introduction to game theory (not mine)

TEORIA GIER

Wprowadzenie

Podstawoweinformacje

Dylematwieznia

Strategie

RwnowagaNasha

Jakwygrywac?

TEORIA GIER

16 maja 2007

TEORIA GIER

WprowadzenieNa poczatek...

Troche historii


Dylematwieznia

Strategie

RwnowagaNasha

Jakwygrywac?

Co to jest teoria gier? :-)

Teoria gier jest dziedzina zajmujaca sie opisemrznych sytuacji, w ktrych uczestnicza podmiotyswiadomie podejmujace pewne decyzje, w wynikuktrych nastepuja rozstrzygniecia mogace zmienicich poozenie.

Teoria gier zajmuje sie przede wszystkim sytuacjamikonfliktowymi, ale rwniez sytuacjami, w ktrych in-teresy graczy sa zgodne, ale ze wzgledu na kopotyw porozumiewaniu sie trudno im ustalic jednolitysposb postepowania.

Prezentacja wykorzystuje materiay ze strony internetowej: http://akson.sgh.waw.pl/mproch

TEORIA GIER


Troche historii


Dylematwieznia

Strategie

RwnowagaNasha

Jakwygrywac?

Matematyka w teorii gier

Matematyka jest wszechobecna w teorii gier jako narzedzie,

ale rwniez teoria gier inspiruje badania matematyczne.Wiele dziedzin matematyki, np. optymalizacja wielokryteri-alna, analiza nieliniowa, a nawet podstawy matematyki, teo-ria zbiorw, posiada twierdzenia inspirowane odkryciami zzakresu teorii gier.

TEORIA GIER


Troche historii


Dylematwieznia

Strategie

RwnowagaNasha

Jakwygrywac?

Troche historii

Rok 1944to powszechnie uznana data narodzin teorii gier. Wydanowwczas monografie Johna von Neumanna i OskarMorgensterna "Teoria gier i postepowanie ekonomiczne"

Rok 1994- Nagrode Nobla z dziedziny ekonomii otrzymujatrzej wybitnispecjalisci od teorii gier: John Nash, John Harsnyi orazReinhard Selten -

Ostatnie 30 latto czas rosnacego zainteresowania rznych nauk teoria gier.Teorie gier wykorzystuje sie gwnie w: ekonomii, naukachpolitycznych, socjologii, psychologii, biologii, informatyce.

TEORIA GIER

Wprowadzenie

PodstawoweinformacjeElementy gry

Rodzaje gier

Dylematwieznia

Strategie

RwnowagaNasha

Jakwygrywac?

Elementy gry

GraczeGraczy musi byc co najmniej dwch.Graczami moga byc osoby, przedsiebiorstwa, kraje itp.

Strategie (mozliwe sposoby postepowania graczy)Strategia to kompletny opis postepowania gracza wkazdej sytuacji, w jakiej moze sie znalezc.

WypatyWszystkim strategiom sa przypisane odpowiednie wypatydla poszczeglnych graczy, ktre moga miec rzna postac:

Pieniezna (np. osiagniete zyski, poniesione koszty)Niepieniezna (np. zdobycze terytorialne, liczba zabitychzonierzy wroga)

WAZNE ZAOZENIE:Kazdy gracz chce jak najlepiej dla siebie, czyli maksymalizujeswoje zyski lub minimalizuje straty.

TEORIA GIER

Wprowadzenie


Rodzaje gier

Dylematwieznia

Strategie

RwnowagaNasha

Jakwygrywac?

Oglny podzia gier

Gry mozemy podzielic wedug wielu rznych kryteriw.jedno- i wieloetapowez pena i niepena informacjaz kompletna i niekompletna pamieciajednorazowe i powtarzalne (skonczony lub nieskonczonyhoryzont czasowy)z 2 graczami oraz z 3 i wiecej graczami

TEORIA GIER

Wprowadzenie


Rodzaje gier

Dylematwieznia

Strategie

RwnowagaNasha

Jakwygrywac?

Gry o staej sumie

Gry, w ktrych suma wypat obu graczy jest staa,nazywamyGRAMI O STAEJ SUMIE.W grach takich znajac wynik jednego gracza mozemyokreslic wynik drugiego gracza.Szczeglnym przypadkiem gier o staej sumie saGRY O SUMIE ZEROWEJ,w ktrych suma wypat obu graczy jest rwna zero.

TEORIA GIER

Wprowadzenie


Rodzaje gier

Dylematwieznia

Strategie

RwnowagaNasha

Jakwygrywac?

Gry macierzowe

Gry dwuosobowe o sumie zerowej - i o skonczonejliczbie strategii kazdego gracza - toGRY MACIERZOWE- ich nazwa stad, ze w kazdej komrce tabeli wystarczywpisac jedna liczbe.Inne dwuosobowe gry ze skonczona liczba strategiikazdego gracza nazywamyGRAMI DWUMACIERZOWYMI(w kazdej komrce tabeli sa dwie liczby, a macierz,ktrej elementem sa pary liczb, to wasciwie to samo,co para macierzy).

TEORIA GIER

Wprowadzenie


Rodzaje gier

Dylematwieznia

Strategie

RwnowagaNasha

Jakwygrywac?

Gry jednoetapowe

Gra jednoetapowa charakteryzuje sie tym, ze graczepodejmuja decyzje jednoczesnie (w tym samym momencie).Gry jednoetapowe to jednoczesnie gry z niepenainformacja - kazdy gracz podejmuje decyzje nie znajacdecyzji podjetych przez pozostaych graczy.UWAGA! Przykadem gry wieloetapowej sa szachy :-)

TEORIA GIER

Wprowadzenie


DylematwiezniaOpis gry

Graficzna postac gry

Strategie

RwnowagaNasha

Jakwygrywac?

Co to jest dylemat wieznia?

Jacek i Placekzostali aresztowani za wsplnie dokonane przestepstwo.Urwisw policja przesuchuje oddzielnie i maja dodyspozycji nastepujace mozliwosci:

przyznac sie do winynie przyznac sie do winy.

Co moze sie zdarzyc?

Jesli obydwaj przyznaja sie do winy,kazdy zostanie skazany na 5 miesiecy wiezienia.

Jesli zaden z nich nie przyzna sie do winy,obydwaj dostana 2 miesiace wiezienia.

Jesli jeden z nich przyzna sie do winy, a drugi nie,wwczas ten, ktry sie przyzna, zostanie skazany na 1miesiac wiezienia, a ten, ktry sie nie przyzna, dostaniekare 12 miesiecy wiezienia.

TEORIA GIER

Wprowadzenie




Strategie

RwnowagaNasha

Jakwygrywac?

Wypaty

WypataJacka

WypataPlacka

Obydwaj sie przyznaja -5 -5Zaden sie nie przyznaje -2 -2Jacek sie przyznaje, a Placek nie -1 -12Placek sie przyznaje, a Jacek nie -12 -1

Cel kazdego gracza:

Maksymalizacja wypaty, czyli jak najkrtszy pobyt w wiezieniu.

Sytuacja konfliktowa:

Decyzja jednego gracza wpywa na wypate drugiego gracza.

TEORIA GIER

Wprowadzenie




Strategie

RwnowagaNasha

Jakwygrywac?

Postac normalna

Gracz 1Gracz 2 Przyznac sie Nie przyznac siePrzyznac sie (-5, -5) (-1, -12)Nie przyznac sie (-12, -1) (-2, -2)

Postacia normalna gry jest tabelka.W wierszach sa podane strategie gracza 1 (Jacka).W kolumnach sa podane strategie gracza 2 (Placka).W komrkach podane sa wypaty obu graczyodpowiadajace poszczeglnym strategiom.Na pierwszym miejscu znajduja sie wypaty gracza 1,a na drugim miejscu znajduja sie wypaty gracza 2.

TEORIA GIER

Wprowadzenie


Dylematwieznia

StrategieDominujaca izdominowana

Strategie dladylematu wieznia

Inny przykad

Saba i mocnadominacja

RwnowagaNasha

Jakwygrywac?

Strategia dominujaca i zdominowana

Strategia dominujacato najlepsza ze wszystkich mozliwych strategii, niezaleznieod decyzji, jaka podejmie drugi gracz.

Strategia zdominowana

to taka strategia, wzgledem ktrej istnieje strategia, ktra jestzawsze lepsza, niezaleznie od decyzji, jaka podejmie drugigracz.(takich strategii moze byc wiele).

TEORIA GIER

Wprowadzenie


Dylematwieznia



Inny przykad


RwnowagaNasha

Jakwygrywac?

Dylemat wieznia (1)

JacekPlacek Przyznac sie Nie przyznac siePrzyznac sie (-5, -5) (-1, -12)Nie przyznac sie (-12, -1) (-2, -2)

Jezeli Jacek przyzna sie do winy,Placek przyznajac sie zostanie skazany na 5 miesiecywiezienia, zas nie przyznajac sie zostanie skazany na 12miesiecy wiezienia.Lepszym wyborem dla Placka jest zatem "przyznac sie".

Jezeli Jacek nie przyzna sie do winy,Placek przyznajac sie zostanie skazany na 1 miesiacwiezienia, zas nie przyznajac sie zostanie skazany na 2miesiace wiezienia.Rwniez teraz lepszym wyborem dla Placka jest "przyznacsie".

TEORIA GIER

Wprowadzenie


Dylematwieznia



Inny przykad


RwnowagaNasha

Jakwygrywac?

Dylemat wieznia (2)

A zatem niezaleznie od decyzji Jacka, zawsze dla Plackakorzystniej jest przyznac sie do winy.Decyzja o nieprzyznaniu sie do winy zawsze bedzie decyzjagorsza.Dla Placka strategia dominujaca bedzie przyznac sie dowiny, natomiast nie przyznac sie do winy bedziezdominowana.Tak samo bedzie dla Jacka :-)

TEORIA GIER

Wprowadzenie


Dylematwieznia



Inny przykad


RwnowagaNasha

Jakwygrywac?

Inny przykad

Gracz 2Gracz 1 Strategia A Strategia BStrategia A (5; 7) (6; 9)Strategia B (3; 4) (4; 5)

Dla gracza 1 strategia dominujaca jest strategia A:

jezeli gracz 2 zagra A, to gracz 1 wybierajac A otrzyma 5,a gdyby wybra B otrzymaby tylko 3;jezeli gracz 2 zagra B, to gracz 1 wybierajac A otrzyma 6,a gdyby wybra B otrzymaby tylko 4.

Dla gracza 2 strategia dominujaca jest strategia B:

jezeli gracz 1 zagra A, to gracz 2 wybierajac A otrzyma 7, zas wybierajac B otrzyma 9;jezeli gracz 1 zagra B, to gracz 2 wybierajac A otrzyma 4, zas wybierajac B otrzyma 5.

Dla gracza 1 strategia zdominowana jest strategia B (3 < 5 i 4 < 6).

Dla gracza 2 strategia zdominowana jest strategia A (7 < 9 i 4 < 5).

TEORIA GIER

Wprowadzenie


Dylematwieznia



Inny przykad


RwnowagaNasha

Jakwygrywac?

Strategia sabodominujaca i mocnodominujaca

Co jednak zrobic z taka sytuacja, gdy jakas strategia nie jeststrategia dominujaca, a jednoczesnie pozwala na osiagnieciegraczowi najwyzszych wypat, niezaleznie od decyzji, jaka podjaprzeciwnik?

STRATEGIE DOMINUJACE

MOCNO DOMINUJACESABO DOMINUJACE

STRATEGIE ZDOMINOWANE

MOCNOSABO

Strategia sabodominujacato taka strategia, dla ktrej nie istnieje strategia lepsza przydowolnej decyzji, jaka podjaby drugi gracz.Strategia sabozdominowanato taka strategia, dla ktrej istnieje(a) strategia(e), ktra(e)jest(sa) zawsze niegorsza(e), niezaleznie od decyzji, jakapodejmie drugi gracz.

TEORIA GIER

Wprowadzenie


Dylematwieznia



Inny przykad


RwnowagaNasha

Jakwygrywac?

Przykad - mocna i saba dominacja

W ponizszym przykadzie wystepuje mocna i saba dominacja.Gracz 2

Gracz 1 Strategia C Strategia DStrategia A (5; 2) (6; 1)Strategia B (4; 3) (6; 1)

Dla gracza 2

strategia C jest strategia mocnodominujaca(2 > 1 i 3 > 1)strategia D jest strategia mocnozdominowana(1 < 2 i 1 < 3).

Dla gracza 1

strategia A jest strategia sabodominujaca(5 4 i 6 6)zas strategia B jest strategia sabozdominowana(4 5 i 6 6).

TEORIA GIER

Wprowadzenie


Dylematwieznia

Strategie

RwnowagaNashaCo to jest?

Dla dylematu wieznia

Algorytm szukania

Strategie czyste imieszane

Podsumowanie

Jakwygrywac?

Co to jest rwnowaga Nasha?

Rwnowaga Nasha

(zwana po prostu rwnowaga) to takie pary strategii, ktresa najlepszymi odpowiedziami na siebie nawzajem.

Gdy w grze zostanie osiagnieta rwnowaga Nasha,zaden z graczy nie moze poprawic swojego wynikupoprzez jednostronna zmiane wybranej strategii.W jednej grze moze byc kilka rwnowag Nasha.W rwnowadze Nasha wybr przez jednego z graczydanej strategii jest najlepsza odpowiedzia na strategiedrugiego gracza i na odwrt, strategia drugiego graczajest najlepsza odpowiedzia na strategie pierwszegogracza.

TEORIA GIER

Wprowadzenie


Dylematwieznia

Strategie



Algorytm szukania


Podsumowanie

Jakwygrywac?

Dylemat wieznia (1)

W dylemacie wieznia Jacek i Placek mieli strategiedominujaca "przyznac sie".Rwnowaga Nasha w tej grze bedzie zatem kombinacja("przyznac sie", "przyznac sie").

Gdy obaj gracze przyznaja sie do winy, zaden z nichnie zwiekszyby swojej wypaty zmieniajac jednostronniestrategie i nie przyznajac sie do winy. Jezeli bowiemPlacek przyzna sie do winy, najlepsza odpowiedzia Jackajest takze przyznac sie i na odwrt, jezeli Jacekprzyzna sie do winy, najlepsza odpowiedzia Placka jestrwniez przyznanie sie do winy.

TEORIA GIER

Wprowadzenie


Dylematwieznia

Strategie



Algorytm szukania


Podsumowanie

Jakwygrywac?

Dylemat wieznia (2)

Uwaga!

Rwnowaga Nasha nie oznacza tego, ze obaj gracze osia-gaja najwieksze mozliwe wypaty.

Jak zauwazylismy, gdyby obaj gracze nie przyznali sie dowiny, uzyskaliby wyzsze wypaty niz przyznajac sie do winy.Nie jest jednak rwnowaga Nasha, bo takie rozwiazaniezakada wspprace obu graczy (musieliby wybrac strategiezdominowane!).

TEORIA GIER

Wprowadzenie


Dylematwieznia

Strategie



Algorytm szukania


Podsumowanie

Jakwygrywac?

Algorytm szukania rwnowagi Nasha

Rozwazmy nastepujaca gre:Gracz 2

Gracz 1 Strategia D Strategia E Strategia FStrategia A (10; 12) (1; 9) (5; 1)Strategia B (2; 6) (3; 8) (4; 7)Strategia C (6; 7) (1; 8) (4; 6)

TEORIA GIER

Wprowadzenie


Dylematwieznia

Strategie



Algorytm szukania


Podsumowanie

Jakwygrywac?

Algorytm szukania rwnowagi Nasha - KROK 1

Dla kazdej strategii gracza 2 kolorem czerwonym oznaczmynajlepsza strategie (odpowiedz) gracza 1.W naszym przypadku:

gdy gracz 2 wybra strategie D, gracz 1 powinien wybracstrategie A;

gdy gracz 2 wybra strategie E, gracz 1 powinien wybracstrategie B;

gdy gracz 2 wybra strategie F, gracz 1 powinien wybracstrategie A.

Gracz 2Gracz 1 Strategia D Strategia E Strategia FStrategia A (10; 12) (1; 9) (5; 1)Strategia B (2; 6) (3; 8) (4; 7)Strategia C (6; 7) (1; 8) (4; 6)

TEORIA GIER

Wprowadzenie


Dylematwieznia

Strategie



Algorytm szukania


Podsumowanie

Jakwygrywac?


Dla kazdej strategii gracza 1 kolorem zielonym oznaczmynajlepsza strategie (odpowiedz) gracza 2.W naszym przypadku:

gdy gracz 1 wybra strategie A, gracz 2 powinien wybracstrategie D;

gdy gracz 1 wybra strategie B, gracz 2 powinien wybracstrategie E;

gdy gracz 1 wybra strategie C, gracz 2 powinien wybracstrategie E.

Gracz 2Gracz 1 Strategia D Strategia E Strategia FStrategia A (10; 12) (1; 9) (5; 1)Strategia B (2; 6) (3; 8) (4; 7)Strategia C (6; 7) (1; 8) (4; 6)

TEORIA GIER

Wprowadzenie


Dylematwieznia

Strategie



Algorytm szukania


Podsumowanie

Jakwygrywac?


Rwnowagami Nasha beda te komrki tabeli (a co za tym idzie -odpowiadajace im pary strategii), w ktrych bedzie kolor zielony iczerwony.

gracz 1 wybiera strategie A, a gracz 2 - strategie D (wypatywynosza 10 dla gracza 1 oraz 12 dla gracza 2);

gracz 1 wybiera strategie B, a gracz 2 - strategie E (wypatywynosza 3 dla gracza 1 oraz 8 dla gracza 2).

Gracz 2Gracz 1 Strategia D Strategia E Strategia FStrategia A

(10; 12) (1;9) (5;1)Strategia B (2;6)

(3; 8) (4;7)Strategia C (6;7) (1;8) (4;6)

TEORIA GIER

Wprowadzenie


Dylematwieznia

Strategie



Algorytm szukania


Podsumowanie

Jakwygrywac?

Strategie czyste i mieszane

Dotychczas kazdy z graczy dokonywa wyboru danejstrategii z cakowita pewnoscia. Stosowa zatem strate-gie czyste. Uzyskane w taki sposb rwnowagi Nashanosza nazwe rwnowag Nasha w strategiach czystych.

W odrznieniu od strategii czystych, strategie mieszanezakadaja, ze gracze w sposb losowy decyduja o wyborzejednej ze swoich strategii czystych.Rwnowagami Nasha w strategiach mieszanychbedziemy okreslac takie rwnowagi, w ktrych graczestosuja strategie mieszane.

TEORIA GIER

Wprowadzenie


Dylematwieznia

Strategie



Algorytm szukania


Podsumowanie

Jakwygrywac?

Na czym polegaja strategie mieszane?

Jezeli nie wystepuje rwnowaga Nasha w strategiachczystych, gracze musza stosowac strategie mieszane.Strategie mieszane

polegaja na tym, ze gracze w sposb losowy z okreslonymprawdopodobienstwem wybieraja swoje strategie czyste.

Przyjete przez jednego z graczy wartosciprawdopodobienstwa musza byc takie, ze wielkosci wypatdrugiego gracza zrwnaja sie dla kazdej z czystych strategiinalezacych do zbioru jego mozliwych posuniec.

TEORIA GIER

Wprowadzenie


Dylematwieznia

Strategie



Algorytm szukania


Podsumowanie

Jakwygrywac?

W kazdej grze wystepuje rwnowaga Nasha :)

W kazdej grze (o skonczonej liczbie graczy i ruchw)istnieje co najmniej jedna rwnowaga Nasha. Jezelinie ma rwnowagi w strategiach czystych, to na pewnowystepuje rwnowaga Nasha w strategiach mieszanych.Moze sie tez zdarzyc, ze w jakiejs grze wystepujazarwno rwnowagi Nasha w strategiach czystych, jak imieszanych.

TEORIA GIER

Wprowadzenie


Dylematwieznia

Strategie



Algorytm szukania


Podsumowanie

Jakwygrywac?

Mozliwe ukady rwnowagi w grze 2 X 2

Kazda gra 2 x 2

ma jeden z wymienionych ponizej ukadw rwnowag:

jedna rwnowagetrzy rwnowagi (dwie w strategiach czystych i jedna wstrategiach mieszanych)dwie rwnowagi (obie w strategiach czystych)nieskonczenie wiele rwnowag, w tym dwie, trzy lubcztery w strategiach czystych

TEORIA GIER

Wprowadzenie


Dylematwieznia

Strategie

RwnowagaNasha

Jakwygrywac?Optymalnepostepowanie

Regua wyborurwnowagi

Jak grac optymalnie?

Jakie dziaanie, najlepiej suzace osiagnieciu jego celw,powinien podjac gracz, kiedy rywalizuje z innym graczem,ktrego postepowanie jest podporzadkowane wasnym in-teresom?

TEORIA GIER

Wprowadzenie


Dylematwieznia

Strategie

RwnowagaNasha



Oto odpowiedz :)

Teoria gier dostarcza nastepujacej odpowiedzi:

W sytuacjach, w ktrych konkurenci podejmujadziaania niezaleznie od siebie (a zatem niemozliwajest zmowa), kazdy gracz powinien stosowac strategiezapewniajaca osiagniecie rwnowagi.Strategia zapewniajaca rwnowage pozwalazmaksymalizowac wielkosc wypaty kazdego z graczyw warunkach okreslonych przez wybr strategiidokonany przez przeciwnika.Regua powyzsza oznacza, ze kazdy z graczy powinienwybrac strategie zapewniajaca rwnowage Nasha.Jezeli jest kilka rwnowag Nasha, nie ma powszechniestosowanej reguy dotyczacej tego, ktra z rwnowagnalezy wybrac.

TEORIA GIER

Wprowadzenie


Dylematwieznia

Strategie

RwnowagaNasha



Regua wyboru rwnowagi

Regua najlepszej rwnowagi

zaproponowana przez Harsnyiego i Seltena jest nastepu-jaca:

sposrd wszystkich rwnowag gracze powinni wybracrwnowage dominujaca ze wzgledu na wypaty; (takarwnowaga, w ktrej wypata kazdego z graczy jestnajwieksza ze zbioru wypat danego gracza wewszystkich rwnowag Nasha)jezeli nie ma rwnowagi dominujacej ze wzgledu nawypaty, gracze powinni wybrac rwnowage dominujacaze wzgledu na ryzyko (taka rwnowaga, ktraodznacza sie najmniejszym ryzykiem zwiazanym zwyborem poszczeglnych strategii).

WprowadzenieNa poczatek...Troche historii

Podstawowe informacjeElementy gryRodzaje gier

Dylemat wiezniaOpis gryGraficzna postac gry

StrategieDominujaca i zdominowanaStrategie dla dylematu wiezniaInny przykadSaba i mocna dominacja

Rwnowaga NashaCo to jest?Dla dylematu wiezniaAlgorytm szukaniaStrategie czyste i mieszanePodsumowanie

Jak wygrywac?Optymalne postepowanieRegua wyboru rwnowagi

introduction to game theory (not mine)

Documents

Transcript of introduction to game theory (not mine)