Kwadraty Kwadraty magicznemagiczne

Autorzy:Magda JóźwikAdrianna Prokop

Kwadraty magiczne znane były Chińczykom i Hindusom przed paru tysiącami lat. Spotyka się amulety chińskie z kwadratami magicznymi, na których jeszcze nie ma cyfr, lecz są odpowiednie ilości nakłuć lub wydrążeń. Znane one były również Arabom w IX wieku naszej ery. Do Europy zaś wprowadził je, a przynajmniej pierwsze zasady ich zestawień wskazał Europejczykom, pewien Grek imieniem Moscopulos, który żył w Konstantynopolu w początkach XV stulecia.

4 9 2

3 5 7

8 1 6

Kwadraty magiczne są to kwadraty rozbite na pewną ilość mniejszych kwadracików, czyli pól, w których liczby wypisuje się w ten sposób, że suma liczb w każdym poziomym rzędzie, w każdej pionowej kolumnie i na obu przekątnych jest taka sama.

Przedstawiony kwadrat znany był w Chinach już około 2200 roku p.n.e.

Suma liczb w kolumnach, wierszach i na obu przekątnych wynosi w tym kwadracie magicznym 15.

Najbardziej historycznym kwadratem magicznym w Europie nazwać można bez wątpienia ten, który widnieje na jednym z arcydzieł pędzla Albrechta Dürera zatytułowanym „Melancholia”. Jest to kwadrat złożony z 16 pól, a zestawiony tak pomysłowo, że dwie środkowe liczby dolnego rzędu dają rok powstania dzieła - 1514.

16 3 2 13

5 10 11 8

9 6 7 12

4 15 14 1

Kwadrat nad skrzydłem anioła

Kwadraty magiczne mają bardzo ciekawe właściwości:

• Jeżeli wszystkie liczby, jakie zawiera kwadrat magiczny powiększymy lub zmniejszymy o jedną i tę samą liczbę to kwadrat pozostanie magiczny.

2 9 4

7 5 3

6 1 8

19 26 21

24 22 20

23 18 25

Np. Do każdej liczby

w kwadracie:

dodajemy po 17

i otrzymujemy kwadrat:

W pierwszym kwadracie suma magiczna, czyli suma liczb poszczególnych rzędów, kolumn oraz przekątnych, wynosi 15; w drugim kwadracie dodajemy do każdej liczby po 17 i suma magiczna wynosi:

6617315

• Jeżeli pomnożymy lub podzielimy wszystkie jego składniki przez jakąś liczbę to kwadrat pozostanie również magiczny.

38 52 42

48 44 40

46 36 50

Np. każdą liczbę

w kwadracie

19 26 21

24 22 20

23 18 25

mnożymy przez 2

i otrzymujemy

kwadrat:

• Z dwóch kwadratów możemy otrzymać trzeci kwadrat magiczny przez sumowanie liczb stojących w analogicznych polach:

2 9 4

7 5 3

6 1 8

19 26 21

24 22 20

23 18 25

21 35 25

31 27 23

29 19 33

Suma magiczna takiego kwadratu równa się sumie sum magicznych obu składników, czyli 15 + 66 = 81.

+ =

• Kwadrat pozostaje kwadratem magicznym jeżeli poprzestawiamy jego kolumny oraz szeregi leżące symetrycznie względem środka kwadratu. Na przykład:

14 7 1 12

9 4 6 15

8 13 11 2

3 10 16 5

12 7 1 14

15 4 6 9

2 13 11 8

5 10 16 3

5 10 16 3

15 4 6 9

2 13 11 8

12 7 1 14

W pierwszym z tych kwadratów przestawiliśmy kolumny pierwszą i czwartą; powstał kwadrat drugi, w którym zachowała się suma wyrazów w każdym wierszu i w każdej kolumnie, ale nie zachowała się suma na przekątnych. Jeśli teraz w drugim kwadracie przestawimy wiersze pierwszy i czwarty, to otrzymamy kwadrat trzeci, już doskonale magiczny.

• Suma magiczna każdego kwadratu zestawionego z ciągu arytmetycznego, czyli ciągu kolejnych liczb różniących się między sobą o tę samą liczbę równa się połowie sumy pierwszego i ostatniego wyrazu pomnożonej przez liczbę podziałek boku kwadratu.

Przykładem takiego kwadratu jest:

Składa się on z odpowiednio ustawionych liczb od 1 do 9 (zatem ustawione rosnąco różnią się między sobą o 1). Wykorzystując wymienioną własność możemy obliczyć sumę:

153)91(2

1

4 9 2

3 5 7

8 1 6

Istnieją kwadraty, w których możemy mówić o iloczynie magicznym. Kwadrat taki jest zbudowany z liczb naturalnych, tak, że każda z tych liczb jest większa od poprzedniej tyle samo razy, jeśli zostaną one ustawione rosnąco. Przykładem takiego kwadratu jest poniższy:

2 256 8

64 16 4

32 1 128

Iloczyn liczb zapisanych w każdej z kolumn, każdym z wierszy oraz na każdej przekątnej wynosi 4096.