Iteracyjne wyrównywanie sieci geodezyjnych

Współrzędne przybliżone

Obliczenie dokładnych współrzędnych opiera się na następujących założeniach:

-Musi być zdefiniowany układ współrzędnych:

w sieciach niwelacyjnych – co najmniej 1 reperw sieciach płaskich - co najmniej 2 punkty znanew sieciach przestrzennych – co najmniej 3 punkty.przy pomiarach GPS – określone odwzorowanie.

-Pomiary terenowe muszą być przetworzone:

należy uwzględnić wszystkie niezbędne poprawki (temperatura, ciśnienie, odwzorowanie, stałe reflektora, przejście z 3D na 2D, itd.)

Zależnie od rodzaju sieci, stosuje się różne sposoby obliczenia współrzędnych przybliżonych szukanych punktów:

x

Rp

h

hHH Rpx 0

Niwelacja

Sieci kątowe:

Wcięcie w przód

Wcięcie wstecz

Sieci kątowo-liniowe:

Wcięcie kątowo-liniowe

Wcięcie liniowe

Sieci liniowe:

4

3

2

1

B

A

Wcięcia liniowe i transformacja współrzędnych

Problem wyrównania iteracyjnego może pojawić się w zadaniu, w którym funkcja wiążąca spostrzeżenia i niewiadome nie jest liniowa, a przybliżone wartości niewiadomych wyznaczono z niewystarczającą dokładnością.

Nie dotyczy to sieci niwelacyjnych ponieważ tam funkcje w równaniach obserwacyjnych są zawsze liniowe.

Dla wyrównania metodą najmniejszych kwadratów konieczne są liniowe funkcje niewiadomych w równaniach poprawek:

L+v = f(x)

W celu doprowadzenia funkcji do postaci liniowej rozwija się ją w szereg Taylora:

22

2

00

0021

)( xXf

xXf

XfxXfXXXX

Y = f(X)

X

f(X)

f(X0+x)

xXf

XfXX

0

)( 0

X0X0 + x

x

0XXXf

Rysunek pokazuje różnicę między funkcją f(X) i jej rozwinięciem w szereg Taylora z pominięciem wyrazów wyższych stopni.

Rysunek pokazuje różnice między funkcją f(X) i jej rozwinięciem w szereg Taylora z pominięciem wyrazów wyższych stopni. W celu zmniejszenia tych różnic postępowanie iteracyjne polega na zmianie wartości przybliżonej niewiadomych, w taki sposób, że wynik poprzedniego wyrównania jest traktowany jako wartość przybliżona dla nowej iteracji:

1. Iteracja: X0 → X1 = X0 + x1

2. Iteracja: X01= X1 → X2 = X1 + x2

itd..

Kryterium przerwania:

Opisana procedura w postaci programu komputerowego wymaga zastosowania jakiegoś kryterium przerwania obliczeń – w przeciwnym wypadku będzie działać w nieskończoność.

Jedną z możliwości jest że norma wektora parametrów x ma być mniejsza od zadanej wartości granicznej εx np. εx =10-3

Drugie kryterium można zbudować w oparciu o wzór:

ε vvll TT

Przykład:

Współrzędne przybliżone:

P0 150.00 150.00

Funkcja zależności azymutu od współrzędnych

AB

ABAB XX

YYarctg

A

B

AB

x

Funkcja po rozwinięciu w szereg Taylora

BBBBAAAAABAB ybxaybxa 0

00

00

0

AB

ABAB XX

YYarctg

AB aa

AB bb

"206265"

*

)()(

)(22

0000

00

ABAB

AB

AA YYXX

YY

Xa

*

)()(

)(22

0000

00

ABAB

AB

AA YYXX

XX

Yb

cccc 636620

Równanie kąta

S

L

P

x

P

L

LP

Równanie błędów dla kąta

iiii lybxav

)()()(2

LoPoPLPL

SS

LL

LL

PP

PP

bbaa

yx

ba

yx

ba

yxv

lbbaa

yx

ba

yx

ba

yxv

PLPL

SS

LL

LL

PP

PP

2)()(

lybbxaaybxaybxav SPLSPLLLLLPPPP )()(

Przykład

L

S

P

(1000,1000)

(1400,1500)

(600,1600)

= 80,3892

4334,1370447,57 PL 3887,800

09,62137,776 LL ba

71,48956,734 PP ba

580,111080,4109,62137,77671,48956,734 SSLLPP yxyxyxv

580,111080,41 SS yxv

Wcięcie wsteczA

B

C

D

P

1111 lybxav PP

2222 lybxav PP

3333 lybxav PP

Zapis macierzowy zadania:

LAxV

3

2

1

33

32

31

3

2

1

;;;

l

l

l

ba

ba

ba

y

x

v

v

v

LAAAx

LxAvT1T

kąt obl. a b l

147.2563

0 572.46 124.7638302.0

234.7456

3 -185.73 456.92 9895.7

359.0109

1 49.30 744.0533015.9

364636.6 23238.02 x2171611

8

23238.02 777951.3 y3386558

1

N X ATL

Współczynniki równań błędów:

Równania normalne: LAxA)(A TT

Obliczenie poprawek niewiadomych i spostrzeżeń:

Rozwiązanie:

X V

56.9 -51641.8 -13484986.373 914

2918320

Kryteria przerwania:

1 71

2 2652099415

xx T

vvll TT

L)(AA)(Ax T1T

LxAv

P 206.89 191.83

Druga iteracja.

kąt obl. a b l

151.35616 669.94 152.15-2696.6

235.50365-255.07 500.72 2315.5

362.11001 -59.56 747.88 2024.9

517427.7 -70331 x

-2517778

-70331833194.

6 y 2263512N X ATL

LAxA)(A TT Równania normalne:

Rozwiązanie:

X V-4.5 4.02.3 12.826.1 -9.4

268.7Kryteria przerwania:

1 5

2 16733143.2

Obliczenie poprawek niewiadomych i spostrzeżeń:

xx T

vvll TT

L)(AA)(Ax T1T

LxAv

512315.6

-72257.7 x 2136.16

-72257.7845440.

7 y3822.22

5N X ATL

Trzecia iteracja:

Kat obl. a b l

151.08629 668.44 144.10 2.1

235.73567-

249.62 504.39 -4.7

362.31172 -56.51 755.16 7.8

  X Y

P202.34

1194.16

5

Równania normalne: LAxA)(A TT

Rozwiązanie:

X V0.0049 1.90.0049 6.00.00004

8 -4.358.1

Kryteria przerwania:

1 0.0069

2 29.3

Obliczenie poprawek niewiadomych i spostrzeżeń:

xx T

vvll TT

L)(AA)(Ax T1T

LxAv

Czwarta iteracja:

Równania normalne: LAxA)(A TT

  X Y

P202.34

6194.17

0

kąt obl. a b l

1 51.08669 668.45 144.10 -1.9

2 35.73580 -249.63 504.40 -6.0

3 62.31206 -56.52 755.17 4.4

512335-

72271.9 x -20.963-

72271.9845465.

9 y 22.558N X ATL

Obliczenie poprawek niewiadomych i spostrzeżeń:

xx T

vvll TT

L)(AA)(Ax T1T

LxAv Rozwiązanie:

X V-0.000038 1.90.000023 6.01.965E-

09 -4.458.97

Kryteria przerwania:

1 0.000044

2 0.0013

P1 202.35 194.17

V

1 1.9

2 6.0

3 -4.3

L + v Kąt obl.

1 51.08669 51.08669

2 35.73580 35.73580

3 62.31207 62.31206

Wyrównane współrzędne:

[vv]=58.08

m0=7.6 cc

mx=0.011 mmy=0.008 m

Ocena dokładności: