Humboldt-Universität zu Berlin, Institut für...

Didaktik der Analysis in der Sek II – Ziele und Grundpositionen

Humboldt-Universität zu Berlin, Institut für MathematikAbgeordnete Lehrer: R.Giese, U.Hey, B.Maus

Sommersemester 2009/10

Internetseite zur Vorlesung:

http://didaktik.math.hu-berlin.de/index.php?article_id=351&clang=0

1. Ziele und Grundpositionen Mathematikunterricht der S II

2. Die reellen Zahlen und ihre Bedeutung

3. Zahlenfolgen und Grenzwerte

4. Zugänge zum Ableitungsbegriff

5. Funktionen, Kurvendiskussionen, Extremwertaufgaben

6. Integralbegriff im Zusammenhang mit Ableitungen

Gestaltungform: Vorlesung und Seminar/Übung

DANCKWERTS, R.; VOGEL, D.: Analysis verständlich unterrichten.

Elsevier/Spektrum: München/Heidelberg, 2006.

KNOCHE, N.; WIPPERMANN, H.: Vorlesungen zur Methodik und Didaktik der Analysis.

BI-Wissenschaftsverlag, 1986.

TIETZE, U.-P.; KLIKA, M.; WOLPERS, H. (Hrsg.):Mathematikunterricht in der Sekundarstufe II, Bd. 1:Fachdidaktische Grundfragen, Didaktik der Analysis.

Vieweg: Braunschweig/Wiesbaden, 2000.

TIETZE, U.-P.; KLIKA, M.; WOLPERS, H. (Hrsg.):Mathematikunterricht in der Sekundarstufe II, Bd. 2:Didaktik der Analytischen Geometrie und LinearenAlgebra.

Vieweg: Braunschweig/Wiesbaden, 2000.

TIETZE, U.-P.; KLIKA, M.; WOLPERS, H. (Hrsg.):Mathematikunterricht in der Sekundarstufe II, Bd. 3:

Didaktik der Stochastik. Vieweg, 2002.

BÜCHTER, A.; HENN, HANS-WOLFG.:

Elementare Analysis.

Spektrum Akademischer Verlag Heidelberg, 2010.

BORNELEIT; DANCKWERTS; HENN; WEIGAND (2000): Expertise zum Mathematikunterricht in der gymnasialen Oberstufe

EPA (2002): Einheitliche Prüfungsanforderungen in der AbiturprüfungMathematik(KMK-Beschluss vom 01.12.1989 i.d.F. vom 24.05.2002)

SenBJS (2006): Rahmenlehrplan Mathematik für die gymnasiale Oberstufe (Senatsverwaltung für Bildung, Jugend und Sport Berlin, 2006)

1. Grunderfahrungen des Mathematikunterrichts

2. Probleme des MU in der S II, Lösungsansätze

3. Kompetenzen und Leitideen des MU in der S II

Mathematikunterricht in allgemeinbildendem Sinne ist nach HEINRICH

WINTER durch drei Grunderfahrungen gekennzeichnet 1 :

(G1) „Erscheinungen der Welt um uns, die uns alle angehen oderangehen sollten, aus Natur, Gesellschaft und Kultur, in einerspezifischen Art wahrzunehmen und zu verstehen,

(G2) mathematische Gegenstände und Sachverhalte, repräsentiert inSprache, Symbolen, Bildern und Formen, als geistigeSchöpfungen, als eine deduktiv geordnete Welt eigener Artkennen zu lernen und zu begreifen,

(G3) in der Auseinandersetzung mit Aufgaben Problemlösefähigkeiten,die über die Mathematik hinaus gehen, (heuristische Fähigkeiten)zu erwerben.“

1 Winter, H.: Mathematikunterricht und Allgemeinbildung. In: Mitteilungen der Gesellschaft für Didaktik der Mathematik 61 (1995), S. 37-46.

Kurzfassung:

(G1) Anwendungs-/ Modellbildungsprozess

(G2) innermathematische Orientierung

(G3) heuristische Denk- und Arbeitsweisen

Die Grunderfahrungen nach WINTER sind heute als allgemeiner

Bezugsrahmen des MU (auch der S II) weithin akzeptiert.

Gefordert wird, dass alle drei Grunderfahrungen

sowohl in Grund- als auch in Leistungskursen Berücksichtigung finden

– mit unterschiedlichen Niveaus der Ausprägung.

Dasselbe gilt für die Themengebiete des MU: In jedem der Gebiete

Analysis, Analytische Geometrie / Lineare Algebra und Stochastik sind

(G1), (G2) und (G3) relevant.

Kurzfassung:

Einige gravierende Probleme und Defizite des MU in der S II 2 :

Einseitige Orientierung an der Grunderfahrung (G2)

• Genauer müsste meist gesagt werden: Einseitige Orientierung an Relikten bzw. Fragmenten der Grunderfahrung (G2), siehe Kalkülorientierung.

• Besonders ausgeprägt in Grundkursen

Orientierung am Kalkül

• Konzentration der Stofferarbeitung und des Übungsgeschehens aufdie Beherrschung von Kalkülen und Routinen

• Zu erwartende Abituraufgaben als „heimlicher Lehrplan“• Bereits 1973 formulierte Freudenthal:

„Wenn unser Unterricht heute darin besteht, dass wir KindernDinge beibringen, die in einem oder zwei Jahrzehnten besser vonMaschinen erledigt werden, beschwören wir Katastrophen herauf.“

2Siehe vor allem: BORNELEIT; DANCKWERTS; HENN; WEIGAND (2000): Expertisezum Mathematikunterricht in der gymnasialen Oberstufe

Einige gravierende Probleme und Defizite des MU in der S II 2 :

Einseitige Orientierung an der Grunderfahrung (G2)

• Genauer müsste meist gesagt werden: Einseitige Orientierung an Relikten bzw. Fragmenten der Grunderfahrung (G2), siehe Kalkülorientierung.

• Besonders ausgeprägt in Grundkursen

Orientierung am Kalkül

• Konzentration der Stofferarbeitung und des Übungsgeschehens aufdie Beherrschung von Kalkülen und Routinen

• Zu erwartende Abituraufgaben als „heimlicher Lehrplan“• Bereits 1973 formulierte Freudenthal:

„Wenn unser Unterricht heute darin besteht, dass wir KindernDinge beibringen, die in einem oder zwei Jahrzehnten besser vonMaschinen erledigt werden, beschwören wir Katastrophen herauf.“

2Siehe vor allem: BORNELEIT; DANCKWERTS; HENN; WEIGAND (2000): Expertisezum Mathematikunterricht in der gymnasialen Oberstufe

Einige Lösungsansätze (?)

Orientierung an fundamentalen Ideen– siehe Kompetenzen und Leitideen

Vernetzung als Orientierungsgrundlage– Isolation der Gebiete Analysis, Analytische Geometrie / Lineare

Algebra und Stochastik, (im schlimmsten Falle sogar vonTeilgebieten) „aufbrechen“.

Grundvorstellungen versus Kalkülorientierung

Anwendungsorientierung– Einbeziehung von „echten“ (zumindest von etwas „echteren“)

Anwendungen und Modellbildungen

W.BLUM hat sieben Perspektiven für einen „Analysis-Unterricht 2005" formuliert (W.BLUM, 2000) 3 :

• Perspektive 1: Mehr präformale MathematikIm Analysisunterricht sollte - beim Begriffsbilden wie beim Beweisen - mehr präformalgearbeitet werden, ohne dabei Abstriche an Strenge zu machen. Schüler sollten angemessene Grundvorstellungen insbesondere vom Funktions-, Ableitungsbegriff-und Integralbegriff erwerben.

• Perspektive 2: Mehr RealitätsbezügeIm Analysisunterricht sollten mehr Realitätsbezüge hergestellt werden, und Schüler sollten mehr Gelegenheit zum situierten Lernen erhalten. Sie sollten sowohl Modellieren lernen als auch Umgehen mit Standardmodellen. Mit realen Anwendungen sollten alle Ziele gefördert und sollte auch eine Antwort auf die Sinnfrage gegeben werden

• Perspektive 3: Mehr intelligentes Üben und WiederholenSchüler sollten fortwährend Gelegenheit zum intelligenten Üben und Wiederholen derwesentlichen Inhalte haben. Dies kann auch durch geeignete offene Aufgaben geschehen.3 HELMUT HEUGL (Landesschulrat für Niederösterreich, Wien) ; WERNER BLUM (Universität Kassel)

W.BLUM hat sieben Perspektiven für einen „Analysis-Unterricht 2005" formuliert (W.BLUM, 2000) 3 :

• Perspektive 1: Mehr präformale MathematikIm Analysisunterricht sollte - beim Begriffsbilden wie beim Beweisen - mehr präformalgearbeitet werden, ohne dabei Abstriche an Strenge zu machen. Schüler sollten angemessene Grundvorstellungen insbesondere vom Funktions-, Ableitungsbegriff-und Integralbegriff erwerben.

• Perspektive 2: Mehr RealitätsbezügeIm Analysisunterricht sollten mehr Realitätsbezüge hergestellt werden, und Schüler sollten mehr Gelegenheit zum situierten Lernen erhalten. Sie sollten sowohl Modellieren lernen als auch Umgehen mit Standardmodellen. Mit realen Anwendungen sollten alle Ziele gefördert und sollte auch eine Antwort auf die Sinnfrage gegeben werden

• Perspektive 3: Mehr intelligentes Üben und WiederholenSchüler sollten fortwährend Gelegenheit zum intelligenten Üben und Wiederholen derwesentlichen Inhalte haben. Dies kann auch durch geeignete offene Aufgaben geschehen.3 HELMUT HEUGL (Landesschulrat für Niederösterreich, Wien) ; WERNER BLUM (Universität Kassel)

• Perspektive 4: Mehr ComputereinsatzComputer, insbesondere Taschencomputer, sollten systematisch als Hilfsmittel verwendet werden. Lehrer und Schüler sollten sich der inhärenten Probleme und Gefahren bewusst sein und auf diese auch Metawissen entwickeln.

• Perspektive 5: Weniger KalküleDas Curriculum sollte zu Lasten von formalen Algorithmen umstrukturiert werden, lokal und global. Dadurch sollten Schüler auch ein ausgewogenes Mathematikbild erwerben.

• Perspektive 6: Angemessene LeistungsbeurteilungDie Leistungsüberprüfung sollte die angestrebten Unterrichtsziele besser widerspiegeln, d.h. weniger als bisher an Kalkülen orientiert sein, auch unter Verwendung von Computern als Hilfsmittel und auch in anderer als schriftlicher Form.

• Perspektive 7: Angemessene UnterrichtsgestaltungDer Unterricht sollte weniger als bisher am Entwickeln und Einüben von Kalkülen und mehr daran orientiert sein, geistige Schüleraktivitäten und Reflexionen zu stimulieren und verschiedene Methoden zu variieren, ohne dabei die zentrale Rolle des Lehrers zu reduzieren.

• Perspektive 4: Mehr ComputereinsatzComputer, insbesondere Taschencomputer, sollten systematisch als Hilfsmittel verwendet werden. Lehrer und Schüler sollten sich der inhärenten Probleme und Gefahren bewusst sein und auf diese auch Metawissen entwickeln.

• Perspektive 5: Weniger KalküleDas Curriculum sollte zu Lasten von formalen Algorithmen umstrukturiert werden, lokal und global. Dadurch sollten Schüler auch ein ausgewogenes Mathematikbild erwerben.

• Perspektive 6: Angemessene LeistungsbeurteilungDie Leistungsüberprüfung sollte die angestrebten Unterrichtsziele besser widerspiegeln, d.h. weniger als bisher an Kalkülen orientiert sein, auch unter Verwendung von Computern als Hilfsmittel und auch in anderer als schriftlicher Form.

• Perspektive 7: Angemessene UnterrichtsgestaltungDer Unterricht sollte weniger als bisher am Entwickeln und Einüben von Kalkülen und mehr daran orientiert sein, geistige Schüleraktivitäten und Reflexionen zu stimulieren und verschiedene Methoden zu variieren, ohne dabei die zentrale Rolle des Lehrers zu reduzieren.

Idee und Bedeutung

Ableitung als Idee des Übergangvon der mittleren zur lokalen Änderungsrate

Integral als Idee der Rekon-struktion einer Funktion aus ihren Änderungsraten

„Kurvendiskussion“ als kompetenteAnalyse der Eigenschaften von Funktionen

Darstellung geometrischer Gebilde(Geraden, Ebenen, Kreise, Ellipsen, . . . ) mit Hilfe analytischerMethoden

Kalkülhaftes Arbeiten

Bestimmen von Tangentensteigungenund Ableitungsfunktionen nach syntaktischen Regeln

Integrieren zum Bestimmen vonFlächeninhalten und Stammfunktionennach syntaktischen Regeln

„Kurvendiskussion“ als Anwendungvon Kalkülen auf Funktionenund deren Ableitungen

Formales Lösen von Gleichungs-systemen

Idee und Bedeutung

Ableitung als Idee des Übergangvon der mittleren zur lokalen Änderungsrate

Integral als Idee der Rekon-struktion einer Funktion aus ihren Änderungsraten

„Kurvendiskussion“ als kompetenteAnalyse der Eigenschaften von Funktionen

Darstellung geometrischer Gebilde(Geraden, Ebenen, Kreise, Ellipsen, . . . ) mit Hilfe analytischerMethoden

Kalkülhaftes Arbeiten

Bestimmen von Tangentensteigungenund Ableitungsfunktionen nach syntaktischen Regeln

Integrieren zum Bestimmen vonFlächeninhalten und Stammfunktionennach syntaktischen Regeln

„Kurvendiskussion“ als Anwendungvon Kalkülen auf Funktionenund deren Ableitungen

Formales Lösen von Gleichungs-systemen

In den EPA, künftigen Bildungsstandards und den aktuellen Rahmenlehrplänen werden zwei Dimensionen mathematischer Kompetenzen unterschieden:

allgemeine (bzw. prozessbezogene) mathematische Kompetenzen,

inhaltsbezogene mathematische Kompetenzen (Leitideen).

Allgemeine mathematischeKompetenzen für die Sekundarstufe II(Rahmenlehrplan Berlin, 2006S.10 und 11 ff.)

• Problemlösen• Argumentieren• Modellieren• Darstellungen verwenden• Symbole, Verfahren und

Werkzeuge verwenden• Kommunizieren und

Kooperieren

Inhaltsbezogene mathematischeKompetenzen (Leitideen) für dieSekundarstufe II

(EPA 2002 Inhaltsverzeichnis , S.6 ff Rahmenlehrplan Berlin, 2006 )

• Funktionaler Zusammenhang• Grenzprozesse/Approximation

(RLP: nur Approximation)

• Modellieren (nur EPA)• Messen• Algorithmus• Räumliches Strukturieren/

Koordinatisieren• Daten und Zufall (EPA: nur Zufall)

Allgemeine mathematischeKompetenzen für die Sekundarstufe II(Rahmenlehrplan Berlin, 2006S.10 und 11 ff.)

• Problemlösen• Argumentieren• Modellieren• Darstellungen verwenden• Symbole, Verfahren und

Werkzeuge verwenden• Kommunizieren und

Kooperieren

Inhaltsbezogene mathematischeKompetenzen (Leitideen) für dieSekundarstufe II

(EPA 2002 Inhaltsverzeichnis , S.6 ff Rahmenlehrplan Berlin, 2006 )

• Funktionaler Zusammenhang • Grenzprozesse/Approximation

(RLP: nur Approximation)

• Modellieren (nur EPA)• Messen• Algorithmus• Räumliches Strukturieren/

Koordinatisieren• Daten und Zufall (EPA: nur Zufall)

Anforderungsbereiche (nach EPA 2002)

I Verfügbarkeit von Daten, Fakten, Regeln, Formeln, Sätzen usw.aus einem abgegrenzten Gebiet im gelernten ZusammenhangBeschreibung und Verwendung gelernter und geübter Arbeitstechnikenund Verfahrensweisen in einem begrenzten Gebiet und in einemwiederholenden Zusammenhang

II selbstständiges Auswählen, Anordnen, Verarbeiten und Darstellenbekannter Sachverhalte unter vorgegebenen Gesichtspunkten in einemdurch Übung bekannten Zusammenhangselbstständiges Übertragen des Gelernten auf vergleichbare neueSituationen: veränderte Fragestellungen oder veränderteSachzusammenhänge oder abgewandelte Verfahrensweisen

III planmäßiges und kreatives Bearbeiten komplexerer Problemstellungenmit dem Ziel, selbstständig zu Lösungen, Deutungen, Wertungen undFolgerungen zu gelangen bewusstes und selbstständiges Auswählen und Anpassen geeignetergelernter Methoden und Verfahren in neuartigen Situationen

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