CZAS I PRZESTRZE , GEOMETRIA I SYMETRIAteoriawzglednosci.pl/publikacja/poczatek_koniecII.pdf ·...

Fragmenty publikacji (druga cz¦±¢):

CZAS I PRZESTRZE�,

GEOMETRIA I SYMETRIA

��

Zrozumie¢ teori¦ Einsteina

Mariusz Mroczek

EDUKARIS 2011

Prezentowane fragmenty publikacji s¡ wersj¡ trialow¡. Tre±ci te mog¡ nie-

znacznie ró»ni¢ si¦ w stosunku do ostatecznej wersji publikacji.

Ostatnia aktualizacja/poprawka: 12 I 2012.

Autor: Mariusz Mroczek.

Skªad (LATEX): Mariusz Mroczek.

Gra�ki komputerowe, ilustracje odr¦czne: Mariusz Mroczek.

Projekt okªadki wykonaª Mariusz Mroczek. W projekcie okªadki wykorzystano gra�k¦, do

której licencja zostaªa pozyskana z serwisu Dreamstime.com: Royalty Free Stock Photos:

SPACE TIME by Elen.

Redakcja tekstu: Tamara Ksi¡»czak-Przybysz (z uwagi na mo»liwe zmiany w tek±cie, jego

redakcja mo»e aktualnie nie dotyczy¢ caªo±ci)

Konsultacja merytoryczna: dr Michaª Godli«ski

Prawa autorskie

Wszelkie prawa do tej publikacji s¡ zastrze»one. Nieautoryzowane rozpowszechnianie caªo±ci

lub fragmentów niniejszej publikacji w jakiejkolwiek postaci jest zabronione. Nie zezwala si¦

na wykorzystywanie niniejszej publikacji w caªo±ci lub w cz¦±ciach do innych publikacji bez

wiedzy autora. Nie zezwala si¦ na rozpowszechnianie publikacji (po autoryzowaniu takiej

mo»liwo±ci) bez mo»liwo±ci okre±lenia jej autora (np. bez strony tytuªowej).

Opracowanie publikuje

EDUKARIS - O±rodek Ksztaªcenia

Warszawskie Kursy Maturalne

Smolna 40, 00-375 Warszawa

tel. 22 828 01 02

www.edukaris.pl, www.kursymaturalne.pl

Wszelkie uwagi na temat publikacji prosimy kierowa¢ na adres:

[email protected]

Spis tre±ci

Sªowo od autora 7

Sªowniczek i oznaczenia 17

I Postulaty fundamentalne i czasoprzestrze« - link do pliku 21

II Czasoprzestrze« w STW 25

1 Narz¦dzia 27

1.1 Linie ±wiata ciaª swobodnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Podsumowanie najwa»niejszych wniosków . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.2 Geometryczne uj¦cie II Postulatu Einsteina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Fotony . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Wyró»nione linie ±wiata fotonów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Nieosi¡galne linie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.3 Lokalizacja zdarze« - konwencje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2 Podstawowe konstrukcje 39

2.1 Równoczesno±¢ zdarze« . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Synchronizacja zegarów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.2 Symetria Twierdzenia Talesa dla linii ±wiata fotonów . . . . . . . . . . . . . 45

Twierdzenie Talesa dla sygnaªów elektromagnetycznych . . . . . . . . . . . . 45

Zgodno±¢ zegarów vs Zasada Symetrii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.3 Przykªady i ¢wiczenia - trening . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.4 Wspóªrz¦dne obserwatora inercjalnego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

Wspóªrz¦dne zdarzenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

Siatka wspóªrz¦dnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

Odst¦py pomi¦dzy zdarzeniami w siatce wspóªrz¦dnych . . . . . . . . . . . . 52

3

SPIS TRE�CI Mariusz Mroczek

Skªadowe wektora w ukªadach wspóªrz¦dnych . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

Jednostki geometryczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.5 Parametry ruchu wzgl¦dnego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

Pr¦dko±¢ wzgl¦dna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

Wspóªczynniki proporcjonalno±ci Twierdzenia Talesa . . . . . . . . . . . . . 59

3 Interwaª i przyczynowo±¢ w czasoprzestrzeni 61

3.1 Czas wªasny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

Twierdzenie o czasie wªasnym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

Czas wªasny a czas wspóªrz¦dno±ciowy - przykªad . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.2 Interwaª czasoprzestrzenny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

Twierdzenie Centralne o Interwale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

Interwaª czasopodobny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

Interwaª przestrzennopodobny i zerowy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

Parametryzacje naturalne linii w czasoprzestrzeni . . . . . . . . . . . . . . . 74

3.3 Struktura chronologiczna i przyczynowa czasoprzestrzeni . . . . . . . . . . . 77

Relacja chronologii i przyczynowo±ci zdarze« . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

Kiedy poj¦cia wcze±niej i pó¹niej s¡ obiektywne? . . . . . . . . . . . . . . . . 80

Achronologia zdarze« separowanych przestrzennie . . . . . . . . . . . . . . . 83

Science Fiction - tachiony i wygrana w Totka . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

Zasada Przyczynowo±ci i bariera pr¦dko±ci ±wiatªa . . . . . . . . . . . . . . . 89

Problem sztywnego pr¦ta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

3.4 Przyczynowo±¢ c.d., determinizm i upªyw czasu . . . . . . . . . . . . . . . . 93

Sto»ki ±wietlne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

Przyczynowa przyszªo±¢ i przeszªo±¢, orientacja w czasie . . . . . . . . . . . . 96

Determinizm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

Symetria Praw Przyrody w czasie i determinizmu c.d. . . . . . . . . . . . . . 102

W poszukiwaniu asymetrii praw �zyki w czasie . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

Entropia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

Prawo wzrostu entropii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

Entropia, strzaªka czasu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

4 Omówienie wybranych zagadnie« w STW 117

4.1 Dylatacja czasu i paradoks zegarów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

Symetria dylatacji czasu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

Paradadoks zegarów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

Nierówno±¢ trójk¡ta w czasoprzestrzeni - najkrótsza droga nie jest prosta! . . 129

Zadania - przykªady z rozwi¡zaniami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

4

SPIS TRE�CI

4.2 Zjawisko Dopplera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

Jak widzimy oddalaj¡cy si¦ zegar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

Jak widzimy zbli»aj¡cy si¦ zegar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

Jak widzimy kolory ciaª w ruchu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138


4.3 Dodawanie pr¦dko±ci wzgl¦dnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

Wyprowadzenie formuªy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

Granica klasyczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145


4.4 Przeksztaªcenia wspóªrz¦dnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

Transformacja Lorentza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

Przeksztaªcenie siatki wspóªrz¦dnych czasoprzestrzeni. Hiperbole . . . . . . . 149

Grupa symetrii czasoprzestrzeni dwuwymiarowej . . . . . . . . . . . . . . . . 152

4.5 Skrócenie odcinka (bez transformacji Lorentza) . . . . . . . . . . . . . . . . 156

5 Dynamika STW - tre±¢ ukryta 159

6 Geometryczne aspekty STW - tre±¢ ukryta 161

Dodatek matematyczny 163

Bibliogra�a 165

Skorowidz 167

5

.

Najpi¦kniejsz¡ rzecz¡, jakiej mo»emy do±wiadczy¢, jest oczarowanie tajemnic¡.

Jest to uczucie, które stoi u kolebki prawdziwej sztuki i prawdziwej nauki.

Ten, kto go nie zna i nie potra� si¦ dziwi¢, nie potra� doznawa¢ zachwytu,

jest martwy, niczym zdmuchni¦ta ±wieczka.

A. Einstein

6

Sªowo od autora

Nigdy nie wolno utraci¢ tej ±wi¦tej ciekawo±ci

Pewnego dnia, wracaj¡c do swojego mieszkania usytuowanego na wysokim pi¦trze, jechaªem

wind¡. Oprócz mnie w windzie znajdowaª si¦ kilkuletni chªopiec ze swoj¡ mam¡. Bystry

smyk miaª nie wi¦cej ni» 4 lata. Wszyscy jechali±my w gór¦ ruchem jednostajnym wzgl¦dem

Ziemi i, jak to zazwyczaj bywa, beznami¦tnie obserwowali±my mijane drzwi wyj±ciowe na

poszczególnych pi¦trach. Mogªoby si¦ wydawa¢, »e te trzy osoby w windzie pogr¡»one byªy

w my±lach o ich ziemskich, »yciowych i czasem banalnych sprawach. Okazaªo si¦ jednak, »e

jedna z nich rozmy±laªa o sprawach bardzo fundamentalnych. Otó» w pewnym momencie,

ku mojemu ogromnemu zdumieniu, odezwaª si¦ nasz mªody bohater. Skierowaª on do swojej

mamy nast¦puj¡ce pytanie: Mamo, zobacz, wydaje si¦, »e ±ciana si¦ porusza, a my stoimy.

Mamo, a sk¡d wiadomo, »e to winda jedzie? A mo»e to ±ciana si¦ porusza? Mamo, a gdyby

winda staªa, a kto± przesuwaª ±cian¦, to daªoby si¦ to odró»ni¢? Ciekawe, czy malec albo

jego mama zdawali sobie spraw¦ z wagi tych spostrze»e«. Mam gª¦bok¡ nadziej¦ i wiar¦ w

to, »e ów malec nie zatraci w przyszªo±ci swojej dzieci¦cej ciekawo±ci ±wiata, o której Albert

Einstein wypowiedziaª si¦ nast¦puj¡co:

Najwa»niejsze, aby±my nigdy nie przestali zadawa¢ pyta«. Ciekawo±¢ ma swoje

wªasne racje istnienia. Nie sposób nie oniemie¢ z zachwytu, gdy kontempluje si¦

tajemnice wieczno±ci, »ycia czy te» wspaniaªej struktury rzeczywisto±ci. Wystar-

czy spróbowa¢ poj¡¢ cho¢by drobny fragment tej tajemnicy ka»dego dnia. Nigdy

nie wolno utraci¢ tej ±wi¦tej ciekawo±ci.

Niew¡tpliwie ta �wi¦ta Ciekawo±¢ Einsteina byªa przyczyn¡ tego, »e to on odrzuciª paradyg-

maty mechaniki klasycznej i stworzyª Szczególn¡ Teori¦ Wzgl¦dno±ci (STW), a nast¦pnie

Ogóln¡ Teori¦ Wzgl¦dno±ci (OTW). Szczególna Teoria Wzgl¦dno±ci zrodziªa si¦ z potrzeby

zapewnienia zgodno±ci pomi¦dzy mechanik¡ i teori¡ elektromagnetyzmu. Nad tak¡ teori¡,

równolegle z Einsteinem, pracowali inni wielcy ówczesnej epoki, jak Hendrik Lorentz czy

jeden z najwi¦kszych matematyków wszechczasów - Henri Poincare. W ostateczno±ci to Ein-

stein podaª spójn¡, woln¡ od sprzeczno±ci teori¦ czasu i przestrzeni, w której de�nitywnie

zrezygnowaª z takich poj¦¢, jak czas absolutny oraz przestrze« w absolutnym spoczynku

7

(ukªad odniesienia eteru). Sam twórca STW wypowiada si¦ w tej kwestii troch¦ przewrotnie

tymi sªowami:

Dlaczego wªa±nie ja sformuªowaªem zasad¦ wzgl¦dno±ci (wyja±nienie tej kwestii

w przypisie 1)? Ile razy zadaj¦ sobie to pytanie wydaje mi si¦, »e przyczyna jest

nast¦puj¡ca: normalny dorosªy czªowiek w ogóle nie rozmy±la nad problemami

czasu i przestrzeni. W jego mniemaniu przemy±laª to ju» w dzieci«stwie. Ja

jednak rozwijaªem si¦ intelektualnie tak powoli, »e czas i przestrze« zajmowaªy

moje my±li nawet wtedy, gdy staªem si¦ ju» dorosªy.

Fizyka teoretyczna kre±li fascynuj¡ca drog¦, któr¡ pod¡»aªa my±l ludzka. Na pocz¡tku

tej drogi zawsze stoi Ciekawo±¢. To dzi¦ki niej dokonujemy pewnych fundamentalnych, bar-

dzo ogólnych spostrze»e« na temat Rzeczywisto±ci. Tym fundamentalnym i racjonalnym

spostrze»eniom nadajemy rang¦ postulatów. Aby skonstruowa¢ teori¦ �zyczn¡, nale»y owe

postulaty wyrazi¢ za pomoc¡ matematycznych struktur. Maj¡c spójny matematyczny ob-

raz naszych idei, badamy relacje pomi¦dzy obiektami w naszym matematycznym modelu,

otrzymuj¡c w wyniku tego zbiór ró»nych praw, który to zbiór nazywamy teori¡ �zyczn¡.

Niezwykle fascynuj¡ce w tym wszystkim jest to, »e caªe otrzymane na wyj±ciu bogactwo

wyników teorii rodzi si¦ z tak podstawowych idei jak ta, która tkwiªa w przesªaniu sentencji

wygªoszonej przez naszego maªego bohatera w windzie. Jest to bodaj najbardziej fascynu-

j¡ca sprawa, wywoªuj¡ca u wielu ludzi zachwyt �zyk¡ teoretyczn¡ - mo»liwo±¢ opisywania

Rzeczywisto±ci. Zadziwiaj¡ce jest to, »e droga prowadz¡ca od podstawowych koncepcji do

wyra�nowanych wspóªczesnych teorii �zycznych - jak równanie Diraca, które przewidziaªo

istnienie pozytonów, czy Ogólna Teoria Wzgl¦dno±ci z jej osobliwo±ciami geometrycznymi

jak Wielki Wybuch i czarne dziury - wcale nie jest taka dªuga.

Dlaczego jeszcze jedna publikacja z Teorii Wzgl¦dno±ci?

Status STW i jej pi¦kno Wspóªczesna �zyka opiera si¦ na kilku niepodwa»alnych, zwe-

ry�kowanych do±wiadczalnie teoriach. Najbardziej podstawowe z nich to: teoria pól elektro-

magnetycznych opisywana równaniami Maxwella, kwantowa teoria relatywistyczna opisana

równaniem Diraca oraz Ogólna Teoria Wzgl¦dno±ci z równaniami pola Einsteina. Mo»na

wymieni¢ kolejne teorie, maj¡ce swój rodowód w wy»ej wymienionych: Kwantowa (oraz

Klasyczna) Teoria Pola, Model Standardowy (uni�kacja oddziaªywa« elektrosªabych i j¡-

1Nie chodzi bynajmniej o Zasad¦ Wzgl¦dno±ci sformuªowan¡ jeszcze przez Galileusza. Einstein w tytuªach

swoich prac dotycz¡cych Szczególnej Teorii Wzgl¦dno±ci posªugiwaª sie nazw¡ Relativitatsprinzip, maj¡c na

my±li swoj¡ teori¦ opart¡ na Zasadzie Wzgl¦dno±ci, nie za± sam¡ Zasad¦ Wzgl¦dno±ci. Inni autorzy nazywali

teori¦ Einsteina Relativitatstheorie. Dopiero od 1915 roku Einstein zacz¡ª okre±la¢ swoj¡ teori¦ mianem

Szczególnej Teorii Wzgl¦dno±ci, w odró»nieniu do pó¹niejszej Ogólnej Teorii Wzgl¦dno±ci.

8

drowych). Wszystkie z tych teorii s¡ zwery�kowane do±wiadczeniami we wspóªczesnych

akceleratorach oraz poprzez obserwacje astronomiczne. Istniej¡ tak»e bardziej radykalne

teorie, których zadaniem jest uni�kacja oddziaªywa« zachodz¡cych pomi¦dzy cz¡stkami ele-

mentarnymi z oddziaªywaniami grawitacyjnymi. Gªównymi nurtami bada« prowadz¡cymi

do stworzenia takiej Superteorii Wszystkiego s¡: Teoria Strun, Kwantowa Teoria Grawitacji.

Wielu przewidywa« tych teorii nie mo»na jednak zwery�kowa¢ ze wzgl¦du na ograniczone

mo»liwo±ci technologiczne ludzko±ci. A teraz najwa»niejsza sprawa: �larem wszystkich tych

teorii, podkre±lam - wszystkich - jest Szczególna Teoria Wzgl¦dno±ci.

Rozwini¦ta technologia wspóªczesnej cywilizacji oparta jest na wspóªczesnych teoriach

�zycznych. Wszystkie zdobycze wspóªczesnej techniki maj¡ swoje korzenie w tych»e teoriach.

Nale»y wi¦c uczciwie stwierdzi¢, »e �larem wspóªczesnej technologii jest Szczególna Teoria

Wzgl¦dno±ci. Jest to koronny argument za tym, »e o Szczególnej Teorii wzgl¦dno±ci nigdy

za du»o, a ka»dy czªowiek powinien pozna¢ przynajmniej jej podstawy.

Kolejnym argumentem przemawiaj¡cym za popularyzacj¡ Szczególnej Teorii Wzgl¦d-

no±ci jest jej krystaliczne pi¦kno. Pi¦kno to przejawia si¦ w prostym i spójnym obrazie

matematycznym, który powstaje na gruncie pewnych fundamentalnych postulatów. Teo-

ria Wzgl¦dno±ci jest teori¡, któr¡ mo»na stworzy¢, dokonuj¡c jedynie czysto teoretycznych,

bardzo ogólnych zaªo»e« dotycz¡cych naszej rzeczywisto±ci. W tym momencie kto± mo»e

zanegowa¢ t¦ spekulacyjn¡ tez¦, twierdz¡c, »e postulat staªo±ci pr¦dko±ci ±wiatªa - funda-

ment Teorii Wzgl¦dno±ci - zostaª odkryty przez do±wiadczenie. Staªo±¢ pr¦dko±ci ±wiatªa

jest konsekwencj¡ zachowania równa« Maxwella (praw elektromagnetyzmu) we wszystkich

inercjalnych ukªadach wspóªrz¦dnych (odniesienia). Z tego powodu kwesti¡ indywidualnego

wyboru jest przyj¦cie jednego z dwóch stanowisk: albo zakªadamy a priori i wierzymy w to,

»e zjawiska elektromagnetyczne przebiegaj¡ tak samo we wszystkich ukªadach inercjalnych

- czego konsekwencj¡ jest staªo±¢ pr¦dko±ci ±wiatªa w ukªadach inercjalnych - albo fakt ten

zaakceptujemy dopiero wtedy, gdy zostanie on zwery�kowany do±wiadczeniem. Tak czy ina-

czej Albert Einstein zaj¡ª pierwsze stanowisko, to znaczy przyj¡ª jako postulat, »e Zasada

Wzgl¦dno±ci musi dotyczy¢ zjawisk elektromagnetycznych. Einsteina nie interesowaªy a» tak

bardzo wyniki eksperymentów. Warto wspomnie¢ o pogl¡dach Einsteina na �lozo�¦ nauki.

Einstein odrzuca przekonanie o zwi¡zku teorii naukowej z danymi do±wiadczalnymi. Twier-

dzi, i» przekonanie, »e teoria wynika z do±wiadczenia, jest bª¦dne. W swoich �Zapiskach

Autobiogra�cznych� Einstein napisaª tak:

Teoria grawitacji nauczyªa mnie jeszcze jednej rzeczy: nawet z najbardziej bo-

gatego zbioru faktów empirycznych nie mo»na wyprowadzi¢ tak skomplikowanych

równa«. Teoria mo»e by¢ empirycznie potwierdzona, ale nie istnieje droga od

do±wiadczenia do konstrukcji teorii. Równania tak skomplikowane jak równania

pola grawitacyjnego mog¡ by¢ sformuªowane jedynie poprzez odkrycie logicznie

9

prostej zasady matematycznej, która caªkowicie lub prawie caªkowicie okre±la rów-

nania. Po uzyskaniu tych warunków formalnych w postaci dostatecznie silnej, do

skonstruowania teorii wystarczy minimalna znajomo±¢ faktów; w przypadku teorii

grawitacji jest to czterowymiarowo±¢ czasoprzestrzeni oraz tensor symetryczny

jako wyra»enie dla struktury czasoprzestrzeni; warunki te w poª¡czeniu z nie-

zmienniczo±ci¡ wzgl¦dem grupy ci¡gªych przeksztaªce« praktycznie determinuj¡

równania.

Zaprezentowany cytat dotyczy Ogólnej Teorii Wzgl¦dno±ci jako przykªadu teorii �zycznej -

tym bardziej zgodzimy si¦ z tym, i» ukazane pogl¡dy Einsteina dotyczyªy Szczególnej Teorii

Wzgl¦dno±ci. Reasumuj¡c: Szczególna Teoria Wzgl¦dno±ci jest bodaj najbardziej reprezen-

tatywnym przykªadem tego, »e Prawa Przyrody mog¡ by¢ odkrywane na drodze czystej

dedukcji. Podzielaj¡c taki pogl¡d naukowy, chciaªbym za pomoc¡ niniejszej publikacji prze-

kona¢ do tego Czytelnika. Kwestia mo»e wydawa¢ si¦ sporna, ale z pewno±ci¡ ekscytuj¡ca.

STW a programy nauczania w szkoªach ±rednich Mo»na odnie±¢ wra»enie, »e wspóª-

czesne programy nauczania �zyki w szkoªach ±rednich, tym samym podr¦czniki szkolne, na-

stawione s¡ gªównie na ukazanie roli �zyki w »yciu codziennym. Zgodnie z duchem naszych

komercyjnych czasów, »e co± musi zawsze sªu»y¢ do czego± i by¢ przydatne. Jest to oczy-

wi±cie bardzo szlachetne stanowisko, jednak zapomina si¦ o czym± równie istotnym, a na

pewno gª¦bszym i bardziej rozwijaj¡cym. Zapomina si¦ o pokazaniu czystego pi¦kna teorii

�zycznych. Chciaªbym, aby �zyka nie byªa li tylko traktowana pragmatycznie, ale aby mªo-

dzi ludzie potra�li spojrze¢ na ni¡ jak na dzieªo sztuki i jak dzieªo sztuki j¡ kontemplowa¢.

Henri Poincare wypowiedziaª si¦ w podobnej kwestii nast¦puj¡co:

Uczony nie bada Natury dlatego, »e jest to u»yteczne. Bada j¡, poniewa» spra-

wia mu to przyjemno±¢, a sprawia mu to przyjemno±¢, gdy» Natura jest pi¦kna.

Gdyby Natura nie byªa pi¦kna, nie warto byªoby jej poznawa¢, a gdyby Natury

nie warto byªo poznawa¢, »ycie nie byªoby warte, aby je prze»y¢.

Tym samym pragn¡ªbym, aby mªodzi ludzie nie traktowali �zyki jako zbioru reguªek niczym

przepisów kucharskich, pozwalaj¡cych rozwi¡za¢ jakie± zadanie, a postarali si¦ kontemplo-

wa¢ jej pi¦kno. Szczególna Teoria Wzgl¦dno±ci jest jedn¡ z niewielu teorii �zycznych, któr¡

mo»na opisa¢ za pomoc¡ stosunkowo prostej matematyki. Z tego powodu mo»e ona by¢

przedstawiona od samych podstaw, a tym samym mo»e zosta¢ dogª¦bnie zrozumiana. Ro-

zumienie Szczególnej Teorii Wzgl¦dno±ci nie wymaga znajomo±ci aparatu matematycznego

na wy»szym poziomie ni» matematyka w liceum w zakresie podstawowym czy nawet gimna-

zjalnym. Tym bardziej zadziwia to, »e STW jest mocno okrojona w programach nauczania

oraz traktowana po macoszemu, niektóre podr¦czniki za± ograniczaj¡ si¦ do podania wzorów

10

na dylatacj¦ czasu, skrócenia Lorentza - co nie jest istot¡ STW - bez gruntownego studiowa-

nia podstaw STW i omówienia najistotniejszych poj¦¢ w niej wyst¦puj¡cych (czas wªasny,

interwaª). Takie przedstawianie STW rzeczywi±cie mo»e wprowadzi¢ mªodego czªowieka w

konsternacj¦ i wyksztaªci¢ w nim przekonanie, jakoby STW byªa dziwn¡ i trudn¡ teori¡.

Równocze±nie stanowczo wymaga si¦ od ucznia, który nie zna rachunku ró»niczkowego, aby

rozumiaª prawa Gaussa, prawa indukcji elektromagnetycznej czy zachowania pr¡dów w ob-

wodach RLC - w takim wypadku ucze« mo»e rzeczywi±cie odczu¢, »e �zyka jest zbiorem

reguªek do mechanicznego zapami¦tania.

Chciaªbym, aby niniejsza publikacja ukazaªa uczniom, studentom, nauczycielom i

wszystkim ciekawym ±wiata, »e Teoria Wzgl¦dno±ci jest przyst¦pna, spójna, logiczna i pi¦kna.

Krystaliczna.

Obali¢ mity rzeczow¡ popularyzacj¡ Funkcjonuj¡ca w spoªecze«stwie opinia o STW

nie przynosi jej dobrego PR. Po pierwsze, uwa»a si¦ j¡ za bardzo trudn¡ i kªóc¡c¡ si¦ ze

zdrowym rozs¡dkiem. Po drugie, mocno wulgaryzuje si¦ Teori¦ Wzgl¦dno±ci w ±rodkach

masowego przekazu, poprzez wyrywanie z kontekstu pewnych poj¦¢ (takich jak dylatacja

czasu, paradoks bli¹ni¡t, skrócenie Lorentza, czarne dziury, antymateria) tylko po to, aby

stworzy¢ atmosfer¦ sensacji i wywoªa¢ u odbiorcy emocje. Taka popularyzacja �zyki cz¦sto

prowadzi do wyksztaªcenia pewnego typu odbiorcy, któremu wydaje si¦, »e je»eli zapami¦taª

kilkaset sªówek z »argonu �zyka, prezentowanego w programie lub tek±cie popularnonauko-

wym, to ma co± do powiedzenia. Taka popularyzacja niesie ze sob¡ ryzyko posªugiwania si¦

w dialogu z Czytelnikiem poj¦ciami, które Czytelnik odbiera w rozumieniu potocznym. Taki

stan jest szkodliwy dydaktycznie i nale»y go pi¦tnowa¢. Jest tak»e rzesza osób, podwa»aj¡-

cych STW - i tyle o nich ;) Nale»y tylko pami¦ta¢, »e �zyka jest nauk¡, która czasem mówi

naszym ograniczonym zmysªom to nie tak. Czy pami¦tasz, Czytelniku, swoj¡ konsternacj¦,

gdy dowiedziaªe± si¦ o tym, »e przy braku oporu powietrza piórko i mªotek spadn¡ z t¡ sam¡

pr¦dko±ci¡ 2? Czy pami¦tasz, jak Ci powiedziano, »e ciaªo wprawione w ruch, przy braku

oporów, nigdy si¦ nie zatrzyma? Wystarczy odrobina zadumy, aby takie stwierdzenia staªy

si¦ dla Ciebie kanonem.

Niniejsza publikacja jest propozycj¡ rzetelnej popularyzacji Szczególnej Teorii Wzgl¦d-

no±ci. Pragn¡ªbym nawi¡za¢ z odbiorc¡ dialog, oparty na ±ci±le okre±lonych poj¦ciach, oraz

sukcesywnie rozwijanym, aczkolwiek bardzo prostym aparatem matematycznym.

2David Scott, ameryka«ski astronauta, zademonstrowaª to do±wiadczenie podczas ksi¦»ycowego spaceru

na misji Apollo 15

11

Sªów kilka o publikacji

Dla kogo niniejsza publikacja Niniejszy wykªad adresuj¦ do wszystkich ciekawych ±wiata.

W szczególno±ci do uczniów szkóª ±rednich, studentów, nauczycieli. Mam nadziej¦, »e ci

ostatni wykorzystaj¡ pewne koncepcje prezentowane w tej pracy do nauczania Szczególnej

Teorii Wzgl¦dno±ci w szkoªach. Mam tak»e gª¦bok¡ nadziej¦ i wiar¦ w to, »e t¦ publikacj¦

przeczyta od deski do deski cho¢ jeden zadeklarowany humanista. Oczywi±cie, nie wliczaj¡c

do ich grona Pani Redaktor ;)

Ogólnie o tre±ci W ostatnim czasie powstaªo wiele opracowa« na temat STW. W tej

twórczo±ci wida¢ wielk¡ ró»norodno±¢ - otó» prawie ka»dy autor inaczej wyprowadza STW,

ka»dy autor uwypukla inne aspekty, wreszcie od ka»dego autora mo»na dowiedzie¢ si¦ czego±

nowego lub cho¢by spojrze¢ na pewne sprawy z innej perspektywy. Mo»na by rzec, »e ró»ni

autorzy prezentuj¡ ró»ne szkoªy, rzeczowo prezentuj¡c STW. Ka»da praca jest oryginalna.

Moje uj¦cie Teorii Wzgl¦dno±ci b¦dzie kªadªo nacisk na jej geometryczny charakter.

Mo»na w nim b¦dzie dostrzec wpªyw monogra�i Czasoprzestrze« i Grawitacja. PWN 1981,

autorstwa prof. Andrzeja Trautmana i prof. Wojciecha Kopczy«skiego ([5]). Jednym z

moich zamierze« byªo to, aby specjalistyczny i naukowy j¦zyk - oczywi±cie, tam gdzie jest

to mo»liwe - przedstawi¢ mo»liwie jak najpro±ciej, bez przesytu matematycznej symboliki,

aczkolwiek utrzymuj¡c naukowy re»im. Wszystko po to, aby spopularyzowa¢ geometryczne

uj¦cie STW w±ród osób nieb¦d¡cych specjalistami.

Ka»dy autor publikacji z STW, której odbiorc¡ ma by¢ nie-specjalista, zapewnia, i»

u»yty w jego ksi¡»ce aparat matematyczny jest bardzo prosty. Có», nie b¦d¦ wyªamywaª si¦

z tego grona i zapewniam, »e aparat matematyczny u»yty w mojej publikacji jest bardzo pro-

sty. Od Czytelnika oczekuj¦ jedynie znajomo±ci elementarnej algebry liniowej, znajomo±ci

twierdzenia Talesa, Pitagorasa, praw dziaªania na wektorach lub umiej¦tno±ci przeksztaª-

cania wyra»e«. Znajomo±¢ rachunku ró»niczkowego nie b¦dzie konieczna, cho¢ w pewnych

miejscach, dosªownie kilku, mo»e by¢ przydatna.

Cz¦±¢ I ksi¡»ki W cz¦±ci pierwszej pracy du»o uwagi po±wi¦cam omówieniu zasad fun-

damentalnych, jak Zasada Wzgl¦dno±ci oraz I Zasada Dynamiki. Na gruncie tych zasad

konstruuj¦ bardzo prosty, chocia» jeszcze do±¢ ubogi model geometryczny czasoprzestrzeni.

Pokazuj¦ rol¦, jak¡ odgrywaj¡ fundamentalne zasady w konstrukcji struktury geometrycznej

czasoprzestrzeni. Skupiam si¦ zwªaszcza na przedstawieniu pewnych wªasno±ci i relacji, które

nie zale»¡ od ukªadu odniesienia. Omawiam twierdzenie Talesa w czasoprzestrzeni, które to

wykorzystam w cz¦±ci drugiej pracy do wyprowadzenia relacji czasowo-przestrzennych po-

mi¦dzy zdarzeniami. Przedstawiony model geometryczny czasoprzestrzeni b¦dzie bardzo

ogólny; nie b¦dzie potrzeby u»ywania w nim poj¦cia przestrzeni w absolutnym spoczynku

12

SPIS TRE�CI

ani poj¦cia czasu absolutnego. Model ten b¦dzie przygotowany do tego, aby mógª zosta¢

wzbogacony o struktur¦, któr¡ wprowadzi postulat staªo±ci pr¦dko±ci ±wiatªa we wszystkich

inercjalnych ukªadach odniesienia.

Oprócz tego w cz¦±ci pierwszej pracy zostan¡ omówione modele czasoprzestrzeni Ary-

stotelesa oraz Galileusza. Tej ostatniej po±wi¦c¦ wi¦cej miejsca, poniewa» jest to model

czasoprzestrzeni dla mechaniki klasycznej. Dalej b¦dzie mowa o prawach Newtona, nieiner-

cjalnych ukªadach odniesienia oraz o liniach ±wiata ciaª, na które dziaªaj¡ siªy. Kilka sªów

po±wi¦c¦ Einsteinowskiej Zasadzie Równowa»no±ci. To z kolei doprowadzi nas do pierwszej,

bardzo ogólnej dyskusji o tym, »e dla grawitacyjnych pól niejednorodnych potrzebna b¦dzie

koncepcja modelu geometrycznego czasoprzestrzeni z krzywizn¡.

Na zako«czenie opowiem o rewolucji w �zyce klasycznej, która rozp¦taªa si¦ po sformu-

ªowaniu przez J. Maxwella równa« elektromagnetyzmu. Jej zwyci¦zc¡ jest Albert Einstein,

a zwyci¦»czyni¡ - sformuªowana przez niego Szczególna Teoria Wzgl¦dno±ci (STW).

Cz¦±¢ II ksi¡»ki Wdrugiej cz¦±ci pracy zostanie przedstawiona Szczególna Teoria Wzgl¦d-

no±ci. Jej wyprowadzenie b¦dzie ró»niªo si¦ od pierwotnego, przedstawionego w pracy Ein-

steina. Niemniej pozostanie w duchu tej»e pracy a precyzyjniej rzecz ujmuj¡c - w duchu

geometrycznej interpretacji STW zaproponowanej przez Hermanna Minkowskiego (nauczy-

ciela Einsteina). Na pocz¡tku, w duchu Einsteinowskim ale ju» geometrycznie, zostanie

skrupulatnie zde�niowane i omówione poj¦cie równoczesno±ci zdarze« lub równowa»nie -

procedura synchronizacji nieruchomych wzgl¦dem siebie zegarów. Do tego posªu»¡ nam

uniwersalne sygnaªy - sygnaªy elektromagnetyczne. Omówiony w pierwszej cz¦±ci pracy mo-

del czasoprzestrzeni zostanie wzbogacony o pewn¡ (bardzo prost¡) geometryczn¡ struktur¦,

któr¡ wprowadza postulat staªo±ci pr¦dko±ci ±wiatªa. Dzi¦ki temu oraz dzi¦ki wcze±niejszym

rozwa»aniom b¦dziemy potra�li okre±la¢ relacje czasowo-przestrzenne pomi¦dzy zdarzeniami.

Wyprowadzimy najistotniejszy wzór w STW - wzór na odlegªo±¢ czasoprzestrzenn¡ pomi¦dzy

zdarzeniami w czasoprzestrzeni. Dzi¦ki naszym geometrycznym metodom wszystkie rezul-

taty otrzymamy w bardzo prosty i ekonomiczny sposób, wolny od przesªaniaj¡cych istot¦

rzeczy rachunków algebraicznych.

Jednym z moich celów jest walka z mitem, jakoby teoria Einsteina traktowaªa jedynie

o rzeczach wzgl¦dnych i nie byªo w niej namacalnych, obiektywnych i prawdziwych rze-

czy. W zwi¡zku z tym du»y nacisk kªad¦ na omówienie spraw obiektywnych, czyli takich,

które w ka»dym ukªadzie odniesienia s¡ takie same. S¡ nimi np. interwaª czasoprzestrzenny

pomi¦dzy zdarzeniami, czas wªasny, struktura przyczynowa lub czasoprzestrzenna dªugo±¢

wielko±ci wektorowej. To one konstytuuj¡ model geometryczny czasoprzestrzeni Einsteina-

Minkowskiego, który zostanie formalnie sformuªowany pod koniec drugiej cz¦±ci pracy. W

tej cz¦±ci ksi¡»ki odb¦dziemy tak»e dogª¦bn¡ dyskusj¦ o strukturze przyczynowej w czaso-

13

przestrzeni, napotykaj¡c si¦ w niej na wiele fascynuj¡cych i zmuszaj¡cych do kontemplacji

problemów; dokonamy przy tym próby odpowiedzenia na pytanie, czym jest upªyw czasu

(niestety tylko próby!). Na zako«czenie zostan¡ omówione elementy dynamiki w STW, w

szczególno±ci poznamy najsªynniejszy wzór Einsteina E = mc2 - popkulturowe logo Teorii

Wzgl¦dno±ci.

Dlaczego tak wa»na jest geometria

Poprosz¦ Ci¦, Czytelniku, aby± zaznaczyª dwie kropki na pªasko rozªo»onej kartce papieru.

Banalna sprawa. Dalej, poprosz¦ Ci¦ aby± odpowiedziaª, co mo»esz mi powiedzie¢ o tych

dwóch zaznaczonych kropkami punktach. Zapewne chwil¦ si¦ zastanowisz, po czym napi¦t¡

nici¡ zmierzysz odlegªo±¢ pomi¦dzy tymi punktami. Odpowiesz mi jaka jest odlegªo±¢ po-

mi¦dzy zaznaczonymi punktami na pªaszczy¹nie i dodasz, »e ponadto mo»na poprowadzi¢

przez te punkty pewn¡ prost¡. Trudno b¦dzie okre±li¢ gdzie i jak na tej pªaszczy¹nie le»y

owa prosta, gdy» »aden punkt pªaszczyzny ani »aden jej kierunek nie jest wyró»niony. Nie

ma »adnej cechy ani prawa geometrycznego, dzi¦ki którym mógªby± mi wytªumaczy¢ przez

telefon, gdzie owa prosta le»y. Pami¦taj, »e nie mo»esz mi mówi¢ o poªo»eniu twej kartki

wzgl¦dem ±cian pokoju - kartka jest samoistnym bytem.

Podsumujmy - mo»liwo±¢ okre±lenia odlegªo±ci pomi¦dzy punktami, wzdªu» linii pro-

stej wydaje si¦ sprawa najistotniejsz¡. Ja jednak zabior¦ Tobie ni¢, któr¡ mogªe± rozci¡gn¡¢

pomi¦dzy kropkami i dam w zamian prostok¡tny ukªad wspóªrz¦dnych (prostok¡tn¡ siatk¦).

W tej sytuacji post¡pisz zapewne tak, »e zrzutujesz odcinek ª¡cz¡cy zaznaczone punkty na

osie X, Y . W wyniku rzutowania odcinka na osie otrzymasz ∆x, ∆y, do których nast¦pnie

zastosujesz twierdzenie Pitagorasa w celu obliczenia dªugo±ci odcinka: d2 = (∆x)2 + (∆y)2.

Ot wszystko. Ponadto zauwa»asz, »e wynik b¦dzie taki sam niezale»nie od tego, gdzie na swo-

jej pªaszczy¹nie i w jaki sposób umie±cisz swój prostok¡tny ukªad wspóªrz¦dnych. W ka»dym

ukªadzie wspóªrz¦dnych zastosowanie twierdzenia Pitagorasa dla rzutów odcinka na prosto-

padªe osie prowadzi do tego samego wyniku. Obu z nas nie zadziwia fakt, »e same rzuty tego

odcinka na osie X, Y oraz X ′, Y ′ - ró»nych ukªadów wspóªrz¦dnych - s¡ ró»ne: ∆x 6= ∆x′

oraz ∆y 6= ∆y′. Istot¡ rzeczy jest natomiast to, »e d2 = (∆x)2 + (∆y)2 = (∆x′)2 + (∆y′)2.

Mo»na oczywi±cie znale¹¢ przeksztaªcenie pomi¦dzy ró»nymi prostok¡tnymi ukªadami wspóª-

rz¦dnych, tym samym ustali¢ zwi¡zki pomi¦dzy u»ywanymi wspóªrz¦dnymi. Ale czy to jest

najistotniejsze? Najistotniejsze s¡ te rzeczy, których takie przeksztaªcenia nie zmieniaj¡. W

naszym przykªadzie s¡ to niezmienniki przeksztaªce« pªaszczyzny Euklidesowej. Przeksztaª-

cenia prostok¡tnego ukªadu wspóªrz¦dnych, którymi s¡ translacje i obroty nie zmieniaj¡:

dªugo±ci odcinka, relacji równolegªo±ci prostych, k¡ta pomi¦dzy prostymi oraz orientacji

zamkni¦tej krzywej. Niezmienniki przestrzenne s¡ takie same, bez wzgl¦du na to gdzie

14

przesuniemy pocz¡tek ukªadu wspóªrz¦dnych oraz jak go obrócimy w przestrzeni. Prawd¦

obiektywn¡ o relacjach przestrzennych na pªaszczy¹nie stanowi¡ rzeczy niezale»ne od wyboru

ukªadów odniesienia i wspóªrz¦dnych. Nauka o niezmiennikach przestrzennych to geometria

przestrzeni. Dobrze Wam znana.

Powy»sza dyskusja sugeruje nam, czym powinni±my si¦ kierowa¢, badaj¡c natur¦ czasu

i przestrzeni, aby nie ulega¢ iluzjom kreowanym przez nasze zmysªy i odczucia. Wªasno±ci

bytu, który nazwiemy czasoprzestrzeni¡, zakodowane s¡ w pewnych niezmienniczych i uni-

wersalnych strukturach. To one wyznaczaj¡ obiektywne zwi¡zki czasowo-przestrzenne. U»y-

waj¡c sformuªowania - uniwersalne struktury, mam na my±li wszystko to, co jest niezale»ne od

wyboru ukªadu odniesienia. B¦dziemy poszukiwali pewnych obiektów i relacji niezale»nych

od obserwatora. Je»eli jaka± struktura oka»e si¦ taka sama w ka»dym ukªadzie odniesienia, to

b¦dziemy uwa»ali j¡ za obiektywnie prawdziw¡. Zbiór takich niezmienniczych obiektów i re-

lacji ukonstytuuje geometri¦ - model geometryczny czasoprzestrzeni. Przed wprowadzeniem

postulatu staªo±ci pr¦dko±ci ±wiatªa, nasze rozwa»ania o geometrii czasoprzestrzeni oparte

b¦d¡ jedynie o Zasad¦ Wzgl¦dno±ci, Pierwsz¡ Zasad¦ Dynamiki oraz zaªo»enie jednorodno±ci

oraz izotropowo±ci czasu i przestrzeni. Podej±cie oparte na badaniu czysto geometrycznych

struktur wyeliminuje potrzeb¦ si¦gania po argumenty poparte tak zwanym chªopskim ro-

zumem, sprowadzaj¡cym Teori¦ Wzgl¦dno±ci do poziomu niezdrowej fascynacji rzekomymi

paradoksami.

Czytelnikowi, który chciaªby przebrn¡¢ przez lektur¦ niniejszej ksi¡»ki, proponuj¦ za-

pomnie¢ o wszelkim Ziemskim do±wiadczeniu (ale nie o elementarnej matematyce). Mo»na

sobie wyobrazi¢ siebie jako czyst¡ form¦ intelektu umieszczon¡ w pustej przestrzeni, która

na gruncie fundamentalnych zaªo»e« konstruuje teori¦ o relacjach czasowo-przestrzennych,

w które to relacje uwikªane s¡ dziej¡ce si¦ zdarzenia.

Na zako«czenie

Na koniec podkre±l¦, »e w niniejszej publikacji nie dotkn¡ªem wielu pasjonuj¡cych aspektów

STW (jak cho¢by teoria spinorów i twistorów). A to dlatego, by nie przeci¡»a¢ wykªadu

matematyk¡, która w tej sytuacji musiaªaby mocno wkroczy¢ z liczbami zespolonymi. Zain-

teresowanych odsyªam do fachowej literatury: [3], [4].

Mam skromn¡ nadziej¦, »e po lekturze niniejszej publikacji nad wieloma z Was rozwieje

si¦ mgªa tajemniczo±ci, spowijaj¡ca STW, po czym ujrzycie t¦ pi¦kn¡ ide¦ w peªnym blasku.

Zapraszam do lektury,

15


Mariusz Mroczek

16

Sªowniczek i oznaczenia

Poni»ej prezentuj¦ krótkie wyja±nienie poj¦¢, najcz¦±ciej wyst¦puj¡cych w publikacji, oraz

stosowane w niej oznaczenia. Zaznaczam jednak, »e omówienie niektórych poj¦¢ ma tutaj

charakter jedynie informacyjny. Peªn¡ dyskusj¦ o niektórych z przedstawionych tutaj poj¦¢

Czytelnik znajdzie w dalszej cz¦±ci pracy. Sªowniczek mo»e by¢ pomocny dla Czytelników,

którzy od razu chcieliby przej±¢ do II cz¦±ci ksi¡»ki lub powracaj¡ do lektury po jakim±

czasie.

zdarzenie Zdarzeniem nazwiemy dowolny akt, dziej¡cy si¦ w dowolnym procesie �zycznym.

Mo»na by rzec, »e w zjawisku �zycznym, jednak termin zjawisko �zyczne jest raczej

klas¡ procesów �zycznych o pewnych wspólnych wªasno±ciach. Poj¦cie np. zjawiska

rzutu poziomego nie okre±la gdzie i kiedy dzieje si¦ ono, dlatego konkretn¡ realizacj¦

tego zjawiska, konkretny rzut poziomy, nazwiemy procesem �zycznym. Odnosz¡c si¦

do skali, w jakiej obserwujemy proces �zyczny, zakªadamy, »e skªada si¦ on z elementar-

nych aktów, dziej¡cych si¦ w niesko«czenie maªym obszarze przestrzennym (punkcie)

oraz trwaj¡cych niesko«czenie krótki czas (chwil¦). W zasadzie zdarzeniem nazwiemy

akt, w ka»dym hipotetycznym procesie który mo»e zaistnie¢ (mo»liwe zdarzenie trak-

tujemy po prostu jako zdarzenie). Zdarzenia oznaczone s¡ du»ymi literami: A, B, C,

... Bardzo dobrym wyra»eniem dla poj¦cia zdarzenia jest mniej u»ywana w literaturze

punkto-chwila.

czasoprzestrze« Czasoprzestrze« (M) jest zbiorem wszystkich zdarze«.

ciaªo swobodne Ciaªo, które nie podlega »adnym wpªywom. Na ciaªo swobodne nie dzia-

ªaj¡ »adne siªy, ewentualnie dziaªaj¡ce siªy zawsze si¦ znosz¡. Ciaªa swobodne ozna-

czone s¡ w pracy symbolami: O, O′, O′′, ... W niektórych pracach u»ywa si¦ terminu

cz¡stka swobodna - oczywi±cie w naszej terminologii ka»da cz¡stka swobodna jest tak»e

ciaªem swobodnym.

przy okazji zdarzenia Zacznijmy od przykªadu. Wyobra¹my sobie, »e kilka ciaª mija si¦

jednocze±nie w pewnym miejscu. Mo»emy ten akt uwa»a¢ za zdarzenie A. Samo zda-

rzenie A jest raczej abstrahowaniem od tego co si¦ �zycznie staªo, za± wyra»enie przy

17


okazji zdarzenia A precyzuje co si¦ �zycznie staªo (mo»e to by¢ kilka �zycznych ak-

tów!). Przykªadowo, b¦dziemy mówili: przy okazji zdarzenia A min¦ªy si¦ trzy ciaªa,

przy okazji zdarzenia A wskazanie zegara pierwszego ciaªa wynosiªo pi¦¢, przy okazji

zdarzenia A wskazanie zegara drugiego ciaªa wynosiªo dwa, przy okazji zdarzenia A

trzecie ciaªo wysªaªo sygnaª, ... , itp.. Wyra»enie to, mo»e tak»e sªu»y¢ do okre±lenia

jakie akty �zyczne staªy si¦ w danej punkto-chwili - np. wskazanie zegara przy okazji

zarejestrowania fotonu wynosiªo trzy (dwa zdarzenia - wskazanie zegara i rejestracja

fotonu). Autor zdecydowaª si¦ na to pozornie sztucznie wygl¡daj¡ce wyra»enie, aby

nie u»ywa¢ takich sformuªowa« jak w danej chwili lub w danym momencie (co stanie

si¦ zasadne dla Czytelnika w trakcie lektury). W literaturze u»ywa si¦ cz¦sto równo-

wa»nego sformuªowania w koincydencji ze zdarzeniem A, jednak»e zwrot przy okazji

zdarzenia A wydaje si¦ ªatwiejszym w swoim polskim brzmieniu.

inercjalny ukªad odniesienia Taki ukªad odniesienia, w którym swobodne ciaªo albo po-

rusza si¦ ruchem jednostajnym, albo spoczywa. Zazwyczaj inercjalny ukªad odniesienia

b¦dzie zwi¡zany z jakim± ciaªem swobodnym O, które b¦dzie wyznaczaªo przestrzennypocz¡tek takiego ukªadu odniesienia. Ukªad inercjalny zwi¡zany z ciaªem swobodnym

O oznaczam w I cz¦±ci przez UO, za± w II cz¦±ci ksi¡»ki - po prostu O (co zawsze

b¦dzie wynikaªo z kontekstu).

inercjalny ukªad wspóªrz¦dnych Jest to po prostu ukªad wspóªrz¦dnych w inercjalnym

ukªadzie odniesienia. System, dzi¦ki któremu w inercjalnym ukªadzie odniesienia po-

tra�my okre±li¢ czas i miejsce zaj±cia zdarzenia. Nie b¦d¦ odró»niaª oznaczeniami

inercjalnego ukªadu odniesienia od inercjalnego ukªadu wspóªrz¦dnych, zwi¡zanych z

ciaªem O. Dla obu stosuj¦ oznaczenie UO lub krócej - O (co zawsze b¦dzie wynikaªo

z kontekstu). W dalszej cz¦±ci pracy omówimy konstrukcj¦ takiego ukªadu wspóªrz¦d-

nych.

obserwator inercjalny O To poj¦cie jest synonimem dwóch poprzednich. Jest to system

zwi¡zany z ciaªem swobodnym O, który potra� lokalizowa¢ zdarzenia w czasie i prze-

strzeni. Absolutnie nie mo»na my±le¢ o obserwatorze O jako o czªowieczku siedz¡cym

sobie na ciele O i obserwuj¡cym zdarzenia. Je»eli ju» tak bardzo chcemy personi�kacji

obserwatora, to pomy±lmy o nim raczej jako o zarz¡dcy inercjalnego ukªadu wspóªrz¦d-

nych. Uwaga! Wyra»enie - obserwator O obserwuje - nie oznacza wizualnej obserwacji

zdarze« przez tego obserwatora, tylko ustalanie przez niego relacji czasoprzestrzennych

pomi¦dzy zdarzeniami, które zostaªy zlokalizowane w czasie i przestrzeni przez - ogólnie

mówi¡c - system inercjalny.

historia ciaªa Zbiór zdarze«, które zachodz¡ dokªadnie tam, gdzie jest to ciaªo.

18

SPIS TRE�CI

linia ±wiata ciaªa Zbiór zdarze« nale»¡cych do historii ciaªa. W czasoprzestrzeni b¦dzie

to jaka± linia prosta (w przypadku ciaªa swobodnego), b¡d¹ krzywa.

zegar ciaªa odniesienia Ciaªo swobodne wyposa»ymy w idealny zegar - czyli system, który

w sposób jednorodny odmierza odst¦p pomi¦dzy zdarzeniami nale»¡cymi do historii

tego ciaªa. Zegar zwi¡zany z ciaªem O nazwiemy po prostu zegarem O.

przestrze« Euklidesa Przestrze« Euklidesa jest najbli»sza intuicjom geometrycznym dla

czªowieka, o niej uczymy si¦ w szkole. Jest to przestrze« (E), w której speªnione s¡ tzw.

postulaty Euklidesa. W przypadku dwuwymiarowej przestrzeni Euklidesa (E2) jest to

przestrze«, w której istniej¡ punkty i proste, przez jeden punkt mo»e przechodzi¢

niesko«czenie wiele prostych, ponadto speªnione s¡ aksjomaty Euklidesa (podane w

brzmieniu zbli»onym do oryginalnego):

(i) Przez dwa dowolne punkty pªaszczyzny mo»na poprowadzi¢ dokªadnie jedn¡ prost¡.

(ii) Ka»dy odcinek ª¡cz¡cy dwa punkty mo»e zosta¢ przedªu»ony do niesko«czono±ci

w sposób ci¡gªy. Ogólnie mówi¡c, postulat ten oznacza, »e przestrze« Euklidesowa

nie posiada dziur, które nie pozwalaªyby na przedªu»anie odcinków. Ponadto, prosta

pod¡»a (przedªu»a si¦ z danego punktu) zawsze w naturalnym kierunku wyznaczonym

przez wektor styczny do niej w tym punkcie.

(iii) Istnieje poj¦cie odlegªo±ci. Odlegªo±¢ jest liczb¡ dodatni¡. Zbiór wszystkich punk-

tów jednakowo odlegªych od dowolnego punktu pªaszczyzny tworzy okr¡g. Okr¡g mo»e

mie¢ dowolny promie«. Postulat ten wprowadza poj¦cie dodatnio okre±lonej odlegªo±ci

w przestrzeni. Dªugo±¢ odcinka prostej ª¡cz¡cego dwa punkty nale»¡ce do niej, jest

najmniejsza.

(iv) Wszystkie k¡ty proste s¡ jednakowe. W wersji wspóªczesnej oznacza to, »e prze-

strze« w ka»dym swoim punkcie i w ka»dym kierunku wygl¡da tak samo (np. sfera,

pªaszczyzna), posiada te same wªasno±ci geometryczne w ka»dym swoim punkcie. Tak¡

przestrze« nazywa si¦ jednorodn¡. Pozwala to na porównywanie ze sob¡ �gur znajdu-

j¡cych sie w ró»nych miejscach takiej przestrzeni, tym samym pozwala to na okre±lenie

poj¦cia przystawania i podobie«stwa �gur.

(v) Przez dowolny punkt nie nale»¡cy do zadanej prostej mo»na poprowadzi¢ co najwy-

»ej jedn¡ prost¡ rozª¡czn¡ (równolegª¡) do tej prostej. Spo±ród wszystkich przestrzeni

jednorodnych, postulat ten speªnia tylko przestrze« Euklidesowa (zwykªa pªaszczy-

zna). Przykªadowo, je±li za przestrze« jednorodn¡ we¹miemy sfer¦, za± okr¦gi wielkie

b¦d¡ prostymi (poniewa» ª¡cz¡ dwa punkty sfery po najkrótszej drodze!), to okazuje

si¦, »e nie istniej¡ dwa takie okr¦gi wielkie, które nie przecinaªyby si¦ (byªy równole-

gªe). Istniej¡ ponadto takie przestrzenie (geometria �obaczewskiego), w których do

19

zadanej prostej, przez dany punkt, mo»na poprowadzi¢ niesko«czenie wiele prostych

rozª¡cznych. Tylko pªaszczyzna speªnia (v) postulat Euklidesa.

W przestrzeni Euklidesowej mo»na wprowadzi¢ kartezja«ski ukªad wspóªrz¦dnych.

przestrze« wektorowa, przestrze« a�niczna Poj¦cia te s¡ dokªadnie omówione w I cz¦-

±ci ksi¡»ki.

20

Cz¦±¢ I

Postulaty fundamentalne i

czasoprzestrze« - link do pliku

21

I cz¦±¢ ksi¡»ki pod tym tytuªem, z uwagi na jej obj¦to±¢, umieszona jest w osobnym

pliku:

I Cz¦±¢ - Postulaty fundamentalne i czasoprzestrze«.

23

http://www.teoriawzglednosci.pl/publikacja/poczatek_koniec.pdf

Mariusz Mroczek

24

Cz¦±¢ II

Czasoprzestrze« w STW

25

Rozdziaª 1

Narz¦dzia

Podstawowym narz¦dziem naszych rozwa»a« b¦dzie operowanie liniami ±wiata ciaª swobod-

nych oraz liniami ±wiata sygnaªów elektromagnetycznych. Z tego powodu musimy sobie przy-

pomnie¢ z I cz¦±ci wykªadu ustalon¡ tam terminologi¦ wraz z najwa»niejszymi rezultatami

dotycz¡cymi linii ±wiata w czasoprzestrzeni. Przypomnijmy, »e owe rezultaty s¡ bezpo±red-

nim dziedzictwem pewnych zaªo»e«, którym nadali±my miano Postulatów Fundamentalnych,

czyli I Zasady Dynamiki, Zasady Wzgl¦dno±ci (Symetrii), zaªo»enia jednorodno±ci czasu i

przestrzeni, Postulatu Przestrzeni Euklidesowej.

1.1 Linie ±wiata ciaª swobodnych

W tej sekcji przypomnimy sobie jak interpretowa¢ ró»ne kon�guracje linii ±wiata, po to,

aby w dalszej cz¦±ci pracy uwolni¢ si¦ od potrzeby opisu kinematyki ka»dej sytuacji �zycz-

nej reprezentowanej jak¡± kon�guracj¡ takich linii. Przypomnijmy, »e linia ±wiata ciaªa jest

zbiorem wszystkich zdarze«, które nale»¡ do jego historii. Dalej, o ile nie b¦dzie to wyra¹-

nie zaznaczone, b¦dziemy mówili o ciaªach swobodnych lub równowa»nie - o obserwatorach

inercjalnych zwi¡zanych z tymi ciaªami. Ponadto ka»de ciaªo wyposa»amy w idealny ze-

gar wªasny, dzi¦ki któremu b¦dzie mo»na mierzy¢ odst¦py pomi¦dzy tymi zdarzeniami (i

tylko tymi), które nale»¡ do historii danego ciaªa. Zaznaczmy, »e zakªadamy ruchy wzgl¦dne

w jednym wymiarze przestrzennym. Oznacza to, »e wzgl¦dem dowolnego ciaªa inne ciaªa

poruszaj¡ si¦ w ustalonym kierunku.

Podsumowanie najwa»niejszych wniosków

Dyskusja I Zasady Dynamiki doprowadziªa nas do wniosku, »e o liniach ±wiata ciaª swo-

bodnych mo»na my±le¢ jak o liniach prostych w czasoprzestrzeni. Inny sªowami - czaso-

przestrze« zostaªa wyposa»ona w struktur¦ takiej przestrzeni, w której dobrze jest okre±lone

27

ROZDZIA� 1. NARZ�DZIA Mariusz Mroczek

poj¦cie prostej oraz równolegªo±ci prostych (speªniony jest V postulat Euklidesa). Punkty

(zdarzenia) le»¡ce na dowolnej prostej (linii ±wiata ciaªa swobodnego) s¡ w sposób ci¡gªy

parametryzowane (numerowane) czasem wªasnym. Odst¦p czasu upªywaj¡cego pomi¦dzy

zdarzeniami z historii ciaªa O, który jest odmierzany jego zegarem wªasnym, nazywamy cza-

sem wªasnym. Równolegªo±¢ linii ±wiata dwóch ciaª oznacza tyle, »e pozostaj¡ one w staªej

odlegªo±ci wzgl¦dem siebie (zobacz rysunek 1.1).

Rysunek 1.1: Po lewej - linia ±wiata ciaªa swobodnego O jest prost¡ w czasoprzestrzeni.

Zegar wªasny ciaªa O przyporz¡dkowuje zdarzeniom A, B, C, ... liczby. Po ±rodku - odst¦p

pomi¦dzy zdarzeniami A i B nale»¡cymi do linii ±wiata ciaªa/obserwatora O to upªywaj¡cy

czas wªasny pomi¦dzy tymi zdarzeniami. Po prawej - linie ±wiata ciaª O1, O2 pozostaj¡cych

wzgl¦dem siebie w spoczynku, s¡ równolegªe.

Je»eli ciaªa swobodne poruszaj¡ si¦ wzgl¦dem siebie, to ich linie ±wiata przecinaj¡

si¦. Ruch wzgl¦dny dwóch ciaª reprezentuj¡ w czasoprzestrzeni dwie przecinaj¡ce si¦ linie.

Miejsce przeci¦cia tych linii to wspólne dla obu ciaª zdarzenie zachodz¡ce przy okazji mini¦cia

si¦ tych ciaª.

Rysunek 1.2: Po lewej: Linie ±wiata ciaª O, O′, które poruszaj¡ si¦ wzgl¦dem siebie to proste

przecinaj¡ce si¦. Zdarzenie A, przy okazji którego ciaªa min¦ªy si¦, nale»y do historii obu z

nich. Po prawej: odlegªo±¢ przestrzenna pomi¦dzy zdarzeniami A1 i A2 w ukªadzie ciaªa O1

to po prostu odlegªo±¢ pomi¦dzy ciaªami O1 i O2.

Przypomnijmy, »e odlegªo±¢ przestrzenna pomi¦dzy zdarzeniami w jakim± ukªadzie

odniesienia, to odlegªo±¢ wzgl¦dna pomi¦dzy ciaªami, które posiadaj¡ w swojej historii te

28

1.1. LINIE �WIATA CIA� SWOBODNYCH

zdarzenia (zobacz rysunek 1.2) i s¡ wzgl¦dem siebie nieruchome (o procedurze wyznaczania

odlegªo±ci opowiemy ju» niebawem). W zwi¡zku z tym, je»eli linia ±wiata ciaªa O′ przecinadwie równolegªe linie ±wiata ciaª O1, O2 w zdarzeniach A1 i A2 to przestrzenna odlegªo±¢

∆x pomi¦dzy tymi zdarzeniami w ukªadzie ciaªa O1 jest odlegªo±ci¡ pomi¦dzy ciaªami O1,

O2: ∆x = |O1O2|x (indeks x zaznacza, i» jest to odlegªo±¢ przestrzenna w ukªadzie O).W ±wietle powy»szego warto poczyni¢ prost¡, aczkolwiek wa»n¡ uwag¦, któr¡ ilustruje

rysunek 1.3. Po lewej stronie rysunku widzimy, »e w ukªadzie odniesienia ciaª O odpowiednie

odlegªo±ci przestrzenne pomi¦dzy zdarzeniami s¡ sobie równe: |A1A2|x = |A2A3|x = ∆x1,

ponadto |A1A3|x = 0. Z kolei ±rodkowa cz¦±¢ rysunku 1.3 przekonuje o tym, »e w ukªadzie

odniesienia ciaª O′ odpowiednie odlegªo±ci przestrzenne pomi¦dzy tymi samymi zdarzeniami

nie s¡ sobie równe: |A1A2|x′ = ∆x′2 za± |A2A3|x = ∆x′1 + ∆x′2. Z tego powodu odlegªo±ci

przestrzenne pomi¦dzy zdarzeniami, pokonane przez ciaªa b¡d¹ sygnaªy N (trzecia cz¦±¢

rysunku) nale»y zawsze odnie±¢ do ukªadu odniesienia. Przykªadowo, spaceruj¡c po wagonie

od jego pocz¡tku do ko«ca i z powrotem, pokonujemy t¦ sam¡ odlegªo±¢ w ukªadzie jad¡cego

poci¡gu, jednak»e w ukªadzie odniesienia zwi¡zanym z Ziemi¡ odlegªo±ci te s¡ ró»ne.

Rysunek 1.3: Odlegªo±ci przestrzenne pomi¦dzy zdarzeniami zale»¡ od ukªadu odniesienia.

Zauwa»my, »e |A1A3|x = 0 w ukªadzie ciaª O, za± w ukªadzie ciaª O′ mamy: |A1A3|x′ = ∆x′1.

Twierdzenie Talesa Na zako«czenie przypomnijmy twierdzenie Talesa w czasoprzestrzeni.

Na rysunku 1.4 widzimy dwie linie ±wiata ciaª O oraz O′, które mijaj¡ sie przy okazji

zdarzenia A. Zakªadamy, »e oba zegary wªasne przy okazji zdarzenia A wskazuj¡ zero

τ(A) = τ ′(A) = 0. Oba ciaªa mijaj¡ inne ciaªa (b¡d¹ sygnaªy) N1 i N2, które z kolei

wzgl¦dem siebie pozostaj¡ w tej samej odlegªo±ci, co oznacza, »e ich linie ±wiata s¡ rów-

nolegªe. Sytuacj¦ ilustruj¡ diagramy na rysunku 1.4. Obserwatorzy O oraz O′ rejestruj¡odpowiednio na zegarach wªasnych wskazania: τ1, τ2 oraz τ ′1, τ

′2, przy okazji zdarze« mija-

nia ich przez ciaªa (sygnaªy) N1 i N2. Twierdzenie Talesa w czasoprzestrzeni jest odbiciem

wªasno±ci jednostajnych ruchów wzgl¦dnych i oznacza, »e zachodz¡ relacje:

τ ′1τ1

=τ ′2τ2

= α. (1.1)

29


Rysunek 1.4: Diagramy ilustruj¡ce twierdzenie Talesa w czasoprzestrzeni.

Wspóªczynnik proporcjonalno±ci α zale»y od parametru V - maj¡cego interpretacj¦

pr¦dko±ci wzgl¦dnej ciaª O, O′ oraz od v - pr¦dko±ci ciaª (sygnaªów) Ni wzgl¦dem O (lub

O′). Do wyznaczenia V i v potrzebne nam b¦d¡ wspóªrz¦dne - o czym ju» niebawem.

1.2 Geometryczne uj¦cie II Postulatu Einsteina

Postulat Einsteina o tym, »e pr¦dko±¢ ±wiatªa jest staªa wzgl¦dem wszystkich ciaª swobod-

nych, oddaje nam w r¦ce narz¦dzie, dzi¦ki któremu b¦dziemy wyznaczali relacje czasowo -

przestrzenne pomi¦dzy zdarzeniami. Postulat Einsteina wyró»nia pewn¡ klas¦ linii ±wiata -

linii ±wiata sygnaªów elektromagnetycznych.

Fotony

Czym jest ±wiatªo? W pierwszej cz¦±ci ksi¡»ki powiedzieli±my, »e ±wiatªo jest fal¡ elektro-

magnetyczn¡. Zgodnie z relatywistyczn¡ teori¡ kwantow¡, ±wiatªo (promieniowanie elektro-

magnetyczne) rozchodzi si¦ w postaci kwantów energii zwanych fotonami. Pr¦dko±¢ fotonów

wzgl¦dem wszystkich ciaª swobodnych to pr¦dko±¢ ±wiatªa c. �wiatªo wykazuje dwoist¡

natur¦ ukazuj¡c w pewnych eksperymentach swoje falowe wªasno±ci takie jak dyfrakcja, in-

terferencja, polaryzacja; za± w innych eksperymentach wykazuje wªasno±ci korpuskularne.

Wªasno±ci korpuskularne wykazuj¡ fotony np. podczas zjawiska fotoelektrycznego, gdzie

padaj¡ce na powierzchni¦ metalu fotony oddziaªuj¡ z elektronami (jeden foton z jednym

elektronem) wybijaj¡c je z powierzchni metalu, lub podczas zjawiska Comptona, gdzie foton

oddziaªuje z jednym wolnym elektronem uderzaj¡c w niego niczym kula bilardowa. Fotony

s¡ cz¡stkami elementarnymi nie posiadaj¡cymi masy, jednak»e w zjawiskach, w których za-

chowuj¡ si¦ jak typowe cz¡stki, przekazuj¡ obiektom z którymi oddziaªuj¡ p¦d i energi¦

dokªadnie tak, jakby byªy cz¡stkami. Ponadto jeden foton oddziaªuje z jedn¡ cz¡stk¡ (np.

jeden foton nie wybije z metalu dwóch elektronów), co ±wiadczy, »e podczas aktu oddziaªywa-

nia fotonu z dan¡ cz¡stk¡, foton musi by¢ zlokalizowany wªa±nie tam, gdzie jest dana cz¡stka.

30

1.2. GEOMETRYCZNE UJ�CIE II POSTULATU EINSTEINA

P¦d fotonu (który nie posiada masy!) dany jest wzorem pf = h/λ, gdzie h ≈ 6 ·10−34 Js jest

staª¡ Plancka, za± jego energia to Ef = hc/λ. λ jest dªugo±ci¡ fali, gdyby promieniowanie

ujawniªo swoja natur¦ falow¡, np. podczas interferencji. Przykªadowo, je»eli promieniowanie

o ustalonej cz¦stotliwo±ci f = c/λ wysyªane z lasera, przechodzi przez dwie szczeliny odlegªe

od siebie o bardzo maª¡ odlegªo±¢ d, to pada na ekran znajduj¡cy si¦ za szczelinami tylko w

pewne miejsca, tworz¡c obraz zªo»ony z pr¡»ków. K¡t obserwacji (αn) n-tego pr¡»ka wi¡»e

si¦ z dªugo±ci¡ fali wzorem nλ = d sinαn i jest to klasyczny wzór na wzmocnienie interferen-

cyjne dla fal. W tej»e samej sytuacji, je»eli ekran byªby pokryty warstw¡ metalu, mo»e doj±¢

w obszarach wzmocnie« (pr¡»ków) interferencyjnych do wybijania elektronów przez fotony

(gdy cz¦stotliwo±¢ promieniowania jest wi¦ksza od pewnej cz¦stotliwo±ci granicznej). Fotony

przekazuj¡ elektronom le»¡cym w obszarze obserwacji n-tego pr¡»ka swój p¦d pf = h/λ, czyli

w tym konkretnym przypadku pf = nh/d sinαn.

Promieniowanie elektromagnetyczne zachowuje si¦ jak klasyczna fala propaguj¡cego

si¦ w przestrzeni pola elektromagnetycznego, zgodnie z klasyczn¡ teori¡ (równaniami) Ma-

xwella a jednocze±nie zachowuje si¦ jak zbiór cz¡stek. Dualizm korpuskularno falowy to

jednak co± wi¦cej. Wyobra¹my sobie, »e puszczamy fotony przez dwie szczeliny ale poje-

dynczo, np. co dwa dni! Foton po przej±ciu przez te szczeliny, pada na ekran w pewne

miejsca o czym ±wiadczy pozostawiony tam ±lad. Po kilku latach, z tych wszystkich ±ladów

uformuj¡ si¦ na ekranie pr¡»ki interferencyjne. Bezsprzecznie pozostawienie ±ladu ±wiadczy

o naturze cz¡steczkowej (niczym ±lad mokrej piªki na murze). Jednak foton pada w te i tylko

te miejsca, gdzie nast¦powaªoby wzmocnienie interferencyjne fali o dªugo±ci λ. Czyli nawet

pojedynczym fotonem rz¡dzi pewna tajemnicza fala! Nie jest to jednak tak, »e jeden foton

przechodzi przez dwie szczeliny równocze±nie! Maªo tego, ilekro¢ zaobserwujemy, »e foton

NIE przeszedª (!) przez wybran¡ szczelin¦, tylekro¢ niszczony jest obraz interferencyjny

na ekranie, to znaczy foton nie pada w miejsca pr¡»ków. W tym ciekawym miejscu musz¦

jednak przerwa¢ dalsz¡ dyskusj¦, która odchodziªaby od gªównego nurtu naszego wykªadu,

pod¡»aj¡c w tajemnicze i fascynuj¡ce obszary mechaniki kwantowej. Zainteresowanego Czy-

telnika zach¦cam do indywidualnych studiów tych zagadnie«. Tymczasem powracamy do

naszej czasoprzestrzeni.

Linie ±wiata sygnaªów elektromagnetycznych b¦dziemy rozumieli jako linie ±wiata fo-

tonów. Je»eli Czytelnik chciaªby posªugiwa¢ si¦ klasyczn¡ fal¡ elektromagnetyczn¡, to linia

±wiata b¦dzie zbiorem zdarze«, przy okazji których propaguj¡ce si¦ nat¦»enie pola elektrycz-

nego jest w tej samej fazie (np. czoªo fali). Nasza caªa czasoprzestrze« zostanie wypeªniona

promieniowaniem - liniami ±wiata fotonów.

31


Wyró»nione linie ±wiata fotonów

Przypomnijmy, »e rozwa»amy ruchy wzgl¦dne które odbywaj¡ si¦ w jednym kierunku. Za-

uwa»my, »e Zasada Wzgl¦dno±ci zabrania nam wypowiadania si¦ o tym, w któr¡ absolutn¡

stron¦ podró»uje ciaªo. Je»eli bowiem ciaªo O2 mija ciaªo O1 od lewej do prawej, za± ciaªo O3

mija oba: O1, O2 tak»e od lewej do prawej, to wzgl¦dem O3 ciaªo O2 porusza si¦ od prawej

do lewej. Wszystkie ciaªa s¡ równoprawne, zatem nie mo»na obiektywnie (bez odnoszenia

si¦ do ciaª) powiedzie¢ w któr¡ stron¦ podró»uje O2 jak i ka»de inne ciaªo.

W przypadku linii ±wiata fotonów sprawa ma si¦ inaczej. Poniewa» pr¦dko±¢ fotonów

jest taka sama wzgl¦dem wszystkich ciaª swobodnych, to jedna rodzina fotonów b¦dzie mijaªa

wszystkie ciaªa swobodne od lewej do prawej, za± druga rodzina fotonów - od prawej do lewej

(zobacz rys. 1.6). Okre±la to dwie rodziny fotonów, które oznaczymy: fotony N+, które

poruszaj¡ si¦ w jedn¡ stron¦ i fotony N− poruszaj¡ce si¦ w stron¦ przeciwn¡.

Rysunek 1.5: Po lewej - linie ±wiata fotonów typu N+, które mijaj¡ wszystkie ciaªa od lewej

do prawej; po prawej - linie ±wiata fotonów typu N−, które mijaj¡ wszystkie ciaªa od prawej

do lewej.

Fotony podró»uj¡ce w jedn¡ stron¦ nigdy si¦ nie mijaj¡, co oznacza, »e »aden foton

nie dogoni innego. Dwa dowolne fotony z jednej rodziny nie mog¡ mie¢ zdarze« wspólnych,

co oznacza, »e ich linie ±wiata s¡ równolegªe (zobacz rysunek 1.6).

Rysunek 1.6: Linie ±wiata fotonów w czasoprzestrzeni. Linie ±wiata fotonów w czaso-

przestrzeni dwuwymiarowej b¦dziemy oznaczali liniami przerywanymi o ±rednim nasyceniu

czerni.

K¡t pod jakim narysowane s¡ linie ±wiata fotonów jest czysto umowny, jednak raz ob-

32

1.2. GEOMETRYCZNE UJ�CIE II POSTULATU EINSTEINA

rany zachowamy na wszystkich diagramach. W ten sposób wyró»nione zostaj¡ dwie rodziny

linii ±wiata fotonów - dwie klasy prostych równolegªych w naszej czasoprzestrzeni. Na nasz¡

przestrze« liniow¡ zostaje naªo»ona dodatkowa struktura podyktowana owymi liniami.

Nieosi¡galne linie

Foton zawsze dogoni (i przegoni) ka»de ciaªo swobodne. A to dlatego, »e pr¦dko±¢ ±wiatªa w

ka»dym ukªadzie inercjalnym (wzgl¦dem ka»dego ciaªa swobodnego) jest zawsze taka sama.

Wzgl¦dny ruch ciaª swobodnych nie ma w tym wypadku nic do rzeczy - pr¦dko±¢ fotonu

wzgl¦dem ka»dego z nich jest ta sama! Foton dogoni ka»de ciaªo swobodne, jednak »adne

ciaªo swobodne nie dogoni fotonu, poniewa» nie mo»e porusza¢ si¦ szybciej od niego. Zaªó»my

na chwil¦, »e ciaªo swobodne dogania i mija foton typu N+ od lewej do prawej. Wtedy foton

N+ mijaªby to wªa±nie ciaªo od prawej do lewej, co jest sprzeczne z jego natur¡, poniewa»

foton ten powinien mija¢ wszystkie ciaªa od lewej do prawej. W naszym j¦zyku linii ±wiata

oznacza to tyle, »e linia ±wiata fotonu N+ przetnie ka»d¡ lini¦ ±wiata ciaªa od lewej do prawej,

za± przeci¦cie linii ±wiata fotonu N+ przez lini¦ ±wiata ciaªa swobodnego od lewej do prawej

jest niemo»liwe! Oznaczaªoby to po pierwsze przekroczenie pr¦dko±ci ±wiatªa przez ciaªo,

po drugie - wyró»nienie w któr¡ stron¦ porusza si¦ ciaªo. Zobacz rysunek 1.7 i jego opis.

Analogiczne rozumowanie przeprowadzamy dla fotonów typu N−.

Rysunek 1.7: Foton typu N+ podró»uj¡cy w prawo wzgl¦dem wszystkich ciaª. Po lewej: linia

±wiata fotonu zawsze przetnie linie ±wiata ciaªa swobodnego od lewej do prawej. Po prawej:

linia ±wiata ciaªa swobodnego nie mo»e przeci¡¢ linii ±wiata fotonu N+ od strony lewej do

prawej. Ciaªa nie doganiaj¡ fotonów!

Powy»sza argumentacja, ju» na wczesnym etapie wykªadu i bez u»ycia ukªadu wspóª-

rz¦dnych przekonuje nas o tym, »e linie ±wiata ciaª swobodnych mog¡ mie¢ tylko takie kie-

runki na pªaszczy¹nie czasoprzestrzeni, które zapewniaj¡, »e »adna linia ±wiata fotonu nie zo-

stanie przeci¦ta w odpowiedni sposób. Oznacza to, i» wszystkie linie ±wiata ciaª swobodnych

o wspólnym zdarzeniu, maj¡ kierunki zawarte pomi¦dzy kierunkami linii ±wiata fotonów N−

oraz N+ (zobacz rysunek 1.8). Wszystkie takie linie nazwiemy czasowymi liniami ±wiata.

33


Przymiotnik czasowa linia ±wiata oddaje fakt, i» z dowolnym ciaªem swobodnym mo»na

zwi¡za¢ inercjalny ukªad odniesienia, w którym jego linia ±wiata jest osi¡ czasu (o czym

wkrótce). Linie, które nie mog¡ by¢ liniami ±wiata ciaª ani »adnych sygnaªów, maj¡ kierunki

le»¡ce w obszarze zabronionym dla linii czasowych. Takie linie nazywamy przestrzennymi.

Jak si¦ wkrótce przekonamy przymiotnik przestrzenna oddaje fakt, »e w pewnym ukªadzie

odniesienia tak¡ lini¦ mo»na uwa»a¢ za o± przestrzenn¡. Wkrótce poznamy algebraiczny -

ilo±ciowy warunek de�niuj¡cy czasowe i przestrzenne linie ±wiata.

Rysunek 1.8: Po lewej: linie ±wiata ciaª mog¡ mie¢ kierunki zawarte pomi¦dzy kierunkami

linii ±wiata fotonów N− oraz N+. S¡ to linie czasowe. Po prawej: linie, które nie mog¡ by¢

liniami ±wiata nazywamy liniami przestrzennymi.

Przygl¡daj¡c si¦ lewej cz¦±ci rysunku mo»na odnie±¢ naiwne wra»enie, jakoby ciaªo O′′

miaªo pr¦dko±¢ bli»sz¡ pr¦dko±ci fotonu ni» np. ciaªo O. Wszak nachylenie wzgl¦dne linii

±wiata dwóch ciaª musi si¦ jako± wi¡za¢ z ich pr¦dko±ci¡ wzgl¦dn¡ i w istocie tak jest. Jed-

nak nawet, gdy jaka± linia ±wiata na naszym diagramie ma kierunek zbli»ony do linii ±wiata

fotonu, to pr¦dko±¢ wzgl¦dna tego» ciaªa i fotonu wci¡» pozostaje niezmienn¡ staª¡ - funda-

mentaln¡ staª¡ przyrody c. Do problemu interpretacji nachyle« wzgl¦dnych kierunków linii

±wiata powrócimy pod koniec II cz¦±ci ksi¡»ki, gdy b¦dziemy omawia¢ zwi¡zek przestrzeni

pr¦dko±ci wzgl¦dnych z geometri¡ hiperboliczn¡.

34

1.3. LOKALIZACJA ZDARZE� - KONWENCJE

1.3 Lokalizacja zdarze« - konwencje

W tej sekcji ustalimy pewn¡ konwencj¦ w sposobie odczytywania diagramów, któr¡ b¦dziemy

posªugiwali si¦ w dalszej cz¦±ci. Zrozumienie tej sekcji ma centralne znaczenie dla umiej¦t-

no±ci prawidªowego odczytania diagramów i odbioru caªej lektury. Zaªó»my, »e obserwator

O wysyªa foton N+ (w prawo), a jego zegar wªasny rejestruje τ1 - wskazanie przy okazji tego

zdarzenia. Równowa»nie b¦dziemy rozumieli sytuacj¦, w której jaki± foton N+ mija tego

obserwatora od lewej do prawej, za± on rejestruje wskazanie zegara wªasnego τ1 przy okazji

tego zdarzenia - mini¦cia O przez foton N+. Sytuacj¦ ilustruje rysunek 1.9

Rysunek 1.9: Zdarzenie wysªania fotonu mo»na równowa»nie rozpatrywa¢ jako zdarzenie

mini¦cia obserwatora przez foton N+.

Analogicznie post¦pujemy dla fotonu typu N−, który biegnie w lewo i jest rejestrowany

przez obserwatora przy okazji wskazania τ2 jego zegara wªasnego, b¡d¹ równowa»nie - dla

fotonów, które mijaj¡ obserwatora od prawej do lewej (rysunek 1.10).

Rysunek 1.10: Zdarzenie zarejestrowania fotonu mo»na równowa»nie rozpatrywa¢ jako zda-

rzenie mini¦cia obserwatora przez foton N−.

W zwi¡zku z tym mo»emy okre±li¢ nast¦puj¡c¡ sytuacj¦: obserwator O wysyªa sygnaª

przy okazji zdarzenia, gdy jego zegar wªasny wska»e τ1. Nast¦pnie sygnaª biegnie do lustra,

b¡d¹ radaru znajduj¡cego si¦ w staªej odlegªo±ci od O, po czym odbija si¦ przy okazji zda-

rzenia A i wraca do obserwatora O. Obserwator ten rejestruje moment powrotu sygnaªu

przy okazji wskazania τ2 jego zegara wªasnego. Mo»emy uwolni¢ si¦ od potrzeby u»ywania

35


luster i radarów, tylko okre±li¢ wskazania zegara wªasnego τ1 i τ2, przy okazji zdarze«, gdy

fotony mijaj¡ obserwatora O. Te same za± fotony mijaj¡ si¦ przy okazji jakiego± zdarzenia

A. Zauwa»my, »e liczby τ1 i τ2 okre±lone przez obserwatora O s¡ ±ci±le przyporz¡dkowane

zdarzeniu A. Para tych liczb jednoznacznie lokalizuje zdarzenie A w ukªadzie obserwatora

O.

Rysunek 1.11: Para liczb τ1, τ2 jednoznacznie lokalizuje zdarzenie A w ukªadzie obserwatora

O. Po lewej: interpretacja sytuacji �zycznej za pomoc¡ wysªania sygnaªu, jego odbicia od

lustra przy okazji zdarzenia A oraz rejestracji powracaj¡cego sygnaªu.

W dalszej cz¦±ci pracy b¦dziemy u»ywali konwencji, która jest uogólnieniem obu rysun-

ków 1.11, po to aby 'nie za±mieca¢' naszych diagramów dodatkowymi bytami, a pozostawi¢

jedynie linie ±wiata obserwatorów, fotonów i zdarzenia. Ponadto linie ±wiata fotonów b¦-

dziemy kre±lili o takiej dªugo±ci, jaka nam b¦dzie potrzebna (zobacz rysunek 1.12).

Rysunek 1.12: Lokalizacja zdarzenia A - uogólnienie rysunków 1.11. Mo»na sobie wyobra»a¢,

»e obserwator wysyªa foton N+, który przy okazji zdarzenia A zostanie zamieniony na N−i powróci do obserwatora. Gdy foton N− dotrze do obserwatora - zostanie przez niego

zarejestrowany. Wa»ne! Oba fotony przebywaj¡ t¦ sam¡ drog¦ pomi¦dzy O a miejscem

zdarzenia A w ukªadzie O.

Sformuªowane spostrze»enia s¡ na tyle istotne, aby±my je wyró»nili:

Fakt 1.3.1 Dla dowolnego zdarzenia A w czasoprzestrzeni istniej¡ dokªadnie dwa sygnaªy

N+A i N−A, które mijaj¡ si¦ przy okazji tego zdarzenia. Pewien obserwator O zarejestruje

τ1A, τ2A - wskazania zegara wªasnego przy okazji zdarze« mijania go przez te sygnaªy. W ten

36

1.3. LOKALIZACJA ZDARZE� - KONWENCJE

sposób dla zdarzenia A w ukªadzie obserwatora O zostaªa przyporz¡dkowana para liczb τ1A,

τ2A (rysunek 1.12).

Chciaªbym zwróci¢ uwag¦, aby±my pami¦tali o 'radarowej' interpretacji, w której wy-

syªamy sygnaª w stron¦ lustra-radaru, po czym sygnaª ten odbija si¦ od niego przy okazji

zdarzenia A i powraca, za± my rejestrujemy czas wysªania i odbioru tego» sygnaªu. Ten

radarowo-lustrzany obrazek jest bardzo wdzi¦czny, gdy» w jawny sposób przekonuje, i» w

ukªadzie danego obserwatora sygnaª przebywa tak¡ sam¡ drog¦ od lustra i z powrotem.

Ka»dy bowiem obserwator ma swoje nieruchome wzgl¦dem siebie lustra znajduj¡ce sie w

ustalonej odlegªo±ci od niego, któr¡ to odlegªo±¢ przebywa rzeczony sygnaª w t¦ i z powro-

tem. Omówiona sytuacj¦ prezentuj¡ diagramy na rysunku 1.13.

Rysunek 1.13: Po lewej i po ±rodku: Radarowa lokalizacja zdarzenia A przez dwóch ob-

serwatorów O oraz O′, którzy si¦ mijaj¡ w zdarzeniu O i unosz¡ swoje lustra pozostaj¡ce

odpowiednio wzgl¦dem nich w spoczynku. Wa»ne - w ukªadzie odniesienia konkretnego ob-

serwatora sygnaª pokonuje t¦ sam¡ drog¦ od obserwatora do lustra i z powrotem. Pokonan¡

drog¡ jest odlegªo±¢ obserwatora od lustra: dla O jest ni¡ ∆x, za± dla O′ wynosi ona ∆x′.

Po prawej - caªa sytuacja na jednym diagramie.

37


38

Rozdziaª 2

Podstawowe konstrukcje

W tym rozdziale omówimy wa»ne poj¦cia u»ywane w dalszej cz¦±ci pracy. Do tego celu

u»yjemy metod omówionych w poprzednim rozdziale. Przypomnijmy - rozwa»amy ruchy

wzgl¦dne w jednym wymiarze przestrzennym.

2.1 Równoczesno±¢ zdarze«

Czym jest równoczesno±¢ dwóch zdarze«? Dotychczas rozwa»ali±my nast¦puj¡ce sytuacje:

je±li zdarzenie B nale»aªo do historii obserwatora O, to przypisywaª on przy okazji tego

zdarzenia liczb¦ τB - wskazanie jego zegara wªasnego. Nasuwa si¦ pytanie:

W jaki sposób obserwator O mo»e okre±li¢ czas zaj±cia zdarzenia A, je»eli nie ma

mo»liwo±ci podstawienia zegara wªasnego na okazj¦ zaj±cia tego» zdarzenia?

Rysunek 2.1: W jaki sposób obserwator O ma przyporz¡dkowa¢ czas zaj±cia zdarzenia A,

które nie nale»y do jego linii ±wiata? Z którym zdarzeniem z wªasnej historii musi powi¡za¢

on zdarzenie A?

Postawione pytanie mo»emy zamieni¢ na pytanie o to, które ze zdarze« ze swojej

wªasnej historii obserwator O ma prawo uzna¢ za powi¡zane ze zdarzeniem A? Czym owo

powi¡zanie jest? Je±li w jaki± sposób obserwator powi¡»e zdarzenie A z jakim± zdarzeniem

B z wªasnej historii, to okre±laj¡c wskazanie wªasne przy okazji B, przypisze je tak»e dla A.

39

ROZDZIA� 2. PODSTAWOWE KONSTRUKCJE Mariusz Mroczek

Poniewa» obserwatorO nie mo»e podstawi¢ zegara wªasnego na okazj¦ zaj±cia zdarzenia A, to

musi on zlokalizowa¢ zdarzenie A za pomoc¡ sygnaªów - fotonów N+ oraz N−. Lokalizacja

zdarzenia za pomoc¡ fotonów zostaªa omówiona w poprzedniej sekcji (zobacz raz jeszcze

rysunki 1.11, 1.12 oraz fakt 1.3.1). Przypomnijmy rzecz rysunkiem 2.2.

Rysunek 2.2: Lokalizacja zdarzenia A przez obserwatora O. Obserwator O przyporz¡dko-

wuje zdarzeniu A par¦ liczb τ1, τ2. Po prawej - obserwator wyznacza zdarzenie B 'po ±rodku'

upªywu jego czasu wªasnego pomi¦dzy zdarzeniami wysªania i rejestracji fotonu.

Wyznaczenie zdarzenia równoczesnego W poprzednim rozdziale wyja±nili±my sobie,

»e dla dowolnego obserwatora O, sygnaª N+ przebywa t¦ sam¡ drog¦ od O do miejsca zda-

rzenia A co powracaj¡cy od miejsca zdarzenia A do O sygnaª N− (zobacz rysunek 1.13).

Ponadto mamy zapewnione, »e sygnaªy te s¡ uniwersalne, czyli w ka»dym sensie - abstra-

huj¡c od zwrotu ruchu - ruch sygnaªu w t¦ i z powrotem jest identyczny. W zwi¡zku z

tym, sensownym jest »¡danie, aby jako zdarzenie powi¡zane z A obserwator O wyznaczyª w

swojej historii takie zdarzenie B, które zachodzi dokªadnie pomi¦dzy zdarzeniami wysªania

i rejestracji fotonu (prawy rysunek 2.2):

τ2 − τB = τB − τ1,

sk¡d otrzymujemy

τB =τ1 + τ2

2. (2.1)

Je»eli zdarzenia A i B powi¡zane s¡ ze sob¡ przez obserwatora O w powy»ej omó-

wiony sposób, to powiemy, »e s¡ one równoczesne w ukªadzie tego obserwatora. Mo»emy

zde�niowa¢ formalnie równoczesno±¢ dwóch zdarze«.

De�nicja 2.1.1 (Równoczesno±¢ zdarze«) Niech τ1, τ2 b¦d¡ wskazaniami zegara wªa-

snego obserwatora O przy okazji rejestrowania sygnaªów, które lokalizuj¡ zdarzenia A. Zda-

rzenie B z historii obserwatora O jest dla niego równoczesne ze zdarzeniem A, wtedy i tylko

wtedy, gdy

τB =τ1 + τ2

2.

40

2.1. RÓWNOCZESNO�� ZDARZE�

Sytuacj¦ ilustruje lewa cz¦±¢ rysunku 2.3. Zauwa»my, »e w ten sposób obserwator O mo»e

wyznaczy¢ zbiór wszystkich zdarze«, które s¡ równoczesne ze zdarzeniem B nale»¡cym do

jego wªasnej historii (zobacz praw¡ cz¦±¢ rysunku 2.3). Przypomnienie - linie ±wiata fotonów

zaznaczamy na tyle, na ile jest to konieczne.

Rysunek 2.3: Po lewej: zdarzenia A i B s¡ równoczesne - zdarzenie B zachodzi 'po ±rodku'

zdarze«, przy okazji wskaza« τ1, τ2 zegara O. Po prawej - zbiór zdarze« równoczesnych z B,

dla obserwatora O, jest lini¡ równoczesno±ci.

Zauwa»my, »e zbiór wszystkich mo»liwych zdarze« równoczesnych dla O tworzy lini¦

prost¡. Poªo»enie tej linii na diagramie wzgl¦dem O zale»y od linii ±wiata fotonów i linii

±wiata obserwatora. Dwaj obserwatorzy O oraz O′ inaczej okre±laj¡ lini¦ zdarze« równo-

czesnych do jakiego± zdarzenia A. Sytuacj¦ ilustruje rysunek 2.4, który warto porówna¢ z

rysunkiem 1.13 (aby nie popeªni¢ pewnego bª¦du interpretacji, spójrz na linie ±wiata luster).

Rysunek 2.4: Linia AB jest lini¡ zdarze« równoczesnych do A w ukªadzie O. Linia AB′

jest lini¡ zdarze« równoczesnych do A w ukªadzie O′. Po prawej: caªa sytuacja na jednym

diagramie. Rysunek pokazuje szczególny przypadek, gdy O jest zdarzeniem wspólnym.

Poni»ej przedstawione s¡ przykªady wyznaczania linii równoczesno±ci dla ró»nych ob-

serwatorów za pomoc¡ linii ±wiata fotonów. Warto, aby Czytelnik nabraª wprawy w wyzna-

czaniu linii równoczesno±ci.

41


Rysunek 2.5: Proste r1, r2 oraz r3 to linie zdarze« równoczesnych do zdarzenia B w ukªadzie

obserwatorów odpowiednio: O1, O2 i O3.

Analizuj¡c nasze diagramy wydaje si¦, »e linia zdarze« równoczesnych dla O do zda-

rzenia B z jego historii, musi by¢ �symetrycznie� poªo»ona do jego linii ±wiata, wzgl¦dem

linii ±wiata fotonu przechodz¡cej przez B. Przestrzegam jednak, przed zbyt dosªownym ro-

zumieniem tej kwestii, bowiem nie dysponujemy poj¦ciem k¡ta w czasoprzestrzeni a kartka,

na której rysujemy nasze diagramy jest jednak euklidesowa. Niemniej, gdy wprowadzimy

pseudo-iloczyn skalarny w czasoprzestrzeni, oka»e si¦, »e tak w istocie jest.

Rysunek 2.6: Linia zdarze« równoczesnych (dla O) z B jest �symetryczna� do linii ±wiata Owzgl¦dem lini ±wiata N+B.

Podsumujmy nasze rozwa»ania. Dowolny obserwator O potra� w swojej historii wy-

znaczy¢ zdarzenie równoczesne wzgl¦dem dowolnego zdarzenia A. Tym samym potra� wy-

znacza¢ zbiór zdarze« równoczesnych. W naszym modelu czasoprzestrzeni dwuwymiarowej

(ruchy w jednym wymiarze), zbiór zdarze« równoczesnych tworzy linie prost¡. W modelu

czasoprzestrzeni trójwymiarowej (ruchy w dwóch wymiarach przestrzennych) zbiór zdarze«

równoczesnych jest pªaszczyzn¡ Euklidesow¡, za± w czasoprzestrzeni czterowymiarowej (ru-

chy w trzech wymiarach) zbiór zdarze« równoczesnych jest Euklidesow¡ przestrzeni¡ trój-

wymiarow¡. Linie zdarze« równoczesnych obserwatorzy wyznaczaj¡ za pomoc¡ linii ±wiata

fotonów. Linie równoczesno±ci ró»nych obserwatorów na ogóª s¡ od siebie ró»ne (z wyj¡tkiem

obserwatorów spoczywaj¡cych wzgl¦dem siebie). W tym miejscu zdajemy sobie spraw¦, »e

tak jak rozprawili±my si¦ z przestrzeni¡ absolutn¡ aby ratowa¢ Zasad¦ Wzgl¦dno±ci, rezy-

gnujemy z poj¦cia czasu absolutnego - do czego zmusza nas uniwersalne prawo rozchodzenia

si¦ ±wiatªa.

42

2.1. RÓWNOCZESNO�� ZDARZE�

Synchronizacja zegarów

Przedstawiona w poprzedniej sekcji procedura wyznaczania zdarze« równoczesnych w ukªa-

dzie O wymaga jedynie zegara wªasnego tego obserwatora i linii ±wiata fotonów, które loka-

lizuj¡ zdarzenia. W takim uj¦ciu nie ma potrzeby umieszczania w caªej przestrzeni zegarów

nieruchomych wzgl¦dem O i ich synchronizacji, aby przypisywa¢ zdarzeniom wspóªrz¦dne

czasowe. Wspóªrz¦dn¡ czasow¡ zdarzenia A okre±laªoby wskazanie zegara zsynchronizo-

wanego przy okazji tego zdarzenia. Wykazali±my jednak, »e za pomoc¡ fotonów dowolny

obserwator O lokalizuje dowolne zdarzenie A i przyporz¡dkowuje mu par¦ liczb τ1, τ2 - które

s¡ wskazaniami jego zegara przy okazji rejestrowania sygnaªów lokalizuj¡cych A. Nast¦pnie

O wyznacza w swojej historii zdarzenie B dla którego τB = (τ1 + τ2)/2. Twierdzi, »e B jest

równoczesne z A, tym samym przypisuje zdarzeniu A liczb¦ tA = τB i nazywa j¡ wspóªrz¦dn¡

czasow¡ zdarzenia A w swoim ukªadzie odniesienia.

Wprowadzanie de�nicji równoczesno±ci za pomoc¡ synchronizacji zegarów pojawiªo si¦

w pracy Einsteina, która daªa pocz¡tek STW. Taki sposób wprowadzania równoczesno±ci

jest równowa»ny z omówionym powy»ej i w wielu opracowaniach wykorzystywany jest do

wprowadzenia wspóªrz¦dnej czasowej w ukªadzie odniesienia danego obserwatora. W zwi¡zku

z tym przedstawimy to równowa»ne wyprowadzenie.

Rysunek 2.7: Synchronizacja. Po lewej: na zegarach O oraz O1 zostaje ustalone wspólne

wskazanie dla zdarze« równoczesnych: τA = τB. Po prawej: na obu zegarach zostaje ustalona

wspólna jednostka czasu.

De�nicja 2.1.2 (Synchronizacja zegarów) Powiemy, »e dwa zegary s¡ zsynchronizowane,

je»eli: i) ich wskazania przy okazji zdarze« równoczesnych s¡ identyczne, ii) jednostka czasu

na obu zegarach jest taka sama.

Rozwa»amy dwa nieruchome wzgl¦dem siebie zegary O oraz O1 oraz zdarzenia A i B,

przy czym A nale»y do historii zegara O1, za± B nale»y do historii zegara O (zobacz rysunek

2.7). Niech τA b¦dzie wskazaniem zegara O1 przy okazji zdarzenia A, za± τB - wskazaniem

43


zegara O przy okazji B. Dalej, niech τ1, τ2 b¦d¡ standardowo wskazaniami zegara O przy

okazji rejestrowania sygnaªów lokalizuj¡cych A. Pierwszym warunkiem synchronizacji zega-

rów jest »¡danie, aby wskazania obu zegarów odpowiednio przy okazji zdarze« równoczesnych

A i B byªy tymi samymi liczbami: τA = τB. Zdarzenia A i B s¡ równoczesne, wtedy gdy:

τA = τB =τ1 + τ2

2. (2.2)

Powy»szy wzór jest zgodny z de�nicj¡ 2.1.1 równoczesno±ci. W ten sposób ustalone jest

wspólne wskazanie obu zegarów. Dalej, musimy zapewni¢ t¦ sam¡ jednostk¦ czasu na ka»dym

z obu zegarów. Zapewniamy to wysyªaj¡c z zegara O dwa sygnaªy w ustalonym odst¦pie

jego czasu wªasnego, który przyjmujemy za jednostk¦ czasu dla O. Odst¦p czasu wªasnego

pomi¦dzy zdarzeniami przy okazji rejestracji tych sygnaªów przez zegar O1 przyjmujemy za

jednostk¦ czasu na tym zegarze (zobacz rysunek 2.7).

Tak jak wspomniaªem, do okre±lenia wspóªrz¦dnej czasowej danego zdarzenia mo»emy

wykorzysta¢ linie ±wiata fotonów lokalizuj¡cych zdarzenie, b¡d¹ zsynchronizowane zegary

(których synchronizacja tak»e wymaga u»ycia linii ±wiata fotonów) porozstawiane w cza-

soprzestrzeni. Do wyprowadzenia struktury geometrycznej czasoprzestrzeni, autor b¦dzie

u»ywaª pierwszej metody, jednak gdy b¦dziemy omawiali pewne zjawiska - np. dylatacj¦

czasu - wygodnie b¦dzie posªugiwa¢ si¦ zsynchronizowanymi zegarami unoszonymi przez

obserwatora.

44

2.2. SYMETRIA TWIERDZENIA TALESA DLA LINII �WIATA FOTONÓW

2.2 Symetria Twierdzenia Talesa dla linii ±wiata fotonów

Zazwyczaj b¦dziemy rozwa»ali zegary swobodne w ruchu wzgl¦dnym. Aby wyznacza¢ relacje

pomi¦dzy zdarzeniami z ich historii, musimy mie¢ pewno±¢, »e s¡ to zegary tak samo wy-

skalowane. Zauwa»my, »e nie mo»emy u»y¢ tej samej metody co w synchronizacji (rysunek

2.7), gdy» s¡ to zegary w ruchu wzgl¦dnym. Do tego celu u»yjemy twierdzenia Talesa w

czasoprzestrzeni, dla równolegªych linii ±wiata sygnaªów elektromagnetycznych.

Twierdzenie Talesa dla sygnaªów elektromagnetycznych

Rysunek 2.8 prezentuje dwa ciaªa O oraz O′, które mijaj¡ si¦ przy okazji wspólnego zdarzenia

zero. Ponadto obserwator O wysyªa dwa sygnaªy typu N+ w odst¦pie czasu wªasnego ∆τ =

τ2 − τ1. Sygnaªy te s¡ rejestrowane przez O′ w odst¦pie jego czasu wªasnego ∆τ ′ = τ ′2 − τ ′1.Twierdzenie Talesa w takiej sytuacji ilustruje rysunek 2.8.

Rysunek 2.8: Twierdzenie Talesa w równowa»nych uj¦ciach.

Zgodnie z oznaczeniami na rysunku otrzymujemy:

τ ′1τ1

=τ ′2τ2

= α

lub rownowa»nie

∆τ ′ = α ·∆τ, (2.3)

dla jakiego± wspóªczynnika proporcjonalno±ci α zale»¡cego od pr¦dko±ci fotonów - takiej

samej dla obu obserwatorów - oraz od parametru V wyra»aj¡cego pr¦dko±¢ wzgl¦dn¡ obu

z nich. Zaznaczmy, »e samo okre±lenie V przez ka»dego z obserwatorów zale»y od wyboru

skalowania ich zegarów. Aby V byªo wspólnym parametrem dla obu obserwatorów, musimy

mie¢ pewno±¢, »e obaj u»ywaj¡ tak samo wyskalowanych zegarów.

45


Zgodno±¢ zegarów vs Zasada Symetrii

Wyobra¹my sobie teraz, »e to obserwator O′ wysyªa dwa sygnaªy typu N− w jakim± usta-

lonym odst¦pie czasu wªasnego ∆τ ′ do obserwatora O. T¦ sytuacj¦, analogiczn¡ do tej z

rysunku 2.8 prezentuje lewy rysunek 2.9.

Rysunek 2.9: Twierdzenie Talesa w dwóch sytuacjach. Po lewej: O′ wysyªa sygnaªy N− do

O, po prawej: O wysyªa sygnaªy N+ do O′.

W ogólnej sytuacji, obserwator O zarejestruje oba te sygnaªy po upªywie czasu wªa-

snego ∆τ , gdzie

∆τ = α′ ·∆τ ′.

Zauwa»my, »e w ogólno±ci

α 6= α′,

poniewa» zegary mog¡ by¢ ró»nie wyskalowane. Za»¡dajmy teraz, »eby na zegarach O oraz

O′ zostaªa ustalona taka sama jednostka czasu oraz wspólna chwila zero.

Rysunek 2.10: Zwi¡zek α = α′ wyra»a Symetri¦ w Twierdzeniu Talesa dla sygnaªów N+ oraz

N−. Jest to konsekwencja zgodno±ci zegarów i Zasady Wzgl¦dno±ci. Po prawej przykªad -

obserwatorzy dysponuj¡ zgodnymi zegarami, ponadto zakªadamy, »e α = 3; je»eli obaj wy±l¡

sobie nawzajem sygnaªy przy okazji wskaza« 1 (lub 3) ich zegarów wªasnych, to odbior¡ te

sygnaªy przy okazji wskaza« 3 (lub 9).

46

2.2. SYMETRIA TWIERDZENIA TALESA DLA LINII �WIATA FOTONÓW

Takie zegary nazwiemy zgodnymi. Je»eli oba zegary s¡ zgodne, to konsekwencj¡ Zasady

Wzgl¦dno±ci jest symetria dla obu tych sytuacji, które prezentuje rysunek 2.9. W zwi¡zku z

tym, obie sytuacje musz¡ by¢ nierozró»nialne (pomijaj¡c wyró»nienie strony lewej i prawej

przez fotony). Fakt ten ilustruje rysunek 2.10. Zgodnie z oznaczeniami na tym rysunku

zachodzi równo±¢:

α = α′ czyliτ ′2τ1

=τ2

τ ′1. (2.4)

Uzgodniwszy zegary mamy pewno±¢, »e obserwatorzy b¦d¡ posªugiwali si¦ tymi samymi

procedurami pomiarowymi.

47


2.3 Przykªady i ¢wiczenia - trening

Zach¦cam Czytelnika w tej sekcji, do prostej zabawy, któr¡ b¦dzie uzupeªnienie danych na

diagramach na podstawie poznanych prostych wiadomo±ci. Pod rysunkami s¡ odpowiedzi.

Wa»na uwaga! Nie mo»emy w sposób Euklidesowy porównywa¢ dªugo±ci odcinków

na obu liniach ±wiata. Nie ulegajmy wra»eniu, »e gdy Euklidesowe dªugo±ci odcinków na

obu liniach ±wiata s¡ takie same, to upªyn¦ªo tyle samo czasu wªasnego. Jest to problem

kartki papieru i ekranu monitora, »e s¡ one Euklidesowe ;) Zaznaczam jednak, »e na jednej

linii ±wiata, mo»na porównywa¢ dªugo±ci odcinków w zwyczajny sposób.

�wiczenie 1 Uzupeªnij dane na diagramach korzystaj¡c z twierdzenia Talesa dla

zgodnych zegarów.

Rysunek 2.11: Rozwi¡zania: α1 = 3, a = 9, α2 = 53, b = 20

3, α3 = 3, t = 9.

A teraz do naszych prostych ªamigªówek polegaj¡cych jedynie na stosowaniu twierdze-

nia Talesa dla zgodnych zegarów, doª¡czymy zastosowania de�nicji zdarze« równoczesnych

(zobacz 2.1.1). Linia wykropkowana jest lini¡ zdarze« równoczesnych.

�wiczenie 2 Uzupeªnij dane na diagramach korzystaj¡c z twierdzenia Talesa dla

zgodnych zegarów oraz z de�nicji równoczesno±ci.

Rysunek 2.12: Rozwi¡zania: α4 = 3, d = 5, α5 = 2, e = 5, f = 3, g = 4, α6 = 3, k = 2,

h = 6, s = 18.

48

2.3. PRZYK�ADY I �WICZENIA - TRENING

Zauwa»my, »e wskazania obu zgodnych zegarów w ruchu, dla zdarze« równoczesnych

wzgl¦dem O, s¡ ró»ne. To b¦dzie przedmiotem naszej dyskusji w sekcji o dylatacji czasu.

Na powy»szych diagramach mo»na odnale¹¢ pewn¡ fundamentaln¡ wªasno±¢. Zróbmy wi¦c

kolejne ¢wiczenie.

�wiczenie 3 Udowodnij, »e c2 = b2 − a2 oraz (τ ′)2 = τ1 · τ2 gdzie a, b, c, τ ′, τ1, τ2 s¡

danymi jak na poni»szym rysunku.

Rysunek 2.13: Udowodnij, »e c2 = b2 − a2 oraz (τ ′)2 = τ1 · τ2.

Dysponuj¡c naszymi prostymi narz¦dziami, dowód jest natychmiastowy. Z symetrycz-

nego twierdzenia Talesa wynika, »e

τ ′

τ1

=τ2

τ ′sk¡d natychmiast wynika, »e (τ ′)2 = τ1 · τ2

oraza+ b

c=

c

a− bsk¡d natychmiast wynika, »e c2 = b2 − a2.

49


2.4 Wspóªrz¦dne obserwatora inercjalnego

Wspóªrz¦dne zdarzenia

W tej sekcji wprowadzimy wspóªrz¦dn¡ czasow¡ i przestrzenn¡ dowolnego zdarzenia w ukªa-

dzie obserwatora O. Przypomnijmy, »e O przypisuje zdarzeniu A par¦ liczb (τ1, τ2 ), które

s¡ wskazaniami jego zegara wªasnego przy okazji rejestrowania fotonów lokalizuj¡cych zda-

rzenie A (przypomnij sobie fakt 1.3.1 oraz rysunek 1.12). Wspóªrz¦dn¡ czasow¡ t zdarzenia

A obserwator O de�niuje jako wskazanie jego zegara wªasnego przy okazji tego zdarzenia z

jego historii, które jest równoczesne z A. Zgodnie z de�nicj¡ 2.1.1 otrzymujemy:

t =τ1 + τ2

2.

Zanotujmy, »e czas wªasny ∆τ jaki upªywa na zegarze O od zdarzenia wysªania fotonu do

zdarzenia równoczesnego z A oraz od tego zdarzenia do zdarzenia zarejestrowania fotonu jest

ten sam. Ponadto czas ten wynosi tyle co poªowa czasu wªasnego, która upªyn¦ªa od wysªania

sygnaªu do jego odbioru: ∆τ = (τ2− τ1)/2. Czas ten przyjmujemy za czas przelotu sygnaªu

od O do miejsca zdarzenia A lub równowa»nie - od miejsca zdarzenia A do O. Sytuacj¦

ilustruje rysunek 2.14. Czas lotu sygnaªu ∆τ powi¡»emy z x - odlegªo±ci¡ obserwatora O do

miejsca zdarzenia A - za pomoc¡ uniwersalnej pr¦dko±ci sygnaªu lokalizuj¡cego c:

∆τ =x

c.

Nasza konstrukcj¦ prezentuje rysunek 2.14

Rysunek 2.14: Wspóªrz¦dna czasowa zdarzenia A to t. Poªowa czasu wªasnego, który upªyn¡ª

od wysªania sygnaªu lokalizuj¡cego A do jego odbioru to ∆τ . Odlegªo±¢ obserwatora O do

miejsca zdarzenia A to x = c ·∆τ .

Zilustrowan¡ na rysunku 2.14 konstrukcj¦ wspóªrz¦dnych (t, x) dla zdarzenia A mo-

»emy wyrazi¢ algebraicznie:

τ2 = t+x

c, (2.5)

τ1 = t− x

c

50

2.4. WSPÓ�RZ�DNE OBSERWATORA INERCJALNEGO

co po przeksztaªceniu jest równowa»ne wzorom na wspóªrz¦dn¡ czasow¡ i przestrzenn¡:

t =τ1 + τ2

2, (2.6)

x = c · τ2 − τ1

2.

Siatka wspóªrz¦dnych

Cz¦sto wygodnie jest posªugiwa¢ si¦ siatk¡ wspóªrz¦dnych obserwatora O. Osi¡ czasu OT w

takiej siatce wspóªrz¦dnych b¦dzie linia ±wiata obserwatora O z wyznaczonym zdarzeniem

zero: τ = t = 0. O± X b¦dzie lini¡ zdarze« równoczesnych ze zdarzeniem zero. O± X

w takiej siatce wspóªrz¦dnych ma równanie t = 0. Miejsce ciaªa O ustanawia poªo»enie

pocz¡tkowe x = 0, st¡d o± czasu OT opisuje równanie x = 0. Linie równolegªe do osi OT to

linie ±wiata ciaª spoczywaj¡cych wzgl¦dem O, za± linie równolegªe do osi X to linie zdarze«

równoczesnych dla O do zdarze« le»¡cych na jego linii ±wiata. Rysunek 2.15 przedstawia

konstrukcj¦ siatki wspóªrz¦dnych w kontek±cie radarowej metody okre±lania wspóªrz¦dnych,

za± rysunek 2.16 ilustruje przykªad.

Rysunek 2.15: Konstrukcja siatki wspóªrz¦dnych obserwatora O i wspóªrz¦dnych zdarzenia

A.

Rysunek 2.16: Przykªad

51


Przypomnijmy, »e linia zdarze« równoczesnych jest zawsze wyznaczana zgodnie z re-

guª¡ omówion¡ w sekcji 2.1.

Odst¦py pomi¦dzy zdarzeniami w siatce wspóªrz¦dnych

Zauwa»my, »e dla zdarzeniaAmo»na okre±li¢ jego wspóªrz¦dne czasowo-przestrzenne: (tA, xA)

lub wspóªrz¦dne zwi¡zane z rejestrowaniem sygnaªów lokalizuj¡cych to zdarzenie: (τ1A, τ2A).

Te ostatnie nazywa si¦ wspóªrz¦dnymi zerowymi. Dla dwóch zdarze« A i B okre±lamy ró»-

nic¦ wspóªrz¦dnych obu typów: (∆t,∆x) = (tB − tA, xB − xA) oraz (∆τ1,∆τ2) = (τ1B −τ1A, τ2B − τ2A) W szczególno±ci, na mocy wzorów 2.5 prawdziwe s¡:

∆τ2 = ∆t+∆x

c, (2.7)

∆τ1 = ∆t− ∆x

c.

Warto przeanalizowa¢ interpretacj¦ tych wzorów na diagramie (zobacz rysunek 2.17).

Rysunek 2.17: Konstrukcja ró»nic (∆t,∆x) wspóªrz¦dnych dwóch zdarze« A i B za pomoc¡

ró»nic (∆τ1,∆τ2).

Skªadowe wektora w ukªadach wspóªrz¦dnych

W I cz¦±ci ksi¡»ki zde�niowali±my wektory w czasoprzestrzeni jako uporz¡dkowane pary

zdarze«. Omówili±my tam algebr¦ wektorów w kontek±cie struktury a�nicznej czasoprze-

strzeni. Przypomnijmy: uporz¡dkowan¡ par¦ zdarze« A i B nazywamy wektorem odst¦pu

od zdarzenia A do zdarzenia B. Dlatego o wektorze mo»na my±le¢ jak o translacji od punktu

czasoprzestrzeni A do B. Dla wektora separacji (lub translacji) pomi¦dzy zdarzeniami np.

A i B wprowadzimy oznaczenie ∆s. Przypomnijmy, »e zapis

B = A+ ∆s

52


jest dobrze okre±lony w naszej przestrzeni a�nicznej i oznacza dziaªanie + wektora ∆s na

zdarzenie A, w wyniku czego otrzymuje si¦ B (translacja). Niniejszym okre±limy skªadowe

wektora w jakim± ukªadzie wspóªrz¦dnych. Przypomnijmy (zobacz rysunek 2.17), »e dla

dwóch zdarze« A i B okre±la si¦ ró»nice ich wspóªrz¦dnych: ∆t = tB− tA oraz ∆x = xB−xAw ukªadzie jakiego± obserwatora O. Mo»na zapisa¢ formalnie, »e

B − A O= [∆t,∆x].

Poniewa» wektor ∆s jest uporz¡dkowan¡ par¡ zdarze«, to powy»sz¡ formuª¦ przyjmujemy

jako de�niuj¡c¡ skªadowe wektora w ukªadzie wspóªrz¦dnych O.

∆s O= [∆t,∆x].

Okre±lenie skªadowych wektora ∆s w ukªadzie wspóªrz¦dnych O ilustruje rysunek 2.18

Rysunek 2.18: Po lewej: wektor ∆s jako translacja od A do B oraz linia ±wiata jakiego±

obserwatora O. Po prawej - skªadowe wektora ∆s w ukªadzie wspóªrz¦dnych O.

Poniewa» wektor w czasoprzestrzeni jest obiektem niezale»nym od ukªadu odniesienia,

to czasem b¦dziemy u»ywali notacji O=, okre±laj¡cej w jakim ukªadzie odniesienia zapisane

s¡ skªadowe wektora ∆s. Ilustruje to rysunek 2.19

Rysunek 2.19: Skªadowe tego samego wektora w ukªadach wspóªrz¦dnych ró»nych obserwa-

torów: O, O′, O′′.

Zgodnie z oznaczeniami na rysunku 2.19 i nasz¡ konwencj¡, mamy

∆s O= [c∆t,∆x]O′= [c∆t′,∆x′]

O′′= [c∆t′′, 0], (2.8)

53


przy czym dobitno±¢ tego zapisu przedªo»yªem nad matematyczn¡ pedanteri¦1. Staªa c

mno»¡ca ∆t zapewnia nam, i» posªugujemy si¦ tymi samymi jednostkami dla obu skªadowych

wektora, ponadto bardzo wa»na uwaga o jednostkach stosowanych w tej pracy znajduje si¦

w poni»szej podsekcji.

Jednostki geometryczne

W stosunku do jednostek u»ywanych w niniejszym wykªadzie autor przyjmuje zasad¦ zªotego

±rodka. Z jednej strony przyj¦cie jednostek, w których pr¦dko±¢ ±wiatªa wynosi c = 1 (i jest

wielko±ci¡ bezwymiarow¡) jest bardzo u»yteczne i wr¦cz niezb¦dne w konstrukcji diagramów;

z drugiej za± strony we wszystkich wzorach które otrzymamy c b¦dzie eksponowane, cho¢ wy-

nosi 1 i jest bezwymiarowe2. Ustalmy jak to pogodzi¢. Na potrzeby tej podsekcji rozró»nimy

wielko±ci zapisane w jednostkach ukªadu SI od wielko±ci zapisanych w jednostkach geome-

trycznych G takimi indeksami dolnymi. W ukªadzie SI u»ywamy jednostek: sekundy [s] dla

czasu tSI, metry [m] dla poªo»enia (odlegªo±ci) xSI, metry na sekundy [m/s] dla pr¦dko±ci vSIlub cSI:

tSI [s], xSI [m], cSI [m/s].

W takich jednostkach pr¦dko±¢ ±wiatªa wynosi w przybli»eniu

cSI = 3 · 108 [m/s].

Zauwa»my, »e wzór xSI = cSI · tSI zadaje zwi¡zek pomi¦dzy sekundami i metrami - mo»na

bowiem przyj¡¢ punkt widzenia, w którym metr okre±la czas potrzebny fotonowi na poko-

nanie tej wªa±nie odlegªo±ci - jednego metra. Z tego powodu wiemy ile to jest metr czasu.

Naturalnym wi¦c jest przyj¦cie jednostek geometrycznych, w których czas (tG) wyra»amy w

metrach, poªo»enie - odlegªo±¢ (xG) tak»e wyra»amy w metrach. W takim wypadku pr¦dko±¢

v = xG/tG posiada jednostki [m/m] - czyli jest wielko±ci¡ bezwymiarow¡. Ponadto pr¦dko±¢

±wiatªa wynosi cG = 1:

tG [m], xG [m], cG [m/m, bezwymiarowe].

Metr czasu zwykªo nazywa¢ si¦ metrem ±wietlnym. Zanotujmy, »e za geometryczn¡ jed-

nostk¦ mogliby±my przyj¡¢ sekund¦, w takim wypadku odlegªo±¢ byªaby mierzona w sekun-

dach ±wietlnych - byªaby to odlegªo±¢, jak¡ przebywa foton w sekund¦. Relacje pomi¦dzy

jednostkami obu typów ustala wyra»enie:

cSI · tSI = cG · tG. (2.9)

1Powinni±my raczej zapisa¢ 3 oddzielne równania.2Cho¢by z tego powodu, »e wiem, i» niektórzy Czytelnicy woleliby mie¢ przed oczami wzór E = mc2 ni»

np. E = m.

54


Kªad¡c pr¦dko±¢ ±wiatªa równ¡ jeden

cG = 1

otrzymujemy formuª¦

tSI =tGcSI, lub tG = cSI · tSI

pozwalaj¡c¡ na przeliczanie metrów czasu na sekundy czasu:

[s (sekunda czasu)] =[m (metr czasu)]

3 · 108 [m/s].

Konwencja zªotego ±rodka Z uwagi na równanie 2.9 i przyj¦cie cG = 1, w dalszej cz¦±ci

pracy b¦d¦ pisaª ct i kªadª c = 1 opuszczaj¡c indeksy okre±laj¡ce jednostki. Ponadto,

we wszystkich wzorach b¦d¦ eksponowaª symbol c pomimo, »e c = 1 i w zasadzie mo»na

go opu±ci¢3. Wyra»enia typu c∆t, ∆x/c lub mc2 w jednostkach geometrycznych mo»na

byªoby zapisywa¢ odpowiednio jako ∆t, ∆x czy m. Utrzymuj¡c symbol c we wzorach daj¦

Czytelnikowi mo»liwo±¢ wyboru jednostek, w których chciaªby on my±le¢. Je±li Czytelnik

woli jednostki geometryczne, wtedy przyjmuje c = 1 i u»ywa metrów czasu oraz metrów dla

odlegªo±ci; je»eli za± Czytelnik woli jednostki SI kªadzie c = 3 · 108 [m/s] i u»ywa sekund

czasu oraz metrów dla odlegªo±ci. Jednak»e w stosunku do diagramów czasoprzestrzennych

nie eksponuj¦ symbolu c, tylko wykorzystuj¦, »e c = 1. Na rysunkach, oraz opisach pod nimi,

zawsze b¦dzie zapisane ∆t czy t zamiast c∆t lub ct. W ten sposób równanie linii ±wiata

fotonu w dowolnym ukªadzie wspóªrz¦dnych b¦dzie∣∣∣∣∆x∆t

∣∣∣∣ = 1 zamiast

∣∣∣∣∆x∆t

∣∣∣∣ = c,

co ukazuje jej wyró»niony geometrycznie charakter:

Rysunek 2.20: Linia ±wiata fotonu ma taki sam wspóªczynnik kierunkowy w ka»dym ukªadzie

wspóªrz¦dnych: |c| = |∆x∆t| = |∆x′

∆t′| = 1.

3Zazwyczaj autorzy decyduj¡c si¦ na jednostki w których c = 1 nie eksponuj¡ c we wzorach. W tej

ksi¡»ce, ze wzgl¦du na jej charakter, autor lekko odst¦puje od tej praktyki.

55


Uniwersalno±¢ konstrukcji Zastanówmy si¦, jak wygl¡daªyby nasze diagramy gdyby

przyj¡¢ jakie± dziwaczne jednostki, w których pr¦dko±¢ ±wiatªa wynosiªaby... np. c = 2.

Musieliby±my szkicowa¢ wyró»nione linie ±wiata fotonów w troszeczk¦ inny sposób. Za ich

pomoc¡ konstruowaliby±my linie zdarze« równoczesnych, zgodnie z de�nicj¡ równoczesno±ci.

Linie równoczesne, np. o± X nie byªaby ju» pseudosymetryczna (zobacz rysunki 2.6, 2.5 i

komentarz pod nimi) do linii ±wiata fotonu. Zgodnie z naszymi konstrukcjami linii równo-

czesnych, w ka»dym ukªadzie wspóªrz¦dnych musiaªoby zachodzi¢: ∆x/∆t = 2. Pierwsza

ilustracja ukazuje t¦ konstrukcj¦ w ukªadzie wspóªrz¦dnych obserwatora O:

Rysunek 2.21: Po lewej - konstrukcja zdarze« linii równoczesnych (tu o± X) w jednostkach,

gdzie c = 2. Po prawej - dla przypomnienia ta sama konstrukcja w jednostkach przez nas

u»ywanych

Porównuj¡c oba rysunki z ilustracji 2.21 daje sie zauwa»y¢, »e im wi¦ksze przyjmiemy

c w nowych wspóªrz¦dnych, tym mniejszy zakres pozostaje dla osi X, która zawsze musi

le»e¢ pomi¦dzy liniami fotonów. Wyobra¹my sobie teraz, »e bierzemy jednostki, w których

c = 3 · 108 (pomi«my, »e metry na sekundy!). Linie ±wiata fotonów praktycznie zamkn¡ si¦

do jednej linii, pomi¦dzy któr¡ (!) ma jeszcze znale¹¢ si¦ o± X. Stanie si¦ to tak dla linii

±wiata ka»dego obserwatora

Rysunek 2.22: W jednostkach, w których c = 3 · 108 nachylenie linii ±wiata fotonów jest

praktycznie nierozró»nialne od linii poziomych. Tym bardziej - linia równoczesno±ci jest

praktycznie pozioma!

W takich absurdalnych jednostkach konstrukcja linii zdarze« równoczesnych sprowa-

dza si¦ praktycznie do narysowania linii poziomej. Ponadto linie zdarze« równoczesnych

ró»nych obserwatorów nie b¦d¡ praktycznie od siebie odró»nialne. Przypomina to sytuacj¦,

w czasoprzestrzeni Galileusza, gdzie linie zdarze« równoczesnych byªy wspólne dla wszyst-

kich obserwatorów! Tam bowiem mieli±my absolutn¡ równoczesno±¢. Mimo, »e tak wybrane

56


jednostki wydaj¡ si¦ wypacza¢ geometryczny obraz czasoprzestrzeni, to s¡ one w u»yciu. W

jednostkach SI - w których zwykli±my my±le¢ - pr¦dko±¢ ±wiatªa jest olbrzymia, w istocie

jest ona wiele razy wi¦ksza od jakichkolwiek pr¦dko±ci, których zwykli±my do±wiadcza¢. Na

przykªad w jednostkach SI druga pr¦dko±¢ kosmiczna to a» 1, 1 · 104[m/s], za± w jednost-

kach geometrycznych wynosi ona tylko 0, 000033(!). U»ywaj¡c i my±l¡c w jednostkach SI

rzeczywi±cie mo»na ulega¢ zªudzeniu o absolutnej równoczesno±ci. Zªudzeniu.

57


2.5 Parametry ruchu wzgl¦dnego

Pr¦dko±¢ wzgl¦dna

W sytuacji, gdy obserwator O potra� ustala¢ wspóªrz¦dne czasowo - przestrzenne zdarze«,

mo»e on zde�niowa¢ pr¦dko±ci z jakimi poruszaj¡ si¦ inne ciaªa wzgl¦dem niego. Je±li zda-

rzenie o wspóªrz¦dnych (t, x) nale»y do historii ciaªa O′, posiadaj¡cego z O wspóln¡ chwil¦

zero, to pr¦dko±¢ wzgl¦dna O i O′ wyra»a si¦:

V =x

t.

W ogólno±ci, gdy obserwatorzy nie maj¡ wspólnie ustalonej chwili zero to pr¦dko±¢ V wyra-

»amy przez

V =∆x

∆t, (2.10)

gdzie ∆t,∆x s¡ ró»nicami wspóªrz¦dnych zdarze« na linii ±wiata O′ w ukªadzie O. Zobaczrysunek 2.23.

Rysunek 2.23: Okre±lenie pr¦dko±ci wzgl¦dnej obserwatorów O i O′. Po lewej: V = xt, po

prawej: V = ∆x∆t.

Przypomnijmy, »e zgodnie z naszymi zasadami konstrukcji diagramów, w ka»dym ukªa-

dzie wspóªrz¦dnych pr¦dko±¢ ±wiatªa wynosi tyle samo: c = 1. Wniosek ten ilustruje diagram

2.24.

Rysunek 2.24: Pr¦dko±¢ fotonu jest taka sama dla ka»dego obserwatora: c = ∆x∆t

= ∆x′

∆t′= 1.

58

2.5. PARAMETRY RUCHU WZGL�DNEGO

Wspóªczynniki proporcjonalno±ci Twierdzenia Talesa

Dysponuj¡c wspóªrz¦dnymi i poj¦ciem pr¦dko±ci wzgl¦dnej mo»emy wyznaczy¢ jawn¡ posta¢

wspóªczynników α, które pojawiaªy si¦ przy okazji twierdzenia Talesa. Przypomnijmy (po

raz kolejny), »e dla zgodnych zegarów twierdzenie Talesa jest symetryczne. Oznacza to, »e

zachodz¡ relacje jak na rysunku 2.25 oraz 2.26. Interpretacja obrazu �zycznego sytuacji

prezentowanych na diagramach nie powinna ju» stanowi¢ dla Czytelnika problemu.

Rysunek 2.25: Symetryczne twierdzenie Talesa.

Rysunek 2.26: Symetryczne twierdzenia Talesa w sytuacji wysªania, odbicia i zarejestrowania

fotonu.

W szczególno±ci rozwa»aj¡c sytuacj¦ z lewej cz¦±ci rysunku 2.26 natychmiast otrzymu-

jemy, »e

τ2 = α2 · τ1,

co po uwzgl¦dnieniu wzorów (wzory 2.5) z prawej cz¦±ci rysunku 2.26 prowadzi do

t+ x/c = α2(t− x/c).

Uwzgl¦dniaj¡c, »e V = x/t otrzymujemy ostatecznie:

α =

√1 + V/c

1− V/c. (2.11)

Zapami¦tajmy ten wynik. O interpretacji �zycznej tego wspóªczynnika opowiemy w osobnym

rozdziale.

59


60

Rozdziaª 3

Interwaª i przyczynowo±¢ w

czasoprzestrzeni

W tym rozdziale wprowadzimy najwa»niejsze poj¦cie STW - interwaª czasoprzestrzenny. Za

jego pomoc¡ b¦dziemy badali relacje czasowo przestrzenne pomi¦dzy zdarzeniami. Inter-

waª sªu»y do pomiaru odlegªo±ci pomi¦dzy zdarzeniami w czasoprzestrzeni, dlatego za jego

pomoc¡ okre±la si¦ metryk¦. Nauk¦ o zwi¡zkach przestrzennych pomi¦dzy punktami �gur

narysowanych na pªaszczy¹nie staro»ytni Grecy nazwali geometri¡. Jak mo»na si¦ domy-

±le¢, sªowo to nawi¡zuje do mierzenia (metria) �gur narysowanych pªasko na Ziemi (geo).

Sªowo geometria pozostaªo na trwaªe w matematyce i oznacza dziaªy zajmuj¡ce si¦ badaniem

obiektywnych relacji pomi¦dzy obiektami. Interwaª czasoprzestrzenny wprowadza co±, dzi¦ki

czemu b¦dziemy mierzyli odlegªo±ci pomi¦dzy zdarzeniami i nadawali wielko±ciom �zycz-

nym geometryczne (obiektywne) interpretacje. Parafrazuj¡c staro»ytnych Greków b¦dziemy

zajmowali si¦ czasoprzestrzeniometri¡ - czyli geometri¡ czasoprzestrzeni, bowiem b¦dziemy

mierzyli w czasoprzestrzeni. Do tego jednak potrzebujemy bardzo specjalnej oraz niezwykªej

linijki i ekierki. Odkryjemy tak»e Twierdzenie Pitagorasa w wersji czasoprzestrzennej, co

zapewne nas nie zadziwi, gdy» twierdzenie Talesa w czasoprzestrzeni jest nam ju» bardzo

dobrze poznane. Dalej omówimy struktur¦ przyczynow¡ w czasoprzestrzeni co z kolei prze-

niesie nas w fascynuj¡ce rozwa»ania zwi¡zane z Zasad¡ Przyczynowo±ci, determinizmem w

STW oraz ... II Zasad¡ Termodynamiki (kolejne Zasady Fundamentalne!).

61

ROZDZIA� 3. INTERWA� I PRZYCZYNOWO�� W CZASOPRZESTRZENI Mariusz Mroczek

3.1 Czas wªasny

Twierdzenie o czasie wªasnym

Rozwa»amy dwóch obserwatorów inercjalnych O i O′, którzy poruszaj¡ si¦ wzgl¦dem sie-

bie ruchem jednostajnym. Niech zdarzenia A i B nale»¡ do historii obserwatora O′, za±∆τ b¦dzie czasem wªasnym, jaki upªywa pomi¦dzy tymi zdarzeniami na zegarze wªasnym

O′. Zadajmy nast¦puj¡ce pytanie: W jaki sposób obserwator O mo»e okre±li¢ upªyw czasu

wªasnego ∆τ na linii ±wiata O′, je»eli nie ma mo»liwo±ci uczestniczenia w zdarzeniach A i

B?

Rysunek 3.1: W jaki sposób O mo»e okre±li¢ upªyw czasu wªasnego ∆τ na zegarze O′?

Aby odpowiedzie¢ na to pytanie u»yjemy wyprowadzonych w poprzednich sekcjach

metod. Obserwator O lokalizuje zdarzenia A i B z historii O′ a nast¦pnie w odpowiedni

sposób stosuje twierdzenie Talesa. Rzecz ilustruje rysunek 3.2

Rysunek 3.2: Obserwator O okre±la ∆τ - upªyw czasu wªasnego na zegarze O′ za pomoc¡

∆τ1 oraz ∆τ2.

Stosuj¡c symetryczne twierdzenie Talesa dla zgodnych zegarów i oznaczenia z rysunku

3.2 natychmiast otrzymujemy, »e∆τ2

∆τ=

∆τ

∆τ1

,

czyli

(∆τ)2 = ∆τ1 ·∆τ2.

62

3.1. CZAS W�ASNY

To wyra»enie mo»na zapisa¢ za pomoc¡ przyrostów wspóªrz¦dnych czasowej i przestrzennej

w ukªadzie O. Podstawiaj¡c uprzednio wywiedzione wzory 2.7 otrzymujemy:

(∆τ)2 =

(∆t− ∆x

c

)(∆t+

∆x

c

)co ostatecznie prowadzi do wyniku

(∆τ)2 = (∆t)2 −(

∆x

c

)2

. (3.1)

U»ywaj¡c wspóªrz¦dnych czasowo-przestrzennych, diagram przedstawia si¦ tak jak na

rysunku 3.3.

Rysunek 3.3: Obserwator O okre±la ró»nic¦ wspóªrz¦dnych zdarze« A i B: ∆t oraz ∆x.

Wzór 3.1 zapisuje si¦ cz¦sto w przeksztaªconej postaci

∆τ =

√1−

(V

c

)2

·∆t, (3.2)

przy czym V = ∆x/∆t, ponadto V < c co zapewnia, »e wyra»enie pod pierwiastkiem nie

jest ujemne. Powy»szy wzór nazywa si¦ wzorem na dylatacj¦ czasu. Zjawisko to omówimy

dokªadnie w kolejnych rozdziaªach. Tymczasem nale»y zda¢ sobie spraw¦ z wagi tego, czego

wªa±nie dokonali±my. Sformuªujmy nast¦puj¡ce twierdzenie (którego ilustracj¡ jest rysunek

3.4):

Rysunek 3.4: Ilustracja do twierdzenia o czasie wªasnym.

Twierdzenie 3.1.1 (o czasie wªasnym) Niech ∆τ b¦dzie czasem wªasnym, który upªyn¡ª

pomi¦dzy zdarzeniami A i B na jakim± zegarze O′ posiadaj¡cym w swojej historii oba te

63


zdarzenia. Dowolny obserwator O, który nie posiada w swojej historii obu tych zdarze«,

oblicza ∆τ w swoim ukªadzie wspóªrz¦dnych wedªug wzoru

(∆τ)2 = (∆t)2 −(

∆x

c

)2

,

gdzie ∆t oraz ∆x s¡ ró»nicami wspóªrz¦dnych zdarze« A i B w jego ukªadzie wspóªrz¦dnych.

Czas wªasny a czas wspóªrz¦dno±ciowy - przykªad

Zanotujmy bardzo wa»n¡ uwag¦ do sformuªowania dowolny obserwator, które u»yli±my w

twierdzeniu o czasie wªasnym. Zauwa»my, »e w naszej konstrukcji w »aden sposób nie wy-

ró»nili±my obserwatora O. W zwi¡zku z tym warto±¢ wyra»enia (∆t)2−(∆x/c)2, obliczonego

dla zdarze« A i B le»¡cych na linii ±wiata O′, nie zale»y od wyboru ukªadu wspóªrz¦dnych

i wynosi tyle co (∆τ)2, gdzie ∆τ jest upªywem czasu wªasnego pomi¦dzy zdarzeniami A

i B w historii obserwatora osi¡gaj¡cego te zdarzenia (wg. oznacze« z twierdzenia to O′).∆τ zale»y tylko od zdarze« A i B i wyskalowania zegara, przypomnijmy jednak, »e zegary

wszystkich obserwatorów s¡ zgodne - sk¡d pªynie wniosek, »e ∆τ zale»y tylko od zdarze« A

i B. Zdarzenia to byty absolutne - geometryczne punkty czasoprzestrzeni!

Rozwa»my nast¦puj¡cy przykªad. Wyobra¹my sobie, »e posiadamy zegarek a na nim

maª¡ lampk¦. Przy okazji zdarzenia zapalenia si¦ lampki wª¡cza si¦ stoper na naszym ze-

garku, po czym wyª¡cza si¦ przy okazji zdarzenia zga±ni¦cia lampki.

Rysunek 3.5: Mijam dwa nieruchome wzgl¦dem siebie zegary.

Niech na tym naszym zegarku, pomi¦dzy zdarzeniami zapalenia i zga±ni¦cia lampki

upªywa 1 sekunda naszego czasu wªasnego. Jest to oczywi±cie niezale»ne od tego, czy kto±

podró»uje wzgl¦dem nas i z jak¡ pr¦dko±ci¡ lub równowa»nie - niezale»ne od tego wzgl¦dem

kogo my podró»ujemy i z jak¡ pr¦dko±ci¡. Rozwa»my wi¦c sytuacj¦, ale z punktu widzenia

obserwatora O, wzgl¦dem którego podró»ujemy. Otó» przy okazji zapalenia si¦ naszej lampki

mijamy który± z jego zegarów - oznaczmy ten zegar O1, po czym gdy lampka ga±nie mijamy

64

3.1. CZAS W�ASNY

kolejny zegar - O2. Wskazania tych zegarów przy okazji wspomnianych zdarze« to odpowied-

nio t1 oraz t2 (zobacz rysunek 3.5). Ró»nica wskaza« tych zegarów, przy okazjach zdarze«

gdy je mijali±my to ∆t = t2 − t1, za± odlegªo±¢ mi¦dzy nimi w ukªadzie O to ∆x. Zaªó»my,

»e zegary O1 i O2 s¡ odlegªe od siebie o ∆x = 10 000 000m w swoim ukªadzie odniesienia.

Sytuacj¦ prezentuje rysunek 3.5. Poni»ej obliczymy ∆t w tym przypadku. Korzystaj¡c ze

wzoru 3.1 na czas wªasny i podstawiaj¡c odpowiednie warto±ci liczbowe:

(1)2 = (∆t)2 −(

10 000 000

300 000 000

)2

otrzymujemy, »e ∆t ≈ 1, 0005554 sekundy! Tak wi¦c pomi¦dzy zdarzeniami zapalenia i

zgaszenia lampki upªyn¦ªo w ukªadzie O (w którym oba zegary spoczywaj¡) troszk¦ wi¦cej

czasu, ni» na naszym zegarze wªasnym. Ponadto podró»owali±my wzgl¦dem obu zegarów z

pr¦dko±ci¡

V =∆x

∆t=

10 000 000

1, 0005554≈ 9 994 449

metrów na sekund¦, czyli 35 milionów 980 tysi¦cy kilometrów na godzin¦! Szybko dosy¢,

jednak nie na tyle jeszcze szybko, aby ∆τ i ∆t jako± istotnie si¦ ró»niªy.

Zanotujmy w ogólno±ci, »e ró»nica wskaza« jednego zegara przy okazji zdarze« A i B

(które oba nale»¡ do jego historii) jest mniejsza, ni» ró»nica wskaza« dwóch zsynchronizowa-

nych zegarów rejestruj¡cych oba te zdarzenia z osobna (zobacz rysunek 3.6, prosz¦ jednak z

wiadomych powodów nie porównywa¢ dªugo±ci odcinków na rysunku!).

Rysunek 3.6: ∆τ < ∆t poniewa» (∆τ)2 = (∆t)2 − (∆x/c)2.

Do omawianych tu zagadnie« i w nieco szerszym kontek±cie powrócimy przy okazji

omawiania tzw. paradoksu zegarów.

65


3.2 Interwaª czasoprzestrzenny

Twierdzenie Centralne o Interwale

W poprzednich podsekcjach rozwa»ali±my takie zdarzenia A i B, które poªo»one byªy na

jakiej± linii ±wiata; tym samym zakªadali±my istnienie obserwatora, który posiada w swojej

historii oba te zdarzenia. Przypomnijmy, »e ∆τ to czas wªasny upªywaj¡cy od A do B na

zegarze obserwatora osi¡gaj¡cego oba te zdarzenia, za± ∆t oraz ∆x s¡ ró»nicami wspóªrz¦d-

nych wspomnianych zdarze« w ukªadzie tego obserwatora, który z kolei nie osi¡ga obu z

nich. Udowodnili±my ponadto, »e warto±¢ wyra»enia (∆t)2 − (∆x/c)2 w ka»dym ukªadzie

wspóªrz¦dnych wynosi tyle samo, bowiem zawsze jest równa (∆τ)2. Pojawia si¦ pytanie, czy

owo zaªo»enie istnienia obserwatora uczestnicz¡cego w A i B nie jest zbyt mocne. Niniejszym

wyka»emy, »e wyra»enie (∆t)2 − (∆x/c)2 ma tak¡ sam¡ warto±¢ dla ka»dego obserwatora,

bez wzgl¦du na to jak 'porozmieszczane' w czasoprzestrzeni s¡ zdarzenia A i B. Wybierzemy

dla przykªadu takie zdarzenia A i B, które nie mog¡ by¢ poª¡czone »adn¡ lini¡ ±wiata ciaªa

swobodnego, a nawet fotonu. Sytuacj¦ prezentuje rysunek 3.7.

Rysunek 3.7: Obserwatorzy lokalizuj¡ zdarzenia A i B oraz okre±laj¡ odst¦p pomi¦dzy nimi

za pomoc¡ swoich czasów wªasnych.

Stosuj¡c symetryczne twierdzenie Talesa dla zgodnych zegarów i oznaczenia z rysunku

3.7 natychmiast otrzymujemy, »e

∆τ ′1∆τ1

=∆τ2

∆τ ′2,

co jest rownowa»ne

∆τ1 ·∆τ2 = ∆τ ′1 ·∆τ ′2.

Wyra»enia po lewej i prawej obserwatorzy O oraz O′ mog¡ zapisa¢ za pomoc¡ wspóªrz¦dnej

czasowej i przestrzennej w swoich ukªadach wspóªrz¦dnych. Podstawiaj¡c dobrze nam ju»

66

3.2. INTERWA� CZASOPRZESTRZENNY

znane wzory 2.7 otrzymujemy:

(∆t)2 −(

∆x

c

)2

= (∆t′)2 −(

∆x′

c

)2

, (3.3)

co dowodzi niezale»no±ci rozwa»anego wyra»enia od obserwatora, nawet gdy zdarzenia A i B

nie mog¡ by¢ poª¡czone »adn¡ lini¡ ±wiata. Przypomn¦, i» w poprzedniej sekcji udowodnione

zostaªo, »e warto±¢ powy»szego wyra»enia jest taka sama dla ka»dego obserwatora, przy

zaªo»eniu, »e zdarzenia A i B le»¡ na jakiej± linii ±wiata ciaªa swobodnego. Z uwagi na wag¦

naszych wniosków, maj¡cych fundamentalne znaczenie dla STW i nie tylko, sformuªujemy

bodaj najwa»niejsze twierdzenie1 tej teorii:

Twierdzenie 3.2.1 (Centralne twierdzenie STW o interwale) Niech ∆t oraz ∆x b¦d¡

ró»nicami wspóªrz¦dnych zdarze« A i B w dowolnym inercjalnym ukªadzie wspóªrz¦dnych.

Zde�niujmy wielko±¢ ∆s i nazwijmy j¡ interwaªem czasoprzestrzennym:

(∆s)2 = (∆t)2 −(

∆x

c

)2

, (3.4)

Prawd¡ jest, »e ∆s ma tak¡ sam¡ warto±¢ w ka»dym ukªadzie wspóªrz¦dnych (rysunek 3.8).

Wielko±¢ ta jest niezmiennikiem czasoprzestrzennym.

Rysunek 3.8: (∆s)2 O= (∆t)2 − (∆x/c)2 O′= (∆t′)2 − (∆x′/c)2 - interwaª jest taki sam dla obu

obserwatorów.

Tak wi¦c dla dwóch dowolnych zdarze« A i B w czasoprzestrzeni istnieje wielko±¢ ∆s, która

jest obiektywna, która nie zale»y od ukªadu wspóªrz¦dnych. Wielko±¢ t¦ przyjmujemy za

miar¦ odlegªo±ci czasoprzestrzennej pomi¦dzy tymi zdarzeniami. Mo»na o niej my±le¢, jako

o czasoprzestrzennej linijce. W nast¦pnych podsekcjach dowiemy si¦ jaka jest �zyczna inter-

pretacja tej wielko±ci.

Interwaª czasopodobny

Przypomnijmy, »e dla dwóch dowolnych zdarze« istnieje wielko±¢ ∆s, która okre±la czaso-

przestrzenny odst¦p pomi¦dzy nimi. Takie czasoprzestrzenne odst¦py mog¡ mie¢ ró»noraki

charakter. Wprowad¹my de�nicje:

1Autor nadaje nazw¦ centralne temu twierdzeniu ze wzgl¦du na jego doniosªo±¢ w STW.

67


De�nicja 3.2.1 (Interwaªu czasopodobnego) Powiemy, »e interwaª czasoprzestrzenny

∆s okre±lony dla dwóch zdarze« A i B jest czasopodobny gdy

(∆s)2 > 0.

O takich zdarzeniach A i B powiemy, »e s¡ separowane czasowo. Powiemy tak»e, »e

linia w czasoprzestrzeni jest czasopodobna, gdy dwa dowolne zdarzenia na tej linii oddziela

interwaª czasopodobny. Niniejszym okre±limy �zyczny charakter takiego interwaªu. W tym

celu rozwa»amy dowolnego obserwatora O, w ukªadzie którego warunek (∆s)2 > 0 zapisuje

si¦:

(∆t)2 −(

∆x

c

)2

> 0,

co jest rownowa»ne temu, »e |∆t| > |∆x/c|. Proste przeksztaªcenie prowadzi do:∣∣∣∣∆x∆t

∣∣∣∣ < |c|. (3.5)

Wyra»enie V = ∆x/∆t jest pr¦dko±ci¡ obiektu O′ (w ukªadzie O) osi¡gaj¡cego zdarzenia A

i B (zobacz wzór 2.10). Z uwagi na to i»

|V | < |c|,

to taki obiekt mo»e istnie¢, poniewa» porusza si¦ z pr¦dko±ci¡ mniejsz¡ od pr¦dko±ci ±wiatªa

w ka»dym ukªadzie wspóªrz¦dnych. Przypomnijmy bowiem, »e nasz wywód nie zale»y od

wyboru inercjalnego ukªadu wspóªrz¦dnych. W ukªadzie odniesienia ciaªa O′ osi¡gaj¡cegozdarzenia A i B, ró»nice wspóªrz¦dnych tych zdarze« to ∆t′ = ∆τ (czas wªasny upªywaj¡cy

pomi¦dzy zdarzeniami) oraz ∆x′ = 0 (zdarzenia zachodz¡ tam gdzie to ciaªo jest). W takich

wspóªrz¦dnych w ukªadzie obserwatora O′, zgodnie ze wzorem 3.4, formuªa na interwaª

zapisuje si¦

(∆s)2 O′= (∆t′)2 −

(∆x′

c

)2

= (∆τ)2.

Warto±ci¡ powy»szego wyra»enia jest kwadrat czasu wªasnego! Interwaª czasopodoby po-

mi¦dzy zdarzeniami A i B ma interpretacj¦ czasu wªasnego, jaki upªywa od A do B w historii

obserwatora osi¡gaj¡cego oba te zdarzenia (zobacz rysunek 3.9). Sformuªujemy bardzo wa»ne

twierdzenie:

Twierdzenie 3.2.2 (Twierdzenie o interwale czasopodobnym) Je±li zdarzenia A i B

oddziela interwaª czasopodobny ((∆s)2 > 0), to istnieje obserwator inercjalny osi¡gaj¡cy

oba te zdarzenia w swojej historii. Interwaª czasopodobny pomi¦dzy dwoma zdarzeniami jest

czasem wªasnym, który upªywa na zegarze osi¡gaj¡cym w swojej historii oba te zdarzenia.

∆s = ∆τ

68


Rysunek 3.9: Je±li zdarzenia A i B oddziela interwaª czasopodobny, to istnieje obserwator

inercjalny osi¡gaj¡cy oba te zdarzenia w swojej historii.

Powy»sze twierdzenie daje nam wyobra»enie, czym jest owa czasoprzestrzenna linijka

w przypadku, gdy zdarzenia s¡ oddzielone interwaªem czasopodobnym. Wyobra¹my sobie, »e

jeste±my obserwatorem inercjalnym, w ukªadzie którego wydarzaj¡ si¦ dwa takie zdarzenia.

Aby zmierzy¢ odlegªo±¢ czasoprzestrzenn¡ pomi¦dzy nimi wystarczy posªa¢ swobodny zegar

tak, aby osi¡gn¡ª oba te zdarzenia. Czas, który upªynie na tym zegarze od pierwszego

do drugiego zdarzenia jest wªa±nie t¡ czasoprzestrzenn¡ odlegªo±ci¡. Dlatego mówimy, »e

zdarzenia s¡ separowane czasem. Czasem wªasnym swobodnego zegara osi¡gaj¡cego oba

zdarzenia.

Linie czasowe w czasoprzestrzeni Równanie czasowej linii ±wiata, w ukªadzie wspóª-

rz¦dnych dowolnego obserwatora okre±la wzór 3.5, który jest po prostu innym zapisem wa-

runku (∆t)2 − (∆x/c)2 > 0 - czasopodobnego interwaªu pomi¦dzy zdarzeniami. W naszych

jednostkach, w których c = 1 formuªa ta przyjmuje prost¡ posta¢:

|∆x| < |∆t|.

Z drugiej strony, dla ka»dego obserwatora pr¦dko±¢ fotonu jest taka sama, zatem równanie

linii ±wiata fotonu to zawsze |∆x/∆t| = |c|, co w naszych jednostkach zapisuje si¦ tak:

|∆x| = |∆t|.

Rysunek 3.10: Ka»da czasowa linia ±wiata (np. O′) w ukªadzie dowolnego obserwatora

inercjalnego (tutaj O) nie mo»e by¢ bardziej nachylona, ni» linia ±wiata fotonu (tutaj N+).

Z powy»szego wynika (zobacz rysunek 3.10), »e ka»da czasowa linia ±wiata w ukªadzie

69


dowolnego obserwatora inercjalnego nie mo»e by¢ bardziej nachylona, ni» linia ±wiata fo-

tonu. Poniewa» sformuªowane powy»ej stwierdzenie wyra¹nie abstrahuje od wyboru ukªadu

wspóªrz¦dnych, to mówi ono strukturze linii czasowych w czasoprzestrzeni. Mo»na zatem

powiedzie¢, »e wszystkie linie czasowe o wspólnym zdarzeniu le»¡ pomi¦dzy liniami ±wiata

fotonów N+ oraz N−.

Rysunek 3.11: Wszystkie linie czasowe o wspólnym zdarzeniu le»¡ pomi¦dzy liniami ±wiata

fotonów N+ oraz N−.

Do tego wniosku powrócimy przy okazji omawiania przyczynowej struktury czasoprze-

strzeni.

Interwaª przestrzennopodobny i zerowy

Na pocz¡tku poprzedniej podsekcji zapowiedziane zostaªo, i» interwaª pomi¦dzy dwoma zda-

rzeniami mo»e mie¢ ró»noraki charakter. Niniejszym wprowadzimy poj¦cie interwaªu prze-

strzennopodobnego i przeprowadzimy jego dyskusj¦.

De�nicja 3.2.2 (Interwaªu przestrzennopodobnego) Powiemy, »e interwaª czasoprze-

strzenny ∆s okre±lony dla dwóch zdarze« A i B jest przestrzennopodobny gdy

(∆s)2 < 0.

O takich zdarzeniach A i B powiemy, »e s¡ separowane przestrzennie. Powiemy tak»e,

»e linia w czasoprzestrzeni jest przestrzennopodobna, gdy dwa dowolne zdarzenia na tej

linii oddziela interwaª przestrzennopodobny. Jaki jest �zyczny charakter takiego interwaªu?

Aby na to odpowiedzie¢, rozwa»my dowolnego obserwatora O, w ukªadzie którego warunek

(∆s)2 < 0 zapisuje si¦:

(∆t)2 −(

∆x

c

)2

< 0,

co jest równowa»ne temu, »e |∆t| < |∆x/c|. �atwe przeksztaªcenie prowadzi do:∣∣∣∣∆x∆t

∣∣∣∣ > |c|. (3.6)

70


Wyra»enie V = ∆x/∆t mo»na zinterpretowa¢ jako pr¦dko±¢ obiektu O′ (w ukªadzie O)osi¡gaj¡cego zdarzenia A i B (zobacz wzór 2.10). Jednak»e z uwagi na to, »e

|V | > |c|,

to taki obiekt musiaªby porusza¢ si¦ z szybko±ci¡ wi¦ksz¡ od szybko±ci ±wiatªa i to w ukªadzie

ka»dego obserwatora. Poniewa» nie jest to mo»liwe, to taki obiekt nie istnieje. Nie istnieje

wi¦c obserwator inercjalny, który mógªby osi¡gn¡¢ w swojej historii oba te zdarzenia. Linia

przestrzennopodobna nie mo»e by¢ lini¡ ±wiata. Nie mo»e by¢ lini¡ ±wiata, ale mo»e by¢ lini¡

zdarze« równoczesnych w pewnym ukªadzie odniesienia. Poniewa» (∆s)2 < 0 to zapiszmy,

»e (∆s)2 = −l2 dla jakiej± liczby rzeczywistej2 l. Wybierzmy obserwatora O′, w ukªadzie

którego zdarzenia A i B s¡ równoczesne, czyli ∆t′ = 0; ponadto niech odlegªo±¢ pomi¦dzy

tymi zdarzeniami wynosi ∆x′ = l. W takich wspóªrz¦dnych w ukªadzie obserwatora O′,zgodnie ze wzorem 3.4, formuªa na interwaª zapisuje si¦

(∆s)2 O′= (∆t′)2 −

(∆x′

c

)2

= −l2.

Warto±¢ powy»szego wyra»enia jest kwadratem (ze znakiem minus) odlegªo±ci pomi¦dzy

zdarzeniami w ukªadzie O′! Interwaª przestrzennopodobny pomi¦dzy zdarzeniami A i B ma

interpretacj¦ odlegªo±ci przestrzennej pomi¦dzy zdarzeniami w ukªadzie odniesienia obserwa-

tora, dla którego zdarzenia te s¡ równoczesne (zobacz rysunek 3.12). Sformuªujemy bardzo

wa»ne twierdzenie:

Rysunek 3.12: Interwaª przestrzennopodobny pomi¦dzy dwoma zdarzeniami jest odlegªo±ci¡

przestrzenn¡ pomi¦dzy tymi zdarzeniami w ukªadzie tego obserwatora, dla którego zdarzenia

te s¡ równoczesne (tu dla O′).

Twierdzenie 3.2.3 (Twierdzenie o interwale przestrzennopodobnym) Je±li zdarze-

nia A i B oddziela interwaª przestrzennopodobny ((∆s)2 < 0), to istnieje obserwator iner-

cjalny, w ukªadzie którego oba te zdarzenia sa równoczesne. Interwaª przestrzennopodobny

2Zwró¢my uwag¦ na to, »e (∆s)2 jest zapisem formalnym procedury obliczania interwaªu. W ogólno±ci

nie oznacza brania liczby do kwadratu; tak wiec zapis (∆s)2 = −l2 nie powinien Czytelnika zaniepokoi¢.

71


pomi¦dzy dwoma zdarzeniami jest odlegªo±ci¡ przestrzenn¡ pomi¦dzy miejscami, w których

zdarzenia te zachodz¡, ale w ukªadzie tego obserwatora, dla którego oba zdarzenia s¡ równo-

czesne:

(∆s)2 = −l2.

Tak wi¦c je»eli dwa zdarzenia oddziela interwaª przestrzennopodobny (∆s)2 = −l2, toistnieje jaki± obserwator, w ukªadzie którego oba te zdarzenia wydarzaj¡ si¦ równocze±nie na

obu kra«cach pr¦ta o dªugo±ci l. Dlatego mówimy, »e zdarzenia oddziela przestrze«. Nasza

czasoprzestrzenna linijka zamienia si¦ - w takim przypadku i w takim jedynym ukªadzie

odniesienia - w zwykª¡ linijk¦.

Linie przestrzenne w czasoprzestrzeni Równanie przestrzennopodobnej linii ±wiata, w

ukªadzie wspóªrz¦dnych dowolnego obserwatora okre±la wzór 3.6, który jest po prostu innym

zapisem warunku (∆t)2 − (∆x/c)2 < 0 - przestrzennego interwaªu pomi¦dzy zdarzeniami.

W naszych jednostkach, w których c = 1 formuªa ta przyjmuje prost¡ posta¢:

|∆x| > |∆t|.

Z drugiej strony równanie linii ±wiata fotonu w ka»dym ukªadzie inercjalnym to |∆x/∆t| =|c|, co w naszych jednostkach jest: |∆x| = |∆t|. Rzecz ilustruje rysunek 3.13

Rysunek 3.13: Ka»da przestrzenna linia ±wiata (np. O′) w ukªadzie dowolnego obserwatora

inercjalnego (tutaj O) jest bardziej nachylona, od linni ±wiata fotonu (tutaj N+).

Rysunek 3.14: Wszystkie linie przestrzenne o wspólnym zdarzeniu le»¡ w odpowiednim ob-

szrze pomi¦dzy liniami ±wiata fotonów N+ oraz N−.

72


Z przedstawionej dyskusji wynika, »e ka»da przestrzenna linia ±wiata w ukªadzie dowol-

nego obserwatora inercjalnego musi by¢ bardziej nachylona od linii ±wiata fotonu. Poniewa»

sformuªowane powy»ej stwierdzenie tak»e abstrahuje od wyboru ukªadu wspóªrz¦dnych, to

mówi ono strukturze linii przestrzennopodobnych w czasoprzestrzeni. Mo»na powiedzie¢,

»e wszystkie linie czasowe o wspólnym zdarzeniu le»¡ pomi¦dzy liniami ±wiata fotonów N+

oraz N−. Wniosek ten tak»e wykorzystamy przy okazji omawiania przyczynowej struktury

czasoprzestrzeni. Na zako«czenie zde�niujemy zerowy interwaª czasoprzestrzenny

De�nicja 3.2.3 (Interwaªu zerowego) Powiemy, »e interwaª czasoprzestrzenny ∆s okre-

±lony dla dwóch zdarze« A i B jest zerowy gdy

(∆s)2 = 0.

O takich zdarzeniach A i B powiemy, »e s¡ separowane zerowo. Powiemy tak»e, »e linia

w czasoprzestrzeni jest zerowa, gdy dwa dowolne zdarzenia na tej linii oddziela interwaª ze-

rowy. Fizyczny charakter takiego interwaªu powinien nam by¢ ju» dobrze znany. Rozwa»my

dowolnego obserwatora O, w ukªadzie którego warunek (∆s)2 = 0 zapisuje si¦:

(∆t)2 −(

∆x

c

)2

= 0,

co jest równowa»ne temu, »e |∆t| = |∆x/c|. �atwe przeksztaªcenie prowadzi do:∣∣∣∣∆x∆t

∣∣∣∣ = |c|, (3.7)

co z kolei jest dobrze nam znanym równaniem linii ±wiata fotonu. W jednostkach, w których

c = 1 równanie to zapisuje si¦ w postaci

|∆t| = |∆x|

w ka»dym ukªadzie wspóªrz¦dnych (zobacz rysunki 2.20, 2.24, 3.15). Linie zerowe to linie

±wiata fotonów.

Rysunek 3.15: Linia zerowa to linia ±wiata fotonu.

73


Parametryzacje naturalne linii w czasoprzestrzeni

Tre±ci w bie»¡cej podsekcji maj¡ charakter techniczny i zostan¡ wykorzystane przy oma-

wianiu kinematyki w STW. Przypomnijmy, »e parametryzacja linii γ w czasoprzestrzeni

to procedura przypisywania zdarzeniom liczb rzeczywistych w sposób ci¡gªy i wzajemnie

jednoznaczny (homeomor�zm). Ka»de zdarzenie P ∈ γ le»¡ce na linii w czasoprzestrzeni

otrzymuje jedn¡ liczb¦ rzeczywist¡ s ∈ R. Sposób parametryzacji jest w zasadzie dowolny o

ile parametryzacja jest ci¡gªa i wzajemnie jednoznaczna. Dysponuj¡c niezale»nym od ukªadu

odniesienia poj¦ciem odlegªo±ci czasoprzestrzennej, linie czasowe i przestrzenne b¦dziemy pa-

rametryzowa¢ wªa±nie interwaªem. W tym celu wybieramy na takiej linii dowolne zdarzenie,

przypisujemy mu liczb¦ 0, za± wszystkim innym zdarzeniom na tej linii przyporz¡dkowujemy

liczby, które s¡ odlegªo±ciami czasoprzestrzennymi od zdarzenia zero.

Rysunek 3.16: Zdarzenia wzdªu» linii parametryzowane s¡ odlegªo±ci¡ czasoprzestrzenn¡

od wybranego zdarzenia zero. Przykªadowo, ∆sAD = 3 jednostki czasoprzestrzenne. W

jednostkach, w których c = 1 s¡ to metry ±wietlne.

Udowodnili±my, »e interwaª czasoprzestrzenny pomi¦dzy zdarzeniami le»¡cymi na cza-

sowej linii jest czasem wªasnym wzdªu» tej linii, za± interwaª czasoprzestrzenny pomi¦dzy

zdarzeniami le»¡cymi na linii przestrzennej jest odlegªo±ci¡ przestrzenn¡ w ukªadzie odniesie-

nia, w którym ta linia jest lini¡ równoczesno±ci. Z tego powodu czasowe linie ±wiata b¦dziemy

parametryzowali czasem wªasnym, za± przestrzenne linie ±wiata - odlegªo±ci¡ przestrzenn¡

w odpowiednim ukªadzie odniesienia.

Rysunek 3.17: Dªugo±¢ czasoprzestrzenna wzdªu» linii czasowej O jest czasem wªasnym te-

go» obserwatora, dªugo±¢ czasoprzestrzenna wzdªu» linii przestrzennej jest odlegªo±ci¡ prze-

strzenn¡ w odpowiednim ukªadzie odniesienia, w którym jest to linia równoczesnosci. Nie

mo»na zada¢ dªugo±ci wzdªu» linii zerowej!

74


Cz¦sto w literaturze popularnonaukowej, b¡d¹ w programach popularnych powiada

sie przewrotnie, »e gdyby foton byª wyposa»ony w zegar, to ów zegar nie tykaªby. Innymi

sªowami czas w ukªadzie odniesienia fotonu nie pªynie. Argumentuje si¦ to tym, »e wzdªu»

linii ±wiata fotonu zawsze jest ∆s = 0, za± ∆s ma jakoby interpretacj¦ czasu wªasnego ∆τ .

Pami¦tajmy jednak, »e interpretacja interwaªu czasoprzestrzennego jako czasu wªasnego:

∆s = ∆τ mo»liwa jest tylko wzdªu» linii czasowych. Czasu wªasnego fotonu po prostu

nie mo»emy zde�niowa¢. Równie dobrze mo»naby stwierdzi¢, »e odlegªo±¢ przestrzenna l

pomi¦dzy dwoma zdarzeniami z historii fotonu wynosi zero. Wiemy jednak, »e interpretacja

interwaªu czasoprzestrzennego pomi¦dzy zdarzeniami jako odlegªo±ci przestrzennej mo»liwa

jest tylko wzdªu» linii przestrzennej, która ª¡czy dane zdarzenia. Linie zerowe nie s¡ ani

czasowe, ani przestrzenne. Z tego powodu na linii zerowej nie mo»na zada¢ naturalnej

parametryzacji (numerowania zdarze«). Naturalnymi parametryzacjami dla linii czasowej

jest czas wªasny, za± dla linii przestrzennej odlegªo±¢ przestrzenna. W obu tych przypadkach

t¡ parametryzacj¡ jest interwaª - wielko±¢ niezale»na od ukªadu wspóªrz¦dnych. Skoro ∆s =

0 na ka»dej linii zerowej, to nie mo»emy u»y¢ funkcji s na linii zerowej, która to funkcja

przyporz¡dkowywaªaby zdarzeniom na tej linii liczby rzeczywiste. Dla linii zerowych nie

istnieje naturalna, niezale»na od ukªadu odniesienia parametryzacja.

Dysponuj¡c poj¦ciem wektora odst¦pu ∆s pomi¦dzy zdarzeniami A i B w czasoprze-

strzeni oraz wykorzystuj¡c jej struktur¦ liniow¡ zapisujemy, »e

B = A+ ∆s.

Rysunek 3.18: Zdarzenia A i B le»¡ na jakiej± linii w czasoprzestrzeni, za± wektor ∆s ª¡czy

te zdarzenia: B = A+ ∆s.

Dysponuj¡c ponadto poj¦ciem odlegªo±ci, mo»emy wybra¢ wzdªu» danej linii wektor

odst¦pu u pomi¦dzy zdarzeniami oddzielonymi interwaªem o warto±ci 1. Ze wzgl¦du na mo»-

liwo±¢ mno»enia wektora przez liczb¦ (skalowanie wektora) zapisujemy, »e (zobacz rysunek

3.19)

∆s = s · u.

Maj¡c na uwadze powy»sze, mo»emy zapisa¢ wzór na poªo»enie dowolnego zdarzenia B

75


le»¡cego na pewnej linii w czasoprzestrzeni:

B(s) = A+ s · u. (3.8)

Rysunek 3.19: Po lewej - wybór jednostkowego wektora u wzdªu» linii w czasoprzestrzeni.

Po prawej - skalowanie wektora jednostkowego: ∆s = s · u.

Do wzoru 3.8 powrócimy podczas omawiania kinematyki i dynamiki w czasoprzestrzeni.

76

3.3. STRUKTURA CHRONOLOGICZNA I PRZYCZYNOWA CZASOPRZESTRZENI

3.3 Struktura chronologiczna i przyczynowa czasoprze-

strzeni

W tej sekcji omówimy struktur¦ przyczynow¡ czasoprzestrzeni. Powiemy o tym, kiedy zda-

rzenia w czasoprzestrzeni mo»na uporz¡dkowa¢ chronologicznie a w jakim przypadku nie

mo»na tego dokona¢. W tym celu wykorzystamy udowodnione wªasno±ci dla linii czasopo-

dobnych i przestrzennopodobnych. Rozprawienie si¦ z poj¦ciem absolutnej równoczesno±ci

zdarze«, skutkuj¡ce potrzeb¡ okre±lania równoczesno±ci oddzielnie dla ka»dego obserwatora,

mo»e wywoªywa¢ u Czytelników pewien niepokój. Czytelnik zastanawia si¦ zapewne nad

sytuacjami, w których, w jakim± ukªadzie odniesienia pewne dwa zdarzenia zachodz¡ rów-

nocze±nie, podczas gdy w innym ukªadzie jedno ze zdarze« zachodzi wcze±niej ni» drugie; a

jeszcze w innym ukªadzie odniesienia drugie zdarzenie mo»e zachodzi¢ przed pierwszym. To

zapewne prowadzi do pyta« o to, czy skutek mo»e poprzedza¢ przyczyn¦. Chciaªbym jednak

ju» na wst¦pie uspokoi¢ Czytelnika, »e porz¡dek przyczynowo skutkowy ±wiata pozostanie

zachowany.

Relacja chronologii i przyczynowo±ci zdarze«

Skutek poprzedza przyczyna, ale czy tak jest zawsze? Zanim przejdziemy do rozwa»a« na

temat porz¡dku chronologicznego i przyczynowego zdarze«, zde�niujemy w j¦zyku geometrii

czasoprzestrzeni, co oznacza poj¦cie, »e zdarzenia pozostaj¡ w relacji chronologicznej lub

przyczynowej. Rozwa»my na pocz¡tku banaln¡ historyjk¦. Wra»liwego Czytelnika uprze-

dzam o drastyczno±ci przykªadu. Wyobra¹my sobie, »e zdarzeniem P , które dalej b¦dziemy

nazywa¢ przyczyn¡, b¦dzie naci±ni¦cie spustu rewolweru przez Brzydkiego. Po tym zdarze-

niu nabój wylatuj¡cy z lufy uderza w much¦, zabijaj¡c nieszcz¦sn¡ na miejscu. Moment

uderzenia pocisku w much¦ a jednocze±nie jej ±mier¢ oznaczymy jako zdarzenie S, które

dalej b¦dziemy nazywa¢ skutkiem. Oczywi±cie mucha spokojnie mogªaby sobie lata¢, gdyby

nie pocisk przenosz¡cy zgubn¡ energi¦. To pocisk poª¡czyª w katastrofalny dla muchy chro-

nologiczny ci¡g przyczynowo skutkowy dwa zdarzenia - wystrzaªu (P ) i tra�enia muchy (S).

77


Zauwa»my, »e pocisk jako jedyny uczestniczy w obu zdarzeniach; oba zdarzenia P i

S nale»¡ do historii wªasnej pocisku! Pocisk ª¡czy oba zdarzenia. Mo»na powiedzie¢, »e

oba zdarzenia s¡ poª¡czone �zycznie. Innymi sªowami, zdarzenia P i S le»¡ na linii ±wiata

pocisku. Spróbujmy okaza¢ si¦ bardziej ªaskawi dla muchy. Niech P oznacza zdarzenie, przy

okazji którego rewolwerowiec Brzydki zrezygnowaª z naci±ni¦cia spustu, za± S niech b¦dzie

zdarzeniem z historii muchy, przy okazji którego mogªaby by¢ ona tra�ona, gdyby jednak

Brzydki zdecydowaª sie na strzaª. W sensie potocznym oba te zdarzenia nie s¡ poª¡czone

ªa«cuchem przyczynowo skutkowym, jednak wiemy z poprzedniego przykªadu, »e mogªyby

takie by¢. Powiemy wtedy, »e P i S pozostaj¡ w mo»liwej relacji przyczynowo - skutkowej i

z pewno±ci¡ s¡ uporz¡dkowane chronologicznie. Oba zdarzenia mogªyby bowiem nale»e¢ do

historii pocisku mkn¡cego z lufy do muchy. Linia ±wiata pocisku jest oczywi±cie czasowa,

tak jak ka»da linia obiektu poruszaj¡cego si¦ wolniej od ±wiatªa.

Zanotujmy bardzo wa»ne, »e zdarzenia P i S ª¡czy czasowa linia ±wiata - dziej¡ si¦

one w historii wªasnej pocisku. Pocisk porusza si¦ bowiem wolniej od ±wiatªa. Ponadto linia

±wiata pocisku ª¡czy zdarzenia od P do S - w takiej wªa±nie kolejno±ci. Powiemy, »e takie

dwa zdarzenia s¡ w relacji chronologicznej:

De�nicja 3.3.1 (Chronologia) Zdarzenia P i S s¡ w relacji chronologicznej P �I S, gdy

le»¡ na czasowej linii ±wiata, ponadto je»eli τ jest czasem wªasnym parametryzuj¡cym t¦

lini¦ oraz dla zdarze« P i S zachodzi

τP < τS,

to powiemy, »e P poprzedza chronologicznie S.

78


Zdarzenia, które s¡ w relacji chronologicznej, mog¡ by¢ zdarzeniami, z których jedno

jest przyczyn¡ a drugie jego skutkiem. Jedno wpªywa na zaj±cie drugiego. Zauwa»my jed-

nak»e, »e zdarzenia mo»emy poª¡czy¢ �zycznie za pomoc¡ fotonu (np. zamiast Brzydkiego do

muchy strzela z lasera Lord Darth Vader). Informacj¦ od zdarzenia do zdarzenia mo»na prze-

kaza¢ za pomoc¡ sygnaªu elektromagnetycznego. Wyobra¹my sobie, »e za pomoc¡ sygnaªu

elektromagnetycznego wysªanego z Ziemi, dokonujemy zamówienia w sklepie z pami¡tkami

na Marsie (pomijamy efekty zwi¡zane z Ogóln¡ Teori¡ Wzgl¦dno±ci). Gdy Mars jest najbli»ej

Ziemi to sygnaª taki biegnie okoªo trzech minut. Tak wi¦c marsja«ski sprzedawca pami¡tek,

albo raczej radar jego komputera, odnotuje zdarzenie S - rejestracji fotonu zamawiaj¡cego

- po trzech minutach od momentu zdarzenia P - wysªania fotonu zamawiaj¡cego z Ziemi.

Wszystkie zdarzenia z historii marsja«skiego radaru zachodz¡ce przed S, nie mog¡ by¢ w

»aden �zyczny sposób poª¡czone z P (zobacz rysunek 3.20). �adna bowiem informacja nie

mo»e zosta¢ przekazywana szybciej od ±wiatªa (o czym wkrótce si¦ przekonamy).

Rysunek 3.20: Diagram po lewej ilustruje linie ±wiata Ziemi, Marsa oraz linie ±wiata fotonu

ª¡cz¡cego zdarzenia P i S. Po prawej - »adne ze zdarze« poni»ej S na linii ±wiata Marsa nie

mo»e by¢ skutkiem zdarzenia P .

Przedstawiona dyskusja u±wiadamia nam, »e aby zdarzenie S byªo skutkiem zdarzenia

P okre±laj¡cego przyczyn¦, to S i P musz¡ nale»e¢ albo do historii jakiego± ciaªa swobodnego,

albo do historii fotonu. To przywodzi nas do de�nicji relacji przyczynowej zdarze«, jako

takich, które mog¡ by¢ poª¡czone czasow¡ b¡d¹ zerow¡ lini¡ ±wiata, ponadto okre±lone jest,

od którego do którego ze zdarze« linia ta jest skierowana.

De�nicja 3.3.2 (Relacji przyczynowej) Zdarzenia P i S s¡ w relacji przyczynowej

P �J S, gdy le»¡ na czasowej lub zerowej linii ±wiata. Czasowa b¡d¹ zerowa linia ª¡czy

zdarzenia (jest skierowana) od P do S.

Podsumujmy: zdarzenia P i S s¡ w relacji chronologicznej, o ile istnieje linia czasowa

skierowana od P do S, za± relacja przyczynowo±ci zachodzi, gdy istnieje linia czasowa b¡d¹

zerowa skierowana od P do S. Ka»da relacja chronologiczna jest zarazem przyczynowa.

79


Kiedy poj¦cia wcze±niej i pó¹niej s¡ obiektywne?

Zadajmy pytanie, czy takie poj¦cia jak wcze±niej i pó¹niej odniesione do czasu zaj±cia zda-

rze« s¡ obiektywne (takie same dla ka»dego obserwatora)? Czy poj¦cia wcze±niej i pó¹niej

pozostaj¡ obiektywne, podczas gdy samo poj¦cie równoczesno±ci jest wzgl¦dne? W poprzed-

niej podsekcji powiedziane zostaªo, »e je»eli zdarzenia P i S le»¡ na czasowej lub zerowej linii

±wiata skierowanej od P do S to P poprzedza chronologicznie (lub przyczynowo) S. Mo»na

sobie wyobra»a¢, »e P i S mog¡ zosta¢ poª¡czone ciaªem b¡d¹ sygnaªem podró»uj¡cym od

P do S. Innymi sªowami P jest wcze±niej ! Nasuwa si¦ pytanie o to, czy aby nie dzielimy

wªosa na czworo. Czy mo»e nie wystarczy powiedzie¢, »e dowolne A zachodzi wcze±niej ni»

B, gdy czas zaj±cia zdarzenia A jest wcze±niejszy ni» czas zaj±cia zdarzenia B? Otó» to nie

wystarcza. Po pierwsze w zwi¡zku z wzgl¦dno±ci¡ równoczesno±ci, nale»aªoby wskaza¢ w

jakim ukªadzie odniesienia porównujemy czasy zdarze« A i B. Po wtóre - tak»e w zwi¡zku z

wzgl¦dno±ci¡ równoczesno±ci - nie mo»emy mie¢ pewno±ci, czy dla dwóch dowolnych zdarze«

A i B nierówno±¢ tA < tB w jakim± ukªadzie odniesienia poci¡ga za sob¡ analogiczn¡ nierów-

no±¢ t′A < t′B w dowolnym innym ukªadzie odniesienia. W nast¦pnej podsekcji poka»emy, »e

nie zawsze tak musi by¢. Poka»emy, »e dla pewnych zdarze« A i B, które oddziela interwaª

przestrzennopodobny (zdarzenia nie mog¡ zosta¢ poª¡czone ciaªem ani sygnaªem) zdarze-

nie A zachodzi wcze±niej ni» B w jakim± inercjalnym ukªadzie odniesienia, za± w pewnym

innym ukªadzie inercjalnym to zdarzenie B mo»e zaj±¢ przed A. W takiej sytuacjach nie

istnieje obiektywne wcze±niej i pó¹niej. T¦ dyskusj¦ odkªadamy do nast¦pnej podsekcji, aby

najpierw ukoi¢ niepokój Czytelnika wywoªany tym caªym zamieszaniem.

Prawd¡ jest, »e w przypadku zdarze« P i S oddzielonych interwaªem czasopodobnym

lub zerowym, je»eli P poprzedza chronologicznie lub przyczynowo S, to P jest wcze±niej w

ka»dym ukªadzie odniesienia. Oznacza to, »e tP < tS w ka»dym inercjalnym ukªadzie wspóª-

rz¦dnych. Dla podanych wcze±niej przykªadów, wszyscy obserwatorzy w ruchu wzgl¦dnym

stwierdz¡, »e najpierw zostaª wystrzelony pocisk a dopiero pó¹niej zgin¦ªa mucha, »e naj-

pierw zaistniaªo na Ziemi zdarzenie decyzji zªo»enia zamówienia w marsja«skim sklepie, a

dopiero pó¹niej rejestracja sygnaªu przez radar marsja«skiego sklepu internetowego - nigdy

na odwrót!

Rysunek 3.21: Kierunki linii czasowych i przestrzennych (przypomnienie).

80


Aby si¦ o tym przekona¢ posªu»ymy si¦ naszymi geometrycznymi metodami. Przypo-

mnijmy sobie, »e linie czasowe i linie przestrzenne w czasoprzestrzeni mog¡ mie¢ okre±lone

kierunki wzgl¦dem linii ±wiata fotonów, takie jak ukazane na rysunku 3.21. Dalej, b¦dziemy

rozwa»a¢ dwa zdarzenia P i S pozostaj¡ce w relacji chronologicznej P �I S, czyli takie,

które poªo»one s¡ na linii ±wiata pewnego ciaªa O′. Nast¦pnie b¦dziemy abstrahowali od

samego ciaªa O′ pozostawiaj¡c tylko zdarzenia P i S.

Rysunek 3.22: P poprzedza chronologicznie S, τP < τS.

Przypomnijmy, »e linia równoczesno±ci (t = const) zdarze« dowolnego obserwatora

Oi, to zbiór wszystkich zdarze«, które w jego ukªadzie odniesienia zachodz¡ w tym samym

czasie. Linie równoczesno±ci dla poszczególnych obserwatorów wyznaczone s¡ zgodnie z

de�nicj¡ równoczesno±ci podan¡ i omówion¡ w sekcji 2.1. Ponadto linie równoczesno±ci s¡

liniami przestrzennopodobnymi! Sposób przyporz¡dkowania zdarzeniom P i S przez ró»nych

obserwatorów wspóªrz¦dnych czasowych ilustruje rysunek 3.23.

Rysunek 3.23: tPi oraz tSi oznaczaj¡ czasy zaj±cia zdarze« P i S w ukªadzie i - tego obser-

watora Oi.

Konstrukcje geometryczne na rysunku 3.23, zgodne z okre±leniem linii równoczesno±ci

i wspóªrz¦dnej czasowej obserwatora, przekonuj¡, »e je»eli zdarzenie P poprzedza chrono-

logicznie S, to tPi < tSi dla ka»dego obserwatora Oi. Oznacza to, »e dla dwóch zdarze«

separowanych czasowo, jedno z nich jest wcze±niej a drugie pó¹niej i to niezale»nie od wy-

boru inercjalnego ukªadu odniesienia. W tym miejscu warto sformuªowa¢ bardzo wa»ne

twierdzenie:

Twierdzenie 3.3.1 (o porz¡dku chronologicznym) Je»eli zdarzenia P i S le»¡ na cza-

sowej linii ±wiata obserwatora O′ oraz wskazania jego zegara przy okazji tych zdarze« speª-

81


niaj¡ τP < τS, to w ka»dym inercjalnym ukªadzie odniesienia O zachodzi tP < tS. Równo-

wa»ne sformuªowanie tego twierdzenia brzmi: Relacja chronologiczna P �I S dwóch zdarze«

P i S zapewnia, »e w ka»dym inercjalnym ukªadzie odniesienia zdarzenie P zachodzi wcze-

±niej.

Analogicznie mo»na sformuªowa¢ twierdzenie dla zdarze« pozostaj¡cych w relacji przy-

czynowej. Fakt, i» de�nicja relacji abstrahuje od ukªadu odniesienia, informuje nas o tym, »e

relacja jest obiektem niezmienniczym - geometrycznym. Zauwa»my, »e obie relacje: chrono-

logiczna (�I) lub przyczynowa (�J) porz¡dkuj¡ nam zdarzenia. Je»eli P � S to mówimy,

»e P poprzedza S w sensie danej relacji. Udowodnili±my twierdzenie, dzi¦ki któremu mo»na

wygªosi¢ zdanie, »e P jest obiektywnie wcze±niej - czyli wcze±niej w ka»dym inercjalnym

ukªadzie odniesienia. Taka konkluzja zapewnia nam spokój egzystencjalny, bowiem przy-

czyna i skutek nie mog¡ zamienia¢ si¦ miejscami. Przyczyna zawsze musi by¢ wcze±niej !

Dyskusj¦ t¦ b¦dziemy kontynuowali w podsekcji o Zasadzie Przyczynowo±ci.

82


Achronologia zdarze« separowanych przestrzennie

Takie poj¦cia jak wcze±niej lub pó¹niej nie mog¡ by¢ u»ywane w stosunku do zdarze« se-

parowanych przestrzennie. Innymi sªowami, dla takiej pary zdarze« nie mo»na obiektywnie

stwierdzi¢, które z nich zachodzi pierwsze. Aby si¦ o tym przekona¢, rozwa»my par¦ zda-

rze« A, B oddzielonych interwaªem przestrzennopodobnym. Takich zdarze« nie ª¡czy ani

czasowa, ani zerowa linia, tylko linia przestrzenna. Istnieje wtedy obserwator O, w ukªadzie

którego oba z tych zdarze« s¡ równoczesne: tA = tB. Sytuacj¦ prezentuje poni»szy diagram:

Rozwa»my teraz obserwatora O′, który oddala si¦ od O w lewo. Linie równoczesno±ci

tego obserwatora b¦d¡ inne ni» linie równoczesno±ci O. Zgodnie z konstrukcj¡ linii równo-

czesno±ci i okre±lenia wspóªrz¦dnej czasowej w ukªadzie O′, przekonujemy si¦, »e t′B > t′A

(zobacz rysunek 3.24). Obserwator O′ stwierdza, »e w jego ukªadzie odniesienia zdarzenie A

wydarza si¦ pierwsze.

Rysunek 3.24: Obserwator O′ stwierdza, »e t′B > t′A.

Rysunek 3.25: Obserwator O′′ stwierdza, »e t′′A > t′′B.

W analogiczny sposób dokonujemy analizy w ukªadzie kolejnego obserwatora O′′, któryoddala si¦ od O w prawo. Sytuacj¦ ilustruje diagram na rysunku 3.25. Zgodnie z konstrukcj¡

linii równoczesno±ci i okre±lenia wspóªrz¦dnej czasowej w ukªadzie O′′, przekonujemy si¦, »e

83


t′′A > t′′B. Obserwator O′′ stwierdza, »e w jego ukªadzie odniesienia to zdarzenie B wydarza

si¦ pierwsze!

Nasza dyskusja z przykªadem prowadzi do konkluzji, »e nie mo»na okre±li¢ porz¡dku

czasowego dla zdarze« separowanych przestrzennie. Rozwa»ali±my trzech obserwatorów, z

których ka»dy twierdziª co± innego o zdarzeniach A i B; w ukªadzie O zdarzenia byªy równo-

czesne, w ukªadzie O′ jako pierwsze wydarzaªo si¦ A, za± w ukªadzie O′′ pierwsze wydarzaªosi¦ B.

Czy w zwi¡zku z tym powinni±my odczuwa¢ niepokój egzystencjalny, »e w jednym

ukªadzie odniesienia zdarzenie A zachodzi przed B a w innym ukªadzie odniesienia to B

zachodzi przed A? Nie! Dlatego, »e zdarzenia A i B poª¡czone s¡ lini¡ przestrzenn¡. W

podsekcji o liniach przestrzennopodobnych powiedzieli±my, »e aby jaki± obiekt posiadaª oba

takie zdarzenia w swojej historii, to musiaªby porusza¢ si¦ szybciej od ±wiatªa. Tak¡ mo»li-

wo±¢ odrzucamy w naszej teorii. Skoro nie istnieje cz¡stka lub sygnaª posiadaj¡cy w swojej

historii dwa zdarzenia oddzielone interwaªem przestrzennym, to nie mog¡ by¢ one poª¡czone

�zycznie, czyli nie ma »adnej wymiany energii ani informacji pomi¦dzy nimi. Je»eli nie

przenosi si¦ »adne oddziaªywanie pomi¦dzy A i B, to nie ma obaw do niepokoju. Dlaczego?

Dlatego, »e jest to caªkowicie bez znaczenia. Jedno nie wpªywa na drugie i vice-versa. �adne

ze zdarze« nie mo»e by¢ przyczyn¡ zaistnienia drugiego. Powa»ne obawy do niepokoju by-

ªyby, gdyby dla zdarze«, pomi¦dzy którymi zachodzi wymiana energii b¡d¹ informacji nie

mo»na byªoby okre±li¢, które z nich jest pierwsze. Przypomnijmy sobie przykªady: Brzyd-

kiego, pocisk i much¦ oraz zamówienie do marsja«skiego sklepu wysªane za pomoc¡ fotonu

z Ziemi na Marsa. Tam zdarzenia ª¡czyªa albo historia ciaªa (pocisku) albo historia fo-

tonu. Pojawiªo nam si¦ wcze±niej pytanie, czy we wszystkich ukªadach odniesienia mucha

ginie po wystrzeleniu pocisku? Czy mo»e w zwi¡zku z wzgl¦dno±ci¡ równoczesno±ci istniej¡

ukªady odniesienia, w których najpierw ginie mucha a potem strzela Brzydki? Czy zamó-

wienie w marsja«skim sklepie mo»e pojawi¢ si¦ przed aktem jego zªo»enia - czyli wysªania

fotonu z Ziemi? Czy mo»na umrze¢ przed narodzinami? Na te pytania odpowiedzieli±my w

poprzedniej sekcji NIE oraz udowodnili±my to stanowisko (twierdzenie 3.3.1).

84


Science Fiction - tachiony i wygrana w Totka

Zaznaczam, »e w tej podsekcji autor b¦dzie dokonywaª spekulacji teoretycznych, zakªadaj¡-

cych mo»liwo±¢ przekazywania energii szybciej od pr¦dko±ci ±wiatªa. B¦dzie to miaªo na celu

pokazanie Czytelnikowi do jakich absurdalnych sytuacji prowadzi takie zaªo»enie. Na chwil¦

porzucimy formuª¦ wykªadu i zabawimy si¦ w fantastyk¦, jednak»e naukow¡. Sam jednak

nie chciaªbym kategorycznie przes¡dza¢, czy poni»sza dyskusja nale»y tylko do sfery fanta-

styki czy nie, niemniej raczej nale»¦ do grona osób przyjmuj¡cych stanowisko, »e nie istnieje

sposób przekazania informacji lub energii szybszy od pr¦dko±ci ±wiatªa. Nale»y jednak»e

zda¢ sobie spraw¦ z tego, »e II postulat Einsteina jest rozumiany wspóªcze±nie w ±rodowisku

relatywistów, jako istnienie uniwersalnego sygnaªu, którym posªuguj¡ si¦ wszyscy obserwa-

torzy. Uniwersalno±¢ tego sygnaªu jest konsekwencj¡ zachowania Zasady Wzgl¦dno±ci dla

zjawisk elektromagnetycznych - w szczególno±ci rozchodzenia si¦ fali elektromagnetycznej

(±wiatªa). Filary naszej teorii, czyli: I Zasada Dynamiki wraz z Zasad¡ Wzgl¦dno±ci dla

wszystkich zjawisk �zycznych (w szczególno±ci mechanicznych i elektromagnetycznych) oraz

sama elektrodynamika wypowiadaj¡ si¦ na temat pr¦dko±ci ±wiatªa, lecz z nich samych nie

wynikaj¡ twierdzenia o istnieniu b¡d¹ nieistnieniu sygnaªów szybszych od ±wiatªa. Jest to

zaªo»enie a-priori niezb¦dne do tego, aby zachowa¢ Zasad¦ Przyczynowo±ci (której dyskusj¦

odb¦dziemy w nast¦pnej podsekcji). Jak zobaczymy, istnienie takich sygnaªów prowadzi do

absurdalnych wniosków i godzi w logik¦.

Rysunek 3.26: Na naszej pªaszczy¹nie czasoprzestrzennej (ruchy w jednym wymiarze) rozró»-

niamy tachiony typu T+ oraz tachiony typu T−, podobnie jak fotony N+ i N− podró»uj¡ce

wzgl¦dem ciaª swobodnych w dwie ró»ne strony. Na rysunku przedstawiono linie ±wiata

trzech tachionów oraz dwóch fotonów, które mijaj¡ si¦ przy okazji wspólnego zdarzenia O.

Linie ±wiata tachionów to linie przestrzenne z zaznaczonym zwrotem. Zdarzenia A i B ª¡czy

�zycznie tachion T+2.

Niektórzy twierdz¡, »e istniej¡ cz¡stki - zwane tachionami - które poruszaj¡ si¦ szybciej

od ±wiatªa. Doln¡ granic¡ pr¦dko±ci takich cz¡stek jest pr¦dko±¢ ±wiatªa, za± górnej granicy

pr¦dko±ci nie ma. Zaªó»my na chwil¦ i na potrzeby naszych rozwa»a«, »e takie cz¡stki

istniej¡. W podsekcji o liniach przestrzennopodobnych pokazane zostaªo, »e je»eli jaki± obiekt

posiadaªby w swojej historii zdarzenia separowane przestrzennie, to musiaªby porusza¢ si¦

85


szybciej od ±wiatªa. Dlatego liniami ±wiata tachionów b¦d¡ linie przestrzenne. Spójrzmy na

rysunek 3.26 i jego opis.

Aby zademonstrowa¢ jak dziwne rzeczy dziej¡ si¦ przy zaªo»eniu istnienia takich ta-

chionów, opowiem pewn¡ historyjk¦, która spotkaªa mnie i mojego koleg¦ Michaªa. Pewnego

dnia spotkaªem si¦ z moim koleg¡ Michaªem. Postanowili±my wygra¢ w Totka. W tym celu

skonstruowali±my dwie takie same maszyny, które mog¡ odbiera¢ i wysyªa¢ tachiony. Za ich

pomoc¡ b¦d¦ wysyªaª za po±rednictwem Michaªa wiadomo±¢ do samego siebie - wiadomo±¢

do swojej przeszªo±ci. Aby to zrobi¢ ja i Michaª, wyposa»eni w maszyny do wysyªania tachio-

nów, musimy wprawi¢ si¦ w ruch wzgl¦dny z bardzo du»¡ pr¦dko±ci¡. W tym celu Michaª

wyrusza w podró» do Plutona i z powrotem, a ja czekam na losowanie Totka. Po losowaniu,

wysyªam za pomoc¡ tachionów zakodowan¡ w postaci bitów informacj¦ o wyniku losowania

do Michaªa, po czym Michaª od razu t¦ informacj¦ odsyªa mi z powrotem. Okazuje si¦, »e

informacja wysªana przez Michaªa tra�a do mnie, ale przed losowaniem! Czyli w momencie

przed tym, gdy wysªaªem t¦ informacj¦. Aby zobaczy¢ jak to mo»liwe, prze±ledzimy caª¡

sytuacj¦ na kilku diagramach. Uwaga techniczna - informacja jest wysªana w postaci tachio-

nów wysyªanych jeden po drugim w bardzo krótkich odst¦pach czasu, tak wi¦c informacja

b¦dzie zakodowana w postaci wi¡zki linii ±wiata tachionów, jednak»e na diagramach b¦d¦

rysowaª jedn¡ lini¦ tachionowej informacji. Spójrzmy na rysunek 3.27 wraz z jego opisem.

Rysunek 3.27: Zdarzenie L to losowanie Totka, natomiast zdarzenie A to wysªanie przeze

mnie informacji do Michaªa. Linia ±wiata Michaªa nie jest narysowana. Zdarzenie B to

odbiór tej informacji przez Michaªa. Informacj¦ od A do B przekazuje tachion. A i B ª¡czy

linia ±wiata tachionu. W moim ukªadzie odniesienia A jest wcze±niej ni» B, co ukazuje linia

mojej równoczesno±ci narysowana szarym kolorem.

Rysunek 3.27 jeszcze niczego spektakularnego nie pokazuje, poza tym, »e przyj¦li±my

istnienie tachionów. Zdarzenie A poprzedza zdarzenie B (tB > tA) tak jak nakazywaªby

zdrowy rozs¡dek i o czym przekonuje nas linia mojej równoczesno±ci poprowadzona z B do

mnie. Teraz dokonamy analizy sytuacji w ukªadzie odniesienia Michaªa. Michaª po otrzy-

maniu ode mnie informacji (zdarzenie B) natychmiast odsyªa mi t¦ informacj¦ za pomoc¡

takiej maszyny tachionowej, jak¡ i ja mam. Przeanalizujmy rysunek 3.28 wraz z jego opisem.

Rysunek 3.28 tak»e niczego spektakularnego nie pokazuje. Zdarzenie C w ukªadzie

86


Rysunek 3.28: Zdarzenie B to odbiór informacji o wyniku losowania przez Michaªa i ode-

sªanie jej do mnie. Zdarzenie C to odbiór informacji przeze mnie. Informacj¦ od B do C

przekazuje tachion. W ukªadzie odniesienia Michaªa B zachodzi wcze±niej ni» C, co ukazuje

linia równoczesno±ci Michaªa.

Michaªa zachodzi po B (t′C > t′B) o czym przekonuje linia równoczesno±ci ze zdarzeniem C

w ukªadzie Michaªa. Przeanalizujemy teraz caª¡ sytuacj¦, ª¡cz¡c oba powy»sze diagramy.

Rysunek 3.29: Zdarzenie C w moim ukªadzie odniesienia jest przed A!

Zdarzenie C, w którym rejestruj¦ sygnaª odbity przez Michaªa w B i wysªany przeze

mnie samego w A, wydarza si¦ w mojej historii przed A. Sygnaª A → B → C przycho-

dzi w moj¡ przeszªo±¢. W ten sposób otrzymaªem informacj¦ o wyniku losowania Totka

przed samym losowaniem. Id¦ do kolektury, skre±lam ustalone liczby, nast¦pnie czekam na

zainkasowanie wygranej. Oczywi±cie Michaª powraca z podró»y i dzielimy si¦ wygran¡.

Zastanówmy si¦ nad mo»liwymi konsekwencjami tego biznesowego przedsi¦wzi¦cia,

które podj¦li±my razem z Michaªem. Tak wi¦c po otrzymaniu od Michaªa informacji (któr¡

sam wysªaªem) o tym, jakie liczby wypadn¡ w losowaniu, spiesz¦ do kolektury i wypeªniam

kupon. Nast¦pnie id¦ do domu, ogl¡dam losowanie wiedz¡c z góry jaki b¦dzie jego wynik.

Co zrobi¦ potem, a raczej co musz¦ zrobi¢? Otó» tak jak to byªo ustalone, aby nasz plan

funkcjonowaª, musz¦ wysªa¢ do Michaªa informacj¦ o wynikach losowania. Nawet maj¡c ju»

pewno±¢, »e wygraªem. Zastanówmy si¦, co by byªo, gdybym nie wysªaª informacji do Mi-

chaªa? Przecie» jest ju» po losowaniu a ja skre±liªem te liczby, które nale»y. Ale tak wªa±nie

jest, poniewa» wysªaªem t¦ informacj¦. Je»eli wygraªem, to po tym nie mog¦ rozmy±li¢ si¦

i nie wysªa¢ informacji do Michaªa, poniewa» gdybym tego nie zrobiª - to nie wygraªbym!

Wydaje si¦, »e ja musz¦ wysªa¢ informacj¦, czy mi si¦ to podoba czy nie. Wysyªam »eby

87


wygra¢ oraz wygrywam »eby wysªa¢. Zauwa»my, »e w tej caªej sytuacji nie ma mowy o wol-

nej woli - np. woli zrezygnowania z wysªania Michaªowi informacji o losowaniu, gdy wiem,

»e wygraªem. Zaªó»my, »e zadowolony wygran¡ zapominam wysªa¢ Michaªowi informacj¦.

W takim przypadku nie dowiem si¦ jakie liczby wypadn¡ w losowaniu i nie wygram. Czyli

b¦d¦ w jakiej± innej sytuacji. Sprawa wygl¡da koszmarnie. Wygl¡da na to, jakby scenariusz

tej caªej sytuacji byª ustalony, bez mo»liwo±ci jakiejkolwiek jego zmiany za pomoc¡ wolnej

woli.

Mo»emy uwolni¢ si¦ od ludzi i ich wolnej woli a rozwa»a¢ tylko maszyny tachionowe.

Zaªó»my, »e moja maszyna jest zaprogramowana tak, »e wysyªa tachion w ustalonym mo-

mencie, a gdy rejestruje tachion, to ga±nie. Niech maszyna Michaªa tylko odbija tachiony

do mnie. Zaªó»my dalej, »e odpowiednio wcze±niej wª¡czam maszyn¦ i ona wysyªa tachion

do Michaªa, po czym maszyna Michaªa odbija tachion do mnie. Moja maszyna rejestruje

tachion i wyª¡cza si¦. Przypominam, »e rejestracja tachionu odbywa si¦ przed jego wysªa-

niem.

Rysunek 3.30: Czy tachion zostanie wysªany?

Przypomnijmy tak»e, »e odpowiednio wcze±niej wª¡czyªem zaprogramowan¡ maszyn¦.

W takim wypadku tachion zostanie wysªany. Wysªany tachion zostaje odbity od maszyny

Michaªa, powraca do mojej i maszyna ga±nie. Ga±nie i nie wysyªa tachionu! Skoro moja

maszyna nie wysyªa tachionu, to musi by¢ wª¡czona, poniewa» to odbity (czyli wysªany

tachion) zgasiª j¡. A skoro nie ma tachionu gasz¡cego maszyn¦, to ona dziaªa w najlepsze i

wysyªa tachion....który j¡ gasi. A skoro gasi...do±¢! Nie rozwikªamy tej zagadki. Nie mo»na

logicznie udowodni¢, czy tachion zostanie wysªany, czy nie. Mo»na raczej przyj¡¢ bardzo

spekulacyjn¡ tez¦ o tym, »e stany maszyny |wª¡czona> i |wyª¡czona> wspóªistniej¡ i to bez

mo»liwo±ci pomiaru - czyli stwierdzenia, który stan jest w danym momencie realizowany! A

to ju» zbyt wiele nawet dla mechaniki kwantowej, gdzie pomiar niejako wybiera losowo jeden

ze stanów ukªadu znajduj¡cego si¦ w superpozycji ró»nych stanów!

Podane przykªady przekonuj¡, »e gdyby istniaªy ciaªa lub sygnaªy przenosz¡ce oddzia-

ªywania szybciej ni» ±wiatªo, to pogwaªcone zostaªoby wnioskowanie logiczne. Nie bójmy

si¦ powiedzie¢ du»o wi¦cej - w podanym przykªadzie nie mo»na na podstawie zasad logiki

stwierdzi¢ stanu faktycznego maszyny - czyli nie mo»na przeprowadzi¢ pomiaru. Puszcza-

88


j¡c za± wodze fantazji - wydaje si¦, »e ja i Michaª wpadliby±my w jak¡± absurdaln¡ p¦tl¦

polegaj¡ca na tym, »e wygrana zmuszaªaby mnie do wysªania sygnaªu, który odbieram w

przeszªo±ci - w której musiaªbym si¦ raz za razem znajdowa¢ tylko po to, aby ten»e sygnaª

odebra¢, by nast¦pnie go wysªa¢. Poniewa» w Przyrodzie nie obserwujemy takich dziwnych

zjawisk, przyjmujemy stanowisko, »e nic nie mo»e porusza¢ si¦ szybciej od fotonów. Takie

stanowisko jest konieczne dla zachowania Zasady Przyczynowo±ci.

Zasada Przyczynowo±ci i bariera pr¦dko±ci ±wiatªa

Cho¢ wszyscy zapewne wiedz¡ co oznacza, »e jedno zdarzenie wpªywa przyczynowo na dru-

gie, czym jest przekazanie informacji b¡d¹ energii, to warto zatrzyma¢ si¦ na chwil¦ nad tymi

poj¦ciami. Zdarzenie P jest przyczyn¡ S, gdy jaki± akt zachodz¡cy w jakim± procesie �zycz-

nym przy okazji zdarzenia P inicjuje jakikolwiek proces �zyczny przy okazji zdarzenia S.

Przykªadowo zdarzenie wystrzelenia pocisku wpªywa na zdarzenie osi¡gni¦cia celu i wszyst-

kie procesy �zyczne tym zainicjowane; zdarzenie wysªania fotonu wpªywa na zdarzenie jego

rejestracji i wszystkie tego skutki. Powiemy wtedy, »e pomi¦dzy zdarzeniami przenoszone

jest oddziaªywanie. Oddziaªywanie przenoszone jest za pomoc¡ cz¡stki b¡d¹ fotonu (lub

propaguj¡cego si¦ pola elektromagnetycznego). Zdarzenie S - skutek zdarzenia P - zwi¡zane

jest zawsze z odbiorem energii. Przykªadowo, rejestracja fotonu to oddziaªywanie fotonu z

cz¡stkami aparatury (np. wybicie elektronu z powierzchni kliszy), rejestracja nat¦»enie pola

to pomiar dziaªaj¡cej siªy na cz¡stk¦ próbn¡, rejestracja kuli z pistoletu to w rzeczywisto-

±ci pomiar skutku zwi¡zanego z energi¡ kinetyczn¡ kuli. Przekazywanie informacji tak»e

powinni±my rozumie¢ jako przekazywanie energii. Otrzymanie informacji zakodowanej w

liczbie 1000101111010101 polega na 16 pomiarach stwierdzaj¡cych zarejestrowanie albo nie-

zarejestrowanie jakiego± procesu (ustalonego przez eksperymentatora), do którego zaj±cia

niezb¦dna byªa energia, wzbudzenie jakiej± siªy.

W rozwa»aniach przeprowadzonych w poprzednich podsekcjach, przewijaªa si¦ impli-

cite pewna gª¦boko zakorzeniona zasada. Jest to Zasada Przyczynowo±ci, któr¡ musimy

przyj¡¢ do naszej teorii jako postulat. Zgodnie z t¡ zasad¡ zdarzenie P mo»e wpªywa¢

przyczynowo na zdarzenie S, gdy P � S, czyli gdy P poprzedza S w sensie relacji chro-

nologicznej lub przyczynowej. W poprzedniej podsekcji widzieli±my zªamanie tej zasady

w przypadku, gdy przyj¦li±my istnienie sygnaªów poruszaj¡cych si¦ szybciej od ±wiatªa,

za pomoc¡ których wpªywali±my na zdarzenia chronologicznie wcze±niejsze. Zdarzenie od-

bioru sygnaªu tachionowego poprzedzaªo chronologicznie zdarzenie jego wysªania (odbiór byª

wcze±niej chronologicznie) podczas gdy to zdarzenie wysªania wpªywa na zdarzenie odbioru.

Jest to jawne zªamanie Zasady Przyczynowo±ci. Poniewa» nie znajdujemy drogi aby pogo-

dzi¢ si¦ z takim stanem rzeczy, nale»y przyj¡¢, »e pr¦dko±¢ ±wiatªa jest nieprzekraczalna.

89


W takim wypadku Zasada Przyczynowo±ci jest zachowana. Nasza teoria oparta jest teraz

na nast¦puj¡cych �larach: I Zasada Dynamiki, Zasada Wzgl¦dno±ci dla zjawisk �zycznych

(w szczególno±ci mechanicznych oraz elektromagnetycznych) oraz Zasada Przyczynowo±ci. Z

teorii elektromagnetyzmu oraz z Zasady Wzgl¦dno±ci wynika istnienie uniwersalnego sygnaªu

- sygnaªu elektromagnetycznego. Konsekwencj¡ przyj¦cia Zasady Przyczynowo±ci jest to, »e

»adne oddziaªywanie nie mo»e by¢ przekazywane szybciej ni» pr¦dko±¢ tego» sygnaªu.

Reasumuj¡c, Zasada Przyczynowo±ci jest bardzo siln¡ zasad¡. Jej zªamanie ªamie

zasady logiki - co widzieli±my na przykªadzie maszyn tachionowych. Dlatego w tym miejscu

nale»y wyra¹nie zaznaczy¢ nasze stanowisko - uniwersalno±¢ sygnaªu elektromagnetycznego

rozszerzamy o jego nieprzekraczalno±¢.

Problem sztywnego pr¦ta

Na pocz¡tek pragn¡ªbym przypomnie¢ Czytelnikowi, »e Zasada Przyczynowo±ci zmusiªa nas

do odrzucenia koncepcji mo»liwo±ci przekazywania energii szybciej ni» pr¦dko±¢ ±wiatªa.

Jednak»e niezra»eni, wspólnie z moim koleg¡ Michaªem zaprawionym w mi¦dzyplanetar-

nych podró»ach, postanowili±my wykona¢ kolejny eksperyment polegaj¡cy na przekazaniu

energii szybciej ni» ±wiatªo. Id¡c na caªo±¢, postanowili±my przekaza¢ informacj¦ w spo-

sób natychmiastowy. Poniewa» maszyny tachionowe staªy sie zakazanymi od tej pory dla

nas zabawkami, postanowili±my zrobi¢ to za pomoc¡ sztywnego pr¦ta. W tym celu skon-

struowali±my bardzo dªugi, najsztywniejszy jak tylko to mo»liwe pr¦t. Jeden koniec pr¦ta

trzymaªem ja na Ziemi, za± drugi koniec pr¦ta trzymaª Michaª bardzo daleko - w okolicach

orbity Plutona. Zaªó»my, »e wspólnie z Michaªem znajdujemy si¦ w bezruchu wzgl¦dnym.

Ko«ce trzymanego pr¦ta oznaczamy odpowiednio O1 i O2.

Rysunek 3.31: Linie ±wiata ko«ców pr¦ta O1 i O2 pokrywaj¡ si¦ odpowiednio z moj¡ i

Michaªa lini¡ ±wiata.

W pewnym momencie (zdarzenie A) popchn¡ªem pr¦t w kierunku Michaªa. Zdarzenie

równoczesne z A w historii Michaªa to B. Michaª nie mo»e dowiedzie¢ si¦ przy okazji B

równoczesnego z A, »e pr¦t zostaª pchni¦ty. Je±liby tak byªo, to przekazanie informacji

nast¡piªoby natychmiast - a to jest niemo»liwe! Jakakolwiek reakcja drugiego ko«ca pr¦ta

90


jest skutkiem zdarzenia A i nie mo»e zaj±¢ wcze±niej, ni» zdarzenie C - dotarcie do Michaªa

fotonu wysªanego w A (zobacz rysunek 3.32 oraz lew¡ cz¦±¢ rysunku 3.33).

Rysunek 3.32: Zdarzenie A jest równoczesne z B. Michaª najzwyczajniej w ±wiecie trzyma

pr¦t. Michaª nie mo»e dowiedzie¢ si¦ niczego o tym co zrobiªem, przed tym, jak dotrze do

niego foton wysªany z A. Do tej pory koniec pr¦ta O2 jest nieruchomy. Po prawej - moja

linia ±wiata w A zostaªa rozdzielona z O1, podczas gdy linia ±wiata Michaªa wci¡» pokrywa

si¦ z O2 - lini¡ ±wiata drugiego ko«ca pr¦ta.

Zaªó»my, »e reakcja drugiego ko«ca pr¦ta zachodzi przy okazji zdarzenia D - tu» po C

na linii ±wiata Michaªa. Przy okazji zdarzenia D linie ±wiata Michaªa i pr¦ta rozdzielaj¡ si¦,

po czym oba ko«ce pr¦ta podró»uj¡ wzgl¦dem nas obu ruchem swobodnym (rysunek 3.33).

Rysunek 3.33: Drugi koniec pr¦ta rozpocz¡ª ruch przy okazji zdarzenia D. Zasada Przyczy-

nowo±ci zabrania, aby drugi koniec pr¦ta zareagowaª pomi¦dzy zdarzeniami B i C na linii

±wiata Michaªa.

Pojawia si¦ pytanie o to, co si¦ dzieje z pr¦tem od zdarzenia A do D. Z pewno±ci¡

pr¦t si¦ skraca, jednak nie chodzi o geometryczny (bez zmian w budowie wewn¦trznej) efekt

wzgl¦dnego skrócenia Lorentza (o którym wkrótce) podczas swobodnego ruchu wzgl¦dnego

- dlatego, »e drugi koniec pr¦ta spoczywa, przez co nie mo»na mówi¢ o wzgl¦dnym ruchu

swobodnym pr¦ta oraz obserwatorów. Pojawiaj¡cy si¦ efekt skrócenia jest konsekwencj¡

rozchodz¡cego si¦ zaburzenia g¦sto±ci wzdªu» pr¦ta, spowodowanego przyªo»on¡ przeze mnie

siª¡. Siªa - oddziaªywanie przyªo»ona do pierwszego ko«ca pr¦ta zostaje przeniesiona na

drugi koniec pr¦ta w postaci impulsu fali d¹wi¦kowej, której pr¦dko±¢ nie mo»e przekroczy¢

91


pr¦dko±ci ±wiatªa. �cisªe rozwi¡zanie problemu zachowania si¦ pr¦ta wymagaªoby rozwi-

ni¦cia relatywistycznej teorii ciaªa staªego i jest zaawansowanym zagadnieniem na oddzielne

studia. Dochodzimy do wniosku, »e nie mo»na mówi¢ o bryle sztywnej w ramach Szczególnej

Teorii Wzgl¦dno±ci. Istnienie bryª idealnie sztywnych oznaczaªoby mo»liwo±¢ przekazywania

oddziaªywania szybciej od pr¦dko±ci ±wiatªa a tym samym przesyªania informacji we wªasn¡

przeszªo±¢. Przykªadowo, mogliby±my wraz z Michaªem wyposa»y¢ si¦ w zestawy sztywnych

pr¦tów, wprawi¢ si¦ w ruch wzgl¦dny i za pomoc¡ pr¦tów wystukiwa¢ sobie informacje do

przeszªo±ci - i byªoby to nawet lepsze od maszyn tachionowych. Przedstawiony problem jest

argumentem za tym, aby struktur¦ metryczn¡ (pomiarow¡) w czasoprzestrzeni wprowadzi¢

za pomoc¡ uniwersalnego prawa rozchodzenia si¦ ±wiatªa, zamiast za pomoc¡ sztywnych

pr¦tów i zegarów.

92

3.4. PRZYCZYNOWO�� C.D., DETERMINIZM I UP�YW CZASU

3.4 Przyczynowo±¢ c.d., determinizm i upªyw czasu

W tej sekcji przyjrzymy si¦ bli»ej takim zagadnieniom jak determinizm i kierunek upªywu

czasu. Do tego celu, za pomoc¡ poj¦¢ wprowadzonych w poprzedniej sekcji, zde�niujemy

przeszªo±¢ i przyszªo±¢ przyczynow¡ zdarzenia. Zastanowimy si¦ tak»e, jakie prawa �zyki

rozró»niaj¡ nam przeszªo±¢ od przyszªo±ci.

Sto»ki ±wietlne

Ustalimy przyj¦t¡ terminologi¦, w my±l której linie ±wiata fotonów wychodz¡ce z P na-

zwiemy sto»kiem ±wietlnym przyszªo±ci, za± linie ±wiata fotonów docieraj¡cych do P na-

zwiemy sto»kiem ±wietlnym przeszªo±ci. Nazwa sto»ek ±wietlny stanie si¦ dla nas zasadna,

gdy rozszerzymy nasz¡ czasoprzestrze« do czasoprzestrzeni czterowymiarowej. Tam, zbiór

wszystkich linii zerowych wychodz¡cych z P tworzy powierzchni¦ sto»ka. Tymczasem w

naszej czasoprzestrzeni dwuwymiarowej s¡ to tylko dwie linie zerowe. Fizyczna interpreta-

cja sto»ka ±wietlnego jest bardzo prosta. Jest to bªysk przedstawiony jako powierzchnia w

czasoprzestrzeni. Wyobra¹my sobie wybuch - zdarzenie P . W wyniku wybuchu powstaj¡

fotony i rozchodzi si¦ bªysk we wszystkie strony, w postaci p¦czniej¡cej z pr¦dko±ci¡ ±wiatªa

sfery. Podczas zdarzenia wybuchu powstaj¡ tak»e cz¡stki, które z ró»nymi pr¦dko±ciami i

we wszystkie strony podró»uj¡ wzgl¦dem cz¡stki O pozostaj¡cej w epicentrum wybuchu.

Wszystkie cz¡stki pozostaj¡ pod powierzchni¡ p¦czniej¡cej sfery fotonów i nie mog¡ wydo-

sta¢ si¦ na zewn¡trz, dlatego, »e nie mog¡ dogoni¢ fotonów.

Rysunek 3.34: Wybuch i bªyk 'zatrzymany' w trzech ró»nych chwilach, w ukªadzie cz¡stki

O. Ilustracja przestrzenna.

W naszym modelu czasoprzestrzeni dwuwymiarowej ±ledzimy po prostu dwa antypo-

dalne fotony na p¦czniej¡cej z pr¦dko±ci¡ ±wiatªa sferze fotonów oraz cz¡stki poruszaj¡ce si¦

wzdªu» linii, która je ª¡czy. Na rysunku 3.34 przedstawiona jest przestrzenna kon�guracja

cz¡stek wykreowanych w wybuchu, w trzech ró»nych chwilach, w ukªadzie cz¡stki pozosta-

j¡cej w jego centrum (wyobra¹my sobie, »e narysowane okr¦gi to sfery). Sfera otaczaj¡ca

cz¡stki to bªysk - sfera fotonów. Histori¦ omawianego wybuchu mo»emy przedstawi¢ na

diagramie czasoprzestrzennym. Cz¡stki b¦d¡ czasowymi liniami ±wiata, fotony - zerowymi

93


liniami ±wiata, za± zbiór wszystkich fotonów w ustalonej chwili w ukªadzieO - b¦dzie sfer¡ (na

rysunku 3.35 elips¡). Historia wybuchu ±ledzona wzdªu» ustalonego kierunku przestrzennego

ruchu wzgl¦dnego cz¡stek O1 i O (lewa cz¦±¢ rysunku 3.35) to przekrój sto»ka pªaszczyzn¡

zawieraj¡c¡ linie ±wiata O1 i O (prawa cz¦±¢ rysunku 3.35).

Rysunek 3.35: Po lewej - sto»ek w czasoprzestrzeni czterowymiarowej (z opuszczonym jed-

nym wymiarem przestrzennym) i trzy momenty równoczesno±ci O, po prawej - sto»ek w

czasoprzestrzeni dwuwymiarowej. Na rysunku ukazane s¡ historie cz¡stek O, O1, O2.

Do naszych rozwa»a« wª¡czymy algebr¦. Równanie sto»ka, to równanie zerowych li-

nii ±wiata. Przypomnijmy, »e w czasoprzestrzeni dwuwymiarowej, równanie zerowych linii

±wiata w dowolnym inercjalnym ukªadzie wspóªrz¦dnych (t, x) zadaje równanie zerowego

interwaªu:

0 = (∆t)2 −(

∆x

c

)2

,

które jest równowa»ne równaniu |c∆t| = |∆x|. Je»eli ∆t = t − t0, ∆x = x − x0 to gra�cz-

nym rozwi¡zaniem tego równania s¡ dwie linie przechodz¡ce przez punkt o wspóªrz¦dnych

(t0, x0). W czasoprzestrzeni czterowymiarowej mo»emy wprowadzi¢ ukªad wspóªrz¦dnych

(t, x, y, z), gdzie (x, y, z) s¡ wspóªrz¦dnymi kartezja«skimi. Równanie zerowego interwaªu

czasoprzestrzennego w takim ukªadzie wspóªrz¦dnych staje si¦

0 = (∆t)2 −(

∆x

c

)2

−(

∆y

c

)2

−(

∆z

c

)2

.

Jest to równanie powierzchni sto»ka (lewa cz¦±¢ rysunku 3.35). Równanie to jest takie samo

w ka»dym inercjalnym ukªadzie wspóªrz¦dnych, poniewa» interwaª ma tak¡ sam¡ warto±¢ w

ka»dym ukªadzie wspóªrz¦dnych - to ju» zostaªo przez nas skrupulatnie udowodnione! Je»eli

zatem w takim ukªadzie odniesienia wybierzemy jak¡± chwil¦ równoczesno±ci t = r/c = const,

to równanie sto»ka o pocz¡tku w zdarzeniu P o wspóªrz¦dnych (0, 0, 0, 0) jest równaniem

sfery:

r2 = x2 + y2 + z2

o promieniu r = tc. Sfera jest ci¦ciem sto»ka pªaszczyzn¡ wzgl¦dnej równoczesno±ci. Za-

notujmy raz jeszcze, »e w ukªadzie wspóªrz¦dnych dowolnej cz¡stki powstaªej w naszym

94


wybuchu jest to sfera! Innymi sªowami, ka»dej cz¡stce wykreowanej w wybuchu 'wydaje

si¦', »e le»y w jego epicentrum. W ukªadzie dowolnej cz¡stki, w danej chwili jej równocze-

sno±ci, ma ona tak¡ sam¡ odlegªo±¢ do ka»dego z fotonów (co wydaje si¦ pozornie sprzeczne

z rysunkiem 3.34), dlatego, »e ró»ne cz¡stki uznaj¡ za równoczesne inne zdarzenia z historii

fotonów (zobacz rysunek 3.36).

Rysunek 3.36: Odlegªo±¢ cz¡stki od ka»dego z fotonów jest taka sama. Linie równoczesno±ci

wskazuj¡, które zdarzenia na liniach ±wiata fotonów s¡ dla cz¡stki równoczesne.

Wybuch, czyli zdarzenie P jest �zyczn¡ przyczyn¡ wszystkich zdarze« z historii wszyst-

kich wykreowanych w wybuchu cz¡stek i fotonów, oraz poprzedza te zdarzenia w sensie re-

lacji przyczynowo±ci (od P do zdarzenia wychodzi linia zerowa lub czasowa). Te wszystkie

zdarzenia tworz¡ powierzchni¦ i wn¦trze sto»ka ±wietlnego w P .

Rysunek 3.37: Sto»ek historii wybuchu P .

Zdarzenia le»¡ce na zewn¡trz sto»ka ±wietlnego P nie mog¡ by¢ w »aden sposób poª¡-

czone �zycznie ze zdarzeniem P . Tych punkto-chwil wybuch nie dotyczy!

95


Przyczynowa przyszªo±¢ i przeszªo±¢, orientacja w czasie

Pora na podsumowanie naszych rozwa»a«. Udowodnili±my wcze±niej twierdzenie, »e je»eli

dwa zdarzenia P i S ª¡czy linia czasowa lub zerowa skierowana od P do S (relacja P � S), to

czas zaj±cia zdarzenia P jest wcze±niejszy ni» czas zaj±cia zdarzenia S w ka»dym inercjalnym

ukªadzie odniesienia. To uprawnia do stwierdzenia, »e zdarzenie S jest przyszªo±ci¡ zdarzenia

P .

Rysunek 3.38: Zdarzenia S1, S2, S3, S4 zachodz¡ pó¹niej ni» P w ka»dym inercjalnym

ukªadzie odniesienia. Zdarzenia Si s¡ przyczynowo przyszªe w stosunku do P .

Przypomnijmy, »e takiego uporz¡dkowania zdarze« - okre±lenia, które jest wcze±niej,

a które pó¹niej - nie mo»na dokona¢ w przypadku, gdy ª¡czy je linia przestrzennopodobna;

zale»y to bowiem od wyboru inercjalnego ukªadu odniesienia (zobacz podsekcja 3.3).

Rysunek 3.39: Nie mo»na okre±li¢, które zdarze« A i B jest wcze±niej. To zale»y od ukªadu

odniesienia.

Dla dowolnego zdarzenia P okre±la si¦ J+(P ) - podzbiór w czasoprzestrzeni, który

nazwiemy przyszªo±ci¡ przyczynow¡ P (rysunek 3.40). Przyczynowa przyszªo±¢ P to zbiór

wszystkich zdarze« Si, które mog¡ zosta¢ poª¡czone ze zdarzeniem P lini¡ zerow¡ b¡d¹

czasow¡ skierowan¡ od P do Si. Innymi sªowami, jest to zbiór wszystkich zdarze« Si pozo-

staj¡cych z P w relacji P �J S. Fizycznie oznacza to, »e jest to zbiór wszystkich mo»liwych

zdarze«, na które mo»e mie¢ przyczynowy wpªyw zdarzenie P (Zasada Przyczynowo±ci).

Analogicznie okre±limy podzbiór w czasoprzestrzeni J−(P ), który nazwiemy przeszªo±ci¡

przyczynow¡ P . B¦dzie to zbiór tych zdarze« Si, które mog¡ zosta¢ poª¡czone ze zdarze-

niem P lini¡ zerow¡ b¡d¹ czasow¡ skierowan¡ od Si do P . Fizycznie oznacza to zbiór tych

zdarze«, które mog¡ mie¢ wpªyw przyczynowy na P . Reasumuj¡c, dla dowolnego zdarzenia

P w czasoprzestrzeni mo»na okre±li¢ jego przyszªo±¢, przeszªo±¢ i gdzie indziej. To gdzie

96


indziej, to zdarzenia nieosi¡galne dla P , separowane z nim przestrzennie, czyli nie mog¡ce

by¢ poª¡czone z P �zycznie a tym samym by¢ jego skutkami przyczynowymi.

Rysunek 3.40: Po lewej (porównaj z rysunkiem 3.38): Linie ±wiata fotonów wychodz¡ce

z P to sto»ek ±wietlny przyszªo±ci P . Przyszªo±¢ przyczynowa J+(P ) to sto»ek ±wietlny

przyszªo±ci wraz z jego wn¦trzem. Po prawej: Linie ±wiata fotonów docieraj¡ce do P to

sto»ek ±wietlny przeszªo±ci P , który wraz ze swoim wn¦trzem tworzy J−(P ) - przyczynow¡

przeszªo±¢ P . Zdarzenia S5, S6, S7, nale»¡ do przyczynowej przeszªo±ci P .

Rysunek 3.41: Przeszªo±¢ przyczynowa, przyszªo±¢ przyczynowa i gdzie indziej dla zdarzenia

P .

Dla dowolnych zdarze« A i B w czasoprzestrzeni mo»na okre±li¢ ich wspóln¡ przyszªo±¢

lub wspóln¡ przeszªo±¢ przyczynow¡.

Rysunek 3.42: Wspólna przyszªo±¢ (oraz przeszªo±¢) zdarze« A i B zaznaczona jest mocniej-

szym szarym wypeªnieniem.

Wspólna przyszªo±¢ zdarze« A i B to zbiór tych zdarze«, które mog¡ by¢ poª¡czone

liniami czasowymi b¡d¹ zerowymi wychodz¡cymi od A i od B. Matematycznie b¦dzie to

97


zbiór, który jest iloczynem teoriomnogo±ciowym przyszªo±ci A z przyszªo±ci¡ B: J+(A) ∩J+(B).

Niniejszym dokonamy podsumowania wszystkich wniosków. Dla dowolnego zdarzenia

P mo»emy okre±li¢ trzy zbiory w czasoprzestrzeni: jego przyczynowa przyszªo±¢, jego przy-

czynowa przeszªo±¢ i jego nieosi¡galne (rysunek 3.41). Zanotujmy bardzo wa»ne, »e nasze

rozwa»ania s¡ uniezale»nione od ukªadu wspóªrz¦dnych. Dla ka»dego zdarzenia mo»na okre-

±li¢ kierunki: w przyszªo±¢, w przeszªo±¢ i w gdzie indziej. Mo»liwo±¢ takiego kanonicznego

okre±lenia kierunku oraz wyboru zwrotu przeszªo±¢ - przyszªo±¢ (lub przyszªo±¢ - przeszªo±¢)

nazywamy orientacj¡ w czasie. Nasza czasoprzestrze« jest orientowalna w czasie! Jest to

kolejna struktura poza formuª¡ na pomiar odlegªo±ci, która odró»nia czasoprzestrze« od

pªaszczyzny euklidesowej. Dwa punkty A i B na pªaszczy¹nie euklidesowej oddziela pewna

odlegªo±¢, poza tym nic geometrycznie ciekawego nie mo»emy powiedzie¢. Punkty te le»¡

wprawdzie na jakiej± linii, jednak»e nie jest ona w »aden sposób odró»niona od innych. Nie

istnieje »adna cecha �zyczna ani geometryczna dla pªaszczyzny euklidesowej, która zada-

waªaby jakie± naturalne wyró»nienie w zbiorze wszystkich linii przechodz¡cych przez dany

punkt. W odró»nieniu od tego, na pªaszczy¹nie czasoprzestrzennej istnieje naturalne rozró»-

nienie na zorientowane zbiory kierunków - przyszªo±ci i przeszªo±ci - startuj¡cych z danego

punktu/zdarzenia (rysunek 3.4) oraz niezorientowane kierunki przestrzenne

Zanotujmy bardzo wa»n¡ uwag¦. Rozró»niamy dwa umownie zorientowane zbiory kie-

runków: przyszªo±ci i przeszªo±ci przyczynowej. Pojawia si¦ pytanie o to, czym �zycznie

charakteryzuje si¦ to rozró»nienie. Czym ró»ni si¦ �zycznie strzaªka w przyszªo±¢ od strzaªki

w przeszªo±¢. Fundamentalne postulaty, które tworz¡ �lar naszej teorii, przypomnijmy: I

Zasada Dynamiki, Zasada Wzgl¦dno±ci dla zjawisk �zycznych (w szczególno±ci mechanicz-

nych oraz elektromagnetycznych), Zasada Przyczynowo±ci zdaj¡ si¦ nie odpowiada¢ na nasze

pytania (prosz¦ przeczyta¢ podsekcj¦ o symetrii praw w czasie). Sk¡d wiemy, »e jaki± proces

dzieje si¦ w przyszªo±¢? Czym ona jest? Na to pytania postaramy si¦ odpowiedzie¢ w na-

st¦pnych sekcjach. Dotkniemy tam kolejnego fundamentalnego Prawa Przyrody - II Zasady

Termodynamiki!

98


Determinizm

Zastanówmy si¦, jakie zdarzenia maj¡ wpªyw na losy kuli Ziemskiej (na wszystkie mo»liwe

zdarzenia dziej¡ce si¦ na Ziemi) za osiem minut. Dokªadnie w chwili upªywu o±miu minut

naszego czasu Ziemskiego od tego momentu. Mo»e jaki± szaleniec zdetonuje bomb¦ j¡drow¡

i wªa±nie w tym momencie, w jego chorym umy±le zachodzi zdarzenie tego pomysªu? Mo»e

gdzie± w gª¦bi Ziemi zachodzi proces inicjuj¡cy trz¦sienie Ziemi? Mo»e decyzje spekulantów i

wielkiej �nansjery spowoduj¡ gwaªtowny krach systemu monetarnego? Ale czy aby wszystko,

co ma sta¢ si¦ na Ziemi za osiem minut, ma swoj¡ przyczyn¦ w zdarzeniach na Ziemi? Mo»e

gdzie± w przestrzeni kosmicznej, w tym wªa±nie momencie leci w kierunku Ziemi wielki mete-

oryt, mo»e na Sªo«cu zachodzi jaka± pot¦»na i gwaªtowna erupcja w wyniku której wysªana

jest na Ziemi¦ pot¦»na dawka promieniowania. Promieniowanie rozchodzi si¦ z pr¦dko±ci¡

±wiatªa a odlegªo±¢ od Ziemi do Sªo«ca to osiem minut ±wietlnych - jedna jednostka astro-

nomiczna (1 j.a.). Wszystko, co dzieje si¦ w odlegªo±ci wi¦kszej ni» osiem minut ±wietlnych

- czyli wszystkie zdarzenia zachodz¡ce w tej wªa±nie chwili w odlegªo±ci wi¦kszej ni» j 1 j.a.

- nie b¦d¡ miaªy wpªywu na Ziemskie zdarzenia za osiem minut. Tak jest, poniewa» nic nie

mo»e porusza¢ si¦ szybciej od ±wiatªa i zd¡»y¢ przyby¢ na Ziemi¦ za osiem minut z tak dale-

kiej odlegªo±ci. Aby dokªadnie przewidzie¢ zdarzenia Ziemskie za osiem minut, nale»y mie¢

informacje o wszystkim, co dzieje si¦ w kuli o promieniu 1 j.a.. To, co dzieje si¦ aktualnie

w caªym obszarze kuli o promieniu 1 j.a. determinuje losy Ziemskich wydarze« za osiem

minut. Determinuje!

Determinizm oznacza, »e ewolucja ukªadu jest caªkowicie okre±lona poprzez zadanie

warunków pocz¡tkowych (o których za chwil¦). Poprzez poj¦cie ukªadu �zycznego rozu-

miemy tutaj wyodr¦bnione w pewnym obszarze przestrzeni cz¡stki i pola elektromagne-

tyczne, za± poprzez poj¦cie parametrów ukªadu b¦dziemy rozumieli tutaj informacj¦ o poªo-

»eniach wszystkich tych cz¡stek, ich p¦dach, a tak»e znajomo±¢ wektorów nat¦»e« pól elek-

trycznych i magnetycznych w ka»dym punkcie badanego obszaru. Warunkami pocz¡tkowymi

nazwiemy informacj¦ o wszystkich parametrach ukªadu, okre±lon¡ w pewnym obszarze rów-

noczesno±ci wzgl¦dnej jakiego± obserwatora. Zadaj¡c warunki pocz¡tkowe dla mojego ukªadu

w pewnej chwili, mog¦ stwierdzi¢ nie wykonuj¡c pomiaru a jedynie rozwi¡zuj¡c równania,

jakie b¦d¡ wszystkie parametry w dowolnej przyszªej chwili mojej równoczesno±ci wzgl¦dnej.

Równania teorii �zycznych wraz z ustalonymi warunkami pocz¡tkowymi, pozwalaj¡ na wy-

znaczenie wszystkich tych parametrów. Pozwalaj¡ przewidzie¢ ewolucj¦ ukªadu. Powiemy,

»e równania okre±laj¡ deterministyczn¡ ewolucj¦ ukªadu. Deterministyczn¡ ewolucj¦ ukªadu

okre±laj¡ takie teorie jak: prawa Maxwella, prawa Newtona, dynamika relatywistyczna (o

której wkrótce) a tak»e mechanika kwantowa - w ograniczeniu do deterministycznej ewolucji

funkcji falowej, bez dokonywania na niej pomiaru.

99


Uwaga ogólna: na naszych diagramach prezentujemy model czasoprzestrzeni dwuwy-

miarowej, dlatego momenty równoczesno±ci wzgl¦dnej to przestrzenne linie równoczesno±ci

wzgl¦dnej danego obserwatora. W ogólno±ci, w czasoprzestrzeni czterowymiarowej, moment

wzgl¦dnej równoczesno±ci danego obserwatora, to trójwymiarowa pªaszczyzna zdarze« rów-

noczesnych. Taka pªaszczyzna jest przestrzennopodobna, poniewa» ka»da linia le»¡ca w

tej pªaszczy¹nie jest przestrzennopodobna (zobacz rysunek 3.43). Na diagramach b¦d¡ za-

zwyczaj rysowane tylko linie przestrzenne, natomiast Czytelnika poprosz¦ o dokonywanie

za ka»dym razem uogólnienia z linii przestrzennopodobnej na pªaszczyzn¦ przestrzennopo-

donbn¡

Rysunek 3.43: Diagramy przedstawiaj¡ moment równoczesno±ci wzgl¦dnej obserwatora O w

chwili t. Po lewej - przestrzenna linia równoczesno±ci wzgl¦dnej, po prawej - przestrzenna

powierzchnia równoczesno±ci wzgl¦dnej (na rysunku opuszczony jest jeden wymiar prze-

strzenny).

Wyobra¹my sobie, »e chcemy w pewnym przyszªym momencie t naszej równoczesno±ci

wzgl¦dnej i w pewnym jej sko«czonym obszarze Σ (i tylko w nim!) ustali¢ nat¦»enia pól,

oraz okre±li¢ poªo»enia i pr¦dko±ci znajduj¡cych si¦ tam cz¡stek - chcemy ustali¢ parametry

ukªadu w chwili t.

Rysunek 3.44: Wyodr¦bniony obszar w przyszªej chwili t to Σ. Okre±lony jest tam ukªad

�zyczny, którego parametry chcemy pozna¢.

Jakie dane pocz¡tkowe s¡ do tego potrzebne? Przykªadowo, chc¦ zna¢ poªo»enie i

pr¦dko±¢ w chwili t interesuj¡cej mnie cz¡stki. Zauwa»my, »e nie wystarczy poda¢ pr¦dko±ci

i poªo»enia cz¡stki w chwili wcze±niejszej t0. Moja cz¡stka mo»e pó¹niej (od t0 do t) wej±¢

w oddziaªywanie (zderzenie) z cz¡stk¡ znajduj¡c¡ si¦ w chwili t0 w innym miejscu a wtedy

jej los zostanie zmieniony. Cz¡stka ta mo»e wchodzi¢ w oddziaªywanie z innymi cz¡stkami

100


a tak»e z fotonem (lub polem), wysªanym (propaguj¡cym si¦) z bardzo odlegªego obszaru w

chwili t0. Zauwa»my jednak»e, »e cz¡stki i pola, które znajduj¡ si¦ zbyt daleko aby mogªy

dotrze¢ do naszej cz¡stki w chwili t, nie maj¡ »adnego znaczenia na jej status w tej chwili.

Aby zna¢ losy wszystkich cz¡stek i nat¦»enia pól w wybranym obszarze Σ, nale»y zna¢

nat¦»enia pól oraz poªo»enia i p¦dy cz¡stek w jakim± momencie równoczesno±ci wzgl¦dnej

t0, ale tylko ograniczaj¡c si¦ do pewnego obszaru Σ0 zawartego w przeszªo±ci przyczynowej

(przypomnij sobie, »e na losy Ziemi za osiem minut mog¡ mie¢ wpªyw tylko te zdarzenia,

które zachodz¡ w obszarze o promieniu 8 minut ±wietlnych).

Rysunek 3.45: Tylko zdarzenia nale»¡ce do Σ0 mog¡ mie¢ wpªyw (by¢ �zycznie poª¡czone) ze

zdarzeniami obszaru Σ. To znaczy, »e dane okre±lone na Σ0 determinuj¡ parametry ukªadu

okre±lonego w Σ. Σ0 jest podzbiorem pªaszczyzny (na diagramie linii) przestrzennej.

Podsumujmy: tylko dane (parametry pocz¡tkowe ukªadu) okre±lone na Σ0 - przestrzen-

nym podzbiorze przeszªo±ci przyczynowej Σ - determinuj¡ parametry ukªadu okre±lonego w

Σ. W peªni je determinuj¡! Nic innego ju» sta¢ si¦ nie mo»e, ponad to, co zapisane jest w

równaniach. Nikt i nic w »aden sposób nie mo»e wpªyn¡¢ na obszar Σ, poniewa» nie ma

takiej szansy, gdy» nie mo»na przekroczy¢ pr¦dko±ci ±wiatªa. Poni»ej diagram czasoprze-

strzenny ilustruj¡cy przykªad podany na pocz¡tku tej podsekcji (nie uwzgl¦dniamy efektów

zwi¡zanych z Ogóln¡ Teori¡ Wzgl¦dno±ci - chodzi o przedstawienie idei).

Rysunek 3.46: Dane okre±lone poza obszarem Σ0 nie maj¡ wpªywu na losy Ziemi.

To co powiedzieli±my tutaj o determini¹mie, to nie jest jeszcze wszystko. To dokªadnie

poªowa.

101


Symetria Praw Przyrody w czasie i determinizmu c.d.

Wyobra¹my sobie trywialny proces �zyczny, jakim jest ruch cz¡stki swobodnej. Ruch odbywa

si¦ zgodnie Zasadami Dynamiki - w tym przypadku jest to I Zasada Dynamiki. Mój kolega

Michaª nagrywa ten proces �zyczny kamer¡, przychodzi do mnie w odwiedziny, puszcza �lm

na moim komputerze i ka»e mi zgadn¡¢ - czy �lm zostaª puszczony zgodnie z rzeczywistym

przebiegiem procesu, czy od ko«ca. Oczywi±cie nie mam szansy odpowiedzie¢ na to pyta-

nie. W rewan»u nagraªem proces polegaj¡cy na zderzeniu si¦ dwóch cz¡stek. Jest to proces

zgodny z I i III Zasad¡ Dynamiki Newtona. Pu±ciªem Michaªowi �lm i poprosiªem o odgad-

ni¦cie czy �lm zostaª puszczony zgodnie z rzeczywistym przebiegiem procesu, czy od ko«ca.

Sytuacja jest absolutnie symetryczna! Michaª w »aden sposób nie mógª okre±li¢, w którym

przypadku proces dzieje si¦ w przyszªo±¢ a tym samym stwierdzi¢, czy �lm jest puszczony

zgodnie z rzeczywistym przebiegiem procesu, czy od ko«ca. W odpowiedzi Michaª nagraª

kamer¡ proces spadku swobodnego (II Zasada Dynamiki), pu±ciª mi ten �lm i zadaª nast¦-

puj¡ce pytanie: czy to jest spadek swobodny i �lm puszczony jest zgodnie z przebiegiem

procesu, czy jest to rzut pionowy w gór¦, za± �lm puszczony jest od tyªu. Oczywi±cie i na to

pytanie nie mogªem znale¹¢ odpowiedzi. Przez kilka dni zadawali±my sobie z Michaªem takie

zagadki - �lmowali±my drgaj¡ce spr¦»ynki, wahadªa, ruchy po okr¦gu, zderzenia kilku cz¡-

stek a nawet �lmowali±my specjalnymi kamerami ewolucj¦ pól elektromagnetycznych zgodn¡

z prawami Maxwella. Na »adnym z �lmów nie mogli±my stwierdzi¢, kiedy �lm jest puszczony

zgodnie z przebiegiem procesu a kiedy od ko«ca. Nie mogli±my stwierdzi¢, czy proces dzieje

si¦ w czasie do przodu, czy przebiega w czasie do tyªu!

Przedstawiony problem jest konsekwencj¡ symetrii praw dynamiki i elektromagnety-

zmu w czasie. Innymi sªowami, równania dynamiki i elektromagnetyzmu (prawa Maxwella)

posiadaj¡ symetri¦ w czasie, co oznacza, »e w nowym primowanym ukªadzie wspóªrz¦dnych:

t′ = −t, x′ = x, y′ = y, z′ = z

równanie posiadaj¡ t¦ sam¡ matematyczn¡ posta¢! Wspóªrz¦dne wraz wielko±ciami wyst¦pu-

j¡cymi w równaniach transformuj¡ si¦ tak, »e po transformacji posta¢ matematyczna równa«

jest identyczna jak przed transformacj¡. Pomin¦ tutaj sam¡ posta¢ równa« elektromagne-

tyzmu i ich transformacj¦ jako spraw¦ czysto techniczn¡ - chodzi o Zasad¦! O równaniach

Newtona byªo w cz¦±ci I ksi¡»ki, za± równania dynamiki STW poznamy pó¹niej.

Symetria równa« ze wzgl¦du na zamian¦ t′ = −t oznacza, »e prawa dynamiki i elektro-

magnetyzmu nie rozró»niaj¡ przyszªo±ci od przeszªo±ci. Rozwi¡zanie równa« z zamienion¡

wspóªrz¦dn¡ czasow¡ t na −t, pozwala ±ledzi¢ ewolucj¦ ukªadu wstecz w czasie. Oznacza

to, »e dane okre±lone na pewnym obszarze powierzchni przestrzennej okre±laj¡ - determinuj¡

- parametry ukªadu w chwilach dla nas przeszªych. Przypomnijmy wnioski z poprzedniej

sekcji: aby zna¢ parametry ukªadu w przyszªej chwili t, nale»y zna¢ dane okre±lone w jego

102


caªym obszarze przeszªo±ci przyczynowej, w jakiej± chwili t0. W przypadku, gdy chcemy

±ledzi¢ losy ukªadu wstecz w czasie, sytuacja jest dokªadnie odwrotna! Je»eli mianowicie

postanowimy odgadn¡¢ parametry ukªadu w obszarze Σ1 w przeszªej chwili t1, nale»y zna¢

dane w chwili t2 okre±lone na Σ2 - przestrzennym obszarze przyszªo±ci przyczynowej Σ1.

Diagram czasoprzestrzenny w tym przypadku b¦dzie odwróceniem diagramu z rysunku 3.45

(porównaj 3.45 i 3.47).

Rysunek 3.47: Aby zna¢ parametry ukªadu okre±lonego w przeszªo±ci na obszarze Σ1, nale»y

zada¢ dane na Σ2 - przestrzennym obszarze jego przyszªo±ci przyczynowej.

Nasza dyskusja pozwala rozszerzy¢ poj¦cie determinizmu. Determinizm oznacza mo»-

liwo±¢ odgadywania przyszªo±ci ukªadu dysponuj¡c danymi zadanymi w pewnym przestrzen-

nym obszarze jego przyczynowej przeszªo±ci; lub mo»liwo±¢ odgadywania przeszªo±ci ukªadu

- przy znajomo±ci danych okre±lonych na przestrzennym obszarze jego przyczynowej przy-

szªo±ci.

W poszukiwaniu asymetrii praw �zyki w czasie

Nie da si¦ ukry¢, »e do±wiadczamy upªywu czasu w przyszªo±¢. W zwi¡zku z tym powinno

istnie¢ jakie± asymetryczne w czasie prawo �zyczne, które czyniªoby wyró»nienie, »e ewolucja

ukªadu przebiega w przyszªo±¢. Przypomnijmy sobie z poprzedniej podsekcji moje ekspe-

rymenty z Michaªem, polegaj¡ce na tym, »e nagrywali±my kamer¡ ró»ne procesy �zyczne,

dziej¡ce si¦ zgodnie z prawami dynamiki i elektromagnetyzmu. Symetria tych praw w cza-

sie (symetria równa« ze wzgl¦du na zamian¦ t na −t) nie pozwalaªa mnie i Michaªowi na

odró»nienie czy puszczony �lm z nagranym procesem �zycznym odpowiada rzeczywistemu

przebiegowi tego procesu, czy jest puszczony od ko«ca. Ograniczaj¡c si¦ jedynie do praw

(równa«) naszych teorii, nie mo»na wyró»ni¢ kierunku upªywu czasu - nie mo»na wskaza¢

»adnej cechy przebiegu procesu, czyni¡cej rozró»nienie pomi¦dzy ewolucj¡ ukªadu w przy-

szªo±¢ a ewolucj¡ w przeszªo±¢. Nie da si¦ stwierdzi¢ - aha, to dzieje si¦ tak a nie inaczej i

wyró»nia si¦ tym a nie innym, zatem proces musi przebiega¢ w przyszªo±¢3.

3Procesy zwi¡zane z oddziaªywaniami sªabymi ªami¡ symetri¦ w czasie. Przykªadem oddziaªywania sªa-

bego jest rozpad neutronu na proton, elektron i antyneutrino, lub oddziaªywanie protonu z elektronem w

103


Nie ma jednak w¡tpliwo±ci, »e do±wiadczamy upªywu czasu. W zwi¡zku z tym musi

istnie¢ jakie± prawo �zyczne charakteryzuj¡ce si¦ asymetri¡ w czasie. Wspólnie z Michaªem

postanowili±my kontynuowa¢ nasze eksperymenty - zagadki �lmowe. Otó» Michaª s�lmowaª

proces �zyczny polegaj¡cy na tym, »e przytwierdziª przezroczyste pudeªko z piaskiem do

maszyny wykonuj¡cej drgania harmoniczne. W ±rodku pudeªka byª piasek biaªy po jednej

stronie i czarny po drugiej stronie. �rodek pudeªka wypeªniaªy odseparowane od siebie

ziarenka biaªe i czarne. Nast¦pnie pudeªko zostaªo wprawione w ruch harmoniczny i ziarenka

piasku zostaªy wprawione w - wydawaªoby si¦ - bezªadny ruch. Michaª przedstawiª mi ten

�lm i zapytaª jak zwykle - czy jest to �lm puszczony zgodnie z rzeczywistym przebiegiem

procesu, czy od ko«ca. W tym przypadku nie miaªem w¡tpliwo±ci - je»eli na �lmie zobacz¦,

»e kolor piasku robi si¦ szary (idealnie wymieszane ziarenka biaªe i czarne) i takim pozostaje

dalej mimo mieszania si¦ ziarenek piasku - to �lm jest zgodny z rzeczywistym przebiegiem

procesu. Je»eli natomiast zaobserwuj¦ na �lmie, »e kolor piasku w wyniku drga« pudeªka

z szarego robi biaªo - czarny, to powiem, »e �lm zostaª puszczony od ko«ca. Ten proces

z pewno±ci¡ jest asymetryczny w czasie. Ziarenka piasku d¡»¡ w wyniku mieszania si¦

do takiego stanu, w którym widzimy piasek szarym. Nie zaobserwujemy spontanicznego

odseparowania si¦ ziarenek biaªych od czarnych4!

Zastanówmy si¦, jakie prawa rz¡dz¡ tym procesem. Pudeªko wykonuje drgania har-

moniczne, które z pewno±ci¡ cechuje symetria w czasie. Po drugie, ruch ziarenek piasku

wewn¡trz pudeªka jest zgodny z deterministycznymi Zasadami Dynamiki - a te s¡ tak»e

symetryczne w czasie! Co± jednak jest na rzeczy. Dlaczego odseparowane ziarenka biaªo

- czarnego piasku mieszaj¡ si¦ do obserwowanej szaro±ci i w niej pozostaj¡?! Ta szaro±¢,

symbolizuj¡ca tutaj idealnie jednorodne wymieszanie ziarenek, jest stanem równowagowym

wn¦trza pudeªka z piaskiem. Równowagowym dlatego, »e ukªad pozostaje w takim stanie.

Okazuje si¦, »e wszystkie ukªady �zyczne zªo»one z bardzo wielu cz¡stek d¡»¡ do takich

stanów równowagowych. Przyjrzyjmy si¦ tej fascynuj¡cej sprawie bli»ej. Poznajmy EN-

TROPI�!

wyniku czego powstaje neutron i neutrino. W tych procesach nale»y jednak bada¢ symetrie w czasie wraz

z symetri¡ wzgl¦dem odbi¢ przestrzennych oraz wraz z symetri¡ wzgl¦dem zamiany cz¡stki na antycz¡stk¦.

Tymi tematami nie b¦dziemy si¦ tutaj zajmowali.4Okazuje si¦ jednak, »e je»eli wystarczaj¡co dªugo, bardzo, bardzo dªugo (prawie niesko«czenie dªugo)

b¦dziemy mieszali ziarenka piasku, to w pewnym momencie i na krótk¡ chwil¦ odseparuj¡ si¦ one z powrotem.

Mówi o tym matematyczne twierdzenie mechaniki statystycznej (H. Poincare) o powrocie.

104


Entropia

Poj¦cie entropii nale»y w zasadzie do dziedziny �zyki statystycznej i termodynamiki. Jed-

nak»e ze wzgl¦du na jej znaczenie w naszej dyskusji o czasie, musimy przybli»y¢ to poj¦cie.

Poza tym prawo zwi¡zane z tym poj¦ciem jest fundamentalne a niniejsza ksi¡»ka o takich

traktuje. Aby w sposób ±cisªy matematycznie wyªo»y¢ Czytelnikowi entropi¦, nale»aªoby

wprowadzi¢ sporo poj¦¢ z �zyki statystycznej i jej metod rachunkowych. Poniewa» nasz

wykªad dotyczy Teorii Wzgl¦dno±ci postaram si¦ omin¡¢ aspekty czysto techniczne i przed-

stawi¢ idee poj¦cia entropii oraz ilo±ciow¡ formuª¦ pozwalaj¡c¡ na jej obliczanie. Ponadto

dla Czytelnika nie zajmuj¡cego si¦ zawodowo �zyk¡ teoretyczn¡, moje wprowadzenie b¦dzie

wcale ±cisªe.

Przedstawi¦ teraz przykªad, na gruncie którego wprowadz¦ pewna terminologi¦. Przy-

pomnijmy sobie pudeªko z piaskiem biaªym i czarnym, którego ziarenka byªy pocz¡tkowo

kolorystycznie odseparowane. Powiemy, »e pudeªko z piaskiem znajduje si¦ w makroskopo-

wym stanie biaªo-czarnym. Makroskopowym, dlatego, »e nie interesuje nas dokªadna kon�-

guracja wszystkich ziarenek piasku, a jedynie interesuje nas to co widzimy i obserwujemy na

poziomie makroskopowym - w tym przypadku obserwujemy, »e wn¦trze pudeªka jest biaªo-

czarne. W wyniku wymieszania si¦ ziarenek piasku obserwujemy, »e piasek wydaje si¦ szary.

Powiemy teraz, »e pudeªko z piaskiem znajduje si¦ w makroskopowym stanie szarym. Mo-

»emy te» obserwowa¢ jakie± stany po±rednie, troch¦ tylko wymieszane. Zaªó»my jednak na

nasze potrzeby (i to wystarcza!), »e w tym przypadku rozwa»amy dwa stany makroskopowe:

czarno-biaªy i szary (np. tak¡ mamy percepcj¦ wzrokow¡). Zaªó»my na nasze potrzeby, »e

stany graniczne typu: ju» nie czarno biaªy ale jeszcze nie szary, potra�my zaklasy�kowa¢

jako albo czarno - biaªy, albo szary; gdzie± przecie» musimy ustali¢ granic¦ podziaªu na ma-

krostany. Mo»emy oczywi±cie rozwa»a¢ stany troch¦ wymieszane, ale wtedy zabierze gªos

jaki± esteta i stwierdzi, »e jest to stan troch¦ tylko wymieszany, ale przewa»a ju» szaro±¢.

Nie wyznaczaj¡c jakich± granic stanów mogliby±my mie¢ sytuacj¦, w której my widzimy stan

wyª¡cznie szary, za± pewien artysta z sokolim wzrokiem stwierdzi, »e to nie jest szaro±¢ tylko

pi¦kna, wyra�nowana i abstrakcyjna mozaika bieli i czerni.

Przypatrzmy si¦ teraz naszemu pudeªku z piaskiem bardzo wnikliwie, okre±laj¡c do-

kªadnie poªo»enia wszystkich ziarenek piasku po ka»dym potrz¡±ni¦ciu pudeªkiem. Taki stan,

w którym okre±lamy poªo»enia (i p¦dy w ogólno±ci) wszystkich cz¡stek ukªadu nazwiemy sta-

nem mikroskopowym. Potrz¡saj¡c pudeªkiem zmieniamy kon�guracj¦ ziarenek piasku, czyli

zmieniamy mikrostan. Okazuje si¦ jednak, »e przy zmianie mikrostanu, makrostan wcale nie

musi si¦ zmienia¢. Przykªadowo, je±li w stanie biaªo - czarnym zamieni¡ si¦ miejscami tylko

ziarenka biaªe, to makrostan jest znowu biaªo - czarny, podczas, gdy mikrostan si¦ zmieniª.

Powiemy, »e dany makrostan jest realizowany przez jakie± mikrostany, które oczywi±cie ró»-

105


ni¡ si¦ pomi¦dzy sob¡, jednak»e makroskopowo wykazuj¡ te same cechy. Wyobra¹my teraz

sobie, »e tworzymy zbiór ze wszystkich mo»liwych mikrostanów. Zbiór wszystkich mo»li-

wych mikrostanów ukªadu to przestrze« fazowa H naszego ukªadu. Punkt tej przestrzeni

to pojedynczy mikrostan. Makrostanami b¦d¡ podzbiory tej przestrzeni skªadaj¡ce si¦ z

nierozró»nialnych makroskopowo mikrostanów. Rysunek 3.48 ilustruje przestrze« fazow¡

dla ukªadu dwóch cz¡stek. Na tym rysunku rozwa»amy tylko same poªo»enia cz¡stek - w

ogólno±ci nale»y uwzgl¦dnia¢ p¦dy cz¡stek.

Rysunek 3.48: Ukªadem �zycznym s¡ dwie cz¡stki poruszaj¡ce si¦ po wspólnej prostej. W

danej chwili cz¡stki te mog¡ znajdowa¢ sie w miejscach oznaczonych x1 oraz x2 odpowiednio.

Ka»da mo»liwa kon�guracja poªo»enia obu cz¡stek to mikrostan tego ukªadu. Pomijaj¡c

p¦dy, mikrostan takiego ukªadu opisuje para liczb (x1, x2), okre±laj¡ca poªo»enie punktu

przestrzeni fazowej H. Przestrze« ta posiada dwa wymiary. Je»eli uwzgl¦dnimy p¦dy ka»dej

z cz¡stek: (p1, p2), to przestrze« fazowa b¦dzie czterowymiarowa. Mikrostan b¦dzie wtedy

opisany czwórk¡ liczb: (x1, x2, p1, p2).

Podczas ewolucji ukªadu nast¦puje zazwyczaj ci¡gªa zmiana mikrostanów - zmieniaj¡

si¦ poªo»enia i p¦dy cz¡stek. Spójrz na rysunek 3.49 i jego opis.

Rysunek 3.49: Mikrostanom 1), 2), 3) (po lewej) odpowiadaj¡ punkty 1), 2), 3) (po prawej)

w przestrzeni fazowej H. Ci¡gªej ewolucji ukªadu 1) → 2) → 3) odpowiada ci¡gªa krzywa w

H.

Okre±laj¡c mikrostan ukªadu nale»y poda¢ wektory poªo»e« wszystkich cz¡stek oraz

ich wektory p¦dów. Przykªadowo, poªo»enie i p¦d cz¡stki numer jeden to: (~r1, ~p1) (6 liczb),

· · · , cz¡stki numer N to: (~rN , ~pN) (6 liczb). Uwzgl¦dniaj¡c wszystkie cz¡stki, wektor po-

ªo»enia mikrostanu w przestrzeni fazowej to (~r1, ~r2, · · · , ~rN , ~p1, ~p2, · · · , ~pN) (czyli 6N liczb),

którego skªadowe mo»emy przyj¡¢ za wspóªrz¦dne punktu (mikrostanu) w 6N wymiarowej

przestrzeni fazowej H. Punkt przestrzeni fazowej zawiera informacj¦ o caªym stanie ukªadu!

106


W naszym przykªadzie ziarenek piasku (oraz na rysunku 3.49) pomin¦li±my p¦dy cz¡stek.

Podsumujmy, mikrostanom odpowiadaj¡ punkty w przestrzeni fazowej, za± makrostanom

odpowiadaj¡ pewne obszary (zobacz rysunek 3.50), skªadaj¡ce si¦ z nierozró»nialnych ma-

kroskopowo mikrostanów. Ewolucja ukªadu jest krzyw¡ w przestrzeni H, wyznaczon¡ przez

równania dynamiki i warunki pocz¡tkowe. Powró¢my do naszego pudeªka z piaskiem.

Rysunek 3.50: Mikrostany realizuj¡ce dany makrostan tworz¡ podzbiór przestrzeni fazowej.

Przykªadowo, trzy mikrostany o numerach 1, 2, 3, realizuj¡ce makrostan czarno - biaªy znaj-

duj¡ si¦ w pewnym obszarze Γ przestrzeni fazowej. Takie obszary/podzbiory reprezentuj¡

makrostany - zbiory nierozró»nialnych makroskopowo mikrostanów.

Zauwa»my, »e obszar reprezentuj¡cy makrostan szary jest o wiele wi¦kszy od obszaru

reprezentuj¡cego makrostan czarno - biaªy. Tak jest, dlatego, »e mikrostanów szarych jest

o wiele wi¦cej w stosunku do mikrostanów realizuj¡cych makrostan czarno - biaªy. Obszar

makrostanu szarego ma wi¦ksz¡ obj¦to±¢ od obszaru makrostanu czarno - biaªego. Gdyby-

±my chcieli w sposób losowy wybra¢ jaki± mikrostan - np. wyznaczy¢ punkt w H stawiaj¡c

tam kropk¦ z zamkni¦tymi oczami, to prawdopodobie«stwo tego, »e kropka zostanie po-

stawiona w obszarze makrostanu szarego jest wi¦ksze ni» w obszarze makrostanu czarno -

biaªego. Tak te» zachowuje si¦ Natura. Ukªad d¡»y do osi¡gni¦cia takiego makrostanu,

którego prawdopodobie«stwo jest najwi¦ksze lub równowa»nie - który jest realizowany przez

najwi¦ksz¡ liczb¦ mikrostanów. Jest to w zasadzie tre±¢ II Zasady Termodynamiki. Du»a

liczba mikrostanów kojarzy nam si¦ z nieporz¡dkiem. Przykªadowo, powiemy, »e na naszym

biurku jest porz¡dek, gdy ka»da rzecz na nim le»¡ca jest na swoim wyznaczonym miejscu.

Kon�guracji przedmiotów na naszym biurku, takich jak oªówki, linijki, kartki, mysz, o któ-

rych powiemy »e tworz¡ porz¡dek jest o wiele mniej, ni» tych kon�guracji, które tworz¡

baªagan. Makrostan baªaganu zajmuje w przestrzeni kon�guracji przedmiotów na naszym

biurku diametralnie wi¦ksz¡ obj¦to±¢, ni» makrostan porz¡dku. Oczywi±cie jest tu margines

na subiektywizm w wyznaczeniu granicy pomi¦dzy porz¡dkiem i baªaganem. Niemniej jed-

nak, je»eli nie b¦dziemy my±leli o utrzymywaniu porz¡dku na biurku i wcielali tego w »ycie,

to zawsze na biurku zapanuje baªagan. Ukªad przyjmie makrostan baªaganu. Ukªad d¡»y do

baªaganu. Gdyby±my chcieli okre±li¢ kierunek ewolucji ukªadu byªoby to tak: porz¡dek →

107


baªagan. Krzywa reprezentuj¡ca ewolucj¦ ukªadu zawsze przechodzi do wi¦kszego obszaru

(makrostanu).

Rysunek 3.51: Mikrostanów realizuj¡cych makrostan porz¡dku jest 2. Mikrostanów reali-

zuj¡cych tutaj makrostan baªaganu jest 8. W rzeczywisto±ci jest ich prawie niesko«czenie

wiele, podczas, gdy porz¡dków jest maªo. Zgodnie z rysunkiem, prawdopodobie«stwo »e

ukªad (biurko) znajdzie si¦ w makrostanie porz¡dku wynosi p1 = 0, 2 za± w makrostanie

baªaganu wynosi p2 = 0, 8. Makrostanom porz¡dku i baªaganu odpowiadaj¡ obszary Γ1 i Γ2

przestrzeni fazowej H. Kierunek ewolucji ukªadu to Γ1 → Γ2.

Wyªania nam sie fascynuj¡ca idea, aby za miar¦ uporz¡dkowania danego makrostanu

przyj¡¢: albo liczb¦ mikrostanów realizuj¡cych ten makrostan (N ), albo obj¦to±¢ (V) w

przestrzeni fazowej zajmowan¡ przez dany makrostan5 albo prawdopodobie«stwo (p) znale-

zienia si¦ ukªadu w danym makrostanie. Entropi¦ makrostanu, w którym znajduje si¦ ukªad

�zyczny zde�niujemy w nast¦puj¡cy sposób:

S = k ln p, (3.9)

gdzie ln jest logarytmem o podstawie e. Logarytm zostaª u»yty po to, aby zasad¦ mno»enia

prawdopodobie«stw zamieni¢ na dodawanie entropii - wtedy, je»eli ukªad skªada sie z podu-

kªadów, to entropia ukªadu b¦dzie sum¡ entropii poszczególnych podukªadów. Entropia S

jest wi¦c miar¡ uporz¡dkowania ukªadu! Mo»na te» przyj¡¢ za de�nicj¦ entropii S = k lnNlub S = k lnV . Zazwyczaj interesuje nas zmiana entropii ∆S ukªadu w jakim± procesie, dla-

tego mo»na u»ywa¢ tych równowa»nych sformuªowa« - ka»da formuªa daje t¦ sam¡ warto±¢

zmiany entropii ukªadu i jest okre±lona z dokªadno±ci¡ do staªej dodaj¡cej. Staªa mno»¡ca

k jest staª¡ Boltzmana i wynosi

k = 1, 38 · 10−23 J/K

(D»ula na Kelwin).

5Uwaga, wa»ne! Prosz¦ nie myli¢ obj¦to±ci zajmowanej przez makrostan w przestrzeni fazowej od obj¦to±ci

zajmowanej przez ukªad (np. obj¦to±ci pudªa z gazem albo piaskiem).

108


Prawo wzrostu entropii

Dysponuj¡c poj¦ciem entropii oraz terminologi¡ wprowadzon¡ w poprzedniej podsekcji mo-

»emy sformuªowa¢ jedno z najbardziej fundamentalnych praw �zyki - II Zasad¦ Termodyna-

miki, nazywan¡ tak»e prawem wzrostu entropii. Przypatrzmy si¦ temu prawu. Zakªadamy,

»e ukªad �zyczny jest wyodr¦bniony �zycznie od otoczenia i nie oddziaªuje z niczym z ze-

wn¡trz. Oznacza to, »e ukªad nie wymienia si¦ cz¡stkami z zewn¡trz oraz nie wymienia w

»aden sposób energii. Oczywi±cie taka wymiana cz¡stek i energii zachodzi pomi¦dzy ró»nymi

cz¦±ciami ukªadu, np. je±li ukªadem b¦d¡ dwa ciaªa w kontakcie: zimne i gor¡ce, to dojdzie

pomi¦dzy nimi do wymiany cz¦±ci energii wewn¦trznej. Przypomnijmy, »e ewolucja ukªadu

oznacza ci¡gª¡ zmian¦ mikrostanów. Ta ewolucja jest w peªni opisana deterministycznymi

równaniami dynamiki, tyle, »e dla bardzo du»ej liczby cz¡stek. Podczas ewolucji ukªad mo»e

zmienia¢ si¦ makroskopowo, to znaczy, »e mikrostan w jakim znalazª si¦ ukªad realizuje jaki±

inny ni» uprzednio stan makroskopowy. II Zasada Termodynamiki oznacza, »e ukªad w trak-

cie swojej (deterministycznej!) ewolucji przyjmuje makrostany, które realizowane s¡ przez

coraz wi¦ksz¡ liczb¦ mikrostanów (lub co najmniej t¦ sam¡) - ewoluuje do takich makrosta-

nów, które s¡ bardziej prawdopodobne (lub co najmniej równie prawdopodobne), zajmuj¡

coraz wi¦ksze obszary makrostanów w przestrzeni fazowej (lub takie same). Oznacza to, »e

entropia ukªadu musi stale rosn¡¢ b¡d¹ pozostawa¢ na tym samym poziomie (rysunek 3.52):

∆S ≥ 0.

Je»eli ukªad wci¡» ewoluuje ale jednocze±nie pozostaje w tym samym makrostanie, to

powiemy, »e jest w stanie równowagi termodynamicznej. Je»eli ukªad przechodzi do innego

makrostanu, ale entropia nie wzrasta: ∆S = 0, to powiemy, »e proces przej±cia do tego

makrostanu jest odwracalny. Takie dwa makrostany musz¡ by¢ równie prawdopodobne i

oba s¡ stanami równowagi dla danego ukªadu.

Rysunek 3.52: �cie»ka z punktów reprezentuje ewolucj¦ mikrostanów ukªadu w przestrzeni

fazowej H. Ukªad przechodzi do obszarów (makrostanów) o coraz wi¦kszej obj¦to±ci (wi¦k-

szej entropii) aby w ko«cu pozosta¢ w takim obszarze - stanie równowagi termodynamicznej.

Stany równowagowe to najwi¦ksze z obszarów w przestrzeni fazowej - ukªad mo»e ewoluowa¢

z jednego do drugiego (proces odwracalny).

109


Ugruntujemy wprowadzone poj¦cia na dwóch przykªadach: mieszania si¦ ziarenek pia-

sku oraz rozpr¦»ania si¦ gazu. Rozwa»my pudeªko z piaskiem Aby nie komplikowa¢ rachun-

ków przyjmiemy, »e w naszym pudeªku s¡ tylko dwa ziarenka biaªe i dwa ziarenka czarne.

Zakªadamy rozró»nialno±¢ ziarenek (statystyka Boltzamna), co oznacza, »e maj¡ one swoje

to»samo±ci - np. biaªe nr 1 i biaªe nr 2. Mo»liwe mikrostany takiego ukªadu przedstawia

rysunek 3.53. Ewolucj¦ makrostanów ukªadu prezentuje rysunek 3.54.

Rysunek 3.53: Makrostan biaªo - czarny jest realizowany przez 8 mikrostanów. Makrostan

szary jest realizowany przez 16 mikrostanów.

Rysunek 3.54: Kierunek ewolucji ukªadu (podczas mieszania si¦ ziarenek piasku) jest od

stanu biaªo - czarnego do szarego. Szary jest stanem równowagi.

Obliczymy teraz zmian¦ entropii podczas ewolucji od stanu uporz¡dkowanego (CB) do

szarego (Sz) stanu mieszanego. Zgodnie ze wzorem 3.9, mamy:

S(CB) = k ln8

24, S(Sz) = k ln

16

24.

Zmiana entropii ∆S = S(Sz)− S(CB) wynosi

∆S = k ln16

8= k ln 2 ≈ 10−23 [J/K].

Przedstawiony przykªad sªu»y tylko demonstracji naszego formalizmu. W rzeczywi-

sto±ci nale»y rozpatrywa¢ bardzo du»e ilo±ci cz¡stek, ilo±ci rz¦du 1023. Jednak»e ju» dla 8

cz¡stek - ziarenek w naszym pudeªku mamy:

S(CB) = k ln2 · 4!

8!≈ k ln 0, 0012

110


dla stanu uporz¡dkowanego, za± dla wymieszanego

S(Sz) = k ln8!− 2 · 4!

8!≈ k ln 0, 9988

Przyrost entropii wynosi

∆S = k ln8!− 2 · 4!

8!= k ln 839 ≈ 9, 3 · 10−23 [J/K].

Wzrost entropii w ewolucji od makrostanu CB do makrostanu Sz jest prawie 10 krotnie

wi¦kszy ni» dla ukªadu 4 cz¡stek - ziarenek. Zauwa»my tak»e, »e prawdopodobie«stwo zna-

lezienia si¦ ukªadu w makrostanie CB wynosi 2 · 4!/8! ≈ 0, 0012. Gdybym chciaª wykona¢

rysunek przestrzeni fazowej dla tej sytuacji, podobnie jak wygl¡da rysunek 3.54, to obszar

zajmowany przez makrostan czarno - biaªy musiaªby stanowi¢ 0, 0012 obszaru caªej prze-

strzeni. Jest to bardzo maªo! Znalezienie si¦ ukªadu w takim makrostanie jest niezwykle

maªo prawdopodobne! Wyobra¹my sobie teraz, »e ziarenek jest 1023. Wtedy obszar prze-

strzeni fazowej jest nic nieznacz¡cym okruszkiem. Znalezienie si¦ ukªadu w stanie czarno -

biaªym b¦dzie tak absurdalnie maªo prawdopodobne, »e graniczy z cudem! Dlatego zawsze

widzimy, »e podczas potrz¡sania pudeªkiem z odseparowanym pocz¡tkowo biaªo - czarnym

piaskiem, ziarenka wymieszaj¡ si¦ daj¡c makroskopowe wra»enie koloru szarego. Nigdy na

odwrót! I to jest prawd¡ nawet wtedy, gdy stan mieszany - szary zde�niujmy bardzo restryk-

cyjnie, »¡daj¡c, aby w dowolnie maªym obszarze pudªa znajdowaªo si¦ tyle samo ziarenek

biaªych i czarnych (pominiemy rachunki jako spraw¦ techniczn¡).

Rozwa»my teraz drugi przykªad, jakim b¦dzie rozpr¦»anie si¦ cz¡stek gazu w pudle o

pojemno±ci V . Zaªó»my, »e N = 1023 cz¡stek zajmuje pocz¡tkowo poªow¦ obj¦to±ci pudªa:

V0 = V/2. Proces rozpr¦»ania gazu ilustruje rysunek 3.55.

Rysunek 3.55: Rozpr¦»anie gazu zajmuj¡cego pocz¡tkowo poªow¦ obj¦to±ci pudªa.

Prawdopodobie«stwo tego, »e jedna cz¡stka losowo znajdzie si¦ w V0 wynosi 1/2. Praw-

dopodobie«stwo p1 tego, »e wszystkie N cz¡stek zajmie ten obszar wynosi, uwaga,

p1 =

(1

2

)N=

(1

2

)1023

.

111


Jest to bardzo, bardzo maªo. Obszar w przestrzeni fazowej zajmowany przez taki makrostan

stanowi (12)1023 caªej przestrzeni - nawet jakbym na rysunku przestrzeni fazowej narysowaª

kropk¦, to i tak byªoby to zbyt du»o. Zastanówmy si¦, jakie jest prawdopodobie«stwo, »e

ukªad znajdzie si¦ w stanie 6) (zobacz rysunek 3.55), czyli tego, »e cz¡stki zostan¡ rozªo»one

równomiernie? Oszcz¦dz¦ Czytelnikowi rachunków ze statystyki a jedynie powiem co z tego

wszystkiego wynika. Otó» je»eli zastosujemy do obliczania prawdopodobie«stw tzw. schemat

Bernouliego dla naszego ukªadu i nast¦pnie zastosujemy twierdzenie o wielkich liczbach,

to prawdopodobie«stwo tego, »e poªowa cz¡stek znajdzie si¦ w poªowie obj¦to±ci d¡»y do

jedno±ci dla bardzo du»ych N !

p6 ≈ 1.

Uogólniaj¡c wnioski z twierdze« statystyki matematycznej, prawd¡ jest, i» prawdopodobie«-

stwo tego, »e 1/10 cz¡stek znajdzie si¦ w 1/10 obj¦to±ci pudªa lub 1/100 cz¡stek znajdzie

si¦ w 1/100 obj¦to±ci pudªa - d¡»y do jedno±ci! Wynika st¡d, »e najbardziej prawdopodobny

i niemal pewny jest ten makrostan, w którym rozkªad cz¡stek jest równomierny6. Innymi

sªowami stan równowagowy jest wtedy, gdy g¦sto±¢ gazu jest w caªym obszarze taka sama!

Obliczmy zmian¦ entropii podczas rozpr¦»ania gazu, czyli podczas ewolucji od makrostanu

1) do makrostanu równowagowego 6):

∆S = S6 − S1 = k lnp6

p1

= k ln 21023 ≈ 1 [J/K].

Przyrost entropii jest tutaj stosunkowo du»y. Aby dopeªni¢ nasze rozwa»ania o entropii,

wypadaªoby nawi¡za¢ do termodynamiki. Temperatur¦ T ukªadu de�niuje si¦ jako ±red-

ni¡ energi¦ kinetyczn¡ cz¡stki z dokªadno±ci¡ do pewnego czynnika mno»¡cego (w naszych

rozwa»aniach pominiemy ten czynnik):

T ∼ 〈EK〉 .

Je»eli przykªadowo mamy ukªad 6 cz¡stek o chwilowych energiach kinetycznych 2 J , 4 J ,

6 J , 14 J , 16 J , 18 J to caªkowita energia wewn¦trzna ukªadu wynosi 60 J , za± temperatura

odpowiada ±redniej energii na jedna cz¡stk¦ - 15 J . Na gruncie mechaniki statystycznej do-

wodzi si¦, »e stan równowagowy realizowany jest przez takie mikrostany, w których cz¡stki

obdarowane s¡ praktycznie t¡ sam¡ energi¡ - takich mikrostanów jest najwi¦cej - jest to fakt

matematyczny! Oznacza to, »e makrostan, w którym temperatura caªego ukªadu �zycznego

jest taka sama, jest najbardziej prawdopodobny. Poci¡ga to za sob¡ nast¦puj¡c¡ konse-

kwencj¦: je»eli dwa obszary ukªadu �zycznego posiadaj¡ ró»ne temperatury i s¡ w kontakcie

termicznym, to ta cz¦±¢ ukªadu, w której jest wy»sza temperatura odda cz¦±¢ swojej energii

6Prawdopodobie«stwo tego, »e N0 cz¡stek znajdzie si¦ w cz¦±ci pudªa o obj¦to±ci V0 wynosi(NN0

)(V0/V )N0(1− V0/V )N−N0 i d¡»y do jedno±ci, gdy N jest bardzo du»e i ponadto N0 = (V0/V ) ·N .

112


wewn¦trznej w postaci ciepªa do cz¦±ci ukªadu o ni»szej temperaturze. Spójrzmy na rysunek

3.56. Zaªó»my, »e w makrostanie 1) w lewej cz¦±ci pudªa cz¡stki posiadaj¡ energie: 2 J , 4 J ,

6 J . Temperatura tej cz¦±ci ukªadu jest proporcjonalna do ±redniej energii i wynosi 4 J , za±

energia wewn¦trzna tej cz¦±ci to U1L = 12 J. Niech w prawej cz¦±ci pudªa cz¡stki posiadaj¡

energie 14 J , 16 J 18 J , co odpowiada temperaturze proporcjonalnej do 16 J i energii we-

wn¦trznej 48 J . W makrostanie 2), ze wzgl¦du na zasad¦ zachowania energii, ±rednia energia

cz¡stki (temperatura) wynosi 10 J , za± energia wewn¦trzna ka»dej z cz¦±ci pudªa jest równa

30 J7. Poniewa» makrostan 2) jest realizowany przez wiele wi¦ksz¡ liczb¦ mikrostanów ni»

makrostan 1) to ewolucja ukªadu przebiega 1) → 2). Oznacza to, »e wyrównanie tempera-

tury w ukªadzie nast¡piªo w wyniku przekazania ciepªa Q = 18 J od cz¦±ci prawej do lewej.

Cz¦±¢ prawa straciªa energi¦: 48J − 18J = 30J , za± cz¦±¢ lewa j¡ zyskaªa 12J + 18J = 30J .

Rysunek 3.56: Mikrostanów realizuj¡cych makrostan 1) jest du»o mniej ni» mikrostanów

realizuj¡cych makrostan 2). Ukªad ewoluuje od 1) do 2). Nast¦puje wyrównanie temperatur

w wyniku przekazania ciepªa od cz¦±ci prawej do lewej.

Zanotujmy raz jeszcze, »e wszystko to wynika z prawa wzrostu entropii: entropia S2

makrostanu 2) jest wi¦ksza ni» sumaryczna entropia dwóch cz¦±ci pudªa S1L + S1P makro-

stanu 1). Przekazywanie ciepªa od ciaªa o wy»szej temperaturze do ciaªa o ni»szej temperatu-

rze wynika z prawa wzrostu entropii. Nie b¦dziemy dalej zagª¦bia¢ si¦ w termodynamik¦, ale

skoro jeste±my przy ró»nych sformuªowaniach II Zasady Termodynamiki, to wypada poda¢

jeszcze jedn¡ fundamentaln¡ konsekwencj¦ tego» prawa. Otó» analizuj¡c cykl Carnota dowo-

dzi si¦, »e nie mo»e istnie¢ maszyna wykonuj¡ca prac¦ cyklicznie (czyli wracaj¡ca za ka»dym

razem do stanu pocz¡tkowego), która pobieraªaby ciepªo (czyli energi¦!) zamieniaj¡c je w

prac¦, lecz nie oddawaªaby cz¦±ci swojej energii wewn¦trznej w postaci ciepªa do otoczenia!

Nie istnieje perpetuum mobile II rodzaju! Zauwa»my, »e istnienie takiej maszyny nie ªamie

zasady zachowania energii, tylko prawo wzrostu entropii. Aby±my dobrze rzecz zrozumieli,

7W ogólno±ci energie wewn¦trzne cz¦±ci ukªadu nie musz¡ by¢ sobie równe - zale»y to od liczby cz¡stek

w danej cz¦±ci ukªadu.

113


wa»nym jest zaªo»enie cykliczno±ci pracy maszyny. Zauwa»my, »e w przemianie izotermicz-

nej caªe pobierane ciepªo przez gaz wykorzystane jest na prac¦ podczas jego rozpr¦»ania.

Aby spr¦»y¢ gaz z powrotem (zaªo»enie cykliczno±ci) kosztem ni»szej energii, ni» oddanej

przez gaz podczas rozpr¦»ania, konieczne jest aby gaz oddaª ciepªo do chªodnicy! To prawo

niesie daleko id¡ce konsekwencje. Mo»na stwierdzi¢, »e nie istnieje »adna zorganizowana

struktura w warunkach równowagi termodynamicznej. Nie istniaªaby cywilizacja Ziemian,

gdyby zamiast Sªo«ca, energia byªa dostarczana na Ziemi¦ z ka»dego kierunku w tej samej

ilo±ci i tempie (np. jednorodnie rozsiane na niebie gwiazdy). Pobrana energia w dzie« musi

by¢ oddana chªodnicy - w nocy. Nie mo»na tylko pobiera¢ - aby istnie¢ jako zorganizowana

struktura, nale»y tak»e oddawa¢! Prawo wzrostu entropii jest naprawd¦ fascynuj¡ce.

Entropia, strzaªka czasu

W poprzedniej podsekcji dyskutowali±my prawo wzrostu entropii i jego konsekwencje. W

szczególno±ci wynikaªo z niego, »e rozkªad g¦sto±ci i temperatury gazu i d¡»y do jednorod-

nego, oraz, »e ciepªo przekazywane jest od ciaªa o ni»szej temperaturze do ciaªa o wy»szej

temperaturze. Jest to prawo asymetryczne w czasie. Ogl¡daj¡c na �lmie procesy dziej¡ce si¦

zgodnie z tym prawem, potra�my jednoznacznie stwierdzi¢, czy �lm jest odtwarzany zgodnie

z rzeczywistym przebiegiem procesu, czy od jego ko«ca (czego nie mogli±my stwierdzi¢ ogl¡-

daj¡c np. rzut pionowy). Te prawa s¡ tak blisko zwi¡zane z naszymi intuicjami, »e wydaj¡

si¦ wr¦cz oczywiste. Nikt nie zaobserwowaª, »eby woda w czajniku samoistnie zagotowaªa

si¦, pobieraj¡c ciepªo z metalu czajnika, nikt te» nie zaobserwowaª, »e g¦sto±¢ powietrza w

jednym rogu pokoju robi si¦ coraz wi¦ksza a w innym maleje. Kierunek ewolucji ukªadu

pokrywa si¦ z naszymi odczuciami w zakresie tego co ma si¦ wydarzy¢. W zwi¡zku z tym

mo»emy abstrahowa¢ od ±wiadomo±ci obserwatora (tym bardziej, »e nie znamy praw �zyki

zwi¡zanych z poj¦ciem ±wiadomo±ci) i powi¡za¢ wyznaczony przez prawo wzrostu entropii

kierunek ewolucji ukªadu z kierunkiem przyszªo±ci. Zaznaczam, »e powy»sze jest jedynie

prób¡ zrozumienia rozró»nienia pomi¦dzy orientacj¡ kierunku przyszªo±ci od orientacji kie-

runku przeszªo±ci. Niektórzy powiadaj¡, »e prawo wzrostu entropii musi by¢ konsekwencj¡

jakiego± nieznanego jeszcze prawa natury bardzo fundamentalnej.

Zastanówmy si¦ jednak nad pewn¡ spraw¡. Spójrzmy na rysunek 3.55 i wyobra¹my

sobie, »e do ka»dej cz¡stki dorysujemy strzaªk¦, symbolizuj¡c¡ wektor p¦du. Popatrzmy na

stan 6) i wyobra¹my sobie, »e p¦dy wszystkich cz¡stek odwracamy na dokªadnie przeciwne.

Co si¦ wtedy stanie? Otó» symetria praw dynamiki w czasie powoduje, »e proces przebiega

tak: 6) → 5) → 4) → 3) → 2) → 1). Obserwujemy, »e cz¡stki zaczynaj¡ gromadzi¢ si¦ w

lewej poªowie pudªa. Co stanie si¦ dalej? Otó» cz¡stki zgromadz¡ sie tam na krótk¡ chwil¦,

po czym znowu rozprosz¡ si¦ do stanu równowagowego. II Zasada Termodynamiki nie zo-

114


staªa zªamana. Przyj¦cie przez ukªad akurat takich warunków pocz¡tkowych, aby powróciª

on do stanu, w którym cz¡stki gromadz¡ si¦ w jakim± obszarze jest bardzo maªo prawdopo-

dobne. Dlatego takich zjawisk zazwyczaj nie obserwujemy. Dopuszczaj¡c jednak»e czynniki

zewn¦trzne, mo»na obni»y¢ entropi¦ ukªadu lub cho¢by utrzymywa¢ j¡ na bardzo maªym

poziomie, nie daj¡c mo»liwo±ci ukªadowi do przyj¦cia makrostanu wi¦kszej entropii - no co

ukªad ma olbrzymi¡ ch¦¢ (np. takie mieszanie biaªo - czarnych ziarenek piasku w pudeªku,

aby pozostawaªy one wci¡» odseparowane). Takim przykªadem jest lodówka, której zasada

dziaªania polega na tym, »e ciepªo jest przekazywane od ciaªa zimniejszego do bardziej go-

r¡cego w wyniku dostarczenia energii! Innym przykªadem jest spr¦»anie cz¡stek gazu do

jakiego± wydzielonego obszaru w ukªadzie i utrzymywanie ich tam. To wszystko jest jednak

mo»liwe tylko i wyª¡cznie, gdy do ukªadu dostarczana jest energia. Kolejnym, do±¢ prze-

wrotnym przykªadem jest utrzymywanie biurka (rysunek 3.51) w stanie o niskiej entropii,

czyli w makrostanie porz¡dku. Niedopuszczanie do makrostanu baªaganu wymaga wysiªku

�zycznego - a co najmniej psychicznego! Wymaga od wªa±ciciela biurka ukierunkowanych or-

ganizacyjnie dziaªa«8! Je»eli jednak w tych wszystkich przypadkach rozszerzymy nasz ukªad

do ukªadu zawieraj¡cego dostawc¦ energii - organizatora - to entropia ukªadu zawieraj¡cego

jego samego musi rosn¡¢. Dowodzi si¦ (uwzgl¦dniaj¡c tak»e Teori¦ Grawitacji), »e entropia

caªego Wszech±wiata caªy czas ro±nie i byªa najmniejsza tu» po Wielkim Wybuchu.

Niniejsz¡ dyskusj¦ pragn¡ªbym zako«czy¢ pytaniami natury fundamentalnej, do któ-

rych poszukiwania odpowiedzi zach¦cam Czytelnika i na które wydaje si¦, »e wspóªczesna

�zyka nie znajduje odpowiedzi. Dlaczego nasz wszech±wiat nie znajduje si¦ w stanie rów-

nowagi? Dlaczego obserwujemy wzrost entropii? Powiedzieli±my, »e entropia Wszech±wiata

jako caªo±ci ro±nie i byªa maªa tu» po Wielkim Wybuchu. Dlaczego ewolucja wszech±wiata

rozpocz¦ªa si¦ od maªej entropii zamiast wskoczy¢ z miejsca w stan równowagowy o mo»liwie

najwi¦kszej entropii? Dlaczego Wielki Wybuch (osobliwo±¢ pocz¡tkowa, w której kreowana

jest materia) posiadaª maª¡ entropi¦, za± czarne dziury (osobliwo±ci ko«cowe, w których ma-

teria ginie) posiadaj¡ najwi¦ksz¡ entropi¦. Mo»e dlatego, »e wªa±nie dzi¦ki temu jeste±my i

o to pytamy? Kto, co i dlaczego nadaª tak¡ pocz¡tkow¡ organizacj¦ naszego Wszech±wiata?

Czy mo»na byªoby mówi¢ (gdyby miaª kto o tym rozmawia¢) o upªywie czasu bez II Za-

sady Termodynamiki? Czy samo poj¦cie ±wiadomo±ci wi¡»e si¦ z kierunkiem upªywu czasu

okre±lonym prawem wzrostu entropii? Czy za tym wszystkim nie stoi jakie± nieznane, asy-

metryczne w czasie i fundamentalne prawo �zyki? Zainteresowanych tymi zagadnieniami z

8Autor przyjmuje odwrotna strategi¦ dla swojego biurka - stan porz¡dku de�niuje jako stan równowa-

gowy! Dla autora w zasadzie ka»dy mikrostan biurka realizuje makrostan porz¡dku (przypomnijmy sobie

subiektywizm w wyznaczaniu granic makrostanów). Dlatego maksimum entropii realizuje stan porz¡dku.

Jest to mo»liwe utrzymuj¡c na biurku niewielk¡ liczb¦ przedmiotów; pozostawiaj¡c na biurku jedynie mysz,

klawiatur¦ i monitor, ewentualnie kartk¦ i oªówek.

115


pogranicza �zyki, �lozo�i, biologii, ±wiadomo±ci odsyªam do pozycji Droga do rzeczywisto±ci

Oraz Nowy umysª cesarza Rogera Penrose'a.

116

Rozdziaª 4

Omówienie wybranych zagadnie« w

STW

W tym rozdziale omówimy zagadnienia najcz¦±ciej poruszane w literaturze dotycz¡cej Szcze-

gólnej Teorii Wzgl¦dno±ci. Dotkniemy takich tematów jak: dylatacja czasu, relatywistyczny

efekt Dopplera, dodawanie pr¦dko±ci wzgl¦dnych, skrócenie Lorentza, przeksztaªcenie wspóª-

rz¦dnych (grupa symetrii czasoprzestrzeni). Wszystkie ze wspomnianych zagadnie« zilustru-

jemy zadaniami wraz z podanymi i omówionymi ich rozwi¡zaniami.

117

ROZDZIA� 4. OMÓWIENIE WYBRANYCH ZAGADNIE� W STW Mariusz Mroczek

4.1 Dylatacja czasu i paradoks zegarów

Poj¦cie dylatacji czasu funkcjonuj¡ce w ±wiadomo±ci spoªecznej, cz¦sto bywa opacznie rozu-

miane. Nierzadko staje si¦ ono, dla autorów programów popularno naukowych b¡d¹ takich

publikacji, narz¦dziem wzbudzaj¡cym »ywe zainteresowanie 'gawiedzi' nie tyle sam¡ STW

co danym produktem komercyjnym. W istocie, nie nale»y mie¢ pretensji do odbiorcy, ponie-

wa» powierzchowne omówienie tego zagadnienia rzeczywi±cie intryguje a co gorsze - utrwala

bª¦dne przekonania. Nierzadko zapomina si¦ dodawa¢, zgodnie z Zasad¡ Wzgl¦dno±ci, i»

efekt dylatacji czasu jest caªkowicie symetryczny dla obu inercjalnych obserwatorów, za±

ró»nica wskaza« skonfrontowanych ze sob¡ dwóch zegarów, wynika z tego, »e jeden z nich

musiaª przyspiesza¢ - co, jak zobaczymy mo»na interpretowa¢ jako ci¡gª¡ b¡d¹ skokow¡

zmian¦ ukªadu inercjalnego.

Symetria dylatacji czasu

Niniejszym omówimy zagadnienie dylatacji czasu i zwrócimy uwag¦ na jego symetri¦ w przy-

padku dwóch obserwatorów inercjalnych. Rozwa»amy dwóch obserwatorów inercjalnych.

Jednym z nich b¦d¦ ja (J), za± drugim b¦dzie mój kolega Michaª (M). Ja i Michaª posªugu-

jemy si¦ zgodnymi zegarami wªasnymi; oznacza to, »e mamy ustalon¡ na nich wspóln¡ chwil¦

zero (przy okazji wspólnego zdarzenia A), ponadto, nasze zegary s¡ tak samo wyskalowane.

Ja i Michaª poruszamy si¦ wzgl¦dem siebie ruchem jednostajnym z pr¦dko±ci¡ wzgl¦dn¡ V .

Zaªó»my, »e ka»dy z nas unosi ze sob¡ nieruchome wzgl¦dem niego zegary, które s¡ zsynchro-

nizowane z jego zegarem wªasnym. We¹miemy pod uwag¦ jeden z moich zegarów (ZJ) oraz

jeden z zegarów Michaªa (ZM). Dla uªatwienia ustalimy, »e rozwa»ane zegary umieszczamy

w okre±lonej odlegªo±ci wzgl¦dem odpowiednio ka»dego z nas (mo»emy to ustanowi¢, gdy»

dysponujemy interwaªem czasoprzestrzennym). Spójrz na rysunek 4.1

Rysunek 4.1: Po lewej przedstawione s¡ dwie linie ±wiata - moja (J) i Michaªa (M). Po pra-

wej uwzgl¦dnione zostaªy linie ±wiata podró»uj¡cych z nami zegarów, odpowiednio - mojego

(ZJ) i Michaªa (ZM).

118

4.1. DYLATACJA CZASU I PARADOKS ZEGARÓW

Jako proste ¢wiczenie potraktujmy analiz¦ prawej cz¦±ci rysunku 4.1. Z mojego punktu

widzenia podró»uj¡cy Michaª mija mój zegar wªasny J , nast¦pnie mija mój zegar ZJ , od-

powiednio przy okazji zdarze« A i B. Z punktu widzenia Michaªa to dwa moje zegary: J

i ZJ mijaj¡ jego przy okazji zdarze« A i B. Mo»na rozwa»a¢ symetryczn¡ sytuacj¦ - moj¡

podró» wzgl¦dem zegarów Michaªa, podczas której mijam jego zegar wªasny M , nast¦pnie

jego zegar ZM przy okazji zdarze« A i C. Z mojego punktu widzenia za±, to jakie± dwa

zegary Michaªa M i ZM , mijaj¡ mnie przy okazji zdarze« A i C. Spójrzmy na rysunek 4.2.

Rysunek 4.2: Lewa cz¦±¢ ilustracji: Michaª mija dwa moje zegary - J i ZJ . Czas wªasny jaki

upªyn¡ª Michaªowi pomi¦dzy tymi zdarzeniami to ∆τ ′. Prawa cz¦±¢ ilustracji: Ja (J) mijam

dwa zegary Michaªa - najpierw M , potem ZM . Czas wªasny jaki upªyn¡ª mi pomi¦dzy tymi

zdarzeniami to ∆τ .

Jako pierwsz¡ przeanalizujemy sytuacj¦ z lewej cz¦±ci rysunku 4.2, w której Michaª

(jego zegar wªasny M) mija mój zegar wªasny J , nast¦pnie mija zegar ZJ (wzgl¦dnie - J

i ZJ kolejno mijaj¡ M). Porównamy wskazania zegara wªasnego M z par¡ moich J i ZJ

przy okazji zdarze« A i B. Zastosujemy oznaczenia z lewej cz¦±ci rysunku 4.2. Zgodnie z

nimi, zdarzenia A i B nale»¡ do historii wªasnej Michaªa (dziej¡ si¦ tam, gdzie jest Michaª),

ponadto na zegarze wªasnymMichaªa upªyn¦ªo mi¦dzy tymi zdarzeniami ∆τ ′ czasu wªasnego.

Z kolei ró»nica wskaza« moich dwóch zegarów (wªasnego J i zsynchronizowanego z nim ZJ)

przy okazji zdarze« A i B to ∆t, za± odlegªo±¢ pomi¦dzy nimi to ∆x. Wspóªrz¦dne zdarze«

w ukªadzie Michaªa, oraz wskazania jego zegara wªasnego b¦dziemy oznaczali primem -

przypomnijmy, i» w takim wypadku ró»nice wspóªrz¦dnych pomi¦dzy zdarzeniami A i B

w ukªadzie Michaªa to ∆t′ = ∆τ ′ oraz ∆x′ = 0. Zastosujemy rezultaty otrzymane w

poprzednim rozdziale. Stosuj¡c dla omawianego przypadku twierdzenie (por. tw. 3.2.1)

o interwale czasoprzestrzennym pomi¦dzy A i B, obliczonym w obu ukªadach odniesienia,

otrzymujemy znany wzór

(∆τ ′)2 = (∆t)2 −(

∆x

c

)2

,

który to wzór sprowadza si¦ ponadto do wniosku z twierdzenia o czasie wªasnym (por. tw.

119


3.1.1). Powy»sze cz¦sto zapisuje si¦ w postaci

∆τ ′ =

√1−

(V

c

)2

·∆t, (4.1)

przy czym V = ∆x/∆t, ponadto V < c co zapewnia, »e wyra»enie pod pierwiastkiem nie

jest ujemne. Ta posta¢ wzoru na czas wªasny nazywana jest wzorem na dylatacj¦ czasu. Za-

zwyczaj wyra»enie 1√1−V 2/c2

nazywane jest wspóªczynnikiem Lorentza i oznaczane γ. Wzór

na dylatacj¦ przyjmuje posta¢

∆τ ′ =1

γ·∆t. (4.2)

Zanotujmy, »e autor przyjmuje jednoznaczn¡ konwencj¦, w której czas wªasny jaki

upªywa pomi¦dzy zdarzeniami z historii danego zegara oznacza zawsze ∆τ - primowanie

b¦dzie graªo rol¦ jedynie rozró»niaj¡c¡ obserwatorów. Czytelnik nie powinien zapami¦tywa¢

powy»szego wzoru w sposób - gdzie jest prim - tylko - gdzie jest ∆τ . Wró¢my do naszego

przykªadu. Czas wªasny jaki upªyn¡ª Michaªowi pomi¦dzy A i B to ∆τ ′, za± ró»nica wskaza«

dwóch moich zegarów wymijaj¡cych si¦ z Michaªem to ∆t. Zauwa»my, i» zgodnie ze wzorem

4.2 zachodzi

∆τ ′ < ∆t.

Nierówno±¢ ta oznacza, »e pomi¦dzy zdarzeniami A i B (które Michaª miaª w swojej historii)

na zegarze wªasnym Michaªa (i ka»dym zsynchronizowanym z nim) upªyn¦ªo mniej czasu ni»

w moim ukªadzie odniesienia (i ka»dym innym podró»uj¡cym wzgl¦dem Michaªa). Zegar

Michaªa w stosunku do moich opó¹nia si¦. Przypomnijmy, »e wskazania zegarów: Michaªa

(M) i mojego (J), przy okazji wspólnego zdarzenia A byªy identyczne i wynosiªy zero. Mi-

chaª ze zdumieniem stwierdzi mijaj¡c mój zegar ZJ , »e wskazanie tego zegara ma warto±¢

∆t podczas gdy wskazanie jego wªasnego zegara ma warto±¢ ∆τ ′ i jest wcze±niejsze. Pod-

czas mijania przez Michaªa wszystkich moich zegarów (wzgl¦dnie - gdy moje zegary mijaj¡

Michaªa), Michaª porównuje ich wskazania ze swoim zegarem wªasnym i twierdzi, »e jego

zegar wªasny jest opó¹niony w stosunku do moich zegarów o czynnik 1/γ. Do tych samych

wniosków dochodz¦ ja, gdy porównuj¦ wskazania jednego zegara Michaªa do wskaza« moich

zegarów, które wªa±nie wymija. To mo»e prowadzi¢ do pozornej konkluzji, »e w ukªadzie

odniesienia Michaªa czas pªynie wolniej. Do takich wniosków dochodzimy, konfrontuj¡c ze

sob¡ wskazania jednego zegara wªasnego M ze wskazaniem dwóch moich zegarów J i ZJ

przy okazji, gdyM je wymija. Analogiczne, symetryczne atrakcje obserwuje si¦, porównuj¡c

wskazania dwóch zegarów Michaªa M i ZM z jednym moim J , który wymija je przy oka-

zji zdarze« A i C. Zobaczmy wi¦c, jak to wygl¡da z 'drugiej strony'. Spójrzmy znowu na

rysunek 4.1 a nast¦pnie przeanalizujmy praw¡ cz¦±¢ rysunku 4.2. Tym razem to ja mijam

(wzgl¦dnie - mnie mijaj¡) najpierw zegar wªasny Michaªa M , nast¦pnie jego zegar ZM przy

120


okazji zdarze« A i C. Czas jaki upªyn¡ª na moim zegarze wªasnym pomi¦dzy tymi zdarze-

niami to ∆τ . Ró»nice wspóªrz¦dnych jakie mierzy Michaª pomi¦dzy tymi zdarzeniami to ∆t′

oraz ∆x′. Zgodnie z caªym naszym arsenaªem: twierdzeniem o interwale (por. tw. 3.2.1) i

w szczególno±ci z twierdzeniem o czasie wªasnym (por. tw. 3.1.1) obliczonym dla zdarze« A

i C w obu ukªadach, otrzymujemy, »e

(∆τ)2 = (∆t′)2 −(

∆x′

c

)2

,

czyli

∆τ =

√1−

(V

c

)2

·∆t′, (4.3)

a zatem

∆τ =1

γ·∆t′. (4.4)

Tym razem zachodzi nierówno±¢

∆τ < ∆t′,

która z kolei nakazuje mnie dziwowa¢ si¦, jakoby wskazanie mojego zegara przy okazji C byªo

wcze±niejsze ni» wskazanie zegara Michaªa przy okazji tego zdarzenia. Tym razem pozorn¡

konkluzj¡ mo»e by¢ stwierdzenie, jakoby w moim ukªadzie odniesienia czas pªyn¡ª wolniej.

Tak te» stwierdzi Michaª, gdy b¦dzie porównywaª wskazania jakiego± jednego mojego zegara

do wskaza« swoich zegarów. Prosz¦ zauwa»y¢, »e gdy Michaª porównuje wskazania swojego

jednego zegara z moimi - konkluzja jest wr¦cz odwrotna.

Symetria dylatacji Cz¦sto powiada si¦ lapidarnie, »e zegary w ruchu chodz¡ wolniej. S¡

to zapewne skróty my±lowe ich autorów, jednak»e dla osób stykaj¡cych si¦ po raz pierwszy

z STW takie twierdzenia, bez wyja±nienia co autor ma na my±li, s¡ dydaktycznie szkodliwe,

za± rozumiane w uj¦ciu dosªownym - podwa»aj¡ Zasad¦ Wzgl¦dno±ci.

Twierdzenie, »e zegary w ruchu chodz¡ wolniej, w przypadku gdy obaj obserwatorzy

pozostaj¡ inercjalni, nie posiada »adnego sensu. Jest to po prostu zdanie bez sensu, wy-

woªuj¡ce wra»enie, jakoby ruch jakich± zegarów byª wyró»niony. Mówienie, »e zegary w

ruchu chodz¡ wolniej przeczy Zasadzie Wzgl¦dno±ci i bezwzgl¦dnie nale»y tak¡ nomenkla-

tur¦ zrewidowa¢. Po pierwsze pokazane zostaªo, »e zarówno ja jak i Michaª obserwujemy,

»e nasze zegary wªasne chodz¡ wolniej od tych, które wymijamy, je»eli porównamy wskaza-

nia zegarów wªasnych ze wskazaniami zegarów, które wªa±nie wymijamy (wzgl¦dnie - które

nas wymijaj¡)! Z drugiej strony, je»eli którykolwiek z nas b¦dzie porównywaª wskazania jed-

nego zegara swojego kolegi, wzgl¦dem swoich zsynchronizowanych zegarów, które ów wymija,

to oka»e si¦, »e zegar kolegi opó¹nia si¦ wzgl¦dem naszych. S¡ to caªkowicie symetryczne

stwierdzenia. Ponadto twierdz¦ to ja i twierdzi to Michaª! Nikt z nas nie jest jakkolwiek

121


wyró»niony i nie mo»e absolutnie powiedzie¢, który z nas (wraz ze swoimi zegarami) jest w

ruchu. Obaj z Michaªem jeste±my w ruchu wzgl¦dnym. Po drugie zauwa»my, i» u»ywamy

bezpiecznego sformuªowania - wymijaj¡ce si¦ zegary. Zgodnie z Zasad¡ Wzgl¦dno±ci mo»emy

przyj¡¢ stanowisko, »e zegar wªasny jednego z nas podró»uje wzgl¦dem zsynchronizowanych

zegarów tego drugiego mijaj¡c je, b¡d¹ to zegary tego drugiego podró»uj¡ w ukªadzie od-

niesienia jednego z nas, mijaj¡c jego zegar wªasny. Nie ma to »adnego wpªywu na akty

rejestracji wskaza« wszystkich rozwa»anych zegarów przy okazjach zdarze« ich mijania si¦.

Po»¡danym byªoby uwolni¢ si¦ od komplikuj¡cych spraw¦ rozwa»a« z pozycji jakiego± ukªadu

odniesienia. Nasze podej±cie do zagadnienia b¦dzie geometryczne i abstrahuj¡ce od wyboru

ukªadu wspóªrz¦dnych. W takim kontek±cie wskazane jest, aby o dylatacji czasu w przy-

padku gdy obaj obserwatorzy pozostaj¡ inercjalni, wypowiada¢ si¦ sªowami, w których nie

okre±la si¦, który z zegarów jest w ruchu:

Ró»nica wskaza« zegara O′ przy okazji dwóch dowolnych zdarze« A i B, które posiada on w

swojej historii, jest mniejsza ni» ró»nica wskaza« dwóch wymijaj¡cych si¦ z nim przy

okazjach tych zdarze«, zsynchronizowanych zegarów O1 i O2 (zobacz rysunek 4.3).

Rysunek 4.3: Dylatacja czasu: ∆τ = ∆t/γ, czyli ∆τ < ∆t. Uwaga - nie nale»y porównywa¢

dªugo±ci odcinków na rysunku w euklidesowym sensie.

To sformuªowanie jest dokonane w duchu Zasady Wzgl¦dno±ci i nie prowadzi do niepo-

rozumie«. W nast¦pnej podsekcji rozwa»ymy sytuacj¦, gdy jeden z obserwatorów przestaje

by¢ inercjalnym. Symetria pomi¦dzy obserwatorami zostanie zªamana.

122


Paradadoks zegarów

W poprzedniej podsekcji dyskutowali±my zjawisko dylatacji czasu dla dwóch obserwatorów

inercjalnych, pozostaj¡cych w jednostajnym ruchu wzgl¦dnym. To zagadnienie byªo syme-

tryczne. Ka»dy z obserwatorów równoprawnie twierdziª, »e wymijane wªa±nie zegary kolegi

chodz¡ szybciej w porównaniu z jego jednym zegarem wªasnym; ka»dy twierdziª równie»,

»e wybrany jeden zegar kolegi opó¹nia si¦ w stosunku do wymijanych jego zegarów. Ta

pozorna sprzeczno±¢ wynika z wzgl¦dno±ci równoczesno±ci. Do momentu, gdy obaj obserwa-

torzy pozostaj¡ w jednostajnym ruchu wzgl¦dnym, nie mówimy o tym, w którym ukªadzie

odniesienia czas pªynie szybciej lub wolniej - nie istnieje absolutne porównanie wskaza« tych

zegarów.

W przyrodzie istniej¡ jednak sytuacje, w których bezsprzecznie wyró»nia si¦ ukªad,

gdzie czas pªynie wolniej. Oto kilka niepodwa»alnych i sprawdzonych eksperymentalnie przy-

kªadów. Rozp¦dzane do du»ych pr¦dko±ci cz¡stki posiadaj¡ dªu»szy czas »ycia (do momentu

ich rozpadu) ni» pozostaj¡ce w ukªadzie spoczynkowym. Oznacza to, »e zegary laboratorium

chodz¡ szybciej ni» zegar wªasny przyspieszanej cz¡stki i podczas, gdy na zegarze wªasnym

cz¡stki upªynie jej teoretyczny czas »ycia (do rozpadu) to w laboratorium zegary wska»¡

na to, i» upªyn¦ªo wi¦cej czasu. Zegary atomowe samolotów do±wiadczalnych, lataj¡cych

dookoªa Ziemi, miaªy wskazania pó¹niejsze (o nanosekundy), gdy po wyl¡dowaniu porów-

nano je z zegarami ziemskimi. Powszechnym jest tak»e fakt, »e sondy kosmiczne i systemy

GPS musz¡ bra¢ pod uwag¦ poprawki zwi¡zane z Teori¡ Wzgl¦dno±ci. We wszystkich tych

przykªadach wiemy, w których ukªadach odniesienia czas pªynie wolniej. We wszystkich

tych przykªadach wyst¦puje tak»e co±, o czym do tej pory nie mówili±my - przyspieszenie,

czyli zmiana wektora pr¦dko±ci w czasie. W ukªadzie odniesienia, który poddany zostaje

przyspieszeniu, obserwuje si¦, »e czas pªynie wolniej.

Rozwa»my prosty przykªad takiej jednoznacznej konfrontacji dwóch zegarów, w wy-

niku której zostanie stwierdzone, który z zegarów doznaª opó¹nienia. Aby skonfrontowa¢

wskazania zegarów za»¡damy, aby jeden z dwóch zegarów poruszaj¡cych si¦ pocz¡tkowo ru-

chem jednostajnym zawróciª w stron¦ drugiego. Konfrontacja wskaza« nast¡pi przy okazji

zdarzenia ponownego wymini¦cia si¦ zegarów. Zobrazujemy to w nast¦puj¡cym przykªadzie.

Przypomnijmy sobie przykªad z poprzedniej podsekcji. Ja i Michaª poruszamy si¦ wzgl¦dem

siebie ruchem jednostajnym z pr¦dko±ci¡ V . Zanotujmy, »e przy okazji wspólnego zdarze-

nia mijania si¦ (A) ustawili±my nasze zgodne zegary na chwil¦ zero1. To, co obserwujemy

obaj podczas naszego wzgl¦dnego ruchu jednostajnego, byªo ju» przedmiotem naszych roz-

wa»a«. Michaª obserwuj¡c wskazania wymijanych moich zegarów zauwa»a, »e chodz¡ one

1W literaturze podaje si¦ przykªad, »e jeden z dwóch bli¹niaków wyrusza z Ziemi w podró» kosmiczn¡.

Aby ustrzec si¦ dyskusji zwi¡zanej z efektem przyspieszania podczas startu, w naszym przykªadzie mówimy

o ustaleniu wskaza« zegarów przy okazji wspólnego zdarzenia mini¦cia si¦.

123


szybciej w porównaniu do jego jednego zegara wªasnego (jeden zegar Michaªa w porówna-

niu z dwoma moimi, przy okazji ich mijania, chodzi wolniej!). Michaªa jednak nie interesuj¡

wskazania moich zegarów, które on wymija. On porównuje wskazania mojego jednego zegara

przy okazjach, gdy wymija si¦ on z jego zegarami - wg takiego porównania, to mój zegar

chodzi wolniej (zobacz raz jeszcze rysunek 4.2). Do analogicznych wniosków dochodz¦ ja.

Pomi¦dzy mn¡ i Michaªem, podczas wzgl¦dnego ruchu jednostajnego, panowaªa symetria po-

dyktowana Zasad¡ Wzgl¦dno±ci. W pewnym momencie Michaª postanowiª zawróci¢ w moja

stron¦. Zaªó»my w celu idealizacji rozwa»a«, »e Michaª zrobiª to bardzo gwaªtownie - wr¦cz

natychmiastowo. W jednej chwili zmieniª pr¦dko±¢ z V na −V , lecz jakim± cudem prze»yª

to olbrzymie przeci¡»enie (w dalszej dyskusji pozwolimy Michaªowi na ªagodne zawracanie).

Odªó»my na kilka wersów dalej dyskusj¦ o tym, co dziaªo si¦ w czasie, gdy Michaª zawra-

caª do mnie a zobaczmy, co staªo si¦ potem. Otó» gdy Michaª powracaª do mnie ruchem

jednostajnym, pomi¦dzy nami znowu panowaªa symetria. Tym bardziej zastanawia pytanie

o wynik konfrontacji wskaza« naszych obu zegarów, gdy b¦dziemy si¦ znowu mijali. Na

pocz¡tek dokonajmy czysto geometrycznej analizy, posªuguj¡c si¦ twierdzeniem o interwale,

b¡d¹ to twierdzeniem o czasie wªasnym. Ze wzgl¦du na to, »e warto±¢ naszych pr¦dko±ci

wzgl¦dnych w trakcie oddalania si¦ i zbli»ania byªa taka sama, rejestrowane czasy ruchu w

t¦ i z powrotem s¡ dla ka»dego z nas (osobno) takie same. Sytuacj¦ ilustruje rysunek 4.4,

lini¦ ±wiata powracaj¡cego Michaªa oznaczamy M ′.

Rysunek 4.4: Zdarzenie A - Michaª i ja mijamy si¦, zdarzenie B - Michaª zawraca do mnie,

zdarzenie C - mijamy si¦ ponownie i konfrontujemy wskazania zegarów. Dla uªatwienia

przyjmujemy, »e Michaª oddala si¦ i zbli»a z t¡ sam¡ warto±ci¡ pr¦dko±ci.

Przypomnijmy, »e czas wªasny jaki upªywa na zegarze pomi¦dzy zdarzeniami z jego

historii jest interwaªem czasoprzestrzennym pomi¦dzy tymi zdarzeniami. Czas wªasny jaki

upªyn¡ª na moim zegarze J od zdarzenia A do C to czasoprzestrzenna dªugo±¢ tego odcinka:

∆τAC = ∆sAC ,

124


która ponadto wynosi

∆τAC = 2∆τ.

Z kolei czas wªasny jaki upªywa Michaªowi podczas podró»y, to czasoprzestrzenna dªugo±¢

ªamanej ABC:

∆τ ′ABC = ∆sAB + ∆sBC ,

która w tym przypadku wynosi

∆τ ′ABC = 2∆τ ′.

Czas wªasny ∆τ ′ upªywaj¡cy na zegarze M pomi¦dzy zdarzeniami A i B zwi¡zany jest z ∆τ

wzorem na dylatacj¦ (zobacz rysunek 4.3), zatem

∆τ ′ =

√1−

(V

c

)2

·∆τ.

To ostatecznie prowadzi do wniosku, »e

∆τ ′ABC =

√1−

(V

c

)2

·∆τAC .

Zadziwiaj¡ca konklukzja! Okazuje sie, »e

∆τ ′ABC < ∆τAC (4.5)

co oznacza, i» na zegarze Michaªa M upªyn¦ªo mniej czasu ni» na moim zegarze J . To rze-

czywi±cie okazaªo si¦ podczas jednoznacznej konfrontacji obu zegarów przy okazji zdarzenia

C. Nierówno±¢ 4.5 dowodzi pewnej zdumiewaj¡cej wªasno±ci geometrii czasoprzestrzenni,

wªasno±ci caªkowicie odbiegaj¡cej od naszych euklidesowych intuicji. Do tego jednak po-

wrócimy w nast¦pnej podsekcji. Podsumowuj¡c nasze rozwa»anie stwierdzamy, »e Michaª

do±wiadczyª krótszego upªywu czasu ni» ja. Tym bardziej krótszego, im wi¦ksza byªa na-

sza pr¦dko±¢ wzgl¦dna. Zakªadaj¡c pr¦dko±¢ wzgl¦dn¡ blisk¡ pr¦dko±ci ±wiatªa, mnie mogªo

upªyn¡¢ kilkadziesi¡t lat, podczas gdy Michaªowi kilka dni. Zaznaczmy jednak, »e Michaª

nie do±wiadcza w swoim ukªadzie spowolnienia czasu - przekonuje si¦ o tym dopiero podczas

konfrontacji ze mn¡. Michaª, podczas swojej podró»y, raczej nie obserwuje u siebie wolniej

bij¡cego serca, lub wolniej lataj¡cej muchy w kabinie jego rakiety, czy jakiego± spowolnie-

nia dziaªania komputera. Jako zagadnienie otwarte dla �zyków, biologów, psychologów i

�lozofów pozostawiam, co dzieje si¦ w ukªadzie Michaªa podczas zawracania, czyli podczas

hamowania i przyspieszania.

Przedstawili±my czysto geometryczn¡ argumentacj¦, zgodn¡ i spójn¡ z tym wszystkim,

czego do tej pory nauczyli±my si¦ - w szczególno±ci wykorzystali±my w zasadzie i tylko

twierdzenie o interwale czasoprzestrzennym i jego interpretacj¦ dla czasowych linii ±wiata.

125


W sensie formalnym i geometrycznym, sprawa wydaje si¦ by¢ zaªatwiona. Wiem jednak, »e

geometryczny obrazek mo»e nie zadowala¢ w peªni Czytelnika, który zadaje pytanie o to,

jaka �zyka kryje sie za tym zadziwiaj¡cym zjawiskiem skrócenia czasu dla przyspieszaj¡cych

obserwatorów? Niniejszym postaram si¦ odpowiedzie¢ i na to pytanie.

Rozwa»my ruch Michaªa do chwili zawrócenia (zdarzenia B). Otó» obserwuje on moje

zegary, które wymija i które chodz¡ szybciej od jego zegara. Michaª jednak nie bierze ich

wskaza« pod uwag¦. On woli porównywa¢ wskazanie mojego jednego zegara J , ze wskaza-

niami jego zegarów, które ów wymija. Tak wi¦c, tu» przed zawróceniem Michaªa interesuje

mój zegar J i jego wskazanie przy okazji zdarzenia E, równoczesnego dla Michaªa z B.

Spójrzmy na rysunek 4.5.

Rysunek 4.5: Tu» przed zawróceniem - za zdarzenie równoczesne z B Michaª uznaje zdarzenie

E, podczas, gdy ja uznaj¦ zdarzenie D.

Rysunek 4.6: Tu» po zawróceniu - za zdarzenie równoczesne z B Michaª' uznaje zdarzenie

F , podczas, gdy ja uznaj¦ zdarzenie D. Michaª' jest ju» w innym inercjalnym ukªadzie

odniesienia (M ′) ni» byª do tej pory.

W chwili tu» przed zawróceniem w moj¡ stron¦, za równoczesne zdarzenie z B, Michaª

uznaje wskazanie mojego zegara (J) przy okazji zdarzenia E. Michaª twierdzi, »e na moim

zegarze upªyn¦ªo ∆τAE czasu wªasnego, podczas, gdy ró»nica wskaza« (dla A i E) jego

126


zsynchronizowanych zegarów wynosi ∆τ ′. W zwi¡zku z tym, zgodnie ze wzorem

∆τAE =

√1−

(V

c

)2

·∆τ ′

zachodzi ∆τAE < ∆τ ′, co oznacza, »e to mój zegar opó¹nia si¦ wzgl¦dem zegarów Michaªa.

Jest to zgodne z omawian¡ poprzednio symetri¡ dylatacji czasu. Tak wi¦c tymczasem, Michaª

obserwuje co± wr¦cz przeciwnego - to mój zegar J opó¹nia si¦ i chodzi wolniej. Podobn¡

argumentacj¦ przeprowadzimy, gdy Michaª b¦dzie powracaª - mój zegar wci¡» b¦dzie chodziª

wolniej w porównaniu do zegarów Michaªa. Jak to wi¦c mo»liwe, »e podczas konfrontacji

przy okazji wspólnego zdarzenia C, to zegar Michaªa oka»e si¦ by¢ opó¹nionym? Otó» nale»y

przyjrze¢ si¦ temu, co dzieje si¦ podczas manewru zawracania. Tu» po nim, Michaª znajduje

si¦ w caªkiem innym ukªadzie odniesienia (linia ±wiata M ′). Oznaczmy nowego Michaªa

jako Michaª'. Spójrzmy na rysunek 4.6. Tu» po manewrze zawracania, Michaª' uznaje

za równoczesne ze zdarzeniem B wskazanie mojego zegara (J) przy okazji zdarzenia E.

Podczas zawracania, równoczesno±¢ Michaªa ze zdarzeniem B, dokonaªa natychmiastowego

skoku od zdarzenia E do F dziej¡cych si¦ na moim zegarze. Dzieje si¦ tak dlatego, »e Michaª

natychmiast zmienia ukªad odniesienia z M na M ′, za± w nowym ukªadzie równoczesno±¢

jest ju» inna. Mo»emy teraz poª¡czy¢ rysunki 4.5 oraz 4.6, aby spojrze¢ na caª¡ zaistniaª¡

sytuacj¦, któr¡ ilustruje lewa cz¦±¢ rysunku 4.7.

Rysunek 4.7: Po lewej - podczas bardzo gwaªtownego zawracania równoczesno±¢ Michaªa

dokonuje skoku. Po prawej - manewr zawracania jest wykonywany ªagodnie.

Tu» przed zawróceniem Michaª uwa»aª za równoczesne ze zdarzeniem B zdarzenie E,

za± w chwil¦ po wykonaniu manewru - za równoczesne z B uwa»aª ju» F ! Zanotujmy, »e

upªyw czasu od zdarzenia E do F na moim zegarze jest znacz¡cy. Na mojej linii ±wiata jest

to spory odcinek EF , podczas gdy dla Michaªa jest to czas manewru zawracania. Michaª

w zasadzie natychmiast przenosi swoj¡ równoczesno±¢ ze zdarzenia E na F . Mo»na by rzec

- zawracaniem dokonuje skoku w moja przyszªo±¢. Przyj¦li±my dla wygody rachunków czas

127


manewru jako niesko«czenie krótki, jednak nawet, gdyby±my pozwolili na ªagodniejszy ma-

newr zawracania, czyli dªu»szy czas jego trwania, to rozwa»ania jako±ciowe nie zmieniaj¡ si¦.

Akt przyspieszania jest niejako dla Michaªa skokiem w moj¡ przyszªo±¢. To przyspieszenie

- zmiana wektora pr¦dko±ci - decyduje o wyró»nieniu ukªadu, w którym zachodzi zjawisko

dylatacji czasu. Zako«czmy t¦ podsekcj¦ stwierdzeniem, »e przyspieszaj¡ce zegary chodz¡

wolniej.

128


Nierówno±¢ trójk¡ta w czasoprzestrzeni - najkrótsza droga nie jest

prosta!

Przyjrzymy si¦ teraz zadziwiaj¡cej wªasno±ci geometrycznej czasoprzestrzeni, o której zostaªo

zasygnalizowane w dyskusji paradoksu zegarów. Spójrzmy raz jeszcze na rysunek 4.4 oraz

nierówno±¢ 4.5 - wynika z nich, »e czasoprzestrzenna dªugo±¢ ªamanej ABC jest krótsza

od czasoprzestrzennej dªugo±ci odcinka ª¡cz¡cego AC! Poniewa» sprawa jest intryguj¡ca,

przeprowadzimy ogólny dowód tej wªasno±ci. Spójrzmy na rysunek 4.8, na którym mamy

trójk¡t w czasoprzestrzeni. Niech odcinek AC b¦dzie jakim± odcinkiem wzdªu» linii ±wiata

pewnego obserwatora, z którym zwi¡»emy wspóªrz¦dne (t, x). Odcinki AC, AB, BC s¡

czasopodobne.

Rysunek 4.8: Trójk¡t w czasoprzestrzeni.

Zgodnie z oznaczeniami na rysunku i de�nicj¡ interwaªu, mo»na wypisa¢ relacje:

∆sAC = ∆sAD + ∆sDC ,

(∆sAD)2 = (∆tAD)2,

(∆sDC)2 = (∆tDC)2,

(∆sAB)2 = (∆tAD)2 −(

∆x

c

)2

,

(∆sBC)2 = (∆tDC)2 −(

∆x

c

)2

,

(4.6)

z których wynika, »e

∆sAB < ∆sAD,

∆sBC < ∆sDC ,

(4.7)

129


co po dodaniu obu wierszów dowodzi nierówno±ci

∆sAB + ∆sBC < ∆sAC . (4.8)

Suma dªugo±ci dwóch boków trójk¡ta w czasoprzestrzeni, zbudowanego z odcinków czasopo-

dobnych, jest mniejsza od dªugo±ci trzeciego boku! Jest to twierdzenie przeciwne do tego,

które jest nam znane z geometrii euklidesowej. Spójrzmy bowiem na rysunek 4.9.

Rysunek 4.9: Po lewej - nierówno±¢ trójk¡ta w czasoprzestrzeni. Po prawej - nierówno±¢

trójk¡ta w przestrzeni euklidesowej.

Nierówno±¢ trójk¡ta w czasoprzestrzeni ma prost¡ interpretacj¦ �zyczn¡. Suma czaso-

wych interwaªów ∆sAB+∆sBC to dªugo±¢ ªamanej ABC, co zgodnie z interpretacj¡ interwaªu

dla odcinków czasopodobnych jest czasem wªasnym upªywaj¡cym obserwatorowi podró»u-

j¡cemu po ªamanej linii ±wiata ABC (podró»uje on do B i z powrotem). Czas upªywaj¡cy

obserwatorowi podró»uj¡cemu po ABC jest krótszy (!) od czasu upªywaj¡cego obserwato-

rowi podró»uj¡cemu wzdªu» prostego odcinka AC. Odcinek prostej, ª¡cz¡cy dwa punkty

w czasoprzestrzeni jest najdªu»szy! Dowodzi si¦, i» jest on najdªu»szy nie tylko spo±ród

krzywych ªamanych dwuodcinkowych ª¡cz¡cych A z C (np. ABC), ale i spo±ród ªamanych

trzyodcinkowych (np. AMNC), ..., n-odcinkowych (zbudowanych z odcinków czasowych) a

nawet krzywych gªadkich (do których linia styczna w ka»dym punkcie jest czasowa).

Rysunek 4.10: Odcinek AC w czasoprzestrzeni ma najwi¦ksz¡ dªugo±¢ spo±ród wszystkich

mo»liwych krzywych ª¡cz¡cych A z C. Tak, najwi¦ksz¡!

Ta niewiarygodnie dziwna geometryczna wªasno±¢ mówi, »e ciaªa swobodne osi¡gaj¡

zdarzenia wzdªu» najdªu»szych (!) linii. Przyzwyczajeni do przestrzeni euklidesowej wiemy,

130


»e najkrótsza krzywa ª¡cz¡ca dwa punkty pªaszczyzny jest prostym odcinkiem - w czasoprze-

strzeni taki prosty odcinek czasowy ª¡cz¡cy dwa zdarzenia b¦dzie najdªu»szy spo±ród innych

krzywych lokalnie czasowych ª¡cz¡cych te zdarzenia. Na zegarze ciaªa swobodnego osi¡ga-

j¡cego dwa zdarzenia upªynie najwi¦cej czasu, w porównaniu do zegarów przyspieszaj¡cych,

osi¡gaj¡cych te zdarzenia. To jest istota i geometryczne uj¦cie tak zwanego paradoksu ze-

garów.

Podam troch¦ przewrotny przykªad. Pami¦tam z dzieci«stwa, jak szybko upªywaª mi

czas na placu zabaw lub na boisku podczas gry w piªk¦. Bez w¡tpienia podobne odczucia

posiada mój syn, biegaj¡cy w t¦ i z powrotem po placu zabaw. Mnie z kolei, siedz¡cemu na

ªawce i obserwuj¡cemu te harce czas raczej si¦ dªu»y - wydaje mi si¦, »e upªywa wi¦cej czasu

ni» w rzeczywisto±ci. Oto humorystyczne wyja±nienie tego zjawiska. Zaªó»my, »e ja i mój

syn posiadamy dwa wspólne zdarzenia: A - wej±cie na plac zabaw, B - wyj±cie z placu zabaw

(przy wej±ciu jest ªawka, na któr¡ natychmiast siadam). Mo»na przyj¡¢, i» ja jestem ciaªem

swobodnym - swobodnie siedz¡cym na ªawce, czyli obserwatorem inercjalnym ª¡cz¡cym A z

B. Biegaj¡cy w t¦ i z powrotem syn, poddany siªom swoich wªasnych mi¦±ni, nieustannie

przyspiesza. Jest on wi¦c obserwatorem nieinercjalnym ª¡cz¡cym A z B. Gdyby±my wraz z

maluchem wyposa»eni byli w super dokªadne zegary, to na jego zegarze rzeczywi±cie upªynie

mniej czasu ni» na na moim.

Rysunek 4.11: Maluch biegaj¡cy po placu zabaw przebywa w czasoprzestrzeni drog¦ o krót-

szej dªugo±ci, ni» swobodnie siedz¡cy na ªawce jego rodzic.

Zapami¦tajmy - napi¦ta czasoprzestrzenna ni¢ ª¡cz¡ca dwa zdarzenia, jest dªu»sza od

wszystkich innych nici, ª¡cz¡cych te zdarzenia.

131


Zadania - przykªady z rozwi¡zaniami

Zadanie 4.1.1 Zaªó»my, »e Michaª podró»uje rakiet¡, która ma wzgl¦dem Ziemi szybko±¢

V = 0, 1c. Od momentu wystartowania z Ziemi, poprzez dramatyczny manewr zawracania,

a» do powrotu na Ziemi¦, Michaªowi upªyn¦ªy dwa miesi¡ce. Ile czasu pomi¦dzy tymi zda-

rzeniami upªyn¦ªo na Ziemi? Zaªo»enia rachunkowe: Michaª powraca na Ziemi¦ z t¡ sam¡

szybko±ci¡, z któr¡ oddalaª si¦ od niej; zakªadamy, »e zawracanie odbywa si¦ natychmiast.

Rozwi¡zanie

Dane:

V = 0, 1c ≈ 3 · 107m/s - szybko±¢ wzgl¦dna pomi¦dzy Michaªem a Ziemi¡.

∆τ ′ = 1 miesi¡c - czas wªasny upªywaj¡cy Michaªowi od startu do zawracania.

2∆τ ′ = 2 miesi¡ce - czas wªasny upªywaj¡cy Michaªowi od startu do powrotu na Ziemi¦.

∆t - czas jaki upªyn¡ª od startu do momentu zawracania Michaªa na Ziemi¦, okre±lony w

ukªadzie Ziemi.

2∆t - czas jaki upªyn¡ª od startu do powrotu Michaªa na Ziemi¦, okre±lony w ukªadzie Ziemi.

Zastosujemy wzór na dylatacj¦ czasu; ∆τ ′ (upªyw czasu wªasnego Michaªa) jest odst¦-

pem czasoprzestrzennym pomi¦dzy zdarzeniami startu i zawracania:

∆τ ′ =√

1− V 2/c2 ·∆t.

Podstawiaj¡c dane otrzymujemy:

∆t =1√

1− V 2/c2·∆τ ′ = 1√

1− 0, 01· 1 =

1√0, 99

· 1 ≈ 1, 00504

∆t ≈ 1, 00504 miesi¡ca, czyli jeden miesiac (30 dni) 3 godziny i 37 minut.

2∆t ≈ 2, 01008 miesi¡ca, czyli dwa miesiace (60 dni) 7 godzin i 14 minut.

Odpowied¹

Powracaj¡cy z podró»y Michaª b¦dzie mªodszy o 7 godzin i 14 minut od innych Ziemian.

Zaznaczmy, »e pr¦dko±¢ z jak¡ poruszaª sie Michaª wzgl¦dem Ziemi jest raczej nieosi¡galna

technologicznie. Ponadto przeci¡»enie podczas natychmiastowego zawracania pogorszyªoby

(bardzo) samopoczucie Michaªa.

Zadanie 4.1.2 Dany jest ukªad wspóªrz¦dnych pewnego obserwatora inercjalnego O. Na

rysunku zaznaczone s¡ jednostki dªugo±ci czasoprzestrzennej, ponadto posªugujemy sie jed-

nostkami geometrycznymi, w których c = 1 - w przyj¦tej konwencji czas (t) okre±lamy w

metrach ±wietlnych, za± poªo»enie (x) w metrach.

a) Oblicz dªugo±ci czasoprzestrzenne odcinków krzywych: AL, AB, BL, AM , MC, CL, AD,

132


DL oraz okre±l ich charakter czasoprzestrzenny.

b) Oblicz dªugo±ci czasoprzestrzenne krzywych: AL, ABL, ADL, ACL.

c) Która z tych krzywych nie mo»e by¢ lini¡ ±wiata cz¡stki?

d) Uporz¡dkuj pod wzgl¦dem dªugo±ci te krzywe, które mog¡ by¢ liniami ±wiata cz¡stek.

e) Jak¡ interpretacj¦ �zyczn¡ maj¡ dªugo±ci tych krzywych, które mog¡ by¢ liniami ±wiata

cz¡stek?

Rysunek

Ad.a)

W celu rozwi¡zania zadania posªu»ymy si¦ wzorem (∆s)2 = (∆t)2−(∆x/c)2 na odlegªo±¢ cza-

soprzestrzenn¡ pomi¦dzy zdarzeniami. Z tego wzoru (w jednostkach, gdzie c = 1) obliczamy

dªugo±ci czasoprzestrzenne odcinków, z których skªadaj¡ sie krzywe. I tak:

(∆sAL)2 = (13)2 − (1)2 = 168, ∆sAL =√

168 ≈ 12, 9,

(∆sAB)2 = (7)2 − (2)2 = 45, ∆sAB =√

45 ≈ 6, 7,

(∆sAM)2 = (2)2 − (1)2 = 3, ∆sAM =√

3 ≈ 1, 7,

(∆sMC)2 = (4)2 − (3)2 = 7, ∆sMC =√

7 ≈ 2, 6,

(∆sAD)2 = (6)2 − (10)2 = −36, |∆sAD| =√−(∆sAD)2 = 6,

(∆sDL)2 = (7)2 − (11)2 = −72, |∆sDL| =√−(∆sDL)2 =

√72 ≈ 8, 5,

(∆sCL)2 = (7)2 − (5)2 = 24, ∆sCL =√

24 ≈ 4, 9,

(∆sBL)2 = (6)2 − (1)2 = 35, ∆sBL =√

35 ≈ 5, 9.

Odcinki AD oraz DL s¡ przestrzennopodobne. Pozostaªe odcinki s¡ czasopodobne.

Ad.b)

Dªugo±ci czasoprzestrzenne odpowiednich krzywych obliczamy sumuj¡c dªugo±ci poszczegól-

133


nych odcinków (dokonujemy przybli»enia z dokªadno±ci¡ do jednego miejsca po przecinku):

∆sAL ≈ 12, 9,

∆sAMCL = ∆sAM + ∆sMC + ∆sCL ≈ 9, 2,

∆sABL = ∆sAB + ∆sBL ≈ 12, 6,

∆sADL = ∆sAD + ∆sDL ≈ 14, 5,

Ad.c)

Lini¡ ±wiata cz¡stki nie mo»e by¢ krzywa ADL, poniewa» interwaªy pomi¦dzy A i D oraz

D i L s¡ przestrzenne. Wymagaªoby to od cz¡stki podró»owania z pr¦dko±ci¡ wi¦ksz¡ od

±wietlnej.

Ad.d)

Uporz¡dkowanie dªugo±ci krzywych (kawaªkami czasowych) jest nast¦puj¡ce:

∆sAMCL < ∆sABL < ∆sAL,

co jest dokªadnie odwrotne od tego, co mogªoby si¦ wydawa¢ patrz¡c (euklidesowo) na rysunek.

Ad.e)

Dªugo±ci tych krzywych, które mog¡ by¢ liniami ±wiata cz¡stek, maj¡ interpretacj¦ czasu

wªasnego jaki upªywa na osobistym zegarze wªasnym danej cz¡stki.

134

4.2. ZJAWISKO DOPPLERA

4.2 Zjawisko Dopplera

Jak widzimy oddalaj¡cy si¦ zegar

W tym miejscu naszego wykªadu b¦dziemy dokonywa¢ obserwacji w literalnym sensie tego

sªowa - czyli obserwacji wizualnych dokonywanych przez nasze oczy b¡d¹ radary. Odpowiemy

na pytanie o to, jak wida¢ ciaªa w ruchu. Wyobra¹my sobie dwóch obserwatorów O i O′

w ruchu wzgl¦dnym oraz impuls ±wiatªa wysªany przez O′ przy okazji zdarzenia A. Dla

obserwatora O, równoczesnym z A jest zdarzenie B, jednak przy okazji B obserwator ten

nie widzi jeszcze rozbªysku wysªanego impulsu, gdy» ten jeszcze nie mógª do niego dotrze¢. Ozarejestruje/zobaczy bªysk dopiero przy okazji zdarzenia C. Dopiero przy okazji C zobaczy

zdarzenie A. Sytuacj¦ prezentuje rysunek 4.12.

Rysunek 4.12: Obserwator O′ wysyªa sygnaª ±wietlny.

Spójrzmy na praw¡ cz¦±¢ rysunku 4.12. tA jest czasem zaj±cia zdarzenia A dla O, τAjest wskazaniem jego zegara przy okazji zarejestrowania (zobaczenia) impulsu ±wietlnego,

za± τ ′A jest wskazaniem zegara wªasnego O′ przy okazji wysªania impulsu. Uwaga, nale»y

rozró»ni¢ relacje pomi¦dzy tymi wskazaniami - przypomnijmy z poprzedniej sekcji o dylatacji

czasu, »e

tA = γτ ′A =τ ′A√

1− (V/c)2,

co zostaªo przez nas ju» przedyskutowane. Tymczasem interesowa¢ nas b¦d¡ zale»no±ci po-

mi¦dzy wskazaniami zegarów podczas wysyªania-rejestrowania impulsów elektromagnetycz-

nych. Odnosz¡c si¦ do twierdzenie Talesa dla zgodnych zegarów (przypomnij sobie rysunek

2.10 i dyskusj¦ tam»e) wiemy, »e

τA = ατ ′A,

gdzie α jest odpowiednim wspóªczynnikiem proporcjonalno±ci, który wynosi (zobacz wzór

2.11 i jego wyprowadzenie):

α =

√1 + V/c

1− V/c. (4.9)

135


Przypomniawszy sobie twierdzenie Talesa dla zgodnych zegarów, mo»emy odpowie-

dzie¢ na pytanie o to, jak obserwator O widzi zegar O′. Jednocze±nie otrzymamy �zyczn¡

interpretacj¦ wspóªczynnika α. Niechaj teraz obserwator O′ wysyªa dwa sygnaªy w odst¦pie

czasu wªasnego ∆τ ′. Sygnaªy te s¡ rejestrowane przez O w odst¦pie jego czasu wªasnego ∆τ

(rysunek 4.13).

Rysunek 4.13: Obserwator O′ wysyªa dwa impulsy ±wietlne.

Dzi¦ki naszemu geometrycznemu formalizmowi (tw. Talesa) natychmiast otrzymujemy,

»e ∆τ = α ·∆τ ′, co po uwzgl¦dnieniu wzoru 4.9 prowadzi do

∆τ =

√1 + V/c

1− V/c·∆τ ′. (4.10)

Zauwa»my, »e zachodzi nierówno±¢

∆τ > ∆τ ′,

która oznacza, i» O rejestruje sygnaªy w wi¦kszym odst¦pie czasu wªasnego, ni» odst¦p czasu

wªasnego jaki upªywaO′ pomi¦dzy zdarzeniami wysyªania tych sygnaªów. O po prostu widzi,

»e zegar O′ chodzi wolniej. Nie nale»y jednak myli¢ tego z dylatacj¡ czasu2.

Rysunek 4.14: Po lewej - efekt zwi¡zany z obserwacj¡ radarowa (lub wizualn¡), po prawej -

geometryczny efekt dylatacji czasu.

2Zapobiegliwo±¢ autora w podkre±laniu tej kwestii posiada swoje uzasadnienie. Uczniowie cz¦sto my±l¡,

»e dylatacja czasu zwi¡zana jest z obserwacjami wizualnymi, cz¦sto tak»e w zbiorach zada« spotyka sie

bª¦dne sformuªowania zada« dotycz¡cych dylatacji czasu, sugeruj¡ce wªa±nie takie interpretacje.

136


Na zako«czenie nale»y zaznaczy¢ symetri¦ omawianego zjawiska. Analogiczne rozu-

mowanie, które przeprowadzili±my powy»ej, stosujemy w przypadku, gdyby to obserwator

O wysyªaª sygnaªy do O′. Najlepiej zilustrowa¢ to za pomoc¡ diagramów na rysunku 4.15.

Rysunek 4.15: Symetria zjawiska zwi¡zanego z obserwacj¡ wizualn¡.

Ta symetria jest konsekwencj¡ Zasady Wzgl¦dno±ci, co byªo ju» omówione w sekcji 2.2.

Jak widzimy zbli»aj¡cy si¦ zegar

Wªa±nie doszli±my do wniosku, »e wskazówka oddalaj¡cego si¦ zegara O′ jest widziana, ja-koby chodziªa wolniej. Zastanówmy si¦ teraz, jak b¦dzie widziany przez nas zegar, który

zbli»a si¦ do nas. Aby rozwi¡za¢ to zagadnienie wykorzystamy symetri¦ praw w czasie.

Gdyby±my nagrali kamer¡ oddalanie si¦ dwóch ciaª z szybko±ci¡ V , nast¦pnie pu±cili �lm od

ko«ca, to byªby on identyczny z jakim± �lmem, na którym ciaªa zbli»aj¡ si¦ do siebie z szyb-

ko±ci¡ V . Zbli»anie si¦ dwóch ciaª jest nieodró»nialne od ich oddalania si¦, obserwowanego

wstecz w czasie. Ten obserwator, który wysyªa sygnaª (w obrazie odwróconym w czasie)

b¦dzie jednak tak naprawd¦ tym, który sygnaª odbiera. Proponuj¦ przeanalizowa¢ poni»szy

rysunek.

Rysunek 4.16: Po lewej - obserwatorzy oddalaj¡ si¦, O wysyªa sygnaªy do O′. Po ±rodku -

odwrócenie sytuacji (po lewej) w czasie. Po prawej - realna sytuacja �zyczna, równowa»na

tej po ±rodku; obserwatorzy zbli»aj¡ si¦ do siebie, O′ wysyªa sygnaªy do O.

Z prostej analizy wynika co nast¦puje. Je»eli zbli»aj¡cy si¦ do O obserwator O′ wysyªadwa sygnaªy elektromagnetyczne w odst¦pie czasu wªasnego ∆τ ′, to O′ zarejestruje je w

137


odst¦pie ∆τ czasu wªasnego, przy czym zachodzi

∆τ =∆τ ′

α,

co po uwzgl¦dnieniu wzoru 4.9 na α daje

∆τ =

√1− V/c1 + V/c

·∆τ ′. (4.11)

Wzór ten mo»na byªo otrzyma¢ natychmiast ze wzoru 4.11 dokonuj¡c zmiany znaku pr¦d-

ko±ci wzgl¦dnej, czyli zmiany jej zwrotu (chciaªem jednak, aby Czytelnik u»yª metody geo-

metrycznej). W tym przypadku, w odró»nieniu od sytuacji gdy obserwatorzy oddalali si¦,

zachodzi:

∆τ < ∆τ ′.

Oznacza to, i» O widzi zbli»aj¡cy si¦ zegar, jakby chodziª szybciej od jego wªasnego. Za-

znaczmy, »e w omawianym zjawisku inaczej widzimy zegary zbli»aj¡ce si¦ a inaczej widzimy

zegary oddalaj¡ce si¦. Te pierwsze widzimy, »e chodz¡ szybciej, te drugie - »e chodz¡ wol-

niej. Prosz¦ w odró»nieniu zauwa»y¢, »e zwrot ruchu wzgl¦dnego nie ma wpªywu na efekt

dylatacji czasu. Tam istotny jest jedynie ruch wzgl¦dny, za± ró»nica wskaza« jednego ze-

gara mijaj¡cego nasze dwa zegary, b¦dzie zawsze mniejsza od ró»nicy wskaza« tych dwóch

naszych zegarów. Dylatacja czasu jest efektem geometrycznym, za± omawiane tu efekty

dotycz¡ wra»e« wizualnych. A skoro wizualnych to porozmawiajmy o kolorach.

Jak widzimy kolory ciaª w ruchu

Przypomnijmy Czytelnikowi czym jest okres T promieniowania elektromagnetycznego, okre-

±lony w jakim± ukªadzie inercjalnym. Jest to czas w ukªadzie danego obserwatora, po którym

nat¦»enie pola elektrycznego (i magnetycznego) w danym punkcie przestrzeni wzgl¦dnej tego

obserwatora, znajdzie si¦ ponownie w tej samej fazie. W tym czasie, fala elektromagnetyczna

propaguje si¦ z pr¦dko±ci¡ c na odlegªo±¢ λ równ¡ dªugo±ci fali tego promieniowania (propa-

guje si¦ miejsce staªej fazy). W zwi¡zku z tym zachodzi

λ = cT lub λ =c

f, (4.12)

gdzie f = 1/T jest cz¦stotliwo±ci¡ tego promieniowania. Spójrzmy na rysunek 4.17. Tak jak

w poprzednich podsekcjach rozwa»amy dwóch obserwatorów (dwa ciaªa swobodne) O i O′

oddalaj¡cych si¦ od siebie z pr¦dko±ci¡ wzgl¦dn¡ V wzdªu» prostej. Zaªó»my, »e to O′ wysyªapromieniowanie, którego okres w ukªadzie wªasnym wynosi T ′. Obserwator O rejestruje to

promieniowanie; w jego ukªadzie odniesienia okres tego promieniowania wynosi T . Zgodnie

138


ze wzorem 4.10, pomi¦dzy tymi okresami zachodzi relacja

T =

√1 + V/c

1− V/c· T ′. (4.13)

Uwzgl¦dniaj¡c wzory 4.12 otrzymujemy równania na cz¦stotliwo±¢ rejestrowanego promie-

niowania:

f =

√1− V/c1 + V/c

· f ′ (4.14)

oraz na dªugo±¢ fali rejestrowanego promieniowania:

λ =

√1 + V/c

1− V/c· λ′. (4.15)

Zauwa»my, »e w przypadku gdy ciaªa oddalaj¡ si¦ od siebie, zachodzi nierówno±¢

λ > λ′,

która oznacza, »e dªugo±¢ fali rejestrowanego promieniowania jest wi¦ksza od dªugo±ci fali w

ukªadzie ¹ródªa promieniowania. Dªugo±¢ fali zarejestrowanego promieniowania jest przesu-

ni¦ta w skali widma w kierunku fal dªugich, w stosunku do dªugo±ci fali w ukªadzie ¹ródªa

promieniowania. Ponadto wzrost pr¦dko±ci wzgl¦dnej V powoduje, »e mierzona w naszym

ukªadzie dªugo±¢ fali wzrasta. Poniewa» w zakresie ±wiatªa widzialnego czerwie« ma najwi¦k-

sz¡ dªugo±¢ fali, zjawisko to nazwano przesuni¦ciem ku czerwieni. Zjawisko to zaobserwowano

dla galaktyk - st¡d wiemy, »e wszystkie one oddalaj¡ si¦ od nas. Jest to relatywistyczny efekt

Dopplera.

Rysunek 4.17: O′ wysyªa promieniowanie. Na linie ±wiata fotonów patrzymy teraz klasycznie

(falowo) - s¡ to zbiory zdarze«, przy okazji których pole elektryczne jest w tej samej fazie.

Okres tego promieniowania w ukªadzie O′ to T ′, za± w ukªadzie O wynosu T . Zachodzi

zwi¡zek T = αT ′.

Analogiczne rozwa»ania mo»na przeprowadzi¢ w przypadku, gdy ciaªo wysyªaj¡ce pro-

mieniowanie zbli»a sie do obserwatora rejestruj¡cego to promieniowanie. W takiej sytuacji,

139


we wzorach 4.13, 4.14, 4.15 nale»y zamieni¢ V na −V . Wtedy, dªugo±¢ fali λ w ukªadzie,

w którym promieniowanie jest rejestrowane b¦dzie mniejsza od dªugo±ci fali λ′ w ukªadzie

¹ródªa tego promieniowania. Z kolei cz¦stotliwo±¢ rejestrowanego promieniowania b¦dzie

wi¦ksza ni» cz¦stotliwo±¢ tego promieniowania w ukªadzie ¹ródªa.

Wyobra¹my sobie ciaªo wysyªaj¡ce promieniowanie o dªugo±ci fali ±wiatªa »óªtego. Je-

»eli to ciaªo oddala si¦ od nas, to widzimy je jako bardziej czerwone; je»eli to ciaªo zbli»a

sie do nas, to widzimy je jako bardziej niebieskie. Zauwa»my pewn¡ wªasno±¢, któr¡ mo-

»emy podda¢ naszej intuicji. Pr¦dko±¢ fotonu wzgl¦dem obserwatora O jest niezale»na od

poruszaj¡cego si¦ ¹ródªa O′ i zawsze wynosi c. Jest to postulat STW trudny do intuicyjnej

wery�kacji. Jednak»e mamy co± na pocieszenie. Cz¦stotliwo±¢ tego» promieniowania/fotonu,

a tym samym jego energia Ef = hf zale»y od pr¦dko±ci wzgl¦dnej ¹ródªa i obserwatora. O

ile oddalaj¡ce si¦ od nas ¹ródªo nie spowalnia docieraj¡cych do nas fotonów, to jednak do-

cieraj¡ce do nas fotony nios¡ mniejsz¡ energi¦. Z drugiej strony, ¹ródªo promieniowania

zbli»aj¡cego si¦ do nas nie dodaje fotonom swojej pr¦dko±ci, jednak»e docieraj¡ce do nas

fotony posiadaj¡ wi¦ksz¡ energi¦, ni» fotony w ukªadzie ¹ródªa promieniowania.


Pierwsze zadanie ilustruje ró»nic¦ pomi¦dzy relatywistycznym efektem Dopplera a dylatacj¡

czasu.

Zadanie 4.2.1 Dwa ciaªa O i O′ oddalaj¡ si¦ z pr¦dko±ci¡ wzgl¦dn¡ V = 3/5 · c. Ciaªo O′

wysyªa do O dwa sygnaªy w odst¦pie jednej jednostki czasu wªasnego. Oblicz, w jakim od-

st¦pie czasowym zostan¡ zarejestrowane sygnaªy na zegarze O. Oblicz, jaki odst¦p pomi¦dzy

zdarzeniami wysªania dwóch sygnaªów przez O′ upªynie w ukªadzie O.

Ilustracja

Rozwi¡zanie

Wprowadzamy oznaczenia zgodne rysunkiem i stosujemy od razu odpowiednie wzory:

140


∆τ ′ = 1 - odst¦p czasu wªasnego na zegarze O′, pomi¦dzy zdarzeniami wysyªania sygnaªów,

∆τ = α∆τ ′ - odst¦p czasu na zegarze O, pomi¦dzy zdarzeniami rejestracji sygnaªów,

∆t = γ∆τ ′ - odst¦p czasu pomi¦dzy zdarzeniami wysyªania sygnaªów, okre±lony w ukªadzie O,

Ostatnie równanie wynika ze wzoru na czas wªasny ∆τ ′, czyli interwal pomi¦dzy zdarzeniami

wysyªania sygnaªów. Podstawiaj¡c do przytoczonych wzorów V = 3/5·c otrzymujemy wyniki:

∆τ ′ = 1

∆τ = α∆τ ′ =

√1 + 3/5

1− 3/5· 1 = 2

∆t = γ∆t′ = 1/√

1− (3/5)2 · 1 = 1, 25

Odpowied¹

Zegar O zarejestruje (zobaczy), »e jedna jednostka czasu O′ jest dwa razy dªu»sza. Zegary

zsynchronizowane z O, które mija O′ okre±l¡, »e jedna jednostka na O′ trwa 1,25 jednostki

w ukªadzie O.

A teraz o kolorach.

Zadanie 4.2.2 Najwi¦ksza dªugo±¢ fali promieniowania emitowanego przez atom wodoru, w

zakresie ±wiatªa widzialnego to 658nm. Astronomowie obserwuj¡c pewien obªok wodorowy

zaobserwowali, »e dªugo±¢ emitowanego promieniowania przez ten obªok w zakresie widzial-

nym wynosi 800nm. Okre±l, z jak¡ pr¦dko±ci¡ wzgl¦dn¡ oddala si¦ od Ziemi ów wodorowy

obªok.

Rozwi¡zanie

Dane:

λ′ = 658nm - dªugo±¢ fali emitowanego promieniowania w ukªadzie obªoku.

λ = 800nm - zmierzona na Ziemi dªugo±¢ fali docieraj¡cego promieniowania.

Podstawiamy teraz dane do wzoru 4.15:

λ = αλ′ =

√1 + V/c

1− V/c· λ′,

141


po czym otrzymujemy;

800 =

√1 + V/c

1− V/c· 658,

α =800

658=

√1 + V/c

1− V/c,

sk¡d po przeksztaªceniach dostajemy

V = c · 1 + α2

1− α2

V = 0, 855 · 108m/s

Odpowied¹

Pr¦dko±¢ oddalaj¡cego si¦ obªoku wodoru wzgl¦dem Ziemi wynosi okoªo 0, 855 · 108m/s.

Zadanie 4.2.3 Z jak¡ pr¦dko±ci¡ nale»y zbli»a¢ si¦ do sygnalizatora, na którym pali si¦

czerwone ±wiatªo, aby zobaczy¢ ±wiatªo zielone?

142

4.3. DODAWANIE PR�DKO�CI WZGL�DNYCH

4.3 Dodawanie pr¦dko±ci wzgl¦dnych

Wyprowadzenie formuªy

Przypomnijmy zagadnienie z I cz¦±ci ksi¡»ki, poruszone podczas omawiania czasoprzestrzeni

Galileusza, dotycz¡ce dodawania pr¦dko±ci wzgl¦dnych. Otrzymane tam»e wyniki, mo»emy

teraz wypowiedzie¢ j¦zykiem u»ywanym w tej cz¦±ci pracy. Zaªó»my, »e obserwatorzy swo-

bodni O, O′ i O′′ poruszaj¡ si¦ w jednym wymiarze przestrzennym. Je»eli pr¦dko±¢ wzgl¦dna

pomi¦dzy O i O′ wynosi V12, pomi¦dzy O′ i O′′ wynosi V23 to pr¦dko±¢ wzgl¦dna V13 pomi¦-

dzy O i O′′ wynosiV13 = V12 + V23.

Formuªa ta z oczywistych wzgl¦dów nie mo»e pozosta¢ w Szczególnej Teorii Wzgl¦dno±ci,

gdzie pr¦dko±¢ wzgl¦dna dwóch ciaª swobodnych nie mo»e przekroczy¢ pr¦dko±ci ±wiatªa.

Przykªadowo, je»eli pr¦dko±¢ wzgl¦dna pomi¦dzy O i O′ wynosiªaby 0, 7c, za± pr¦dko±¢

wzgl¦dna pomi¦dzy O′ i O′′ równaªaby si¦ 0, 8c, to pr¦dko±¢ wzgl¦dna ciaª O i O′′ musiaªaby

wynosi¢ 1, 5c - co nie jest dopuszczalne w naszej teorii. Zmuszeni jeste±my zrewidowa¢

formuª¦ Galileusza.

Najcz¦±ciej podawany sposób wyprowadzenia formuªy dodawania pr¦dko±ci wzgl¦d-

nych w mechanice relatywistycznej jest czysto algebraiczny i opiera si¦ na transformacji

Lorentza. My zwyczajowo pozostaniemy w duchu geometrycznym, co pozwoli uchwyci¢ nam

istot¦ zagadnienia. Spójrzmy na rysunek poni»ej, ukazuj¡cy trzech obserwatorów O, O′ i O′′

w ruchu wzgl¦dnym, posªuguj¡cych sie zgodni zegarami. Obserwatorów tych wymija foton i

ka»dy z nich rejestruje wskazania swojego zegara wªasnego: τ , τ ′ oraz τ ′′ odpowiednio przy

okazji tych zdarze«.

Rysunek 4.18: Trzech obserwatorów w ruchu wzgl¦dnym wymija foton.

Wprowadzimy oznaczenia. Niech V12 b¦dzie pr¦dko±ci¡ wzgl¦dn¡ pomi¦dzy O i O′, V23

- pomi¦dzy O′ i O′′, za± V13 - pomi¦dzy O i O′′. Z ruchem wzgl¦dnym ka»dej pary obser-

watorów zwi¡zany jest dobrze nam znany, geometryczny wspóªczynnik α (przypomnij sobie

rysunek 2.10 i dyskusj¦ tam»e). Zgodnie ze wzorem 2.11, obliczamy nasze wspóªczynniki dla

143


ka»dej pary obserwatorów:

α12 =

√1 + V12/c

1− V12/c, α23 =

√1 + V23/c

1− V23/c, α13 =

√1 + V13/c

1− V13/c. (4.16)

Zastosujemy teraz formalizm wspóªczynników α dla ka»dej pary obserwatorów. Dia-

gram z ilustracji 4.18 rozbijemy na trzy i na ka»dym z tych trzech uwzgl¦dnimy relacje

pomi¦dzy wskazaniami zegarów. Sytuacj¦ ilustruje rysunek 4.19.

Rysunek 4.19: Rozwa»amy pary obserwatorów w ruchu wzgl¦dnym trzech obserwatorów.

Relacje pomi¦dzy wskazaniami zegarów wªasnych trzech par obserwatorów to:

τ ′ = α12τ, τ ′′ = α23τ′, τ ′′ = α13τ. (4.17)

Z dwóch pierwszych wzorów wynika, »e τ ′′ = α23α12τ , co po porównaniu z trzecim z nich

prowadzi do pi¦knej w swojej prostocie formuªy:

α13 = α23 · α12. (4.18)

Teraz pozostaje nam ju» tylko mozolne ¢wiczenie rachunkowe, które pozostawiam Czytel-

nikowi. Podstawiaj¡c 4.16 do 4.18, po »mudnych przeksztaªceniach wyªuskujemy wzór na

pr¦dko±¢ wzgl¦dn¡ V13, przy zadanych V12 i V23:

V13 =V12 + V23

1 + (V12 · V23)/c2. (4.19)

Powy»sze stanowi formuª¦ na dodawanie pr¦dko±ci wzgl¦dnych w Szczególnej Teorii Wzgl¦d-

no±ci. Chciaªbym jednak na moment zatrzyma¢ si¦ i raz jeszcze zwróci¢ Czytelnikowi uwag¦,

ale nie na otrzyman¡ formuª¦, lecz wªa±nie na wzór 4.18. O ile wzór na dodawanie pr¦d-

ko±ci mo»e wydawa¢ si¦ nieco skomplikowany, o tyle formuªa na skªadanie wspóªczynników

α jest zadziwiaj¡co prosta. Jak wkrótce zobaczymy, oprócz omówionych parametrów ruchu

wzgl¦dnego, takich jak pr¦dko±¢ V i dopplerowski wspóªczynnik α mo»na zde�niowa¢ para-

metr ρ (α = eρ), dla którego formuªa na skªadanie sprowadzi si¦ do zwykªego dodawania.

Na tym anonsie poprzestan¦ jednak, poniewa» potrzebujemy zde�niowania k¡ta pomi¦dzy

liniami ±wiata - czyli struktury konforemnej!

144

4.3. DODAWANIE PR�DKO�CI WZGL�DNYCH

Granica klasyczna

Dlaczego w »yciu codziennym nie posªugujemy formuª¡ 4.19 na skªadanie pr¦dko±ci, tylko

zwykªym wzorem Galileusza? Pr¦dko±ci obiektów, obserwowane w naszym »yciu codziennym

s¡ nieporównywalnie maªe w stosunku do pr¦dko±ci ±wiatªa:

• Pr¦dko±¢ bolidu (300km/h) stanowi zaledwie 0, 00000027 pr¦dko±ci ±wiatªa (V/c ≈0, 00000027).

• Pr¦dko±¢ d¹wi¦ku (ok 1200 km/h) stanowi zaledwie 0, 0000011 pr¦dkosci ±wiatªa (V/c ≈0, 0000011).

• II pr¦dko±¢ kosmiczna (ok 40 000 km/h) stanowi zaledwie 0, 000037 pr¦dko±ci ±wiatªa

(V/c ≈ 0, 000037).

Poniewa» stosunek V/c jest bardzo maªy w wi¦kszo±ci obserwowanych przez nas zjawisk, to

mo»emy dla nich przyj¡¢ we wzorze 4.19, »e V12/c ≈ 0 oraz V23/c ≈ 0. W takim wypadku

otrzymujemy

V13 =V12 + V23

1 + (V12 · V23)/c2

V12/c ≈ 0, V23/c ≈ 0−−−−−−−−−−−−−−−→ V13 = V12 + V23.

Powy»sze przekonuje nas, »e relatywistyczne dodawanie pr¦dko±ci wzgl¦dnych, w przypadku

gdy stanowi¡ one znikomy uªamek pr¦dko±ci ±wiatªa, sprowadza si¦ do wzoru Galileusza.

145



Zadanie 4.3.1 (To zadanie to akademicka �kcja - ciaªa obdarzone mas¡ nie mog¡ porusza¢

si¦ z pr¦dko±ci¡ ±wiatªa) W p¦dz¡cej wzgl¦dem Ziemi z pr¦dko±ci¡ ±wiatªa (c) rakiecie wysªano

foton w kierunku ruchu. Oblicz pr¦dko±¢ tego fotonu wzgl¦dem Ziemi (ile to jest c '+' c).

Rozwi¡zanie

VfZ - szukana pr¦dko±¢ fotonu wzgl¦dem Ziemi.

VrZ = c - pr¦dko±¢ rakiety wzgl¦dem Ziemi.

Vrf = c - pr¦dko±¢ ±wiatªa (fotonu) wzgl¦dem rakiety.

Dokonujemy oblicze« stosuj¡c wzór 4.19 zgodnie z powy»szymi oznaczeniami.

VfZ =VrZ + Vrf

1 + (VrZ · Vrf )/c2=

c+ c

1 + (c · c)/c2=

2c

2= c.

Odpowied¹

Pr¦dko±¢ fotonu wzgl¦dem Ziemi wynosi c, c '+' c = c!

Zadanie 4.3.2 W akceleratorze rozp¦dzono dwa protony w przeciwnych kierunkach. War-

to±ci pr¦dko±ci tych protonów wzgl¦dem laboratorium wynosz¡ 0, 9c. Zwroty pr¦dko±ci s¡

przeciwne. Oblicz pr¦dko±¢ wzgl¦dn¡ tych protonów.

Rozwi¡zanie

Aby rozwi¡za¢ to zadanie, wygodnie b¦dzie wskoczy¢ do ukªadu odniesienia jednego z protonów

- powiedzmy tego p¦dz¡cego w lewo. Tak wi¦c:

VL1 = 0, 9c - pr¦dko±¢ oddalania si¦ laboratorium (w prawo) od protonu1 (w ukªadzie protonu1

podró»uj¡cego w lewo),

VL2 = 0, 9c - pr¦dko±¢ drugiego protonu wzgl¦dem laboratorium,

V12 - szukana pr¦dko±¢ drugiego protonu wzgl¦dem pierwszego.

Dokonujemy oblicze« stosuj¡c wzór 4.19 zgodnie z powy»szymi oznaczeniami.

V12 =VL1 + VL2

1 + (VL1 · VL2)/c2=

0, 9c+ 0, 9c

1 + (0, 9c · 0, 9c)/c2=

1, 8c

1, 81≈ 0, 9945c.

Odpowied¹

Pr¦dko±¢ wzgl¦dna protonów wynosi okoªo 0, 9945c.

146

4.4. PRZEKSZTA�CENIA WSPÓ�RZ�DNYCH

4.4 Przeksztaªcenia wspóªrz¦dnych

Transformacja Lorentza

W tej sekcji zajmiemy si¦ relacjami, jakie zachodz¡ pomi¦dzy wspóªrz¦dnymi zdarzenia w

czasoprzestrzeni, okre±lonymi przez dwóch obserwatorów w ruchu wzgl¦dnym. Powiemy, »e

relacja taka zadaje przeksztaªcenie (transformacj¦) wspóªrz¦dnych z jednego ukªadu odniesie-

nia do drugiego. Algebraiczn¡ posta¢ takiego przeksztaªcenia znalazª ju» Lorentz prowadz¡c

badania nad uzgodnieniem teorii elektromagnetyzmu z mechanik¡. Ten jednak dokonywaª

pewnych zaªo»e«, wprowadzaj¡cych na dobr¡ spraw¦ wyró»niony ukªad eteru. Takie same

wzory co Lorentz otrzymaª tak»e Einstein, który do ich wyprowadzenia odrzuciª koncepcj¦

eteru. Oryginalne wyprowadzenie wzorów przez Einsteina mo»na znale¹¢ w jego przeªo-

mowej pracy z 1905 roku O elektrodynamice ciaª w ruchu. Przeksztaªcenia wspóªrz¦dnych

przyj¦ªo nazywa¢ si¦ transformacj¡ Lorentza. Z historycznego punktu widzenia, transfor-

macja Lorentza zapewniaj¡ca, »e równania Maxwella maj¡ tak¡ sam¡ posta¢ po dokonaniu

owego przeksztaªcenia wspóªrz¦dnych, jest najwa»niejszym zagadnieniem w STW. Z tego

powodu, wiele opracowa« dotycz¡cych STW zaczyna si¦ od algebraicznego wyprowadzenia

tej»e i pozostaje w jej algebraicznym charakterze. W naszym geometrycznym uj¦ciu STW,

stoj¡cym na fundamencie uniwersalnej i uzgodnionej procedury pomiarowej dokonywanej za

pomoc¡ uniwersalnych sygnaªów ±wietlnych, transformacj¦ Lorentza otrzymuje si¦ niemal

natychmiast. Przyjrzyjmy si¦ sprawie.

Przypomnijmy, »e w celu oznaczenia zdarzenia obserwator mo»e u»ywa¢ wspóªrz¦dnych

(τ1, τ2) (które nazwali±my zerowymi) b¦d¡cych wskazaniami jego zegara wªasnego przy okazji

rejestracji fotonów lokalizuj¡cych to zdarzenie (zobacz sekcje 1.3 oraz 2.4). Zaªó»my dalej,

»e takim rodzajem wspóªrz¦dnych posªuguj¡ si¦ dwaj obserwatorzy O oraz O′ poruszaj¡cysi¦ wzgl¦dem siebie z pr¦dko±ci¡ V . Sytuacj¦ ilustruje rysunek 4.20. Wykorzystuj¡c nasz

pot¦»ny formalizm wspóªczynników α, natychmiast zapisujemy znane nam relacje:

τ ′1 = α · τ1,

τ ′2 =1

α· τ2.

Podstawiaj¡c jawn¡ posta¢ dla α (wzór 2.11), otrzymujemy wzory:

τ ′1 =

√1 + V/c

1− V/c· τ1, (4.20)

τ ′2 =

√1− V/c1 + V/c

· τ2.

W zasadzie wzory te s¡ transformacj¡ Lorentza, tyle, »e wyra»on¡ w innych wspóªrz¦dnych.

147


Rysunek 4.20: Po lewej: zdarzenie A oznaczone przez dwóch obserwatorów wspóªrz¦dnymi

zerowymi. Po prawej: wspóªrz¦dne zerowe wyra»one za pomoc¡ wspóªrz¦dnej czasowej i

przestrzennej.

Wyra»aj¡c wspóªrz¦dne zerowe poprzez wspóªrz¦dn¡ czasow¡ i przestrzenn¡ (wzory

2.5), równania 4.20 przyjmuj¡ posta¢:

t′ − x′/c =

√1 + V/c

1− V/c· (t− x/c),

t′ + x′/c =

√1− V/c1 + V/c

· (t+ x/c).

Nast¦pnie, w celu wyznaczenia wspóªrz¦dnych czasowo-przestrzennych obserwatora O′ po-przez takie wspóªrz¦dne obserwatora O, nale»y dokona¢ »mudnego przeksztaªcenia, które

jako doskonaªe ¢wiczenie pozostawiam Czytelnikowi (wskazówka - dodaj wiersze stronami,

oraz poka», »e α + 1/α = 2γ). Po tych zabiegach otrzymujemy w ko«cu wzory transforma-

cyjne:

t′ =1√

1− (V/c)2· (t− V x

c2), (4.21)

x′ =1√

1− (V/c)2· (−V t+ x).

Tak¡ posta¢ wzorów otrzymaª jako pierwszy Larmor, nast¦pnie tacy uczeni jak Lorentz,

Poincare i w ko«cu Einstein, który do ich wyprowadzenia nie zakªadaª hipotezy eteru. Pre-

zentowane tu wyprowadzenie mo»na znale¹¢ w pracy A. Trautmana i W. Kopczy«skiego

Czasoprzestrzen i grawitacja.

148


Przeksztaªcenie siatki wspóªrz¦dnych czasoprzestrzeni. Hiperbole

Wzory, w wyniku których z jednych wspóªrz¦dnych otrzymujemy inne wspóªrz¦dne zadane

na jakiej± przestrzeni, okre±laj¡ pewne przeksztaªcenie tej przestrzeni w siebie. Je»eli chcie-

liby±my zobaczy¢, jak takie przeksztaªcenie wygl¡da w dziaªaniu to mamy dwa mo»liwe

podej±cia. Po pierwsze - mo»emy bada¢ jak wygl¡da nowa siatka wspóªrz¦dnych narysowana

w starym ukªadzie wspóªrz¦dnych; po drugie - mo»emy podda¢ przeksztaªceniu wspóªrz¦dne

punktów (np. tworz¡cych caªe �gury), otrzymuj¡c w wyniku tego punkty w innych miej-

scach (otrzymujemy obrazy �gur). Pierwszy sposób podej±cia nazywany bywa pasywnym

spojrzeniem na przeksztaªcenie; drugi sposób podej±cia nazywany bywa aktywnym spoj-

rzeniem na przeksztaªcenie Przykªadowymi przeksztaªceniami przestrzeni euklidesowej s¡:

obroty, przesuni¦cia, jednokªadno±ci, odbicia, rozci¡gni¦cia, zªo»enia tych»e lub nawet bar-

dziej skomplikowane przeksztaªcenia (np. prostej w parabol¦, okr¦gu w prostok¡t). Po±ród

wszystkich mo»liwych przeksztaªce« jakie mo»emy sobie wyobrazi¢, wa»n¡ klas¦ stanowi¡

przeksztaªcenia liniowe. Przeksztaªcenia liniowe to takie, po których dokonaniu wszystkie

linie proste pozostan¡ wci¡» liniami prostymi. Algebraicznym warunkiem na to jest (a w

zasadzie de�nicj¡ przeksztaªcenia liniowego), aby stare wspóªrz¦dne wyra»aj¡ce nowe, wy-

st¦powaªy we wzorach jedynie w pot¦gach stopnia co najwy»ej pierwszego i nie mno»yªy

si¦ przez siebie nawzajem. Przykªadowe przeksztaªcenia liniowe pªaszczyzny euklidesowej

prezentuje poni»szy rysunek; ukazano na nim jaki ksztaªt b¦dzie miaª kwadrat poddany ta-

kiemu przeksztaªceniu (czarna kropka oznacza ustalony punkt np. pocz¡tek kartezja«skiego

ukªadu wspóªrz¦dnych). W opisie rysunku podano wzory tych przeksztaªce« w kartezja«skim

ukªadzie wspóªrz¦dnych.

Rysunek 4.21: I. Obrót �gury o k¡t 45◦ (w prawo), lub osi ukªadu wspóªrz¦dnych (w lewo):

x′ = x/√

2 + y/√

2, y′ = −x/√

2 + y/√

2. II. Rozci¡gni¦cie w poziomie o skali 2: x′ = 2x,

y′ = y. III. x′ = 2x− y, y′ = x+ 3y.

Chciaªoby si¦ mie¢ podobny geometryczny obrazek, do tych egzempli�kowanych powy-

»ej, w przypadku przeksztaªcenia Lorentza dokonanego na czasoprzestrzeni. Prze±ledzimy,

jak na naszych diagramach przeksztaªci si¦ siatka wspóªrz¦dnych (t, x) jakiego± obserwatora

inercjalnego do siatki wspóªrz¦dnych (t′, x′) ju» innego obserwatora, po wykonaniu prze-

ksztaªcenia Lorentza. W tym celu wygodnie b¦dzie zapisa¢ wzory transformacyjne 4.21 w

bardzo zgrabnej postaci. Przyjmiemy jednostki geometryczne w których c = 1, ponadto

149


oznaczymy β = V/c oraz γ = 1/√

1− β2. W takiej sytuacji nasze wzory przyjmuj¡ posta¢:

t′ = +γ · t− γβ · x, (4.22)

x′ = −γβ · t+ γ · x.

Z tych wzorów wynikaj¡ równania osi t′ oraz osi x′. O± t′ przecina o± x′ w zerze, zatem jej

równanie to x′ = 0. Spogl¡daj¡c na drugie równanie z 4.22 otrzymujemy

t =1

βx dla osi t′.

W analogiczny sposób wyznaczamy równanie osi x′, której równaniem jest t′ = 0. W starych

wspóªrz¦dnych przyjmuje ono posta¢

t = βx dla osi x′.

Poªo»enie nowych osi wygl¡da nast¦puj¡co:

Rysunek 4.22: Poªo»enie osi t′, x′ w starym ukªadzie wspóªrz¦dnych. Im wi¦ksza pr¦dko±¢

wzgl¦dna β, tym bardziej osie nachylaj¡ si¦ do linii ±wiata fotonu.

Potra�my ju» wyznaczy¢ poªo»enie nowych osi wspóªrz¦dnych, tak wi¦c pora na wy-

znaczenie jednostki w nowym ukªadzie wspóªrz¦dnych. Posªu»ymy si¦ interwaªem czasoprze-

strzennym, którego warto±¢ jest taka sama w ka»dym inercjalnym ukªadzie wspóªrz¦dnych.

Wzór na interwaª czasoprzestrzenny pomi¦dzy zdarzeniami w jednostkach geometrycznych

(przypomnienie) przyjmuje posta¢: (∆s)2 = (∆t)2 − (∆x)2. Zaªó»my, »e jednym ze zdarze«

jest pocz¡tek ukªadu wspóªrz¦dnych O = (0, 0). Wzór na interwaª czasoprzestrzenny od tego

zdarzenia do ka»dego innego o wspóªrz¦dnych (t, x) wyra»a si¦ wzorem:

s2 = t2 − x2.

Rozwa»my teraz zbiór wszystkich takich zdarze«, których czasoprzestrzenna odlegªo±¢ od O

wynosi s = 1. Zbiór ten opisany jest równaniem

1 = t2 − x2,

które wyznacza hiperbol¦. Sytuacj¦ ilustruje rysunek 4.23.

150


Rysunek 4.23: Po lewej: równanie interwaªu czasoprzestrzennego wyznacza hiperbol¦ (za-

znaczono jedno jej rami¦). Po prawej - odlegªo±¢ od O do ka»dego zdarzenia na hiperboli

wynosi s = 1.

Rysunek 4.24: Geometryczne wyznaczenie jednostki w przeksztaªconym ukªadzie wspóªrz¦d-

nych.

Rysunek 4.25: Transformacja Lorentza przeprowadza siatk¦ wspóªrz¦dnych obserwatora Ow siatk¦ wspóªrz¦dnych obserwatora O′.

Rysunki 4.23 oraz 4.24 ilustruj¡ geometryczny sposób oznaczenia jednostki na osi t′.

�¡cz¡c ostatecznie wnioski prezentowane ilustracjami 4.22 oraz 4.24 otrzymujemy ªadny

geometryczny obrazek transformacji Lorentza:

W nast¦pnej podsekcji poznamy dalsze wªasno±ci omawianego przeksztaªcenia.

151


Grupa symetrii czasoprzestrzeni dwuwymiarowej

Odpowiedzmy najpierw na pytanie, czym charakteryzuj¡ si¦ takie przeksztaªcenia przestrzeni

euklidesowej w siebie jak obroty lub przesuni¦cia. Archimedes nazywaª je sztywnymi, bowiem

przeksztaªcenia te nie zmieniaj¡ relacji odlegªo±ciowych pomi¦dzy punktami w dowolnej kon-

�guracji. Przeksztaªcenia te, nazywane izometriami, zachowuj¡ odlegªo±¢ a co za tym idzie

wszystkie inne wªasno±ci geometryczne przestrzeni. W czasoprzestrzeni, rol¦ takich sztyw-

nych przeksztaªce« speªnia transformacja Lorentza. 'Sztywno±¢' w tym przypadku oznacza,

i» przeksztaªcenie Lorentza zachowuje czasoprzestrzenn¡ odlegªo±¢ (interwaª) pomi¦dzy do-

wolnymi zdarzeniami. W rozdziale o interwale czasoprzestrzennym udowodnione zostaªo,

i» jego warto±¢ pozostaje taka sama - niezale»nie w jakim ukªadzie wspóªrz¦dnych by±my

j¡ obliczali. Dalej, pokazali±my, »e wspóªrz¦dne dwóch obserwatorów inercjalnych wi¡»e

transformacja Lorentza. W zasadzie dowodzi to, i» ta transformacje nie zmienia warto±ci

interwaªu czasoprzestrzennego. Rzecz jest jednak na tyle wa»na, aby pokaza¢ to w sposób

jawny. Ksi¡»ka z STW nie mo»e tego nie pokaza¢!

Zanotujmy wyra¹nie, i» w tej podsekcji posªugujemy si¦ jednostkami geometrycznymi,

dla których c = 1, ponadto kontynuujemy oznaczenia: β = V/c oraz γ = 1/√

1− β2.

Rozwa»my dwa dowolne zdarzenia, które ª¡czy wektor odst¦pu o skªadowych

∆s O= [∆t,∆x]

w ukªadzie wspóªrz¦dnych O. Ten sam wektor w ukªadzie wspóªrz¦dnych O′ zapiszemy po

prostu:

∆s O′

= [∆t′,∆x′].

Zgodnie ze wzorami 4.22 i 'przykªadaj¡c ∆' (wykorzystujemy ich liniowo±¢) otrzymu-

jemy wzory na skªadowe tego wektora w ukªadzie wspóªrz¦dnych O′ wyra»one poprzez jegoskªadowe w O:

∆t′ = +γ ·∆t− γβ ·∆x, (4.23)

∆x′ = −γβ ·∆t+ γ ·∆x.

Niniejszym obliczymy interwaª czasoprzestrzenny pomi¦dzy rozwa»anymi zdarzeniami,

czyli dªugo±¢ wektora odst¦pu ∆s, w ukªadzie wspóªrz¦dnych O′. Szczegóªy rachunku pozo-

152


stawiam Czytelnikowi:

(∆s)2 O′= (∆t′)2 − (∆x′)2 =

= (γ ·∆t− γβ ·∆x)2 − (−γβ ·∆t+ γ ·∆x)2 =

= (∆t′)2 − (∆x)2 O= (∆s)2.

W powy»szych obliczeniach wykorzystali±my, »e γ2(1−β2) = 1. Otrzymany wynik dowodzi,

»e transformacja Lorentza nie zmienia interwaªu czasoprzestrzennego pomi¦dzy dowolnym

zdarzeniami - zachowuje czasoprzestrzenn¡ dªugo±¢ wektora. Tym samym zachowuje ona

geometryczna struktur¦ czasoprzestrzeni.

Poka»emy teraz, »e przeksztaªcenia tego typu tworz¡ grup¦. Po pierwsze oznacza to, »e

zªo»enie dwóch przeksztaªce« Lorentza jest przeksztaªceniem Lorentza. W tym celu wygodnie

jest rozwa»a¢ nasze przeksztaªcenie z O do O′ (wzory 4.23) jako tablic¦ ΛO′O wspóªczynników

mno»¡cych skªadowe wektora:

ΛO′

O =

(γ −γβ−γβ γ

).

Ka»da taka tabliczka reprezentuj¡ca przeksztaªcenie Lorentza ma t¦ wªasno±¢, »e jest syme-

tryczna wzgl¦dem przek¡tnej diagonalnej (od rogu lewego górnego do prawego dolnego), a

ponadto obliczony z niej wyznacznik γ2 − γ2β2 wynosi zawsze jeden; ponadto ka»da tablica

o takiej wªa±nie wªasno±ci jest jakim± przeksztaªceniem Lorentza! Niniejszym znajdziemy

tak¡ tablic¦ reprezentuj¡c¡ zªo»enie dwóch przeksztaªce« Lorentza z ukªadu O do ukªadu O′

i z O′ do O′′. To pierwsze dane jest wzorami 4.23, za± drugie ma posta¢:

∆t′′ = +γ′ ·∆t′ − γ′β′ ·∆x′,

∆x′′ = −γ′β′ ·∆t′ + γ′ ·∆x′

dla jakich± β′ i γ′, takich oczywi±cie, »e γ′2(1 − β′2) = 1. Podstawiaj¡c do powy»szego w

miejsce ∆t′ oraz ∆x′ prawe strony równa« 4.23, nast¦pnie grupuj¡c wyrazy przy ∆t oraz

∆x, mo»emy wynik zªo»enia przeksztaªce« zapisa¢ znowu w postaci tablicy. Czytelnikowi

pozostawiam do sprawdzenia, »e jej posta¢ to:

ΛO′′

O = ΛO′′

O′ ◦ ΛO′

O =

(−γγ′(1 + ββ′) −γγ′(β + β′)

−γγ′(β + β′) −γγ′(1 + ββ′)

).

Powiedzieli±my, »e tabliczka 2 × 2 reprezentuje przeksztaªcenie Lorentza czasoprzestrzeni

dwuwymiarowej, gdy jest symetryczna i jej wyznacznik wynosi jeden. Symetri¦ wzgl¦dem

przek¡tnej diagonalnej wida¢ goªym okiem. Czytelnikowi pozostawiam jako ¢wiczenie ra-

chunkowe obliczy¢ wyznacznik z tej tabliczki i stwierdzi¢, »e wynosi on jeden. Aby zako«-

czy¢ dowód, »e przeksztaªcenia te stanowi¡ grup¦ nale»y wykaza¢, »e istnieje przeksztaªcenie

153


odwrotne. W tym celu przeksztaªcimy wzory 4.23 wyznaczaj¡c ∆t i ∆x wzgl¦dem ∆t′ i ∆x′

(mo»na to zrobi¢ natychmiast zamieniaj¡c β na −β, dlaczego?). Otrzymane w ten sposób

wzory zadaj¡ przeksztaªcenie z ukªadu O′ do O. Rachunek przekonuje, »e tabliczk¡ takiego

odwrotnego przeksztaªcenia jest

ΛOO′ =

(γ +γβ

+γβ γ

).

Zanotujmy, »e i ta tabliczka speªnia wymogi, aby reprezentowa¢ przeksztaªcenie Lorentza

(symetria tabliczki i jej jednostkowy wyznacznik!). Poniewa» ΛO′O dokonuje przeksztaªce-

nia z O do O′ za± ΛOO′ dokonuje przeksztaªcenia z O′ z powrotem do O, to zªo»enie tych

przeksztaªce« dokonuje przeksztaªcenia z O do O - czyli niczego nie dokonuje. Jest to tzw.

przeksztaªcenie identyczno±ciowe I. Zapisujemy, »e:

ΛOO′ ◦ ΛO′

O = ΛOO = I =

(1 0

0 1

).

W celu zako«czenia dowodu, »e przeksztaªcenie Lorentza jest matematyczn¡ struktur¡,

któr¡ nazywamy grup¡, nale»y sprawdzi¢ jeszcze jego ª¡czno±¢. Czytelnikowi pozostawiam

do sprawdzenia, i» zachodzi

ΛO′′′

O′′ ◦ (ΛO′′

O′ ◦ ΛO′

O ) = (ΛO′′′

O′′ ◦ ΛO′′

O′ ) ◦ ΛO′

O ,

gdzie nawiasy wskazuj¡ kolejno±¢ dziaªania. Niniejszym omówili±my wszystkie wªasno±ci

przeksztaªcenia Lorentza czasoprzestrzeni dwuwymiarowej. Czytelnikowi polecam przypo-

mnie¢ sobie z I cz¦±ci ksi¡»ki podsekcj¦ pod tytuªem Grupa symetrii czasoprzestrzeni Galile-

usza. Omówili±my tam poj¦cie grupy symetrii, zaczynaj¡c od przykªadu wyja±niaj¡cego �-

zyczn¡ ide¦ tego poj¦cia. Przeksztaªcenie Lorentza zwi¡zane jest z ruchem wzgl¦dnym dwóch

obserwatorów z pr¦dko±ci¡ V (w naszych oznaczeniach geometrycznych β). Zauwa»my, »e

tak»e przesuni¦cia w czasoprzestrzeni o dowolny wektor v te» nie zmieniaj¡ jej geometrycz-

nej struktury. Tak wi¦c peªna grupa symetrii czasoprzestrzeni dwuwymiarowej, nazywana

grup¡ Poicncare to przeksztaªcenia Lorentza wraz z translacjami. Oznacza to ruch wzgl¦dny

dwóch obserwatorów O i O′, którzy nie ustalili wspólnego zdarzenia zero, tylko przyj¦li

(ka»dy oddzielnie) za swoje chwile zero dwa ró»ne zdarzenia oddzielone wektorem v. Wzory

transformacyjne wygl¡daj¡ wtedy nast¦puj¡co

t′ = +γ · t− γβ · x+ a, (4.24)

x′ = −γβ · t+ γ · x+ b,

przy czym skªadowe wektora v w ukªadzie O to v = [a, b].

154


Grupa Poincare czasoprzestrzeni dwuwymiarowej potrzebuje do opisu 3 parametrów:

pr¦dko±ci wzgl¦dnej - β (γ jest funkcj¡ β), a - warto±ci przesuni¦cia w czasie (danego ob-

serwatora) oraz b - warto±ci przesuni¦cia w jego przestrzeni wzgl¦dnej. Zamiast β mo»na

u»y¢ innego parametru opisuj¡cego ruch wzgl¦dny - o tym jednak opowiemy pó¹niej. Grupa

Poincare to geometryczne uj¦cie zasady Wzgl¦dno±ci.

155


4.5 Skrócenie odcinka (bez transformacji Lorentza)

Autor prezentuje tutaj geometryczne wyprowadzenie tzw., skrócenia Lorentza3. Wyobra¹

sobie Czytelniku, »e autor (obserwator O′) znajduje si¦ w mkn¡cym po torach relatywi-

stycznym poci¡gu, za± przy torach stoi Michaª (obserwator O). Zadaniem nas obu jest

zmierzenie dªugo±ci wagonu, w którym podró»uj¦ ja. Dla mnie sprawa jest trywialna, wyci¡-

gam miark¦, id¦ wzdªu» wagonu i po prostu mierz¦ jego dªugo±¢. Zauwa»my, »e zdarzenie,

które jest pocz¡tkiem pomiaru nie musi by¢ dla mnie równoczesne ze zdarzeniem ko«ca po-

miaru - gdy przykªadam miark¦ do ko«ca wagonu. Michaª jest w trudniejszej sytuacji, je»eli

bowiem w pewnej chwili uchwyci punkt, który jest ko«cem wagonu, za± w par¦ minut pó¹-

niej uchwyci punkt (biegn¡c szybciej od poci¡gu), który jest jego pocz¡tkiem, to jego pomiar

b¦dzie bez sensu, gdy» poci¡g w czasie tych paru minut przemie±ciª si¦ na spor¡ odlegªo±¢.

Michaª musi równocze±nie 'zªapa¢' punkty, które s¡ pocz¡tkiem i ko«cem wagonu. Michaª

potrzebuje wyznaczy¢ w swoim ukªadzie odniesienia dwa równoczesne zdarzenia P i K, przy

okazji których znajduje si¦ pocz¡tek i koniec wagonu, dopiero wtedy ma prawo obliczy¢ dªu-

go±¢ wagonu - jako odlegªo±¢ przestrzenn¡ pomi¦dzy tymi zdarzeniami. Poni»szy rysunek

prezentuje linie ±wiata: Michaªa (O) oraz dwie równolegªe do siebie linie ±wiata pocz¡tku

wagonu i jego ko«ca (O′1 oraz O′1). Jak zobaczymy, oka»e si¦ »e Michaª i ja dostaniemy ró»ne

warto±ci dªugo±ci wagonu!

Rysunek 4.26: Po lewej: zdarzenia P i K s¡ równoczesne dla obserwatora O i wydarzaj¡ si¦

tam, gdzie jest odpowiednio pocz¡tek O′1 i koniec O′2 wagonu. Po ±rodku: procedura pomia-

rowa dªugo±ci wagonu w ukªadzie O. Po prawej: procedura pomiarowa dªugo±ci wagonu w

ukªadzie O′.

Powy»szy rysunek wraz z opisem ilustruje procedur¦ pomiaru dªugo±ci wagonu za po-

moc¡ sygnaªów elektromagnetycznych. Przypomnijmy, »e dªugo±¢ wagonu w moim ukªadzie

odniesienia O′ mierzona jest nast¦puj¡co: jest to poªowa czasu (pomno»ona przez c) jaki

3Podobne podej±cie do zagadnienia, lecz nieco w innej formie, mo»na znale¹¢ w pracy Czasoprzestrze« i

grawitacja A. Trautmana i W. Kopczy«skiego.

156

4.5. SKRÓCENIE ODCINKA (BEZ TRANSFORMACJI LORENTZA)

upªywa na zegarze O′ pomi¦dzy zdarzeniami wysªania sygnaªu i jego rejestracji gdy powraca

odbity z ko«ca wagonu:l′

c=τ ′2 − τ ′1

2.

Pomiar dªugo±ci wagonu przez obserwatora O wygl¡da za± tak, i» wysyªa on dwa sygnaªy

jeden po drugim, przy czym pierwszy sygnaª odbija si¦ od ko«ca wagonu przy okazji zdarzenia

K, za± drugi sygnaª odbija si¦ od pocz¡tku wagonu przy okazji zdarzenia P . Zdarzenia P

i K s¡ dla O równoczesne. Czas wªasny O upªywaj¡cy pomi¦dzy wysªaniem tych dwóch

sygnaªów jest taki sam co czas upªywaj¡cy pomi¦dzy rejestracj¡ odbitych sygnaªów i wynosi

tyle co dªugo±¢ wagonu w ukªadzie O (podzielona przez c): lc.

Aby wyznaczy¢ relacje pomi¦dzy l oraz l′ skorzystamy z twierdzenie Talesa zwi¡zanego

z naszym formalizmem wspóªczynników α. Spójrzmy na poni»szy rysunek 4.27, na którym

oznaczone zostaªy odpowiednie odcinki na liniach ±wiata oraz zgodnie z oznaczeniami na

rysunkach 4.26 zapisane zostaªy ich dªugo±ci.

Rysunek 4.27: Odcinki na liniach ±wiata.

Stosuj¡c formalizm wspóªczynników α w sytuacji zilustrowanej powyzej otrzymuje si¦

równania:

α · lc

= α · τ1 − τ ′1

α(τ ′2 − α · τ1) =l

c,

które warto przepisa¢ w postaci:

α · lc

= α · τ1 − τ ′11

α· lc

= τ ′2 − α · τ1.

Dodaj¡c te równania stronami otrzymujemy:

(α +1

α) · lc

= τ ′2 − τ ′1.

157


Pami¦taj¡c, »e α + 1/α = 2/√

1− β2 oraz, »e 2 · l′/c = τ ′2 − τ ′1 natychmiast otrzymujemy

zwi¡zek:

l =√

1− (V/c)2 · l′, (4.25)

który nazywa si¦ w literaturze przedmiotu skróceniem Lorentza. Dªugo±¢ wªasna l′ jest

wi¦ksza ni» dªugo±¢ odcinka l zmierzona przy okazji zdarze« równoczesnych w ukªadzie, w

którym si¦ on porusza.

Rysunek 4.28: Dªugo±ci pr¦ta mierzone w dwóch ró»nych ukªadach odniesienia ª¡czy zwiazek:

l =√

1− (V/c)2 · l′. Zachodzi zatem nierówno±¢ l < l′. Linie O′1 i O′2 s¡ liniami ±wiata

pocz¡tku i ko«ca pr¦ta i okre±laj¡ jego ukªad spoczynkowy. Uwaga! nie porównujemy

dªugo±ci odcinków euklidesowo!!!

158

Rozdziaª 5

Dynamika STW - tre±¢ ukryta

159

ROZDZIA� 5. DYNAMIKA STW - TRE�� UKRYTA Mariusz Mroczek

160

Rozdziaª 6

Geometryczne aspekty STW - tre±¢

ukryta

161

ROZDZIA� 6. GEOMETRYCZNE ASPEKTY STW - TRE�� UKRYTA Mariusz Mroczek

162

Dodatek matematyczny

tre±¢ aktualnie ukryta

163

Bibliogra�a

[1] Albert Einstein, 5 prac, które zmieniªy oblicze �zyki, Wydawnictwo Uniwersy-

tetu Warszawskiego 2008.

[2] Roger Penrose, Droga do rzeczywisto±ci, Prószy«ski i S-ka.

[3] Roger Penrose, W. Rindler Spinors and spac-etime. Volume I, Two-Spinor

Calculus, Cambridge University Press 1986.

[4] Roger Penrose, W. Rindler Spinors and spac-etime. Volume II, Spinor and

twistor method in space-time geometry, Cambridge University Press 1986.

[5] Wojciech Kopczy«skie, Andrzej Trautman, Czasoprzestrze« i grawitacja, Pa«-

stwowe Wydawnictwo Naukowe 1981.

[6] Bernard F. Schutz, Wst¦p do Ogólnej Teorii Wzgl¦dno±ci, Wydawnictwo Na-

ukowe PWN 1995 (tªumaczenie Wojciech Kopczy«ski).

[7] Andrzej Trautman, O tym, jak nietoperze obaliªy teorie wzgl¦dno±ci, Post¦py

Fizyki - Tom 45 - Zeszyt 1 - 1994.

[8] Andrzej Szymacha, Szczególna Teoria Wzgl¦dno±ci - 100 lat pó¹niej, wykªad,

Festiwal Nauki 2005.

[9] Andrzej Szymacha, Przestrze« i ruch, Wydawnictwo Uniwersytetu Warszaw-

skiego 2002.

[10] Andrzej Kajetan Wróblewski, Einstein i �zyka 100 lat temu, Post¦py Fizyki -

Tom 57 - Zeszyt 4 - 2006.

[11] �ukasz A. Turski, Annus mirabilis 1905: wtedy i dzi±, Post¦py Fizyki - Tom

56 - Zeszyt 6 - 2005.

[12] Stanisªaw L. Ba»a«ski, Powstawanie i wczesny odbiór szczególnej teorii wzgl¦d-

no±ci , Post¦py Fizyki - Tom 56 - Zeszyt 6 - 2005.

165

BIBLIOGRAFIA Mariusz Mroczek

166

Skorowidz

Tre±¢ jest aktualnie ukryta.

167

CZAS I PRZESTRZE , GEOMETRIA I SYMETRIAteoriawzglednosci.pl/publikacja/poczatek_koniecII.pdf ·...

Documents

Transcript of CZAS I PRZESTRZE , GEOMETRIA I SYMETRIAteoriawzglednosci.pl/publikacja/poczatek_koniecII.pdf ·...