Instrumenty pochodne 2014 - GPW · B baza może się zmieniać (osłabiać lub wzmacniać) B zmiany...

Instrumenty pochodne 2014

Wycena equity derivatives notowanych na GPWw obliczu wysokiego ryzyka dywidendy

Jerzy Dzieża, WMS, AGH Kraków

28 maja 2014

(Instrumenty pochodne 2014 ) Wycena equity derivatives 28 maja 2014 1 / 31

Plan wystąpienia

Wycena kontraktu terminowego dla różnych klas instrumentów bazowychKontrakt futures na akcje

I model a rzeczywistośćI dywidenda implikowana z modeluI ryzko bazy

Kontrakt futures na indeks WIG20Opcje na indeks WIG20

I wzory Blacka-ScholesaI wzory BlackaI put-call parityI zmieności implikowane z ceny spot i ceny futures


Instrumenty bazowe

Instrument bazowy: akcja, indeks

Instrument pochodny: kontrakt terminowy (forward, futures), opcja

Klasy finansowych instrumentów bazowych:

I. Instrument bazowy nie generuje przepływów pieniężnych w czasie życia instrumentupochodnego

II. Instrument bazowy generuje znane przepływy pieniężne w dyskretnych chwilachczasu w czasie życia instrumentu pochodnego

III. Instrument bazowy generuje stopę dywidendy q w czasie życia instrumentupochodnego

Przypomnienie wyceny kontraktu forwardjeśli stopy procentowe są deterministyczne (przewidywalne)to cena forward = cena futures


Założenia modelu

Założenia o funkcjonowaniu rynku finansowego:

• oprocentowanie kredytów i depozytów bankowych jest jednakowe i niezmienne wczasie trwania instrumentu pochodnego,

• instrumenty bazowe są doskonale podzielne,• nie ma kosztów transakcji,• nie ma podatków,• istnieje możliwość zajmowania (nieograniczonych) długich i krótkich pozycji,• inwestorzy posiadają jednakowy dostęp do wszystkich instrumentów i informacjidotyczących cen (symetryczność informacji)


Wycena kontraktu forward I.

I. Instrument bazowy nie generuje przepływów pieniężnych w czasie życia instrumentupochodnego

-czas0 T

?S(0)

6F (0,T )

model ciągłyF (0,T ) = S(0)erT

model dyskretnyF (0,T ) = S(0)(1+ rT )

gdzie:S(0) - cena instrumentu bazowegoT - czas zapadalności kontraktu (liczony w latach)r - stopa wolna od ryzyka w czasie życia kontraktuwycena kontraktu = brak możliwości arbitrażu


Dywidenda

w chwili t∗ (t∗ < T ) spółka wypłaca dywidendęgdy t < t∗ akcja jest notowana z prawem do dywidendy (cum-dividend)w chwili t∗ akcjonariusz nabywa prawo do dywidendygdy t > t∗ akcja jest notowana bez prawa do dywidendy (ex-dividend)

Konwencja D+3

-czas

WZAcum-dividenddate

ex-dividenddate

prawodo dywidendy

wypłatadywidendy

W dniu ex-dividend date mamy korygowaną cenę akcji (wartość indeksu)


Wycena kontraktu forward II.

II. Instrument bazowy generuje znane przepływy pieniężne w dyskretnych chwilach czasuw czasie życia instrumentu pochodnegoPrzykład:

-czas0 t1 t2 T

?92,0

6

2,062,3

6F (0,T )

cena akcji S(0) = 92 PLN, spółka wypłaci dywidendy:div1 = 2 PLN za 1 miesiąc od dzisiajoraz div2 = 2,30 PLN za 5 miesięcy od dzisiajkontrakt forward: akcja spółki, T = 7

12 , r = 6%Zakładamy 2 możliwe scenariusze Fm(0,T ):



I scenariusz Fm(0,T ) = 93,40 PLN.Twierdzimy, że rynkowa cena forward Fm(0,T ) jest za wysoka konstruujemy portfel:

B wystawiamy kontrakt z cena Fm(0,T ) = 93,40 PLNB pożyczamy w banku 92 PLNB nabywamy akcję za S(0) = 92 PLNPo 1 miesiącu:

B dostajemy dywidendę div1 = 2 PLNB spłacamy cześć zadłużenia w banku;dług w banku po dopisaniu odsetek i spłacie 2 PLN dywidendy wynosi

92 · e0,06·1/12 − 2 = 90,46 PLNPo upływie 5 miesięcy:

B dostajemy dywidendę div2 = 2,3 PLNB spłacamy kolejną cześć zadłużenia w banku;dług w banku po dopisaniu odsetek i spłacie 2,30 PLN i wynosi

90,46 · e0,06·4/12 − 2,30 = 89,99 PLNPo upływie 7 miesięcy:

B zamykamy kontrakt: dostarczamy akcję za Fm(0, 7/12) = 93,40 PLNB spłacamy pozostaje zadłużenie w banku w wysokości 89,99 · e0,06·2/12 = 90,89 PLNZysk portfela: 93,40 - 90,89 = 2,51 PLN Excel



cd. przykładu:II scenariusz Fm(0,T ) = 87,20 PLN.Twierdzimy, że rynkowa cena forward Fm(0,T ) jest za niskaKonstruujemy portfel:

B nabywamy kontrakt z cena Fm(0,T ) = 87,20 PLN

B pożyczamy akcję i sprzedaje na krótko za S(0) = 92 PLN

B lokujemy w banku kwotę 92 PLN



cd. przykładu:Po miesiącu spółka wypłaca dywidendę div1:

B wyciągamy z lokaty bankowej kwotę 2 PLN, która po wcześniejszym dopisaniuodsetek wynosi

92 · e0,06·1/12 − 2 = 90,46 PLN,

B płacimy inwestorowi, od którego pożyczyliśmy akcję, dywidendę div1 = 2 PLN

Po upływie 5 miesięcy spółka wypłaca dywidendę div2:

B wyciągamy z lokaty bankowej kwotę 2,30 PLN, która po wcześniejszym dopisaniuodsetek wynosi

90,46 · e0,06·4/12 − 2,30 = 89,89 PLN

B płacimy inwestorowi, od którego pożyczyliśmy akcję, dywidendę div2 = 2,30 PLN

Po upływie 7 miesięcy:

B wyciągamy z banku kwotę 89,99 · e0,06·2/12 = 90,99 PLNB zamykamy kontrakt czyli kupujemy akcję za 87,20 PLN

B oddajemy akcję inwestorowi od którego pożyczyliśmy

Zysk portfela: 90,89 - 87,20 = 3,69 PLN Excel



Ogólnie: liczymy koszt finansowania pozycji w I scenariuszumamy przepływy pieniężne

((S(0)er ·t1 − div1)er ·(t2−t1) − div2)er ·(T−t2)

po przekształceniu

S(0)er ·(t1+t2−t1+T−t2) − div1er ·(t2−t1+T−t2) − div2er ·(T−t2)

w ostateczności koszt finansowania (replikacja krótkiego forwardu)

S(0)er ·T − div1er ·(T−t1) − div2er ·(T−t2)

Czyli:F (0,T ) = (S(0)− div0)er (T )T

gdzie: div0 = div1e−r (t1)t1 + · · ·+ divke−r (tk )tk

-czas0 t1 t2 T

?S(0)

6

div16div2

6F (0,T )



W modelu dyskretnymF (0,T ) = (S(0)− div0)(1+ r T )

gdzie

div0 =div1

(1+ r t1)+ · · ·+ divk

(1+ r tk )

oczywiście tk < T .W rzeczywistości mamy zwykle 1 dywidendę w czasie życia kontraku i wtedy

div0 =div1

(1+ r t1)

Zatem cena forward

F (0,T ) = (S(0)− div1(1+ r t1)

)(1+ r T )



Model wyceny kontraktu implikuje wartość dzisiejszą dywidendy

div0 = S(0)− 11+ r T

F (0,T )

i wysokość dywidendy

div1 =(S(0)− 1

1+ r TF (0,T )

)(1+ r t1)

Przykład

Cena akcji KGHM SA = 117,00 PLN (zamknięcie 27 czerwca 2014)proponowana dywidenda = 2,50 PLNdata ustalenia praw = 8 lipca 2014; ex-dividend date = 4 lipca 2014cena FKGHU14 = 112,90implikowa wysokość dywidendy

div1 = 5,07 PLN


Wycena kontraktu forward III.

III. Instrument bazowy generuje stopę dywidendy q w czasie życia instrumentupochodnego (indeks, waluta)

model ciągłyF (0,T ) = S(0)e(r−q)T

model dyskretny

F (0,T ) = S(0)1+ r T1+ q T

gdzie: q - stopa dywidendyModel może implikować stopę dywidendy q

q =1T

( S(0)F (0,T )

(1+ r T )− 1)


Wycena kontraktu futures

B T termin zapadalności kontraktów forward oraz futures,

B r stała stopa procentowa w czasie życia (trwania) kontraktu,

B F (0,T ) cena forward w chwili 0 kontraktu forward zapadającego w chwili T ,

B f (0,T ) cena futures w chwili 0 kontraktu futures zapadającego w chwili T ,

Fakt

Jeśli stopy procentowe są deterministyczne to F (0,T ) = f (0,T ).

Bf (t,T ) = S(t)er (T−t)

Bf (t,T ) = (S(t)− div0)er (T−t)

Bf (t,T ) = S(t)e(r−q)(T−t)

Dla losowych stóp procentowych tw. nie zachodzi.


Ryzyko bazy

Baza (basis) kontraktu futures w chwili t zapadającego w chwili T

b(t,T ) = f (t,T )− S(t)

gdzie:S(t) - cena instrumentu bazowego w chwili t,a f (t,T ) cena futures kontraktu w chwili t zapadającego w chwili T .

Alternatywna definicjab(t,T ) = S(t)− f (t,T )


Ryzyko bazy

Obserwacje:gdy t → T to b(t,T )→ 0

bo f (T ,T ) = S(T ).

Gdy stopy procentowe: r , q stałe:

instrument bazowy, które nie generuje przepływów pieniężnych w czasie trwaniakontraktu

b(t,T ) = S(t)er (T−t) − S(t) = S(t)(er (T−t) − 1)

instrument bazowy, który generuje znaną dywidendę w dyskretnych chwilach czasu

b(t,T ) = (S(t)− div0)er (T−t) − S(t) = S(t)(e−r (T−t) − 1)− div0er (T−t)

instrument bazowy, który generuje stopę dywidendy q

b(t,T ) = S(t)e(r−q)(T−t) − S(t) = S(t)(e(r−q)(T−t) − 1)


Ryzyko ceny a ryzyko bazy

Zauważmy, że

B baza może się zmieniać (osłabiać lub wzmacniać)

B zmiany bazy są losowe

Z definicji bazy mamy

b(t,T1) = f (t,T1)− S(t) baza w chwili t kontraktu zapadającego w chwili T1b(t,T2) = f (t,T2)− S(t) baza w chwili t kontraktu zapadającego w chwili T2.

Załóżmy, że mamy długą pozycję w kontrakcie krótszym i krótką pozycję w kontrakciedłuższym, wtedy nasza ekspozycja

f (t,T1)− f (t,T2) = b(t,T1)− S(t)− b(t,T2) + S(t) = b(t,T1)− b(t,T2)

ryzyko bazy



Akcje KGHM: baza rynkowa (krzywa zielona) i baza teoretyczna (krzywa fioletowa) dlaserii czerwcowej ....



.... i wrzesniowej: baza rynkowa (krzywa czerwona) i baza teoretyczna (krzywa zielona)


Kontrakt na WIG20

Wartość indeksu WIG20 = 2474 pktówceny futures dla serii:

cena baza stopa dywidendy baza teoretycznaFW20M14 2462 -14 11,45% -14FW20U1420 2421 -53 11,5% -67FW20Z1420 2440 -34 7,60% -67FW20H1520 2452 -22 5,40% -54

stopa dywidendy z pliku DX ZAR ze strony KDPWczy korzystać przy wycenie kontraktu futures z danych z pliku?


Parytet kupna - sprzedaży

C (t)− P(t) = S(t)−Ke−r (T−t)

Kontrakt futures a parytet put-callPrzypominamy: cena futures dla różnych klas instrumentów bazowych

f (t,T ) = S(t)er (T−t)

f (t,T ) = (S(t)− divt )er (T−t)

f (t,T ) = S(t)e(r−q)(T−t)

Parytet put-call dla kontraktów futures

C (t)− P(t) = f (t,T )e−r (T−t) −Ke−r (T−t)

PrzykładKontrakt futures na WIG20: f (0, 312 ) = 2540 punktów.Opcja kupna i sprzedaży na WIG20: C (0) = 180 punktów, P(0) = 130 punktów.Opcje i kontrakt zapadają za 3 miesiące; dla opcji K = 2500 punktów.Stopa wolna od ryzyka r = 4,0%. Twierdzimy, że istnieje możliwość arbitrażu.


Parytet kupna–sprzedaży

Przykład (cd.)

Konstruujemy następującą strategię arbitrażową:

nabywamy kontrakt futures

wystawiamy opcję kupna: 180 punktów

nabywamy opcję sprzedaży: -130 punktów

lokujemy 500 PLN (50 punktów) po stopie r

W dniu wygaśnięcia opcji i kontraktów:jeśli S(T ) ¬ K = 2500

B długa pozycja w kontrakcie futures wypłaca: 10 · (S(T )− 2540)B opcja kupna wygasa bez wartościB realizujemy opcję sprzedaży: 10 · (2500− S(T ))B wypłacamy z lokaty bankowej: 500e0,04·

312 = 505,0 PLN

Wartość pozycji

10 · (S(T )− 2540) + 10 · (2500− S(T )) + 505 = 105 PLN

jeśli S(T ) > K = 2500 Excel


Wzór Blacka–Scholesa

Wzór Blacka–Scholesa na cenę opcji kupna

C (t) = S(t)N(d1)−Ke−r (T−t)N(d2)

gdzie

d1 =ln(S(t)/K ) + (r + σ2/2)(T − t)

σ√T − t

d2 =ln(S(t)/K ) + (r − σ2/2)(T − t)

σ√T − t

= d1 − σ√T − t

N jest dystrybuantą standardowego rozkładu normalnego:

N(d) =∫ d−∞

1√2πe−

x2

2 dx

gdzie:S(t) - cena akcji w chwili t,K - cena realizacji (wykonania) opcji,T - data zapadalności opcji,r - stopa wolna od ryzyka,σ - zmienność cen instrumentu bazowego.Cena opcji sprzedaży

P(t) = Ke−r (T−t)N(−d2)− S(t)N(−d1)(Instrumenty pochodne 2014 ) Wycena equity derivatives 28 maja 2014 24 / 31

Opcje na indeks

Cena europejskiej opcji kupna i sprzedaży na instrument bazowy generujący stopędywidendy q

C (t) = S(t)e−q(T−t)N(d1)−Ke−r (T−t)N(d2)

P(t) = −S(t)e−q(T−t)N(−d1) +Ke−r (T−t)N(−d2)

gdzie

d1 =ln S(t)e

−q(T−t)

K + (r + 12σ2)(T − t)

σ√T − t

=ln S(t)K + (r − q + 12σ

2)(T − t)σ√T − t

d2 =ln S(t)e

−q(T−t)

K − (r + 12σ2)(T − t)

σ√T − t

= d1 − σ√T − t


Wzory Blacka

Cena futuresf (t,T ) = S(t)e(r−q)(T−t)

wtedy

C (t) = f (t,T )e−r (T−t)N(d1)−Ke−r (T−t)N(d2)

= e−r (T−t)(f (t,T )N(d1)−KN(d2)) (1)

P(t) = e−r (T−t)(−f (t,T )N(−d1) +KN(−d2)) (2)

gdzie

d1 =ln f (t,T )e−r (T−t)

K + (r + 12σ2)(T − t)

σ√T − t

=ln f (t,T )

K + 12σ2(T − t)

σ√T − t

d2 = d1 − σ√T − t

a σ jest zmiennością cen futures f (t,T ).


Zmienności implikowane dla opcji kupna

dla opcjicall (seria czerwcowa) dla cen spot (krzywa niebieska: ceny bid, krzywa czerwona: ceny ask)


Zmienności implikowane dla opcji kupna

dla opcji call (seria czerwcowa) dla cen futures (krzywa niebieska: ceny bid, krzywaczerwona: ceny ask)


Zmienności implikowane dla opcji sprzedaży

dla opcji put (seria czerwcowa) dla cen spot (krzywa niebieska: ceny bid, krzywa żółta:ceny ask)


Zmienności implikowane dla opcji sprzedaży

dla opcji put (seria czerwcowa) dla cen futures (krzywa niebieska: ceny bid, krzywa żółta:ceny ask)


Podsumowanie i wnioski

istnieją dobre modele wycenynie przystają do rzeczywistości

I ryzyko zmiany proponowanej dywidendyI ryzyko zmiany terminu ustalenia praw do dywidendy

trudno zarządzać ryzykiem cenowym

rynek dyskontuje wszystkie informacje (analiza techniczna??)


Instrumenty pochodne 2014 - GPW · B baza może się zmieniać (osłabiać lub wzmacniać) B zmiany...

Documents

Transcript of Instrumenty pochodne 2014 - GPW · B baza może się zmieniać (osłabiać lub wzmacniać) B zmiany...