KOMPENDIUM Z FIZYKI ε = mc2

Publikacja współfinansowana przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Elementy rachunkuróżniczkowego

i całkowego w kinematyce

Autor: Darek Dyl

KOMPENDIUM Z FIZYKI

ε = mc2


KOMPENDIUM Z FIZYKI

Darek Dyl

Elementy rachunku różniczkowego

i całkowego w kinematyce

Gdańsk 2009

Redakcja naukowa:

Recenzent:

Redaktor Wydawnictwa:

Okładkę i strony tytułowe zaprojektował:

© Copyright by Uniwersytet GdańskiWydawnictwo Uniwersytetu Gdańskiego

Gdańsk 2009

ISBN ………………………

Wydawnictwo Uniwersytetu Gdańskiego ul. Armii Krajowej 119/121,81-824 Sopot, Tel./fax (058) 550-91-

3

Dar

ek D

yl: „

Zast

osow

anie

rach

unku

różn

iczk

oweg

o i c

ałko

weg

o w

kin

emat

yce”

Spis treści

Wstęp ........................................................................................................... 4

1.0. Granica ciągu liczbowego, szeregu i funkcji rzeczywistej 51.1. Ciąg liczbowy i jego granica .......................................................................51.2. Szereg liczbowy i jego zbieżność .................................................................61.3. Granica i ciągłość funkcji rzeczywistej ......................................................9

2.0. Pochodna funkcji rzeczywistej i jej niektóre zastosowania 112.1. Definicja pochodnej i różniczki .................................................................112.2. Pochodne wyższych rzędów ......................................................................122.3. Interpretacja geometryczna pochodnej ....................................................132.4. Podstawowe własności pochodnej .............................................................142.5. Pochodne niektórych funkcji. Przykłady obliczania pochodnych ............152.6. Niektóre zastosowanie pochodnej ............................................................17

3.0. Całka oznaczona i nieoznaczona funkcji rzeczywistej ..... 193.1. Całka oznaczona z funkcji rzeczywistej ( całka Riemanna ) ...................193.2. Funkcja górnej granicy całkowania. Całka nieoznaczona ......................20

4.0. Różniczkowanie i całkowanie wektorów. ............................ 234.1. Pochodna wektora i jej własności .............................................................234.2. Całkowanie wektorów ...............................................................................24

5.0. Opis ruchu punkt materialnego ............................................ 265.1. Wektor wodzący, wektor styczny i normalny do krzywej.........................275.2. Prędkość chwilowa i jej własności ............................................................295.3. Przyspieszenie chwilowe i jego własności ................................................325.4. Podsumowanie ...........................................................................................35

6.0. Rozwiązania przykładowych problemów. ........................... 366.1. Zagadnienie 1 ............................................................................................366.2. Zagadnienie 2 ...........................................................................................376.3. Zagadnienie 3. ..........................................................................................386.4. Zadanie 4 ...................................................................................................39

Literatura ................................................................................................... 42

44

Wstęp

Celem tego kompendium jest wprowadzenie elementarnych pojęć rachunku róż-niczkowego i całkowego w zastosowaniu do zagadnień kinematyki punktu mate-rialnego. Zakres tego opracowania obejmuje materiał niezbędny do zrozumienia zagadnień z mechaniki klasycznej, wykładany na pierwszych latach kierunków nauk przyrodniczych, w szczególności fizyki.

Ideą przewodnią jaka przyświecała autorowi, była chęć przybliżenia pojęć na-tury matematycznej w kontekście fizyki. W kompendium tym nie są zawarte ści-słe dowody przytaczanych stwierdzeń — pokazana jest jedynie ścieżka rozumowa-nia, tak aby Czytelnik nie stracił ciągłości wywodu. Zdaniem autora, wystarcza to do zrozumienia zasadniczej myśli, podjęcia tematu i próby samodzielnego rozwią-zywania problemów z zakresu kinematyki. Po pewnym uzupełnieniu — głównie z zakresu fizyki — materiał prezentowany w kompendium posłużyć może za podsta-wę do nauki innych działów, w tym dynamiki, elektrodynamiki czy termodynamiki.

Na kompendium składa się sześć rozdziałów uzupełnionych literaturą, z któ-rej powinien skorzystać Czytelnik chcący rozszerzyć swoje wiadomości. Pięć pierw-szych rozdziałów służy omówieniu podstawowych pojęć z zakresu rachunku róż-niczkowego i całkowego, wraz z ich zastosowaniem w zakresie kinematyki punk-tu materialnego. Rozdziały te zawieraj podstawowe definicje z ich omówieniami, uzupełnione przykładami. Ostatni, szósty rozdział, zawiera przykładowe zagadnie-nia kinematyczne z rozwiązaniami, co pozwoli Czytelnikowi zrozumieć konieczność stosowania wprowadzonych pojęć.

Oznaczenia występujące w tekście, pojawiają się w sposób naturalny i są zgod-ne z przyjętymi konwencjami. W szczególności, wektory zawsze oznaczamy symbo-lem strzałki np. v , przy czym wektory jednostkowe ( o długości jednostkowej ) zwy-kle umieszczając daszek np. it.

Numery równań umieszczono w nawiasach okrągłych ( ), a odwołania do litera-tury w nawiasach prostokątnych [].

55

1.0. Granica ciągu liczbowego, szeregu i funkcji rzeczywistej

Zrozumienie pojęcia granicy jest konieczne do właściwego zrozumienia zarówno idei pochodnej funkcji rzeczywistej, jak i całki, te zaś do zrozumienia definicji pręd-kości i przyspieszenia. W tym rozdziale przedstawione zostaną kolejno — począw-szy od najprostszego przypadku — definicje granicy ciągu liczbowego, szeregu i funkcji rzeczywistej. Całość jest uzupełniona ważnymi przykładami, które będą wykorzystywane w dalszych częściach kompendium.

1.1. Ciąg liczbowy i jego granica

Ciągiem liczbowym ( rzeczywistym ) nazywamy dowolne odwzorowanie f zbioru liczb naturalnych N w zbiór liczb rzeczywistych R :

( 1.1 ) :f N R$

Oznaczając dla każdego n Nd elementy f n] g przez xn, sam ciąg będziemy zapi-sywać jako xn! +

Ważnymi przykładami ciągów, znanymi z kursu na poziomie szkoły średniej, są: ciąg harmoniczny o wyrazach , , , , ...

n1 1 2

131

41=% !/ +

ciąg arytmetyczny, w którym każdy kolejny wyraz otrzymuje się z poprzed-niego poprzez dodanie stałej liczby d zwanej różnicą tzn. ( )x x n d1n 1= + -

ciąg geometryczny, w którym każdy kolejny wyraz otrzymuje się z poprzed-niego, mnożąc go przez stałą liczbę q zwaną ilorazem tzn. x x qn

n1

1= -

Oczywiście istnieje nieskończona mnogość ciągów liczbowych, które można definio-wać jawnie za pomocą dowolnej funkcji rzeczywistej f określonej na zbiorze liczb naturalnych, lub rekurencyjnie tj. za pomocą relacji pomiędzy wyrazami ciągu np. :

xn

x n1 1 lubn

n

nn= + =a k

albo, xdla n

dla n

x x dla n

0 01 1

1>n

n n1 2

===

+- -

* ( ciąg Fibonacciego )

6

Dar

ek D

yl: „

Zast

osow

anie

rach

unku

różn

iczk

oweg

o i c

ałko

weg

o w

kin

emat

yce”

Rozdział 1: Granica ciągu liczbowego, szeregu i funkcji rzeczywistej: do podrozdziału: Szereg liczbowy i jego zbieżność

Mówimy, że ciąg liczbowy xn! + ma granicę w x , lub inaczej, że jest zbieżny do x jeżeli dla dowolnej liczby rzeczywistej dodatniej f istnieje taka liczba naturalna n0, że dla każdej liczby naturalnej n równej lub większej od n0 odległość na osi licz-bowej pomiędzy n-tym wyrazem ciągu xn a granicą x jest mniejsza niż f.

Zapisujc to bardziej formalnie oznacza to, że

( 1.1 ) , , :n n n n x x0R N R n0 0d d d6 7 62 1He e e-

Jeśli x jest granicą ciągu xn! +, to fakt ten zapisujemy jako

( 1.1 ) lim x x x xlubn

n n $="3

Przedstawiając to bardziej obrazowo, istnienie granicy x ciągu xn! + oznacza, że po-cząwszy od pewnego elementu wszystkie jego kolejne elementy leżą w dowolnie bliskim otoczeniu granicy tj w przedziale ,x xf f- +! +.

Przykładem ciągu zbieżnego jest ciąg harmoniczny xn n1= z granicą w zerze,

bowiem dla dowolnej liczby 0>f wszystkie jego elementy o wskaźnikach n> 1f leżą

w przedziale ,f f-! +.Innym, ważnym przykładem ciągu zbieżnego jest ciąg x

ne1 1

n

n

$= +a k , gdzie e jest podstawą logarytmów naturalnych, lub ciąg 1x nn

n$=

Oczywiście nie każdy ciąg jest zbieżny. Ciągi nie posiadające granicy, lub dążące do granic niewłaściwych 3+ albo 3- , nazywamy niezbieżnymi lub, w ostatnich dwóch przypadkach, rozbieżnymi. Jako przykład wystarczy rozważyć ciąg geome-tryczny x x qn

n1

1= - o ilorazie q, który dla 1q < jest zbieżny do zera, ale dla q 1> jest ewidentnie rozbieżny. Oczywiście dla q 1= ciąg ten jest ciągiem stałym.

Więcej informacji o ciągach, ich ogólnych własnościach oraz kryteriach zbieżno-ści można znaleźć w pozycjach [1], [2], [3] oraz w kompendiach tego cyklu, poświę-conym zagadnieniom matematycznym.

1.2. Szereg liczbowy i jego zbieżność

Szeregiem liczbowym nazywamy parę ,x Sn n! !! + ++, gdzie xn! + jest ciągiem liczbowym a ciąg Sn! + skonstruowany jest według przepisu:

7

Dar

ek D

yl: „

Zast

osow

anie

rach

unku

różn

iczk

oweg

o i c

ałko

weg

o w

kin

emat

yce”


S x x x xn n ii

n

1 21

f= + + + ==

/

Ciąg Sn! + nazywamy ciągiem sum częściowych szeregu.

Szereg nazywamy zbieżnym, jeśli ciąg jego sum częściowych jest zbieżny w sensie definicji z poprzedniego podrozdziału tzn. jeśli istnieje granica

lim limS S xn

nn

ni

n

1= =

" "3 3=

/

Granicę tę często zapisujemy jako: xni 1

3

=

/ ( pojawił się symbol 3 w górnej granicy su-mowania.

Jeśli powyższa granica nie istnieje to szereg nazywamy rozbieżnym. Przykła-dami rozbieżnych szeregów są szeregi utworzone z wyrazów ciągu arytmetycznego lub harmonicznego.

Ważnym przykładem jest szereg geometryczny tj. taki którego elementami są wyrazy ciągu geometrycznego x x qn

n1

1= -

Rozważmy ciąg sum częściowych tego szeregu

S x x q x q x qnn

1 1 12

11f= + + + + -

Mnożąc powyższe przez q, otrzymujemy:

qS x q x q x q x S x qnn

nn

12

1 11 1f= + + + =- + +

Wyznaczając ze skrajnych równości Sn, mamy ostatecznie:

S xqq

11

n 1

n

=--

Badanie zbieżności tego szeregu sprowadza się więc do rozpatrzenia zbieżności cią-gu geometrycznego qn! +. Ponieważ 0q q 1dla <n

$ , stąd szereg geometryczny jest zbieżny dla q 1< z granicą:

S xq1

11=

-

oraz jest rozbieżny w pozostałych przypadkach tj. gdy q 1H .

8

Dar

ek D

yl: „

Zast

osow

anie

rach

unku

różn

iczk

oweg

o i c

ałko

weg

o w

kin

emat

yce”


Innym ważnym przykładem zbieżnego szeregu jest szereg wyznaczony przez ciąg

!x

n1

n = , gdzie ! oznacza silnię. Można pokazać, że !n

e1n 0

=3

=

/ (podstawa logarytmów natu-

ralnych ).Dodatkowe informacje o szeregach i kryteriach ich zbieżności można znaleźć w

[1],[2],[3] i kompendiach tej serii z zakresu matematyki.

Aby w pełni zdać sprawę z ważności pojęcia granicy, rozważmy problem zwany paradoksem Zenona z Elei ( V w. p.n.e ). Dotyczy on najprostszego typu ruchu tj. ruchu jednostajnego prostoliniowego.

Rozważa się wyścig żółwia z szybkobiegaczem, po idealnej bieżni, przy czym oba te obiekty traktujemy jak punkty materialne, które od momentu startu mogą poruszać się ruchami jednostajnymi z prędkościami odpowiednio v viz so . Oczywi-ście v vz s%o . Przyjmijmy dla ustalenia uwagi: 1 11v i vz ss

msm= =o . Aby wyścig miał

sens, ze względu na dysproporcję w prędkościach biegaczy, dajmy fory żółwiowi i załóżmy, że w chwili startu znajduje się on w odległości l=100 m przed szybkobie-gaczem.

Można zadać pytanie: po jakim czasie od momentu startu szybkobiegacz dogo-ni żółwia ( a potem będzie już tylko go wyprzedzał ) ?

Rozwiązując to zadanie klasycznie rozumujemy następująco: Ponieważ względ-na prędkość obu biegaczy wynosi 10v v vs z s

m= - =o i w chwili startu dzieliła ich odle-głość l, stąd czas pogoni T wynosi:

10100T

v vl s10m

s z sm= - = =

o

co w pełni zgadza się z naszą intuicją: szybkobiegacz w skończonym czasie dogoni żółwia, a potem samotnie dobiegnie do mety jako zwycięzca.

Zenon podszedł do problemu inaczej. Rozpatrywał zagadnienie pogoni za żół-wiem etapami tzn. w etapie pierwszym, szybkobiegacz dochodzi do pozycji starto-wej żółwia przemierzając odległość początkową l w czasie t

vls

1 = . W tym czasie żółw zdąży przemieścić się na odległość l v tz1 1= o , i szybkobiegacz znowu ma żółwia przed sobą ( co prawda w mniejszej odległości niż początkowa ) i musi powtórzyć czynność tzn. dobiec do aktualnej pozycji żółwia, co zajmie mu czas

tvl

vt v

s s

z2

1 1= = o

9

Dar

ek D

yl: „

Zast

osow

anie

rach

unku

różn

iczk

oweg

o i c

ałko

weg

o w

kin

emat

yce”

Rozdział 1: Granica ciągu liczbowego, szeregu i funkcji rzeczywistej: do podrozdziału: Granica i ciągłość funkcji rzeczywistej

Jest jasnym, że w tym czasie żółw znowu zdoła się oddalić, tak więc szybkobiegacz, po zajęciu poprzedniej pozycji żółwia będzie go miał nadal przed sobą. Ponieważ sy-tuacja nie zmienia się zasadniczo z etapu na etap, stąd wniosek, że żółw zawsze bę-dzie znajdował się przed szybkobiegaczem, który ma jedynie szansę go dogonić w nieskończonym czasie, ale nigdy wyprzedzić. Mamy zatem dwa sprzeczne wnioski dotyczące tej samej sytuacji, a więc klasyczny paradoks.

Aby rozwiązać ten problem należy oczywiście policzyć dokładnie czas pogoni. Czas wykonania n-etapów doganiania żółwia wynosi oczywiście:

T t t t tn n kk

n

1 21

f= + + + ==

/

Oznaczając przez qvv 1s

z 1= o stosunek prędkości, ponieważ czas k-ego etapu wynosi t t qk

k1

1= - , możemy zapisać:T t t q t q t

qq

11

nn

n

1 1 11

1f= + + + =---

Oczywiście etapów doganiania, podążając za rozumowaniem Zenona, jest nieskoń-czenie wiele. Nie mając odpowiednich narzędzi matematycznych ( granicy ciągu ), założył on, że każda suma nieskończenie wielu elementów musi być nieskończona. Właśnie to założenie było źródłem paradoksu. Mając do dyspozycji ścisłe pojęcie granicy wiemy, że w tym przypadku czas doganiania jest skończony, bo dla q 11

limT T tq v

l

vv v v

l11

1

1n

ns

s

z s z1= =

-=

-= -"3 o o

co jest zgodne z wynikiem klasycznego rozumowania.

1.3. Granica i ciągłość funkcji rzeczywistej

Rozważamy funkcje : , ,f X Y X Ygdzie R$ 1 oraz ciąg xn! + o elementach ze zbio-ru X . Jeśli dla każdego takiego ciągu, zbieżnego do x0, ciąg wartości y f xn n= ] g jest zbieżny do tej samej wartości y0 , to wartość tę nazywamy granicą funkcji f w punkcie x X0 d i oznaczamy jako limy f x

x x0

0=

"] g.

Jeśli ponadto lim f x f xx x

00

="

] ]g g to funkcję f nazywamy ciągłą w punkcie x0. Funk-cję nazywamy ciągłą, gdy jest ciągła w każdym punkcie x Xd

10

Dar

ek D

yl: „

Zast

osow

anie

rach

unku

różn

iczk

oweg

o i c

ałko

weg

o w

kin

emat

yce”

Rozdział 1: Granica ciągu liczbowego, szeregu i funkcji rzeczywistej: do podrozdziału: Granica i ciągłość funkcji rzeczywistej

Z powyższego widać, że pojęcie granicy funkcji wynika z odpowiedniego zasto-sowania pojęcia granicy do ciągu wartości funkcji, otrzymanego z dowolnego ale zbieżnego do ustalonego punktu x0 ciągu argumentów. Granica funkcji w pewnym punkcie x0 nie musi pokrywać się z wartością funkcji w tym punkcie. Jeśli jednak tak jest, to funkcję nazywamy ciągłą w tym punkcie. Ciągłość funkcji w każdym punkcie dziedziny oznacza po prostu brak przerw w jej wykresie.

Ruchy ciał rozpatrywane w klasycznej kinematyce zawsze dają się opisać przez funkcje ciągłe. W związku z tym w dalszych częściach będziemy zakładać, że rozpa-trywane funkcje są ciągłe, chyba że wyraźnie będzie zaznaczone inaczej.

Często spotykane funkcje: potęgowe, wykładnicze, logarytmiczne, trygonome-tryczne jak sinus czy cosinus są ciągłe, lub ciągłe przedziałami jak tangens, cotan-gens czy funkcje cyklometryczne ( inaczej kołowe, odwrotne do trygonometrycz-nych). W przypadku funkcji wymiernych ewentualne punkty nieciągłości odpowia-dają sytuacjom zerowania się mianownika.

1111

2.0. Pochodna funkcji rzeczywistej i jej niektóre zastosowania

Zrozumienie pojęcia pochodnej funkcji rzeczywistej jest niezbędne do pełnego opi-su ruchu ciał w mechanice klasycznej. Dopiero mając do dyspozycji takie narzędzie możemy poprawnie zdefiniować podstawowe wielkości kinematyczne, w szczególno-ści prędkość i przyspieszenie. Ponadto, badanie ruchu często wymaga wykorzysta-nia niektórych własności pochodnej ( np. wyznaczanie ekstremów ), podobnie jak w przypadkach wielu przybliżeń stosowanych w opisie złożonych ruchów ( np. przy-bliżanie funkcji szeregiem ).

2.1. Definicja pochodnej i różniczki

Rozważamy funkcję rzeczywistą f określoną na pewnym podzbiorze liczb rzeczy-wistych. Chcąc badać zmienność takiej funkcji w okolicy dowolnego, ale ustalonego punktu x0 wygodnie jest zdefiniować względny przyrost tej funkcji ,f x x f x f x0 0D = -] ] ]g g g powstały na skutek zmiany argumentu od x0 do x x x0 D= + , przypadający na jed-nostkę zmiany argumentu xD ( tzw. iloraz różnicowy ):

,x

f x xx x

f x f xx

f x x f x0

0 0 00

DD

DD

= --

=+ -] ] ] ] ]g g g g g

Wielkość ta, dla ustalonego punktu x0, jest funkcją argumentu x lub równoważ-nie funkcją przyrostu xD . Ponieważ interesuje nas ocena zachowania ( zmienno-ści) funkcji w punkcie x0, więc jest oczywistym, że im bliżej „podejdziemy” z wielko-ścią x do badanego punktu, tym dokładniej wyznaczymy interesującą nas właści-wość. Dokładną miarę zmienności funkcji w punkcie x0 otrzymamy w granicy x x0" ( x 0"D ).

Jeśli w x0 istnieje granica ilorazu różnicowego jako funkcji x ( patrz p. „ 1.3. Granica i ciągłość funkcji rzeczywistej” na stronie 9 ), tzn gdy istnieje:

,lim lim lim

xf x x

x xf x f x

xf x x f x

x x x x x

0

0

0

0

0 0

0 0DD

DD

= --

=+ -

" " "D

] ] ] ] ]g g g g g

to oznaczamy ją symbolem ,dxdf

xdx

df xdx

df xlub

x0

0

0

]] ]

gg g i nazywamy pochodną funk-

cji f w punkcie x0, a samą funkcję nazywamy różniczkowalną w punkcie x0.

12

Dar

ek D

yl: „

Zast

osow

anie

rach

unku

różn

iczk

oweg

o i c

ałko

weg

o w

kin

emat

yce”

Rozdział 2: Pochodna funkcji rzeczywistej i jej niektóre zastosowania: do podrozdziału: Pochodne wyższych rzędów

Funkcja nazywa się różniczkowalną jeśli posiada pochodną w każdym punk-cie dziedziny. Każda funkcja różniczkowalna jest funkcją ciągłą, ale nie każda funkcja ciągła jest różniczkowalna np. f x x=] g jest ciągła w zerze, ale nie jest w tym punkcie różniczkowalna.

Różniczką funkcji f w punkcie x0 na przyroście argumentu x x x0D = - nazy-wamy wielkość

,df x xdx

df xx0

0D D=]]

gg

W szczególności dla nieskończenie małego przyrostu argumentu: df xdx

df xdx=]

]g

g .

Często pochodną funkcji oznacza się symbolem prim lub kropką tzn.

dxdf x

f x f x= =l o]] ]

gg g

Z samego określenia pochodnej wynika, że jeśli w jakim przedziale pochodna funkcji jest dodatnia, to w tym przedziale funkcja jest rosnąca, a jeśli ujemna, to funkcja w tym przedziale jest malejąca. Szybkość zmienności funkcji wyznaczona jest wartością bezwzględną pochodnej.

2.2. Pochodne wyższych rzędów

Sama pochodna funkcji dx

df x] g może być różniczkowalną funkcją x . W takim przy-padku sensownie jest rozważać pochodną takiej funkcji — nazywamy ją wtedy dru-gą pochodną funkcji f . Wprowadza się następujące oznaczenia:

dxd

dxdf x

dxd f x

f x f x2

2

= = =m p] ]] ]

g gg g

Również i druga pochodna może okazać się różna od zera i różniczkowalna, wtedy poprzez jej zróżniczkowanie definiuje się trzecią pochodną i analogicznie, pochodne wyższych rzędów, zgodnie z regułą:

dxd f x

dxd

dxd f x

f x( )n

n

n

nn

1

1

= =-

-] ]]

g gg

13

Dar

ek D

yl: „

Zast

osow

anie

rach

unku

różn

iczk

oweg

o i c

ałko

weg

o w

kin

emat

yce”

Rozdział 2: Pochodna funkcji rzeczywistej i jej niektóre zastosowania: do podrozdziału: Interpretacja geometryczna pochodnej

Proces ten możemy kontynuować dopóty, dopóki przed obliczeniem pochodnej mamy do czynienia z różną od zera funkcją różniczkowalną.

2.3. Interpretacja geometryczna pochodnej

f (x+∆x)

f (x)

x x+∆x

A B

C

styczn

a y

sieczna

∆x→ 0

∆fα

α(x)

f

st

Na powyższym rysunku przedstawiono wielkości definiujące iloraz różnicowy wy-stępujący w określeniu pochodnej pewnej funkcji f w punkcie x ( wykres łukowa-ty ). Rozważając trójkąt ABC wyznaczony przez sieczną , wykres funkcji i pomoc-nicze linie dochodzimy do wniosku, że wartość ilorazu różnicowego jest równa tan-gensowi kąta nachylenia siecznej do osi odciętych.

xf

ABBC

tg aDD

= =

W miarę zmniejszania się boku A xB D= tzn. gdy x 0"D , sieczna przechodzi w stycz-ną yst do wykresu funkcji w punkcie x — kierunek zmian pokazują strzałki. Otrzy-mujemy zatem wniosek, że po wykonaniu przejścia granicznego pochodna funkcji w punkcie x jest równa tangensowi kąta nachylenia stycznej do wykresu funkcji w punkcie x względem osi odciętych.

xdx

df xatg a = =]

]g

g

14

Dar

ek D

yl: „

Zast

osow

anie

rach

unku

różn

iczk

oweg

o i c

ałko

weg

o w

kin

emat

yce”

Rozdział 2: Pochodna funkcji rzeczywistej i jej niektóre zastosowania: do podrozdziału: Podstawowe własności pochodnej

Inaczej mówiąc, pochodna funkcji wyznacza współczynnik kierunkowy a stycznej do wykresu funkcji w danym punkcie x . Równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie x ma zatem postać:

( ) ( )y x ax bdx

df xx x f xst = + = - +u u u]

]g

g

Interpretacja ta pozwala w prosty sposób wysnuć niektóre wnioski omawiane w następnych podrozdziałach.

2.4. Podstawowe własności pochodnej

Poniższe własności podajemy bez dowodów, które można znaleźć np. w pozycjach [1], [2] i [3].

Pochodna funkcji stałej ma wartość 0, co jest oczywiste. Wyznaczanie pochodnej jest operacją liniową tzn.

dxd f x g x

dxdf x

dxdg x

a b a b+ = +] ]]] ]

g ggg g

dla różniczkowalnych funkcji ,f g i dowolnych stałych ,a b. Pochodną iloczynu funkcji różniczkowalnych ,f g obliczamy zgodnie z:

dxd f x g x

dxdf x

g x f xdx

dg x= +] ]]

]] ]

]g gg

gg g

g

Pochodną ilorazu funkcji różniczkowalnych ,f g obliczamy zgodnie z:

dxd

g xf x

g xdx

df xg x f x

dxdg x

2=-

]]b ]

] ] ] ]

ggl g

g g g g

Pochodną złożenia różniczkowalnych funkcji ,f g obliczamy zgodnie z:

dxd f g x

dxdf

g xdxdg

x=]] ]] ]gg gg g

Jeżli mamy do czynienia z różniczkowalną funkcją będącą funkcją odwrotną do danej, oznaczaną przez f 1- , tj. spełniającej zależność

15

Dar

ek D

yl: „

Zast

osow

anie

rach

unku

różn

iczk

oweg

o i c

ałko

weg

o w

kin

emat

yce”

Rozdział 2: Pochodna funkcji rzeczywistej i jej niektóre zastosowania: do podrozdziału: Pochodne niektórych funkcji. Przykłady obliczania pochodnych

f f x f f x x1 1= =- -]] ]]gg gg

wtedy pochodną funkcji odwrotnej wyznaczamy zgodnie z:

dxdf x

dxdf x

1

f x

1

1

=-

-

]

]

]

g

g

g

Wzór ten jest szczególnym wnioskiem wynikającym ze sposobu wyznaczania po-chodnej złożenia dwóch funkcji.

2.5. Pochodne niektórych funkcji. Przykłady obliczania pochodnych

Aby przybliżyć rozumienie definicji pochodnej funkcji rzeczywistej, wyznaczymy z definicji pochodną funkcji f x x2=] g . W pierwszej kolejności konstruujemy iloraz róż-nicowy ( patrz p. „ 2.1. Definicja pochodnej i różniczki” na stronie 11 ):

xf x x f x

xx x x

xx x x x x

xx x x x x

2

2 2

0 0 02

02

02

02

02

02

0

DD

DD

DD D

DD D D

+ -=

+ -= + + - =

= + = +

] ] ]g g g

Zgodnie zatem z definicją pochodnej:

2limdx

df xx x x2

x

0

00 0D= + =

"D

]]

gg

Stąd otrzymujemy znany wynik dxdx x2

2

= .

Stosują podobne metody można wyznaczyć:

dxdx nx

nn 1= - dla wszystkich n Rd

sin cos cos sindx

d xx

dxd x

xoraz= =-]

]]

]g

gg

g

dxde e

xx=

16

Dar

ek D

yl: „

Zast

osow

anie

rach

unku

różn

iczk

oweg

o i c

ałko

weg

o w

kin

emat

yce”

Rozdział 2: Pochodna funkcji rzeczywistej i jej niektóre zastosowania: do podrozdziału: Pochodne niektórych funkcji. Przykłady obliczania pochodnych

Pochodną funkcji tangens i cotangens wyznaczymy korzystając z formuły na pochodną ilorazu funkcji i powyższych wyników.

Podobnie otrzymujemy sindx

d xx

1ctg2=-

]

]

g

g

Pochodą logarytmu naturalnego otrzymamy korzystając z formuły na po-chodną funkcji odwrotnej

lndx

d x

dxde e x

1 1 1

ln

lnx

x

x= = =]

]

]

g

g

g

Korzystając z powyższego wyznaczymy pochodną funkcji wykładniczej dla,a a0 1> !

( )ln ln lndxda

dxd

dxd e e

dxd x a e a a aln ln ln

xx a x a a xx

= = = = =] ] ]] ] ]g g gg g g

gdzie skorzystaliśmy z formuły na pochodną złożenia dwóch funkcji.

Pochodną funkcji odwrotnej do sinusa oznaczanej jako arcsin x] g, wyznaczy-my z reguły różniczkowania funkcji odwrotnej

1 1

arcsinsin

arcsincos arcsin

sin arcsin

dxd x

dxd x

x

x

x xx

1 1

11

11 dla

2 2# #

= =

=-

=-

-

]

]

]

]]

]]

g

g

g

gg

gg

analogicznie

,

arccosdx

d x

x

dxd x

xi

dxd x

x

11

11

11

oraz

arctg arcctg

2

2 2

=--

=+

=-+

]

] ]

g

g g

cossin

cos

sin cos sin cos

coscos sin

cos

dxd x

dxd

xx

xdx

d xx x

dxd x

xx x

x1

tg2

2

2 2

2

= =-

=

= + =

]]]b ]

] ] ] ]

]] ]

]

gggl g

g g g g

gg g

g

17

Dar

ek D

yl: „

Zast

osow

anie

rach

unku

różn

iczk

oweg

o i c

ałko

weg

o w

kin

emat

yce”

Rozdział 2: Pochodna funkcji rzeczywistej i jej niektóre zastosowania: do podrozdziału: Niektóre zastosowanie pochodnej

Obliczanie pochodnych jest, w większości przypadków, procesem mechanicz-nym — należy jedynie konsekwentnie wykorzystywać otrzymane powyżej wyniki oraz ogólne własności pochodnej( patrz p. „ 2.4. Podstawowe własności pochod-nej” na stronie 14 )

2.6. Niektóre zastosowanie pochodnej

• Wyznaczanie ekstremów lokalnych

Z analizy geometrycznej pochodnej wynika bezpośrednio ( patrz p. „ 2.3. In-terpretacja geometryczna pochodnej” na stronie 13 ), że w otoczeniu ekstremum lokalnego, przy przechodzeniu przez ekstremum pochodna funkcji zmienia znak, osiągając w samym ekstremum wartość 0, bowiem styczna w ekstremum lokalnym jest zawsze równoległa do osi odciętych X. Jeśli ponadto funkcja jest dwukrotnie różniczkowalna, to rodzaj ekstremum określony jest przez znak drugiej pochodnej. Druga pochodna określa bowiem zmienność pierwszej pochodnej — w przypadku maksimum pierwsza pochodna jest funkcją malejącą w otoczeniu ekstremum, a w przypadku minimum, rosnącą Podsumowując zatem:

0 ,

0 0 .

dxdf x

x i x

dxd f

xdxd f

x

warunek wyznacza punkty

ponadto i< >

max min

max min2

2

2

2

=]

] ]

g

g g

f (x)

x

maksimum

minimumxmax xmin

18

Dar

ek D

yl: „

Zast

osow

anie

rach

unku

różn

iczk

oweg

o i c

ałko

weg

o w

kin

emat

yce”

Rozdział 2: Pochodna funkcji rzeczywistej i jej niektóre zastosowania: do podrozdziału: Niektóre zastosowanie pochodnej

• Rozwijanie funkcji w szereg.

Załóżmy, że funkcja f jest N+1-krotnie różniczkowalna wokół pewnego punktu x0. Wtedy możemy dla innego punktu x x x0 D= + zapisać ( wzór Taylora ):

!,f x f x

k dxd f x

x x R x x1k

kk

k

N

N00

01

0 D= + - +=

] ]]

] ]g gg

g g/

przy czym reszta ,R x xN 0 D] g dąży do zera szybciej niż N-ta potęga xD

Oznacza to, że w takim przypadku możemy przybliżać funkcję f przez szereg potęgowy stopnia N ( N-ty rząd przybliżenia ) określony przez wartość funkcji i jej pochodne w punkcie x0. Szczególna postać tego wzoru otrzymana dla x 00 = nosi na-zwę wzoru Maclaurina.

Jako przykład rozważmy f x ex=] g . Ponieważ dxd e ek

k xx= dla każdego k, więc roz-

wijając wokół x 00 = otrzymamy:

e x x x x x1 ! ! ! !x

nn

nn

n21 2

31 3 1 1

0

f f= + + + + + + =3

=

/

Podobnie:!

!

sin

cos

x x x x xnx

x x x xnx

12 1

1 12

oraz

! ! !

! ! !

nn

nn

31 3

51 5

71 7

2 1

21 2

41 4

61 6

2

f f

f f

= - + - + + -+

+

= - + - + + - +

+

] ]]

] ]]

g gg

g gg

• Wyznaczanie granic wyrażeń nieokreślonych postaci ,00

33 .

Załóżmy, że funkcje ,f g są różniczkowalne w otoczeniu punktu x0, i ponadto g x 00 ]l] g . Jeśli, przy x x0" obie te funkcje dążą jednocześnie do 0 albo do 3, i ist-nieje granica:

limg xf x

x x0" ll

]

]

g

g

to lim limg xf x

g xf x

x x x x0 0=

" " ll

]]

]

]gg

g

g

Jako przykład rozpatrzmy, spełniające powyższe warunki, wyrażenie typu 00 :

1lim sin lim

sin

lim cosxx

dxdxdx

d xx

1x x x0 0 0= = =

" " "

]]

]gg

g

1919

3.0. Całka oznaczona i nieoznaczona funkcji rzeczywistej

Całkowanie, ogólnie mówiąc, jest operacją odwrotną do różniczkowania. O ile jed-nak, w większości sytuacji, różniczkowanie polega na mechanicznym stosowaniu określonych metod, o tyle całkowanie jest pewnego rodzaju sztuką. Tylko w nielicz-nych sytuacjach udaje się uzyskać wynik całkowania w postaci analitycznej. Istnie-je oczywiście szereg metod całkowania, skutecznych w określonych sytuacjach, jed-nak ich omówienie przekracza ramy tego kompendium. W tym rozdziale ograniczy-my się jedynie do zdefiniowania całki oznaczonej i nieoznaczonej, wymienienia ich podstawowych własności i rozpatrzenia kilku prostych przykładów. Materiał ten można pogłębić sięgając np. do pozycji [1], [2], [3] lub skryptów i kompendiów tej serii poświęconych zagadnieniom całkowania.

3.1. Całka oznaczona z funkcji rzeczywistej ( całka Riemanna )

Rozważamy ciągłą funkcję f i pole powierzchni pomiędzy jej wykresem i osią X wy-znaczone przez punkty x: a i b

f (x)

xa b

P1

PNPi

xi

f (x )i

∆x

Podzielmy odcinek [a,b] na N równych przedziałów o szerokości xN

b aD = - i wpisz-my w interesujące nas pole N prostokątów o jednakowych podstawach xD i wysoko-ściach dobranych tak, aby jak najlepiej przybliżyć wyznaczane pole S.

20

Dar

ek D

yl: „

Zast

osow

anie

rach

unku

różn

iczk

oweg

o i c

ałko

weg

o w

kin

emat

yce”

Rozdział 3: Całka oznaczona i nieoznaczona funkcji rzeczywistej: do podrozdziału: Funkcja górnej granicy całkowania. Całka nieoznaczona

Na tym etapie wartość pola S może być przybliżona przez wielkość sumy pól po-szczególnych prostokątów:

S S P P P P f x xN N ii

N

ii

N

1 21 1

f. D= + + + = == =

] g/ /

gdzie skorzystaliśmy z faktu, że dla każdego z rozpatrywanych prostokątów, istnie-je taka wartość argumentu xi , iż wysokość prostokąta jest wartością funkcji w tym punkcie f xi] g. Wtedy pole i-tego prostokąta wynosi P f x xi i D= ] g .

Jest oczywiste, że to przybliżenie jest tym lepsze, im bardziej gęsty jest podział pola S na prostokąty. Wartość dokładną S otrzymujemy w granicy N" 3

Jeśli ciąg sum częściowych SN jest zbieżny ( patrz p. „ 1.2. Szereg liczbowy i jego zbieżność” na stronie 6 ) to granicę limS S

NN=

"3 nazywamy całką oznaczoną z

funkcji f i oznaczamy ją zgodnie z poniższym zapisem:

limf x dx f x x SN

a

b

ii

N

1

D= ="3

=

] ]g g/#

Symbol całki # powstał z rozciągnięcia symbolu sumowania / , wynikającego z rozszerzenia sumy dyskretnej na przypadek ciągły w wyniku wykonania przejścia granicznego. Oznaczenie dx — różniczka funkcji x, ( patrz p. „ 2.1. Definicja po-chodnej i różniczki” na stronie 11 ) — to nieskończenie mały przyrost argumentu xD w granicy zmierzającej do 0. Wielkości a,b wyznaczają granice całkowania — krań-ce przedziału całkowania — dolną i górną, odpowiednio.

Z interpretacji geometrycznej całki oznaczonej jako odpowiedniego pola po-wierzchni, wynikają bezpośrednio poniższe własności.

f x f x dx

f x dx f x f x dx a c bdla < <

a

b

b

a

a

b

a

c

c

b

=-

= +

] ]

] ] ]

g g

g g g

# #

# # #

3.2. Funkcja górnej granicy całkowania. Całka nieoznaczona

Przez funkcję górnej granicy całkowania F x] g rozumiemy funkcję określoną dla zmiennej będącej górną granicą całkowania:

F x f x dxa

x

=] ]g g#

21

Dar

ek D

yl: „

Zast

osow

anie

rach

unku

różn

iczk

oweg

o i c

ałko

weg

o w

kin

emat

yce”


Na mocy dwóch poprzednich równań

lim lim lim

lim lim lim

xF x x F x

x

f x dx f x dx

x

f x dx f x dx f x dx

x

f x dx

xf x x

f x f x

x x

a

x x

a

x

x

a

x

x

x x

a

x

x

x

x x

x x

0 0 0

0 0 0

DD

D D

D DD

+ -=

-

=

+ -

=

= = = =

" " "

" " "

D D

D

D

D

D

D

D D

+ +

+

uu

] ]] ] ] ] ]

]]

] ]

g gg g g g g

gg

g g

# # # # #

#

bowiem 0x x xgdy" "Du .Zatem funkcja górnej granicy całkowania spełnia:

dxdF x

f x=]

]g

g

Oznacza to, że całkowanie jest operacją odwrotną do różniczkowania. Postać funkcji górnej granicy całkowania zależy od wyboru stałej a — dolnej granicy cał-kowania. Dla różnych wyborów otrzymujemy funkcje różniące się stałą C — tzw. stałą całkowania. Inaczej mówiąc, F x F x C= +u] ]g g jest również funkcją górnej granicy całkowania. Każdą funkcję F x] g spełniającą równanie:

dxdF x

f x=]

]g

g

nazywamy całką nieoznaczoną funkcji f i oznaczamy symbolem f x dx] g#Powyższe pozwala ustalić całki nieoznaczone niektórych, prostych funkcji. Na

przykład:

,x dx x Cdxd x C xbowiem2

1 221 2= + + =] g#

Analogicznie:

,

, ,

ln

sin cos cos sin

x dxn

x C nxdx x C

e dx e C x dx x C x dx x C

11 1 1dla orazn n

x x

1 !=+

+ - = +

= + =- + = +

+

] ] ] ]g g g g

# ## # #

( patrz p. „ 2.5. Pochodne niektórych funkcji. Przykłady obliczania pochod-nych” na stronie 15 )

Wyznaczanie całki oznaczonej można sprowadzić do wyznaczenia całki nie-oznaczonej i skorzystania z równości:

,f x dx F b F a F xb

aF x f x dxgdzie

a

b

= - = =] ] ] ] ] ]g g g g g g# #

22

Dar

ek D

yl: „

Zast

osow

anie

rach

unku

różn

iczk

oweg

o i c

ałko

weg

o w

kin

emat

yce”


Na przykład:

ponieważ x dx x C341 4= +# , stąd ( ) ( ( ) )x dx x C

3

13 1 81 1 203

41

1

34

41 4 4

41

-= + = - - = - =

-

] g# .

Całkowanie jest operacją liniową tzn. dla dowolnych stałych ,a b

( )f x g x dx f x dx g x dxa b a b+ = +] ] ] ]g g g g### .

Ponadto

( )dx

dg xdx dg g x C= = +] g##

gdzie C jest stałą całkowania.

W przeciwieństwie do obliczania pochodnych, dla całkowania nie istnieją ogólne reguły, które pozwalałyby obliczyć całkę dowolnej funkcji. Przegląd metod całkowa-nia w częściej spotykanych przypadkach, można znaleźć w [2]. Pomocne mogą być też tablice często spotykanych całek np. [4]

2323

4.0. Różniczkowanie i całkowanie wektorów.

Podstawowe wielkości kinematyczne są wielkościami wektorowymi, w szczególno-ści wektorami są prędkość i przyspieszenie. Wektory mogą być funkcją pewnego parametru t np. czasu — mówimy wtedy o zależności parametrycznej wektora od zmiennej t. W takim przypadku można rozważać zarówno pochodną wektora po zmiennej t, jak i jego całkę po tej zmiennej.

Rozważać zatem będziemy wektor w t] g , który w ustalonym układzie karte-zjańskim, zdefiniowanym przez wersory it ( oś X ), jt ( oś Y ), kt (oś Z ), ma składo-we , ,w t w t w tx y z] ] ]g g g tzn.

, ,w t w t i w t j w t k w t w t w tx y z x y z= + + =t t t] ] ] ] ] ] ]g g g g g g g5 ?

4.1. Pochodna wektora i jej własności

W analogi do definicji pochodnej funkcji, pochodną wektora dt

dw t] g definiujemy po-przez granicę ( o ile taka istnieje ):

limdt

dw tdt

w t dt w tt 0

=+ -

"D

] ] ]g g g

( patrz p. „ 2.1. Definicja pochodnej i różniczki” na stronie 11 )Pochodne wyższych rzędów definiujemy rekurencyjnie, jako odpowiednie, kolej-

ne pochodne z pochodnej wektora

1dt

d w tdt

d w tndla >n

n

n

n

1

1

= -

-] ]g g

Z definicji pochodnej wektora wynikają bezpośrednio następujące własności:

•dt

dw t 0=] g dla stałego wektora .w t const=] g

•dtd w t v t

dtdw t

dtdv t

a b a b+ = +] ]]] ]

g ggg g dla dowolnych stałych ,a b tzn. liniowość

•dt

dw t 0=] g ( )

dtd f t w t

dtdf t

w t f tdt

dw t= +] ]

]] ]

]g g

gg g

g dla różniczkowalnej funkcji f t] g

24

Dar

ek D

yl: „

Zast

osow

anie

rach

unku

różn

iczk

oweg

o i c

ałko

weg

o w

kin

emat

yce”

Rozdział 4: Różniczkowanie i całkowanie wektorów: do podrozdziału: Całkowanie wektorów

• W szczególności oznacza to, że w układzie kartezjańskim, pochodną wekto-ra otrzymujemy przez zróżniczkowanie jego składowych

, ,dt

dw tdt

dw tdt

dw tdt

dw tx y z=] ] ] ]g g g g: D

Np. dla:( ), ( ), ,

( ), ( ), ( ), ( ),

( ( )), ( ( ), ( ), ( ),

sin cos

sin cos cos sin

cos sin sin cos

w t t t t t

dtdw t

dtd t

dtd t

dtdt

dtdt t t t t

dtd w t

dtd t

dtd t t

dtdt t t t t

2

2 2 2 2 1 3

2 2 2 3 4 2 4 6

mamy:

oraz

2 3

2 32 2

2

2 2 22 2

= +

= + = - +

= - = - -

]

]

]

g

g

g

5

: 5

: 5

?

D ?

D ?

• Oznaczając przez i #: iloczyn skalarny i wektorowy odpowiednio, pochodne tych iloczynów wyznaczamy zgodnie z:

dtd w t v t

dtdw t

v t w tdt

dv t

dtd w t v t

dtdw t

v t w tdt

dv t# # #

: : := +

= +

] ]]]

] ]]

] ]]]

] ]]

g ggg

g gg

g ggg

g gg

Różniczką wektora określoną na przyroście parametru tD nazywamy wielkość:

,dw t tdt

dw ttD D=]

]g

g

w granicy t 0"D oznaczamy ją jako dw t] g.

4.2. Całkowanie wektorów

Związek pomiędzy całką oznaczoną i nieoznaczoną w przypadku całkowania wek-torów jest analogiczny jak w przypadku funkcji rzeczywistej ( patrz p. „ 3.2. Funk-cja górnej granicy całkowania. Całka nieoznaczona” na stronie 20 ). Wystarczy zatem określić całkę nieoznaczoną z wektora w t dt tW=] ]g g# , którą definiujemy jako dowolny z wektorów ( wektor określony z dokładnością do wektora stałego )

tW] g spełniających:

dtd t

w tW

=]

]g

g

25

Dar

ek D

yl: „

Zast

osow

anie

rach

unku

różn

iczk

oweg

o i c

ałko

weg

o w

kin

emat

yce”

Rozdział 4: Różniczkowanie i całkowanie wektorów: do podrozdziału: Całkowanie wektorów

Tak określona operacja jest oczywiście liniowa w poniższym sensie:

w t v t dt w t dt v t dta b a b+ = +] ]] ] ]g gg g g# # #

dla dowolnych stałych ,a b i całkowalnych wektorów ,w t v t] ]g g.

Dla stałego wektora .w const0 = i całkowalnej funkcji f t] g mamy ponadto:

( ) .

f t w dt w f t dt

dtd v t

dt dv t v t const

oraz0 0=

= = +

] ]

]]

g g

gg

# #

# #

Z powyższego wynika bezpośrednio, że dla wektora określonego w kartezjańskim układzie współrzędnych, jego całkę wyznacza się poprzez całkowanie jego składo-wych:

, ,w t dt w t dt w t dt w t dtx y z=] ] ] ]g g g g8 B# # # #

Na przykład dla , ( ), ( )sin cosw t t t t2 32=] g 5 ?

, ( ) , ( )

, ( ) , ( ) , ( ) , ( )

sin cos

cos sin cos sin

w t dt t dt t dt t dt

t w t w t w t t t w

2 3

2 3 2 3x y z

2

31 3

0 0 0 31 3

0

= =

= + - + + = - +

] g 85 5

B? ?

# # ##

gdzie stały wektor , ,w w w wx x x0 0 0 0= 5 ? określony jest przez trzy stałe całkowania, któ-re, w celu ujednoznacznienia wyniku, należy wyznaczyć z dodatkowych warunków tzw. warunków początkowych.

Znając całkę nieoznaczoną wektora w t] g, t w t dtW =] ]g g# , łatwo wyznaczyć cał-kę oznaczoną na przedziale zmienności parametru t: ,t t0 15 ?

w t dt t t tt

tW W W

t

t

1 01

00

1

= - =] ] ] ]g g g g#

I odwrotnie, w celu jednoznacznego wyznaczenia całki tZ] g ze znanego wekto-ra w t] g z warunkiem początkowym .t z constZ 0 0= =] g , należy posłużyć się równa-niem:

t z w t dtZt

t

0

0

= + u u] ]g g#

2626

5.0. Opis ruchu punkt materialnego

W rozdziale tym zdefiniowane zostaną podstawowe wielkości kinematyczne i jego zrozumienie wymaga pełnego przyswojenia materiału poprzednich rozdziałów.

Aby dokonać opisu ruchu wymagany jest obserwator uzbrojony w przyrzą-dy do mierzenia czasu, odległości i kątów. Obserwatora taki, wraz z wprowadzo-nym układem współrzędnych, definiuje układ odniesienia względem którego bę-dzie opisywany ruch. Wybór układu odniesienia jest dowolny i powinien być dosto-sowany do aktualnie badanego ruchu. Właściwy wybór układu odniesienia, w tym układu współrzędnych, pozwala uprościć opis ruchu i jego interpretację. Poniżej wprowadzamy układy odniesienia oparte o kartezjański i sferyczny układ współ-rzędnych.

ϑ(t)

φ(t)

r(t)→

∧

i

∧

∧

jk∧

ϑ

φ∧r∧A→

X

Y

Z

Ax Ay

Ar

Aϑ

Układy te zdefiniowane są przez układy trzech wektorów jednostkowych tzw. wer-sorów, wyznaczających osie ( linie ) układu współrzędnych:

• układ stałych prostopadłych wzajemnie wersorów , ,i j kt t t definiujących osie X,Y, Z, kartezjańskiego układu współrzędnych, w którym dowolny wektor A opisany jest przez swoje składowe , ,A A Ax y z

• układ wzajemnie prostopadłych wersorów , ,r j {t t t definiujących składowe wek-tora A : , ,A A Ar j { , nazywane odpowiednio: radialną, azymutalną ( południko-wą ) i transwersalną ( równoleżnikową ).tzn.

27

Dar

ek D

yl: „

Zast

osow

anie

rach

unku

różn

iczk

oweg

o i c

ałko

weg

o w

kin

emat

yce”

Rozdział 5: Opis ruchu punkt materialnego: do podrozdziału: Wektor wodzący, wektor styczny i normalny do krzywej

( 5.1 ) , ,

, ,

A i A j A k A A A

A r A A A A A

A x y z x y y

r r sferj {

= + + = =

= + + =j { j {

t t t

t t t

55

??

Długość wektora wyraża się poprzez składowe jako:

( 5.2 ) A A A A A A AA x y z r2 2 2 2 2 2= = + + = + +j {

Te układy współrzędnych różnią się zasadniczo tym, że pomimo iż oba są ortogonal-ne, to układ kartezjański jest prostoliniowy a sferyczny krzywoliniowy — wektory

, ,r j {t t t zależą od punktu, w którym położony jest początek wektora A . W układzie kartezjańskim mają one następujące składowe:

( 5.3 ) ( ) , ( ) , ( )

( ) , ( ) , ( )

, , )

sin cos sin sin cos

cos cos cos sin sin

sin cos

r

0

j { j { j

j j { j { j

{ { {

=

= -

= -

t

t

t

] ]

] ]

] ]

g g

g g

g g

555

??

?

Oczywiście, jeśli położenie punktu zaczepienia wektora A wyznaczone jest zależ-nością od pewnego parametru t, to wersory te zależą również od t.

Ustalenie kąta 2j= r definiuje tzw. biegunowy układ współrzędnych na płasz-czyżnie X,Y dogodny do opisywania ruchów płaskich. W tym układzie współrzęd-nych dowolny wektor ma oczywiście dwie składowe ,A r A A AA r r bieg{= = + ={ {t t 5 ? .

5.1. Wektor wodzący, wektor styczny i normalny do krzywej

ϑ(t)

φ(t)

r(t)

z(t)

x(t)

y(t)

r(t)→

γ

t(t)

n(t)∧

∧

P(t)

Ruch punktu materialnego po krzywej c opisany jest poprzez podanie położe-nia tego punktu w dowolnej chwili t z przedziału obserwacji ,t t0 15 ? . Położenie to wy-

28

Dar

ek D

yl: „

Zast

osow

anie

rach

unku

różn

iczk

oweg

o i c

ałko

weg

o w

kin

emat

yce”

Rozdział 5: Opis ruchu punkt materialnego: do podrozdziału: Wektor wodzący, wektor styczny i normalny do krzywej

znaczone jest przez koniec wektora łączącego początek układu odniesienia z ak-tualnym punktem położenia ciała na krzywej c tzw. wektora wodzącego r t] g. Oczywiście,

( 5.4 ) ( ) , , , ,

, ,sin cos sin sin cos

r t r t r t r t x t y t z t

r t t t r t t t r t t

0 0 sfer

j { j { j

= = =

=

t] ] ] ] ] ]

] ]] ]] ] ]] ]] ] ]]

g g g g g g

g gg gg g gg gg g gg

5 55

? ??

gdzie, ze względu na wyjątkową rolę wektora wodzącego, jego składowe karte-zjańskie oznaczyliśmy tak, jak równe im współrzędne punktu P tj. przez funkcje

, ,x t y t z t] ] ]g g g ( zamiast standardowych oznaczeń , ,r r rx y z ). Powyższe równanie poda-je także związek pomiędzy współrzędnymi kartezjańskimi i sferycznymi.

Od tego momentu parametr czasowy zawsze będziemy oznaczać literą t ( nie mylić z oznaczeniem wektora stycznego tt, patrz niżej ). Oczywiście krzywa c po której porusza się ciało ( trajektoria ruchu ) może być sparametryzowana za pomo-cą dowolnego, innego parametru ,q q q0 1d 5 ? poprzez podanie funkcji r q] g. Szczegól-nym rodzajem parametru dla danej krzywej c, tzw. parametrem naturalnym, jest długość jej łuku s liczona od pewnego punktu P0, której nieskończenie mały ele-ment zdefiniowany jest w układzie kartezjańskim równaniem:

( 5.5 ) ds dx dy dzdq

dx qdq

dy qdq

dz qdq2 2 2

2 2 2

= + + = + +]b ]b ]bgl gl gl

Przejście od dowolnej parametryzacji q do parametryzacji naturalnej tj. po-przez parametr s, opiera się na równaniu:

( 5.6 ) s q dsdq

dx qdq

dy qdq

dz qdq

P

P

q

q 2 2 2

0 0

= = + +uu

uu

uu

u] ]b ]b ]bg gl gl gl# #

Z geometrii różniczkowej ( patrz [1], [5] ) oraz informacji z poprzednich podrozdzia-łów ( patrz p. „ 2.3. Interpretacja geometryczna pochodnej” na stronie 13 ) wyni-ka, że wektor zdefiniowany w dowolnej parametryzacji, jako:

( 5.7 ) t q

dqdr qdq

dr q

=t]]

]

gg

g

jest jednostkowym wektorem stycznym do krzywej c w punkcie r q] g.Zatem, ponieważ t t t 12 := =t t t , to

dsdt t

dsdt2 0

2

:= =t t t

i każdy wektor równoległy do

dsdtt jest prostopadły do wektora tt.

29

Dar

ek D

yl: „

Zast

osow

anie

rach

unku

różn

iczk

oweg

o i c

ałko

weg

o w

kin

emat

yce”

Rozdział 5: Opis ruchu punkt materialnego: do podrozdziału: Prędkość chwilowa i jej własności

W szczególności dotyczy to jednostkowego wektora normalnego nt do krzywej c, zdefiniowanego zgodnie z równaniem:

( 5.8 ) dsdt n

dsd r1

2

2

t= =

tt gdzie

dsd r1

2

2t=

jest zależnym od punktu promieniem okręgu stycznego do krzywej tzw. promie-niem krzywizny. Wektor n skierowany jest do środka okręgu stycznego ( patrz ry-sunek zamieszczony na początku tego podrozdziału ).

Ruch nazywamy prostoliniowym, gdy istnieje taka parametryzacja trajektorii, iż

( 5.9 ) r q v tq r v q r0 0 0 0= + = +t] g

gdzie ,v r0 0 są wektorami stałymi, tzn. trajektoria jest fragmentem prostej. Dla ru-chu prostoliniowego nie określa się krzywizny toru, a wektor styczny jest stały.

W pozostałych przypadkach ruch nazywamy krzywoliniowym. Ruch nazywamy płaskim, gdy jego trajektoria leży w pewnej płaszczyźnie. tzn

do jego opisu wystarczaj dwie współrzędne np. ( x,y ) lub w w układzie biegunowym ( r,{ ). W ogólności ruch może być istotnie trójwymiarowy ( np. po linii śrubowej ) — ani prostoliniowy, ani płaski.

5.2. Prędkość chwilowa i jej własności

Z definicji, prędkość w chwili t, v t] g , jako miara zmienności ruchu, określona jest zależnością:

( 5.10 ) v tdt

dr t=]

]g

g

Wprost z definicji i równania ( 5.7 ) na stronie 28, mamy:

( 5.11 ) v t v t t t= t] ] ]g g g

gdzie, zgodnie z równaniem ( 5.5 ) na stronie 28,wartość prędkości ( szybkość ) v t] g:

30

Dar

ek D

yl: „

Zast

osow

anie

rach

unku

różn

iczk

oweg

o i c

ałko

weg

o w

kin

emat

yce”


( 5.12 ) v tdtds v v v

dtdx t

dtdy t

dtdz t

x y z2 2 2

2 2 2

= = + + = + +] ]a ]a ]ag gk gk gk ,

bowiem w układzie kartezjańskim , ,v tdt

dx tdt

dy tdt

dz t=]

] ] ]g

g g g9 C

Ruch nazywamy jednostajnym, gdy wartość prędkości jest stała tzn. .v t v const0= =] g

Z równania ( 5.11 ) na stronie 29, bezpośrednio wynika, że prędkość jest za-wsze styczna do trajektorii w każdym punkcie toru ( w każdej chwili ruchu ).

Ponieważ ( )r t r t r t= t] ]g g oraz, zgodnie z ( 5.3 ) na stronie 27 i regułami różnicz-kowania ( patrz p. „ 2.4. Podstawowe własności pochodnej” na stronie 14 ), mamy:

( 5.13 ) sindt

dr tr t t t t t tj j j { {= = +

tto o t o t]] ] ] ]] ] ]

gg g g gg g g ,

stąd

( 5.14 ) sin

v tdtd r t r t r t r t r t r t

r t r t r t t t t t tj j j { {

= = + =

= + +

t o t to

o t o t o t

] ] ]] ] ] ] ]

] ] ] ] ] ]] ] ]

g g g g g g g g

g g g g g gg g g# -

gdzie pochodne po czasie, dla uproszczenia, oznaczono kropką. Z powyższego bez-pośrednio wynika, że w układzie współrzędnych sferycznych:

( 5.15 ) , , sinv t r t r t t r t t t sferj j {= o o o] ] ] ] ] ]] ]g g g g g gg g7 A

W szczególności w układzie biegunowym ( 2j= r ), składowe prędkości wynoszą:

( 5.16 ) ,v t r t r t t bieg{= o o] ] ] ]g g g g5 ?

W ruchu płaskim pochodną t t{ ~=o ] ]g g nazywamy prędkością kątową, a wiel-kość:

( 5.17 ) c t r t v t21

#=] ] ]g g g

prędkością polową. Wartość prędkości polowej c jest równa polu zakreślanemu przez wektor wodzący w czasie ruchu ciała w jednostce czasu w chwili t.

31

Dar

ek D

yl: „

Zast

osow

anie

rach

unku

różn

iczk

oweg

o i c

ałko

weg

o w

kin

emat

yce”


Powyższe własności pozwalają bezpośrednio wyznaczyć prędkość ciała, gdy zna-na jest postać wektora wodzącego r t] g w zależności od czasu tzn. gdy znamy poło-żenie ciała w dowolnej chwili czasu w interesującym nas okresie.

Można jednak postawić zagadnienie odwrotne: czy ze znajomości prędko-ści chwilowej ciała w dowolnej chwili czasu v t] g, można uzyskać wiedzę na temat jego położenia? Zgodnie z wiedzą na temat związku pomiędzy pochodną i całką ( patrz p. „ 3.2. Funkcja górnej granicy całkowania. Całka nieoznaczona” na stronie 20 ) odpowiedź na to pytanie jest twierdząca, o ile znamy położenie ciała r0 w pewnej chwili, zwanej umownie początkową, t0 tzn. gdy znamy warunek począt-kowy , ,r t r x y z0 0 0 0 0= =] g 5 ?. Wtedy , na mocy poprzednich ustaleń:

( 5.18 ) r t r v t dtt

t

0

0

= + u u] ]g g#

lub bardziej jawnie we współrzędnych kartezjańskich:

( 5.19 )

x t x v t dt

y t y v t dt

z t z v t dt

x

t

t

y

t

t

z

t

t

0

0

0

0

0

0

= +

= +

= +

u u

u u

u u

] ]

] ]

] ]

g g

g g

g g

Z

[

\

]]]]

]]]]

#

#

#

Powyższe równania pozwalają wyznaczyć jednoznacznie położenie, jeśli umiemy obliczyć występujące w nich całki, co jak wspomniano wcześniej nie zawsze jest możliwe. W takim przypadku można zawsze zastosować obliczenia numeryczne, te-mat ten jednak wykracza poza ramy tego kompendium.

W szczególnym przypadku ruchu ze stałą prędkością v0, jako wniosek z powyż-szych równań, otrzymujemy:

( 5.20 ) r t r v t t0 0 0= + -] ]g g

tzn. ruch jest ruchem jednostajnym prostoliniowym. W przypadku ruchu jednostajnego po okręgu o promieniu R z prędkością o

wartości v0, zależne od czasu położenie wyznacza jedynie współrzędna biegunowa t{] g i zgodnie z ( 5.16 ) na stronie 30, mamy ( wybór ! dotyczy kierunku obiegu ):

( 5.21 ) Rdt

d tv t

Rv dt

Rv t t

t

t

0 00

00

0

0

&! ! !{

{ { {= = = -u]] ]

gg g#

32

Dar

ek D

yl: „

Zast

osow

anie

rach

unku

różn

iczk

oweg

o i c

ałko

weg

o w

kin

emat

yce”

Rozdział 5: Opis ruchu punkt materialnego: do podrozdziału: Przyspieszenie chwilowe i jego własności

5.3. Przyspieszenie chwilowe i jego własności

Z definicji, przyspieszenie chwilowe w chwili t, ( )a t , określone jest równaniem:

( 5.22 ) ( ) ( ) ( )a tdt

dv tdt

d r t2

2

= =

i w związku z tym jest miarą zmienności prędkości ciała.

Korzystając z ( 5.11 ) na stronie 29, mamy: ( )a tdtd v t t t

dtdv t

t t v tdt

dt t= = +t t

t] ]

]] ]

]g g

gg g

g! +

Stąd, biorąc pod uwagę równanie ( 5.8 ) na stronie 29, możemy zapisać

( 5.23 ) a t

dtdv t

t t v tdsdt

dtds

dtdv t

t tt

v tn t

a t t t a t n tt d

2

t= + = +

= +

t t t t

t t

]]

] ]]

]]]

]

] ] ] ]

gg

g gg

ggg

g

g g g g

A zatem w sposób naturalny przyspieszenie rozkłada się na wzajemnie prostopa-dłe składowe:

przyspieszenie styczne a tdt

dv tt =]

]g

g

i przyspieszenia dośrodkowe, o wartości a tt

v td

2

t=]

]]

ggg

Ruch nazywamy jednostajnie zmiennym ( przyspieszonym lub opóźnio-nym), gdy przyspieszenie styczne, at , jest niezerowe i stałe w czasie ruchu. W ruchu jednostajnie zmiennym prostoliniowym — i tylko takim — mamy poza tym znikanie przyspieszenia dośrodkowego.

Zgodnie z definicją ( 5.22 ) na stronie 32, składowe przyspieszenia w układzie karte-zjańskim wynoszą:

( 5.24 ) , , , ,a tdt

dv tdt

dv tdt

dv tdt

d x tdt

d y tdt

d z tx y z2

2

2

2

2

2

= =]] ] ] ] ] ]

gg g g g g g: :D D

Chcąc wyznaczyć składowe przyspieszenia w układzie współrzędnych sferycznych skorzystamy z równania ( 5.15 ) na stronie 30. Oznaczając dla uproszczenia pochod-ne czasowe kropką, i korzystając z reguł różniczkowania , możemy zapisać:

33

Dar

ek D

yl: „

Zast

osow

anie

rach

unku

różn

iczk

oweg

o i c

ałko

weg

o w

kin

emat

yce”


( 5.25 ) sina tdtd r t r t r t t t r t t t tj j j { {= + + =o t o t o t] ] ] ] ] ] ] ]] ] ]g g g g g g g gg g g# -

r t r t r t r t r t t t r t t t r t t tj j j j j j= + + + + +p t o to o o t p t o to] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ]g g g g g g g g g g g g g

sin cos

sin sin

r t t t t r t t t t t

r t t t t r t t t t

j { { j j { {

j { { j { {

+ + +

+ +

o o t o o t

p t o tp] ]] ] ] ] ]] ] ] ]

] ]] ] ] ] ]] ] ]

g gg g g g gg g g g

g gg g g g gg g g

Obliczenia pochodnych , ,r t t tj {to to to] ] ]g g g wersorów wykonujemy korzystając z rów-nań ( 5.3 ) na stronie 27, zapisując je w postaci analogicznej do ( 5.13 ) na stronie 30. Po uporządkowaniu względem wersorów , ,r t t tj {t t t] ] ]g g g, (patrz ( 5.1 ) na stronie 27)otrzymujemy:

( 5.26 )

, ,

( ) ( ) ( )

sin

a t a a a

a r t r t t r t t

a r t t r t t

a t r t t r t t r t t t t

2

2 2 ctg

r sfer

r2 2{ j

j j

j { { j j {

=

= - -

= +

= + +

j {

j

{

p o o

o o p

o o p o o

]] ]

] ] ] ]]] ] ] ] ] ] ]] ] ]

gg g

g g g ggg g g g g g gg g g

5 ?

# -

W szczególności w układzie współrzędnych biegunowych na płaszczyźnie X,Y:

( 5.27 ) , ( ) ( ) ( ) , 2a t a a r t r t t r t t r t tr bieg

2{ { {= = - +{ p o o o p] ] ] ] ]g g g g g5 5? ?

gdyż wtedy 2j= r .

W ruchu płaskim pochodną tdt

d tt{

~f= =p ]

]]g

gg nazywamy przyspieszeniem ką-

towym.Widać z powyższego, że znajomość prędkości ( a tym bardziej położenie ciała w

każdej chwili ruchu ), pozwala metodą różniczkowania wyznaczyć jego przyspiesze-nie w dowolnym punkcie toru. I znowu można postawić zagadnienie odwrotne: czy znajomość przyspieszenia w każdej chwili a t] g pozwala jednoznacznie wyzna-czyć prędkość ciała. Podobnie jak w przypadku prędkości, odpowiedź na to pytanie jest pozytywna, jeśli tylko znamy prędkość w ustalonej chwili początkowej t0, v0

, tzn. zadany jest warunek początkowy: v t v0 0=] g . Wtedy na mocy poprzednich roz-ważań ( patrz p. „ 4.2. Całkowanie wektorów” na stronie 24 ) mamy:

( 5.28 ) v t v a t dtt

t

0

0

= + u u] ]g g#

lub bardziej jawnie we współrzędnych kartezjańskich:

34

Dar

ek D

yl: „

Zast

osow

anie

rach

unku

różn

iczk

oweg

o i c

ałko

weg

o w

kin

emat

yce”


( 5.29 )

v t v a t dt

v t v a t dt

v t v a t dt

x x x

t

t

y y y

t

t

z z z

t

t

0

0

0

0

0

0

= +

= +

= +

u

u u

u u

] ]

] ]

] ]

g g

g g

g g

Z

[

\

]]]]

]]]]

#

#

#

O ile z powyższego uda się obliczyć v t] g, to korzystając z równań ( 5.18 ) na stro-nie 31 ( lub jawnie we współrzędnych kartezjańskich ( 5.19 ) na stronie 31 ) można wy-znaczyć położenie ciała w dowolnej chwili t, jeśli znamy jego początkowe położenie.

Na przykład dla ruchu jednostajnie zmiennego wzdłuż osi X z przyspiesze-niem a ax = , i zadanymi warunkami początkowymi w chwili : ,t x v x0 0 0 , mamy:

( 5.30 ) v t v a dt v a t t at v at

x t x at v at dt x a t t v at t t

x x

t

t

x x

x

t

t

x

0 0 0 0 0

0 0 0 0 21 2

02

0 0 0

0

0

= + = + - = + -

= + + - = + - + - -

u

u u

] ]

] ] ] ] ]

g g

g g g g g

#

#

Dla rozpatrywanego poprzednio ruchu jednostajnego po okręgu o promieniu t Rt =] g z prędkością o wartości v0 (równanie ( 5.21 ) na stronie 31), przyspieszenie

ma tylko składową dośrodkową i na mocy ( 5.23 ) na stronie 32, ma wartość:

a aRv

d02

= =

Dla ruch po okręgu ze stałym przyspieszeniem kątowym dt

d tdt

d t2{ ~f= =

] ]g g mamy: ( ruch jednostajnie zmienny po okręgu )

t t dt t t

t t t dt t t t t t

t

t

t

t

0 0 0

0 0 0 0 21 2

02

0 0 0

0

0

~ ~ f ~ f

{ { f ~ f { f ~ f

= + = + -

= + + - = + - + - -

u u

u u

] ]

] ] ] ] ]

g g

g g g g g

#

#

Prędkość ma składowe biegunowe , R t0 bieg~] g5 ? i wartość v t R t~=] ]g g . Stąd, na podstawie równań ( 5.23 ) na stronie 32, składowe przyspieszenia stycznego i dośrod-kowego wynoszą odpowiednio:

( 5.31 ) adt

dv tR

dtd t

R aR

R tR t tt d

2 2

0 02~

f~

f ~ f= = = = = + -] ] ]

]g g g

g

Widać zatem, że w tym przypadku, wartość przyspieszenia nie jest stała i wynosi ( dla szczególnych wartości początkowych ,t 0 00 0~= = ):

a a a R t1t d2 2 2 4f f= + = +

35

Dar

ek D

yl: „

Zast

osow

anie

rach

unku

różn

iczk

oweg

o i c

ałko

weg

o w

kin

emat

yce”

Rozdział 5: Opis ruchu punkt materialnego: do podrozdziału: Podsumowanie

5.4. Podsumowanie

Z przedstawionych w tym podrozdziale informacji jasno wynika, że dopiero uży-cie pojęć pochodnej i całki, opartych na pojęciu granicy pozwala w sposób ogólny i ścisły zarazem zdefiniować podstawowe wielkości kinematyczne, w tym prędkość i przyspieszenie. Można było zauważyć, że w formie skrajnej mamy do czynienia z dwoma zasadniczymi typami zagadnień:

• tzw. zagadnieniem prostym, w którym ze znajomości położenia wnioskuje-my o prędkości. a dalej o przyspieszeniu:

r t v t a t$ $] ] ]g g g

co wymaga jedynie znajomości reguł różniczkowania omówionych w poprzed-nich podrozdziałach.

• tzw. zagadnieniem odwrotnym, w którym ze znajomości przyspieszenia wnioskujemy o prędkości, a następnie o położeniu ciała:

a t v t r t$ $] ] ]g g g

co wymaga jednak stosowania operacji całkowania, a ta, celem ujednoznacz-nienia wyniku, wymaga znajomości warunków początkowych: r t r0 0=] g oraz v t v0 0=u] g . Ten typ zagadnień jest o tyle trudniejszy, o ile całkowanie jest trud-niejsze od różniczkowania. Rozszerzając materiał tego kompendium należy dodać, że nasze poznanie natury ( w fizyce klasycznej ) oparte jest na równa-niu Newtona, które w inercjalnym układzie odniesienia, przyjmuje postać:

a tmtF

=]]

gg ,

gdzie m oznacza masę ciała, a tF] g jest siłą działającą na ciało w chwili t, i opisuje oddziaływanie otoczenia na badany obiekt. Poznanie to więc oparte jest na zagadnieniu odwrotnym, i jako takie, nie jest na ogół zadaniem pro-stym, ze względu na problemy związane z wyznaczaniem całek.

Rozszerzenie informacji zawartych w tym podrozdziale, Czytelnik może znaleźć w pozycjach literatury: [6], [7], [8].

3636

6.0. Rozwiązania przykładowych problemów.

Na ogół postawione zagadnienia mają postać uwikłaną, i dają sprowadzić się do za-gadnienia prostego lub odwrotnego po wykonaniu kilku, lub kilkunastu kroków ro-zumowania. Poniżej przedstawiono kilka takich problemów. Ich analiza może po-móc Czytelnikowi w pełniejszym zrozumieniu wprowadzonych pojęć.

Istnieje bogaty literatura związana ze zbiorami zadań na różnym poziomie — niektóre z nich zawierają mniej lub bardziej pełne rozwiązania. Kilka propozycji może Czytelnik znaleźć w spisie literatury.

6.1. Zagadnienie 1

Ruch ciała opisany jest równaniami:

,x t b e e y t b e ect ct ct ct= + = -- -] ] ] ]g g g g

gdzie b i c — stałe dodatnie. Znaleźć równanie toru i maksymalne przyspieszenie dośrodkowe.Rozwiązanie. Zadanie jest zagadnieniem typu prostego. W celu znalezienia toru, dodajmy powyższe równania stronami:

2x t y t b e eb

x y2

ct ct(+ = = +

] ]g g

Podstawiając to do pierwszego z równań, otrzymamy:

4y x bbx

by

4 412 2 2

2

2

2

2

,= - - =

co oznacza, że ciało porusza się po jednej z dwu gałęzi paraboli.

Korzystając z ( 5.12 ) na stronie 30, mamy:

v tdt

dx tb c e e

v tdt

dy tb c e e

xct ct

yct ct

= = -

= = +

-

-

]]

]

]]

]

gg

g

gg

g

skąd:

3737

Dar

ek D

yl: „

Zast

osow

anie

rach

unku

różn

iczk

oweg

o i c

ałko

weg

o w

kin

emat

yce”

do podrozdziału: Zagadnienie 2

v t v v b c e e2x yct ct2 2 2 2 2 2 2= + = + -] ]g g

W celu wyznaczenia promienia krzywizny skorzystamy z równania (( 5.8 ) na stro-nie 29, które w przypadku ruchu płaskiego przyjmuje postać:

txy xyx y2 2 2

3

t = -+

o p p oo o

]]

gg

Na mocy równania ( 5.23 ) na stronie 32, i powyższych rezultatów, otrzymujemy osta-tecznie:

a te e

b c2 2d ct ct2 2

2

=+ -

] g

Poszukując ekstremum przyspieszenia dośrodkowego z równania dt

da t 0d =] g , docho-

dzimy do warunku e e 0ct ct2 2- =- , co oznacza, że wartość ekstremalna występuje w chwili t=0 i jest to maksimum ( bowiem

dtd a 0 0<r

2

2

] g ) o wartości b c2 2.

6.2. Zagadnienie 2

Cząstka porusza się po krzywej

ax

by 12

2

2

2

+ =

z przyspieszeniem równoległym do osi Y. W chwili t=0 cząstka znajdowała się w punkcie ,x y b00 0= = i miała prędkość o wartości v0

Obliczyć przyspieszenie cząstki w każdym punkcie toru.

Rozwiązanie. Z warunków zadania wynika, że jedyną różną od zera składo-wą przyspieszenia jest składowa ay . tzn ,a t a t0 x=] ]g g5 ?. Warunek początkowy dla prędkości przyjmuje postać ,v v v0 00 0= =] g 5 ?, bowiem prędkość jest zawsze styczna do trajektorii ruchu. Korzystając kolejno z równań ( 5.29 ) na stronie 34 i ( 5.19 ) na stronie 31, dla składowej x, otrzymujemy

v t v x t v tx 0 0(= =] ]g g

Podstawiając to do równania toru i rozwiązując je ze względu na y, mamy:

y t bax t1 2

2

!= -]]

gg

3838

Dar

ek D

yl: „

Zast

osow

anie

rach

unku

różn

iczk

oweg

o i c

ałko

weg

o w

kin

emat

yce”

do podrozdziału: Zagadnienie 3

Korzystając teraz z ( 5.24 ) na stronie 32 dla składowej y, otrzymamy ( licząc pochod-ną funkcji złożonej ( patrz p. „ 2.4. Podstawowe własności pochodnej” na stro-nie 14 ) ):

v tdt

dy tdx

dy xdt

dx tb

ax t a

x tdt

dx t

ab v

y tx t

2 1

1 2

1

y

2

2 2

2

20

!= = =-

- =

= -

] ] ] ]]

]b ]

] ]]

g g g gg

gl g

g gg

Stąd, korzystając nadal z funkcji ,x t v t y t0=] ]g g— otrzymanego na poprzedniej stronie, z obliczonej wyżej y t

dtdy t

=o ]]

gg oraz równania toru, mamy:

a tdt

dv tab v

yxy xy

ab v

y

v y xab v x

a y tb v

1yx

2

20

2 2

20

2

0 2

20

2 3

402

= = - - =-+

=

=-

o o] ] ]

]

g g g

g

& 0

Ostatecznie więc ,aa yb v0 2 3

402

= -< F zależy tylko od współrzędnej y.

Otrzymano także zależność czasową przyspieszenia i prędkości..

6.3. Zagadnienie 3.

W dowolnym punkcie toru wyznaczyć prędkość i przyspieszenie ciała, które w ru-chu prostoliniowym wzdłuż osi X osiąga punkt x w czasie t x a x b x c2= + +] g (a, b, c są stałymi)

Rozwiązanie. Zgodnie z definicjami prędkości i przyspieszenia, powinniśmy obliczać pochodne po czasie, a mamy do dyspozycji funkcję odwrotną tj. zależność czasu od położenia. Korzystając z formuły na pochodną funkcji odwrotnej i funkcji złożonej( patrz p. „ 2.4. Podstawowe własności pochodnej” na stronie 14 ), mamy:

vdtdx

dxdt ax b

adtdv

dxdv

dtdx

dxdv v

ax ba v

va

ax ba

12

1

22 2

22

x

xx x x

x xx

2 3 3

= = =+

= = = =-+

=- =-+] ]g g

Oczywiście, powyższe ma sens jedynie dla takich x, które nie powodują osobliwości

tj, x ab

2! - oraz mają fizyczny sens tzn. leżą na jednej z gałęzi funkcji pierwiastko-

wej. Zależy to oczywiście od konkretnych wartości stałych a, b, c.

3939

Dar

ek D

yl: „

Zast

osow

anie

rach

unku

różn

iczk

oweg

o i c

ałko

weg

o w

kin

emat

yce”

do podrozdziału: Zadanie 4

6.4. Zadanie 4

Wyznaczyć tor po którym pies goni kota, zakładając, że kot ucieka wzdłuż dosta-tecznie długiego muru w jedną stronę, ze stałą prędkością o wartości vk. Odległość przy której pies zobaczył kota na wprost, co rozpoczęło pościg, wynosi l. Jaka musi być stała wartość prędkości psa vp aby pies dogonił kota?

Rozwiązanie.

A Bα(x)

C

x

y(x)

X

Y

l

Powyższy rysunek obrazuje sytuację w chwili t: pies zajmuje położenie A, kot zaś położenie C. Kluczowym dla rozwiązania spostrzeżeniem jest fakt, że pies goni kota w taki sposób, że zawsze patrzy na niego na wprost tzn. punk C leży na stycznej do toru w punkcie A. Po czasie t od początku gonitwy kot przebiegł odległość do punktu C równą: v tk . Zatem długość odcinka BC wynosi v t y xk - ] g, długość odcinka AB jest natomiast równa l x- . Korzystając z geometrycznej interpretacji pochodnej ( patrz p. „ 2.3. Interpretacja geometryczna pochodnej” na stronie 13 ) otrzymuje-my podstawowe równanie:

( ) ( )dx

dy xl x

v t y xtg ka = =--

] g

to równanie na poszukiwaną funkcję y x] g zawiera nieznaną zmienną: czas t. Ponie-waż jednak ruch psa jest jednostajny,stąd, korzystając z ( 5.5 ) na stronie 28 , mamy:

tvs

vdx dy

v dxdy x

dx1 1 1p p

C

p

x2 2

0

2

0

= = + = + uu

u]b gl# #

4040

Dar

ek D

yl: „

Zast

osow

anie

rach

unku

różn

iczk

oweg

o i c

ałko

weg

o w

kin

emat

yce”


Podstawienie tego równania do poprzedzającego daje na jednak równanie na nieznaną wielkość y x] g równanie typu różniczkowo-całkowego, bowiem szukana wielkość występuje w nim zarówno pod znakiem pochodnej, jak i całki. Ten typ równań należy do jednych z najtrudniejszych do rozwiązania. Zamiast tego przej-dziemy do równania czysto różniczkowego, co wymaga jednak policzenia odpowied-niej pochodnej. W tym celu przekształćmy przedostatnie równanie do postaci:

l xdx

dy xvv

dxdy x

dx y x1p

k

x 2

0

- = + -uu] ] ]b ]g g gl g#

Po obustronnym zróżniczkowaniu, oznaczając vvp

kb= , otrzymujemy:

l xdx

d y xdx

dy x12

b- = +] ] ]ag g gk

Jest to równanie różniczkowe rzędu drugiego ( jako efekt ostatniego różniczko-wania, za to już bez całki ) na szukaną wielkość y x] g, które rozwiążemy metodą przez podstawienie:

z xdx

dy x=]

]g

g

z warunkiem początkowym, zgodnym z warunkami zadania ( pies początkowo pa-trzy na kota ), z 0 0=] g , a dalej metodą rozdzielania zmiennych tzn. przenosząc wielkości zależne od zmiennej zależnej z x] g na jedną stronę równania, a od nie-zależnej x na drugą. Nie zawsze da się tak zrobić, ale w tym przypadku prowadzi to do równania:

zdz

l xdx

11

xz

200

b+

=-

##

Wykorzystując wnioski z poprzednich paragrafów ( lub korzystając z tablic całek ), w wyniku całkowania ostatniego równania, otrzymujemy:

ln lnz zl

l x1 2 b+ + =- -] ag k

a stąd:z x

l xl

l xl

21

21=

--

-

b b-

] a ag k k

Ponieważ:

dx

dy xz x y x y z x dx

x

0

0

(= = + u u]] ] ]gg g g#

4141

Dar

ek D

yl: „

Zast

osow

anie

rach

unku

różn

iczk

oweg

o i c

ałko

weg

o w

kin

emat

yce”


więc ( relatywnie ) proste całkowanie, z warunkiem początkowym y 00 = wynikają-cym z warunków zadania, prowadzi ostatecznie do wyniku:

y x l l x l l x l1 1 12

1 1 12b b b

b=

+- -

-- +

-

bb

bb

-+ -] ] ]g g g& 0 ,

co jest rozwiązaniem pierwszej części zadania. Pies dogoni kota jeśli istnieje ( skończona ) granica: lim y x

x l"] g, a to zachodzi gdy

1 0 . 1tzn> <b b- , czyli jeśli pies jest szybszy od kota — co jest intuicyjne jasne.W czasie doganiania kot przebiegnie drogę

S y l l1

k 2b

b= =

-] g

co zajmie mu czas Tvy a

k=

] g . W tym samym czasie pies przebiegnie drogę S v Tp p=

•

To kończy ten krótki zarys zastosowań elementarnych zastosowań rachunku różniczkowego i całkowego do prostych zagadnień kinematyczny. Oczywiście w ra-mach tak krótkiego opracowania, nie można było poruszyć interesujących tematów dotyczących np. ruchów z więzami czy zagadnień wykraczających poza ramy opi-su ruchu punktu materialnego np. kinematyki bryły sztywnej. Autor ma nadzieje, że przedstawiony materiał pomoże w z zrozumieniu bardziej skomplikowanych za-gadnień, bo podane tu podstawy są uniwersalne. Należy pamiętać o tym, że istotą jest właściwe rozumienie definicji i umiejętność posługiwania się wprowadzonymi pojęciami. Reszta to kwestia wyobraźni — więc powodzenia.

Dzikowo, 2010 rok.

4242

Literatura

[1] K. Maurin, Analiza. Część I: Elementy., pwn 1977.[2] F. Leja, Rachunek różniczkowy i całkowy, pwn 1979.[3] L. Górniewicz, R.S. Ingarden, Analiza matematyczna dla fizyków, t.1, pwn 1981[4] J. Królikowski, C. Steckiewicz, Matematyka. Wzory, definicje, tablice., Wy-

dawnictwa Komunikacji i Łączności 1970 [5] J. Gancarzewicz, Geometria różniczkowa, pwn 1987[6] G. Białkowski, Mechanika klasyczna: mechanika punktu materialnego i bryły

sztywnej, pwn 1975 [7] C. Kittel, W.D. Knight, M.A. Ruderman, Mechanika, pwn 1975[8] R.P. Feynman, R. Leighton, M.Sands, Wykłady Feynmana z fizyki. Tom 1, pwn

1971[9] A. Hennel, W. Krzyżanowski, W. Szuszkiewicz, K. Wódkiewicz, Zadania i pro-

blemy z fizyki, pwn 2002[10] L. Grieczko, W. Sugakow, O. Tomasiewicz, A. Fiedoricienko, Zadania z fizy-

ki teoretycznej, pwn 1975[11] W. Kobuszkin, Metodyka rozwiązywania zadań z fizyki, pwn 1981

KOMPENDIUM Z FIZYKI ε = mc2

Documents

Transcript of KOMPENDIUM Z FIZYKI ε = mc2