IX Forum Rowna n R o zniczkowych Cz astkowychkarch/FORUM2014/aktulana...omawiana teori, e,...
26
IX Forum R ´ owna ´ nR ´ o ˙ zniczkowych Cz , astkowych B , edlewo, 1-5 wrze´ snia 2014 r. Lista referat ´ ow: Adamowicz Wybrane zagadnienia z teorii r´ owna´ n r´ o˙ zniczkowych cz , astkowych... Barna´ s Nier´ owno´ sci Hardy’ego w przestrzeniach ze zmiennym wyk ladnikiem Bartczak Kinetyczne sformu lowanie dla prawa bilansu z nieci , ag lym ´ zr´ od lem Bies Oszacowania Schauderowskie w przestrzeniach H¨oldera ze zmiennym wyk ladnikiem Burczak Globalne istnienie / wybuch rozwi , aza´ n jednowymiarowego uk ladu Kellera... Cholewa Krytyczne i nadkrytyczne r´ownania paraboliczne wy˙ zszych rz , ed´ ow w R N Cyranka Efekt szybkich oscylacji w dysypatywnych RRC Gaczkowski Przestrzenie Sobolewa ze zmiennym wyk ladnikiem na rozmaito´ sciach Gwiazda Prawa zachowania z nieci , ag lo´ sciami strumienia wzgl , edem niewiadomej... Kimaczy´ nska Naturalne warunki brzegowe dla operator´ow w wi , azce symetrycznej Kornafel Rozwi , azania lepko´ sciowe wielowymiarowego r´ ownania transportu... Kostrzewa Przestrzenie Sobolewa na lokalnie zwartych grupach abelowych Kuduk Zagadnienie z ca lkowym warunkiem dla niejednorodnych r´owna´ nr´o˙ zniczkowo... Lasica O rozwi , azaniach r´ ownania parabolicznego z bardzo singularn , a dyfuzj , a Lukaszewicz Ewolucyjne inkluzje r´o˙ zniczkowe w zagadnieniach mechaniki... Ma lolepszy Szacowanie czasu wybuchu rozwi , aza´ n dla pewnej klasy r´ owna´ n ca lkowych... Nowakowski Solvabilty of von Karman model without rotational inertia with nonlinear... Ochal Nier´ owno´ sci (hemi)wariacyjne w modelowaniu matematycznym Orpel Istnienie i asymptotyka rozwi , aza´ n pewnej klasy problem´ow eliptycznych Owczarek Regularno´ s´ c rozwi , aza´ n dla modelu Armstronga-Fredericka z efektami Cosserat Peradzy´ nski On integrability of hydrodynamic type of equations Piasecki Regularne rozwi , azania stacjonarnych r´ owna´ n Naviera-Stokesa... Pierzchalski Eliptyczne warunki brzegowe dla eliptycznych operator´ ow liniowych Pietruczuk Asymptotyczne w la´ sciwo´ sci rozwi , aza´ n r´ owna´ n r´ o˙ zniczkowych zwyczajnych Renclawowicz Przep lyw niestacjonarny przy du˙ zych danych: rozwi , azania globalne Rudnicki Modele strukturalne ze szczeg´ olnym uwzgl , ednieniem modeli prowadz , acych... Rybka Gwa ltowna dyfuzja kierunkowa: zliczanie i ´ sledzenie ´ scianek Szyma´ nska-D , ebowska O zagadnieniach Neumanna ´ Swierczewska-Gwiazda O rozwi , azaniach miarowych i hiperbolicznych prawach... Wr´oblewska-Kami´ nska Aproksymacja Oberbecka-Boussinesq w R 3 jako granica... Zatorska Przej´ scie do granicy z liczb , a Macha w uk ladzie Naviera-Stokesa-Maxwella-... Zdanowicz Zagadnienie mieszane dla quasiliniowego uk ladu hiperbolicznego... Zgliczy´ nski O dowodach wspomaganych komputerowo w r´ ownaniachr´o˙ zniczkowych...
Transcript of IX Forum Rowna n R o zniczkowych Cz astkowychkarch/FORUM2014/aktulana...omawiana teori, e,...
IX Forum Rownan Rozniczkowych Cz astkowych
B edlewo, 1-5 wrzesnia 2014 r.
Lista referatow:
Adamowicz Wybrane zagadnienia z teorii rownan rozniczkowych cz astkowych...Barnas Nierownosci Hardy’ego w przestrzeniach ze zmiennym wyk ladnikiemBartczak Kinetyczne sformu lowanie dla prawa bilansu z nieci ag lym zrod lemBies Oszacowania Schauderowskie w przestrzeniach Holdera ze zmiennym wyk ladnikiemBurczak Globalne istnienie / wybuch rozwi azan jednowymiarowego uk ladu Kellera...Cholewa Krytyczne i nadkrytyczne rownania paraboliczne wyzszych rz edow w RN
Cyranka Efekt szybkich oscylacji w dysypatywnych RRCGaczkowski Przestrzenie Sobolewa ze zmiennym wyk ladnikiem na rozmaitosciachGwiazda Prawa zachowania z nieci ag losciami strumienia wzgl edem niewiadomej...Kimaczynska Naturalne warunki brzegowe dla operatorow w wi azce symetrycznejKornafel Rozwi azania lepkosciowe wielowymiarowego rownania transportu...Kostrzewa Przestrzenie Sobolewa na lokalnie zwartych grupach abelowychKuduk Zagadnienie z ca lkowym warunkiem dla niejednorodnych rownan rozniczkowo... Lasica O rozwi azaniach rownania parabolicznego z bardzo singularn a dyfuzj a Lukaszewicz Ewolucyjne inkluzje rozniczkowe w zagadnieniach mechaniki...Ma lolepszy Szacowanie czasu wybuchu rozwi azan dla pewnej klasy rownan ca lkowych...Nowakowski Solvabilty of von Karman model without rotational inertia with nonlinear...Ochal Nierownosci (hemi)wariacyjne w modelowaniu matematycznymOrpel Istnienie i asymptotyka rozwi azan pewnej klasy problemow eliptycznychOwczarek Regularnosc rozwi azan dla modelu Armstronga-Fredericka z efektami CosseratPeradzynski On integrability of hydrodynamic type of equationsPiasecki Regularne rozwi azania stacjonarnych rownan Naviera-Stokesa...Pierzchalski Eliptyczne warunki brzegowe dla eliptycznych operatorow liniowychPietruczuk Asymptotyczne w lasciwosci rozwi azan rownan rozniczkowych zwyczajnychRenc lawowicz Przep lyw niestacjonarny przy duzych danych: rozwi azania globalneRudnicki Modele strukturalne ze szczegolnym uwzgl ednieniem modeli prowadz acych...Rybka Gwa ltowna dyfuzja kierunkowa: zliczanie i sledzenie scianekSzymanska-D ebowska O zagadnieniach NeumannaSwierczewska-Gwiazda O rozwi azaniach miarowych i hiperbolicznych prawach...Wroblewska-Kaminska Aproksymacja Oberbecka-Boussinesq w R3 jako granica...Zatorska Przejscie do granicy z liczb a Macha w uk ladzie Naviera-Stokesa-Maxwella-...Zdanowicz Zagadnienie mieszane dla quasiliniowego uk ladu hiperbolicznego...Zgliczynski O dowodach wspomaganych komputerowo w rownaniach rozniczkowych...
Wybrane zagadnienia z teorii rownan rozniczkowych cz astkowych zezmiennym wyk ladnikiem
T. Adamowicz
Instytut MatematycznyPolskiej Akademii Nauk
Abstrakt
Omowimy podstawowe rownania rozniczkowe ze zmiennym wyk ladnikiem, ich zasto-sowania oraz w lasnosci ich rozwi azan. W dyskusji skupimy si e na tzw. p(x)-laplasjaniei jego uogolnieniach. Prezentacja jest oparta m.in. na wspolnych pracach z PeteremHasto [2, 3] oraz Andersem i Jan a Bjorn [4]. Dodatkowa literatura obejmuje prace [1], [5]oraz [6].
Literatura
[1] T. Adamowicz, Phragmen-Lindelof theorems for equations with nonstandard growth, Non-linear Analysis, 97 March 2014, 169–184.
[2] T. Adamowicz, P. Hasto, Mappings of finite distortion and PDE with nonstandard growth,Int. Math. Res. Not. IMRN 10 (2010), 1940–1965.
[3] T. Adamowicz, P. Hasto, Harnack’s inequality and the strong p(x)-Laplacian, J. DifferentialEquations 250 Issue 3 (2011), 1631–1649.
[4] T. Adamowicz, A. Bjorn, J. Bjorn, Regularity of p(·)-superharmonic functions, the Kel-logg property and semiregular boundary points, Ann. Inst. H. Poincare Anal. Non Lineaire,doi:10.1016/j.anihpc.2013.07.012.
[5] T. Adamowicz, N. Lundstrom, The boundary Harnack inequality for variable expo-nent p-Laplacian, Carleson estimates, barrier functions and p(·)-harmonic measures,arxiv:1405.2678.
[6] P. Harjulehto, P. Hasto, Ut V. Le, M. Nuortio, Overview of differential equations withnon-standard growth, Nonlinear Anal. 72 (2010) no. 12, 4551–4574.
Nierownosci Hardy’ego w przestrzeniach ze zmiennym wyk ladnikiem
S. Barnas(praca wspolna z Iwon a Skrzypczak)
Politechnika Krakowskaul. Warszawska 24, 31-155 Krakow
Abstrakt
Nierownosci typu Hardy’ego s a waznym narz edziem w wielu dziedzinach analizy ma-tematycznej. Znajduj a swoje zastosowanie m.in. w analizie funkcjonalnej, w teorii praw-dopodobienstwa czy w rownaniach rozniczkowych cz astkowych. Dlatego tez, niezb ednejest badanie tego rodzaju nierownosci samych w sobie oraz ich uogolnianie na coraz toszersze za lozenia.
Wyprowadzimy wersj e nierownosci Hardy’ego ze zmiennym wyk ladnikiem oraz zdodatkowym cz lonem postaci∫
Ω
|ξ|p(x)µ1(dx) ≤∫
Ω
|∇ξ|p(x)µ2(dx) +
∫Ω
|ξln ξ|p(x) |∇p(x)|p(x)
p(x)p(x)µ2(dx),
gdzie p jest funkcj a rozniczkowaln a tak a, ze
1 < p− := ess infx∈Ω
p(x) ≤ p(x) ≤ p+ := ess supx∈Ω
p(x) <∞,
ξ : Ω→ R jest funkcj a lipschitzowsk a o zwartym nosniku oraz Ω jest dowolnym otwartympodzbiorem Rn.
Ponadto miary µ1(dx), µ2(dx) zalez a od p(x), pewnego parametru β, ci ag lej funkcjiσ(x) oraz od nieujemnego, s labego rozwi azania u nast epuj acej nierownosci
−∆p(x)u ≥ Φ w Ω,
z lokalnie ca lkowaln a funkcj a Φ. Funkcje σ(x) oraz Φ s a takie, ze istnieje
σ0 := infx∈Ω
σ(x) : Φ · u+ σ(x)|∇u|p(x) ≥ 0
∈ R.
Literatura
[1] Barnas S., Skrzypczak I., Hardy inequality in variable exponent Lebesgue spaces derivedfrom nonlinear problem, to appear.
[2] Skrzypczak I., Hardy–type inequalities derived from p–harmonic problems, Nonlinear Ana-lysis TMA Vol. 93, (2013), 30–50.
Kinetyczne sformu lowanie dla prawa bilansu z nieci ag lym zrod lem
L. Bartczak
Wydzia l Matematyki, Informatyki i MechanikiUniwersytet Warszawski
Abstrakt
Przedstawione zostan a wyniki dotycz ace istnienia rozwi azan dla prawa bilansu po-staci:
∂tu(t, x) + divx F (u(t, x)) = G(u(t, x)), t > 0, x ∈ Rd,
gdzie funkcja zrod la G jest nieci ag la i spe lnia jednostronny warunek Lipschitza. Funkcj etak a mozemy takze rozumiec jako odwzorowanie wielowartosciowe. W analizie powyzszegozagadnienia wykorzystujemy, tak zwane, sformu lowanie kinetyczne. Polega ono na znale-zieniu odpowiedniego rownania transportu (liniowego), ktorego rozwi azanie jest nieliniow afunkcj a zmiennej makroskopowej.
Oszacowania Schauderowskie w przestrzeniach Holdera ze zmiennymwyk ladnikiem
P. Bies
Wydzia l Matematyki i Nauk InformacyjnychPolitechnika [email protected]
Abstrakt
W referacie omowione zostan a rownania rozniczkowe cz astkowe eliptyczne drugiegorz edu z praw a stron a w przestrzeni Holdera ze zmiennym wyk ladnikiem. Pokazemy, zerozwi azanie owego problemu jest w przestrzeni Holdera ze zmiennym wyk ladnikiem ize jest ono jednoznaczne. Dowodzimy tego za pomoc a oszacowan Schauderowskich wprzypadku wspomnianych przestrzeni Holdera, ktorych prawdziwosc pokazujemy. Referatbazuje na wynikach uzyskanych wspolnie z Przemys lawem Gork a.
Globalne istnienie / wybuch rozwi azan jednowymiarowego uk laduKellera-Segela z niestandardow a dyfuzj a
J. Burczak, T. Cieslak, C. Morales-Rodrigo; R. Granero-Belinchon
Insytut Matematyczny [email protected]
Abstrakt
Przedstawi e wyniki dotycz ace dwoch uogolnien paraboliczno-parabolicznego uk ladu Kel-lera -Segela. Oryginalny uk lad
ut = div(u∇u− χu∇v) w (0, T )× Ω,
εvt = ∆v − γv + u−M w (0, T )× Ω
opisuje zachowanie mikroorganizmow wabionych substancj a chemiczn a. Kluczowym mo-delowanym aspektem jest tzw. kolaps chemotaktyczny, ktoremu matematycznie odpo-wiada wybuch rozwi azania. Interesuj ace nas uogolnienia, uzasadnione z punktu widzeniazastosowan, to przypadek nieliniowej dyfuzji a(u)
ut = div(a(u)∇u− χu∇v) w (0, T )× Ω,
εvt = ∆v − γv + u−M w (0, T )× Ω
oraz nielokalnej dyfuzji Λαuut = −µΛαu+ div(uΛβ−1Hv) + ru(1− u) w (0, T )× Ω,
τvt = −νΛβv − λv + u w (0, T )× Ω.
Ograniczaj ac si e do jednego wymiaru przestrzennego, pokazemy jak silna musi byc dy-fuzja, zeby uniemozliwic wybuch rozwi azania oraz - z drugiej strony - ze wybuch jestmozliwy w przypadku odpowiednio s labej dyfuzji.
Literatura
[1] Burczak, J., Granero-Belinchon, R., On a generalized Keller-Segel system in one spatialdimension, preprint.
[2] Burczak, J., Cieslak, T., Morales-Rodrigo, C., Global existence vs. blowup in a fully para-bolic quasilinear 1D Keller-Segel system. Nonlinear Anal., 75(13): 5215 – 5228, 2012.
Krytyczne i nadkrytyczne rownania paraboliczne wyzszych rz edow w RN
J. W. Cholewa
Instytut MatematykiUniwersytet Sl aski
Abstrakt
Rozwazane s a semiliniowe rownania paraboliczne wyzszych rz edow w RN z nieli-niowosci a o krytycznym i nadkrytycznym wyk ladniku. Omowione zostan a warunki wy-starczaj ace istnienia globalnego atraktora, a takze sytuacje w ktorych zagadnienie Cau-chy’ego moze nie byc dobrze postawione.
Przedstawione wyniki s a zaczerpni ete ze wspolnej pracy [3], b ed acej kontynuacj apublikacji [1, 2].
Literatura
[1] J. W. Cholewa, A. Rodriguez-Bernal, Linear and semilinear higher order parabolic equationsin RN , Nonlinear Analysis 75 (2012), 194–210.
[2] J. W. Cholewa, A. Rodriguez-Bernal, Dissipative mechanism of a semilinear higher orderparabolic equation in RN , Nonlinear Analysis 75 (2012), 3510–3530.
[3] J. W. Cholewa, A. Rodriguez-Bernal, Critical and supercritical higher order parabolic pro-blems in RN , Nonlinear Analysis 104 (2014), 50–74.
Efekt szybkich oscylacji w dysypatywnych RRC
J. Cyranka
Instytut Matematyki Stosowanej i MechanikiUniwersytet Warszawski
Abstrakt
Przedstawi e pewne wyniki dotycz ace dysypatywnych rownan rozniczkowych cz astkowychz niezerow a ca lk a warunku pocz atkowego. Ogolnie metoda stosuje si e do problemow wpostaci
du
dt= ν∆u+N(∇u, u) + f(t, x),
1
(2π)d
∫Td
u(t, x) = u0,
+ okresowe warunki brzegowe.Problem ten po zmianie uk ladu wspo lrz ednych na poruszaj acy si e uk lad wsp. z
pr edkosci a |u0| redukuje si e do problemu z zerow a ca lk a warunku pocz atkowego i szybkooscyluj acym w czasie wymuszeniem. Dla takiego problemu + za lozenia o N(∇u, u)wykazemy istnienie jednopunktowego atraktora (rozwi azanie okreslone na R o wartosciachw pewnej podprzestrzeni l2) .
Skupi e si e na studium przypadku jednowymiarowego rownania Burgersa z wymu-szeniem oraz rownania Naviera-Stokesa w 2D z wymuszeniem.
Literatura
[1] J. Cyranka, P. Zgliczynski, Existence of globally attracting solutions for one-dimensional viscous Burgers equation with nonautonomous forcing - a computerassisted proof, submitted, arXiv:1403.7170.
Przestrzenie Sobolewa ze zmiennym wyk ladnikiem na rozmaitosciach
M. Gaczkowski
Politechnika [email protected]
Abstrakt
Przedstawione zostan a podstwowe definicje i twierdzenia dotycz ace przestrzeni Sobo-lewa ze zmiennym wynikiem na rozmaitosciach riemannowskich. Jako przyk lad ilustruj acyomawian a teori e, przytoczony zostanie problem istnienia i jednoznacznosci rozwi azanrownania Poissona. Wi ekszosc wynikow zawarta jest w pracy [1].
Literatura
[1] M. Gaczkowski, P. Gorka, Sobolev spaces with variable exponents on Riemannian manifolds,Nonlinear Anal. 92 (2013), 47-59.
Prawa zachowania (bilansu) z nieci ag losciami strumienia wzgl edemniewiadomej i zmiennej przestrzennej
P. Gwiazda
Wydzia l Matematyki Informatyki i MechanikiUniwersytet Warszawski
Abstrakt
W wyst apieniu omowione zostan a rezultaty uzyskane wspolnie z M. Bulıcek, J.Malek, A. Swierczewska-Gwiazda, P. Wittbold, A. Zimmermann. Przy odpowiednichza lozeniach dotycz acych funkcji strumienia udowodnimy istnienie i jednoznacznosc rozwi azan.
Literatura
[1] M. Bulıcek, P. Gwiazda, J. Malek, and A. Swierczewska Gwiazda, On scalar hyperbolicconservation laws with a discontinuous flux, Math. Models Methods Appl. Sci., 21 no. 1(2011), 89-113
[2] M. Bulıcek, P. Gwiazda, and A. Swierczewska Gwiazda, Multi-dimensional scalar conserva-tion laws with fluxes discontinuous in the unknown and the spatial variable, Math. ModelsMethods Appl. Sci. Vol. 23 (3), 407–439, 2013
[3] R. J. DiPerna, Measure-valued solutions to conservation laws. Arch. Rational Mech. Anal.,88 no. 3 (1985), pp. 223–270
[4] P. Gwiazda, A. Swierczewska-Gwiazda, P. Wittbold and A. Zimmermann. Multi-dimensional scalar balance laws with discontinuous flux, J. Funct. Anal.(2014) DOI:10.1016/j.jfa.2014.07.009
[5] E. Y. Panov, Existence of strong traces for quasi-solutions of multidimensional conservationlaws, J. Hyperbolic Differ. Equ., 4 no. 4 (2007), pp. 729–770.
Naturalne warunki brzegowe dla operatorow w wi azce symetrycznej
A. Kimaczynska
Wydzia l Matematyki i InformatykiUniwersytet Lodzki
Abstrakt
Podane b ed a definicje i istotne w lasnosci operatorow gradientu, dywergencji i ichz lozenia divgrad w wi azce tensorow symetrycznych na rozmaitosci riemannowskiej. Wszczegolnosci, podana zostanie formu la Weitzenboecka. Rozwazane b ed a rowniez natu-ralne, w sensie pracy [1], warunki brzegowe dla operatora divgrad.
Literatura
[1] T.P. Branson, A. Pierzchalski, Natural boundary conditions for gradients, to appear
Rozwi azania lepkosciowe wielowymiarowego rownania transportu –zastosowanie w modelowaniu ekonomicznym
M. Kornafel
Katedra MatematykiUniwersytet Ekonomiczny w [email protected]
Abstrakt
Rozwazymy warunki gwarantuj ace istnienie rozwi azania lepkosciowego dla rownaniatransportu okreslonego na kostce [0, T ]×
∏ni=1[0, xi]. Przedstawiony wynik wykorzystamy
do opisu wielowymiarowego modelu akumulacji kapita lu ze struktur a wiekow a, gwaran-tuj ac istnienie ci ag lej sciezki kapita lowej w modelu mikroekonomicznym.
Przestrzenie Sobolewa na lokalnie zwartych grupach abelowych
T. Kostrzewa
Wydzia l Matematyki i Nauk Informacyjnych,Politechnika Warszawska,
Ul. Koszykowa 75, 00-662 Warszawa, Polska.
Abstrakt
Badamy przestrzenie Sobolewa na lokalnie zwartych grupach abelowych. Skupiamysi e przede wszystkim na zwartych zanurzeniach oraz dowodzimy analog twierdzenia Rellicha-Kondrachowa dla lokalnie zwartych grup abelowych. Ponadto wprowadzamy przestrzenieSobolewa na podzbiorach grup lokalnie zwartych i badamy ich w lasnosci m.in. istnieniezwartych zanurzen w przestrzenie Lp.
Literatura
[1] P. Gorka, T. Kostrzewa, E. G. Reyes. The Rellich lemma on compact abelian groupsand equations of infinite order. Int. J. Geoem. Meth. Mod. Phys., Vol.10, No.2, 2013.
[2] P. Gorka, T. Kostrzewa, E. G. Reyes. Sobolev spaces on locally compact abeliangroups: compact embeddings and local spaces. J. Funct. Spaces 2014, Art. ID404738, 6 pp.
[3] P. Gorka, E. G. Reyes. Sobolev spaces on locally compact abelian groups and stringtheory. Preprint.
Zagadnienie z ca lkowym warunkiem dla niejednorodnych rownanrozniczkowo-operatorowych
G. Kuduka oraz Z. M. Nytrebychb
aWolka Niedzwiedzka 358Absolwent Uniwersytetu Rzeszowskiego
bInstytut Matematyki Stosowanej i Nauk FundamentalnychPolitechnika Lwowska
Abstrakt
Niech A b edzie liniowym operatorem w przestrzeni liniowej H, stopien dowolnejpot egi operatora An, n = 2, 3, ..., zdefiniowany w H. Przez x(λ) oznaczymy wektor w lasnyoperatora A, odpowiadaj acy wartosci w lasnej parametru λ ∈ Λ ⊆ C.
Rozpatrzmy niejednorodne zagadnienie z ca lkowym warunkiem
L
(d
dt, A
)U(t) ≡
[d
dt− a(A)
]U(t) = f(t), (1)
h∫0
U(t)dt = 0, (2)
gdzie ϕ ∈ H, (0, h) ⊂ R, h > 0, U : (0, h) → H - szukana funkcja wektorowa,f : R → H- dana funkcja, a(A) abstrakcyjny operator, ktory jest symbolem funkcjica lkowitej a(λ) 6=const. Dla rozwi azania zagadnienia (1), (2) wykorzystujemy rozniczkowo- symboliczn a metod e [1].
Przez P oznaczmy zbior P = λ ∈ C : η(λ) ≡ exp[a(λ)h]−1a(λ)
= 0.Definicja. Funkcja wektorowa f(t) nalezy do NF (R,H,Λ) jezeli f(t), jest analityczn aw R funkcj a wektorow a i dla kazdego t ∈ R nalezy do H i jezeli istnieje zalezny od f(t)liniowy operator Ff (t, λ) i miara µf (λ), λ ∈ Λ ⊆ C taka, ze f(t) mozna przedstawic zapomoc a ca lki Stieltjesa ∫
Λ
Ff (t, λ)x(λ)dµf (λ) (3)
Rozpatrzmy funkcj e
G(t, ν, λ) =η(λ)ν exp[νt]− (exp[νT ]− 1) exp[a(λ)t]
νL(ν, λ)η(λ), (4)
gdzie L(ν, λ) = [ν − a(λ)] . Ta funkcja G(t, ν, ·) jest analityczna w Λ∗ = C \P i ca lkowitawzgl edem zmiennej ν.
Twierdzenie. Niech dane b edzie zagadnienie (1), (2), f(t) nalezy do NF (R,H,Λ),f(t) moze byc przedstawione w postaci (3). Wtedy wzor
U(t) =
∫Λ∗
Ff
(d
dν, λ
)G(t, ν, λ)x(λ)
ν=0
dµf (λ),
definiuje formalne rozwi azanie zagadnienia (1), (2) , gdzie G(t, ν, λ) dane jest wzorem (4),Λ∗ = C \ P.
Literatura
[1] P.I.Kalenyuk, Z.M.Nytrebych., Generalized scheme of separation of variables. Differential- symbol method, Publishing House of Lviv Politechnic, National University, 2002. - 292p.(in ukrainian).
O rozwi azaniach rownania parabolicznegoz bardzo singularn a dyfuzj a
M. Lasica
Instytut Matematyki Stosowanej i MechanikiUniwersytet [email protected]
Abstrakt
Rozwazane b edzie singularne rownanie paraboliczne postaci
ut = uxx + (sgnux)x.
Analizuj ac rozwi azania tego typu rownan, mozna zauwazyc konkurencj e pomi edzywyg ladzaniem przez jednowymiarowy operator Laplace’a oraz tendencj a do tworzenia pa-skich scian przez operator (sgnux)x. Przedstawione zostan a wyniki dotycz ace jakosciowegozachowania i regularnosci rozwi azan.
Literatura
[1] M. Lasica, Analysis of solutions to a model parabolic equation with strongly singular diffu-sion, preprint, 2014, arXiv:1406.1775.
Ewolucyjne inkluzje rozniczkowe w zagadnieniach mechaniki.Asymptotyka rozwi azan.
G. Lukaszewicz
Instytut Matematyki Stosowanej i MechanikiUniwersytet Warszawski
Abstrakt
Pokazana zostanie wygodna metoda badania asymptotyki rozwi azan dla duzychczasow w problemach bez jednoznacznosci rozwi azan. Prezentowane rezultaty s roz-wini eciem znanych metod w teorii potokow wielowartosciowych w ramach teorii nie-skonczenie wymiarowych uk ladow dynamicznych.
Szacowanie czasu wybuchu rozwi azan dla pewnej klasy rownanca lkowych Volterry - podejscie ,,ca lkowe”
T. Ma lolepszy
Wydzia l Matematyki, Informatyki i EkonometriiUniwersytet Zielonogorski
Abstrakt
W wielu waznych modelach [1, 4, 5], opisuj acych zjawiska fizyczne, takie jak dyfuzjaklasyczna czy dyfuzje anormalne (sub- i superdyfuzje) w naturalny sposob pojawiaj a si epewne rownania ca lkowe Volterry typu splotowego postaci
u(t) =
t∫0
k(t− s)g(u(s))ds, t ≥ 0. (1)
Jednym z najwazniejszych problemow zwi azanych z tymi rownaniami jest kwestia ist-nienia tzw. rozwi azan wybuchaj acych, czyli nieprzed luzalnych rozwi azan nietrywial-nych okreslonych na skonczonym przedziale, a takze oszacowanie czasu wybuchu tychrozwi azan, tzn. oszacowanie prawego konca ich przedzia lu okreslonosci. Istniej ace w lite-raturze [2, 3] oszacowania s a albo ma lo efektywne ze wzgl edow analitycznych (wyrazaj asi e poprzez zbieznosc pewnych szeregow funkcyjnych, ktor a w praktyce trudno zbadac),albo odnosz a si e do w askiej klasy rownan. W niniejszym wyst apieniu przedstawione zo-stanie nowe oszacowanie (gorne) czasu wybuchu rozwi azania wybuchaj acego rownania (1),tym razem wyrazaj ace si e w terminach zbieznosci pewnych ca lek. Oszacowanie to zosta lootrzymane poprzez zastosowanie metody opartej na funkcyjnym rownaniu Schrodera.
Literatura
[1] T. Ma lolepszy, Blow-up solutions in one-dimensional diffusion models, Nonlinear Anal.,Theory Methods Appl., Ser. A, Theory Methods, 95(2014), 632-638
[2] T. Ma lolepszy, W. Okrasinski, Blow-up time for solutions to some nonlinear Volterra inte-gral equations, J. Math. Anal. Appl. 366(2010), 372-384
[3] W. Mydlarczyk, A condition for finite blow-up time for a Volterra integral equation, J.Math. Anal. Appl. 181(1994), 248-253
[4] W. E. Olmstead, C. A. Roberts, Dimensional influence on blow-up in a superdiffusivemedium, SIAM J. Appl. Math., 70(2010), 1678-1690
[5] W. E. Olmstead, C. A. Roberts, Thermal blow-up in a subdiffusive medium, SIAM J. Appl.Math., 69(2009), 514-523
Solvabilty of von Karman model without rotational inertia withnonlinear force
A. Nowakowski
Wydzia l Matematyki i InformatykiUniwersytet Lodzki
Abstrakt
The nonlinear oscilations of plates are described by the following von Karman evo-lution equations
xtt + ∆2x− [x, v + F0] + Lx = Fx(t, y, x), y = (y1, y2) ∈ Ω, t ∈ [0, T ],
x(0, y) = x0 (y) , xt(0, y) = x1 (y) ,
where v(x) is a solution of the problem
∆2v + [x+ 2f, x] = 0 in Ω, v |∂Ω= ∆v |∂Ω= 0
and x satisfies the hinged nonlinear boundary condition
x = 0 on [0, T ]× ∂Ω, ∆x = 0 on [0, T ]× Γ0,
∆x = Hx −Qx on [0, T ]× Γ1, Γ0 ∪ Γ1 = ∂Ω = Γ.
To study that problem we apply variational method one functional for boundary equationand the second one for interior equation.
Nierownosci (hemi)wariacyjnew modelowaniu matematycznym
A. Ochal
Wydzia l Matematyki i InformatykiUniwersytet Jagiellonski w Krakowie
Abstrakt
Teoria nierownosci (hemi)wariacyjnych odgrywa wazn a rol e w badaniu nieliniowychzagadnien brzegowych mechaniki, fizyki i inzynierii. Znacz acy rozwoj tej teorii nast api lw ostatnich dekadach m.in. za spraw a nowych modeli mechaniki kontaktowej.
Szereg matematycznych modeli zagadnien kontaktowych wykorzystuje wypuk loscfunkcjona low energii i prowadzi do nierownosci wariacyjnych. Natomiast nierownoscihemiwariacyjne modeluj a zjawiska fizyczne, dla ktorych warunki brzegowe s a opisywaneprzez niewypuk le i nieg ladkie funkcjona ly energii. Zastosowanie uogolnionej podrozniczkiClarke’a umozliwia badanie niemonotonicznych i wielowartosciowych praw rz adz acychzjawiskami fizycznymi, a rezygnacja z wypuk losci pozwala obj ac szersze klasy zagadnien.
W trakcie wyk ladu przedstawione zostan a wybrane metody rozwi azywania nierow-nosci (hemi)wariacyjnych oraz przyk lady ich zastosowan w matematycznym modelowaniuzjawisk mechaniki kontaktowej.
Literatura
[1] D. Kinderlehrer and G. Stampacchia, “An Introduction to Variational Inequalities andtheir Applications,” Classics in Applied Mathematics 31, SIAM, Philadelphia, 2000.
[2] Z. Naniewicz and P.D. Panagiotopoulos, “Mathematical Theory of Hemivariational Inequ-alities and Applications,” Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics188, Marcel Dekker, New York, 1995.
[3] S. Migorski, A. Ochal, and M. Sofonea, “Nonlinear Inclusions and Hemivariational Inequali-ties. Models and Analysis of Contact Problems,” Advances in Mechanics and Mathematics26, Springer, New York, 2013.
Istnienie i asymptotyka rozwi azan pewnej klasy problemow eliptycznych
A. Orpel
Wydzia l Matematyki i InformatykiUniwersytet Lodzki
Abstrakt
W referacie omowione zostan a rezultaty dotycz ace istnienia i w lasnosci rozwi azannast epuj acego zagadnienia
div(a(||x||)∇u(x)) + f(x, u(x)) + g(||x||)k(x · ∇u(x)) = 0, for x ∈ GR,lim||x||→∞
u(x) = 0. (1)
gdzie n > 2, R > 1, GR = x ∈ Rn, ||x|| > R , f, k i g s a pewnymi funkcjami ci ag lymi orazf(x, 0) ≥ 0 dla dowolnego x ∈ GR. Wykorzystuj ac metod e podrozwi azan i nadrozwi azan,
opart a na wynikach Noussaira i Swansona, otrzymamy istnienie rozwi azan dodatnich pro-blemu (1). Szczego lowa analiza w lasnosci nadrozwi azania pozwoli sfomu lowac wynikidotycz ace szybkosci znikania badanych rozwi azan.
Regularnosc rozwi azan dla modelu Armstronga-Fredericka z efektamiCosserat
K. Che lminskia, P. Neffb oraz S. Owczarekc
aWydzia l Matematyki i Nauk InformacyjnychPolitechnika Warszawska
bWydzia l MatematykiUniwersytet [email protected]
cWydzia l Matematyki i Nauk InformacyjnychPolitechnika Warszawska
Abstrakt
Omowiona b edzie regularnosc wektora przemieszczenia dla modelu Armstronga-Fredericka z efekatami Cosserat. Uzywaj ac techniki ,,wype lniania dziur”oraz TwierdzeniaMorreya, pokazemy, ze wektor przemieszczenia jest funkcj a holderowsko ci ag l a. Przedsta-wione zostan a wyniki z pracy [1].
Literatura
[1] K. Che lminski, P. Neff oraz S.Owczarek A first regularity result for the Armstrong-Frederickcyclic hardening plasticity model with Cosserat effects, submitted to Journal of Mathema-tical Analysis and Applications (arXiv:1401.1341 [math.AP]).
Regularne rozwi azania stacjonarnych rownan Naviera-Stokesa zniejednorodnymi warunkami brzegowymi
T. Piasecki
Instytut Matematyki Stosowanej i MechanikiUniwersytet Warszawski
Instytut Podstawowych Problemow Techniki PAN
Abstrakt
W swoim referacie przedstawi e nowy rezulat dotycz acy istnienia regularnych rozwi azandla rownan Naviera-Stokesa opisuj acych stacjonarny przep lyw scisliwy z niejednorodnymiwarunkami brzegowymi. W szczegolnosci dopuszczamy wp lyw i wyp lyw cieczy z obszaruprzez cz esci brzegu. Ze wzgl edu na hiperpoliczny charakter rownania ci ag losci musimywowczas zadac g estosc na cz esci brzegu z wp lywem. Przy standardowym podejsciu w prze-strzeniach Sobolewa u ∈ W 2
p , ρ ∈ W 1p gdzie u oznacza pr edkosc p lynu natomiast ρ jego
g estosc, pojawia si e problem osobliwosci w rozwi azaniu rownania ci ag losci w otoczeniupunktow gdzie jego charakterystyki staj a si e styczne do brzegu. Okazuje si e ze problemten mozemy rozwi azac poszukuj ac rozwi azan w przestrzeniach u lamkowych u ∈ W s+1
p ,ρ ∈ W s
p gdzie sp > n co daje ograniczonosc g estosci. Nasz rezultat wymaga pewnegoza lozenia dotycz acego brzegu w otoczeniu punktow osobliwych, jest to jednak naturalneograniczenie spe lnione mi edzy innymi przez obszary kawa lkami analityczne. Przedsta-wione rezultaty zosta ly otrzymane we wspo lpracy z Piotrem B. Much a.
On integrability of hydrodynamic type of equations
Z. Peradzynski, G. Baghaturia
University of Warsaw
Abstract
We consider a homogeneous system of first order quasi-linear system of equationswhich admits the potential function. Thus the system is equivalent to a certain secondorder equation. It is known that if the system is hyperbolic then for any two Riemannwaves of sufficiently small amplitude there is a double wave solution representing thenonlinear superposition of these waves. There is also a geometric quantity characterizingthe strength of nonlinear interaction between those waves. For such systems we pose andconsider the following questions:
1. Characterize the class of systems for which the strength of interaction is givena’priori.
2. Characterize the class of systems having solutions in the form of triple waves, i.e.solutions representing the superposition of three interacting waves.
3. Finally, we would like to characterize systems having the property that the solutionrepresenting every three interacting waves is given by a triple wave solution.
Asymptotyczne wasciwosci rozwi azan rownan rozniczkowychzwyczajnych drugiego rz edu, zjawisko rezonansu
B. Pietruczuk
Instytut MatematykiUniwersytet w Bia lymstoku
Abstrakt
Zostan a zaprezentowane warunki na ograniczonosc rozwi azan rownan rozniczkowychzwyczajnych drugiego rz edu postaci
u′′ + (1 + ϕ(t))u = 0
gdzie funkcja ϕ(t) jest dostatecznie ma la przy 0 < t <∞. Ponadto zostanie przedstawionaklasa takich potencja low ϕ(t), dla ktorych zachodzi zjawisko rezonansu, czyli rosn acych,b adz malej acych oscylacji rozwi azan.
Eliptyczne warunki brzegowe dla eliptycznych operatorow liniowych
A. Pierzchalski
Wydzia l Matematyki i InformatykiUniwersytet Lodzki
Abstrakt
Omowione zostan a:
- poj ecie liniowego operatora rozniczkowego w wi azce wektorowej- lokalna postac operatora i jego rz ad- symbol operatora a eliptycznosc- operator formalnie sprz ezony- warunki wystarczajace dla samosprz ezonosci- naturalne warunki brzegowe dla operatorow naturalnych- eliptyczne warunki brzegowe i ich konsekwencje
Przep lyw niestacjonarny przy duzych danych: rozwi azania globalne
J. Renc lawowicza, W. Zaj aczkowskia,b
aInstytut MatematycznyPolska Akademia Nauk
bInstytut Matematyki i KryptologiiWojskowa Akademia Techniczna
Abstrakt
Rozwazamy niestacjonarny przep lyw w obszarze cylindrycznym, opisany rownaniamiNaviera-Stokesa z warunkami brzegowymi typu poslizgu. Przy pewnych za lozeniachna si e zewn etrzn a oraz na pochodne funkcji wp lywu pokazujemy istnienie regularnychrozwi azan uk ladu rownan przy dowolnie duzym przep lywie i dla odpowiednio duzego czasuT . Nast epnie, kontroluj ac pr edkosc i jej pewne pochodne na koncu przedzia lu istnienia,dzi eki zastosowaniu parametru odwrotnie proporcjonalnego do czasu T , uzyskujemy krokpo kroku rozwi azania globalne.
Modele strukturalne ze szczegolnym uwzgl ednieniem modeliprowadz acych do rownan na miarach
R. Rudnicki
Instytut MatematycznyPolska Akademia Nauk
Abstrakt
W pierwszej cz esc wyk ladu przedstawi e krotkie wprowadzenie do teorii struktural-nych modeli populacyjnych. W szczegolnosci przypomn e model McKendricka struktury
wiekowej populacji, oraz model opisuj acy rozk lad dojrza losci komorek w organizmachjednokomorkowych. Podam rwniez krotkie wyjasnienie co to jest model fenotypowy. Tacz esc wyk ladu bazuje na ksi azce [1]. Nast epnie przedstawi e dwa modele strukturalne,ktorych analiz e wygodnie jest prowadzic uzywaj ac rownan z rozwi azaniami o wartosciachw przestrzeni miar zamiast klasycznych rozwi azan.
Pierwszy z nich to model struktury wiekowej dla gatunkow semelparycznych [2]. Ga-tunek semelparyczny, to taki, ktrego przedstawiciele rozmnazaj a si e raz w zyciu i umieraj a.B edziemy dodatkowo zak ladac, ze d lugosc zycia osobnikow jest sta la. W efekcie otrzy-mamy specyficzn a nieliniow a wersj e modelu McKendricka. Interesuj ac a w lasnosci a tegomodelu jest zbieznosc klasycznych rozwi azan do rozwi azania typu poruszaj aca si e deltaDiraca. Wynik ten mozna interpretowac nastepuj aco. Konkurencja wewn atrzgatunkowaprowadzi do eliminacji wszystkich osobnikow za wyj atkiem osobnikow w tym samymwieku. Jest to zgodne z obserwacjami rznych gatunkow owadow.
Drugi to dosc ogolny model struktury fenotypowej [3]. Cechy fenotypowe charakte-ryzuj a poszczegolne osobniki w populacji i s a niezmienne w ca lym okresie zycia danegoosobnika. W wyk ladzie zostanie przedstawiony ogolny schemat modelowania strukturypopulacyjnej ze wzgl edu na cechy fenotypowe. Punktem wyjscia b edzie tzw. individualbased model, w ktorym opisujemy relacje mi edzy osobnikami w populacji skonczonej.Model ten zawiera elementy takie jak l aczenie si e osobnikow w pary, dziedziczenie cechfenotypowych, konkurencj e wewn atrzgatunkow a oraz smiertelnosc osobnikw. B edziemyrozwazac modele, w ktorych fenotyp potomka zalezy od pary osobnikow, co stanowi pewnenovum w zakresie modelowania, bo dominuj a modele jednop lciowe znacznie latwiejsze wbadaniu. Nast epnie poprzez przejscie graniczne z liczb a osobnikow do nieskonczonosciotrzymamy model z ci ag lym rozk ladem populacji. Jest to model opisany rownaniemzawieraj acym dwa operatory nieliniowe. Jeden z operatorow odpowiedzialny jest za pro-ces l aczenia w pary, a nast epnie dziedziczenia fenotypu po rodzicach, a drugi za konku-rencj e wewn atrz gatunkow a. B edziemy rozwazac dwa typy l aczenia si e osobnikow w pary.Pierwszy z nich, losowy, wyst epuje w klasycznej genetyce, a drugi, to kojarzenie selek-tywne (ang. assortative mating). Polega on na tym, ze osobniki dobieraj a sobie partnerabliskiego fenotypowo. Asymptotyczna wersja modelu losowego jest rownaniem ewolucyj-nym zawieraj acym operator dwuliniowy. Szczegolnym przypadkiem rozpatrywanego przeznas rownania jest rownanie Tjon-Wu wyst epuj ace w opisie rozk ladu energii zderzaj acychsi e cz astek. W przypadku modelu z losowym kojarzeniem podam warunki, przy ktrychrozk lad populacji ze wzgl edu na pewne cechy fenotypowe zbiega do rozk ladu stacjonar-nego. Przy okazji uzyskamy stosunkowo prosty dowod twierdzenia Lasoty-Traplego ostabilnosci uogolnionego rownania Tjon-Wu. Bardzo ciekawy jest przypadek kojarzeniaselektywnego. Przy pewnych warunkach nalezy oczekiwac zbieznosci do rozk ladu dwu-modalnego, a wi ec nast epuje rozdzielenie si e populacji na dwie populacje, istotnie rznefenotypowo. Prowadzi to do specjacji, a wi ec powstania nowych gatunkow. Klasyczneteorie ewolucji oparte by ly na konkurencji mi edzy i wewn atrz gatunkowej. Wspo lczesnieuwaza si e, ze to kojarzenie selektywne po l aczone z roznorodnosci a fenotypow a w ramachgatunku moze byc podstawowym motorem ewolucji.
Literatura
[1] R. Rudnicki, Modele i Metody Biologii Matematycznej, Cz esc I: Modele deterministyczne,Ksi egozbior Matematyczny, IMPAN, Warszawa 2014.
[2] R. Rudnicki, R. Wieczorek, On a nonlinear age-structured model of semelparous species,Discrete and Continuous Dynamical Systems Series B, 19 (2014), 2641–2656.
[3] R. Rudnicki, P. Zwolenski, Model of phenotypic evolution in hermaphroditic populations,J. Math. Biology, doi: 10.1007/s00285-014-0798-3.
Gwa ltowna dyfuzja kierunkowa: zliczanie i sledzenie scianek
P. Rybkaa oraz M. Matusikb i T.Asaic
aInstytut Matematyki Stosowanej i MechanikiUniwersytet [email protected]
bInstytut MatematykiUniwersytet Gdanski
cGraduate School of Mathematical SciencesThe University of Tokyo
Abstrakt
Badamy dwa rownania paraboliczne postaci:
ut = (L(ux))x in (0, b)× (0, T ).
Rozwazamy dwa przypadki:1) L(p) = sgn (p+ 1) + sgn (p− 1);2) L(p) = sgn p+ εp, gdzie ε > 0.
Powyzsze zagadnienia s a uzupe lnione o dane pocz atkowe i warunki brzegowe Neumannalub Dirichleta. Te drugie prowadz a do dodatkowych komplikacji, bo nie musz a bycspe lnione w sensie punktowym. Ilustrujemy t e trudnosc na przyk ladach.
W przypadku pierwszej nieliniowosci mozemy spodziewac si e nieskonczonych oscy-lacji gradientu rozwi azan. Pokazemy, ze jednak rozwi azanie moze miec jedynie skonczon aliczb e scianek o niezerowej krzywiznie. Ponadto pokazemy, ze rozwi azanie, ktore kon-struujemy s a rozwi azaniami lepkosciowymi. Dzi eki zasadzie porownawczej dla rozwi azanlepkosciowych uzyskamy oszacowania czasu wygasni ecia rozwi azan.
W przypadku drugiej nieliniowosci mamy do czynienia z dwoma konkuruj acymitypami dyfuzji. Aby liczyc scianki pos lugujemy si e klasycznymi metodami stworzonymidla g ladkich rozwi azan stworzonych przez H.Matano. Pokazujemy, ze liczba scianek oniezerowej krzywiznie jest malej ac a funkcj a czasu.
O zagadnieniach Neumanna
K. Szymanska-D ebowska
Instytut MatematykiPolitechnika Lodzka
Abstrakt
Rozwazymy zagadnienia Neumanna dla rownania drugiego rz edu z praw a stron azalezn a i niezalezn a od x′. Podamy twierdzenia o istnieniu rozwi azan wykorzystuj ac od-powiednio: metod e perturbacyjn a z asymptotycznymi ca lkowymi warunkami znakowymioraz w drugim przypadku uogolnione twierdzenie Mirandy.
Ponadto rozwazymy zagadnienia Neumanna obejmuj ace uogolnione p-Laplasjany.W tym przypadku twierdzenia o istnieniu rozwi azan otrzymamy wykorzystuj ac twierdze-nie Mawhina o koincydencji w uj eciu Ge.
O rozwi azaniach miarowych i hiperbolicznych prawach zachowania
A. Swierczewska-Gwiazda
Instytut Matematyki Stosowanej i MechanikiUniwersytet Warszawski
Abstrakt
Opowiem o metodzie skompensowanej zwartosci dla hiperbolicznych praw zachowa-nia. Wprowadz e poj ecie rozwi azan miarowych i pokaz e, jak wykorzystuj ac lemat div-rotdowodzimy istnienia s labych entropijnych rozwi azan, [1,4].
W drugiej cz esci wyk ladu opowiem o entropijnych rozwi azaniach miarowych i me-todzie podwajania zmiennych na poziomie rozwi azan miarowych, [2, 3].
Literatura
[1] C. M. Dafermos, Hyperbolic Conservation Laws in Continuum Physics, 3rd edn., Grun-dlehren der Mathematischen Wissenschaften, Vol. 325 (Springer, 2010).
[2] R. J. DiPerna, Measure-valued solutions to conservation laws, Arch. Rational Mech. Anal.88 (1985) 223-270. .
[3] A. Szepessy, An existence result for scalar conservation laws using measure-valued solutions,Commun. Partial Differential Equations 14 (1989) 1329-1350.
[4] Tartar, L. Compensated compactness and applications to partial differential equations. Non-linear analysis and mechanics: Heriot-Watt Symposium, Vol. IV, pp. 136-212, Res. Notesin Math., 39, Pitman, Boston, Mass.-London, 1979
Aproksymacja Oberbecka-Boussinesq w R3 jako granica scisliwegouk ladu Naviera-Stokesa-Fouriera z ma l a liczb a Macha
A. Wroblewska-Kaminska
Instytut MatematycznyPolska Akademia Nauk
Abstrakt
Przedmiotem naszych badan s a w lasnosci rozwi azan pe lnego uk ladu Naviera-Stokesa-Fouriera dla przep lywow scisliwych przy za lozeniu, ze liczba Macha jest bardzo ma la,rowna ε, a liczba Frouda –
√ε. Co wi ecej kszta lt i rozmiar obszaru, na ktorym rozwazany
jest przep lyw, zalezy od parametru skaluj acego ε. Dodatkowo chcemy uwzgl ednic wp lywgrawitacji generowanej przez obiekty znajduj ace si e w badanym osrodku, ktorych srednicazbiega do zera. Celem tych studiow jest zbadanie jak zachowuj a si e s labe rozwi azania tegope lnego uk ladu, gdy parametr ε → 0. W szczegolnosci wykazemy, ze w takiej sytuacjipole pr edkosci w granicy jest bezdywergencyjne i spe lnia uk lad nazywany aproksymacj aOberbecka-Boussinesq na ca lej przestrzeni R3 z koncentryczn a grawitacj a. Dowod opartyjest na analizie rownania fali akustycznej stowarzyszonego z rozwazanym uk ladem NSF.
Powyzsze podjescie jest rygorystycznym matematycznym uzasadnieniem modeli prze-p lywow niescisliwych, gdy charakterystyczna pr edkosc p lynu jest istotnie mniejsza nizpr edkosc dzwi eku w danym osrodku.
Literatura
[1] E. Feireisl, T. Karper, O. Kreml, J. Stebel. Stability with respect to domain of the lowMach number limit of compressible viscous fluids. M3AS, 23(13):2465-2493, 2013.
[2] E. Feireisl, M. Schonbek. On the Oberbeck-Boussinesq approximation on unbounded do-mains. Nonlinear partial differential equations, edited by: H.Holden, K.H.Karlsen, AbelSymposial, vol. 7, Springer, Berlin, 2012.
[3] E. Feireisl. Local decay of acoustic waves in the low mach number limits on general unbo-unded domains under slip boundary conditions. Commun. Partial Differential Equations36,1778-1796, 2011.
[4] A. Wroblewska-Kaminska. Asymptotic analysis of complete fluid system onvarying domain: from compressible to incompressible flow. Preprint onhttp://mmns.mimuw.edu.pl/preprints.html.
Przejscie do granicy z liczb a Macha w uk ladzieNaviera-Stokesa-Maxwella-Stefana
E. Zatorska
Instytut Matematyki Stosowanej i MechanikiUniwersytet Warszawski
Abstrakt
Referat poswi econy b edzie dowodowi istnienia rozwi azan dla uk ladu rownan opi-suj acego ruch wielosk ladnikowej mieszaniny gazow w przypadku gdy liczba Macha d azydo zera. W pierwszej kolejnosci zaprezentujemy wyniki dla modelu scisliwego i wyjasnimywyprowadzenie modelu niescisliwego ze zmienn a g estosci a, zwanego modelem Kazhikhova-Smagulova, w przypadku dwusk ladnikowej mieszaniny przewodz acej ciep lo. Nast epnie za-prezentujemy dowod istnienia rozwi azan dla ogolnej relacji wi az acej wspo lczynniki lepkoscioraz nieliniowosc w rownaniu ci ag losci.
Jest to wynik ze wsplnej pracy z Didierem Breschem (Uniwersytet Chambery, Fran-cja) oraz Vincentem Giovangiglim (Ecole Polytechnique, Palaiseau, Francja).
Zagadnienie mieszane dla quasiliniowego uk ladu hiperbolicznego zewspo lczynnikami zaleznymi funkcjonalnie od rozwiazania
M. Zdanowicza oraz Z. Peradzynskib
aInstytut MatematykiUniwersytet w Bia [email protected]
bInstytut Matematyki Stosowanej i MechanikiUniwersytet Warszawski
Abstrakt
Rozwazane jest zagadnienie mieszane dla quasiliniowego uk ladu hiperbolicznego zewspo lczynnikami funkcjonalnie zaleznymi od rozwiazania. Zak ladamy, ze wspo lczynniki saciag lymi nieliniowymi operatorami w przestrzeni Banacha C1(R) spe?niajacymi pewne do-datkowe za lozenia. Dowodzimy jednoznacznosc i istnienie lokalnego w czasie rozwiazaniaklasy C1(R) przyjmujac, ze rowniez dane poczatkowe sa klasy C1(R).
Literatura
[1] S. Barral S, K. Makowski, Z. Peradzynski, N. Gascon, M. Dudeck, Wall material effects instationary plasma thruster II. Near-wall and in-wall conductivity, Physics of Plasma, 10,2003
[2] B.L. Rozhdestvenski, N.N. Yanenko, Systems of quasilinear equations and their applica-tions to gas dynamics, Nauka, Moskwa, 1968
O dowodach wspomaganych komputerowo w rownaniach rozniczkowychzwyczajnych i cz astkowych
P. Zgliczynski
Instytut InformatykiUniwersytet Jagiellonski
Abstrakt
Opowiem o komputerowo wspieranych dowodach w dynamice rownan rozniczkowychzwyczajnych i dysypatywnych cz astkowych. Wyk lad b edzie raczej elementarny i skoncen-truje si e na podstawowych ideach. B ed e mowi l o:
- arytmetyce przedzia lowej, czyli jak mozna liczyc scisle na komputerze
- metodach topologicznych w dynamice, tw. Brouwera, tw. Mirandy, podkowaSmale’a
- jak ca lkowac w sposob scis ly rownania zwyczajne (podstawowe zasady)
- jak ca lkowac w sposob scis ly rownania rozniczkowe cz astkowe, metoda samouzgod-nionych oszacowan a-priori
- pokaz e przyk lady komputerowo wspieranych dowodow
![Aliester Crowley Magija W Teori I Praktyce Peĺ‚Na Wersja[1]](https://static.fdocuments.pl/doc/165x107/547a8cf2b479599f098b4a3a/aliester-crowley-magija-w-teori-i-praktyce-pelna-wersja1.jpg)
