1

Jan Iwanik

Metody inżynierii finansowej w ubezpieczeniach

Rozprawa doktorska przygotowana pod opieką prof. dra hab. Aleksandra Werona

Instytut Matematyki i Informatyki PWr, 2006

2

Plan prezentacji

1. Prawdopodobieństwo niepowodzenia definicja, wzory ogólne, przypadki szczególne, efektywność obliczeniowa.

2. Systematyczne ryzyko śmiertelności definicja, wzory na prawdopodobieństwo dożycia, analiza statystyczna danych historycznych, wycena opcji na śmiertelność.

3

Część I

Prawdopodobieństwo niepowodzenia

4

Proces ryzyka towarzystwa ubezpieczeń R(t) – definicja

u – kapitał początkowy, c – prędkość napływania składki, S(t) – łączna wartość szkód do momentu t.

)()( tSctutR

5

Przykładowa trajektoria procesu ryzyka

-

50

100

150

200

250

300

- 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00

t

R(t

)

6

Prawdopodobieństwo ruiny

Definicja 1. Niech R(t) będzie procesem ryzyka. Prawdopodobieństwem ruiny w czasie skończonym nazywamy

.0)}({inf),( ,0 tRPTu Tt

7

Prawdopodobieństwo niepowodzenia

Definicja 2. Prawdopodobieństwem niepowodzenia nazywamy

.)(0)}({inf

lub0)}({inf),,(

,0

,0

wTRtR

tRPwTu

Tt

Tt

8

Prawdopodobieństwo niepowodzenia, przypadek u = 0

Twierdzenie 1. Niech Gt będzie dystrybuantą rozkładu łącznej szkody S(t). Jeśli kapitał początkowy u = 0, to

.)(1

)(),,0(10

wcT

TT dssGcT

wcTGcT

wwT

9

Prawdopodobieństwo niepowodzenia dla dowolnego u

Twierdzenie 2. Niech Gt będzie różniczkowalną dystrybuantą rozkładu łącznej szkody S(t). Niech

wówczas

.)),,0(1)(()(),,(10 T

sT dswsTcsugwcTuGwTu

dx

xdGxg t

t

)()(

10

Związek z teorią kolejek

Definicja 3. Procesem czasu obsługi dualnym do R(t) nazywamy proces V(t)

Twierdzenie 3. Niech V(t) będzie procesem czasu obsługi dualnym do procesu ryzyka R(t). Jeśli V(0) = w, to niepowodzenie zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy V(T) > u.

.))()(()( }0)({ tVcdttTSTSdtdV

11

Szkody o wartościach stałych (1)

Twierdzenie 4. Niech wszystkie szkody mają wartość h, niech w/h oraz u/h będą liczbami naturalnymi. Wówczas prawdopodobieństwo niepowodzenia można szacować poprzez

,)(1),,()(1/

0

/1

0

hu

ii

hu

ii TwTuT

12

Szkody o wartościach stałych (2)

Twierdzenie 4 (kontynuacja). ...gdzie

jest zadane jawnym wzorem, np. dla T < w/c mamy

i

h

TVPT w

i

)()(

.

010000

01000

0100

010

01

01

)0()(

0

4

040

3

0310

2

02210

2

02210

c

h

h

TcTW

h

Tc

o

N

k kN

N

k kN

N

k kN

N

k kN

eT

13

Szkody o rozkładzie dyskretnym

Twierdzenie 5. Niech n’ = cT + u + 1 – w. Niech szkody mają rozkład skupiony na liczbach naturalnych, niech K’n będzie zmienną zdefiniowaną w pracy Ignatova i Kaisheva (2000), wówczas

gdzie Cin’ jest pewnym zbiorem ciągów.

'

1112211 ,')',,,,(

),,(1

'

n

i Cxxiii

T

ni

KnXxXxXxXPe

wTu

14

Złożoność obliczeniowa dla metody Ignatova-Kaisheva (2000)

Twierdzenie 6. Niech n’ = cT + u + 1 – w. Liczba obliczeń wyznacznika potrzebnych do wyznaczenia

wynosi 2n’ – 1.

),,( wTu

Czas obliczeń wyznaczony eksperymentalnie

020406080

100120140

0 2 4 6 8 10 12 14

kapital w

czas

obl

icze

ń

u = 8

u = 6

15

Prawdopodobieństwo niepowodzenia: podsumowanie

Zdefiniowano prawdopodobieństwo niepowodzenia i uzasadniono jego użyteczność.

Wyznaczono ogólne wzory dla prawdopodobieństwa niepowodzenia.

Wyznaczono wzory analityczne w szczególnych przypadkach.

Wykazano, że prawdopodobieństwo to można wyliczać efektywniej niż prawdopodobieństwo ruiny.

16

Część II

Systematyczne ryzyko śmiertelności

17

Zmiany w tablicach trwania życia

Tablice Edmonda Halley’a, jedne z pierwszych tablic trwania życia,

stworzone na podstawie wrocławskich danych

demograficznych (1693)

Zmieniające się parametry śmiertelności w USA (z pracy Lee i Cartera, 1992)

18

Intensywność umieralności, przypadek deterministyczny

Prawdopodobieństwo, że losowa osoba dożyje od wieku t do wieku T

.exp

T

t

sttT dsp

19

Stochastyczne modele intensywności umieralności

Zaproponowano następujące modele intensywności umieralności

gdzie a > 0 oraz σ > 0. Ponadto przyjęto, że parametr β = 0, 1/2 lub 1.

(*)

,,

c

TtsdBdsad

t

ssss

20

Prawdopodobieństwo dożycia

W przypadku stochastycznym

.exp

T

t

sttT dsEp

21

Postać prawdopodobieństwa dożycia

Twierdzenia 7-9. Niech intensywność umieralności będzie zdefiniowana przez (*). Wówczas, przykładowo, jeśli β = 0, to

gdzie

,),(),( tTtNTtMttT ep

.11

),(

,34)(23

),(

)(

)(2)(3

2

tTa

tTatTa

ea

TtN

eetTaa

TtM

22

Analiza statystyczna danych historycznych

Przebadano historyczne tablice trwania życia z 20 krajów rozwiniętych z lat 1920-2003. I dopasowywano modele opisane przez (*):

jednowymiarowe, dla osób urodzonych w zadanym roku,

wielowymiarowe, dla grup osób urodzonych w różnych latach.

23

Dopasowane modele wielowymiarowe

Model 3-wymiarowy dla osób aktualnie w wieku 70-72

Kraj β = 0 β = 1/2 β = 1

Austria tak

Belgia tak

Bułgaria tak

Czechy tak

Włochy tak

Japonia tak tak

Holandia tak

Szwajcaria tak

24

Opcje na śmiertelność

Definicja 4. Opcją (kupna) na śmiertelność nazywamy kontrakt wypłacający w momencie T sumę

Uwaga. Jeśli K = T-t pt, to opcja na śmiertelność jest idealnym zabezpieczeniem przed systematycznym ryzykiem śmiertelności.

.0,expmax

Kds

T

t

s

25

Aproksymacje wyceny opcji

Zaproponowano modyfikacje metod znanych z wyceny stóp procentowych:

aproksymacyjnej metody Vorsta (1990),

aproksymacyjnej metody E. Levy’ego (1992).

26

Wycena zmodyfikowaną metodą Levy’ego

Cena opcji na śmiertelność dla intensywności umieralności opisanej zmodyfikowanym geometrycznym ruchem Browna, β = 1.

Cena opcji na śmiertelność uzyskana zmodyfikowaną metodą Levy’ego

Dokładna cena opcji na śmiertelność uzyskana metodą symulacji

27

Systematyczne ryzyko śmiertelności: podsumowanie

Zdefiniowano nowe modele stochastyczne dla intensywności umieralności.

Obliczono analityczną postać prawdopodobieństwa dożycia.

Przeprowadzono analizę statystyczną danych historycznych i oceniono przydatność modeli.

Zaproponowano aproksymacje do wyceny opcji na śmiertelność.

Wyceniono opcję na śmiertelność dla zaproponowanych modeli.

28

Bardzo dziękuję za uwagę