º

b) 40º

c) 45º

d) 50º

e) 60º

14. Calcular “x”, si L1 // L2

a) 5º

b) 10º

c) 15º

d) 20º

e) N.A.

25º

170º

x

L1

L2

L1

L2

300º

160º

x

30º

x

50º

60º20º L1

L2

L1

L2

x

130º L3

L4

2x+10º

20º

20º L2

L1

x

160º280º

160º

325º40º

xº

170º

L2

L1

L2

L1

340º

350º

x

220º

x

L1

L2

L3

L4

O A

B

75º

xL2

L1

40º

35º

30º

L2

L1

L1

L2

15º

40º

x+5º

2x+10º340º

10º

25º

x


27/32



HOR

ES TU

TURNO

15. Calcular “x”, si: L1 // L2

a) 30º

b) 20º

c) 10º

d) 15º

e) N.A.

1.

Calcular “x”; si L1 // L2

a) 45º

b) 55º

c) 65º

d) 60º

e) 70º

2.

Calcular “x”, si L1 // L2

a) 70º

b) 80º

c) 90º

d) 100º

e) 110º

3.

Calcular “x” si L1 // L2

a) 50º

b) 40º

c) 60º

d) 120º

e) 110º

4. Calcular “x”, si L1 // L2 .

a) 10º

b) 15º

c) 20º

d) 25º

e) 30º

5. Calcular “x”, si: L1 // L2 .

a) 30º

b) 20º

c) 15º

d) 25º

e) 35º

6. Calcular “x”, si : L1 // L2 .

a) 12º

b) 14º

c) 15º

d) 18º

e) 20º

7.

Calcular “x”, si L1 // L2 y L3 L4

a) 22º

b) 158º

c) 68ºd) 34º

e) 40º

8.

Calcular “x” si L1 // L2 .

a) 70º

b) 40º

c) 100º

d) 110º

e) 120º

9.

Calcular “x” si L1 // L2

a) 140º

b) 40º

c) 30º

d) 120º

e) 110º

75º

135º xº

xº

L2

L1

30º

40º

x

L1

L2

x

45º

35º

L1

L2

L1

L2

35º

x

25º

x

30º

x

30ºx

L2

L1

40º

10º30º

x2x

30º

L1L2

10º

2x

40º

2x

20ºL1

L2

L4 L2

L1

L3 112º

L2

L1

y+10º y30º

x

40º

L2

L1

140º

100ºx


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10. Calcular “x” si L1 // L2 . Además la medida delángulo AOB es la tercera parte del suplementode 60º.

a) 70º

b) 110º

c) 290ºd) 250º

e) 100º

11. Calcular “x” si L1 // L2 . Si: 4m∢AOB = m∢BOC

a) 36º

b) 54º

c) 90º

d) 100ºe) 95º

12. Calcular “x” , si L1 // L2.

a) 70º

b) 50º

c) 120º

d) 60º

e) 65º

13. Calcular “x + y” si L1 // L2.

a) 25º

b) 100º

c) 125º

d) 140º

e) 130º

14. Calcular “x + y” si L1 // L2.

a) 70º

b) 60º

c) 50º

d) 40ºe) 30º

15. Calcular el complemento de “x”, si L1 // L2 yL3 L4.

a) 10º

b) 80º

c) 70º

d) 60º

e) N.A.

30º

x

OA

B

L2

L1

A O C

B

x

54

310º

290º

x

L1

L

2

70º

15º

x

20º

10º

y

L1

L2

L1

L2

3y+20º

x2y+10º

70º

20º+x

12xL3

L1

L2

L4

L1

L2


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HISTORIA DEL AJEDREZ

Sobre este juego existen muchas leyendas, pero sin duda una de las más famosas es lasiguiente:

“Hace muchos siglos, en un país de oriente vivía un rey que había perdido a su hijo

en una batalla. A causa de esta tragedia había decidido encerrarse en su castillo y no

hablaba con nadie. Uno de sus ministros llamó a todos los científicos y filósofos del reino

para que buscaran una posible solución a la tristeza del rey. Uno de ellos inventó un juego

de estrategias, el ajedrez. El rey no sólo volvió a sonreír sino que se volvió un gran

maestro de este juego. Quedó tan feliz con el invento que decidió recompensar al inventor

con lo que él pidiera. El joven que había creado el ajedrez pidió lo siguiente: un grano de

trigo en la primera casilla del tablero, dos granos en la segunda, cuatro en la tercera,

ocho en la cuarta, dieciséis en la quinta y así sucesivamente hasta completar las sesenta y

cuatro casillas del tablero de ajedrez. El rey muy tranquilo, pidió a los matemáticos del

reino que calcularan el número de granos de trigo que debían pagarse al muchacho. Al

cabo de un rato regresaron con una gran sorpresa:

“no alcanza todo el trigo del mundo para pagar el juego de ajedrez”


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REPASO INTEGRAL DE ÁNGULOS

PARTE I

1. Indicar verdadero (V) o falso (F) segúncorrespondan:

El ángulo es la figura geométrica formada pordos rayos con el mismo origen.

El ángulo agudo es aquel cuya medida es mayorque 90º y menor que 180º.

Con regla no graduada y compás es imposiblebisecar al ángulo.

a) VVV b) VFF c) VFVd) FFF e) VVF

2. Utilizando regla no graduada y compás, trace labisectriz del ángulo AOB.

3. Calcular la suma de la mitad de la medida de unángulo recto con la sexta parte de la medida delángulo llano.

a) 120º b) 90º c) 70ºd) 75º e) 80º

4.

Calcular “x” ; si : OA OBa) 5ºb) 10ºc) 15ºd) 20ºe) 25º

5. La doceava parte del ángulo de una vuelta con lamitad del suplemento de 60º son:

a) Iguales d) Rectosb) Suplementarios e) Coterminalesc) Complementarios

6. Dos ángulos complementarios están en la relaciónde uno a cuatro.¿Cuánto le falta a la medida del menor para serigual a la medida del mayor ángulo?

a) 18º b) 20º c) 36ºd) 54º e) 72º

7. ¿Cuál es el suplemento de 360 000’’?

a) 100º b) 10º c) 90ºd) 80º e) 85º

8. ¿Cuál es el complemento de 600’?

a) 170º b) 160º c) 90ºd) 80º e) 100º


Es hora de reforzar los conocimientos obtenidos. Si algo no quedó muy claro esmomento de despejar todas las dudas.No temas preguntarle a tu profesor si algo no comprendiste. Él es tu amigo y sesentirá muy complacido en ayudarte.

Ahora sí: ¡¡Manos y cerebros a la obra!!

¡¡ VAMOS AMIGUITO (A)

3x+15º 2x

O

BMA

A

O B


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9. Del gráfico, calcular “x”, si OB es bisectriz del∢AOC.

a) 160ºb) 140ºc) 120ºd) 40ºe) 100º

10. Del gráfico, calcular x si OB es bisectriz del ∢ AOC.

a)b)c)d)

e)

11. Del gráfico, calcular el ángulo formado por lasbisectrices de AOB y BOC.

a) 70ºb) 80ºc) 90ºd) 100ºe) No se puede

determinar.12. Del gráfico, calcular el ángulo formado por las

bisectrices de AOB y BOC. Si: OA OC.

a) 10ºb) 90ºc) 45ºd) 50ºe) 60º

13. Las medidas de los ángulos adyacentes AOB y BOCson 40º y 60º respectivamente.Calcular el ángulo formado por las bisectrices dedichos ángulos adyacentes.

a) 20º b) 30º c) 50ºd) 100º e) 40º

14. Del gráfico, calcular “x” si OC OE. Además OEes bisectriz del ∢DOF.

a) 10ºb) 20ºc) 30º

d) 40ºe) 50º

15.

Se tienen los ángulos consecutivos AOB, BOC yCOD cuyas medidas son 10º, 20º y 40ºrespectivamente. Calcular la medida del ánguloformado por las bisectrices de AOB y COD.

a) 10º b) 15º c) 45ºd) 50º e) 46º

1. Resolver verdadero (V) o falso (F) segúncorresponda:

10º, 20º y 60º son ángulos complementarios. 6000’ y 80º son ángulos suplementarios. El imposible trisecar al ángulo.

a) FVV b) FFF c) FVF

d) VVV e) VFF

2. Relacione en forma adecuada los elementos delas columnas.

a) Ángulo Llano ( ) 2C(45º)

b) Ángulo Recto ( ) 2S(90º)

c) Ángulo Agudo ( ) C(88º)

d) Ángulo Obtuso ( ) S(88º)

C

B A

Ox

20º

140

x A

B

O

C

A O C

B

AB

C

D

E

F O

C

B

Ax

70º

¡Vacílate

con estos

problemas!

O


32/32


3. Calcular “x”.

a) 10ºb) 20ºc) 25ºd) 30º

e) 40º

4. Del problema anterior, calcular la medida delángulo, formado por la bisectriz del ángulo BOC

y el rayo OA.

a) 60º b) 50º c) 120ºd) 100º e) N.A.

5. Calcular la mitad del complemento de la mitadde 60º.

a) 30º b) 60º c) 15º

d) 20º e) N.A.

6. Calcular el triple del suplemento de la terceraparte de 300º.

a) 80º b) 90º c) 160ºd) 240º e) N.A.

7. Calcular: x + y + z.Si: m∢AOB = m∢BOC = m∢COA

a) 200ºb) 210ºc) 220ºd) 230ºe) 240º

8.

Calcular “x”; si: m∢COE = 40º

a) 5ºb) 10ºc) 15ºd) 20ºe) 25º

9. Del problema anterior, calcular la medida delángulo formado por la bisectriz de BOC y OD.

a) 80º b) 70º c) 90ºd) 85º e) N.A.

10. Calcular: m∢BOC m∢COD

a) 10ºb) 20ºc) 30ºd) 40º

e) 50º

11.

Del gráfico, calcular “x”

Si: OB : Bisectriz del ∢AOC

OC : Bisectriz del∢AOD

a) 60ºb) 80ºc) 100º

d) 120ºe) 150º

12. Dos ángulos complementarios están en larelación de uno a ocho. Calcular el complementode la diferencia de dichos ángulos.

a) 70º b) 20º c) 60ºd) 30º e) N.A.

13. Calcular “x”, si: m∢BOC = m∢COA

a) 100ºb) 120ºc) 130ºd) 140ºe) 150º

14.

Dos ángulos suplementarios son 40º y (2x + 10º).Calcular el complemento de “x”.

a) 65º b) 25º c) 35ºd) 15º e) N.A.

15. La quinta parte de un ángulo llano es elcomplemento de:

a) 36º b) 144º c) 54ºd) 60º e) N.A.

5x+20º 2x+20º

C

O

A

B

C

A

B y

Oz+2x

z+20º

C

D

E

x xAO

B

D

C160º

100º

20ºA

B

O

15ºxE

A

DC

B

x+20º60º

C

A

B

O

Mat 1º Geometria 3 Parte

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