KINEMATYKA CIAŁA SZTYWNEGO - tu.kielce.plgrysa/TZ3.pdf · 04 Kinematyka 40 KINEMATYKA PUNKTU OPIS...
Transcript of KINEMATYKA CIAŁA SZTYWNEGO - tu.kielce.plgrysa/TZ3.pdf · 04 Kinematyka 40 KINEMATYKA PUNKTU OPIS...
04 Kinematyka 39
KINEMATYKA CIAŁA SZTYWNEGO
KINEMATYKA: opis ruchu ciał bez wnikania w związki mię-dzy ruchem a jego przyczyną (opis geometryczny).
RUCH CIAŁA: zjawisko zmiany położenia ciała w czasie względem innego ciała, umownie przyjętego za nieruchome
RUCH JEST POJĘCIEM WZGLĘDNYM
UKŁAD ODNIESIENIA Z I E M I A
MECHANIKA KLASYCZNA: ruch ciała odbywa się z prędko-ściami bardzo małymi w porównaniu z prędkością światła
PRZESTRZEŃ EUKLIDESOWA
CZAS: pojęcie pierwotne
CZAS JEST NIEZALEŻNY OD MATERII I PRZESTRZENI. CZAS JEST NIEODRACALNY.
JEDNOSTKI MIARY W KINEMATYCE: metr, sekunda
04 Kinematyka 40
KINEMATYKA PUNKTU
OPIS RUCHU PUNKTU W FUNKCJI CZASU 1. Współrzędne prostokątne (kartezjańskie). 2. Wektor wodzący. 3. Naturalny – współrzędna łukowa wzdłuż toru. 4. Inny – współrzędne biegunowe, walcowe, sferyczne.
PODSTAWOWE POJĘCIA
– TOR PUNKTU (trajektoria): linia ciągła, będąca miejscem geometrycznym kolejnych położeń ruchomego punktu w przestrzeni.
– RÓWNANIA RUCHU PUNKTU: x = x(t) y = y(t) z = z(t).
– promień (wektor) wodzący: r = r(t), r = x(t) i + y(t) j + z(t) k rx = x(t) ry = y(t) rz = z(t).
– RÓWNANIE TORU PUNKTU: równanie krzywej otrzymanej z
równań ruchu po wyeliminowaniu czasu t.
– CHWILOWOŚĆ RUCHU: badanie parametrów ruchu (po-
łożenie, droga, prędkość, przyspieszenie w określonej chwili
czasu t).
Styczna do toru
Normalna do toru
Wektor prędkości
04 Kinematyka 41
MOŻLIWOŚCI OPISU RUCHU PUNKTU W PŁASZCZYŹNIE
Współrzędne biegunowe na płaszczyźnie
r = f1(t) = f2(t)
x = r cos y = r sin
Współrzędne biegunowe w przestrzeni
r = f1(t) = f2(t) = f3(t)
x = r sin cos
y = r sin cos
z =r cos
Współrzędne walcowe
r' = f1(t) = f2(t) z = f3(t)
x = r' cos y = r' sin z z
Równanie ruchu punktu na torze
s = f(t)
A0 t = 0, s = 0 s(t) – droga
04 Kinematyka 42
Z równanie ruchu w prostokątnym układzie współrzędnych obli-cza się współrzędne wektora prędkości i przyspieszenia.
PRĘDKOŚĆ PUNKTU
PRĘDKOŚĆ = h
km
s
m
CZASUPRZYROST
DROGIPRZYROST
Przyrost promienia – wektora (droga) )t(r)t(rr 1122
Prędkość średnia:
h
km,
s
m
t
rvsr
Prędkość chwilowa: )t(rdt
rd
t
rlimv
0t
Zapis wektorowy: v = vx i + vy j + vz k
zdt
dzv
ydt
dyv
xdt
dxv
z
y
x
2
z
2
y
2
x vvvv
v
v)z,vcos(,
v
v)y,vcos(,
v
v)x,vcos( zyx
04 Kinematyka 43
PRZYSPIESZENIE PUNKTU
PRZYSPIESZENIE = 2s
m
CZASUPRZYROST
PRĘDKOŚCIPRZYROST
1
A
śr
O
A
1
2
M1
v2
v
a1
v2
vśra
1v v
aTor punktu
Hodografv2
Przyspieszenie:
– zmiana wartości prędkości
– zmiana kierunku wektora prędkości
12 vvv
Przyspieszenie średnie:
2srs
m
ss
m
t
va
Przyspieszenie chwilowe: )t(r)t(vdt
vd
t
va lim
0t
a = ax i + ay j + az k
zdt
zd
dt
dva
ydt
yd
dt
dva
xdt
xd
dt
dva
2
2
zz
2
2y
y
2
2
zx
2
z
2
y
2
x aaaa
a
a)x,acos(,
a
a)x,acos(,
a
a)x,acos( zzz
.
Hodograf – krzywa wyznaczana przez położenie końca wektora pręd-kości
04 Kinematyka 44
Opis ruchu za pomocą współrzędnej łukowej
Chwila początkowa t = 0Tor punktu
0
As(t)
Współrzędna łukowa
Środek krzywizny
Pro
mie
ń krzyw
izny
ta
aan
vStyczna do toru
Normalna do toru
Współrzędna łukowa: s(t) Wektor prędkości: v Wektor przyspieszenia: a
Składowa styczna wektora przyspieszenia: ta
Składowa normalna wektora przyspieszenia: na
Wektor jednostkowy stycznej do toru, skierowany zgodnie z na-rastającymi wartościami s: Wektor jednostkowy normalnej do toru (normalna główna): n
Prędkość punktu: dt
dsv
Przyspieszenie punktu: naaa nt
dt
dsv ,
dt
dvat ,
2van
22
nt aaa , 0na ruch prostoliniowy
Współrzędna łukowa:
t
sdt)t(vs0
0 , )t(ss 00 .
Równanie ruchu: s = s(t)
04 Kinematyka 45
PODZIAŁ RUCHU:
RUCH PUNKTU:
– prostoliniowy
– po okręgu (ruch harmoniczny prosty)
– dowolny (krzywoliniowy RUCH BRYŁY:
– postępowy
– obrotowy
– płaski
– kulisty
– ogólny Każdy z w/w ruchów może być:
1. przyspieszony niejednostajnie (a lub a) 2. przyspieszony jednostajnie (a = const) 3. jednostajny (v = const) 4. opóźniony jednostajnie (-a = const)
5. opóźniony niejednostajnie (-a lub -a)
t [czas]
v
v0 v = const, a = 0
a = const
-a = const
a
-a
a
-a
Prę
dko
ść p
ocz
ątk
ow
a
04 Kinematyka 46
RÓWNANIA RUCHU PROSTOLINIOWEGO
Równanie ruchu: x = x(t)
)t(x)t(vaa)t(xdt
dxvv xx
RUCH JEDNOSTAJNY: v = const a = 0
1
t
0
t
0
Ctvdxvdxvx
Warunek początkowy: t = 0 x = x0 C1 = x0
x = x0 + vt
x
x0
t1
x1
t t
1
t
v
v = const
droga przebytaw czasie (0, t1)
RUCH JEDNOSTAJNIE PRZYSPIESZONY: a = const
v
v
t
0
0
0
atvvdtadvdtadv
t
0
t
0
2
000
x
x2
attvxxdt)atv(vdtdxdtvdx
0
x
tx0
t1
t
v
t1
v0
droga przebytaw czasie (0, t1)
a
t
a = const
0 Axx0
x(t)
v
a0a0
v0
a > 0 ruch jednostajnie przyspieszony,
a < 0 ruch jednostajnie opóźniony.
04 Kinematyka 47
Równania ruchu jednostajnie przyspieszonego:
Droga: 2
attvxx
2
00
Prędkość: atvv 0
Przyspieszenie: a = const
Wykresy ruchu punktu materialnego przedstawiono za pomocą programu Excel.
x0 = 0 [m]
v0 = 2 [m/s]
a0 = 1 [m/s2]
t [s] Droga x Prędkość v Przyspieszenie a
0 0,0 2 1
1 2,5 3 1
2 6,0 4 1
3 10,5 5 1
4 16,0 6 1
5 22,5 7 1
6 30,0 8 1
7 38,5 9 1
8 48,0 10 1
9 58,5 11 1
10 70,0 12 1
x0 = 0 [m]
v0 = -2 [m/s]
a0 = 1 [m/s2]
t [s] Droga x Prędkość v Przyspieszenie a
0 0,0 -2 1
1 -1,5 -1 1
2 -2,0 0 1
3 -1,5 1 1
4 0,0 2 1
5 2,5 3 1
6 6,0 4 1
7 10,5 5 1
8 16,0 6 1
9 22,5 7 1
10 30,0 8 1
WYKRESU RUCHU JEDNOSTAJNIE PRZYSPIESZONEGO
Wykres prędkości [m/s]
0
2
4
6
8
10
12
14
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Czas [s]
Prę
dko
ść [
m/s
]
Wykres drogi
0,0
10,0
20,0
30,0
40,0
50,0
60,0
70,0
80,0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Czas [s]
Dro
ga
[m
]
Wykres przyspieszeń [m/s2]
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Czas [s]
Prz
yspie
sze
nie
[m
/s2]
Wykres prędkości [m/s]
-4
-2
0
2
4
6
8
10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Czas [s]
Prę
dko
ść [
m/s
]
Wykres drogi
-5,0
0,0
5,0
10,0
15,0
20,0
25,0
30,0
35,0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Czas [s]
Dro
ga
[m
]
Wykres przyspieszeń [m/s2]
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Czas [s]
Prz
ysp
iesze
nie
[m
/s2]
04 Kinematyka 48
x0 = 0 [m]
v0 = 2 [m/s]
a0 = -1 [m/s2]
t [s] Droga x Prędkość v Przyspieszenie a
0 0,0 2 -1
1 1,5 1 -1
2 2,0 0 -1
3 1,5 -1 -1
4 0,0 -2 -1
5 -2,5 -3 -1
6 -6,0 -4 -1
7 -10,5 -5 -1
8 -16,0 -6 -1
9 -22,5 -7 -1
10 -30,0 -8 -1
x0 = 50 [m]
v0 = -2 [m/s]
a0 = -1 [m/s2]
t [s] Droga x Prędkość v Przyspieszenie a
0 50,0 -2 -1
1 47,5 -3 -1
2 44,0 -4 -1
3 39,5 -5 -1
4 34,0 -6 -1
5 27,5 -7 -1
6 20,0 -8 -1
7 11,5 -9 -1
8 2,0 -10 -1
9 -8,5 -11 -1
10 -20,0 -12 -1
Wykres prędkości [m/s]
-4
-2
0
2
4
6
8
10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Czas [s]
Prę
dko
ść [
m/s
]Wykres drogi
-35,0
-30,0
-25,0
-20,0
-15,0
-10,0
-5,0
0,0
5,0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Czas [s]
Dro
ga
[m
]
Wykres prędkości [m/s]
-1,2
-1
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Czas [s]
Prz
ysp
iesze
nie
[m
/s2]
Wykres prędkości [m/s]
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Czas [s]
Prę
dko
ść [
m/s
]
Wykres drogi
-30,0
-20,0
-10,0
0,0
10,0
20,0
30,0
40,0
50,0
60,0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Czas [s]
Dro
ga
[m
]
Wykres prędkości [m/s]
-1,2
-1
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Czas [s]
Prz
ysp
iesze
nie
[m
/s2]
04 Kinematyka 49
RUCH KRZYWOLINIOWY
RÓWNANIE RUCHU: s = s(t)
dt
ds
t
s
t
svv lim
0t
– wektor jednostkowy stycznej do toru, skierowany
zgodnie z narastającymi wartościami s
n – wektor jednostkowy normalnej głównej
PRĘDKOŚĆ PUNKTU:
dt
dsv
2222
y
2
y
2
x )z()y()x(vvvdt
dsv
zdt
dzvy
dt
dyvx
dt
dxv zyx
WSPÓŁRZĘDNA ŁUKOWA DLA DANEJ PRĘDKOŚCI v(t):
t
00sdt)t(vsdtvds
dt
dsv
s0 = s(0) w chwili t = 0
PRZYSPIESZENIE PUNKTU:
vv dt
dv
dt
dv
dt
vda
naaa nt
2
n
2
t aaa
PRZYSPIESZENIE STYCZNE: dt
dvat
PRZYSPIESZENIE DOŚRODKOWE:
2
n
va
Ruch prostoliniowy an = 0
2222
z
2
y
2
x
2
z
2
y
2
x )z()y()x()v()v()v(aaaa .
Pochodna funkcji wektorowej zmiennej skalarnej t (czas)
04 Kinematyka 50
RUCH PUNKTU PO OKRĘGU
X
Y
t
nr
v
aa
aA
0
Parametry punktu A:
v – prędkość liniowa, styczna do toru
na – przyspieszenie dośrodkowe
(normalne)
ta – przyspieszenie styczne
a - przyspieszenie wypadkowe
Równanie ruchu: s = f(t), droga: s = r s = r (t)
Prędkość punktu po okręgu: dt
dr
dt
dsv
Prędkość kątowa:
s
rad
dt
d rv
Prędkość kątowa w funkcji obrotów n [obr/min]: 30
n
60
n2
Przyspieszenia w ruchu po okręgu dla = r = const:
rdt
dr
dt
dr
dt
dva
2
2
t ,
2s
1 – przyspieszenie kątowe
rr
va 2
2
n , 422
n
2
t raaa .
RUCH HARMONICZNY PROSTY
Punkt M – ruch jednostajny po okręgu Badanie ruchu punktu M’ – rzutu punktu M na oś X
Ruch punktu M’ – ruch prostoliniowy po torze X. Równanie ruchu M’ w czasie t, liczonym od t = 0 (punkt w położeniu A):
x = R·cos(φ +φ0) = R·cos(t + φ0).
Jest to równanie
ruchu harmonicznego prostego.
0
04 Kinematyka 51
Prędkość ruchu harmonicznego prostego:
)sin(Rdt
dxv 0 t .
Przyspieszenie ruchu harmonicznego prostego:
xω)tcos(ωωRdt
dx
dt
dva 2
0
2
2
2
.
Wykresy drogi, prędkości i przyspieszenia:
Ruch punktu M’ jest ruchem okresowym. Ruch, w którym na-stępuje okresowa zmiana współrzędnej w zakresie od +R do –R
nazywa się ruchem drgającym.
Punkt 0 wokół którego odbywają się drgania – środek drgań.
Amplituda drgań – największa odległość punktu od środka drgań (tutaj: – R).
Okres drgań – przedział czasu T, w którym punkt wychodzący z punktu M0 wraca do niego.
Faza drgań – kąt φ = ·t.
Stałą określająca zmiany fazy w jednostce czasu – częstość
kątowa (kołowa) drgań.
2T .
Ruch harmoniczny prosty jest ruchem niejednostajnie zmiennym.
a
04 Kinematyka 52
Wzory
na r
uch p
o torz
e i n
a r
uch o
bro
tow
y
pro
mie
nia
wodzą
cego O
A
04 Kinematyka 53
RUCH KRZYWOLINIOWY
ZE STAŁYM PRZYSPIESZENIEM (rzut ukośny) consta
0xax ayay
1x Cxv 2y Catyv
31 CtCx 42
2
CtC2
aty
Warunki brzegowe:
00t x)x( 00t y)y(
cosv)x()v( 00t0tx sinv)y()v( 00t0ty
Stałe całkowania:
0403
0201
yCxC
sinvCcosvC
Równania ruchu:
2
att)sinv(yy
t)cosv(xx
2
00
00
Równanie toru (parabola):
2
022
0
00 )xx(cosv2
atg)xx(yy
04 Kinematyka 54
Przypadki szczególne:
rzut ukośny (poziomy)
rzut pionowy
Przykład rzutu ukośnego przedstawiony za pomocą programu Excel:
DANE WEJŚCIOWE:
22 m/s; 9,81 m/s2
450 = 0,785398 rad
x y
0 0,00
2 1,92
4 3,68
6 5,27
8 6,70
10 7,97
12 9,08
14 10,03
16 10,81
18 11,43
20 11,89
22 12,19
24 12,33
26 12,30
28 12,11
30 11,76
32 11,24
34 10,57
36 9,73
38 8,73
40 7,57
42 6,25
44 4,76
46 3,11
48 1,30
50 -0,67
kąt rzutu
przyspieszenie =
RZUT UKOŚNY
prędkość początkowa v0 =
RZUT UKOŚNY
0,00
2,00
4,00
6,00
8,00
10,00
12,00
14,00
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50[m]
[m]
04 Kinematyka 55
KINEMATYKA CIAŁA SZTYWNEGO
RUCH POSTĘPOWY
RUCH OBROTOWY
RUCH PŁASKI
RUCH KULISTY
RUCH ŚRUBOWY
CIAŁO SZTYWNE W PRZESTRZENI
)t(rr)t(rr)t(rr CCBBAA
Z warunku aby 3 punkty nie leżały na jednej prostej:
drrcrrbrr BCACAB
22
CB
2
CB
2
CB
22
CA
2
CA
2
CA
22
BA
2
BA
2
BA
d)zz()yy()xx(
c)zz()yy()xx(
b)zz()yy()xx(
xA,B,C, yA,B,C, zA,B,C współrzędne punktów A, B, C (9) Więzy: 3 równania (b, c, d = const)
CIAŁO SZTYWNE W PRZESTRZENI MA 6 STOPNI SWOBODY (9 – 3 = 6)
04 Kinematyka 56
RUCH POSTĘPOWY
W ruchu postępowym wszystkie punkty ciała poruszają się po identycznych torach, w każdej chwili posiadają takie same
prędkości i przyspieszenia (wartość, kierunek i zwrot).
Dla analizy ruchu postępowego wystarczy określenie ruchu jednego punktu ciała.
Przykłady ruchu postępowego
Inne przykłady:
– ruch tłoka w cylindrze,
– ruch klatki dźwigu,
– nieruchomo siedzący pasażer autobusu (pociągu).
04 Kinematyka 57
RUCH OBROTOWY
W ruchu obrotowym dwa punkty sztywno związane
z ciałem pozostają nieruchome wyznaczając
nieruchomą oś obrotu ciała.
C1
r
v
C1
r
v
a
n
ta
a
Rozkład prędkości i przyspieszeń w płaszczyźnie pro-
stopadłej do osi obrotu ciała.
Dla punktu C: równanie ruchu: )t(rs
Prędkość punktu: )t(rdt
dr
dt
dsv
.
Prędkość kątowa:
s
rad
dt
d
30
n
60
n2
.
Przyspieszenie styczne:
rdt
dr
dt
dva t .
Przyspieszenie kątowe:
2s
rad
dt
d.
Przyspieszenie dośrodkowe: rr
r
r
va 2
222
n
Przyspieszenie wypadkowe: 42ra
(Porównaj ruch punktu po okręgu)
04 Kinematyka 58
RUCH PŁASKI
Analiza ruchu płaskiego sprowadza się do badania ruchu
jednego przekroju ciała, będącego figura płaską.
Dowolne przemieszczeni figury płaskiej może być dokona-
ne za pomocą obrotu wokół punktu zwanego chwilowym
środkiem obrotu.
RUCH PŁASKI JAKO CHWILOWY RUCH OBROTOWY
04 Kinematyka 59
TWIERDZENIE O RZUTACH PRĘDKOŚCI
Rzuty prędkości dwóch punktów A i B ciała sztywnego na prostą łączącą te punkty są sobie równe.
A
B
v
Z
AZ
BZvA
Bv
v
W każdej chwili t rzut prędkości vA na prostą AB równa się rzutowi prędkości vB na tą prostą.
BZAZ vv → cosvcosv BA
Przykłady ruchu płaskiego
04 Kinematyka 60
TOCZENIE SIĘ KOŁA PO LINII POZIOMEJ BEZ POŚLIZGU
Koło (tarcza) o promieniu r toczy się bez poślizgu po poziomej linii. Środek koła A jest w ruchu jednostajnym, punkt styku C jest chwilowym środkiem obrotu. Dla danej prędkości vA(t) otrzymuje się:
.r
)t(a)t()t(,
r
)t(v)t(),t(v
dt
)t(dva AA
AAA
A
Dla znanych funkcji ω(t) oraz ε(t) otrzymuje się:
.r)t()t(a,r)t()t(v AA
C
vA aA
(t) (t)
r r rA A
C C
(t)vA (t)vA
aA
A
321
Trzy przypadki toczenia się krążka bez poślizgu: 1. Ruch jednostajny (rys. 1):
.0a,rv0)t(,const)t( AA
2. Ruch jednostajnie przyspieszony (rys. 2):
.ra,rtv,const)t(,t)t( A0A0
3. Ruch jednostajnie opóźniony (rys. 3):
.ra,rt)(v,const)t(,t)()t( A0A0
Prędkości punktów na obwodzie koła wyznacza się metodą superpozycji (wyznaczając składową postępową wektora vA) lub metodą chwilowego środka obrotu. Przyspieszenia wyznacza się metodą superpozycji (skła-dowa postępowa wektora aA). W przypadku toczenia się koła z poślizgiem, w punkcie styku koła z linią
pozioma należy uwzględnić „prędkość poślizgu” 0. Powoduje to zmia-nę położenia chwilowego środka obrotu C.
04 Kinematyka 61
RUCH PŁASKI SKŁADA SIĘ Z CHWILOWEGO RUCHU POSTĘ-POWEGO ORAZ CHWILOWEGO RUCHU OBROTOWEGO
0A0A vvv
OAvv 0A0A OA
Chwilowa prędkość kątowa względem bieguna dt
d = const
AOOA aaa
n
AO
t
AOAO aaa
Całkowite przyspieszenie punktu A:
n
AO
t
AOOA aaaa
Prędkość dowol-nego punktu A
Prędkość bieguna 0 (prędkość ruchu postępowego)
Prędkość punktu A względem bieguna 0
(prędkość ruchu obrotowego)
Przyspieszenie punktu A
Przyspieszenie bieguna O Przyspieszenie w chwilowym ruchu obrotowym wokół bieguna A
Przyspieszenie styczne Przyspieszenie normalne
04 Kinematyka 62
RUCH ZŁOŻONY PUNKTU
OXYZ – nieruchomy układ osi współrzędnych O’X’Y’Z’ – ruchomy układ osi współrzędnych
Ruch bezwzględny punktu A względem OXYZ: V
Ruch względny punktu A względem O’X’Y’Z’: wV
Ruch unoszenia punktu układu ruchomego O’X’Y’Z’
względem nieruchomego OXYZ: uV
Prędkość bezwzględna punktu A w ruchu złożonym jest wypad-
kową prędkości unoszenia Vu i prędkości względnej
Vw .
uw VVV
Przyspieszenie w ruchu złożonym:
Cuw aaaa
Przyspieszenie Coriolisa – dodatkowe przyspieszenie, wynika-jące z jednoczesności ruchu względnego i ruchu unoszenia.
Przyspieszenie Coriolisa Ca
= 0 w ruchu unoszenia prostolinio-
wym oraz gdy wektor
jest równoległy do wektora wv
.
Przyspieszenie względne Przyspieszenie
unoszenia
Przyspieszenie Coriolisa
Prędkość względna Prędkość unoszenia