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Interferometrie einesPlasmadichtegradienten in einer

Gasentladungskapillare

Benjamin Marx

Munchen 2008

Interferometrie einesPlasmadichtegradienten in einer

Gasentladungskapillare

Benjamin Marx

Diplomarbeitan der Fakultat fur Physik

der Ludwig–Maximilians–UniversitatMunchen

vorgelegt vonBenjamin Marxaus Munchen

Munchen, den 22.2.2008

Erstgutachter: Prof. Dr. D. Habs

Zweitgutachter: Prof. Dr. H. Wolter

Betreuer: Dr. Stefan Karsch und Dr. Florian Gruner

Zusammenfassung

summary

Already 1979 Dawson and Tajima ([?]) predicted, that accelerating particles by focusinghigh-intensity lasers in plasma would not only be possible, but also have advantages overconventional accelerators. Especially the high field gradients that can be achieved in alreadyionized matter could cut down the acceleration distances from the kilometer to the millimeterscale. With the development of high-intensity, short-pulse CPA (chirped pulse amplification)laser systems their vision could be proven right in several experiments ([?], [?], [?]) conductedall over the world. The highest energies to date were demonstrated in a gas-filled capillarydischarge waveguide. By keeping the laser focused to high intensities over 15 to 33 mm energiesof up to 1 GeV could be reached ([?],[?] ). In the presented work this further improvementof this acceleration scheme should be accomplished by redesigning the existent discharge-capillary waveguide setup. According to theory one possible way towards even higher electronenergies is a two-step acceleration in two different plasma density regimes (section 2.2), whichrequires a longitudinal density gradient within one capillary. Simulations of gas dynamics ina capillary are presented that help to establish a basic understanding of the modificationsthat are necessary in the setup. It is shown that a steep gradient can only be realized ifseveral gas inlets supplied with different backing pressures are arranged in a way, that isclose to a Laval nozzle. The existing capillary setup was then adapted correspondingly, suchthat distinct gas reservoirs could be connected simultaneously. In order to have the gas inletsin the required sizes and distances and also to be able to further change the design of thecapillary itself, a femtosecond-laser sapphire machining facility was set up. This allows fora exact implementation of the simulated capillary design. Finally, the achieved gas densityprofile was measured by means of shearing interferometry. On the one hand the transverseparabolic density profile that is needed for the capillary to work as a waveguide could bemeasured and reconstructed. On the other, a longitudinal density profile in the modifiedcapillary setup could be demonstrated. In conclusion, a modified discharge-capillary waveguidefor laser driven electron acceleration was simulated, designed and implemented. All necessarytools including a facility to individually machine the capillaries were provided. Interferometricmeasurements demonstrated, that a density gradient can be generated. The permanent setupof a interferometer to characterize gas densities will help to further investigate gas dynamicsin the capillary.

Inhaltsverzeichnis

Zusammenfassung 4

summary 5

1 Einleitung 81.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2 Struktur der Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 Theoretische Grundlagen zur Elektronenbeschleunigung mit Lasern 102.1 Elektronenbeschleunigung mit Lasern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.1.1 Plasmawellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.1.2 Anregung einer Plasmawelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.1.3 Injektion und Beschleunigung von Elektronen . . . . . . . . . . . . . . 132.1.4 Das bubble-Regime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.1.5 Experimenteller Stand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2 Dichte-Gradienten zur Elektronenbeschleunigung . . . . . . . . . . . . . . . . 162.3 Nutzen eines Lichtleiters in der LWFA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.3.1 Plasmakanale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.3.2 Formation eines Plasmakanals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.4 Langsame Gasentladungen zur Erzeugung von Plasmakanalen . . . . . . . . . 19

3 FLUENT-Rechnungen 213.1 Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.1.1 Die Knudsenzahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.1.2 Kompressible Stromungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.2 Der Hydrodynamikcode FLUENT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.3 Formulierung der Problemstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.4 Stromungsverhalten in der Kapillare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.5 Variation der Gaszuleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.6 Parameter zur Erzeugung eines Gradienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.7 Adaption des Gitters und Turbulenzmodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4 Kapillare 314.1 Beschreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.2 Aufbau der Zweidruckkapillare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.3 Entladungskreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

INHALTSVERZEICHNIS 7

5 Kapillarenherstellung 355.1 Konstruktionsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355.2 Aufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365.3 Vorausgehende Untersuchungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385.4 Parameterstudie zur Kapillarenproduktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405.5 Rechteckige Kapillaren zur Interferometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

6 Interferometrie 456.1 Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

6.1.1 Interferometrie von Plasmakanalen zur Elektronenbeschleunigung . . . 456.1.2 Der Brechungsindex des Plasma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456.1.3 Messung und Rekonstruktion der Elektronendichte . . . . . . . . . . . 466.1.4 Interferometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486.1.5 Rekonstruktion der Phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506.1.6 Phasengang durch Erhitzung der Kapillarwande . . . . . . . . . . . . 54

6.2 Versuchsaufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546.2.1 Optischer Aufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546.2.2 Aufbau des Gassystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 566.2.3 Zeitsteuerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

7 Messungen 577.1 Konstanter Druck in der Kapillare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

7.1.1 Radiales Profil des Plasmakanals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 587.1.2 Zeitliche Entwicklung des Plasmakanals . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

7.2 Messungen eines Dichtegradienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 617.3 Variation der Entladungspannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 637.4 Effekt des Aufheizens der Kapillarwande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

8 Diskussion 67

9 Ausblick 69

A Das Wollastonprisma 70

B Lichtleitung in einem parabolischen Plasmakanal 71

C Der Zweidruck-Saphirhalter 73

Kapitel 1

Einleitung

1.1 Einleitung

Zur Beschleunigung von Elektronen werden elektrische Felder benotigt. Das einfachste Kon-zept ist, Elektronen in einem statischen elektrischen Feld zwischen zwei Elektroden zu be-schleunigen. Die gewonnene Energie entspricht dem Produkt aus Elektronenladung und deranliegenden Spannung. Bei hohen Spannungen wachsen die Feldstarken an den Elektrodenstark an. In diesem Bereich kommt es im Grenzfall zu einer Koronaentladung und damit zudem Zusammenbrechen der Spannung. Dieser Effekt begrenzt auch in den viel komplexerenmit Wechselspannungen arbeitenden Beschleunigern die elektrischen Felder. In konventionel-len Linearbeschleunigern betragen die Felder 10 bis 50 MVm−1. Eine Beschleunigungslangevon 20 bis 100 m fuhrt zu einer Elektronenenergie von einem 1 GeV . Mit kilometerlangenBeschleunigeranlagen werden die Elektronenenergien erhoht.Ein vielversprechender Ansatz ist, sich ein Plasma zu Nutze zu machen. Mit Hochenergielasernwird in dem Plasma eine Elektronen beschleunigende Plasmawelle erzeugt [?]. Die Feldstarkensind 2-3 Großenordnungen hoher als in den konventionellen Beschleunigern. Laserbeschleuni-gungsexperimente haben eine Elektronenenergie von 1 GeV erreicht [?], indem ein Laser miteiner Pulsenergie von einigen Terawatt in einen 33 mm langen Plasmadichtekanal fokusiertwurde.Eine 33 mm lange Kapillare aus Saphir mit einem Durchmesser von 200-300 µm ist daszentrale Element dieser Experimente ( [?],[?]). Eine Gasentladung von Wasserstoff in dieserKapillare fuhrt zu der Formation des Plasmadichtekanal. Der transversale Verlauf der Plas-madichte in der Kapillare wird mit Interferometrischen Messungen ermittelt [?].Die Energie der Elektronen ist nicht durch die Lange der Kapillare begrenzt, sondern durchdie Beschleunigungslange in der Plasmawelle. Ein Absenken der Plasmadichte verlangert dieBeschleunigungsdistanz. Die Laserelektronenbeschleunigung benotigt jedoch im Anfang derBeschleunigung die hohe Dichte der bisherigen Experimente, um Elektronen in einer Plasma-welle einzufangen.Einer zweistufigen Beschleunigung, das sogenannte staging uberwindet diesen Widerspruch.In der ersten Stufe werden die Elektronen aus dem Plasma in einer Plasmawelle eingefangen,in der zweiten Stufe werden sie in dieser Welle beschleunigt. Die Dichte der zweiten Stufe isteine Großenordnung niedriger als die der ersten.Ein starkes und rasches Absenken der Dichte in longitudinaler Richtung der Gasentladungs-kapillare ermoglicht einer Plasmawelle den Ubergang von der ersten in die zweite Stufe.

1.2 Struktur der Arbeit 9

In dieser Arbeit wurde die Realisierung des staging in der Gasentladungskapillare untersucht.

1.2 Struktur der Arbeit

Diese Arbeit hat drei Schwerpunkte:

• Gasdynamiksimulationen der Stromung in der Gasentladungskapillare

• Die Herstellung der Kapillaren mit fokusierten Laserlicht

• Das Messen der Elektronendichte des Plasmakanals der Gasentladung

Zunachst wird im Kapitel 2 das Feld der Laserelektronenbeschleunigung vorgestellt. Danachwird anhand einiger Simulationen das Stromungsverhalten des Wasserstoffgases in der Ka-pillare erklart. Der experimentelle Aufbau und die Funktionsweise der gasgefullten Kapil-larenentladung wird im Kapitel 4 beschrieben. Im Kapitel 5 uber die Kapillarenherstellungwerden der Aufbau und Versuche zur Produktion von Saphirkapillaren dargestellt. Die Ka-pillare wird mit Hilfe transversaler Interferometrie der Gasentladung charakterisiert (Kapitel6). Die ausgefuhrten Messungen des longitudinalen und transversalen Plasmadichteverlaufsin der Gasentladungskapillare. In der anschließenden Diskussion werden die Ergebnisse ausden drei Schwerpunkten in den Zusammenhang der Laserbeschleunigung von Elektronen undim besonderen des staging eingeordnet.

Kapitel 2

Theoretische Grundlagen zurElektronenbeschleunigung mitLasern

2.1 Elektronenbeschleunigung mit Lasern

In diesem Abschnitt soll erklart werden, wie ein Plasma zur Elektronenbeschleunigung ver-wendet werden kann. Daraufhin wird das Konzept des staging in diesem Kontext erlautert.Zuletzt werden Nutzen Formation eines Plasmakanals vorgestellt

2.1.1 Plasmawellen

Ein Plasma ist ein Gas aus freien Elektronen, Ionen und neutralen Atomen. Das Plasma istquasineutral, d.h. es gilt im ungestorten Zustand:

ne =∑i

niZi ≡ n0 (2.1)

ne bezeichnet die Elektronendichte. ni, Zi sind die Ionendichten und die Ladungszahl der Io-nenart i. n0 wird als die Hintergrunddichte des Plasmas eingefuhrt. Da die geladenen Partikeleines Plasmas elektrische und magnetische Felder erzeugen, sind die Felder ein wesentlicherTeil eines Plasmas. Ein Laserpuls kann lokal die Elektronendichte um δn uber die Hinter-grunddichte erhohen, indem er Elektronen vor sich her schiebt (vgl Abb. 2.1). Diese Storungder Dichte bedeutet eine Ladungstrennung. Damit verbunden ist ein elektrostatisches Feldzwischen dem Raumbereich, in dem die Elektronendichte die Hintergrunddichte ubersteigt(gruner Bereich in Abb. 2.1), und dem Bereich, in dem die positiven Ladungstrager uberwiegen(gelber Bereich in Abb. 2.1). Das elektrostatische Feld wirkt der Ladungstrennung entgegen,so wie die Ruckstellkraft einer Feder. Die Elektronendichte schwingt analog einer akustischenWelle nach der Anregung mit der Amplitude δn um die Hintergrunddichte. In dem beschrie-benen Fall einer elektrostatischen Plasmawelle sind alle auftretenden E-Felder und Stromeparallel zur Ausbreitungsrichtung der Welle gerichtet. Die auftretenden Magnetfelder sindvernachlassigbar. Es konnen sowohl die Elektronendichte als auch die Ionendichte Plasma-wellen ausbilden. Aufgrund ihrer Tragheit konnen aber die Ionen der Bewegung der Elektro-nendichteoszillationen nicht folgen. Die Ionen werden deshalb als konstanter, unbeweglicher

2.1 Elektronenbeschleunigung mit Lasern 11

Abbildung 2.1: Ein Laserpuls (rot) propagiert mit fortschreitender Zeit T durch ein Plasma ausIonen (gelb) und Elektronen (grun). Dabei regt er eine Plasmawelle (gelb-grune Flachen) an. In dengelben Bereichen uberwiegen die Ionen, in den grunen Elektronen.

und positiver Ladungshintergrund betrachtet. Die Elektronen schwingen unabhangig von derWellenlange mit der Plasmafrequenz ωp:

ωp =nee

2

ε0me(2.2)

e, me sind Elektronenladung bzw. -masse, ε0 ist die Dielektrizitatskonstante des Vakuums. DiePhasengeschwindigkeit vph der Welle definiert auch die Plasmawellenlange λp = 2πvph/ωp. EinPlasma kann Plasmawellen mit hohen Amplituden der Elektronendichte ausbilden. Als obereGrenze fur die Amplitude der Dichte im linearen Fall gilt die Annahme, dass alle Elektronendes Plasmas zur Plasmawelle beitragen: δn = n0. Das damit verbundene elektrostatische FeldEmax hangt von der Dichte n0 ab [?]:

Emax [V/cm] ' 0.96n1/20

[cm−3

](2.3)

Bei einer Dichte von 1018cm−3 erreicht das Feld einen Wert von 100 GV/m [?] und ist somit3 Großenordnungen hoher als Felder in konventionellen Linearbeschleunigern. Im Fall einernichtlinearen Welle kann die Amplitude der Dichte die Hintergrunddichte weit uberschreiten.In Abbildung 2.2 ist die Geschwindigkeit und die Dichte der Elektronen und das entsprechendeelektrische Feld einer linearen und einer nichtlinearen, relativistischen, ebenen Plasmawelledargestellt. Besonders im Falle einer nichtlinearen Plasmawelle ist die lokale Uberhohung derElektronendichte ne uber die Hintergrunddichte n0 ausgepragt.

Im Grenzbereich sehr hoher Anregung wird die Elektronendichte im eindimensionalen Mo-dell singular und steigt ins Unendliche an. Zudem sind im Grenzfall in manchen Punkten dieGeschwindigkeiten nicht mehr eindeutig, d.h. einem Raumpunkt sind mehrere Geschwindig-keiten zugeordnet. Genauso wie bei einer brechenden Wasserwelle an einem Ort das Wellental


Abbildung 2.2: Vergleich einer linearen (gestrichelt) mit einer nichtlinearen (durchgezogen) relati-vistischen Plasmawelle. Die Darstellungen sind auf die Amplituden der nichtlinearen Wellen normiert

unter dem Wellenberg hindurch lauft. Dies spielt eine entscheidende Rolle bei der Injektionvon Elektronen in die Welle. (siehe Abschnitt 2.1.3)

2.1.2 Anregung einer Plasmawelle

Zu der Anregung einer Plasmawelle gibt es mehrere Modelle, die schon in den 60er und 70erJahren vorgeschlagen wurden:

• Plasma Wake Field Acceleration (PWFA)[?]

• Plasma Beat Wave Acceleration (PBWA) [?]

• Laser Wake Field Acceleration (LWFA) [?]

Im ersten Fall verwendet man einen extern injizierten, bereits relativistischen Elektronen-puls. Im Plasma regt dieser eine Plasmawelle an, indem er durch seine elektrischen Felderdie Elektronen auslenkt. Die Phasengeschwindigkeit vph der Plasmawelle entspricht der Ge-schwindigkeit des anregenden Elektronenpuls, die Amplitude der Elektronendichte in etwader Elektronendichte des anregenden Elektronenpulses [?].Bei der PBWA werden zwei lange Laserpulse unterschiedlicher Frequenz so uberlagert, dasdie Differenzfrequenz genau der Plasmafrequenz entspricht. Auf diese Weise kann eine Plas-mawelle resonant angeregt werden.Seitdem es jedoch moglich ist, sehr viel kurzere Laserpulse (. 100fs) mit sehr hohen Inten-sitaten (& 1018W/cm2) zu erzeugen, bietet sich auch die dritte der genannten Moglichkeitenzur Elektronenbeschleunigung an. Bei der LWFA ersetzt ein Laserpuls den Elektronenpulsaus der PWFA. Der Laser verdrangt aufgrund der ponderomotiven Kraft die Elektronen im


Plasma. Die ponderomotive Kraft ist der nichtlineare Anteil der durch das Laserfeld erzeugtenKrafte auf die Elektronen. Die Kraft wird in der Regel uber die schnellen Oszillationen derLaserfrequenz gemittelt. Sie ist dann proportional dem Gradienten der Intensitat und wirktin der Art, dass sie die Elektronen aus dem Bereich hoherer Intensitat heraus druckt.Die Phasengeschwindigkeit der Plasmawelle entspricht der Gruppengeschwindigkeit vgr desLasers im Plasma. Die Dispersionsrelation von Licht der Frequenz ωL und mit dem Wellen-vektor kL in einem Plasma lautet:

ω2p + c2k2

L = ω2L (2.4)

c ist die Lichtgeschwindigkeit. Daraus folgt, dass die Gruppengeschwindigkeit des Laserpulses

vgr = dω/dk = cnR

betragt.

nR =(

1− ωpωL

)1/2

(2.5)

ist der Brechungsindex des Plasmas.Eine anschauliche Große zur Beschreibung der Phasengeschwindigkeit ist der relativistischeGammafaktor der Plasmawelle γph:

γph =1√

1− (vph/c)2

(2.6)

=1√

1− (vgr/c)2

(2.7)

=1√

1− n2R

(2.8)

=√ncritn0

(2.9)

mit

ncrit =ω2L

ω2p

n0 (2.10)

Fur eine typische Laserwellenlange von λL = 0.8µm folgt ncrit = 1.7 · 1021cm−3. Darausbedeutet bei einer Dichte n0 = 1019cm−3 γph ' 13. Besonders effizient ist die Anregung einerPlasmawelle, wenn der Laserpuls so kurz ist wie die halbe Plasmawellenlange [?].

2.1.3 Injektion und Beschleunigung von Elektronen

Damit ein am Anfang ruhendes Elektron aus dem Plasmahintergrund beschleunigt wird, musses in der ersten beschleunigenden Phase der Welle so viel Energie gewinnen, dass die Welle dasElektron nicht uberlauft. Man kann sich dieses anhand eines Wellenreiters veranschaulichen:Dieser lasst sich zunachst auf seinem Brett im Meer treiben, wahrend die Wasserwellen unterihm hindurch rollen. Erst wenn er sich mit den Armen genug Geschwindigkeit verschafft hat,kann er sich von der Welle weitertragen lassen. Dieses Kriterium wird anhand einer Separatrix


Abbildung 2.3: Separatrix einer linearen Plasmawelle fur γph = 20. Die durchgezogene Linie stelltdie Separatrix dar. Die gestrichelten Linien sind Partikeltrajektorien im Phasenraum. Innerhalb derSeparatrix sind die Trajektorien geschlossen. Ein Teilchen auf einer geschlossenen Trajektorie verlasstdie Separatrix nicht. (Abbildung entnommen aus [?])

im Phasenraum dargestellt (siehe Abbildung 2.3). Der Phasenraum wird aufgespannt durchdie Phase der Plasmawelle Φ = kph (z − vpht) und der kinetische Energie der Elektronen,reprasentiert durch den Gammafaktor γ.

Alle Teilchen, die sich im Phasenraum außerhalb der Separatrix befinden, werden nicht vonder Plasmawelle gefangen. Indes ein Teilchen innerhalb der Separatrix wird in der Plasmawellefestgehalten und mitgetragen. Der Zeitpunkt des Einfangens legt auch die Energie zu einemspateren Zeitpunkt fest.In der Halbperiode mit −π ≤ Φ ≤ 0 ist das elektrische Feld der Welle so gerichtet (siehe Abb.2.2), dass Elektronen mit dieser Phase beschleunigt werden. In der Halbperiode von 0 ≤ Φ ≤ πwerden die Elektronen gebremst. Ein Elektron, welches sich in dem beschleunigenden Teil derWelle befindet, folgt seiner Trajektorie innerhalb der Separatrix bis es den hochsten Punktin der Separatrix bei der Phase 0 erreicht. Ab diesem Zeitpunkt ist das elektrische Feldentgegengesetzt gerichtet. Das Elektron verliert an Energie, bis es wieder am unteren Endeder Separatrix angekommen ist. Hier tritt das Elektron wieder in das beschleunigende Feld ein.Die Distanz uber die maximal Beschleunigung stattfinden kann, bevor das Elektron wiedergebremst wird, heißt dephasing-Lange Ld. Die Zeit td, die wahrend der Beschleunigung uberdie dephasing-Lange verstreicht, kann mit td = Ld/c abgeschatzt werden, wenn γph 1 ist.Es gilt zudem, wie oben bemerkt, dass das Phaseninterval Φd der beschleunigenden Halbwellegenau π betragt. Daraus folgt insgesamt: Φd = kph (Ld − vphtd) = π. Fur die dephasing-Langegilt

Ld =π

kph (1− vph/c)' λphγ2

ph (2.11)

mit der Naherung 1− βph ' 1/(

2γ2ph

). Die dephasing-Lange erlaubt auch eine Abschatzung

des maximalen Energiegewinns Wm eines Elektrons. Das Elektron kann hochstens uber die de-phasing-Lange mit dem hochsten elektrischen Feld der Welle Em beschleunigt werden. Daraus


Abbildung 2.4: Bild der Bubble aus einer 3D-PIC Simulation und das entsprechende Elektronen-spektrum. Die Farben sind nach der Elektronendichte verschlusselt. (entnommen aus [?])

folgt:

Wm ≈ eEmLd = 2πγ2ph

EmE0

mec2 ∝ n−1

0 (2.12)

Es wurde hier die Feldstarke mit E0 = mcωp/e normalisiert.

2.1.4 Das bubble-Regime

Bei relativistischen Laserenergien und Laserpulsen kurzer als die Plasmawellenlange bricht diePlasmawelle schon nach einer Oszillation der Plasmawelle [?]. Relativistische Laserenergienbedeutet

a0 =eA0

mec2≥ 1. (2.13)

A0 ist das Vektorpotential des Lasers. Es gilt damit fur linear polarisiertes Licht

I0λ2 =

[1.37× 1018 W

cm2µm2

]a2

0 (2.14)

I0 bezeichnet hier die Intensitat des Lasers, λ die Wellenlange des Lasers.Durch die ponderomotive Kraft schiebt der Laser alle Elektronen von der Propagationsachseweg. Hinter dem Laserpuls entsteht eine kugelformige Zone, die bubble, in der keine Elektro-nen sind. Die Elektronen schwingen nach einer halben Plasmawellenlange wieder zur Achsezuruck. Der Durchmesser der bubble ist die relativistische Plasmawellenlange λp,rel = λp

√γp.

Am Ende der bubble werden einige Elektronen aus dem Gebiet hoher Elektronendichte indie bubble gestreut. Die Elektronen befinden sich dort genau in der beschleunigenden Phaseder Plasmawelle. Die bubble fangt solange Elektronen aus dem Plasma, bis die eingefangenenElektronen durch ihre Raumladung das Einfangen weiterer Elektronen verhindern. Die maxi-male Zahl der eingefangenen Elektronen Ne kann abgeschatzt werden durch die Zahl der ausdem Volumen der bubble Vbubble entfernten Elektronen:

Ne ≈ n0Vbubble (2.15)

n0 bezeichnet die Hintergrunddichte des Plasmas.

2.2 Dichte-Gradienten zur Elektronenbeschleunigung 16

Die meisten existierenden Laser konnen nicht direkt in das bubble-Regime eintreten. DerLaserpuls wird zuvor durch nichtlineare Effekte im Plasma fokusiert und aufgesteilt. Dadurchsteigt die Intensitat des Lasers auf a0 ≥ 1 an. Selbstfokusierung tritt auf, wenn fur dieLaserleistung P gilt P > Pc mit [?]

Pc [GW ] ' 17.4(λpλL

)2

∝ n−32

0 (2.16)

Ausserdem moduliert die Plasmawelle den Laserpuls. Das fuhrt dazu, dass der Laserpuls inkurze Pulse mit Pulsdauern td ≤ λp/2c aufgeteilt wird. Dieser Effekt heißt Selbstmodulation,weil die vom Laser angeregte Welle auf diesen zuruck wirkt.

2.1.5 Experimenteller Stand

Fur die Anwendbarkeit der Elektronen aus der LWFA ist es notwendig, dass diese genugLadung in einem wohldefiniertem Energiebereich bereitstellen. Ein wesentlicher Schritt ge-lang drei Arbeitsgruppen 2004 ([?],[?],[?]). Alle beschleunigten Elektronenpulse zu unter-schiedlichen Energien E im Bereich von 80 bis 170 MeV mit einer relativen Energiebreite∆E/E = 2− 10%. Die beschleunigte Ladung im Energiebereich ∆E betrug ca. 22− 500pC.

2.2 Dichte-Gradienten zur Elektronenbeschleunigung

Zur Zeit ist es weder moglich die fur einen Free Elektron Laser [?] erforderliche Ladung nochdie notige kleine Energiebreite, durch Laserwakefieldbeschleunigung zu Verfugung zu stellen.Es gilt also die LWFA weiter zu entwickeln. Ein wichtiger Parameter der LWFA ist die Plas-mahintergrunddichte n0, da, wie in vorherigen Abschnitten (2.1.3, 2.1.4) gezeigt, viele Kenn-großen der LWFA (z.B. dephasing-Lange Ld, maximale Energie Wm oder Anzahl der Elek-tronen Ne)) von ihr abhangen. Die bisherigen Experimente wurden immer in einem Plasmamit konstanter Dichte durchgefuhrt.Das sogenannte staging teilt die Beschleunigung in zwei Stufen auf:Die erste Stufe ist ein Plateau bei einer Dichte von ca. 1019cm−3. Sie wird benutzt, ummoglichst viel Ladung in die Plasmawelle zu injizieren. Aufgrund der hohen Dichte erreichtder Laser das Bubbleregime (siehe Gleichung 2.16). Das Bubbleregime ermoglicht bei hoherHintergrunddichte den Einfang von ausreichender Ladung. Das Einfangen wird durch dieniedrige Geschwindigkeit der Welle vph begunstigt (siehe Abschnitt 2.1.3).Die zweite Stufe ist ein Plateau mit niedrigerer Dichte. In der zweiten Stufe propagiert diePlasmawelle nicht mehr im stark gebrochenen Bubbleregime, sondern kehrt in den ungebro-chenen Zustand zuruck. Die ungebrochene Plasmawelle fangt keine Elektronen mehr ein. Dieim Bubbleregime eingefangenen Elektronen werden solange beschleunigt, bis sie den maxi-malen Energiegewinn erreicht haben. Daraufhin wird das Plasma abrupt beendet, um diebremsende Halbperiode der Welle zu vermeiden. Bei niedrigeren Drucken ist die dephasing-Lange großer und der maximale Energiegewinn Wm(siehe Gleichung 2.12) hoher. Damit mandies ausnutzen kann, muss der Laser uber diesen Bereich seine Intensitat aufrecht erhalten(siehe Abschnitt 2.3).Die Realisierung des staging kann nur mit einem Ubergang zwischen den beiden Stufen er-reicht werden. Dieser sollte moglichst rasch erfolgen. Die stark gebrochene Welle soll in eineungebrochene Plasmawelle uberfuhrt werden. Dazu benotigt man einen steilen Gradienten

2.3 Nutzen eines Lichtleiters in der LWFA 17

in der Dichte des Plasmas. Der Abschnitt 3 behandelt die Realisierung eines solchen steilenGradienten in einer Gasentladungskapillare.Eine altere Idee ist, das dephasing zu umgehen, indem die Elektronendichte entlang der Pro-pagationsrichtung des Lasers verringert. Damit erhoht sich die Gruppengeschwindigkeit desLasers und die dephasing-Lange wird vergroßert ([?], [?]). Hierbei ist der Gradienten derHintergrunddichte schwach.

2.3 Nutzen eines Lichtleiters in der LWFA

2.3.1 Plasmakanale

Zum Erreichen des Bubbleregimes in der LWFA mussen hohe Laserintensitaten (1019W/cm2)zu Verfugung stehen. Im Experiment werden diese Intensitaten durch Fokusieren des Lasersauf einen Durchmesser von ca. 20 µm erreicht. Je starker der Laser fokusiert wird, umsostarker divergiert er aufgrund der Beugung nach Erreichen des kleinsten Durchmessers. DerDurchmesser des transversalen Laserprofils ist als Durchmesser des Kreises definiert, an demdie Intensitat des Pulses 1/e2 der Spitzenintensitat betragt. Die Lange, in der sich die Flachedes Laserspots von der Flache im Fokus ausgehend verdoppelt hat, heißt Rayleighlange zR.Es gilt fur die Rayleighlange [?]:

zR =πw2

0

λL(2.17)

w0, λL sind Fokusdurchmesser bzw. Wellenlange des Lasers. Am Ende der Rayleighlange istdie Intensitat des Lasers schon um die Halfte abgesunken. Die LWFA ist, sieht man von derSelbstfokusierung (siehe Abschnitt 2.1.4) ab, zunachst auf 2zR beschrankt. Fur einen Lasermit der Wellenlange λL = 800nm und der oben genannten Fokusierung ist zR = 1.6mm. Diedephasing-Lange der LWFA (siehe Gl. 2.11) bei einer Elektronendichte von ne = 1018cm−3

betragt 57mm.Um den Laser uber langere Distanzen in einem kleinen Querschnitt zu leiten, kann ein Plas-madichtekanal verwendet werden (siehe Abb. 2.5).

Damit er der Beugung des Lasers entgegenwirken kann, besitzt er in radialer Richtungeinen abnehmenden Brechungsindex. Der Plasmakanal wirkt dann in axialer Richtung wieeine ”gradient index fiber”, also wie eine Faser mit maßgeschneidertem Brechungsindexprofil.Die Elektronendichte des Plasmakanals ist invers zum Brechungsindex (Gleichung 2.5). DieElektronendichte des Plasmakanals nimmt also in radialer Richtung zu. Idealerweise hat dieElektronendichte ne (r) des Plasmakanals ein parabolisches Profil in transversaler Richtung:

ne (r) = ne (0) + ∆n(r

r0

)2

(2.18)

mit ∆n = ne (r0).In diesem Fall propagiert ein Laserpuls mit transversalem Gausschem Profil mit konstanterStrahlgrosse r0, vorausgesetzt fur die Tiefe des Dichtekanals gilt (siehe Anhang B):

∆n =1

πrer20

. (2.19)

Die Strahlgrosse ist der Radius r0, an dem die Intensitat des Pulses 1/e2 der Spitzenintensitatbetragt, und re ist der klassische Elektronenradius [?] . Ein Plasmdichtekanal senkt auch die

2.3 Nutzen eines Lichtleiters in der LWFA 18

Abbildung 2.5: Transversales Plasmadichteprofil (oben) und Laserprofil (unten). r0 ist die transver-sale Strahlgroße des Lasers. Bei einer Hohe ∆n des Plasmakanals uber dem axialen Wert n0 an derStelle r0 leitet der Plasmakanal den Gaussformigen Laserpuls. (Abbildung aus [?])

Selbstfokusierungsschwelle Pc des Laserpulses [?]. Damit ermoglicht er Lasern, deren Leistungursprunglich zu niedrig ist, das Bubbleregime zu erreichen.

2.3.2 Formation eines Plasmakanals

Die Formation eines lichtleitenden Plasmadichtekanals kann auf unterschiedliche Weise er-reicht werden:

• Expansion eines laserionisierten Plasmasaule:Im Bereich hoher Intensitat wird das Gas ionisiert. Die Elektronendichte auf der Achsenimmt durch Verdrangung durch die ponderomotive Kraft des Lasers ab [?].

Die anderen Ansatze beruhen alle auf einer Gasentladung in einer Kapillare. Die Kontrollevon Entladungsstrom und Gasdichte verspricht besser einstellbare Plasmaparameter:

• Z-Pinch oder schnelle Entladungskapillaren:Bei sehr hohen Stromen (> 1kA) tritt der Z-pinch- Effekt auf. Der hohe Strom erzeugtein Magnetfeld in azimuthaler Richtung, welches wiederum zum Zusammenzurren derElektronendichte auf der Z-Achse fuhrt. Es entsteht in der magneto-hydrodynamischenImplosion des Kanals ein 5-10 ns langes Fenster, in dem der Kanal das gewunschteparabolische Profil der Dichte aufweist. Wegen der schnellen Evolution und des kurzenTimingfenster heißt diese die schnelle Entladungskapillare [?].

• Wandablatierende Entladungskapillaren:Eine Gasentladung mit niedrigeren Stromen (< 500 A) tragt Wandmaterial der Po-lypropylenkapillare ab und ionisiert es. Der Strom heizt das Plasma, dabei entstehtein annahernd parabolisches Dichteprofil. Da bei jedem Zunden der Gasentladung dieKapillarwand beschadigt wird, betragt die Lebenszeit einer Kapillare ein paar 100 Ent-ladungen [?].

2.4 Langsame Gasentladungen zur Erzeugung von Plasmakanalen 19

Abbildung 2.6: Fotographie des 33 mm langen Gasentladungskanal. Man sieht das Rekombinations-leuchten des Wasserstoff.

• Gasgefullte, langsame Entladungskapillaren:Diese unterscheiden sich von den wandablatierenden Kapillaren durch das Material derKapillare. Diese Kapillaren werden aus Saphir gefertigt. Saphir wird durch die Ent-ladung nicht beschadigt. Die Kapillare wird vor dem Zunden der Gasentladung mitWasserstoff gefullt. Dies erlaubt ein genaues Einstellen der Plasmadichte unabhangigvom Entladungsstrom. [?]

Alle genannten Moglichkeiten produzieren ein parabolisches Elektronendichteprofil, welcheseinen Laserpuls leiten kann. Diese Arbeit untersucht die langsame Gasentladungskapillare.

2.4 Langsame Gasentladungen zur Erzeugung von Plasma-kanalen

Die KapillareDer außerlich angelegte Strom fuhrt nach ca. 50 ns zu einer beinahe kompletten Ionisation

des Plasmas. Ist das Plasma vollstandig ionisiert, kommt es zu einer radialen Umverteilungder Elektronendichte. Der Plasmadruck ist konstant, die Temperatur ist am Rande niedrigerdurch das Abkuhlen des Plasmas an den kalten Wanden. Nachdem das Dichteprofil nachungefahr 60 ns vollstandig ausgebildet ist, bleibt die Kapillare uber ungefahr 200 ns in einemquasistationaren Zustand, da alle charakteristischen Zeiten des Plasmas sehr kurz sind undso zu einem Gleichgewicht fuhren. Fur die Bildung des parabolischen Dichteprofils existiertein einfaches analytisches Modell, das in der ersten Studie entwickelt wurde [?]. Das Modellbeschreibt die stabile Phase in der Evolution des Plasmakanals. In dem quasistationarenZustand tritt ein Gleichgewicht von radialen Warmefluss und Ohmscher Erwarmung durchden Entladungsstrom auf:

1r

d

dr

(rκe⊥

dT

dr

)+ σe⊥E

2 = 0 (2.20)

Hierbei ist κe⊥ der radiale Warmeleitungskoeffizient fur das Elektronengas und σe⊥ dieelektrische Leitfahigkeit. Der erste Term bezeichnet die Warmeleitung im Plasma in radialerRichtung. Der zweite Term ist der lokale Warmeeintrag durch den Entladungsstrom. Diese

2.4 Langsame Gasentladungen zur Erzeugung von Plasmakanalen 20

Abbildung 2.7: Simulierte radiale Elektronendichte ne zu verschiedenen Zeiten nach dem Einsetzendes Entladungsstroms. Man sieht das Rekombinationsleuchten des Wasserstoff.

Gleichung wird Elenbaas-Heller Gleichung genannt. Die Differentialgleichung lasst sich nurnumerisch losen, da sowohl σe⊥ als auch κe⊥ von der Temperatur abhangen. Gonsalves et al.haben mit transversaler Interferometrie diese empirische Relation zwischen Gasdichte nH2 inder Kapillare und der axialen Elektronendichte ne des Plasmakanals gefunden [?]:

ne[cm−3

]= 0.87nH2

[cm−3

]+ 0.11 1024cm−3 (2.21)

Außerdem wird eine Gleichung fur die Abhangigkeit der geleiteten Strahlgroße r0 (siehe Ab-schnitt 2.3) von der nH2 und der Breite der Kapillare X angegeben:

r0 [µm] = 6.6× 104

(X[µm]

2

)0.651 (nH2

[m−3

])−0.1875 (2.22)

Der experimentelle Aufbau der langsamen Gasentladungskapillare ist in Kapitel 4 und Kapitel5 beschrieben. Die Ergebnisse von Gonsalves et al. werden in Kapitel 7 als Vergleich zu dendurchgefuhrten Messungen herangezogen.

Kapitel 3

FLUENT-Rechnungen

Zur Realisierung des staging (siehe Abschnitt 2.2) innerhalb der Gasentladungskapillare (sie-he Abschnitt 2.4) ist ein steiler Dichtegradient der freien Elektronendichte in longitudinalerRichtung der Kapillare unerlasslich. Die freie Elektronendichte in der Kapillare hangt von derGasdichte in der Kapillare vor der Gasentladung ab. Ein Dichtegradient des Gases ubertragtsich, wenn auch nicht direkt, auf die freie Elektronendichte nach der Gasentladung. Im Ver-suchsaufbau der Gasentladungskapillare wird der eigentlichen Kapillare das Gas mit Hilfezweier Gaszuleitungen zugefuhrt. Diese verbinden die Kapillare mit einem Gasreservoir mitkonstantem Druck. Dieser Aufbau wurde um ein weiteres Gasreservoir erweitert (siehe Ka-pitel 4). Mit zwei unterschiedlichen Drucken lasst sich ein longitudinaler Gasdichtegradienterzeugen.Es wurde der Gasdynamikcode FLUENT benutzt, um den Gasfluss innerhalb der 0.3 mmengen Gasentladungskapillare zu simulieren. In diesem Kapitel wird zuerst das Prinzip desHydrodynamikcodes FLUENT erklart. Daraufhin wird die Umsetzung der Problemstellungdargestellt. Abschließend sind die erzielten Ergebnisse dargelegt.

3.1 Theorie

3.1.1 Die Knudsenzahl

Wegen der großen Teilchenzahl in einem Gassystem ist eine exakte Berechnung der Dynamikjedes Teilchens nicht moglich. Fur einen großen Dichte-und Temperaturbereich lasst sich dieDynamik von Gasen durch die Fluidmechanik beschreiben. Diese verliert ihr Anwendbarkeitzur Beschreibung eines Gases, wenn die freie Weglange λ der Teilchen im Gas langer ist, alseine typische Langenskala l des Systems. Dann stoßen die Teilchen im System sehr seltenaufeinander. Deswegen befinden sie sich im System nicht im thermischen Gleichgewicht. DerGultigkeitsbereich der Fluidmechanik wird durch die so genannte Knudsenzahl K = λ

l ab-geschatzt. K < 0.01 ist der Kontinuumsbereich in dem die Fluidmechanik gultig ist. Die freieWeglange λ im Gas hangt von der Gasdichte n ab:

λ =√π

21

4nσ(3.1)

σ ≈ 10−15 cm2 ist der kinetische Stoßquerschnitt der Teilchen. Als eine charakteristischeLangenskala der Kapillare kann gelten Durchmesser d = 0.3 mm . Die kleinsten Gasdichten

3.1 Theorie 22

in der Kapillare liegen bei 1018 cm−3. Die Knudsenzahl der Simulation betragt K = 0.001.Eine Gasdynamiksimulation ist demnach geeignet, die Kapillare zu beschreiben.

3.1.2 Kompressible Stromungen

Jedes Gas ist kompressibel. Bei einer Volumenanderung versucht das Gas sich dem Volumendurch eine Dichteanderung anzupassen. Es ist ublich, eine Stromung als inkompressibel zubeschreiben, wenn die auftretenden Geschwindigkeiten viel kleiner als die Schallgeschwindig-keit

a =

√dp

dρ(3.2)

sind. p bezeichnet den Druck, ρ die Dichte des Fluids. Bei einem inkompressiblen Fluid ist dieDichte konstant und die Schallgeschwindigkeit geht gegen unendlich. Da ein Dichtegradientdargestellt werden soll, muss die Stromung kompressibel sein.Eine stationare, laminare Stromung wird durch Stromlinien beschrieben. Eine Stromlinie istder Pfad, den ein kleines Fluidelement in der Stromung entlang fließt. In dem Fluidelementsind noch genug Teilchen, dass sich dem Fluidelement eine Temperatur zuordnen lasst. Ent-lang einer Stromlinie gilt Massen- und Energieerhaltung bezogen auf eine Stromrohre. Dieseist eine fiktive Rohre, die immer den Durchmesser des Fluidelements besitzt. Eine laminareStromung lasst sich so vollstandig in kleinere Stromrohren zerlegen. Bei einer kompressi-blen, stationaren Stromung durch eine Stromrohre ist laut Massenerhaltung an jeder Stelledie Anzahl der Teilchen, die in einer festen Zeiteinheit durch den Rohrquerschnitt F treten,konstant:

ρvF = m = const. (3.3)

oder in differentieller Formdρ

ρ+dv

v+dF

F= 0 (3.4)

v ist die mittlere Geschwindigkeit senkrecht zum Rohrquerschnitt F . ρ ist die Dichte desGases. m wird Massenstrom genannt. Die Energieerhaltung lautet in differentieller Formentlang einer Stromlinie:

v dv +dp

ρ= 0 (3.5)

Der erste Term ist die kinetischen Energie des Fluidelements. Der Zweite bezeichnet die Ar-beit, die der Druck an dem Fluidelement verrichtet [?].Bei kompressiblen Stromungen charakterisiert die Machzahl Ma = v/a oftmals die Stromungbesser als die Geschwindigkeit v. a ist die Schallgeschwindigkeit. Diese hangt bei einer isen-tropen Stromung von der Temperatur T ab:

a =√κRT (3.6)

R ist die allgemeine Gaskonstante, κ ist der Adiabatenexponenten des Gases. Die Schallge-schwindigkeit und damit die Machzahl in einer Stromung sind nicht konstant. Sie hangen vonder Temperatur ab.Die Stromungseigenschaften eines kompressiblen Fluids mit einer Machzahl Ma = v/a < 1

3.1 Theorie 23

Abbildung 3.1: Schema einer Lavalduse. a. Dusenform b. Druckverteilung c. Verteilung der ortlichenMachzahl (1) normal arbeitende Lavalduse (2) sogenanntes Venturirohr (pA > p∗) (3) Grenzfall mitdem kritischen Druck im engsten Querschnitt und pA > p∗ (4) Lavalduse mit Verdichtungsstoss (Ab-bildung entnommen aus [?])

unterscheiden sich qualitativ von einer Stromung mit einer Machzahl Ma > 1:Gleichung 3.4, eingesetzt in Gleichung 3.2, ergibt fur die Machzahl Ma:

M2a = −v

ρ

dρ

dv(3.7)

Damit lasst sich wiederum die Massenerhaltung umformulieren:

dF

F=

dv

v− dρ

ρ− (3.8)

= −(

1 +v

ρ

dρ

dv

)dv

v(3.9)

= −(1−M2

a

) dvv

(3.10)

Bei Uberschallgeschwindigkeit erhoht nach Gleichung 3.8 eine Vergroßerung des Querschnittsdie Geschwindigkeit, bei Unterschallgeschwindigkeit senkt eine Vergroßerung des Querschnittsdie Geschwindigkeit. Eine sogenannte Lavalduse ermoglicht einer laminaren Stromung denUbergang von Ma < 1 nach Ma > 1. Die Form der Duse verjungt sich bis zu dem kleinstenQuerschnitt Fmin. Daraufhin erweitert sich der Querschnitt wieder auf den Austrittsquer-schnitt FA (siehe Abb. 3.1). Der genaue Druck- und Geschwindigkeitsverlauf in der Dusehangt von dem Verlauf der Querschnittsflache F/Fmin ab. Dieser Verlauf entscheidet uber

3.2 Der Hydrodynamikcode FLUENT 24

die Funktionstuchtigkeit einer Lavalduse. Die Stromung in der Lavalduse erreicht im engstenQuerschnitt Ma=1, wo sie in eine Uberschallstromung ubergeht. Druck und Dichte fallen inlongitudinaler Richtung bis zu den kritischen Werten p∗ und ρ∗ im engsten Querschnitt ab.Der kritische Druck p∗ hangt nur vom Ausgangsdruck p0 und dem Adiabatenexponenten κab:

p∗

p0=(

2κ+ 1

) κκ−1

(3.11)

Mit dem Adiabatenexponenten fur Wasserstoff κ = 1.409 folgt:

p∗

p0= 0.528

Der kritische Druck tritt unabhangig vom Druck pA < p∗ immer im engsten Querschnitt auf.Entsprechend gilt fur die kritische Dichte

ρ∗ = ρ0 · 0.634 , (3.12)

welche bei gegebener Gasart nur von der Ausgangsdichte ρ0 abhangt. Bei Ma = 1 ist derMassenstrom m = ρvF maximal.Wenn der an der Austrittsseite anliegende Druck pA großer ist als der kritische Druck p∗,stellt sich zunachst Situation (2) in Abbildung 3.1 ein. Der Druck sinkt in der Einschnurungdes Querschnitts und steigt bei der Offnung zur Ausgangsflache. Die Stromung bleibt subso-nisch. Wenn der Druck pA weiter gesenkt wird, erreicht die Stromung im engsten QuerschnittMa = 1. Ist jedoch der Druck in der Austrittsflache pA > p∗ bleibt die Stromung im Aus-gangsbereich subsonisch ((3) in Abb. 3.1). Wenn der Druckunterschied zwischen pA und p0

groß genug, aber pA > p∗ ist, wird die Stromung auch im Offnungsbereich supersonisch. Siepasst sich durch einen Verdichtungstoss dem Druck im Ausgangsquerschnitt an ((4) in Abb.3.1). Ein Verdichtungsstoss ist ein unstetiger Ubergang von einer Uberschall- zu einer Unter-schallstromung.Innerhalb eines Rohres mit konstantem Querschnitt kann eine Unterschallstromung nicht zueiner Uberschallstromung werden. Eine Unterschallstromung erreicht maximal Ma = 1 amRohrausgang, wenn der Druckunterschied zwischen Anfang und Ende des Rohres entspre-chend groß ist. Ein weiteres Erhohen des Druckunterschiedes erhoht den Massenstrom nicht.Im Austrittsquerschnitt kann die Dichte großer sein als im Ausstromungsbereich [?].

3.2 Der Hydrodynamikcode FLUENT

FLUENT kann mit Hilfe der Navier-Stokes Gleichungen Problemstellungen der Fluidmecha-nik simulieren. Jede Simulation ist auf ein Definitionsgebiet beschrankt, das durch Randbe-dingungen abgeschlossen wird. Ein Gitter dient als geometrische Grundlage der Simulation.Das Gitter erstreckt sich uber den gesamten Definitionsbereich und gliedert diesen in kleineZellen. FLUENT lost die Transport-Gleichungen fur die Erhaltungsgroßen Masse, Impuls undEnergie mit Hilfe der Finite Volumen Methode:Eine Transportgleichung in integraler Form hat fur eine der Erhaltungsgroßen Φ diese Gestalt:

∂

∂t

∫VρΦdV +

∮AρΦV · dA =

∮A

Γ∇Φ · dA (3.13)

3.3 Formulierung der Problemstellung 25

ρ ist die Dichte. Der erste Term auf der linken Seite in dieser Gleichung stellt die zeitlicheAnderung der Große Φ im Zellvolumen V dar. Der zweite Term beschreibt den Fluss durch dieOberflache A des Zellvolumens entlang der Flachennormalen V. Die rechte Seite druckt dieDiffusion durch die Oberflache des Volumens aus. Γ ist die Diffusionsrate der Große Φ. Uberdie Oberflachenterme sind zwei benachbarten Zellen gekoppelt. Die Transportgleichungenwerden auf dem Gitter diskretisiert und die Differentiale durch Differenzenquotienten ersetzt.Die daraus folgenden gekoppelten, algebraischen Gleichungen werden iterativ gelost. FLUENTerlaubt die Auswahl verschiedener (numerischer) Modelle zur Losung. (Der Solver ist dienumerische Methode zur Losung der algebraischen Gleichungen. Es wurde immer der coupled-implicit Solver verwendet, der auf der impliziten Punkt Gauss-Seidel Methode beruht.)

3.3 Formulierung der Problemstellung

Die Randbedingung und die Geometrie der Simulation sind durch den realisierten Kapillaren-aufbau gegeben. Dieser wird in den Kapiteln 4 und 5 beschrieben. Die Gasentladungskapillareist 33 mm lang und 0.3 mm breit. Die Ausgange der Kapillare zeigen an beiden Seiten zurVakuumkammer. 10 mm lange Gaszuleitungen verbinden zwei Gasreservoirs mit den Druckenp1 und p2 mit der Kapillare.Die Drucke in den Gasreservoirs konnen zwischen 1 bar und 1 mbar variiert werden. DieGaszuleitungen stehen senkrecht auf der Kapillare. und konnen in ihrer Breite und in ihrerPosition verandert werden. Im Experiment wird das Gasventil solange geoffnet, bis sich einstationarer Zustand in der Stromung einstellt. Gestutzt durch die Simulation wird ermittelt,wie schnell in longitudinaler Richtung der Kapillare die Dichte von ca. ρ1 = 1 × 1019cm−3

nach ca. ρ2 = 1× 1018cm−3 abfallen kann. Die Stromungssituation soll stationar sein, um imExperiment die Dichtegradienten verlasslich reproduzieren zu konnen.Die Simulationen sind stationar und auf einem zweidimensionalem Gitter gerechnet. Die Rech-nung in zwei Dimensionen nimmt an, dass die Stromungsituation in jedem Punkt der drittenDimension identisch ist. Die zweite Wand der Kapillare und der Zuleitungen wird durch einezweidimensionale Rechnung vernachlassigt. Die zweidimensionale Analyse bleibt trotzdem ei-ne wertvolle Abschatzung, zudem die Rechenzeit in einem zweidimensionalen Gitter deutlichgeringer ist als im dreimensionalen Gitter.Das Vakuum an den beiden Auslaßen der Kapillare ist in der Simulation durch zwei 3×3 mmgroße Ausstrombereiche modelliert. Der Druck auf den Rander des Ausstrombereiches wirdauf 5 Pa festgehalten. Die gewahlte Randbedingung der Simulation halt die Temperaturkonstant und lasst einen Massefluss aus dem Definitionsbereich zu. Der Rand der Gaszulei-tungen wird durch die Randbedingung auf p1 bzw. p2 festgehalten. Bei den Gaszuleitungengestattet die Randbedingung ein Massezufluss. Das Gas ist Wasserstoff, bei dem die idealeGasgleichung angenommen wird. Die Rechenzeit betragt je nach Anzahl der Gitterzellen (imRegelfall 440000 Zellen) und des verwendeten Solvers zwischen 12 und 48 Stunden,

3.4 Stromungsverhalten in der Kapillare

Die Kontinuitatsgleichung 3.3 besagt uber die Dichte ρ beim Fluss durch die Kapillare mitdem Querschnitt F :

ρ =m

Fv(3.14)

3.4 Stromungsverhalten in der Kapillare 26

Abbildung 3.2: Dichteprofil des gesamten, gerechneten Kapillarbereichs. Die Einheit ist[kg/m3

].

An den beiden Gaseinlassen (links oben) liegt ein Druck von 800 mbar an. An den beiden Auslassen(unten) liegen 100 mbar an. Der mittlere Auslass ist 1.4 mm breit.

Zu einem Dichteabfall in der Kapillare fuhrt, entweder das Erhohen der Geschwindigkeit voder das Erniedrigen des Massenstromes m in longitudinaler Richtung. Erhoht sich die Ge-schwindigkeit bei einer Stromung in der Kapillare, dann fallt die Dichte in Stromungsrichtung.Dieser Dichtegradient ist durch die maximale Geschwindigkeit Ma = 1 einer subsonischenRohrstromung beschrankt. Die maximale Geschwindigkeit wird nur am Ende der Rohrstromungerreicht. Die Rohrstromung in einer Kapillare mit zwei Druckzulassen, jeweils 2 mm vom Endeder Kapillare entfernt, wird in Abbildung 3.3 gezeigt. An dem linken Zulass liegt ein Druckvon 600 mbar an. An dem rechten ist der Druck 100 mbar. Die Stromung wird wegen der Naheder Druckzuleitungen zu dem Vakuumreservoir schon in den 10 mm langen Zuleitungen ausder Ruhe zu einer Machzahl von 0.4 beschleunigt. Das Einstromen in die Kapillare ist damitsubsonisch. Durch den Druckunterschied zwischen den Zuleitungen steigt die Machzahl inlongitudinaler Richtung weiter an, erreicht aber erst kurz vor rechten Zuleitung Ma=1. DerQuerschnitt der zweiten Zuleitung erweitert die Kapillare, deswegen erreicht die StromungUberschallgeschwindigkeit. Außerdem stromt Gas durch die Zuleitung aus. Der Massenstromund die Dichte sinken.Dies wird an einer zweiten Stromungssituation noch deutlicher: Die Kapillare hat vier Zulei-tungen (vgl. Abb. 3.2):

• Zwei 0.6 mm breite Gaseinlasse mit einem Druck von 800 mbar sind 2 mm voneinanderentfernt. Die linke Gaszuleitung ist 2 mm vom linken Vakuumbereich entfernt (Im Bildlinks oben).

3.4 Stromungsverhalten in der Kapillare 27

• Ein 1.4 mm breiter Gasauslass mit einem anliegenden Druck von 100 mbar ist wiederum2 mm vom rechten Einlass entfernt (Im Bild mittig unten).

• Eine 0.6 mm breite Gaszuleitung mit einem Druck von 100 mbar liegt 2 mm vom rechtenVakuumbereich entfernt (Im Bild rechts unten).

Zwischen den beiden vorderen Zuleitungen ist der Druck konstant, das Gas ruht in diesemBereich. Zwischen dem rechtem Gaseinlass und dem mittig liegendem Auslass ist ein hoherDruckunterschied. Der Druck am Auslass ist deutlich niedriger als der kritische Druck (Gl.3.11) bei 800 mbar:

p∗ = 0.528× 800 mbar = 422 mbar (3.15)

Es wird, wie in Abschnitt 3.1.2 dargelegt, genau im engsten Querschnitt beim Ubergangvon Unterschallgeschwindigkeit zu Uberschallgeschwindigkeit die kritische Dichte ρ∗ = ρ0 ×0.634 = 0.0419 kg/m−3 erreicht (siehe Abb. ?? hellgrun-gelbes Dichteniveau). Die Stromungwird im offnenden Bereich des Gasauslasses durch die Krummung aufgefachert und abgelenkt.Die Machzahl steigt beim Ausstromen bis zu einem Wert von Ma = 2.2. Gleichzeitig sinktdie Dichte wie in einer Lavalduse. Die Stromung lauft unter einem Winkel auf die Wanddes Auslasses auf. Dies verdichtet die Stromung soweit, dass sie in einem Verdichtungsstosszu einer subsonischen Stromung wird (vgl Abb. 3.1 und Abb. ??). Die Stromung wiederholtnoch einmal den Prozess von kontinuierlicher Verdunnung und Verdichtung in einem Stoss imweiteren Stromungsverlauf im mittleren Gasauslass. An dem Staupunkt an der Wand liegt derDruck am gegenuberliegenden Ausstromungsquerschnitt aus dem Verengungsbereich an. DerHauptteil des Massenflusses wird durch den Auslass aus der Kapillare gelenkt. Das Einstromenin den weiteren Kapillarenverlauf an der rechten Seite des Auslasses ist subsonisch. Der Abfall

Abbildung 3.3: Axiale Dichte ρ und Machzahl Ma in einer Zwei-Druck Kapillare mit zwei Zuleitun-gen. ρv = const innerhalb der Kapillare, Dichte und Machzahl sind invers proportional. Die Machzahlkann nur bei einer Vergroßerung des Querschnittes Ma = 1 uberschreiten.

3.5 Variation der Gaszuleitung 28

Abbildung 3.4: Axiale Dichte der Kapillare bei Variation der Breite des mittleren Auslasses ( 0.8mm - 1.6 mm). Beim Fall 1.6 vak ist an der niedrigen Druckseite Vakuum angelegt. Der Gradient biszum Auslass bleibt in allen Fallen unverandert.

der Dichte bis zu dem engsten Querschnitt der Stromung, d.h. die Kapillare, ist nach Gleichung3.12 durch die kritische Dichte beschrankt. Der Abfall der Dichte nach dem mittleren Auslasshangt von der Große des Massenstromes durch den mittleren Auslass ab.

3.5 Variation der Gaszuleitung

Um einen hohen Dichtegradienten in longitudinaler Richtung der Kapillare zu erreichen, muss,laut Massenerhaltung, der Massenstrom in der Kapillare sinken. Das Ausstromen von Gas ausder Kapillare hangt stark von der Geometrie ab. In der in Abbildung 3.2 gezeigten Geometriewurde die Breite der mittleren Zuleitung variiert (siehe Abb. 3.4). Der Gradient bis zum Aus-lass bleibt unverandert mit dem Querschnitt des Auslasses. Der Gradient bis zu dem Auslassbetragt 6.2×1018 cm−3 mm−1. Die Dichte in der Kapillare nach dem mittleren Auslass sinktmit steigender Große des Auslasses. 3.4 Man konnte den Gradienten erhohen, indem Ein- undAuslass moglichst nahe zusammenliegen. In den gezeigten Fallen liegt Abstand zwischen denmittleren Zuleitungen je nach Breite des Gasauslasses zwischen 0.8 mm und 1.3 mm.

3.6 Parameter zur Erzeugung eines Gradienten

Um den steilsten Dichtegradient in der beschriebenen Situation in der Kapillare zu erzeugen,sind folgende Punkte zu beachten:

3.7 Adaption des Gitters und Turbulenzmodelle 29

• Der Druckunterschied zwischen den zwei mittleren Zuleitungen muss großer als derkritische Druck des Anfangsdruckes sein. Damit erreicht man in der Ausstromung ausder Kapillare den hochsten Massenstrom.

• Die beiden mittleren Zuleitungen sollen so nahe wie moglich zusammen geruckt werden.Trotzdem muss die Kapillare als engster Querschnitt in der Stromung erhalten bleiben.Nur uber den Ubergang in eine supersonische Stromung wird die starke Verdunnungdes Gases erreicht.

• Der mittlere Gasauslass so breit wie moglich gewahlt werden, um einen hohen Masse-strom aus der Kapillare zu gewahrleisten.

Die Stromungsituation ist komplex. Simulationen konnen helfen anhand der oben genanntenRichtlinien den Dichtegradienten in der Kapillare zu optimieren.

3.7 Adaption des Gitters und Turbulenzmodelle

(a) Longitudinales Dichteprofil auf der Kapillarach-se

(b) Machzahl und Temperatur

Abbildung 3.5: Auswirkung der Adaption des Gitters und des RMS Turbulenzmodelles auf Druckbzw. Temperatur und Machzahl

Bei der Rechnung mit der finiten Volumenmethode ist das erstellte Gitter grundlegend. Je-doch sollte das Ergebnis nicht vom Gitter abhangen. Bei großen Gradienten der Systemgroßen(z.B. Druck oder Geschwindigkeit) wird ein feineres Gitter benotigt, um die physikalischenVorgange auflosen zu konnen. FLUENT ermoglicht eine Adaption des Gitters an eine Simu-lation. Hierbei werden die Gitterzellen dort verfeinert, wo die Gradienten der physikalischrelevanten Großen am großten sind. Insbesondere kann der Grenzbereich des Gitters zu einerfesten Wand mit einer Wandschicht verfeinert werden. Die Gitterzellen der oben beschrie-benen Simulationen sind 0.02 mm hoch und breit. Das Gitter hat keine Wandschicht. Umzu zeigen, dass dieses Gitter fein genug ist, wurde eine Simulation exemplarisch mit anderenGittern wiederholt. Es wurde auf einer zweimal adaptierten Version des ersten Gitters undauf einem neuen Gitter mit einer Wandschicht gerechnet. Die Simulationen sind in Abbildung3.5 dargestellt. Alle das System bestimmende Werte stimmen innerhalb der Kapillare fur alleGitter uberein. Im Bereich des mittleren Gasauslasses weicht die Temperatur und damit auch

3.7 Adaption des Gitters und Turbulenzmodelle 30

Abbildung 3.6: Dichte und Geschwindigkeit im radialen Profil im mittleren Auslass fur k − ε undRMS- Modell

die Machzahl der feineren Gitter geringfugig von dem Wert des groberen Gitter ab. Qualitativstimmen alle Simulationen sehr genau uberein.Turbulenzen sind makroskopische Transportprozesse innerhalb der Stromung. Im Gegensatzzu einer laminaren Stromung ist eine turbulente Stromung nicht stationar. Die stationarenRechnungen mitteln die Effekte der Turbulenzen. Die Stromungen mit einer hohen Reynolds-zahl Re = vρl/η verlaufen turbulent. l ist eine typische Langenskala des beschriebenen Sys-tems. ρ, v, η bezeichnen Dichte, Geschwindigkeit und Viskositat des Gases. Bei einer Rohr-stromung wird die Stromung ab Re > 2640 turbulent. Im Bereich des Druckgradienten tretenGeschwindigkeiten v uber 330 m/s auf. Mit der Langenskala des Durchmessers der Kapillareund der Viskositat von Wasserstoff 9.85µPas ergibt sich Re ≈ 5330. Zur Beschreibung vonTurbulenzen wurde in allen Simulationen das k− ε Modell verwendet. k ist in diesem Modelldie uber alle Richtungen gemittelte turbulente kinetische Energie der Stromung. ε die Dissi-pationsrate von k. Diese beiden Großen fuhren zu zwei weiteren Transportgleichungen (siehe3.2). Zur Kontrolle des Turbulenzmodells (siehe 3.1.1) wurde außerdem das Reynolds-StressModell (RSM) verwendet. Dieses Modell beruht auf weniger Annahmen als das k− ε Modell.Im RSM werden fur alle Komponenten des Reynolds-Stress Tensors Transportgleichungenformuliert [?]. Das RSM ist deswegen nicht isotrop. In Abbildung 3.6 sind Geschwindigkeitund Dichte im radialen Querschnitt durch den mittleren Gasauslass gezeigt (siehe 3.2). DieAusstromung in diesem Bereich hangt von der Geometrie ab. Das anisotrope k−ε Modell fuhrtzu einem gleichmaßigen Stromungsprofil. Das RS-Modell zeigt eine assymetrisches Profil. Dasaxiale Dichteprofil ist bei beiden Modellen identisch ( siehe Abb. 3.5). Zur Beschreibung deslongitudinalen Dichteprofils reicht das k − ε Modells aus. Die Rechenzeit des RS-Modell istdeutlich hoher.

Kapitel 4

Kapillare

4.1 Beschreibung

Das Kapillargehause ist ein 154 mm langer Plexiglaszylinder mit einem außeren Durchmesservon 13 cm (siehe Abbildung 4.1). In diesen sind mit weiteren Plexiglasumkragungen die beidenKupferelektroden und der Saphirhalter eingebettet. Durch zwei Fenster wird der Seitenblickauf die Kapillare ermoglicht. Das Gehause besitzt uber dem Saphirhalter eine Bohrung, in wel-che die Gaszuleitung geschraubt werden kann. Das Gehause ist durch O-Ringe zwischen denKragen zur Vakuumkammer hin abgedichtet. Dadurch entsteht im Gehause ein freies Volu-men, welches mit Gas gefullt wird. Die zylinderformigen Elektroden sind im Korper auf einenDurchmesser von 14 mm ausgehohlt. Der zum Saphir herausragende Kopf der Elektroden istin axialer Richtung auf einen 3 mm großen Durchmesser aufgebohrt. So ist die Achse und dereigentliche Kanal freigehalten. Die Elektroden werden uber zwei federngelagerte Stifte kon-taktiert. Die Stifte sind senkrecht zur Achse durch das Gehause mit dem Entladungskreislaufverbunden. Der Saphirhalter besteht aus zwei Halften aus Plexiglas. Zwischen diese beidenHalften werden zwei Saphirplatten eingklemmt. In die Saphirplatten ist jeweils die Halfteeiner 200µm großen Kapillare eingekerbt, so dass sie in dem Halter zu einer runden Kapilla-re zusammengefugt werden (siehe Abschnitt 5). Diese Kapillare dient der Gasentladung alsGefaß. Dem Kanal wird Wasserstoff durch Kanale im Saphir zugefuhrt.

4.2 Aufbau der Zweidruckkapillare

Um einen Druckgradienten in der Kapillare zu erzeugen, wurde ein Saphirhalter entworfen,der zwei getrennte Gasreservoirs enthalt (Abb. C.1). Der Zweidrucksaphirhalter ist im oberenBereich zu den Gaszuleitungen im Gehause hin geschlossen. Er besitzt an der Stelle der erstenGaszuleitung einen Kanal, welcher direkt zur Saphiroberflache hinfuhrt. Am Ubergang zwi-schen Saphirhalter und Gehause ist ein O-Ring in einer Dreiecksnut eingebracht. Zum Saphirhin schließt der Saphirhalter ebenfalls mit einem schmalen O-Ring in einer Nut ab. Dadurchwird erreicht, dass die erste Zuleitung, von der Einschraubung im Gehause bis zur Saphi-roberflache, vollstandig vom restlichen Inneren des Kapillargehauses abgetrennt ist (Abb.4.2(b)). Die andere Zuleitung funktioniert wie bei der Eindruckkapillare durch Fluten desKapillargehauses (Abb. 4.2(a)).

4.2 Aufbau der Zweidruckkapillare 32

Abbildung 4.1: Schema des Kapillargehauses. Das Kapillargehause ermoglicht die Verwendung vonKapillaren der Lange 15 mm und 33 mm. Das Gas kann sich im Gehause ausbreiten. Die O-Ringedichten zum Vakuum hin ab. Der Saphirhalter ist der hellblau gekennzeichnete, gasgefullte Bereich.

4.3 Entladungskreis 33

(a) Eindruckkapillare (b) Zweidruckkapillare

Abbildung 4.2: Vergleich der Gasreservoirs in Ein und Zweidruckkapillare

4.3 Entladungskreis

Die beiden Elektroden der Kapillare sind an einen Entladungskreis angeschlossen (siehe Ab-bildung 4.3(b)). Im Entladungskreis ermoglicht ein Thyratron, dass schlagartige Anlegen einerHochspannung an die Elektroden. Ein Thyratron ist ein gasgefullter Rohrengleichrichter, dervon zwei Gittern gesteuert wird. Die Gitter kontrollieren den Stromfluss zwischen Anode undKathode der Rohre.Der Entladungskreis wird von einer Hochspannungsquelle gespeist, welche eine Spannung von+18 kV bis +30 kV gegenuber der Erdung herstellt. Zwischen Spannungsquelle und Erdungsind ein 100 MΩ Widerstand, ein Kondensator in Reihe mit einem 1 MΩ Ladewiderstandund das Thyratron parallel geschaltet. Die beiden letzten Zweige sind wiederum nach demThyratron bzw. nach dem Kondensator uber die Kapillare miteinander verbunden. Der paral-lel geschaltete hochohmige Widerstand entladt den Kondensator langsam bei ausgeschalteterStromquelle, damit dieser nicht im aufgeladenen Zustand ruht. Vor dem Schalten des Thy-ratron ist der Kondensator des Entladungskreises voll aufgeladen. Das heißt, in ihm ist beieiner Spannung von 20 kV und der Kapazitat von 2,7 nF nach

1/2C ∗ U2 = Estored

eine Energie von 540 mJ gespeichert. Lost nun der Triggerimpuls das Thyratron aus, wirdder Kondensator uber die Elektroden und die Kapillare entladen. Der Entladungskeis ist inAbbildung 4.3(b) rot gekennzeichnet. Der Entladungsstrom einer solchen Entladung ist imBild 4.3(a) gezeigt. Es handelt sich hierbei um eine stark gedampfte Schwingung. Der Stromklingt schon nach 500 ns wieder ab. Der Potentialunterschied zwischen den beiden Elektroden,bzw. der Anode und der Kathode betragt zwischen 18 kV und 30 kV. Dies fuhrt zu einerlawinenartigen Beschleunigung der in der Kapillare enthaltenen Elektronen, sowie in Folgedessen zu der kompletten Ionisation des Gases. Der sinusformige Entladungsstrom weist vieleStorungen auf. Die Kapillare ist als stromfuhrendes Element in den Entladungskreis eingebaut.Der Prozess von Ionisation und Kanalbildung in der Kapillare fuhren zu den Storungen.

4.3 Entladungskreis 34

(a) Entladungsstrom im Gasentladungs-kreis. Die Farben markieren den Aufbau(grun), die statische Phase (rot) und denAbfall des Plasmadichtekanals (blau)

(b) Schema des Entladungskreislaufes.Das Thyratron (TH) wird durch dieSpannung an den beiden Gittern (G1,G2) gesteuert. Nach dem Schließen desEntladungskreises (rot) durch das Thy-ratron entladt sich der Kondensator uberdie Kapillare.

Abbildung 4.3: Stromverlauf der Gasentladung und der Gasentladungskreislauf

Kapitel 5

Kapillarenherstellung

Am MPQ wurde ein Aufbau zur Herstellung der fur die Elektronenbeschleunigung notwendi-gen Kapillaren eingerichtet. Es soll zunachst das Konstruktionsprinzip, dann der Aufbau unddie Parameterstudien zur Herstellung beschrieben werden.

5.1 Konstruktionsprinzip

Die Kapillaren werden aus Saphir gefertigt. Dieser Werkstoff wurde aufgrund seiner gutenWarmeleitung, seinem hohen Schmelzpunkt und seiner großen Harte gewahlt. Diese Eigen-schaften geben der Kapillare eine langere Lebensdauer. Durch die Warmeleitung wird dievon einer Entladung eingebrachte Warme schnell abgefuhrt. Die große Harte verzogert ei-ne direkte Zerstorung der Struktur durch Laser oder Entladung. Spence et al. beziffern dieLebensdauer einer Kapillare auf großer als 106 Laserschusse [?]. Dies ist ein Hauptvorteil ge-genuber anderen Kapillaren aus Glas oder Kunststoffen. Um transversale Moden mit niedrigerOrdnung des Lasers zu leiten, ist ein kreisrundes Profil des Kanals vorzuziehen. Die Großeist durch die vom Plasmadichtekanal geleitete Fokusgroße vorgegeben. In Abschnitt 2.3 wirddies genauer erlautert. Fur die Bedingungen am ATLAS-Laser am MPQ ergibt sich hierauseine Kanalgroße von 200 µm. Man benotigt also einen runden Hohlleiter aus Saphir mit 200µm Durchmesser. Im hier verwendeten Konzept wird die Kapillare von zwei halbrunde Nutenin Saphirplatten gebildet, indem diese zu einem kreisrunden Kanal zusammengefugt werden(siehe Abb. 5.1). Die Saphirplatten haben, je nach Lange des Kanals, die Maße 15 mm x 20mm x 4 mm bzw. 33 mm x 20 mm x 4 mm. Diese werden dann mit Hilfe des in Abschnitt4.1 beschriebenen Halters zusammen gehalten.

Die Gaszuleitungen werden wie die lichtleitende Struktur in die Saphiroberflache gearbei-tet, jedoch genugt es hier nur eine Oberflache zu bearbeiten. Um ausreichend Gas durch dieengen Strukturen in den wellenleitenden Bereich zu transportieren, ist der zumeist annaherndrechteckige oder runde Querschnitt zwischen 0.5 mm×0.5 mm und 1 mm×1;mm Er ist somitgroßer als die eigentliche Kapillare. Die durchgefuhrten Fluentsimulationen geben auch keinenAufschluss uber eine ideale Große, da diese nur einen stationaren Zustand beschreiben. DerDruck im Kapillarbereich ist im stationaren Zustand unabhangig von dem Durchmesser derZuleitung. Der kleinste Wert war 500 µm und die Simulation zeigte ein konstantes Druckprofilim Inneren der Kapillare.

5.2 Aufbau 36

Abbildung 5.1: Aufbauschema der Saphirplattchen. Bevor der Laserpuls in die Kapillare (rot) ein-tritt, wird Gas durch Zuleitungen (grau) in die Kapillare eingelassen und eine Gasentladung durch dieKapillare gezundet.

5.2 Aufbau

Wie oben erwahnt, konnen die Gaszuleitungen aufgrund des Profiles und der Große, mecha-nisch in die Oberflache geschliffen werden. Dies wird mit einer gewohnlichen Diamantschleif-scheibe unter gleichzeitiger Kuhlung ausgefuhrt. Es hat sich hierbei gezeigt das eine geschliffe-ne Saphiroberflache (optical grade) leichter bei der Bearbeitung springt und die Kanale somitam Rande etwas ausbrechen. War die Oberflache nicht so vorbearbeitet, geschah dies nicht.Im Gegensatz zu der beschriebenen Herstellung der Gaszuleitungen erfordert die Herstellungder Kapillaren mehr Aufwand aufgrund der geforderten Genauigkeit bei den kleineren Dimen-sionen und dem rundem Profil. Es wurde ein Lasersystem zur Bearbeitung benutzt, dass beieiner Wiederholrate von 1 kHz 30 fs lange Pulse mit einer max. Pulsenergie von 800 µJ liefert.Die Strukturen werden durch Ablation von Saphirmaterial mit fs-Laserpulsen hergestellt. .

Der Laser wird mit einer Linse der Brennweite f=85 mm auf die Saphiroberflache fokusiert(Abb.5.2, Abb. 5.3). Das fuhrt nach [?]

d =2fλD

bei einem Strahldurchmesser D von ungefahr 2 cm idealerweise zu einem fokusierten Strahl-durchmesser d von 6.8 µm . Die Fokusposition kann im Prinzip zu jedem Zeitpunkt uberdie Ruckreflexion des Lichtes von der Saphiroberflache kontrolliert werden. Dazu dient eineGlasplatte und die zweite Linse (F=300 mm), welche so angeordnet ist, dass der Fokus uberdas Mikroskopobjektiv auf die CCD-Kamera abgebildet wird.Ein einzelner Laserschuss tragt sehr wenig Saphirmaterial ab. Die Tiefe des Einschusses be-tragt weniger als 3 µm (siehe nachster Abschnitt). Zur Herstellung einer 200 µm tiefen Kapil-lare muss 10 bis 20 Mal auf eine Stelle geschossen werden. Auch in den anderen Dimensionenbenotigt man eine Vielzahl von Schussen nebeneinander.Zu diesen Zweck steht ein computergesteuerter 3-Achsen Verschiebetisch (siehe Abb. 5.3) zuVerfugung, mit dem das Saphirplattchen wahrend der Bearbeitung bewegt wird. Zur Herstel-

5.2 Aufbau 37

Abbildung 5.2: Aufbau der Kapillarenherstellung. Die x-Achse und die y-Achse des Verschiebetischesliegen in der Zeichenebene. Die x-Achse ist senkrecht zur optischen Achse. Die z-Achse zeigt aus derZeichenebene.

Abbildung 5.3: Der Versuchsaufbau fur die Kapillarenherstellung.

5.3 Vorausgehende Untersuchungen 38

Abbildung 5.4: Das Verfahrraster des Verschiebetisches im Profil. Jeder Kreis markiert eine Position,die senkrecht zum Profil entlang einer Wegstrecke (z.B. Kapillare oder Gaszuleitungen) gefahren wird.∆x ist der Parameter spotwidth. ∆y ist der Parameter spotdepth

lung der Kapillaren fahrt der Tisch gesteuert von einem LabView-Programm ein dreidimen-sionales Raster ab. Abbildung 5.2 zeigt das transversale Profil des Rasters. Dieses wird durchden Radius der Kapillare und den Abstanden ∆x bzw. ∆y zwischen den Laserpulsen in Breitebzw. Tiefe des Kanals bestimmt. Die Abstande ∆x und ∆y sind starr. Je nach Radius wirddie Anzahl der Pulse in einer Tiefenebene der jeweiligen Breite der Kapillare angepasst.Die Einhullende des transversalen Verfahrrasters in Abbildung 5.2 kann mit dem als steepnessbezeichneten Faktor variiert werden. Dieser Faktor ist der Exponent n in der die Einhullendedes Rasters beschreibenden Gleichung xn + yn = 1. Im normalen Falle eines Kreises ist n=2.Bei einem hoheren Wert wird das Profil in der Mitte flacher, der Anstieg zu Rand hin aberumso steiler. Zur Erzeugung eines rechteckigen Profils bleibt in jeder Tiefe das Raster in x-Richtung fest.An jedem Punkt des transversalen Profils fahrt der Tisch in der longitudinalen Achse die gan-ze Lange der Kapillare. In der longitudinalen Richtung legt die Geschwindigkeit des Tischesden Abstand zwischen den Pulsen fest. Die Geschwindigkeit des Tisches ist so gewahlt, dassdie Laserpulse in der longitudinalen Richtung deutlich uberlappen. Bei einer Geschwindigkeitvon 1 mm/s liegen die Mittelpunkt zweier Schusse in longitudinaler Richtung 1 µm voneinan-der entfernt. Nachdem der Tisch einen Rasterpunkt longitudinal abgefahren hat, wechselt erim transversalen Profil zum nachsten Punkt (roter Pfad in Abb. 5.2). Wieder wird, diesmal inentgegengesetzter Richtung, der Tisch in longitudinaler Richtung zu dem gegenuberliegendenPunkt der Kapillare gefahren. So rastert der Laser jeden raumlichen Punkt innerhalb derKapillare ab.

5.3 Vorausgehende Untersuchungen

Zunachst wurde der Einfluss eines einzelnen Laserpulses auf die Saphiroberflache in Abhangigkeitder Pulsenergie gemessen. Ist die fokusierte Pulsenergie großer als die empirische Zerstorschwelle

5.3 Vorausgehende Untersuchungen 39

von 5.5 J/cm2, ablatiert ein einzelner Puls Material. Wang et al. geben den Wert 3.27 J/cm2

als Zerstorschwelle an [?]. Die Art der Zerstorung der Oberflache ist von der Pulsenergieabhangig. Die Pulsenergie wurde mit Hilfe des der Pumpenergie der Verstarkerstufe geregelt.Die Variation lag hierbei zwischen der vollen Energie von 650 µJ und 1 µJ entsprechend 3.6kJ/cm2 und 5.5 J/cm2. Bei hoheren Flussen ablatiert der Laser eine großere Flache (vgl. Abb.

(a) (b)

(c)

Abbildung 5.5: Mikroskopiebilder von Einzelschussablation des Saphirs bei unterschiedlichen Puls-energien des Lasers. Mit steigender Energie wird die beschadigte Flache großer, es treten Riss auf undMaterial wird zur Seite ausgeworfen: 5 µJ (a), 20 µJ (b), 614 µJ (c)

5.5(c)). Bei hoheren Flussen sieht man deutlich mehr Risse in der Oberflache und Saphirma-terial, welches wie eine Flussigkeit uber den Zerstorungsrand ausgeworfen wurde. Dies sprichtdafur, dass bei diesen hoheren Flussen das Saphir zu kleinen Tropfchen aufgeschmolzen wird[?, ?]. Die Tiefe der Krater, die durch den Laser erzeugt werden, betragt weniger als 3 µmunabhangig von der Energie.Dies wurde mit Hilfe eines Tastkopfes und eines Mikroskops kontrolliert. Unter dem Mikro-skop wurde der zu untersuchende Krater gut abgebildet, wahrend der Tastkopf die Hohe desObjekttisches kontrolliert. Die Abbildungsebene wurde durch den Krater verfahren und sodie Tiefe der Oberflachenbeschadigung gemessen.

5.4 Parameterstudie zur Kapillarenproduktion 40

Abbildung 5.6: Aufsicht auf bearbeitete Saphiroberflache. Die Kanale haben einen konstanten Durch-messer von 200 µm

5.4 Parameterstudie zur Kapillarenproduktion

Mit dem in Abschnitt 5.2 vorgestellten Versuchsaufbau konnten ein Kapillaren produziert. Diehergestellten Kanale wurden unter dem Mikroskop, ob ihrer transversalen und longitudinalenForm untersucht. In der Mitte des Kanals kann kein Bild des transversalen Profils mit demMikroskop gemacht werden. Deswegen wurden der Kanal dort mit einem Dektak ausgemessen.Ein Dektak misst Oberflachenstrukturen mit einer dunnen Nadel die uber die Oberflachefahrt. Die Aufnahmen mit dem Dektak eignen sich um die Tiefe der Kapillaren zu messen.Die Messung des transversalen Profils war jedoch nicht aufschlussreich, da der OffnungswinkelMessspitze zu groß war. Am Rande der Kapillare kann sie dem runden Profil nicht folgen.Das gemessene Profil entspricht der Form der Messnadel.Der Aufbau zur Kapillarenproduktion gewahrleistet in jedem Fall die notige Gleichmaßigkeitund Prazision, so dass der Kanal immer 200 µm breit ist (siehe Abb. 5.6).

Um das gewunschte Profil zu erhalten, wurden folgende Parameter variiert:

• Die Laserenergie, durch Absorptionsfilter

• Der Abstand ∆x zwischen zwei Schussen in der X-Achse des Profils in Mikrometern,im Programm als spotwidth bezeichnet.

• Der Abstand ∆y zwischen zwei Schussen in der Y-Achse des Profils in Mikrometern, imProgramm als spotdepth bezeichnet

5.4 Parameterstudie zur Kapillarenproduktion 41

• Das Kapillarprofil mit dem Parameter steepness ( siehe Abschnitt 5.2)

Es wurde versucht mit moglichst geringer Energie zu arbeiten, um durch die anderen Para-meter sensibleren Einfluss auf die Profilform zu gewinnen.Hierbei gelang ein rundes Kapillarenprofil der richtigen Große zu erreichen. Die Parameterbei dieser Kapillare waren:

• Pulsenergie 20mJ

• spotwidth 7µm

• spotdepth 3µm

Das transversale Profil des Kanals in einer Mikroskopieaufnahme wird in Abbildung 5.7 ge-zeigt. Der Kanal ist 100 µm tief und halbrund. Die Tiefe des Kanals in der Mitte des Saphirsist ebenfalls 100µ wie die Dektakmessung zeigt (ebenfalls Abbildung ??). mist wie am Randewurden auch in der Mitte des Saphirs mit dem Mikroskop auf Unregelmaßigkeiten im Verlaufkontrolliert (siehe Abb. 5.6).

(a) Mikrospiebild (b) Dektakmessung

Abbildung 5.7: Mikroskopiebild und Dektakmessung einer Kapillare. Der orange Balken entspricht100µm. Das Profil Kapillare der Dektakmessungen ist mit der Form der Messnadel und der Verfahr-richtung uberlagert. Das Mikroskopiebild zeigt direkt die Form der Kapillare am Rand des Saphirs.

Der Prozess ist sehr sensibel auf die Energie und die Schussanzahl. Wie aus [?] bekanntist, wird von einer schon beschadigten Oberflache deutlich mehr Material abgetragen. Diesspiegelt sich deutlich in den Profilen der Kapillaren wieder, bei denen die am haufigsten getrof-fene Mitte stark uberhoht Materialverluste zeigt (siehe Abb. 5.8(e)). Durch den uberhohtenVerlust in der Mitte verliert das Profil die runde Form. Dies wurde versucht mit dem Para-meter steepness auszugleichen (siehe Abb. 5.9). Das Profil flacht in der Mitte des Kanals ab,wenn die steepness erhoht wird. Die Flanken des Profils steigen steiler an. Das starre Fahr-wegraster ist nicht an diese Nichtlinearitat angepasst. Zudem ist darauf hinzuweisen, dass

5.5 Rechteckige Kapillaren zur Interferometrie 42

der verwendete Energiemesskopf am unteren Rand des messbaren Energiebereichs arbeiteteund nicht besonders prazise Angaben machte. Die Energie schwankte wahrend der bis zu dreiStunden dauernden Bearbeitung oft signifikant (z.B. von 30µJ nach 22µJ). Man sieht auchaus den Versuchen das ein Parametersatz nicht immer die gleiche Kapillarform erzeugte (z.B.20µJ ,7,3, ??). Dies ist neben den Energieschwankungen wohl auch der schlechten Einstellungdes Fokus zuzuschreiben. Hierauf ist also in Folge zu achten. Somit ist der Aufbau prinzipiellfunktionstuchtig. Es konnen in Folge prazise sowohl Gaszuleitungen als auch Kapillaren mitindividueller Geometrie gefertigt werden.

Pulsenergie [µJ ] Spotsize Spotdepth Tiefe [µm] Slope Profil20 10 5 — 2 —109 10 5 — 2 —40 10 5 106 2 5.8(a)32 10 5 85 2 5.8(b)

10 3 132 2 5.8(c)- 7 5 99 2 5.8(d)

5 3 205 2 5.8(e)22 7 3 100 2 5.8(f)20 7 3 103 2 5.8(g)32 7 3 — 2 —20 7 3 — 2 —26 7 4 — 2 5.8(h)34 7 5 — 2 —20 7 3 — 2 5.9(a)20 7 3 — 2.5 5.9(b)20 7 3 — 3 5.9(c)16 7 3 — 2 5.9(d)16 7 3 — 2.5 5.9(e)16 7 3 — 3 5.9(f)

Tabelle 5.1: Aufstellung aller Kapillarparameter

5.5 Rechteckige Kapillaren zur Interferometrie

Die runden Kapillaren erlauben keine transversale Messung der Elektronendichte durch Inter-ferometrie (siehe Abschnitt 6), da das Licht an der rauen Kapillarwand gestreut wird. Zudembricht die gekrummte Oberflache das Licht. Rechteckige Kapillaren mit optisch geschliffenenWanden sind zur Interferometrie geeignet. Das Aufbauprinzip einer rechteckigen Kapillareder Seitenlange 0.25 mm funktioniert, wie folgt : Zwischen zwei Grundplatten mit den Maßen33 mm x 20 mm x 4 mm werden zwei dunne Zwischenplatten der Maße 33 mm x 9.875 mmx 0.25 mm so gelegt, dass langs der langen Kante zwischen den Zwischenplatten eine Spal-te von 0.25 mm frei bleibt. Die Seitenlange ist unter dem Mikroskop durch Verschieben der


(a) (b) (c) (d)

(e) (f) (g) (h)

Abbildung 5.8: Profilbilder der Kapillaren bei Parametervariation (siehe Tabelle 5.1)

(a) (b) (c)

(d) (e) (f)

Abbildung 5.9: Profile bei konstanten Energien und Variation der Kapillarform uber die Steigung


Zwischenplatten auf 10 µm genau eingestellt. Alle Platten sind optisch hochwertig geschlif-fen (Oberflachenrauheit < λ/4 oder besser) Diese Konstruktion ist lose und wird durch denaußeren Saphirhalter (siehe Abschnitt 4) durch Druck auf die Außenflachen der Grundplattenzusammengehalten.

Kapitel 6

Interferometrie

Die radiale Dichteverteilung des Plasmakanals bestimmt maßgeblich die Propagation desLaserpuls in longitudinaler Richtung der Gasentladungskapillare. Deswegen ist eine genaueKenntnis der Elektronendichte unerlasslich. In diesem Kapitel wird dargestellt, wie durchtransversale, interferometrische Messungen einer rechteckigen Kapillare sowohl der transver-sale als auch der longitudinale Dichteverlauf bestimmt wird. Dabei wird die Variation desBrechungsindex eines Plasmas mit der Elektronendichte ausgenutzt. Somit lasst sich uber dieortsabhangige Phasenverschiebung des Lichtes auf die lokale Elektronendichte in der Kapillareschließen [?, ?, ?].

6.1 Theorie

6.1.1 Interferometrie von Plasmakanalen zur Elektronenbeschleunigung

6.1.2 Der Brechungsindex des Plasma

Wahrend der Gasentladung stromt Wasserstoff durch die Gasentladungskapillare. Die Gas-entladung ionisiert das Gas zu einem großen Teil. Es sind bei der Messung Protonen, freieElektronen und Wasserstoffatome in der Kapillare. Der Anteil der freien Elektronen an demBrechungindex des Plasmas nR hangt bei bekannter Frequenz ω bzw. Wellenlange λ des Lasersnur von der Elektronendichte ne der freien Elektronen ab (vgl. 2.5):

nR =

√1−

(ωpω

)2(6.1)

=

√1− e2neλ2

4πε0me(6.2)

=√

1− nenc

(6.3)

nc = ω2meε0/e2 ist die kritische Dichte des Plasmas (siehe Gleichung 2.10). Fur ne nc

kann nR genahert werden:

nR ' 1− nenc

= 1− nee2

meω2ε0(6.4)

6.1 Theorie 46

Der Brechungsindex nrh von Wasserstoffgas in Abhangigkeit der Teilchendichte nh ist gegebenals [?]:

nrh = 1 +Khnh. (6.5)

Kh = 5.47 × 10−24cm3 ist die Gladstone-Dale Konstante von Wasserstoff fur 0 Grad Cel-sius und Licht der Wellenlange 633 nm. Kh ist zwei Großenordnungen kleiner als 1/nc =3.68×10−22cm3 bei der gleichen Wellenlange. Die freien Elektronen bestimmen demnach denBrechungsindex des Plasmas.Der lokale Brechungsindex nR (x, y, z) ist in erster Naherung proportional der Elektronen-dichte ne (x, y, z) im Plasma (Gleichung 6.1).

6.1.3 Messung und Rekonstruktion der Elektronendichte

Im Experiment durchleuchtet ein aufgeweiteter Laserstrahl die Kapillare transversal. DieMessgroße des Experiments ist der ortsabhangige Phasengang Φ0 (y, z) im transversalen Strahl-profil des Lasers (siehe Abb. 6.1). Der Phasengang Φ0 (y, z) eines Lichtstrahls mit der Wel-lenlange λ bzw. Frequenz ω durch die Kapillare mit der Breite d ist:

Φ0 (y, z) =ω

c

∫ d/2

−d/2nR (x, y, z) dx (6.6)

=ω

cd− reλ

∫ d/2

−d/2ne (x, y, z) dx (6.7)

mit dem klassischen Elektronenradius

re =e2

4πε0mec2= 2.818 · 10−15m

und unter Verwendung der Gleichung 6.1 fur den Brechungsindex nR (x, y, z) des Plasmas.Der erste Term in Gleichung 6.6 entspricht dem Phasengang von Licht durch Vakuum in derKapillare. Eine Referenzmessung misst genau diesen Phasengang Φvac. Sie wird im Zuge derRekonstruktion der Phase (Abschnitt 6.1.5) von jeder Messung Φ0 abgezogen:

Φ0 − Φvac = −λre∫

∆lnedx = Φp (6.8)

Der Phasengang Φp (y0) integriert nach Gleichung 6.8 die Elektronendichte ne (x, y) in derKapillare entlang des Pfades mit y = y0. Uber die ganze Kapillare besitzt das transver-sale Strahlprofil des Lasers ein Phasenprofil Φp (y, z) (vgl. Abb. 6.1). Mit einer Annahmeuber die Plasmadichte in der x-Achse kann man aus dem Phasenprofil auf die Elektronen-dichte ne (x, y, z) in der Kapillare zuruck schließen. Die Annahme einer radialen Symmetrieist bei einem Plasmakanal ublich. Mit einer Abelinversion [?] kann so die Elektronendichtene (r, z) an jeder radialen Position r uber die Lange z des Plasmadichtekanals bestimmt wer-den. Die Annahme einer radialsymmetrischen Elektronendichte ist bei einer Gasentladung inder rechteckigen Kapillare nicht korrekt. Stattdessen kann man annehmen, dass die Dichtesich in Richtung der x-Richtung genauso verhalt wie in der y-Richtung [?]:

ne (x, y, z) = f (x, z) f (y, z) (6.9)

6.1 Theorie 47

Abbildung 6.1: Bei der Propagation durch die rechteckige Kapillare (Bild mitte) sieht der Laserje nach Position (gelb, grun, blau) auf der y-Achse eine unterschiedliches Profil der Elektronendichtene (x, y) (Bild oben). Die Phase Φp (y) ist der der Elektronendichte entlang eines Pfades proportional(farbige Punkte Bild rechts). Ein radiales Phasenprofil des Kanals wird gemessen (Bild rechts).

mit zu bestimmender Symmetriefunktion f. f hat die Einheit m−32 . Daraus folgt fur die

gemessene Phase Φp nach Gleichung 6.8:

Φp (y) = −reλ∫ d/2

−d/2f (x) dxf (y) (6.10)

Dies gilt fur jede Position z in longitudinaler Richtung der Kapillare. Mit einer Integrationvon Φp folgt: ∫ d/2

−d/2Φp (y) dy = −reλ

∫ d/2

−d/2f (x) dx

∫ d/2

−d/2f (y) dy (6.11)

Diese Gleichung lasst sich nach dem Integral auf der rechten Seite auflosen und in Gleichung6.10 einsetzen. Dies fuhrt zur Losung fur die Symmetriefunktion:

f (y) =−Φp (y)

(reλ)12

(∫ d/2

−d/2−Φp (y) dy

)− 12

(6.12)

undne (x, y) =

−Φp (x) Φp (y)

reλ∫ d/2−d/2 Φp (y) dy

(6.13)

Es gilt hierbei:x = y ⇒ Φp (x) = Φp (y)

Die Gleichung 6.13 ist eine analytische Rekonstruktion der Elektronendichte ne (x, y) aus demPhasenprofil Φ (y) aufgrund der Symmetrieannahme in Gleichung 6.9. Die Symmetrieannahme

6.1 Theorie 48

ist sehr stark: Die Elektronendichte ne (x0, y) ist an jedem festen Punkt x0 proportional derForm der gemessenen Phase Φp (y).Bei der Implementation der Inversion in MATLAB wurden die Symmetriefunktion f in denersten normalisierten 8 Lagrangefunktionen pn (x) |1−1 (siehe Tabelle6.1) entwickelt:

f (x) = Σnanpn (x)× 1012[m−

32

](6.14)

Die gemessene Phase Φp bestimmt nach 6.11 die Koeffizienten an :

a1 =

√∫ 1

−1p1 (x) Φp (dx) dx · c (6.15)

aj =

∫ 1−1 pj (x) Φp (dx) dx

a1· (6.16)

mit j > 1. c = (reλd)−12 × 10−12 skaliert die Integration auf die verwendete Wellenlange λ

des Lasers und Breite d der Kapillare. Die Symmetriefunktion f wiederum bestimmt nachGleichung 6.9 die Elektronendichte ne:

ne (x, y) = f (x) f (y)× 1018[cm−3] (6.17)

p1 =√

12

p2 =√

32x

p3 =√

52

12

(3x2 − 1

)p4 =

√72

12

(5x3 − 3x

)p5 =

√92

18

(35x4 − 30x2

)p6 =

√112

18

(63x5 − 70x3 + 15x

)p7 =

√132

116

(231x6 − 315x4 + 105x2 − 5

)p8 =

√152

116

(429x7 − 639x5 + 315x3 − 35x

)Tabelle 6.1: Die ersten acht Legendrepolynome. Sie sind auf dem Intervall −1 ≤ x ≤ 1 normalisiert.

6.1.4 Interferometrie

Die ortsabhangige Phasenverschiebung wird durch Inteferometrie bestimmt. Die interfero-metrische Methode soll anhand des im Experiment verwendetem Wollatonprisma dargestelltwerden (Abb. ??). Ein Laserpuls mit dem elektrischen Feld E(x, t) = E0 exp ı (kx− ωt) durch-quert die Kapillare. E0 bezeichnet die Amplitude des Feldes, k ist der Wellenvektor und ω dieFrequenz des Lasers. Das Wollastonprisma schert den Strahl. Es bricht die Komponente desLichtes, die parallel zur Symmetrie des Prismas polarisiert ist, in die entgegengesetzte Rich-tung zu der Komponente, die senkrecht zu dieser Achse polarisiert ist. Deswegen verlassendie zwei Komponenten das Prisma geschert um den Winkel alpha (siehe 6.2). Das Prisma

6.1 Theorie 49

Abbildung 6.2: Schema eines Wollaston Interferometers

spaltet also den Laserpuls in zwei Pulse auf. Fur die Amplituden E1 bzw. E2 der Pulse inden beiden Armen des Interferometers gilt: E0 = E1 + E2. Die gescherten Pulse propagierenzur Bildebene. In der Bildebene uberlagert sich das Bild der Kapillare des einen Strahls miteiner Referenzflache aus dem anderen Strahl und andersherum. Es entstehen zwei Bilder derKapillare. Auf der Wegstrecke L1 durch die Kapillare (1) zur Bildebene hat der Laserpulsabhangig vom lokalen Brechungsindex nR (x) den Phasengang Φ1:

∆Φ1 =∫L1

k (x) dx =ω

c

∫L1

nR (x) dx (6.18)

Der andere Puls legt uber bzw. unter Kapillare durch den Saphir (2) die Wegstrecke L2 zuruckund sammelt dabei die Phase Φ2 auf. Der erste Puls propagiert im Messarm des Interferome-ters, der zweite Puls im Referenzarm.Damit die senkrecht zueinander polarisierten Strahlen sich uberlagern konnen, muss vor derBildebene ein Polarisator unter 45 Grad zu der Polarisation des Lichtes stehen. In der Bilde-bene ist das elektrische Feld EB (t) dann die Superposition der Felder der beiden Arme:

EB (t) =(E1e

ıΦ1 + E2eıΦ2)e−ıωt (6.19)

=(E1e

ı∆Φ + E2

)eı(Φ2−ωt) (6.20)

∆Φ = Φ1−Φ2 ist der Phasenunterschied zwischen den beiden Armen. Der Phasenunterschied∆Φ hangt von dem Phasengang im gesamten Interferometer ab. Ein Weglangenunterschied∆L = L1 − L2 geht genauso in ∆Φ ein wie eine lokale Anderung des Brechungsindex desPlasmas nR (x). Mit einer Referenzmessung kann der Phasenanteil des Plasmas Φp isoliertwerden. Die Referenzmessung misst den Phasengang des Interferometers ohne Plasma. DerPhasenunterschied der Referenzmessung ∆Φref unterscheidet sich von dem Phasenunterschiedeiner Messung Φmes nur durch das Plasma auf der Wegstrecke ∆l durch die Kapillare:

Φp = ∆Φmes −∆Φres =ω

c

∫∆l

(nR (x)− 1) dx (6.21)

Hierbei wird angenommen, dass bei der Referenzmessung in der Kapillare Vakuum mit demBrechungsindex n0 = 1 ist. Φp ist proportional dem entlang des Lichtweges integrierten Bre-chungsindex des Plasma.

6.1 Theorie 50

6.1.5 Rekonstruktion der Phase

In der Bildebene wird die Intensitat I (~r) des Lichtes, also das Betragsquadrat des Feldes EB,in Abhangigkeit von dem Ort ~r gemessen (siehe Gleichung 6.19):

I (~r) = |EB (~r) |2 =[E2

1 (~r) + E22 (~r)

] [1 +

2E1 (~r)E2 (~r)E2

1 (~r) + E22 (~r)

cos ∆Φ (~r)]

(6.22)

= I0 (~r) + [1 + I12 (~r) cos ∆Φ (~r)] (6.23)

I0 =[E2

1 + E22

]ist die Summe der einzelnen Intensitaten von Referenz- und Messarm. Die

Amplitude des Interferenzterms I12 = 2E1E2/(E2

1 + E22

)ist am großten, wenn E1 = E2 ist.

Fur einen guten Kontrast der Interferenzbilder sollte E1 ≈ E2 gelten.Der Phasenunterschied ∆Φ ist in Gleichung 6.22 im Argument des Kosinus. Deswegen kannWert der Phase ∆Φ nur modulo 2π bestimmt werden. Es wird im Folgenden beschrieben, wieman ∆Φ aus der Intensitat EB gewinnen kann [?]. Bei der Auswertung der Messungen derGasentladungskapillare wurde zu diesem Zweck das Programm IDEA der TU Graz verwendet[?]. Das Programm hat alle numerischen Algorithmen implementiert, die man in den folgendenSchritten benotigt:

1. Ein Interferenzstreifenmuster wird in der Bildebene erzeugt:Wie in Abschnitt 6.1.4 erlautert, ist in der Phase ∆Φ sowohl der Anteil des PlasmasΦp als auch der Anteil des Interferometers Φi enthalten. Durch leichte Dejustage desInterferometers kann man in der Bildebene eine linear ansteigende Phase Φi (~r) = 2π ~f0~rerzeugen. ~f0 ist die Raumfrequenz des resultierenden Interferenzmusters in der Bilde-bene. Neben diesem bewusst herbeigefuhrten Phasengang im Interferometer existiertweiterhin ein unbekannter Anteil der Phase Φi. Dieser Anteil wurde schon in der obigenGleichung stillschweigend weggelassen, da er ohnehin mit der Subtraktion einer Refe-renzmessung wegfallt (vgl. Gl. 6.21) Die Intensitat I (~r) in der Bildebene sieht damit,wie folgt aus:

I (~r) = I0 (~r)[1 + I12cos

(2π ~f0~r + Φp (~r)

)](6.24)

Oder in komplexer Schreibweise:

I (~r) = I0 (~r) + c (~r) e2πıf0~r + c∗ (~r) e−2πıf0~r (6.25)

mitc (~r) =

12E1 (~r)E2 (~r) eiΦ(~r) (6.26)

Aus der Dejustage resultiert ein Interferenzstreifenmuster mit der Raumfrequenz f0 (vgl.6.24). In Abbildung 6.3 ist ein Interferenzstreifenmuster fur eine Referenzmessung undeine Elektrondichtemessung der Gasentladungskapillare gezeigt. Die Interferenzstreifender Referenzmessung sind parallel. Dies weist auf den linearen Phasenverlauf von Φi

hin. Bei der Messung beugen sich die Interferenzstreifen am Rand der Kapillaren, dader Plasmaanteil Φp am Rand großer ist als in der Mitte.

2. Das Interferenzbild, d.h. die Intensitat, I (~r) wird Fourier gefiltert:Nach einer Fouriertransformation FT sieht Gleichung 6.25 wie folgt aus:

FT [I (~r)] = FT[I0 (~r) + c (~r) e2πıf0~r + c∗ (~r) e−2πıf0~r

](6.27)

= I0 (~ν) + c (~ν − f0) + c∗ (~ν + f0) (6.28)

6.1 Theorie 51

(a) Messung (b) Referenz

Abbildung 6.3: Interferenzmuster innerhalb des Kapillarenkanals mit (Bild links) und ohne (Bildrechts) Gasentladung

Die Großen mit Hut entsprechen den Fouriertranformierten der Großen c bzw. I0. cbefindet sich im Fourierraum um die Tragerfrequenz f0. angeordnet. Die Intensitat desStrahlprofils I0 befindet sich in der Mitte des Frequenzraums (siehe Abb 6.3(a)). DasZiel ist nun c im Fourierraum zu separieren, um durch die inverse Fouriertransformationc zu erhalten. Dabei werden alle langsamen Intensitatsschwankungen im Strahlprofil I0,die im Fourierraum um die Frequenz f = 0 angeordnet liegen, gefiltert. Eine Maskedefiniert eine Region um den Bereich der Tragerfrequenz f0 im Fourierraum. Die Maskemuss so gewahlt werden, dass I0 klar von c getrennt wird. Daraufhin werden alle Punkteaußerhalb des eingegrenzten Bereichs gleich null gesetzt. Eine inverse Fouriertransfor-mation FT−1 des Bildes entspricht der inversen Transformation von c (~ν − f0):

FT−1 [c (~ν − f0)] = c (~r) eıf0~r (6.29)

Die Phase Φp − Φi befindet sich in der komplexen Phase von Gleichung 6.29. Der Ar-custangens der inversen Fouriertransformation liefert genau diese Phase[?]:

Φp (~r)− Φi (~r) = arctanIm(c (~r) eıf0~r

)Re(c (~r) eıf0~r

) (6.30)

Im gewonnene Phasenbild der Kapillare liegt Φp (~r)− Φi (~r) modulo 2π vor.

3. Die modulo 2π Phase wird entfaltet:In Abbildung 6.5 ist das Phasenprofil der Kapillare nach dem 2. Schritt der Auswertungneben dem ursprunglichen Interferenzmuster dargestellt. Der reale lineare Phasengangist in Stufen unterteilt: Die Phase steigt von−π (schwarz) nach π (weiß) an, dann springtdie Phase auf den Wert −π. Am Rand der Kapillare springt der reale Phasengang, weilinnerhalb der Kapillare der optische Weg durch das Plasma, außerhalb durch den Sa-phir fuhrt. Der Phasensprung fuhrt zu Residuen (gruner Kreis) der Stufen. Die reale

6.1 Theorie 52

(a) Der gesamte Frequenzraum nach Anwendungder FFT

(b) Der weiterverarbeitete Frequenzraum um dieTragerfrequenz f0. Der blau maskierte Bereich istgleich null gesetzt.

Abbildung 6.4: Die Fouriertransformierte eines gemessenen Interferenzmuster. IDEA benutzt einezweidimensionale Fast Fourier Transformation (FFT) [?].

(a) Das gemessene Interferenzbild der Kapillare mit1047 nm. Die gebogenen Interferenzstreifen weisenauf einen ausgepragten Plasmakanal hin.

(b) Das modulo 2π Phasenbild der Kapillare des lin-ken Bildes nach dem 2. Schritt der Rekonstruktion.

Abbildung 6.5: Vergleich zwischen Messung und Phasenbild nach dem 2. Schritt der Rekonstruktion.Im Phasenprofil entspricht weiss π, schwarz −π. Der rote Punkt uber der Kapillare markiert den Re-ferenzpunkt der Phasenentfaltung. Am Rand der Kapillare treten wegen des Phasensprungs Residuenauf (gruner Kreis).

6.1 Theorie 53

Abbildung 6.6: Das Residuum (gruner Kreis) aus Bild 6.5. Verbindet man die Strecke AB uber denWeg 2, werden drei Phasensprunge uberquert. Auf dem Weg 1 sind zwei Phasensprunge. Verbietetman eine Wegstrecke ist die Phasenrekonstruktion konsistent.

Phase wird von einem Referenzpunkt ausgehend bestimmt. Der Referenzpunkt setzt dieabsolute Phase des Phasenbildes fest. Außerhalb der Kapillare gibt es keinen Phasenun-terschied zwischen Referenzbild und Messbild. Diese Region eignet sich fur das Setzeneines Referenzpunktes. Bei einem Phasensprung unterscheiden sich zwei benachbartePixelwerte des Phasenbildes um einen Wert nahe 2π. IDEA erkennt die Phasensprungeund addiert eine Stufenfunktion, um einen kontinuierlichen Phasenverlauf zu erzeugen.Die Residuen fuhren bei dieser Operation zu Ambivalenzen. Unterschiedliche Pfadefuhren zu unterschiedlichen Stufenanzahlen (siehe Abb. ??). Deswegen verbindet IDEAmit der branchcut Methode zwei geeignete Residuen, und verhindert das Fortsetzen derRekonstruktion uber die Verbinungslinie. Jeder Phasenwert ist daraufhin konsistent zujedem anderen in der Anzahl der Stufen zwischen beiden. Die Rekonstruktion mit derbranchcut Methode ermoglicht den Phasenverlauf vom Referenzpunkt uber den Kapilla-renrand in die Kapillare zu erkennen. Nur wenn dies gelingt, ist der absolute Wert derPhase in der Kapillare richtig.

4. Die Phase Φ0 einer Referenzmessung wird von der gemessenen Phase abgezogen:Da wahrend der Referenzmessung in der Kapillare keine Gasentladung gezundet wird,ist Φ0 = Φi. Nach der Subtraktion zeigt das Phasenbild den gesuchten Phasengang Φp

durch das Plasma (siehe Abb. 6.1.5). Wie in Abschnitt 6.1.4 aufgezeigt, subtrahiert dieReferenz auch alle Einflusse des Interferometers aus der Messung.

(a) Messung (b) Referenz (c) Differenz

Abbildung 6.7: Messung und Referenz des Kapillarkanals sowie deren Differenz. Die Farbe gibtden Wert der Phase wieder. Messung und Referenz besitzen wegen des Interferenzstreifenmusters einekontinuierlich steigende Phase. Die Differenz zeigt die Phase proportional zur integrierten Dichte desPlasmadichtekanals. Im Randbereich der Abbildung treten 2π Phasensprunge wegen der Verbindungder Residuen am Kapillarenrand mit dem Bildrand durch die branchcut Methode auf.

6.2 Versuchsaufbau 54

Das Programm IDEA ermoglicht die Analyse der aufgenommenen Interferenzbilder bis zudem Erstellen des zweidimensionalen Phasenprofils der Kapillare.

6.1.6 Phasengang durch Erhitzung der Kapillarwande

Nach Gleichung 6.8 musste fur die aufgenommene Phasendifferenz ∆Φ bei den Wellenlangen2λ1 = λ2 gelten:

2∆Φλ1 = ∆Φλ2 (6.31)

Es existiert jedoch ein zusatzlicher Phasenanteil Φw, der nicht die selbe Abhangigkeit von derWellenlange besitzt. Dieser Anteil wird durch das Erhitzen der Wande durch die Gasentla-dung [?, ?] hervorgerufen. Dieses Erhitzen fuhrt zur Ausdehnung des Wandmaterials und zurErhohung des Brechungsindexes. Beides tragt zu einer Verlangerung des optischen Weges bei.Beide Effekte sind bei allen Wellenlangen des Lichtes gleich groß, so dass Φw wie bei einemdielektrischen Medium proportional der inversen Wellenlange ist. Wahrend der PlasmaanteilΦp proportional der Wellenlange ist. Demnach gilt:

Φλ1w = 2Φλ2

w Φλ1p =

12

Φλ2p (6.32)

Die gemessene Phase ist fur jede Wellenlange λ die Summe aus dem Phasengang durch denPlasmakanal und dem Phasengang durch die Wanderhitzung.

Φλm = Φλ

p + Φλw (6.33)

Mit Hilfe der Gleichungen 6.32 lasst sich die Gleichung 6.33 nach dem Phasengang durch denPlasmakanal Φp bei der großeren Wellenlange λ2 auflosen:

Φλ2p =

43

Φλ2m −

23

Φλ1m (6.34)

Auf diese Weise kann durch Messung bei zwei Wellenlangen der Einfluss der Wandaufheizungkompensiert werden.

6.2 Versuchsaufbau

Im Folgenden wird der Versuchsaufbau zur Messung der Elektronendichte in der Kapillarebeschrieben. Der Versuchsaufbau unterscheidet sich, wie im folgenden Abschnitt zu sehenist, nur in wenigen Punkten von dem in Oxford verwendetem [?]. Als Laserquelle wurde eingepulster Nd:YLF Laser der Firma High-Q verwendet. Dieser liefert Picosekundenpulse miteiner Frequenz von 100 Hz . Jeder Puls hat eine Energie von ca. 40µJ , bei einer Dauer von32 ps. Die Wellenlange ist 1047 nm (ND:YLF). Der Hintergrunddruck in der Vakuumkammerbetragt ca. 10−6mbar, so dass in dem Interferometrieaufbau ahnliche Bedingungen herschenwie in dem Elektronenbeschleunigungsexperiment am MPQ (siehe 9).

6.2.1 Optischer Aufbau

Zur Realisierung des Interferometers wird in dem Experiment ein Wollastonprisma verwen-det, dessen genaue Funktionsweise im Anhang (A) erlautert ist.


Abbildung 6.8: Versuchsaufbau fur die Interferometrie. K=Kapillare,Zl=Zylinderlinse,HR=Dieleektischer Spiegel, BBO= BBO-Frequenzverdopplungskristall, P= Polarisator, PD=Photodiode, W= Wollastonprisma S= CCD-Kamera

Es werden zwei Farben verwendet die Grundwellenlange bei 1047 nm (rot) und die zwei-te Harmonische bei 527 nm (grun), erzeugt in einem 5 mm langen BBO-Kristall. Das gruneLicht ist senkrecht zu dem roten Anteil polarisiert, da die zweite Harmonische mit Typ 1 Pha-senanpassung [] erzeugt wird. Beide Farben haben den gleichen Lichtweg (insbesondere durchdie Kapillare), bis sie durch einen fur die Wellenlange 1064 nm beschichteten hochreflektiven,dielektrischen Spiegel (HR 1064 nm) getrennt werden. Das rote Licht wird reflektiert. Lichtmit einer Wellenlange von 524 nm wird hauptsachlich transmittiert.Die Uberlagerung von probendem Licht und Referenzlicht wird nicht durch Aufspaltung desLichtes in zwei unabhangige Arme erreicht, sondern durch Scheren des einen Strahles, der sichdaraufhin in der Beobachtungsebene mit sich selbst uberlagert (siehe Abb. 6.2). Das Wollas-tonprisma schert den Laserstrahl polarisationsabhangig. Da roter und gruner Arm senkrechtzueinander polarisiert sind, ist die Scherung im Roten zu der Grunen invertiert. In der Ab-bildungsebene ist die Kapillare mit einem Referenzteil des Lichtes uberlagert, welcher uberoder unter dem Kapillarkanal liegt. Damit die senkrecht zueinander polarisierten Strahleninterferieren konnen, muss vor der Bildebene ein Polarisator (P1,P2) unter 45 Grad zu derPolarisation des Lichtes stehen (vgl. Abschnitt 6.1.4).Der Laserstrahl wird vor der Vakuumkammer mit einem Teleskop auf 3.6 cm aufgeweitet,um die ganze Kapillarlange beleuchten zu konnen. Die Abbildung der Kapillare geschieht mitzwei Zylinderlinsen (vgl. 6.8 bzw ??). Die Zylinderlinse Zl1 bildet die Ober- und Unterkanteder Kapillare ab. Bei der Abbildung wird eine Vergrosserung des Kapillardurchmessers umden Faktor 8 erreicht. Die Zylinderlinse Zl2a. bzw. Zl2b bilden im roten bzw. grunen Armdie Achse senkrecht zu den Kanten der Kapillare ab. Dabei wird die Kapillarlange um denFaktor 6 verkleinert. Mit diesem anamorphotischen Abbildungsystem ist es moglich einen ca.2 cm langen Teilbereich der 3.3 cm langen Kapillare auf die Kamera abzubilden. Die separateAbbildung des roten und des grunen Armes ist wegen chromatischen Aberrationen notwendig.Grundsatzlich erlaubt der Aufbau in beiden Farben separat den Plasmakanal abzubilden undzu messen, wie in ?? gefordert.


6.2.2 Aufbau des Gassystems

Fur das Experiment wird Wasserstoff 5.0 der Firma Linde verwendet. Der Gasdruck wird furbeide Gaszuleitungen separat mit jeweils einem Druckminderer geregelt. Es konnen absoluteDrucke von ca. 50 mbar bis 1 bar kontinuierlich eingestellt werden. Zwei parallel geschalteteMagnetventile offnen gleichzeitig die Gaszuleitung zur Kapillare. Auf der Vakuumseite derZuleitungen zum Kapillargehause ist direkt hinter den Ventilen jeweils ein Piezodruckmess-gerat angebracht. Das Druckmessgerat liest alle 100 ms den momentan anliegenden Druck ausund speichert den Maximalwert. Die Auflosung des Druckmessgerates ist 1 mbar. Wahrendder Offnungszeit der Ventile wird so der Staudruck in den Kapillarzuleitungen gemessen. DieOffnungszeit des Gasventils betragt ungefahr 500 ms.

6.2.3 Zeitsteuerung

In dem Experiment mussen Gasventil, Kamera, Gasentladung und Laser in einem definier-ten Zeitrahmen hintereinander ausgelost werden. Als erstes offnet das Gasventil. Um einestationare Stromung zu erreichen, wird es 200 ms vor der Zundung der Gasentladung geschal-tet. Die Kamera muss 1 ms vor der Zundung der Entladung ausgelost werden. Zu spaterenZeitpunkten stort der elektromagnetische Puls der Gasentladung (EMP) das Auslesen derKamera. Der Laserpuls propagiert zeitgleich mit dem Auslosen der Entladung durch dieKapillare. Die kurze Pulsdauer (< 1 ns) des Lasers ermoglicht eine Nanosekunden genaueAuflosung des Entstehens und Vergehens des Plasmakanals. Der beobachtete Zeitabstand isthierbei zwischen Einsetzen der Gasentladung und der Messung der Elektronendichte durchden Laserpuls.

Kapitel 7

Messungen

Der Plasmadichtekanal in der Kapillare unterliegt einer zeitlichen Entwicklung. Die LWFAbenutzt nur die kurze Dauer des quasistationaren Zustands, in der sich das transversale Plas-madichteprofil fertig ausgebildet hat. Es wurde mit Hilfe des in Abschnitt 6.2 beschriebenenVersuchsaufbau die Elektronendichte in einer rechteckigen Kapillare (siehe 5.5) unter unter-schiedlichen Bedingungen gemessen.Zunachst wurde der gleiche Druck an die beiden Gaszuleitungen angelegt. Die zeitliche Evo-lution bei unterschiedlichen Drucken wurde gemessen. Zu einem festen Zeitpunkt wurde dieEntladungsspannung variiert.Daraufhin wurde durch Anlegen zweier unterschiedlicher Drucke an die Gaszuleitungen einDruckgradient in der Kapillare erzeugt. Wieder wurde die Entwicklung des Plasmakanals be-obachtet.

7.1 Konstanter Druck in der Kapillare

Bei jeder Messung wird gleichzeitig ein Interferenzbild des Kapillarkanals bei 1047 nm undim 524 nm aufgenommen. Jede zehnte Messung ist eine Referenzmessung. Bei den Refe-renzschussen werden die Gasventile und das Thyratron nicht geschaltet. Ein Interferenzbildwird wie in dem Abschnitt 6.1.5 mit dem Programm IDEA in ein Phasenbild umgewandelt.Nach der Umwandlung in Phasenbilder wird die Referenz subtrahiert. Die Subtraktion zwei-er Referenzbilder weist im Kanal eine Schwankung von 0.1 rad auf. Dies ist der Fehler derPhasenmessung. Um das Dichteprofil eines Plasmakanals bei der Eindruckkapillare zu rekon-struieren, wird das Phasenbild entlang der Kanalachse gemittelt. Das resultierende Phasen-profil wird zur Rekonstruktion des Dichteprofils verwendet. Alle transversalen Dichteprofilesind longitudinal uber den Kanal gemittelt. Das Plasmadichteprofil ist nicht konstant uberdie ganze Lange der Kapillare. Es weist eine wellenformige Struktur auf. Die Schwankungender Phase bewegen sich in Bild 7.1 zwischen 3.6 und 5 rad. Die Amplitude der Struktur istalso 0.7 rad. Die Langenskala der Strukturen betragt grob abgeschatzt 1 mm. Bei konstanterDichte entsprache ein Phasengang von 1 rad bei 1047 nm und einer Kapillarbreite von 250µmeiner Elektronendichte von 1.35 1018cm−3.

7.1 Konstanter Druck in der Kapillare 58

Abbildung 7.1: Phasenbild der Plasmakanals bei 120 mbar, Gasdruck 128 ns nach Zunden derGasentladung. Der blaue Bereich ist außerhalb der Kapillare.

7.1.1 Radiales Profil des Plasmakanals

Zwei Schlusselparameter charakterisieren das radiale (oder transversale) Profil der Kapillare:Die Elektronendichte auf der Achse und die Strahlgroße r0 eines geleiteten Gausspuls (sieheAbschnitt 2.3). Beide Parameter erschließen sich aus dem transversalen Profil der Kapillare. InAbbildung 7.2 wird das transversale Elektronendichteprofil der 250 µm breiten Kapillare 160ns nach dem Einsetzen des Entladungsstroms gezeigt. Der anfangliche Gasdruck liegt bei 200mbar. Das Minimum der Dichte ist etwas versetzt zur Mitte der Kapillare bei einem Wert von2, 56 1018

[cm−3

]. Der empirische Wert fur diesen Anfangsdruck liegt bei 4, 31 1018

[cm−3

](vgl. Gleichung 2.21). 200 mbar liegt uber den in [?] angegeben Anfangsdruckwerten.Der Schnittpunkt der Funktion

f (r) = ne (rm)1

rer2π

mit der gemessenen Elektronendichte ne (r) fuhrt zu der Strahlgroße r0 (vgl. Gleichun2.19). rbezeichnet den radialen Abstand von dem Minimum des Kanals bei rm. re ist der klassischeElektronenradius. Dieser betragt hier ca. 33 µm. Dieser Wert stimmt annahernd mit demempirischen Wert von 36 µm (vgl. Gleichung) uberein. Wie am Funktions verlauf der rotenHilfskonstruktion zu sehen ist, hangt r0 im Wesentlichen von der Krummung nahe an derAchse ab.


Abbildung 7.2: Radiales Profil des Plasmakanals bei 200 mbar Gasdruck im quasistationaren Zustand160 ns nach Zunden der Gasentladung. Die rote Funktion dient der graphischen Rekonstruktion dervom Plasmakanal geleiteten idealen Strahlgroße.

Abbildung 7.3: Radiales Profil des Plasmakanals bei 200 mbar Gasdruck im zeitlichen Verlauf. DasEinsetzen des Entladungsstrom definiert den Zeitnullpunkt.


Abbildung 7.4: Die zeitliche Entwicklung der axialen Elektronendichte in Abhangigkeit des Druckes.∆t ist der Zeitabstand vom Ansteigen des Entladungsstroms zur Messung. Die farblich nach der Hohedes Druckes eingefarbten Quadrate geben den Zeitpunkt des Strommaximums der Entladung wieder.

7.1.2 Zeitliche Entwicklung des Plasmakanals

Entwicklung des Profils

In Abbildung 7.3 ist die Evolution des transversalen Dichteprofils eines Plasmadichtekanalsmit anfanglich 200 mbar dargestellt. Die Entwicklung des Kanals ist in Zeitschritten von 20ns gemessen. Nach 50 ns steigt die Elektronendichte in den messbaren Bereich. Nach 96 nsnimmt das transversale Profil eine parabolische Form an. Das Maximum der axialen Dichtewird nach 160 ns erreicht. Danach fallt die Dichte langsam ab. 328 ns nach dem Einsetzendes Entladungsstrom ist die axiale Dichte auf die Halfte abgefallen. Ungefahr im gleichenZeitraum fangen auch die Flanken des parabolischen Profils an abzufallen. Der Zeitraumzwischen 96 ns und 256 ns ist der quasistationare Zustand. Das transversale Profil bleibtin diesem Bereich nahezu unverandert. Die axiale Dichte variiert in diesem Zeitfenster von2×1018cm−3 bei 96 ns bis zu dem maximalen Wert 2.5×1018cm−3 nach 160 ns. Das Maximumder axialen Dichte nach 160 ns fallt mit dem Maximum des Entladungsstroms nach 168 nszusammen. Die geleitete Strahlgroße ist 30 µm (siehe Abschnitt 7.1.1). Noch nach 500 ns istin der Kapillare eine messbare Elektronendichte vorhanden, das transversale Profil ist jedochunkenntlich geworden.

Druckabhangigkeit der Entwicklung

Die zeitliche Entwicklung des Plasmakanals wurde bei einem gemessenen Gasdruck von 45,90, 95, 100, 150, 190, 200, 300, 400 mbar aufgenommen. Die Entladungspannung betragt 20-22 kV. In Abbildung 7.4 ist die axiale Elektronendichte des Kanals aufgezeichnet. Nach 50ns beginnt die Elektronendichte in den messbaren Bereich zu steigen. Lediglich bei 400 mbar

7.2 Messungen eines Dichtegradienten 61

Abbildung 7.5: Axiale Elektronendichte im quasistationaren Zustand (logarithmisch aufgetragen) inAbhangigkeit des Druckes an den Gaszuleitungen. Die blaue Kurve ist der empirsche, lineare Verlaufder Dichte.

steigt die Elektronendichte erst nach 150 ns merklich. Das Maximum der Dichte ist bei 45mbar und bei 90 mbar nach 145 ns erreicht. Bei 200 mbar ist nach 160 ns die axiale Dichte amhochsten, bei einem Druck von 400 mbar nach 268 ns. Das verzogerte Entstehen des Kanalsbei hoheren Drucken ist mit dem Verlauf des Entladungsstrom korreliert. Die Entladung zeigtbei 400 mbar eine kleine Vorschwingung, bevor der maximale Entladungsstrom erreicht wird.Der quasistationare Zustand des Kanals tritt zu dem Zeitpunkt des hochsten Entladungs-stroms ein (siehe Abb. 7.4). Der quasistationaren Zustand dauert bei allen Drucken 200 nsan. Das transversale Profil des Plasmakanals entwickelt sich auf der gleichen Zeitskala (sieheAbbildung 7.3). Bei 45 mbar entwickelt sich bei der Messung unter diesen Verhaltnissen einquasi-konstantes Dichteprofil. Die Messungen bei 95 und 200 mbar weisen ein ausgepragt pa-rabolisches Profil auf. Bei 400 mbar ist die transversale Plasmadichteverteilung unregelmaßigmoduliert.Die axiale Elektronendichte im quasistationaren Zustand steigt logarithmisch mit der Gas-dichte vor der Entladung an. Im Bereich von 100 mbar schneidet sich der empirische, lineareWert [?] mit den gemessenen Werten. (siehe Abb. 7.5).Bei 400 mbar weisen das spate Entstehen des Plasmadichtekanals, die im Vergleich geringeaxiale Dichte und das unregelmaßige, transversale Profil auf eine unzureichende Entladungs-spannung hin. Nur bei ca. 100 mbar scheinen Kapillardurchmesser und Entladungsspannungund Kapillarlange zu einer mit [?] vergleichbaren Dichteentwicklung zu fuhren.

7.2 Messungen eines Dichtegradienten

Da die FLUENT-Rechnungen zu den longitudinalen Dichtegradienten (vgl. Kapitel 3) dieGasentladung außer Acht lassen, bleibt die Messung des Elektronendichtegradienten im Ver-such notwendig. Es wird die in Abschnitt 4.2 beschriebene Zweidruckkapillare verwendet. DieKapillare hat vier Gaszuleitungen im Saphir. Die rechten zwei Zuleitungen fuhren zu einemDruckreservoir mit einem hohen Druck p1. An den anderen Gaszuleitungen liegt ein niedrigerDruck p2 an. Der Abstand zwischen den mittleren Gaszuleitungen im Saphir betragt ca. 4mm. Die ausseren Gaszuleitungen sind 4 mm vom jeweiligen Ende der Kapillare entfernt. DieGaszuleitungen sind 1 mm breit. Die Gaszuleitungen verhindern die Abbildung der Kapillare

7.2 Messungen eines Dichtegradienten 62

Abbildung 7.6: Elektronendichte in der Zweidruckkapillare 152 ns nach Einsetzen der Gasentladung(oben Konturen, unten axiale Dichte). Die mittleren Druckeinlasse liegen in den beiden blau maskiertenRegionen. An dem rechten Einlass liegen 200 mbar an, an dem linken Einlass 100mbar

7.3 Variation der Entladungspannung 63

jeweils in einem ca. 1,2 mm breiten Bereich.Abbildung 7.6 zeigt das Elektronendichteprofil im Schnitt durch die Mitte der Kapillare unddie entsprechende axiale Dichte 152 ns nach einsetzender Entladung. Die ausgesparten Berei-che sind die beiden mittig liegenden Gaszuleitungen. Der hohe Druck p1 betragt 200 mbar.Das Druckmessgerat an der niedrigen Druckseite war ausgefallen. Der Druck p2 von ungefahr100 mbar ist am Druckminderer abgelesen.Die Elektronendichte fallt im Bild deutlich von rechts nach links ab. Der maximale, axialeWert von 3.8 1018cm−3 entspricht nach Gleichung 2.21 einem Druck von 171 mbar. Die-ser Wert fallt bis zu dem linken Kapillarbereich innerhalb von 6 mm auf einen Wert von1.1 1018cm−3 oder entsprechend 50 mbar. Dies entspricht einem Dichtegradienten von ca.0.5 1018cm−3mm−1. An jeder longitudinalen Position des abgebildeten Kapillarkanals er-streckt sich in transversaler Richtung ein parabolisches Dichteprofil (vgl. Abb. 7.6). Zu denRandern der Gaszuleitungen hin fuhren Artefakte der Auswertung zu starkem Anstieg bzw.Abfall der gemessenen Phase bzw. Elektronendichte.In dem gleichen Versuchsaufbau wurde p1 bzw. p2 variiert (siehe Abb. 7.7):Die niedrige Druckseite liegt zunachst bei 100 mbar, p1 wird variiert. Der kleine Bildbereichan der rechten Seite zeigt den Druckbereich zwischen den beiden Zuleitungen mit dem anlie-genden Druck p1. Die Elektronendichte steigt mit der Erhohung des anliegenden Gasdruckesp1 wie in der Kapillare mit einem Druck nicht linear, sondern logarithmisch (siehe Abschnitt7.1.2).Der mittlere Bildabschnitt liegt zwischen den Druckniveaus p1 bzw. p2. Die Dichte hat vorder zweiten Zuleitung eine starke Absenkung. Bei p1 = 200−400 mbar sieht der Druckverlaufin diesem Bereich qualitativ ahnlich aus. Fur p1 = 100 mbar ist die Dichte hier um die Halftekleiner als fur p1 = 200− 400 mbar. Dass sich kein konstanter Dichteverlauf bei p1 = p2 ein-stellt, zeigt die Ungenauigkeit der Druckangabe p2 durch den Druckminderer. Der gemesseneaxiale Elektronendichtewert von 1.2 1018cm−3 im niedrigen Druckbereich entspricht einemDruck von 50 mbar. Der Druckminderer wurde wahrend der Messung nicht verandert. Derreale Wert ist demnach bei jeder Messung 50 mbar.Im niedrigen Druckbereich fallt die axiale Elektronendichte fur p1 = 100 − 300mbar auf ca.1.2 1018cm−3 ab. Dies entspricht mit den genannten Unsicherheiten dem angelegten Druck.Fur p1 = 400 mbar ist die Dichte in diesem Bereich um 0.5 1018cm−3 hoher. Die Dichte falltnicht auf den eingestellten Wert.Gesondert steht der Fall p2 = 0:Der zweite Druckminderer wurde geschlossen, der Druck an der niedrigen Druckseite ist so-mit 0 mbar. Die axiale Elektronendichte fallt stark ab, am Ende des dargestellten Bereichesbetragt sie 0.2 1018cm−3. Die Elektronendichte wird durch das Vakuum in den Zuleitungenschon im Hochdruckbereich leicht gesenkt.

7.3 Variation der Entladungspannung

Es wurde eine Messreihe zu einem Zeitpunkt ∆t zwischen 100 ns und 200 ns im quasistati-onaren Bereich der Kanalentwicklung durchgefuhrt.Die Messung wurde zu einem festen Zeitpunkt nach dem Auslosen des Thyratron durch-gefuhrt. Der Druck an den Gaszuleitungen ist 200 mbar. Der Entladungszyklus ist von derSpannung abhangig, so dass die Messungen nicht alle zum gleichen Zeitpunkt des Entladungs-


Abbildung 7.7: Axiale Elektronendichte in der Zweidruckkapillare bei unterschiedlichen Druck-verhaltnissen. Es sind Messungen zu unterschiedlichen Zeitpunkten nach Einsetzen des Entladungs-stroms wiedergegeben. In der jeweiligen Kanalentwicklung liegen die dargestellten Gradienten im sel-ben Entwicklungsstadium.

zyklus stattfinden. Der Zeitabstand ∆t, der zwischen dem Ansteigen des Entladungsstromsund dem Laser liegt, betragt 192 ns. Bei 18 kV erreicht der Entladungstrom den hochstenPunkt nach 192 ns. Bei 28 kV erreicht der Entladungsstrom schon nach 136 ns seinen Ma-ximalwert. Das bedeutet, dass die gezeigten Profile mit steigender Spannung einen spaterenZeitpunkt der Kanalentwicklung wiedergeben. In Abbildung 7.8 sind die Profile der Plasma-dichte wiedergegeben. Mit zunehmender Spannung steigt die Elektronendichte auf der Achsean und die Flanken des Profils werden steiler. Ab 24 kV steigt die Elektronendichte nur nochschwach an. Man kann dieses Verhalten mit einer Sattigung der Ionisation im Kanal erklaren.Bei 18 kV wird das Gas nicht komplett ionisiert. Der ab 24 kV erreichte Grad der Ionisationwird durch eine hohere Spannung nicht mehr gesteigert. Nach der empirischen Gleichung 2.21erreicht die Elektronendichte auf der Kapillarachse bei 200 mbar den Wert 4.4 · 1018cm−3.Alle gemessenen Werte erreichen diesen Wert nicht.

UE [kV ] 18 20 22 24 26 28Imax [A] 136 150 168 204 234 244

Tabelle 7.1: Abhangigkeit des maximalen Entladungsstroms Imax von der anliegenden Spannung UE

bei 200 mbar


Abbildung 7.8: Uber die Lange des Kanals gemittelte Plasmadichteprofile unter Variation der Ent-ladungsspannung

7.4 Effekt des Aufheizens der Kapillarwande 66

7.4 Effekt des Aufheizens der Kapillarwande

Wie in Abschnitt 6.1.6 beschrieben, wird die Messung der Phase auch durch das Aufheizender Wande beeinflusst. In Abbildung 7.4 wird der uber denn Kanal gemittelte Phasengangbei 200 mbar bei unterschiedlichen Spannungen (18 kV, 28 kV) gezeigt. Die Bilder wurdenzu unterschiedlichen Zeitpunkten des Entladungszyklus aufgenommen. Bei Bild 7.9(a) istgerade das Maximum der Entladungskurve erreicht. Bild7.9(b) zeigt die Phase 56 ns nachdem Maximum. Der Spitzenwert des Stroms steigt mit zunehmender Spannung. Sowohl derhohere Strom als auch der spatere Zeitpunkt der Messung fuhren zu einem starkeren Aufheizender Wande. Dies ist in Abbildung 7.4 deutlich zu sehen. Wahrend die Korrektur den Wertder Phase bei 18kv nur um 0.1 rad anhebt, sind es bei 28 kV 0.4 rad. Da der Anteil des

(a) (b)

Abbildung 7.9: Das transversale Phasenprofil des Plasmakanals bei einem Druck von 200 mbar. Esist der Phasengang des roten Arms (rot), der zum Vergleich verdoppelte Phasengang des grunen Arms(grun) und die mit dem grunen Phasengang korrigierte Phase dargestellt. Bei 18 kV ist die Korrekturder Phase durch das grune Signal gering, bei 28 kV deutlich starker

Phasengangs durch Aufheizen der Wande invers proportional zur Wellenlange ist (vgl. Gl.6.32), ist der Effekt bei 524 nm deutlicher ausgepragt.

Kapitel 8

Diskussion

Das Kapitel 3 der Arbeit beschaftigt sich mit der Fluidmechanik der kompressiblen Stromungenin der Kapillare. Die Variation der Gaszuleitungen ermoglicht einen hohen Dichtegradient vonmehr als 61018 cm−3 (vgl. 3.5 bzw. 3.6). Damit diese Rechnungen auf die reale Stromung ineiner Kapillare angewendet werden konnen, mussen die Randbedingungen des Experimen-tes der Simulation entsprechen. Insbesondere ist das Stromungsverhalten von der Breite undPosition der Gaszuleitungen abhangig. Zur µm-genauen Herstellung von Gaszuleitungen undKapillaren wurde der in Kapitel 5 beschriebene Versuchsaufbau realisiert. Die Simulationenkonnen also durch den Kapillarenherstellungsaufbau sehr genau umgesetzt werden.Die Charakterisierung bleibt dennoch unerlasslich. Die durchgefuhrten zweidimensionalen Si-mulationen konnen das reale Stromungsverhalten nur bedingt wiedergeben. Die Ein- undAusstromung erfolgt nicht wie simuliert direkt in der Kapillarenebene, sondern seitlich.Eine wichtige Frage in diesem Zusammenhang, die bis jetzt aus der Diskussion gehalten wur-de, ist die Rolle der Gasentladung. Vor dem Zunden der Gasentladung erreicht man in einerstationaren Stromung einen Dichtegradienten (Kapitel 3). Der Dichtegradient wird durch diehohen Stromungsgeschwindigkeiten ermoglicht. Die Stromung erreicht dabei Machzahlen vonbis zu 2. Die Temperatur sinkt im Bereich hoher Stromungsgeschwindigkeit auf 240 K. ImBereich subsonischer Stromung betragt sie Raumtemperatur. Die Gasentladung erhoht in we-nigen Nanosekunden die Temperatur der Elektronen auf 3 eV [?]. Diese steigt weiter undubertragt sich auf die schweren Teilchen. Nach 80 ns ist die Temperatur der Protonen auf8 eV gestiegen. Bei der Formation des Plasmakanals treten in transversaler Richtung Ge-schwindigkeiten in der Großenordnung von 2 × 103ms−1 entsprechend einer Machzahl von0.15 auf. Man beachte, dass die Machzahl mit der Wurzel von der Temperatur abhangt. Dastransversale Profil erfahrt innerhalb der ersten 80 ns eine starke Modulation aufgrund derTemperaturunterschiede zwischen Achse und Wand.Mit der Annahme, dass die Stromung in longitudinaler Richtung erhalten bleibt und nur dieTemperatur sich erhoht, soll der Einfluss der Entladung auf den Dichtegradienten abgeschatztwerden. Wenn die Diffusionsgeschwindigkeit eines Teilchens mit der hohen Temperatur nachder Entladung die Geschwindigkeit der Stromung erreicht, wird der Dichtegradient von derStromung nicht mehr aufrecht erhalten. Die Diffusion der Teilchen fuhrt zu einer Nivellierungdes Dichteunterschieds. Die Diffusion soll als random walk der Protonen beschrieben werden.Zwischen zwei Stoßen legen sie die mittlere freie Weglange in dem Plasma zuruck. Aus ei-ner Dichte von 1018 cm−3 und einem Stossquerschnitt von 10−15 cm−2 folgt eine mittlerefreie Weglange von 3 µm. Uber die Stoßzeit, welche aus der thermischen Geschwindigkeit

68

Abbildung 8.1: Der Entladungsstrom der Gasentladung. Die Schwarze Kurve zeigt den normalenBetrieb der Gasentladung. Bei der roten Kurve wurde das Gas durch einen Laserpuls vorionisert.

(≈ 40000m/s) und der mittleren freien Weglange berechnet wird, wird die Anzahl der Stoßein 100 ns bestimmt. Bei einer Temperatur von 80000 K handelt es sich um ca. 1000 Stoße.Die statistische Physik besagt das sich ein random walk mit der Wurzel aus der Anzahl derSchritte ausbreitet. Der random walk legt mit tausend Schritten 100 µm in 100 ns zuruck. DieDiffusionsgeschwindigkeit betragt also ca. 1000m/s. Dies liegt in der selben Großenordnungwie die anfangliche Stromungsgeschwindigkeit von 2 Ma. Der Effekt der Gasentladung istalso durchaus nicht zu vernachlassigen. Es ist noch nicht geklart auf welcher Zeitskala derGradient sich verandert. Die Interferomtrie von Plasmadichtegradienten konnte hier Klarheitschaffen.In Kapitel 6 wird die transversale Interferometrie der Kapillare vorgestellt. Der Versuchsauf-bau ermoglicht die Messung der Elektronendichte innerhalb der Kapillare. Das anamorphoti-sche Abbildungsystem ermoglicht in longitudinaler Richtung einen 20 mm langen Abschnittder Kapillare zu messen. Die mit FLUENT-gerechneten Stromungen ermoglichen einen longi-tudinale Dichtegradient in der Kapillare zwischen zwei sehr nahe aneinander liegenden Gas-zuleitungen. Genau die Gaszuleitungen machen durch Streuung des transversalen Laserpulsesdie Interferometrie in dem interessanten Gebiet des Gradienten unmoglich. Dennoch konnenDichte vor und nach den Gaszuleitungen gemessen werden. Longitudinale Interferometrie derKapillare wird nicht durch die Gaszuleitungen behindert. Die longitudinale Interferometrieintegriert die Elektronendichte in longitudinaler Richtung, der Richtung des Gradienten. EineKombination aus longitudinaler [?] und transversaler [?]Interferometrie der Kapillare konnteauch den Gradienten bestimmen.Der Verlauf des Entladungsstrom hat sich in den Dichtemessungen des Kapillarkanals (siehe7 als kritischer Parameter fur die Entwicklung des Kapillarkanals erwiesen. Gerade bei hohenDichten in der Kapillare erfolgt die Entladung verzogert und mit vielen Storungen. Der Ver-lauf des Entladungsstrom verbessert sich deutlich, wenn der Kanal schon vor dem Auslosender Gasentladung ionisiert wird (siehe Abb. 8.1). Den Entladungskreis zu optimieren, istnotwendig, um den Plasmakanal zu kontrollieren.

Kapitel 9

Ausblick

Der Plasmadichtekanal ist neben dem Laser der zentrale Teil des Laserbeschleunigungsexpe-riment. Im Rahmen der Arbeit wurde ein Interferometer zu Charakterisierung der Plasma-dichte eingerichtet. Zudem wurde Laserbearbeitungsaufbau zur Herstellung von Kapillarenaufgebaut und getestet.Der Laserbearbeitungsaufbau erlaubt Kapillaren frei wahlbaren Durchmessers herzustellen.Auch die Position und Große der Gaszuleitungen konnen nach den Anforderungen eines si-mulierten Design eingestellt werde. Dies gibt dem Elektronenbeschleunigungsexperiment einhohe Maß an Flexibilitat. Sollten sich in Zukunft die Anforderungen an die Kapillare andern,kann der Drei-Achsen Verschiebetisch mit einem erweiterten Programm auf der Mikrometers-kala beliebige Strukturen in die Saphirplatten schreiben.Der Interferometer steht als Diagnostik zu Verfugung. Die Elektronenbeschleunigungsexperi-mente am MPQ konnen gezielt die den zeitlichen Verlauf der Elektronendichte im Kapillar-kanal bei den verwendeten Werten von Gasdruck und Spannung nachmessen. Auf diese Weisehilft der Interferometer dem Verstandnis der Elektronbeschleunigungsexperimente.Hauptsachlich sollen die produzierten und charakterisierten Kapillaren auch zur Elektronen-beschleunigung eingesetzt werden.Nachdem gezeigt wurde, wie ein Dichtegradient in der Kapillare zu erreichen ist, sollen die-se Gradienten auch in den Experiment Verwendung finden. Das staging zu realisieren warschließlich der ursprungliche Gedanke der Arbeit. Die letzten Experimenten am MPQ ver-wenden die gasgefullte Saphirkapillare ohne die Entladung zu zunden. Die durchgefuhrtenFLUENT-Simulationen gewinnen in dieser Situation deutlich an Bedeutung, da die Unsi-cherheit der tatsachlichen Gradienten nach der Entladung hinfallig wird. Im Zuge dieserExperimente konnten die Gradienten, ob ihrer Eignung zur Realisierung des staging in derElektronenbeschleunigung, einem kritischen Test unterzogen werden.

Anhang A

Das Wollastonprisma

Das Wollastonprisma besteht aus zwei Keilen, welche aus einem doppelbrechendem Mate-rial wie zum Beispiel Quartz oder Flussspat gefertigt wird. Diese beiden Keile werden auf-einander aufgebracht, so das die Ein- und Austrittsflache des Wollaston parallel sind. DerOffnungswinkel der Keile θ identisch und meist sehr gering. Bei dem in dieser Arbeit ver-wendetem Prisma betragt er nur 3 ∗ 10−3mrad. Entscheidend ist , dass die optische Achsebeider Kristalle senkrecht auf den Außenflachen und zudem senkrecht zueinander stehen. DasPrisma teilt einen einfallenden Strahl in zwei normal zueinander polarisierte Strahlen auf.Diese verlassen das Prisma unter einem festen Winkel α, welcher nur vom Winkel θ abhangtwie man anhand der Skizze und der folgenden Rechnung nachvollziehen kann:

ne sin θ = no sin θ + φne sin θ= no (sin θ cosφ+ sinφ cos θ)ne tan θ= no (tan θ cosφ+ sinφ) (ne − no) tan θ= no sinφ sinα/2 = no sinφ

Analog lasst sich der Strahlengang der anderen Polarisationsebene berechnen.

Abbildung A.1: Das Wollastonprisma

Anhang B

Lichtleitung in einem parabolischenPlasmakanal

Die Beziehung zwischen Laserstrahlgroße und Plasmakanaltiefe wird in diesem Abschnitthergeleitet [?]. Es wird von der Wellengleichung fur das elektrische Feld ausgegangen:[

∇2 + k2]~E (r, z) = 0 (B.1)

k ist der Wellenvektor des Lasers bei der Propagation einer ebenen Welle durch ein Medium.Bei der paraxialen Naherung betrachtet man die Propagation eines Laserpulses ~E0 (r, z) ent-lang der z-Achse. Die Anderung der Phase bei der Propagation in z-Richtung kann von demelektrischen Feld abgespalten werden:

~E0 (r, z) = ~u (r, z) e−ızk (B.2)

~u (r, z) beschreibt das transversale Profil des Laserpulses. Die Wellengleichung B.1 vereinfachtsich mit B.2 unter Vernachlassigung der zweiten Ableitung von ~u (x, y, z) zu:

∂2~u

∂r2+

1r

∂~u

∂r− 2ik

∂~u

∂z= 0 (B.3)

Diese Gleichung ist die paraxiale Wellengleichung. Sie beschreibt die Entwicklung des trans-versalen Strahlprofils u (r, z) Der Wellenvektor k ist uber die Dispersionsrelation von demMedium abhangig, durch welches der Laser wandert:

k =ω

cn (B.4)

ist. ω ist Frequenz des Lichtes. n ist der lokale Brechungsindex.

n (r) = n0 −12n2r

2 (B.5)

und in erster Naherung

k2 =ω2

c2n2

0

(1− n2

n0r2

)(B.6)

Dies fuhrt zu einem zusatzlichen Term in der paraxialen Wellengleichung.

72

∂2~u

∂x2+∂2~u

∂y2− 2ik

∂~u

∂z− ω2

c2n0n2r

2~u = 0 (B.7)

Durch Einsetzen ist leicht einzusehen, dass

~u (x, y, z) = ~u0 exp(−x

2 + y2

w21

+ i2zw2

1k0

)(B.8)

eine exakte Losung dieser darstellt und somit eine stabile geleitete Eigenmode des Plasmaka-nals mit fester Strahlgrosse

w21 =

λ

π√n0n2

. (B.9)

In einem Plasmakanal wird die Modulation im Brechungsindex durch eine Modulation in derElektronendichte erreicht. Wie in Gleichung 2.5 ist der Brechungsindex eines Plasmas

nplasma =

√1− Nee2

meε0

. Es folgt bei einer leichten Elektronendichtenanderung [?]:

Ne (r) = Ne (0) + ∆Ner2

r2m

(B.10)

und somit

nplasma = 1−

(Ne (0) + ∆Ne

r2

r2m

)e2

2meε0ω2

= 1− nee2

2meε0ω2− 1

2∆Nee

2

meε0ω2r2

= n0 −12n2r

2

mit

n0 = 1− nee2

2meε0ω2≈ 1

und

n2 =∆Nee

2

meε0ω2(B.11)

Und somit gilt nach Gleichung B.9 fur die gefuhrte Strahlgroße:

w1 =rm√

πre∆Ne(B.12)

Anhang C

Der Zweidruck-Saphirhalter

Abbildung C.1: Fotographie des Zweidruck Saphirhalters. Das untere Gasreservoir ist in dem Ple-xiglas eingeschlossen. Ein 1 mm breiter Kanal fuhrt direkt zu den beiden Saphirplatten (mitte). Derobere Bereich des Halters ist geoffnet. Hier befindet sich das zweite Druckreservoir.

Erklarung

Hiermit versichere ich, diese Diplomarbeit selbstandig und nur unter Verwendung der im Li-teraturverzeichnis angegebenen Hilfsmittel angefertigt zu haben.

Munchen, 22.02.2008

Benjamin Marx

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