2

Igła Buffona (1777)

Georges Louis Leclerc

hrabia de Buffon

(1707-1788)

3

Igła Buffona ogólniej

21 przecięć

15 przecięć

• Ile przecięć można oczekiwać?

• Czy zależy to od kształtu „igły”?

• Czy zależy od długości „igły”?

• Czy zależy od odstępu między liniami?

4

Oczekiwana liczba przecięć dla prostej igły

E(d,l) oczekiwana (przeciętna) liczba przecięć gdy igła ma długość l i odstęp między liniami jest d

Niezależnie od położenia igły, zawsze:

liczba przecięć =

liczba przecięć w części żółtej +

liczba przecięć w części różowej

E(d,l1+l2)= E(d,l1)+ E(d,l2)

5

Oczekiwana liczba przecięć dla prostej igły

E(d,l1+l2)= E(d,l1)+ E(d,l2)

Wynik ten można rozszerzyć na dowolną liczbę części igły:

E(d,l1+l2 +l3 +l4)= E(d,l1)+ E(d,l2)+ E(d,l3)+ E(d,l4)

6

Oczekiwana liczba przecięć dla igły łamanej

Wynik można uogólnić na dowolną igłę łamaną:

E(d,l1+l2 +l3 +l4)= E(d,l1)+ E(d,l2)+ E(d,l3)+ E(d,l4)

7

Oczekiwana liczba przecięć – dowolny kształt

E(d,l1+l2)= E(d,l1)+ E(d,l2)

Dowód: wystarczy krzywą podzielić na łamaną o dużej liczbie kawałków

Oczekiwana liczba przecięć: •nie zależy od kształtu „igły”•zależy od d i l

8

Oczekiwana liczba przecięćwzór

E(d,l1+l2)= E(d,l1)+ E(d,l2)E(d,0)=0

Równanie Cauchy’ego

E(d,l)= f(d)*l

Jaka jest postać funkcji f(d)?

9

Ostateczny wzór

E(d,l)= f(d) l 2= f(d) π d

ddf

2)(

dlldE

2,

10

Co z tego wynika?Gdy l<d oczekiwana igła przetnie linie co najwyżej raz więc oczekiwana liczba przecięć jest równa prawdopodobieństwu przecięcia

gdy d=2l to

dlp

2

1, ldE

11

Długość krzywej

dlE

2

gdy

lE

64,02

d

to

Przykładprzecięcia: 8, 9, 10 l=E=9

12

Tomografia

Prosta prześwietla krzywą pod losowym kątemE=c l

l długość krzywej

c=stała

13

Tomografia

Gdy krzywa jest wypukła i zamknięta to E=2 p

p prawdopodobieństwo, że linia przetnie krzywą

E=c l

2p=cl

p=cl/2

14

TomografiaPromień przecina zewnętrzną krzywą.

Jakie jest prawdopodobieństwo, że przetnie krzywą wewnętrzną?

P(F1)=cl1/2

P(F2)=cl2/2

1

2

1

1212 FP

FPFP

FFPFFP

1

2

1

2

1

212 2/

2/ll

clcl

FPFPFFP

15

Tomografia

Jak oszacować długość l krzywej wypukłej zamkniętej?

Zawrzeć ją w kole o znanym promieniu r

r

lllFFP

21

212

12

12

28,6

2

FFPr

FFPrl

PrzykładPromień koła 10 cmNa 100 prześwietleń koła 30 trafia krzywą. Długość ≈6,28*10*0,3=18,84 cm